FISICA II Movimiento Armónico Simple Problemas resueltos 01 Una partícula efectúa un MAS lineal alrededor del punto X = 0. En t = 0 tiene un desplazamiento x = 37 cm y una velocidad cero. La frecuencia del movimiento es de 0,25 Hz. Determinar: a) el período, b) la frecuencia angular, c) la amplitud, d) la rapidez máxima, e) la aceleración máxima, f) la rapidez para t = 3 seg. g) la energía cinética cuando t = 2,5 seg. si la masa de la partícula es de 500 g. a) T = 1 / f = 1 / 0,25 T = 4 seg b) ω = 2 π f = 2 x π x 0,25 ω = 1,57 rad/seg c) x = A sen ( ω t + ϕ ) V = A ω cos ( ω t + ϕ ) p/t=0 V = A ω cos ϕ = 0 ϕ = 90º x = A sen 90º = 37 A = 37 cm d) Vm = A ω = 37 x 1, 57 Vm = 58,09 cm/seg 2 2 2 e) am = A ω = 37 x 1,57 am = 91,20 cm/seg f) V = A ω cos ( ω t + ϕ ) V = 37 x 1,57 x cos (1, 57 x 3 x 180 / π + 90) V = 58, 09 cm/seg 2 2 g) k = m ω = 0,5 x 1,57 k =1,23 N/m 2 2 K = ½ k A cos ( ω t + ϕ ) 2 2 K = ½ x 1,23 x 0,37 x cos (1,57 x 2,5 x 180 / π + 90º) K = 0,042 joule 02 Un bloque de 4 kg estira un resorte 16 cm a partir de su posición no deformado. Se quita el bloque y se suspende un cuerpo de 500 g, del mismo resorte. Si entonces se suelta el resorte, cual será el período del movimiento? mg = k δ k = m g / δ = 4 x 9,8 / 0,16 = 245 N/m /2 1/2 T = 2 π (m / k) 1 = 2 x π x (0,5 / 245) T = 0,28 seg 03 Un resorte tiene una constante de fuerza “k”, y de el se encuentra suspendida una una masa “m”. El resorte se corta a la mitad y se suspende la misma masa de una de las mitades. Cual es la relación entre las frecuencias antes y después de haber cortado el resorte. 1/2 Resp: 2 Asociación serie: 1/k = 1/k’ + 1/k’ = 2/k’ k’ = 2 k 1/2
f = 1/2π ( k / m ) 1/2 f’ = 1/2π ( k’ / m ) 1/2 1/2 f / f’ = ( k / k’ ) = ( k / 2 k ) 1/2 f’ / f = 2
1/2
04 Una masa “M” suspendida de un resorte de longitud “L” vibra con un período de 4x3 seg. El resorte se corta en cuatro partes iguales y se construye el sistema mostrado en la figura. Calcular el nuevo período de oscilación.
