APOSTILA
EDIÇÃO: 2 - 2011
AUTOR: MAURÍCIO ROBERTO CURY www.mauriciocury.com
Matemática Financeira
ÍNDICE 1. 2.
INTRODUÇÃO JUROS SIMPLES
3
2.1 Conceitos e Cálculos
5
5
2.2 Desconto Simples 2.2.1 Desconto Simples Bancário 2.2.2 Desconto Simples Racional
8 8 10
3.
12
JUROS COMPOSTOS
3.1 Conceitos e Cálculos
12
3.2 Cálculo do montante para período fracionário f racionário 3.2.1 Convenção Exponencial 3.2.2 Convenção Linear
16 16 17
3.3 Desconto Composto 3.3.1 Desconto Composto Racional, ou ‘Por Dentro’ 3.3.2 Desconto Composto Comercial ou Bancário ou ‘Por Fora’
18 18 19
4. 5.
TAXA DE JUROS NOMINAL, PROPORCIONAL, EFETIVA E EQUIVALENTE 22 24 INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA
6. 6
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS ANUIDADE OU SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES
28 31
6.1 Anuidade com Parcelas Postecipadas 6.1.1 Valor Futuro ou Montante
31 33
6.2 Anuidade com Parcelas Antecipadas 6.2.1 Valor Futuro ou Montante
35 36
6.3 Renda Perpétua 7. AMORTIZAÇÕES
36
39
7.1 Sistema Francês de Amortização – SFA - (Sistema Price) 7.1.1 Caso com Período de Carência:
39 40
7.2 8.
41
Sistema de Amortização Constante – SAC (Sistema ( Sistema Hamburguês) FLUXO DE CAIXA E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
44
8.1 Fluxo de Caixa
44
8.2
45
Taxa Mínima de Atratividade
46 8.3 Método do Valor Presente Líquido (VPL) 8.3.1 Método do Valor Presente Líquido para Períodos Diferentes de Investimentos
49
8.4
Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
51 1
Matemática Financeira
ÍNDICE 1. 2.
INTRODUÇÃO JUROS SIMPLES
3
2.1 Conceitos e Cálculos
5
5
2.2 Desconto Simples 2.2.1 Desconto Simples Bancário 2.2.2 Desconto Simples Racional
8 8 10
3.
12
JUROS COMPOSTOS
3.1 Conceitos e Cálculos
12
3.2 Cálculo do montante para período fracionário f racionário 3.2.1 Convenção Exponencial 3.2.2 Convenção Linear
16 16 17
3.3 Desconto Composto 3.3.1 Desconto Composto Racional, ou ‘Por Dentro’ 3.3.2 Desconto Composto Comercial ou Bancário ou ‘Por Fora’
18 18 19
4. 5.
TAXA DE JUROS NOMINAL, PROPORCIONAL, EFETIVA E EQUIVALENTE 22 24 INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA
6. 6
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS ANUIDADE OU SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES
28 31
6.1 Anuidade com Parcelas Postecipadas 6.1.1 Valor Futuro ou Montante
31 33
6.2 Anuidade com Parcelas Antecipadas 6.2.1 Valor Futuro ou Montante
35 36
6.3 Renda Perpétua 7. AMORTIZAÇÕES
36
39
7.1 Sistema Francês de Amortização – SFA - (Sistema Price) 7.1.1 Caso com Período de Carência:
39 40
7.2 8.
41
Sistema de Amortização Constante – SAC (Sistema ( Sistema Hamburguês) FLUXO DE CAIXA E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
44
8.1 Fluxo de Caixa
44
8.2
45
Taxa Mínima de Atratividade
46 8.3 Método do Valor Presente Líquido (VPL) 8.3.1 Método do Valor Presente Líquido para Períodos Diferentes de Investimentos
49
8.4
Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
51 1
Matemática Financeira
8.5
Comparação entre os Métodos da TIR e do VPL
53
8.6 9.
TIR Modificada (TIRM) DEPRECIAÇÃO
57
62
APÊNDICE A – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
67
Maurício R. Cury
2
Edição 2 - 2011
Matemática Financeira
1. Introdução A Matemática Financeira tem como ponto fundamental o cálculo de valores monetários em diversas datas transportados pela taxa de juros. Os juros são o aluguel ou a remuneração pelo capital emprestado ou aplicado. A partir daí é possível desenvolver várias aplicações tais como cálculo de montante, de desconto de títulos, de financiamentos, aplicações, rendas, análise de investimentos, depreciação e etc. Basicamente existem dois tipos de capitalização: [ Capitalização é a soma dos juros devidos ao principal, ampliando-se o mesmo e formando o montante] Capitalização Simples e Capitalização Composta.
A Capitalização Simples (ou Juros Simples) consiste no cálculo de juros de maneira que seu crescimento, ao longo do tempo, ocorre linearmente. Os juros são calculados sobre o Capital Inicial. Na Capitalização Composta (ou Juros Compostos), os juros são calculados sobre o montante do período anterior, que já possui juros capitalizados. O crescimento dos juros, ao longo do tempo, ocorre exponencialmente. Na capitalização composta, portanto, paga-se mais juros que na capitalização simples (considerando mesma taxa de juros e mesmo período), exceto no caso do primeiro período de capitalização onde os juros são iguais. O Período de Capitalização é o período no qual os juros são capitalizados ou incorporados ao principal. Exemplo: se o período de capitalização é mensal então os juros são incorporados ao capital a cada trinta dias. A taxa de juros é o índice que permite calcular os juros. Ela é geralmente expressa em percentual e deve, obrigatoriamente, referenciar o período de capitalização. Exemplos: 2,4% ao mês; 4,5% ao bimestre; 9% ao semestre; 13% ao ano. Serão abordados, nesta apostila, os seguintes tópicos: cálculo de capital, juros, períodos, montante e taxa de juros para os regimes de capitalizações simples e composta. Descontos simples e compostos (bancários e racionais). Taxas de juros nominais, proporcionais, efetivas e equivalentes. Equivalência de capitais. Anuidade ou série de pagamentos uniformes. Amortizações: Sistema Price e Sistema de Amortização Constante (SAC), e ainda é desenvolvido um modelo de amortização no regime de capitalização simples. Análise de Investimentos, através dos dois métodos mais utilizados: pelo Valor Presente Líquido e pela Taxa Interna de Retorno. Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
3
Matemática Financeira
Em cada tópico estudado serão resolvidos alguns exercícios e propostos outros com seus respectivos resultados. Nomenclatura: os símbolos usados para os parâmetros de cálculo são os conhecidos universalmente e utilizados nas calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas. Os principais símbolos são:
Símbolo PV FV J i n PMT VPL TIR
Maurício R. Cury
Símbolo Definição Alternativo C [Present Value] Valor Presente, Capital Inicial M [Future Value] Valor Futuro, Montante INT {Interest] Juros t Taxa de Juros Tempo, Período, Número de Prestações [Payment] Pagamento, Prestação NPV [Net Present Value] Valor Presente Líquido IRR [Internal Rate of Return] Taxa Interna de Retorno
Edição 2 - 2011
4
Matemática Financeira
2.
Juros Simples
2.1 Conceitos e Cálculos No regime de juros simples, ou capitalização simples, o juro é sempre calculado sobre o valor principal (ou capital inicial). Os juros acumulados crescem, ao longo do tempo, de maneira linear conforme uma progressão aritmética. Observe o seguinte diagrama, onde o capital inicial aplicado é PV=1.000, a taxa de juros simples é i=1% por período (O período poderá estar em qualquer unidade de tempo: dia, semana, mês, semestre, ano, etc.). FV1=1.000+10 INT1=10
FV2=1.010+10 INT2=10
FV3=1.020+10 INT3=10
FV4=1.030+10
INT4=10
0 1
2
3
4
Períodos
PV=1.000
Em qualquer período (n=1 ou n=2 ou n=3 ou n=4) o juro é sempre calculado sobre o capital inicial (valor presente), 1% de 1.000, INT j=10. Considerando : PV – capital inicial ou valor presente FV – montante ou valor futuro i – taxa de juros n – número de períodos que os juros serão capitalizados INT – juros calculados no período Fórmulas para capitalização simples: j = n
FV = PV + ∑ INT j j =1 j =n
∑ INT j = PV ⋅ i ⋅ n
j =1
No exemplo acima, os valores para cada período são:
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
5
Matemática Financeira
Período Juros 0 1 2 3 4
10 10 10 10
Juros Capital Acumulados 1.000 10 1.010 20 1.020 30 1.030 40 1.040
Note que o capital cresce segundo uma progressão aritmética cuja razão é o Juro. Exemplo: Quais os juros e montante correspondentes à uma aplicação de um capital de R$ 150.000 durante 55 dias à uma taxa de 15% ao ano? Pela fórmula: INT = 150.000 × 0,15 ×
55 360
=
3.437,50
FV = 150.000 + 3.437,50 = 153.437,50
Observações: - foi considerado ano comercial (de 360 dias). Note que no uso da fórmula, ‘n’ e ‘i’ tem a mesma periodicidade. No caso de ano exato (de 365 dias): 55 = 3.390,41 365 FV = 150.000 + 3.390,41 = 153.90,41
INT = 150.000 × 0,15 ×
Caso esteja omisso, adota-se o ano comercial (360 dias), bem como adota-se o mês comercial (30 dias)..
As fórmulas utilizadas para o regime de capitalização simples são: FV = PV ⋅ (1 + i ⋅ n ) PV =
i=
FV
(1 + i ⋅ n )
FV PV −
1
n
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
6
Matemática Financeira
n=
FV − PV
1
i
Para o uso correto destas fórmulas a taxa de juros deve ter periodicidade conforme a unidade de ‘n’. Por exemplo: se ‘n’ estiver em meses, a taxa deverá ser ao mês, ou se a taxa for ao ano então ‘n’ deve estar em anos.
Exercícios: 1. Um capital de $720.000 foi aplicado durante 16 meses, à uma taxa de juros simples de 2,4% ao bimestre. Calcular o Montante após este período. 2. Quanto tempo deve ficar aplicado um capital de $28.000 para formar um montante de $38.500 se aplicado à uma taxa de juros simples de 15% ao ano? 3. Um certo capital foi aplicado à uma taxa de juros simples de 4,2% ao trimestre, durante 14 meses, e formou um montante de $6.697,60. Calcular este capital. 4. Calcular a taxa de juros simples que aplicada sobre um capital de $8.000.000, durante 28 bimestres, gera um montante de $15.840.000. 5. Um capital de $65.000 foi aplicado durante 10 meses à uma taxa de juros simples de 0,95% ao mês. Após este período, o montante foi aplicado por mais 14 meses à uma taxa de 1,24% ao mês. Calcular o montante após este período. 6. A que taxa de juros simples um capital deve ser aplicado para que, após dois anos, ele triplique de valor? 7. Um certo capital foi aplicado durante 6 trimestres à uma taxa de juros simples de 5% ao trimestre. Após este período o montante foi aplicado por mais 5 quadrimestres à uma taxa de juros simples de 7,5% ao quadrimestre, resultando num montante de $195.000. Pergunta-se qual foi o capital inicialmente aplicado? 8. Quanto tempo será necessário para que um capital quintuplique de valor se aplicado à uma taxa de juros simples de 5,5% ao mês? 9. O que rende mais: Alternativa I: aplicar um capital durante dois anos, à uma taxa de juros de simples de 3,2% ao mês; Alternativa II: aplicar, durante dois anos, 30% deste capital à uma taxa de 5% ao mês e o restante à uma taxa de 2,8% ao mês
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
7
Matemática Financeira
10. Qual a taxa de juros diária que aplicada sobre um capital de $5.000 durante um ano forma um montante de $5.900? Repetir o cálculo considerando taxa de juros mensal. 2.2 Desconto Simples Por muitas vezes as empresas necessitam de recursos financeiros de terceiros. Além de empréstimos e outras captações de recursos, as empresas fazem uma operação conhecida como desconto de título de crédito. O título de crédito (como uma duplicata) é o compromisso de alguém com a empresa para o pagamento em uma determinada data. A empresa necessitando da antecipação deste dinheiro recorre à uma instituição financeira que aplica um desconto no valor do título. Este desconto é o juro cobrado pela instituição financeira pela antecipação do dinheiro. Chama-se “Valor de Face”, ou “Valor Nominal” do título, o valor nominalmente expresso neste título. O “Valor de Resgate” é o valor antecipado pelo Banco após ser aplicado o desconto. A “Taxa de Desconto” é o índice usado para calcular o desconto e o “Período de Antecipação” é em quanto (tempo) o título foi antecipado. Chama-se Desconto Simples por ser calculado dentro do regime de capitalização simples. O Desconto pode ser de dois tipos : (I) Desconto Simples Bancário, ou Comercial ou “Por Fora” e (II) Desconto Simples Racional, ou “Por Dentro”. A nomenclatura utilizada é: PV – Valor de Resgate (ou Valor Presente, pois ocorre antes de FV) FV – Valor de Face ou Valor Nominal i – Taxa de Desconto (taxa de juros e deve ser expressa com um determinada periodicidade). n – Período de antecipação Db – Desconto Bancário Dr – Desconto Racional 2.2.1 Desconto Simples Bancário Também chamado de Desconto “Por Fora”, pois a taxa de desconto é aplicada sobre o Valor de Face do título. Db = FV ⋅ i ⋅ n
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
8
Matemática Financeira
Db = FV − PV
Destas duas fórmulas vem: FV ⋅ i ⋅ n = FV − PV PV = FV − FV ⋅ i ⋅ n PV = FV ⋅ (1 − i ⋅ n )
ou FV =
PV
(1 − i ⋅ n )
1 − PV FV i= n n=
1 − PV FV i
Exercícios: 11. Qual o valor do desconto de um título de $22.500 descontado 2 meses antes do seu vencimento à uma taxa de desconto simples bancário de 2,8% ao mês? 12. Qual o valor de face de um título resgatado 100 dias antes do seu vencimento por $1.280 sabendo-se que a taxa de desconto simples bancário utilizada foi de 3,2% ao mês? 13. Um título de $10.000 foi resgatado 45 dias antes do seu vencimento por $9.550. Calcular a taxa de desconto simples bancário utilizada. 14. Um título de $15.000 foi resgatado por $12.350 sendo aplicada uma taxa de desconto simples bancário de 7,9% ao trimestre. Calcule quanto tempo o pagamento deste título foi antecipado. 15. Uma empresa decidiu resgatar um título de $30.000, 90 dias antes do seu vencimento, por $28.200 e aplicou este valor por 90 dias, à uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês. Pergunta-se se esta operação foi vantajosa. 16. Uma empresa possui 6 títulos de diferentes valores e vencimentos conforme tabela abaixo. Ela decide por Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
9
Matemática Financeira
descontá-los num banco que aplica taxa de desconto simples bancário de 4,1% ao bimestre. Calcular o valor total resgatado pela empresa. Título Título 1 Título 2 Título 3 Título 4 Título 5 Título 6
Valor Nominal $12.500 $10.360 $ 9.990 $ 7.500 $21.000 $ 2.340
Vencimento 150 dias 135 dias 125 dias 97 dias 90 dias 55 dias
2.2.2 Desconto Simples Racional Também chamado de Desconto “Por Dentro”, pois a taxa de desconto é aplicada sobre o valor de resgate. Dr = PV ⋅ i ⋅ n Dr = FV − PV FV − PV = PV ⋅ i ⋅ n FV = PV ⋅ (1 + i ⋅ n ) PV =
i=
n=
FV
(1 + i ⋅ n )
FV − PV
1
n FV − PV
1
i
Exercícios: 17. Qual o valor do desconto de um título de $22.500 descontado 2 meses antes do seu vencimento à uma taxa de desconto simples racional de 2,8% ao mês?
