Makalah Lingkaran (Kelompok 1) Telaah Kurikulum Matematika SMP

MAKALAH TELAAH KURIKULUM MATEMATIKA SMP

DISUSUN OLEH:

KELOMPOK 1 OKTI ANGGUN PASESI (A1C013010) NISA SETIAWATI (A1C013012) MAISYAH RAHMA (A1C013030) MELI DWI JAYANTI (A1C013040) DESSY AGUSTINA (A1C013054) ANDI MUTIARA WATI (A1C013068) ADIKASUMA (A1C013070)

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS BENGKULU TAHUN AJARAN

KATA PENGANTAR Alhamdulillah, segala puji bagi Allah SWT yang berkat rahmat-Nyalah sehingga makalah “Lingkaran” ini dapat terselesaikan. Makalah ini ditulis dan disusun berdasarkan kebutuhan perkuliah yaitu sebagai tugas matakuliah “Telaah Kurikulum Matematika SMP”. Dalam pembuatan makalah ini tidak sedikit hambatan dan kesulitan yang kami alami, namun berkat dukungan dan dorongan dari orang terdekat sehingga kami mampu menyelesaikan makalah ini meskipun masih banyak sekali kekurangan, oleh karena itu kami mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu terselesaikannya makalah ini. Kami menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam makalah ini. Oleh karena itu segala kritik dan saran yang membangun akan kami terima dengan baik. Akhir kata, semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Bengkulu, 29 Mei 2014

Penulis

ii

MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ...........................................................................................

Halaman i

KATA PENGANTAR .........................................................................................

ii

DAFTAR ISI .......................................................................................................

iii

BAB I

BAB II

PENDAHULUAN A. Latar Belakang ...............................................................................

1

B. Rumusan Masalah ..........................................................................

2

C. Tujuan .............................................................................................

2

ISI A. Pengertian Lingkaran .....................................................................

3

B. Unsur-unsur Lingkaran ..................................................................

3

C. Keliling dan Luas Lingkaran ..........................................................

5

D. Sudut Pusat, Sudut Keliling, Panjang Busur, Luas Juring dan Luas Tembereng .............................................................................

8

E. Garis Singgung Lingkaran .............................................................

12

F. Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar pada Segitiga ....................

19

BAB III PENUTUP A. Kesimpulan .....................................................................................

24

B. Saran ...............................................................................................

24

LAMPIRAN-LAMPIRAN DAFTAR PUSTAKA

iii


BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Geometri merupakan salah satu cabang matematika yang sangat penting sebagai ilmu dasar dan sudah dikenal anak-anak sejak kecil. Geometri telah dipelajari pada jenjang pendidikan dasar, pendidikan sekolah menengah, sampai pendidikan tinggi. Geometri berasal dari kata latin “ Geometria”, Geo yang berarti tanah dan metria berarti pengukuran. Menurut sejarahnya geometri tumbuh pada zaman jauh sebelum Masehi karena keperluan pengukuran tanah setiap kali sesudah sungai Nil banjir. Dalam bahasa Indonesia Geometri dapat pula diterjemakan sebagai Ilmu Ukur. Banyak konsep geometri yang lebih mudah dipahami jika pengenalannya disajikan melalui benda-benda di sekitar lingkungannya yang memuat bentuk dan konsep geometri. Pada bagian lain geometri masih dianggap momok bagi kebanyakan peserta didik untuk setiap jenjang pendidikan. Sebagai ilmu dasar, maupun sebagai ilmu bantu dalam pelajaran lain dan begitu banyak kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari, oleh sebab itu pengembangan geometri sangat diperlukan. Untuk hal tersebut penguasaan terhadap aplikasi geometri perlu diungkapkan. Selanjutnya agar dapat belajar geometri dengan baik dan benar, peserta didik dituntut untuk menguasai kemampuan dasar geometri, ketrampilan dalam pembuktian, ketrampilan membuat lukisan dasar geometri, dan mempunyai wawasan pandang ruang yang memadai. Konsep awal peserta didik sangat berpengaruh terhadap pembentukan konsep lainnya dan pemahaman terhadap materi yang menggunakan konsep tersebut, seperti pemahaman konsep bangun-bangun datar seperti segiempat, segitiga, dan lingkaran. Berdasarkan uraian tersebut di atas selanjutnya akan di kemukakan tentang materi matematika (geometri) khususnya materi Lingkaran. Pada jenjang pendidikan dasar (sekolah dasar) materi tentang lingkaran hanya sebatas pengenalan bentuk dan unsur-unsurnya, contohnya mudah ditemukan dalam kehidupan sehari-sehari. Selanjutnya meteri lingkaran di tingkat SMP sudah berada pada tingkatan yang lebih tinggi misalnya definisi lingkaran, garis singgung, bagian-bagian lingkaran dan sebagainya. Dengan demikian materi geometri tentang bangun datar yaitu lingkaran terdapat disetiap jenjang pendidikan mulai dari pendidikan dasar, pendidikan menengah sampai pada pendidikan tinggi dan merupakan dasar untuk setiap jenjang yang lebih tinggi baik pemahaman konsep lingkaran maupun penggunaan lingkaran dalam pemecahan masalah matematika. MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1

1

B. Rumusan Masalah Rumusan masalah pada makalah ini, yaitu: 1. Apa yang dimaksud dengan lingkaran? 2. Apa saja unsur-unsur lingkaran? 3. Bagaimana cara menghitung Luas lingkaran, keliling lingkaran, sudut pusat, sudut keliling, luas juring, besar sudut dan luas tembereng pada lingkaran? 4. Apa yang dimaksud dengan garis singgung lingkaran dan bagaimana cara menghitungnya? 5. Apa yang dimaksud dengan lingkaran dalam segitiga dan bagaimana cara penghitungannya? 6. Apa yang dimaksud dengan lingkaran luar segitiga dan bagaimana cara penghitungannya?

