PARTICULA EN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
El movimiento descrito descrito en sección precedente se presenta con tanta tanta frecuencia que se considera el modelo de partícula partícula en movimiento armónico armónico simple para para representar representar tales tales situaciones . Con el fin de elaborar una representación matemática para este modelo ,primero se reconoce aquel bloque es una partícula bajo una fuerza neta , como se describe en la ecuación 15.1 . Por lo general se elegirá x como co mo eje a lo largo del que se representa la oscilación ; por eso ,en esta explicación se eliminara la notación de subíndice subíndice x. recuerde que , por definición .a=dv/dt=d elevado al 2 x/ dt elevado al 2, y así l ecuación 15.2 se puede expresar como 2
d x k ! x d 2 m Si la relación k/m se indica indica con el símbolo w elevado al 2 (se elige w elevado al 2 en lugar de w para que la solución que se desarrolle a continuación sea mas simple en forma), en tal caso:
[
2
!
k m
Y la ecuación 15.3 se puede puede escribir en la forma : d 2 x
2
! [ 2 x
d Ahora encuentre una solución matemática a la ecuación 15.2 , esto es , es una una funcion funcion que satisfaga la la ecuación diferencial diferencial de segundo segundo orden y se a una representación representación matemática de la posición de la partícula partícula como funcion del tiempo . Se busca una funcion funcion cuya segunda derivada sea la misma de la funcion original como un signo negativo y multiplicado por w elevado al 2 . Las funciones trigonometrías seno y coseno muestran este comportamiento ,así que se puede construir una solución alrededor de una de ellas ellas o de ambas .la funcion funcion coseno que aparece enseguida es una una solución a la ecuación diferencial diferencial : x ( t ) ! A cos( [ t J ) Donde A,w y nulo son son constantes constantes . Para mostrar explícitamente explícitamente que esta solución satisface la ecuación 15.5 , note que : dx
!
d t t
A
d d t t
2
d x d t t
2
!
[ A
cos( d d t t
[
sen
t
J ) ! [ Asen ( [ t
( [ t J ) ! [
2
Asen
J )
( [ t J )
Al comparar la ecuación 15.6 y 15.8 , es claro que d elevado al 2 x/ dt elevado al 2 =w elevado al2 x y se satisface la ecuación 15.5. Los parámetros A,w y nulo son constantes del momento . Para dar un significado físico a dichas constantes , es conveniente formar una representación del movimiento al graficar x como funcion de como en la figura 15.2ª. Primero ,A, llamada la amplitud del movimiento movimiento , es es simplemente simplemente el máximo valor de de la posición posición de la partícula en la direccion direccion x posición o negativa negativa . La constante w se llama frecuencia angular y tiene unidades de rad./s .es una medida que tan rápido se presentan las oscilaciones; mientras mientras mas oscilaciones por unidad de tiempo haya ,mas alto es el valor de w . A partir de de la ecuación 15.4 , la frecuencia angular angular es : [
!
k m
El Angulo constante es nulo se llama constante de fase (o ángulo inicial )y, junto con la amplitud A, se determina de manera univoca por la posición y la velocidad de la partícula en t=0 . Si la partícula esta en su posición máxima x = A 3n t=0 , la constante de fase es nulo=0 y la representación grafica grafica del movimiento movimiento es como se exhibe en la figura 15.2b . La cantidad (wt+ nulo) se llama fase del movimiento . Note que la funcion funcion x (t) es periódica y su valor es el mismo cada vez que wt aumenta en 2r radianes . Las ecuaciones 15.1,15.5 y 15.6 forman la base de la representación matemática de la encuentra que la fuerza sobre una partícula tiene la forma matemática de la ecuación 15..1 , usted sabrá que el movimiento movimiento es de un oscilador oscilador armónico simple y la posición de la partícula partícula ecuación diferencial de de la forma de la ecuación 15.5 , el movimientoo es el de un oscilador armónico simple movimient simple . Si analiza analiza una situación y ubica la posición de una partícula mediante la ecuación 15.6 15 .6 , sabrá que la partícula se somete a un movimient movimientoo armónico simple .
