ANALISIS KORELASI KENDALL TAU Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Pengolahan Data Penelitian Dosen Pengampu: Dr. Nur Karomah Dwidayati, M.Si
Disusun: Adi Satrio Ardiansyah
(00!"!#0""$
%e&riana 'ahyuningtyas
(00!"!#0"#$
ita Nur Millaty
(00!"!#0")$
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG TAHUN 2016
KOEFISIEN KORELASI KENDALL TAU ( τ ) 1. PENGERTIAN Koe*isien korelasi kendall tau pertama sekali dikemukakan oleh Mauri+e
eorge Kendall pada tahun !-/. Mauri+e eorge Kendall adalah seorang statistikawan yang lahir di Northamptonshire pada tanggal # Septem&er !-0) dan meninggal pada tanggal - Maret !-/. Koe*isien korelasi kendall tau atau yang &iasa dinotasikan dengan ( τ $ merupakan suatu nilai yang menun1ukkan dera1at asosiasi atau korelasi antara himpunan 2aria&el dalam se&uah penelitian yang telah disusun &erdasarkan peringkatnya dengan tu1uan mengetahui kekuatan atau tingkatan korelasi antara 3 dan 4, dimana data yang tersedia merupakan se&uah sampel random yang terdiri atas n pasangan hasil pengamatan (3 i, 4i$. Data sekurang5kurangnya diukur pada skala ordinal, sehingga data 3 dan 4 yang telah diamati dapat disusun peringkat atau rank5nya. 6atas nilai dari koe*isien korelasi Kendall tau sama dengan koe*isien korelasi pada umunya yakni akan &ernilai (7!$ apa&ila 2aria&el 3 dan 4 &erkoerelasi positi* (se&anding lurus$ dan &ernilai (5!$ apa&ila 3 dan 4 &erkorelasi negati* (&er&anding ter&alik$. 2. SYARAT PENGGUNAAN a$ Data yang tersedia merupakan se&uah sampel a+ak yang terdiri atas n pasangan hasil pengamatan (3i, 4i$. &$ Data sekurang5kurangnya diukur pada skala ordinal, sehingga dapat merangking masing5masing nilai 3 dalam hu&ungannya dengan nilai5nilai 3 lain yang teramati, dan masing5masing nilai 4 dalam hu&ungannya dengan nilai5nilai 4 yang teramati. 3. METODE PERHITUNGAN a) K!"#$#!% K&!'a$# Ra% K!%a'' aa'a* + skor sebenarnya τ = kemungkinan skor maksimum
N
dimana kemungkinan 1umlah maksimum adalah
1
se&agai
2
N ( N −1 )
C 2
yang dapat dinyatakan
.
Sehingga rumus dapat dinotasikan : S τ = 1 N ( N −1) 2
Keterangan : τ 8 Koe*isien Korelasi Kendall 9au S 8 Skor se&enarnya yang merupakan 1umlah skor urutan kewa1aran pasangan data pada salah satu 2aria&el. ika urutan ranking wa1ar di&eri skor 7!, 1ika urutan ranking tidak wa1ar di&eri skor ;!. N 8 umlah anggota sampel. ,) K!"#$#!% K&!'a$# K!%a'' -%- O,$!&/a$# a% ,!&%#'a# $aa (Ties) + S τ =
√
1 2
N ( N − 1)−T X
√
1 2
N ( N −1 )−T Y
Dimana : T X
1
8
2
∑ t ( t −1)
, t 8 &anyaknya o&ser2asi dengan nilai sama (ties) dalam
tiap kelompok nilai sama pada 2aria&el 3. T y
1
8
2
∑ t ( t −1)
, t 8 &anyaknya o&ser2asi dengan nilai sama (ties) dalam
tiap kelompok nilai sama pada 2aria&el 4. ) K!"#$#!% K&!'a$# K!%a'' -%-
ika N le&ih dari !0, maka Mean
√
+
τ dapat dianggap &erdistri&usi normal dengan
¿ μτ =0
Standar De2iasi ¿ σ τ =
N > 10
2 ( 2 N + 5 ) 9 N ( N −1 )
z =
adi,
τ − μ τ σ τ