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
10
Matemática Financeira
18. Qual o valor de face de um título resgatado 100 dias antes do seu vencimento por $1.280 sabendo-se que a taxa de desconto simples racional utilizada foi de 3,2% ao mês? 19. Um título de $10.000 foi resgatado 45 dias antes do seu vencimento por $9.550. Calcular a taxa de desconto simples racional utilizada. 20. Um título de $15.000 foi resgatado por $12.350 sendo aplicada uma taxa de desconto simples racional de 7,9% ao trimestre. Calcule quanto tempo o pagamento deste título foi antecipado. 21. Uma empresa decidiu resgatar um título de $30.000, 90 dias antes do seu vencimento, por $28.200 e aplicou este valor por 90 dias, à uma taxa de juros simples de 2,3% ao mês. Pergunta-se se esta operação foi vantajosa. 22. Uma empresa possui 6 títulos de diferentes valores e vencimentos conforme tabela abaixo. Ela decide por descontá-los num banco que aplica taxa de desconto simples racional de 4,1% ao bimestre. Calcular o valor total resgatado pela empresa. Título Título 1 Título 2 Título 3 Título 4 Título 5 Título 6
Maurício R. Cury
Valor Nominal $12.500 $10.360 $ 9.990 $ 7.500 $21.000 $ 2.340
Edição 2 - 2011
Vencimento 150 dias 135 dias 125 dias 97 dias 90 dias 55 dias
11
Matemática Financeira
3.
Juros Compostos
3.1 Conceitos e Cálculos No regime de juros compostos os juros calculados num período serão acrescidos ao capital principal para o cálculo dos juros no próximo período. Por esta razão diz-se, no caso de regime de capitalização composta, “juros sobre juros”. Observe o diagrama abaixo, onde é aplicado um capital de $ 1.000 durante ‘n’ períodos à uma taxa de 1% por período. FV1=1.000+10
INT1=10
FV2=1.010+10,10
INT2=10,10
FV3=1.020,10+10,20
INT3=10,20
FV4=1.030,30+10,30
INT4=10,30
0 1
2
3
4
Períodos
PV=1.000
No primeiro período a taxa de juros (1%) foi aplicada sobre o Capital PV=1.000 gerando juros INT1=10 e formando o montante (n=1), FV1=1.010. No segundo período a taxa de juros foi aplicada sobre o montante do período anterior (n=1), FV 1=1.010, gerando juros de INT2=10,10 e formando o montante FV 2=1.020,10. E assim sucessivamente a cada período. Revendo :
PV de “Valor Presente” ou “Capital Inicial” FV de “Valor Futuro” ou “Montante” INT de “Juros” i de “taxa de juros” n de “período” ou “tempo”
O Montante pode ser calculado pela seguinte fórmula: j = n
FV j = PV + ∑ INT j j =1
ou FV = PV ⋅ (1 + i ) ⋅ (1 + i ) ⋅ (1 + i ) ⋅ .....(1 + i ) 144 4 4 4 244 4 4 4 3
n vezes
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
12
Matemática Financeira
n
FV = PV ⋅ (1 + i )
Da mesma maneira, para calcular o Valor Presente: FV
PV =
(1 + i )n
Os Juros são calculados pela fórmula: INT=FV-PV No exemplo acima, para cada período: Período 0 1 2 3 4
Juro 10,00 10,10 10,20 10,30
Capital 1.000,00 1.010,00 1.020,10 1.030,30 1.040,60
Note que o capital e os juros crescem segundo uma progressão geométrica. Para o cálculo da taxa: n
FV = PV ⋅ (1 + i ) n
(1 + i )
=
FV PV
FV PV
1+ i =
FV PV
i=
1 n
1 n −
1
Para o cálculo do número de períodos:
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
13
Matemática Financeira
n
FV = PV ⋅ (1 + i )
(1 + i )n
FV
=
PV
FV FV n ou log(1 + i ) = log PV PV FV FV n ⋅ ln (1 + i ) = ln ou n ⋅ log(1 + i ) = log PV PV n
ln (1 + i )
=
ln
FV PV
ln n=
ln (1 + i )
ou
FV PV
log n=
log(1 + i )
Exemplos: 1. Qual o montante gerado por um capital de $35.000 aplicado durante 4 anos à uma taxa de 12% ao ano? FV = 35.000 × (1 + 0,12) 4
=
35.000 ×1,573519 = 55.073,18
2. Qual capital preciso aplicar à uma taxa de 3% ao mês, capitalizável mensalmente, durante 10 meses para produzir um montante de $5.800? PV =
5.800 10
(1 + 0,03)
=
5.800 1,343916
=
4.315,74
3. A que taxa semestral um capital de $6.000 gera juros de $ 1.813,56 durante 3 anos? Como a taxa deve ser ao semestre, devemos passar n=3 anos para n=6 semestres. FV=PV+INT=6.000+1.813,56=7.813,56 Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
14
Matemática Financeira
FV PV
i=
1 n
−
7.813,56 6.000
1=
1 6 −
1 = 1,045 − 1 = 0,045 = 4,5% a.s.
4. Durante quanto tempo devo aplicar um capital de $1.000.000, à uma taxa de juros de 1,5% ao mês, capitalizável mensalmente, para obter um montante de $1.240.959,51?
FV 1.240.959,51 ln PV = 1.000.000 = 0,21588488 = 14,50 meses
ln n=
ln(1 + i )
ln(1 + 0,015)
0,01488861
Exercícios: 23. Calcular o montante de um capital de $7.800.000 aplicado durante 18 meses á uma taxa de juros compostos de 3% ao bimestre, capitalizado bimestralmente. 24. Um capital de $66.200 foi aplicado durante 2 semestres à uma taxa de juros compostos de 8,5% ao semestre, capitalizável semestralmente. Após este período, o capital resultante foi aplicado por mais 3 anos à uma taxa de juros compostos de 2,8% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. Calcular o valor do montante após este período. 25. Quanto de capital é necessário aplicar hoje, para que daqui a 16 bimestres forme um montante de $3.950,67 sabendo-se que a taxa de juros compostos usada foi de 3,1% ao bimestre, capitalizável bimestralmente? 26. Qual a taxa de juros compostos necessária para que um capital de $100.000 forme um montante de $185.000 durante 7 meses? 27. Em quanto tempo uma taxa de juros compostos de 4% ao mês triplica um determinado capital? 28. Numa determinada data foram aplicados dois capitais: um de $100.000 à uma taxa de juros compostos de 3,4% ao mês e outro de 150.000 à uma taxa de juros compostos de 2,45% ao mês. Após quanto tempo os montantes das duas aplicações ficaram iguais? 29. Qual investimento é mais rentável: aplicar $50.000 e resgatar $75.000 após 7 meses ou, aplicar $25.000 e resgatar $50.000 após 12 meses? 30. Qual taxa de juros compostos quadruplica um capital após 2 anos?
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
15
Matemática Financeira
31. Se a caderneta de poupança rende 0,5% ao mês, quanto deverei aplicar para que ela renda juros de $20.000 após 6 semestres? 32. Uma loja está vendendo um televisor por $1.500 a vista ou em duas parcelas mensais de $766,50 cada, sendo a primeira de entrada. Se hoje eu possuo $1.500 aplicados e sabendo que daqui a um mês esta aplicação me renderá $75,00 de juros, qual a maneira mais vantajosa para mim se eu quiser comprar este televisor: (1) a vista, sacando todo o dinheiro aplicado ou (2) em duas parcelas, sacando o suficiente para dar a entrada e deixar o restante aplicado durante um mês para depois pagar a segunda prestação? 3.2 Cálculo do montante para período fracionário Quando o número de períodos de capitalização for um número fracionário, existem dois critérios para se calcular o montante. 3.2.1Convenção Exponencial Neste caso são usados juros compostos tanto para a parte inteira como para a parte fracionária do período. Adota-se a seguinte fórmula:
FV = PV × (1 + i )
n+
k m
onde n é a parte inteira do número de períodos e k/m é parte fracionária do número de períodos. Por exemplo, para um período de 7 meses e 15 dias e capitalização mensal, temos n=7 e k/m=15/30=0,5. Ou para um período de 1 ano e 20 dias e capitalização anual temos n=1 e k/m=20/360=0,0555... Exemplos: 1. Qual o montante gerado por um capital de $5.000.000 aplicado à uma taxa de 3% ao bimestre, capitalizável bimestralmente, durante 310 dias? Para passar o período para bimestre divide-se 310 por 60 dias = 5,16666.=n+k/m.. 310 60 =
FV = 5.000.000 × (1 + 0,03)
5.000.000 ×1,1649993
=
5.824.996,46
2. Qual o montante gerado por um capital de $1.500.000 aplicado à uma taxa de 2% ao mês, capitalizável mensalmente, durante 6 meses e 10 dias? Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
16
Matemática Financeira
Neste caso n=6, k=10 e m=30 (1 mês tem 30 dias). FV = 1.500.000 × (1 + 0,02 )
6+
10 30 =
1.500.000 × 1,13362067
=
1.700.431,00
3.2.2Convenção Linear Neste segundo critério são usados juros compostos para a parte inteira e juros simples para a parte fracionária do período. Adota-se a seguinte fórmula:
k FV = PV × (1 + i ) × 1 + i × m n
Utilizando os dados do exemplo 2 anterior: 2. Qual o montante gerado por um capital de $1.500.000 aplicado à uma taxa de 2% ao mês, capitalizável mensalmente, durante 6 meses e 10 dias? n=6, k=10 e m=30 (1 mês tem 30 dias). 6
FV = 1.500.000 × (1 + 0,02)
×
10 1 + 0,02 × = 1.500.000 × 1,126162× 1,006666 = 1.700.505,25 30
Exercícios: Para os exercícios a seguir utilizar os dois métodos estudados: 33. Calcular o montante de um capital de $12.200.000 aplicado durante 14 meses e 25 dias á uma taxa de juros compostos de 3,9% ao bimestre, capitalizado bimestralmente. 34. Um capital de $15.234 foi aplicado à uma taxa de juros compostos de 18,4% ao ano, capitalizável anualmente, durante 6 anos e 3 trimestres. Calcular o montante. 35. Um capital de $9.990.420 foi aplicado à uma taxa de juros compostos de 10,5% ao quadrimestre, capitalizável quadrimestralmente, durante 2 anos e 2 trimestres. Calcular o montante.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
17
Matemática Financeira
3.3 Desconto Composto Os conceitos de desconto composto são os mesmos que os de desconto simples, vistos anteriormente. A diferença é que o desconto composto está no regime de capitalização composta. Ele pode ser Desconto Composto Bancário (ou por Fora) ou Desconto Composto Racional (ou por Dentro), sendo este segundo o mais utilizado pelas instituições financeiras. Os termos utilizados nesta operação são os mesmos do desconto simples. Relembrando: -
-
Valor Nominal ou Valor de Face do título (FV) é o valor do título na data do seu vencimento; Valor de Resgate do título (PV) é o valor antecipado recebido pelo credor; Desconto (D) é o valor cobrado pela instituição que realizou a operação; Db – Desconto Bancário Dr – Desconto Racional Período de Antecipação (n) é em quanto tempo o banco adiantou o pagamento; Taxa de Desconto (i) é a taxa de juros, com determinada periodicidade, cobrada pela instituição financeira.
3.3.1 Desconto Composto Racional, ou ‘Por Dentro’ Neste caso a taxa de desconto é aplicada sobre o valor de resgate do título. As fórmulas utilizadas são as mesmas vistas no item sobre Juros Compostos, exceto a primeira: Dr = FV − PV n
FV = PV ⋅ (1 + i ) PV =
FV
(1 + i )n
FV i= PV
1 n −
Maurício R. Cury
1
Edição 2 - 2011
18
Matemática Financeira
FV ln PV n = ln (1 + i )
Exemplos: 1. Qual o valor de resgate de um título de R$4.800, descontado 2 meses antes do seu vencimento à uma taxa de desconto racional composto de 3,5% ao mês? Qual o valor do desconto?
