Matemática
A ○
○
○
○
Adição e subtração de arcos trigonométricos Sendo os arcos a e b de uma circuferência, temos:
• sen (a + b) = sen a . cos b + sen sen b . cos cos a • sen (a – b) = sen a . cos b – sen sen b . cos cos a • cos (a + b) = cos a . cos b – sen sen a . sen b • cos (a – b) = cos a . cos b + sen sen a . sen b Sendo os arcos a, b e a + b ≠ π + π; , temos: 2 • tg (a + b) = (tg a + tg b) • tg ( a – b) = (tg a – tg b) 1 – tg a . tg b 1 + tg a . tg b Aplicação à taxa variável
Quando um capital tiver aumentos sucessivos com taxas nãoconstantes, o montante é dado pelo produto produ to deste capital pelos fatores de aumento. Esse valor é obtido a partir da expressão:
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Submúltiplos Decím Dec ímeetr troo qua quadr drad adoo — 1 dm2 = 10 –2 m2 Cent Ce ntím ímet etro ro qua quadr drad adoo — 1 cm 2 = 10 –4 m2 Milílíme Mi metr troo qu quad adra rado do — 1 m mm m 2 = 10 –6 m2 Área do círculo
A c = π . r2, onde r é o raio e π é um número irracional que vale aproximadamente 3,14159... Lembremos, ainda, que o comprimento da circunferência é dado pela fórmula:
○
○
r
C=2.π.r
○
o
○
○
M = C (1 + i 1) . (1 + i 2) . ... . (1 + i n)
○
○
Exemplo: Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado às seguintes taxas de juros compostos: 8% no primeiro mês, 10% no segundo e 15% no terceiro. Determinar o montante após esses três meses.
○
○
○
○
M = 5.000 . 1,08 . 1,10 . 1,15 ⇒ M = R$ 6.831,00
○
Área da coroa circular
A área da coroa circular é igual a diferença entre as áreas dos círculos maior e menor. Assim: A cc = π . R 2 – π . r 2 = π . (R 2 – r 2), onde R é o raio da circunferência maior e r é o raio da circunferência menor.
○
Arco metade
Sendo a um arco trigonométrico, temos que: qu e:
(1 + 2cos cos a) cos a) (1 – 2cos (1– cos a)
• cos a = ± 2 • sen a = ± 2 • tg a = ± 2
(1 + cos a)
Arcos múltiplos
Sendo a um arco trigonométrico, temos que: qu e: • sen 2a 2a = 2 . sen sen a . cos cos a • co coss 2 a = cos cos 2a - sen 2a = 2 . cos 2 a – 1 = 1 – 2 . sen2a • tg 2a = 2 . tg tg a 1 – tg 2 a • se senn 3 a = 3 sen sen a – 4 sen sen 2a = sen a (4 cos 2 a – 1) 3 • co coss 3 a = 4 cos cos a – 3 cos a = cos a (1 – 4 sen 2a) • tg 3a 3a = (3 tg tg a – tg tg 2 a)/(1 – 3 tg 2 a) • sen ma = sen a cos (m – 1) a + sen (n – 1) a cos a • cos ma = cos cos a cos (m – 1) a – sen sen a sen (m – 1) a • tg ma = (tg a + tg (m – 1)a)/(1 – tg a tg (m – 1) a) Área
Medir uma superfície é compará-la com a medida de outra superfície considerada como um padrão. A medida de uma superfície é denominada área. área . A unidade legal de área é o metro quadrado (m2), que corresponde à área de um quadrado quadr ado com um metro de lado. Múltiplos Quililôm Qu ômet etro ro qu quad adra rado do — km2 = 10 6 m2 Hect He ctôm ômet etro roquad quadra rado do — hm2 = 10 4 m2 Decâ De câm met etro roqu quad adra rado do — da dam m2 = 10 2 m2 2 Metro quadrado — m
○
○
○
r
○
o
○
○
○
R
○
○
○
Área do hexágono inscrito
○
E
○
l
D l
○
○
r
F
O
○
h
○
C l
○
○
A
B
○
=r
h = l 3 , onde l é o lado do
○
2
hexágono
A = 3 l2 3 2 (área de 6 triângulos eqüiláteros)
○
○
Área do losango
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
99
A = d . D 2 (área do losango de diagonal menor d e diagonal maior D)
Suplemento de Pesquisa e Informação Área do paralelogramo
Área do setor circular
○
○
○
A setor = π . r2 . α 360o
○
○
○
○
A = b . h (área do paralelogramo de base b e altura h)
○
Área do trapézio
○
○
Área do polígono regular
B
4
l
C
A
F
A 3
○
B
2 o 1
E
6 5 a D
C l
D
3 2 4 o1 5 a 8 6a 7
○
H
○
○
○
G
○
○
○
F
A = (b + B) . h 2 (área do trapézio de base menor b, base maior B e altura h)
○
E
○
○
A área do polígono regular é dada pela soma das áreas dos triângulos: A p = A 1 + A 2 + A 3 + ... + A n Mas: A 1 = A 2 = ... A n = l . a 2 sendo que n é o número de lados (igual ao número de triângulos no polígono); p é o perímetro; A p é a área do polígono regular; l é a medida do lado e a é a medida do apótema.
Área do triângulo
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Então: A p = n . A n A p = n . l . a , mas n . l = p. Logo A p = p . a 2 2
A = b . h 2 (área do triângulo de base b e altura h)
○
○
○
Área do triângulo retângulo
○
Área do quadrado
○
A = b .c 2 (área do triângulo retângulo, onde b e c são os catetos do ABC)
○
○
A = l . l = l 2 (área do quadrado de lado)
○
○
○
○
○
Área do quadrado inscrito
○
○
D r A
l
a l
r o
r
r
= r 2
a = r 2 , onde l é o lado do C 2 quadrado ABCD A = 2r 2
B
Área do triângulo eqüilátero
○
○
○
○
○
○
○
○
Área do retângulo
○
○
A = b . h (área do retângulo de base b e altura h)
○
○
○
○
○
A altura h do triângulo eqüilátero é h = l . 3 , e a área, 3 Al =. 3 , 4 onde l é o lado do triângulo.
100
Matemática Área do triângulo eqüilátero inscrito
A
Área total
○
É a soma das áreas das faces e das bases de um sólido.
○
l
= r 3
○
Área total de um prisma
○
l
a = r , onde l é o lado do 2 triângulo ABC
l
○
○
○
a
B
l
C
A = l 3 4
A área total de um prisma é dada pela soma das áreas das figuras geométricas que o compõem. Uma expressão geral para a área do prisma é a seguinte:
○
○
A t = A l + 2 A b Onde At é a área total do prisma; A l é a área lateral do prisma; A b é a área da base do prisma.
○
Área lateral
○
É a soma das áreas das faces de um sólido.
○
○
○
B ○
○
○
Baricentro
Bhaskara
○
O baricentro (G) de um triângulo é o ponto de intersecção das medianas do triângulo. Tendo os vértices do triângulo coordenadas A(x1, y 1), B(x2, y 2) e C(x3, y 3), o baricentro é calculado da seguinte maneira:
Nasceu em 1114 e morreu em 1185, na Índia. Astrônomo, dedicou-se ao desenvolvimento da matemática e foi responsável por vários avanços nas área da aritmética, geometria plana e combinatória.
○
○
○
○
○
G x1 + x 2 + x 3 , # y 1 + y 2 + y 3 3 3 A
Binômio de Newton
○
Trata-se da expressão geral do desenvolvimento da potência de um binômio: (x + a)n = Cn,0 a0 xn + Cn,1 a x n –1 + ... + C n,n an x0 Exemplo: (x + 2)2 = C2,0 x2 + C2,1 2 x 2 – 1 + C2,2 22 x2 – 2 = 1x 2 + 2 . 2 x + 1 22 = x2 + 4 x + 4
○
○
○
○
G
○
○
○
B
M
C
○
○
C ○
○
○
○
Cálculo da geratriz
Toda dízima periódica pode ser representada pela fração geratriz. Veja a seguir exemplos de como se determinar fração geratriz de uma dízima: 1) Seja x = 1,333333... Multiplicando 1,3333... por 10, temos 13,33333333... Se efetuarmos a subtração 10x – x = 13,3333333... – 1,33333... = 12 = 9x Logo x = 12/9 ou x = 4/3. 2) Seja x = 0,353535... Multiplicando 0,353535... por 100 temos 35,353535... Se efetuarmos a subtração 100x – x = 35,353535... – 0,353535... = 35 = 99x Logo x = 35/99 Capacidade, medidas de
Para as medidas de capacidade é utilizada a unidade litro, seus múltiplos e submúltiplos. O litro pode ser considerado como equivalente a 1dm3 = 1kg. Múltiplos Hectolitro – hL = 10 2 L Decalitro – daL = 10 L Litro – L
○
Decilitro Centilitro Mililitro
○
○
○
Classificação de uma progressão aritmética
○
Uma progressão aritmética pode ser classificada em: Crescente: caso a razão seja um número positivo. Exemplo: (2, 4, 6, 8...) seqüência na qual a razão é igual a 2. Decrescente: caso a razão seja um número negativo. Exemplo: (9, 6, 3, 0, –3...) seqüência com a razão igual a –3. Constante: caso a razão seja igual a zero. Exemplo: (1, 1, 1, 1...) onde a razão é igual a zero.
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Classificação de uma progressão geométrica
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Submúltiplos: – dL = 10-1 L – cL = 10-2 L – mL = 10-3 L
Uma progressão geométrica pode ser classificada em: Crescente: caso a razão seja um número positivo. Exemplo: (2, 4, 8, 16 ...) seqüência na qual a razão é igual a 2. Decrescente: caso a razão seja um número entre zero e um. Exemplo: (9, 3, 1, 1/3 ...) seqüência na qual a razão é igual a 1/3. Alternante: caso a razão seja um número negativo. Exemplo: (1, –1, 1, –1 ...) onde a razão é igual a –1.
101
Suplemento de Pesquisa e Informação Classificação de trapézios
Os trapézios podem ser: • isósceles : os lados não-paralelos são iguais. • escaleno: os lados não-paralelos são desiguais. • retângulo: as bases são perpendiculares a um dos lados. • obliquângulo: as bases não são perpendiculares aos lados. Classificação de triângulos
○
○
○
○
○
○
○
○
Triângulo é o polígono que possui três lados. O triângulo pode ser: • eqüilátero : três lados e três ângulos iguais. • isósceles : dois lados iguais. • escaleno: três lados desiguais. • retângulo: um ângulo reto. • acutângulo: três ângulos agudos. • obtusângulo: um ângulo obtuso.
○
○
○
○
○
Área da base: A b = π r 2 Área lateral: A l = 2 π r h Assim a área total fica definida como: A t = A l + 2 A b Onde: A t é a área total do cilindro; A l é a área lateral do cilindro; A b é a área da base do cilindro. Ou ainda, A t = 2 π r (h + r) O volume do cilindro é dado pela seguinte expressão: V = π r2 h Circunferência
○
É o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo O, denominado centro da circunferência.
○
○
Ciclo trigonométrico
○
O ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada de raio 1. A orientação é positiva no sentido anti-horário e negativa no sentido horário. O ciclo trigonométrico é dividido em quadrantes determinados pelos eixos cartesianos.
○
○
○
○
○
○
○
○
○
A medida da distância de qualquer ponto da circunferência ao centro O é sempre a mesma e é chamada de raio.
○
Coeficiente
○
Trata-se de um número que multiplica um monômio ou um termo. O coeficiente de um monômio pode ser definido em relação a uma, a várias ou a todas as letras.
