Matemáti ca
Matemáti ca básica
1
SISTEMA COC DE ENSINO Direção-Geral: Sandro Bonás Direção Pedagógica: Zelci C. de Oliveira Direção Editorial: Roger Trimer Gerência Pedagódica: Luiz Fernando Duarte Gerência Editorial: Osvaldo Govone Gerência Operacional: Danilo Maurin Gerência de Relacionamento: Danilo Lippi Ouvidoria: Regina Gimenes Conselho Editorial: José Tadeu B. Terra, Luiz Fernando Duarte, Osvaldo Govone e Zelci C. de Oliveira PRODUÇÃO EDITORIAL Autoria: Clayton Furukawa, Frederico R. F. do Amaral Braga e Jeferson Petronilho Editoria: José F. Rufato, Marina A. Barreto e Paulo S. Adami Coordenação editorial: Luzia H. Fávero F. López Assistente Editorial: George R. Baldim Projeto gráfico e direção de arte: Matheus C. Sisdeli Preparação de originais: Marisa A. dos Santos e Silva e Sebastião S. Rodrigues Neto Iconografia e licenciamento de texto: Cristian N. Zaramella, Marcela Pelizaro e Paula de Oliveira Quirino. Diagramação: BFS bureau digital Ilustração: BFS bureau digital Revisão: Flávia P. Cruz, Flávio R. Santos, José S. Lara, Leda G. de Almeida e Maria Cecília R. D. B. Ribeiro. Capa: LABCOM comunicação total Fechamento: Matheus C. Sisdeli
Rua General Celso de Mello Rezende, 301 – Tel.: (16) 3238·6300 CEP 14095-270 – Lagoinha – Ribeirão Preto-SP www.sistemacoc.com.br
Sumário
CAPÍTULO 01 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
7
1. Potenciação 2. Radiciação
7 10
CAPÍTULO 02 PRODUTOS NOTÁVEIS
17
1. 2. 3. 4. 5.
17 17 17 17 17
Quadrado da soma de dois termos Quadrado da diferença de dois termos Produto da soma pela diferença de dois termos Cubo da soma de dois termos Cubo da diferença de dois termos
CAPÍTULO 03 FATORAÇÃO
19
1. Definição 2. Casos de fatoração
19 20
CAPÍTULO 04 PORCENTAGEM
22
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
22 22 22 22 24 25 26 28
Introdução Definição Forma decimal Porcentagem de quantias Lucro Aumento percentual Desconto percentual Aumentos e descontos sucessivos
CAPÍTULO 05 MÚLTIPLOS E DIVISORES
30
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
30 33 35 36 36 36 37 37
Conceitos básicos Propriedades Máximo divisor comum Mínimo múltiplo comum MDC e MMC pelo método da decomposição isolada MMC e MDC pelo método da fatoração simultânea MDC pelo método das divisões sucessivas Propriedades do MDC e do MMC
CAPÍTULO 06 EQUAÇÕES
39
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
39 39 39 39 40 40 40 40
Introdução Equação matemática Raiz (ou solução) de uma equação Resolução de equações Equações equivalentes Equação do 1º grau Problemas matemáticos Passos para resolver um problema matemático
9. Equação do 2º grau 10. Resolução de equações com mudança de variável 11. Equações irracionais
43 47 48
CAPÍTULO 07 TEORIA DOS CONJUNTOS
50
1. Introdução 2. Notação e representação 3. Relação de pertinência 4. Relação de inclusão 5. Conjuntos especiais 6. Conjunto universo 7. Conjunto de partes 8. Igualdade de conjuntos 9. Operações com conjuntos 10. Número de elementos da união e da intersecção de conjuntos 11. Conjuntos numéricos 12. Operações com intervalos
50 50 50 51 51 52 52 52 52 55 56 57
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
59
Capítulo 01 Capítulo 02 Capítulo 03 Capítulo 04 Capítulo 05 Capítulo 06 Capítulo 07
61 66 68 70 78 83 93
GABARITO
102
Teoria
Matemática básica
Matemáti ca
CAPÍTULO 01 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 1. Potenciação A. Defi nições
Exemplos 1. 105 · 102 = 105 + 2 = 10.000.000
Em todas as definições apresentadas abaixo, a representa um número real e n, um número natural diferente de zero. 1. Para n maior que 1, an é igual ao produto de n fatores idênticos a a, isto é:
2. (–10)5 · (–10)2 = (–10)5 + 2 = – 10.000.000 • P2: Quociente de potências de mesma base Para dividirmos potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.
an = a · a · a...a
n fatores idênticos
am = am–n , a ≠ 0 an
Notação: O elemento a é chamado base, n é denominado expoente e an, potência. 2. Para n= 1, define-se: a1 = a. 3. Para n = 0 e a ≠ 0, define-se: a0 = 1. 1 4. Expoente inteiro e negativo: a–n = , n a com a ≠ 0. Exemplos 1. 105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 2. 51 = 5 3. (–2)0 = 1 1 1 4. 3–4 = 1 = = 4 3 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 81
Justificativa am = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a e an = a ⋅ a ⋅ ... ⋅a m vezes
1º) Sendo m > n, temos: m vezes a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a = = a ⋅ a ⋅ ... ⋅a = am – n an a ⋅ a ⋅ a ... ⋅a (m – n) vezes
am
n vezes
m 2º) Se m = n: a = 1 = a(m – n) = a0 = 1 an
B. Propriedades
PV-13-11
Consideremos os números reais a e b e os números naturais m e n. Então, são válidas as seguintes propriedades: • P1: Produto de potências de mesma base
m 1 1 3º) Se m < n: a = = n a a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a a
(n–m)
= a(m–n)
(n–m) vezes
Exemplos
Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. am · a n = a m + n
1. 2.
Justificativa am = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ...⋅ a m vezes m n a ⋅a = n a = a ⋅ a ⋅ a ⋅... ⋅ a n vezes = a ⋅ a ⋅ a⋅ ... ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ... ⋅ a m vezes
n vezes
3.
57 = 57–4 = 53 = 125 54 23 1 = 23–4 = 2–1 = 24 2 22 = 22– x 2x
• P3: Produto de potências de mesmo expoente Para multiplicarmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e multiplicamos as bases. an · bn = (a · b)n
n vezes
am ⋅ an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a (m + n) vezes
Assim: a · an = am + n m
7
Matemática básica
Matemáti ca Justificativa
• P5: Potência de uma potência Para elevarmos uma potência a um novo expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.
an = a ⋅ a ⋅a ⋅... ⋅ a e bn = b ⋅ b ⋅ b ⋅ ... ⋅ b (n) vezes
⋅
bn
n vezes
= a ⋅ a ⋅a ⋅... ⋅ a ⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ ... ⋅ b = n vezes
(am)n = am · n
n vezes
= ab ⋅ ab ⋅ab ⋅ ... ⋅ ab
Justificativa
n vezes
Assim: a · b = (ab) n
n
⋅ am ⋅ ... ⋅ am (am )n = a m
n
n vezes
n vezes (am )n ⋅ = am+m+...+m ⇒ (am )n = am ⋅ n
Exemplos 1. 23 · 33 = (2 · 3)3 = 63 2. (a · b · c)2 = a2 · b2 · c2
Exemplos 1. (25)2 = 25 · 2 = 210
• P4: Quociente de potências de mesmo expoente
2.
Para dividirmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e dividimos as bases.
= 55 ⋅ 2 ⋅ 3 = 530
As propriedades apresentadas podem ser estendidas para os expoentes m e n inteiros.
n
Exemplos a. 23 · 2–2 = 23 + (–2) = 21 (P1) 52 = 52 – (–3) = 52 + 3 = 55 (P2) 5–3 c. 5–3 · 2–3 = (5 · 2)–3 = 10–3 (P3) b.
Justificativa an = a ⋅ a ⋅a ⋅... ⋅ a e bn = b ⋅ b ⋅ b ⋅ ... ⋅ b n vezes
n vezes
d.
n vezes
a ⋅ a ⋅a ⋅... ⋅ a = b ⋅ b ⋅ b ⋅ ... ⋅ b n vezes
(P4 )
A. (–a)n e –an As potências (–a)n e –an, em geral, apresentam resultados diferentes, pois:
n vezes n
(–a)n = (–a) ⋅ (–a) ⋅ (–a)⋅... ⋅(–a) n vezes
Exemplos 22 2 1. = 112 11
–2
C. Situações especiais
a a a a = ⋅ ... ⋅ n b b b b b an a = bn b
7–2 7 = 5–2 5
e. (2–2)–3 = 2(–2) · (–3) = 26
an
Assim :
3 5 2
Observação
an a = ,b ≠ 0 bn b
an bn
((5 ) )
–an
2
= –a ⋅ a ⋅ a⋅ ... ⋅a n vezes
Exemplos 1. (–2)2 = (–2) · (–2) = 4 2. –22 = –(2) · (2) = –4
a3 a 3 a3 2. = = b3 ⋅ c3 (b ⋅ c )3 b ⋅ c
8
PV-13-11
an
Matemática básica
e
B. (am ) e am n
Matemática
n
n vezes m = a ⋅ m⋅...⋅m
As potências (am ) e am , em geral, apresentam
amn
resultados diferentes, pois:
Exemplos 1. (25)2 = 25 · 2 = 210
n
( )
n am
n
= ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )⋅...⋅( ) am
am
am
am
n vezes
2. 252 = 25⋅ 5 = 225
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. UFMG
03. UFRGS
O valor da expressão (a + b ) é: a. ab (a + b)2 –1
Sabendo-se que 6x + 2 = 72, tem-se que 6–x vale: a. – 4 b. – 2
–1 –2
ab (a2 + b2 )2 c. a2 + b2 2 2 d. a b (a + b)2
c. 0 1 d. 2 e. 2
b.
Resolução
72 6x + 2 = 72 → 6x · 62 = 72 → 6x = → 6x = 2 36 1 1 6–x = = 6x 2 Resposta
Resolução 2
1
1
(a−1 + b−1 )−2 = a + b
−2
b+a = ab
−2
1 = = b + a ab
D 04. ENEM
2
ab a2b2 a + b = (a + b)2
A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB.
Resposta PV-13-11
D 02. UECE Se a = 32 e b = a2, então o valor do produto ab é igual a: a. 36 b. 38 c. 96 d. 98
Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é 95%, João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar: a. um CD de 700 MB. b. um pendrive de 1 GB.
Resolução a · b = a · a2 = a3 = (32 )3 = 36 Resposta A
9
Matemática
Matemática básica
c. um HD externo de 16 GB. d. um memory stick de 16 MB. e. um cartão de memória de 64 MB.
estrela tiver, em média, 10 planetas a sua volta, então existem no universo visível, aproximadamente: a. 1012 planetas. b. 1017 planetas. c. 1023 planetas. d. 10121 planetas. e. 10220 planetas.
Resolução • 1 megapixel = 106 pontos • 1 ponto = 3 bytes Após compressão, 1 ponto ocupará: 5 · 3 bytes = 0,15 byte 100 Trabalho de João:
Resolução 100 bilhões de galáxias: 102 · 109 = 1011 galáxias 100 bilhões de estrelas: 102 · 109 = 1011 estrelas em cada galáxia
150 · 2 · 106 · 0,15 = 45 · 106 bytes = 45 ⋅ 106 = MB = 45 MB 106 Resposta
Logo, temos: (nº de galáxias) · (nº estrelas/galáxias) 1011 galáxias · 1011 estrelas = 1022 estrelas
E
Cada estrela tem, em média, 10 planetas. Assim, (nº de estrelas) · (nº de planetas/estrelas) 1022 · 10 = 1023 planetas Resposta C
05. Ibmec-SP Os astrônomos estimam que, no universo visível, existem, aproximadamente, 100 bilhões de galáxias, cada uma com 100 bilhões de estrelas. De acordo com esses números, se cada
2. Radiciação A. Definições 1. Considere a um número real não negativo e n um número natural diferente de zero. O símbolo n a representa um número real b, não negativo, que satisfaz a igualdade bn = a. Notação: O número a é chamado radicando, n é denominado índice e n a é a raiz n-ésima de a. Observação: O símbolo a representa o mesmo que 2 a. Exemplos
2.
1
2 = 2, pois 21 = 2 (raiz primeira de 2)
3.
3
0 = 0, pois 03 = 0 (raiz cúbica de zero)
PV-13-11
25 = 5, pois 52 = 25 (raiz quadrada de 25)
1.
2. Considere a um número real e n um número natural ímpar. O símbolo
n
a representa um número real b que satisfaz a igualdade bn = a.
Exemplos 1.
3
8 = 2 , pois 23 = 8
2.
3
–8 = –2 , pois (–2)3 = –8
10
Matemática básica
B. Raiz quadrada do quadrado de um número real
Matemáti ca
Justificativa n
a2 = a, se a for um número real não negativo.
1
1.
Costuma-se indicar: a2 = a (valor absoluto de a), Exemplos
3
2.
(– 5)2 = –(–5) = 5
3.
(2 – 3 )
4.
(2 – 5 )
2
2
P2: Divisão de radicais de mesmo índice Para dividirmos radicais com o mesmo índice, conservamos o índice e dividimos os radicandos.
= 2 – 3 , pois 2 – 3 > 0
(
102 ⋅ 3 10 = 3 102 ⋅ 101 = 3 103 = 10 2 ⋅ 64 = 2 ⋅ 64 = 2 ⋅ 8 = 8 2
2.
52 = 5
)
n
= – 2 – 5 = 5 – 2 pois 2 – 5 < 0
n
Observação Não devemos confundir
Justificativa
4 e –2 = – 4.
4 ⇒x=±2
Exemplos
Definição
1.
= k an , com a > 0, n inteiro e k inteiro positivo.
Exemplo
2.
1 52
PV-13-11
= 2 51 = 5 Observação
5
128 5 128 5 = = 32 = 2 4 4
5
4 4 2 = = = 0, 4 25 25 5
• P3: Potência de uma raiz
Todas as propriedades apresentadas para potências de expoentes inteiros são válidas para expoentes racionais.
Para elevarmos uma raiz a um expoente, basta elevarmos o radicando a esse expoente.
D. Propriedades
( a) n
Consideraremos os números reais a e b não negativos e os números naturais não nulos m, n e p. Então: • P1: Produto de radicais de mesmo índice
m
= n am
Justificativa
( ) n
Para multiplicarmos radicais com o mesmo índice, conservamos o índice e multiplicamos os radicandos. n
1
a an a n n a = 1 = = n b b b bn
C. Potências com expoente racional n ak
1
n
Se considerarmos a equação x2 = 4, teremos como solução as raízes 2 e –2, pois: x2 = 4 ⇒ x = ±
a na = (b ≠ 0) b b
4 = 2 com 4 = ± 2,
pois é falso, de acordo com a definição. Então, 2 =
1
Exemplos
a2 = –a, se a for um número real negativo.
1.
1
a ⋅ n b = a n ⋅ b n = (a ⋅ b ) n = n a ⋅ b
a
m
m
m 1 = an = a n = n am
Observação A propriedade P3 também é válida quando o expoente m é inteiro negativo.
a ⋅ n b = n ab 11
Matemática básica
Matemáti ca Exemplos 1. ( 5)2 = 52 = 5
Exemplos a.
2. ( 3 2 )2 = 3 22 = 3 4 • P4: Raiz de outra raiz
a=
n⋅m
a=
8
220 = 8:4 220:4 = 25
c.
8
54 = 2 51 = 5
a
Exemplos
=a
1 m n
=
1 an ⋅ m
a. =
n ⋅m
4 5
7 =
2 ⋅2
3=
2)
2⋅4⋅5
= 3 33 ⋅ 3 x 3 ⋅ 3 y 6 ⋅ 3 z3 ⋅ 3 3 ⋅ x2 y = = 3 ⋅ x ⋅ y2 ⋅ z ⋅ 3 3x2 y
7 = 40 7
3=43
• P5: Simplificação de radicais
am =
n ⋅p m ⋅p a
m
m⋅p
am = a n = a n⋅p =
(p ≠ 0)
n ⋅p m ⋅p a
2.
6
53 =
2⋅ 4
53⋅ 4 = 8 512
22 =
3⋅2
21⋅2 = 3 21 = 3 2
a2 ⋅b6 ⋅c = 5 a2 ⋅b5 ⋅b ⋅c = b 5 a2bc
c.
3
324 = 3 22 ⋅34 = 3 22 ⋅ 33 ⋅ 3 =
Para reduzirmos dois ou mais radicais a um mesmo índice, inicialmente, calculamos o MMC de todos os índices, obtendo, assim, o índice comum a todos os radicais. Em seguida, dividimos o novo índice por todos os índices anteriores, multiplicando o resultado pelos expoentes dos fatores do respectivo radicando. Exemplos
Exemplos 1.
5
F. Redução de radicais ao mesmo índice
Justificativa n
b.
= 3 3 22 ⋅ 3 = 3 3 12
Quando multiplicamos ou dividimos o índice de uma raiz e o expoente de seu radicando por um mesmo número natural não nulo, o valor da raiz não se altera. n
a.
3
3
Como podemos observar nos exemplos, o valor de uma raiz não se altera quando dividimos o índice do radical e o expoente do radicando por um fator comum natural não nulo. am
=
xy2 ;
4
x3 e
y
MMC (3, 4, 2) = 12, então:
Observação
n
81 ⋅ x 5 ⋅ y 7 ⋅ z3 = 3 34 ⋅ x 5 ⋅ y 7 ⋅ z3 =
= 3 33 ⋅ 3 ⋅ x 3 ⋅ x2 ⋅ y 6 ⋅ y ⋅ z3 =
a
Exemplos 1)
3
PV-13-11
nm
b.
Simplificar um radical significa transformá-lo em uma expressão equivalente ao radical dado, porém escrita de forma mais simples. Obtemos essa transformação através da aplicação das propriedades anteriormente vistas.
Justificativa n 1 am
104 = 6:2 104:2 = 3 102
E. Simplifi cação de radicais
Para obtermos a raiz de uma outra raiz, basta conservarmos o radicando e multiplicarmos os índices. nm
6
b.
xy2 = 12 x 4 y 8 ;
4
x 3 = 12 x 9 ; y = 12 y 6
2, 3 3 e 4 5 MMC (2, 3, 4) = 12, então: 2 = 12 26 ; 3 3 = 12 34 ; 4 5 = 12 53
n: p m : p a
12
Matemática básica
Observações 1. Conforme vimos nas propriedades P1 e P2, a multiplicação e a divisão de raízes só devem ser efetuadas se os radicais tiverem índices iguais, então esta propriedade, que permite reduzir os radicais ao mesmo índice, é bastante importante nesses casos.
2. Para que possamos comparar raízes, também devemos tê-las com os índices iguais, e a maior raiz será aquela que tiver o maior radicando. Exemplos 3
Exemplo 3
Matemática
3⋅2
21⋅2 = 6 4 3 ⇒ 3> 2 2⋅3 1 ⋅3 6 3 3 = 3 = 3
2=
5 ⋅ 2 ⋅ 4 3 = 12 54 ⋅ 12 26 ⋅ 12 33 = 12 54 ⋅ 26 ⋅ 33
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01.
03. UFAL
Dê o valor de:
A expressão a. 0
a. 81
b. 10
b. 4 16
d. 3 10 e. 90
3 d. –125 6 e. 0
Resolução
Resolução
10 + 10 . 10 − 10 =
81 = 9 , pois 92 = 81
(10 +
4
16 = 2 , pois 24 = 16
c.
3
125 = 5 , pois 53 = 125
d.
3
−125 = − 5 , pois (–5) = –125
D
e.
6
0 = 0 , pois 0 = 0
04.
6
02. UECE A expressão numérica 5 3 54 – 3 3 16 é igual a:
Forme uma sucessão decrescente com os números reais
3 a. 1.458
2 3 , 3 2 e 2.
Resolução
3 b. 729
c. 2 3 70
2⋅ 3 =
22 ⋅ 3 =
12 = 4 12
d. 2 3 38 Resolução
3⋅ 2 =
32 ⋅ 2 =
18 = 4 18
3
2 ⋅ 33
3
3
24
5 54 = 5 ⋅ 3 16 = 3 ⋅
3
2= 1 2 =
3
= 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 15 2
4
= 3 ⋅ 3 23 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 3 2 = 6 3 2
= 3 9 3 ⋅2 =
Resposta A
1⋅4
21 ⋅ 4 = 4 16
18 > 4 16 > 4 12
Resposta
5 3 54 – 3 3 16 = 15 3 2 – 6 3 2 = 9 3 2 = 3
)
Resposta 3
3
)(
10 10 − 10 =
102 − 102 = 100 − 10 = 90 = 3 10
b.
PV-13-11
10
c. 10 –
c. 3 125
a.
10 + 10 ⋅ 10 – 10 é igual a:
1458
3⋅ 2 >2> 2⋅ 3
13
Matemática básica
Matemáti ca 05. UFC-CE
Resolução
Dentre as alternativas a seguir, marque aquela que contém o maior número. a.
3
b.
63 5
c.
53 6
3
5⋅6
d.
3
5 6
e.
3
6 5
5⋅6 =
3
30 = 6 30
6⋅ 3 5 =
3
63 ⋅ 5 =
3
1080 = 6 1 080
3
3
53 ·6 =
3
750 = 6 750
5⋅
6=
3
5 6 = 3 52 ⋅ 6 =
3
150 = 6 150
3
6 5=
3
180 = 6 180
3
62 ⋅ 5 =
O maior número é 6 1.080 = 6 3 5 .
Resposta B
G. Racionalização de denominadores
Racionalizar um denominador de uma fração significa transformá-lo em outra sem radicais irracionais no denominador, a fim de facilitar o cálculo da divisão. Em termos práticos, racionalizar um denominador significa eliminar o radical do denominador. A racionalização pode ser feita multiplicando-se o numerador e o denominador da fração por um mesmo fator, obtendo, assim, uma fração equivalente à anterior. Esse fator é chamado fator de racionalização ou fator racionalizante. 1º caso: Denominadores do tipo
n
am
Observamos que: n
am ⋅ n an – m = n am ⋅an–m =
n
am+n–m = n an = a
Assim, nas frações que apresentarem denominador do tipo n am , basta multiplicarmos o seu numerador e o seu denominador por n an–m (fator racionalizante) para eliminarmos o radical (número irracional) do denominador.
a.
b.
PV-13-11
Exemplos Racionalizar os denominadores: 1⋅ 5 1 5 = = 5 5 5⋅ 5 2⋅ 3 2 2 2 23 2 23 2 3 =3 =3 = 3 = = 2 3 2 4 8 22 22 ⋅ 2
3
Notemos que, se no denominador aparecer uma raiz quadrada, o fator racionalizante é outra raiz quadrada igual à existente no denominador da fração.
14
Matemática básica
Matemática
a± b
2º caso: Denominadores do tipo
Neste caso, vamos relembrar o produto notável (A + B) · (A – B) = A2 – B2. Notamos que este produto notável, aplicado aos denominadores deste caso, produz resultado racional. Ou seja:
(
a+ b
)(
) ( a ) –( b ) 2
a– b =
2
= a–b
Portanto, se tivermos que racionalizar denominadores do tipo a ± b , basta multiplicarmos o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador, eliminando assim o radical (número irracional) do denominador. Assim: denominador: a + b → conjugado: a – b denominador: a – b → conjugado: a + b
Exemplos 1 = 3– 2
1)
2)
(
1⋅
(
3+ 2
)(
3– 2 ⋅
(
)
3+ 2
)
)
=
(
(
3+ 2 3–2
)=
(
3+ 2
)
)
2 ⋅ 6 2 –1 6 ⋅ 2 – 2 12 – 2 2 = = = 71 36 ⋅ 2 – 1 6 2 + 1 6 2 + 1 ⋅ 6 2 –1
(
)(
)
Observação
1 há a 5 divisão de 1 por 5 =2,2360679774.... Como o denominador é um decimal infinito e não periódico, fica difícil saber qual é a melhor aproximação para a 5 , mas, ao utilizar a fração equivalente A racionalização permite fazer divisões com erros menores. Por exemplo, na fração
5 , não só teremos o trabalho facilitado como também conseguiremos uma melhor aproximação. 5
PV-13-11
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01.
d.
Racionalize os denominadores e simplifique, se possível, as frações. a. 1 5 b.
14 7
c.
6 7
e.
4 4
4
3+ 7 3– 7
Resolução 1 5 5 a. · = 5 5 5
15
Matemática básica
Matemática
b.
14 7 6
c.
7
·
7
03. Fuvest-SP
14 · 7 = 2· 7 7
2+ 3 = 3
7
42 = 7 7
·
7
=
4
a. 2 + 2 6 + 3 3 b. 5 + 2 6 3 2+ 6 c. 6 3 + 6 d. 3
4 · 4 43 4 6 = 2 = 23 = 2· 2 d. 4 · 4 3 = 4 4 4 4
e.
43
(3 + 7 ) · (3 + 7 ) = 9 + 6 7 + 7 = 8 + 3 9−7 (3 − 7 ) (3 + 7 )
02. UCSal-BA Se x = 3 − 3 +
7
1 1 , então: − 3+ 3 3 −3
e.
a. x ≥ 5 b. 3 ≤ x < 5 c. 1 ≤ x < 3 d. 0 ≤ x < 1 e. x < 0
Resolução
(
3 +
x =3 –
1
–
1
(3 + 3 ) ( 3 – 3) (3 – 3 ) – 1 · 3+ (3 + 3 ) (3 – 3 ) (
x=3 – 3 +
)
2+ 3 · 3
Resolução x=3 –
6 +3 6
3
· 3
=
6 +3
( 3)
2
=
6 +3 3
Resposta
( 3 – 3) ( 1
·
D
) 3 + 3) 3+3
3– 3 3+3 · – 3) 3 – 9
(9
3– 3 3+3 + 6 6 3 – 3+ 3+3 x=3 – 3 + 6 6 x = 3– 3 + 6 x = 4– 3
PV-13-11
x=3 – 3 +
x ≅ 4 – 1, 7 x ≅ 2, 3
Resposta C
16
Matemática básica
Matemáti ca
CAPÍTULO 02 PRODUTOS NOTÁVEIS 3. Produto da soma pela diferença de dois termos
Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, sua utilização permite agilizar determinados tipos de cálculos que, pelas regras normais da multiplicação de expressões, ficariam mais longos. Apresentam-se em grande número e dão origem a um conjunto de identidades de grande aplicação.
(a + b) (a – b) = a2 – ab + ab – b2 (a + b) (a – b) = a2 – b2
4. Cubo da soma de dois termos
Considere a e b, expressões em R.
(a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
1. Quadrado da soma de dois termos (a + b) = (a + b) · (a + b) = a + 2ab + b 2
2
(a + b) = a + 2ab + b 2
2
(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
2
5. Cubo da diferença de dois termos
2. Quadrado da diferença de dois termos
(a – b)3 = (a – b) · (a2 – 2ab + b2) (a – b)3 = a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3
(a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a2 – 2ab + b2
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Desenvolva os produtos notáveis abaixo: a. (3x + 2)2 b. 1 + x x
Resposta 1 + 2 + x2 x2
2
c.
= 9x2 – 12xy + 4y2 Resposta
PV-13-11
c. (3x – 2y)2 2 d. x – x 3 4
(3x – 2y)2 = (3x)2 – 2(3x) · (2y) + (2y)2 =
9x2 – 12 xy + 4y2 d. x2 x 2 x2 2
2
2
x2 x x – = – 2 ⋅ + = 3 4 3 3 4 4 x 4 2x 3 x2 = + = – y 12 4 x 4 x 3 x2 = – + 9 6 4
Resolução a. (3x + 2)2 = (3x)2 + 2 · (3x) · 2 + 22 = 9x2 + 12x + 4 Resposta 9x2 + 12x + 4 2 2 1 1 1 b. + x = + 2 ⋅ ⋅ x + x2 = x x x 1 2x = 2 + + x2 = x x 1 = 2 + 2 + x2 x
Resposta
x 4 x 3 x2 – + 9 6 16
Observe que, quando desenvolvemos o quadrado da soma ou da diferença de um binômio, produzimos um trinômio chamado trinômio quadrado perfeito. 17
Matemática básica
Matemática 02.