=
τ
√
2 ( 2 N + 5) 9 N ( N −1)
4. PROSEDUR PERHITUNGAN !$ 6erilah ranking o&ser2asi5o&ser2asi pada 2aria&el 3 dari ! hingga N. 6erilah
pula ranking o&ser2asi5o&ser2asi pada 2aria&el 4 dari ! hingga N. $ Susunlah N su&yek sehingga ranking5ranking 3 untuk su&yek5su&yek itu ada dalam urutan wa1ar, yakni !, , , ...., N. $ Amatilah ranking5ranking 4 dalam urutan yang &ersesuaian dengan ranking 3 yang ada dalam urutan wa1ar. 9entukan harga S untuk urutan ranking 4 ini. $ ika tidak terdapat data yang &ernilai sama (ties) di antara o&ser2asi5o&ser2asi 3
maupun 4, gunakan rumus (a$ dalam menghitung harga
τ . ika terdapat data
yang &ernilai sama (ties), pakailah rumus (&$. "$ ika N su&yek merupakan suatu sampel random dari populasi tertentu, kita dapat
mengu1i apakah harga o&ser2asi
τ mem&eri petun1uk adanya asosiasi antara
2aria&el 3 dan 4 dalam populasinya. Metode perhitungan tergantung N: pvalue a.
pvalue
≤ α
, maka
H 0
ditolak.
> &.
menggunakan rumus =. ika
diperoleh dari
0,5−
1 2
α
z hitung ztabel
, maka
dilihat dari ta&el .
5. CONTOH SOAL C%* 1 + U%- N 10 a% A%a $aa
H 0
ditolak.
τ
z tabel
Dengan tara* nyata "> akan dilakukan penelitian untuk mengetahui adakah hu&ungan antara peringkat masuk P9 dengan indeksprestasi selama ! semester mahasiswa. Penelitian dilakukan dengan menggunakan sampel mahasiswa P9 se&anyak !0 orang. 6erdasarkan !0 orang mahasiswa itu, mereka ditanya &agaimana peringkat masuk P9 dan ?P Semester !. Data hasil penelitian ditun1uk pada ta&el &erikut. P!&#%a Ma$- PT a% IP S!!$!& I 10 O&a% Ma*a$#$7a Ma*a$#$7a ! " # ) / !0
P!&#%a Ma$- PT ! " # ) / !0
IP S!!$!& 1 , , ," , ,! , ,0 ,0 ,/ ,-
6erdasarkan hal terse&ut di atas, maka: 1. J--' 8!%!'##a%%a dapat dirumuskan se&agai &erikut: Adakah hu&ungan antara peringkat masuk P9 dengan indeks prestasi selama !
semester mahasiswa (indeks prestasi diukur &erdasarkan rangking$ 2. Va&#a,!' 8!%!'##a%%a adalah: indeks prestasi selama ! semester mahasiswa. 3. R--$a% a$a'a*+ Adakah hu&ungan antara peringkat masuk P9 dengan indeks prestasi selama ! semester mahasiswa (ada hu&ungan &erarti 1ika peringkat masuk P9 tinggi maka indeks prestasi semester ! 1uga tinggi demikian se&aliknya$. 4. Sa8!'+ mahasiswa semester ? &er1umlah !0 orang 5. H#8!$#$+ H 0 : @ 8 0 (tidak ada hu&ungan antara peringkat masuk P9 dengan indeks prestasi selama ! semester mahasiswa$
H 1
: @ 0 (ada hu&ungan antara peringkat masuk P9 dengan indeks prestasi
selama ! semester mahasiswa$ pvalue ≤ ∝ H 0 ditolak 1ika 6. 9#'aa* &##$+ :. P!%*#-%a%+ P!&#%a ! " # ) / !0 1
9B8
2
1
9y8
2
¿ @
! t (t −1 )
! t (t −1 )
IP , , ," , ,! , ,0 ,0 ,/ ,-
P!&#%a IP ," ," ! # )," )," !0 -
S& $!,!%a&%a
) 5! S 8"
8 0
1
8
[ 2 ( 2 −1 )+ 2 ( 2−1 ) ] =2
2
S
√
√
1
1
( ) N ( N −1 )−T" ( ) N ( N −1 )−Ty 2
2
25
8
√( ) 1 2
( 25 ) ( 25− 1 )−0
√( ) ( 1 2
25 ) (25 −1 ) −2
¿ 0,08361250776 ;. K!8--$a%:
Karena
pvalue
9. K!$#8-'a%:
8 0,0! C α 8 0,0" maka
H 0
ditolak.