L/4
M L/4
k : constante del resorte 1/2 T = 2 π ( m / k ) 2 2 2 1/2 2 2 k = 4 π m / T = 4 π m / ( 4x3 ) = π m / 12 k’: constante de la cuarta parte del resorte Asociación serie: 1/k = 1/k’ + 1/k’ + 1/k’ + 1/k’ = 4/k’ 2 k’ = 4 k = π m / 3 Asociación paralelo: k p = k’ + k’ = 2 k’ 2 Asociación final: k e = k p + k’ = 3 k’ = π m 1/2
2
1/2
T = 2 π ( m / k ) = 2 π ( m / π m ) T = 2 seg
05 Un cuerpo de masa 100 g está vibrando con un MAS de 1 m de amplitud y período 0,2 seg. a) Cual es el valor máximo de la fuerza que actúa sobre él. b) Si las oscilaciones son producidas por un resorte, cual es su constante de fuerza. a) ω = 2 π / T = 2 x π / 0,2 = 10 π 2 2 2 am = A ω = 1 x ( 10 π ) = 986,96 m/seg Fm = m am = 0,1 x 986,96 Fm = 98,7 N 1/2 b) T = 2 π ( m / k ) 2 2 2 2 k = 4 π m / T = 4 x π x 0,1 / 0,2 k = 98,7 N/m 06 Cuando la elongación en un MAS es la mitad de la amplitud, que fracción de la energía total es cinética y que fracción es potencial?. Para que elongación la energía es mitad cinética y mitad potencial?. 2
a) U = ½ k x = ½ k ( A / 2 ) K=E–U=E–E/4 b) U = ½ E 2 2 ½ k x =½ ½ k A
2
U=E/4 K=3E/4
x = A / (2)
1/2
07 Dos masas de 500 g cada una cuelgan de un resorte de constante k = 2 N/cm. Estando quietas las masas se suelta la cuerda que las une, generándose un MAS sobre la masa que queda unida al resorte. Calcular la energía cinética que posee dicha masa 50 mseg después. con dos masas: con una masa: amplitud:
k δ1 = 2 m g δ1 = 2 m g / k k δ2 = m g δ2 = m g / k A = δ1 - δ2 = m g / k = 0,5 x 9,8 / 0,02 = 0,0245 m A = 2,45 cm
2
2
K = ½ m V = ½ m ( A ω cos ( ω t + ϕ ) ) ω = ( k / m )1/2 = ( 0,02 / 0,5 )1/2 = 20 rad/seg ϕ = 90º 2 2 -3 2 K = ½ x 0,5 x 0,0245 x 20 x ( cos ( 20 x 50 10 x 180 / π + 90 ) ) K = 0,0425 joule 08 Un bloque de 35,6 N está suspendido de un resorte cuya constante de fuerza es de 526 N/m. Se dispara contra el bloque, desde abajo, una bala que pesa 0,445 N, con una velocidad de 152 m/seg, la cual queda ahogada en el bloque. a) Cual es la amplitud del MAS resultante. b) Que fracción de la energía cinética original de la bala queda almacenada en el oscilador arnónico. a) mbala Vbala + mbloque Vbloque = ( mbala + mbloque ) V V = mbala Vbala / ( mbala + mbloque ) = 0,445 x 152 / ( 0,445 + 35,6 ) V = 1,88 m/seg = V máx
ω = ( k / ( mbala + mbloque ) )1/2 = ( 526 x 9,8 / ( 0,445 + 35,6 ) )1/2 ω = 11,96 rad/seg A = Vmáx / ω = 1,88 / 11,96 = 0,16 A = 16 cm 2
2
b) Kf / Ki = ½ ( mbala + mbloque ) V / ½ mbala V bala 2 2 Kf / Ki = ½ x ( 0,455 + 35,6 ) x 1,88 / ½ x 0,445 x 152 = 0,0124 Kf / Ki = 1,24 %
2
09 Una madera de 35 kg, prismática, de 6 dm de base y 1 m de altura, se halla flotando en el agua. Si se le introduce 15 cm en el agua, calcular su período de oscilación y la altura sobre el nivel del agua del extremo superior de la madera 1,15 seg después.