04.
Desenvolva os produtos notáveis abaixo: a. (3xy + 5) (3xy – 5)
Calcule 31 · 29 usando produto notável.
(
)(
b. 3 5 + 2 3 5 – 2
Resolução
)
31 · 29 = = (30 + 1) · (30 – 1) =
c. (x + 2)3
= (30)2 – 12 = = 900 – 1 =
d. (2x – 2)3 Resolução a. (3xy + 5) · (3xy – 5) = (3xy)2 – 52 = 9x2y2 – 25
= 899
Resposta
899
9x y – 25 b. 3 5 + 2 ⋅ 3 5 – 2 =
05.
Resposta
2 2
(
( )
)(
)
Sendo x +
2
Resolução
= 3 5 – 22 = 9 ⋅ 5 – 4 = 41
1 1 = 2, determine x 3 + 3 . x x
3
Resposta
1 3 x + =2 x
41 c. (x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = x3 + 6x2 + + 12x + 8
1 1 1 + 3· x · 2 + 3 = 8 x x x 3 1 x 3 + 3x + + 3 = 8 x x 1 1 x3 + 3 x + + 3 = 8 x x 1 x3 + 3 ⋅ 2 + 3 = 8 x 1 x3 + 3 = 2 x x 3 + 3x2 ·
Resposta x3 + 6x2 + 12x + 8 d. (2x – 2)3 = (2x)3 – 3 · (2x)2 · 2 + 3 · 2x · 22 – 23 = = 8x3 – 3 · 4 · x2 · 2 + 3 · 2 · x · 4 – 8 = = 8x3 – 24x2 + 24x – 8 Resposta 8x3 – 24x2 + 24x – 8 03. Desenvolva: (x – 1)2 – (2x + 4) (2x – 4). Resolução
PV-13-11
(x – 1)2 – (2x + 4) (2x – 4) = = (x – 1)2 – ((2x)2 – 42) = = (x – 1)2 – (4x2 – 16) = = x2 – 2x + 1 – (4x2 – 16) = = x2 – 2x – 4x2 + 17 = = –3x2 – 2x + 17 Resposta –3x2 – 2 x + 17
18
Matemática básica
Matemáti ca
CAPÍTULO 03 FATORAÇÃO 1. Definição
C. Diferença de quadrados
Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto, isto é, obter outra expressão que: a. seja equivalente à expressão dada; b. sua forma equivalente se apresente na forma de produto.
Utilizamos a fatoração pelo método de diferença de quadrados sempre que dispusermos da diferença entre dois monômios cujas literais tenham expoentes pares. A fatoração algébrica de tais expressões é obtida com os seguintes passos: 1º) Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de cada monômio; 2º) Dividimos por dois os expoentes das literais; 3º) Escrevemos a expressão como produto da soma pela diferença dos novos monômios assim obtidos.
Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração é um produto notável. Nas técnicas de fatoração que estudaremos a seguir, suponha a, b, c, x e y expressões não fatoráveis.
2. Casos de fatoração A. Fator comum
Por exemplo, a expressão a2 – b2 seria fatorada da seguinte forma:
Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, literal ou misto; em seguida, colocamos em evidência esse fator comum e simplificamos a expressão deixando entre parênteses a soma algébrica.
a2 – b2 = (a + b) · (a – b)
D. Trinômio quadrado perfeito
Observe os exemplos abaixo. a. ab + ac = a · (b + c) b. 3x3y – 6x2y3 = 3x2y(x – 2y2)
Uma expressão algébrica pode ser identificada como trinômio quadrado perfeito sempre que resultar do quadrado da soma ou diferença entre dois monômios.
B. Agrupamento
Por exemplo, o trinômio x4 + 4x2 + 4 é quadrado perfeito, uma vez que corresponde a (x2 + 2)2.
Devemos dispor os termos do polinômio de modo que formem dois ou mais grupos entre os quais haja um fator comum e, em seguida, colocar o fator comum em evidência.
São, portanto, trinômios quadrados perfeitos todas as expressões da forma a2 ± 2ab + b2, fatoráveis nas formas seguintes: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
PV-13-11
Observe:
e
ax + ay + bx + by =
a – 2ab + b2 = (a – b)2 2
= a · (x + y) + b · (x + y) = = (a + b) · (x +y)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 02.
01. Fatore a expressão: 8x – 6x 3
2
Fatore a expressão: x3 – x2 + x – 1 Resolução
Resolução
x3 – x2 + x – 1 = x2(x – 1) + 1(x – 1) = (x – 1) · (x2 + 1)
8x3 – 6x2 = 2x2(4x – 3) Resposta 2x2(4x – 3)
Resposta (x – 1) · (x2 + 1) 19
Matemática básica
03.
b. A hipótese não pode ser feita, pois como 2 = 1, a deveria ser (b + 1). c. Na simplificação dos fatores comuns, ocorreu divisão por zero, gerando o absurdo. d. Na fatoração, faltou um termo igual a – 2ab, no membro esquerdo. e. Na fatoração, faltou um termo igual a +2ab, no membro esquerdo.
Fatore a expressão: x – 25y 2
2
Resolução x2 – 25y2 = x2 – (5y)2 = (x + 5y) · (x – 5y) Resposta (x + 5y) · (x – 5y) 04. Fatore: (x2 + 2xy + y2) + 2(x + y) + 1
Resolução
Resolução
(a + b) · (a – b) = b (a – b) ⇔ a + b = b
(x2 + 2xy + y2) + 2(x + y) + 1 =
A equivalência acima só é possível se dividirmos os dois membros por (a – b), porém da hipótese a = b, assim a – b = 0, e a divisão por zero não é definida.
(x + y)2 + 2(x + y) + 1 = [(x + y) + 1]2 = (x + y + 1)2 Resposta (x + y + 1)2
Resposta
05. Vunesp Por hipótese, considere a = b. Multiplique ambos os membros por a. a2 = ab. Subtraia de ambos os membros b2. a2 – b2 = ab – b2 Fatore os termos de ambos os membros. (a + b) · (a – b) = b (a – b) Simplifique os fatores comuns (a + b) = b. Use a hipótese que a = b. 2b = b Simplifique a equação e obtenha 2 = 1. A explicação para isso é: a. A álgebra moderna, quando aplicada à teoria dos conjuntos, prevê tal resultado.
C 06. Simplifique a expressão:
a4 + a2 + 1 . a2 + a + 1
Resolução a4 + a2 + 1 a4 + a2 + 1 + a2 − a2 a4 + 2a2 + 1 − a2 = = a2 + a + 1 a2 + a + 1 a2 + a + 1
(a2 + 1)2 − a2 = (a2 + 1 + a) (a2 + 1 − a) = a2 + a + 1
a2 + a + 1
= a2 - a + 1 Resposta a2 – a + 1
E. Trinômio do 2º grau Considerando o trinômio do 2º grau ax2 + bx + c, a ≠ 0 e suas raízes reais x1 e x2, a seguinte igualdade é verdadeira: ax2 + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2)
F. Soma e diferença de cubos Observe a multiplicação: (a + b) · (a2 – ab + b2) = = a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 + b3 = = a3 + b 3
20
PV-13-11
Matemática
Matemática básica
Matemática
A partir deste resultado, podemos fatorar a soma de dois cubos: a3 + b3 = (a + b) · (a2 – ab + b2) Pode-se mostrar, de modo semelhante, que a3 – b3 = (a – b) · (a2 + ab + b2).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 03.
01.
Simplifique a expressão:
Fatore a expressão:
x2
− (1 + 2 )x + 2 .
x3 − y3 x3 + y3 − x−y x+y
Resolução x2 – (1 + 2 ) x + 2 = 0
Resolução
S = 1+ 2
x3 − y3 x3 + y3 − = x−y x+y
P= 2
x1 = 1 ; x 2 = 2
=
∴ (x – 1)(x – 2 )
x−y
−
x+y
=
= (x2 + xy + y2 ) − (x2 − xy + y2 ) = 2xy
Resposta (x – 1) · (x – 2 )
04. Sendo (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e (a – b)3 = = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3, fatore as expressões: a. 8x3 + 12x2 + 6x + 1 b. 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3
02. Resolução
Resolução a. 8x3 + 12x2 + 6x + 1 =
x6 – y6 = (x2)3 – (y2)3 =
= (2x)3 + 3 · (2x)2 · 1 + 3 · 2x · 12 + 13 =
= (x2 – y2) · (x2 + x2y2 + y2) =
= (2x + 1)3
= (x + y) · (x - y) · (x2 + (xy)2 + y2)
Como também já foi dado no enunciado, pode-se obter esse resultado sem esse procedimento. b. 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3
Fatore a expressão: x6 – y6.
PV-13-11
(x − y )(x2 + xy + y2 ) (x + y )(x2 − xy + y2 )
Resposta (x + y) · (x – y) · (x2 + (xy)2 + y2)
21
8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3 =
= (2a)3 – 3 · (2a)2 · b + 3 (2a) · b2 – b3 =
= (2a – b)3
Matemática
Matemática básica
CAPÍTULO 04 PORCENTAGEM 1. Introdução
3. Forma decimal
Em uma empresa há três categorias de funcionários, A, B e C, que possuem salários diferentes reajustados na mesma época. Para não haver desconforto, é necessário fazer o aumento de maneira proporcional. O funcionário responsável pelos cálculos consegue aplicar uma proporção idêntica a cada categoria, recorrendo apenas à regra de três simples. Tal procedimento pode ser até viável nessa situação, porém, se aumentarmos a quantidade de salários distintos, este procedimento será inadequado, por isso foi preciso desenvolver uma técnica matemática para calcular proporções equivalentes; tal técnica, utilizada desde o século XVII, é conhecida por porcentagem.
A forma percentual 30% pode ter outras representações equivalentes: 30% =
30 3 = = 0, 3 100 10
• 30% é a representação percentual. 30 3 • = são representações fracionárias. 100 10 • 0,3 é sua representação decimal.
4. Porcentagem de quantias O cálculo x% de P é efetuado da seguinte maneira: x ⋅ P 100 x x% de P = ⋅P 100
2. Definição A porcentagem (ou percentagem) é uma forma de apresentar frações em que o denominador é igual a 100, podendo também ser consideradas as formas equivalentes. Para facilitar a sua representação foi criado o símbolo % que se lê: “por cento” e que significa: “dividir por cem”. A representação 30% é o mesmo que 30 . 100
Exemplo 35 35% de 200 = ⋅ 200 = 70 100
01.
02. Fuvest-SP
Calcule o valor de: a. 30% de 84 b. 2,5% de 44
(10%)2 é igual a: a. 100% b. 20% c. 5% d. 1% e. 0,1%
Resolução a. 30% de 84 = 0,30 · 84 = 25,20 b. 2,5% de 44 = 0,025 · 44 = 1,10 Resposta
Resolução
a. 25,20
(10%)2 =
b. 1,10
Resposta D
22
10 10 100 1 ⋅ = = = 1% 100 100 10. 00 0 100
PV-13-11
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Matemática básica
03.
A partir desses dados, pode-se afirmar que, no primeiro semestre de 2003, o real, em relação ao dólar: a. desvalorizou 0,661. b. desvalorizou mais de 10%. c. manteve seu valor. d. valorizou menos de 10%. e. valorizou mais de 20%.
Quatro é quantos por cento de cinco? Resolução Sendo x% a taxa percentual, temos, pela definição, que: x ⋅5 = 4 100 x 4 = 100 5
Resolução No início do semestre:
Ou, de outra forma: 4 80 = 0, 8 = = 80% 5 100
1 dólar = R$ 3,533 1 Logo: 1 real = 3, 533 No final do semestre:
Resposta 80%
1 dólar = 2,872 reais 1 Logo: 1 real = 2, 872 Montando a equação da variação do real, temos: 1 1 3, 533 ·x = →x= → x ≅ 1,23 3, 533 2, 872 2, 872
04. Unicap-PE Determine, em reais, 10% do valor de um bem, sabendo que 15% do preço do citado bem é R$ 18,00. Resolução
Portanto, uma valorização de 23%. Resposta
Valor do bem = x 15% · x = 18
E 06. ENEM
0,15x = 18 18 x= 0,15
Para se obter 1,5 kg do dióxido de urânio puro, matéria-prima para a produção de combustível nuclear, é necessário extrair-se e tratar-se 1,0 tonelada de minério. Assim, o rendimento (dado em % em massa) do tratamento do minério até chegar ao dióxido de urânio puro é de: a. 0,10% b. 0,15% c. 0,20% d. 1,5% e. 2,0%
x = R$ 120,00 ∴10% de R$ 120,00 = R$ 12,00
Resposta PV-13-11
R$ 12,00 05. UFRGS-RS O gráfico abaixo representa o valor de um dólar em reais em diferentes datas do ano de 2003. R$ 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0
Evolução das cotações da moeda norte-americana
33
3,5
Matemática
3,5
26
3,5
63
53
3,3
Resolução Massa do minério = 1,0 t = 1.000 kg
90 2,966 ,872 ,966 2,967 2 2
Massa do dióxido de urânio puro = 1,5 kg 1.000 kg –––––– 100% 1,5 kg –––––– x x = 0,15%
2,8
01/1 31/1 28/2 31/3 30/4 31/5 30/6 31/7 31/8
Resposta
Dia
B
23
Matemática básica
Matemáti ca 07. Unicamp-SP modificado
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de, aproximadamente: a. 14% b. 48% c. 54% d. 60% e. 68%
Quando uma determinada marca de café custa R$12,00 o quilo, seu preço representa 40% do preço do quilo de outra marca de café. Qual o preço do quilo desse café? Resolução Seja x o preço do quilo do café, assim 12 = 0,4 x 12 ∴ x= = 30. 0, 4 Resposta
Resolução Observando o gráfico, o número de jogadores que concluiu o Ensino Médio é 68, sendo 54 apenas do Ensino Médio e 14 do Superior incompleto (que concluíram obrigatoriamente o Ensino Médio).
O preço do quilo é R$ 30,00. 08. ENEM A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro. Total: 112 jogadores 16
Resposta D
in Su co p m er pl io et r o
io éd
68 = 0, 607. 112
Logo, a melhor alternativa é a que traz 60%. 14
M
co M m éd pl io et o
cluiu o Ensino Médio é
54
14
in
14
Fu n in da co m m en pl ta et l o Fu nd am en ta l
60 40 20 0
Assim, num total de 112 jogadores, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que con-
O Globo,
24/7/2005.
5. Lucro Chamamos de lucro a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. Lucro = preço de venda – preço de custo. Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo. Assim, podemos escrever: Preço de custo – prejuízo = preço de venda Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Lucro sobre o custo =
lucro · 100% preço de custo
Lucro sobre a venda =
lucro · 100% preço de venda
Observação – A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.
24
PV-13-11
Preço de custo + lucro = preço de venda
Matemática básica
Matemáti ca
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. PUC-SP
02. Fuvest-SP
A semirreta representada no gráfico seguinte expressa o custo de produção C, em reais, de n quilos de certo produto.
Um vendedor ambulante vende os seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, o seu lucro sobre o preço de custo é de: a. 10% b. 25% c. 33,333...% d. 100% e. 120%
C (reais) 180
80
Resolução 0
20
Sejam:
n (quilogramas)
L : lucro, Pc : preço de custo e Pv : preço de venda
Se o fabricante vender um quilo desse produto a R$ 102,00, a porcentagem de lucro sobre o preço de custo será de: a. 25% b. 20% c. 18% d. 15% e. 14% Resolução Se para 20 quilos o preço aumenta R$ 100,00, para cada 1 quilo, aumenta R$ 5,00. Custo de 1 quilo = R$ 102,00 L = R$ 17,00
L = 0, 50 · Pv
(I)
PC + L = PV ⇒ PC + 0, 50 · PV = PV PC = 0, 50 · PV ⇒ PV = 2 · PC (II) Substituindo (I) em (II), temos : L = 0, 5 · 2 · PC ⇒ L = PC Portanto, o lucro representa 100% do preço de custo. Resposta D
L 17 = = 0,2 = 20% C 85
PV-13-11
Resposta B
6. Aumento percentual Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor após o aumento. Então: A = p% de V =
p ⋅V 100
VA = V + A = V +
p ⋅V 100
p VA = 1 + ⋅V 100
25
Matemática básica
Matemáti ca p é o fator de aumento. em que 1 + 100 Exemplos Valor inicial
Aumento Fator de percentual aumento
VD = V – D = V –
p VD = 1 – ⋅V 100
Valor após aumento
50
24%
1,24
1,24 · 50
40
5%
1,05
1,05 · 40
70
250%
3,50
3,50 · 70
em que 1 – p é o fator de desconto. 100 Exemplos
7. Desconto percentual Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor após o desconto. Então: D = p% de V =
p ⋅V 100
p ⋅V 100
Valor inicial
Desconto percentual
Fator de desconto
Valor após desconto
50
24%
0,76
0,76 · 50
40
5%
0,95
0,95 · 40
70
1,5%
0,985
0,985 · 70
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01.
02. Fuvest-SP
Dado o valor V, exprimir em função de V: a. o valor de um aumento de 25%; b. o valor após um aumento de 25%; c. o valor de um desconto de 45%; d. o valor após um desconto de 45%.
Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50, teve um aumento, passando a custar R$ 13,50. A majoração sobre o preço antigo é de: a. 1,0% b. 10,0% c. 12,5% d. 8,0% e. 10,8%
Resolução 25 · V = 0,25 V 100 25 b. V + 25% de V = V + · V = V + 0,25 V = 1,25 V 100 45 c. 45% de V = · V = 0,45 V 100 45 · V = V – 0,45 V = 0,55 V d. V – 45% de V = V – 100 Resposta a. 0,25 V b. 1,25 V c. 0,45 V d. 0,55 V
a. 25% de V =
Seja fA o fator de aumento. Assim: 12, 50 ⋅ fA = 13, 50 ⇒ fA = O aumento foi de 8%. Resposta D
26
13, 50 = 1, 08 12, 50
PV-13-11
Resolução
Matemática básica
03. Uespi
1, 80 = 0, 045 centavos 40 1, 62 = 0, 054 centavos x2 = 30 x1 =
Joana e Marta vendem um perfume a domicílio. Joana dá desconto de R$ 10,00 sobre o preço do perfume e recebe de comissão 15% do preço de venda. Marta vende o mesmo perfume com desconto de R$ 20,00 e recebe 30% de comissão sobre o preço de venda. Se as duas recebem o mesmo valor de comissão, qual o preço do perfume?
5,4 = f · 4,5 5, 4 f= 4, 5 f = 1,2
a. R$ 26,00
∴ o aumento foi de 20%.
b. R$ 27,00
Resposta
c. R$ 28,00
B
d. R$ 29,00 e. R$ 30,00
05. Uespi
Resolução
Um artigo é vendido à vista com 15% de desconto ou em duas parcelas iguais, sem desconto, uma paga no ato da compra e a outra após um mês. Quais os juros mensais embutidos na compra a prazo? Indique o inteiro mais próximo.
Preço do perfume = x Joana vende por x – 10 e ganha 0,15 · (x – 10) Marta vende por x – 20 e ganha 0,3 · (x – 20) 0,15 · (x – 10) = 0,3 · (x – 20)
a. 41%
x = R$ 30,00
b. 42%
Resposta
c. 43%
E
d. 44%
04. Vunesp
e. 45%
O fabricante de determinada marca de papel higiênico fez uma “maquiagem” no seu produto, substituindo as embalagens com quatro rolos, cada um com 40 metros, que custavam R$ 1,80, por embalagens com quatro rolos, cada um com 30 metros, com custo de R$ 1,62. PV-13-11
Matemática
Resolução Preço do produto = x À vista = 0,85 x 1ª parcela = 0, 5 x A prazo 2ª parcela = 0, 5x
Nessas condições, pode-se concluir que o preço do papel higiênico foi:
Se vendesse sem juros, na segunda parcela deveria pagar 0,35x.
a. aumentado em 10%. b. aumentado em 20%. c. aumentado em 25%. d. aumentado em 10%. e. mantido o mesmo. Resolução Seja x1: preço do metro na 1ª embalagem
Logo, os juros são: 0,35x · j = 0,5x; J = fator de aumento j @ 1,42 ∴ aumento aproximado de 42% Resposta B
x2: preço do metro na 2ª embalagem
f: fator (aumento ou desconto)
27
Matemática básica
Matemáti ca
8. Aumentos e descontos sucessivos
Sendo V2 o valor após o segundo desconto, temos:
A. Aumentos sucessivos
p V2 = V1 ⋅ 1 – 2 100
Consideremos um valor inicial V, que irá sofrer dois aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor após o primeiro aumento, temos:
p p V2 = V1 ⋅ 1 – 1 ⋅ 1 – 2 100 100
p V1 = V ⋅ 1 + 1 100
C. Aumento e desconto sucessivos (Desconto e aumento sucessivo)
Sendo V2 o valor após o segundo aumento, temos:
Seja V um valor inicial, vamos considerar que irá sofrer um aumento de p1 % e, sucessivamente, um desconto de p2%.
p V2 = V1 ⋅ 1 + 2 100
Sendo V1 o valor após o aumento, temos:
p p V2 = V ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 2 100 100
p V1 = V ⋅ 1 + 1 ⋅ 100 Sendo V2 o valor após o desconto, temos:
B. Descontos sucessivos
p V2 = V1 ⋅ 1 – 2 100
Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p1% e p2%.
p p V2 = V ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 – 2 100 100
Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, temos:
Observação: Se for um desconto seguido de aumento, teremos:
p V1 = V ⋅ 1 – 1 100
PV-13-11
p p V2 = V ⋅ 1 – 1 ⋅ 1 + 2 100 100
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS d. 10.000,00 e. 11.900,00 Resolução Chamaremos C de capital e M de montante. Logo, teremos o sistema:
01. FGV-SP Certo capital C aumentou em R$ 1.200,00 e, em seguida, esse montante decresceu 11%, resultando em R$ 32,00 a menos do que C. Sendo assim, o valor de C, em R$, é: a. 9.600,00 b. 9.800,00 c. 9.900,00
M = C + 1.200 M – C = 1.200 ⇒ M – 0,11 M = C – 32 0, 89 M – C = –32
, Multiplicando a segunda equação inteira por (–1), temos: 28
Matemática básica
Matemática
03. Fuvest-SP
M – C = 1.200 ⇒ M – 0, 89 M = 1.232 ⇒ – 0,89 M + C = 32
O preço de uma mercadoria subiu 25%. Calcule a porcentagem que se deve reduzir do seu preço atual para que volte a custar o que custava antes do aumento.
1.232 ⇒ 0,11M = 1.232 ⇒ M = = 11.200 0,11
Como M = 11.200, temos, da primeira equação: M – C = 1.200 ⇒ 11.200 – C = 1.200 ⇒ – C = 1.200 – 11.200 ⇒ C = 10.000 Resposta D
Resolução Se a mercadoria custa x, então, com o aumento de 25%, ela custará: 1 5 x+ x= x 4 4 Vfinal · desconto = Vinicial
02. Vunesp Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1.000 reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, é: a. 1.000 + 0,15n b. 1.000 – 0,15n c. 1.000 · 0,15n d. 1.000 + 1, 15n e. 1.000 · 1,15n
5 x ⋅D = x 4 x D= 5 x 4 4 D= 5 D = 0, 8
∴ logo, o desconto terá sido de 20%. 04. PUC-SP
15 VA = 1 + ⋅ 1.000 100
Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de: a. 25% b. 26% c. 44% d. 45% e. 50%
VA = 1.000 ⋅ (1,15)n
Resolução
Resposta
20 30 VD = 1 – ⋅ 1 – ⋅V 100 100
Resolução n
p VA = 1 + ⋅v 100 n
E PV-13-11
VD = 0, 8 ⋅ 0, 7 ⋅ V = 0, 56 ⋅ V 44 ⋅V VD = 0, 56 V = 1 – 100 Assim, o valor do desconto é de 44%.
29
Matemáti ca
Matemática básica
CAPÍTULO 05 MÚLTIPLOS E DIVISORES 1. Conceitos básicos A. Números naturais
No entanto, 0(zero) não é divisor de 5, pois não existe um inteiro k, tal que:
Os números 0, 1, 2, 3, ... formam o conjunto dos números naturais, que é representado pelo símbolo . Assim:
Observemos que 1 é divisor de qualquer número inteiro k, pois sempre vai existir um número inteiro k tal que:
0·k=5
1·k=k
= {0, 1, 2, 3,...} Representamos o conjunto dos números naturais não nulos por *.
Indicaremos por D (n) todos os divisores inteiros do número inteiro n.
Assim:
Observemos algumas outras notações:
* = (1, 2, 3, ...} = N – {0}
• D*+ (n): divisores inteiros positivos (ou naturais) do número inteiro n.
B. Números inteiros
• D*– ( n) : divisores inteiros negativos do número inteiro n.
Os números..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... formam o conjunto dos números inteiros, que é repressentado pelo símbolo ¢. Assim:
Observação: Sendo n não nulo
¢ = {..., –3, –2, –1, 2, 3,...}
D*+ (n) = D+ (n) e D*– (n) = D– (n)
Representamos o conjunto dos números inteiros não nulos por ¢*.
D. Múlti plos de um número inteiro
Assim sendo:
Dados dois números inteiros d e n, n é um múltiplo de d se existir um número inteiro k, satisfazendo: n = k · d.
¢* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...} Observemos algumas outras notações: • ¢+: conjunto dos inteiros não negativos:
1. 35 é múltiplo de 5, pois 35 = 7 · 5. Nesse caso, 7 seria o valor de k.
¢ + = (0, 1, 2, 3, ...} = • ¢–: conjunto dos inteiros não positivos: • ¢*+ : conjunto dos inteiros positivos:
3. Zero é múltiplo de qualquer número inteiro d, pois 0 = 0 · (d), para qualquer valor inteiro de d.
¢*+ = {1, 2, 3, ...} = * • ¢*– : conjunto dos inteiros negativos:
Indicaremos por M(d) todos os múltiplos inteiros do número inteiro.
¢*– : {..., –3, –2, –1}.
C. Divisor de um número inteiro
Observemos algumas outras notações:
Dados dois números inteiros, d e n, d é um divisor ou fator de n se existir um número inteiro k, satisfazendo: n = k · d. Exemplos 1. 2 é um divisor de 6, pois 2 · 3 = 6. Nesse caso, 3 seria o valor de k. 2. 5 é um fator de –35, pois 5 · (–7) = – 35, nesse caso, –7 seria o valor de k. 3. Zero é divisor de zero, pois 0 · (k) = 0, para qualquer valor inteiro de k.
• M+(d): múltiplos inteiros não negativos (ou naturais) do número inteiro d. • M– (d): múltiplos inteiros não positivos do número inteiro d. • M*+ (d): múltiplos inteiros positivos do número inteiro d. • M*+ (d): múltiplos inteiros negativos do número inteiro d. 30
PV-13-11
2. – 38 é múltiplo de 2, pois – 38 = – 19 · 2. Nesse caso, – 19 seria o valor de k.
¢– = {..., –3, –2, –1, 0}
Matemática básica
E. Paridade de números inteiros
Na última divisão, o quociente já é menor que o divisor e ainda não obtivemos divisão exata, portanto o 673 é um número primo.
Dizemos que um número inteiro a é par se, e somente se, a ∈M(2). Sendo, então, a um múltiplo de 2, temos que a forma geral de apresentarmos um número par é:
Observações importantes 1) Os números –1, 0 e 1 não são classificados nem como primo nem como número composto. 2) Todo número composto pode ser fatorado ou decomposto num produto de fatores primos.
a = 2k, em que k ∈ ¢ Dizemos que um número inteiro b é ímpar se, e somente se, b ∉ M(2). A forma geral de apresentarmos um número ímpar é: b = 2k + 1, em que k ∈ ¢
G. Divisibilidade aritméti ca
F. Números primos e compostos
Podemos verificar quando um número é divisível por outro efetuando a operação de divisão. Existem, porém, critérios que nos permitem reconhecer a divisibilidade entre dois números sem que façamos a divisão. Tais critérios se aplicam aos principais e mais usados divisores, como observaremos a seguir: • divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 quando for par. • divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 quando a soma dos algarismos que o formam resultar em um número múltiplo de 3.
