UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE El SALVADOR SALVADOR FACULTA FACULTAD D DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA ARQUITECTURA MATERIA: INGENIERÍA ECONÓMICA PROFESOR: ING. ALEXANDER IBÁÑEZ
UNIDAD II: LOS FACTORES DE INGENIERÍA ECONÓMICA Y SU EMPLEO OBJETIVO DE LA UNIDAD: Al final de esta unidad, el estudiante podrá conocer e identificar el uso de los factores de la Ingeniera Econ!"ica en el cálculo econ!"ica de alternati#as para la to"a de decisiones$ O%&eti#os de Aprendi'a&e: Al final de esta unidad, el estudiante será capa' de: ($ Encontrar Encontrar el #alor #alor nu")rico nu")rico de un factor factor en las ta%las, dada dada la notaci!n notaci!n o si"%ologa si"%ologa del factor$ *$ Interpolar Interpolar lineal"ent lineal"entee para encontrar encontrar el #alor #alor correcto, correcto, dado un inter)s inter)s +o un n-"ero n-"ero de perodos no incluidos en ta%las$ .$ /alcular /alcular el #alor #alor futuro de de una cantidad, cantidad, dada dada una tasa de inter)s, inter)s, el n-"ero n-"ero de perodos perodos + el #alor "onetario de una cantidad presente$ 0$ /alcu /alcula larr el #alor #alor prese present ntee de una cant cantid idad, ad, dada dada una una tasa tasa de inter)s inter)s,, el n-"e n-"ero ro de perodos + el #alor "onetario de una cantidad futura$ 1$ /alcu /alcula larr el #alor #alor prese present ntee de una cant cantid idad, ad, dada dada una una tasa tasa de inter)s inter)s,, el n-"e n-"ero ro de perodos + el #alor "onetario de una serie unifor"e$ 2$ /alcul /alcular ar una serie unifor unifor"e "e de una cantidad, cantidad, dada una tasa tasa de inter)s, inter)s, el n-"ero n-"ero de perodos + el #alor "onetario de una cantidad presente$ 3$ /alcular /alcular el #alor #alor futuro de de una cantidad, cantidad, dada dada una tasa de inter)s, inter)s, el n-"ero n-"ero de perodos perodos + el #alor "onetario de una serie unifor"e 4$ /alcu /alcula larr la serie serie unif unifor or"e "e,, dado dado el inte inter) r)ss + pero perodo do,, de alte altern rnat ati# i#as as 5ue 5ue incl inclu+ u+en en cantidades unifor"es crecientes + decrecientes$ /ONTENIDO DE LA UNIDAD Los factores de Ingeniera econ!"ica 6actor del #alor presente series unifor"es + del factor de recuperaci!n de capital$ 6actor cantidad co"puesta series unifor"es + del factor fondo de a"orti'aci!n$ Notaci!n estándar de los factores + el uso de las ta%las de inter)s$ /álculo de #alor presente, #alor futuro + de serie anual unifor"e Definici!n de gradiente + uso del factor gradiente Valor presente + serie anual unifor"e e5ui#alente de gradientes con#encionales + trasladados$
UNIDAD II: LOS FACTORES DE INGENIERÍA ECONÓMICA Y SU EMPLEO. Introducción El uso de los factores de Ingeniera Econ!"ica representa el concepto "ás i"portante tanto para el "ane&o de cantidades a tra#)s del tie"po, co"o para la e#aluaciones de alternati#as donde 7alla 5ue to"ar una decisi!n econ!"ica$ El pri"ero + "ás i"portante paso 5ue se de%e dar al utili'ar los factores + resol#er pro%le"as de Ingeniera econ!"ica es construir un diagra"a de flu&o de ca&a donde se #isuali'a las cantidades u%icadas a tra#)s del tie"po$ El diagra"a de flu&o de ca&a de cantidades, ade"ás de ilustrar "ás clara"ente el pro%le"a a resol# resol#er er,, "uestr "uestraa de in"edi in"ediato ato cuales cuales factor factores es + sus f!r"ul f!r"ulas as de%en de%en utili' utili'arse arse + si las condiciones del flu&o de ca&a presentadas per"iten una aplicaci!n directa de los factores$ E#idente"ente las for"ulas de los factores s!lo se pueden usar cuando el flu&o de ca&a de cantidades se presenta e8acta"ente al diagra"a de flu&o para las f!r"ulas$ 9or e&e"plo, los factores de series unifor"es no podrán e"plearse si los pagos ocurren cada tercer ao en lugar de cada ao$ 9or lo tanto es i"portante "encionar las condiciones para los cuales se aplican el uso de los factores$
Di!r" d# $% u&o ' (i")o%o!* . Diagra"a de flu&o de cantidades: 9er"ite #isuali'ar el flu&o de efecti#o co"o resultado de una in#ersi!n$ ;ea el siguiente diagra"a
P
R & A
#
$
%
F
! "$
! "#
!
