BAB I PENDAHULUAN 1.1.
Latar Belakang
Teori Teori kombinatorial telah berkembang sejak s ejak awal abad 6 SM. Hingga pada abad pertengahan, teori ini terus berkembang dengan memanfaatkan teori lainnya seperti teori bilangan serta teori probabilitas. Aplikasi dari kombinatorial pun sangat luas karena dapat dipakai dalam berbagai permasalahan permasalahan sehari-hari. sehari-hari. Salah satu aplikasi dari kombinatorial yang sering dipakai adalah dalam integrasinya dengan teori peluang untuk memprediksi suatu kejadian. ombin ombinator atorial ial adalah adalah !abang !abang matema matematik tikaa untuk untuk menghi menghitun tung g jumlah jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. Sementara itu, peluang merupakan !abang ilmu matematika yang bersangkutan dengan analisis suatu kejadian a!ak. Suatu "ariabel a!ak merupakan objek utama dalam teori peluang. peluang. Suatu "ariabel a!ak dapat melakukan kejadian a!ak berkali-kali hingga dapat memun!ulkan suatu statistik tertentu. Hubungan antara teori peluang serta kombinatorial sangatlah erat. #anyak teori dasar dari kombinatorial yang dapat diintegrasi dengan teori peluang. $stilahistilah istilah dalam dalam teori teori peluan peluang g dapat dapat direpre direpresen sentasi tasikan kan se!ara se!ara matema matematis tis dengan dengan kombinatorial. %ogika-logika pada persoalan peluang dapat diselesaikan dalam daerah penyelesaian kombinatorik. Sala Salah h satu satu !ont !ontoh oh perm permasa asalah lahan an yang yang dapa dapatt disel diseles esaik aikan an deng dengan an kombinato kombinatorial rial adalah menghitung menghitung banyakny banyaknyaa kombinasi kombinasi angka angka nomor nomor polisi polisi mobil, di mana nomor polisi terdiri atas lima angka dan diikuti dua huruf, serta angka pertama bukan nol. &ara paling sederhana untuk menyelesaikan persoalan
1
sejenis adalah dengan mengenumerasi semua kemungkinan jawabannya. Mengenumerasi berarti men!a!ah atau menghitung satu per satu setiap kemungkinan jawaban. Akan tetapi enumerasi masih mungkin dilakukan jika jumlah objek sedikit, sedangkan untuk persoalan di atas, !ara enumerasi jelas tidak efisien. Misalnya untuk menjawab persoalan banyaknya !ara menyusun nomor kendaraan di suatu kota, apabila kita melakukan enumerasi, maka kemungkinan jawabannya adalah sebagai berikut' ()*+A#, ()*+A&, ()*+#& *+6MT, *+6M% dan seterusnya Sangatlah mungkin bahwa kita sudah lelah sebelum proses enumerasi selesai dilakukan. /i sinilah peran kombinatorial, yang merupakan 0seni berhitung1, menyelesaikan persoalan sema!am ini dengan !epat. 2ersoalan kombinatorik yang sederhana lain yang telah diselesaiakan dalam masyarakat. Misalkan, saat pemilihan pemain untuk tim sepak bola yang terdiri dari (( pemain. Apabila ada )3 orang ingin membentuk suatu tim sepak bola, ada berapa kemungkinan komposisi pemain yang dapat terbentuk4 /alam menentukan sebuah password yang panjangnya 6 sampai 5 karakter. arakter boleh berupa huruf atau angka. #erapa banyak kemungkinan password yang dapat dibuat4 Selain itu para ilmuwan pada berbagai bidang juga kerap menemukan sejumlah persoalan yang harus diselesaikan. ombinatorik merupakan !abang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. Matematika /iskrit adalah salah satu ilmu yang memiliki banyak kegunaan dalam berbagai bidang ilmu lainnya. Matemtika /iskrit merupakan !abang matematika yang mempelajari tentang obyek-obyek diskrit. /iskrit itu
2
sendiri adalah sejumlah berhingga elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak bersambungan. /i mana data diskrit merupakan data yang satuannya selalu bulat dalam bilangan asli, tidak berbentuk pe!ahan, !ontoh dari data diskrit misalnya manusia, pohon, dan bola. #erikut ini adalah beberapa alasan pentingnya mempelajari matematika diskrit' (. %andasan berbagai bidang matematika' logika, teori bilangan, aljabar linier dan abstrak, kombinatorika, teori graf, dan teori peluang diskrit7. ). %andasan ilmu komputer' struktur data, algoritma, teori database, bahasa formal, teori automata, teori compiler , sistem operasi, dan pengamanan komputer computer security7. *. Mempelajari latar belakang matematis yang diperlukan untuk meme!ahkan masalah dalam riset operasi optimasi diskrit7, kimia, ilmu-ilmu teknik, biologi, dan telekomunikasi. /ari alasan-alasan di atas, jelaslah bahwa Matematika /iskrit memiliki jangkauan yang luas dalam berbagai bidang ilmu.
