Manual Matemtica II 2012 2

INTRODUCCION

La presente Guía de Ejercicios y Problemas de Matemática II para el estudiante representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinación Académica y el Área de Matemática vienen realizando en cada semestre académico. Su elaboración está decididamente orientada a incrementar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Asignatura de Matemática II, en la Unidad Académica de Estudios Generales. Esta Guía que se presenta, contiene ejercicios y problemas de aplicación de cada una de las sesiones de aprendizaje que se realizarán en el presente semestre académico 2012 - I, por lo que está dividida en tres unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidades son: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales, Límite y Continuidad de una Función Real de Variable Real y, Derivadas e integrales. Es nuestra intención y propósito, que la presente guía sea en un instrumento básico de trabajo para el estudiante, por tanto es indispensable la consulta permanente con la bibliografía recomendada. Asimismo, esperamos que contribuya a la formación profesional y académica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la Asignatura de Matemática II, así como también el de mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje.

La Coordinación del Área de Matemática

SEMESTRE ACADÉMICO 2012 - I

M AT EM ÁT I C A I I

SEMANA 1

MATRICES

DEFINICIÓN Una matriz es un arreglo rectangular de elementos aij dispuestos en filas y columnas. Estos elementos o entradas son encerrados entre corchetes. A las matrices se les simboliza con las letras mayúsculas A, B, C , etc. Representación General:

 a 1 1 a 1 2 . ... ...   a 2 1 a 2 2 .. .... .  A =  .  .  a a . ... ...  m 1 m 2

a1

n

a2

n

a mn

         m xn

Orden de una matriz El orden de una matriz queda determinado por el número de filas y columnas que tenga la matriz. Si, A = [ a ]

ij m×n

es una matriz , entonces i = 1 ; 2 ; 3 ; ……… ; m, y

j = 1 ; 2 ; 3 ; …; n.

determinan el orden, que en este caso es m x n . Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j).

Por

ejemplo el elemento a12 está en la fila 1 y en la columna 2. CONSTRUCCIÓN DE MATRICES EJERCICIOS: Construir las siguientes matrices:

1) A = [ a ]

ij 2 x 3

3)

A=[ a ] ij

 2i − j  /a =i− j ij  2

2 x 2

/a

ij

; i= j ; i≠ j

 x +1 ; i = j =  y −1 ; i ≠ j

ESTUDIOS GENERALES

2) A = [ a

4)

ij

]

3 x 2

B = [ bij ]

3x3

/a

ij

 ( −2 ) i ; i = j =  ( −3 ) j ; i ≠ j

; i< j  2i / bij =   j+2 ; i≥ j

01



5) C = [ c

ij

]

3x3

 j +3i ,i < j /c = ij i − 2 j , i ≥ j

6) C = [ c

 2 j − 3i ; i > j

7) D = d ij  / d = j i ij 3x3  2 +3 ; i ≤ j

9)

E = a ij 

3x2

  / e = ij  

3i + j

8) C = [ c

]

ij

ij

]

3x 2

2 x3

; i< j

i2 + j2 ; i = j 2i − j ; i > j

10) E = e ij  2x3

 −1 ; i ≥ j /c = ij  4 ; i< j

max ( i , j ) ; i ≥ j /c = ij min ( i , j ) ; i < j  ji ; i < j  / e =  i⋅ j ; i = j ij  j ; i> j i

IGUALDAD DE MATRICES Las matrices A = [ a ] ij

m×n

y B = [b ] ij

m×n

son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y

sus entradas correspondientes son iguales.

A = B ⇔ aij = bij , para todo i, j EJERCICIOS: Si las matrices A y B son iguales, entonces:

1. Calcule: E = s + m + p

si:

 0,5S 2  A= 4 0   p +1 3 

 0, 2 x  2. Calcule: E = xy + xz + yz si: A =  4   z −1 

3. Calcule: E =

x+ y+ z 6

4. Calcule: E = 2 xz +

1 z

si:

6 x − 2 y A=  4z − 2

si: A = [ a

ESTUDIOS GENERALES

ij

]

2 x

 − 7  s  1   7 

y

 7   y  1  3

1 0 8

8  x + y 

16 2 −7  B= 4 0 s  m − s 3 7 m

y

y

 i+ j ,i = j  2 i ,i≠ j

/ a ij =  2

 25 1  B=4 0  x − y 8

   

7  y  3 y 

6 8 B=   2 5

y

2 x − y B=  x+ y

2 

z

x −3 



02



TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ La transpuesta de una matriz A se obtiene al intercambiar las filas por las columnas y se denota AT . El orden original es m x n y el orden de AT es n x m. Propiedades

( AT ) T = A

( A + B ) T = AT + B T

( k ⋅ A ) T = k ⋅ AT

MATRICES ESPECIALES Matriz Fila: Es aquella matriz que tiene solo una fila. Matriz Columna: Es aquella matriz que tiene solo una columna. Matriz Cero o Nula: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero. Matriz Cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas y se denota An . En una matriz cuadrada de orden n, las entradas a11 , a22 , a33 , ...... , ann forman la diagonal principal. Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada donde todas las entradas que se encuentran fuera de la diagonal principal son ceros. Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal principal son iguales. Matriz Identidad: Es una matriz diagonal donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal principal son iguales a uno. Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros. Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas por encima de la diagonal principal son ceros. Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: A T = A . Matriz Antisimétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: A T = − A . En una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son todos igual a cero.

ESTUDIOS GENERALES

03



EJERCICIOS: 1.

Si:

 x −1 A=   z +1

 2  2. Si: B =  z 2  0

3.

y + 3 es una matriz nula, calcule 0  x 2 −4 3 y −1

m −1 a − 2  Si: N = mp − 4 b + 4  2 b − 4 ta + 2

E = x+ y+ z .

0  0 es una matriz diagonal, halle los valores de x , y , z 0  p − 4 n +1 es una matriz escalar, halle: E = am + bn + pt + mnp 6 

 3 0 ,25 x + y  x+ y 4. Si: A =  2 x z yz  es una matriz simétrica, halle E =   z 8 7   − 6  5x  5. Si: M = 7  4 y+z 

6.

y−z 0 x−3z

0, 25 x+2 y  6 y  es una matriz simétrica, calcule: E = z − 1 

4 2x − y  Si: A =  5 12  x + 2 y 3 y− z 

5 



243  es una matriz simétrica, calcule 4 

  0  7. Halle los valores de a, b y c, si A =  1 a  − 2  b 8. Si:

9.

x  a − 2b + 1  A= 1 a+b  3 y−z

a − b  Si: A = − 5   − 6

5 c 3a

1 0 3 c

es antisimétrica.

x + y − 1  es antisimétrica, calcule 4   0

d + c − 9  , es antisimétrica, calcule: 0 

a 10. Sea M la matriz antisimétrica dada por: M =  p   3 Calcule:

 3   −1   0  

E = 2 x +3 y + z

( m+n ) a b −1

E=

E=

x+ y+ z b−a

a +b+c d

m − n m+ n  ,  c 

E = ma + nb + p + c

ESTUDIOS GENERALES

04



OPERACIONES CON MATRICES

ADICIÓN DE MATRICES Si A = a ij 

y B = bij  son matrices de orden m x n, entonces la suma A + B es la matriz

de orden m x n, que se obtiene sumando las entradas correspondientes de A y B . MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (escalar), entonces la matriz k ⋅ A , tiene el mismo orden m x n y se obtiene al multiplicar cada entrada por k . Propiedades Sean A , B , C y

O matrices del mismo orden, O es la matriz nula y k , k1 , k 2 son

números reales: 1.

A+ B = B+ A

5. ( k1 + k 2 ) A = k1 A + k 2 A

2.

A+( B+C ) = ( A+ B )+C

6. k1 ( k 2 A ) = ( k1 k 2 ) A

3.

A+O = O+ A = A

7. O A = O

4.

k ( A + B ) = kA + kB

8. k O = O

SUSTRACCIÓN DE MATRICES: Dado que − B = ( −1 ) B , se define: A − B = A + ( − B ) MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Sea A una matriz de orden m x n y B una matriz de orden n x p, entonces el producto AB es la matriz C de orden m x p

cuyas entradas c ij , se obtienen al sumar los productos de las

entradas de la fila “i” de la matriz

A , con sus respectivas entradas de la columna “j” de la

matriz B . Propiedades 1.

A ( BC ) = ( AB ) C

3. ( A + B ) C = AC + BC

2.

A ( B + C ) = AB + AC

4. ( AB )T = B T AT

ESTUDIOS GENERALES

05



EJERCICIOS: 1. Un fabricante de zapatos para niños, damas y caballeros los produce en color negro, blanco y gris. La capacidad de producción (en miles de pares) en la Planta de Santa Anita está dada por la siguiente matriz: Niños

3 0 A =  4 0  1 4

Damas

Caballeros

2 4

2 0  1 8  2 2 

2 0 2 4

Negro Gris Blanco

La producción en la Planta de la Victoria está dada por la matriz: Niños

B

3 6 =  5 6  2 4

Damas

Caballeros

3 2 2 8 4 8

2 0  1 6  8 

Negro Gris Blanco

a) Halle la representación matricial de la producción total de cada tipo de zapatos en ambas plantas. b) Si la producción en Santa Anita se incrementa en un 50% y de la Victoria en un 25%, hallar la matriz que represente la nueva producción total de cada tipo de calzado. 2. Un fabricante de polos para niños, damas y caballeros los produce en color negro, rojo y verde. La producción (en miles de polos) en la fábrica de Ate está dada por la siguiente matriz: Niños

 1 8 A =  3 2   2 8

Damas

3 6 4 0 3 4

Caballeros

1 2  Negro 4 4  Rojo  1 4  Verde

La producción en la fábrica de la Villa el Salvador está dada por la matriz siguiente: Niños

B

2 0 = 3 0   4 0

Damas

1 0 1 0 5 0

Caballeros

4 0  Negro 2 0  Rojo  3 0  Verde

a) Determine la representación matricial de la producción total del fabricante. b) Halle la producción total de polos color rojo para niños. c) Halle la producción total de polos color Negro para damas. d) Si la producción en la fábrica de Ate disminuye en un 50% y en la fábrica de Villa el Salvador se incrementa en un 30%, hallar la matriz que represente la nueva producción total. ESTUDIOS GENERALES

06



3. La empresa distribuidora de autos Toyota Mitsui de San Borja presenta las ventas, del mes de Diciembre, de los autos Toyota modelo Yaris y Corolla mediante la matriz A siguiente: Color Negro

 30 A=   25

Color rojo

Color Plata

40

50

20

30

Yaris

  

Corolla

Mientras que las ventas en la Av. La Marina está representada por la matriz B siguiente: Color Negro

 B= 

Color rojo

Color Plata

25

50

40

30

20

35

  

Yaris Corolla

a) Indique el modelo y color de auto más vendido en cada local. b) Escriba una matriz que represente la venta total de ambos locales e indique el modelo y color de auto que menos se vendió en el mes de Diciembre. 4. Juan y Manuel son dos hermanos empresarios de la zona industrial de Villa el Salvador,

fabricantes de camas de una plaza, plaza y media y dos plazas en colores blanco, cedro y nogal. La producción mensual de la fabrica administrada por Manuel se representa mediante la matriz M siguiente: Una plaza Plaza y media Dos plazas

 M =  

15 10 12

20 18 16

 Blanco  Cedro   Nogal

27 28 30

Mientras que la producción mensual de la fábrica administrada por Juan está dado por la matriz N siguiente: Una plaza

 N =  

14 11 12

Plaza y media Dos plazas

22 15 13

26 30 31

 Blanco  Cedro   Nogal

a) Indicar el modelo y color de cama, que es más fabricada, por cada uno de los hermanos. b) Halle la matriz que representa la producción total mensual. c) Halle la producción total de camas de dos plazas en color cedro. d) Halle la producción total de camas de una plaza en color blanco.

ESTUDIOS GENERALES

07



5. Una fabrica ensambladora de automóviles de los modelos M1, M2 y M3, en sus dos plantas A y B ubicados en la ciudad de Tacna. Los ingresos mensuales en dólares en el mes de diciembre es representado por la siguiente matriz: M1

 10000   9000

M2

12000 11000

M3

13000  Planta A  14000  Planta B

Mientras que los costos de producción mensuales en dólares del mes de diciembre es como se muestra en la siguiente matriz: M1

 9000   7000

M2

9000 8000

M3


a) Matricialmente, halle la utilidad en la planta A. b) Matricialmente, halle la utilidad en la planta B. c) Halle la matriz utilidad.

6. Dadas las matrices

5 A= 2

7 , 4 

B = 2 I2 x 2 − A

y C = A+ B.

Calcule: a) C ( B − A )

7. Si

A = 3I

2 x2

b)

 − 4 1 , C = 2 BT   0 3

, B=

( C + B )T − ( 2 C )T

y

 5 0 D= ,  −1 2 

Halle: ( A − B ) C − 2 DB − AT

 −2

8. Si, A = 

 0

9. Si

1  −1 3   , B=  5  4 0 

y C = 3I 2 x 2 + B . Calcular: P = B 2 − A( B − C ) + BT

3 −1   −2 1  y BT =  , determine la matriz X si se cumple: A=  4 − 2  3 − 5 2 AT + 3 ( A T − B ) T + 5 X = 4 ( 2 A − B ) T

10. Si

4 − 3  −5 0  , B = 3I 2 x 2 y C =  , determine la matriz X si se cumple: AT =    2 1  2 1  2 BC T + 3 ( A − C T ) + 3 X = 3 B T A

ESTUDIOS GENERALES

08



 2 −1   35 50  2 − 2 ; B= ; C= , halle la matriz X si   0 1  −1 7   0 − 4 

11. Dadas las matrices: A = 

se cumple: ( A + B T )T − 4 AC + 2 X T = B + ( A − C ) T 12. Halle la matriz X en: ( AT + 3 B )T − 3 X T = A + ( AB )T − C . Si

 3 7 − 33  , B =  1 A= 3  −2  49  7  

4 3 

y

C = BT AT − 3 I

2 x2

13. Un agente de bolsa vendió a un cliente 220 acciones del tipo A, 160 del tipo B, 150 del tipo C y 260 del tipo D. Si las acciones se venden a $ 10; $22, $ 40 y $ 50 por acción respectivamente, determine el valor total de la transacción comercial en forma matricial. 14. Un comerciante de TV LED tiene 12 TV de 20”, 15 de 32”, 7 de 42” y 14 de 47”. Los TV de 20” tienen un precio de S/. 920, los de 32” a un precio de S/. 1840, los de 47” a S/. 3580 y los de 42” a S/. 2350. Exprese el inventario en forma matricial y diga el precio total. 15. En una tienda de ropa deportiva para hombres, se venden tres modelos de buzos: modelo A, modelo B y modelo C. Si los precios por cada modelo son S/. 300, S/. 420 y S/. 360 respectivamente, calcule en forma matricial, la recaudación total por la venta de 30, 45 y 60 buzos de cada modelo respectivamente. 16. En una elección regional un grupo contrato los servicios de una empresa de relaciones públicas para promover a su candidato mediante tres formas: por teléfono, llevando volantes a la casa y mediante cartas. El costo por cada contacto establecido se obtiene mediante la matriz: Costo por contacto

$ 0, 20  Teléfono $ 0, 65  Volante   $ 0, 25  Carta El número de contactos establecidos en dos ciudades adyacentes, se calcula mediante la matriz: Teléfono volante

 230  150

160 300

carta 120 

 140 

Ciudad A Ciudad B

a) Halle la cantidad total que se gasto en la ciudad A b) Halle la cantidad total que se gasto en la ciudad B

ESTUDIOS GENERALES

09



17.

Una empresa fabrica billeteras, carteras y maletines en dos plantas A y B. Las unidades vendidas en el mes de Febrero se muestran en la siguiente matriz: Billeteras

 250  130

Carteras

Maletines

120 350


Las utilidades obtenidas por cada unidad vendida se muestra en la matriz : Planta A

 $3  $8   $ 1 0

Planta B

$4  $ 9  $ 1 2 

Billeteras Carteras Maletines

Mediante el producto de matrices, calcule: a) La utilidad obtenida en la planta A b) La utilidad obtenida en la planta B.

ESTUDIOS GENERALES

010



SEMANA 2

MÉTODO DE REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SISTEMA COMPATIBLE - INCOMPATIBLE

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL

 a11 a12 a13   a 21 a 22 a 23  a a a  31 32 33

a11 x + a12 y + a13 z = b11 a 21 x + a 22 y + a 23 z = b21 a 31 x + a 32 y + a 33 z = b31

     

 x   b11     y  = b21     z  b31

     

AX = B Donde: La Matriz A es la matriz de Coeficientes. La Matriz X es la matriz de Incógnitas. La Matriz B es la matriz de las constantes o términos independientes.

MATRIZ AUMENTADA

 a11 a12 a13  [ A B ] =  a 21 a 22 a 23  a a a  31 32 33

b11   b21   b31 

EJERCICIOS: Expresar en su forma matricial los siguientes sistemas: a)

 x = 16 − 2 y − 4 z   y − z = 17 − 2 x  x − y − 5z − 1 = 0 

b)

 5y + z = 9− 2x   z −3− x  y= 7   x + y + z − 7 = 0

ESTUDIOS GENERALES

c)

 x = 4 + 2 y − 3z  − x + 8 y = 6 + 4 z

d)

 s = r +1    −4 − r − 2 s − 3 t = 0  −2 − 3 t  s=  4 011



REDUCCIÓN DE MATRICES Consiste en reducir una matriz, para eso primero veamos que características tiene una matriz reducida. Una matriz se dice que es matriz reducida, si satisface lo siguiente:

Si una fila no consiste solamente de ceros, entonces la primera entrada diferente de cero en la fila, llamada entrada principal, es 1; mientras que todas las demás entradas de su columna, son ceros.

En cada fila, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada diferente de cero de cada fila arriba de él.

Todas las filas que consistan únicamente de ceros están en la parte inferior de la matriz.

Para transformar a una matriz a su forma reducida, se ejecutan Operaciones elementales sobre filas de la matriz, estas son: 1° Fx ↔ Fy : Intercambio de filas. Se cambian la fila Fx por la fila Fy . 2° k Fx :

Multiplicación de un escalar por una fila. El número real “ k ” diferente de cero, multiplica a la fila Fx .

3° k Fx + Fy : Suma de “ k ” veces una fila a otra fila. K veces la fila Fx se suma a la fila ( La fila Fx no se altera ). OBSERVACIÓN:

Fy .

Cuando una matriz pueda obtenerse a partir de otra por una o más operaciones elementales sobre filas, decimos que las matrices son equivalentes.

EJERCICIOS: 1. Determinar si cada matriz que se muestra a continuación es reducida o no (justifique su respuesta): a)

1 0    0 2

b)

e)

1 0 0 4    0 1 1 0

f)

i)

1  0 0 

0 1 0 0   j)  0 0 0 1  0 0 0 0  

0 1 0

2  0 0 

ESTUDIOS GENERALES

1 3 0 3  0 3  1 0 0    0 1 6

c)

1 0    0 0

d)

g)

 1 0 0 3   0 1 0 1

h) 

0 1 0 2   k)  0 0 1 5  0 0 0 0   

1 0 0    0 0 1 1 0 0  0 1 4 

0 0 1 0    l)  0 1 0 2  0 0 0 0   

012



Ejemplo: Reducir la matriz

2 4 4    A = 5 9 7  8 9 10   

Solución:

2 4 4  5 9 7    8 9 10

(1 / 2) F1

( −8) F1 + F3

2 1 2 0 − 1 − 3    0 − 7 − 6

( −2) F2 + F1

0 1  0 1 0 − 7 

1 0 − 4 (1 / 15) F3 0 1 3  0 0 1 

1 2 2  5 9 7    8 9 10

( −5) F1 + F2

2 1 2 0 1 3   0 − 7 − 6

( −1) F2

− 4  3 − 6 

(7) F2 + F3

(4) F3 + F1

2 1 2 0 − 1 − 3   8 9 10 

1 0 − 4 0 1 3    0 0 15 

1 0 0 0 1 3    0 0 1

1 0 0 0 1 0    0 0 1

( −3) F3 + F2

2 4 4    Por lo tanto, la matriz reducida de A =  5 9 7     8 9 10 

es

1 0  B = 0 1  0 0

0  0 .  1

2. Haciendo uso de las operaciones elementales, reducir las siguientes matrices:

− 4 a)   0 

0  1 5

0 0 8  d)    0 6 10  2 / 3  g) 3 / 2  2 

−1 −1 −8

4 / 3  1  12 

ESTUDIOS GENERALES

0 b)  7

− 3  0

4  e)  2 1 

8 4 2

3 4  h)  3 2 10 − 2 

2  4   c)  2 4  − 4 1    0 0 6   f)  1 1 0  3 0 1   

6  3 3  1  4 6 

i)

4 0  1 4 − 3 3 

2  2 2 3 12  6

013



Para resolver un sistema lineal, reduciremos la matriz aumentada [ A

B].

