MARCO TEORICO La teoría de control control permite permite resolver problemas problemas dinámicos dinámicos de naturalez naturaleza a muy variada, variada, rei reiri! ri!ndo ndonos nos a proceso procesoss o sistema sistemass mecánic mecánico, o, el!ct el!ctrico rico,, "uímic "uímico, o, industrial industrial y social, social, etc# "ue dependen dependen de cierto n$mero n$mero de controles controles % u1 , … , u k & donde la evoluci'n de un sistema "ue depende de esos parámetro establecidos al inicio del problema planteado#
Cuando se (abla de la soluci'n 'ptima de un problema, intuitivamente se piensa en "ue esta es )la me*or soluci'n+, es decir )insuperable+# e (ec(o, !ste es el si-n si-niiic icad ado o "ue "ue pued puede e enco encont ntrar rarse se en el icci iccion onari ario o de la Real Real Acade cademi mia a Espa.ola/ 0ptimo/ orma procedente del superlativo latino optimus, "ue si-niica )bueno en -rado sumo, "ue no puede ser me*or# 1or tanto, es incorrecto su empleo en 2 combinaci'n con muy, más, menos o tan/ 3muy 'ptimo, 3más 'ptimo4 3menos 'ptimo, 3tan 5optimo# 6in embar-o, como muc(os otros ad*etivos, la palabra 5optimo tiene un alto -rado de sub*etividad# Eectivamente, un p!simo control desde el punto de vista del comportamiento dinámico podría ser 'ptimo desde el punto de vista econ'mico y viceversa# Lue-o, para caliicar la bondad de un control control %en particular particular para poder decir "ue es 'ptimo& 'ptimo& es necesario necesario asociarlo a un )índice+ de perormance# En t!rminos de control diremos "ue un control es 'ptimo si mini minimi miza za un unc uncio iona nall de cost costo o en el "ue "ue clar claram amen ente te se mani maniiies esta ta un compromiso entre distintas especiicaciones y restricciones# A este uncional lo llam llamar arem emos os índi índice ce de per peror orma manc nce e y norm normal alme ment nte e lo indi indica care remo moss con con 7# Obviamente, el mismo control evaluado con otro índice de perormance 7 no será 'ptimo# e otro modo los metodos de la teoría de control lle-an a ser muy variados, dependi dependiendo endo de la natura naturaleza leza de los problem problemas# as# Estos Estos admite admiten n una primer primera a clas clasiiic icac aci' i'n n en dos dos -rupo -rupos/ s/ probl problem emas as dete determ rmin inís ístitico coss y probl problem emas as estoc estocás ástitico cos# s# 6on 6on esto estocá cást stic icos os a"ue a"uellllos os en cuya cuya orm ormul ulac aci' i'n n inte interv rvie iene nen n elementos elementos re-idos por leyes leyes aleatorias, aleatorias, al menos a eectos de "uien plantea plantea el problema# Asimismo los problemas determinísticos admiten una -ran variedad# Ademas debes tener unas bases muy buenas de ecuaciones dierenciales o metodos numericos cálculo dierencial e inte-ral# La minimizaci'n de un uncional, es decir, decir, la b$s"ueda b$s"ueda de la la unci'n unci'n o unciones unciones 8 "ue (acen mínimo mínimo el el valor de
un cierto uncional 7/ U R es, en cierto sentido, un problema más clásico, ob*eto de una rama del análisis matemático con m!todos propios denominada cálculo de variaciones nacida en los albores del cálculo dierencial e inte-ral# ados ciertos problemas, están resumidos en el si-uiente uncional/ b
