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SECCIÓN 2.7 TANGENTES, VELOCIDADES Y OTRAS RAZONES DE CAMBIO

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Suponga ahora que calculamos las velocidades promedio sobre lapsos [a,a+h] más y más cortos. En otras palabras, hagamos que h tienda a 0. Como en el ejemplo de la bola que cae, definimos la velocidad (o velocidad instantánea) v(a) en el instante t=a como el límite de estas velocidades promedio: v (a )  lim

3

f ( a  h )  f (a)

h 0

h

Esto significa que la velocidad en el instante t=a es igual a la pendiente de la recta tangente en P. (Compare las Ees. 2 y 3.) Ahora que sabemos calcular límites, volvamos a considerar el problema de la pelota que cae. Recuerde que en la sección 2.1 vimos que la distancia (en metros) recorrida al caer después de f segundos es 4.9t2

Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de observación de la Torre CN, 450 m arriba del suelo. (a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos? (b) ¿Con qué velocidad choca contra el suelo?

EJEMPLO 4

SOLUCIÓN Usemos la ecuación del movimiento s  f (t )  4.9t 2 para hallar la velocidad v(a) después de a segundos: 4.9(a  h )2  4.9a 2 h 0 h 0 h h 2 2 2 4.9(a  2ah 4.9(2ah  h2 ) ah  h  a )  lim  lim h 0 h 0 h h  lim 4.9(2ah  h)  9.8a

v (a)  lim

f (a  h )  f (a )

 lim

h 0

(a) La velocidad después de 5 s es v(5) = (9.8)(5) = 49 m/s. (b) Como la plataforma plataforma de observación observación está 450 450 m arriba del suelo, suelo, la pelota chocará contra éste en el instante t 1, cuando s(t 1) = 450; es decir, 4.9t 12  450

Esto da t 12 

450 4.9

y

t1 

450 4.9

 9.6s

Por lo tanto, la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo es v (t1 )  9.8t1 

450 4.9

 94m / s

Otras razones de cambio

Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Por lo tanto, y es una función de x y escribimos y =f(x). Si x cambia de x 1 a x2, entonces el cambio en x (también conocido como incremento de x) es  x  x2  x 1


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y el cambio correspondiente en y es y  f  x2   f  x1 

El cociente de diferencias y  x



f  x2   f  x1 

x 2  x 1 Se llama razón promedio de cambio de y con respecto a x sobre el intervalo

[x1,x2] y se puede interpretar como la pendiente de la recta secante PQ de la figura 7.

FIGURA 7 Razón promedio de cambio = m PQ Razón instantánea de cambio = pendiente de la tangente P Por analogía con la velocidad, consideramos la razón promedio de cambio sobre intervalos cada vez mis pequeños haciendo que x 2 tienda a x1 y, por lo tanto, al hacer que  x tienda a 0. El límite de estas razones de cambio se llama razón (instantánea de cambio de y con respecto a x en x=x1, lo cual se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva y  f ( x ) en 4

P( x1, f ( x1 )) :

y y f ( x2 )  f ( x1 )  lim  x 0  x x2  x 1 x x2  x 1

Razón instantánea de cambio= lim

EJEMPLO 5 Se registraron las lecturas de la temperatura (en grados Celsius) cada hora, a partir de la media noche, en un día de abril, en Whitefish, Montana. El tiempo x se mide en horas a partir de la medianoche. Los datos se dan en la tabla de la izquierda. (a) Encuentre la razón promedio de cambio de la temperatura con respecto al tiempo: (i) Desde el mediodía hasta las 3p.m, (ii) desde el mediodía hasta las 2p.m. (iii) desde el mediodía hasta la 1 P.M. (b) Estime la razón instantánea de cambio a mediodía. SOLUCIÓN (a) (i) Desde mediodía hasta las 3 p.m., la temperatura cambia desde 14.3 °C hasta 18.2 °C, de modo que T  T (15)  T (12)  18.2  14.3  3.9 C

En tanto que el cambio en el tiempo es  x  3h . Por consiguiente, la razón promedio de cambio de la temperatura con respecto al tiempo es T 3.9   1.3C / h  x 3