CLASIFICACIÓN: De acuerdo a sus soluciones, pueden ser: 1. Sistema Compatible. Es aquel sistema que tiene solución y puede ser: a) Determinado. Cuando tiene solución única. b) Indeterminado. Cuando tiene Infinitas soluciones (solución paramétrica).

2. Sistema Incompatible. Es aquel que no tiene solución. Atendiendo a sus términos independientes: a) Homogéneos. Cuando todos los términos independientes son nulos. b) No Homogéneos. No todos sus términos independientes son nulos.

Ejemplos: Por el método de reducción resolver:

3x + 5 y = 19  x + 2y = 7

a) 

Solución: Debemos reducir a la matriz aumentada:

 3 5 19  1 2 7   

F1 ↔ F2

1 2 7  0 1 2  

( −1) F2

1 2 7   3 5 19   

 3 5 19  1 2 7    ( −3) F1 + F2

1 2 7   0 − 1 −2   

1 0 3 ( −2) F2 + F1   0 1 2  x=3 , entonces es un  y=2

La última matriz es reducida y corresponde a 

Sistema Compatible Determinado (solución única)

2 x − 4 y = 6  3x − 6 y = 1

b) 

Solución: Debemos reducir a la matriz aumentada

ESTUDIOS GENERALES

2 − 4 6 3 − 6 1   014



2 − 4 6 3 − 6 1  

1 − 2 3

(1/ 2 ) F1   3 − 6 1

1 − 2 3 ( −3) F1 + F2    0 0 −8 

1 − 2 3 ( −1/8 ) F2   0 0 1

1 − 2 0 ( −3) F2 + F1   0 0 1  x − 2 y = 3




, entonces observamos un absurdo

0 =1

( 0 = 1 ), por lo que el sistema es incompatible (no tiene solución).

EJERCICIOS: Por el método de reducción resuelva los siguientes sistemas indicando el tipo de sistema y de solución:

a)

 x + 2 y = 12   3 y−x =8

b)

 6 x − 2 y = 10   4 y + 2 x − 1 = 0

c)

 2 x + 5 y = 10   6 x = −15 y − 3

d)

 3 x + 4 y = 7   −2 y + x = 9

e)

2 x − 2 y = 4   5 x = 5 y +1

f)

 2 x + 5 y = 10   6 x = −15 y − 3

g)

 0,2 x − 0,5 y = 1   0,3 y − 0,2 x = 2

h)

 0,3 x − 0,4 y = 1   0,3 x − 0,5 y = −2

i)

3 y = 5 − x  5 y −1  x =  2

j)

y x = 1 +  3 2   y = 2− x  3

k)

    

l)

x+ 2 y + z = 4   x − 3 z = −2  5 x − y − z = 3

x y + =1 7 14 2y x = 2− 5 5

ESTUDIOS GENERALES

015



 6 x + 4 y + z = 10  m)  x + 2 y − 3 z = 3   − x+ y−z =0

n)

 2 x+ y+ z =0   x + 2 y + 3 z = −5   x+4 y−z =3

o)

 x + y =1   x+2 z =5   2 y − 4 z = −6

p)

x+ 2 y + 4 z −6 = 0   2 z + y −3= 0   x + y + 2 z −1 = 0

q)

2 x + 2 y = 0  3 x − 4 y = 0

r)

4 x + 7 y = 0  2 x + 3 y = 0

s)

 2 x− y =0  5 x + 4 y = 0   x −5 y = 0

t)

 x+ y+z =0  x−z =0   x−2 y −5 z = 0

ESTUDIOS GENERALES

016



SEMANA 3

SISTEMA COMPATIBLE (SOLUCIÓN PARAMÉTRICA) APLICACIONES DE LOS SISTEMAS LINEALES

Ejemplo: Por el método de reducción resolver:

a)

 x + y − 2 z = −1   x− y =3  2x − y − z = 4 

Solución:

1 1 − 2  Debemos reducir a la matriz aumentada  1 − 1 0  2 −1 −1  1 1 − 2   1 −1 0  2 −1 −1 

− 1  3 4 

( −1 ) F1 + F2

 1 1 − 2 −1  1   (− ) F2  0 1 − 1 −2  2 0 − 3 3 6  

1 1 − 2  0 − 2 2  2 −1 −1 

( −1 ) F2 + F1

− 1  3 4 

− 1  4 4 

( −2 ) F1 + F3

1 0 −1 1     0 1 − 1 −2  0 − 3 3 6  

 x − z =1 ,  y − z = −2


1 1 − 2  0 − 2 2 0 − 3 3 

( 3 ) F2 + F3

1  0 0 

− 1  4 6 

1  1 − 1 −2  0 0 0  0 −1

entonces, hacemos

 z=r   x = 1+ r , r ∈ R  y = −2 + r  por lo que el sistema es compatible indeterminado (solución paramétrica).

ESTUDIOS GENERALES

017



EJERCICIOS: Por el método de reducción, resuelva los siguientes sistemas indicando, el tipo de sistema y de solución:

a)

 2 x+3= y   5 y − 10 x = 15

c)

 3 x− y = 4   8 2 2 x − y =  3 3

e)

 x+ y−z =6   x + 6 y + z = 12   5 y+2 z =6

g)

 x − y −5 z =1   y + 2 x = 17 + z   x + 2 y = 16 − 4 z

i)

 2 x + 3 z + 12 y = 0   3 x−2 z +5 y = 0   4 x + z + 14 y = 0

b)

 x = 3+ − y 3   x  y  3 = 2 + 2

d)

 y 3x  = 3+ 5  5   x 2y =1  + 14 14

f)

x +3 z =1    3 x = 3−9 z  3 x + 2 y + 9 z = 7

h)

2 x − 4 y + 6 z = 2   y + 2 z = −3   x−3 y + z = 4

j)

2 x + y − 2 z = 0  3 x + 2 y + z = 0   x+ y+3 z = 0

APLICACIONES Resuelva los siguientes problemas, utilizando el método de reducción de matrices. 1. Un empresario compró acciones mineras y comerciales de los tipos A y B respectivamente. Cada acción del tipo A la adquirió a S/.10 y cada acción del tipo B la adquirió a S/.15. Si se sabe que compró 900 acciones entre las del tipo A y las del tipo B y que invirtió S/.11000 en la compra. ¿Cuántas acciones del tipo A y del tipo B adquirió el empresario? 2. Una compañía vende teléfonos celulares de los modelos C1 y C2. El precio de venta unitario del modelo C1 es de S/.150 y el del modelo C2 es de S/.200. En el mes de Febrero la compañía vendió 200 celulares entre lo dos modelos y su ingreso total en ese mes fue de S/.34000. ¿Cuántos celulares de cada tipo se vendieron durante el mes de febrero? 3. En una empresa textil se fabrican chompas y camisas cuyos precios de venta unitario se fijan en $ 25 y $ 20 respectivamente. Los costos totales ascienden a $ 12000 y se desea fabricar 700 prendas en total. Halle la cantidad de chompas y camisas que se debe fabricar para obtener una utilidad de $ 4000. ESTUDIOS GENERALES

018



4. Una fábrica de automóviles produce dos modelos A y B. Suponga que cada modelo A requiere 10 partes del tipo I y 14 partes del tipo II, mientras que cada modelo B requiere 8 partes del tipo I y 6 partes del tipo II. Si La fábrica puede obtener 850 partes del tipo I y 930 partes del tipo II, ¿cuántos automóviles de cada modelo se producen, si se utilizan todas las partes disponibles? 5. Una sastrería tarda 1 hora en cortar y 3 horas en coser un traje tejido. Para confeccionar un traje de lana peinada, tarda 1 hora en el corte y 2 horas en el cosido. En un día de trabajo, la sastrería dispone de 8 horas para el corte y 20 horas para el cosido. Determine la cantidad de trajes de cada tipo que deberá producirse en un día, si la sastrería funciona a plena capacidad. 6. En un taller de carpintería se fabrican escritorios y vitrinas. Para la fabricación de un escritorio se necesitan emplear 2 horas en el Departamento de Corte y 3 horas en el Departamento de Ensamblaje y para la fabricación de una vitrina se necesitan emplear 3 horas en el Departamento de Corte y 4 horas en el Departamento de Ensamblaje. El taller dispone en total de 234 horas para el Departamento de Corte y 330 horas para el Departamento de Ensamblaje. Halle el número de escritorios y vitrinas que se pueden fabricar si se utilizan la totalidad de horas disponibles en cada Departamento. 7. Una fábrica de pantalones y camisas tiene un costo fijo mensual de $800, el costo de producción unitario (mano de obra y material) es de $30 y $20 respectivamente. Si el costo total mensual es de $3600 y se fabricaron 120 prendas entre pantalones y camisas, calcule la cantidad de pantalones y camisas producidas en un mes. 8. Una fábrica de zapatos y zapatillas tiene un costo fijo mensual de $1000. El costo de producción por par (mano de obra y material) es de $40 y $20 respectivamente. Si el costo total mensual es de $3000 y se fabricaron 70 pares entre zapatos y zapatillas, calcule la cantidad de pares de zapatos y zapatillas producidas en un mes. 9. La empresa “Dulces SAC” fabrica, envasa y vende mermelada y puré de manzana. Por cada unidad de mermelada que vende, la ganancia es de $6 y por cada unidad que vende de puré la ganancia es de $ 9. La empresa determinó que por cada 3 frascos de mermelada vende 2 frascos de puré. Así que para el próximo año la empresa desea obtener una utilidad de $72000. ¿Cuántas unidades de puré deberá vender?. 10. Una fábrica de muebles, que produce mesas y roperos, tiene un costo fijo mensual de $500. El costo de producción unitario (mano de obra y material) es de $300 y $400 respectivamente. Si el costo total es de $10500 y se fabricaron 30 muebles entre mesas y roperos, calcule la cantidad de mesas y roperos producidos en un mes. 11. Una tienda comercial ofrece dos modelos diferentes de memorias USB B1 y B2. El precio de venta del modelo B1 es de $30 y del modelo B2 es de $40. Si en el mes de Enero la tienda vendió 400 memorias USB entre los dos modelos y su ingreso total en ese mes fue de $15000, determine el número de memorias USB de cada tipo que se vendieron durante el mes de Enero. ESTUDIOS GENERALES

019



12. Una fábrica de muebles, que produce camas y modulares, tiene un costo fijo mensual de $13000. El costo de producción unitario (mano de obra y material) es de $800 y $700 respectivamente. Si el costo total mensual es de $50000 y se fabricaron 50 muebles entre camas y modulares, determine la cantidad de camas y modulares producidos en un mes. 13. Una fábrica elabora dos productos A y B. Por cada unidad que vende de A la ganancia es de $8 y por cada unidad que vende de B la ganancia es de $11. De la experiencia se ha encontrado que puede venderse 25% más de A que de B. Para el año siguiente el fabricante desea una ganancia total de $42000. ¿Cuántas unidades de cada producto debe vender? 14. Una compañía tiene ingresos gravables por $ 312000. El impuesto a la Sunat es el 25% de la parte que queda después que el impuesto al Municipio ha sido pagado. El impuesto al Municipio es el 10% de la parte que queda después que el impuesto a la Sunat ha sido pagado. Encuentre el monto pagado a la Sunat y al Municipio. 15. Un fabricante produce 3 artículos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida es de $1, $2 y $3 respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por año y los costos de producción por cada unidad son $4, $5 y $7 respectivamente. El año siguiente se producirán y venderán un total de 11000 unidades entre los 3 productos y se obtendrá una utilidad total de $ 25000. Si el costo total será de $80000, ¿cuántas unidades de cada producto deberán producirse el año siguiente?.

ESTUDIOS GENERALES

020



SEMANA 4

MATRIZ INVERSA. SISTEMA DE ECUACIONES

MATRIZ INVERSA Definición. Una matriz cuadrada A se dice que es invertible (o no singular), si existe una matriz denotada por A

−1

tal que: A ⋅ A

−1

= A−1 ⋅ A = I .

A la matriz A

−1

se le llama matriz

inversa de A . Cálculo de la matriz inversa de orden “n” (Método de Gauss - Jordan) Sea A , una matriz cuadrada de orden “n”. Para calcular la matriz inversa de A , denotada por −1

A , se sigue los siguientes pasos: 1º. Se construye una matriz de la forma: [ A

I ] donde I es la matriz identidad. A esta matriz

se le llama matriz aumentada. 2º Utilizando las operaciones elementales sobre filas se transforma (si es posible) la matriz A , en la matriz identidad:  I

A −1  . La matriz que resulta en el lado derecho, será la matriz

inversa de A .

Ejemplo 1.

3 7   1 2 

Calcular la matriz inversa de A =  Solución:

Formando la matriz aumentada de A :

3 7  1 2

A Aplicando operaciones elementales sobre fila:

−3F1 + F2

1   0

2 0 1 1

1

 −3

−2F2 + F1

1 0  0 1

I F1 ↔ F2 1   0

I Por tanto:

ESTUDIOS GENERALES

 −2 7  A−1 =    1 −3

1 2  3 7

0 1  1 0

0 −2 7   1 1 −3

A −1

es la matriz inversa de A .

021



Ejemplo 2.

Calcular la matriz inversa de

1 A =  2  3

3 4  − 2 

−1 −1 2

Solución:

Formando la matriz aumentada de A :

1 −1 3 1 0 0   2 −1 4 0 1 0     3 2 − 2 0 0 1

A

I −2F1 + F2

Aplicando operaciones elementales sobre fila:

−3F1 + F3 F2 + F1

−5F2 + F3

−F3 + F1 2F3 + F2

1  0  0

0

0  1 −2 −2 1 0  0 − 1 7 − 5 − 1

1  0  0

0

0

6

−4

1

0

− 16

11

0

1

−7

5

1

−1

− F3

1  0  0

0

0  − 2 − 2 1 0  − 11 − 3 0 1  3

1

1 −1

1 −2 −2 0

1

−7

0

0  1 0  5 1

1

1  −2  − 1

A −1

I

Por tanto: A −1

1

1 − 1  0 1  0 5

 6  =  −16   −7

−4 11 5

1  − 2  −1 

es la matriz inversa de A .

Propiedades a)

A −1 ⋅ A = I

b) ( A ⋅ B ) −1 = B −1 ⋅ A −1

c) ( A −1 ) −1 = A

d) ( I ) −1 = I

e) ( A T ) −1 = ( A −1 ) T

f)

ESTUDIOS GENERALES

( k ⋅ A ) −1 = k −1 ⋅ A −1 ; k ≠ 0 , k ∈ »

022



SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Resolución por el Método de la Matriz Inversa

El sistema

 a11 x + a12 y = b1   a 21 x + a 22 y = b2

, se puede expresar como:

a11 a12   x  b1   ⋅  =   a 21 a 22   y  b 2  A

Simbólicamente

X

B

AX = B , donde:

A es la matriz de los coeficientes. X es la matriz columna de variables. B es la matriz columna de las constantes Multiplicando a ambos miembros por A −1 (por la izquierda), se tiene: A −1 AX = A −1 B de donde:

IX = A −1 B , por lo tanto:

X = A −1 B

Este procedimiento es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas, siempre y cuando exista A −1 .

Ejemplo:

 x + 5 y = 23

Resolver el sistema 

 2 x + 11 y = 49

Solución:

1 5  .  2 11

Formando la matriz de coeficientes: A = 

1 5 1 0  Hallando su matriz inversa:    2 11 0 1 

−5F2 + F1

1  0

0 11 −5 1 −2

 1

entonces:

−2F1 + F2

1  0

5

1

0 

1 −2 1 

 11 −5 A−1 =    −2 1 

 x   11 −5   23   8   = ⋅  =    y   −2 1   49   3 

Como: X = A −1 B

por tanto:

ESTUDIOS GENERALES

x =8 ; y =3

023



EJERCICIOS: 1.

Calcular la inversa de las siguientes matrices:

3 1  A= , 5 2  2.

 −2 −3 B= , 3 5

3 5 D=   2 4

En cada caso, halla una matriz X , tal que AX = B .

3 4  2 − 3 , B =   2 3 1 4 

6 2 B=  4 1

 2 5 , 1 3 

b) A = 

a) A =  3.

3 7 C= , 2 5

En cada caso, halla una matriz X , tal que XA = B .

1 − 5 5 7   , B=  2 3  2 − 3

 4 3 B=   2 − 1

 2 5 , 3 8 

a) A = 

b) A = 

3 5   4 7

2  4

Resuelve la ecuación matricial A = AX + 2 B , si: A = 

5.

Resuelve la ecuación matricial 3 A = BX − B T , si: B = 

6.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el método de la matriz inversa.

2 1

 2 x + 3 y = 13

a) 

5 x − 7 y = −11

 x + 2 y = 11

d) 

 7 x − 2 y = 13 4 x − y = 1

g) 

11 x − 3 y = 5

7.

 4 x − 3 y = 15

b) 

3 x − 5 y = 14 3 x + 5 y = 10

e) 

3 x − 8 y = 23 3 x − 2 y = 6

h) 

 4 x − 3 y = 25

y

1 B=  −3

4.

− 3  y 4

1 4  B=  2 7

 6 x + 5 y = 20

c) 

 x − 9 y = 23 x + y = 5

f) 

 6 x − 7 y = 30

5 x + 7 y = −9

i) 

 −3 x + 4 y = −11

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el método de la inversa.

 x − y + 3 z = 10  a)  2 x − y + 4 z = 20  3 x + 2 y − 2 z = 28

3 x − 2 y + 2 z = 15  b)  −2 x + y + z = 10   x − y + 2 z = 16

2 x + 3 y − z = 4  d) 3 x − 2 y + z = 7 ,  x + 4 y − z = 3

 4 x − y + 2 z = 12  e)  2 x + y − 3 z = 5 ,  3 x − y − 2 z = 5

ESTUDIOS GENERALES

4 x − 5 y + z = 6  c) 3 x + 2 y − z = 9  2 x + 3 y − 2 z = 4

024



DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz es un número real asociado a una matriz cuadrada A, que se denota por: A . DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 2

a b  A=  c d 

A =

a b = ad − bc , ejemplo: c d

A =

−2 3 = ( −2 )( 5 ) − ( 3 )( −4 ) = 2 −4 5

DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 3 (REGLA DE SARRUS)

a b c  A =  d e f   g h i 

a b A = d g

e h

c

a b

f i

d g

e = ( aei + bfg + cdh ) − ( ceg + afh + bdi ) h

− 36 − 20 0 2 −1 3 2 −1 A = 0 4 −5 0 4 = (0 − 15 + 0) − (−36 − 20 + 0) = 41 −3 2 0 −3 2

 2 −1 3  Ejemplo: A =  0 4 −5    −3 2 0 

− 15

0

0

Propiedades 1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos ceros, entonces:

A =0 2. Si una matriz A tiene dos filas o columnas iguales, entonces: 3. Si una matriz A es triangular superior o inferior, entonces entradas de la diagonal principal.

A =0 A es igual al producto de las

4. Si “ k ” es una constante y A una matriz de orden “n”, entonces:

kA = k n A

5. El

de

determinante

de

un

producto

es

igual

al

producto

los

determinantes

A⋅ B = A ⋅ B 6. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta 7. Si A es una matriz invertible:

ESTUDIOS GENERALES

A −1 =

A = AT

1

A

025



MÉTODO DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES

Dado el sistema

 a11x + a12 y = b1 ,  a x + a y = b  21 22 2

Denotamos:

a A =  11  a21

a12  a22 

x=

luego:

b Ax =  1 b2

Ax A

a12  a22 

y=

Ay A

b a Ay =  11 1   a21 b2 

siempre que

A ≠0

Este método es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas, siempre que A ≠ 0 Ejemplo 1

2 x − 5 y = −11

Resolver por el método de Cramer: 

−3 x + 4 y = 6

Solución:

A =

2 −5 = 8 − 15 = −7 , −3 4

Ax =

−14 −11 −5 = −44 + 30 = −14 , luego x = 6 4 −7

Ay =

2 −11 = 12 − 33 = −21 , −3 6

luego

y=

−21 −7

∴ x=2

∴

y =3

Ejemplo 2

 2 x − y + z = −3  Resolver el sistema:  3 x + 2 y − 2 z = 20   x + 3 y − 5 z = 29

utilizando el método de Cramer.

