Makalah Metode Numerik
AKAR PERSAMAAN LINEAR DAN NON-LINEAR
DISUSUN OLEH: KELOMPOK 2 ALIFKA !ENDANI PU"RI #H22$$%&&%' PU"RI (ULANDARI #H22$$%&$%' MUHAMMAD SIDI) "OLLEN* #H22$$%&$+' ,ELLA PRA"I(I #H22$$%&2%' NUR ANNISA MULA(A"I #H22$$%.&/' NUR A)IEN 0AA #H22$$%/&1'
JURUSAN FISIKA PROGRAM PROGRAM STUDI GEOFISIKA GEOFISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN 2016
Kata Pengantar Puji Puji syuk syukur ur penu penuli liss ucap ucapka kan n keha kehadi dirat rat Alla Allah h Subh Subhan anah ahu u wata wata’al ’ala, a, yang yang telah telah melimpahkan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini. Makalah ini diajuk diajukan an guna guna memenu memenuhi hi tugas tugas present presentase ase mata mata kuliah kuliah Analis Analisis is Sinyal Sinyal,, mengen mengenai ai Teri eri Sistem Sistem !inear !inear.. Terima erima kasih kasih penuli penuliss sampai sampaikan kan kepada kepada dsen dsen mata mata kuliah kuliah yang yang telah telah berdedikasi dalam penyelesaian makalah ini serta kepada semua pihak yang telah membantu secara langsung maupun tak langsung sehingga makalah ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. "leh karena itu, kritik dan saran yang bersi#at membangun sangat diharapkan, sekecil apapun akan penulis perhatikan dan pertimbangkan guna penyempurnaan dalam pembuatan makalah yang akan datang. Semga makalah ini mampu memberikan nilai tambah bagi pembacanya dan juga berman#aat untuk pengembangan ilmu pengetahuan bagi kita semua.
Makassar, $ebruari %&'(
Penulis
BAB I PENDAHULUAN
I.1. Latar Belakang
Secara garis besar, ilmu #isika dapat dipelajari lewat ) jalan, yaitu pertama, dengan menggunakan knsep atau teri #isika yang akhirnya melahirkan #isika teri. *edua, dengan cara eksperimen yang menghasilkan aliran #isika eksperimental, dan ketiga, #isika bisa dipelajari lewat simulasi #enmena alam yang sangat mengandalkan kmputer serta algritma numerik+. alam bidang rekayasa, kebutuhan untuk menemukan slusi persalan secara praktis adalah jelas. ari kacamata rekayasawan, masih tampak banyak cara penyelesaian persalan matematik yang dirasa terlalu sulit atau dalam bentuk yang kurang knkrit. Penyelesaian analitik yang sering diberikan leh kaum matematika kurang berguna bagi rekayasawan, karena ia harus dapat mentrans#rmasikan slusi matematika yang sejati ke dalam bentuk yang biasanya meninggalkan kaidah kesejatiannya +/0S12. Slusi hampiran biasanya sudah memenuhi persyaratan rekayasa dan dapat diterima sebagai slusi. !agipula, banyak persalan matematika dalam bidang rekayasa yang hanya dapat dipecahkan secara hampiran. *adang-kadang dapat pula terjadi bahwa metde analitik hanya menjamin keberadaan 3atau hanya mengkarakteristikkan beberapa prperti umum4 slusi, tetapi tidak memberikan cara menemukan slusi tersebut+*5066. Metde numerik digunakan untuk menyelesaikan persalan dimana perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan. Metde numerik ini berangkat dari pemikiran bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan-pendekatan yang dapat dipertanggung-jawabkan secara analitik. Metde numerik disajikan dalam bentuk algritma algritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.Pendekatan yang digunakan dalam metde numerik merupakan pendekatan analisis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar jauh dari dasar pemikiran analitis, hanya saja pemakaian gra#is dan teknik perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan dalam pemakaian metde numerik. Mengingat bahwa algritma yang dikembangkan dalam metde numerik adalah algritma pendekatan maka dalam algritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan prses perhitungan.engan kata lain perhitungan dalam metde numerik adalah perhitungan
yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus diperleh hasil yang bisa mendekati nilai penyelesaian e7act.
