1
KATA KATA PENGANTAR PEN GANTAR
Puji syukur penulis ucapkan atas kehadirat Allah SWT, dengan berkah, rahmat, dan karunia karunia-Ny -Nyaa penuli penuliss dapat dapat menyelesai menyelesaikan kan makalah makalah
yang yang berjud berjudul ul Sejarah
Perkembangan Perkembangan Matematika pada Zaman Alexandria. Makala Makalah h ini disusun disusun untuk untuk melengk melengkapi api salah salah satu satu tugas tugas mata mata kuliah kuliah Sejarah Matematika semester Agustus-Desember 2!"# Dari a$al perencanaan, pelaksanaan hingga pembuatan makalah ini tidak luput luput
dari dukungan, bimbingan, arahan, dan bantuan dari berbagai pihak hingga makalah ini dapat terselesaikan# terselesaikan# %leh karena itu, penulis penulis mengucapkan mengucapkan terima kasih kepada segala pihak yang telah ikut berpartisipasi dalam pembuatan makalah ini# &capan terima kasih yang setulus-tulusnya penulis haturkan kepada Dra# 'j# (lita )u*ti )amaan, MA, selaku d+sen pembimbing pembimbing mata kuliah kuliah Sejarah Matematika# Serta seluruh pihak yang telah membantu pelaksanaan dan penulisan penulisan makalah ini# Dalam makalah ini masih banyak terdapat kekurangan baik dari segi penulisan, isi dan lainnya# Maka penulis m+h+n maa dan mengharapkan saran serta kritikan yang membangun dan berguna dalam pembuatan makalah untuk kedepannya# Demikianlah kata pengantar ini dibuat, dengan harapan sem+ga makalah ini dapat diterima dan bermanaat bermanaat bagi semua pembaca# pembaca# Atas segala perhatiannya, perhatiannya, penulis ucapkan terima kasih#
Padang, Desember 2!"
Penulis
DAFTAR S
KATA KATA PENGANTAR PENG ANTAR ############################################## ##################################################################### ##############################################! #######################! #################################################################### ############################################### #####################################2 #############2 DAFTAR S ############################################# !A! PENDA"#$#AN
2
!#! atar .elakang ############################################## ########################################################################################## ############################################ ####/ !#2 0umusan Masalah######################## Masalah############################################### ################################################################ ######################################### ##" !#/ Tujuan ujuan Makalah############################################ Makalah################################################################### ##################################################" ###########################" !#" Manaat Makalah ##################################### ############################################################ ############################################## ###############################" ########" !A! PEM!A"ASAN 2#! Pendahuluan################################## Pendahuluan######################################################### ############################################## ###########################################1 ####################1 2#2 Para penemu pada *aman Aleandria dan karyanya#######################################3 karyanya#######################################3 !# (uclide 4/ SM5 ############################################# #################################################################### #######################################3 ################3 2# Archimedes 4267-2!2 SM5####################################### SM5############################################################## ####################### ########!1 ######## !1 /# (rat+shtenes 427-!8 SM5####################################### SM5################################################################# ########################## ####!7 "# Ap+ll+nius 4262-!8 SM5########################################### SM5################################################################## #############################!8 ######!8 1# Aristarchus (310-230 SM)###########################################################################2! 6# 'ipparchus (140 SM)#################################################################################22 7# Minelaus (±100 SM)###################################################################################2/ 3# Pt+lemy 49!1 SM5########################################## SM5#################################################################################21 #######################################21 8# 'er+n######################################### 'er+n################################################################ ###############################################################28 ########################################28 !A! PEN#T#P
/#! :esimpulan####################################### :esimpulan############################################################## ############################################## ######################################/2 ###############/2 /#2 Saran######################################## Saran############################################################### ############################################## ############################################# ########################/2 ##/2 KEP#STAKAAN
!A! PENDA"#$#AN
%.% %.% $ata $atarr !ela !elaka kang ng
Matema Matematika tika pada pada *aman *aman sekaran sekarang g sudah sudah sangat sangat jauh jauh berkem berkemban bang# g# 'al ini merupakan sumbangih dari matematika$an terdahulu pada *aman aleandria# ;e+metri (uclide (uclide misalnya, misalnya, dipelajari dipelajari di sek+lah-sek+ sek+lah-sek+lah lah menengah# menengah# )uga masih banyak lagi karyakarya-kar karya ya penemu penemu lainnya lainnya yang yang melata melatarr belaka belakangi ngi perkem perkemban bangan gan matemat matematika ika m+dern# Pada Pada *ama *aman n ale alean andr dria ia sang sangat at terk terken enal al deng dengan an perp perpus usta taka kaan anny nyaa yait yaitu u perpustakaan Aleandria# .anyak karya-karya karya- karya matematika$an disana yang membantu perkembangan matematika selanjutnya# Sampai masa Pt+lemi <<< tercatat sekitar 7# buku tersimpan di sana# Dari tradisi kepustakaan ini dari Aleandria muncul ilmu ilmu$a $an-i n-ilm lmu$ u$an an terk terken enal al yang yang berj berjasa asa bagi bagi kesej kesejah ahter teraa aan n manus manusia ia di duni dunia# a#
3