Pregunta rápida 15.2
Considere una representación grafica (figura 15.3) de movimiento armónico simple , como se describe matemáticamente matemáticamente en la ecuación 15.6 .cuando el objeto esta en el punto A de la grafica, ¿Qué puede decir acerca acerca de su posición y vel0ocidad ? a) a) la posición y su velocidad son positivas positivas . b) la posición y la velocidad son negativas . c) la posición es positiva y la velocidad es cero . d) la posición es negativa y su velocidad es cero . e) la posición es positiva y su velocidad es negativa . f) la posición es negativa y su velocidad es e s positiva.
Pregunta rápida 15.3
La figura 15.4 muestra dos curvas curvas que representan representan el movimiento armónico simple al que que se someten dos objetos . La descripción correcta de estos dos movimientos mo vimientos es que el movimiento armónico simple del objeto B es , a) de mayor frecuencia frecuencia angular y mayor amplitud amplitud que el objeto A, b) de mayor mayor frecuencia angular angular y menor amplitud que el objeto A, c) de menor frecuencia angular angular y menor amplitud que el del objeto A.
Investigue un poco mas de la descripción matemática matemática del movimiento movimiento armónico simple . El periodo t del movimiento es el intervalo de tiempo requerido para que la partícula pase a través de un ciclo completo de su movimiento (figura (figura 15.2ª ). Es decir , los valores valores de x y v para para una partícula en el tiempo iguala los valores de x y v en el tiempo t +T . Porque la fase aumenta en 2 r radianes radianes en un intervalo de tiempo deT.
?[ (t T ) J A ([t J ) ! 2 Al simplificar simplificar esta expresión se obtiene w T=2r,o
T !
2 r
[
El inverso inverso del periodo se llama frecuencia frecuencia del movimiento . Mientras que que el periodo es el intervalo de tiempo por oscilación , la frecuencia frecuencia representa representa el numero de oscilaciones oscilaciones que experimenta la partícula por unidad unidad de intervalo de tiempo : 1
f !
!
[
T 2 r las unidades de f son ciclos ciclos por segundo , o hertz (hz.). Reordenar la ecuación 15.11m produce produce ! 2 rf !
[
2 r T
las ecuaciones ecuaciones 15.11 ,15.10 y 15.9 se usan para para expresar el periodo y la frecuencia frecuencia del movimiento armónicos simple en términos de las las características características m y k del sistema como T ! f !
2 r
[ 1 T
! 2 r !
m
k
1
k
2 r
m
De este modo el periodo y la frecuencia dependen solamente solamente de la masa de la partícula partícula de la constantee de fuerza del resorte y no de los parámetros del movimiento , como A . Como constant Co mo es de esperar , la frecuencia es mayor para un resorte mas rígido y disminuye disminuye con la masa creciente creciente de la partícula . Es posible posible obtener la velocidad y la aceleración elevado al 2 de una partícula sometida a movimiento armónico simple a partir de las ecuaciones 15.7 y 15.8: v ! a !
! [ Asen ( [ t
d t t
d 2 x d t t
2
! [
2
A
cos(
J )
[
t
J )
a partir de la ecuación ecuación 15.15 se ve que que , puesto de las funciones funciones seno y coseno oscilan entre ---+1 , los valores extremos de la velocidad v son --+w +w A . Del mismo modo , la ecuación 15.16 muestra que los valores extremos de la aceleración a son so n --+w2 +w2 A . En consecuencia ,los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleración son : v a
dx
max
max
! !
[
[
A
2
! A
!
k m
A
k m
A
La figura figura 15.5ª grafica la posición con el tiempo para un valor arbritado de la constante constante de la fase . En las figuras 15.5b y 15.5c 15.5c se ilustran las curvas curvas asociadas asociadas de velocidad defiende la fase aceleración--tiempo aceleración -tiempo . Las cuales muestran muestran que la fase de la velocidad velocidad defiere de la posición en r/2 rad., o 90 grados . Es decir , cuando x es un máximo o un un mínimo l la velocidad es cero . Del mismo modo , cuando x es cero , la rapidez es un máximo máximo . Además , note que la fase de la aceleración defiere de la fase de la posición en r radianes , o 180 grados . Por ejemplo , cuando cuando x es un máximo , a tiene una magnitud máxima en la direccion opuesta o puesta .
