Matematica 4-3 - Kapeluz

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Pablo Pablo 4. - 1a ed. ed. - 1a rei reimp. mp. - Buen Buenos os Aire Aires: s: Kapel Kapelusz usz,, 2013. 2013.

224 p. ; 28x20 28x20 cm.

ISBN 978-950-13-0484-8

1. Matemáti Matemática. ca.

2. Enseña Enseñanza nza Secundar Secundaria. ia.

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KAPELU5Z 5Z < g ; ¡   KAPELU

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Printed in Argentina. ISBN 978-950-13-0484-8

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Capítulo 1: Números reales

7

Los números reales. Intervalos reales

8

Operaciones con números racionales

10

Propiedades de la potenciación y radicación

14

Tarea para el hogar

16

Radicales. Extracción de factores

18

Operaciones con radicales

20

Racionalización de denominadores

22

Tarea para el hogar

24

Sucesiones aritméticas

26

Sucesiones geométricas

28

Ejercicios de repaso

30

Capítulo 2: Ecuaciones e inecuaciones

33

Ecuaciones de primer grado

34

Sistemas de ecuaciones lineales

36

Ecuaciones incompletas de segundo grado

38

Ecuaciones completas de segundo grado

40

Tarea para el hogar

42

Ecuaciones con módulo

44

Inecuaciones lineales

46

Inecuaciones lineales con módulo

47

Inecuaciones de segundo grado

48

Tarea para el hogar

50

Ejercicios de repaso

52

Capítulo 3: Proporcionalidad geométrica

55

Proporciones aritméticas

56

Propiedades de las proporciones

59

Teorema de Thales

60

Tarea para el hogar

62

División de un segmento en partes iguales y en dos partes cuya razón se conoce

64

Construcción del segmento tercero y cuarto proporcional

65

Propiedades de las bisectrices de los ángulos de un triángulo

66

Criterios de semejanza de triángulos

68

Tarea para el hogar

70

Ejercicios de repaso

72

Capítulo 4: Expresiones algebraicas enteras

75

Expresiones algebraicas. Polinomios de variable x

76

Elementos de un polinomio

77

 Adición

78

y

sustracción de polinomios

Multiplicación

de polinomios

79

Cuadrado de un binomio

80

Cubo de un binomio

81

Tarea para el hogar

82

División de polinomios

84

Regla de Ruffini. Teorema del resto

86

Tarea para el hogar

88

Ejercicios de repaso

90

Capítulo 5: Factorización de polinomios

93

Factor común

94

Factor común por grupos

95

Trinomio cuadrado perfecto

96

Cuatrinomio cubo perfecto. Diferencia de cuadrados

97

Suma

98

y

resta de potencias de igual exponente

Tarea para el hogar

100

Teorema de Gauss

102

Expresiones algebraicas fraccionarias. Simplificación

104

Multiplicación

105

 Adición

y

y división

sustracción

106

Tarea para el hogar

108

Ejercicios de repaso

110

Capítulo G: Funciones

113

Función afín. Pendiente, ordenada al origen

y

raíz

114

Gráfico de una función afín

115

: ::

Paralelismo

116

S

Distancia entre dos puntos

117

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Semiplanos

118

Sistemas de inecuaciones

119

Tarea para el hogar

120

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Función valor absoluto

122

Función cuadrática

124

Ecuación canónica y factorizada

126

Tarea para el hogar

128

Funciones polinómicas

:

Teorema de Bolzano

132

Tarea para el hogar

134

Ejercicios de repaso

136

Capítulo 7: Trigonometría

139

Razones trigonométricas

140

Cálculo de un ángulo agudo conocidos dos lados

141

 Aplicaciones de la trigonometría

142

Tarea para el hogar

144

Teorema del seno

146

Teorema del coseno

147

Resolución de triángulos oblicuángulos

148

Razones trigonométricas

150

inversas multiplicativas

Identidades trigonométricas

151

Tarea para el hogar

152

Ejercicios de repaso

154

Capítulo 8: Estadística y probabilidad

157

Gráficos de barras

158

y

circulares

Intervalos de clase. Histogramas

160

Media, intervalo modal

161

y

mediana

Tarea para el hogar Cálculo combinatorio.

G • índice

•••

130

162 Factorial de un número

164

Permutaciones y variaciones con y sin repetición

165

Combinaciones con y sin repetición

166

Cálculo de probabilidades

168

Tarea para el hogar

170

Ejercicios de repaso

172

50luciones

175

Elconjunto de los números   reales   (R)está formado por los números   racionales (Q ) y   los números   irracionales. •

Un núm ero es racional   cuando puede ser expresado como el cociente entre dos números enteros, es decir, todas las fracciones son números racionales. También lo son las expresiones decimales finitas o las infinitas periódicas. a)

•

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Ejercitación

Un intervalo real   es una semirrecta o segmento de la recta real.

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34 45

Un núm ero es irracional   cuando tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Todas las raíces no exactas son números irracionales. a)   0,1234567891011....

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Los cálculos combinados a) (t+

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21

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11

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0,08+ JO,36 - 1,2=

=

0,08+ 0,6 - 1,2= -0,52

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10 • Números

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12 • Números reales

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Para pensar  y   resolver 

Números reales e 13

Potenciación

Radicación

•

Potenc Potenciias de de igual gual base

•

Exponent Exponentee frac fracci cionar onario io

•

Distr Distrib ibuti utivi vidad dad

•

Distr Distrib ibuti utivi vidad dad ~

•

Potenci Potenciaa de otra otra pote potenci nciaa

( a n f  •

Expone Exponent ntee negat negativ ivoo

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•

Raíz Raíz de otra otra raíz raíz

•

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Ejercitación

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14 • Números úmeros

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I

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1

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I

I

I

I

I

le)

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I

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1)

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I

I

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I

I

R I

I

I I

Id)

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I

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I

,

i

I

I

I

¡

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!

1

I

I

I

:

;

,')+   J Q ! O O Q 0 0 4 1 -

b)-t=-0,5__(J.6-=-O,HL_O.3~)~VJ.5_:~1 b)-t=-0,5__(J.6-=-O,HL_O.3~)~VJ.5_:~12;2;, I

I

i

I

t -

!

I

!

,

I

i

,

!, I

I :

CL,. CL,.(O.~8-1J).5 (O.~8-1J).5 +JO.;L-O+ó-+.. +JO.;L-O+ó-+..¡oJ~+~.9 ¡oJ~+~.9 -

,

'

,

,

I

I

I

I

I

I

I

I

l--t¡fLt,56~I=oh_L~T=PX.:L~~.3

I I

,

I

j-

,

IG • Números reales

1

i

I

:

I

I

,

i

:

:

I

•

,..

i

:

1

I

1I II + + + + + ~ H = - i : : t : t H : t t

1 1I 1 Re~T¡ O I JTe L d eT. r p a r i e r a .f.f r a ¡ C c i O \ J(

2 -o 4.. ~) \.3-1'--1; I - ! ,'--1; f--a_ \.3-1 \3

.

r n a ¡ lrlr i a .l.l

V ( 4----0I6~))1 5"

~

I

-

 

. I

d) .

l J J I

I

I

i

~ V--~O8 ' J Jb: c-+,0'26---('lLO,Ll1 .c)2 ---,- I

I

I~

I

7"'!

:J/¡

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_ 

,

-

,

-_ . -

1 -

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I

¡ !

I

I

I

I

ve

_   I . 1 2 5 I I I ,-' b) ..0 ,.1 . . ~,-'L 3 0.016-O T '

¡

--2+0-3 -~23 11 ) -' -

eL (~5'   '-0-~8--1) ,

~ - l-l - , I v¿' - 5 - + '!. - ~16- -

--

-1

I i

I

-CL1---i*-2 (

)3

1. 1

:+ -VI~l,0 ~ -;- i-- 1 4

f)

~(   1:--

1 -)

,- J   0,+7   -0,3-,

i

5

I 3

'7o

s

-1 - 7)

I (.

'++--

_

" 1)---' -~ 6

,

Núme úmeros rea reales les e 17

 A

r 

.,"; f~'~~.,.r,~.I _ ~ " "

."~::::'

>:".).~.lV-:J.~

\..•_ _ ~ _ ,l. ~ : ;.;~

~,

~

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I

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I

,~ .._ . ~ . :.

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_ _ ;

W'III

,i

I •~

I

I

I

I

I

I

I¡

I

I

I

I

I

1 I

I

RadIca   les._Extracclon_de..lactores

I

i

Se denomina

  radical   a

No son radicales

I

la raíz indicada de un número con   s o lu c i ó n

o ~ H

r e al .  por

J 7  ó  < 1 5 .

ejemplo:

.

Cuando el número sea expresado mediante una variable, la misma sólo puede tomar los   valores   que hagan que la raíz tenga solución real. Por ejemplo, para ~ , los   valores   de a no pueden ser negativos. Para representar una   r a í z

en la recta numérica se debe aplicar   convenientemente

cuadrada

la propiedad

pitagórica. a) Representación de

fi

b) Representa~ión de

J5 15

.J2=~

" ,

=

j2 2 ;1 2

1\

,

R

Ji

o E x tr ac c ió n

d e f ac t o re s

\

,'1 \,,

2

2J 5

o

R 3

d e u n r a d ic al

Se pueden extraer factores de un radical cuando el exponente sea mayor o igual al índice. Para hacerlo deben aplicarse las propiedades de la potenciación y la radicación.

I

¡

I

I1

Ejercitación

I

I

I

•

!

I I

l!

I

¡ I i 1 II!'!' R , '. '. ' J. 1, I I I KiiJ.   epresentar. as slgulentes.ralces1en a recta rea . I I ! I i I "

 j i

 _aLJE,

!I

I ,

,

I

I

I

I

I

I

I

:

I

~

M

 _bl-T-

I

I ~

¡

I

!

I

I I

,

I

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I

I

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I

I

I I I

!

I

¡

I I

l' I

I

I

I

I

I

I

'

I

I

I

I

r

ir

I

!

1

~

cL-=\f13 I

I

"

I

1,

I

I

I

I

l I

i

I

:

I

¡

I

h .- 5 7 : .

I dL

I

I I IR i I I I )1 I

:

L I

í

I

1

I 18 • Númer05 reale5

'

I R J1

I

I

I

I I I I

I

:

I

1,

!

I

¡'E

I

I

,1

I I ! I

I

i,

-~

I

~

..-

•..

I I I J J J I I I IT 1 CoJocaLV(Veídade[Q).~£(faISoLse9ún- or eS10nda. f-IaL

_ _?  

J il E - 1   ~ i)

r--~L9-d 

R

.U "I

R 

o}- = - f _ l( .::: e O O - r 1 )

,

f-IcL J .l¡   (3-~4)

Jf1 .

rll

.

l '

J 2 1 - - E .( L l- : ! = o b ) ~ L

-

~

g}

I~

h}

_

 

J 'f 

--

.

1 1

E -~ i

11

f -= - 4 .= 1 b _ E ( 3 .- ¡ - 4 )

-:s 'Lf-=-~

,

I

1.

E -   1:-1)

. ,1,

nJ L   ¡s.e¡p¡SIOneS.19Ua ¡S.

a ~ J 20 r:J

. -

1 :.

I~.

r

I

f)

<)

J 50

  [-1-- LLJ

I

~

~ " " '2 J 5

s .J 2 I ¡ f 

4 J5

1 I

•

t~ h}

•

Extra¡_todoSJos.tacto ;¡)

I,~

Ibl

< J a 'm

1171

~ 2ft ~,

f32 I

 3 . J 2 t = '"

~

I

es_pos.ib'eS.deJOS.S~9uitnteHadi,ca'es,

eL   ~16i31

ll

h)

R

r,-:¡

(

Números reales e 19

 ______________________________ 

Para trabajar en elase

,

-

Operaciones

con

  radicales

~  Ad ic ió n

y   sustracción

Para sumar o restar dos radicales, deben ser iguales.

sJi  + 7 E -- Ji +  3 lS

b)

+  .J45

4Ji +  lOlS

=  J225 +  .J32 5 = 2 . . ; 5 + 3J5 = slS

e)

fiO

d)

4J]8 -  3 J 5 0

Multiplicación

=

=  4fu

- 3 J5 G

=

4. 3 J i

-   3 . s Ji = 1 2 J i - lS J i = -3 J i

y  división

Para multiplicar o dividir dos radicales sus índices deben ser iguales, si no lo son, se deben igualar.

V iS . V 1 2 5= W . W = I f 5 I O . I f 5 9 =

e)

Cuadrado

59

  l~SlO

= lf5 1 9 =

1 ~ 5 1 5 .  S4

=

=

1 < J 5 1 5 . 1~

5 .

1~

de un binomio

Para elevar al cuadrado un binomio se puede utilizar el trinomio cuadrado perfecto o multiplicar la base por  sí misma y aplicar la propiedad distributiva, por ejemplo:

(Ji

+

 J3r /'

( 'ir

\. (Ji

+  2 . Ji

. J 3

+

 (J3r

=

"2

 +  2 /6 +

3

=

5

+  2 /6

1 3 ). (Ji + 1 3 )  =   Ji .Ji + Ji . 1 3 + J 3 . Ji + J 3 . J 3 =

2

+ /6 + /6 + 3

=

S

+  2 /6

Ejercitación

.,

Resolver las siguientes a)

J117 " J52

  suma~

  r:stas.

=

-

--

----r  

~ + -

b)

  Jl50 - fi94

=

-+

>--

d)

-

~-=

'1 "/

t - .-

-

fu6 -~if2 50_ =_ 

I

; I ., -

.

)

;

:

+ -

I

I

20 •   Númer05 reale5

:

: :

hl

J -¿ .

hl

(_ & -L 42 ~ J li

4

_ 

f7_ I

, -+---~ r  -L

- -L-r-..l-. ! 1 r 

+~~

._ •...  _1

!••..,.'. .: ~b

~,

¡;; .

,l.

¡'

'

. I

t

---

I

,

i

I

+I

I

I

I

I

I

I

: u a J , I   .r..,;,.l, d'  I ~ 1 I 'f,.1 1, 1 . 1.1 l. l.   I'dd l. fu.  J aL'o;LY.ao   e..•••que_\leI1 ¡que. as_slgulenteSJgua a es.1 I . I i

_al   ~t-=.3

I

bL rn

J 2 U 2 f--_ 2

..:

vi

;'i

g 8

.~ @ ~

¡ Númer05 reale5 e 21

I

Cuando el denominador

de una fracción contiene una raíz no exacta (un número irracional) se lo puede

racionalizar;   esto significa, encontrar una fracción equivalente a la dada cuyo denominador racional. •

Eldenominador =_ '

 J 3

•

 J 3

=

3

El denominador es la suma o la diferencia de una o de dos raíces cuadradas. Propiedad a utilizar: (a +  b ) . (a - b ) = a 2 - b  2

J1 0

a)

=

3 + J i.  

b)

  J 1 0 ,3 - J i. 3 +  J i. 3 - J i.

1

  ji -  J i.

I

es un solo radical.

,J 3 J3J3

a) _1

sea un número

3 J1 O - J2 0 3 2 _ ( Ji.r

=

3 J1 O - ~ 9 -

= 2

3 J1 O - 2 1 5 7

_  !i + J i. _!i  +  J i. _  !i + J i. 7 - 2 5 +  J i. -   (!ir _ ( Ji.r +  J i.

l ! i

ji -  J i.

=

ji

I I I

Ejercitación

I I

I

I

• R'

l. d l' 1 . , I Id  _ aClona Iza[ osslg Ul en teSc en om m a   ores.-+-+-+--+--+--+--+-+-+-+-t--t--+--+--i--i--i--+--! I I I I 1'a l I 3 1 _ 11 I

¡¡¡

I

 

2+../2

I

 Ji -=+--+--+--+--+--+--+-+--+-+-+--+--J--!--+

bl I

J (;

22 •   Númer05 reale5

 J 3 ' "B-i

'=+-+-+-+-+-+--+---+--+--+--+--1

I

.Ra

 

iO~aJJar 

~\

n c

Ji9JieIJtesex

..

2

.

rekrles. ~

1

'irm. '

.J w

t-

fl

1

al

1

-lb }

- cL

..f r ~

i7

~

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~\

ifa

.b

•

n

 a S

ffb ~ a .b

cio lalizaclas Re oh   eLy-eXpI~ar   Jassol .1ciones_rc


h\ 

el

1

,.\ 

~ 2 1 ' (\f6-ffó) I

I

ft

/

¡

J3

  .-..jj

f\

1

r PJ3 l t I

.

-

J 2. V

 _cl

va

rl\ 

J2

gl

lz • • •

(1 \

J2 P2

h\ 

!ir 

  J71-

2.

f¡ + 2

< Ji

.,.,• • ~

I

I

I

n A   eur:linaLS~eLdeJoJin1doLtuk.o no   acjon1IiZ~cJ~rtificar. I , ~

1

J;

-=-

  ,£~f;r  J& J; .£ TJ:'rr  I n

,

1

2

Número5 reale5 e 23

- = r - .j i , -Jii y.= - J 5 i L e

Rep resentaL.JiO,

n,la sigu ien te .rectk .rea 1. I

I

e

I

. .. - .- - - - + - -

I

~Unircada

•

,

I

I

I

I

expresión..con.el

r

l' I

I

I

intervalo

I

I

I

~

aLqu€:.pertene,e

o .

Extrae~_todos losfactores.posibles. I

a) ~ J l

 _

I

I

9 = + + ;;;;'i

 

-+ --

~b)+V128y~1=r-

 

---+-,-1   r . ~ -

I

..'-

I

~Resolv~as

siguientes

aL2Jii-c+ z J 5 1 4 - _ 3 J 6 . +- - 1" " " " - - 1 ----

24 • Número5 reales

----t-

I

I

sUmaSalgebraicas.~ ,=

::

:'

C l-dB B -= .64 _M -+j.ifill.

i

:

=

:

 

!

I

  !

e)~~32/ I

:

=: I

I

s N J i¿ - ~ M y 6  =

I

:

:

I

I

:

:

I

I

:

- _.-

+ I

I

i

I

: i

;'-¡

i

i

I

t.-+ -, I

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 _

b)

fu

.=

o

I

.f--¡......

,

I

I

1

.•

--

~

31 1 -

b)

1 12 ifi

'J,

Números reales e 25

--+----+~Ie__

-

Sucesiones aritméticas

 

:

~ -+ -T

¡

I

Una  sucesión   es un conjunto ordenado de números con una cierta cantidad n de términos, con un primer  elemento

al '   un último elemento a y una ley de formación. n

En una  sucesión aritmética cada término se obtiene sumándole al anterior un valor constante llamado razón r. Por ejemplo:

E ':

f,

~

r. I~

~

Para obtener el último término se plantea: a2 =a1 + r  a3 =a2

r=

a1 +

r +

r = a 1 +2r 

a.=a 3+

r=

a¡+ r + r   + r =

as=a.+

r = a1 +

r + r +

r +

[ an

=

al

r . (n - 1 ) ]

al+3r  r = a1+

4r 

Despejando, de la fórmula del último término se obtiene:

[ al

a

= n -

r . (n - 1 ) )

La suma de todos los términos

de una sucesión aritmética

es:

S = (al n

 + 2an)

.  n

Ejercitación

•

Es;r~bir  l as siguientes sucesiones y   calcular.la suma de t~dossus ~rmi~os'-+---'---"f---+--+--~----+---+h al

1 a _ = 9 ¡

~~ 1:

----~ -

-

, C L j _ a : =   l-:2 t

  ----r-

''+ ~  __

b l . j. a .

 1

-ro-  -t----"--

_ ..L -J.---'---l-_~ ---:~

I

~ ~ :~ ~ :;

~_~-'-._'--

I

I

 _ . ~ _ d L j ~ ' ~: -: ~ t~ i

= 1 7

L = -8

'

, ! ,:

I

L9

D=6

lI D

~ ' +

_ . -

:

Calcular el término   pedido~-

al

j_ a , J

a=

= 12

1 -_ _  

 _ b L j_ a ¡_ = _ = 1 9 . _ _.., r 

=7 =x

 _

=8

.a 13 - = = _ x

+ -t-

26 • Números reales

I

i:

! : I

: : < :: : : : :::

,:

I I

•

calcularJa~sL rn ét ¡-d eU o s   sig~ientes_números. 1

::tI

Q<1.cieh-pimero' oú ne

hl

n< Qd en a.¡:rim~ros~números_oat~rales..r ares.

05.

atJralés.

LLos..cincuenta

pri neros.r oúltiplos.natu ;ajes.dE 3._ 

dl .!-o' mú lti~los.de_cua tro_entre...90_y_ ' .20.

hL¿Cuántosn últipJosjmparE5~de3Jay.entr£J2 ~y_2S37

Número5 reale5 e 27

 _ .-+ -_ --+ --.-

 

1 -

--+--~

5ucesiones geométricas En una

-

-+--+----...,1

-~ I~ I ~

-

~ ~ ; + + + _ . --

~ -----~ ---t--t-........,.----+ ------<

-

sucesión geométrica cada elemento se obtiene multiplicando

al anterior por un valor constante

llamado razón q . Por ejemplo:  J  al = 3 q = 2

L n  = 6

3

6

! al

 

12

24

48

!

!

!

!

. .I.

a2

a3

a

as

a6

4

96

Para obtener el último término se plantea:

a 2  = al ' q a3 = a 2 . q =   al' q . q =   a l ' q 2 a  A

= 23 , q =   al' q . q . q

as =

a  A•

= a l' q 3

a =   al' q . q . q . q

La fórmula del primer término

~

= a l' q 4

y   la razón son:

[ q = " - '\ja~ ];-

~

La suma de todos los términos de una sucesión geométrica

es: (  S n

=a l . ~

- --+ --+ -

Ejercitación - -r----

EscribirJas siguientes sucesiones al

y   calcular

__+-

¡ ra , ::_ 2

1

-q   ~_ 3 _ _ .n_=.5 -

la suma de todos sustérminos.-t-I

-

 

  t t -

__

c L I_ a l~

_

i--+ -

 

--+ -----1- ---+

3_ 

_q  -.Ji_ 

-+--

--I> ---+ --!-----+ ---+ ---I--+ --

  JL=_7+-+-

  ---,--t--t--

t+ t + t-

~ + -

b ll

 1 - a  - = =

a l _+ =. 7

d)

q.= -2

-

.n.=.6

• +-

 I

~

q.-

1 2

t

1

-

-

 _ .n   =.8.--.-+_

• •• •• •• •• 1•

  -_-t-----<~_+_-

,   t+ + ¡ _-+ 1

~ -+ -+ ---+ -

 _;__-+-----'

- t--+ -

Calcular la suma de los términos de las siguientes sucesiones.-+--+--

a ) r a ,  - = =

- .... --+-----<>---ll____+___

 I . a

:

b)

q - . n= 7

-+ ----r--.,.-.-

- = =..   ~--+--r-I -I--r.......,.---ll

-q .--3  

 

 

.n.= 8

-+ ---r--+ "_   --+---+-_

---l -

 

-+~

 

-.,.-..-+..........,~-'----

___¡_--.-

~ I ~ I ~ + --   -

-----<- ..•........ --

~I __

1 . -+ ---+ --- .. •

28 • Números reales

I J -

. • . . . . ~ . . _ . •

I

b It

J . 1 I e f 'Id ! o. l , LaLe1_termmo_pe Cacu 1

t-----

a L l~ t ~

t-Q 1 -1 -

-._as-

.¡;ncontra

 _ I a t

p_  ,1

-

eU:fato_queJalta.encada.una

1

I

71

d e l a s S ¡ Q U i e o tIe s . s u c e s t n e s . C J - r ~-í I

q   ",,_xi

1.

 _a4_ ~1t8

-1.-a6-r--,=,_~4

b r~ x

d L r~ -1 2

-

-1 5 4r - = - - - - h s I 1 q --

1m

3

_as -

= = .-x

--I-q-r='-

" " _ '1

-q

I

-

  ~_(.'B;

-Q -

yl

I

 

I

I

-as-=--.3M I

I

I ~anteaLy.resolver. I I I Ina al IlJ lOa.pe!s

1 .-$ 2  en. j-baoco.y_os1 ep05Jta~ 1_

)igLiette~.d~s_el-d+1 dlIO_~ u€fdebos¡tó_~Ldía e' l. d'1 - eLO_tleoe...en_ . I Ia_cueuta.a_ I I 1IosI t-----   aO¡enOLl- uaotc I I 17 _Jas.. t-----  .olJ' t-----

 b)lDeT tota,.d e-.l1r-¿o sec h'td~ .

I

l.

.

  I

I

.

tfigo_se.-vendala I

-

!

-

mltad;aLnresfLg lejte.Ja_mltadde~O_qu+uedar_  6 ae __  , I l. I .. di! 6 meses_que I aSLsuceslvamente.~L¡ espu€S_ di€__ 

6 25   kgj¿  dtcJántb_fLI~j¡LcoJec~a?

I

.

I

1 . 1 1 Eo Jr o~uc¡esJ11'6  ",

__

I

I

I

d

1 k6 8 , ' 1 . L  J 3-)'1j  e 1_ t: ~1. 1 l,.   :ilde faz Ó n... e ¡1..1 o_geo.fernca _pnmerterf,no.es. J tlmo._'_ r 1 Ckl 1 " d d .d lt É -' e ermmosap   ,Id a a es d e a_potenclaclpn. I I ! ., rople 1 lcanId l 0r.as-p[ 1-- a   u aL a_cantl a I 1

l

,

Nu

mer 05

reales e 29

.

- ...----

- ---

-_.

~ -~~1

Ejercicios de repaso I

1,

I

I

.

.

:

= {U)LEJLLd_
~bl-+B

= {.xl.   E R /\ -

< ...x ....: ; :1

1;

-

~}

{U X ._E-R ~tx

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-

I

 _cl_C = ;'

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 ~ ¡J-, J

I

I

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I

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30 •   Númer05 reale5

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Númer05 reale5 e 31

III

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I CalcularJasuma

de los,'siguientesnúmeros. l'

I

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I I

I

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32 •   Númer05 reale5

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I

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I

I

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1 ',

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I

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,

i I

•

Ecuaciones de primer grado.

•

5istemas de ecuaciones.

•

Ecuaciones de segundo   grado.

•

Ecuaciones

•

Inecuaciones.

•

5istemas de inecuaciones.

con

  módulo.