Muncullah Archimedes, se+rang ahli Matematika abad ketiga sebelum Masehi yang menghasilkan banyak penemuan ilmiah= Aristarchis dari Sam+s, astr+n+m abad ketiga SM, SM, +ran +rang g perta pertama ma yang yang bersp berspek ekul ulas asii bah$ bah$aa plan planet et-p -pla lanet net meng mengit itari ari matah matahari ari,, menggunakan trig+n+metri untuk menghitung jarak dan ukuran matahari dan bulan= (uclides, penemu ilmu ge+metri, matematika dan arsitektur= (rasth+stenes, Mr .eta, ahli ilmu alak, sejarah dan ilsaat= (arasth+tenes, ahli ilmu bumi dan astr+n+mi= dan lain-lain# %leh banyak pers+na k+ta ini mulai dibangkitkan dibangkitkan kembali# kembali# ukisan ukisan tentang *aman keemasan Aleandria telah diabadikan +leh penulis-penulis semacam (#M# >+rster dan ?a@ay# Atas prakarsa &N(S?% bekerjasama dengan pemerintah Mesir dan berbagai +rgan +rganisa isasi si yang yang mempun mempunyai yai perhat perhatian ian terhad terhadap ap ilmu ilmu pegetah pegetahuan uan dan tekn+l tekn+l+gi +gi,, munc muncul ulla lah h ide ide untu untuk k meng menghi hidu dupk pkan an kemb kembal alii perp perpus usta taka kaan an ini# ini# Mer+ Mer+g+ g+h h k+ce k+cek k sebanyak 22 juta d+lar Amerika, perpustakaan ini didesain m+dern# Dalam bulan %kt+ber 22 dibuka kembali perpustakaan masa lalu, di dalamnya berisi sekitar "# buku ditambah sistem k+mputer m+dern dan mutakhir memung memungkin kinkan kan pengun pengunjun jung g mengak mengakses ses k+lek k+leksi si perpus perpustak takaan aan lain, lain, k+leks k+leksii utama utama dititikberatk dititikberatkan an pada peradaban peradaban Mediterania Mediterania bagian timur# timur# Perpustakaan Perpustakaan baru memiliki memiliki kapasitas kapasitas 3## 3## buku# buku# Perpustakaan Perpustakaan ini menyediakan menyediakan 1 unit k+mputer untuk memuda memudahka hkan n para para pengun pengunjun jung g mencari mencari katal+ katal+g, g, dileng dilengkap kapii ruang ruang k+ner k+nerensi ensi dan pustaka Thaha 'usein bagi tuna netra, pustaka anak-anak, museum peninggalan kun+, manuskrip serta 1 lembaga riset#
%.& !# 2# /#
R'm'(a R'm'(an n Ma(al Ma(alah ah .agaimanakah perkembangan matematika pada *aman Aleandria Siapa saja matematika$an pada *aman Aleandria Apa saja karya yang dihasilkan matematika$an *aman Aleandria
%.) T'j' 'j'an an Makal Makalah ah !# Menyampaikan perkembangan matematika pada *aman Aleandria# 2# Menyampaikan siapa saja matematika$an pada *aman Aleandria# /# Member Memberika ikan n in+rm in+rmasi asi mengen mengenai ai karya-k karya-kary aryaa yang yang dihasil dihasilkan kan matemat matematika ika$an $an
*aman Aleandria "# &ntuk &ntuk menyelesaikan menyelesaikan tugas tugas mata kuliah sejarah sejarah matematika matematika
%.* Man+aat Man+aat Makalah Makalah
.agi penulis dan pembaca memiliki manaat dalam memper+leh in+rmasi dan mengetahui bagaimana sejarah perkembangan matematika pada *aman Aleandria
4
!A! PEM!A"ASAN %.% Pendah'l'an
Aleander Bang Agung, penakluk yang kes+h+r dari dunia silam itu dilahirkan di Pella Meced+nia, tanggal 2 atau !2 juli tahun /16 SM, istrinya bernama 0+ance dari .akteria, Stateira << dari Persia, Pysatis << dari Persia, dan anaknya bernama Aleander
ilipus << se+rang yang punya kesanggupan dan berpandangan jauh# >ilipus memperbesar dan meng+rganisir Angkatan .ersenjata Maced+nia dan mengubahnya menjadi kekuatan tempur yang bermutu tinggi# Pertama kali penggunaan Angkatan .ersenjata pilihan ini adalah $aktu ia menaklukkan daerah sekitar hingga sampai ke utara Bunani, kemudian berbalik ke selatan dan menaklukkan hampir seluruh Bunani# :emudian Philip membentuk ederasi k+ta-k+ta Bunani dan dia sendiri jadi pemimpinnya# Tatkala dia lagi merancang rencana penyerangan terhadap :ekaisaran Persia yang luas itu yang berada di sebelah timur Bunani-bahkan penyerbuan sudah mulai terjadi di tahun //6 SM# &mur Aleander baru dua puluh tahun tatkala ayahnya mati tetapi tanpa kesulitan dia menggantikan naik tahta# Philip dengan cermat jauh-jauh hari sudah melakukan persiapan untuk penggantinya dan si Aleander muda sudah punya pengetahuan dan pengalaman kemiliteran yang lumayan# Dalam hal pendidikan
5
intelektual pun Philip tidak mengabaikannya# ;uru buat Aleander disediakan ayahnya se+rang yang istime$a Arist+teles, se+rang yang mungkin paling cendikia$an dan il+s+ yang paling termasyhur di dunia masa itu#
ilustrasi perpustakaan Alexandria
Setelah selama tiga abad kekuasaan Pt+lemi berjaya, perpustakaan mengalami keruntuhan# Pada masa-masa berikutnya Aleandria mengalami kemunduran# :etika Nap+le+n mendarat di Aleandria, tempat ini telah menjadi perkampungan nelayan# Dari abad !8 Aleandria mengemban peran baru sebagai pusat ekspansi perdagangan dan pelayaran Mesir# Pada usia /2 tahun, tanggal ! atau !! juni tahun /2/ SM
6
/# Artig+us dan cassander memper+leh meced+nia
perpustakaan Alexandria sekarang
&.&
Para Penem' Pada Zaman Alexandria Dan kar,an,a
%. E'-lide )// SM0
7
Euclide (300 SM) (uclide menulis sekitar !2 buku yang terdiri dari bermacam-macam cabang ilmu pengetahuan seperti matematika, isika, astr+n+mi dan musik# Tetapi dari seluruh karyanya itu yang palin terkenal adalah karyanya EThe (lementsF# .uku (lements adalah karya yang sangat p+puler, dimana semenjak dipublisir pada tahun lebih kurang / SM, masih digunakan +rang dan diakui sebagai karya besar dan tidak ada tandingannya# Sampai saat ini karya euclide ini telh dicetak ulang lebih dari seribu kali, dan selama 2 tahun buku ini mend+minasi semua pengajaran ge+metri# .uku karya asli euclide ini tidak ditemukan lagi sekarang, yang dapat dibaca hanyalah yang duah diterjemahkan kedalam bahasa arab, kemudian diterjemahkan lagi kedalam bahasa latin# .uku elements bukanlah sekedar rangkuman dari pengetahuange+metri saja, melainkan adalah merupakan buku pengntar yang meliputi semua matematika elementer, yaitu terdiri dari ilmu bilangan 4aritmatika5, ge+metri 4bidang datar dan ruang5, dan aljabar# Tidak semua isi elements ini adalah karya asli eatau penemuan euclide sendiri, tetapi merupakan kumpulan dar hasil-hasil karya matematician sebelumnya ditambah dengan penemuan euGuid+s# .uku elements ini terdiri dari !/ buku 4jilid5, dimana 6 buku pertama berisikan ge+metri bidang elementer, buku ke 7-8 berisi te+ri bilangan, buku ke ! mengenai incmm+nsuable 4s+lid ge+metry5# .uku ini tidak mempunyai pengantar sebagai la*imnya sebuah buku, tetapi buku pertama langsung dimulai dengan sederetan deinisi sebanyak 2/ buah# :elemahan dari deenisi dalam elements ini adalah sebagian dari deenisi-deenisi ini belum dapat dikatakan suatu deenisi karena sebelum deenisi diberikan tidak didahului dengan unsur-unsur yang tidak dideensisikan 4undeined elements5# Sebagai c+nt+h misalnya deenisi Etitik adalah sesuatu yang tidak mempunyai bagianF, Esuatu garis adalah panjang yang tidak mempunyai lebarF, atau Epermukaan hanya mempunyai panjang dan lebar sajaF, bukanlah merupakan deenisi# :arena tidak mendeenisikan apa yang seharusnya dideenisikan# Deenisi-seenisi lainnya yang ada dalam elements sebagian berasal dari metematician sebelumnya seperti Plat+ dan lainnya#
8
Setelah deenisi-deenisi, (uclide memberikan 1 pr+stulate 4dalil5 dan 1 c+mm+n nati+n 4aksi+ma5, dimana (uclide tidak menjelaskan perbedaan antara pr+stulate dan c+mm+n nati+n ini# :elima pr+stulate (uclide ini adalah !# Melalui dua titik dapat dibuat sebuah garis 2# Dalam suatu garis lurus dapat dibuat tak terhingga banyaknya gris-garis lurus secara k+ntinu /# Suatu lingkaran dapat dilukis dengan sembarang titik pusat dan jari-jari tertentu "# Semua dusut siku-siku adalah sama 1# Apabila suatu garis mem+t+ng dua garis lainnya dan membuat sudut dalam kedua garis itu jumlahnya lebih kecil dari dua sudut siku-siku, kedua garis apabila di+er+anjang akan bertemu pada suatu titik, yaitu pada bagian 4arah5 dimana jumlah kedua sudutnya lebih kecil dari dua sudut siku-siku# :elima c+mm+n nati+n tersebut adalah !# Suatu yang sama dengan yang lainnya adalah sama satu sama lainnya 2# Apabila yang sama ditambahnkan dengan yang sama, maka sisanya adalah sama /# Apabila yang sama dikurang yang sama, maka sisanya adalah sama "# Sesuatu yang serupa denga yang lainnya adalah sma satu sama lainnya 1# :eseluruhan lebih besar dari sebagian Dengan menggunakan 1 pr+stulate dan 1 c+mm+n nati+n ini (uclide menc+ba mendapatkan "61 pr+p+sisi dalam (lements# Secarar ringkas isi The (lements adalah sebagai berikut .uku < berisi ge+metri seperti apa yang dipelajari di sek+lah menengah sekarang, termasuk te+rema kesebangunan segitiga# Dari "3 p+p+sisi yang terdapat dalam buku < ini, dikel+mp+kan memnjadi / kel+mp+k# Pr+p+sisi ! sampai dengan 26 pada umumnya berhubungan dengan siat-sigHat segitiga, dimana termasuk di dalamnya terema kesebangunan# Pr+p+sisi 27 sampai dengan /2 adalah berhubungan dengan te+ri mengenai kesejajaran, dan pembuktian bah$a jumlah sudut-sudut suatu segitiga adalah sama dengan sudut lurus 4!3I5# Pr+p+sisi // sampai dengan "3 adalah berhubungan dengan paralel+gram 4jajaran genjang5, segitiga, serta bujur sangkar# :husus untuk pr+p+sisi "7 dan "3 mengenai te+rema Pythag+ras dan kebalikan te+rema Pythag+ras# Pembuktian te+rema Pythag+ras tidaklah seperti yang terdapat dalam buku teks sekarang yang cukup sederhana# (uclide membuktikannya dengan memperlihatkan bah$a H