∫
J ( ( y )= F ( x x , y , y ) dx '
a
x ) donde a y b son valores i*os y F es ependiente de la unci'n y = y ( x
una unci'n unci'n dada dada de tres tres variab variables les,, determ determíne ínese se la unci' unci'n n
y
"ue (ace "ue
J ( ( y ) mínimo#
La entrada u%t& -enera la trayectoria 9%t&# 8na variaci'n v%t& en u%t& -enera una trayectoria dierente 9%t& : ;9%t&# Las limitaciones del sistema e9istirán al-unas veces sobre valores permitidos de las variables de estado o sobre las entradas de control# 1or e*emplo, el con*unto de controles admisibles admisibles podría ser el con*unto de vectores continuos a trozos u%t& ∈ 8 tales "ue/ U = u(t) : ||u(t)k|| < M∀t
La tarea a realizar usualmente toma la orma de condiciones de rontera adicionales sobre las ecuaciones de espacio de estados# 1or e*emplo, podríamos desear transerir el estado x t estado inal especiicado x ƒ
desde un estado inicial conocido
% t ƒ
x 0
a un
& < x d en un tiempo especiicado t ƒ , o
en el mínimo x ƒ posible#
A menudo, la tarea a realizar se considera implícitamente en el criterio de desempe.o# Mas característico de las consideraciones actuales es el problema de síntesis, su-erido por las tecnolo-ías de atomizaci'n, relacionado con los conceptos de control de lazo abierto y lazo cerrado o de retroalimentaci'n# •
6istemas de Control de ciclo Cerrado# En los sistemas de control de ciclo cerrado, la salida o se.al controlada, debe ser realimentada y comparada con la entrada de reerencia, y se debe enviar una se.al actuante o acci'n de control, proporcional a la dierencia entre la entrada y la salida a trav!s
del sistema, para disminuir el error y corre-ir la salida# 8n sistema de control de ciclo cerrado es a"uel en el "ue la se.al de salida tiene eecto directo sobre la acci'n de control# Esto es, los sistemas de control de ciclo cerrado son sistemas de control realimentados# La dierencia entre la se.al de entrada y la se.al de salida se la denomina se.al de error del sistema4 esta se.al es la "ue act$a sobre el sistema de modo de llevar la salida a un valor deseado# En otras palabras el t!rmino ciclo cerrado implica el uso de acci'n de realimentaci'n ne-ativa para reducir el error del sistema# La =i-# > muestra la relaci'n entrada?salida de un sistema de control de ciclo cerrado#
ENTRADA !ontroldor SALIDA DE REFERENCIA
SENAL DE 5lnt o ro!%o ERROR
6E@AL E
REALIMETACIO El'nto d r.ul!"-n •
Control d !"!lo A#"rto$ E% d!"r& n un %"%t' d !ontrol d !"!lo #"rto l %l"d n" % '"d n" % rl"'nt r !o'rrl !on l ntrd$ Lo% %"%t'% d !ontrol d !"!lo #"rto %on %"%t'% d !ontrol n lo% *u l %l"d no t"n +!to %o#r l %,l o !!"-n d !ontrol$ L F".$ /'u%tr l +or' d !-'o % "'l'nt un %"%t' d !ontrol d %t t"o$ F".ur $/ S"%t' d Control d !"!lo A#"rto Lo% l'nto% d un %"%t' d !ontrol n !"!lo #"rto& % udn d"0"d"r n do% rt%: l !ontroldor& 1 l ro!%o !ontroldo$ Un %,l d ntrd o !o'ndo % l"! l !ontroldor& !u1 %l"d !t2 !o'o un %,l d !ontrol o %,l !tunt& l !ul r.ul l ro!%o !ontroldo& d tl +or' *u l 0r"#l d %l"d o 0r"#l !ontrold % d%', d !urdo !"rt% %!"3!!"on% o %t4ndr% %t#l!"do%$ En lo% !%o% %"'l%& l !ontroldor ud %r un 'l"3!dor& 3ltro& un"-n '!4n"! u otro l'nto d !ontrol