Ecuaciones de primer grado I~l

+ -+ -j-

J

Una ecuación de primer grado es aquella cuya forma reducida es ax

al

- (3

)

-

5

0,2. ¡x - 6 - l.2x  +  6 " = x + 1

1. . 9

(1x -

6) - .l.lx +

~

= x + 1

1x - .i -  .l.lx +

~

= x + 1

4

6

9,

3

9

6

2x +   3 _ x - 2 = O8x _ 1

 bl

5

5

5

3

3

3

6  +  8 - 5

18

6

 _.!.!x

=_22

x  =

x=i:(-f~)

=

5 5 3 - 3 - 9 - 10 15 15

6

x

5

= _l_l_l

15

=.2-

18

5

5

5 3 5 6x - 5x - 12x 15

6

3x - 22x - 18x

 _E x

'

lx _lx - i x 

6",

9

3

1 . x +  l_lx  + 1 . =ix_1

1x - .l.lx - x = 1 + i~ 6

+  b = o .

- ~~ : (- ;~)

x =2

_27 37

Ejercitación

.,

Unir eada expresión

eol;quial

eon su expr~ión

simbó~i~a.

al La mitad del siguiente de un número. _ ~

__

bl La tercera parte deL anterior de un número.

_

el

El a nterior d e la mitad de un número.___

dl

ELsiguiente de la tercera parte de un número. ~

el

La diferencia entre un número y.su mitad.+- __

_ 

x-1x _

-r-----

2 x

_

+ 1x 3

1x+l 3 --+

-

f) La mitad de la suma de dos números consecutivos. gl

x

La suma entre un número y su tercera parte. __

-+--

Plantear   y   hallar el número_deseonocido._ 

2

-+ -+ -- -------+--....--

~

.-

+  1

 

-l1-+ --+----+--r--i---;--.----4 ---¡----t--i

----+----   -f-------

al

La tercera parte de su anterior es igual al siguiente de nueve'---+---i

bl

El siguien e de su cuarta parte es iguaLal cuadrado de tres.

+.., N

d el

" ::

S <¡¡:-

o u o •...

La quinta parte de la suma entre él y su siguiente es trece.

:t ~ -<

'"

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I

+ --

dl

La diferencia entre su mitad y seis es iguaLa su terceraparte'!---i---i-

~

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8 Di

~ -< '" 34 •   Número5 reale5

I R

-

I

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j.

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1 , .1 1

I

I

J

eSOU eLLClS.Slg.   lente~tCUacones. 1 1 '

a\ 

( 0 , 2 - X - - L 1 } 'i - . ~ 1 5 X '= 0 , 8

e)

6x- 3

5x"A

1

,c.

9.-:-.~-i=-c

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I

t - .+ . -

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18

20

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1

C'

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I

8x

1 -

5x- 4 1;8+-'-1O-~.O;-7x-=-2,6.

6x f+ 9 15

I

If}   !Las.Cioco.liloveoasparte5

I

I

I

I

..de. uo.;caqlioo..e.5';1

I

I I I parte.es.e01ped r.ada-\cbél.Y_f- b sfaltado..Ja..sext i 1 . l. I ¡ l. I ,1 I I 7 J .ca niop~_  i2.km je.tJerra ..¿J[uaLesJaJoogltud.de

... 1 - - - i !

.h \

  ;1Srres.currt1s.partek.de.u 1 0 úFe~o.es.ci~CO uOjoa~e5. ¡:¡e~or_~uersu,1 cioco. extas.daIt€s. c e J á L e s   e núrn1P1'n7

r 

-l-

t -

I

c)iuna.perso pa..gastala. cuarta.parte..del-9ioero.q le.J,abLyJUleg6Jat.dos..q Liotas .Ja rtks ..sLa doJé I l I I I I I I I I ,nueda .$   2, 'cuantq ..uJ   eroJIe.yaba 7 -J'

UP

if\

i

  Ine.. o.taoq eJlpoc de.bgua.se..utiliZao.laslreS~ppt' nas I I I I egIo JI.!  pa rtes .yJu as .tr ec e.ve lO teavI a .pa fes. eL ftdL S' . aúrl.queda

I

JJkl.re

ta0ruet¿c

ál.es.su .ca¡:acidad7

I

. ._ .f -

  i¡ I -

1 -

I

!  pC Lpa ga Ja s

tre .,_ 

Números reales e 35

! : :

Un sistema de   ecuaciones lineales son dos ecuaciones de primer grad.o con dos incógnitas cada una. [ ax + by = e Resolver un sistema es encontrar los vaiores   de x e y que verifiquen ambas ecuaciones. dx + ey = f   Dos de los métodos analíticos para   resolver  un sistema son el de   igualación  y  sustitución. Método de igualación

Consiste en despejar la misma incógnita de ambas, igualarlas y   resolver  la ecuación resultante. X + 2y = 8 {3x - y = 3

¡X = 8 - 2y 3+ ~ x = - - - - ; t 

~

3+ Y

8-2y=--

~

3

24-6y=3+y

~

-7y=-21

~

y=3

J

X = 8 - 2y ~ x = 8 - 2 . 3 ~ x = 2 ~ {x = 2 Y =3

Método de sustitución

Consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones, reemplazar  y   resolver    la ecuaciór. resultante. X+ y =3 { 2x + 3y = 4 ~

{X=3-y 2x + 3y

=4

~

.

x = 3 -- Y ~ x = 3 - (-2) ~ x = 5 ~

2(3-v)+3y=4

~

.

{x

=

6-2y+3y=4

e s e v a lo r    en

~

la otra ecuación

y=-2

5

Y=-2

Ejercitación

 _-+Resolvetaplicando

--j+ _ Y = 2

,-aL[ -+--l-y I

I

el método de.igualación.

I

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I

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I

, I

- . + - 2x---=-,. 9 I

I

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I

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I

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I

 bL {_ yyX -, _3x.=.5v -

I

I

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, I  

I

I

36 • Números reales

I

I

I

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I

I

I

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I

I

 

I

I

I

I

I

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I

I I

I

,

I

I

I

I

f--faL{_X + _ = 2 + -   _5x_+_3y_=_2 I I

I

I

I

...ResolveLaplicando eLmétodo de sustitución.

I

I

I

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I

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I

I

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I

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 bL {_ XIY l=-~  _3 c+ _2 y_ -_l

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I

I

I

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I

I

I

I

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J:f( . 5t-X

I:Lf)

J1

~3v .ly-lx =-5

 

= -- Y

dLt~

 

L 3

2

I

I

lbL{2~- +

-

 p t : ¡ ; \ ~y + 7 .

- , = 2

-

  f-----,-2( X-=l: y . )

- -,

.•

'= b

---12

< L ¡ - '  f t - y l

-

-

f-----I X

~ - : y ~~.. - ¡ xx~+.y. r

fL

O

  ~_y~=  =  n

3

•

--f--,s.eJ

¥- LLd

rata 7

_ r l s o l r  er.

.

  J1ntre-dJs."?meros.es. r e 'f r a . y I I en 1, I r.encJ a.e IJ:uatro ..¿   e.queJIlu. eros-seI I

I a l l L i. ~ ~ JIa f  U\ter" ,a

-

I

3

ieJant~r~   Lsihefa.

I

I

  '101

-

dl

  Ladjfe[enaia.entreJa.edap_dEU'abJo -lade_~a' as -1 s . Ja .e d a d 6. e .J a o .s e ra . e.1 I._  s ..25. an! - o s .1 5 , l. Ien .5. a no dofule..¿u~a.de.M atíJs,.¿~ué. edJd .tien .cada.u~o?j

J '

I

.f-roS.es jete.SLeLdobJe_  _ eL Eo.Jn_corral.baY-40.aoim ~les.eofre..racas.y.¡poJJos. lb )   aJtlifernda..eotre-dos.núm I I I I I I ~ I i I . I I I I I uoo.alJnay.or.4(ualsof;lJos I I 1 I I LJ I  L se .cuen tan ..i L2Lpatas,.¿cu . otqs .vacas..y .+oJ lQ~ f--,de fO   Isupera..eo , I I I 1 n ú n e I ,e7 I I a~en eLcorral?

1m

.

I

eL   L ¡:e rI

-

Je uo.de .up.reFtá?9Ulo ..e r.58_crn.yJa.bd se u d e ra a J ~k a n . 5D n . .¿ {I !J á Le s J as ¿ pe ~ fic il neirectáOgU1Q7

.. .. .. .. •...

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fllEn. ~nata ¡cancfa.bay.50.m on edas .y. un.totarde $..8. 'C;LsFlofa~m on ebas.~e.to 'l o..y t$.ol25.kcuántas~ Im one dasde.¿ad~ ..v aloLday oJaaltanCía?

I

I

I

1 ---- •••• 1.

I

I I

I

l 'J a \ 't " " '" " u ; f t e m '~ _ I .1 s Q r l

I

I

I

.

i  _ aJ ud a.d kJasJ:ifF s.~ e .~ Il.. úm er o td e lo o SI cifras .e s.c at o rCe .. Y rs¡J e .ir¡¡vie rte ¿. ésta s,a. d ife re o cia.e o tr e¡J o s'd o ~_  - oú loerbs_E I~tr~iDta.y_teisl'¿De .q¿éJlúm leroc5e..tratá? I I I I I I o

I

i

 1

+-

-

.

8 Dl

~ «

'" Números reales

e 37

~

----,-,

__ ~-:-

--,----t---------T ---r-

__ _+___+-

__ ~ _r__r_-r---t-+ --_r_-

Ecuacionesj   ncom~letas_de_ seg u ndo_grado'--.--+--r--i--+-- ~~~ -.

-

Una ecuación   incompleta de segundo grado es aquella cuya forma reducida es  m x 2 +  r  yen ambos casos m   :;:c O .

=

O  Ó m x 2 +  h x

=

O,

Las ecuaciones de segundo grado tienen a lo sumo dos valores que la verifican. •

Ecuaciones de'la forma m x 2 + r

=

O.

Para resolver este tipo de ecuaciones se debe aplicar: (

a l 2x2

=

bl

O

2

+

-

8

2x

2

=8

3x

x

2

= 4

x

3x

=,/4 N Ix l = 2

=

75

=I x l ) N

el

O

2

= -75

2

= -25

 

x(4x+3)=3x+196 2

4x

+ 3x - 3x = 196 2

4x

= ~-25 N

x

x íl R

2

=

196

= 49

 N=J4 9

Ix l

x=:f:2

=7 x=:f:7

•

Ecuaciones de la forma m x 2 +  h x

=

O.

-----------

Para resolver este tipo de ecuaciones se debe aplicar: [a. b

al

2

x + x = o ~

b l 3x2

-

x(x + 1) = o ~

5x = O ~

x = o v x + 1 = o ~

x(3x - 5) = O ~

Xl

=O

=> a

=O V

b

O)

=

= o V x2 = -1

x = O v   3x - 5 = O ~

Xl

  = O V x2 = ~

Ejercitación

-~

--

----

-'--~

 _ b l

x

2

+

- -

~ --'----+ ---+ --'----+ -""""----'-+ --

= : : - _  _- _ ~ ~ -' " - - - '- - , -

+ - . . , . - -  - - + - - , - . - --+ -t- - -...,.. -- -r--t---

__ = _ --+ ---_ ~ _ -+ r--J--

"1

-+ -t--   ~-+ --'_~

  ~!--

I

I

i

I

3 x =O

I

-

- --

--+-

-

•

-

-

~

-

+ , . ~ -t ; , f -

 _cLx~+ 4 = O

-~-

f}~4x~+r6L=c._O

. __   

+ -

 _ _

-- + --

  t-.J)   -:;::L+-.18x=-;=_O __ -l-

, +

~  __

38 • Números reales

 I

~1~---,----,..-'+-4--~ .-..J..-

__

---L ..~

._ ~

_ _

siguiente f-ibl   LProduetb_de_uo.oú,mefo.oaturaLY.Su .1 I 1 l. I I I I 1 I 1, f f eSJgu9La_dlc9o.n~meroFurrentado.en.nueve.C d es..¿' I!' I ! e',ua .es.e.Jlu n unlua "ero 7.. f -I

......

I

..euadrado.seL'. dismi~uy~enfinfoeL SLeLlado.de.un .L d i I I I  f " l. I I 2)( .)2 r, á l

unlua es.su.super ICle.eS.lga .P. eu~¿.\-.u .es I 1 I f'!le e.oI"t, 7 a.super Igl4,a.'die1,cua.difadi ,O.

I

_

eL   ELcuadrado.deLsiguieote.deun número.negatlvores   f--~LEn.un.~eetángulollaalturiles,-Lemr:payoLqudu_ I  I  1 1 , I I 1 I d i I , , 1 I l . d ob l 1elI d e..d i le . o.numero;aumenta 1 ,1 1 1Q I I f ' "JCle.es.lgua.a.qu1otup [1 , biS' d.' e.su_  __ Igua.a O.en.ellJco   ase.. LSU1 super ~ • ..

 1

 __

 1

I e '[.es.e I I7 - L d ies_¿.ua 1 L b 'úroero. unJua

I

  I 1 '1 I I .penmet I ,1 .1 1 , o.7 I d [1 b ase..¿eua.ese o. e .reetangu

N

1

I

S.¿ ~ u o

~ ~ ,

..

o ¡¡;

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o

g:

.¿ vi

~ ¡ ::

1

 _ " '_ 1 1

•

I 1 ,1 I I Hallar. os valor esdex.que

1 I

1 .1 . 1• • 1 I ver 1flquenJa ecuaCLon

1 1

I

2

I

1

(x   it.2.)_:¡::.25.

@

~ ~

.' ".

Número5 reale5 e 39

Para trábajar

en

I I~ j

Ecuaciones

I

I

I

I

--+ ---+ -

I

  r -

I

1

1

1

~-

completas_de_segundo   grado~--+----+--+-'-"'+--I---

'.~ .J

I

Una ecuación   completa de segundo grado tiene la forma ax 2

'o

Pa" cesol ecla se debe aplicO'

siguiente fócmula [ , ~ ~b - l o ) ~ :

a) x: - x - 6 = O =::}a = 1/\ b   = - 1/\

x=

-(-1):l:J(-1)2_ 4 2.1

+  b x + c

C

= O  1\ a   :;z: O .

~   4aeJ

= -6

.(-6)

l:1:J]+24 2

=::}x=

=::}x=

1:1:.m 2

¡

1

+5

=::}x = 1:1:5 =::} Xl = -2-

2

= 3

_1-5_

-   2 --

x2

2

La ecuación !iene   dos soluciones reales distintas. b) 2x: - + - 3x  - + -   5 = O=::}a = 2 /\ b = 3 /\ e = 5 2

x=

-3:::: J3

2.2

-

4.2.5

  ,jg -

-3:1:

=::}x=

4

40

=::}x=

-3:1: ~ 4

=::}x9!"R  

La ecuación   no tiene solución real. c)

2 x - 6x  - + - 9 = a   =::}a = 11' . b = -6 /\ e = 9 -(-6):l:J(-6)2 -4.1.9 X   ---'-'----'-.::----0-'---= 2.1

=::}X

6:1:J36-36 6' -'--"::"""':"-::----"-"=::}X = ~ = 2 2

10

6""-0

=::}x = --'-2

=::}Xl = x2 = 3

La ecuación tiene   dos soluciones reales iguales. La naturaleza de las soluciones depende del valor de la raíz. Dicho valor se obtiene calculando b 2 ya esta expresión se la denomina   discriminante (D .).

-

4ac

Ejercitación • • • •

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I

1 I

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1 + 1

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I

I

I

y u ni r cad a ec uac ió n c on l as c ar ac ter ís ti cas d e s us s ol uc io nes ._

A nal izar el d is cr im in an te

-; --

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~ I - ----12 X

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+ 2 x + 1 =O e)

+ ~ -

 b ) [

2

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+ 4x + 5 =

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10x + 3 = O

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X-l=O,J

t i

Números reales

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No tiene solución real

O 1 -

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40

 _x

~  

+ 2x + 7 =

2

f)

t -

e)

 

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-~-+ ---5x

2 -

X

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O

Dos soluciones reales iguales

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 ( 2 ; i- = J - _ ) x

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I

~lantearJ :Lec.uació~Y..I;esolv.er. a :o \

I I I I   1, I I I   1urrr-ent[1U~lnU nero.í1fturaL)/s LLcuaaradn y-i   os1cJáLE1ill   nú ! ne r b 7

<=>s_
!+ -+ + l

r .

,---,=1

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I .

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-

Números reales

-

41

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I

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. _ResolverJassiguientes1ecJaciones.

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Id e .mlsmo ..¿eO . Iesa. IoS.clOco.septlmos. . ,. oDlgua , , 7 I I , ~queJ1umerose.trata.!

I

I

I

I

~ al . Las.tres ..cuartas.parres.deLaoteÜo Lde.urL oúmero

I

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.P-Ianteaey resolver.

,

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  cl~UDa.persona.gastaJas.t[es.septlmas:.partes¡de I   di,., ' .11eva I , I J'aS.1res. I JIuego dloemque eClmas:.partes $  S 'Z I C 1. I --J.I lid I  , ¿ , ~y- e¡.que arL . ' - 1 ' uanto.u'fero.teQla I

I

I

I

 _bl.La

.diferencia .eotreJa.tercera parre.deLanteriortde-¡---+--¡dl_De..un tanq u 'eoo.de..combustible..se..consumen I 1,.' ~ I d ~un.oumero.y.'J a.cuarta.parte_ d"e.su.slgUtente.es. d os. a.sexta.parre.y_ 1 uego..las.¡tres.qulOtas.paaes. ,--,---¿.CuáLes eLoúmero7 ,   esto.Si.aúrLquedaol6.1it[Qs.d~combustible.l' 1 H I 1 'de tanque? I I 1 "¿cuáLesJa.capacida I   I 1 I I I

I

I

I

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I I

I

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I

"Resolveepor.eLmétbdo I

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I

42 •   Númer05

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1

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i

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I

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I

f - - - b L ¡ - -   {y~+_12f--=_0 .l-x-+J-y-t=

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I

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..

U-LJ i-LLLlllJ

I .__ .1p-'anteaLy_reso'ver. I ! ' L a.'dl.~1 I Id' oS .num er oS .eS6 Ie.te. I SL  _a Ile re nCl.:la .entre. el do blcL ..jELp er ím etro .de.uh

T1)

I

I

I

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I

I

de m elno rtsu geJal.enfu ~t[Q 1 -

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I

I

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I

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I

I

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,1_.: I 1 1 rectáo , gu1 loes .de_ 84 ! crTl,-t--

lit

,

y Ja . base.es.eI1doble.que

.•uO lda de s a Lm ayo r,

"1 I ' . 7   ¿cua es.so .os.numeros.

I

i

I

.

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I

I

L   super f.l.ICle.ueLrectan 1 , I uli?

r 

I

J

I

¡ Jaaltura ..¿Euá .es.   L

1

.

1+ --1 ---

1 --

lb ) DOS .áo.9uJos.soo.s.uplemeotarios_y.u.0.0.es.eLquíntuple_  I 1, ! I.! I 1, I I

delotro ..¿CIua esJa.amphtud

de.cada.angu ..IIO ?

,

1 3Lvehículos~enne_j---l' I I I m oto5.ty.autos ..SLse.cuentar   .9 0 J  [U,eoas,.¿cuántas. 1, I I I 1 I I 1 m Qtos~y.cua ntos.a utas. hay?

d) Eo.una ..c oocesionarja.nay I I r 1.1 I

I

I

,

_jReSOlieL

laS¡i9¡ien¡tes  'ecuadon~s.

3 x 1 x - - t   I l )J x

I--laL

l'

k .~ « L _ 5

,

-+ -+ ---

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eL.

)

(x ;= -3 )(2 x   +-1)-=

3.=x

,

.1p-lanteaLy.resolver. Ua)1La.difeten¿ia.J,ntre..

c .

el cuadraoo.de

un.númerow.su __ 

I I aoteriQLe _VeJD.' . tiuna ¿.Q ué.r u m e ros.C u m pl:Jn c on I

I

1

1

I .1.,

I

I--I--!esa.condlGIOnr

I

I

1,

1

I

I

el- ELcuadrado.de.la..suma.de.dos.números..oaturales¡ . I I I I \. 1 I . 1 . I , I 1 !.

m pa res, .c a . nsecutlvos.es1'.quIOle ta¡s.setenta.y_sels. \

.

1, 1, I

I

I

¿ne.que.oumros.se.trata?¡  __

-+ .

o

I

I

 _

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,

-l-

I ,

I

La.sumdJlosrcuadrados~e.dOSrúmeros.PositiVOS 1 I I , 1 , I J l I l. I I--coosecutlvDS lse¡eo¡a,y ¡.Jno.¿(ualesson.l¡soimems ? '

- - 4 J.

-r-t-L~

 _ .~

1

I

.

.

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I

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I

1

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1

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La.diferen Ciaentr~.lasd iagOhales.de.uo.ro~b0_es I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

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de.7_cm_y.su.superfide

IOngitid.de_cadargOnal? I

L

I

I

I

b

I

I

es de39 cm;:.¿.
11

¡Números reales

e 43

. ' ;"j~r..f'\;J~~~~:-i~~~'~~~'il~:t!'.f¿~~":;l~t~~; '. "..

-

I

I

 

'1 1 -

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'.

, ->---+---f--+---j'---+--""--'I--+---"---'--_ -1-- 1

r -

E c u a c i Ones..• con m ó d u IO-~~_ 

.

I----< f---f---f---t----t--t--..----+ - _ -+_ _ -<

-_

E l módulo o valor absoluto de un número real es ~udistancia al cero en la recta real.

-

-6 I

(

a

s i a : :: : O

a

si a

<

o

6

I

I

O

R

=   6 ::::}x = 6 V  x = -6

Ix l

)

1-61 = 6

Pararesolveruna ecuación con módulo debe aplicarse que: [ 1 x I = a ~ x = a V x

al

Ix

x + 2 = 5V +  21= 5 ::::}

 b) 31x

11 +  5 =

-

23 ::::}31x

x   = 5 - 2 V x   = -5 - 2 ::::} Xl = +   2 = -5 ::::}

x

11= 18 ::::}1x

-

11=   6 ::::}x

-

-

1 = 6 V x -

-a

~x

= -7

3 V x2

1= -6 ::::}Xl = 7 V

x

= -5

2

el 21x + 31 +  8 = O ::::}21x +   31 = -8 ::::} I x + 31= -4 ::::} x i f . R : : : : }   Laecuaciónno tienesoluciónreal.

Ejercitación

Colocar  >,  
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l-

I

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1

 

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4

1

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I

-

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-+ ---

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-

-I---<--->--l---+----+_,fL

-

- -+-1-+--+-+---+-........,

11

~~~I--I---+I----I---+Igl

'1

--+ -+ ---+ ---¡   t ---+

   

+ -

IF-i~7_1-+--_ 

 

-1

 

1

1

I

'1

4 1 l 4 l -

 

I

+ + -

_ _

_~~------..  __

I

I

+ t+ '-i

  '+ 1   -1-1   tI -t -I -1 -1 1 1 -+ -1 1 1 -+ + 4

hl -151-=;.1-9.1-0-15--

  ~I-~~ -~l

_

8 1-;=-1.3 I-+ --

8.;=.31-0-1

i)

1

I

I

1

I

I

j

J

_

91~--+-~~--l ,_--+

I

-1:::31-.1.21-0-1:::3,

..... -• ~ .... ..... -•....+ -

el 1 - 61 _ + 1 : : - 31-0-1-9.1--+

 _+---++ ,  _+--+-_+--+-,   _~-...---¡

1=51-1.31-0-1=5-;=-31I

~~-~-'--+--

-+ --~

-

  __-+1  _+1 _+1  _ .....•  _ ....

-+---j -1-1-+---+---'----1-_>--

~?   I-O-I~lO-+

 bl l-

 

1   31-0-1-5

al f - ~

-

, -< 4 < -+ _ . . 1 • .

21~----I----;-_ 

I

jl--+--=4 .1=51-0-i=-41-,

_

_ .••

-

 

----t   + T -

(-5)+--,~+--

__

+ -

~

- f -

• Hallar, si existen,los.valores al 1 a 1-+_5_=-+7-+-

 

1

> ---+ -

-

de a.que verifiquen la igualdad._    1 -

--l--<-----4-_~+-, .......•

-4---+-----+_-+---+-1

-<

  _dl-t3_+~-/.a  1-== -+L-t- ...• I----+ ---+---+~g.LI_a ;1--11-=....=2

-• ,." .. 'i ; -

-+--.1-- ...•..  _1---+- __

el

=4 + I

al =

2+-

44 • Números reales

-+-

-

1 _ =   -4--+-

--+---tiL .. ¡ 2 j_ a I

---'

•

U niL C~ da ~ C 1aC ,án   OllsU501~ci~m. ~}

I  x + 7 1

'(>

= 3

•• I

 b}

¡: I X -

41

=6

.~

d)

J! ¡: I X

11

-

=

~

5

Xl

b

=6 V

t' I

I

e [; I

~ X

+ 21 =

=- 10

'"

I

~

I

~

= 8V I

-1 1

 

=

6 V X2

=

-12

~

I I

 _ eL 13

. ~

=

=

~

Xl

=

=

-2

10 V

X2

6

I

L

7   !)I-'..:t 1 .1 J ,\ 1

\

~

-4 V X 2

f.-

Resol\leLY_\lerjfjcarJas.siguierte{ec~aciones. al

¡

Xl

I i'3

 __

-8

X2

! ~

Xl

=

2 V

t

I

l i t -

I ~

=

Xl

I

= 4

X2

I

1

1-

I Xl

8

X2

=   -10 Vx 2 = -4

,Xl

.. 0 + -. .2 .1 -

I"'-~ •

 I.x.l-~3x=5

1 ,

  1.""'1'': L J J   1 .L .. neSOI: •••L~Igullmte_eeuapo

D ,

'\:tt

: I J

III

' 1 1 1 . 1 1.x.1 1 3_-::_.• ,[   JL+-   .Ll~

;2 ¡?

8 ~ \ ~

o ..

: :2

Númer05 reale5 e

45

I!I~ Resolver una inecuación es encontrar el intervalo real de valores que la verifican y se utilizan los mismos procedimientos que para resolver una ecuación, salvo en el caso en que se multiplique o divida a ambos miembros por un número negativo, en cuyo caso se invierte el sentido de la desigualdad. a)

 b)

3x + 1 < 5 x + 7

4x + 1  >   1- 2x

e)

-3

2x - 5x 2 : -   11 - 1

3x - 5x < 7 - 1 -2x

2x + 1 2:   5x - 11

< 6

4x+1«1-2x).(-3)

-3x 2:-12

x >  6 : (-2)

x :s -12: (-3)

x>

x :s 4

-3

S =   (-3;   +(0)

S

4x + 1 < -3 + 6 x 4x - 6x > -3 - 1

-2x > -4

=   (-00;  4 ]

x<-4:(-2) x

<2

S

=(-00;

2)

Ejercitación

Resolver las siguientes aL..2x - -+ 2 :   5x -:-8

I

===---f-

inecuaciones.

I X

d)-+O.8(2x.¡=..5)=O.6C::, x-+-lO:--+---;g)

I