G C V
K
9
A
B
M
D
L
E
.ujur sangkar A?;> adalah dua kali ?AD, atau sama dengan luas empat persegi panjang ADM dan luas bujur sangkar .?': sama dengan luas empat persegi panjang .(M# )adi luas kedua bujur sangkar A?;> dan .?': sama dengan luas bujur sangkar A.(D# Pembuktian te+rema Pythag+ras ini betul-betul hasil penemuan (uclide sendiri, disamping pembuktian kebalikan te+rema Pythag+ras# :ebalikan te+rema Pythag+ras ini berbunyi Eapabila dalam suatu segitiga, kuadrat dari slah satu sisinya adalah sama dengan jumlah kuadrta-kuadrat sis-sisinya yang lain, maka sudut kedua sisi tadi adalah siku-siku# .uku ke << (lements hanya berisi !" pr+p+sisi yang berhubungan dengan trans+rmasi luas dan aljabar ge+metridari sek+lah Pythag+ras# Pr+p+sisi-pr+p+sisi dalam buku ini tidak signiikan lagi dengan buku teks m+dern# Perbedaan yang nyata antara matematika *aman Aleandria dengan *aman sekarang adalah pada $aktu sekarang matematika sudah menggunakan lambang-lambang aljabardan trig+n+metri untuk menggantikan ekui@alen ge+metri dari Bunani# Sebagai c+nt+h misalnya pr+p+sisi ! dalam buku << ini menyatakan Eapabila dua garis lurus,, salah satu dari garis lurus itu dip+t+ng menjadi sejumlah segmen-segmen garis, maka empat persegi panjang yang dimuat +leh kedua garis lurus itu sama dengan empat persegi panjang yang dimuat +leh garis yang tidak berp+t+ngan dari masing-masing segmenF# Dari gambar di ba$ah ini dapat dilihat bah$a te+rema ini dapat dinyatakan dengan A
D
P
Q
R
S
B
C
AD4APJP0J0.5HAD#APJAD#P0#
( a + b )2 =a2 + 2 ab + b 2 # Pada umumnya pr+p+sisi-pr+p+sisi lainnya yang ada dalam buku << sebagian besar adalah ajaran Pythag+ras#
10
.uku <<< berisi tentang te+rema-te+rema yang sekarang amasih diajarkan di sek+lah menengah, yaitu te+rema-te+rema yang berhubungan dengan lingkaran, busur lingkaran, garis singgung dan pengukuran sudut# Materi yang dibahas dalam buku ini kemungkinan berasal dari karya 'ipp+crates# Te+rema mengenai lingkaran yang ada dalam buku ini tidak sama dengan te+rema yang ada dala buku teks m+dern# Sebagai c+nt+h misalnya pr+p+sisi /7 Eapabil adari suatu titik diluar lingkaran dibuat garis singgung dan garis p+t+ng kepada suatu lingkaran, maka buju rsangkar pada garis singgung adalah sama dengan empat persegi panjang dari seluruh garis p+t+ng dan garis p+t+ng bagian luar# .uku P.5 dari dua bilangan atau lebih# .uku C<<< berisi mengenai pr+p+rsi bilangan-bilangan dan dihubungkan dengan deret ge+metri 4ge+metri ukur5, seperti misalnya Eapabila diketahui pr+p+rsi abHc, cHcd, maka a,b,c dan d merupakan deret ge+metri# )uga dalam buku ini terdapat beberapa siat sederhana tentang bujur sangkar dan kubus# .uku C<<< ini ditutup dengan pr+p+sisi 27 Ebilangan s+lid yang sebangun mempunyai rati+ antara satu dengan lainnya sebagai bilangan pangkat /F# Statement ini secara sederhana berarti bah$a apabila kita mempunyai Ebilangan s+lidF ma, mb dan mc dan bilangan s+lid yang sebangun na, nb dan nc maka artinya adalah
2
3
m :n
, yaitu kubus berbanding kubus#
.uku
11
dinyakan sebagai hasil perkalian dari bilangan-bilangan prima dengan satu dan hanya satu caraF# Pr+p+sisi 2 adalah pr+p+sisi yang sangat terkenal yaitu menyatakan bah$a Ebilangan prima jumlahnya tak berhinggaF# (uclide membuktikan pr+p+sisi ini dengan pembuktian secara tidak langsung 4indirect pr++5 atau yang terkenal dengan Ereducti+ ad abs+rdumF sebagai berikut Misalkan banyaknya bilangan prima adalah terhingga, jadi akan terdapat suatu bilangan prima yang terbesar # misalkan lagi bikangan prima itu adalah a, b, c, d, . . ., k dimana k bilangan prima yang terbesar# Misalkan P adalah perkalian semua bilangan prima a#b#c#d# # # #kHP# :ita ambil NHPJ! maka N tidak mungkin bilangan prima , karena bertentangan dengan asumsi bah$a P adalah hasil perkalian semua bilangan prima# )adi kalau begitu N haruslah bilangan k+mp+sit, berarti N harus habis dibagi +leh satu atau beberapa bilangan prima p, dimana p adalah angg+ta dari himpunan bilangan prima a, b, c, d, # # #,k yang berati p adalah pembagi dari P# %leh karena itu p bukan pembagi dari PJ!, karena pL!# )adi asumsi bah$a banyaknya bilangan prima terhingga adalah tidak benar# Maka haruslah sebaliknya, yaitu banyaknya bilangan prima adalah tak terhingga# Pr+p+sisi /1 dalam buku
a −a r
−r
1
n
#
Pr+p+sisi terakhri dari buku
apabila Sn =1 + 2 + 2 + 2 + … + 2 =2 −1 adalah bilangan prima ,maka 2 ( 2 −1 ) adalah bilangan sep pembuktian pr+p+sisi ini dengan mudah dapat dibuktikan dengan menggunakan deenisi bilangan sempurna yang terdapat pada buku C<<# .angsa Bunani kun+ telah mengenal empat bilangan sempurna pertama, yakni 6, 2, "86, dan 3!23# (uclide tidak dapat menja$ab pertanyaan apakah +rmulanya ini akan dapat menghasilkan semua bilangan sempurna# Sampai saat ini dengan bantuan alat-alat canggih baru ditemukan 2" bilangan sempurna dan semuanya adalah bilangan genap# Masih dalam pertanyaan yang belum dija$ab matematician sampai sekarang adalah apakah semua bilangan sempurna ini bilangan genap dan apakah banyaknya bilangan ini tak berhingga# 2
3
4
n −1
n
n− 1
n
.uku K berhubungan dengan bilangan-bilangan irrasi+nal, yaitu segmen garis yang inc+mm+nsurable4tak terukur5 terhadap beberapa segmen garis yang diketahui# :ebanyakan materi yang ada dalam buku ini adalah hasil karya Theaetetus, tetapi sudah dielangkapi dan diklasiiasikan dengan baik +leh (uclide# .uku ini dimulai dengan pr+p+sisi tentang dasar-dasar met+de penghausan yang nantinya lebih banyak dibicarakan dalam buku K<<# Dalam buku ini terdapat !!1 pr+p+sisi yang kebanyakan berisi ekui@alen ge+metri yang sekarang dikenal dengan nama bilangan irrasi+nal# Seperti misalnya a ± √ b , √ a ± √ b dan sebagainya dimana a dan b adalah bilangan c+mm+nsurable 4terukur5# Walaupun buku ini sekarang dianggap sebagai buku aritmetika, tetapi (uclide menganggapnya sebagian dari ge+metri#
12
Diantar te+rema dalam buku ini adalah berhubungan dengan bagaimana merasi+nalkan
a a dan # Segmen garis dalam bentuk akar b ± √ c √ b ± √ c pangkat dua, atau akar pangkat dua dari jumlah akar pangkat dua, dapat dilukis dengan mudah dengan menggunakan jangka dan mistar# Suatu alasan kenapa +rang Bunani melakukannya secara ge+metri adalah karena mereka belim mengenal k+nsep bilangan rill# +ecahan-pecahan bentuk