1.2.
Rumusan Masalah
#erdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan rumusan masalah sebagai berikut' (. Apa yang dimaksud dengan kombinatorial4 ). #agaimanakah bentuk 8 bentuk perhitungan pada kombinatorial4
1.3.
Tujuan
#erdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan makalah ini adalah sebagai berikut'
3
(. /apat memahami yang dimaksud dengan kombinatorial. ). /apat mengetahui bentuk 8 bentuk perhitungan pada kombinatorial dan peluang diskrit pada matematika.
4
BAB II PEMBAHAAN
2.1. !"m#$nat"r$al 2.1.1. Matemat$ka D$skr$t
Matematika diskrit berasal dari dua kata, yaitu matematika dan diskrit. /iskrit merupakan objek yang terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda dan masing-masing elemen tidak saling berhubungan. Sehingga matematika diskrit merupakan !abang ilmu matematika yang mengkaji objekobjek diskrit.
2.1.2. Pengert$an !"m#$nat"r$al
ombinatorial adalah !abang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. ombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu per!obaan experiment 7 atau kejadian event 7. 2er!obaan adalah proses fisis yang hasilnya dapat diamati. &ontoh' (. Melempar dadu. ). Melempar koin uang logam. *. Memilih orang wakil dari (33 orang.
2.2. !a$%ah Mengh$tung 2.2.1. !a$%ah Dasar Mengh$tung
/i dalam kombinatorial, kita harus menghitung counting 7 semua kemungkinan pengaturan objek. /ua kaidah dasar yang digunakan sebagai teknik menghitung dalam kombinatorial adalah kaidah penjumlahan rule of sum7 dan
5
kaidah perkalian rule of product 7. edua kaidah ini dapat digunakan untuk meme!ahkan banyak masalah persoalan menghitung.
