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´ Cours de Math ematiques ematiques ` ńerale ´rale Algebre ebre Gen e e

Sommaire

Alg` ebre G´ en´ erale Sommaire I

II

Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

I.1

D´ efin ition, efiniti on, exem exemple pless et premières eres propriét´ etés es . . . . . . . . . . . . . . .

2

I.2 I. 2

Sous So us-G -Gro roupe upes. s. Mo Morp rphi hism smes es de gr grou oupes pes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

I.3 I. 3

Acti Ac tion on d’ d’un un gr grou oupe pe su surr un en ense sem mbl blee . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

I.4

Les groupe pess Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Anne An neau aux x et co corp rpss co comm mmut utat atif ifss

II.1 II .1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D´ efin ition, efiniti on, exemple exem pless et premières eres propri´ pr opriét´ etés es . . . . . . . . . . . . . . .

8

8

II.2 II.2 Cass d’ Ca d’un un an anne neau au eu eucl clid idie ien n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ´ ements III El´ ement s alg´ ebr iquess d’un ebrique d’une e alg` ebre sur un corp ebre corpss commut commutatif atif . . . 15 III.1 III .1

Poly lynˆ nˆ ome mini ome minimal mal d’un ´ elément el´ ement d’u d’une ne algèbre ebre de dime dimensio nsion n fini finiee . . . 15

III.2

Extension alg´ ebrique d’un corps ebrique corps commutatif commutatif .. . . . . . . . . . . . . . . 16

c EduKlub S.A. www.klubprepa.net Page 1 Michel Lep ez  Tous droits de l’auteur des œuvres œuvr es r´ eserv´ eservés. es. Sauf autorisation autor isation,, la repro duction ainsi ain si que toute utili sation des œuvres œuv res autre que la cons ultation ultatio n individuelle individu elle et priv´ pr ivée ee sont so nt interdites. interd ites.

Cours de Math ´ ematiques ńe ´rale Alg` ebre Ge

Partie I : Groupes

I

Groupes

I.1

D´ efinition, exemples et premi` eres propri´ et´ es

Un groupe est un couple (G, ) où G est un ensemble et est une loi de composition interne sur G (c’est a` dire une application de G G vers G) associative, admettant un élément neutre e G , pour laquelle tout élément a G admet un symétrique a  G : a a = a  a = e . Le groupe (G, ) est déclaré commutatif (ou abélien) lorsque sa loi est commutative.

×

∈



∈

×

×

×

∈ ×

×

×

Un élément neutre et un symétrique pour la loi d’un élément de G sont uniques lorsque (G, ) est un groupe. Dans un groupe (G, ) tout élément a G est régulier c’est a` dire que

×

×

×

∈

2

∀ (x , y) ∈ G ,

× a x

×

x = a a = y

× y =⇒ x = y × a =⇒ x = y

Il revient au même de dire que les homothéties de G a` gauche et a` droite de rapport a , a h : x  a x et ha : x  x a , sont injectives. En fait, a h et h a sont des bijections de G sur lui-même et (ha )−1 = h a−1 , (a h)−1 = a−1 h . Le groupe (G, ) est commutatif si et seulement si toute homothétie a` gauche est une homothétie a` droite.

×



×

×

Lorsqu’il n’y a aucune ambiguité sur la loi du groupe (G, ) on ne la note pas : on dit simplement que G est un groupe et on écrit ab pour le composé de a par b au lieu de a b . Dans ce cas le symétrique d’un élément a G pour la loi de groupe de G prend le nom d’inverse de a et se note a−1 . Alors (a , b) G 2 , (ab)−1 = (b)−1 (a)−1 (attention à l’ordre des facteurs). L’élément neutre du groupe G est noté 1G et par récurrence sur l’entier naturel n on définit pour tout a G : an = 1G si n = 0 et an = aa n−1 si n  1 . Lorsque n est un entier relatif négatif on pose an = (a−1 )|n| . La famille (an )n∈Z est dite progression de raison a . On a les propriétés suivantes

×

×

∀

∈ ∈

∈

2

∀ (m , n) ∈ Z , ∀ a ∈ G , 



am+n = a m an

,

(an )m = a mn

(1)

Si (G, +) est un groupe on dit souvent que sa loi est additive et les homothéties du groupe (G, +) sont plutôt qualifiées de translation (` a gauche ou a` droite si le groupe n’est pas commutatif ). L’élément neutre de G est noté O G , le symétrique d’un élément a de G est noté a et la progression de raison a est notée (na)n∈Z .

−

Voici quelques exemples de groupes 

Z , Q , R , C sont des groupes additifs commutatifs mais R+ n’est pas un groupe pour l’addition. Q ∗ , R∗ , Q∗+ , R∗+ sont des groupes pour la multiplication ainsi que le cercle unité de C .



Tout espace vectoriel est un groupe additif commutatif.



Les translations d’un espace vectoriel ou d’un espace affine constituent un groupe commutatif pour la loi de composition.



Les rotations d’un espace euclidien de dimension n constituent un groupe pour la loi de composition. Ce groupe est commutatif si et seulement si n  2 .

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Partie I : Groupes

L’union de l’ensemble des homothéties et des translations d’un espace affine non vide, non réduit a` un point est un groupe pour la loi de composition. Ce groupe n’est pas commutatif. eme est un groupe pour la loi de  L’ensemble S(E ) des bijections de E sur lui-mˆ composition. Ce groupe est commutatif si et seulement si Card(E )  2 . Un élément de S(E ) est appelé permutation de E . Pour n N∗, le groupe des permutations de [[ 1 , n ]] s’appelle groupe symétrique d’indice n et se note Sn : Card(Sn ) = n! . etries d’un espace affine euclidien laissant globalement inva L’ensemble des isom´ riant un sous-ensemble E de est un groupe pour la loi de composition. 

