• Julia Saldaña Balandra • Fiorella Espinoza Villafuerte
Soporte académico
:
Instituto de Investigación
Producción
:
Imprenta Grupo IDAT
Tiraje 3 A / 1600 / 2008-II
Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.
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MATEMATICA BASICA I
“El presente material contiene una compilación de contenidos de
obras
de
Matemáticas
publicadas
lícitamente,
acompañadas de resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución.
Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A.,
del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de
Autor”.
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MATEMATICA BASICA I
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MATEMATICA BASICA I
PRESENTACIÓN
La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto de las Ciencias, desde los albores de la civilización humana sigue siendo la base del desarrollo científico y tecnológico de nuestro mundo.
La Ingeniería como expresión de la tecnología, se erige sobre la base de los diferentes espacios de la creación matemática y del pensamiento de la humanidad.
De allí que, en la formación académica de Ingenieros, se debe privilegiar el estudio de la matemática, en la convicción de dotar a sus estudiantes firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.
En esta proyección se ha desarrollado el presente texto de instrucción, dirigido a estudiantes de Ingeniería, de las Carreras de Ingeniería de: Sistemas, Industriales, Electrónica, Mecatrónica, Telecomunicaciones, Automotriz, Aeronáutica, Marítima, Textil, Naval y de Software; para la Asignatura de Matemática Básica I.
El texto en mención plasma la preocupación institucional de innovación de la enseñanza-aprendizaje en educación universitaria, que en acelerada continuidad promueve la producción de materiales educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos.
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MATEMATICA BASICA I
Esta segunda edición modificada y complementada por el Dr. José Reategui
Canga,
prolijamente
recopilada
de
diversas
fuentes
bibliográficas de uso frecuente en la enseñanza-aprendizaje de la Matemática, está ordenada en función del sillabus de la Asignatura arriba mencionada; presenta la siguiente estructura temática:
Conjuntos y Lógica Matemática Básica.
Conjuntos numéricos que
permiten aclarar las nociones de números y su clasificación en naturales, enteros, racionales, irracionales hasta completar los reales.
Ecuaciones e Inecuaciones que son básicas para el estudio del Álgebra.
Relaciones Binarias que son fundamentales para la comprensión de las funciones básicas al estudio de la Geometría Analítica.
Los Lugares Geométricos: rectas y circunferencias conectan a nociones algebraicas que permiten entrar en los delicados temas de las cónicas: parábolas, elipses e hipérbolas; y de las familias básicas de rectas y circunferencias.
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MATEMATICA BASICA I
Se completa el texto con una Introducción a las Coordenadas Polares.Todo este material permitirá conectar a problemas varios dentro de la carrera.
Finalmente el reconocimiento Institucional al Dr. José Reategui Canga por su meritoria dedicación, a la preparación de esta segunda edición. Su esfuerzo y dedicación académica será identificada al glosar las páginas del texto, en el camino de entendimiento de la matemática universitaria.
Lucio Heraclio Huamán Ureta VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN
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MATEMATICA BASICA I
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MATEMATICA BASICA I
ÍNDICE
I.
Conjuntos y Lógica ..............................................................
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II.
Breve presentación de los Conjuntos Numéricos .................
CONTENIDO Capítulo I. CONJUNTOS Y LÓGICA 1.1 DEFINICIÓN 1.2 IGUALDAD 1.3 SUB-CONJUNTOS 1.4 CONJUNTO DE LAS PARTES 1.5 UNIVERSOS 1.6 FAMILIA – COLECCIÓN – SISTEMA – CLASE 1.7 OPERACIONES DE CONJUNTOS 1.7.1 Unión 1.7.2 Intersección 1.7.3 Complemento 1.7.4 Diagramas 1.7.5 Grafos 1.8 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 1.9 LÓGICA 1.9.1 Enunciados 1.9.2 Proposiciones 1.9.3 Conectivos 1.9.4 Valor de la verdad 1.9.5 Tautología y Contradicción 1.9.6 Relaciones del Álgebra Proposicional 1.9.7 Funciones Proposicionales 1.9.8 Cuantificadores EJERCICIOS PROPUESTOS N°01 Capítulo II. BREVE PRESENTACIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 2.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: N 2.2. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS: Z 2.3 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES: Q 2.4. EL CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES: Q´ Ó II 2.4.1 Irracionales algebraicos 2.4.2 Números trascendentales 2.5. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES: IR 2.6 RELACIONES 2.6.1 Las relaciones se presentan en todas las áreas del conocimieno 2.6.2 Relaciones binarias 2.6.3 Propiedades 2.6.4 Relaciones de equivalencia 2.6.5 Clases de equivalencias 2.6.6 Relaciones de orden 2.6.7 Buena ordenación 2.6.8 Relaciones funcionales 2.6.9 Función
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SEMANA
1
2
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MATEMATICA BASICA I
EJERCICIOS PROPUESTOSN°02
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Capítulo III. NÚMEROS REALES 3.1. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 3.1.1 Definición 1 3.1.2 Proposición 1 3.1.3 Proposición 2 3.1.4 Proposición 3 3.1.5 Colorario 1 3.1.6 Proposición 4 3.1.7 Ejercicios 3.1.8 Proposición 5 3.1.9 Proposición 6 3.1.10 Proposición 7 3.1.11 Ejercicio 3.1.12 Proposición 8 3.1.13 Proposición 9 EJERCICIOS RESUELTOS N°01 EJERCICIOS PROPUESTOS N°03 3.2. DESIGUALDADES E INTERVALOS 3.3. PROPIEDADES GENERALES 3.4. INTERVALOS EN R 3.5 OPERACIONES CON INTERVALOS EJERCICIOS RESUELTOS N°02 3.6. INECUACIONES DE 2° GRADO 3.6.1 Método de factorización 3.6.2 Método por complementación de cuadros EJERCICIOS RESUELTOS N°03 EJERCICIOS RESUELTOS N°04 3.7. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL 3.7.1 Definición 3.7.2 Propiedades generales de valor absoluto EJERCICIOS RESUELTOS N°05 3.8. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA 3.9. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 3.10. SISTEMA CARTESIANO DEL PLANO EJERCICIOS PROPUESTOS N°04 3.11. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA EJERCICIOS PROPUESTOS N°05 EJERCICIO PROPUESTOS N°06 EJERCICIOS RESUELTOS Nº06 3.12. ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA Y PENDIENTE DE UNA RECTA EJERCICIOS PROPUESTOS N°07 Capítulo IV. RECTA Y CIRCUNFERENCIA 4.1 LA ECUACIÓN DE LA RECTA: DIVERSAS FORMAS DE SU ECUACIÓN 4.2 ECUACIÓN GENERAL DE UNA RECTA