2.2.1.1. !a$%ah Penjumlahan &rule of sum'
#ila per!obaan ( mempunyai p hasil per!obaan yang mungkin terjadi atau menghasilkan p kemungkinan jawaban7, per!obaan ) mempunyai 9 hasil per!obaan yang mungkin terjadi atau menghasilkan 9 kemungkinan jawaban7, maka bila hanya satu per!obaan saja yang dilakukan per!obaan ( atau per!obaan )7, terdapat p : 9 kemungkinan hasil per!obaan menghasilkan p : 9 kemungkinan jawaban7 yang mungkin terjadi. Teorema'
;ika suatu operasi dapat diselesaikan dengan k alternatif,
alternatif pertama dengan n( !ara dan selanjutnya sampai alternatif ke k. Maka operasi tersebut dapat dilakukan dengan n ( : n) : .... : n k !ara &ontoh ' Ada 33 mahasiswa dan *3 dosen. berapa banyak !ara s ebuah laptop dapat diberikan 2enyelesaian ' n( < 33 , n ) < *3 n( : n) < 33 : *3 < *3 !ara
2.2.1.2. !a$%ah Perkal$an &rule of product '
#ila per!obaan ( mempunyai p hasil per!obaan yang mungkin terjadi atau menghasilkan p kemungkinan jawaban7, per!obaan ) mempunyai 9 hasil per!obaan yang mungkin terjadi atau menghasilkan 9 kemungkinan jawaban7,
6
maka bila per!obaan ( dan per!obaan ) dilakukan, maka terdapat p = 9 hasil per!obaan atau menghasilkan p = 9 kemungkinan jawaban7. Teorema' Andaikan suatu prosedur dapat diselesaikan dengan k tahap. Tahap ( dapat diselesaikan dengan n ( !ara, tahap ) dapat diselesaikan dengan n ) !ara dan seterusnya sampai tahap k dapat diselesaikan dengan n k !ara. Maka prosedur tersebut dapat diselesaikan dengan ' n( . n) . . . n k !ara. &ontoh ' Tersedia angka 3 8 >. Tentukan banyak !ara pembentukan * angka 2enyelesaian ' (3 = (3 = (3 < (333 !ara 2erhatikanlah ?dan@ serta ?atau@. edua kata ini adalah kata kun!i untuk mengidentifikasi apakah suatu persoalan menghitung diselesaikan dengan kaidah perkalian atau kaidah penjumlahan. aidah perkalian meyatakan bahwa kedua per!obaan dilakukan se!ara simultan atau serempak, sedangkan pada kaidah penjumlahan, kedua per!obaan dilakukan tidak simultan.
2.2.2. Pr$ns$( Inklus$)Eklus$
Misalkan A dan # sembarang himpunan. 2enjumlahan A:# menghitung banyaknya elemen A yang tidak terdapat dalam # dan banyaknya elemen # yang tidak terdapat dalam A tepat satu kali, dan banyaknya elemen yang terdapat dalam A B # sebanyak dua kali. Cleh karena itu, pengurangan banyaknya elemen yang
terdapat dalam A B #
dari A:# membuat banyaknya anggota A D
dihitung tepat satu kali. /engan demikian, A
∪
#< A:# 8 A B #.
7
∪
#
Eeneralisasi dari hal tersebut bagi gabungan dari sejumlah himpunan dinamakan prinsip inklusi-eksklusi. &ontoh' /alam sebuah kelas terdapat ) mahasiswa yang menyukai matematika diskrit, (* mahasiswa menyukai aljabar linier dan 5 orang diantaranya menyukai matematika diskrit dan aljabar linier. #erapa mahasiswa terdapat dalam kelas tersebut4 ;awab ' Misalkan A himpunan mahasiswa yang menyukai matematika diskrit dan # himpunan mahasiswa yang menyukai aljabar linier. Himpunan mahasiswa yang menyukai kedua mata kuliah tersebut dapat dinyatakan sebagai himpunan A B #. #anyaknya mahasiswa yang menyukai salah satu dari kedua mata kuliah tersebut
atau keduanya dinyatakan dengan A A
∪
∪
#. /engan demikian,
# < A:# 8 A B # < ) : (* 8 5 < *3.
;adi, terdapat *3 orang mahasiswa dalam kelas tersebut.
2.2.3. Permutas$
/efinisi (' Fntuk nG3, n fa!torial yang ditulis dengan n didefinisikan sebagai' n < n . n-(7 . n-)7 . . . *. ). (
8
/efinisi )' Andaikan terdapat n sembarang objek. Akan diadakan pengaturan r objek dengan ( I r I n. #anyaknya permutasi ditulis dengan' n2r atau 2n,r7 didefinisikan sebagai berikut' n!
2n,r7 < n . n-(7 . n-)7 . . . n - r-(77 <
( n− r ) !
#entuk umum' untuk n < r, 2n,n7 < n /alam permutasi hal yang perlu diperhatikan adalah pengaturan dan urutan.