Pregunta rápida 15.4
Un objeto de masa m cuelga de un resorte y se pone en oscilación . El periodo de la oscilación se mide y registro como T. el objeto de masa m se retira y se sustituye sustituye con un objeto objeto de masa 2m . Cuando este objeto se pone en oscilación ,¿Cuál es el periodo del movimiento ? A)2T,b) raíz 2T,c) T, d) T/raíz 2 , e) T/2
La ecuación ecuación . Describe el movimiento armónico simple simple de una una partícula en general . Ahora vea como evaluar las constantes constantes del movimiento. La frecuencia angular angular w se evalúa con la ecuación 15.9 . Las Las consonantes consonantes =A y nulo se evalúan a partir partir de las ecuaciones iniciales ,es decir , del estado de oscilador en t=0. Suponga que que la partícula partícula se pone en movimiento movimiento al jalarla jalarla desde el equilibrio equilibrio una distancia distancia A y liberada desde el reposo en t= 0, como en la figura figura 15.6. después se deben requerir requerir soluciones para x (t) y v (t)(ecuaciones (t)(ecuaciones 15.6 ,15.15 )para obedecer las condiciones condiciones iniciales x(0)=A y v(0)=0.
x ( 0 ) !
A
cos J ! A
v(0) ! - [ A sen J !
0
estas condiciones condiciones se satisfacen si nulo =0 ,lo que da x=A cos w t como solución . Si busca busca comprobar esta solución , advierta que que satisface satisface la condición x(0)=A porque cos cos 0 =1 . La posición , velocidad y n aceleración aceleración con el tiempo se grafican grafican en la figura 15.7ª para este este caso especial .la aceleración alcanza valores extremos de --+w2 +w2 A cuando la posición tiene valores extremos de ++-A - AA . Además, la velocidad tiene valores extremos dede -+ -+ wA , que se presentan presentan en x = 0 . Por lo tanto , la solución cualitativa concuerda concuerda con la descripción cualitativa de este sistema . considere otra posibilidad . Suponga que el sistema sistema oscila y se define t=0 como el instant instantee cuando la partícula partícula pasa a través de la posición posición no es estirada del resorte resorte mientras se mueve mueve a la derecha . En este caso , las soluciones para x (t) y v (t) deben obedecer las condiciones condiciones iniciales x(0) =09 =09 y v(0)=vi :
x(0) ! A cos J ! 0 v(0) ! -[ A sen J ! v i
La primera de estas condiciones condiciones dice que nulo=+ nulo=+--r/2 -r/2 . Con esas esas opciones para para nulo, la segunda condición dice que A=A=-+vi/w -+vi/w . Porque la velocidad velocidad inicial inicial es positiva y la amplitud amplitud es positiva ,se debe tener nulo = --r/2. r/2. En consecuencia , la solución es:
x !
vi [
¨ ª
cos© [ t
r ¸
¹
2 º
Las graficas de posición ,velocidad y aceleración de tiempo para esta e sta opción de t=0 se muestran en la figura 15.7b. Note que estas curvas son las mismas que en la figura 15.7ª ,pero desplazadas a la derecha en un cuarto de ciclo . Este corrimiento se describe matemáticamente por la constante de fase nulo = --r/2, --r/2, r/2, que es un cuarto de ciclo completo de 2r.
Ejemplo 15.1 un sistema bloque resorte
Un bloque de 200 g conectado a un resorte ligero tiene una constante constante de fuerza de 5.00 N/m y se libere de oscilar sobre una superficie horizontal sin fricción . El bloque se desplaza 5.00 cm. Desde el equilibrio equilibrio y se libera del del reposo como en la figura .
A) Hallar el periodo de su movimiento . SOLUCION CONCEPTUALIZAR . Estudie la figura . E imagine el bloque que se mueve de atrás para delante en movimiento movimiento armónico simple una una vez que que se libera . Establezca Establezca un modelo experimental experimental en la direccion vertical al colgar un objeto pesado , como una engrampadota engrampadota , de una banda de hule resistente . Aplique la ecuación 15.9 para hallar la frecuencia angular del sistema bloque bloque--resorte: -resorte: Use la ecuación 15.13 para encontrar el periodo del sistema: sistema:
B) Determine la rapidez máxima del bloque.