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MATEMATICA BASICA I
CLASE Nº 10
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16 y 17
CONTENIDO EXAMEN PARCIAL 4.3 FAMILIAS DE RECTAS 4.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EJERCICIOS PROPUESTOS N°08 EJERCICIOS RESUELTOS N°07 EJERCICIOS PROPUESTOS N°09 EJERCICIOS PROPUESTOS N°10 4.5 LA CIRCUNFERENCIA 4.5.1 Definición 4.5.2 Elementos 4.5.3 Ecuaciones de la circunferencia 4.5.4 Familias de circunferencias EJERCICIOS PROPUESTOS N°11 Capítulo V. CÓNICAS 5.1 SECCIÓN CÓNICA O CÓNICA 5.2 PARÁBOLA 5.2.1 Elementos 5.2.2 Ecuaciones de una parábola 5.2.3 Öbservaciones 5.2.4 Ecuaciones general de la parábola 5.3 LA HIPÉRBOLA 5.3.1 Definición 5.3.2 Observaciones 5.3.3 Ecuaciones de la hipérbola 5.3.4 Hipérbolas conjugadas 5.3.5 Ecuación general de la hipérbola 5.4 LA ELIPSE 5.4.1 Definición 5.4.2 Elementos 5.4.3 Ecuaciones de la elipse 5.4.4 Observaciones 5.4.5 Forma general 5.4.6 Casos que se presentan 5.4.7 Ejercicios propuestos Capítulo VI. MISCELANEA DE EJERCICIOS 6.1 LÍNEAS RECTAS. EJERCICIOS RESUELTOS 6.2 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.3 CIRCUNFERENCIA 6.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.5 PARÁBOLA
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SEMANA 10
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16 y 17
MATEMATICA BASICA I
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Capítulo VII. COORDENADAS POLARES 7.1 CONCEPTO 7.2 REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN COORDENADAS POLARES 7.3 DEFINICIÓN 7.4 PASAR DE UN SISTEMA DE COORDENADAS A 4 OTRO 7.5. ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA 7.6 GRAFICAS DE FUNCIONES EN COORDENADAS POLARES EXAMEN FINAL
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MATEMATICA BASICA I
I. CONJUNTOS Y LÓGICA
1.1
DEFINICIÓN.- Un conjunto se describe como una lista o colección de objetos llamados elementos o miembros, siendo números; letras; funciones, etc.
De la nominación ya sea de la lista o colección se desprende un criterio de pertenencia que permite establecer una relación denotada ∈, escribiéndose: a∈A
si a es elemento o miembro de A o de lo contrario:
a∉A
si a no es miembro de A
Ejemplos: A = {a, b, c, d, e}; a∈A, b∈A, etc. B = {b1 , b2 , ....... , b12}; b1∈B, b2∈B, etc. C = {p es un número primo}; 5∈C, 7∈C, 8∉C, 12∉C, etc. De ordinario los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A, B, X, Y, Z, …... y los elementos con minúsculas a, b, x, y, t, u, v, …..
1.2
IGUALDAD.- Dos conjuntos A y B son iguales: A=B Si consisten de los mismos elementos. De lo contrario:
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MATEMATICA BASICA I
A≠B
1.3
SUB-CONJUNTOS.- A es subconjunto de B o es parte de B, (o está contenido) se denota: A ⊆ B ó B ⊇ A si cada elemento de A es también elemento de B. De lo contrario A
B ó B
A.
Podemos observar que: i)
La relación ⊆ es de “contenido amplio” de modo que todo conjunto está en la relación consigo mismo: ∀ A ⊆ A. Esto es, una relación reflexiva.
ii)
Cuando B ⊆ A pero B ≠ A
se restringe a la relación
“contenido restringido o propio ⊂:
B ⊂ A. Luego A es sub-
conjunto impropio de si mismo. iii)
(A ⊆ B y B ⊆A) ⇒ A = B
propiedad antisimétrica
iv) (A ⊆ B y B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C propiedad transitiva v)
Es conveniente introducir el “conjunto vacío ∅ que se considera sub-conjunto de cualquier otro: ∀ A: ∅ ⊆ A
1.4
CONJUNTO DE LAS PARTES.- Todas las partes de un conjunto A son elementos de un nuevo conjunto P(A) que se llama el “conjunto de las partes de A” o conjunto potencia. Esto es: ∀ B ⊆ A ↔ B ∈ P(A)
16
MATEMATICA BASICA I
En particular: A ⊆ A → A ∈ P(A) A es elemento de P(A) Lo que nos dice que todo conjunto es elemento de alguno otro.
Esta restricción se conoce como el axioma de las partes: “A todo conjunto A le corresponde otro conjunto, sea P(A) cuyos elementos son todas las partes de A”
La inoperabilidad de esto da lugar a las “Clases”.
Ejemplos 1.
Si A={a,b}: ⎧∅ ⎪ P(A) = ⎨{a} , {b} ⎪ ⎩{a, b}
Hay 22 = 4 sub-conjuntos de A que forman P(A).
2.
B={α, β, γ} : ⎧∅ ⎪{α}, {β}, {γ} ⎪ P(B) = ⎨ ⎪{α,β}, {α, γ}, {β, γ} ⎪⎩{α,β, γ} = A Hay 23 = 8 sub-conjuntos de B que forman P(B).
17
MATEMATICA BASICA I
1.5
UNIVERSOS. Para las aplicaciones los conjuntos concernientes a un estudio o proceso son mirados como sub conjuntos de uno mayor U ó X que contiene a todos los del estudio, al que se le llama el “Universo del discurso” o simplemente un universo.
Ejemplo: Cuando se trabaja con números y conjuntos naturales, el universo apropiado es N. Cuando entran los enteros positivos y negativos tomamos a Z (todos los números enteros). Para procesos discretos se suele tomar como universo a Q (los racionales) y a veces a R (los reales).
Es decir, para un mismo sistema se puede considerar más de un universo. Veremos como en cada universo se puede hablar de un álgebra de conjuntos con propiedades de interés.
1.6
FAMILIA – COLECCIÓN – SISTEMA – CLASE. Cuando los miembros de un conjunto S son a su vez conjuntos se suele usar el término de familia, de sistema, colección o aún clase.
Ejemplo: La
familia
de
topologías separadas, la colección de
circunferencias de centro ; el sistema de intervalos semicerrados.
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MATEMATICA BASICA I
Aunque la “clase”, se reserva para una extensión de los conjuntos, sin embargo se puede usar para determinar algunas colecciones. Así, se puede decir: la clase de los espacios Rn, la clase de los conjuntos finitos, etc.