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(ii) Desde el mediodía hasta las 2 p.m.. la ra/ón promedio de cambio es T T (14)  T (12) 17.3  14.3    1.5C / h  x 14  12 2

(iii) Desde el mediodía hasta la I P.M., la ra/ón promedio de cambio es T T (13)  T (12) 16.0  14.3    1.7C / h  x 13  12 1 Nota sobre unidades Las unidades para la razón promedio de cambio son las unidades para divididas entre las unidades para . a saber, grados Celsius por hora. La razón instantánea de cambio es el límite de las razones promedio de cambo, de modo que se mide en las mismas unidades: grados Celsius por hora.

(b) En la figura 8, situamos los datos y los usamos para trazar una cuna suave que se aproxime a la gráfica de la función de temperatura. En seguida, trazamos la tangente en el punto P. donde x=12 y, después de medir los lados del triángulo ABC, estimamos que la pendiente de la recta tangente es BC AC



10.3 5.5

 1.9

Por lo tanto, la razón instantánea de cambio de la temperatura con respecto al tiempo, al mediodía, es alrededor de 1 9°C/h.

La velocidad de una partícula es la razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo. Los físicos también se interesan en otras razones de cambio; por ejemplo, la razón de cambio del trabajo con respecto al tiempo (lo que se conoce como potencia). Los químicos, que estudian una reacción química, se interesan en la razón de cambio en la concentración de un reactivo con respecto al tiempo (llamada velocidad de reacción). Un fabricante de acero se interesa en la razón de cambio del costo de producir x toneladas de acero por día, con respecto a x (lo que se conoce como cosió marginal). Un biólogo se interesa en la razón de cambio de la población de una colonia de bacterias con respecto al tiempo. De hecho, el cálculo de razones de cambio es importante en todas las ciencias naturales, en la ingeniería c. incluso, en las ciencias sociales. En la sección 3.3 se darán más ejemplos. Todas estas razones de cambio se pueden interpretar como pendientes de tangentes. Esto da un significado adicional a la solución del problema de la tangente. Siempre que resolvemos problemas en que intervienen rectas tangentes, no resolvemos sólo un problema de geometría; también resolvemos implícitamente una gran variedad de problemas de la ciencia y la ingeniería en que intervienen razones de cambio.


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2.7 Ejercicios

1. Una curva tiene la ecuación y=f(x)

(a) Encuentre una expresión para la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P(3, f (3)) y Q( x,f ( x )) . (b) Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente en P. 2. Suponga que un objeto se mueve con la función de posición s  f (t ) . a) Escriba una expresión para la velocidad promedio del objeto en el lapso t  a a t a h . b) Escriba una expresión para la velocidad instantánea en el instante t  a . 3. Considere la pendiente de la curva dada en cada uno de los cinco puntos que se muestran. Enumere estas cinco pendientes en orden decreciente y explique su razonamiento.

Grafique la curva y  e x en las pantallas por 0,2, 0.5,0.5 por 0.5,1.5  1,1

4.

 0.1,0.1 por [0.9,1.1]. ¿Qué advierte acerca de la curva a medida que se aproxime al punto (0,1)? 5.(a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la parábola y  x 2  2x en el punto (-3. 3) (i) con la definición 1 (ii) con la ecuación 2 (b) Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso a). (c) grafique la parábola y la recta tangente. Como una comprobación de su solución, acérquese al punto (-3,3) hasta que no pueda distinguir la parábola y la recta tangente. 6.(a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y  x 3 en el punto (-1. -1). (i) Con la definición 1 (ii) con la ecuación 2. (b) Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso a). (c) Grafique la curva y la recta tangente en pantallas cada vez más pequeñas con centro en (-1,-1) hasta que parezca que coinciden la curva y la recta. 7-10 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva, en el punto dado. 7. y  1  2x  3 x 2 (-2,-7) 8. y  1/

x ,

(1,1)

9. y  1/ x 2,

(-2, 41 )