Ada hu&ungan yang positi* dan signi*ikan antara peringkat masuk P9 dengan indeks prestasi selama ! semester mahasiswa atau 1ika peringkat masuk P9 tinggi maka indeks prestasi semester ! 1uga tinggi demikian se&aliknya. C%* 2+ U%- Sa8!' K!#' (N<10) a% A%a =!a
Dalam mengamati hu&ungan alami antara ?ntelegensi dominasi sosial pada tikus Al&ino. Easil per+o&aan s&& : T#-$ I%!'!!%$# D#%a$#
1 " #,)
2 # 0,!
3 0 !",#
4 0 !0!,
5 # ",
6 !,/
Apakah data ini merupakan e2idensi yang +ukup untuk menun1ukkan ada hu&ungan
antara intelegensi dominasi sosial pada tikus al&ino dengan
α =0,05.
awa&an : 6erdasarkan hal terse&ut di atas, maka: 1. H#8!$#$: E0: @ 8 0 (9idak ada hu&ungan antara aria&el 3 dan 4$ E!: @ 0 (Ada hu&ungan antara aria&el 3 dan 4$ pvalue ≤ α 2. 9#'aa* &##$: E0 ditolak 1ika
3.
P!&*#-%a% : Ha$#' !%a% # &a%#% T#-$ I%!'!!%$# D#%a$#
1 2 3 4 5 " (#$ # ($ 0 (!$ 0 ("$ # ($ #,) ("$ 0,! (!$ !",# ($ !0!, (#$ ", ($ Ha$#' !%a% # &a%#% a% 8!%-&-a%
6 ($ !,/ ($
T#-$ I%!'!!%$# D#%a$#
1 0 (!$ !",# ($
6 " (#$ #,) ("$
2 ($ !,/ ($
S =( 1 ) + ( 2 ) + ( 3 ) + ( 2 ) + (−1 )=7
3 # ($ 0,! (!$
4 # ($ ", ($
5 0 ("$ !0!, (#$
n
C 2 = Nilai Smaksimal 6
C 2 =15 τ =
S 7 = =0,4667 nilai S maksimal 15
atau τ =
S 7 7 = = =0,4667 . 1 / 2 N ( N −1 ) 1 / 2 ( 6 )( 5) 15
4. K!8--$a%
Dilihat dari 9a&el ! dengan S 8 ), N 8 #, diperoleh Karena
pvalue
8 0,!#
pvalue =0,136
.
¿ α =0,05 maka H 0 diterima.
5. K!$#8-'a% adi, tidak ada hu&ungan antara intelegensi dan dominasi sosial pada tikus
al&ino. C%* 3+ U%- Sa8!' =!$a& (N > 10)
Dilakukan penelitian untuk mengetahui adakah hu&ungan antara rangking SD dengan rangking di SM<. Penelitian dilakukan dengan menggunakan sampel siswa kelas ??? SM< se&anyak " orang. 6erdasarkan " orang siswa itu, mereka ditanya &agaimana rangkingnya di SD kelas dulu dan rangkingnya di kelas ??? SM<. Data hasil penelitian ditun1uk pada ta&el &erikut. RANGKING 25 SIS9A SE9AKTU DI SD DAN DI SMU N. S#$7a
! " # ) / !0
Ra%#% # SD (R1) ! " # ) / !0
Ra%#% # SMU (R2) ! ) / !0 !# "
N. S#$7a
! ! !" !# !) !/ !0 !