#
ETRAA E
CONTROLADO R
RE=ERECIA
E COTROL
5LANTA O 5ROCESO CONTROLADO
6E@AL E
Los sistemas o procesos de control suelen ser representados de modo conveniente mediante dia-ramas uncionales en los "ue se visualiza el papel de cada uno de los 'r-anos del sistema#
Entrada 5ro!%o
6alida
Un"dd d 'd"!"-n
valor medido θ0
Retro alementaci'n Error Un"dd
±
R."%tro
θ0
valor deseado
θr.uldor d
Elemento dierencia θ d −θ 0
6e presenta a"uí un proceso mecánico, ísico etc#, con una entrada previsible dentro de ciertos límites, pero no e9actamente, y una salida deseable
θd #El
valor real de la salida θ0 es detectado por una unidad de medida "ue envía una se.al a un elemento dierenciador# Este mide la dierencia o error
θd − θ0
y
trasmite una se.al a unidad controladora, la cual act$a sobre el proceso de orma adecuada a in de anular dic(o error# Es una cualidad deseable en un sistema de control en su estabilidad . Esto "uiere decir "ue es necesario modiicar y alterar el orden en los controles para corre-ir dic(o error de desviaci'n, para "ue en la salida no cause una alteraci'n e9cesiva en sentido contrario de dic(a desviaci'n con el cual el error del proceso pasaría de un sentido al otro, disminuyendo el sistema de control de su propia inalidad#
•
Los métodos de la teoría del control/
Los m!todos de control, vienen siendo dierentes se-$n la naturaleza del problema y se clasiican en dos -rupos/ problemas determinísticos "ue el proceso "ue se estudia puede re-irse por un sistema de ecuaciones dierenciales ordinarias, o parciales o dierencias initas#
•
El principio de optimalidad : nos dice "ue sí para ir de A a C e9iste un camino
G
, "ue es el me*or posible y sabemos "ue pasa por
B
es
claro "ue el me*or camino posible de ir de A aB esG.
•
El principio máximo de Pontryagin: se reiere a sistemas de control re-ido por ecuaciones dierenciales ordinarias airman "ue el control optimo este principio es de -ran importancia ya "ue nos permite en muc(as ocasiones resolver completamente el problema en cuesti'n#
•
El principio de Bang Bang: s e reiere a sistemas de ecuaci'n lineales re-idos por ecuaciones dierenciales ordinarias en los "ue al índice de uncionamiento es el tiempo# 8n control se llama de conmutaci'n si toma
valores de 1 y ?1 alternativamente #Este principio airma "ue cual"uier eecto realizable mediante un control medible puede ser realizado mediante uno de conmutaci'n en el mismo tiempo# 1or tanto, si e9iste un control de tiempo optimo, e9iste un control de conmutaci'n 'ptimo #B tambi!n, si un control de conmutaci'n es de tiempo optimo con respecto a los otros controles de conmutaci'n, entonces es 'ptimo#
FORMUL!"O# $EL PROBLEM %E#ERL $E !O#&ROL $E U# '"'&EM RE%"$O POR E!U!"O#E' $"FERE#!"LE' OR$"#R"' Consideramos a continuaci'n los elementos "ue se deben tener en cuenta al momento de tener un problema de control/ •
La ley de procesos/Relaciona el estado, respuesta o salida x ( t ) , variable
n −¿
una
dimensional, "ue se pretende controlar con el control o
entrada u ( t ) , una variable m?dimensional# A"uí suponemos "ue esta ley viene dada por una ecuaci'n % (ectorial& dierencial ordinaria/ x´ = f ( t , x ( t ) ,u ( t ))
f
6iendo
1 n m una unci'n de R R 9 R
n a R #La ecuaci'n puede ser
