GRANDEZAS PROPORCIONAIS E MATEMÁTICA COMERCIAL Medindo áreas
Medindo grandezas Intuitivamente, podemos chamar de grandeza toda entidade que pode ser medida. São exemplos de grandezas
Múlt Mú ltip iplo los s
o tempo; a distância; a velocidade; a temperatura.
Medir uma grandeza é compará-la com uma unidade-padrão. Por questões práticas, as unidades de medida das principais grandezas são padronizadas e utilizadas universalmente. Vamos recordar, agora, as unidades de medida das principais grandezas.
Medindo comprimentos ou distâncias A unidade fundamental é o metro (símbolo: m). Múltiplos
Submúltiplos
Decâme Dec âmetro tro (1 dam dam = 10 10 m)
Decím Dec ímetr etro o (1 dm dm = 10–1 m)
Hectômetro (1 hm = 10 2 m)
Cent Ce ntím ímet etro ro (1 cm = 10–2 m)
Quilômetro (1 km = 103 m)
Mil ilííme mettro (1 (1 mm mm = 10–3 m)
Tomando-se a seqüência das unidades, da maior para a menor, km
hm
dam
m
dm
cm
mm
observe que cada unidade vale dez vezes a unidade seguinte. Por isso, o número decimal é o mais indicado para expressar medidas de comprimentos: para transformar uma medida de uma unidade para a outra, basta deslocar a vírgula.
Exemplo
hm
dam
m
Submú Su bmúlt ltip iplo los s
dam2 → (1 dam2 = 102m2)
dm2
→
(1 dm2 = 10 –2m2)
hm2
→
(1 hm2 = 104m2)
cm2
→
(1 cm2 = 10–4m2)
km2
→
(1 km2 = 106m2)
mm2 → (1 mm2 = 10–6m2)
Tomando-se, agora, a seqüência das unidades, da maior para a menor, km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
cada uma delas vale 10 2 = 100 vezes a unidade seguinte. Por isso, na transformação de unidades, a vírgula se desloca de duas em duas casas.
Exemplo
Transformar 0,005 hm 2 para decímetros quadrados. hm2
dam2
m2
dm2
3 x 2 = 6 casas à direita Logo, 0,005 hm2 = 0,005 x 10 6 dm2 = 5 000 dm 2. Para medidas de áreas de grandes extensões de terras, utilizam-se, também, o are (símbolo: a) e o hectare (símbolo: ha), com o seguinte significado: 1 a = 100 m 2 1 ha = 100 a = 10 000 m 2
Medindo volumes A unidade fundamental é o metro cúbico (símbolo: m3). O volume de um cubo cuja aresta mede 1 m é 1 m 3.
Transformar 12, 4 dm em quilômetros. Veja a seqüência das unidades. km
A unidade fundamental é o metro quadrado (símbolo: m2). A área de um quadrado cujo lado mede 1 m é 1 m 2.
dm
Múltiplos
4 casas à esquerda Portanto, 12,4 dm = 12,4 x 10 –4 km = 0,00124 km.
a c i t á m e t a M
Submúltiplos
dam3 → (1 dam3 = 10 3m3)
dm3 → (1 dm3 = 10–3m3)
hm3 → (1 hm3 = 106m3)
cm3 → (1 cm3 = 10–6m3)
km3 → (1 km3 = 10 9m3)
mm3 → (1 mm3 = 10–9m3)
Grandezas proporcionais proporcionais e Matemática comercial 1
Tomando-se, agora, a seqüência das unidades, da maior para a menor, km 3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
cada uma vale 10 3 = 1 000 vezes a unidade seguinte. Como conseqüência, na transformação de unidades, a vírgula se desloca de três em três casas.
Exemplo
Na seqüência das unidades de massa, da maior para a menor, kg hg dag g dg cg mg cada unidade vale 10 vezes a seguinte. Por isso, as transformações de unidades de massa se processam de maneira análoga ao que fizemos com as unidades de comprimento e de capacidade. Define-se, ainda, a tonelada (símbolo: t), da seguinte forma: 1 t = 1 000 kg = 1 000 000 g
Exprimir 2,4 cm 3 em metros cúbicos. cm3
Medindo tempos
2 x 3 = 6 casas à esquerda
A unidade fundamental é o segundo (símbolo: s). Seus múltiplos principais são o minuto (símbolo: min) e a hora (símbolo: h).
m3
dm3
Portanto, 2,4 cm 3 = 2,4 x 10 –6 m3 = 0,0000024 m 3
1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3 600 s
Medindo capacidades A unidade fundamental é o litro (símbolo: l ). ). A capacidade de um recipiente está associada ao volume que ele comporta. Vale a seguinte equivalência: 1 l = = 1 dm 3 Os múltiplos e submúltiplos do litro são os seguintes: Múltiplos Decalitro
a c i t áExemplo m e t a M
Submúltiplos
(1 da da l = = 10 l )
Decilitro
Hect He ctol olit itro ro (1 h l = = 102 l ) Quil ilo oli littro
(1 d l = = 10 –1 l )
Para unidades menores que o segundo, utilizam-se o décimo de segundo, o centésimo de segundo, etc. Vale nesse caso, portanto, o sistema decimal. Os números decimais não são os mais adequados para medidas de tempos em horas, minutos e segundos. Essas unidades não fazem parte do sistema métrico decimal. de cimal. Por isso, quando uma medida de tempo aparece expressa em decimais ou frações, é necessário interpretá-la segundo as unidades convencionais de tempo.
Exemplo
Centilitro (1 c l = = 10–2 l )
(1 k l = = 103 l )
Mililitro
(1 m l = = 10 –3 l )
h l
da l
l
d l
c l
m l
= 5 min +
cada unidade vale 10 vezes a unidade seguinte.
17 min? 3
2 ⎞ ⎛ 2 17 min = ⎜ 5 + ⎟ min = 5 min + min = 3 3 3 ⎝ ⎠
Na seqüência das unidades, da maior para a menor, k l
Qual o significado de
2 de 60 s = 5 min 40 s 3
Medindo ângulos
Transformar 3 da l em em centímetros cúbicos. 3 da l = = 3 x 10 l = = 30 l = = 30 dm3 = 30 x 10 3 cm 3 = 4 3 = 3 x 10 cm = 30 000 cm 3
A principal unidade utilizada para medir ângulos é o grau (símbolo: o). Os múltiplos do grau são o minuto (sím-
bolo: ’) e o segundo (símbolo: ”). 1o = 60’ e 1’= 60”
Medindo massas
A unidade fundamental é o quilograma (símbolo: kg). As outras unidades são derivadas do grama (símbolo: g). Múltiplo los s
Sub Su bmúlti tip plos
Deca De cagr gram ama a (1 da dag g = 10 g)
Deci De cigr gram ama a (1 dg = 1 10 0–1 g)
Hectogra Hect ograma ma (1 hg = 102 g)
Cent Ce ntiigr gra ama (1 cg = 10–2 g)
Quilog Qui logra rama ma (1 kg = 1 10 03 g)
Miligrama
2 CP00 24M4
(1 mg = 10–3 g)
Veja algumas operações com medidas de ângulos.