∈

E

E

I.2

Sous-Groupes. Morphismes de groupes

Une partie H d’un groupe G , qui est stable par la loi de G , et qui est un groupe pour la loi induite sur H par celle de G , s’appelle sous-groupe de G . ´risation des sous-groupes Th´ eor` eme Caracte

Soit H une partie d’un groupe G . Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) H est un sous-groupe de G 2

−1

∈ H et ∀ (x , y) ∈ H , xy ∈ H

(ii) 1G

Lorsque G est un groupe additif l’assertion (ii) est a` remplacer par OG H et (x , y) H 2, x y H .  L’intersection d’une famille quelconque de sous-groupes d’un groupe G est un sous-groupe de G . En particulier pour toute partie A d’un groupe G , l’intersection H de la famille des sous-groupes de G contenant la partie A est un sous-groupe de G : H est le plus petit des sous-groupes de G contenant A . On dit que H est le sous-groupe de G engendré par A.  Le sous groupe d’un groupe G engendr´ e par la partie vide est 1G . On déduit de la formule (1) que le sous-groupe de G engendré par un singleton a G (on dit engendré par a) est an n Z e par une partie de G est G lui-même on dit que la partie  Lorsque le sous-groupe engendr´ est génératrice de G . Un groupe est dit monogène s’il peut être engendré par un singleton. Par exemple (Z, +) est un groupe monogène engendré par 1 , et pour tout entier naturel non nul n le groupe multiplicatif n = z C z n = 1 des racines n ième de l’unité est 2iπ un groupe monogène engendré par e n . Z l’ensemble nZ = nk k Z des multiples de n est le sous-groupe du  Pour tout n groupe additif Z engendré par n . Si H est un sous-groupe non réduit a` 0 de (Z, +), la partie non vide H +∗ des éléments strictement positifs de H admet un plus petit élément n . Alors n Z H puisque H est un sous-groupe de Z auquel n appartient. Inversement, pour tout élément h de H , la division euclidienne de h par n fournit un quotient q Z et un reste r [[ 0 , n 1 ]] tels que h nq = r H . Or un élément de H + est nul ou supérieur ou égal a` n . Comme r H + et r < n , on a r = 0 et h = nq . Ainsi H n Z H : H est un groupe monogène engendré par n . On a ainsi montré le théorème suivant a` la base de l’arithmétique de Z :

∈

− ∈

∀

∈

{ } { } ⊂

{ | ∈ }

U { ∈ |

∈

{ | ∈ }

}

{ }

⊂

∈

−

∈

−

∈

∈

⊂

⊂



Partie I : Groupes

Th´ eor` eme Sous-groupes de Z

Tout sous-groupe non réduit a` 0 du groupe additif Z est monogène, engendré par son plus petit élément strictement positif. L’ensemble des sous-groupes de Z est nZ n Z .

{ }

{ | ∈ }

Une application f : G G  où G et G sont des groupes est dite morphisme de groupes lorsque (x , y) G 2, f (xy) = f (x)f (y) . Si de plus f est bijective on dit que f est un isomorphisme de G sur G  . Un endomorphisme du groupe G est un morphisme de groupes de G vers G . Un automorphisme de G est un isomorphisme de G sur G . On vérifie facilement les résultats suivants :

∀

− →

∈

Proposition 

Le composé de deux morphismes (resp. isomorphismes) de groupes est un morphisme (resp. isomorphisme) de groupes.



L’image directe d’un sous-groupe H de G par un morphisme de groupes f : G G  est un sous-groupe de G  . En particulier l’image de f , Im f = f G = f (x) x G est un sous-groupe de G . L’image réciproque d’un sous-groupe H  de G par f est un sous-groupe de G. En particulier le noyau de f , Ker f = f −1 1G = x G f (x) = 1G est un sous-groupe de G .

  {

{ }



{ ∈

|

−→ | ∈ }

}

L’image d’une partie génératrice de G par un morphisme de groupes f de source G est une partie génératrice du groupe Imf . En particulier l’image d’un groupe monogène G par un morphisme de groupes est un groupe monogène engendré par l’image de tout générateur de G .

Un morphisme de groupes est injectif si et seulement si son noyau est r´ eduit au singleton neutre. Voici quelques exemples de morphismes ou isomorphismes de groupes : 





f : G G  étant un isomorphisme du groupe G sur le groupe G , l’application f −1 est un isomorphisme de G sur G . On dit alors que les groupes G et G sont isomorphes.

−→

Transport de structure : Si f : G

−→ E est une bijection d’un groupe (G , ·) sur

un ensemble E , la loi de composition interne  définie sur E par 2

∀ (x , y) ∈ E ,



−1

−1

x  y = f f (x) f (y)

·



fait de E un groupe et f est un isomorphisme du groupe (G , ) sur le groupe (E ,  ).

·

Soit G un groupe et a un élément de G . La formule (1) montre que l’application Z associe ϕa (n) = an est un morphisme de ϕa : (Z, +) (G, ) qui a` tout n groupes. ´  Produit de groupes : Etant donnés deux groupes G1 et G2 la loi de composition interne définie sur G1 G 2 par (x , y)(x , y  ) = (xx , yy  ) fait de G1 G 2 un groupe appelé groupe produit de G1 par G2 . Les groupes G1 G2 et G2 G1 sont isomorphes par l’application (x , y)  (y , x) . Les applications p i : G 1 G2 G i , i = 1, 2 , définies respectivement par (x , y)  x et (x , y)  y sont des morphismes surjectifs de groupes que l’on appelle première et deuxième projection canonique. Si G est un groupe, G2 est 

− →

·

×

∈

×

× × −→

×



Partie I : Groupes

le groupe produit de G par lui-même. Plus généralement pour tout entier naturel n non nul la loi sur Gn définie par (xi )i∈[[ 1 , n ]] (yi )i∈[[ 1 , n ] = (xi yi )i∈[[ 1 , n ]] fait de Gn un groupe et les projections canoniques p i : (xi )i∈[[ 1 , n ]  xi sont des morphismes surjectifs de groupes. Gn est canoniquement isomorphe a` G p Gn− p pour tout p [[ 1 , n 1 ]] (n  2 ). 

×

∈

−

Lorsque G est un groupe les applications σg : G G définies pour chaque g G par −1 S(E ) x  σg (x) = g xg sont des automorphismes du groupe G . L’application σ : G qui à tout g G associe σ g est un morphisme du groupe (G , ) vers le groupe (S(E ) , ) des permutations de E . Le noyau de σ est le sous-groupe de G constitué des éléments de G commutant avec tout autre : c’est le centre de G .

−→

∈

∈ − →

·

◦

Si E est un ensemble de cardinal n N∗ et σ : [[ 1 , n ]] E une bijection, l’application −1 Sn d´ f : S(E ) efinie par f (x) = σ x σ est un isomorphisme du groupe des permutations de E sur le groupe symétrique d’indice n .



∈

−→

◦ ◦

− →

Si (G , ) est un groupe, son groupe opposé est le groupe G0 = (G ,  ) où la loi  est définie par x  y = y x . Ces groupes sont isomorphes par l’application f : x  x−1 .