1.7
OPERACIONES DE CONJUNTOS. Se tienen 3 operaciones básicas: Unión con símbolo ∪ Intersección
∩
Complemento
C
1.7.1 Unión: A ∪ B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A ó a B
Ejemplo: A = los números impares B = los pares A ∪ B = {impares o pares} = {todos los números enteros} 1.7.2 Intersección: A ∩ B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B al mismo tiempo. En el ejemplo anterior de impares y pares A ∩ B = ∅ se dice en este caso que los conjuntos son disjuntos.
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MATEMATICA BASICA I
Las
operaciones
de
unión
e
intersección
pueden
extenderse a familias de conjuntos.
Si {Ai}i∈J es una familia finita o infinita se define:
∪ Ai = conjunto de elementos que pertenecen a uno por lo
i∈ J
menos de los Ai
∩ Ai = conjunto de los elementos que pertenecen a todos los Ai
i∈ J
Ejemplo: Sea Bi = intervalo abierto
( ,2− )i ≥2 1 i
1 i
Aquí J = los enteros ≥ 2
Se tiene:
∪ Bi =(0, 2) intervalo abierto
i∈ J
( )
∩ Bi = 21 , 32 intervalo abierto
i∈ J
1.7.3 Complemento. Supongamos que el conjunto A está dentro de un universo X. Se define el complemento: CA=A’=X–A los elementos de X que no pertenecen a A Ejemplo: Tomemos como universo X: los habitantes de una región y por A los analfabetos. Su complemento es: A’=X-A está formado por los que saben leer. 20
MATEMATICA BASICA I
Ejercicios para Resolver 1.
Sea A el conjunto de los árabes, C el de los chinos. Determinar un universo X en el cual esten sumegidos A y B. ¿Cuál serían A’, C’, A∪C y A∩C?
2.
Sea L el conjunto de leones, T los tigres y A las águilas. Dar un universo X que no contenga los peces ni las aves de corral. ¿Cuál es L’, T’∪A’?
3.
Dar dos universos diferentes donde se pueda incluir a los enteros Z.
1.7.4 Diagramas. Para tener un esquema visual Venn ideó diagramas: los conjuntos A, B, …..., del discurso dentro de un rectángulo grande que represente un universo:
X
X A B
A B A
B
A
X A´ A
21
B
MATEMATICA BASICA I
1.7.5 Grafos: Cuando se trata de los sub –conjuntos o partes de un conjunto A, el universo puede ser el conjunto potencia P(A)=B, el cual con las operaciones ∪, ∩ y complemento forman una Algebra de Boole, con representación de grafo de Hasse. (Ver ejemplos). Si el número de elementos de A es pequeño, su Algebra de Boole P(A) puede representarse por un grafo de Hasse simple. (Ver ejemplos).
Ejemplos: 2.
A={1} tiene un solo elemento: B’=P(A)=P{1} tiene 2 elementos: ∅ y A={1}. Su Hasse es el par 0 que representa a ∅ y 1: 1
|
B’ es el soporte básico de la lógica bivalente
0
2.
A={a, b} tiene 2 elementos {a}, {b}, A={a, b}} tiene 4=22
B2=P{a, b}={∅,
elementos... Los átomos son 2: a y b que cubren a ∅=0. Su Hasse es: A 1 a
b
a y b son elementos complementarios.
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MATEMATICA BASICA I
B2 es isomorfo a B2 el cuadrado de B’: (1, 1)
(0, 1)
(1, 0) (0, 0)
3.
A={α, β, γ} ejemplo 1.4.2 B3=P(α, β, γ)={∅, α, β, γ, {α, β}, {α, γ}, {β, γ}, {α, β, γ}=A} Los átomos son los subconjuntos de 1 elemento {α, β, γ}=A. El número de elementos de B3 es 2|A|=23= 8. El grafo de Hasse:
1 Α={α, β, γ} {β, γ}
{α, γ}
{γ} {α,β}
{α}
{β} 0
Son complementarios los elementos diametralmente opuestos como {α} con {β, γ}, etc.
B3 es isomorfo al producto B3.
23
MATEMATICA BASICA I
1.8
ÁLGEBRA DE CONJUNTOS. La igualdad =; las operaciones ∪, ∩ y el complemento hacen de todo universo X un “álgebra” que
satisface las leyes o propiedades: Dual 1)
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Asociatividad 2)
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
Commutatividad 3)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
Distributividad 4)
A∪∅=A
A∩X=A
Unidades: ∅ y X (el universo usado). 5)
∅’=X
X’=∅
Complemento de unidades (Recíprocas) 6)
A∪X=X
A∩∅=∅
Acción de recíprocas 7)
A∪A’=X
A∩A’=∅
Complementos. Acción doble y rígida.
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MATEMATICA BASICA I
8)
A∪A=A
A∩A=A
Ídem potencia
9)
A∪ ⎛⎜ ∩ Bi ⎞⎟ = ∩ (A∪Bi)
⎝ i∈ J
⎠
i∈ J
y
A∩ ⎛⎜ ∪ Bi ⎞⎟ = ∪ (A∩Bi)
⎝ i∈ J
⎠
i∈ J
Distributividad generalizada de la propiedad 3
10)
⎛ ⎞ ⎜ ∪ A j ⎟' = ∩ A' j ⎝ j∈ L ⎠ j∈L
⎛ ⎞ ⎜ ∩ A j ⎟' = ∪ A' j ⎝ j∈L ⎠ j∈L
Leyes de Morgan.- Para 2 conjuntos dan: (A1∪A2)’=A’1∩A’2
(A1∩A2)’=A’1∪A’2
1.8.1 Dualidad. Toda expresión tiene su dual que se obtiene
intercambiando las operaciones∪, ∩ y el universo X con ∅ y viceversa. Esto aparece a derecha en la Leyes de 1.8.
Ejercicios para Resolver
Si A ⊆ B : Probar por diagramas 1.
A∩B=A
2.
A∪B=B
3.
B’⊆A’
4.
A∩B’=∅
5.
A’∩B’=B’; A’∪B’=A’
25
MATEMATICA BASICA I
1.9
LÓGICA
Los conjuntos emplean la lógica clásica o bivalente cuyo soporte o rango es el par: L2 = {0, 1} Donde 1 representa la verdad o validez y 0 la falsedad o contradicción. La matemática exige un razonamiento válido deductivo o inductivo de
absoluta
claridad
de
modo
a
comprender
y
aplicar
debidamente las definiciones, proposiciones y teoremas libres de complicaciones y ambigüedades. En esta sección vamos a revisar elementos básicos de la Lógica simbólica y el Calculo Proposicional.
1.9.1 Enunciados
Son fraces que sirve para comunicarnos. Ejemplos:
1.