&ontoh' (. 2erhatikan kata 0CM2FTJK1, akan diatur huruf 8 huruf dalam kata tersebut. a. #erapa banyak pengaturan huruf jika semua huruf pada kata tersebut digunakan. b. #erapa banyak pengaturan jika hanya diambil + huruf. ;awab' a. n < 5, r < 5 maka 25,57 < 5 8!
b. n < 5, r < + maka 25,+7 <
( 8− 4 ) ! < 5 . . 6 . < (653 !ara
). Tiga buah ujian dilakukan dalam satu periode 6 hari. #erapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada ) ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama. ;awab' 6!
n < 6, r < * maka 26,*7 <
( 6 −3 ) ! < 6..+ < ()3 !ara
2.2.*. !"m#$nas$
9
Andaikan terdapat n objek berbeda, akan dipilih r objek dengan ( I r I n tanpa memperhatikan urutan7. #anyaknya kombinasi disajikan dengan n&r atau &n, r7 Andaikan urutan diperhatikan, banyaknya pengaturan r objek dari n objek adalah 2n, r7. /ari r objek,urutan tidak diperhatikan, banyaknya pengaturan adalah 2r, r7 < r ;adi, P ( n ,r )
&n,r7<
n!
<
r!
(
)
r ! n −r !
&ontoh' (. Sekelompok anak terdiri dari + anggota. #erapa !ara memilih ) anak dari + anak tersebut. ;awab'
4!
n < +, r < ) maka &+,)7 <
(
4!
)
2 ! 4− 2 !
<
2 !2 !
< 6 !ara
). string biner panjangnya *) bit disusun oleh digit ( atau 3. berapa banyak string biner yang tepat berisi buah bit ( ;awab' asus diatas analog dengan terdapat bola yang akan dimasukan ke *) kotak. #anyaknya string biner yang terbentuk adalah &*), 7 *. Sekelompok anak terdiri dari 6 anak laki 8 laki dan anak perempuan . Akan dipilih * orang anak dengan ketentuan ) anak laki 8 laki dan ( anak perempuan. #erapa banyak !ara yang dapat dilakukan untuk memilih * orang tersebut. ;awab' Terdapat ) prosedur pemilihan'
10
2emilihan ) anak laki 8 laki 2emilihan ( anak perempuan #anyaknya !ara memilih ) anak laki-laki dari 6 anak ada' &6,)7 !ara. #anyaknya !ara memilih ( anak perempuan dari anak ada' &,(7 !ara. ;adi, banyaknya !ara memilih ) anak laki 8 laki dan ( anak perempuan' &6,)7.&,(7 < ( . < !ara +. Tiga buah apartemen A, #, & disewakan ke mahasiswa. Tiap apartemen dapat menampung * atau + orang . #erapa banyak !ara menyewakan apartemen kepada (3 orang mahasiswa. ;awab' Ada * kemungkinan' Apartemen A untuk + orang, apartemen #,& untuk * orang. #anyaknya !ara' &(3,+7. &6,*7 . &*,*7 Apartemen A untuk * orang, # untuk + orang dan & untuk * orang #anyaknya !ara' &(3,*7 . &,+7 . &*,*7 Apartemen A,# untuk * orang dan & utnuk + orang #anyaknya !ara ' &(3,*7 . &,*7 . &*,*7 Total seluruh !ara' &(3,+7. &6,*7 . &*,*7 : &(3,*7 . &,+7 . &*,*7 : &(3,*7 . &,*7 . &*,*7
. #erapa banyak !ara 5 orang disusun dalam suatu lingkaran. ;awab' Fntuk menyusun 5 orang dalam lingkaran, maka ( orang harus tetap ditempatnya, sedang yang lain berpindah, sehingga banyaknya !ara ada'
2.2.+. Perluasan Permutas$ %an !"m#$nas$
11
Andaikan terdapat n objek dengan n ( objek pertama, n ) objek kedua dan seterusnya sampai nk objek ke-k dengan n < n ( : n) : . . . : n k , maka banyaknya permutasi dari n objek tersebut adalah' Cbjek pertama diatur dengan ' &n,n (7 !ara, objek kedua diatur dengan ' &n-n(,n)7 !ara, objek ketiga diatur dengan ' &n-n (-n),n*7 !ara dan seterusnya sampai objek ke-k diatur dengan ' &n-n (-n)--nk ,nk 7 /engan prinsip KC2, pengaturan n objek dapat dilakukan dengan' n!
