MAKALAH MATRIKS (Dterminan dan Invers Matriks)
MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK
OLEH AREMA DIMAS PRATAMA
5173122003
DEDY SETADI
5173122004
DWIKI JOSUA NAINGGOLAN
5173122005
DOSEN PENGAMPU : PROF. Dr. SUMARNO, M.Pd PENDIDIKAN TEKNIK OTOMOTIF FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2017
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kita panjatkan panjatkan kepada Tuhan Tuhan Yang Maha Esa, karena atas karunia dan hidayah-Nyalah hidayah-Nyalah makalah ini dapat diselesaikan dengan baik. Makalah ini Kami sampaikan kepada pembina mata kuliah MATEMATIKA DASAR yaitu PROF. Dr. SUMARNO, M.Pd sebagai salah satu tugas mengenai DETERMINAN & INVERS MATRIKS. Kami memohon kepada Bapak Dosen khususnya dan umumnya para pembaca jika menemukan kesalahan atau kekurangan dalam makalah ini, baik dari segi bahasa maupun isinya. Selain itu kami menharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun kepada semua para pembaca demi lebih baiknya karya-karya tulis yang akan datang.
Medan, September 2017
Penyusun
DAFTAR ISI
Kata Pengantar……………………………………………………………………………. Daftar Isi……………………………………………………………………………………… BAB I Pendahuluan……………………………………………………………………….
A. Latar Belakang…………………………………………………………. B. Masalah…………………………………………………………………… C. Tujuan……………………………………………………………………… BAB II Pembahasan …………………………………………………………………….. A. Pengertian Determinan Matriks…………………………… ..... B. Macam-macam determinan matriks............................. C. Sifat-sifat determinan Matriks....................................... D. Invers Matriks................................................................ BAB III ……………………………………………………………………………………………
Kesimpulan ………………………………………………………………………….
Daftar Pustaka …………………………………………………………………….
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang. Matematika berasal dari bahasa latin Manthanein atau Mathema yang berarti “belajar atau hal yang dipelajari”. Sedangkan matematika di dalam bahasa belanda dikenal dengan sebutan wiskunde yang memiliki arti “ilmu pasti”. Jadi secara umum dapat diartikan bahwa matematika merupakan sebuah ilmu pasti yang berkenaan dengan penalaran. penalaran. Minimnya pemahaman mahasiswa terhadap konsep matematika menimbulkan kesulitan dalam menyelesaikan soal matematika tidak hanya disebabkan oleh siswa itu sendiri.
Dalam pembelajaran MATEMATIKA DASAR banyak mahasiswa yang masih kurang paham mengenai pelajaran MATRIKS. MATRIKS. Disini kami selaku tim penyusun akan memberikan materi yang berkaitan dengan pembahasan Matrik untuk memenuhi tugas Pembelajaran Matematika Dasar. B. Masalah 1. Apa pengertian Determinan Matriks? 2. Apa jenis-jenis Determinan Matriks Matriks ? 3. Apa saja sifat-sifat Determinan Matriks itu ? 4. Apa pengertian Invers Matriks ? C. Tujuan Masalah 1. Mengetahui pengertian determinan matriks 2. Mengetahui jenis-jenis determinan matriks 3. Dapat mengetahui sifat sifat determinan matriks 4. Mengetahui pengertian invers Matriks.
BAB II PEMBAHASAN
A. Pengertian Determinan Matriks Determinan Matriks ialah suatu bilangan real yang diperoleh dari suatu proses dengan aturan tertentu terhadap matriks bujur sangkar. Determinan dinyatakan sebagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari matriks bujur sangkar A. Determinan dari sebuah matriks bujur sangkar A’ dinotasikan d engan det(A), det(A), atau |A|. B. Jenis-jenis Determinan Matriks
a. Determinan Matriks Ordo 2 × 2 Misalkan A =
adalah matriks yang berordo 2 × 2 dengan elemen a dan d
terletak pada diagonal utama pertama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dinotasikan ”det A” atau |A| adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua. Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut. det A =
= ad ad – – bc bc
Contoh Soal 1 : Tentukan determinan matriks-matriks berikut:
a. A = b.B = Penyelesaian : a. det A =
a. det B =
= (5 × 3) 3) – – (2 (2 × 4) = 7
= (( –4) –4) × 2) – 2) – (3 (3 × ( –1)) –1)) = – = – 5 5
b. Determinan Matriks Ordo 3 × 3 (Pengayaan)
Jika A =
adalah matriks persegi berordo 3 × 3, determinan A
dinyatakan dengan det A = Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks
berordo
3 × 3, yaitu aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.