~~~~:

:

:

:

:

:

+2

I

t

-s= -2-0 .-4 x- = . 3 f - - '   -..,---.--i

e = = ~ ! ~=== L E fF H !E j i

I

, -

¡ + + + -

---t---t-,

f-~~-

~-~I

---+ - ---4 --::

~I

 b)-.=ZL++1S ~-2(x-=r6)~

'

¡ :

::

,

1

I

1

I

l'

~

,

¡

--le)   -=.A(x-+-3)_<_L-:-_9-l-1---"---->-:--+--'"h}-+(L.:::..3X).J=2L:s 3X;- 1 ,

 

> -

~I

! I ¡

I ~ ~ I

- l ! + -

1--1-1

+ -t- -...-+ --~-...-+ ---+----<-+ ---+--

:

-

  -+--1,.-

:

~~:

:

:

:

:

:

:

:

:

  ---+-¡.........--+--+~t__--+--+-+-_+_-+-4--;---+---+-~----;

::::::~~III¡i:;

I

3x - 5 3 8 f) 1.:s. 7.  _x,.=..3_~~,_ ---' I   2--;->-x _ + _ I

I

I

I

I

I

') ~23x -  4 ,:!: ¡2x  4 - -> 3J

I

- ---t-----

-+---+--+-1

+ + + + + + + " t + + -

--~----+ - ~I

---+----<_ - -11-+

 j-

.~ __

,

,

I

t

; ¡

I

I I

Número5 reale5

~

-1~

1

i

I

I

¡

ü iE £ j= = : : ; = = 1

46 •

:

I

I -+

:

I

~

-= -

:

: I

) '---lC -+3(x _ - : - . 2)

;

  I----.--.---¡~_'--¡___...;

Para resolver inecuaciones •

1

xl>

a

1\

 a >

lineales con módulo deben aplicarse dos propiedades

x > a

O ~

V

x < -a ~ x E   (-00 ; -a )

U

(a ; +00)

o

- a

(

del módulo:

a

I

R

)

I x l >  a •

Ixl < a

1\

 a >

-a < x < a ~ x

O ~

E

(-a ; a ) - a

o

(

a

I

R

)

Ix l < a 5~

a)

1

x 1

~

b)

1

x

:S   4

1

x

~

5V

~ -4 : S

x

x

  :S-5 ~ S

:S

4~ S

=

=

 (-00; -5]

U [5; +00)

  [-4; 4]

e) 12x - 11> 7 ~ 2x - 1> 7 V  2 x - 1 < -7 ~ 2x > 8 V  2 x < -6 ~ x > 4 V  x < -  3 ~ S d)

1

x

+  51 <   3 ~

-3 < x  + 5 <   3 ~ -3 - 5  < x <   3 - 5 ~ -8 < x < -2

~ S

=

(-00 ;-  3) U (4 ;  +00)

=   (-8; -2 )

Ejercitación

-+-+.-+-+-+-+-

-- --i- -j~d--+-+---j'--l--+--t'---+-+-+--+--+-+-¡--+----¡--¡--r-

i

¡

i

-+--+---t--t---j--+-+-. ~r--+--+-+--+-++-+-'-!--+--+--t--¡-¡---j--r--t--¡--r--r--r-

Resol,erJ~s   iguientes inecuaciones. al   )..x:34-<   z-+-+-+-+-+-+--+dl

el

I-x

1 : 1 - _ 5 .1 - : >   9-+-+--t--¡---¡--t--tg:l

2 1 .x .-+ -£ ) ~   L4:- 3+-+---t--i-----J

1-

Números reales e 47

_

~ _ " '" _ . _ .'. _ . - ~ ~ .~" '< ~ " ~.._j.:.'" .... '.'_ _

•

Inecuaciones de la forma: m x 2

a l 3x 2

-

+

r 

2:

O  V m x

2

+

2x 2

bl

2

2:

x

2

2 : 36

2x

10 8

6

2

50

:::;

 N:::;fiS Ix l :::; 5

v x

-5:::;   x :::;  5

:::; -6

5= [-5; 5]

S = ( -0 0 ; - 6] U [ 6 ; + 00 )

•

•

x2 :::; 25

I xl 2 : 6

2:

: . . . . . .

50:::; O

-

 N>J36 x

• •

r ~ O

  108 2: O 3x

0 -

Inecuaciones de la forma: m x 2

+

hx

2:

O V m x2

+

hx ~

O

. ¡a.b2:0~(a2:0I\b2:0)V(a:::;0I\b:::;0) Propiedades: a . b : :: ;O ~ ( a 2 : O  1\   b :::;O) V (a :::;O 1\  b 2 : O ) x 2

al

4x

-

2 : O ~ x ( x - 4) 2 : O

x 2 + Sx :::;O_~ x(x + 5) :::;O

bl

(x 2: O  1\   x - 4 2 : o )   V (x :::;O  1\   x - 4 : :: ;O ) (x 2: O.tl X   2: 4) V (x :::;O  1\   x:::; 4) ,

.

x

2:

\

( x 2 : O  1\   x + 5:::; O) V (x :::;O 1\   x + 52: O )

(x

,

x : : : O;

4

2:   Ol\x:::;

  -s)v(x:::;

\

I

o

 

S=(-00;OJU[4;+00)

•

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48 • Números reales

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cLOos hJrmJoos.se tllevanlaoos difereocia.yJa I I 1 I i I 1 I i I 11 I ,sum ade.los.cuadradosde.sus.eoadeses.337.. ¡-¡, I I I I I 1 ¿Que.e'dad.tlene.cad¡.uOO?

1 -

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1 .. Números reales - 53

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Ejercicios de repaso'

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ResolverJas.siguientes.eeuaciones.

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54 • Números reales

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• Proporciones aritméticas. • Cálculo de extremos

y   medios.

• Propiedades de las proporciones. • Teorema de Thales. •

División de un segmento en partes iguales

y

en dos partes   CUy3   razón se   conoce. Construcción del segmento cuarto y tercero proporcional. Propiedades de las bisectrices interiores exteriores de un triángulo. Semejanzade triángulos.

y

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Una   proporción •

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es una igualdad entre dos razones: [

-5

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a .d

b .  c )

=

Si los números a, b, c y d son distintos, la proporción es  ordinaria   y a cada uno de ellos se lo denomina   extremo. 3

a) . . 1 - = _6_   => 4.22 5 = 15.6   "90" 15 22, 5 ~

1

=

b) ~;

-85

=>

-t.

~.

8=30.(-!) ,

-6

-6

Cálculo de los extremos a) x ~ 2 = x"2 1 => 2(x  + 2) = 3(x - 1) =>2x + 4 = 3x - 3 => 2x - 3x = -3 - 4 => -x

b) x 2 "   3 = ~ ~

 i   => (x =>x-

•

4

°

3)(x + 2) = 2(x - 4) => x 2 - 3x + 2x - 6 = 2x - 8 = > x 2 - 3x + 2 =

 _ 3:f: ~(_3)2 - 4.1. 2 _ 3:f:~ 21 =>x2

=>x-

.

Si hay dos extremos iguales, se denominan   medios   y la proporción 3

= -7 => x = 7

5

16

=> 3 . - = 4 . 4 a) - = 4 16 3 '--,,---J '--,,---J   16 16 3

l

= 2 _  

x2

1

-

es   continua. 5

1~ =

b)

_ 3:f: 1 {X 2 =>

-"2

~l=> 1~.15=-~.(-~)  

""25"'   ''-~2~5---'-"4

"4

Cálculo de los medios

a)

1: =

b) ~

1

1 - => x 2 =

36 => j;i => f36   =>Ixl = 6 => x = :f:6

x- 1 (2 ~ r. {x - 1 = 2 = -4=> x - 1) = 4 => V(x - 1) = , ,4 => I x - 1I = 2 =>

X

X -

1

=

=> x = 3

=>

-2

1

x2

= -

1

El valor de los medios es 2 ó -2

Ejercitación

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I

I

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I

I

.,

mr_as.razonescqu~ etermmenluna.proporclon+-++-+--+-+-j----J'--+-+-+--+--+-+-+--+-+---J I I I I I

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J8 • J i.

0,2 5

...

~ N

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0,5 1 5

0,3 -2

-1,2 • -3 • - 10

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1 100 0,25

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56 •

Números

reales

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1 - -4

 

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4 J J D .i_ J 3 .; 2 R ,_ y _ 2 .J 5 .

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9

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Números reales - 57

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58 • Números reales

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I

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I

I

I I I I

1

•

Las proporciones cumplen con las siguientes propiedades:

E= ~

 

=>

a a:J:b

c c:J:d  

=>

a:J:b -b-=-d-

c:J:d  

= >   Ejemplo'

.ll = 24 . 5 10

= >   Ejemplo:

3 12 5 " = 20

a+b_c+d  a-b - c-d   •

Ejemplo:   2=.12

3

_ 15 5 - 9 + 15 3+5 12 - 5 24 -10 = > -510 =>

9

En una serie de razones iguales se cumple que: - ª - = b

. f. .

=

.f.

d   .f

=

...

=>

12+ 20 = 12 - 20

3+5 3-5

=>

=>

=.9. = a:J: c h

=>

:!:

5 "8

12 24 14 10

7

5

--2ª - -

=

32 - 8

e :J: :J:9

b :!:  d :!:  f  :!:

:!:  h

a l 1 = 1= 1.= 12 = 1+ 3 + 2 + 15 =   1.1 -1 3 6 45 3 + 9 + 6 + 45 63 - 3 9 bl

2 10 8 6 2-10-8-6 -22 2 5 "   = 25 = 20 = 15   = 5 - 25 - 20 - 15 = -55 = 5 "

I I Ejercí

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I

I

I

I

I

I

i

IAplicar p~OPiedadeh_hallaLel

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~ - ll - + - 1 - - - + - - + ~ - .L

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1 -1

...L--L.L

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-

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-t -+-+---¡-

1 - + -+ -t- 4-i -

-+

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Números reales

e 59

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Teorema de Ihales-.-

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.

. o

o

-+--+---+---+--+----;'---1-

Cuando tres o más rectas paralelas (A, B,C  y   D) son cortadas por dos transversales (E y F),quedan determinados en ambas transversales varios segmentos (nr, rp ,   gm, ms, etc.)o l.os segmentos   homólogos son los que se encuentran entre dos paralelas y   uno en cada transversal. Por ejemplo: nr  y gm son homólogos, y también lo son r o y ms o e

La razón entre cualquier par de segmentos determinados en una de las transversales es igual a la razón de sus homólogos.

nr

gm

===

mq

rp

rp

1\

po

r o   ms

mq

  ==-=-

qs

===

1\

np

1\

gq

no

gs

ro

ms

o

  -=-==

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Los segmentos homólogos son  proporcionales

entre sí.

Ejercitación

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Co;;l~tar a)

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C J C J

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C J

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C J C J

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e

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E

i)

C J C J

 AII SIIUI

Hallar la longitud del segmento azul en cada figura. a)

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C J-

d)~

o

el casillero con el segmento que corresponda=~

C J C J

rp

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ro os

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B

 

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Número5 reale5 e 61

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i 'f"Ique_'1 "as,slgulentes,proporclones. I •

I '1 '1 , etaLCon,e 1,extremo¡que..ven '1

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I

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g: .. ¿

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I I G2 • Números reales

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e  M II R II T 

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Números

reales

e 63

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c ',

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.

Paradividir un segmento en una cierta cantidad de partes iguales, se aplica el teorema de Thales. Por ejemplo, para dividir el segmento o r    en 3 partes iguales: •

•

Se traza desde el extremo del segmento una semirrecta y se marcan en ella, utilizando el compás, 3 segmentos iguales (oa = ab =   bc).

Se une el último punto c en la semirrecta con el extremo r del segmento. Luego, por los puntos a y b, se trazan las rectas M y 1, paralelas al segmento

o

o

o r 

Elsegmento oa

ab

od de

1\

queda dividido en los segmentos od, de y er ,y al aplicar el teorema de Thales resulta que: ab bc

=   de er

• por lo tanto, como oa

=

ab

=   bc

entonces od

. ~ ~_

 _

'd' Ir Ios D'IVI

. . slgulentessegmentos.en

Ia

. cantl 'd a d . d"e.partesJgua

I

  -+---t--bL6.partes

o r   en

Paradividir el segmento

I

=

I I

 

er ,

I

  IeS.que.se.pl I

'd e.en.ca d'a.caso.I

I

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=

de

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~

I

aL4.partes

por ejemplo

cr.

I

I

I

I

I

I

cLl.partes

I

dos partes cuya razón sea,

1, se procede de la siguiente manera: 4

A//B

~

3 4

am mb

o

..,

N

•...

i

I

~ ... .. 1; .t,LD1 VId I el05.5 I 9 U lentes segmen tos.e n.d os partes.cuyarazo

 _ 1 .

 _aLL-~~

 j i'

G4 • Números reales

I

 

_ J. bLL~~5 I

I

I

I

I

I

I

. '. 1 i n .rlsea Ja.q ue.se..p Ide..en. cada caso. i I ¡ ¡ I

: I

 

"

I

_!

el-=.-6 I

I

I

'

I

I

En toda proporción ordinaria, cada uno de sus extremos es el c u a r to p r o p o r c i o n a l

de los otros tres segmentos.

Por ejemplo, dados los segmentos A, B y C: A

,,

e

B

Para hallar su cuarto proporcional X, se debe cumplir que: ~ =

 f 

R

Gráficamente los cuatro segmentos deben cumplir las condiciones del teorema de Thales, por lo tanto, se debe trazar una recta R,paralela a la recta M, y  en su intersección con la transversal, se determina el segmento X.

, H a H ar 1 g r áf i c am e n t e _e l .c u a r to ; p r Q P o rc i Q n a l. a)

I

I

I

I

En toda proporción

I

I

I

i

I

d e j to s s i g u i en t e S- tr ío s _ d e .s e g m e n t o s .

liT

I

I

b)

I

I

I

I

I

I

I

continua cada extremo (A o e)  e s t e rc e r o p r o p o r c i o n a l

A

del otro extremo y  de los medios (B).

H a ll a rg r á fi c a m e n te _ eL f . a)

I

1

I

I

I

I

B

e r c er o . p r o p Q r c i o n a l d e J o s s ig I

I

I

I

I

I

I

I

B

e

u i e n t es _ t ri o s d e _ s eg m e n t o s . I

I

b)

I

I

I

I

I

I

Números reales e 65

Para trabajar en clase •

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•

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t

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I

¡ i : : ~.

~ I

~ ,án,..;aulos! d.e :u n _ t~ r iá n ,..; a u J Q H ' r  I ~I I I I ~ I I

¡

:

Eror7iedades_deJas_bisectrice=LdeJlos -- r-

I~ . I!

La bisectriz   de cualquiera de los  ángulos interiores de un triángulo determina sobre el lado opuesto dos segmentos proporcionales a los otros dos lados.

a

a o   bisectriz de ab

ac

bo

ca

b

e

a

•

Si la bisectriz   de cualquiera de los ángulos exteriores de un triángulo corta la recta que contiene aliado opuesto, el punto de intersección forma, con los extremos de éste, segmentos proporcionales a los otros dos lados.

b

bo bisectriz del exterior a  b 5C

ab

-

ao

-

a

ca

Ejercitación o

.-aL~r~r~abise'ctri~  _

b LPl an te ar Ja

 _ .c L Me d ir

~ d~1á~9UIO'O'~---i_~-+--+---+-~ proporción correspondiente.  

__

1 i_ j~

en la fig u raJ o s segmentos que aparecen.enJa

.

,

proporció n,  reemplazarlos.hor~su_valoLy_verificarJapropiedad ..

 __

I _ ~ _ .

••.••

_ _

- --;~--

K£:,LaL,Jrazar

i _ i ~ + + -

----.---+

la  bisectriz

I

_ _   I--"""'I

---r----;--"---;--~ --+ ---!-r_ 7 _ -tI~

I

1

1

s o   del.ánguloexterioLas._ 

 _ bU~lantear  la proporción .correspondiente._ 

1 -

 _c L Me dir en Ja

fig u ral os seg m en to sque.a pa1rec en en la

I

pro po rci ón,  ree m plaza rIos po r.su.valor.y.verificar.la propi ~dad. I

•

H al la r. e l.v al O r.d e x=d~.

u~ad'elasJi~ ur~s.+--+-

 _.al~-'bLbisectríz.de_b.

 _ a _.

I

__  7.2   el/)

>-----+- __

~ -b t " + +

66 •   Número5 reale5

1

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Números reales

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Dos triángulos son  semejantes cuar}do tienen todos sus ángulos iguales y   sus lados homólogos proporcionales. Existen tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de conocer todos sus ángulos y   lados.

lado - lado - lado (lll)

lado - ángulo -lado (lAl)

Angula - ángulo (AA)

Si sus lados homólogos son proporcionales, son semejantes.

Si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual, son semejantes.

Si tienen dos ángulos iguales, son semejantes. b

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Ejercitación 1

Explicar q uécrite~;   justifica la  semejanza .decada

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Números reales e 69

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70 • Números reales

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: 74 •

Números reales

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I

Expresiones_algebraicas.

i

Polinomios__  I

Un a expresión algebraica es una combinación finita de números, letras, o números y letras, ligados entre sí por la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la potenciación y/o la radicación. Los números se denominan   coeficientes (salvo los exponentes de las potencias) y las letras, variables   o indeterminadas. a)

3 - O ,5 w 2

d)

3 +  z

el

2

. !. . .. :: t. . l

5- 2

Cuando la variable no está afectada por una raíz o no actúa corno divisor, las expresiones algebraicas son enteras   y se denominan   polinomios. Los ejemplos cl y el   no son polinomios; sí lo son   a), bl, dl Y f).

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Marcar.con -

-3

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una X las expresiones i

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I.--.:a) .-=...2.- _

~ .---

Un  monomio 1

al '3 x   ~

 

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  algebraicas que   son polin'omios._  1

---'----'--, _d)_~_~_ 7

---'-~_>--+-

2

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O.

5

-+

x

es un polinomio de un solo término y su grado es el valor del exponente de la variable x.

grado 1

bl   0,7x

3

grado 3

~

cl

2 ,5 ~

g rad o O

Dos monomios son  semejantes cuando tienen el mismo grado, por ejemplo -2x2

dl

y

2 5.  x 4

~

grado 4

~X2

Un  polinomio es una suma algebraica de monomios y está  reducido cuando no tiene monomios semejantes. a l   P(x)

=~3X2

+5

- O ,4 x

+  tx3,

b l   Q(X)

=

  5x - 6x

2

+ 3x +

2 X - 4

=

  ;-5x

2

+ 8x

- 4,

reducido

reducido

El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al reemplazar x por algún número real. Por ejemplo: P(x)

=

5x 2

+ 3x

- 7 ~

¡

5 . i +   3 . 2 - 7 = 20 + 6 - 7 = 19 , P(-1)  = 5 . (-1)' + 3 . (-1) - 7  =   5 - 3 - 7 P(2)

=

+ -

.Hallar.el

polinomio

reducido en cada caso. ---..-

 _ a )   2x..-=x' + 2 - 7x +5x~+_3xl=.8=------.

__ ,--,-_ 

,........-~---~---+------t---+--- •

 _ d l 5x~..=3x + 4x2- O.5x + x~9

+ X .= .~ ,._

- +t -+ -

76 •   Númer05 reale5

  -

+ --+--

=

-5

El grado de un polinomio reducido es el grado de su mayor monomio no nulo. El c o e fi c i en t e p r i n c ip a l es el coeficiente del monomio de mayor grado. El t ér m i n o i n d ep e n d ie n te es el coeficiente del monomio de grado cero. Un polinomio está  ordenado cuando sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente

¡

respecto de los exponentes de la variable. 3x - 5x3 ,

+

2x2

+

4

No estáordenado

3

+

=-5x '

=?X

4

2x

-

+

3x

+

4

O'denado de manera decrecient:

Un polinomio está  comp leto a}   P(x)

2x2

+

2

5x

=4

+

3x

+

2

2x

-

3

5x

d

gra o: 3 coeficiente

-)

término

Ordenado de manera crecient~

principal:-5

independiente:

4

cuando tiene todas las potencias decrecientes del grado.

+  1

? +   7x - 4x5 + 3x2

b}   Q(x)

=

-

4

x

+

3 ,

2x

Estácompleto

No estácompleto

Para completar un polinomio, se agregan los términos que faltan con coeficiente O. R(x)

= 2

-

5x4

+

3x2

=

4

_5x

+

ox3

+

2

3x

+

Ox  + 2

Según la cantidad de términos, un polinomio reducido recibe los siguientes nombres: si tiene ltérmino, monomio; 2 términos, binomio; 3 términos, trinomio; 4 términos, cuatrinomio; y   luego, polinomio de n términos.

Ejercitación

Escri b iL un .polinomio.reducido.q ue.cum pla.con .cadau na .deJassig u ientes. cond   iciones.-I-----I------l_+---+-----J ! I I I   di l. I I f' .. L I }   Mil.onomlo Ide.gra. .   di I d 1, l. l. di I   di. I .. I a } Smomio. e...gra o,tres-y.termlno.Jn epen lente-+--+--l'c o.sels.y.coe lClente.prJnClpa no . l. I j I I

f--+--+,maCloma.+--+--+----J_+--+---+-+_+-+--+--+_f--+_-\entero.i_+--+--+----J_+-+-_+--+_+-+--+-------j

b}

  Irjno

io.compl eto.con.coefj cien tes .neg ativos'-+_+---J,d}

1--+-+-f----j---f--+---+-+-f--+--+--+-I--+--+--+----J---f--lmaClo

Cuátri norn ¡o.d e.grad oci neo  y.cbeficie   tes•.......... --I---1 l. I l' I

l.

' a es.-I-----Jf--+--+--+--1--l-------I--l---l----1

-!-'=---+--+--+--+--I----1c-----I--+--+--+--+---jc)  b )

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Números

reales

•

77

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ti' !

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I

Dados los polinomios: P(x) =   5x - 3 +  4x 3 •

I

-

2x2 y   Q(x)

=

2x3

-

X

-

4

Para sumar dos polinomios, se suman sus monomios semejantes; y   para restarlos, se suman los opuestos del polinomio que resta.

a) P(x) + Q(x)

+

4x3

-

2x2 + 5x - 3

2x3 + 6x2

-

X -

b)   P(x) - Q(x)

4

6x3 + 4x2 + 4x - 7 •

+ 6x2

+

4x3 - 2x

-

3

2x3

-

2x2 + 5x - 3 6x

2

X

+4

8x2 + 6x + 1

Para multiplicar o dividir un polinomio por un número real, se aplica la propiedad distributiva y se multiplica o divide cada uno de sus coeficientes por el número real. 3

a) -3.   P(x) =-3 .(4x b) Q(x) , 4

.

=

3 2 2x 6+

-

2x2 + 5x - 3) =- 12x3 + 6x2

x - x- 4 4

-

  15x+ 9

lx3 + lx2   _lx _ 1

=

224

Ejercitación

ados.lossiguientes.

polinomios:_---.;----,_'--l...-.l---'--"--+--i--+--+-+--!_r--+-+--+--;--+--+-+--1 I

 _cLC(x)..=...(A(xJ-+_B(x))--+--+--:--+-+-+-+----'--+--. .•.•

78 •

+

Números

reales

. .

1¡ . .M  u¡ l t¡JFfJfafl.n ' I r ~ Ii r .

4

.-

-

Para multiplicar

e

.

' .

.p i r 

2 bl   (_2x 3 + 5x)(3x

  I

3 2 !--J(

5

~(-O,6x:')

-

I

=

y la propiedad del producto

de dos

x n + m

 2 . x)

_lx2

.

.lx _Ix) .(_1) = _lx4

+ 5x.

3x 2

+ 5x.

(-4x)

=

_lx3 _6x 5

+ 1x

2

+ 8x 4 + 15x3 -   20x)

producto:;.

¡.= ~JC ..O,S;C..  :::O,2x)

4'

I

I

~ iig U iete s

bL

.

.'

4X )  = _2x 3 3x 2 - 2x 3.   (-4x)

-

I I I I

1 -

I

dos polinomios, se debe aplicar la propiedad distributiva

2 _1) = _lx2 • ( 2 . x 2 + lx al _lx 3842383432423.

-

.

.

. '"

- f  ' f i r t y . C f!   l

potencias de igual base:   xn. x m

aL 

. '. . ~ ..'

.

. .'

eL .=x 2 • . O ,5 x. .

~

(= x :) -

d L x_3 •.( =0,3- ). __1,2 x .....,

-"

,

¿) ""'- 1--

eL   =-l.lSLJ( - ix ~)

. .. ( 0,

Q -3 II L 1..0.& ( = 5 ')(

...( - :e ) -

Resoh ¡erJas-siguienteso perafiones . aL .dJ,8x.

1 -

. ( 1    x...:::2,5

h\ 

x (= 3 x -= -=  J19-

d

(= 3 ¿

  4-_2

3

15

: . . 1 0 -=-g'X

J ) .   2,2Px

:L2   5-=-Q

 :)( ~¿: t- .. .. 5 X )

).-

~

4

d)   (2xF_+   3x F-1)  .Z x =-.41

 

I~L.=2

f\ 

2

('0--

(~ I

-

  :)-~

'3x   'F-4.   .=-5x(¡ ¡-=-

2 x 2

(1 x~)-=- 2x  ¡

4

-=-

x : )   =xW=-/ix) . '

Números reales e 79

---.......-7-.

I

e u a d  r a  d od   e_

_b inom ¡o-"---+-_

un

+  b /

+  b) . (a + b)

(a

=

(x

+  5 /

=X

b l   ( 2 x - 3 )2

2

--"--!--+-+--+-----'---IW'-----'----'--'---'------'U

+  a . b + b . a +  b . b

a .a

=

=

~2

Cuadrado de un binomí o

al

.

+   2. x . 5 +  5 2

=i

+  a b +  a b +  b 2

a2

=

+ 2ab + b 2 .

Trinomio cuadrado perfecto

x2

=

=   (2X)2 + 2 .2 x . ( -3 )

+  1 0x +  2 5 = 4x 2 -12x

+  (-3/

+  9

Ejercitación ;

-C ol o c ar V (v er d ad er o ) o.E(fal~o~egún

b) (x - 3 )"

=

I

+  2 ab +  b 2

I

.,

I

se lo debe multiplicar por sí mismo.