C. Tujuan Adapun tujuan pembuatan makalah ini, yaitu: 1. Makalah ini dibuat agar kita lebih mengerti tentang materi Lingkaran 2. Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas matakuliah TELAAH KURIKULUM MATEMATIKA SMP

2


BAB II ISI A. PENGERTIAN LINGKARAN Perhatikan gambar di bawah ini.

Siapa yang tidak tahu ban mobil dan uang logam? Itu merupakan barang-barang yang mudah Anda temui dalam kehidupan sehari-hari. Ban mobil dan uang logam merupakan contoh benda-benda yang memiliki bentuk dasar lingkaran. Secara geometris, benda-benda tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar (a), C

O B A (a)

(b)

Perhatikan Gambar (b) dengan saksama. Misalkan A, B, C merupakan tiga titik sebarang pada lingkaran yang berpusat di O. Dapat dilihat bahwa ketiga titik tersebut memiliki jarak yang sama terhadap titik O. Dengan demikian, lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, di mana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai titik pusat lingkaran. Pada Gambar (b) , jarak OA, OB, dan OC disebut jari-jari lingkaran. Jadi dapat disimpulkan bahwa lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. Garis lengkung tersebut kedua ujungnya saling bertemu membentuk keliling lingkaran dan daerah lingkaran (luas lingkaran). B. UNSUR-UNSUR LINGKARAN Setiap bangun datar memiliki unsur-unsur yang membangunnya, termasuk bangun datar yang berbentuk lingkaran. Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur, tembereng, juring, apotema, sudut pusat, dan sudut lingkaran. Perhatikan gambar berikut ini.

3


Untuk lebih jelas, perhatikan uraian berikut ini. a. Titik Pusat Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak tepat di tengah-tengah lingkaran. Pada Gambar di atas, titik O merupakan titik pusat lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O. b. Jari-Jari (r) Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran (keliling lingkaran). Pada Gambar di atas, jarijari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, OC, dan OD.

O

r

O

c. Diameter (d) Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan melalui titik pusat. Garis AB dan CD pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran A tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata lain, nilai diameter lingkaran merupakan dua kali nilai jari-jari lingkaran, dapat ditulis secara matematis: d = 2r. d. Busur Busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Pada Gambar di atas, garis lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis lengkung BD merupakan C busur lingkaran O. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat membayangkannya sebagai busur panah. e. Tali Busur Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan tidak melalui pusat lingkaran. Tali busur yang melalui pusat lingkaran dinamakan dengan diameter lingkaran. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AD yang tidak melalui titik pusat seperti pada gambar di atas. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat membayangkan seperti pada tali busur panah.

O

B

A O

B

A O

B

f. Tembereng Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Pada Gambar di atas, tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AD dan tali busur AD. Jadi tembereng terbentuk dari gabungan antara busur lingkaran dengan tali busur lingkaran.


4

g. Juring Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. Pada Gambar di atas, juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jarijari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC. h. Apotema Apotema lingkaran merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Coba perhatikan Gambar di atas A secara seksama. Garis OF merupakan garis apotema pada lingkaran O.

O F

B

C. KELILING DAN LUAS LINGKARAN Pernahkah kamu mengamati gerak sebuah roda sepeda? Untuk mengetahui pengertian keliling lingkaran, coba kamu ambil roda sebuah sepeda. Tandai pada bagian tepi lingkaran dengan huruf A. Kemudian, gelindingkan roda tersebut dimulai dari titik A kembali ke titik A lagi. Lintasan yang dilalui roda dari A sampai kembali ke A lagi disebut satu putaran penuh atau satu keliling lingkaran. Sebelum kita menghitung keliling lingkaran, kita akan mencoba menemukan nilai π (pi). 1. Menemukan Pendekatan Nilai π (pi) Untuk menemukan pendekatan nilai π (pi), kita bisa lakukan percobaan sederhana berikut ini. Pertama, membuat lingkaran dengan jari- jari 1 cm, 1,5 cm, 2 cm, 2,5 cm, dan 3 cm. Kemudian mengukur diameter masing-masing lingkaran dengan menggunakan penggaris. Kedua, mengkur keliling masing-masing lingkaran menggunakan bantuan benang dengan cara menempelkan benang pada bagian tepi lingkaran, dan kemudian panjang benang diukur menggunakan penggaris. Terakhir hitung nilai π (phi) dengan cara keliling lingkaran dibagi dengan diameter lingkaran, kemudian catat hasilnya. Jika kegiatan tersebut kalian lakukan dengan cermat dan teliti maka nilai keliling dibagi diameter akan memberikan nilai yang mendekati 3,14. Untuk selanjutnya, nilai keliling per diameter disebut sebagai konstanta π (π dibaca: phi). Coba tekan tombol π pada kalkulator. Apakah Anda dapatkan bilangan desimal tak berhingga dan tak berulang? Bentuk desimal yang tak berhingga dan tak berulang bukan bilangan pecahan. Oleh karena itu, π bukan bilangan pecahan, namun bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa a/b. Bilangan irasional berupa desimal tak berulang dan tak berhingga. Menurut penelitian yang cermat ternyata nilai π= 3,14159265358979324836 ... Jadi, nilai π hanyalah suatu pendekatan. Jika dalam suatu perhitungan hanya memerlukan ketelitian sampai dua tempat desimal, pendekatan untuk π adalah 3,14. Coba bandingkan nilai π dengan pecahan 22/7. Bilangan pecahan 22/7 jika dinyatakan dalam pecahan desimal adalah 3,142857143. Jadi, bilangan 22/7 dapat dipakai sebagai pendekatan untuk nilai π.


