maquinas problemas

DEPARTAMENTO

DE

INGENIERÍA

ELÉCTRICA

BOLETÍN DE PROBLEMAS MÁQUINA ASÍNCRONA

2009/2010

MÁQUINA ASÍNCRONA Problemas propuestos

1. Un motor asíncrono trifásico con un rotor en jaula de ardilla, tiene los siguientes datos en su placa de características:

10 kW ; 220/380 V ; 50 Hz ; 19 A; 1425 r.p.m. ; cos ϕ = 0,90 Se conecta a una red de 380 V, 50 Hz. Se suponen despreciables las pérdidas mecánicas y no es necesario considerar la rama paralelo del circuito equivalente. Calcular: a) Los parámetros del motor. b) El par de arranque y el par de plena carga del motor. ¿Qué tipo de par resistente debe de tener el motor para que pueda arrancar?. ¿Por qué?. c) El rendimiento del motor con par máximo. d) La velocidad que deberá darse al motor por medio de un motor primario externo para que la máquina asíncrona funcione como generador entregando su potencia nominal a la red. Tómese la velocid velocidad ad más pequeñ pequeñaa de de las las dos dos posibl posibles. es. 2. Se tiene un motor de 19 kW, 230 V, 4 polos, trifásico, a 50 Hz, en estrella. Cuando trabaja a tensión y frecuencias nominales, las pérdidas en el cobre del rotor para par máximo son 8 veces las que tendría para par nominal y el deslizamiento a plena carga (nominal) es de 0,03. Se puede despreciar la resistencia y reactancia del estator y las pérdidas por rozamiento. La resistencia y reactancia del rotor tienen un valor constante. Se pide:

a) Deslizamiento para par máximo. b) Par máximo. c) Par de arranque. 3. Determinar los parámetros del circuito equivalente aproximado correspondiente a un motor asíncrono conectado en estrella, cuyos ensayos han dado los siguientes resultados:

Vacío: Vacío: U0 = 220 V, P0 = 1000 W; I0 = 20 A; Pm = 400 W. Rotor Parado: Ucc = 30 V; Pcc = 1500 W; Icc = 50 A Con los datos obtenidos y sabiendo que la resistencia por fase del estator es de 0,1 Ω, calcular la potencia útil cuando el deslizamiento es del 5 %.

1

MÁQUINA ASÍNCRONA Problemas propuestos

1. Un motor asíncrono trifásico con un rotor en jaula de ardilla, tiene los siguientes datos en su placa de características:

10 kW ; 220/380 V ; 50 Hz ; 19 A; 1425 r.p.m. ; cos ϕ = 0,90 Se conecta a una red de 380 V, 50 Hz. Se suponen despreciables las pérdidas mecánicas y no es necesario considerar la rama paralelo del circuito equivalente. Calcular: a) Los parámetros del motor. b) El par de arranque y el par de plena carga del motor. ¿Qué tipo de par resistente debe de tener el motor para que pueda arrancar?. ¿Por qué?. c) El rendimiento del motor con par máximo. d) La velocidad que deberá darse al motor por medio de un motor primario externo para que la máquina asíncrona funcione como generador entregando su potencia nominal a la red. Tómese la velocid velocidad ad más pequeñ pequeñaa de de las las dos dos posibl posibles. es. 2. Se tiene un motor de 19 kW, 230 V, 4 polos, trifásico, a 50 Hz, en estrella. Cuando trabaja a tensión y frecuencias nominales, las pérdidas en el cobre del rotor para par máximo son 8 veces las que tendría para par nominal y el deslizamiento a plena carga (nominal) es de 0,03. Se puede despreciar la resistencia y reactancia del estator y las pérdidas por rozamiento. La resistencia y reactancia del rotor tienen un valor constante. Se pide:

a) Deslizamiento para par máximo. b) Par máximo. c) Par de arranque. 3. Determinar los parámetros del circuito equivalente aproximado correspondiente a un motor asíncrono conectado en estrella, cuyos ensayos han dado los siguientes resultados:

Vacío: Vacío: U0 = 220 V, P0 = 1000 W; I0 = 20 A; Pm = 400 W. Rotor Parado: Ucc = 30 V; Pcc = 1500 W; Icc = 50 A Con los datos obtenidos y sabiendo que la resistencia por fase del estator es de 0,1 Ω, calcular la potencia útil cuando el deslizamiento es del 5 %.

1

4. Un motor de inducción trifásico de 7 CV, 220 V, 6 polos, 50 Hz y conexión en estrella absorbe de la línea de alimentación 7,2 kVA con factor de potencia 0,844 cuando suministra su potencia nominal, dando un par de salida de 51,2 Nm. Suponiendo unas pérdidas rotatorias constantes de 400 W, calcular, para el motor funcionando en dichas condiciones:

a) El rendimiento del motor. b) La velocidad del motor. c) La potencia perdida en el cobre del rotor. d) La potencia perdida en el cobre del estator. e) La resistencia por fase del estator. 5. Se ha entregado a un laboratorio de ensayos un motor asíncrono trifásico con conexión en estrella, en cuya placa de características se lee: Potencia útil 4 kW. Tensión nominal 220 V a 50 Hz. Corriente nominal 14,5 A. Velocidad síncrona 1500 r.p.m. Conexión en Y. y se solicita un certificado en el que se haga constar: el par y la velocidad nominales, y el par y la corriente de arranque. Los ensayos realizados proporcionan los siguientes datos: Ensayo en vacío 220 V, 5,1 A, 360 W. Ensayo en corto circuito 52 V, 14,5 A, 490 W. Resistencia/fase del estator 0,35 Ω. Pérdidas mecánicas 250 W. Se pide: a) Obtener los parámetros del circuito equivalente aproximado.

b) Determinar los datos técnicos del motor que se han solicitado al laboratorio. 6. Un motor asíncrono trifásico de 12 polos está conectado a una red de 60 Hz y gira con un deslizamiento de s = 0,02. Determinar:

a) La velocidad del campo magnético giratorio creado por el estator en r.p.m. b) Velocidad relativa respecto al rotor del campo magnético giratorio creado por el rotor en r.p.m. c) Velocidad absoluta del campo magnético giratorio creado por el rotor en r.p.m. r.p. m. d) Frecuencias de las corrientes del rotor. e) Ángulo geométrico entre dos polos consecutivos del estator del mismo signo. f) Si el motor es de rotor bobinado, ¿para cuantos polos debe estar bobinado el rotor?. g) Si el motor es de rotor en jaula, con 36 barras, ¿cuál es el número de fases del rotor?. ¿Porqué?. h) Si el motor es de de rotor bobinado, con anillos rozantes, y la tensión entre anillos, estando éstos en circuito abierto, es de 170 V, ¿cuál será la f.e.m. eficaz inducida en el rotor cuando el motor trabaja en condiciones nominales?.

2

7. Se tiene una estación de bombeo de agua, que lleva una bomba centrífuga que tiene incorporado un motor asíncrono trifásico en jaula de ardilla de 15 CV, 380 - 220 V, 50 Hz, 6 polos y que tiene los siguientes parámetros:

R 1 = R 2’ = 0,8 Ω; X 1 = X 2’= 2 Ω; PFe = Pm = 0 (se puede prescindir de la rama en paralelo del circuito equivalente). a) Si la red es de 380 V, 50 Hz, ¿cómo se conectará el motor?. Dibujar el cuadro de bornes, indicando el nombre normalizado de los terminales. b) Conectado el motor correctamente, de acuerdo con el apartado anterior, ¿cuál será el par de arranque del motor con tensión nominal?. Si el par resistente ofrecido por la bomba en el arranque es de 50 Nm ¿arrancará el motor?. c) Si en régimen permanente, el par resistente es igual a 100 Nm ¿cuál será la velocidad a la cual girará el motor?. d) ¿Qué corriente absorberá el motor en el caso anterior?. ¿Cuánto valdrá la potencia desarrollada por el motor en el eje?. e) Si el motor se alimenta por medio de un transformador ideal de relación 15 kV / 380 V ± 5%, conexión Dy11, a través de una línea trifásica de impedancia 0,1 + j 0,5 Ω/fase ¿arrancará el motor?. Recuérdese que el par resistente en el arranque es de 50 Nm. En caso negativo, ¿que procedimiento sería el mas adecuado para que pueda arrancar el motor?. 8. Un motor trifásico de inducción de 6 polos, 50 Hz y 7 CV tiene los siguientes valores, en ohmios por fase referidos al estator, para una conexión en estrella:

r1 = 0,20;

r2 = 0,15;

x1 = 0,50;

x2 = 0,21;

xm = 14,31

Suponiendo constantes las pérdidas rotatorias de valor 390 W, y sabiendo que las pérdidas en el cobre del rotor a plena carga son de 115 W, calcular: a) La velocidad del motor a plena carga. b) La tensión de alimentación a plena carga. c) Con la tensión de alimentación calculada en b), el par interno máximo que puede suministrar el motor.

3

9. Una instalación está alimentada por un transformador trifásico, conexión Y-Y, que alimenta a 380 V tres motores asíncronos trifásicos de jaula de ardilla, como se indica en el esquema de la figura adjunta.

Los tres motores trifásicos son idénticos, tienen 10 polos, y los parámetros de su circuito equivalente son los siguientes: R 1 = 0,5 Ω; R 2’ = 0,8 Ω; X 1 = 3 Ω; X 2’ = 3,5 Ω. Se puede despreciar la rama en paralelo y las pérdidas mecánicas. Se pide: a) Si en la placa de características de los motores pone 220/380 V, ¿como se conecta el estator de cada uno de ellos?. b) Los motores M1 y M2 están trabajando con un deslizamiento del 4%, y el motor M3 del 2%. Calcular el rendimiento de cada uno de los motores. c) Lectura de cada uno de los aparatos de medida de la figura. d) Tensión en el primario del transformador. e) Factor de potencia en el lado de alta tensión del transformador, rendimiento del transformador y rendimiento total de la instalación. f) Potencia reactiva y capacidad por fase de una batería de condensadores conectados en triángulo antes del transformador en el lado de alta tensión, que eleve el factor de potencia hasta la unidad. g) Contestar al apartado c cuando la instalación lleva incorporados los condensadores del apartado f. 10. Para accionar un compresor del sistema neumático de un avión se utiliza un motor de inducción trifásico de cuatro polos conectado a la red de a bordo de 200 V de tensión entre fases a 400 Hz. Las resistencias y reactancias de dicho motor, en ohmios por fase para una conexión en estrella, son:

r1 = 1,0;

r2 = 0,7;

x1 = x2 = 1,0

Un ensayo de dicho motor en vacío con la tensión nominal ha dado los siguientes resultados: I0 = 3 A y P0 = 200 W. Calcular: a) La potencia del motor sabiendo que la velocidad a plena carga es 10.800 r.p.m. b) El par suministrado al compresor a plena carga. c) La corriente de arranque.

4

11. Un motor de inducción trifásico de 5 HP, 60 Hz, 220 V, conexión en estrella y 4 polos fue probado y se obtuvieron los siguientes datos:

Prueba de vacío

V o = 220 V;

Po = 310 W;

Io = 6,2 A.

Prueba de carga

V c = 220 V;

Pc = 3650 W; Ic = 11,3 A;

nc = 1710 r.p.m.

La resistencia del estator por fase es de 0,3 Ω. Calcular: a) La suma de las pérdidas mecánicas y las pérdidas en el hierro. Con los datos de la prueba de carga calcular: b) Las pérdidas en el cobre del estator. c) La potencia de entrada al rotor. d) Las pérdidas en el cobre del rotor. e) Potencia de salida en el rotor en W. f) Potencia de salida en HP. g) Par desarrollado. h) Porcentaje de eficiencia bajo carga (rendimiento). i) Factor de potencia del motor. 12. Un motor de inducción trifásico, de jaula de ardilla, de 6 polos, 25 kW, 230 V y conectado en triángulo tiene los siguientes parámetros del circuito equivalente en ohmios por fase: R 1 = 0,0,045 ; R 2’ = 0,054 ; X 1 = 0,29 ; X 2’ = 0,28 ; X µ = 9,6 .

a) Calcule la corriente y el par de arranque para este motor, que está conectado directamente a una fuente de 230 V. b) Para limitar la corriente de arranque, se propone conectar el devanado del estator en estrella y luego cambiarlo a conexión triángulo para operación normal. ¿Cuáles son los parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase en la conexión en estrella? ¿Con el motor conectado en estrella y funcionando directamente de una fuente de 230 V, calcule la corriente y el par de arranque. 13. Un motor de inducción trifásico de 220 V, 50 Hz, 6 polos y conexión estrella se ha ensayado en vacío y en cortocircuito, obteniéndose los siguientes resultados:

Vacío:

220 V.

20,8 A.

840 W.

Corto:

45 V.

50 A.

1000 W.

La resistencia del estator por fase es 0,047 Ω y las pérdidas mecánicas son de 200 W. Se pide:

5

a) Calcular la velocidad de funcionamiento, potencia y par útiles, y el rendimiento si absorbe una corriente de 62 A con un factor de potencia 0,85. b) Obtener la corriente y par de arranque del motor. c) Calcular la corriente que absorbe cuando desarrolla su par máximo y el valor de dicho par. 14. Un motor trifásico de inducción tiene 4 polos, 50 Hz, una resistencia y reactancia del rotor de 0,03 Ω/fase y 0,12 Ω/fase, respectivamente.

¿Cuál es el valor de la velocidad para la cual se obtiene el par máximo?. Hallar la resistencia exterior del rotor, por fase, que debe insertarse para obtener en el arranque el 75% del par máximo. ¿En qué % se reducirá por ello la corriente y cuál será ahora el f.d.p en reposo?. R e = X e = 0. 15. Un motor de inducción alimentado con una fuente de tensión trifásica de 220 V, 50 Hz, está proyectado para funcionar con un deslizamiento y velocidad nominal del 4 por 100 y 1400 rpm, respectivamente. Los resultados del ensayo en vacío son:

V= 220 V;

I = 1,38 A;

P = 225 W

I = 12,8 A;

P = 450 W

Los resultados del ensayo con rotor fijo son: V= 45,2 V;

Las tensiones en ambos ensayos es entre fases. La resistencia por fase (conexión en Y) del estator es de 0,52 Ω. Calcular: a) La intensidad de arranque. b) El par de arranque. c) La resistencia por fase que sería necesario conectar en serie con el estator para que la intensidad de arranque se reduzca a la mitad. d) El par de arranque en las condiciones del apartado anterior. 16. Un motor de inducción trifásico tiene una resistencia R r igual a 1 Ω. Cuando funciona a plena carga su deslizamiento es del 3%. Al aumentar el par resistente se produce un frenado llegando a pararse cuando el par sobrepasa los 100 Nm. Para dicho par crítico el deslizamiento es del 10%. Calcular:

a) La resistencia que hay que poner en serie con R r para que el par máximo se obtenga en el arranque. b) En este ultimo caso, calcular el valor de tal par máximo.

6

Despreciar R e y X e. 17. Un motor de inducción trifásico de 6 polos, 50 Hz, absorbe una potencia de 20 kW, cuando gira a 960 r.p.m. Las pérdidas totales del estator son de 0,5 kW y las de rozamiento y ventilación son de 1 kW. Calcular:

a) El deslizamiento. b) Las pérdidas en el cobre del rotor. c) El rendimiento. 18. Un motor asíncrono de 6 polos, 400 Hz, 200 V, trifásico, conectado en estrella, tiene las siguientes constantes referidas al estator: Resistencia del estator 0,294 Ohm Reactancia del estator 0,503 Ohm Resistencia del rotor 0,144 Ohm Reactancia del rotor 0,209 Ohm Reactancia de magnetización 13,25 Ohm Las pérdidas por rozamiento son de 403 W y son independientes de la carga. Para un deslizamiento del 2%, hallar la velocidad, potencia y par en el eje (útil), corriente en el estator, factor de potencia y rendimiento cuando el motor trabaja a tensión y frecuencias nominales. 19. Un motor asíncrono trifásico tiene los siguientes parámetros:

R 1 =R 2’ = 0,5 Ω; X cc = 5 Ω Si su capacidad de sobrecarga es igual a 2,2 (Mmáx/Mn ), calcular la relación entre el par de arranque y el par nominal en los siguientes casos: a) Arranque directo. b) Arranque por autotransformador con una tensión inicial del 75 % de la nominal. c) Arranque estrella - triángulo. 20. Un motor de inducción trifásico de 6 polos gira a la velocidad de 950 r.p.m., desarrollando una potencia de 30 CV. La tensión de funcionamiento es de 380 V y la frecuencia de 50 Hz. Se sabe que las pérdidas mecánicas son iguales a 1400 W, y el f.p.d. a plena carga es de 0,88. Calcular en estas condiciones:

a) Las pérdidas en el cobre del rotor. b) El rendimiento, siendo las pérdidas totales en el estator de 200 W. c) La corriente absorbida de la red. d) La frecuencia de las tensiones inducidas en el rotor.

7

21. Se dispone de un motor de inducción trifásico, tetrapolar, de 208 V y 60 Hz, conectado en estrella, con una velocidad nominal de 1710 rpm. Se han realizado dos ensayos, obteniéndose los siguientes valores:

Ensayo de Vacío o de Rotor Libre:

• Tensión del ensayo: 208 V. • Corriente consumida: 1,562 A. • Potencia consumida: 450 W. Ensayo de Cortocircuito o de Rotor Bloqueado:

• Tensión del ensayo: 27 V. • Corriente consumida: 2,77 A. • Potencia consumida: 59,4 W. Las pérdidas mecánicas por fricción y rozamiento son de 18 W. Calcular: a) Los parámetros del circuito eléctrico equivalente. En las condiciones nominales de funcionamiento: b) Corriente consumida por el motor. c) Potencia consumida, interna y útil. d) Par interno y par útil. e) Rendimiento. 22. Un motor de inducción trifásico de 60 Hz gira a 718 r.p.m. en vacío y a 690 r.p.m. a plena carga.

a) ¿Cuántos polos tiene este motor?. b) ¿Cuál es su deslizamiento a carga nominal?. e) ¿Cuál es su velocidad a un cuarto de plena carga?. d) Cuando tiene un cuarto de plena carga, ¿cuál es la frecuencia del rotor?. 23. Disponemos de un motor trifásico asíncrono conectado en delta de 203 CV, 1732 V, 8 polos y 50 Hz. A este motor se le realizaron los siguientes ensayos:

VACIO:

tensión de línea

1732 voltios.

8

CORTO:

intensidad de línea

18 amperios.

Potencia

4900 vatios.

tensión de línea

254 voltios.

intensidad de línea

35 amperios.

Potencia

2200 vatios.

Conocemos, además, que la resistencia del estator por fase es de 1 Ω (dato real) y que las pérdidas mecánicas son de 1100 W. Se pide: a) La velocidad nominal de funcionamiento del motor. b) El rendimiento nominal. c) El factor de potencia del motor. d) El par máximo y el par de arranque. 24. Un motor de inducción trifásico de 6 polos, 50 Hz, absorbe una potencia de 20 kW, cuando gira a 960 r.p.m. Las pérdidas totales del estator son de 0,5 kW y las de rozamiento y ventilación son de 1 kW. Calcular:

a) El deslizamiento. b) Las pérdidas en el cobre del rotor. c) El rendimiento. 25. Un motor de inducción trifásico, de rotor bobinado, de 20 CV, 220 V, 50 Hz, 6 polos, conexión estrella, se ha ensayado en vacío y en cortocircuito, dando los siguientes resultados:

VACIO:

220 V

20,8 A

840 W

CORTOCIRCUITO:

45 V

50 A

1100 W

La resistencia por fase del estator es de 0,048 Ω y la del devanado rotórico de 0,01 Ω. Las reactancias del devanado estatórico y la del devanado rotórico, reducida al estator, se supondrán iguales. Determinar, a partir de estos datos, las constantes del circuito equivalente. Las pérdidas mecánicas son iguales a 200 W. 26. Un motor asíncrono trifásico con rotor de jaula de ardilla de 6 polos, 50 Hz, está conectado en estrella a una red de 380 V. Los parámetros del circuito equivalente son:

R 1 = R 2’ = 0,5 Ω; X 1 = X 2’ = 2 Ω; PFe = Pm = 0 El par resistente de la carga se supone que sigue una ley lineal de la forma:

9

Mr = 35 + 0,06 n

(Par en Nm y n en r.p.m.)

Calcular: a) El par de arranque y la corriente de arranque del motor. b) Si la tensión de la red se reduce un 10%, ¿podrá arrancar el motor?. Justificar la respuesta. c) Con la tensión nominal aplicada al motor ¿a qué velocidad girará el motor con el par resistente señalado?. d) ¿Qué potencia desarrolla el motor en el eje en el caso anterior? Nota: para realizar el apartado c), es preciso resolver una ecuación de tercer grado en función del deslizamiento. Sugerencia: el valor de s está comprendido entre el 1 y el 2%. 27. Un motor de inducción de doble jaula tiene los siguientes parámetros:

50 Hz.;

R e = 1 Ω;

X e = 3 Ω;

Jaula exterior:

R 2’ = 3 Ω;

X 2’ = 1 Ω

Jaula interior:

R 2’ = 0,6 Ω;

X 2’ = 5 Ω

2p = 4

El primario se conecta en triángulo a una fuente de 440 V. Calcular el par de arranque y el par nominal para el 4% de deslizamiento. 28. Un motor de inducción de 4 polos, estator conectado en estrella, funcionando en vacío y a la tensión nominal de 380 V, entre fases, absorbe de la línea una corriente de 4 amperios y una potencia de 480 W. A plena carga, y con la tensión y corriente nominales, absorbe 4330 W. Se sabe que en estas condiciones, la corriente por fase del rotor, que está conectado en estrella, es de 7 amperios. Se conoce también que la corriente nominal a plena carga es de 8 A, que la resistencia por fase de estator es de 1,5Ω, que la del rotor es 1,3 Ω, que la corriente absorbida por fase de la línea al aplicar la tensión nominal al estator estando el rotor abierto es de 4 A y que la potencia absorbida en estas condiciones es de 320 W. Calcular a plena carga:

a) La potencia útil. b La potencia transformada. c) El rendimiento. d) La velocidad. e) El par interno. 29. Un motor de inducción trifásico de 6 polos, rotor bobinado, funcionando bajo una carga constante absorbe de la red de 220 V, una potencia de 15 kW con una corriente de 47 A. La frecuencia de la red durante todo el funcionamiento ha sido de 50,5 Hz y la velocidad de giro del

10

motor 970 r.p.m. El mismo motor funcionando en vacío absorbe una potencia de 760 W con una corriente de 20,5 A. Se pide: a) El factor de potencia del motor. b) El par interno desarrollado en vatios-síncronos y en N.m. c) Las pérdidas en el cobre del rotor. d) La potencia útil en kW y el rendimiento. Se sabe que la resistencia efectiva del devanado estatórico conectado en estrella y medida entre bornes del motor es 0,38 Ω y que las pérdidas mecánicas del motor son de 220 W. 30. Un motor trifásico de inducción de rotor en jaula de ardilla, de 230 V, 4 polos, 60 Hz, conectado en estrella, tiene en su circuito equivalente las siguientes constantes, en ohmios por fase, referidas al estator:

R1 = 0;

X1 = 1,2;

X2 = 1,5;

xm = 60

Las pérdidas rotatorias se suponen despreciables. Calcular: a) La relación entre el par máximo del motor alimentado a su tensión nominal a las frecuencias de 60 y 50 Hz. b) La velocidad de giro del par máximo a 50 Hz, sabiendo que el deslizamiento para par máximo a 60 Hz es del 30 por 100. 31. Un motor de inducción trifásico, conectado en estrella de 220 V, 6 polos, 50 Hz, tiene las siguientes constantes en ohmios por fase:

R 1 = 0,7; R 2’ = 0,3; X 1 = X 2’ = 0,6; X µ = 30 Suponiendo las pérdidas rotatorias constantes de 700 W, con la tensión nominal, a 50 Hz y un deslizamiento del 2 por 100, se desea conocer: a)

La velocidad en r.p.m.

b)

La corriente de entrada y su factor de potencia.

c)

La potencia de salida y el par de salida.

d)

Rendimiento del motor.

e)

Par máximo y deslizamiento de par máximo.

f)

Par de arranque.

g)

Par de frenado si se invierten dos fases de la alimentación.