10. y  x / (1  x ), (0,0) 11. (a) Halle la pendiente de la tangente a la curva y

= 2/(x + 3) en el punto donde x = a. (b) Encuentre las pendientes de las tangentes en los puntos donde x vale i) -1, ii) 0 y iii) 1. 12. (a) Halle la pendiente de la tangente a la parábola y  1  x  x 2 , en el punto donde x=a. (b) Encuentre las pendientes de las rectas tangentes en los puntos cuyas coordenadas x son i) -1, ii) 21 y iii) 1. (c) Grafique la curva y las tres tangentes 13 (a) Encuentre la pendiente de la tangente a la curva y  x 3  4 x  1 en el punto donde x=a. (b) Halle las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (1.-2) y (2.1) (c) Grafique la curva y las dos tangentes en una pantalla común. 14. (a) Encuentre la pendiente de la tangente a la curva y  1/ 5  2x en el punto donde x=a. (b) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los pun-tos (2.1) y (-2. 31 ). (c) Trace las gráficas de la cuna y las dos tangentes en una pantalla común 15. La gráfica muestra la función de posición de un automóvil. Use la forma de la gráfica para explicar las respuestas que dé a las siguientes preguntas (a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del automóvil? (b) ¿El automóvil viajaba más rápido en B o en C? (c) ¿El automóvil desaceleraba o aceleraba en A. B y C? (d) ¿Qué sucedió entre D y E? 

Valeria conduce en una carretera. Grafique la función de posición del auto si maneja de la siguiente manera: en el instante t=0 min. el automóvil pasa frente a la señal que marca la milla 15 a una velocidad constante de 55 mi/h, que conserva durante una hora. A continuación, disminuye gradualmente la velocidad durante un periodo de dos minutos cuando se detiene a comer. La comida dura 26 min; en seguida, vuelve a arrancar y acelera en forma gradual hasta 65 mi/h. durante dos minutos. Conduce a una velocidad constante de 65 mi/h durante dos horas y después, durante un periodo de tres minutos, disminuye su velocidad gradualmente hasta que se detiene por completo. 16.


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17. Se lanza una pelota hacía el aire con una

velocidad de 40 pies/s, su altura (en pies) después de t segundos se expresa con y  40t  16t 2 Encuentre la velocidad cuando t=2. 18 Si en la Luna se dispara una Hecha hacia arriba con una velocidad de 58 m/s, su altura (en metros) después de r segundos se expresa con H  58t  0  83t 2 (a) Encuentre la velocidad de la flecha después de 1 s. (b) Halle la velocidad de la flecha cuando t=a. (c) ¿Cuándo chocará la flecha con la Luna? (d) ¿Con qué velocidad chocara? 19. La ecuación del movimiento s  4t 3  6t  2 denota el desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve en línea recta. En dicha expresión, t se mide en segundos. Encuentre la velocidad de la partícula en los instantes t= a, t=1, t=2 y t=3. 20. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve en línea recta se expresa con s  t 2  8t  18 , donde t se mide en segundos. (a) Encuentre las velocidades promedio durante los siguientes intervalos: (¡) [3.4] (ii) [3.5,4] (iii) [4,5] (iv) [4,4.5] (b) Encuentre la velocidad instantánea cuando t= 4. (c) Grafique s como función de t y trace las rectas secantes cuyas pendientes sean las velocidades promedio del inciso a) y la recta tangente cuya pendiente es la velocidad instantánea del inciso b). 21. Se coloca una lata tibia de gaseosa en un refrigerador frío. Grafique la temperatura de la gaseosa como función del tiempo. ¿La razón inicial de cambio de la temperatura es mayor o menor que la razón de cambio después de una hora? 22. Se saca un pavo asado del homo cuando su temperatura ha alcanzado 185°F y se coloca sobre la mesa de un cuarto donde la temperatura es de 75°F. En la gráfica se muestra cómo disminuye la temperatura del pavo y. finalmente, tiende a la temperatura del cuarto. (En la Sec. 9.4 seremos capaces de aplicar la ley de Newton del enfriamiento con el fin de hallar una ecuación para T como función del tiempo.) Por medio de la medición de la pendiente de la tangente, estime la razón de cambio de la temperatura después de una hora.

