KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr Wr..Wb Puji syukur syukur kami panjatkan panjatkan ke hadirat Allah Allah Subhanahu Subhanahu wata’ala, wata’ala,
karena karena berkat
rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan makalah makalah yang yang berjudul “ Aljabar Linear Elementer”. Makalah ini merupakan rangkuman dari buku “Aljabar inear !lementer” karya "#ward Ant#n. Makalah Makalah ini ini diajukan guna memenuhi tugas mata kuliah Aljabar inear !lementer. $ami mengu%apkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga makala makalah h ini dapat dapat diseles diselesaik aikan an sesuai sesuai dengan dengan waktuny waktunya. a. Makala Makalah h ini masih masih jauh jauh dari dari sempurna. &leh karena itu kami mengharapkan kritik dan saran yang bersi'at membangun demi kesempurnaan makalah ini.
Sem#ga makalah ini memberikan in'#rmasi bagi masyarakat dan berman'aat untuk pengembangan ilmu pengetahuan bagi bagi kita semua. Wassalamu’alaikum Wr Wr.. Wb
batam, ( juni )*+
Penyusun
arpandi
Aljabar Linear Elementer
DAFTAR DAFTAR ISI I SI
$AA P!NANA/ ..................................................................................... ..................................................................................... 0A1A/ 2S2 .................................................................................................
A I ! PENDA"#L#AN +.+ AA/ AA/ 3!A$AN.............................. .................................. ................ .......... ........... ..... +.) 454AN................................. .................................. ................................ ...... +.6 M!&0! P!N42SAN.....................................................................
A II ! SISTE$ PERSA$AAN LINEAR DAN $ATRIKS ).+ S2S!M P!/SAMAAN 2N!A/.................................... .......................... ... .............................................................................................................................. ).) !2M2NAS2 A4SS..................... ................................. ..................... .............. ............. .......... .... .............................................................................................................................. ).6 S2S!M P!/SAMAAN 2N!A/ "&M&!N....................... ..................... .............................................................................................................................. ).7 MA/2$S MA/2$S 0AN &P!/AS2 MA/2$S................................................ MA/2$S................................................ ......... ....... .. .............................................................................................................................. ). A4/AN-A4/AN 4/AN-A4/AN 2M4 "24N MA/2$S................................ MA/2$S................................ ......... ...... ... .............................................................................................................................. ).8 MA/2$S MA/2$S !!M!N!/ 0AN M!&0! M!&0! 4N4$ M!N9A/2 A M!N9A/2 A-1............ .............................................................................................................................. ).: "AS2 "AS2 S!AN54 S!AN54N; N;A A M!N!N M!N!NA2 A2 S2S!M S2S!M P!/SAMA P!/SAMAAN AN 0AN $!!/3A2$AN........................................................................................ ......................................................................................................................
A III ! DETER$INAN 6.+ 14NS2 0!!/M2NAN.................................... ............................ ............. ...... ......... .............................................................................................................................. 6.) M!N"24N 0!!/M2NAN 0!NAN /!04$S2 3A/2S.................. .............................................................................................................................. 6.6 S21A S21A-S21A -S21A 14NS2 0!!/M2NAN.............................................. .......... ....... ... .............................................................................................................................. 6.7 !$SPANS2 !$SPANS2 $&1A$&/< $&1A$&/< A4/AN 9/AM!/.................... 9/AM!/.......................... ............. ............. .......... .... ..............................................................................................................................
A I% ! %EKT&R'%EKT&R DI R#ANG'( DAN R#ANG') 7.+ =!$&/ >!&M!/2$?...................................... .................................. ..... .............................................................................................................................. 7.) N&/MA =!$&/< 2M4 "24N =!$&/............................ ............. ....... ........ .. .............................................................................................................................. 7.6 "AS2 $A2 22$< P/&;!$S2....................... .............................. ............ ...... ...... .............................................................................................................................. 7.7 "AS2 $A2 S2AN............................... ................................. ............... ......... ......... ... .............................................................................................................................. Aljabar Linear Elementer
A % ! R#ANG'R#ANG %EKT&R .+ /4AN @ n !49202S................................................................................ .............................................................................................................................. .) /4AN =!$&/ 4M4M......................... ................................. ................. ............. .... .............................................................................................................................. .6 S43-/4AN ............................... ................................. .................... ............. ............. ........... ..... .............................................................................................................................. .7 $!3!3ASAN 2N!A/..................................... ........................ ............. ...... ............. ...... ..............................................................................................................................
A %I ! PEN#T#P................................................................... 0A1A/ P4SA$A ....................................................................................................
Aljabar Linear Elementer
A I PENDA"#L#AN
*.*LATAR ELAKANG 3anyak #rang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak #rang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. &leh karena itu kami membuat maka makalah lah ini ini deng dengan an maks maksud ud memb memban antu tu pema pemaham haman an masy masyara araka katt agar agar mere mereka ka tida tidak k meni menila laii Matematika adalah sesuatu yang buruk.
*.(T#+#AN Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar inear !lementer, yang diberikan #leh d#sen kami 2bu Musriana, S. Pd. 0an tujuan berikutnya adalah sebaga sebagaii sumber sumber in'#rm in'#rmasi asi yang yang kami kami harapk harapkan an berma berman'a n'aat at dan dapat dapat menamb menambah ah wawasa wawasan n para para pemba%a makalah ini.
*.)$ET&DE PEN#LISAN Penulis menggunakan met#de #bserasi dan kepusatakaan. 9ara yang digunakan dalam penulisan adalah Stu,i -ustaka . 0alam met#de ini penulis memba%a buku-buku yang berkaitan dengan penulisan makalah ini, selain itu penulis juga men%ari sumber-sumber dari internet.
Aljabar Linear Elementer
A II SISTE$ PERSA$AAN LINEAR DAN $ATRIKS (.* SISTE$ PERSA$AAN LINIER
Definisi : Suatu sistem yang memiliki m persamaan dan n variabel.
( Bilangan yang tidak diketahui ).
+ a )+ x+ +
+ ... + a )) x ) + ... +
= a ) n x n =
a++ x+
a m+ x+
+
a+) x )
a m ) x )
+ ... +
a+n x n
a mn x n
=
b+ b) bm
SP mempunyai m persamaan dan n ariable. Matris yang diperbesar (augmented matrix)
a++ a )+ a m+
a+) ... a )) ...
am)
a+n
b+
a)n
b)
a mn bm
/nt/0 1 Aljabar Linear Elementer
+ 6 x ) = 7 6 x+ + 7 x ) = ) x+
[
2 3
3 4
4 5
]
S#lusi > Peme%ahan ? SP, di bagi menjadi ), yaitu B +. $#nsisten • S#lusi unggal • S#lusi 3anyak ). idak $#nsisten /nt/0 1 S/lusi Tun22al
g1=2 x −3 y = 6 g2=3 x + y = 4 banyak persamaan = banyak variabel m=n
/nt/0 1 S/lusi anyak
g+ C )D - 6y C 8 g) C )D @ 6y C8 m E n /nt/0 1 Ti,ak K/nsisten
g 1=2 x − 3 y = 6 g 2=2 x − 3 y = 8 0 =−2
* C $#nstanta
(.( ELI$INASI GA#SS Pada bagian ini kita akan memberikan pr#sedur yang sistematik untuk meme%ahkan sistemsistem persamaan linear< pr#sedur tersebut didasarkan kepada gagasan untuk mereduksi matriks yang Aljabar Linear Elementer
diperbesar menjadi bentuk yang %ukup sederhana sehingga sistem persamaan tersebut dapat dipe%ahkan dengan memeriksa sistem tersebut.
[
1
0
01
0
1
02
0
0
13
]
Matriks di atas adalah %#nt#h matriks yang dinyatakan dalam bentuk eselon baris terreduksi (reduced row-echelon form) . Supaya berbentuk seperti ini, maka matriks tersebut harus mempunyai
si'at-si'at berikut. +. 5ika baris tidak terdiri seluruhnya dari n#l, maka bilangan takn#l pertama dalam baris tersebut adalah +. >$ita namakan + utama?. ). 5ika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari n#l, maka semua baris seperti itu dikel#mp#kkan bersama-sama di bawah matriks. 6. 0alam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari n#l, maka + utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari + utama dalam baris yang lebih tinggi. 7. Masing-masing k#l#m yang mengandung + utama mempunyai n#l di tempat lain. Matriks yang memiliki si'at-si'ar +,) dan 6 dapat dikatakan dalam bentuk eselon baris (rowechelon form).
3erikut ini adalah beberapa %#nt#h matriks dalam bentuk sesel#n baris terreduksi.
[
1
0
0 4
0 0
1 0
0 7 1 −1
[ ] 0 1 −2 0 1 00 0 13
] [ ] 1
0
0
0 0
1 0
0 1
00 0 00 00 0 00
[ ] 0 0
0 0
Matriks-matriks berikut adalah matriks dalam bentuk esel#n baris.
[
1
2
39
0 0
1 0
56 12
] [ ] [ 1
1
0
0
1
260
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
120 001
]
idak sukar untuk memantau apabila matriks dalam bentuk esel#n baris harus mempunyai n#l di bawah setiap + utama. 3ertentangan dengan hal ini, matriks dalam bentuk esel#n baris terreduksi harus mempunyai n#l di atas dan di bawah masing-masing + utama.
Aljabar Linear Elementer
Pr#sedur untuk meredusi matriks menjadi bentuk esel#n baris terreduksi dinamakan eliminasi Gauss-Jordan, sedangkan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk esel#n baris dinamakan eliminasi Gauss.
