Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia
Notas de Aulas da Disciplina Matemática Financeira Prof Ms. Eridan da Costa Santos Maia ª
Série Textos Didáticos
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS – DCE
Notas de Aulas da Disciplina Matemática Financeira Prof.ª Ms. Eridan da Costa Santos Maia
Vitória da Conquista Conquista - Bahia 2010
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA
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SUMÁRIO
Apresentação ...................... ............................................. ............................................. ............................................ ............................................ ..........................................5 ....................5 1. Resumo ................... ......................................... ............................................ ............................................ ............................................. ............................................. ........................ 7 2. Regra de Sociedade ..................................... ........................................................... ............................................. ............................................. ..............................8 ........8 3. Juros Simples ..................... ........................................... ............................................ ............................................ ............................................ ................................11 ..........11 4. Descontos Simples .................... .......................................... ............................................ ............................................. ............................................. ........................17 ..17 5. Equivalência na Capitalização Capitali zação Simples........................................................... Simples................................................................................20 .....................20 6. Juros Compostos ................... .......................................... ............................................. ............................................ ............................................ ............................24 ......24 7. Taxa na Capitalização Composta ...................................................... ............................................................................ ...................................26 .............26 8. Capitalização Contínua ............................................................. ................................................................................... ...........................................29 .....................29 9. Desconto Composto ........................................................... ................................................................................. ............................................ ............................30 ......30 10. Equivalência na Capitalização Capita lização Composta ........................... .................................................. ............................................. ........................30 ..30 11. Taxa Interna de Retorno ...................................................... ............................................................................. ............................................. ........................30 ..30 12. Rendas Certas ............................................. ................................................................... ............................................ ............................................ ............................34 ......34 13. Sistemas de Amortização ....................... ............................................. ............................................ ............................................ ................................43 ..........43 14. Inação ..................... ........................................... ............................................ ............................................. ............................................. .......................................49 .................49 15. Análise de Investimentos.................... .......................................... ............................................ ............................................ ....................................50 ..............50 16. Referências ...................... ............................................. ............................................. ............................................ ............................................ ................................53 ..........53
APRESENTAÇÃO
Caro estudante, Apresentamos este trabalho sobre a disciplina Matemática Financeira, resultante da nossa experiência em sala de aula. Tendo como principal objetivo permitir que o mesmo auxilie sua compreensão no estudo desta disciplina. Deste modo, você educando poderá notar que o mesmo é apenas uma alternativa para que sua pessoa possa fazer uma consulta simplicada da matéria exposta. O conteúdo deste trabalho é formado por matéria teórica seguida por exercícios aplicados em sala, sendo que algumas partes partes podem ter sido transcritas integralmente ou com algumas alterações extraídas dos livros que compõem as referências. Portanto, esperamos que este trabalho de alguma maneira possa apontar mais um caminho útil para a sua aprendizagem, acrescentando à sua vida estudantil um incentivo para que prossiga nos estudos a respeito da Matemática Financeira Financei ra e que cada vez mais desenvolva a sua capacidade ca pacidade de raciocínio, ampliando seu conhecimento matemático nanceiro, alcançando por exemplo os seguintes objetivos: ü Calcular juros simples e compostos; ü Efetuar descontos simples e compostos; Distinguir taxas de juros proporcionais e equivalentes; ü Resolver problemas envolvendo rendas; ü Elaborar plano de amortização usando os vários sistemas. ü
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1. RESUMO
I) Introdução:
A Matemática Financeira visa estudar as formas de evolução do dinheiro dinheiro com o tempo tempo nas aplicações e pagamentos pag amentos de empréstimos. empréstimos. Operações Comerciais – são as operações feitas através de mercadorias com a nalidade de lucro. Exemplo: compras, vendas e permutas. Operações Financeiras – são operações feitas através do dinheiro com a nalidade de fazê-lo evoluir ao longo do tempo. Exemplo: letras de câmbio, poupança, ações, descontos de títulos, debêntures, etc. Trataremos Trat aremos neste trabalho trabalho somente das operações operações nanceiras. nanceiras. evolui ao longo de determidetermiII) Regime de Capitalização – processo ou critério através do qual um capital evolui nado tempo. Pode ser: simples ou composta. Regime de capitalização simples – neste regime a taxa de juros incide apenas sobre o capital aplicado em cada período de tempo. Os juros produzidos através desse processo chamam-se Juros Simples. Regime de capitalização composta – neste regime a taxa de juros incide sobre o montante de aplicação no início de cada período de tempo. Os juros produzidos chamam-se Juros Compostos. III) Elementos Principais e Simbologia Utilizada Neste Trabalho:
Fluxo de Caixa – representação visual do problema, visando facilitar sua interpretação facilitando também a correta solução da questão questão.. O Fluxo de Caixa consiste em um eixo horizontal (escala horizontal do tempo) – representando o tempo da operação – e de retas a ele perpendiculares que indicam as entradas e saídas de dinheiro. Abaixo temos um exemplo de seu esquema.
Principal (P) – principal, ou capital inicial empregado, ou valor atual ou valor presente é qualquer quantidade de dinheiro, que esteja disponível em certa data, para ser aplicado numa operação. operação. Na escala horizontal do tempo representa o valor que se encontra em n = 0. Também pode pode ser indicado por C. Juros (J) – é a remuneração do principal emprestado ou aplicado. aplicado. Taxa (i) ( i) – é o valor do juro numa unidade de tempo, tempo, expresso como percentagem do principal. Exemplo: 5% ao mês signica que o juro é igual a 5% do principal por mês. Prazo (n) – é o tempo de aplicação que deve ser expresso na mesma unidade de tempo da taxa. Assim, n = 0 representa a data inicial da aplicação ou empréstimo do título, n = 1 representa o nal do 1ª unidade de tempo e assim sucessivamente. Montante (S) – o montante ou Valor Futuro é a soma do capital com o juro obtido. Na escala horizontal do tempo representa o valor que se s e encontra em n = 1, 2, 3, ... Também pode ser indicado por M.
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Considerando que a Matemática Financeira estuda a transformação do dinheiro ao longo do tempo.. (traduzido no ditado popular: tempo é dinheiro). A resolução de muitas questões deste trabatempo lho será obtida através da utilização de um esquema de uxo de caixa. Todo conteúdo tratado exceto juros simples e desconto simples será dedicado a capitalização composta.
2. REGRA DE SOCIEDADE Regra de Sociedade – é a divisão do lucro ou prejuízo de determinada deter minada sociedade em partes proporcionais aos capitais e/ou tempos em que os sócios permanecem na sociedade. A regra de sociedade pode pode ser simples ou composta. composta. A regra reg ra de sociedade é simples quando um dos parâmetros capital ou tempo é constante, ou seja, é o mesmo entre os sócios. A regra regra de socied sociedade ade é compo composta sta quand quandoo os os dois dois parâm parâmetro etros: s: capita capitall e temp tempoo são são difer diferentes entes.. O lucro ou prejuízo será distribuído em partes proporcionais ao capital multiplicado pelo tempo respectivo. respectivo. Assim, por exemplo exemplo,, para três sócios tem-se tem-se a expressão:
; O x = lucro do 1º sócio; y = lucro do 2º sócio; s ócio; z = lucro do 3º sócio; c 1 = capital do 1º sócio; c 2 = capital do 2º sócio; c 3=capital do 3º sócio; t1= tempo do 1º sócio; t 2= tempo do 2º sócio; t 3= tempo do 3º sócio. Se o sócio possuir vários capitais e tempos utiliza-se o somatório dos produtos de capital pelo seu respectivo tempo. Também Tamb ém se resolve através através de Percentagens Percentagens e Regra de Três. Três. Exemplo 1: Maria e José se associaram e zeram um jogo de loto. Maria entrou com R$ 125,00 e José com R$ 103,00. Repartir entre eles o ganho de R$ 542,64.
Aplicando a proporcionalidade direta do lucro de cada sócio pelo seu capital empregado teremos que: O lucro do primeiro sócio está para o seu capital assim como o lucro do segundo sócio está para o seu capital, ou seja:
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Podemos também escrever:
Observe que o lucro do primeiro sócio é o produto do seu capital por 2,38, onde 2,38 é o fator de proporcionalidade para o cálculo do lucro de cada sócio. Nesse caso, o lucro do segundo sócio será . Exemplo 2: No dia 1o de janeiro, três sócios organizaram uma rma r ma com o capital de R$ 4500,00 em partes iguais. O primeiro sócio integralizou totalmente a sua parte, o segundo entrou com R$ 1000,00 tendo, 3 meses após, integralizado o restante, o terceiro entrou com R$ 750,00 só completando sua parte em 1o de julho. No m de um ano de atividade, o lucro apurado foi de R$ 1200,00. Quanto coube a cada sócio? Vamos V amos resolver esta questão e muitas muitas outras utilizando utilizando Fluxo de Caixa.
Assim, temos: 1o sócio: 1500 . 12 meses = 18.000; 2o sócio: 1000 . 3 meses + 1500 . 9 meses = 16.500; 3o sócio: 750 . 6 meses + 1500 . 6 meses = 13.500; . Então,, x = 18000 . 0,025 = 450,00; Então y = 16500 . 0, 025 = 412,50; 412,50; z = 13500 . 0, 025 = 337,50; Problemas Propostos: 1º) Três pessoas se associaram com o capital de R$ 4500,00. Calcular a entrada de cada sócio sabendo que ao 1º coube R$ 320,00 ao 2º R$ 380,00 e ao 3º R$ 200,00 do lucro. R. 1600; 1900 e 1000
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2º) Uma sociedade entre três amigos durante um período comum de tempo produziu um lucro de R$ 2000,00. O primeiro dos sócios entrou com um capital que era o dobro do capital do segundo sócio, este por sua vez contribuiu com uma quantia triplicada em relação ao terceiro. Qual o lucro de cada sócio? R. 1200; 600 e 200. 3º) O sócio João recebeu R$ 3690,00 a menos que o sócio Paulo. Sabendo-se que João permaperma neceu 3 meses na sociedade e Paulo cou 5 meses. Qual o lucro de cada um? R. 5535 e 9225. 4º) Três sócios lucraram R$ 3500,00. Calcular o lucro de cada sócio sabendo que o lucro do primeiro está para o lucro do segundo assim como 2/3 e que o lucro do segundo está para o lucro do terceiro assim como 4/5. R. 800; 1200 e 1500. 5º) O lucro de uma empresa foi de R$ 23000,00. Sabendo-se que o 1º sócio contribuiu com R$ 21000,00 e o 2º sócio com R$ 11000,00 e que do lucro total coube ao 3º sócio a importância de R$ 15000,00. Pergunta-se: Pergunta-se: qual foi o lucro de cada sócio e qual a contribuição do 3º sócio. R. 5250; 2750 e 60000. 6º) Uma rma teve um lucro de R$ 3870,00. O 1º sócio empregou R$ 1000,00 durante um mês e seis dias; o 2º sócio empregou R$ 1200,00 durante um mês e dez dias e o 3º sócio empregou empregou R$ 1500,00 durante um mês. Qual o lucro de cada sócio? R. 1080; 1440 e 1350. 7º) Uma pequena empresa tem um capital de R$3700,00. O 1º sócio cou um mês e seis dias; o 2º sócio cou um mês e dez dias; o 3º sócio cou um mês. O lucro foi assim distribuído: R$1080,00 para o 1º sócio s ócio,, para o 2º sócio R$1440,00 e R$1350,00 para o 3º sócio s ócio.. Qual o investim investimento ento de cada sócio nesta sociedade? R.1000; 1200 e 1500. 8º) Dividir o lucro de R$1215,00 entre os sócios A e B sabendo-se que o capital de A é 3/5 do capital de B e que eles estiveram na empresa durante 3 meses e 10 dias e 2 meses e 15 dias, respectivamente. Qual o lucro de cada sócio? R. 540 e 675. 9º) Uma rma organizada por três sócios em 1º de maio deu um lucro de R$6880,00 apurado em 31 de dezembro. O capital social de R$30000,00 foi dividido em partes iguais. O 2º sócio tendo entrado com R$6000,00 só integralizou ou completou seu capital em 15 de julho. O 3º sócio entrou com a metade, completando a sua parte em 1º de agosto. Quanto recebeu cada sócio? R. 2560; 2240 e 2080.