5

2. Menghitung Keliling Lingkaran Pada pembahasan di bagian depan diperoleh bahwa pada setiap lingkaran nilai perbandingan keliling (K) per diameter (d) menunjukkan bilangan yang sama atau tetap disebut π. Karena K/d=π, sehingga didapat K = π d. Karena panjang diameter adalah 2 x jari-jari atau d = 2r, maka K = 2πr. Jadi, didapat rumus keliling (K) lingkaran dengan diameter (d) atau jari-jari (r) adalah:

Contoh soal  Hitunglah keliling lingkaran jika diameter lingkaran 14 cm! Penyelesaian: d = 14 cm, sehingga: K = πd = 22/7 x 14 cm = 44 cm Jadi, keliling lingkaran adalah 44 cm.  Hitunglah keliling lingkaran jika jari-jarinya 35cm! Penyelesaian: r = 35 cm, sehingga: K = 2πr = 2(22/7) 35 cm = 220 cm Jadi, keliling lingkaran = 220 cm. 3. Menghitung Luas Lingkaran Untuk menemukan rumus luas lingkaran, lakukan kegiatan dengan langkahlangkah berikut. 1. Buatlah lingkaran dengan jari-jari 10 cm. 2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian sama besar dan arsir satu bagian 3. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 12 bagian sama besar dengan cara membuat 12 juring sama besar dengan sudut pusat 30° (Gambar (i)). 4. Bagilah salah satu juring yang tidak diarsir menjadi dua sama besar. 5. Gunting lingkaran beserta 12 juring tersebut. 6. Atur potongan-potongan juring dan susun setiap juring sehingga membentuk gambar mirip persegi panjang, seperti pada Gambar (ii) di samping. Jika lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang tak terhingga banyaknya, kemudian juring-juring tersebut dipotong dan disusun seperti Gambar (ii) maka hasilnya akan mendekati bangun persegi panjang. Perhatikan bahwa bangun yang mendekati persegi panjang tersebut panjangnya sama dengan setengah keliling lingkaran (3,14 x 10 cm = 31,4 cm) dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran (10 MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1

6

cm). Jadi, luas lingkaran dengan panjang jari-jari 10 cm = luas persegi panjang dengan p = 31,4 cm dan l = 10 cm. Luas lingkaran = p x l = 31,4 cm x 10 cm = 314 cm Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa luas lingkaran dengan jari-jari r sama dengan luas persegi panjang dengan panjang πr dan lebar r, sehingga diperoleh: L = π rxr = π r2 Karena r = ½d, maka L = π(½d)2 = π (½d)2 = ¼ π d2 Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran L dengan jari-jari r atau diameter d adalah:

Contoh soal:  Hitunglah luas lingkaran yang memiliki jari-jari 7cm! Penyelesaian: Jari-jari = 7 cm, maka r = 7 L = πr2 = 22/7 x 72 = 154 Jadi, luas lingkaran = 154 cm2.  Hitunglah luas lingkaran dengan diameter 20cm! Penyelesaian: Diameter = 20 cm, maka d = 20 L = ¼ π d2 = ¼ x 3,14 x 202 = 314 Jadi, luas lingkaran = 314 cm2. 4. Hubungan Antara Keliling Dan Luas Lingkaran Untuk memahami hubungan antara keliling dengan luas lingkaran Anda harus paham dengan konsep keliling lingkaran dan luas lingkaran. Hubungan antara keliling dengan luas lingkaran cocok digunakan untuk menjawab soal-soal ulangan umum dan ujian nasional yang bentuk soalnya berupa pilihan ganda karena membutuhkan waktu yang singkat. 7


Jika Anda mampu menguasai materi tentang hubungan keliling lingkaran dengan luasnya, Anda tidak perlu mencari jari-jari atau diameternya jika yang diketahui keliling atau luasnya saja. Bagaimana caranya? Sekarang coba simak baik-baik pembahasan berikut ini.  Kita gunakan rumus keliling lingkaran dengan mencari jari-jarinya, misalkan keliling lingkaran K dan luasnya L, maka: K = 2πr atau r = K/2π Sekarang substitusi persamaan jari-jari r ke rumus luas lingkaran, maka: L = πr2 = π(K/2π)2 = π(K2/4π2) = K2/4π  Dari persamaan hubungan antara keliling lingkaran dengan luasnya juga bisa dicari hubungan kebalikannya yaitu hubungan antara luas lingkaran dengan kelilingnya, yakni: L = K2/4π K2 = 4πL K = √(4πL)