;i"%ologa : Donde: 9 < /antidad 9resente 9resente o In#ersi!n In#ersi!n Inicial: ocurre en el punto cero o en cual5uier punto considerado co"o presente$ A < = < ;erie unifor"e de dinero de final de periodos$ De%en de ser pagos iguales al final de cada periodo$ 6 < /antidad de dinero en 6ec7a 6utura, se indica en el punto >n? o en cual5uier punto 5ue se considere co"o fec7a futura$ n < n-"ero de perodos
Fctor#( ' $ór"u%( d# In!#ni#r* Econó"ic +. Fctor P!o ,nico- Cntidd Co"u#(t / F0P1 Este factor per"ite la deter"inaci!n de cantidades futuras de dinero @6 5ue se a c u" u la n d e s pu ) s d e @ n a o s @ o p e r o d os a p a r ti r d e u n a i n # er s i !n - n ic a @ 9 c on i nt e r) s c o "p ue s to a nu a l" en te @ o p or p er i od o $ E s to s e " ue s tr a e n l a siguiente figura:
P
F & '
!
El "onto co"puesto o #alor futuro @ 6 de una cantidad presente @9 es dado por: +.
F 2 P / F0P1
de donde la f!r"ula original es: F 2 P/ + 3 i1 n Al factor @ (i n se le lla"a factor de pago -nico cantidad co"puesta + se representa por @ 69 4. Fctor P!o Si"%#- 5%or Pr#(#nt# o Actu% / P0F1 Este factor deter"ina el #alor presente @9 de una cantidad futura @6 dada, despu)s de @n aos a una tasa de inter)s @i, esto se "uestra en la siguiente figura:
P & '
F
!
El #alor presente @ 9 de una cantidad futura @6 es dado por:
4$
P 2 F / P0F1
De donde la f!r"ula original es: P 2 Al factor
F /+3i1 n
1/(1+i) n se
le lla"a factor de pago si"ple, #alor presente +
se representa por @ 96 6. Fctor S#ri#( Uni$or"#(- 5%or Pr#(#nt# / P0A1 E st e f ac to r d et er "i na e l # al or p re se nt e @ 9 d e u na s er ie a nu al u ni fo r" e e5ui#alente @A 5ue e"pie'a al final del ao ( + se e8tiende durante @n aos a una tasa de inter)s @i, esto se "uestra en la siguiente figura:
P & '
A
#
$
%
(
)
*
! "#
!
El #alor presente @ 9 de una serie unifor"e @A es dado por:
6.
P 2 A / P0A1
de donde la f!r"ula original es: P 2 A / +3i1 n 7 +
i/+3i1 n
Al factor / +3i1 n 7 +
i/+3i1 n se le lla"a factor series unifor"es, #alor presente + se representa
por @ 9A
8 . F c to r R # cu # r c i ón d # C i t % . / A 0 P 1 Este factor produce el #alor anual unifor"e e5ui#alente @A durante @n aos de una In#ersi!n @9 dada cuando la tasa de inter)s es @i, esto se "uestra en la siguiente figura:
P
A & '
La serie unifor"e es # $ @ A% de un ( #alor ) presente * ! " @A # ! dado por:
8.
A 2 P / A 0P 1
de donde la f!r"ula original es: A 2 P / i /+3i1 n 1
/+3i1 n 7+
Al factor
/ i /+3i1 n 1
/+3i1 n 7+
se le lla"a factor de recuperaci!n de capital + se representa por @ A9 9. Fctor d# D#ó(ito d# Fondo d# A"ortición /A0F1 Este factor produce el #alor anual unifor"e e5ui#alente @A durante @n aos de un #alor futuro @6 dado cuando la tasa de inter)s es @i, esto se "uestra en la siguiente figura: A & '
#
$
%
(
F
)
*
! "#
!
La serie unifor"e @ A de un #alor futuro @6 es dado por:
9.
A 2 F / A 0F 1
de donde la f!r"ula original es: A 2
F
i /+3i 1 n
7 +
Al factor i /+3i 1n
; +
se le lla"a 6actor de Dep!sito de 6ondo de
A"orti'aci!n + se representa por @ A6 <. Fctor S#ri#( Uni$or"#( Cntidd Co"u#(t. Este factor deter"ina el #alor futuro @6 de una serie anual unifor"e e5ui#alente @A 5ue e"pie'a al final del ao ( + se e8tiende durante @n aos a una tasa de inter)s @i, esto se "uestra en la siguiente figura: A
#
$
%
(
F & '
)
*
! "#
!
El #alor futuro @ 6 de una serie unifor"e @A es dado por:
<.