.uku K< berisi /8 pr+p+sisi tentang ge+metri tiga dimensi atau ge+metri ruang# (uclid mendeinisikan ruang 4s+lid5 sebagai sesuatu yang mempunyai panjang, lebar dan tinggiF, dan batas-batas dari s+lid adalah suatu permukaan 4bidang5# (mpat deinisi terakhir adalah mengenai empat bidang banyak beraturan, tetapi tidak termasuk tetrahedr+n# .uku K<< berisi !/ pr+p+sisi yang kesemuanya berhubungan dengan pengukuran bangun-bangun, dengan menggunakan met+de penghanaan# .uku ini dimulai dengan suatu pembuktian, bah$a luas lingkaran-lingkaran adalah sebanding dengan kuadratkuadrat diameter-diameternya# Dalam menentukan isi-isi Pyramide, kerucut, silinder dan b+la# (uclid menggunakan met+de reducti+ ad abs+rdum# :emungkinan sebahagian besar ini buku K<< ini di ambil dari karya (ud+us# .uku K<<<, buku terakhir dari (lement hampir seluruhnya membicarakan mengenai siat-siat bidang lima beraturan dalam suatu lingkaran# Dalam pr+p+sisi !, (uclid membuktikan te+rema bah$a segitiga yang sisa-sisanya masing-masing adalah dari pentag+n, he+g+n dan decag+n beraturan yang dilukis dalam suatu lingkaran adalah suatu segitiga siku-siku# Pr+p+sisi !/ sampai dengan !7 menyatakan bah$a rati+ dari sisi dan diameter bidang beraturan adalah √ 2 / 3 untuk tetrahedr+n, √ 1 / 2
−V 5 / 10 untuk ¿ √ ¿
5
untuk +ktahedr+n, √ 1 / 3
untuk kubus atau +ctahedr+n,
ic+nhedr+n, dan 4C1-!52C/ untuk d+decahedr+n# Akhirnya, dalam pr+p+sisi !, yaitu pr+p+sisi terakhir dari elements, dibuktikan bah$a tidak ada bidang banyak beraturan selain lima bidang beraturan ini# Disamping karya (uclid E(lementsF, terdapat empat karya (uclid lainnya yang dapat diselamatkan, yaitu !# 2# /# "#
Data Di@isi+n + >igure Phaen+men+ %ptics
:arya (uclid EDataF, yang teks aslinya dan salinannya dalam bahasa Arab masih dapat ditemukan adalah merupakan supliment dari enam buku pertama dari (lements# .uku ini sangat berguna sebagai p+l+san dalam menganalisa pr+blem dalam ge+metri dalam menemukan bukti-bukti# .uku ini dimulai dengan !1 deinisi yang berhubungan dengan besaran dan tempat kedudukan dan berisi 81 pernyataan yang berhubungan dengan pengertian-pengertian tentang k+ndisi dan besaran yang terdapat dalam s+al-
13
s+al, seperti misalnya EApabila dua besaran A dan . diketahui, dan juga rati+nya diketahui dan bah$a apabila satu besaran diketahui dan juga rati+nya terhadap yang kedua maka besaran kedua diketahuiF # Ada kira-kira !2 statement seperti ini terdapat dalam karya (uclid Data ini, yang diberikan dalam bentuk hukum-hukum atau rumusrumus aljabar, kemudian diikuti dengan dalil-dalil ge+metri yang berhubungan dengan garis-garis sejajar dan besaran-besaran pr+p+rsi+nal# .eberapa statement adalah eki@alen-eki@alen ge+metrik dari penyelesaian persamaan-persamaan kuadrat, seperti misalnya Apabila diketahui suatu empat persegi panjang A>.(#
(
.
D
A
>
?
yang terletak diatas segmen garis A?, dan apabila empat persegi panjang .>?D lebih kecil daripada persegi panjang A?D( diketahui, maka dimensi-dimensi empat persegi panjang .>?D akan diketahui secara +rmulasi aljabar sekarang statement ini dengan mudah dapat diperlihatkan# :arya (uclid EDi@isi+n + >iguresF, karya aslinya sudah hilang, tetapi buku ini masi dapat ditemukan terjemahannya dalam bahasa Arab# Dari terjemahan bahasa Arab ini, buku ini diterjemahkan lagi kedalam bahasa latin# Di@isi+n + >igures ini merisi kumpulan dari /6 pr+p+sisi yang berhubungan dengan membagi bangun-bangun bidang datar# Sebagai c+nt+h misalnya, pr+p+sisi !, bagaimana melukis suatu garis lurus yang sejajar dengan p+sisi alat suatu segitiga dimana garis itu membagi segitiga atas dua bagian yang sama luasnya# .egitu juga pr+p+sisi ", yaitu bagaimana membagi dua sama besar suatu trapesium dengan membuat garis yang sejajar dengan alat trapesium itu# Pr+p+sisi 6 dan ! adalah bagaimana membagi dua suatu parallel+gram 4jajaran genjang5 menjadi dua bagian yang sama besar dengan menarik suatu garis lurus dari suatu titik yang diketahui pada salah satunya, atau titik yang terletak diluar paralell+gram itu# Pr+p+sisi terakhir adalah bagaimana membagi segi empat 4Guadrilateral5 atas perbandingan yang diketahui, dengan melukis suatu garis lurus melalui suatu titik pada salah satu sisi Guadrilateral itu# :arya (uclid Ph+en+mena, hampir sama dengan karya Aut+lycus ESphereF, yaitu mengenai ge+metri b+la yang sangat berguna untuk tr+n+mer# .uku ini berisi 21 pr+p+sisi, dan banyak persamaannya dengan buku (uclid (lements# .uku terakhir yang tidak hilang adalah E%pticF, yang merupakan karya pertama dalam persekti atau ge+metri pandang langsung# Pada *aman yunani kun+, en+mena +ptik dibagi atas tiga bagian, yaitu +ptics 4ge+metri pandang langsung5, cat+prics 4ge+metri sinar pantul5, dan di+ptrics 4ge+metri sinar bias5, diantaranya te+rema yang terdapat dalam +ptics adalah tg Atg .
¿ A. apabila ¿ A ¿ . ¿ π / 2
yang sudah dikenal luas pada *aman sebelum (uclid#
14
Disamping karya-karya (uclid yang selamat, terdapat pula beberapa hasil karyanya yang hilang, seperti ES+lid +ciF atau irisan kurucut, ESurace l+ciF atau E>alaciesF,F?+nicsF dan EP+rismF, yang hanya dapat diketahui dari ulasan k+mentat+r sesudah (uclid# .uku S+lid +ci dan Surace +ci kemungkinan berhubungan dengan b+la, kerucut, silinder dan benda putar# .uku p+siam kemungkinan mengenai ge+metri analitik kun+, yang berbeda dengan ge+metri analitik yang sekarang sudah menggunakan lambang-lambang aljabar#
&. AR1"MEDES &234&%& SM0
Archimedes (2!"2#2 SM) Mesir sejak diperintah +leh Pt+lemy beserta keturunan selama hampir / tahun lamanya, bebas dari perg+lakan dan ancaman, baik dari dalam maupun dari luar negri# Sehingga k+ta Aleandria merupakan k+ta yang paling aman bagi ilmu$an untuk mengembangkan ilmunya, dan tempat belajar yang baik bagi para mahasis$a# Walaupun Aleandria adalah merupakan pusat aktiitas ilmu pengetahuan umumnya, matematika khususnya, namun ahli-ahli matematika pada *aman itu bukanlah berasal dari mesir sendiri melainkan berasal dari luat Mesir terutama Bunani# Sesudah (uclid muncul beberapa matematician yang terkenal yang pada umumnya adalah guru besar atau alumni dari un@ersitas aleandria# Diantara matematician besar ini adalah Archimedes, +rang matematician terbesar sepanjang *aman# Archimedes dilahirkan kira-kira pada tahun 267 sebelum masehi di Syr++use 4?icilia5 dan juga meninggal disana pada umur sekitar 71 tahun# Menurut sejarah, Archimedes meninggal karena dibunuh tentara r+ma$i ketika berlangsungnya perang Punic 4Punicia5kedua antara r+ma$i dengan ?h+rtag+ tahun 2!"-2!2 SM# Archimedes yang berpihak kepada ?hartag++ membantu tentara ?hartag++ dengan menciptakan alat-alat perang yang canggih untuk masa itu untuk menghancurkan pasukan dan kapal-
15