lineal o no# El ob*etivo inal consiste en controlar el proceso mediante un control de ciclo cerrado y de modo optimo con respecto a un criterio "ue será se.alado más adelante#
•
Estado inicial y con)*nto de meta/6e se.ala un estado de partida mediante un valor inicial del estado del sistema x 0= x ( t 0) en el instante t 0. Las dierentes componentes del estado
x ( t )
"ue se pretende
controlar pueden ser ma-nitudes tales como posici'n, velocidad, aceleraci'n velocidad an-ular, temperatura, intensidad de corriente etc# n El con*unto meta G (t ) es un con*unto dado del espacio R de estados "ue
varía con el tiempo con el tiempo de modo continuo, en un sentido especiicado más adelante# 6e trata de llevar el proceso del estado inicial x 0 a un estado G ( t ) pd!ia se! un punt " ( t ) y el problema podrían
x ( t 1 ) ϵ G ( t 1) # El con*unto
consistir en controlar el error e ( t )= x ( t ) −" (t ) (acia D# En este caso, el problema puede simpliicarse poniendo/ e ( t )= f ( t , e ( t ) + " ( t ) , u (t )− " ( t ) )
¿ f 1 (t , e ( t ) , u ( t ) )
B a(ora el con*unto meta es en todo instante el ori-en#
•
!lase de controles/ asta a(ora no (emos especiicado "ue unciones consideramos como posibles unciones de control# Como veremos, tiene venta*as apreciables, desde un punto de vista práctico, considerar unciones
continuas
R #n$al!es en R
m
a
trozos,
deinidas
sobre
intervalos
de
#Esta será la clase de controles# entro de ellos
llamaremos #nt!les admisibles a a"uellos "ue realizan nuestro ob*etivo undamental, es decir son unciones continuas a trozos para al-$n t 1 & t 0
tales "ue e9iste una soluci'n
x ( t ) de/
u : [ t 0 , t 1] % R
m
x´ = f ( t , x ( t ) ,u ( t ))
Fue veriica/ x ( t 0 )= x0 , x ( t 1 ) ϵ G ( t 1)
e ellos (emos de distin-uir aun el control o controles 'ptimos# La clase de controles admisibles será denotada por U . 6e le impone a la clase de controles otras restricciones propias del sistema "ue se considera y de sus aparatos re-uladores4 consiste en "ue los valores de los m controles pertenezcan a un cierto con*unto compacto + de R #
El índice de ,*ncionamiento- o ,*ncional de coste. control optimo: El uncionamiento del sistema ba*o acci'n de dierentes controles es, naturalmente, distinto# 6u calidad se (a de medir mediante un criterio "ue se (a de se.alar# En -eneral, este consiste en adoptar un #ste dado por un uncional dependiente de u de la orma/ t 1
∫ f ( t , x ( t ) , u ( t )) dt
J (u )=
0
t 0
1ara
uϵ U ,
%G&
es decir una unci'n "ue pertenece a ese con*unto de unciones,
0 0 siendo f una unci'n escalar# 6i, f es id!nticamente >, nos da el resultado
J (u )=t 1−t 0 B el problema es un problema de control 'ptimo#
1ara concluir se dice "ue un "ue un control será me*or "ue otro cuando el coste
correspondiente sea más ba*o# Así un control será 'ptimo cuando nin-uno de entre los controles admisibles proporciona un coste más ba*o# 8nos de los teoremas más importantes es el de lyapunov ya "ue las aplicaciones de este teorema es el principio de má9imo 1ontrya-in, mas sencillamente en el caso de los sistemas lineales "ue estudia a"uí en esta secci'n#
U# &EOREM $E E/"'&E#!" 0 U#"!"$$
Este tipo de ecuaci'n "ue nos interesa considerar es la si-uiente/ 6ea la ecuaci'n dierencial de estado Hsin control %u& '
