BAB I PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG
Model transportasi berawal dari tahun 1941 ketika F.L. Hitchcock mengetengahkan suatu studi yang berjudul “ The Distribution of a Product from Several Sourceso Numerous Localities”. Presentasi ini dipertimbangkan sebagai
sumbangan penting terhadap kasus-kasus transportasi yng pertama kali. Kemudian pada tahun 1947 T.C. Koopmans sebelum bekerja di Cowles Commission, dia bekerja di Combined Shipping Adjustment Board in Washington dan mengetengahkan suatu studi yang tidak berkaitan dengan studi Hitchcock dan diberi judul “Optimum “Optimum Untilization if the Transportation System” . Selanjutnya
kedua sumbangan ini sangat membantu didalam pengembangan model transportasi. Model transportasi adalah secara dasariah sebuah program linear yang dapat diselesaikan oleh metode simplex reguler. Teknik transportasi dapat dan sering dipresentasikan di dalam sebuah elementary manner yng tampak sepenuhnya terlepas dari metode simplex. Model transportasi telah diterapkan pada berbagai macam organisasi usaha seperti rancang bangun dan pengendalian operasi pabrik, penentuan daerah penjualan, dan pengalokasian pusat-pusat distribusi dan gudang. Model ini juga dapat digunakan untuk kebutuhan mesin, lokasi plant, problematika product mix, dan masih banyak lagi, sehingga model ini tidak terlalu terikat dengan transportasi dan distribusi. Penyelesaian kasuskasus tersebut dengan model transportasi telah mengakibatkan biaya yang luar biasa. Edward H. Bowman dari M.I.T pada tahun 1956 telah mengembangkan model itu menjadi sebuah model transportasi dinamik yang melibatkan unsur waktu untuk menyelesaikan masalah penjadwalan produksi. Model ini juga menjadi inspirasi pengembangan model-model Operations Research yang lain seperti Transhipment, Assigment, dan lain-lain.
1
RUMUSAN MASALAH
1. Bagaimana menyelesaikan suatu masalah distribusi barang dengan Metode Transportasi? 2. Bagaimana penerapan Metode Transportasi dengan menggunakan aplikasi POM?
TUJUAN
1. Menjelaskan cara menyelesaikan suatu masalah distribusi barang dengan Metode Transportasi dari tempat yang memiliki atau menghasilkan barang tersebut dengan kapasitas tertentu ke tempat yang membutuhkan barang tersebut dengan jumlah kebutuhan tertentu agar biaya distribusi dapat ditekan seminimal mungkin. 2. Berguna untuk memecahkan permasalahan distribusi (alokasi). 3. Memecahkan permasalahan bisnis lainnya, seperti masalah-masalah yang meliputi pengiklanan, pembelanjaan modal (capital financing) dan alokasi dana untuk investasi, analisis lokasi, keseimbangan lini perakitan dan perencanaan scheduling produksi. 4. Menjelaskan penerapan Metode Transportasi dengan menggunakan aplikasi POM
2
BAB II PEMBAHASAN
2.1
MODEL DASAR TRANSPORTASI
Secara khusus model transportasi berkaitan dengan masalah pendistribusian barang-barang dari pusat-pusat pengiriman atau sumber ke pusatpusat penerimaan atau tujuan. Persoalan yang ingin dipecahkan oleh model transportasi adalah penentuan distribusi barang yang akan meminimumkan biaya model distribusi. Sehingga model transportasi memecahkan masalah pendistribusian barang dari sumber ke tujuan dengan biaya total distribusi minimum.
S1
T1
?
S2
T2
Tn
Sm
Min
Dimana: Si
: Sumber-sumber dari mana barang akan diangkut, untuk i= 1, 2,…,m
T j
: Tujuan-tujuan hendak kemana barang akan diangkut, untuk j= 1, 2,…,n
Bij
: Biaya distribusi dari Si ke T j
Karena ada i sumber dan j tujuan maka ada i x j kemungkinan distribusi dari sumber-sumber ke tujuan-tujuan. Di samping itu, masing-masing sumber mempunyai kemampuan terbatas untuk menyediakan barang, sedangkan masingmasing tujuan mempunyai tingkat permintaan tertentu untuk dipenuhi. Persoalan
3
itu menjadi lebih rumit karena biaya angkut per satuan barang dari sumber i ke tujuan j berbeda. Oleh karena itu, model harus bisa menentukan distribusi yang akan meminimumkan biaya total distribusi dan 1. Tidak melampaui kapasitas sumber-sumber. 2. Memenuhi permintaan tujuan-tujuan 2.1.1
Matriks Transportasi
Model transportasi menggunakan sarana sebuah matriks untuk memberikan gambaran mengenai kasus distribusi. Model Matematis Transportasi
Sebuah matriks transportasi memiliki m baris dan n kolom. Sumbersumber berjajar pada baris ke-1 hingga ke-m, sedang tujuan-tujuan berbanjar pada kolom ke-1 hingga ke-n. Dengan demikian, Xij
: satuan barang yang akan diangkut dari sumber i ke tujuan j
bij
: biaya angkut per satuan barang dari sumber i ke tujuan j
sehingga secara sistematis
∑ ∑
(2.1)
4
Matriks Transportasi Transportasi
TUJUAN SUMBER
S1
S2
T1
X11
X12
X21
C22 X22
. . .
Sm
. . .
Xm1
Xm2
periode
s2
X2n . . .
…..
. . . Cmn
……… …..
sm
Xmn
Kebutuhan tujuan per
C2n
………
Cm2
Cm1
s1
X1n
……… …..
periode C1n
……… …..
Sumber per
Tn
…...
C12
C21
. . .
………
T2 C11
Kapasitas
t1
t2
………
tn
…..
, untuk i = 1, 2,…, m ∑ , untuk i = 1, 2,…, n ∑ Dimana
(2.2) (2.3)
optimal yaitu yang
Penyelesaian persoalan ini akan menghasilkan
akan memenuhi (2.2) dan (2.3) serta membuat (2.1) minimum. Dengan kata lain,
optimal adalah distribusi optimal yang akan meminimumkan biaya distribusi total. Distribusi optimal di dalam model transportasi adalah distribusi barang dari sumber-sumber untuk memenuhi permintaan tujuan agar biaya total distribusi minimum.
5
2.1.2
Masalah Keseimbangan Permintaan dan Penawaran
Di dalam model transportasi, kemampuan sumber-sumber untuk melayani
∑ belum tentu sama dengan tingkat permintaan tujuan-tujuan untuk dilayani atau ∑ . Sehingga ada tiga kemungkinan yang akan terjadi, yaitu: 1. ∑ ∑ 2. ∑ ∑ 3. ∑ ∑ atau
Kemungkinan pertama akan terjadi bila seluruh kapasitas permintaan untuk mengirim barang sama persis dengan seluruh permintaan tujuan. Dalam kasus ini seluruh kemampuan sumber-sumber untuk melayani permintaan tepat digunakan seluruhnya dan seluruh permintaan tujuan-tujuan tepat dipenuhi. Kemungkinan kedua akan terjadi bila seluruh kapasitas permintaan tidak mungkin dipenuhi oleh seluruh sumber-sumber yang tersedia. Dalam kasus ini jelas akan ada permintaan permintaa n lebih dari satu atau lebih lebi h tujuan yang akan dipenuhi dipen uhi sebagian atau tidak dipenuhi sama sekali. Kemungkinan ketiga akan terjadi bila seluruh kemampuan sumber-sumber untuk mengirim barang melampaui tingkat permintaan yang ada. Dalam kasus ini, satu atau lebih sumber, mungkin hanya akan mengirim barang sebagian atau tidak mengirim sama sekali.
2.1.3
Algoritma Trasportasi
Model trasportasi, pada saat dikenalkan pertama kali, diselesaikan secara manual dengan menggunakan algoritma yang dikenal sebagai algoritma transportasi. Algoritma ini cukup dikenal dan masih sering diajarkan hingga tahun 90-an. Flow chart algoritma trasportasi ini bisa dilihat pada Gambar 1. Pertama, diagnosis masalah dimulai dengan pengenalan sumber, tujuan, parameter, dan variabel. Kedua, seluruh informasi tersebut kemudian dituangkan ke dalam matriks transportasi. Dalam hal ini,
Bila kapasitas seluru sumber lebih besar dari permintaan seluruh tujuan maka sebuah kolom semu (dummy) perlu ditambahkan untuk menampung kelebihan kapasitas itu.
