matematica financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Marcelo de Figueiredo Alves

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MATEMÁTICA FINANCEIRA É a análise das relações formais entre transações financeiras, que traduzem a um padrão equivalente, quantidades monetárias transacionadas em diferentes períodos de tempo. O objetivo central da Matemática Financeira é reduzir à equações matemáticas, as complexas relações de interdependência financeira estabelecidas no mercado financeiro pelos seus vários participantes e agentes, tornando possível quantificá-las. Podemos também defini-la como o estudo das relações relativas a evolução dos recursos financeiros ao longo do tempo, procurando estabelecer relações formais entre valores expressos em diferentes períodos de tempo, constituindo-se em uma das mais importantes e segundo vários autores, básica, ferramentas utilizadas na resolução de problemas relacionados a Finanças. Por traduzir todas as relações existentes no mundo financeiro a equações matemáticas, é de fundamental importância, o conhecimento dos conceitos existentes em cada formulação matemática, de forma a sabermos perfeitamente qual relação deve ser utilizada em cada situação que nos defrontamos no nosso dia a dia. O desconhecimento dos conceitos, apesar de um eventual domínio no manuseio de ferramentas auxiliares empregadas na solução de problemas financeiros (calculadoras e planilhas eletrônicas), pode representar o cálculo de valores completamente equivocados, trazendo sérios prejuízos financeiros. Por esse motivo, independente da ferramenta de ajuda utilizada, é preciso que conheçamos profundamente todos os conceitos a serem apresentados, de forma a podermos calcular corretamente, todos os problemas financeiros representados por relações da Matemática Financeira, independente da ferramenta de suporte que estejamos utilizando.

Matemática Financeira Financeira

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1 - Conceitos Básicos i) Valor do Dinheiro no Tempo Este conceito está relacionado à mudança de valor sofrida pelo dinheiro ao longo de um horizonte de tempo qualquer, seja pela perda de poder aquisitivo causada pelos processos inflacionários, seja pela possibilidade de obtermos algum tipo de remuneração através do investimento dos recursos envolvidos. A possibilidade de obtenção de algum tipo de remuneração para os detentores de recursos, por si só gera diferenças no valor do dinheiro, quer pela rentabilidade efetiva obtida em alguma aplicação, quer pelo ganho que deixa de obter caso opte por não utilizar nenhum tipo de alternativa existente, para aplicação de suas disponibilidades. Responda as as seguintes perguntas: perguntas:

- Se você emprestasse R$ 1.000,00 hoje, você aceitaria receber daqui a dois meses os mesmos R$ 1.000,00? Caso negativo, quanto você aceitaria receber? - Você vai a uma loja e o vendedor lhe oferece duas alternativas de pagamento. Na primeira, você paga R$ 500,00 à vista. Na segunda, você paga 10 prestações de d e R$ 50,00. Essas alternativas alternativas são indiferentes? indiferentes? Qual você escolheria?

O que podemos concluir é que o valor do dinheiro muda em relação ao tempo. Só faz sentido falarmos de valores financeiros se pudermos localizá-los no tempo. Sendo assim, podemos derivar duas conseqüências de fundamental importância:

1. Operações algébricas simples (as quatro operações) somente podem ser realizadas com quantias expressas em uma mesma data; 2. A comparação entre dois valores quaisquer, somente é possível se estiverem expressas em uma mesma data.

ii) Fluxo de Caixa Define-se fluxo de caixa, seja de um indivíduo, uma empresa ou de um investimento, como o conjunto de entradas e saídas de recursos ao longo de um dado intervalo de tempo. Para efeito de representação e utilização deste conceito na matemática financeira, considera-se que as entradas e saídas representadas ao longo do horizonte em análise, são valores líquidos (total das entradas menos o total das saídas)


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Convenção: Podemos representar o fluxo de caixa da seguinte forma: - Saídas de recursos + Entradas de recursos _________________________↑_________________________ 0 ↓1 2

Tempo n

- A escala horizontal representa o tempo, podendo ser expresso em qualquer unidade de tempo (anos, meses, dias, etc.). - Os pontos abaixo da escala horizontal representam os eventos no tempo, tomando como partida a data inicial, representada pela data zero. - Convencionou-se indicar no fluxo de caixa, as setas para baixo indicando as saídas de recursos (os números tem o sinal negativo) e as setas para cima indicando as entradas de recursos (números positivos). O conceito do diagrama do fluxo de caixa, apesar de relativamente óbvio, é extremamente relevante em Finanças, uma vez que todas as questões que envolvem a Matemática Financeira, recorrem em última instância a utilização desse diagrama para uma melhor definição do problema e a partir daí utilizar uma metodologia de cálculo.

