BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR LATAR BELAKANG
Matematika sebagai alat untuk analisis dalam berabagai bidang cabang disiplin ilmu ilmu,, memp mempuny unyai ai peran peranan an sanga sangatt meno menonj njol ol sesu sesuai ai deng dengan an perk perkem emba bang ngan an ilmu ilmu pengetahuan, baik mempelajari teori ekonomi ilmu-ilmu sosial, matematika semakin banyak digunakan sebagai alat untuk mempermudah pemecahan masalah serta sebagai alat untuk mengambil keputusan ataupun perencanaan. Penggunaan matematika dalam berbagai disiplin ilmu dinamakan sebagai matematika terapan, salah satunya adalah persamaan diferensial, maka model penggunaan diferensial ini dinamakan sebagai diferensial diferensial terapan atau aplikasi aplikasi diferensial. diferensial. Perhitungan Perhitungan diferensial diferensial merupakan merupakan suatu perhitungan yang menyangkut masalah perubahan fungsi, maka sebagai kaitan permasalahan yang muncul di dalam teori ekonomi di antaranya penghitungan Laba (keuntungan), Inestasi serta Pajak. !iferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam ariabel bebas fungsi yang bersangkutan. !iferensial dapat pula di sidik sidik kedudu kedudukan kan-ke -kedud duduka ukan n khusus khusus dari dari fungsi fungsi yang yang sedang sedang dipelaj dipelajari ari seperti seperti titik titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. "erdasarkan manfaat-manfaat inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi.
1.2 RUMUSAN RUMUSAN MASALA MASALAH H
#umusa #umusan n masalah masalah pada penulisan penulisan makalah makalah ini adalah adalah penerap penerapan an
persam persamaan aan
diferensial pada matematika ekonomi dan bisnis. 1.3 BATASAN BATASAN MASALAH
"atasan "atasan masalah masalah pada pada penuli penulisan san makalah makalah ini adalah adalah penera penerapan pan persama persamaan an diferensial pada matematika ekonomi yang membahas tentang pajak, laba dan inestasi.
BAB II Matematika-1 Ayi Subhan,S.SOS., MM
Page 1
PEMBAHASAN
2.1 PENGERTIAN PENGERTIAN DIFERENSIAL
!eria !eriati tiee atau turunan turunan
dy dx tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau
dy sebagai pembilang dan d$ sebagai penyebut, melainkan sebagai
pecahan dengan
lamba lambang ng yang yang meny menyert ertak akan an limi limitt dari dari
Δ y se%ak ktu Δ x , se%a
∆x
mendek mendekati ati nilai nilai nol
sebag sebagai ai limi limit. t. &kan kan tetap tetapii untu untuk k dapa dapatt mema memaha hami mi masal masalah ah-m -masa asala lah h kita kita dapa dapatt
dx dan dan
menafsirkan menafsirkan
difer diferen ensi sial al
x da dan
dy secara terpisah, dalam hubung hubungan an ini
dy difer diferen ensi sial al
dx menyatakan
y . Penger Pengertia tian n difere diferensia nsiall bergu berguna na sekali sekali,,
misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam ariabel yang berkaitan dengan perubahan ' perubahan kecil dalam ariabel bebas. '
f ( x ) merupakan deriatie dari fungsi
ika
dan
∆x
meru erupak pakan kenai enaika kan n dala dalam m
terdefinisikan oleh persamaan
'
df ( ( x )=f ( x )=
dy ∆ x dx
Matematika-1 Ayi Subhan,S.SOS., MM
Page 2
( x ) untuk nilai x tertentu f (
x , maka diferensial dari
( x ) , f (
ika
f ( ( x )= x , maka
bebas, maka diferensial
f ( x )= 1 , dan '
dx = ∆ x . adi jika x merupakan ariabel
dx dari x sama dengan
ika y = f ( x ) , maka
'
dy = f ( x ) dx =
dy dx dx
Matematika-1 Ayi Subhan,S.SOS., MM
Page 3
∆x .