6
Bila kapasitas seluruh sumber lebih kecil dari seluruh permintaan tujuan maka sebuah baris semu perlu ditambahkan untuk menyediakan kapasitas semu yang akan memenuhi kelebihan permintaan itu. Jelas sekali bahwa kelebihan permintaan itu tidak bisa dipenuhi. Ketiga, setelah matriks trasportasi terbentuk kemudian dimulai menyusun
tabel awal. Algoritma trasportasi mengenal empat macam metode untuk menyusun table awal, yaitu: 1. Metode Biaya Terkecil atau Lest Cost Method. 2. Metode sudut Barat Laut atau Nort West Corner Method 3. RAM atau Russell’s Approximation Method. 4. VAM atau Vogel Aproximation Method. Keempat metode di atas masing-masing berfungsi untuk menentukan alokasi
distribusi
awal
yang
akan
membuat
seluruh
kapasitas
sumber
teralokasikan ke seluruh tujuan. Secara matematis, penyusunan tabel awal ini dilakukan untuk menjamin pemenuhan kendala-kendala (2.2) dan (2.3) Keempat, setelah penyusunan tabel awal selesai maka sebagai langkah selanjutnya adalah pengujian optimalitas tabel untuk mengetahui apakah biaya distribusi total telah minimum. Secara matematis, pengujian ini dilakukan untuk menjamin bahwa nilai fungsi tujuan minimum (2.1) telah tercapai. Ada dua macam model pengujian optimalitas algoritma trasportasi. 1. Stepping Stone Method 2. MODI atau Modified Distribution Method Kelima, atau langkah yang terakhir adalah revisi tabel bila dalam langkah keempat terbukti bahwa tabel belum optimal atau biaya distribusi total masih mungkin diturunkan lagi. Dengan demikian, jelas sekali bahwa langkah kelima ini tidak akan dilakukan apabila pada langkah keempat telah membuktikan bahwa tabel telah optimal.
7
Awal 1. 2. 3. 4.
Biaya terkecil Sudut Barat Laut V.A.M Russel
Matriks Transportasi
Tabel
1. Stepping Stone 2. M.O.D.I
Test
Stop
Revisi Gambar 1 Flow chart Algoritma Transportasi Transportasi
2.2
KASUS TRANSPORTASI : DENEBULA
Denebula, sebuah perusahaan penghasil suatu jenis jamur mencoba mengembangkan usahanya di daerah Magelang dan Surakarta. Seiring semakin berkembangnya perusahaan, semakin besar pula permintaan yang datang. Perusahaan ini akhirnya membangun beberapa agen untuk melayani permintaan tersebut. Berikut ini agen-agen yang dibentuk: 1. Agen di Purwokerto untuk melayani permintaan daerah Jawa Barat. 2. Agen di Semarang untuk melayani permintaan daerah luar Jawa. 3. Agen di Madiun untuk melayani permintaan daerah Jawa Timur. Selanjutnya, permintaan untuk ketiga agen seperti yang disajikan pada tabel di bawah ini: Agen
Permintaan
Purwokerto
5000 kg
Semarang
4500 kg
Madiun
5500 kg
8
Kemampuan produksi jamur di tiap perusahaannya adalah sebagai berikut: Pusat Penyemaian
Kapasitas
Yogyakarta
4000 kg
Magelang
5000 kg
Surakarta
6000 kg
Berikut adalah biaya angkut per unit dari pusat-pusat penyemaian ke agen-agen, yaitu: Agen
Pabrik
Purwokerto
Semarang
Madiun
Yogyakarta
4
5
7
Magelang
6
3
8
Surakarta
5
2
3
Permasalahan yang dihadapi Denebula adalah penentuan distribusi optimal. Dalam kasus ini Denebula mempunyai Sembilan kemungkinan distribusi. Masing-masing pusat penyemaian harus mendistribusikan jamur ke agen-agen agar permintaan yang ada dapat dipenuhi, tetapi dengan biaya yang paling minimum.
⌂Semarang Purwokerto⌂
○ Magelang
⌂Madiun
○Surakarta ○Yogyakarta
Penyelesaian Denebula:
Kita akan menyelesaikan kasus ini dengan mengunakan algoritma transportasi sebelum menyelesaikannya dengan menggunakan aplikasi POM. Langkah pertama adalah dengan membentuk permasalahan di atas menjadi bentuk matriks transportasi:
9
2.2.1 Tabel Awal Matriks Transportasi Denebula
Ada empat metode yang tersedia, yaitu dengan metode biaya terkecil, metode sudut barat laut, Russel’s Approximation Method (RAM), dan Vogel
Approximation Method (VAM). 1. Metode Biaya Terkecil
Metode Biaya Terkecil ( Least Least Cost Method Method ) adalah sebuah metode untuk menyusun table awal dengan cara pengalokasian distribusi barang dari sumber ke tujuan mulai dari sel yang memiliki biaya distribusi terkecil (Siswanto. 2007:271). Dari tabel awal matriks denebula di atas, sel matriks baris ke-3 kolom ke-2 memiliki biaya distribusi paling kecil, yaitu Rp2,- per kg. Karena kebutuhan tujuan, dalam hal ini Semarang adalah 4500 kg sedangkan kapasitas Surakarta 6000kg, maka kita tulis 4500 sebagai pengganti X 32 32. Sehingga, masih ada sisa 1500kg di pabrik Surakarta.
10
Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta
Tujuan Purwokerto
Semarang
X 11 11
4
X 12 12
X 22 22
3
X 23 23
X 32 32
2 5000
Tujuan
4000
5000
8
X 31 31
Kebutuhan
X 13 13
7
X 21 21
5
Sumber
Madiun
5
6
Kapasitas
X 33 33
6000
3 4500
15000
5500
15000
Selanjutnya, sel yang memiliki biaya terkecil selanjutnya adalah sel 33 (baris ke-3, kolom ke-3) yaitu Rp3,- per kg. Perhatikan bahwa pada sel ini, agen Madiun membutuhkan 5500 kg jamur, tetapi sisa yang ada di sumber Surakarta tinggal 1500 kg karena sebagian tadi telah didistribusikan ke agen Surakarta. Jadi kita tulis 1500 di sel 33, sedangkan sisa 4000 kg kita tulis kemudian. Sel yang memiliki biaya terkecil berikutnya adalah sel 11 (baris ke-1, kolom ke1). Sel ini berkaitan dengan sumber Yogyakarta yang memiliki kapasitas 4000 kg dan agen Purwokerto yang memiliki permintaan 5000 kg. Kita tulis 4000 di sel 11, sedangkan kekurangan sebesar 1000 kg kita tulis kemudian. Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta Kebutuhan Tujuan
Tujuan Purwokerto
Semarang
4000 4
X 12 12
X 22 22
3
X 23 23
8 4500
X 31 31
2 5000
X 13 13
7
X 21 21
5
Sumber
Madiun
5
6
Kapasitas
1500 3
4500
5500
4000
5000
6000 15000 15000
11
Permasalahan sekarang adalah menentukan kekurangan permintaan agenagen yang ada, seperti dari agen Purwokerto yang kekurangan 1000kg, dan agen Madiun yang masih kekurangan 4000kg lagi. Untuk memenuhi perrmintaan agen Purwokerto, pilihan kita sebenarnya adalah dari sumber Surakarta karena memiliki biaya yang paling kecil, yaitu Rp5,- per kg. Tetapi sumber Surakarta sudah tidak mampu menyuplai permintaan tersebut karena seluruh kemampuan Surakarta telah diberikan ke Semarang dan Madiun, maka pilihan selanjutnya jatuh ke Sumber Magelang dengan biaya b iaya yang lebih tinggi, tin ggi, yaitu Rp6,- per kg. Kita tulis 1000 di sel 21. Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta Kebutuhan Tujuan
Tujuan Purwokerto
Semarang
4000 4
X 12 12
X 22 22
3
X 23 23
8 4500
X 31 31
2 5000
X 13 13
7
1000
5
Sumber
Madiun
5
6
Kapasitas
1500 3
4500
5500
4000
5000
6000 15000 15000
Kita tahu, sumber Magelang masih memiliki sisa 4000kg sedangkan agen Madiun masih memmbutuhkan 4000kg lagi untuk memenuhi permintaannya. Untuk itu, kita alokasikan 4000kg tersebut untuk memenuhi kebutuhan agen Madiun. Sejauh ini, kita sudah selesai menyelesaikan persoalan ini. Perhatikan tabel dibawah ini yang menunjukkan tabel metode biaya terkecil denebula lengkap.