I.2. Rumusan Masalah
'4 %4 )4 4 84 (4 24
/entuk persamaan linear dan Nn-linear Penyelesaian akar persamaan linear dan nn-linear Metde bisectin. Metde Newtn-5aphsn. Metde 5egula $alsi. Metde Secant. Peman#aatn aplikasi Micrs#t 07cel maupun MAT!A/.
I.3. Tujuan
'4 %4 )4 4 84 (4 24
Mengetahui bentuk persamaan linear dan Nn-linear Menemukan akar persamaan linear dan nn-linear Menyelesaikan persamaan linear dan nn-linear melalui metde bisectin. Menyelesaikan persamaan linear dan nn-linear melalui metde Newtn-5aphsn. Menyelesaikan persaaan linear dan nn-linear melalu imetde 5egula $alsi. Menyelesaikan persamaan linear dan nn-linear melalui metde Secant. Meman#aatkan s#tware aplikasi numerik berupa Micrs#t 07cel maupun MAT!A/.
BAB II PEMBAHAAN
II.1. Persamaan L!near "an N#n$L!near
alam matematika bentuk persamaan secara umum dibagi menjadi dua bagian, yaitu9 persamaan linear dan persamaan nn linear. Perbedaan mendasar dari kedua persamaan tersebut adalah dari bentuk persamaannya. Persamaan linear mengandung :ariabel bebas yang berpangkat ' 3satu4 atau & 3nl4. Sedangkan persamaan nn linear mengandung :ariabel bebas yang berpangkatkan bilangan real +(. Salah satu masalah yang paling umum ditemui dalam matematika adalah mencari akar suatu persamaan. ;ika diketahui #ungsi #374, akan dicari nilai-nilai 7 yang memenuhi #374 < &. Termasuk dalam masalah menentukan titik ptng dua buah kur:a. Apabila kur:a-kur:a tersebut dinyatakan leh #ungsi #374 dan g374, maka absis titik ptng kedua kur:a tersebut merupakan akar-akar persamaan #374 = g374 < & +( Definisi 2.1 %akar suatu &ersamaan' &em(uat n#l )ungs!*
Misalkan f(x) adalah suatu fungsi kontinu. Setiap bilangan r pada domain f yang memenuhi f(r) = 0 disebut akar persamaan f(x) = 0, atau disebut juga pembuat nol fungsi f(x). Secara singkat, r disebut akar fungsi f(x). Ada beberapa metde standar untuk menyelesaikan persamaan #374<&, sebagai cnth bentuk plynmial derajat dua berikut a7%>b7>c<&, dapat dicari akar-akar persamaannya dengan rumus persamaan kuadrat berikut9 emikian pula seperti pada bagian terdahulu beberapa persamaan dapat ditulis dalam bentuk 7<#374 dengan beberapa cara dan kemudian dikerjakan dengan cara pem#aktran. Suatu persamaan seperti persaamaan #374<& mungkin tidak memiliki akar-akar nyata. Pada berbagai pengerjaan kmputerisasi, terlebih dahulu dapat dibuat sketsa suatu gra#ik #374 dan melihat dimana letak gra#ik memtng sumbu 7. hal itu dapat memperlihatkan bagaimana banyaknya akar-akar nyata sebagai penyelesaian persamaan tersebut +(.
II.2. Met#"e B!se+t!#n
Metde bagi dua atau bisectin adalah algritma pencarian akar pada sebuah inter:al. inter:al
tersebut membagi dua bagian, lalu dari dua bagian ini dipilih mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperleh akar persamaan yang mendekati akar persamaan. Metde ini akan berlaku ketika ingin memecahkan persamaan #374 < & dengan # merupakan #ungsi kntinue+.