23. (a) Use los datos del ejemplo 5 para hallar la

razón promedio de cambio de la temperatura con respecto al tiempo: (i) De las 8 P.M. a las 11 PM. (ii) De las 8 P.M. a las 10 PM. (iii) De las 8 P.M. a las 9 PM. (b) Estime la razón instantánea de cambio de T con respecto al tiempo a las 8 PM, midiendo la pendiente de una úngeme, 24. En la tabla se da la población P (en millares) de la ciudad de San José, California, desde 1991 hasta 1997.

(a) Encuentre la tasa promedio de crecimiento. (i) De 1991 a 1995 (ii) De 1993 a 1995 (iii) De 1995 a 1997 En cada caso, incluya las unidades. (b) Tome el promedio de dos tasas promedio de cambio y estime la razón instantánea de crecimiento en 1995. ¿Cuáles son sus unidades? (c) Estime la tasa instantánea de crecimiento en 1995 midiendo la pendiente de una tangente. 25. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es C( x )  5000  10 x  0.05 x 2 (a) Encuentre la razón promedio de cambio de C con respecto a x. cuando se cambia el nivel de producción: (i) De x  100 a x  105 (ii) De x  100 a x  101 (b) Halle la razón instantánea de cambio de C con respecto a X, cuando x = 100. (Esto se conoce como costo marginal. En la Sec. 3.3 se explica su significado.) 26. Si un tanque cilíndrico contiene 100 000 galones de agua que se pueden drenar por el fondo del depósito en 1h. la ley de Torricelli da el volumen V del agua que queda después de t minutos como 2

t   V (t )  100,000  1   0  t  60 60  

Encuentre la rapidez con que sale el agua del tanque (la razón instantánea de cambio de V con respecto a t) como función de t. ¿Cuáles son sus unidades? Para los instantes t=0,10,20,30,40.50 y 60, encuentre el gasto y la cantidad de agua que queda en el tanque. Resuma sus hallazgos en una oración o dos. ¿En qué instante el gasto es máximo? ¿Cuándo es mínimo?


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En la sección 2.7 definimos la pendiente de la tángeme a una cuna con ecuación y =f(x) en el punto donde x = a. como _ r fia + h) --fia) m - lim-------------------*-o /i Vimos también que la velocidad de un objeto con función de posición s =/(/) en el ínstame w(á) - lím-------------------*—o h De hecho, los límites de la forma mfb-n¡>-fV> tienen su origen cuando se calcula la rapidez de cambio en la ingeniería como en el caso de la velocidad de reacción en la química o el costo marginal en la economía. Dada la frecuencia con que se presenta este tipo de límite, se le da un nombre y una notación especiales. La derivada de una función/en un número a. denotada con fia), es na) m m /C + W-W *—o h si este límite existe. Si escribimos .r = a + h, entonces h-x-ayh tiende a 0 si, y sólo si, x tiende a a. Por lo tanto, una manera equivalente de enunciar la definición de la derivada, como vimos al hallar rectas tangentes, es 00 I rM. I(m £*zjñ I i—« x — a EJEMPLO 1 Encuentre la derivada de la función/(j) = r - Rx + 9 en el número a. SOLUCIÓN A partir de la definición 2. Tenemos


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- Interpretación de la derivada como la pendiente de una tangente En la sección 2.7 definimos la recta tangente a la curva v -fix) en el punto Pía, fia)) como l.i recta que pasa por P y tiene la pendiente m dada por la ecuación I. Puesto que, por la definición 2. esto es lo mismo que la derivada/'(íi), podemos decir que La recta tangente a y = /(.v), en U¿, fia)), es la recta que pasa por (a. fia)) cuya pendiente es igual a/'(<;). la derivada de /en a. Por lo tatito, la interpretación geométrica de una derivada [definida por (2) o (3)] es como se muestra en la figura 1,