12
Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta
Tujuan Purwokerto
Semarang
4000 4
X 12 12
3
Tujuan
5000
8 4500
2 5000
4000
4000
X 22 22
X 31 31
Kebutuhan
X 13 13
7
1000
5
Sumber
Madiun
5
6
Kapasitas
1500
6000
3 4500
5500
15000 15000
Metode Biaya Terkecil ini adalah metode yang paling sederhana dan paling awal untuk menemukan biaya distribusi total paling kecil. Tetapi, keunikan kombinasi biaya distribusi per unit di masing-masing sel dalam sebuah matriks transportasi sering memunculkan masalah-masalah khususyang memerlukan penangan khusus. Pengembangan metode penentuan tabel awal setelah metode biaya terkecil juga dimaksudkan untuk menghilangkan kelemahan-kelemahan tersebut. Tetapi, kadang-kadang metode ini juga sangat efektif karena karakteristiknya untuk memilih biaya terkecil di masing-masing sel (Siswanto. 2007:271). Total biaya yang digunakan dengan menggukan metode ini adalah: Sel
Biaya × Beban
Biaya
(1,1)
4 × 4000
Rp16.000,-
(2,1)
6 × 1000
Rp 6.000,-
(2,3)
8 × 4000
Rp32.000,-
(3,2)
2 × 4500
Rp 9.000,-
(3,3)
3 × 1500
Rp 4.500,Rp67.500,-
2. Metode Sudut Barat Laut North West Corner Corner Method ) adalah sebuah metode Metode Sudut Barat Laut ( North
untuk menyusun tabel awal dengan cara mengalokasikan distribusi barang mulai
13
dari sel yang terletak paling kiri atas, sehingga dinamai metode barat laut (Siswanto. 2007:271). Langkah pertama, kita ambil sel 11 (baris ke-1, kolom ke-1) karena menurut metode ini alokasi yang diprioritaskan adalah sel paling kiri atas. Sumber Yogyakarta berkapasitas 4000kg, tetapi agen Purwokerto memerlukan alokasi sebesar 5000kg, sehingga ada kekurangan 1000kg yang harus dipenuhi. Tulis 4000kg di sel 11. Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta Kebutuhan Tujuan
Tujuan Purwokerto
Semarang
4000 4
X 12 12
X 22 22
3
X 23 23
8
X 31 31
X 32 32
2 5000
X 13 13
7
X 21 21
5
Sumber
Madiun
5
6
Kapasitas
X 33 33
3 4500
5500
4000
5000
6000 15000 15000
Kini sel yang paling kiri atas adalah sel 21. Karena agen Purwokerto masih memerlukan memerlukan 1000kg lagi untuk memenuhi permintaan, maka tulis 1000 pada sel 21 dan permintaan untuk agen Purwokerto telah terpenuhi. Sedangkan sumber Magelang masih memiliki sisa 4000kg untuk didistribusikan ke agen-agen yang lain.
14
Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta
Tujuan Purwokerto
Semarang
4000 4
5
6
X 22 22
X 23 23
X 32 32
2 5000
4000
5000
8
X 31 31
Tujuan
X 13 13
7
3
5
Sumber
Madiun X 12 12
1000
Kebutuhan
Kapasitas
X 33 33
6000
3 4500
15000
5500
15000
Selanjutnya sel 22 merupakan sel yang terletak paling kiri atas (sel 12 tidak mungkin dipilih karena seluruh kemampuan Yogyakarta sudah digunakan untuk agen Purwokerto). Karena sumber Magelang masih memiliki 4000kg, maka alokasi bahan tersebut digunakan sepenuhnya untuk memenuhi permintaan di Semarang. Sehingga Semarang masih membutuhkan 500kg lagi untuk memenuhi permintaanya. Sumber satu-satunya yang masih ada adalah dari Semarang, sehingga suplai 500kg dialokasikan dari sumber Semarang (sel 32 ditulis 500). Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta Kebutuhan Tujuan
Tujuan Purwokerto
Semarang
4000 4
Kapasitas
X 12 12
5 1000
6
4000
X 23 23
8 500
X 31 31
2 5000
X 13 13
7
3
5
Sumber
Madiun
X 33 33
3 4500
5500
4000
5000
6000 15000 15000
Sel kiri atas selanjutnya adalah sel 23. Tetapi perhatikan bahwa seluruh bahan di sumber Magelang sudah habis digunakan untuk memenuhi agen Purwokerto dan Semarang. Satu-satunya sel yang mungkin digunakan adalah sel
15
33. Sumber Surakarta memiliki sisa bahan 5500kg sehingga cukup untuk memenuhi kebutuhan agen Madiun. Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta
Tujuan Purwokerto
Semarang
4000 4
5
6
4000
X 23 23
8 500
X 31 31
2 5000
Tujuan
X 13 13
7
3
5
Sumber
Madiun X 12 12
1000
Kebutuhan
Kapasitas
5500 3
4500
4000
5000
6000 15000
5500
15000
Proses pengisian sel-sel menurut aturan barat laut disajikan pada tabel berikut: Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta Kebutuhan Tujuan
Tujuan Purwokerto
Semarang
4000 4
Kapasitas
X 12 12
5 1000
6
4000
X 23 23
8 500
X 31 31
2 5000
X 13 13
7
3
5
Sumber
Madiun
5500 3
4500
5500
4000
5000
6000 15000 15000
16
Biaya distribusi berdasarkan alokasi beban distribusi menurut metode sudut barat laut adalah: Sel
Biaya × Beban
Biaya
(1,1)
4 × 4000
Rp16.000,-
(2,1)
6 × 1000
Rp 6.000,-
(2,3)
3 × 4000
Rp12.000,-
(3,2)
2 × 500
Rp 1.000,-
(3,3)
3 × 5500
Rp 16.500,Rp51.500,-
3.
Russel’s Approximation Approximation Method (RAM) Method (RAM)
Russel’s Approximation Method adalah metode penyusunan tabel awal
dengan menggunakan pendekatan selisih biaya terbesar antara biaya distribusi masing-masing sel dengan biaya distribusi terbesar pada masing-masing baris dan kolom dimana sel itu berada (Siswanto. 2007:271). Rumus yang digunakan:
dengan:
= Selisih biaya distribusi Russell Bij = Biaya distribusi sel pada baris ke-i dan kolom ke- j j Ri = Biaya distribusi terbesar pada baris ke-i T j = Biaya distribusi terbesar pada kolom ke- j j
Sel yang dipilih adalah sel yang memiliki
negatif terbesar (bilangan
paling kecil) sebagai sel yang akan dialokasikan beban distribusi maksimum yang dimungkinkan.
17
Langkah pertama hitung Ri dan T j untuk setiap baris ke-i dan kolom ke- j j. Perhatikan tabel berikut: Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta
Tujuan Purwokerto
5
6
T j
Magelang
Surakarta Kebutuhan Tujuan T j
X 23 23
8 X 32 32
2
X 33 33
3
5000
4500
5500
6
5
8
Langkah kedua, hitung
Yogyakarta
X 22 22
X 31 31
Tujuan
X 13 13
7
3
5
Sumber
Madiun
X 12 12
X 21 21
Kebutuhan
Sumber
Semarang
X 11 11
4
Kapasitas
5000
8
6000
5
15000
-9
Kapasitas
Semarang
X 11 11
5
X 13 13
-7 7
-8
X 22 22
-7 3
-10
X 31 31
X 23 23
8
-8
X 32 32
-6 2
Sumber
Madiun
X 12 12
X 21 21
5
7
di setiap sel. Perhatikan tabel berikut:
Purwokerto
6
4000
15000
Tujuan
4
Ri
X 33 33
-8 3
-10
5000
4500
5500
6
5
8
Ri
4000
7
5000
8
6000
5
15000 15000
yang memiliki nilai negatif terbesar. Dalam tabel di atas, sel 22 dan sel 23 memiliki yang memenuhi, Langkah selanjutnya adalah menentukan
yaitu -10. Selanjutnya, alokasikan beban (permintaan yang ada) pada kedua sel tersebut. Perhatikan tabel berikut:
18
Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta
Tujuan Purwokerto
Semarang
X 11 11
4
Tujuan T j
X 23 23
4500
3
8
X 31 31
Kebutuhan
X 13 13
7
X 21 21
5
Sumber
Madiun
X 12 12
5
6
Kapasitas
X 32 32
2
5500
3
5000
4500
5500
6
5
8
Ri
4000
7
5000
8
6000
5
15000 15000
Langkah selanjutnya adalah menentukan Ri dan T j lagi ( R Ri dan T j tahap II) dilanjutkan dengan menghitung Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta Kebutuhan Tujuan T j
. Perhatikan tabel berikut: Tujuan
Purwokerto
Semarang
X 11 11
4
X 13 13
7
X 21 21
X 23 23
4500
-6 3
8
X 31 31
5
Madiun
X 12 12
-6 5
6
Kapasitas
X 32 32
-6 2
5500
3
5000
4500
5500
6
-
-
Perhatikan bahwa seluruh sel memiliki nilai
Sumber
Ri
4000
4
5000
6
6000
5
15000 15000
yang sama, yaitu -6. Oleh
karena itu, kita tinggal mengalokasikan sisa beban distribusi ke seluruh sel pada kolom pertama. Sumber Yogyakarta dialokasikan ke agen Purwokerto, sehingga kita isi sel 11 dengan 4000. Pada tabel di atas, sumber Surakarta masih memiliki sisa 500 kg. Tambahkan 500kg tersebut ke sel 31. Untuk memenuhi permintaan agen Purwokerto yang sekarang tinggal 500 kg, ambil dari sumber Magelang yang memang masih bersisa 500 kg. Sehingga diperoleh:
19
Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta Kebutuhan Tujuan T j
Tujuan Purwokerto
Semarang
-6 5
X 23 23
4500
-6 3
8 X 32 32
500
5
X 13 13
7
500
6
Madiun
X 12 12
4000
4
Kapasitas
-6 2
5500
3
5000
4500
5500
6
-
-
Sumber
Ri
4000
4
5000
6
6000
5
15000 15000
Sampai sejauh ini kita telah berhasil memecahkan masalah ini dengan metode pendekatan Russell. Selanjutnya, biaya distribusi berdasar alokasi beban distribusi yang diperoleh dari tabel di atas adalah: Sel
Biaya × Beban
Biaya
(1,1)
4 × 4000
Rp16.000,-
(2,1)
6 × 500
Rp 3.000,-
(2,3)
3 × 4500
Rp13.500,-
(3,2)
5 × 500
Rp 2.500,-
(3,3)
3 × 5500
Rp 16.500,Rp51.500,-
4.