¿Dónde estuviste?
2.
Siéntate a ver la televisión.
3.
Los niños son traviesos.
4.
51 es un número primo.
Las 2 primeras no son verdaderas ni falsas: i es una pregunta y ii es una indicación. Las 2 últimas pueden ser verdaderas o falsas; frases de este tipo se conoce como:
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MATEMATICA BASICA I
1.9.2 Proposiciones
Una proposición es toda frase sobre la cual podemos afirmar que es verdadera o falsa. Las representaremos con letras minúsculas p1, p2, …., q1 …, r, s, t, …
Ejemplos:
p1. Los alumnos de la U.T.P son estudiosos. p2. Los números primos terminan en 2 como: 12, 32, … q1.
Rosa es bella.
r.
Está garuando.
s.
2 = 1.5
Cada una es una proposición pues podemos afirmar su verdad o falsedad.
Negación
de
proposiciones.
La
negación
de
la
proposición p es ∼p que se lee no p (Se denota también por 7p).
Ejemplos:
q : Rosa es bella. ∼q : Rosa no es bella.
s:
2 = 1.5
∼s :
2 no es 1.5 o simplemente
27
2 ≠ 1.5 .
MATEMATICA BASICA I
Ejercicios para Resolver
1.
Dar 10 enunciados.
2.
¿Cuáles son proposiciones? Representar con letras.
3.
Negar las que son proposiciones. ¿Cuál es la negación de ∼q?
Proposiciones Compuestas.- Las proposiciones se enlazan o relacionan unas con otras para generar las llamadas proposiciones compuestas mediante los elementos de enlace llamados conectivos.
1.9.3 Conectivos
Para relacionar 2 o más proposiciones se emplean los llamandos enlaces conectivos entre los cuales están:
1.
Conjunción con símbolo ∧ y que enlaza proposiciones con la letra “y”. Por ejemplo: 1.
p :
Juan estudia música.
q :
Juan es menor de edad.
p ∧ q: Juan estudia música y es menor de edad. r 2.
:
s :
Está nevando. Hace mucho frío.
r ∧ s: Está nevando y hace mucho frío.
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MATEMATICA BASICA I
2.
Disyunción con símbolo ∨, enlaza proposicones con la letra “o”.
Ejemplos:
t 1.
:
Compro diez cuadernos.
u :
Compro un pantalón.
v :
Voy al concierto.
t∨u∨v: Compro diez cuadernos o compro un pantalón o voy al concierto.
2.
p1 :
tomas té
p2 :
tomas café
p1∨p2 : tomas té o tomas café
3.
Implicación o condicional con símbolo →; enlaza 2 proposiciones p y q con las palabras: si p… entonces q.
Ejemplos:
1.
2.
p
:
4 = 2.5
q
:
7 + 3 = 11
p → q:
Si
r
:
Mañana va llover.
s
:
No iremos al campo.
r → s:
4 = 2.5 entonces 7 + 3 = 11
Si mañana va llover entonces no iremos al campo.
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MATEMATICA BASICA I
4.
Biconcional o doble implicación o equivalencia con símbolo ↔; enlaza las proposiciones p y q con las palabras: p si y sólo q; lo cual se puede expresar también por la frase: “si p entonces q y si q entonces p”, esto es: p ↔ q = (p → q) ∧ (q → p) Ejemplos:
p:
m > n
q:
n < m
p ↔ q = m > n ↔ n < m : m > n si y sólo si n < m.
EJERCICIOS PARA RESOLVER
1.
Dadas las proposiciones: p
:
Estamos en primavera
q
:
Las uvas son dulces
r
:
Pedro es deportista
s
:
Berta es hermosa
Relacionar
con
oraciones
las
siguientes
composiciones: 1. p ∨ q
7.
∼p → s
2. p ∧ q
8.
r → ∼q
3. q ∧ r
9.
p ∧ (q ∨ r)
4. p ∨ s
10.
q ∨ (r ∧ s)
5. p → r
11.
q ∨ ∼r
6. p ↔ q
12.
∼r ↔ ∼s
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MATEMATICA BASICA I
2.
Indicar 7 ejemplos de proposiciones simples y compuestas
3.
Negar las proposiciones anteriores.
4.
Se da las proposiciones: p:
El mundo es amplio
q:
Las frutas son agradables
r:
La demostración es interesante
s:
Fany es bella
t:
32 + 42 < (3 + 4)2
Representar con oraciones las proposiciones: a)
p∧ r
;
q∨s
;
t→r
b)
∼q ∧ r
;
p ∨ ∼s
;
∼r → ∼t
c)
r → (q ∨ s)
;
p ∨ (∼s) ∨ t
d)
r↔t
;
(s ∧ t) → r
1.9.4 Valor de la verdad
Para evaluar el valor de verdad de una proposición compuesta, es decir, de un enlace de proposiciones simples s, q, v, … por medio de los conectivos, se emplea la tabla de verdad con 3 o más columnas, tomando las primeras columnas para poner los valores de verdad V y F, ó, 1 ó 0. lo que diremos “verdadero y falso” de las proposiciones simples, y las demás columnas para los valores resultantes de las proposiciones compuestas, como sigue:
31
MATEMATICA BASICA I
1. Conjunción
p
q
p∧q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
p
q
p∨q
p∧q es verdadero sólo en el caso en que las 2 p y q son verdadero.
p∨q es verdadero o
2. Disyunción
1
1
1
valido en todos los casos
1
0
1
de validez de p ó q salvo
0
1
1
cuando los 2 son falsos
0
0
0
en cuyo caso p∨q es falso.
3. Implicación
p
q
p→q
V
V
V
p→q es verdadero en
V
F
F
todos los casos a
F
V
V
excepción de aquel en
F
F
V
que p es valido y q falso.
p
q
p↔q p↔q es verdadero en los
4. Bicondicional
V
V
V
2 casos en que ambos p
V
F
F
y q son iguales validos o
F
V
F
ambos falsos. En los 2
F
F
V
casos desiguales el bicondicional es falso.
32
MATEMATICA BASICA I
EJERCICIOS
1.
Construir la tabla de verdad de las proposiciones compuestas:
2.
a)
p ↔ (q ∨ s)
;
(r ∧ t) → s
b)
(p ∧ s) → (r ∨ t)
;
(r → t) ∨ ∼q
c)
(∼q → s) ∧ (∼s → q) ;
(p ∧ r) → (p ∨ r)
Dar las tablas de verdad de las proposiciones: 1. p → (q ∨ r) 2. q ∧ r → ∼p 3. (p ∨ ∼q) ∧ (∼p ∧ r) 4. r ∧ s → r ∨ s 5. (p ∧ s) ∨ (q ∧ r) ∨ ∼p 6. (r ∨ s) ∧ (p ∨ ∼q ∨ s) 7. (p ∧ s) ↔ ∼ (∼p ∨ ∼s) 8. (r ∧ q ∧ s) → (r ∨ q ∨ s) 9. (q ∧ s) ↔ (p ∨ r) 10. (q ∧ ∼s) ↔ (∼q ∨ s)
1.9.5 Tautología y Contradicción
1.