Exemplos
Calcular a soma 23 o38’47” + 39o41’24” 23o38’47” + 39 o41’24” = 62 o79’71” Mas 79’ = 60’+ 19’ = 1 o19’ e 71” = 60” + 11” = 1’11” A soma fica 62 o1o19’1’11” = 63o20’11”
Calcular o complemento de 43 o23’12” Devemos calcular 90 o – 43 o23’12” Primeiro, vamos decompor 90 o em graus, minutos e segundos
5. Uma imobiliária vende chácaras de um loteamento a R$ 1,50 o metro quadrado. Qual o preço de um lote de 2ha 23a?
90o = 89o 60’ = 89 o59’60” Logo, a subtração fica 89 o59’60” – 43o 23’12” = 46 o36’48”
Questões propostas 1. Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,04 hm; no dia seguinte, percorreu mais 0,72 km; no terceiro dia, mais 12 500 cm. Ela percorreu em média, por dia, a) 483 m b) 481 m c) 478 m d) 465 m
2. Duas substâncias solúveis A e B têm densidades de 2 g/cm 3 e 3 kg/ l , respectivamente. Misturando-se 1 litro de A com 3 litros de B, a densidade da solução é, em kg/ l , a) 2,25 b) 2,5 c) 2,65 d) 2,75
6. Uma caixa d’água em forma de paralelepípedo retângulo tem 80 cm de comprimento, 45 cm de largura e 60 cm de altura. Quantas latas de 300 ml, chei as de água, são necessárias para encher essa caixa até 2/3 de seu nível máximo?
7. Com um total de 9 toneladas de papel, uma editora imprimiu 80 000 livros de 150 páginas cada um. A massa de uma folha de cada um desses livros é a) 1 g b) 1,2 g c) 1,5 g d) 1,8 g 8. Uma máquina gasta 3 min 20 s para fabricar uma peça. Ela opera, diariamente, de 8h da manhã até 5h30min da tarde, sem interrupção. Quantas peças ela produz por dia?
Grandezas proporcionais 3. Na minha caminhada de 6 km, percorri os primeiros 4 km a uma velocidade média de 8 km/h. A partir de então, já cansado, diminuí minha velocidade para 6 km/h. Considerando todo o percurso, minha veloci dade média foi de
Razões e proporções A razão entre dois números reais a e b, com b ≠ 0, é o quociente
a) 6,4 km/h b) 6,8 km/h c) 7,2 km/h d) 7,5 km/h
k =
a b
Exemplo 4. Vários atletas já conseguiram correr os 100 m rasos em 9,9 segundos. Durante a prova, esses atletas atingiram a incrível velocidade média de a) 24,6 km/h b) 32,8 km/h c) 36,4 km/h d) 38,2 km/h
5 = 0,625 8 A razão entre duas medidas de uma mesma grandeza é um número real “puro” (sem unidade). Ele estabelece uma comparação entre as duas medidas.
A razão entre 5 e 8 é
a c i t á m e t a M
Exemplo
Uma peça de tecido tem 12 dam de comprimento. Em quantos pedaços, de 1,5 m cada um, ela pode ser dividida?
Grandezas proporcionais e Matemática comercial 3
12 dam 120 m = 1,5 m 1,5 m
=
Uma igualdade entre duas razões é chamada
120 = 80 ⇒ 80 pedaços 1,5
proporção .
a b
Muitas grandezas importantes são definidas como a razão de duas outras grandezas.
v=
d t
=
284 km 4h
m V
=
20 kg 3 10 dm
=
= 71 km/h
20 000 g 3 10 000 cm
=2
a b
g / cm
Exemplo
6 15 = x 40
= 1:
=
=
1 5 000 000
=
5 000 000
Se uma figura plana é representada numa escala k, a razão entre duas áreas correspondentes é k 2; se um sólido é representado numa escala k, a razão de dois volumes correspondentes é k 3.
= 240 ⇔ x = 16
y = k ou y = kx x
6 cm 30 000 000 cm
y é inversamente proporcional a x se, e somente se, k xy = k ou y = x
Suponhamos que x e y, sejam variáveis contínuas não-negativas.
Se y é diretamente proporcional a x, o gráfico que representa y em função de x é uma linha reta partindo da origem. y
Uma maquete de um prédio é feita na escala 1: 200. Na maquete, o volume da caixa d’água é 5 cm3. Calcular a capacidade real da caixa, em litros.
3
3
5 cm 1 ⎛ 1 ⎞ =⎜ = ⎟ ⇒ VR 8 000 000 ⎝ 200 ⎠
⇒ VR =
40 000 000 cm 3 = 40 000 dm 3 = 40 000 litros
4 CP00 24M4
∆y
Proporção direta
∆x
Se V R é o volume real da caixa e V M é o volume na maquete, VM VR
15 . 40
y é diretamente proporcional (ou simplesmente proporcional) a x se, e somente se,
B
A escala utilizada é 6 cm 300 km
⇔ 15x
=
Suponhamos que as variáveis x e y representem as medidas de duas grandezas, relacionadas entre si. Sendo k uma constante real não-nula,
a c i t á m eExemplo t a M
⇔ ad = bc
Grandezas direta ou inversamente proporcionais
A distância real entre as cidades A e B da figura é 300 km. Sua representação é o segmento AB = 6 cm. Qual a escala utilizada? A
c d
Calcular x na proporção 6 x
3
Chama-se escala de uma figura a razão entre um comprimento qualquer na figura e o comprimento real correspondente.
=
Exemplo
Uma mistura homogênea de volu me V = 10 dm 3 possui massa m = 20 kg. Calcular sua densidade d. d=
⎧a, d são os extremos da proporção ⎨ ⎩b, c são os meios da proporção
Um corpo percorre 284 km em 4 horas. Calcular sua velocidade escalar média. A velocidade escalar média (v) é a razão entre a distância percorrida (d) e o tempo gasto (t).
c d
Numa proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Exemplos
=
O
x
No caso, tomando-se dois pontos quaisquer da reta, a razão ∆y é a constante k de propor ∆x cionalidade.
Se y é inversamente proporcional a x, o gráfico que exprime y em função de x é um ramo de hipérbole .
X=k
⎧⎪X proporcional a Y, proporcional a Z 2 YZ 2 ⇒ ⎨ ⎪⎩e inversamente proporcional a W W
y Proporção inversa
Divisão proporcional Em muitos problemas, um valor deve ser repartido segundo critérios de proporcionalidade direta ou inversa.
O
x
Exemplos
Exemplos
Um automóvel desenvolve uma velocidade constante de 12 m/s. O quadro abaixo mostra a distância d percorrida por ele e o tempo t gasto em cada caso. d t
36 m 3s
As partes do lucro (x, y e z) que caberão aos sócios A, B e C, respectivamente, somam 30 milhões e devem ser, é claro, proporcionais às respectivas participações no capital da empresa. Temos, portanto, o sistema
24 m 60 m 96 m 2s 5s 8s
Note que,quanto maior é o valor de d, maior é o valor de t, sendo constante a razão entre d e t. Observe: d t
36 m 3s
=
=
24 m 2s
=
60 m 5s
=
Uma pessoa percorre uma distância fixa de 48 m. O quadro a seguir mostra alguns valores possíveis para sua velocidade média v e os valores correspondentes do tempo t a ser gasto. v t
6 m/s 8s
3 m/s 16 s
2 m/s 24 s
12 m/s 4s
Observe que, quanto maior é o valor da velocidade média v, menor é o tempo gasto t, sen do constante o produto de v por t. Veja: 6m 3m 2m 12 m . 4s = k = 48m . 8s = . 16s = . 24s = s s s s
Portanto, v e t são inversamente proporcionais, sendo a constante k, no caso, a distânca fixa percorrida. Uma grandeza pode ser direta ou inversamente proporcional a várias outras.