Um número inteiro é dito número primo quando na sua relação de divisores inteiros tivermos apenas quatro divisores. p é primo ⇔ n [D(p)] = 4 Um número inteiro é dito número composto quando na sua relação de divisores inteiros tivermos mais de quatro divisores. a é composto ⇔ n [D(a)] ≥ = 4.
PV-13-11
Para reconhecermos se um número é primo, devemos dividir este número, sucessivamente, pelos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... até obtermos um quociente x menor ou igual ao divisor. Se até então não tivermos obtido divisão exata, dizemos que o número é primo.
Exemplos 3.210 é divisível por 2, pois é par, e também é divisível por 3, pois a soma dos algarismos 3 + 2 + 1 + 0 = 6 é divisível por 3. • divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplos a) Reconhecer se o número 673 é primo. 673 2 673 3 1 336 1 224 673 5 3 134
673 7 1 96
673 13 2 61
673 13 10 51
673 17 10 39
673 19 8 35
673 23 6 29
673 29 6 23
Matemáti ca
Exemplo 1.840 é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos, 40, é divisível por 4. • divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 quando o seu algarismo da unidade for zero ou cinco. • divisibilidade por 6: um número é divisível por 6 quando for divisível, separadamente, por 2 e por 3. • divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. 31
Matemática básica
Exemplo
Teremos, finalmente, a fatoração completa do número 90:
35.712 é divisível por 8, pois 712 é divisível por 8. • divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 quando a soma dos algarismos que o formam resultar em um número múltiplo de 9.
90 = 2 · 3 · 3 · 5 Como procedimento geral, podemos estabelecer uma regra para a decomposição de um número natural em fatores primos.
Exemplo 18.711 é divisível por 9, pois: 1 + 8 + 7 + 1 + 1 = 18 é múltiplo de 9.
Regra Para decompormos um número natural em fatores primos, dividimos o número dado pelo seu menor divisor primo; dividimos o quociente obtido pelo seu menor divisor primo e procedemos da mesma maneira com os demais quocientes obtidos até chegarmos a um quociente igual a 1. O produto indicado de todos os fatores primos obtidos representa o número fatorado.
• divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 quando o seu algarismo da unidade for zero. • divisibilidade por 11: um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de posição ímpar e a dos algarismos de posição par for divisível por 11.
Exemplos
Exemplo 83.765 é divisível por 11, pois a diferença da soma dos algarismos de posição ímpar (5 + 7 + 8 = 20) e a soma dos algarismos de posição par (3 + 6 = 9) é um número divisível por 11. •
90 45 15 5 1
divisibilidade por 12: um número é divisível por 12 quando for divisível, separadamente, por 3 e por 4.
2 3 3 5
90 = 2 · 32 · 5
H. Fatoração numérica
300 150 75 25 5 1
2 2 3 5 5
72 36 18 9 3 1
300 = 22 · 3 · 52
2 2 2 3 3
72 = 23 · 32
I. Número de divisores de um número natural
Todo número composto pode ser decomposto ou fatorado num produto de números primos. Assim, por exemplo, o número 90, que não é primo, pode ser decomposto como:
Determinação dos divisores naturais do número 20 Decomposição prima do número 20: 20 = 22 · 5
90 = 2 · 45
Divisores de 20:
O número 45, por sua vez, sendo composto, pode ser fatorado na forma:
20 · 50 = 1
45 = 3 · 15
20 · 51 = 5
Dessa forma, poderíamos apresentar o número 90 com uma fatoração:
21 · 51 = 10
21 · 50 = 2 22 · 50 = 4
90 = 2 · 3 · 15
22 · 51 = 20
Sendo o número 15 também um número composto, podemos apresentá-lo através do seguinte produto:
D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20} Observação: É possível provar que:
15 = 3 · 5 32
PV-13-11
Matemáti ca
Matemática básica
Exemplo
Regra
Determinar os divisores naturais do número natural 60.
O número de divisores naturais de um número natural N é igual ao produto dos expoentes dos seus fatores primos aumentado, cada expoente, do número 1.
1 D+ (60) 60 2 2 30 2 4 15 3 3, 6,12 5 5 5, 10, 20, 15, 30, 60 1
Assim, se N = aα · bβ · cγ, com a, b e c primos, temos: n[D+ (N)] = (α + 1) · (β + 1) · (γ + 1) Exemplo No exemplo anterior, n[D(20)] = (2 + 1) · (1 + 1) = 6
D+ (60) = {1, 2, 3, 4 , 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 }
Como observação, podemos estabelecer que o número de divisores inteiros de um número natural é o dobro do número de divisores naturais, pois a cada divisor natural existem dois divisores inteiros: um positivo e o oposto . Assim:
2. Propriedades Os múltiplos e os divisores dos números naturais apresentam algumas propriedades que nos são muito úteis e que passaremos a estudar a seguir. • Propriedade 1
n[D(N)] = 2 · n[D+ (N)]
Exemplo Consideremos: 60 = 22 · 31 · 51
Se um número natural P dividido por um número natural d deixa resto r, então (P – r) é múltiplo de d.
Temos que o número de divisores naturais de 60 é: n[D+(60)] = (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 12
Justificativa P d r q ⇒ P = d ⋅ q + r ⇒ P–r = d ⋅ q
Temos que, a partir desse resultado, o número de divisores inteiros de 60 é: n[D(60)] = 2 · n[D+(60)] = 2 · 12 = 24
Portanto, (P – r) é múltiplo de d. Exemplo
J. Determinação dos divisores de um número natural PV-13-11
Matemáti ca
45 6 3
Regra
7
⇒ 45 – 3 = 42 que é, de fato, um
múltiplo do divisor 6. • Propriedade 2
Para estabelecermos os divisores de um número natural, inicialmente, devemos decompor o número em fatores primos e, à direita dessa fatoração, passamos um traço vertical. A seguir, colocamos ao lado direito do traço e acima do primeiro fator o número 1. Os demais divisores do número dado são obtidos a partir da unidade, multiplicando-se cada um dos fatores primos que estão à esquerda do traço pelos números que estão à direita e situados acima dele, evitando-se as repetições.
Se um número natural P dividido por um número natural d deixa resto r, então P + (d – r) é um múltiplo de d. Justificativa P d r q
33
⇒ P = d ⋅ q + r (igualdade I)
Matemáti ca
Matemática básica
Portanto, A é um múltiplo de d.
Adicionando-se (d – r) aos dois membros da igualdade I, teremos:
Exemplo
P + (d – r) = d · q + r + (d – r) Assim:
O número 40 é múltiplo de 20, pois 40 = 20 · 2.
P + (d – r) = d · q + d
Os divisores naturais de 20 são: 1; 2; 4; 5; 10 e 20.
P + (d – r) = d · (q + 1)
Portanto, P + (d – r) é um múltiplo de d. Exemplo
O número 40 também é múltiplo dos divisores de 20. • Propriedade 4
45 6 ⇒ 45 + (6 – 3) = 48 , que é, de fato, um 3
7
Para um conjunto com n números naturais não nulos consecutivos, um deles é múltiplo de n.
múltiplo do divisor 6. • Propriedade 3 Se um número A é múltiplo de um número B, então o número A será múltiplo de todos os divisores de B.
Justificativa Consideremos a sequência dos números naturais não nulos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,... Observemos que os múltiplos do número 3 aparecem de três em três nesta sequência e que, portanto, qualquer conjunto com três números consecutivos vai apresentar, necessariamente, um múltiplo de 3.
Justificativa Sendo A um múltiplo de B, temos que: A = k · B, onde k ∈ ¢ (I). Sendo d um divisor qualquer de B, temos que: B = k1 · d, em que k1 ∈ ¢ (II) Substituindo (II) em (I), temos:
Podemos extrapolar a ideia para todos os números naturais, confirmando a propriedade.
A = k · k1 · d, em que k · k1 ∈ ¢
∴ 60 = 22 · 3 · 5 b. D(60) = (2+1) · (1+1) · (1+1) = 12 c. D(60) = 12 ·2 = 24 d. 1
01. Dado o número inteiro 60: a. decomponha-o em fatores primos; b. determine o seu número de divisores naturais; c. determine o seu número de divisores inteiros; d. determine todos os seus divisores naturais; e. determine todos os seus divisores inteiros. Resolução a. 60 2
60
2
2
30
2
4
15
3
3, 6, 12
5
5
5, 10, 20, 15, 30, 60
1
D+(60) ={1, 2, 4, 3, 6, 5, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
30 2 15 3 5 5 1
e. D(60) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60}
34
PV-13-11
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Matemática básica
02. UEPB
04. UEPE
Se k é um número inteiro positivo, então o conjunto A formado pelos elementos k2 + k é, necessariamente: a. o conjunto dos inteiros não negativos. b. um conjunto de múltiplos de 3. c. um conjunto de números ímpares. d. um conjunto de números primos. e. um conjunto de múltiplos de 2.
O número N = 63 ·104 · 15x, sendo x um inteiro positivo, admite 240 divisores inteiros e positivos. Indique x. Resolução A fatoração em primos de N é: 27 · 33+x · 54+x, logo seu número de divisores é 8(4 + x)(5 + x) = 240. Segue que (4+x)(5+x) = 30 ⇒ 20 + 4x + 5x + x2 = 30 ⇒ x2 + 9x + 10 = m0 ∴ x = 1 ou x = – 10 (não convém) Resposta x=1
Resolução k2 + k = k(k + 1) Número par para qualquer k. Resposta E
05. Fuvest-SP Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396, resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é: a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8 Resolução
03. Mostre que se a divisão de um número natural n, com n positivo, por 5, dá resto 1, então (n – 1) · (n + 4) é múltiplo de 25. Resolução Sabemos que: n 5
⇒ n= q⋅ 5 +1
1 q Pelas propriedades dos divisores: • n – 1 é múltiplo de 5
n – 1 = 5 K1
(1)
• n + (5 – 1) é múltiplo de 5 n + 4 = 5 K2
(2)
Multiplicando 1 por 2: (n – 1) (n + 4) = 5 K1 · 5 K2
N = abc
(n – 1) (n + 4) = 25 K1 · K2
abc − 396 = cba
K1 · K2 = K ∈ ¢
100a + 10b + c − 396 = 100c + 10b + a 99a − 99c = 396
Logo, (n – 1) (n + 4) = 25 K PV-13-11
Matemáti ca
a− c = 4 a+ c = 8 a=6 c=2
Assim, (n – 1) (n + 4) é múltiplo de 25.
Resposta C
3. Máximo divisor comum
O máximo divisor comum (MDC) de dois ou mais números é o maior número, que é divisor comum de todos os números dados.
35
Matemática básica
5. MDC e MMC pelo método da decomposição isolada
Podemos estabelecer uma sequência de etapas até determinarmos o valor do máximo divisor comum de dois ou mais números como veremos a seguir, num exemplo.
Para determinarmos o MDC e o MMC de vários números, devemos colocar todos os números na forma fatorada. Após esse procedimento, podemos estabelecer:
Consideremos: 1. O número 18 e os seus divisores naturais: D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
1) O máximo divisor comum (MDC) dos núneros é o produto de todos os fatores comuns às fatorações com os menores expoentes com os quais eles se apresentam nas suas respectivas decomposições.
2. O número 24 e os seus divisores naturais: D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24:
2) O mínimo múltiplo comum (MMC) dos números é o produto de todos os fatores existentes nas decomposições, comuns ou não, considerados com os maiores expoentes com os quais eles se apresentam nas suas respectivas decomposições.
D+ (18) ∩ D+ (24) = {1, 2, 3, 6} Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior divisor comum dos números 18 e 24, ou seja: MDC (18, 24) = 6
Exemplo
4. Mínimo múltiplo comum
Consideremos os números A, B e C já fatorados: A = 23 · 3 · 52 B = 22 · 5 · 7 C = 24 · 32 · 53
O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo comum de todos os números dados.
Teremos que: MDC (A, B, C) = 22 · 5 e MMC (A, B, C) = 24 · 32 · 53 · 7
Podemos estabelecer uma sequência de etapas até determinarmos o valor do mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, como veremos a seguir, num exemplo.
6. MMC e MDC pelo método da fatoração simultânea Podemos determinar o MDC e o MMC de dois ou mais números pelo uso de um procedimento que prevê a fatoração simultânea de todos os números dados.
Consideremos: 1. O número 6 e os seus múltiplos positivos: M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,...}
Para este procedimento, inicialmente, decompomos, simultaneamente, os números, dividindo sucessivamente pelo menor fator primo e, no caso de algum número ou quociente não ser divisível pelo fator primo, o número deve ser repetido no algoritmo. Obtemos o MMC multiplicando todos os fatores primos da decomposição.
2. O número 8 e os seus múltiplos positivos: M*+ (8) = (8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,...} Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos comuns: M*+ (6) ∩ M*+ (8) = {24, 48, 72, ...}
Podemos, à medida que efetuamos fatoração simultânea, ir assinalando quais são os farores primos que dividem, ao mesmo tempo, todos os números ou quocientes. Obtemos o MDC multiplicando todos esses fatores assinalados.
Observando os múltiplos comuns, podemos identificar o mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8, ou seja: MMC (6, 8) = 24.
36
PV-13-11
Matemáti ca
Matemática básica
Exemplo
Posteriormente, tomamos o terceiro número com o MDC dos dois primeiros:
Consideremos os números 2.520 e 2.700: 2.520, 2.700 1.260, 1.350 630, 375 315, 675 105, 225 35, 75 35, 25 7, 5 7,1 1
2 2 2 3 3 3
5 2 165 30 15 15 0
* * * *
MDC (330, 210, 165) = 15
8. Propriedades do MDC e do MMC
5* 5 7
• Propriedade 1 MDC (A, B) · MMC (A, B) = A · B
1,1
Justificativa
Teremos que:
Consideremos os números A e B decompostos em fatores primos:
MDC (2.700, 2.520) = 22 · 32 · 5 e MMC (2.700, 2.520) = 23 · 33 · 52 · 7
A = aα1 ⋅ bβ1 ⋅ c γ 1 ⋅ ⋅⋅⋅ pε1 e
7. MDC pelo método das divisões sucessivas
B = aα2 ⋅ bβ2 ⋅ c γ 2 ⋅ ⋅⋅⋅pδ2 Para o cálculo do MDC (A, B), tomamos os fatores comuns com os menores expoentes; para o cálculo do MMC (A, B), tomamos todos os fatores comuns ou não comuns com os maiores expoentes. Vamos considerar o caso do fator a:
A determinação do MDC pelo método das divisões sucessivas é um processo desenvolvido por Euclides e consiste, basicamente, em dividir o número maior pelo número menor. Se a divisão for exata, o MDC será o menor número. Porém, caso a divisão apresente resto diferente de zero, deveremos dividir o menor número pelo resto e, assim, sucessivamente, até chegarmos a uma divisão exata. O último divisor será o MDC dos números.
α1 < α2, teremos α1 no MDC e α2 no MMC. α1 > α2, teremos α1 no MMC e α2 no MDC. No produto A · B, o fator a terá expoente (α 1 + α2). No produto MDC (A, B) · MMC (A, B), o fator a também terá expoente (α1 + α2).
Exemplos a) Determinar o MDC dos números 252 e 140. PV-13-11
Matemáti ca
Fazendo a mesma consideração para todos os outros fatores primos, verificaremos que os mesmos fatores, com os mesmos expoentes, que compõem o produto dos números A e B, compõem, também, o produto do MDC e o MMC desses números e, portanto:
1 1 4 quocientes 252 140 112 28 restos 112 28 0 MDC (252, 140) = 28 b) Determinar o MDC dos números 330, 210 e 165. Tomemos, inicialmente, os dois maiores números: 1 1 1 3 330 210 120 90 30 120 90 30 0
MDC (A, B) · MMC (A, B) = A · B • Propriedade 2 MDC (k · A, k · B) = k · MDC (A, B) • Propriedade 3 MMC (k · A, k · B) = k · MMC (A, B)
MDC (330, 210) = 30 37
Matemática
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• Propriedade 4
Os números 5 e 7 são primos entre si, bem como 4 e 9, pois MDC (5, 7) = 1 e MDC (4, 9) = 1. Notemos que, para que os números sejam primos entre si, não é necessário que eles sejam primos. • Propriedade 7 Dois números naturais consecutivos são, sempre, primos entre si.
Os divisores comuns de dois ou mais números naturais são os divisores do MDC desses números. • Propriedade 5 Os múltiplos comuns de dois ou mais números naturais são os múltiplos do MMC desses números. • Propriedade 6
• Propriedade 8 Para os dois números primos entre si, o MMC é o produto deles.
Dois números são considerados primos entre si se o MDC deles é igual a 1.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Unisul-SC Num painel de propaganda, três luminosos se acendem em intervalos regulares: o primeiro a cada 12 segundos, o segundo a cada 18 segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em um dado instante, os três se acenderem ao mesmo tempo, os luminosos voltarão a se acender, simultaneamente, depois de: a. 2 minutos e 30 segundos. b. 3 minutos. c. 2 minutos. d. 1 minuto e 30 segundos. e. 36 segundos. Resolução Os luminosos se acendem simultaneamente em um tempo múltiplo dos intervalos, pela primeira vez no menor múltiplo . mmc(12, 30, 18) = 180 s = 3 min Resposta B
240 = 24 . 3 . 5 ⇒ mdc (240 , 312) = 23 . 3 = 24 ∴ x = 24 312 = 23 . 3 . 13
167 – 5 é múltiplo de y ⇒ y é divisor de 162 213 – 3 é múltiplo de y ⇒ y é divisor de 210 O número y é o maior divisor comum de 162 e de 210.
Assim, o valor máximo de x + y é 30. Resposta C 03. Unicamp-SP Uma sala retangular medindo 3 m por 4,25 m deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados iguais. Supondo que não haja espaço entre ladrilhos vizinhos, pergunta-se: a. Qual deve ser a dimensão máxima, em centímetros, de cada um desses ladrilhos para que a sala possa ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho? b. Quantos desses mesmos ladrilhos são necessários? Resolução Sala: 300 cm x 425 cm a. Seja n o lado do ladrilho n = mdc (300, 425) ∴ n = 25 cm b. No lado de 425 cm : 425 ÷ 25 = 17
02. Os restos das divisões de 247 e de 315 por x são 7 e 3, respectivamente. Os restos das divisões de 167 e de 213 por y são 5 e 3, respectivamente. O maior valor possível para a soma x + y é: a. 36 b. 34 c. 30 d. 25 e. 48 Resolução 247 – 7 é múltiplo de x ⇒ x é divisor de 240. 315 – 3 é múltiplo de x ⇒ x é divisor de 312.
No lado de 300 cm : 300 ÷ 25 = 12
Número de ladrilhos: 17 · 12 = 204 ladrilhos Resposta a. 15 cm b. 204 ladrilhos
O número x é o maior divisor comum de 240 e de 312. 38
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162 = 2 . 34 ⇒ mdc (160 , 210) = 2 . 3 = 6 ∴ y = 6 210 = 2 . 3 . 5 . 7
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CAPÍTULO 06 EQUAÇÕES 1. Introdução
3. Raiz (ou solução) de uma equação
Observemos as igualdades abaixo: I. 4 + 7 = 10 II. 4 + 7 = 11 III. 4 + x = 7
É o número do conjunto universo que, quando colocado no lugar da incógnita, transforma a sentença matemática aberta em uma sentença matemática fechada verdadeira. De maneira prática, podemos dizer que raiz é o número que, substituído no lugar da incógnita, “torna” a igualdade verdadeira.
As duas primeiras igualdades são sentenças matemáticas fechadas, uma vez que cada uma delas admite uma, e somente uma, das seguintes classificações: FALSA ou VERDADEIRA. No caso acima, a sentença (I) é FALSA e a (II) é VERDADEIRA.
Observação – Conjunto universo de uma equação é o conjunto constituído dos possíveis valores que a incógnita pode assumir. Exemplo 1 – Observe a equação 2x + 10 = 0 definida em . a. O conjunto universo é o conjunto , conjunto dos números reais. b. Se substituirmos x por – 5 na equação 2x + 10 = 0, teremos 2(– 5) + 10 = 0, que é uma igualdade verdadeira. Dizemos, então, que – 5 é raiz da equação. c. O número 5, mesmo sendo um elemento pertencente ao conjunto universo, não é solução da equação 2x + 10 = 0, pois 2(5) + 10 = 0 é falsa.
A igualdade (III) é uma sentença matemática aberta, pois não podemos classificá-la como FALSA ou VERDADEIRA, porque não sabemos o valor que a letra x representa. Na sentença matemática aberta, o ente matemático desconhecido, geralmente representado por uma letra, recebe o nome de incógnita, ou variável. Dependendo do valor que se atribui à incógnita em uma sentença aberta, pode-se obter uma sentença FALSA ou VERDADEIRA. Por exemplo, em (III), se atribuirmos o valor 3 para a letra x, teremos uma sentença VERDADEIRA, mas, se atribuirmos o valor 4, teremos uma sentença FALSA.
Exemplo 2 – Observe a equação 2x + 10 = 0 definida em . a. O conjunto universo é o conjunto , conjunto dos números naturais. b. Se substituirmos x por – 5 na equação 2x + 10 = 0, teremos: 2(– 5) + 10 = 0, que é uma igualdade verdadeira, mas – 5 não é raiz da equação, pois o número – 5 não é elemento pertencente ao conjunto .
2. Equação matemática
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As sentenças matemáticas abertas com uma ou mais incógnitas são denominadas equações matemáticas. Exemplos de equações matemáticas: 01. 2x + 10 = 0 02. x2 + 1 = 0 03. x + x = 2 1 04. + 1 = 1 x 05. x2 – 11x + 28 = 0 06. 0 · x = 1 07. 2x = 4 08. 0 · x = 0
4. Resolução de equações Encontrar todas as raízes (ou soluções) da equação e representá-las em um conjunto denominado conjunto solução. Ao resolver uma equação, é preciso estar atento ao conjunto universo em que está definida a equação.
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5. Equações equivalentes
O primeiro grupo que iremos organizar para estudo é o das equações do 1º grau.
São aquelas que possuem as mesmas raízes, isto é, o mesmo conjunto solução, no mesmo universo.
Denominamos equação do 1º grau em , na incógnita x, toda equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0, com a ≠ 0, a ∈ e b ∈. Dentre os oito exemplos de equações citados anteriormente, apenas a primeira equação é do 1º grau, e comparando a forma geral ax + b = 0 com a equação 2x + 10 = 0, verificamos que a = 2 e b = 10.
Exemplo As equações 2x + 10 = 0 e x + 5 = 0 são equivalentes, pois ambas possuem uma única raiz, que é –5. Os teoremas a seguir permitem transformar uma equação em outra equação equivalente.
Observe que a 6ª e a 8ª equações, embora possam ser escritas na forma ax + b = 0, não são equações do 1º grau, pois a = 0.
T1. Adicionar (subtrair) um mesmo número, do conjunto universo, em ambos os membros da igualdade.
Os dois teoremas citados anteriormente nos auxiliam na resolução de equações do 1º grau. Observe:
a = b ⇔ a + c = b + c ou a = b ⇔ a – c = b – c T2. Multiplicar (dividir) um mesmo número diferente de zero, do conjunto universo, em ambos os membros da igualdade. a b a = b ⇔ a · c = b · c ou a = b ⇔ = c c Exemplo Observe a equação 2x + 10 = 0 definida em .
Forma geral: ax + b = 0 (T1) Subtraindo b dos dois membros da igualdade: ax + b – b = 0 – b Equação equivalente: ax = – b
Considere os procedimentos a seguir:
(T2) Dividindo os dois membros por a:
2x + 10 = 0
ax –b = a a b Equação equivalente: x = – (descobrimos o a valor do x) b S= – a
2x + 10 = 0 (vamos subtrair 10 dos dois membros da igualdade, T1.) 2x + 10 – 10 = 0 – 10) 2x = – 10 (agora, vamos dividir os membros da igualdade por 2, T2) 2x –10 = 2 2
7. Problemas matemáticos Proposição a ser resolvida a partir dos dados do problema, os quais são informações contidas no enunciado da questão de forma explícita ou implícita. Um problema matemático pode ter uma solução, mais de uma solução ou não ter solução.
x=–5 Pelo teorema T1, a equação 2x + 10 = 0 é equivalente à equação 2x = – 10 e, pelo teorema T2, esta é equivalente à equação x = – 5. Assim, podemos dizer que as três equações são equivalentes entre si, sendo que a última é a mais simples e nos leva à solução. O uso de teoremas de equivalência é de grande auxílio na resolução de equações matemáticas.
Para resolver um problema matemático, precisamos encontrar todos os possíveis valores das incógnitas propostas no enunciado da questão.
8. Passos para resolver um problema matemático
6. Equação do 1º grau
Observando os oito exemplos de equações citados anteriormente, percebemos que há diversos tipos distintos de equações, por isso é preciso organizar as equações em grupos com características semelhantes.
01. Equacionar o problema (organizar os dados da questão em uma ou mais equações matemáticas).
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02. Resolver as equações.
Ainda do enunciado: 30 – x = x + 10 (a idade do mais velho excede a idade do mais novo em 10 anos.)
03. Analisar os resultados encontrados avaliando se algum serve, se todos servem ou se nenhum deles serve.
04. Apresentar a resposta final.
Exemplo
Irmão mais velho
Idade
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x + y = 30
2x = 20
x = 10
Resposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o irmão mais velho tem 20 anos.
y = 20
Resposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o irmão mais velho tem 20 anos.
Um problema pode ter mais de um modo de se resolver. 2º modo No exemplo anterior, poderíamos montar a tabela do seguinte modo: Idade dos irmãos
30 – x (a soma das idades é 30.)
y
Substituir o resultado na 2ª equação: y = 10 + 10
x = 10
Irmão mais velho
Mais velho
Substituir a 2ª equação na 1ª: x + x + 10 = 30
2x = 20
x
x
(A idade do mais velho excede a idade do mais novo em 10 anos.) y = x + 10
2x + 10 = 30
Irmão mais novo
Mais novo
(A soma das idades é 30.)
Ainda do enunciado, temos: x + x + 10 = 30 (a soma das idades é 30). Resolver a equação:
10 = x
O mesmo problema poderia ser resolvido utilizando-se duas incógnitas.
Idade dos irmãos
x + 10 (o enunciado diz que a idade do mais velho excede a idade do mais novo em 10 anos.)
20 = 2x
3º modo
Podemos organizar os dados do problema em uma tabela, que é um artifício de muita utilidade.
x
30 – 10 = x + x
Resposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o irmão mais velho tem 20 anos.
A soma das idades de dois irmãos é 30. A idade do mais velho excede a idade do mais novo em 10 anos. Quais são as idades dos irmãos?
Irmão mais novo
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. x −1 x + = 1. 2 3
Resolver em a equação Resolução
1º passo: reduzindo a um denominador comum: x −1 x + =1 2 3 3 ⋅ (x − 1) + 2 ⋅ x 6 ⋅ 1 = 6 6
mmc (2; 3) = 6 → Multiplicando ambos os membros por 6, temos:
3 · (x – 1) + 2 · x = 6 · 1
2º passo: isolar a incógnita em um dos membros da igualdade com auxílio dos teoremas T1 e T2 anteriores:
3·x–3+2·x=6
5·x–3=6
5·x=6+3
5·x=9 9 x= 5 x = 1,8
Conjunto solução
→
S = {1,8}
02. Yasmin, ao sair de casa, tinha em sua bolsa moedas, todas de mesmo valor. Entrou em uma loja e deixou metade delas na compra de um produto A. Em seguida, gastou a metade das moedas que sobraram na compra de um produto B, em outra loja, ficando com exatamente 30 moedas. Com quantas moedas Yasmin saiu de casa?
Moedas
Inicial
1ª compra
1ª sobra
2ª compra
2ª sobra
x
x 2
x x x − = 2 2
x x 2 = 2 4
x x x − = = 30 2 4 4
x = 30 4 x = 30 · 4 x = 120 Resposta Yasmin tinha 120 moedas.
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Resolução
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9. Equação do 2º grau
c. x2 – 4x – 7 = 0 x2 – 4x = 7 (Somar número conveniente nos dois membros da igualdade para que o trinômio que irá surgir, no membro da esquerda, seja um trinômio quadrado perfeito.)