Exemplo: Você emprestou a um amigo R$ 1.000 e este se comprometeu em pagar essa dívida em 5 pagamentos de R$ 300 em parcelas mensais sucessivas, sendo o primeiro pagamento feito só daqui a 3 meses.

0

1

2

300 300 300 300

300

3

7

4

5

6

meses

1.000


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REPRESENTAÇÃO

DEFINIÇÃO DO FLUXO Fluxos com apenas uma entrada e uma saída de caixa

Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes

∞

Perpetuidades Pagamentos uniformes feitos indefinidamente Fluxos não definidos acima

Valor Presente Representa o valor do capital investido ou tomado como empréstimo na data inicial do fluxo de caixa. O valor presente é também chamado de Principal, Valor Atual ou Capital Inicial, sendo normalmente representado por P, V ou C. Na HP 12C, é representado por PV (present value).

Valor Futuro Representa o valor do capital em uma data futura, posterior a data inicial do fluxo de caixa. O valor futuro é também chamado de Montante ou Capital Acumulado, sendo normalmente representado por M, S ou VF. Na HP 12C, é representado por FV (future value).

Prestação Uniforme Corresponde a um fluxo com valores iguais e sucessivos a serem pagos ou recebidos no futuro. Na HP 12C são representadas por PMT (payment).

Período de Capitalização Representa o período de tempo em que um determinado capital sofre a incidência de juros, ou seja, de quanto em quanto tempo os juros são incorporados ao principal. A capitalização dos juros refere-se única e exclusivamente ao regime de juros compostos.

Regime de Capitalização Indica se os juros serão incorporados ao capital através do regime de juros simples ou do regime de juros compostos.

Matemática Financeira

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Equivalência de Capitais Dois capitais são ditos equivalentes se, investidos ou emprestados à mesma taxa, produzem um mesmo montante em uma mesma data, determinada apenas para efeito de comparação. Para um investidor ou para um tomador de recursos, dois capitais equivalentes significam que qualquer tipo de troca com relação a datas de vencimento, por exemplo, é totalmente indiferente para eles, ou seja, não existem ganhos ou perdas para nenhuma das partes.

Prazo das Aplicações Para efeito de cálculo de operações financeiras podemos usar como referencia o ano comercial de 360 dias ou o ano civil (ano exato) de 365 ou 366 dias. Dos conceitos apresentados acima podemos inferir algumas relações básicas em Matemática Financeira e que servem tanto para o regime de juros compostos como para o regime de juros simples.

Valor Futuro (VF) = Valor Presente (VP) + Juros VP = VF - Juros Juros = VF - VP


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2 - Juros Simples e Compostos - Conceitos Juros Simples No regime de juros simples, os juros são calculados a cada período, sempre tomando como base de cálculo o capital inicial empregado, não incidindo, portanto, juros sobre os juros acumulados em períodos anteriores, ou seja, não existindo a capitalização dos juros. Apenas o principal é que rende juros. Na prática, o regime de juros simples tem sua utilização no mercado financeiro, restrita a um pequeno número de aplicações, como por exemplo, as operações de desconto de duplicatas, notas promissórias e no cálculo dos juros para as operações com cheques especiais. Para tornar mais claro conceito de juros simples, suponha o seguinte exemplo: Calcular o valor acumulado em uma aplicação de $1000,00 que rende juros simples à uma taxa de 10% ao mês, pelo prazo de 4 meses. Tempo (meses) 1 2 3 4

VP 1.000 1.100 1.200 1.300

Juros 10% x 1.000 = 100 10% x 1.000 = 100 100 100

VF 1.100 1.200 1.300 1.400

Resposta: Juros simples de 10% ao mês, durante 4 meses, produziram a partir de um capital inicial de $ 1.000, juros de $400. Obteve-se assim, um montante de $1.400.

1400 1300 1200 1100

1000

0

1

2

3

4


7 Observa-se que os valores dos saldos no final de cada ano apresentam um crescimento linear. Esses valores crescem, portanto como uma Progressão Aritmética (PA). Dessa forma, a representação gráfica se dá por uma reta.

