.i.lu.4.tlt.a.n gJr..tUiuol. IJ ade.c.uadame.n.te.. PaJLtt log1t.a.1t. €.4.te. obje.Uvo, 4e. ha. apelado a 111.1.e.<1.tM e.lf.pe. -
Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método de este libro sin la autorización legal .del autor: '
..
REPRESENTACIONES CEMAR
Jt..i.e.ncla. e.11 la e.11.6 e.ña.rtza de la.6 ma.te.matlc~ a e.6.te. n.i.vel, a.6.t como en lo que. 1t.e.<1pe.c.ta .a la d.wacüc.a. p11.ue.n.ta.c.i.ó11 y d.i.ag1t.11m11c.i.ón de .todo4 lo4 .temaA .tM.tado4. La.6
de.6.i.n.i.CÁ.On~ .i.mpoJt..tan:te.4,
.te.ol!.ema.4 lj p!l.Op.i.e.dadU>_, M-
;tá.n 1t.e.mMc.a.do<1 y e,lf.pli.cado1. e.11 u.ntt 601!.mCl claJt.tt 1J amena' con una iide.c.uá.da g~ duaclón de. lo4 e.je.mplo.6 11.eAuei..to6 y de. lo4 p11.oble.nw:t1. p!!.0pue.4.to1.. ~ como 4e. podltó. ap11.e.c.i.M e.n el de.<1t11t.1t.ollo del UbM, u. ttUU.za e.a.da nueva .ldea. IJ no.ta.clón .:ta.n 61t.e.cue.n.teme.n.te. como e.4 poúble. co11. el
6.ln .de
p11.omoveJt 4U apl.lc.a.-
clón. .ln.te.l.i.ge.n.te. po11. pa!Lte. del u.tudla.n.te.. En lo!. Ca.pUulo.6 1 y 2 de LOG1CA 1J CONJUWTOS 1.e. u..tud.lan 4tll. conce.pto.i y <1tl4 pll.lnc.lpale.4 p11.op.le.dadu, to<1 cua.lu v.le.ne.11 p11.e.wame.K.te. a. con6óJÚnaJL el le.ngu.a.j e de. llL6 ma.te.má.U.c.a.I. modeJtlta.6.
E4 a¡,¡ que .se. u.tv.riifn a con..ti.nua.u6n lo.s conce.p.to.s r¡ -tlcnica.6 11.ela.ti.va¡, a la.s · ECUACIONES e INECUACIONES POLINOMlCAS,, a. la.s EC~ ClONES e INECUACIONES CON RADICALES y a la.s ECUACIONES e. INECiJAClONES EXPONENCIALES. A4.ún.l Capltui.01> 1O, 11 r¡ 12 la.s RELACIONES y FUNCIONES y .scu gltá6.lcaA .
<1 e
utwü..a.n
Todo
ctpll.e.ncU.za.je.
CAP ITULO
2
3
4
s 6
En Wui 6oi!ma llKl.IJ u pe.c..i.a.t. qu.iello e..tpllUa.Jt rn.i. ctgltade.C:f mi.en.to a. rn.i. upo<1a. Con4ue.t.o polt <1u a.payo en,tcu.(.a¡,.to. e.n el Upe.a.do r¡ e.n la. 11.e.v.i.4.i.ón del llWUL4CA.lto.
A4.<.rn.i.4mo, due.o 491tade.ceA a..t. Slt. An.l.ba..t. Pa.1te.du Ga.t.ván poJt <1u con.ste.n..te. d.l.i..c.ión a. Ue.va.Jt a. e.abo la. e.d.<.U6n dt. u.te. li..bJw e.n la. Et>lTORZAL SAN MARCOS.
7
a .9 10
1
Uma, Seüemblte. de 1989
2
..
3
4
s 6
LOGICA
·'
Proposicfo~es Lógicas Propos·iciories Compuestas Básicas: La Negación, La ·Disyunción, La Conjunción, La Condiciona l , La Bicondicional, La Disyunción Exclusiya. Conectivos Lógi cos· Proposiciones Compuestas Tautología y Contradicción Implicac ión Lógica y Equivalencia Lógica Proposiciones Lógicamente Equivalentes Leyes del AJgebra Propo~icional . Variantes Condicionales ·Inferencia Lógica (Argumento Lógico) Circuitos Booleanos {Lógicos). Circuitos en Serie. Circuitos en Parale.lo
..
CAPITULO
J. ARMANVO VENERO B.
1
2
l
2
6 9 10
10 11 19
21 30
CONJUNTOS
Conjuntos Conjunto\ Numéricos. Intervalos CuantÚ1cador íxhtenc1a1 y Cuantificador Universal. Funciones Propo\lclonales. ·Negación de Proposiciones con Cuantfffcddor•s Inclusión de Conjuntos . Subconjuntos. c~njunto Unitario, Conjunto Vacío, Conjunto Universal_, Conjuntos Iguales Operaciones entre Conjuntos: Unión, Intersección, Complemento de un Conjunto, Diferencia de Conjuntos, Diferencia Sim~trica Operaciones de Conjuntos aplicadas a los Intervalos
39 40 42
48
51
.1
55 ,1
M~emá.li.ca.
Bá.6.i.ca.
7
Leyes del Algebra de Conjuntos 8· Conjunto Potencia -.;:9 Número de Elementos
'
'
60 70
9
73
10
CAPITULO
2
3
NUMEROS REALES 80
El Sistema de los Números Reales. Axiomas de los Números Reales. Axiomas de la Relación de Igualdad de los Números Reales: Interpretación Geométrica Propiedades de los Números Reales . Principio de Sustitución de la Adició~ y de la Multiplicación. Sustracción. División
CAPITULO
4
83
1
2 3 4 5
5
12
13
ECUAC I.ONES POLI NOMI CAS
14
Ecuaciones lineales con ·una Variable 2 · Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Incógn1ta1 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales con Tres Incógnitas 4 Polinomios 5 El Algoritmo de División para Polinomios 6 División Sintética 7 Teorema del Residuo y Teorema del Factor 8 Número de Raíces de un Polinomio. Teorema Fvndamental del Algebra 9 Regla de los Signos de Descartes 10 Raíces Racionales de un Polinomio 11- Relaciones entre }as Raíces y los Coeficientes 12 Resolución de la Ecuación de Segundo.Grado. Método de Completar Cuadrados 13 Ecuaciones de Grado Superior CAPITULO
11
INECU AC IONES
Relación de Orden. Teoremas relativos a Desigualdades La Regla de los Signos Desígualdades Lineales y Cuadráticas. Inecuaciones Regla Gráfica de las Signos para resolver Inecuaciones Método de los Puntos Crfticos para resolver Inecuaciones. Inecuaciones con Factores Cuadráticos Irreducibles
89 91
APENO ICE:
92
BIBLIOGRAFIA INDICE
97 100
102 107 121
..
Algebra de Funciones Igualdad de FunciQnes. Suma de Funciones, Resta y Multiplicación de·Funciones, Cociente de Funciones Composición de Funciones Propiedades de ta Composición de Funciones Funciones Inyectivas, Suryectivas y Biyectiv.as Funciones Monótonas Crecientes y Decrecientes Cálculo de Rangos de_ Funciones Inyectivas Monótonas Funciones Inversas Propiedad Fundamental de las Funciones Inversas Cálculo de la Función Inversa Función Inversa de una Composición Funciones Exponenciales y Logarltmice1s Ecuaciones e Inecuaciones Logarftmicas y Exponenciales
123 127 131 136 142
I
144
147' 148
iss' 159
PROBLEMAS SOBRE OESIGUALOAOES DE NUMEROS REALES
430
444 462
481
.. 502 527 546 551 552
Lóg.foa
Cap. 1
1 LOGICA 1
En la actualidad, el estudio ser1o de cualquier tema.tanto en el campe de las Humanidades como en el de las Ciencias y la Técnica requiere cQ nocer los fundamentos y métodos del razonamiento L6gico preciso que permita al estudiante o al profesional extraer y depurar sus conclusiones ev1tandoel riesgo de modificar en 'forma equivocada la informaci6n que posee . Esto es aún mas evidente en esta era de 1~ Computaci6n, herramienta que es empleada en tQ dos.los campos del desarrollo de una sociedad, y tjue por la velocidad a la cu al se procesan los datos cualquier error de LOGlCA puede originar problemas técnicos y por lo tanto sociales y econ6micos. En este primer capftulo presentaremos la teor1a m1nima necesaria de la LOGICA FORMAL que ser! de suma utilidad para tales fines.
1 PROPOSiéIONfS LOGICAS
..
Son aquellas e~presiones u oraciones que pueden ser calificadas bien como ve,JLda.d.eJta.4 6 bien como la..t.t.a.1> , sin ambiguedades. Las proposi~ cienes l6gicas ser!n den~tadas con letras minúsculas generalmente: p '
q •
r '
, etc •
A la veracidad o fal\edad de un enunciado (proposici6n) se le denomina val.o~ veJLUa,ti.vo
6 ' val.o~ de. vVl.da.d.
1.1 EJE"PLOS DE PROPOSICIONES LOGICAS p q
17 - 6 .. 11 Viena es la capital de Austria
VERDADERA (V) VERDADERA (V)
Cap. 1
Lóg.i.ca.
117 + 319
r :
1.2
e
" No faltes •
En.resumen, las Proposiciones Lógicas son expresiones de las que tiene sentido decir que son veAdo.delUUl ó que son 6o.lbo.I. . También se les denomina simplemente PROPOSICIONES.
NOTA
Se llaman VALORES VERITATJVOS ó VALORES DE VERDAD de una Proposición a sus dos valores posibles: verdadero ó falso.Estos posibles valores se pueden esquematizar en una TAifi.'A DE VERDAD como sigue:
1.4
1.5
DEFINICION
•
a) PROPOSICIONES SIMPLES ó ATOHICAS .- Son aquellas que se pueden representar por una sola variable, es decir, por una sola letra como b)
1+4c5
PROPOSICIONES COMPUESTAS ó MOLECULARES.· Son aquellas que se pueden representar por lo menos por una variable y algún ó algunos de l~s stmbolos que representan a las palabras siguientes: no
o
IJ
como veremos a continuación,
2 PROPOSICIONES COMPUESTAS BASICAS Dada una proposición p , se denomina LA NEGACION DE p , a otra proposic ión denotada por "'P , y que le asigna el valor veritat1vo opuesto al de p • Su tabla de verdad es :
2.1
LA NEGACION
Sean las proposiciones ( V)
12 Helsinki es la capital de Polonia
p :
J X4 •
q :
entonces sus negaciones son: "'p No es cierto que 3 x 4 ,. 12 "'q
lel-
[ó sino,
( F)
( Fl
3 x 4 ; '12]
(V l 0 es VERDADERA piles la ciudad de HelsinkJfs la capi-
Helsinki.no es la capital de Polonia
La última
n~gación
"'q
tal de Finlandia. 11
11
Se le denota 11 p v q" y se lee P o Q ·Es una proposición compuesta por la proposición p Y la proposición q , ambas relacionadas por la palabra 'o' - , en el sentido inc-tusivo de y/o , y esU deffnida por la siguiente condición :
2.2
LA DISYUNCION
• La proposición p v q es 6a.l6a. únicamente en el caso en que p y q son amba.6 6a.l6a.4 ;' en cualquier otro caso .es verdadera. •
CLASES DE PROPOSICIONES LOGICAS
p:
EJEl'IPLOS
t~mbién
• no es cierto que p " •
V
• lQuib 11am6 por tell!fono?
Estas expresiones no son proposiciones lógicas debido a que no es posible asignárles un valor definido de verdad o de falsedad.
Esta proposición "'P es da como: 11 no p •
F
EJEMPLOS DE ~XPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES LOGICAS " Buenos dfas " ,
1.3
rn
FALSA (F)
426
3
Lóg.i.c.a.
Ca.p. 1
En su ~abla de verdad se anotan sus valores para todas las posibles combinac1~ nes de valores veritat1vos· de p ·y q corno sigue : p
q
p V q
V V F F
V
y
F V
V V
F
F
Por ejemplo, correspondiente p : 8 es menor 6 es mayor q : 8 es menor p V q :
(*)
a la combinación (*) de la tercera fila que 5 qlle 3 que 5
( F)
( V)
o
6
es mayor que 3
A continuación presentamos otra nueva proposición compuesta fundamental.
( V)
Cap. 1
Lóg.lca
Se le simboliza • p " q • • y se lee como 2.3 LA COHJUNCION " p y q • . Se le define como una nueva proposici6n que resuÚa vvuf.a.á.e.1to.: (V) en el único caso en que las propos~cfones componentes p y q son am!Mu ve./UÚUÍeJUL6 (V) • En todos los dem!s casos es falsa (F) • Su tabla de verdad es :
En resumen, el único caso en que un procedimiento de deducci6n es incorrecto ocurre cuando a partir de una informaci6n verdadera se concluye una falsedad. Esta proposici6n
p
q
p /\ q
V V
V
V F
F
F V
F
a)
F
F
F
b)
2.6
c) Por ejemplo:
15012 es múltiplo de 3
p
4 + 7 = 12
q p
/\
Hi012
q
es múltiplo de 3
y
.. 2.5
q
V V F
V
F
p ... q V
F
F
V
·v
F
V
q
también se lee de las siguientes maneras:
Explique porqué las condicionales siguientes tienen los valores veritativos indicados :
2 + 3 .. 8
5 < 6
.. 4 3- 1 Si ~" es primo,
z4-~< zl en~or:ices
( V ) ( V)
'\
51
\=-
e,s un número par
{ F ) ..
