losas 2 direcciones ACI

DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________

10. 10.1

ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOSAS EN DOS DIRECCIONES Introducción

En las edificaciones de hormigón armado las losas son aquellos elementos estructurales planos que permiten en primer lugar suministrar superficies de apoyo a las cargas verticales sean estas vivas o muertas y en segundo termino actuar como elemento de amarre ( diafragma ) al sistema de columnas y muros que es en definitiva el que soporta la estructura, figura 10.1.

Cargas

Losa

Figura 10.1 Representación esquemática de las losas de edificios La losa puede apoyarse directamente sobre columnas o descansar sobre muros cargueros, vigas de hormigón o de acero generando así diferentes de condiciones de apoyo que indican formas especiales de trabajo estructural. Por ejemplo si la losa se apoya en todo su perímetro sobre vigas cargueras rígidas o sobre muros se tiene el sistema de “ Losas perimetralmente apoyadas ” el cual puede trabajar en una o dos direcciones de acuerdo a la relación de sus lados, figura 10.2.b. Si la losa se apoya en solo dos vigas o muros cargueros se tiene la “ losa en una dirección ”, figura 10.2.a. Si finalmente se apoya directamente sobre las columnas se generan dos tipos de superficies únicas en el hormigón armado: “ la losa plana y la placa plana “, figura 10.3. Igualmente una losa puede ser completamente sólida o contener cavidades vacías, en el primer caso de tiene la “ Losa maciza “ y en el segundo “ la losa aligerada “. La losa aligerada es la mas utilizada en los edificios porque al permitir disminuir el peso propio 169 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

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Viga 1

Direcc. losa Direcc. losa

Viga 2

hs Luz losa a) losa en una dirección

hs Luz losa b) losa en dos direcciones apoyada sobre vigas o muros cargueros

Figura 10.2 Sistemas de losa en una y dos direcciones

Placa Plana

Losa plana

Figura 10.3 Sistemas de placa plana y losa plana 170 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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de las edificaciones se disminuye el costo. La losa maciza es utilizada en los tableros de puentes por su alta capacidad estructural, figura 10.4. Refuerzo M ( - )

hs

Refuerzo M ( + )

a) sección de losa maciza hf

Aligerante

Aligerante

hs

bw a) sección de losa aligerada Figura 10.4 Sección de losa maciza y aligerada de hormigón armado Adicionalmente a los tipos de losas indicados, existen otras que se apoyan en toda su superficie como los pisos de edificios, pavimentos de vías, pisos de bodegas y parqueaderos que requieren un tratamiento diferente a las anteriormente mencionadas. El refuerzo en las losas se coloca en forma convencional en dirección paralela a las superficies planas superior e inferior, sin embargo en el caso de losas de puentes, se pueden utilizar acero doblado a 45° que permite resistir tensiones por flexión positivas y negativas sin interrumpir longitudinalmente el refuerzo. Se puede utilizar también mallas electrosoldadas como refuerzo en losas y acero de alta resistencia en forma de cables para losas postensadas. 10.2 10.2.1

Análisis y diseño de losas perimetralmente apoyadas Comportamiento estructural

Las losas en una dirección se deforman bajo carga siguiendo una superficie cilíndrica similar a la indicada en la figura 10.5. En este sentido la acción estructural es principalmente en una dirección, es decir normal a los bordes de apoyo de la losa. Sin embargo este no es el caso general y muchas veces las losas tienen dimensiones y están apoyadas de tal forma que se presenta una acción bidireccional es decir la superficie deformada ya no es cilíndrica sino en forma de domo esférico y cualquier punto de la 171 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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losa esta sometido a dos tipos de curvaturas indicando que existen momentos en las dos direcciones ortogonales. Para resistir estos momentos la losa se debe reforzar en ambas direcciones con capas de acero cuyas cuantías aseguren una adecuada capacidad de carga cuando se someta a las diferentes solicitaciones externas.

Accion unidirecc.

Accion bidirecc.

Luz losa

Figura 10.5 Accion estructural en una y en dos direcciones en losas El tipo mas simple de losa con acción estructural en las dos direcciones esta representado en la figura 10.2.b. En este caso la losa indicada se apoya en vigas perimetrales cargueras que van en los cuatro bordes y se caracterizan porque son muy rígidas y trabajan monolíticamente con la losa transfiriendo flexión, torsión y cortante. La rigidez de las vigas de borde garantiza que bajo la acción de las cargas estas no sufren deformaciones apreciables. Esta hipótesis no se cumple si la losa no lleva vigas o estas se colocan con espesor delgado ( se recomienda que la viga perimetral tenga al menos un espesor igual a tres veces el espesor de la losa). Si se asumen las consideraciones anteriores se puede visualizar la losa como un conjunto de franjas imaginarias de ancho “ bx : franjas paralelas al eje Y ” y “ by : franjas paralelas al eje X “ que recorren la losa en las dos direcciones y se interceptan en determinados puntos, figura 10.6. Al aplicar una carga uniformemente distribuida cualquiera “ q “ sobre la losa es evidente que cierta fracción de esta se transmite en una dirección mientras que otra parte se transmite en la dirección perpenticular de acuerdo a las características dimensiónales de la losa. Si se define ahora que la losa es rectangular con “ la “ siendo la luz corta y “ lb “ la luz larga y se consideran solo las dos franjas centrales se tiene el siguiente resultado: “ la deflexión en el punto central de la losa donde se interceptan las dos franjas imaginarias debe ser la misma por compatibilidad de deformaciones “. Para demostrar este enunciado se asumirá una losa simplemente apoyada perimetralmente => 172 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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Franjas en dirección Y ( larga)

la : luz en dirección corta lb : luz en dirección larga

lb

Franjas en dirección X ( Corta)

la Figura 10.6 Disposicion de franjas en una losa en dos direcciones Las deflexiones de ambas franjas se obtienen de la resistencia de materiales: 4

∆ max .a =

4

5.qa .la 384.E.I

y

∆ max .b =

5.qb .lb 384.E.I 4

En la igualdad => ∆ max .a = ∆ max .b ⇒ qa .la = qb .lb

4

qa lb4 = qb la4

( 10.1 )

Se demuestra para este caso en particular que la relación de las cargas en dirección corta y larga es inversamente proporcional a la relación de las luces elevadas a la cuarta potencia. En otras palabras la proporción de carga que toma la dirección corta es mucho mayor que la que toma la dirección larga. Por ejemplo si se tiene una losa con la = 4.0 m y lb = 5.0 m y se aplica una carga de q = 15 kN / m2 la proporción es la siguiente: qa 54 = = 2.44 qb 4 4

q = qa + qb = 15

qa = 10.6 kN / m 2

qb = 4.4kN / m 2

Es decir la luz corta se lleva aprox. dos veces y media mas carga que la luz larga o lo que es lo mismo: la luz corta se lleva el 70% de la carga. En realidad este resultado es aproximado ya que el comportamiento bajo carga es mucho mas complejo que lo ilustrado, sin embargo nos sirve para mostrar algunas 173 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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tendencias en el comportamiento estructural de las losas. La figura 10.6 muestra también que paralelas a las franjas centrales van franjas cercanas a los bordes que no solo se deflectan sino que sufren distorsiones a torsión por el efecto de las vigas de borde. Estas deformaciones por torsión lo que hace es modificar la capacidad resistente de la losa generando un efecto de confinamiento lateral que le permite soportar mas carga de la que realmente un análisis elástico puede determinar. Esta es la razón por la cual los momentos medidos en losas bajo carga son muy pequeños comparados con los que se obtienen de un análisis estructural elástico considerando franjas paralelas no conectadas transversalmente y sometidas a “ qa “ y “ qb “. Por ejemplo para una losa cuadrada “ la = lb = l “ simplemente apoyada se cumple: “ qa = q b = q / 2. Si solo se presentara flexión el momento máximo en cada franja seria: + M max =

(q / 2)l 2 8

=

q.l 2 = 0.0625ql 2 16

( 10.2 )

La teoría exacta de la flexión de placas elásticas muestra que realmente el momento máximo en esta losa es: + M max = 0.048ql 2

( 10.3 )