·



I.3

·

Action d’un groupe sur un ensemble

Une action d’un groupe G sur un ensemble E est la donnée d’une application ϕ : G telle que











∀ (g , g , x) ∈ G × G × E , ϕ g, ϕ(g , x) = ϕ(gg , x) et ϕ(1

G , x)

× E − → E

= x

(2)

On convient de poser ϕ(g, x) = gx de sorte que (2) s’écrit simplement : g(g  x) = (gg  )x et 1G x = x . L’équation gx = y admet alors l’unique solution x = g−1 y pour tout g G et y E . L’application σg : x  σg (x) = gx est donc une bijection de E sur E . En outre (2) montre que (g , g  ) G2 , σgg  = σg σ g si bien que l’application σ : G a g associe S(E ) qui ` σ(g) = σ g est un morphisme de groupes. Réciproquement, la donnée d’un morphisme de groupes σ : G efinit une action ϕ du groupe G sur E par la formule ϕ(g, x) = gx = σ(g)(x) . S(E ) d´ On dit que G opère (à gauche) sur E au moyen de l’action ϕ . Lorsque le groupe opposé G 0 de G opère a` gauche sur E au moyen d’une action ϕ  on dit que G opère a` droite sur E et on convient de poser ϕ (g, x) = xg de sorte que (2) s’écrit simplement : (xg  )g = x(g  g) et x 1G = x . L’orbite d’un élément x de E , sous l’action ϕ du groupe G sur l’ensemble E , est l’ensemble (x) = gx g G .

∈

∀

∈

◦

∈

−→

− →

O



{ | ∈ }

Un sous-groupe H d’un groupe G opère a` gauche sur l’ensemble des éléments de G au moyen de l’action ϕ définie par restriction a` H G de la loi de G :

×

∀ (h , g) ∈ H × G ,

ϕ(h, g) = hg .

Bien sˆ ur, H opère a` droite sur G par l’action ϕ définie sur H 0 G par ϕ (h, g) = gh . L’orbite a` gauche et l’orbite a` droite d’un élément x de G sont Hx = hx h H et xH = xh h H .

×

{ | ∈ }

{ | ∈ }



Partie I : Groupes



Tout sous-groupe H du groupe S(E ) des permutations d’un ensemble E opère sur E au moyen de l’action naturelle ϕ définie par (h , x) H E , ϕ(h, x) = h(x) . L’orbite d’un élément x de E est l’ensemble de toutes ses images par les permutations de E appartenant a` H .

∀



∈ ×

Voici un exemple venant de l’algèbre linéaire : Le groupe GLn (K ) des matrices carrées inversibles d’ordre n a` coefficients dans un corps commutatif K opère sur l’ensemble ees d’ordre n par l’action ϕ : GLn (K ) n (K ) des matrices carr´ n (K ) n (K ) définie par ϕ(P, M ) = P M P −1 . L’orbite d’une matrice M M n(K ) sous l’action de GLn (K ) est l’ensemble des matrices relativement a` toutes les bases de K n de l’endomorphisme de K n canoniquement associé a` M .

M



×M ∈

−→ M

Un sous-groupe H d’un groupe G opère sur G au moyen du morphisme de groupes S(G) d´ σ : H efini par σ(h)(g) = h  g = hgh−1 .

− →

D’une fa¸con générale sur les actions de groupe on a le résultat suivant : Th´ eor` eme Partition des orbites

Soit G un groupe opérant sur un ensemble E . L’ensemble (x) x G des orbites des éléments de E sous l’action de G est une partition de E , c’est a` dire que toute orbite est non vide, que deux orbites distinctes sont disjointes et que l’union des orbites est E .

{O | ∈ }

On vérifie en effet facilement, grˆ ace a` (2), les points suivants assurant le théorème :

∀ x ∈ E ,

x

∈ O(x)

et z

∈ O(x) ∩ O(y) =⇒ O(x) = O(y) = O(z ) .

ór` eme de Lagrange Corollaire The

Soit G un groupe fini. Le cardinal de tout sous-groupe de G est un diviseur de Card (G) . On a vu en effet (premier exemple) qu’un sous-groupe H de G opère sur G et dans cette action l’ensemble des orbites est Hx x G . L’homothétie (à droite) de rapport x ´ etant injective, le cardinal de tout orbite Hx est indépendant de x égal au cardinal de H . Par le théorème de partition des orbites Hx x G est une partition de G , donc

{ | ∈ } { | ∈ }

{

Card(G) = Card Hx x

{



| ∈ G}



Card(H ) .

Card(G) | ∈ G} = Card(H · C’est pour rappeler cette )

Donc Card(H ) divise Card(G) et Card Hx x

égalité que l’on note G/H l’ensemble des orbites des éléments de G dans l’action (` a gauche) de H sur G . On dit que G/H est l’ensemble quotient du groupe G par son sous-groupe H , et ainsi le cardinal de l’ensemble quotient d’un groupe fini par l’un de ses sous-groupes est le quotient de leurs cardinaux.

I.4

Les groupes Z/nZ

Soit H un sous-groupe non nul de (Z, +) . D’après le théorème caractérisant les sous-groupes de Z , on peut écrire H = nZ où n est le plus petit élément strictement positif de H . Dans



Partie I : Groupes

l’action naturelle de H sur Z , définie par restriction a` H Z de l’addition de Z , l’orbite de tout élément x de Z est n (x) = H + x = mn + x m Z . On dispose ainsi de l’ensemble Z , qui est une partition de Z , et d’une application surjective quotient Z/nZ = n (x) x equivalence associée a` n définie sur Z par n (x) = n (x ) Z/nZ . La relation d’´ n : Z s’appelle congruence modulo n et se note x x  [n] :

O

−→

O {O | ∈ }

× | ∈ } O

{

≡

x

≡ x



[n]



⇐⇒ x − x ∈ nZ ⇐⇒ x − x



O

O

est divisible par n

On confond ainsi en un même élément de Z/nZ tous les entiers relatifs dont la différence est divisible par n . La commutativité du groupe (Z, +) et le fait que H = n Z soit un sous-groupe de Z montrent que x x  [n] et y y  [n] = x + y x  + y  [n] . Cela s’écrit aussi

≡

≡

⇒



≡







O (x) = O (x ) et O (y) = O (y ) =⇒ O (x + y) = O (x + y ) . n

n

n

n

n

n

On définit donc bien une loi de composition interne + sur l’ensemble Z/nZ par la formule (X , Y ) Z/nZ , (x , y) X Y , X + Y = n (x) + n(y) = n (x + y) .  (Z/nZ, +) est un groupe commutatif fini de cardinal n et l’application Z/nZ n :Z est un morphisme surjectif de groupes qui induit une bijection de [[ 1 , n ]] sur Z/nZ . Le noyau de n est nZ = n (0) : C’est l’élément neutre du groupe Z/nZ . elément de G et Ga le sous-groupe de G engendré par a .  Soit G un groupe fini, a un ´ L’application ϕa : Z Ga définie par x  ϕa (x) = ax est un morphisme surjectif Z ax = 1G est de la forme nZ = Ker n , o` de groupes dont le noyau x u n est n le plus petit entier naturel non nul tel que a = 1G . Alors la relation d’équivalence définie sur Z par ϕa(x) = ϕa (x ) est la même que x x [n] , si bien que l’on définit un morphisme surjectif ϕa : Z/nZ Ga par la relation X X , Z/nZ , x x ϕa (X ) = ϕa (x) = a . Par construction Ker ϕa = nZ est réduit a` l’élément neutre de Z/nZ donc le morphisme surjectif ϕ a est aussi injectif : c’est un isomorphisme du groupe Z/nZ sur le groupe monog` ene Ga engendré par a , qui est ainsi de cardinal n . L’entier n = Card (Ga ) s’appelle ordre de a : D’après le théorème de Lagrange n est un diviseur de Card (G) si bien que aCard(G) = 1G . On a donc montré le