PV =
FV
4.800
= n
(1 + i )
= 2
(1 + 0,035)
4.800 1,071225
=
4.480,85
Dr=4.800-4.480,85=319,15 O valor de resgate é de R$4.480,85 e o desconto é de R$319,15 2. Qual a taxa de desconto racional composto foi aplicada a uma duplicata de R$2.100 resgatada 90 dias antes do seu vencimento por R$1.924,60?
FV i= PV
1 n
1
2.100 3 −1 = − 1 = 0,0295 = 2,95%a.m. 1.924,60
3.3.2 Desconto Composto Comercial ou Bancário ou ‘Por Fora’ Neste caso a taxa de desconto é aplicada sobre o valor de face do título. As fórmulas utilizadas são mostradas a seguir: Db = FV − PV
PV = FV × (1 − i )
n
FV =
PV
(1 − i )n
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
19
Matemática Financeira
1
PV n i = 1− FV PV FV
ln n=
ln(1 − i )
Exemplos: 1. Quanto tempo foi antecipado um título de R$15.000 resgatado por R$12.507,53, sabendo que o banco aplica uma taxa de desconto composto comercial de 3,25% ao mês? a) pela fórmula: PV
ln
n=
FV ln (1 − i )
=
12.507,53 15 . 000 =
ln
ln (1 − 0,0325)
0,181719 − 0,033040 −
=
5,5
Resposta: 5,5 meses ou 5 meses e 15 dias. 2. Qual o valor do desconto que o Banco aplicou sobre um título de R$3.050, descontado 45 dias antes do seu vencimento à uma taxa de desconto bancário composto de 4% ao mês? PV = FV × (1 − i )
n
=
3.050 × (1 − 0,04)
1, 5
=
3.050 × 0,940604 = 2.868,84
Db=3.050-2.868,84=181,16 O valor do desconto é de R$181,16 Exercícios: Para os exercícios a seguir utilizar os dois métodos estudados (Desconto Racional e Desconto Bancário): 36. Um título de $34.000 foi resgatado 130 dias antes do seu vencimento. Se o banco utiliza uma taxa de desconto composto de 4,1% ao mês, calcular o valor de resgate do título e o valor do desconto. Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
20
Matemática Financeira
37. Um título foi resgatado por $5.126, 3 meses antes do seu vencimento. Calcular o valor de face deste título sabendo-se que a taxa de desconto composto utilizada foi de 6,2% ao bimestre. Calcule também o valor do desconto. 38. Quanto tempo foi antecipado um título de $40.000, resgatado por $38.451, se a taxa de desconto composto é de 9% ao trimestre? 39. Se um título de $100.000 é resgatado 85 dias antes do seu vencimento por $92.145, calcule qual a taxa de desconto composto utilizada. 40. Uma empresa descontou um título de $45.000, 45 dias antes do seu vencimento, por $38.376,94. A empresa aplicou este valor no mercado financeiro e após 30 dias rendeu juros de $1.074,55. Analisar se esta operação foi vantajosa para a empresa levando-se em conta que o dinheiro continuou aplicado após os 30 dias. 41. Uma empresa realizou o desconto de vários títulos em vários bancos que praticam taxas de desconto composto diferentes, conforme tabela abaixo. A empresa aplicou o total obtido no mercado financeiro à uma taxa de juros compostos de 1,4% ao mês. Elaborar uma tabela mostrando a evolução dos juros e do montante desta aplicação, a cada mês, até o sexto mês. Banco
Valor do Título Vencimento
Banco 1
$120.000
240 dias
Banco 2
$ 75.500
160 dias
Banco 3 Banco 4 Banco 5
$ 82.800 $210.000 $102.550
125 dias 92 dias 60 dias
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
Taxa de Desconto 6,38% ao bimestre 8,87% ao trimestre 3,74% ao mês 3,01% ao mês 0,15% ao dia
21
Matemática Financeira
4.
Taxa de Juros nominal, proporcional, efetiva e equivalente
Taxa de Juros nominal é aquela cujo valor é uma referência. Geralmente é expressa para periodicidade anual e transformada para periodicidade menor de forma proporcional. Taxa de Juros proporcional é aquela calculada proporcionalmente ao juro nominal (como no juros simples). Por exemplo, qual a taxa de juros mensal proporcional à 12% ao ano? Divide-se 12% por 12 e acha-se 1% ao mês. Taxa de juros efetiva é a taxa que efetivamente é aplicada no cálculo. Taxas de juros equivalentes, quando duas ou mais taxas com periodicidades diferentes são aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo tempo e produzem o mesmo montante, diz-se que elas são equivalentes. No regime de capitalização composta, o cálculo de taxas equivalentes utiliza-se a seguinte fórmula: n2
ieq = (1 + i ) n1
−
1
onde n2/n1 é a relação entre a periodicidade das taxas equivalentes. Exemplos: considerando uma taxa nominal de 24% ao ano no regime de capitalização composta: São taxas proporcionais : 2% ao mês, 4% ao bimestre, 12% ao semestre, etc Se a capitalização é mensal, então 2% ao mês é a taxa efetiva. As taxas a seguir são equivalentes à 2% ao mês: 2 1 −
1 = 0,0404 = 4,04% a.b.
3 1 −
1 = 0,0612 = 6,12%a.t .
6 1 −
1 = 0,1262 = 12,62%a.s.
ieq = (1 + 0,02) ieq = (1 + 0,02) ieq = (1 + 0,02)
12 1 −
ieq = (1 + 0,02)
1 = 0,2682 = 26,82%a.a.
Ou seja, se aplicar um capital PV a 2% a.m. durante n meses, produzirá o mesmo montante se for aplicado este capital a 4,04% a.b. durante n/2 bimestres ou a 6,12% a.t. durante n/3 trimestres ou a 12,62% a.s. durante n/6 semestres ou a 26,82% a.a. durante n/12 anos. Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
22
Matemática Financeira
Observação: Apesar de não ser muito aplicado, pode-se dizer que uma taxa equivalente no regime de juros simples, é a taxa proporcional. Por exemplo, uma taxa nominal de 12% ao ano, no regime de juros simples, 1% ao mês é uma taxa proporcional e é também a taxa efetiva (é efetivamente usada no cálculo dos juros) e a taxa equivalente (produz o mesmo montante que 12% ao ano, se aplicada ao mesmo capital, durante o mesmo período).
Exercícios: 42. Calcular as taxas equivalentes mensais, bimestrais, trimestrais, quadrimestrais, semestrais e anuais considerando: (a) Taxa nominal de 18,24% ao ano e capitalização composta mensal; (b) Taxa nominal de 26% ao ano e capitalização composta semestral; (c) Taxa nominal de 8,9% ao ano e capitalização composta trimestral 43. Calcular as seguintes taxas equivalentes (capitalização composta): (a) 14% ao ano em taxa mensal (b) 4% ao trimestre em taxa anual (c) 8% ao semestre em taxa anual (d) 12,6% ao quadrimestre em taxa bimestral (e) 1,2% ao mês em taxa diária (f) 3,8% ao bimestre em taxa semestral 44. Qual das seguintes taxas de juros compostos apresenta maior rentabilidade? (a) 1,90% ao mês (b) 3,75% ao bimestre (c) 5,75% ao trimestre (d) 12,00% ao semestre (e) 24,00% ao ano
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
23
Matemática Financeira
5.
Inflação e correção monetária
Inflação significa simplesmente aumento de preços durante um período. Em maior ou menor grau ela está presente na economia de todos os países. A inflação pode ter diversas causas como aumento da demanda dos produtos e desvalorização da moeda nacional por emissão exagerada de dinheiro. Se num determinado período houver retração nos preços, a denominação dada é deflação. A correção monetária visa corrigir a perda monetária causada pela inflação. No Brasil existem diversos índices para correção monetária, cada um com uma base de cálculo e uso específicos. Alguns dos índices de inflação brasileiros: ICV, IGP-DI, INCC-DI, INCC-M, INPC, IPA-DI, IPA-M, IPC, IPC-DI e IPC. Para efeito de ilustração, vamos pegar o INPC (Índice Nacional de Preço ao Consumidor), que é um índice calculado pelo IBGE. A variação dos preços, no caso do INPC, é apurada do 1º ao 30º dia de cada mês e tem, como unidade de coleta, estabelecimentos comerciais e de prestação de serviços, concessionária de serviços públicos e domicílios (aluguel e condomínio). A população-objetivo do INPC abrange as famílias com rendimentos mensais compreendidos entre 1 e 6 saláriosmínimos, cujo chefe é assalariado em sua ocupação principal e residente nas áreas urbanas das regiões qualquer que seja a fonte de rendimentos, e residentes nas áreas urbanas das regiões. A tabela a seguir mostra todos os índices do INPC no ano de 2010. Mês de 2010
INPC
INPC acumulado no ano
Mês de 2010
INPC
INPC acumulado no ano
Janeiro
0,88%
0,8800%
Julho
-0,07%
3,3112%
Fevereiro
0,70%
1,5861%
Agosto
-0,07%
3,2389%
Março
0,71%
2,3074%
Setembro
0,54%
3,7963%
Abril
0,73%
3,0543%
Outubro
0,92%
4,7513%
Maio
0,43%
3,4974%
Novembro
1,03%
5,8302%
Junho
-0,11%
3,3836%
Dezembro
0,60%
6,4652%
Observe que os índices negativos dos meses junho, julho e agosto, indicam uma deflação neste período e, nos demais meses, inflação. Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
24
Matemática Financeira
Para entender estes números, se uma pessoa teve gastos de R$ 100 no dia 31 de dezembro de 2009, para adquirir os mesmo produtos em 31 de janeiro de 2010 ela teria que dispor de R$ 100 mais 0,88%, ou seja R$ 100 x 1,0088 = R$ 100,88 e teria que dispor de R$ 100,88 x 1,007 = R$ 101,58 em 28 de fevereiro de 2010. O objetivo principal deste módulo é o cálculo da correção monetária com ou sem juros agregados. Primeiramente trataremos do cálculo da inflação acumulada num determinado período. c ac = (1 + c1 ) ⋅ (1 + c 2 ) ⋅ (1 + c3 ) ⋅ ...... ⋅ (1 + c n ) − 1 Onde cac= inflação acumulada no período de 1 a n. C j=inflação no período j (j=1,2,3....n) Como exemplo, qual o INPC acumulado no primeiro semestre de 2010? c ac
=
1,0088 ⋅ 1,007 ⋅ 1,0071 ⋅ 1,0073 ⋅ 1,0043 ⋅ 0,9989 − 1 = 3,3836%
Para o cálculo da correção monetária num determinado período: FV = PV ⋅ (1 + cac ) Para fazer a correção monetária de um valor de R$ 500 em 31 de dezembro de 2009 para 30 de junho de 2010: FV = 500 ⋅1,0033836 = 516,91 5.1 Taxa de juros nominal e taxa de juros real No item anterior foi tratada apenas a correção monetária. Em muitos cálculos na economia, além da correção monetária há a adição de juros, como por exemplo o cálculo da caderneta de poupança e do FGTS. Os juros representam o rendimento real obtido, sendo denominados juros reais. Os juros reais mais a correção monetária são os juros nominais. Para o cálculo da taxa de juros nominal, num determinado período, temse: i N = (1 + iac ) ⋅ (1 + cac ) − 1 Onde iN = taxa de juros nominal do período iac= taxa de juros real no período Exemplos:
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
25
Matemática Financeira
1. Se determinada aplicação rende juros reais de 0,5% ao mês mais correção monetária segundo o INPC: - Taxa de juros nominal em setembro de 2010: i N = 1,005 ⋅ 1,0054 − 1 = 1,043% - Taxa de juros real acumulada no ano de 2010: iac = 1,00512 − 1 = 6,168% - Taxa de juros nominal acumulada no ano de 2010: i N = 1,06168 ⋅ 1,064652 − 1 = 13,03% - se foi aplicado um valor de R$ 1.000 em 31/12/2009, o montante em 31/12/2010 seria de FV = 1000 ⋅ 1,1303 = 1.130,30 2. Qual o INPC acumulado no 2º semestre de 2010? c ac
=
0,9993 ⋅ 0,993 ⋅ 1,0054 ⋅ 1,0092 ⋅ 1,0103 ⋅ 1,006 − 1 = 2,98%
3. Se um valor de R$ 3.400 foi aplicado em 30/06/2010, num fundo que rende juros reais de 0,25% ao mês mais correção monetária pelo INPC, calcular a taxa de juros real, a taxa de juros nominal e o valor do montante em 31/12/2010. Taxa de juros real: iac = 1,00256 − 1 = 1,5094% Taxa de juros nominal: i N = 1,015094 ⋅1,0298 − 1 = 4,5344% Montante em 31/12/2010: FV = 3400⋅1,045344 = 3.554,17 Exercícios: Considere a tabela a seguir do IPC (Índice de Preços ao Consumidor) de 2009 e 2010, para a resolução dos exercícios. O IPC/FIPE mede a variação de preços para o consumidor na cidade de São Paulo com base nos gastos de quem ganha de um a vinte salários mínimos. Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
26
Matemática Financeira
IPC Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro
2009 0,4600% 0,2700% 0,4000% 0,3100% 0,3300% 0,1300% 0,3300% 0,4800% 0,1600% 0,2500% 0,2900% 0,1800%
2010 1,3400% 0,7400% 0,3400% 0,3900% 0,2200% 0,0400% 0,1700% 0,1700% 0,5300% 1,0400% 0,7200% 0,5400%
45. Calcular o IPC acumulado de 1º de junho de 2009 até 30 de setembro de 2010. 46. Calcular o IPC médio mensal do ano de 2010. 47. Sobre um capital de R$ 580,00 foi aplicada uma correção monetária segundo os índices do IPC de 31/12/2008 a 31/05/2009. Calcular o valor deste capital em 31/05/2009. 48. No período de 31 de janeiro de 2010 a 31 de março de 2010, uma aplicação rendeu juros reais mais correção monetária, pelo IPC, de 1,7396%. Calcular a taxa de juros real.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
27
Matemática Financeira
6.