A. Introdução O segundo grupo de equações que iremos organizar para estudo são as equações do 2º grau.
B. Equação do 2º grau Denominamos equação do 2º grau em , na incógnita x, toda equação que pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, a ∈, b ∈ e c ∈.
x2 –4x + 4 = 7 + 4
Exemplo
x = 2 + 11
(x – 2)2 = 11 (x − 2) = 11 ou (x − 2) = − 11
A equação 2x2 + x – 1 = 0 é do segundo grau. Comparando-a com a forma genérica ax2 + bx + c = 0, temos: a = 2, b = 1 e c = –1.
As equações, dos itens (a) e (b) do exemplo acima, são conhecidas como equações incompletas do 2º grau, pois apresentam b = 0 ou c = 0.
Exemplo Resolver, em , as equações: a. x2 – 25 = 0 b. x2 – 2 x = 0 c. x2 – 4x – 7 = 0
D. Equações incompletas do 2º grau As equações incompletas do 2º grau são de dois tipos: a. ax2 + c = 0 (b = 0, resolução rápida: isolar o x) b. ax2 + bx = 0 (c = 0, resolução rápida: fatoração)
Resolução: a. x2 – 25 = 0
x2 = 25
E. Uma fórmula para resolver equações do 2º grau
x = ± 25 (Note que o símbolo ± é exigência da equação do 2º grau, e não da raiz quadrada.)
Dada a equação do 2º grau na forma genérica ax2 + bx + c = 0, consideremos os passos matemáticos a seguir.
x = ± 5 (leia-se x igual a mais ou menos cinco.) A igualdade acima apresenta como soluções x = 5 ou x = – 5.
ax2 + bx + c = 0
S = {5, – 5}
Multiplicando os dois membros da equação por 4a, temos:
b. x2 – 2x = 0
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
(Observe que x é um fator comum.)
4a2x2 + 4abx = – 4ac
x (x – 2) = 0 (Uma multiplicação de reais igual a zero significa que pelo menos um dos fatores é igual a zero.)
x = 0 ou x – 2 = 0
x = 0 ou x = 2
S = {0; 2}
ou x = 2 − 11
S = {2 + 11 , 2 − 11}
C. Resolvendo equações do 2º grau
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Adicionando-se b2 a cada um dos membros da equação, temos: 4a2x2 + 4abx + b2 = – 4ac + b2 (2ax)2 + 2(2ax)b + b2 = b2 – 4ac Observe que (2ax + b)2 = (2ax)2 + 2(2ax)b + b2 (trinômio quadrado perfeito) e substituindo, temos: (2ax + b)2 = b2 – 4ac 43
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O termo b2 – 4ac é denominado discriminante e costuma ser representado pela letra grega ∆.
a = 1 b. x2 − 20x + 100 = 0 b = −20 c = 100
(2ax + b)2 = 2ax + b = ± ∆ 2ax = – b ± ∆ –b ± ∆ x= 2a
∆ = b2 – 4ac = ( –20)2 – 4 · 1 · 100
∆ = 400 – 400
∆=0
Conclusão – Dada a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, podemos encontrar os va–b ± ∆ lores de x através da fórmula x = com 2a = b2 – 4ac. Essa fórmula costuma ser designada por fórmula resolutiva de Bhaskara.
Exemplo
Resolver em as equações: a. – 4x2 – 10x – 4 = 0 b. x2 – 20x + 100 = 0 c. – x2 – 2x – 2 = 0
a. −
∆ = b2 – 4ac = (– 10)2 – 4 · ( – 4) · (– 4)
∆ = 100 – 64
∆ = 36
−b ± ∆ 2a −(−10) ± 36 x= 2 ⋅ (−4) 10 ± 6 x= −8 10 + 6 10 − 6 x= ou x = −8 −8 1 x = −2 ou x = − 2 1 S = −2; − 2
20 − 0 20 + 0 ou x = 2 2
S = {10} c. – x2 – 2x – 2 = 0
Mutiplicando os dois membros por (–1), temos:
a = − 4 − 10x − 4 = 0 b = − 10 c = − 4
x=
x = 10 ou x = 10
a = 1 x2 + 2x + 2 = 0 b = 2 c = 2
∆ = b2 – 4ac = 22 – 4 · 1 · 2
Resolução 4x2
−b ± ∆ 2a −(−20) ± 0 x= 2 ⋅1 20 ± 0 x= 2 x=
∆=–4 Na fórmula resolutiva, é necessário calcular ∆ e, neste exemplo, precisaríamos encontrar - 4, porém este número não existe no conjunto dos números reais. Dizemos, então, que não existe solução real.
x=
S = Ø (conjunto vazio) Observações: I. No exemplo a, encontramos um valor de ∆ positivo e duas raízes reais e distintas. II. No exemplo b, o valor do ∆ é zero e as duas raízes são reais e iguais. III. No exemplo c, o ∆ é negativo e não existem raízes reais. De maneira geral, em uma equação do 2º grau, podemos dizer que: a. ∆ > 0 ⇔ há duas raízes reais e distintas; b. ∆ = 0 ⇔ há duas raízes reais e iguais; c. ∆ < 0 ⇔ não há raiz real. 44
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F. A soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau
Resolução:
Consideremos a equação do 2º grau
x2
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Pela fórmula resolutiva, temos:
a = 1 − ( 3 − 1)x − 3 = 0 b = − ( 3 − 1) c = − 3
b −[ −( 3 − 1)] = 3 −1 S=− = 1 a c − 3 Produto das raízes: P = = =− 3 a 1 Soma das raízes:
−b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = x1 = 2a 2a Indicaremos a soma das raízes por S e o produto por P.
Os números 3 e –1 são dois números reais que possuem soma igual a 3 –1 e produto igual a – 3. Assim, as raízes são x1 = –1 e x2 = 3.
−b+ ∆ −b− ∆ + 2a 2a −b+ ∆ −b − ∆ S= 2a 2b S=− 2a b S=− a
S = x1 + x 2 =
S = {–1; 3}
G. Escrever uma equação do 2º grau conhecendo suas raízes Considere a seguinte proposta: escrever uma equação do 2º grau que tem como raízes os números 10 e 8. A equação x2 – 18x + 80 = 0 satisfaz a proposta. Vejamos: 102 – 18 · 10 + 80 = 100 – 180 + 80 = 0 (10 é uma raiz.) 82 – 18 · 8 + 80 = 64 – 144 + 80 = 0 (8 é uma raiz.) Analisemos como foi montada a equação.
−b+ ∆ −b− ∆ ⋅ P= 2a 2a b2 − ( ∆ )2 P= 4a2 b2 − ∆ P= 4a2
A forma geral de uma equação do 2º grau é ax2 + bx + c = 0. Observe que a foi substituído por 1, b por –18 e c por 80, em que 18 é a soma das raízes e 80 é o produto.
b2 − (b2 − 4 ⋅ ac) P= 4a2
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Matemática
b2 − b2 + 4 ⋅ ac P= 4a2 4ac P= 4aa c P= a Resumindo – Dada a equação do 2º grau
Podemos dizer que ax 2 + bx + c = 0 é equivalente a x2 – Sx + P = 0, em que S é a soma das raízes e P é produto das raízes. As seguintes passagens justificam essa afirmativa. ax2 + bx + c = 0 (dividir os dois membros da igualdade por a.) ax2 + bx + c 0 = a a a 2 b c x + x+ =0 a a a b b c Como S = − , − S = e P = , temos: a a a x2 – Sx + P = 0
ax2 + bx + c = 0, com raízes x1 e x2, então: c b S = x1 + x 2 = - e P = x 1 · x 2 = a a Exemplo Resolver, em , a equação x2 − ( 3 − 1)x − 3 = 0
45
Matemática básica
Matemática
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01.
x2 – 7x + 12 = 0 (multiplicar os dois lados por 5)
x2 − 2x = 3. Resolver, em , a equação x −2 Resolução x2 − 2x = 3 (C.E.: x ≠ 2) x −2 x2 – 2x = 3 (x – 2)
5x 2 – 35x + 60 = 0, que é equivalente a x 2 – 7x + 12 = 0 Resposta Duas equações que têm como raízes 4 e 3 são: x2 – 7x + 12 = 0 e 5x2 – 35x + 60 = 0 Obs. – Dividindo ou multiplicando a equação x2 – 7x + 12 = 0 por um número real diferente de zero, obteremos novas equações equivalentes, portanto há infinitas equações do 2º grau que possuem as raízes 4 e 3.
x2 – 2x = 3x – 6 a = 1 2 x − 5x + 6 = 0 b = −5 c = 6 ∆ = b2 – 4 · a · c
03.
∆ = (–5)2 – 4 · 1 · 6
Considere a equação ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 , com raízes x1 e x2. Mostre que a expressão ax 2 + bx + c é equivalente à expressão a · (x – x1) · (x – x2).
∆=1 −b ± ∆ 2a −(−5) ± 1 x= 2 ⋅1 5−1 5+1 x= ou x = 2 2 x = 2 ou x = 3 x=
Como x1 e x2 são raízes da equação ax2 + bx + c = 0, b temos que x1 + x2 = - (soma das raízes ) e a c x1· x2 = (produto das raízes) a b c 2 a · x + b · x + c = a ⋅ x2 + x + = a a b c = a x2 − − x + = a · [x2 – (x1 + x2) · x + (x1 · x2)] = a a 2 = a [x – x · x1 – x · x2 + x1 · x2) = = a [x (x – x1) – x2 (x – x1)] = = a · [(x – x1) · (x – x2)]= = a · (x – x1) · (x – x2)
não serve
S = {3} 02. Escreva duas equações do 2º grau que tenham como raízes os números 4 e 3. Resolução S=4+3=7 P = 4 · 3 = 12
Assim, temos que: ax2 + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2) (c. q. d.)
ax + bx + c = 0 é equivalente a x – Sx + P = 0; assim, temos: 2
2
A forma a· (x– x1)· (x– x2) é a forma fatorada de ax2 + bx + c, quando x1 e x2 são as raízes.
x2 – 7x + 12 = 0 Para encontrar uma segunda equação, basta multiplicar ou dividir os dois membros da igualdade por um número real diferente de zero.
46
PV-13-11
Resolução
Matemática básica
Matemáti ca
10. Resolução de equações com mudança de variável
teremos:
Frequentemente nos deparamos com equações que, mesmo não sendo do 2º grau, podem ser resolvidas com o auxílio dela. Nessas situações, devemos nos valer de mudanças nas variáveis da equação de tal forma que ela se transforme, temporariamente, numa equação do 2º grau, como nos exemplos que veremos a seguir:
Resolvendo esta equação, teremos:
y2 – 3y – 4 = 0 y1 = –1 e y2 = 4 Considerando que y está ocupando o lugar de x2, teremos: x2 = –1 ou x2 = 4 Considerando x ∈ R, teremos:
Exemplos a) Resolver a equação: x4 – 3x2 – 4 = 0
x = –2 ou x = 2 Assim:
Notemos que esta é uma equação de quarto grau, porém com uma característica particular: apresenta apenas os termos de grau par.
S= {–2,2}
Se fizermos: x2 = y
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01.
02.
Resolver, em , a equação:
Resolva em : (x2 + 2)2 - 5(x2 + 2) + 6 = 0.
x6 – 28 x3 + 27 = 0
Resolução
Resolução
(x2 + 2)2 - 5(x2 + 2) + 6 = 0
Fazendo x3 = t, teremos x6 = t2, logo:
Fazendo x2 + 2 = m, vem:
t – 28 t + 27 = 0
m2 - 5m + 6 = 0
∆ = 784 – 108 = 676 t1 = 27 28 ± 26 = t= t2 = 1 2
S=5 P=6
PV-13-11
2
Então:
Então, teremos:
x2 + 2 = 2
x 3 = 27 x 3 = 1 = x=3 x3
33
x3
(2,3)
x2 = 0
= 13
x=0
x=1
ou
Resposta
x2 + 2 = 3
S = {1, 3}
x2 = 1 x = ±1 S = {0, - 1, 1}
47
Matemática básica
Matemática 03.
1 1 = t2 ⇒ x2 + 2 = t2 – 2 x2 x Substituindo em (I): x2 + 2 +
Resolver em a equação 4 1 x2 – 4x + 5 – + 2 = 0 (x ≠ 0) x x
(t2 – 2) – 4t + 5 = 0
Resolução
t2 – 4t + 3 = 0
Primeiro, arrumamos a equação:
t=
1 4 – 4x – + 5 = 0 2 x x 1 2 1 x + 2 – 4 x + + 5 = 0 x x x2 +
t=3 4±2 = t=1 2
Voltando à mudança variável: 1 =3 x x 2 –3x + 1 = 0
(I)
x+
Faremos a seguinte troca:
x=
1 x+ =t x
3± 5 2
1 =1 x x2 – x + 1 = 0 x+
x=
1 ± –3 não é real 2
Daí, teremos:
Elevando ao quadrado, teremos:
3 – 5 3 + 5 S= , 2 2
11. Equações irracionais Equação irracional é uma equação em que há incógnita em um ou mais radicais. São equações irracionais: 3 1. x + 2 = 5 2.
x +1 = x –2
3.
3x + 1 + x –1 = 6
As raízes podem ter qualquer índice, mas, no nosso estudo, trataremos apenas das equações irracionais que apresentarem raízes quadradas. Não existe fórmula para resolver essas equações, mas temos um processo de resolução prático e seguro que nos conduz a equações cuja resolução já conhecemos. PV-13-11
Vamos acompanhar o método por meio de um exemplo. Resolver a equação: x+3+x =3 1º passo: Isolamos o radical num dos membros da equação. Se existir mais de um radical, escolher um deles e isolar. x +3 = 3–x 2º passo: Elevamos ao quadrado os dois membros da equação.
(
x+3
)
2
= (3 – x )
2
x + 3 = 9 – 6x + x 2 x2 – 7x + 6 = 0 48
Matemática básica
Matemática
3º passo: Resolvemos a equação.
Observe:
Se na primeira vez que elevarmos a equação ao quadrado continuar a existir a raiz quadrada, ela deve ser isolada e a equação será novamente elevada ao quadrado tantas vezes forem necessárias até que não exista mais nenhum radical:
para x = 1:
1+3 +1= 3 4 +1= 3 2 + 1 = 3 (V)
para x = 6:
6+3+6=3 9 +6=3 3+6 = 3 9 = 3 (F)
x2 – 7x + 6 = 0, que resolvida, fica: x = 1 ou x = 6 4º passo: Dessa maneira, obtemos uma outra equação que não tem, necessariamente, o mesmo conjunto verdade da equação proposta. Quase sempre, a última equação admite todas as raízes da primeira equação.
Notamos que 1 é solução da equação, mas 6 não é. Assim:
Para contornar esse problema, iremos efetuar uma verificação para eliminar as raízes estranhas e obter o conjunto solução correto. Essa verificação consiste em substituir na equação original os valores de x obtidos.
S = {1}
PV-13-11
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. PUC-SP
02. FEI-SP
O conjunto de soluções inteiras da equação 4x + 1 = 2x – 1 é: a. {2} b. {0,2} c. {0} 1 d. 0, 2 1 e. 2
Seja V o conjunto dos números reais que são soluções da equação irracional 2x – 7 + x = 1. Assim: a. V = {2; 18} b. V = {2} c. V = {18} d. V = ∅ e. V = {–2; –18}
{ } {}
Resolução
Resolução
2x – 7 + x = 1
4x + 1 = 2x – 1
(
)
2
( 2x ) = ( 2
4x + 1 = (2x – 1) ⇒ 4x + 1 = 4x2 – 4x + 1 ⇒ 2
)
2
7 + x + 1 ⇒ 2x = 7 + x + 2 7 + x + 1
(
2 7+ x = x–8 ⇒ 2 7+ x
x = 0 (não convém) ⇒ x2 – 2x = 0 x = 2 ∴ V = {2}
)
2
= (x – 8)2
x = 2 (não convém) ⇒ x2 – 20x + 18 = 0 x = 18 ∴ V = {18}
Resposta
Resposta
A
C
49
Matemáti ca
Matemática básica
CAPÍTULO 07 TEORIA DOS CONJUNTOS 1. Introdução
B. Uma propriedade de seus elementos
A teoria dos conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos da Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e humanas.
Há situações em que podemos fazer a apresentação do conjunto por meio de uma propriedade dos elementos do conjunto e que sirva somente a eles.
Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitos primitivos (noções que adotamos sem definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da teoria dos conjuntos.
A = {x / x possui uma determinada propriedade P} Exemplos a. Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então: B = {x / x é vogal do nosso alfabeto} b. Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então: C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}
Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento, conjunto e pertinência. Assim, é preciso entender que cada um de nós é um elemento do conjunto de moradores desta cidade, ou melhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao conjunto de habitantes da cidade, mesmo que não tenhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que é pertinência.
C. Diagrama de Euler-Venn
A notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do nosso alfabeto, e a representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir.
A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Euler-Venn é gráfica e, portanto, muito prática. Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores à linha representam elementos que não pertencem ao conjunto considerado.
A. Listagem dos elementos
Exemplo
Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista por um par de chaves. Os elementos de um conjunto, quando apresentados na forma de listagem, devem ser separados por vírgula ou por ponto e vírgula, caso tenhamos a presença de números decimais.
B
a
i
e u
t
o
3. Relação de pertinência Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que o elemento x pertence ao conjunto A e indicamos:
Exemplos a. Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então: A = {verde, amarelo, azul, branco} b. Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então: B = {a, e, i, o, u} c. Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então: C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
x∈A em que o símbolo ∈é uma versão da letra grega epsílon e está consagrado em toda matemática como símbolo indicativo de pertinência. Para indicarmos que um elemento x não pertence ao conjunto A, indicamos: x ∉A 50
PV-13-11
2. Notação e representação
Matemática básica
Exemplo
Podemos notar que existe uma diferença entre a e {a}. O primeiro é o elemento a, e o segundo é o conjunto formado pelo elemento a.
A = {a; e; i; o; u} A letra a pertence ao conjunto A: a ∈ A.
Um conjunto pode ser um elemento de um outro conjunto. No exemplo {{a} ; e; i; o; u}, um dos elementos é o conjunto {a}.
A letra c não pertence ao conjunto A: c ∉ A.
4. Relação de inclusão
Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da cidade, porém uma cidade é um elemento do conjunto de cidades que formam um Estado.
Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que pertencer a A pertencer também a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte simbologia:
5. Conjuntos especiais
A ⊂ B (lê-se: A contido em B.)
A. Conjunto unitário
Observação: Há também a notação:
Chamamos de conjunto unitário aquele formado por um só elemento.
B ⊃ A (lê-se: B contém A.)
Exemplo
O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B. Indicamos que o conjunto A não está contido em B dessa maneira:
Conjunto dos satélites naturais da Terra: {LUA}
B. Conjunto vazio
A ⊄ B (lê-se: A não está contido em B) B
A
A
B
A
B
O conjunto vazio pode ser representado pela letra norueguesa ∅ ou pelo símbolo { }.
B
Não podemos confundir as duas notações representando o conjunto vazio por {∅}, pois estaríamos apresentando um conjunto unitário cujo elemento é ∅.
A A
PV-13-11
Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um conjunto vazio considerando um conjunto formado por elementos que admitem uma propriedade impossível.
B A
B
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.
Observação: A é subconjunto de A, para todo conjunto A.
Demonstração
Importante – A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão refere-se sempre a dois conjuntos. Falso:
Matemáti ca
Vamos admitir que o conjunto vazio não esteja contido num dado conjunto A. Nesse caso, existe um elemento x que pertence ao conjunto vazio e que não pertence ao conjunto A, o que é um absurdo, pois o conjunto vazio não tem elemento algum. Conclusão: o conjunto vazio está contido no conjunto A, qualquer que seja A.
a ⊂ {a; e; i; o; u} {a} ∈ {a; e; i; o; u}
Verdadeiro: a ∈ {a; e; i; o; u} {a} ⊂ {a ; e; i; o; u} {a} ∈ {{a} ; e; i; o; u} {a} ⊄ {{a} ; e; i; o; u} 51
Matemática básica
6. Conjunto universo
B. Número de elementos do conjunto de partes
Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemática, precisamos admitir um conjunto ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Esse conjunto é chamado de conjunto universo e é representado pela letra maiúscula U.
Podemos determinar o número de elementos do conjunto de partes de um conjunto A dado, ou seja, o número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja necessidade de escrever todos os elementos do conjunto P (A). Para isso, basta partirmos da ideia de que cada elemento do conjunto A tem duas opções na formação dos subconjuntos: ou o elemento pertence ao subconjunto ou ele não pertence ao subconjunto e, pelo uso do princípio multiplicativo das regras de contagem, se cada elemento apresenta duas opções, teremos:
Uma determinada equação pode ter diversos conjuntos solução de acordo com o conjunto universo que for estabelecido. Exemplos a. A equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0 apresenta: 1 S = , – 1, 3 se U = 2 S = {–1, 3} se U = ¢ S = {3} se U =
{
}
n[P(A)] = 2n(A) Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = {2, 3, 5} apresenta três elementos e, portanto, é de se supor, pelo uso da relação apresentada, que n [P (A)] = 23 = 8, o que de fato ocorreu.
7. Conjunto de partes Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.
8. Igualdade de conjuntos Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmos elementos, em qualquer ordem e independentemente do número de vezes que cada elemento se apresenta. Vejamos os exemplos:
A. Determinação do conjunto de partes Vamos observar, com o exemplo a seguir, o procedimento que se deve adotar para a determinação do conjunto de partes de um dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o conjunto de partes do conjunto A, basta escrevermos todos os seus subconjuntos: 1º) Subconjunto vazio: ∅, pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. 2º) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}. 3º) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}. 4º) Subconjuntos com três elementos: A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1} Observação Se o conjunto A está contido em B (A ⊂ B) e B está contido em A (B ⊂ A), podemos afirmar que A = B.
9. Operações com conjuntos A. União de conjuntos Dados os conjuntos A e B, dizemos que a união dos conjuntos A e B, de notação A ∪ B (lê-se: A união B), é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou B. Podemos representar a união de dois conjuntos pela seguinte sentença:
Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma: P(A) = {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}.
A ∪ B = {x l x ∈ A ou x ∈ B}
52
PV-13-11
Matemáti ca
Matemática básica
Graficamente, temos: A
Matemáti ca
Graficamente, temos: B
A
A
B
B
–
A∪B
A∪B
A
A
B
B
– D. Conjunto complementar
B. Intersecção de conjuntos
Quando dois conjuntos A e B são de tal maneira que B está contido em A (B ⊂ A), dizemos que a diferença A – B é o conjunto complementar de B em relação a A, cuja representação podemos ver a seguir:
Dados os conjuntos A e B, dizemos que a intersecção dos conjuntos A e B, de notação A ∩ B (lê-se: A intersecção B), é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. Podemos representar a intersecção de dois conjuntos pela seguinte sentença:
CBA = A – B
A ∩ B = {x / x ∈A e x ∈ B}
Graficamente, temos:
Graficamente, temos:
A A
B
B
B
B
A
Exemplo Dados A = {0, 1, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {4, 5} e D = {5, 6, 7}, calcule: a. (A ∪ C) ∩ B b. (B ∩ C) ∪ D c. (B – A) ∩ C C d. B U (A ∩ B)
B
PV-13-11
A
B
–
A∪B
A
A
C
∅
Resolução a. (A ∪ C) B = {0, 1, 3, 4, 5} {2, 3, 4, 5} = {3, 4, 5}
C. Diferença de conjuntos Dados os conjuntos A e B, dizemos que a diferença dos conjuntos A e B, nessa ordem e com notação A – B (lê-se: A menos B), é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Podemos representar a diferença de dois conjuntos por meio da seguinte sentença:
b. (B C) D = {4, 5}
{5, 6, 7} = {4, 5, 6, 7}
c. (B – A) C = {2, 5}
{4, 5} = {5}
d.
A – B = {x l x ∈ A e x ∉ B} 53
C B
(A B) = {2, 3}
{3, 4} = {2, 3, 4}
Matemática básica
Matemática
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Então: a. B = {f, g, h} b. B = {d, e, f, g, h} c. B = {a, b, c, d, e} d. B = {d, e} e. B = ∅
01. De acordo com a figura, classifique com V ou F cada uma das afirmações. r
C
D
E
Resolução s
A
a. A ∈ r b. A ⊂ r c. {A} ⊂ r d. AB ∈ r e. AB ⊂ r f. DE ⊂ AE g. A ∈ AC h. A ⊂ AC
a b
d e
c
B
f g h
B = {d, e, f, g, h} 03. UFC-CE Se um conjunto A possui n elementos, então o conjunto P(A), das partes de A, possui 2n elementos. Qual é o número de elementos do conjunto das partes de P(A)? a. 2n b. 4n c. 22n d. 8n e. 16n
Resolução a. V, pois A é ponto de r. b. F, pois a relação ⊂ só é usada entre subconjunto e conjunto, e não entre elemento e conjunto. c. V, pois o ponto A é elemento da reta r. d. F, pois AB não é elemento de r, mas sim subconjunto de r. e. V, pois todo ponto da semirreta AB é elemento de r. f. V, pois todo ponto DE também é ponto de correta. AE . Logo, a relação ⊂ está g. V, pois A é o ponto AC . h. F, pois a relação ⊂ só é usada entre subconjunto e conjunto, e não entre elemento e conjunto.
Resolução n = 1 P(A) = 21 = 2 nº de elementos do conjunto das partes de P(A) = 221 = 4 n = 2 P(A) = 22 = 4 nº de elementos do conjunto das partes de P(A) = 222 = 16 . . .
02. Vunesp Suponhamos que:
n = n P(A) = 2n
A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h}
nº de elementos do conjunto das partes de P(A) = 22n
A ∩ B = {d, e} A – B = {a, b, c}
Resposta C
54
PV-13-11
B A
Matemática básica
10. Número de elementos da união e da intersecção de conjuntos
Observações 1ª) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou mesmo se um deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será verdadeira. 2ª) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma eficiência. Observe o diagrama e comprove.
Dados dois conjuntos, A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos. A
A
Matemática
B
A
B A
B
C
A
B
B
n (A ∪ B) = n (A) + n(B) – n (A ∩ B) Note que ao subtrairmos os elementos comuns (n (A ∩ B)), evitamos que eles sejam contados duas vezes.
A
C
C
B
C
n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A ∩ B) – – n (A ∩ C) – n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)
PV-13-11
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01.
02. FVG-SP
A e B são dois conjuntos tais que 13 elementos pertencem a A e não pertencem a B; 13 elementos pertencem a B e não pertencem a A e 39 elementos pertencem a A ou B. O número de elementos que pertencem a a e a B é: a. 0 b. 13 c. 39 d. 26 e. 23
Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários a respeito de três embalagens, A, B e C, para o lançamento de um novo produto. O resultado foi o seguinte: 160 indicaram a embalagem A; 120 indicaram a embalagem B; 90 indicaram a embalagem C; 30 indicaram as embalagens A e B; 40 indicaram as embalagens A e C; 50 indicaram as embalagens B e C; e 10 indicaram as 3 embalagens. Pergunta-se: a. quantas pessoas indicaram apenas a embalagem A? b. quantas pessoas indicaram as embalagens A ou B? c. quantas não indicaram a embalagem C? d. quantas não tinham preferência por nenhuma das três embalagens?
Resolução Fazendo um esquema: A
13
B
x
13
n (A) = 13 + x n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)
Resolução
n (B) = 13 + x 39 = 13 + x + 13 + x – x n (A ∪ B) = 39 39 = 26 + x x = 39 – 26 x = 13 Resposta B
Usaremos os diagramas para resolver. Vamos começar por A ∩ B ∩ C, que tem 10 elementos.
55
Matemática básica
Matemáti ca A
Da mesma forma, completamos os conjuntos A, B e C; veja que 40 pessoas não têm preferência alguma.
B
A
10
20
100 30
C
A
40 40
Agora, consultando o diagrama final, podemos responder às questões. a. 100 pessoas indicaram apenas a embalagem A; b. 100 + 30 + 10 + 20 + 50 + 40 = 250 indicaram as embalagens A ou B; c. 100 + 20 + 50 + 40 = 210 não indicaram a embalagem C; d. 40 pessoas não tinham preferência por nenhuma embalagem.