+   b)2.

. (a

En conclusión:

 

I

1,

I

I

I

Para elevar un binomio al cuadrado, (a

~_~

~

1

;J~ .

I

c~rresponda.

,¿- óx - 9

»

x

2

2x

-

 b )

+

1

I

'1

H  _x 2

e)

-

..,

----+-

I

-

Co mp letar   los siguientes   casilleros_vacíos.+-

= x 2 ; 1

( x + [,-- -~ ))2

a)

 -([~~)+(

 

b)

O x + (__

)~

, •. . . .. .. .. - .- + -

t + -

-

  2x - 1

-

+ + _   -

~==;¡:((~~

))~4&[~~)r_.4~d)~(['----,---'

-- --

-

. -

~

--" ----'----

-

Desarrollar   los siguientes   cuadrados. +-

a)

2x: -:-3x)'

;=_ 

--J.-

.e) (= sx" + x')' 80 .   Númer05 reale5

==

~ - + - = - = = : = = = = : : : - = - : : - = - ~ ~ - _. . . . - ~ - ~ - - , E B

.

. , '

.

.

: ',

'

.

. .

'. '

.

-

 

'

'

'

.

'.,'

".~ ':"

'

':'

..

,

Paraelevar un binomio al cubo, se lo multiplica por su cuadrado: 2 2 (a +  b )3 = (a + b( (a +  b ) = ( a +  2 ab +  b ) . (a +  b ) = a3

+  a 2 b +  2 a 2 b +  2 ab 2 + ab 2 +  b 3 =

En conclusión:

b l   ( 3x - 4) 2

(3X)3

+  3 .   (3 X )2 .

+  3 a 2 b +  3 ab 2 +  b 3

Cuatrinom io cubo perfecto

Cubo d e un binom io

=

a3

( - 4)

+  3 .   3x .

(- 4) 2

+ (- 4) 3

=

2 7 x 3 -108x

2

+ 1 44 x

- 64

Ejercitación

el

dI

Resolv.erJas.siguientes   operaciones.¡.........+--+--+--+--+--+_I--.j_+--I-......f....-+-J.~i--+--I-+--+--1--+~ I

'2

I

I

I

al   (2-=.3) __ (3 - 1 ) ( - Sx)-.r---i---+--+--+-+--+-+----1,el

b)

(3 ' -

=--+--+--+--!--+-4---id)

(x -

3

2 )_ -1 :(

(3 -

(

)

- 5 )  3x-=..x:' .;=~'---+--+--+-+-+--I

2 x )(

Para pensar y r~solver . Demostrar.geométr'

camen.te'flUeJaSup.erncie

~el sig~iehtecu~dradole s J n  2

H - _ 2 b n '  :tJ~.+--+-_+-+~_+-

Números reales -

81

~

.

.

-

--

-

,

,

.-

I

I

,

. I![R . d a.po ¡ momIo. . ed UClcca .1

1

I

I I

I

[~,

~

1 I

,'2   I I 2 ' ,- 0.6x ~ sx...=.-3x -

2

-

13

I

I

¡

:

I

:

'

2 ; I  __ aLE(xL~x-i-=-O.2~_+T2

i

I

,

!

i

I

,

I

I

I I

I

I

¡

I

I

I

!

I

:

Q(x)

R(x) T(x)

S(x)

•••

~

-.r.LHallar

1

I ' ¡ 1 el valocnumérico.de.cadapolinomio. ~

1:

I

,

 _aLE(xL==o-=3x~+.-5

1 - 2x2

]E (2 j -

= 1

I

:

I I

 _

_

4!  

,)(2   _1)(5

 _b)--H(x)   =~4x-r--2x_+..3

,

:

 _cLG(xL~~X~2Xt-+...J(

I

I

I

I

¡

I

-41

 

I

¡

I

I I

I

I

I

I

I

I

I

¡

I

.H(du...:;-

I

I

I

I

! I

I

I I

I

-4--r---f-G(::;:l)

-

I

 _d)-K{x)--=--=~L.::L4lL:::...8~

¡

1

17

I

i

I

I

I

I

I

,

I

I

I

I   (3)-

I

I

I

I

I

I

,

I

I

I I

I1

I I I I

! 82 •   Númer05

reale5

I

I

j J J J   J.!,I, 1. ,l 1 , I J I , I I -,&fL   Hallar    a_eTxp~es'pn_?eLPer  metro y_deLareade...cadaJigu ra.

 __

f -

a)

3x 2 -12

I

I h)

I

I

I   5x ~ 3 I

eL _ """ x

"" ~J

+. x

" '-

I

X

N

•

•

"'x

'";'

""

~.¡-",

.'f7

""

D es ar r ol la d aB i g u ie nt es .p o t en d as . r--

aL   ~.4}I~

r--

b) (2 X t-=3 2 2 .:

..::> x ) -

2

Resol~erJas.siguientes   operaciones.

r - - a L ~ _ - 3 X _ : /2 X 1 ) (

3

1

4)

J

Números reales e 83

•

Para dividir un polinomio

por un monomio,

se debe aplicar la propiedad

cociente de dos potencias de igual base: x  b)

•

Para dividir dos polinomios,

n

x

:

( -3x 4

m

n

=x

+ 2X 6

-

-

distributiva

del

m

=--x1

  6x3 - 4x2) . ( 12x2) .

hay que aplicar un algoritmo

y la propiedad

4

2

1 + -x 6

4

1 -- 1 - -x 2 3

y se debe cumplir que:

- Elgrado del polinomio dividendo debe ser mayor  o igual que el del polinomio divisor. - Elpolinomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente. - Elpolinomio divisor debe estar ordenado. - Elgrado del polinomio

resto debe ser menor que grado del polinomio divisor.

DIVIDENDO

DIVISOR

'" P(x)

Q(x)

R(x)

((x)

. / '

1("'"

RESTO

P(x) = ((x) . Q(x)  +  R(x)

" '- COCIENTE

Completo y ordenado

x4 - x4

+  2 x 3  _ 

-

5x 2

-

5/

+

Ox -

 

Ordenado

3

3x 3

 _x3 x

3

+ 3x

- 2x 2 2x

COCIENTE

2

2

+ Ox + 6x 6x -

3

RESTO

Ejercitación

I   Id'" .. I I I eso veLas.slgulentes IVlsloneso-+---jf--+--+--+-t--t-t-+--+--+--+-f--+-+--+--+.-1-T---,---i--i

R

~_

h

I(

3

I

I

2 ). ( 1 -)

I

la) =20Xt+- 5X-F-21 - I'-l~X   -=-:,-t--+--+--+-+-+-t--t,c)

f----!bLH=2x=.+_5X~lOL-t: l:_(~ox)~-~-+--t---t-t---¡---r,d) I

84 • Números reales

( .3. : ¡

(S _

1--+-+----+--1, ¡--+-+---_~L_ ++-+-+-je-+-+-+---+-+-+-j-+-+-++--+-+---4-i-+--1-+-+-+:--+-i-+--1--j i

-;=--+--+--+--+,c}

1--+-+--+--+--+-+-

;-"--+-1--+-+----+--+--+-+---1-+-+--+---+--+-+---1-+--+--+--+--+-+--+-1--1 --+---+-+---1-+-+---+---+--+-+--+-1--+--+--+--+--+-+-+ -+-+--1-1--+-+-+---1 i--+--+---+----+--   +--t----f--+-+-+--+--l---!----+-.j.....-.'t----f-+-+---I--+---+---t . - + -  -+-+--!----I----I--+--+--l--I I--+--+-' -r  -+-+--+ -+---1--+-+-+---+---+-+--+-+-+---+--+--+-+--+J-..j'._+--+-+--+--+-+--+-J---I ! -

,

-'=t---l---l---l--l--ll--I--l,d}

Para pen5ar  y   re50lver 

Números reales e 85

Regla+-de)s.uffi n i I

Es un método que se utiliza para dividir un polinomio Por ejemplo:

(-6 X

El polinomio

dividendo

+  3 x 3

5  + 5x 2 ):

-

por otro de la forma x  +  a .

+  2 ).

(x

debe estar completo y ordenado.

Se escriben los coeficientes del dividendo. El coeficiente

3

'1

+

1

-2

6x - 5

-

5

principal se "baja" igual, se lo multiplica

por el opuesto del término independiente del divisor  y   se suma con el segundo coeficiente. Así sucesivamente hasta llegar al último, que es el resto R(x). Los valores que se obtienen son los coeficientes del cociente y   el último valor es el resto. El polinomio

+ 5x 2

3x 3

---~)

-6

-5

+

+

tt_  3

¿

((x) = 3x 2 - X - 4

R(x) = 3

cociente ((x) es un grado menor que el

dividendo.

a)   (-5X+X3-7~:(X-3)x 3 + ox 2 _

b)

x 4+ ox 3 + 2x 2 _

5x - 7

-5

-7

3

9

12

3

4

L2

o

3

Cociente: x 2

+ 3x +   4

I

I

r

I

I

-

:(x+ l) x +  o

2

-1

o

-1

1

-

4

-1

3

-4

o

-1

Cociente: x 3

Y resto: 5

x2

-

+ -   3x

3

Li.

- 4 Y resto: 4

I

Jeorema_deLresto

-.

(2X 2+ X4 _X ~

I

1:

I

El  resto   de la división de un polinomio por otro de la forma x  +  a es   el valor numérico   del polinomio, cuando se reemplaza su variable por el opuesto del término independiente del divisor.

a)   P(x)

=-5x

+  x 3

-

  7 Y Q(x)

=x

- 3

b)   P(x)

El resto de P(x) : Q(x) es P(3) P(3)

=-5.3

+ 33

7

-

=2x

2

+  x 4

-

X  Y

Q(x)

=x

+1

El resto de P(x) : Q(x) es P(- 1)

=-15

+ 27

- 7

=5

 

P(-1)

=2 ( -

1)2 +

Resto: 5

(-  lt

-  (-1)

=2

 + 1 +  1 =4

Resto: 4

Si el resto es O,la división es exacta y   significa que P(x) es divisible   por Q(x). (x

2

-

X -

6): (x

8f, • Números reales

+ 2)

  ---t

(-2/

- (-2)

- 6

=4

+  2

- 6

=O   ---t

x2

-

X -

6   es divisible porx+2

f.

¡

I

,,1

~I'

KlLCalcu

i.

I

j

I

lar.elresto.deJas 1,

1 ••

I

1

i

...

'1

...1 _ _

l'!

.

-+-~__

1

¿ ,-

r -

,

 

~

I

l:

I • __

1

sIgUIentes diVISIones. ...J--+--r-'--+-+-+--+--+---+-+---'f--i-+-+--+----+-+--I

 _aL(3}L+~5-d8x)_;_(i_-_2)

i

!

I I

,

I

t_ _ + + jtL L ~ ,I

:

I

I

I ..

1

Para pensar  y   resolver  I

• El

["

"

3

- ,Romom'OL _.

2

!

I

I

5x

I(

Encontrar,eLvaloLde._aqu~_v~rifiqu~_eLenJnciadó. 11----'--,............,.--

x l I   2 )1Iy ( ~ J a)  ' 1U   +-+--+--+--+-+---1-+-+--+--1

(' 11) 'f 2 ' -¡ ¡+ 6 ' e'lid"!> V i "" b l! ¡" o pI e,  f=r ., -

I

1

!,

I

I

I

11

,

1

I

,

I

.

"

 

+-.... +--+--+--+-+-f--+-+--+--+--+---! I

I

Númer05 reale5 • 87

,

I

II{III ¡ ! J I I I J. I iW..'UnirJas.operacioneHon.eLmlsmo.resultado.

I

I

 

2 x 5. '-a l .~

I

I

(-3 x 4)

I

:

I

 ( sx 4)

I (

I

 _

Res o lv ¡e r J as ..s ig u ien tes  'operacion es. 2 I +I . . .  .x    Ir =- 4 I  3_ )1. L. . . (  12X-=..11 ) _ + x   :t-_2)  _= 2 .. _ a) . ( J2,,--~ I(

N '"

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S < i.

o:

o u

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~ ~ «

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'i:

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o < i.

vi

;;¡

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8

~

i 88 •   Números

reales

~ «

""

--I

---+ ¡ I

I

I

I

i I

i

-

I

+

. . .

I

l

---

... f--

1--1

I

~ r 

I

 _ .-

1

1

Números reales - 89

'- -

•

I

I

I

•

-"

I

I

I

I

. d ( .1 .1 I .I( 1 -.:J_ R  e dUCILca a po InomlO.y.umr o.con.e •••

1

a l ~ _£S x

¡

3

I

 

!'

+ Sx

,!

I

I

,

5

2x

'[

c) f ( ) -~ '

i

f--.-.---.l--dll_E ?

4x

'I~

+   0,4x

0,6

-

I

1

7x

-

°

2x

2

i

I

I

+   l,Sx 3 +   0,Sx 5

+

2

°'

8 - x

-

0,2

3 -

boJ~orbioL

1

¡

!

r 

.¡.

"".F '''l'

°6+

!

+8 13x 5

-

!

I

I

!

1: I

1

I

 i x

I

I

I

I I

I

I

i! !

I i

I

I

I

1 .;

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¡

!

1

I

I

I,

I

i

II

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'

I

l

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I

:

I

i

I

I

I

,

! 1:

¡

'

¡

I

,

I

I

I

I

I

I

'1

1MarcaLcon.una. '

1

i

I

I

Binomio

de grado 2

1

:f_8X~

I

1

i

I

I   cL3T(x)-=¡--2Rix) I I

¡

I

i

. ::

I

!

¡

, 15(i x ) _   lI(x')!: TT" ' 2 I

I I

I

I

:

~

¡

I I

I

1

i

I

I

I

i

I I

t:

;

I

I

I

I

I

I :

•...

N

¡'

I

I

¡

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. l. ~ Ios.tnnomlos

I i

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. I   di cua ra d'f  ,osper

S ..:

!

¡

i

I

i

I

ectos.

¡¡:

o

I i

I

I

~

I

I I

_ ~

de grado 3

.

l'

I

I I

 j-

I

 _"j'r-

> -

...~-

.

:

!

I

--¡--:;: "i,

~

:

i! !

I

I

Trinomio

~

:

1,

I

de grado 4

lo

~

1 •. ~HIII 1.1.ld,l.dld!I'(J .. E:J._Hallar.la.expreslon re UCI a. e .vo umen. d',' e .slgulentepnsma.'

l.

r-

j

¡

I

de grado S

Binomio de grado 3

~ Cuatrinomio

I to

'

I

I

• I

2x - 3

~

Monomio

!

I

!

de grado 2

I

I

¡:

I

I

I

x)

I

I

I

!

I I

I

I

R>

¡;

t i ;

1

I

I

kl ¡o

!

+   0,sx 3

'

!

I

I

¡ I

I

Trinomio

'

!

I

I

¡.;; ~

i

¡

X

  7S x - 1 s

I

I

I

°" I

I

 í4 ~ XT+-f.,_T(X)~3Xr+-~-=.!Z~ - _ I X   :t-_3~=-r-S1XL~6_-~5)4

I

I

:

  3 -"-

>-al-illxL+-J(x)s_5(x)!

 _bl .(x   --=-5

I

~X5

+   0,12Sx 3 +

I ! ,1 • l. 1  ___ Resolver.lassiguientes.operaciones.

I

I

+

T

I

(x)~2

-

¡

r 

T

EDadosJos.sig~ientes

4

T

+   1,4x 2 '..

X

 x +i S"

2x 5

+ £3

- x

-

..¡.,?

liT

  _~X3

2

1

I

. 1 di.o.que correslidpon a.

I

enuncia

I 3

1

¡

:

T 

'l:-

+ ix

4

, er~

I

r'í'!",

~_bL~   O.3 x I

I 2

I

I

I

1

1

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•...

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vi

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i

I

I

I

: 1

i

90 • Números reales

I

o

•...

8

~ 2 « """

I

•

Ha aleLe   Qciente...y_~Lrest~_dfLJalsiguientE   dilpsiones.

 _al

_!Reso" lal

(d ..::!::   ~\l2

Ch

-

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l L - 1 : l - x : . .} ,

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erJas..siQ.L!ientesaperaciones

h,

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117,

42X=-'Z='(2x

2

::t-...5l

Nú mer os

r eal es

-

91

•

Hal lar el c oci ent e

al

y   el

resto aplicando

la Regla de Ruffini.

  (-SX=-4-2x 3-6x):(X-1)

el

> ;

---r'-

---i

+ _.

•

Un ir cad a d iv is ió n c on s u r es to .

al

  :(-X+2x 3 -Sx 2 +3):(X+1) + _

dl

el

el

11m

:(-sx.

( s + 2 x3

-

Sx 2

-

sx) : (x - 3)

( 7 x + 1 2 x 2 + 2x 3

-

30) : (x + 4)

2x -SOX-6):(X+2) 3

Resolver l as siguientes operaciones.

al

(x ' - S x + x " - é X =  - + -   3x - 2) :_(x + 2) - (2x 3

. . . . . . . . • .  _ --- --"--~ " -

2

-

3x f - ( 3x + 7 )

-

=

~ ~

+ -

-

bl

( x ' - 3 2) : ( x - 2 ) .- ( 3x -   9 )2 :   (x - 3 ) +  ( sx 3 + s) : (x

92 • Números reales

+

 1 )

=

- --

+ i . . . . . . . . . •

- + - 1 . . . . . . . . . ; - - '- - - ;

•

Factor común.

•

Factor común por g upos.

• Trinomio cuadrado

y

uatrinomio cubo perfecto.

•

Diferencia de cuadra os.

•

Suma y   resta de p tencias de igual grado.

• Teorema de Gauss. •

Expresiones algebrai as fraccionarias .

•

Simplificación.

•

Adición

y   sustracción.

factor   común---..~

Factorizar un polinomio procedimientos

+ _ 4 -

es transformarlo

_ 

en un producto

de dos o más polinomios

primos. Hay varios

que permiten hacerlo, y uno de ellos es el factor común.

El factor común   es el monomio

que se forma con el divisor común mayor de los coeficientes del polinomio

y la variable elevada al menor de los exponentes,

Ejercitación

+----

._Comp~etar-Iassiguientes

fa~rizacione;

)

 _-_ClJ__ 

J ~X5. -

-

d l ((__

'+ ( ~

)~ 8,x 2

fx

I

J )~ -

r   "9 [__

l x T+ : (

 4 '., ((

---

I

.-_C-oloc~ru-n-a""'x-a~lo-spolino~ios corr~ta-m-ente. fa~orizados! __  - _-aL5x_+_l~¿=,5(=-_+- 2 X ~ )_ _ ~-~,

 _bL3X"...+.6

-'

2

,

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f__

= -. -

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11

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25

3

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-.-- ---+ --_ _ _  •.... .... ...• .• -

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 _~l,2~i -T -_ L 8 )(2 .= .2 ,1 2 < .s..= ..3 x ,,: _f  l

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1

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l   e":6"x..o..-r-_g-x-;:.. 27x-~TI'x-,---,----

..•...----r----+

~_~-+_

I I

I

~

I _+llOx~)~

I

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--

I

I

I I¡   1-+ .dlu-1-=6x~+9xÉ.-=-24X~+~30~~=¡ T

._ _

~ -

I

--

I

_:;

-.

-

94 • Número5 reale5

, - 'J - w + H'= o ' - O, -~ ¡ ¡ I

20X~-h5X_~_5X(li_3~~

-

.. actonzar. os slgulentes.po 1n0mlOs;-----,---.---,_  -,-5 aLx =-x:"'+.x" = _ _ ..•. _ _ . _ o

3 -

!

> -_ -+ ~ _

-<-t-fl-+12X:...=...4xi-+_20x4 =bx:L(6L ~--r-----.-

F

 

  O -~_.. I   d1t' I c ~ ~ i,; ; '0----1-..

  =_3x2•. (2 ~_X~)_.

~---cLx~L=_X(J.

 _ _

I

lx 3

J - = :- x :_ ( ~ 3 1 = - ';(_ _

[

  [¡3~~2x_+:s-r]

 _ el (__ 

__ : _ 

) -JX ~ (3 -x ~ _( __   lx~l-.-_ -)T¡

2 _ * 5x 3 ) =]

 (3x -

~-=-bl (

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,

1 2 .1

 _al_4x-_ 8x2 ;'

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I

I

I

I

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~I í I

I

-!

 1

,

I

I

---i

-.

-

El factor común por grupos   se aplica a los polinomios que no tienen un factor común en todos sus términos. Se forman grupos de igual cantidad de términos de manera tal que en cada grupo haya un factor común, y a partir de la factorizacián de cada grupo, se obtiene un  nuevo factor común.

,2x 3+6x 2 .+,Sx+1S,=2x 2 .

a)

2x

2

( x+ 3)

5

n~r

n~r  

com ún

X 5 + 3x 2

b)

-

com ún

i d  +~

X3 - 3 =

= ( x + 3 )(2 x2 +5)

+ S(x +3 )

x3

= X 3(x 2 -   1 ) + 3 ( x 2 3

~

~ común

,4x 4 + 4X 3 + 8x~;-3x 2

e)

común

3 x - 6 , = 4 x 2 (x 2 + X + 2 ) - 3 (x 2 + X + 2 ) = ( x2 + X+ 2)(4x 2

-

2 4x

-3

.

nue vo factor •

\

nue vo factor  

común

d)

•.

U

~-

x 2+7x+10=x 2+Sx+2x+10=x(x+S) '-.-----'

'--.----'

x

2

Id .l 1

-.a ) ~2(x

'.   I

+ 1)+

.1

+2(x+S)

'---v----'

n u ev o f ac t or com ún

n u ev o f ac t or   com ún

I

1

If-

I b)

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I

  X+l+x(x+1)  

T I

I

-C-~X(X+1)

I

e)'~

I

 _

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I

I I I ~ 2 (X + 1 ~

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r  I

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I

I

I

I

I

!= ti-

EactodZaypor.grUPos.los.S¡guTienteS!POlinomios.

f -

)  L:+_Xl-+'j  a,. 13  I 2 ' s x_+I 5 r 

I

.-J-r  1 . _ l £ ' t f = f : -F t- _ .. 1 4

-

f -b)

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~ _ I

3 _

3x,

1

i

I

1

_

?_+   X:'-. 2x...-

1,

+ - 4 t' - ~ f 5 I

 e ,)_ 2 X t+ -¡ -

  ~-+I

1

 

l'. x -r 3 

1

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I

1

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1

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I

l.

1 1 ..

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:( 1 -x )( x + 1 )

f 

I

I r I[ -t-t-+ -, ---

-

I

•

1~(X-1)(X+l)

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 -L-l.

-

1- -,d)l   rx....tTx¡-=f_=¡L-_4 3 I I ~

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I

1

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- 1 "--

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I

+ + ~ ¡ l - - l : == J. ,- i- t -t I _ + . t 1

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I

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I 5 f . ' . -   3Xt:t_rX¡lfX

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1 ~ j T ~ -ítl I

• lactoqza~

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1

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-

I

I T

 

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-r-

I

- -~ --~ -~ _ . -1I

IE ,

-

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r ' ¡--r---+--J   -+_1   +---+-.+-+ I '

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1

-

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1,

'f f i t - - ~ 1-

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1':.

-,.   >-:(X+1)(X+1)f 

_ . .  _-t:(X -2)( -X +1) r 

j

x (x + 1 )(

 

~.

2 ( x +  1 ) l

+ 1)

X ( X 

=   (x + 1)(2- x)

2 ) ( x +  1 ) ~

i'I

.

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I

(X + 1 )

I •

, _ L -

x ( x+ 1 )

I

g  (x _

1 1  

x+ 1

  (jr~

J

=(X+S)(x+2)'

'---v----'

+ 1) IU~ .-

X ( X 

3)

-

común

! f  I l. I .. J nir.ei   aIPolm(¡mII.c~n.su,   ¡etonziClT'_ 

l

1) = (x 2 -   1)(x 3 + 3)

-

3

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I

I

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I t -

1

  18x¡l:-.16-"",¡-

I

1

i

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t- I

11I1

l. T .l I J I I 1 ,1 l . 1 . I L . I I . . l l ! l. l d 1 , 1 I . l o a 1 g undo ' . e sus,ter¡mlnos. ..por.g(UPOS, osslgUlentesjtnnomlos¡! d es.c om pn m len

  x0UOxJ_2J,

b)

x~lSx-+.I[¡)

l

eL2x(+

5x..:: I :.J7-

-

Números reales e 95

I

-1--+---

I

•. . ...-+--+---+--+---t--t....• .•.. ,~II--+I-t-I   --+,-.,.

-

........• -+--+---+--+---+--t- ........• + ''-

Tr i  nom  i o_cuad   rado_F'-e r:fecto-+--+--+--+-+-~I--+-f--,....--+--+-~'---......-...__ Un trinomio

cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de un binomio. 2

[ a + 2 a b + b 2 al x2+

-'

18 x

=

(a

b )2 )

+  8 1 = x2+ 2. x. 9+ 92= (x+ 9)2

bl 9 x 2 - 30x  + 25= (3X )2 + 2. 3x. (-5) + (_5)2= (3 x - 5/

Ejercitación

~~-

•

: : ¡ ~

: ::

¡

!

I

E E 1E

  E9~~

i

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~ + ;t --

Completados casillerosparaqueJostrinomio~seancuadradosperfectoso-+_+--t--+---<_+--+---¡'_"---i ¡

1

2

L--aLX-+-+ I

1

r - b

)1 I

(

I

. _+..•.36---41_

=- 1 A X - + J

L /

::J :(

 

+--+--4-""";

~-+---+--+---
I

I

•.... ,  --+1---+---"

)

... .- ;I'- -- + -I

-+-1

:

_

:

:

:

;

--->-"'--+--+----I--.

L + ~ 2 6 x.t-~4--+'---+---<_

•.... , .......•... --+---+---<---.; I

  1-.... '

I I I I I ~ I-t-I--+¡-f---+--+--+--<¡--+--t--+----¡-~-,....._t_--+: Factorizar.lossiguientestrinomios cuadradosprefectos'_-+I_+--11_+1 ~II---+--+---+-+--+--+--
al

¡ .

I

1

1

I

4

2rr-_xt-+_O.25~= I

 

  ---
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I

: : : ti -+

C)~

.,

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+ _ '~ ~

4 -,

I

I

I

I

1

I

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I

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I

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I

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I

1

I

I

I

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-

P tth ':~  

'1

¡

¡

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1 -- - +- -+ -- +:

Factorizarlossiguientespolinomios combinandolosprocedimientos'_+---+--rl  --fl-+ t + I ''

.J~3,l+12''.-+J2'r~ '

t

-+ ¡ -

,

- +--++ -

1

I

I

 b L .. .x . + 2x +  Xt2+_2X = ,

9G • Números reales

I

-L¡jJ~:' I

3

¡---+-

, , ~~~

I

= := :~ ~ :-= -~ -= -~ I

1

I

I

I

I

I

I

-

-.

