BAB I PENDAHULUAN A. Lata Latarr B Bel elak akan ang g Dewasa ini, banyak proses yang berjalan dengan sistem yang memuat
ketidakpastian. Prilaku seperti ini menyebabkan sulitnya dilakukan analisa dan prediksi yang lebih akurat. Biasanya yang dapat dilakukan adalah melihat pola umum, pola distribusi, atau mencari parameter-parameter khusus yang dapat mendeskripsika mendeskripsikan n proses tersebut. Salah satu masalah yang menarik diungkapkan diungkapkan adalah masalah yang berkaitan berkaitan dengan dengan model-model model-model prilaku harga saham dan fluktuasi kurs mata uang. Beberapa model yang berkaitan berkaitan dengan hal ini adalah model time series (Bojan Basrak, !!!", model regresi, dan proses #erak Brown yang menjadi topik dalam tulisan ini. #erak Brown ( Brown Motion" Motion" adalah suatu istilah dalam ilmu biologi ($er ($erry ry %art, %art, !!&". !!&". 'enome 'enomena na fisis fisis #erak #erak Brown Brown muncul muncul pertama pertama kali kali sebagai hasil dari penelitian seorang ahli botani nggris, )obert Brown tahun &*+. Dalam penelitiannya, dia mendefinisikan gerak Brown sebagai gerak acak partikel yang terjadi di dalam sistem fluida dimana gerak acak tersebut terjadi akibat pergerakan partikel tersebut yang cepat, tumbukan antar sesama partikel dan tumbukan dengan benda benda lain (ikipedia,!!". (ikipedia,!!". $eori #erak Brown dikemukakan pertama kali oleh ouis Bachelier tahun
&/!!
dalam tesi esis
PhDnya
yang ang
berjud judul
0$h 0$he
$heory of
speculation” speculation”(ikipedia, !!". !!". %odel Bachelier memanfaatkan teori #erak Brown dalam menjelaskan kinerja saham dan memperlihatkan distribusi laba yang identik, bebas dan berbentuk #aussian ($erry %art, !!&". !!&". 1wal 1wal abad !, 1lbert 2instein membuat formula matematika dari #erak Brown yang didasarkan pada teori kinetik fluida dan menjelaskan bagaimana fenomena fisis ini terjadi (ikipedia, !!". Barulah pada tahun &/3 4orbert iener menyempurnakan teori #erak Brown dengan mendefinisikan ukuran peluang dan menggunakan konsep integral ebesgue sebagai pondasi matematika dari analisis stokastik proses gerak Brown. 5arenanya gerak Brown sering juga disebut proses iener (6 6 789onnor and 2 ' )obertson, !!". $ahun &/,
1
Dr. 5iyosi to merekonstruksi konsep integral stokastik dan membuat teori persamaan differensial stokastik (6 6 789onnor and 2 ' )obertson, !!". $eorinya memberi dampak yang berarti dalam perkembangan teori #erak Brown. $ahun &/+3, 'isher Black dan %yron Scholes menemukan sebuah e:olusi dari model penentuan harga opsi yang didasarkan pada proses #erak Brown. %odelnya sendiri dikenal sebagai model Black-Scholes (riskglosary, !!". B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang,maka ada beberapa hal yang dapat di ambil sebagai rumusan masalah antara lain adalah; &. Bagaimana sifat-sifat dari gerak brownian< . 1da berapa jenis gerak brownian< C. Tujuan Penulisan 1dapun tujuan penulisan dari makalah ini adalah; &. %engetetahui sifat-sifat dari gerak brownian . %engetahui jenis-jenis gerak brownian
BAB II TINJAUAN PUTA!A A. Pengertian "erak Br#$nian 2
#erak Brown adalah suatu fenomena yang ditemukan pertama kali oleh ahli botani )obert Brown pada tahun &*+ yakni ketika serbuk sari bunga dilarutkan ke dalam air maka dengan pengamatan mikroskopis tampak bahwa partikel serbuk sari bunga membentuk gerakan acak di dalam air. Barulah pada tahun &/3 4orbert iener menyempurnakan teori #erak Brown dengan mendefinisikan ukuran peluang dan menggunakan konsep integral sebagai pondasi matematika dari analisis stokastik proses #erak Brown. 7leh karena itu, #erak Brown sering juga disebut Proses iener (ikipedia, !&3". Dalam matematika ,prosses wiener adalah continous adalah continous time stochastic process . proses wiener juga sering disebut #erak Brown baku (standard Brownian %otion" yang diberi nnama dari seorang ahli Bioogi )obert Brown . Proses wiener terdapat dalam matematika murni,matematika terapan,keuangan dn fisika. Proses wiener memaikan peran peting didalam matematika murni maupun matematika terapan.
Pada matematika
murni,proses wiener
memaikan peranan penting seperti pada kalkulus stokastik dan proses difusi. Pada matematika terpan,proses wiener memainkan peranan penting dalam bidang elektronika ,teori kontrol dan teori filterig (filtering $heory". #erak Brown selanjutnya menjadi objek kajian yang berkembang pesat di dalam matematika dari aspek teori maupun aplikasinya. Salah satu aplikasinya ialah #erak Brown digunakan sebagai model untuk dinamika acak dari pergerakan harga pada pasar saham, yang kemudian melahirkan teori integral stokastik dan Persamaan Diferensial Stokastik. B. Jenis%Jenis "erak Br#$nian %erujuk dari Dmouj (!!=" dan )oberts (!!/", berikut definisi dan
:ariasi #erak Brown; &. #erak Brown Standar (Proses iener" Suatu #erak Brown dengan > ! dan Brown standar (baku".