20 10
50
C
B
30
10 10
Para n (A ∩ B) e já colocamos 10, restam 20 elementos para completar a região A ∩ B; para completar (A ∩ C), faltam 30 e, para completar (B ∩ C), faltam 40.
U
B
40
C
11. Conjuntos numéricos • Conjunto dos números naturais: = {0, 1, 2, 3, ...} • Conjunto dos números inteiros:
¢+ = {0, 1, 2, 3, ...} = Vamos convencionar que qualquer conjunto numérico que, em sua representação, tiver acrescentado o símbolo * (asterisco) ficará sem o elemento 0 (zero). Assim: * = {1, 2, 3, 4, ...} ¢* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...} • Conjunto dos números racionais: p = x x = , onde p ∈ e q ∈ * q
56
PV-13-11
¢ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} • Conjunto dos números inteiros não negativos
Matemática básica
Com relação aos números racionais, eles podem ser encontrados de três maneiras: número inteiro ou número decimal exato ou número decimal periódico (dízimas periódicas). Os números que não podem ser colocados na forma de fração com numerador inteiro e denominador inteiro não nulo são chamados de números irracionais.
resultados que os conjuntos numéricos existentes até então não forneciam. A partir dos conjuntos dos números naturais, operações como, por exemplo, a subtração 5 – 8 só puderam apresentar um resultado com o aparecimento do conjunto dos números inteiros. A divisão de número 8 por 3 só pode apresentar resultado dentro do conjunto dos números racionais. O cálculo da raiz quadrada do número 17, por exemplo, é um resultado possível somente dentro do conjunto dos números irracionais. Pela reunião do conjunto dos números racionais com os números irracionais, obtivemos o conjunto dos números reais. Por mais amplo que possa parecer o conjunto dos números reais, não foi suficiente para cumprir todas as exigências quanto a esgotar as necessidades de resultados possíveis dentro da Matemática. Algumas operações matemáticas só puderam apresentar resultados dentro do conjunto dos números complexos.
Exemplos: 2 , p , 5 7 • Conjunto dos números reais: = {x / x é racional ou x é irracional} Os números reais podem ser associados biunivocamente com cada ponto de uma reta, estabelecendo o que nós chamaremos de reta real ou eixo real. –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
Origem
Irracionais
A partir dessa representação gráfica, iremos observar algumas propriedades importantes dos números reais. O eixo real apresenta uma ordenação dos números de tal maneira que qualquer número colocado à direita de um outro será maior que este outro. a
Matemática
b b>a
PV-13-11
Numa comparação entre números reais representados no eixo real, podemos estabelecer subconjuntos de extrema importância e que serão chamados de intervalos reais, cuja representação vamos estudar a seguir: a
b
a
b
a
b
x
a
] a, b [
( a,b )
x
a≤x≤b
[ a, b ]
[ a, b ]
12. Operações com intervalos Vejamos com exemplos: 1º) Dados A = [0, 3] e B = [1, 5[, calcule: a. A ∪ B b. A ∩ B c. B – A Resolução 0
a
b
x
a
] a, b ]
1
3
5
( a, b ]
x
x>a
] a, +∞ [
( a, + ∞ )
x
x≤b
] –∞, b ]
( – ∞, b ]
A B A B A B A–B
A ∪ B = [0, 5[ = {x ∈ l 0 ≤ x < 5}
Podemos “explicar” o aparecimento dos conjuntos numéricos através da necessidade que a Matemática manifestava em apresentar
A ∩ B = [1, 3] = {x ∈ l 1 ≤ x ≤ 3} B – A = [0,1 [ = {x ∈ l 0 ≤ x < 1} 57
Matemática básica
Matemática
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 02. PUC-MG 01. Unisinos-RS
Quatro intervalos reais, A, B, C e D, são tais que:
Chama-se conjunto dos números racionais o conjunto: a. {x x ∈ }
{ {
c.
a a ∈ , b ∈ e b ≠ 0 b a a ∈ , b ∈ b
d. {x ∈R
{
x=
}
a, a ∈
}
a a ∈ , b ∈ e b ≠ 0 e. b
}
Sendo D o complementar de D em relação ao conjunto A, então: a. x ∈D ⇔ −10 ≤ x < 2 ou 2 < x ≤ 10 b. x ∈D ⇔ −10 ≤ x < −3 ou 5 < x ≤ 10 c. x ∈D ⇔ −10 ≤ x ≤ 0 ou 2 < x ≤ 10
}
d. x ∈D ⇔ −10 ≤ x ≤ 2 ou 2 ≤ x ≤ 10
Resolução
e. x ∈D ⇔ −10 ≤ x < 2 ou 5 < x ≤ 10
Número racional é aquele que pode ser expresso na forma de uma fração com numerador inteiro e denominador inteiro e diferente de zero, como na forma descrita na alternativa B.
Resolução 0
5
–3
2
B:
Resposta
C:
B
B – C = D:
2
5
D = C DA = A − D –10
10
B:
D: D:
–10
2
5
2
5
10
D = {x ∈R − 10 ≤ x < 2 ou 5 < x ≤ 10 } Resposta E
58
PV-13-11
b.
x ∈ A ⇔ −10 ≤ x ≤ 10 x ∈B ⇔ 0 < x ≤ 5 x ∈C ⇔ −3 ≤ x < 2 D=B−C
Exercícios Propostos
Matemática básica
Matemática
Capítulo 01 01.
05. Mackenzie-SP
Calcule: a. 23
f. (– 2)4
b. 35
g. – 24
c. 06
h. (– 1)41
d. 1n, n ∈
i. (– 6)1
e. 24
j. 230
A fração
b. c. 2 d. -
Se (x–1 + y–1)–1 = 2, então y é igual a:
2x
c. x - 2
e.
x 1+ x
b. (12)5 c. 515 d. 615 e. 630
Simplificando-se a expressão:
PV-13-14
a. b.
5 2
a. 211 · 36
03. UEL-PR 33 −n + 3 ⋅ 32 −n − 9 ⋅ 31−n 9 ⋅ 32 − n
11 6
06. Vunesp Considere as sequências (an) e (bn) definidas por an + 1 = 2n e bn + 1 = 3n, n ≠ 0. Então, o valor de a11 · b6 é:
x
b. - 1 - 2x
x-2 2x
é igual a:
e. 7 4
x 1 - 2x
d.
299 − 3220 + 2101
a. 1
02. a.
298 + 4 50 − 834
para n ∈
07. UFRN A acidez de uma solução depende da sua concentração de íons hidrogênio [H+]. Tal acidez é medida por uma grandeza denominada pH, expressa em escala logarítmica de base 10 –1. Assim, quando dizemos que o pH de uma solução é x, isso significa que a concentração de íons hidrogênio é 10–x mol/L. O pH do café é 5 e o do leite de magnésia é 10. Podemos dizer que o café, em relação ao leite de magnésia, apresenta uma concentração de íons hidrogênio: a. 100 vezes maior. b. 1.000 vezes maior. c. 10.000 vezes maior. d. 100.000 vezes maior. 08. ENEM Dados divulgados pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais mostraram o processo de devastação sofrido pela Região Amazônica
, obtém-se:
1 6
1 3
c. 6 · 3n – 1 d. 1 – 31 – n e. –3n + 1 04. Mackenzie-SP O número de algarismos do produto 515 · 46 é: a. 21 b. 15 c. 18 d. 17 e. 23 61
Matemática básica
10. ESA-RJ
entre agosto de 1999 e agosto de 2000. Analisando fotos de satélites, os especialistas concluíram que, nesse período, sumiu do mapa um total de 20.000 quilômetros quadrados de floresta. Um órgão de imprensa noticiou o fato com o seguinte texto: O assustador ritmo de destruição é de um campo de futebol a cada oito segundos. Considerando que um ano tem aproximadamente 32 · 106 s (trinta e dois milhões de segundos) e que a medida da área oficial de um campo de futebol é aproximadamente 10 –2 km2 (um centésimo de quilômetro quadrado), as informações apresentadas nessa notícia permitem concluir que tal ritmo de desmatamento, em um ano, implica a destruição de uma área de: a. 10.000 km2, e a comparação dá a ideia de que a devastação não é tão grave quanto o dado numérico nos indica.
Simplificando 2 8 − 4 18 + 32 , obtemos: a. + 2 b. - 8 c. + 8 d. -4 2 e. -2 2 11. EFOA-MG Calculando a · a−1 a−1 a−1 ,encontrare mos: a. 6 1 a
b. 4 · a–1 c. a–1 d. 8 a
b. 10.000 km2, e a comparação dá a ideia de que a devastação é mais grave do que o dado numérico nos indica.
e.
a -1
12.
c. 20.000 km2, e a comparação retrata exatamente o ritmo da destruição.
Forme uma sucessão decrescente com os números reais , e 2.
d. 40.000 km2, e o autor da notícia exagerou na comparação, dando a falsa impressão de gravidade a um fenômeno natural.
13. Calcule: a. 3 2 · 4 3
e. 40.000 km2 e, ao chamar a atenção para um fato realmente grave, o autor da notícia exagerou na comparação.
3 b. 16 4 32
09. Dê o valor de:
14. CPCAR A diferença 80,666... – 90,5 é igual a: a. –2
a. 121 b. 3 8
b. 2 –3
c. 4 625
c. –2 2 d. 1
d. 3 -27
PV-13-14
Matemática
15. UPF-RS Sendo
1
e. 0 f. 2,25 g. 0, 04
, então A–1 vale: d.
b. 8
e. 14
c. 1
h. 3 0, 008
4
62
1
a. 4
8
Matemática básica
16. Fuvest-SP 3
2
28
30
+2 10
c. 423.000 d. 439.000 e. 441.000
=
8
a. 2
d. 29
22 b. 6 c. 28
e. 2
5
Matemática
21. Racionalize os denominadores e simplifique, se possível, as frações.
1
3 10 58
a.
17. Fuvest-SP a. Qual a metade de 222? 2 b. Calcule 8 3 + 90,5.
b. c.
18. CPCAR
1 3 10 5
d.
5 3
e.
5 2 +1 2 −1
7 8
Ao se resolver a expressão numérica:
22. UEPB
(25 · 10 −6 ) · 0, 000075 5 3 1, 5 · (−0, 0010)0, 3 : 4 10 10
Calculando o valor de 9–0,333..., obtemos: a.
a. 3 2
b.
b. 3 3 c. 1 d. 0,1
c.
o valor encontrado é:
d.
19. Unesp Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa, é dada por: S(p) =
e. 23. Fuvest-SP O valor da expressão a. 2 1 b. 2 c. 2 1 d. 2 e. 2 + 1
11 23 · p , em que p é a massa da pessoa 100
PV-13-14
em quilogramas.
Considere uma criança de 8 kg. Determine: a. a área da superfície corporal da criança; b. a massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar. (Use a aproximação 2 = 1,4.)
24. Fuvest-SP
20. Uneb-BA A expressão P(t) = k · 20,05t fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade, em função do tempo t em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300.000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, espera-se que ela tenha no ano de 2000? a. 325.000 b. 401.000
2 2 é igual a: 5 - 3 32
a. 5 + 3 + 3 4 b. 5 + 3 - 3 2 c. 5 - 3 - 3 2 d. 5 + 3 - 3 4 e. 5 - 3 - 3 4 63
é:
Matemática básica
Matemática 25. ESPM-SP O valor da expressão a. 2 2 b. - 2 2 c. 0 d. 4 2 e. - 4 2
29. UFV-MG
2 −1 2 + 1 é igual a: − 2 +1 2 −1
mero positivo, equivale a: a. 7 b. 7 + a + a c. 7
26. Uespi
d. 7 +1 7 −1 , + 7 −1 7 +1
na forma raciona-
e. 1
30. FGV-SP
lizada, é igual a:
A expressão
a. 8
3
a. -
b. 8 5
b. 5
c. 1
8
d. 7 e.
7 7
3 5 − 2 13 7 5 + 3 13
1 15 65 - 2 13 3
c. 183 - 23
65
128
8 11
d. -
27.
7 128
e. 1
a. Racionalize os denominadores das frações:
31. Inatel-MG A expressão
28. Cesgranrio-RJ
30 5- 3- 2
a.
5 + 10 + 15 2
b.
- 5 - 10 - 15 2
c. − 5 +
b. Calcule o valor de:
25
d.
10 + 5 2
e.
10 + 6 3
32. Unifor-CE
a razão
Simplificando-se obtém-se:
torna-se: d.
x 2x + 1
e. x 2 + x − x
a.
b.
c. 64
é equivalente a:
2
Sendo x > 0, com denominador racionalizado,
a. 2x + 1 1 b. 2 x +x x c. 2x + 1
é igual a:
PV-13-14
A expressão
7 , em que a é um nú7+a − a
A expressão
,
d. e. 6
Matemática básica
33. UFC
1 eB= 3+ 2
Seja A = igual a:
1 3− 2
Matemática
37. UNB-DF 1 1 ,Q= , R= Se P = 7− 5 8− 5 então: a. P < Q < R
, então, A + B é
a. –2 2 b. 3 2
b. P < Q, Q < R
c. –2 3
c. P > Q > R
d. 3 3
d. P > Q = R
e. 2 3
e. Q > P = R
34. UFMG-modificado − 1 − 1 a 9 · (a 3 )2 A expressão 2 equivalente a: − a 9
38. CPCAR 2
1 : − , com a ≠ 0, é a
O inverso de igual a: a.
a. -a
5
9 5 b. a
b.
c. 9 -a7
x x 3 , com x > 0 e y > 0, é y y
6
xy 5 y
c.
3
x2 y x
d.
6
yx 5 x
3
xy2 y
39. Fuvest-SP
9 d. a7
3 +1 3 −1 + Qual é o valor da expressão ? 3 −1 3 +1 a. 3 b. 4 c. 3 d. 2 e. 2
9
a2 e. a 35. Mackenzie-SP 1 1 A expressão é igual a: − 1− 2 2 +1 a. 2
40. Unifesp
b. –2 c. 2
Se 0 < a < b, racionalizando o denominador, tem-se que:
d. 2( 2 + 1) PV-13-14
5+ 8 , 3
b− a 1 = b−a a+ b
e. –2 2 36. PUC-MG 2
Assim, o valor da soma:
56
1
e y= Se x = , então x + y é igual 3 +2 2 4- 2 a:
1+ 2
+
1
2+ 3
+
a. 10 10 - 1
a. 22
b. 10 10 c. 99 d. 100 e. 101
b. 22 2 c. 8 2 d. 22 + 8 2 e. 160 + 4 2 65
1
3+ 4
+ ... +
1 999 + 1.000
é:
Matemática
Matemática básica
Capítulo 02 41.
47.
Desenvolva os produtos notáveis: a. (2x + 3y)2 b. (5x – 2y)2 c. (3a2 – b)2
Sendo x2 + y2 = 65 e x · y = 28, então x + y é igual a: a. ± 5 b. ± 7 c. ± 9 d. ± 11 e. ± 13
42. Desenvolva os produtos notáveis: a. (x - 2y)(x + 2y) b. (a3 - 2b)(a3 + 2b) c. (2xy + z2)(2xy - z2)
48. ESPM-SP A expressão (a + b + c)2 é igual a: a. a2 + 2ab + b2 + c2 b. a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc c. a2 + b2 + c2 + 2abc d. a2 + b2 + c2 + 4abc e. a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2
43. Desenvolva os produtos notáveis: a. (x + 2y)3 b. (2x – y)3 c. (2x – 2y)3
49. Ibmec-SP
44.
a. x +
1 1 x− x x
x y x y + − y x y x
b.
45. ETF-RJ Qual a expressão que deve ser somada a x2 – 6x + 5 para que resulte o quadrado de (x – 3)? a. 3x b. 4x c. 3 d. 4 e. 3x + 4x
50. FCC-SP A expressão que deve ser somada a a2 + 6a2b2 – 12a2b para que resulte o quadrado de 2a – 3ab é: a. 3a2 + 3a2b2 b. a2 – 9a2b2 + 12a2b c. – 3a2 – 3a2b2 d. 3a2 + 3a2b2 + 24a2b e. 3a2 – 3a2b2 + 24a2b
46. Sendo x + y = 4 e x · y = 5, então x2 + y2 é igual a: a. 6 b. 4 c. – 6 d. 10 e. – 1
51. 1 Sendo x + = t , obter em função de t o valor x de: 1 a. x 2 + 2 x b. x 3 + x −3 c. x3 + x– 3 66
PV-13-14
A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual: a. à diferença dos quadrados dos dois números. b. à soma dos quadrados dos dois números. c. à diferença dos dois números. d. ao dobro do produto dos números. e. ao quádruplo do produto dos números.
Desenvolva os produtos notáveis:
Matemática básica
52. Sendo
( x + y )2 − ( x − y )2 E= , (2xy )2
57. calcule o valor da
Num paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, sabe-se que a área total S e a diagonal d são dadas pelas fórmulas:
expressão E + 1, sabendo que x– 1 · y– 1 é 2. 53.
2
Matemática
S = 2ab + 2ac + 2bc d = a2 + b2 + c2
2
1 1 Sendo A = x + e B = x − , calcule 2 x (A + B)2.
Dado um paralelepípedo retângulo com S = 108 e d = 6, obtenha a + b + c.
54. ESPM
58. Fuvest-SP
Sabendo-se que x + y–1 = 7 e que x = 4y, o valor da expressão x2 + y– 2 é igual a: a. 49 b. 47 c. 45 d. 43 e. 41
A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser: a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8
55. Fuvest-SP 1 1 Se x + = b, calcule x 2 + 2 em função de b. x x
59. UFPR Se 2x + 2–x = 3, o valor de 8x + 8–x é: a. 12 b. 18 c. 21 d. 24 e. 28
56. FATEC-SP Efetuando-se (579.865)2 – (579.863)2, obtêm-se: a. 4 b. 2.319.456 c. 2.319.448 d. 2.086.246 e. 1.159.728
60.
PV-13-14
Sendo E2 = 1 + 1.155 · 1.157 com E > 0, então: a. E = 26 b. E = 28 c. E = 32 d. E = 34 e. E = 36
67
Matemática
Matemática básica
Capítulo 03 61.
3 2 2 3 2 2 c. x + 3x y + 3xy + y : x + 2xy + y 3 3 2 2 x +y x − xy + y
x 2 + 2xy + y2 Simplificar a expressão , suponx2 − y2 do seu denominador diferente de zero.
67. 1 Sabendo-se que a + = 3, calcular o valor de a 1 a3 + 3 . a
62. Resolva os itens a seguir: a. Fatorar: 25x2 + 70x + 49 b. Fatorar: x2 – 2x + 1 c. Fatorar: a3 – 10a2 + 25a d. Calcular: 2.4992
68. Fatore as expressões. a. x4 – y4 b. (a + b)2 – c2 c. 4a2 – 49b2m d. (x + 3)2 – (3x – 4)2
63. FEBA Sabe-se que a + b = ab = 10. Então, o valor de a b + é: b a a. 2 b. 4 c. 8 d. 16 e. 20
69. Resolva os itens a seguir: a. Fatorar: x2 + 2y2 + 3xy + x + y b. Fatorar: 4a2 – 9b2 c. Fatorar: (x + y)2 – (x – y)2 d. Fatorar: x4 – y4 e. Calcular: 2.501 · 2.499
64. Fameca-SP
70.
Dado que x = a + x–1, a expressão x2 + x–2 é igual a: a. a2 + 2 b. 2a + 1 c. a2 + 1 d. 2a – 1 e. a2
Resolva os itens a seguir: a. Fatorar: 6a4b2c + 8a3b5 – 12ab3c2 b. Fatorar: (a + b) · x + 2 · (a + b) c. Fatorar: 2x + ax + 2y + ay e. Fatorar: x2 – 5x + 6
65. Resolva os itens a seguir: a. Fatorar: a3 – 8 b. Fatorar: x3 + 1 c. Fatorar: x3 + 2x2 + 2x + 1
71. PUC-MG A diferença entre os quadrados de dois números ímpares, positivos e consecutivos é 40. Esses números pertencem ao intervalo: a. [3, 9] b. [4, 10] c. [8, 14] d. [10, 15] e. [11, 14]
66. Resolva os itens a seguir: 3 a. a - 1 a2 - 1 b.
m3 + n3 m − m2n + mn2 3
68
PV-13-14
d. Fatorar: x3 + x2 – 3x – 3
Matemática básica
72. UEFS-BA Simplificando a expressão x2 + xy x2 − y2 , obtém-se: · xy − y2 x2 + y2 + 2xy 2 a. 1 d. x 2 2 2y x +y 1 x b. 2 2 e. y x + y + 3xy c.
76. UFU-MG
15 1 Sabendo-se que x + y = , qual é o ex−y= 7 14 valor da expressão: (x 2 + 2xy + y2 )(x 3 − y 3 ) (x 2 − xy) ? E= 2 : (x − y2 )(x 2 + xy + y2 ) 2x a. 30 c. 60 e. 25 b.
x + y + xy
73. Fatec-SP
74. Unifor-CE
, para
78. Fatec-SP Se a, x, y e z são números reais tais que 2x − 2y + ax − ay 2 + a , então z é igual a: z= 3 2 : a − a − a + 1 a2 − 1 x-y a -1 x-y b. 2 a -1 x+y c. a+ 1 a.
2x + x + 3 x +2 − , com x ≠ − 1, 2 x + 2x + 1 x + 1 é equivalente a: 2
A expressão
PV-13-14
2
x −1 a. x +1 x −1 b. x +1 c. 1 x 2 + 4x + 5 d. ( x + 1)2 e.
x+y a− 1 (x − y) · (a + 1) e. a− 1 d.
79. Unifesp 1 1 27 Se 3 , então 3 é igual a: = x +x+2 x + x + 1 37 27 84 b. 27 64 27 c. 38 d. 28 37 e. 64 27 a.
x+5 x +1
75. UFG-GO Simplificando
d.
A diferença 555552 – 444442 não é igual a: a. 9 · 111112 b. 99999 · 11111 c. 1111088889 d. 333332 e. 11110 · 88889
2
O valor da expressão , é: a. b. c. 2 d. – 0,75 e.
77. UFPE
2x2 + x 2
Matemática
(x + y)3 − 2y (y + x)2 , temos: x2 − y2
(y + x)2 x−y b. x - y c. x - y - 2x2y x2 + y2 d. x−y e. x + y a.
80.
Prove que 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 é um número racional.
69
Matemática básica
Matemática
Capítulo 04 81.
85. FGV
Calcule o valor de: a. 0,1% de 460
Se P é 30% de Q, Q é 20% de R e S é 50% de R, P então é igual a: S 6 3 d. a. 5 250 4 3 e. b. 3 25 c. 1
b. 125% de 540 82. Represente as porcentagens na forma decimal e os decimais e frações na forma de porcentagem. a. 64% d. 135%
e.
c. 0,37%
f.
Uma quantidade de 6.240 litros de água apresentava um índice de salinidade de 12%. Devido à evaporação, esse índice subiu para 18%. Calcule, em litros, a quantidade de água que evaporou.
83.
87. Fuvest-SP
Se um em cada 320 habitantes de uma cidade é engenheiro, então a porcentagem de engenheiros nessa cidade é de: a. 0,32% b. 3,2% c. 0,3125% d. 0,3215% e. 3,125%
O salário de Antônio é igual a 90% do de Pedro. A diferença entre os salários é de R$ 500,00. O salário de Antônio é: a. R$ 5.500,00 b. R$ 45.000,00 c. R$ 4.000,00 d. R$ 4.500,00 e. R$ 3.500,00
84. UFV-MG
88. Vunesp
Observando a figura, podemos dizer que a razão entre a área colorida e a área do triângulo MNP é expressa, na forma percentual, por:
Uma pesquisa realizada com pessoas com idade maior ou igual a sessenta anos residentes na cidade de São Paulo, publicada na revista Pesquisa/Fapesp de maio de 2003, mostrou que, dentre os idosos que nunca frequentaram a escola, 17% apresentam algum tipo de problema cognitivo (perda de memória, de raciocínio e de outras funções cerebrais). Se dentre 2.000 idosos pesquisados, um em cada cinco nunca foi à escola, o número de idosos pesquisados nessa situação e que apresentam algum tipo de problema cognitivo é: a. 680 b. 400 c. 240 d. 168 e. 68
a. 37,5% b. 37% c. 63% d. 53% e. 62,5%
70
PV-13-14
b. 142,7%
86. Unicamp-SP
Matemática básica
89. Fuvest-SP
93. Faap-SP
Num colégio com 1.000 alunos, 65% dos quais são do sexo masculino, todos os estudantes foram convidados a opinar sobre o novo plano econômico do governo. Apurados os resultados, verificou-se que 40% dos homens e 50% das mulheres manifestaram-se favoravelmente ao plano. A porcentagem de estudantes favoráveis ao plano vale: a. 43,5% d. 17,5% b. 45% e. 26% c. 90%
Em 20 kg de uma liga com 30% de cobre, quantos quilos se deve acrescentar desse material para que aquela porcentagem passe para 40%?
90. ENEM
Em uma prova de 25 questões, cada resposta certa vale + 0,4 e cada resposta errada vale – 0,1. Um aluno resolveu todas as questões e teve nota 0,5. Qual a porcentagem de acertos desse aluno? a. 25% b. 24% c. 20% d. 16% e. 5%
94. Um negociante vendeu mercadorias compradas a R$ 4.000,00 por R$ 5.000,00. De quantos por cento foi seu lucro sobre o preço de compra e sobre o preço de venda? 95. Fuvest-SP
O tabagismo (vício em fumo) é responsável por uma grande quantidade de doenças e mortes prematuras na atualidade. O Instituto Nacional do Câncer divulgou que 90% dos casos diagnosticados de câncer de pulmão e 80% dos casos diagnosticados de enfisema pulmonar estão associados ao consumo de tabaco. Paralelamente, foram mostrados os resultados de uma pesquisa realizada em um grupo de 2.000 pessoas com doenças de pulmão, das quais 1.500 são casos diagnosticados de câncer e 500 são casos diagnosticados de enfisema. Com base nessas informações, pode-se estimar que o número de fumantes desse grupo de 2.000 pessoas é, aproximadamente: a. 740 b. 1.100 c. 1.310 d. 1.620 e. 1.750 PV-13-14
Matemática
96. ITA-SP Certa liga contém 20% de cobre e 5% de estanho. Quantos quilos de cobre e quantos quilos de estanho devem ser adicionados a 100 quilos dessa liga para a obtenção de uma outra com 30% de cobre e 10% de estanho? 97. ENEM As “margarinas” e os chamados “cremes vegetais” são produtos diferentes, comercializados em embalagens quase idênticas. O consumidor, para diferenciar um produto do outro, deve ler com atenção os dizeres do rótulo, geralmente em letras muito pequenas. As figuras que seguem representam rótulos desses dois produtos.
91. Fuvest-SP Um recipiente contém uma mistura de leite natural e leite de soja num total de 200 litros, dos quais 25% são de leite natural. Qual a quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada a essa mistura para que venha a conter 20% de leite natural?
Peso líquido 500 g
MARGARINA 65% de lipídeos
92. Fuvest-SP Um lote de livros foi impresso em duas gráficas, A e B, sendo que A imprimiu 70% dos livros e B, 30%. Sabe-se que 3% dos livros impressos em A e 2% dos livros impressos em B são defeituosos. Qual a porcentagem dos livros defeituosos do lote?
Valor energético por porção de 10 g: kcal
71
Matemática básica
Matemática
100. ENEM Peso líquido 500 g
A eficiência de anúncios num painel eletrônico localizado em uma certa avenida movimentada foi avaliada por uma empresa. Os resultados mostraram que, em média: – passam, por dia, 30.000 motoristas em frente ao painel eletrônico; – 40% dos motoristas que passam observam o painel; – um mesmo motorista passa três vezes por semana pelo local.