Esto significa una disminución en el momento de aprox. un 25% debido a la presencia de los momentos torsores no considerados en la ecuación 10.2. Los mayores momentos se presentan cuando la curvatura es mas pronunciada fenómeno que se inicia en la franja central corta de la losa. Si se supone ahora que la carga se aumenta hasta sobretensionar la sección mas critica de esta franja de tal forma que el acero entre en fluencia se produce inmediatamente su falla, pero si se considera unida lateralmente a las otras franjas la falla no se manifiesta y por lo tanto se demuestra como de esta forma la franja esta en capacidad de soportar una carga adicional a la que ella en forma aislada esta en capacidad de resistir. Esta redistribución de tensiones generalmente se presenta en el rango inelástico y continuara hasta lograr que todo el refuerzo bidireccional de la losa entre en fluencia momento en el cual se presenta la falla. Por estas razones, confirmadas también por numerosos ensayos, se demuestra que en el diseño de las losas no se requiere utilizar el máximo momento elástico de diseño de la ecuación 10.3 en cada una de las dos direcciones sino un valor promedio menor que en muchos casos se acerca a un 75% del valor dado por la teoría elástica: + M max = 0.036ql 2

( 10.4 )

Los mayores momentos en las losas en dos direcciones se presentan en la mitad de ambas franjas mientras que la variación de los momentos en cada franja se da en sentido perpenticular a su dirección como lo indica la figura 10.7. El diagrama de momentos en cada una de las dos direcciones es valido únicamente en las franjas centrales porque en las extremas el momento disminuye como se indica en la figura 10.7. Estas variaciones en el momento máximo se deben realizar en forma mas o menos realista para que reflejen mas certeramente el comportamiento bajo carga de estas estructuras. Los momentos en las franjas centrales deben ser mayores que los de las franjas extremas es decir de las franjas cercanas a los bordes de la losa. 174 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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la

Ma max Franjas cortas

Franj.Extr.corta

Mb max Franj.Med.corta

lb

Franj.Extr.corta

Franjas largas

Franjas extr. larga

Franjas Med. larga

Franjas extr. larga

Figura 10.7 Definición de franjas y momentos en losas en dos direcciones Un análisis mas riguroso de la ecuación 10.1 indica que solo aquellas losas con relación luz larga a luz corta “ lb / la “ menor que 2.0 requieren diseñarse como losas en dos direcciones ya que para relaciones mayores o iguales a 2.0 la contribución de la luz larga es de solo 1 / 16 parte de la dirección corta por lo que su comportamiento es prácticamente en una dirección ( corta). En consecuencia aquellas losas perimetralmente apoyadas con relación “ lb / la < 2.0 “ o también “ 0.5 ≤ la / lb < 1.0 “ son las únicas que deben ser tratadas como losas en dos direcciones. En este caso se puede considerar como primera aproximación de diseño que el espesor de la losa sea mayor o igual al 0.55% del perímetro del panel respetivo: hs ≥ ( perímetro panel ) / 180 175 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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10.2.2

Análisis estructural por el método de los coeficientes del ACI

Si se utilizan los principios anteriores para determinar por teoría de elasticidad los momentos en losas bidireccionales es evidente la inmensa cantidad de cálculos que se deben realizar para cada una de las condiciones de carga y apoyos en un determinado proyecto estructural. Aun con la ayuda de computadores esto realmente no es practico ni se mejoran los resultados de los diseños obtenidos. Es por esta razón que la ingeniería ha adoptado métodos mas simplificados para determinar las reacciones y los esfuerzos en este tipo de losas. Según el código ACI-318 todos los sistemas de losa en dos direcciones ilustrados en las figuras 10.2 y 10.3 pueden ser diseñados por procedimientos mas elaborados como el método directo o el del pórtico equivalente; sin embargo se reconoce que en aquellos casos donde se cumplen las particularidades e hipótesis requeridas se pueden aplicar algoritmos mas sencillos que, reduciendo notablemente la cantidad de operaciones de calculo, entregan resultados satisfactorios. El “ método de los coeficientes del ACI “ fue originalmente propuesto por Henry Marcus en 1929 y ampliamente difundido en Europa. En América fue presentado por Paul Rogers en 1944. Este ha sido usado por los ingenieros calculistas Americanos en forma amplia desde su presentación oficial en el código ACI 318-63 cuando se requieren diseñar o revisar losas en dos direcciones apoyadas rígidamente en sus bordes por vigas o muros que suministren una gran rigidez perimetral. A pesar de que en ediciones posteriores el ACI no hizo referencia directa a este método ( solo menciona el método directo y el del pórtico equivalente) si recomienda en general que “ Una losa de puede diseñarse por cualquier procedimiento que satisfaga las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad si se demuestra que la resistencia de diseño en cada sección de la estructura es al menos igual a la resistencia requerida por las cargas y se satisfacen los requisitos de servicio y funcionabilidad exigidos “. El método utiliza las tablas de coeficientes 10.1, 10.2, 10.3 y 10.4 en donde se presenta la variedad mas practica de cargas y condiciones de borde. Los valores de las tablas se basan en los cálculos elásticos anteriormente indicados y tienen en cuenta la reducción de los momentos por efecto de la redistribución inelástica de tensiones. En consecuencia el momento de diseño para cada dirección es menor que el máximo obtenido por elasticidad para esa misma dirección. Los momentos en las dos direcciones se determinan con la expresión 10.5 en donde “ Ma y Mb “ son los momentos en dirección corta y larga respectivamente, “ Ca y Cb “ son los coeficientes de momento para la dirección corta y larga, “ q “ la carga uniformemente distribuida en la losa, “ la y lb “ son las luces en dirección corta y larga. M a = Ca .q.la

2

( 10.5 )

M b = Cb .q.lb2

El método recomienda que cada recuadro de losa ( otro termino muy utilizado para definir una región interna de losa bordeada por vigas perimetrales es “ panel “ ) sea dividido en tres zonas para cada una de las dos direcciones de diseño, una central o media la cual tiene un ancho igual a la mitad de la luz y dos zonas de borde o de columnas con anchos cada una iguales a la cuarta parte de la luz respectiva. 176 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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Tabla 10.1 Coeficientes para momentos negativos

Un borde sombreado indica que existe continuidad o la losa esta empotrada en el apoyo. Un borde sin sombra indica que el apoyo no ofrece ninguna restricción al giro torsional de la losa.

Mb( - ) Ma( - ) Ma( - )

Mb( - )

lb la Figura 10.8 Momentos negativos en losas en dos direcciones 177 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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Tabla 10.2 Coeficientes para momentos positivos por carga muerta


Mb ( + ) carga muerta

lb

la

Ma ( + ) carga muerta

Figura 10.9 Momentos positivos por carga muerta en losas en dos direcciones 178 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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Tabla 10.3 Coeficientes para momento positivo por carga viva


Mb ( + ) carga viva

lb

la

Ma ( + ) carga viva

Figura 10.10 Momentos positivos por carga muerta en losas en dos direcciones 179 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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Tabla 10.4 Proporción de la carga “ q “ en cada dirección de la losa y que se usa para calcular la cortante y las reacciones en los apoyos


la Ra lb

Rb Figura 10.11 Reacciones y cortantes en losas en dos direcciones 180 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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Ejemplo 10.1 Determinar los momentos positivos en la región media de una losa con dimensiones la = 3.0 m y lb = 5.0 m sobre la que actúa una carga muerta de qm = 5 kN / m2 y una viva de “ q v = 10 kN / m2 “. Los bordes son discontinuos y están conectados a vigas rígidas perimetrales. Solución: de la tabla 10.2 y 10.3 se obtiene para “ la / lb = 3.0 / 5.0 = 0.60 “ y del primer caso de apoyo se obtienen los siguientes coeficientes de momento positivo: Para carga muerta:

Ca = 0.081 y un Cb = 0.010

Para carga viva:

Ca = 0.081 y un Cb = 0.010

En la luz corta se tiene: M a+ (muerta) = 0.081 × 5 × 3.0 2 = 3.6 kN .m / m M a+ (viva) = 0.081 × 10 × 3.0 2 = 7.3kN .m / m El momento total en dirección corta es: M a+ = 3.6 + 7.3 = 10.9 kN .m / m es decir por cada franja de un metro de ancha actúa en el centro de la luz un momento de 10.9 kN.m / m. En la luz larga se tiene: M b+ (muerta) = 0.010 × 5 × 5.0 2 = 1.2 kN .m / m M b+ (viva) = 0.010 × 10 × 5.0 2 = 2.5kN .m / m El momento total en dirección larga es: M a+ = 1.2 + 2.5 = 3.7 kN .m / m es decir por cada franja de un metro de ancha actúa en el centro de la luz un momento de 3.7 kN.m / m.

Ma = 10.9 kN.m / m

Mb = 3.7 kN.m / m

Figura 10.12 Momentos máximos positivos en las dos franjas medias del ejemplo 10.1.