3
σ 2 > &, disebut #erak
#erak brownian sangat dekat hubungannya dengan distribusi normal,mengingat bahwa :ariabel acak ? berdistribusi normal jika memenuhi syarat d bawah ini;
μ u−¿
¿ ¿2 ¿ ¿ −¿
, untuk semua @ ∈ R
e¿
P= { X > x }=
1
∞
∫¿
√ 2 π σ 2 x
De&inis '.( . nilai sebenarya dari proses stokastik A(t" ; t !C disebut
sebuah "erak )r#$nian yang dimulai dari @
∈ R
,jika memenuhi sifat
sifat berikut; &. (!">@ . Prosesnya memiliki kenaikan independen ,untuk setiap !E t 1 E t 2 E t 3 ≤ . . . ≤ t n
. 5enaikan ( t n ¿−W (t n−1 ) , W (t n− 2 ) ,...,W (t 2 )−W ( t 1 )
adalah kenaikan :ariabel acak. 3. Fntuk setiap t! dan hG!, kenaikan (tHh" (t" adalah berdistribusi normal dengan ekspestasi 4ol dan :ariansi h. . Iampir semuanya fungsi t →W ( t ) kontinyu !ita katakan )ah$a * +,t- t / 01 a22alah gerak )r#$nian stan2ar2 untuk 340.
%ari kita tinjau kembali,kita telah mendefinisikan gerak Brownian sebagai proses stokastik A(t" ; t !C dimana ini adalah kawan dari :ariabel acak
ω → W ( t , ω ) di definisikan pada ruang probabilitas tunggal
( Ὡ, 1, P".pada saat yang sama ,proses stokastik dapat juga di interpretasikan sebagai fungsi acak dengan fungsi sampel yang didefiniskan oleh t
4
→W ( t , ω ) . sampel dari sebagian sifat dari proses stokastik adalah sifat
dari fungsi acak,dan ini adalah sifatnya yang akan kita pelajari pada makalah ini. Catatan ketika mempertimbagnkan proses stokastik sebagai fungsi acak
,kadang berguna untuk mengasumsikam bahwa pemetaan (t, ω " →W ( t , ω ) terukur pada hasil ruang J!, ∞ K @
Ὡ ,kita sebaiknya
tidak membutuhkan asumsi .
"am)ar '.( C#nt#h 5 "erak Br#$nian . #erak Brown #eometri #erak Brown #eometri dikenal juga sebagai #erak Brown
2ksponensial.
= ∗+ De&inisi '.5 Diberikan proses Gerak Brown X t μ t σ Bt , t ≥ 0 1
dengan parameter drift
2
μ∗¿ μ − σ , σ 2 , 2
B t adalah proses Gerak Brown yang dimulai pada stokastik
B 0=0 . Proses
{ Z t ; t ≥ 0 } disebut Gerak Brown Geometri jika X t =ln Z t .
5
Z t adalah #erak Brown #eometri yang dimulai pada
Secara ekui:alen,
Z 0 = z , jika ,
( − )+ = z e μ
X t
Z t = z e
1 2
2
σ t σ B t
#erak Brown #eometri memiliki distribusi lognormal dan diketahui bahwa #erak Brown merupakan salah satu proses %arko:, maka akan ditunjukkan #erak Brown #eometri sebagai :ariasi #erak Brown memenuhi sifat proses %arko:. Diberikan #erak Brown #eometri
Z t = Z 0 e
X t
. 1mbil > Hℎ, sehingga
diperoleh ; X t
Z t = Z 0 e
X t + h
Z t + h= Z 0 e
= Z e X − X + X =Z t
0
t
t + h
0
X t X t + h− X t
e e
6
=Z t e X
t +h
− X t
BAB III PENUTUP A. !esim6ulan Berdasarkan tinjauan pustaka, maka adda beberapa hal yang dapat ditarik
sebagai kesimpulan antara lain; &. 1dapun sifat-sifat dari #erak brownian standard adalah; a. (!">@ b. Prosesnya memiliki kenaikan independen ,untuk setiap !E t 1 E
t 2 E t 3 ≤...≤t n . 5enaikan ( t n ¿−W ( t n−1 ) , W ( t n−2 ) , . . . , W ( t 2 )−W ( t 1 )
adalah kenaikan
:ariabel acak. c. Fntuk setiap t! dan hG!, kenaikan (tHh" (t" adalah berdistribusi normal dengan ekspestasi 4ol dan :ariansi h. d. Iampir semuanya fungsi t →W ( t ) kontinyu . 1da dua jenis gerak brownian yaitu ; gerak brownian stndar dan gerak brownian geometrik. B. aran 1dapun saran yang dapat saya berikan dari makalah ini adalah,sebaiknya pemakalah harus mempersiapkann secara total maklah jauh-jauh hari sebelum deadline agar materi yang dimuat dalam makalah apat efesien.
7
