PERSAMAAN DIFFERENSIAL
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Matematika
Disusun oleh: Audrey Devina B
1211041005
Irul Maulidia
1211041007
Andhy Ramadhan
1211041021
Azhar Fuadi P
1211041025
Murni Mardiatus S 1211041029
SEKOLAH TINGGI KESEHATAN WIDYA CIPTA HUSADA MALANG 2012
DAFTAR ISI Daftar Isi ...............................................................................................................................2 Pengertian Persamaan Diferensial ....................................................................................3
1. Persamaan Diferensial Eksponen...............................................................................5 2. Persamaan Diferensial Logaritma ..............................................................................6 3. Persamaan Diferensial Trigonometri .........................................................................8 Daftar Pustaka .....................................................................................................................13 Pembagian Tugas .................................................................................................................14
Matematika doc.
Page 2
PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Pengertian persamaan diferensial
Persamaan differensial adalah persamaan matematika untuk suatu fungsi tak diketahui dari satu atau beberapa peubah yang menghubungkan nilai dari fungsi tersebut dengan turunannya sendiri pada berbagai derajat turunan (Ledder, 2005,p16). Suatu persamaan differensial disebut persamaan differensial biasa, jika semua turunannya berkaitan dengan satu peubah saja, dan disebut persamaan differensial parsial, jika turunannya berkaitan dengan dua atau lebih peubah. Orde dari persamaan differensial adalah derajat tertinggi dari turunan dalam persamaan yang bersangkutan. Himpunan dari n persamaan differensial ordesatu dengan n menyatakan banyaknya persamaan yang tidak diketahui disebut sistem persamaan differensial orde-satu; n adalah dimensi dari sistem yang bersangkutan. pengertian lain yang perlu diketahui adalah persamaan differensial otonom. Suatu persamaan differensial biasa atau suatu sistem persamaan differensial bias a disebut otonom jika peubah bebasnya tidak tampak secara eksplisit dalam persamaannya (Ledder, 2005, p16). Persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi 2 macam, yang tergantung pada jumlah variabel bebas. Apabila persamaan tersebut mengandung hanya satu variabel bebas, persamaan disebut dangan persamaan diferensial biasa, dan jika mengandung lebih dari satu variabel bebas disebut persamaan diferensial parsial. Derajad (order) dari persamaan diferensial ditentukan oleh derajad tertinggi dari turunannya.
1. Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut. 2. Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, Matematika doc.
Page 3
terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Beberapa pesamaan diferensial parsial tidak dapat digolongkan dalam kategori-kategori tadi, dan dinamakan sebagai jenis campuran. Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier. Sebuah persamaan diferensial disebut linier apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasilkali tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah nonlinier. Sebagai contoh persamaan diferensial biasa dibawah ini :
orde 1
orde 2
Persamaan diferensial biasa dengan ordo n, merupakan persamaan dengan satu perubah ( variabel) yang dapat dituliskan dalam bentuk :
dengan y = f(x) Penyelesaian persamaan differensial ordo satu dapat lebih dari satu, sehingga untuk mencari penyelesaian yang unik atau khusus memerlukan informasi tambahan berupa harga awal.
Matematika doc.
Page 4
Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana dibandingkan dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Persamaan Metode Euler dapat dituliskan sebagai berikut : yn = yn-1 + h . f ( x n -1,yn- 1 ) ; n = 1,2, 3, ……
dengan :
xn = nilai x yang ditanya nilai fungsinya x0 = nilai x awal. n = bilangan bulat
B Macam macam Persamaan Deferensial 1. Persamaan deferensial eksponen
Persmaan deferensial eksponen adalah persamaan deferensial yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x(x sebagai pengubah). Berikut ini adalah rumus yang terkait dengan persamaan deferensial eksponen No.
y = f(x)
dy
= f ’(x)
dx 1
k, k adalah konstanta
0
2
xn
nxn-1 , n Riil
3
ex
ex
4
e
5
ax
x
ke
x
ax ln(a)
Sifat-sifat turunan. Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang mempunyai turunan yaitu f ’(x) dan g ’(x) maka berlaku : 1. (k f) ‘(x) = k f ‘(x) 2. (f + g) ’(x) = f ’(x) + g ’(x) 3. (f – g) ‘(x) = f ‘(x) – g ‘(x) Matematika doc.
Page 5
4. (f . g) ‘(x) = f ‘(x) . g(x) + f (x) . g ‘(x) '
f f ' ( x). g ( x) f ( x). g ' ( x) 5. x , g(x) ≠ 0 2 g g ( x )
untuk dua sifat (rumus) terakhir dapat diringkaskan agar memudahkan kita untuk menghafalnya, yaitu dengan cara memisalkan u = f(x) maka u’ = f ’(x) dan v = g(x) maka v’ = g ‘(x). sehingga dua rumus terakhir dapat dituliskan sebagai berikut : (u . v) ‘(x) = u’ . v + u . v’ dan '
u .v u.v u , v ≠ 0. ( x) v2 v '
Selanjutnya,
'
contoh-contoh berikut akan menjelaskan bagaimana daftar (rumus) dasar
turunan dan sifatnya dapat digunakan dalam menyelesaikan persoalan turunan untuk fungsi sederhana..