Metde bisectin ini adalah metde untuk kmencari akar-akar dari sebuah #ungsi dengan cara menghitung nilai #ungsi #374 dari % nilai ?9 3?', ?%4 yang diberikan. Tahap pertama prses adalah menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas segmen nilai #ungsi yang dicari. /atasan a dan b memberikan harga bagi #ungsi #374 untuk 7
b4B%, diperiksa apakah nilai mmutlak #3m4 @ -( 3batas simpangan kesalahan4. ;ika benar, nilai 7
c4 Panjang 3b-a4 menggambarkan Fpanjang inter:al’ yang digunakan sebagai Fharga awal’ untuk memulai prses iterasi dalam Fmetode bisecetion. Gang berarti bahwa metde ini memiliki Fk#n,ergens! l!n!er- dengan laju H.
5epresentasi gra#ik dari metde bisectin adalah sebagai berikut+(9
ari representasi gra#is diatas dapat diambil kesimpulan dengan jelas, bahwa9
x 1− x 0 x 2= 2 Sehingga setelah n kali literasi akan diperleh9 atau
x 1− x 0 x n−1= n 2
Pada saat panjang inter:al +a,b tidak melampaui suatu harga t 3yang di dalamnya terdapat akar E4, sedemikian rupa sehingga jarak akar E tersebut dengan ekstremitas inter:al tidak melebihi t, maka pada saat itu tleransi perhitungan sudah dapat dilakukan.
Alg#r!tma Met#"e B!seks! +'
3'4 e#inisikan #ungsi f(x) yang akan dicari akarnya 3%4 Tentukan nilai a dan b 3)4 Tentukan tleransi errr dan iterasi maksimum ! 34 Iitung f(a) dan f(b) 384 ;ika f(a).f(b)"0 maka prses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan
a +b 3(4 Iitung 7 <
2
324 Iitung f(x) 364 /ila f(x).f(a)#0 maka b=x dan f(b)=f(x), bila tidak a=x dan f(a)=f(x) 314 ;ika Jb-aJ@e atau iterasiiterasi maksimum maka prses dihentikan dan didapatkan akar < 7, dan bila tidak, ulangi langkah (. /ele(!han Met#"e B!se+t!#n +'9 Metde bisectin sangat sederhana • Selalu kn:ergen • /ekurangan Met#"e B!se+t!#n • •
Iarus menebak dua titik *ekn:ergenan relati# lambat
Kiri-ciri penyelesaian Numerik bila dibanding dengan penyelesaian Analitik yaitu +%9 '. %. ). . 8. (.
Adanya prses perhitungan yang berulang-ulang 3iterati#4 Memerlukan alat bantu cmputer Memerlukan pemdelan matematis dari situasi yang nyata Penyediaan input dan data yang cukup bagi pemdelan Pembuatan algritma dan penulisan prgram ;awaban-jawaban yang diperleh berupa jawaban 3nilai4 pendekatan sehingga memiliki tingkat kesalahan 3errr4.
Soal yang dapat diselesaikan 3 ¿ x x '. Karilah nilai akar dari persamaan L3 < - x = ' < &
Penyelesaian 9 Pilih a < ' dan b < %. *arena L3
1¿
¿ negati# dan L3 2 psiti#, maka salah satu akar terletak diantara ' dan % 1 +2 < ',8. 2
3Terema '.'.4. "leh karena itu 7 <
*emudian, karena 7 <
() 3 2
<
() () () 3 2
3
7
2
maka akar karakteristik terletak antara ' dan ',8.