11

h) Si al motor se le hace girar a una velocidad de 1050 r.p.m. ¿cuál es el par resistente desarrollado por la máquina?. 32. Las constantes paramétricas de un motor de inducción trifásico de 200 V, 4 polos, 50 Hz, conexión estrella, rotor bobinado son las siguientes:

R 1 = 0,10 Ω; X 1 = 0,30 Ω; R 2’ = 0,12 Ω; X 2’ = 0,30 Ω; Ge = 0,0005 S; Be = 0,07 S Calcular: a) La corriente del motor cuando el deslizamiento es igual al 5 %. b) El par motor y el rendimiento para el mismo deslizamiento. c) El par motor y la corriente consumida en el arranque. 33. Los parámetros del circuito equivalente de un motor de inducción trifásico, tetrapolar, de 208 V y 60 Hz conectado en Y son: R 1 = 0,4 Ω; R 2’ = 0,3 Ω; R Fe = 225 Ω; X 1 = 0,8 Ω; X 2’ = 0,9 Ω; X µ = 40 Ω. La pérdida en el cobre es de 45 W y las pérdidas por fricción son 160 W. Cuando el motor opera con un deslizamiento del 5%, determine:

a) La corriente consumida por el motor. b)La potencia de entrada. c)La potencia en el entrehierro. d) La potencia desarrolla. e) La potencia de salida. f) El par en el eje. g) El rendimiento del motor. h) Deslizamiento de par máximo y par máximo que puede desarrollar el motor. i) Corriente y par de arranque a la tensión nominal. 34. Un motor de inducción de rotor devanado de cuatro polos, 60 Hz, 208 V, conectado en Y está especificado para 15 HP. Las componentes de su circuito equivalente son:

R 1 = 0,210 Ω; R 2’ = 0,137 Ω; X µ = 13;2 Ω; X 1 = 0,442 Ω; X 2’ = 0,442 Ω Pmec = 300 W; Pnúcleo = 200 W Para un deslizamiento de 0,05, se pide: a) La corriente de línea.

12

b) Las pérdidas en el cobre del estator. e) La potencia del entrehierro. d) La potencia convertida de eléctrica en mecánica. e) El par producido y el par de carga. g) El rendimiento total de la máquina. h) La velocidad del motor en revoluciones por minuto y en radianes por segundo. i) ¿A qué deslizamiento se presenta el par máximo de salida?. ¿Cuál es la magnitud de ese par?. j) ¿Cuánta resistencia adicional (referida al circuito del estator) es necesario agregar en el circuito del rotor para que el par máximo de salida se presente en el momento del arranque (cuando el eje está quieto)?. k) Si el motor se conecta a una red de potencia de 50 Hz, ¿cuál debe ser el voltaje alimentación?. ¿Por qué?. ¿Cuáles son los valores de los componentes del circuito equivalente a 50?. Contestar los apartados anteriores para el motor funcionando a 50 Hz con un deslizamiento 0,05 y el voltaje apropiado para esta máquina. 35. Un motor de inducción trifásico de cuatro polos, conectado en estrella de 460 V, 25 kW y 60 Hz, tiene los siguientes parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase referidos al estator: R 1 = 0,103 ; R 2’ = 0,225 ; X 1 = 1,10 ; X 2’ = 1,13 ; X µ = 59,4 . Las pérdidas totales por fricción y rozamiento con el aire se consideran constantes a 265 W, y las pérdidas en el núcleo pueden considerarse igual a 220 W. Con el motor conectado directamente a una fuente de 460 V, calcule la velocidad, el par y la potencia de salida, el factor de potencia y el rendimiento para los siguientes deslizamientos: 1, 2 y 3%. 36. Un motor de inducción con condensador de arranque de 220 V, 1,5 HP, 50 Hz, seis polos, conexión en estrella, tiene las siguientes impedancias en el devanado principal:

R 1 = 1,30 Ω; R 2’ = 1,73 Ω; X µ = 105 Ω; X 1 = 2,02 Ω; X 2’ = 2,01 Ω Con un deslizamiento de 0,05, las pérdidas rotacionales son de 291 W y pueden asumirse constantes en el rango de operación normal del motor. Calcular: a) Corriente en el estator. b) Factor de potencia del estator. c) Potencia de entrada y de salida. d) Par desarrollado y de salida. e) Rendimiento.

13

f) El par producido en el motor si opera con un deslizamiento del 5 por ciento y su voltaje en terminales es: 190 V, 208 V y 230 V. g) Par desarrollado en el arranque en modo directo y corriente consumida cuando la tensión de alimentación es la nominal. h) Par máximo que puede desarrollar el motor y el deslizamiento al cuál se produce. 37. El ascensor de una vivienda tiene instalado como máquina motriz un motor de inducción trifásico, de jaula de ardilla, 220/380 V, 50 Hz y 120 polos. Los resultados obtenidos tras ensayar la máquina funcionando en vacío y funcionando con el rotor bloqueado, con la conexión estatórica adecuada e idéntica en ambos ensayos son los siguientes:

Ensayo de Vacío: U0 = 220V; I0 = 7,65 A; P0 = 756 W; n0 = 49,85 r.p.m. Ensayo de Rotor Bloqueado: Ucc = 220V; Icc =17,11 A; Pcc = 542 W. Con el objeto de obtener el valor de la resistencia del devanado estatórico, con el motor conexionado de la misma que en los ensayos, se ha aplicado entre dos de las fases del estator una tensión de corriente continua de 6 V y se ha medido una intensidad de 9 A. Se desprecia el efecto piel. La red eléctrica de alimentación es trifásica: 220 V y 50 Hz. Considerando constante el par de pérdidas mecánicas de la máquina, se pide: a) Conexión del motor, y el dibujo normalizado de la placa de bornes de la máquina. b) Circuito equivalente aproximado, por fase, de la máquina. c) Velocidad de ascenso de la cabina del ascensor sabiendo que transporta 6 personas de 80 kg y que el radio de la polea que acciona es de 0,2 m. El peso de la cabina se compensa con contrapesos. (Considerar g =10m/s2 ). d) Velocidad de descenso de la cabina del ascensor cuando transporta las mismas personas. El mecanismo de automatización intercambia dos de las fases de alimentación de la máquina cuando comienza dicho descenso. 38. En determinadas condiciones de carga, un motor de inducción trifásico, conectado en triángulo, absorbe de una red de 220 V una potencia de 64300 W con factor de potencia 0,85. La relación entre la resistencia estatórica y rotórica referida al estator es de 0,7 y se sabe que el par máximo se produce a 1406 r.p.m. Considerando despreciables las pérdidas mecánicas y la rama de vacío, calcular:

a) Intensidad absorbida, balance de potencias y par desarrollado a 1455 r.p.m. b) Intensidad absorbida y par desarrollado en un arranque directo. c) Velocidad de giro funcionando como freno a contracorriente con un par de 40 Nm. 39. Las impedancias por fase de un motor de inducción de 15 kW, 690/400V, 50 Hz, 4 polos, referidos a la frecuencia de 50 Hz, son las siguientes:

14

R 1 = 0,5 Ω; R 2’ = 0,75 Ω; X 1 = X 2’ = 2,6 Ω; X µ = 50 Ω Se alimenta desde una red de 400 V y acciona una carga de tipo ventilador cuya característica de par resistente par de un valor de 15 Nm en reposo, presenta un mínimo de 2,3 Nm a 220 rpm y llega a valer 105 Nm a 1500 rpm. Se desprecian las pérdidas mecánicas. Se pide: a) Calcular la corriente y el par de arranque directo. b) Comprobar si se puede arrancar mediante arranque estrella-triángulo. c) Calcular la intensidad absorbida de la red, el factor de potencia, el par en el eje, la velocidad de giro y el rendimiento del motor cuando funciona a plena carga en conexión triángulo sobre una red de 380 V. 40. En una industria se dispone de motores idénticos de las siguientes características: motor trifásico de inducción tetrapolar tipo jaula y conectado en tríangulo. Se sabe que en unas pruebas realizadas sobre uno de los motores, éste desarrolló un par en el rotor de 58,67 Nm con un deslizamiento del 5%, consumiendo una intensidad de 16 A con un factor de potencia de 0,9015 y una potencia reactiva de 4608 Var.

Para el suministro eléctrico a esta industria se dispone de dos transformadores tipo Yy acoplados en paralelo y alimentados a 20 kV, cuyos datos de ensayos, en condiciones distintas al régimen nominal, son: Transformador A • Relación de tensiones en vacío: 230/4,6 V. • Ensayo de cortocircuito (valores medidos en baja tensión): • Tensión aplicada: 40 V. • Corriente consumida: 1732 A. • Potencia consumida: 20837 W. Transformador B • Relación de tensiones en vacío: 230/4,63 V. • Ensayo de cortocircuito (valores medidos en baja tensión): • Tensión aplicada: 25 V. • Corriente consumida: 1082,5 A. • Potencia consumida: 8139,5 W . En un instante determinado, las máquinas que están funcionando en la industrial son cinco motores idénticos al descrito, teniendo cada uno de ellos un deslizamiento del 8%. En estas condiciones y despreciando las ramas de vacío de todas las máquinas, se pide: a) Obtener la intensidad que circula por los devanados de cada transformador. b) Calcular el valor de la regulación del transformador A. c) Calcular el par desarrollado en el rotor de cada motor.

15

41. Se dispone de una instalación industrial donde dos transformadores acoplados en paralelo alimentan, como únicas cargas, a tres motores de inducción idénticos. Se conoce lo siguiente:

Motores de Inducción • Rotor en jaula de ardilla. • Tensiones nominales: 380/660 V. • Frecuencia de alimentación: 50 Hz. • Velocidad nominal rotórica: 959 r.p.m. • Rama de vacío despreciable, Pmec = 80 kW (constantes). Las pérdidas por efecto Joule en el estator y en el rotor son iguales. • El arranque se realiza mediante un arrancador estrella-triángulo a su tensión nominal, siendo la corriente consumida del embarrado en B.T. por cada motor de 1000 A y el par desarrollado por cada uno de ellos en el eje de 1000 Nm. Alimentados a su tensión nominal, el régimen de carga diario de los motores es el siguiente:

• 12 horas: funcionando los tres motores a plena carga. • 6 horas: dos motores desarrollan el 80% de su potencia a plena carga en el eje y el tercero está en vacío. • 6 horas: los tres motores están desconectados de la red. Transformadores

• UN1A/ UN2A = UN1B/ UN2B = 20000/390 V. • SNA = SNB. • Igual conexión: Yz11. • UccA = 5 %; UccB = 4 %; φccA = 60º; φccB = 65º. • En el régimen de mayor carga de los descritos: U1 = 20000 V, U2 = 380 V. Se pide: a) Rendimiento energético diario del conjunto de motores.

16

b) Factor de potencia medio en el embarrado de B.T. c) Impedancia de cortocircuito y potencia nominal de cada transformador. d) Tensión de alimentación de los transformadores en el segundo régimen de carga. 42. Una bomba instalada en una autopista para la eliminación del agua de la lluvia es accionada mediante un motor de inducción trifásico de 2 pares de polos que tiene las curvas características de la siguiente figura.

El motor se alimenta a una tensión de 380 V (50 Hz). La bomba presenta, incluidas las pérdidas mecánicas, un par resistente dado por la siguiente expresión (el par en Nm y la velocidad ω en rad/s): M res = 3,2 + 0,0017ω 2 . Determinar en el punto de funcionamiento: a) La velocidad de rotación del motor, el par desarrollado, el deslizamiento y el rendimiento. b) Las potencias activa, reactiva y compleja y el factor de potencia. c) La corriente de línea (módulo y fase). Determinar, en el instante de arranque: d) El par motor, el par resistente y el factor de potencia. Determinar si podrá arrancar la bomba. Si se desea arrancar la bomba con el par máximo que puede proporcionar el motor,

17

e) Calcular, en función de la resistencia interna del rotor, las resistencias que deben añadir en serie con el rotor. Si la tensión de alimentación se reduce un 10%, f) Determinar el valor del nuevo par de arranque de la máquina. ¿Podría ahora arranc ar la bomba? 43. Se dispone de un motor de inducción trifásico de 6 polos y conexión en triángulo con las siguientes características medidas a plena carga: 36,08 A; 400 V; 50 Hz, fdp = 0,982.

El motor acciona una carga cuyo par resistente expresado en Nm viene dado en función de la velocidad de giro del motor expresada en r.p.s., según la siguiente expresión: T R

= 0, 6847 ⋅ n2 + 46, 23

Alimentado desde una red de 400 V, la intensidad consumida en un arranque directo es 5 veces la corriente nominal con un f.d.p. de 0.3163, y siendo el par desarrollado en el eje de 200 Nm. El Reglamento Electrotécnico de Baja Tesión (R.E.B.T.) limita el valor de la intensidad consumida en el arranque en función de la potencia y de la corriente nominal del motor. Para corriente alterna ha de cumplirse: Potencia nominal del motor

K máxima=Iarranq ue/INominal

De 1,5 kW a 5 kW

3

De 5 kW a 15 kW

2

De más de 15 kW

1,5

Despreciando la rama del vacío del circuito eléctrico equivalente del motor y considerando las pérdidas mecánicas constantes, analizar con cuál o cuáles de los siguientes métodos es posible arrancar este motor cumpliendo con el R.E.B.T. Justificar numéricamente las respuestas: 1. Arranque por inserción de una impedancia en serie con la alimentación al estator. 2. Arranque por autotransformador (se considerará ideal). 3. Arranque estrella-triángulo. 4. Arranque por variación de la resistencia retórica, suponiendo que el motor es de rotor bobinado. 44. Se dispone de una línea de alimentación a dos motores de inducción trifásicos idénticos. El circuito parte de un embarrado que se encuentra a la tensión constante de 400 V y 50 Hz. La longitud del circuito entre el embarrado y los motores es de 20 m, presentando una impedancia de (22,5+j10,9)/km.

18

Las características de cada motor son: rotor en jaula de ardilla, 230/400 V, 6 polos, 50 Hz y resistencia del estator 0,2 . En un arranque directo alimentado a la tensión de 400 V y 50 Hz, el motor consume una corriente de 182,56 A y desarrolla un par de 191 Nm. Se consideran despreciables las pérdidas mecánicas y la rama de vacío del circuito eléctrico equivalente de los motores. 1. Calcular el circuito eléctrico equivalente aproximado de cada motor. 2. Sí solo funciona un motor, ¿cuál es el deslizamiento para el cual se obtiene el par máximo? 3. Uno de los motores trabaja a una velocidad de 950 rpm. Manteniéndose constante esta velocidad, se conecta el segundo motor. Determinar en ese instante: la tensión de alimentación de los dos motores, el par desarrollado por el primer motor y el valor máximo del par resistente que puede haber en el eje del segundo motor para que este comience a girar. 4. Girando ambas máquinas a una velocidad constante de 959 r.p.m., se intercambia la conexión al embarrado de dos de las fases del circuito de alimentación de las mismas. Determinar en este instante la intensidad consumida (valor complejo) así como el modo de funcionamiento de las dos máquinas. 5. En determinadas condiciones, las cargas accionadas por las dos máquinas asíncronas llevan a éstas a trabajar a la velocidad de 1050 r.p.m. Determinar la potencia activa y reactiva consumida o cedida por las máquinas, así como su modo de funcionamiento. 45. Una empresa dedicada al tratamiento de aguas residuales ha adquirido una máquina de inducción trifásica de 380 V y 50 Hz, p ara accionar una bomba de agua. Una vez recibida la máquina, los ingenieros de planta deciden ensayarla para obtener su circuito eléctrico equivalente aproximado. Los resultados obtenidos son:

Ensayo de Vacío: U0 = 380 V; I0 = 9 A; P0 = 1141 W; n0 = 1495, 5 rpm Ensayo de rotor bloqueado: Ucc = 17 V; Icc = 4,82 A; Pcc = 66,44 W. Con el objeto de obtener el valor de la resistencia del devanado estatórico, con el motor conexionado de la misma forma que en los ensayos, se ha aplicado entre dos de las fases fases del estator una tensión de corriente continua de 10 V y se ha medido una intensidad de 15, 15 A. Se desprecia el efecto piel. Se pide: 1. Con los datos que han obtenido los ingenieros de planta, obtener el circuito eléctrico equivalnte aproximado por fase de la máquina asíncrona. 2. Calcular el par de pérdidas mecánicas que se consideraran constantes. 3. Si el deslizamiento de la máquina asíncrona es 0,018, calcular la potencia desarrollada, la potencia consumida y el rendimiento de la máquina.

19

4. Calcular la corriente que consumiría la máquina si en la tubería de admisión de la bomba penetra una rama de árbol que hace que se pare por completo, continuando alimentada la máquina asíncrona a su tensión nominal. 5. Calcular la velocidad de giro del rotor si se cierra bruscamente el paso de agua a la bomba, de forma que el par de carga se pueda considerar nulo. 6. Cuando la máquina está trabajando con un deslizamiento de 0,018 y, por un error del operario, se intercambian dos de las fases de alimentación de la máquina, calcular el par desarrollado en ese instante. 46. Se dispone de un motor de inducción trifásico de 6 polos y tensiones nominales 400/692 V. Para el arranque del motor se emplea un arrancador estrella-triángulo, cambiando la conexión cuando el motor alcanza el 75% de su velocidad de sincronismo. Se conocen los siguientes datos del arranque del motor, según el procedimiento descrito anteriormente: Corriente consumida 100 A; Factor de Potencia 0,25; Par de arranque 75 Nm.

Se pide: 1. Circuito monofásico equivalente del motor, despreciando la rama de vacío. 2. Potencia compleja consumida por el motor cuando desplaza una carga determinada a 970 rpm. 3. Pérdidas mecánicas si el par resistente anterior es de 440 Nm. 47. En una fábrica se alimenta un banco de 10 motores de inducción mediante dos transformadores de potencia conectados en paralelo. Las características de los transformadores y de los motores son las siguientes:

Transformador A: Conexión YY Tensiones nominales 20kV/400V Ensayo de cortocircuito, realizado por el lado de baja tensión: Tensión de alimentación 30 V; Corriente consumida 1300 A; Potencia del ensayo 11500 W. Transformador B: Conexión YY Tensiones nominales 20kV/400V Ensayo de cortocircuito, realizado por el lado de baja tensión: Tensión de alimentación 20 V; Corriente consumida 850 A; Potencia del ensayo 5250 W Motores Asíncronos (los 10 son idénticos):

20

Conexión en triángulo 4 Polos y 50 Hz de frecuencia Datos en condiciones nominales de funcionamiento: Par en el rotor 60 Nm; Deslizamiento 5%; Corriente consumida 14,14 A; Potencia consumida 9800 W; Factor de Potencia 0,902. Se pide: 1. Dibujar un esquema (diagrama unifilar) de la instalación de la fábrica. 2. Obtener el circuito monofásico equivalente de la instalación. 3. En un determinado instante, todos los motores giran a la misma velocidad de 1380 rpm. Calcular cuál será la regulación a la que estarán trabajando los transformadores. 4. En otro instante determinado, 2 motores están parados, 3 motores están girando a 1400 rpm, 3 motores a 1380 rpm y el resto a 1450 rpm. Calcular la potencia compleja que aporta cada transformador al conjunto de motores y la tensión en el secundario. 5. Si se dispusiera de un sistema automático de compensación de la potencia reactiva que consumen los motores (conectado en paralelo en el lado de baja tensión de los transformadores), calcular la tensión en el secundario de los transformadores en el apartado 3 y 4. 48. En una instalación industrial se emplea un transformador para alimentar dos motores de inducción trifásicos, con las siguientes características:

Rotor de Jaula de Ardilla Tensión nominales: 400V/692V 6 Polos y 50 Hz de frecuencia de alimentación Pérdidas por rozamiento y ventilación 80 kW Velocidad nominal del motor 950 rpm La resistencia del inducido referida al estator es igual que la del inductor. El motor se pone en marcha mediante un arrancador estrella-triángulo. El pico de corriente en el arranque es de 1000 A y el par de arranque desarrollado es 1000 Nm. El transformador tiene las siguientes características: Tensiones nominales 20kV/400 V Conexión Yz11 ε cc

= 5%; ϕ cc = 60º 21

Potencia nominal: 1400 kVA Se pide: 1. Esquema unifilar de la instalación y circuito monofásico equivalente de las tres máquinas. 2. ¿Cuál es la potencia nominal del motor? 3. Suponiendo que la tensión de alimentación del transformador es constante e igual a la nominal y que los motores están accionando sendas cargas girando a 940 rpm, calcular cuál será la tensión de alimentación de los motores y el índice de carga del transformador. 4. En otro régimen de funcionamiento, la carga accionada por uno de los motores incrementa su par resistente en un 15%. El otro motor sigue accionando la misma carga y girando a 940 rpm. Volver a realizar los cálculos del apartado anterior. 5. A la vista de los resultados anteriores, razone si el ingeniero encargado del diseño de la instalación realizó una correcta elección del transformador. 49. Se dispone de un motor asíncrono que acciona una carga que ejerce un par resistente según la siguiente ecuación: Tr = 50 + 0,65 n2 (donde n es la velocidad de giro del motor en rps y el par resistente está expresado en Nm). Del motor de inducción se conocen los siguientes datos:

Conexión en triángulo, 6 polos, 50 Hz Datos en condiciones nominales: I n = 36 A; V n = 400 V ;fdp = 0,98 Datos

en

un

arranque

directo

a

la

tensión

nominal:

I arr = 165 A; cos (ϕ ) = 0,3; T arr = 210 N m

Según el R.E.B.T. la tabla de intensidades de arranque para motores de inducción es al siguiente: Potencia

K máxima=Iarr/Inominal

1,5-5kW

3

5-15 kW

2

>15 kW

1,5

Indique cuál o cuáles de los siguientes métodos de arranque se ajustan al R.E.B.T., considerando que el par de pérdidas mecánicas es despreciable: 1. Arranque directo a la tensión nominal. 2. Arranque por autotransformador.

22

3. Arranque estrella-triángulo. 4. Arranque por inserción de resistencia retóricas.

50. En una instalación industrial se emplea, para alimentar un motor de inducción trifásico, un transformador de potencia con las siguientes características:

Tensiones nominales 11kV/400V Potencia nominal 25 kVA Datos del ensayo de cortocircuito: Pcc = 250 W ; ε cc = 8% El motor asíncrono que alimenta este transformador tiene las siguientes características: Conexión en estrella, 2 pares de polos Corriente nominal 29 A Tensión de alimentación nominal 400 V Potencia nominal 15 kW Velocidad de giro en condiciones nominales de funcionamiento 1440 rpm Factor de potencia 0,9 Pérdidas mecánicas por rozamiento y ventilación 300 W Se pide: 1. Esquema unifilar de la instalación y circuito monofásico equivalente. 2. En un determinado instante, la máquina accionada por el motor le impone un par resistente de 80 Nm. Calcular la velocidad de giro de motor y la tensión de alimentación del mismo (se considera constante la tensión de alimentación del transformador).

23

51. Una instalación industrial está alimentada por un transformador trifásico, conexión Yy, que alimenta a tres motores asíncronos trifásicos de jaula de ardilla, como se indica en el esquema de la figura adjunta.

Los tres motores trifásicos son idénticos, tienen 10 polos, tensiones nominales 220/380 V y los parámetros de su circuito equivalente son los siguientes: R1 = 0,5 ; R2’ = 0,8 ; X1 = 3 ; X2’ = 3,5  Se puede despreciar la rama en paralelo y las pérdidas mecánicas en los motores asíncronos. La tensión de alimentación del transformador es 13200 V. Los motores M1 y M2 están trabajando con un deslizamiento del 4%, y el motor M3 del 2%. Se pide: 1. Tensión en el secundario del transformador. 2. Potencia total (activa y reactiva) suministrada por el transformador al conjunto de los tres motores. 3. Par desarrollado por cada uno de los motores. 4. Rendimiento global de la instalación.