○
○
○
Coeficiente angular
○
O primeiro quadrante contém a extremidade dos arcos entre 0 e 90° ou 0 e π rad. 2
O segundo quadrante contém a extremidade dos arcos entre 90° e 180° ou π e π rad. 2
○
○
○
○
○
○
O terceiro quadrante contém a extremidade dos arcos entre 180° e 270° ou π e 3π rad. 2
O quarto quadrante contém a extremidade dos arcos entre 270° e 360° ou 3π e 2π rad. 2
Chama-se coeficiente angular de uma reta r o ângulo formado pela reta com o eixo dos x . Se a reta r passa pelos pontos A (x 1, y 1) e B (x2,y 2), então o coeficiente é dado pela expressão: m = . y 2 – y 1 x2 – x 1 Coeficiente linear
○
Dada a equação da reta sob a forma reduzida y = ax + b, é chamado coeficiente linear da reta o coeficiente b, que indica o ponto em que a reta intercepta o eixo dos y .
○
○
○
○
Complexo aritmético
○
Denominação genérica para os sistemas de medida não-decimais. Exemplos: • medida de tempo: 5 anos, 2 meses e 9 dias. • medida de ângulo: 59º 26’ 9”.
○
Cilindro
Cilindro é o sólido geométrico que tem como bases duas circunferências. Vejamos a figura a seguir:
○
○
○
Comprimento da circunferência Seja a circunferência de raio r , representada pela figura a
○
○
seguir:
○
○
○
o
○
r
○
○
○
○
Para determinarmos as áreas no cilindro utilizamos as seguintes expressões:
○
○
d = 2r é chamado diâmetro da circunferência. O comprimento da circunferência é dado pela expressão: C =2 π r
102
Matemática Condição de alinhamento de três pontos
Para verificar se três pontos A(x 1,y 1), B(x2,y 2) e C(x3, y 3) estão alinhados, conforme ilustra a figura a seguir, basta calcular o determinante: Y x1 y 1 1 C y 3 D = x2 y 2 1 B y 2 x3 y3 1 y 1 A Se D = 0, temos que os três pontos estarão alinhados. 0 x1 x2 x3 x Cone
Conjuntos, diferença
○
○
○
○
A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem a A mais que não pertencem a B. Representa-se por A – B.
○
○
○
A
○
B
○
○
○
Se imaginarmos um triângulo retângulo em movimento circular em torno de um de seus catetos teremos uma idéia bastante aproximada de um cone. Entretanto, vejamos a figura a seguir e seus elementos:
○
○
A – B está sombreado
○
Conjuntos, igualdade
○
○
○
○
○
Dois conjuntos A e B são iguais se possuem os mesmos elementos. A igualdade é representada pela expressão A = B. Exemplo: Sejam A = {3, 5, 7, 9} e B = {7, 3, 5, 9}, portanto A = B pois possuem os mesmos elementos. Conjuntos, notação
○
○
○
○
○
○
○
Podemos definir algumas relação entre esses elementos: g2 = h 2 + r 2 onde g é a geratriz, h é a altura e r é o raio da base. A expressão que dá a área do cone é a seguinte: A t = A l + A b Onde At é a área total do cone; A l é a área lateral do cone; A b é a área da base do cone. Como A l = πrg e a A b = πr2, temos: A t = πr (g + r) E o volume é dado por: V = 1 π r2 h 3
○
○
○
○
○
○
Os conjuntos são em geral representados por letras maiúsculas A, B, C, ... X, Y, Z. Os elementos do conj unto, por letras minúsculas a, b, c, ... x, y, z. Assim, o conjunto V das vogais será representado por: V = {a, e, i, o, u} Para representar um elemento qualquer de um conjunto, utilizamos a letra minúscula x. Dessa forma, o conjunto infinito A = {1, 3, 5 ...} terá a seguinte representação: A = { x | x é ímpar} Conjuntos, propriedade da álgebra
○
1) Leisidempotentes A ∪ A = A A ∩ A = A 2) Leis associativas (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3) Leis comutativas A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A 4) Leis distributivas A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Conjunto
○
Conjunto é uma coleção ou classe de objetos bem definidos. Esses objetos são chamados elementos ou membros do conjunto. Conjunto, complemento de um
O complemento de um conjunto A é o conjunto de elementos pertencentes ao universo U que não pertencem a A, isto é, é o conjunto diferença U – A e é representado por A’. Representando em um diagrama temos:
○
○
○
○
Conjunto imagem
○
Dada uma relação R do conjunto A no conjunto B, chama-se conjunto imagem ao conjunto dos elementos de B que são imagem de algum elemento de A. O conjunto imagem é representado pela notação I(R).
○
○
○
U
○
Conjunto produto
○
A’
○
A
○
○
○
○
○
○
Dados dois conjuntos A e B, cujo produto consiste em todos os pares ordenados (a, b), onde a A e b B. O produto desses conjunto é representado por A x B. A x B = {(a, b) | a A e b B}. Exemplo: Seja A = {1, 2, 3} e B = {5,7} então A x B = {(1, 5); (2, 5); (2, 7); (3, 5); (3, 7)}
103
Suplemento de Pesquisa e Informação Conjunto Universo
Coordenadas cartesianas
○
Todos os conjuntos são subconjunto de uma conjunto definido. Este conjunto é denominado Universo de estudo ou conjunto universo, o qual é representado pela letra U.
Consideremos dois eixos, que se interceptam num ponto chamado origem. As coordenadas de um ponto são determinadas pela utilização de linhas paralelas a esses eixos. O valor algébrico do vetor que une um ponto ao eixo dos y é chamado abscissa ou coordenada x . O valor algébrico do vetor que une um ponto ao eixo x é chamado ordenada ou coordenada y .
○
○
○
○
Conjunto vazio ○
Também chamado de nulo, é aquele que não contém elementos e é representado por ∅ ou { }. Exemplo: O conjunto de habitantes da Terra que tenham mais de 5 m de altura. Como não há pessoas com essa característica, este conjunto é vazio.
○
○
○
○
Conjuntos disjuntos
y 1
○
Se dois conjuntos A e B não possuem elementos comuns, eles são chamados disjuntos. Exemplo: A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 4, 6, 8} A e B são disjuntos pois não possuem elementos em comum.
○
○
○
○
○
Conjuntos equivalentes
o
○
Dois conjuntos são equivalentes se pudermos estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus elementos. Exemplo: Se {a, b, c, d, e} = {1, 2, 3, 4, 5}, então a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 e e = 5.
○
Diz-se do sistema de coordenadas cartesianas em que os eixos x’ 0 x e y’0 y são perpendiculares. Denominam-se, também, coordenadas cartesianas ortogonais.
○
○
Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos se tiverem ou não um número limitado de elementos diferentes.
Coordenadas do vértice de uma parábola
○
O vértice da função de 2 o grau, f(x) = ax2 + bx + c, cuja representação gráfica é uma parábola, é dada por V = –b; –∆ 2a 4a
○
○
Contradomínio
○
Dada uma relação do conjunto A no conjunto B, chama-se contradomínio o conjunto imagem, nessa caso, B. O contradomínio é representado por C(R).
○
Seja uma semi-reta Px (denominada eixo polar), tendo por origem P (pólo). Chamamos coordenadas polares de um ponto A do plano dessa semi-reta a distância r = PA (coordenada linear ou raio vetor ou ângulo polar) que o eixo polar forma com PA.
○
○
Para converter um complexo aritmético, multiplicam-se as unidades superiores pelo número de unidades subseqüentemente inferiores, e ao resultado somam-se as unidades inferiores imediatas que já existem. Realiza-se esse procedimento até que todo o número passe para a mesma unidade. Exemplo: Converter 3h 40 min e 12 s em segundos 3 . 60 . 60 + 40 . 60 + 12 = 10 800 + 2 400 + 12 = 13 212 s Assim, 3h 40min 12s equivalem a 13 212 s
○
○
○
Correspondência biunívoca
○
Também chamada de correspondência um para um, ocorre quando se associa cada elemento de um conjunto a um só elemento de um outro conjunto.
○
○
○
Cossecante de um arco
○
Define-se cossecante como o inverso do seno de um arco. cossec a = 1 , sendo sen a ≠ 0 e, portanto, a ≠ k π, k ∈ . sen a
○
○
○
Cosseno de um arco
○
Observemos a figura a seguir:
○
Sejam dois pontos P e P’ fixos de um plano, chamado de pólos. Chamamos raios vetores de um ponto A, pertencente ao mesmo plano de P e P’, as distâncias d e d’ de A aos pólos. Este sistema também é chamado de bivetorial ou bilinear. P P1
Coordenadas polares
○
Conversão de um complexo aritmético
Coordenadas bipolares
○
○
○
B ○
○
x
○
O
○
d
x
Coordenadas car tesianas retangulares
○
○
Conjunto de grandezas que determina a posição de um ente geométrico no plano ou no espaço.
y 1
○
Conjuntos finitos e infinitos
Coordenadas
p
○
M A
○
○
A
○
d’
○
)
○
P2
○
○
P’
○
Ao arco AB está associado ao ângulo a, e sendo o triângulo OMB retângulo, podemos determinar o cosseno de: cos = cateto adjacente/hipotenusa cos = OM
104
Matemática
Assim, sempre que quisermos saber o cosseno de um arco, basta projetá-lo no eixo dos x, o eixos dos cossenos. Como o ciclo trigonométrico tem raio 1, –1 ≤ cos α ≤ 1. Quanto ao sinal que o cosseno assume, os arcos que têm extremidades no primeiro e quarto quadrantes possuem cossenos positivos, já aqueles com extremidades no segundo e terceiro quadrantes, possuem cossenos negativos. Cotangente de um arco
Cubo
○
O cubo é um caso particular de paralelepípedo retângulo, pois suas bases e faces laterais são quadrados e dessa maneira suas dimensões são iguais a = b = c.
○
○
○
○
○
○
c= a
○
Define-se cotangente como a razão entre o cosseno e o seno de um arco. cotg = cos a , sendo sen a ≠ 0, e portanto a ≠ k π, k ∈ . sen a
○
○
○
b =a
○
○
Cramer, Gabriel
○
Nasceu em 1704 em Geneva (agora Suíca), e morreu em 1752 em Bagnols-sur-Cèze, na França. Cramer trabalhou em análise combinatória e determinantes. Cramer tornou-se professor em Geneva. Suas maiores contribuições estão na resolução de determinantes e suas aplicações em geometria análitica.
○
○
○
○
○
Assim, as expressões que fornecem a área e o volume do cubo ficam reduzidas à: Área total: At = 6 a 2 Volume: V = a3
○
D ○
○
○
○
Definição de poliedro
b) A e B conjuntos disjuntos
○
Define-se poliedro como o sólido limitado por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado comum. vértice
○
○
A
○
B
○
aresta
○
c) Seja A = {a, b, c, d, e} e B = {d, e, f, g, h} A B
○
face
○
○
○
Desconto comercial
f
○
a
É o desconto sobre o valor nominal do título e é dado por:
○
c
d
b
D=N.i.n
g
e
○
○
h
○
onde D é o desconto comercial, N é o valor nominal do título, i é a taxa de desconto e n o número de períodos entre a data da operação de desconto e a data do vencimento. Exemplo: Vide Valor atual ou líquido.
○
○
A ∩ B = {d, e} A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h }
○
Diferença
○
É o resultado da operação subtração. Também é denominada resto ou excesso.