∀

∈

∀

O

∈ ×

O

O

O

O

−→

O

−→ { ∈ |

}

− →

O

≡ { }

∀ ∈

∀ ∈

Th´ eor` eme

Pour tout groupe fini G et tout élément a de G , aCard(G) = 1G . Un groupe fini monogène est dit cyclique : Tout groupe cyclique G est isomorphe au groupe additif Z/nZ où n = Card (G) . En particulier un groupe cyclique est commutatif. Par exemple le groupe n des racines n ième de l’unité est un groupe cyclique engendré par 2iπ ω = e n G un élément d’ordre n . Pour tout x Z l’ordre m de b = a x  Soit G un groupe fini et a est le plus petit des entiers y N∗ tels que xy soit multiple de n . Donc xm est le plus petit commun multiple n x de x et de n . Le plus grand commun diviseur n x de x et n de n vérifie (n x)(n x) = xn si bien que m = (n x) esulte de la formule ci-dessus que le nombre de générateurs d’un groupe cyclique de  Il r´ cardinal n est le nombre d’entiers relatifs x premiers avec n . 

U

∨

∧

∈ ∈ ∨

∈

∧ ·

∧



Partie II : Anneaux et corps commutatifs

II II.1

Anneaux et corps commutatifs D´ efinition, exemples et premi` eres propri´ et´ es

Un anneau est un triple (A, +, ) où A est un ensemble et + et sont deux lois de composition interne sur A telles que (A, +) soit un groupe commutatif et soit associative, distributive (` a gauche et a` droite) par rapport a` + et admette un élément neutre 1A . Un corps (K, +, ) est un anneau tel que (K  0K , ) soit un groupe. Un anneau (ou un corps) est dit commutatif lorsque sa seconde loi est commutative.

·

· ·

·

{ } ·



· Un anneau (A, +, · ) est dit intègre lorsqu’il est commutatif et que la nullité d’un produit de deux éléments de A implique la nullit´ e de l’un d’entre eux.





Dans un anneau A les homothéties de rapport a A , ha : A A , définies par x  ha (x) = ax , sont des endomorphismes du groupe (A, +) . Dire qu’un anneau commutatif est intègre est donc équivalent a` dire que ses homothéties de rapport a non nul sont injectives.



Dans un corps commutatif K tout élément non nul k de K est inversible : toute homothétie hk de rapport non nul k est un automorphisme du groupe (K, +) , d’inverse h−1 egre. k = h k−1 . En particulier, tout corps commutatif est un anneau int`



Dans un anneau intègre A qui est fini, toute homothétie de rapport non nul a est injective et donc aussi bijective : Tout élément non nul a de A est alors inversible, d’inverse a−1 = h−1 egre fini est un corps. a (1A ) . Ainsi Tout anneau int`



On montre qu’il existe un plus petit corps commutatif parmi ceux qui contiennent un anneau intègre donné A : On l’appelle corps des fractions de A : Ses éléments sont de la forme ab−1 (que l’on note aussi ab ).

∈

−→

Quelques exemples d’anneaux : 

L’ensemble Z muni de ses lois d’addition et de multiplication usuelles est un anneau int` egre. Son corps des fractions est le corps Q des nombres rationnels.



Si A est un anneau et I est un ensemble non vide, l’ensemble AI des applications de I vers A est un anneau pour les lois naturelles (somme et produit de deux applications). Même si l’anneau A est intègre, l’aneau AI ne l’est pas dès que I admet au moins deux éléments.



Soit A un sous-anneau d’un anneau commutatif B et x un élément de B : Il existe un plus petit sous-anneau de B parmi ceux qui contiennent A x : On le note A[x] , ses éléments sont polynˆ omiaux en x a` coefficients dans A , c’est à dire de la

∪{ }

n

forme

 k=0



ak xk où (ak )k∈N

∈ A

N

est une suite nulle au delà d’un certain rang n .

ˆ mes : Soit A un anneau commutatif. Il existe un anneau Anneaux de polyn o

commutatif B = A[X ] où X est un élément de B dit transcendant sur A , c’est à n

dire tel que toute relation de la forme implique que les ak soient tous nuls.

 k=0

ak X k = 0 (n

∈ N et (a )

k k∈[[ 0 , n ]

∈ A

n+1

)




– Les éléments de A[X ] s’appellent polynˆ omes a` une indéterminée sur A . – Tout polynˆ ome P de A[X ] se d´ ecompose de manière unique sous la forme n

P =

 ∈ k

ak X

n

N et (ak )k∈[[ 0 , n ]]

k=0

∈ A

n+1



Lorsque A est un anneau int` egre l’anneau A[X ] des polynômes a` une indéterminée sur A est lui-même un anneau intègre : Le corps des fractions de cet anneau intègre s’appelle corps des fractions rationnelles a` une indéterminée sur A et se note A(X ) . ees  Lorsque A est un anneau commutatif et n N ∗ , l’ensemble n (A) des matrices carr´ d’ordre n à coefficients dans A (c’est a` dire des applications U = (uij )ij∈[[ 1 , n ]]2 de [[ 1 , n ]]2 dans A) est muni de son addition naturelle (celle des applications) et d’une multiplication

∈

M

n



(dite produit matriciel) définie par U.V = (wij )ij∈[[ 1 , n ] 2 où wij =

k=0

M (A) est un anneau qui n’est pas commutatif dès que n  2 . Les anneaux Z/nZ , (n ∈ N ) : n



uik vkj . Pour ces lois

∗

La commutativité de l’anneau Z assure que le sous-groupe additif nZ est stable par multiplication par tout élément de Z . Il en résulte que dans Z , x

≡ x



[n] et y

≡ y



 

[n] = xy

⇒ ≡ x y

[n] .