Juros Compostos No regime de capitalização composta, os juros relativos a cada período, são calculados tomando-se como base, o saldo do período imediatamente anterior. Este saldo por sua vez, já é resultante da incorporação de juros determinados com base no intervalo de tempo a que se refere o período de capitalização, formando um novo montante sobre o qual então os juros serão calculados e assim por diante. Este processo de cálculo no regime de juros compostos difere daquele utilizado para os juros simples, uma vez que neste último, somente o capital inicial sofre a incidência de juros, não ocorrendo nenhum tipo de remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores. Para tornar mais fácil os conceitos apresentados, suponha que façamos a mesma aplicação realizada no regime de juros simples só que dessa vez, no regime de juros compostos. Calcular o valor acumulado em uma aplicação de $1000,00 que rende juros compostos à uma taxa efetiva de 10% ao mês, pelo prazo de 4 meses. Tempo (meses) 1 2 3 4

VP 1.000,00 1.100,00 1.210,00 1.331,00

Juros 10% x 1.000 = 100,00 10% x 1.100 = 110,00 10% x 1.210 = 121,00 10% x 1.331 = 133,10

VF 1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10

1464,10

1331,00

1100,00

1210,00

1000,00

0

1

2

3

4


8 Observa-se que os valores dos saldos no final de cada ano apresentam um crescimento não-linear (veremos adiante que esse crescimento é exponencial). Esses valores crescem como uma Progressão Geométrica (PG).

3 - Juros Simples Regime no qual os juros de cada período são calculados sobre o capital inicial. Os juros são proporcionais ao tempo de aplicação.

Juros = VP . i . n VF = VP + Juros VF = VP + VP . i . n (colocando VP em evidencia, temos:)

VF = VP x ( 1 + i . n ) onde n = prazo total i = taxa de juros VP = valor presente (Principal ou capital inicial) VF = valor futuro (Montante)

As relações definidas para o cálculo do valor futuro e do valor presente podem ser visualizadas da seguinte forma:

VF = VP [1 + i .n ] VP

VF VP = VF 1 + i .n

As fórmulas acima pressupõem que o prazo e a taxa de juros referem-se a mesma unidade de tempo, isto é, se a taxa estiver expressa em meses, o prazo também obrigatoriamente deverá estar em meses.


9 Para compatibilizar prazo e taxa de juros no regime de capitalização simples, você pode escolher o tempo que você quiser. Cuidado!!!! Isto só é possível no caso de juros simples.

Exemplo: A empresa Estrela Marina pagou a conta de luz de R$ 3.600,00 com atraso de 18 dias, e a concessionária Luz Eterna cobrou juros de mora de 5 % ao mês. Qual o valor pago ? (R: 3.708,00) VP = 3600 n = 18 dias = 18/ 30 mês = 0,6 mês i = 5% ao mês VF = VP (1 + i . n) = 3600 (1 + 0,6 . 5%) = 3600 ( 1 + 0,6 . 0,05) VF = 3600 ( 1 + 0,03) = 3600 . 1,03 = 3708

Exercícios Propostos 1) Julieta pagou seu seguro com atraso de 18 dias. No vencimento, o valor era R$ 1.000,00 e os juros de mora foram de 2% ao mês. Qual o valor pago ? (Resp: 1.012,00) 2) João pagou uma prestação com atraso de 60 dias. A Cia. Enluarada cobrou juros de mora de 15 % ao ano. O valor pago foi de R$ 8.200,00. Qual o valor original da prestação ? (Resp: 8.000,00) 3) Maria aplicou R$ 3000,00 por 1 ano e 8 meses à taxa de 1% ao mês, juros simples. Qual o rendimento? (Resp: R$ 600,00) 4) Qual o capital que aplicado a 12% am produz R$ 288,00 de juros em 6 meses? (Resp. R$ 400,00) 5) A que taxa mensal um capital aplicado durante 10 meses produz juros iguais à 5/8 do capital ? (Resp: 6,25%) 6) Em quanto tempo um capital triplica de valor quando aplicado a 16% ao ano, à juros simples ? (Resp: 12,5 anos ou 12 anos e 6 meses)


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TAXAS PROPORCIONAIS (Lineares) Produzem os mesmos juros quando aplicados no mesmo prazo a juros simples. Exemplo : 6 % ao semestre Taxa proporcional mensal : 6% ÷ 6 = 1 % Taxa proporcional anual : 6% x 2 = 12 %

4 - Desconto Simples O "desconto bancário", "desconto comercial" ou "desconto por fora" é calculado sobre o valor nominal do título. •

Valor nominal (VF): valor futuro, valor de face, valor de resgate

•

Valor presente (VP): valor presente, valor descontado

•

Desconto (D): existe por conta dos juros cobrados pelo banco

•

Taxa de desconto (d): taxa que incide sobre o valor futuro

Desconto = Valor Futuro x taxa de desconto no período D = VF x d x n VP = VF – Desconto VP = VF - VF x d x n Colocando VF em evidencia

VP = VF x ( 1 - d x n )


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Exemplo: O Moinho Piraí descontou uma duplicata de R$ 18.000,00 no Banco Estrela. O prazo do título era de 40 dias e a taxa de desconto de 4,2 % ao mês. O banco cobrou ainda uma TAC (tarifa de abertura de crédito) de R$ 50,00. Qual o valor recebido pela empresa ? D = VF . d. n VF = 18000 d = 4,2% ao mês n = 40 dias = 1,3333... meses D = 18000 . 4,2% . 1,33333 = 1008 VP = VF – D = 18000 – 1008 = 16992 Deduzindo o pagamento da TAC de R$ 50, sobrou R$ 16.942,00.