Es tas condicionales tienen los valores de ~erdad indicados debido a que
{ F)
a) b) c)
p es fal~a y q verdadera P es falsa y q falsa p es verdadera y q falsa
Se le simboliza • p + q • , y se lee Si. p e.n.toncu q 11 • Es una nueva proposici6n compue~ ta que es' 6a.l6a únicamente en el caso en que la proposiciOn p es ve.JL(ÚJ.JÚ)ta. Y la proposici6n q ..es óa.lóa. • Su tabla de verdad es p
+
{ V) { F)
4 + 7 • 12
LA CONDICIONA!;
2.4
EJEftPLOS
Ver el ejemplo.
(*)
P
• p· implica q • , • p es una condici6n suficiente para que q • • q a menos que "'p " • • q es una c?ndfciOn necesaria pára p 11 • Es suficiente que p para que q •
La proposici6n p es llamada ANTECEDENTE y la proposición q CONSECU~NTE.
..
OBSERVACIONES
1) Según las dos últimas filas de la tabla de verdad, basta que el antecedente p sea falSo para que toda la condicional sea verdadera , indepen dientemente del valor del consecuente q • 2)
De las filas lrA. y 3ra. se concluye que es suficiente que el consecuente q sea verdadero para que la condicional resulte verdadera.
3)
Según la Oltima fila, en el caso eh que p y q sean ambas falsas, la condicional resulto vrrdadera.
Utilizar las palabras • Si •• entonces •. • , para expresar de otra manera equivalente la proposfciOn • Yo no me presento al examen de Qutmica mañana a menos que lo posterguen una semana. •
2.7 PROBLEftA
SOLUCIOll
Sean
p : Yo no me presento al examen de Qutmica mañana q : No postergarán el examen una semana ,
entonces la p'ropos1tl0n dada corresponde a : " q a menos que "'P " , la cual precisa111ente se simboHu por : " p + q " • Ast tenemos el enunciado equivalente : • Sl no postergan el examen de Qutm1ca una. semana ENTONCES yo no me presento a dicho examen maftana. •
2.8 LA BlCO"DJCIOllAL
Se denota • p - q • , y se lee n p si y solo si q • • Es aquella .proposición compues-
ta que es vvuJ.a.á.eJttJ. en los casos en que ambas p y q tengan valores ver1tativos iguales { amba.6 ve./UÚUÍeJUL6 6 amba.4 áttl.6a.6) ; y es áttl.6a. en los tengan valores · veritativos opuu.toA • casos en p y Su tabla de verdad es como sigue :
Cap. 1
Lóg.lca.
......
p
q
V V F F
V
V
F
F
V
F
F
V
p
Por ejemplo,
q
Tambf én se lee como
p
q
r . "'P
" p sf y solamente si q p es una condición necesaria'y suficiente para q " :
V
V V
V' F V F
V V
11
p :
2 < 4
( V)
q :
2 + 6 < 4 +· 6
( V)
si y solamente si
2 < 4
p+-+q:
( V)
2 + 6 < 4 + 6
Se le denota • p A q " , y se lee: " O bien p ó bien q Es aquella proposición que es verdadera en los casos en que ambas proposicioífé'r p y q 1;engan valores ver.i_tativos opuestos , y es falsa si ambas tienen idénticos valores de verdad. Su tabla de verdad es
2.9
LA DISYUNCION EXCLUSIVA
11
p
q
V V F
V
F
2 . 10
'
•
También recibe el nombre de VIFERENCIA Sl/.fETRICA.
p A. q
' F
F.
V
V
V. F·
F
F
F
V V V F
F 'F
F F
'
V
'
/\
..
..-..
V
[("-p)
r ",P
q
V
q]
.....
F
V V
"
.F
F
V
F V V V V
F
F
V F. V V
V . ..
F
F
V V
F
F F
V F
F
F F
V
F
Sean p: 8 es un número par , q: 8 es el producto de dos enteros. Traducir en sfmbolos cade- una de las s.iguientes proposiciones: a) 8 es un número par o es un producto de dos enteros. b) 8 es impar y es un producto de dos enteros. e) 8 es par y un producto de dos enteros o es un número impar y no un pr2 dueto de do.s ·enteros. a)
RPTA:
("-P) /\ q
b)
p V q
(p
q) V (("-p) /\ "-q)
f\
Sean p , q y r tres prop9siciones tales que p es verdaderá, q. es falsa y r es falsa. Indicar
PROBLE1'A
' cµ!les de 14s siqufentes propos1c1ones son verdaderas: · · a) (p v ct) v r · b) ( "'p) v (q " r) e)
((p" q)
d)
[("-p)
V
V
(("'
"-Q]
p) /\ "-q)] /\ ((( "-p)" /\
(p
V
"-r) /\
(q
V
r)
y
r
q)
V
(("'
q)" p))
3 PROPOSICIONES COMPUESTAS SOLUC,ION
Utilizando los conectivos lógicos se pueden combinar cual quier número finito de proposiciones compuestas b!sicas para obtener otras cu: yos valores de verdad pueden ser conocidos construyendo sus tablas de verdad¡ en tale~ tablas se indican los valores resultantes de estas proposfcfones compuestas para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones componentes. Por ejemplo, la tabla de verdad de la proposición compuesta sfguientc: [ ("' p) v q ]
....
( r " p)
es :
(r " p)
3.1 EJERCICIO
3.2
-+-
("' p)
F
C)
Se llaman asf a los sfmbolos :
CONECTIVOS LOGICOS
F
V F
7
Lóg.lc.a.
Cap. 1
a) Verdadera, pues
(p
V
(V
V
..
q}
...
..
V
F)
+ y
V
F
..
F
+ V
verdadera
Cap. 1
Lóg.leo.
8
b) Esta proposición es FALSA , pues:
('l.p)
V
(q /\ r)
F
V
F
t. cu!l es el valor de verdad de (c} y (d} 1 s .. (p +-+ r) d) c) [ (n -+ p) /\ 'l.T) .. p Que la condicional (a) sea FALSA quiere decir que
F
SOLUCION
c) Como esta proposición est& constitu1da por proposiciones compuestas entre dos corchetes unidos por una conjunción " , y como el primero de tales c~rc'hetes es FALSO (lporqué?) , entonces toda la proposición {b) ser& FALSA , independientemente del valor de la proposición compuesta del segundo corchete. d) Esta proposición también es FALSA , en forma an~loga a {c) , puesto que {q v r) es falsa. 3.3
PROBLEl'IA
Hallar el valor de verdad de la proposición:
e}4 > 12 " SOLUCIOll
r lz ~ V4 v (11 ~-r V4 .. "'íi! • z21' .. 2112
i > o) ...
De y
1/ ':14 < l/IZ
es v~ pues ?. quiere decir dada ti~ne . el valor sigui~Óte: (F " V) .. F -+
< 1112
rz
+-+
-1 < o)
J
se tiene que
--
- ?. i4 son tmbas falsas. Sin embargo, /z > á
• • Ast se tiene que la proposición
(V
v
(F +-+ V)]
(V
v
(F +-+ V) ]
y según una de las OBSERVACIONES {2. 5) ;es suficiente que el antecedente sea falso para que toda la condicional sea VERDADERA, lo cual puede ser verificado completando lo del corchete.
..
3.4 JERARQUIA DE LOS COIECTIVOS LD6ICOS
Cuando en una proposición compuesta se tienen varios conectivos lógicos, las operaciones se realizan luego de colocar los paréntesis adecuadamente comenzando con las propos!ciones que se encuentran dentro de los P! réntesis interiores. Siguen todas las negaciones y luego .se avanza de izquierda a derecha. Los corchet~s son cons!derados como paréntesis.
3.5 PROBlEl'IA
Sean cas. clones siguientes (a) y a) [ 'l.(p .. q) -+ r J
!
Lóg.leo.
Cap. 1
p , q , r , • y n cinco proposiciones lóg1S1 el valor de verdad de cada una de las proposi -. (b} es FALSA : b) "'P v q .. (s " r) ,
I
{.
"'(p
. .. q)
r
s " r
(*)
es V es F
• Y.
(**)
"'P v q es F por hipótesis , entonces ambas "'P y q son F es decir, p es V y q es F , de donde resulta que ~(p .. q) es V y por lo tanto, r es . V • Luego, de (**) resulta que s es F • Ast , la condicional (c) resulta v., pues e1 antecedente es F , ya que "'r es F , .independientemente de los valores de n Y P • Astmismo, la condicional (d) resulta también ve!LdadeM. (V), pues su ante Como
cedente s es falso (F) •
4 TAUTCl.OGIA Y CONTRADICCION A toda proposición si11Ple o compuesta cuyo valor es siempre VE.!! • OADERO para cu~lquier combinación de valore~ veritativos de sus componentes se ·le llama TAUTOLOGIA y se le denota simplemente por V • A toda proposici6n que es siempre FALSA para. todas las combinaciones de valores veritativos de sus componentes se le llama CONTRADICCION • y se le denota simplemente por F • una proposici6n cuja tabla de verdad contiene al menos un V Y al menos un F recibe el nombro de CONTINGENCIA • la proposic16n: ( {('l.p) v q) " . "-q. J .... "'P , es una TAUTOLOGtA. En efecto,
4.1 EJEftPLO p
q "'P "'q
V
V
V F F V F F
4.2
("' p) V q .
((( ... p)
V
q) /\ lltq ]
F. F
V
F
V F V
F
F
V
F
V
l/
F V
V
..
"'P
I V1 F
1y 1 F 1y \ V 1y 1 V 1 1
la proposición : [ fp " q) v q l " "'q • es una CONTRADICCION. En efecto,
Cap.
Lóg.i.ca
(p /\ q)
q
( ( p " q)
q)
p
q
"'q
p /\ q
V
V
F
V
y
1F1
V
F.
V
F. V F.• F
F y
F F F
F y.
1 F· I 1F1
F
1 F 1
V
V
1
"-Q
"
que a demostraciones de teoremas o resultados en general respecta, pues viene a ser la base del llamado METODO DE DEMOSTRACION POR REDUCCION AL ABSURDO que es una forma indirecta de un proceso de demostraci6n, y que ilustraremos varias veces en el desarrollo del libro. CUADRO DEL EJEMPLO 6.1
p
q
p
Se . llama IMPLICACION LOGICA (6 simplemente IMPLICACION) a toda condicional p -+ q que sea TAUTOLOGIA ; en tal caso, a la condicional se le denota p q • Co1110 ejemplo de IMPLICACION se tiene ( ("' p) v q) " "-Q] = "-P , cuya tabla de verdad esU mostrada en el EJEMPLO 4.1 • Se llama EQUIVALENCIA LOGICA (ó simplemente EQUfVAfEÑCIA) a toda bicondicional p +-+ q que sea TAUTOLOGIA • denoUndose en tal caso p .;:=::::> q • Un ejemplo de EQUIVALENCIA LOGICA es :
p
q
q}
p /\ (p V q)
p V q
~
V V V F F V
V
V
V
V
V
F
F
F F
F
V
1
..
1
V F F
..
6.2
NOTA
p
p v. q
4a. Sa. 6a. 7a. Sa.
(p p p p p
-
p
la.
V
V V V V
q) (q F
V
"
r r)
V ( "-P)
-
[ ("- q) ....
("- p) ]
Esta Olt1ma Equivalencia de (6.1) es muy importante en lo
lb. 2b. 3b. 4b. Sb. 6b. 7b.
E
p. q p
1
(p
1
p V
E
-
"' ("' p)
-
V p
p p (p
"
p
-
p
q)
p
" "
V
q
Las proposiciones (p ~ q) y [ ("' q) ... "-P] son EQUIVALENTES pues sus tablas de verdad resultantes son idénticas , como se PU! de ver en el cuadro de la siguiente p!gina . Por lo tanto, (p .. q)
idénticas
J
NOTA'
Za. ~a.
.. . Dos proposiciones p y q se llaman EQUIVALENTES (6 L6gicamente Equivalentes) si sus tablas de verdad son idénticas, en cuyo caso se simboliza
=
F
V 1F 1 F F 1y 1 V V 1i¡11 V
Un par de Proposiciones Equivalentes p : q produce sie!!.! pre· una Equivalencia L6gic{l p ~· q y viceversa. Por esta raz6n cuando hay una Equivalencia L6gica entre p y q también se dice que: p : q •
V
6 ,- pROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES
p
6, 3
1y 1
F
"'p
Son ciertas Equivalencias L6gicas que las presentaremos a co~ tinuaci6n y cuya demostraci6n es f!cil de realizar exhibienda sus tablas ver.! tativas correspondientes.
p
1 V1 1 V1 1 V1 1 V l·
l
-
7 LEYES DEI.. ALGEBRA PROPOSICIONAL
<===> p
-
"'Q
l y l 1F 1 1y 1 11 V 11
V V V F F V F F
=
p " (p
q
+
1
5 IMPLICACION LOGICA Y EQUIVALENCIA LOGICA
"
11
Lóg.i.ca
Ca.p. 1
p
.P p
" q
"
"
1\
(q F
1\
V
V ("' p)
r r)
-
= -
-
q p (p F p
F
V
V . V
" "
"
p (q q)
r)
V
"
(p
V
r)
p
(q q)
" r) V
(11
"
r)
..
Ca.p. 1
Lóg.i.c.a
12 8b.
"' V
9a.
