Los sólidos platónicos: son solo cinco En este libro con tí tulo tí tulo “aventuras de un duende en el mundo de las matemáticas”, matemáticas ”, trata de un duende que se llama Sarando que vive en su cueva a un lado de la casa de don Joaquín un matemático que trabaja para Delta-Mat, empresa donde producen juegos matemáticos en CD-ROM para niños. Siempre Sarando esperaba a don Joaquín, pero en una noche Sarando vio que don Joaquín traía unos libros y alcanzo a distinguir la mitad de unos de los títulos que decía “son solo cinco”. Sarando de naturaleza curiosa y juguetona le intereso el titulo y se quedo inquieto por averiguar que cinco juegos tan maravillosos tenían el libro. Sarando se espero en su cueva hasta que se durmiera don Joaquín, cuando se dio cuenta que se avía dormido se dirigió a su oficina se subió a su escritorio y ahí estaban los libros y también el que le intereso el titulo que tenia es “los sólidos platónicos: platónicos : son solo cinco” y esta es su primera aventura de Sarando, en la portada tenía unas ilustraciones de unos juguetes juguetes con forma de de figuras geométricas geométricas y colores colores vistosos vistosos parecían parecían un objeto para para armar, armar, a Sarando le intereso mas por que cuando abrió el libro encontró un retrato de alguien llamado Leonhard Euler; al verlo su curiosidad se despertó aun mas. ¿Que son los sólidos platónicos? y ¿que relación tiene el número de Euler con los sólidos? Los sólidos platónicos son los únicos cinco poliedros regulares lo descubrió Platón, un poliedro regular es un sólido cuyas caras poligonales son todas iguales, para ver si son solo cinco de ellos uso el numero de Euler. A cada poliedro le asocio Euler un numero (X letra griega) y la defino con la formula X=V-A+C, V representa el numero de vértices, A representa el numero de aristas, y C representa el numero de caras del poliedro. Euler demostró que este número sea cual sea el poliedro es siempre igual a 2.
Reflexiono Sarando, observo si inflaba el poliedro como si fuera un balón se convertiría en una esfera subdividida. Demostró que si ponemos una arista entre dos de los vértices ya existentes, parte la cara en dos con esto se incrementa el número de aristas en 1 y el número de caras en 1. Como el numero de aristas se resta y el de caras se suman en la formula de Euler. En el libro propone un ejemplo de un cubo que sus vértices V es 8, de aristas A es 12 y su número de caras C es de 6 tenemos que 8-12+6= 2, lo cual concuerda con la formula de Euler, Sarando se sorprendió le intereso mas la lectura y siguió la leyendo. ¿Qué implicaciones tiene el número de Euler? La regularidad de un poliedro implica que todas sus caras son iguales las cuales pueden ser triangulares, cuadrados, pentágonos, etc. En cada vértice podemos tener un numero distinto de caras, este número es siempre es el mismo para cada vértice debe de ser 3 nunca son solo 2. Llamemos n a este número, analicemos que las caras son triangulares que C son las caras, tenemos que cada cara tenemos que tiene 3 vértices si las tomamos por separado tenemos 3C vértices, debemos dividir 3C entre el numero n tenemos 3C/n vértices. Cada cara tiene 3 aristas si las tomamos por separado las caras tendríamos 3C aristas pero en cada arista inciden 2 caras por lo que tenemos 3C/2 aristas así que la formula de Euler que X se igual a 2 tenemos 2=C (6-n/2n) por lo tanto si las caras son triangulares el numero de ellas es C=4n/6-n, donde n no puede tener cero ni números negativos nomas hasta los valores 3, 4 o 5. Sarando estaba muy sorprendido por que los polígonos regulares solo los haya con 4, 6, 8,12 y 20 caras. Sarando se dio cuenta que si no avía como el numero de Euler para los polígonos y si lo hay: todos los polígonos tienen una cara, el mismo número de lados y de
vértices de modo que X=V-A+C=n-n+1=1. El numero de Euler de cada polígono es igual a 1 y como el numero 2 obligo a que solo exista cinco poliedros regulares. En la noche siguiente Sarando quedo sorprendido de que quienes fueron los personajes que mencionaba el libro pues fue a su oficina de don Joaquín y busco un libro de bibliografías de matemáticos famosos y se entero de que quienes fueron Euler y Platón. Euler, Leonhard. Nació el 15 de abril estudio en la universidad de Basilea en el año 1720, a los 13 años quien Johann Bernoulli descubrió su talento de las matemáticas. En 1726 termino sus estudios en la universidad de Basilea. Euler sirvió a la marina rusa como teniente medico entre 1727 y 1730. En 1734 se caso con Katharina Gsell, tuvieron 13 hijos. En 1766 Euler regreso a San Petersburgo, al poco tiempo de regresar al Rusia se quedo ciego. La academia de San Petersburgo continúo publicando su obra por casi medio siglo después de su muerte, ocurrió en 1783. Platón. Nació en 427 a.C. en Atenas, Grecia, y murió en esa misma ciudad en 347 a.C. Su verdadero nombre es Aristocles, era el más joven de los hijos de Aristón y Perilampes. Platón fundo una academia de aprendizaje, la presidio desde 387 a.C. hasta su muerte, haciendo de ella una institución dedicada a la investigación en filosofía y ciencias. En parte Platón ha permanecido vinculado a las matemáticas gracias a los sólidos platónicos que los identifican como los 4 elementos el cubo, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro como se considera los átomos de tierra, fuego, aire y agua. El quinto solido platónico, el dodecaedro es el modelo de Platón es para la totalidad del universo.