7
3 2
-
() 3 2
= ' <
() 7 8
3psiti#4
x 1
*ndisi ini memberikan
1 + 1,25 x ¿ < ',%8. *arena L3 1 2
<
< L3
1,25 ¿
<-
19 64 3negati#4, nilai akar yang dicari terletak diantara ',%8 dan ',8. Sehingga diperleh
x 1
<
1,25 + 1,5 < ',)28 2
/ila prsedur di atas diulang kembali hingga
x 5
diperleh nilai-nilai aprksimasi
berikut9
x 3
< ',)'%8,
x 4
< ',))28,
x 5
< ',)%6'%8
%. Iitung salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut 3
#374 < x + x
2
−3 x −3 =0
Penyelesaian 9 Menerka dua nilai bilangan yang memberikan nilai #374 berbeda tanda, misal a<' dan b<% 3
untuk a<', #3'4 <
1
untuk b<%, #3%4 <
2
+ 12−3 ( 1 )−3 =−4
3
dihitung nilai
$
x =1,5
¿
( + )=( + )=
x =
a b
1 2
2
2
3
4<
+ 22 − 3 ( 2 ) − 3 = 3
1,5
1,5
+ 1,52−3 ( 1,5 )−3 =−1,875
"leh karena nilai #ungsi berubah tanda antara a<',8 dan b<% , maka akar terletak diantara kedua nilai tersebut. !angkah selanjutnya membuat setengah inter:al berikutnya untuk membuat inter:al yang lebih kecil. Adapun hasil perhitungan ada pada tabel ' 3lampiran4
II.3. Met#"e Ne0t#n$Ra&hs#n
Metde Newtn-5hapsn adalah metde pencarian akar suatu #ungsi #374 dengan pendekatan satu titik, dimana #ungsi # 374 mempunyai turunan. metde ini dianggap lebih mudah dari
metde bisectin karena metde ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat kn:ergen ke nilai akarnya+6. Metde Newtn-5hapsn merupakan salah satu metde terbuka untuk menentukan sluai akar dari persamaan nn linear, dengan prinsip utama sebagai berikut+9 '. Metde ini melakukan pendekatan terhadap kur:a #374 dengan garis singgung 3gradien4 pada suatu titik nilai awal. %. Nilai taksiran selanjutnya adalah titik ptng antara garis singgung 3gradien4 kur:a dengan sumbu 7. Metde Newtn-5aphsn merupakan metde yang paling banyak dipakai, karena kn:ergensinya paling cepat diantara metde lainnya. Penurunan rumus Metde Newtn5aphsn dilakukan dengan dua cara, yaitu secara gemetri dan dengan bantuan deret Taylr. $. %enurunan rumus Metode !e&ton'aphson secara geometri *+
Pada gambar %.) diatas, gradien garis singgung di 7 r adalah
Δ y ' = m= f ( x r ) = Δ x
f ( x r )− 0 x r − x r+1
f ( x r ) ' f ( x r ) = x r − xr + 1 Sehingga rumus metde Newtn-5aphsn adalah
x r+1= xr −
f ( x r ) f ' ( x r )
, dengan
f ' ( xr ) ≠ 0
. %enurunan rumus Metode !e&ton'aphson dengan bantuan deret -aylor. raikan
f ( x r +1 ) ≈ f ( x r ) + ( x r +1− x r ) f ( x r ) + '
( x r+ 1− x r )2 2
f (t), {x} rsub {r}
f ( x r +1 ) ≈ f ( x r ) + ( x r +1− x r ) f ( x r ) *arena untuk '
/ila diptng sampai suku rde satu menjadi9
mencari akar maka
f ( x r +1 )=0
, sehingga
x r+ 1= xr −
f ( x r ) f ( x r ) ,
f ( x r ) ≠ 0
merupakan rumus metde Newtn-5aphsn. Oterasi berhenti jika kndisinya
. 5umus tersebut
| x r+ 1− x r|< ε
Metde Newtn-5aphsn merupakan salah satu metde terbuka untuk menentukan slusi akar dari persamaan nn linier, dengan prinsip utama sebagai berikut + 9 '4 Metde ini melakukan pendekatan terhadap kur:a #374 dengan garis singgung 3gradien4 pada suatu titik nilai awal. %4 Nilai taksiran selanjutnya adalah titik ptng antara garis singgung 3gradien4 kur:a dengan sumbu 7 /lgoritma Metode !e&ton'aphson +1
e#inisikan #ungsi f 3 x4 dan f 3 x4 Tentukan tleransi errr 3e4 dan iterasi maksimum 3n4 Tentukan nilai pendekatan awal x0 Iitung f(x0 ) dan f(x0 ) ntuk iterasi i < ' sBd n atau x i+1= x 1−
f ( x i ) f ( x i )
Iitung f(x ) i dan f (x ) i
Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperleh %ermasalahan pada pemakaian metode !e&ton aphson adalah *+1 '4 Metde ini tidak dapat digunakan jika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai f ’3 x4 < & sehingga nilai penyebut dari sama dengan &. Secara Qra#is dapat dilihat sebagai berikut9
/ila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak terhingga %4 Metde ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada diantara dua titik stasiner .