○
Diagrama de Venn-Euler ○
Para representar graficamente as diversas relações entre os conjuntos, utilizamos os chamados diagramas de Venn-Euler. Em geral são representados por uma superfície plana, em particular por um círculo. Exemplos: a) A B (lê-se: A está contido em B)
○
○
○
○
○
○
○
B
○
○
○
○
A
Diferença entre quadrados
○
○
○
○
A diferença entre os quadrados de dois números inteiros e consecutivos é igual ao dobro do menor mais uma unidade. a2 – (a – 1)2 = 2 a + 1 Exemplo: 5 2 – 42 = 2 . 4 + 1 = 9 A diferença entre os quadrados de dois números é igual a= x1 e c = x 2 b
d
Se x 1 = x2, então a= c b d Essa sentença é lida como: a está para b assim como c está para d . Assim pode-se dizer que os números a, b, c e d formam uma proporção e os termos da mesma são denominados segundo sua posição. Veja a seguir:
105
Suplemento de Pesquisa e Informação
a : b = c : d ou a/b = c/d assim, b e c são chamados meios e a e d , extremos. Daí podemos concluir a propriedade fundamental das proporções: Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios e vice-versa.
Como x + y + z = 340 então x = y = z ⇒ x + y + z = 340 = 20, portanto: 4 6 7 4 + 6 + 7 17 1 20 = x ⇒ x = 80 1 4 Do mesmo modo, y = 120 e z = 140
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Distância entre dois pontos de um plano
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Dados dois pontos A(x 1, y 1) e B(x2, y 2) a distância entre eles é calculada pela seguinte expressão:
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d(A,B) = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
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Distância entre um ponto e uma reta (expressão analítica)
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É a distância da perpendicular que une o ponto e a reta. Consideremos uma reta r , cuja equação é a x + by + c = 0 e um ponto P(x 1, y 1), fora de r . A expressão da distância d(P, r) do ponto à reta é dada por:
Divisões inversamente proporcionais
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Podemos definir uma divisão inversamente proporcional pelo seguinte exemplo: Consideremos o número 380. Queremos dividi-lo de forma inversamente proporcional aos números 2, 5 e 4. Chamemos então de x , y e z os números obtidos desta divisão. Assim teremos, duas sucessões ( x , y e z) e (2, 5 e 4). Então x = y = z 1/2 1/5 1/4 Como x + y + z = 380 então
○
d(P, r) = | a x1 + b y1 + c|
x = y = z ⇒ x+y+z = 380 = 400, portanto: 1/2 1/5 1/4 1/2 + 1/5 + 1/4 19/20 400 = x ⇒ x = 400 . 1 ⇒ x = 200 1 1/2 2 Do mesmo modo, y = 80 e z = 100
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a2 + b2
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Divisor
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Denomina-se o número que divide outro, de modo que a dessa divisão não sobre resto. Exemplo: 6 divide 24 quatro vezes. Nessa divisão, não há resto.
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Dízima periódica
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Divisões diretamente proporcionais
Dízima periódica é uma fração escrita sob a forma decimal, cujosnúmeros repetem-seindefinidamente. Denomina-se período o grupo de algarismos que se repete. Exemplos: 0,2222222 ... (período = 2) = 0,35353535 ... (período = 35)
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Podemos definir uma divisão proporcional pelo seguinte exemplo: Consideremos o número 340. Queremos dividi-lo de forma proporcional aos números 4, 6 e 7. Chamemos então de x , y e z os números obtidos desta divisão. Assim teremos, duas sucessões (x, y e z) e (4, 6 e 7). Então x = y = z. 4 6 7
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E ○
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Elementos de um poliedro
2a ordem quando a incógnita for de segundo grau e de ordem n quando a incógnita for um expoente de n-ésimo grau. Exemplo: 2 x = 32 2 x = 25 x=5
○
Em um poliedro podemos definir três elementos distintos: a) Faces: são as regiões poligonais que limitam o sólido. b) Arestas: representam a intersecção de duas faces. c) Vértices: representam a intersecção de três ou mais arestas.
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Equação geral da circunferência
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vértice
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A equação geral da circunferência é de ordem 2 e possui duas incógnitas: x2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Equação modular
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aresta
face
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Equação exponencial
Equação exponencial é toda equação que possui uma ou mais incógnitas como expoente. Uma equação exponencial é de
Para resolver equações modulares, utilizamos a definição de módulo. Exemplo: Resolva a equação |2x| = 14 Se o módulo de 2x é 14 então a função y = 2x pode tan to assumir o valor 14 como –14. Assim 2x = 14 ⇒ x = 7 ou 2x = –14 ⇒ x = –7. S= {–7, 7}.
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○
○
106
Esfera
Se imaginarmos uma circunferência em movimento circular em torno de seu diâmetro, teremos uma idéia bastante aproxi-
Matemática
mada de uma esfera. Entretanto, vejamos a figura a seguir e seus elementos:
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Com base nesta pesquisa, os jornais B e C podem concluir que seus produtos devem sofrer algum tipo de alteração para ganhar público. b) Gráfico: As representações gráficas dos dados estatísticos facilitam a “leitura” dos resultados, que tornam-se bem mais visíveis do que em tabelas. Os gráficos mais utilizados são: • Gráfico de segmentos de reta:
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A área da esfera é dada pela expressão: A = 4 π r2 E o volume é dado por: V = 4 π r3 3
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Estatística
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Estatística é a ciência que utiliza números para descrever fatos. Nessa ciência, chamamos dados estatísticos os dados numéricos que nos permitem descrever e avaliar os fatos para fazermos previsões, estimativas ou tomadas de decisões. Os dados estatísticos podem ser representados por meio de tabelas ou gráficos. a) Tabelas: As tabelas dispõem os dados estatísticos de modo comparativo. Por exemplo: para determinar a preferência pelos jornais A, B ou C, foram entrevistadas 2.000 pessoas. A pesquisa revelou o seguinte:
• Gráfico de barras ou histograma:
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No de pessoas
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Jornal
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○
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○
○
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B C A 240 360 1400
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1400
No de pessoas
360 240 A C B Jornal
○
Jornais A B C Total
No de pessoas % das pessoas 1.400 70% 240 12% 360 18% 2.000 100%
• Gráfico de setores
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A representa 70% B representa 12% C representa 18%
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F ○
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Fatorial
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Denomina-se fatorial do número natural n, o produto dos primeiros números naturais até n (excetuando o 0). A forma simbólica do fatorial é n!. Exemplo: 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 Convencionou-se: 1! = 1e 0! = 1.
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Fibonacci, Leonardo
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Leonardo Fibonnaci (1170 – 1250), italiano nascido em Pisa, popularizou o atual sistema decimal de numerais e em sua maior obra, o Liber Quadratorum (1225, O livro dos números quadrados ), deixou uma grande contribuição para a teoria dos números. Seu nome é hoje conhecido também pela seqüência de números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13..., obtida pela seguinte regra: o próximo número na seqüência é o resultado da soma dos dois últimos números. Essa é a chamada seqüência de Fibonacci. Essa seqüência aparece como o padrão de formação de muitos esquemas naturais, como a disposição de pétalas de algumas flores e as espirais de algumas conchas. O padrão da espiral da concha do nautilus relaciona-se com a seqüência de Fibonacci.
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Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética
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A fórmula para determinação geral de uma progressão aritmética é dada por: an = a1 + (n + 1) r onde an é termo que se quer determinar, r é a razão, a1 é o primeiro termo e n é o número de termos da progressão aritmética.
107
Suplemento de Pesquisa e Informação Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica
Função do 2 o grau
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Chama-se função de 2o grau ou função quadrática, de domínio e contradomínio , a função f(x) = ax 2 + bx + c onde a, b, c são números reais e a 0.
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A fórmula para determinação geral de uma progressão geométrica é dada por: an = a 1 . q n–1 onde an é termo que se quer determinar, q é a razão, a1 é o primeiro termo e n é o número de termos da progressão geométrica.
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Função exponencial ○
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Fourier, Jean Baptiste Joseph
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Nasceu em 1768 e morreu em 1830. Foi um matemático francês conhecido por suas contribuições para a matemática e a física. Foi conselheiro científico de Napoleão Bonaparte e professor.
A função exponencial f , de domínio e contra-domínio , é definida por y = ax, onde a > 0 e a 1. São exemplos de funções exponenciais: y = 5 x, y = ex.
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Função
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Função é a relação de A em B, tal que para todo elemento de A corresponde um único elemento de B, obedecendo a uma lei de formação. Exemplos: 1) A B
Função identidade
Considerando a forma geral da função de 1 o grau y = ax + b, temos a função identidade quando a = 1 e b = 0, então x = y. Exemplo: para x = y temos a chamada bissetriz dos quadrantes ímpares:
○
y
○
○
1 0
○
○
1
A
1o quadrante
○
y =x 1
○
x
○
3o quadrante
○
2
B
○
○
3
C
○
○
○
É função pois a cada elemento de A corresponde um único elemento de B. 2) A B
Para x = –y obtemos a chamada bissetriz dos quadrantes pares: y 2o quadrante
○
1
○
○
–1 O
○
A
1
y=–x
○
○
B
2
4o quadrante
○
C
3
○
○
○
D ○
Função injetora
Uma função é injetora se para dois elementos distintos do domínio temos duas imagens diferentes no contradomínio. Vejamos o diagrama a seguir:
○
Não é função, pois D, elemento de A, não tem correspondente em B.
○
A
B
○
Função bijetora
0
1 6
○
Um função é bijetora quando é ao mesmo tempo sobrejetora e injetora. Ver função sobrejetora e função injetora.
○
1
2 9
○
Função constante
○
Considerando a forma geral da função de 1o grau y = ax + b temos a função constante quando a = 0, dessa forma y = b, sendo b . Exemplo: na função ax + 4 = 0, para a = 0, temos y = 4. Logo teremos o seguinte gráfico:
2
5 15
○
10 ○
3
○
○
○
○
Como podemos verificar todos os elementos de A tem um correpondente distinto em B.
○
○
○
○
Função do 1º grau
Chama-se função do 1o grau a função f: R → R definida por y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0, sendo a o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear da reta.
○
○
○
○
108
Função linear
Considerando a forma geral da função de 1 o grau y = ax + b, temos a função linear quando b = 0, a 0 e a 1, a e b . São exemplos: y = 2x, y = 3x + 2. Função modular
Função modular é toda função f , de domínio em e contradomínio em , tal que f(x) = |x| ou y = |x|.
Matemática Função polinomial
A
○
Chama-se função polinomial ou polinômio a toda função P: ->, definida por uma equação do tipo: P(x) = anxn + an–1xn–1+ ... + a2x2 + a1x + a0,onde P(x) é o polinômio em x e (an, an–1 ... a0) Exemplos: P(x) = 2x 4 – 5x3 + x2 +1 é função polinomial P(x) = x–2 + 5x – 4 não é função polinomial pois –2 . Função sobrejetora
B
○
1 0 ○
2 1
○
○
5 2 ○
10 ○
3 ○
Uma função é sobrejetora quando seu conjunto imagem é o próprio contradomínio. Vejamos um exemplo: Seja f(x) = x 2 +1 onde A = {0, 1, 2, 3} e B = {1, 2, 5, 10}. Calculando os valores da função f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 5 e f(3) = 10 temos o seguinte diagrama:
○
○
○
○
○
Como podemos verificar todos os elementos de B possuem um correspondente em A. Dessa maneira, o conjunto imagem é o próprio contradomínio da função.
○
G ○
○
○
Geratriz da dízima periódica
○
É a fração que dá origem à dízima periódica. Exemplo: 4/3 = 1,3333333333...
