RESUMEN Las ecuaciones diferenciales en la ingeniería en minas tiene un gran campo de acción ya que están aplicadas a la mayoría de sus áreas de trabajo es así que los ingenieros en minas debe tener los conocimientos y actitudes necesaria para realizar actividades de Diagnostico Diagnostico,, Diseño, Diseño, Implementació Implementación, n, eguridad eguridad !inera, !inera, "valuación "valuación de proyectos proyectos !inero !etal#rgicos, entre otras aplicaciones$ Las ecuaciones diferenciales dan un criterio t%cnico en el proceso las cuales permiten mode modela larr y resol resolve verr prob proble lema mass geom geom%tr %trico icos, s, físic físicos os en la mine minería ría
por por medi medio o de
funciones de varias variables y mediante la utilización de diferentes t%cnicas del cálculo de varias variables se puede dar la solución dic&os problemas$ "n lo que refiere a productividad ya sea de cualquier elemento por ejemplo oro '(u)* este es un elemento representativ representativo o el cual permite medir la efectividad efectividad de la minería e+tract e+tractiva iva,, este puede grande grandess reserva reservass para para su recuper recuperació ación n siempre siempre y cuando cuando el m%todo sea efectivo para su aplicación, en un depósito de oro vetiforme se realiza una relación de costos, estos son los costos real y costo referente en los cuales, el ingeniero debe realizar ajustes ya que en la práctica sean posibles de mejorar para aumentar la efectividad de la actividad minera, el cálculo diferencial y las ecuaciones diferencial juegan un papel importante en el análisis de estos aspectos$
EXPLOTACION SUBTERRANEA "n la e+plotación subterránea se debe tener normas de seguridad muy altos, tanto como para el diseño de las galerías, maquinaria a utilizarse la utilización del cálculo diferencial permiten optimizar y controlar estos aspectos importantes sin generar p%rdidas económicas a la empresa$ Las ecuaciones diferenciales en general en el diseño de una mina esta aplicada en el
Desarrollo: -omo en el acceso al depósito$ Preparación: Diseño de la división de la galería en bloques controlados$ Explotación: "n la e+tracción del mineral de los bloques y sus m%todos de recuperación$
PRIMERA APLICACIN: "n la minería es muy com#n buscar m%todos confiables y seguros para transportar cargas que en este caso son toneladas de rocas y se debe tomar en cuenta el tipo de material que se utilizara y su resistencia$ -ierta cadena uniforme de ( metros de largo siendo enrollada sin tensión sobre el piso$ "l e+tremo de la cadena se jala verticalmente &acia arriba usando una fuerza constante de . /%0tones$ La cadena pesa 1 n%0tones por metro$ Determine la altura o profundidad del e+tremo sobre el nivel del suelo al tiempo t$
2omemos en cuenta la siguiente relación X = x(t)
(ltura en el e+tremo de la cadena en el aire a un tiempo t V = dx/dt
2omando en cuenta que la dirección positiva es &acia arriba$ "n la porción de la cadena que está en el aire en el tiempo t se tienen las siguientes 3eso:
P = (X metros) (W newton/metro) = WX
(a)
!asa
m = P/g = WX/g,
(b)
4uerza /eta
FN = B – P = B – WX
(c)
Tomando en cuenta: F = (d/dt)(mv) (d )
5eemplazando 'b) y 'c) en 'd)
( )( ) d dt
wx v = B− wx g
x
( )( ) [ ] dv dt
+
dx B v =g dt w− x
e tiene x
( )( ) d 2 x d 2 t
+
dx dt
[ ]
2 + gx =
B g w
"sta es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden de la forma F(X,X’,X’’) = 0
e la puede resolver por reducción de orden, sustituyendo 6 7 '89) aplicando la regla de la cadena, la ecuación resultante queda de la siguiente manera
( )
( x . v ) dv dx
+2 v = g
[ ] B
w − x
M ( x , v ) dx + N ( x , v ) dv =0
(
2 v + gx −
)
Bg dx + ( x . v ) d v w
"sta ecuación diferencial no es e+acta, la cual se debe multiplicar por un factor integrante obteni%ndose
() 1 2
2 x .2 v +
() ( ) g
3
3 x −
Bg 2w
2 x =C
2omamos en cuenta que la cadena está en el suelo por lo tanto 8':) 7 :, 6 ; :, entonces, - 7 :$ Reemplazando se obtiene esta ecuación de primer orden:
( ) [ ( ) ] dx dt
=
Bg − w
2g 3
x
5esolviendo por separación de variables
( )[ ( ) ]
−
Bg − g w 3
2g
x .
3
1 2
= t + c 2 para x ( 0 ) = 0
[ ] −3
c 2=
( ) Bg w
g
Despejando + de la ecuación y sustituyendo el valor de -< se obtiene
{ [ ]} −3
( )( ) ( ) 3
g
Bg w
{[
−
x ( t ) = t +
2g 3
−3
x = t +
( ) Bg w
g
]
( ) g
( )(
2−
Bg w
Bg g w
3
)}
2
3 2g
ECUACIO N GENERAL
SE!UNDA APLICACIN: 5iesgos asociados a la mecánica de rocas
Las
ecuaciones
diferenciales nos
permiten calcular de una forma eficaz las propiedades mecánicas de la roca en la cual se realizara la labor minera$ !"-(/I-( D" 5=-(
Las propiedades de las rocas pueden ser medidas mediante ensayos$ "l comportamiento de la roca durante la e+cavación puede ser analizada$ "l reconocer estos parámetros permite que el trabajo minero no genere p%rdidas
considerables$ Las ecuaciones diferenciales permiten realizar el diseño de soft0ares específicos
para controlar estos parámetros en una labor minera$
COCLUSIONES "
Las ecuaciones diferenciales son de gran importancia en la minería ya que permiten el diseño y control de la maquinaria a usar, el control detallado de los
materiales y sus resistencias para tener coeficientes de seguridad óptimos que garanticen una adecuada y segura labor minera$
>
Las ecuaciones diferenciales permiten un mejor diseño de la minería, ya que es posible generar datos estructurales de las rocas, en función a sus propiedades mecánicas, el diseño de soft0ares, permiten el diseño de galerías y simulaciones de construcción de bloques, en la veta en que se est% trabajando