kapal perang r+ma$i# Tetapi karena kekuatan tentara lebih besar, ?artag+ jatuh juga ketangan tentara r+ma$i diba$ah pimpinan jenderal Marcallus dan Archimedes ditangkap dan dibunuh# Archimedes adalah anak se+rang astr+n+mer, +leh karena itu Archimedes juga mempunyai pengetahuan dan reputasi yang cukup lumayan dalam bidang astr+n+mi# Tetapi karyanya yang men+nj+l bukanlah dalam bidang ge+metri, melainkan dalam bidang matematika dan isika# Archimedes pernah belajar di Aleandria, dan setelah kembali dia melanjutkan karyanya dalam bidang matematika dan isika disana# Diantara temannya di Aleandria adalah can+n, D+sith+us 4pe$aris (uclid5 dan (rat+ntenes dan hasil-hasil penemuan yang diper+lehnya selalu dik+munikasikannya dengan temantemannya di Aleandria# Archimedes banyak menulis buku tentang matematika dan isika yang sebagian besar dapat ditemukan# Dalam bidang isika Archimedes menulis !# %n The (Guilibrium + planes 4keseimbangan bidang-bidang5# 2# %n >l+ating b+dies 4tubuh-tubuh yang merapung5 .uku kedua dari %n >l+ating .+dies seluruhnya berhubungan dengan p+sisi keseimbangan dari segment-segment par+b+l+ida apabila diletakkan didalam *at cair# Dalam bidang matematika, Archimedes banyak sekali menghasilkan karya tulis, baik berbentuk buku, maupun berupa paper karya-karya Archimedes ini antara lain -
Peramites atau Sand 0+ck+ner uadratur + Parab+la Messurement + ?ircle %n Spiral %n the Sphere and ?ylinder %n ?+n+ida and Sphere The Meth+d
Psamites Atau Sand 0eck+ner berisi tentang sistem aritmatika, archimedes mengapr+simasikan panjang keliling lingkaran bumi adalah /# mill 4pada $aktu itu +rang hanya memperkirakan sekitar /# mill5# uadrature + parab+la 4mengkuadrat para b+la5 buku ini berhubungan dengan met+de penghapusan 4yaitu kalkulus integral5 dan berisi 2" pr+p+sisi tentang irisan kerucut# %n the measurament + acircle 4 mengukur lingkaran5, menggunakan segi banyak luar dan segi banyak dalam beraturan lingkaran untuk menentukan panjang keliling lingkaran itu# Dengan membuat segi 86 beraturan dalam keliling lingkaran itu# Dimulai dengan segi enam beraturan, kemudian menduakalinya terus menerus sampai menjadi segi 86 beraturan# Menemukan rati+ antara keliling dengan diameternya H /,!" yang sekarang dikenal dengan nilai O# %n spiral berisi 23 Dalil mengenai siat siat kur@a spiral yang dikenal sekarang sebagai spiral Archimedes dengan persamaan p+lar r H kQ# Pr+p+sisi 2" dalam buku ini berbunyi Eluas daerah yang dibuat +leh radius dalam @ekt+r lengkap
16
pertamanya adalah sepertiga luas lingkaran pertamaF# dengan menggunakan rumus integrasi seperti sekarang, maka luasnya adalah sama dengan
1 4
πr
2
#
%n the sphere and cylinder 4tentang b+la dan slinder5 berisi 6 pr+p+sisi yang berhubungan dengan ge+metri tiga dimensi atau ge+metri ruang# .uku ini terdiri dari dua buku yang kedua-duanya membicarakan tentang b+la dan isi b+la# Dalam buku ini Archimedes membuktikan bah$a apabila suatu b+la dilukis suatu silinder tegak, dimana tinggi silinder sama dengan diameter b+la maka rasi+ isi silinder dengan isi b+la adalah sama dengan rasi+ masing-masing luasnya yaitu / berbanding 2# %n c+n+ids spher+ids berisi " pr+p+sisi yang berhubungan dengan isi bidang yang diputar# Archimedes menemukan bah$a luas elips kalau diltuliskan dengan n+tasi sekarang adalah 2 2 x y + 2 =1 # 2 a b Disamping karya-karya Archimedes yang masih dapat ditemukan, baik yang asli maupun terjemahan terdapat pula beberap karyanya yang hilang# :aryanya ini diketahui setelah karyanya itu terdapat di dalam tulisan-tulisan sesudah Archimedes, misalnya +rmula 'er+n#
). Erat5(htene( &3/4%6/ SM0
Eratoshtenes (2!0"#$0 SM) (rat+sthenes berasal dari ?yrene, pantai selatan dari laut Mediteranian# Sebagian besar dari masa mudanya dihabiskannya di Athena, kemudian pada umur sekitar " tahun (rast+sthenes diuandang +leh raja Pt+lemy <<< dari mesir datang ke Aleandria untuk menjadi guru ank-anaknya dan sekaligus menangkatnya menjadi kepala perpustakaan uni@ersitas# (rat+sthenes memiliki keahlian dalam bermacam-macam cabang ilmu pengetahuan, seperti misalnya kesusastraan, astr+n+mi, sejarah dan atletik# :aryanya yang sangat meninj+l adalah apr+ksimasinya tentang panjang keliling bumi# (rat+shtenes memperdiksi keliling bumi dengan membansingkan jarak antara dua tempat di bumi dan sudut yang dibuat kedua tempat itu dengan matahari# Pada suatu
17
hari yang cerah (rat+sthenes matahari bersinar tegak lurus 4membuat sudut 8I5 di k+ta Syrene# Pada $aktu yang bersamaan di Aleandria, kira-kira 1 mil di sebelah utara Syene 4sekarang namanya Assuan5 yang mempunyai meridian yang sama dengan Syene, matahari membuat bayangan yang menunjukan bah$a sudut matahari dengan Renith adalah seperlima puluh lingkaran 4atau kira-kira 7I!25# Dengan mengetahui bah$a jarak antara Syene dan Aleandria sejauh 1 mil, maka (rat+sthenes berkesimpulan bah$a keliling bumi adalah 1 1 mil H 21# mil# Disamping memperkirakan panjang keliling bumi , (rat+sthenes juga menc+ba menghitung jarak antara bumi dengan matahari dan jarak antara bumi dnegan bulan# (rat+sthenes memperkirakan jarak bumi dengan matahari sekitar 78## juta mil dan jarak bumi dengan bulan sekitar 71# mil# Perkiraan (rat+sthenes mengenai jarak antara bumi dengan matahari cukup baik, karena menurut perhitungan sekarang jarak antara bumi dengan matahari adalah 82## mil, tetapi perkiraannya mengenai jarak antara bumi dan bulan jauh dari perkiraan +rang sekarang ini, yakni 2/8# mil# Dalam bidang matematika, (rat+sthenes terkenal dengan penemuannya tentang bagaimana menemukan bilangan prima yang terkenal dengan nama Esaringan (rat+sthenesF# &ntuk menentukan bilangan-bilangan prima yang lebih jecil dari ! misalnya, (rat+sthenes melakukannya sebagai berikut !# Mula-mula disusun suatu barisan bilangan asli dari ! sampai dengan !# 2# Pertama kali dic+ret bilangan !, karena ! bukanlah bilangan prima# /# .ilangan 2 adalah bilangan prima, maka semua kelipatan 2 dic+ret karena bukan bilangan prima# "# .ilangan / adalah bilangan prima, maka semua kelipatan / dic+ret# 1# .ilangan 1 adalah bilangan prima, maka semua kelipatan 1 dic+ret# Demikianlah seterusnya sehingga akhirnya akan diper+leh semua bilangan prima antara !-!# &ntuk bilangan yang tidak begitu besar, met+de ini sangat baik digunakan tetapi untuk bilangan yang besar, met+de ini kurang baik karena memerlukan datar panjang pekerjaan dan lama# Semenjak (uclide, sudah banyak usaha yang dilakukan untuk memper+leh sutau +rmula dalam menentukan bilangan prima, tetapi sampai sekarang belum berhasil# 2 f ( n ) =n − n + 41 , tetapi +rmula ini hanya berlaku unutk bilangan n yang lebih kecil dari "! karena untuk nH"! maka 4"!5H"! adalah bilangan k+mp+sit# .egitu juga +rmula 4n5Hn 2 −79 n + 1601, hanya akan diper+leh bilangan prma untuk n kurang dari 3#
Sebagai c+nt+h misalnya, (uclide memberikan +rmula
Pierre de >ermat 4!6!-6615, ahli matematician prancis menggunakan +rmula n
f ( n )=2 + 1 2
&ntuk memper+leh bilangan prima# Tetapi +rmula ini hanya berlaku untuk n lebih kecil dari 1, karena untuk nH1 +rmula ini tidak berlaku# :arya lain dari (rat+sthenes adalah E%n Mean and +ciF tetapi sayang karyanya ini tidak dapat ditemukan# .egitu juga karyanya E%n Measurement +h The (arthF juga hilang# Tetapi beberapa bagian dari buku ini dapat ditemukan dalam karya-karya matematician sesudahnya, seperti 'er+n dan Pt+lemy#
18
*. Ap5ll5ni'( &2&4%6/ SM0
Apollonius of Perga (262-190 SM)
Ap+ll+nius dilahirkan di Perga, terletak di antaliya turki# Diperkirakan Ap+ll+nius lahir pada tahun 262 SM yaitu sekitar 21 tahun lebih mudah dari Archimedes# Pada $aktu masih muda Ap+ll+nius belajar di Aleandria dengan murid-murid (uclide# :emudian untuk beberap lamanya mengajar di &ni@ersitas Aleandria# Ap+ll+nius meninggal di Aleandria kira-kira pada tahun !8 SM# :arya Ap+ll+nius dalam bidang matematika adalah uick deli@ery ?utting + a rati+ atau pr+p+rti+nal secti+n ?utting + an area atau +n spatial secti+n %n determine secti+n Tangencies Cernginga Palne l+cy Treasury ?+nics#