CREME VEGETAL 35% de lipídeos
Valor energético por porção de 10 g: kcal
Uma função dos lipídios no preparo das massas alimentícias é torná-las mais macias. Uma pessoa que, por desatenção, use 200 g de creme vegetal para preparar uma massa cuja receita pede 200 g de margarina não obterá a consistência desejada, pois estará utilizando uma quantidade de lipídios que é, em relação à recomendada, aproximadamente: a. o triplo. b. o dobro. c. a metade. d. um terço. e. um quarto.
Segundo os dados acima, se um anúncio de um produto ficar exposto durante sete dias nesse painel, é esperado que o número mínimo de motoristas diferentes que terão observado o painel seja: a. 15.000 b. 28.000 c. 42.000 d. 71.000 e. 84.000
98. Uma pessoa aplica 60% do seu capital a uma taxa de 20% ao ano. A que taxa ao ano essa pessoa deve aplicar a outra parte do seu capital para que, após um ano, os montantes obtidos sejam iguais? a. 30% d. 80% b. 40% e. 120% c. 60%
101. Uneb-BA
99.
A União da Indústria de cana-de-açúcar, Unica, quer retomar os 25% de etanol anidro misturado na gasolina. Há dois meses, o governo federal reduziu o nível para 20% como uma forma de controlar a escalada dos preços do etanol e evitar um desabastecimento.
102. Fafeod-MG Um vendedor resolve aumentar o preço de venda de um determinado produto em 30%. Sabendo-se que o lucro do vendedor antes do aumento era de 15% e que não houve alteração no preço de custo, podemos afirmar que após o aumento seu lucro é de: a. 18% b. 15% c. 45% d. 49,5% e. 19,5%
O Estado de S. Paulo, 14.12.2011.
Admita que certo tanque contenha 9.000 litros de uma mistura combustível composta de 80% de gasolina e 20% de etanol anidro. Para que essa mistura passe a ter 25% de etanol anidro, conforme desejo dos produtores, será necessário adicionar à mistura original uma quantidade, em litros, de etanol anidro igual a: a. 600 d. 450 b. 550 e. 400 c. 500 72
PV-13-14
O preço do cento de laranja sofreu dois aumentos consecutivos de 10% e 20%, passando a custar R$ 5,28. O preço do cento da laranja antes dos aumentos era de: a. R$ 4,00 b. R$ 3,80 c. R$ 3,70 d. R$ 4,40 e. R$ 4,20
Matemática básica
103. Fuvest-SP
107. UFMG
A cada ano que passa, o valor de um carro diminui 30% em relação ao valor anterior. Se V for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano será: a. (0,7)7 · V b. (0,3)7 · V c. (0,7)8 · V d. (0,3)8 · V e. (0,3)9 · V
Um comerciante aumentou os preços de suas mercadorias em 150%. Como a venda não estava satisfatória, voltou aos preços praticados antes do aumento. Em relação aos preços aumentados, o percentual de redução foi de: a. 0% b. 60% c. 75% d. 100% e. 150%
104. Mackenzie-SP
108. FGV-SP
Numa loja, um determinado produto de preço p é posto em promoção, do tipo “leve 5 e pague 3”. O desconto que a promoção oferece sobre o preço p do produto é de: a. 40% b. 35% c. 30% d. 25% e. 20%
Um lucro de 30% sobre o preço de venda de uma mercadoria representa que porcentagem sobre o preço de custo da mesma mercadoria? a. 30% b. 15% c. 42,86% d. 7,5% e. 21,42% 109. Fuvest-SP
105. UFG-GO
Um vendedor ambulante vende os seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, o seu lucro sobre o preço de custo é de: a. 10% b. 25% c. 33,333...% d. 100% e. 120%
Uma empresa concedeu aumento de 8% a seus funcionários. Após o aumento, um dos funcionários passou a receber R$ 237,60. Qual era o salário deste funcionário? 106. FGV-SP Roberto Mathias investiu R$ 12.000,00 em ações das empresas A e B. Na época da compra, os preços unitários das ações eram R$ 20,00 para a empresa A e R$ 25,00 para a B. PV-13-14
Matemática
110. UERJ
Depois de algum tempo, o preço unitário de A aumentou 200% e o de B aumentou apenas 10%. Nessa ocasião, o valor total das ações da carteira era de R$ 17.000,00.
Um trem transportava, em um de seus vagões, um número inicial n de passageiros. Ao parar em uma estação, 20% desses passageiros desembarcaram. Em seguida, entraram nesse vagão 20% da quantidade de passageiros que nele permeneceu após o desembarque. Dessa forma, o número final de passageiros no vagão corresponde a 120.
A diferença, em valor absoluto, entre as quantidades de ações compradas de A e B foi de: a. 200 b. 225 c. 300 d. 250 e. 275
Determine o valor de n.
73
Matemática básica
111. Unesp
115. Uespi
O lucro líquido mensal de um produtor rural com a venda de leite é de R$ 2.580,00. O custo de produção de cada litro de leite, vendido por R$ 0,52, é de R$ 0,32. Para aumentar em exatamente 30% o seu lucro líquido mensal, considerando que os valores do custo de produção e do lucro, por litro de leite, permaneçam os mesmos, quantos litros a mais de leite o produtor precisa vender mensalmente? a. 16.770 b. 12.900 c. 5.700 d. 3.870 e. 3.270
Uma máquina que fazia 80 fotocópias por minuto foi substituída por outra que é 30% mais veloz. Quantas fotocópias a nova máquina faz, em 30 segundos? a. 48 d. 54 b. 50 e. 56 c. 52 116. Fuvest-SP Um comerciante compra calças, camisas e saias e as revende com lucro de 20%, 40% e 30%, respectivamente. O preço x que o comerciante paga por uma calça é três vezes o que ele paga por uma camisa e duas vezes o que ele paga por uma saia. Certo dia, um cliente comprou duas calças, duas camisas e duas saias e obteve um desconto de 10% sobre o preço total. a. Quanto esse cliente pagou por sua compra, em função de x? b. Qual o lucro aproximado, em porcentagem, obtido pelo comerciante nessa venda?
112. Unifesp André aplicou parte de seus R$ 10.000,00 a 1,6% ao mês, e o restante a 2% ao mês. No final de um mês, recebeu um total de R$ 194,00 de juros das duas aplicações. O valor absoluto da diferença entre os valores aplicados a 1,6% e a 2% é: a. R$ 4.000,00. b. R$ 5.000,00. c. R$ 6.000,00. d. R$ 7.000,00. e. R$ 8.000,00.
117. Unifesp Uma empresa brasileira tem 30% de sua dívida em dólares e os 70% restantes em euros. Admitindo-se uma valorização de 10% do dólar e uma desvalorização de 2% do euro, ambas em relação ao real, pode-se afirmar que o total da dívida dessa empresa, em reais: a. aumenta 8%. b. aumenta 4,4%. c. aumenta 1,6%. d. diminui 1,4%. e. diminui 7,6%.
113. Fuvest-SP Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ 19.500,00. Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro para o importador? a. R$ 22.500,00 b. R$ 24.000,00 c. R$ 25.350,00 d. R$ 31.200,00 e. R$ 39.000,00
118. FGV-SP Um aparelho de TV é vendido por R$ 1.000,00 em dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1º como entrada e o 2º, um mês após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 4% sobre o preço de R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros simples do financiamento é, aproximadamente, igual a: a. 8,7% d. 5,7% b. 7,7% e. 4,7% c. 6,7%
114. Fuvest-SP Uma certa mercadoria é vendida nas lojas A e B, sendo R$ 20,00 mais cara em B. Se a loja B oferecesse um desconto de 10%, o preço nas duas lojas seria o mesmo. Qual é o preço na loja A?
74
PV-13-14
Matemática
Matemática básica
119. Unesp
c. 16% d. 16,75% e. 15,25%
Suponhamos que, para uma dada eleição, uma cidade tivesse 18.500 eleitores inscritos. Suponhamos ainda que, para essa eleição, no caso de se verificar um índice de abstenções de 6% entre os homens e de 9% entre as mulheres, o número de votantes do sexo masculino será exatamente igual ao de votantes do sexo feminino.
124. FGV-SP O salário de um gerente sofreu em março e abril aumentos de 15% e 12%, respectivamente. No mês de maio, esse gerente foi obrigado a aceitar uma redução de 8% em seu salário em função de mudança de emprego. O que ocorreu com o salário desse gerente no trimestre? a. Aumentou em aproximadamente 18,5%. b. Aumentou em aproximadamente 28%. c. Aumentou em aproximadamente 25%. d. Aumentou em aproximadamente 21,5%. e. Aumentou em aproximadamente 17%.
Determine o número de eleitores inscritos de cada sexo. 120. Fuvest-SP O valor, em reais, de uma pedra semipreciosa é sempre numericamente igual ao quadrado de sua massa, em gramas. Infelizmente uma dessa pedras, de 8 gramas, caiu e se partiu em dois pedaços. O prejuízo foi o maior possível. Em relação ao valor original, o prejuízo foi de: a. 92% b. 80% c. 50% d. 20% e. 18%
125. E.N. Uma senhora extremamente gorda resolveu fazer uma dieta e perdeu em três meses 30% de seu peso; entretanto, nos três meses seguintes, ela aumentou seu peso em 40%. No decorrer desse semestre, o peso da senhora: a. aumentou 16%. b. aumentou 10%. c. manteve seu valor inicial. d. diminuiu 10%. e. diminuiu 2%.
121. UFPE Se a liga A contém 25% de ouro e 75% de prata e a liga B contém 55% de ouro e 45% de prata, quantos gramas da liga A se deve misturar com a liga B de modo a se obterem 120 g de uma liga com a mesma concentração de ouro e prata?
126. Unesp
122. Fuvest-SP
PV-13-14
Matemática
Cássia aplicou o capital de R$ 15.000,00 a juros compostos, pelo período de 10 meses e à taxa de 2% a.m. (ao mês).
O preço de certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja R$ 100,00, daqui a três anos será: a. R$ 300,00 b. R$ 400,00 c. R$ 600,00 d. R$ 800,00 e. R$ 1.000,00
Considerando a aproximação (1,02)5 = 1,1, Cássia computou o valor aproximado do montante a ser recebido ao final da aplicação. Esse valor é: a. R$ 18.750,00. b. R$ 18.150,00. c. R$ 17.250,00. d. R$ 17.150,00. e. R$ 16.500,00
123. Mackenzie-SP Nos três primeiros trimestres de um ano, a inflação foi, respectivamente, 5%, 4% e 6%. Nessas condições, a inflação acumulada nesse período foi: a. 15% b. 15,75%
127. FEI Modificado Fiz a compra de um aparelho numa loja em liquidação que dava 10% de desconto sobre o preço de qualquer mercadoria. Estava para 75
Matemática básica
131. Unesp
pagar a conta, com o referido desconto, quando encontrei na gerência um amigo de infância que, em nome da velha amizade, deu-me um desconto de 10% sobre o que estava prestes a pagar. Paguei, então, a importância de R$ 810,00. Qual era o preço inicial do aparelho? a. R$ 830,00 b. R$ 900,00 c. R$ 1.000,00 d. R$ 1.110,00 e. R$ 1.200,00
O quadro, reproduzido da revista Veja (7/6/95), mostra quanto renderam os investimentos do início de 1995 a 31 de maio desse ano. Perdas e lucros 10,7 CDB 7,0 poupança
Quanto renderam os investimentos do início do ano até 31 de maio, descontada a inflação (em %).
128. Fatec-SP
4,8 fundão
– 1,6 dólar comercial
– 3,7 ouro
– 6,2 dólar paralelo
Numa microempresa, consomem-se atualmente X litros de combustível por dia. Para a próxima semana, haverá um aumento de 5% no preço do combustível. Com o objetivo de manter a mesma despesa, será feita uma redução no consumo. O novo consumo diário de combustível deverá ser de, aproximadamente: a. 94,2% X b. 95% X c. 95,13% X d. 95,24% X e. 95,5% X
Considerando esses dados, suponhamos que uma pessoa, no primeiro dia útil de 1995, tinha investido na poupança metade das enconomias que possuía e investido no dólar paralelo a outra metade. Se o rendimento global obtido por ela no período foi de R$ 400,00, quanto investiu ao todo?
129. Fuvest-SP
132. Mackenzie-SP
– 21,5 Ibovespa
Pedro e João são concorrentes na venda de carnês. Em maio, eles venderam o mesmo número de carnês. Em junho, Pedro conseguiu aumentar em 32% as suas vendas. Porém, neste mês de junho, as vendas de João foram 25% superiores às de Pedro. Em relação ao mês de maio, de quanto foi o aumento nas vendas de João? a. 32% d. 60% b. 40% e. 65% c. 57% 130. FEI
– 18,2 IBV
Numa loja, a diferença entre o preço de venda solicitado e o preço de custo de um determinado produto é 3.000. Se esse produto for vendido com 20% de desconto, ainda assim dará um lucro de 30% à loja. então, a soma entre os preços de venda e de custo é: a. 15.200 b. 14.600 c. 13.600 d. 12.600 e. 6.400
Uma loja vende um liquidificador por R$ 16,00 para pagamento à vista ou em duas prestações fixas de R$ 9,00, uma entrada e outra para 30 dias. A taxa de juros mensais cobrada pela firma está no intervalo: a. de 10% a 14% ao mês. b. de 15% a 19% ao mês. c. de 20% a 24% ao mês. d. de 25% a 29% ao mês. e. de mais de 30% ao mês.
133. Mackenzie-SP Um comerciante comprou uma peça de 50 metros por R$ 1.000,00. Se ele vender 20 metros com lucro de 50%, 20 metros com lucro de 30% e 10 metros pelo preço de custo, o seu lucro total na venda dessa peça será de: a. 8% d. 32% b. 12% e. 40% c. 20% 76
PV-13-14
Matemática
Matemática básica
134. Fuvest-SP
138. FVG-SP
Um automóvel consumia trimetil-2,24-pentano puro, ao preço de R$ 5/L e percorria 12 km/L. Posteriormente, passou a consumir a mistura de 80% de trimetil-2,2,2-pentano com 20% de álcool etílico, 20% mais cara (R$ 6/L), e a percorrer 10 km/L. O aumento percentual do custo do km percorrido foi de: a. 25% d. 60% b. 40% e. 72% c. 44%
O “Magazine Lúcia” e a rede “Corcovado” de hipermercados vendem uma determinada marca de aparelho de som do tipo Home Cinema pelo mesmo preço à vista. Na venda a prazo, ambas as lojas cobram a taxa de juros compostos de 10% ao mês, com planos de pagamentos distintos. Comprando a prazo no “Magazine Lúcia”, um consumidor deve pagar R$ 2.000,00 no ato da compra e R$ 3.025,00 depois de 2 meses, enquanto na rede “Corcovado” ele pode levar o aparelho sem desembolsar dinheiro algum, pagando uma parcela de R$ 1.980,00, 1 mês após a compra, e o saldo em 2 meses após a compra. a. Qual o valor à vista do aparelho de som? b. Se um consumidor comprar o aparelho de som a prazo na rede “Corcovado”, qual o valor da parcela final, vencível 2 meses após a compra?
135. FGV-SP As vendas de uma empresa foram, em 1982, 60% superiores às vendas de 1980. Em relação a 1982, as vendas de 1980 foram inferiores em: a. 25% b. 42,5% c. 30% d. 27,50% e. 37,5%
139. UFMG Uma loja oferece duas formas de pagamento a seus clientes: 10% de desconto sobre o preço anunciado se o pagamento for à vista, ou o preço anunciado dividido em duas parcelas iguais: a 1ª no ato da compra e a 2ª no trigésimo dia após a compra. A taxa mensal de juros efetivamente cobrada, no pagamento parcelado, é de: a. 10% d. 30% b. 15% e. 50% c. 25%
136. Vunesp Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser, no mínimo, 44% superior ao preço de custo. Assim, ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço de tabela, de modo a não ter prejuízo? PV-13-14
Matemática
a. 10% b. 15% c. 20% d. 25% e. 36%
140. FGV-SP Numa loja, os preços dos produtos expostos na vitrine incluem um acréscimo de 50% sobre o preço de custo. Durante uma liquidação, o lojista decidiu vender os produtos com um lucro real de 20% sobre os preços de custo. a. Calcule o desconto que ele deve dar sobre os preços da vitrine. b. Quando não há liquidação, sua venda é a prazo, com um único pagamento após dois meses e uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. Nessa condição, qual será a porcentagem do lucro sobre o preço de custo?
137. Fuvest-SP a. Se os preços aumentam 10% ao mês, qual a porcentagem de aumento em um trimestre? b. Supondo a inflação constante, qual deve ser a taxa trimestral de inflação para que a taxa anual seja 100%?
77
Matemática
Matemática básica
Capítulo 05 141. Fuvest
147.
Determine os números que são divisores de 40.
Qual o número de dois algarismos que dividido por 25 tem resto 2 e que dividido por 9 tem resto 5?
142. Uespi
148. Unicamp-SP
O número de divisores do inteiro 1.800 é: a. 24 b. 36 c. 48 d. 60 e. 72
A divisão de um certo número positivo N por 1.994 deixa resto 148. Calcule o resto da divisão de N + 2.000 pelo mesmo número 1.994. 149. Determine o menor número que se deve somar a 8.746 para se obter um múltiplo de 11 aumentado de 4 unidades.
143. ESPM-SP O número natural N = 180 · p, em que p é um número primo, possui 27 divisores naturais. O valor de p é: a. 2 d. 7 b. 3 e. 11 c. 5
150. Mostre que a soma de um número de dois algarismos com aquele que se obtém invertendo-se a ordem de seus algarismos é múltiplo de 11. 151. Unifesp
144. UFPE
O conhecido quebra-cabeça “Leitor virtual de pensamentos” baseia-se no seguinte fato: se x ≠ 0 é o algarismo das dezenas e y é o algarismo das unidades do número inteiro positivo “xy”, então o número z = “xy” − (x + y) é sempre múltiplo de 9. a. Verifique a veracidade da afirmação para os números 71 e 30. b. Prove que a afirmativa é verdadeira para qualquer número inteiro positivo de dois algarismos.
Um cubo tem aresta 23 · 32. Para quantos naturais n este cubo pode ser dividido em (mais de um) cubos congruentes de aresta n? a. 7 b. 9 c. 11 d. 13 e. 15 145. Unifesp
Se x, y e z são três números inteiros positivos e a = x + y b = y + z , então: c = x + y a. (a + b + c) é sempre um número par. b. (a + b + c) é sempre um número ímpar. c. (a + b + c) é sempre um múltiplo de 3. d. (a + b + c) é sempre um múltiplo de 5. e. (a + b + c) é sempre um múltiplo de 7.
146. Fatec-SP O número inteiro N = 1615 + 256 é divisível por: a. 5 d. 13 b. 7 e. 17 c. 11 78
PV-13-14
152. UnB-DF
O número de inteiros positivos que são divisores do número N = 21 4 · 35 3 , inclusive 1 e N, é: a. 84 b. 86 c. 140 d. 160 e. 162
Matemática básica
153. UFMG
157. UFRR
Considera-se o conjunto M de todos os números inteiros formados por exatamente três algarismos iguais. Pode-se afirmar que todo n ∈ M é múltiplo de: a. 5 b. 7 c. 13 d. 17 e. 37
A quantidade de números primos de 2 algarismos que, divididos por 13, deixam resto 3 é igual a: a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
154. FGV-SP
Mostre que se m é um número ímpar, então m2 - 1 é divisível por 8.
158. Fuvest-SP
Em uma sala de aula, a razão entre o núme3 ro de homens e o de mulheres é . Seja N o 4 número total de pessoas (número de homens mais o de mulheres). Um possível valor para N é: a. 46 b. 47 c. 48 d. 49 e. 50
159. Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a: a. 100 b. 105 c. 115 d. 130 e. 135
155. Mackenzie-SP
PV-13-14
Matemática
Um número N é formado por dois algarismos, a e b, tais que a + b = 7. Se N - 1 é divisível por 7, então N + 1 é múltiplo de: a. 11 b. 9 c. 3 d. 13 e. 5
160. Considere o critério de divisibilidade por 3: “um número natural é divisível por 3 quando a soma dos algarismos que o formam resultar em um número múltiplo de 3”. Prove a validade deste critério para um número natural de 3 algarismos.
156. UFU-MG
161. Vunesp
Considere a e b dois números inteiros, tais que a – b = 23, sendo b > 0. Sabendo-se que na divisão de a por b o quociente é 8 e o resto é o maior valor possível nessa divisão, então a + b é igual a: a. 29 b. 26 c. 32 d. 36
Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72 dias, respectivamente. O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A é: a. 144 b. 240 c. 360 d. 480 e. 720 79
Matemática básica
162. Unicamp-SP
Às sete horas, os ônibus saem juntos. Após as sete horas, os ônibus para essas cidades voltarão a sair juntos às: a. 10h20min b. 11h40min c. 12h10min d. 13h00min
Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feito na máquina A a cada 3 dias, na máquina B a cada 4 dias e na máquina C a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, a próxima vez em que a manutenção das três ocorreu no mesmo dia foi: a. 5 de dezembro. b. 6 de dezembro. c. 8 de dezembro. d. 14 de dezembro. e. 26 de dezembro.
166. PUC-MG O terreno da figura tem a forma de um triângulo retângulo cujos catetos medem, respectivamente, 30 m e 40 m. Em volta desse terreno, devem ser plantadas n palmeiras igualmente espaçadas, considerando as distâncias medidas sobre os lados do triângulo, de modo que a distância entre uma e outra planta seja a maior possível e o número de palmeiras seja o menor. Nessas condições, o valor de n é:
163. UEM-PR As merendas servidas nas escolas da cidade de Alegria são todas preparadas em uma cozinha central e depois são embaladas em pacotes contendo, cada um, o mesmo número de merendas. Para facilitar o transporte, a quantidade de pacotes deve ser a menor possível. Sabendo que as escolas A, B, C e D recebem, respectivamente, 700, 630, 805 e 560 merendas, qual é o número de merendas em cada pacote?
a. 10 b. 12 c. 15 d. 20
164. Mackenzie-SP
167. Fuvest-SP
Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições diárias dos partidos na TV foi de: a. 15 b. 16 c. 17 d. 19 e. 21
No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes "piscam" com frequências diferentes. A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a segunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se, num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a "piscar" simultaneamente? a. 12 d. 15 b. 10 e. 30 c. 20 168. Mackenzie-SP Um painel decorativo retangular, com dimensões 2,31 m e 92,4 cm, foi dividido em um número mínimo de quadrados de lados paralelos aos lados do painel e áreas iguais. Esse número de quadrados é: a. 10 d. 14 b. 8 e. 12 c. 16
165. PUC-MG A partir das 07h00min, as saídas de ônibus de Belo Horizonte para Sete Lagoas, Ouro Preto e Monlevade obedecem à seguinte escala: • Para Sete Lagoas, de 35 em 35 minutos. • Para Ouro Preto, de 40 em 40 minutos. • Para Monlevade, de 70 em 70 minutos. 80
PV-13-14
Matemática
Matemática básica
169. PUC-MG
174.
Um latifundiário decide lotear três terrenos com áreas de 145 ha, 174 ha e 232 ha, de modo que os lotes sejam de áreas iguais e cada um deles tenha a maior área possível. Nessas condições, o número de lotes, depois de feita a divisão, é: a. 15 b. 17 c. 19 d. 21
No conjunto dos números naturais, considere um número n, que, quando dividido por 3, deixa resto 2, quando dividido por 4 deixa resto 3 e quando dividido por 5 deixa resto 4. Conclui-se que o menor valor de n pertence ao intervalo: a. 30 < n < 50 b. 80 < n < 110 c. 50 < n < 80 d. 130 < n < 180 e. 110 < n < 140
170. Mackenzie-SP Os números compreendidos entre 400 e 1.500, divisíveis ao mesmo tempo por 18 e 75, têm soma: a. 1.600 b. 2.350 c. 1.350 d. 2.700 e. 1.800
175. Fuvest-SP
171. Unicamp-SP
Sejam a, b e c números primos distintos, em que a > b.
Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de mesma medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de lados 2 m e 5 m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. Quais são os possíveis valores do lado das lajotas? 176. UFMG
Uma sala retangular medindo 3 m por 4,25 m deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados iguais. Supondo que não haja espaço entre ladrilhos vizinhos, pergunta-se: a. qual deve ser a dimensão máxima, em centímetros, de cada um desses ladrilhos para que a sala possa ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho? b. quantos desses mesmos ladrilhos são necessários?
O máximo divisor comum e o mínimo multiplo comum de m = a2 · b · c2 e n = a · b2 são, respectivamente, 21 e 1.764. Pode-se afirmar que a + b + c é: a. 9 b. 10 c. 12 d. 42 e. 62
172. Cesgranrio-RJ PV-13-14
Matemática
177.
Se o mínimo múltiplo comum entre os inteiros (2m · 15) e (4 · 3n) é 360, então: a. m = n. b. m + n é ímpar. c. m · n é múltiplo de 4. d. m · n é múltiplo de 15. e. m = 2n.
A altura, em centímetros, do nível da água armazenada em um reservatório com a forma de um prisma reto de base retangular é igual a x, conforme mostra a figura.
173. Unicamp-SP Dividindo-se 7.040 por n, obtém-se resto 20. Dividindo-se 12.384 por n, obtém-se resto 9. Ache n.
h
81
x
Matemática básica
Matemática
179. Fuvest-SP
Usando todo esse volume de água armazenado, pode-se encher completamente uma quantidade exata de recipientes com capacidade de 20 litros cada, ou uma quantidade exata de recipientes com capacidade de 50 lih tros cada. Se x = , onde h é a altura do reser3 vatório, então a menor capacidade, em litros, desse reservatório cheio é: a. 200 b. 300 c. 400 d. 500 e. 600
O produto de dois números naturais a e b é 600. a. Quais são os possíveis divisores naturais primos de a? b. Quais são os possíveis valores do máximo divisor comum de a e b? 180. Murilo possui uma empresa e resolveu investir mais em propaganda. Para isso, procurou uma emissora de televisão que lhe ofereceu o seguinte pacote: 180 segundos diários durante a primeira semana; 216 segundos diários durante a segunda semana e 144 segundos diários na terceira semana. Por motivo de economia, Murilo gravou um único comercial. Assim: a. qual o máximo tempo do comercial para que ele seja exibido sem cortes nas três semanas? b. quantas vezes ele passará durante esse período?
178. PUC-RJ A editora do livro Como ser aprovado no vestibular recebeu os seguintes pedidos de três livrarias: Livraria
Número de exemplares
A
1.300
B
1.950
C
3.900
PV-13-14
A editora deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais, de tal forma que n seja o menor possível. Calcule o número n.
82
Matemática básica
Matemática
Capítulo 06 181.
n
Resolver em as equações: a. 2 · (2 · (x – 8) – 10) = 100 b. 2x + x + x = 1 3 2 182. Resolver em a equação x − x + 1 = 1. 2 3 183.
2
PV-13-14
185.
2
3
2
2
3
3
4
Nos dados convencionais, a soma dos pontos de duas faces opostas quaisquer é sempre igual a um mesmo valor. Para que os dados descritos no enunciado também tenham essa propriedade, n deverá representar o número: a. 1 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3 187. UFF Colocando-se 24 litros de combustível no tanque de uma caminhonete, o ponteiro do mar1 cador, que indicava do tanque, passou a 4 5 indicar . 8 Determine a capacidade total do tanque de combustível da caminhonete. Justifique sua resposta.
Faça o que se pede: a. Equacione o problema proposto pelo professor e escreva a equação equivalente na forma mais simples. b. A equação encontrada é uma equação do 1º grau? c. Qual é o conjunto solução? Resolver em
n 4
Considere que n representa um número inteiro e positivo.
O professor Dzor Ganizado entrou em sua sala de aula sem preparar a aula. Em determinado instante inventou e propôs o seguinte problema: “Florinda tinha em sua carteira x reais. Com a visita de alguns parentes ela ganhou da avó o que tinha mais 10 reais, do avô o que tinha inicialmente mais 20 reais e do tio ganhou duas vezes o que tinha inicialmente mais 30 reais. No final, Florinda ficou com um total de cinco vezes o que tinha inicialmente. Quantos reais tinha Florinda inicialmente?”
184.