Soal'soal yang diselesaikan
f ( x ) = x −5 x + 6 dengan metde 2
'4 Tentukanlah salah satu akar persamaan nnlinier
Newtn-5aphsn. ;ika diketahui nilai awal 7<&, tleransi galat relati:e 7 adalah &,&% serta ketelitian hingga ) desimal. Penyelesaian9
f ( x ) = x −5 x + 6 2
Persamaan Nnlinier
f ( x )=2 x −5 '
Turunan $ungsi
iketahui nilai awal Kek kn:ergensi
x 0=0
f ( x 0 )
0
¿ ¿ f ( x 0 ) =f ( 0 ) =¿ eh!ngga &erlu "!lakukan !teras!
N!la! a0al 4
Iitung nilai #374 dan # F 374 #37"4 < #3"4 < 3"4% = 83"4 > ( < ( # ’37"4 < # ’3"4 < %3"4 = 8 < - 8 Iteras! 1
Qalat 5elati# 7k 30r 74 < -
Nilai 7' < 7" = 3#37"4 B # ’37"44 < " = 3(B3-844 < ',% Iitung nilai #374 dan # F 374 #37'4 < #3',%4 < 3',%4% = 83',%4 > ( < ', Iteras! 2 # ’37'4 < # ’3',%4 < %3',%4 = 8 < - %,(
Qalat 5elati# 7k 30r 74 < J7' = 7 "J B J7'J < J',% = "J B J',%J < ' ?T"! < ","% Nilai 7% < 7' = 3#37 '4 B # ’37'44 < ',% = 3',B3-%,(44 < ',28 Iitung nilai #374 dan # F 374
#37'4 < #3',284 < 3',284% = 83',284 > ( < &,)&2 # ’37 4 < # ’3',284 < %3',284 = 8 < - ',1% ' Qalat 5elati# 7k 30r 74 < J7% = 7 'J B J7%J < J',28 = ',%J B J',28J < &,)'( ?T"! < ","%
Iteras! 3
Nilai 7) < 7% = 3#37 %4 B # ’37%44 < ',28 = 3",)"2B3-',1%44 < ',1( Iitung nilai #374 dan # F 374 #37)4 < #3',1(4 <
3',1(4 % = 83',1(4 > ( < &,&%
# ’37)4 < # ’3',1(4 <
%3',1(4 = 8 < - ',&6&
Qalat 5elati# 7k 30r 74 < J7) = 7 %J B J7)J < J',1( = ',28J B J',1(J Iteras! 5 < &,'&8 ?T"! < ","% Iteras! "a&at &a"a !teras!
"!hent!kan ke$5
/arena
E rx ≤ XTOL= 0.02
"engan salah satu akarn6a 2
%4 Tentukan salah satu akar dari persamaan x%R xR(<& dengan metde Newtn 5aphsn. Penyelesaian9 Persamaannya 9 x%R xR(<&, artinya f 3 x4< x%R xR( sehingga turunannya 9 f 3 x4<% xR'
Sebenarnya persamaan x%R xR(<& mempunyai dua akar yaitu -% dan ) seperti gra#ik di atas. Nilai x& yang kita pilih akan menentukan akar yang akan kita perleh tergantung dari x& tersebut lebih dekat ke akar yang mana. /erikut berbagai :ariasi pemilihan nilai x& yang langsung disajikan dalam tabel berikut. Pilih nilai x&< yang lebih dekat dengan ) daripada -%, maka ketika kita iterasi untuk x&< maka hasil akarnya adalah ) seperti pada tabel iterasi berikut,
Pilih nilai x&<' yang lebih dekat dengan ) daripada -%, maka ketika kita iterasi untuk x&<' maka hasil akarnya adalah ) seperti pada tabel iterasi berikut
Pilih nilai x&<& yang lebih dekat dengan -% daripada ), maka ketika kita iterasi untuk x&<& maka hasil akarnya adalah -% seperti pada tabel iterasi berikut,
Pilih nilai x&
ari sal k-% ini dapat disimpulkan bahwa untuk persamaan f 3 x4<& yang mempunyai akar lebih dari satu, dan untuk nilai awal yang dipilih 3 x&4 mempengaruhi akar akhir yang diperleh. ;ika nilai awalnya 3 x&4 berbeda , maka kemungkinan akar akhir 3akar pendekatan4 yang diperleh juga berbeda tergantung nilai x& nya lebih dekat ke akar yang manan 3akar sebenarnya4. II.5. Met#"e Regula 7als!