Solución:

2 −1 A = 3 1

2 3

1 2 −1 −2 3 −5 1

2 = ( − 20 + 2 + 9 ) − ( 2 − 12 + 15 ) = − 9 − 5 = − 14 3

ESTUDIOS GENERALES

026



−3 −1 Ax = 20 29

−3 −1

1

2 = ( 30 + 58 + 60 ) − ( 58 + 18 + 100 ) = 148 − 176 = − 28 3

− 2 20 − 5 29

2 3

2 −3

1 2 −3

Ay = 3 20 − 2 3 20 = ( − 200 + 6 + 87 ) − ( 20 − 116 + 45 ) = − 107 + 51 = − 56 1 29 − 5 1 29

2 −1 −3 2 −1 Az = 3 1

2 3

Ax

x=

luego:

2 = (116 − 20 − 27 ) − ( − 6 + 120 − 87 ) = 69 − 27 = − 42 3

20 3 29 1

A

=

−28 −14

=2 ;

Ay

y=

=

A

−56 −14

=4

; z=

Az

=

A

−42

=3

−14

EJERCICIOS: 1. Calcule los siguientes determinantes:

2 1

4 −2

5

a) −3

b) 1

4 −1 0 6 −1 4 −2

e) −1

5 f)

7 1

3

−5 3 2 6

−4 5

3 2 −1

c) −3

4 −5 3 −1 7

3 6 1 −2

3

5 0 −2

3

d)

2 −4 0 1 6

2 g)

0 5 −2 3

1 −3

6

−1

2

3 8

−5 3

h) −2

4 4 1 −2 6 −5

2 7

2

2. En cada caso halle el valor de x si se cumple que:

2x − 3 4x −1 a) = 10 x + 3 2x + 5

d)

a−x b

b =0 c−x

1

2

3

g) 1

x

3 = 0

1

x

x

ESTUDIOS GENERALES

b)

x+4 x 7 1

x

4 = −2

0

0

e). −3 x

0

= −3

c)

h)

6

5

1

2

3 =12

x +1

6

−2

0 0

x−2 0

7 1

f. )

x

1

x

i)

0

8 x + 9 0 = 220 9 7 5

−5 6 x + 4 −2

0

= 108

−1

2

x

3

2

5 = 53

−2

4

x

027



3. Utilizando el método de Cramer resuelva los siguientes sistemas:

 3x − y = 8

a) 

 x+2y =5

 −2 x + 5 y = 25

d) 

 4x +7 y =1

 3 x + 2 y = −4

c) 

 5 x − 3 y = 25

 2 x + 5 y = 21

 7 x + 8 y = 26

 9x +5y = 7

e) 

Calcular el valor de x en:

 2 x + y − 3 z = −1  g) .  x − 3 y − 2 z = −12   3 x − 2 y − z = −5 Calcular el valor de y en:

 5 x + 6 y − 7 z = 31  i) .  3 x + 5 y + 3 z = 4   4x +3y −2z = 5 Calcular el valor de z en:

 3 x − 2 y = −1  k) .  x + 3 z + 2 y = −43   4 x + z = −28 Calcular el valor de x en:

 0,2 x + 0,3 y + 0,4 z = −2,7  m) .   0,3 x − 0,1 y − 0,5 z = 3,1   0,7 x − 0,2 y − 0,4 z = 4

ESTUDIOS GENERALES

 11 x + 3 y = −7

b) 

f) 

 6 x + 11 y = 43

 7 x − 4 y = 37

Calcular el valor de z en:

 4 x + 3 y − 2 z = 14   3 x + 5 y + 2 z = 23   2 x − y − 5 z = −6

h)

Calcular el valor de x en:

 6 x − 5 y + 4 z = 28  j).  5 x − 3 y + 3 z = 17   2 x + 2 y + 5 z = 13 Calcular el valor de y en:

l)

 3 x − 2 y = −1   z + 4 x = −28   x + 3 z + 2 y = −43

Calcular el valor de z en:

n)

      

7x +

7y −

7z = 0

13x −

13 y − 2 13z = −3 13

5x − 3

5y + 2

5z = 3

5

028



APLICACIONES Resuelve, utilizando el método de Cramer o de la matriz inversa, según se indique. 1. La empresa “Textiles del Perú” produce pantalones y faldas, con un costo de producción unitario de S/. 90 y S/. 60 respectivamente y con un costo fijo mensual de S/. 6000. Sabiendo que el costo total mensual es de S/. 16800 y que cada pantalón se vende a S/. 200 y cada falda a S/.180, que generan un ingreso total mensual de s/. 26800. Determine la cantidad de pantalones y faldas producidas en un mes. 2. Oscar y Alfredo trabajan en la misma empresa y sus ingresos diarios se diferencian en 20 soles. Oscar es quien tiene mayor ingreso pero trabaja durante 15 días mientras que Alfredo trabaja 26 días. Si Alfredo ha ganado 580 soles más que Oscar, calcule el ingreso diario de cada uno. 3. La empresa “Lanificios del Perú” tiene costos fijos de S/. 5000, produce pantalones y camisas siendo los costos unitarios de producción de S/. 40 y S/. 30 respectivamente. Si los costos totales son de S/. 30 000 y se desean producir 700 prendas entre pantalones y camisas. Calcule el número de pantalones y camisas a producir. 4. La empresa H&B fabrica y envasa mermelada de fresa y puré de manzana. Por cada unidad de mermelada que vende la ganancia es de S/. 6 y por cada unidad de puré que vende la ganancia es de S/. 9. Se vendieron 500 unidades entre mermelada y puré siendo la ganancia total de S/. 3900. ¿Cuántas unidades de cada producto se vendieron? 5. Una empresa que fabrica artículos de cuero, tiene un costo fijo mensual de S/.10000. Si produce carteras y correas, con un costo de producción unitario (mano de obra y material) de S/. 40 y S/. 30 respectivamente y con un costo total mensual fue de S/. 20000 y, además se fabrican 300 artículos (entre carteras y correas). Calcule la cantidad de carteras

y

correas producidas en el mes. 6. Una empresa exportadora de artículos de lana de vicuña tiene un costo fijo mensual de S/. 5000. Sabiendo que produce chompas y faldas donde el costo de producción es de S/. 80 y S/. 70 respectivamente. Además el costo total mensual es de S/. 15600. Cada chompa se vende S/. 200 y cada falda a S/. 180 y la venta total del mes es de S/. 26800. Calcule la cantidad de chompas y faldas producidas en el mes. 7. Una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere 1 hora de mano de obra para pintarlo y 1/2 hora de mano de obra para pulirlo, el modelo B requiere de 1 hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos. Durante cada hora que la línea de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de mano de obra disponibles para pintura y 80 horas de mano de obra para pulirlo. ¿Cuántos automóviles de cada modelo pueden terminarse cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra?

ESTUDIOS GENERALES

029



8. Una fundidora produce dos esculturas diferentes de bronce. El departamento de fundición dispone de un máximo de 136 horas de trabajo por semana y el departamento de acabado tiene un máximo de 124 horas de trabajo por semana. La escultura A necesita 12 horas para fundición y 8 horas para acabado; y la escultura B necesita 8 horas para fundición y 12 horas para acabado. Si la planta debe funcionar a su máxima capacidad, ¿cuántas esculturas de cada tipo debe producir cada semana? 9. Escritorios Nacionales tiene plantas para la producción de escritorios en Surco y en La Molina. En la planta de Surco, los costos fijos son de $ 16000 por año y el costo de producción de cada escritorio es de $ 90. En la planta de La Molina, los costos fijos son de $ 20000 por año y el costo de producción de cada escritorio es de $ 80. El año siguiente la compañía quiere producir en total de 800 escritorios. Determine la producción de la planta de La Molina para el año próximo si el costo total de cada una debe ser el mismo. 10. Una fábrica tiene plantas para la producción de puertas en dos distritos diferentes de Lima: Los Olivos y San Juan de Miraflores. En la planta de los Olivos los costos fijos son de S/.20000 y el costo de producción es de S/ 150 soles por cada puerta. En la planta de San Juan de Miraflores los costos fijos son de S/ 25400 y el costo de producción es de S/.180 por cada puerta. El año siguiente la compañía quiere producir 520 puertas. Determine la producción de cada planta para el próximo año, si el costo total de cada una debe ser el mismo. 11. Una empresa tiene dos plantas para la fabricación de mochilas. Una esta ubicada en La Victoria y la otra en Los Olivos. En la planta de la Victoria, los costos fijos mensuales ascienden a $ 5900 y el costo unitario de producción a $ 25. En la planta de los Olivos, los costos fijos son de $ 9000 y el costo unitario de producción es de $ 30. Si se desea fabricar 1400 mochilas mensuales, halle la producción de cada planta, sabiendo que los costos totales mensuales en cada planta deben ser iguales.

ESTUDIOS GENERALES

030



SEMANA 5

LÍMITES

NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE Es importante conocer el comportamiento de una función f ( x ) , cuando los valores de la variable independiente “ x ”, estén muy cerca de un número especificado que llamaremos x0 . Haremos esto tabulando los valores de la función para valores de x cada vez más cercanos al número x0 . Ejemplo Si f ( x ) =

x3 −1 x −1

Observamos que el punto

x0 = 1 no está en el dominio de la función. En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x , en el entorno de 1, y calculamos los valores correspondientes de la función f ( x ) : x <1

x >1

x

0,95

0,99

0,995

0,999

1,001

1,005

f (x )

2,8525

2,970

2,9850

2,9970

3,0030

3,0150

1,01

1,05

3,0301 3,1525

De la tabla podemos observar que, mientras el valor de “x” se aproxima al número 1, el valor de

f ( x) se aproxima al número 3. Deducimos, intuitivamente, que el límite de la función f ( x ) cuando x “tiende” a 1; es 3. Esto se simboliza:

3 lim x − 1 = 3

x→ 1

x −1

DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE El límite de una función f ( x ) , cuando la variable x se aproxima a un valor dado x0 , es el número real “L” , (siempre que exista), al cual se aproxima la función, esto se simboliza:

lim f ( x ) = L ,

x→ x0

ESTUDIOS GENERALES

se lee: “ El límite de f ( x ) cuando x tiende a x0 es L ”

031



ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS Sean k , x0 números reales y n un entero positivo. Entonces: 1.

2.

lim k = k x→ x

3.

lim x = x 0

x→ x

0

lim x n = x 0n

x→ x

0

0

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Sean k , x0 números reales y n un numero entero positivo y f , g funciones con límites: y

lim f ( x ) = L x→ x

lim g ( x ) = M x→ x

0

0

Entonces: 1.

lim kf ( x ) = k lim f ( x ) = kL x→ x

2.

x→ x

0

0

x→ x

0

x→ x

0

0

lim [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) = L ⋅ M x→ x

5.

x→ x

0

lim [ f ( x ) − g ( x ) ] = lim f ( x ) − lim g ( x ) = L − M x→ x

4.

0

lim [ f ( x ) + g ( x ) ] = lim f ( x ) + lim g ( x ) = L + M x→ x

3.

x→ x

0

x→ x

0

lim x→ x

0

x→ x

0

f ( x) g ( x)

0

lim f ( x ) L

x→ x

=

0

lim g ( x )

=

M

, siempre que M ≠ 0 .

x→ x

0

n

6.

7.

  lim [ f ( x ) ] =  lim f ( x )  = Ln x→ x  x→ x0  0 n

lim x → x0

n

f ( x) =

n

lim f ( x ) =

n

L

x → x0

ESTUDIOS GENERALES

032



FORMA INDETERMINADA:

( 00 )

Cuando en una función

f ( x) reemplazamos la variable por un valor dado “x0” y nos da la forma indeterminada 0/0 , es posible calcular el lim f ( x ) ; previamente se debe factorizar o x → x0

racionalizar f ( x ) con la finalidad de “eliminar” la indeterminación. Ejemplo 1

Calcular

2 lim  x2 + x − 2  x →1

Solución:

(

lim x →1

 x + 2x − 3 

x2 + x − 2 x2 + 2x − 3

) = lim ((xx −−1)(1)(xx ++ 2)3) x →1

= lim x →1

= Por tanto:

Calcular

lim x →7

Solución:

lim x →7

3 4

(x

= 3 ) 4 + 2x − 3

2 lim x2 + x − 2

x →1

Ejemplo 2

x+2 −3 x−7

x + 2 − 3 = lim x →7 x−7

x+ 2 −3⋅ x−7

( = lim x →7

x →7

x →7

Por tanto: lim x →7

)

2

x+2 +3 x+2 +3 − 32

x + 2 + 3)

( x − 7) ( x − 7)(

= lim

=

x+2

( x − 7)(

= lim

ESTUDIOS GENERALES

( x + 2) ( x + 3)

(

x + 2 + 3)

1 x + 2 + 3)

1 6

x+ 2 −3 = 1 x−7 6

033



EJERCICIOS: Calcular los siguientes límites 1.

lim x 4

2.

lim (9 )

x →−2

x→3

4.

7.

3y2 +1 2 2 y −1

5.

lim y→

3.

x→ 2

2 lim  x + 3 x − 10  x →2 

lim

11 − x



x→ −2

6−x 3− x

6.

x →−3

2 lim x 2 − 3 x + 2

x − 4x + 3

x →−2

2 lim x −2 5 x − 24

8.

lim ( 2 + 3 x − x 2 )

9.

x − 12

lim x →−1

8−x 3− x

(0)

Forma indeterminada 0 4 lim x − 1

10.

x→ 1

2 lim2 3 x2 − x − 2

13.

x→ −

16.

3

3x − 4x − 4

19.

x+9 −3 x + 16 − 4

20.

2 lim x2 + 5 x + 6

23.

x→ 0

x →−2

x − 3 x − 10

lim

x2 + 9 − 3 x4 + x2

x →0

lim

x→ 4 x

lim x → −3

lim x→ a

x−4 − x − 12

lim x →4

lim x2 + 2

12.

x →−2

15.

−x − 2

1− x2 x

x→ 0

b2 − x − b2 − a x−a 2

21.

2 lim x + 3 x x →0

24.

x −1

lim x →−3

x−2− x −1 −

x − 3x − 4

lim 1 −

18.

x2 + 7 − 4

x −4

2 lim x 2 − 9 x + 20

x→ 4

x+3

lim x − 2 + x x →1

26.

2

2 lim x + 4 x + 4

x→ −2

17.

lim

22.

14.

x+2−2 x−2

lim x→ 2

25.

11.

x −1

2 3

27.

lim x →4

3x + 1 − 1

x+3 x + 2x − 3 2

2x +1 − 3 x−2− 2

En los siguientes ejercicios, calcule la constante c de modo que el límite exista. Para ese valor de c determinar el límite. a)

2 lim 2 x 2+ x + c

x→1

c)

d)

2 lim x2 − 4 x + c

f)

x →3

x + x−6

x + 2 x − 15

ESTUDIOS GENERALES

2 lim 3 x −2 7 x + c x →2

2 lim x 2 + 5 x + c x →2

e)

x −1

b)

x −4

2 lim x2 − x + c

x →−4

x + 2x − 8

2 lim x2 + 5 x + c

x →−2

x − 4 x − 12

034



LÍMITES LATERALES Consideremos una función por tramos:

y

2

; si x < 2  x f ( x)=  x + 34 ; si x > 2

6

4 2

x

Podemos observar que cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la izquierda ( x < 2) , la función se aproxima al número 4; esto se simboliza:

lim f ( x ) = 4

x→2 −

Asimismo, cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la derecha ( x > 2) , la función se aproxima al número 6, esto se simboliza:

lim f ( x ) = 6

x→2 +

DEFINICIÓN. Una función esto es:

f ( x) tiene límite en “ a ” si los límites laterales en “ a ” son iguales;

lim f ( x) = L x→a

lim f ( x) = lim f ( x) = L

↔

x →a −

x →a +

Verifique si existen los existen los siguientes límites:

 2 x 2 +1 ; 1. f ( x ) =   4 x −1 ;

si x ≤1

a)

si x >1

 x2 − 4 ; si x < 2  2. f ( x) =  x − 2  5 x − 2 ; si x > 2 

a)

 x 2 − x ; si x < 1  x2 −1 3. f ( x ) =   x + 3 ; si x > 1  8

a)

 x3 − 8 ; si x > 2  x 2 − 4 4. f ( x ) =   3 x + 3 − 3 ; si x < 2  x−2

a)

ESTUDIOS GENERALES

lim f (x)

b)

lim f (x)

b)

lim f ( x )

b)

x→1+

x→ 2 +

x →1+

lim f ( x )

x→2 +

b)

lim f (x)

c)

lim f ( x) x →1

lim f (x)

c)

lim f (x)

c)

lim f ( x )

x→1−

x→ 2 −

lim f ( x )

x →1−

lim f ( x )

x→2 −

x→ 2

x →1

c)

lim f ( x ) x →2

035



 Ax 3 +1 ; si x > 2 5. Dado: f ( x ) =  , calcule el valor de A , si existe x 2 + 3 x ; si x < 2

lim f ( x ) . x→2

 Bx 3 + 3 x 2 −1 ; si x ≤1  , calcule el valor de , B si existe 6. Dado: f ( x ) =  x 2 −1 ; si x >1   3 x +1 − 2 7. Halle el valor de a y b si existen

lim f ( x ) x→−1

y

lim f ( x )

lim f ( x ) . x→1

;

x→3

 2 x −1 ; si x ≤−1  f ( x ) =  ax −b ; si −1< x < 3   5 − x ; si x > 3

8. Halle el valor de c y k si existen

lim f ( x )

x→−2

y

lim f ( x ) x→1

;

 2 x + 3 c ; si x < −2  f ( x ) =  5 cx − k ; si − 2 ≤ x ≤ 1  32 x ; si x > 1 9. Dada la gráfica de la función f ( x ) , calcule si existen los siguientes límites;

y 4

a)

3

lim f ( x )

x →1− 3 +

1 d)

2

−3 −2

lim f ( x )

x →1− 2 +

lim f ( x )

b)

x →1− 3 −

lim f ( x )

e)

x →1− 2 −

lim f ( x )

c)

x →1− 3

lim f ( x )

f)

x →1− 2

x g)

−1

lim f ( x )

x →12 +

h)

lim f ( x )

x →12 −

i)

lim f ( x ) x →12

10. Dada la gráfica de la función f ( x ) , calcule si existen los siguientes límites;

y a)

9

lim f ( x )

x →11+

b)

lim f ( x )

x →11−

c)

lim f ( x ) x →11

8 d)

4 1

−2

2

−3

ESTUDIOS GENERALES

x

g)

lim f ( x )

x →1− 2 +

lim f ( x )

x →12 +

e)

h)

lim f ( x )

x →1− 2 −

lim f ( x )

x →12 −

f)

lim f ( x ) x →1− 2

i)

lim f ( x ) x →12

036



SEMANA 6

CONTINUIDAD

Continuidad de funciones

f ( x ) es continua en a ∈ »

Una función condiciones:

si y sólo si, se cumplen las siguientes tres

1. Existe f (a ) , es decir a pertenece al dominio de f ( x ) . 2. Existe el

lim f ( x ) , es decir los limites laterales existen y son iguales x→ a

lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) x→ a +

x→ a

3.

x→ a −

f ( a )= lim f ( x ) x→ a

OBSERVACIONES

Una función polinomial es continua en todo su dominio. Ejemplo 1

f ( x ) = 2 x 3 + 3 x + 1, x ∈ R

Sea a ∈ R :

i ) f ( a ) = 2 a 3 + 3 a + 1, existe. ii )

lim f ( x ) = lim 2 x 3 + 3 x + 1 = 2 a 3 + 3 a + 1, existe. x→a

x→a

iii ) f ( a ) = lim f ( x ) = 2 a 3 + 3 a + 1 x →a

∴

f es continua en a ∈ R

Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es cero, y es continua en cualquier otro punto de su dominio. Ejemplo 2 Analizar la continuidad de la función: f ( x) =

ESTUDIOS GENERALES

2x + 1 x2 − 9 037



Si x = 3 : i ) f ( 3) =

2 ( 3) + 1 32 − 9

7

=

0

= ∃,

∴ f es discontinua en x = 3

Si x = −3 : i ) f ( −3) =

2 ( −3) + 1 ( −3) 2 − 9

=

−5 0

= ∃,

∴ f es discontinua en x = −3

EJEMPLOS

x<0  3 x − 1,  0 ≤ x ≤1 1. Analizar la continuidad de la función: f ( x ) =  x 2 ,  2 x − 1, x >1  Solución:

Si x = 0 : i ) f ( x ) = 02 = 0 ii ) ⇒

lim x 2

x →0 +

lim

x →0 +

= 0 2 = 0;

f ( x) ≠

lim

x →0−

lim 3 x − 1 = 3( 0 ) − 1 = −1

x →0−

f ( x ) ⇒ ∃ lim f ( x ) x →0

∴ f es discontinua en x = 0 Si x = 1: i ) f (1) = 12 = 1 ii ) ⇒

lim 2 x − 1 = 2 (1) − 1 = 1; lim x 2

x →1+

x →1−

= 12 = 1

lim f ( x ) = 1 x →1

iii ) f (1) = lim f ( x ) = 1 x →1

∴ f es discontinua en x = 1

2.

x <1 3 x − a ,  Hallar los valores de a y b , si: f ( x ) =  3 a − 1, 1 ≤ x < 2  x≥2  2 bx + 1, es continua en todo su dominio.

ESTUDIOS GENERALES

038



Solución:

•

Nos basta analizar la continuidad en x = 1 y x = 2 , pues esto va generar que se formen ecuaciones que nos permitirá hallar el valor de “ a ” y “ b ”.