O la surjection canonique de Z sur Z/nZ cela s’écrit aussi O (x) = O (x ) et O (y) = O (y ) =⇒ O (xy) = O (x y ) . On définit donc bien une loi de composition interne notée · sur l’ensemble Z/nZ , par la formule ∀ (X , Y ) ∈ (Z/nZ) , ∀ (x , y) ∈ X × Y , X · Y = O (xy) . En notant

n

n



n

n

n



n

n

2

 

n

le groupe additif Z/nZ muni de cette loi multiplicative devient un anneau commutatif Z/nZ est un morphisme d’anneaux : pour lequel la surjection canonique n : Z

∀ (x , y) ∈ Z 

2

O −→ O (x + y) O (xy)



n

n

= =

O (x) + O (y) O (x) · O (y) n

n

n

n

application : critère de divisibilité par 3 ou 9 N , 3 (10k ) = 3 (10)k = 3 (1)k = 1Z/nZ donc si l’on consid` k ere l’écriture

∀ ∈ O

O

O n

décimale d’un entier naturel x =



ak 10k (les ak dans [[ 0 , 9 ]]) on peut écrire

k=0

n

O (x) = 3

O

3 (ak )

k=0

ce qui est équivalent a` x

n

k

· O (10 ) =

n

 ≡ k=0

3

O

   O  ≡

3 (ak )

k=0

ak [3] . De même x

n

=

ak

3

k=0

n

ak [9] . On en déduit

k=0

le crit` ere de divisibilité par 3 ou par 9 : Pour qu’un entier soit divisible par 3 (respectivement par 9) il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 3 (respectivement par 9)








critère de divisibilité par 11 k eduit comme ci-dessus que N , 11 (10k ) = 11 (10)k = 11 ( 1)k . On en d´ pour qu’un entier soit divisible par 11 il faut et il suffit que la somme alternée de ses chiffres soit divisible par 11. Par exemple l’entier 4 002 009 est divisible par 11 (4 2 + 9 0 [11]).

∀ ∈

O

−

≡

O

O −

Morphismes d’anneaux : 

Un morphisme d’anneaux est une application f d’un anneau A vers un anneau B f (x + y) = f (x) + f (y) f (xy) = f (x)f (y) telle que (x , y) A B , L’image de f est alors une f (1A ) = 1B partie de B , contenant 1B , stable par les lois de B : Im f = f A est un sous-anneau de B . Le noyau de f est un sous-groupe de (A, +) stable par multiplication (à gauche et a` droite) par les éléments de A .

∀



 

∈ ×

 

L’application ϕ : Z A de Z vers un anneau A définie par n  n1A est un morphisme d’anneaux. – Si Ker ϕ = 0 alors Im ϕ , qui est le plus petit sous-anneau de A contenant 1A , est isomorphe à Z . – Si Ker ϕ = 0 alors il existe un unique générateur p N∗ au sous-groupe Ker ϕ de (Z, +) : Ker ϕ = p Z où p est le plus petit entier naturel non nul tel que p1A = O A . On dit que p est la caractéristique de l’anneau A . L’application ϕ : Z /pZ A qui à tout X Z/pZ associe ϕ(X ) = ϕ(x) pour tout x X est bien définie puisque deux entiers relatifs x et x éléments de X sont congrus modulo p et donnent alors la même image par ϕ . On vérifie dans ces conditions que ϕ est un morphisme d’anneaux dont le noyau est réduit a` OZ/pZ et dont l’image est Im ϕ . Ainsi, lorsque A est un anneau de caractéristique p N∗ , le plus petit sous-anneau de A contenant 1A , est isomorphe à l’anneau Z/pZ .

− →

{ }  { }

∈

∈

∈

{

II.2

∈

−→

}

Cas d’un anneau euclidien

On dit qu’un anneau A est euclidien lorsqu’il est intègre et muni d’une application d : A  OA N telle que

{ } − →

∀ 

(a, b) A

∈ ×

 } ∃

A OA ,

{

(q , r) A 2 , a = bq + r avec r = O A ou d(r) < d(b)

∈

(3)

Par exemple Z est un anneau euclidien . En effet l’application d désignant la valeur absolue, à tout couple (a , b) Z 2 tel que b = 0 on peut associer le qotient q et le reste r dans la division euclidienne de a par b : a = bq + r et 0  r = d(r) < b = d(b) . De même l’anneau K [X ] des polynômes a` coefficients dans un corps commutatif K est euclidien pour l’application d◦ qui à tout polynˆ ome non nul de K [X ] associe son degré : 2 à tout couple (a , b) K [X ] tel que b = 0 on peut associer le quotient q et le reste r dans la division euclidienne du polynôme a par le polynˆ ome b : a = bq + r et r = 0 ou ◦ ◦ d (r) < d (b) .

∈

∈



||






On dit qu’une partie I d’un anneau commutatif A est un idéal de A lorsque c’est un sous-groupe de (A, +) stable par multiplication par les éléments de A :

∈ I , ∀ (a , b) ∈ A

OA 



2

, a+b

∈ I et ∀ (a , b) ∈ A × I , ab ∈ I .

Par exemple dans un anneau commutatif A le plus petit idéal contenant un élément a de A est Aa = λa λ A . Le plus petit idéal contenant une paire a , b d’éléments de A est Aa + Ab = λa + µb (λ , µ) A 2 .

{ | ∈ } { |

{ }

∈ }

Les idéaux de Z sont exactement les sous-groupes de Z . En conséquence les idéaux non nuls de Z sont de la forme p Z o` u p est le plus petit élément strictement positif de l’idéal. Cela se généralise dans un anneau euclidien par le théorème suivant :

Th´ eor` eme

Tout idéal I d’un anneau euclidien A est engendré par l’un de ses éléments, c’est a` dire qu’il existe a I tel que I = Aa . On dit que les idéaux de A sont principaux.

∈

N vérifiant (3) . En effet, soit A un anneau euclidien, muni d’une application d : A  OA Si I est l’idéal nul, I = AO A . Et si I est un idéal non nul de A la partie d (x) x I OA non vide de N admet un plus petit élément d(a) pour a convenable dans I OA . Alors pour I , il existe (q , r) tout x A2 tel que x = aq + r avec r = OA ou d (r) < d (a). Or 2 r = x aq I puisque (x , a) eal de A . Le cas r I et que I est un id´ I OA est irrecevable puisqu’il provoquerait d (r)  d (a). Donc x = aq et I aA = Aa . L’inclusion réciproque est directe puisque a I et que I est un idéal de A .

{ } − →



∈ − ∈

∈

∈ ∈

⊂

| ∈ { { } ∈ { }

}

Divisibilit´ e dans un anneau euclidien 

La relation de divisibilité dans un anneau intègre A : On dit qu’ un élément a de A divise un élément b de A (ce que l’on écrit a b) lorsqu’il existe c A tel que b = ac . L’anneau A étant commutatif, on a les équivalences :

|

∈

a b

| ⇐⇒ ∃ c ∈ A , b = ac ⇐⇒ Ab ⊂ Aa .