3
188. AFA-SP Três amigos, Samuel, Vitória e Júlia, foram a uma lanchonete. • Samuel tomou 1 guaraná, comeu 2 esfirras e pagou 5 reais. • Vitória tomou 2 guaranás, comeu 1 esfirra e pagou 4 reais. • Júlia tomou 2 guaranás, comeu 2 esfirras e pagou k reais.
x x −1 x −2 − = 1. a equação − 2 3 4
Pérola é uma leitora dedicada, porém sistemática. Ela tem uma mania, lê exatamente números de páginas inteiras e 5 páginas a mais do que leu no dia anterior. O último livro que leu tinha 100 páginas e foi lido em exatos 5 dias seguidos. Quantas páginas Pérola leu no quinto dia?
Considerando-se que cada um dos três pagou o valor exato do que consumiu, é correto afirmar que: a. o guaraná custou o dobro da esfirra. b. os três amigos, juntos, consumiram 16 reais. c. cada esfirra custou 2 reais. d. Júlia pagou 8 reais pelo que consumiu.
186. Insper-SP Dois dados idênticos, cujas planificações são dadas na figura a seguir, possuem em suas faces pontuações diferentes das convencionais. Todas as faces dos dois dados, no entanto, têm iguais probabilidades de ficarem voltadas para cima quando eles são lançados. 83
Matemática básica
189. FGV-SP modificado
192. FGV-SP
Por volta de 1650 a.C., o escriba Ahmes resolvia equações como x + 0,5x = 30, por meio de uma regra de três, que chamava de “regra do falso”. Atribuía um valor falso à variável, por exemplo, x = 10 , 10 + 0,5 .10 = 15 e montava a regra de três:
Marta quer comprar um tecido para forrar uma superfície de 10 m2. Quantos metros, aproximadamente, ela deve comprar de uma peça que tem 1,5 m de largura e que, ao lavar, encolhe cerca de 4% na largura e 8% no comprimento?
Valor falso 10
Valor verdadeiro x
15
30
Aproxime a resposta para o número inteiro mais próximo.
10 x = → x = 20 15 30
1,5 m
Resolva este problema do Papiro Ahmes pelo método acima:
?
“Uma quantidade, sua metade, seus dois terços, todos juntos somam 26. Qual é a quantidade?
193. FGV-SP A figura incluída nesta questão representa quatro balanças.
190. Fuvest-SP Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a: a. 13 b. 14 c. 15 d. 16 e. 17
As duas primeiras balanças estão em equilíbrio. Temos pesos de 1, 2, 5, 10 e 20 gramas. Nos pratos da esquerda, os pesos têm a forma de cubos e cones, em que cada cubo pesa x gramas e cada cone, y gramas. 1a
2a 20 g
33aa
191. FGV-SP
4a4a ??
Em uma escola, a razão entre o número de alunos e o de professores é de 50 para 1. Se houvesse mais 400 alunos e mais 16 professores, a razão entre o número de alunos e o de professores seria de 40 para 1. Podemos concluir que o número de alunos da escola é: a. 1.000 b. 1.050 c. 1.100 d. 1.150 e. 1.200
20 g 20 g
??
a. Qual é o menor número de pesos que devemos colocar no prato da direita da 3ª balança para que ela fique em equilíbrio? b. Queremos colocar no prato da direita da 4ª balança somente pesos de 2 g e 5 g. Quantos pesos devemos colocar, de modo que ela fique em equilíbrio? Descreva todos os modos possíveis.
84
PV-13-14
Matemática
Matemática básica
194. FGV-SP
Releia o texto com atenção e responda à questão:
Segundo antiga lenda chinesa, um gênio, que vivia em um estreito desfiladeiro, avisou aos camponeses da região que quem passasse pela sua morada teria de pagar 16 moedas. Entretanto, para não desagradá-los, na volta, como prova de amizade, dobraria a quantia que tinham na bolsa. Um astuto camponês juntou todas as suas economias e, em um só dia, atravessou o desfiladeiro e voltou quatro vezes. Para sua surpresa, descobriu, no fim do dia, que a sua bolsa estava completamente vazia.
Quantos ovos carregava cada uma? 197. ESPM-SP Numa família de 4 pessoas, a mãe pesa o triplo da filha, o pai pesa 12 kg a mais que a mãe e o filho pesa a metade do pai. Se o peso médio dos elementos dessa família é 51,25 kg, pode-se afirmar que o filho pesa: a. 32 kg a menos que a mãe. b. 36 kg a menos que o pai. c. o dobro da filha. d. 17 kg a mais que a filha. e. a metade da mãe.
Quantas moedas tinha ele inicialmente? 195. Vunesp
198. FGV-SP Um feirante vende maçãs, peras e pêssegos cobrando certo preço por unidade para cada tipo de fruta. Duas maçãs, três peras e quatro pêssegos custam R$ 13,00; três maçãs, uma pera e cinco pêssegos custam R$ 11,50.
Uma estrada foi percorrida por um ciclista em dois dias. No primeiro dia percorreu 0,35 da estrada pela manhã,
1 5
à tarde e
15 100
à noite.
A parte da estrada que deixou para percorrer no dia seguinte foi de: a. 0,7 b. 0,3 c. 0,35
PV-13-14
Matemática
d.
2 10
e.
75 100
Se o preço de cada pera for R$ 2,00, podemos afirmar que o preço de seis maçãs, seis peras e seis pêssegos é: a. R$ 27,00 b. R$ 26,50 c. R$ 26,00 d. R$ 25,50 e. R$ 25,00
196. FGV-SP
199. UFMG
No seu livro Introdução à Àlgebra, Leonhard Euler propõe um curioso e interessante problema aos leitores: Duas camponesas juntas carregam 100 ovos para vender em uma feira e cada uma vai cobrar seu preço por ovo. Embora uma tivesse levado mais ovos que a outra, as duas receberam a mesma quantia em dinheiro. Uma delas disse, então: — Se eu tivesse trazido o mesmo número de ovos que você trouxe, teria recebido 15 kreuzers (antiga moeda austríaca). Ao que a segunda respondeu: — Se eu tivesse trazido a quantidade de ovos 20 que você trouxe, teria recebido kreuzers. 3
De um recipiente cheio de água tiram-se de 3 seu conteúdo. Recolocando-se 30d de água, o conteúdo passa a ocupar a metade do volume inicial. A capacidade do recipiente é:
2
a. 45d b. 75d c. 120d d. 150d e. 180d
85
Matemática básica
200. PUC-SP
204. ESPM-SP
Vítor e Valentina possuem uma caderneta de poupança conjunta. Sabendo que cada um deles dispõe de certa quantia para, numa mesma data, aplicar nessa caderneta, considere as seguintes afirmações: • se apenas Vítor depositar nessa caderneta a quarta parte da quantia de que dispõe, o seu saldo duplicará; • se apenas Valentina depositar nessa caderneta a metade da quantia que tem, o seu saldo triplicará; • se ambos depositarem ao mesmo tempo as respectivas frações das quantias que têm, mencionadas nos itens anteriores, o saldo será acrescido de R$ 4.947,00.
Por causa de limitações do mercado, o preço unitário de uma certa mercadoria pode variar de 15 a 30 reais. Quando se cobram x reais por unidade, são vendidas 86 – 2x unidades por dia. Dessa forma, podemos concluir que receita diária é obtida multiplicando-se o preço unitário pela quantidade de unidades vendidas, isto é, R = x · (86 – 2x), em que R representa a receita diária. Existem dois possíveis valores de x, que não estão compreendidos entre 15 a 30 reais, para os quais a receita diária fica nula. Qual é a média aritmética destes valores? a. R$ 18,50 b. R$ 21,50 c. R$ 16,00 d. R$ 20,00 e. R$ 23,50
Nessas condições, se nessa data não foi feito qualquer saque de tal conta, é correto afirmar que: a. Valentina tem R$ 6.590,00. b. Vítor tem R$ 5.498,00. c. Vítor tem R$ 260,00 a mais que Valentina. d. o saldo inicial da caderneta era R$ 1.649,00. e. o saldo inicial da caderneta era R$ 1.554,00.
205. Cesgranrio-RJ Sobre a equação 1.983x2 - 1.984x - 1.985 = 0, a afirmação correta é: a. não tem raízes reais. b. tem duas reais e distintas. c. tem duas raízes simétricas. d. tem duas raízes positivas. e. tem duas raízes negativas.
201. Resolver em as equações: a. x2 – 400 = 0 b. x2 – 7 · x = 0 x2 c. − 40x + 1.000 = 0 2 202.
206. FGV-SP O produto de 3 números positivos e consecutivos é igual a 8 vezes a sua soma. A soma dos quadrados desses 3 números é igual a: a. 77 b. 110 c. 149 d. 194 e. 245
Resolver em as equações: a. x2 – 7 = 0 b. x2 + 4 = 0 c. 5x2 – 6 · x = 0 x d. x2 – = 0 5 203.
207. Fuvest-SP No segmento AC , toma-se um ponto B de forma que AB = 2 BC . AC AB BC Então, o valor de é: AB 1 a. 2
Resolver em as equações: a. x2 – x – 1 = 0 b. x2 – 5 · x – 8 = 0
86
PV-13-14
Matemática
Matemática básica
210. ESPM-SP modificado
b. 3 - 1 2
No estudo da geometria plana, estuda-se a seguinte propriedade: “Em qualquer polígono convexo o número d de diagonais e o número n de lados se relacionam pela fórmula (n − 3)·n ”. Por exemplo, um quadrilátero d= 2 convexo tem 4 lados, isto é, n = 4 e o número ( 4 − 3) · 4 = 2 diade diagonais dada por d = 2 gonais.
c. 5 - 1 d. 5 - 1 2 5 -1 e. 3 208. UFPE O proprietário de uma loja comprou certo número de artigos, todos custando o mesmo valor, por R$ 1.200,00. Cinco dos artigos estavam danificados e não puderam ser comercializados; os demais foram vendidos com lucro de R$ 10,00 por unidade. Se o lucro total do proprietário com a compra e a venda dos artigos foi de R$ 450,00, quantos foram os artigos comprados inicialmente?
Resolva o problema a seguir com base nas informações acima: “Se o número de lados de um polígono convexo fosse acrescido de 3 unidades, seu número de diagonais triplicaria. Qual é o número de lados do polígono? 211. UFSC As equações x2 + px = 0 e 4x – 1 = 0 têm uma raiz em comum. Determine o valor de p.
209. ENEM Vinte anos depois da formatura, cinco colegas de turma decidem organizar uma confraternização. Para marcar o dia e o local da confraternização, precisam comunicar-se por telefone. Cada um conhece o telefone de alguns colegas e desconhece o de outros. No quadro a seguir, o número 1 indica que o colega da linha correspondente conhece o telefone do colega da coluna correspondente; o número 0 indica que o colega da linha não conhece o telefone do colega da coluna. Exemplo: Beto sabe o telefone do Dino que não conhece o telefone do Aldo. Aldo Beto PV-13-14
Matemática
Carlos
Dino
Ênio
Aldo
1
1
0
1
0
Beto
0
1
0
1
0
Carlos
1
0
1
1
0
Dino
0
0
0
1
1
Ênio
1
1
1
1
1
212. Unicamp-SP Quarenta pessoas em excursão pernoitam em um hotel. Somados, os homens despendem R$ 2.400,00. O grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora cada uma tenha pago R$ 64,00 a menos que cada homem. Denotando por x o número de homens do grupo, uma expressão que modela esse problema e permite encontrar tal valor é: a. 2.400x = (2.400 − 64x)(40 − x) b. 2.400x = (2.400 + 64x)(40 − x) c. 2.400(40 − x) = (2.400 – 64x)x d. 2.400(40 − x) = (2.400 + 64x)x 213. UFPR Durante o mês de dezembro, uma loja de cosméticos obteve um total de R$ 900,00 pelas vendas de um certo perfume. Com a chegada do mês de janeiro, a loja decidiu dar um desconto para estimular as vendas, baixando o preço desse perfume em R$ 10,00. Com isso, vendeu em janeiro 5 perfumes a mais do que em dezembro, obtendo um total de R$ 1.000,00 pelas vendas de janeiro. O preço pelo qual esse perfume foi vendido em dezembro era de: a. R$ 55,00
O número mínimo de telefonemas que o Aldo deve fazer para se comunicar com Carlos é: a. 1 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3 87
Matemática básica
Matemática b. R$ 60,00 c. R$ 65,00 d. R$ 70,00 e. R$ 75,00
218. Insper-SP Numa empresa de auditoria, há duas máquinas trituradoras de papel, cuja função é fragmentar os documentos descartados todas as semanas nos escritórios da empresa.
214.
O volume de papel descartado semanalmente é sempre o mesmo e as duas máquinas levam juntas, trabalhando sem interrupções, 20 horas para fragmentar todos os documentos. Cada uma das máquinas precisou ficar parada para manutenção durante uma semana, na qual todo o papel foi triturado apenas pela outra. Percebeu-se que as máquinas não têm rendimento igual e que a mais rápida levou 9 horas a menos que a mais lenta para fazer a fragmentação.
Considere um retângulo de largura (x – 2) cm, comprimento (x + 2) cm e área 103 cm2. Em relação ao número que fornece o perímetro pode-se afirmar que: a. é primo. b. é quadrado perfeito. c. é múltiplo de 5. d. pode ser ímpar. e. é irracional.
O tempo que a mais lenta levou para triturar todo o papel sozinha é igual a: a. 41 horas. b. 43 horas. c. 45 horas. d. 47 horas. e. 49 horas.
215. Fuvest-SP , então:
219. UFAC
216. FGV-SP modificado
A condição sobre p, de modo que a equação px2 + x + 1 = 0 tenha duas raízes reais e distintas, é:
O transporte aéreo de pessoas entre duas cidades, A e B, é feito por uma única companhia em um único voo diário.
1 4 1 b. p > 4 1 c. p < e p ≠ 0 4 1 d. p = 4
a. p <
O avião utilizado tem 180 lugares, e o preço da passagem p relaciona-se com o número x de passageiros por dia pela relação p = 300 – 0,75x. Quantos passageiros esse avião transportou em um dia que a receita da companhia foi de R$ 22.500,00? 217. ESPM-SP modificado
e. p = 0
Um triângulo retângulo se diz pitagórico se as medidas dos seus lados são expressas por números inteiros, numa certa unidade. Se um dos catetos de um triângulo pitagórico mede 50 cm menos que a hipotenusa e o outro cateto mede 1 cm a menos, também em relação à hipotenusa, seu perímetro será igual a: a. 192 cm b. 132 cm c. 151 cm d. 125 cm e. 137 cm
220. Fuvest-SP O conjunto verdade da equação: x+2 2 1 + =− 2 x−2 2
a. {– 2} b. {– 2; – 1} c. {2; – 1} d. ∅ e. {– 2; 1}
88
é:
PV-13-14
Dada a equação a. V = ∅ b. V = {–1, 0, 1} c. V = {–1, 1} d. V = {–1, 0} e. V = {0}
Matemática básica
221.
226. A soma das raízes da equação (k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições, temos: a. k = 1/2 b. k = 3/2 c. k = 1/3 d. k = 2/3 e. k = -2
Na equação do 2º grau 2x – 5x + 1 = 0, as letras p e q representam suas raízes. Calcule: a. p + q b. p · q c. 1 + 1 2
p
q
d. p2 + q2 222. Na equação do 2º grau 2 · x2 – x – 1 = 0 as letras r e s representam suas raízes. Calcule: a. r + s b. r · s c. 1 + 1 r s d. r2 + s2
227. UFSCar-SP Considere a equação x2 + kx + 36 = 0, em que x’ e x” representam suas raízes. Para que exista a 1 1 1 relação + , o valor de k na equação = x ' x " 12 deverá ser: a. – 15 b. – 10 c. + 12 d. + 15 e. + 36
223. Se x1 e x2 são as raízes da equação 3x2 - 2x - 8 = 0, sendo x1 < x2, então é igual a: a. 2 3
c. 16 3
8 3
d. 20 3
b.
3 x 22
- 2x1 - 8
228. UEPI Sejam x1 e x2 as raízes da equação 4x2 – 20x + 24 = 0. O valor de
224. FESP-PE
PV-13-14
Matemática
A equação do 2o grau ax2 + x – 6 = 0 tem uma raiz cujo valor é 2. A outra raiz é: a. – 3 b. – 2 c. – 1 d. 1 e. 3
5 ⋅ (x1 + x2 )2 é: 10x1 x2
25 24
a. 12 25
d.
b. 20 25
e. 30 25
c. 25 12 229. FGV-SP modificado Sejam A e B as raízes da equação x2 – nx + 2 = 0. 1 1 Se A + e B + são raízes da equação B A x2 – p · x + q = 0, então q é igual a: a. 4,5 b. 4 c. 3,5 d. 2,5 e. 2
225. UECE Se s e p são, respectivamente, a soma e o prox x−2 duto das raízes da equação + − 1 = 0, 1− x x então: a. s = p b. s · p é negativo c. s > p d. s < p
89
Matemática básica
230. Unifor-CE
Resolver em a equação: x 2 − ( 47 + 7 ) · x + 329 = 0
Seja a equação x + 4x + k = 0, em que k é uma constante real. Se uma das raízes dessa equação é igual à terça parte da outra, então o número k é tal que: a. k ≤ – 4 b. – 4 < k ≤ 0 c. 0 < k ≤ 2 d. 2 < k ≤ 4 e. k > 4 2
235. a. Escreva uma equação do 2º grau na forma ax2 + bx + c = 0, sabendo que 2 e 5 são suas raízes. b. Escreva a equação do item anterior na forma fatorada. 236. Escrever uma equação do 2º grau que tenha como raízes os números 5 e 6.
231. Unicentro-PR Dois colegas foram resolver uma equação do 2º grau, com o coeficiente do termo do 2º igual a 1. Um copiou errado o coeficiente do termo do 1º grau e encontrou as raízes 2 e 3. O outro copiou errado o termo independente e obteve as raízes 3 e 4. Se x1 e x2, com x1 < x2, forem as raízes da equação original, então 2x1 – x2 será igual a: a. – 6 b. – 4 c. – 2 d. 2 e. 4
237. Escreva o trinômio do 2º grau x2 – 5 · x + 4 na forma fatorada a · (x – x1) · (x – x2). 238. AFA-SP modificado Os números 3 e 1 são raízes da equação do 2º grau a · x2 + b · x + c = 0 (a ≠ 0) e 2 é raiz da equação a · x2 + b · x + c = 2. Determine o valor de a2 + b2 + c2. 239. Uma equação do 2º grau a · x2 + b · x + c = 0 (a ≠ 0), definida em , apresenta uma curiosidade em relação trinômio ax2 + bx + c: para qualquer valor de x em tem-se:
232.
a · x2 + b · x + c = a · (1 – x)2 + b · (1 – x) + c.
Dada a equação 2x2 - 5x - 7 = 0 com raízes x1 e x2, obtenha: a. x1 + x2 b. x1 · x2 c. x12 + x 22
Assim, o oposto da média aritmética das raízes da equação do 2º grau é igual a: a. – 0,25 b. – 0,5 c. 1 d. –2 e. 4
233. Se as raízes x1 e x2 da equação x2 – 3ax + a2 = 0 satisfazem a condição x12 + x22 = 1,75, podemos concluir que o valor de a é: 1 a. 2 b. – 1 2
240. Unifor-CE Sejam a e b as raízes reais da equação 2x2 – 3x – 2 = 0. Uma equação do 2º grau cujas raízes são (a + 1) e (b + 1) pode ser: a. 2x2 – 7x + 3 = 0 b. 2x2 + 7x + 3 = 0 c. 2x2 – 5x + 3 = 0 d. x2 + 5x = 0 e. x2 – 5x = 0
c. ± 1 2 d. 1 e. 0 234. 90
PV-13-14
Matemática
Matemática básica
241.
251. PUC-SP A solução da equação x − 2x + 2 = 3 é: a. 1 d. 3 b. –1 e. 7 c. 2
Resolva, em , a equação: x – 3x – 4 = 0 4
2
242. Resolva, em , a equação: x4 – 20x2 – 21 = 0 243.
252. UFV-MG
Resolva em : x6 – 4x3 + 3 = 0
Com relação à equação , é correto afirmar que: a. seu conjunto solução é vazio. b. seu conjunto solução é formado por dois números inteiros negativos. c. seu conjunto solução é unitário. d. seu conjunto solução é formado por dois números inteiros positivos. e. seu conjunto solução é formado por dois números simétricos.
244.
x2 − 2 x Resolva, em , a equação: = 2 x x −2 245. 4 2 2 Resolva em : x + 2x + 1 + x + 1 = 2
x2 − 4x + 4
x−2
246. Resolva, em , a equação: x − 2 + 3 x − 2 = 10 247. Mackenzie-SP Sejam x e y dois números reais e positivos, de tal forma que ocorra a igualdade x2 + 2xy + y2 + x + y – 6 = 0.
253. UEL-PR O conjunto solução da equação x - 1 = x + 11, em , está contido no intervalo: a. ]– ∞; 0] b. [–3; 2] c. [–2; 5[ d. ]3; 6] e. [6; + ∞[
Assim, a soma x + y vale: a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
254.
248. FEI-SP
PV-13-14
Matemática
Resolva, em , a equação:
A soma das raízes reais da equação x6 – 19x3 – 216 = 0 é: a. 1 b. 2 c. 0 d. – 1 e. – 2
x +2 − x −3 =1
255. Subtraindo-se 3 de um certo número, obtém-se o dobro da sua raiz quadrada. Qual é esse número? a. 2 d. 9 b. 3 e. 11 c. 7
249.
256. PUC-SP
Resolva, em , a equação:
O conjunto verdade da equação irracional x − 1 + 2x − 2 = 2 é: a. V = {3} b. V = {3; 9} c. V = {9} d. V = ∅ e. V = {0}
250. Resolva, em , a equação:
91
Matemática básica
Matemática 257. PUC-SP
259. FAAP-SP
As raízes de x − x − 1 = x − 1 estão no intervalo: a. [–2; –1] b. [–1; 0] c. [0; 3] d. [3; 7] e. [7; + ∞] 3
2
Resolver a equação 260. Urca-RS Com relação à equação: x + 11 − 2x + 5 = −3 x − 2
podemos afirmar que ela: a. admite uma única solução real positiva. b. admite uma única solução real negativa. c. não admite solução real. d. admite duas soluções reais negativas. e. admite duas soluções reais positivas.
258. UECE A soma das raízes da equação x 2 − 2 3 x − 15 = 0 é: a. 98 b. 97 c. 96 d. 95
PV-13-14
3
.
92
Matemática básica
Matemática
Capítulo 07 d. ∅ ∈ {∅} e. {∅} ⊂ ∅ f. ∅ ⊃ ∅ g. {∅} ∈ {{∅}, ∅}
261. Escreva como se lê cada sentença abaixo. a. e ∈ C b. d ∉ C c. A ⊂ B d. A ⊄ B e. D ⊃ C
267. Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto A = {– 3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}: I. ∅ ⊂ A e n(A) = 11 II. ∅ ∈ A e n(A) = 11 III. 0 ∈ A e {0} ⊂ A IV. 0 ⊂ A e {0} ∈ A
262. Utilize os símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊄ e ⊃ e complete as lacunas de modo a tornar as sentenças verdadeiras. a. a ______ {a, e, i, o, u} b. b ______ {a, e, i, o, u} c. {a} _____ {a, e, i, o, u} d. {a, b, e, i, o} ______ {a, e, i, o, u} e. {a, b, e, c, i, o, u} ______ {a, e, i, o, u}
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira (s): a. apenas I e III. b. apenas II e IV. c. apenas II e III. d. apenas IV. e. todas as afirmações.
PV-13-14
263. Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações. a. ∅ ∈ A,∀ A b. ∅ ⊂ A,∀ A c. 0 ∈ ∅ d. ∅ ∈ {0} e. ∅ ⊂ {0} f. A ⊂ A,∀ A g. A ⊂ ∅,∀ A. h. {5} ⊂ {∅, {1}, {5}, {1, 5}} i. {x} ∈ {x, {x, y}}
268. Escreva em forma de listagem (ou enumeração) cada um dos conjuntos abaixo. a. {x ∈ ¢ | –2 < x ≤ 5} b. {x ∈ | –2 < x ≤ 5} c. {x ∈ | 5 · x = 3} 269.
264.
Escreva uma propriedade que define cada um dos conjuntos enumerados abaixo. a. {..., –3, –1, 1, 3, 5, 7, ...} b. {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...} c. {–8, 8}
Quantos elementos possui o conjunto
270.
A = {x ∈¢ | x é primo e x é par}?
Determinar os possíveis valores de x e y para que as igualdades abaixo sejam verdadeiras. a. {–1, 0, 1} = {–1, 1, x} b. {–1, 0, 1} = {–1, 0, 1, y}
265. Quanto elementos possui o conjunto B = {x ∈
| x2 + 1 = 0}?
271.
266.
Obtenha x e y, de modo que: {0, 1, 2} = {0, 1, x} e {2, 3} = {2, 3, y}.
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso): a. ∅ ⊂ ∅ b. ∅ ∈ ∅ c. {∅} ∈ ∅ 93
Matemática básica
272.
279. Uespi
Se x e y são números tais que:
Seja o conjunto A abaixo:
{–1, 0, 3, 7} = {–1, 0, x, y} , então podemos afirmar que: a. x = 3 e y = 7 b. x < y c. x > y d. x ≠ 3 e. x + y = 10
A = {0, {0}, 1, {1}, {0,1}}
273.
280. UFF-RJ
É correto afirmar que: a. 0 ∉ A b. {0, 1} ∈ A c. {0, 1} ⊄ A d. os elementos de A são 0 e 1. e. o número de subconjuntos de A é 22 = 4.
Determine todos os subconjuntos de A = {0, 1}.
Dado o conjunto P = { {0}, 0, ∅, {∅} }, considere as afirmativas: I. {0} ∈ P II. {0} ⊂ P III. ∅ ∈ P
274. Determine todos os subconjuntos de A = {a, e, i}. 275.
Com relação a estas afirmativas, conclui-se que: a. todas são verdadeiras. b. apenas a I é verdadeira. c. apenas a II é verdadeira. d. apenas a III é verdadeira. e. todas são falsas.
Quantos subconjuntos tem um conjunto com 10 elementos? 276. Um conjunto A com n elementos é tal que o número de elementos de P(A) = 4.096. Determine o valor de n. 277. FCMSC-SP
281. Unifesp
Um conjunto A possui n elementos e um conjunto B possui um elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de A e B, respectivamente, tem-se que: a. y é o dobro de x. b. y é o triplo de x. c. y =
O quadro mostra o resultado de uma pesquisa realizada com 200 moradores de competição da cidade de São Paulo, visando apontar o percentual desses nadadores que já tiveram lesões (dores) em certas articulações do corpo, decorrentes da prática de natação, nos últimos três anos.
x + 1. 2
Articulação
Percentual de nadadores
ombro
80%
278.
coluna
50%
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) cada sentença abaixo. a. ∅ é um conjunto unitário. b. {∅ } é um conjunto unitário. c. {–1, 1} = {1, –1} d. {0, 1} = {0, 0, 0, 1, 1, 1, 1} e. A ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A.
joelho
25%
pescoço
20%
d. y = x + 1. e. y pode ser igual a x.
Com base no quadro, determine quantos nadadores do grupo pesquisado tiveram lesões (dores) no joelho ou no pescoço, considerando que 5% dos nadadores tiveram lesões nas duas articulações, joelho e pescoço.
94
PV-13-14
Matemática
Matemática básica
282. Vunesp
02. n(B) = 23 03. n(A ∪ B) = 35 04. n(A ∪ B) – n(A ∩ B) = 27 05. n(A) – n(B) = n(A – B)
Se A = {1, 2, x}, B = {2, 3}, C = {3, 4} e (A – B) ∩ C = ∅, então C – A será igual ao conjunto: a. {x} b. {3}
287. UFT-TO
c. {4} d. C e. {4} ou {3, 4}, dependendo do valor de x.
Foi aplicado um teste contendo três questões para um grupo de 80 alunos. O gráfico abaixo representa a porcentagem de acerto dos alunos por questão.