x %t& < A %t& 9 %t& : b %t&
onde A/ K tD, t><7
%J&
M%n, 6& es una unci'n matricial dada continua a trozos
en 7# Es decir, e9iste un n$mero inito ( : > de puntos en
Kt D, t>,
tD < 6D 7 6> 7##76(?> 7 6( < t>, Tales "ue A %t& es continua en cada intervalo % s *?>, s * & *< >,N,,(:># Además para cada * e9iste y es inito el límite de A %t& para t tendiendo a s * por la derec(a e iz"uierda#
El &EOREM $E L0PU#O El teorema de LBA18O se reiere ori-inalmente al con*unto de valores de una medida no at'mica con valores en 6n #presentaremos a"uí una versi'n más $til en
vista de las aplicaciones a la teoría de control, esta versi'n es, sobre todo obra de ALPI, si bien la demostraci'n "ue se representa contiene al-unas simpliicaciones debidas a R MORIBO# En lo "ue si-ue diremos en una unci'n / KD, > 6n continua a trozos# 6ea Q la amilia de los con*untos obtenidos por una uni'n ininita de intervalos %abiertos, cerrados, semi?abiertos y posiblemente de-enerados en un punto o en el vacío& de KD,># Entonces el con*unto
R<
∫ f : ( ) }
es conve9o y acotado
$emostraci2n: El teorema es sencillo para n <>, supon-amos "ue para A, S Q,
∫ f =a A
˂b
=∫ f , p =⋋ a + ( 1−⋋ ) b , 0 ˂ ⋋ ˂ 1 B
Fueremos construir 1Q tal "ue
∫ f = p . p
Obs!rvese "ue A?S B S?A son con*untos disyuntos de Q y así es posible de modo sencillo, por continuidad, construir 7Q tales "ue
∫ f = + ∫ f ,∫ f =(1− + ) ∫ *
A −B
J
f
B − A
Tomemos a(ora 1< %A B ¿ -* -J se tiene "ue/
A?S y 7 8 S?A, ,
f =¿
∫ f = ∫ f +∫ f +∫ f =[ + +( 1− + ) ] ∫ p
A B
*
J
+
A B
f + +
∫
f +(1 − + )
A −B
∫
¿
B− A
∫ f +( 1− + )∫ f =⋋ a +( 1− + ) b= p A
B
EL PR"#!"P"O M/"MO $E PO#&R0%"# El principio del má9imo ue anunciado en >UGJ en por el -rupo de investi-adores del Instituto 6teVlov de Matemáticas de Mosc$ en la e9?8ni'n 6ovi!tica# El -rupo encabezado por 1ontrya-in incluy', entre otros, a sus estudiantes # SoltyansViWX y R# YamVrelidze
además de E#Mis(c(enVo *oven investi-ador en 6teVlov#
abiendo realizado contribuciones relevantes a la topolo-ía al-ebraica, reconocido entre otras cosas como el creador de la teoría de cobordismo, 1ontrya-in decide dedicar los 5$ltimos a.os de su vida a las matemáticas aplicadas# 1ontrya-in perdi' la vista a los >W a.os y es ayudado por su madre a completar su ormaci'n cientíica, se dice "ue ella dise.o un c'di-o especial de comunicaci'n para poder escribir la terminolo-ía matemática# Matemático de personalidad sin-ular, 1ontrya-in ue criticado en diversas ocasiones de sostener posturas antisemitas# A partir de >UGN 1ontrya-in decidi' cambiar su ruta de investi-aci'n a temáticas más aplicadas e inicio un seminario sobre la teoría de oscilaciones, en el cual la teoría de control 5optimo y el principio del má9imo encuentra sus orí-enes# En el a.o de >UGG, por intermediaci'n de Mis(c(enVo, en ese entonces representante del 1artido Comunista en 6teVlov , el e"uipo entra en contacto con un acad!mico li-ado al E*!rcito y su investi-aci'n se orienta más (acia las teorías matemáticas para
el estudio de trayectorias 5optimas y del
problema de la interceptaci'n espacial# Los esuerzos de investi-aci'n del -rupo de 6teVlov rindieron rutos "ue se rele*aron en la serie de publicaciones y "ue culminaron en su amoso libro HTeoría matemática de procesos optímales "ue a$n