Una proposición compuesta es tautológica o es una tautología si en su tabla de verdad para todas las combinaciones V ó F de sus proposiciones simples, resulta ella siempre válida.
33
MATEMATICA BASICA I
Ejemplos:
1. p→(p∨q)
p
q
p∨q
p→(p∨q)
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
2. El silogismo: (p→q) ∧ (q→r) → (p →r) también es tautológica 3. El modus ponens:
(p→q) ∧ p → q
y el modus tolens o principio de inferencia negativa: (p→q) ∧ ∼q → ∼p son tautologías. Los 3: el silogismo, el modus ponens y el modus tolens son básicas en las pruebas matemáticas. 2.
Una “contradiccón” es lo opuesto a una tautología esto es: siempre falsa para todas las combinaciones de las proposiciones simples.
Ejemplo:
P ↔ ∼p
p
∼p
p ↔ ∼p
1
0
0
0
1
0
∼[p→(p∨q)] ; etc., son contradicciones. 34
MATEMATICA BASICA I
1.9.6 Relaciones del Álgebra Proposicional.
Ejercicios para Resolver
1.
Por medio de las tablas de verdad verificar las siguientes relaciones: (muestre las tautologías): 1.1. Idempotencia
:
⎧p ∨ p ↔ p ⎨ ⎩r ∧ r ↔ r
1.2. Involución
:
∼(∼p) ↔ p
1.3. Asociatividad
:
⎧⎪(p ∨ q) ∨ r ⎨ ⎪⎩(p ∧ q) ∧ r
1.4. Conmutatividad
:
⎧p ∧ q ↔ q ∧ p ⎨ ⎩p ∨ q ↔ q ∨ p
1.5. Distributividad
:
⎧⎪(p ∧ q) ∨ r ⎨ ⎪⎩(p ∨ q) ∧ r
1.6. Identidad
:
⎧⎪p ∧ F → F ⎨ ⎪⎩q ∧ V → V
1.7. Complemento
:
⎧⎪p∨ ∼ p ↔ V ⎨ ⎪⎩ ∼ ( ∼ q) ↔ q
↔ p ∨ (q ∨ r) ↔ p ∧ (q ∧ r)
↔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
; p∨F ↔ p ; q∧ V ↔ q ; p∧ ∼ p ↔ F ; ∼F↔ V
2.
Dar ejemplos verbales de las 7 relaciones.
3.
Verificar las 2 Leyes de Morgan:
4.
a)
⎧∼ (r ∧ s) ↔ ∼ r ∨ ∼ s ⎨ ⎩∼ (r ∨ s) ↔ ∼ r ∧ ∼ s
b)
∼(p → q) ↔ p ∧ ∼q
Verificar también que: i)
(p → q) ↔ (q∼ → ∼q)
ii)
(∼p → q) ↔ (q → p)
35
MATEMATICA BASICA I
5.
Dar ejemplos verbales de 1, 2, 3, 4
6.
Construir 5 ejemplos de tautologías y 5 ejemplos de contradicciones.
Si T es una tautología y C una contradicción, que da: a)
T∨C
b)
T∧C
c)
T→C
d)
C→T
e)
(T ∨ C) → ∼C
f)
∼C → ∼T
1.9.7 Funciones Proposicionales
Las
proposiciones
en
general
expresan
alguna
característica o cualidad. Ejemplos
1. Pedro es deportista 2. María es bella 3. 41 es un número primo El primero da la característica o cualidad deportista; la segunda la belleza; la tercera la característica de ser divisible sólo por la unidad y por si mismo.
36
MATEMATICA BASICA I
La característica o cualidad genera una función de un dominio de sujetos en el conjunto {V, F} que se representa por una mayúscula como función de una variable como la x, r, s, t, …. en la forma P(x), Q(r), …. Por ejemplo: el ser deportista: P(x): x es deportista, R(t): t es primo, etc., en P(x) el dominio son los seres humanos: x: juan es deportista; x=Berta es deportista, etc. En R(t) el dominio son los números enteros t=25, es primo; t=37, es primo, …. etc.
1.9.8 Cuantificadores
Hay 2 símbolos que permiten transformar las funciones proposicionales en proposiciones, es decir: suceptibles de ser verdaderas o falsas.
I.
Operador Universal: ∀ que expresa: “para todo” y que debe traducirse según las características de la función. Por ejemplo: P(x):
(ser hombre mortal)
∀x.P(x): todos los hombres son mortales
Q(y):
(mujer hermosa)
∀y.Q(y): todas las mujeres son hermosas
R(t):
(ser número entero primo)
∀t.R(t):
todos los números son primos
37
MATEMATICA BASICA I
II.
Operador Existencial: ∃ que expresa: “existe uno o algunos” y que debe traducirse según la característica de la función. Así, en los ejemplos anteriores: ∃x.P(x):
existen hombres mortales
∃y.Q(x): existen, o algunas mejeres son hermosas ∃t.R(t):
existen o hay enteros que son primos
Negación de Cuantificadores
I.
La negación del cuantificador universal es: existencial con la función proposicional negada: ∼[∀x.P(x)] ↔ ∃x: ∼P(x)
…(α)
Si P(x) es: ser hombre mortal, la negación (α) dice:
Es falso que todos los hombres sean mortales equivale a: existe un hombre que no es mortal. Si R(t) es ser número entero primo la negación de: ∀t.R(t) es: ∼[∀t.R(t)] ↔ ∃t: ∼R(t)
“Es falso que todo entero sea primo”, equivale a “existe uno o varios enteros que no son primos”.
II.
La negación del cuantificador existencial es: universal con la función proposicional negada:
38
MATEMATICA BASICA I
∼[∃x. P(x)] ↔ ∀x: ∼P(x)
En los ejemplos anteriores: “es falso que existan hombres mortales” equivale a “todo hombre no es mortal”. En: ∼∃t. R(t) ↔ ∀t: ∼R(t) Es falso que exista un número entero primo” equivale a: “todo entero no es primo”.
Ejercicios
1.
Dada las proposiciones:
p:
El día está cálido
q:
El profesor viene hoy
r:
La luna está llena
s: t:
9 = −3 32 + 52 = (3 + 5)2
formar proposiciones compuestas con los conectivos: ∧, ∨ y →.