.uku Guick deli@ery sekarang tidak ditemukan lagi berisi m+de bagaimana melakukan kalkulasi secara cepat# Dalam buku ini App+l+nius Ap+ll+nius mengkalkulasikan nilai O dengan nilai yang sedikit lebih baik daeri Archimedes yaitu /,!"!6# .uku ?utting % a 0ati+ tetapi sudah bukan dalam naskah asli, melainkan sudah diterjemahkan kedalam bahasa Arab, kemudian diterjemahkan lagi dalam bahasa latin, buku ini berisi !3! pr+p+sisi berhubungan dengan s+al-s+al matematika umum mengenai penyelesaian persamaan kuadrat jenis a2 b H c# .uku cutting + an Area 4+n spatial secti+n5 berisi !2" pr+p+sisi yang pada umumnya berhubungan dengan pr+blem yang hampir bersamaan dengan karyanya cutting + a rati+#
19
.uku Tangencies berisi !2" pr+p+sisi# .uku ini berhubungan dengan pr+bem berhubungan dengan bagaimana melukis suatu lingkaran yang menyinggung tiga unsur yang diketahui titik, garis lurus, dan lingkaran# .uku +n Cergingaberisi !21 pr+p+sisi yang berhubungan dengan inklinasi yang hanya dapat dilakukan dengan menggunakan jangka dan mistar saja# .uku Plane +ci berisi !"7 pr+p+sisi#slah satu te+remanya adalah Eapabila A dan . dua titik tetap, dan k suatu k+nstanta yang diketahui, maka tempat kedudukan titik P , dimana AP.PH k adalah suatu lingkaran apabila k!, atau suatu garis lruus apabila kH!F# ingkaran dari te+rema ini dikenal dengan Elingkaran Ap+ll+niusF# .uku ?+nics terdiri dari 3 buku# .uku < berisi tentang semua irisan kerucut dari suatu Esircular d+uble cineF tegak maupun miring# Ap+ll+nius adalah +rang pertama secara matematis memperliihatkan bah$a tidak perlu melakukan irisan tegak lurus kepada salah satu element dari kerucut dan bah$a dari suatu kerucut tunggal sese+rang dapat memper+leh semua tiga jenis irisan keurcut dengan mem@ariasikan kemiringan dari bidang p+t+ng# .uku << ?+nics berisi tentang c+njugat+ diameter dan garis singgung# Sebagai c+nt+h misalnya Eapabila p sebarang titik parab+la dengan pusat c, maka garis singgung pada p akan mem+t+ng asymt+t pada titik dan yang mempunyai jarak yang sama dari p# .uku <<< berisi te+rema yang sangat berguna untuk sintesis dari tempat keudukan ruang# .uku
7. Ari(tar-h'( )%/4&)/ SM0
20
Aristarchus dari sam+s 4/!-2/ SM5 dalam karyanya yang berjudul E+n the si*e and distances + the sun and m++nF# Menyatakan
B$%a&
B$'#
30
Maa!a"#
870
ketika bulan setengah penuh,maka sudut yang di buat +leh bumi matahari adalah / # Dalam trig+n+metri sekarang ini berarti bah$a rati+ jarak bumi terhadap bulan dan jarak bumi terhadap matahari adalah sin / pada $aktu itu belum ada datar tabel trig+n+metri# Aristarchus menggunakan te+rema yang eki@alen dengan rumus trig+n+metri sebagai berikut sin A A
< <
sin B
B
Dimana
tg A tg B
0 ° < B < A < 90 °
#
Dari rumus ini Aristarchus mengambil kesimpulan bah$a
1 20
< sin3 ° <
1 18
, dan
mengatakan bah$a jarak antara bumi dan matahari lebih dari !3 kali jarak bumi dan bulan tetapi lebih kecil dari 2 kali# Walaupun perkiraan jarak ini jauh lebih kecil dari perkiraan sekarang 4" kali5, namun lebih baik dari perkiraan (ud+us dan Phidi+s 4ayah archimedes5# :esalahan Aristarchus sebenarnya dalam pengukuran ini adalah tentang sudut yang dibuat bumi, matahari dan bulan bukanlah / ° melainkan 10 ° #
21
Aristarchus sudah mengetahui bah$a dalam suatu lingkaran yanng diketahui rasi+ dari busur lingkaran dengan tali busur makin bertambah kecil apabila sudutnya berkurang dari 180 ° sampai 0 ° dan akan mempunyai limit sama dengan !#
2. "ippar-h'( %*/ SM0
Sekitar tahun !" SM 'ipparchus dari Nicaea menyususn tabel trig+n+metri sehingga dia dinamakan Ebapak trig+n+metriF# 'ipparchus adalah +rang yang pertama membuat tabel mendetail untuk setiap derajatnya# 'ipparchus menggunakan tabel dalam perhitungan-perhitungan astr+n+minya, tetapi tidak diketahui dari mana hipparchus mendapatkan sumber-simber aslinya dari tabel ini# 'ipparchus adalah igur transisi astr+n+mi babyl+nia# Dimana astr+n+mi babyl+nia sudah sangat maju semenjak sekitar tahun 27 SM# :+nstribusi hipparchus yang utama dalam bidang astr+n+mi adalah peng+rganisasiannya tentang data-data yang diper+leh dari babyl+nia# :emudian memperbaiki kelemahan-kelemahannya# :+nstribusi yang lain dari hipparchus adalah membagi sudut lingkaran atas 360 ° , yang berguna dalam menyusun tabel tali busurnya# :emungkinan hipparchus memper+lehnya dari 'ypsicles, yang terlebih dahulu membagi lingkaran atas 360 bagian seperti yang sudah dirintis +leh astr+n+mi babyl+nia# :arya hipparchus ini terdiri dari !2 buku yang berhubungan dengan k+nstruksi tali busur tapi sayangnya semua karya ini tidak dapat ditemukan lagi, yang ada sekarang hanyalah dalam bentuk k+mentar-k+mentar dari matematician sesudahnya#
22
3. Minela'( 8%// SM0
Minelaus dari Aleandria 4 ± 100 tahun sesudah masehi5 memiliki karya yang berhubungan dengan tali busur dalam lingkaran yang terdiri dari 6 buku# :arya lain dari Minelaus tentang matematika dan astr+nmi adalah E(lement + ;e+metryF 4unsur-unsur ge+metri5 dan ESphaericaF# Sayangnya karya Minelaus Etali busur dalam lingkaranF dan E(lement + ;e+metryF tidak dapat ditemukan, hanya diketahui berdasarkan k+mentark+mentar dari matematician yunani dan arab# 0atuasan tahun kemudian satu-satunya karya Minelaus yang dapat ditemukan sekarang hanyalah ESphaericaF, tetapi yang sudah disalin ke dalam bahasa arab# Sphaerica ini terdiri dari tiga buku .uku pertama membicarakan tentang dasar dari segitiga b+la, yang anal+g dengan buku < (lements (uclid tentang segitiga-segitiga pada bidang datar# Dalam buku < ini terdapat suatu te+rema bah$a E Dua segitiga b+la adalah sama dan sebangun apabila sudut-sudut yang sepadan adalah samaF# .uku kedua berisi tentang aplikasi dari ge+metri b+la untuk en+mena-en+mena astr+n+mi # .uku ketiga berisi te+rema yang sekarang dikenal dengan nama E the+rema MinelausF tentang tali busur dalam lingkaran #
23
A
B
B
Dalam lingkaran %, tali busur A. adalah dua kali sinus setengah sudut tengah A%. dikalikan dengan jari-jari# Apabila .%. adalah diameter lingkaran, maka tali busur A. adalah dua kali c+sinus setengah sudut A%. dikalikan dengan jari-jari# )adi te+rema-te+rema Thales dan Pythag+ras yang memba$a kepada persamaan A.UJA.UH"rU adalah ekui@alen dengan persamaan trig+n+metri m+dern sinU V J c+sU V H ! Minelaus, kemungkinan juga hipparchus sebelumnya, sudah mengenal dengan baik identitas 4persamaan5 lain, dua diantaranya digunakannya sebagai lemma-lemma dalam membuktikan the+remanya tentang trans@ersal-trans@ersal# emma pertama dalam termin+l+gi m+dern dapat dinyatakan sebagai berikut E Apabila talibusur A. dalam lingkaran dengan pusat % dip+t+ng +leh jari-jari %D pada titik ?, maka A?A. H sin AD sin D. E#
D
A
C
B D+
C *
emma kedua adalah F Apabila talibusur A. di perpanjang dan dip+t+ng +leh perpanjang %D di ?, maka A?.? H sin AD sin D.# :edua lemma ini tidak dibuktikan +leh Minelaus, dengan asumsi bah$a lemma ini sudah dikenal sebelumnya dalam karya hipparchus# :emungkinan bah$a E the+rema Minelaus untuk kasus segitiga segitiga bidang datar sudah dikenal +leh euclid, dan barangkali terdapat dalam karyanya EP+srismF# Te+rema Minelaus dalam bidang datar menyatakan bah$a Eapabila suatu trans@ersal mem+t+ng sisi-sisi A., .?