Pos 1
Pos 2
h h-x h’ h’+x x
Posición 1: Posición 2:
W = E = γ Vs W = γ A h’ -W+E=ma - W + γ A ( h’ + x ) = m a - W + γ A h’ + γ A x = m a γ A x = m a k = γ A 1/2
1/2
T = 2 π ( m / k ) = 2 π ( m / γ A ) 1/2 T = 2 π ( 35 / 9,8 x 1.000 x 0,06 ) T = 1,53 seg
3 / 4 T = 1,15 seg la madera se encuentra en la posición de equilibrio h’ = W / γ A = 35 / 1 x 6 = 5,83 dm h = H – h’ = 10 – 5,83 h = 4,17 dm 10 Sobre un punto actúan dos MAS de direcciones paralelas cuyas ecuaciones son: x1 = 0,4 sen ( π t + π / 4 ) y x2 = 0,3 cos ( π t - π / 6 ) Hallar el período, la amplitud del movimiento resultante, y la elongación a los 0,2 seg. T = 2 π / ω = 2 π / π T = 2 seg cos ( π t - π / 6 ) = sen ( π /2 + π t - π / 6 ) = sen ( π t + π / 3 ) a1 = 0,4 cos ( π / 4 ) = 0,28 b1 = 0,4 sen ( π / 4 ) = 0,28 a2 = 0,3 cos ( π / 3 ) = 0,15 b2 = 0,3 sen ( π / 3 ) = 0,26 2
2 1/2
A = ( ( a 1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) ) 2 2 1/2 A = ( ( 0,28 + 0,15 ) + ( 0,28 + 0,26 ) ) A = 0.69 tg ϕ = ( b1 + b2 ) / ( a1 + a2 ) tg ϕ = ( 0,28 + 0,26 ) / ( 0,28 + 0,15 ) ϕ = 51,5º = 0,286 π xr = 0,69 sen ( π t + 0,286 π ) x = 0,69 sen ( 0,2 π + 0,286 π ) x = 0,69
11 Hallar la resultante de la suma de los siguientes MAS: y1 = 2 sen ( 8 t - π ) y2 = 3 cos ( 8 t + π / 6 ) y3 = 4 sen ( 8 t + π / 4 ) y4 = 3 cos ( 8 t – 4 π / 3 ) i yR y4
y1 y2 ϕR π /6
π /3
y
π /4 y3
∑ y = 3 cos π /6 + 4 sen π /4 – 3 cos π /3 = 3,93 ∑ i = 2 + 3 sen π /6 – 4 cos π /4 + 3 sen π /3 = 3,27 2
2 1/2
A = ( 3,93 + 3,27 ) = 5,11 tg ϕ = 3,27 / 3,93 ϕ = 39,76º = 0,22 π yR = 5,11 cos ( 8 t + 0,22 π ) 12 Calcular el período resultante: a) x1 = 4 sen ( 4 π t + π ) x2 = 3 cos ( ½ π t + π / 3 ) b) x1 = 8 sen ( π t ) x2 = 5 cos ( 2 π t ) x3 = 7 sen ( 8 t )
a) T1 = 2 π / ω1 = 2 π / 4 π = 1/2 T2 = 2 π / ω2 = 2 π / ½ π = 4 T1 / T2 = ½ / 4 = 1 / 8 = n 2 / n1 T = n1 T1 = 8 x ½ T = 4 seg b) T1 = 2 π / ω1 = 2 π / π = 2 T2 = 2 π / ω2 = 2 π / 2 π = 1 T3 = 2 π / ω3 = 2 π / 8 = π / 4 T1 / T2 = 2 / 4 = 1 / 2 = n2 / n1 T12 = n1 T1 = 2 x 2 T12 = 4 seg T12 / T3 = 4 / (π / 4 ) = 16 / π La resultante no es periódica
( no son primos entre sí )
13 Calcular la frecuencia de pulsación, de la envolvente, la media, y de la resultante, de los MAS que tienen frecuencias de 1.100 Hz y 1.103 Hz. f p = f 2 – f 1 = 1.103 – 1.100 f p = 3 Hz f e = f p / 2 = 3 / 2 f e = 1,5 Hz f m = ( f 1 + f 2 ) / 2 = ( 1.100 + 1.103 ) / 2 f m = 1.101,5 Hz f 1 / f 2 = 1.100 / 1.103 = n1 / n2 f R = f 1 / n1 = 1.100 / 1.100 f R = 1 Hz Problemas propuestos 01 Un cuerpo oscila con un MAS de ecuación x = 6 cos ( 3 π t + π / 3 ) [m]. Calcular: a) la elongación, b) la velocidad pata t = 2 seg, c) la aceleración en ese tiempo, d) la fase, e) la frecuencia, f) el período del movimiento. Resp: 3 m ; 48,97 m/seg ; 266,48 m/seg2 ; π /3 ; 1,5 Hz ; 2/3 seg 02 Un cuerpo está vibrando con MAS de amplitud 15 cm y frecuencia 4 Hz. Calcular: a) los valores máximos de aceleración y velocidad. b) la aceleración y la velocidad cuando la elongación es de 9 cm. c) el tiempo necesario para