MAKALAH DISTRIBUSI NORMAL
DI SUSUN O L E H
NAMA : EKO RIBOWO NPM: 1405 2837 PRODI : PM
B
IV
T.A T.A 2015/2016
KATA PENGANTAR
Assalamu’aikum.Wr.Wb Puji syukur saya ucapkan atas kehadirat Allah SWT, yang telah menganugrahkan kemampuan dan kesempatan bagi saya, sehingga dapat menyelesaikan makalah Metode Statistika II Pengembangan pembelajaran dari materi yang ada pada makalah saat ini, dapat senantiasa di lakukan oleh mahasisa dalam bimbingan dosen. !paya ini di harapkan dapat mengoptimalkan mahasisa dalam menguasai materi tentang " #istribusi $ormal% #alam penyusunan makalah ini penulis menyadari masih banyak memiliki kekurangan, oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca untuk memperbaiki makalah ini #an juga saya tidak lupa mengucapkan banyak terima kasih ke pada semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan tugas makalah ini sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini tepat pada aktunya
&injai, April '()*
penulis
DAFTAR ISI
+ATA P$-A$TA/////////////.///// #A0TA ISI//////////////.//////..
&A& I P$#A1!2!A$ a. b. c. d.
2atar &elakang Masalah ///////./////... umusan Masalah//////////./////. Tujuan penulis/////////////////. Man3aat penulisan///////////////..
&A& II PM&A1ASA$ ). #ISTI&!SI $4MA2////////////.. a. Pengertian #istribusi $ormal/////////. b. 5iri 5iri #istribusi $ormal////////// c. #e3enisi +ur6a $ormal///////////. d. 2uas #aerah #i &aah +ur6a $ormal///// e. +ur6a #istribusi $ormal Standart//////... 3. Pedoman Mencari 2uas #i &aah +ur6a $ormal.. g. 1ampiran $ormal Terhadap #istribusi &inomial..
&A& III P$!T!PA$////////////////////.. #A0TA P!STA+A//////////////////
BAB I PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
#ikenalnya distribusi normal diaali oleh kemajuan yang pesat dalam pengukuran pada abad ke )7. Pada aktu itu, para ahli matematika dihadapkan pada suatu tantangan mengenai 3enomena 6ariabilitas pengamat atau interna yang artinya bila seorang mengadakan pengukuran berulang8ulang maka hasilnya akan berbeda8beda. 9ang menjadi pertanyaan adalah nilai manakah yang dianggap paling tepat dari semua hasil pengukuran tersebut. Maka kemudian berdasarkan kesepakatan maka nilai rata8rata dianggap paling tepat dan semua penyimpangan dari rata8rata dianggap suatu kesalahan atau error .
.
B. RUMUSAN MASALAH
). '. :. ;. <. *. =.
Pengertian #istribusi $ormal 5iri 5iri #istribusi $ormal #e3enisi +ur6a $ormal 2uas #aerah #i &aah +ur6a $ormal +ur6a #istribusi $ormal Standart Pedoman Mencari 2uas #i &aah +ur6a $ormal 1ampiran $ormal Terhadap #istribusi &inomial
C. TUJUAN
). !ntuk mengetahui Pengertian #istribusi $ormal
'. :. ;. <. *. =.
!ntuk Mengetahui 5iri 5iri #istribusi $ormal !ntuk Mengetahui #e3enisi +ur6a $ormal !ntuk Mengetahui 2uas #aerah #i &aah +ur6a $ormal !ntuk Mengetahui +ur6a #istribusi $ormal Standart !ntuk Mengetahui Pedoman Mencari 2uas #i &aah +ur6a $ormal !ntuk Mengetahui 1ampiran $ormal Terhadap #istribusi &inomial
D. MANFAAT
Memberi tahu ke pada pembaca tentang #istribusi $ormal,5iri>5iri #istribusi $ormal, #e3enisi +ur6a $ormal, 2uas #aerah #i &aah +ur6a $ormal, +ur6a #istribusi $ormal Standart, Pedoman Mencari 2uas #i &aah +ur6a $ormal #an 1ampiran $ormall Terhadap #istribusi $ormal
BAB II PEMBAHASAN A. DISTRIBUSI NORMAL a. Pengertian Distribsi N!r"a#
#istribusi normal, disebut pula distribusi -auss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. #istribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata8rata nol dan simpangan baku satu. #istribusi ini juga dijuluki kur6a lonceng ?bell cur6e@ karena gra3ik 3ungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng. #istribusi normal memodelkan 3enomena kuantitati3 pada ilmu alam maupun ilmu sosial. &eragam skor pengujian psikologi dan 3enomena 3isika seperti jumlah 3oton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. #istribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata8rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. #istribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.