181 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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Como se discutió en 10.2.1 y se mostró en la figura 10.7 los momentos en ambas direcciones son mayores en la región central de la losa mientras que en las franjas de borde se disminuyen considerablemente sus magnitudes. En consecuencia se propone que por seguridad y facilidad de calculo toda la franja media se diseñe para el máximo momento obtenido del análisis y las franjas de borde se diseñen para la tercera parte del máximo momento en la mitad de la luz como se explica en la figura 10.13.

lb

Mb / 3

la / 2

la

Mb

lb / 2 Ma / 3 Ma

Figura 10.13 Momentos en franjas centrales y de borde en losas bidireccionales La discusión anterior se ha realizado para un solo recuadro o panel de losa y en condiciones de simplemente apoyado en sus bordes. En la practica esta no es la situación típica y por lo general el sistema de piso esta compuesto por varios paneles que tienen condiciones de borde diferentes de acuerdo a su ubicación geométrica figura 10.14. Por ejemplo los paneles 6 y 9 son continuos en sus cuatro lados por lo tanto ilustran el caso 2 de las tablas 10.1 a 10.4. Los paneles 2, 3, 5, 7 y 10 son continuos en tres lados e ilustran los casos 8 y 9. Los paneles 1, 8,11 y 12 son continuos solo en dos de sus lados e ilustran los casos 3, 4 o 5 y el panel 4 es continuo solo en un lado e ilustra los casos 6 y 7. Se puede apreciar en este simple ejemplo como el caso 1 ( bordes no continuos ) no ha sido considerado confirmando lo dicho inicialmente. En un borde continuo los momentos son negativos en los bordes de las vigas continuas interiores y la magnitud de los momentos positivos depende de las condiciones de continuidad de los bordes de la losa en forma similar al método de los coeficientes para vigas continuas y losas en una dirección. 182 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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Y l1x

l2x

l3x

l4x 1

1

22

3

l1y

44

2 6

5

E

l2y

7

3 8 9

8

l3y

9 10

4 11

l4y

12

A 5 B

C

D

X

Figura 10.14 Sistema de piso en dos direcciones con vigas de borde Según lo anterior las tablas 10.1 a 10.4 dan los coeficientes de momento y cortante para las diferentes condiciones de apoyo y dimensiones indicadas. Los máximos momentos negativos se presentan cuando se aplica la totalidad de la carga muerta y viva en dos paneles consecutivos. En los bordes discontinuos la viga de borde o los muros de apoyo suministran cierto grado de restricción rotacional de la losa por lo que existen momentos negativos cuya magnitud se puede asumir igual a la tercera parte del momento positivo para la misma dirección. Para los momentos positivos el efecto anterior es despreciable cuando solo actúa la carga muerta en los dos paneles consecutivos. Los máximos momentos positivos por carga viva se presentan cuando la carga actúa solo en el panel indicado mientras los paneles adyacentes están sometidos solo a la carga muerta. En este caso se puede presentar una ligera rotación en los bordes continuos de la losa el cual es considerado en los coeficientes dados en la tabla 10.3. Finalmente para determinar la cortante en la losa y la cargas sobre las vigas se utilizan los valores de la tabla 10.4 para ambas direcciones. 183 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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10.2.3

Cuantías, posición y distribución del refuerzo en la losa

El refuerzo a flexión de la losa se coloca distribuido en forma de malla con barras paralelas a cada dirección de trabajo. Cuando se trabaja con barras prácticamente es imposible que ambas capas de refuerzo ( X y Y ) queden a la misma altura efectiva “ d “ por lo que se debe colocar la capa en dirección por encima de la capa en dirección corta. Este problema solo se presenta en los momentos positivos porque para los negativos solo se refuerza en la dirección considerada. El refuerzo en forma de malla se puede utilizar siempre y cuando se coloque la cuantía adecuada en cada sección. El uso de barras rectas es el método mas convencional pero este requiere detallarlo adecuadamente en aquellos puntos de corte y doblado. Se pueden utilizar también barras rectas dobladas a 45° que sirvan para atender momentos positivos y negativos simultáneamente. La figura 10.15 resume las recomendaciones generales de colocación y distribución del refuerzo en losas de acuerdo a la practica mas utilizada en la ingeniería.

L1/ 3

L2/ 3

L1/ 8

L2/ 8

L2/ 3

L1/ 4

Cortar ¾ As 150

150

150

L2

L1/ 3

L2/ 3

L1/ 4

L2/ 4

150 L1

L2/ 8

150

L1

L1/ 7

Cortar ¾ As

L2/ 3

Cortar ¾ As

L2/ 4

150 L2

Figura 10.15 Puntos de corte y doblado de barras en losas bidireccionales 184 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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La cantidad de refuerzo mínimo en cada dirección equivale al de la requerida por retracción y temperatura de acuerdo a los siguientes valores: Cuando fy = 280 o 350 MPa Si fy = 420 MPa o se refuerza con malla Si fy > 420 MPa ( fy medido a un εs = 0.0035 )

ρmin = 0.0020 ρmin = 0.0018 ρmin = 0.0018 x ( 420 / fy )

En las zonas de momento máximo la separación lateral del refuerzo no debe exceder de dos veces el espesor de la losa. Los momentos torsores que actúan en los bordes de la losa solo tienen influencia en las esquinas exteriores donde el efecto es mayor. En estas regiones se produce una fisuración tanto en la parte superior como inferior de la losa siguiendo un patrón en forma de diagonal como se ilustra en la figura 10.16. Para evitar este efecto se recomienda colocar en estos puntos un refuerzo diagonal que se prolongue una longitud igual a la quinta parte de la mayor dimensión del panel.

Refuerzo inferior

la

lb

Refuerzo superior

Figura 10.16 Refuerzo por torsión en los bordes exteriores de la losa Ejemplo 10.2 Se requiere diseñar la losa de la figura 10.14 con los siguientes datos: distancia de centro a centro de ejes en X = 6.50 m , distancia de centro a centro de ejes en Y = 8.0 m, Carga viva de servicio: 7.0 kN / m2, f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa. Solución: El procedimiento de diseño se resume en los siguientes pasos: a) dimensionar losa y vigas b) estimar cargas de diseño c) Determinar momentos en cada panel utilizando los coeficientes de las tablas d) Ajustar y equilibrar los momentos en cada una de las direcciones de trabajo e ) determinar el refuerzo a flexión f) revisar la cortante y g) determinar las cargas sobre las vigas en las dos direcciones



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a) Dimensionamiento de la losa y las vigas: Para determinar el espesor de la losa “ hs “ se puede inicialmente considerar que el ancho de las vigas sea de bv = 300 mm hs ≥

[2.(6.5 − 0.3) + 2.(8.0 − 0.3)] ⇒ h

s

180

≥ 0.15m

Se puede asumir que el espesor de losa maciza sea hs = 150 mm. Si se quiere utilizar un sistema nervado en dos direcciones se deben dimensionar los nervios, el sistema aligerante y el espesor del recubrimiento así: sea bw =100 mm, cajas de madera como aligerante de dimensiones 0.60 x 0.60 x 0.35 m y recubrimiento de 50 mm => 0.70 m 50 mm

0.35 m

0.60 m 0.10 m

0.10 m

Figura 10.17 Sección típica de losa aligerada en dos direcciones Para garantizar rigidez en los bordes de la losa las vigas deben tener alturas mayores o iguales a 3 x 150 mm = 450 mm. Sean vigas en las dos direcciones de hv = 500 mm la cual cumple satisfactoriamente con la restricción de hv ≥ ( 8.0 - 0.30 ) / 24 = 0.32 m.

6.20 m

7.70 m

Figura 10.18 Panel interior típico de losa en dos direcciones 186 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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b) Cargas de diseño de la losa. El peso propio de la losa es: Maciza: q pp = 0.15 × 2.4 × 9.80 = 3.5.kN / m 2   (0.35 × 0.10)   2 Aligerada: q pp =  0.05 +  2.   × 2.4 × 9.8 = 3.5kN / m 0 . 60     Caja de madera = 0.15 kN/m2 Acabados de piso e instalaciones=1.0 kN/ m2 Divisiones interiores = 1.5 kN/ m2 Total de la carga muerta: 3.5 + 0.15 + 1.0 + 1.5 = 6.15 kN/m2 Total de la carga viva = 6.70 kN/ m2 Carga total de diseño: qu = 1.2 × 6.15 + 1.6 × 6.70 = 7.4 + 10.7 = 18 kN / m2 c) Determinación de los momentos en cada panel La determinación de los valores de momento y cortante se realizara para cada tipo de panel y cada dirección utilizando primero las franjas centrales, luego se definirán las características de las franjas de borde. “ la / lb = 6.2 / 7.7 = 0.80 “ para todos los paneles. Paneles: 1, 8, 11 y 12. Están con dos bordes discontinuos => caso # 4 Y