Equivalência de Capitais
Enquanto as taxas equivalentes são aquelas que com periodicidades diferentes, produzem o mesmo montante, se aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período, diz-se que dois ou mais capitais são equivalentes se, trabalhando com uma determinada taxa de juros, eles forem transportados para uma determinada data focal, seus valores serão iguais. Obs.: Data focal é a data para qual serão transportados os valores com os quais se trabalha. Em outras palavras, considerando uma taxa ‘i’ e dois capitais, um na data 3 e outro na data 10, estes capitais serão equivalentes se, transportados para uma data focal qualquer através da taxa ‘i’, eles apresentarem o mesmo valor. Exemplo 1: o três capitais do diagrama abaixo são equivalentes para a taxa de juros compostos de 2% ao mês: 4.080,00
0
1
4.504,64
2
3
4
5
6
4.686,64
7
8
9
Meses
Data Focal 0: Levando todos estes valores para a data focal zero, a 2% ao mês, obtêm-se o mesmo valor: Como cada um dos valores será levado para uma data anterior, então cada um deles será FV na sua data e PV na data focal 0. Usando a fórmula de montante para juros compostos:
FV = PV ⋅ (1 + i )
n
1
4.080 = PV ⋅ (1 + 0,02)
→
6
4.504,64 = PV ⋅ (1 + 0,02)
8
4.686,64 = PV ⋅ (1 + 0,02)
PV =
4.080 1,02
=
4.000
→
PV =
4.080 1,1262
=
4.000
→
PV =
4.080 1,1717
=
4.000
Conclui-se que os capitais $4.080 na data 1, $4.504,64 na data 6 e $4.686,64 na data 8 são equivalentes no regime de juros compostos à uma taxa de 2% ao mês. Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
28
Matemática Financeira
Se estes capitais são equivalentes, então para qualquer data focal que eles forem levados, à uma taxa de 2% ao mês, será produzido o mesmo valor. Vejamos os exemplos abaixo: - Data Focal 6: FV = 4.080 ⋅ (1 + 0,02 )
5
→ 0
FV = 4.504,64 ⋅ (1 + 0,02)
2
4.686,64 = PV ⋅ (1 + 0,02)
FV = 4.080 ⋅1,1041 = 4.504,64 →
FV = 4.504,64 ⋅1 = 4.504,64
→
PV =
4.686,64 1,0404
=
4.504,64
- Data Focal 4: 3
FV = 4.080 ⋅ (1 + 0,02 )
→ 2
4.504,64 = PV ⋅ (1 + 0,02 )
4
4.686,64 = PV ⋅ (1 + 0,02 )
FV = 4.080 ⋅1,0612 = 4.329,72 →
FV =
4.504,64 1,0404
=
4.329,72
→
PV =
4.686,64 1,0824
=
4.329,72
Todos os capitais acima são equivalentes no regime de juros compostos, à uma taxa de 2% ao mês. Exercícios: 49. Considerando o regime de capitalização composta e uma taxa de juros de 4,2% ao mês, calcular o capital equivalente de $15.000: (a) na data focal 4 meses antes (b) na data focal 15 meses depois. 50. Uma empresa desejar trocar um título de $58.000, vencível daqui a 6 meses por outros dois títulos de valores nominais iguais, sendo o primeiro vencendo hoje e outro daqui a 3 meses. Calcular os valores destes novos títulos considerando uma taxa de juros compostos de 2,05% ao mês. 51. Esta mesma empresa deseja trocar dois títulos (o primeiro de $120.000, vencível em 1 ano e o segundo de $210.000, vencível em 2 anos) por outros dois de valores nominais iguais com vencimentos um daqui a 6 meses e o outro daqui a 3 anos. Se a taxa de juros compostos é de 10,5% ao semestre, calcular os valores dos novos títulos. 52. Um automóvel é vendido à prazo em 5 prestações de $6.200, sendo a primeira de entrada. Se a concessionária Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
29
Matemática Financeira
usa uma taxa de juros compostos de 2,7% ao mês, calcular o valor a vista deste automóvel. 53. Quanto será a prestação de um financiamento no valor de $14.000 a ser pago em 3 parcelas iguais mensais, sendo a primeira em 30 dias, sabendo-se que a taxa de juros nominal usada é de 54% ao ano? Considerar regime de capitalização composta. 54. Se eu estiver trabalhando com uma taxa de juros compostos de 7% ao trimestre o que é mais vantajoso financeiramente: Possuir hoje $20.000 ou possuir $45.000 daqui a 3 anos?
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
30
Matemática Financeira
6 Anuidade ou Séries de Pagamentos Uniformes Quando se contraí uma dívida, esta pode ser paga de uma só vez após um determinado período, ou pode ser parcelada em prestações iguais, sendo amortizada a cada período. Da mesma maneira, quando se investe um dinheiro, ele pode ser resgatado de uma só vez, ou pode ser recebido em parcelas iguais e sucessivas, sendo capitalizado a cada período. Os casos de pagamento de dívida e recebimento de investimento de uma só vez, após um determinado período, já foram vistos anteriormente nos itens sobre capitalização simples e composta. Neste item serão vistos os casos de parcelamentos iguais das dívidas e investimentos, utilizando amortização/capitalização compostas. Será usado o método Price onde as prestações possuem o mesmo valor. Suponha um empréstimo no valor ‘PV’, à uma taxa de juros compostos de ‘i’ por período e deverá pagar esta dívida em ‘n´’ parcelas periódicas de valor ‘PMT’ cada. Ainda existem duas modalidades de pagamento: 1. As parcelas são pagas ao final de cada período. Neste caso denomina-se pagamento ‘postecipado’. 2. As parcelas são pagas no início de cada período. Neste caso denomina-se pagamento ‘antecipado’. 6.1
Anuidade com Parcelas Postecipadas PV
1
2
3
4………………………….n
Períodos
PMT
PMT
PMT
PMT………………………PMT
0
Considerando SD j como o saldo devedor ao final do período ‘j’: →
SD1 = PV × (1 + i ) − PMT
→
SD2 = SD1 × (1 + i ) − PMT = [PV × (1 + i ) − PMT ]× (1 + i ) − PMT
SD2 = PV × (1 + i)
2
→
−
PMT × (1 + i ) − PMT
[
SD3 = SD2 × (1 + i) − PMT = PV × (1 + i )
SD3 = PV × (1+ i )
3
Maurício R. Cury
−
2
PMT × (1 + i)
2
−
−
]
PMT × (1 + i) − PMT × (1 + i ) − PMT
PMT × (1+ i ) − PMT
Edição 2 - 2011
31
Matemática Financeira
e assim sucessivamente. Nota-se que a expressão genérica do saldo devedor é: j = n
SD j
=
PV × (1 + i )
n
PMT ×
−
j 1 ( ) + i 1 ∑ −
j =1
Quando j=n, o saldo devedor deve ser igual a zero, pois após o último pagamento PMT ao final do período ´n’ a dívida deverá ser liquidada. Então: j = n
0 = PV × (1 + i )
n
−
PMT ×
∑ (1
+
j −1
i)
j =1 j = n
PV × (1 + i )
n
=
PMT ×
j 1 ( ) + i 1 ∑ −
j =1 j = n
∑ (1
A expressão
+
j −1
i)
é a soma de uma PG (progressão
j =1
geométrica) sendo o primeiro termo a 1=1 (para j=1), com ‘n’ termos e razão q=(1+i). Aplicando a fórmula da soma de uma PG, temos que:
∑
PG
=
a1 × (q n
−
1)
q −1
j =n
j 1 ( ) i 1 + = ∑ −
(1 + i )n − 1 i
j =1
PV × (1 + i )
n
=
PMT ×
PV × (1 + i )
n
PMT =
(1 + i )n − 1
×
i
i
(1 + i )n − 1
dividindo numerador e denominador por (1 + i )
n
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
32
Matemática Financeira
PV × i 1
PMT =
1−
PMT =
(1 + i )n PV × i
1 − (1 + i )
n
−
Da mesma forma temos:
1 − (1 + i ) PV = PMT × PV × i
−
n
Exemplos: 1. Um financiamento de R$10.000 a ser pago em 20 prestações mensais iguais, sendo a primeira após 30 dias do empréstimo, e com uma taxa de juros de 2% ao mês terá o seguinte valor da prestação:
PMT =
PV × i
= −n
1 − (1 + i )
10.000 × 0,02
= − 20
1 − (1 + 0,02 )
200 0,327029
=
611,57
2. Quanto deverá aplicar uma pessoa que deseja receber como retorno, 12 parcelas mensais de R$1.800, sendo a primeira um mês após a aplicação, e sabendo que a taxa de juros é de 1,2% ao mês? 1 − (1 + i ) PV = PMT × i
−
6.1.1
n
1 − (1 + 0,012 ) = 1 .800 × 0,012
12
−
=
1.800 ×
0,133370 0,012
=
20 .005 , 46
Valor Futuro ou Montante
Aqui a questão é o cálculo do montante ou valor futuro quando se deposita várias parcelas iguais e uniformes ao longo do tempo, conforme mostrado no diagrama abaixo:
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
33
Matemática Financeira
FV
1
2
3
PMT
PMT
4………………………….n
Períodos
0
PMT
PMT………………………PMT
A última parcela coincide com o valor do montante.
FV = PMT ×
PMT =
(1 + i )n − 1 i
FV × i
(1 + i )n − 1
Exemplos: 1. Quanto deverá depositar por mês uma pessoa que deseja obter R$100.000 daqui a 12 meses aplicando o dinheiro à uma taxa de 1,5% ao mês, considerando que o resgate ocorrerá no momento da última parcela? PMT =
FV × i
(1 + i )n − 1
=
100.000 × 0,015
(1 + 0,015)12 − 1
=
1.500 = 7.668,00 0,195618
2. Quanto terá, ao final de 5 anos, uma pessoa que deposita no final de cada ano R$15.000 aplicados à uma taxa de 21% ao ano?
FV = PMT ×
Maurício R. Cury
(1 + i )n − 1 i
=
15.000 ×
(1 + 0,21)5 − 1 0,21
Edição 2 - 2011
=
15.000 × 7,58925 = 113.838,74
34
Matemática Financeira
6.2
Anuidade com Parcelas Antecipadas PV
1
2
3
4………………………….n-1
PMT
PMT
PMT
PMT………………………PMT
Períodos
0
PMT
São ‘n’ parcelas de valor PMT cada c ada (a primeira em 0 e a última em n-1). Como a primeira parcela é paga na data 0 (dada como entrada), o valor financiado/aplicado, na realidade é PV-PMT.
PMT =
[1
PV × i
−
(1 + i ) n ]× (1 + i ) −
1 − (1 + i ) PV = PMT × i
−
n
×
(1 + i )
Exemplos: 1. Um financiamento de R$10.000 a ser pago em 20 prestações mensais iguais, sendo a primeira como entrada, e com uma taxa de juros de 3% ao mês, terá como prestação: PMT =
[1
10.000 × 0,03
(1 + 0,03) 20 ]× (1 + 0,03) −
−
=
300 = 652,58 0,459714
2. Qual o valor a vista de uma mercadoria vendida a prazo em 8 prestações mensais de R$160,00, sendo a primeira de entrada, sabendo que a taxa de juros usada é de 2,2% 2 ,2% ao mês?