○
○
○
Gráfico da função de 2 o grau
○
A construção do gráfico da função de 2 o grau requer alguns passos, tal como a determinação das raízes da função, determinação do vértice da parábola e também determinar em que ponto a parábola corta o eixo dos y . Vejamos um exemplo prático: construa o gráfico da função de 2 o grau y = 2x2 – 3x + 1. Resolução: 1o passo: Determinar as raízes da função, igualando-a a zero. 2x 2 – 3x + 1 = 0 ⇒ ∆ = (– 3)2 – 4 . 2 . 1 ⇒ ∆ = 9 – 8 = 1
○
–2
3–2 = 1 2 = 1 3 9
–1
3–1 = 1 1 = 1 3 3 0 3 =1 31 = 3 32 = 9 33 = 27
○
○
○
○
○
○
○
2 .2
Seja a função y = 3 x. O gráfico dessa função é mostrado a seguir: x y = 3 x
○
○
∆ = 1 ⇒ x = –(–3) + 1
Gráfico da função exponencial
○
0 1 2 3
○
x =3 + 1 4
x1 = 3 + 1 = 1 4 x2 = 3 + 1 = 2 = 1 4 4 2
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○
○
○
○
○
○
Gráfico da função modular
O gráfico da função modular pode ser obtido de dois modos. Vamos desenvolver como exemplo o gráfico de y = |x + 1|. Resolução: 1o modo – Aplicando a definição de módulo: se x + 1 é positivo ou zero , conservamos o sinal. x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 1 . Então |x + 1| = x + 1se x ≥ – 1 se x + 1 é negativo, troca-se o sinal. x+1<0⇒ x<–1 Então |x + 1| = – x – 1 se x < – 1
portanto, a parábola corta o eixo Ox nos pontos (1, 0) e 1, 0 2 2o passo: Determinar o vértice da parábola. xv = –b = –(–3) = 3 e y v = –∆ = –1 = –1 ∴ v = 3 , –1 x + 1 se x –1 (I) 2a 2 . 2 4 4a 4 . 2 8 4 8 Assim, temos: |x + 1| = –x –1 se x –1 (II ) 3o passo: O ponto em que a parábola corta o eixo Oy é c = 1. Substituímos x por – 1, e por valores maiores que – 1 Como a = 2 (a é positivo) a concavidade da parábola está volna equação (I): y = x + 1 tada para cima. Note que, ao projetarmos qualquer ponto da parábola sobre o eixo Oy, encontraremos sempre valores de y se x = – 1 então y = – 1 + 1 = 0 e teremos o ponto (– 1, 0) se x = 0 então y = 0 + 1 = 1 e teremos o ponto (0 , 1) maiores ou igual a –1. 8
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○
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○
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○
Im = {y ∈| y ≥ –1 } 8
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○
○
109
Marcamos os pontos obtidos no plano cartesiano, traçando uma semi-reta com origem no ponto (– 1, 0).
Suplemento de Pesquisa e Informação
Atribuímos a x valoresmenoresque– 1,substituindonafunção(II): y = – x – 1, se x = – 2 então y = – (– 2) – 1 = 2 – 1 = 1 e teremos o ponto ( – 2, 1) Marcamos esse ponto no plano cartesiano, unindo-o ao ponto (– 1, 0):
Como o módulo de um número é sempre positivo, os pontos abaixo do eixo Ox, onde y é negativo, não pertencem ao gráfico de |x + 1|. Tomamos, então, pontos simétricos em relação ao eixo Ox ou, em outras palavras, “rebatemos” o gráfico. Observe:
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○
○
○
○
○
y
○
○
1
○
○
○
○
–1
○
modo – Por simetria em relação ao eixo dos x . Queremos o gráfico de y = |x + 1|; para isso, traçamos o gráfico de y = x + 1:
2 o
○
x
○
○
○
○
Grau do polinômio
○
O grau do polinômio é dado pelo maior expoente de x com coeficiente diferente de zero. Assim, no polinômio P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a 2x2 + a1x + a0 , se a0 ≠0 o grau do polinômio P(x) é o maior valor de n. Exemplo: No polinômio P(x) = 2x 4 – 5x3 + x2 +1, o grau é 4.
○
○
○
○
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I ○
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○
○
Identidade de polinômios
Dois polinômios são iguais quando seus coeficientes são iguais, ou seja, se A(x) = a nxn + an-1 xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 e B(x) = b nxn + bn–1 xn–1 + ... + b 2x2 + b1x + b0, A(x) ≡ B(x) quando a n = bn, an–1 = bn–1, ..., a 2 = b2, a1 = b1, a0 = b 0.
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○
○
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Inequação do 1 o grau
○
A inequação de 1 o grau tem como característica a presença do
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sinal de desigualdade. Relembrando a propridades das desigualdades, vamos resolver um exemplo prático. Resolva a inequação 3x – 4 > 5 e descubra quais são os valores que, substituídos em x , conservam válido o sentido da desigualdade. 3x – 4 + 4 > 5 + 4 3x > 9 x > 9 ⇒x > 3 3 Portanto S = {x | x > 3}
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○
○
○
○
○
x1 = 4 + 2 = 3 x = –b +∆ = 4 + 2 2 2a 2.1 x2 = 4 – 2 = 1 2 As raízes são 1 e 3 e, como a = 1, a concavidade da parábola está voltada para cima. Vamos verificar os sinais da função: Na inequação inicial x2 – 4x + 3 > 0, queremos os valores de x para que a função seja positiva, portanto a solução são os intervalos em que aparece esse sinal: S = {x | x < 1 ou x > 3}
○
○
○
○
Inequação do 2 o grau
○
2o grau f(x) = ax2 + bx + c, onde a 0 e a ,b e c
Uma função de são números reais, é um inequação do segundo grau quando
f(x)> 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0 ou f(x) ≤ 0. Vejamos um exemplo prático. Resolver a inequação: x 2 – 4x +3 > 0. ∆ = (– 4)2 – 4 . 1 . 3 = 16 – 12 = 4 ⇒ ∆ = + 2
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○
○
○
J ○
○
○
○
Juros compostos
Chamam-se juros compostos ao tipo de transação em que, a cada período de juros produzidos, esses são aplicados sobre o capital do período anterior. É dado por:
○
M = C . (1 + i) n
○
○
○
110
onde M é o montante, C é o capital, i é a taxa de juros e n o período de tempo.
Matemática
Exemplo: Ricardo aplicou R$ 150.000,00 a juros compostos de 8% ao mês. Que quantia ele terá após 6 meses de aplicação? Sendo M = 15.000, i = 0,08 e n = 6, temos: M = 23.803,11 Portanto, Ricardo terá a quantia de R$ 23.803,11.
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Juros simples
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Chama-se a operação financeira de juros simples àquela em que os juros são calculados apenas sobre o capital inicial para todo o número de períodos de capitalização. É dado por: M = C . (1 + i . n) Onde M representa o montante, C o capital, i a taxa de juros e n o período de tempo.
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Exemplo: Gilberto empregou seu capital de R$ 7.200,00 durante 5 anos a uma taxa de 40% ao ano. Calcular os juros produzidos nestas condições deste capital. Sendo C = 7.200, n = 5 anos e i = 40% ao ano, temos: J = C . i . n J = 7.200 . 0,40 . 5 J = 14.400 Portanto os juros produzidos foram de R$ 14.400,00
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L ○
○
○
○
Logaritmo
○
Dados dois números reais positivos, a e b, com a 1, existe um único número real x de modo que a x = b. Este número x é chamado de logaritmo de b na base a, que é indicado pela notação logab. Logaritmos decimais
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Denominam-se logaritmos decimais àqueles definidos pela equação 10x = N em que N é um número dado e x o seu logaritmo. Exemplos: log 2, log 20.
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Logaritmos neperianos
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Os logaritmos neperianos, também chamados naturais ou hiperbólicos, são definidos pela equação e x = N na qual a base e representa o limite da série: 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 1 1.2 1.2.3 1. ... . n quando n cresce indefinidamente (e = 2,7182818284...). Lucro e prejuízo
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Designando por V o preço de venda, C o preço de custo ou de compra, L o lucro e P o prejuízo, temos V=C+L para uma transação com lucro e V=C–P para uma transação com prejuízo. Exemplo: Um equipamento comprado por R$ 3.000,00 deverá ser vendido a que preço para que proporcione um lucro de 25% sobre a venda? Nesse caso, C = R$ 3.000,00. L = 25% de C portanto, L = 0,25 . 3.000,00 = R$ 750,00. Portanto o equipamento será vendido por V = 3.000,00 + 750,00 = R$ 3.750,00.
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Podem ocorrer em transações comerciais.
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M ○
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Massa
A massa de um corpo é a quantidade de matéria que ele contém independente da posição em que se encontre no espaço. O que é medido com a balança é a massa de um corpo. Na linguagem comum, emprega-se a palavra peso para designar a massa de um corpo. A unidade do sistema internacional de massa é o quilograma (kg). Múltiplos 6 Tonelada – t = 10 g Quilograma – kg = 103 g Hectograma – hg = 102 g Decagrama – dag = 10 g Grama –g Submúltplos Decigrama – dg = 10–1 g Centigrama – cg = 10 –2 g Miligrama – mg = 10–3 g
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Matriz
Matriz é uma tabela de números reais dispostos segundo linhas horizontais e colunas verticais. Como exemplo podemos mostrar o consumo de sucos em uma lanchonete em forma de matriz: laranja mamão abacaxi maracujá Mesa I 5 2 3 1 Mesa II 3 4 6 2 Mesa III 7 1 0 5 O conjunto ordenado dos números da tabela acima forma o que é denominado matriz.
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111
Matrizes, adição
Para somarmos duas matrizes, somam-se os elementos correspondentes das matrizes, portanto, as matrizes devem ter a mesma ordem.
Suplemento de Pesquisa e Informação
Exemplo: A = 7 –2 1 e 0 4 –3 B= 2 1 4 8 0 –5
Matriz, tipo ou ordem
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Portanto C = A + B = = 7+2 –2 +1 1+4 = 9 –1 5 0+8 4 –0 –3 + (–5) 8 4 –8
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As matrizes são classificadas de acordo com o seu número de linhas e de colunas. Exemplo: A matriz a seguir 5 2 3 1 3 4 6 2 7 10 5 é denominada matriz do tipo, ou ordem, 3 x 4, pois possui três linhas e quatro colunas. Matrizes, igualdade
○
Matriz, classificação
Duas matrizes são ditas iguais quando apresentarem a mesma ordem e seus elementos correspondentes forem iguais. Exemplo: Se A= 3 5 8 4 B= 5–2 1+4 6+2 2 .2 Logo A = B
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As matrizes são classificadas de acordo com o número de linhas e colunas que possuem. Algumas recebem denominações especiais. Por exemplo: matriz retangular, matriz quadrada, matriz linha, matriz coluna ou matriz nula. Matriz, diagonais
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Para matrizes quadradas, podemos definir duas diagonais para a matriz: diagonal principal e diagonal secundária. Exemplo: D = 1 2 3 diagonal secundária 4 5 6 7 8 9 diagonal principal Matriz, elemento
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Matriz, multiplicação por um número real
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Sendo k e A a matriz de ordem m × n, a matriz k. A é obtida multiplicando-se todos os elementos de A por k. Exemplo: Sendo A = 2 –1 5 3 a matriz 5 . A é dada por: 5 . A = 5 2 –1 = 10 –5 5 3 25 15
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○
Chama-se elemento a cada número pertencente à matriz. Exemplo: 5 é elemento da matriz 5 2 3 1 3 4 6 2 7 10 5 Matriz, forma genérica de representação
Para indicar uma matriz qualquer, de modo genérico, usamos a seguinte notação: A = [aij ]m × n Onde i representa a linha e j , a coluna em que se encontra o elemento. As letras m e n representam a ordem da matriz. Matriz, forma genérica de representação dos elementos
Para indicarmos os elementos de uma matriz pela mesma letra que a denomina, utilizamos a mesma letra que representa a matriz, mas em minúscula. A linha e a coluna em que se encontra o elemento são indicadas no lado inferior direito da letra que representa o elemento. Exemplo: a 13 Matriz, notação
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Matriz, representação genérica
Costuma-se representar uma matriz por uma letra maiúscula (A, B, C ...), indicando sua ordem no lado inferior direito da letra. Quando se deseja representar a ordem de uma matriz de um modo genérico, faz-se uso de letras minúsculas. Exemplo: A m × n (m, n ∈N*).