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10º) Dois sócios fundaram uma sociedade com o capital de R$8000,00. No momento de liquidar o primeiro sócio recebeu o capital mais lucro no total de R$2300,00. Sabendo-se que o lucro total foi de R$12000,00. Qual o capital de cada sócio? R. 920 e 7080. 11º) Na fundação de certa sociedade A e B entraram com R$5200,00 e R$7300,00, respectivarespectiva mente. Quando a sociedade completou seu segundo mês de existência o sócio A retirou R$1200,00; dois meses depois desta data o sócio B depositou R$1500,00. Ao m do primeiro semestre de atividaatividades vericou-se o lucro de 15006,00. Qual o lucro de cada sócio? R. 5412 e 9594. 12º) Duas pessoas A e B fundaram uma empresa com R$ 3240,00 e R$ 4080,00, respectivamen respectivamen-te. Quando a empresa completou seu terceiro mês de existência o sócio B retirou R$ 1230,00. Dois meses depois desta data o sócio A depositou de positou R$ 1120,00 e B depositou R$ 3050,00. Ao m do sétimo mês de fundação da empresa vericou-se o lucro de R$ 9838,80. Quanto coube a cada sócio? R. 4485,60 e 5353,20.
3. JUROS SIMPLES Juros Simples – é aquele pago inicialmente sobre s obre o principal (capital inicial) e é diretamente proporcional a esse capital e ao tempo em que este é aplicado, sendo o fator de proporcionalidade a taxa de juros por período. Sendo o juro uma remuneração do principal emprestado e, portanto, o custo do principal durante determinado período de tempo é preciso levar em conta alguns aspectos tais como: o risco do não recebimento do principal emprestado; despesas com empréstimo e cobrança; inação – índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do empréstimo. Sua utilização nas operações nanceiras só ocorre em operações de curtíssimo prazo entre pespes soas físicas e pelos nancistas. Nos juros simples o principal (dinheiro) cresce em progressão aritmética (crescimento linear). No cálculo de juros comerciais (juros) – utiliza-se o ano comercial com 360 dias e o mês comercial com 30 dias. No cálculo dos juros exatos – considera o ano útil com 365 dias (ou 366) e os meses com o número real de dias. Cálculo dos juros
J1 = P i J2 = P i + P i = P i 2
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J3 = P i + P i + P i = P i 3 ................................. J n = P i + P i + ... + P i = P i n O valor dos juros é dado pela expressão: j = Valor dos juros; P = Valor do principal ou capital inicial; i = Taxa de juros (na forma decimal); n = Número de unidade de tempo da operação ou prazo (deve apresentar-se sempre na mesma unidade da taxa). Também podemos encontrar Também encontrar os juros juros através de Percentagens Percentagens e Regra de Três Três.. P 100% j=Pin (taxa percentual) j in 100 Exemplo 1: Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 100,00 pelo prazo de 4 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 5% am? J = P i n ⇒ J = 100 x 0,05 x 4 = 20. Exemplo 2: Qual o rendimento que produz um capital de R$ 610,00 na taxa de 5,5% a. a. no período de 2 de maio a 9 de novembro de 2007? Dados: P = 610; i = 5,5% ao ano; n = 02 de maio a 09 de novem novembro; bro; j=? Neste problema observamos que o prazo está na forma indireta: quando estabelece apenas as datas de início e término das operações operações.. A maneira mais mais simples de converter o prazo indireto indireto em direto direto (quando estabelece claramente claramente o número de dias, meses ou anos de vigência da aplicação) consiste em contar o n o de dias entre as datas e depois, se necessário, converter esses valores em meses ou anos. Esta contagem pode ser feita através da tabela 1 abaixo. Tabela 1 – Contagem dos dias
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Observações:
• Ao aplicar a tabela a ano bissexto, adicione 1 ao resultado se tomar uma data antes de 29 de fevereiro e outra depois. • Ano bissexto é aquele terminado ter minado em múltiplo de 4 ou em 00. • A tabela só pode ser utilizada para os dados do mesmo ano Resolução do Exemplo 2: Observamos pela tabela, que na interseção da linha 2 com a coluna 5 (maio) aparece o número
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122. Na interseção da linha 9 com a coluna 11 (novem (novembro) bro) aparece o número 313. O número de dias decorridos será de 313 - 122 = 191 dias, ou 191/30 meses (taxa em mês) ou 191/360 anos (taxa em ano). J =
= 17,80.
Exemplo 3: Um empréstimo efetuado em 08 de julho de 2005 e pagamento previsto para 30 de outubro de 2007 terá um prazo de quantos meses ou anos? Nesse caso temos anos diferentes, ou seja, 2005 e 2007. Devemos então considerar o período de 08/7/05 a 08/7/07 como sendo dois anos, ou seja, 730 dias e, na tabela, fazer a contagem para 08/7/07 a 30/10/07. Linha 8 / coluna 7 (julho) -189. Linha 30 / coluna 10 (outubro) – 303. 303 - 189 = 114. 114 + 730 = 844 dias ou 844/30 meses ou 844/360 anos. Taxas de Juros
Duas taxas são proporcionais quando é possível formar uma proporção com os números que as expressam e seus respectivos períodos. períodos. Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre um mesmo capital durante o mesmo tempo, geram montantes iguais. Em juros simples é fácil concluir que 2% a.m. sobre um principal durante 12 meses produz o mesmo rendimento que 24% do capital ao ano ano.. J1 = P. 0,02. 12 = 0,24 J2 = P. 0,24. 1 = 0,24. pr oporcionais são também taxas equiva equivalentes lentes , pois a rela Assim, em juros simples taxas proporcionais ção entre as taxas e os respectivo respectivoss prazos é constante, isto é, vale a igualdade . Taxa Bruta ou Taxa Nominal – é a taxa de juros contratada numa operação, ou seja, é a taxa anunciada pela instituição. Taxa Líquida ou Taxa Efetiva – é a taxa de rendimento que a operação proporciona efeti vamente,, é a taxa de juros da operação, levando-se em conta o valor do capital de fato recebido ou vamente desembolsado. Isto acontece em razão de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Também fazem a taxa nominal diferir da taxa efetiva por exemplo exemplo juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total que na realidade é pago em parcelas. Exemplo com aplicação : Numa aplicação de 100 reais à taxa de 10% a.m. com imposto de renda a taxa de fato utilizada utilizada é de 8% a.m. a.m. no prazo de de 1 mês, (a taxa líquida é menor que a taxa bruta). Obs. o imposto de renda (I R) atualmente é de 20% sobre a diferença entre o valor nal e o valor aplicado e é cobrado no nal da aplicação.
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Exemplo com empréstimo: Num empréstimo de 100 reais à taxa de 10% a.m. e com o pagamento pag amento do IOF de 2% sobre o capital, pago adiantado a taxa de fato utilizada é de 12,24% a.m. no prazo de 1 mês, (a taxa líquida é maior que a taxa bruta). Obs: Imposto cobrado no início é como se fosse a CPMF CPMF.. Na capitalização composta trataremos de outros tipos de taxas (pg. 24). Exemplo 4: Uma aplicação de R$ 500,00 pelo prazo de 3 meses obteve um rendimento de R$ 30,00. Indaga-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?
Taxa anual anual = 12 x 2 = 24% 24% ao ano. ano. Ou ainda;
ao ano.
Exemplo 5: Uma pessoa aplicou um capital num prazo determinado, faltando três meses para o término retirou 20% do capital, com isso ela deixou de ganhar R$ 50,00 de juros. Dado que o investimen investimen-to foi aplicado à taxa de 12% a.a. e rendeu R$ 450,00 de juros efetivos, calcule o capital e o tempo. tempo. Resolução: A pessoa quando retirou 20% do capital deixou de ganhar 50 de juros na taxa de 12%a. a. durante 3 meses. Logo
Assim: Juros Assim: Juros efeti efetivos vos + perda perda = juros nomi nominal nal ⇒ 450 + 50 = 8333,33 x 0,12n ⇒ n = 6 meses. Montante ou Valor Futuro ou valor nal – indicado por S ou M, é igual à soma do principal ou capital inicial mais os juros referentes ao período da aplicação. Assim: S=P+J Substituindo J = P i n na expressão anterior: ⇒ S=P+Pin S = P (1 + i n) Com a taxa no período da aplicação S = P (1 + i) S = P (1 + i n) Esquematicamente, Esquemat icamente,
⇒
1 + i n = fator de capital capitalização ização ou fator de valor futuro.
= fator de atualização ou fator de valor atual. Exemplo 6: Calcular o montante da aplicação de um capital de R$ 800,00 no prazo de 12 meses à taxa de 3% am. S= 800 (1 + 0,03 x 12) ⇒ S = 800 x 1,36 ⇒ S = 1088,00. Problemas Propostos: 1º) Um objeto é vendido por R$120,00 a vista ou então por uma entrada de R$60,00 mais uma parcela de R$62,40 após um mês. Qual a taxa de juros cobrada? R. 4% a.m.
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2º) Qual o rendimento que produz um capital de R$610,00 a uma taxa de 5,5%a.m. no período de 2 de janeiro a 6 de março do ano bissexto. R. 71,57. 3º) Calcule os juros e os juros exatos produzidos por um capital de R$500,00, aplicado à taxa de 60% a.a. durante 25 dias. R. 20,83 e 20,55. 4º) A empresa de Rafael vende pacotes de café de 1 quilo. Numa tentativa de aumentar suas vendas,, passa a comercializar vendas comercializar o café café em embalagens contendo 20% a mais de de café, café, mantendo mantendo o mesmo mesmo preço dos pacotes de 1 quilo quilo.. Em que porcentagem foi reduzido o preço do quilo de café? R.16,67%. 5º) Dois capitais foram colocados a juros simples. O primeiro à taxa de 20% a.a. e o segundo à taxa de 40% a.a. Calcule os capitais, capitais, sabendo que a soma deles é R$ 500,00 e que eles produziram, produziram, num ano, juros totais de R$ 130,00. R. 350 e 150. 6º) Dois capitais diferentes aplicados a mesma taxa durante 3 meses renderam R$84,00 e R$115,20 de juros. Sabendo Sabendo que um capital supera o outro em R$130,00, calcule esses capitais e a taxa envolvida. R. 350; 480 e 8%a.m. 7º) Maria obteve R$4410,00 de empréstimo à taxa de 21%a.a Alguns meses depois, tendo en contrado quem lhe oferecesse a mesma importância a 18%a.a. assumiu o compromisso com essa pessoa e, na mesma data liquidou a dívida com a primeira. Um ano depois de realizado o primeiro empréstimo saldou o débito e vericou que pagou ao todo R$826,88 de juros. Calcule o prazo do primeiro empréstimo. R. 3m. 8º) Foi aplicado R$500,00 por 20 dias à taxa de 4,5% a.m. Sabendo que se paga um Imposto de serviço de 20% do rendimento, rendimento, calcular o valor de resgate e a taxa líquida. R. 512 e 3,6% a. m. 9º) Numa operação nanceira considerando o imposto igual ao do exercício anterior, anterior, qual a taxa líquida para 1 mês sabendo que a taxa bruta br uta é de 7% a.m. R. 5,6%. 10º) Um vendedor ambulante oferece no portão, para uma dona de casa, um produto pelo preço de R$180,00 à vista. Esclarece que, se a compradora quiser poderá pagar 5% a mais sobre o preço do produto para pagar em duas vezes (1+1). Determine a taxa mensal que o vendedor está cobrando. R. 10,53% a.m.
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4. DESCONTO SIMPLES Quando uma pessoa possui um título de crédito seja ele duplicata, cheque, nota promissória, letra de câmbio, etc. e a necessidade do capital antes da data de seu vencimento, então, então, poderá efetuar a transferência da posse do título, recebendo em troca o valor do título diminuído de um certo ágio, que é o desconto. Valor alor Nominal (N) – é a quantia devida no nal do prazo O valor do título, também chamado V pactuado, é o valor vencível numa data futura. Equivale, na data n, ao montante da operação. A im Valor alor Atual também chamado de Valor Líquido portância paga ao possuidor do título chama-se de V ou Valor Descontado (valor nominal menos desconto). Portanto, o Desconto é o abatimento que se faz quando o título de crédito é negociado antes do vencimento.. Esse abatimento pode ser calculado tanto em função vencimento função da taxa de juros, juros, como em função da taxa de desconto e, assim, o desconto pode ser: racional e comercial (bancário). 1. Desconto Comercial ou “desconto por fora” ou desconto bancário ou simplesmente desconto (D) – é o abatimento efetuado quando do valor nominal de um título de crédito for deduzido o que decresceu esse valor nominal. Ou seja, é o juro simples aplicado sobre o valor nominal (N) em função de sua liquidação antecipada. O valor nominal, ás vezes, é denominado por: valor do título, valor declarado, declarado, valor valor de face e valor valor de resgate. O valor do desconto é dado pela expressão D=Ndn N - valor nominal d - taxa de desconto n - período de antecipação do título. O desconto só é feito para prazos curtos. Ele só é possível quando d n < 100%. Exemplo 1: Um cheque pré-datado de R$ 300,00 para 12/11, sendo descontado comercialmente em 20/09 à taxa de 14% ao ano, qual o desconto concedido? E qual o valor recebido pelo dono do cheque? Dados: N = 300, d = 14% a.a. = 0,14, n = 53 dias = 53/360 anos.