Exercícios Propostos 1) A Industrial Festeira descontou uma duplicata de R$ 14.000,00 no Banco do Céu. O prazo do título era de 45 dias e a taxa de desconto foi de 5% ao mês. Qual o valor líquido recebido? (Resp: 12.950,00) 2) João Cruise descontou uma Nota Promissória no Banco Verdinho. O prazo do título era de 40 dias e a taxa de desconto foi de 6 % ao mês. O valor recebido no ato da operação foi de R$ 7.820,00. Qual o valor nominal da NP ? (Resp: 8.500,00) 3) Qual o prazo de antecipação de um título de valor nominal R$ 1.200,00 que descontado comercialmente à taxa de 9% ao mês gera um valor atual de R$ 1.056,00 ? (Resp: 40 dias) 4) Uma instituição financeira realiza suas operações de desconto com uma taxa de desconto comercial ("por fora") de 2% ao mês, no regime de juros simples. Determinar o valor a ser creditado na conta de uma empresa que apresentou um título para desconto nessas condições, sabendo-se que o valor de tal título é $100.000,00 e que o prazo até seu vencimento é de 45 dias. (Resp: $ 97.000)


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Desconto por dentro ou racional Diferentemente da taxa de desconto comercial ou “por fora”, que incide sobre o Valor Futuro, a taxa de desconto racional ou “por dentro”, incide sobre o valor presente para a obtenção do valor do desconto. Sendo assim, D = VF . d . n ou

D = VP . i . n

d = taxa de desconto comercial ; i = taxa de desconto racional = taxa de juros efetiva Calcula-se o valor presente usando a fórmula de juros simples:

VP = VF / (1 + i . n)

Exercício: 1) Um título de R$ 109.000, 00 é descontado três meses antes do vencimento a uma taxa de desconto de 3% ao mês. Calcule o valor do desconto considerando que esta taxa de desconto é: a) taxa de desconto comercial (“por fora”) (Resp: 9.810,00) b) taxa de desconto racional (“por dentro”) (Resp: 9.000,00) 2) Um título de $10.000,00 foi resgatado 25 dias antes do seu vencimento com a taxa de desconto racional de 15% ao ano. Determinar o valor do principal, assumindo-se regime de juros simples e ano com 360 dias. (Resp: $9.896,91) 3) Um certificado de depósito de um banco comercial foi negociado com um investidor para uma aplicação de 62 dias, garantindo-se nesse prazo uma rentabilidade de 2% ao mês, no regime de juros simples. Sabendo-se que o valor de resgate desse certificado de depósito é de $10.000,00, determinar o valor da aplicação e a taxa mensal de desconto comercial ("por fora") desse banco, no regime de juros simples. (Resp: $9.603,07 e 1,9206% a.m.) 4) Um título com vencimento daqui a três meses é descontado, a juros simples, com uma taxa de desconto "por dentro" de 15% ao ano, gerando um desconto de $15.000,00. Utilizando a mesma taxa, porém com desconto "por fora", qual seria o valor do desconto comercial correspondente ? (Resp: $15.562,50)


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5 - Juros Compostos No regime de capitalização composta, os juros de cada período são incorporados ao principal em cada intervalo de tempo a que se referir à taxa de juros e passam a gerar rendimentos para o período seguinte. Este processo é o que se convencionou chamar de juros sobre juros ou capitalização dos juros. Dada a existência de incorporação de juros sobre o principal (capital inicial) em determinados intervalos de tempo, para que possamos efetuar qualquer tipo de cálculo neste regime de capitalização, é fundamental que saibamos a priori, a periodicidade em que este processo ocorre, ou seja, precisamos saber o período de capitalização dos juros incidentes sobre uma aplicação ou empréstimo. Sem esta informação básica e fundamental para o cálculo de operações no regime de juros compostos, os resultados apresentados estarão completamente equivocados. É importante ressaltar, da mesma forma que no regime de juros simples, qualquer que seja o tipo de operação calculada sobre o regime de juros compostos, o prazo e a taxa deverão obrigatoriamente referir-se a um mesmo intervalo de tempo, ou seja, taxa expressa em dias para uma operação também em dias; taxa expressa em mês para uma operação para n meses. Essa taxa deverá seguir o período de capitalização. Diferentemente do regime de juros simples, a transformação para uma mesma unidade de tempo não pode ser feita através de operações de multiplicação e divisão. Neste caso, devese utilizar o conceito de equivalência de taxas a juros compostos. juros simples – taxas proporcionais