■ pendiente de la tundente P ■ pendiente de la cuna en P

m pendiente de la tangente en P

= pendiente de la curva en P

FIGURA 1 Interpretación geométrica de la derivada Si usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, podemos escribir una ecuación de la recta tangente a la cuna y =/(.t) en el pumo (a, fia)): y - fia) - f'(a)(x - a) EJEMPLO 2 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola v = i - ■ S r + 9 en el punto (3. -6). Con base en el ejemplo 1, sabemos que la derivada de/U) = jc2 - &* + 9 en el número a es fia) = 2a - 8. Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en (3, -6) es /'(3) = 2(3) - 8 = -2. De esta forma, una ecuación de la recta tangente es (Fig. 2)


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EJEMPLO 3 Sea/(x) = 2*. Estime el valor de/'(O) de dos maneras: (a) Con la definición 2 y valores cada ve/ más pequeños de h. (b) Interprete/'(O) como la pendiente de una tangente y use una calculadora graneadora para acercarse en la granea de y = 2\ SOLUCIÓN (al A partir de la definición 2 tenemos m.tMtJ2kLm..Vm*z¿. Puesto que todavía no podemos evaluar este límite con exactitud, usemos una calculadora para obtener aproximaciones de los valores de (2* - \)Ih. Con base en la evidencia numérica de la tabla, vemos que conforme h tiende a 0, parece que estos valores tienden a un número cercano a 0.69. De modo que nuestra estimación es /'(O) «• 0.69

(b) En la figura 3 trazamos la curva y = 2* y nos acercamos al punto (0, I). Vemos que entre más nos acerquemos a (0, 1). la curva más parece una recta. En efecto, en la figura 3c) prácticamente no se puede distinguir la curva de su recta tangente en (0, I). Como tanto la escala x como la escala y son de 0.01, estimamos que la pendiente de esta recta es 0.14 De modo que nuestra estimación de la derivada es/'(0) ** 0.7. En la sección 3.5 demostraremos que, correcta hasta seis decimales,/'(0) "■ 0.693147.

FIG U R A 3 Amplificación de la gráfica de v - 21 en (0.1) ~. Interpretación de la derivada como una razón de cambio En la sección 2.7 definimos la razón instantánea de cambio de y =/(x) con respecto a x en x = X\ como el límite de las razones promedio de cambio en intervalos más y más pequeños. Si el intervalo es (xi, x2], entonces el cambio en x es Ax = x* - x\ y el cambio correspondiente en y es Ay-/(x2)-/(xi) y —-—— f¡] razón de cambio instantáneo = lím —— — lím J Ai— 0 Ax *i—-i X2 — X| A partir de la ecuación 3, reconocemos este límite como la derivada dc/cn X|¡ es decir, /'(x,).


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Esto da una segunda interpretación de la derivada: La dcrivada/'(a> es la razón instantánea de cambio de y =f(x) con respecto a x cuando x = a. La conexión con la primera interpretación es que si graneamos la curva y = /(*)■ entonces la razón instantánea de cambio es la pendiente de la tangente a esta curva en el punto donde x-a. Esto significa que cuando la derivada es grande (y, por lo tanto, la curva está empinada, como en el punto P de la Fig. 4). los valores y cambian con rapidez. Cuando la derivada es pequeña, la cuna es relativamente plana y los valores y se modifican con lentitud. En particular, sí s = /(f) es la función de posición de una panícula que se mueve a lo largo de una línea recta, entonces/ '(a) es la razón de cambio del desplazamiento s con respecto al tiempo f. En otras palabras./ '(a) es la velocidad de la partícula en el instante isa. (Véase la Sec. 2.7.) La rapidez de la partícula es el valor absoluto de la velocidad; es decir. \fr(a) |. EJEMPLO 4 La posición de una partícula se da con la ecuación del movimiento s =/{/) =1/(1-+- f). donde / se mide en segundos y s en metros. Encuentre la velocidad y la rapidez después de 2 segundos. SOLUCIÓN La derivada de/cuando t = 2 es Por lo tanto, la velocidad después de 2 s es /'(2) — - \ m/s, y la rapidez es l/'(2)|-|-¿|«|m/s. a EJEMPLO 5 Un fabricante produce rollos de tela con un ancho fijo. El costo de producir x yardas de esta lela es C =/(-t) dólares. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada /'(*)? ¿Cuáles son sus unidades? (b) En términos prácticos, ¿qué significa decir que/'(1000) = 9? (c) ¿Cuál piensa que sea mayor/'(50) o/'(500)? ¿Qué puede decir de/'(5000)? SOLUCIÓN (a) La derivada/ '(x) es la razón instantánea de cambio de C con respecto a x\ es decir, / '(x) denota la razón de cambio del costo de producción con respecto al número de yardas producidas. (Los economistas llaman a esta razón de cambio costo marginal. Esta idea se analiza con más detalle en las Secs. 3.3 y 4.8.)