283. PUC-RS
Acertos
Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, d} e C = {a, b, d}, o conjunto X tal que A ∪ C = B ∪ X e B ∩ X = ∅ é: a. {a} b. {b} c. {c} d. {a, b} e. {b, c}
70%
60% 40%
1ª
2ª
3ª
Questões
Suponha que 52 alunos acertaram pelo menos duas questões e 8 alunos não acertaram nenhuma. O número de alunos que acertaram as três questões é: a. 44 b. 40 c. 12 d. 20 e. 30
284. UFPE Dados os conjuntos A e B, a operação de diferença simétrica (⊕) é definida por A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B). Se A = {1, {1}, ∅, a} e B = {1, 2, {∅}, a, b}, então o conjunto A ⊕ B é igual a: a. {1, {1}, ∅, {∅}, 2, a, b} b. {1, a} c. {{1}, {∅}, 2, b} d. {{1}, ∅, {∅}, 2, b} e. ∅
288. FGV-SP modificado Em um grupo de 300 pessoas sabe-se que: • 50% aplicam dinheiro em caderneta de poupança. • 30% aplicam dinheiro em fundos de investimento. • 15% aplicam dinheiro em caderneta de poupança e fundos de investimento simultaneamente.
285. UFRGS-RS O conjunto A é subconjunto de PV-13-14
Matemática
B e A ≠ B, A ∪ (B – A) é: a. B b. A c. ∅ d. A – B e. A ∩ B
O número de pessoas que não aplicam em caderneta de poupança nem em fundos de investimento é: a. 105 b. 45 c. 90 d. 150 e. 100
286. UEPG-PR Indica-se por n(X) o número de elementos do conjunto X. Se A e B são conjuntos tais que n(A) = 20, n(B – A) = 15 e n(A ∩ B) = 8, assinale o que for correto. 01. n(A – B) = 12 95
Matemática básica
289. Unifoa
b. alunos reprovados. c. todos os alunos e alunas aprovados. d. alunas aprovadas. e. alunas reprovadas.
Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais (A e B) e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram consultadas? a. 260. d. 340 b. 280. e. 380 c. 320.
293. Unifoa-RJ Os exames Holter-24 horas e ecocardiograma foram realizados em pacientes com a finalidade de diagnosticar uma possível arritmia cardíaca. Em 1.000 pacientes analisados, de acordo com a origem das arritmias, foram constatados: 150 pacientes apresentaram arritmias atriais, 380 apresentaram arritmias juncionais, 270 apresentaram arritmias ventriculares, 58 apresentaram arritmias atriais e juncionais, 29 apresentaram arritmias e ventriculares, 36 apresentaram arritmias juncionais e ventriculares, 12 apresentaram as três origens de arritmias. Determine a quantidade de pacientes que não apresentaram nenhuma arritmia. a. 311 b. 289 c. 368 d. 256 e. 196
290. UFF-modificado Seiscentos estudantes de uma escola foram entrevistados sobre suas preferências quanto aos esportes vôlei e futebol. O resultado foi o seguinte: 204 estudantes gostam somente de futebol, 252 gostam somente de vôlei e 48 disseram que não gostam de nenhum dos dois esportes. Determine o número de estudantes entrevistados que gostam dos dois esportes. 291. ITA-SP Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: I. ∅ ∈U e n(U) = 10 II. ∅ ⊂ U e n(U) = 10 III. 5 ∈ U e {5} ⊂ U IV. {0, 1, 2, 5} ∩ {5} = 5
294. PUC-RS Em enquete realizada numa turma de 60 alunos da PUC-RS, tomou-se conhecimento dos seguintes dados, que relacionam o número de alunos ao(s) esporte(s) que praticam no Centro Esportivo:
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s): a. apenas I e III. b. apenas II e IV. c. apenas II e III. d. apenas IV. e. todas as afirmações.
Nº de alunos
Esporte praticado
40
futebol
30
natação
292. EFOMM
15
tênis
Considere-se o conjunto universo U, formado por uma turma de cálculo da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM) e composta por alunos e alunas. São dados os subconjuntos de U:
20
futebol e natação
10
futebol e tênis
A: conjunto formado pelos alunos; e
8
natação e tênis
5
futebol, natação e tênis
O número de alunos que não praticam esporte, nesse grupo, é: a. 0 d. 13 b. 5 e. 25 c. 8
B: conjunto formado por todos os alunos e alunas aprovados. Pode-se concluir que CBU – (A – B) é a quantidade de a. alunos aprovados. 96
PV-13-14
Matemática
Matemática básica
295. IME
296. Unifoa-RJ
Em relação à teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos A, B e C: I. Se A ∈ B e B ⊆ C então A ∈ C. II. Se A ⊆ B e B ∈ C então A ∈ C. III. Se A ⊆ B e B ∈ C então A ⊆ C.
Dos diagramas de Venn abaixo, qual melhor representa o conjunto que contém o resultado da busca? a. F
Está(ão) correta(s): a. nenhuma das alternativas. b. somente a alternativa I. c. somente as alternativas I e II. d. somente as alternativas II e III. e. todas as alternativas.
V
B
b. F
Leia o texto atentamente e responda a questões 296 e 297.
V
B
c.
Ao utilizar sites de buscas na Internet, o usuário terá possibilidades de efetuar combinações de palavras que deverão ser pesquisadas. Por exemplo, no site de busca Google, o usuário poderá efetuar as seguintes combinações de busca: • Se o usuário digitar palavras separadas com um espaço entre elas, a busca será feita por uma palavra e a outra palavra. • Se o usuário digitar palavras entre aspas, a busca será feita pela expressão (frases exatas). • Se o usuário digitar um sinal de –(menos) na frente de uma palavra, a busca será feita excluindo-se os sites que contenham tal palavra. PV-13-14
Matemática
F
V
B
d. F
V
B
e. F
Com base nessas regras, um usuário realizou a seguinte pesquisa: universidade "unifoa volta redonda" – facebook. Considere o conjunto V que é formado por todos os sites que contêm a palavra universidade, F que é formado por todos os sites que contêm a expressão “unifoa volta redonda” e B que é formado por todos os sites que contêm a palavra facebook.
V
B
297. Unifoa-RJ O conjunto que representa o resultado da busca pode ser representado matematicamente, utilizando noções de teorias de conjuntos por: a. F ∪ (V ∩ B) b. (F ∪ V) – B c. (F ∩ V) ∪ B d. F ∪ V – (B ∩ F ∩ V) e. (F ∩ V) – B 97
Matemática básica
298. Udesc
299. UEL-PR
A tabela 1 apresenta informações a respeito da Carteira Nacional de Habilitação (CBH).
Num dado momento, três canais de TV tinham, em sua programação, novelas em seus horários nobres: a novela A no canal A, a novela B no canal B e a novela C no canal C. Numa pesquisa com 3.000 pessoas, perguntou-se quais novelas agradavam. A tabela a seguir indica o número de telespectadores que designaram as novelas como agradáveis.
Tabela 1: Categorias da CNH e suas características Categoria
Características
A
Destinada a condutor de veículo motorizado de 02 (duas) ou 03 (três) rodas, com ou sem carro lateral, que tenha a idade mínima de 18 (dezoito) anos.
B
C
Destinada a condutor de veículo motorizado cujo peso bruto total não ultrapasse a 3.500 kg e cuja locação não exceda a 08 (oito) lugares, excluído o do motorista, e que tenha a idade mínima de 18 (dezoito) anos. Destinada a condutor de veículo motorizado voltado ao transporte de carga, cujo peso bruto total ultrapasse a 3.500 kg, que esteja habilitado no mínimo há um ano na categoria B e não tenha cometido nenhuma infração grave ou gravíssima, ou ser reincidente em infrações médias, durante os últimos doze meses.
Novelas
Número de telespectadores
A
1.450
B
1.150
C
900
AeB
350
AeC
400
BeC
300
A, B e C
100
Quantos telespectadores entrevistados não acham agradável nenhuma das três novelas? a. 300 telespectadores b. 370 telespectadores c. 450 telespectadores d. 470 telespectadores e. 500 telespectadores 300. UFF-RJ
Disponível em: . Acesso em: 22 mar. 2011.
Uma pesquisa foi realizada para avaliar o consumo de três marcas de sucos.
Uma pesquisa de rua foi realizada com 2.000 jovens entre 18 e 25 anos. Os dados desta pesquisa mostraram que somente 20% destes jovens não possuem CNH; 70% possuem CNH da categoria B e metade destes também possui CNH da categoria A; 5% possuem CNH da categoria C; e 2% possuem CNH das categorias A e C.
Descobriu-se que de 100 pessoas entrevistadas, 83 consomem pelo menos uma das três marcas, 57 consomem somente uma delas e 19 consomem somente duas das três marcas citadas. Determine o número de pessoas entrevistadas: a. que não consomem nenhuma das três mascas. b. que consomem as três marcas citadas.
Então, o percentual de jovens entrevistados que possuem CNH da categoria A é igual a: a. 42% b. 45% c. 65% d. 55% e. 37%
301. Unisinos-RS Chama-se conjunto dos números racionais o conjunto: a. {x | x ∈ } a b. |a ∈ , b ∈ e b ≠ 0 b
{
98
}
PV-13-14
Matemática
Matemática básica
c.
{
{
a |a ∈ , b ∈ b
}
}
d. x ∈ | x = a , a ∈
{
c. 8 d. 9 e. 10 306.
}
a e. |a ∈ , b ∈ e b ≠ 0 b 302. Fuvest-SP
Um conjunto é formado por 18 números naturais distintos, dos quais 12 são ímpares e 7 são múltiplos de 3. A quantidade máxima de múltiplos de 6 que esse conjunto pode conter é: a. 7 b. 6 c. 5 d. 4 e. 3
Seja r = 2 + 3 . a. Escreva 6 em função de r. b. Admitindo que 6 seja irracional, prove que r também é irracional. 303. Unisa-SP Assinale a afirmação verdadeira. a. ( 5 + 1) ⋅ ( 5 − 1) é irracional e 0,999... é racional. b. ( 5 + 1) ⋅ ( 5 − 1) é racional e 0,999... é racional. c. ( 5 + 1) ⋅ ( 5 − 1) é racional e 0,999... é irracional. d. ( 5 + 1) ⋅ ( 5 − 1) é irracional e 0,999... é irracional. e. ( 5 + 1) ⋅ ( 5 − 1) e 0,999... não são números reais.
PV-13-14
Matemática
307. EFOMM Se a=
4
3, b =
61 e c = 1,222222..., assinale a 50
opção correta. a. a < c < b b. a < b < c c. c < a < b d. b < a < c e. b < c < a
304. UEPG-PR
308. UFSM-RS
Assinale o que for correto. 01. O número real representado por 0,5222... é um número racional. 02. O quadrado de qualquer número irracional é um número racional. 04. Se m e n são números irracionais, então m · n pode ser racional. 08. O número real 3 pode ser escrito sob a
Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir: ( ) A letra grega p representa o número racional que vale 3,14159265. ( ) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais são subconjuntos dos números reais e possuem apenas um ponto em comum. ( ) Toda dízima periódica provém de uma divisão de dois números inteiros, portanto é um número racional.
a
forma , em que a e b são inteiros e b ≠ 0. b 16. Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.
A sequência correta é: a. F – V – V b. V – V – F c. V – F – V d. F – F – V e. F – V – F
305. Um número natural possui 3 algarismos. Retirando-se o algarismo 0 desse número e mantendo-se a ordem dos outros dois, seu valor se reduz à sexta parte do original. A soma dos algarismos desse número é igual a: a. 6 b. 7
99
Matemática básica
309. PUC-SP
313. UEPB-PR
Sabe-se que o produto de dois números irracionais pode ser um número racional.
O número
π− 3
pertence ao intervalo:
a. 1 , 1 2 b. 1, 3 2 3 c. , 2 2 1 d. 0, 2 1 e. − , 0 2
Um exemplo é: a. 12 ⋅ 3 = 36 b. 4 ⋅ 9 = 6 c. 3 ⋅ 1 = 3 d. 2 ⋅ 2 = 8 e. 2 ⋅ 3 = 6 310. UFMG Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y, obtém-se quociente z e resto 8. x Sabe-se que a representação decimal de é y a dízima periódica 7,363636...
314. PUC-MG Sendo: A = {x ∈ | –2 ≤ x < 3} e B = {x ∈ | –2 < x ≤ 3} a. A ∪ B = A b. A ∪ B ⊂ Z c. A ∩ B = A d. A ∩ B ⊂ Z e. A ∩ B = B
Então, o valor de x + y + z é: a. 190 b. 193 c. 191 d. 192
315. UFS-SE
311. PUC-MG
Considere os conjuntos: A = {x ∈ |1 < x ≤ 3 ou 4 ≤ x ≤ 6}
Considere os seguintes conjuntos de números naturais:
B = {x ∈ |1 ≤ x < 5 e x ≠ 3}
A = {x ∈ | 0 ≤ x ≤ 25} e {B = x ∈ | 16 ≤ x < 25} .
C = {x ∈ | 2 < x ≤ 4}
O número de elementos do conjunto A ∩ B é: a. 9 b. 10 c. 11 d. 12
para analisar as afirmações que seguem. 01. B ⊃ C 02. A ∪ B = [1; 6] 03. A ∩ C = ]2; 3] 04. B – C = {x ∈ | 1 ≤ x ≤ 2 ou 4 < x < 5}
312. Fuvest-SP Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1.
05. Se A é o complementar de A em rela5 ção ao universo , então ∈ A . 3 316. ITA-SP
Qual é a posição do número x · y?
a. À esquerda de 0 b. Entre 0 e x c. Entre x e y d. Entre y e 1 e. À direita de 1
Sobre o número afirmar que: a. x ∈ ]0, 2[. b. x é racional. c. é irracional. 2 d. x é irracional. e. x ∈ ]2, 3[. 100
, é correto
PV-13-14
Matemática
Matemática básica
Matemática
317. UFAL/PSS
319. FCC-SP
No universo , sejam A o conjunto dos números pares, B o conjunto dos números múltiplos de 3 e C o conjunto dos números múltiplos de 5. Determine os 10 menores números que pertencem ao conjunto B – (A ∪ C).
Dados os conjuntos P = [2; 7] e Q = [– 3; 5[, podemos afirmar que: a. P ∪ Q = [– 1; 12[ b. 3 ∈ Q – P c. 5 ∉ P ∪ Q d. [3; 4] ⊂ P ∩ Q e. P – Q = ] – 3; 2]
318. UEL-PR Dados os conjuntos X e Y, a diferença entre X e Y é o conjunto X – Y = {x ∈ X: x ∉Y}. Dados os conjuntos (intervalos) A = [2, 5] e B = [3, 4], temos: a. A – B = {2, 5} e B – A = {–1, –2} b. A – B = B – A c. A – B = ∅ e B – A = [2, 3] ∪ [4, 5] d. A – B = (2, 3] ∪ [4, 5) e B – A = ∅ e. A – B = [2, 3) ∪ (4, 5] e B – A = ∅
320.
PV-13-14
Considere os conjuntos: A = [2, 5], B = ]5, 8] e C = [8, 10]. Determine A ∪ B ∪ C.
101
Matemática
Matemática básica
R:
GABARITO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS Capítulo 01 01. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.
16. D
25. E
17. a. 2 b. 7
26. A
21
8 243 0 1 16 16 – 16 –1 –6 1
27. a.
18. C 19. a. 0,44 m2 b. 22,4 kg
I.
20. C
II.
21.
03. B
c.
56 8
= 3- 2
28. E 30. C
37. D
31. B
38. B
22. A
32. B
39. B
23. A
33. E
40. A
24. D
34. E
e. 3 + 2 2
a. 121 = 11
3+ 2
b. S = 10
d. 3 25
06. B
09.
1
35. E 36. A
05. B
08. E
= 2 -1
29. B
04. B
07. D
2 +1
1 III. = n+ 1 - n n+1 + n
3 3 b. 2 5 a.
02. C
1
b. 3 8 = 2 c. 4 625 = 5
Capítulo 02
e. 1 0 = 0 f. 2,25 = 1, 5 42.
g. 0, 04 = 0,2 h. 3 0, 008 = 0,2 10. D 11. D 12.
43. 3 2 >2>
13. a. 12 432 b. 12 2 14. D 15. E
2 3 44.
a. (2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 b. (5x – 2y)2 = 25x2 – 20xy + 4y2 c. (3a2 – b)2 = 9a4 – 6a2b + b2 a. (x – 2y) · (x + 2y) = x2 - 4y2 b. (a3 – 2b) · (a3 + 2b) = a6 - 4b2 c. (2xy + z2) · (2xy – z2) = 4x2y2 - z4 a. (x + 2y)3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 b. (2x – y)3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 c. (2x – 2y)3 = 8x3 – 24x2y + 24xy2 – 8y3 1 x4 − 1 = x2 x2
a.
x2 −
b.
x2 y2 x4 − y4 − = 2 2 y2 x2 x y
102
PV-13-14
41.
d. 3 −27 = − 3
Matemática básica
45. D
67. a3 +
46. A
68.
48. B
a. x4 – y4 = (x2 – y2) (x2 + y2) = (x2 + y2)(x – y)(x + y)
49. E
b. (a + b)2 – c2 = (a + b + c) (a + b – c)
50. A
c. 4a2 – 49b2m = (2a – 7bm) (2a + 7bm) d. (x + 3)2 – (3x – 4)2 = (x + 3 + 3x – 4) (x + 3 – 3x + 4) = (4x – 1) · (7 – 2x)
1 a. x + 2 = t2 − 2 x 2
b. x3 + x–3 = t3 – 3t 52. E = 3 53. (A + B)2 = 4x4 + 8 + 54. E 55. x 2 + 56. B
4 x4
1 = b2 − 2 x2
57. a + b + c = 12 58. C
70. a. 2ab2 · (3a3c + 4a2b3 – 6bc2) b. (a + b) · (x + 2) c. (2 + a) · (x + y) d. (x + 1) · (x2 – 3) e. (x – 2) · (x – 3) 71. C 73. A
60. D
CAPÍTULO 03 x+y x−y
62.
69. a. (x + y) · (x + 2y + 1) b. (2a + 3b) · (2a – 3b) c. 4xy d. (x2 + y2) · (x + y) · (x – y) e. 6.249.999
72. E
59. B
61.
a. b. c. d.
74. A 75. E 76. C 77. E
(5x + 7) (x – 1)2 a · (a – 5)2 6.245.001 2
63. C 64. A 65. a. (a – 2) · (a2 + 2a + 4) b. (x + 1) · (x2 – x + 1) c. (x + 1) · (x2 + x +1) 2 66. a. a + a + 1 a+1 m+n b. m c. 1
Matemática
1 = 18 a3
47. D
51.
PV-13-14
R:
78. A 79. B 80. x = 4, x ∈
CAPÍTULO 04 81. a. 0,46 b. 675 82.
a. b. c. d. e. f.
0,64 1,427 0,0037 1,35 104% 80%
83. C 84. E 85. B 103
Matemática básica
R:
86. 2.080 litros.
118. A
87. D
119. 9.400 eleitores do sexo 146. E feminino e 9.100 eleitores do 147. 77 sexo masculino 148. 154 120. C 149. 3 121. 20 g da liga A 150. Logo, esta soma é uma 122. D número múltiplo de 11. 123. B 151.
88. E 89. A 90. E 91. 50 litros de leite de soja. 92. 2,7% do total 10 93. kg 3 94. Lucro = 20% de venda Lucro = 25% da compra 95. B
145. D
124. A 125. E 126. B 127. C
128. D 96. Devemos acrescentar 17,5 quilos de cobre e 7,5 quilos de 129. E estanho. 130. D 97. C 131. R$ 100.000,00
a. z1 = 71 – (7 + 1) = 63 = 9 · 7 z2 = 30 – (3 + 0) = 27 = 9 · 3 Como z1 e z2 são multiplos de 9, a afirmação é verdadeira para os números 71 e 30. b. z = “xy” – (x + y) z = 10 x + y – x – y z=9·x Como x é inteiro, de 1 a 9, então z é múltiplo de 9.
98. D
132. D
99. A
152. A
133. D
100. B
153. E
134. C
101. A
154. D
135. E
102. D
155. A
136. C
156. A
103. A
137. a. 33,1% 104. A b. Aproximadamente 105. Logo o salário ante19%. rior sem aumento era de R$ 220,00. 138. a. 4.500,00 106. C b. m = 3.267,00 107. B
157. B
108. C
Sendo k e k + 1 dois números inteiros consecutivos, um deles é um número par, admitindo, portanto, o fator 2. Considerando-se que já existe o fator 4, pode-se concluir que m2 - 1 é divisível por 8.
109. D 110. 125 111. A 112. D 113. B 114. 180 reais 115. C 116. a. 4,17 x b. 14% 117. C
139. C
140. a. O desconto que ele deve dar sobre os preços da vitrine é de 20%. b. O lucro sobre o preço de custo é 81,5%.
CAPÍTULO 05
158. Se m é ímpar, então é um número do tipo 2k + 1. Assim, m2 - 1 = (2k + 1)2 - 1 ⇒ m2 − 1 = 4k 2 + 4k + 1 − 1 m2 − 1 = 4k ( k + 1)
159. D
160. 141. D(40) = ±1; ±2; ±4; ±5; ±8; N = abc (o símbolo abc repre±10; ±20; ±40 senta um número natural de 3 142. E algarismos). 143. C N = 100a + 10b + c 144. C 104
PV-13-14
Matemática
Matemática básica
A soma a + b + c é múltiplo de 3: a + b + c = 3k, k ∈ N. N = 100a + 10b + c 3k = a + b + c
R:
a. S = { 38 }
199. E
6 b. S = 13
200. D
182. S = {8}
N − 3k = 99a + 9b
Matemática
201. a. S = { 20, – 20} b. S = { 0, 7 } c. S = Ø
183. a. 0x = 60 N = 99a + 9b + 3k 202. b. A equação não é uma a. S = {– 7 ; 7 } N = 3(33a + 3b + k) equação do 1º grau. A equação b. S = Ø ∴ N é múltiplo de 3 ou N é di- na forma a.x + b = 0 terá o valor 6 de a igual a zero. visível por 3. c. S = {0; } 5 c. 0x = 60 não apresen161. E ta raiz, pois qualquer número 1 d. S = { 0; } 162. D multiplicado por zero é zero e, 5 portanto, não poderá resultar 203. 163. 35 1 − 5 1 + 5 60. a. S = 164. E ; 2 Assim, o conjunto solução é o 2 165. B conjunto vazio: S = { } = Ø. b. 166. B 184. S = { – 2} 5 − 57 5 + 57 167. A S= 185. Pérola leu 30 páginas no 2 2 168. A 5º dia. 169. C
186. D
204. B
170. D
187. 64 litros
205. B
171. a. A dimensão máxima 188. C será de 25 cm. 189. x = 12 b. Serão necessários 204 190. A ladrilhos. 191. E 172. B 173. n = 45
PV-13-14
174. C 175. Os possíveis valores, em cm, são: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100. 176. C 177. B 178. 11 179. a. Os possíveis divisores são: 2, 3 e 5. b. Os possíveis valores do mdc (a, b) são: 1, 2, 5 e 10. 180. a. 36s b. 105 exibições
CAPÍTULO 06 181.
206. A 207. B 208. 60
209. C 192. Marta deve comprar 8 m 210. O polígono tem 6 lados. de tecido. 1 211. p = – 4 193. 212. A a. o menor número de pesos que devemos colocar no 213. B prato da direita da 3ª balança 214. E para que ela fique em equilí215. E brio é 3 pesos de 20 g. b. 4ª balança: temos no 216. 100 passageiros prato da esquerda um cubo e 217. B um cone. 218. C 194. Ele tinha inicialmente 30 219. C moedas 220. E 195. B 196. A 1ª camponesa carrega- 221. a. 5 va 40 ovos e a 2ª 60 ovos. 2 197. D 1 b. 198. A 2 105
Matemática básica
R:
c. 5 21 d. 4 222. a. r + s =
2 2 2 b. r · s = – 2 s +r c. =–1 r·s 1+2 2 d. r2 + s2 = 2
223. D 224. A 225. A 226. C 227. A 228. C 229. A 230. D 231. B 232. a. x1 + x2 = 5 2 7 b. x1 · x2 = 2 53 2 2 c. x1 + x2 = 4 233. C 234. S = { 7 ; 47 } 235. a. x2 – 7x + 10 = 0 b. (x – 2) · (x – 5) = 0
{
}
242. S = − 21 , 21 243. S = {3 3,1}
244. ∴ S = {– 2, – 1, 1, 2} 245. S = {1, – 3} 246. S = {6} 247. A 248. A 249. S = {–1, –2} 250. S = {3} 251. E 252. B 253. D 254. V = {7} 255. D 256. A 257. C 258. A
5 259. S = 4 260. D
conjunto vazio é considerado contido em qualquer conjunto. c. Falsa, pois, se o conjunto vazio não possui elementos, o 0 não poderia estar contido nele. d. Falsa, pois o elemento ∅ não pertence ao conjunto unitário {0}. e. Verdadeira, pois o conjunto vazio é considerado contido em qualquer conjunto. f. Verdadeira, pois todo conjunto é considerado contido nele mesmo. g. Falsa, pois o único conjunto contido no vazio é o próprio conjunto vazio. h. Falsa, pois, se o elemento 5 não pertence ao conjunto A, o conjunto {5} não estará contido em A. i). Falsa, pois o elemento {x} não pertence ao conjunto {x, {x, y}}. 264. 2
CAPÍTULO 07
265. O conjunto B não possui elementos.
261. 266. a. e pertence a C. a. b. d não pertence a C. b. c. A é subconjunto de B c. ou A está contido em B ou A é d. parte de B. e. d. A não é subconjunto f. de B ou A não está contido em g. B ou A não é parte de B. d. D contém C 267. A
262. a. ∈ b. ∉ x2– ( 5 + 6) · x + 6 · 5 = 0 c. ⊂ 237. x2 – 5 · x + 4 = (x – 4) · ( x – 1) d. ⊄ 238. a2 + b2 + c2 = 104 e. ⊃ ou ⊄ 239. B 263. a. Falsa, pois ∅ não é ele240. A mento de qualquer conjunto. 241. S = {–2,2} b. Verdadeira, pois o 236.
106
V F F V F V V
268. a. {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} b. {0, 1, 2, 3, 4, 5} 3 c. 5 269. a. {x ∈ | x é um número ímpar} b. {x ∈ | x é um quadrado perfeito}
{}
PV-13-14
Matemática
Matemática básica
c. {x ∈
| x2 – 64 = 0}
R:
Matemática
295. B
296. A 270. a. x = 0 297. B b. y = –1 ou y = 0 ou y = 1 298. B 271. 299. C x = 2 e y = 2 ou y = 3 300. a. 17 pessoas 272. E b. 7 pessoas 273. P(A) = {∅ , {0}, {1}, A} 301. B 274.
302. r2 − 5 P(A) = {∅ ,{a, e}, {a, i}, {e, i}, {a,re}, 2 =5+2 6 a. ⇒ 6 = 2 {a, i}, {e, i}, A} 2 b. Se r fosse racional, r2, r2 – 5 e r - 5 seriam racionais, 275. 1.024 2 contrariando a hipótese de que 6 é irracional. 276. 12 277. A 278. a. F b. V c. V d. V e. V 279. B 280. A 281. 80 nadadores 282. E 283. E 284. D 285. A
PV-13-14
286. 01; 02; 04; 08 287. C 288. A 289. D
303. B
304. 01 + 04 = 05 305. D 306. B 307. E 308. D 309. A 310. C 311. A 312. B 313. B 314. D 315. 01. F 02. V 03. F 04. V 05. F
290. 96 estudantes entrevista- 316. B dos gostam dos dois esportes. 317. {3, 9, 21, 27, 33, 39, 51, 57, 63, 69} 291. C 318. E 292. E 319. D 293. A 320. A ∪ B ∪ C = [2, 10]. 294. C
107
Matemática
R:
Matemática básica
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ANOTAÇÕES
108
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ANOTAÇÕES
109
R:
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R:
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ANOTAÇÕES
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ANOTAÇÕES
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R:
Matemática
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R:
Matemática básica
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ANOTAÇÕES
112