"' (p
-
F
("' p)
-
q)
V
-
"' F
( "'q)
}
Leyes de
or
MORGAN
SOLUCION
9b.
lA. 2A. JA. 4A. SA. · 6A. 7A. 7, 2 a) b)
LISTA ADICIONAL DE PROPOSICIONES EQUIVALENTES p p p p p
-
"
V
(p (p
V
"'
fJ. q
PROBLEftA
E
p
"- [ "- ( p " q) -+ [ ( ( "-P) " q)
q) ) V q -+ (r " "-r)] "
"' ["' (p
q)
/\
-
-
-+
"-
'\.Q ) . V
-
.. 8a.
"'r
P .... (r
V
F
F F V V F
F V F V F
V F V
F-
V
1V 1 1F 1 1V1 1V 1 ¡v 1 ·¡ V 1 1 V1 1 VI
.F
V F V
F F
V V F F" V F F
•
'l. q') -
"-q
V V V
F
V V
v
V
ftETOD_O 2 a)
b)
p
• -+ ( r
V
V V
V F V V
V
V
Simplificando·:
( q ..... -..p)
"-q )
V V
=
-
7b.
lA. 9b. Sa. 2b , Ja .
(q-+ "-P}
V
Siendo (1) y
(2)
-
(-.. p)
("- r .... ... p) [-..q V ... p]
V
V
{
r
V ti.
("-r
1V1 1F 1 1V1 1V 1 1 VJ 1V 1 1V 1 1V 1
....
"'p)
V F V F
V V
V V
t
idénticas
4A.
"-Q
9b, 2a. 9a • 9b • 7a.
F F V V
lA.
9a. 9b. 2a , 2b.
lA.
Determinar si (a) y (b) son proposiciones equivalenp .... ( r v "'q ) tes: a) b) ( q -+ ._ p) V ( "'r -+ 'V p )
"'P
F
F
F
q
"' [ "' ( "' ( p " q) V "-Q) V q "' [ {p " q) V "-Q) V q ( "-(P " q) " "-("-q)) V q [("-p V "'q) /\ q] V q q V [q A ( "' P V "'q) ] q
"' q
r
V F
F
Tautol~gfa
q) .... p
Mediante las tablas de verdad:
V V V F F
"-Q
[(("-p)A q) -+ ( r " "'r) ] "' "' q [ ( ("- p) 1\ q} -+ f ) " "'Q ! [("-(("-p) /\ q) ) V F ) A = ( ( p V "-Q) V = [ (p V "-<\) ) F"-QJ " "'Q "
q
q) "
'V
En muchos casos este mHódo es mas pr!ctico que el de las tablas de verdad.
•V V V
Simplificar las siguientes proposiciones utilizando las Leyes del Algebra Propgsicional ó la Lista Adicional :
-
b)
-
SOLUCIOll ftETODO l
SOLUCION a)
-
7.4 PROBLE1'A
-
q q
...... p
q) q)
V
"' [ (p V 'l. q) ... q] V p ( "- (p V "'q)] V p V ("' q) ( ("' p) ... q) V p V ("' q) q) V ['l.("' p ... q)] ( "'p Tautologfa V
q
("' p) V - ("' q) -+ ("' p) - p - p p) - (p -+ q) " (q ( ( "'p) "' ("' q) ] - {p " q) V = - {p "' "' q) V (q "' "-Pl
q
......
p
-
q
-+
(_(p
-
NOTA • -
gicas .
7.1
Demostrar que la siguiente proposición es una
-
- ("' p) "'(p " q) .• Como es válido reemplazar una proposición por su equivalente sin alterar el resultado •. estas leyes son muy útiles para simplificar los problemas. · Con este fin presentamos 'una LISTA ADICIONAL muy útil, de Equiv.alencias LQ. V
13
Lóg.lca
7.3 PROBLE1'A
V
( "'q)
/\
Ca.p.
... (1)_
q)
[ ("'"' r)
V
"'P)
p V ( r V "'p) ( "'p V "'p) V r·
"'q "'q
V 'l.
( "'q) ( "'p)
V
V
V
V
'"' p)
(r
r
... (2)
V "-Q)
iguales, entonces
a :
b •
.' Cap.
Lóg.i.ca.
7 .5
PROBLEl'IA
Hallar el valor de verdad de la proposki6n [(p
sabiendo que
+-+
[
p
-+
[
-+
(q
p ...... (q ++ r) ] -+
r)]
: V
{p .... q) _,; r
De {a) p -+ (q
p .... (q .... r)
: F·
p .... (q .... r)
s.
: V
F ,
Como solo puede ocurri~ (b2) y {b3), la proposición {a) es VERVA9ERA. En realidad (a) es una TAUTOLOGIA, lo que se puede verificar con las tablas de verdad o sino mediante las leyes Proposicionales.
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS Demostrar las Leyes del Algebra de Proposiciones. 2. Demostrar las Equivalencias de la Lista Adicional. 3. Demostrar que las condicionales siguientes son IMPLICACIONES
Demostrar que las bicondicionales siguientes son EQUIVALE~CIAS LOGI~S: q) ~
a)
(p
b)
(p ...... q)
C)
(p ,. q)
d)
(p
-+
V
('Y p) V q (p - q) ... (q .... p) p <====> p
= V
q) "' P <=> P.
'
+
q)
<===> · P ,.
+
(Reducción al Absurdo)
F
+
-
"'P
+
q)
-
q) A q
-
({p V q} ++ q.] [(p .. q) ++ p] (p y q) ... "-(p ... q)
+
(p
c) d)
(p (p p
(p ,. "-q)
-
(F
!>
-
"-q
p) F)
b)
: F
+
V
(p
+
. '\, (p
+
I)
"-(p
-
--
A
11)·
7.
\
V) q)
-
V (p
A
"-(p
q)
'\,
++
q)
q) (p V "-Q) (p V "-q) "-(p + q) ++ "-q) III) "-(p ++ q) ( "'P . indicar cull (6 cuSles) es una Contradicc16n (F)
Dadas las proposiciones:
6.
.
· NOTA.-
"-(P
Demostrar qÚe (p •.. q) a)
es falsa.
l!J
l.ógi..ca
e) { (l)
resulta que "'p v "-Q v r : F , es decir de modo que (*) '\, p • p,q:V y r : F V es absurdo, pues por . (*) {p -+ q) -+ r F pero. {p ... q) .... r (a) no se cumple, y por lo tanto se cumple {b}. del cual se tiene Luego, de donde puede ocurrir que que r : F y p .... q : V p + (q ... r} ·J. ·{absurdo) lo que da bl) · p , q : V , r : F p + (q + r) V lo que da b2) p q : F , r : F p • (q + r) : V lo que da b3) p F , q : V , r : F -+
r)
l
(a) 6 {b) :
qel dato, solo puede ocurrir una
{.p .... q) .... r
b)
q) ++ r]
[{p - q) .... r]
SOLUCIOff a)
-+
( (l
Cap. l
-
La proposici6n "'(p + q) " (q ... "'r) , l a cull (o culles) de las s! gu1entes proposiciones es equivalente ? . a) P" (p v - "-rl ""trvq) , b) p,. ("-q) ""-{q,. r) e)
··s. • l.
v [ {p -:- "-r)
(p ,,_ ."'q)
... "-q]
Alguna de las siguientes proposiciones es una Tautologh ?
a)
"-[{"-(P v q)
b)
"' [( "'P)
c)
"' { (p ,. q) v [ p~ ... ("' p v q) ] }
++
+
q]
"-Q] ++
.......
(p
+
q)
{p + q) ++
{p .. "'q)
\ 9. Simplificar: [("' p ... q) _ ·+ (r ,. "'r)] ... "'q \ 10~ Simplificar: [(~ q + "'P) + ("'P . + rvq)] ... . "'(P ... q) \ 11. De las sjguientes proposiciones, l culles son equivalentes entre sl 1
Es necesario que Juan no vaya al cine para que termine su tarea. b) No es cierto que Juan termine su tarea y vaya al cine. c) Juan no ierm1nar4 su tarea y no ir5 al cine. ·
a)
12. ¿ CuUes son Tautologfas 1 : a) [(p v "'q) ,. q] + p c)
["'P ... (q v "-r)]
13. ~la falsedad de
+
"-q) v ( "'r
+
('\o p ,..
[{"-r v q) ... q] ++ [{"-q v r) ... s] {p + r) + ((p v q) ,. "-q)
14. Si se sabe que
q
s) , deducir el valor de
b)
V.
++
N"-P" q) v "-(P v r)]
a)
e)
"-q)
(p
[{p ,. q) v q]
b)
++
"'q
{p .. q)
y
(q
+
t)
son falsas , ¿cuáles de las
16
'\, [ p
a)
s-iguientes proposiciones son verdaderas 1 a) ("-P v t) ·v· s b) "-(P,.. ("-q v "'P))
c)
""'15.
("' p v {q ,..
"'t))
No ingresar al.teatro o pagar 100 intis,
b)
Pagar 100 intis o ser .socio,. y no ingresar al teatro.
c}
Págar 100 intis y ser socio, o no ingresar al teatro.
" · 16.
Si la proposici6n
("'p.,.. q) +
22.
y ser socio.
((p ,.. r) v t]
es falsa,
"-'[("-p) ("-q ,..
b)
e) ("' p
17.
W)
t)
+
V
+
... (r V "'t)] ["-t "' (p V
q})
b) c)
~p) v ( q ,.. ( r v "' p)) ] (p ,.. "-q) [ "'q v ( "'r V: p)] "-( "-q + "'P] "' ( q .... "-(p + r)]
s
(p v q)
++
(r ,.. s)
,.. p
b) e) d)
[ "-(P V q) ,.. (r V s)] V ( "'P ... q)' [("-r""'s)+(pvr)],."-(r .. s} [( w ,.. "-S) + (s v p)] A "'(r ,.. p)
Escribir 1a negaci6n de cada una de las proposiciones siguientes: a)
El no es rico, pero es feliz.
b}
El ncf es pobre ni es feliz. El es bajo pero es muy Sgil. Ni Juan ni su papS viajarln a Tarma a fin de mes. El tiene un comp!s o una regla. Ambos rquipos Alianza y la U 1r4n a la Copa Libertadores. 54 Juan llega a tiempo con los documentos, entonces ambos, Carlos y . Jorge, podrAn inscribirse en el ciclo de conferencias • tal~s que
26. Si p • q , r , \ , t , w son proposiciones
q) ,. Q]
,
ces z es F • indicar los valores de p y
a)
{p ,..
b)
("' w +
"'r) .... "-S)
(s + w)
es verdadera, ..
es falsa.
hallar el valor de verdad de las proposiciones e) (p ,. q) v r v s , d) (s +-+ "-W) + {r v "'p)
entonc~s la cual es equj;
e) 27. p)
[t .. (w v "-p)] ,. "-(P
Expresar la proposi.ci6n que únicamente
int~rvengan
+
,
r)
{p ,.. q) v (r v s)
de otra manera, en la
los conectivos
y
("-)
(p f q)
/Cu4les de las siguientes proposiciones
V
V
indicar los valores· de
9.>
28. Zl.
d)
"' "-q)
a)
f)
"'G)
? : q .¡. p]
++
4)
V
{ "'p) ~ { "'q) •
se define por
"-(P
"- ( (p
"-(P " q) +-+ ( p .¡. q] (p .¡. q) ++ "-(p. V q) "-(p + q) ++ p A q
e)
es vv.Nladelta
¿ Cu41es son Equivalencias L6gicas 1 : a)
[(p t q) .¡. (q f p) )
c) d)
es ~a.U« es vv.NiadeJr.JL
l cu¡les son· ciertas ? •
19.
t
es vv.NiadeJtD..
[{("-p),.. ("-q)} v (r ... s)]
(p
Dada
valores v.eritatiwos opuestos, se afirma que
a)
+
b}
24.
2!¡..
teniendo r
(p + q)
b)
ces
es verdadera¡
r) ]
lCuSntas F ·y cu&ntas V tiene el resultado de la Tabla de Verdad de: "' ( (p ,.. q) + "'r] ,.. (s v "'s) después de simplificarla 1
"-[ ( q v
La proposici6n
( '\,
23.
r ]
"'G +
[
A
a)
d) hallar el
Deinostra.r que las. .tres proposi'Ciones siguientes .~on equivalentes:
a)
18.
"'G)
V
q)
Si P + q significa "ni p y ni q • , l cu41es de las siguientes proposiciones son Tautologtas (siempre verdaderas} ? : ·
'C)
valor ver.i tativo de:
a)
( '\,
son equtva lentes a:
¿ cuSl(es} de las siguientes proposiciones es equivalente a • ts necesario pagar 100 intis y. ser socio para ingresar al teatro " 1 a)
A
(r v q) ,.. "' ("' r ,.. q)
c)
( (p + q) ,.. "-(q ,.. t) }
+-+
17
Lóg.ú.a
Cap. 1
Cap. 1
Lógica.
Hallar el valor de ve.rdad de la proposici6n:
( + )
3-
,. -8 < 0) ... ( 12 ~ "./ 8
-
-
( "./ 8 > 12
29.
30.
(a)
y (b)
a)
("-S
.
b)
1 3- <
78
-
8> 0))
+
"-W) V
(t ...
"-W)
w
b)
•
+
("-t V s)
.... [ p Vº ("-q}]
111 , . 7. Todas 8. Solo (c) , 9. "-q , 10. "-q , Solo (a) y (b) 12. Todas , 13. a) F , b) F , c) Y Todas , 15. Solo (c) , 16. a) F , b) V , c) V •. 18. Sólo (c) 19. Sólo (b) y (e), 20. y 21. Sólo (b), 22. Sólo (a) y (c), 23. 1 y y 7 F, 24. a) P: V , r: V ó F (cualquiera); b) p y r : ambos,cualquier valor. 25. a) El es rico o no es feliz ; b) El es pobre o es feliz ; c) El no es bajo o no es muy Sgil ¡ ..ú!l Al menos uño, Juan o su papS viajar! a Tarma a fin de mes ; ~ El no tiene ni un comp!s ni u~ na regla; íf.l Al menos uno de los dos equipos, Alianza o la U, no 6.