Vogel’s Approximation Method (VAM) Method (VAM)
Vogel’s Approximation Method adalah metode penentuan tabel awal
algoritma transportasi (Siswanto. 2007:271). Metode ini digolongkan metode yang rumit, karena ada beberapa langkah yang harus diperhatikan. Tetapi, dalam metode ini tidak ada jaminan bahwa penentuan tabel awal dengan metode VAM pasti menghasilkan penyelesaian optimal, maka pengujian tabel awal harus tetap dilaksanakan. Ada tiga tahap yang harus dilakukan pada setiap alokasi distribusi untuk menentukan alokasi distribusi pada sel yang memiliki Cij terkecil dan terletak pada baris atau kolom yang memiliki nilai terbesar dari selisih dua Cij, yaitu:
20
a.
Penentuan selisih nilai Cij terkecil
Langkah pertama adalah menentukan selisih dua nilai C ijij yang paling kecil tiap baris dan kolom. Perhatikan baris 1, dimana nilai C terkecil berturut-turut adalah 4 (yaitu C 11 11) dan 5 (yaitu C 12 12). Sehingga selisih kedua nilai C tersebut adalah |4 – 5| = 1. Demikian pula untuk kolom 3, dua nilai C terkecil berturut-turut adalah 3 (yaitu C 33 33) dan 7 (yaitu C 13 13), sehingga selisih kedua nilai tersebut adalah |3 – 7| = 4. Selanjutnya dicari selisih dua C ijij terkecil tersebut tiap baris dan kolom. b.
Pemilihan nilai terbesar dari selisih dua C ijij terkecil
Setelah langkah a selesai, langkah selanjutnya adalah memilih selisih nilai terbesar sebagai dasar alokasi. Setelah dihitung, kolom 3 merupakan kolom kunci karena memiliki selisih nilai C terkecil yang nilainya paling besar, yaitu 7. Perhatikan tabel berikut: Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta Kebutuhan Tujuan
Tujuan Purwokerto
Semarang
X 11 11
4
X 13 13
7
X 21 21
X 22 22
3
X 23 23
8
X 31 31
5
Sumber
Madiun
X 12 12
5
6
Kapasitas
X 32 32
2
X 33 33
3
5000
4500
5500
1
1
4
4000
1
5000
3
6000
1
15000 15000
selisih C terbesar, sehingga kolom ini adalah kolom terpilih (kunci)
c.
Alokasi pada sel dengan Cij terkecil pada kolom terpilih
Pada tabel di atas, kolom terpilih adalah kolom tiga. Oleh karena itu, pengalokasian pertama adalah pada kolom tiga. Agen Madiun memiliki permintaan sebesar 5.500 kg. Sumber yang dipilih untuk memnuhinya adalah yang memiliki nilai Cij terkecil, yaitu C33 = 3. Sel tersebut merupakan sel dengan
21
sumber dari Surakarta, sehingga kita alokasikan 5.500 kg dari Surakarta ke agen Madiun, sehingga brsisa 500 kg. Proses ini diulang-ulang (kolom ke-3 sudah tidak lagi diperhitungkan), sehingga hasilnya diperoleh seperti tabel di bawah ini. Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta Kebutuhan Tujuan
Tujuan Purwokerto
Semarang
X 11 11
4
X 13 13
7
X 21 21
X 22 22
3
X 23 23
8
X 31 31
5
Madiun
X 12 12
5
6
Kapasitas
X 32 32
2
5500
3
5000
4500
5500
1
1
-
Sumber 4000
1
5000
3
6000
3
15000 15000
Kita pilih salah satu dari baris kedua dan ketiga sebagai baris kunci karena memiliki selisih nilai terbesar. Kita pilih baris ketiga (tidak ada kriteria khusus baris mana yang harus dipilih jika nilainya sama) sebagai baris kunci. Sumber Surakarta masih memiliki sisa 500 kg sehingga harus didistribusikan ke agenagennya. Kita pilih Cij terkecil di baris ketiga. Cij terkecil tersebut adalah C32 = 2, sehingga 500 kg tersebut didistribusikan ke agen Semarang.
22
Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta
Tujuan Purwokerto
Semarang
X 11 11
4
X 22 22
3
Tujuan
X 23 23
8
X 31 31
Kebutuhan
X 13 13
7
X 21 21
5
Madiun
X 12 12
5
6
Kapasitas
500
2
5500
3
5000
4500
5500
2
2
-
Sumber 4000
1
5000
3
6000
-
15000 15000
Selisih terbesar selanjutnya adalah 3, yaitu baris kedua. Baris kedua kita jadikan sebagai baris kunci. k unci. Cij terkecil dibaris kedua adalah C22, sehingga kita alokasikan di sel 22. Kita isi sel 22 dengan 4000, sehingga sumber Magelang masih memiliki sisa 1000 kg. Karena agen yang belum dipasok adalah agen Purwokerto sehingga sisa tersebut dialokasikan ke agen Purwokerto. Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta Kebutuhan Tujuan
Tujuan Purwokerto
Semarang
X 11 11
4
X 13 13
7
1000
4000
3
X 23 23
8
X 31 31
5
Madiun
X 12 12
5
6
Kapasitas
500
2
5500
3
5000
4500
5500
2
2
-
Sumber 4000
1
5000
-
6000
-
15000 15000
Kita tinggal mengisi X11 dengan 4000 karena agen Purwokerto masih kekurangan 4000 kg lagi. Tabel lengkap matriks transportasi Denebula dengan menggunakan VAM disajikan sebagai berikut:
23
Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta Kebutuhan Tujuan
Tujuan Purwokerto
Semarang
4000
4
X 13 13
7
1000
4000
3
X 23 23
8
X 31 31
5
Madiun
X 12 12
5
6
Kapasitas
500
2
5500
3
5000
4500
5500
-
-
-
Sumber 4000
-
5000
-
6000
-
15000 15000
Dengan demikian, biaya distribusi berdasarkan alokasi beban distribusi sementara menurut VAM adalah Sel
Biaya × Beban
Biaya
(1,1)
4 × 4000
Rp16.000,-
(2,1)
6 × 1000
Rp 6.000,-
(2,3)
3 × 4000
Rp12.000,-
(3,2)
2 × 500
Rp 1.000,-
(3,3)
3 × 5500
Rp 16.500,Rp51.500,-
Perbandingan hasil alokasi beban sementara dengan menggunakan NWC, RAM, dan VAM menunjukkan biaya distribusi total yang sama walaupun alokasi bebannya berbeda. Kasus ini disebut dengan multiple optimal solution. Meskipun ketiga metode penyusunan tabel awal itu menghasilkan beban biaya distribusi yang sama, namun biaya distribusi total yang dihasilkan dengan menggunakan metode tersebut elum tentu minimum. Tidak ada jaminan sama sekali bahwa pemilihan salah satu meode penyusunan tabel awal akan memberikan hasil terbaik dalam hal biaya distribusi total minimum.