24

MÁQUINA ASÍNCRONA Problemas resueltos P R O B L E M A 1

U

n motor asíncrono trifásico conectado en estrella de 11,2 kW, 380 V, 50 Hz y 4 polos, ha dado los siguientes resultados en unos ensayos: Ensayo de Vacío: 380 V, 3 A, 700 W, Ensayo de Cortocircuito: 100 V, 20 A, 1200 W.

La resistencia de cada fase del devanado primario o del estator es igual a 0,5 Ω, las pérdidas mecánicas son 250 W y se consideran constantes. Calcular: a) La velocidad de sincronismo. b) La resistencia de pérdidas en el hierro, R FE FE, y la reactancia de magnetización, X µ. c) La resistencia y la reactancia de cortocircuito. d) La resistencia del rotor referida al estator R 2’. El motor, alimentado a la tensión nominal, está funcionando a plena carga con un deslizamiento del 5%. e) Dibujar el circuito equivalente del motor. Calcular: f) La corriente del rotor referida al estator. g) La corriente de vacío, indicando las componentes de pérdidas en el hierro y de magnetización. h) La corriente del estator. i) Las pérdidas en el hierro. j) Potencia mecánica interna. k) Potencia mecánica útil. l) Rendimiento del motor. m) Velocidad de giro del motor. n) Par desarrollado por el motor y el par útil.

25

Solución

Notación empleada n1 n Ω P0 Pm PFE Pcu1 Pcc R 1 R 2’ R c’ E0 I0F I0 IFE Iµ R FE FE X µ Ecc Icc R cccc X cccc E1 I1 I2 ’ f P1 Pu η m1 s Mmi Mu

Velocidad de sincronismo del motor, en r.p.m. Velocidad de giro del motor, en r.p.m. Velocidad de giro del motor, en rad/seg. Potencia activa del ensayo de vacío. Potencia de pérdidas mecánicas. Potencia de pérdidas en el hierro. Potencia de pérdidas en el cobre del estator. Potencia del ensayo de cortocircuito. Resistencia por fase del estator. Resistencia por fase del rotor referida al estator. Resistencia de carga referida al estator. Tensión del ensayo de vacío, en valor de fase. Corriente del ensayo de vacío, en valor de fase. Corriente de vacío. Corriente de pérdidas en el hierro. Corriente de magnetización. Resistencia de pérdidas en el hierro. Reactancia de magnetización. Tensión del ensayo de cortocircuito, en valor de fase. Corriente del ensayo de cortocircuito, en valor de fase. Resistencia de cortocircuito. Reactancia de cortocircuito. Tensión de fase del estator. Corriente de fase del estator. Corriente de fase del rotor, referida al estator. Frecuencia de la red. Potencia absorbida por el motor. Potencia útil. Rendimiento. Número de fases del estator. Deslizamiento. Par mecánico interno. Par útil.

Apartado A

El número de pares de polos, p, es 2, y la frecuencia de la red 50 Hz. Por tanto la velocidad de sincronismo vale: n1

=

60 ⋅ f p

=

60 ⋅ 50 2

. .m. = 1.500 r p

Apartado B

En un ensayo de vacío o de rotor libre de una máquina asíncrona, además de las pérdidas en el hierro se contabilizan las pérdidas mecánicas, que se suelen considerar constantes, y las pérdidas en el cobre del estator. P0

= PFE + Pcu1 + Pm

26

Si despejamos en la ecuación anterior se pueden calcular las pérdidas en el hierro: PFE

= P0 − Pm − Pcu1

Las pérdidas mecánicas son un dato del problema y valen 250 W. Las pérdidas en el cobre del estator para el ensayo de vacío se pueden calcular, puesto que nos proporcionan el dato de la resistencia del estator R 1. Pcu1

= 3 ⋅ R 1 ⋅ I 02F = 3 ⋅ 0,5 ⋅ 32 = 13,50 W

Entonces las pérdidas en el hierro valen: PFE

= P0 − Pcu1 − Pm = 700 − 13,50 − 250 PFE = 436,50 W

El siguiente paso está encaminado a encontrar las dos componentes de la corriente de vacío. El procedimiento es el mismo que en los transformadores, utilizando como circuito equivalente de la máquina asíncrona el siguiente: PFE cos ϕ 0

=

= 3 ⋅ E 0 ⋅ I 0F ⋅ cos ϕ 0 PFE

3 ⋅ E 0 ⋅ I 0F senϕ 0

436,50 380 3⋅ ⋅3 3 = 0,98

=

= 0,22

Las componentes de la corriente de vacío son las siguientes:

= I 0F ⋅ cos ϕ 0 = 3 ⋅ 0,22 = 0,66 A Iµ = I 0 F ⋅ senϕ 0 = 3 ⋅ 0,98 = 2,93 A

I FE

Ya se se dispo disponen nen de todos todos los los datos datos necesa necesario rioss para para encontr encontrar ar los valore valoress de de R FE, y X µ: E0 R FE

=

E0 I FE

= E0

Xµ

=

E0 Iµ

=

= R FE ⋅ I FE 380

3

0,66

= 330,81 Ω

= Xµ ⋅ Iµ 380 2,93

27

3

= 74,99 Ω

Apartado C

El circuito equivalente por fase del motor asíncrono para el ensayo de cortocircuito o de rotor bloqueado es el siguiente.

Hay que tener en cuenta que en el arranque el deslizamiento del motor vale uno, y que podemos despreciar la rama en paralelo. El procedimiento a seguir para calcular R cc y X cc es el mismo que en los transformadores. Pcc cos ϕ cc

=

= 3 ⋅ E cc ⋅ I cc ⋅ cos ϕ cc Pcc

3 ⋅ E cc ⋅ I cc senϕ cc

1.200 100 ⋅ 20 3⋅ 3 = 0,94

=

= 0,35

La resistencia de cortocircuito es la siguiente: E cc ⋅ cos ϕ cc

= R cc ⋅ I cc 100

R cc

=

E cc ⋅ cos ϕ cc I cc R cc

=

= 1 Ω Fase

La reactancia de cortocircuito vale:

28

3

⋅ 0,35

20

E cc ⋅ senϕ cc

= X cc ⋅ I cc 100

X cc

=

E cc ⋅ senϕ cc I cc X cc

=

3

⋅ 0,94

20

= 2,71 Ω Fase

Apartado D

Resistencia del rotor referida al estator:

= R 1 + R 2 ' R 2 ' = R cc − R 1 = 1 − 0,5 R 2 ' = 0,5 Ω R cc

Fase

Apartado E

Circuito equivalente aproximado del motor por fase.

Apartado F

Ahora el motor está funcionando a plena carga con un deslizamiento s igual a 0,05. Del circuito equivalente del motor se puede deducir la siguiente ecuación, que nos permite encontrar el valor de la corriente del rotor referida al estator.

29

E1

= ((R cc + R c ') + j ⋅ X cc ) ⋅ I 2 ' I2 '=

E1

(R cc + R c ') + j ⋅ X cc

Se toma como origen de fases la tensión de alimentación del estator: E1

=

380 3

∠0º V

R c’ es la resistencia de carga. Teniendo en cuenta que el deslizamiento es 0,05, el valor de la resistencia de carga es el siguiente:

⎛ 1 − 1 ⎞ = 0,5 ⋅ ⎛ 1 − 1 ⎞ = 9,5 Ω ⎜ ⎟ ⎟ Fase ⎝ s ⎠ ⎝ 0,05 ⎠

R c ' = R 2 '⋅⎜

Sin olvidar que estamos trabajando con valores de fase, la corriente del rotor referida al estator es la siguiente: 380

I2 '=

∠0º 3 = 20,23∠ − 14,47 º A (1 + 9,5) + j ⋅ 2,71

Apartado G

La corriente de vacío I0 se puede descomponer en la suma de dos términos: la corriente de pérdidas en el hierro IFE, y la corriente de magnetización Iµ. I0

= I FE + I µ

La corriente de pérdidas en el hierro está en fase con la tensión de alimentación del estator, que sigo tomando como origen de fases. E1

= R FE ⋅ I FE 380

I FE

=

I FE

E1 R FE

=

∠0º 3 330,81

= 0,66∠0º A

Sin embargo, la corriente de magnetización retrasará 90º respecto a la misma tensión.

30

= j ⋅ X µ ⋅ I µ

E1

380 Iµ

=

Iµ

E1 j ⋅ X µ

=

∠0º

3 j ⋅ 74,99

= 2,93∠ − 90º A

La corriente de vacío se obtendrá sumando fasorialmente IFE e Iµ. I0

= I FE + I µ = 0,66 + 2,93∠ − 90º I 0 = 3∠ − 77,23º A

Apartado H

La corriente que el motor está consumiendo en esta situación de carga será, como se puede deducir del circuito equivalente del motor, la suma de la corriente del rotor referida al estator más la corriente de vacío: I1

= I 2 '+ I 0 = 3∠ − 77,23º +20,23∠ − 14,47 º I1 = 21,77∠ − 21,51º A

Apartado I

Las pérdidas en el hierro equivalen a las pérdidas de potencia por efecto Joule en la resistencia R FE. Se podría utilizar cualquiera de las dos siguientes expresiones: PFE PFE

= 3 ⋅ E1 ⋅ I FE = 3 ⋅ R FE ⋅ I 2FE

y el resultado sería el siguiente: PFE

= 432,3 W

Apartado J

La resistencia de carga R c’ se utiliza para representar el efecto de la carga mecánica que tiene que mover el motor. La potencia mecánica interna que desarrolla el motor, para mover la carga y superar las pérdidas mecánicas por rozamiento, equivale a la potencia disipada en esa resistencia.

31

Pmi

1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ = m1 ⋅ R 2 '⋅⎛ − 1⎟ ⋅ 20,23 2 ⎜ − 1⎟ ⋅ I1 ' 2 = 3 ⋅ 0,5 ⋅ ⎜ ⎝ s ⎠ ⎝ 0,05 ⎠ Pmi = 11.663,71 W

Apartado K

La potencia útil es la que realmente se utiliza para mover la carga, es decir, la potencia mecánica interna menos las pérdidas. Pu

= Pmi − Pm = 11.663,71 − 250 Pu = 11.413,71 W

Apartado L

Potencia consumida por el motor. P1

= 3 ⋅ E1 ⋅ I1 ⋅ cos ϕ1

El cosϕ1 es el coseno del argumento de la corriente absorbida por el estator. P1

= 3⋅

380 3

⋅ 21,77 ⋅ cos(21,51) = 13.330,63 W

Rendimiento del motor en la situación de plena carga.

η=

Pu P1

⋅ 100 = 85,62%

Apartado M

Velocidad de giro del motor. s= n

n1

−n

n1

= (1 − s ) ⋅ n 1 = (1 − 0,05) ⋅ 1.500 n = 1.425 r p . .m.

Apartado N

32

Par mecánico interno. Pmi

= M mi ⋅ Ω

Ω es la velocidad de giro del motor en rad/seg. M mi

=

Pmi

Ω

Pmi

=

M mi

2⋅π⋅n

11.663,71 2 ⋅ π ⋅ 1.425

=

60 60 = 78,16 N ⋅ m

Par útil. Pu Mu

=

Pu

Ω

=

= Mu ⋅ Ω Pu

2⋅π⋅n

=

11.413,71 2 ⋅ π ⋅ 1.425

60 60 M u = 76,49 N ⋅ m

33

P R O B L E M A 2

U

n motor asíncrono trifásico conectado en estrella de 380 V, 50 Hz y 4 polos, ha dado los siguientes resultados en unos ensayos: Ensayo de Vacío: 380 V, 3,2 A, 710 W, Ensayo de Cortocircuito: 100 V, 20 A, 1250 W.

La resistencia de fase del devanado primario o del estator es igual a 0,6 Ω. Las pérdidas mecánicas son 260 W y se consideran constantes. Calcular: a) La resistencia de pérdidas en el hierro, R FE, y la reactancia de magnetización, X µ. b) La resistencia y la reactancia de cortocircuito. El motor, alimentado a la tensión nominal, está funcionando a un determinado régimen de carga con un deslizamiento del 4,5%. Calcular: c) La corriente que está consumiendo el motor y su factor de potencia. d) El rendimiento del motor. e) El par total desarrollado por el motor y el par útil.

34

Solución

Notación empleada n1 n ω P0 Pm PFE Pcu1 Pcc R 1 R 2’ R c’ E0 I0F I0 IFE Iµ R FE X µ Ecc Icc R cc X cc E1 I1 I2 ’ f P1 Pu Pmi η s Tmi Tu

Velocidad de sincronismo del motor, en r.p.m. Velocidad de giro del motor, en r.p.m. Velocidad de giro del motor, en rad/seg. Potencia activa del ensayo de vacío. Potencia de pérdidas mecánicas. Potencia de pérdidas en el hierro. Potencia de pérdidas en el cobre del estator. Potencia del ensayo de cortocircuito. Resistencia por fase del estator. Resistencia por fase del rotor referida al estator. Resistencia de carga referida al estator. Tensión del ensayo de vacío, en valor de fase. Corriente del ensayo de vacío, en valor de fase. Corriente de vacío. Corriente de pérdidas en el hierro. Corriente de magnetización. Resistencia de pérdidas en el hierro. Reactancia de magnetización. Tensión del ensayo de cortocircuito, en valor de fase. Corriente del ensayo de cortocircuito, en valor de fase. Resistencia de cortocircuito. Reactancia de cortocircuito. Tensión de fase del estator. Corriente de fase del estator. Corriente de fase del rotor, referida al estator. Frecuencia de la red. Potencia absorbida por el motor. Potencia útil. Potencia mecánica interna. Rendimiento. Deslizamiento. Par mecánico interno. Par útil.

Apartado A

En un ensayo de vacío o de rotor libre de una máquina asíncrona, además de las pérdidas en el hierro se contabilizan las pérdidas mecánicas, que se suelen considerar constantes, y las pérdidas en el cobre del estator. P0

= PFE + Pcu1 + Pm


= P0 − Pm − Pcu1

Las pérdidas mecánicas son un dato del problema y valen 260 W. Las pérdidas en el cobre del estator para el ensayo de vacío se pueden calcular, puesto que nos proporcionan el dato de la resistencia del estator R 1 por fase. Pcu1

= 3 ⋅ R1 ⋅ I 02F = 3 ⋅ 0,6 ⋅ 3,2 2 = 18,43 W

35


= P0 − Pcu1 − Pm = 710 − 18,43 − 260 PFE = 431,57 W

El siguiente paso está encaminado a encontrar las dos componentes de la corriente de vacío. El procedimiento es el mismo que en los transformadores, utilizando como circuito equivalente de la máquina asíncrona el siguiente:

PFE

cos ϕ 0

=

= 3 ⋅ E 0 ⋅ I 0 F ⋅ cos PFE

431,57 380 3⋅ ⋅ 3,2 3 = 0,98

=

3 ⋅ E 0 ⋅ I 0 F sen ϕ 0

0

= 0,20


= I 0 F ⋅ cos 0 = 3,2 ⋅ 0,20 = 0,64 A I µ = I 0 F ⋅ sen ϕ 0 = 3,2 ⋅ 0,98 = 3,14 A

I FE

Ya se disponen de todos los datos necesarios para encontrar los valores de R FE, y X µ: E 0 R FE

=

E 0 I FE

=

E 0 X µ

=

E 0 I µ

=

= RFE ⋅ I FE 380

3

0,64

= 342,80 Ω

= X ⋅ I µ

380 3,14

36

µ

3

= 69,87 Ω

Apartado B


Hay que tener en cuenta que en el ensayo de cortocircuito el deslizamiento del motor vale uno, y que podemos despreciar la rama en paralelo. El procedimiento a seguir para calcular R cc y X cc es el mismo que en los transformadores. Pcc

cos ϕ cc

=


1.250 100 ⋅ 20 3⋅ 3 = 0,93

=


= 0,36

La resistencia de cortocircuito es la siguiente: E cc ⋅ cos

cc

= Rcc ⋅ I cc 100

Rcc

=

E cc ⋅ cos ϕ cc I cc Rcc

=

3

⋅ 0,36

20

= 1,04 Ω Fase

La reactancia de cortocircuito vale: E cc ⋅ sen

cc

= X cc ⋅ I cc 100

X cc

=


=

3

20

= 2,69 Ω Fase

37

⋅ 0,93

Apartado C

Circuito equivalente aproximado del motor por fase.

El motor está funcionando a un determinado régimen de carga con un deslizamiento s igual a 0,045. Del circuito equivalente del motor se puede deducir la siguiente ecuación, que nos permite encontrar el valor de la corriente del rotor referida al estator. E1

= ((R cc + R c ') + j ⋅ X cc ) ⋅ I 2 ' I2 '=

E1

(R cc + R c ') + j ⋅ X cc

Tomo como origen de fases la tensión de alimentación del estator: E1

=

380 3

∠0º V

R c’ es la resistencia de carga. Teniendo en cuenta que el deslizamiento es 0,045, el valor de la resistencia de carga es el siguiente:

⎛ 1 − 1 ⎞ = 0,44 ⋅ ⎛ 1 − 1 ⎞ = 9,37 Ω ⎜ ⎟ ⎟ Fase s 0 , 045 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Rc ' = R2 '⋅⎜

Previamente hemos de haber encontrado el valor de la resistencia del rotor referida al primario R 2’, a partir de R cc y R 1. Rcc '

R2 R2'

= R1 + R2' = Rcc − R1

= 1,04 − 0,6 = 0,44 Ω Fase

Sin olvidar que estamos trabajando con valores de fase, la corriente del rotor referida al estator es la siguiente:

38

380

I 2 ' =

∠0º 3 (1,04 + 9,37 ) + j ⋅ 2,69

= 20,40∠ − 14,49º

A

La corriente de vacío I0 se puede descomponer en la suma de dos términos: la corriente de pérdidas en el hierro IFE, y la corriente de magnetización Iµ.

= I FE + I µ

I0

La corriente de pérdidas en el hierro está en fase con la tensión de alimentación del estator, que sigo tomando como origen de fases.

= RFE ⋅ I FE

E 1

380 I FE

=

I FE

E 1 RFE

=

∠0º 3 342,80

= 0,64∠0º A

Sin embargo, la corriente de magnetización retrasará 90º respecto a la misma tensión. E 1

= j ⋅ X ⋅ I µ

µ

380 I µ

=

I µ

E 1 j ⋅ X µ

=

∠0º 3 j ⋅ 69,87

= 3,14∠ − 90º A

La corriente de vacío se obtendrá sumando fasorialmente IFE e Iµ. I 0

= I FE + I = 0,64 + 3,14∠ − 90º I 0 = 3,2∠ − 78,48º A µ

La corriente que el motor está consumiendo en esta situación de carga será, como se puede deducir del circuito equivalente del motor, la suma de la corriente del rotor referida al estator más la corriente de vacío: I 1

= I 2 '+ I 0 = 20,40∠ − 14,49º +3,2∠ − 78,48º I 1 = 21,99∠ − 22,01º A

El factor de potencia será el siguiente: cos

1

= cos(22,01) = 0,92 ( Inductivo ) 39

Apartado D

El rendimiento de una máquina es la relación entre la potencia de salida, o potencia útil, y la potencia de entrada o consumida. η

=

Pu P1

⋅ 100

La potencia de entrada del motor es la que está consumiendo por el estator.

= 3 ⋅ E 1 ⋅ I 1 ⋅ cos

P1

P1

= 3⋅

380 3

1

⋅ 21,99 ⋅ 0,92 = 13.416,67 W

La resistencia de carga R c’ se utiliza para representar el efecto de la carga mecánica que tiene que mover el motor. La potencia mecánica interna que desarrolla el motor, para mover la carga y superar las pérdidas mecánicas por rozamiento, equivale a la potencia disipada en esa resistencia. Pmi

= m1 ⋅ Rc '⋅ I 2 ' 2 = 3 ⋅ 9,37 ⋅ 20,40 2 Pmi = 11.696,53 W

La potencia útil es la que realmente se utiliza para mover la carga, es decir, la potencia mecánica interna menos las pérdidas. Pu

= Pmi − Pm = 11.696,53 − 260 Pu = 11.436,53 W

Rendimiento del motor en esta situación de carga es el siguiente: η

=

Pu P1

⋅ 100 = 85,24%

Apartado E

Una vez conocidas las potencias interna y útil del motor, podemos calcular el par mecánico interno, o total, desarrollado por la máquina, y el par útil. Pero antes es necesario conocer la velocidad de giro del motor.

40

s

−n

n1

=

n1

60 ⋅ f

n = n1 ⋅ (1 − s ) = n=

60 ⋅ 50 2 ω

p

⋅ (1 − s )

⋅ (1 − 0,045) = 1432,50 r . p.m. 2π ⋅ n

=

60

= 150,01 rad s

El par mecánico interno es el siguiente: Pmi T mi

=

= T mi ⋅

Pmi

=

11.696,53

ω

T mi

150,01

= 77,97 N ⋅ m

El par útil se obtiene empleando la potencia útil:

T u

=

T u

Pu

= T u ⋅

Pu

=

11.436,53

ω

150,01

= 76,24 N ⋅ m

41

P R O B L E M A 3

U

n motor de inducción trifásico, conectado en estrella, de 220 V, 6 polos, 50 Hz y 2,2 kW (potencia útil en condiciones nominales), tiene los siguientes parámetros del circuito equivalente en ohmios por fase: R 1 = 0.7 ; R 2’ = 0.3 ; X 1 = X 2’ = 0.6 ; X µ = 30

Las pérdidas mecánicas se suponen constantes e iguales a 700 W. A. Calcular en condiciones de plena carga la velocidad de giro, el factor de potencia, rendimiento y potencia consumida por el motor. B. Determinar el par máximo que es capaz de desarrollar la máquina y el deslizamiento al que se produce. C. En un arranque de tipo directo, y considerando el par resistente constante, indicar si el motor es capaz de arrancar en los siguientes casos:

• Par resistente de 10 Nm, • Par resistente de 50 Nm, • Par resistente de 70 Nm. ¿En cuál de estos tres casos el motor arrancará más rápidamente? D. Se quiere reducir la corriente de arranque del motor en al menos un 25%. Se dispone de un transformador trifásico ideal de relación de transformación 220/130 V. Si el arranque del motor se realiza empleando este transformador, ¿se consigue el objetivo buscado? ¿Cuál es el % de reducción de la corriente de arranque? E. En las condiciones del apartado anterior calcular el % de reducción del par de arranque. Determinar si, con este tipo de arranque, el motor es capaz de ponerse en marcha para los tres casos del apartado C.

42

Solución

Notación empleada n1 n Ω P0 Pm PFE Pcu1 Pcc R 1 R 2’ R c’ E0 I0F I0 IFE Iµ R FE X µ Ecc Icc R cc X cc E1 I1 I2 ’ f P1 Pu Pmi η m1 s Mmi Mu

Velocidad de sincronismo del motor, en r.p.m. Velocidad de giro del motor, en r.p.m. Velocidad de giro del motor, en rad/seg. Potencia activa del ensayo de vacío. Potencia de pérdidas mecánicas. Potencia de pérdidas en el hierro. Potencia de pérdidas en el cobre del estator. Potencia del ensayo de cortocircuito. Resistencia por fase del estator. Resistencia por fase del rotor referida al estator. Resistencia de carga referida al estator. Tensión del ensayo de vacío, en valor de fase. Corriente del ensayo de vacío, en valor de fase. Corriente de vacío. Corriente de pérdidas en el hierro. Corriente de magnetización. Resistencia de pérdidas en el hierro. Reactancia de magnetización. Tensión del ensayo de cortocircuito, en valor de fase. Corriente del ensayo de cortocircuito, en valor de fase. Resistencia de cortocircuito. Reactancia de cortocircuito. Tensión de fase del estator. Corriente de fase del estator. Corriente de fase del rotor, referida al estator. Frecuencia de la red. Potencia absorbida por el motor. Potencia útil. Potencia mecánica interna. Rendimiento. Número de fases del estator. Deslizamiento. Par mecánico interno. Par útil.