F 2 A / F0A1
de donde la f!r"ula original es: F 2 A / +3i 1 n ; + i Al factor / +3i 1 n ; + i
se le lla"a 6actor ;eries Unifor"e /antidad /o"puesta + se representa por @ 6A
E=ERCICIOS RESUELTOS DE USO DE FACTORES DE INGENIERÍA ECONÓMICA ( D a do u n a c a n t id a d p r e se n te d e C 0 , $ E n c on t ra r s u " o n to d e n t ro d e ( aos a una tasa de inter)s del ($ 6 < 9 @69, i, n 6 < 0, @69, (, ( De ta%las el 6actor 69 < *$1F.3 6 < 0, @*$1F.3 F 2 >+?-6@8. * ; e g a st a u n a s u "a d e C *, 7 o +, s e g a s ta n C 1 a l f in a l d e c a da a o durante 2 aos, se gastan ade"ás C4 al inicio del ao . + 1$ G/uál es el Honto al ca%o de 2 aos, si el inter)s es del 2 9(< $,
)
#
$
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F
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*
+
6 < 9 ( @69, i, n A @6 A, i, n 9 * @69, i, n 9 . @69, i, n 6 < *,@69,2,21@6A ,2,24@69,2,04@6 9,2, * Buscando los #alores de los factores en ta%la 6 < *, @($33(2 1 @3$3(12 4 @($020( 4 @($*( 6 < .,10.$* .,413$4 (,(3($*4 F24 F 2 > B-98?.4 . Un estudiante desea a7orrar durante 1 aos para co"prar una co"putadora 5ue costará C3,, si el inter)s es del 0 capitali'a%le tri"estral"ente$ G/uánto de%erá depositar anual"ente A & '
#
$
%
-,
(
)
6recuencia de /on#ersi!n @" < 0 Tie"po < 1 aos de 9eriodos < Tie"po 8 " # de Periodos = n = (5) x (4) = 20
i p < i" < 00 i p = 1%
A < 6 @A6, i p , n A < 3, @A6, (, * A < 3, @$010* A 2 >
[email protected] 0 G / u an t o t i e" p o t ar d a r á e n t r ip l ic a r s e u na c a n t id a d s i e l i n te r ) s e s d e l 4 capitali'a%le tri"estral"ente
P
F & %P
#
$
! "#
!
i p < i" < 40 i p = 2%
6 < 9 @69, i p , n .9 < 9 @69, *, n .99< @6 9, *, n . < @69, *, n De la ta%la de 6actores e interpolando entre: 69 *$2F(2 .$ .$*4(
n 1 8 2
De la interpolaci!n se o%tiene: n < 11$1 @ de 9eriodos de Aos < de 9eriodos " de Aos < 11$1 0 de Aos < (.$F Aos$
1 ; i u n a i n #e r si !n d e C * , p r od uc e u n i ng r es o d e C 3 a l a o d ur an te 1 aos$ G/uál es la tasa de rendi"iento so%re la in#ersi!n
$,
#
-
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)
9 < A @9A, i, n *, < 3 @ 9A, i, 1 *3< @9A, i , 1 *$413( < @9A, i, 1 De la ta%la de 6actores e interpolando entre:
9A *$FF2 *$413( *$24F.
i * 8 *1
De la interpolaci!n se o%tiene: i 2 44.4
2 Encuentre el #alor de >A? si la tasa de inter)s es del F anual$ A & '
#
A & '
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To"ando co"o fec7ar foca l, el ao cero tene"os:
9 < A @9A, i, n KA @9 A, i, n8@9 6, i, n 1 < A @9A, F, * KA @9 A, F, *8@96, F, . 1 < A @($31F( KA @($31F(8@$33** 1 < ($31F(A ($.140A 1 < .$((31A A < 1.$((31 A 2 >+<.?6B 3 E n cu e nt r e e l #a l or d e > 6 ? s i l a ta s a d e i nt e r )s e s d e l 1 an u al $
#
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To"ando co"o fec7a focal, e l ao cero tene"os: 6 @96, i, n 6 @96, i, n < A @9A, i, n KA @9A, i, n8@96, i, n 6 @96, 1, . 6 @96, 1, 1 < * @9A, 1, . K0 @9A, 1, 08@96, 1, . 6 @$42.4 6 @$34.1 < * @*$3*.* K0 @.$1028@$42.4 ($203.6 < 10$020 (**$1*( ($203.6 < (32$F41 6 < (32$F41($203. F 2 >
[email protected] 4 U n % a nc o o t o rg a u n p r ) st a " o p or C ( ( , a u n a t a sa d e i n t e r) s a n u al d e l 4 + se acord! 5ue se le pagara en ( cantidades iguales al final de cada ao$ Dando inicio en el pri"er ao, despu)s de 5ue se 7u%o pagado la 1M anualidad el %anco ofrece co"o alternati#a 7acer un solo pago de C3, al final del siguiente ao, es decir, 5ue +a no se 7aran los 1 pagos restantes sino uno solo al final del 2 ao$ Deter"nese 5ue opci!n de pago al deudor para li5uidar las ulti"as 1 anualidades$