9#nt#h +B Pe%ahkanlah dengan menggunakan eliminasi auss-5#rdan. D+
F 6D)
@ )D6
)D+
F 8D)
@ D6
@ )D7
D6
F +*D7
)D+
F 8D)
F )D F 7D
F (D7
C* @ 6D8
C @+
F +D8 C F 7D
F +(D8 C 8
Maka matriks yang diperbesar dari sistem tersebut adalah
[
1 2
3 6
−2 0 −5−2
2 4
0 0 − 3− 1
0 2
0 6
5 10 0 8
0 4
15 5 18 6
]
0engan menambahkan -) kali baris perta ma pada baris kedua dan keempat maka akan mendapatkan
[
1 0 0 0
3 0 0 0
−2 0 −1−2
2 0 0 0
5 10 4 8
0 0 −3 −1 15 5 18 6
]
0engan mengalikan dengan -+ dan kemudian menambahkan - kali baris kedua kepada baris ketiga dan -7 kali baris kedua kepada baris keempat maka akan memberikan
[
1 0
3 0
−2 0
0 0
0 0
1 2
2 0
00 31
0 0 0 0
0 0
00 62
]
Aljabar Linear Elementer
0engan mempertukarkan baris ketiga dengan baris keempat dan kemudian mengalikan baris ketiga dari matriks yang dihasilkan dengan +G8 maka akan memberikan bentuk esel#n baris
[
1 0
3 0
−2 0 1 2
2 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 1 3 1 1 3 0 0
]
0engan menambahkan -6 kali baris ketiga pada baris kedua dan kemudian menambahkan ) kali baris kedua dari matriks yang dihasilkan pada baris pertama maka akan menghasilkan bentuk esel#n baris terreduksi
[
1 0
3 0
−2 0 1 2
2 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 1 1 3 0 0
]
Sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian adalah D+
F 6D)
F 7D7 D6
F )D
C*
F )D7
C* 1
D8
C
3
0engan meme%ahkannya untuk peubah peubah utama, maka kita dapatkan D+ C @ 6D ) @ 7D7 @ )D D6 C @ )D 7 1
D8 C
3
5ika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r , s, dan t berurutan untuk D ), D7, dan D , maka himpunan peme%ahan tersebut diberikan #leh rumus-rumus
Aljabar Linear Elementer
1
D+ C @ 6r @ 7 s @ )t , D) C r , D6 C @ ) s , D7 C s , D C t , D8 C
3
erkadang lebih mudah meme%ahkan sistem persamaan linear dengan menggunakan eliminasi auss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi ke dalam bentuk esel#n baris tanpa meneruskannya ke bentuk esel#n baris terreduksi. 3ila hal ini dilakukan, maka sistem persamaan persamaan yang bersesuaian dapat dipe%ahkan dengan sebuah %ara yang dinamakan substitusi balik (back-substitution). $ita akan melukiskan met#de ini dengan menggunakan sistem persamaan-
persamaan pada %#nt#h +. 0ari perhitungan dalam %#nt#h +, bentuk esel#n baris dari matriks yang diperbesar tersebut adalah
[
1 0
3 0
−2 0 1 2
2 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 1 1 3 0 0
]
4ntuk meme%ahkan sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian D+
F 6D)
@ )D6 D6
F )D F )D7
C* F 6D8
C+ 1
D8
C
3
maka kita mempr#sesnya sebagai berikut B Lan2ka0 *.
Pe%ahkanlah persamaan-persamaan tersebut untuk peubah-peubah utama.
D+ C @ 6D ) F )D6 @ )D D6 C + @ )D 7 @ 6D8 1
D8 C
3
Aljabar Linear Elementer
Lan2ka0 (.
Mulailah dengan persamaan bawah dan bekerjalah ke arah atas, substitusikan se%ara keseluruhan masing-masing persamaan ke dalam semua persamaan yang di atasnya. 1
0engan mensubstitusikan D 8 C
3
ke dalam persamaan kedua maka akan menghasilkan
D+ C @ 6D ) F )D6 @ )D D6 C @ )D 7 1
D8 C
3
0engan mensubstitusikan D 6 C @ )D 7 ke dalam persamaan pertama maka akan menghasilkan D+ C @ 6D ) @ 7D7 @ )D D6 C @ )D 7 1
D8 C
3
Lan2ka0 ).
etapkanlah nilai-nilai sebarang pada setiap peubah tak utama.
5ika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r , s, dan t berurutan untuk D ), D7, dan D , maka himpunan peme%ahan tersebut diberikan #leh rumus-rumus 1
D+ C @ 6r @ 7 s @ )t , D) C r , D6 C @ ) s , D7 C s , D C t , D8 C
2ni sesuai dengan peme%ahan yang diper#leh pada %#nt#h +.
(.) SISTE$ PERSA$AAN LINIER "&$&GEN Aljabar Linear Elementer
3
Sebuah sistem persamaan-persamaan linier dikatakan 0/m/2en jika semua suku k#nstan sama dengan n#l< yakni sistem tersebut mempunyai bentuk a++D+ F a+)D) F HHF a+nDn C * a)+D) F a))D) F HHF a)nDn C * B
B
B
B
am+D+ F am)D) F HHF amnDn C * iap-tiap sistem persamaan linier h#m#gen adalah sistem yang k#nsisten, karena D + C *, D ) C *, H.., Dn C * selalu merupakan peme%ahan. Peme%ahan terebut, dinamakan pemecahan trivial (trivial solution)< jika ada peme%ahan lain, maka peme%ahan tersebut dinamakan pemecahan taktrivial (nontrivial solution) .
$arena sistem persamaan linier h#m#gen harus k#nsisten, maka terdapat satu peme%ahan atau tak terhingga banyaknya peme%ahan. $arena salah s atu di antara peme%ahan ini adalah peme%ahan triial, maka kita dapat membuat pernyataan berikut. 4ntuk sistem persamaan-persamaan linier h#m#geny, maka persis salah satu di antara pernyataan berikut benar. 1. Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial. ). Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan tak trivial sebagai tambahan terhadap pemecahan trivial tersebut . erdapat satu kasus yang sistem h#m#gennya dipastikan mempunyai peme%ahan tak triial < yakni, jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak bilangan tak diketahui dari banyaknya persamaan. 4ntuk melihat mengapa hanya demikian, tinjaulah %#nt#h berikut dari empat persamaan dengan li ma bilangan tak diketahui. /nt/0 1
Pe%ahkanlah sistem persamaan-persamaan linier h#m#geny berikut dengan menggunakan eliminasi auss-5#rdan. )I F )I) @ I6
F I
C*
-I+ @ I) F )I6 @ I7 F I C * I+ F I) @ )I6 - I
C*
I6 F I7 F I
C*
Aljabar Linear Elementer
MatriD yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah
[
2 −1
2 −1
1 0
−1
0 −3
2
−2
1 0
0 1
1
1 1
0 0
−1
0 0
1
]
0engan mereduksi matriks ii menjadi bentuk esel#n baris tereduksi, maka kita dapatkan
[
1 0
1 0
0 1
0 0
1 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
]
Sistem persamaan yang bersesuaian adalah I+ F I) F I C * I6 F I C * I7 C * 0engan meme%ahkannya untuk peubah-peubah utama maka akan menghasilkan I+ C -I) @ I I6 C -I I7 C * Maka himpunan peme%ahan akan di berikan #leh I+ C -s @ t,
I) C s,
I6 C -t ,
I7 C *,
I C t
Perhatikan bahwa peme%ahan triial kita dapatkan bila s C t C *.