Exemplos
⎧x + y + z = 30 ⎪ ⎨x = y = z = k ⎪⎩ 2 3 5
96 m = k = 12m/s. 8s
Logo, d e t são diretamente proporcionais (ou simplesmente proporcionais), sendo a constante k de proporcionalidade, no caso, a velocidade do automóvel.
Uma empresa teve, no ano, um lucro de 30 milhões de reais. Dividir esse lucro entre os três sócios A, B e C, cujas participações no capital da empresa são proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente.
Na segunda equação, x = 2k, y = 3k e z = 5k. Logo, 2k + 3k + 5k = 30 ⇒ 10k = 30 ⇒ k = 3 Portanto, em milhões de reais, x = 6, y = 9 e z = 15.
Calcular as medidas dos ângulos internos de um triângulo, sabendo que elas são inversamente proporcionais a 3, 4 e 6. Sendo x, y e z as medidas dos três ângulos, ⎧⎪ x + y + z = 180 ⎨ ⎪⎩3x = 4y = 6z = k o
Na segunda equação, x = k/3, y = k/4 e z = k/6, logo k k k o o + + = 180 ⇒ k = 240 3 4 6 Portanto, x = 80 o, y = 60 o e z = 40 o.
Questões propostas 9. Uma prova contém 15 questões de múltipla escolha, todas de mesmo valor. Márcia acertou 12. Se o valor da prova era 20, qual foi a nota de Márcia?
a c i t á m e t a M
Suponhamos que X, Y, Z e W sejam variáveis e k uma constante real não-nula.
X =k
⎧X proporcional a Y e inversamente Y ⇒ ⎨ Z ⎩proporcional a Z
Grandezas proporcionais e Matemática comercial 5
10. O gás carbônico é uma substância formada de carbono e oxigênio, na proporção de 3 para 8 em peso, respectivamente. Qual é a massa de oxigênio contida em 330 g de gás carbônico?
15. Uma herança deve ser repartida entre três herdeiros, em partes inversamente proporcionais às suas idades: 2 anos, 3 anos e 6 anos. Feitos os cálculos, concluiu-se que a soma das quantias a serem recebidas pelos dois mais novos é R$ 120 000,00. O mais velho receberá a) R$ 18 000,00 b) R$ 24 000,00 c) R$ 120 000,00 d) R$ 144 000,00
11. Acondiciona-se uma substância homogênea de densidade igual a 2g/cm 3 em latas de 10 litros. Quantas latas são necessárias para se acondicionar 1 tonelada dessa substância?
16. Uma grandeza A depende unicamente das grandezas B e C. Sabe-se que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C. a) Escreva a fórmula de A em função de B e C. b) Sabendo-se que A = 9 para B = 6 e C = 2, qual é o valor de A para B = 8 e C = 6?
12. (Unicamp) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1:50, as dimensões de uma sala retangular são 10 cm e 8 cm. Calcule a área real da sala projetada.
Regra de três Regra de três simples
a c i t á m e t a M
13. A altura de um prédio é 90 m e sua caixa d’água tem capacidade para 40 000 litro s. Se uma maquete desse prédio tem 45 cm de altura, a caixa d’água ocupará, na maquete, um volume de a) 5 cm3 b) 6 cm3 c) 8 cm3 d) 10 cm3
14. (IBGE) Você precisa distribuir um total de 42 funcionários por três cidades diferentes, onde existem 3, 4 e 7 agências do IBGE. Sabendo-se que a divisão será diretamente proporcional ao número de agências de cada cidade, a cidade com mais agências receberá um número de funcionários igual a a) 12 b) 21 c) 30 d) 34
Problemas que envolvem duas grandezas direta ou inversamente proporcionais, em que um valor de uma das grandezas é desconhecido, podem ser resolvidos por meio de uma regra de três simples .
Exemplos
Uma máquina produz 350 peças em 15 horas. Quantas peças produzirá em 6 horas? Organizando os dados do problema, temos: 350 peças 15 horas x peças 6 horas (Diret.) Mais peças ⇒ mais horas. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais e a razão entre suas me-
didas é constante. 350 x = ⇒ 15x = 2 100 15 6
= 140 ⇒ 140 peças
Suponha que 5 pessoas gastem 6 horas para executar uma tarefa. Em quanto tempo 3 pessoas igualmente eficientes executariam essa mesma tarefa? 5 pessoas 3 pessoas (Inv.)
6 CP00 24M4
⇒ x
6 horas x horas
Mais pessoas ⇒ menos horas. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais e o produto de suas
za em que aparece a incógnita é igual ao produto das razões das medidas das demais grandezas tomadas na ordem direta, se a grandeza for diretamente proporcional e, na ordem inversa, se a grandeza for inversamente proporcional à da incógnita. No nosso caso,
medidas é constante. 5.6=3.x
⇒ 3x
= 30
⇒ x
= 10 ⇒ 10 horas
8 x
Regra de três composta
=
10 10 24 . . 6 5 50 ⇓
⇓
⇒
8 x
=
8 5
⇒
x = 5 dias
⇓
Problemas que envolvem três ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais são resolvidos por meio de uma regra de três composta .
Inv. Inv. Diret.
Exemplo
Um aplicação interessante de regra de três
Sabe-se que 6 operários, trabalhando 5 horas por dia, constroem um muro de 24 m de extensão em 8 dias. Em quantos dias 10 operários igualmente eficientes, trabalhando 10 horas por dia, construiriam um muro do mesmo tipo, com 50 m de extensão? Primeiro, vamos organizar os dados do problema. Vamos chamar de n o número de operários, de h o número de horas por dia de trabalho, de e a extensão do muro e de t o número de dias.
Certos problemas clássicos que envolvem determinação de tempo podem ser resolvidos com ajuda de regras de três.