&n,n(7. &n-n(,n)7. &n-n(-n),n*7 . . . &n-n (-n)--nk ,nk 7 <
;adi, #anyaknya permutasi dengan perulangan'
n1 ! n 2 ! … n k !
n! n1 ! n 2 ! … n k !
&ontoh' (. #erapa banyak string yang dapat dibentuk dari kata 0M$SS$SS$22$14 ). #erapa banyak !ara membagi 5 buah buku yang berbeda kepada * orang mahasiswa jika masing-masing #illy mendapat + buku, Andy dan Toni mendapat ) buku. ;awab' (. #anyaknya huruf M < (, huruf $ < +, huruf S < +, hurup 2 < ) sehingga
11 !
n < ( : + : + : ) < ((. ;adi jumlah string yang dapat dibentuk <
1 !4 !4 !2!
<
*+63 buah ). n( < +, n ) < ), n * < ), n < + : ) : ) < 5. Maka, banyaknya !ara membagi
8!
buku <
4 ! .2 ! .2 !
< +)3 !ara.
12
2.2.,. !"m#$nas$ %engan Perulangan
Misal terdapat r buah bola yang warnanya sama dan n buah kotak r L n7. i7 jika masing 8masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu kotak maka banyaknya !ara memasukan bola ke dalam kotak ada &n,r7. ii7;ika masing 8 masing kotak tidak ada batasan jumlah bola, maka jumlah !ara memasukan bola tersebut ada &n : r 8 ( , r 7 atau &n : r 8 ( , n 8 (7. &ontoh' (. 2ersamaan' =( : =) : =* : =+ < () dengan = i bilangan bulat nonnegatif. #erapa jumlah kemungkinan solusinya. ). Tiga buah dadu dilempar. #erapa banyak hasil yang berbeda yang mungkin. ;awab' (. asus di atas analog dengan () bola kedalam + kotak, maka banyaknya !ara ada' &+ : () 8 (, ()7 < &(,()7 < + buah. ). n < *, r < 6 sehingga banyaknya hasil yang mungkin ada' &* : 6 8 ( , 67 < &5, 67 < )5 buah.
13
BAB III !EIMPULAN
ombinatorial adalah !abang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. ombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu per!obaan experiment 7 atau kejadian event 7. 2er!obaan adalah proses fisis yang hasilnya dapat diamati. Andaikan terdapat n objek berbeda, akan dipilih r objek dengan ( I r I n tanpa memperhatikan urutan7. #anyaknya kombinasi disajikan dengan n&r atau &n, r7 Andaikan urutan diperhatikan, banyaknya pengaturan r objek dari n objek adalah 2n, r7. /ari r objek, urutan tidak diperhatikan, banyaknya pengaturan adalah 2r, r7 < r ;adi, P ( n ,r )
&n, r7<
n!
<
r!
14
(
)
r ! n −r !
DA-TAR PUTA!A
Munir, Kinaldi. )33+. Diktat Kuliah Struktur Diskrit , $nstitut Teknologi #andung' /epartemen Teknik $nformatika. http'www.math.itb.a!.idNdiskrituliah6baru.ppt diakses pada ) mei )3(67 https'yaOidi9omuddiin.wordpress.!om)3()((3>matematika-diskrit-bab-iii prinsip-inklusi-dan-eksklusi diakses pada ) mei )3(67
15