2.2.2 Optimalitas Distribusi Denebula
Tujuan dari pengujian tabel awal adalah untuk mengetahui apakah masih ada alternative alokasi distribusi yang akan membawa beban biaya distribusi total
24
lebih rendah disbanding beban biaya distribusi total menurut alokasi distribusi tabel awal. Perbandingan antara ketiga metode penyusunan tabel awal bisa dilihat pada Peraga . ternyata VAM, RAM, dan metode sudut barat memiliki biaya distribusi total yang sama dan lebih rendah disbanding metode biaya terkecil. Oleh karena itu, kita akan menguji dua tabel awal yang menghasilkan biaya distribusi total berbeda tersebut. Ada dua macam metode pengujian tabel awal yang tersedia di dalam algoritma transportasi, yaitu: 1. Modified Distribution 2. Stepping Stone 2.2.2.1 Degenerasi dan Redundasi
Degenerasi (degeneration) dan redundansi (redundancy) adalah gejala yang mungkin muncul pada tabel awal. Tes optimalitas baik menggunakan MODI maupun Stepping Stone baru bisa dilakukan bila jumlah sel yang terkena alokasi distribusi pada tabel awal adalah:
Dimana, m=jumlah baris n=jumlah kolom Seandainya alokasi distribusi pada tabel awal tidak akan diuji untuk mengetahui optimalitas tabel, maka masalah jumlah sel pada tabel awal tersebut tidak perlu diperhatikan. Aturan di atas harus dipenuhi bila dan hanya bila tes optimal akan dilakukan. Dua kemungkinan yang akan muncul sebagai konsekuensi logis dari aturan diatas adalah degenerasi dan redundansi. Gambar 2. perbandingan distribusi antar ketiga metode
Metode
Distribusi Dari
Ke
Unit (kg)
Biaya
Total
Biaya
Surakarta
Semarang
4500
2,-
9000
terkecil
Surakarta
Madiun
1500
3,-
4500
Yogyakarta Purwokerto
4000
4,-
16000
Magelang
Purwokerto
1000
6,-
6000
Magelang
Madiun
4000
8,-
32000 67500
25
Sudut barat
Yogyakarta Purwokerto
4500
4,-
16000
laut
Magelang
Purwokerto
1000
6,-
6000
Magelang
Semarang
4000
3,-
12000
Surakarta
Semarang
500
2,-
1000
Surakarta
Madiun
5500
3,-
16500 51500
RAM
Surakarta
Purwokerto
500
5,-
2500
Surakarta
Madiun
5500
3,-
16500
Magelang
Semarang
4500
3,-
13500
4000
4,-
16000
500
6,-
3000
Yogyakarta Purwokerto Magelang
Purwokerto
51500 VAM
Surakarta Surakar ta
Madiun
5500
3,-
16500
Surakarta
Semarang
500
2,-
1000
Magelang
Semarang
4000
3,-
12000
Yogyakarta Purwokerto
4000
4,-
16000
Magelang
1000
6,-
6000
Purwokerto
51500
Degenerasi
Gejala degenerasi muncul di dalam tabel awal bila jumlah sel yang terkena alokasi distribusi lebih kecil dari aturan [m+n-1] atau terjadi kekurangan sel yang terkena alokasi distribusi. Sebagai jalan keluar adalah alokasi distribusi semu pasa sel yang belum terisis agar aturan [m+n-1] itu terpenuhi. Dalam hal ini, alokasi distribusi semu itu adalah alokasi distribusi yang sangat kecil dengan notasi ε
(epsilon) di mana,
26
Redundansi
Gejala redundansi muncul di dalam tabel awal bila jumlah sel yang terkena alokasi distribusi lebih besar dari [m+n-1] atau terjadi kelebihan sel yang terkena alokasi distribusi. Sebagai jalan keluarnya adalah pemindahan atau penggabungan alokasi distribusi ke sel yang lain sedemikian rupa sehingga aturan [m+n-1], (1.2), dan (1.3) terpenuhi. Pada kasus Denebula, diketahui bahwa m atau jumlah baris adalah tiga dan n atau jumlah kolom adalah tiga sehingga aturan [m+n-1] akan terpenuhi bila jumlahsel yang teralokasi pada tabel awal adalah 3+3-1=5. 3+3 -1=5. Secara kebetulan, dua gejala tersebut tidak seluruhnya muncul pada keempat tabel awal yang menggunakan metode biaya terkecil. Sudut barat laut, RAM, dan VAM, lihat pada Gambar 2 . Dengan demikian, tes optimal segera bisa dilakukan. 2.2.3
Modified Distribution Method
MODI atau Modified Distribution menguji optimalisasi tabel dengan cara menghitung opportunity cost pada sel-sel yang tidak terkena alokasi distribusi. Opportunity Cost adalah biaya yang harus kita tanggung bila satu alternative keputusan dipilih. Dalam hal ini, bila sel-sel kosong tersebut ternyata memiliki opportunity cost positif maka menurut metode ini dikatakan bahwa tabel belum optimal berhubung masih ada alternatif distribusi yang akan memberikan biaya total distribusi lebih rendah. Jadi menurut metode MODI, tabel akan dikatakan optimal bila dan hanya bila opportunity cost sel-sel kosong adalah negative atau nol. Bila,
: Angka kunci pada setiap baris i. : Angka kunci pada setiap kolom j. : Biaya distriusi yang nyata pada sel ij. : Opportunity cost pada sel ij. Dimana untuk seluruh sel yang telah memperoleh alokasi distribusi. Mala untuk seluruh sel berlaku:
( )
27
Dalam hal ini, (1.4) digunakan untuk : 1. Menentukan nilai
dan : untuk seluruh baris dan kolom dengan
untuk seluruh sel-sel yang terisi. Menentukan opportunity cost pada seluruh sel-sel kosong.
pedoman 2.
Bila dijumpai paling sedikit satu sel kosong yang memiliki opportunity cost positif atau
maka dikatakan bahwa tabel belum optimal bila dan
hanya bila:
( ) Atau
( ) 2.2.3.1 MODI Menguji Metode Biaya Terkecil Denebula
dan untuk seluruh baris da kolom dengan menggunakan [1-4]. Peraga 3.1 menayangkan tambahan atribut dan pada Pertama, penentuan nilai
tabel awal Denebula yang disusun menggunakan metode biaya terkecil.
untuk seluruh sel isi maka kita hanya perlu menentukan sebuah angka kunci pada dan agar bisa menentukan nilai dan yang lain. Angka kunci itu sembarang dan bisa diletakkan di mana saja, Dengan berpedoman pada
pada baris atau kolom. Pada peraga…,angka peraga…,angka kunci itu adalah 0, untuk tujuan
memudahkan perhitungan,dan diletakkan pada baris pertama. Karena
untuk seluruh sel isi, maka, dari (1.4),
( )
Karena
dan maka menurut (1.5),
Dalam hal ini, sekali lagi perlu ditekankan bahwa angka 0 yang dipilih untuk
adalah benar-benar angka sembarang. Pilihan itu semata-mata agar
memudahkan perhitungan. Kita bisa saja memilih angka bukan 0 dan
28
menempatkannya di tempat lain; alternative semacam ini pasti akan membawa hasil yang tidak berbeda.
Gambar
MODI,
Sumber Yogyakarta
untuk menentukan Tujuan Sem
Pur
3
Kebutuhan tujuan
2
Gambar MODI, Sumber
tujuan
1500
15000 15000
2
Pur
Tujuan Sem
Mad
3
0
4000
1500
8
4000 2
7
1000
Kapasitas sumber
5
6
Kebutuhan
dan maka
Magelang
Surakarta
4000
3
2
0
8
4500
7
1000 6
Yogyakarta
5
Magelang
Surakarta
Mad
Kapasitas sumber
3
15000 15000
4
29
digunakan untuk menentukan nilai karena sel 21 adalah sel isi di mana . Menurut (1.5), . Dengan cara yang sama kini kita bia menentukan nilai . Karena dan sel 23 adalah sel isi maka Setelah diketahui, kini kita bisa menentukan karena sel 34 adalah sel isi. Karena dan , maka menurut (1.5) . Yang terakhir, karena telah diketahui dan sel 32 adalah sel isi maka . Meringkas seluruh langkah diatas maka peraga menayangkan seluruh langkah pertama MODI, yaitu penentuan seluruh nilai dan . Selanjutnya, nilai
Ke-2. Menentukan opportunity cost seluruh sel kosong. Dalam kasus ini ada empat buah sel kosong. Menurut (1.4)
Gambar MODI, Sumber Yogyakarta
karena maka Pur
Kebutuhan tujuan
0
4000
2
1500
8
4000 2
7
3
33
1000 6
Kapasitas sumber
Mad
5
Magelang
Surakarta
Tujuan Sem
3
15000 15000
4
30
Gambar MODI, Sumber Yogyakarta
karena dan Pur
Sumber
tujuan
1500
Tujuan Sem
Mad
15000 15000
4000 3
2
4
0
2
8
4000
7
1000
Kapasitas sumber
33 5
6
Kebutuhan
2
karena maka
Magelang
Surakarta
6
Pur
4000
3
4
Gambar MODI,
Yogyakarta
2
tujuan
0
8
4000
Kebutuhan
7
3
33
1000 6
Kapasitas sumber
Mad
5
Magelang
Surakarta
Tujuan Sem
1500
3
-3
15000 15000
6
31
Gambar MODI, Sumber Yogyakarta
Pur
maka
Tujuan Sem
tujuan
2
4
0
4000
2
1500
-3
8
4000
Kebutuhan
7
3
33
1000 6
Kapasitas sumber
Mad
5
Magelang
Surakarta
karena
3
5
15000 15000
6
atau atau atau atau
belum optimal
Ternyata sel 22 mempunyai opportunity cost positif 4. Ini berarti bahwa altenatif alokasi distibusi pada sel ini akan menghasilkan biaya total distribusi yang lebih rendah. Oleh karena itu, tabel awal Denebula yang disusun menggunakan metode biaya terkecil harus direvisi. Apakah tabel awal yang disusun dengan menggunakan metode sudut barat laut dan VAM juga belum optimal? untuk mengetahuinya kita harus melakukan pengujian pada kedua metode tersebut.