2.2 PENERAPAN DIFERENSIAL PADA MATEMATIKA MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS 1. Laba
Pada umumnya, umumnya, ukuran ukuran yang sering kali digunakan digunakan untuk menilai berhasil atau tidakn tidaknya ya manajem manajemen en suatu suatu perusa perusahan han adalah adalah dengan dengan meliha melihatt laba laba yang yang dipero diperoleh leh perusahaan. Laba bersih merupakan selisih positif atas penjualan dikurangi biaya biaya dan pajak Laba Laba adalah adalah selisih selisih antara penerim penerimaan aan total total dengan dengan biaya biaya total, total, atau atau secara secara matematika dapat dinyatakan dengan rumus Π =TR −TC !i mana
π * Laba +# * Penerimaan total + * "iaya "iaya total Penerimaan total (+#) maupun biaya total (+) adalah fungsi dari . oleh karena itu, untuk memperoleh tingkat banyak barang yang dapat memaksimumkan laba kita harus memenuhi syarat pertama yang diperlukan (necessary condition) untuk suat suatu u maks maksim imum um yaitu yaitu mend mendif ifere erens nsial ialka kan n fung fungsi si laba laba terha terhada dap p , kemu kemudi dian an disamakan dengan nol, hasilnya adalah
D π = 0 dQ d ( TR −TC ) =0 dQ
dTR dTC − =0 dQ dQ
karen karenaa
dTR dTC = MR dan = MC , maka persamaan di atas dapat ditulis kembali dQ dQ
menjadi M R = MC
adi, syarat pertama untuk suatu banyak barang yang optimum secara ekonomi ekonomi adalah penerimaan marginal sama dengan biaya marginal. +etapi syarat yang pertama belum menjamin menja min adanya adan ya suatu s uatu maksimum maksi mum atau at au minimum. leh karena itu, kita harus Matematika-1 Ayi Subhan,S.SOS., MM
Page 4
memeriksa syarat kedua yang mencukupkan (sufficient condition), yaitu deriatie kedua dari fungsi laba terhadap harus lebih kecil dari nol, hasilnya adalah 2 d π
dQ
2
<0
adi, syarat yang kedua cukup untuk membuat laba secara maksimum dengan banyaknya barang yang di di produksi. Contoh 1 1000 −2 Q ika diketahui fungsi permintaan dari suatu perusahaan adalah P=
fungsi fungsi biaya perusahaan tersebut tersebut adalah
C =Q
3
dan
−59 Q2 + 1315 Q + 2000 , hitunglah
Laba maksimum yang akan diperoleh perusahaan tersebut/ !iketahui
P =1000 − 2 Q 3
2
C =Q −59 Q + 1315 Q + 2000 0ungsi pe pendapatan * *
#
0ungsi Laba
1000 Q −2 Q
2
2
Q −59 Q + 1315 Q + 2000
π
* pendapatan ' biaya
π
*
( 1000 Q−2 Q )−( Q −59 Q +1315 Q +2000 )
π
*
−Q3 + 57 Q 2− 315 Q −2000
2
d π dQ *
+urunan pertama
3
2
−3 Q 2 + 114 Q −315
2
*
Q −36 Q + 105
*
( Q−35 ) ( Q −3 )
Matematika-1 Ayi Subhan,S.SOS., MM
× banyak unit yang di produksi produksi
( 1000−2 Q ) × Q
3
0ungs ungsii biay biaya a *
* 0u 0ungsi pe permintaan
Page 5
!i peroleh
Q1=3 atauQ2 =35 2
d π 2 dQ
+urunan kedua
*
−6 Q + 114
2
ika
Q 1 =3
d π 2 d Q *
, maka
−6 ( 3 )+ 114=96 ,
96 > 0