Aturan Sarrus Untuk menentukan determinan dengan aturan Sarrus, perhatikan alur berikut. Misalnya, kita akan menghitung determinan matriks A3 × 3. Gambaran perhitungannya adalah sebagai berikut.
Metode Minor-Kofaktor Misalkan matriks A dituliskan dengan [ aij]. Minor elemen aij yang dinotasikan dengan Mij adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya, dari matriks A3 sehingga :
× 3
kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1
Akan diperoleh M21 =
. M21 adalah minor m inor dari elemen matriks A
baris ke-2 kolom ke-1 atau M21 = minor a21. Sejalan dengan itu, kita dapat memperoleh minor yang lain, misalnya :
M13 = 1)i+j dengan minor Kofaktor elemen aij, dinotasikan K ijij adalah hasil kali ( – 1) elemen tersebut. Dengan demikian, kofaktor suatu matriks dirumuskan dengan :
K ijij = ( – 1) 1)i+j Mij Dari matriks A di atas, kita peroleh misalnya kofaktor a21 dan a13 berturut-turut adalah
K21 = ( –1) –1)2+1 M21 = = – –M M21 =
K 13 1)1+3 M13 = M13 = 13 = ( – 1)
Kofaktor dari matriks A3 × 3 a ad dalah kof(A) =
Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan di atas.
C. Sifat-Sifat Determinan Matriks Berikut sifat-sifat determinan yang terdapat pada matriks.
1. Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det(A) = 0. Contoh :
misal matriks A = dengan menggunakan Aturan Kofaktor, maka
det(A) = = a31M31 – a32M32 + a33M33
=0
– 0
+0
= 0(2.1 – 3.0) – 0(1.1 – 1.3) + 0(1.0 – 1.2) =0 2. Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama, yakni det(A) = a11a22 … ann Contoh :
det(A) = = a31M31 – a32M32 + a33M33
=0
– 0
+3
= 0(1.1 – 3.3) – 0(2.1 – 0.3) + 3(2.3 – 0.1) = 0 – 0 + 3.2.3
= 18 Hasil ini sama dengan perkalian entri pada diagonal utama yaitu 2 x 3 x 3 = 18 3. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det(A’) = k det(A) Contoh :
misal k = 2 dan A =
maka kA =
det(A) = berdasarkan Sifat 3 maka det(kA) = det(A’) = 4.3.3 = 36 karena det(A) = 18 dan k = 2 maka k.det(A) = 2.18 = 36 jadi, det(A’) = k.det(A) 4. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det(A’) = -det(A) Contoh :
misal A =
maka kA =
diperoleh matriks A’ =
det(A’) =
= a31M31 – a32M32 + a33M32
=0
– 0
+3
dan baris 1 ditukar dengan baris 2 sehingga
= 0(3.3 – 1.1) – 0(0.3 – 2.1) + 3(0.1 – 2.3) = 0 – 0 + 3.(-2).3 = -18 Jadi, det(A’) = -det(A) 5. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain, maka det(A’) = det(A) Contoh :
misal A =
kemudian bilakukan Operasi Baris Elementer pada baris kedua yaitu
B2 + 2B1 sehingga diperoleh A’ =
det(A’) =
= a31M31 – a32M32 + a33M33
=0
– 0
+3
= 0(1.7 – 5.3) – 0(2.7 – 3.4) + 3(2.5 – 4.1) = 0 – 0 + 3.(6) = 18 Jadi, det(A’) = det(A) 6. Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka det(A) = det(At ) Contoh :
misal A =
maka At =
det(At ) = a13M13 – a23M23 + a33M33
– 0
=0
+3
= 0(1.1 – 3.3) – 0(2.1 – 3.0) + 3(2.3 – 1.0) = 0 – 0 + 3.2.3 = 18 Jadi, det(A) = det(At ) 7. Misalkan A, A’ dan A” adalah matriks n x n yang hanya berbeda dalam baris tunggal, katakanlah baris ke-r, dan anggap bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke-r dari A dan dalam baris ke-r dari A’, maka det(A”) = det(A) + det(A’) [hasil yang serupa juga berlaku untuk kolom] Contoh :
misal
A=
maka det(A) = (1.3 – 4.2) = -5
A’ =
maka det(A) = (4.2 – 1.3) = 5
dan A” = A + A’ =
+
=
maka det(A”) = (5.5 – 5.5) = 0
jadi det(A”) = det(A) + det(A’) = -5 + 5 = 0 8. Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka det(AB) = det(A) det(B) Contoh :