•

Como f ( x ) es continua en x = 1 , basta observar que:

f (1) = lim+ f ( x) = lim− f ( x) x →1

f (1) = 3a − 1 ;

Luego:

x →1

lim+ (3a − 1) = 3a − 1 ; lim− (3x − a) = 3 − a x →1

⇒ 3a − 1 = 3 − a •

⇒

x →1

a =1

Como f ( x ) es continua en x = 2 , basta observar que:

f (2) =

lim f ( x) = lim− f ( x)

x → 2+

x→2

Luego:

f (2) = 2b(2) + 1 ;

lim (2bx + 1) = 2b(2) + 1 ; lim− (3a − 1) = 3a − 1 ;

x → 2+

⇒ 4b + 1 = 3a − 1

⇒

x→2

4b + 1 = 3(1) − 1 = 2 ⇒

b =1 4

TIPOS DE DISCONTINUIDAD 1. Discontinuidad removible o evitable. Una función tiene discontinuidad removible o evitable en un punto “ a ” cuando existe

lim f ( x ) x→ a

pero es diferente de f ( a )

ó

a ∉ Df ( x ) . Ejemplo:

5

f ( x)

f ( x)

4

4

3

ESTUDIOS GENERALES

3

039



OBSERVACIÓN a)

lim f ( x) = 4 ,

En el primer gráfico, f (3) = 5 pero

x →3

luego

∴

f discontinua removible en x = 3

lim f ( x) = 4

b) En el segundo gráfico, f (3) no existe, sin embargo,

x →3

∴

f ( x) discontinua removible en x = 3

2. Discontinuidad no removible o inevitable. Una función tiene discontinuidad en un punto “ a ” cuando no existe

lim f ( x ) x→ a

, o al menos uno de los límites laterales en “ a ” es

∞. Ejemplo

9

5

3 2

4

OBSERVACIÓN a) En el primer gráfico,

⇒ ∃ lim f ( x)

lim f ( x) = 5

x→2 +

∴

lim f ( x) = 9

y

x→2 −

f es discontinua no removible en x = 2

x →2

b) En el segundo gráfico,

⇒ ∃ lim f ( x)

∴

lim f ( x) = 3

x→4 +

y

lim f ( x) = + ∞

x →3 −

f es discontinua no removible en x = 4

x →4

ESTUDIOS GENERALES

040



EJERCICIOS: I. En los siguientes problemas, utilice la definición de continuidad para mostrar que la función dada es continua en el punto indicado. a. f ( x ) = x3 − 8 x, x = 2

b. f ( x ) =

d. f ( x ) =

e. f ( x ) =

3

x , x = −1

3x 2 , x=0 x−2

x−3 , x = −3 9x x3 − 8 f. f ( x ) = , x = −2 x−2 c. f ( x ) =

2 − 3x , x = 0

II. Encuentre los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones e indique de qué tipo se trata: a. f ( x) =

x+4 x−2

b. f ( x) =

x−3 x2 − 9

c. f ( x) =

x2 + 4 x2 − 1

d. f ( x) =

x2 − x + 1 x2 − 4

e. f ( x) =

x2 − 4 x x 2 − 16

f. f ( x) =

x−7 x3 − x

III. Analice la continuidad de las siguientes funciones:

 x 2 −1 ; si x ≠1  a. f ( x ) =  x −1  ; si x =1  2

 4 x +1 ; si x <1  c. f ( x ) =  5 ; si x =1   2 x + 3 ; si x >1

 x2 + x + 1 − 3  ; si x < 1  x −1 e. f ( x) =   2x + 1 ; si x ≥ 1  3 g.

 2 x − 1 ; si x < −2  f ( x) =  6 ; si − 2 ≤ x ≤ 8  4 x + 3 ; si x > 8 

i)

  2  x −4 f ( x) =  ; 2≤ x<3 x + 2   5 ; x≥3 x−2 ;

 x 2 −3 x + 2 ; si x ≠ 2   2 x −4 b. f ( x ) =   2 x−4 ; si x = 2  x 2 − 4  x 3 −8 ; si x < 2   x − 2 d. f ( x ) =  3 ; si x = 2  2 x −1 ; si x > 2  

 4 x − 2 ; si x <1  f. f ( x ) =  3 x 2 − x ; si 1< x ≤ 4  ; si x > 4  6x

h.

 2 x 2 + x − 1 ; si x < 7  f ( x) =  x + 1 ; si 7 ≤ x ≤ 9  2− x ; si x > 9 

j)

    f ( x) =     

x<2

ESTUDIOS GENERALES

x −1 ; si x < 0 x+3 2x − 1 ; si 0 ≤ x < 2 3 x3 − 8 ; si x ≥ 2

041



IV. Calcule el valor de las constantes, sabiendo que las funciones son continuas en todo su dominio.

1. f ( x ) =

 ax +3 ; x ≥1   3− ax ; x <1

2. f ( x )

 2 =  x +a ; 

3

;

x ≠1 x =1

 2 ax 2 + 4 b ; si x < 2  3. f ( x ) =  6 ; si 2 ≤ x ≤ 4 3 ax − 2 b ; si x > 4 

ax 2 + 2b − 5 ; si x < 1  4. f ( x) = 8 x − 2 ; si 1 ≤ x ≤ 3 ax + b − 2 ; si x > 3 

 x + 2a ; si x < −2  5. f ( x) = 3ax + b ; si − 2 ≤ x ≤ 1 6 x − 2b ; si x > 1 

3x − 1 ; si x < −1  6. f ( x) = ax + b ; si − 1 ≤ x < 3 4 − x ; si x ≥ 3 

 x + 1 ; si x < 1  7. f ( x ) =  4 ; si 1 ≤ x < 2  2bx − 8; si x ≥ 2 

ax 2 + 3 x − 1 ; si x ≤ 1  8. f ( x) =  x 2 − 1 ; si x > 1  x + − 3 1 2 

 mx 2 + 2 n + 1; si x < 2  9. f ( x ) =  2 x + 1 ; si x = 2  n − 3 mx + 3 ; si x > 2 

ESTUDIOS GENERALES

 2m + x ; si x ≥ 3  10. f ( x) =  x3 − 27 ; si x < 3  2  x − 3x

042



SEMANA 7

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN DERIVADA DE UNA FUNCIÓN: Sea f (x) una función definida en cada punto del intervalo I ∈ » , entonces se dice que f (x) es derivable en el punto x ∈ I , si existe el límite siguiente:

lim h→0

f ( x + h) − f ( x) h

df ( x)

Si a la derivada de una función se le denota por: f '( x ) o por

y se lee “la derivada de

dx

f (x) en el punto x ”, entonces por definición se tiene:

df ( x ) dx

= f ′( x) = lim

f ( x + h) − f ( x) h

h →0

Ejemplos: Halle la derivada de las funciones siguientes usando la definición. a) f ( x) = 3 x − 2

b)

f ( x ) = 3x 2 − 2 x + 5

c)

f ( x) =

2x +1

Solución: a) f ' ( x ) =

f ( x + h) − f ( x)

lim

h

h → 0

f '( x ) =

li m

f '( x ) =

lim

[ 3( x + h ) − 2 ] − ( 3 x − 2 )

h → 0

3 x + 3h − 2 − 3 x + 2 h

h → 0

f '( x ) =

f '( x ) =

lim

h → 0

h

3h h

f ' ( x) = 3 .

lim3

h → 0

b) f ´( x ) =

lim

f ( x + h) − f ( x)

h → 0

f '( x ) =

lim

h

[ 3( x + h ) 2 − 2( x + h ) + 5] − (3 x 2 − 2 x + 5)

h → 0

ESTUDIOS GENERALES

h

043



f '( x ) =

lim

[ 3( x 2 + 2 xh + h 2 ) − 2 x − 2 h + 5] − 3 x 2 + 2 x − 5 h

h → 0

f '( x ) =

lim

[ 3 x 2 + 6 xh + 3h 2 − 2 x − 2 h − 5] − 3 x 2 + 2 x − 5 h

h → 0

f '( x ) =

lim

3 x 2 + 6 xh + 3h 2 − 2 x − 2 h + 5 − 3 x 2 + 2 x − 5 h

h → 0

f '( x ) =

lim

6 xh + 3h 2 − 2 h h

h → 0

f '( x ) =

lim

f '( x ) =

li m lim

f ( x + h) − f ( x)

f '( x) =

lim

h→0

f '( x) =

lim

h→0

f '( x) =

2 x + 1)

×

h (2 x + 2h + 1 − 2 x − 1) h( 2 x + 2 h + 1 +

2 2x + 1

1

2 x + 1)

( 2 x + 2h + 1 +

2 x + 1)

2h h( 2 x + 2 h + 1 +

2 x + 1)

2 x + 1)

2

=

( 2 x + 2h + 1 +

2x + 1

h

( 2 x + 2h + 1 +

=

2 x + 1)

2

=

2( x + h) + 1 −

lim

h →0

( 2 x + 2h + 1 −

2

h

f '( x) =

h

h →0

h (6 x + 3h − 2)

f ´( x ) = 6 x − 2 .

= 6x − 2

h

h → 0

f '( x) =

lim

h → 0

h (6 x + 3h − 2)

h → 0

c)

f '( x ) =

( 2x + 1 +

2 x + 1)

.

2x + 1

REGLAS DE DIFERENCIACIÓN Si f (x) y g (x) son funciones diferenciables en el intervalo I , entonces: 1)

Si,

f ( x) = k , es una función constante, entonces:

2)

Si, f ( x) = x n ,

3)

[k ⋅

4)

 f ( x) ± g ( x)  ′ = f ′ ( x) ± g ′ ( x )

∀ n ∈ » , entonces:

f '( x ) = 0

f ' ( x ) = nx n −1

f ( x) ]′ = k ⋅ f ′ ( x) , donde k es constante.

ESTUDIOS GENERALES

044



INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. Sea y = f ( x ) una función definida en I , I ⊂ » , cuya gráfica sea la siguiente: Si: ∆f ( x0 ) = f ( x 0 + ∆x0 ) − f ( x0 )

y

f ( x)

Entonces, en el triángulo rectángulo MPN, ∆f ( x0 ) representa la longitud del cateto

N

f ( x 0 + ∆x 0 )

PN, de igual manera que ∆x0 representa la del MP. De aquí se tiene que :

M f ( x0 )

P α

x 0 + ∆x 0

x0

0

∆f ( x0 ) = tg (α ) ∆x0

Pero si hacemos ∆x0 → 0,

x Entonces:

li m ∆ x0 → 0

∆ f ( x0 ) ∆ x0

= f ′ ( x0 ) .

Esto quiere decir que, geométricamente, la derivada de una función en un punto debe interpretarse como: la pendiente de la tangente geométrica a la curva de la función f , en el punto considerado ( x 0 , f ( x 0 ) ) . RECTA TANGENTE Y NORMAL La recta tangente es una recta que corta en un punto a una curva. La recta normal es una recta que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta tangente. La ecuación de la recta tangente L T a la gráfica de y = f ( x) en el punto ( x 0 , y 0 ) y pendiente m L T

f ( x)

LN LT

está dada por : y − y 0 = m L T ( x − x0 ) . Pero sabemos que la pendiente de la recta tangente en x 0 es la derivada de f ( x 0 ) : m LT = f ´ ( x 0 ) .

P( x 0 ; y 0 )

Entonces, la ecuación de la recta tangente es:

y − y 0 = f ′ ( x0 )( x − x0 ) y = f ( x) en el punto

( x 0, y 0 )

Pero sabemos que: m LN = −

La ecuación de la recta normal L N a la gráfica de de pendiente m LN , está dada por: y − y 0 = m L N ( x − x0 ) .

1 . Entonces, la ecuación de la recta normal es: m LT y − y0 = −

ESTUDIOS GENERALES

1 f ′( x 0 )

(x − x 0 )

045



Ejemplo: Halle la ecuación general de la recta tangente y de la normal a la parábola: y = 2 x 2 − 8 x + 5 en el punto P (1, − 1) . Solución: Derivando f ( x ) = 2 x 2 − 8 x + 5 , se tiene: f ′ ( x ) = 4 x − 8 . Evaluando la derivada en x = 1 : f ' (1) = −4 , luego: La ecuación general de la recta tangente es:

y + 1 = − 4 ( x − 1) → L T : 4 x + y − 3 = 0 . La ecuación general de la recta normal es:

y +1=

1 4

( x − 1) → L T : x − 4 y − 5 = 0 .

EJERCICIOS: I. Utilizando la definición, encuentre la derivada de las siguientes funciones: 1.

f ( x) = 4 x − 3

5.

f (x) =

x +1

2.

f ( x) = x 2 − 3x + 4

6.

f (x) =

3x + 6

3.

f (x) =

4.

f (x) =

6 x −1

7. f ( x ) =

3x + 2 3x +5

8.

4x − 2

f (x) =

4x −1 5x + 2 3

II. Determine la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de las funciones siguientes: 1.- f ( x ) = 4 x 2 − 5 x + 2 3. 5.

f ( x) = 4 x 2 + 5 x + 6 f ( x) = x −

2 x +1

. en P (2, 8) , en

x =1

, en x = 2 .

ESTUDIOS GENERALES

2. f ( x ) = 5 x 2 − 3 x + 1 4. 6.

y=

1 3 x − x 2 en 3

, en P (2, 3 7)

x=0

f ( x ) = ( x 2 − 3)( x + 2 ) ; en x = 0

046



III. Utilizando las diferentes reglas de diferenciación halle la derivada de las siguientes funciones y evalúe en el punto dado: 1.

f (x ) =

1

x5 + 6 x3 −

4

2

x ; x=2

(

)

3.

f ( x ) = x 3/5 2 x 2 + 3 x − 3 ; x = 1

5.

f ( x) =

7.

f ( x) =

9.

5 x −1 − 2 x −2 − 3 x −4/3 ) ( f ( x) = ;

x +1 x

;

2 x + 3 zx 2 / 3 − 2 3 x 4 x1/ 3

x −4

11. f (t ) =

53 x − 2x + 76 x x

13.

f (z ) = 2 x1/ 2 + 3 x

4.

f (x ) = 4x 2 (3 x − 8 3 x − 2 ); x = 1

6.

f ( x ) = 5 x 2 − 2 x + bx + 5 ;

8.

1  f ( x ) = 2 x  2 x 3 − 3 x −2 +  ; x = 8 x 

3

2

f ( x ) = ( x2 − 2 )

4

( x3 + 1)

ESTUDIOS GENERALES

x=4

; x =8

x =1

; x = 64

10. f (x ) =

2/3

1 − x1/ 4 ; x = 1 5

2.

(3 x − 4 x 2 + 3)

12. f (x ) = (3 x 2 −

3

;

x =1

x = 64

x x )(7 x − 3 x ) ; x = 1

; x = 1.

047



SEMANA 8

LA DERIVADA DE UN PRODUCTO, COCIENTE Y POTENCIA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

REGLAS DE DERIVACIÓN Si f (x ) y g (x ) son funciones diferenciables en el intervalo I , entonces se define: 1)

Deriva de un producto.

 f ( x) ⋅ g ( x)  ′ = f ′ ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) g ′ ( x) 2)

Derivada de un cociente.

 f ( x)  ′ f ′ ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) g ′ ( x) , si g ( x) ≠ 0   = 2 g ( x )    g ( x )  3)

Derivada de una potencia.

n ′ n−1  = n ⋅( f ( x) ) ⋅ f ′ ( x)  ( f ( x) )  4)

Derivada de funciones exponenciales.

 f ( x )  ′ = f ( x ) ⋅ f ′ ( x) ⋅ ln a , donde a ∈ » . a  a  f ( x )  ′ = f ( x ) ⋅ f ′ ( x) , donde e es la constante de Euler. e  e Caso particular (e x ) ' = e x 5)

Derivada de funciones logarítmicas.

f ′ ( x)  ln f ( x)  ′ = f ( x)

, caso particular:

f ′ ( x) Log f ( x) ′ = b   f ( x) ⋅ ln b ESTUDIOS GENERALES

1  ln x  ′ = x

, caso particular:

1 Log ( x) ′ = b   x ⋅ ln b 048



NOTA Es conveniente, antes de derivar algunas funciones logarítmicas, aplicar algunas propiedades de los logaritmos, para reducir su dificultad. Estas propiedades son las siguientes: 1)

ln a n = n ln a

2)

ln( a.b) = ln a + ln b

3)

a ln( ) = ln a − ln b b

4)

log b a =

ln a ln b

(cambio de base)

EJERCICIOS: I.

Derive las siguientes funciones:

( x + 3)( x − 1)

1.

f ( x) =

3.

f ( x) = x2

5.

f ( x) =

7.

f ( x ) = ( x − 3) 2

2.

( x + 2)

4. f ( x ) =

2x−3

e 4 x3 + 2 x 2 + 5 5

9. f ( x ) = ln

x3

( xx+−11 )

(

) (

13. y =

)

ln

(

x +2

)

5

(

3

)

x2 − x x2 + 1

21. y = log 2

25.

 6 x + 5 ⋅ ( 4 x − 5 )3 y = ln   ( 7 x + 8) 2 ⋅ 4 8 x + 1 ( x +1) y = ln ( x + 1)

27.

y = ( ln x )

23.

f ( x ) = (7 x + 8) 4 e3 x

ex

ESTUDIOS GENERALES

3

x2 −1

)

1 + ln x 1 − ln x

y=

18.

y = ln( 2 x + 5 )

20.

y =

ex ex

x3 + 4 ⋅ x 2 −2 x

e− x + e−x −

( x2

+ 1)

2

( x − 1)

y = ln

( x2   

)

16.

22.

2 +6

y = ( 2 x + 3 ) ln ( 3 x + 2 )

(

17. y = x 2 ln( 2 x + 1)

x + x2 +1

3 +6 x −2

8.

(

2

)

f ( x ) = e3 x

14. y = ln x 4 +

15. y = ( x + 1)

10

(4 x 2 + 3 x − 2) 2

12. y = ln x 2 + 1

ln x x+2

19. y = log

3

x −7 x+4

6.

10.

11. y = x 2 + 1 ln x − x 2 + 2

(

f ( x) =

+ 4)

3

24.

 5 4 x + 3 ⋅ ( 2 x + 7 )4 y = ln   ( 2 x − 7 )7 ⋅ 3 x + 2

26.

f ( x) = (1 + e x ) ln x

28

  

f ( x) = x 2 x +1

049



II. APLICACIONES: 1. Encuentre

la

ecuación

general

de

la

recta

tangente

a

la

curva

2x −1 que pasa por el punto (1, 0) . 2− x

y = f ( x) =

2. Halle la ecuación general de la recta tangente a la curva: f ( x ) = x 2 x − 3 + 1 , en

x=2 . 3. Encuentre

la

ecuación

de

la

recta

tangente

y

normal

a

la

curva

2

y = f (x) =

x (2- x ) x

4. Sea y = f ( x ) =

x −1 x+3

, en el punto ( 4 , k ) ∈ f ( x ) .

. Hallar la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la

recta normal, en el punto de abscisa 1. 5. Encontrar la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de la función: y = f ( x ) =

x +1 que pasa por el punto ( 2 , k ) ∈ f ( x ) . x −1

6. Halle la ecuación general de la recta tangente y normal a la curva f ( x ) = x −

2 , en x +1

el punto donde x = 2 . 7. Sea : y = g ( x ) =

3 x2 − 6 3

2

, halle la ecuación general de la recta tangente y normal a

x la gráfica de y = g ( x ) que pasa por el punto (1, k ) ∈ g ( x ) . 2

8. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva:

e 5 x +2 f ( x) = 3 e x +1

9. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva y = f ( x ) =

en

x=0 .

4 + 3 ln x que pasa

por el punto (1, 2 ) . 10. Halle

la

ecuación general de la recta tangente y y = f ( x ) = ( x 2 + 1) e x −2 en el punto ( 2 , 5 ) .

normal

a la curva

11. Halle la ecuación general de la recta normal a la curva: f ( x ) = ( x 3 − 2) e

ln ( 2 x − 3)

,

en el punto donde x = 2 . 12. Determinar

la

ecuación

general de la f ( x ) = ( x + 3) ⋅ ln ( 3 x + 1) + 3 en el punto ( 0 , 3 ) .

ESTUDIOS GENERALES

recta

tangente

a

la

curva

050



SEMANA 10

INCREMENTO Y RAZÓN DE CAMBIO. RAZONES DE CAMBIO RELATIVAS Y PORCENTUALES. APLICACIONES A LA ECONOMÍA.