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/alculando la serie de pagos iguales: A < 9 @A9, i, n A < ((, @A9, 4, ( A < ((, @$(0F. A 2 >+-<6B.66 /alculando la Alternati#a >B? 9 < A @9A, i, n (,2.F$.. 9 < (,2.F$.. @9A, 4, 0 (,2.F$.. 9 < (,2.F$.. @.$.(*( (,2.F$.. 9 < 1,0*F$2* (,2.F$.. P 2 >@-?<.B9
F Un pr)sta"o de C(, se esta pagando con anualidades de C4 a una tasa de inter)s del 1$ Un ao despu)s de 7ec7o el pr)sta"o se e"pe'! a pagar, si despu)s de 3 pagos se acuerda 5ue el resto de la deuda se cu%rirá con dos pagos iguales -nicos al final del ao F + (($ GA cuanto ascienden estos pagos de "odo 5ue se cancele la deuda total"ente
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To"ando co"o fec7a focal el ao ((, tene"os: eudas < 9agos 9 @69, i, n < A @6A , i, n8@6 9, i, n 8 @69, i, n 8 (, @69, 1, (( < 4 @6A, 1, 3 8 @69, 1, * 8 (, @($3(. < 4 @4$(0*8@($*(11 8 @($(*1 8 (,3($. < 3F($3 *$(*18 *$(*18 < (,3($. 3F($3 *$(*18 < F(4$2 8 < F(4$2*$(*1 2 >86<.B+ (Una persona co"pr! un e5uipo de "a5uinaria en C*0, + acord! para p ag ar lo e n . 2 " en su al id ad es i gu al es a u na t as a d e i nt er )s d el ( " en su al $ U n p la n d e p ag o A lt er na ti #o c on si st e e n * a nu al id ad es d e C0,*(4$1
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE El SALVADOR FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA MATERIA: INGENIERÍA ECONÓMICA PROFESOR: ING. ALEXANDER IBÁÑEZ
UIA DE 9=OBLEHA
USO DE FACTORES =esuel#a suponiendo un inter)s co"puesto del F anual:
1.-
a GPu) deuda actual podrá li5uidarse efectuando pagos de Q ( al final de cada ao por (. aos % GPu) pago el da de 7o+ seria e5ui#alente a una pago de Q (,1 5ue #ence dentro de . aos c G/uál es el #alor futuro e5ui#alente de Q 1, a partir de 7o+ a .1 aos ;i la fa"ilia Urrutia desea tener en su cuenta de a7orro Q (4, dentro de 1 aos para
2.-
co"prar un auto$ G/uánto dinero tendra 5ue depositar anual"ente co"en'ando dentro de una ao, si la tasa de inter)s es del 2 $ G/uánto dinero se acu"ulara en (0 aos, si se 7icieran dep!sitos anuales de Q (,*F
3.-
co"en'ando dentro de un ao a una tasa de inter)s del 1$
Una persona desea a7orrar durante 1 aos para ad5uirir un ranc7o en la pla+a, 5ue costará Q
4.-
1,$ ;i el inter)s es del (* capitali'a%le tri"estral"ente$ G/uánto de%erá depositar anual"ente La ;rta$ 9etrusca solicito un pr)sta"o al Banco /uscatlán por Q (, + pro"eti! pagarlos
5.-
en .2 "ensualidades iguales, cada fin de "es$ G/uál es el "onto de sus pagos si la tasa de inter)s des del (* G/uánto de%e depositar un padre cada . "eses al 0 de inter)s capitali'a%le
6.-
tri"estral"ente para lograr una su"a glo%al de Q (, al ca%o de (1 aos para la educaci!n de su 7i&o$ Deter"ine el #alor anual de las series unifor"es detalladas a continuaci!n$ ;uponiendo un
7.-
inter)s del 0 $
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#+
#
$
8.-
Una persona deposita Q (, anuales, en una cuenta durante 1 aos, al final de los 1 aos, retira, la "itad del saldo de la cuenta, deposita Q *, anuales por 1 aos "ás + al final del deci"o5uinto ao retira el saldo total$ ;i la cuenta de#enga el 4 de inter)s$ G/uánto retiro en total a Al final de 1 aos$ % Al final de (1 aos$
9.-
Una co"paa de%e actual"ente a un %anco Q(*,1 5ue puede restituir en cual5uiera
de las tres for"as siguientes: a Q*,1 dentro de ( aos$ % Q(,*4($*1 anuales durante ( aos$ c Q(*,1 a7ora$ Deter"ine cuál es la "e&or elecci!n de la co"paa, si la tasa de rendi"iento es el ($ 10.-
Una persona 7ace los siguientes dep!sitos en su cuenta de a7orro:
a Q* anuales durante 1 aos$ % Q(,1 cada 1 aos durante (1 aos$ c Q*1, Q.31 + Q( en los aos 3, ((, (* respecti#a"ente$ ;i la tasa de inter)s es del 2 deter"ine: a /uánto tendrá a7orrado al final de (1 aos$ % El Valor presente de estos dep!sitos$ c La serie anual unifor"e$ 11.-
Raga los cálculos necesarios para de"ostrar cuáles de los enunciados 5ue se indican son #erdaderos + cuáles son falsos, si la tasa de inter)s es el 1 anual$