Utilizando tablas de verdad determinar si la siguiente proposición es una tautologla, una contradicción o una contingencia: {[{ "'P,. r} ... q] ++ ["-q ++ (p V r)]} t:. {(p ++ q)ti.(q V"-r)} "' ([ p t:. ("- q}]
Simplificar:
+
("-
q}) • q
analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
y
V F y
t:)
tLAVI Dt RESPU[SIAS 11. 14.
son Lógicamente Equivalentes
p
b)
V
p
*
q
V
F V F
F es condición necesaria o suF F ficiente pa_ra que (p * q) - V • r ,. s 'Y p * [(p ,. q) * (r,. s)] sea condición necesaria y suficiente E F Es falso que Ce .,. q)
Q E V
g)
p
*q
E
w:F,
ZI, 29.
( p + "'q) + ( "' r + s) , 28. S1 son Lógicamente Equivalentes ,
31.
a)
32.
Las tres proposiciones son Verdaderas. Note que
33.
Oel dato resuita que las proposfciones r y s. tienen valores de ver dad opuestos, y que p y q son ambas verdaderas. Luego, solamente la
A
A
Sabiendo que la propasiéi6n siguiente es falsa: { "'[(p Ar) ... q ] A ((p v q) ti. s ] l · { t. p) + t } nar el valor de verdad de las proposiciones: a) {[("-p t:. q) t:. r ] ... .[ .... (q.,. (u+ p))]} ti. (pAq) b) {"-(P .... q) A ((r,. p) ... "-(r V s)]} A t
(s
,
determi
Si p, q, r, s, t, w son proposiciones tales que (p,. "'r) ...... (s + w) es verdadera, y ("' w + "'s) es falsa, hallar el valor de verdad de: [ t+ (wv"-p),. "-(p +r)].
s:V,
r:Y,
Contingencia ,
proposición
(111)
b)
p:F, entonces
c):V,
ll):V, e):F.
V 30. ·Solo (c)
p v ( "'q) •
es necesariamente verdadera:
p
*
q
E
q •
·
34.
Las proposiciones p y r resultan verdaderas; q, s y t .son falsas. Luego.· (a) es Verdadera , y (b) es Verdadera.
35.
El val9r de la propo!>1cHln dada depender! del valor de la proposición t: - si t es verdadera, la propos1ci6n dada resulta FALSA ; - si . t es fa 1sa, 1a propos ic i 6n dada res u1ta VERDADERA.
F •
Si la· proposición [(p t:. ("- q)),. (p v q)] · + [ r +-+ s] es falsa, cu!les de las siguientes proposiciones son n~ce.6a!L.i.a.m~ verdaderas?: . 1) (p q) .,. (p s) ; II) [( "-P) v r ] .... (r v s) III) (r .. s) ... (p ti. r) •
ir! a la Copa Libertadores. Juan no llegar! a tiempo con los documentos, y en tal caso al menos uno, Carlos o Jorge, no podrS inscribirse en el ciclo.de conferencias.
26.
-
para que
35.
1
.¡;¡
Dado el circuito lógico definido por la tabla:
a)
34.
V (
q Dadas las proposiciones p y q • se define la proposición p V p ... "'Q 1 : p ,. ("' q) . ¿ A cu!l(es) es equivalente como: ("' p) V q d) "-(p V q) a) e} p V ( "'q) {"' p) V ("' q) b)
31. a)
33.
3-
Sin usar tablas de verdad, determinar si las siguientes propos1ciones
c)
32.
Cap.
L6g.i.ca.
18
8 VARIANTES CONDICIONALES Dadas dos proposiciones p y q ción condicional
" p ..... q "
,
con respecto a la proposi-
se pueden presentar las. siguientes varian -
tes condici onales que contienen a p y q : llamada l a PROPOS ICION RECIPROCA de p-+ q q ..... p llamada la PROPOSICION INVERSA de p -+ q · "'p ..... "-q 11 amada la PROPOSICION CONTRAPOSITIVA de p -+ q "'q _.,. "'P
20
Ca.p. 1
fup. f
Lóg.i..c.a.
9 INFERENCIA LOGICA Ó ARGUMENTO LOGICO Las tablas de verdad de estas cuatro condicionales son RECIPROCA
CONO 1CIOtW.
V
F
p
"'p
V V F V
V F V V
V F
V V F F
q .....
p- q
q
p
"'q .... "'P
"-q
-+
Se llama INFERENCIA LOGICA 6 ARGUMENTO (LOGICO) condicional áe la forma
CON TRAPOS 1TI Vio
INVERSA
V V
V
F V
V V
( P1
F
Una proposici6n condicional p -+ q y su contrapositi-· va "' q .... "'p sf son L6gic"amente Equivalentes. (Ver la
2) Si la con_dicional {*) no es una Tautologfa entonces se denomina FALACIA.
El valor de verdad de un Argumento se determina como sigue.
de nuestros conocimientos escolares sabemos que ro que su rectproco q + p es falso. 8.3
APLICACION DEL •TEOREMA (8.1) ..
DEFIHICION
p .... q
es verdadero,
~
Sea n un entero positivo.
~
n
2 1) 2 • 4k2 + 4k + 1 • 2(2k + 2k) + 1 2 n2 • 2 k + l donde k1 • 2k + 2k +
p -• q
2 n resulta también ser i11par. es verdadera , y por lo tanto que
? O , entonces
"' q
-+
"'p
El Argumento (*) también es denotado por: P1 • Pz ' • .. • pk
es par entonces n es par. SOLU·C-1 OH . Definimos p : n2 es par , q : n es par • Sus ne2 es impar , q : n es impar • Se nos pide gaciones son p: demostrar que p -+ q es verdadera, es decir que " Si n es 4mpar en2 tonces n es impar • se cumple • En efecto, Si n es impar entonces n • 2k + 1 para algún entero k ~ O ; luego
1 k es un entero 1 Luego, h mos verificado que
2
1
2
n2 • (2k
Un Argumento (*} es verdadero si q es verdadera cuando todas las premisas p , p , ••• , pk son verdaderas. En cualquier otro caso el Argumento (*} es falso.
mostrar que si n
y como
.
Consideremos los siguientes enunciados acerca de un Para-
lelogramo A ; Si A es un cuadrado, entonces A es un rombo Si A es un rombo, entonces A es un cuadrado
q -+ p
(*)
.... q
l) Si la condicional (*) es una TAUTOLOGIA , es decir si es una 1mplicacióK entonces r~cibe el nombre de ARGUMENTO VALIDO 6 Inferencia Válida .
tabla de verdad anterior).
p .... q
pk)
Una inferencia puede ser una tautologta, una contingencia, ó una contradicción.
EJEftPLO
~
A
SIOM'.
quivalentes.
8 .1 · TEOREMA
Pz
donde las proposiciones p , p2 , •• • , pk son llatnadas PREMISAS, y 1 originan como consecuencia otra proposici6n denotada q y llamada CONCLU-
observe que una proposici6n condicional y su recfproca no son L6gicamente E-
8.2
A
a toda
var~n a procedimientos correctos de deducci6n lOgica .
(**)
q
Si el Argumento es VALIDO y las premisas p1 • Pz • ••• pk , son verdaderas , entonces la CONCLUSION q es
9.1 TEOREMA
verdadera.
PRUEBA
Siendo un argumento (inferenc,a)
válido, la condicional
{*)
{p ,. p ,.. • • P1c.) ~ q es una tautolog1a, en la que (p 1 ,. P.2 ,. •• 2 1 • • ,.. pk) es verdadera (pues cada Pi , p2 , ..... pk lo es) 11e donde la. única posibilidad para la CONCLUSlON q es que sea verdadera (si fuese falsa. la condicional serfa falsa y la inferencia no serfa VALIDA contradiciendo la A
hip6tesis). 9. 2
OBSERVAC I OH
9. 3
NO TAC 1011
es verdadPro , que es lo querhmos demostrar. A continuac10n estudiaremos un tipo d~ condicionales que nos 11!
l-
Una inferencia no se modifica si una o varias de las proposiciones componentes Pi • P2 • "· • Pk • q se reemplazan por otra u otra que sean EQUIVALENTES. Un argumento
(pi ,.. p2 ,.. • ..
,. Pk.} .... q
tambHn
C4p. 1
ln6eAenc.la. Lógic4
22
E.;E!'1PLO:
donde los tres puntos
-9.4
u
23
: cu:a •al idez ha sidu demostrada en el EJERCICIO (9.4).
se denota en la forma siguiente:
se leen
f cP. 1
Luis viajar!
poi!. lo taltto " •
. 9. 6. 2
Demostrar que el siguiente Argumento es Vllido :
EJERCICIO
SI Luis gana el concurso, entonces viajar& a Espafta Luis gana el concurso
INFERENCIAS VALIDAS NOTABLES ftETODOS DE DE~OSTRACIOI
[(p .... q)
LEY TRANSITIVA
p .... q q .... r
por lo ta~to el siguiente es un ARGUMENTO LOGICO váli..dD:
p
(p .... r)
=o
LEY DEL SILOGISMO DISYUNTIVO ((p
V
q)
"'
("- p))
::=:>
q
esquematizada por: p .... q
p
p
"' p
q
V
q
q
Ca:p. 1
24
J R IC 1O
Gladys tiene un carnet o una Libreta Electoral Gladys no tiene ningún carnet
EJEMPLO:
................................................ (Por lo tanto) Gladys tiene una Libreta Electoral
9.6.5
LEY DEL DILEMA CONSTRUCTIVO [(p .... q}
A
(r .... s) ,.. (p v r)]
=
(q v s)
(p ... "-q) ,
a)
(p
(r..,. q)
-+
"'q) •
(r-+ p)
• q
SOLUCION De las impl1cac1ones ya conocidas tenemos que a) Si reempluamos (r..,. q) por su equivalente ("' q .... ""r) entonces: [(p- "-q) ,.. ("'q-+ "'r)] = (p -+ "-rl por la Ley del Sil09ismo Hipotético b) Por conmutat1vidad tenemos
esquematizada por:
p -+ q
r
-+
[ ( r .... P} ,.. ( P .... "' q) ,.. q ]
s
p·
V
r
q
V
S
9.8 Si Pepito toma bebidas heladas, entonces se resfriar! Si Rosa no llega a tiempo, se quedar! sin ver la obra Pepito toma .bebidas ·heladas o Rosa no 11eg6 a tiempo
EJEMPLO:
....................................................... (Por lo tanto) Pepito se resfriar! o Rosa se quedar! sin ver la obra.
9.6.6 a)
LEYES DE SIKPLIFICACION p
A
q
=
esquematizadas por:
EJEMPLO:
9.6.7
p "' q
b}
p p
..
=
q
q
p
q
"'r
(Ley del Modus Ponendo Poneos) (Ley del Modus Tollendo Tollens)
"'q) ,.. q]
"ETODOS DE DEMOSTRACIOK Cuando se utiliza un Argumento L6gi~o V!lido en la. fonna:
.
(I)
para una ciert~ Demostraci6n, entonces se dice que se ha empleado un METDDO DI~ECTO DE DEMOSTRACION. En cambio, si consideramos la ne.gad.óll de. la. conchu.lóit q y de wut de. la.6 piwn.c:.46 P¡ , Pz , • • • , plt , digamos de p 1 y se construye
probareroos
..
~ue
e e Aruume11to Llig1co (11) es equivalente al Argumento {I): pk ] ..,. "' P1
[("' q) ,. Pz "' -
"'[("' q) "'- P2
-
q
-
( P1 "' P2 ,.
V ("' (p2
9.8 1 V
-+
(II)
LEY DE LA ADICIOH (p
=
p
q
=
((r
el siguiente Argumento
Ningún estudiante es ocioso y Carlos es un excelente pfanfsta. Por lo tanto, ningún estudiante es ocioso.
p
=
,. •••
J
v "'P1
,. '.' " plt "' P1 })
plt )
DEFINICIOft
q)
,.. Pk
-+ q
-
=q
v ["'(Pz ,.. ••• ,.. plt)] v "'P1
"' ( p l "' :
Pz " •' • "' p~ )
v
q
ARGUMENTO (1 )
Cuando se desea f'11pléar el Argumento V5.lido (II} en una Oemostraci6n. se dice que se est~ aplicando
el METOOO INDIRECTO li M~todo por Reducci6n al Absurdo. EJEMPLO:
Todos los poetas son desordenado\. Luego, los poetas son desordenados o son temperamentales.
9,8.2
HOTA
La ap11caci6n del METODO INDIRECTO consiste en considerar
..
., Cap. '
Aqu f hemos demostrado que no ew.te IU.ngÚJl
1
9.8.3
que
EJERCICIO
q '-+ p
q
/
V S
'\, s
(q
A
q
-
[p
-
'\, (q A '\, s)
A
s)
V
p
-
A
[( '\,q
("'
(q
'\,
(
(
V
'\,
PROBLEMA
SOLUCIOH q2 " 2
V
p)
A
"-S)] -
APLICACIONES A ENUNCIADOS
F}
A
(
A
'\,
- V
V
V
s}
[(p ~ q}
-
(q
V
p
_
p
v V
V s)
-
V '\,
V
(q
V s)
A
_
[p
-
p
A
.. -
q " ~
=
=
n es par también (por· un Ejercicio previo) = n • 2 k2 para algún entero k • De aqut resul~ que ambos m y n tienen como faf 2
(
"-P)] -
("-q
V '\, q
TAUTOLOGIA
m , con m , n enteros priDemostrar que: si q n mos entre sf (no tiene factores comunes, excepto el 1), entonces q2 ~ 7 . "'
q :
Llueve
llueve, Julia se resfriar! Julia no se resfrió
·············· ··············· No llovió
Julia esta resfriada [(p ... q)
b)
"-q
"'{[("-p)vq]A"-p}v("-q)
a)
s)]-+ "'(q v s}
s) -+ '\, (q V s)
=
p:
r
~i
Escribamos los argumentos en fonna s i.mból i ca ~)
Supongamos que se cumple la negación de la tesis, es decir que para
no se resfrió
TAUTOLOGlA
s}
V
s)] -+ '\, ( q
("-
............................... ~ulia
no es racional.