PV = 160 ×
[1
Maurício R. Cury
−
(1 + 0,022) 8 ]× (1 + 0,022) 26,12728 −
=
0,022
Edição 2 - 2011
0,022
=
1.187,60
35
Matemática Financeira
6.2.1
Valor Futuro ou Montante
Considerando agora, que as parcelas são antecipadas, ou seja, a última parcela ocorrerá um período antes do montante: FV
1
2
3
4………………n-1
PMT
PMT
n
Períodos
0
PMT
PMT
FV = PMT ×
PMT =
[(1
(1 + i )n − 1 i
×
PMT
PMT
(1 + i )
FV × i +
i)
n
−
1]× (1 + i )
Exemplo: Se eu depositar num fundo de investimentos, no início de cada mês, R$1.500, durante 10 meses, quanto terei no final do décimo mês, se o fundo remunera à uma taxa de 0,8% ao mês? FV = 1.500 ×
6.3
(1 + 0,008)10 − 1 0,008
×
(1 + 0,008) =
125,41 = 15.676,10 0,008
Renda Perpétua
O conceito de renda perpétua é utilizado pelas instituições que oferecem previdência privada. A renda perpétua, como o próprio nome diz, não tem prazo para acabar e portanto não há montante a ser calculado. O que ela garante, é uma renda periódica (baseada na taxa de juros e capital inicial) e o capital inicial (que não será capitalizado nem depreciado). Para o cálculo da renda periódica utilizamos a seguinte fórmula:
PMT = PV × i Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
36
Matemática Financeira
E para o cálculo do valor principal (capital inicial):
PV =
PMT i
Exemplos: A) Que capital deverá ter uma pessoa que deseja uma renda mensal perpétua de R$2.000, sabendo-se a taxa de juros paga é de 1% ao mês? PV =
PMT i
=
2.000 0,01
=
200.000
Ou seja, uma pessoa com capital de $200.000 que aplicá-lo à um 1% ao mês, terá uma renda perpétua de $2.000 mensais pois não há descapitalização do principal. B) Uma instituição de previdência privada utiliza-se das seguintes taxas de juros: paga 0,95% ao mês sobre os depósitos (contribuições) feitos pelos seus clientes e paga 0,45% ao mês sobre o capital acumulado para compor a renda vitalícia (aposentadoria) deles. De quanto deverá ser a aposentadoria de uma pessoa que contribui com R$66,36 mensais durante 35 anos? Primeiramente devemos calcular o quanto ela irá acumular ao longo dos 35 anos: A pessoa terá, após os 35 anos de contribuição, um capital de R$363.557,68 Portanto o valor da sua aposentadoria (renda perpétua) será:
PMT = PV × i
=
363.557,68 × 0,0045 = 1.636,00
Exercícios: 55. Um aparelho é vendido por uma loja a vista por $2.400. Se a loja utiliza uma taxa de juros compostos de 2,75% ao mês para financiar este aparelho, calcular o valor da prestação caso a venda ocorra em 10 parcelas iguais mensais. Considerar dois casos: com e sem entrada. 56. Qual o valor a vista de uma mercadoria vendida a prazo em 6 prestações mensais de $233,00, sem entrada, e uma taxa de juros compostos de 3,03% ao mês? Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
37
Matemática Financeira
57. Se uma mercadoria é vendida a vista por $840 ou parcelada em 5 prestações mensais iguais, com entrada, de $174,69, calcular a taxa de juros usada. 58. Se eu depositar $300 mensalmente durante 10 anos e se aplicação me render 1,2% ao mês, quanto terei ao final deste período, no momento que eu fizer meu último depósito? 59. Quanto deverei depositar por semestre, para que após 6 anos eu tenha acumulado $350.000, com uma taxa de juros de 7,42% ao semestre? 60. Uma pessoa está planejando uma renda vitalícia para daqui a 20 anos de $3.500 mensais. Sabendo que a instituição financeira paga juros a uma taxa de 0,85% ao mês, quanto ela deverá depositar mensalmente durante estes 20 anos? 61. Um determinado televisor é vendido pela Loja 1 em 24 prestações iguais mensais de $122,00 cada, sem entrada. A Loja 2 vende o mesmo televisor em 12 prestações de $228,67 cada, sem entrada. Se as duas lojas praticam juros a uma taxa de 2% ao mês, em qual loja o valor a vista é menor? 62. Desejando fazer um empréstimo de $30.000, certa pessoa procura um banco que pratica taxa de juros compostos de 3,8% ao mês. Se esta pessoa não pode pagar mais de $1.500 por mês, qual o número de prestações que deverá ter este financiamento? 63. Hoje, certa pessoa possui $120.000 aplicados num banco à uma taxa de juros compostos de 1,6% ao mês. Ela deseja comprar um apartamento que lhe é oferecido nas seguintes condições: $100.000 a vista ou $30.000 de entrada mais 120 prestações mensais de $1.485,20 cada. Qual a melhor condição de compra? 64. Sandra nasceu no dia 22/5/1947. A partir deste dia seus pais começaram a depositar o equivalente a $1,00 mensalmente num banco que paga uma taxa de juros compostos de 1,2% ao mês. Após a morte de seus pais ela continuou a efetuar os depósitos até o dia 22/4/2007. A partir de 22/5/2007 ela começou a viver dos juros provenientes da renda acumulada. Calcular o valor desta sua renda vitalícia e o capital que ela poderá retirar a qualquer momento.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
38
Matemática Financeira
7.
Amortizações
Quando se contrai um empréstimo, este pode ser pago de uma só vez, após um determinado prazo ou pode ser pago de forma parcelada. O primeiro já foi visto nos itens 2 e 3 (Capitalizações Simples e Composta). O segundo foi visto, num caso particular, no item 6 (Anuidade com pagamento uniforme) e tem como método de cálculo o sistema Price ou SFA (Sistema Francês de Amortização). Regra geral, amortização significa reduzir o capital principal financiado. Quando se faz um empréstimo o seu pagamento ocorrerá através de prestações que são compostas de dois componentes: amortização e juros. 7.1 Sistema Francês de Amortização – SFA - (Sistema Price) As características do sistema Price são: os valores das prestações são iguais, o valores das amortizações crescem ao longo tempo e o valores dos juros decrescem ao longo tempo. Neste sistema, o regime de capitalização é o de juros compostos e o cálculo da prestação é realizado conforme demonstrado no item 6. Vamos pegar um exemplo para ilustrar este sistema: Suponha um empréstimo contraído de $1.000.000, a ser pago em 6 prestações anuais (a primeira um ano após a tomada do dinheiro) com amortização pelo SFA e com taxa de juros de 15% ao ano: Valor da prestação: $264.236,91 Planilha de Amortização: Ano 0 1 2 3 4 5 6
Saldo Devedor 1.000.000,00 885.763,09 754.390,64 603.312,33 429.572,27 229.771,20 -
Prestação
Amortização
Juros
264.236,91 264.236,91 264.236,91 264.236,91 264.236,91 264.236,91
114.236,91 131.372,45 151.078,31 173.740,06 199.801,07 229.771,20
150.000,00 132.864,46 113.158,60 90.496,85 64.435,84 34.465,68
Observações: As prestações são iguais, a amortização cresce ao longo do tempo e os juros decrescem ao longo do tempo; Os juros de um determinado ano são calculados sobre o saldo devedor do ano imediatamente anterior, por exemplo, os juros de $113.158,60 do ano 3 é correspondente à 15% (taxa de
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
39
Matemática Financeira
-
-
juros) de $754.390,64 (Saldo devedor do ano anterior, ou seja ano2); A amortização de cada ano é a diferença entre a prestação e os juros do mesmo ano (Ano 4: $173.740,06=$264.236,91$90.469,85); O saldo devedor de um determinado ano é a diferença do saldo devedor do ano imediatamente anterior pela amortização do ano vigente (Ano 2: $754.390,64=$885.763,09-$131.372,45)
7.1.1 Caso com Período de Carência: Existem empréstimos onde há um período de carência, ou seja, o pagamento da primeira prestação ocorrerá alguns períodos após a tomada do empréstimo. Geralmente, neste tipo de empréstimo, os juros são capitalizados no período de carência. Exemplo: um empréstimo de $250.000, com 4 meses de carência, a ser pago em 7 prestações bimestrais e com taxa de juros de 4,5% ao bimestre. $250.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8 Bimestres
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
Carência
PMT
No período de 0 a 2 (carência) serão capitalizados juros. Existem duas alternativas para o cálculo da prestação PMT: 1. Leva-se o valor de $250.000 para a data focal 1 e considera-se as parcelas postecipadas ou 2. Leva-se o valor de $250.000 para a data focal 2 e considera=se as parcelas antecipadas. Tanto em um caso como outro o resultado é o mesmo. No caso de parcelas postecipadas: Na data focal 1: n FV = PV ⋅ (1 + i ) Maurício R. Cury
=
1
250000 ⋅ (1 + 0,045)
Edição 2 - 2011
=
261.250 40
Matemática Financeira
Calculando o valor da prestação:
PMT =
PV × i
1 − (1 + i )
−
n
=
261250⋅ 0,045 1 − (1 + 0,045)
−
7
11756,25 = = 44.334,51 0,265172
Portanto o valor de cada prestação bimestral é de $44.334,51 No caso de parcelas antecipadas: Na data focal 2: n FV = PV ⋅ (1 + i )
=
2
250000 ⋅ (1 + 0,045)
=
273.006,25
Calculando o valor da prestação: PMT =
12285,28 = 44.334,51 7 n 0 , 277104 [1 − (1 + i) ]× (1 + i) [1− (1 + 0,045) ]⋅ (1 + 0,045) PV × i −
273.006,25⋅ 0,045
=
−
=
A tabela de amortização fica: Bimestre Saldo Devedor Prestação (*) 0 250.000,00 1 261.250,00 2 228.671,74 44.334,51 3 194.627,46 44.334,51 4 159.051,19 44.334,51 5 121.873,98 44.334,51 6 83.023,80 44.334,51 7 42.425,37 44.334,51 8 44.334,51
Amortização
32.578,26 34.044,28 35.576,27 37.177,21 38.850,18 40.598,44 42.425,37
Juros 11.250,00 11.756,25 10.290,23 8.758,24 7.157,30 5.484,33 3.736,07 1.909,14
(*) O valor do saldo devedor de cada data já exclui os valores pagos de amortização e juros da mesma data.
7.2 Sistema de Amortização Constante – SAC (Sistema Hamburguês) Neste sistema os valores das amortizações são iguais e os valores da prestações e dos juros decrescem ao longo do tempo. O valor de cada amortização é a divisão do valor financiado pelo número de prestações.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
41
Matemática Financeira
Exemplo: empréstimo de $1.000.000, a ser pago em 6 prestações anuais (a primeira um ano após a tomada do dinheiro) com amortização pelo SAC com taxa de juros de 15% ao ano: Para calcular o valor da amortização em cada período: Amortizaçã o =
PV n
=
1.000.000 6
=
166.666,67
A tabela de amortização fica: Ano 0 1 2 3 4 5 6
Saldo Devedor 1.000.000,00 833.333,33 666.666,67 500.000,00 333.333,33 166.666,67 0,00
Prestação 316.666,67 291.666,67 266.666,67 241.666,67 216.666,67 191.666,67
Amortização 166.666,67 166.666,67 166.666,67 166.666,67 166.666,67 166.666,67
Juros 150.000,00 125.000,00 100.000,00 75.000,00 50.000,00 25.000,00
Os juros de cada período são calculados pela taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior. A valor de cada prestação é a soma da amortização com os juros respectivos. Exercícios: 65. Montar a planilha de amortização para um financiamento de $205.000, pelo Sistema Francês de Amortização, que deve ser amortizado em 12 prestações mensais (parcelas postecipadas) , sem carência, e com taxa de juros de 1,8% ao mês. 66. Montar a planilha de amortização para um financiamento de $62.500, a ser amortizado em 6 parcelas semestrais, com um ano de carência, e uma taxa nominal de juros de 36% ao ano. Considerar: (a) Sistema Price (b) Sistema Hamburguês 67. Uma pessoa comprou um apartamento e captou parte do valor através de um banco, nas seguintes condições: Valor do apartamento: $60.000 Valor da poupança: $24.000 (Dado de entrada) Número de Prestações: 24 mensais Amortização: Sistema Francês de Amortização Taxa Nominal de Juros: 9% ao ano
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
42
Matemática Financeira
Um mês após o pagamento da 12ª prestação, esta pessoa propôs ao banco liquidar a dívida. Qual o valor que ela deve pagar ao Banco? 68. Usando os dados do exercício anterior, considerar que esta pessoa resolveu, após o pagamento das 12 prestações, mover uma ação judicial contra o Banco alegando que o Sistema Price não poderia ter sido utilizado para o cálculo do financiamento pois fere a legislação vigente. Na ação ela propõe resolver o problema refinanciando o saldo devedor (após o pagamento da 12ª amortização) utilizando o sistema Hamburguês para pagar em 12 prestações. Montar a planilha de amortização desta proposta. 69. Descobrir qual o menor saldo devedor, após o pagamento de 12 parcelas mensais, de um financiamento de $1.350.000 amortizado em 36 meses e com taxa de juros de 2,05% ao mês: se amortizado pelo sistema Francês ou pelo Sistema Hamburguês? Nos dois casos, calcule também o total de juros pagos até a 12ª prestação.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
43
Matemática Financeira
8.
Fluxo de Caixa e Análise de Investimentos
Aqui será visto a análise de investimentos sobre o ponto de vista financeiro. Não será levado em conta a análise dos riscos envolvidos e outras considerações que geralmente são relevantes na tomada de decisão sobre um investimento. Existem vários métodos de análise de investimentos, mas serão estudados apenas os dois mais utilizados: o Método do Valor Presente Líquido (VPL) e o Método da Taxa Interna de Retorno (TIR). O fluxo de caixa é uma tabela ou um diagrama onde são mostradas as entradas e saídas de dinheiro de um empreendimento, negócio, investimento, etc, no decorrer de um determinado período. 8.1 Fluxo de Caixa O fluxo de caixa pode ser representado através de tabela ou diagrama: Julho/2003
Agosto/2003
Entrada
Setembro/2003
Outubro/2003
Novembro/2003
$4.500
$7.500
$14.800
Saída
$16.000
$1.500
$2.300
Saldo Saldo Acumulado
($16.000) ($16.000)
($1.500) ($17.500)
$2.200 ($15.300)
$4.700 $7.500 ($7.800)
$10.100 $2.300
Este exemplo mostra o fluxo de caixa de um empresa num período de cinco de meses. A linha ‘Saldo’, contém os saldos de cada mês. O saldo de cada mês é calculado pela entrada do mês menos a saída deste mês. A linha ‘Saldo Acumulado’ contém o saldo total do negócio acumulado mês a mês. Ele é calculado somando-se o saldo acumulado do mês anterior com o saldo do mês. No exemplo acima, supondo que o saldo acumulado deste negócio, no mês anterior a Julho/2003 (Junho/2003) seja igual a zero, então teremos Saldo Acumulado de Julho/2003 = 0 + ($16.000) Saldo Acumulado de Agosto/2003= ($16.000) ($17.500) Saldo Acumulado de Setembro/2003= ($17.500) ($15.300) Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
+
($1.500)
=
+
$2.200
=
44
Matemática Financeira
Saldo Acumulado de Outubro/2003= ($15.300) + $7.500 = ($7.800) Saldo Acumulado de Novembro/2003= ($7.800) + $10.100 = $2.300 Este fluxo de caixa pode ser representado também por um diagrama, mostrando todas as entradas e saídas. Neste caso, as entradas são representadas com setas para cima e as saídas com setas para baixo e todas com os respectivos valores como abaixo:
$4.500
Jul/2003
$16.000
Ago/2003
$1.500
Set/2003
$7.500
Out/2003
$2.300
$14.800
Nov/2003
Mês
$4.700
Para o uso na análise de investimentos é mais prático usar o fluxo de caixa livre onde estão apenas os valores do saldo mensal como se segue: $2.200
Jul/2003
$16.000
Ago/2003
Set/2003
$7.500
Out/2003
$10.100
Nov/2003
Mês
$1.500
8.2 Taxa Mínima de Atratividade Quando tomar uma decisão de investimento o investidor deve ter um parâmetro de comparação entre o que ele considera desejável ou atrativo. Este parâmetro é chamado de Taxa Mínima de Atratividade e representa uma taxa de juros mínima de rentabilidade que o investidor deseja para aquele tipo de investimento.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
45
Matemática Financeira
A taxa mínima de atratividade é determina por cada investidor. Você pode ter investidores distintos que num mesmo tipo de investimento tenham taxas distintas. Por exemplo, para um determinado investidor aplicar um capital num empreendimento imobiliário pode implicar em uma taxa mínima de atratividade de 52% ao ano. Já para outro investidor, aplicar o mesmo capital neste mesmo empreendimento pode implicar numa taxa mínima de atratividade de 45% ao ano. Este parâmetro será utilizado nos métodos de análise de investimentos. 8.3 Método do Valor Presente Líquido (VPL) Este método consiste em calcular os capitais equivalentes de todas as entradas e saídas de caixa, na data focal ZERO, utilizando como taxa de juros a taxa mínima de atratividade. Somam-se todos os capitais equivalentes das entradas de caixa e subtrai-se da soma de todos os capitais equivalentes das saídas de caixa obtendo-se o Valor Presente Líquido (VPL) do investimento. •
•
•
Se o VPL for maior que zero, implica que o investimento é atrativo (tem rentabilidade maior que a taxa mínima de atratividade). Se o VPL for menor que zero, implica que o investimento não é atrativo (tem rentabilidade menor que a taxa mínima de atratividade). Se o VPL for igual a zero, implica que o investimento tem rentabilidade igual à taxa mínima de atratividade.