Sea y = f ( x ) una función definida en el intervalo  x1 , x2  entonces calculamos:    ∆x = x2 − x1   ∆y = y2 − y1 = f ( x2 ) − f ( x1 )

donde ∆x es un símbolo que representa el cambio de la variable x , es decir el incremento de la variable x1 a la posición x2 . Lo mismo denotamos para la variable y . Ejemplo 1. Para la función y = 4 − 2 x + x 2 , calcular el incremento de “ x ” y el incremento de “ y ” para

x1 = −1 , x2 = 2 Solución:

∆x = x2 − x1 = 2 − (−1) = 3  y1 = 4 − 2(−1) + (−1)2 = 4 + 2 + 1 = 7 → ∆y = y2 − y1 = 4 − 7 = −3  2  y2 = 4 − 2(2) + (2) = 4 − 4 + 4 = 4 Concluimos que el incremento de y negativo significa una disminución de la función, lo cual quiere decir que al aumentar x en tres unidades, la función y disminuye en tres unidades. Ejemplo 2. El volumen de ventas de gasolina (número de litros vendidos por día) es q = 1000 ( 200 − p ) , en donde p es el precio por litro en nuevos soles. Calcular el incremento en el volumen de ventas de gasolina que corresponde a un incremento en el precio por litro, de 3,50 nuevos soles a 3,70 nuevos soles. ¿Cuál es el incremento en el precio? Solución:

∆p = p2 − p1 = 3, 70 − 3,50 = 0, 20 nuevos soles /litro.  q1 = 1000(200 − 3, 50) = 196 500 litros/dia  → ∆q = q2 − q1 = 196300 − 196500 = −200 l/día.   q2 = 1000(200 − 3, 70) = 196300 litros/dia Lo cual quiere decir que al aumentar el precio por litro en 20 céntimos, el volumen de ventas disminuye en 200 litros diarios. ESTUDIOS GENERALES

051



INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN EN FORMA GENERAL

∆x = x2 − x1 → x2 = x1 + ∆x , como se puede ver en la gráfica. ∆y = y2 − y1 = f ( x2 ) − f ( x1 ) . por lo tanto, sustituyendo x2 se tiene que:

∆y = f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 ) Para cualquier incremento de x , a partir de un valor conocido de x . En general, para cualquier valor de x y cualquier incremento de x se tiene que: ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x )

y = f ( x) Q

f (x 2) ∆y

P f (x1) ∆x x1

x2

Ejemplo 3. Sea f ( x) = x 2 − 4 . Se pide: a) Calcular el incremento de y si x = 3, ∆x = 0,8 b) Calcular el incremento de y si x = 3 , para cualquier incremento de x . c) Calcular el incremento de y para cualquier valor de x y cualquier incremento de x . Solución: a) ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) = f (3 + 0,8) − f (3) = f (3,8) − f (3)

∆y =  (3,8)2 − 4  − (3) 2 − 4  = 10, 44 − 5 = 5, 44 b) ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) = f (3 + ∆x) − f (3) = (3 + ∆x) 2 − 4  − (3)2 − 4 

∆y = 9 + 6∆x + (∆x)2 − 4  − [9 − 4]

∆y = 5 + 6∆x + (∆x) 2 − 5 = 6∆x + (∆x)2 . c) ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) = ( x + ∆x)2 − 4  −  x 2 − 4 

∆y =  x 2 + 2 x∆x + ( ∆x) 2 − 4  −  x 2 − 4  = 2 x∆x + (∆x) 2 ESTUDIOS GENERALES

052



RAZÓN (TASA) DE CAMBIO PROMEDIO Para la función y = f ( x ) , la razón de cambio promedio de la función de x a x + ∆x (es decir de x1 a x2 ) se define como:

∆y ∆x

=

f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x

=

y 2 − y1 x2 − x1

=

cambio en la var iable y cambio en la var iable x

Ejemplo 1. Sea f ( x) =

2 x − 5 . Encontrar la tasa de cambio promedio cuando x = 3 y ∆x = 4

Solución:

∆y ∆x

=

f (7) − f (3) 4

=

2(7) − 5 − 2(3) − 5 4

=

9− 1 4

=

3 −1 4

=

2 4

=

1 2

= 0.5

Ejemplo 2. Para cierto fabricante, el costo de producción de q toneladas por semana de un producto químico, expresado en dólares está dado por: C (q ) = 50 000 + 60q y el ingreso correspondiente por la venta de q toneladas semanales de producto químico, expresado también en dólares, está dado por r (q ) = 300q − 0,03q 2 . La compañía actualmente produce 4 000 toneladas por semana, pero desea incrementar la producción a 4 200 toneladas de producto químico semanales, calcular: a) El incremento semanal en los costos de producción. b) El incremento semanal en los ingresos. c) El incremento semanal en las utilidades. d) La tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas. Solución: a) ∆C = C (4 200) − C (4 000) = [50000 + 60(4 200) ] − [50000 + 60(4000)] = 302 000 − 290000 ∆C = $12000

b) ∆r = r (4200) − r (4000) = 300(4200) − 0,03(4200) 2  − 300(4000) − 0,03(4000) 2  ∆r = 730 800 − 720 000 = $10 800

(

)

c) U = r − C = 300q − 0,03q 2 − ( 50000 + 60q ) = 300q − 0,03q 2 − 50000 − 60q 2

U = −0,03q + 240q − 50000 → ∆U = U ( 4200 ) − U (4000) ∆U =  −0,03(4200)2 + 240(4200) − 50000  −  −0,03(4000) 2 + 240(4000) − 50000  ∆U = 428 800 − 430 000 = $ − 1 200.00

ESTUDIOS GENERALES

053



Otra forma: ∆U = ∆r − ∆C = 10800 − 12000 = $ − 1 200 ∆U −1, 200 d) = = −6 . Lo que significa que, en promedio, por la tonelada adicional producida y ∆q 200 vendida por semana, la utilidad disminuye en $6.

RAZONES DE CAMBIO RELATIVAS Y PORCENTUALES La razón de cambio relativa esta definida como:

RCR =

La razón de cambio porcentual esta definida como:

f ' ( x) f ( x)

RCP =

f ' ( x) ×100 f ( x)

APLICACIONES A LA ECONOMIA Función de costo total. La función de costo total de un fabricante, C = f (q ) , nos da el costo total C de producir y comerciar q unidades de un producto. La razón de cambio de C con respecto a q se llama costo marginal. Así, Costo marginal = C ' =

dC dq

Interpretamos el costo marginal como el costo aproximado de una unidad adicional producida. Función de costo promedio. Si C es el costo total de producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio por unidad C es: C =

C

q

Además, la función costo total se puede hallar utilizando:

C = q ⋅C .

Función de ingreso total. La función de ingreso total para un fabricante, esta dada por la ecuación

r = f ( q ) = pq

que establece el valor total recibido al vender q unidades de un producto cuando el precio por unidad es p .

ESTUDIOS GENERALES

054



Función de ingreso marginal. El ingreso marginal se define como la razón de cambio del valor total recibido, con respecto al número total de unidades vendidas. Por consiguiente, el ingreso marginal es solamente la derivada de r r con respecto a q : Ingreso marginal = r ' =

dr dq

El ingreso marginal indica la rapidez con la que el ingreso cambia, respecto a las unidades vendidas. Lo interpretamos como el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional de producción.

Ejemplo 1. El costo total en dólares de producción de q libras de cierta sustancia química está dado por

C = 45 + 5q 2 . Determine el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia. Solución: Derivamos la función costo:

C ' = 10 q entonces C '(3) = 10(3) = 30 , es decir, si la

producción se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa aproximadamente en 30 dólares.

Ejemplo 2. El costo medio unitario en la producción de q unidades es C = 0.002 q 2 − 0.4 q + 50 +

100000 q

.

Determine la función del costo marginal y, en base a esta función, calcule el costo marginal luego de producir 40 unidades. Solución: Para hallar el costo marginal, primero debemos hallar el costo total, y esto se logra multiplicando el costo promedio por la cantidad, es decir: C = Cq = 0.002q 3 − 0.4q 2 + 50q + 100000

La función del costo marginal se halla al derivar el costo total, es decir:

C ' = 0.006q 2 − 0.8q + 50 (función de costo marginal) Entonces, el costo marginal luego de producir 40 unidades es:

C '(40) = 9.6 − 32 + 50 = $27, 60 aproximadamente

por

la

unidad

adicional

producida; es decir por la unidad 41.

ESTUDIOS GENERALES

055



Ejemplo 3. Un fabricante vende un producto a 3q + 50 dólares/unidad. Determine la ecuación del ingreso marginal y el ingreso marginal para q = 100 . Solución: El ingreso es r = pq , entonces r = p q = ( 3q + 50 ) q = 3q 2 + 50q Por lo tanto, el ingreso marginal es r ' = 6q + 50 . Para q = 100 , el ingreso marginal será: r '(100) = $650 por una unidad adicional vendida .

Interpretación: Por la unidad adicional vendida (la unidad 101), se tiene un incremento en el ingreso de aproximadamente $ 650.

Función Utilidad La función utilidad total por la producción y venta de q unidades, es la ecuación:

U = Ingresos - Costos = r − C donde r es el ingreso recibido por vender q unidades y C el costo de producir q unidades.

Función de utilidad marginal Es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de unidades producidas y vendidas, es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación y venta de una unidad adicional. Por consiguiente, la utilidad marginal es solamente la derivada de U con respecto a q :

U ' = r'

−C'

Ejemplo 4. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 10 p + q + 0, 01q 2 = 700 y la función de costo es C = 1000 + 0, 01q 2 . Calcular la función utilidad marginal y también evaluar la utilidad marginal para q = 100 unidades. Solución: Sabemos que la utilidad está dada por U (q ) = r (q ) − C (q ) y que el ingreso es r = pq . Por lo tanto despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por q para obtener la función ingreso:

ESTUDIOS GENERALES

056



10 p = 700 − q − 0, 01q 2

→

p = 70 − 0,1q − 0, 001q 2

(

→ r (q) = pq = 70q − 0,1q 2 − 0, 001q 3

)

U (q ) = ( 70q − 0,1q 2 − 0, 001q 3 ) − 1000 + 0,01q 2 = −0,001q 3 − 0.11q 2 + 70q − 1000 U '(q) = −0,003q 2 − 0.22q + 70 . Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en q = 100 simplemente sustituimos este valor de

q en dicha función. Es decir:

U ′(100) = −0.003(100) 2 − 0.22(100) + 70 = −30 − 22 + 70 = $94 , que es la ganancia aproximada, por la unidad adicional producida y vendida.

EJERCICIOS 1

La aceptación de cierto pisco dependerá del tiempo que tenga en el mercado de acuerdo a la siguiente función A( t ) =

50t − 150

, donde A es la aceptación expresada en puntos

t −1 y t es el tiempo en meses. Hallar la razón de cambio de la aceptación con respecto al tiempo dentro de 3 meses. 2

Debido a la depreciación, el valor de cierta maquinaria después de t años, está dada por V = 800000 − 60000 t , donde 0 ≤ t ≤ 10 . Determinar que tan rápido cambia el valor de la maquinaria con respecto al tiempo a los 2 años. Interprete el resultado.

3

Sea

f ( q ) = e q −10

(

q + 296

)

la función de demanda del producto de un fabricante.

Halle la razón de cambio de dicha función con respecto a la cantidad "q" cuando se demandan 10 unidades. 4

Sea p = 500 − 2q 2 la ecuación de demanda del producto de un fabricante, donde x es el número de artículos demandados y p es su precio unitario en dólares. Halle la razón de cambio del precio con respecto a los artículos demandados, cuando éstos son 5. Interprete el resultado.

5

Sea: p = (100 − q )( 50 + q ) la función de demanda del producto “A” de un fabricante. Encuentre la razón de cambio del precio “ p ” (en dólares), con respecto a la cantidad “ q ” (unidades). ¿Qué tan rápido cambia el precio con respecto a “ q ” cuando q = 30 ?

6

El numero estimado de niños recién nacidos infectados de VIH a través del contacto con la madre, a nivel mundial, está dado por la siguiente función: f (t ) = −0, 2083t 3 + 3, 0357t 2 + 44, 0476t + 200, 2857 ; 0 ≤ t ≤ 12 , donde f (t ) se mide en miles y t en años, con t = 0 al inicio del año 1990. ¿con qué rapidez aumentó el numero estimado de niños infectados de VIH de esta manera al inicio del año 2000?

ESTUDIOS GENERALES

057



7

Sea p = 100 − q 2 la función de demanda del producto de un fabricante. Encuentre la razón de cambio del precio “ p ” por unidad con respecto a la cantidad “ q ”. ¿Qué tan rápido está cambiando el precio con respecto a “ q ” cuando q = 5 ? (Suponga que p está dado en dólares)

8

Para la función de costo C = 0, 4 q 2 + 4 q + 5 encuentre la razón de cambio de C con respecto a q cuando q = 2

9

El costo total por producir q unidades es C = 4q 2 + 40q + 50 . Determinar la razón de cambio de “C” con respecto a q cuando se producen 20 unidades. Interprete el resultado.

10

Un sociólogo estudia varios programas que pueden ayudar en la educación de niños de edad preescolar en cierta ciudad. El sociólogo cree que “ x ” años después de iniciado un programa particular, f ( x) miles de niños estarán matriculados, donde

f ( x) =

10

(12 x − x 2 ) ,

0 ≤ x ≤ 12

9 a) ¿A qué razón cambiará la matrícula después de 3 años de iniciado el programa? b) ¿A qué razón cambiará la matrícula después de 9 años de iniciado el programa? 11

Los sociólogos han estudiado la relación entre el ingreso y el número de años de educación en miembros de un grupo urbano particular. Ellos encontraron que una persona con “ x ” años de educación, antes de buscar empleo regular puede esperar recibir un ingreso anual medio de y dólares anuales, donde y = 5 x5 / 2 + 5900 ,

4 ≤ x ≤ 16 Encuentre la razón de cambio del ingreso con respecto al número de años de educación y evalúela cuando x = 9 . 12

La función de demanda para cierto producto es p =

100 q + 20

, donde p es el precio en

dólares para q unidades. Encuentra el ingreso marginal para

q = 30 . Interprete el

resultado. 13

Supongamos que cuesta C = q 3 − 6 q 2 + 15 q dólares producir “ q ” radiadores cuando la producción es de 8 a 30 unidades. En un determinado taller usualmente se producen 10 radiadores al día. Aproximadamente ¿cuánto más costará producir un radiador adicional cada día?

14

La función de costo C , de fabricación de una jabonera en soles está en función del número de jaboneras “ q ” a ser producidas mediante la fórmula C = 400 ln( q + 5 ) . Encuentre el costo marginal cuando el número de jaboneras producidas es de 35 unidades.

ESTUDIOS GENERALES

058



15

La función de costos de una unidad productora de helados ha sido estimada como:

C = 0 , 4 q 2 + 11 q + 260 donde C es el costo total de electricidad por hora en soles y q la cantidad de helados producido. Determine el costo marginal para q = 20 . Interprete el resultado. 16

La

función

de

costo

total

de

una

fábrica

de

medias

está

dada

por

2

C = −10 484 , 69 + 6 , 750 q − 0 , 000328 q donde “ q ” es la producción en docenas de pares y C el costo total. Encuentre la función de costo marginal y evalúela cuando q = 5000 . 17

La función de costo promedio de una fábrica que produce ventiladores de mano, está dada por: C = 0,002 q 2 − 0,4 q + 50 +

10000 , donde C está en dólares. Determine el q

costo marginal de producir 40 unidades. Interprete el resultado. 18

Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es: C = 0, 03q 2 − 0, 6 q + 4, 5 +

7700

,

q encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal cuando se producen 100 unidades? ¿Cuál es el costo total? 19

Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es C = 0,0001q 2 − 0,02q + 5 +

5000 , q

encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal cuando se producen 50 unidades? 20

Suponga que el costo, en dólares, de producir q lavadoras es C = 2000 + 100 q − 0 ,1 q 2 a) Encuentre el costo promedio por lavadora en la producción de las primeras 100 unidades. b) Encuentre el costo marginal cuando se producen 100 unidades.

21

La función de ingreso total de la Empresa San Martín S.A. dedicada a la producción de piensos (alimento especial) para aves viene dada por I = 30 q − 3 q 2 , donde “ q ” es la cantidad de toneladas de piensos vendidas por dicha empresa en un año. Determine el ingreso marginal para q = 3 toneladas. Interprete el resultado.

22

La ecuación de la demanda del producto de un fabricante está dada por p =

5000 , en q + 25

donde q son los artículos demandados y p es el precio de cada artículo. Determinar la función del ingreso marginal y evaluarla cuando q = 100 . 23

 

Suponga que el ingreso obtenido al vender “ q ” lavadoras es r = 20000  1 −

1 dólares. q 

Determine el ingreso marginal cuando se producen 100 lavadoras.

ESTUDIOS GENERALES

059


24


Si la ecuación de la demanda del producto de un fabricante es : p =

500 + 1 (donde q + 50

“ p ” está en dólares) encuentre la función de ingreso marginal. Además calcule el ingreso marginal cuando q = 50 . 25

2

La función de demanda para el producto de un fabricante es p = 50 − 0, 2 q − 0,003q y la función de costo es C ( q ) = 500 + 0,3q 2 . Halle la utilidad marginal de producir y vender 80 unidades, sabiendo que p y C están en dólares. Interprete el resultado.

26

La función de utilidad de una empresa, en miles de dólares, está dada por U ( x) = 50ln( x + 1) − 90 , donde x representa las unidades fabricadas y vendidas. Halle la utilidad marginal cuando se fabrican y venden 10 unidades.

27

La asociación de consumidores de Lima ha realizado una medición para valorar el nivel de satisfacción por el servicio de restaurantes de comida criolla en la ciudad en un periodo determinado, lo que arrojó la siguiente función de utilidad: U = 200q − 2q 2 + 150 . Se pide: a) Calcule la expresión de la utilidad marginal para la comida criolla. b) Si el consumo de dicho servicio aumenta de 25 unidades a 100 unidades en el periodo analizado, ¿cómo se comportará la satisfacción obtenida de él por parte de los consumidores? Interprete su resultado.

28

Suponga que la ecuación de demanda para el producto de un monopolista es:

p = 400 − 2q y que la función de costo promedio es C = 0, 2q + 4 +

400 , donde q es el q

número de unidades y, p y C se expresan en dólares por unidad. Halle la utilidad marginal e interprete el resultado. 29

Un fabricante de lápices estima que el precio al que puede vender un lápiz es p = 4 − 0,001q y el costo por producir q lápices al día es de C (q) = 2 + 1,2q + 10 q Se pide encontrar las funciones costo marginal, ingreso marginal y beneficio marginal.

30

Supóngase que un fabricante vende un producto a : p = 30 − 0 ,3 q ( “ p ” en dólares “ q ” es cantidad en unidades). Además “ r ” es el ingreso total en dólares. a) Encuentre la razón de cambio relativo de r con respecto a q b) Cuando q = 10 encuentre la razón de cambio relativo de r . c) Encuentre la razón de cambio porcentual de r cuando q = 20

31

Sea la función de demanda para el producto de un fabricante p = 200 − q 2 + 2q + 21 a) Encuentre la razón de cambio relativa de “ p ” respecto a “ q ” cuando q = 3 . b) Encuentre la razón de cambio porcentual “ p ” respecto a “ q ” cuando q = 3 .

ESTUDIOS GENERALES

060


32


La función de ingreso para el producto de un fabricante es r = 2q 3 − 90q 2 + 1200q , siendo q el número de unidades vendidas y r el ingreso en miles de soles. El fabricante actualmente vende 20 unidades por semana, pero está considerando incrementar las ventas a 24 unidades. Halle el incremento en el ingreso. Determine la tasa de cambio promedio del ingreso por las unidades extra vendidas.

33

Para el producto de un monopolista la función de costo total, está dada por C = 10q 3 − 60q 2 + 90q + 1200 , calcula el incremento en los costos si la producción q cambia de 5 a 7 unidades diarias. Determine la tasa de cambio promedio del costo por las unidades extra producidas.

34

La función de costo de cierto artículo es C = 0, 032q 3 − 16q 2 + 4000q + 320000 , calcula el incremento en los costos si la producción q cambia de 100 a 105 unidades. Determina la tasa de cambio promedio del costo por las unidades extra producidas.

35

La función de utilidad de una compañía está dada U = −0, 004q 2 + 40q − 20 , para 0 ≤ q ≤ 65 . El fabricante actualmente produce y vende 50 unidades diariamente, pero está considerando incrementar las ventas a 53 unidades. Calcula el incremento en la utilidad. Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por las unidades extra vendidas

36

Las ecuaciones de ingreso y de costo de cierto producto de un fabricante son r = 30q − 0,30q 2 y C = 4,5q + 100 respectivamente, donde q es el número de unidades. Calcula los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad si q cambia de 40 a 42 unidades. Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por unidad extra producida.

ESTUDIOS GENERALES

061



SEMANA 11

DERIVACIÓN IMPLÍCITA Y LOGARÍTMICA DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR EXTREMOS RELATIVOS

DERIVACIÓN IMPLÍCITA: Se utiliza cuando la variable y = f ( x) no se puede despejar.