La = 6.20

Franja central en Y

Lb = 7.70

Franja central en X

X Figura 10.19 Panel continuo en dos lados del ejemplo 10.2 187 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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Momentos negativos en los bordes continuos: Tabla 10.1 M a− = 0.071× 18 × 6.22 = 49.kN .m / m M b− = 0.029 × 18 × 7.7 2 = 31.kN .m / m Momentos positivos por carga muerta: Tabla 10.2 M a+ (cm) = 0.039 × 7.4 × 6.2 2 = 11.kN .m / m M b+ (cm) = 0.016 × 7.4 × 7.7 2 = 7 ⋅ kN .m / m Momentos positivos por carga viva: Tabla 10.3 M a+ (cv) = 0.048 × 10.7 × 6.2 2 = 20 ⋅ kN .m / m M b+ (cv) = 0.020 × 10.7 × 7.7 2 = 13 ⋅ kN .m / m Fuerza cortante y reacciones: tabla 10.4 Va = 0.71 × 18 × (6.2 × 7.7 )/ (2 × 7.7 ) = 40 ⋅ kN / m Vb = 0.29 × 18 × (6.2 × 7.7 )/ (2 × 6.2 ) = 20 ⋅ kN / m

Franja media larga

Franja media corta

Lb = 7.7 m

La = 6.2 m Va = 40 Va = 40

Ma(-) = 49 kN.m / m

Ma ( +) = 11 y 20 kN.m / m

Vb = 20

Vb = 20

Mb(-) = 49 kN.m / m

Mb ( +) = 7 y 13 kN.m / m

Figura 10.20 Momentos y cortantes en panel # 1 en las dos franjas centrales 188 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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Paneles: 2 y 3. Están con un borde discontinuo => caso # 9 Y

La = 6.20

Franja central en Y

Lb = 7.70

Franja central en X

X Figura 10.21 Panel continuo en tres lados del ejemplo 10.2 Momentos negativos : M a− = 0.075 × 18 × 6.22 = 52.kN .m / m M b− = 0.017 × 18 × 7.7 2 = 18.kN .m / m Momentos positivos (carga muerta): M a+ (cm) = 0.029 × 7.4 × 6.2 2 = 8.kN .m / m M b+ (cm) = 0.010 × 7.4 × 7.7 2 = 4 ⋅ kN .m / m Momentos positivos (carga viva): M a+ (cv) = 0.042 × 10.7 × 6.2 2 = 17 ⋅ kN .m / m M b+ (cv) = 0.017 × 10.7 × 7.7 2 = 11 ⋅ kN .m / m Cortante y reacciones: Va = 0.83 × 18 × (6.2 × 7.7 )/ (2 × 7.7 ) = 46 ⋅ kN / m Vb = 0.17 × 18 × (6.2 × 7.7 )/ (2 × 6.2 ) = 12 ⋅ kN / m 189 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


2003


Panel: 4. tiene un solo borde continuo => caso # 6 Y

La = 6.20

Franja central en Y

Lb = 7.70

Franja central en X

X Figura 10.22 Panel continuo en un solo lado del ejemplo 10.2 Momentos negativo: M a− = 0.086 × 18 × 6.2 2 = 60.kN .m / m Momentos positivos ( carga muerta ): M a+ (cm) = 0.045 × 7.4 × 6.2 2 = 13.kN .m / m M b+ (cm) = 0.015 × 7.4 × 7.7 2 = 7 ⋅ kN .m / m Momentos positivos ( carga viva ): M a+ (cv) = 0.051 × 10.7 × 6.2 2 = 21 ⋅ kN .m / m M b+ (cv) = 0.019 × 10.7 × 7.7 2 = 12 ⋅ kN .m / m Cortante y reacciones: Va = 0.86 × 18 × (6.2 × 7.7 )/ (2 × 7.7 ) = 48 ⋅ kN / m Vb = 0.14 × 18 × (6.2 × 7.7 )/ (2 × 6.2 ) = 10 ⋅ kN / m



2003


Paneles: 5, 7 y 10. Están con un borde discontinuo => caso # 8 Y

La = 6.20

Franja central en Y

Lb = 7.70

Franja central en X

X Figura 10.23 Panel continuo en dos de sus lados. Ejemplo 10.2 Momentos negativos: M a− = 0.055 × 18 × 6.2 2 = 38.kN .m / m M b− = 0.041× 18 × 7.7 2 = 44.kN .m / m Momentos positivos ( carga muerta ): M a+ (cm) = 0.032 × 7.4 × 6.2 2 = 9.kN .m / m M b+ (cm) = 0.015 × 7.4 × 7.7 2 = 7 ⋅ kN .m / m Momentos positivos ( carga viva ): M a+ (cv) = 0.044 × 10.7 × 6.2 2 = 18 ⋅ kN .m / m M b+ (cv) = 0.019 × 10.7 × 7.7 2 = 12 ⋅ kN .m / m Cortante y reacciones: Va = 0.55 × 18 × (6.2 × 7.7 )/ (2 × 7.7 ) = 31 ⋅ kN / m Vb = 0.45 × 18 × (6.2 × 7.7 )/ (2 × 6.2 ) = 31 ⋅ kN / m 191 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


2003


Paneles: 6 y 9. Están con todos los bordes continuos => caso # 2 Y

La = 6.20

Franja central en Y

Lb = 7.70

Franja central en X

X Figura 10.24 Panel continuo en todos sus lados. Ejemplo 10.2 Momentos negativos: M a− = 0.065 × 18 × 6.2 2 = 45.kN .m / m M b− = 0.027 × 18 × 7.7 2 = 29.kN .m / m Momentos positivos M a+ (cm) = 0.026 × 7.4 × 6.2 2 = 8.kN .m / m M b+ (cm) = 0.011 × 7.4 × 7.7 2 = 5 ⋅ kN .m / m Momentos positivos M a+ (cv) = 0.041 × 10.7 × 6.2 2 = 17 ⋅ kN .m / m M b+ (cv) = 0.017 × 10.7 × 7.7 2 = 11 ⋅ kN .m / m Fuerza cortante y reacciones: Va = 0.71 × 18 × (6.2 × 7.7 )/ (2 × 7.7 ) = 40 ⋅ kN / m Vb = 0.29 × 18 × (6.2 × 7.7 )/ (2 × 6.2 ) = 20 ⋅ kN / m



2003


d) Ajuste y equilibrio de momentos en cada dirección Dirección X Franja media en paneles 1, 2, 3 y 4 A

B

C

1

D

2

E

3

1

4

2 Ma(-)

Ma(+)cm Ma(+)cv

49

52

11 20

52

52

52

8 17 50

60

8 17

13 21 56

52

Primera combinación de carga 9

30

15

27

50

52

56 Segunda combinación de carga

10

26

6

36

Figura 10.25 Equilibrio y ajuste de momentos en franja central X paneles “ 1 2 3 y 4 “ De la figura 10.25 se obtienen los momentos de diseño positivos y negativos para la región central de los paneles 1, 2, 3 y 4 de la losa. El tramo AB se diseña para un momento positivo de MuAB = 30 kN.m /m; el tramo BC: Mu BC = 26 kN.m / m; el tramo CD: MuCD = 27 kN.m / m y el tramo DE: Mu DE = 36 kN.m /m. Los momentos de diseño negativos son: en el borde A: MuA = 30 / 3 = 10 kN.m/m; en B: Mu B = 50 kN.m/m; en C: MuC = 52 kN.m/m; en D: Mu D =56 kN.m/m y en E: Mu E = 36 / 3 = 12 kN.m / m. 193 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


2003


Franja media en paneles 5, 6 y 7: A

B

C

5

Ma(+)cm Ma(+)cv

6

38

Ma(-)

D

45

9 18

2

7

45

3

38

8 17 41

9 18 41 Primera combinación de carga

8

26

26

41


8

27

8

Figura 10.26 Equilibrio y ajuste de momentos en franja central X paneles “ 5, 6 y 7 “ De la figura 10.26 se obtienen los momentos de diseño positivos y negativos para la región central de los paneles 5, 6 y 7 de la losa. Los momentos positivos son: Tramo AB: Mu AB = 26 kN.m / m; Tramo BC: Mu BC = 27 kN.m / m; Tramo CD: Mu CD = 26 kN.m / m. Los momentos de diseño negativos son: En el borde A: MuA =26 / 3 = 9 kN.m / m. En B: MuB = 41 kN.m / m. En C: MuC = 41 kN.m / m En D: Mu D = 9 kN.m / m.