Exemplo
n 6 op 10 op (Inv.)
h 5 h/dia 10 h/dia (Inv.)
e 24 m 50 m (Diret.)
t 8 dias x dias
Indicamos, em cada caso, se a grandeza t, onde está a incógnita, é direta ou inversamente proporcional a cada uma das outras grandezas do problema. Ao analisar a relação entre duas grandezas, é importante supor que as demais permaneçam invariáveis. Mais operários ⇒ menos dias ⇒ t é inversamente proporcional a n. Mais horas/dia ⇒ menos dias ⇒ t é inversamente proporcional a h. Mais metros ⇒ mais dias ⇒ t é diretamente proporcional a e. Logo, a fórmula que relaciona as quatro variáveis é e t = k . nh Substituindo a 1ª linha dos dados do problema, t = k .
e 24 ⇒ 8 = k . ⇒ 24k = 240 ⇒ k = 10 nh 6.5
Substituindo a 2ª linha dos dados do problema, 50 t = k . e ⇒ x = 10 . ⇒ x = 5 ⇒ 5 dias 10 . 10 nh
Na prática, poderíamos obter x diretamente da seguinte forma: a razão direta das medidas da grande-
Um reservatório é abastecido por duas torneiras. Estando ele vazio, a torneira A sozinha gasta 2 horas para enchê-lo. A torneira B, sozinha, gasta 3 horas. Um ralo situado no fundo é capaz de esvaziá-lo em 6 horas, estando ele cheio. Supondo o reservatório inicialmente vazio, deixam-se completamente abertos as duas torneiras e o ralo. Em quanto tempo o reservatório estará cheio? Veja o tempo gasto por cada um isoladamente e por todos juntos: Torneira A Torneira B Ralo Todos juntos
2 horas 3 horas 6 horas x horas
Resolvendo regras de três simples, podemos concluir o que ocorre em 1 hora. Se v é o volume total de água que cabe no reservatório, temos: ⎧ ⎪ Torneira A → despeja ⎪ ⎪ Torneira B → despeja ⎪ Em 1 hora ⎨ ⎪Ralo → retira 1 v 6 ⎪ ⎪ 1 ⎪Juntos → enchem x v ⎩
Logo, 1 2
+
1 v 2 1 v 3
1 1 1 . Resolvendo a equação, − = 3 6 x
3x + 2x – x = 6
⇒ 4x
a c i t á m e t a M
= 6 ⇒ x = 1,5
Logo, todos juntos gastam 1,5 h = 1h 30 min.
Grandezas proporcionais e Matemática comercial 7
Questões propostas 17. Sabe-se que 20 g de uma mistura homogênea contêm 4 mg de água. Em 1 kg dessa mistura, a massa de água é a) 2 g b) 0,2 g c) 0,02 g d) 0,25 g
21. Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, produzem 1000 peças em 6 dias, operando 8 horas por dia. Quantas horas por dia deveriam operar 9 máquinas iguais às primeiras para produzirem 1 500 peças em 10 dias?
18. (UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais para o almoço durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um número de dias igual a a) 10 b) 12 c) 15 d) 18
22. (ESPM) Em 10 minutos, 27 secretárias com a mesma habilidade digitaram o equivalente a 324 páginas. Nas mesmas condições, se o número de secretárias fosse 50, em quanto tempo teoricamente elas digitariam 600 páginas?
19. Um nadador, disputando a prova dos 400 metros, nado livre, completou os primeiros 300 metros em 3 minutos e 48 segundos. Nos últimos 100 metros, por cansaço, sua velocidade média se reduziu em um quinto. Qual foi o tempo total gasto pelo nadador?
23. Um tanque é abastecido por duas torneiras. Uma delas enche o tanque em 10 minutos e a outra, em 20 minutos. Estando o tanque vazio, qual é o tempo gasto pelas duas torneiras juntas para enchê-lo?
a c i t á m e t a M
20. (UFMG) No ano passado, uma equipe de 13 professores, com um ritmo de trabalho suposto constante, corrigiu 3 000 provas em 6 dias. Este ano, o número de provas aumentou para 5 500 e a equipe foi ampliada para 15 professores. Para se obter uma estimativa do número n de dias necessários para totalizar a correção, suponha que, durante todo o período de correção, o ritmo de trabalho da equipe deste ano será o mesmo da equipe do ano passado. O número n satisfaz a condição a) n ≤ 8 b) 8 < n ≤ 10 c) 10 < n ≤ 12 d) n > 12
8 CP00 24M4
24. Uma torneira enche um tanque em 5 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 3 horas. Estando o tanque cheio, abrimos simultaneamente a torneira e o ralo. Logo, podemos afirmar que a) o tanque esvazia-se em 7 h 30 min. b) o tanque esvazia-se em 8 h. c) o tanque esvazia-se em 15 h. d) o tanque transborda.
Porcentagem
Exemplos
Conceito e cálculo percentual O conceito de porcentagem está ligado ao de proporção. Na porcentagem, considera-se hipoteticamente um total de 100.
Em decimais, 23% = 0,23 e 5% = 0,05. Logo, 23% de 5% de 800 = 0,23 . 0,05 . 800 = 9,2
Exemplos
Queremos saber: 42 aprovados num total de 56 é o mesmo que quantos aprovados num total de 100 ? 42 x = ⇒ 56 x = 4 200 ⇒ x = 75 56 100 No caso, podemos escrever: =
x 100
= 0,275 = 27,5% de
álcool na mistura
= 0,75 = 75 %
Entrei numa loja com R$ 125,00, dos quais gastei 44% na compra de uma blusa. Quanto custou a blusa? Na prática, dizer que gastei 44% significa dizer que gastei R$ 44,00 em cada R$ 100,00 que tinha. O problema pretende responder à pergunta: proporcionalmente, R$ 44,00 num total de R$ 100,00 é o mesmo que quanto, num total de R$ 125,00? Temos, portanto, a regra de três 44 100
Qual o percentual de álcool numa mistura de 290 litros de gasolina com 110 litros de álcool? Para obter a porcentagem que uma parte representa de um todo, basta dividir a parte (110 litr os) pelo todo (400 litros). 110 400
Podemos dizer, portanto, que a porcentagem ou a taxa percentual de aprovação foi de 75%.
32% dos presentes numa festa são crianças e as outras 51 pessoas são adultas. Quantas pessoas há na festa? Se x é o total de presentes, 51 equivale a 68% de x. Temos, portanto, a equação 0,68.x = 51 ⇒ x = 51/0,68 = 75 ⇒ 75 pessoas
Dos 56 alunos de uma sala, 42 foram aprovados na 1a etapa do vestibular. Qual foi o percentual de aprovação da turma?
42 56
Calcular 23% de 5% de 800.
x = 125
⇒ 100x
= 5 500
⇒ x
= 55
Uma taxa percentual pode ser representada de várias formas: fração de denominador 100, número decimal ou porcentagem (símbolo %).
Exemplos 37 100
= 0,37 = 37%
3,8 100
= 0,038 = 3,8%
100 100
= 1 = 100 %
Supondo-se que x seja o total de pessoas na sala, o total de pessoas é x; o total de mulheres é 40% de x = 0,4 x. Após a saída de 5 mulheres, o novo total de pessoas seria (x – 5) o novo total de mulheres seria (0,4 x – 5) De acordo com o problema, o novo total de mulheres representaria 32,5% (ou 0,325) do novo total de pessoas. Portanto, 0,4 x – 5 = 0,325 (x – 5) ⇒ 0,4 x – 5 = 0,325 x – 1,625 ⇒ 0,075 x = 3,375 ⇒ x = 45
Concluímos que a blusa custou R$ 55,00.
Na minha sala de aula, 40% dos presentes são mulheres. Se 5 mulheres se retirarem, as mulheres passarão a representar 32,5% do total. Quantas pessoas há na sala?
Logo, há 45 pessoas na sala.