Para o cálculo do VPL: VPL
=
FC
0 +
FC 1
+
FC 2
(1 + tma ) (1 + tma )2
+
FC 3
(1 + tma )3
+
..... +
FC n
(1 + tma )n
Onde, FC j = fluxo de caixa livre do período j E tma=taxa mínima de atratividade Observação: para usar este método na comparação de duas ou mais alternativas de investimentos, o tempo de duração deve ser igual para todos os investimentos. Caso contrário usa-se um artifício que veremos mais adiante.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
46
Matemática Financeira
Exemplo 1: Um investidor que adotou taxa mínima de atratividade de 36% ao ano, deseja investir $500.000 num empreendimento que apresenta custos bimestrais de $25.200 e receita mensal de $79.500 durante 8 meses. Analisar se o investimento é atrativo. O primeiro passo é fazer o diagrama de fluxo de caixa: $79.500 $79.500 $79.500 $79.500 $79.500 $79.500 $79.500 $79.500
0
1
2
$500.000
3
4
$25.200
5
6
$25.200
7
$25.200
8
Mês
$25.200
1
tma = 1,36
12
−
1 = 2,595% a.m.
VPL = −500000 + +
54300 1,025956
79500 54300 + 1,02595 1,02595 2 +
79500 1,025957
+
+
79500 1,025953
54300 1,02595 8
+
54300 1,02595 4
+
79500 1,025955
+
21.112,07
= −
Na HP12C: f CLEAR FIN 500000 CHS g CF0 79500 g CF j 79500 ENTER 25200 79500 g CF j 79500 ENTER 25200 79500 g CF j 79500 ENTER 25200 79500 g CF j 79500 ENTER 25200 2,595 i a f NPV
-
g
CF j
-
g
CF j
-
g
CF j
-
g
CF j
O resultado é :VPL=($21.112,07) Como VPL é menor que zero o investimento não é atrativo.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
47
Matemática Financeira
Exemplo 2: Um investidor deseja comprar um imóvel por $180.000. Ele prevê gastar em reformas, $15.000 no primeiro mês, $12.000 no segundo mês, $12.000 no terceiro mês, $10.000 no quarto mês e $9.000 no quinto mês e espera vendê-lo no sétimo mês por $330.000. Usando o Método do VPL verificar se este investimento é atrativo para uma taxa mínima de atratividade de 42,6% ao ano. Fluxo de Caixa: $330.000
0
1
2
3
$180.000 $15.000 $12.000
4
$12.000
5
$10.000
6
7
Mês
$9.000
1
tma = 1,426
12
−
1 = 3,00% a.m.
VPL = −180000 −
15000
−
12000
1,03
1,03 2
−
12000 1,03 3
−
10000 1,03 4
−
9000 1,03 5
+
330000 1,03 6
=
42.865,50
Pela HP12C: f CLEAR FIN 180000 CHS g 15000 CHS g 12000 CHS g 2 N j 10000 CHS g 9000 CHS g 330000 g CF j 3,00 i a f NPV
CF0 CF j CF j CF j CF j
Resultado: VPL=$ 42.865,50 => Como VPL é maior que zero então o investimento é atrativo.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
48
Matemática Financeira
8.3.1Método do Valor Presente Líquido para Períodos Diferentes de Investimentos Na análise de duas ou mais alternativas de investimentos pelo método do valor presente, deve-se verificar primeiramente se os períodos das alternativas são iguais. Caso estes períodos sejam diferentes então é usado o seguinte artifício: -
-
calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos envolvidos; em cada investimento o fluxo de caixa de cada investimento é repetidos tantas vezes quanto forem necessárias até atingir o valor do MMC, formando os fluxos de caixas equalizados. Desta maneira todos os investimentos, para efeito de cálculos e análise, ficarão com a mesma duração.
-
Exemplo 3: Um investidor tem três alternativas para investir $5.000.000 conforme os fluxos de caixa abaixo: Investimento 1: Ano 0 1 2 3 4 Investimento 2: Ano 0 1 2 3 Investimento 3: Ano 0 1 2
Entradas
Saídas $5.000.000
$1.200.000 $2.800.000 $3.100.000 $2.500.000 Entradas
Saídas $5.000.000
$2.700.000 $2.700.000 $2.700.000 Entradas
Saídas $5.000.000
$3.600.000 $3.100.000
Se o investidor adotou uma taxa mínima de atratividade de 25% ao ano verificar, pelo método do valor presente líquido, qual a melhor alternativa de investimento.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
49
Matemática Financeira
Resolução: As durações dos investimentos são diferentes (4, 3 e 2 anos). O MMC destes três números é igual a 12 anos. Para cada investimento, é repetido o seu respectivo fluxo de caixa até atingir 12 anos. Os valores do Ano 0 devem coincidir com os valores do último ano do respectivo fluxo caixa: Investimento 1: Seu fluxo de caixa deve ser repetido 3 vezes:
Ano Entradas Saídas 0 $5.000.000 1 $1.200.000 2 $2.800.000 3 $3.100.000 4 (*) $2.500.000 5 $1.200.000 6 $2.800.000 7 $3.100.000 8 (*) $2.500.000 9 $1.200.000 10 $2.800.000 11 $3.100.000 12 $2.500.000 (*) Observe que nos anos 4 e 8 o valor de saída de $2.500.000 é resultante da diferença dos $5.000.000 de saída do ano 0 com o valor de entrada de $2.500.000 do ano 4. O VPL deste fluxo de caixa equalizado, do Investimento 1, é $5.572.901,57 Investimento 2: Repete-se seu fluxo de caixa 4 vezes:
Ano 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Maurício R. Cury
Entradas
Saídas $5.000.000
$2.700.000 $2.700.000 $2.300.000 $2.700.000 $2.700.000 $2.300.000 $2.700.000 $2.700.000 $2.300.000 $2.700.000 $2.700.000 $2.700.000
Edição 2 - 2011
50
Matemática Financeira
O VPL deste fluxo de caixa equalizado, do Investimento 2, é $516.021,01 Investimento 3: Repete-se o fluxo de caixa 6 vezes:
Ano 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Entradas
Saídas $5.000.000
$3.600.000 $1.900.000 $3.600.000 $1.900.000 $3.600.000 $1.900.000 $3.600.000 $1.900.000 $3.600.000 $1.900.000 $3.600.000 $3.100.000
O VPL deste fluxo de caixa equalizado, do Investimento 3, é: ($351.817,09) Deste modo conclui-se que a melhor alternativa é o Investimento 1 pois apresenta o maior VPL=$5.572.901,57 8.4 Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) Este método consiste em encontrar a taxa de juros que faz o VPL do fluxo de caixa se igualar à zero. Esta taxa de juros é chamada de TIR (taxa Interna de Retorno) e representa a real rentabilidade do investimento. Para a análise do investimento considera-se: •
•
•
Se a TIR for maior que a taxa mínima de atratividade, implica que o investimento é atrativo (tem rentabilidade maior que a taxa mínima de atratividade). Se a TIR for menor que a taxa mínima de atratividade, implica que o investimento não é atrativo (tem rentabilidade menor que a taxa mínima de atratividade). Se a TIR for igual a taxa mínima de atratividade, implica que o investimento tem rentabilidade igual à taxa mínima de atratividade.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
51
Matemática Financeira
Exemplo 1: Utilizando os dados do Exemplo 1 do item 8.3. VPL = −500000 + +
54300 6
(1 + TIR )
79500 54300 + 1 + TIR (1 + TIR )2 +
79500 7
(1 + TIR )
+
+
79500 3
(1 + TIR )
54300 8
(1 + TIR)
=
+
54300 4
(1 + TIR)
+
79500 5
(1 + TIR)
+
0
Não existe um método analítico para o cálculo da TIR, na equação acima. Deve-se recorrer a um método numérico. O resultado é TIR=1,57% a.m. Pela HP12C: f CLEAR FIN 500000 CHS g CF0 79500 g CF j 79500 ENTER 25200 79500 g CF j 79500 ENTER 25200 79500 g CF j 79500 ENTER 25200 79500 g CF j 79500 ENTER 25200 f IRR
-
g
CF j
-
g
CF j
-
g
CF j
-
g
CF j
então, pelo método da TIR, o investimento não é atrativo pois a TIR (1,57% a.m.) é menor que a taxa mínima de atratividade (2,595% a.m.). Exemplo 2: Para o exemplo 2 do item 8.3, TIR=6,26% ao mês ou 107,2% ao ano. Como a TIR é maior que a taxa mínima de atratividade, então o investimento foi compensador. Exemplo 3: Para o exemplo 3 do item 8.3: Pelo método da TIR não há a necessidade de se encontrar os fluxos de caixa equalizados. Usam-se os fluxos de caixas originais. TIR1=28,6% ao ano TIR2=28,6% ao ano TIR3=22,6% ao ano
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
52
Matemática Financeira
Pelo método da TIR, os investimentos 1 e 2 são atrativos pois tem TIR superior à taxa mínima de atratividade. O investimento 3 não é atrativo pois a TIR é inferior à taxa mínima de atratividade. Comparando os investimentos 1 e 2, ambos apresentam, praticamente, a mesma rentabilidade (TIR 1=TIR2). 8.5 Comparação entre os Métodos da TIR e do VPL Ao se analisar uma ou mais alternativas de investimentos com os métodos estudados deve-se tomar alguns cuidados. O método da TIR pode apresentar vários resultados para um mesmo fluxo de caixa. Este método é utilizado por muitos profissionais da área financeira e marketing na tomada de decisão de investimentos. Sugerese o método da TIR seja usado por pessoas que tenham profundos conhecimentos na área financeira pois ele apresenta algumas distorções e alguns cuidados devem ser tomados. Deve-se dar preferência ao método do VPL, principalmente quando ocorrer de, ao analisar dois ou mais investimentos, um determinado investimento ser mais atrativo pelo método da TIR e ser menos atrativo pelo método do VPL. Quando um investimento é analisado isoladamente, se ele for atrativo pelo método do VPL, seguramente ele também o será pelo método da TIR. Porém a situação descrita no parágrafo anterior ocorre com certa freqüência e quando se deparar com ela escolha o método do VPL para a tomada de decisão. GRÁFICO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO Este gráfico facilita a ‘vizualização’ do comportamento dos investimentos que estão sendo analisados. Neste gráfico o VPL é colocado no eixo y e as taxas de juros no eixo x. Exemplo: Para um investimento inicial de $50.000, com taxa mínima atratividade de 12% ao semestre e com o seguinte fluxo de caixa: Semestre 0 1 2 3 4 5
Maurício R. Cury
Entradas
Saídas $50.000
$10.000 $20.000 $35.000 $42.500 $41.000
Edição 2 - 2011
53
Matemática Financeira
O interessante é montar uma tabela com as taxas e os VPL´s e calcular cada VPL utilizando-se o método já visto. Taxa 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60%
VPL 98.500 74.988 56.402 41.515 29.450 19.563 11.380 4.546 (1.212) (6.100) (10.280) (13.879) (16.998)
Com estes valores traça-se o gráfico VPL x taxa: Gráfico do Valor presente Líquido 120.000 100.000 o d i u q í L e t n e s e r P r o l a V
98.500
80.000
TIR=39% a.s.