SOLUCION
Use la ecuación 15.17 para hallar v máx..
k
[ !
T
m
!
!
2 r [
5 . 00 N / m
200 v 10
!
3
kg
! 5 . 00 rad / s
2r
ad / s 5.00 r ad
vmá x ! [ A ! (5.00rad / s )(5.00 v 10
2
m)
! 1.26 s
! 0.250m / s
C)¿Cuál es la máxima aceleración del bloque ?
SOLUCION
2 2 2 2 ad / s) (5.00v10 m) ! 0.250m / s Use la ecuación 15.18 para hallar a máx.. : amáx ! [ A ! (5.00r ad
D) exprese la posición , velocidad y aceleración como funciones funciones de tiempo.
SOLUCION
Encuentre la constante constante de fase a partir de la condición inicial de que x=A en t=0: Aplique la ecuación para escribir una expresión para X (T): Use la ecuación 15.15 para escribir una expresión para v (t): Aplique la ecuación 15.16 para para escribir una expresión para a (t):
x (0) ! A cos J ! A p J ! 0
x ! A cos ([ t J ) ! (0.050m)cos5.00t v ! [ A sen ([ t J ) ! (0.250m/s)sen5.00t
v ! [ 2A cos ([ t J ) ! (1.50 m/s2 )sen 5.00t
¿Qué pasaría si ?¿y si el bloque se libera desde la misma posición inicial ,x i =500 cm. ,pero con una velocidad inicial de v i=i= -0.100 -0.100 m/s?¿que partes de la solución cambian y cuales son las nuevas respuestas para estas ? RESPUESTAS . La parte A) no cambia porque el periodo es independiente independiente de cómo se pone en movimiento el oscilador . Los incisos B),C) y D) cambiaran . Escriba las expresiones de posición y velocidad para las Indicaciones iniciales :
1) x(0) ! A cos J ! x i 2 ) v(0) ! -[ A sen J ! v i
-[
Divida la ecuación 2) entre la ecuación 1) para Encontrar la constante constante de fase:
sen J
A cos J tan J !
vi
x
!
[ i
!
vi x i
0.100m / s (5.00r ad ad / s )(0.050
0 m)
! 0.400
J ! 0.127r
Use la ecuación 1) para hallar A:
A !
xi cos J
Encuentre la nueva rapidez máxima :
Encuentre la nueva magnitud magnitud de la aceleración máxima:
!
0 . 050 0m
cos(
0 . 127
r )
!
0 . 054 3
m
vmax ! [ A ! (5.00rad / s)(5.43 v 102 m) ! 0.271m / s amax ! [ 2 A ! (5.00r ad ad / s)2 (5.43v102 m) ! 1.36m / s 2
Encuentre nuevas expresiones para posición , velocidad y aceleración : x ! ( 0 . 054 3m) cos (5.00t 0.127r)
v ! -(0.271 m/s) sen (5.00t 0.127) a ! -(1.36 m/s 2 ) cos( 5 . 00 t 0 . 127 r )
como aprendió en los capítulos capítulos 7 y 8 , muchos problemas son mas fáciles de resolver al aplicar aplicar una aproximación energética en lugar de usar uno en funcion de variables de movimiento . La condicional ¿Qué pasaría pasaría si? Es mas fácil de resolver a partir partir de una aproximación energética . Por lo tanto , en la siguiente sección se investigara la energía del oscilador armónico simple.
