Makalah
Matematika Wajib
''Masalah Kontekstual Yang Berkaitan Dengan Sistem Persamaan Tiga Variabel''.
KELOMPOK 3 :
1 . Liora c. Pattiasina
2. Mulfadia F. Heriadi
3. Agatha G. Uniplaita
4. Marlen Resiara
5. Josua Kabanga
Kata pengantar
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segalah rahmatNYA sehingga makalah ini dapat tersusun hingga selesai .Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terima kasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya.
Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, Untuk kedepannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambahi isi makalah agar menjadi lebih baik lagi.
Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, Kami yakin masih banyak kekurang anda lam makalah ini, Oleh Karena itu kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.
Ambon,01Oktober 2017
Penyusun
Daftar Isi
Halaman sampul ……………………………………………………………………………………………… i
Kata pengantar …………………………………………………………………………………………………ii
Daftar isi …………………………………………………………………………………………………………..iii
Bab I Pendahuluan ………………………………………………………………………………………….1
Latar belakang masalah ……………………………………………………………………………1
Rumusan masalah …………………………………………………………………………………….1
Bab II Pembahasan…………………………………………………………………………………………….2
2.1 Pengertian sistem persamaan linear tiga variabel …………………………………….2
2.2 contoh- contoh masalah dan penyelesaian kontekstual yang terkait dengan SPLTV
………………………………………………………………………………………………………………. 2 - 6
Bab III
3.3 Kesimpulan……………………………………………………………………………………………. 7
3.4 Saran …………………………………………………………………………………………………….. 7
BAB I
PENDAHULUAN
Latar belakang masalah
Dalam kehidupan sehari – hari , banyak permasalahan yang terjadi dan sulit untuk diselesaikan misalnya masalah keuangan dalam sistem perbankan , masalah menentukan harga sebuah barang dan masalah – masalah lainnya. Karena itu kita dapat menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel untuk menyelesaikan permasalah – permasalahan tersebut. Sistem persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan beberapa metode berbeda yaitu substitusi, eliminasi , dan detreminan .
Rumusan masalah
Apa pengertian persamaan linear tiga variabel ?
Bagaimana permasalahan dalam kehidupan sehari – hari dapat diselesaikan menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel ?
BAB II
PEMBAHASAN
Pengertian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
Sistem Persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah sebuah konsep dalam ilmu matematika yang digunakan untuk menyelesaikan kasus yang tidak dapat diselesaikan menggunakan persamaan linear satu dan dua variabel
2.2 Contoh sistem persamaan linear tiga variable
CONTOH 1
Ahmad membeli di sebuah Toko peralatan sekolah berupa 4 buah penggaris, 6 buah buku tulis dan 2 buah pena dengan menghabiskan biaya sebesar Rp 19.000,00. Di Toko yang samaSulaiman berbelanja 3 buah buku tulis dan sebuah penggaris dengan menghabiskan uangRp 7.000,00. Jika harga sebuah penggaris adalahRp 1.000,00 maka berpakah harga sebuah pena?
Untuk menyelesaikan kasus diatas, kita dapat menggunakan konsep sistem persamaan tiga variabel.
Pembahasan!
Dimisalkan bahwa;
X = harga sebuah penggaris
Y = harga sebuah buku
Z = harga sebuah pena
Diketahui:
4X + 6Y + 2Z = 19.000 persamaan (I)
3Y + X = 7.000 persamaan (II)
X = 1.000 persamaan (III)
Ditanya:
Z = ?
Dijawab:
Kita selesaikan terlebih dahulu persamaan (II) dengan bantuan persamaan (III), untuk mengetahu inilai Y (harga sebuah buku).
3Y + X = 7.000 ( X = 1.000 )
3Y + 1.000 = 7.000
3Y = 7.000 – 1.000
3Y = 6.000
Y = 6.000/3
Y = 2.000 persamaan (IV)
Kita lanjutkan untuk menyelesaikan persamaan (I) dengan bantuan persamaan (III) dan persamaan (IV) yang dihasilkan dari penghitungan di atas untuk mencari nilai Z (harga sebuah pena).
Kita sudah memiliki nilai;
Y = 2.000 dan,
X = 1.000.
Maka,
4X + 6Y + 2Z = 19.000
4(1.000) + 6(2.000) + 2Z = 19.000
4.000 + 12.000 + 2Z = 19.000
16.000 + 2Z = 19.000
2Z = 19.000 – 16.000
2Z = 3.000
Z = 3.000/2
Z = 1.500
Sudah terjawab masing – masing nilai X, Y dan Z sebagai berikut;
X = 1.000
Y = 2.000
Z = 1.500
Jadi, harga sebuah pena adalahRp 1.500,00
Contoh 2
Memodelkan Permasalahan Keuangan
Suatu perusahaan rumahan meminjamRp 2.250.000.000,00dari tiga bank yang berbeda untuk memperluas jangkauan bisnisnya. Suku bunga dari ketiga bank tersebut adalah 5%, 6%, dan 7 %.Tentukan berapa pinjaman perusahaan tersebut terhadap masing-masing bank jika bunga tahunan yang harus dibayar perusahaan tersebut adalahRp 130.000.000,00 dan banyaknya uang yang dipinjam dengan bunga 5% sama dengan dua kali uang yang dipinjam dengan bunga 7%?