I

Un cuatrinomio cubo perfecto se factoriza como el cubo de un binomio. 2 2 3 3 r a + 3a  b + 3a b + b

=

(a + b / )

x 3 + 6x 2 + 12x + 8 = x 3 + 3x 2 . 2 + 3 x . i+ 2 3 = (x + 2 )3

al

b l 8x 3   - 6 0x 2 + l S0 x - 12 S

= (2X)3 + 3.   (2xr  (-S ) + 3 . 2x . (_ S)2 + ( _ S)3 = (2 x - S )3

---

-.

-

El producto entre la suma y   la diferencia de dos monomios es igual a la diferencia de sus cuadrados. (a + b )( a - b ) = a 2

-

ab + b a - b 2 = a 2

-

ab + ab - b 2 = a 2

-

b2

En conclusión: ( a 2 - b 2 = (a + b )( a - b ) )

a l x 2 - 4 = (x + 2)(x - 2)

bl4x 2 -1= (2x+l)(2x-l)

I

I I 1 .1 .1 IJ I I I I l. faetonzar.las slgulentes.dlferenclasde.cuadraClos.

...-

I

~_ f -

l.

aL x

2

1-

I

1 ~

 l-i--l-

H d)

9)

el

x 6-9=(x 3 +3)(x 3 -3)

I

11 _ 

-- 1---

>---  b )

 

x_2 1

" := -L O O -:-

.

I

tL   2 5 X ~

8' --:

.

Números reales

e 97

Parafactorizar binomios de la forma x" numérico del polinomio sea O. 3

a)   P(x) = x + 8 = x

3

+ 23

= >   P(-2)

+ a"

o x " - a " , se debe encontrar el valor de x para que el valor 

=   (_2)3 + 2 3 = -8

+8 = O

Por el teorema del resto: x 3 + 8 es divisible por x + 2 .

o -2

-2

1

(x

3

+ 8 ) : (x + 2) = x 2

b)   P(x) = x

81 = x 4

4 -

-

-

34

2x + 4

=>

= >   P(3) =

Por el teorema del resto: x 4

-

- - 2

x 3 + 8 = (x 2 34

-

4 -

I

Ejercitación

98 • Números reales

I

4

- 8

4

~

2x + 4)(X + 2)

81 es divisible por x - 3 .

8 1) : ( x - 3 ) = x 3 + 3x 2 + 9x + 27

I

8

3 4 =   81 - 8 1 = O

3

(x

-

o

=>

x

4 -

o

o

o

3

9

27

3

9

27

-

81

81

~

81 = (x 3 + 3x 2 + 9x + 2 7) (X - 3 )

I

I

fa l¡tO ¡l a J o a\

2

3 I v

.1F..a4

101

~i~ UiE n14 s.blnojn ic s

el

4 v

ób S

 za   ~~Uie.ntE   cs-pplir00 ios   .conbj~al de  10
a l 4Y

 

nR 3 -

Irll   x:.-l :.2

3

 J   1) ;v2

~ 25n

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I '--

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-

Iv

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I

I

I 1

Números reales e 99

---_._---_ 

.. _ ~

-~

 j I

, .,

I

I

: _Uniuada.polinomio.con.suJactorización.

I

T

I

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I

a l 1 : x3

~

+  x 5

-

r:

x.

~d)¡:

~

~I

IJ ! x3

+ x6

 _ 

x

I

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I

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I

( 1 +  x

 3 .

 2

x) ~

-

I

x2

- 'o I I

I ~

el

. . . . •  _ . . + -

I

¡:

x

x

6  _ 

3

+x

5

x

+ x.

( x 3 + x  2

~_X3.

,

I 1) Ií

-

IE

I

i

T 3

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1

,

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( I

1 -+ -r- - ) i - 5 d 

x

5

+ x2

-

x.

x

3 .

(x

+  1  +  x 3) I

2

l

I

I  2

I ~

x

I

+  x

(x .

.

I

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I

I

 _ d I X - = - . + J

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1

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I ;

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1

I

I

, I

100. Números reales

i

¡

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I

I

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I

i

I

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I

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I

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I

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  l~bL.x~81-1 i

I

I

I

I

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I

B_Factorizar.los_siguientesbinolnios.

~al

I

I

I

I

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+-i.6 4 24 x

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I

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1 -

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1n ~  bl  x~c:=-j_e  _di lSi~je..~or   x-la   ¡sLr  eS,par. ¡ -

1 . -

d"L YlSJ 'tk .  1~o r   x+a   ¡:,Lnes .   m¡:ar 

n In eL x'-:i:-j-e¡-

1 n In   J.-d' l isi  .Je..¡Dor    ¡:,Lr e s -  Jar. 1 . dl  x'-:i:_j_e x+a '1 ,1 xn F-~~eLdl   jSj~le..¿OL X-la ¡:,Lr . esjmpar. 1 -e)

I

1n "¿ l e.. ,O L   ¡sin .es. Jar  1 . fl-   x~ F-j_e  _di ~S'l x-ta

1 -

1n

g)   x~ F-j_e

1 -

h)

.d t   jSi11e..~OL

x~ :I-J~s_dl

x-ta

al   x~~.-5~

-  b) 12

3

 

1 _ 2x

'(/;':y

  ¡sLn eS.l mPPL

. '~ l e..por  I   x_-f a ~L D es.har  lSJ

11Eactoriza   JOBiguientes.polinon 1 -

l ' '1

l '

l

1 -

1 -

l'

falsol,segun.eor esponra.

lt 10

1 3 x2

3

=

l ' '1

1

,

'-( ~

1

ios combinando los procedimientos.

Id) L.   ::f-_X~   9.x: = -~x~

 

e)

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¡

~ Números reales.

101

I I I

I

Jeorem,Lde I

I

  GaU55

I I

1

I

I

I I

I

La  raíz   de un polinomio es el valor de x que verifica que su valor numérico es Oy puede tener a lo sumo tantas raíces reales como el valor de su grado. Todo polinomio de grado

con n raíces reales, puede ser factorizado como:

n,

P(x) = ax

Por ejemplo: P(x) =

X

2

-

X -

X -

-1

+ ...+  e x +  d =   a(x - x,)(x - x 2 ) ...( x - x n)

¡

6 .

2 P(3) = 3 - 3 - 6 = O ~ = (_2)2 - (-2)

P(-2) 2 P(x) = x -

+ bx n

n

Xl

=  3 es raíz del polinomio

- 6 = O ~ x 2 =   -2 es raíz del polinomio

6 =   (x - 3 )(x + 2)

Si un polinomio tiene su coeficiente principal igual a 1 y su término independiente enteras son divisores del término independiente.

es entero, sus raíces reales

Para hallar las raíces reales enteras de un polinomio, se deben encontrar los divisores del término independiente y   probar cuál de ellas verifica que su valor numérico es O. Por ejemplo: P(x) = x2 + 3x - 10 Los divisores del término independiente son: 1, - 1, 2, - 2, 5, - 5, 10 Y - = 10. De esos 8 valores, solo 2  y   -5 verifican que el valor numérico es O: 2 P(2) = 2 + 3 .2 -1 0 =   O Y P (-5 ) =   (_5)2 + 3 . ( -5 ) -1 0 = O 2 P(x) = x + 3x - 10 =   (x - 2 )(x + 5) También, se puede hallar una de las raíces y  aplicar la Regla de Ruffini: Por ejemplo: Q(x) = x3 + 4x 2 +

6

X -

Los divisores del término independiente 3 Q(1) = 1 + 4 . f  + 1 - 6 = O

son: 1, -1, 2, -2, 3, -3,6

4

3

x + 4x

2

+

X -

6 =

(x

2

-6

1

5

5

6

+  5 x +  6 )( x - 1) ~ Q (x)

6 ~

=   ((x)

((xl

((-2)

=(_2)2

+   5. (-2)

+6

o

=

5

-2

-

2

3

6

-

6

~

((x) =(x +  3)(x + 2) Q(x) =((x ).

102 •   Números

reales

(x - 1 ) ~

Q (x ) =(x +   3)(x + 2 )(x - 1 )

. (x - 1 )

Y -6.

[-W

_.

-

I Un LCfda triiO,jo.fo~_eL  

•

a)

x2

~

-

-T

b)

-O

i3

I

+  x 2

-

i

_.

1\

__

- x2

d) ~

I

X

  4x - 4

1,

'e l

~

x3

-

3x2

bl . x 2

I

-

;)

3

X

••

10

I

x=3

2

j

I

.,.... 1 -

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I

-

,

,

x=-l

x-

-~

x

2

+3 I

~ ~ x

3 1=

nomios.

1 I

f -

+ 2 x

2

r 

I

.-

x

+  2

lEa4tOr"zarJOHiguientjS-tr'

~

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1 1)

I

x=l

--¡;l

 

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1 "\   x:"';i:..2/L=15

l:

+ X + 2 1

2x

I

f)

11

-

2

x3

.

-

I

~

!) ----

l'

JosJlalar  ~S-que sec n,r¡ícE s.de_ellos

I

x3

i< a

1

~

2

X -

-l

1 - -

~

  6JL-t-

eL   x:'"

IR -

_3x

IR

~

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-

--r-t  _aétodza~o a) y3 L J 2

..5iguient~s.ppliria~ios. _    ¡;x..J... ,1 _

Id}

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2

A

,

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y3

4/\.=--= r - Z X

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x

2=

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I

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""

Números

reales

- 103

I I

I

i

I

I

Expresiones_a Igebra ieas_fracciona   rias._5.im~1ifjeación ¡

I

,

Una expresión algebraica fraccionaria es el cociente de dos polinomios:

  I

I

I

I

I

P(x) . Q(x)

Parasimplificar expresiones fraccionarias, se debe factorizar su numerador  y denominador los factores comunes en ambos.

(x+2)(x-2) x 2(x-2) b)

2

x+2 =~

(X +3)2 x .(x+3)+2(x+3)

+ 6x + 9 x + 3x 2 + 2 x + 6 x

_ (x+3)(x+3) - (X 2 +2)(X +3)

2

3

para luego cancelar 

_ x+3 - x 2 +2

Ejercitación ~ ~ 4

.~Simplifi

I

I

caL las sig u ientesexpr esion esalgebraic as.   fracci~na~ias~

= 2 '~ - : _. _ 2

~ -

+ 1

2

x -+ c-bl..• x --

I   IdLx2l10x

I

+ . 25'

3 ~ ;r;

1 -1

  ----+ ------,-'

!

i

+ 1 + ~ + + ~ f -

x - 2   _=_~_~.L-...L-.-'---'---'-_ 2x - 3

+

2

I

!

2x - 18 _=

---.al

1 ,1

-

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----+---t-

--~--'-~-~-~---4--,-.~......---l--+-~.~~

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----+ --~ = = = = = = = = = = = = = = -,.= = = := .~ = :~ ~ -.-:--._ r---~ --

- . - = - ' - _ - - _ - . ~ - _ ~ - _ - _ - _ ~ - _ - - l - - ~- __

1

I

H

- - ~ - - - - ' I ~ ~ . - ' = = ~ = = ~ = = ~ = - - ~ = ~ - = .~: _- -~~=~ _~- ~-=~_ +~= ~ '~- ~~: - ,! .-- ~- + - _ l _ : = .-¡ .. . = = ~ = = - - : ~ - _ : ' ~ - . . . : . = ~ - r n

----+------~ ---,. .. ... .-~

~cl

4x x

2

J

-~~....J.

+

  ---+

  lOOx

-

4x -

--.-

'1

I

5

~ ----

-

I

. , i-

-

I

o

-¡-----.------;-:...+

~

._--+-____

,

~

--

-

104 • Números

reales

. . . . . . . ~ I

--+-'----+ - __

  l-

_ _ '-

. . ¡ - - . - j - '- - - '- - + - - + - - - o - - + - ~ ~ R

_ _

'- _ _

  + ~ -

-.

-

Para multiplicar

o dividir dos expresiones algebraicas fraccionarias, se procede del mismo modo que con las

fracciones. P(x) . R(x) Q (x) T (x)

r x+ 3

a)   lOx-lO

x2 _ 9

. 5x - 5

=

1O (x-1)(x+3) (x - 3 ) ( x + 3) .  5 ( x

2

S (x ) . E (x ) = S(x) . G(x) .   G(x)   ((x)   E(x)

((x)

-

1)

=

  0".eL   ~ligJie+es

lO x2

- -1

2x

--1

15 * 2

I  x 2

6 x 2

ml   ltlJ

4 1x 2

1 X

lic; de ne   _y_civj~ joJ

_   4 x( x '- 2)

-

3 (x+ 1 )

. (x -2 )(x-2 )

-

3 (x-2 )

.¡,2+ 3x ~ 4 ' 3   + 3 X1 2+ x - It 3 x 3 1- X + X -   1 ~2 + 2x L..3

1 - 4 - 9*

8x3

(x + 1)(x - 1) _   4 x(   x - 1)

es.

r -

lb ) x 2 + 8x + 15 . x +

1

2 x - 3

-

e Be

_

P(x). R(x) Q (x ) . T (x )

8x . x 2 _ 4x + 4 _   4 x ( x - 2 ). . (x - 2 )2 4x  2 3x+ 3'  . (x+ 1 )(x -1 ) x -1 - 3 (x + 1 )

b)

~\

=

.-

1 Ox -

~ 2 5_  

é'x 2

d\ 

t=

2x 4 . .. ., 1 6 x . 1 0x 5 + 20)(4 -ti 40x3 k 3 -*   4xP + 3x x3 - 7 + 6

'"• . . .

N

Números reales e

105

:

I

I

 Adición_y_su strachi 6n I I

de cada una y

Para sumar o restar dos expresiones algebraicas fraccionarias, se factorizan los denominadores se procede del mismo modo que con las fracciones. a)

b)

+ ~ _ 2x + 3x _ 2x(x - 1) + 3x. 5 _ 2x 2 - 2x + lS x _ 2x 2   + 1 3x Sx + 5 x 2 - 1 - s(x + 1) (x + l)(x - 1) - s(x + l)(x - 1) - s(x + l)(x -1) - s(x + l)(x -1)

~

x

+  2

x 2 + 2x + 1

x+2 (x + 1)2 -

X

x+ 1

X

x + 1

x+ 2-x(x+ 1) (x + 1)2

=

=

x+ 2-x 2 -x (x + 1)2

=

-x 2 + 2   (x + 1)2

Ejercitación

I

,

I

"

I

;

I 1eU_'l_  +Ix l x2 _ 9 x+ 3 I I

. 4 +

I

I

I

I

I

I

I

,

I

I

I

I

I I

I I

I

I

I

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~ ' .. ' ' + -

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1

I

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 _ ~ _ ~ '_ ~

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I

 

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I

I

I

I

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I

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I

I

I

I

I

,

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I

I I

-

106• Números reales

-- '-

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-

f 

I J io ]   es.. . I er_ S..519 S..1519 Resob   er_ . 1 1 lente lentess op-rJi op-rJi io]

- -'iL { - 2 X

h\ 

x2

+-'~b)'

f- 2 x

x

Ir\ Ir\

L

x2

x3

-

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X

3

1 :; f+-1

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3x

al

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I

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1 ••

x 2 2 x -1

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,....

 8

x 2 + 4 xx-

x 2 -1 +x + 1 O~ O~ +

In

(x

1+

. x 3¡ + 2 x 2 12 . x2

 5 ) L -   2(2 ( . 1 2 _ 

25

+ ji )

4

x x

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9

3 ~~22 _   1 5 x

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I

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Número Números s reales reales e 107 107

._Fac ._Factori toriza zaLy_ Ly_reS reSo~_ o~_las las

!

Si~Ui~ Si~Ui~nt~ nt~s_e s_ecua cuacio ciones nes.~: .~:

aL;.:2 =,-_x= =,-_x=-20 -20_:= _:=_O. _O.-+-+-~_~ ~_~ __

~

Cl~2x~ Cl~2x~+-5 +-5XX--:i -:i:-_ :-_L~ L~nO, nO,

I

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I

I

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expresioness ~UnirJas   expresione

_

_ _

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-~

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-

--+ ----+ -------+ -+ ----t--'! '!---t------'-

algebraicas algebraicas   fracciona ivalen lentes tes._+-~~_-+-~ fraccionarias rias eq uiva

_ 

al

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~bl

2x

2

2x

2

x

 __ _ cl_  cl _  2x

3

3

+

+

5x -

-

7x

3

27

-

6x

+

3

2

+

4x

2

2x

2

-

+

12x

+ 5x

-

9

x

12

--t---+ -+ ---

2

+

6x3

4x -

5

---,--~

I

bL

---

~

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-

3x

-

3

.•.••.

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3

2

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X

-

3

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I

3

+!  5 4 + 3 2x2 + 2x

4x •.....

Número5 reale5

+ - ~

24x

--

3

2x

18x

x

108.

  -+ --+-7 --+---ll-ii-----,---;

60x

. I

 

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1 .

1---

I

Re~Ol1eaasJi9Jierites al I 1 I Ix xl

2 x + '-' -

surbad_y_r~st~s. ---;3 ---;3

2 x +{ -

3

Resol¡edas.siguie .siguientes ntes I D   Resol¡edas

- al

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4

x

2 _'

4

I

- 4 . 3( 'X

x 3x -

1

1

X   ..j'

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J

 

..

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1

I

x 3x - 3

x 2x

+

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operaciones'ro operaciones'rombinad mbinadas. as.

~_1

2

I

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 3 x -1

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x

2 ,

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x-r2

-

l' x - + 17 .. 2 -10 x --- 5 x~ - 16

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Q.

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Números úmeros real reales es e 109 109

I

I

I

~ (X -7 )(X ) (X + 2 )

T

I

I ~   (x-7)(x-7) I

I

t-

 

I

e -

I

~ ( X +  7)(x + 2 ) J

 _ b L 64

- '-

3

5x

-

X

 =-l~_  J

I

1

I

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I

,1

1

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~I,II

~_HalIac,lasraíces_y_  _a)~

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I

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~29x-~30

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, I

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I ¡

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I

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Núme Número ro5 5

I

real reale5 e5

I i I

I

I

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I

110• 110•

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I

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I

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I

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I

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-

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2

+x +2

2x ~

x

-

I

-

2 15

+ I  8 "T 12 + 6 x 12 .

Nú mer 05

r eal e5

-

111

,

1 T

liT

I

i

I

I

I

lID_Reso vec aS.slgutentes,operaciones_com i b,l di l ' ma as. I

I   1,

I

1,

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I

1]

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~

x

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I

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I

I

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I

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I

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I

I

I I

112 • Números

I reales

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I

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I

I

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I

I

I

I

I

I

I

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I

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I

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I

I

I

I I

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I

I

I I

I

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I I

, I

I

I

I

I

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I

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X _ I3) 'x -12

+ 1 3'

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I

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I

I

I

I

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I

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I

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I

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I

I

I

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I

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I

I

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I I

I

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I

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Para trabajar en clase I I

I

I ¡

I

I

I

I

. ~ ..... f~  _uncIQn aln E

-.

[

I

. I

-

Una función cuya fórmula es  y = ax   + b es una función afín, y su gráfica es una   recta   en el plano. Los coeficientes a y b representan la  pendiente y la ordenada al origen   de la recta, respectivamente. y = ax + b -)

ordenada al origen

1

y

pendiente •

La ordenada al origen b es el valor donde la recta corta al eje y (x = O). y=a.O+b=b

•

ordenada al origen ~

La pendiente a es el cociente entre la variación de la variable dependiente y la independiente.

' \ , .

ra lz

Para representar una recta, se consideran las variaciones de las variables a partir de la ordenada al origen. a)

y

=

tx

y

+2

7

Y

b)

=

4 4

+ -ri- T th

- - ~ ::::¡ :~ :, I

Ejercitac

 __

x

un iL Cada.pu nt o.c on

114 • Números

reales

.

la rec ta a la cu al pe~1

,

I

I

, I

-iX -1

y

I I.J  j J   I Hallar la.ecuaclon.de.cada

I ,1 i . - J . 1 I J [ una.deJas.slgUlenteHectas.

I

I

I

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x

1/ 3 : j

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I

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1/11 x

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x

2

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\

4

_

Graficar.cada.rectaa.parti 1 -

aL y_t3

.deJa.per die nt

1

yJa.ol denada.a 10rigel .

bl .y_- ¡ p < .

I

- - - 1. 1 " '

y

y

y

•

Hallar a.ecuacián.deJarecta.

r-laL (2;LL~k(.) L ; u .)

x

x

x

ofue.pasa.porJos.siguientespares

de [Puntos.

ihL  (5:.:=.J   ).y.l=.

O .; t=-2 )

N "'

•...

Números

reales

e 115

Para trabajar en clase

¡

I

Ea ca lel  i5mo~y_f 2 . e c f 2 . e n d icu l a d d a d I I I I Dos rectas en un plano pueden ser paralelas   (11),   perpendiculares   (1.)  u oblicuas   (1). Dos rectas son  paralelas   cuando tienen la misma pendiente,

Dos rectas son   perpendiculares cuando sus pendientes son   inversas y   opuestas.

x

A: YI { B: Y 2

mx

=

mx

=

+  b ¡ + b2

C: Y l

A II B

=>

{

D:

Y2

mx

=

=

+  b ¡

1 x

+ b2

m

=>

C. i D

Si dos rectas no son paralelas ni perpendiculares, entonces, son  oblicuas.

Ejercitación

{x

f---b}-

+  y

=

8

 y-x=l

Rectas

-=

oblicuas I ',1 1

: Hallada.ecuación

j e [,el l ..£ara n  _ a

I a.j'a.recta "roja.y.que I

1

pasep oLeLp uDto.(   -2.;.1).

 __

I

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:

:

IIG • Números reales

:

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'

delarectapedidaen¡cada.caso.

, 1a.recta.roja. !, y. ~ I _r:.erpeo  bln I d' IC UI  j arIa. I I I I que pase.poLe LpuDto.(.1.;-=,Z).+-t-}/J I I 1

I Y. I

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I

e7

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..

I

tJ e

L

J

L

!  le::

df9-Pf~t'f  I

I

-

La  distancia entre dos puntos de un plano es la longitud del segmento que los une. La distancia entre a   y b es la longitud del segmento

y

y---~2)b ']

ab .

El segmento

ab es la hipotenusa del triángulo

t,

'

rectángulo abe. Aplicando la propiedad pitagórica se obtiene:

a 5 2 = (x 2 Entonces: [

XI

Y , ---y

)2 + (Y 2 _ Y I)2

a5 =

)h-

Xl /

i

- - - - - -- - - - - -- - - c;

¡

, , , ,

X2-

X,

,

+ (Y 2 _ Y I)2 )

m t = )(-4 m t = ) ( _6 ) 2

; 3)

b)

- 2 )2 + (3 _ (_5))2

•

0 = (-3 ;

l. ~

I

J

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10

1.

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X2

2)y p = (-1

)i

, XI

;-2)

(_ 3))2 + ( -2 _ 2 )2

o p = )(-1 -

+  8 2 = , ) 3 6 + 6 4 = J l O O =

~c

I

X,

a) m = ( 2 ; - 5 ) Y t = ( -4

Y 2- Y ,

+ (_4)2 =   F+16 = J20 = 2 1 5

J

Hallar: a.Jrnditukd~LS~gr  ento.lis. en.cada1caso.

-a ) t r T - ( t ; - 9 ~ . ; '1 ) I S~ ( ,

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I

I

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L {L "":"-( ~ -'\, 

._s_,=-,_(-2-;=-4,

Halla rleto.! os.val ores. e ex¡q ue,verifiq uenJas.sig ulentes.   on'diciones. l 1 I;¡\ a.C listanC 'Z),  _ y . . (('.) l ILa~'.  _djst~nda.eo t[E (x .,:.X ).y .(L   ;.Otes   guaLa.' h\ ~ la.enI  t[Jfl( x •. \-+..4..e s-lgua

1 - -. • • • •

I

I

I

I

I

. HalIar~do~.p Jntds.deLdJado.cLya!   di~tadcialaIJunto_(h.;

I

I

I

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'>:r~~~J.~  ' ?; ";

._

Toda recta divide al plano en dos   semiplanos. Los puntos que verifican una inecuación lineal determinan cada uno de los semiplanos. y

/ / /

 y>x-l

/ /

/ /

x

x

Las rectas paralelas a los ejes cartesianos también determinan semiplanos. y

I

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I I

I I

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la inecuaciónque.correspondaa

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Ejercitación

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1

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I

 

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I

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+ + -

  Representar 

I---'a)

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I

I

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I

los siguientes semiplanos.+-+-~

: S : - X _ - : - _   3..---.

t ~ _ _ < -

-+

 b)-+y_> x -r= -  2_ 

. .• -   ---<

-+  ---,_..+--,-_

  4 _ ~ _ '

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118• Número5

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dL ~ I J 1-~5~efl;5-flo re ~abihdec~ I I I L

.1

.-

-

Un sistema de inecuaciones es un conjunto

con dos o más inecuaciones lineales. La solución del sistema es la

intersección de los semi planos determinados

al

¡

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f:

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y

conjunto solución ./

!

-x - 2 - 2

y>

por cada inecuación.

 b l \'

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Re I

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I

Números

I reales

I e 119

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11

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R IaS.tresrectasa.partlc 'di e. 1 a.pen d,i l' dJ   d a.a' 1  .o~lgen. 1 __epresentac I 1, tenteY,a.or ena I

 A,

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11

1 _Q ue. pase .p oL1 aJn te rs eCC l~ n.e nt[eA Y I

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I

I

I

I

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re cta L.Q ue.p ase .p of. (6  -=3). I

I

I I

I

I

I

I

I I

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I

5I

I

I

I

I

r-b   l.... Para JeJ a.a la recta B..Que.pase.poL( J.; 5).

,

1:

recta.pedida1en;cada.cbso. I

.-£erp endic ula LaJa

I

I

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 _I:!allar.~.ecuaciónde.la

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t t t 120.

Números reales

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I

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de oSiSeJmJntJs

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1_(

-Marca r.cin. u1naxJa(espuesta

.correcta.

....•..

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f -

Halla reLoJos.val o res.de x paraqueJ a.distanc ia.e ntre.r.y

•

tseaJ

O.

Eseri I)ida.in ecuació n.q ue  corresponda   a.cad¡isemiplano.

I

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I

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I

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1.