D. SUDUT PUSAT, SUDUT KELILING, PANJANG BUSUR, LUAS JURING DAN LUAS TEMBERENG 1. Sudut Pusat Coba perhatikan gambar di bawah dengan seksama! Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan antara dua buah jari-jari lingkaran di titik pusat. Pada gambar di atas Garis OA dan OB merupakan jari-jari lingkaran yang berpotongan di titik pusat O membentuk sudut pusat, yaitu ∠AOB. 2. Sudut Keliling Coba perhatikan lagi gambar di bawah dengan seksama! Sudut pusat merupakan sudut yang dibentuk oleh perpotongan antara dua buah tali busur di suatu titik pada keliling lingkaran. Pada gambar di atas garis AC dan BC merupakan tali busur yang berpotongan di titik C membentuk sudut keliling ∠ACB. 3. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Jika Menghadap Busur yang Sama Coba perhatikan lagi gambar di bawah dengan seksama! 8


∠AOB merupakan sudut pusat lingkaran dan ∠ACB merupakan sudut keliling lingkaran. Sudut pusat ∠AOB dan sudut keliling ∠ACB menghadap busur yang sama, yaitu AB. Untuk mengetahui hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama, perhatikan terlebih dahulu gambar di bawah.

Lingkaran di atas berpusat di titik O dan mempunyai jari-jari OA= OB= OC= OD= r. Misalkan ∠AOC = α dan ∠COB = β, maka ∠ AOB = α + β.

Perhatikan ΔBOD! ∠BOD pelurus bagi ∠BOC, sehingga ∠BOD = 180° – β . ΔBOD segitiga sama kaki, karena OB = OD = r, sehingga ∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - ∠BOD) Karena ∠BOD = 180° – β , maka diperoleh ∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - (180° – β)) ∠ODB = ½ β

Sekarang perhatikan ΔAOD! ∠AOD pelurus bagi ∠AOC, sehingga ∠AOD = 180° – α. ΔAOD adalah segitiga sama kaki, karena OA = OD = r, sehingga ∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - ∠AOD) ∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - (180° – α)) ∠ODA = ∠OAD = ½ α Dengan demikian mengunakan persamaan ∠ODB = ½β dan ∠ODA = ½α, maka besar ∠ADB dapat di cari: ∠ADB = ∠ODA + ∠ODB ∠ADB = ½β + ½α

9

∠ADB = ½ (β + α) ∠ADB = ½ ∠AOB atau besar ∠AOB = 2 x besar ∠ADB. MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1

Karena ∠ AOB adalah sudut pusat dan ∠ADB adalah sudut keliling, di mana keduanya menghadap ∠AB , maka dapat disimpulkan sebagai berikut. Besar sudut pusat = 2 x besar sudut keliling atau Besar sudut keliling = ½ x besar sudut pusat

4. Panjang Busur Busur adalah garis lengkung yang merupakan bagian dari keliling lingkaran, maka untuk menentukan panjang busur lingkaran digunakan perbandingan dengan keliling lingkarannya.

Perhatikan gambar. Jika sudut pusat busur AC adalah

AOC, dan sudut pusat

keliling lingkaran adalah 360o , maka akan terdapat perbandingan senilai, yaitu :

5. Luas Juring Sekarang coba perhatikan gambar di bawah ini!

Pada gambar di atas terdapat juirng lingkaran AOB (luas yang diarsir) dengan sudut pusat α (baca: alfa) dan jar-jari r. Apa yang akan terjadi jika sudut pusat α diperbesar menjadi β (baca: betta) seperti gambar di bawah ini? MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1

10

Ternyata setelah sudut pusat α diperbesar menjadi β maka luas juring AOB juga semakin membesar. Ini sesuai dengan konsep perbandingan senilai atau seharga, di mana jika sudut pusat lingkaran diperbesar maka luas juring lingkaran tersebut juga ikut menjadi tambah besar, begitu juga sebaliknya jika sudut pusat lingkaran diperkecil maka luas juring lingkaran juga akan mengecil. Sekarang bagaimana kalau sudut α tersebut diubah menjadi satu lingkaran penuh (360°)? Jika sudut pusat diubah menjadi satu lingkaran penuh maka luas juringnya menjadi luas lingkaran. Dari pernyataan tersebut dapat ditarik kesimpulan bahwa hubungan antara besar sudut pusat, luas juring, dan luas lingkaran yakni “luas juring per luas lingkaran sama dengan sudut pusat per sudut satu lingkaran penuh (360°)” Secara matematis pernyataan tersebut dapat dirumuskan:

=

°

Luas Juring AOB

=

Luas Juring AOB

=

°

°

∙ ∙

6. Luas Tembereng Pemahaman dasar yang harus anda kuasai untuk bisa menghitung luas tembereng suatu lingkaran yakni pengertian tembereng dan juring lingkaran (merupakan unsur atau bagian lingkaran), cara menghitung luas segitiga, cara menghitung luaslingkaran, dan hubungan antara sudut pusat dengan luas juring lingkaran. Tanpa konsep dasar tersebut Anda tidak akan mampu menghitung luas tembereng suatu lingkaran. Jadi pastikan diri Anda sudah menguasai konsep dasar tersebut. Tembereng merupakan luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur, seperti contoh gambar di bawah ini.