Reajustes e descontos Em operações comerciais, eventuais reajustes ou descontos costumam ser representados por taxas percentuais. Vamos analisar algumas situações. Suponha que um valor seja reajustado de 250 para 320. Vamos efetuar e interpretar a razão entre o valor final (320) e o valor inicial (250). 320 250
Na resolução de problemas de porcentagem, utilizaremos de preferência a forma decimal.
a c i t á m e t a M
= 1,28 = 1 + 0,28 = 1 + 28 %
Note que a razão é um número maior que 1, porque houve reajuste. O resultado contém duas parcelas:
Grandezas proporcionais e Matemática comercial 9
1, que representa 100%, correspondente ao valor inicial; 0,28, que representa 28%, correspondente ao percentual de aumento.
O percentual de aumento é i = 15% = 0,15. O fator de aumento é 1 + i = 1 + 0,15 = 1,15.
Suponhamos, agora, que um valor sofra um desconto de 250 para 190. Vamos calcular e interpretar, novamente, a razão entre o valor final (190) e o valor inicial (250). 190 250
Vf 414 414 = 1,15 ⇒ = 1,15 ⇒ Vi = = 360 Vi Vi 1,15 ⇒ o preço antes do reajuste era R$360,00.
Uma loja adquiriu uma TV por R$ 360,00 e vendeu-a com lucro de 20%. Em seguida, o comprador a revendeu com um prejuízo de 20%. Qual foi o último preço da TV? O preço inicial era 360. Lucro de 20% ⇒ i = 0,20 ⇒ o fator de aumento é 1 + 0,20 = 1,20 Prejuízo de 20% ⇒ i = 0,20 ⇒ o fator de desconto é 1 – i = 1 – 0,20 = 0,80 Como o prejuízo incide sobre o preço com lucro, o preço final será 360 . 1,20 . 0,80 = 345,60 ⇒ R$ 345,60
Paulo teve três reajustes consecutivos de 10% em seu salário, passando a ganhar R$ 638,88. Qual era seu salário, antes do primeiro aumento? O percentual de cada aumento foi i = 10% = 0,10. O fator de aumento, em cada caso, foi 1 + i = 1,10. O fator acumulado de reajuste nos três aumentos foi 1,10 . 1,10 . 1,10 = (1,10) 3 = 1,331 Isso significa que o percentual de reajuste acumulado foi i = 1,331 – 1 = 0,331 = 33,1% e não 30%, como poderia parecer a princípio.
= 0,76 = 1 − 0,24 = 1 − 24%
Observe que a razão, nesse caso, é um número menor que 1, porque houve desconto. O resultado é a diferença entre dois valores: 1, que representa 100%, correspondente ao valor inicial; 0,24, que representa 24%, correspondente ao percentual de desconto.
Em síntese, se uma medida apresenta um valor inicial Vi e um valor final V f, a razão V f : V i pode ser assim interpretada: Se houve aumento (V f > Vi), Vf = 1 + i (i é o percentual de aumento) Vi Se houve desconto (V f < Vi), Vf = 1 – i (i é o percentual de desconto) Vi
A razão (1 + i) é chamada fator de aumento e a razão (1 – i) é chamada fator de desconto. O produto de cada um deles pelo valor inicial fornece justamente o valor final. Veja, no quadro abaixo, alguns exemplos de percentuais de aumento ou desconto e os respectivos fatores de aumento ou desconto.
a c i t á m e t aExemplos M
Percentual Fator de aumento Fator de desconto (i) (1 + i) (1 – i) 13% = 0,13 1 + 0,13 = 1,13 1 – 0,13 = 0,87 0,2% = 0,002 1 + 0,002 = 1,002 1 – 0,002 = 0,998 60% = 0,60 100% = 1
1 + 0,60 = 1,60 1+1=2
1 – 0,60 = 0,40 1–1=0
Um produto era vendido a R$ 72 ,00 e sofreu um desconto de 24%. Qual é o novo preço? O percentual de desconto é i = 24% = 0,24. O fator de desconto é 1 – i = 1 – 0,24 = 0,76. O novo preço é 0,76 . 72 = 54,72 ⇒ o novo preço é R$ 54,72 Após um reajuste de 15%, uma mercadoria passou a custar R$ 414,00. Qual era seu preço inicial?
10 CP00 24M4
Sendo x seu salário antes do primeiro aumento, x . 1,331 = 638,88 ⇒ x = 480 ⇒ R$ 480,00
Questões propostas 25. Resolva os seguintes problemas básicos sobre porcentagem: a) Quanto vale 30% de 420?
b) Quanto vale 15% de 40% de 250?
c) Se de um recipiente contendo 120 litros de água retiram-se 35%, quantos litros restam?
d) As 28 crianças presentes no meu aniversário correspondem a 14% do total de convidados. Quantos são os convidados?
27. (PUC-MG) Em um grupo de n crianças, 80 receberam a vacina Sabin, 58 receberam a vacina contra sarampo, 36 receberam as duas vacinas e 15% não foram vacinadas. Calcule n.
e) Se numa mistura há 35 litros de água, 130 litros de álcool e 85 litros de gasolina, qual é a porcentagem de cada líquido na mistura? 28. (Fuvest) Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ 19 500,00. Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro, para o importador?
f) Num grupo de desportistas, 26% torcem para o time A, 46% para o time B e as outras 126 pessoas, para o time C. Quantas são as pessoas do grupo? 29. Resolva os seguintes problemas básicos sobre rea justes e descontos: a) Por quanto devemos multiplicar um preço para que ele aumente 12%? g) Apliquei um total de R$ 30 000,00, sendo 45% em poupança e o restante em fundo de investimentos. Em um mês, tive lucro de 1% na primeira aplicação e de 2,5% na segunda. Qual foi meu lucro total? b) Por quanto devemos multiplicar um preço para que ele sofra um desconto de 8%?
26. (UFF) A loja Goiás paga, pela aquisição de certo produto, o correspondente ao preço x (em reais) de fabricação, mais 5% de imposto e 3% de frete, ambos calculados sobre o preço x. Vende esse produto ao consumidor por R$ 54,00 com lucro de 25%. Determine o valor de x.
c) Que aumento ou desconto percentual sofre um valor, quando ele é multiplicado por 1,037?
d) Que aumento ou desconto percentual sofre um salário, quando ele é multiplicado por 0,932?
a c i t á m e t a M
Grandezas proporcionais e Matemática comercial 11
e) Se o preço de um sapato era R$ 45,00 e ele teve um reajuste de 12%, quanto ele passou a custar?
31. (UFRRJ) A casa do Sr. Rafael foi adquirida pelo Sistema Financeiro de Habitação. A prestação mensal de sua casa aumentou 30%, mas, por recurso judicial, a partir deste mês, aquele que pagar até o 5º dia útil do mês tem direito a um desconto de 20%. Se o Sr. Rafael pagou sua casa na dia 2 (dois), qual foi o aumento percentual real sobre a prestação do mês anterior?
f) Se, após sofrer um desconto de 24%, um aparelho passou a custar R$ 114,00, qual era seu preço antes do desconto?
g) Dois aumentos sucessivos de 10% correspondem a que percentual único de aumento?
h) Dois descontos sucessivos de 20% correspondem a que percentual único de desconto?
a c i t á m e t a M
i) Um artigo custa R$ 120,00. Se ele tiver um rea juste de 20% e, em seguida, um desconto de 12%, qual será seu preço final?