′ Se sabe que:  f ( x ) n  = nf ( x ) n−1 ⋅ f ( x ) Además y = f ( x) , entonces si reemplazamos se tiene: ( y n )′ = ny n−1 ⋅ y ′ Derive las siguientes funciones en forma implícita y evalúe en el punto ( x , y ), determinado: 0

1)

x2 + y2 = 2

;

x =1 ; y =1

2)

x 2 − xy + y 2 = 4

;

x =2 ; y =2

3)

x3 + 3 yx − 6 + y 3 = −1

;

(1 ; 1)

4)

xy 3 + xy = 6

;

x = 3 ; y =1

5)

y 5 + 3 y 2 x 2 + 5 x 4 = 93

;

y( 2 ) = 1

6)

y 2 + 12 x = x 2 y

;

y ( 4 ) = 12

7)

2 x + ye x = x 2 + y 2

;

y( 0 ) = 1

;

y( 4 ) = 1

;

y( 2 ) = 4

8)

x y2

−y x=

1 2

xy

0

2 y2 +

10)

1 + x 2 + y 3 = e 2 x +3 y

;

( 0 ; 1)

11)

(2 x − 3 y )5 = yx − 2 x3 y

;

(1 ; 1)

;

(4 ; 4)

12)

xy − 2 x =

13)

x x +1 + y

;

(1 ; 1)

14)

2( x 2 + y 2 ) 2 = 25( x 2 − y 2 ) ;

( 3 ; 1)

y −6 x −2 2 =0

ESTUDIOS GENERALES

0

0

9)

3

xy = 3 x 2 + 22

0

0

0

0

062



15)

x 2 y 2 = ( y + 1) 4 (4 − x 2 )

16)

2

17)

3x e

2 y 2 −5 x +1

y −1

=

4x y2

;

( 0;− 1 )

2 + 2 ln( x + y ) ; ( 0 ; 1 )

+ 2 y e x−2 = 8

;

( 2 ; 1)

Solución 5:

y 5 + 3 y 2 x 2 + 5 x 4 = 93 5 y 4 . y '+3  2 yy '( x 2 ) + y 2 ( 2 x )  + 20 x 3 = 0 5 y 4 . y ' + 6 x 2 . yy ' + 6 xy 2 + 20 x 3 = 0 y ( 2) = 1 ↔ x = 2 , y = 1

5(1) 4 y ' + 6(2) 2 (1) y ' + 6(2)(1) 2 + 20(2) 3 = 0 ,

y' = −

172 29

DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA Se utiliza el método tomando logaritmo natural a ambos lados, luego se desdobla utilizando las propiedades del logaritmo y por último se deriva. Ejemplo: Utilizando la diferenciación logarítmica derive la función:

f ( x) =

(5 x − 1) ⋅

x+2

(1 − x 2 )4 (2 − x )3

Solución: Tomando logaritmo se tiene: ln y = ln

(5 x − 1) ⋅

x+2

(1 − x 2 ) 4 (2 − x )3

Aplicando propiedades de los logaritmos en el segundo miembro se tiene:

ln y = ln(5 x − 1) ⋅

x + 2 − ln(1 − x 2 )4 (2 − x )3

ln y = ln(5 x − 1) + ln ln y = ln(5 x − 1) +

x + 2 − ln(1 − x 2 ) 4 − ln(2 − x )3

1 ln( x + 2) − 4 ln(1 − x 2 ) − 3 ln(2 − x ) 2

ESTUDIOS GENERALES

063



Derivando ambos miembros:

y′ y y′ y y′ y

=

(5 x − 1)′ 1 ( x + 2)′ (1 − x 2 )′ (2 − x )′ + ⋅ − 4⋅ − 3⋅ 2 (5 x − 1) 2 ( x + 2) (1 − x ) (2 − x )

=

4( −2 x ) 3( −1) 5 1 + − − 5 x − 1 2( x + 2) 1 − x 2 2−x

=

5 1 8x 3 + + + 2 5 x − 1 2( x + 2) 1 − x 2−x

 5 1 8x 3  y′ = y ⋅  + + +   5 x − 1 2( x + 2) 1 − x 2 2 − x  y′ =

x+2  5 1 8x 3  ⋅ + + + 2 4 3  5 x − 1 2( x + 2) 1 − x 2 2 − x  (1 − x ) (2 − x ) (5 x − 1) ⋅

EJERCICIOS: Encuentre y ' por medio de la diferenciación logarítmica y evalúe donde corresponde. 1.

y = (5 x − 4)5 ( x − 6)( x3 + 1)2

3. y =

(7 x − 2)

(4 x 3 − 5) 2 5. y = ; x =1 ( x − 2) 2 (6 x − 5) (3 x 2 + 5)

9. y =

x5

; x =1

6.

11.

y=

(

2

x −8

)

2

)

10. y =

(

ESTUDIOS GENERALES

2 3

; x =1

4x − 3

3x − 2 ⋅( 2 x −1 2

x − x +1

4

2x −5

; x=2

3x − 2

y=

x − 3x + 6 x − 3 x3 − 9 x + 1

x2 + 8

(2 x − 3) 8.

; x =1

3

(3 x 2 + 2 x + 1)3

3

6x −5

⋅

(3 x + 2)(5 x − 2)

y=

4

(

( x 2 + 2)5

(2 x − 1)

(6 x 2 − 5)4 3

x + 5. x 2 − 9. x + 3

y=

4. f ( x ) =

(5 − x3 ) 4 (8 x + 1)

7. y = 3

2.

)

6

2

) ( 5x − 4 )

; x =1

3

; x=3

( 3 x2 − 9 x + 1 )

12. y =

(

2

x − 2x − 2

)

2

; x=3

7 − 2x

064



DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR Cuando se deriva una función y = f ( x ) se obtiene f '( x ) que también es una función. Si se deriva esta función la nueva función que se obtiene se denomina segunda derivada y se le denota como f ''( x ) . De manera análoga si se deriva la segunda derivada se obtiene otra función llamada tercera derivada. A las derivadas que se obtienen de esta forma se llaman derivadas de orden superior. Las notaciones que se usan para las derivadas de orden superior son:

y′ =

dy df , primera derivada de la función f ( x ) . = dx dx

d2 y

y ′′ =

dx 2 d3 y

y ′′′ = yn =

= =

dx 3

dn y dx n

=

d2 f dx 2

, segunda derivada de la función f ( x ) .

d3 f

, tercera derivada de la función f ( x ) .

dx 3 dn f dx n

, n − esima derivada de la función f ( x ) .

Ejemplo: Dada la función: y = 4 x 4 − 3 x 3 + 5 x − 1 , halle f

'''( x )

y evalúe en x = 1

Solución:

y ' = 16 x 3 − 9 x 2 + 5 →

y '' = 48 x 2 − 18 x →

y ''' = 96 x − 18

→ y '''(1) = 96 − 18 = 78 EJERCICIOS: Halle la derivada indicada de las siguientes funciones y, evalúe en el punto correspondiente. a.

y = 5 x3 − 6 x 2 + 4 x + 2 ;

b.

f (t ) =

c. d.

1

y= y=

8−t

; ;

4x + 2 x +1

;

;

x0 = 1

f ' ' (t ) ;

t0 = 4

y' ' '

d2 y dx 2

y' '

;

x0

=1

;

x0

=2

;

x0

= 1/5

;

x( 0) = 1

;

x = 0.

x −1 5x

e.

y=e

;

f.

y = ln (4 x − 2)

;

g.

f ( x) =

3x

;

x +1

ESTUDIOS GENERALES

d2 y dx 2 y' ' '

d3y dx3

065



MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN

Sea f una función derivable en un intervalo I . Entonces:

f es creciente en I si y solo si

f es decreciente en I si y solo si

f ′ ( x) > 0 ∀x ∈ I . f ′ ( x) < 0 ∀x ∈ I .

Sea f una función con dominio en el intervalo I . Si c ∈ I y si f ′ (c) = 0

o f ′ (c) no existe,

entonces el valor de c es un punto critico de f .

Ejemplo 1: Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( x) = 4 x 2 + x3 . Solución: La derivada de f ( x) = 4 x 2 + x3 es f ′ ( x ) = 2 x (4 + 3 x ) . La función es creciente en aquellos intervalos para los cuales f ′ ( x) > 0 . Luego f es creciente para todo x > 0 y x < −4 / 3 , es decir en el intervalo

y

0 , +∞

−∞ , − 4 / 3 .

f es decreciente si f ′ ( x) < 0 , luego es decreciente para todo x < 0 y x > −4 / 3 , o sea en el intervalo

− 4 / 3, 0

Ejemplo 2: Determine los puntos críticos de la función definida por f ( x ) = x 4/3 + 4 x1/3 . Solución:

4 ( x + 1) ⋅ . Tenemos que f ´( x) = 0 en x = −1 . y la 3 3 3 x2 / 3 derivada no existe en x = 0 . Luego x = −1 ; 0 son los puntos críticos.

f ´( x ) =

4

x1/ 3 +

4

x −2 / 3

⇒

f ´( x ) =

1. En los siguientes ejercicios encontrar los puntos críticos:

1 3 1 2 x + x − 2x 3 2

f ( x ) = x2 − 8 x

b)

f ( x) =

c) f ( x) = 4 x3 − 2 x 2

d)

f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2)

e) f ( x ) = x 4 + 4 x 3 − 2 x 2 − 12 x

f)

f ( x) =

4 5 13 3 x − x + 3x + 4 5 3

h)

f ( x ) = e2 x

a)

g) f ( x ) =

ESTUDIOS GENERALES

x −1 x +1 2

066



2. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: a)

f ( x) = x 2

b)

f ( x ) = x2 + 2 x − 1

c)

f ( x ) = 2( x − 3) 2 + 5

d)

f ( x ) = x2 − 8 x

e)

f ( x) = x2 − 4x + 3

f)

f ( x ) = 3 x 2 + 21 x

g)

f ( x) = x3

h)

f ( x) = 4 x3 − 2 x 2

i)

f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2)

j)

f ( x) = x3 − 3x

k)

f ( x) = x3 + 3x2 − 1

l)

f ( x) = x3 + 6 x 2 + 9 x

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS Sea f ( x ) una función continua en el intervalo abierto

a , b . Sea c un punto de

a,b .

Tenemos lo siguiente

a) Si,

 f ′ ( x) > 0     f ′ ( x) < 0

en todo punto de

a
en todo punto de

c< x
y

Entonces f (c ) es un valor máximo relativo de la función.

b) Si,

 f ′ ( x) < 0     f ′ ( x) > 0

en todo punto de

a
en todo punto de

c< x
y

Entonces f (c ) es un valor mínimo relativo de la función.

REGLA PARA DETERMINAR LOS EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN Para determinar los extremos relativos de la función f ( x ) se procede de la siguiente manera: 1. Se halla f ´( x) . 2. Se encuentran los puntos críticos de la función, o sea aquellos puntos tales que f ´( x) = 0 o´ f ´( x) no existe. 3. Se aplica el criterio de la primera derivada a cada punto crítico.

ESTUDIOS GENERALES

067



Ejemplo: Determinar los máximos o mínimos relativos, de la función f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x Aplicamos la regla dada: 1˚ . Derivada de la función: f ′ ( x ) = 3( x − 3)( x − 1) . 2˚ . Puntos críticos: x = 1, 3 ambos anulan a la derivada. 3˚ . Si, 1 < x < 3 entonces f ′ ( x ) < 0 , y si x > 3, f ′ ( x ) > 0 ; luego en x = 3 la función tiene un mínimo relativo. Si x < 1 entonces f ′ ( x ) > 0 ,

y si 1 < x < 3 , entonces f ′ ( x ) < 0 , luego en x = 1 la

función tiene un máximo relativo.

EJERCICIOS: 1.- Determine, para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos relativos a) f ( x ) = 12 − 4 x + 4 x 3

b)

f ( x ) = x3 + 3 x 2 − 1

x3 x 2 c) f ( x ) = − − 6x 3 2

d)

f ( x ) = x 4 − 32 x + 48 f ( x ) = x3 − 3 x 2 + 2

e)

f ( x ) = x2 − 4 x + 3

f)

g)

f ( x ) = x 4 − 4 x 3 + 12

h) f ( x ) =

2 3 x − 4 x2 + 6 x + 2 3 1 3 x − 6 x2 + 9 x + 6 6

(

i)

f ( x ) = x5 + 6

j)

f ( x) =

k)

f ( x ) = x 2 ( x − 12) 2

l)

f ( x ) = −2 x3 + 9 x 2 − 12 x

m)

f ( x ) = x3 + 6 x 2 + 9 x

ESTUDIOS GENERALES

n)

f ( x ) = 2 x3 −

)

11 2 x − 10 x + 2 2

068



SEMANA 12

EXTREMOS ABSOLUTOS APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Determinación de los extremos absolutos de una función contínua en un intervalo cerrado 1)

Determinación de los valores de la función en los puntos críticos de f en

a,b .

2)

Determinación de los valores de f (a ) y f (b) .

3)

El mayor valor determinado en los pasos 1) y 2) será el valor máximo absoluto, y menor valor determinado en los pasos 1) y 2), será el mínimo absoluto.

Ejemplo: Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de la función f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 9 x definida en el intervalo [ −4, 4 ] Solución:

f ' ( x) = 3( x − 1)( x + 3) = 0 → x = −3,1 . Luego, evaluando en los puntos críticos y en los extremos se tiene:

f ( −3) = 27 ;

f (1) = −5 ;

f ( −4) = 20 ;

f (4) = 68 , entonces:

En x = 4 se produce un máximo absoluto en [ −4, 4 ] , que es f (4) = 68 . En x = 1 se produce un mínimo absoluto en [ −4, 4 ] , que es f (1) = −5 . 1.- Hallar los máximos absolutos y mínimos absolutos de cada función en el intervalo indicado. a)

f ( x) = 4 − 3x, x ∈ [ −3, −1]

b)

f ( x) = x 2 , x ∈ [ −1, 2]

c)

f ( x) = x3 , x ∈ [ −1,1]

d)

f ( x) = x 2 − 4 x + 3, [1,3]

e)

f ( x) = x3 − 3x 2 + 7, x ∈ [ 0,5]

f)

f ( x) = 2( x − 3) 2 + 5, [ 0,5]

g)

f ( x) = 3x 2 + 21x, [1, 2]

h)

f ( x) = x3 − 2 x 2 + x + 2,

i)

x3 f ( x) = − x +1 , 3

[ −4, 4 ]

ESTUDIOS GENERALES

j)

x4 x2 f ( x) = − +3 , 4 2

[1, 2]

[ −4, 4 ] 069



CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS Si y = f ( x) es una función, y los puntos en donde la segunda derivada se anulan se denomina puntos de inflexión, es decir en x0 se tiene un punto de inflexión si f ′ ( x 0 ) = 0 . Si x1 es punto critico es decir f ′ ( x1 ) = 0

ó no existe f ′ ( x1 ) = 0 .

Si, f ′′ ( x ) > 0 , entonces existe mínimo en x = x1 Si f ′′ ( x ) < 0 , entonces existe máximo en x = x1 Si, f ′′ ( x ) > 0 , ∀ x ∈ a , b

⇒ f ( x)

es cóncava hacia arriba.

Si, f ′′ ( x ) < 0 , ∀ x ∈ a , b

⇒ f ( x)

es cóncava hacia abajo.

Ejemplo:

4 Sea f ( x ) = x 4 + x3 − 4 x 2 . Determine los extremos relativos de f ( x ) aplicando el criterio de 3

la segunda derivada. Utilice esta información para dibujar la gráfica de f ( x ) . Solución: Tenemos que:

f ′ ( x) = 4 x3 + 4 x 2 − 8 x ⇒ f ′′ ( x) = 12 x 2 + 8 x − 8 , al considerar f ′ ( x) = 0 4 x ( x + 2)( x − 1) = 0 ⇒ x = −2, 0, 1 que vienen a ser los puntos críticos de f ( x ) . Para determinar si existe o no un extremo relativo en alguno de estos puntos críticos, se considera el signo de la segunda derivada en ellos. Los resultados se resumen en la siguiente tabla

8

f ( x ) f ´( x ) f ´´( x )

Conclusión

Concavidades

7

6

5

4

x = −2

−

32 3

0

+

f

tiene un valor

mínimo relativo

3

Cóncava

2

hacia arriba

1 x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1

0

x=0

0

-

f

tiene un valor

máximo relativo

Cóncava hacia abajo

−2

−3

−4

−5

−6

x =1

−

5 3

0

+

f

tiene un valor

mínimo relativo

Cóncava hacia arriba

−7

−8

−9

−10

−11

ESTUDIOS GENERALES

070



2.

Determine para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos relativos,

los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades. Trace la curva que

representa a cada función. b)

f ( x ) = 12 − 12 x + x 3

d)

f ( x ) = x 4 − 32 x + 48

f ( x ) = x2 − 4 x + 3

f)

f ( x ) = x3 − 3 x 2 + 2

f ( x ) = x 4 − 4 x 3 + 12

h)

f ( x) =

2 3 x − 4 x2 + 6 x + 2 3 1 3 x − 6 x2 + 9 x + 6 6

a)

f ( x) = 12 − 4 x + 4 x3

c)

f ( x) =

e) g)

1 3 1 2 x − x − 6x 3 2

(

i)

f ( x ) = x5 + 6

j)

f ( x) =

k)

f ( x ) = x5 − 5 x3

l)

f ( x ) = 12 + 2 x 2 − x 4

m)

f ( x ) = x4 +

4 3 x − 4 x2 3

n)

f ( x ) = − (1/ 8)( x 4 − 8 x 2 )

o)

f ( x ) = −10 + 4 x 3 − x 4

p)

f ( x ) = x4 − 8 x3

ESTUDIOS GENERALES

)

071



APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS MAXIMIZACIÓN DEL INGRESO Ejemplo: La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es: p =

80 − q , 4

0 ≤ q ≤ 80 ,

donde q es el número de unidades y p el precio por unidad, en dólares. ¿Para qué valor de q se tendrá un ingreso máximo?. ¿Cuál es el ingreso máximo?. Solución: Sea r el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Como: Ingreso = (precio) (cantidad), tenemos: r = pq =

Haciendo

80 − q 80 q − q 2 ⋅q = , donde 0 ≤ q ≤ 80. 4 4

dr 80 − 2 q dr = 0 , obtenemos: r ′ = = = 0, ⇒ 80 − 2 q = 0 ; ⇒ q = 40 dq dq 4

-

+ 0

10

40

Luego: r ′ (10) =

80 − 20 = +15 4

Examinando la

primera derivada para

⇒

50 r ′ (50) =

80 80 − 100 = −5 4

0 ≤ q < 40 tenemos dr / dq > 0 , por lo que r es creciente. Si q > 40 , entonces dr / dq < 0 , por lo que r es decreciente. A consecuencia de que a la izquierda de 40 tenemos que r es creciente y a la derecha de r es decreciente, concluimos que q = 40 da el ingreso máximo absoluto, esto es,

r=

80q − q 2

⇒

4

r = (40)

80(40) − (40) 2

= 400

4

MINIMIZACIÓN DEL COSTO PROMEDIO Ejemplo: La función de costo total de un fabricante está dada por : C =

q2 + 3q + 400 , donde C es el 4

costo total de producir q unidades. Si C está en dólares, ¿Para qué nivel de producción será el costo promedio un mínimo? ¿Cuál es este mínimo?.

ESTUDIOS GENERALES

072



Solución: La función a minimizar es el costo promedio C . La función de costo promedio es:

q2 + 3 q + 400 q C 400 C= = 4 = +3+ q q q 4 Aquí q debe ser positiva. Para minimizar C , diferenciamos:

′

C =

d C 1 400 q 2 − 1600 = − = dq 4 q 2 4q2

para obtener los valores críticos, resolvemos

dC =0 dq

_

luego: (q − 40)(q + 40) = 0 . ⇒

q 2 − 1600 4q 2

q 2 − 1600 = 0,

+

10

C′ =

⇒

⇒

40

50

q = 40 (ya que q > 0 ).

C ′ (10) =

(10) 2 − (1600) 15 =− 2 4(10) 4

C ′ (50) =

(50) 2 − 1600 9 =+ 2 4(50) 100

Entonces, como 0 < q < 40 es decreciente, mínimo absoluto.

q > 40 es crecientes

⇒ en q = 40 hay un

Maximización del número de beneficiarios de los servicios de salud Ejemplo: Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa específico de servicios de salud, entonces al cabo de t años, n miles de personas adultas recibiría beneficios directos, donde: n =

t3 − 6t 2 + 32t ; 0 ≤ t ≤ 12. 3

¿Para qué valor de t es máximo el número de beneficiarios? Solución: haciendo

dn dn = 0 , tenemos: n ′ = = t 2 − 12 t + 32 = 0 dt dt

ESTUDIOS GENERALES

073



⇒ ( t − 4)(t − 8) = 0 entonces:

t=4

;

t =8

Como el dominio de n es el intervalo cerrado [ 0,12 ] , el valor máximo absoluto se obtiene evaluando en los puntos críticos y en los extremos de dicho intervalo: Si, t = 0 , entonces n = 0 , Si, t = 4 , entonces n =

160 3 128 3

Si,

t = 8 , entonces n =

Si,

t = 12 , entonces n = 96 .

n 96

n=

t3 − 6 t 2 + 32t 3

4

n=

t3 − 6t 2 + 32t 3

8

en

12

t

[ 0,12 ] , así se tiene un

máximo absoluto en t = 12 .