La relation de divisibilité est réflexive et transitive sur les éléments de A . Cette relation est presqu’un ordre sur A mais il lui manque l’antisymétrie. Elle induit de fait un ordre sur l’ensemble des idéaux principaux de A . L’intégrité de l’anneau A assure que deux éléments de A engendrent le même idéal (c’est a` dire se divisent l’un l’autre) si et seulement si l’un se déduit de l’autre par multiplication par un élément inversible de A .




ezout Th´ eor` eme de B´

Soit A un anneau euclidien et (a, b) A2 . L’ensemble des diviseurs communs dans A a` a et a` b admet un élément maximal c pour la relation de divisibilité (tout diviseur commun a` a et b divise c). On dit que c est un plus grand commun diviseur de a et de b : c est un générateur de l’idéal engendré par a et b : Aa + Ab = Ac .

∈



En particulier deux éléments a et b de A sont dits étrangers (ou premiers entre eux) lorsque leur plus grand diviseur commun est 1A . Les conditions suivantes sont équivalentes (i) a et b sont étrangers (ii) Aa + Ab = A

(iii) (u , v)) A 2 , ua + vb = 1 . Ce théorème résulte directement du théorème assurant que tout idéal d’un anneau euclidien est principal : ici l’idéal I = Aa + Ab de A est principal, c’est à dire qu’il existe c I tel que I = Ac . Alors Ac Aa et Ac Ab donc c a et c b . Et si d a et d b , alors a et b sont éléments de Ad donc I = Ac Ad et d c .

∃

∈

⊃

Th´ eor` eme de Gauß

⊃ ⊂

|

|

|

|

|

∈

Soit A un anneau euclidien et (a,b,c) A3 . Si a divise bc et est étranger avec b alors a divise c . ´zout, car si a et b sont étrangers, on peut choisir (u, v) A 2 Cela résulte du théorème de Be tels que ua + vb = 1A et alors uac + vbc = c . Donc si a divise bc , a divise aussi c (A est un anneau commutatif). On peut appliquer notamment ces théorèmes dans les anneaux euclidiens Z et K [X ] (K corps commutatif ). ´ ements inversibles de Z/nZ ( n N∗ ) :  El´

∈

∈

∈

Pour qu’un entier relatif m soit tel que sa classe modulo n , soit inversible dans l’anneau Z/nZ il faut et il suffit qu’il existe un entier relatif u tel que mu 1 [n] , c’est a` dire qu’il ´zout existe un couple (u, v) Z2 tel que mu + nv = 1 . On déduit du théorème de Be que les éléments inversibles de Z /nZ sont les classes des entiers relatifs étrangers avec n . Ce sont aussi les générateurs du groupe additif Z/nZ . Si Z/pZ est un anneau intègre non nul, sa caractéristique p est, par définition, un nombre premier c’est a` dire n’admettant pour seuls diviseurs distincts, dans Z , que 1 et p . Si p un entier naturel premier, alors tout entier naturel de [[ 1, p 1 ]] est par définition étranger avec p et admet ainsi une classe modulo p qui est inversible dans Z/pZ . Les éléments non nuls de l’anneau Z/pZ étant inversibles cet anneau est un corps. Comme tout corps commutatif est un anneau int` egre, on en déduit le

∈





≡

−

± ±



Th´ eor` eme

Il y a équivalence, pour tout entier p  2 , entre les trois assertions : (i) Z/pZ est un anneau intègre (ii) p est un nombre premier (iii) Z/pZ est un corps c www.klubprepa.net Page 12 Michel Lepez EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eservés. Sauf autorisation, la repro duction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites.





Soit p un entier naturel premier. Puisque Z/pZ est un corps, l’ensemble G p de ses éléments non nuls est un groupe multiplicatif de cardinal p 1 . Il résulte du théorème du I.4 que pour tout a G p , a p−1 = 1Z/pZ . Cela équivaut a` dire que a p = a puisque Z/pZ est un anneau intègre. Ce résultat est connu sous le nom de

−

∈

§

Th´ eor` eme de Fermat

Pour tout entier naturel premier p et tout entier relatif x , x p

− x est divisible par p .

On peut également partitionner G p en les paires a , a−1 (a = a −1 ) et les deux singletons 1Z/pZ , 1Z/pZ : En effet, Z/pZ étant int` egre, les seules solutions dans Z/pZ de l’équation (x 1)(x + 1) = OZ/pZ sont 1Z/pZ et cette équation est équivalente a` l’équation x = x−1. Il en résulte que a = 1Z/pZ . Or a est la classe modulo

{

} {−

p de



−

{

}

 ± −

a∈Gp

k = ( p

k∈[[ 1 , p−1 ]]

} 



a∈Gp

− 1)! . On a donc obtenu le résultat connu sous le nom de

Th´ eor` eme de Wilson

Pour tout entier naturel premier, ( p

− 1)! + 1 est divisible par p .

D´ ecomposition en produit de facteurs premiers D´ efinition

On dit qu’un élément a de A est premier (ou extrémal) s’il engendre un idéal maximal parmi les idéaux de A distincts de A , c’est a` dire si tout idéal de A distinct de A et contenant Aa est égal a` Aa . On sait que tous les id´ eaux de l’anneau euclidien A sont de la forme Ab . Il revient donc au même de dire que a est un élément premier de A ou que tout diviseur de a non inversible dans A est multiple de a par un élément inversible dans A . Proposition

Dans un anneau euclidien, tout élément non inversible admet un diviseur premier . En effet, s’il n’en était pas ainsi, il existerait un élément a 0 non inversible de l’anneau euclidien A sans diviseur premier : On pourrait construire par récurrence sur n N une suite strictement croissante (Aan )n∈N (pour la relation d’inclusion) d’idéaux de A tous strictement contenus dans A . Mais alors I = Aan est un idéal de A par croissance de la suite (Aan)n∈N et, comme A



n∈N

∈





est euclidien, il existe b I tel que I = Ab . En notant N un entier tel que b Aa N on aurait n  N , I = Ab = Aa n ce qui contredit la stricte croissance de la suite (Aan)n∈N .

∀



∈

∈

En conséquence, l’ensemble des éléments premiers d’un anneau euclidien est infini. En effet si l’ensemble des éléments premiers de l’anneau euclidien A était fini, l’élément a = 1A + p n’aurait aucun diviseur premier dans A .