Ejemplo 15.2 ¡Cuidado con los haches ¡
Un automóvil con una masa de 1 300 Kg. Se construye de modo que su chasis esta sostenido mediante cuatro amortiguadores . Cada amortiguador tiene una constante de fuerza de 20 000 n/m . Dos personas que viajan viajan en el automóvil tienen una masa combinada combinada de 160 Kg. Encuentre la frecuencia de vibración del automóvil después de que pasa sobre un bache en el el camino. SOLUCION CONCEPTUALIZAR . Piense en sus experiencias en los automóviles . Cuando se sienta en un automóvil , se mueve hacia hacia abajo una distancia distancia pequeña porque su peso comprime a un mas mas losa amortiguadores . Si usted presiona la defensa frontal y la libera , el frente del automóvil oscila algunas veces . CATEGORIZAR . Imagine que el automóvil esta e sta sostenido mediante un sollo amortiguador y modele al automóvil como una partícula en movimiento armónico simple . ANALIZAR . Primero determine la constante de resorte efectiva de los cuatro amortiguadores amortiguadores combinados . Para una cierta extensión x de los amortiguadores , la fuerza combinada co mbinada sobre un automóvil es la suma de las las fuerzas de los amortiguadores individuales . Encuentre una expresión para la fuerza total sobre el automóvil:
F tot al al ! § ( kx ) ! ( § k ) x
En esta expresión , x se factorizo de la suma porque es la misma para los cuatro amortiguadores . La constante del resorte efectiva para las amortiguadores combinados es la suma de las constantes constant es del amortiguador individual . Evalué la constante de resorte efectiva :
Use la ecuación ecuación 15.14 para encontrar encontrar la frecuencia 1 k e f 1 800000 N / m de vibración : f ! ! ! 1.18 Hz 2r m 2r 1460kg FINALIZAR. La masa que se utiliza en este caso es el del automóvil mas las personas ,porque es la masa total que oscila . Advierta también también que solo se exploro el movimiento hacia arriba arriba y hacia del automóvil automóvil . Si se establece una una oscilación en la que el automóvil se mece de atrás atrás para adelante tal que el extremo frontal sube cuando el extremo posterior baja , la frecuencia será diferente . ¿QUÉ PASARIA SI ? El sistema de suspensión del automóvil se detiene al lado del camino y las dos personas salen salen del auto . Una de ellas presiona hacia abaj9o abaj9o el automóvil y lo libera de modo que oscile a la vertical.¿ vertical.¿ la frecuencia de oscilación es la misma que el valor recién calculado ? RESPUESTA . El sistema de suspensión suspensión del automóvil es el mismo , pero la masa masa que oscila es menor; que no incluye la masa de las dos personas . Por lo tanto , la frecuencia debe ser mayor . Calcule l nueva frecuencia frecuencia considerando la masa como 1 300 Kg.: ´ f !
k e f ! § k ! 4 v 20000 N / m ! 80000 N / m
1
k e f
2r
m
Como se predijo predijo , la nueva un poco mayor.
!
1
800000 N / m
2r
1300kg
! 1.25 Hz
Energía del oscilador armónico simple
Examine la energía mecánica del sistema bloquebloque -resorte -resorte que se ilustra en la figura 15.1. ya que la superficie no tiene fricción , el sistema sistema esta aislado y es de esperar que la energía mecánica total total del sistema sea constante . Ahora suponga un resorte sin masa , de modo que la, energía cinética del sistema solo corresponde a la del bloque ; puede usar la ecuación 15.15 para expresar la energía cinética del bloque como : K !
mv 2 !
1 2
m [ 2 A 2 sen 2 ([ t J )
La energía potencial potencial elástica almacenada en el resorte para para cualquier elongación x se conoce por ½ kx 2(véase la ecuación 7.22). Si usa la ecuación 15.6 produce :
U !
1m 2
1m 2
kx 2 !
1 2
k A 2 A 2 cos 2 ([ t J )
Se ve que K y U siempre son cantidades positivas o cero . Puesto de w2 = K/m, la energía mecánica total del oscilador oscilador armónico armónico simple se expresa como :
?
E ! K U ! 12 k A sen 2 ([t J ) cos 2 ([ t J )[ t J )
A
A partir de la identidad sen2 0+cos20=1, se ve que que la cantidad entre corchetes es la unidad . En consecuencia ,esta ecuación se reduce a :
E ! 12 k A 2
Esto es: la energía mecánica total de un oscilador oscilador armónico simple es una constante constante de movimiento y es proporcional al cuadrado cuadrado de la amplitud . La energía energía mecánica total es igual igual a la energía potencial máxima almacenada almacenada en el resorte cuando x =+=+ = + -A +- AA porque v=0 , la energía total , toda forma de energía cinética , de nuevo es ½ KA2 . En la figura 15.9ª aparecen graficas de las energía cinética y potencial en funcion del tiempo, donde se considero nulo=0 . En todo ,momento ,mo mento la suma de las energías cinética y potencial es una constante igual a ½ KA2 ,la energía total del sistema. Las variaciones variaciones de K y U con la posición x del bloque se grafican en la figura 15.9b . La energía se transforma continuamente continuamente entre energía potencial almacenada en el resorte y energía cinética del bloque . La figura 15.10 ilustra la posición , velocidad, aceleración , energía cinética y energía potencial del sistema bloquebloque- resorte para un periodo completo de movimiento movimiento . La mayoría de ideas explicadas explicadas hasta el momento momento se imconprora en esta importante importante figura . Estúdiela Estúdiela cuidadosamente . Por ultimo , la velocidad del bloque es una posición arbritaria se obtiene al expresar la energía total del sistema en alguna posición arbitraria x como : !