Determinar la validez de los Argumentos:
EJEMPLO··
Si º llueve, Julia se resfriara No 11ovi6
p
, con m y n enteros primos entre st9 luego 2 2 q 2 "' 2 = (m/n) 2 " 2 ""' m • 2n (*) m2 es par , pues n es un entero =-- m también es par (por un Ejercicio anterior), m " 2 k1 para algún entero k1 = 2 2 2 2 2 en (*) : 4 kl • 2 n n • 2 kl n es par
=
9.11
A p) ' v p V
/2
El número
COROLARIO
SOLUCION
s)] -+ '\, ( q
~ p)
"'P) v
A
p
A
A
,.. "-S
'\,(q A "-S}
-
p}
v ( (q v s} v "' ( q v s)
p
9.9
V
p)
V
[{ ("- q
p)
V
"-(q
[( '\,q
-
(q
A
Probaremos que la siguiente condicional es Tautológica
METODO INDIRECTO: [ ( q - •P)
-
p
V ( "-
p
"-S]-+
A
"-S ] -
A
nií.meJtp Jt..a.Ci.ona.l q .tc.l
" 2 •
9.10
a)
METODO DIRECTO: p)
q
9.11.1
p
[(q -
2
Util ice los dos mHodos: Directo e Indirecto para
comprobar la validez del Argumento:
l
tor común al número 2 contradiciendo la hipótesis acerca de m y n, de ser primos entre st. Asf, hemos conclufdo nuestra demostración, mediante una aplicaci~n del METODO INDIRECTO ó por Reducción al Absurdo.
como una premisa a la negación de la conclusión, es decir ~q • Y se de inferir validamente la negación de a!gwt4 de lA.I> p11.em.Ua.4, considelas demas verdaderas. Para efectos de la prueba previa se trató de i.!!, "' p , la negación de la premisa p1 •
ahora trata rando ferir
[(p
b)
-
+
•
q) ,:
'\, { ("' p)
v p)] v("-q)
-
'\, { ("- p)
-
(p
V
"-
("-q)]-+ "'P
A
V
(q
A
q) ,.. (p
'\,
p)} V("- q)
V "- q~
No es una Tautologfa pues depende de los ·valores que tomen p y q. Ast, (a) NO ES VALIDO, es Falacia. ( "-q)] + "'P - "-{[("-p) V q] ,. "'G } V ("- p) (p V "'P) V q p V q V "'P ( ~ q) } V ( "- p)
-
.
-
Luego, (b) es VALIDO. TAUTOLOGIA V V V q = En este caso (b) , también pudimos haber aplica~o la Ley del ~odus Tollendo Tollens directamente.
9.11. 2 EJEMPLO
Comprobar la validez del Argumento; 0
Si estudio, entonce s no me desaprueban MatemH1cas Sf no voy a nadar, entonces estud.io Pero, me desaprobaron Hatem~tfcas
..................................................... (Por lo tanto) Me-fut a nadar
Ca.p. ¡
Ca.p. ¡
28
Me desaprueban
p : Yo estudio • _q r : Me voy a nadar.
SOLUCJOH El argumento es
=
-
(("-r-+"-q)Aq] ·
SILOG. HIP.
c)
[("-r-+p)A(p -"-q)Aq]
=
b)
pAq .... p .... q
("' p)
r
Asl. hemos comprobado que el Argumento dado es una IMPLICACION (condicional tautológica), es decir que es un ARGUMENTO VALIDO.
d)
A (p V q) (p V q) -+ r r .. s
p
MODUS TOLL.
p (-vp
-+
SUG: v
"-S)-+
("-P
A
V
"'q
r -+ "'q p ..... q "'r -+ s p
s e)
(p A q) -+ (r A s) (-vq) V ("-S)
"' q
L~eqo.
((p-+ "'q) A ("-r-+ p) A q]-+ r
[(p-"'q)A('\.r-+p)Aq]
a)
Mate~ticas
"'r)
s
r
,
Algunos se prueban mejor por el método indirecto.
Verificar la validez del argumento
9.11.3 EJERCICIO
s
fn el cumpleaños de mi esposa la llevaré a cenar afuera Es el cumpleaños de mi esposa o trabajo hasta tarde Hoy no llevé a mi esposa a cenar afuera
2.
······················································· Por lo tanto, hoy trabajé hasta tarde
Sea n un número entero , demostrar que si n2 es múltipl~ de 3, enton ces n es también múltiplo de 3 •. SUG: n no múltiplo de 3 equivale a que n = 3k + 1 ó n = 3k + 2 , para k entero. Probar para cada caso.
Sea n un entero, demostrar que si n2 es múltiplo ~e 5, entonces n es también múltiplo de S. 4: Sea n un entero. Demostrar que si n2 es múlti plo de 6, entonces n también es múltiplo de 6. SUG: n es múltiplo de 6 si y solo si n es 2 A j .
3.
SOLUCION p : Es el cumpleaños de mi esposa r : Hoy trabajo hasta tarde q : ~a llevaré a cenar afuera , Verificaremos que el argumento: es una Tautologla. En efecto, l(p
q) A (p [ ("' p)
.......;.
MODUS TOLL.
V
r) A "'q) (.P
V
r)
[(p -+ q) A (p v r) A ("' q)] ..... r
-
[(p .... q)
[("-P
A
"'P,. r
A
NOTA
"-Q)
A
=
r)]
(Ley de Simplif.)
r
=
r
.
Del desarrollo de la Solución del Ejercicio previo. vemos que el siguiente es también un ARGUMENTO VALIDO:
Por lo tanto. hoy no es el cumpleanos de mi esposa SlRIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS l. Verifique la validez de los siguientes argumentos:
. 6.
7.
Tautologla
En el cumpleaños de mi esposa la ll~varé a cenar afuera Es el cúmpleaños de mi esposa o trabajo hasta tarde Hoy no llevé a mi esposa a cenar afuera .
s. Sea n un entero. Demostrar que si n3 es múltiplo de
(p v r)]
p) v (-vp
Por lo tanto. [(p -+- q) A (p v r) A ("- q)] de modo que el Argumento dado es VALIDO.
9.11.4
(
(*)
es múltiplo de 2. Demostrar que no existe ningún número racional
2, el)tonces 2
q tal que: q
•
n
3.
3
Demostrar que no existe ningún número racional q tal que: q = 2,
8. Dados los argumentos .iguientes, determinar en cada caso si es un Argumeh to VSlido o si es una Falacia traduciendo previamente a s~mbolos: a)
Si 6 es 1mpar, entonces 4 no divide a 7 5 no es primo o 4 divide a 7 Pero 5 es primo ,. 6 es par (no impar)
...................... .................... b)
Trabajo o apruebo MatemH1cas Si trabajo no puedo estudiar Aprobé Mate~tf cas
................................ Por lo tanto. yo
estudi~
Ca.p. l
31
Cap. 1
que se fundamenta la teorfa del funcionamiento de las Cal culadoras Eléctr6nicas, Microcomputadoras, Computadoras.
Si trabajo no puedo estudiar Estudio o apruebo MatemUicas Trabajé
c)
=V
1
O -
(verdadero) ;
F (falso}
................ ............. . "
10.2 CIRCUITOS EN SERIE
Por lo tanto, aprobé Hatemciticas
RPTA:
VHido: { [(p _... "-q) b) Falacia: { ((p v r)
a)
e)
Vci1ido: { [( p -+
"'
Son aquellos provistos de dos interruptores
r v· q) ,.. r] .... "'p} :
A
("'
A
(p .... "-q)
A
r] .... q} :
V
p,.. "'q ,.. r
10 CIRCUITOS BocLEANOS CLOGICOS) Un circuito eléctrico es un ensamblaje de inte~tores automciticos que permiten el paso de la corriente eléctrica, o la interrumpen. Se puede representar un interruptor mediante una proposici6n p , y viceversa,· de modo qué se identifique el valol" VERDADERO de la pro posici6n p con el PASO DE LA CORRIENTE , en cuyo caso se dice que • e1. ~ cu.lto eA.t..i ce.M4do" ; y el valor FALSO con la IHTERRUPCtOK DE LA CORRIEN-
p. O>----•...;,._.
--o
circuito cerrado (pa.Aa. co/IJÚe.nte: V )
~·eA.t..i
p ,.. q
(no pa.44. co~: F )
"'P , en-
corriente. Cuando est~ pasando la corriente denotaremos esta situacf6n con el valor V 6 sino t H1b1én con el número 1 ; y cuan do no circule la corriente d1.111··larcmos a esta situac16n con el valor F (Falso) .6 sino t 111blén con el número O Es precisamente en base a .esto• dos valores O y 1 en los
----JI q
pasa corriente
Pe;o precisamente esto corresponde a la tabla de verdad de la CONJUHCION
circuito abierto
cuando por el interruptor p e\tl pasando corriente, por el interruptor "' p estarci interrumpido el paso; y cuando por p se encuentre interrumpido el pasQ de la corr1tnte, por "'p estarci circulando la
10.l MOTA
p
o--------
<>-o-----~ ----o
..
no pasa corrien te. -
de modo que en todo el circuito pasar& la corriente solamente en el caso en que ambos p y q se encuentren cerrados (ambos tienen el vil,lor 1) como sigue
p
q
p ,.. q
l
1
1
1
o
o o
1.
o ·o o
a.b.i.ellhl • •
Si en un complejo de interruptores aparecen tanto p como tonces:
-/.
q) ,.. ( q v r) ,.. p ] .... r } : V
TE , eñ cuyo caso se dice que • e1.
conectados en
P Y q
SERIE
o
de donde vemos que basta que uno de ellos est.i abierto (O) para que no circule la corriente en todo el circuito:
o---· _ _ / p
A la expresi6n
q
p ,.. q
·-----o
p • 1 q •
o
se le llama la FUNCION BOOLEANA del CIRCUI-
TO EH SERIE.
10,3
CIRCUITOS ER PARALELO Son aquellos circuitos provistos de dos interruptores
p y q conec
Cap. 1
'-9'· J
do (en el que la corr1•·ntf' $1empr
n la
computadoras no
son de utilidad evidentemente.
tados en PARALELO
Expresar mediante funciones Booleanas los circuitos:
10.6 PROBLEMA pasa corriente
o)
a)
q
circ e la corriente en el circuito es suficiente que al de modo que para que ~' est~ cerrado ( 1 ) ; y solamente deja guno de los interruptores p o q (ambos: O) r! de circular la ~orriente si ambos est~n abiertos
,SOLUCIOH a)
p
b}
(p
no pasa corriente
A
p
q
p V q
1
l
l
l
o
o
1
l l
o
o
o
10.4 SIMBOLOGIA
V
a)
A la expresi6n p v q se le llama la FUHCIOH BOOLEANA del CIRCUITO EN b)
De ~quf en adelante esquematizaremos a un interruptor p simplemente co~
p -
q
:
( "- p)
p A q
l(J.8
NOTA
q
~-·=rq
=
(pv q),. (("-p}
e
(p ,. "-Q)
q
>1
V
(11.q}]
(q ,.. "-P)
--[
"'q
q --
"'P
..
Simplificar el siguiente circuito
PROBLE"A
..
/
t~3-C SOLUCION
10,S
V
-[ p }[''} -
EJEMPLOS:
Una TAUTOLOGIA se representa por un ~o ALvnpll~·C~
p A .Q
p - - 11.q}
p
p V q
b}
q
(paralelo)
PARALELO.
p
p -
SOLUCIOll
q
•
p ,.. q
"'P)
q)v{[("-p)vr]A"-Q}
a)
P
V
Construir el circuito L6gico de las Funciones Booleanas
10.7 PROBLEMA tabla de verdad de la DISYUHCIOH Esto precisamente corresponde a la
(q
La func16n Booleana del circuito es : (p
V
q v{("-p),. (11.q)}),.. ((11.j)}
V
q]" p
Ca.p. 1
Ca.p. 1
34 -
que al simplificar resulta : ( { p V ("- p) V q} ,. (p [ V ,.. V ]
F
V
(q
A
A
[
(
p)
"'P -
p)
q
V (q
"-q)) ,. (("- p)
V
. p)]
-
V
V ,. [ F
V
(q
a)
,. (p
q) ]
-
Luego, el circuito
p ... q
.~:]-·
r
-
"-Q
~
q - -. 'l.op
5~·..-
p -
~
~~ q
~
Simplificar el circuito
.~...--.: ____¡L
: LC -r-3-C
•> ..
---'-<>
---o
Simplificar el circuito
I
~ :.J-C~.r
b)
q
SER IE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
(q tJ. p) : iA cual de los siguientes circuitos equivale? c)
p --
e l cua 1 por contener so1amente dos 11 aves: hara que se ahorren 6 de las a llaves lo que corresponde a un ahorro de I/. 300.00 • Asf, el costo del circuito ser~ tan solo de I/. 100.00 (cien intis) •
Dado el circuito correspondiente a la funci6n booleana
. p
r
e>---
... p))
q
p
q .. p . .