a QF4 7o+ son e5ui#alentes a Q(1$2 dentro de un ao$ % Q., 7o+ e5ui#alen a Q.,(1 dentro de un ao$ c Q., 7o+ e5ui#alen a Q*,443$(0 7ace un ao$ d El inter)s acu"ulado en un ao so%re una in#ersi!n de Q*, es Q($
12.-
La co"paa SIN;IN/A ;$A$S ad5uiere una "á5uina te8til para su fá%rica de te&idos #alorada en Q.,34.$22, "ediante una pri"a de Q(,(*1$** co"pro"eti)ndose a cancelar el resto en letras "ensuales durante . aos$ ;i el inter)s a pagar so%re el cr)dito concedido es de 4 anual G A cuánto ascenderá el #alor de cada letra$
13.-
;e espera 5ue una "á5uina tenga un costo de reacondicona"iento por QF,413$F4 cada ( aos$ ;e desea ter"inar el dese"%olso anual e5ui#alente gastado en los *1 aos de #ida de ser#icio de la "á5uina, si el rendi"iento esperado es del (*$33 anual$
14.-
;e co"pr! una TV$ en Q *,240$01 a un pla'o de *0 "ensualidades iguales$ El pri"er pago se 7ará un "es despu)s de 7a%ero ad5uirido$ El co"prador cree 5ue es posi%le 5ue a los (* "eses pueda pagar, ade"ás de la "ensualidad, una cantidad de Q22$41, + 5ue para saldar su deuda le gustara seguir pagando la "is"a "ensualidad 7asta el final$ Este pago adicional 7ará 5ue el n-"ero de "ensualidades dis"inu+a$ /alcule en 5u) fec7a se ter"ina de pagar el tele#isor, si se ad5uiri! el ( de enero + la tasa de inter)s 5ue se co%ra es el ($13 "ensual$
15.-
Un pr)sta"o de Q(, se está pagando con anualidades de Q4, a una tasa de inter)s del 1 anual$ Un ao despu)s de 3 pagos se acuerda 5ue el resto de la deuda se cu%rirá con dos pagos iguales -nicos, al final de los aos F + ((, Ga cuánto ascenderán estos pagos de for"a 5ue salden total"ente la deuda$
16.-
Una persona co"pra una gra%adora en Q31 + acord! pagarlo en *0 "ensualidades iguales, co"en'ando un "es despu)s de la co"pra$ El contrato ta"%i)n estipula 5ue el co"prador de%erá pagar en el "es de dicie"%re de a"%os aos anualidades e5ui#alentes a . pagos "ensuales$
;i la gra%adora se ad5uiri! el ( de enero de (FF, tendrá 5ue pagar en
dicie"%re de (FF + dicie"%re de (FF(, 0 "ensualidades en cada perodo @una nor"al "ás la anualidad$ ;i el inter)s 5ue se coloca es del ( "ensual$ GA cuánto ascienden los pagos "ensuales 17.-
Una uni#ersidad local ofrece estudios de licenciatura por una cantidad anual de Q0,1 pagaderos al principio del ao escolar$ Otra for"a de pagar los estudios es "ediante la aportaci!n de ( "ensualidades iguales$ La pri"era se paga el ( de septie"%re + la -lti"a el ( de &ulio del siguiente ao$ En los "eses de dicie"%re + agosto no 7a+ pago por estar de #acaciones$ GA cuánto ascienden los ( pagos "ensuales unifor"es para ser e5ui#alentes a un pago de contado de Q 0,1 el ( de septie"%re de cada ao, si la uni#ersidad aplica una tasa de inter)s del * "ensual
18.-
Una persona piensa depositar Q (1 cada "es durante el siguiente ao en un %anco 5ue paga una tasa de inter)s del ($1 "ensual$ /onsidera 5ue despu)s de 7acer los (* dep!sitos del pri"er ao, puede au"entar su a7orro "ensual a Q (4$ G/uánto tendrá al final de dos aos, si no retira ninguna cantidad de dinero durante ese tie"po
19.-
Una fa"ilia cuenta con un fondo de Q ., para re"odelar su casa en el futuro$ El dinero está depositado en un %anco 5ue paga un inter)s de 3 anual$ ;i la fa"ilia considera 5ue gastará Q (, al final del segundo ao + Q (1, al final del cuarto ao, Gcon 5u) cantidad podrá contar al final del 1o$ ao
20.-
El Sr. Wenceslao se propuso ahorrar ¢ 1,000 cada fin de año durante 10 años en un banco que paga un interés del 12 % anual. Sin ebargo, al final de los años ! " #, en $e de ahorrar, tu$o que disponer de ¢ !00 en cada una de esas fechas. &'u(nto acuulo al final de los 10 años, si hio ocho dep)sitos de ¢ 1,000*.