ADVERTENCIA: El ejemplo anterior ilustra que no se debe ignorar los extremos cuando se determinan extremos absolutos en un intervalo cerrado.

EJERCICIOS: 1. La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es

p = −5 q + 30 . Halle el

precio que maximiza el ingreso. 2. La función de demanda para el producto de un monopolista es de P ( q ) = − q + 150 −

3300 , q

donde q ∈  70 ; 110  . Si el precio está en dólares por unidad, determine: a) El nivel de producción que maximiza el ingreso. b) El ingreso máximo. c) El precio para ese ingreso.

ESTUDIOS GENERALES

074



3. La función de demanda para el producto de un monopolista es: p = 1600 − 20 q , si el monopolista quiere que el nivel de producción se encuentre en 50 ≤ q ≤ 75 , donde “ q ” es el número de unidades producidas. Determine: a) El nivel de producción que maximiza el ingreso. b) El ingreso máximo. c) El precio para ese ingreso. 4. Un fabricante ha determinado que el costo total C , de producir un determinado articulo, está dado por la función de costo: C = 0, 05 q 2 + 5 q + 500 . ¿Para qué nivel de producción será mínimo el costo promedio por unidad? 5. El

costo

por

hora

(en

dólares)

de

operar

un

automóvil

está

dado

por:

C = 0,12s − 0, 0012s 2 + 0, 08 ; 30 ≤ s ≤ 60 , donde s es la velocidad en km por hora. ¿A qué velocidad el costo por hora es mínimo?. 6. La ecuación de costo promedio de un comerciante que vende pantalones, está dada por: C = 0, 6 q − 60 +

3400 , q

donde C está en dólares y q es el número de unidades

producidas. Determine: a) El nivel de producción que minimiza el costo. b) El costo mínimo. 7. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dólares por unidad) está dado por: C = 2 q 2 − 36 q + 210 −

200

q

, donde 2 ≤ q ≤ 10 .

a) ¿A qué nivel dentro del intervalo  2,10  debe fijarse la producción para minimizar el costo total? . ¿Cuál es el costo total mínimo? b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo  5,10  , ¿qué valor de q minimizaría el costo total?. 8. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es p = 72 − 0, 04q , y la función de costo es C = 500 + 30q . Si el costo está expresado en dólares, halle: a) El nivel de producción que maximiza la utilidad. b) El precio que maximiza la utilidad. c) La utilidad máxima. 9. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dólares por unidad) está dado por : C = 2 q 2 − 42 q − 192 +

1500 q

,

donde 3 ≤ q ≤ 12 . Determine el

nivel de producción que minimiza el costo y el costo mínimo. ESTUDIOS GENERALES

075



10. Un fabricante puede producir, cuando mucho, 120 unidades de cierto artículo cada año. La ecuación de demanda para ese producto es p = q 2 − 100 q + 3200 , y la función de costo promedio del fabricante es

C=

2 2 10000 q − 40 q + . Determine la producción q que 3 q

maximiza la utilidad y la correspondiente utilidad máxima, si el precio y el costo promedio están en dólares. 11. La ecuación de demanda para cierto producto es p = q 2 − 7 q +

7200 , y tiene un costo fijo q

mensual de $1200 y el costo variable es de $80. a) Determine el nivel de producción que maximiza la utilidad. b) Halle la utilidad máxima. 12. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es: p = 7 2 − 0, 0 4q y la función de costo total

C = 5 0 0 + 3 0q , donde q ∈ [ 100,500 ] . Si el precio y el costo

están en dólares, halle: a) El nivel de producción que maximiza la utilidad. b) El precio que maximiza la utilidad. c) La utilidad máxima 13. Para un monopolista la función de demanda es de P ( q ) = 600 − 2 q , y la de costo

C ( q ) = 3300 − 480 q − q 2 , donde q ∈  80 ; 110  . Si el precio y el costo están en dólares por unidad, determine: a) El nivel de producción que maximiza la utilidad. b) La utilidad máxima. c) El precio para esa utilidad. 14. Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R ( x ) , viene dada en función de la cantidad que se invierte x , en miles de soles, por la siguiente expresión:

R ( x ) = −0, 001 x 2 + 0, 4 x + 3, 5 a) ¿Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad? b) ¿Qué cantidad de dinero convendrá invertir en ese plan, para obtener la máxima rentabilidad?. c) ¿Cuál será la rentabilidad máxima que se obtendrá?.

ESTUDIOS GENERALES

076



15. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertido, según la formula: R ( x ) = −0, 002 x 2 + 0, 8 x − 5 , donde R ( x ) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad de x dólares. Determine, teniendo en cuenta que disponemos de 500 dólares: a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad b) Cuanto se debe de invertir para obtener la máxima rentabilidad posible. c) Cual será el valor de dicha rentabilidad

ESTUDIOS GENERALES

077



SEMANA 13

LA INTEGRAL INDEFINIDA

ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINICIÓN: La función F : I ⊆ » → » es una antiderivada o primitiva de una función

f : I ⊆ » → » si y sólo si: F ( x ) = f ( x ), ∀x ∈ I = [ a, b ] Si F ( x ) + k , es la familia de antiderivadas de f ( x) . DEFINICIÓN: Si F ( x) es una antiderivada de f ( x) sobre un intervalo I = [ a, b] , es decir,

F ´( x) = f ( x) , entonces: G( x) = F ( x) + k se demostrará por: G ( x) =

∫ f ( x)dx = F ( x) + k , ∀ x ∈ I Llamaremos integral indefinida de f ( x)

Al término f ( x) se le llama integrando

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRACIÓN 1.

∫ dx = x + k

2.

∫

x n dx =

x n+1 +k n +1

; n ≠ −1

3.

∫ cf ( x ) dx = c ∫ f ( x ) dx

4.

∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx

Donde k se le llama constante de integración. Ejemplos I. Halle la antiderivada de las siguientes funciones: a)

f ( x) = 5 x 3 + 6 x 2 − 2

ESTUDIOS GENERALES

b) f ( x ) = 7 x 4 − x + 8

c)

f ( x) =

x3 − 4 x 2 + 6 x2

078



solución de a)

I =

∫ (5x

3

+ 6 x 2 − 2 x )dx =

∫

∫

∫ 5x + ∫ 6 x dx −∫ 2xdx 3

∫

I = 5 x3 dx + 6 x 2 dx − 2 xdx =

I =

2

dx

5 x3+1 6 x 2+1 + − 2x + k 3 +1 2 +1

5 4 x + 2 x3 − 2 x + k 4

II. Encuentre f ( x ) , sujeta a las condiciones iniciales dadas: a) f ′ ( x ) = 5 x − 4 ,

f ( 2) = 3 / 4

b) f ′ ( x ) = 3 x 2 + 8 x ,

f (1) = 2

c) f ′′ ( x ) = − x 2 − 2 x ,

f ′ (1) = 0,

d) y ′′ ( x ) = x + 1,

y ′ (0) = 0,

e)

y ′′′ ( x ) = 2 x − 3 ,

f)

y ′′′ ( x ) = 2 x ,

g)

y ′′′ ( x ) = − x + 1,

f (1) = 1

y (0) = 6

y ′′ (1) = 1,

y ′′ ( −1) = 3, y ′′ (0) = 1,

y ′ ( −1) = 3, y ′ (3) = 10, y ′ (0) = 2,

y ( −2) = −4 y (0) = 12 y (0) = 4

Solución de a)

f ′ ( x) =

df ( x )

⇒

df ( x )

dx

5x2 f ( x) = − 4x + k ; 2

dx

= 5x − 4 ⇒

∫

∫

f ( x ) = 5 x dx − 4 dx =

5 x2 − 4x + k 2

x=2 3  f (2) = ⇒  3 4  y = 4

3 5 2 5 = (2) − 4( 2) + k ⇒ k = − 4 2 4 ⇒ f ( x) =

5 2 5 x − 4x − 2 4

ESTUDIOS GENERALES

079



III. Halle la integral indefinida de las siguientes funciones:

∫ 2 ∫ 3 dx

1.

2.

4dx

4.

∫

7.

10 12

14 16 18 20 22

24

26

28

5.

1 dx x9

8.

∫ ∫

1

4x 2 dx

3.

2 dx x6

6.

∫(

∫ ( x − 2 x + 4) dx 5 ∫ ( x + 4 x − 3 x + 1) dx 5

13

2

∫ ( x + 1) dx ∫ (2 x − 4)( x + 5) dx 2

∫

(

15 17

7 x3 + 2 x5 − x 2 ) dx 2x

19

∫ ( xt − 3 x + 1) dx ∫ x ( x + 3 x ) dx 2

21 23

∫

( x + 1)( 3 x + x ) dx

∫

(

∫

(

6 x 4 + 3 x1/ 2 −

x + 9x

3x

7 x 3 + 3x 2 + 2 3

) dx

x

ESTUDIOS GENERALES

25

) dx

5

∫(x

1

9.

x − 3) dx 11

2

∫ −5 xdx ∫ x dx

27

29

3

+

2 x4

− x ) dx

∫ (8 x + 7 x − 10) dx 4 ∫ (2 x − x + 6 x − 5) dx 3

2

9

3

∫ (2 x − 3) dx ∫ ( z − 4 z )( z + 1) dz 2

2

∫

(

2

18 x 6 + 3 x 4 ) dx 6x2

∫ (za − 3z + 6) dz ∫ (2 x − 3)(t + 6 x ) dx 3

4

2

∫ ∫ ∫

3

( x3 −

x )( x + x ) 3

(

8 x3 − 3x2 − 2 x 4x (

7 x3 −

dx

x ) dx

x + 2 x −1/ 2 − 6 x3/ 2

) dx

x

080



IV. APLICACIONES a) Un fabricante

ha

determinado

que

la

función

de

costo

dC = 0, 03q 2 − 1, 8 q + 6, 5 y el costo fijo es de $ 2400 , donde dq

marginal es

es el número de

unidades producidas. Halle la función de costo y el costo cuando el nivel de producción es de 100 unidades. b) Un

fabricante

ha

determinado

que

la

función

de

costo

dC = 0, 6q 2 − 0, 8q + 9, 5 y el costo fijo es de $ 1800, donde dq

marginal

es

es el número de

unidades producidas. Halle el costo promedio cuando se producen 200 unidades. c) Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es:

dC dq

= 4( q 2 − 5) − 8 q .

Si el costo de producir 12 unidades es de $ 738, donde q es el número de unidades producidas, determine el costo promedio de producir 30 unidades. d) Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es y el costo de producir 40 unidades es de $ 6900, donde q

dC dq

= 4(3 + q ) + 80

es el número de unidades

producidas. Determine el costo promedio cuando el nivel de producción es de 50 unidades. e) Un

fabricante

ha

determinado

dr = 9 q 2 − 200 q , donde dq

que

la

función

de

ingreso

marginal

es

es el número de unidades producidas. Determine el ingreso

cuando se producen y venden 50 unidades. f)

Un

fabricante

ha determinado que la

determinado producto es

función de ingreso marginal, para un

dr = 15 q + 2300 , donde dq

es el número de unidades

producidas. Encuentre la función de demanda. g)

Para cierta fabrica de artesanías, su función de ingreso marginal está dada por:

dr = 275 − 4 q − 3q 2 , donde q es el número de unidades producidas. Halle la función de dq demanda, si cuando se producen 50 artículos el ingreso es de $ 5000. h) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal viene dado por

dr q (3q − 10) = + 50 (en dólares), dq 2 para q = 30 .

ESTUDIOS GENERALES

para q unidades producidas. Encuentre el precio

081



i)

Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es donde

dr = q 2 − 400 , dq

es el número de unidades producidas. Halle el precio cuando se demandan

120 unidades, si cuando se producen 30 artículos el ingreso es de $ 4200. j)

Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal viene dado por

dr = 0, 03 q 2 − 5 (en dólares), para q unidades producidas. Se sabe que al vender 10 dq productos se obtiene un ingreso de $1000. Encuentre el precio cuando la demanda es de 20 unidades.

Solución de b)

dC = 0, 6q 2 − 0, 8q + 9, 5 ⇒ dC = (0, 6q 2 − 0, 8q + 9, 5)dq dq Integrando:

C=

∫

∫ dC =∫

(0, 6q 2 − 0, 8q + 9, 5) dq

(0, 6q 2 − 0, 8q + 9, 5) dq ⇒ C = 0, 2q 3 − 0, 4q 2 + 9, 5q + k

Hallando la constante de integración De

CT = CV + CF si no hay producción ( q = 0 ) , entonces el costo total es igual al

costo fijo, luego:

C = CF = 1800 = 0, 2(0)3 − 0, 4(0)2 + 9, 5(0) + k

1800 = k

La función de costo es: C = 0, 2q3 − 0, 4q 2 + 9, 5q + 1800 Hallando el costo promedio: C =

C 1800 = 0, 2q 2 − 0, 4q + 9, 5 + q q

Evaluando en 200: C (200) = 0, 2(200) 2 − 0, 4(200) + 9, 5 +

1800 = 7938, 5 200

Cuando se producen 200 unidades el costo promedio es de $ 7938,5.

Solución de c)

dC dq

= 4( q 2 − 5) − 8 q

Integrando: C =

∫ (4q

⇒

2

ESTUDIOS GENERALES

dC = (4 q 2 − 20 − 8 q ) dq

− 20 − 8 q ) dq ⇒ C =

4 q3 3

− 20 q − 4 q 2 + k

082



Hallando la constante de integración:

⇒ C = 738 =

Del dato: q = 12

La función de costo es:

4(12)3 3

4 q3

C=

3

La función de costo promedio es:

− 20(12) − 4(12) 2 + k ⇒ − 750 = k

− 20 q − 4 q 2 − 750

C=

C q

=

4q2 3

− 20 − 4 q −

750 q

El costo promedio cuando se producen 30 unidades es:

C (30) =

4(30) 2 3

− 20 − 4(30) −

750 30

= $ 1035

Solución de e)

dr = 9 q 2 − 200 q dq Integrando:

r=

dr = (9 q 2 − 200 q ) dq

⇒

∫ (9q

2

− 200q) dq = 3q3 − 100q 2 + k

Hallando la constante de integración: De:

r = pq , si q = 0

⇒

r = 0 = 3(0)3 − 100(0) 2 + k

r=0 ⇒

Entonces la función de ingreso es:

k =0 r = 3q3 − 100q 2

El ingreso cuando de producen y venden 50 unidades es:

r (50) = 3(50)3 − 100(50) 2 = $ 125000

Solución de i)

dr = q 2 − 400 dq

⇒ dr = ( q 2 − 400) dq ⇒

Integrando:

∫

r=

(q 2 − 400) dq ⇒ r =

ESTUDIOS GENERALES

q3 3

∫ dr = ∫ (q

2

− 400) dq

− 400 q + k

083



Hallando la constante de integración: Del dato: si q = 30 entonces r = 4200 , luego: r = 4200 = Efectuando operaciones se tiene que: La función de ingreso es:

La función de demanda es:

r=

(30)3 3

− 400(30) + k

7200 = k

q3 − 400q + 7200 3

r = pq → p =

q2 7200 − 400 + 3 q

El precio cuando se demanda 120 unidades es:

(120) 2 7200 P (120) = − 400 + = $ 4460 3 120

ESTUDIOS GENERALES

084



SEMANA 14

TÉCNICAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN FORMULAS DE INTEGRACION

dx

1.

∫ x dx = ln

2.

∫

f ′( x ) e f ( x ) dx = e f ( x ) + k

3.

∫

f ′ ( x ) a f ( x ) dx =

4.

x +k

a f ( x) ln a

∫

 f ( x )  f ′( x )  f ( x )  dx = n +1

f ′( x )

∫ f ( x) dx = ln

5.

n +1

n

+k

f ( x) + k

+k

Calcular las integrales siguientes: 1)

4)

7)

4x + 1

∫ x − 1 dx

2)

x+5

∫ x − 2 dx 5x

∫ 2x

2

5)

−4

10)

∫

( x 4 + 1) 2

13)

∫

( at − b ) e at

∫

ln(ln x ) dx x ln x

16)

19)

22)

x3

ex

∫ ex + 1 ∫

8)

dx

dx 2 −2 bt

2

4x − 2x + 5

ESTUDIOS GENERALES

2x + 7

∫ x + 3 dx ∫x

6)

3x + 3 2

9)

dx

+ 2x − 5

∫

( x 2 − 1) e x

14)

∫

( x 4 − 1) ⋅ 2 x

∫

ln 2 ( x + 1) dx x +1

18)

∫

4e 2 x dx ex + 1

21)

20)

dx

3)

11)

17)

dx

16 x − 4 3

dt

x+9

∫ x + 2 dx

23)

∫

3 −3 x

dx

12)

dx

15)

5 −5 x

x2 + 1 3

3

4 x + 12 x + 6

dx

24)

6x − 2

∫ 2 x − 4 dx ∫

x2 + 4

dx

x +1 3x2 − 1

∫ 2x

3

dx

− 2x + 1

∫

( x 3 + 1)2 x

∫

ln x dx x

∫

e x − e2 x ex

dx

∫

e x − e4 x ex

dx

∫

x−2 3

(2 − x )

2

4 +4 x

dx

dx

085



25)

27)

29)

31)

33)

35)

37)

39)

∫

x2 3

1− 2x

∫ ∫ ( x − 1) e ∫ (2 x − 1).5

26)

dx

3

(2 x 2 + 1) e 4 x 2

∫

(1 +

∫

2ln x dx x

∫

x e2+ln( x

1 x2

x 3 −3 x−5

)e

x−

28)

30)

dx

dx

32)

dx

6x − 3

ln

x2

− x dx

− 4x

+ 1) 4 + 2 x 2 + x 4 dx

∫ ∫ (24 x + 24)e ∫ 7( x − 1).3

5 x2 +10 x +1

36)

∫5

38)

∫x ∫

4 x 2 +8 x+9

x3 −3 x

2

∫

40)

2

(20 x + 20).4

34)

2 −1)

x −1

2

1 x

dx

dx

2 x2 − 2 x +1

2

∫ 4x

3 +6 x−2

∫ x( x

dx

dx

dx

4

( x 3 e 4 x + x 4 ) dx x ln x

3

⋅ (1 + ln x ) dx

x +1 2

ln( x 2 + 2 x ) dx

+ 2x

1 + ln x dx x

APLICACIONES 1. En la manufactura de un producto los costos fijos por semana son de $ 8000. Si la función de costo marginal es:

q2 q3 dC = 500 + 3 ( − ) donde C es el costo total de producir dq 5 40

unidades del producto. Encuentre la función costo total y el costo de producir 50 unidades. 2. Un fabricante ha determinado que la función costo marginal es donde

dC = 0, 03 q 2 − q + 20 , dq

es el número de unidades producidas. Si los costos fijos son de $ 3500, determine

la función de costo total y el costo promedio de producir 70 unidades.

3. Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es:

dC dq

=

3( q 2 − 2) 10

+ 7 . Si

el costo de producir 6 unidades es de $ 90, donde q es el número de unidades producidas, determine el costo cuando se producen 30 unidades.

ESTUDIOS GENERALES

086



dC = 1000 − 2 ( 5 q − q 2 ) dq

4. En la manufactura de un producto el costo marginal es: donde C es el costo total de producir

unidades del producto. Si cuando se producen 30

unidades el costo asciende a $ 5800, halle el costo promedio cuando el nivel de producción es de 60 unidades. 5. Si la función de ingreso marginal para el producto de un fabricante es: donde

dr = 0 , 7 q + 35 , dq

es el número de unidades producidas. Determine el precio cuando se demandan 60

unidades. 6. Para cierta compañía la función de ingreso marginal, para un determinado producto, está dada por:

dr = 3 q 2 − 50 q , donde dq

es el número de unidades producidas. Determine el

precio cuando se demandan 80 unidades, si cuando se producen y venden 25 unidades el ingreso es de $ 1200.

7. Si el ingreso marginal en miles de dólares en la producción de “ q ” unidades de un producto viene dado por

r ′ (q) =

q

y el ingreso es nulo a un nivel de producción cero.

q2 +9 Determine la función de ingreso r (q) y calcule dicho ingreso para un nivel de producción de 100 unidades. 8. La utilidad marginal diaria de una empresa está dada por U ′ ( x ) = −2 +

x 2

. Si la

x + 900 empresa pierde $130 por día cuando solo vende 40 unidades por día, determina la función de utilidad de esta empresa. 9. Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es:

dC

=

dq

3( q 2 − 2) 10

+ 7 . Si

el costo de producir 6 unidades es de $ 90, donde q es el número de unidades producidas, determine el costo promedio cuando se producen 30 unidades. 10. Para

dr dq

=

el

producto

q (10 + 3q ) 2

de

un

fabricante,

la

función

− 150 , para q unidades producidas . Si

de

ingreso

marginal

es:

el ingreso está en dólares,

determine el precio cuando se demandan 30 unidades.