Para que possa ser realizada a multiplicação entre duas matrizes, por exemplo A e B, é necessário verificar se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Exemplo genérico: A m . n X B n . p = C m . p Podemos observar com base no exemplo que a matriz produto terá o número de linhas de A e o número de colunas de B.
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Matrizes, multiplicação
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Para indicar uma matriz, são utilizadas três formas de notação. a) entre colchetes 5 2 3 1 3 4 6 2 7 10 5 b) entre parênteses 5 2 3 1 3 4 62 7 1 05 c) entre barras duplas 5 2 3 1 3 4 62 7 105
Matrizes, condição para multiplicação
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Sejam duas matrizes de ordem 2 (satisfazendo assim a condição para multiplicação de matrizes) A e B, obtém-se o produto A . B, multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha de A pelos elementos da coluna de B e, em seguida, adicionando-se esses produtos. Exemplo: Sejam as matrizes A = 2 –3 , B = 4 2 e seja C = A . B, temos 5 1 6 3 c 11 é obtido somando-se os produtos dos elementos da linha 1 de A pela coluna 1 de B: c 11 = 2 . 4 + (–3) . 6 = –10 c 12 é obtido somando-se os produtos dos elementos da linha 1 de a pela coluna 2 de B: c 12 = 2 . 2 + (–3) . 3 = –5 c 21 é obtido somando-se os produtos dos elementos da linha 2 de a pela coluna 1 de B: c 21 = 5 . 4 + 1 . 6 = 26 c 22 é obtido somando-se os produtos dos elementos da linha 2 de A pela coluna 2 de B: c 22 = 5 . 2 + 1 . 3 = 13 Portanto C = –10 –5 26 13
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112
Matrizes, propriedades da adição
Sendo A, B e C matrizes de mesma ordem, tem-se: a) A + B = B + A (comutativa) b) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) c) A + 0 = A (elemento neutro), onde 0 corresponde à matriz nula.
Matemática
d) A + (–A) = 0 (elemento oposto), onde –A é a matriz oposta de A, obtida trocando-se os sinais de todos os elementos de A. Matrizes, propriedades da multiplicação
Sendo A, B e C matriz e sendo possível o produto entre elas, temos: a) A . (B . C) = (A . B) . C (associativa) b) A . (B +C) = A . B + A . C (distributiva à direita) c) (B + C) . A = B . A + C . A (distributiva à esquerda)
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Matriz oposta
É a matriz obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz A por –1. Exemplo: Seja A = –9 1 3 –5 então –A = 9 –1 –3 5 Matriz quadrada
Um tipo de classificação de matriz. A matriz é dita quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas, ou Um tipo de classificação de matriz. A matriz é dita seja, m = n. coluna quando possui apenas uma coluna (n = 1). Exemplo: Exemplo: A= 5 –1 0 H= 3 2 4 10 2 –1 3 6 A matriz H é de ordem 2 × 1. A matriz A é de ordem 3. Matriz diagonal A matriz quadrada também pode ser de um dos seguintes tipos: Um tipo de classificação da matriz quadrada. A matriz é dita triangular, diagonal, identidade. diagonal quando todos os elementos acima ou abai xo da Matriz retangular diagonal principal são nulos. A matriz é classificada como retangular quando o número de Exemplo: linhas é diferente do número de colunas (m ≠ n). A= 2 0 0 Exemplo: 0 3 0 A= 6 5 0 0 –5 diagonal principal 2 3 Matriz identidade 1 4 Um tipo de classificação da matriz quadrada. A matriz é dita A matriz A é do tipo 3 × 2. identidade quando todos os elementos da diagonal principal Matriz transposta são iguais a 1 e todos os outros elementos são iguais a 0. É a matriz obtida pela troca ordenada de linhas por colunas de Exemplo: uma matriz. Dada uma matriz A de ordem m × n, obtém-seuma A= 1 0 0 outra matriz de ordem n × m, chamada de transposta de A. Esta 0 1 0 matriz é indicada por A’. 0 0 1 Exemplo: Seja A = 1 Matriz inversa 2 Uma matriz A, quadrada de ordem n, admite inversa quando 3 existe uma matriz A –1 de mesma ordem, tal que: então A’ = |1 2 3| A n . A n –1 = A n–1 . A n = I n Matriz triangular Exemplo: Seja A = 3 0 Um tipo de classificação da matriz quadrada. A matriz é dita 0 1 triangular quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos. determinar A –1. Exemplo: Basta multiplicar as matrizes e igualar à matriz I 2. A= 2 0 0 Matriz linha 8 3 0 Um tipo de classificação de matriz. A matriz é dita 7 9 –5 diagonal principal linha quando possui apenas uma linha (m = 1). A matriz A é nula pois todos os elementos acima da diagonal Exemplo: principal são nulos. F= 3 1 2 Máximo divisor comum (m.d.c.) A matriz F é de ordem 1 × 2. Máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números é o maior de seus divisores comuns. O m.d.c. pode ser obtido quer Matriz nula Um tipo de classificação de matriz. A matriz é dita nula quando por decomposição dos números dados em fatores primos, quer pela divisão sucessiva dos números uns pelos outros. tem todos os elementos iguais a 0. Exemplo: O m.d.c.(24, 8) pode ser calculado da seguinte maneira: Exemplo: 24 = 23 . 3 Z= 0 0 0 8 = 23 0 0 0 O m.d.c. entre 24 e 8 será dado pelo fator primo em comum aos dois que tiver o maior expoente, nesse caso 2 3 = 8. A matriz Z é nula pois A ij = 0 ○
Matriz coluna
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113
Suplemento de Pesquisa e Informação Média aritmética
Dessa maneira, podemos também calcular y, substituindo em uma das equações iniciais: 3x + y = -4 3 . –26 + y = –4 11 –78 + y = –4 ⇒ y = –4 + 78 11 11 y = –44 + 78 = 34 11 11 S = {–26/11, 34/11}
○
É a medida de tendência central mais usada. A média aritmética é o cociente entre a soma de n valores e o número n de valores desse conjunto. Exemplo: Maísa teve as seguintes notas nas provas de Matemática do 1° bimestre: 6,5; 7,0; 9,5; 4,0 e 8,0. Para obter uma nota que representará seu aproveitamento no bimestre, calculamos a média aritmética (Ma) de suas notas; 6,5 + 7,0 + 9,5 + 4,0 + 8,0 = 35 = 7 5 5 Média geométrica
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É dada pela raiz n-ésima, com n igual ao número de elementos da seqüência do produto dos n elementos. Exemplo: Dada a seqüência de notas 3, 6, 8, 9, a média geométrica é dada por:
Metro
○
Unidade de medida ou de comprimento. Múltiplos Quilômetro – km = 10 3 m Hectômetro – hm = 10 2 m Decâmetro – dam= 10 m Metro – m Submúltplos Decímetro – dm = 10 –1 m Centímetro – cm = 10 –2 m Milímetro – mm = 10 –3 m
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○
G=4
3. 6 .8 . 9
=6
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Média ponderada
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É dada pelo somatório do produto de cada elemento pelo seu respectivo peso, dividida pela soma do total de pesos. Vamos ver um exemplo: as notas da disciplina Cálculo Numérico têm diferentes pesos na média final. Eduardo obteve as seguintes notas: 4 que tinha peso 2; 8 que tinha peso 5; 9 que tinha peso 1. Sua média final ficou assim: N = 4 . 2 + 8 . 5 + 9 = 8 + 40 + 9 = 57 = 7,125 2+5+1 8 8 Mediana
Método de eliminação para a resolução de sistemas de equações lineares
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Mínimo múltiplo comum
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Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor de seus múltiplos comuns. O m.m.c. (8, 9) é dado por: 8,9 2 4,9 2 2,9 2 1,3 3 1,1 3 Assim, m.m.c (8, 9) = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 7 2
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Moda
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Para aplicar este método, multiplica-se uma das equações por fatores convenientes de modo a se obter, para uma mesma incógnita, coeficientes simétricos; a seguir, somam-se os resultados, eliminando-se assim uma incógnita e uma equação; e assim sucessivamente até que a equação restante possa ser resolvida por se tratar de uma única equação com uma incógnita. Exemplo: Resolver o sistema de duas equações e duas incógnitas a seguir: 3x + y = –4 4x + 5y = 6 Multiplicando a primeira equação por –5 temos: –15x + –5y = 20 4x + 5y = 6 Somando-se as duas equações resulta em: –11x = 26 ⇒ x = –26 11
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Mediana de um conjunto de n valores é o valor que ocupa a posição central quando esses dados são colocados em ordem crescente ou decrescente. Exemplo: Entre os números 98, 54, 35, 984, 2 94 8, 34, 2 temos sete elementos que colocados em ordem crescente, nos fornecerão o termo central da seqüência numérica, assim temos: 2, 34, 35, 54, 98, 984, 2 948. Como a mediana é dada pelo termo central da seqüência temos Md = 54.
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A moda de um conjunto de n números é o valor que ocorre com maior freqüência, isto é, o valor mais comum. Exemplo: Na seqüência numérica: 5, 5, 5, 9, 9, 9, 9, 15, 15, 19 a moda é 9, pois é o número que aparece com maior freqüência (Mo = 9). Módulo de um número real O módulo de um número real x é dado por: x se x for positivo e – x , se x for negativo. Ou seja:
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|x| =
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–xx sesex x≥<00
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Exemplos: |–4| = 4 |2x| = 2x, se 2x > 0 ⇒ x ≥ 0 –2x se 2x < 0 ⇒ x < 0
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Montante
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O montante é capital resultante da soma do capital inicial e do juro aplicado ao fim do período financeiro, e é dado por: M=C+J
N ○
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Nomenclatura dos polígonos
É denominado: Triângulo, ao polígono de três lados;
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114
Quadrilátero , ao polígono de quatro lados; Pentágono, ao polígono de cinco lados;
Matemática Hexágono, ao polígono de seis lados; Heptágono, ao polígono de sete lados; Octógono, ao polígono de oito lados; Eneágono, ao polígono de nove lados; Decágono, ao polígono de dez lados; Undecágono, ao polígono de onze lados; Dodecágono, ao polígono de doze lados; Pentadecágono, ao polígono de quinze lados; Icoságono, ao polígono de vinte lados. Números binomiais Sejam dois número n e p pertencentes ao conjunto dos número naturais, com p menor ou igual a n; denominam-se números binomiais às combinações simples entre esses n elementos, tomados p a p.
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Portanto: cos θ = a =
22 sen θ = b = 2 ρ 2 ρ
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Portanto o ângulo cujos valores de seno e cosseno são iguais
a 2 é 45º. 2
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A notação dos números binomiais é: n = Cn,p = n! p p!(n-p)!
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Número complexo, características
Sendo z = a + bi um número complexo, temos: a) a + bi é chamada forma algébrica. b) a é denominada a parte real de z , onde a ; a = R e(z). c) b é denominada a parte imaginária de z, onde b ; b = Im(z). d) i é a unidade imaginária: i = –1
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Número complexo, conjugado
Número complexo, adição
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Para somarmos dois números complexos, basta somar separadamente sua parte real e sua parte imaginária. Exemplo: Dados dos complexos z = 5 + 2i e w = –2 + 9i, determinar z + w. z + w = 5 + (-2) + (2 + 9)i = 3 + 11i
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Número complexo, argumento
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Dado um número complexo z = a + bi, com z ≠ 0 e sendo P o afixo de z, denomina-se argumento do complexo z o ângulo q (0o ≤ θ≤ 360o ), formado por OP com o eixo real 0x, medido no sentido anti-horário, como podemos observar no gráfico abaixo: Notação: θ = arg(z), onde θ é o ângulo e arg(z) é o argumento de z .