21.-
;e co"pr! un e5uipo de sonido por Q (,($ ;e acord! pagarlo en .2 "ensualidades iguales, principiando un "es despu)s de la co"pra$ La tasa de inter)s es del ( "ensual$ a /alcule el pago "ensual 5ue de%erá 7acerse$ % Al final de los (* , *0 + .2 "eses es posi%le 7acer un pago adicional a la "ensualidad de Q ( si se desea pagar el e5uipo en .2 "ensualidades iguales$ GA cuanto ascienden a7ora los pagos$
22.-
;uponga 5ue se espera 5ue la instalaci!n de #entanas de %a&a perdida t)r"ica en su regi!n le represente un a7orro anual de Q *41$F2 en su reci%o de co%ro de la calefacci!n de su casa durante los siguientes (4 aos$ ;i puede de#engar el 1$.4 al ao en otras in#ersiones$ G/uánto podra estar dispuesto a gastar para estas #entanas$
23.-
Jos) 9)re' 5uiere 5ue su 7erencia #alga, Q 1*3,024$F1 al final de ( aos$ A7ora su #alor neto es cero$ 9uede acu"ular los Q 1*3,024$F1 deseados depositando Q (4,*.F$(3 al final de cada ao durante los siguientes ( aos$ GA 5ue tasa de inter)s por ao de%en in#ertirse sus dep!sitos
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE El SALVADOR FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA MATERIA: INGENIERÍA ECONÓMICA PROFESOR: ING. ALEXANDER IBÁÑEZ
SERIES CRECIENTES Y DECRECIENTES DE CANTIDADES. FACTOR SERIES ARITMTICA. EL GRADIENTE Grdi#nt# Arit"tico . Es una serie de flu&os de efecti#o 5ue au"enta o dis"inu+e en for"a unifor"e, es decir, el flu&o de efecti#o, %ien sea ingreso o costo, ca"%ia por la "is"a cantidad arit")tica cada perodo de inter)s$ La cantidad del au"ento o de la dis"inuci!n e s e l g ra di en te $ E l # al or d el g ra di en te > ? p ue de s er p os it i# o o n eg at i# o, dependiendo si #a en au"ento o en dis"inuci!n $ ;uponga"os una serie de cantidades 5ue au"enta de una "anera unifor"e$ De donde se tiene un gradiente “G” unifor"e, de la siguiente "anera:
#
$
A#
%
G
! "$
! "#
!
A # $G
A#8G
G 6! " % 7
G 6! " $ 7
A#8$G G 6! " # 7 A#8G6!"%7 A # 8 G 6! "$ 7 A # 8 G 6! "# 7
El gradiente >? se puede calcular de la siguiente "anera: G O ! G G O #
#
;uponga"os 5ue: O ( < asto de Operaci!n en el periodo ($ O n < asto de Operaci!n en el periodo n$
!
< O n O (
n( < 6 A( n( Donde: A ( < ( e r Ter"ino o /antidad B ase$ < radiente 6 < Valor 6uturo$ Fctor (#ri# rit"tic r !rdi#nt#( cr#ci#nt#( ' d#cr#ci#nt#(. / A0G1 Es el factor 5ue con#ierte un gradiente unifor"e >? para @n aos en una serie anual unifor"e @A, con una tasa de inter)s @i$ La serie anual unifor"e e5ui#alente @A de una serie creciente con un gradiente unifor"e @ es dado por:
@.
A T 2 A + H G /A0G-1
#% (i!no 3 #( r (#ri#( cr#ci#nt#( E% (i!no ; #( r (#ri#( d#cr#ci#nt#(
Donde: A T < La serie anual unifor"e e5ui#alente A ( < la cantidad %ase o pri"er t)r"ino de donde co"ien'a o dis"inu+e la ;erie$
< Es el gradiente constante
A < 6actor serie arit")tica De donde la f!r"ula original es: A T < A ( (1/i - (
n
)) n
( 1+I )1
Al factor 1/i - (
n
))
n
( 1+I )1
se le conoce co"o 6actor series arit")tica + se representa por @A Fctor S#ri# Arit"tic 5%or r#(#nt#. /P0G1 Es el factor 5ue con#ierte un gradiente unifor"e >g? para @n aos en #alor presente @9 en el ao con una tasa de inter)s @i$ El #alor presente total @9 de una serie creciente o decreciente con un gradiente unifor"e@ es dado por:
.