b. Ciri Ciri Distribsi N!r"a#
). Memiliki parameter dan B yang masing masing menentukan lokasi dan bentuk distribusi '. +ur6anya mempunyai puncak tunggal :. ata8rata terletak di tengah distribusi dan distribusinya simetris di sekitar garis tegak lurus yang ditarik melalui rata8rata ;. Total luas daerah di baah kur6a normal adala ) ?hal ini berlaku untuk seluruh distribuso probabilitas kontinu@ <. +edua ekor kur6a memanjang tak berbatas dan pernah memotong sumbu horiContal *. +ur6anya berbentuk seperti lonceng atau genta =. Simpangan baku atau standar de6iasi B menentukan lebarnya kur6a. Makin kecil B bentuk kur6a semakin runcing. -ambar di baah ini adalah kur6a normal
$. De%enisi Kr&a N!r"a#
&ila D suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah, dan standar de6iasi, maka persamaan kur6a normalnya adalahE
f ( x )=
1
σ √ 2 π
[ ]
x − μ 2 σ
−1
e
2
Keterangan
π F $ilai konstan yang ditulis hingga ; desimal
π F :,);)*
e F &ilangan konstan, bila ditulis hingga ; desimal, e F ',=)G: H F Parameter, merupakan rata8rata untuk distribusi σ F Parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi ika $ilai J mempunyai batas nilai ,
−∞ < x < ∞
maka dikatakan baha
6ariabel acak D berdistribusi normal
d. 2uas #aerah #i &aah +ur6a $ormal 2uas di baah kur6a dibatasi oleh D F D ) dan D F D ' sama dengan peluang baha 6ariabel acak mengambil nilai antara D F D) dan D F D '. adi untuk kur6a normal P?D )K D K D'@ pada gambar di baah ini dinyatakan oleh luas daerah antara D) dan D'.
e. Kr&a Distribsi N!r"a# Stan'art
Seperti diketahui, distribsi n!r"a# ba( )stan'ar* adalah distribusi normal dengan mean H F ( dan standard de6iasi B F ). x − μ σ Trans3ormasi LF
memetakan distribusi normal
Menjadi distribusi normal baku ?standar@, sebab distribusi normal dengan 6ariabel C ini memiliki mean F ( dan standar de6iasi F ). Trans3ormasi ini juga mempertahankan luas di baah kur6anya, artinyaE
2uas dibaah kur6a distribusi normal standard antara
2uas dibaah kur6a distribusi normal standard antara
X 1
Z 1
dan
dan
X 2
Z 2
x 1− μ
Z 1
F
σ
dan
Z 2
x 2− μ
F
σ
Keterangan+ J F nilai 6ariable random F rata8rata distribusi B F simpang baku L F nilai standar, yaitu besarnya penyimpangan suatu nilai terhadap rata8rata
#engan demikianE P?
X 1 <¿
¿
D
X 2
@FP?
Z 1 <¿
L
¿
Z 2
@
#an cara lain untuk menentukan distribusi normal dengan menggunakan rumus
f ( x )=
1
σ √ 2 π
[ ]
x − μ 2 σ
−1
e
2
Keterangan
π F $ilai konstan yang ditulis hingga ; desimal
π F :,);)*
e F &ilangan konstan, bila ditulis hingga ; desimal, e F ',=)G: H F Parameter, merupakan rata8rata untuk distribusi σ F Parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi ika $ilai J mempunyai batas nilai , 6ariabel acak D berdistribusi normal
−∞ < x < ∞
maka dikatakan baha
Tabel $ilai luas kur6a normal untuk nilai L K ( ?negati3@
Tabel )a. $ilai luas kur6a normal untuk nilai L ( ?positi3@
3. Pe'!"an Men$ari Las Di Ba,a- Kr&a N!r"a# ). '. :. ;. <.
1itung C hingga dua decimal -ambarkan kur6anya 2etakkan harga C pada sumbu datar. 2alu tarik garis 6ertikal hingga memotong kur6a 2uas yang tertera dalam da3tar adalah luas daerah antara garis dengan garis tegak titik nol #alam da3tar normal standar, cari tempat harga C pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal dan decimal keduanya dicari pada baris paling atas *. &ilangan yang didapat merupakan luas yang dicari dan harus ditulis dalam ; desimal.
C!nt!-
#ari penelitian terhadap )<( orang laki8laki yang berumur ;(N*( tahun didapatkan rata8rata kadar kolesterol ?H@ mereka ')< mg O dan simpangan baku B F ;< mg O. 1itunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnyaE a. b.