11


Tembereng pada gambar di atas (yang diarsir) dibatasi oleh busur AB (garis lengkung AB) dan tali busur AB (garis lurus AB), terlihat bahwa luas yang diarsir (tembereng) sama dengan luas juring AOB dikurangi dengan luas segitiga AOB. Jadi secara matematis mencari luas tembereng dapat ditulis: Tembereng = Luas Juring – Luas Segitiga E. GARIS SINGGUNG LINGKARAN 1) Pengertian Garis Singgung Lingkaran Untuk memahami pengertian garis singgung lingkaran, perhatikan Gambar di bawah ini.

Lingkaran pusat di O dengan diameter AB tegak lurus dengan diameter CD (garis k). Jika garis k digeser ke kanan sedikit demi sedikit sejajar k maka: pada posisi k1 memotong lingkaran di dua titik (titik E dan F) dengan k1 ⊥ OB.  pada posisi k2 memotong lingkaran di dua titik (titik G dan H) dengan k2 ⊥ OB.  pada posisi k3 memotong lingkaran di satu titik, yaitu titik B (menyinggung lingkaran di B). Selanjutnya, garis k3 disebut garis singgung lingkaran. 

Sekarang perhatikan Gambar di bawah ini!

Jika garis k diputar dengan pusat perputaran titik A ke arah busur AB’ yang lebih kecil dari busur AB maka kita peroleh ΔOAB’ sama kaki, karena ∠OAB = ∠OB’A = ½ x (∠180 – AOB’) Jika kita terus memutar garis k ke arah busur yang lebih kecil dan lebih kecil lagi maka ∠OAB’ = ∠OB’A akan makin besar dan ∠AOB’ makin kecil. Pada suatu saat


12

garis k akan menyinggung lingkaran di titik A dengan titik B’ berimpit dengan titik A dan saat itu berlaku: ∠OAB’ =∠OB’A = ½ (180° - ∠AOB’) ∠OAB’ =∠OB’A = ½ (180° - 0°) ∠OAB’ =∠OB’A = 90° Hal ini menunjukkan bahwa jari-jari OA tegak lurus dengan garis singgung K dititik A. “Jadi, garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.” Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada Gambar di atas tampak bahwa garis k tegak lurus dengan jari-jari OA. Garis k adalah garis singgung lingkaran di titik A, sedangkan A disebut titik singgung lingkaran. Karena garis k ⊥ OA, hal ini berarti sudut yang dibentuk kedua garis tersebut besarnya 90°. Dengan demikian secara umum dapat dikatakan bahwa setiap sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui titik pusat dan garis singgung lingkaran besarnya 90°.

Gambar di atas merupakan lingkaran yang berpusat di O. Lingkaran tersebut bersinggungan dengan garis g dan h. Garis g memotong lingkaran di satu titik, yaitu di titik A. Sedangkan garis h memotong lingkaran di satu titik, yaitu di titik B. Garis g dan h inilah yang dinamakan garis singgung. Sedangkan titik B dan titik A dinamakan titik singgung. Jadi yang dimaksud dengan garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1

13

Perhatikan kembali gambar di atas. Garis g dan garis h tegak lurus OB dan OA, sedangkan OB dan OA adalah jari-jari lingkaran. Jadi, garis singgung lingkaran akan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang melalui titik singgungnya. Namun bagaimanapun caranya, kita tidak akan bisa membuat garis singgung yang lain di titik A dan di titik B. Dengan demikian, kita hanya dapat membuat satu garis singgung lingkaran dari satu titik pada sebuah lingkaran. Perhatikan gambar di bawah ini!

Garis c, e, dan f adalah garis singgung lingkaran karena memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari melalui titik singgungnya. Sedangkan garis a, b, d, g, dan h bukan garis singgung lingkaran karena jika garisnya di perpanjang, akan memotong lingkaran di dua titik.

2) Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari Satu Titik di Luar Lingkaran Untuk dapat menentukan panjang garis singgung lingkaran, Anda harus menguasai teorema Pythagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas, lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB dan OB ⊥ garis AB. Garis AB adalah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran. Perhatikan segitiga siku-siku ABO. Dengan teorema Pythagoras berlaku OB2 = AB2 + OA2 AB2 = OB2 - OA2 14

AB2 = √(OB2 - OA2) Jadi, panjang garis singgung lingkaran (AB) = √(OA2 - OB2)


3) Kedudukan Dua Lingkaran Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka terdapat beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut. 1. L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, sehingga panjang PQ = 0. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan konsentris (setitik pusat).