32
Gambar MODI, langkah langka h pertama lengkap Sumber Yogyakarta
Pur
Kebutuhan tujuan
2
4
0
4000
2
1500
-3
8
4000
7
3
33
1000 6
Kapasitas sumber
Mad
5
Magelang
Surakarta
Tujuan Sem
3
5
15000 15000
6
2.2.3.2 MODI Menguji Metode Sudut Barat Laut dan VAM Denebula.
Secara kebetulan bahwa tabel awal yang disusun menggunakan metode sudut barat laut atau North West Corner (N.W.C) menghasilkan biaya total sama dengan tabel awal yang disusun menggunakan RAM dan VAM. Dengan demikian, kita tidak perlu mengujinya satu per satu. Kita dalam hal ini tidak akan melakukannya dalam tahap demi tahap seperti yang telah dilakukan sebelumnya, melainkan secara langsung. menayangkan pengujian MODI secara langsung, mulai dari penentuan angka kunci
dan hingga perhitungan opportunity cost
sel-sel kosong. Angka yang dikotaki di dalam sel kosong menunjukkan opportunity cost sel itu. Ternyata opportunity cost seluruh sel kosong adalah negative, ini berarti tidak ada kemungkinan untuk biaya total distribusi menjadi lebih rendah; jadi tabel telah optimal. 2.2.4 Stepping Stone
Stepping Stone menguji optimalitas tabel awal dengan cara perhitungan Cij sel-sel kosong yang dilewati oleh jalur stepping stone. Metode ini membuat satu jalur tertutup untuk setiap s etiap sel kosong dimana sel-sel sel -sel isi yang lain didalam dida lam jalur tertutup itu dipandang sebagai batu untuk berpijak guna melangkah ke batu berikutnya. Maksud pembuatan jalur tertutup ini adalah untuk membuat percobaan guna memindahkan satu unit beban distribusi sepanjang jalur tertutup
33
itu. Penghitungan untuk memindahkan satu unit beban itu menggunakan dasar jalur tertutup (+) atau (-) ( -) dimana tanda (+) pertama kali kal i diberikan kepada sel kosong dan selanjutnya tanda (-) diberikan kepada sel isi berikutnya. Pemberian tanda itu kemudian diteruskan secara bergantian kepada sel-sel isi berikutnya hingga kembali ke sel kosong. Tanda (+) menandai penambahan beban distribusi satu unit yang tentu saja akan berakibat pada penambahan biaya distribusi sebesar Cij, sedang tanda (-) menandai pengurangan beban distribusi satu unit yang akan berakibat pada pengurangan biaya distribusi sebesar Cij. Gambar 1, menayangkan sebuah tabel awal kasus transportasi dan sedang diuji optimalitasnya dengan menggunakan metode stepping stone. Tabel ini telah memenuhi syarat (m + n – 1) dimana jumlah sel kosong adalah enam. Dengan demikian, kita harus membuat enam jalur tertutup yang saling terpisah dan dimulai dari masing-masing sel kosong. Jalur tertutup pertama dimulai dari sel kosong (+)21. Ibarat batu pijakan, sel-sel isi (-)11 (+)13 (-)33 (+)32 (-)22 dilewati oleh sebuah jalur tertutup. Jika tujuan pembuatan jalur tertutup itu untuk mengetahui perubahan biaya yang akan terjadi bila satu unit beban dipindahkan melalui jalur tertutup itu maka usaha untuk melibatkan lebih dari satu sel kosong dalam sebuah jalur tertutup hanya akan menyebabkan penghitungan ganda dan meniadakan peluang untuk mengetahui kemungkinan lain pemindahan beban yang akan membuat perubahan biaya yang berbeda. Pemindahan ke sel kosong 21 SUMBER
TUJUAN T1
S1
T2 12
13 X12
400
500 10 X2n
700 10
9
12
+ 200
4 700
-
X21
Xm1
6 X1n
4
+
Kebutuhan tujuan
4 100
6
S3
T4
+
S2
T3
Kapasitas sumber
100
4 800 500 2000
400
900
200
500
2000
34
Bila percobaan pemindahan beban satu unit distribusi sepanjang jalur itu menghasilkan jumlah Cij positif maka hal ini menunjukkan bahwa realokasi distribusi pada jalur itu justru akan menambah biaya distribusi total, sebaliknya bila pemindahan beban satu unit distribusi sepanjang jalur itu menghasilkan jumlah Cij negative maka hal ini menunjukkan menu njukkan bahwa realokasi realoka si distribusi pada jalur itu justru akan mengurangi men gurangi biaya distribusi distribus i total. Oleh karena itu, jumlah Cij negative sepanjang jalur Stepping Stone pada dasarnya menandai tabel yang belum optimal sehingga realokasi distribusi pada jalur tersebut perlu dilakukan. Metode Stepping Stepping Stone menguji menguji optimalitas tabel dengan dengan cara percobaan percobaan untuk memindahkan memindahkan satu unit beban distribusi ke sel-sel kosong agar bisa diketahui perubahan biayanya.
Pemindahan ke sel kosong 31 dan 12 SUMBER TUJUAN T1 T2 T3 S1 12 13
T4 4
6 500
+
400
+
X12
S2
Kapasitas sumber
6
X1n
-
100 4
10
4 700
X21
X2n
700
S3
10
9
12
+
800
-
Xm1
-
200
Kebutuhan 400 900 tujuan Pemindahan ke sel kosong 23, 14, dan 24 SUMBER
+
100
4 500
200
500
2000 2000
TUJUAN T1
S1
T2 12
T3 13
T4 4
6
-
400 S2
6 -
4
100 -
Kapasitas sumber 500
+ X1n 10
11 700
X21 S3
9
+ 4
12
-
+
Xm1 Kebutuhan tujuan
700 6 + 200
+
100
800
500
+
2000 400
900
200
500
2000
35
2.2.4.1 Stepping Stone Menguji Tabel Awal Denebula
Dengan melihat tabel awal Nebula yang disusun dengan metode sudut barat laut atau VAM, gambar 4, pertama, buat jalur tertutup (+)31 (-)21 (+)22 (-)32. Pemindahan 1 unit distribusi sepanjang jalur tersebut ternyata akan membuat biaya distribusi naik dengan + 5 – 6 + 3 – 2 = 0 untuk setiap unit distribusi yang dipindahkan. Stepping Stone, pengujian sel 31 dan 32. SUMBER
Tujuan T2 X12
T1 4000
Yogyakarta
Kapasitas sumber
T3 X13
4000 4
5
Magelang
1000
7 4000
-
8
X31
500
+
-2 5500
0
6000
-
5
+3
5000
3
Surakarta
-6
X23
+
6
+5
2
Sel 31, 32
3
Kebutuhan 5000 4500 5500 1500 tujuan 15000 Kedua, buat jalur tertutup (+)12 (-)22 (+)21 (-)11. Pemindahan 1 unit distribusi sepanjang jalur tersebut ternyata akan membuat biaya distribusi naik dengan + 5 – 2 + 5 – 4 = + 4 untuk setiap unit distribusi yang dipindahkan. Stepping Stone SUMBER
Tujuan T2 X12
T1 4000
Yogyakarta
-
X13 4000
5 1000
X23
3 X31
+6 5000
-
6
8 500
Kebutuhan tujuan
2 5000
-4 +4
5500 6000
5
+5 -3
7 4000
+ Surakarta
T3
+
4 Magelang
Kapasitas sumber
Sel 12
3 4500
5500
1500 15000
36
Ketiga, buat jalur tertutup (+)13 (-)33 (+)31 (-)11. Pemindahan 1 unit distribusi sepanjang jalur tersebut ternyata akan membuat biaya distribusi naik dengan + 7 – 3 + 5 – 4 = + 5 untuk setiap distribusi yang dipindahkan. Stepping Stone, pengujian sel 13 SUMBER
Tujuan T2 X12
T1 4000
Yogyakarta
T3 X13
5
-
4000
4 Magelang
Kapasitas sumber
-3
7 1000
4000
+ Surakarta
X23
3
8
X31
500 2
-
-3 +6
5500
+ 5
+2 5000
-
6
+7
6000
-4
3
Sel 13 Kebutuhan 5000 4500 5500 1500 tujuan 15000 Percobaan tersebut merupakan pemindahan beban 1 unit distribusi ke selsel kosong yang dilalui jalur Stepping Stone ternyata menghasilkan Cij (+) untuk seluruh sel kosong. Hal ini jelas menunjukkan bahwa pemindahan beban distribusi ke sel-sel itu akan berakibat pada kenaikan biaya distribusi total sebesar: Sel 11,
4000 x 4,- = Rp. 16.000,-
Sel 21,
1000 x 6,- = Rp. 6.000,-
Sel 22,
4000 x 3,- = Rp. 12.000,-
Sel 32,
500 x 2,- = Rp. 1.000,-
Sel 33,
5500 x 3,- = Rp. 16.500,Rp. 51.500
Pada penghitungan sel-sel tersebut dikatakan telah optimal. 2.2.5 Revisi Denebula
Revisi di dalam algoritma transportasi bertujuan untuk merealokasi distribusi agar biaya total distribusi menjadi rendah. Realokasi distribusi itu pada dasarnya merupakan proses coba-coba untuk memindahkan alokasi distribusi pada suatu sel ke sel yang lain. Dasar yang digunakan adalah pemindahan alokasi distribusi ke sel kosong yang memiliki opportunity cost positif. Namun karena alokasi distribusi pada sebuah matriks transportasi terikat pada kendala-kendala:
37
, untuk i = 1, 2,…, m ∑ , untuk i = 1, 2,…, n (1.3): ∑
(1.2):
Maka realokasi distribusi itu harus memenuhi (1.2) dan (1.3). Oleh karena itu, sebuah jalur tertutup berfungsi sebagai: 1. Pedoman realokasi distribusi 2. Penjaga (1.2) dan (1.3) agar tetap dipenuhi Untuk memenuhi poin kedua, maka realokasi distribusi pada jalur tertutup itu harus seimbang dimana penambahan distribusi ke suatu sel harus mengurangi distribusi sel lain dalam jumlah yang sama. 11
12 1000
-
+
21
22 700
+
500
Gambar 5.