2003


Franja media en paneles 8, 9 y 10: A

B

C

8

Ma(+)cm Ma(+)cv

9

45

49

Ma(-)

D

11 20

3

10

45

4

38

8 17 47

9 18 41 Primera combinación de carga

9

32

25

47


12

26

5

Figura 10.27 Equilibrio y ajuste de momentos en franja central X paneles “ 8, 9 y 10 “ La figura 10.27 resume los momentos de diseño positivos y negativos para la región central de los paneles 8, 9 y 10 de la losa. Los momentos positivos son: Tramo AB: Tramo BC: Tramo CD:

Mu AB = 32 kN.m / m; Mu BC = 26 kN.m / m; Mu CD = 25 kN.m / m.

Los momentos de diseño negativos son: En A: En B: En C: En D:

Mu A = 32 / 3 = 11 kN.m / m. Mu B = 47 kN.m / m. Mu C = 41 kN.m / m Mu D = 25 / 3 = 8 kN.m / m. 195

ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


2003


Franja media en paneles 11 y 12 B

C

11

D

4

12

6.2

6.2

5

49

11

49

31

11

31

Figura 10.28 Equilibrio y ajuste de momentos en franja central X paneles “ 11 y 12 “ Los momentos de diseño positivos y negativos para la región central de los paneles 11 y 12 están indicados en la figura 10.28. Los momentos positivos son: Tramo BC: Tramo CD:

Mu BC = 31 kN.m / m; Mu CD = 31 kN.m / m.

Los momentos de diseño negativos son: En B: En C: En D:

Mu A = 31 / 3 = 10 kN.m / m. Mu C = 49 kN.m / m Mu D = 31 / 3 = 10 kN.m / m.



2003


Dirección Y Franja central en paneles 1, 5 y 8 A

B

1

7 13

1

16

3

31

2

38

38

44 7 12

5

13

25

44

3

38

38

31 7 13

8

16

3

4 Figura 10.29 Equilibrio y ajuste de momentos en franja central Y paneles “ 1, 5 y 8 “ Los momentos de diseño positivos y negativos para la región central de los paneles 1, 5 y 8 están indicados en la figura 10.29. Los momentos de diseño positivos son: Tramo 1-2: Mu 12 = 16 kN.m / m Tramo 2-3: Mu 23 = 25 kN.m / m Tramo 3-4: Mu 34 = 16 kN.m / m. Los momentos de diseño negativos son: En 1: En 2: En 3: En 4:

Mu 1 = 16 / 3 = 5 kN.m / m. Mu 2 = 38 kN.m / m Mu 3 = 38 kN.m / m. Mu 4 = 16 / 3 = 5 kN.m / m. 197



2003


Franja central en paneles 2, 6, 9 y 11 B

C

1

4 11

2

13

4

18

2

23

23

29 5 11

6

8

16

29

3

29

29

29 5 11

9

16

5

29

4

30

30

31

11

7 13

7

20

5 Figura 10.29 Equilibrio y ajuste de momentos en franja central Y paneles “ 1, 5 y 8 “ Los momentos de diseño positivos y negativos para la región central de los paneles 1, 5 y 8 están indicados en la figura 10.29. Momentos de diseño positivos Tramo 1-2: Tramo 2-3: Tramo 3-4: Tramo 4-5:

Mu 12 = 13 kN.m / m Mu 23 = 16 kN.m / m Mu 34 = 16 kN.m / m. Mu 34 = 20 kN.m / m

Momentos de diseño negativos En 1: En 2: En 3: En 4: En 5:

Mu 1 = 13 / 3 = 4 kN.m / m. Mu 2 = 23 kN.m / m Mu 3 = 29 kN.m / m Mu 4 = 30 kN.m / m Mu 4 = 20 / 3 = 7 kN.m / m 198



2003


Franja central en paneles 3, 7, 10 y 12 C

D

1

4 11

3

9

-2

18

2

31

31

44 7 12

7

14

26

44

3

44

44

44 7 12

10

22

10

44

4

38

38

31

12

7 13

4

17

5 Figura 10.29 Equilibrio y ajuste de momentos en franja central Y paneles “ 1, 5 y 8 “ Los momentos de diseño positivos y negativos para la región central de los paneles 1, 5 y 8 están indicados en la figura 10.29. Momentos de diseño positivos Tramo 1-2: Tramo 2-3: Tramo 3-4: Tramo 4-5:

Mu 12 = 9 kN.m / m Mu 23 = 26 kN.m / m Mu 34 = 22 kN.m / m. Mu 34 = 17 kN.m / m

Momentos de diseño negativos En 1: En 2: En 3: En 4: En 5:

Mu 1 = 9 / 3 = 3 kN.m / m. Mu 2 = 31 kN.m / m Mu 3 = 44 kN.m / m Mu 4 = 38 kN.m / m Mu 4 = 17 / 3 = 6 kN.m / m 199



2003


Franja central en panel 4 En esta franja no hay que realizar equilibrio y ajuste de momentos en dirección Y : Momento de diseño positivo: MuAB = 19 kN.m / m Momento negativo en borde 1: Mu1 = 19 / 3 = 6 kN.m / m Momento negativo en borde 2: Mu2 = 19 / 3 = 6 kN.m / m e) Determinación del refuerzo a flexión para cada dirección Se utiliza el algoritmo de diseño de secciones rectangulares simplemente reforzadas. Los datos necesarios para el diseño son: espesor de losa maciza h = 150 mm, d = 125 mm y b = 1000 mm. El hormigón de f´c = 21 MPa y el acero de fy = 420 MPa El refuerzo mínimo es Asmin = 0.0018 x 1000 x 125 = 225 mm2 / m 1# 4 @ 0.55 m. Sin embargo en las zonas de momento máximo ( franjas medias ) el máximo espaciamiento es 2 x h = 300 mm mientras que en el resto de la losa es 3 x h = 450 mm. Dirección X Refuerzo en los paneles 1, 2, 3 y 4. Tramo AB Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu AB = 30 kN.m / m => As = 678 mm2 / m Mu AB = 10 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

1 # 4 @ 0.20 m

Tramo BC Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu BC = 26 kN.m / m => As = 582 mm2 / m MuBC = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

1 # 4 @ 0.20 m

Tramo CD Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu CD = 27 kN.m / m => As = 606 mm2 / m MuCD = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

1 # 4 @ 0.20 m

Tramo DE Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu DE = 36 kN.m / m => As = 826 mm2 / m MuDE = 12 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

1 # 4 @ 0.15 m

Borde A Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu A = 10 kN. m / m => As = 216 mm2 / m MuA = 3 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

1 # 4 @ 0.30 m

Nudo B Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu B = 50 kN. m / m => As = 1192 mm2 / m MuB = 17 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m

1 # 4 @ 0.10 m



2003


Nudo C Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu C = 52 kN. m / m => As = 1247 mm2 / m MuC = 17 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m

1 # 4 @ 0.10 m

Nudo D Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu D = 56 kN. m / m => As = 1360 mm2 / m MuD = 19 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m

1 # 4 @ 0.10 m

Borde E Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu E = 12 kN. m / m => As = 260 mm2 / m MuE = 4 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

1 # 4 @ 0.30 m

Refuerzo en los paneles 5, 6 y 7. Tramo AB Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu AB = 26 kN.m / m => As = 582 mm2 / m MuAB = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

1 # 4 @ 0.20 m



1 # 4 @ 0.20 m



1 # 4 @ 0.20 m


Mu A = 9 kN. m / m => As = 216 mm2 / m MuA = 3 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m


Mu B = 41 kN. m / m => As = 954 mm2 / m MuB = 14 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.40 m

1 # 4 @ 0.15 m


Mu C = 41 kN. m / m => As = 954 mm2 / m MuC = 14 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.40 m

1 # 4 @ 0.15 m


Mu D = 9 kN. m / m => As = 216 mm2 / m MuD = 3 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

1 # 4 @ 0.30 m

1 # 4 @ 0.30 m

Refuerzo en los paneles 8, 9 y 10. Tramo AB Franjas centrales:

Mu AB = 32 kN.m / m => As = 727 mm2 / m

1 # 4 @ 0.15 m 201



2003


Franjas de borde:

MuAB = 11 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m



1 # 4 @ 0.20 m



1 # 4 @ 0.20 m


Mu A = 11 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m MuA = 4 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m


Mu B = 47 kN. m / m => As = 1111 mm2 / m MuB = 16 kN.m / m => As = 350 mm2 / m

1 # 4 @ 0.10 m 1 # 4 @ 0.35 m


Mu C = 41 kN. m / m => As = 954 mm2 / m MuC = 14 kN.m / m => As = 305 mm2 / m

1 # 4 @ 0.15 m 1 # 4 @ 0.40 m


Mu D = 8 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m MuD = 3 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

Refuerzo en los paneles 11 y 12 Tramo BC Franjas centrales: Franjas de borde:


1 # 4 @ 0.15 m



1 # 4 @ 0.20 m

Borde B Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu B = 10 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m MuB = 3 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m


Mu C = 49 kN. m / m => As = 1165 mm2 / m MuC = 16 kN.m / m => As = 350 mm2 / m

Borde D Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu D = 10 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m MuD = 3 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

1 # 4 @ 0.10 m 1 # 4 @ 0.35 m



2003


Dirección Y Refuerzo en los paneles 1, 5 y 8 Tramo 1-2 Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu 12 = 16 kN.m / m => As = 350 mm2 / m Mu12 = 5 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

1 # 4 @ 0.30 m

Tramo 2-3 Franjas centrales: Franjas de borde:


1 # 4 @ 0.20 m



1 # 4 @ 0.30 m

Borde 1 Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu 1 = 5 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m Mu1 = 2 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

Nudo 2 Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu 2 = 38 kN. m / m => As = 877 mm2 / m Mu2 = 13 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

1 # 4 @ 0.15 m



1 # 4 @ 0.15 m


Mu 4 = 5 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m Mu4 = 2 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

Refuerzo en los paneles 2, 6, 9 y 11 Tramo 1-2 Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu 12 = 13 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m Mu12 = 4 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m



1 # 4 @ 0.30 m



1 # 4 @ 0.30 m



2003





Mu 1 = 4 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m Mu1 = 1 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m



1 # 4 @ 0.25 m



1 # 4 @ 0.20 m



1 # 4 @ 0.20 m


Mu 5 = 7 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m Mu5 = 2 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

1 # 4 @ 0.30 m

Refuerzo en los paneles 3, 7, 10 y 12 Tramo 1-2 Franjas centrales: Franjas de borde:

Mu 12 = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m Mu12 = 2 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m



1 # 4 @ 0.20 m



1 # 4 @ 0.25 m



1 # 4 @ 0.30 m


Mu 1 = 3 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m Mu1 = 1 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m



2003





Mu 3 = 44 kN. m / m => As = 1032 mm2 / m Mu3 = 15 kN.m / m => As = 328 mm2 / m




Mu 4 = 6 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m Mu4 = 2 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

1 # 4 @ 0.15 m

1 # 4 @ 0.10 m 1 # 4 @ 0.40 m 1 # 4 @ 0.15 m

Refuerzo en el panel 4 Tramo 1-2 Franjas centrales: Franjas de borde:



Mu 1 = 6 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m Mu1 = 2 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m


Mu 2 = 6 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m Mu2 = 2 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m

1 # 4 @ 0.30 m

La figuras 10.30 ilustra el refuerzo en una franja media en dirección X y la figura 10.31 para una franja en dirección Y.

Panel 1

# 4 @ 0..30

Panel 2

Panel 3

# 4 @ 0.10

# 4 @ 0..20

# 4 @ 0.10 # 4 @ 0..20

Panel 4

# 4 @ 0.10 # 4 @ 0..20

# 4 @ 0.30 # 4 @ 0..15

Figura 10.30 Colocación del refuerzo en dirección X. Franja típica central 205 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


2003


Panel 2

Panel 6

# 4 @ 0..30

Panel 9

# 4 @ 0.25

# 4 @ 0..30

# 4 @ 0.20 # 4 @ 0.30

Panel 11

# 4 @ 0.20 # 4 @ 0.30

# 4 @ 0..30 # 4 @ 0.30

Figura 10.31 Colocación del refuerzo en dirección Y. Franja típica central f) Revisión de la cortante en la losa La cortante que le transmite la losa a las vigas es numéricamente igual a las cargas verticales sobre las vigas reducidas en una cantidad equivalente al valor de “ Vud “. La resistencia a cortante de la losa es:

φ .Vc = 0.75 × 0.17 × 21 × 1000 × 125 = 73 × 103 N / mm = 73.kN / m Si la cortante externa “ Vud “ es menor que “ ΦVc / 2 = 37 kN / m “ se concluye que la losa no requiere refuerzo transversal. La carga total por panel es: 18 kN / m2 x 6.2 x 7.7 = 859 kN ( 41% muerta, 59% viva) Cortante en paneles 1, 2, 3 y 4 ( dirección X ) De la tabla 10.4 para una relación la / lb = 0.80 se obtiene: Panel 1 :

Caso 4 => Ca = 0.71

Vu = 0.71 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 40 kN / m

Panel 2 y 3 : Caso 9 => Ca = 0.83

Vu = 0.83 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 46 kN / m

Panel 4 :

Vu = 0.86 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 48 kN / m

Caso 6 => Ca = 0.86

La cortante a una distancia “ d = 125 mm “ de la cara del apoyo es: Panel 1 :

Vud = 38 kN / m > 37 kN / m => Se requiere refuerzo transversal

Paneles 2 y 3: Vud = 44 kN / m > 37 kN / m => Se requiere refuerzo transversal Panel 4 :

Vud = 46 kN / m > 37 kN / m => Se requiere refuerzo transversal



2003


Panel 1

Panel 2

6.2

Panel 3

6.2

6.2

46 kN/m

40 kN/m

40 kN/m

Panel 4 6.2

46 kN/m

46 kN/m

48 kN/m

46 kN/m

48 kN/m

Figura 10.32 Cortante en los paneles 1, 2, 3 y 4 ( dirección X ) Cortante en paneles 5, 6 y 7 ( dirección X ): la / lb = 0.80 Paneles 5 y 7: Caso 8 => Ca = 0.55

Vu = 0.55 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 31 kN / m

Panel 6:

Vu = 0.71 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 40 kN / m

Caso 2 => Ca = 0.71

La cortante a una distancia “ d = 125 mm “ de la cara del apoyo es: Paneles 5 y 7 => Vud = 30 kN / m => No se requiere refuerzo transversal => Vud = 38 kN / m => Se requiere refuerzo transversal

Panel 6

Cortante en paneles 8, 9 y 10 ( dirección X ): la / lb = 0.80 Panel 8:

Caso 4 => Ca = 0.71

Vu = 0.71 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 40 kN / m

Panel 9:

Caso 2 => Ca = 0.71

Vu = 0.71 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 40 kN / m

Panel 10:

Caso 8 => Ca = 0.55

Vu = 0.55 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 31 kN / m

La cortante a una distancia “ d = 125 mm “ de la cara del apoyo es: Panel 8:

=> Vud = 38 kN / m => Se requiere refuerzo transversal

Panel 9:


Panel 10:

=> Vud = 30 kN / m => No se requiere refuerzo transversal



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Cortante en paneles 11 y 12 ( dirección X ): la / lb = 0.80 Paneles 11 y 12:

Caso 4 => Ca = 0.71

Vu = 0.71 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 40 kN / m

La cortante a una distancia “ d = 125 mm “ de la cara del apoyo es: Paneles 11 y 12:


Nota: Por lo general las losas no llevan refuerzo transversal ya que desde el dimensionamiento preliminar se asegura que su espesor sea el adecuado para resistir la mayor cortante en la losa. En casos excepcionales el refuerzo por cortante se coloca en forma similar a las vigas es decir en forma de estribos de una o varias ramas. En este caso como la cortante que aporta el hormigón es de 73 kN / m se requiere colocar un refuerzo mínimo a cortante: Si se utilizan barras @ 65 mm con fy = 420 MPa el área mínima de refuerzo es: Av , min = 0.35 ×

1000 × 65 = 54.mm2 ⇔ Usar # 2 (31 mm2 ) @ 65 mm según figura 10.33 420 1.0 m

# 2 @ 65 mm

Figura 10.33 Refuerzo a cortante en dirección X de la losa del ejemplo 10.2 Cortante en paneles 1, 5 y 8 en dirección Y Panel 1 y 8 : Caso 4 => Cb = 0.29

Vu = 0.29 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 20 kN / m

Panel 5 :

Vu = 0.45 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 31 kN / m

Caso 8 => Cb = 0.45

Todos < 37 kN / m => No se requiere refuerzo por cortante Cortante en paneles 2, 6, 9 y 11 en dirección Y Panel 2:

Caso 9 => Cb = 0.17

Vu = 0.17 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 12 kN / m

Panel 6 y 9 : Caso 2 => Cb = 0.29

Vu = 0.29 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 20 kN / m

Caso 4 => Cb = 0.29

Vu = 0.29 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 20 kN / m

Panel 11:

=> No se requiere refuerzo por cortante 208 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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Cortante en paneles 3, 7, 10 y 12 en dirección Y Panel 3:

Caso 9 => Cb = 0.17

Vu = 0.17 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 12 kN / m

Panel 7 y 10 : Caso 8 => Cb = 0.45

Vu = 0.45 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 31 kN / m

Panel 12:

Vu = 0.29 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 20 kN / m

Caso 4 => Cb = 0.29

=> No se requiere refuerzo por cortante Cortante en panel 4, dirección Y Panel 4:

Caso 6=> Cb = 0.14

Vu = 0.14 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 10 kN / m

En resumen para la dirección Y no se requiere refuerzo por cortante. g ) Determinación de las cargas ultimas vivas y muertas sobre las vigas Una vez se conocen las cortantes en cada panel se obtienen también las reacciones para cada dirección que precisamente son las cargas sobre las vigas. Del total el 41% es carga muerta y el 59% carga viva. Para diseñar las vigas se debe sumar el peso propio. Vigas en dirección Y ( reciben las franjas en dirección X de la losa) Viga A: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 40 = 16 kN/m

qv =0.59 x 40 = 24 kN/m

Tramo 2-3: q m= 0.41 x 31 = 13 kN/m

qv =0.59 x 31 = 18 kN/m

Tramo 3-4: q m= 0.41 x 40 = 16 kN/m

qv =0.59 x 40 = 24 kN/m

Viga B: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 86 = 35 kN/m

qv =0.59 x 86 = 51 kN/m

Tramo 2-3: q m= 0.41 x 71 = 29 kN/m

qv =0.59 x 71 = 42 kN/m

Tramo 3-4: q m= 0.41 x 80 = 33 kN/m

qv =0.59 x 80 = 47 kN/m

Tramo 4-5: q m= 0.41 x 40 = 16 kN/m

qv =0.59 x 40 = 24 kN/m

Viga C: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 92 = 38 kN/m

qv =0.59 x 92 = 54 kN/m

Tramo 2-3: q m= 0.41 x 71 = 29 kN/m

qv =0.59 x 71 = 42 kN/m

Tramo 3-4: q m= 0.41 x 71 = 29 kN/m

qv =0.59 x 71 = 42 kN/m

Tramo 4-5: q m= 0.41 x 80 = 33 kN/m

qv =0.59 x 80 = 47 kN/m



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Viga D: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 94 = 39 kN/m

qv =0.59 x 94 = 55 kN/m

Tramo 2-3: q m= 0.41 x 31 = 13 kN/m

qv =0.59 x 31 = 18 kN/m

Tramo 3-4: q m= 0.41 x 31 = 13 kN/m

qv =0.59 x 31 = 18 kN/m

Tramo 4-5: q m= 0.41 x 40 = 16 kN/m

qv =0.59 x 40 = 24 kN/m

Viga E: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 48 = 20 kN/m

qv =0.59 x 48 = 28 kN/m

Vigas en dirección X ( reciben las franjas en dirección Y de la losa) Viga 1: Tramo AB:

q m= 0.41 x 20 = 8 kN/m

qv =0.59 x 20 = 12 kN/m

Tramo BC: q m= 0.41 x 12 = 5 kN/m

qv =0.59 x 12 = 7 kN/m

Tramo CD: q m= 0.41 x 12 = 5 kN/m

qv =0.59 x 12 = 7 kN/m

Tramo DE: q m= 0.41 x 10 = 4 kN/m

qv =0.59 x 10 = 6 kN/m

Viga 2: Tramo AB:

q m= 0.41 x 51 = 21 kN/m

qv =0.59 x 51 = 30 kN/m

Tramo BC: q m= 0.41 x 32 = 13 kN/m

qv =0.59 x 32 = 19 kN/m

Tramo CD: q m= 0.41 x 33 = 14 kN/m

qv =0.59 x 33 = 20 kN/m

q m= 0.41 x 51 = 21 kN/m

qv =0.59 x 51 = 30 kN/m

Tramo BC: q m= 0.41 x 40 = 16 kN/m

qv =0.59 x 40 = 24 kN/m

Tramo CD: q m= 0.41 x 62 = 25 kN/m

qv =0.59 x 62 = 37 kN/m

Viga 3: Tramo AB:

Viga 4: Tramo AB:

q m= 0.41 x 20 = 8 kN/m

qv =0.59 x 20 = 12 kN/m

Tramo BC: q m= 0.41 x 40 = 16 kN/m

qv =0.59 x 40 = 24 kN/m

Tramo CD: q m= 0.41 x 51 = 21 kN/m

qv =0.59 x 51 = 30 kN/m

Viga 5: Tramo BC:

q m= 0.41 x 20 = 8 kN/m

qv =0.59 x 20 = 12 kN/m

Tramo CD:

q m= 0.41 x 20 = 8 kN/m

qv =0.59 x 20 = 12 kN/m



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10.2.4

Control de las deflexiones

Por las características de borde particulares para este tipo de losas es frecuente obtener pequeños espesores que reflejan grandes deflexiones a no ser que se impongan algunas restricciones respecto a la relación luz – espesor. En la edición del código ACI 318-63, donde por primera vez se presenta el método, se indicaba que de acuerdo al comportamiento observado en la practica y los ensayos realizados el espesor mínimo de losa debe ser el mayor de: a ) 100 mm o b) el perímetro del panel dividido por 180. Sin embargo en este método quedan algunas variables por solucionar como por ejemplo el efecto de la rigidez de las vigas perimetrales en el comportamiento de la losa y la posibilidad de disponer de un sistema de piso sin vigas de borde. Este ultimo aspecto lo soluciona el ACI proponiendo dos procedimientos generales de calculo que aparecen por primera vez en la versión del código ACI-318-71: a) el método directo y b) el método del pórtico equivalente, ambos permiten resolver cualquier sistema de piso que trabaje en dos direcciones. Alternativamente la deflexión máxima en el centro de un panel en dos direcciones puede estimarse por las ecuaciones geométricas y luego compararse con los valores admisibles definidos en las especificaciones de diseño. La tabla 10.5 resume esta recomendaciones para losas en dos direcciones y vigas. Tabla 10.5 Deflexiones máximas admisibles en losas en dos direcciones y vigas Tipo de elemento

Deflexión considerada

Deflexión limite

Losas de cubierta cuya deflexión no afecta a divisiones o conexiones interiores. Losas de piso cuya deflexión no afecta a divisiones y conexiones interiores. Losas de piso y de cubierta cuya deflexión si afecta otros elementos interiores Losas de piso y de cubierta cuya deflexión no afecte a otros elementos interiores.

Instantánea debida a la carga viva

Luz / 180

Instantánea debida a la carga viva Luz / 360 Deflexión obtenida después de colocar los elemento no estructurales. Es la suma de la deflexión diferida por carga sostenida mas la deflexión inmediata por carga viva

Luz / 480 Luz / 240

El calculo de la deflexión de una losa es complejo por la influencia de gran numero de variables, por ejemplo: la variación rotacional de las restricciones de borde, la influencia de la disposición de cargas alternadas, la variación en la relación dimensional de los lados y los efectos de la fisuración, la retracción y la fluencia del hormigón. Sin embargo es posible determinar unos valores apropiados de la deflexión con base en los coeficientes de momento dados en las tablas 10.1 a 10.3. La deflexión total de una losa esta compuesta de una parte inmediata debida a la carga viva mas una diferida debida a la carga sostenida. La tabla 10.5 da los valores limites aceptables para cualquier caso en consideración en función de la luz ( las especificaciones ACI no son claras al indicar cual luz usar si la corta o la larga, pero es razonable basar los cálculos en la luz corta ya que indica una menor deflexión). 211 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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Es importante recordar que en la determinación de los momentos utilizando el método de los coeficientes se obtienen siempre los máximos positivos y negativos para cada condición de borde. Igualmente se estimaron con base en una condición de carga viva alterna para momento positivo y continua para momento negativo. Estas probables condiciones de carga son incorrectas para estimar las deflexiones ya que es prácticamente imposible que se presenten simultáneamente dos condiciones máximas de carga en un determinado momento. La deflexión máxima por carga viva se obtiene cuando esta actúa sobre el panel indicado, con sus paneles vecinos descargados. Esta disposición es la conocida como “ tablero de ajedrez “. La deflexión por carga viva se debe estimar a partir del máximo momento positivo hallado según las tablas y con los correspondientes momentos negativos para las condiciones de borde indicadas. La figura 10.34 ilustra lo indicado anteriormente: en esta losa se considera la franja media por unidad de ancho en la dirección larga del panel. La variación del momento para una carga uniformemente distribuida es parabólica y la suma del momento positivo y el promedio del momento negativo debe dar según la estática: “ Mest. = qb.lb2 / 8 “.

la

Línea de momento cero para apoyos empotrados

1/3 Mest. Mb = Cb.q.lb 2

lb

∆l

2/3 Mest

1/3 Mest

Franja media en luz larga

Línea de momento cero para apoyos articulados

Momento estatico total : Mest.