Dari contoh pada Sifat 7 dengan det(A) = -5 dan det(A’) = det(B) = 5 maka det(AB) = (-5)(5) = -25
AB =
=
= det(AB) = 6.18 – 19.7 = 108 – 133 = -25 Jadi det(A.B) = det(A).det(B) = (-5)(5) = -25 9. Sebuah matriks kuadrat dapat dibalik jika dan hanya jika det(A) Contoh :
misal A =
dengan det(A) = -5
A-1 =
=
=
Karena det(A)
0. Jadi matriks A memilki invers yaitu A-1 =
10. Jika A dapat dibalik, maka det(A-1) = Contoh :
A-1 =
maka
det(A-1) = (-3/5)(-1/5) – (4/5)(2/5)
0
= 3/25 – 8/25 = -5/25 = -1/5 karena det(A) = -5 maka berlaku det(A-1) = 1/det(A) = -1/5
D. Pengertian Invers Matriks Suatu matriks segi A dikatakan matriks taksingular atau mempunyai mempun yai invers, jika ada suatu matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I. Matriks B dinamakan invers dari matriks A, ditulis B = .Sehingga dari definisi diatas, tersirat bahwa: dengan I adalah matriks identitas. identitas. Sifat-Sifat dari Matriks Invers
1. Invers suatu matriks taksingular adalah tunggal 2. Jika matriks A dan B taksingular, maka: a. b. c. Menentukan Invers Matriks dengan Metode Matriks Adjoin Teorema berikut ini merupakan salah satu cara untuk menentukan invers suatu matriks. Teorema (Untuk Menentukan Invers Matriks dengan Matriks Adjoin): Jika determinan matriks
tidak nol, dan matriks
, maka invers matriks A adalah:
elemen
Matriks
disebut matriks adjoin dari matriks A.
Contoh 1:
Tentukan invers matriks dari:
dengan
kofaktor
Jawab: Apabila kita melihat matriks diatas, berdasarkan sifat determinan maka determinan dari matriks A#0. Pertama-tama kita mencari nilai dari det( A), maka akan diperoleh det( A) = -2. Kemudian kita cari matriks kofaktor dari matriks A , sehingga akan diperoleh matriks kofaktor seperti berikut.
dengan demikian invers matriks A adalah: Contoh 2:
Tentukan invers matriks berikut.
Jawab: Karena matriks A#0 , selanjutnya kita cari nilai determinan dari matriks A,sehingga diperoleh det(A) = 4 - 6 = -2. Untuk menentukan invers matriks A dapat menggunakan Metode Matriks Adjoin. Matriks adjoin dari matriks A adalah:
dengan demikian invers matriks A adalah Contoh 3:
Tentukan invers matriks berikut.
dengan ad -cb # 0. Jawab: Perhatikan: det(A) = ad - bc (tidak nol), sehingga untuk menentukan invers matriks A dapat menggunakan Metode Matriks Adjoin.
Kofaktor dari elemen-elemen matrika A adalah
sehingga matriks kofaktor dari A adalah
Matriks adjoin dari matriks A adalah:
Dengan demikian invers matriks A adalah
BAB III PENUTUP
Kesimpulan Pada dasarnya dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan kata lain kita selalu bersentuhan dengan persoalan-persoalan yang berkaitan dengan matematika entah itu kita sadari ataupun tidak. Agar mudah difahami maka persoalan tersebut diubah kedalam bahasa atau persamaan matematika supaya persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Adapun matriks sendiri merupakan susunan susunan elemen-elemen yang berbentuk persegi panjang yang di atur dalam baris dan kolom dan di batasi sebuah tanda kurung di sebut matriks.
Daftar Pustaka
http://contohdanpenyelesaianmatrix.blogspot.co.id/2014/06/invers-matriks.html
Anton, H,. 1992, Aljabar 1992, Aljabar Linier Elementer , Erlangga, Jakarta. http://sosmedpc.blogspot.co.id/2016/12/determinan-pengertian-dan-contoh.html
http://www.sheetmath.com/2016/05/matriks-invers-definisi-sifat-sifat-dan.html