24
dan ?D suatu segitiga AD#.(#?>H.D#?(#A>F#
A.?
masing-masingnya
pada
titik
(
dan
>
maka
C , E D
A B
Dengan perkataan lain, apabila suatu garis mem+t+ng sisi-sisi suatu segitiga, maka haris pertalian tiga segmen yang tidak berdekatan akan sama dengan perkalian dengan segmen yang lainnya# :arena te+rema ini telah dikenal +leh teman-teman se*amannya, Minelaus mengembangkan te+rema ini untuk diaplikasikan dalam segitiga-segitiga b+la dalam bentuk rumus yang eki@alen dengan Sin AD sin .( sin ?> H sin .D sin ?( sin A> Te+rema Minelaus ini memegang peranan undamental dalam trig+n+metri dan astr+n+mi#
9. Pt5lem, 8%7/ SM0
Pt+lemy dari aleandria tahun ± !1 setelah masehi karyanya mathematical Syntais adalah karya yang paling terkenal dalam *aman yunani di bidang trig+n+metri# .uku Mathematical syntais atau Ekumpulan matematikaF ini terdiri dari !/ buku yang disusun berdasarkan tulisan 'ipparchus# .uku karyaPt+lemy ini adalah merupakan karya dalam bidang astr+n+mi yang terbesar di *amannya, melebihi semua karya penulis-penulis lainnya sehingga karyanya ini +leh k+mentat+r disebut EMagisteF, atau Eyang terbesarF dan translat+r arab menyebutnya dengan EAlmagestF yaitu nama yang dikenal sekarang ini#
25
Tentang kehidupan Pt+lemy ini tidak banyak diketahui, baik tahun kelahiran maupun tahun meninggalnya yang diketahui +rang hanyalah bah$a Pt+lemy melakukan +bser@asi ke Aleandria dari tahun !27 M sampai tahun !1! M, dan +leh karena itu diperkirakan dia lahir pada tahun-tahun terakhir di abad pertama, dan menurut penulis Suida, Pt+lemy masih hidup pada $aktu pemerintahan Marcus Aur+lius 4memerintah dari tahun !6! sampai dengan !3 M5# .eruntung sekali karya Pt+lemy ini tidak hilang, sehingga dapat dibaca seluruh isi dari Almagest ini, bukan hanya tabel-tabel trig+n+metrinya tetapi juga met+de yang digunakan dalam k+nstruksinya#
&ntuk membuktikan dengan mudah dapat dilakukan dengan melukis D( sehingga sudut A.( sama dengan sudut D.?# Salah satu te+rema dalam Almagest Pt+lemy ini juga pernah terdapat dalam karya (uclide EdataF yaitu apabila suatu segitiga dilukis dalam suatu segitiga, dan apabila .D adalah suatu tali busur yang membagi sudut A.? atas dua bagian yang sama, maka 4A.J.?5 .D H A?AD# Te+rema lain yang terpenting dalam buku ini adalah te+rema umum dari Pt+lemy# Misalkan AD salah satu sisi segi empat dalam suatu lingkaran adalah diameter dari lingkaran itu maka, apabila AD H 2r sin ., maka 2r#.? J A.#?D H A?#.D# Apabila kita misalkan busur .D H 2A, dan busur ?D H 2. , Maka .? H 2r sin 4A .5 A. H 2r sin 4 8⁰ - A5 .D H 2r sin A ?D H 2r sin D A? H 2r sin 48⁰ - .5 B C A
D
26
Te+rema Pt+lemy tersebut akhirnya menuju kepada rumus trig+n+metri •
sin 4A - .5 H sin A c+s . sin A sin .
•
sin 4A J .5 H sin A c+s . J c+s A sin .
•
c+s 4A J .5 H c+s A c+s . sin A sin .
•
c+s 4A .5 H c+s A c+s . J sin A sin .
rumus lain yang juga merupakan penemuan Pt+lemy adalah rumus talibusur dari setengah busur# Pt+lemy menemukan rumus ini sebagai berikut misalkan D adalah titik tengah busur .? dalam suatu lingkaran dengan diameter AC =2 r # Msialkna A(HA., dan D> membagi dua (? sama besar 4D> tegak lurus (?5, maka C =
1 2
( 2 − AB ) # Dari ge+metri elementer diketahui bah$a
sehingga !C 2=r ( 2 r − AB ) #
2
!C = A . C
,
B D
A
E ,
C
A
Apabila dimisalkan busur .?H2A maka D?H2r sin
2
dan A. H 2r c+s A jadi akan
A
−cos ¿ ¿ ¿ diper+leh +rmula m+derrn yang sudah dikenal dengan kata lain, apabila ¿ A =√ ¿ sin 1
2
talibusur suatu busur diketahui, maka talibusur dari setengah busur itu akan diketahui pula# .erhubung dengan sistem numerasi seagesimal .abyl+nia untuk pecahan jauh lebih baik dari unit-unit pecahan mesir dan yunani, maka Pt+lemy menggunakan pecahan se+gesimal ini untuk membagi derajat dalam 6 menit, dan menit dalam 6 detik# .egitu juga Pt+lemy membagi diameter lingkaran trig+n+metrinya menjadi !2 bagian, kemudian masing-masing bagian ini dibaginya menjadi 6 menit, dan masingmasing menit menjadi 6 detik# Dengan menggunakan bahasa tali busur Pt+emy ini, maka rumus sinus dan rumus c+sinus sekarang dinyatakan dengan sinx =
talibusur 2 x 120
dan
cos x =
talibusur ( 180 ° −2 x ) 120
#
27
Dengan menggunakan sistem pengukuran, Pt+lemy dapat menghitung talibusur talibusur dari bermacam-macam sudut sebagai c+nt+h misalnya karena jari-jari lingkaran berisi 6 bagian maka talibusur sudut 6⁰ juga berisi 6 bagian dan talibusur dari !2⁰ adalah
60 3
atau !/ bagian 11menit dan // detik# Pt+lemy menggunakan
p+la rumus setengah sudut untuk menentukan talibusur / ⁰ kemudian talibusur !1 ⁰ dan seterusnya tetapi dalam menentukan talibusur 72⁰ dan /6⁰ Pt+lemy tidak menggunakan pr+sedur di atas melainkan menggunakan te+rema dalam buku (lements (uclide, dimana +lehnya talibusur /6⁰ adalah /4 √ 5−1 atau sekitar /7,3/ dan talibusur 72 ⁰ sama dengan
30 √ ( 10− 2 √ 5 ) atau sekitar 7,1/6# Dengan mengenal talibusur 72 ⁰
dan /6⁰,maka akan dapat ditentukan 4!3⁰-/6 ⁰5 dan talibusur 4!3⁰-72 ⁰5# Selanjutnya dari talibusur 72⁰ dan /6⁰ akan dapat dicari talibusur !2⁰ dengan menggunakan rumus untuk talibusur selisih dua busur# Dengan menggunakan rumus , setengah sudut Pt+lemy dapat menentukan talibusur dari suatu busur 6⁰,/⁰, talibusur
1
1 2
° dan talibusur
3 4
°
1
1 2
°
,dan
3 4
°
, dimana nilai
masing-masing adalah ! /" !1F dan "73F #
pt+lemi juga mendapatkan nilai ! 2 1F untuk talibusur ! ⁰ dan nilai /!21F utuk talibusur /, yang eki@alen dengan nilai untuk sin !1 H ,37/ yang tepat untuk enam desimal# Niliai talibusur
1 2
°
ini adalah panjang suatu sisi segi banyak
beraturan dengan sisi 72 yang dilukis dalam lingkaran dengan jari-jari 6 unit# :alau archimedes dengan segibanyak beraturan 86 sisi mendapatkan nilai 227 untuk π , maka Pt+lemy mendapatkan nilai /,!"!6 yang lebih baik dari Archimedes# Dengan menggunakan rumus-rumus untuk talibusur jumlah dan selisih ,talibusur setengah busur, dan nilai talibusur sampai dengan !3⁰ untuk setiap
1 2
° ,Pt+lemy membuat datar talibusur dari
1 2
° ,yang sama dengan datar sinus untuk
1 2 1 2
° °