(.3$ATRIKS DAN &PERASI $ATRIKS $atriks Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. 3ilangan-bilangan dalam
susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Aljabar Linear Elementer
a11 a12 a21 a22 a13=¿ a1 n a23=¿ a2 n AC
¿
↓ am 1
↓ am 2
↓ am 3=¿ amn
↓
¿
¿ ¿
¿
&-erasi $atriks *. Penjumla0an 1 De4inisi 1 jika A dan 3 adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A F
3 adalah matriks yang di per#leh dengan mena mbahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat di tambahkan. AC
[ ] [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ ] [ ] a c
b d
a b c d
AF3C
F
1 4
9#nt#h B A C
4 5
AF3C
e g
, 3 C
3 5
f h
e g
f h
C
, 3 C
3 1
a+ e c+ g
4 3
b + f d +h
, 9 C
]
[ ] 1
3
4
2
3
1
3
4
5
7 8
Sedangkan A F 9 dan 3 F 9 tidak di de'inisikan. (. Perkalian ,en2an k/nstanta De4inisi 1 5ka A adalah suatu matriks dan % adalah s%alar, maka hasil kali %A adalah matriks yang diper#leh dengan mengalikan masingCmasing entri dari A #leh %. %
[ ] [ a c
b d
9#nt#h B A C
C
ca cc
cb cd
]
[ ] 1
3
4
2
3
1
3
4
5
, maka )A C
[
2
6
8
4
6
2
6
8
10
]
). Perkalian5 ,en2an syarat Am 6 n n 6 / 7 m 6 / De4inisi 1 5ika A adalah matriks m D r dan 3 matriks r D n, maka hasil kali A3 adalah matriks
m D n yang entri- entrinya ditentukan sebagai berikut. 4ntuk men%ari entri dalam baris 2 dan k#l#m j dari A3, pilihlah baris i dari matriks A dan k#l#m j dari matriks 3. $alikanlah entri-
Aljabar Linear Elementer
entri yang bersesuaian dari baris dan k#l#m tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan. AC
A3 C
[ ] [] [ ][ ] [ ] [ ] [] [] a b c d a c
b e d f
C
1 4
3 5
9#nt#h B A C
A3 C
e f
,3C
ae + bf ce + df
3
, 3 C
2
9 22
Trans-/se De4inisi 1 5ika A adalah sebarang matriks m D n, maka ransp#s A dinyatakan #leh A t dan
dide'inisikan dengan matriks n D m yang k#l#m pertmanya adalah baris pertama dari A, k#l#m keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juaga dengan k#l#m ketiga adalah baris ketiga dari A, dan seterusnya. AC
[ ] [ ] [ ] [ a b c d e f g h i
9#nt#h B A C
→ At C
2
6
8
4
6
2
6
8
10
a d b e c f
g h i
→ At C
2
4
6
6
6
8
8
2
10
]
(.8 AT#RAN'AT#RAN IL$# "IT#NG $ATRIKS Jalaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku juga untuk matriks, namun terdapat beberapa penge%ualian. Salah satu dari penge%ualian yang terpenting terjadi dalam perkalian matriks. 4ntuk bilangan-bilangan rill a dan b, kita selalu mempunyai ab C bayang sering dinamakan hukum kmutati! untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks-matriks, maka AB dan BA tidak perlu sama. /nt/0 (9
injaulah matriks-matriks
B
+ = 6
Aljabar Linear Elementer
)
− +
*
*
)
6
A =
0engan mengalikannya maka akan memberikan
6 − 6
BA =
8
AB
*
− + − ) = ++ 7
5adi, AB BA
Te/rema (. Den!an men!an!!ap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian sehin!!a operasi-operasi "an! ditun#ukkan dapat dipera!akan$ maka aturan-aturan ilmu hitun! matriks berikut akan shahih. (a) A : B % B & A ('ukum komutatif untuk penambahan) (b) A & (B & ) % (A & B) : ('ukum asosiatif untuk penambahan) (c) A(B) % (AB) ('ukum asosiatif untuk perkalian) (d) A(B & ) % AB & A ('ukum distributif) (e) (B & )A % BA & A ('ukum distributif) (f) A(B - ) % AB A (!) (B - )A % BA A (h) a(B & ) % aB& a (i) a(B - ) % aB a (#) (a & b) % a & b (k) (a - b) % a b (l) (ab) % a(b) (m) a(B) % (aB) % B(a)
/nt/0 (*
Sebagai gambaran hukum as#siati' untuk perkalian matriks, tinjaulah
+ A = 6 *
)
" = + ) + 7
*
B
6
7 = )
6
+
$emudian
Aljabar Linear Elementer
+ = 6 *
7 )
)
+ 7 AB = 6 * +
)
+ 7
6
+
Sehingga
( > AB?" = )* )
+* = 7
K +
6 )
+( +6 = 78 + 7
+
+ 6 )
6K
*
7 B" = 6 )
*
6
6
+ Sebaliknya
+( = 78 7
+
+ 6K A> B" ? = 6 * 6
)
+ 7
Maka
+* 7
K
6
5adi, (AB)" # A(B"), seperti yang dijamin #leh e#rema )(c). Te/rema ). $engan menganggap bah%a ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian rupa sehingga perasi-perasi yang ditun&ukkan dapat dikabulkan, maka aturan-aturan ilmu hitung matriks yang berikut akan shahih. (a) A & * % * & A % A A l j a (b) b aA r LAi %n *e a r E l e m e n t e r (c) * A % -A (d) A* % *+ *A % *
Te/rema 3. Setiap sistem persamaan linear tidak mempunyai pemecahan, persis satu pemecahan, atau tak terhingga banyaknya pemecahan.
Bukti. 5ika A' # B adalah sistem persamaan linear, maka persis satu dari antara berikut akan benarB >a? sistem tersebut tidak mempunyai peme%ahan, >b? sistem tersebut mempunyai persis satu peme%ahan, atau >%? sistem tersebut mempunyai lebih dari satu peme%ahan. 3ukti tersebut akan lengkap jika kita dapat memperlihatkan bahwa sistem tersebut mempunyai takhingga banyaknya peme%ahan dalam kasus >%?.
A =
a++ a )+
a+ )
a+6
a) )
a) 6
/nt/0 ()
injaulah matriks
a = ++ a )+
a+ ) a) )
a+ 6
= A a ) 6
a
a
a
a
a
a
++
+)
)+
))
+6
)6
+ * = ( A ) * + Maka
a = ++ a )+
a+) a) )
+ * a+6 = A a) 6 *
* + *
*
a a a A( 6 = ++ +) +6 + a )+ a ) ) a ) 6 *
0an
De4inisi. 5ika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat men%ari matriks B sehingga AB # BA # , maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A.
/nt/0 (3 Aljabar Linear Elementer
) − B + 6 −
A =
6 = +
) Matriks
adalah iners dari
+ = *
*
6 = ( + +
AB
)
) − = −+ 6 karena
BA =
6 +
+ = ) *
*
)
= ( − + +
− 6 dan
Te/rema 8. ika baik B maupun " adalah invers matriks A, maka B # "
Bukti. $arena B adalah iners A, maka BA # . 0engan mengalikan kedua ruas dari sebelah kanan dengan " maka akan memberikan (BA)" # " # . etapi (BA)" # B(A") # B # B, sehingga B # ". /nt/0 (;
A =
a c
b
d injaulah matriks )D)
b d − ad − bc ad − bc = a − c ad − bc ad − bc 5ika ad bc * +, maka
A −+
=
d − b ad − bc − c a +
Aljabar Linear Elementer
Te/rema ;. ika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama, maka
(a) AB dapat dibalik −+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
Bukti. 5ika kita dapat memperlihatkan bahwa (AB)(A B ) # (B A )(AB)#, maka kita telah
Sebuah hasil kali matriks yang dapat dibalik selalu dapat dibalik, dan invers hasil kali tersebut adalah hasil kali invers dalam urutan yang terbalik −+
se%ara serempak membuktikan bahwa AB dapat dibalik dan bahwa (AB) −+
−+
−+
A ) # AA
−+
# AA
−+
−+
# . 0emikian juga (B A )(AB) # .
/nt/0 (<
: 8 B K (
AB =
6 = )
)
A =
)
+ +
)
6 injaulah matriks-matriks
0engan menerapkan rumus yang diberikan dalam %#nt#h ), kita dapatkan
7 − 6 + − + −+ = AB −+ = B 6 − ) − + 6 A −+ = − K : ) ) ) −+ +
Aljabar Linear Elementer
−+
# B A
−+
. etapi (AB)(B
Maka, (AB)-1 # B-1 A -1 seperti yang dijamin #leh Te/rema ;. De4inisi. 5ika A adalah sebuah matriks kuadrat, maka kita mende'inisikan pangkat pangkat bilangan bulat tak negatie A menjadi A* % ,
An % AA.A
(n *)
Fa=t/r n
Akan tetapi, jika A dapat dibalik, maka kita mende'inisikan pangkat bilangan bulat negatie menjadi A-, % (A-, )n % A-, A-, .. A-, Fa=t/r n
e#rema berikut, yang kita nyatakan tanpa bukti, menunjukkan bahwa hukum-hukum yang sudah dikenal dari eksp#nen adalah shahih. Te/rema <. ika A adalah matriks kuadrat dan r serta s adalah bilangan bulat, maka Ar As % Ar&s
r s (A ) % Ars
e#rema selanjutnya menetapkan beberapa si'at tambahan yang berguna dari eksp#nen matriks tersebut. Te/rema >. 5ika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, makaB a? A-, dapat dibalik dan (A -, )-, % A b? An dapat dibalik dan (A n )-, % (A-, )n untuk n % *$,$/$.. c) 0ntuk setiap skalar k "an! taksama den!an nol$ maka kA dapat dibalik dan
+ k -,
(kA) %
A-,
Bukti. a. $arena AA-1 # A-1 A # , maka A-1 dapat dibalik dan (A-1 )-1 # A. b. @ %. 5ika k adalah sebarang s%alar yang taksama dengan n#l, maka hasil (l) dan (m) dari e#rema ) akan memungkinkan kita untuk menuliskan
Aljabar Linear Elementer
+ A −+ k (kA)
+ k
( kA) A −+ = k AA −+ = (+) ( = ( +
k
#
+ A −+ k
+ k
A −+
-1
0emikian juga (kA) # sehingga kA dapat dibalik dan (kA) # . $ita simpulkan bagian ini dengan sebuah e#rema yang menyenaraikan si'at-si'at utama dari #perasi transp#se.
Te/rema @. ika ukuran matriks seperti perasi yang diberikan dapat dilakukan, maka t t a. (A ) # A b. (AB)t # At Bt c. (kA)t # kAt , dimana k adalah sebarang scalar. d. (AB)t # Bt At
4ranspose sebuah hasil kali matriks sama den!an hasil kali transposn"a dalam urutan kebalikann"a.
(.; $ATRIKS ELE$ENTER DAN $ET&DE #NT#K $ENARI A '* 0ibawah ini kita da'tarkan matriks elementer dan #perasi-#perasi yang menghasilkannya.
+ * * *
+ * * − 6 >i?
$etika baris kedua 0 dengan -6
*
*
*
*
*
+
*
+
+
*
* *
>ii?
Pertukarkan baris kedua dan baris keempat dari /
+ * *
>iii?
* + *
6
+ * *
+ *
*
*
+
*
*
+
>i?
ambahkan tiga kali baris ketiga dari pada baris pertama
$alikan baris pertama dari dengan 2
4eorema ,* : ika matriks elementer dihasilkan dengan melakukan sebuah perasi
baris tertentu pada m dan &ika A adalah matriks m x n, maka hasil kali A adalah matriks yang dihasilkan bila perasi baris yang sama ini dilakukan pada A.