Apartado A

En este primer apartado del problema se pide calcular la velocidad, factor de potencia, rendimiento y potencia consumida por el motor en condiciones de plena carga. En esta situación particular de funcionamiento, la potencia útil desarrollada por el motor es la nominal. Este dato es conocido, junto con las pérdidas mecánicas, que se consideran constantes. Entonces se puede calcular la potencia mecánica interna desarrollada por el motor:

= 2, 2 kW Pm = 700 W = Pu ,nom + Pm = 2,9 Pu ,nom

Pmi

kW

Para resolver este apartado va a ser necesario antes determinar el deslizamiento de la máquina cuando trabaja a plena carga. Los siguientes pasos van encaminados a obtener una ecuación o fórmula que permita determinar el valor de s. 43

El circuito equivalente por fase del motor asíncrono es el siguiente:

En nuestro caso particular, la resistencia equivalente de las pérdidas en el hierro, R Fe , suponemos que es nula, debido a que no hay datos para calcularla, por lo que no debe aparecer en el circuito equivalente. La potencia mecánica interna P mi que se acaba de calcular equivale a las pérdidas por efecto Joule en la resistencia equivalente de carga R c ’ . Pmi

= 3 ⋅ Rc' ⋅ I 2' 2

Si se utiliza el circuito equivalente de la máquina se puede obtener una expresión para la corriente I 2 ’ . La aplicación de la segunda ley de Kirchoff da lugar a la siguiente expresión para el módulo de esta corriente: '

I 2

E 1

=

( R

2

cc

+ Rc' ) + X cc2

Se eleva al cuadrado esta expresión, y se sustituye en la fórmula de la potencia mecánica interna: Pmi

=

3 ⋅ Rc' ⋅ E 12 2

( R

' 2 cc + Rc ) + X cc

En esta expresión de la potencia mecánica interna, en principio, no aparece el deslizamiento s de la máquina. Sin embargo, la resistencia equivalente de carga R c ’ si que depende de s . Rc'

1 = R2' ⋅ ⎛⎜ − 1⎞⎟ ⎝s ⎠

Si sustituimos esta última relación en la expresión de la P mi , se obtiene una ecuación que permite calcular el valor del deslizamiento a plena carga.

44

⎛ 1 − 1⎞ ⋅ E 2 ⎟ 1 s ⎝ ⎠ Pmi = 2 ⎛ ⎞ ⎞ ' ' ⎛1 2 ⎜ R1 + R2 + R2 ⋅ ⎜⎝ s − 1⎟⎠ ⎟ + X cc ⎝ ⎠ 3 ⋅ R2' ⋅ ⎜

Esta ecuación de segundo grado tiene una única incógnita, que es el deslizamiento. Al resolverla se van a obtener los dos siguientes valores para s :

= 0,64 s II = 0,02 s I

En este caso, las dos soluciones corresponden a un funcionamiento de la máquina como motor. Sin embargo, es fácil decidir que la primera solución no es válida según las condiciones normales de funcionamiento. Se ha visto, en el curso de máquinas, que este tipo de máquina funciona con deslizamientos bajos, o lo que es lo mismo, con velocidades próximas a la de sincronismo. Por eso, aceptamos como solución válida la segunda. Ya estamos en condiciones de poder calcular los valores pedidos:

• Velocidad de plena carga. s= n = (1 − s ) ⋅ n1

n1 − n n1

= (1 − s ) ⋅

60 ⋅ f p

= 979, 76

r . p.m.

• Potencia consumida. P1

= 3 ⋅ E1 ⋅ I 1 ⋅ cos ϕ 1

Necesitamos calcular previamente la corriente consumida por el motor y su factor de potencia. Tomamos como origen de fases la tensión de fase de alimentación del motor. Hay que tener en cuenta que el estator está conectado en estrella. E1

=

220 3

∠00

V

La corriente del rotor referida al estator se obtiene de la siguiente forma: I 2'

=

E 1

⎛ R2' ⎞ ⎜ R1 + s ⎟ + j ⋅ X cc ⎝ ⎠

= 8,16∠ − 4, 42

0

A

Para obtener el valor de la corriente consumida por el motor, habrá que sumar a la corriente que circula por el rotor, la corriente de magnetización:

45

I µ

=

E 1 j ⋅ X µ

= 4, 23∠ − 900

A

La corriente del estator es por tanto: I1

= I 2' + I = 9, 48∠ − 30, 87 0 µ

A

El factor de potencia de la máquina, al haber escogido como origen de fases la tensión de alimentación, es igual al coseno del argumento de la corriente I 1: cos ϕ 1

= cos ( −30,87 0 ) = 0,86 ( Inductivo )

Ya se han calculado las variables necesarias para determinar la potencia consumida por el motor a plena carga: P1 = 3099,70 W

• Factor de potencia. El factor de potencia a plena carga del motor ha sido determinado con anterioridad. cos ϕ 1

= cos ( −30,87 0 ) = 0,86 ( Inductivo )

• Rendimiento del motor. La potencia consumida ya es conocida, y la potencia útil a plena carga es un dato del enunciado del problema. Por lo tanto el rendimiento queda:

=

η

Pu ,nom P1

⋅100 = 70,97%

Apartado B

En este segundo apartado, se pide el par máximo que es capaz de desarrollar el motor, y el deslizamiento al cuál se produce. Se sobreentiende que la alimentación del motor seguirá siendo de 220 voltios. Para obtener estos dos datos, basta con emplear las fórmulas desarrolladas en la teoría y que han sido empleadas en los problemas realizados en clase.

• Par máximo. M max

=

3 ⋅ E 12

(

2 ⋅Ω1 ⋅ R1 + R12

+ X cc2

46

)

= 110,61

N ⋅m

• Deslizamiento de par máximo. '

s M max

=

R2 2 1

R

+ X

2 cc

= 0,22

Apartado C

Ahora tenemos que determinar si el motor va a ser capaz de arrancar en tres casos diferentes de par resistente. El arranque es de tipo directo a la tensión nominal de alimentación del motor. Hay que calcular el par de arranque del motor, y compararlo con los pares resistentes propuestos. Cuando el par de arranque sea mayor que el resistente la máquina será capaz de ponerse en marcha. Se va a determinar el par de arranque de esta máquina en un arranque de tipo directo, sabiendo que el deslizamiento en esta situación vale 1. M arr

= M i ( s = 1) =

3 ⋅ R2' ⋅ E 12

Ω1 ⋅ ( Rcc2 + X cc2 )

= 56, 83

N ⋅m

Este par es mayor que el par resistente cuando éste vale 10 y 50 Nm. En estos dos casos la máquina consigue arrancar. En el tercero ocurre todo lo contrario. El par resistente de 70 Nm es mayor que el par que la máquina es capaz de desarrollar en el instante de arranque. Ahora queda determinar en cuál de los dos casos en los que la máquina arranca, ésta lo hace más rápido. Planteamos la ecuación mecánica que rige el movimiento de rotación del rotor del motor en el instante de arranque. M arr

− M res = J ⋅

d Ω dt

La aceleración inicial del motor depende de la diferencia entre el par de arranque y el par resistente. Esta diferencia es mayor cuando el par resistente es de 10 Nm. Por lo tanto, es en este caso en el que se produce el arranque más rápido.

Apartado D

Ahora se quiere reducir la corriente de arranque en al menos un 25%. Como solución se plantea el alimentar al motor a través de un transformador ideal. Éste va a reducir la tensión de alimentación del motor a 130 voltios. Al considerar que es ideal no se producen pérdidas ni caídas de tensión adicionales. Entonces, podemos considerar que el motor estará alimentado, en este caso, a 130 voltios. Para ver si se consigue el objetivo, se calculará la corriente de arranque en los dos casos planteados: arranque directo a 220 voltios, y arranque a través del transformador a 130 voltios.

47

I1,arr

= I + I 2,' arr

I 2, arr =

µ

E 1

'

+ j ⋅ X cc

Rcc

La corriente de magnetización fue calculada en un apartado anterior.

• Corriente de arranque con alimentación a 220 voltios. 220 '

I 2 ,arr , 220

=

∠00

3 1 + j ⋅1, 2

I1,arr , 220

= 81,31∠ − 50,190

= 84,61∠ − 52,030

A

A

• Corriente de arranque con alimentación a 130 voltios. 130 '

I 2 ,arr ,13 0

=

∠00

3 = 48,05∠ − 50,190 1 + j ⋅1, 2

I1, arr ,13 0

= 50∠ − 52, 030

A

A

La corriente de arranque se ha reducido en el siguiente porcentaje: I1,arr ,220

− I 1, arr ,130

I 1,arr , 220

⋅100 = 43,21%

El porcentaje de reducción ha sido del 43,21%. Por lo tanto, empleando el transformador para alimentar el motor en el arranque se consigue reducir la corriente en al menos un 25%.

Apartado E

Al emplear el transformador para alimentar el motor durante el arranque surge un problema: el par de arranque es proporcional a la tensión de alimentación al cuadrado. Como hemos reducido la tensión de alimentación, también ha bajado el par de arranque de la máquina. El nuevo par de arranque valdrá: 2

⎛ 130 ⎞ 3 ⋅ 0,3 ⋅ ⎜ ⎟ ' 2 3 ⋅ R2 ⋅ E 1 3⎠ ⎝ ' = = 19,84 M arr = Ω1 ⋅ ( Rcc2 + X cc2 ) Ω1 ⋅ (12 + 1, 22 ) El % de reducción del par de arranque se calcula de la siguiente manera:

48

N ⋅m

M arr ,220 − M arr ,130 M arr ,220

⋅100 = 65,08%

Ahora el motor no va a ser capaz de arrancar cuando el par resistente sea de 50 Nm. Por supuesto que tampoco cuando valga 70 Nm. Con este tipo de arranque el motor solo se pondrá en movimiento para el par resistente de 10 Nm.

49

P R O B L E M A 4

U

n motor asíncrono trifásico de rotor en jaula de ardilla, tiene una placa de características en la que se leen únicamente los siguientes datos: 380/660 V; 50 Hz; 585 r.p.m.

Los parámetros del circuito equivalente del motor son: IFe = Iµ = 0; Pm = 0; R 1 = 0,5 Ω; R 2’ = 0,7 Ω; X 1 = X 2’ = 3 Ω Si se conecta el motor a una red de 380 V y 50 Hz, indicar: a) La forma de conexión del estator del motor y dibujo de la placa de bornes correspondiente. b) Conectado el motor correctamente, de acuerdo con el apartado anterior, hallar en el caso en que el motor gire a plena carga a una velocidad de 585 r.p.m., el valor de la corriente absorbida por el motor de la línea, el f.d.p. del motor en estas condiciones y la potencia absorbida por el motor de la red. c) Potencia desarrollada por el motor en las condiciones del apartado anterior, par mecánico en el eje y rendimiento del motor. d) Si girando la máquina como motor a 585 r.p.m., se intercambian súbitamente dos fases de la red de alimentación, ¿cuál será, en esos momentos, el par de frenado desarrollado por la máquina?. e) Si la máquina se hace girar a 615 r.p.m. movida por un motor diesel acoplado a su eje, en el mismo sentido que funcionaba como motor y sin cambiar la secuencia de fases, hallar la potencia mecánica absorbida y la potencia eléctrica que la máquina entrega a la red.

50

Solución

Notación empleada n n1 s Ω E1 i1 I1 i2’ R 1 R 2’ R c’ X 1 X 2’ f 1 P1 Pu Pm Pmi Pabs Pent Mu Mi Mf ζ

Velocidad de giro del motor en r.p.m. Velocidad de sincronismo en r.p.m. Deslizamiento del motor. Velocidad de giro del motor expresada en radianes/segundo. Tensión de fase del estator. Intensidad de corriente del estator. Intensidad de corriente de línea. Intensidad de corriente de rotor referida al estator. Resistencia por fase del estator. Resistencia por fase del rotor referida al estator. Resistencia de carga. Reactancia por fase del estator. Reactancia por fase del rotor referida al estator. Frecuencia de la red de alimentación. Potencia activa absorbida por el estator. Potencia útil. Potencia de pérdidas mecánicas. Potencia mecánica interna. Potencia absorbida por la máquina cuando funciona como generador. Potencia entregada por la máquina cuando funciona como generador. Par útil desarrollado por el motor. Par mecánico interno. Par de frenado. Rendimiento del motor.

Apartado A

Las tensiones de alimentación del motor son 380/660 V. La primera corresponde a la conexión en triángulo del motor y la segunda a la conexión en estrella. En los dos tipos de conexión, las fases del estator están sometidas a la misma tensión de 380 voltios. Como la red de alimentación es de 380 voltios entre fases, la conexión del estator del motor deberá ser en triángulo.

380 V

51

El dibujo de la placa de bornes correspondiente a la conexión en triángulo del estator del motor es el siguiente:

Apartado B

El motor a plena carga tiene que funcionar a un deslizamiento s bajo. Si la velocidad de giro del motor a plena carga es 585 r.p.m., para que el deslizamiento sea bajo la velocidad de sincronismo n1 deberá ser un valor muy próximo a n. n1

=

60 ⋅ f 1 p

60 ⋅ 50

=

p

=

3.000 p

El número de pares de polos del motor es desconocido, pero como n1 debe ser próximo a 585 r.p.m. se puede adivinar que el motor tendrá 10 polos. n1

=

3.000 5

. .m. = 600 r p

El deslizamiento de plena carga será por tanto: s=

n1

−n

n1

=

600 − 585 600

s = 0,025

El circuito equivalente por fase del motor es el siguiente:

52

En este circuito no aparece la rama en paralelo porque en el enunciado se indica que la corriente de magnetización Iµ y la corriente de pérdidas en el hierro IFE son nulas. La impedancia equivalente de todo el motor es la siguiente:

⎛ ⎝

Z eq = ⎜ R 1

+

0,7 ⎞ ⎛ ⎟ + j ⋅ (3 + 3) ⎟ + j ⋅ (X1 + X 2 ') = ⎜ 0,5 + 0,025 ⎠ ⎠ ⎝ Z eq = 28,5 + j ⋅ 6

R 2 ' ⎞ s

Si se toma como origen de fases la tensión de alimentación del motor E1, la corriente de fase absorbida por el motor es la siguiente: i 2 ' = i1 i1

E1

=

Z eq

=

380∠0º V 28,5 + j ⋅ 6 Ω

= 13,047∠ − 11,889º A

La corriente absorbida por el motor de la línea es, por tanto, la siguiente: I1

=

3 ⋅ i1 I1

=

3 ⋅ 13,047

= 22,599 A

El factor de potencia del motor es el coseno del ángulo que existe entre la tensión y corriente de fase: f .d p . . = cos(−11,889º ) = 0,979 (Inductivo)

Y por último queda determinar la potencia absorbida por el motor de la red: P1

= 3 ⋅ E1 ⋅ i1 ⋅ cos(ϕ1 ) = 3 ⋅ 380 ⋅ 13,047 ⋅ 0,979 P1 = 14.561,235 W

Apartado C

En el enunciado del motor se indica que la potencia de pérdidas mecánicas P m se considere nula, por tanto, la potencia útil del motor Pu coincide con la potencia mecánica interna Pmi. Esta potencia coincide con la potencia disipada por efecto Joule en la resistencia de carga R c’. Pu

1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ = Pmi = 3 ⋅ R c '⋅i 2 ' 2 = 3 ⋅ R 2 '⋅⎛ − 1⎟ ⋅ 13,047 2 ⎜ − 1⎟ ⋅ i 2 ' 2 = 3 ⋅ 0,7 ⋅ ⎜ ⎝ s ⎠ ⎝ 0,025 ⎠ Pu = 13.941,363 W

Una vez encontrada la potencia útil que está suministrando el motor podemos conocer el par útil Mu. En este caso, al ser despreciables las pérdidas mecánicas, el par útil coincide con el par mecánico interno Mi.

53

Mu

=

Pu

Pu

13.941,363 2π Ω 2π ⋅ n ⋅ 585 60 60 M u = 227,573 N ⋅ m

=

=

El rendimiento del motor es la relación entre la potencia de salida o útil del motor, y la potencia consumida por el mismo.

ζ=

Pu P1

⋅ 100 =

13.941,363 14.561,235

⋅ 100

ζ = 95,743% Apartado D

Este método de frenado de máquinas asíncronas se denomina frenado por contra-corriente. Al invertir dos fases de la alimentación se invierte el sentido de giro del campo magnético giratorio producido por el estator en el entrehierro. El rotor, debido a su inercia, sigue girando en el mismo sentido. Si se sigue tomando como sentido positivo el de giro del campo magnético del entrehierro, está claro que el par desarrollado por el motor, cuando se produce el intercambio de dos fases de la alimentación, pasa a ser negativo. Lo mismo ocurre con la velocidad de giro del motor.

54

En la gráfica anterior se puede observar que cuando se produce el intercambio de las dos fases cambia la curva característica par-velocidad del motor. Inicialmente el punto de trabajo del motor se encontraba en la zona de funcionamiento como motor. La curva característica par-velocidad del motor corresponde a la no sombreada de la figura. Al cambiar las dos fases y comenzar el campo magnético a girar en sentido contrario, la curva característica par-velocidad cambia. Ahora es la curva sombreada de la gráfica la que rige cuál es el comportamiento del motor. El deslizamiento pasa a tomar un valor mayor que uno, y por lo tanto el punto de trabajo corresponde a la zona de funcionamiento como freno de la máquina. s=

n1

−n

n1

=

600 − (− 585) 600

s = 1,975

La velocidad n de giro del motor lleva signo negativo porque ahora el rotor gira en sentido contrario al campo magnético del entrehierro, que es el que marca el sentido de giro positivo. El par de frenado Mf se puede obtener a partir de la potencia desarrollado por el motor, P mi. Se sigue utilizando el mismo circuito equivalente por fase del motor, pero teniendo en cuenta que el deslizamiento ahora es mayor que 1. La intensidad que consume el motor en el instante de intercambio de las dos fases de la alimentación es la siguiente: i 2 ' = i1

=

E1 Z eq

=

E1

=

380∠0º V

R ' ⎞ 0,7 ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ R 1 + 2 ⎟ + j ⋅ (X1 + X 2 ') ⎜ 0,5 + ⎟ + j ⋅ (3 + 3) s 1 , 975 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i1 = 62,701∠ − 81,895º A

Entonces el par de frenado será el siguiente:

55

M f

=

Pmi

Ω

=

Pmi 2π 60

1 ⎞ ⎛ 1 − 1 ⎞ ⋅ i ' 2 3 ⋅ 0,7 ⋅ ⎛ − 1⎟ ⋅ 62,7012 ⎜ ⎟ 2 ⎝ s ⎠ ⎝ 1,975 ⎠ = 2π 2π ⋅n ⋅ (− 585)

3 ⋅ R 2 '⋅⎜

=

⋅n

60

60

= 66,531 N ⋅ m

M f Apartado E

En este apartado se obliga al motor a girar a una velocidad superior a la de sincronismo. Entonces la máquina va a funcionar como generador. Absorberá una potencia mecánica, que es la que proporciona el motor diesel que hace girar el rotor de la máquina, y entrega a la red una potencia útil, que es potencia eléctrica. Ahora el deslizamiento tomará un valor negativo, que corresponde a la zona de funcionamiento como generador, como se puede observar en la siguiente gráfica.

El circuito equivalente por fase es el mismo que se ha utilizado durante todo el problema. El deslizamiento de la máquina correspondiente a este funcionamiento como generador es el siguiente: s=

n1

−n

n1

=

600 − 615 600

s = −0,025

Si se sigue tomando como origen de fases la tensión del estator E1, la intensidad de corriente proporcionada por la máquina a la red es la siguiente: i 2 ' = i1

=

E1 Z eq

=

E1

=

380∠0º V

R ' ⎞ 0,7 ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ R 1 + 2 ⎟ + j ⋅ (X1 + X 2 ') ⎜ 0,5 + ⎟ + j ⋅ (3 + 3) s 0 , 025 − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i1 = 13,501∠ − 167,692º A

La potencia que la máquina absorbe del motor diesel esta representada, en este caso, por la potencia disipada por efecto Joule en la resistencia de carga R c’. 56

Pabs

1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ = 3 ⋅ R c '⋅i 2 ' 2 = 3 ⋅ R 2 '⋅⎛ − 1⎟ ⋅ 13,5012 ⎜ − 1⎟ ⋅ i 2 ' 2 = 3 ⋅ 0,7 ⋅ ⎜ ⎝ s ⎠ ⎝ − 0,025 ⎠ Pabs = 15.694,050 W

La potencia entregada a la red es la calculada anteriormente menos la potencia perdida en las resistencia del estator y del rotor. Pent

= Pabs − 3 ⋅ (R 1 + R 2 ') ⋅ i 2 ' 2 = 15.694,050 − 3 ⋅ (0,5 + 0,7 ) ⋅ 13,5012 Pent = 15.037,853 W

57

P R O B L E M A 5

U

n motor de inducción de 4 polos, 460 V, 60 Hz, conectado en Y tiene las siguientes impedancias en Ω/fase referidas al circuito del estator: R 1 = 0,641 Ω; R 2’ = 0,332 Ω; X 1 = 1,106 Ω; X 2’ = 0,464 Ω; X µ = 26,3 Ω

Las pérdidas rotacionales son 1100 W y se asumen como constantes. Las pérdidas en el hierro están incluidas en las pérdidas rotacionales. Si el motor se alimenta a voltaje y frecuencia nominales y gira con un deslizamiento del 2,2 %, calcular: a) La velocidad. b) La corriente en el estator. c) El factor de potencia. d) Potencia mecánica y potencia de salida. e) Par producido y par de salida. f) El rendimiento. Suponiendo, ahora, que el motor anterior es de rotor devanado, calcular: g) Par máximo. ¿A qué velocidad y a que deslizamiento se presenta?. h) Par de arranque del motor. i) Cuando se duplica la resistencia del rotor, ¿cuál es la velocidad a la que ocurre el par máximo?. ¿Cuál es el nuevo par de arranque del motor ?.

58

Solución

Notación empleada n n1 nM,max s sM,max Ω p E1 I1 I2 ’ R 1 R 2’ R c’ X 1 X 2’ X m f 1 P1 Pu Pm Pmi Pa Mu M1 Mmax M Marr ζ

Velocidad de giro del motor en r.p.m. Velocidad de sincronismo en r.p.m. Velocidad de par máximo. Deslizamiento del motor. Deslizamiento de par máximo. Velocidad de giro del motor expresada en radianes/segundo. Número de pares de polos. Tensión de fase del estator. Intensidad de corriente del estator. Valor de fase. Intensidad de corriente de rotor referida al estator. Resistencia por fase del estator. Resistencia por fase del rotor referida al estator. Resistencia de carga. Reactancia por fase del estator. Reactancia por fase del rotor referida al estator. Reactancia de magnetización. Frecuencia de la red de alimentación. Potencia activa absorbida por el estator. Potencia útil. Potencia de pérdidas mecánicas. Potencia mecánica interna. Potencia del entrehierro. Par útil desarrollado por el motor. Par mecánico interno. Par máximo. Par. Par de arranque. Rendimiento del motor.

Apartado A

En las pérdidas rotacionales se han incluido las pérdidas en el hierro, y se suponen constantes. Para calcular la potencia útil del motor habrá que restar a la potencia mecánica interna las pérdidas rotacionales antes mencionadas. En el enunciado del problema se proporcionan los parámetros del circuito equivalente del motor excepto la resistencia de pérdidas en el hierro R FE, por lo que ésta no aparecerá en el circuito equivalente.

Circuito equivalente por fase del motor asíncrono.

59

Para determinar la velocidad n de giro del motor hay que utilizar la expresión del deslizamiento. n1

s= n

−n

n1

= (1 − s) ⋅ n 1

El deslizamiento s es conocido. Sólo hay que calcular la velocidad de sincronismo n1. n1

=

60 ⋅ f 1 p

=

60 ⋅ 60 2

= 1.800 r p . .m.

La velocidad de giro del motor es: n

= (1 − s) ⋅ n 1 = (1 − 0,022) ⋅ 1.800 n = 1760,4 r p . .m.