Línea de momento cero para apoyos 50% empotrados

Figura 10.34 Variación del momento positivo de acuerdo a los bordes



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Donde “ qb “ es la fracción de la carga en dirección larga. Si se presentara empotramiento total en los apoyos el momento negativo seria: M neg . =

1 1 2 2 2 2 qb .lb =  .qb .lb  = .M est . 12 8 3  3

El momento positivo seria: 2 1 1 1  1 M pos . = M est. − .M est . = .M est. = . .qb .lb2  = .qb .lb2 3 3 3 8  24 Como previamente se ha indicado al usar las tablas 10.1 a 10.3 los coeficientes de máximo momento positivo por carga viva se han obtenido para un 50% de empotramiento y no un 100%. Según lo anterior la línea de cero momento asociada con el máximo momento positivo “ Mb “ es como se indica en la figura 10.34 en línea punteada resaltada. Los cálculos de la deflexión se basan en el diagrama parabólico de momentos de la figura 10.34 con un valor de momento máximo en la mitad de la luz igual a “ Mb “ y los momentos negativos en los bordes iguales a la mitad de este valor. La deflexión por carga viva en la mitad de la luz “ ∆L “ de la franja media de la losa indicada en la figura 10.34 se puede determinar fácilmente usando el diagrama de momentos ilustrado. Si la losa tiene ambos bordes continuos => ∆L =

3 M b .lb2 32 Ec .I eff

( 10.6 )

Para demostrar la ecuación anterior se parte de que la deflexión máxima de una viga doblemente empotrada y sometida a una carga uniformemente distribuida es: ∆ max =

qb .lb4 384.E.I

Además el momento en la franja media es: M b =

Despejando el valor de la carga:

qb =

2 2 2 1  q .l M est =  qb .lb2  = b b 3 3  24 36 

36.M b lb2

Reemplazando “ qb “ en “∆max” se obtiene: ∆ max =

36.M b lb4 3.M b .lb2 = . lb2 384.E.I 32.E.I

Este ultimo valor concuerda perfectamente con la ecuación 10.6. El valor de “ Mb “ es el momento positivo por carga viva usando el coeficiente de la tabla correspondiente. “ Ec



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“ es el modulo elástico del hormigón y “ Ieff “ es el momento efectivo de inercia de la sección de hormigón utilizando un ancho de franja unitario. La ecuación 10.6 se ha derivado para un panel interior típico de una losa, con momentos de empotramiento iguales en los extremos. En general se pueden derivar de la misma forma otros casos para determinar la deflexión cuando uno o los dos extremos sean discontinuos. Sin embargo reconociendo que el análisis por el método de los coeficientes utiliza en los bordes discontinuos un momento igual a un tercio del momento positivo es evidente que el resultado de las ecuaciones deducidas difiere muy poco del obtenido con la ecuación 10.6 y por tanto esta se puede usar, con muy poco error, en paneles con uno o ambos extremos discontinuos siempre y cuando la losa trabaje monolíticamente con las vigas perimetrales. En los casos en que la losa se apoye directamente sobre muros se concluye que no hay restricción al giro por lo que la deflexión por carga viva es: ∆L =


( 10.7 )

La deflexión por carga muerta puede obtenerse a partir del diagrama de momentos, usando el máximo momento positivo por carga muerta obtenido de las tablas correspondientes y considerando todos los paneles cargados. Se debe recordar que para los bordes continuos no se utilizo el empotramiento total en la determinación de los coeficientes por lo que para determinar la deflexión por carga muerta se debe considerar este aspecto => ∆D =


( 10.8 )

En este caso “ Mb “ es el máximo momento positivo por carga muerta. En los casos en donde la losa este apoyada sobre muros y pueda rotar libremente se tiene: ∆D =


( 10.9 )

Ya que las deflexiones indicadas anteriormente se han obtenido en la franja unitaria de la losa en dirección larga es claro que si se realizan los cálculos en dirección corta se deben obtener los mismos resultados ya que la deflexión en el centro del panel debe ser la misma en ambas direcciones. Si se presentan algunas diferencias, estas se deben a las aproximaciones de los cálculos. En algunos casos se pueden determinar las deflexiones para cada dirección y luego promediar el resultado para obtener la del panel. El ACI recomienda ( igual el NSR-98 ) que el momento efectivo de inercia se determine usando la expresión 10.10 en donde “ Mcr “ es el momento de fisuración del hormigón. de esta forma se considera el efecto de la fisuración del hormigón en la reducción de la rigidez. En losas apoyadas en sus bordes la fisuración bajo cargas de servicio es por lo 214 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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general reducida y con muy poco error se pueden realizar los cálculos usando la sección bruta “ Ig “ para la franja unitaria. I eff

M =  cr  Ma

3  M   .I g + 1 −  cr   M a 

  

3

 .I cr ≤ I g 

( 10.10 )

Las deflexiones de la losa determinadas con el procedimiento indicado son las elásticas iniciales producidas por la aplicación de las cargas. En el caso de cargas sostenidas se recomienda que la deflexión diferida se obtenga de multiplicar la deflexión inmediata por el factor de la ecuación 10.11.

λ=

T 1 + 50 ρ ´

( 10.11 )

En donde “ λ “ es el factor que multiplica a la deflexión inmediata para hallar la deflexión a largo plazo. “ T “ es el coeficiente de tiempo que depende de la duración de la carga ( entre 1.0 y 2.0 ). “ ρ´ ” es la cuantía del refuerzo a compresión. La experiencia indica que un valor de T = 2.0 subestima el valor de las deflexiones para el caso de losas por lo en estos casos se sugiere “ T = 3.0 “ . Ejemplo 10.3 Considerando el panel # 1 del ejemplo 10.2 y suponiendo que sobre la losa se colocan elementos decorativos y arquitectónicos que no soportan grandes deflexiones determinar . a) la deflexión por carga muerta b) la deflexión por carga viva y c) la deflexión diferida. Asumir además que estos elementos se van a colocar tres meses después de construida la losa y el periodo de carga sostenida es de 5 años. Solución: Se deben trabajar los cálculos con las cargas en servicio => Deflexión inmediata por carga muerta: se utiliza la ecuación 10.8 Ec = 4790 × 21 = 21950.MPa Para franjas de b = 1.0 m

Ig =

1000 × 1503 = 281 × 106 mm4 12

Momento ( + ) en servicio ( carga muerta ) dirección larga: M b =

∆D =

7 .0 = 5.8 kN .m / m 1.2

1 5.8 × 106 × 77002 × = 3.48.mm 16 21950 × 281 × 106

Momento ( + ) en servicio ( carga muerta ) dirección corta: M a =

11 = 9.2 kN .m / m 1.2



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∆D =

1 9.2 × 106 × 62002 × = 3.58& mm 16 21950 × 281 × 106

La deflexión inmediata por carga muerta es: ∆ D =

(3.48 + 3.58) = 3.53 mm 2

Deflexión diferida por carga sostenida: Se asume que solo la carga muerta permanece aplicada continuamente en los 5 años. Además como parte de la carga muerta se aplica a los tres meses cuando ya se tiene aproximadamente un 50% de la deflexión diferida el coeficiente λ se debe dividir por 2 => λ = T = 3.0 ∆ LP = ∆ D ⋅

3.0 λ = 3.53 × = 5.30 mm 2 2

Deflexión por carga viva: se determina con la ecuación 10.6 => Momento ( + ) en servicio ( carga viva ) dirección larga: M b =

∆L =

3 10.8 × 106 × 77002 × = 9.73 mm 32 21950 × 281 × 106

Momento ( + ) en servicio ( carga viva ) dirección corta: M a =

∆L =

13 = 10.8 kN .m / m 1.2

20 = 17.0 kN .m / m 1.2

3 17 × 106 × 62002 × = 9.93 mm 32 21950 × 281 × 106

La deflexión inmediata por carga viva es: ∆ L =

(9.73 + 9.93) = 9.83 mm 2

La deflexión total a los 5 años es: 5.30 + 9.83 = 15.13 mm 6200 = 12.92 mm . Se concluye que 480 la losa no cumple la especificación exigida y se recomienda modificar sus dimensiones o considerar la posibilidad de aligerar el peso de los elementos decorativos o arquitectónicos que actúan sobre la losa. La deflexión admisible para este panel es: ∆ adm =

De la misma forma se procede con los paneles restantes en la losa determinando las deflexiones inmediatas y diferidas y comparándolas con las admisibles de acuerdo a los requisitos de uso y servicio de la edificación.



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losas 2 direcciones ACI

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