1perasi baris pada 2 "an! men!hasilkan 3
Aljabar Linear Elementer
1perasi baris pada 3 "an! men!hasilkan 2
1
$alikanlah baris dengan c * +. Pertukarkan baris dan baris &. ambahkan % kali baris ke baris &.
$alikanlah baris 2 dengan
c
Pertukarkan baris i dan baris &. ambahkan @ % kali baris i ke baris &.
&perasi-#perasi d ruas kanan dari tabel ini dinamakan operasi invers dari #perasi-#perasi yang bersesuaian di ruas kiri.
Te/rema ** : Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah &uga matriks elementer.
3ukti. 5ika adalah matriks elementer, maka dihasilkan dari peragaan #perasi baris pada . Misalnya adalah matriks yang dihasilkan bila iners #perasi ini diterapkan pada . 3aris iners akan saling meniadakan e'ek satu sama lain, maka diper#leh # dan
#
5adi, matriks elementer adalah iners dari . A 2 C 2 A-+ /nt/0 1
+ * ) − + 7 +
)
( 6
A-+ C . . . L
AC 5awab B
A 2C
C
[
1
0
21
0
0
2
−1
30
1
0
4
1
80
0
1
0
2
1
[
1 0 0
− 1 − 1 −2 1 0 −4
]
3aris ke ) dikurang ) kali baris pertama dan baris ke 6 dikurang 7 kali baris pertama untuk mendapatkan n#l.
0
0
1 0
0 1
]
Aljabar Linear Elementer
3aris ke ) ditukar baris
[
C
[
C
[
C
1
0
2
0
1
0
−1
1
0
2 1
0
1
0
0
1
1 2
1
−4 − 1 −2 0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
−1
0
−4
0
0
1
]
1
0
2 1
0
1
0
0
0
1 6
− 1 −1
2
A-+
−4
0
]
3aris ke 6 dikalikan @ baris ke 6, untuk mendapatkan + utama.
3aris ke 6 dikurangi mendapatkan n#l.
baris
ke
)
untuk
]
(.< "ASIL SELAN+#TNA $ENGENAI SISTE$ PERSA$AN DAN KETERALIKAN 4eorema ,5 : ika A adalah matriks n x n yang dapat dibalik,maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1, sistem persamaan A' # B mempunyai persis satu pecahan, yakni, ' # A -1 B.
AI C 3 I C
B A
2. 3C 3
−1
A.
A . B
⏟
A. I I
C 3
C 3 C A-+ . 3
I.AC3 I...L
Aljabar Linear Elementer
5awabB 3.2C3
B. A
−1
⏟
I
. A C 3
.A C 3 I
C 3 . A-+
A III DETER$INAN
Aljabar Linear Elementer
).* F#NGSI DETER$INAN 0alam bagian ini kita memulai pengkajian 'ungsi bernilai rill dari sebuah peubah matriks, yakni 'ungsi yang mengas#siasikan sebuah bilangan riil
f ( x ) dengan sebuah matriks X . Sebelum
kita mampu mende'inisikan 'ungsi determinan, maka kita perlu menetapkan beberapa hasil yang menyangkut permutasi.
Definisi : 6ermutasi bilangan-bilangan bulat
{ 1,2, … , n }
adalah susunan bilangan-
bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghasilkan atau mengulangi /nt/0 1
Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat
{ 1,2,3 }
. Permutasi-
permutasi ini adalah >+, ), 6?
>), +, 6?
>6, +, )?
>+, 6, )?
>), 6, +?
>6, ), +?
Salah satu met#de yang mudah se%ara sistematis menda'tarkan permutasi-permutasi adalah dengan menggunakan pohon permutasi (permutation tree). /nt/0 1
1
( j
2
3
3
2
1
3
2 1
3
1
2
3
1
2
1
4ntuk menyatakan permutasi umum dari himpunan
{ 1,2, … , n }
, j 2, … , j n )
. 0isini,
j 1
, maka kita akan menuliskan
adalah bilangan bulat pertama dalam permutasian,
j 2
adalah
bilangan bulat kedua, dan seterusnya. Sebuah invers (inversion) dikatakan terjadi dalam permutasi
( j
1,
j2 ,… , j n )
jika sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan bulat yang
lebih ke%il. 5umlah iners seluruhnya yang terjadi dalam permutasi dapat diper#leh sebagai berikutB
Aljabar Linear Elementer
+? 9arilah banyaknya bilangan bulat yang lebih ke%il dari
j 1
dan yang membawa
j 1
j 2
dan yang membawa
j 2
dalam mutasi tersebut. )? 9arilah banyaknya bilangan bulat yang lebih ke%il dari dalam mutasi tersebut. eruskanlah pr#ses penghitungan ini untuk
j 3 ,…, j n−1
. 5umlah bilangan-bilangan ini akan
sama dengan jumlah iners seluruhnya dalam permutasi tersebut. /nt/0 1
entukanlah banyaknya iners dalam permutasi-permutasi berikut a? >6, 7, +, , )? b? >7, ), , 6, +? 5awabB a? 3anyaknya iners adalah ) F ) F * F + C b? 3anyaknya iners adalah 6 F + F ) F + C : Definisi : sebuah permutasi dinamakan !enap (even) &ika ¨ah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang genap dan dinamakan !an#il (odd) &ika ¨ah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang gan&il.
/nt/0 1
abel berikut mengklasi'ikasikan berbagai permutasi dari
Permutasi >+, ), 6? >+, 6, )? >), +, 6? >), 6, +? >6, +, )? >6, ), +?
anyaknya I nBers * + + ) ) 6
{ 1,2,3 }
sebagai genap atau ganjil.
Klasi4ikasi enap anjil anjil enap enap anjil
Fun2si Determinan De4inisi 1 misalkan A adalah matriks kuadrat. 1ungsi determinan dinyatakan #leh det, dan kita
de'iniskan det>A? sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A jumlah det>A? kita namakan determinan A. /nt/0 8
Aljabar Linear Elementer
det
det
[
[
a11 a12 a21 a22
]
a11 a 22−a12 a21
C
a11 a12 a21 a22
a13 a23
a31 a32
a33
]
a11 a 22 a33 + a12 a23 a31+ a13 a 21 a32
C
−a13 a 22 a31− a12 a21 a33−a 11 a23 a32 9aranya sebagai berikut B
[
a11 a12 a21 a22
[
]
a11 a12 a21 a22 a31 a32
]
a13 a11 a 12 a23 a21 a 22 a33 a31 a 32
0engan mengalikan entri-entri pada panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali entri-entri pada panah yang mengarah ke kiri. 9#nt#h 8 "itunglah determinan-determinan dari B A. C
3. C
[
[
3 4
1 −2
]
1
2
3
−4
5 −8
6 9
7
]
0engan menggunakan %ara dari %#nt#h maka B det>A? C >6?>-)? @ >+?>7? C -+* dengan mnggunakan %ara dari %#nt#h maka B det>A? C >7? F >(7? F >K8? @ >+*? @ >-7(? @ >-:)? C )7* Per0atian bahwa met#deG%ara yang digunakan pada %#nt#h dan 8 tidak berlaku determinan matriks 7 D 7 atau untuk matriks yang lebih tinggi.
).( $ENG"IT#NG DETER$INAN DENGAN RED#KSI ARIS Te/rema * 1 &ika A adalah sembarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nl, maka det (A) # + Aljabar Linear Elementer
Matriks kuadrat kita namakan se!iti!a atas (upper trian!ular) jika semua entri di bawah diag#nal utama adalah n#l. 3egitu juga matriks kuadrat kita namakan se!iti!a bawah (lower trian!ular), jika semua entri di atas diag#nal utama adalah n#l. Sebuah matriks baik yang merupakan
segitiga atas maupun segitiga bawah kita namakan se!iti!a (trian!ular). /nt/01
Sebuah matriks segitiga atas 7
× 7 yang umum mempunyai bentuk
a11 a12 a13 a14 0 a22 a23 a24 0 0
a33 a34 0 a 44
0 0
Sebuah matriks segitiga bawah 7
a11 0 a21 a 22
× 7 yang umum mempunyai bentuk
0 0 0 0
a31 a32 a33 0 a41 a 42 a 43 a 44
4eorema / : &ika A adalah matriks segitiga
n ×n , maka det (A) adalah hasil kali
/nt/01
[
1
−2
0
0 0
1 0
−1 7
]
7 + . + . : C :
4eorema 5: Misalkan A adalah sembarang matriks
a) ika A
'
n ×n .
adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan leh knstanta k,
maka det ( A )
'
# k det(A).
A l j a b a' r L i n e a r E l e m e n t e r ' ika A adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det A
( )
-
#
/nt/0 1
AC
A 1
[ ] 1
2
3
0
1
4
1
2
1
C
[
C - )
¼
4
8
12
0 1
1 2
4 1
]
C7
$arena #perasi perkalian maka kebalikannya dikali
[ ] 1
2
3
0 1
1 2
4 1
C 7 . >-)? C -(
[ ] 0
A 2
C
1
4 ditukar
1
2
3
1
2
1
C
[ ]
−¿
1
2
3 $arena
0
1
4
1
2
1
pertukaran antar baris
maka dikali
−¿
.
C - >-)? C)
A 3
C
[
1
2
−2 −3 1
2
3 2 1
]
C
[ ] 1
2
3
0
1
4
1
2
1
C -) /nt/0 1
AC
[ ] 1
3
2
6
−2 4 −4 8
3
9
1 5
1
1
4 8
Aljabar Linear Elementer
$arena pertambahan antar baris maka tidak berpengaruh.