Resolução: D = N d n
⇒
⇒
D = 6,18.
Valor Atual (A c) – é a diferença entre o valor nominal (N) e o desconto concedido Valor concedido por ter ele sido liquidado antecipadamente antecipadamente.. ⇒ Ac = N – Dc Ac = N – N d n ⇒ Ac = N (1 – d n). No exemplo anterior o valor descontado é R$293,82. Exemplo 2: O desconto e o valor recebido pelo portador de um título de R$100,00 sendo resg atado um mês antes do vencimento vencimento na taxa de 10% são, respectivamen respectivamente, te, R$10,00 e R$90,00. Exemplo 3: Se essa pessoa, em vez de resgatar o título tomasse um empréstimo de R$100,00 por 1 mês para pagar juros antecipados de 10% a.m. pagaria de juros R$10,00, receberia R$90,00 e pagaria no nal R$100,00. Pode-se dizer que o desconto corresponde aos juros antecipados .
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Exemplo 4: Determinar a que taxa devem ser descontados três títulos no valor de R$1000,00; R$1200,00 e R$2000,00 com vencimento para 1, 2 e 3 meses, respectivamente, respectivamente, para que se tenha um borderô de R$3730,00.
Solução: 3730 =1000 (1– d 1) + 1200 (1– d 2) + 2000 (1– (1– d 3) 3730 =1000 – 1000 d + 1200 – 2400 d + 2000 – 6000 d 9400 d = 470 d= d = 0,05 d = 5% a.m. ⇒ ⇒
2. Desconto Racional (não é utilizado na prática) também chamado de desconto “por dentro”, desconto verdadeiro ou desconto real (D r ) ) – – é o abatimento efetuado efetuado quando do valor valor nominal de um título de crédito for for deduzido o que cresceu o capital capital original (juros). Em outras palavras, palavras, desconto racional é o juro simples do valor atual do título . Assim, este desconto trata de uma aplicação de juros simples, onde a incógnita do problema é o capital inicial ou valor presente. Daí, a expressão “descontar com taxa de juros” que signica utilizar desconto racional. A taxa de desconto racional = taxa de juros simples. Este tipo de operação não é utilizado na prática. Valor V alor Atual Racional –– é o capital que, que, se colocado a render juros juros a partir da data atual, dará dará um montante (valor futuro) que é o valor nominal do compromisso em sua data de vencimento.
Conforme já sabemos, S = P (1 + i n) ⇒ N = AR (1 + in) daí, A r = . O valor do desconto é dado pela expressão Como D r = A i n. N in Substituindo A r na equação: D r = 1 + in , onde: N = valor nominal, d - taxa de desconto,
n - período de antecipa antecipação ção do título.
Exemplo 1: Uma nota promissória de Valor Nominal igual a R$ 260,00 e vencimento para 90 dias foi descontada à taxa de 6% ao mês. Qual o desconto racional dessa operação? Dados: N = 260, n = 90 dias = 4 meses, i = 6% a.m., Dr = ? .
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Exemplo 2: Um título no valor de R$3000,00 foi resgatado 2 meses antes do vencimento na taxa de 10% a.m., Resolvendo Resolvendo por desconto racional encontra-se encontra-se R$500,00 para o desconto e R$2500,00 para valor recebido. recebido. Comparação entre a taxa de desconto (d) e a taxa de juros (i) – a comparação será feita depois da resolução do exemplo seguinte: a) Um título no valor de R$100,00, resgatado 1 mês antes do vencimento na taxa de desconto de 10% a.m. tem como desconto o valor deR$10,00 e valor recebido de R$90,00. b) Colocando o valor de R$90,00 para render juros na taxa de 10%a. m. durante o mesmo períperí odo de 1 mês, o montante será de R$99,00.
Nos exemplos acima observamos que a taxa de desconto é diferente da taxa de juros. Assim, qual a taxa de juros que é equivalente a taxa de desconto (d) = 10%? Resposta: A taxa de juros (i) = 11,11% (taxa efetiva). Observe que anunciar a taxa de desconto e não a taxa de juros é um modo sutil de fazer crer aos ingênuos estarem eles pagando juros menores do que realmente lhes estão sendo cobrados. Pelos exemplos exemplos acima, percebemos a necessidade de encontrar uma expressão que relacione as duas taxas. t axa de juros capaz de produzir Sabemos que a taxa de desconto negociada é diferente da taxa montante igual ao valor nominal. Vamos V amos encontrar uma expressão que relacione as duas taxas.
Essa expressão será deduzida a partir do montante: in =
D A
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Exemplo 3: Qual o desconto e o valor recebido pelo portador de um título de R$1000,00, descontado a taxa de 12% ao ano, sendo resgatado 90 dias antes do vencimento vencimento,, são, respectivamente, respectivamente, R$30,00 e R$970,00? Resolução: D=Ndn ⇒ ⇒ D = 30 Ac = N (1 – d n) ⇒ Ac = 970.
A mesma quantia de R$300,00 (desconto) representa os juros que se paga pag a sobre o valor atual de R$ 970,00, juros esses calculados à taxa de 12,37% a. a. que é a taxa equivalente à taxa de desconto de 12% . Exemplo 4: Se uma instituição quer ganhar 36% a.a.que taxa de desconto deveria aplicar para operab) 3 meses? ções com prazo de: a) 1 mês? Resolução:
a) b)
⇒
1200 d = 36 – 108 d ⇒1302 d = 36 ⇒d = 2,76% a.m.
5. EQUIVALÊNCIA NA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Equivalência de capitais – É comum a necessidade de antecipar ou prorrogar títulos nas operações comerciais. Essa troca é feita levando em consideração a equivalência dos títulos, para isso é necessário que se faça à comparação desses títulos numa mesma época e esta tem que ser a época zero (hoje), isto porque não podemos fracionar o prazo, pois se assim o zéssemos estaríamos considerando juros sobre juros e não seria capitalização simples. Para juros temos:
.
Para desconto temos: A = N (1 – d n).
Esquematicamente:
Exemplo 1: Uma empresa deve pagar dois títulos: um de R$520,00 para 2 meses e outro de R$1960,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-los por um único título para 4 meses. Calcular o valor nominal do novo título empregando a taxa de desconto de 14,4% a.a.
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O problema trata de valor atual com juros
A4 = A2 + A3 ⇒ x (1 – 0,012.4 ) = 520 (1 – 0,012.2 ) + 1960 (1 – 0,012.3 ) ⇒ 0,952 x = 520. 0,976 + 1960. 0,964 0,952 x = 507,52 + 1889,44 ⇒ ⇒ 0,952 x = 2396,96 x= x = 2517,81. Exemplo 2: Qual a prestação de um objeto que custa R$300,00 e é vendido em 3 vezes (0+ 3) com juros de 5% a.m.?
O problema trata de valor atual com juros. Assim, podemos resolvê-lo como segue: 300 =
x 1+0,05.1
+
x 1+0,05.2
+
x 1+0,05.3
300 = x (0,9524 + 0,9091+ 0,8696)
⇒
300 = x 2,7311
⇒
x = 109,85.
Problemas Propostos: 1º) Um comerciante deseja realizar uma liquidação de 50%. De que porcentagem um produto de R$150,00 deve ser aumentado para que depois do desconto anunciado o comerciante receba os mesmos R$150,00? E se o desconto for: 20%; 15%? R.100%; 25%; e 17,65%. 2º) Qual a melhor opção? a) Leve 4 e pague 3 b) Leve 3 e pague 2 R. b 3º) Dois títulos, o 1º de R$3762,00 e o 2º de R$2538,00 foram descontados a 6%a. m. sofrendo um desconto total de R$717,48. O vencimento do 1º título ocorre 20 dias após o do 2º. Determinar esses prazos. R. 45 e 65 dias.
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4º) Qual a melhor opção para Maria:
a) descontar no banco uma duplicata no valor de R$5000 com 1,5 meses a vencer numa taxa de 5%a.m.? b) tomar empréstimo igual ao valor líquido da duplicata acima para ser pago em 45 dias a taxa de 5,3 % a.m.? R.b vencimento. Sabendo-se que a 5º) Uma duplicata de R$5000,00 é descontada 100 dias antes do vencimento. taxa de desconto é de 6% a. m., a taxa de serviço cobrada pelo banco é de 2% e considerando ainda um imposto de 0,0042% a.d., qual o líquido e taxa efetiv efetivaa mensal? R. 3879 e 8.67% 6º) O portador de um título de R$6000,00 resolveu descontá-lo 4 meses antes do vencimento na taxa de 13% a. m. e aplicar o valor apurado a 18% a. m. pelo mesmo período. Fez bom negócio? R. Não. 7º) (VERAS) Um banco descontou uma nota promissória de R$5000,00 para Marielle, 90 dias antes de seu vencimento, e depositou o valor correspondente em sua conta-corrente. O extrato da conta recebido por Marielle acusou um depósito de R$3180,00 e o costume do banco é cobrar, por esse serviservi ço, uma taxa de 0,4% sobre o valor nominal do título. Qual a taxa de desconto cobrada pelo banco? R. 12%a. m. 8º) Ana aplicou R$1200,00 em letras de câmbio para resgatar R$1452,00 após 90 dias. Quando faltavam 15 dias para o vencimento da letra, descontou-a com taxa de 8% a. m. e depositou o valor apurado a prazo xo com rendimento rendimento de 10% a. m. por 2 meses. meses. Qual a taxa de juros considerando todas essas operações? R. 8.75% a. m. 9º) Uma loja está fazendo uma promoção na venda de chocolates: compre x chocolates e ganhe x% de desconto. A promoção é válida para compras de no máximo 60 chocolates chocolates.. Matilde e Ricardo compraram 30 e 45 chocolates respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais chocolates e gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática? R. Ricardo. 10º) Qual o prazo que um título de R$3000,00 vencível em 1 mês possa ser trocado por outro de R$3200,00 sabendo que o desconto é de 3,5% a.m. e que o imposto cobrado é de 0,02% a.d. R. 2,5 mês. 11º) Tenho alguns títulos que gostaria de descontar antes do vencimento. O Banco A faz desconto com taxa de 34,45%a.a. O Banco B usa taxa de juros de 36% a.a.
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a) Onde é mais vantajoso descontar um título que vence daqui a 2 meses? R.Bco. B. b) Qual o prazo de vencimento que torna indiferente a escolha do banco? R.≈1,5mês. 12º) Um aparelho de R$ 300,00 ou com entrada (1+2) de R$100,00 sendo de 8% a. m. a taxa de juros. Pede-se Pede-se calcular até que valor interessa adquirir o bem à vista. R. 278,80. 13º) Uma dívida de José está sendo paga em seis prestações mensais e faltam três pagamentos de R$2250,00 para que seja totalmente saldada. Na data em que fez o 3º pagamento, José propôs ao credor pagar o restante da dívida em apenas dois pagamentos iguais, se ela fosse recalculada naquela data, com a taxa de 12% a.m. de juros e se os pagamentos fossem feitos em 30 e 60 dias, respectivamente. Se o credor aceitar, de quanto serão os pagamentos? R. 3222. 14º) Um objeto custa x. Depois de 1 mês, ele sofre um aumento de 20% e, logo depois, um desconto de 20%. Em relação ao preço inicial o que lhe aconteceu? R. – 4%. 15º) Siare fez um depósito a prazo xo de dois meses, decorrido o prazo o montante que era de R$2220,00 foi reaplicado por mais um mês a uma taxa de juros 20% superior à primeira. Sendo o montante nal de R$2550,00. Calcule o principal e as taxas mensais mensais.. R. 1779; 12,39% e14,87%. 16º) Em um dado momento, dois objetos A e B tinham o mesmo preço. O preço de A sofreu um aumento de 25% e, em seguida, outro aumento de 80% sobre o novo preço O preço de B sofreu um aumento de x% e, em seguida, outro aumento de x% sobre o novo preço. Os preços nais dos dois objetos resultaram iguais. Qual o valor de x? R. 50%. 17º) (VERAS) A nanceira A faz empréstimo a 10% a. m. de juros e cobra no ato uma taxa de serviços de 4,5% sobre o valor nanciado. nanciado. A nanceira B faz empréstimo a 12% a. m., mas só cobra também no ato 1,5%: a) Estabeleça fórmulas que dêem taxas efetivas de juros mensais de cada nannan ceira, para o prazo de n meses. b) Para empréstimos, empréstimos, com que prazos as taxas efetivas de ambas seriam equivalentes? Rb). 1m e 26 dias .