Contoh :
Tentukan turunan dari fungsi y = x 4 + 5x3 – 4x2 + 7x – 2. Penyelesaian
y = x4 + 5x3 – 4x2 + 7x – 2, berdasarkan rumus no.1 dan 2 pada daftar maka
dy dx
= 4x4-1 + 5 (3x 3-1) – 4 (2x2-1) + 7 (x1-1) – 0
= 4x3 + 15x2 - 8x + 7. 2. Logaritma
Sebelum mencari turunan logaritma natural maka kita harus men gingat bilangan natural e Bilangan natural bisa didefinisikan sebagai berikut
Nah, sekarang kita akan menurunkan fungsi f(x) = ln x,maka
Matematika doc.
Page 6
sekarang misalkan y = h/x misal h = xy atau 1/h = 1/(xy). Karena h ->0 maka y -> 0 Jadi
Jadi turunan dari f(x) = ln x adalah
Aturan rantai bisa dipakai pada logaritma natural ini, jadi
Matematika doc.
Page 7
Contoh 1 :
Tentukan turunan pertama dari y = ln (8x +1) Jawab :
Contoh 2 :
Tentukan turunan pertama dari y = ln 9x adalah .... Jawab
:
Cara I :
Cara II y = ln 9x = ln 9 + ln x, maka
(ln 9 adalah konstanta, jadi turunannya = 0)
3 Trigonometri
Trigonometri atau yang juga dikenal sebagai ilmu ukur segitiga adalah salah satu dari cabang ilmu matematika yang sangat terkenal dan telah digunakan sejak ribuan tahun yang lalu. Mungkin banyak diantara kita yang tidak mengetahui bahwa Trigonometri telah banyak digunakan untuk mengungkap banyak misteri alam yang pada akhirnya banyak membantu manusia dalam bidang sains dan teknologi. Turunan Sinus dan Kosinus
Pada dasarnya turunan sinus dan kosinus mengacu pada definisi turunan, namun hasilnya telah diringkaskan pada teorema berikut : Teorima 1 Fungsi-fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x, keduanya mempunyai turunan
(dapat
didiferensialkan) yaitu turunan sin x adalah f ’(x) = cos x dan turunan cos x adalah g ’(x) = sin x. Matematika doc.
Page 8
Dengan menggunakan teorema diatas dan rumus turunan hasil kali serta turunan hasil bagi, maka dapat di tentukan rumus turunan fungsi trigonometri lainnya yang dinyatakan pada teorema berikut. Contoh :
Tentukan turunan dari fungsi y = 3 sin x – 2 cos x. Penyelesaian.
y = 3 sin x – 2 cos x, maka dy dx
= 3
d dx
(sin x) - 2
d
(cos x)
dx
= 3 cos x - 2 (- sin x) = 3 cos x + 2 sin x. Teorima 2 Jika 1. 2. 3. 4.
d dx
d dx d dx
d dx d dx
(sin x) = cos x dan
d dx
(cos x) = – sin x, maka :
2 (tan x) = sec x.
2
(cotanx) = - cosec x. (sec x) = sec x . tan x. (cosecx) = - cosec x . cotan x.
Contoh :
Tentukan turunan dari fungsi y = 3 sin 2x. Penyelesaian. dy
Untuk menentukan
dx
terlebih dahulu kita uraikan fungsi sin 2x dengan menggunakan
kesamaan trigonometri yaitu sin 2x = 2 sin x . cos x. Dan dengan menggunakan rumus turunan hasil kali, maka dy dx
=
d dx
(3 sin 2 x ) = =
d dx d dx
[3(2 sin x. cos x)] (6 sin x. cos x)
d d (sin x). cos x sin x (cos x) dx dx
=6
Matematika doc.
Page 9
dy dx
= 6[cos x . cos x + sin x . (- sin x)] = 6 cos2 x – sin2 x = 6 cos 2x.
Aplikasi Persamaan Deferensial dapat diterapkan pada bidang radiologi salah satunyayaitu peluruhan radioaktif. Peluruhan radioaktif adalah kumpulan beragam proses di mana sebuah inti atom yang tidak stabil memancarkan partikel subatomik (partikel radiasi). Peluruhan terjadi pada sebuah nukleus induk dan menghasilkan sebuah nukleus anak . Ini adalah sebuah proses acak sehingga sulit untuk memprediksi peluruhan sebuah atom. Satuan internasional (SI) untuk pengukuran peluruhan radioaktif adalah becquerel (Bq). Jika sebuah material radioaktif menghasilkan 1 buah kejadian peluruhan tiap 1 detik, maka dikatakan material tersebut mempunyai aktivitas 1 Bq. Karena biasanya sebuah sampel material radiaktif mengandung banyak atom,1 becquerel akan tampak sebagai tingkat aktivitas yang rendah; satuan yang biasa digunakan adalah dalam orde gigabecquerels. Laju peluruhan, atau aktivitas, dari material radioakti f ditentukan oleh: 1.