Apartado B

Para determinar I1 se va a emplear el circuito equivalente por fase del motor. Se va a reducir todo el circuito a una sola impedancia equivalente. La resistencia total de la rama en serie del circuito equivalente es la siguiente: R s

R ' 1 ⎞ = R 1 + R 2 '+ R c ' = R 1 + R 2 '+ R 2 '⋅⎛ ⎜ − 1⎟ = R 1 + 2 s ⎝ s ⎠ 0,332 R s = 0,641 + = 15,733 Ω Fase

0,022

La reactancia total de la rama serie del circuito equivalente del motor es: Xs

= X1 + X 2 ' = 1,106 + 0,464 X s = 1,570 Ω Fase

La impedancia total de la rama en serie es: Zs

= R s + j X s = 15,733 + j 1,570 = 15,811∠5,699º Ω Fase

Esta impedancia está en paralelo con la reactancia de magnetización X m. La impedancia equivalente de la asociación en paralelo de ambas es la siguiente: 1 Z eq

=

1 j X m

+

1 Zs

Z eq = 12,993∠35,144º Ω

60

Fase

Si se toma como origen de fases la tensión de fase del estator E1 la corriente del estator es: I1

= I1

460

E1 Z eq

∠0º V 3 = 12,993∠35,144º Ω

= 20,440∠ − 35,144º A

Apartado C

cos ϕ1

= cos(− 35,144º ) = 0,818 (Inductivo)

Apartado D

La potencia del entrehierro Pa está relacionada con la potencia mecánica Pmi y la potencia de pérdidas en el cobre del rotor Pcu2. Pa

=

Pmi 1− s

=

Pcu 2 s

Entonces se puede calcular la potencia mecánica del motor a partir de la potencia de pérdidas en el cobre del rotor y conociendo también el deslizamiento s. Pmi

=

1− s s

Pcu 2

Es necesario determinar la intensidad de corriente del rotor I2’, para poder calcular la pérdidas en el cobre del rotor. Si se utiliza el circuito equivalente por fase del motor y tomando, como antes, la tensión de fase del estator como origen de fases se puede escribir: I2 '=

460

∠0º V 3 = Z s 15,811∠5,699º Ω E1

= 16,797∠ − 5,699º A

Las pérdidas en el cobre del rotor son: Pcu 2

= 3 ⋅ R 2 '⋅I 2 ' 2 = 3 ⋅ 0,332 ⋅ 16,797 2 = 281,011 W

y la potencia mecánica: Pmi

=

1 − 0,022 0,022

281,011 = 12.492,201 W

La potencia útil o de salida se obtendrá restando a la potencia mecánica la potencia de pérdidas, que el enunciado dice que consideremos constantes. Pu

= Pmi − Pm = 12.492,201 − 1.100 = 11.392,201 W

61

Apartado E

El par total desarrollado por el motor hay que calcularlo a partir de la potencia mecánica interna. Pmi

Pmi 12.492,201 = Ω 2π n 2π 1.760,4 60 60 M 1 = 67,764 N ⋅ m

=

M1

=

El par útil o de salida se obtiene a partir de la potencia útil desarrollada por el motor:

=

Mu

Pu

Pu 2π

11.392,201 2π Ω n 1.760,4 60 60 M u = 61,797 N ⋅ m

=

=

Apartado F

La potencia consumida por el motor es la siguiente: P1

= 3 ⋅ E1 ⋅ I1 ⋅ cos ϕ1 = 3 ⋅

460 3

⋅ 20,440 ⋅ 0,818 = 13.321,485 W

El rendimiento de la máquina será:

ς=

11.392,201 100 = 85,517% 13.321,485

Apartado G

El par máximo se puede calcular empleando la siguiente expresión: M max

= 2⋅

2π 60

3 ⋅ E 12

⋅ n1 ⋅

(R + 1

R 12

+ X cc2

)

En esta expresión se conocen todos los parámetros. Como se puede observar el par máximo que es capaz de desarrollar el motor es independiente de la resistencia del rotor. Sustituyendo todos las variables por sus valores, el par máximo es el siguiente:

M max

= 2⋅

2π 60

⎛ ⎞ 3 ⋅ ⎜ 460 ⎟ 3 ⎠ ⎝ ⋅ 1800 ⋅

(0,641 +

2

0,6412

62

+ 1,570 2

)

= 240,193 N ⋅ m

Sin embargo el deslizamiento de par máximo si que es función de la resistencia del rotor: s M ,max

=

R 2 ' R 12

+ X cc2

0,332

=

0,6412

+ 1,570 2

= 0,196

La velocidad a la que el motor es capaz de proporcionar el par máximo es: n M,max

= (1 − s M ,max ) ⋅ n 1 = (1 − 0,196) ⋅ 1800 = 1.447,603 r p . .m.

Apartado H

En el arranque la velocidad n del rotor es nula, y por lo tanto el deslizamiento vale uno. s arr =

n1

− n arr

=

n1

n1

−0

n1

=1

El par en el arranque se encontrará empleando la expresión del par mecánico en función de los parámetros del circuito equivalente del motor: 3⋅ M

=

R 2 ' s

⋅ E12

2 ⎛ ⎛ ⎞ R ' ⎞ 2 ⋅ n 1 ⋅ ⎜⎜ ⎜ R 1 + ⎟ + X cc2 ⎟⎟ 60 s ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

2π

Si se sustituye el deslizamiento por uno, correspondiente a la situación inicial del arranque, se obtiene el valor del par en dicho momento: 2

⎛ 460 ⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 3⋅ 1 ⎝ 3 ⎠ M arr = 2 ⎛ ⎛ ⎞ 2π 0 , 332 ⎞ ⋅ 1.800 ⋅ ⎜⎜ ⎜ 0,641 + ⎟ + 1,570 2 ⎟⎟ 60 1 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ M arr = 109,242 N ⋅ m 0,332

Apartado I

Al aumentar la resistencia del rotor se modifica la característica par-deslizamiento del motor. Como consecuencia cambian la velocidad a la que se obtiene el par máximo, y el par de arranque del motor. La corriente consumida por el motor durante el arranque disminuye, pero el par máximo que es capaz de desarrollar el motor no varía. El nuevo deslizamiento de par máximo al duplicar la resistencia del rotor es:

63

s M ,max

=

2 ⋅ R 2 ' R 12

=

+ X cc2

s M,max

2 ⋅ 0,332 0,6412

+ 1,570 2

= 0,392

La nueva velocidad a la que el motor es capaz de proporcionar el par máximo es la siguiente: n M ,max

= (1 − s M,max ) ⋅ n 1 = (1 − 0,392) ⋅ 1.800 n M, max = 1.095,205 r p . .m.

El par máximo que es capaz de desarrollar el motor, al no depender de la resistencia del rotor, no varía. 250

200

150 m N n e r a P

100

50 r2=0,332 ohmios r2=0,664 ohmios

0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Velocidad del motor en r.p.m.

En la gráfica anterior se encuentran representadas la característica par-velocidad del motor para los dos valores de la resistencia del rotor. Al aumentar dicha resistencia se puede observar que el par máximo no ha variado, aunque si lo ha hecho la velocidad a la que se obtiene. El par máximo se obtiene ahora a una velocidad menor. El par de arranque también ha aumentado. Se podría llegar a conseguir el par máximo del motor en el momento del arranque si se aumenta la resistencia del rotor lo suficiente. En este caso si se añade a la resistencia inicial del rotor una resistencia adicional de 1,364 ohmios se obtendrá el par máximo en el arranque como se puede observar en la siguiente representación gráfica.

64

250

200

150 m N n e r a P

100

50

0 0

r2=0,332 ohmios r2=0,664 ohmios r2=1,696 ohmios

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Velocidad del motor en r.p.m.

Para completar las preguntas del apartado queda calcular el par de arranque cuando se duplica la resistencia inicial del rotor: M arr

=

178,83 N m ⋅

Este nuevo valor es mayor que el calculado para la resistencia inicial del rotor.

65

P R O B L E M A 6

U

n motor de inducción trifásico de 37 kW, 2200 V, 8 polos, da los siguientes resultados en un ensayo de cortocircuito: 740 V; 20 A; 7,3 kW. Con 2200 V en el estator, la tensión entre anillos deslizantes en circuito abierto es 275 V, y la resistencia del estator es 2,75 Ω/fase.

Calcular la resistencia que debe de añadirse por fase en el rotor para obtener el par máximo en el arranque. Estator y rotor en estrella. Admítanse iguales las dos relaciones de transformación.

66

Solución

Notación empleada sM,max E1 icc R 1 R 2’ R cccc R a R a’ X 1 X 2’ X cccc Zcc Pcc rt

Deslizamiento de par máximo del motor. Tensión de fase del estator. Intensidad de corriente del ensayo de cortocircuito. Valor de fase. Resistencia por fase del estator. Resistencia por fase del rotor referida al estator. Resistencia de cortocircuito. Resistencia adicional del rotor, referida al rotor. Resistencia adicional del rotor, referida al estator. Reactancia por fase del estator. Reactancia por fase del rotor referida al estator. Reactancia de cortocircuito. Impedancia de cortocircuito. Potencia activa del ensayo de cortocircuito. Relación de transformación del rotor al estator.

El objetivo de este problema es determinar el valor de la resistencia adicional, que hay que añadir por fase al rotor, para obtener el par máximo en el arranque. Con esta operación se consigue, además, reducir la corriente de arranque, y se modifica la curva característica par-deslizamiento del motor, desplazando el par máximo a valores de mayor deslizamiento, pero sin modificar el par máximo. El deslizamiento de par máximo se obtiene mediante la siguiente expresión: s M ,max

R ' 2

=

R 12

+ X cc2

R 2’ es la resistencia del devanado del rotor, R 1 del devanado del estator, y X cccc es la reactancia de cortocircuito. En el arranque la velocidad de giro del motor, n, es cero, y por lo tanto el deslizamiento s del motor será igual a 1. Habrá que que añadir al rotor una resistencia externa adicional R a’ para conseguir que el deslizamiento de par máximo sea igual a 1. s M , max

R ' 2 + R a '

=1=

R 12

+ X cc2

De la expresión anterior se obtiene el valor de la resistencia adicional R a’: R a ' = R 12

+ X cc2 − R 2 '

En la expresión anterior desconocemos X cccc y R 2’. Debemos de ser capaces de determinar estos parámetros con los datos proporcionados en el enunciado del problema. Se conocen los resultados de un ensayo de cortocircuito, o de rotor bloqueado, realizado sobre la máquina asíncrona, con los

67

que se puede determinar la impedancia de cortocircuito. Hay que tener en cuenta que los datos proporcionados en el enunciado son de línea, y que el estator está conectado en estrella. Pcc cos ϕ cc

= 3 ⋅ E cc ⋅ i cc ⋅ cos ϕ cc

Pcc

=

3 ⋅ E cc

7.300 w ⋅ i cc 3 ⋅ 740 V ⋅ 20 A 3 sen ϕ cc = 0,96

=

= 0,29

Una vez conocido el coseno y seno de ϕcc se pueden calcular los valores de R cc y X cc. E cc ⋅ cos ϕ cc R cc

=

E cc ⋅ cos ϕ cc i cc

E cc ⋅ sen ϕ cc X cc

=

740

=

= R cc ⋅ i cc V ⋅ 0,29 3 20 A

= 6,08 Ω Fase

= X cc ⋅ i cc

E cc ⋅ sen ϕ cc i cc

740

=

V ⋅ 0,96 3 20 A

= 20,48 Ω Fase

La impedancia de cortocircuito será: Z cc

= R cc + j ⋅ X cc = 6,08 + j ⋅ 20,48 Ω Fase

La resistencia R 2’ del rotor se puede encontrar a partir de R cc y la resistencia del estator R 1, proporcionada en el enunciado. R cc

= R 1 + R 2 '

R 2 ' = R cc

− R 1 = 6,08 − 2,75 = 3,33 Ω Fase

Ya podemos determinar el valor de la resistencia adicional del rotor: R a ' = R 12

+ X cc2 − R 2 ' = 2,75 2 + 20,48 2 − 3,33 2 R a ' = 17,33 Ω Fase

Pero esta resistencia está referida al estator. Para reducirla al rotor deberemos encontrar el valor de la relación de transformación. En el enunciado se indica que las dos relaciones de transformación del motor son iguales, luego las relaciones entre las magnitudes del rotor y el estator son exactamente iguales a las que existen en un transformador entre el secundario y el primario. Si el rotor bobinado no está cortocircuitado, al alimentar el motor, no se inducen corrientes y el motor no gira. En este caso se comporta como un transformador. En el secundario, en este caso el rotor, se induce una

68

fuerza electromotriz. La relación entre la tensión de alimentación del estator y la f.e.m. inducida en el rotor nos proporcionará la relación de transformación que estamos buscando. E1 r t

= r t ⋅ E 2,0

=

E1 E 2, 0

2200

=

3 275

=8

3

La resistencia adicional referida al rotor será: R a

=

R a ' 2 t

r

=

17,33 8

2

69

= 0,271 Ω Fase

P R O B L E M A 7

U

n motor asíncrono trifásico, conectado en estrella, de 37 kW, 440 V, 60 Hz, 4 polos, desarrolla la plena carga a 1746 r.p.m. cuando trabaja a tensión y frecuencia nominales con sus anillos rozantes cortocircuitados. El par máximo es doble que el par nominal. La resistencia del rotor es de 0,1 Ω por fase y está conectado en estrella. Se suponen despreciables los parámetros del estator así como las pérdidas mecánicas. Se pide: a) Las pérdidas en el cobre del rotor a plena carga. b) La velocidad para par máximo. c) ¿Qué resistencia se debe poner en serie con el rotor para producir el par máximo en el arranque?. El motor se conecta ahora a una alimentación de 50 Hz con la tensión aplicada ajustada para que la intensidad del motor y el par motor sean los mismos que a 60 Hz. d) Calcular la tensión aplicada. e) Calcular la velocidad a la que girará el motor en este caso con los anillos deslizantes cortocircuitados.

70

Solución

Notación empleada n n1 nM,max s sM,max Ω p E1 E1,50 I1 I2 ’ R 1 R 2 R 2’ R c’ R a R a’ R FE X 1 X 2 X 2’ X 2,50 X 2,60 X µ X cc L rt f 1 f 1,50 f 1,60 Pu Pmi Pa Pcu,2 Mu Mmax Mn

Velocidad de giro del motor en r.p.m. Velocidad de sincronismo en r.p.m. Velocidad de par máximo. Deslizamiento del motor. Deslizamiento de par máximo. Velocidad de giro del motor expresada en radianes/segundo. Número de pares de polos. Tensión de fase del estator. Tensión de fase del estator, cuando la frecuencia es de 50 Hz. Intensidad de corriente del estator. Valor de fase. Intensidad de corriente de rotor referida al estator. Valor de fase. Resistencia por fase del estator. Resistencia por fase del rotor referida al rotor. Resistencia por fase del rotor referida al estator. Resistencia de carga. Resistencia adicional del rotor referida al rotor. Resistencia adicional del rotor referida al estator. Resistencia de pérdidas en el hierro. Reactancia por fase del estator. Reactancia por fase del rotor referida al rotor. Reactancia por fase del rotor referida al estator. Reactancia por fase del rotor referida al rotor, cuando la frecuencia es de Reactancia por fase del rotor referida al rotor, cuando la frecuencia es de Reactancia de magnetización. Reactancia de cortocircuito. Inductancia del rotor. Relación de transformación del rotor al estator. Frecuencia de la red de alimentación. Frecuencia de la red de alimentación igual a 50 Hz. Frecuencia de la red de alimentación igual a 60 Hz. Potencia útil. Potencia mecánica interna. Potencia del entrehierro. Potencia de pérdidas en el cobre del rotor. Par útil desarrollado por el motor. Par máximo. Par nominal.

50 Hz. 60 Hz.

Apartado A

Como las pérdidas mecánicas se consideran despreciables, la potencia mecánica interna Pmi coincide con la potencia útil del motor. Pmi

= Pu = 37.000 W

La potencia del entrehierro Pa está relacionada con la potencia mecánica interna y con la potencia de pérdidas en el cobre. Se puede aprovechar esta relación para calcular la potencia de pérdidas en el cobre del rotor a partir de la potencia mecánica del motor.

71

Pmi

=

Pa

Pcu 2

1− s s

=

Pcu 2

=

1− s

s

⋅ Pmi

Para poder utilizar esta última expresión es necesario determinar el deslizamiento s a partir de los datos de funcionamiento del motor a plena carga. La velocidad de sincronismo es: n1

60 ⋅ f 1

=

p

60 ⋅ 60

=

2

= 1.800 r p . .m.

n1

Entonces el deslizamiento será: s=

n1

−n

n1 s

=

1.800 − 1.746 1.800

= 0,030

La potencia de pérdidas en el cobre del rotor es: Pcu 2

=

Pcu 2

0,030 1 − 0,030

⋅ 37.000

= 1.144,330 W

Apartado B

En el enunciado del problema no se proporcionan los parámetros de la rama en paralelo del circuito equivalente del motor. Tampoco se dan datos para calcularlos, y por eso no se consideran la resistencia de pérdidas en el hierro R FE, y la reactancia de magnetización X µ en el circuito equivalente del motor. También se suponen despreciables los parámetros del estator. Teniendo en cuenta todas estas consideraciones el circuito eléctrico equivalente del motor asíncrono, para este problema, es el siguiente:

De los distintos parámetros del circuito equivalente del motor conocemos los siguientes:

72

* La tensión de alimentación del estator E1 (tensión de fase). Como el estator está conectado en estrella y la tensión proporcionada en el enunciado es un valor de línea, E1 vale: E1 =

440 3

V

* La resistencia del rotor R 2. Pero necesitamos la misma resistencia referida al estator, R 2’. Será necesario calcular la relación de transformación del rotor al estator rt. R 2

= 0,1 Ω Fase

R 2 ' = r t2 ⋅ R 2

* La resistencia de carga R c’ tiene la siguiente expresión en función de la relación de transformación:

⎛ 1 − 1 ⎞ = 0,1 ⋅ r 2 ⋅ ⎛ 1 − 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ t 0 , 030 ⎝ s ⎠ ⎝ ⎠ 2 R c ' = 3,233 ⋅ r t

R c ' = R 2 '⋅⎜

Para conocer la velocidad de par máximo es necesario calcular antes el deslizamiento de par máximo: s M ,max

=

R 2 ' R 12

+ X cc2

=

R 2 ' X2 '

Aprovechando que conocemos la potencia mecánica del motor, y que el par máximo es el doble del par nominal, vamos a calcular los valores de R 2’ y X 2’. A partir del circuito equivalente por fase del motor se puede calcular la corriente I2’ que circula por el rotor. La potencia mecánica desarrollada por el motor será igual a la potencia disipada por efecto Joule en la resistencia R c’. I2 '=

440

E1

(R 2 '+R c ')2 + X 2 ' 2

=

440 3

(r

2 t

⋅ 0,1 + r t2 ⋅ 3,233) + X 22 ⋅ r t4

Pmi

2

=

3 r t2 3,333 2

+ X 22

= 3 ⋅ R c '⋅I 2 ' 2 2

⎛ 440 ⎞ ⎜ ⎟ 3 ⎠ ⎝ 2 37.000 = 3 ⋅ r t ⋅ 3,233 ⋅ 4 r t ⋅ (3,333 2 + X 22 ) r t2 ⋅ (3,333 2 + X 22 ) = 16,916 (1) Como tenemos una ecuación (1) con dos incógnitas, rt y X 2, necesitamos una segunda ecuación. Podemos calcular el par nominal con los datos proporcionados en el enunciado del problema. El par máximo será el doble.

73

Pmi

Pmi 37.000 = 2π Ω 2π n 1.746 1 60 60 M n = 202,362 N ⋅ m

=

Mn

=

= 2 ⋅ M n = 404,724 N ⋅ m

M max

La expresión del par máximo del motor en función de los parámetros del circuito equivalente es la siguiente: M max

= 2⋅

2π 60

3 ⋅ E 12

⋅ n1 ⋅

(R +

R 12

1

+ X cc2

=

)

2⋅

2π 60

3 ⋅ E 12

= 404,724

⋅ n 1 ⋅ r t2 ⋅ X 2

2

⎛ ⎞ 3 ⋅ ⎜ 440 ⎟ 3 ⎠ ⎝ = 404,724 2π 2 ⋅ 1.800 ⋅ r t ⋅ X 2 2⋅ 60

r t2 ⋅ X 2

= 1,269 (2)

Ya tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (ecuaciones (1) y (2)). r t2 ⋅ (3,3332 r t2 ⋅ X 2

+ X 22 ) = 16,916

= 1,269

Al resolver dicho sistema nos quedamos con el siguiente par de soluciones: X2 r t

= 0,893 Ω Fase

= 1,193

El deslizamiento de par máximo es: s M ,max

=

R 2 ' X2 '

=

r t2 ⋅ R 2 r t2 ⋅ X 2

s M ,max

=

R 2 X2

=

0,1 0,893

= 0,112

La velocidad de par máximo es la siguiente: s M ,max n M ,max

=

n 1 − n M ,max n1

= (1 − s M,max ) ⋅ n 1 = (1 − 0,112 ) ⋅ 1.800 n M ,max = 1.598,432 r p . .m.

74

Apartado C

Ahora queremos que el motor de su par máximo en el arranque, es decir, que sM,max sea igual a uno. La resistencia adicional R a será la siguiente: s M , max R a

=

R 2 '+ R a ' X2 '

=

R 2

+ R a

X2

=1

= X 2 − R 2 = 0,893 − 0,1 R a = 0,793 Ω

Apartado D

Al variar la frecuencia de 60 Hz a 50 Hz cambia la reactancia X 2:

= 2 ⋅ π ⋅ f 50 ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ f 60 ⋅ L

X 2,50 X 2, 60 X 2,50 X 2, 60 X2

f 50

=

f 60

=

= X 2,50 = X 2, 60 ⋅ X2

50 Hz 60 Hz

50 60

= 0,893 ⋅

50 60

= 0,744 Ω Fase

La intensidad antes del cambio de frecuencia era: 440 I2 ' =

3 1,193 2 3,333 2

+ 0,8932

I 2 ' = 51,728 A

Este es el valor de la intensidad del motor que debe mantenerse con el cambio de frecuencia: E 1,50

I2 '=

2

2 t

r

⎛ R ⎞ ⋅ ⎜ 2 ⎟ + X 22 ⎝ s ⎠ E 1,50

51,728 =

2

1,193 2

⎛ 0,1 ⎞ + 0,744 2 ⎜ ⎟ ⎝ s ⎠

75

(1)

Es necesario calcular el nuevo deslizamiento porque al cambiar la frecuencia cambia la velocidad de sincronismo. n1

=

n1

60 ⋅ f 1 p

=

60 ⋅ 50 2

. .m. = 1.500 r p

Al realizar el cambio de frecuencia tampoco debe variar el par nominal del motor.

Mn

=

Pmi

Ω

202,362 =

=

3 ⋅ R c '⋅I 2 ' 2π ⋅n 60

⎛ 1 − 1 ⎞ ⋅ I ' ⎟ 2 ⎝ s ⎠

3 ⋅ R 2 '⋅⎜

=

2π

⋅ n 1 ⋅ (1 − s ) 60 2 ⎛ 1 − s ⎞ 3 ⋅ (1,193 ⋅ 0,1) ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 51,728 2 ⎝ s ⎠ 2π ⋅ 1.500 ⋅ (1 − s ) 60 s = 0,036

El valor del deslizamiento se puede sustituir en la ecuación (1) y calcular así E1: E 1,50

51,728 =

2

1,193

2

E 1,50

⎛ 0,1 ⎞ ⎜ ⎟ + 0,744 2 ⎝ 0,036 ⎠ = 211,7 V

Apartado E

n

= (1 − s ) ⋅ n 1 = (1 − 0,036 ) ⋅ 1.500 n = 1.446 r p . .m.

76

P R O B L E M A 8

U

na instalación industrial está alimentada por un transformador trifásico, conexión Y-Y, que alimenta a 380 V tres motores asíncronos trifásicos de jaula de ardilla, como se indica en el esquema de la figura adjunta.