2.
Formar
5
funciones
proposicionales
y
cuantificarlas. 3.
Negar las proposiciones cuantificadas anteriores.
Para concluir la lógica proposicional veamos la importancia del:
39
MATEMATICA BASICA I
Razonamiento Deductivo.- Es un razonamiento muy
importante en la Matemática con el cual se establecen numerosos
teoremas,
llamados
tasmbién
Proposiciones.
Estos se enuncian mediante una “implicación” cuyo antecedente es la hipótesis y el consecuente es la tesis.
Por ejemplo la proposición: “si la raíz cuadrada de un número natural n, no es un entero, entonces no es un racional o fracción, si no un irracional”.
Aquí la hipótesis o antecedente es: “si la raíz cuadrada del natural n, no es entero”. La tesis, implicación o conclusión es: “la raíz cuadrada es irracional y no racional”.
A lo largo del TINS se tendrá diversos razonamientos. Completemos los conjuntos y pasemos en el capítulo II a los conjuntos numéricos.
Los conjuntos emplean la lógica clásica o bivalente cuyo soporte o rango es el par: L2={0, 1} 40
MATEMATICA BASICA I
Donde 1 representa la verdad o validez y 0 la falsedad o contradicción.
Las relaciones 7 de 1.8: A ∪ A’ = X ; A ∩ A’ = ∅ Expresan que un punto pertenece a un conjunto o a su complemento pero no a ambos.
En esta lógica es valido el “tercio excluido”, así como el principio de contradicción: p ∨ 7 p ≡ 1 y p ∧ 7 p ≡ 0 …… 7 p= no p
El primero expresa que una proposición o es verdadera o es falsa pero no hay una tercera posibilidad.
El
segundo
completa
al
anterior
expresando que la proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez.
Igualmente son válidos: (p → q) ∧ (q → r) . → . (p → r) ó silogismo y el caso que genera algunas pruebas por absurdo (⎤ p → p) → p Se sugiere hacer el análisis de tablas y valuaciones. 41
MATEMATICA BASICA I
EJERCICIOS PARA RESOLVER
1.
Si un conjunto finito tiene k-elementos ¿Cuántos tiene su conjunto potencia?
2.
Si A={α, β, γ}, cómo es el gráfico o grafo de P(A)
3.
¿Y si G={a, b, c, d} , cómo es el grafo de P(G)
4.
Por medio de un gráfico cómo el que se muestra:
A
(A ∩ B)
B
Verificar la Ley de Morgan: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ donde A’, B’ son los complementos. 5.
Verificar las leyes de distributividad 3) de 1.8
6.
Si 2 conjuntos son infinitos: ¿son ambos isomorfos? Es decir: ¿Tienen el mismo número de elementos?
7.
Probar que el silogismo es siempre válido en la lógica de los conjuntos.- Igualmente probar el “modus ponens”: p∧(p → q).→.q
8.
Por tablas verificar si la equivalencia: (p→q) ↔ ( ⎤q → ⎤p) es válida.
42
MATEMATICA BASICA I
II. BREVE PRESENTACIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 2.1
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: N
Se ha convenido en llamar números naturales a cada elemento del siguiente conjunto: N = {0, 1, 2, 3, …, n ….} 2.1.1. Observaciones: o
En N existen dos subconjuntos notables: el conjunto de los números pares y el conjunto de los números impares. Pares = {2,4,6,8,…}
o
Impares = {1,3,5,7,9,….}
Si n ∈ N ⇒ 2n: representa un número par 2n – 1: representa um número impar
o
En N se definen las operaciones de adición y multiplicación, donde si x, y ∈ N → (x + y) ∈ N ∧ (x . y) ∈ N (Ley de Clausura)
o
La sustracción no siempre es posible en N. La sustracción no está totalmente definida en N ¿∃x∈N tal que 7+ x = 3? ¡No! Pues x = –4 ∉N por esta razón se amplian los naturales en un nuevo conjunto de números, el cual será definido seguidamente.
43
MATEMATICA BASICA I
2.2
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS: Z
Z = {…., –3, –2, –1, 0, 1, 2,3, ….}
2.2.1. Observaciones: o
En Z se tienen los siguientes subconjuntos notables Enteros positivos Z+ = {1,2,3,….} = N+ Enteros negativos Z- = {–1,–2,-3,….} = –N+ Enteros no negativos Z
+ 0
= { 0 ,1, 2 , 3 ,...}
Enteros no positivos Z 0− = {0,−1,−2,−3,.....} ∴ Z = Z-∪ {0} ∪ Z+ o
En Z siempre es posible restar, veamos una manera práctica de interpolar la adicción y/o sustracción de números enteros Números positivos → ganancia Números negativos → pérdida Ejemplos:
1.
− 3 + 1 ⇒ luego del negocio ¿ gano o pierdo ? pierde 3
gano 1
pierdo 2 ⇒ − 3 + 1 = −2 −2
2.
o
-9 -3 = -12
En Z no siempre se puede dividir, i.e. la división no está totalmente definida en Z ¿∃x∈Z tal que 3. x = 1? ¡No! Pues x =
1 ∉ Z 3
44
MATEMATICA BASICA I
Por esta razón se amplian los enteros en el siguiente conjunto de números.
2.3
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES: Q
⎧a ⎫ Q = ⎨ / a, b ∈ Z ∧ b ≠ 0⎬ ⎩b ⎭
ó
{ b}.∀a,b ∈ Z ∧ b ≠ 0
Q= a
Todo y número que puede escribirse en forma de fracción se llama número racional.
m 1 1 1 5 m ⎫ ⎧ Q = ⎨..., − , − 1, − , ... , , , , 2, , ...⎬ n n 2 3 2 4 ⎩ ⎭
3.
0,666 , 0,75 , 0,78888 , -3.452 , -36 ,
+100, …∈Q
Propiedad 1: Los números racionales abarcan a los N y a los Z,
pues ∀n ∈ N =
n a y ∀a ∈ Z = 1 1
Propiedad 2: Si el número dado es decimal periódico, su
transformación a fracción es por el siguiente cociente:
45
MATEMATICA BASICA I
Sea: N=a1 ,, am • b1 ,, bn c1 ,, cjci ,, cj ,, … donde c1 ..cj es elperíodo decimal, a1, … am están a la izquierda del punto decimal y b1, …, bn están a la derecha del punto. Entonces el siguiente cociente da el número N: a1..amb1..b n c1..c j − a1..amb1..b q..q 0..0 n
j
Para simplificar la prueba supondremos m=n=1, j=2: N = a • bc1c 2 c1c 2 ... 2
4
⎛ ⎞ Multipliquemos N por ⎜ 1000 − 10 ⎟ : ⎝ 4 2 ⎠ a•bc1c2c1c2…c1c2…X(1000-10) = abc1c2•c1c2...c1c2...-ab•c1c2…c1c2… = abc1c2-ab Despejando N tendremos: N=
es decir:
abc1c 2 − ab 1000 − 10
N=a•bc1c2…c1c2…=
abc1c 2 − ab que da la prueba. 990 j
n
Para cualquier otrol N la prueba es semejante.