Metde regula #alsi atau metde psisi palsu merupakan salah satu slusi pencarian akar
dalam
penyelesaian
persamaan-persamaan
nn
linier
melalui
prses
iterasi
3pengulangan4. Persamaan nn linier ini biasanya berupa persamaan plynminal tingkat tinggi, ekspnensial, lgaritmik, dan kmbinasi dari persamaan-persamaan tersebut. Seperti metde bisectin, Metde regulasi #alsi juga termaksut dalam metde tertutup. Pada umumnya pencarian akar dengaan metde bisectin selalu dapat menemukan akar, namun kecepatan untuk mencapai akar hampiran sangat lambat, leh karena itu untuk mempercepat pencarian akar tersebut di butuhkan metde lain yaitu metde regula #alsi. *ehadiran metde regula #alsi adalah sebagai medi#ikasi dari metde bisectin, yang kinerjanya lebih cepat dalam mencapai akar hampir. Met#"e Regula 7als! adalah panduan knsep Met#"e Bag!$Dua dan Met#"e e+ant . Menggunakan knsep Metde /agi-ua karena dimulai dengan pemilihan dua titik
awal 7& dan 7 ' sedemikian sehingga #37&4 dan #37'4 berlawanan tanda atau #37&4 dan #37'4 @ &. *emudian menggunakan knsep Metde Secan yaitu dengan meneerik garis l dari titik #37&4
dan #37'4 sedemikian sehingga garis l berptngan pada sumbu = 7 dan memtng kur:a B gra#ik #ungsi pada titik #37&4 dan #37'4. Sehingga Metde 5egula $alsi ini akan menghasilkan titik ptng pada sumbu-7 yaitu 7 % yamng merupakan caln akar dan tetap berada dalam inter:al +7&, 7'. Metde ini kemudian berlanjut dengan menghasilkan berturut-turut inter#al +7n-', 7n yang semuanya berisi akar #.
Qambar '.' Prses Oterasi Alg#r!tma Met#"e Regula
Asumsi
awal yang
7als!
harus diambil adalah
sama seperti pada metde bisectin yaitu menebak inter:al awal +a,b dimana #374 adalah kntinu, demikian pula inter:al tersebut harus mengapit nilai akar, sehingga Algaritma 9 '. Tentukan nilai awal a dan ( %. Kek kn:ergensi nilai #3a4 dan #3b4 a. ;ika tan"a )%a* 8 tan"a )%(*, nilai awal dapat di gunakan untuk iterasi selanjutnya. b. ;ika tanda #3a4 < #3b4, tentukan nilai awal yang baru. ). !akukan iterasi. . Iitung nilai + 3hitung akar4, dimana + a 9 0 %($a* dengan 0
f ( a ) f ( a ) − f ( b ) .
8. Kek kn:ergensi nilai + yaitu jika nilai )%+* 4 maka hentikan prses iterasi. (. :!ka (elum k#n,ergens!. Tentukan nilai inter:al baru dengan caraD a. ;ika tan"a )%+* tan"a )%a* maka + akan menggantikan a b. ;ika tan"a )%+* tan"a )%(* maka + akan menggantikan (
Metde 5egula #alsi merupakan salah satu metde tertutup untuk menentukan slusi akar persamaan nn linier, dengan prinsip utama sebagai berikut,
'. Menggunakan garis scan 3garis lurus yang menghubungkan dua krdinat nilai awal terhadap kur:a4 untuk mendekati akar persamaan nnlinier 3titik ptng kur#a #374 dengan sumbu 74 %. Taksiran nilai akar selanjutnyan merupakan titik ptng garis scan dengan sumbu 7.