30. Suponha que a alíquota de um certo imposto passe de 5% para 8%. O aumento percentual desse imposto é a) 3% b) 6% c) 60% d) 62,5%
12 CP00 24M4
32. (UFPE) Um investidor decidiu aplicar certa quantia em ações de uma empresa. Após um mês, o valor destas ações subiu 5%. No segundo mês, subiu 10% e, no terceiro mês, caiu 5%. A porcen tagem de ganho do investidor nesses três meses foi a) maior do que 12%. b) entre 10% e 12%. c) igual a 10%. d) entre 8% e 10%.
33. As promoções do tipo “leve 5 e pague 4” são muito comuns no comércio. No caso, a promoção corresponde a que desconto percentual?
34. Algumas lojas costumam oferecer planos de pagamento do tipo “Pague à vista com 20% de desconto ou o preço anunciado em duas parcelas iguais (entrada e 30 dias) sem juros.” Imagine um artigo que esteja anunciado por R$ 100,00. a) Qual seria o valor pago à vista? E em 2 parcelas? b) Os juros cobrados pela loja são de 20% ao mês? Em caso negativo, qual é a taxa mensal real que está sendo cobrada?
35. (PRF) Ao optar por um itinerário 14% mais longo, um motorista acha que poderá ganhar tempo, pois, por ser o tráfego melhor, poderá aumentar sua velocidade média em 20%. De quanto diminuirá o tempo de viagem? a) b) c) d)
5% 6% 7% 8%
Calculando juros simples Imagine um capital c de R$ 400,00 emprestado a uma taxa i = 3% ao mês durante um tempo t = 4 meses, no sistema de juros simples. Observe a seqüência de operações para o cálculo dos juros. Taxa em 1 mês: 3% = 0,03 Taxa em 4 meses: 4 . 3% = 4 . 0,03 = 0,12 Juros em 4 meses: 0,12 . 400 = 48 Veja que os juros são obtidos multiplicando-se, entre si, o capital, a taxa e o tempo (400 . 0,03 . 4 = 48). Portanto, se a taxa i e o tempo t são expressos na mesma unidade de tempo, os juros j produzidos por um capital c, no sistema de juros simples, são dados por
36. (Fuvest) Atualmente, 50% das gaivotas de certa região são brancas e 50% são cinzentas. Se a população das gaivotas brancas aumentar 40% ao ano e a das cinzentas aumentar 80% ao ano, qua l será a porcentagem de gaivotas brancas daqui a dois anos?
j = cit Se i e t não estiverem expressos na mesma unidade de tempo, devem-se fazer as transformações necessárias.
Exemplos
Qual o capital que, aplicado a juros simples de 15% ao ano, durante 4 meses, produz um montante de R$ 38 325,00? Veja os dados do problema. ⎧i = 15% ao ano = 0,15 ao ano ⎨ ⎩t = 4 meses = 4/12 do ano = 1/3 do ano
Aplicando a fórmula de juros simples,
Juros
j = cit = c . 0,15 . 1 = 0,05c 3 M = c + j ⇒ 38 325 = c + 0,05c
Em operações de empréstimo de capital, as grandezas envolvidas são Capital (c): valor do empréstimo Juros (j): valor da comissão paga pelo empréstimo Taxa (i): percentual da comissão na unidade de
tempo Tempo (t): tempo do empréstimo Montante (M): soma do capital com
os juros
c =
⇒ 1,05c
= 38 325
38 325 = 36 500 ⇒ capital de R$ 36 500,00 1,05
Para que um capital quadruplique, aplicado a juros simples de 5% ao mês, qual deve ser o tempo de aplicação?
Existem duas modalidades de juros:
i = 5% ao mês = 0,05 ao mês
Juros simples: são
Para que o capital quadruplique, deve ser M = 4c. Portanto,
calculados, no final de cada unidade de tempo, com base no capital inicial. Juros compostos ou capitalizados: são calculados tendo como base o montante da dívida acumulada no final de cada período (unidade de tempo). Na prática, as transações financeiras usuais utilizam os juros compostos ou capitalizados.
M = 4c
⇒ c
+ j = 4c
⇒ j
= 3c
⇒ cit
a c i t á m e t a M
= 3c ⇒ it = 3
3 meses 0,05 ⇒ 60 meses ou 5 anos ⇒ 0,05.
t=3
⇒ t
=
Grandezas proporcionais e Matemática comercial 13
Calculando juros compostos Suponhamos um capital c aplicado a juros compostos, segundo uma taxa i na unidade de tempo. O montante M sofre, em cada unidade de tempo, reajustes acumulados, sendo o fator de aumento constante e igual a (1 + i). Sendo M1, M2, M3, ... os montantes acumulados no final da 1a, da 2 a, da 3 a, ... unidades de tempo, temos: M1 = c(1 + i) M2 = c(1 + i) (1 + i) = c(1 + i) 2 M3 = c(1 + i) 2(1 + i) = c(1 + i) 3 e assim sucessivamente.
A que taxa anual deve ser aplicado um capital de R$ 650,00, a juros capitalizados anualmente, para que, em 2 anos, produza R$ 286,00 de juros? ⎧c = 650 ⎪ ⎪t = 2 anos Temos: ⎨ ⎪ j = 286 ⎪⎩i = ?
M = c + j = 650 + 286 = 936 M = c(1+ i) t ⇒ 936 = 650(1 + i) 2 ⇒ 1,44 = (1 + i) 2 ⇒ 1
+ i = 1,44 = 1,20 ⇒ i = 0,20 ⇒ a taxa é de 20% ao ano
Comparando juros simples e compostos
O montante M acumulado após t unidades de tempo é M = c(1 + i) t Observe que, nessa fórmula, i e t devem estar expressos na mesma unidade de tempo.
Vamos analisar, comparativamente, as funções que expressam o montante em função do tempo, nas duas modalidades de juros. No caso dos juros simples, M=c+j
Exemplos
Um capital de R$ 4 500,00 é aplicado a 3% ao mês, durante 4 meses, com juros capitalizados mensalmente. Calcular o total de juros pagos.
a c i t á m e t a M
⎧c = 4 500 ⎪ ⎪i = 3% ao mês = 0,03 ao mês Temos: ⎨ ⎪t = 4 meses ⎪⎩ j = ?
Num país com altas taxas de inflação, um produto foi reajustado, nos últimos 6 anos, segundo uma taxa de 100% ao ano. Se hoje ele custa R$ 960,00, quanto custava antes do primeiro reajuste? ⎧M = 960 ⎪ ⎪i = 100% ao mês = 1 Temos: ⎨ ⎪t = 6 anos ⎪⎩c = ? (valor inicial)
M = c(1 + i) t ⇒ 960 = c(1 + 1) 6 ⇒ 960 = c.2 6 64c = 960 ⇒ c = 15 ⇒ valor inicial era R$ 15,00
14 CP00 24M4
M = c + ci t
Temos uma função de 1 o grau crescente, representada graficamente por uma reta ascendente. Nos juros compostos, M = c(1 + i) t
Temos, agora, uma função do tipo exponencial de base maior que um, representada graficamente por uma curva exponencial ascendente. Veja, comparativamente, como são os aspectos dos dois gráficos.