Pembahasan
Misalkanx, y, dan z secara berturut-turut adalah banyaknya uang yang dipinjam dengan bunga 5%, 6%, dan 7%.Ini berarti yang menjadi persamaan pertama kita adalah x + y + z = 2.250 (dalam jutaan). Persamaan kedua diperoleh dari total bunga pertahunnya, yaituRp 130.000.000,00: 0,05x + 0,06y + 0,07z = 130. Sedangkan persamaan ketiga dapat diperoleh dari kalimat, "banyaknya uang yang dipinjam dengan bunga 5% sama dengan dua kali uang yang dipinjam dengan bunga 7%", sehingga persamaannya adalah x = 2z. Ketiga persamaan tersebut membentuk sistem seperti berikut.
x+y+z=2.2500,05x+0,06+0,07z=130x=2z
Suku-x pada persamaan pertama adalah 1.Apabila dituliskan kembali kedalam bentuk standar, sistem tersebut akan menjadi
x+y+z=2.2505x+6y+7z=13.000x-2z=0
Gunakan –5P1 + P2 untuk mengeliminasi suku-x di P2, dan –P1 + P3 untuk mengeliminasi suku-x di P3.
-5P1 -5x-5y-5z = -11.250
-P1 -x-y-z = -2.250
P2 5x+6y+7z = 13.000 P3 x-2z =0
y+2z = 1.750 -y-3z = -2.250
Sehingga, P2 yang baru adalah y + 2z = 1.750 dan P3 yang baru adalah y + 3z = 2.250 (setelah di kalian dengan –1), yang menghasilkan sistem berikut.
x+y+z=2.250y+2z=1.750y+3z=2.250
Dengan menyelesaikan subsistem 2 × 2 (dua persamaan terakhir) menggunakan –P2 + P3 menghasilkan z = 500. Selanjutnya dengan menerapkan substitusi balik akan menghasilkan x = 1.000 dan y = 750. Diperoleh selesaian SPLTV tersebut adalah (1.000, 750, 500).Ini berarti bahwa perusahaan tersebut meminjam 1 miliar rupiah pada bunga 5%, 750 juta rupiah pada bunga 6%, dan 500 juta rupiah pada bunga 7%.
Contoh Soal 3
Menentukan Harga Barang
Pada sebuah took buku, Ana membeli 4 buku,2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp.26.000,00. Lia membeli 3 buku,3 pulpen dan 1 pensil dengan harga Rp.21.000,00. Nisa membeli 3 buku dan 1 pensil dengan hargaRp. 12.000,00. Jika Lola membeli 2 pulpen dan 3 pensil, maka tentukan biaya yang harus dikeluarkan oleh Lola !
Pembahasan:
Dimisalkan buku=x, pulpen=y, pensil=z
Dari soal, dapat disusun system persamaan linear sebagai berikut:
1). 4x + 2y + 3z = 26.000
2). 3x + 3y + z = 21.000
3). 3x + z = 12.000
Ditanya : 2y + 3z = ….?
Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umum nya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang. Karena yang ditanya harga 2y + 3z, maka kita hanya perlu mencari harga satuan y dan z.
Dari 3x + 3y + z = 21.000 dan3x + z = 12.000, diperoleh dengan harga satuan pulpen yaitu:
3x + 3y + z = 21.000
3x + z = 12.000 –
3y = 9.000
y = 3.000
Selanjutnya, substitusi nilai y pada persamaan 1 dan 2 sebagai berikut:
4x + 2(3.000) + 3z = 26.000
3x + 3(3.000) + z = 21.000
4x + 6.000 + 3z = 26.000
3x + 9.000 + z = 21.000
4x + 3z = 20.000x3
3x + z = 12.000x4
12x + 9z = 60.000
12x + 4z = 48.000 -
5z = 12.000
z = 2.400
Jadi, harga 2 pulpendan 3 pensil adalah:
2y + 3z = 2(3.000) + 3(2.400) = 13.200,00
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Jadi dengan menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel kita dapat memecahkan permasalahan sehari-hari. Terdapat tiga metode penyelesaian SPLTV ini yaitu substitusi, eliminasi, dan determinan. Terkadang untuk menyelasaikan SPLTV dapat menggunakan metode campuran dari ketiga metode tersebut.
3.2 Saran
Kita harus mempelajari SPLTV ini secara lebih mendalam lagi agar kita dapat menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari –hari dengan lebih mudah.
Saran untuk pak guru : sebaiknya pak guru lebih memperbanyak latihan soal bagi kami dalam berbagai bentuk agar kami dapat dengan mudah menganalisa masalah – masalah serta menyelesaikannya .