60.000
44.695 40.000 20.000 0 -20.000
% 0
% 5
% % % 0 2 5 1 1 1
% 0 2
% 5 2
% 0 3
% 5 3
% 0 4
% 5 4
% 0 5
% 5 5
% 0 6
-40.000
taxa de desconto
Note o seguinte: 1. Para taxa igual a 0%, VPL=98.500, que é a somatória de todos os saldos do fluxo de caixa (50.000+10.000+20.000+35.000+42.500+41.000); 2. Para taxa igual a 12% (igual à taxa mínima de atratividade), VPL é igual a 44.695, que pelo método do VPL significa que o investimento é atrativo; Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
54
Matemática Financeira
3. O ponto no eixo da taxa de desconto onde a curva passa (quando VPL=0) tem o valor da TIR (lembre-se que a TIR é taxa de juros que ‘zera’ o fluxo de caixa na data focal ZERO); Este gráfico se torna mais útil quando utilizado na comparação de duas ou mais alternativas de investimento. Outro exemplo: Considere duas alternativas de investimento, para um capital inicial de $100.000, taxa mínima de atratividade de 4% ao mês e com seus respectivos fluxos de caixa abaixo: Mês Investimento Investimento 1 2 0 -100.000 -100.000 1 35.000 7.000 2 32.000 10.000 3 29.000 13.000 4 26.000 16.000 5 23.000 19.000 6 20.000 22.000 7 17.000 25.000 8 14.000 28.000 9 11.000 31.000 10 8.000 34.000 11 5.000 37.000 12 2.000 40.000
Antes de criar a tabela de VPL x taxa é interessante calcular os valores da TIR de cada investimento e dos VPL´s segundo seus métodos: Investimento 1 : TIR=23,21% ao mês e VPL=$86.734 Investimento 2 : TIR=15,26% ao mês e VPL=$107.439 Pelo método da TIR o Investimento 1 é melhor que o Investimento 2 e pelo método do VPL o Investimento 2 é melhor que o Investimento 1. Então, qual investimento efetivamente é mais vantajoso que o outro?
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
55
Matemática Financeira
A tabela VPL x taxa fica: Taxa Investimento1 Investimento2 0% 122.000 182.000 2% 103.123 141.041 4% 86.734 107.439 6% 72.424 79.697 8% 59.861 56.654 10% 48.776 37.400 12% 38.946 21.217 14% 30.191 7.542 16% 22.357 (4.079) 18% 15.320 (14.004) 20% 8.973 (22.525) 22% 3.227 (29.877) 24% (1.993) (36.249) 26% (6.752) (41.799) 28% (11.102) (46.652) 30% (15.093) (50.916) 32% (18.763) (54.677)
E o gráfico resultante:
Gráfico do Valor Presente Líquido Investimento 2 150.000
Ponto de Equilíbrio 107.439 100.000 86.734
L P V
TIR=15,26% a.m. 50.000
Investimento 1
TIR=23,21% a.m.
7,30% 0
0%
4%
8%
12%
16%
20%
24%
28%
32%
-50.000
Taxa Mensal
Observando as curvas deste gráfico nota-se que o Investimento 2 é mais sensível à variação da taxa de desconto que o Investimento 1. Como a parte mais significativa da entrada de caixa ocorre nos últimos períodos Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
56
Matemática Financeira
então a variação do VPL é maior pois a influência da taxa+período é mais acentuada. Chega-se a algumas conclusões: quando o custo do capital é baixo (no caso até 7,3% ao mês – que é o ponto de equilíbrio) o Investimento 2 é uma alternativa melhor que o Investimento 1. E quando o custo do capital se torna maior (no caso, acima de 7,3% ao mês) o Investimento 1 é a melhor alternativa. Como neste exemplo adotou-se uma taxa mínima de atratividade de 4% ao mês é preferível adotar o Investimento 2 que apresenta maior VPL, apesar dele apresentar menor TIR que o Investimento 1. De outro modo, se houver a necessidade de entrada rápida de caixa pode ser adotado o Investimento 1. Lembre-se que existem vários parâmetros a serem analisados na decisão de um investimento. 8.6 TIR Modificada (TIRM) O método da TIR, vista anteriormente, considera que os saldos positivos dos fluxos de caixa são reinvestidas à uma taxa igual à TIR. Porém, geralmente, os saldos positivos dos fluxos de caixa são reinvestidos ao custo do capital. A TIR modificada é um método que leva este fato em consideração e é um avaliador mais preciso que a TIR regular. A TIR modificada pode considerar, também, que o capital investido é capitado no mercado financeiro caso o investidor opte em não dispor de seus próprios recursos. Neste caso, para se calcular a TIRM, é necessário conhecer duas taxas: a de reinvestimento (taxa na qual o mercado financeiro paga pela aplicação) e a taxa e captação (taxa na qual o mercado financeiro cobra pelo empréstimo). Na maioria dos casos utiliza-se apenas da taxa de reinvestimento pois parte-se do princípio que o capital investido vem dos recursos próprios dos investidores. O método da TIR modificada é mais necessário nos casos de fluxo de caixa não convencional. O processo para se calcular a TIRM é o seguinte: 1. Todos os saldos positivos do fluxo de caixa são levados à última data focal deste fluxo à taxa de juros do custo do capital (taxa de reinvestimento) e somados. (Vamos chamar esta soma de FV – ‘Valor Futuro’); 2. Todos os saldos negativos do fluxo de caixa são levados à data focal ZERO pela taxa de juros igual ao custo do capital (que pode ser a taxa de captação quando os recursos são obtidos no mercado financeiro ou a taxa de reinvestimento quando os recursos são dos próprios investidores) e somados (Vamos chamar de PV – ‘Valor Presente’); Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
57
Matemática Financeira
3. Calcular a que taxa de juros que faz com que FV se iguale a PV na data focal ZERO; 4. Esta taxa é a TIRM. 5. Se a TIRM é maior que a taxa do custo de capital, então o projeto deve ser aceito, caso contrário não deve ser aceito. Exemplo: Analisar, pelo método da TIRM, a viabilidade dos dois projetos descritos através de seus fluxos de caixa a seguir e com um custo de capital de 5% ao mês: Mês 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Projeto 1 (50.000) 15.000 25.000 35.000 (10.000) (10.000) 25.000 28.000 32.000
Projeto 2 (50.000) (15.000) 48.000 52.000 15.000 (12.000) (15.000) 15.000 25.000
Para o Projeto 1 (valores levados às data focais ZERO e 8): Mês 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total
Fluxo de Caixa do Projeto 1 (50.000,00) 15.000,00 25.000,00 35.000,00 (10.000,00) (10.000,00) 25.000,00 28.000,00 32.000,00
Saídas na Entradas na Data Focal Data Focal 8 ZERO 50.000,00 21.106,51 33.502,39 44.669,85 8.227,02 7.835,26 27.562,50 29.400,00 32.000,00 PV=66.062,2 FV=188.241,2 9 5
A TIRM é a taxa que equivale PV e FV na data focal ZERO. Para calculá-la utiliza-se a fórmula já vista em juros compostos:
FV PV
i =
1 n −
1
188241,25 66062 , 29
i =
1 8 −
1 = 0,1398 = 13,98% a.m.
Então a TIRM do Projeto 1 é 13,98% ao mês.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
58
Matemática Financeira
Para o Projeto 2: Mês
Fluxo de Caixa do Projeto 2 (50.000,00) (15.000,00) 48.000,00 52.000,00 15.000,00 (12.000,00) (15.000,00) 15.000,00 25.000,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total
Saídas na Entradas na Data Focal Data Focal 8 ZERO 50.000,00 14.285,71 64.324,59 66.366,64 18.232,59 9.402,31 11.193,23 15.750,00 25.000,00 PV=84.881,26 FV=189.673,8 3
A TIRM do Projeto 2 será de 10,57% ao mês conforme calculado abaixo:
1889673,83 84881 , 26
i=
1 8 −
1 = 0,1057 = 10,57% a.m.
Então, pela TIRM, a melhor alternativa é o Projeto 1 pois apresenta maior TIRM. Pelo método da TIR regular, para o Projeto 1, TIR=29,69% ao mês contra TIR=25,74% ao mês do Projeto 2. Pelo método do VPL para o Projeto 1, VPL=$61.347 e para o Projeto 2, VPL=$43.497. Portanto, em qualquer um dos três métodos vistos, o Projeto 1 é superior ao Projeto 2. Exercícios: (*) Para os exercícios abaixo utilizar, sempre que possível, os três métodos estudados. Fazer o gráfico do VPL.
70. Uma empresa deseja investir $1.200.000 na compra de um equipamento que lhe dará receita mensal de $87.000. Os custos operacionais e de manutenção são de $15.200 mensais. Sabendo-se que o valor residual deste equipamento (após 18 meses) é de $420.000 e que a taxa mínima de atratividade adotada pela empresa é de 42% ao ano, analisar se este investimento é atrativo. 71. Analisar se os investimentos abaixo são atrativos e qual deles é melhor: Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
59
Matemática Financeira
Investimento1: Semestre 0 1 2 3
Entrada 76.000 83.000 95.500
Investimento2: Semestre Entrada 0 1 95.500 2 83.000 3 76.000
Saída 159.000 23.000
Saída 159.000 23.000
Considerar taxa mínima de atratividade = 20% ao semestre. 72. Antônio acabou de ser demitido e recebeu de indenização $180.000. Ele está em dúvida em como investir este capital em duas alternativas possíveis: a primeira é aplicar este dinheiro no mercado financeiro num fundo de renda fixa que tem rendimento líquido de 1,5% ao mês. A segunda alternativa é adquirir uma casa lotérica por $180.000, que tem lucro líquido mensal de $4.800 e valor residual, daqui a 12 meses, de $150.000. Em qual alternativa Antônio deve investir? 73. Uma fábrica pretende investir na modernização dos seus equipamentos. Ela fará a alienação dos equipamentos antigos por $120.000 e tem duas opções de compra dos novos equipamentos: Equipamento Equipamento 2 1 Valor do Equipamento Custo Semestral de Manutenção Custo Mensal de Mão de Obra Custo Mensal de matéria Prima Outras Despesas Semestrais Valor Residual após 18 meses Receita Mensal
$600.000 $35.000
$750.000 $20.000
$10.000 $15.000
$8.500 $20.000
$50.000 $250.000 $145.000
$50.000 $315.000 $160.000
Considerando que o custo de capital é de 40% ao ano, qual a melhor alternativa? 74. Verificar se os investimentos abaixo, descritos pelos seus fluxos de caixa, são atrativos e qual deles é o mais Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
60
Matemática Financeira
interessante. Considerar taxa mínima de atratividade igual a 34% ao ano.: Investimento1 Investimento 2 Ano Fluxo de Caixa Ano Fluxo de Caixa 0 ($300.000) 0 ($300.000) 1 1 $130.000 2 2 $348.200 3 $666.698 3 $480.244 4 $666.698 75. Verificar qual dos investimentos abaixo descritos pelos seus fluxos de caixa é o mais atrativo, considerando que a taxa mínima de atratividade e a taxa de reinvestimento são de 1,8% ao mês e a taxa de captação é de 3,6% ao mês: Mês Investimento Investimento 1 2 0 $-150.000 $-150.000 1 $-100.000 $-40.000 2 $60.000 3 $69.000 $60.000 4 $60.000 5 $60.000 6 $95.000 7 8 9 $95.000 10 $125.000 -
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
61
Matemática Financeira
9.
Depreciação
Depreciação significa desvalorização. Quando uma empresa adquire um ativo imobilizado (máquina, equipamentos, veículos, imóveis, etc) este sofre um desgaste no decorrer do tempo e consequentemente, uma desvalorização. A depreciação real de um ativo destes, num determinado período, é a diferença entre o seu valor de aquisição e o seu valor de revenda. A legislação dos países permite que as empresas recuperem parte deste prejuízo, lançando no seu balanço, periodicamente, parte da depreciação como despesa, diminuindo assim a base de cálculo e o valor a ser pago do imposto de renda. As empresas devem seguir as regras impostas pela legislação, tais como o método do cálculo da depreciação (a depreciação lançada não é a real e sim a depreciação contábil ou teórica) e o prazo para a depreciação total de cada ativo (por exemplo máquinas e equipamentos em 10 anos, imóveis em 20 anos, etc). Para o cálculo da depreciação teórica existem vários métodos. É permitido às empresas a escolha de um destes métodos. Serão abordados neste módulo três métodos: o Linear, o de Cole eo Exponencial. Definições e fórmulas comuns: Para qualquer um dos métodos, as definições e fórmulas a seguir são válidas: j = n
DPt
=
∑ DP
j
j =1
Onde DPt = Depreciação total nos período 1 à n DP j = Depreciação no período j VRn
=
VA − DPt
Onde: VRn=Valor Residual após n períodos VA=Valor de aquisição Por exemplo, seja um ativo adquirido por R$ 80.000 e depreciado em 3 anos por R$ 24.000. O seu valor residual, ao final do 3º ano, é de R$ 56.000.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
62
Matemática Financeira
9.1 Método Linear No método linear, a depreciação por período é constante, portanto a depreciação por período é calculada por: DP j
VA
=
n
Onde n é o número total de períodos para a depreciação total do ativo. Exemplo: Um veículo foi adquirido por uma empresa por R$ 50.000. Se para este tipo de ativo é permitida uma depreciação total em 5 anos, qual o valor da depreciação por ano? Montar uma tabela contendo o plano de depreciação. DP j
=
50000 5
Ano
=
10.000
Depreciação Depreciação Acumulada
0 1 2 3 4 5
10.000 10.000 10.000 10.000 10.000
10.000 20.000 30.000 40.000 50.000
Valor Residual 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 0
9.2 Método de Cole ou da Soma dos Dígitos No método de Cole, a depreciação por período decresce no decorrer do tempo, segundo a fórmula: DP j Fr j
=
=
VA ⋅ Fr j n − j + 1 k = n
∑ k k =1
Onde: DP j = depreciação no período j Fr j= Fração a depreciar j = período da apuração da depreciação Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
63
Matemática Financeira
n=total de períodos para a depreciação total do ativo Exemplo: Um equipamento foi adquirido por uma empresa por R$ 120.000. Se para este tipo de ativo é permitida uma depreciação total em 10 anos, montar o plano de depreciação. Ano Fração Depreciação Depreciação Acumulada 0 1 10/55 21.818 21.818 2 9/55 19.636 41.455 3 8/55 17.455 58.909 4 7/55 15.273 74.182 5 6/55 13.091 87.273 6 5/55 10.909 98.182 7 4/55 8.727 106.909 8 3/55 6.545 113.455 9 2/55 4.364 117.818 10 1/55 2.182 120.000
Valor Residual 120.000 98.182 78.545 61.091 45.818 32.727 21.818 13.091 6.545 2.182 0
9.3 Método Exponencial No método Exponencial, a depreciação por período decresce no decorrer do tempo exponencialmente. Neste método, é impossível depreciar cem por cento do ativo, pela própria definição do método. As fórmulas utilizadas são: j
VR j
=
VA ⋅ (1 − t d )
VR j
=
VR j
∑ DP
j =
1 ⋅
−
(1 − t d )
VA − VR j
Onde: VR j=Valor residual no final do período j td=taxa de depreciação j=número de períodos de depreciação ∑ DP j = depreciação acumulada até o período j VA= valor de aquisição do ativo Exemplo: uma empresa adota o método exponencial para o cálculo da depreciação dos seus ativos. Um ativo foi adquirido por R$ 70.000 e será Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
64
Matemática Financeira
depreciado em 5 anos a uma taxa de 25% ao ano. Montar o plano de depreciação. Ano Depreciação Depreciação Acumulada 0 1 17.500 17.500 2 13.125 30.625 3 9.844 40.469 4 7.383 47.852 5 5.537 53.389
Valor Residual 70.000 52.500 39.375 29.531 22.148 16.611
Exercícios 76.