-+
(
q) " p
El circuito reducido equivalente es por lo tanto
(p . tJ. q)
V
equivalente mas simple es: V
q ,., p
10.9 PROBLEM
(p " q)
r
p
Se puede verificar que :
SOLIJC 1Off
( p !J. q) .... ( q !J. p) -
"-[(p v. q)
'l.(p
'\o
q))
(p !J. q] V
((q
~Simplificar el circuito
V
V
"-q
(q
(¡.
p) ,.,
p]
"-(Q ,.
p)]
: V - p
V
'\o
p
Por. lo tanto., el circuito dado as equivalente al circuito (a) •
10.10 · PROBLEP!A
Si el costo de cada llave .eri la instalaci!!ft adyace!l te es de I/. 50.00 (cincuenta intis) • Len cua!l to se reducirá el costo de la insta1ac10n si se reemplaza este circuito por
=r-:
-CPJ-~"1mplol -[~-e,: uno equivalente
~
q
"'P
4. l A cual (o cuales) de los siguientes circuitos le corresponde la propos:i ci6n: "-[p+ "'(q v r)]? e)
a) o
q
SOLUCIOlt [ p ,., (p
V
La funci6n Booleana del circuito e•. q) ,., q ] V [ r ... ( "'r V q) ,. p ]
E
o-p-c:J-o
Cap. 1
Cap. J
8. b)
Ha llar el circuito lógico más s imp le que represente a
o-- p - q - r - - < >
~----l:e::
equivale de los circuitos siguientes 5. l A cu~l 6 cuáles { [(r
b)
-
p
0--
a-C
V
'Vr }
A
q
-
r
~
?
q
p
]-
r
q
- ~
d)
a-C J..
q
p
d)
p
y
~
q
1
V V F
V
F V V
F
F V F
1
V
a) ~
"'P
p
-
-vq
..
--0
-vq
b)
.-[-{ '-~ - - "'P
-[
"' [ ( p v "' q) v ( p "
... ("' q)
]-
p
/ . . Hallar el circuito lógico más simple pa ra la
q
-vq
c)
10. Dado el .siguiente circuito traducirl o al lenguaje lógko forma l y transformarlo en un circuito equivalente más simple :
.
esquema adjunla tabla de verdad de cierta proposición es conio la del Si cu~l(es) de los siguientes circuitos le corresponde ? to, l a p
"' r
Hallar el circuito lógico más simple correspondi ente a
0--
-v(p ... q)
b)
q --o
p
c)
---e
,P
( "' p) .,_... [ p .... -vq ]
-vr
p
A
9.
q
cu~l de las siguient~s proposiciones le c.orresponde
a)
r
o-["'Pf
El circuito
¿ a
7.
q) ·.. p)
c)
a)
6.
V
"' r) v
~Simplificar el si~uiente circuito
I
· . , J" -' q q ] { ,
-Le
~iguiente
"' ( r v q 'v
fu ncfón booleana . :
"' p) ]
-c,x-,lógico:
"-q-p
.
~.;J-
q-[
q
q
.
.
13. Sea M la proposición más simplificada del circuito
q p
J-C[_~ "' q "' r "- r -
q
p p
-
~qT
"'P- -vq
r - - -vq Y sea N la pr opos i ci ón m~s simpli ficada del circuito cor respondiente p
construir el circuito lógicó mas simplificado que corresponde a la prop2 s ici ón N ... M · l'4. Sea A la proposición lógica más simple del circuito
!·
CONJUNTOS (p * q) • (p (p .... q) · Hallar
y· B la proposición lógica más simple de la proposición:
*
donde [(p
.... "'Q).
q) .... . F ), es equivalente a:
el valor de verdad de la proposición
l CONJUNTOS Se entiende por CONJUNTO a una colecdón, agrupac1ón o reunión de objetos llamados ELEMENTOS , y que puede ser· determinado ya sea :
A ..... B •
CLAVE DE RESPUESTAS
a)
POR EXTENS!ON:
l.
b)
POR COMPRENSION : •
s.
·4. Solo (c) ; 8.
¡-
-
Solo (d) ;
6. Solo (b)
p
A
A
( [
lJ.
q)
q "' ("- p) pvq
1.2 ~-
q
~
:
r
~-
q -
conjunto A
"'p
/
o-C~r
·A
M: p v [r ,.. "'q] , N: p ,.. (q v r) • Luego, N + M E V (Tautologta) , y su circuito correspond1ent~ es el de un circuito siempre A ..... B :
v
(tautologta).
por la relación: · (p * q) ..;:=::;>
"'(p * q)
=. p .. q =
Note que la operación +
F ;: P .... q (p
* q)'
Sea A el conjunto formado por los números positivos impan·s menores que 11 , entonces se puede representar a 1
EJEl'IPLO
t
s
cerrado (por el que siempr.e está pasando la cnrriente). 1 4
Para representar a los conjuntos se utilizan letras mayú~ culas A , .B , ••• , y para representar a sus eleme_!! tos se usan letras min6sculas a , b, x., , entre un par de llaves.
1.1 NO TAC ION
-
t • (q · v "'s)
p
12.
A
-=>
= "'(p ...
q)
p * q está definida "-(P * q) V F = p + " q •
a)
POR EXTENS ION :
b)
POR COMPRENSION
y se lee
A =
{ 1 , J , 5 , 7 ,.9 }
1
x. / x. es un número entero impar positivo menor que- 11 }
=
ó .sino también A = { x. : M
x. es un número entero impar positivo menor que 11 }
A es el con~unto de los x. TALES QUE x. es un número entero im-.
par positivo menor que 11 1.3
cuando e.x iste una propiedad o condición que es C.Q..
múri a todqs sus elementos, de ta l manera que ai considerar cualquiP.r ob jeto existente dentro de un contexto de estudio, se pueda es t abh·cer sin ambiguedad si es o no un elemento de tal colección ..
q • { p v ( s • "' q) } ) v [ r "' { ( s • p). v "' q } ) )
·. 11:
"'(p
~
"-S
~p--r--J 10•.
7. Solo (b):
cuando sus elementos esUn indicados exp lkitamente,
NOTACION
u.
Si un objeto :t es elemento de un conjunto A se di ce qui'
Cap. 2
Cort]un.to<'>
40
" x. pertenece al conjunto A • ,
tambi_~n
6
" x. es U en el conjunto A "
que
(a, b)
En el conjunto A del EJEMPLO 1.2 , 7 t A , pero 4 f. A • Es importante saber que un conjunto tambi~n puede ser un elemento de algún otro conjunto . ;
O
A ,
C>
A
t
O t B
B
{5}}
{l},
{ { o}
B
•
1tO
{ x
-
a S
X
< b
(a,b)
s{x.clR/
a <
it
S b
"
z Q
1os números enteros }
= { los
racionales }
=
)(.
1
. -
-
2 '
IR •
[a, b)
R b
a -
(a, b]
a>
{ x /
los números comp 1e jos }
x. • a + b i
donde
z+ •
b
a
{ l os enteros· positivos}.
Z-
= { los enterós negativos } •
z~
" ·{ x. ¡
x. =o 6
x.
E.
i •
z+}"
a y b
&
IR }
D> RAYOS (a • "')
{xclR/
. [a • "')
s{xclR/
/...,¡
{ 1 . 2. 3' { ••• ,
,
-3 ,
•..
}
-2
-1
i ~ 2, J,
• .,.
Análogamente se tienen lo~ conjuntos Q+,
IR+ ,
Q- ,
IR- ,
-
a>
-
Q~
Q~
(1)
etc •
INTERVALOS
[a,b]
(-"'· b)
•
( - m,b)
Son conjuntos de números definidos mediante la· relaci6n de orden en el campo de los números reales , y son de varios tipos.
a{X:tlR/
a~x.Sb
x. • a
y
(1)
[a, m)
a>
e IR /
{
X.
{
X E
IR I
R R )(. < b }
)(. s b
}
a>
(1)
<-
b (1).
(1)
b] b
x • b
a
(a, m)
'(-m,b) -
-
en el cua 1 e.6.tA.1t inch.ú.do<'> !e<'> e.x.tll.emo.6
X ?;
a y los RAYOS :
INTERVALOS CERRADOS
x. > a
que se representan por
}
a
A)
IR
los números reales} = { x / x es racional o x es irracional }
=
C
2.1
a>
b
a>
•
x. tiene representaci6n decimal infinita no peri6dica }
b •
b
(a, b)
a>
n ~ O
, m y n ent-eros,
n
{ X /
los irraciÓnales- } 1R
x. ,, m
/
o'
)(. s
[a , b]
a { 1 , 2 , 3 , -2 ' -1 '
ni
{.tEIR/
cos : los números naturales } "
x• a
(a,b)
a
En Matemáticas los siguientes conjuntos de números son caracterfsti
}
a< x. < b
IR/
E
1;e. ,inclw¡vr. l.c.6 e.x.tll.emo.6
2 CONJUNTOS NUMERICOS. INTERVALOS
IN
"
IHTERVALOS SEKlABlERTOS
por ejemplo, si
{O } &
en el cual
x. i A • •
En caso de no pertenecer x. al conjunto A , se denota •
entonces
INTERVALOS ABIERTOS
x.· E A
y se denota por :
A =
.8)
41
Conjun.to1;
Ca.p. 2
R
Ca.p. 2 Co11ju.n.t.ol>
42
2.2
OBSERVACION
2.3
NOTA
Y simbolizada por 3 x E A ¡ q(x) • , resulta FALSA , pues ningún elemento x de A cumple con la condición q(x) : la de ser un número negativo •
{ los números reales }
(-""' co)
\R
( a }
[a , a)
Ahora, para otro conjunto 6= { 3 , 6 , 9 , ... } • la proposición definida por 11 PARA TOVO x e: B • se cumple la condición r(x.) •
3 CUANTIFICADOR EXISTENCIA~ Y ~ CUANTIFICADOR UNIVERSAL Aqu1 definimos dos nuevas proposiciones relacionadas con ciertas e! presiones p(x) llamadas FUNCIONES ~ROPOSICIONALES que se convierten en proposiciones lógicas cuando la variable x toma algún valor particular.
3.1
resulta VERDADERA , pues .simbolizada por: 't x e: 8 , r(x.) 11 se puede verificar qUl! todo elemento del Sin embargo, para la condici6n p(x.) conjunto B es .múltiplo de 3 • , la proposici6n
Y
EJEMPLOS DE FUHCIONES PROPOSICIONALES
tario
,
11
Dada la función pr.oposicional q(x) : " x. es estudiante universi~ si tú amigo lector reemplazas x. por tu nombre entonces q(x)
se convierte en una proposición lógica.
nes Proposicionales
A= { 1 , 2 , 3 ,
..• } =
ó sino
" EXISTE
ll'.
en A ,
An!logamente, ~e tiene que
11
3
X E
A /
11
.l
X E
A
( poJt. lo menol>)
el.eine.n.to e.A u.n
1_túmeJt.O
En cambio, para la. condición • EXISTE
" PARA TODO
x es un número negativo x. es un múltiplo de 3 •
p(x)
E
A
TAL QUE
..
"' (
p(x) es cier.to•
u.n el.e.men.to del. conju.n.to A, TAL QUE
~
't
X. E
X
E
A /
A ,
"
q(x) dada , la proposición u.n el.e.men.to X E A, TAL· Q.Uc q(x) es cierta •
se ·les llama CUAflfI FI CAVOR UNI VER ~\ respectivamente.
a)
't
X E
z+
b)
.:i
X E
z+ /
p(x)
p(l()
·_
J
't
~
x e: A , "'p(l()
X. E
A /
"'p(x)
x2 - 6x + 5
=O 2 x - 6x + 5 " O
x2 - 6x. + 5 " (x-·l)(x-5) " O Como la ecuación dada tiene solamente dos soluciones x = 1 y x " 5 , ambas en .z + , entonces pues pata que sea verdadera, la ecuación dada deberfa (a) es FALSA , cump l f rse pa.JUZ. .todo4 loli en.te.1to1i po1.ilivoli de. Z+ , p~
SOLUC I O.N d,i,cho
la condición p(x) no se cumple "
Ind1c.ir el valor de las .siguientes proposicione~ para el conjunto z+ " { l" 2 • 3 ..• '} y negarlas
3.4 EJEl'IPLO
11
p(x) A puede
ntttu/LCLl
..J
•
3.3. NEGACIONES Df PROPOSICIONES CON ~UANTIFICADORES
q(x.)
x
y
'f
y CUANTIFICAVOR EXISTENCIAL '
- "' ( 3'
por: X "' .4 • ~er VERDADERA , pues tal X E resulta Expltc1tamente , la proposición anterior se interpreta como tamb1~n
A estos sfmbolos SAL
x. es un número natural par
" EXISTE ( polt. lo me.nol>) u.n el.e.me n.to
y simbolizada por:
resulta FALSA , pues no es simbolizada por: 't ~ E 8 , p(x) cierto que todo e 1emento de B sea par• ya que existen elemento~ en B, como el número 3 que no es par (adem!s de 9 • 15 • 21 • etc, por supuesto).