P

p∈P






Existence d’une d ´ ecomposition en produit de facteurs premiers :

Soit a un élément non inversible de l’anneau euclidien A : D’après ce qui précède, il existe un diviseur premier p1 de a dans A : Soit α1 le quotient de a par p1 . Si α1 est inversible, on stoppe le procédé. Sinon on choisit un diviseur premier p 2 de α 1 et on note α2 le quotient de α1 par p2 . Si α2 est non inversible on peut poursuivre le procédé. On crée ainsi par récurrence sur n une suite ( pi )i∈[[ 1 , n ] de diviseurs premiers de a et une suite strictement croissante (Aαi )i∈[[ 1 , n ] d’idéaux de A tels que i [[ 1 , n ]] αi−1 = p i αi (on pose α0 = a). Cette construction récurrente doit s’arrêter a` un rang n o` u αn est inversible, sinon elle se poursuit indéfiniment avec une suite strictement croissante (Aαn )n∈N d’idéaux de A : Or on a vu à la fin du point précédent qu’une suite croissante d’idéaux de A était nécessairement stationnaire a` partir d’un certain rang. On a donc montré l’existence d’un entier n N∗ et d’une suite ( pi )i∈[[ 1 , n ] de diviseurs

∀ ∈

∈

n

premiers de a et d’un élément inversible λ dans A tels que a = λ



pi .

i=1



Unicit´ e :

On vient de voir l’existence d’une décomposition de a en produit de facteurs premiers qui, si on regroupe les facteurs premiers identiques (l’anneau A est commutatif), prend r

la forme a = λ



pαi i où λ est inversible et les p i sont des diviseurs premiers de a deux à

i=1

deux distincts et les αi sont des entiers naturels non nuls. Si maintenant p αi est un diviseur de a tel que α soit un entier strictement supérieur a α ` i , r

alors, par intégrité de A , pi serait un diviseur du produit



α

p j j étranger avec chacun

j =1 j =i

des facteurs de ce produit : cela est contraire au théorème de Gauß. Il en résulte que α i est l’unique entier maximum parmi les entiers α tels que pα divise a . De plus si p est un diviseur premier de a il doit être, a` un facteur multiplicatif inversible près, l’un des p i : en effet si tel n’était pas le cas, l’élément premier p serait étranger avec chacun des pi et alors p ne pourrait diviser aucun produit des pi (par le théorème de r

Gauß), en particulier p ne pourrait diviser λ

−1

a =



pαi i . Il en résulte le

i=1

Th´ eor` eme

Tout élément non inversible a d’un anneau euclidien admet une décomposition en r

produit de facteurs premiers distincts de la forme a = λ



pαi i où λ est inversible.

i=1

Dans cette décomposition les entiers r et αi sont uniques, et les éléments premiers pi sont définis a` un élément multiplicatif inversible près.



´ ements algébriques d’une algèbre sur un corps commutatif Partie III : El´

´ ements alg´ El´ ebriques d’une alg` ebre sur un corps commutatif

III III.1

Polynˆ ome minimal d’un ´ el´ ement d’une alg` ebre de dimension finie

Soit K un corps commutatif et E une K -algèbre. Pour un élément donné a de E on considère l’application Φa : K [X ] E de l’anneau des polynômes a` une indéterminée sur K vers E ,

−→ n

  

ak X k associe l’élément de E obtenu en rempla¸cant l’indéterminée

qui à tout polynˆ ome P =

k=0 n

X par a : Φa (P ) = P (a) =

ak ak . On vérifie que Φa est un morphisme de K -algèbres.

k=0

L’image de Φa est la plus petite sous-algèbre de E contenant K a : elle est notée k K [a] . C’est aussi le sous-K-espace vectoriel de E engendré par (a )k∈N . eal de l’anneau K [X ] constitué des polynômes P annulant a .  Le noyau de Φa est l’id´ Lorsqu’il existe un polynôme non nul P K [X ] annulant a on dit que a est algébrique sur K , sinon on dit que a est transcendant sur K . On a donc les équivalences 

∪ { }

∈

a est transcendant sur K 

⇐⇒ Ker Φ = {0} ⇐⇒ Φ est injectif . a

a

Si K [a] (ou E ) est de dimension finie en tant que K -espace vectoriel, alors Φa n’est pas injectif (puisque K [X ] est de dimension infinie) et a est algébrique sur K . Inversement, si a est algébrique sur K , il existe un polynô me non nul P de K [X ] de degré d tel que Φa (P ) = P (a) = 0 . Pour tout b K [a] il existe Q K [X ] tel que b = Q(a) . En effectuant la division euclidienne de Q par le polynô me non nul P , on peut écrire Q = DP + R où D et R sont dans K [X ] e t do R < d . Alors b = Q(a) = D(a)P (a) + R(a) = R(a). Ainsi b appartient au K -espace K d−1 [a] engendré par a0 = 1E , a , , ad−1. Dès lors K [a] = K d−1 [a] est de dimension finie au plus d . On a donc la caractérisation suivante des éléments algébriques :





∈

∈

  ···  

Th´ eor` eme

Pour tout élément a d’une K -algèbre : a est algébrique sur K

⇐⇒ la K -algèbre

Im Φa = K [a] est de dimension finie.

Lorsque a est algébrique sur K , l’idéal non nul KerΦa de l’anneau euclidien K [X ] est de la forme K [X ]P a où P a est l’unique polynˆ ome unitaire de degr´ e minimum parmi ceux des polynˆ omes unitaires annulant a . On dit que P a est le polynôme minimal de a . La preuve précédente montre que le degré d a de P a est la dimension de K [a] et plus précisément la famille (ak )k∈[[ 0 , da −1 ] est une base de K [a] .  Si a est un ´ elément algébrique d’une algèbre intègre E , le polynôme minimal P a de a est irréductible en produit de polynˆ omes de degré strictement inférieur a` da = do P a , si bien que P a est premier dans l’anneau euclidien K [X ] .






Si P KerΦa est premier, alors il existe λ K tel que P = λP a et pour tout Q K [X ] tel que Q(a) = 0 , les polynˆ omes P et Q sont étrangers (sinon leur pgcd serait P a et Q serait divisible par P a ce qui exigerait Q(a) = 0). Le théorème de B´ ezout assure l’existence d’un couple (U , V ) K [X ]2 tel que P a U +QV = 1 si bien que Φa (P a U +QV ) = Q(a)V (a) = 1 . Tout élément non nul Q(a) de l’anneau K [a] est ainsi inversible et K [a] est un corps.

∈





∈



∈



∈







Si K [a] est un corps, lorsque a = 0 il existe Q K [X ] tel que aQ(a) = 1 et alors P = X Q 1 est un polynˆ ome non nul de K [X ] annulateur de a . Donc a est algébrique sur K et K [a] est une algèbre intègre de dimension finie sur K .

−



∈

On a donc montré le théorème suivant : Th´ eor` eme

Soit a un élément d’une K -algèbre. Les conditions suivantes sont équivalentes ( i) K [a] est une algèbre intègre de dimension finie sur K ( ii) Il existe un polynˆ ome premier (i.e irréductible) dans K [X ] annulant a ( iii) K [a] est un corps.