v!s
k m
!
1 2
mv
2
12 kx 2 ! 12 k A2
( A2 x 2 ) ! s[ A2 x 2
Al comprobar la ecuación ecuación 15.22 para ver si concuerda con casos conocidos , se encuentra encuentra que verifica x =+=+-A. - A. A. Es posible que se pregunte pregunte por que se pasa pasa tanto tiempo en el estudio de los osciladores armónicos simples . La respuesta es que son buenos modelos de una amplia variedad de fenómenos físicos . Por ejemplo, recuerde recu recuerde erde ese potencial potencial Lennard Jones explicado en el ejemplo 7.9. 7.9. esta complicada complicada complicada funcion describe las fuerzas fuerzas que mantienen unidos a los átomos átomos . La figura 15.11ª muestra que , para pequeños desplazamientos desplazamientos desde la posición de equilibrio , la curva de energía potencial para esta funcion se aproxima a un parábola , que representa la funcion de energía potencial po tencial para un oscilador armónico simple .por lo tanto , las fuerzas complejas de enlace atómico atómico se modelan como debida a pequeños resortes , como se bosqueja en la figura figura 15.11b.
Las ideas presentadas presentadas en este capitulo capitulo no solo se aplican a sistemas bloquebloque -resorte -resorte y átomos , también funcionan con una amplia gama de situaciones que incluyen el salto bungee , la sintonía en una estación estación de televisión y la visión de la luz emitada por un láser .usted vera vera mas ejemplos de osciladores armónicos simples mientras trabaja a lo largo de este libro .
Ejemplo 15.3 Oscilaciones sobre una superficie horizontal
Un carro de 0.500 Kg. Conectado Conectado a un resorte ligero para que la constante constante de fuerza fuerza es 20.0 N/m oscila sobre una una pista pista de aire aire horizontal horizontal sin fricción . A) Calcule la energía energía total total del sistema sistema y la rapidez rapidez máxima del carro si la amplitud amplitud del del movimiento es 3.00 cm. SOLUCION CONCEPTUALIZAR . El sistema oscila exactamente en la misma forma que el bloque bloque de la figura 15.10. CATEGORIZAR . El carro se modela como una una partícula en movimiento armónico simple . 2 2 2 ANALIZAR . Use la ecuación 15.21 para encontrar encontrar la energía E ! 12 k A ! 12 (20.0 N / m)(3.00v10 m) del oscilador: 3
! 9.00 v 10 J
Cuando el carro esta en x=0, la energía del de l oscilador es completamente cinética, cinética, así se establece establece E=1/2 mv2 máx.. máx.. :
Resuelva para la rapidez máxima:
vmax !
1 2
mv
2 max
! 9 . 00 v 10
2(9.00 v 10 3 J ) ! 0.190 m / s 0.500kg
3
J
B) ¿Cuál es la velocidad del carro carro cuando la posición es 2.00 cm.? SOLUCION Use la ecuación 15.22 para evaluar la velocidad :
k
v ! s
!s
m
( A
2
x
2
)
20.0 N / m (0.0300m)2 (0.0200m)2 0.500kg
?
A
! s 0 .141m / s
Los signos positivo y negativo negativo indican que el carro podría moverse hacia la derecha o la izquierda en este instante . C) Calcule las energías cinética y potencial del sistema cuando la posición es 2.00 cm.
SOLUCION Use el resultado resultado del inciso B) para para evaluar la energía energía cinética en x=0.020 0 m:
Evalué la energía potencial elástica en x = 0.020 0 m :
!