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6. JUROS COMPOSTOS No regime de capitalização composta, o juro produzido no m de cada período é somado ao capital que o produziu passando esta soma (montante daquele período) a render juros no período seguinte (juros sobre juros). Juros Compostos – é a diferença entre o montante no nal do período e o principal. Calcular o montante S de um capital P aplicado à taxa i durante 4 períodos períodos.. Vamos V amos inicialmente inicialmente calcular os montantes montantes de cada período. período. Esquematicamente:
S1 = P (1 + i) S2 = S1 (1 + i) = P (1 + i) (1+i) = P (1+i) 2 S3 = S2 (1+i) = P (1+i) 2 (1+i) = P (1+i) 3 S4= S3 (1+i) = P (1+i)3 (1+i) = P (1+i) 4. ……………………………………… Sn = P (1 + i)n, ou seja, S = P (1 + i)n
⇒
Esquematicamente (1 + i)n = fator de acumulação de capital.
= fator de valor atual. O cálculo pode ser efetuado por: • Uso de logari logaritmo. tmo. • Uso de calculadora calculadora cientíca ou nanceira. nanceira. • Uso de tabelas nanceiras (nal do trabalho trabalho p. p. 50 temos uma pequena amostra). amostra). Exemplo 1: Para comprar uma máquina no valor de R$2500,00, quanto se aplica hoje para daqui a dois meses possua tal valor considerando a taxa de juros de 3%a.m.? ⇒
⇒
P = 2356,49.
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Exemplo 2: Se a taxa mensal está em torno de 2,5%, em quanto tempo uma mercadoria que custa R$800,00 atingirá o preço de R$850,94?
S = P (1 + i)n
⇒
850,94 = 800 (1 + 0,025)n
log 1,063675 = log 1,025n
⇒
⇒
n=
1,063675 = 1,025n =
⇒
n=2,5meses.
praExemplo 3: No ano passado o Banco X chegou a pagar R$1200,00 para aplicações de R$1000,00 pelo prazo de um ano, sabendo que há um imposto de 12,2% sobre o rendimento. Qual a taxa efetiva nos casos: a) imposto pago no nal da aplicação. R.17,56% a.a.; b) imposto pago no ato da aplicação além do capital aplicado. aplicado. R.17,14% a.a.; c) imposto pago no ato da aplicação, porém incluído no capital que fora inicialmente negociado (1000). R.17,14% a.a.. a)
i=
⇒
i = 20% no período
imposto = 12,2% dos juros ⇒ 12,2% de 200 ⇒ imposto = 24,4. Assim, de fato, fato, o aplicador no nal do período período recebe o valor valor de 1200 – 24,4 = 1175,60 1175,60 taxa efetiva =
a. a..
b) tx. efet.=
a. a..
c) 1000 = capital + imposto ⇒ 1000= P+ 12,2% juros ⇒ 1000 = P+ 0,122 de 20% P 1000 = P + 0,0244P J= 20% de 976,18 tx. efet.=
⇒
1000= 1,0244 P
⇒
J= 195,24
⇒
⇒
P=
⇒
P = 976,18
M = 1171,42
a. a..
Montante de juros compostos quando o prazo não for expresso por um número inteiro de períodos – a expressão do montante S = P (1 + i)n foi deduzida para n expresso por um número inteiro inteiro de período período.. Quando o prazo se apresenta da forma n = m + em que m representa um número inteiro de períodos e a fração de período p/q (p < q).
Existem duas convenções para o cálculo do montante: Convenção Linear – o capital P rende juros compostos durante a parte inteira de períodos (m períodos) e se transforma no montante parcial o qual produzirá juros simples durante a fração p/q do período de capitalização. capitalização. Assim, o montante total é; .
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Convenção Exponencial – o capital P rende juros compostos durante a parte inteira e também durante a parte fracionária do período período.. Assim o montante será: .
M = P (1 + i) m + q p Exemplo 4: Calcular o montante do capital de R$1200,00 à taxa de 4% a. m. durante 2 meses e 18 dias. Determine o montante recebido usando usando as 2 convenções, convenções, ou seja, no regime de capitalização composta (convenção (convenção exponencial) e no regime de capitalização mista (convenção linear).
Exp. Linear:
⇒
M=1200
= 1200.1,04 2,6 = 1200.1,107354 = 1328,82
M=1200(1+0,04)2
= 1200.1,0816.1,024=1 1200.1,0816.1,024=1329,07. 329,07.
⇒
7. TAXA NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
a) O conceito de Taxa Equivalente é o mesmo denido para capitalização simples. Aplicando montante montante no período período de 1 ano na taxa taxa anual (i )a e taxa mensal (i m ) P (1 + i m )12 = P (1 + i )a ⇒ (1 + i m )12 = (1 + i )a Ou
⇒
i a = (1 + i m )12 – 1.
Exemplo 1: Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano. a. m.
equivalente te a 0,19442% ao dia. Exemplo 2: Determinar a taxa anual equivalen Ia = (1 + 0,0019442)360 - 1 = 1,0122 = 101,22% aa. Dos exemplos acima podemos podemos chegar a uma expressão genérica, que nos permite utilizar em qualquer caso:
iq = taxa que quero, quero, i = taxa que tenho, tenho,
q = unidade de tempo que quero, t = unidade de tempo que tenho. Exemplo 3: Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 66% ao ano. i = (1 + 0,66 )183/360 - 1 = 0,2899 ou 28,99%. b) Taxa Nominal e taxa efetiva – Uma expressão como “24% a.a. com capitalização mensal”, ”24% a.a. composto mensalmente” ou “24% a.a. convertidos mensalmente” signica que a taxa utilizada na operação não é a de 24% e sim a taxa mensal que lhe é proporcional. Assim, a tradução da expressão acima é de de 2% a.m. ou 26,82% a.a que é a taxa efetiva efetiva e a taxa de 24% a.a. é a taxa nominal. nominal. A taxa de juros é nominal, quando o prazo de capitalização dos juros não é o mesmo daquele denido para a taxa de juros. Nesse caso é comum admitir-se que a taxa para o período de capitalizacapitaliza-
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ção é encontrada como se fosse por juros simples, ou seja, dividindo a taxa dada proporcionalmente ao número de períodos de capitalização referente à unidade de tempo. A taxa de juros é efetiva efetiva signica dizer que, caso a taxa conhecida seja uma taxa nominal, esta deverá ser dividida proporcionalmente ao número de período de capitalização, e em seguida encontrada a taxa equivalente para o período que se deseja. Essa taxa equivalente encontrada encontrada é a taxa efetiva naquele período. Exemplo 1: qual deve ser a taxa efetiva anual para a taxa nominal de 36% ao ano, capitalizada mensalmente. A taxa efetiva mensal será de 36 dividido por 12 meses que é igual 3% ao mês. A taxa efetiva anual procurada será, portanto, a taxa anual equivalente à taxa de 3% ao mês, ou seja, i a = (1 + 0,03 )12 - 1 = 0,4258 ou 42,58% a.a..
A Tabela Price Pr ice possui a característica de ter a taxa anual e período mensal, assim, por exemplo, numa taxa de 36% traduzimos: 1) taxa nominal de 36% a.a.; 2) os períodos correspondem a meses; 3) a taxa efetiva é de 3% a. m., ou seja 42,58% a.a.. c)Taxa de juro variável – V Vamos amos partir de um exemplo. Um capital de R$1000,00 é aplicado durante 3 meses a taxas mensais de 1,5%; 2% e 2,5%. Qual o Montante? Qual a rentabilidade acumulada no trimestre? Qual a taxa média? Observamos que durante o período da aplicação há várias taxas de juros diferentes aplicando o conceito de montante período a período. Observando, isso, temos: ⇒
⇒
⇒
S = 1000 x 1,0611825
⇒
S = 1061,18.
A rentabilidade acumulada acumulada no trimestre, trimestre, ou seja, a taxa trimestral (i) (i) – P
i=
⇒
i = –1
⇒
–1; i=
–1
⇒
i= 1,0611825 – 1 ⇒ i = 6,118% a. t.. A taxa média é a taxa mensal, ou seja, P (1+i) (1+i) 3 = P ⇒ (1+i)3= (1+i ) 3 =1,0611825
⇒ ⇒
i=1,99918% a. m.
Problemas Propostos: 1º) Um investidor aplicou R$1200,00 em títulos que lhe proporcionarão um resgate de R$1330,46 após 90 dias de aplicação. aplicação. Qual a taxa mensal mensal da aplicação? R. 3,5%.
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2º) Maria fez uma aplicação de R$750,00 por 18 meses à taxa de 36% a.a. Determine o montante recebido usando as 2 convenções: R. 1203,6 e 1189,51. 3º) Determine o valor aplicado na operação, cujo resgate foi de R$1700,00 após 70 dias a uma taxa de 2,2% a. m., utilizando as duas duas convençõ convenções. es. 1615,83 e 1615,75. 1615,75. 4º) a) Qual a taxa anual equivalent equivalentee a 12% ao bimestre? b) Qual a taxa mensal equivalen equivalente te a 0,2% ao dia? c) Qual a taxa semestral equivalen equivalente te a 108% ao ano? d) Qual a taxa em 63 dias equivalen equivalente te a 10% ao mês? e) Qual a taxa em 13 meses equivalen equivalente te a 10% ao bimestre? f) Qual a taxa em 63 dias equivalen equivalente te a 500% ao ano?
R. 97,38%. R. 6,18%. R. 44,22%. R. 22,16 %. R. 85,8%. R. 36,83%.
5º) Em quanto tempo teremos montantes iguais com o capital de R$1198,00 aplicado a 4,6% em 20 dias e o capital de R$1252,00 aplicado a 6% a.m. R. 144 dias. 6º) Qual a melhor opção: a) Descontar no banco uma promissória de valor R$1000,00 com 90 dias a vencer na taxa de 10% a.m.. b) Tomar empréstimo no valor líquido da promissória, para ser pago em 3 meses com juros de 12% a. m.. R. b. 7º) Uma nanciadora emite uma LC prexada no valor de R$8000,00 por 60 dias. Sendo 96 % a.a. a taxa e 20% a alíquota do do I.R., qual a taxa líquida para: a) I.R cobrado cobrado no nal? b) I.R cobrado cobrado no início? R.4,64 e 4,53% a.m.. 8º) Roberto tem um capital R$3000,00 disponível para aplicá-lo a prazo xo por 3 meses a uma taxa de 72% a.a.. Sabendo que existe um imposto de 20% sobre o rendimento rendimento,, qual a taxa efetiva mensal nos nos casos; a) imposto imposto pago no nal da aplicação? aplicação? b) imposto pago no ato da aplicação além do capital aplicado? c) imposto pago no ato da aplicação retirado retirado do capital inicial. R. 3,73%; 3,63% e 3,63%. 9º) A nanciadora A faz empréstimo a 10%a.m. e cobra no ato uma taxa de serviço de 4,5%. A nanciadora B faz o mesmo com juros de 12% a.m. e serviço ser viço de 1,5%. a) Qual a melhor num empréstimo de 1mês? R. B. b) Qual a melhor num empréstimo de 6 meses? R. A. c) Qual o prazo que torna indiferente a escolha do banco? 52dias. 10º) Um capital de R$5000,00 é aplicado durante 2 anos à taxa de 9% a.a. capitalizado trimestrimes tralmente. Qual o montante e qual a taxa efetiva anual? R.5974,15; 9,308%.
Notas de Aulas da Disciplina Matemática Matemática Financeira
29
11) Calcular a taxa anual equivalente a 1,7% para 51 dias, capitalizados bimestralmente? bimestralmente? R.12,6162%. 12º) O banco A oferece empréstimos pessoais por um ano a taxa de 12% a.a.; o banco B pelo mesmo empréstimo e prazo cobra 9,6% a.a. porém com capitalização mensal dos juros. Qual o melhor banco? E qual deveria ser a taxa nominal anual do banco B, para que fosse indiferente a escolha do banco? R. banco B; 11,3865% a.a. cap. mensalmente. mensalmente. 13º) Em 3 meses consecutivos as ações de uma empresa desvalorizaram-se a 1% a.m. Qual a rentabilidade no período? R. – 2,97% 14º) Em junho e julho um fundo de ações rendeu 3% e – 1%, respectivamente. respectivamente. Qual a rentabilidade de agosto para que o acumulado seja 6%? R. 3,95%.
8. CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA Quando os períodos de capitalização são tão pequenos quanto se queira. Admitindo um capital de R$1000,00 aplicado por um ano à taxa de 12% a.a. e calculando seus montantes nas seguintes hi póteses de capitalização: anual, semestral, trimestral, mensal, diária e horária, encontramos, respectivamente, os valores: R$1120,00; R$1123,60; R$1125,51; R$1126,83; R$1127,47 e R$1127,4. Constatamos que o valor do montante aumenta à à medida que aumentamos o número de capitalizações, à primeira vista parece, inclusive, que ele cresce indenidamente, mas fazendo a capitalização ainda menor, por exemplo, a capitalização por minuto, por segundo, etc. encontramos o valor do montante M = 1000 “não é muito diferente” da capitalização horária. Dessa forma, podemos inferir que o valor do montante “aproxima-se do valor R$1127,50”. O Cálculo Integral e Diferencial nos ensina que o =
e m, onde e (número de Eu
ler) = 2,7182818 2,718281828459. 28459. Então, no exemplo, =1000 = 1000 e 0,12 = 1127,50. Assim, o montante na capitalização contínua é M = C e i. Se o período de aplicação não for 1, mas n, encontramos: M = C e i n. taxa anual i capitalizada continuamen continuamente te é chamada taxa instantânea Na Na prática, a capitalização não é usada. Este conceito tem grande interesse teórico em análise de projetos, onde se admite o capital crescendo continuamente com o tempo. Exemplo: Um capital de R$5000,00 é aplicado à taxa de 10% a.s. durante 2 anos com capitalização contínua. Determine o montante montante.. M = 5000 e 0,1 . 4 = 7459,12.
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9. DESCONTO COMPOSTO (não é utilizado na prática, tem importância meramente teórica) Desconto composto – os descontos compostos podem ser considerados como uma sucessão de descontos simples, calculados período por período. a) desconto comercial AC = N (1 – i) n; DC = N – AC (i ≠ I) . b) desconto racional:
AR =
DR = N – AR (i = I).
Exemplo: Um título de R$5000,00 é resgatado 2 meses antes do vencimento à taxa de 4% a.m. Qual o desconto aplicado?
AC = N (1 – i) n = 5000 (1 – 0,04) 2 = 4608 AR =
= 4622,78
⇒
⇒
DC = = N – AC = 5000 – 4608 = 392;
DR = N – AR = 5000 – 4622, 78 = 377, 22.
10. EQUIVALÊNCIA NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Equivalência de capitais – o conceito de equivalência de capitais que permite transformar formas de pagamentos (ou recebimentos) em outras equivalentes é a mesma que vimos para capitalização simples exceto que a época da comparação desses títulos pode ser qualquer. Na prática, apenas é utilizada a equivalência na capitalização composta. Exemplo 1: O valor a vista de um objeto é R$300,00. Maria paga hoje a quantia de R$140,00 e R$100,00 com 1 mês. Que pagamento deverá efetuar daqui a 2 meses para liquidar a dívida se a loja trabalha com juros de 4% a. m.?
O valor do objeto é 300 e como é pago 140 de entrada o seu débito é 160, ou seja, 300 – 140 = 160 ⇒ 160 (1,04) = 166,40 ⇒ 166,40 – 100 = 66,04. 66,04 (1,04) = 69,06. Ou considerando época zero:
x = 69,06.
⇒
Ou considerando época 1:
160 (1,04) = 100 +
Ou considerando época 2:
160 (1,04) 2 = 100(1,04) + x
⇒
x = 69,06. ⇒
x = 69,06.
Notas de Aulas da Disciplina Matemática Matemática Financeira
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Problemas Propostos: 1º) Um objeto custa a vista R$300,00 ou então em 3 prestações mensais e iguais (0+3) com juros de 7% a. m. Calcule o valor dessas prestações. prestações. R. 114,32. 2º) José deve pagar 2 títulos, o 1º de R$250,00 exigível em 1 mês; o 2º de R$260,00 exigível em 2 meses. Ele pretende substituir esses 2 títulos por um único de R$509,92. Calcule o prazo do novo título,, sabendo que a taxa de mercado é de 6% a.m. título R.1,5m. 3º) Um vídeo de R$600,00 é oferecido a João em 4 planos. Qual a melhor opção de compra uma vez que a taxa de de juros de mercado é de 6,5% a. m.? a) Direto com 1 mês. b) A vista com 6% de desconto. c) (1+2) sem acréscimo. d) 25% de entrada e o restante com 1 mês. R. a. 4º) O preço de um produto produto é de R$450,00, contudo pode pode ser comprado de três vezes (1+2) sem acréscimo, diz o vendedor. vendedor. Se a loja trabalha com juros de 6% a. m., qual a porcentagem do preço à vista, pode a loja dar de desconto? R. 5,55%. 5º) Uma matéria-prima é vendida por R$900,00 em 3 parcelas mensais de R$300,00 (0+3). Se o pagamento é feito à vista, há um desconto de 10%. Qual a taxa de juros do nanciamento? R. 5,46% a. m.
11. TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) Taxa interna interna de retorno – é taxa de juros que anula anula o valor atual do uxo uxo de caixa. Exemplo: 1: Uma matéria-prima é vendida por R$900,00 em 3 parcelas mensais de R$300,00 (0+3). Se o pagamento for feito à vista, haverá um desconto de 10%. Qual a taxa de juros do nanciamento? (5º problema da página anterior). Observamos que a sua resolução depende de uma equação do 3º grau e como a resolução algébrica de uma equação de grau maior que 2 é trabalhosa e às vezes impraticável impraticável por métodos clássicos (em geral, essas equações não tem fórmula fór mula resolutiva) resolutiva) dessa forma, usa-se métodos aproximados .
Ex: No problema, igualando a zero, temos:
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Chamando o 1º 1º membro da equação por P(i), P(i), observamos que: a) P(i) é uma função contínua de i, para valores positivos de i, pois é uma função racional. b) P(i) é uma função estritamente decrescente de i, pois P ’( i ) < 0; c) P ( 0 ) > 0. Assim, seu gráco tem a forma. forma.
i = taxa interna de retorno. Admitindo o arco AB como um segmento de reta e usando geometria clássica, temos temos a taxa interna de retorno dada por:
. No exemplo exemplo,, fazendo i 1 = 5%; i2= 6% temos:
. Método de interpolação linear do valor atual – consiste em procurar valor atual maior e menor que o valor apresentado e fazer uma regra de três. Para Para começar com i, a dica é: (valor total : valor atual – 1) : nº de pagamentos pagamentos.. Exemplo anterior:
taxa valor atual 5 816,97 5+x 810 6 801,91
1 x
15,06 6,97
x = 0,462
⇒
⇒
taxa = 5,46% a.m.
Resolução da TIR utilizando do programa pr ograma EXCEL
Para isso v amos amos partir do exemplo abaixo. Exemplo 2: Uma nanceira concede empréstimo de R$9000,00 para ser pago em três prestações vencíveiss em 1, 2, vencívei 2, 3 meses com com valores valores de R$3500,00; R$3500,00; R$4000,00; R$4275,10 respectivamen respectivamente. te. Qual a taxa de juros desse empréstimo? pr ograma EXCEL (planilha eletrônica) Faremos o exemplo utilizando o programa Uma planilha eletrônica é uma matriz, onde as linhas são numeradas numeradas 1, 2, 3, ... e as colunas são designadas pelas letras A, B, C, ..., de modo que as células da 1ª linha são A1, B1, C1 ..., as células da 2ª linha são A2, B2, C2, ..., etc. Utilizando a própria fórmula nanceira TIR, que o programa já traz. Insira o valor uxo de caixa colocando as parcelas com sinal negativo neg ativo em sequência dos períoperíodos e após inserindo a fórmula nanceira TIR. É necessário selecionar o uxo de caixa:
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Detalhando:
1. Na célula A1 digita valor à vista. Na célula B1 digita Prestação 1. Na célula C1 digita Prestação 2. Na célula D1 digita parcela Prestação 3 e na célula E1 digita taxa de juros. 2. Na célula A2 digita 9000. Na célula B2 digita -3500. Na célula C2 digita -4000. Na célula D2 digita -4275,10 e na célula E2 (célula de resposta) pinta (opcional) digita = ícone inserir função, TIR, ok, digita A2:D2, digita ok. Se quiser aumentar as casas decimais é só clicar o ícone que trata desse aumento. Abaixo temos temos a cópia da planilha planilha no computador, computador, que calcula calcula a taxa em 14,215% ao mês..
Ainda existem outros outros métodos aproximados aproximados,, por exemplo: exemplo: o Método de Newton. Newton. Problemas Propostos: 1º) Uma nanceira, concede empréstimo de R$10000,00 para ser pago em três prestações venvencíveis em 1, 2, 3 meses com valores de R$3500,00; R$4000,00; R$4275,10, respectivamente. Qual a taxa de juros desse empréstimo? R. 8,35%a.m.. 2º) Maria aplica R$5774,00; recebe R$1800,00 com um mês, R$2500,00 após dois meses e R$2874,30 com três meses. Determine a taxa interna de retorno. R. 10,8%. 3º) Um equipamento é vendido à vista por R$1300,00 ou então com uma entrada de R$300,00 e mais três mensais de R$400,00. Qual a taxa de juros mensal? R. 9,7%. 4º) José aplica R$1000,00, recebe R$450,00 após um mês, R$400,00 após dois meses e R$271,55 com três meses. Determine a taxa interna de retorno retorno.. R. 6,504%.
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12. RENDAS CERTAS OU SEQÜÊNCIAS DE CAPITAIS OU SÉRIES DE CAPITAIS As séries séries ou seqüê seqüências ncias de capita capitais is dispon disponívei íveiss ou pagame pagamentos ntos ven vencíve cíveis is em em datas datas difer diferentes entes constituem o que se chama renda. Cada um dos pagamentos chama-se termo ter mo ou prestação. Estudaremos Estudaremos as rendas certas ou simplesmente rendas, que têm os termos ter mos e períodos iguais, elas se dividem em: 1) Imediatas ou Postecipadas, também chamadas ordinárias, vencidas – caracterizam-se por terem o primeiro pagamento efetuado efetuado no m do primeiro período (começa na parcela 1). Exemplo: O salário que o trabalhador recebe no m de cada mês. Montante ou Valor Futuro de Renda Imediata ou Postecipada – Vamos partir de um exemplo. Exemplo 1: Determinar o valor do montante no fnal do 4º mês, de uma série de 4 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 100,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no fnal do 1º mês e que a última, no fnal do 4º mês, é coincidente com o momento em que é pedido o montante.
R – cada termo da série; i – taxa de juros coerente com a unidade de tempo; n – número de prestações; P – principal, capital inicial, valor atual ou valor presente; S – montante ou valor futuro. Dados: R = 100
i = 4% a. m.
n=4
S=? S
0
1
2
3
4
100
100
100
100
Vamos V amos calcular o montante montante de cada prestação prestação no nal do do 4º mês: S = 100 (1,04)³ + 100 (1,04)² + 100 (1,04)¹ (1,04)¹ + 100. Colocando 100 em evidência: evidência: S = 100 [(1,04)³ + (1,04)² + (1,04)¹ + 1] ou S = 100 [1 + (1,04)¹ + (1,04)² + (10,4)³]. Observe que a série entre colchetes representa a soma de uma progressão g eométrica de razão 1,04, cuja formula é: a n = 1,04 3, temos:
. Sabendo que na série acima a 1 = 1; q = 1,04; n = 4, e ⇒
(1)⇒ = 100. 4,246462
= 424,65. Como no problema R = 100; n = 4 e i = 0,04, substituindo na expressão (1) os valores numéricos pelos seus símbolos correspondentes temos a formula genérica: (2) em . que =
é o fator de acumulação de capital, represe representado ntado por FA FAC C (i,n).
Notas de Aulas da Disciplina Matemática Matemática Financeira
Resumindo:
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ou S = Rx FAC (i, n)
ou S= R x s
n i
Obs.: o FAC pode ser tabelado para diversas taxas e prazos simplicando os cálculos. Tabela 2 – Fator de Acumulação de Capital – FAC = i
4%
5%
6%
7%
8%
n 3
3, 3,121591
3,152485
3,183595
3,214899
3,246400
4
4,246450
4,310105
4,374608
4,439941
4,506111
5
5,416304
5,525606
5,637082
5,750738
5,866601
12,577827
13,180767
13,816443
14,486561
10
12,00606
Pela tabela, na interseção da linha de n = 4 e i = 4% encontra-se o FAC FAC (4%,4) = 4,24645, assim: S = 100 x 424645 = 424,65. Exemplo 2: Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente numa operação durante durante 10 meses, para que possa resgatar R$ 15000,00 no nal, sabendo que a taxa de rendimento é de 4% a. m.?
Dados: R=?