¿
¿
'(( mg O '<( mg O
c. antara '(( N '=< mg O
Ja,ab +
Ilustrasi dari soal tersebut di atas ditunjukkan dalam -ambar berikut E
!ntuk menghitung nilai probabiltas dari pertanyaan di atas, kita gunakan rumus 3ungsi probabilitas distribusi normal. +arena nilai probabilitas yang dibutuhkan adalah pada rentang nilai J tertentu, maka kita harus menggunakan integral untuk menghitungnya '((
∫ σ
−∞
? x− µ @
−
)
'
'σ '
e
dx
'π
a. P ?K '(( mg@F
∞
∫ σ
'< (
b.
−
)
? x − µ @ '
e
'σ '
dx
'π
P ? '<( mg@ F
'=<
∫ σ
'((
)
−
e
? x − µ @ ' 'σ '
dx
'π
c. P?'((K D K'=<@ F !ntuk mengatasi permasalahan di atas, terdapat cara lain untuk menghitung nilai peluang distribusi normal. !ntuk menentukan nilai peluang pada soal di atas, kita pelajari dulu cara menghitung nilai L dan membaca tabel luas kur6a normal. $ilai L didapat dengan rumus berikutE x − μ LF σ
Sedangkan tabel luas kur6a normal adalah tabel yang memuat luas kur6a normal dari titik minus tak hingga sampai titik J. Tabel luas kur6a normal ini sangat berman3aat untuk menghitung soal8soal seperti contoh soal )b. 1anya saja, tabel kur6a normal ini disusun berdasarkan nilai L. Sehingga kita harus menghitung nilai L terlebih dahulu. Ilustrasi dari 3ungsi tabel kur6a normal ditunjukkan dalam
Penyelesaian dari contoh di atas menggunakan tabel kur6a normal sehingga, #ari penelitian terhadap )<( orang laki8laki yang berumur ;(N*( tahun didapatkan rata8rata kadar kolesterol ?H@ mereka ')< mg O dan simpangan baku B F ;< mg O. 1itunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnyaE a. K '<( mg O b. K '(( mg O c. antara '(( N'=< mg O Ja,ab +
H F ')< B F ;< !ntuk memudahkan pengerjaan, kita kerjaan contoh soal ).b terlebih dahulu. b. P?D K '((@ 2 oo − μ
LF
σ
2 oo −215
LF
LF
45
− 0,67
&erdasarkan tabel kur6a normal, untuk nilai L F 8(,*=, luasnya adalah (.'<);. Sehingga peluang untuk menemukan laki8laki dengan kadar gula kurang dari '(( mg O adalah (.'<);
adi untuk menghitung soal )a, kita cari dulu peluang menemukan laki8laki dengan kadar gula kurang dari '<( mg atau P ?D K'<( @ a. P?D K '<(@ 250 −215
LF
45
L F (, =G &erdasarkan tabel kur6a normal, untuk nilai L F (.=G, luasnya adalah (.==7;. Sehingga peluang untuk menemukan laki8laki dengan kadar gula kurang dari '<( mg O , P ?J K '<(@ adalah (.==7;. Peluang untuk menemukan laki8laki dengan kadar gula lebih dari '<( mg O , atau P ?J '<(@ dapat dilakukan dengan cara berikut E P ? J '<(@
F)
−¿
P ? D K '<( @
F) – (,==7; F (,''(*
g. Ha"iran N!r"a# Ter-a'a Distribsi Bin!"ia#
ika $ cukup besar dan jika tak satu pun dari p atau sangat dekat dengan nol maka distribusi binomial dapat didekati atau diaproksimasi oleh sebuah distribusi normal dengan 6ariabel terstandarisasi yang dirumiskan sebagaiE E x − Np LF
√ Npq
Pendekatan ini akan semakin baik seiring dengan semakin bertambah besarnya $. #alam praktiknya, pendekatannya akan sangat bagus jika $p dan $ kedua8duanya lebih besar daripada <.
BAB III PENUTUPAN
Semoga dengan tersusunnya makalah ini dapat menambah aasan kita tentang #istribusi $ormal. 2ebih jauh penyusun berharap dengan memahami #istribusi $ormal kita semua dapat menyikapi segala masalah yang ada di dalam #istribusi $ormal sehingga dapat menanbah aasan kita semua dan penulis mohon maa3 jika terdapat kekurangan atau kelebihan dalam makalah ini, sebab penulis juga masih dalam proses pembelajaran
DAFTAR PUSTAKA
Novi Reandy Sasmita., Distribusi Normal, Universitas Ubudiah Indonesia (UUI), 2003. (D!) Ratu Ilma Indra utri., Distribusi Normal, ( D!) Dita "asni, #. $n%ar, &rna%ati Sembirin'., Distribusi robabilitas, Distibusi Normal Dan Distribusi Samlin', #a'ister iomedi* !a*ultas +edo*teran Universitas Sumatera Uttara (USU), #edan 20-- (#. ord) $s%in., Distribusi Normal (#. ord)