(Laba minimum)
2
ika
Q2=35
, maka
d π 2 d Q *
−6 ( 35 )+ 114 =−66 , −66 <0 (Laba
maksimum) 3
2
π maks =−Q + 57 Q −315 Q− 2000
adi, *
−( 35 )3+57 ( 35 )2 −315 (35 )−2000
*
−( 42875 ) + 69825−11025−2000
* 26950−13025 * 13.925
Q=35 , maka
1arena
P=1000 −2 Q * * *
1000−2 ( 35 ) 1000 −70
930 3
2
C =Q −59 Q + 1315 Q + 2000 *
( 35 )3−59 ( 35 )2 + 1315 ( 35 ) +2000 42875 −72275 + 46025 + 2000
*
42875 −24250
* *
18.625
R *
1000 Q −2 Q
2
Matematika-1 Ayi Subhan,S.SOS., MM
Page 6
1000 (35 )−2 ( 35 )
2
* * *
35000−2450
32.550
adi, dapat disimpulkan bah%a perusahaan harus menjual produknya sebesar #p.234 per unit, dengan jumlah produk sebesar 35 unit agar dapat memaksimalkan laba sebesar #p.63.275 dimana pendapatan perusahaan adalah #p. 37.754, dan biaya yang di keluarkan adalah sebesar s ebesar #p.68.975,44
2. Paja
:alah satu sumber sumber penerimaan penerimaan pemerintah adalah dengan penarikan penarikan pajak, misalnya pajak penjualan yang dikenakan pemerintah terhadap setiap unit produksi dan dijual oleh pengusaha. Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan pajak tersebut. ;ntuk itu pemerintah harus menentukan berapa tarif pajak yang akan diberlakukannya sehingga akan diperoleh pajak maksimum. +otal pajak pajak yang yang akan akan diterim diterimaa pemerin pemerintah tah pajak yang dikenakan pemerintah, dan dijua jual
oleh
pengusaha
seh sehingga
T =t × Q dim diman anaa
t : tarif
Q : jumlah barang yang diproduksi dan
diperoleh
laba
maksim simum,
yang ang
telah
mempertimbangkan biaya pajak. !ari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak dari pemerintah adalah Laba
* Pendapatan ' ("iaya < Pajak) * R−( C + T )
− − * R C T − − .Q * R C t .Q Contoh 2
Matematika-1 Ayi Subhan,S.SOS., MM
Page 7
ika
diketahu ahui
P =−5 Q + 100
fun fungsi
permi rmintaan
dari ari
sua suatu
perusahaan
dan fungsi fungsi biaya biaya perusa perusahaa haan n terseb tersebut ut adalah adalah C =5 Q
2
adala alah
−30 Q ,
hitunglah tarif pajak yang sebaiknya dikenakan pemerintah kepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajak maksimum serta total pajak maksimum yangdiperoleh oleh pemerintah/
!iketahui
P=−5 Q + 100 2
C =5 Q −30 Q 0ungsi pendapatan #
* 0ungsi permintaan
La Laba
*
(−5 Q + 100 ) × Q
*
−5 Q2 + 100 Q
× banyak unit yang di produksi produksi
* Pendapatan ' ("iaya < Pajak) * R−( C + T )
− − * R C T − − .Q * R C t .Q *
(−5 Q2 +100 Q ) −( 5 Q2−30 Q )−t .Q .Q
*
(−10 Q2 + 130 Q−t . Q )
=−20 Q + 130 −t =0 +urunan pertama Laba ' 130−t =20 Q
20 Q=130 −t
Q=
Q=
130−t 20
26 1 − t 4 20
Matematika-1 Ayi Subhan,S.SOS., MM
Page 8
= {1} { 1} over {20} <0
+urunan kedua Laba
adi adi,, deng dengan an memp mempro rodu duks ksii seba sebany nyak ak
Q=
26 1 − t 4 20
, peng pengus usah ahaa akan akan
memperoleh laba maksimum.