Los tres motores trifásicos son idénticos, tienen 10 polos, y los parámetros de su circuito equivalente son los siguientes: R 1 = 0,5 Ω; R 2’ = 0,8 Ω; X 1 = 3 Ω; X 2’ = 3,5 Ω. Se puede despreciar la rama en paralelo y las pérdidas mecánicas. Se pide: 1. Si en la placa de características de los motores pone 220/380 V, ¿como se conecta el estator de cada uno de ellos?. 2. Suponiendo que la tensión de alimentación de los motores es 380 V, y que los motores M1 y M2 están trabajando con un deslizamiento del 4%, y el motor M3 del 2%, calcular la tensión en el primario del transformador. 3. Calcular la tensión en el secundario del transformador en el instante de arranque de los tres motores, suponiendo que arrancan simultáneamente y que la tensión en el primario del transformador es de 13200 V.

77

Solución

1. El estator de los tres motores se conecta en estrella. 2. El circuito equivalente por fase de cada motor es el mostrado en la siguiente figura.

Circuito equivalente del motor de inducción, despreciando la rama en paralelo.

Todos los motores tienen la misma impedancia interna y la misma resistencia del rotor referida al estator. El único parámetro distinto es la resistencia equivalente de carga debido a que cada motor trabaja en un régimen de funcionamiento distinto.

• Impedancia interna. = R1 + R2 ' = 0, 5 + 0, 8 = 1, 3 Ω X cc = X 1 + X 2 ' = 3 + 3, 5 = 6, 5 Ω

Rcc

fase fase

• Resistencia equivalente de carga. o Motores M1 y M2, trabajando con un deslizamiento del 4%. ⎛ 1 − 1⎞ = 0,8 ⎛ 1 − 1⎞ = 19, 2 Ω ⎟ ⎜ 0,04 ⎟ ⎝s ⎠ ⎝ ⎠

Rc ' = R2 ' ⎜

o

Motor M3, trabajando con un deslizamiento del 2%. 78

f ase

⎛ 1 − 1⎞ = 0,8 ⎛ 1 − 1⎞ = 39, 2 Ω ⎟ ⎜ 0,02 ⎟ ⎝s ⎠ ⎝ ⎠

Rc ' = R2 ' ⎜

f ase

Debemos tener en cuenta que la conexión del motor es en estrella, y la tensión de alimentación es de 380 V (valor de línea). Tomamos como origen de fases, en el circuito eléctrico equivalente por fase, la tensión de alimentación. r

E

=

380 3

∠0º V

Teniendo en cuenta que hemos despreciado la rama de vacío en los motores, la corriente de fase consumida por cada uno de ellos es la siguiente:

• Motores M1 y M2. 380 r

r

I M 1

= I M 2 =

E

r

=

( Rcc + j ⋅ X cc ) + Rc ' (1,3 +

∠0º

3 = 10,20∠ − 17,60º A j ⋅ 6,5) + 19, 2

• Motor M3. 380 r

r

I M 3

=

E

( Rcc

= + j ⋅ X cc ) + Rc ' (1,3 +

∠0º 3 = 5, 35∠ − 9,12º A j ⋅ 6,5) + 39, 2

La corriente total que consumen los tres motores, y que es la que suministra el transformador será la siguiente: r

I 2

= I M1 + I M 2 + I M 3 = 25,71∠ − 15,84º A r

r

r

La corriente anterior es la corriente, valor de fase, que entrega el transformador en su secundario a la carga. Ya conocemos en los terminales de salida del transformador los valores de fase de la tensión y de la corriente:

79

r

I 2

= 25,71∠ − 15,84º A =

r

E2

380 3

∠0º V

Circuito eléctrico equivalente por fase del t ransformador referido al secundario.

Vamos a emplear el circuito eléctrico equivalente por fase del transformador, referido al secundario, para obtener la tensión en su devanado primario. Primero vamos a calcular su impedancia interna referida al secundario: Sn I 2 n

ε Rcc

ε Xcc

= =

Rcc 2 ⋅ I 2 n E2 n X cc 2 ⋅ I 2 n E2 n

=

=

S n

3 ⋅ U 2 n

; Rcc 2

=

ε Rcc

; X cc 2

=

ε Xcc

3 ⋅ U 2 n ⋅ I 2 n

=

400.000 3 ⋅ 380

⋅ E 2 n

I 2 n

=

⋅ E 2 n

I 2 n

=

= 607,74 A

0,03 ⋅ 380

3

= 0, 010830 Ω

3

= 0, 014440 Ω

607,74 0,04 ⋅ 380 607,74

La tensión de fase en el primario del transformador referida al secundario, se obtendrá de la siguiente forma:

80

r

r

E12

=

380 3

= E2 + ( Rcc 2 + j ⋅ X cc 2 ) ⋅ I 2 r

E12

r

∠0º + ( 0,010830 + j ⋅ 0,014440) ⋅ 25,71∠ − 15,84º r

E12

= 219,76∠0, 07º V

Para obtener la tensión real en el primario, primero debemos referir este valor a su propio devanado multiplicando por la relación de transformación: r t =

E 1n E 2 n

E1

=

13200 380

3 3

= 34,74

= E12 ⋅ rt = 7633,85 V

La tensión en el primario del transformador será: U1

=

3 ⋅ E 1

= 13222, 22 V

3. En este apartado tenemos que determinar la tensión en el secundario del transformador en el

instante de arranque de los tres motores. Ahora es conocida la tensión en el primario del transformador, 13200 V (valor de línea). Vamos a emplear el circuito equivalente por fase de todo el sistema como herramienta de cálculo. El circuito eléctrico equivalente por fase de los motores queda reducido sólo a su impedancia interna. Justo en el instante de arranque, la resistencia equivalente de carga es nula. El circuito equivalente total, referido al secundario del transformador, es el siguiente:

81

Circuito eléctrico equivalente referido al secundario del transformador.

La tensión en los terminales del devanado primario (valor de fase), referida al secundario tendrá el valor 380/√3 V. Además tomamos esta tensión como origen de fases: r

E12

=

380 3

∠0º V

Teniendo en cuenta que los tres motores está representados por tres impedancias idénticas conectadas en paralelo, podemos determinar la corriente que está suministrando el transformador justo en el instante de arranque: r

r

I 2

E 12

=

( R

cc 2,t

+ j ⋅ X cc 2,t ) + 380

r

I 2

3

=

Rcc , m + j ⋅ X cc , m

∠0º

( 0,010830 + j ⋅ 0,014440) + r

I 2

3

1, 3 + j ⋅ 6,5

= 98,57∠ − 78,5º A

La tensión en el secundario del transformador será la siguiente:

82

3

r

E2 r

E 2

=

=

Rcc , m + j ⋅ X cc , m

3

1,3 + j ⋅ 6, 5 3 r

E2

⋅ I 2 r

98,57∠ − 78,5º

= 217,79∠0, 2º V

Por lo tanto la tensión en el secundario del transformador será: U2

= E2

3

= 377, 2 2 V

83

P R O B L E M A 9

E

l esquema eléctrico unifilar de una instalación industrial se muestra en la siguiente figura.

Para el suministro eléctrico se dispone de dos transformadores de potencia, tipo Yy, acoplados en paralelo y alimentados a 20 kV. Se conocen los siguientes datos, correspondientes a sus ensayos de cortocircuito: Transformador A

• Relación de tensiones en vacío: 230/4,6 V. • Ensayo de cortocircuito (valores medidos en el lado de baja tensión): • Tensión de alimentación: 40 V. • Intensidad consumida: 1732 A. • Potencia consumida: 20837 W. Transformador B

• Relación de tensiones en vacío: 230/4,6 V. • Ensayo de cortocircuito (valores medidos en el lado de baja tensión):

84

• Tensión de alimentación: 25 V. • Intensidad consumida: 1082,5 A. • Potencia consumida: 8139,5 W. Todos los motores que hay en la industria son idénticos y con las siguientes características:

• Motores trifásicos de inducción de tipo jaula. • Tetrapolares. • Conexión estrella. En una de las pruebas realizadas sobre uno de los motores, éste desarrolló un par interno en el rotor de 58,67 Nm con un deslizamiento del 5%, absorbiendo una intensidad de 9 A, con un factor de potencia de 0,9015 y una potencia reactiva de 4608,6 VAr. Se desprecian las ramas en paralelo de todas las máquinas. Se pide: 1. Impedancia interna de los dos transformadores. 2. Parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase de los motores de inducción. 3. En un instante determinado, las máquinas que están funcionando en la industria son cinco motores idénticos al descrito, teniendo cada uno de ellos un deslizamiento del 8%. En estas condiciones, obtener la corriente que circula por los devanados de cada transformador.

85

Solución

1.

Al despreciar la rama en paralelo, el circuito equivalente por fase de cada uno de los transformadores queda simplificado al mostrado en la figura 1. Para obtener los valores de la impedancia interna nos proporcionan los datos de ensayos de cortocircuito de cada transformador. En los dos casos, todos los valores han sido medidos en el devanado de baja tensión, que es el que consideraremos como secundario. Los parámetros que obtengamos estarán, por tanto, referidos a dicho devanado.

Figura 1.

Transformador A.

Los datos del ensayo de cortocircuito, realizado en su secundario, son:

• Tensión de alimentación (valor de línea): U cc,2, l = 40 V • Corriente consumida (valor de línea): I cc,2, l = 1732 A • Potencia consumida:

Pcc

= 20837 W

La conexión del transformador es Yy. Por lo tanto, la corriente de línea y fase coinciden: I cc ,2,l

= I cc,2, f = I cc,2 = 1732 A

86

La tensión de fase se obtiene a partir de la tensión de línea, dividiendo por 3 . U cc,2, f

=

U cc,2, l

3

=

40 3

V

El valor del módulo de la impedancia interna es el siguiente:

=

A

Z cc,2

U cc ,2, f I cc,2

40 3 1732

=

≈ 0,0133 Ω

A partir de la potencia de cortocircuito se puede obtener el argumento de la impedancia interna: Pcc

= 3U cc ,2, f I cc,2 cos (ϕ cc )

cos (ϕ cc ) = cos (ϕ cc ) = ϕ cc

Pcc

3U cc ,2, f I c c,2

20837 ⋅1732 3 ⋅ 40 3

≈ 0,1736

≈ arccos ( 0,1736) = 80º

La resistencia y reactancia de cortocircuito serán las siguientes: A

Rcc ,2 A

= Z ccA ,2 cos (ϕ cc ) ≈ 0, 002315 Ω

X cc ,2

= Z ccA ,2 sin (ϕ cc ) ≈ 0, 01313 Ω

Por lo tanto, la impedancia interna del transformador A, referida a su secundario es la siguiente: Z cc,2 ≈ 0,0133∠80º = 0,002315 + j 0,01313 Ω r

A

Transformador B.

Los datos del ensayo de cortocircuito, realizado en su secundario, son:

• Tensión de alimentación (valor de línea): U cc,2, l = 25 V • Corriente consumida (valor de línea): I cc,2, l = 1082,5 A

87

• Potencia consumida:

= 8139,5 W

Pcc

La conexión del transformador es Yy. Por lo tanto, la corriente de línea y fase coinciden:

= I cc,2, f = I cc,2 = 1082,5 A

I cc ,2,l

La tensión de fase se obtiene a partir de la tensión de línea, dividiendo por 3 . U cc,2, f

=

U cc,2, l

3

=

25 3

V

El valor del módulo de la impedancia interna es el siguiente:

B cc ,2

Z

=

U cc,2, f I cc ,2

25

=

3 ≈ 0,0133 Ω 1082,5

A partir de la potencia de cortocircuito se puede obtener el argumento de la impedancia interna: Pcc

= 3U cc ,2, f I cc,2 cos (ϕ cc )

cos (ϕ cc ) = cos (ϕ cc ) = ϕ cc

Pcc

3U cc,2, f I cc,2

8139,5 ≈ 0,1736 3 ⋅ 25 ⋅1082, 5 3

≈ arccos ( 0,1736) = 80º

La resistencia y reactancia de cortocircuito serán las siguientes: B

Rcc ,2 B

= Z ccB ,2 cos (ϕ cc ) ≈ 0, 002315 Ω

X cc ,2

= Z ccB ,2 sin (ϕ cc ) ≈ 0, 01313 Ω

Por lo tanto, la impedancia interna del transformador B, referida a su secundario es la siguiente: B Z cc 0,0133∠80º = 0,002315 + j 0,01313 Ω ,2 ≈ r

88

Los dos transformadores tienen la misma relación de transformación y la misma impedancia interna, por lo que ya podemos deducir que se repartirán a partes iguales el consumo de todas las cargas conectadas en su secundario. 2.

El circuito eléctrico equivalente por fase de un motor de inducción trifásico, despreciando la rama en paralelo, es el mostrado en la figura 2.

Figura 2.

En este caso no conocemos datos del ensayo de rotor bloqueado para calcular los parámetros del circuito equivalente. La rama en paralelo se desprecia, como se indica en el enunciado del problema. Por lo tanto, tendremos que trabajar con la información de funcionamiento en carga del motor:

• Par interno desarrollado: M i = 58,67 Nm • Deslizamiento: s = 0,05 • Corriente consumida (valor de línea): I l = 9 A • Factor de potencia: cos (ϕ cc ) = 0,9015 • Potencia reactiva consumida: Q = 4608,6 VAr

El estator de los motores está conectado en estrella, por lo tanto, la corriente de línea y fase coinciden: I l

= I f = I = 9 A

89

La velocidad de giro del motor puede obtenerse a partir del deslizamiento y la velocidad de sincronismo, teniendo en cuenta que la máquina tiene 4 polos y la frecuencia de la red es 50 Hz. n1

60 f

=

p

n = (1 − s ) n1

60 ⋅ 50

=

2

= 1 5 0 0r p . .m.

= (1 − 0, 05) 1500 = 1425 r .p .m .

Una vez conocidos el par interno desarrollado por el motor y su velocidad de giro, puede calcularse la potencia interna del motor: Pmi

= MiΩ = M i

2π 60

n = 58,67

2π 60

1425 = 8755,1W

Las pérdidas por efecto Joule en la resistencia del rotor están relacionadas con la potencia mecánica interna: Pcu ,2 s Pcu ,2 Pcu ,2

=

0,05 1 − 0,05

Pmi

= =

1− s sPmi 1− s

8755,1 = 460,79 W

Como la corriente que consume el motor es un dato del problema, podemos determinar la resistencia del rotor, referida al estator: Pcu,2 '

R2

=

Pcu,2

3 I 2

=

= 3R2' I 2 460,79 3 92

≈ 1,9 Ω

Para calcular la resistencia del estator deberíamos obtener su potencia de perdidas por efecto Joule. Conocemos la potencia reactiva consumida y el factor de potencia de la máquina. Con estos dos datos se puede estimar la potencia activa consumida por la máquina:

90

P=

Q

tan (ϕ )

cos (ϕ ) = 0, 9015; ϕ = arccos ( 0, 9015) P=

4608,6 arccos( 0,9015)

= 9600 W

Efectuamos un balance de potencias en el motor: P = P perdidas + Pmi

= Pcu,1 + Pcu,2 + PFe + Pmi

Como hemos despreciado la rama en paralelo en el circuito eléctrico equivalente, también podemos considerar que las pérdidas en el hierro son despreciables. Entonces, el único valor desconocido en la ecuación anterior son las pérdidas en el estator por efecto Joule. Pcu ,1

= P − ( Pcu ,2 + Pmi )

Pcu ,1 = 9600 − ( 460,79 + 8755,1) Pcu ,1 = 384,11 W

Entonces la resistencia del estator por fase será por la siguiente: Pcu ,1 = 3R1I 2 R1

=

Pcu,1

3 I 2

=

384,11 3 92

≈ 1,58 Ω

Por lo tanto, la resistencia interna o de cortocircuito por fase del motor es la siguiente: Rcc

= R1 + R2' ≈ 3,48 Ω

El factor de potencia proporcionado coincide con el argumento de la impedancia total del circuito eléctrico equivalente por fase del motor. La parte real de esta impedancia está formada por la resistencia interna y la resistencia equivalente de carga:

91

1 + Rc = Rcc + R2' ⎛⎜ − 1⎞⎟ ⎝s ⎠ ⎛ 1 ⎞ − 1⎟ Re ( Z total ) = 3, 48 + 1,9 ⎜ ⎝ 0,05 ⎠

(

r

Re Z total

)=R

cc

r

La parte imaginaria de esta impedancia es precisamente la reactancia interna o de cortocircuito, último parámetro que nos queda por calcular.

(

) = X Im ( Z ) X tan ( arccos ( 0, 9015) ) = = ⎛ Re ( Z ) 3, 48 + 1,9 ⎜ r

Im Z total

cc

r

total

r

total

X cc

cc

⎞ − 1⎟ ⎝ 0,05 ⎠ 1

= 19 Ω

3.

El funcionamiento planteado en este apartado del problema es el siguiente: los dos transformadores en paralelo están conectados a la red de 20 kV (tensión en su primario). Alimentan a 5 motores de inducción, que trabajan todos con un deslizamiento del 8%. No hay cargas adicionales. No se conoce la tensión de alimentación de los motores, o lo que es lo mismo, la tensión en el secundario de los dos transformadores conectados en paralelo. Todas las máquinas están conectadas en estrella. Entonces, el circuito eléctrico monofásico equivalente de todo el sistema es el mostrado en la figura 3. Todas las impedancias están referidas al secundario de los dos transformadores. Esta va a ser la herramienta que vamos a emplear para resolver el apartado.

92

Figura 3.

En este circuito monofásico son conocidas: todas las impedancias y la tensión del primario de los transformadores. Los dos transformadores están conectados a una red de 20 kV (valor de línea). En el circuito equivalente por fase, la tensión del primario de los transformadores referida al secundario es la siguiente: U1 E 1

E 1,2

=

=

U 1

= 11547 V 3 230 = 50 rt = 4, 6

E 1 r t

= 20000 kV

=

11547 50

= 230,94 V

Los dos transformadores tienen la misma impedancia referida al secundario:

93

r

= Z ccB ,2 ≈ 0,0133∠80º = 0,002315 + r

A

Z cc ,2

j 0,01313 Ω

Se pueden reducir, en el circuito equivalente, a una única impedancia, resultante de la asociación en paralelo de sus impedancias internas. Z cc ,2 ⋅ Z cc ,2 r

Z tr = r

r

A

B

Z cc ,2 + Z cc ,2 r

r

A

B

= 0,001155 + 0,006549 ⋅ j Ω

Z tr = 0,00665∠80º Ω r

Los 5 motores en paralelo son idénticos y están trabajando con el mismo deslizamiento. Por lo tanto todos estarán representados por la misma impedancia: R ' = ⎛⎜ R1 + 2 ⎞⎟ + j ⋅ X cc s ⎠ ⎝ 1,9 ⎞ ⎛ Z M = ⎜ 1,58 + ⎟ + j ⋅ 19 0,08 ⎠ ⎝ Z M = 25, 33 + j ⋅ 19 Ω Z M ≈ 31,664∠36,87º Ω r

Z M

r

r

r

Los 5 motores idénticos se encuentran en paralelo. Se pueden reducir a una única impedancia en el circuito monofásico equivalente: r

Z M 5

≈ 6,3328∠36,87º Ω

Por lo tanto el circuito monofásico inicial queda reducido sólo a dos impedancias en serie, r

alimentadas a la tensión E 1,2 , que además tomamos como origen de fases.

94

Figura 4.

La corriente que circula por los dos transformadores y que consumen los 5 motores es la siguiente: r

r

I 1,2

=

r

I 1,2

=

E 1,2 Z M 5 + Z tr r

r

230,94∠0º V 6,3328∠36,87º + 0, 00665∠ 80º Ω r

I1,2

= 36,44∠ − 36,91º A

Cada uno de estos dos transformadores suministrará exactamente la mitad de esta corriente: r

r

A

I1,2

= I1,2B = r

I 1,2

2

= 18,22∠ − 36,91º A

95

P R O B L E M A 1 0

U

n motor de inducción de 100 HP, 440 V, 50 Hz, seis polos y conexión en estrella, tiene un circuito equivalente cuyos parámetros por fase son: R 1 = 0,084 ; R 2’ = 0,066 ; X µ = 6,9 ; X 1 = 0,2 ; X 2’ = 0,165 

Pmec = 1500 W; R Fe = 193,6  Para un deslizamiento de 0,035 se pide: a) La corriente de línea consumida por el motor. b) Las pérdidas en el cobre del estator. e) La potencia en el entrehierro. d) La potencia convertida de eléctrica en mecánica. e) El par producido por el motor. f) El par de la carga. g) El rendimiento total de la máquina. h) La velocidad del motor en revoluciones por minuto y en radianes por segundo. i) ¿Cuál es el par máximo de salida? ¿Cuál es el deslizamiento al que ocurre ese par? ¿Cuál es la velocidad del rotor en ese momento? j) Si el motor se conecta a una red de potencia de 440 V y 60 Hz, ¿cuál es su par máximo de salida? ¿A qué deslizamiento ocurre?

96

Solución

a.

El circuito eléctrico equivalente por fase de la máquina es el siguiente:

Figura 1.

Se conocen todos los parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase del motor de inducción trifásico, con conexión estrella en el estator, del enunciado: • Resistencia equivalente de las pérdidas en el hierro: R Fe = 193,6 Ω • Reactancia de magnetización: X µ = 6,9 Ω • Resistencia interna o de cortocircuito: R cc = R 1 + R 2’ = 0,15 Ω • Reactancia interna o de cortocircuito: X cc = X 1 + X 2’ = 0,365 Ω • Resistencia del rotor referida al estator: R 2’= 0,066 Ω El deslizamiento tiene un valor de 0,035, por la que la resistencia equivalente de carga es:

⎛ 1 − 1⎞ = 0, 066 ⎛ 1 − 1⎞ = 1,82 Ω ⎟ ⎜ 0,035 ⎟ ⎝s ⎠ ⎝ ⎠

Rc ' = R2 ' ⎜

La corriente por fase consumida por el motor es la suma de la corriente de vacío más la corriente que circula por el rotor, referida al estator. r

I1

= I 2 '+ I 0 r

r

Teniendo en cuenta que el estator del motor está conectado en estrella, la tensión de alimentación por fase (origen de fases) es la siguiente: r

E

=

440 3

∠0º V

La corriente por fase, consumida por el rotor y referida al estator es la siguiente:

97

r

E

I 2 ' = r

( Rcc + Rc ') + j ⋅ X cc 440

∠0º 3 ( 0,15 + 1, 82) + j ⋅ 0, 365

=

= 126,81∠ − 10,50º A La corriente de vacío tiene dos componentes: la corriente equivalente de las pérdidas en el hierro y la corriente de magnetización. 440 r

r

I Fe

=

E

=

RFe

∠0º 3 193,6

440 r

r

I µ

=

E j ⋅ X µ

r

I 0

∠0º

3 j ⋅ 6,9

=

= 1,31∠0º A

= 36, 82∠ − 90º A

= I Fe + I = 36,84∠ − 87,96º A r

r

µ

La corriente por fase consumida por el motor es: r

I1

= I 2 '+ I 0 = 139,52∠ − 25, 43º A r

r

Como el estator del motor está conectado en estrella, el valor de línea de la corriente consumida coincide con el valor de fase calculado. b.

Las pérdidas en el cobre del estator se obtienen empleando la siguiente ecuación: PCu ,1

= 3R1I 12 = 3 ⋅ 0, 084 ⋅139, 52 2 = 4905, 63 W

c.

La potencia del entrehierro es la potencia que llega al rotor procedente del estator. Una de las alternativas de cálculo es la siguiente: Pa

=

PCu ,2

98

s

El deslizamiento es conocido, pero es necesario determinar las pérdidas por efecto Joule en el rotor: PCu ,2

= 3R2 ' I 1'2 = 3 ⋅ 0, 066 ⋅ 126, 812 = 3184, 05 W

Por lo tanto, la potencia del entrehierro es la siguiente: Pa

=

PCu ,2 3184,05 s

=

0,035

= 90972,92 W

d.