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P
y
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P
b
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θ
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a
x
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Sendo r = a2 + b2 o módulo de z , e observando o triângulo destacado no gráfico, podemos escrever: cos θ = cateto adjacente = a hipotenusa ρ sen θ = cateto oposto = b hipotenusa ρ Por meio do seno e do cosseno de θ, podemos determinar o ângulo q usando os valores da tabela trigonométrica. Exemplo: Determinar o argumento do complexo z= 2 +i 2
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2 eb=
Dada a equação x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = –1 ⇒ x = ± – 1 para que equações como essa tivessem solução, os matemáticos ampliaram o campo dos números, criando um novo número, não-real, chamado de unidade imaginária, i , –1 Exemplo: Encontrar as raízes da equação x 2 – 4x + 13 = 0.
∆ = b2 – 4ac = – 42 – 4 . 1 . 13 = –36
2
○
○
Número complexo, módulo
Considerando o complexo z = a + bi, representado pelo ponto P(a,b), o módulo desse número é dado pelo Teorema de Pitágoras: ρ = a2 + b 2
Exemplo: Determinar o módulo do complexo z = 3 + 4i. 9 + 16 ρ=
○
ρ=
25
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○
|z| = ρ = a2 + b2 = 2 + 2 = 2 ⇒ ρ = 2
x = 4 ± –36 2 x = 4 ± 6i 2 x’= 2 + 3i x’’= 2 – 3i S = {2 + 3i; 2 –3i}
○
○
a=
Número complexo, definição
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0
O número conjugado de um dado complexo z = a + bi é dado por z = a – bi. Assim temos: Exemplo: Seja z = 3 + 4i, determinar seu conjugado. z = 3 – 4i
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115
ρ=5
Número complexo, multiplicação
Para multiplicarmos dois números complexos, utilizamos a regra da multiplicação de binômios (vale lembrar que i 2 = -1). Sendo z = a + bi e w = c + di, temos:
Suplemento de Pesquisa e Informação
z . w = (a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 Portanto: z . w = (ac – bd) + (ad + bc)i Exemplo: Dados z = 3 + 4i e w = 2 + 5i, efetuar z . w. z . w = (3 + 4i) . (2 + 5i) = 6 + 15i + 8i + 20i2 z . w = 6 + 23i – 20 i 2 z . w = –14 + 23i
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Exemplo: Calcular o valor de a e b, tal que os números z = a + bi e w = –3 + 5i sejam iguais. Para que z = w, a = –3 e b = 5.
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Para subtraírmos dois números complexos, basta subtrair separadamente sua parte real e sua parte imaginária. Exemplo: Dados dos complexos z = 5 + 2i e w = –2 + 9i, determinar z – w. z – w = 5 – (–2) + (2 – 9)i = 7 – 7i
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Números complexos, divisão A divisão de dois números complexos z por w , com w ≠ 0, é obtida
utilizando a representação fracionária e, em seguida, racionalizando essa fração por meio do conceito de conjugado de w : z = z x w w wxw
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Números complexos, potências de i
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A tabela a seguir fornece os valores de i n, n ∈ N. Potência 0 i 1 1 i i 2 i –1 3 i –i 4 i 1 i5 i 6 i –1 7 i –1
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Exemplo: Sejam z = 4 + 5i e w = 2 + 3i, calcular z w z = (4 + 5i) = (4 + 5i) . (2 – 3i) . (2 – 3i) = w (2 + 3i) (2 + 3i) = (8 – 12i + 10i – 15i 2) = (8 – 12i + 10i + 15) = (2 2 – 3 2i2) (4 – 9i2) = (23 – 2i) = (23 – 2i) (4 + 9) 13 Logo: z = 23 – 2i w 13 13
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Observe que: i0 = i 4 = i8 = i12 ........= 1 i1 = i5 = i9 = i13.........= i i2 = i 6 = i 10 = i 14........= –1 i3 = i 7 = i 11 = i 15........= – i Podemos concluir que para determinarmos o valor de i n, n ∈ N, basta dividir o expoente por 4 e considerar o valor do resto dessa divisão. Exemplo: i 1 000 1 000 : 4 = 250 e tem como resto 0. Portanto i 1000 = i0 = 1 O número complexo z = a + bi pode ser representado no plano de Argand Gauss por meio do ponto P(a, b).
Dados dois números complexos z = a + bi e w = c + di, com a, b, c, d , temos que z e w são iguais quando a+ bi = c + di ou ainda a = c e b = d.
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Número complexo, subtração
Número complexo, representação gráfica no plano de Argand-Gauss
Números complexos, igualdade
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b ○
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a
x
ρ
ρ 2
6
Logo, z = 2 (cos π + i sen π ou z = 2 (cos 30 o + i sen 30 o) 6 6
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○
P(a, b)
Podemos escrever o número complexo z = a + bi na forma polar, a qual depende do módulo de z e de seu argumento. Ou seja, z = ρ cos θ + i ρ sen θ. Exemplo: Obter a forma trigonométrica do número complexo z = 3 + i.; sendo a = 3 e b = 1 |z| = p = a2 + b2 = = (3)2 + 12 = 4 = 2 Calculando o argumento de z: sen θ = b e cos θ = a = 3 ⇒ θ = 30o ou π.
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y
números complexos, forma polar
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116
Números complexos, propriedades do módulo
Dados z = a + bi e w = c + di temos: a) o módulode um número complexo é um número racional, não negativo, ou seja: |z| ≥ 0. b) o produto de dois números complexos é igual ao produto dos módulos dos complexos fatores, ou seja: z . w| = |z| . |w|. c) os módulos de um número complexo e de seu conjugado são iguais: d) o módulo do quociente de dois números complexos é igual ao cociente do módulo do complexo dividendo pelo módulo do complexo divisor. Assim: |z/w| = |z|/|w|, com w ≠ 0. z =z w w
Matemática
P ○
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Paralelepípedo
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Paralelepípedo é o prisma quadrangular no qual seis faces são paralelogramos.
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Paralelepípedo retângulo
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O paralelepípedo retângulo é o prisma no qual as seis faces são retangulares a as faces opostas são congruentes. Suas dimensões são dadas pela altura, comprimento e largura, como mostra a figura a seguir:
○
○
A área total de uma pirâmide é dada pela soma da área de sua base e sua área lateral de acordo com a seguinte expressão: A t = A l + A b Onde: At é a área total da pirâmide; A l é a área lateral da pirâmide; A b é a área da base da pirâmide. O volume da pirâmide é dado pela expressão: V = 1 A b .h 3 Onde a altura (h) é definida com sendo a distância entre o vértice V e o plano da base, como mostra a figura a seguir:
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Polinômio identicamente nulo ○
Podemos também relacionar essas dimensões e definir a medida da diagonal do paralelepípedo retângulo: D=
a2 + b 2 + c 2
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Um polinômio é dito identicamente nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a zero e indicamos por P(x) = 0. Seja A(x) = a nxn + an–1 xn–1 + ... + a 2x2 + a1x + a0, an = a n–1 = a 2 = a 1 = a 0 = 0 Ponto médio de um segmento
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Relacionando ainda essas três dimensões podemos definir a área total e o volume do paralelepípedo retângulo: Área total: A t = 2 (ab + ac + bc) Volume: V=a.b.c Pirâmides
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As coordenadas do ponto médio M(x, y), do segmento determinado pelos pontos A(x 1, y 1) e B(x 2, y 2), são dadas por: M x1 + x2, y1 + y2 2 2
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As pirâmides podem ser classificadas com base no número de lados do polígono da sua base como mostram as figuras a seguir:
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Ponto que divide um segmento em uma determinada razão Dada a razão r , os pontos A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) e o ponto M(zm/ym), que divide o segmento AB, temos que as coordenadas desse ponto serão dadas por: M (rx2 + x1)/(1+r), (ry 2 + y 1)/(1+r)
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pirâmide triangular
pirâmide quadrangular
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pirâmide pentagonal
pirâmide hexagonal
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117
Porcentagem
É uma razão centesimal ou porcentual onde o conseqüente é igual a 100. Exemplo: 25% (lê-se: vinte e cinco por cento) pode também ser representado por 25 ou 0,25. 100
Suplemento de Pesquisa e Informação Posições relativas de duas retas
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Sejam duas retas r 1 e r2 no plano cartesiano. De acordo com suas posições relativas podemos ter: 1) Retas concorrentes. Representa-se por r 1 x r2. Se r1 e r2 são concorrentes, os ângulos formados por elas em relação ao eixo dos x são diferentes, portanto seus coeficientes angulares também serão diferentes.
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b) Se o centro está sobre o eixo dos x , ou seja C(x, 0), então (x – a)2 + y 2 = R 2
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a
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c) Se o centro está sobre o eixo dos y, ou seja C(0, y), então: x2 + (y – b) 2 = R 2
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2) Retas paralelas. Representa-se por r1 // r2. Se r 1 e r2 são paralelas, os ângulos formados por elas em relação ao eixo dos x são iguais, logo seus coeficientes angulares também serão iguais. Porém, para serem paralelas e não coincidentes, elas têm que possuir coeficientes lineares diferentes.
b
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Posição relativa entre circunferências
Para duas circunferências que forem exteriores, a distância de seus centros será maior que a soma de seus raios. dC 1C2 > R + r
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r C2
C 1 R
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3) Retas coincidentes. Se r 1 e r2 são paralelas, os ângulos formados por elas em relação ao eixo dos x são iguais; logo, seus coeficientes angulares também serão iguais. Além disso, seus coeficientes lineares também são iguais.
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dC 1C 2 Para duas circunferências que forem interiores, a distância de seus centros será menor que a diferença de seus raios .
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dC1C2 < R – r
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C1 C2 r
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Posição da circunferência no plano cartesiano
a) Se o centro da circunferência está na origem dos eixos de coordenadas, ou seja C(0, 0), então x2 + y 2 = R 2
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dC 1C2
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Para duas circunferências que forem tangentes externamente, a distância de seus centros será exatamente igual à soma de seus raios. dC1C2 = R + r
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C1
r C2
R
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118
dC1C2
Matemática
Para duas circunferências que forem tangentes internamente, a distância de seus centros será exatamente igual à diferença de seus raios.
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R
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r C2
C 1
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Para duas circunferências que forem secantes, a distância de seus centros será menor que a soma e maior que a diferença dos raios.
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R
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r
C 1
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C
2
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Para duas circunferências que forem concêntricas, a distância de seus centros será nula.