S=15000
i=4 %
n=10 15000
0
1
2
3
R
R
R
10 R
Neste exemplo precisamos encontrar a prestação, assim, vamos utilizar a expressão do montante: assim temos:
, onde o fator
1
è chamado Fator de Forma
ção de Capital (FFC): Logo R=S x FFC (i,n). Resolvendo nosso exemplo temos: ⇒
R= 15000
Pela tabela nanceira: R=S x FFC (i,n)
= 1249,36. R=15000 x FFC(4%,10)=15000 FFC(4%,10)=15000x0,08329=1249,35. x0,08329=1249,35.
⇒
A diferença de 0,01 nas prestações acontece devido a problemas de arredondamento. arredondamento. O valor obtido pela tabela só possui cinco casas decimais, enquanto o da fórmula por utilizar a calculadora possui pelo menos oito casas decimais.
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Valor Atual ou Valor Presente de Renda Imediata ou Postecipada – podemos calcular Valor diretamente o valor atual de uma série, ou calcular inicialmente o seu montante e em seguida trazer esse montante ao valor presente para um único pagamento. Vamos comprovar isso através do exemplo. Determinar o valor atual de uma serie de 4 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 100,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no fnal do 1º mês e que a última, no fnal do 4º mês.
Dados: R = 100
i = 4% a. m.
n=4
P=?
P 0 100
1
2
3
100
100
100
4
Vamos V amos calcular o valor valor atual de cada prestação prestação.. . Colocando o valor 100 em evidência, teremos:
Observe que o numerador da expressão entre parênteses representa a soma de uma progressão geométrica de razão 1,04, com número de termos igual a 4. Aplicando a fórmula temos: (1)
⇒
.
Substituindo na expressão (1) os valores numéricos pelos respectivos símbolos, temos a fórmula genérica: , onde a expressão entre colchetes colchetes é o fator de valor atual representado representado por FVA (i,n). Para um único pagamento: S = P (1 + i)ⁿ, portanto:
.
Obs.: O fator de valor atual – FVA pode ser obtido dividindo o fator de acumulação de capital por (1 + i)ⁿ,
P = R x FVA (i, n)
⇒
P = 100 x FV FVA A (4%,5) = 100 x 3,629885 =362,99.
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Resumindo:
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ou
P = R x FV FVA A (i, n)
ou P= R x a
.
n i
Tabela 3 – Fator de Valor Atual – FVA = a n i = i
4%
N
5%
5,5%
6%
7%
8%
4
3,629885
3,545937
3,505144
3,465100
3,387210
3,312126
5
4,451810
4,329461
4,270278
4,212357
4,100197
3,992710
9
7,435313
7,107799
6.952185
6.801684
6.515231
6,246887
12
9,385050
8,863224
8,618506
8,383835
7,942685
7,536077
Exemplo 1: José compra um objeto que irá pagar em três prestações mensais (0 + 3) de R$ 381,05. Sabendo que a taxa de juros é de 7% a.m., a) Qual o valor nal pago? b) Qual o preço à vista?
a)
ou S = R x FA FAC C (i,n);
b)
ou x FV FVA A (i , n).
S = 381,05 x FAC (7%, 3) = 381,05 x 3,2149 = 1225,04; P = 381,05 x FVA (7% , 3) = 381,05 x 2,62432 = 1000,00. Exemplo 2: Um objeto é vendido por R$239,51 a vista. Pode também ser adquirido em prestações mensais de 56,86 a juros de 6% a. m. Qual o número de prestações?
Dados: R = 56,86
P = 239,51
i = 6%
n
n=?
n
n
1,06n (1 – 0,252738) = 1 ⇒
1,06n =
mo nos dois membros teremos:
⇒
1,06n = 1,338219. Aplicando o logarit-
log 1,06 ⁿ = log 1,338219⇒n log 1,06 = log 1,33821 ,
n = 5 prestações mensais.
Pela tabela poderíamos encontrar a solução da seguinte forma:
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P = R x FVA (6%,n)⇒ = 239,51 x FVA (6%,n)⇒
FVA (6%,n) = 4,2123
⇒
Na coluna, 6% da tabela vamos encontrar o número 4,2123 na linha correspondente a n = 5. Exemplo 3: Um empréstimo de R$18500,00 será liquidado em 8 prestações mensais. Sabendo-se que a taxa de juros é de 48% a. a. capitalizado mensalmente, calcular o valor da prestação prestação.. Dados: R=? P=18500 i=48/12=4 % a.m.
18500
Neste exemplo precisamos encontrar a prestação, assim, vamos utilizar a expressão do valor atual: assim: Recuperação de Capital (FRC):
onde o fator
é chamado Fator de
Logo, R=P x FRC (i,n) .
Resolvendo nosso exemplo temos: ⇒
R= 18500
= 2747,76.
pela tabela tabela nanceira: nanceira: R=P x FRC (i,n) FRC(4%,10)=18500x0,14853=2747 8500x0,14853=2747,80 ,80 ⇒R=18500 x FRC(4%,10)=1 A diferença de - 0,04 nas prestações acontece acontece devido a problemas problemas de arredondamento arredondamento.. Exemplo 4: Uma máquina está sendo vendida por R$2509,00 a vista ou em 4 prestações mensais de R$715,80. Qual a taxa cobrada? O exemplo trata de um problema de TIR, que pode ser resolvido de várias maneiras, vamos resolver o exemplo Utilizando a Calculadora Financeira Cálculo de i quando são dados PV, n e PMT. Vale lembrar que PV é igual a P e PMT é igual a R.
Máquina HP-12C:
PV PMT n
Ou seja, façamos os passos: 2509 enter 715,80 enter 4 enter
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2) Antecipadas – caracterizam-se por terem o primeiro pagamento efetuado no ato da operação (começa na parcela zero – 0). Ex. Compras em prestação, prestação, quando a primeira é paga no ato da compra. Montante ou Valor Futuro de Renda Antecipada – Vamos partir de um exemplo. Qual o montante, no nal do 4 o mês, resultante da aplicação de 4 prestações iguais, mensais e consecutivas consecutiv as de R$ 100,00, à taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação é feita hoje (na data do contrato)? Dados: R = 100 i = 4% a. m. n=4 S=?
Vamos V amos calcular o montante montante de cada prestação prestação no nal do do 4º mês: S = 100 (1,04)4 + 100 (1,04)3 + 100 (1,04)2 + 100 (1,04)1. Colocando 100 em evidência: S = 100 [ (1,04) 4 + (1,04)³ + (1,04)² + (1,04)¹ ]. Aplicando a fórmula da soma de uma PG. PG. (1). S = 100 x 4,24645 x 1,04 = 441,63. Substituindo na expressão (1) os valores numéricos pelos respectivos símbolos, teremos: S A = R x FAC (i,n) (1 + i) . Portanto, para resolver um problema de montante de uma série de pagamentos com termos antecipados,, basta multiplicar por (1 + i) o cálculo obtido para termos postecipados. antecipados Da mesma forma, para resolver problema de Valor Atual de uma série de pagamentos com termos antecipados, basta multiplicar por (1 + i) o cálculo obtido para termos postecipados. P A= R x FVA (i ; n) x (1 + i) Exemplo 1: Quanto depositar no início de cada mês em uma instituição que paga 10,25% a.b. para constituir um capital de R$5000,00, no m de 3 bimestres? Dados: R = ? S =5000 n =6 i = 10,25 % a.b. ⇒5% a.m. 5000
S = R x FAC (5% ; 6) x (1 + i)
⇒
5000 = R x 6,801913 x 1,05 ⇒R= .
Exemplo 2: Qual o valor nanciado para 24 prestações iguais de R$ 505,00, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 3,5% a.m. e que a primeira prestação é paga no ato da assinatura do contrato?
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Dados:
P=?
R = 505
i = 3,5 %
n = 24
P
P = R x FVA (3,5% ; 24) x (1 + i) ⇒ P = 505,00 x 16,05837 x 1,035 ⇒
P = 8393,31.
3) Diferidas – caracterizam-se por um prazo de carência ou diferimento a partir do qual começam a ser feitos os pagamentos pagamentos (começa na parcela maior maior que 1). Exemplo: Certas promoções promoções que apregoam “...compre hoje hoje e só comece a pagar daqui a tantos meses meses ...” Valor V alor Atual de Renda Renda Diferida – Vamos partir de um exemplo: Em pagamento de um objeto propõe-se pagar prestações bimestrais de R$2000,00 vencendo a primeira no 6º mês após a compra e a última em 1 ano e meio após a compra à taxa de 7% a.b. Qual o valor do objeto? Dados: P=? R=2000; i=7 %; n=7; m=2 (carência). P
O cálculo do valor atual pode ser feito de 2 maneiras: a) calcula-se o valor atual da renda postecipada dos n termos e depois divide por (1+i) m. .
⇒
b) calcula-se o valor atual da renda imediata ou postecipada de todos os termos (m + n) e depois subtrai o valor atual da renda imediata ou postecipada dos termos do período de carência. PD = R x FVA (i% ; m+n) – R x FVA (i% ; m). PD = R x FVA (7% ; 9) – R x FVA (7% ; 2) = 2000(6,515231 – 1,808018)
P = 9414,43.
⇒
O Montante ou Valor Futuro de d e Renda Diferida – é o mesmo da renda postecipada, pois durante o período de diferimento não há nenhum pagamento e a constituição da renda se fará somente depois de decorrido esse período período.. . Exemplo 1: Calcule o total no nal do 10º mês de 10 aplicações mensais, como segue: 5 de R$200,00 e as restantes de R$400,00, sabendo que a taxa de juros é de 8% a.m. No exemplo temos 2 sequências e queremos o total de seus montantes no nal do 10º mês: S1 S2
temos que somar os 2 montantes das rendas postecipada (S 1 )e diferida(S2 ) no nal do 10º mês. mês.
Notas de Aulas da Disciplina Matemática Matemática Financeira
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S=S1+S2⇒ S=200 x FAC (8%,5).( (8%,5).(1,08) 1,08) 5+400 xFAC(8%, 5)=(200+400) x 5,866601= 4070.63. Uma outra maneira: fazemos 10 parcelas postecipadas de 200,00 + 5 parcelas diferidas de 200,00 (carência de 5 meses). S1 S2
Ou S = 200 x FAC (8%, 10) + 200 x FAC (8%, 5)= 200(14,486562 + 5,866601) = 4070,63 Problemas Propostos: 1º) Depositei durante quatro meses a quantia de R$400,00 a uma taxa de 5% a.m. Quanto recerece berei de montante? R. 1724,04. 2º) Calcule o número de prestações bimestrais de R$ 1500,00 cada uma, capaz de liquidar um nanciamento de R$ 4988,26 à taxa de 20% ao bimestre. R. 6. 3º) O gerente de uma loja deseja estabelecer fatores (esse fator é chamado fator da prestação ou fator do valor nanciado) que serão aplicados ao preço à vista para o cálculo da prestação mensal. A taxa de juros da loja é de 7% a.m. Quais os fatores por por unidade unidade de capital nos nos prazos de meses: a) 3. b) 4. R. 0,3810518 e 0,2952282. 4º) Uma pessoa deve pagar pela compra de um eletrodoméstico uma entrada que representa 15% do valor à vista, mais 8 prestações mensais. Se a loja cobra juros de 5% am, qual é o valor das prestações se o valor valor à vista do do eletrodoméstico eletrodoméstico é de R$ 330,00? Se a primeira primeira prestação fosse paga no ato com a entrada, qual seria o valor das prestações? R. 43,40 e 41,33. 5º) Qual o valor de um empréstimo que pode ser liquidado da seguinte forma: no 2º e 3º mês paga-se R$1000,00 no 5º 6º e 7º mês paga-se R$2000,00, sabendo que a taxa de juros é de 8% a.m.? R. 5439,66. 6º)Um objeto é nanciado em 4 prestações mensais de R$325,00 e 2 prestações bimestrais de R$775,00 e R$875,00 no mesmo período. Calcular o valor nanciado, sabendo que a taxa de juros é de 6% a.m. R. 2509. 7º) Ana aplicou aplicou R$1500,00 e após após 6 meses recebeu recebeu R$2010,14. Que depósitos mensais nesse peperíodo produziriam o mesmo valor se os juros sobre o saldo credor fossem beneciados com a mesma taxa da 1ª hipótese? R. 295,52.