;#nt#h s#al
Persamaan 9 7% = 87 > imana a < %,
b<8
Penyelesaian 9 $3a4 < 3%4% = 83%4 > < = '& >
$3b4 < 384% = 8384 > < %8 = %8 >
< -%
<
Nilai iterasi
<
f ( a ) f ( a )− f ( b ) . 2
<
2 −5 .
< &,)))
Penyelesaian menggunakan 07cel
K < a w 3
II.<. Met#"e e+ant
Metda secant merupakan salah satu metda yang digunakan untuk mencari nilai akar dari persamaan y<#374. Metda ini dapat dipahami dengan menggunakan bantuan mdel segitiga dalam penyelesainnya seperti berikut, dengan ? r-' dan ?r merupakan batas yang dijadikan acuan awal untuk mencari nilai ? yang sebenarnya 35ahayu,%&'%4.
engan menggunakan gambar ilustrasi di atas kita dapat mengambil persamaan dari si#at segitiga sebangun sebagai berikut 35ahayu,%&'%4 9 dimana 9 BD CD 23 = f(x$ ) = DA CE 2/ = x$'x0 43 = f(x$ ) 45 = x$'x Sehingga 9
f ( x 1) − f ( x 0) x 1− x 0
=
f ( x 1 )−0 x 1− x 2
jadi x 2= x 1= f ( x 1)
(
x n+1= x n− f x n
x 1− x 0 f ( x1 ) −f ( x 0 )
x n− x n−1 f ( x n) − f ( x n−1 )
)
, n ≥1
ari rumus di atas bisa kita lihat bahwa yang dicari adalah ? n>' , 3 ?n>'4 ini merupakan nilai ? yang dicari sebagai pendekatan terhadap nilai ? yang sebenarnya seperti untuk nilai ? %
kemudian ?) pada gambar dibawah, semakin lama nilai ? n>' akan mendekati titik ? yang sebenarnya. Secara umum rumus Metde Secant ini ditulis 35ahayu,%&'%49
xn
= +'
xn
−
f 3 xn 43 xn
−
xn ' 4 −
f 3 xn 4 − f 3 xn ' 4 −
Soal yang diselesaikan 1 Tentukan salah satu akar persamaan nn linier #374 < 7)-% dengan metde Secant jika diketahui nilai awal 7& < -% dan 7 ' < % D serta ketelitian hingga % desimal. %enyelesaian1 Oterasi ' engan 7& < -% dan 7 ' < % #3-%4 < 3-%4) = % < -'&
x%
=
x' −
f 3 x' 43 x' − x& 4 f 3 x' 4 − f 3 x& 4
=
%−
(3% − 3−%44 ( − 3−'&4
=
&.8 #3%4 < 3%4) = % < (
Oterasi % engan 7& < % dan 7 ' < &.8 #3%4 < 3%4) = % < ( x%
=
x'
−
f 3 x' 43 x' − x& 4 f 3 x' 4 − f 3 x& 4
=
&.8 −
3 −'.6643&.8 − %4 −
'.66 − (
=
&.6(
#3&.84 < 3&.84) = % < -'.66
Oterasi ) engan 7& < &.8 dan 7 ' < &.6( #3&.84 < 3&.84) = % < -'.66
x%
=
f 3 x' 43 x' − x& 4
x' −
f 3 x' 4 − f 3 x& 4
=
&.6( −
3 −'.)243&.6( − &.84 −
'.)2 − 3 −'.664
=
'.6)
#3&.6(4 < 3&.6(4 ) = % < -'.)2
Oterasi engan 7& < &.6( dan 7 ' < '.6) #3&.6(4 < 3&.6(4 ) = % < -'.)2 x%
=
x' −
f 3 x' 43 x' − x& 4 f 3 x' 4 − f 3 x& 4
=
'.6) −
,.'&3'.6) − &.6(4 ,.'& − 3 −'.)24
=
'.'&
#3'.6)4 < 3'.6)4 ) = % <.'&
6terasi 7 engan 7& < '.6) dan 7 ' < '.'& #3'.6)4 < 3'.6)4 ) = % <.'& x%
=
x' −
f 3 x' 43 x' − x& 4 f 3 x' 4 − f 3 x& 4