Anggap bahwa sel 12 pada gambar 5 memiliki opportunity cost positif. Pertama kali tanda (+) ditempatkan pada sel 12 yang menandakan bahwa ke sel ini harus dialokasikan suatu distribusi. Kemudian sebagai imbangannya sel isi 22 harus diberi tanda (-), artinya harus dikurangi dengan suatu beban distribusi sebesar tambahan alokasi distribusi ke sel 12 agar (1.3) terpenuhi. Selanjutnya agar (1.2) terpenuhi maka sel 21 harus diberi tanda (+) yang berarti ke sel 21 harus dialokasikan tambahan distribusi sebesar yang akan dikurangkan pada sel 22 sebagai sel isi dalam jalur yang akan memiliki alokasi beban terkecil saat ini. Agar (1.3) terpenuhi maka sel isi 11 harus diberi tanda (-) agar beban distribusinya dikurangi sebesar tambahan distribusi ke sel kosong 12. Disini terlihat jelas bahwa tanda (-) pada sel 11dan (+) pada sel 12 juga menjamin agar (1.2) terpenuhi dan juga merupakan gagasan jalur tertutup sebagai dasa revisi alokasi distribusi pada algoritma transportasi.
38
Sel kosong 12 yang memiliki opportunity cost positif memperoleh alokasi distribusi sebesar 500, yaitu sebesar beban distribusi maksimum yang bisa dipindahkan dari sel isi 22 yang memiliki beban alokasi terkecil saat ini. Karena (1.2) dan (1.3) harus terpenuhi, maka beban distribusi sebesar 500 dipindahkan ke sel 12. 11
12 500
500
-
+
21
22 1200
0
+
Gambar 6
Dalam kasus revisi Denebula yaitu tabel awal yang disusun denagn menggunakan metode biaya terkecil dan menghasilkan biaya total distribusi Rp 67.500,-, sel 22 adalah sel satu-satunya sel kosong yang memiliki opportunity cost positif, yaitu +4. Oleh karena itu, jalur tertutup akan dimulai dari sel 22. Tujuan
Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta Kebutuhan
Pur
Sem
4
X12
5 1000 +4
6
X13
4000
X23
5000
5500
6000
4000 8
X31
500 2
5000
-1 7
3
5
Sumber
Mad
4000 0
-4
Kapasitas
3 4500
5500
tujuan
1500 15000
Gambar Opportunity Cost sel kosong
Ada beberapa alternatif jalur tertutup yang dimulai dari sel 31, namun akan dipilih jalur tertutup 22 23 33 32. Pada dasarnya tidak ada pedoman yang bisa digunakan secara konsisten untuk membuat jalur tertutup itu.
39
Setelah jalur tertutup dibuat, langkah selanjutnya adalah realokasi distribusi. Beban distribusi maksimum yang bisa dipindahkan sepanjang jalur tertutup itu adalah 4000 kg, yaitu sebesar beban distribusi terkecil pada jalur itu (sel 23). Oleh karena itu, beban distribusi sebesar 4000 kg tersebut harus dipindahkan dari sel 23 (-) ke sel 33 (+) dan beban distribusi 400 kg juga harus dipindahkan dari sel 32 (-) ke sel 22 (+). Tujuan
Sumber
Yogyakarta
Pur
Sem 4000
4
5
X13
4000
X23
5000
7 4000
6
+
+
3
8
X31
4500
1500
+
Surakarta
Kebutuhan
Sumber
Mad X12
1000 Magelang
Kapasitas
6000
+
5
2
3
5000
4500
5500
1500
tujuan
15000 Gambar. Jalur Tertutup, revisi pertama
Tujuan
Sumber
Yogyakarta
Magelang
Surakarta Kebutuhan
Pur
Kapasitas
Sem 4000
4
X12 5
1000 6
X13 4000 7
4000 3
X31
Sumber
Mad
X23
5000
8 500
5500 6000
5
2
3
5000
4500
5500
1500 15000
tujuan Gambar Realokasi Distribusi
40
Dengan demikian, revisi tabel awal Denebula yang telah disusun dengan menggunakan metode biaya terkecil itu menghasilkan tabel yang direvisi dengan distribusi sebagai berikut:
Sel 11,
4000 x Rp 4., = Rp 16.000,
Sel 21,
1000 x Rp 4., = Rp 4.000,-
Sel 11,
4000 x Rp 3., = Rp 12.000,-
Sel 11,
500 x Rp 2., = Rp 1.000,-
Sel 11,
5500 x Rp 3., = Rp 16.500,Rp 51.500,.
2.2.5.1 CONTOH SOAL:
Ada tiga pabrik mebel A, B dan C masing masing memiliki kapasitas produksi maksimal dalam satu periode waktu tertentu 100, 300, dan 300 unit mebel. Ada tiga gudang D, E, dan F yang masing- masing dapat menampung maksimal 300, 200 dan 200 unit mebel. Rata-rata biaya angkut per unit mebel dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang disajikan dalam Tabel 1 berikut ini: Tabel. 1 Rata-rata biaya angkut setiap unit mebel dari masing-masing pabrik ke tiap-tiap gudang yang berbeda
ke:
Gudang D
Gudang E
Gudang F
Pabrik A
$5
$4
$3
Pabrik B
$8
$4
$3
Pabrik C
$9
$7
$3
dari:
Pertanyaan: Berapa unit mebel harus diangkut dari masing-masing pabrik ke tiaptiap gudang sehingga biaya transportasi total minimum? Langkah-Langkah Penyelesaian Soal
Jalankan program POM for Windows, pilih Module – Transportation
Pilih menu File - New, sehingga muncul tampilan seperti Gambar 7:
41
Gambar 7 Tampilan awal modul Transportation
Buat judul penyelesaian soal ini dengan mengisi bagian Title: “CONTOH SOAL TRANSPORTASI” .
Jika Title tidak diisi, program POM for
Windows akan membuat judul sendiri sesuai default (patokan)nya. Default Title ini dapat dirubah dengan meng-klik
. Judul dapat
diubah/edit dengan meng-klik ikon
Isikan (set) jumlah sumber dengan 3 pada kotak Number Number of Sources Sources
Isikan (set) jumlah tujuan dengan 3 pada kotak Number Number of Destinations Destinations
Pilih
pada bagian Row names, kemudian isi dengan nama
“Pabrik”
Pilih
pada bagian Column names, kemudian isi dengan nama
“Gudang”
42
Biarkan pada bagian Objective, tetap pada pilihan Minimize
Sekarang tampilan akan seperti pada Gambar 8 , lanjutkan dengan meng-klik tombol
hingga akan muncul tampilan seperti pada Gambar 9.