[ ]
0et >A? C
1 0
3 0
−2 4
3 1
9 1
1 5 4 8
0 0
$ita tidak memerlukan reduksi selanjutnya karena dari e#rema + kita per#leh bahwa det >A? C *. 0ari %#nt#h ini seharusnya sudah jelas bahwa bila matriks kuadrat mempunyai dua baris yang terdiri dari bilangan n#l dengan menambahkan kelipatan yang sesuai dari salah satu baris ini pada baris yang satu lagi. 5adi, #ika matriks kuadrat mempun"ai dua baris "an! sebandin!$ maka determinann"a sama den!an nol.
/nt/0 1
[
−1 −2
4 8
]
$arena baris pertama dan kedua sebanding yaitu + B ) maka det >A? C *.
).) SIFAT'SIFAT F#NGSI DETERE$INAN
t e#rema 7. uka A adalah sembarang matiks kuadrat, maka det (A) %det (A ).
Pernyataan. $arena hasil ini, maka hampir tiap-tiap te#rema mengenai determinan yang mengandung perkataan baris dalam pernyataannya akan benar juga bila perkataan “k#l#m” disubstitusikan untuk “baris”. 4ntuk membuktikan pernyataan k#l#m, kita hanya perlu mentransp#s >memindahkan? matriks yang di tinjau untuk mengubah pernyataan k#l#m tersebut pada pernyataan baris, dan kemudian menerapkan hasil yang bersesuaian yang sudah kita ketahui untuk baris. /nt/0
"itunglah determinan dari
AC
Aljabar Linear Elementer
[
1 2
0 7
0 7
6 3
0 0 3 1
3 6 0 −5
]
0eterminan ini dapat di hitung seperti sebelumunya dengan menggunakan #perasi baris elementer untuk mereduksi A pada bentuk eel#n baris. Sebaliknya, kita dapat menaruh A pada bentuk segitiga bawah dalam satu langkah dengan menambahkan -6 kali k#l#m pertama pada k#l#m keempat untuk mendapatkan
0et >A? C det
[
1 2
0 7
0 7
6 3
0 0 3 1
0 0 0 −26
]
C>+?>:?>6?>-)8?C -78
9#nt#h ini menunjukkan bahwa selalu merupakan hal yang bijaksana untuk memperhatikan #perasi k#l#m yang tepat yang akan meringkaskan perhitungan tersebut. Misalkan A dan 3 adalah matriks-matriks n x n dan k adalah sebarang skalar. $ita karang meninjau hubungan yang mungkin di antara det>A?, det>3?, dan det>k A?, det>A F 3?, dan det>A3? karena sebuah 'akt#r bersama dari sebarang baris matriks dapat dipindahkan melalui tanda det, dan karena setiap baris n baris dalam k A mempunyai 'a%t#r bersama sebesr k, maka kita dapatkan det>kA) C k n det>A?
Te/rema 8. Misalkan A, A’, dan A” adalah matiks n D n yang hanya berbeda dalam garis tunggal, katakanlah baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A” dapat diper#leh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke r dari A dan dalam baris ke r dari A’. Maka ,etCA? 7 ,et CA? : ,et CA’?
"asil yang serupa berlaku untuk k#l#m-k#l#m itu.
/nt/0
0engan menghitung determinan, anda dapat memeriksa bahwa
+ ) + + * det
: * 7 ++
6 : + >−+?
+ det ) +
C
: * 7
+ det ) *
: 6
: * +
6 − +
F
e#rema 8. 5ika A dan 3 adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka ,etCA? 7 ,etCA?,etC? Aljabar Linear Elementer
/nt/0
injaulah matriks-matriks
A =
6 )
+
+
− +
6
B =
AB
(
) = 6
+:
+7
$ita per#leh det>A? det>3? C >+? >-)6? C -)6. Sebaliknya dengan perhitungan langsung maka det>A3? C -)6, sehingga det>A3? C det>A? det>3?.
e#rema :. Sebuah matriks A kuadrat dapat di balik jika dan hanya jika ,etCA? 9 /nt/0
$arena baris pertama dan baris ketiga dari
+ A = + )
)
6
8
* + 7
Sebanding, maka det>A? C *, jadi A tidak dapat dibalik
).3 EKSPANSI K&FAKT&R AT#RAN RA$ER Pada bagian ini kita meninjau sebuah met#de untuk mengitung determinan yang berguna untuk perhitungan yang menggunakan tangan dan se%ara te#ritis penting penggunaannya. Sebagai k#nsekuensi dari kerja kita di sini, kita akan mendapatkan rumus untuk iners dari matriks yang dapat dibalik dan juga akan mendapatkan rumus untuk peme%ahan sistem-sistem persamaan linear tertentu yang dinyatakan dalam determinan. De4inisi 1 5ika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri ai# dinyatakan #leh 7 i# dan dide'inisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i dan k#l#m ke & di%#ret dari A. 3ilangan (-,)i & #7 i# dinyatakan #leh i# dan dinamakan kofaktor entri ai# .
Aljabar Linear Elementer
9#nt#h B Misalkan
A =
[
3
1
−4
2
5
6
1
4
8
]
Min#r entri a11 adalah
|
M 11
| | |=
3
1
−4
2
5
6
1
4
8
=5 4
6 8
16
$#'akt#r a11 adalah " 11 C >-+? + F + M 11 C M 11 C +8 0emikian juga, min#r entri a0 adalah
|
M 32
||
3
1
−4
2
5
6
1
4
8
|
= 3 −4 =26 2
6
$#'akt#r a0 adalah " 0 C >-+?6 F ) M 0 C M 0 C @ )8 Perhatikan bahwa k#'akt#r dan min#r elemen ai& hanya berbeda dalam tandanya, yakni, " i& C O M i&. 9ara %epat untuk menentukan apakah penggunaan tanda F atau tanda @ merupakan kenyataan bahwa penggunaan tanda yang menghubungkan " i& dan M i& berada dalam baris ke i dan k#l#m ke & dari susunan
¿ ⋯ ⋯
+¿−¿+¿−¿+¿−¿+¿−¿ ⋮ −¿+¿ ⋮ + ¿−¿ ⋮ −¿+¿+¿−¿−¿+ ¿ ⋮ +¿−¿ ⋮ ⋯ ⋯
¿ Misalnya, " 11 C M 1+, " 01 C @ M 0+, " 10 C @ M 10, " 00 C M 00, dan seterusnya. injaulah matriks 6 D 6 umum Aljabar Linear Elementer
¿
a11 a 12 a13 a21 a 22 a23 a31 a 32 a33
A =
( A )=¿ a11 a22 a33+ a12 a 23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a12 a21 a33 – a11 a23 a32 de ¿
dapat kita tuliskan kembali menjadi
a
(¿ ¿ 22 a33−a 23 a32 )+ a21 ( a13 a32−a12 a33)+ a31( a12 a 23 – a13 a 22) ( A ) =¿ a11 ¿ de ¿ $arena pernyataan-pernyataan dalam kurung tidak lain adalah k#'akt#r-k#'akt#r 9 ++, 9)+ dan 96+, maka kita per#leh
( A )=¿ a11 ! 11+ a21 ! 21+ a31 ! 31 de ¿ Persamaan di atas memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada k#l#m pertama A dengan k#'akt#r-k#'akt#rnya dan menambahkan hasil kalinya. Met#de menghitung det> A? ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang k#l#m pertama A. 9#nt#h B Misalkan
A =
[
3
1
−2 −4 5
4
0 3
−2
]
"itunglah det> A? dengan met#de ekspansi k#'akt#r sepanjang k#l#m pertama A.
6emecahan.
|
de ( A )=3
−4 4
| | || |
3 −(−2 ) 1 −2 4
0 + 5 1 − 2 −4
Aljabar Linear Elementer
0 3
¿ 3 (−4 ) −(−2 ) (−2 ) + 5 ( 3 )=−1
( A )=¿ a11 ! 11+ a12 ! 12+a 13 ! 13 de ¿
¿ a11 ! 11+ a21 ! 21+ a31 ! 31 ¿ a21 ! 21+ a22 ! 22+ a23 ! 23 ¿ a12 ! 12+ a22 ! 22+ a32 ! 31 ¿ a31 ! 31+ a32 ! 32+ a33 ! 33 ¿ a13 ! 13 + a23 ! 23 + a33 ! 33 Perhatikan bahwa dalam setiap persamaan semua entri dan k#'akt#r berasal dari baris atau k#l#m yang sama. Persamaan ini dinamakan ekspansi-ekspansi kofaktor det> A?. "asil-hasil yang baru saja kita berikan untuk matriks 6 D 6 membentuk kasus khusus dari te#rema umum berikut, yang kita nyatakan tanpa memberikan buktinya.
Te/rema >.
0eterminan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris >atau k#l#m? dengan k#'akt#r-k#'akt#rnya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan< yakni untuk setiap + 3 i 3 n dan + 3 & 3 n
Maka, ekspansi kofaktor sepan#an! kolom ke #
( A )=¿ a1 j ! 1 j + a2 j ! 2 j + a3 j ! 3 j + … + anj ! nj de ¿
dan ekspansi kofaktor sepan#an! baris ke i
( A )=¿ ai 1 ! i1 + a i 2 ! i2 + a i3 ! i3 + … + a¿ ! ¿ de ¿
Aljabar Linear Elementer
5ika matriks A adalah sebarang matriks n x n dan " i& adalah k#'akt#r ai&, maka matriks
[
! 11 ! 21
! 12 ! 22
⋮
⋮
! n 1 ! n 2
⋯ ! 1 n ⋯ ! 2 n ⋯
⋮
! nn
]
0inamakan matriks kofaktor A. ransp#s matriks ini dinamakan ad#oin A dan dinyatakan dengan adj> A?.