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Numer05 reale5 e 1 2 1

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I

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I

Eunción_va   lor~ab501uta ,

1,

I

I

I

La función módulo o valor absoluto se define como:

y=lxl)'

)

y

I

= x

+2I

{

X

,1

I

I

'

I

y

x2:0=>y=x '\, x < O => Y = -x

Para graficar funciones con módulo, se debe redefinir la función aplicando

a

I

+ x+

2 2

2: O   =>x 2: -2 < O =>x  < -2

=> Y = x + 2 => Y   = - x -

b) y

2

=

la definición

Ix - 3I +5

I

del valor absoluto.

  X-3>O~X>3=>

y = x- 3 + 5 ~ x - 3 < O ~ x  < Y   = -x + 3 + 5 ~

Y 3

= x+ 2 => Y   = -x +

8

I I I I I I I I

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Ejercitación

+ --r--+ --,

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I

I

I

x

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1

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•

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XI

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I

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y

=

Ix l +

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x

11

y =J x -

122 •

Números

Ix l

Y

=

Y

=

reales

I x J-l

'

¡ I y

1

y Y

I  xl-1 =I x + 1 1 -1 x - 1 1 =

y=-lx-11

y=-l x l+ 1 y=-lx+ll

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y

x

x

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I

y

y

X

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I

I

1

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x

Números reales e 123

.

-~ I

," I ' auca '-J " t'Ica E  _unCIooTcu

I

I I I I

I

Una función cuya fórmula es y = ax

2

+ bx + c es una función

cuadrática, y su gráfica es una   parábola.

Para realizar el gráfico de una parábola, se deben calcular: sus   raíces, su eje de simetría, su vértice y su

o r d en a d a a l o r ig e n . y

•

Raíces: -b ::l::Jb

2

- 4ac

2a

•

Vértice: (xv ; Yv)

 <

/' Xl \.

X

=

X

Xl

v

2

 + X2

b

22

2a

Yv = axv

+ bxv + c

ra ce s

~ x

•

Eje de simetría: X = Xv

•

Ordenada al origen: en X = O::::} Y = c c

"\

/ '

ordenada al origen

punto simétrico

,,,\ I

  vértice

I

I

Ejemplo:

y = x

2

- 4x - 5

, 4::l::~(-4)2_4.1.(-5) Ralces: 2.1

Vértice:

<

4 ::l :: 6 2

/' \.

Xl x

2

=

5 =-1

X =5-1=2 v / Yv = 2 - 4.2

~

V = (2; -9)

I

Y

- 5 = -9

I N

:

11

IX

Eje de simetría: X = 2

I I

Ordenada al origen: y = - 5

I I I I I

-1

 Análisis del gráfico de la parábola: de ceros: C

Conjunto

•

Conjuntos

•

Conjunto de negatividad:

•

Intervalo de crecimiento:

•

Intervalo de decrecimiento:

•

Mínimo:

Números

reales

= {-1

de positividad:

(2; -9)

•• 124 •

O

•

; 5}

C+ =

  (-00 ; -1)

e= (-1

(2;

  +(0)

(-00 ;  2)

; 5)

U (5 ;  +(0)

2'

5

x

I

.

-

•

1 1 1 Ma!rca.ce  n_u~a-XJa~r    ción_que.  af espande. ¡LCad'1gf~ici" I

\

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I

y

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b}

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2 -1 Y

6

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2

11

j

- 2 -1

x 2

y Y Y -

2

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2 \/ 1

1 " ,1

y

..l-

Y

=

_x 

( x + 2 )2

Y

=

_x 

2

2

\ 1

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1

x

-

= x + 2

 2

-

= ( x + 2 )2

-

Y

1

/1

y =   ( X - 2) 2

+ 1 -

/

/

j' . "

1 )2

(x

= x 2 + 2

 J R 

1

\ y -

11R e ;   lizaLelgjfi(a.>,   edná

\

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-5 .

I

2

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I

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Y

J.~ IasI . . t l isis..de~a s ~LQUlen es.,paraa

IX

-

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r-+-,

r-LJ--.J.' I I I ,

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I  j-

I

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I

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I

 

I

Nú mer os

r eal es

e 125

I

i

I

I

Ecuación_canón iCtiLy_factorizada

I

I

I

I

I

I

Hay tres maneras diferentes de expresar la fórmula de una función cuadrática: y

= ax 2 + b x + c = a(x - xS

.

.

+

.

Yv

  = a (x - x ¡) (x - X 2 ) .

,

,

E x p r e s i ó n f a a o ri z a d a

Expresión canónica

Expresión polinómica

La expresión   canónica   explicita el  vértice de la parábola; y la expresión   factorizada, su s   raíces. Para encontrar las diferentes expresiones, se debe partir de alguna de ellas: •

A partir de la expresión polinómica:

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A partir de la expresión factorizada:

y   = (x + s)(x - 7)

vértice:)" )" . '\. '\. y

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Expresióneanóniea

(x + s )(x - 7 ) ~ Y = x 2 + s x - 7x - 35 ~ Y =/

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Expresión polinómica

Ejercitación 1,

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I

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I 1, de caIda.unade H a 1 1ar_a I expreslon.po ' , 1Inomlca " i

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12G•

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~ y   = (x + l)(x + 5) ' , Expresión factoriZada

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Expresión polinómica

.~_ ..-

,

Expresión faetorizada

A partir de la expresión canónica:

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•

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•

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Euncione=LpoÚnómicas I

I

I

Una función cuya fórmula es y a lo sumo n raíces reales.

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I

ax

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de grado n y tiene

El orden de multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que esa raíz se repite como tal y determina función toca o atraviesa el eje x. • Si el orden de multiplicidad es par,  la función toca el eje x pero no lo atraviesa.

• Si el orden de multiplicidad atraviesa el eje x.

si la

es impar,   la función

Para analizar el comportamiento de una función polinómica, se debe factorizar su fórmula y obtener todas sus raíces. n n y =ax +  b x - 1  + ...+  e x +  d =a (x - x n) (x - X n _ ¡) ... (x - xJ(x - Xl )

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L Ejercitación

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y

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Y

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(x -2 )( x + 2 /(X - 4 )

y

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Si una función es continua en un intervalo de su dominio y tiene distinto signo en sus extremos, entonces la función tiene, al menos, una raíz en e se   intervalo. y

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f(2 ) { f(lO )

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Las raíces de orden impar determinan los conjuntos de positividad y negatividad de una función polinómica.

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Ejercitación

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Razon azones es trigono trigonom métricas étricas..

•

Reso esolución lución de trián triángulos ulos rectá rectán ngulos ulos .

• Teorem rema del seno

y

el   coseno.

•

Resolu esolució ción n de triángu triángulos los oblicuá oblicuáng ngulo ulos. s.

•

Relació elación n entre las razon razones es trigono trigonom métricas étricas..

•

Identid Identidad ades es trigono trigonom métricas étricas..

I

I

Para traba trabaja jarr en clase I I

I

Razones_trigonométricas

..

I

.

Un triáng triángulo ulo rectángul rectángulo o tiene tiene un ángul ángulo o recto recto y dos agudos agudos.. Respecto de e l:  C es el   cateto cateto opuesto opuesto  y B el  cateto adyacente. adyacente. Respecto Respecto de ~: B es el el cateto opuesto  y C el  cateto adyacente. Respecto Respecto de ambos ángulos ángulos siempre siempre A es es la la hipotenusa. Propieda Propiedad d pitagór pitagórica: ica: A2 = B 2

B

+ C 2

Las La s razones trigonométricas   relacion relacionan an la amplitud amplitud de los los ángulos ángulos agudos agudos de un triángul triángulo o rectángul rectángulo o con las longitu longitudes des de sus lados. lados. Cateto opuesto Hipotenusa

--+

Coseno de un ángulo:

Cateto adyacente Hipotenusa

--+

Tangente   de un ángulo:

Cateto opuesto Cateto adyacente

--+

Seno de un ángulo:

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I

Para calcul calcular ar la amplitud amplitud de un ángul ánguloo agudo agudo de un triá triángul nguloo rectán rectángul guloo cuando cuando se conoce conoce la longit longitud ud de dos de sus lados, se deben deben utilizar utilizar las razones trigonométrica trigonométricass y  la calculadora calculadora científic científica, a, a)

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Númer úmer05 05 real reale5 e5 _ 141 141

Las razones trigonométricas permiten resolver múltiples problemas en los que hay que calcular distancias entre objetos que se encuentran a diferentes alturas. Para ello es necesario conocer el ángulo de   elevación o depresión que existe entre ambos. La distancia entre el punto o y   el s es la longitud de os, y la altura a la que se encuentra o es la longitud de Or. El ángulo a   se denomina

, ,

, , , , , , ,

de  depresión; el ángulo ~, de   elevación;   y ambos son iguales por ser  alternos internos entre paralelas.

I I

Ejercitación

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Números reales

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144.

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,

-

El teorema del seno relaciona la longitud de cada lado de un triángulo oblicuángulo con el seno del ángulo opuesto.

CE

ac

a l)

sena

senb

senc

a

b

Se utiliza cuando se tienen dos de sus lados y  uno de sus ángulos opuestos o dos ángulos y  uno de sus lados opuestos.

e

a) Con los datos del triángulo, se puede hallar la

b)   Con los datos del triángulo, se puede hallar la

amplitud del ángulo p .

longitud del lado

m t. a

o

m

p

6,8cm sen48°

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=

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P

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sen 47"

sen

96°

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Ejercitación

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I

1

14G• Números

reales

•

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•

b

Se utiliza cuando se tienen dos de sus lados y   el ángulo comprendido.

+  =Cu2 + (52 + a 5 2

= - . Cu - 2 . ac . cosc'

- 2 . a 5 .   (5 . cosb - 2 . a c . a 5 .  cosa

a

Cuando se tienen sus tres lados, se puede hallar la amplitud de cualquier 

ángulo interior, por ejemplo, para hallar la amplitud del ángulo

e

=arcos

2

ac

= 2

+ Cu

e:

= 2

e

- au

2. ac . (5

a l Con los datos del triángulo, se puede hallar la longitud del lado br.

b l Con los datos del triángulo, se puede hallar, por 

ejemplo, la amplitud del ángulo

g. f 

b

e 42°

\1 c.li'

o

2 5 r 

=   (13cm)2 + (11cm)2

9

-   2 .13cm.   11cm.   cos42°

9

=   arcos (8cm)2

9 ~   arcos

0,6 = >

+ (11cm)2 - (9cm)2 2. 8cm. 11cm

9 ~   53°46'42"

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Números

reales

e 147

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148. Números reales

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I

23~ 13 C11

(

Números reales - 149

Las razones trigonométricas inversas multiplicativas del seno, del coseno y la tangente son la  cosecante, la secante y la  cotangente   respectivamente.  

Cosecante   de un ángulo:

 

Secante   de un ángulo:

Hipotenusa Cateto opuesto

-+

cosec a

Hipotenusa Cateto adyacente

-+

sec a

Cateto adyacente Cateto opuesto

-+

cotg a

Cotangente   de un ángulo:

=

t 

1\

= ~

=

  cosec ~

sec~

1\

= ~

= ~

!   cotg ~ 1\

=

%

C

Además: tga

=

I B

=>

tga

=

A = > tga

-ª-

=

  sen~ cosa

-+

tgx

=

sen~ cosx

A

Por lo tanto:

1

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1

1

1\ [ ~ecx

_ 1_ .

=

senx.

=

_1_: ] cosx..

1\ [   cotg

x

=

_1_. ]

tgx .

I

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I

I

I

I

Aplicando la propiedad pitagórica se obtiene: 2 B + C 2 =A 2 Dividiendo ambos miembros por A 2 : 2 2 B C + -(:>-,2-  _- K A2 = > ~ A2 + ~ A2 _ - 1  = > (-ª-)2 A + (I)2_ A - 1 De la figura se obtiene:

Una identidad trigonométrica es una igualdad a la que se llega utilizando las relaciones entre las razones trigonométricas y las operaciones entre ellas. a)

tg 2 ü  +  1 = sec 2 Ü 2 •

sen a + 1=_1_ eos 2 Ü eos 2 Ü 1 sen 2 ü + cos 2 Ü 2 cos ü cos 2ü 1

eos 2 a

150.

Números reales

1 =

cos2 Ü

b)

  secé. eotgé

eosecé

=

  eos~ cos~ sen~ 1

. ' . =

1

sen~

1

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sen~

sen~

. =

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Histogramas.

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Factorial de un número.

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Variaciones.

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Combinaciones.

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Cálculo de probabilidades.

Para trabajar en clase I I

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Gráfi cos_esta d ísti cos----'--+--_"_

Un gráfico estadístico permite observar los datos recolectados en una muestra. Si la variable es cualitativa o

cuantitativa discreta,   los gráficos más convenientes son el circular o el de barras. El gráfico de barras   compara las frecuencias absolutas de los valores de cada variable y el  gráfico circular  compara sus porcentajes. Se realizó una encuesta a 500 usuarios del subterráneo de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires para conocer  su opinión sobre el servicio.

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Las variables cuantitativas   continuas son aquellas que se representan mediante un número real y su valor  puede aproximarse tanto como sea necesario. Por ejemplo, la altura o el peso de una persona pueden medirse en unidades cada vez menores y obtener así cada vez más cifras decimales. Cuando se trabaja con variables continuas no pueden tomarse como valores de variables aislados, sino que deben agruparse en intervalos de clase. Paraarmar los intervalos de clase, se debe considerar el menor y el mayor dato y establecer primero el número de intervalos que se desean obtener teniendo en cuenta que: • Todos los intervalos deben tener la misma amplitud. • Cada dato debe pertenecer a un solo intervalo. • •

No es conveniente trabajar con menos de 5 ni con más de 15 intervalos. No deben quedar intervalos vacíos.

Ejemplo: Una máquina envasa paquetes de queso rallado cuyo peso varía entre 490 9 Y 510 g. En un 1 minuto, envasó los siguientes paquetes: La variación del peso de los paquetes es de 20 g, dividido en 5 intervalos con una amplitud de 4 9 cada uno: 499 9 - 491 9 - 508 9 - 497 9 - 501 9 - 505 9 - 493 9 - 494 9 - 509 9 - 498 9 490 9 - 504 9 - 495 9 - 500 9 - 495 9 - 507 9 - 492 9 - 501 9 - 493 9 - 500 9 !~-~-

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Para representar intervalos de clase se utiliza el  histograma.

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I

I

La  media (x ) o   promedio se calcula sumando los productos del valor medio de cada intervalo y su frecuencia absoluta, y dividiéndola por el total de las observaciones.

x

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El peso promedio de los paquetes es de   498,80 g.

160.

•

El intervalo modal es el intervalo con mayor frecuencia absoluta, es decir [498; 502). Puede decirse que la moda es el valor medio del intervalo modal. o sea, 500 g.

•

Elintervalo que contiene a la   mediana es el que tiene por frecuencia acumulada a la mitad de las observaciones. El lugar 10 Y 11 corresponden a los valores medios, y están en el intervalo [498 ; 502). Puede decirse que la mediana es el valor medio del intervalo que la contiene, o sea, 500 g.

Números reales

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[1.800; 1.850)

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[1.850; 1.900)

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I

El cálculo combinatorio cantidad de elementos.

se utiliza para hallar todos los grupos distintos que se pueden formar con una cierta

Para realizar cálculos combinatorios,

es necesario utilizar el concepto de factorial.

El factorial   de un número natural   n (nI) es el producto de todos los números naturales desde 1 hasta n. n! = 1 .2.3.4 a)   1 !=

1

... n y se define que: O!= 1

b)   2 ! = 1.2 = 2

e) 3! = 1 . 2 . 3 = 6

d) 4! = 1 . 2 . 3 .4 = 24

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Un a  permutación de n elementos es la cantidad de grupos distintos de n elementos que se pueden formar  cambiándolos de lugar. •

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Sitodos los elementos son distintos, la permutación es sin repetición   y se calcula: P n n! ¿Cuántos números distintos de 5 cifras distintas se pueden formar con las cifras 2, 4, 5, 7 Y 8? P5 = S! = 120 ~ se pueden formar 120 números distintos.

•

Si hay elementos repetidos, la permutación

es  con repetición   y se calcula:   p~,b,_c

n! a! b! ...c!

¿Cuántos números distintos de 7 cifras se pueden formar con las cifras 2, 2, 5, 5,5,5 Y 8? El2 se repite 2 veces

==>

a = 2 (

El5 se repite 4 veces

==>

b = 4

  5040 = __ = 10 5 ~ se p ued en form ar 10 5 nú me ros d istintos 2! 4! 2 . 24 71

p~,4 = -'

Los anagramas de una palabra son todas las distintas palabras (con o sin sentido) que se pueden formar  permutando las letras de esa palabra. a) Anagramas de la palabra CRUDO

Ps = S ! = 1 2 0

/64 • Números reales

b)   Anagramas de la palabra CARRETERA

p 2,2,3   = _9!_ = 362880 = 15120 2! 2! 3! 2 . 2 .6 9

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Un a   variación de n elementos tomados de a m es la cantidad de grupos distintos de m elementos que se pueden formar con los n elementos e  i mporta el orden en que se tomen los elementos. Dos grupos son distintos cuando tienen distintos elementos o los mismos elementos •

pero en distinto orden.

Si todos los elementos son distintos, la variación es sin repetición y se calcula: V~ =( n! n-m!

)

¿Cuántos números distintos de 3 cifras distintas se pueden formar con las cifras   1,3,5,7 Y 97 V5 3

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Si se repiten los elementos, la variación es  con repetición y   se calcula: V ' ~ n ¿Cuántos números distintos de 4   cifras se pueden formar con las cifras   2,4,5,7,8 Y 9 7 =

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Una   combinación de n elementos tomados de a m es la cantidad de grupos distintos de m elementos que se pueden formar con los n elementos y   no importa el orden en que se tomen los elementos, Dos grupos son   distintos   cuando tienen   distintos   elementos. n!

Una combinación sin elementos repetidos se calcula: C~

m!(n-m)! ¿Cuántos grupos de estudio de 4 personas se pueden formar con 6  estudiantes? ) = ~ V~ =   (6! = 720 =   15 ~ se pueden formar 15 grupos diferentes de estudio. 4! 6 - 4 ! 4! 2! 48

Ejercitación

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Se denomina suceso aleatorio al evento del cual no se puede predecir su resultado ya que este depende del azar. Lo que sí se conoce de un suceso son sus posibles resultados, y el conjunto de todos ellos se los denomina espacio muestra!.   Al arrojar un dado, el espacio muestral es: 1,2,3,4,5 y  6. .. La  probabilidad

.. . de que un suceso aleatorio ocurra es: Probabilidad

=

Cantidad de casos favorables 'd d d I d 'bl Cantl a e resu ta os   POS! es

Por ejemplo, si se mezcla un mazo de 50 cartas españolas, la probabilidad

de sacar un siete es:

CASOS

P(siete)

=

La probabilidad de sacar una siete es: ~

-+ F A V O R A B L E S 50 -+ ~[ES

~

=

  0,08

=

8%.

50

La probabilidad se puede expresar como una fracción, un número decimal o un porcentaje. La probabilidad de que ocurra un suceso aleatorio es un número entre O y l. El O   representa el   suceso imposible;   y el 1,el   suceso seguro. Cuanto más cercana a 1 es la probabilidad, el suceso será más probable; mientras que cuanto más cercana a O   sea, menos probabilidad de cumplirse tendrá. I

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168.

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fl. Múltip

1)- Div so de 12.

o.deA.

Ca I1c ula rJap robab il id ad .d e.l os.s ig uie ntes suces os. l.   'drd I [1 1 I 2 1, I l. I I 1  A

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CalcularJapr¡obabilidad.de.sacar I . I

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172 • Números

reales

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174 • Números

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NO

h ) NO

SI

V

b)

f)

SI

3fi

d)

J3 "'3

e)

-7 -


iii

-3 -

2 -

fi.

2 -

h) f)

3  +

Ji

7  +

2M 3

2 -

50luciones

• 177

Da)   2..f;

e)

~m4. n2 m.n

f)

9fr 

g)

2~

w

 b )

  if;i

e)

W 

x

d)

b)

a

Y ~

ab

_a)

~a3 b a

h)

_ a )

 b )

1 6 fi S.

e)

 iI25

~i. 3

3

  10/3

e )   10/3

d ) 4/3

f)

18 +

4 fi

 5

  1
mJ

e)

a) if243

e )   2+2Ji5

9

 b )

e)

\ÍS

4 + 7/3 3

f)

lifi

3

3 .J i -

g)

d)

3 fi -

e)

3J1O + sfi 4

4 f)

d)

ll f 3 2

.a )

R a ) (2 ; 3)

(o ;

7

  ,¡s-.Ji

3

Esirracional R

 b )

2

3

11- 4fi

h)

  '(37

e)   (-2; -1)

1)

f)

o)

e)   (-1;

e)

1

1 {j1 28

d)

4 .Ji  + 2/6

(3; 4)

g )   (-4;

d )   (-5;-4)

b)

3.1 {j3

-3)

h )   (-3;-2)

na)

9,22,35,48,61,74 Y87 Sn = 336

Ra)

&,

4

6m

b)   17,9,l,-7,-lSy-23 Sn = -18

 b )   4y3127 e) e)

2r B ifi 4

d) a

•

3 1 1 3 -2, -}, -1, -}, O , } , 1 Y } Sn = -2


bS

9 3 3 d ) 3, 4' }, 4'

e) 3sshS.~2Sl. h2

3

o , -4

y -}

3

S=l! n 4 f)

al. b4.

e 7.

  ~ab2

eS

1 m a) as = 61 Ra)

-1 4 1 6

.., • ..

N

a13 = 77

S .( ¡¡:

d) O

E a ) al = 7  b )   -88/3

 b )

e) O

b)   al = 6

o u

e) r=4

e )   n = 13

d) r = 7

f)

n = 12

g

~ ~

<

o ¡¡;

e)

-2.

;f8

f)

2x2

.

:; : •~ ..

¡;

.(

na)   5.050

b )   6.480

e)

3.825

d )   2.600

vi

<

(5• . . .

8 C :i

~ • .. < '"

178 • Soluciones

n a ) $   2.046

b)   20tm

R a) a l3 =

n = 9 n

n a )   (-5; 2]

g)

  [-1; 2]

 b )   [-1; 4)

h)

  (-7;2]

b)

mi e)

i)

  (-00;3]

 j)

d)   [O; 5] e) •'". . ....

(2; +(0)

f)   (-7;

-3)

n a )   -0,02 b) 2 ,8

a) n

1

- 16

b)

a)   3.996

al

d)

al

=

-20

e)

r 

=

=

5

f)

q

=

4

4

 b )   1.080

R

k)

0

1)

[O ; 5 ]

e)   -0,2

d)   -0,292

f)   -0,56

e)

=   1.458

e)

(-2; 3]

e)   -0,94

~6

a7

28

1i

d)

-

 8 2 7

50luciones

e 1 79

. .,

Capítulo 2 x+ l

.a)

d)   . lx + 1 3

2

x -1

 b )

e)

3

•

31

a) x =-7 X   =_2...

 b )

18

x   = :1::5

 b )

Xl

e)

x ~

d)

XI

e)

t)

Xl

g)

Xít

h)

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i)

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a)

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f)

x

 b )

Xl

= O V

X2

= -2

g)

Xl

e)

Xl

= O V

X2

= -7

h)

x   =:1::3

d)

x   =:1::3

i)

x ~

e)

x   = :1::2

1m

t )   x+x+l

2

b ) 32

e)

e)

x   = -18

d)   x=.ll

32

d) 36

e)

f)

2

6

x = 2-

2

=_1

X2

= -1

X2

= -1

2

R

1 = O V x2 = " 2

2

3

a) 80

e)

 b ) 60

d)   270 km

e )   360 butacas

$ 120

R

~

= O V

R

d) 5 e)   100cm2

 b ) 3

-2

Xl n

=

t)   18cm

3 V

X2

=

-7

t )   560 I

$ 300

Dos soluciones reales iguales

b) No tiene solución real e)

•

R

n a )   7y-7 

a) n •

= -3

X2

X2

x =   _J..

e)

•

= O V

= O V

x - .lx 2

e)   . lx - 1 2

.a)

g ) x + .lx 3

a)

a){X

d) No tiene solución real

b) { x = 3

= 7 Y = -5

Dos soluciones reales distintas

Y =-4

e) Dos soluciones reales iguales f)

Dos soluciones reales distintas

g) No tiene solución real

•

a) {X

=-2

b ) { x = -8

Y= 4

.,

a) {X

= 9

Y =-5

e) { x = -2

Y= 7

 b ) { x   = -11

Y= 5

d) { x = -8

 y=8  .a)

Y= 3

e) { x = 4

n a )

XI

= 4 V x 2 = -1

f)

Xl

= 3 V

 b )

Xl

=

= -2

g)

XI

= x2 = 2

e)

Xl

= 7 V x 2 = -2

h)

Xl

  =-"3

d)

Xl

2 = x 2   = -"3

i)

Xl

=-2

e)

Xl

= 2 V x 2 = -3

n a )

13

X2

Y =-1

Y =-9

 b )   8y 15 204 cm3

d) Pablo tiene 45 años y Matias, 20. e ) 21 vacas y 19 pollos

b)   -1 y3

f)

e)

30 monedas de $   0,10 Y20 monedas de $   0,25

95 n

17y 1 8

d) Base: 32 cm y altura: 29 cm e)   38cm

t)

180 • Soluciones

V x2 = 6

f) { x = 6

7 y 11

e)

5

3 cm, 4 cm y 5 cm

V x2 = 1

na

R Xl =

=1

a) n b)

Ra)

X

=

X

= _ .1 1 .

e)   x=_-.l 13

0,9

21

16

e) $ 210

b) 31

X2

= -2

n a )   (-00; -5]

  x=.!2

d)

5

1V

d)

(-00"; 3)

b)

(3; +(0)

e )   (-4; +(0)

e)

[2; +(0)

t)

(-00; -7)

g)   (-00; 16]

h ) [-12; +(0)

j)

(~ ; +(0)

d) 481

n a ) 

[-7; 7]

b)   (-00;-10)U(10;+00)

Ra)

{X

x =5

d) {

Y=-7

1m

Y

a)   18yl1

b) 30 y 150 0

na) b)

e)

0

=   :l::6 Xl = 5 V X 2 = -1 Xl = 3 V X 2 = - 1

x

Ra)   -4y5

= =

n a )   (-10;4)

9 21

 b )   (-00; -7] u [9; +(0)

e) 392cm2

e)

[-6; 14]

d) 13  autos y 19  motos

d)

(-00 ; - 14) U(4 ; +00)

=

d)

Xl

e)

X =:f:4

t)

Xl

e)

1 1 Y 13

=

3 V

O V

X2

X2

= =

e )   [-4; 3]

-7

-5

<

b)">

e)

=

e)

d)

<

t)

<

(-1; ~)

g)

(-00; -7] U[-3; +(0)

i)   (-00;-2)

g) =

j)

<

j)

h)

f)

h ) [6; +(0)

d)   6cmy 13cm

b) 5 y6

_ a )

x

.,

a)

g) a \i R

d ) a \i R

  (-7;7)

d)   (-00;-9]U[9;+00)

 b )

a   =:f:6

e)

a =-1

h)

a   = :f:12

e)

a   =:f:6

t)

a

j)

a \i R

=:f:5

  [-5;5]

b)   (-00;-4)U(4;+00)

e)

R a ) a   =:f:2

  (-6; 6)

d)   (-00;-8]U[8;+00)

y = -ll

Y =8

b) {

e)

e) { x = -9

= -3

n a )   (-5;0) b)   (-00;O)U(7;+00)

Ra) b)

= - 1O V x 2 = -4 Xl = 10 V X 2 = -2

e)

Xl

=6 V

d)

Xl

= -4

e)

Xl

t)

Xl

Xl

= =

X2

8 V

X2

(-00; -2] U [3; +(0)

d)

[4 ; 6 ]

=- 12

V X2

6 V X2

e)

n a )   [-3;

=6

= =

-10

b)

4

e)

3]

(O ; 8 )   (-00;2]U[3;+00)

d)   (-00; -3) U(1; +(0) a) R

b)

Xl

Xl

=

4 V

X2

  = 19 V

X2

=

-6

  = -11

e)

f)

Xl

X

=

-6 V

= 4

X2

=

-2

e)

  (-1;4)

t)

(-5 ;0 )

g)

  [-8; 8]

h)   [-2;+(0) e)

Xl

= 3

V

13 3 x2 = -

d)

Xl

=7

V

X2

= -6

9

)

h)

X

= 3

 j)

X

\i R 

Ba

(2; 7) =2

50lucione5

e 181

n a ) b)

v v

e) F

e) F

g) V

v

t) F

h)

d)

Ina)  { X

V

=

b) { x Y

= 3 V

Xl

X2

x=2

4

Xl

= 4 V x2 = -}

e)

Xl

= O V x2 = 6

t)

Xl

= 2 V x2 = -3

b)

aa)

• 2

(-0 0; % )   [3; +00)

e)

d)

[ ~ 1 ; +00) ( 1 ;  +00)

e)

t)

  (-t; +00)

b)

y=-13

=

-6

=

10

d) { x

=

9

Y=-5

a) Marcos tiene 21 años y   su padre, 40.