P T 2 A + /P0A-1 H G /P0G1
D e d o n d e e l # a l o r p r e s e n t e d e l g r a d i e n t e e n s u f ! r "u l a o r i g i n a l # i e n e d a d o por: P 2 i @ @ (i n (
I@(i n
n
@ (i n
al factor en corc7ete se le conoce co"o factor serie arit")tica #alor presente + se representa por@9
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E=ERCICIOS RESUELTOS DEL USO DE GRADIENTES (
U na p e r s on a a d 5u ir i ! u n a u t o, e s p er a 5 u e e l c o s to d e " a nt e ni "i en t o s e a de C(1 al finali'ar el pri"er ao + 5ue los su%secuentes au"ente a ra'!n
d e C 1 a n u a l es $ ; i l a t a s a d e i n t e r )s e s d e l 4 a n u a l $ G / u ál e s e l # al o r presente de esta serie de pagos durante un periodo de 2 aos (
G & ) P / & ' #)
#
$
%
(
)
*
9 T < A ( @9A, i, n @9, i, n 9 T < (1 @9A, 4, 2 1 @9, 4, 2 9 T < (1 @0$2**F 1 @($1*. 9 T < 2F.$0.1 1*2$(1 P T 2 >+-4+B.9B *
U n a c o " pa a s e pr o po n e a d 5 ui r i r p o r C 2 , u na " á5 u in a 5u e p r o du c e un a7orro anual de C*3, durante los pr!8i"os 0 aos$ Los costos de "anteni"iento para los pr!8i"os 0 aos son: /ero para el pri"er ao con un au"ento de C*, anuales, a una tasa de inter)s del ($ G/uál es el #alor Actual del pro+ecto *, P/ & '
(, $,
#
$
%
(
$-, *,
9 T < 9/O;TO; 9IN=E;O; 9 / O ; T O ; < 9 KA ( @9A, i, n @9, i, n 8@96, i, n 9 / O ; T O ; < 2, K*, @9A, (, . *, @9, (, .8@96, (, ( 9 / O ; T O ; < 2, K*, @*$042F *, @*$.*F(8@$FF( 9 / O ; T O ; < 2, K0,F3.$4 0,214$*8@$FF( 9 / O ; T O ; < 2, 4,312$01
9 / O ; T O ; < C24,312$01 9 I N = E ; O ; < A ( @9A, i, n 9 I N = E ; O ; < *3, @9A, (, 0 9 I N = E ; O ; < *3, @.$(2FF P I N G R E ! = "5$5&'
9 T < 24,312$01 41,143$. P T 2 >7+<-6?.9 .
U n c i e r to e 5u i po d e un de t e r" i na d o p r o +e c to c ue s t a C 3 41 , * 1 $ ;e e sp e ra 5ue tenga una #ida -til de 4 aos$ Los costos por concepto de i"puestos, seguro + "anteni"iento se esti"an en C(.,21 el pri"er ao, C(1,* el segundo ao + as sucesi#a"ente 7asta los 4 aos, La tasa de inter)s es del 0 anual$ G/uál es el costo anual e5ui#alente de la "á5uina, ;i a los 4 aos se esti"a 5ue la "á5uina será #endida, G/uánto #ale el #alor de la #enta $(,) - + ) ,$ )
G & # ,) )
F & '
#%,*)
#
$
%
(
)
*
-
+
A T < 9 @A 9, i, n KA ( @A, i, n A T < 341,*1 @A9, 0, 4 K(.,21 (,11 @A, 0, 4 A T < 341,*1 @$(041 K(.,21 (,11 @.$*F00 A T < ((2,2F$2. (4,312$.* A T 2 >+69-6<9.B9 6 < A T @6A, i, n 6 < (.1,.21$F1 @6A, 0, 4 6 < (.1,.21$F1 @F$*(0* F 2 >+ + 48@-4.B8 0
U n c o" e r ci a l #e n de 9 / % a & o la s s i gu i e nt e s c o nd i c io n e s: ; e 7 a ce u n p r i" e r pago de C(,., un "es despu)s de la fec7a de ad5uisi!n + F pagos a d i ci o na l e s c a d a u n o d e l o s c u a l e s d i s " in u +e e n C ( * 1 $ G / u á l e s e l # a l o r
anual e5ui#alente de la 9/ W G/uál será el #alor a pagar de contado por la 9/ El inter)s es del (* "ensual$
#,% #,#-) G & # $) P / & '
% #-)
#
$
%
(
)
*
-
+
A T < A ( @A, i, n A T < (,. (*1 @A, (*, ( A T < (,. (*1 @.$1403 A T < (,. 004$F A T 2 >9+.B+ 9 T < A ( @9A, i, n @9, i, n 9 T < (,. @9A, (*, ( (*1 @9, (*, ( 9 T < (,. @1$21* (*1 @*$*10( 9 T < 3,.01$*2 *,1.($32 P T 2 >8-+6.9?