M = c(1 + i) t = 4 500.(1,03) 4 = 4 500.1,1255 ⇒ M = 5 064,75 M = c + j ⇒ 5 064,75 = 4 500 + j ⇒ j = 564,75 ⇒ os juros pagos totalizaram R$ 564,75
⇒
Compostos
M
Simples
c
O
1
t
Note que no instante t = 0, nos dois casos M = c, ou seja, o capital inicial. Considerando-se a unidade do tempo adotada, note que, para t = 1, o montante nas duas modalidades de juros é o mesmo. Para t < 1, o montante nos juros simples é maior que nos compostos. Já para t >1, o montante nos juros compostos é maior que nos simples.
Valorização e desvalorização
Questões propostas
No dia-a-dia, ocorrem várias situações em que um bem se valoriza ou desvaloriza com o tempo, segundo uma taxa fixa. Vale, nesses casos, raciocínio análog o ao utilizado no cálculo do montante em juros capitalizados. Se VO é o valor inicial de um bem e ele se valoriza ou desvaloriza, na unidade de tempo, segundo uma taxa i, seu valor V após um tempo t é dado por
37. (UFPE) Um investidor resolveu empregar todo o seu capital da seguinte forma: metade em caderneta de poupança, que lhe rendeu 30% ao ano; um terço na bolsa de valores, que lhe rendeu 45% no mesmo período. O restante, ele aplicou em fundos de investimento, que lhe renderam 24% ao ano. Ao término de um ano, o capital deste investidor aumentou em a) 33% b) 38% c) 34% d) 32%
No caso de valorização : V = VO (1 + i) t
No caso de desvalorização : V = VO (1 – i) t
Observe que, no caso dos juros compostos, o capital C corresponde a V O e o montante M corresponde a V.
Exemplos
Um lote bem localizado vem se valorizando 21% ao ano. Se hoje ele vale R$ 30 000,00, quanto ele valerá daqui a um ano e meio?
38. (UFMG) Um comerciante faz dois empréstimos na forma de juros simples: um no valor de R$ 8 000,00 à taxa de 3% ao mês, durante 180 dias, e outro no valor de R$ 12 000,00, à taxa de 4,5% ao mês, durante 120 dias. O total de juros a ser pago é a) R$ 1 800,00 b) R$ 3 360,00 c) R$ 3 600,00 d) R$ 9 000,00
VO = 30 000 e i = 21% = 0,21. Como a situação é de valorização, o valor do lote daqui a t anos será V = V O (1 + i) t. Para t = 1,5 anos, 3
V = VO (1 + i) = 30 000. (1,21) = 30 000 (1,21) = = 30 000 . (1,1) 3 = 30 000 . 1,331 = 39 930. 1,5
3/2
39. Um capital de R$ 6 000,00 foi aplicado a juros simples de 9,5% ao ano, tendo rendido R$ 2 470,00. Durante quanto tempo ele ficou aplicado?
Logo, em um ano e meio o lote valerá R$ 39 930,00.
Um automóvel sofre uma desvalorização anual de 10%. Determinar o percentual de desvalorização após 3 anos de uso. Temos i = 10% ao ano = 0,1 ao ano. Sendo VO o valor inicial do automóvel e V seu valor daqui a 3 anos, V = VO (1 – i) t ⇒ V = VO (1 – 0,1) 3 ⇒ V = VO (0,9)3 Como (0,9) 3 = 0,729, concluímos que
40. Durante quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$ 2 000,00, a 2% ao mês, no sistema de juros simples, para produzir um montante de R$ 3 400,00?
a c i t á m e t a M
V = 0,729 VO Portanto, em 3 anos, o automóvel sofreu uma desvalorização de 27,1%
Grandezas proporcionais e Matemática comercial 15
41. Um agiota empresta R$ 20 000,00 a uma taxa de juros capitalizados de 20% ao mês. Calcule o total de juros a serem pagos, quitando-se a dívida após 3 meses.
45. Na impressão de um livro de 320 páginas em formato de 20 cm x 25 cm, foi utilizado papel cuja gramatura é igual a 75 g/m 2. A massa aproximada de um exemplar desse livro é a) 0,3 g b) 0,45 kg c) 0,6 kg d) 1,2 kg
42. Apliquei R$ 3 000,00 a juros compostos de 20% ao ano e, após um certo tempo, meu saldo era de R$ 4 320,00. Durante quanto tempo ele ficou aplicado?
46. (FTE) Em janeiro, um fazendeiro vende 2/5 de todas as suas terras e, em fevereiro, vende 3/8 das terras que sobraram, restando ainda 120 000 m 2. O número de hectares que o fazendeiro tinha, antes da primeira venda, é a) 20 b) 25 c) 32 d) 65
43. Se um equipamento sofre uma desvalorização anual de 10%, sua desvalorização acumulada em 3 anos é de a) 33,1% b) 30% c) 28,4% d) 27,1%
47. Dois ângulos de um triângulo medem 27o 31’ 46” e 78o 49’ 32”. Se α é o terceiro ângulo desse triângulo, a medida de α /3 é a) 24o 32’ 54” b) 24o 33’ 14” c) 24o 31’ 26” d) 24o 32’ 44”
Questões complementares
48. As dimensões de um reservatório em forma de um paralelepípedo retângulo são 50 cm, 2 m e 3 m. Estando ele vazio, abre-se uma torneira cuja vazão é constante e igual a 15 litros por minuto. O tempo gasto para encher o reservatório é
a c i t á m e t a M
44. Uma estrada nova tem 32,4 km de comprimento. Pretende-se plantar eucaliptos nos dois acostamentos. Em cada lado, eles devem ser plantados a partir do início da estrada, obedecendo a um espaçamento de 30 dam entre um e outro. O número de eucaliptos necessários é a) 216 b) 218 c) 2160 d) 2180
16 CP00 24M4
a) b) c) d)
3h 3 h 20 min 3 h 30 min 3 h 40 min
49. O metrô pára na estação Diamante várias vezes ao dia. A primeira parada é exatamente às 7 h 23 min da manhã e a vigésima primeira, pontualmente às 4 h 13 min da tarde. Se o intervalo de tempo entre duas paradas consecutivas é constante, a sétima parada ocorrerá exatamente às a) 9 h 58 min b) 10 h 2 min c) 10 h 4 min d) 10 h 6 min
54. Pedro resolveu fazer uma viagem de férias de 15 dias. Ao partir, levou um certo valor em dinheiro e decidiu que iria gastar, em cada dia, a mesma quantia. Após 3 dias de viagem, resolveu prolongar suas férias por mais 4 dias. Com isso, a quantia diária que Pedro podia gastar se reduziu em a) 20% b) 25% c) 28% d) 30%
50. (Fuvest) São dados três números reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um quarto do maior. Então, a, b e c são respectivamente proporcionais a a) 1, 2 e 3 b) 1, 2 e 5 c) 1, 3 e 4 d) 1, 3 e 6
55. (Vunesp) Segundo dados de um estudo, 100g de soja seca contêm 35g de proteínas e 100g de lentilha seca contêm 26g de proteínas. Suponhamos que uma pessoa, objetivando ingerir 70g de proteínas por dia, se alimentasse apenas com esses dois produtos. Se, num certo dia, sua alimentação incluísse 140g de soja seca, calcular a quantidade de lentilha que deveria incluir.