46
MATEMATICA BASICA I
Ejemplos
1.
o, abc =
abc donde abc = abc es el entero o producto por 999
1000 (3 ceros) eabc − e donde eabc = eabc 999
2.
e, abc =
3.
0,abcbc…= 0,abcbc =
4.
m,abcbc.. = m,abcbc =
5.
0,666... = 0,6 =
6.
1,222…=
7.
3,6767... =
367 − 3 364 = 99 99
8.
0,4333... =
43 − 4 39 13 = = 90 90 30
9.
3,6767... =
367 − 3 364 = 99 99
10.
0,34747…=
347 − 3 344 = 990 990
11.
4,32121…=
4321 − 43 4278 = 990 990
abc − a aquí J=2, n=1, m=0 990 mabc − ma análoga a la prueba 990
6 2 = … m=n=0, j=1 9 3
12 − 1 11 … m=1, n=0, j=1 = 9 9
Para m=1, j=2, n=2 12.
1,234545… =
12345 − 123 12222 = 9900 9900
Para m=1, j=2, n=3
47
MATEMATICA BASICA I
13.
3,1235454…=
312354 − 3123 309231 = 99000 99000
¿Todos los números pueden escribirse en forma de fracción? ¡No! Pues no existe x∈Q/x2 = 2 por tal motivo se crea el siguiente conjunto de números.
2.4.
CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES: Q´ Ó II
Se da el nombre de número irracional a todo número que no es racional. i.e. I = {x / x ≠
m , m, n ∈ Ζ; n ≠ 0} n
Veamos por que, por ejemplo
2 no es un racional
Supongamos que lo fuera:
2=
m n
m m , donde ha sido reducido y n n
no tienen factores comunes.
Tendremos elevando al cuadrado: 2=
2 m2 ⇒ m2 = 2n 2 n
lo que nos dice que m2 y por lo tanto m es par o múltiplo de 2.
Sea m=2r, r un entero. Reemplazando: m2 = 4r 2 = 2n2 ⇒ n2 = 2r 2 lo que muestra que n es también par.
48
MATEMATICA BASICA I
Luego m y n siendo pares tienen un factor común, el 2, contrario a la hipótesis.
2 no puede ser racional.
Por consiguiente
De modo semejante se puede probar que todo radical: ...,
3
3,
5,
2, 3 3, ..., de un número que no es una potencia, no es
racional. Ejemplos:
1.
2 = 1,4142…
2.
3 = 1,73 205…
3.
5 = 2,23 606…
4. 1 +
2
5. 2 −
3
6.
2 + 3,
1 2
,
2 3
Propiedad 3. Un número irracional se caracteriza por tener parte
decimal no periódica, con infinitas cifras decimales. ¿Por qué?
En efecto: si el número tuviera parte decimal periódica, por propiedad 2 de 2.3 podría expresarse como el cociente de 2 enteros, esto sería un racional.
49
MATEMATICA BASICA I
Los números irracionales son de dos tipos: 2.4.1 Irracionales algebraicos. Son raíces de polinomios de
coeficientes enteros. *
2, 7, 3 2 −
3 ,...
2.4.2 Números trascendentales. No son raíces de ningún
polinomio de coeficientes enteros. π = 3,14159... e = 2,718281...
*
π = 3,141592…
infinito no periódicas. -π=-3.141592...
e = 2,7182 81 82…
infinito no periódicas. –e=-2.71828...
2 = 1,4142 1356… infinito no periódicas. - 2 =-1.4142135
2.5.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES: IR
Es el conjunto delos números racionales y el de los irracionales. Las propiedades y/o relaciones se desarrollan en el Capítulo III. IR : Q ∪ I , IR = IR+ ∪ {0} ∪ IR– IR+ : Reales positivos. IR– : Reales negativos.
Graficamente:
IN ⊂ Z ⊂ IR II ⊂ IR
50
MATEMATICA BASICA I
1)
IN ⊂ Z ⊂ Q
2)
Q ∪ I = IR
3)
Q∩I=∅
EJERCICIOS RESUELTOS Transformar a Radicales Simples
1.
10 + 84 A=10 ; B=84 Solución:
Cómo se sabe: A2 – B es un cuadrado perfecto = C2, entonces: A± B =
En nuestro caso:
A+C ± 2
A−C 2
C2 = 102 – 84 = 16 cuadrado perfecto
C = ± 4 asumiendo C = 4 10 + 84 =
2.
10 + 4 10 − 4 + = 7+ 3 2 2
13 − 160
Solución:
Como en el caso anterior: C2 = 132 – 160 = 9 cuadrado perfecto C = ± 3 asumiendo C = 3 13 − 160 =
13 + 3 13 − 3 + = 8+ 5 =2 2+ 5 2 2
51
MATEMATICA BASICA I
3.
Si n = 14 + 2 45 − 9 − 80 ; hallar le menor valor de x cuando: x2 – nx + n +1 = 0 Solución:
14 + 2 45 = 9 + 5 = 3 + 5
Como:
9 − 80 ⇒ c 2 = 81 − 80 = 1 ⇒
9 +1 9 −1 − = 5−2 2 2
∴ 3 + 5 − 5 + 2 = 5 = n ⇒ x2 – 5n + 6 = (x-3) (x-2)=0 que da x=3
y x=2 Luego el menor valor de x es 2.
4.
Si x = 3 2 + 5 + 3 2 − 5 . Hallar el valor numérico de 6 x 3 + 18 x + 5 Solución:
⎛1 1⎞ Si a, b > 0 ⇒ ⎜ + ⎟(a + b ) ≥ 4 ⎝a b⎠ Solución: Como a, b > 0 ⇒ a – b ≥ 0 ⇔ a ≥ b
⇒ (a − b ) ≥ 0 ⇒ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 2
⇒ a 2 + b 2 ≥ 2ab ⇒ ⇒
a2 b2 + ≥2 ab ab
a b a b + ≥ 2 ⇒ +1+ +1 ≥ 4 b a b a
Lo que implica:
a b b a a+b a+b + + + ≥4⇒ + ≥4 b b a a b a ⎛1 1⎞ ⇒ ⎜ + ⎟(a + b ) ≥ 4 ⎝b a⎠
7.