1 2
mv
2
2
2
3
! 12 (0.500kg )(0.141m / s ) ! 5.00 v 10 J
2
3
U ! 12 kx ! 12 ( 20.0 N / m )(0.0200 m) ! 4.00 v 10 J
FINALIZAR . Advierta que que la suma de las energías cinética y potencial potencial en el inciso C) es igual a la energía total que se encontró en el inciso A). A). Esto debe ser cierto para cualquier posición del carro. ¿QUE PASARIA SI ? El carro en este ejemplo pudo pudo haberse puesto en movimiento movimiento al liberarlo desde el reposo en x =3.00 cm. ¿y si el carro se libera desde la misma posición , pero con un a velocidad inicial de v= --0.100 0.100 m/s ?¿cuales son las nuevas amplitud y rapidez máxima del carro?
RESPUESTA . Esta Esta pregunta es del mismo tipo tipo que se planteo planteo al final del ejemplo 15.1 , pero en este caso caso se aplica a una aproximación energética energética . 2
1
Primero calcule calcule la energía total del sistema sistema en t=0 E ! 2 mv
1 2
kx2
! 12 (0.500kg )(0.100m / s)2 12 (20.0 N / m)(0.0300m)2 ! 1.15v102 J
Iguale esta energía total total con la energía potencial cuando cuando el carro esta en el punto final del movimiento movimiento :
Resuelva para la amplitud A:
E ! E ! 12 k A2 2 E
A !
k
Encuentre la nueva rapidez rapidez máxima al igualar igualar la energía total con la energía cinética cuando el carro este En la posición de equilibrio: Resuelva para la rapidez máxima :
vmax !
!
2(1.15 v 110 2 J ) 20.0 N / m
! 0.0339m
E ! 12 mv 2 max 2 E
m
!
2(1.15 v 110 2 J ) 0.500kg
! 0.214 m / s
La amplitud y velocidad máxima son mayores que los valores previos porque el carro carro se le dio una velocidad inicial en t=0.
Comparación de movimiento armónico simple con movimiento circular uniforme
algunos dispositivos comunes en la la vida cotidiana muestran muestran una correspondencia correspondencia entre movimiento oscilatorios y movimiento circulatorio circulatorio . Por ejemplo , el pistón en el motor de un automóvil sube y baja aunqu aunquee el resultado resultado neto de este movimiento es el movimiento circular circular de las ruedas ruedas . En una locomotora antigua antigua , el eje impulsor impulsor va de atrás atrás para delante delante en movimiento oscilatorio , lo que provoca un un movimiento circular en las ruedas ruedas . En esta sección se explora esta interesante relación relación entre estos dos dos tipos de movimiento. La figura muestra muestra esta correspondencia en una implementación experimental . Una bola se une al borde de una tórnamela de radio , de que esta iluminada por una lámpara . La bola protectora una sombra sombra sobre una una pantalla pantalla a medida que la tórnamela da vueltas vueltas con rapidez angular constante constante , la sombra de la bola se mueve de atrás para para adelante adelante en movimiento armónico simple . Considere una una partícula partícula ubicada en el punto P sobre la circunferencia circunferencia de un un circulo de radio , como en la figura 15.14ª , con la línea línea que forma un Angulo Angulo nulo con eje x en t=0. este circulo circulo se llama circulo circulo de referencia para comparar comparar el movimiento del circulo circulo con rapidez angular angular constantee , la proyección de P sobre el eje x , punto equitetado se mueve constant mueve de atrás para adelante a lo largo del eje x entre los limites x=+x=+-A. - A. A. Advierta que que los puntos puntos P y Q siempre siempre tienen la misma coordenada x. a partir partir del triangulo triangulo rectángulo OPQ se ve que esta coordenada x es :
x (t ) ! A cos( [ t J )
Esta expresión es la misma misma que la ecuación ecuación y muestra que el punto punto Q se mueve con movimiento armónico armónico simple simple a lo largo del del eje x. esta esta interpretación interpretación geométrica muestra muestra que el intervalo de tiempo para una revolución completa del punto punto P sobre el circulo circulo de referencia es igual al periodo de movimiento T para movimiento armónico simple entre x=+x=+ -A. - A. A. es decir , la rapidez angular angular w de P es la misma que la frecuencia frecuencia angular w del movimiento armónico simple a lo largo largo del eje x . La constant constantee de fase nulo para movimiento armónico armónico simple corresponde l Angulo inicial OP que forma con el eje x . Ya que que la correspondencia entre la la rapidez rapidez lineal y angular para el movimiento circular circular es v = rw , la partícula móvil en el circulo de referencia de radio se se ve que que la componente x de esta velocidad conocida por dx/dt . Derivando la ecuación ecuación 15.23 respecto al tiempo , se se encuentra encuentra que la velocidad de Q es la misma misma que la componente x de la velocidad P. L aceleración de P en el circulo circulo de referencia se dirige dirige racialmente hacia hacia adentro , a partir partir de la geometría de la figura 15.14d , se ve que que la aceleración aceleración del punto proyectado Q a lo largo largo del eje x , como se puede verificar al tomar la segunda derivada de la ecuación ecuación 15.23.