Qual o valor residual de um ativo, após 6 anos de depreciação linear, adquirido por R$ 75.000 e cujo prazo de depreciação total é de 10 anos?
77.
Qual a depreciação no 15º ano de um imóvel, adquirido por R$ 1.400.000 e depreciável cem por cento em vinte anos, se o método utilizado for o da Soma dos Dígitos?
78.
Qual o valor residual de um ativo, após 8 anos de depreciação exponencial, a uma taxa de 18% ao ano, adquirido por R$ 200.000 e cujo prazo de depreciação total é de 10 anos?
79.
Uma empresa adquiriu um ativo por R$ 48.000 e fará a depreciação pelo método linear. O prazo permitido para a depreciação total deste ativo é de 10 anos. O total que será depreciado até o 7º ano será de
80.
Um imóvel adquirido por R$ 800 mil, totalmente depreciável em 20 anos pelo método de Cole, terá um valor residual no 8º ano de
81.
Um automóvel é adquirido por uma empresa por R$ 65.500 e depreciável totalmente em 5 anos. Se a taxa de depreciação é de 22% ao ano, qual será o total depreciado até o 4º ano
82.
Se um ativo depreciável em 5 anos linearmente, teve uma depreciação acumulada de R$ 36.000 no 4º ano, então o seu valor residual neste ano foi
83. O valor de aquisição de um ativo, depreciável em 10 anos pelo método de Cole, cuja depreciação no 5º ano é de R$ 27.273 é
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
65
Matemática Financeira
84. A taxa de depreciação de um ativo adquirido por R$ 98.000 e com valor residual de R$ 36.961 no 6º ano é:
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
66
Matemática Financeira
APÊNDICE A – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.
$858.240 2 anos e meio $5.600 3,5% ao bimestre $83.530,98 100% ao ano $109.090,91 6 anos e 21 dias Alternativa II : taxa média de juros de 3,46% ao mês. 0,05% ao dia 1,5% ao mês $1.260 $1.432,84 3% ao mês 6 meses e 21 dias, ou 3 trimestres e 21 dias Não foi vantajosa pois o montante da aplicação em 90 dias foi de $29.722,80, valor menor ao que se obteria se resgatasse o título na data de seu vencimento. $58.723,16 $1.193,18 $1.416,53 3,14% ao mês 8 meses e 4 dias A operação foi vantajosa pois em 90 dias obteve-se $30.145,80 contra os $30.000 que teria se resgatasse o título. $59.099,06 $10.177.230,83 $108.551,25 $2.424,00 9,19% ao mês 2 anos e 4 meses 3 anos, 7 meses e 27 dias Os dois investimentos são igualmente rentáveis pois tem a mesma taxa de juros de 5,96% ao mês 100% ao ano $16.712,90 Em duas parcelas pois ainda terei um saldo positivo de $3,68 Parte fracionária com juros simples: $16.205.753,26 Parte fracionária com juros compostos: $16.202.864,81 Parte fracionária com juros simples: $47.760,23 Parte fracionária com juros compostos: $47.636,29 Parte fracionária com juros simples: $21.151.530,46 Parte fracionária com juros compostos: $21.125.200,11 Desconto Racional: Resgate: $28.566,64 Desconto: $5.433,36 Desconto Bancário: Resgate: $28.359,13 Desconto: $5.640,87 Desconto Racional: Face: $5.610,03 Desconto: $484,03 Desconto Bancário: Face: $5.642,54 Desconto: $516,54 Desconto Racional: 41 dias ou 1 mês e 11 dias Desconto Bancário: 37 dias ou 1 mês e 7 dias Desconto Racional: 2,93% ao mês Desconto Bancário: 2,85% ao mês
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
67
Matemática Financeira
40. Desconto Racional: Desconto Bancário:
Não foi vantajosa, pois em 45 dias o montante foi de $40.000 contra os $45.000 se resgatasse o título nesta data Mesma resposta e mesmo valor
41. Desconto Racional: Mês 0 1 2 3 4 5 6
Juros 7.211,98 7.312,95 7.415,33 7.519,15 7.624,41 7.731,16
Montante 515.141,61 522.353,59 529.666,54 537.081,87 544.601,02 552.225,43 559.956,59
Desconto Bancário: Mês 0 1 2 3 4 5 6
Juros 7.164,67 7.264,97 7.366,68 7.469,82 7.574,39 7.680,44
Montante 511.762,03 518.926,70 526.191,67 533.558,35 541.028,17 548.602,57 556.283,00
42. (a)
43.
44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57.
1,52% a.m. 3,06% a.b. 4,63% a.t. 6,22% a.q. 9,47% a.s. 19,85% a.a. (b) 2,06% a.m. 4,16% a.b. 6,30% a.t. 8,49% a.q. 13% a.s 27,69% a.a. (c) 0,74% a.m. 1,48% a.b. 2,23% a.t. 2,98% a.q. 4,5% a.s 9,20% a.a. (a) 1,10% a.m. (b) 16,99% a.a. (c) 16,64% a.a. (d) 6,11% a.b. (e) 0,04% a.d. (f) 11,84% a.s. (d) (Se calcularmos as taxas equivalentes anuais de cada item veremos que a do item (d) é a maior, ou seja, 25,44% a.a.) 5,9104% 0,5193% R$ 590,34 0,65% a.m. (a) $12.723,90 (b) $27.803,98 $26.456,86 $164.431,44 $29.412,30 $5.092,83 É mais vantajoso possuir $20.000 hoje, pois à uma taxa de 7% a.t., $45.000 daqui a três anos equivalem hoje a $19.980,54 Com entrada: $270,34 Sem entrada: $277,78 $1.260,95 1,99% a.m.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
68
Matemática Financeira
58. 59. 60. 61. 62. 63.
$79.616,82 $17.768,77 $523,88 Loja1: $2.307,50 a vista (Loja2: $ 2.418,26 a vista) 39 prestações de $1.487,30 A melhor condição é a vista, pois o comprador teria que dispor de $79.007,80 da sua aplicação (a 1,6% a.m.) para saldar as prestações, contra os $70.000 que teria que dispor para pagamento a vista. 64. Renda Mensal Vitalícia : $5.433,36 Capital: $452.780,16 65. Mês Saldo Devedor Juros Amortização Prestação 0 205.000,00 1 189.542,59 3.690,00 15.457,41 19.147,41 2 173.806,96 3.411,77 15.735,64 19.147,41 3 157.788,08 3.128,53 16.018,88 19.147,41 4 141.480,86 2.840,19 16.307,22 19.147,41 5 124.880,11 2.546,66 16.600,75 19.147,41 6 107.980,54 2.247,84 16.899,56 19.147,41 7 90.776,79 1.943,65 17.203,76 19.147,41 8 73.263,36 1.633,98 17.513,42 19.147,41 9 55.434,70 1.318,74 17.828,66 19.147,41 10 37.285,12 997,82 18.149,58 19.147,41 11 18.808,85 671,13 18.476,27 19.147,41 12 0,00 338,56 18.808,85 19.147,41 Total 24.768,8 205.000,00 229.768,8 6 6 66. (a) Sistema Price Semestre Saldo Juros Amortização Prestação Devedor 0 62.500,00 1 73.750,00 11.250,00 2 87.025,00 13.275,00 3 77.808,17 15.664,50 9.216,83 24.881,33 4 66.932,31 14.005,47 10.875,86 24.881,33 5 54.098,80 12.047,82 12.833,51 24.881,33 6 38.955,26 9.737,78 15.143,54 24.881,33 7 21.085,87 7.011,95 17.869,38 24.881,33 8 0,00 3.795,46 21.085,87 24.881,33 Total 86.787,9 87.025,00 149.287,97 7 (b) Sistema Hamburguês Semestre Saldo Juros Amortização Prestação Devedor 0 62.500,00 1 73.750,00 11.250,00 2 87.025,00 13.275,00 3 72.520,83 15.664,50 14.504,17 30.168,67 4 58.016,67 13.053,75 14.504,17 27.557,92 5 43.512,50 10.443,00 14.504,17 24.947,17 6 29.008,33 7.832,25 14.504,17 22.336,42 7 14.504,17 5.221,50 14.504,17 19.725,67 8 0,00 2.610,75 14.504,17 17.114,92 Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
69
Matemática Financeira
Total
79.350,7 87.025,00 5
67. $18.947,49 68. Mês SD 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Total
18.806,44 17.239,23 15.672,03 14.104,83 12.537,62 10.970,42 9.403,22 7.836,02 6.268,81 4.701,61 3.134,41 1.567,20 0,00
141.850,75
Juros
Amortizaçã Prestaçã o o
141,05 129,29 117,54 105,79 94,03 82,28 70,52 58,77 47,02 35,26 23,51 11,75 916,81
1.567,20 1.567,20 1.567,20 1.567,20 1.567,20 1.567,20 1.567,20 1.567,20 1.567,20 1.567,20 1.567,20 1.567,20 18.806,44
1.708,25 1.696,50 1.684,74 1.672,99 1.661,24 1.649,48 1.637,73 1.625,97 1.614,22 1.602,47 1.590,71 1.578,96 19.723,2 5
69. O menor saldo devedor é pelo Sistema Hamburguês de $900.000 contra $1.004.129 do Sistema Francês. Total de Juros: Sistema Francês: $294.815,94 Sistema Hamburguês: $281.362,50 70. O investimento é atrativo: TIR=47,2% ao ano VPL=$38.617,94 TIRM=45,0% ao ano
Gráfico do Valor Presente Líquido - Exercício 68 600.000 500.000 o d i u q í L e t n e s e r P r o l a V
400.000 300.000
TIR=47,2% aa
200.000 100.000 (100.000) % 0
% 0 1
% 0 2
% 0 3
% 0 4
% 0 5
% 0 6
% 0 7
% 0 8
(200.000) (300.000)
Taxa Anual
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
70
Matemática Financeira
71. Investimento 2 é melhor, analisado por qualquer um dos métodos: VPL2=$3.037,04 VPL1=(1.928,24) TIR2=21,2% a.s. TIR1=19,3% a.s. TIRM2=20,8% a.s. TIRM1=19,5% a.s.
Gráfico do VPL - Exercício 69 80.000 TIR1=19,3%
60.000 o d i u q 40.000 í L e t n 20.000 e s e r P r o l a % 0 V
(20.000)
Investimento 2 TIR2=21,2%
Investimento 1
% 5
% 0 1
% 5 1
% 0 2
% 5 2
% 0 3
(40.000)
Taxa Semestral
72. Deve investir no mercado financeiro a 1,5% ao mês. Considerando esta taxa como o custo do capital temos: VPL=($2.186) TIR=1,38% a.m. TIRM=1,40% a.m. Gráfico do VPL - Exercício 70 30.000 25.000 TIR=1,38%
o 20.000 d i u q 15.000 í L e 10.000 t n e s 5.000 e r P r o l a % % % % % % % % % % % V (5.000) 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 , , , , , , , , , , , 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
(10.000) (15.000)
Taxa Mensal
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
71
Matemática Financeira
73. Pelo Método do VPL, melhor investimento é a Máquina 2 (VPL2=$1.121.474 contra VPL2=$1.039.511). Pelos Métodos da TIR e da TIRM o melhor investimento seria na Máquina 1 (TIR1=17,93% a.m. / TIRM1=8,75% a.m. contra TIR2=15,78% a.m. / TIRM2=8,20% a.m. Deve-se adotar o investimento na Máquina 2 por apresentar maior retorno líquido (método do VPL). Gráfico do VPL - Exercício 71 1.800.000
Má uina 2
1.500.000 o d i 1.200.000 u q í L e 900.000 t n e s e r 600.000 P r o l a 300.000 V
TIR= 15,78%
Má uina 1 2,84%
0 (300.000)
TIR= 17,93%
% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
Taxa de Desconto Mensal
74. Investimento 1: VPL=$316.300 TIR=54,2% a.a. TIRM=51,0% a.a. Investimento 2: VPL=$316.300 TIR=68,5% a.a. TIRM=57,9% a.a. Os dois investimentos são interessantes (VPL>0 e TIR e TIRM>taxa mínima de atratividade). Pelo método do VPL ambos são equivalentes, porém pelos métodos da TIR e da TIRM, o Investimento 2 é mais interessante. Pode-se optar pela adoção do Investimento 2 caso se tenha a necessidade de entrada de caixa mais rápida.
Gráfico do VPL - Exercício 72 3.900.000 o 3.400.000 d i u 2.900.000 q í L 2.400.000 e t n 1.900.000 e s e r 1.400.000 P r o 900.000 l a V 400.000
-100.000
Investimento 1
Investimento 2 % 0
% 0 1
% 0 2
% 0 3
% 0 4
% 0 5
% 0 6
% 0 7
% 0 8
% 0 9
Taxa Anual
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
72