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C1 = C 2
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r
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R
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Seja a figura do prisma mostrada a seguir:
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Onde h é chamada de altura do prisma. Observe que: a) as bases de um prisma são polígonos congruentes; b) os prismas recebem nomes especiais segundo o número de lados dos polígonos da base. Produtos notáveis
Para facilitar o trabalho com função, é importante ter à mão algumas das igualdades a seguir:
Progressão aritmética
Toda seqüência em que a partir de um termo conhecido é somada uma constante para obter-se o termo seguinte é chamada progressão aritmética. À constante que é somada aos termos subseqüentes, dá-se o nome de razão. Progressão geométrica
Toda seqüência que em de um termo conhecido é multiplicado por uma constante para obter-se o termo seguinte é chamada progressão geométrica. À constante que multiplica um termo para se obter o termo subseqüente, dá-se o nome de razão. Proporção
Chama-se proporção à sentença matemática que expressa uma igualdade entre duas razões. Sejam os números racionais a, b, c e d com b e d diferentes de zero, vamos determinar as razões: Propriedades da desigualdade
Se somarmos um mesmo valor em ambos os membros de uma desigualdade ela se mantém: Exemplo: 3 < 4 ⇒ 3 + 5 < 4 + 5 O mesmo ocorre se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros de um desigualdade por um número positivo: Exemplo: 3 < 4 ou 3 . 5 < 4 . 5 5 5 Entretanto, se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo, ela muda de sentido: Exemplo: 3 < 4 ou 3 . –1 > 4 . –1 –1 –1
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Prisma
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 (a + b) (a – b) = a2 – b2 (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 (a – b)(a2 – ab + b 2) = a3 – b3 (a + b)(a2 – ab + b 2) = a3 + b3 (a2) + b2 (p 2 + q2) = (ap – bq) 2 + (aq + bq) 2, expressão de Fibonacci 7) (a2 + b)2 = (a2 – b2)2 + (2ab)2, expressão de Platão muito usada para determinar triângulos retângulos cujos lados sejam números inteiros. 1) 2) 3) 4) 5) 6)
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119
Propriedades de potências
No produto de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes. am . a n = a m + n Exemplo: 5 2 . 5 6 = 5 2 + 6 = 5 8 2o)No cociente de potências de mesma base, conversa-se a base e subtraem-se os expoentes. am : a n = a m – n Exemplo: 5 6 : 5 2 = 5 6 – 2 = 5 4 3o) A potência de toda base real elevada a zero é igual a 1. a0 = 1 Exemplo: 1020 = 1 4o) Na potência de outra potência, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. (a m) n = a m . n Exemplo: (5 2)3 = 5 2 . 3 = 5 6 Uma fração elevada a um expoente tem tanto numerador como denominador elevados a esse expoente. (2) 4 = 2 4 = 16 (3) 34 81
Suplemento de Pesquisa e Informação
6o) Potenciação com expoente fracionário Exemplo: Uma base elevada a um expoente fracionário fica da seguinte maneira:
Propriedades operatórias dos logaritmos • Logaritmo do produto: O logaritmo na base a (a > 0 e
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a ≠ 1) do produto m . n, aplicando a definição de logaritmo é dado por: loga(m . n) = log am + log an, sendo m > 0, n > 0 Exemplo: log106 = log10(2 . 3) = log102 + log103 • Logaritmo do cociente: O logaritmo na base a (a > 0 e a ≠ 1) da divisão m : n, aplicando a definição de logaritmo é dado por: loga(m : n) = logam - logan, sendo m > 0, n > 0 Exemplo: log1010 = log10(10:2) = log1010 - log102 • Logaritmo da potência: O logaritmo na base a (a > 0 e a ≠ 1) do produto m x n, aplicando a definição de logaritmo, é dado por: logamp = p log am, sendo p , m > 0 Exemplo: log 1025 = 5 log102 • Mudança de base: lognm = logam, sendo m > 0, n > logan 0, n ≠ 1, a > 0 e a ≠ 1 Exemplo: log12 8 = log8 = 1 log12 log812
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Exemplo:
m
n
a n = am
2¾ = 4 23
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Propriedades dos logaritmos Sejam dois números reais positivos, a e b, com a; 1, existe um único número real x de modo que a x = b. Este número x é chamado de logaritmo de b na base a, que é indicado pela
notação logab. Com base nessa condição de existência, valem as seguintes propriedades: a) Logaam = m, a > 0 e a ≠ 1 Exemplo: Log 335 = 5 b) Loga1 = 0, a > 0 e a ≠ 1 Exemplo: Log31 = 0 c) a log ab , sendo b > 0, a > 0 e a ≠ 1 Exemplo: 2 log 27 = 7
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R ○
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Radiano
Exemplo: –2x2 + x –5 ∆ = – 39 S=∅
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É denominado radiano (rad) o arco tomado sobre a circunferência que possui a mesma medida do raio.
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Raiz ou zero da função de 1 o grau
Razão
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A raiz ou zero da função de 1 o grau é o valor de x para o qual
Chama-se razão de dois números racionais a e b, com b ≠ 0, o cociente de a por b. É representada por a(lê-se: a está para b b), onde a é chamado antecedente e b, conseqüente. Exemplo: Uma equipe de futebol com 28 vitórias em 60 jogos, ou seja, 28 = 7 60 15 portanto, 7 vitórias a cada quinze jogos.
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y = f(x) = 0. No gráfico podemos identificá-la como o ponto que corta o eixo dos x . Portanto, para determinar a raiz da função basta igualá-la a zero: F(x) = ax + b ⇒ ax + b = 0 ⇒ ax = –b ⇒ x = –b/a Exemplo: Determine a raiz da função: f(x) = 3x + 5 Basta fazermos 3x + 5 = 0 ⇒ 3x = –5 ⇒ x = –5/3
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Raízes da função do 2 o grau
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Para determinarmos as raízes da função de 2o grau devemos igualar f(x) a 0. A expressão assim obtida é denominada equação do 2 o grau, e as raízes podem ser determinadas pela fórmula de Bhaskara: x = – b ± ∆ , onde ∆ = b2 – 4ac 2a ∆ é chamado discriminante da equação. Se ∆ > 0 a equação terá duas raízes reais e distintas Exemplo: –7x 2 + 6x + 1 = 0 ∆ = 64 x=–6±8 –14 x’ = –1 e x” = 1 7 S = –1, 1 7 Se ∆ = 0, a equação terá raízes reais e iguais Exemplo: x 2 + 2x + 1 = 0 ∆ =0 X = –2 S = {–2} Se ∆ < 0 não existem raízes reais ( ∃ x ∈ R)
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Razões inversas
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Duas razões são inversas quando o antecedente da primeira for igual ao conseqüente da segunda ou vice-versa. Nesse caso, o produto de ambas é igual a zero.
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Redução ao 1 o quadrante
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Os problemas de redução ao primeiro quadrante consistem em obter os valores das linhas trigonométricas de um arco positivo maior de 90º, em função das linhas trigonométricas de arcos entre 0º e 90º. A redução ao 1 o quadrante de um arco do 2 o quadrante é feita por meio das seguintes relações: sen (180º – a) = sen a cos (180º – a) = – cos a tg (180º – a) = – tg a cotg (180º – a) = – cotg a sec (180º – a) = – sec a cosec (180º – a) = cosec a ou sen (90º + b) = – cos b cos (90º + b) = – sen b tg (90º + b) = – cotg b
120
Matemática
cotg (90º + b) = – tg b sec (90º + b) = – cosec b cosec (90º + b) = – sec b A redução ao 1 o quadrante de um arco de 3.º quadrante é feita por meio das seguintes relações: sen (270º – a) = – cos a cos (270º – a) = – sen a tg (270º – a) = cotg a cotg (270º – a) = tg a sec (270º – a) = cosec a cosec (270º – a) = – sec a ou sen (180º + b) = – sen b cos (180º + b) = – cos b tg (180º + b) = tg b cotg (180º + b) = cotg b sec (180º + b) = – sec b cosec (180º + b) = – cosec b Finalmente, a redução ao 1 o quadrante de um arco do 4 o quadrante é feita por meio das seguintes relações: sen (360º – a) = – sen a cos (360º – a) = cos a tg (360º – a) = – tg a cotg (360º – a) = – cotg a sec (360º – a) = sec a cosec (360º – a) = – cosec a ou sen (270º + b) = – cos b cos (270º + b) = sen b tg (270º + b) = – cotg b cotg (270º + b) = – tg b sec (270º + b) = – cosec b cosec (270º + b) = – sec b Regra prática para o estudo do sinal da função de 1 o grau
Regra prática para o estudo de sinal da função f(x) = ax + b: 1o) determinamos a raiz da função, igualando-a a zero (raiz: x = – b) a
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c)Se ∆ < 0 então não existem raízes reais: se a > 0 temos se a < 0 temos ∀ x ⇒ y >0 ∀x ⇒y <0
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Relação
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Considera-se relação de A em B a todo subconjunto de AxB que obedece a uma lei de formação. Exemplo: Sejam os conjunto A = {1,2,3} e B = {–3, –1,0} então A × B = {(1,–3), (1, –1), (1,0), (2,–3), (2, –1), (2, 0), (3, –3), (3, –1), (3, 0)}.
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Relação de Euler
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Se x = –b então y = 0. a –b Se x < então y > 0. a Se x > –bentão y < 0. a
b)Se ∆ = 0 então as raízes são x 1 = x2: se a > 0 temos: se a < 0 temos: x = x1 ⇒ y = 0 x = x1 ⇒ y = 0 ∀ x | x ≠ x1 ⇒ y > 0 ∀ x | x ≠ x1 ⇒ y < 0
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Se x = –b então y = 0 a Se x < –b então y < 0 a –b Se x > a então y > 0
Regra prática para o estudo do sinal da função de 2 o grau Dada a função f(x) = y = ax2 + bx + c, para saber os sinais de y determinamos as raízes (se existirem) e analisamos o valor do discriminante. Poderemos ter: a)Se ∆ > 0 então as raízes são x 1 ≠ x2: se a > 0 temos se a < 0 temos x < x1 ou x > x2 ⇒ y > 0 x < x1 ou x > x 2 ⇒ y < 0 x1 < x < x 2 ⇒ y < 0 x1 < x < x2 ⇒ y > 0 x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0 x = x1 ou x = x 2 ⇒ y = 0
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2o) verificamos se a função é crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0); temos então duas possibilidades: a) a função é crescente b) a função é decrescente
Regra prática para o estudo do sinal da função de 2 o grau
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Em qualquer poliedro, a soma do número de vértices (V) ao número de faces (F) é igual ao número de arestas (A) mais 2. A + 2 = V + F A soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo é igual a: S = 360º (V – 2), sendo V = número de vértices.
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121
Relação entre os elementos dos poliedros regulares
Poliedros Regulares Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro
F 4 6 8 12 20
V 4 8 6 20 12
A 6 12 12 30 30
n 3 4 3 5 3
p 3 3 4 3 5
Suplemento de Pesquisa e Informação
F é igual ao número de faces, V é igual ao número de vértices, A é igual ao número de arestas, n é igual ao número de lados de cada face, p é igual ao número de arestas de cada ângulo sólido. Relação fundamental da trigonometria
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Na figura, no ciclo trigonométrico, o arco AM tem ângulo central α. No triângulo retângulo OPM, sendo o raio 1, temos que: sen α = PM cos α = OP
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Aplicando o teorema de Pitágoras: PM2 + OP2 = 1 Substituindo: sen2 α + cos2 α = 1 Essa igualdade é a relação fundamental da trigonometria.
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S ○
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Secante de um arco
Define-se secante como o inverso do cosseno de um arco. sec a = 1 , sendo cos a ≠ 0, e portanto a ≠ π + k π, k ∈ . cos a 2 Seno de um arco
Observemos a figura a seguir:
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≥ ≤ → ∃ ∀
|
– – – – – – – – – – –
maior ou igual menor ou gual função de A em B existe qualquer que seja tal que conjunto-universo conjunto dos números naturais conjunto dos números inteiros conjunto dos números reais conjunto dos números complexos.