desplazarse desde la posición de equilibrio hasta el punto situado a 12 cm de la misma. Resp: 377 cm/seg ; 94,7 cm/seg2 ; 301 cm/seg ; 5.679 cm/seg2 ; 0,037 seg 03 Un cuerpo de masa 100 g pende de un largo resorte en hélice. Cuando se tira de el 10 cm por debajo de la posición de equilibrio y se abandona a si mismo, oscila con un período de 2 seg. Calcular: a) La velocidad al pasar por la posición de equilibrio. b) La aceleración cuando se encuentra 5 cm por encima de ella. c) Cuando se está moviendo hacia arriba, el tiempo que tarda en desplazarse desde un punto situado 5 cm por debajo de su punto de equilibrio a otro situado 5 cm por encima de ella?. d) Cuanto se acortará el resorte si se quita el cuerpo. e) La energía cinética cuando está en un punto 2 cm por encima del punto de equilibrio. Resp: 31,4 cm/seg ; 49,35 cm/seg2 ; 1/3 seg ; 10,99 cm ; 47.615,33 ergios 04 Un bloque se encuentra sobre un émbolo que se está moviendo verticalmente con un MAS de período 1 seg. a) Para que amplitud del movimiento se separarán el bloque y el émbolo?. b) Si el émbolo tiene una amplitud de 5 cm, cual será la frecuencia máxima para la cual el bloque y el émbolo estarán en contacto continuamente?. Resp: 0,25 m ; 2,23 Hz 05 Un resorte uniforme, cuya longitud al no estar deformado es “l”, tiene una cosntante de fuerza “k”. El resorte se corta en dos partes, cuyas longitudes no deformadas son “l1” y “l2”, siendo l1 = n l 2 , y “n” un número entero. Cuales son las constantes de fuerza correspondientes “k 1” y “k 2”. Resp: k 1 = (m+1)/m k ; k 2 = (m+1) k 06 La escala de una balanza de resorte que lee de 0 a 142 N es de 10,2 cm de longitud. Un paquete suspendido de la balanza oscila verticalmente con una frecuencia de 2 Hz. Cuanto pesa el paquete. Resp: 86,4 N 07 Una fuerza de 2,7 kp estira 22,5 cm a un resorte vertical. a) Que peso ha de suspenderse del resorte para que oscile con un período de π /4 seg. b) Si la amplitud del movimiento es de 7,5 cm, donde se encuentra el cuerpo y en que sentido se está moviendo π /12 seg después de pasar por la posición de equilibrio dirigiéndose hacia abajo. c) Que fuerza ejerce el resorte sobre el cuerpo cuando este se encuentra 4,5 cm por debajo de la posición de equilibrio y moviéndose hacia arriba. Resp: 18 N ; 6,5 cm dejado del punto de equilibrio y moviéndose hacia arriba ; 23,3 N
08 Dos resortes, cada uno de los cuales tiene una longitud natural de 20 cm, pero cuyas constantes “k 1” y “k 2” son distintas, están unidas a las caras opuestas de un bloque de masa “m” situada sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Los otros extremos de los resortes se unen a los clavos “P 1” y “P2” situados a 10 cm de las posiciones iniciales de los resortes. Sean k 1 = 1.000 dinas/cm , k 2 = 3.000 dinas/cm y m = 100 g. a) Calcular la longitud de cada resorte cuando el bloque se encuentra en la nueva posición de equilibrio después de sujetar los resortes a los clavos. b) Demostrar que la constantes del conjunto es 4.000 dinas/cm. c) Calcular el período de vibración del bloque si se desplaza ligeramente de su nueva posición de equilibrio y se abandona a si mismo. Resp: 35 cm y 25 cm ; 4.000 dinas/cm ; 1 seg 10