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8º) Marcelo deseja liquidar um empréstimo em 10 prestações mensais alternadas de R$1000,00 e R2000,00, sabendo que a taxa de juros é de 8% a.m. Quual o valor do empréstimo. R. 9936,08. 9º) Certo executiv executivoo pretende viajar durante um ano, resolve fazer 6 depósitos mensais em uma nanceira, para que sua esposa possa efetuar 12 retiradas mensais de R$2000,00 durante o período de sua viagem. A 1ª retirada ocorrerá 1 mês após o último depósito. Se a nanceira paga 6% a.m., qual o valor de cada cada depósito? R. 2403,86. 10º) Um condomínio prevê despesas extras de 120000,00 e 160000,00 no nal de agosto e se tembro, respectivamente. Quanto deverá arrecadar e aplicar, num fundo que rende 20%a.m., no nal de maio, junho e julho (valores iguais) para fazer frente às despesas previstas? R. 57997,56. 11º) Uma determinada deter minada loja, desejando aumentar suas vendas, anuncia a venda de videogames, de acordo com o seguinte plano: 3 prestações de 200,00, no 3º, 4º e 5º meses após a compra: 3 prestações de 500,00, no 8º, 9º e 10º meses após a compra. Sendo de 3%a. m. a taxa de juros cobrada pela loja, calcule o seu valor à vista. R. 1683,24. 12º) Um terreno é vendido à vista por 30000,00. A prazo o pagamento poderá ser feito em 12 prestações, sendo as seis últimas o dobro das seis primeiras. Calcule as prestações para uma taxa de 3,5%a.m. R. 2143,15 e 4286,30. 13º) Lázaro compra uma máquina hoje e propõe pagá-la em 12 prestações mensais de 850,00, vencendo a primeira no dia 26 de setembro de 2003. Sabendo que o juro cobrado é de 22,5% a.t. quanto custa a máquina? R. 5511,06. 14º) Quanto se deve depositar no começo de cada mês numa instituição que paga 6,09% ao bimestre para constituir um capital de 16000,00, no nal de um ano.? R. 1094,6 15º) Um equipamento é oferecido a uma empresa, sob duas condições de pagamento: I) 10 prestações alternadas de 1000,00 1000,00 e 1500,00, começando começando com 1000,00. 1000,00. II) 10 prestações mensais de 1250,00 sem entrada. Qual a melhor alternativa para a empresa, se ela opera a uma taxa de juros de 3% a. m.? R. I. 16º) José deseja adquirir adquirir um som, cujo preço à vista é 500,00. Todavia, Todavia, a compra pode ser nan nan-ciada de três formas: I) 100,00 de entrada e 12 prestações mensais de 45,35
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II) 10 prestações mensais de 64,49. III) 2 prestações de 298,84 a serem pagas no 3º e 4º mês. mês. Admitindo que a taxa de juros juros é de 5%a. m., qual o melhor melhor plano para José? José? R. II. 17º) Uma dívida de 1000,00 deverá ser paga com oito prestações mensais de 139,00 sendo a primeira paga no ato da compra. Qual a taxa de juros? R. 3,158% a. m.. 18º) José deve pagar um título de 50000,00 daqui a um ano. Quanto deveria investir mensalmente, a partir de hoje, se os depósitos forem iguais e remunerados a 8% a. m., para que, um mês após o último depósito, depósito, o saldo fosse suciente para pagar o título? R. 2439,58. 19º) Uma máquina está sendo vendida por R$2509,00 a vista ou em 4 prestações mensais de R$715,80. Qual a taxa cobrada? R. 5,5% a.m.. O problema trata de TIR e vamos resolvê-lo pelo Método de Baily.
20º) Investindo todo mês R$120,00, o montante imediatamente após o décimo depósito é de R$1500,00. Qual a taxa mensal de juros que rendeu o investimento? investimento? R. 4,9%.
13. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Amortizar uma dívid Amortizar dívidaa é redu reduzi-la zi-la gradual gradualment mentee mediant mediantee uma uma série série de de pagament pagamentos os.. Assim, Assim, amor amor-tização é a devolução do capital emprestado através de prestações. Cada prestação paga consiste da soma: devolução do principal emprestado (amortização) e do saldo do empréstimo não reembolsado (juros). Sistemas de amortização – são as formas de pagamento dos empréstimos geralmente feitos a médio e longo prazo prazo,, que por razões metodológicas ou contábeis são analisadas período por período, período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução do principal. principal. Neste trabalho estudaremos alguns tipos de sistemas de amortização. Abaixo temos temos a planilha ou quadro quadro demonstrativo demonstrativo dos dos sistemas:
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Tabela 4 – Modelo de Planilha Mês (n)
Saldo devedor (P)
Amortização (A)
Juro (J)
Prestação (R)
0 1 n
Saldo devedor anterior menos Amortização
Prestação menos Juros
Saldo devedor anterior vezes a taxa
Juro mais amortização
Sistema Francês ou Sistema de Prestações Constantes – as prestações são iguais, ou seja, neste sistema, o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais e periódicas. O Sistema Price é o caso particular do sistema francês (Tabela Price) com a taxa anual e a prestação mensal. Exemplo 1: Obtenha o quadro demonstrativo do nanciamento de R$4000,00 em 4 presta ções mensais à taxa de 6%a.m..
Prestação =
;
Calculando cada um dos juros, amortização e
saldo devedor e registrando na tabela 5 e depois na tabela 6 abaixo: Cálculo de juros, amortização e saldo devedor. Tabela 5 – Cálculo Juro = Saldo devedor devedor anterior vezes taxa
Amortização = Prestação menos juro
Saldo = saldo anterior menos amortização
–––
–––
P0=4000
J1= 4000 x 0,06 = 240
A1= 1154,37 – 240 = 914,37
P 1=4000–914,37 = 3085,63
J2= 3085,63 x 0,06 = 185,14
A 2= 1154,37 – 18 185,14 = 96 969,23
P 2=3085,63–969, =3085,63–969,23 23 = 2116,40
A3= 115 1154, 4,37 37 – 12 126, 6,98 98 = 102 1027, 7,39 39
P 3=2116,40 – 1027,39 = 1089,01
A 4= 1154,37 – 65 65,34 = 1089,03
P 4=1089,01– 1089,03 = – 0,02
J3= 2116,40 x 0,06 = 126,98 J4= 1089,01 x 0,06 = 65,34
Tabela 6 – Sistema Price Mês (n)
Saldo Devedor (Pt)
Amortização (At )
Juro (Jt)
Prestação (P)
0 1 2 3 4 Total T otal
4000,00 3085,63 2116,40 1089,01 -0,02
– 914,37 969,23 1027,39 1089,03 4000,02
– 240 185,14 126,98 65,34 617,46
– 1154,37 1154,37 1154,37 1154,37 4617,48
Resumo Sistema Price: 1) Prestação =
dívida FVA(i%,n)
; a n i =
(1 + i ) n
−
i (1 + i )
n
1
=
1 − (1 + i ) i
−n
= FV FVA A (fator de valor atual).
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2) Saldo devedor = valor atual das prestações a vencer ⇒ P t = = R a n – t i. 3) Juro = saldo anterior x taxa ⇒ J t = P t – 1 x i. 4) Amortização = prestação – juros ⇒ A t = R – J t. 5) Soma das amortizações = forma uma PG de razão (1+i). a) Quando começa com a 1ª prestação → Soma = dívida – saldo da última. b) Quando começa com alguma até a última → Soma = saldo antes da 1ª envolv envolvida. ida. 6) Soma dos juros = soma prestações – soma amortizações. Amortização com prazo de carência: Caso 1: Durante a carência o mutuário só paga juros da dívida, não havendo, havendo, portanto, amortização desta. Exemplo 2: Construir a planilha do exemplo anterior, considerando um período de carência de 2 meses em que serão pagos somente os juros. Tabela 7 – Sistema Price com carência, caso 1 Mêss (n Mê (n))
Sald Sa ldoo Dev Devedo edorr (P ) t
Amor Am orti tiza zaçã çãoo (A ) t
Juro ( J ) t
Prestação (P (P)
0 1 2 3 4 5 6 Total T otal
4000,00 4000,00 4000,00 3085,63 2116,40 1089,01 -0,02
– – – 914,37 969,23 1027,39 1089,03 4000,02
– 240,00 240,00 240,00 185,14 126,98 65,34 1097,46
– 240,00 240,00 1154,37 1154,37 1154,37 1154,37 5097,48
Caso 2: Durante a carência não há pagamento dos juros, esses serão capitalizados e incorporados à dívida para serem amortizados nas prestações futuras. futuras. Exemplo 3: Construir a planilha do exemplo 1, considerando um período de carência de 2 meses em que não serão pagos os juros juros.. Tabela 8 – Sistema Price com carência, caso 2 Mêss (n Mê (n)) 0 1 2 3 4 5 6 Total T otal
Sald Sa ldoo De Deve vedo dorr (P ) t 4000,00 4240,00 4494,40 3467,01 2377,98 1223,61 -0,02
Amor Am orti tiza zaçã çãoo (A ) t – – – 1027,39 1089,03 1154,37 1223,63 4494,42
Juro ( J ) t – – – 269,66 142,68 73,42 693,78
Prestação (P (P) – – – 1297,05 1297,05 1297,05 1297,05 5188,20
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Problemas Propostos envolv envolvendo endo Sistema Price: 1º) Construir a planilha do exercício anterior, considerando considerando que no período de carência os juros não serão pagos, ou seja, os juros são capitalizados e incorporados ao principal. 2º) Com os dados do 1º exercício, sem fazer planilha, determine: a) saldo devedor no 3º mês; b) juro no 4º mês; c) amortização no 2º mês; d) soma das amortizações até o 3º mês; e) A2+A3+A4; f) soma dos juros; g) J2 + J3 + J4..; R. 1089; 65; 969; 2911; 3086; 617 e 377. 3º) José comprou uma máquina nanciando R6000,00 para pagar em 12 vezes mensais a juros de 5% a.m. Sem fazer planilha, determine: a) saldo devedor no 8º mês; b) juro no 10º mês; c) amortização 7º mês; d) soma das amortizações do 7º até o 12º; e) soma dos juros do 7º até o 12º mês; R. 2400; 92; 505; 3436 e 625. 4º) Uma casa é vendida por R$30000,00, sendo 20% de entrada e restante nanciado em 15 prestações mensais à taxa de 6% a. m. Determine: a) Somatório da 7ª até 12ª amortizaçâo. R. 10202,45. b) Total de juros a serem pagos até a liquidação de débito. R. 13066,57. 5º) No nanciamento de 20000,00 pelo Sistema Price a juros de 84% a.a., capitalizados mensalmente no total de 36 prestações mensais. Determine o valor total das amortizações da 8ª até a 15ª prestação. R.2212,73. 6º) Seja o nanciamento de 20000,00 pelo Sistema Price a juros de 7% a. m. no total de 36 prespres tações mensais. Determine o valor dos juros correspondentes cor respondentes até a 26ª prestação. R.30668,12.
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Sistema de Amortização Constante ( SAC SAC ) ou Sistema Hamburguês Hamburguês – as parcelas de amortização são iguais entre si. Exemplo 1: Obtenha o quadro demonstrativo demonstrativo do nanciamento de R$4000,00 em 4 prestações menmen sais à taxa de 6% a.m.
A amortização é constante. constante. Assim, Amortização Amortização =
A= A=
=1000.
⇒
Calculando cada um dos juros, prestação e saldo devedor e registrando na Tabela planilha abaixo: Cálculo de juros, prestação e saldo devedor. Tabela 9 – Cálculo Juro = Saldo devedor devedor Prestação = Amortização anterior vezes taxa mais juros juro
Saldo = Saldo anterior menos amortização
––– J1 = 4000 x 0,06 = 240
––– R 1 = 1000 + 240 = 1240
P0 = 4000 P 1 = 4000 – 1000 = 3000
J2 = 3000 x 0,06 = 180 J3 = 2000 x 0,06 = 120
R 2 = 1000 + 180 = 1180
P 2 = 3000 – 1000 = 2000
R 3 = 1000 + 120 = 1120
P 3 = 2000 – 1000 = 1000
J4 = 1000 x 0,06 = 60
R 4 = 1000 + 60 = 1060
P 4 = 1000 – 1000 = 0
Tabela 10 – Sistema de Amortização Constante (SAC) (SAC) Mêss (n Mê (n)) 0 1 2 3 4 Total T otal
Sald Sa ldoo De Deve vedo dorr (Pt)
Resumo SAC: 1) Amortização =
4000,00 3000,00 2000,00 1000,00 –
Amor tização (A) – 1000,00 1000,00 1000,00 1000,00 4000,00
Juro (Jt) – 240 180,00 120,00 60,00 600,00
Prestação (Pt) – 1240,00 1180,00 1120,00 1060,00 4600,00
.