(oy es reerencia ineludible para el estudio de la teoría de control 'ptimo# El -rupo encabezado por 1ontrya-in ue condecorado con el premio Lenin, a la 5!poca, el má9imo -alard'n otor-ado por el Estado 6ovi!tico por HEl ciclo de traba*os sobre ecuaciones dierenciales ordinarias y sus aplicaciones a la teoría de control 5optimo y a la teoría de oscilaciones durante el periodo >UGJZ >UJ>#1ontrya-in tuvo la oportunidad de presentar los resultados de su e"uipo en el Con-reso Internacional de Matemáticos en Edimbur-o en >UGX, tiempo en el cual la prueba del principio del má9imo (abía sido ya completada, y en el primer con-reso de la I=ACG2 en >UJD en Mosc$# El nacimiento de la teoría de control 5optimo y del principio del má9imo transcurre en el conte9to de la -uerra ría, conte9to en el cual las comunidades cientíicas, en particular a"uellas "ue cultivaban las matemáticas aplicadas, no estuvieron e9entas de estudiar problemas relacionados
mencionados con la carrera espacial y la carrera
armamentista# 6in embar-o, esto no demerita el valor matemático de los resultados obtenidos en esa !poca, ni el valor cientíico "ue si-niic' la ruptura conceptual de la teoría de control 5optimo y el principio del má9imo con la teoría clásica del cálculo de variaciones# La primera ormulaci'n del principio del má9imo de >UGJ se presenta como la soluci'n al problema de trayectorias 'ptimas para un sistema dinámico controlado#Representado por la si-uiente ecucion/
x
'
La ecuaci'n, con control % u %t&&3
4t5 6 , 4t- x 4t5- u
4t553 'nde/ a& El tiempo, t, varía en KD,>4 b& La unci'n de control,
u ( t ) , es una unci'n de Ko,> a [ 8 6m, [
compacto, continua a trozos4 c&
6e supone "ue depende de todas las trayectorias de estados y de controles utilizados en el intervalo Kt D,t>&
d& El vector de estado, 9 %t&, es una unci'n de KD,> a [ continuas a trozos se denomina amilia de controles admisibles# 1ara
u
Q#
6i u Q#, desi-naremos por 9 %t/ u & la $nica soluci'n, "ue siempre e9iste del problema de cauc(y ' %p& x %t4 u & < %t, 9 %t4 u &, u %t&& en un entorno de t
%D&4 u3& 6 y además 9 n %>4 u3& sea lo más -rande posible, es decir, tal "ue para todo otro control admisible u() Fue verii"ue 9 %>4 u & 6 se ten-a 9 n %>4 u & \ 9n %>4 u3&# 8n control u 3 "ue verii"ue esta condici'n se denominará control 'ptimo#
7M"L&O#"#O 6ea %9, u, t, & < %9, u, t& : -%9, u, t& Abreviado así/ 76 , 8 g
9<
d* ' + d. < ?
u<
d* dU < D
derivada parcial de con respecto a
derivada parcial de con respecto u
'
< -%9, u, t& Hecuaci'n de movimiento, restricci'n "ue siempre vamos a tener
para el control 'ptimo
!O#&ROL $E &"EMPO 9P&"MO PR"#!"P"O $E B#% B#%
1
1 &
&
; 1
1
6ea p un proceso re-ido por la ecuaci'n/ '
x %t& < A %t& 9 %t& : S %t& u %t& : b %t&
onde/ >& A %t& es una unci'n matricial real n 9 n, analítica a trozos en
¿ , es decir
¿ , se puede dividir en intervalos [t i ,t i+1 ] con t 0< t 1 < t 2 … # N& S%t& es una unci'n matricial real n 9 m, tambi!n analítica a trozos en
[ t , / ) . 0
2& b%t& es un vector n?dimensional continuo a trozos en
[ t , / ) . 0
W& u %t& es el control, una unci'n continua a trozos deinida en