Te/rema @.
5ika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka 1
−1
A =
de ( A )
adj ( A )
Te/rema *9 (Aturan ramer)
5ika A' # B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n bilangan takdiketahui sehingga det> A? *, maka sistem tersebut mempunyai peme%ahan yan unik. Peme%ahan ini adalah de ( A 1) de ( A 2) de ( A n) x 1= , x 2= , … , x n= de ( A ) de ( A ) de ( A ) dimana A& adalah matriks yang kita dapatkan dengan mengganti entri-entri dalam k#l#m ke & dari A dengan entri-entri dalam matriks
B=
b1 b2 ⋮
Aljabar Linear Elementer
A I% %EKT&R'%EKT&R DI R#ANG'( DAN R#ANG') 3.*
%EKT&R CGE&$ETRIK? =ekt#r A atau ekt#r u
B u
A adalah titik awal (intial point) adalah titik terminal (terminal point)
A
%ekt/r EkiBalen
B u
D
v
A
u ekialen B
Apabila arah dan panjangnya sama.
C
5adi u C B
Penjumla0an %ekt/r
v
w
B F C F B
w
v %ekt/r N/l
+
F B C B F * C B
%ekt/r Ne2ati4 B F >'B? C * Pen2uran2an %ekt/r
Aljabar Linear Elementer
u -u
B @ C B F >'?
-w
v-w -w
v w
K/m-/nen Bekt/r ,i Ruan2'( u C >u+, u)? B C >+, )? K/m-/nen Bekt/r ,i Ruan2') u C >u+, u), u6? B C >+, ), 6? Penjumla0an u F B C >u*5 u(? F >B*5 B(?
Ruang-2 C >u* : B*, u( : B(? u F B C >u* F B*, u( F B(, u) F B)?
/uang-6
/nt/01
5ika B C >+, -)? dan C >:, 8? maka B F C L 5awabB B F C >+, -)? F >:, 8?
C >+ F :, -) F 8? C >(, 7?
Aljabar Linear Elementer
Pen2uran2an u @ B C >u*, B*? @ >u(, B(?
Ruang-2 C >u* @ B*, u( @ B(? u @ B C >u* @ B*, u( @ B(, u) @ B)?
/uang-6
/nt/01
5ika u C >:, 8? dan B C >6, )?, maka u @ B C L 5awabB u @ B C >:, 8? @ >6, )?
C >: @ 6, 8 @ )? C >7, 7? Gambar titik P C'(5 )5 3?
z
! (-2" 3" #) y
x
Aljabar Linear Elementer
3.( N&R$A %EKT&R IL$# "IT#NG %EKT&R
$e%rema 1. &ika u" " dan ' adala ect%r-ekt%r di ruang-2 atau ruang-3 dan k erta l adala calar" maka u*+*u (u * ) * ' + u *( * ') (lu) + (kl)u u*,+,*u+u (u * ) + ku *k u * (-u) + , (k*l)u + ku * lu 1u + u
Panjang sebuah e%t#r sering dinamakan n#rma dan dinyatakan dengan
‖v‖
. 5elaslah dari
te#rema phytag#ras bahwa n#rma e%t#r C > +, )? di ruang-) adalah
‖v‖= √ v 21 +v 22
Misalkan C > +, ), 6? adalah e%t#r ruang-6. 0engan menggunakan gambar 6.+8 dan dua penerapan phytag#ras, maka kita dapatkan
‖v‖= ( ¿ ) 2+ ( #$ )2
!(/1" /2" /3)
C >&Q? ) F >&S? ) F >/P? )
y ,
0 x
= 4 +) + 4 )) + 4 6)
4 R
Aljabar Linear Elementer
=
4 +)
+ 4 )) + 4 6)
ambar 6.+8
6 + ( x+ , y+ , 5 + ) 5ika
6 )
= ( x ) , y ) , 5 ) )
dan
adalah dua titik di ruang-6, maka jarak d diantara kedua titik
tersebut adalah n#rma e%t#r P +P) , karena
p+ p )
= ( x) − x+ , y ) − y+ , 5 ) − 5 + )
Maka jelas bahwa
d =
( x ) − x+ ) ) + ( y ) − y+ ) ) + ( 5 ) − 5 + ) )
3.) "ASIL KALI TITIK PR&EKSI Pada bagian ini kita perkenalkan sema%am perkalian ekt#r di ruang-) dan ruang-6. Si'at-si'at ilmu hitung perkalian ini akan ditentukan dan beberapa penerapannya akan diberikan. Misalnya u dan B adalah dua ekt#r takn#l di ruang-) dan ruang-6,dan anggaplah ekt#r-ekt#r ini telah dil#kasikan sehingga titik awalnya berimpit. ;ang kita artikan dengan su,ut ,i antara u ,an B, dengan sudut 7 yang ditentukan #leh u dan B yang memenuhi * R 7 R
u u
u
v
v
v
De4inisi 1 5ika u dan adalah ekt#r-ekt#r di ruang-) atau ruang-6 dan T adalah sudut di antara u dan , maka hasil kali titik >d#t pr#du%t? atau hasil kali dalam !u%lidis >!u%lidean inner pr#du%t? u U dide'inisikan #leh
{
% &v = ‖%‖‖v‖cos 0
jika % ( 0 danv( 0 jika % =0 danv =0
Aljabar Linear Elementer
Misalkan u C >u1 , u0 , u? dan B C >v1 , v0 , v? adalah dua ekt#r takn#l. 5ika, seperti pada gambar dibawah, T adalah sudut di antara u dan B, maka hukum %#sinus menghasilkan 2 2 2 ‖ ⃗ $)‖ =‖%‖z+‖v‖ − 2‖%‖‖v‖cos
! (u1" u2" u 3)
u
0 (1" 2" 3) y
v
xx
$arena
$) C B @ u, maka dapat kita tuliskan kembali sebagai
‖%‖‖v‖cos = 1 (‖%‖2 +‖v‖2−‖v −%‖2) 2
atau
% &v =
1
(‖%‖ +‖v‖ −‖v −%‖ ) 2 2
2
2
0engan mensubstitusikan
‖%‖2=%21 + %22 + %23
‖v‖2= v 21+ v 22+ v 23
dan 2
‖v −%‖ =( v −% ) +( v − % ) +( v −% ) 2
1
1
2
2
2
2
3
3
Maka setelah menyederhanakannya akan kita dapatkan
% &v =%1 v 1+ %2 v 2+ % 3 v 3
5ika u C >u1 , u0? dan B C >v1 , v0? adalah dua ekt#r di ruang-), maka rumus yang bersesuaian adalah
% &v =%1 v 1+ %2 v 2
5ika u dan B adalah ekt#r takn#l, maka rumus di atas dapat kita tulis
Aljabar Linear Elementer
%& v ‖%‖‖v‖
cos =
e#rema berikut ini memperlihatkan bagaimana hasil kali titik dapat digunakan untuk mendapatkan in'#rmasi mengenai sudut diantara dua ekt#r< te#rema ini juga menghasilkan hubungan penting di antara n#rma dan hasil kali titik. e#rema ) Misalkan u dan B adalah ekt#r di ruang-) atau ruang-6. 2
a? B B C
‖v‖
< yakni,
‖v‖
1
C
(v & v )2
b? 5ika u dan B adalah ekt#r-ekt#r takn#l dan T adalah sudut di antara kedua ekt#r tersebut, maka T lan%ipjika dan hanya jika u B V * T tumpul jika dan hanya jika u B E * T C G) jika dan hanya jika u B C * =ekt#r tegaklurus disebut juga ekt#r orto!onal. Pada te#rema di atas, dua ekt#r takn#l adalah tegaklurus jika dan hanya jika hasil kali titiknya adalah n#l. 5ika kita sepakat menganggap u dan B agar tegaklurus maka salah satu atau kedua ekt#r ini haruslah *, karenanya kita dapat menyatakan tanpa ke%uali bahwa baik ekt#r u maupun B akan #rt#g#nal jika dan hanya jika u U B C *.
e#rema 6 5ika u, B dan adalah ekt#r-ekt#r di ruang-) atau ruang-6 dan k adalah skalar, maka a? b? =? d?
uB7Bu u CB : ? 7 u B : u k Cu B? 7 Ck u? B 7 u C k B? B B H 9 jika B 9 dan B B 7 9 jika B 7 9
5ika u dan a ditempatkan sedemikian rupa maka titik awalnya akan menempati titik 8, kita dapat menguraikan ekt#r u sebagai berikut.
w2 Q
u
w1
a
Q
u
u
w2
a
Aljabar Linear Elementer
w1
w1
w2
Q
a
urunkanlah garis tegaklurus dari atas u ke garis yang melalui a, dan bentuklah ekt#r + dari 8 ke alas garis yang tegaklurus tersebut. 3entuk selanjutnya akan menjadi ) C u @ +
Sebagaimana ditunjukkan pada gambar di atas, ekt#r + sejajar dengan a, ekt#r ) tegaklurus dengan a, dan + F ) C + F >u @ +? C u
=ekt#r + tersebut kita namakan pro"eksi orto!onal u pada a atau kadang-kadang kita namakan komponen vektor u sepan#an! a. "al ini kita nyatakan dengan pr#yau =ekt#r ) kita namakan komponen vektor u "an! orto!onal terhadap a. $arena ) C u @ + maka ekt#r ini dapat kita tulis sebagai ) C u @ pr#y au
e#rema 7 5ika u dan a adalah ekt#r-ekt#r di ruang-) atau ruang-6 dan jika a *, maka
pr+ya %=
%&a
‖a‖2
a
>k#mp#nen ekt#r u sepanjang a?