2. L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan tidak konsentris.

3. L2 terletak di dalam L1 dan PQ = r = ½ R, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di dalam.

4. L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R.

15


5. L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R + r.

6. L1 terletak di luar L2 dan PQ = R + r, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di luar.

7. L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r, sehingga L1 dan L2 saling terpisah.

Pada beberapa kedudukan lingkaran seperti tersebut di atas, dapat dibuat garis singgung persekutuan dua lingkaran. Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Apakah untuk setiap dua lingkaran selalu dapat dibuat garis singgung persekutuan? Perhatikan kemungkinan berikut. 1.

Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung persekutuan.

16


2.

Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung persekutuan.

3.

Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung persekutuan.

4.

Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung persekutuan.

5.

Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung persekutuan.

17


4) Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, Anda harus paham dengan teorema Pythagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Pada Gambar di atas, dua buah lingkaran L1 dan L2 berpusat di P dan Q, berjarijari R dan r. Dari gambar tersebut diperoleh: 1) jari-jari lingkaran P = R; 2) jari-jari lingkaran Q = r; 3) garis singgung persekutuan dalam = AB = d; 4) jarak titik pusat kedua lingkaran = PQ = p. Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis SQ sejajar AB, sehingga ∠PSQ = ∠PAB = 90° (sehadap). Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠PSQ = ∠PAB = 90°. Jadi, segi empat ABQS merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar BQ = r. Perhatikan bahwa ∠PQS siku-siku di titik S. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh: QS2 = PQ2 - PS2 QS = √(PQ2 - PS2) QS = √(PQ2 – (R + r)2) Karena panjang QS = AB, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jarijari lingkaran kecil r adalah

18


5) Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran Perhatikan Gambar di bawah ini.

Dari gambar tersebut diperoleh bahwa: 1) jari-jari lingkaran P = R; 2) jari-jari lingkaran Q = r; 3) garis singgung persekutuan luar = AB = d; 4) jarak titik pusat kedua lingkaran = PQ = p. Jika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis AB sejajar SQ, sehingga ∠ PSQ = ∠ PAB = 90° (sehadap). Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠PSQ = ∠PAB = 90°. ∠PQS siku-siku di S, sehingga berlaku QS2 = PQ2 - PS2 QS = √(PQ2 - PS2) QS = √(PQ2 – (R - r)2) Karena QS = AB = d, maka rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah

F. LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN LUAR PADA SEGITIGA 1) Lingkaran Dalam Segitiga Lingkaran dalam segitiga merupakan lingkaran yang memiliki titik pusat di perpotongan garis bagi dari ketiga sisi suatu segitiga. Sifat dari lingkaran dalam segitiga adalah bahwa lingkaran tersebut memotong masing-masing sisi segitiga tepat pada satu titik potong. MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1

19

 Melukiskan Lingkaran Dalam Segitiga Untuk melukis lingkaran dalam segitiga, perhatikan gambar berikut ini.

Lingkaran O adalah lingkaran dalam dari segitiga ABC. Sekarang perhatikan bahwa EO = DO dan OA = OA, sehingga segitiga AEO dan segitiga ADO merupakan segitiga-segitiga yang kongruen. Sehingga sudut-sudut yang bersesuaian, yaitu sudut OAE dan sudut OAD sama besar. Oleh karena itu, garis AO merupakan garis bagi sudut DAE. Dari uraian di atas, titik pusat lingkaran dalam segitiga merupakan perpotongan dari garis-garis bagi dari semua sudut segitiga tersebut. Berikut ini langkah-langkah dalam melukis lingkaran dalam segitiga. 1. Lukislah garis bagi dari dua sudut dalam segitiga. Titik perpotongan garis-garis bagi tersebut merupakan titik pusat dari lingkaran dalam segitiga tersebut. 2. Dari titik pusat tersebut, buatlah garis yang tegak lurus dengan salah satu sisi segitiga.

3. Dan selanjutnya, lukislah lingkaran yang berpusat di titik yang diperoleh pada langkah 1 dan melalui titik perpotongan antara garis yang diperoleh pada poin 2 dan sisi segitiga yang tegak lurus dengan garis tersebut.


20

 Menemukan Rumus Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga Diberikan suatu segitiga yang panjang ketiga sisinya adalah a, b, dan c. Untuk menentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut, perhatikan gambar berikut.

Luas dari segitiga paling kanan dapat ditentukan dengan dua cara.

i. Cara pertama dengan menggunakan rumus L = √[s(s – a)(s – b)(s – c)] dengan s adalah setengah keliling segitiga atau s = (a + b + c)/2.

ii. Cara kedua adalah dengan menjumlahkan daerah warna orange, hijau, dan biru. Luas daerah warna orange adalah (a × r)/2, Luas daerah warna hijau adalah (b × r)/2, sedangkan luas daerah warna biru adalah (c × r)/2. Sehingga,

Sehingga, untuk sembarang segitiga yang memiliki panjang sisi a, b, dan c, serta s adalah setengah dari kelilingnya, maka jari-jari lingkaran dalamnya dapat ditentukan sebagai berikut. 21