Si x ∈ 2,4 ⇒
l.q.q.d.
1 1 1 ; ∈ 2 x + 3 11 7
Solución: Como x ∈ 2,4 ⇒ 2 < x < 4
4 < 2x < 8 ⇒ 7 < 2x + 3 < 11 implica:
53
MATEMATICA BASICA I
1 1 1 < < 11 2 x + 3 7 ∴
8.
1 1 1 , ∈ 2 x + 3 11 7
Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyas vértices son (-3, -1) (0, 3) (3, 4) (4, -1) Solución:
Graficando los vértices El perímetro del cuadrilátero es: ____
____
____
____
P = AB + BC + CD + DA Donde:
____
(− 3 − 0)2 + (− 1 − 3)2
____
(0 − 3)2 + (3 − 4)2
= 10
____
(3 − 4)2 + (4 + 1)2
= 26
____
(− 3 − 4)2 + (− 1 + 1)2
AB =
BC = CD = DA =
B = (0, 3)
A = (-3, -1)
=5
=7
C = (3, 4)
D = (4, -1 )
54
MATEMATICA BASICA I
Entonces: P = 12 + 10 + 26 ≅ 20,25 und. 9.
El punto medio del segmento entre P1 (x1; y1) y P2(x2, y2) es: ⎛ x1 + x 2 y1 + y 2 ⎞ ; ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2
y P2(x2; y2) P1(x1; y1)
A(x1; 0) 1)
P(x; y) B(x; 0)
C(x2; 0)
x
Se pide hallar las coordenadas (x, y) del punto P en términos de las coordenadas de P1; P2. Para ello traemos desde los puntos P1; P2 segmentos paralelos al eje y y corten al eje x en los puntos A, B, C.
2)
Por la geometría plana elemental; se sabe que la ruta paralela al eje y que pasa por el punto P biseca el segmento AC en el punto B; esto es; B es punto medio del segmento AC. Si B es punto medio del segmento AC entonces se cumple que: x – x1 = x2 – x ⇒ d (A a B) = d (B a C) luego: x=
x1 + x 2 2
de manera similar por los puntos P1;P; P2 trazamos segmentos paralelos al eje x, obteniéndose y2 – y = y – y1
55
MATEMATICA BASICA I
y=
y1 + y 2 2
⎛ x + x 2 y1 + y 2 ⎞ , Luego la fórmula del punto medio es ⎜ 1 2 ⎟⎠ ⎝ 2
10.
Hallar los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos (-2, 3) (6, -3) Solución: P1 P
(-2, 3)
Q
P2
Se pide hallar las coordenadas
(6, -3)
de P; Q que dividen al segmento
Cómo: ______
P1
P2 P
(-2, 3)
(6, -3)
P1 P2 en tres segmentos de igual
longitud. _____
1
2
PP
1 _____
=
PP2
Entonces: xp =
xp1 + rxp2 1+ r
, yp =
1 =r 2
yp1 + ryp2 1+ r
1 1 6 3 + ( −3 ) 2 = 2; y = 2 ⇒ xp = =1 p 1 1 3 1+ 1+ 2 2 −2 +
Si a2+b2=1; c2+d2 = 1 entonces 1 ≥ ac+bd; ∀a,b,c,d ∈ R
4)
Si a+b+c=1, donde a,b,c > 0 ⇒ (1-a)(1–b)(1–c) ≥ 8abc
5)
a4 + b4 + c4 + d2 ≥ 4abcd; ∀a,b,c,d ∈ R
6)
Si a > 0; a∈R ⇒ a+
7)
Si a,b,c ∈R+ ⇒
8)
Si a > 0, b > 0 tal que a + b = 1 ⇒ ab ≤ ¼
9)
Si a, b, c ∈R ⇒ a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2 (a + b+ c)
10)
Si a, b > 0 /a ≥ b ⇒
11)
⎛ 1 1 1⎞ Si a, b, c > 0 ⇒ ⎜ + + ⎟ ( a + b + c ) ≥ 9 ⎝a b c⎠
12)
si a > 0 ; a ≠ 1; a ∈R ⇒ a3 +
13)
( ax + by )
14)
(a + b + c+ d)2 ≤ 4(a2 + b2 + c2 + d2) ; ∀ a, b, c, d ∈ R
15)
(a x + by + cz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2)
16)
Si x – 5 ∈ −2,2 → x ∈ 3,7
2
a+b ≥ ab 2
(
1 a
≥2
bc ac ab + + ≥ a+b+c a b c
≤ a2 + b2
a 3b b2 + ≥ +3 b a a2
)( x
2
1 1 > a2 + 2 3 a a
)
+ y 2 ; ∀a,b, x,y ∈ R
57
MATEMATICA BASICA I
17)
[2]
Si x ∈ 1,3 →
1 1 1 , ∈ x + 3x + 1 19 5 2
Resolver las siguientes inecuaciones 1)
3(3x – 17) + 5 (5 – 3x) ≥ 3(3x – 11) – 2(4x – 3)
2)
13 (2x – 3) – 7 (3x – 5) < 3 (2x – 11) + 13x
3)
3x − 2 3x + 7 3x − 5 7 − x − < − 5 2 2 3
4)
3x − 7 8 4 < ( 3 − x ) < ( 7 − 2x ) 4 3 7
5)
9x − 5 3x − 1 5x + 4 ≥ − 4 2 3
6)
7x − 2 5x − 6 9x + 34 + < 2 3 5
7)
2x − 1 3x − 2 2x + 1 2 > + + 5 6 2 3
8)
x 3x 5 ;a>b>0 + < 2 a −b a+b a−b
9)
2x x 2x x − < 10 − < 10 ; a > b > 0 a−b a+b a−b a+b
10)
x+5 x−5 x x + > > 12 6 3 3
2
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MATEMATICA BASICA I
2.6.
RELACIONES 2.6.1 Las relaciones se presentan en todas la áreas del conocimiento. Por ejmplo: San Isídro es mas grande que
San Borja; Pedro es menor que Pablo; “…es congruente con…” etc. En matemática nos interesan las relaciones entre 2 conjuntos.
2.6.2 Relación Binaria
Dados 2 conjuntos no vacios A y B, una realción binarias de A y B es dado por todo conjunto R del producto A x B. Al conjunto A se le denomina: Dominio o primera proyección y al B el rango o segunda proyección. Si invertimos: B x A se obtiene la relación inversa R-1 entre B y A. Cuando el conjunto B = A es una relación en el conjunto A.
2.6.3 Propiedades
Una relación R en un conjunto A puede tener las siguientes propiedades: : ∀x ∈ A ⇒ ∈ R