RADICIAÇÃO
DEFINIÇÃO:
=b b = a Onde a é um número Real Real e n um número natural não nulo. Dizemos que b é raiz enésima de a, se e somente se, a resulta de b elevado a n. Exemplos: 1) 4 = 2, pois 2 = 4 2) 9 = 3, pois 3 = 9 3) 8 = 2, pois 2 = 8 4) - 8 = -2, pois (-2) = -8 5) 1 = 1, pois 1 = 1 6) 0 = 0, pois 0 = 0 Observação : - 9 œ ¬ , pois não existe nenhum número real que elevado a expoente par fique negativo. Pelo mesmo motivo, - 16 œ ¬ , - 1 œ ¬ e assim por diante. Portanto, se a é negativo e n é par então não existe raiz enésima de a, em ¬ . Observação : Por convenção o índice dois da raiz quadrada pode ser omitido, assim 4 = 4 ; 7 = 7 Cuidado, embora 2 = 4 e (-2) = 4 tomamos como raiz de 4 apenas o resultado estritamente positivo. Assim: 4 = 2 - 4 = -2 2 4 = 2 4 PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO 1) . b = a.b ou . b a.b = Exemplos: a) 2 . 8 = 2.8 = 16 = 4 32 = 16 . 2 = 4. 2 b) 3 . 9 = 3.9 = 27 = 3 8 4.2 4. 2 2. 2 c) 2 . 3 . 6 = 2.3.6 = 36 = 6 81 27.3 27 . 3 3 3 n
n
¤
a
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
10
10
2
1
4
8
2
2
2
2
±
2
±
≠
n
a
3
±
n
n
3
3
n
n
3
=
=
3
2)
a
a =
n
b
n
b
ou
=
3
=
n
n
a
a n
n
a
n
b
=
b
3
=
3
3
=
Exemplos: 8
a)
8 =
b)
81
n
a
4
( 2) = 3
4
4
2
. 4) Exemplos: a) 64 n
m
n m
a
=
3 2
3.2
5)
5 3
n. p
a
=
16
3
=4
8
=
n
=
=4
4 3
6
3.5
32
a
64
=
=
3 5
32
=
32
3 =
ou
m
2
n
a
m
=
( )
m
n
a
5
a
=
9
n
2
m
a
=
4
2.2 =
n.b
m
5
2
3
3.2
4 4
2
2
( 4 ) = (2) = 32 = ( 8 ) = (2 ) = 4
.
6
9
8
=
n m
2
=
a
5
8
ou
64 5.3
32
m. p
4
3 =
3
n
3
9
=
ou
m
a
=
b)
3
=
3
9 8
a
10 =
9
3
3
m
b)
27
=
3) ( ) = Exemplos: a) ( 2 ) = 2 n
3
3
3
10 =
9
81 =
3
10
2
=
2
2 3
4
=
=
3
9
a
4
=
9
=
3 =
2 3
=
m .b
_________________________________________________________ Exemplos: a)
2
3 .2
4 =
2
3
2 .2
2
=
2
3 =
3. 5
4
6 =
b)
2
6
6
9
5
3.3
6 =
5
3
2.3 =
5
2
3
=
1 6
3 . 5
6
27 . 5
6 =
2.3
1 =
27.5
6 =
6
1.3 6
3
. 5
=
3 6
3 . 5
135
25
=
Potência com expoente fracionário (racional ) Definição: Dado um número racional e um número real não negativo a, n
m n
podemos dizer que a = Exemplos: m
3
a) 2 = 5
5
2
3
=
5
8
n m
a
n
ou
m
a
n =
a
m
=
1
b)
73
c)
5
3
7
=
1
1 5
6
6
=
1 =
63 1
d)
1
2
3
3
=
=
32
Obs.: A partir dessa propriedade e das propriedades da potenciação, podemos definir todas as propriedades da radiciação. Exemplo: n
n
n
=
a. b
1 n
a . b
1
=a
1
1
n
.b n
1
= (a.b )n = n
a.b
Racionalização de denominadores Racionalizar consiste em eliminar todos os radicais (raízes) que aparecem na forma de denominador de uma fração, sem alterar o valor numérico das mesmas. Para racionalizar, multiplicamos o numerador e o denominador da fração pelo mesmo valor. Ao multiplicar e dividir pelo mesmo valor, não estamos alterando o valor numérico da fração, pois, na realidade estamos multiplicando a fração por 1 ( um ). Nesta aula, vamos separar a racionalização em dois tipos: 1 – Quando, no denominador, tivermos uma raiz quadrada: 3
a)
3
=
2
5
3
2
3. 7
7
5. 3
5. 3 =
3
3
2
2. 7 =
3. 7
2
2
=
3.3
.
=
2
5. 3 =
3
3. 2 =
2.2
3
3
2
c)
3. 2 =
2
.
=
3. 2 =
2
5
b)
2
.
7
2. 7 =
3. 7.7
2. 7 =
3. 7
2. 7 =
3.7
2
21
2 – Quando, no denominador, tivermos uma raiz enésima: a) b) c)
3
3
3
.
=
3
3
2
2
4 2
5
1 5
2
. 2
2
3
5
2
3
2.2
2
3
3. 2
2
5
3
5
4. 2
3
3. 4
.