2) Lingkaran Luar segitiga Lingkaran luar segitiga merupakan lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga.  Melukis Lingkaran Luar Segitiga Untuk melukis lingkaran luar segitiga kita membutuhkan jangka. Langkahlangkahnya adalah sebagai berikut. a. Lukislah garis sumbu dari salah satu sisi segitiga. Garis sumbu merupakan garis yang tegak lurus dan membagi sisi segitiga menjadi dua bagian yang sama panjang. b. Lukis garis sumbu pada sisi lain segitiga. Garis sumbu kedua ini akan memotong garis sumbu yang dihasilkan pada langkah 1.

c. Titik potong kedua garis sumbu merupakan titik pusat dari lingkaran luar segitiga. Aturlah jangka sedemikian sehingga pusatnya ada di titik pusat lingkaran luar dan bagian lainnya pada salah satu titik sudut segitiga. Kemudian dengan pengaturan seperti itu buatlah lingkaran penuh. Lingkaran yang dihasilkan pada langkah-langkah di atas merupakan lingkaran luar dari segitiga yang diberikan.  Menentukan Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga Untuk menentukan jari-jari lingkaran luar segitiga, kita harus mengetahui panjang dari semua sisi segitiga tersebut. Misalkan a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi segitiga ABC, dan t adalah tinggi dari segitiga tersebut.

22


Pertama, lukislah ruas garis yang melalui salah satu titik sudut segitiga dan titik pusat lingkaran. Misalkan ruas garis tersebut adalah ruas garis BD. Selanjutnya dari ujung ruas garis tersebut yang bukan titik sudut segitiga, yaitu titik B, tariklah ruas garis ke titik sudut segitiga yang lain. Misalkan kita tarik ruas garis dari titik B ke titik sudut A, sehingga terbentuk ruas garis AD. Sudut-sudut ADB dan ACB merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama, sehingga kedua sudut tersebut kongruen. Sedangkan sudut BAD menghadap diameter, sehingga sudut tersebut memiliki besar 90° atau merupakan sudut siku-siku. Dengan menggunakan prinsip sudut, sudut (sd, sd), kita dapat memperoleh bahwa segitiga BAD sebangun dengan segitiga BEC. Sehingga dengan menggunakan aturan kesebangunan,

Perhatikan bahwa luas segitiga ABC dapat ditentukan dengan menggunakan rumus L = (b ∙ t)/2. Atau dengan kata lain, t = 2L/b. Sehingga,

Apabila segitiga diketahui panjang ketiga sisinya, maka kita dapat menentukan luas segitiga tersebut dengan rumus, L = √[s ∙ (s – a)(s – b)(s – c)], dengan s adalah setengah dari keliling segitiga, s = (a + b + c)/2. Sehingga,

23


BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titiktitik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jarijari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. Garis lengkung tersebut kedua ujungnya saling bertemu membentuk keliling lingkaran dan daerah lingkaran (luas lingkaran). Lingkaran memiliki beberapa unsur, yaitu: 1. Titik Pusat Lingkaran 2. Jari-jari Lingkarang 3. Diameter Lingkaran 4. Busur Lingkaran 5. Tembereng 6. Juring Lingkaran 7. Apotema Lingkaran memiliki garis singgung, yaitu garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya. Jika dihubungkan dengan suatu segitiga, akan ada dua macam lingkaran, yaitu: Lingkaran dalam segitiga dan Lingkaran Luar segitiga. B. Saran Inilah makalah yang telah kami susun, meskipun penulisan makalah ini jauh dari sempurna. Masih banyak kesalahan dari penulisan makalah kelompok kami ini, karna kami manusia yang adalah tempat salah dan dosa, sehingga kami juga butuh saran/ kritikan agar bisa menjadi motivasi untuk masa depan yang lebih baik daripada masa sebelumnya. Kami juga mengucapkan terima kasih atas dosen pembimbing mata kuliah TELAAH KURIKULUM MATEMATIKA SMP, Ibu Effie Efrida Muchlis, S.Pd, M.Pd. yang telah memberi kami tugas kelompok demi kebaikan kami sendiri dan pembaca makalah ini.

24


SILABUS PEMBELAJARAN

Sekolah

: SMP NEGERI 19 KOTA BENGKULU

Kelas

: VIII (Delapan)

Mata Pelajaran

: Matematika

Semester

: II (dua)

GEOMETRI DAN PENGUKURAN Standar Kompetensi : 4. Menentukan unsur, bagian lingkaran serta ukurannya Kompetensi

Materi Kegiatan Pembelajaran

Dasar

Pembelajaran

4.1 Menentu Lingkaran kan unsur dan bagianbagian lingkaran

4.2 Menghitung Lingkaran keliling dan luas lingkaran

Mendiskusikan unsurunsur dan bagian-bagian lingkaran dengan menggunakan model

Menyimpulkan nilai phi dengan menggunakan benda yang berbentuk lingkaran.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Penilaian Teknik

Bentuk

 Menyebutkan unsurunsur dan bagianbagian lingkaran : pusat lingkaran, jarijari, diameter, busur, talibusur, juring dan tembereng.

Tes lisan

Daftar pertanyaa n

 Menemukan nilai phi

Unjuk kerja

Contoh Instrumen C

Alokasi

Sumber

Waktu

Belajar

2x40mnt Buku teks, lingkaran, dan lingkungan

D

Disebut apakah ruas garis CD ?