V

e)

d)

F

V

e)

[ 1 ;   +00)

t)

F

e)

17 banderas de

d)

23 billetes

a)

Xl

= ~

b)

Xl

=

e)

X

a) E

de $

V x2

O V

X2

3 franjas y 13 banderas 5 Y  19 billetes de $ 20

= -

=

1

8

::I:11

=

6

a)

Xl

b)

Xl

d)

XI

e)

X

t)

XI

e)

b)   -23 Y-24

11m F

-9

b)   19y28

5

d)

Ina)

=

= -4 •

e)

e) { x

Y=-7

n a ) x ~ R  b)

5

=

de

5 V x2

t)

  [-5; 5]

g)

  (-00;0)U(2;+00)

::I:7

O V x2

=

i)

 j)

b)

9 Y 16 años

e)

XI

=

2

V

X2

= -9

d)

Xl

  = -4

V x2 = 10

=

V x2 = -~

-2

  [-4;+00)

el

  (i;+oo)

  (-0 0; 1 3 9)

d)

  (-00; ~]

aa)   (-00; -1]  U [3; +00)

(-00; - 3] U [1; +00 )

[O ; 3]

  (-5; 3)

b)

  (4;5) 1 )   (-00;-9)U(9;+00) k)

E a ) b)

•

a)

e)

X

=

20

7

dI

b) 26

X

X

- - ª3-

el

=

.!2

t)

=

11

e)

3h

X

x

=

=

e)

(-3; +00)

d)

  [-10; 12]

e)

  (-00;

t)

  (-00; -7) U (7;  +00)

g)

  (-00; 3] u[4; +00)

-23

h)

i)

182 •   Soluciones

- 2 J 3 ] U [ 2 J 3 ; +00)

O

d) $ 240

3

=

F

D a )

h)   (-6;8)

3

=

b)   (-00;-3)U(6;+00)

  (-8;0) d) (-00; 1] U [9; +00) e)   (-2;+00)

=

d)   34cm

  = 1 0 V x 2 = -6

a)   [-3; 7] B

e)

4.

(O ; 1 )

  (-00; -5 ] U [5 ;  +00)

~¡¡'3$'!"'-~-'~~'-

; ••')

<.

-.,-

~', ~.

-....- .'-~~

"

" ': -,.~ : :o r ~

~ -.

  p' •..•

~

•

,

1m a l bl

•

al

1

-2

0,25

J8

dl

Ji

bl

F

•

el

V

-

1,2 4

-5

3

0,8

3 4

5

1.

"3  

-0,5

16

 

=

..2..

el

x = -15

 bl

x

=   .lli

dl

=

23

f)

x =

1.

----

-

13

Xl

= 4 V x 2 = -3

dl

Xl

=

 °

V x 2 = -2

el

x   =-:1:5

el

x   =_1.

fl

Xl

= 2 V x 2 = -4

el

XI

=

2

--

14,4

. a l x = 2

bl

Xl

Ina l

{x

 °

V x 2 = -3

= 7 V x2 = 2

25 2 9

=

4

Y =6

J5

J3

 ( x

= ~  y=1

el ( x

=9

Y =1 2

3

z

= 15

1,1 =

0,3

el { x = 20

4

 bl

 _.l.2 .

-16

-0,6

J1 0

2,5

15

x   =-:1:6

A lg un as d e l as p os ib le s s olu cio ne s,

al

x

bl

 bl •

41

14

F

1 2

4

 

el x

. a l

fl

V

I

-

2,4

-1,5

  0,15 1 4

I

0,5

=-3

1

f)

dl

V

I

x

'5

  -0,1 1 2

el

F

.

al

Q2

el

e l Qd

' 

•

',,"~ Capí~ulo3 . . 100

~

3

'5 -1,8

Y

~ -0,5

  =

=

f)

{X = 9 y=6

16

1 ,6

lID al

7 y 35

el 3 Y 9 o -3 y-9

 bl

  4 y 12

dl 5 Y6 o -5 y-6

Ra=4yb=12 •

A lg un as d e la s p os ib le s s o lu ci on es .

nal

al 1i = 0,6

0,6

0,15

 bl

'•". . .

N

bl

el

5 '8   -~=0,83

~ 0,83 lQ

el

9

dl

 _ 5 0,27 = '6 2,5 .2 6

. a l x = - :1 : 2 J 3 x = - : 1 : 2 1 6 

op

e re

gl a g

ae

hl

st"=g6 rp

üt=(f6 ae dg

=

rp

eg

el

x = - :1 : 3 J i

el

dl

x = - : 1 : 3 1 6 

fl

(f6

i)

ps

=~

ot

Pt ot

=

rs _ op -

os

el ab = r t

 jl

aa eb

eo ab ag

e re

=~

pt

x = - :1 : 5 J i

•

bl

aa

ro

üs=ag

al   21cm

 bl   32,4 cm

x = - : 1 : 5 1 6 

Soluciones e 183

na) {ro=

3,75 cm

n a ) .

e)[~~lOcm

O f    = 2,5 cm

at = 12 cm sp = 20 cm

 b ) {   ad = 24 cm

f)

dg = 20 cm

ob = 35 cm

b r   = 30 cm

s p   = 42 cm

e) { ~ = 35 cm

Pi =

ar = 25 cm

d)

{~=

 b )

36 cm

  21cm

ay = 27 cm

e) I

lII!l [ c a ~

2 cm

I I I

da = 3 cm

I I

a s   = 3,25 cm

I I

na)

=_ 1

a

 b )

 b )

4 9

e)

1 5

16

d)

-"2

3

3

X

d)

 { a

= 8

 b

mi   a)

3

  =:l::2

R a)

=

{~ to

b)

12

=

 { m

16 cm

= 20

cm

n a )

°

-10

 b ) V

X

= _23

Xl

=

e)

XI

= 5 V x2 = -2

f)

Xl

= 1 V

=

r 

9 = 3

f)

3

e)

f)

e ) -2

n a ) x = .i  b )   x=-.!Q

3

d )   m=-lQ  9

b = 0,05

Da)

e) e = 1

c = 33 14

e)

9

0,5

-0,4

e)

s

¡~ ra

 =

= -5

X2

e) { n

=

2

=

e)

-0,3

= 0,5

6,4 cm

=

4,8 c m

.. .. .. •...

om = 10 cm

b) {~ br 

=

15 cm

=

16 cm

mb = 8 cm

 b )

d)   Para

8 cm

Para

20 cm

a5

 bo = 16cm

50

=

de

=

15 cm

de

=

ea

=

12 cm

ea   = 6cm

a5

X

=

=

oc = 32 cm

184 •

Soluciones

X

2 cm

=

,

, , , ,

, =

2

cm

, , ,

4 cm

3 cm

oc = 16 cm

n a )

Ra)

 b )

\ \ \ \ \ \ \ \

\

e)

\ \

, , , , , , ,

\ \ \ \ \

\

/

\

, , /

/

/ / / /

\

d)

\ \ \ \ \

\ \

•

=

a) x

b) x

6cm

n a) { ap =

a6

e)

12 cm

\

7, 5 cm

=

a c = 15 cm

oa = 10cm

sr 

oc

= 24 cm = 15  c m

I

a)

I

16  c m

= 12

I I I

cm

I I I

d)

 { ~ = rt

na )

mJ

I

=

05 b) { ~

cm

20

I I

35

= 70

I

cm cm

2

 b )

b)   Igual

\ \

\

e) - Sí

\

\ \

d) En un triángulo rectángulo y en el ángulo recto.

\

\ \

\

•

•

Alguna de las posibles soluciones. V  a)

LL L

e)

AA

e)

AA

b)

AA

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AA

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LL L

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h)  yf)

d)ye)

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,

, , , , , , , , ,

,

In!   Alguna a)

AA

de las posibles soluciones. b)

LA L

e)

LL L

, ,

n a )

Sí

b) Sí  

e)

Sí

d) Sí  

, ,

, ,

, ,

,

50lucione~ -

185

1m

a) { ab

=

16 cm

e) { 9r 

ao

=

12

cm

gn

b) { op pg

n a )

=

64 cm

=

32 cm

d) t P

=

=

Ra)

5  c m

=

2c m

20 cm

32 cm

•

a) { bt

Y

=

60°

sp

=

1 8 cm

=

=

76°

Y

=

20

d) { x

 b){x=15cm

y

e) { x

21,6 cm

Y

=18

=

b)

x

=

2 ,5

48 cm

e) { \i r 

=

18 cm

cm

=

128°

=

9 cm

vq

=

e r 

=

x

e)

=

g r 

0,16

yv

91 B a)

d)

x = -85

 b )   x=_J....

XI

= 5 V x2 = 1

a{ x f)

Xl

= 3 V x2 = -2

b) {

 b )

e)

X

Xl

V x2 = -4

  = :1:2

e) {

= O V x2 = 6

b) { c d 

 b)

=

4,2

=

4,8

e)

 [ e

= ~

f 

=

5

, , , , ,

, ,

, , ,

186 •   50lucione5

4 cm

5 cm

=

6  c m

=

7, 5 cm

5 c m

=

6,25 c m

e ) x = :1:3

24

x = _ 33 35

R a) Xl = 6

24 cm

=

=

Yz

=

57°

Y

=

4,32 cm

X

=

6  c m

y

=

67°

X

=   100°

Y

=

a)

e)

18 cm

=

uv

3

cm

cr 

d)

. a )  x= 1.

24 cm

=

b) { ~

{x

b) 2c m

9 cm

e) 3  c m

d)   5,6cm

. . , a) F

Capítulo 4

b) F

•

S on p olin om io s:

•

a)

4x 2 -2x

•

•

2x + X 2 3x - 9x - 7

5x

+ x 3 + 4x 2

4

e) _4 x 4

- 2,5x - 9

11 1

b) x 2 a)

+

2

8

4x

3

+  . J 2

9

+

a)

x3

b)

x

a)

_2x 3

b) e) d)

2

4

3

e)

x

+X

d)

x - 4

a)

b) -2 x

e)

+ 6x + 3x

_2x 4

6x

3

+ 2x

4

4

d) 12 x 4

•

e)

4x 4 -14x 3

f)

_x

4

e)

15

+ lx3 2

b) . l . 2 .x 9 e)   - 12x?

14 x

3

2

+ 13 x

2

+

3) 2 = 25 x

n a ) 4x 4

+

12 x

10 x

2 2

e ) _x 2

+1 +1

- 2x

+ 2x

-

2x - 1

f ) _x 2 + 2x - 1

+ 25

e)

25 x 8

a)

x

3

2

8x

d)

_x 6

9

+ 9x 2

3

+ x4 10 10 x 9 + x

 _ 

12 5

9x 2 - 27x - 27 +  8 4x 2 +  294x + 34 3 -

3

e)

4

+ 30 x +

+ 15 x 2 +  7 5x +

b) _x 3

4x - 2

+ 12 x +

2

2x 5

 _ 

+ 12 x 5

-

  150x

-

2 a) -11x n b) 17 x

- 18

+ 29 + 13

lx

6 

1m

4

8

+ 64 x 3

48 x

4

+

60/

+

e)

_x 3

d)

x6

- 8x

6

a)

_x 2

 bl

_x

f)

9 2 X 10

e)

_L X 5

4

_

x4

+ 8x 5 + 10 x 4

- 19x

+ 28 x

46 x 3

-

- 72 x

7

20

+ O ,7 x

+  132x 2

d) lx6  _lx3

x +2

el

- 0 ,5 5

-

5

_2 x 3

J ... x - 5 30

 _ .2 8

10

fl

- 8x

7

+ 15 x 4

6x 5

-

+

2 34 x 3 - 46 x 5x 2 - 3x - 8

-

e)   _lx? 8

2

- x

; . .

- 15x 6

x

+

 _ 

3x 8 _lx5 2

_ 

8

d)

-12x

d)

(5 x

1m

2

5

2

. a ) 2x 4

+

d) _lx5

b) _lx5

x

d)

2

2 17 x -12x 2 28 x + 5x

-

+ 3x 3 +

a) J ...  x

- 5x

+ 5x 2 22 x + 1 8x

-

e)

F

- 16

2

12 x

-

16 x 3

-

2x

-

10 x 3

-

4

3

f)

2) 2 = 9x

e )   125x 9 •

2

v

+

b) x 6

+ Ox 2 + X + 5 4 3 2 2x 5 +  O x + Ox - 3x - X + 4 4 3 2 _x + Ox + Ox + 5x + 1 6 +  O x 5 +  O x 4 + x 3 +  O x 2 + -3 x

= x

5/

d)

(3 x

7

-

(x

e) F

e)

! X 6

e)

x

V

b) (2 x + 7) 2 = 4x 2 +  2 8x + 49

+ llx  + .lQ

A lg un as d e l as p os ib le s s ol uc io ne s. a)

•

d)

- 6 2

b) 2x 3 e)

a), d), e) y h).

2

+ 2x + 1 - 2x + 1

n a )

e)

.

¡

!

I

I

P(x)

Binom io

2

-1

Q ( x)

T ri no m io

4

-1

R(x)

Monomio

5

7 -10

T(x)

  Cuatrino. mio

6

1 7

S(x)   Binomio

3

-2

+4

I

O  

-0,55 O -5 5 8

e) _x 3 + 8x 2 - 40x f )   -22x 6

-

3x 5

+ 12 x 4

•

a)

-29

b)

-2

e)

-6

d)

-4 01

50lucione5

e 187

n a )  b )

F

e)

V

e)

V

g)

F

i)

v

F

d)

F

f)

F

h)

F

j)

F

R al = 3 V a 2 = -2 .a )

n a )   Perímetro: 12x

2

-

Cociente: 5x + 6

8

Resto: 5

2

Área: 9x' - 12x + 4  b )   Cociente: x2 2

 b )   Perímetro: 4x

4x - 6 Área: 10x3 - 41x2 + 21x

-

2x

Resto: 6

-

e )   Cociente: x2 - 4x - 4 e )   Perímetro: 5x3 - 4x2

-

  2x + 7

Resto: -21

Área: _~X6 - x5 + x' + ~ X3 - 3x d )   Cociente: x3 - 2x2 + 5x - 1 16x' - 40x3 + 25x2  b ) 4x10  _  12x8 + 9x6 e ) 64x3 - 144x2 + 108x - 27 d )   -216x6 + 108x5 - 18x' + x3

R a )

Resto: -1 n a )

b ) -7

n a )   x+1 + 5x' + 5x3 - 12x2

5

a )-2x

5

 b )   -40x

7

25x

-

e ) -43

yx-3

d ) x+l

d ) -25 yx-2

 b ) x+1

e )   x-1,x-2yx-3

e )   x-2yx+2

f)   x-3yx+3

20x' + 15x3

2 + 3x - 9

a=-3 R

e )   -lOx

d ) 5x3 - 12x + 172x - 512 e ) 37x3 - 23x2 + 9x - 9 f)   - 8x' - 13x3 - 7x2 + 5 x - 2 2

n a )

-3x

7

:

 (2X)2

f : (-2X.r 

 b ) (2x6 2

R a ) 4x

e ) _ lx 4

3 + 5x

-

243

+ 2X 2 + 3x _  Z x 3 e)

 b ) _lx3

5

+ lx - 1+ Ix2 2 5

d ) Ix -   8x' + 6x2 3

-

6)

-8x9

:"(lOx

4 d ) 15x11

n a )   Cociente: x2 - 4x + 6

: (

t

lOx3

e )   -12x13 : (-20x9)

Resto: -10 n a )  b )   Cociente: -2x2 - 4x - 7

Cociente: -5x + 3 Resto: 2x + 1

Resto: -9  b )   Cociente: 2x2 e )   Cociente"

1 x "2

2

-

.l2 x + 11 4 8

-

2x + 5

Resto: -1

.• ... ..

,.,

Resto" 29 " 8

e )   Cociente: x2 + 3 x - 4

<

Resto: -19x

¡¡:

o

d ) Cociente: x3 - 3x2 + X- 3

i• .5. .

d )   Cociente: x3 + 3x + 7x + 15

Resto: 4

2

Resto: -9x - 2 R a ) 3x + 14x + 8 2

e)

2x + 3

 b )

-9x

+ 9x - 7

2

d ) 2x + 2 x + 3

S?

a

<

o

¡¡¡

'i:

..

o

'"

n a ) 2

S

_x + 9x + 7 b ) 4x3 + 11x

e)

2

2

16x

-

  32x + 22

~ <

g'" S r;::

a. .

< ""

188• 50lucione~

a)   Cociente: n

_x2

I!II

x + 1

-

a)   C ociente:

-x

+ 6

Resto: -14x

Resto: -2

2x2

b)   Cociente:

b)

5x + 14

-

- 5

2

Cociente:

-2x

i

-

1

Resto: -28

.l2 . 2

Resto. 3x .

_x3

e)   Cociente:

+ 2x2 + 4x - 7

e)

Resto: 7

Cociente:

3x - 5

Resto: 7 4

d)   Cociente:

_x

2x3

-

3x2

-

6x - 12

-

2

d)   Cociente: x

Resto: -21

Resto: -8x

nSon exactas:   a), e), d)  ye). •

1m

•

a)

  -x-1 2

b)

22x

e)

11x3

-

d)

_x2

+ 8x - 14

a)

-3x2

b)

_x3

42x2

+ 66x -

11m

51

Monomio

_2x2

+ 32x - 42

7x - 13

-

_x3

b)   Cociente:

-

x2 + 2x -

-

3x

+

X

2

Resto: 5

e)

de grado 4

3

2

7x

-

16x

Resto: -9

e)   Trinomio de grado 2

4

2

-

de grado 5

d) Cuatrinomio

2x

3x

4x2 + 6x

a)   Cociente:

b)   Trinomio de grado 3

a) n

3

e)

20x + 3

-

a)   Binomio de grado 2

e)

+ 5

25x - 22

-

-

5x + 3

-

+ 10x

4

  Cociente:

_x

3

2

7x

-

-

21x -

60

Resto: -184

d)

6x + 4

-

6

  Cociente:

_x

S

4

-

x

+ Sx - 2

Resto: 2

b)

4

9x

4x3

-

9x2

-

2x + 11

-

•

a)

-3

e)

b) 2

R a) b)

1 1 m   Volumen

4

del prisma: 18x

•

Son cuadrados perfectos:

1 1m

a)

15x

b)

14x3 -12x +15x

e)

_x4

3

2

14x

-

-

3

81x

2

+ 109x

b), e), d)

-

  2 6x -

-2

e) 6

d) -7

4

2

-3x +11x3 -12x -x-8 x

4

3

+ 2x

-

2

9x

-

6x + 48

24

y e).

+ 6x + 3

2

d)   -31x3

x3 + 49x2

-

-

2

41x

-

-

  9 x - 18

S9x -

3

50lucione5

e 18 9

Capítulo 5

el   -6 x'. •

(2 X 2 + 3x s

L os c or re ct am e nt e

-

s) =   -12x 6 s on :   bl

f ac to riz ad os

-

. a l   (x+3)(x+7)

7 (3 x + S x ' - 2 )

el

8X(3X+ 2 - sx3 )

( x - 2 )(x - 3 )

el

(x + 4)(2x - 3)

. a l x2 + 1 2 x + 3 6

dI

16x 2 - S O x + 1 00

bl

x 2 - 1 4x + 4 9

el

36x + 81 + 4x4

el

25x 2 +   20x + 4

tI

6 4 - 9 6x + 3 6x2

18x 9 + 3 0 x '

yel

. a l (x +

. a l x 2 (x 3  _ 1 + x 2 ) bl

bl

~r

bl

2 (x + xr 

e)

(x -

 t r

. a )   3x(x + 2)2

d I (x 2 - 1r  el

(x + x3r 

t)

2 (2 X +

~r

d ) 2x 2 (2x + 3)2

dI 3x 3 (-2 + 3 x 2 - 8x 3 + lOx) el f)

2xt1x 32394

b )   X(X+2)(X 2 +1)

+   .Ix'  _1. _lx 3 )

e)

Sx 3 (S _ X)2

e)

4X 3 (X 2- 2)(X' +  3 )

t)

(x 3 + 2 )( x + 2 )2

3x 2 (0.4x5 + O,6x - O,8x3 - 1) n a )x 3 + 9x 2 + 2 7 x + 2 7

. a l   (x+1)(x+2)

b l   (x+1)(x+1) e l   (x-1)(x+1)

d I (1 - x)(x + 1) b)

8x 3 + 4 8 x 2 + 9 6 x + 6 4

e)

x 3 + 7Sx + 15x 2 + 1 2 5

e l   (x-2)(x+1) t I   (x+1)(2-x) d ) 27x 3 + 1 8 9 x 2 + 441x + 343

. a l   (x + 1)(x 2 + s)

bl

(x 2 - 2)(X + 3)

l1li

a)

(x+1)(x-1)

b ) (x + 10)(x - 10) el

f)

190 •

2

(sx +  9)(Sx

2

-

9)

g) (11 - x 3 )(11+ x 3 )

2 3 (x + 3x + 1)(x + 2) (x 3 + 2 x - 4 )( 3 x ' - 4 )

  50lucione5

'"

N

"

S

-<

¡;: o u

g

( 2 - x )( x' + 3 )

d I (x + 1)(x 3 - 1) ~ el

t)

&:

el

(s - x)(s + x)

hl

4

(6 x + 1)(6x -1 ) 4

~

< ¡¡; o

:;:

dI

(3x + 2)(3x - 2)

el

(x 2 + 7 ) ( x 2 - 7)

i)

(x

5

-

5

  8)( x + 8)

o

g: . ,; -<

~

g

S ~

x 3(1 + x 2 - x)

d)

x 2 (x 4 + X - 1 )

 b )

x 2 .( X 4 _X + 1)

e)

x 3(x 3 + x 2 - 1)

e)

x 2 (x 3  _  X + x 2 )

f)

x2. (x3 + 1 _ x2)

na)

b)

  (x + 3)(x + l)(x - 1)

n a )   x = :1:2  b ) e)

e) f)

n a ) -49  b )

(5x + 2)(2x +  3)(2x - 3)

x ~ R  x= 1 x =-3

d)

x = 2 x =-2

d)

  +125 d)   -512 e)

-27

g)

x

=

h)

x

~

e) f)

:1:1

R

1m

+32   -243

a) x 3

4x 2 -

e)

36x 4 - 4 9 = (6 x2 + 7)(6x 2

d)

x3 +

21x

e)

x3

125

(x 3 + 5x 2 + 2 5 x + 1 2 S )( X - 5 )

d)

(x 4 + 4x 3 + 1 6 x 2 + 6 4 x + 2 5 6 ) ( X - 4 )

Ra)  b )

1m

  (x + 5)(x + 2)(x 2 - 2 x + 4 ) •

e)

-

2

+

25   =

(2x - 5/

+ 147x + = (x 2 +

343   =

5x

+

-

7)

(x +

25 ) (x

7)3

- 5)

2X 3( x _ 2 x 2  + i_ ~X4) 334

e)

(3x - 4/

(x 3 + 3 ) (X - 4 )

d)

(x + 5/

a)   (x + 7)(x 2 - 7 x + 4 9)  b )

(x 2 + 9 ) (X + 3 ) (x - 3 )

e)

(x + 3)(x 4 - 3x 3 + 9x 2 - 2 7 x + 8 1 )

a)

V

e)

F

e) F

g)

V

 b )

V

d)

F

f)

h)

F

V

( x + l )( x - l )( x - 2 ) (x 3 + 2x 2 + 4 x + 1 ) b)

Sabiendo n

1 ~

20x

(x 2 -6X+36)(X+6)

e)

b)

2x 2 + 3 x - 6 = (x 2 + 3 )( x - 2 )

 b )

n a ) (x 2 +3X+9)(X-3) b)

-

+ 1 .

que

3 x (2 x - 1 1 )2

(x 3 + 1) = (x + 1)(x 2 - X + 1 ) , entonces:

( ~ r- ~ ( ~ r-


d) +  1 _

e)

2 ( x + 2 ) (x - 1 ) (X 2+ 2 x + 1 )

+ 1 -


( ifi) 3

  x(x + l)(x + 3)(x - 3)

+ 13

-

3

•

a)

b) e)

x=-l, x=2 x = -1, x = 2, x =-2 x =l, x =-2

d) e) f)

x=l, x= -l, x = 1, x=-3 x=l, x= -l,

x= -2 x= 3

50lucione5

e 191

(x 2 +2)(X +1)

 b )

6 7x 2 - 2 5x + 6 x(x + 3)

e)

2 (x + 3 ) x+ 4

d)

•

R a) 6X 2 (X  2 + 3 )( X + 2 )

x+ 6 4

n a )

f ac to ri za do s e l b ) y

E st án c or re ct am e nt e

1m

1m

a)   (x+7)(x-2)

d)

  (x+7)(x+2)

 b )

  (x-7)(x-7)

e)

  (x+7)(x+7)

e)

  (x-7)(x+2)

f)

  (x-7)(x-2)

a) . 2 . X 2 ( _. lx +

2

 b )

2

l4x

2

-1 + . 2 .X 3 ) 2

(2x + 5)( 3x 2 - 2)

i)(~ x - i)

e)

(~x +

d)

  (5x - 3/

e)

  (x-3)(x+6)

f)

S. . : o:

o

b)

5x (x-8)(x+2)

e)

4x 2 ( 3 x _ 4 ) 2

d)

3x ( x + 2 ) 3

e)

(x + 2)2 (x - 2)( x 2 - 2 x + 4 )

f)

2 (x + 3)( x - 1)(X + x 3 + x + X + 1 )

g)

4x 3 ( x + 3 ) ( x - 3 ) ( 3 x + 2 )

h)

2 4 ( X - l )( x + 2 ) (x + 2 )

R a) b)

4

4

 4

2x 2 x- 5 x -3 7

e)

x+ 4 x+ 5

d)

2( x - 3) x+ 9

x 5

Da) b)

x-2 x(x - 1)

e)

-x x- 3

d)

x-8 ( x - 3 ) (x 2 + 3)

e)

x+ 2 4x(x-3)

f)

-4 (2 x + 1 ) x(x+3)

( x - 8 ) (x 2 + 8 x + 6 4 )

n a)   (x-1)(x+5)(x-6) ~

f)

b)'

  (x + 4)(x + 3)(x - 3)

e)

( x - l) (x + l )( x + 2 )( x - 2 )

d)

( x + l) (x - 2 )( x - 5 )( x + 3 )

u

o

~ ¡;;: <

o

¡¡¡

:;:

o a: Q .