¿ y con
m valores en el con*unto de restricciones, un con*unto compacto de R , "ue
será a"uí#
0={ 1 ϵ R :| 1i|2 1, i :1,2, … m } m
Al con*unto 1 de tales unciones lo denominamos amilia de controles admisibles# G& %t& es el vector estado, vector n?dimensional "ue, si inicial en
3 es el estado
t 0 y n es un control admisible "ue i*amos estará dada por la
'rmula de variaci'n de las constantes/ t
∫ 5− ( s ) ( B ( s ) u ( s) +b ( s) ) ds 1
x ( t 4 u )=5 ( t ) 3 + 5 ( t )
t 0
' 6iendo 5 ( t ) la matriz undamental del sistema y = A ( t ) y ( t ) tal "ue 5 ( t 0 )= 6 #
PROBLEM $E &"EMPO M<#"MO 6e desea llevar el sistema
del estado 9%a& conocido al estado 9%b& asimismo conocido en un tiempo mínimo# 1or tanto el coste será/
Además suponemos "ue e9iste una limitaci'n en el vector de control
El (amiltoniano se escribirá así/
y su minimizaci'n con respecto a u es inmediata/
El control es de tipo ban-?ban- o sea cada elemento de u debe conmutar instantáneamente del má9imo valor permitido al mínimo%o viceversa&# La soluci'n de l%t& para el caso de valores propios reales de A puede ponerse así/
y la soluci'n 'ptima tendrá la orma si-uiente/
onde m son los valores propios reales de la matriz A# 1uede demostrarse "ue en este caso el n$mero de saltos coincidente con el n$mero de ceros de la e9presi'n anterior entre corc(etes es i-ual a n?>#
E=EMPLO Consideramos un oscilador arm'nico amorti-uado, se ri-e por la ecuaci'n/ x (t ) + x ( t )=u ( t ) ''
onde 9 %t& representa la separaci'n del punto de reposo y u %t& la uerza de ]]amorti-uaci'n^^, a la "ue imponemos la restricci'n puede escribir/
( )(
)(
y ( t ) x ( t ) = = 0 y (t ) − x ( t )+ u (t ) −1
)( )+( ) ( )
1 x ( t ) 0 y ( t )
0 u t 1
B así, con la notaci'n de las secciones anteriores
|u|2 1 # La ecuaci'n se
A =
(− ) =( ) 0 1
1 ,B 0
()
0 0 , b ( t )= , 0={ 1 ϵ R :| 1|2 1 } 1 0
El problema consiste en alcanzar desde el ori-en un punto
p=
( ) en tiempo a b
minimo# 6upon-amos por un momento "ue e9iste un control admisible 1 "ue diri-e el proceso desde el ori-en en t
t =t 1 , es decir,
x ( 0, u )= 0, x ( t , u )= p
e acuerdo con el teorema %a"uí Y %t& < p_ para
t & 0 & e9iste un control
u
¿
de
¿ tiempo optimo t # 1or el corolario, e9iste un control ban-?ban- 'ptimo es decir,
"ue envía el ori-en a p en el mismo tiempo
¿
t # Lue-o
¿
+ ( t ) =− A ( t ) + ( t ) '
¿ Tal "ue para todo t ∈[ 0, t ) se tiene "ue/
La ecuaci'n K: es, a"uí,
'
(− ) ( )
+ ( t ) =−
0 1
1 + t 0
B sus soluciones no triviales son todas de la orma
(
+ ( t )=
)
#1 #st + # 2 sent ,# +# 7 0 −#1 sent + # 2 #st 21 22
¿ # 2 + # 2 =1 Recordando "ue | + ( t )|=1, tomando 1 2 # La e9presi'n K::, es a"uí,
¿ − # sent + # #st u 1 2 % & 0 ( t ) =max {( −#1 sent + # 2 #st ) : | 1|2 1 }
B así, es claro "ue se puede tomar/
¿
u0 ( t ) =
{
+ 1 si (−#1 sent + # 2 #st ) & 0 −1 si (−# 1 sent + # 2 #st )< 0
1ara mayor acilidad pon-amos −#1 sent + #2 #st = sen ( t + 9 ) 0 2 9 <2 : .
Con
El sistema +¿
{
'
x ( t )= y (t )
y ( t ) =− x ( t ) + 1 '
¿
∁
Tiene por soluci'n -eneral (; , < pa!amet!s a!bit!a!is) /
{
x ( t )−1=;sent + <#st y ( t )=−
B así, las curvas correspondientes en el plano 9y son ( x −1 )2+ y 2 =; 2 + < 2
Lue-o pasa lo mismo para su ne-ativo, y su -raica "ueda/