Pregunta rápida 15.5
La figura 15.15 muestra la posición de un objeto objeto de movimiento circular uniforme en t=0 t=0 . Una luz brilla brilla desde arriba y proyecta una una sombra del objeto objeto sobre una pantalla abajo abajo del movimiento circular .¿ cuales son los valores valores correctos para la amplitud y la constante de fase (en relación relación con un eje x a la derecha ) del movimiento armónico simple simple de la sombra ? A) 0.50 m y 0, b) 1.00 m y 0 , c) 0.50 y rr , d) 1.00 m y rr .
Ejemplo 15.4 Movimiento circular con rapidez angular constante
Una partícula partícula da vueltas vueltas en contra las las manecillas del reloj en un circulo de 3.00 m de radio radio , con una rapidez angular angular constante constante de 8.00 rad/s rad/s . En t=0 t=0 , la partícula partícula tiene una coordenada x de 2.00 y se se mueve hacia la derecha . A) Determine la coordenada x de la partícula partícula como funcion del tiempo . SOLUCION CONCEPTUALIZAR . Asegúrese de que comprende la correspondencia correspondencia entre movimiento circular circular de una una partícula y el movimiento movimiento armónico simple de su sombra , como se describe en la figura 15.13 . ANALIZAR . Use la ecuación ecuación 15.23 para escribir una una Expresión para la coordenada x de la partícula en Rotación con w =8.00 rad/s:
x !
J ) ! (3.00 m)cos (0 J )
2.00 m ! (3.00 m)cos (0 J )
Evalué nulo, use use la condición inicial inicial x =2.00 =2.00 m en T=0: Resuelva para nulo:
A cos([t
¨ 2.00m ¸ 1 ¹ ! cos (0.667) ! s48.2r ! s0.841rad ª 3.00m º
J ! cos 1 ©
si se se considera nulo=+0.841 rad como la respuesta ,la partícula partícula es móvil hacia la izquierda en partícula mueve hacia la derecha en t=0 , se debe elegir elegir nulo ==-0.841 0.841 rad. t=0 . Ya que la partícula
Escriba la coordenada x como función de tiempo tiempo :
B) encuentre encuentre las componentes x de velocidad y aceleración aceleración de la partícula partícula en cualquier tiempo t.
x ! (3.00 m)cos (8.00t 0.841)
SOLUCION Derivando la coordenada x respecto al tiempo para Encontrar la velocidad en cualquier cualquier tiempo:
Derivando la velocidad respecto al al tiempo para encontrar la velocidad en cualquier tiempo:
a x !
v x !
d x d t t
! (3.00m )(8.00rad / s) sen(8.00t 0.841)
! (24.0 m / s) sen(8.00t 0.841)
d v x d t t
! ( 24 . 0 m
/ s )( 8 . 00
rad
/ s ) cos(
8 . 00 t
0 . 841 )
! (192m / s 2 ) cos(8.00t 0.841)
FINALIZAR . Aunque estos resultados se evaluaron evaluaron para la la partícula partícula móvil en el circulo circulo , recuerde que que estos mismos resultados se aplican a la la sombra , que se mueve mueve en movimiento movimiento armónico simple .