Gambar 8. Tampilan pada modul Transportation setelah beberapa pilihan diisikan
43
Gambar 9. Tampilan untuk mengisikan angka-angka sesuai dengan contoh soal
(perhatikan bahwa Pabrik A, B, C menjadi 1,2,3, juga Gudang D,E,F, menjadi 1,2,3)
Isikan angka-angka yang sesuai pada kotak-kotak yang bersesuaian antara Pabrik dan Gudang, yaitu
Selesaikan Contoh Soal ini dengan meng-klik tombol
pada toolbar
atau dari menu File – Solve, atau dengan menekan tombol F9 pada keyboard.
Jika ternyata ada data soal yang perlu diperbaiki, klik tombol
pada
toolbar atau dari menu File – Edit
Jangan lupa simpan (save) file kerja ini dengan menu File – Save (atau menekan tombol Ctrl+S. Pilihan untuk menyimpan file dengan format Excel (.xls) dan html (.html) juga disediakan.
Hasil Perhitungan
Ada 6 output (tampilan) yang dihasilkan dari penyelesaian soal, dapat dipilih untuk ditampilkan dari menu Windows yaitu 1. Transportation Shipments 2. Marginal Costs 3. Final Solution Table 4. Iterations 5. Shipments with costs 6. Shipping list
44
Output-output ini dapat ditampilkan secara bersaman dengan memilih menu Window – Tile, Tile, atau secara bertumpuk dengan menu Window – Cascade.
Gambar 10. Output dari penyelesaian CONTOH SOAL TRANSPORTASI
45
o Tampilan Transportation Shipments menunjukkan hasil perhitungan, yaitu jumlah mebel yang diangkut diangk ut dari masing-masing Pabrik ke tiap-tiap Gudang, dengan biaya angkut total minimum. o Tampilan Marginal Costs menunjukkan tambahan biaya per unit muatan pada sel-sel yang bersesuaian, seandainya muatan dialihkan ke sel-sel tersebut. o Tampilan Final Solution Table adalah gabungan dari Transportation Shipments dan Marginal Costs.
o Tampilan Iterations menunjukkan langkan-langkah perhitungan yang dilakukan oleh program QS for Windows. o Tampilan Shipments with costs menunjukkan jumlah muatan dan jumlah biaya angkut dari masing-masing Pabrik ke tiap-tiap Gudang. o Tampilan Shipping List menunjukkan daftar jumlah muatan, biaya per unit dan biaya total dari masing-masing Pabrik ke tiap-tiap Gudang.
46
BAB III PENUTUP
3.1
KESIMPULAN Model transportasi adalah secara dasariah sebuah program linear yang
dapat diselesaikan oleh metode simplex reguler. Teknik transportasi dapat dan sering dipresentasikan di dalam sebuah elementary manner yng tampak sepenuhnya terlepas dari metode simplex. model transportasi memecahkan masalah pendistribusian barang dari sumber ke tujuan dengan biaya total distribusi minimum. Model harus bisa menentukan distribusi yang akan meminimumkan biaya total distribusi dan 1. Tidak melampaui kapasitas sumber-sumber. 2. Memenuhi permintaan tujuan-tujuan. Matriks Transportasi merupakan sebuah matriks transportasi yang memiliki m baris dan n kolom. Sumber-sumber berjajar pada baris ke-1 hingga ke-m, sedang tujuan-tujuan berbanjar pada kolom ke-1 hingga ke-n. Dengan demikian, Xij
: satuan barang yang akan diangkut dari sumber i ke tujuan j
bij
: biaya angkut per satuan barang dari sumber i ke tujuan j
sehingga secara sistematis
Di dalam model transportasi, kemampuan sumber-sumber untuk melayani atau Σsi belum tentu sama dengan tingkat permintaan tujuan-tujuan untuk dilayani atau Σt j. Sehingga ada tiga kemungkinan yang akan terjadi, yaitu:
∑ ∑ ∑ 2 ∑
Model trasportasi bisa diselesaikan secara manual dengan menggunakan algoritma yang dikenal sebagai algoritma transportasi. Ada 5 langkah, yaitu: 1. diagnosis masalah dimulai dengan pengenalan sumber, tujuan, parameter, dan variabel. 2. seluruh informasi tersebut kemudian dituangkan ke dalam matriks transportasi 3. menyusun tabel awal
47
4. pengujian optimalitas tabel untuk mengetahui apakah biaya distribusi total telah minimum 5. revisi tabel Denebula, sebuah perusahaan penghasil suatu jenis jamur mencoba mengembangkan usahanya di daerah Magelang dan Surakarta. Seiring semakin berkembangnya perusahaan, semakin besar pula permintaan yang datang. Perusahaan ini akhirnya membangun beberapa agen untuk melayani permintaan tersebut. Berikut ini agen-agen yang dibentuk: •
Agen di Purwokerto untuk melayani permintaan daerah Jawa Barat.
•
Agen di Semarang untuk melayani permintaan daerah luar Jawa.
•
Agen di Madiun untuk melayani permintaan daerah Jawa Timur. Permasalahan yang dihadapi Denebula adalah penentuan distribusi
optimal. Dalam kasus ini Denebula mempunyai Sembilan kemungkinan distribusi. Masing-masing pusat penyemaian harus mendistribusikan jamur ke agen-agen agar permintaan yang ada dapat dipenuhi, tetapi dengan biaya yang paling minimum. Table awal matriks transportasi denebula ada 4 metode yang tersedia, yaitu pertama Metode Biaya Terkecil ( Least Least Cost Method Method ) adalah sebuah metode untuk menyusun table awal dengan cara pengalokasian distribusi barang dari sumber ke tujuan mulai dari sel yang memiliki biaya distribusi terkecil. Kedua, Metode Sudut Barat Laut ( North West Corner Corner Method ) adalah sebuah metode untuk menyusun tabel awal dengan cara mengalokasikan distribusi barang mulai dari sel yang terletak paling kiri atas, sehingga dinamai metode barat laut. Ketiga, Russel’s Approximation Method adalah metode penyusunan tabel awal dengan
menggunakan pendekatan selisih biaya terbesar antara biaya distribusi masingmasing sel dengan biaya distribusi terbesar pada masing-masing baris dan kolom dimana sel itu berada (Siswanto. 2007:271). Rumus yang digunakan: Δij = Bij – R Ri - T j
dengan: Δij= Selisih biaya distribusi Russell Bij = Biaya distribusi sel pada baris ke-i dan kolom ke- j j Ri = Biaya distribusi terbesar pada baris ke-i
48
T j = Biaya distribusi terbesar pada kolom ke- j j .
Keempat, Vogel’s Approximation Method adalah metode penentuan tabel awal algoritma transportasi. Ada tiga tahap yang harus dilakukan pada setiap alokasi distribusi : •
Penentuan selisih nilai Cij terkecil
•
Pemilihan nilai terbesar dari selisih dua C ijij terkecil
•
Alokasi pada sel dengan Cij terkecil pada kolom terpilih Ada dua macam metode pengujian tabel awal yang tersedia di dalam algoritma
transportasi, yaitu modified Distribution dan stepping stone. Degenerasi (degeneration) dan redundansi (redundancy) adalah gejala yang mungkin muncul pada tabel awal. Tes optimalitas baik menggunakan MODI maupun Stepping Stone baru bisa dilakukan bila jumlah sel yang terkena alokasi distribusi pada tabel awal adalah: m + n - 1 Dimana, m=jumlah baris n=jumlah kolom MODI atau Modified Distribution menguji optimalisasi tabel dengan cara menghitung opportunity cost pada sel-sel yang tidak terkena alokasi distribusi. Opportunity Cost adalah biaya yang harus kita tanggung bila satu alternative keputusan dipilih. Metode Stepping Stone menguji optimalitas tabel dengan cara percobaan untuk memindahkan satu unit beban distribusi ke sel-sel kosong agar bisa diketahui perubahan biayanya. Revisi di dalam algoritma transportasi bertujuan untuk merealokasi distribusi agar biaya total distribusi menjadi rendah. Realokasi distribusi itu pada dasarnya merupakan proses coba-coba untuk memindahkan alokasi distribusi pada suatu sel ke sel yang lain. Dasar yang digunakan adalah pemindahan alokasi distribusi ke sel kosong yang memiliki opportunity cost positif.
49
DAFTAR PUSTAKA
Siswanto.2002.Operations Research Research jilid 1.Jakarta:Erlangga. _______.2006. Location - Transportation Transportation Method. Salatiga: fe uksw Model Transportasi - Pendekatan Untuk Meminimalisir Biaya Transportasi.htm
50