=
3
2
5
3
4. 2
3
2
2 .2
3
3
1. 3
5
5
3
3
3
5
4. 8 =
2
2
3
3 .3
2. 8
2 5
3
5
3
=
5
5
=
5
3
=
5
2
3
=
5
5
2
2
=
3
1 2
3
3
=
5
3. 2
=
1 =
9
2
2
5
4 2
2 =
3
=
5
2
27
=
5
5
3
3
Exercícios resolvidos 1) calcule o valor de:
a)
2. 2. 2. 4
b)
1+
c)
3
3
32. 4
16
+
9. 3. 9
Resolução:
a)
2. 2. 2. 4
3
9. 3 9
3 =
2. 2. 4
1 + 32.3 4 + 4
=
3
9. 3.3
2) O produto a) 8 b) 8
=
2. 2. 2.2
1 + 32.3 4 + 16
b)
c)
=
9.3
=
3 =
27
=
=
2. 2.2
1 + 32.3 8
=
=
2. 4
=
1 + 32.2
2. 2
=
=
4
1 + 64
=2 =
1+ 8
3
pode ser escrito como: c) 8 d) 6 e)2. 2 3
2. 4
3
6
6
6
Resolução:
Primeiro tiramos o mínimo múltiplo comum ( mmc ) entre os índices das raízes. Mmc ( 2, 3 ) = 6 - Para transformar o índice dois da raiz quadrada em seis, multiplicamos o índice e o expoente por 3 ( para não mudar o valor numérico da expressão ). -
2
2
=
2
6
1 .3 =
2
3
Para transformar o índice três da Segunda raiz em seis, multiplicamos o índice e o expoente por dois.
3
2 .3
1
4
3 =
2
3.2
2 =
2
6
2.2 =
2
4
Assim: 2. 4 2 . 2 2 .2 2 2 Assim: 2 . 4 = 2 . 2 = 2 .2 = 2 = 2 Obs.: Como podemos notar, não existe nenhuma alternativa portanto devemos continuar a resolução. 3
3
6
=
6
3 6
3 6
4
4
=
6
3
4
6
3
4
=
6
3+ 4
6
3+ 4
=
6
7
6
7
6
2
7
,
=
9
=
3
6
2
7
=
6
2
6 +1
=
6
6
2 .2
1
=
6
6
6
2 . 2
1
=
6
2. 2
Resposta e 3) Dados os números a) b) c) d) e)
3
3
<
4
5
<
<
2
<
3
<
2
<
5
<
3
<
2
<
6
6
<
6
6
3
4
3
4
5
<
3
3
<
3
3
<
6
6
<
2
<
6
2
,
3
3
,
4
5
e
6
6
. Qual a ordem correta?
6 2
4
5
4
5
6
6
Resolução: - Tirando o mínimo entre os índices 2, 3, 4 e 6 das raízes, obtemos: 2, 3, 4, 6 1, 3, 2, 3 1, 3, 1, 3 1, 1, 1, 1
A seguir transformamos todos os índices em 12
2 3
4
6
2 2 3 2.2.3 = 12
2 =
3
3
=
5
=
6
=
4
6
2
2. 6
1 =
3.4
1
3
=
1
5
6
4.3 =
6.2
1 =
2
1. 6
12
1.4
3
12 =
1. 3
5
6
2
=
12 =
1.2
12 =
6
3
4
5
3
12 =
12
81
12
125
=
6
64
=
2
12 =
36
Podemos notar que 36<64<81<125 e, portanto, Resposta c
EXERCÍCIOS: 1) Calcule o valor de
10 + 3. 23 +
2
+
4
2
3
2) O valor de 16 - 27 é: a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 5 3) O produto 2 . 5 pode ser escrito como: a) 10 b) 10 c) 10 d) 100 e) 200 4
3
3
3
6
6
4) Racionalizar o denominador da fração
6
27 5
9
6
6
<
2
<
3
3
<
4
5
3
5) O valor da expressão (81 - 16 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolução: 4
1)
10 + 3. 23 +
2+
=
10 + 3. 23 + 2
2) 16 - 27 = Resposta b 3) 2 . 5 = 2 Resposta e 2
3
5)
5
=
9
10
+
)2
é:
3. 23 +
=
10 + 3. 25
4
3
4
4)
=
1
4
10
+
2
+
2
=
3.5
=
10
25
+
3. 23 +
4
=
=5
2
3
27
4
1
5
3
2
3
1
1
4
4
2
(81 - 16 )
1 3
5
27
.
16
5
. 5
3
3
3
3
3
-
=
1
2
27
2.3
=
2
2
1.3 3.2
5
=
.
27. 3 5
2
3 .3
(4 16 ) 3 - (3 27 ) 2 5
5
3
3
=
1.2
=
27. 3 5
3
6
3 6
2 . 5
2
= (2) - (3) = 8 – 9 = -1 3
= 5
3
27. 3
=
5
=
3
( 81
25
1
=5
-
4
1
16 )
2
6
3
2
2 .5
=
2
6
=
=
3
4
[( 81) - 16 ]
2
=
6
200
5
9. 27
1 4
8.25
3
3
1 4
1
= (25) 2 = Resposta e
3
1
=
3
[(3) - 2]
2
1
=
( 27 - 2) 2
=