Y
IN. , y las Funcio-
se tiene que la siguiente proposición
se cumple la condición p(x.) • 11
p(x) r(x.}
x E B •
Negar el hecho que exista algún elemento l( de A tal que p(x) se cumpla , equivale a afirmar que ningún elemento x de · A satisface la condi ción p(x) ; es decfr que
CUAHTIFICADOR EXISTENCIAL .Y CUAHTIFICADOR UNIVERSAL Dado el conjunto
PARA TOVO
"
La expresi6n p(x) : x. + 1 = 2 no es una proposición lógica en el sentido que no se le puede asignar un valor de VERDADERO o de FALSO , a me.1106 qu.e H le dé. u.n va.loJt. pa!Lli-.cul..aJr. a. la. ·va.M..a.bl.e. x : - si x = 1 p(_l) 1 +1 2 · es VERDADERO s1 x = 5 p( 5) = 5 + 1 = 2 es FALSO
3.2
43
Cap. 2
Cap. 2
Cttp. 2
Co11jun.to4
_
_ _ _ _ __
_:!.,?
'1'i
Conju.n-to4
44
x. • l
ro eso no es cierto ya que solo se cumple para
dad de cada una de las propos i ci ones siguientes e i ndi car sus negaciones : x2 + 3y < 12 a) 'f X E A ' 't IJ e: A
Y
5 • y x. • 5 en pues existen !!ill! dos soluciones x. z+ , y solo hubiese bastado con una d•• las soluci onP.~ .
X "
(b) es VERDADERA ,
las negaciones correspondientes son: '\.{
para (a) :
'f
e;
z+
X
E:
Z+ /
"' ( x2 ·_ 6x + 5
X
e;
.z.+ /
x. 2 - 6x. + 5 1
la cual es VERDADERA ,
"-( 3
para (b)
x· e: z+ /
'f
x
pues para x
2 x - 6x + 5 se hace
= 1,
c~
Simplificar y negar la. siguiente pro pos ici6n compuesta:
..J
"'p :
x
3
( b) :
p :
't
x E Z ,
l
3
x
x es irracional
x es par
es impar
"' q :
¡
't
x
&
{c):
x.
E
A l
IR ,
[ { p ,.. q) -+- "' p )
5
E
[ p
V
{p
[ p
-+
{p
(
"'P
{"- p
V
V
q)) V
(p
p)
q)) V
+-+
.[ { q
_,. (q ,.. [(p
V
q)
q)] ,. [ "'{P
( 'l. q
V
p)
p)
V
V
p
V
-
p
++
(p
V
q)
V
V
y,.[("'P ""' q)vp]
p ) ( p V "' q)
( "' P) ,. q
p
Sea
V
('U q)
.,;
cuya t raducci6n
Exi sten números ent eros pares y ex i sten númer os rea les
PROBLErlA •
q)
p ]
-+
la negac i 6n cor re spondi ente es por lo t anto: 11
y simplificando:
p) .... 'U q )
V
"' ( 'f y
A I .3
E
A ,
x
it
't:
e: A
'f IJ
11
..
irracionales~·.
A ,. { 1 , Z ; 3 } • Determi nar el valor de ver-
+ 3y ?. 12
E.
s~mbo lo
y ~ 3) V Bastaba con una parej a.
para
3 x. E A / 'f 1J e: A 't. x e: A , 3 y E A / X
2
IJ ,. 2) V (X " l '
x.
't
x
IJ " 3 e: A • no se cumple que 2 X + Jy < 12
1J '" 2) •
y e: A /
x.
entonces x es racional
ast, la proposición dada · se pu'ede simbolizar como
3.6
.:l
« 12)
x
2
+ 3y < 12 )
2
+ ly ?. 12
2
+
2
jlJ ::
12
+ 3y :: 12
2 x. + 3y :: 12
A•
.3 !
es lefdo como Por ejempl o, ' a proposición
·q :
Z /
E
2
"-( x + 3y
( *) x = 3 e: A no· existe ningún IJ e: A que haga cum· pl ir (*) : x2 + 3y < 12 tal x e: A puede ser x. " l • y solamente este va l or. ta 1es x e: A • ·!/ e A pueden ser : •
3.7 lfOTACION El
IR /
+ 3!{ < 12
pues para
cada número real es racional • E
2
x = 2 e: A
pues para
( d):
Sean
X
Estableciendo que:
Todos los número·S enteros son impares y existen números reales irrac ionales, si existe algún entero par; si y solo si , hay algún núlll! ro real irracional o cualquier número entero es impar, si es que
SOLUCIOH
IJ e: A I
las negaciones correspondientes son,
•
3. 5 .PROBLEMA
es :
..:r
I
)
(a):
ro.
11
A
+ 3y . < 12 .
x2 + 3y < 12
(c ) es VERDADERA- , (d) es VERDADERA , (x • 1 , y " 1) V (x. : l ' (x • 2 , · y a l) v (x " 2 ,
= O'
- 6x + 5 "' O x2 - 6°x + 5 1 O
>txe:z+,
la cual es FALSA ,
E
X
=2
"' { x.2
Z+. ,
E:
X
.]-
li es FALSA •
pues se cumple por ejemplo para
. x2 - 6x + 5
d)
(
o
z+
e:
c)
E· A
(a) es FALSA •
O)
x2
.l !{ e: A I I 'f !{ e: A
X E A •
'f
·.J x
SOLUCION
x2 - .6x + 5 "' O
X
b) .
es simbo 1iza da por:
11
EXISTE l 1N liNICO entero x. ta 1 que 11
.3 l x e:
z
¡
EXISTE UN UNICO 3 < x.3 + 2 < 12 •
3 < x.3 + 2 < 12 •
.
Note que esta propos i c16n es VERDADERA pues si bien ·e s cierto que la inecua •, ' · ci ón és por muchos números :eales , solamente uno de el l os es UN EN • · •· TERO, a saber x • 2 •
satisfe~ha
Sean A= { 2, 3, 8 } • B'" \ l, 2, 7 } • lcuSl es son verdaderas?: 1) .3 x E A ¡ .lf IJ· e: s , x + y ?. 9 ;
3.8 EJERC I CIO 11)
:J
Ul) . .lf
.Rfil :
3 Yp !12
" l' xz e A X. E
A. Jf IJ
Todas
E
B•
E .B
I
" · + 2y < 23
2( x1 + x.2) ~ IJ1 +. Y2
a)
Jf x. • 3-IJ
b)
$X. '·
RPTA:
= 1)
;
:1 z /
Jf IJ •
3 z /
2z > x. :t IJ
Si el profesor no está presente, entonces algunos estudiantes no comple-
tarán su tarea. Algunos estudiantes 'no completaron su tarea o el profesor está ausente. c) El profesor está presente y todos los estudiantes completarán su tarea.
7.
b)
SOLUCIOH El profesor está ausente y todos los estudiantes completaron su tarea. Todos los .estudiantes completaron su tarea y el profesor está presente. c) El profeso~ no está presente o algunos estudiantes completarán su tarea.
a)
8.
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS l. N.egar las siguientes proposiciones para el conjunto a)
'f
X.
E.
l
c)
,l' :t
E
l
+1>
X.
:t2
/
:t
;
= :t
;
b) d)
.J
X. E
't :t
E
Z· de números enteros: 2 Z / :t + 1 Q 2 Z ,, :t - l > Q ,.
2. Determinar el valor ·de verdad de cada una de las proposiciones dadas en el
't :t E IR
b)
3 :t
c)
.l :t :l :t
E
t
A /
c/
:l y 't
E
lj E
8 /
B •
p(:t)
p(':t)
A
V
q{y) [ "-q{y)]
4. Demostrar que: "' ( 't
K
E
A,
p(x)
+
q(:t) ]
5. Negar cada una de las siguientes proposiciones:
E
IR /
'txtlR,
e
[ p(x.)
·>
E
't
A,
(-x)(-y)
E IR •
!{
(-1)
. i,2 :t
X
.. .
p{:t, y, z) q(:t, y) ]
[ q(x) v r{x) )
:f
X E
M /
i;
't:ttM
d)
.3-xtM/
-+
X.y >
o
.. :t l cuiles son verdaderas ?
+ 3 ·~ 10
f:t-eM,.ZycM/
c)
= :tlj
0
M• { l , 2 , 3 , 4 , 5 } ,
Dado
x+r¡~7
:t+3~8
i:+3>6
Dadas las proposiciones: 2 .a) ( 3 X E IN / :t + 2 " 5 ) " ( 't :t E IN x > ~ ) b) [ .'f a E ._z , -a < O ] v [ 3 x E z / .:.x • x ]
3 :t E IR / ¡;;; E IR • l Cuáles son los valores de verdad de sus negaciones, en ese orden? •
e}
10 • . l Cuál de las siguientes proposiciones corresponde a la negación de:
• Para todo entero ! entonces (a + 1) r
el Ejercicio anterior. 3. Negar las siguientes proposiciones: a) 't :t E A 3 y E A / '[ p{:t, !() ,.. q(q) )
B /
E
E
't z
Indicar la verdad o falsedad de: a)
b)
9..
lj
B /
Oe;>strar que la afirmación: • Para todo entero positivo n, el número ~ - n + 41 es un número primo • es FALSA , con un contraejemplo • .
a)
En la siguiente secció'n continuaremos con el estudio formal de los CONJUNTOS y consideraremos a ciertos conjuntos denominados SUBCONJUNTOS.
E
.Todos los americanos están locos. Hay al menos una persona que es feliz todo el tiempo •. Todos los hombres son honestos o algún hombre es un ladrón. Si e 1 número x es menor que 12 , entonces hay un número real • y ' ta 1 que · x2 + y2 - 144 es pos ith:o.
c)
b)
lj
d)
f)
6.
:t E
A~ 3 A I .l
[ .l 1J e A / "'p{y) ] ... 't x
g) Negar las siguientes proposiciones:
E
c)
e)
a) FALSA (para x. = 9 no se cumple) b) FALSA {tal x. sf existe: e) FALSA (para x. = 9 ... y= 9 no existe ningún z E U tal c¡ue
3.10 EJERCICIO
b)
..l
b}
2z > 18 •
a)
't :t
a)
,¡.
< z2 x.2 + 1 < 3y2 ; c) Jf x. ... Jf 1J , x.2 +
41
Confu.l'Lto6
C11p. 2
Dado el Universo U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ¿cuáles de las siguientes. pro~osiciones son verdaderas?
3.9 EJERCICIO
x.
C11p. 2
Co1tf u.nto~
46
existe un entero ! es par • ? :
a)
3
r e Z /
't a e Z
b)
.J r e Z /
't a e Z
e) 3 d) 3
r r
E
Z /
't a
E
Z
E
z/
't
a
E
Z ,
ar ar ar ar
tal que si ar.
es par,
y (11 + 1) r son impares es impar y (a + 1) r es par es par y (a +.l) r es impar es impar y {a + 1) r es par.
11. l Cuál de las siguientes proposiciones sobre Q {racionales) corresponde a la negación de " Para todo número racional r ; existe un número entero p ta 1 que p ·~ r < p + 1 ~ 1 ~
Cap. 2
C1111jun.to4
48
r 3 r .J r J r
e: e: e: e:
3
a) b) c) d)
V p·c
z• z• z• z,
+1 ~
X ,
V p e:
Q/ Q/ Q/ Q/
V p e: V p e:
p ?: r p > r
Conjuní:oA
Cap. 2 4ea
p + l > p. > r
p < p+1 <
r
,•
4ubc.onjun.to de B ;
49
en este caso se denota
A
a) 3
X
e: l /
X
p +1 < r
V
p+ 1
o.o
r
~
2
d) .:% X e: Z / x - 1 5 0 x2 'f x VFVF en ese orden • J. a) :t x e: A / V tJ e: A , p(x, y)
.c) 2.
V x e: Z ,
A
J.
'
x 2 + 1 f. O
V x e: Z ,
b)
V y e: S , . "'p(x)
b) c)
3 y e:
V
s / '\, p(x)
A
"'
q(y)
q(y) q(y)
EJEMPLO
Si A = { 2 ,
A
VfF
10:
11:
(c)
(d) •
*'******
..
B= { 1 , 2 , 3 , 4 }
y
entonces
todo elemento de A es también elemento de B .
4.2
DEFINICIÓN
que
A e4
4.3
DEFINICION
A
9.
4}
A e B • En efecto, por simple inspección se observa que
V y e: S ,
3 x e: A /
4.1
"'
.1 z e: C / "'p(x, y, z) V x e: A , V y e: B , .p(x) "'q(x, y) b) [ . V y e A , p(y) ] v [ ;J x e: A / "' q(x) "'r(x) J c) d) Existe al menos un americano que no esU loco. ·e) . Todas las personas son infelices en algún momento. f)" Ha.y al menos un hombre deshonesto y ningún hombre es ladrón. 2 2 g) x < 12 , y para todo y e: R se cumple que: x + y - 144 5 O 6. n = 41 . ; 7. a) F b) V , c) F 8. Las cuatro •
wa>
B
r
V
CLAVE DE RESPUESTAS l.
q:.
si
ó si
4. 4 EJEltPLO En efecto:
4 INCLU.SION ·DE CONJUNTOS. SUBCONJUNTOS
VADERA ,
A e B , si B tuviese uno o más elementos que no pertenecen al conjunto A, se dice
SUBCONJUWTO PROPIO de B •
wt
A e: B
En el caso en que
Se dice que dos conjuntos A y B son COMPARABLES si alguno de ellos está contenido en el otro. Es dec1r, B e A•
Para cualquier co.n junto A se t iene siempre· que A e A;
V x e: A , la implicación pu~s
la implicaci ón
p ===> p
=
xe:A es. siempre VER· . es una tautologla.
xe:A
Se dice que A es un subconjunto de · B si todo elemento de A es también 'elemento del conjunto B ,
denoUndose en este caso:
Formalmente, esta definición e& simbolizada como sigue: [Vx cA ,
Ae B
A
e B
Se llama asl a todo conjunto que consiste de
4.5 CONJUNTO UNITARIO
..
xe:B]
4olo el.eme.nt.o •
4.6 .. CONJUNTO YACIO 1NULO)
es
<===
Tambi~n se dice que
ni do en B
11
Es aquel conjunto que no tiene. elementos
y se l e denota' con. el sfmbol-0 ' •
ó equivaientemente A
Wt
NOTA,- · 11
A esU incl ufdo en B "
ó que • A está cante-
El conju nto vacfo está inclu~do en todo conjunto; es decir V conjunto A ,
'
e A•
•
La definición fonnal indica el camino a seguir para demostrar que
4.7
CONJUNTO UNIVERSAL
cierto conjunto A es subconjunto de algún conjunto B • De la misma definición se sigue que es suficiente que exista al menos un elemento del conjunto A que no sea elemento de B para que A no
estudio .o contexto particular.