Tes uji Ukurlah keliling (K) sebuah benda petik kerja berbentuk lingkaran dan juga diameternya (d). Berapakah nilai

2x40mnt

k ? d MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1

25

Kompetensi


Dasar

4.3 Menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, luas juring dalam pemecahan masalah.

Pembelajaran

Lingkaran


Penilaian Teknik

Bentuk

Contoh Instrumen

Daftar Sebutkan rumus keliling lingkaran Pertanyaa yang berjari-jari p. n Sebutkan rumus luas lingkaran yang berjari-jari q.

Alokasi

Sumber

Waktu

Belajar

Menemukan rumus keliling dan luas lingkaran dengan menggunakan alat peraga

 Menentukan rumus keliling dan luas lingkaran

Tes lisan

Menggunakan rumus keliling dan luas lingkaran dalam pemecahan masalah.

 Menghitung keliling dan luas lingkaran.

Tes tertulis

Uraian

Hitunglah luas lingkaran jika ukuran jari-jarinya 14 cm.

Mengamati hubungan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama

 Menjelaskan hubungan sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yang sama

Tes tertulis

Isian singkat

Jika sudut A adalah sudut pusat 2x40mnt dan sudut B adalah sudut keliling, sebutkan hubungan antara sudut A dan sudut B jika kedua sudut itu menghadap busur yang sama.

Menghitung besar sudut keliling jika menghadap diameter atau busur yang sama.

 Menentukan besar sudut keliling jika menghadap diameter dan busur yang sama.

Tes lisan

Menghitung panjang busur, luas juring dan

 Menentukan panjang busur, luas juring dan luas tembereng.

Tes tertulis

Daftar Berapa besar sudut keliling jika Pertanyaa menghadap diameter lingkaran? n

Uraian

4x40mnt

4x40mnt

2x40mnt

Di dalam lingkaran dengan jari-jari 4x40mnt 12 cm, terdapat sudut pusat yang


26

Kompetensi


Dasar

Pembelajaran


Penilaian Teknik

Bentuk

tembereng.

Contoh Instrumen besarnya 90

Alokasi

Sumber

Waktu

Belajar

0

Hitunglah: a. Panjang busur kecil b. luas juring kecil

Menemukan hubungan sudut pusat, panjang busur, luas juring dan menggunakannya dalam pemecahan masalah

4.4 Menghitung Lingkaran panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran

Mengamati sifat sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan garis yang melalui titik pusat.

 Menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, luas juring dalam pemecahan masalah

Tes tertulis

Uraian

Seorang anak harus minum tablet yang berbentuk lingkaran. Jika anak tersebut harus minum 1/3 tablet itu dan ternyata jari-jari tablet 0,7 cm. Berapakah luas tablet yang diminum?

4x40mnt

 Menemukan sifat sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan garis yang melalui titik pusat.

Tes tertulis

Uraian

Perhatikan gambar!

2x40mnt

O P Q

Berapakah besar sudut P? Jelaskan!

27


Kompetensi


Dasar

Pembelajaran Mencermati garis singgung persekutuan dalam dan persekutuan luar dua lingkaran

Indikator Pencapaian Kompetensi  Menjelaskan garis singgung persekutuan dalam dan persekutuan luar dua lingkaran.

Penilaian Teknik

Bentuk

Tes tertulis

Isian singkat

Contoh Instrumen Perhatikan gambar! A K P

Alokasi

Sumber

Waktu

Belajar

2x40mnt

B Q L

Disebut apakah:a) garis AB? b) garis KL? Menghitung panjang garis singgung persekutuan dalam dan persekutuan luar dua lingkaran

4.5 Melukis lingkaran dalam dan lingkaran luar suatu segitiga

Lingkaran

 Menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dan persekutuan luar

Menggunakan jangka dan  Melukis lingkaran dalam dan lingkaran penggaris untuk melukis luar segitiga lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga

Tes tertulis

Uraian

Panjang jari-jari dua lingkaran 4x40mnt masing-masing 7cm dan 1cm. Jika jarak antara titik pusatnya 10cm, berapakah panjang garis singgung: a) persekutuan dalam b) persekutuan luar

Tes tertulis

Uraian

Dengan menggunakan jangka dan 4x40mnt penggaris, lukislah lingkaran: a) dalam suatu segitiga b) luar suatu segitiga

 Karakter siswa yang diharapkan : Disiplin ( Discipline ); Rasa hormat dan perhatian ( respect ); Tekun ( diligence ); dan Tanggung jawab ( responsibility )

28


DAFTAR PUSTAKA

Hidayanti. (2012). Lingkaran. [Online]. Tersedia : http://mafia.mafiaol.com/2014/02/ pengertian-lingkaran.html. [29 Mei 2014]

Priyadi, P. Gendra, dkk. 2008. Matematika Program Keahlian Seni, Pariwisata, Sosial, Administrasi Perkantoran dan Tekhnologi Kerumahtanggaan untuk SMK dan MAK Kelas XII. Jakarta : Erlangga

Yosep. (2013). Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga. [Online]. Tersedia: http://yos3prens.wordpress.com/2013/07/17/lingkaran-luar-segitiga/. [29 Mei 2014]

25


Makalah Lingkaran (Kelompok 1) Telaah Kurikulum Matematika SMP

Recommend Documents