sampai dengan 8⁰ untuk setiap ⁰# tabel4datar5 ini terdapat keseluruhannya dalam buku < , dan merupakan alat yang sangat berguna bagi astr+mer untuk lebih dari seribu tahun# .uku selanjutnya sampai dengan buku K<<, berisi te+ri tentang peredaran peredaran 4cycle dan epicycle5 planet yang dikenal sebagai Esystem pt+lemikF# Disamping EAlmagestF , Pt+lemy juga menulis beberapa karya yang juga tidak kalah pentingnya seperti almagest sendiri# Diantara karya Pt+lemy itu adalah !# ;e+graphy 2# %ptics /# Tetrabibl+s dan uadripartium# .uku ;e+graphy adalah merupakan biblenya ge+graphers, seperti halnya almagest bagi astr+mer , yang terdiri dari 3 buku# .uku ;e+graphy ini hanya bisa diper+leh darisalinannya dalam bahasa arab, sedangkan buku aslinya tidak ditemukan #
28
.uku %ptic yang hanya ditemukan terjemahannya dalam bahasa arab dan latin , berisi tentang isika, yaitu bayangan,hukum releksi dan sebagainya# Dalam buku ini terdapat tabel untuk reraksi cahaya dari udara ke air , dari udara ke kaca dan air ke kaca# .uku Tetrabibl+s terdiri dari " buku , berisi tentang matematika yang dihubungkan dengan mistik dan agama serta astr+p+l+gi#
6. "er5n
'er+n adalah matematika$an Bunani kun+ dan insinyur yang akti di k+ta kelahirannya yaitu Aleandria, Mesir 0+ma$i# Dia dianggap sebagai eksperimenter besar kun+ dan karyanya merupakan per$akilan dari tradisi keilmuan Bunani# 'er+n tekenal dalam sejarah matematika karena rumusnya " = √ s ( s − a ) ( a− b ) ( s −c ) Dimana a,b,c adalah sisi segitiga dan s adalah setengah jumlah segitiga sisinya# Walaupun rumus ini sudah dikenal +leh Archimedes sebelumnya, tetapi rumus ini baru di dem+nstrasikan 4 dibuktikan 5 +leh 'er+n dalam bukunya E NetricaF# Sekarang rumus ini dibuktikan secara trig+n+metri , tetapi 'er+n membuktikannya dengan menggunakan ge+metry k+n@ensi+nal # karya 'er+n Netrica ini , sama halnya dengan Meth+d di karya Archimedes, menghilang lebih kurang !3 abad,barulah ditemukan kembali di:+nstantiapel dalam suatu naskah yang ditulis sekitar tahun !!# Dalam
29
buku Netrica yang terdiri dari tiga buku ini tidak banyak terdapat Dem+nstrasi 4 pembuktian 5, tetapi banyak sekali c+nt+h-c+nt+h perhitungan yang berhubungan dengan panjang,luas,dan isi , yang hasinya hampir bersamaan dengan hasil yang diper+leh dalam buku teks Mess+p+tamia# Sebagai c+nt+hnya misalnya 'er+n memberi suatu tabulasi dari luas An dari segibanyak beraturan n sisi dengan diukur dengan kuadrat sisi Sn , yang dimulai dengan A / H !/! S /2 , selanjutnya A!2 H "1" S!22 untuk A1 'er+n memberika dua rumus , yaitu 1/ S 12 dan !27 S 12# Dimana nilai pertama sama dengan nilai yang terdapat dalam tabel .abyl+nia, tetapi kedua-dua nilai itu tidak ada yang betul-betul tepat# &ntuk heag+n, 'er+n memberikan nilai !/1 S 6 ,sedangkan nilai sebenarnya terletak diantara nilai .abyl+nia dengan nilai 'er+n# .uku < Netrica berisi tentang pengukuran luas bujursangkar , empatpersegi panjang,segitiga, trape*+id, segibanyak beraturan mulai dari segitiga segitiga sama sisi sampai kepada d+decag+n , lingkaran dan segmen-segmennya,ellips, segmen parab+la, permukaan silinder,kerucut, dan permukaan b+la# .uku << berisi tentang pengukuran isi kerucut,silinder,jajaran genjang, prisma,pyramida, kerucut terpancung dan piramida terpancung, b+la, segmen b+la, bidang lima beraturan dan isi beberapa primat+ida# .uku <<< berisi tentang pembagian luas satu bagian dengan bagian yang lain# :arya-karya lain dari 'er+n adalah !# 2# /# "#
;e+metrica Pn+umatics Di+ptra ?at+ptrica
'al yang dapat membedakan antara ge+metri klasik dengan pengukuran 'er+nian, terlihat dalam pr+blem yang diselesaikan 'er+n dalam bukunya ;e+metrica # salah satu pr+blem dalam buku ini adalah mencari diameter,keliling lingkaran 4perimeter5, dan luas suatu lingkaran, apabila diketahui jumlah ketiga besaran ini, 'er+n tidak menyelesaikan pr+blem ini dengan menggunakan te+rema (ud+us , melainkan menggunakan met+de *aman pre '+l+nia# Pr+blem lain dalam buku ini adalah mencari sisi-sisi suatu segitiga asiku-siku, apabila jumlah luas dan keliling segitiga itu sama dengan23# Secara biasa bentuk pr+blem ini adalah bentuk tak tentu, dimana banyak sekali kemungkinan ja$abannya# Tetapi 'er+n hanya memberikan satu ja$aban saja, yaitu dengan menggunakan +rmula Archimedes untuk luas segitiga siku-siku# Dalam n+tasi m+dern, apabila s setengah keliling segitiga dan r# )ari-jari lingkaran dalam segitiga,maka rs J 2s H s 4r J25 H 23# 'er+n memilih r J 2 H 3 dan s H /1, maka diper+leh luas rs H 2!# :arena segitiga ini adalah segitiga siku-siku , maka hip+tenusa c H s r ,atau c H /1 6 H 28 # jadi jumlah dua sisi segitiga siku-siku yang lain adalah s J r H /1 J 6 H "!# :edua sisi ini masing-masingnya dapat dicari, yaitu 2 dan 2!# Dalam bukunya E PneumaticaF 'er+n mendeskripsikan sekitar seratus mesin dan permainan seperti pipa hisap, mesin pembuka pintu candi dengan api, dan +rgan angin# 'er+n terkenal dalam sejarah ilmu pengetahuan alam karena penemuannya mesin uap
30
sederhana, term+meter sederhana, dan penemuan mekanikanya yang berdasarkan kepada siat-siat cairan dan hukum mekanika sederhana # bukunya Di+ptra berhubungan dengan deskripsi dan aplikasi teknik mesin# :arya 'er+n ?at+ptrics atau releksi adalah berhubungan dengan pemantulan cahaya# Walaupun hukum releksi untuk cahaya sudah dikenal +leh (uclid dan Arist+teles, tetapi 'er+n adalah +rang yang pertama memperlihatkannya dengan penjelasan ge+metry sederhana, hukum releksi itu adalah E apabila cahaya datang dari suatu sumber cahaya S kepada cermin M' , dan mata dari peninju adalah ( , maka lintasan yang terpendek SP( adalah apabila sudut SPM sama dengan (PM# E
S
M
Q
M P
P
S
&ntuk membuktikan bah$a tidak ada lintasan yang lain, misalnya SP(, yang lebih pendek dari lintasan SP(, dibuat garis SS tegak lurus pada M', dimana SHS ,lalu membandingkan lintasan SP( dengan lintasan SP( sama dengan lintasan SP( dan lintasan SP( sama dengan lintasan SP(, dan lintasan SPM adalah garis lurus, maka lintasan SP( adalah lintasan yang terpendek # Semenjak 'ipparchus sampai kepada Pt+lemy terdapat kemajuan yang luar biasa dalam bidang astr+n+mi dan ge+grai serta , tetapi tidak diikuti dengan perkembangan yang berarti dalam bidang matematika# :emajuan yang pesat dalam matematika adalah dari *aman (ud+us sampai *aman Ap+ll+nius#
31
!A! PEN#T#P /#! :esimpulan Sejarah matematika pada *aman Aleandria sangat memperngaruhi perkembangan matematika m+dern# Raman Aleandria ini berada di ba$ah kekuasaan raja Aleandria 4