Denotado por U es el que contiene a todos los elementos que están siendo considerados en un También se le llama el UNIVERSO •
Cuando se especifica el Conjunto Universal U, ·cualquier otro con-
Cap. 2
Conju.nto4
Cap. 2
51
50
junto que se considere debe estar contenido en dicho Universo U, Y cualquier
Por ejemplo,
cosa que no esté en U deja de existir.
mediante la definición previa se demuestra fcicilmente que A e B , pues todo elemento de A est~ en B , y todo elemento de B se encuentra en A· de aquf sigue que B tiene en realidad solamente dos elementos." '
4.8
ACB SOLUCION En efecto, x. e: B
A
scc =
Se desea demostrar· que: 't
=
't x· e: A , x e: C
=
e: A
X
=
X
e.
e:
x. e: A ,x e: B [ pues A e 8 ] ( pues B e C ] • Entonces por la Ley Transitiva
(Ley del Silogismo Hip.o tético):
(p
-+
q)
A
(q
A
-+
=
r)
(p ... r)
, se
NOTA
4.13
PROBLEP!A
Demostrar que 4> e A , paJt4 todo conju.n.tc A • PROBLEMA Se desea probar que la implicación: x. e: 4> = x E A es SOLUCIOH VERVAVERA, pero esto es cierto pues la proposici6h"<-t""X E 4> ~ 4.i..emp1t.e. FALSA ya que el conjunto vacío no tiene elementos, y en tal caso, siendo el anteceoente falso, la implicación resulta veJUiadeJU1 • Demostrar que la proposición A
"4.HI
son unitarios, probar que
A
rf
B
r:f:
"<(A e B)
"' ( 't
a
.l a "' ( p ..... q) : "' ( "'p v q} - p
4.11 CONJUNTOS IGUALES A
e
8
B e A
A• B
también es unitario .
'4.14 . PROBLEMA
E
a
A,
t
AI
'V {
t
AI
a
A
E·
A
a
E
E
A
= = a
8
A
i
E
B
a
E
"-q
Es decir,
Aes
A
se A
A• { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
6,. 8} ,
C • { 3, 5, 7, 9) ,
D
B •. { 2, 4, { 3, 4, 5 } y
E =· {3, S } • ¿ Cu~l de estos conjuntos puede ser el conjunto H si se dan las siguientes condiciones ? : H é:: O y H. e/: B 2) 1). H e A y H r/:. C H y B son disjuntos 4) 3) H e e y H r/:. A
1)
H puede ser A, B
3)
H no puede ser ninguno.
~
D.
2)
H puede ser D 6 E •
4)
H puede ser
Con respecto a un conjunto universal a
Dos conjuntos A y B 6on .i..guale.4 6.i..
simülUneaml!nte.
Sean
,
.e
6 E•
5 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
A
B
.l a
pues
{ 6a + b , 2b + 8a - J}
} y { Sa + 2b , 4 }
Siendo unitario el conjunto {Ja + b - 9 , 4a } entonces Ja + b - 9 "' 4a • Anilo~amente, para el otro conjunto se tie ne que: Sa + 2b = 4 . Resolviendo el sistema se obtiene .r., -2 y b = 7 , Y con estos valores vemos que { 6a t b , 2b + Ba - 3 } • { -5 • -5} • { -5 } , resultando asf un conjunto unitario también.
SOLUCIOI
A
4~
Si los conjuntos { 3a + b - 9 ,
SOLUCION
4.9
a
Un conjunto no varfa sf su elementos que se repiten son cons! derados una sola vez.
4.12
,.
't X e: A ,
tiene que
B "' { 1, 2, 1, 2 } ,
ACC.
e: A •
X
A • { l, 2} y
~e
Demostrar ·la PROPIEDAD TRANSITIVA d~ la relación de .in-
PROBLEM
dados los conjuntos
U y a dos conjuntos ~ y
· B se tienen 1as si gu1 entes operacion.e s,
B)
Sil UNION DE DOS CONJUNTOS
AUB
Es el conjunto formado pqr todos los elementos de A · y por todos los elementos de B • Simbólicamente
A U B
{ :t t
U /
XtA
{
u I
x e: A y/o
Dados
A
;\'. E
V
:ttB}
x. e: B } ,
{1,J,5', ••• }
(Ver Fig. 1)
B '" { 2, 4, 6,
•• • }
Ca.p. 2
Conju.n.to4
Cap. 2
53
52 verso U que. NO PEirrENECEN al. c.onju.n.to A , AU B
....
Y se le denota indistintamente por A' •
(Fig. 1)
Ac
-
CA :
6
~-
A
Asi, ·
~
A' --
' 'f
A' "
u
..
{
X
e:
uI
{
X
e:
uI
Por ejemplo, 2, 3,
...
puesto que se puede ex-
IN
}
.A u B = { 1, ./. entonce: x· es impar} presar A = { x e: IN I X es impar A u B = { X. e: IN I
B
= X
V
{ x e: IN I es par }
=
es par
r
IN
{xe:U/
AnB=
X
..-
"' ( X e: A) }
I
si el conjunto Universal
Y si
{ x e: U /
A"
A' "'
x es· impar }
{ x e: U /
x no es impar } =. {, 2, 10, 20 }
...._
• 'Y""'
5.3.1
EJERCIClO Sea el Universo 2
•
x EB }
e: A
.r ~
entonces el COMPLE/.lfllTO de A es
Es el conjunto de todos aquellos elementos comunes a ambos con-
juntos A y B.
'
A
es . U={ 2, 3, 5, 7, 9, 10; ll, 15, 20}
CA· "
A.íl B
5.2 INTERSECCION DE DOS CONJUNTOS
X
t
X
{ x
/
U
=
1, 2, 3, 4, 5, 9 } •
x e: U } ,
hallar
A y A'
Si A
por exten-
si6n. El conjunto A est! formado por aquellos elementos (del Un1 verso U ) que son cuadrados de elementos de A • Si bien es cierto que para x e: U .. { i, 2, 3, 4, S, 9 } se tiene que el cuadrado 2 podrh aparentemente tomar los valores l. 4, 9, 16, 25 i 81 ' sin em_ bargo, como A e.& wt .1;ubc.011.junt.o de.1. UNIVERSO U ,' entonces s~)lamente debemos considerar x.2 • 1, 4 y 9 por ser éstos elementos "u . Luego,
SOl.UCION B
A íl B
.
x
d~
u '
A · s.2.~
tO(lCeS · En efecto,
=
Dados
F;JEPIPLO
A íl B A • A íl B
..
A
..
{
X E 'IN
I
x es múl·tiplo de 3 } y
x. es múltiplo de ¡},en.~ B • { x e: IN , / x es mú 1ti plo de 3 y de 5 · a 1a vez }
e: IN I x. es múltiplo de 15 } • e: IN I { 3, 6, 9, 12, 15, ... } , B = { S, 10, 15, { X { X
= { 15,
30, 45,
= { l.,
y su complemento
4, 9 }
5.4 DIFERENCIA 1JE CONJUNTOS
A'
" { 2, 3, 5 }
A-8
Est! constitufdo por. aquellos elementos de A que. no pe/Lte.ne.c.e.n al.
c.Dn j
unt.o B ,
•• • }
A-B
•
{x.e:U/
.. • }
También se le denota por
5. 2.2 DEFlfflCION
Si la interseccHln de dos conjuntos A y B es V! ch se dice que A y B son fJISJUllTOS : A íl B •
~
5.3 COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO . CA~ A' ~ Ac Es aquel conjunto formado por todos aquellos elementos del Uni-
CAB
•
A - B
y también se le llama
Compleme.n.to de. B c.on 11.upe.c..to al. c.onju.ni.o A •
Para hallar A - B se deben ubicar los elementos de A que no peJLtene! can a. a ; es decir, los múltiplos de 3 que no sean 'm últiplos de 5 : Estos son aquellos múltiplos de 3 cuya última cifra no es ni O ni 5 • A- B
{ 3, 6, 9, 12, lB, 21, 24, 27, 33,
B - A •
{ x e: IN /
x e: B
{ x e: IN /
x es múltiplo de 5 pero no de 3 }
x
"
t
A
••• } }
{ 5, 10, 20, 25, 35, 40, 50, 55, 65,
.• ; }
constitu~do
Este conjunto está por los múltiplos de 5 tales qiti"a suma de sus d~g1tos no sea múltiplo de 3 , como 55, 70, 125, ••• etc.
El Complemento de A está constitufdo por todo lo que no está en A ,
dentro
del Universo IR • Si
6.2 EJEllPLO A 6. B
A=.<-
C<-CD· 4J
A íl CB
(A - B) U (B - A)
(zona. 1;omb~e.a.da)
•
En toda esta Sección el conjunto IR de números reales será con
Aa B
(x e: A
B - A • { l. 9 } , y por lo tan-
6 OPERACIONES DE CONJUNTOS APLICADAS ALOS INTERVALOS
{ x e: IR /
e: B) } x e: CB }
exclu.6lva.mente a. ww 1;oto de. t.01; c.onju.nto6 A ó B
A A B •
B= {l, 4, 6, 7, 9}
Los diagramas anteriores llamados DIAGRAMAS DE VENN-EULER son útiles para verificar gráficamente ciertas propiedades de las operaciones entre conjuntos como las que veremos en la SECCION 7 : LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS, y que luego se pueden demostrar formalmente mediante las LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES LOGICAS.
6.1 EJDIPLO
Es el conjunto formado por la reunión de aquellos elementos que pertenecen
8 A A
5.6 NOTA
B }
Í
X
X
{2, 3, 4, 5, 6, 7},
{ 2, 3, 5 } y
SOLUCIOll A. - B
=
(B - A) U (A - 8)
siderado como ,el UNIVERSO U , a menos que se especifique otra cosa.
es muy utilizada en los casos prácticos.
SOLUCION
A•
A A B = (A - 8) U (B - A)
La siguiente identidad referente al conjunto Diferencia A - B
E.iERCICIO
8)
5.5.l EJEMPLO entonces:
5.4.2
n
(A U B) - (A
hallar:
SOLUCIOH .-
b)
55
Conjunto1;
Ca.p. 2
B
A •
hallar ·
(-3, oo)
CA
•
SOLUCION
CA u
=
~ ( -3 , "")
• {
X
e: IR /
• <-...
-3]
x t ( -3 , . "") }
Ca.p. Z
Conju1Ltol>
56
Ca.p. 2
B '" [ 4 , 12)
A" (-3, oo)
- "'
~~~~~~~~~~~~~~~+-_-3~~~~~~~~-+:--:-..,• R
- co
CA= (-
00
•
+m
12
4
CB
-3]
= (-
''~''''''''''''''''''''''
4 ) U ( 12 ,
00 ,
co )
zona. t>ombJr.e.o.da.
6.3
A = (-3. 8]
Si
EJEl'IPLO
[ 4. 12)
B
hallar
A íl B
y
AUB
y
6.5
EJEflPLO
A=
( - 6,
o> u<.,.,,1,
7] •
A íl B
b)
a)
hallar :
SOLUCIOH
Si
e)
B" (-m, 2]
·u (5, 9) 6.
C(A U 8)
SOLUCION A .. (-6 , O) U ( l , 7 ]
a)
= ( -3 ,
AUB
o ...................,......, ..............
12
8
4
-3
+m
- ""
+ co
- "'
CA
12 )
= ( - "' ,
7
-6 ] U [ O, l ] U (7 , "" )
zo no. 4 ombJr.e.o.da.
AUB
(-3, 8]
u [ 4,
A íl B
<-3, 8 ]
n [ 4, 12)
•
6.4
EJEl'IPLO
(-3, 12)
12)
n s .. ( <-6. o>u <1,
1] )
(-m,2] U [5, 9))
n
(elementos comunes de A y B)
B
A
!l ~I!I!1: 1!1:1:1 :1!I:1:1:l!I:1:1:
.[ 4. 8]
Dados
A ..
hallar
1)
(-3, .B ]
CA
2)
a<-3, ª J •
o
-6
- ""
[ 4, 12)
B "
y
l
.
2
..·
CB A íl B
.
SOLUCION .1)
A
b)
(-CD,•J]U(B, m)
e)
= ( -6,
O) U ( 1, Z ] U [ 5, 7)
( e-teme.ntol> comune.l>)
AUB
De la figura anterior {b) , obtenemos
<-"'. 9) •
A U B • (- m, 9)
A
- ..
(-3. 8)
+co
- co
-3
+""
9
8
C(AUB)• [9, · 00 )
CA=
(-co, -3] U (8 , oo)
Por lo tanto,
C(A U B)
e<- ... 9)
[ 9, "' )
zona. 4 omblteada.
2)
es .
G[ 4, .12
>
(·""• 4) U [lZ, co)
La representac16n gr!fica la tenemos a cont1nuac16n .