!ari sudut pandang pemerintah 26 1 − t 4 20 )
Pajak
T =t ¿
¿
26 4
t −
1 20
2
t
+urunan pertama Pajak
t 10
=
' =
26 1 − t =0 4 10
26 4
4 t = 260
t =65
adi, pengusaha dikenakan pajak sebesar #p. 95 = unit
Q=
¿
26 1 − ( 65 ) 4 20
26 65 − 4 20
¿ 6,5−3,25 ¿ 3,25
Pajak yang diterima pemerintah atau yang dikeluarkan oleh pengusaha
T =t . Q
Matematika-1 Ayi Subhan,S.SOS., MM
Page 9
¿ 65 × 3,25 ¿ Rp .211,25
adi,pajak yang harus dikeluarkan oleh pengusaha jika ia menghasilkan 3,75 unit barang adalah #p.766,75.
3. In!"#ta#$
Inesta Inestasi si yang yang la>im la>im disebu disebutt juga juga dengan dengan istilah istilah penanam penanaman an modal modal atau pembentukan modal merupakan komponen kedua yang menentukan tingkat pengeluaran agregat. +abungan +abungan dari sektor rumah tangga melalui institusiintitusi keuangan akan mengalir ke sektor perusahaan. &pabila para pengusaha menggunakan uang tersebut untuk membeli barang-barang modal , pengeluaran tersebut dinamakan inestasi. inestasi. Inestasi pada hakikatnya hakikatnya merupakan merupakan penempatan sejumlah dana yang ada saat ini dengan harapan untuk memperoleh keuntungan di masa mendatang. Inestasi adalah suatu fungsi pendapatan dan tingkat bunga, dilihat dengan kaitannya I* (?,i). :uatu pertambahan pada pendapatan akan mendorong inestasi yang lebih besar, dimana tingkat bunga yang lebih tinggi akan menurunkan minat untuk untuk inest inestasi asi sebagaim sebagaimana ana hal tersebu tersebutt akan akan lebih lebih mahal mahal diband dibanding ingkan kan dengan dengan meminjam uang. @alaupun jika suatu perusahaan lain memilih untuk menggunakan dananya sendiri untuk inestasi, tingkat bunga menunjukkan suatu biaya kesempatan dari inestasi dana tersebut daripada meminjamkan untuk mendapatkan bunga.
Contoh 3
;ang ;ang sejum sejumla lah h #p 5.444 5.444.4 .444 44
diin diine esta stasi sika kan n deng dengan an bunga bunga
8
tiap tahun, tahun,
bertambah secara kontinu. "erapa jumlah uang itu sesudah 75 tahunA Penyelesaian &mbi &mbill
y ( t ) sebagai jumlah uang (modal tambah bunga) pada saat t. Maka laju
pertambahan perubahan jumlah uang pada pada saat
Matematika-1 Ayi Subhan,S.SOS., MM
Page 10
t diberikan oleh
dy 8 = y dt 100 elaslah bah%a persamaan ini adalah persamaan diferensial terpisah. :ehingga
( ) y (t )= y ( 0 ) e 8
100
t
5.000 .000 .000 1arena y ( 0 ) =5.000 (modal a%al), maka diperoleh
( ) y (25 ) =5.000 5.000 .000 × e
8 25 100
* #p.39.2B5.784,B2 #p.39.2B5.784,B2 adi, jumlah uang setelah 75 tahun kedepan adalah #p. 39.2B5.784,B2 39.2B5.784,B2
BAB III PENUTUP
&dapun penutup dari penulisan makalah diatas adalah 1% Penerapan Penerapan diferensial pada penentuan penentuan laba harus melalui 7 syarat untuk menentukan menentukan
laba maksimum yang diperoleh pengusaha yaitu
dπ =0 dan dQ
2
d π <0 . 2 dQ
2% Penerapan diferensial pada penentuan pajak yang harus memperhatikan tarif yang
dapat membuat pemerintah memperoleh total pajak maksimum masih menggunakan prinsip dari penentuan laba. Penerapan pan diferen diferensial sial pada pada penent penentuan uan sebuah sebuah inesta inestasi si menggu menggunak nakan an difere diferensia nsiall 3% Penera sederhana.
Matematika-1 Ayi Subhan,S.SOS., MM
Page 11