La potencia convertida de eléctrica en mecánica es la potencia interna, que puede calcularse a partir de la potencia del entrehierro del apartado anterior. Pmi

= Pa ⋅ (1 − s ) = 90972, 92 ⋅ (1 − 0, 035 ) = 87788, 87 W

Esta potencia coincide con las pérdidas por efecto Joule en la resistencia equivalente de carga en el circuito eléctrico equivalente por fase. e.

El par producido por el motor es el par interno. Una vez calculada la potencia interna en el apartado anterior y conociendo la velocidad de giro del rotor, se puede emplear la s iguiente relación para su cálculo: M i

=

Pmi

Ω

M i

=

=

Pmi 2π n 60

=

Pmi

2π 60

n1 (1 − s )

87788,87 2π 60 ⋅ 50 (1 − 0,035) 60 3

=

2π

Pmi 60 f

60 p

(1 − s )

= 868,73 N m

f.

El par de la carga es exactamente el par útil entregado por el motor a la máquina accionada. Se obtiene a partir de la potencia útil, que es la potencia mecánica interna menos las pérdidas de origen mecánico.

99

M Carga

Pu

= M u =

Ω

M Carga

=

Pmi − Pmec 2π n 60

=

=

Pmi

2π 60

=

n1 (1 − s )

87788,87 − 1500 2π 60 ⋅ 50 (1 − 0,035) 60 3

2π

Pmi 60 f

60 p

(1 − s )

= 853,88 N m

g.

El rendimiento total de la máquina. La potencia entregada a la máquina accionada es: Pu

= Pmi − Pmec = 86288,87 W

La potencia consumida es la siguiente: P1

= 3 ⋅ E ⋅ I1 ⋅ cos

( ) 

E , I1 = 3 ⋅ r

r

440 3

⋅139,51 ⋅ cos (25, 43º ) = 96025,35 W

El rendimiento es:

=

η

Pu P1

⋅100 = 89,86 %

h.

La velocidad del motor en revoluciones por minuto y en radianes por segundo se calcula de la forma siguiente: n1

=

60 f p

=

60 ⋅ 50 3

. .m. = 1000r p

donde f es la frecuencia de la red, y p el número de pares de polos de la máquina. n = (1 − s ) n1

= (1 − 0, 035 ) ⋅1000 = 965 r. p.m.

Ω=

2π 60

⋅ n = 101,05 rad

s

i.

¿Cuál es el par máximo de salida? ¿Cuál es el deslizamiento al que ocurre ese par? ¿Cuál es la velocidad del rotor en ese momento? Para obtener los valores que se piden, utilizamos las fórmulas obtenidas en el desarrollo teórico de la asignatura: 100

2

M max

3 ⋅ E 12

= 2

2π 60

(

n1 R1 +

2 1

R

+X

2 cc

)

M max s M max

n M max

=

R2 ' 2 1

R

+ X

= (1 − sM

max

2 cc

= 2

2π

(

⎛ 440 ⎞ 3⋅⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ 0, 084 + 0, 0842 + 0,3652

1000 60 = 2015,90 Nm 0, 066

=

2

0,084

+ 0,365

2

)

= 0,1762

) ⋅ n = (1 − 0,1762) ⋅ 1000 = 823, 78 Nm 1

j.

Si el motor se conecta a una red de potencia de 440 V y 60 Hz, ¿cuál es su par máximo de salida? ¿A qué deslizamiento ocurre? Al cambiar el valor de la frecuencia de la red, se modifican los valores de las resistencias del circuito eléctrico equivalente, pero sobre todo de las reactancias. El cambio en el valor de las resistencias se considera despreciable. Las reactancias son proporcionales a la frecuencia, y esto nos permite calcular sus nuevos valores:

= ω ⋅ L = 2π ⋅ f ⋅ L X ' = ω '⋅ L = 2π ⋅ f '⋅ L ⇓ X

X X ' X cc ,60 Hz

=

f f '

= X cc,50 Hz ⋅

60 50

= 0,438 Ω

La velocidad de sincronismo también es diferente: n1 ' =

60 f p

=

60 ⋅ 60 3

= 1200 r . p.m.

El nuevo par máximo y deslizamiento de par máximo de la máquina son:

101

2

3 ⋅ E 12

M max ' =

2

2π 60

(

n1 ' R1 +

2 1

R

+X

2 cc

M max

)

= 2

2π

(

1200 60 = 1453,46 Nm

102

⎛ 440 ⎞ 3⋅⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ 0, 084 + 0, 0842 + 0, 4382

)

P R O B L E M A 1 1

S

e dispone de un motor asíncrono de 205 CV, 1800 V, 6 polos y 50 Hz, que fue sometido a los siguientes ensayos: •

Ensayo de vacío o de rotor libre:

•

o

tensión

1800 V.

o

intensidad

17 A.

o

potencia

5000 W.

Ensayo de cortocircuito o de rotor bloqueado: o

tensión

231 V.

o

intensidad

35 A.

o

potencia

2000 W.

Por otra parte, se determinó que la resistencia del estator por fase es de 1  (dato real), las pérdidas mecánicas son de 1000 W y que el motor está conectado en triángulo. Se pide: a) Los parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase. b) El par de arranque y el par máximo. En condiciones nominales o de funcionamiento a plena carga: c) La velocidad nominal de funcionamiento del motor. d) El factor de potencia del motor. e) El rendimiento para el régimen nominal.

103

Solución

a.

El circuito eléctrico equivalente por fase de la máquina es el siguiente:

Figura 1.

Los parámetros que hay que calcular son: • Resistencia equivalente de las pérdidas en el hierro: R Fe. • Reactancia de magnetización: X µ. • Resistencia interna o de cortocircuito: R cc (suma de R 1 y R 2’ en la figura). • Reactancia interna o de cortocircuito: X cc (suma de X 1 y X 2’ en la figura). • Resistencia del rotor referida al estator: R 2’. A partir de los datos del ensayo de vacío, obtenemos la rama en paralelo del circuito eléctrico equivalente por fase. No hay que olvidar que el estator del motor está conectado en triángulo, y que los datos que se ofrecen en el enunciado, son valores de línea, como siempre:

= 1800 V E0 = U 0 = 1800 V I 0, L = 17 A U0

I 0, F P0

=

I 0, L

3

=

17 3

A

= PFe + Pmec + Pcu1,0 2

Pcu1,0

PFe

= 3 ⋅ R1 ⋅ ( I 0, F )

2

⎛ 17 ⎞ = 3 ⋅1⋅ ⎜ ⎟ = 289 W ⎝ 3⎠

= P0 − Pmec − Pcu1,0 = 5000 − 1000 − 289 = 3711W

104

El circuito eléctrico equivalente por fase del motor durante el ensayo de vacío es el siguiente:

Figura 2.

= 3 ⋅ E0 ⋅ I 0, f ⋅ cos (ϕ 0 )

PFe

cos (ϕ 0 ) = cos (ϕ 0 ) =

3 ⋅1800 ⋅

17

= 0, 07

3

≈ 86º

= I 0, f ⋅ cos (ϕ 0 ) = 0, 6872 A = I 0, f ⋅ sen (ϕ 0 ) = 9, 79 A

I µ

RFe

3 ⋅ E0 ⋅ I 0, f

3711

ϕ 0

I Fe

PFe

=

X µ

E 0

=

I Fe

=

E 0 I µ

1800

=

= 2619,33 Ω

0,69 1800 9,79

= 183,84 Ω

Los datos del ensayo de cortocircuito, nos permitirán obtener los datos de la rama serie y R 2’. Teniendo en cuenta la conexión en triángulo, los cálculos a realizar son los siguientes:

= 231 V Ecc = U cc = 231 V I cc, L = 35 A U cc

I cc, f

=

I cc, L

3

105

=

35 3

A

= 3 ⋅ Ecc ⋅ I cc , f ⋅ cos (ϕ cc )

Pcc

cos (ϕ cc ) =

Pcc

3 ⋅ Ecc ⋅ I cc , f

2000

cos (ϕ cc ) =

= 0,1428 3 ⋅ 231 ⋅ 35 sen (ϕ cc ) = 0, 9897

Rcc

=

E cc ⋅ cos (ϕ cc )

231⋅ 0,1428 = 1,6327 Ω 35

=

I cc , f

3 X cc

=

E cc ⋅ sen (ϕ cc ) I cc , f

=

231⋅ 0,9897 = 11,3143 Ω 35 3

R2 ' = Rcc

− R1 = 1, 6327 − 1 = 0, 6327 Ω

El circuito eléctrico equivalente por fase del motor durante el ensayo de cortocircuito es el siguiente:

Figura 3.

b.

Para calcular el par de arranque se emplea la ecuación, obtenida en teoría, que nos relaciona el par interno del motor con la tensión de alimentación del motor por fase, los parámetros del circuito eléctrico equivalente, el deslizamiento y la velocidad de sincronismo. El par de arranque corresponde al punto singular de funcionamiento donde el deslizamiento vale 1. s=

n1 − n n1

=

n1 − 0

106

n1

=1

M arr

= M i s =1 =

M arr =

3

R2 ' s

2

E 1

2 ⎤ 2π ⎡⎛ R2 ' ⎞ 2 + n1 ⎢⎜ R1 + X cc ⎥ ⎟ 60 ⎣⎢⎝ s ⎠ ⎦⎥ s=1

3 ⋅0,6327 ⋅18002 2π 60

1000 (1, 6327

2

=

3 R2 ' E 12 2π 60

n1 ⎡⎣ Rcc2

+ X cc2 ⎤⎦

= 449,396 N m

+ 11,3143 ) 2

Para obtener el par máximo, utilizamos otra de las fórmulas obtenidas en el desarrollo teórico de la asignatura: M max

3 ⋅ E 12

= 2

2π 60

(

n1 R1 +

2 1

R

+X

M max

2 cc

)

3 ⋅18002

=

2π

2

(

1000 1+ 12 + 11,312

60 = 3755,31 Nm

)

c.

En este apartado se pide determinar, en condiciones nominales, la velocidad de giro del motor. En condiciones de plena carga, el motor estará entregando su potencia nominal (205 CV) en el eje a la máquina accionada. Ésta es, por lo tanto, la condición que vamos a emplear para determinar el deslizamiento que luego nos permitirá calcular la velocidad. Como las pérdidas mecánicas se consideran constantes, la potencia mecánica interna que desarrolla el motor en condiciones nominales es la siguiente:

= 205 CV = 150880 W Pmi , nom = Pu , nom + Pmec = 150880 + 1000 = 151880 W Pu ,nom

La potencia mecánica interna se modela como las pérdidas por efecto Joule en la resistencia equivalente de carga. Otra alternativa consiste en obtenerla como el producto del par interno y la velocidad de giro, expresada en radianes por segundo. En la siguiente ecuación, se ha empleado la expresión del par interno, empleada para calcular el par de arranque, y la velocidad de giro se puesto en función del deslizamiento y de la velocidad de sincronismo.

Pmi , nom

= M iΩ =

3

R2 ' s

2

E 1

2π

2 ⎞ 60 2π ⎛ ⎛ R2 ' ⎞ 2 + n1 ⎜ ⎜ R1 + X cc ⎟ ⎟ ⎟ 60 ⎜⎝ ⎝ s ⎠ ⎠

107

(1 − s ) n1

Entonces, queda una ecuación real, de segundo orden, donde la única incógnita es el deslizamiento. Se supone que el motor está alimentado a su tensión nominal. Si no fuera este el caso, debería haberse proporcionado este dato.

( R P 2 1

mi , nom

+ X cc2 Pmi, nom + 3E12 R2 ') s 2 + ( 2 R1R2 ' Pmi, nom − 3E12 R2 ' ) s + R2'2 Pmi, nom = 0 25744396,84s 2 − 5957655,05s + 60798,98 = 0

Al resolver la ecuación de segundo grado, se obtienen dos valores posibles para el deslizamiento: s1 = 0,0107 s2 = 0,2207 Los dos corresponden al funcionamiento como motor, pero sólo el primero es válido, porque este tipo de máquinas suele trabajar con valores de deslizamiento a plena carga, entre el 10 y 2%. n = (1 − s ) n1

= (1 − 0, 0107 )1000 = 989,3 R.P.M .

d.

El factor de potencia del motor es el coseno del ángulo de fase que forman la corriente que consume con respecto a la tensión de alimentación (valores de fase). Por lo tanto, vamos a emplear el circuito equivalente para determinar la corriente total que consume la máquina, y así poder determinar el ángulo que nos hace falta. Tomaremos como origen de fases, la tensión de alimentación del motor: r

E1,F

= 1800∠0º V

La corriente que consume el motor es la suma fasorial de la corriente que circula por el rotor, referida al estator, y las dos componentes de la corriente de vacío: r

r

r

I Fe

=

E 1, f RFe

r

r

I µ

=

E 1, f Rµ

=

= I 2,' f + I Fe + I r

I1, f

=

r

µ

1800∠ 0º 2619,33

1800∠0º 183,84∠90º

r

r

I 2,' f

=

E 1, f

=

( Rcc + jX cc ) + R

' 2

r

⎛ 1 − 1⎞ ⎜ s ⎟ (1, 63 + ⎝ ⎠

≈ 0,69∠0º A ≈ 9, 79∠ − 90º A

1800∠0º

⎛ 1 ⎞ − 1⎟ j11, 31) + 0, 63⎜ ⎝ 0,0107 ⎠

108

≈ 29, 54∠ − 10º A

r

I1, f

= 0, 69∠0º +9, 79∠ − 90º +29, 54∠ −10º = 33, 41∠ − 27, 21º

A

El factor de potencia del motor es el coseno del ángulo de fase la corriente que consume el motor: f .d . p. = cos( −27,21º)

= 0,89 ( Inductivo )

e.

Para determinar el rendimiento necesitamos la potencia útil que desarrolla el motor y la potencia que está consumiendo. La potencia desarrollada es la potencia nominal del motor, porque estamos en condiciones nominales. Podemos calcular la potencia consumida a partir de los datos del circuito eléctrico equivalente: Pconsumida

 = 3E1, f I1, f cos ( E 1, f , I1, f ) = 3 ⋅1800 ⋅ 33, 41 ⋅ 0,89 = 160447, 74 W

El rendimiento a plena carga será el siguiente: η

=

Pútil Pconsumida

⋅100 =

150880 160447,74

109

⋅100 = 94, 04 %

P R O B L E M A 1 2

U

n motor asíncrono trifásico conectado en estrella de 11,2 kW, 380 V, 50 Hz y 4 polos, ha dado los siguientes resultados en unos ensayos: • Ensayo de Vacío: 380 V, 3 A, 700 W. • Ensayo de Cortocircuito: 100 V, 20 A, 1200 W. La resistencia por fase del devanado del estator es igual a 0,5 ohmios. Las pérdidas mecánicas son 250 W y se consideran constantes. Calcular: 1) La resistencia de pérdidas en el hierro y la reactancia de magnetización. 2) La resistencia y la reactancia de cortocircuito. 3) La resistencia del rotor referida al estator R2’.

110

Solución

Apartado 1. En un ensayo de vacío o de rotor libre de una máquina asíncrona, además de las pérdidas en el hierro se contabilizan las pérdidas mecánicas, que se suelen considerar constantes, y las pérdidas en el cobre del estator. P0

= PFE + Pcu1 + Pm


= P0 − Pm − Pcu1

Las pérdidas mecánicas son un dato del problema y valen 250 W. Las pérdidas en el cobre del estator para el ensayo de vacío se pueden calcular, puesto que nos proporcionan el dato de la resistencia del estator R 1. Pcu1

= 3 ⋅ R 1 ⋅ I 02F = 3 ⋅ 0,5 ⋅ 32 = 13,50 W


= P0 − Pcu1 − Pm = 700 − 13,50 − 250 PFE = 436,50 W

El siguiente paso está encaminado a encontrar las dos componentes de la corriente de vacío. El procedimiento es el mismo que en los transformadores, utilizando como circuito equivalente de la máquina asíncrona el siguiente: PFE cos ϕ 0

=

= 3 ⋅ E 0 ⋅ I 0 F ⋅ cos ϕ 0 PFE

3 ⋅ E 0 ⋅ I0F senϕ 0

436,50 380 3⋅ ⋅3 3 = 0,98

=

= 0,22


= I 0 F ⋅ cos ϕ 0 = 3 ⋅ 0,22 = 0,66 A Iµ = I 0 F ⋅ senϕ 0 = 3 ⋅ 0,98 = 2,93 A

I FE

Ya se disponen de todos los datos necesarios para encontrar los valores de R FE, y X µ:

111

E0 R FE

=

E0 I FE

= E0

Xµ

=

E0 Iµ

=

= R FE ⋅ I FE 380

3

0,66

= 330,81 Ω

= Xµ ⋅ Iµ 380

3

2,93

= 74,99 Ω

Apartado 2. El circuito equivalente por fase del motor asíncrono para el ensayo de cortocircuito o de rotor bloqueado es el siguiente.

Hay que tener en cuenta que en el arranque el deslizamiento del motor vale uno, y que podemos despreciar la rama en paralelo. El procedimiento a seguir para calcular R cc y X cc es el mismo que en los transformadores. Pcc cos ϕ cc

=



1.200 100 3⋅ ⋅ 20 3 = 0,94

=

La resistencia de cortocircuito es la siguiente:

112

= 0,35

E cc ⋅ cos ϕ cc

= R cc ⋅ I cc 100

R cc

=

E cc ⋅ cos ϕ cc I cc R cc

3

=

⋅ 0,35

20

= 1 Ω Fase

La reactancia de cortocircuito vale: E cc ⋅ senϕ cc

= X cc ⋅ I cc 100

X cc

=


=

3

⋅ 0,94

20

= 2,71 Ω Fase

Apartado 3. Resistencia del rotor referida al estator:

= R 1 + R 2 ' R 2 ' = R cc − R 1 = 1 − 0,5 R 2 ' = 0,5 Ω R cc

Fase

113

P R O B L E M A 1 3

U

n motor asíncrono trifásico conectado en estrella de 11,2 kW, 380 V, 50 Hz y 4 polos, ha dado los siguientes resultados en unos ensayos: • Ensayo de Vacío: 380 V, 3 A, 700 W. • Ensayo de Cortocircuito: 100 V, 20 A, 1200 W. La resistencia por fase del devanado del estator es igual a 0,5 ohmios. Las pérdidas mecánicas son 250 W y se consideran constantes. Los parámetros de su circuito eléctrico equivalente son los siguientes: • Resistencia de cortocircuito: 1 ohmio/fase. • Reactancia de cortocircuito: 2,71 ohmios/fase. • Reactancia de magnetización: 75 ohmios/fase. • Resistencia equivalente de las pérdidas en el hierro: 330 ohmios/fase. Calcular: 1) El par de arranque cuando el motor se conecta directamente a la red. 2) Suponiendo que el motor desarrolla un par interno igual a 1,2 veces el par de arranque: 2.1) Velocidad de giro del motor. 2.2) Potencia total y potencia útil desarrollada.

114

Solución

Apartado 1. El par de arranque desarrollado por el motor cuando se conecta a la red a su tensión nominal se puede calcular empleando la expresión del par interno, sustituyendo el deslizamiento por la unidad, que corresponde a una situación donde el motor está parado.

M arr

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ' 2 ⎜ ⎟ 3 R2 E1 = M i , s =1 = ⎜ ⎟ = 2 ' ⎛ ⎞ ⎜ 2π ⎟ ⎛ R2 ⎞ 2 ⎜ ⎟ n s R X + + cc ⎟ ⎜⎜ 60 1 ⎜ ⎜ 1 s ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠s =1 ⎝

3 R2' E 12 2π 60

(

2

n1 Rcc

+ X cc2 )

El estator del motor está conectado en estrella, por lo que la tensión fase neutro E1 vale 380 3 V . Como el motor tiene cuatro polos y está conectado a una red de 50 Hz, la velocidad de sincronismo, n1, es 1500 rpm. La resistencia y reactancia de cortocircuito son datos del problema. Por lo tanto, el par de arranque del motor en estas condiciones es el siguiente: 2

M arr =

2π 60

⎛ 380 ⎞ 30,5 ⎜ 3⎟ 3 R2' E 12 ⎝ ⎠ = = 55,09 Nm 2π 2 2 2 2 n1 ( Rcc + X cc ) 1500 (1 + 2,71 ) 60

Apartado 2.1. El par interno desarrollado por el motor es 1,2 veces el par de arranque calculado en el primer apartado. M i

= M arr 1, 2 = 66,10 Nm

Piden calcular la velocidad de giro del motor, suponiendo que está conectado a la tensión nominal. En la expresión del par interno empleada anteriormente aparece el deslizamiento como incógnita. Con los datos disponibles y empleando esa expresión, sólo s sería desconocido y se podría plantear una ecuación de segundo grado:

115

M i

3 R2' E 12

=

2 ' ⎛⎛ ⎞ R2 ⎞ 2 ⎟ + n1 s ⎜ ⎜ R1 + X cc ⎟ ⎜⎝ ⎟ 60 s ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎛ 380 ⎞ 30,5 ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝ 66,10 = 2 ⎛⎛ ⎞ 2π 0, 5 ⎞ 2 + 1500 s ⎜ ⎜ 0,5 + 2, 71 ⎟⎟ ⎟ ⎜⎝ 60 s ⎠ ⎝ ⎠

2π

Operando se obtiene la siguiente ecuación de segundo grado en s : 2,96 s 2 − 6, 45 s + 0, 25 = 0

La resolución de la ecuación nos ofrece los siguientes valores de s : s1 s2

= 2,14

= 0,03945

El primer valor corresponde a un funcionamiento como freno y el segundo al funcionamiento como motor, por lo tanto descartamos el primero y la velocidad de giro será la siguiente: n = (1 − s ) n1

= (1 − 0, 03945 )1500 = 1440, 82 rpm

Apartado 2.2. La potencia mecánica interna desarrollada por el motor, que es lo que denominamos potencia total, se obtiene fácilmente conociendo la velocidad de giro del rotor y el par interno desarrollado: Pmi

= M i Ω = 66,10

2π 60

1440,82 = 9718, 2W

La potencia útil se obtiene restando a la potencia total las pérdidas mecánicas, que se consideran en este caso independientes de la velocidad: Pu

= Pmi − Pmec = 9718,2 − 250 = 9462,2 W

116

P R O B L E M A 1 4

U •

n motor de inducción trifásico de 220 V, 50 Hz, 6 polos y conexión estrella se ha ensayado en vacío y en cortocircuito, obteniéndose los siguientes resultados: •

Ensayo de Vacío: 220 V, 20,8 A, 840 W

Ensayo de Cortocircuito: 45 V, 50 A, 1000 W

La resistencia del estator por fase es 0,047 Ω y las pérdidas mecánicas son de 200 W. Si el motor consume una corriente de 62 A con un factor de potencia de 0,85, calcular: 1) Los parámetros del circuito eléctrico equivalente del motor. 2) La velocidad de funcionamiento. 3) La potencia y par útiles desarrollados. 4) El rendimiento.