2) Saldo devedor = dívida – t A ⇒ P t= A (n – t). 3) Juro = saldo anterior x taxa ⇒ J t = P t – 1 x i =A (n–t +1). i 4) Prestação = Amortização + Juros ⇒ R t = A +J t . 5) Soma dos juros = forma uma PA de razão (– Ai). 6) Soma das prestações = forma uma PA de razão (– Ai). Problemas Propostos envolv envolvendo endo SAC: 1º) Com os dados do exemplo anterior sem fazer planilha determine: a) S 2; b) J 2; c) A 1+A 2+A 3; d) P 4 ; e) J 1+J 2+J 3; f) P2+ P3+P4 ; R. 2000; 180; 3000; 1060; 540; 3360. 2º) Um equipamento de R$1500,00 foi comprado em 12 prestações mensais numa taxa de 6% a.m. Calcule: a) Valor da 1ª prestação.
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b) Saldo devedor no 9º mês. c) Juro no 11º mês. d) Soma das amortizações da 1ª até a 6ª. e) Soma dos juros do 1º até o 8º mês. f) Soma das prestações do 4º até 12º mês. R. 215; 375; 15; 750; 510; 1462,5. 3º) Uma casa é vendida por R$30000,00, sendo 20%% de entrada e restante nanciado em 15 prestações mensais pelo sistema SAC à taxa de 7% a. m. Determine: a) Total Total de juros a serem pagos até a liquidação de débito. b) Soma da 7ª prestação até 12ª. R 13440; 13968. 4º ) ) Utilizando Utilizando os dois dois casos de amortização com carência, faça a planilha para o SF e SAC SAC,, considerando a dívida de R10000,00 e a taxa de juros de 5% a.m. para ser paga em duas parcelas, sendo a primeira no terceiro mês. Sistema de Amortização Misto ( SAM SAM ) – cada prestação é a média aritmética aritmética entre as prestaprestações do SAC e Price.
Obs: as prestações do SAM decrescem numa razão constante (razão do SAC / 2). Exemplo 1: Obtenha o quadro demonstrativ demonstrativoo da dívida de R$4000,00 na taxa de 6% a.m., liquidada em 4 prestações mensais. Tabela 11 – Sistema de Amortização Misto (SAM) Mêss (n Mê (n))
Sald Sa ldoo De Deve vedo dorr (Pt)
Amort rtiização (A t)
Juro (Jt)
Prestação (Pt)
0 1 2 3 4 Total T otal
4000,00 3042,82 2058,21 1044,52 0.01
– 957,18 984,61 1013,69 1044,51 3999,99
– 240,00 182,57 123,49 62,67 608,73
– 1197,18 1167,18 1137,18 1107,18 4608,72
Problema Proposto pelo SAM: 1º) Faça a planilha de um empréstimo de R$10000,00 na taxa de 5%a. m. para ser liquidado em três prestações mensais pelo SAM. Análise Comparativa dos Três Sistemas – através das planilhas das Tabelas 6, 10 e 11 que apresenta o exemplo 1 de cada um dos sistemas podemos vericar:
O valor das prestações no Sistema Price é constante e igual a 1154,37. ü O valor das prestações no SAC decresce linearmente de 1240 a 1060 (PA de razão –Ai). ü
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O valor das amortizações no Sistema Price cresce exponencialmen exponencialmente te de 914,37 a 1089,03 (PG de razão (1+i)). ü O valor das amortizações no SAC é constante e igual a 1000,00. ü No SAM as prestações e amortizações são resultantes da média aritmética das prestações e amortizações do Sistema Price e SAC. Assim, seus valores encontram-se sempre num ponto intermediário entre esses dois sistemas. As prestações decrescem numa razão constante (PA de razão = razão do SAC / 2). ü No SAC em relação aos demais o total de juros é o menor, a primeira prestação é a maior e a última é a menor. ü
14. INFLAÇÃO A inação é o fenômeno conhecido como aumento persistente do preço de bens e serviços, (quando ao contrário, ocorre baixa persistente e generalizada de preços diz-se que há deação). A variação ocorrida nos preços é observada, ponderada e calculada calculada durante certo período período,, e dada como taxa de inação no período. Muitos fenômenos podem causar a inação. Citam-se entre eles, taxas altas de juros, escassez, desequilíbrio da balança de pagamento pagamento,, emissão de moeda para cobrir décit público,, aumento de preços ou salários sem melhora de qualidade ou de produção, público produção, etc. Quando temos um regime inacionário inacionário,, devemos distinguir, na taxa nominal uma componente devido a inação e outra devida a parcela de juros realmente recebida. Assim, temos a expressão: 1 + i = (1 + j) (1 + r) i = taxa ou aparente, j = taxa de inação inação,, r = taxa real. real. Exemplo: Exemplo: O salário de João era R$500,00 sofreu um aumento aumento e passou para R$550,00 e nesse período a inação foi de 8%. Logo, a taxa aparente é 10%, mas o aumento real do salário foi de apenas 1,85%. Com a inação ocorre uma desvalorização da moeda (decréscimo do poder aquisitivo da mo eda). Por exemplo exemplo,, se uma mercadoria tem seu preço elevado por uma inação de 100%, passando a custar o dobro do que custava, a moeda, capaz de comprar essa mercadoria em seu preço inicial, passará a ser capaz de comprar a metade dessa mercadoria e, portanto, desvalorizou desvalorizou 50%. Inação ≠ desvalorização assim como juro ≠ desconto. Problemas Propostos: 1º) A taxa de juros em um banco é de 7,5% a.m. Que remuneração real recebe um cliente se a inação for de: a) 2,5%? b) 3% ? R. 4,878 e 4,369%. 2º) As taxas de inação de 3 meses foram: 1% 0,8% e 1,2%, respectivamente. Não havendo reajuste nos salários, qual a desvalorização nos salários? R. 2,94%.
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3º) Maria deve R$1200,00 que pagará corrigido em 2 meses. Sabendo que a inação foi de 3,5% e 3% e o juro real de 0,5% a.m. Quanto ela pagará? R. 1212,08. 4º) Um carro é vendido por R$20000,00 a vista ou em 24 prestações mensais, vencendo a primeira a um mês. Qual é o valor das prestações, se a taxa de juros real for 3%a.a. e a inação de 10%a.a.? (dado a 24 1,05 = 21,11747029) R. 947,08. 5º) Matilde compra um objeto por uma entrada de R$100,00 e mais 2 parcelas mensais de R$200,00 e R$250,00. Qual o preço a vista, se a taxa de juros real for de 0,2% a.m. e a inação for de 3,5% no 1º mês e 4% no 2º mês? R. 5524,18. 6º) Manuel aplica R$5000,00, recebendo R$5400,00 2 meses depois. No 1º mês a inação foi de 3% e no 2º mês 3,2%. Qual a taxa de inação acumulada no período? período? Qual a taxa real no período? Qual o ganho real expresso em reais? Qual deveria ter sido a inação no 2º mês para que o ganho g anho real fosse 95,00? R. 6,3% 1,6% 85 e 3%.
15. ANÁLISE DE INVESTIMENT INVESTIMENTOS OS Análise de investimen investimentos tos compreende o estudo da matemática aliado aos métodos e técnicas que se usa no campo econômico e no nanceiro de investimentos. Essa análise precisa ser feita de maneira comparativa, comparativa, ela compreende não apenas as alternativas entre dois ou mais investim investimentos entos para a escolha do melhor, mas também a análise de um único investimento com a nalidade de se julgar de seu interesse ou não. Nesse caso costuma-se fazer uma comparação entre a sua taxa de renda e uma taxa ideal (essa taxa chama-se taxa de atratividade). É comum adotar como taxa de atratividade a taxa de mercado. Existem três métodos: a) Método do valor presente líquido – valor presente líquido = receita – despesa. b) Método do valor periódico uniforme – consiste em calcular o termo da renda que seja equi valente no uxo do investimen investimento to analisado, usando a taxa de atratividade atratividade.. Esse termo representa o custo periódico ou receita periódica. c) Método da taxa interna de retorno – consiste em calcular a TIR. Exemplo 1: Numa época em que a taxa de mercado é 6,2% a.m., qual é o melhor retorno para uma aplicação de R$5000,00:
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a) receber R$7000,00 no m de 6 meses? b) receber 2 parcelas trimestrais de R$3300,00? c) receber 6 parcelas mensais de R$1000,00? Resolução da letra a: 7000
Receita =
despesa = 5000
Valor líquido = 4879,33 Valor 4879,33 – 5000 =– 120,77 Resolução da letra b:
3
6
i = (1,062) 3 – 1 i = 19,77 % ao trimestre ⇒ P = R x FVA (i, n) P = 3300 x FV FVA A (19,77%, 2) ⇒ P = 3300 x 1,5318617 ⇒ P = 5055,14 Valor V alor líquido = 5055,14 5055,14 – 5000 = 55,14 55,14 Resolução da letra c:
0
1000
1000
1000
1000
1
2
3
6
P = R x FVA (i, n) P = 1100 x FV FVA A (6,2 %, 6) ⇒ P = 1100 x 4,886575913 ⇒ P = 4886,58 Valor V alor líquido = 4886,58 4886,58 – 5000 = – 113,42 Analisando os valores valores líquidos temos temos que das alternativas alternativas a melhor é a letra letra b Problemas Propostos: 1º) Aline tem duas alternativas para obter uma copiadora: a)alugá-la por 350 u.m. ao mês, com manutenção por conta do locador. b)Comprá-la por 1500 u.m., sabendo que sua vida útil é de 5 meses, valor residual de 200 u.m. e a despesas de manutenção são de: 50 u.m. por mês, nos dois primeiros meses e 80 u.m. por mês nos demais. Considerando Considerando a taxa mínima de atratividade 7% a.m.. qual deve ser a opção de Aline? R. a.
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2º) Uma empresa está estudando a compra de um equipamento entre duas marcas: Equipamento Custo inicial Valor de venda após 5 anos anos de uso Custo operacional anual Receita adicional anual
A 28000 12000 4000 12000
B 23000 6500 3000 10000
Determine a melhor alternativa com taxa de atratividade de 20% a.a. R. A. 3º) Uma empresa está estudando a compra de um equipamento e para isso, está analisando dois tipos. O tipo A tem vida útil de 2 anos, custa R$15000,00 e dá um lucro mensal de R$1200,00. O tipo B tem vida útil de 3 anos, um custo de R$18000,00 e dá um lucro de R$1400,00. Ambos tem valor rere sidual nulo. nulo. Qual o equipamento que deve ser adquirido se a taxa de atratividade é de 5% a.m.? (Esses investimentos investime ntos podem ser repetidos). R. B. 4º) (VERAS pg. 262) Uma empresa fabrica e vende determinada peça que pode ser produzida pela máquina A ou pela máquina B que estão sendo analisadas para compra por essa empresa. Foram obtidos os seguintes dados: Custo inicial Valor residual após cinco anos Valor Gasto anual Número de operadores Preço/hora da mão-de-obra de cada operador Tempo Tem po de execução da peça peça
Máquina A 80000 20000 7000 2 10 60 minutos
Máquina B 135000 25000 16000 1 25 40 minutos
Sabe-se, ainda, que cada peça tem um custo de 30 de matéria-prima e pode ser vendida a 70; as máquinas trabalharão 2200 horas por ano, a taxa de atratividade do empresário é 30% a.a. Determine o melhor investimento por qualquer método. 5º) Um tipo de parafuso pode ser executado num torno comum ou num torno especial. Sabendo que a taxa de atratividade é de 20% a.a., escolher a melhor alternativa, levando em consideração consideração as seguintes informações: Custo inicial Valor residual após 10 anos Valor Custo anual Horas de funcionamento por ano Custo da mão-de-obra por hora Tempo Te mpo de execução do do parafuso Custo da matéria-prima por parafuso Preço de venda por parafuso
Toorn T rnoo comum 1200 250 5% do custo inicial 2400 0,5 50 minutos 0,1 0,9
Torn rnoo especial 1800 400 5% do custo inicial 2400 0,5 40 minutos 0,1 0,9
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16. REFERÊNCIAS AYRES, F. J. Matemática Financeira . Tradução: Gastão Quartin Pinto de Moura. São Paulo: McGraw-Hill do AYRES, Brasil, 1981. D’AMBRÒSIO, Nicolau; D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Matemática Comercial e Financeira: com complementos de matemática e introdução ao cálculo. 27 ed. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1979 FARIA, R. G. Matemática Comercial Comercial e Financeira. 3. ed. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1983. FRANCISCO, W. Matemática Financeira. Financeira. 5. ed. São Paulo: Atlas, 1986. HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. Financeira. 4. ed. São Paulo: Atual, 1993 MATHIAS, W. F. Matemática Financeira. Financeira. São Paulo: Atlas, 2004. PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Financeira . 3. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Cientícos, 1984. SOBRINHO, J. D. V. Matemática Financeira . 7. ed. São Paulo: Atlas, 2000. VERAS, L. L. Matemática Financeira . 2. ed. São Paulo: Atlas, 1994.