51. Uma mistura contém 2 partes de álcool para 3 partes de gasolina. Outra mistura, com mesmo volume da primeira, contém 3 partes de álcool para 7 partes de gasolina. Colocando-se as duas misturas num mesmo recipiente, qual será a razão entre o volume do álcool e o da gasolina?
56. (Cesgranrio-Adaptação) Sabe-se que 3 profissionais fazem 24 peças em 2 horas e que 4 aprendizes fazem 16 peças em 3 horas. Em quantas horas 2 profissionais e 3 aprendizes farão 48 peças?
52. Uma mistura é composta de 90 kg de água e 10 kg de sal. Pondo-a para evaporar, obtém-se uma nova mistura da qual 24 kg contêm 3 kg de sal. A quantidade de água evaporada foi de a) 79 kg b) 76 kg c) 69 kg d) 20 kg
53. Na tabela a seguir, X é proporcional a Y e inversamente proporcional ao quadrado de Z. Calcule o valor de y. X
Y
Z
10 90
2 y
5 3
57. Dois guindastes, trabalhando juntos, descarregam um navio em 6 horas. Trabalhando em separado, um deles gastaria 5 horas mais que o outro. Qual é o tempo que cada um deles gastaria sozinho?
58. (UFRJ) A figura abaixo mostra um trecho de uma malha rodoviária de mão única. Dos veículos que passam por A , 45% viram à esquerda. Dos veículos que passam por B, 35% viram à esquerda. Daqueles que trafegam por C, 30% dobram à esquerda. D B A
E C
F
a c i t á m e t a M
Determine o percentual dos veículos que, passando por A, entram em E.
Grandezas proporcionais e Matemática comercial 17
59. (Fuvest) 95% da massa de uma melancia de 10 kg é constituída por água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas água), até que a participação da água na massa da melancia se reduza a 90%. A massa da melancia, após esse processo de desidratação, será igual a 5 a) kg 9 9 kg 5 c) 5 kg d) 9 kg
63. Marcelo fez uma prova de múltipla escolha. Das 10 primeiras questões, ele acertou 60% e das demais, 45%. Se ele acertou 50% do total de questões e gastou 2 horas e 15 minutos para fazer a prova , o tempo médio gasto por Marcelo em cada questão foi a) 4 min 20 s b) 4 min 30 s c) 4 min 40 s d) 4 min 50 s
b)
60. (Unirio-Adaptação) Suponha que, em dois meses, um determinado título de capitalização teve seu valor rea justado em 9,2%. Sabendo-se que o reajuste no 1º mês foi de 4%, podemos afirmar que o do 2º mês foi de a) 4,9% b) 5% c) 5,1% d) 5,2%
a c i t á m e t a M
61. (OBM) Se seu salário sobe 26% e os preços sobem 20%, de quanto aumenta o seu poder aquisitivo? a) 5% b) 6% c) 7% d) 8%
62. (OBM) João e Pedro são vendedores e ganham R$ 1 000,00 de salário e comissão de 8% sobre as vendas. Em setembro, João ganhou R$ 2 000,00 e Pedro ganhou R$ 2 500,00. Nesse mês, as vendas de Pedro superaram as de João em a) 25% b) 30% c) 40% d) 50%
18 CP00 24M4
64. (PRF) Dois carros foram vendidos por preços iguais. Um, com lucro de 30% sobre o preço de compra e outro, com prejuízo de 20% sobre o preço de compra. Podemos afirmar que houve, em relação ao capital investido, a) lucro de 10%. b) lucro de 5%. c) lucro de 1%. d) prejuízo.
65. (UFMG) Um comprador pagou uma mercadoria em duas parcelas iguais, sendo uma n o ato da compra e a outra, trinta dias depois. Se o preço à vista era de R$ 430,00 e se lhe foi cobrada uma taxa de juros de 15% ao mês, o valor de cada parcela foi de a) R$ 215,00 b) R$ 230,00 c) R$ 231,12 d) R$ 247, 25
66. A que taxa mensal deve ser aplicado um capital, a juros simples, para que, em 1 ano e 8 meses, seu valor triplique?
67. (Unirio) Carlos contraiu uma dívida que foi paga com uma taxa de juros ao mês e constante. Porém, o recibo do mês de fevereiro extraviou-se, e Carlos necessita desse valor para o cálculo do imp osto de renda. Os valores conhecidos são
Gabarito Questões de múltipla escolha
a) 1, 13, 24, 35, 47, 61 janeiro : março: abril:
R$ 1 000,00 R$ 1 210,00 R$ 1 331,00
b) 14, 15, 17, 20, 44, 48, 49, 54, 60, 63, 65, 69 c) 3, 4, 7, 18, 30, 37, 38, 45, 46, 50, 59, 67
Com base nos dados acima, Carlos pagou, em fevereiro, a quantia de a) R$ 1 010,00 b) R$ 1 110,00 c) R$ 1 100,00 d) R$ 1 180,00
d) 2, 32, 43, 52, 62, 64 Questões discursivas
5. R$ 33 450,00 6. 480 8. 171 9. 16 10. 240 g 11. 50 12. 20 m 2
68. A população de uma cidade, no final de 1998, era de 150 000 habitantes. Ela cresce 2% ao an o. Calcule o aumento da população dessa cidade do final de 1997 até o final do ano 2000.
16. a) A = k.
B C
b) 4 19. 5 min 23 s 21. 4 h/dia 22. 10 min 23. 6 min 40 s
69. Tenho um lote e um carro. O primeiro vale 20% mais que o segundo. O lote tem uma valorização anual de 8% e o carro, uma desvalorização anual de 10%. Daqui a x anos, o quociente entre o valor do lote e o do carro será igual a a) (1,2)x b) (1,2)x + 1 c) (1,18)x d) 1,2 . (1,18)x
25. a) 126 b) 15 c) 78 d) 200 e) 14% de água, 52% de álcool e 34% de gasolina f) 450 g) R$ 547,50 26. R$ 40,00 27. 120 28. R$ 24 000,00 29. a)1,12 b) 0,92 c) aumento de 3,7% d) desconto de 6,8% e) R$ 50,40 f) R$ 150,00 g) 21% h) 36% i) R$ 126,72
a c i t á m e t a M
Grandezas proporcionais e Matemática comercial 19
31. 4%
51. 7/13
33. 20%
53. 6,48
34. a) À vista: R$ 80,00; em 2 parcelas: R$ 100,00 b) Não; 66,7%
55. 80 g aproximadamente. 56. 4 h
36. 37,7% aproximadamente. 57. 10 h e 15 h 39. 4 anos e 2 meses. 58. 45,75% 40. 35 meses. 66. 10% ao mês 41. R$ 14 560,00 68. 9 000 habitantes aproximadamente. 42. 2 anos.
a c i t á m e t a M 20 CP00 24M4