La segunda aventura: Caos y la belleza de los fractales En varias semanas Sarando estuvo meditando el tema de los sólidos platónicos y le focino, en una tarde vio Sarando que don Joaquín traía mas libros. Nuevamente leyó a medio el tema del libro que decía “belleza” y vio también figuras en la portada. En esa misma tarde se espero Sarando para que se durmiera don Joaquín para que pudiera ver de que se trataba el libro. Igual como el otro procedimiento llego a su escritorio y encontró el libro que le había llamado su atención, el libro era de arte y el titulo “caos y la belleza de los fractales. Comenzó a hojear el libro y vio unas imágenes bellísimas que nunca avía visto ni yo tampoco el pensó que son unas imágenes de galaxias o supernovas pero a la ves pensó por que caos, pero representaba un orden y una belleza, pero el todavía seguía confundido el de por qué caos y siguió leyendo la lectura. ¿Qué son los fractales? ¿Para qué sirven? Pragmatismo, utilidad, es lo que muchos demandan de lo que los matemáticos hacen:”y eso, ¿para qué sirve?” suele preguntar la gente. Este concepto matemático de fractal es magnífico, porque lo han estudiado muchos físicos por sus principios. Pero la verdad no le entendí pero más adelante explica por medio de un ejemplo de una nube. El nombre de fractal lo invento el ingeniero Benoit B. Mandelbrot que vivió en los Estados Unidos en el año 1975 y se trata de un concepto geométrico, la verdad yo pensaba que era un concepto de astronómico y por eso no le entendía el significado. El autor cito una frase de Mandelbrot del libro “the fractal geometry of nature”:
“ Las nubes no son esferas, ni las montañas conos, ni las costas círculos, ni la corteza de un árbol es lisa, ni un rayo viaja en línea recta. O, como mi hijo Sebastián, cuando tenía siete años de edad, decía: „ todo está lleno de agujeros”. Lo que quiso decir Mandelbrot y
su hijo a través de un ejemplo es con una nube, si la vemos normal veremos que tiene un reborde precioso, si acercamos mas la vista se verá como una curva y si hacemos más esfuerzo en la vista veremos que tiene una forma irregular. Este ejemplo lo comparó cuando en un laboratorio ven las partículas de un objeto por medio de un microscopio, el microscopio permite ver más cerca o más lejos de la partícula. El caos es el que representa muchos fenómenos naturales, el fractal tiene la propiedad que encontraremos irregularidades cuando acercamos mas la vista del microscopio y a esto se le conoce mas como el “conjunto de Mandelbrot”. El conjunto de Mandelbrot
se define como en los números de C para que determine
sucesión converge en los colores de su región se codifican con mucha rapidez y divergen la sucesión, este método sirve para ser un fractal. Esto significa que cuando tenemos una partícula los números c se hacen una región y a la vez los colores de la partícula se separa con mucha rapidez de una a otra. Mandelbrot, Benoit B. Nació el 20 de noviembre de 1924 en Varsovia, Polonia. Su padre era comerciante u su mama ejercía la medicina, su tío Szolem Mandelbrojt quien era profesor de matemáticas se encargo en los estudios de Mandelbrojt fue alumno de Lycée Rolin en el año 1930, en donde se inclino a las matemáticas puras. La primera obra en la aparecen sus fractales en su libro “Les objets fractals: forme, hasard et dimensión” de 1975. En 1985 obtuvo la medalla Barnard por servicios meritos a la
ciencia, en 1987 se le otorgo el premio Alexander von Humboldt, y en 1988 la medalla Steinmetz también la medalla Nevada en 1991 y el premio Wolf de física en 1993. Las matemáticas son la mejor herramienta con la que contamos todos los seres humanos para que podamos entender y resolver los problemas que nos rodean en el mundo, pero algunos se les hace muy difícil y a otros muy fácil, pues las matemáticas las han utilizado desde hace mucho tiempo y es la que nos ha ayudado para ser mas avances tecnológicos, químicos, físicos, etc. Nunca cambiarán las matemáticas, pero si se hará más novedosa para las futuras generaciones.
Javier Flores Hernandez
Octavo semestre
Electromecánica
“Aventuras de un duende en el mundo de las
matemáticas ”
Formulación y evaluación de proyecto
Jenny López Méndez