III.2

Extension alg´ ebrique d’un corps commutatif

D´ efinition

Soit K un corps commutatif et L un corps commutatif contenant K . On dit que L est une extension algébrique de K lorsque tout élément de L est algébrique sur K . On dit que cette extension est finie lorsque L est un K -espace vectoriel de dimension finie. On note alors [L : K ] la dimension du K -espace vectoriel L et on dit que c’est le degré de L sur K . 



Par exemple le corps C = R[i] = R R i est une extension algébrique finie de R R[X ] d´ de degr´ e 2 puisque tout complexe z est racine du polynˆ ome P z efini par 2 2 P z = X (z + z )X + z .

⊕

−

∈

||

D’une fa¸con générale, considérons un élément algébrique a d’une K -algèbre intègre. Le théorème précédent montre que K [a] est un corps. De plus, puisque a est algébrique sur K , K [a] est de dimension finie, si bien que pour tout b K [a] , K [b] est une sousalgèbre de dimension finie de K [a] et ainsi par le théorème de caractérisation des éléments algébriques, b est algébrique sur K . Alors le corps K [a] est une extension algébrique finie du corps K et, d’après le paragraphe précédent, son degré est celui du polynˆ ome minimal annulateur de a .

∈



On montre que l’ensemble des nombres réels algébriques sur Q est dénombrable. Le corps etant indénombrable n’est pas une extension algébrique de Q . R ´

Proposition

Lorsque les corps K K 1 K 2 sont tels que K 1 soit une extension algébrique finie de K et K 2 une extension algébrique finie de K 1 , alors K 2 est une extension algébrique finie de K et [K 2 : K ] = [K 2 : K 1 ][K 1 : K ] .

⊂ ⊂




En effet, si a K 2 , K 1 [a] est un K 1 -espace vectoriel de dimension finie, et comme K 1 est un K -espace de dimension finie, K 1 [a] est de dimension finie sur K et a est algébrique sur K . K 2 est donc bien une extension alg´ ebrique de K . En outre, K 2 est isomorphe, en tant que [K 2 :K 1 ] K 1 espace vectoriel a` K 1 et K 1 est isomorphe en tant que K -espace vectoriel a` K [K 1 :K ] . Comme une application K 1 -linéaire est aussi K -linéaire, on en déduit que K 2 est isomorphe (en [K 2 :K 1 ] tant que K -espace) a` K [K 1:K ] . Le degré de K 2 sur K est la dimension de ce K -espace, c’est a` dire [K 2 : K 1 ][K 1 : K ] .

∈

 



√ −

Par exemple K 1 = Q[ 2] est une extension algébrique de Q de degré 2 (le polynˆ ome 2 minimal de 2 est X 2). Le réel 3 n’est pas élément de K 1 (car une égalité Q2 exigerait, par ´ Q et 3 = a + b 2 avec (a , b) elévation au carré, que ab 2 3 comme 2 / Q on aurait ab = 0 et alors 3 ou serait carré d’un rationnel ce qui est 2 exclu). Donc K 1 [ 3] est une extension algébrique de K 1 de degré 2 (le polynˆ ome minimal 2 de 3 est X 3). Ainsi K 2 = K 1 [ 3] = Q[ 2][ 3] est une extension algébrique de Q de degr´ e 2.2 = 4 . En outre, le r´ e el α = 2 + 3 K 2 est racine du polynôme 2 2 2 −2 4 2 P = (X α )(X α ) = X 10X + 1 qui est irréductible sur Q . Il en résulte que Q[α] est une extension alg´ ebrique de Q de degré 4, incluse dans l’extension K 2 elle aussi de degré 4, donc K 2 = Q[ 2][ 3] = Q[α] .

√

√

√ √ √ ∈ √

√

√

−

−

−

√ ∈

∈

√ √

−

√ √ √ √ ∈



Lorsque K 1 est une extension alg´ ebrique finie de K de base (αi )i∈[[ 1 , p ] et K 2 une extension alg´ ebrique finie de K 1 de base (β j ) j∈[[ 1 , q ]] on vérifie sans difficulté que (αi β j )(i,j)∈[[ 1 , p ]] × [ 1 , q ] est une base de K 2 sur K .



Soient K et L deux corps commutatifs tels que K L . Lorsque x et y sont deux éléments de L algébriques sur K , la sous-K-algèbre K [x][y] de L engendrée par x, y est un corps d’après le second théorème du III.1. Il en résulte que l’ensemble K (L) des éléments de L qui sont algébriques sur K est un sous-corps de L qui est le plus grand des sous-corps de L qui soit une extension algébrique de K : On dit que K (L) est la clˆ oture algébrique de K dans L . La clôture algébrique de K (L) dans L est K (L) : en effet si a L est

⊂

§

C

n

n

annulé par le polynˆ ome P = X +

 i=1

C C

C

λi X n−i

∈C

K (L)[X ]

∈

alors a est algébrique sur le

corps K  = K [λ1 ] [λn ] qui est une extension algébrique finie de K et il en résulte que K  [a] est une extension algébrique finie de K et donc a K (L) .

· ··



∈C

Par exemple la clôture algébrique de Q dans C est une extension algébrique de Q qui n’est pas finie : c’est ce que l’on appelle le corps des nombres algébriques. C est la clˆ oture algébrique de R dans C et c’est une extension finie de R de degré 2.

Th´ eor` eme de d’Alembert-Gauss C est algébriquement clos, c’est a` dire que toute extension alg´ ebrique de C est égale a` C ou encore, tout polynˆ ome de C[X ] de degr´ e au moins 1 a toutes ses racines dans C .

Pour obtenir ce résultat, il suffit de montrer qu’un polynˆ ome P C [X ] qui n’a aucune racine dans C est nécessairement constant. Considérons un polynˆ ome P C[X ] sans racine dans C : 2π 1 1 C définie par f (r) = alors la fonction f : R+ dθ est de classe ∞ sur R+ 2π 0 P (r eiθ )

−→



∈ ∈



C




et, en dérivant par rapport a` r sous le signe d’intégration, ∗

∀ r ∈ R

+



,

f (r) =

−

1 2π

   2π

P 

P 2

0

iθ

iθ

(r e ) e dθ =

−

  

1 1 (r eiθ ) 2iπr P

θ=2π

= 0. θ=0

La fonction continue f sur R+ , ayant une dérivée nulle sur l’intervalle R∗+, est constante de 1 valeur non nulle f ( 0) = Or si le polynôme P est non constant, il existe une constante P (0) 1 M M R+ telle que z C ,  où d = do P  1 . Ceci exigerait que d z P (z )

∈

∀ r ∈ R

∀ ∈

+

,

|f (r)| =



·

  | | | | | | 1

P (0)

|



1 2π

2π

0

1 dθ P (r eiθ )

|



M rd

−−−−−→ 0 r→+∞

ce qui est impossible .


M-CO-GRO-MLZ.pdf

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