=
'.'& −
3−&.(243'.'& − '.6)4 −
&.(2 − ,.'&
=
'.%&
#3'.'&4 < 3'.'&4) = % < -&.(2
6terasi engan 7& < '.'& dan 7 ' < '.%& #3'.'&4 < 3'.'&4 ) = % < -&.(2 x%
=
x' −
f 3 x' 43 x' − x& 4 f 3 x' 4 − f 3 x& 4
=
'.%& −
3 −&.%(43'.%& − '.'&4 −
&.%( − 3−&.(24
=
'.%2
#3'.%&4 < 3'.%&4 ) = % < -&.%(
6terasi * engan 7& < '.%& dan 7 ' < '.%2 #3'.%&4 < 3'.%&4 ) = % < -&.%(
x%
=
x' −
f 3 x' 43 x' − x& 4 f 3 x' 4 − f 3 x& 4
=
'.%2 −
&.&,3'.%2 − '.%&4 &.&, − 3 −&.%(4
=
'.%(
#3'.%24 < 3'.%24) = % < &.&
6terasi 8 engan 7& < '.%2 dan 7 ' < '.%( #3'.%24 < 3'.%24 ) = % < &.& x%
=
x' −
f 3 x' 43 x' − x& 4 f 3 x' 4 − f 3 x& 4
=
'.%( −
&.&&3'.%( − '.%24 &.&& − &.&,
=
&.&&
#3'.%(4 < 3'.%(4 ) = % < &.&&
Tabel. Iasil hitungan dengan metde Secant Iteras
!0
!1
"#$0%
"#$1%
!2
$ 2 . % / + 3 1
-2 2 &/ &1+ $1. $$& $2& $23
2 &/ &1+ $1. $$& $2& $23 $2+
-$& + -$11 -$.3 %$& -&+3 -&2+ &&%
+ -$11 -$.3 %$& -&+3 -&2+ &&% &&&
&/ &1+ $1. $$& $2& $23 $2+ $2+
Maka nilai salah satu akarnya < '.%(
BAB III PENUTUP
III.1. /es!m&ulan
Sistem persamaan secara garis besar terbagi menjadi % yaitu, sistem persamaan linear dan sistem persamaan Nn-linear. mumnya, bentuk persamaan linear berpangkat ' atau & dan dapat diselesaikan dengan menggunakan metde gra#ik, subtitusi, eliminasi, atau determinan. Sedangkan bentuk persamaan Nn-linear berpangkat bilangan real dan dapat diselesaiakan dengan menggunakan metde /isectin, Newtn-5aphsn, 5egula $alsi, atau metde Secant. Masing-masing metde memiliki kelebihan dan kekurangan. ntuk itu perlu mengkaji ulang persalan agar dapat denga tepat menggunakan ke dua metde tersebut.
III.2. aran
Sebaiknya bila sistem pembelajaran mengenai Metde Numerik lebih interakti# dan berlangsung dua arah, antara dsen dan #asilitatr. Sehingga, tujuan pembelajaran dapat dicapai.
Lam&!ran
Tabel '. Iasil perhitungan metde inter:al bagi-dua
!isting prgram untuk metde Newtn-5aphsn dengan menggunakan MAT!A/
DA7TAR PUTA/A 4$5 http199&idhiarniisn.blogspot.co.id90$:90$9metode'numerik'menghitung'akar' fungsi;8.html diakses pada tanggal 1 $ebruari %&'( pukul '(.%% OTA.
+% ;ack.%&&(. Metode !umerik .!ampung9ni:ersitas Negeri !ampung. +) !uknant, jk.Or.%&''. Metode !umerik .Ggyakarta9 ni:ersitas Qadjah Mada. + Maulida, !ida. %&'. omputasi $. /andung9 ni:ersitas Negeri Sunan Qunung jati +8 5ahayu, $itri. %&'%. Metode Secant . Kirebn9 OAON +( Syahruddin, r. Muhammad IamUah. %&'8. Metode !umerik ntuk ?eofisika. Makassar9 ni:ersitas Iasanuddin