20 cm
20 cm
10
P1
P2 k 1
m
k 2
09 Desde un puente que cruza un precipicio se lanza un hombre de 75 kg unido a una cuerda elástica cuyo otro extremo está amarrado al puente. La cuerda se puede asimilar a un resorte de k = 30 N/m y tiene 80 m de largo. Calcular: a) cuantos metros por debajo del puente llega el hombre. b) cuanto tarda en llegar a esa posición. Resp: 171,73 m ; 7,11 seg 10 De un resorte de constante k = 10 N/m se cuelga una masa m = 1 kg y se lo deja en su posición de equilibrio. Desde abajo se dispara una bala de 10 g de masa, con una velocidad de 500 m/seg. a) Encontrar la ecuación del movimiento del sistema. b) Graficar las ecuaciones de las energía potencial y cinética, como función del tiempo. Resp: 1,57 sen ( 3,15 t + π / 2 ) 11 La masa “m” suspendida del resorte que se indica en la figura, está vibrando a 4 Hz. El resorte se corta en cuatro partes, dos de los cuales se utilizan para construir la siguiente figura. Calcular la frecuencia de dicho sistema si se utiliza la mitad de la masa. Resp: 16 Hz k’ L
k m/2 k’
m
12 En el sistema representado en la figura, formado por dos resortes diferentes y una pequeña masa “m” (de dimensiones despreciables), se sabe que los dos resortes no están deformados y que la velocidad de la masa es “Vo”. Calcular: a) la “k” equivalente del sistema. b) el período del movimiento. c) la velocidad máxima que alcanza “m”. d) la longitud mínima del resorte 2. Resp: k 1 + k 2 ; 2 π ( m / k )1/2 ; ( Vo2 + m g2 / k )1/2 ; l2 – m g / k – ( ( m Vo2 / k ) + (m 2 g2 / k 2 ) )1/2
l1
l2
k 1 m P
Vo E
k 2
13 Un punto se encuentra sometido a dos MAS de igual dirección y período 2 seg. El tiempo de desfasaje entre ambos es de 0,5 seg y el MAS que se halla adelantado (A1 = 2 cm) tiene una amplitud máxima para t = 0. Hallar la elongación resultante pata t = 0,1 seg, t = 0,3 seg y t = 0,5 seg, y el momento en que la elongación resultante es máxima. Dato: A2 = 3 cm Resp: 2,83 cm ; 3,6 cm ; 3 cm ; 0,31 seg
14 Hallar la resultante de la suma de los siguientes MAS: y1 = 5 sen ( t - π / 6 ) y2 = 7 cos ( t + π / 2 ) y3 = 6 sen ( π / 4 - t ) y4 = -5 cos ( t + π / 5 ) Resp: yR = 4,59 sen ( t – 0,83 π ) 15 Tres MAS se suman de modo que la resultante es x = 8 cos ( 2 t – π / 6 ). Dos de los MAS son: x 1 = 3 sen ( 2 t + 2 π / 3 ) y x2 = 5 cos (- 2 t ). Hallar el tercer MAS. Resp: 5,54 sen ( 2 t – 0,039 π ) 16 Calcular el período resultante: a) x1 = 8 cos ( 6 t - π ) x2 = 4 cos ( 2,5 t ) b) x1 = 6 sen ( 0,44 t ) x2 = 7 sen ( 0,075 t ) x3 = -5 cos ( 1,03 t ) Resp: 4 π seg ; 400 π seg 17 Calcular la frecuencia de pulsación, de la envolvente, la media, y de la resultante, de los siguientes MAS: a) x1 = 3 cos ( 104,5 t + π / 2 ) x2 = 4 sen ( 105 t ) b) T1 = 5 π seg T2 = 15,5 seg Resp: 1 / 4 π ; 1 / 8 π ; 209,5 / 4 π ; 1 / 4 π Hz 8,54 10-4 ; 4,27 10-4 ; 0,064 ; no es periódico