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Ao arco AB está associado ao ângulo α. Sendo o triângulo OBC retângulo , podemos determinar o seno de α: sen α = cateto oposto/hipotenusa sen α = BC Assim, sempre que quisermos saber o seno de um arco, basta projetá-lo no eixo dos y, o eixos dos senos. Como o ciclo trigonométrico tem raio 1, –1 ≤ sen α ≤ 1. Quanto ao sinal que o seno assume, acima do 0 no eixo dos y , o seno assume valores positivos e abaixo do 0, valores negativos. Símbolos
Os símbolos mais usuais em Matemática são: ∈ – pertence – não pertence ∉ = – é; é o mesmo que; é igual a ≠ – é diferente de – está contido; é subconjunto de ⊂ ⊄ – não está contido – contém ⊃ – não contém ⊃ ∅, { } – conjunto vazio – interseção ∩ ∪ – união ⇒ – implica – equivale ≡ < – maior que > – menor que
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Sistema de numeração binário
No sistema de numeração binário, ao contrário do sistema de numeração decimal, na qual a base é 10, são utilizados apenas dois dígitos, o zero e o 1 para representar todos os números. O sistema de numeração binário é utilizado muito freqüentemente nos dias atuais, pois é a base de funcionamento dos computadores. Como o computador é um equipamento eletrônico, ele entende apenas os sinais elétricos que passam por ele e assim o 1 do sistema de numeração binário significa que está passando corrente elétrica e o 0 significa que não está passando corrente elétrica no momento. Todas as informações que passamos para o computador, letras, números etc. são transformados para seqüências de 0 e 1. Esse sistema foi desenvolvido pelo matemático inglês George Boole (1815-1864). Sistema de numeração decimal
No sistema de numeração decimal são utilizados dez dígitos para representar todos os números. O sistema de numeração decimal é a base para os nossos cálculos do cotidiano. Sistema de numeração hexadecimal
No sistema de numeração hexadecimal, ao contrário do sistema de numeração decimal, na qual a base é 10, são utilizados dezesseis dígitos para representar todos os números; são eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. O sistema de numeração hexadecimal é utilizado muito freqüentemente pelos programadores, analistas e engenheiros de sistema, pois representa um sistema que é uma potência do binário, que é a base de funcionamento dos computadores. Com isso, reduz-se o número de algarismos da representação e minimiza-se a ocorrência de erros. No sistema hexadecimal cada quatro bits são representados por um algarismo hexadecimal.
Matemática Sistema de numeração octal
Representamos cada solução numa reta, e efetuamos a intersecção: S = {x | – 1 ≤ x -<8 }
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No sistema de numeração octal, ao contrário do sistema de numeração decimal, na qual a base é 10, são utilizados oito dígitos para representar todos os números, são eles 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. O sistema de numeração octal é utilizado muito freqüentemente pelos programadores, analistas e engenheiros de sistema, pois representa um sistema que é uma potência do binário, que é a base de funcionamento dos computadores. Com isso, reduz-se o número de algarismos da representação e minimiza-se a ocorrência de erros. No sistema octal cada três bits são representados por um algarismo octal.
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9
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-8 __ 9
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-8 x < __ 9
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-1 ○
-8 __ 9
S
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Sistema de inequações do 1 o grau
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Ao resolver um sistema de inequações do 1 o grau com uma incógnita, o objetivo é determinar o conjunto de valores que ao mesmo tempo satisfaçam as duas desigualdades. Vejamos como resolver o exemplo a seguir.
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Soma dos termos de um progressão aritmética finita A soma dos n termos de uma progressão aritmética finita é dada
pela fórmula: S = (a 1 + an) n 2 onde a1 é o primeiro elemento e a n o último elemento da seqüência.
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x > -1
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x + 3 ≥ –2x –x + > 4x + 5 2
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Resolução:
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Soma dos termos de um progressão geométrica finita A soma dos n termos de uma progressão geométrica finita é
Resolver um sistema é determinar o conjunto de valores de x dada pela fórmula: que podem ser substituídos nas duas equações, tornando-as verdadeiras. Para isto, resolvemos separadamente cada uma das S = a 1 (q n – a 1) inequações e efetuamos a intersecção dos resultados. q –1 x + 3 ≥ – 2x –x + 1 > 4x + 5 onde q é a razão da progressão geométrica e a 1 é o primeiro x + 2x ≥ – 3 2 termo da seqüência. 3x ≥ – 3 –x + 2 > 8x + 10 Soma dos termos de um progressão x≥–1 2 2 geométrica infinita – x – 8x > 10 – 2 A soma dos n termos de uma progressão geométrica infinita é – 9x > 8 (–1) dada pela fórmula: S = a1 (multiplicamos por – 1 e invertemos o sinal) -8 q –1 9x < – 8 ⇒ x < 9 onde 0 < |q| < 1. ○
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T ○
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Teorema
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Teorema é uma verdade que tem que ser provada por meio de demonstração.
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Teorema da decomposição de um polinômio
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Todo polinômio P(x) = a nxn + an-1xn-1 + ...+ a2x2 + a1x + a0 de grau n > 0, pode ser decomposto em um produto de n fatores do tipo (x – a), onde a é raiz de P(x). P(x) = a n (x – a1) (x – a2)... (x – a n), onde a 1, a2 ... a n são raízes de P(x).
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Teorema de Pitágoras
Segundo o enunciado do teorema, temos: a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos  b2 = a2 + c2 – 2 . a . c . cos B^^ c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos C Consideremos a relação a 2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos Â. Para demonstrá-la, devemos considerar três casos: 1)  é ângulo reto Aplicando o teorema dos cossenos ao lado a a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . 0, pois cos 90° = 0 a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras)
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Em todo triângulo retângulo a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Teorema dos cossenos
Em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
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Suplemento de Pesquisa e Informação Teorema fundamental da álgebra
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Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n > 0, admite pelo menos uma raiz real ou complexa.
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Termo geral do Binômio de Newton
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2)  é ângulo agudo A altura h, relativa ao lado AB, divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos. Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos AHC e BHC, temos: b 2 = h2 + x2 (I) a2 = h2 + (c – x)2 = h2 + c2 – 2cx + x2 a2 – c2 + 2cx = h2 + x2 (II) como (I) = (II) ⇒ b2 = a2 – c2 + 2cx (III) Observando a figura, temos cos  = , portanto, x = b . cos Â. Substituindo em (III), temos: b 2 = a2 – c2 + 2 . c . b . cos Â, de onde: a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos Â
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O termo geral do Binômio de Newton é dado pela fórmula (com p ∈ e n ∈ , com p ≤ n ): Tp+1 = Cn, p ap x n – p Entretanto, para o binômio diferença (x + a) n ,temos dois casos: • Quando n é par, o sinal que precede o termo geral é +. • Quando n é ímpar, o sinal que precede o termo geral é –. Assim, a fórmula do termo geral fica: Tp+1 = (–1)p Cn,p ap xn-p Exemplo: Calcular o 10 o termo da expressão (x - y) 12. Se n = 10 então p+1 = n logo p+1 = 9. Assim: T10 = (–1)9 C12,9 y 9 x12-9 T10 = –1 220 y 9 x3
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3)  é ângulo obtuso Novamente, ao traçarmos a altura h, relativa ao lado AB, temos dois triângulos retângulos. Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos AHC e BHC, temos: b 2 = h2 + x2 (I) a2 = h2 + (c + x)2 = h2 + c2 + 2cx + x2 a2 – c2 – 2cx = h2 + x2 (II) como (I) = (II) ⇒ b2 = a2 – c2 – 2cx ou a2 = bx2 + c2 + 2cx (III) Da figura, determinamos cos (180 o – Â) = b Como cos (180 o – Â) = – cos Â, temos que: x = – b . cos  Substituindo em (III), temos: a 2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos Â
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Transformação de somas e diferenças em produtos de arcos trigonométricos Sendo p e q arcos, temos que:
• sen p + sen q = 2 sen (p+ q) . cos (p – q) 2 2 • sen p - sen q = 2 cos (p+ q) . sen (p – q) 2 2 • cos p + cos q = 2 cos (p+ q) . sen (p – q) 2 2 • cos p - cos q = = –2sen (p+ q) . sen (p – q) 2 2 • tg p + tg q = sen (p + q) cos p . cos q • tg p - tg q = sen (p – q) cos p . cos q • cotg p + cotg q = sen (p + q) sen p . sen q • cotg p - cotg q = – sen (p – q) sen p . sen q
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Teorema dos senos
Em qualquer triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. Assim, segundo o teorema dos senos, temos que:
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a b c = = ˆ sen B ˆ sen C ˆ sen A
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124
Triângulo retângulo
Chamamos triângulo retângulo ao triângulo que possui ângulo reto (90 o). Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o, então os ângulos agudos em um triângulo retângulo são complementares, ou seja, somam 90 o . No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo de 90 o é chamado hipotenusa e os outros dois lados são chamados catetos.
Matemática
V ○
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Valor atual ou líquido
[–1, 1]. Assim como na função seno, o período da função
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Um título resgatado antes do vencimento pode ter um desconto, que é dado pela seguinte expressão: A = N – D
cosseno é 2 π.
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Tabelando valores de cossenos de arcos entre 0 e 2 π, temos:
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Onde A é o valor atual, N é o valor nominal e D o desconto. Exemplo: Uma nota de valor nominal R$ 7.500,00 foi descontada 20 dias antes do vencimento, à taxa de 7% ao mês. Calcular o desconto simples comercial e o valor líquido (atual) recebido. D = 7.500 . 7 . 2/3 = 350 A = 7.500 – 350 = 7.150 A = R$ 7.150,00
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O gráfico da função cosseno é chamado de cossenóide .
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Valor nominal
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É a importância declarada no título e que será paga na data de vencimento.
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período 2π D= Im = [–1, 1]
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Valor numérico de um polinômio
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Quando em um polinômio P(x) substituímos x por um número a (a ), obtemos um valor ao qual chamamos de P(a). Caso o valor numérico de P(x) para x = a seja igual a zero, dizemos que a é a raiz ou o zero desse polinômio. P(a) = 0 ⇔ a é raiz de P(x). Exemplo: P(x) = 2x 4 – 5x3 + x2 +1, para x = 2 temos: P(2) = 2 x 16 – 5 x 8 + 4 + 1 = 32 – 40 + 4 + 1 = –3 Assim P(2) = –3 Variação e gráfico da função seno
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Variação e gráfico da função tangente É toda função que associa um número real x a tg x: f(x) = tg x
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Devemos lembrar que a função tangente não está definida para arcos que têm como arcos côngruosπ– e 3 π, portanto esses 2 2 devem ser excluídos do domínio da função. Na função tangente, note que os valores se repetem a cada π rad, então o período da função tangente é π.
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A função seno é a função que associa a cada número real x o seno de x : f(x) = sen x Como x é um número real, dizemos que o domínio da função é . Os valores de sen x estão entre –1 e 1. Neste caso, a imagem da função é o intervalo [–1, 1]. Todos os valores do seno se repetem após uma volta completa, então o período da função seno é 2 π. Para fazer o gráfico, tabelamos alguns valores do seno de arcos entre 0 e 2π.
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Tabelando valores da tangente, temos: A curva que representa a função é chamada de tangentóide .
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A partir da tabela, construímos o gráfico. A curva obtida é chamada de senóide .
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período 2π D= Im = [–1, 1] Variação e gráfico da função cosseno É toda função que associa um número real x ao cos x: f(x) = cos x
O domínio da função é , e o conjunto imagem é o intervalo
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período π D = – { π– + k . π, k } e Im = 2
Suplemento de Pesquisa e Informação Volume
Volume de um corpo é a porção de espaço ocupada por esse corpo. A 1o unidade legal de volume é o metro cúbico (m 3), e para volumes de líquidos e gases usa-se o litro (L). O metro cúbico é o volume de um cubo de aresta igual a um metro. O litro é o volume de um quilograma de água destilada e isenta de ar, à temperatura de 4° centígrados e sob pressão atmosférica normal. Para fins legais, o litro pode ser considerado como equivalente a um decímetro cúbico. Múltiplos Quilômetrocúbico – km 3 = 109 m3 Hectômetro cúbico – hm 3 = 106 m3 Decâmetro cúbico – dam3 = 103 m3 Metro cúbico – m 3
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Submúltiplos Decímetro cúbico – dm 3 = 10–3 m3 Centímetro cúbico – cm 3 = 10–6 m3 Milímetro cúbico – mm3 = 10–9 m3
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Volume do prisma
O volume do prisma é calculado multiplicando-se a área da base pela sua altura.