~ ;¡ ¡ o

t:

@

~ ~ <

'"

50luciones

• 193

. a l

Capítulo G •

al

y   = -2x - 4

b)

1 Y= --x 2

e)

y = lx - 5

y = %x + 2

e)

y = 5x + 4

f)

4 Y = --x-1 3

b ) -1

y = 2

b) y = •

+3

3

. a ) 2 . a )

dl

lx 

2

L os t re s p un to s e stá n ali ne ad os .

•

al b)

.,

a)

= -2x - 3

bl

Y = lx - 9 2

Rectas oblicuas

b)

x

 bl

=4

y ~

Xl

=

O

O

y ~ x - 3

dl

Y <   -2x - 2

-3

x

; I

y

 bl

I I I

I I

4

x x

/

/ / / /

- 2/ / / / /

/ /

e)

el

x

194 • Soluciones

x 2

e}

y 4 3

V

de las posibles soluciones: (3 ; 7)  y  (5 ; 5)

a}

-5

3,fi

e}

 b}   x>-1

1m

  Rectas perpendiculares

b ) 13

n Alguna

x

Rectas perpendiculares

Rectas paralelas

mi al

al

5

f)

dl

y   = -4x - 4

y = lx - 3

e )   Rectas oblicuas

  Rectas perpendiculares

. a )y

•

 bl

dl

Rectas paralelas

a) 5 n

-2

bl

•

e)   y=x-2

al

+5

e)   Rectas oblicuas

4 3

e)

y   = -2x

x

=

2

•

y

n a )

y

a)

'¡ _ : 3 1 - ::-l-¿ S ¡ I

--:-------2 I

-2

2

x

I

I I

/

Y /

 b )

-

/

/ /

/

y

/

 b)

/

/ / / /

- - - - - - - _! _- - - - - - - -

/

/

x

/ / 4 / / /

/ / / / / /

x

/ / / / /

- ~~- - - - - - - - - - - - - - - - - - ~5

-3

/

/

n a) y

e)

= _2 x

3

+

5

b) y

=3x

+ 12

e) y = _lx +

9

=

8

2

n a )

d)

e) y = I

x

-}x

+

5

d) y

lx 2

I

I I I

I I

-3

I I

n a )

S={(2;-2)}

i I I

I I

I I

x

I

I I

I I I I II"

50lucione5

e 195

y

bl

y

n a l

2

x

5

s

=

{(s;  2 )}

bl

Ina l

{ab

3fi 5 C =4fi =

3

Xl = R

x 2 = 13

1 V

 :s

Ra l

-3

n a l

-~ ~ - ---

< Y

b l   y:S-x

2

y < ~x

el

~

1_ _

+3

3

x

el

, ,

"

"

, , , ,

, , ,

, , , , ,

-4

,

x

x

4 , , , , , ,

, , , , ,

1 ',

dl

bl

-1

el

x

y

/

~

/ /

::

/ /

S.. : ¡¡: o

u

x

al y B

=

-Ixl

dl

Y

2 ¡¡ ~ <

= I x -1 1

o

¡¡j

r  o

ce

. .

Ix l + 1

el

y

=

I x +  1 1

f)

y

=

bl

Y

=

e)

y

=

Ix 1 -

1

-1 x l + 1

~ ~ 2

Si

t;l

~ <

'" 196 • 50lucione5

y

f)

R a) x

11

= 2x 2 - 2x - 12

y

n a )   Y=(X-5)2-1

 b )

y =

n a )

b)

Y = -(x-6)(x+2)

e)

y

d)

y

y =

2 ( x - 1)(x - 5)

- 2x 2 - 8x + 10  b ) Y = x 2 + 2 x - 8

n a )

y =

n y

R 

/ /

/ / / /

"

", ,

x

, , , ,

/ /

/ / /

"

/ / /

, "

/ /

/ - 6

"

6

/

Ra)

7

Y = x 2 - 6x - 7

"

/

= 2x 2 - 20x + 42 = 3x 2 + 6x - 9

3

-1

, , ,

(x - 4)2 - 25

y

6 ,

5

/

= 3x 2 - 30x + 57

b)

y

y = x2 + 2

b)   Y = _x 2 - 1

, x/ ,

e) y   = (x - 2)2 1

a) R 

1 1

-11

Y

1

1

n a )

I I

C

 O

=

{-4 ; 2}

C + = (- 00 ; -4) e=

u (2;

+(0)

( -4 ; 2 )

Crece : (- 1; +00 ) Decrece: (-00;

-1)

Mínimo: (-1;-9) y

 b )

y

 b )

x

CO={1;7} C+

= (1;

e=

7) e)

(-00 ; 1)u (7 ; +00 )

x

Crece: (-00 ; 4) Decrece : (4 ; +00 ) Máximo: (4; 9)

x

-7

-2

50luciones

e 19 7

y

d)

1m

a)

¡

x

y = x(x + 2)(x - 3) Xl

= O

x 2 = -2

b)

¡

x3 = 3 y Xl

=

y

=

1

21 +

x -

1

Y

=

-1

+ 11 + 3

x

m

=

e)

n a )

m

< 2

  ---+

  orden par 

= 1   ---+ orden impar 

11m

I!D

(-00 ; 1)u (5; +00)

C 

(1 ; 5 )

  ---+

orden impar 

111

b)   Gráfico 11

CO={1;5}

c-   =

a)   Gráfico

orden impar 

  ---+

x 4 = -2

 j

=

orden impar 

  ---+

x 2 = - 1   ---+ orden impar 

b)   -12
3

orden impar 

= 1   ---+ orden impar 

x3 = 2

na)

---+

e)   y=(x+l)(x-1)(x+2)~x-2) XI

b)

 

( x - l )( x _ 2 ) 2

x2 = 2

na)

orden impar 

  ---+

a) y = -(x

+ 3 )(x - 1 )2( x - 4 )

2

b) y=x (x-3)(x-S)

Crece: (3; +(0)

x

Decrece: (-00 ; 3)

e)

y = (x - 2 )2( X + 2 )(x - 4 )

Mínimo: (3; -4)

Ra) y = -2 x3 4

b) Y = _ x

-

2x 2 + 1 6x + 24

+ 4x 3 + 10x 2 - 28x + 1 5

 b )

C

 O

C+

=

=

x

{2}

D a)   C+=(-7;-2)U(4;+00) C=(-00;-7)U(-2;4)

C /J

C=R-{2}

b)   C+=(-00;-8)U(0;3)

Crece: (-00;

2)

C=

(-8;-4)U(-4;0)U(3;+00)

Decrece : (2 ; +00 )

O)

Máximo: (2;

lI!l

a)

<

d)

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<

e)

e)

f)

>

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<

i)

.. ... •, • ..

S <.

¡¡: o u

na)

R a) y = 2x 2 - 8x - 10 Y

Y

=

=

2 (x

-

2( x

2 )2 -

18

1 )(  x - 5 )

e)

y

Y

 _lx2 + 3x +  8

=

=

2

--t(x - 3/ +  2 i

Y = -}(x 2

b) y = 3 x + 1 2x + 9

y=3(x+2)2_3 y=3(x+l)(x+3) 198 •   50lucione5

+ 2 )(x - 8)

e

o

y

1-

~ <

e

¡¡¡

: ;:

~ <.

., ;

<

a:

g

8 ~ ~ < ><

 b )

e} [ " ~ 1 ~

x2 = 3

>

x3 = -3

mdeo ;mp"  orden par 

>

C +   = (1; 3)U(3;+00)

x

C=

R a)

y =

(-00;-3)U(-3;

- 2~(x +

y

. a )

  orden par 

 b )

y

1)

 4 n X -

3)

= -x2 (x + S)(x - 2)

x

n a)

c+

o )  U (S;   +(0)

(-3;

=

C  =(-00;-3)U(0;S)

 b )

y

 b )

/-3

x

c+   =

(-2;

C  =

(-00;-2)

3)U(3;+00)

1m •

f(-S) = 1

1\

  f(-l) =-3

b)   f(-l) = 2

1\

  f(3) = -4

f(-l) = 2

1\

  f(3) = -4 Y f(l) = -1

a)

e)

d) f(l) = -1

1 1 m 

e)

f(-S) = 1

a)

Xl

[

= x2

=

x3

=

c+

1

=

[X l

V

= O

x3

=

-S

e)

d } V 

F

e) F

n a }

  f(7) = 1 X

  orden impar 

  orden impar 

c+   =(-1;0)U(2;+00) C= (- oo ;-l)U (O ;

  orden impar 

>

(-00;-2)U(1;

2

>

4)

2) y

 b )

  orden impar 

>

  orden par 

>

  orden par  x

=

=

  f(-l) = -3

>

=

C

1\

1\

  f(6) = S

b)

F

(-2; 1)U (4;   +(0)

x2

c+

  f(6) = S Yf(3) = -6

>

4

C  =

b}

-2

1\

1\

a)

(-00 ; -S ) U (-S ; O ) U (O ; 2 )

(2;   +(0)

c+

=

(-2; 1)U (1 ;  +(0)

C=(-00;-2)

50lucione5

e 199

ab = n

13

 be = 8

ed

ad = 5

x

5

=2

Perímetro: 28

n k¡ =

c '- = (-oo;O)U(O;S)U(S;+oo)

7 V k2

= -

11

e=0

E a ) d) x

=   (-(X);   -3) e

U (2;   +(0)

b)

e=(-3;-1)U(-1;2)

a) a

2 3

y   = -x - 5

e)

y =   _lx - 4

,

,, ,, ,, , 4 , ,, ,, ,, , 2

, y

,

5

,

,

\

\

 b )

Y=

3

-¡x

2

d)

Y =   lx-7  2

\ \ ,

,

, \

\

\

-2

y

. a )

1m

x

4'

2 ',

\

,,

\

a)

2

x

-3

S={(-3;2)}

 b)

 b )

M

y

•" ... ~


O

x

u

12

x

~ ~

« e

¡¡¡

~

o

:¡ : <-

..,; «

s =   {(1;-4)}

o>-

s

~

~

« '"

200-

Soluciones

•

y

a)

n a )

y

3 x

x

CO={-5;3} C+ = (-00;

-5) u (3; +(0)

C=(-5;3) Crece : (- 1; +00 )

C+ = (-00;-2)U(3;

Decrece:

(-00

C=(-2;3)U(6;+00)

Mínimo:

(-1;-16)

; -1)

6)

 b )

 b )

CO

=

{-6;

2}

C+

=

(-6;

2)

C = (-00

; -6)

Crece: (-00; Decrece:

x

U (2 ; +00 )

-2)

(-2 ; +(0)

Máximo: (-2;

16)

I I

C+ = (-00

I I

; -4)

U (4; +(0)

(-4 ; O ) U (O ; 4 )

C=

I I I I I

I I

-6

a) n b)

2

y 

= _2x

+ 8x + 10

y

= 3x + 12x

2

- 21

e)

y = 2x2

d)

y   = - 3x2

ll D a)

187 peces

e) 6 años

b)

115 peces

f)

e)

5 años o 7 años

g) 14 años

d) 12 años

2

x

16x + 14

-

6x + 24

196 peces

h)   20 años

50lucione5

e 201

n a )

Capítulo 7

1

d)

2

12

b)

e)

2 .,

a)

x

=

6cm

b) x

. a ) l..

e)

y  b )

~

d)

y

=

7,2 cm

l.. y

e)

x ~ 8,49 cm

e)

~

n a )

y

a)

x ~ 31°45'34"

e )   tgli

b)

x ~ 13,45 cm

f)

tgE

e)

x ~ 12,2 cm

e)

g) tga

d)

x ~ 8,55 cm

h)   senil

e)

x ~ 68°11'47"

f)

x ~ 55°9'

tg~

a)

3,2 cm 4 cm

b)

2,4  c m 4cm

e)

08 '

d)

3,2 cm 4cm

=

08 '

0,6

e)

3,2 cm 2,4 cm

=

13 '

=

2,4  c m 4cm

=

=

0,6

t)

2,4 cm 3,2 cm

=

m i a)

075 '

¡~ =

57°11'43"

•

h)

13 2

13

i)

1

3

e) F

e)

V 

d)

t)

V 

V 

b)

 [ a ~

  34°16'58"

ro ~ 4,7 cm

rñ ~ 55°43'2"

rs ~

a t ~   7,97 cm

n

448

•

J I 

z

b)   sen~

d)   senE

•

v

b) v

1m . a )   sena

t)

1

2

g)

~

t)

l.. x

13

e)

1

8,66 cm

m

a)   0,616

e)   0,784

b)   0,326

t)   -4,463

b)   569,7 m

e)   1,881

g)   0,799

e)

d)   0,824

h)   -0,833

d) 66° 25' 19"

n a )   2,92m 3'25" r 

a)   a ~ 44°25'37"

n a ) a c ~   9,98 cm

b)   a ~ 30°57'50" e)   a ~ 25°50'31"

•

a)   Isósceles

b)   Complementarios

•

a)   5,8m

d)   320 m

b)   3.665,7 m

e ) 62° 6' 1O"

e)   5r 52'58"

t)

.,

d) 163,54 m

b)   1.825 m

e )   35°14'4"

393,4 m

 

.91°8'46"

1,93 m

a)   2,27m

e)

n a ) Pr ~ 6,78 cm

nal

r

=   60'35" bc ~ 13,97 cm

ac ~

12,15 cm

b)

<1

a ~   92°15'19"

r

..,

'"• . . .

S. . : =   51'32'

a:

o u

o

~ ~ 10,52 cm qr ~ 8,64 cm

• ...

~ ~

..

o

t )   30,46 cm

¡¡;

I o

mil 9,9 cm

 bl rb

" 17,2 cm

e =   120°38'56"

 bc ~ 9 cm

di [  9 "   58'21'59"

'"

<>.

..: vi

h ~ 67°55'33"

~

¡=   63°42'28"

53

g

:) l

..

~ ""

202-   50lucione5

mi   al { ~ ~   13,1  c m

e) { ~ ~   20,47 cm

dl { 5a ~

~ 23,04 cm

31,29 cm

el

R a l V

el

F

f) V

d) V

F

F

Rtga

1m

ad ~ 6,32 cm

al   ¡~ ~ 57°18'49"

bl

R al

10

rñ ~ 73°49'25"

¡~

b) ¡rs ~ 13,62 cm

al

=

61°22'14"

ar ~ 4,43 cm

e ~   62°20'20"

Pr ~

s ~

  8,12 cm

27°39' 40"

2

al   26,6m n b)   57,49 m

el

22° 46' 11"

dl

33° 35' 38"

1 1 m al

x ~ 10,77 cm

bl

x ~ 9,74 cm

e)

x ~ 30°45'37"

d) x ~ 45°31'56"

r ~   60°23'46"

cm

27,86 cm

tr ~ 24,44 cm

b) ¡ h ~   45°46'49"

d ~ 86°27'19" eg ~

1m

75,21 km n

2 R 54,67cm

Ra l

bl81,35cm 2

ad ~ 20,72 cm

cm ~ 20,26 cm

b)

  215,34 cm2

tg ~   14,98 cm

 pr ~ 11,28 cm

b l {   em

1 1 m al

b l   55,44

2

cm

a l   {x n

~ 31,39 cm

y ~   20,61 cm

bl {  x

~ 10,63 cm

y ~   47"39'48"

1m   1,55m 1 -. a a l-

seca

bl

  COS~

seca

1 _ . d l _

coseca

el sec2 a

nal bl el

na)

oc ab

d)   -ªf.. bc

bc ab

el

ab bc

~ ac

f)

ac oc

x ~ 4,87 cm

bl   x

~ 7,06 cm

el   x

~ 45°53'7"

50lucione5

e 203

. a )

Capítulo 8 - - '- - , - '

 _ •••••••_"'

.••• , . >~~

• •• ••  j

1

'" -

~ - -,

1

-

~ .

,

1

. ~ . _ ~ , : - ~ -. J

~~l~~;-)-

~ .'-"-~

. -"

---

Ninguno

!

I

I

:

I

I

13

:

I

I -

0,26

26%

93° 36'

1

18

 

0,36

36%

129°46'

2

9

 

0,18

18 %

64° 48'

0,12

12 %

43° 12'

0,08

8%

28° 48'

••--j~

Soltero/a

54 0

 

0,36

129° 36'

3

6

Casado/a

435

 

0,29

104° 24'

4

4

Divorciado/a

33 0

 

0,22

79° 12'

Viudo/a

19 5

 

0,13

46° 48'

 

b)

. a ) Invierno

40

0,1

10 %

Verano

160

0,4

40%

Primavera

120

0,3

30%

Otoño

80

0,2

20%

•

1 ,6 7 m ; 1 ,7 1 m ; 1 ,7 2 m ; 1 ,7 5 m y 1 ,7 5 m

. a )

- -- -- -

1 20

- -- ---

80

------

40

v

•

p

I

I

[1.700; 1.750)

73

73

 

1.725

[1.750; 1.800)

10 6

17 4

 

1.775

[1.800 ; 1.850)

98

27 7

 

1.825

[1.850 ; 1.900)

11 3

39 0

 

1.875

[1.900; 1.950)

54

44 4

 

1.925

[1.950; 2.000)

56

50 0

 

1.975

b) 1 60

,

I

~

--

o

a) 4 0

b)

4

b)

1.839 h aproximadamente.

e)

1 y 5

e)

El intervalo modal es [1.850; 1.900) y la moda, 1.875 h.

d)

24

d)

La mediana es 1.825 h.

e) 19 f)

g)

27

. a )

l

2 : 2 0%

I ~

¡

I -

[25; 28)

7

7

 

26,5

[28; 31)

3

10

 

29,5

5 : 1 2, 5%

[31; 34)

5

15

 

32,5

6 : 1 7, 5%

[34; 37)

9

24

 

35,5

[37 ;40)

6

30

 

38,5

3 : 1 5% 4 : 2 2, 5%

•

I

i ~~

1: 12,5%

a ) 45 b ) 2 2 c on 6 o m ás e)   5,48

204e Soluciones

y   14

con 7 o más.

b)

3 2, 9 k g

e)

El intervalo modal es [34; 37) y la moda, 35,5 kg.

d)

34

kg

I -.- -

e) 9

-- - - - ----- - - - - -

7

6

-

5

-

-- - - - -- - -

-

-- - -

-

25

.,

34

31

28

37

[13,5; 14,3), [14,3 ; 15,1), [15,1 ; 15,9), [15,9;

1

- --

  r,

~ --~ -,-

I

~

.  ,

Rojo

125

 

0,3125

Azul

75

 

0,1875

67° 30'

Verde

150

 

0,375

135

Amarillo

50

 

0,125

45

112 30' 0

0

0

40

16,7),

[16,7 ; 17,5) y   [17,5 ; lS,3]

1m

a)

J

'1 - '

\

! ('

- ,

,"

!

I

Locales

lS

0,6

60%

 

216°

Empate

9

0,3

30%

 

lOSo

Visitantes

0,1

3

n a )

1I

1

1

[l,S; 2,3)

10

10

2.050 9

[2,3; 2,S)

6

16

2.550 9

[2,S; 3,3)

7

23

3.050 9

[3,3; 3,S)

12

35

3.550 9

[3,S;4,3]

13

4S

4.050 9

36 °

10%

 b )

b)   3.175 9 e) El intervalo modal es  [3,S ; 4,3)   Y la moda,   4.050 g. d)   3.300 9

mi

a)

29

e)

15

e)

19

b)

6

d)

10

f)

23

e) 13

12

g)

- -, 1

 j Ninguno

10

,

-

I

¡

6

 

0,21

21 %

0,27

27%

1

8

2

5

 

0,17

17%

3

4

 

0,14

14%

4

4

 

0,14

14%

5

2

 

0,07

7%

7

-

6

-

1, 8

na )

2, 3

2, 8

3, 3

3 ,8

4 ,3

92

 b ) 4S h) Aproximadamente i)

2 hermanos

La moda es tener 1 hermano y la mediana, 2.

e)

25

d) $   4.500 el

$   5.207

50lucione5   e205

na)

Ra)

d)   10.080

126

 b )   39.600

e)

72

e)

f)

224

72

b)

120

e)

d) 240

24

 b )

na)  b )

5.040

d) 420

120

e )   45.360

e )   10.080

 b )

e)

120

1 m a) 720 Ra)

240

e)

480

d) 480

f)

360

b )   1.000

e)

100

7 11

e)

-11 ª-

4 11

d)

3 11

e)

3"

na)

2 15

1

d) JL

15

1 9.139

 b )  

84 9.139

d)   5.040

720

b )   10.080

e)   1.663.200

e)

f)   151.200

120

•

a)y  j), b) Y ¡), e) yk), d) yf). e) yh)

•

a) 40.320

d)   40.320

e )   9.880

b)   5.005

e)   3.600

d)   99.884.400

e)

f)

e )   4.096

42

f)   362.880

b) 252

R a) 210

216

300

d) 56

110

na)   51,25%

e )   30.240

e )   658.008

f)

na)   2.021

700

d)   2l.25%

b)   47,5%

e)   73,75%

e )   22,5%

f)

70%

e )   93.600

d)   2.880

 b )   14.406

na) 0,4

d) 0,4

g)   0,55

b) 0,8

e) 0,6

h) 1

e)

f)

i)

1C, 1s, 2c, 25, 3c, 35,4c, 45, 5e, 55, 6e, 65

b) Los 12 signos del zodíaco e)

h) 0,2

d) 720

1 m a) 36

ea)

b)

v ~ = 27.216

 b ) 24

 b )

0,5

d) 0,75

a) 45

na)

R a) 5.040 e)

f)

0,5

b )   2.401

60

m i   v ~ o-

mi

f)   831.600

1 m a) 720

g) 0,7

b )   0,25

na)

n a) 720

e )   0,15

e)

0,3

0,2

0,2

0,7

Del Oal36

d)   Del2al12 e)

na)

na)

Del Oal9

0,1

 b )   0,25

e)

0,5

d) 0,5

e)

0,3

g)   0,75

f)

0,2

h)   0,05

Ra)

e)

'6

'9

5 36

1 6

d)

d)

6 37

e)

1 8

.. ... •, •...

S

u

g

a) 81

e)

1

6

e)

1 2

~

17 81

e)

44 81

g)

26

81

12 ~


o ¡;;

:; :

b)  b )

b)

1 12

.(

1m 1

5

-81ª -

d)

1 3

f)

1

3"

o

g:

.(

., ;

~

g

8 ~ ~

~

206e

  50luciones

Ba )

85

b)

79

e)

59

d)

72

b)

e) Aproximadamente f)

lIl1

3 mascotas

8

-- - - -

-----

7

--

6

-- - ---

- ---

------

-

4

-

---

-

La moda es tener 1 mascota y   la mediana, 2

a)

, ,

0 ,2

0,22

0,24

0,26

0,28

0 ,3

e)   251,39 28

0,14

14%

50° 24'

54

0,27

27%

97° 12'

36

0,18

18%

64°48'

20

0,1

10%

36°

E a ) 40 0  b ) 23 0 e)

35 0

d ) 10 0 e )   Aproximadamente

 b )

f)   0,325

I

62 54

286 horas

g )   0,425

-

--

-

36

-

28

-

20

-

--

-

-

D a ) 31 2

-

 b ) 74 e)

14 4

d )   2.700 RemerasC amisasPantalonesRopa Camperas Interior 

e ) 28 0

.a )   5.040  b ) 36 0

e)   10.080

e )   45.360

d )   5.040

f)   60.480

R a ) 21 0

e )   27.000 f)   10.000

 b )   40.320 e)

g )   17.640

12 0

h )   2.450

d )   2.520 .a )   248.832 "' ~

E a )

~ -

1

I

1

b )   0,068

e)   0,013

I I

[0,20; 0,22)

4

4

[0,22 ; 0,24)

7

11

[0,24 ; 0,26)

8

19

25 0 9

[0,26 ; 0,28)

5

24

27 0 9

[0,28 ; 0,30)

6

30

29 0 9

21 0 9  

2309

50lucione5 e  2a7 

Primera edición. Primera reimpresión. Esta obra se terminó

de imprimir

en octubre

Santa Elena 948, Ciudad Autónoma

de 2013, en los talleres de 4 Colores S.A.,

de Buenos Aires, República Argentina.