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LAORATORIO J USO DE GRADIENTEK
#
($Encuentre el "onto anual unifor"e e5ui#alente a una serie gradiente unifor"e en la 5ue el pago del pri"er ao es Q 1, el segundo es de Q 2, el tercero es de Q 3, + as sucesi#a"ente 7asta un total de (1 pagos$ La tasa de inter)s anual es del 4 $ *$;i Q (, a7ora e5ui#alente a 0X al final del ao dos, .X al final del ao tres, *X al final del ao cuatro, + X al final del ao cinco, G/uál es el #alor de X cuando i < 4 anual$ .$/alcule el e5ui#alente futuro al final de (FFF, al 4 anual de la siguiente serie de flu&o$ #)
#*
#-
#+
#
( * + F&' #
0$;uponga 5ue los padres de un nio deciden 7acer dep!sitos anuales en una cuenta de a7orros + reali'an el pri"er deposito en el 5uinto cu"pleaos de su 7i&o + el ulti"o en el deci"o5uinto$ ;i en los cu"pleaos (4, (F, * + *( se retiran Q *, , Q *,0 , Q *,4 + Q .,* + la tasa de inter)s es del 4 anual$ G/uáles son los dep!sitos anuales en los aos cinco al 5uince$ 1$ Encuentre el #alor de la cantidad desconocida en el diagra"a de flu&o "ostrado$ ;I la tasa de inter)s es del (* anual$ ( %
)
)
)
-
+
$ #
2$
#
$
%
(
)
*
R&'
Deter"ine el #alor de P en el diagra"a de flu&o$ ;i la tasa de inter)s es del (4 anual$ )
%Q $Q Q
#
$
%
(
)
*
-
+
3$ Una planta "unicipal de energa espera generar un ingreso neto de Q 1, al final de su pri"er ao + 5ue esta cantidad anual au"ente en un 4 cada ao durante los pr!8i"os 1 aos$
9ara financiar un nue#o pro+ecto de construcci!n, el go%ierno "unicipal 5uiere e"itir un %ono e8ento de i"puestos 5ue pague un inter)s del 2 anual$ G/uál seria la cantidad "á8i"a de financia"iento por %onos 5ue podra asegurarse $ 4$ ;uponga 5ue se espera 5ue un po'o petrolero produ'ca (, %arriles de petr!leo en su pri"er ao de producci!n$ ;in e"%argo, ta"%i)n se espera 5ue su producci!n su%secuente dis"inu+a en un ( con respecto a la producci!n del ao anterior$ ;e 7a co"pro%ado 5ue el po'o petr!leo tiene una reser#a de (, %arriles$ a ;uponga 5ue el precio del petr!leo será de Q . por %arril durante los pr!8i"os aos$ G/uál seria el #alor actual del flu&o de ingresos anticipado a una tasa de inter)s del (1 anual durante los pr!8i"os siete aos$ % ;uponga 5ue el precio del petr!leo inicia con Q . por %arril el pri"er ao, pero au"entara a una tasa del 1 con respecto al precio en el ao anterior$ G/uál seria el #alor actual del flu&o de ingresos anticipado a una tasa de inter)s del (1 anual durante los pr!8i"os siete aos$ c /onsidere de nue#o el inciso @% $ Despu)s de . aos de producci!n se decide #ender el po'o petr!leo$ G/uál seria su precio &usto$ F$ G/uál es la cantidad de ( dep!sitos anuales iguales 5ue pueden proporcionar cinco presta"os anuales , si el pri"er pr)sta"o de Q (, se lle#a a ca%o al final del pri"er ao + los presta"os su%secuentes au"entan a una tasa del 2 con respecto a la del ao anterior, si: a La tasa de inter)s es del 4 anual$ % La tasa de inter)s es del 2 anual$ ( ;i se depositan Q 1 al final del pri"er ao, + en los aos su%secuentes au"enta a una tasa del 2 durante 5uince aos$ La tasa de inter)s anual es del (1$ G/uál es el #alor e5ui#alente presente de este gradiente geo")trico (($ Deter"ine el e5ui#alente presente @ al tie"po cero de Q 4,(0 al final del tercer ao + 5ue dis"inu+e el ( al final de los aos cuarto al #einticinco$ ;i la tasa de inter)s es del (1$