Ra%#% # SD (R1) ! ! !" !# !) !/ !0 !
Ra%#% # SMU (R2) ! ! !" !/ !) !0 ! "
!! !
!! !
# !!
"
"
!
6erdasarkan hal terse&ut di atas, maka: 1. J--' 8!%!'##a%%a dapat dirumuskan se&agai &erikut: Adakah hu&ungan antara prestasi &ela1ar di SD dengan di SM< (prestasi
&ela1ar di ukur &erdasarkan rangking$ 2. Va&#a,!' 8!%!'##a%%a adalah: prestasi &ela1ar di SD dan SM< 3. R--$a% a$a'a*+ Adakah hu&ungan antara rangking di SD dengan di SM< (ada hu&ungan &erarti 1ika sewaktu ke+ilF SD pandai, maka 1ika &esar di SM< 1uga pandai atau
4. 5.
6. :.
se&aliknya$ Sa8!'+ siswa kelas ??? SM< &er1umlah " siswa H#8!$#$+ E0: @ 8 0 (tidak ada hu&ungan antara rangking di SD dengan di SM<$ E!: @ 0 (ada hu&ungan antara rangking di SD dengan SM<$ 9#'aa* &##$+ E0 ditolak 1ika harga Ghitung H Gta&el P!%*#-%a%+
N.
R1
R2
! " # ) / !0 !! ! !
! " # ) / !0 !! ! !
! ) / !0 !# " # !! !
τ =
S 1 2
N ( N −1)
S& $!,!%a&%a
0 ! !# !" ! ! !" ! !
=
228 1
( )( 25 )( 25 −1) 2
N.
R1
R2
! !" !# !) !/ !0 ! "
! !" !# !) !/ !0 ! "
! !" !/ !) !0 ! " !
=0,76
S& $!,!%a&%a / !! / 5" " 5 0 ! S ? 22;
# =
τ
√
2 ( 2 N + 5 ) 9 N ( N − 1 )
=
√(
0,76
2 ( 2 ( 25 ) + 5)
=5,324932778
9 25 )( 25− 1 )
8. K!8--$a%+
Karena
z hitung
8 ",
¿ z tabel 8 !,-# maka H 0 ditolak.
9. K!$#8-'a%+ Ada hu&ungan yang positi* dan signi*ikan antara rangking di SD dengan di
SM<, atau 1ika di SD pandai, maka di SM< 1uga akan pandai, demikian se&aliknya. 6. APLIKASI KOEFISIEN KORELASI KENDALL TAU ika kita memiliki data produksi dan data ekspor suatu komoditi, kita ingin melihat hu&ungan antara keduanya (apakah ada korelasi antara total produksi dan ekspor$. 1. 6uka program SPSS kemudian input data ke dalam ta&el5ta&el SPSS:
2. Klik dari menu&ar A%a'@! C&&!'a! =#/a&#a!B seperti &erikut:
3. Kemudian masukkan kedua 2aria&el ke kotak /a&#a,'!$ di se&elah kanan,
+he+klist koe*isien korelasi se&agai IK!%a''$ a-.
4. Kemudian Klik OK
Maka akan mun+ul -8- se&agai &erikut:
Dari output di atas, N menun1ukkan 1umlah o&ser2asiFsampel se&anyak ", sedangkan hu&ungan korelasi ditun1ukkan oleh angka 0,)#0(JJ$ yang artinya &esar korelasi
yang
ter1adi
antara
2aria&el
3
dan
4
adalah
&aik
yaitu
se&esar 0,)#0. Sementara Sig.(5tailed$ menun1ukkan tara* kritik 8 0,000. Karena
tara* kritik 8 0,000
¿ α =0,05 maka
H 0
ditolak. adi, ada hu&ungan yang
signi*ikan antara rangking di SD dengan di SM<, atau 1ika di SD pandai, maka di SM< 1uga akan pandai, demikian se&aliknya.
DAFTAR PUSTAKA
ono2er, '. . !-/0. Practical Nonparametric Statistics.
LAMPIRAN TA=EL 1
TA=EL 2