ESTUDIOS GENERALES

087



SEMANA 15

INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Sea f ( x ) una función continua, entonces: P1.

P2.

P3.

∫ ∫

b

c dx = c ( b − a ) , donde c es una constante a

b

cf ( x ) = c a

∫

b a

∫

b

f ( x ) dx , donde c es un número real arbitrario

a

P4. Si a < c < b , se cumple:

P5. Si c > d , entonces

P6.

∫

∫

 f ( x ) ± g ( x )  dx =

∫

∫

b

∫

f ( x ) dx ± a b

f ( x ) dx = a

d

f ( x ) dx = − c

∫

∫

b

g ( x ) dx a

c

∫

f ( x ) dx + a

b

f ( x ) dx c

c

f ( x ) dx d

a

f ( x ) dx = 0 a

P7. Si f ( x ) ≥ 0 para todo x en [a,b] , entonces

∫

b

f ( x ) dx ≥ 0 a

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Sea f una función continua en un intervalo cerrado

[ a, b ] :

Parte I: Si la función G está definida por G ( x ) =

∫

x

f ( t ) dt , para todo x en

entonces si f ( x ) es continua , G ( x ) es diferenciable sobre

G ′ ( x ) = f ( x ) , es decir

d dx

∫

x

[ a, b ]

y se cumple que:

f ( t ) dt = f ( x ) .

a

Parte II: Si F es cualquier antiderivada de f ó llamada también primitiva de f en entonces:

∫

[ a, b ]

a

[ a, b ] ,

b

f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a

ESTUDIOS GENERALES

088



EJERCICIOS: Calcule en cada caso las integrales definidas:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

∫ ∫ ∫ ∫

3 2 2

8.

9.

45 dx

11.

(2 x 3 + x 2 − 8) dx

12.

−1 2 −1 0

(4 x 3 + x 2 − 2 x ) dx

13.

−2 2

∫

4 3  2  3 x + 4 x + x  dx −1  

∫

2

∫

2 5x4

1

7.

10.

25 dx

∫ ∫

1 3  2  3 x − 2 x + 5 x  dx  

0 1

− 3x2 + 6 x2

15.

16.

dx

)

17.

 5 x 4 − 4 x3 + x  dx   3 02 

18.

−2

(

14.

(10 x − 2 ) 3 x 2 + 2 x dx

1

ESTUDIOS GENERALES

∫ ∫

2

9 x3 + 3x5 − 8

−1

x2

2

 4 x3 + 3 x 2 + 2 x  dx   2 5  −1  5 2

∫ ∫

 5 x 4 + 3 x3 − 2 x 2 − 2 x  dx   2 5 3 

0

1 −2 1

∫ ∫

dx

−1

(18 x + 2 ) ( 6 x 2 + 2 x ) ( 3 x + 1) ( 4 x 2 + x )

dx

dx

3

5 x 2 − 8 )( 9 x 3 + 3 x 2 ) dx ( 1

∫

1 0

∫ ∫

( 2 x − 3 )( 4 x − 1)

dx

1

 6 x8 − 2 x 2 + 7  dx   3 −1  8 0 1

 5 x 4 − 3 x 2 + 4 x  dx   4 3  2

089



APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS CÁLCULO DEL ÁREA BAJO UNA CURVA: Sea f : a ; b  → » una función continua en su dominio, tal que f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [a ; b] . El área de la región S limitada por la grafica de f ( x ) , las líneas x = a , x = b y el eje de las abcisas, se determina mediante una integral definida de la forma siguiente:

y f ( x)

a

area ( S ) =

x

b

∫

b

f ( x ) dx = F (b ) − F ( a )

a

Donde F es la antiderivada de f ; es decir F ' = f . Esto nos indica que conociendo F (la primitiva de f ) se puede evaluar la integral definida, con solo evaluar f en los extremos del intervalo [ a ; b ] . Ejemplo Calcular el área de la región limitada por la curva f ( x) , de acuerdo a la grafica siguiente:

y

f ( x) = 2x +

1 x2

Solución: El área queda definida por:

A=

∫

b

f ( x) dx

a

A=

1

4

x

∫ 



A =  x2 − 1  x  A=

ESTUDIOS GENERALES

4  2 x+ 1 1  x2

  

4

= 1

dx =

∫

4

2 x dx +

1

 2 1  ( 4) −  4 

∫

4

1



1 dx x2 

−  (1)2 −1  1 

63 2 u 4

090



CÁLCULO DEL ÁREA BAJO DOS CURVAS:

y f ( x)

g ( x)

a

b

El área de la región limitada por dos funciones, x = a , x = b , queda determinada por:

x f ( x) y g ( x) y por las líneas verticales

b

A=

∫ [ f ( x ) − g ( x ) ] dx a

Ejemplo 1: Hallar el área limitada por las curvas, de acuerdo a la grafica siguiente:

y f ( x) = 3− x2

g (x) = −x + 1

x

Solución:

y Hallando los límites de integración, para lo cual se igualan las dos funciones:

−x +1 = 3 − x2 2 −1

ESTUDIOS GENERALES

→ x2 − x − 2 = 0

→ (x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2 ; x = −1 x

091



b

El área queda definida por: A =

A=

 3 2 − x + x  3 2 

A=

9 2 u 2

2   +2 x   −1

∫[

2

]

f ( x ) − g ( x ) dx =

a

∫ [ (3− x −1

2 ) − ( − x +1)

]dx

    =  − 8 + 2+ 4  −  1 + 1 −2   3  3 2 

Ejemplo 2: Hallar el área limitada por las curvas: f ( x ) =

y

x

f ( x) = x .

Solución:

 y =

Para realizar la grafica se resuelve el sistema: 

x

 y = x

de donde se obtiene: x = 0 , x =1 . Las curvas se intersectan en los puntos (0;0) y (1;1) . Bosquejando la grafica se tiene:

y

y f ( x) = x

f ( x) = x

1 b

luego:

A=

∫[

]

f ( x ) − g ( x ) dx =

a

1

∫[ 0

x

]

x − x dx

1

 (1)3 / 2 (1) 2   ( 0)3 / 2 ( 0) 2   x3 / 2 x 2  − =  − − − A=  2  2   3/ 2 2   3/ 2  3/ 2 0 A=

1 2 u . 6

ESTUDIOS GENERALES

092



Ejemplo 3: Hallar el área de la región limitada por la curva y = − x 2 − 4 x + 12 y las líneas x = −2 y x = 4 . Solución: Para bosquejar la grafica hallamos el vértice de la parábola y su intercepción con el eje x:

b   b ; f (− )  , entonces: V ( − 2;16 ) 2a   2a

Hallando el vértice a partir de: V  −

Hallando las intercepciones con el eje x:

− x 2 − 4 x + 12 = 0 → x 2 + 4 x − 12 = 0

→ ( x + 6)( x − 2) = 0

∫

16 A1

−2

2

x1 = −6 ; x2 = 2 2

 x3  A1 = − 4 x + 12 dx = − 2 x 2 + 12 x  ( ) − −2  3  −2 128 2     A 1 =  − 8 −8 + 24  −  8 −8− 24  = u  3  3  3

y

−6

→

A2

x

4

A2

A2

2

−x2

 x3  =− − 4 x + 12 ) dx = −  − − 2 x 2 + 12 x  ( 2  3  56 2  64   8  = −  − − 32 + 48  +  − − 8 + 24  = u  3   3  3

∫

AT =

4

128 56 184 2 + = u 3 3 3

Ejemplo 4: Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x 2 , y = 8 − x 2 , x = 1 y x = −1 Solución: Para bosquejar la grafica de cada parábola hallamos sus vértices: El vértice de y = x 2 es: V ( 0; 0 )

;

el vértice de y = 8 − x 2 es: V ( 0;8 ) Hallando las intercepciones de las parábolas:

x 2 = 8 − x 2 → 2x 2 − 8 = 0

y

→ ( x + 2)( x − 2) = 0 →

8

Graficando x = −1

A=

−2 −1

1

2

x

∫

1 −1

→ x2 − 4 = 0 x1 = −2 ; x2 = 2

y x = 1 . Luego: 1

(8 −

x2

−

x2

 2 x3  ) dx = 8 x − 3    −1

2(1) 3   2( −1) 3   A = 8(1) − − 8( −1) −  3   3    22   22  22 22 44 2 A =   − −  = + = u 3 3  3  3 3

ESTUDIOS GENERALES

4

−x2

093

2



Ejemplo 5: Hallar el área de la región limitada las curvas y = x 2 − x y y = 10 − x 2 . Solución: Para bosquejar la grafica de cada parábola hallamos sus vértices: El vértice de y = x 2 − x es: V 

1 1 ;−  2 4

;

el vértice de y = 10 − x 2 es: V ( 0;10 ) Hallando las intercepciones de las parábolas:

y 10

x 2 − x = 10 − x 2

→ 2x 2 − x − 10 = 0

→ (2 x − 5)( x + 2) = 0 → x1 =

5 ; x2 = −2 2

El área limitada por las parábolas es:

−2

x

5 2

A=

2(5 / 2) 3 (5 / 2) 2  A = 10(5 / 2) − + 3 2 

∫

5 2



2 x3



3

(10 − 2 x 2 + x ) dx = 10 x − −2

+

5 2

 2  −2

x2

2( −2) 3 ( −2) 2    − 10( − 2) − +   3 2   

125 25   16   A =  25 − +  −  −20 + + 2  12 8  3    425   38  425 38 729 2 A= + = u  − −  = 3 24  24   3  24

ESTUDIOS GENERALES

094



EJERCICIOS: 1. Calcular el área de la región sombreada, de cada una de las graficas siguientes:

y

y

y = x2 +1

4

x

2

y = x2 − x − 6

(a)

y

x

(b)

y

y = −x 2 + 9

4

x

x f (x) = x 3 − 4x

(c)

(d)

y

y = x3

−3

2

(e)

ESTUDIOS GENERALES

y

y = x( 1±

x

4

x

)

x

(f)

095



y

y

f ( x ) = 16 − x 2

f ( x) = x + 4

(3, 7 )

x

( −4 , 0 )

x f ( x ) = 16 − x 2

(g)

(h)

y

y = x2

y 16

y = x2

y=

x

x

x

(i)

(j)

y

y

y =4x

y = x2 − 4x + 3

x x y = − x2 + 2x + 3 y = x3 (k)

ESTUDIOS GENERALES

(l)

096



g(x) = x 2 − 3x

y

f (x) = − 2x 2 + x 3

y

x x

f (x) = 3x 2 − x 3

f (x) = 2x − x 2

(m)

(n)

2. Hallar el área de la región limitada por la curva y = 4 − x

2

y las líneas: x =1 , x = 3 .

2

3. Hallar el área de la región limitada por la curva y = x − 4 y las líneas: x = −2 , x = 2 . 2

2

4. Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x − 9 , y = 9 − x , x = 1 y x = −1 5. Hallar el área de la región limitada por las curvas y = 2 x − x

2

y

6. Hallar el área de la región limitada por las curvas y = 8 + 4 x − x 7. Hallar el área de la región limitada por la curva y = x

3

2

y

y = x2 − 2 x .

y las líneas: x = 0 , x = 4 .

8. Hallar el área de la región limitada por las curvas y = 4 − x

ESTUDIOS GENERALES

y = −x .

3

y

y = 4−4x .

097



SEMANA 16

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida es ampliamente aplicada en la economía. Esto se observa cuando se tiene como información la razón con la que varían los ingresos y los costos según la producción (ingresos y costos marginales, respectivamente) y si se quisiera encontrar las funciones de ingreso y costo. Asimismo, la integral definida puede aplicarse al cálculo de utilidades netas, depreciación de maquinarias, excedencia del consumidor o del productor, etc. Veamos algunos casos.

APLICACIONES 1. La tonelada de un mineral cuesta $ 46. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el precio estará cambiando a una razón de cambio dada por la siguiente fórmula:

dP dx

= 0 ,09 + 0,0006 x 2 , donde P es el precio.

a) ¿Cuánto costará la tonelada de este mineral dentro de 10 semanas? b) ¿Se debe vender todo el mineral posible ahora o se debe de esperar dentro de 10 semanas? Solución: Como

dP dx

Integrando:

= 0 ,09 + 0,0006 x 2

dP =

∫

→

10 0

dP = ( 0,09 + 0 ,0006 x 2 ) dx

( 0 ,09 + 0 ,0006 x 2 )

10

dx =  0 ,09 x + 0 ,0002 x 3  0

El precio dentro de 10 semanas será:

P = 46 +  0 ,09 x + 0 ,0002 x 3 

10 0

Entonces: P = 46 + 1,1 = 47 ,1 . a) Dentro de diez semanas la tonelada costará 47,1 dólares. b) Se debe de esperar 10 semanas para vender todo el mineral posible.

ESTUDIOS GENERALES

098



2.

Para cierto fabricante la función de ingreso marginal es R ( x ) = ( −3 x 2 + 60 x ) . Calcula el incremento en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 15 a 20 unidades, si el ingreso esta en dólares.

Solución: Al integrar la función de ingreso marginal se obtiene la función de ingreso y al evaluarla se tiene el incremento, entonces:

dR dx

= ( −3 x 2 + 60 x ) → dR = ( −3 x 2 + 60 x ) dx

Integrando: R =

∫

20

15

20

(

−3 x 2

 −3 x 3 60 x 2  3 + 30 x 2  20  + 60 x ) dx =  + = − x  15 2  15   3

R =  − (20) 3 + 30(20) 2  −  − (15) 3 + 30(15) 2  = [ −8000 + 12000 ] − [ −3375 + 6750 ] = 625 El incremento en el ingreso cuando la demanda varia de 15 a 20 unidades, es de 625 dólares.

3.

Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de R1 ( x ) = 50 + x 2 dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón

R 2 ( x ) = 200 + 5 x dólares por año. a) Durante cuantos años el segundo plan será más rentable. b) Calcule el exceso de la Utilidad Neta, si se invierte en el segundo plan en lugar del primero, durante el periodo obtenido en la parte a).

Solución: a) El segundo plan será mas rentable hasta que las funciones de ambos planes sean iguales: R1 ( x ) = R 2 ( x ) , entonces se tiene:

50 + x 2 = 200 + 5 x

→ x 2 − 5 x 2 − 150 = 0 → (x + 10)(x − 15) = 0

→ x1 = −10 ; x1 = 15 el segundo plan es mas rentable durante 15 años.

ESTUDIOS GENERALES

099



b) El exceso de utilidad neta (EUN), está dado por:

R1 ( x ) = 50 + x 2

y

R 2 ( x ) = 200 + 5 x EUN

0

EUN =

∫

15 0

x

15

 ( 200 + 5 x ) − 50 + x 2  dx =  

(

)

∫

15 0

(150 + 5 x − x 2 ) dx

15

 5(15) 2 (15) 3   5x 2 x 3  = 150 x + − = 150(15) + − = [ 2250 + 562, 5 − 1125 ] = 1687, 5  2 3  0 2 3    El exceso de utilidad es de 1687,5 dólares.

4.

Suponga que cuando tiene x años, cierta maquina industrial genera ingresos a razón de R ( x ) = 5000 − 20 x 2 dólares por año y costos que se acumulan a razón de

C ( x ) = 2000 + 10 x 2 dólares por año. a) ¿Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria? b) ¿Cuales son las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo obtenido en la parte a)? Solución: a) El uso de la maquinaria será rentable mientras que el ritmo al que se generan los ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que R ( x ) = C ( x ) , entonces:

5000 − 20 x 2 = 2000 + 10 x 2

→ x 2 − 100 = 0 → (x + 10)(x − 10) = 0

→ x1 = −10 ; x1 = 10 El uso de la maquinaria es rentable durante 10 años.

ESTUDIOS GENERALES

0100



b) Dado que la ganancia neta generada por una maquinaria, durante cierto período de tiempo, está dada por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y su costo total de operación y mantenimiento, se puede determinar esta ganancia por la integral definida:

GN =

∫

10 0

 5000 − 20 x 2 − 2000 + 10 x 2  dx =  

(

) (

)

∫

10 0

( 3000 − 30 x 2 ) dx

10

=  3000 x − 30 x 3  0 =  3000(10) − (10) 3  = 29000 Las ganancias netas ascienden a 29000 dólares.

EJERCICIOS 1.

La compañía minera “Buenaventura” vende la tonelada de cobre a $ 58,5. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el precio por tonelada estará cambiando a una razón de cambio dada por la función:

dP dx

= 0 ,012 x 2 − 0,05 x , donde P es el precio.

a) Halle el precio de la tonelada de cobre dentro de 5 semanas. b) ¿Debe la compañía vender todo el cobre posible ahora, o esperar dentro de 5 semanas? 2.

La Empresa Graña y Montero Petrolera S.A. vende el barril de petróleo a $ 92,52. Los estudios de mercado indican que dentro de “ x ” meses, el precio del barril estará cambiando a una razón dada por la siguiente función: donde

P

dP dx

= −0, 0084 x 2 + 0, 012 x ,

es el precio.

a) Halle el precio del barril de petróleo dentro de dos meses. b) ¿La Empresa debe vender todo el petróleo posible ahora o debe de esperar dentro de tres meses?. 3.

El costo marginal en una empresa está dado por C '( x ) = 1,2 e 0 ,02 x . Hallar el incremento en los costos totales, si la producción aumenta de 80 a 110 unidades.

ESTUDIOS GENERALES

0101



4.

En cierta fábrica, el costo marginal es 3( q − 4 )

2

dólares por unidad cuando el nivel de

producción es “ q ” unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación si el nivel de producción aumenta de 6 a 10 unidades? 5.

Una fabrica determina que su ingreso marginal está dado por:

dr = dq

q 2

. Halle

q + 2500

el ingreso cuando la venta aumenta de 0 a 120 productos. 6.

Se estima que dentro de “ x ” meses la población de Tumbes cambiará a una razón de

x 2 + x personas por mes. ¿En cuánto crecerá la población de Tumbes durante los próximos 3 años? 7.

En el Distrito Federal de México los especialistas han determinado que el número de personas infectadas por la gripe H1N1 tipo A, cambia a razón de

dPi

= 2, 2t − 2, 2 donde

dt Pi es el numero de personas infectadas y t es el tiempo en semanas. Determine el número de personas infectadas en los próximos dos meses. 8.

Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de R1 ( x ) = 40 + x 2 dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón

R 2 ( x ) = 136 + 4 x dólares por año. a) Durante cuantos años el segundo plan será más rentable. b) Calcule el exceso de la Utilidad Neta, si se invierte en el segundo plan en lugar del primero, durante el periodo obtenido en la parte a). 9.

Suponga que cuando tiene x años, cierta maquina industrial genera ingresos a razón de R ( x ) = 9260 − 25 x 2 dólares por año y costos que se acumulan a razón de

C ( x ) = 3500 + 15 x 2 dólares por año. Halle: a) El numero de años en que es rentable el uso de la maquinaria. b) Las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo de la parte a). 10.

Suponga que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es D(q) = 4(25 − q 2) dólares por unidad. Halle la cantidad total de dinero que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener 3 unidades del artículo.

11.

Suponga que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es D(q) = 4(25 − q 2) dólares por unidad. a) Halle el excedente de los consumidores si el artículo se vende a $ 64 por unidad. b) Trace la curva de demanda e interprete el excedente de los consumidores como un área.

ESTUDIOS GENERALES

0102


12.


Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de R1 ( x ) = 100 + x 2 dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de

R 2 ( x ) = 220 + 2 x dólares por año. a) ¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable? b) ¿Cuánto exceso de utilidad ganará si invierte en el segundo plan en lugar del primero durante el periodo obtenido en la parte a)?. c) Interprete el exceso de utilidad obtenida en la parte b), como el área entre dos curvas. 13.

Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de R1 ( x ) = 60 e 0 ,12 x dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de

R 2 ( x ) = 160 e 0 ,08 x dólares por año. a) ¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?. b) ¿Cuánto exceso de utilidad ganara si invierte en el segundo plan en lugar del primero durante el periodo obtenido en la parte a)?. c) Interprete el exceso de utilidad obtenida en la parte b), como el área entre dos curvas. 14.

Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de R ( x ) = 6025 − 10 x 2 dólares al año y origina costos que se acumulan a la razón de

C ( x ) = 4000 + 15 x 2 dólares por año. a) ¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?. b) ¿Cuánto exceso de utilidad ganará si invierte en el segundo plan en lugar del primero, durante el periodo obtenido en la parte a)?. c) Interprete el exceso de utilidad obtenida en la parte b), como el área entre dos curvas. 15.

Suponga que cuando tiene x años, cierta maquinaria industrial genera ingresos a la razón de R ( x ) = 6025 − 8 x 2 dólares por años y origina costos que se acumulan a la razón de

C ( x ) = 4681 + 13 x 2 dólares por año. a) ¿ Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria?. b) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo obtenido en la parte a)?.

ESTUDIOS GENERALES

0103


ESTUDIOS GENERALES


0104

Manual Matemtica II 2012 2

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