&
3ukti B Misalkan + C pr#yau dan ) C u @ pr#y au. $arena + sejajar dengan a, maka kita harus mengalikan skalar a, sehingga kita dapat menuliskan dalam bentuk + C k a. 5adi u C + F ) C k a F )
0engan mengambil hasil kali titik dari kedua sisi dengan a maupun dengan menggunakan te#rema ) dan 6 akan menghasilkan 2
% &a =( k a + *2 ) &a =k ‖a‖ + *2 & a
Namun
* 2 & a=0
karena ) tegaklurus kepada a, sehingga persamaan di atas menjadi
Aljabar Linear Elementer
k =
%& a 2
‖a‖
$arena pr#yau C + C k a, kita dapatkan
pr+ya %=
%& a 2
‖a‖
a
Sebuah rumus untuk panjang k#mp#nen ekt#r u sepanjang a dapat kita per#leh dengan menuliskan
‖ pr+ya %‖
‖ ‖ % &a
C
‖a‖2
| | % &a
C
C
a
2
‖a‖
% &a
‖a‖
|% &a| ‖a‖ 2 ‖a‖
>karena
2
‖a‖
adalah sebuah skalar?
2
>karena
‖a‖
V *?
menghasilkan
|% &a|
‖ pr+ya %‖= ‖a‖
5ika T menyatakan sudut antara u dan a, maka
% &a =‖%‖‖a‖cos , sehingga dengan
demikian rumus di atas dapat juga kita tuliskan menjadi
‖ pr+ya %‖=‖%‖|cos |
$emudian rumus untuk menghitung jarak antara titik dan garis adalah
=
|a x +b y + c| 0
0
√ a + b 2
2
Aljabar Linear Elementer
3.3 "ASIL KALI SILANG
0e'inisi B jika u C
( %1 ,% 2, % 3)
dan C
v (¿ ¿ 1 , v 2 , v 3) adalah e%t#r di ruang-6, maka hasil kai
¿
silang u D adalah e%t#r yang dide'inisikan #leh uDC
( %2 v 3−% 3 v 2 , %3 v 1−%1 v 3 , %1 v 2−%2 v 1)
atau dalam n#tasi determinan
(| | | | | |) % 2 %3
uDC
v2 v3
,−
%1 % 3 %1 % 2 , %1 v 3 v 1 v 2
erdapat p#la pada rumus di atas yang berguna untuk diingat. 5ika di bentuk matriks ) D 6.
[
%1 % 2 % 3 v1 v2 v3
]
0i mana entri baris pertama adalah k#mp#nen 'a%t#r pertama u dan entri baris kedua adalah k#mp#nen 'a%t#r , maka determinan dalam k#mp#nen pertama u D didapatkan dengan men%#ret k#l#m pertama matriks tersebut, determinan dalam k#mp#nen kedua kita dapatkan dengan men%#ret k#l#m kedua dari matriks tersebut, sedangkan determinan dalam k#mp#nen ketiga kita dapatkan dengan men%#ret k#l#m ketiga dari matriks tersebut. 9#nt#h + 9arilah u D , di mana u C >+, ), -)? dan C >6, *, +? 5awab
[
1 3
2 0
−2 1
] uDC
(| | | | | |) 2 0
−2 ,− 1 −2 , 1 1
3
1
3
2 0
C >), -:, 8?
e#rema . 5ika u dan adalah e%t#r di ruang-6, maka B a. u . >u D ? C * b. . >u D ? C * c. ll u D ll ) C ll u ll ll ll ) @ >u . ? )
Aljabar Linear Elementer
>u D #rth#g#nal ke u? >u D #rth#g#nal ke ? >identitas lagrange?
e#rema 8. 5ika u, dan w adalah sebarang ekt#r di ruang-6 dan k adalah sebarang s%alar, maka B a. b. %. d. e. '.
u D C - > D u? u D > F w? C >u D ? F >u D w? >u F ? D w C >u D w? F D w? k>u D ? C >ku? D C u D >k? uD*C*Du uDuC*
Misalkan B injaulah e%t#r-ekt#r B i C >+, *, *?, j C >*, +, *?, k C >*, *, +? Setiap e%t#r C > +, ), 6? di ruang ke-6 dapat di ungkapkan dengan i, j, dan k, karenanya kita dapat menuliskan C > +, ), 6? C +>+, *, *? F )>*, +, *? F 6>*, *, +? C +i F ) j F 6k dan dalam gambar berikut B z
k
(0, 0, 1)
i
(0, 1, 0)
dan dari gambar ini di dapat B y
iDjC
(1, 0, 0)
(| | | | | |) 0 1
0 1 ,− 0 0
0 1 , 0 0
0 1
C >*, *, +? C k
x
jika u dan adalah e%t#r-ekt#r takn#l di ruang-6, maka n#rma u D mempunyai ta'siran ge#metri% yang berguna. 2dentitas agrange, yang diberikan dalam te#rema , menyatakan bahwa B ll u D ll ) C ll u ll ) ll ll ) @ u . jika θ menyatakan sudut di antara u dan , maka u . C ll u ll ll ll %#s θ, sehingga dapat kita tuliskan kembali B ll u D ll ) C ll u ll) ll ll ) @ ll u ll ) ll ll ) %#s) θ C ll u ll ) ll ll ) >+ @ %#s ) θ? C ll u ll) ll ll) sin
A %
Aljabar Linear Elementer
R#ANG ! R#ANG %ET&R 8.* R#ANG'N E#LIDIS De4inisi 1 jika n adalah sebuah bilangan bulat p#siti', maka tupel-n-ter#rde >#rdered-n-tupel?
adalah sebuah urutan n bilangan riil >a +,a),HHH,an?. himpunan semua tupe-n-ter#rde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan / n . 3ila nC) atau 6, maka kita biasanya menggunakan istilah pasangan ter#rde dan tripel ter#rde dan bukannya tupel#-)-ter#rde dan tupel#-6-ter#rde. 3ila nC+, setiap tupel-n-ter#rde terdiri dari satu bilangan riil, sehingga / + dapat ditinjau sebagai himpunan bilangan riil. $ita biasanya menuliskan / dan bukannya / + untuk himpunan ini. 0e'inisi dua e%t#r u C >u +,u),H..,un? dan C > +,),H.,n?pada / n dinamakan sama jika 4+ C +, u) C ), H..,un C n 5umlah u F dide'inisikan #leh u F C >u + F +, u) F ),H.,un F n? dan jika k adalah sebarang s%alar, maka perkalian s%alar ku dide'inisikan #leh ku C >ku+, ku),H..kun? Te/rema *. 5ika u C >u +,u),H..,un? , C > +,),H.,n? dan w C >w +, w),H..,wn? adalah e%t#r-ekt#r
pada / n dan k serta l adalah s%alar, maka B a? b? %? d? e? '? g? h?
4FCFu 4 F > F w? C >u F ? F w 4F*C*FuCu 4 F >-u? C *, yakni u @ u C * $ >lu? C >kl? u $>u F ? C ku F k >k F l?u C ku F lu +u C u De4inisi. 5ika u C >u +,u),H..,un? dan C >+,),H.,n? adalah sebarang e%t#r pada / n, maka
hasil kali dalam eu%lidis >!u%lidean inner pr#du%t? u . kita de'inisikan dengan u. C u + + F u )) F H.. F un n /nt/0
"asil kali dalam eu%lidis dari e%t#r-ekt#r itu adalah
Aljabar Linear Elementer
u C >-+, 6, , :? dan C >, -7, :, *? Sedangkan / 7 adalah u. C >-+?>? F >6?>-7? F >:?>*? C +( Te/rema (. 5ika u, , dan w adalah e%t#r pada / n dan k adalah sebarang s%alar, maka B
a? b? %? d?
u.C .u >u F ? . w C u . w F . w >ku? . C k>u F . W *. Selanjutnya, . C * jika dan hanya jika C *
/nt/0 e#rema ) memb#lehkan kita melakukan perhitungan dengan hasil kali dalm eu%lidis yang
sangat merip dengan %ara kita melakukan perhitungan hasil kali ilmu hitung biasa. Misalnya, >6u F )? . >7u F ? C >6u? . >7u F ? F >)? . >7u F ? C >6u? . >7u? F >6u? . F >)? . >7u? F >)? . C +)>u . ? F 6>u . ? F (> . u? F )> . ? C +)>u . u? F ++>u . ? )> . ? 3erdasarkan anal#gi dengan rumus-rumus yang sudah kita kenal baik / )maupun / 6, kita de'inisikan n#rma eu%lidis >atau panjang eu%lidis? e%t#r u C >u +,u),H..,un? pada / n menurut
‖%‖=( % .% )1/ 2=√ %21 + %22 + … … .. + %2n 0emikian juga jarak eu%lidis diantara titik u C >u +,u),H..,un? dan titik C > +,),H.,n? pada / n dide'inisikan #leh
d (% , v )=‖% − v‖= √ ( %1 −v 1 ) + ( %2− v 2 ) + … + ( % n− v n) 2
2
2
/nt/0 )
5ika u C >+, 6, -), :? dan C >*, :, ), )? maka,
‖%‖=√ (1 )2 +( 3 )2+(−2)2 +(7 )2 =√ 63 =3 √ 7
√ (1− 0) +( 3−7 ) +(−2 −2) +( 7−2 ) =√ 58 2
0an d>u,? C
2
2
2
3agi e%t#r pada n#tasi erti%al, kita punyai rumus matriks tu C u . Aljabar Linear Elementer
untuk hasil kali dalam eu%lidis. Misalnya jika
[] [] −1
%=
3
dan v =
5 7
5 −4 7 0
Maka,
[] −1
[
% . v = v %= 5 − 4 7
0
]
3 5 7
=[ 18 ] =18
8.( R#ANG %EKT&R #$#$ De4inisi. Misalkan = sebarang himpunan benda yang dua #perasinya kita de'inisikan, yakni
penambahan dan perkalian dengan s%alar >bilangan riil?. Penambahan tersebut kita pahami untuk mengas#siasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan dalam =, yang mengandung elemen u F , yang kita namakan jumlah u dan < dengan perkalian s%alar kita artikan aturan untuk mengas#siasikannya baik untuk setiap s%alar k maupun setiap benda u pada = yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian s%alar >s%alar multiple? u #leh k. jika aksi#ma-aksi#ma berikut dipenuhi #leh semua benda u, , w pada = dan #leh semua s%alar k dan l, maka kita namakan = sebuah ruang e%t#r >e%t#r spa%e? dan benda @ benda pada = kita namakan e%t#r B +? )? 6? 7? ?
jika u dan adalah benda @ benda pada =, maka u F berada di = uFCFu u F > F w? C >u F ? F w ada sebuah benda * di = sehingga * F u C u F * C u untuk semua u di = untuk setiap u di =, ada sebuah benda @ u di = yang kita namakan negatie u sehingga u F >- u
8? :? (? K? +*?