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Debido a que f(x) = lím ^ las unidades para/X*) son las mismas que las del cociente de diferencias AC/Ar. Puesto que AC se mide en dólares y At en yardas, se deduce que las unidades para/ '(*) son las de dólares por yarda. (b) La proposición/'(1000) = 9 significa que. después de fabricar 1000 yardas de reía, la razón a la cual aumenta el costo de producción es de 9 dólares/yarda. (Cuando x = 1000, C se incrementa nueve veces más rápido que vj Como Av = 1 es pequeño en comparación con * = 1000, podríamos usar la aproximación Ax 1 y decir que el cosió de fabricar la yarda número 1000 (o la número 1001) es de unos 9 dólares. (c) La razón a la que aumenta el costo de producción (por yarda) quizás es menor cuando x = 500 que cuando x = 50 (el costo de fabricar la yarda número 500 es menor que para la número 50) debido a el ahorro por cantidad. (El fabrícame usa con mis eficiencia los costos lijos de producción.) De este modo. /'(50) > /'{500) Pero a medida que se expande la producción, la operación a gran escala resultante podría volverse ineficiente y haber costos por tiempo extra. Por tanto, es posible que llegue un momento en que la razón de incremento de los costos empiece a elevarse. De modo que puede suceder que /r(5000) >/'
CI0N La derivada P'( 1992) significa la razón de cambio de P con respecto a f. cuando ; = 1992: es decir, la tasa de aumento de la población en 1992. Según la ecuación 3.


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De este modo, calculamos los valores del cociente de diferencias (las razones promedio de cambio) y los tabulamos:

A partir de esta tabla, vemos que P'{ 1992) se encuentra entre 2 781 000 y 2 645 000. Estimamos que la razón de crecimiento de la población de Estados Unidos en 1992 fue el promedio de estos números; a saber, P'< 19921 m 2713 millones de personas/año Otro método os graficar la función de población y estimar la pendiente de la recta tangente cuando / - 1992. (Véase el Ejem 5. Sec. 27.) Ejercicios 1. En la gráfica dada de/, marque Iramos que representen/(2), /(2 -f A)./(2 + h) -/(2) y h. (Tome h > 0.) ¿Culi recta tiene la pendiente fiLLÍLLÍSl? 2. Para la función/cuya gráfica se muestra en el ejercicio I. disponga los números siguientes en orden creciente y explique su razonamiento: 0 /'(2) /<3>-/<2) ![/(4)-/(2)] 3. Para la función k cuya gráfica se da. disponga los siguientes números en orden creciente y explique su razonamiento: 0 ?'<-2) £'(0) 9\2) g'W 4. Si la recta tangente a y =/0y^(2)-l. 7. Sif(x)= ix2 - 5^. encuentre/'(2) y úsela para hallarla ecuación de la recta tangente a la parábola y = 3x2 - 5.r. en el punto (2. 2). I. Si g{x) = I - jt\ encuentre
(b) Ilustre el inciso a) trazando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 11. Sea/U) = 3". Estime el valor de/'(l) de dos maneras: (a) Aplicando la definición 2 y tomando valores sucesivamente más pequeños de h. (b) Haciendo un acercamiento sobre la gradea de y = 31 y estimando la pendiente. 12. Sea g(x) * tan x. Estime el valor de g'iirlA) de dos maneras: (a) Aplique la deñnición 2 y tome valores sucesivamente mis pequeños de h.


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