Konstanta:
Waktu paruh - simbol t 1 / 2 - waktu yang diperlukan sebuah material radioaktif untuk meluruh menjadi setengah bagian dari sebelumnya.
Rerata waktu hidup - simbol τ - rerata waktu hidup (umur hidup) sebuah material radioaktif.
Konstanta peluruhan - simbol λ - konstanta peluruhan berbanding terbalik dengan waktu hidup (umur hidup).
(Perlu dicatat meskipun konstanta, mereka terkait dengan perilaku yang secara statistik acak, dan prediksi menggunakan kontanta ini menjadi berkurang keakuratannya untuk material dalam jumlah kecil. Tetapi, peluruhan radioaktif yang digunakan dalam teknik penanggalan sangat handal. Teknik ini merupakan salah satu pertaruhan yang aman dalam ilmu pengetahuan .
2.
Variabel :
Aktivitas total - simbol A - jumlah peluruhan tiap detik.
Aktivitas khusus - simbol S A - jumlah peluruhan tiap detik per jumlah substansi. " Jumlah substansi" dapat berupa satuan massa atau volume.) Half-life (waktu paruh) adalah periode waktu yang diperlukan suatu zat untuk meluruh
menjadi separuh. Nama ini pada awalnya dipakai untuk karakteristik atom yang tidak stabil Matematika doc.
Page 10
(radioaktif) namun dapat juga dipakai untuk kuantitas apapun yang mengikuti peluruhan berderet, seperti pertumbuhan bakteri.
Pertumbuhan dan peluruhan
Jika N menunjukkan jumlah, kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu t, maka perubahan (bertambah = pertumbuhan atau berkurang = peluruhan) yang disimbolkan berbanding lurus dengan kuantitas N, dengan kata lain dN/dt = rN pertumbuhan dan dN/dt = - rN pertumbuhan Peluruhan Radioaktif
Zat radioaktif meluruh dengan memancarkan radiasi secara spontan. Jika N t adalah massa zat yang tersisa pada saat t , N0 adalah massa awal zat, maka laju peluruhan relative terhadap massanya bernilai konstan, yaitu (dN/dt)/N= -r peluruhan r= konstanta Oleh karena itu laju perubahan massa zat m terhadap waktu t dapat dinyatakan dengan
Persamaan diferensial ini dapat dituliskan pula sebagai :
ln N= -r t + C Pada saat awal (t = 0) massa zat adalah N 0, sehingga ln N 0 =C. Jika disubstitusikan pada hasil pengintegralan diperoleh ln N= -rt + C ln N= -rt + ln N 0
= N t = N 0 e-rt Matematika doc.
Page 11
Kuantitas subyek yang mengalami peluruhan eksponensial biasanya diberi lambang N . Nilai N pada waktu t ditentukan dengan rumus N t = N 0 e-rt
Ketika t=0, eksponensialnya setara dengan 1, sedangkan N(t) setara dengan N 0. Ketika t mendekati tak terbatas, eksponensialnya mendekati nol. Secara khusus, terdapat waktu t 1/2 sehingga N(t 1/2 )=N 0 Mengganti rumus di atas, akan didapatkan: -rt(1/2)
e
=1/2
-r t1/2 = ln ½ = - ln 2
t1/2 = ln2/-r
Matematika doc.
Page 12
DAFTAR PUSTAKA
http://srimawarni.files.wordpress.com/2009/06/bab-3-turunan.doc/
diakses
tanggal
14
desember 2012 http://web-matematika.blogspot.com/2012/09/turunan-logaritma-natural/ diakses tanggal 16 desember 2012 http://web-matematika.blogspot.com/2012/09/turunan-logaritma-natural-2/ diakses tanggal 16 desember 2012 http://www.meetmath.com/18563-materi-turunan-fungsi-trigonometri/ diakses tanggal 14 desember 2012
http://zakylubismy.blogspot.com/2011/12/aplikasi-persamaan-diferensial-tentang-peluruhan/ diakses pada 14 desember 2012
http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial diakses tanggal 14 desember 2012
http://thesis.binus.ac.id/eColls/eThesisdoc/Bab2/2011-1-00591-mtif%202.pdf
diakses
14
desember 2012
Matematika doc.
Page 13
PEMBAGIAN TUGAS
Pengumpulan bahan : semua anggota kelompok Pemilahan bahan : Azhar Fuadi dan Andi Ramadhan Editing: -
Pengertian persamaan deferensial dan daftar isi : Murni M. S.
-
Diferensial eksponen, logaritma, trigonometri, dan daftar pustaka : Audrey devina B. dan Irul Maulidia
Kirim email tugas : Irul Maulidia Print dan jilid : semua anggota kelompok
Matematika doc.
Page 14