? C >-u?Fu C * jika k adalah sebarang s%alar dan u adalah sebarang benda di =, maka ku berada di = $>u F ? C ku F k >k F l?u C ku F lu $ >lu? C >kl? u +u C u
Te/rema ). Misalkan = adalah sebuah ruang e%t#r, u sebuah e%t#r pada =, dan k sebuah
skalar, makaB a? *u C *
Aljabar Linear Elementer
b? $* C * %? >-+?u C -u d? 5ika ku C *, maka k C * atau u C *
8.) S#'R#ANG De4inisi 1 Subhimpunan J dari sebuah ruang e%t#r = dinamakan subruang >subspa%e? = jika
J itu sendiri adalah ruang e%t#r di bawah penambahan dan perkalian s%alar yang dide'inisikan pada =. Te/rema 3
5ika w adalah himpunan dari satu atau lebih e%t#r dari sebuah ruang e%t#r =, maka w adalah subruang dari = jika dan hanya jika k#ndisi-k#ndisi berikut berlaku. a? 5ika u dan adalah e%t#r-ekt#r pada , maka u F terletak di w b? 5ika k adalah sebarang s%alar dan u adalah sebarang e%t#r pada w, maka ku berada di w. /nt/0
Perlihatkanlah bahwa himpunan J dari semua matriks )D) yang mempunyai bilangan n#l pada diag#nal utamanya adalah subruang dari ruang e%t#r M )) dari semua matriks )D) . Peme%ahan. Misalkan
A =
[
0
a 12
a21
0
]
Adalah sebarang dua matriks pada matriks pada J dan k adalah sebarang s %alar. Maka
kA =
[
0
ka 22
ka21
0
]
dan A + B=
[
0
a12 b12
a21 a21
0
]
&leh karena kA dan A F 3 mempunyai bilangan n#l diag#nal utama, maka kA dan A F 3 terletak pada J. jadi, J adalah subruang dari M )) /nt/0
Aljabar Linear Elementer
injaulah e%t#r-ekt#r u C >+, ), -+? dan C >8, 7, )? di / 6. Perlihatkan bahwa w C >K, ), :? adalah k#mbinasi linear u dan serta bahwa w’ C >7, -+, (? bukanlah k#mbinasi linear u dan . Peme%ahan. Supaya w merupakan k#mbinasi linear u dan , harus ada s%alar k + dan k ) hingga w C k + u F k ) < yakni >7,-+, (?Ck +>+, ), -+?Fk )>8, 7, )? Atau >K, ), :?C>k + F 8k ), )k + F 7k ), -k + F )k )? 0engan menyamakan k#mp#nen yang bersesuaian memberikan k + F 8k ) C 7 )k + F 7k ) C -+ -k + F )k ) C ( System persamaan @ persamaan ini tidak k#nsisten. Sehingga tidak ada s%alar-skalar seperti itu. Sebagai k#nsekuensinya, maka w’ bukanlah k#mbinasi linear u dan . De4inisi. 5ika +, ),H,r adalah e%t#r @ e%t#r pada ruang e%t#r = dan jika masing @ masing
e%t#r pada = dapat dinyatakan sebagai k#mbinasi linear +, ),H,r maka kita mengatakan bahwa et#r @ e%t#r ini merentang =. /nt/0
=e%t#r-ekt#r i C >+, *, *?, j C >*, +, *? dan k C >*, *, +? merentang / 6 karena setiap e%t#r >a, b, %? pada / 6 dapat kita tuliskan sebagai >a, b, %? C ai F bj F %k ;ang merupakan k#mbinasi linear 2, j, dan k /nt/0
entukan apakah + C >+, +, )?, ) C >+, *, +?, dan 6 C >), +, 6? merentang / 6. Peme%ahan. $ita harus menentukan apakah sebarang e%t#r b C >b +, b ), b 6? pada / 6 dapat dinyatakan sebagai k#mbinasi linear b C k + + F k ) ) F k 6 6 dari e%t#r @ e%t#r +, ), 6. 0engan menyatakan persamaan ini dalam k#mp#nen @ k#mp#nen maka akan memberikan >b+, b), b6? C k + >+, +, )? F k ) >+, *, +? F k 6 >), +, 6? atau
Aljabar Linear Elementer
>b+, b), b6? C >k + F k ) F ) k 6,
k + F k 6, )k + F k ) F 6k 6
0apat juga k + F k ) F ) k 6 C b+ k + F
k 6 C b)
)k + F k ) F 6k 6 C b6 Menurut bagian a dan bagian d dari te#rema +, maka system ini akan k#nsisten untuk semua nilai b +, b), dan b 6 jika dan hanya matriks k#e'isien @ k#e'isien dapat dibalik.
AC
[ ] 1
1
2
1
0
1
2
1
3
etapi det >A? C *, sehingga A tidak dapat dibalik, dan sebagai k#nsekuensinya, maka +, ), 6 tidak merentang / 6. Te/rema 8. 5ika +, ),H,r adalah e%t#r-ekt#r pada ruang =, makaB
a? "impunan J dari semua k#mbinasi linear +, ),H,r adalah subruang =. b? J adalah subruang terke%il dari = yang mengandung +, ),H,r dalam arti bahwa setiap subruang lain dari = yang mengandung +, ),H,r harus mengandung J.
8.3 KEEASAN LINIER De4inisi. 5ika S C
- = { v 1, v 2, … , v r }
adalah himpunan e%t#r, maka persamaan e%t#r
k + + F k ) ) F H F k r r C * mempunyai paling sedikit satu peme%ahan, yakni $ + C *,
k ) C *,H.., k r C *
5ika ini adalah satu-satunya peme%ahan, maka S kita namakan himpunan bebas linier (linearl" independen). 5ika ada peme%ahan lain, maka S kita namakan himpunan tak-bebas linier Clinier dependent ?.
/nt/0 1
Aljabar Linear Elementer
"impunan e%t#r-ekt#r
- = { v 1, v 2 , v 3 }
, dimana +C >), -+, *, 6?, ) C >+, ), , -+?, dan 6 C >:, -+,
, (? adalah himpunan tak bebas linier, karena 6 + F ) @ 6 C *. 9#nt#h B injaulah ekt#r-ekt#r i C >+, *, *?, j C >*, +, *? dan k C >*, *, +? pada / 6. /uas k#mp#nen persamaan e%t#r $ + i F k ) j F k 6 k C * $ +>+, *, *? F k )>*, +, *? F k 6>*, *, +? C * 5adi , $ + C *, k ) C * dan k 6 C *< sehingga himpunan S C >i, j, k? bebas linier. 4raian serupa dapat digunakan untuk memperlihatkan bahwa e%t#r-e%t#r e + C >*, *, *, H , +?, e ) C >*, +, *, *, H, *?, H ,en C >*, *, *, H,*? membentuk himpunan bebas linier pada / n.
Te/rema ;. "impunan S dengan dua e%t#r atau lebih adalah
>a? akbebas linier jika dan hanya jika paling tidak satu diantara e%t#r S dapat dinyatakan sebagai k#mbinasi linier dari e%t#r S lainnya. (b) 3ebas linier jika dan hanya jika tidk ada e%t#r S yang dapat dinyatakan sebagai k#mbinasi linier dalam e%t#r S lainnya.
Te/rema <.
>a? 5ika sebuah himpunan mengandung e%t#r n#l, maka himpunan itu takbebas linier (b) Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua e%t#r takbebas linier jika dan hanya jika salah satu dari e%t#r itu adalah pe rkalian dari s%alar lainnya
9#nt#h interpretasi ge#metri% dari ketakbebasan linier dalam / )
Aljabar Linear Elementer
/2 /1
/1 y
y
/2
x x
(a)
(b)
/1 /2 y
x
()
ambar 7.8 >a? takbebas linier, >b? takbebas linier, >9? bebas linier
Te/rema >. Misalkan
- = { v 1, v 2 , … , v r }
adalah himpunan e%t#r-ekt#r pada / n jika r V n, maka S
takbebas linier.
A III Aljabar Linear Elementer
PEN#T#P
Saran Alangkah baiknya kita mengenal Matematika dulu sebelum kita menganggap Matematika itu sulit, karena bila kita telah mengenal Matematika dengan baik dan menikmati bagaimana Matematika itu bekerja akan terasa bahwa Matematika itu tidaklah seburuk apa yang kita pikirkan.
Aljabar Linear Elementer