117

Solución

Apartado 1. Para calcular los parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase del motor es necesario emplear los datos del ensayo de vacío o de rotor libre y del ensayo de cortocircuito o de rotor bloqueado que se proporcionan en el enunciado. En un ensayo de vacío o de rotor libre de una máquina asíncrona, además de las pérdidas en el hierro se contabilizan las pérdidas mecánicas, que se suelen considerar constantes, y las pérdidas en el cobre del estator. P0

= PFE + Pcu1,0 + Pm


= P0 − Pm − Pcu1,0

Las pérdidas mecánicas son un dato del problema y ascienden a 200 W. Las pérdidas en el cobre del estator para el ensayo de vacío se pueden calcular, puesto que nos proporcionan el dato de la resistencia por fase del estator R 1. Pcu1,0

= 3 ⋅ R1 ⋅ I 02F = 3 ⋅ 0, 047 ⋅ 20,82 = 61 W


= P0 − Pcu1 − Pm = 840 − 61 − 200 PFE = 579 W

El siguiente paso está encaminado a encontrar las dos componentes de la corriente de vacío. El procedimiento es el mismo que en los transformadores, utilizando como circuito equivalente de la máquina asíncrona en el ensayo de vacío el siguiente:

118

PFE

cos ϕ 0

=

ϕ 0 = 3 ⋅ E0 f ⋅ I 0 f ⋅ cos

579 = 0, 0731 ⋅ I 0 f 3 ⋅ 220 ⋅ 20,8 3 ϕ 0 = 85,81º

PFE

3 ⋅ E0 f

=

Las componentes de la corriente de vacío son las siguientes: I FE I µ

= I 0 f ⋅ cos ϕ 0 = 20,8 ⋅ cos (85,81º ) = 1,52 A

= I 0 f ⋅ sen ϕ 0 = 20, 8 ⋅ sen ( 85, 81º ) = 20, 74 A

Ya se disponen de todos los datos necesarios para encontrar los valores de R FE, y X µ: E0 f RFE =

E 0 f I FE

=

E0 f X µ

=

E 0 f I µ

=

= RFE ⋅ I FE 220

3

= 83,59 Ω

1,52

= X ⋅ I µ

220

µ

3

20,74

= 6,12 Ω


Como la tensión de alimentación en este ensayo es pequeña, se suele despreciar la rama en paralelo por analogía con en el ensayo correspondiente a los transformadores. El procedimiento a seguir para calcular R cc y X cc es el siguiente:

119

Pcc

cos ϕ cc

=

= 3 ⋅ Eccf ⋅ I ccf ⋅ cos ϕ cc

1.000 45 3 ⋅ Eccf ⋅ I ccf 3⋅ ⋅ 50 3 ϕ cc = 75,13º Pcc

=

sen ϕ cc

= 0, 9665

= 0, 2566

La resistencia de cortocircuito es la siguiente: Eccf ⋅ cos ϕ cc

Rcc

=

= Rcc ⋅ I ccf

E ccf ⋅ cos ϕ cc I ccf

45 3

=

⋅ 0,2566 50

= 0,1333 Ω Fase

Rcc

La reactancia de cortocircuito vale: Eccf ⋅ sen ϕ cc e0 f r

jX S

u f

= X cc ⋅ I ccf 45

r

X cc

=

E ccf ⋅ sen ϕ cc I ccf X cc

=

3

⋅ 0,9665 50

= 0,5022 Ω Fase

A continuación se determina la resistencia del rotor referida al estator:

= R1 + R2 ' R2 ' = Rcc − R1 = 0,1333 − 0, 047 R2 ' = 0,0863 Ω Rcc

Fase

Apartado 2 Para calcular la velocidad de funcionamiento de la máquina se va a emplear el circuito eléctrico equivalente por fase siguiente:

120

Se conoce la tensión de alimentación y la corriente consumida por el motor. Las otras dos corrientes, la de vacío y la del rotor referida al estator, se pueden calcular fácilmente, por lo que la única incógnita de este circuito es precisamente el deslizamiento que aparece en la resistencia equivalente de carga. Relacionando tensión y corriente en la rama serie del motor se puede intentar determinar el valor de esta incógnita. Primero fijamos como origen de fases la tensión de alimentación. Teniendo en cuenta que el estator está conectado en estrella, el valor de fase de la tensión de alimentación será el siguiente:

=

r

E1 f

220 3

∠0º V

El ángulo de fase de la corriente de fase consumida es precisamente el arcocoseno del factor del potencia de la máquina: ϕ 1

= arc cos ( 0,85 ) = −31,79º I1 f = 62∠ − 31,79º A r

A continuación determinamos la corriente de vacío, para posteriormente encontrar el valor de la corriente por fase del rotor referida al estator: r

r

I 0 f

=

E1 f RFe

r

E 1 f

+

jX µ r

I1 f r

I r

'

I 2 f

' 2 f

= 20,8∠ − 85,81º A

= I 0 f + I 2' f r

r

= I1 f − I 0 f r

r

= 62∠ − 31, 79º −20, 8∠ − 85, 81º r

I 2' f

= 52,55∠ − 13,11º A

121

El módulo de la tensión de alimentación es igual al módulo de la corriente del rotor referida al estator por el módulo de la impedancia serie (impedancia interna más resistencia equivalente de carga). De esta forma obtenemos una ecuación real con “s” con única incógnita. E1 f

= I ⋅ Z cc + R = I ⋅ ⎡⎢( Rcc + R ⎣ r

' 2f

' c

' 2f

' c

) + X ⎤⎥⎦ 2

2 cc

1 2

1

' ⎡⎛ ⎤2 R2 ⎞ 2 ⋅ ⎢⎜ R1 + ⎟ + X cc ⎥ s ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ 2

E1 f

=I

' 2f

1

220 3

⎡⎛ ⎤2 0, 0863 ⎞ 2 = 52,55 ⋅ ⎢⎜ 0, 047 + ⎟ + 0,5022 ⎥ s ⎝ ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ 2

Después de operar, se obtiene la siguiente ecuación: 2,3643 = 0,047 +

0,0863 s

s = 0,0372

Una vez obtenido el deslizamiento se puede calcular de forma muy sencilla la velocidad de giro del motor: n1 − n

s=

n1

n = (1 − s ) ⋅ n1

= (1 − s ) ⋅

n = (1 − 0,0372) ⋅

60 ⋅ f p

60 ⋅ 50 3

n = 962,76 rpm

Apartado 3 En este primer apartado se pide la potencia y el par útil desarrollado por el motor. Primero es necesario calcular la potencia interna desarrollada por la máquina a partir de los datos del circuito eléctrico equivalente que ha sido resuelto totalmente en el apartado anterior.

122

1 = 3 ⋅ Rc' ⋅ I 2'2f = 3 ⋅ R2' ⋅ ⎛⎜ − 1⎞⎟ ⋅ I 2'2f ⎝s ⎠ ⎛ 1 ⎞ Pmi = 3 ⋅ 0, 0863 ⋅ ⎜ − 1⎟ ⋅ 52, 552 ⎝ 0,0372 ⎠ Pmi = 18482,78 W Pmi

La potencia útil se obtiene restando las pérdidas mecáncias a la potencia interna desarrollada por el motor: Pu

= Pmi − Pmec = 18482,78 − 200 Pu

= 18282,78 W

Pu

=

La par útil es el siguiente: M u

=

Ω

Pu 2π

60 M u

= n

18282,78 2π 962,76 60

= 181,34 Nm

Apartado 4 El rendimiento de cualquier máquina es el cociente de la potencia útil desarrollada por la potencia consumida. La potencia útil ya fue calculada en el apartado anterior. A partir de los datos del enunciado se puede calcular la potencia consumida de la siguiente forma: Pab

= 3 ⋅ E1 f ⋅ I1 f ⋅ cos

r

r

)

220

⋅ 62 ⋅ 0,85 3 Pab = 20089,4 W

Pab

= 3⋅

(



E f , I1 f

Por lo tanto, el rendimiento es el siguiente: η

=

Pu Pab

⋅100 =

18282,78 20081, 4

= 91,04%

η

123

⋅100

P R O B L E M A 1 5

U •

n motor de inducción trifásico de 220 V, 50 Hz, 6 polos y conexión estrella se ha ensayado en vacío y en cortocircuito, obteniéndose los siguientes resultados: •

Ensayo de Vacío: 220 V, 20,8 A, 840 W

Ensayo de Cortocircuito: 45 V, 50 A, 1000 W

La resistencia del estator por fase es 0,047 Ω y las pérdidas mecánicas son de 200 W. Calcular: 1) Los parámetros del circuito eléctrico equivalente del motor. 2) Calcular el par y la corriente en un arranque directo a la tensión nominal del motor y a una tensión 90% de la nominal. 3) Justifique numéricamente si el motor sería capaz de ponerse en marcha en un arranque directo a su tensión nominal y a una tensión 90% de la nominal en los cuatro casos siguientes (n es la velocidad expresada en rpm, y el par resistente en Nm): 3.1) Par resistente constante igual a 135 Nm. 3.2) Par resistente dado por la expresión 3.3) Par resistente dado por la expresión 3.4) Par resistente dado por la expresión 4) En un instante determinado la máquina está funcionando como motor girando a una velocidad de 960 rpm y alimentado a la tensión nominal. Para frenar la máquina, se intercambian entre sí dos fases de la tensión de alimentación. Calcular el par de frenado desarrollado por la máquina en ese instante de tiempo.

124

Solución

Apartado 1. Para calcular los parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase del motor es necesario emplear los datos del ensayo de vacío o de rotor libre y del ensayo de cortocircuito o de rotor bloqueado que se proporcionan en el enunciado. En un ensayo de vacío o de rotor libre de una máquina asíncrona, además de las pérdidas en el hierro se contabilizan las pérdidas mecánicas, que se suelen considerar constantes, y las pérdidas en el cobre del estator. P0

= PFE + Pcu1,0 + Pm


= P0 − Pm − Pcu1,0

Las pérdidas mecánicas son un dato del problema y ascienden a 200 W. Las pérdidas en el cobre del estator para el ensayo de vacío se pueden calcular, puesto que nos proporcionan el dato de la resistencia por fase del estator R 1. Pcu1,0

= 3 ⋅ R1 ⋅ I 02F = 3 ⋅ 0, 047 ⋅ 20,82 = 61 W

Entonces las pérdidas en el hierro son las siguientes: PFE

= P0 − Pcu1 − Pm = 840 − 61 − 200 PFE = 579 W

El siguiente paso está encaminado a encontrar las dos componentes de la corriente de vacío. El procedimiento es el mismo que en los transformadores, utilizando como circuito equivalente de la máquina asíncrona en el ensayo de vacío el siguiente:

125

PFE

cos ϕ 0

=

ϕ 0 = 3 ⋅ E0 f ⋅ I 0 f ⋅ cos

579 = 0, 0731 ⋅ I 0 f 3 ⋅ 220 ⋅ 20,8 3 ϕ 0 = 85,81º

PFE

3 ⋅ E0 f

=

Las componentes de la corriente de vacío son las siguientes: I FE I µ

= I 0 f ⋅ cos ϕ 0 = 20,8 ⋅ cos (85,81º ) = 1,52 A

= I 0 f ⋅ sen ϕ 0 = 20, 8 ⋅ sen ( 85, 81º ) = 20, 74 A

Ya se disponen de todos los datos necesarios para encontrar los valores de R FE, y X µ: E0 f RFE =

E 0 f I FE

=

E0 f X µ

=

E 0 f I µ

=

= RFE ⋅ I FE 220

3

= 83,59 Ω

1,52

= X ⋅ I µ

220

µ

3

20,74

= 6,12 Ω


Como la tensión de alimentación en este ensayo es pequeña, se suele despreciar la rama en paralelo por analogía con en el ensayo correspondiente en los transformadores. El procedimiento a seguir para calcular R cc y X cc es el siguiente:

126

Pcc

cos ϕ cc

=

= 3 ⋅ Eccf ⋅ I ccf ⋅ cos ϕ cc

1.000 45 3 ⋅ Eccf ⋅ I ccf 3⋅ ⋅ 50 3 ϕ cc = 75,13º Pcc

=

sen ϕ cc

= 0, 96 9665

= 0, 2566

La resistencia de cortocircuito es la siguiente: Eccf ⋅ cos ϕ cc

Rcc

=

= Rcc ⋅ I ccf 45

E ccf ⋅ cos ϕ cc

=

I ccf Rcc

3

⋅ 0,2566 50

= 0,1333 Ω Fase

La reactancia de cortocircuito vale: Eccf ⋅ sen ϕ cc

X cc

=

= X cc ⋅ I ccf

E ccf ⋅ sen ϕ cc I ccf X cc

45

=

3

⋅ 0,9665 50

= 0,5022 Ω Fase

A contin continuac uación ión se dete determi rmina na la la resis resisten tencia cia del rotor rotor referi referida da al estator estator::

= R1 + R2 ' R2 ' = Rcc − R1 = 0,1333 − 0, 047 R2 ' = 0,086 ,0863 Ω Rcc

Fase

Apartad Apartadoo 2 El circuito eléctrico equivalente por fase de la máquina asíncrona es el siguiente:

127

En el instante de arranque el deslizamiento de la máquina vale 1 y, por tanto, la resistencia equivalente de carga Rc ' es nula. La corriente de arranque se calcula a partir del circuito eléctrico equivalente representado en la anterior figura anulando esta resistencia: r

⎡ 1 1 1 = E 1 f ⋅ ⎢ + + ⎢⎣ Rcc + j ⋅ X cc RFe j ⋅ X r

I arr

µ

⎤ ⎥ ⎥⎦

La máquina se arranca de forma directa a dos tensiones diferentes: tensión nominal y tensión 90% de la nominal. Se sustituye la tensión en la expresión anterior, recordando que la escogemos como origen de fases en los dos casos, y obteniendo los siguientes valores:

• Arranq Arranque ue direct directoo a la tensi tensión ón nomi nominal: nal: 220 V. ⎡ 220 1 1 1 ⎤ ∠0º ⎢ + + = 264, 93∠ − 75, 97º A I arr ,220 = ⎥ + ⋅ ⋅ 0 , 1 3 3 3 j 0 , 50 5 0 2 2 83 8 3 , 59 5 9 j 6 , 1 2 3 ⎣ ⎦ r

• Arranq Arranque ue direct directoo a la tensi tensión ón 0,9*22 0,9*220V. 0V. ⎡ 0, 9 ⋅ 220 1 1 1 ⎤ ∠0º ⎢ + + I arr ,0,9⋅220 = ⎥ = 238, 44∠ − 75, 97º A 5022 83 83, 59 59 j ⋅ 6,12⎦ 3 ⎣ 0,1333 + j ⋅ 0, 50 r

El arranque de un motor es un punto singular de su funcionamiento. El par desarrollado se puede calcular empleando la fórmula obtenida en clase para el par interno, sustituyendo el deslizamiento por 1.

M arr

= M i s =1 =

3⋅

R2 ' s

⋅ E 12 f

2 ⎛⎛ ⎞ R2 ' ⎞ 2 n1 ⋅ ⎜ ⎜ R1 + X + cc ⎟ ⎟ ⎜⎝ ⎟ 60 s ⎠ ⎝ ⎠ s =1

2π

El par de arranque en los dos casos propuestos es el siguiente:

128

=

3 ⋅ R2 '⋅ E 12 f 2π n1 ⋅ ( Rc2c 60

+ X c2c )

• Arranq Arranque ue direct directoo a la tensi tensión ón nomi nominal: nal: 220 V. 2 ⎛ 220 ⎞ 3 ⋅ 0,0863 ⋅ ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝ = 147,74 Nm M arr ,220 == 2π 2 2 100 1000 ⋅ ( 0,13 ,1333 + 0,502 ,5022 ) 60

• Arranq Arranque ue direct directoo a la tensi tensión ón 0,9*22 0,9*220V. 0V. 2 ⎛ 0.9 ⋅ 220 ⎞ 3 ⋅ 0,0863 ⋅ ⎜ ⎟ 3 ⎠ ⎝ = = = 0, 81 M arr ,220 81⋅ 147, 74 74 Nm = 119, 67 67 Nm 2π 2 2 1000 1000 ⋅ ( 0,133 0,1333 3 + 0,5022 ,5022 ) 60

La tensión de alimentación se suele reducir para disminuir el pico de corriente que se produce en el arranque. Pero se puede observar que el par de arranque también se ve mermado y en una proporción mayor. En este caso se reduce un 19%, mientras que la corriente de arranque se redujo un 10%. Apartad Apartadoo 3 El motor eléctrico lleva acoplada una carga, la máquina accionada, cuyo comportamiento también viene viene cara caracte cteriz rizado ado por una curva curva Par-vel Par-velocid ocidad, ad, donde donde ahora ahora el par es de caráct carácter er resiste resistente nte para para el motor principal. Para que el motor eléctrico se ponga en marcha, se debe cumplir la relación: Par de Arranque del Motor > Par Resistente en el Arranque En los 4 casos propuestos hay que determinar el par resistente en el arranque, par a velocidad cero (n=0), y compararlos con los pares obtenidos en el apartado 2: • Par resistente constante igual a 135 Nm. El par resistente de esta máquina accionada por el motor asíncrono no varía con la velocidad, por lo tanto el par resistente en el arranque vale también 135 Nm. En un arranque directo a la tensión nominal el motor es mayor que el par resistente y el conjunto motor-máquina accionada se pondría en funcionamiento. En el caso de un arranque directo al 90% de la tensión nominal, el par de arranque del motor es inferior al resistente y el conjunto no giraría. M Resistente = 123 123 + 1,3 ⋅ 10−6 ⋅ n 2 • Par resistente dado por la expresión . El par resistente en el arranque de esta carga es 123 Nm. Ocurre lo mismo que en caso anterior. −3 M Resistente = 149 + 2 ⋅ 10 ⋅ n • Par resistente dado por la expresión . El par resistente en el arranque de esta carga es 149 Nm. En ninguno de los dos tipos de arranque, el motor sería capaz de mover esta carga. M Resistente = 22 2 2 + 2 ⋅ 10−3 ⋅ n + 1, 3⋅ 10−6 ⋅ n 2 • . En este último caso, el par resistente en el arranque de esta carga es 22 Nm. En ambos tipos de arranque, el motor sería capaz de mover esta carga. Apartad Apartadoo 4

129

Un procedimiento empleado para frenar los motores asíncronos es el denominado frenado a contramarcha que consiste en realizar, mediante un mecanismo adecuado, un intercambio de dos fases de la alimentación trifásica. Con esto se consigue que el campo magnético giratorio creado por el estator gire en sentido contrario al original. Debido a la inercia del rotor y de la máquina accionada, este conjunto sigue girando en el mismo sentido, con la diferencia que ahora el sentido de giro positivo a cambiado. Por lo tanto, el rotor va a girar a una velocidad negativa con respecto al campo magnético giratorio y su deslizamiento será mayor que uno, lo que corresponde a un funcionamiento de la máquina ya no como motor, sino como freno. El nuevo par de frenado desarrollado por la máquina se calcula muy fácilmente a través de la expresión del par interno empleada anteriormente. Al realizar el cambio de las dos fases, el motor sigue girando a 960 rpm, pero ahora en sentido negativo, por lo que el nuevo deslizamiento valdrá: n − n 1000 − ( −960) sFrenado = 1 = = 1,96 1000

n1

El par de frenado es el siguiente: 3⋅ M Frenado

= M i s =1,96 =

R2 '

1,96

⋅ E 12 f

2 ⎛⎛ ⎞ R2 ' ⎞ 2π 2 n1 ⋅ ⎜ ⎜ R1 + ⎟ + X cc ⎟⎟ ⎜⎝ 60 1, 96 ⎠ ⎝ ⎠

130

= 78,12 N m

Soluciones Problemas seleccionados

131

MÁQUINA ASÍNCRONA 1. a) R 1 = 0,68 Ω; R 2’ = 0,486 Ω; X cc = 5,03 Ω; b) 16,85 Nm; 67,32 Nm; c) 79,76 %; d) 1555, 65 r.p.m. 2. a) 0,1162; b) 257,47 Nm; c) 59,04 Nm. 4. a) η = 84,89 %; b) N = 962,2 r.p.m.; c) PCu2 = 219,6 W; d) PCu1 = 292,22 W; e) R 1 = 0,194 Ω. 6. a) 600 r.p.m.; b) 12 r.p.m.; c) 600 r.p.m.; d) 1,2 Hz; e) 60º; f) 12 polos; g) 3; h) 3,4 V. 7. a) Conexión en estrella; b) 59,76 Nm; Si; c) 925 r.p.m.; d) 18 A; 9,7 kW; e) ... 8. a) n = 979,91 r.p.m.: b) U1 = 213,21 V; c) Mi,Max = 694,43 Nm. 10. a) Pu = 3704,4 W; b) Mu = 3,28 Nm; c) I Arr = 46,67 ∠-51,52º A. 11. a) PFe + Pm = 275,4 W; b) PCu1 = 115 W; c) Pa = 3259,68 W; d) PCu2 =162,98 W; e) Pmi = 3096,69 W; f) Pmi = 4,15 HP; g) Mi = 17,29 Nm; h) η = 84,84 %; i) cosϕ1 = 0,8477. 13. a) n = 962,76 r.p.m.; Mu = 181,34 Nm; Pu = 18282,78 W; η = 91,04 %; b) I Arr = 264,92 A; M Arr = 147,74 Nm; c) Im = 185,95 A; Mm = 419,11 Nm. 14. a) nM max = 1125 rpm.; b) R ad1’ = 0,0242 Ω; R ad2’ = 0,2358 Ω; c) Para R ad1’: 6,06%, 0,412; para R ad2’: 57,59%, 0,911. 15. a) I Arr = 63,32 A; b) M Arr = 29,32 Nm; c) R ad = 2,7326 Ω; d) M Arr’ = 7,33 Nm. 16. a) 9 Ω; b) 100 Nm. 17. a)s = 0,04; b) PCu2 = 0,78 kW; c) η = 88,6 %. 18. 7849 r.p.m.; 4585,2 W; 5,58 Nm; 18,35 A; 0,832 inductivo; 86,70 %. 19. a) 0,468; b) 0,263; c) 0,156. 20. a) PCu2 = 1235,79 W; b) η = 88,62 %; c) I1 = 43,02 A; d) f 2 = 2,5 Hz. 23. a) 739 r.p.m.; b) 94 %; c) 0,8723; d) 4250 Nm; 577,4 Nm. 24.a) s = 0,04; b) PCu2 = 0,78 kW; c) η = 88,6 %. 25. R Fe = 83,78 Ω; .X µ = 6,12 Ω; R cc = 0,15 Ω; X cc = 0,50 Ω; X 1 = 0,25 Ω; X 2 = 0,025 Ω. 26. a) M Arr = 40,56 Nm; I Arr = 53,21 A; b) M Arr = 32,89 Nm; No; c) n = 960,3 r.p.m.; d) P mi = 9316 W. 132

27. 223,7 Nm; 206 Nm. 28. a) Pu = 3442,9 W; b) Pa = 4010 W; c) η = 79,51 %; d) n = 1424,45 r.p.m; e) Mi = 25 Nm. 29. a) 0,8375; b) 13440 W síncronos; 127 Nm; c) 532,2 W; d) 12,7 kW; 84,60 %. 31. a) 980 r.p.m.; b) I1 = 9,39 A; cosϕ1 = 0,86; c) Pu = 2169,66 W; Mu = 21,14 Nm; d) η = 70,79 %; e) Mmax = 110,61 Nm; SMmax = 0,22; f) Marr = 56,83 Nm; g) MFreno = -32,34 Nm; h) Mres = -93,91 Nm. 32. a) I1 = 47,51 A; b) Mu = 92,46 Nm; η = 91,08 %; c) M Arr = 74,82 Nm; I Arr = 188,32 A. 34. a) I1 = 43 A; b) PCu1 = 1164,76 W; c) Pa = 12499,35 W; d) Pmi = 11874,38 W; e) Mi = 66,31 Nm; Mr = 64,64 Nm; f) η1 = 84,75 %; g) n = 1710 r.m.p.; Ω = 179,07 rad/s; h) sm = 0,1508; Mmax = 102,59 Nm; i) R ad’ = 0,7716 Ω/fase; j) U1 = 100,07 V; I1 = 36,62 A; PCu1 = 844,74 W; Pa = 8904,39 W; Pmi = 8459,17 W; Mi = 56,69 Nm; Mr = 54,68 Nm; η = 82 %; n = 1425 r.m.p.; sm = 0,1789; Mmax = 97,99 Nm; R ad’ = 0,6290 Ω/fase. 36. a) I1 = 3,84 A; b) cos ϕ1 = 0,91; c) Pu = 928,04 W; P1 = 1330 W; d) Mu = 9,33 Nm; Mi = 12,25 Nm; e) η = 69,77 %; f) U1 = 190 V, Mi = 9,14 Nm; U1 = 208 V, Mi = 10,95 Nm; U1 = 230 V, Mi = 13,39 Nm; g) M Arr = 31,55 Nm; I1Arr = 26,21 A; h) MMax = 41,83 Nm; sm= 0,4095.

133

maquinas problemas

Recommend Documents