juros compostos – taxas equivalentes

Voltemos ao exemplo da aplicação de R$1.000 a juros compostos de 10% ao mês por 4 meses. VF1 = 1000 X 1,10 = 1100,00

VF1 = 1000 X 1,10 = 1100,00

VF2 = 1100 X 1,10 = 1210,00

VF2 = 1000 X 1,102 = 1210,00

VF4 = 1210 X 1,10 = 1331,00

VF3 = 1000 X 1,103 = 1331,00

VF4 = 1331 X 1,10 = 1464,10

VF4 = 1000 X 1,104 = 1464,10

Observe que: VF1 = VP x (1 + i) VF3 = VF2 x (1 + i)

⇒

⇒

VF2 = VP x (1 + i) x (1 + i)

⇒

VF2 = VP x ( 1 + i ) 2

VF3 = VP x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

⇒

VF3 = VP x ( 1 + i ) 3

Sendo assim: VF = VP x (1 + i) n Crescimento Exponencial Matemática Financeira

14 Da mesma forma que no regime de juros simples, as relações definidas para o cálculo do valor futuro (montante) e do valor presente (principal) podem ser visualizadas da seguinte forma:

VF = VP (1 +i) n VP

VF VP = VF 1 +i n

O fator (1+i)n é chamado de fator de capitalização ou valor futuro. O fator

1

ou (1+i)-n é chamado fator de atualização de capital, fator

(1+i)n

de valor presente ou valor atual.

Exercícios: 1) A empresa Estrela Marinha pegou um empréstimo de R$ 10.000,00 no Banco da Praça à taxa efetiva de 5% ao mês por 2 meses. Qual o valor no vencimento ? (Resp: 11.025,00) 2) A empresa Estrela do Céu aplicou um capital no Banco da Praça à taxa efetiva de 2% ao mês por 3 meses e resgatou R$ 5.306,00. Qual o valor aplicado? (Resp: 5.000) 3) Determinar a taxa efetiva de juros de uma aplicação, no regime de juros compostos, de um capital de $10.000,00 que gerou um montante de $11.088,57 após 8 meses. (Resp: 1,3% ao mês) 4) Determinar o valor futuro de uma aplicação financeira de $10.000,00 com prazo de 22 dias, a uma taxa efetiva de 10% a.a., assumindo-se regime de juros compostos e ano com 360 dias. (Resp: $10.058,42) 5) Faça o exercício anterior mas considere regime de juros simples. Comente.


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6 - Voltando ao Juros Simples x Compostos Conhecidos os conceitos de juros simples, de juros compostos podemos determinar em que situações cada modalidade de capitalização dos juros é mais conveniente, dependendo é claro, se estamos na posição do tomador de recursos ou do aplicador. Exemplo: •

Um financiamento de $100 deverá ser pago em 5 parcelas quinzenais com juros de 10% a.m. Os quadros de pagamentos, calculados com base em juros simples e compostos são apresentados a seguir:

DATA 15/03 30/03 15/04 30/04 15/05 DATA 15/03 30/03 15/04 30/04 15/05

JUROS SIMPLES SALDO INICIAL JUROS 100,00 (10% ÷ 2) × 100 = 5,00 105,00 (10% ÷ 2) × 100 = 5,00 110,00 (10% ÷ 2) × 100 = 5,00 115,00 (10% ÷ 2) × 100 = 5,00 120,00 (10% ÷ 2) × 100 = 5,00

SALDO FINAL 105,00 110,00 115,00 120,00 125,00

JUROS COMPOSTOS SALDO JUROS INICIAL 100,00 [(1 + 0,10)15/30 –1] × 100,00 = 4,88 104,88 [(1 + 0,10)15/30 –1] × 104,88 = 5,12 110,00 [(1 + 0,10)15/30 –1] × 110,00 = 5,37 115,37 [(1 + 0,10)15/30 –1] × 115,37 = 5,63 121,00 [(1 + 0,10)15/30 –1] × 121,00 = 5,91

M

SALDO FINAL 104,88 110,00 115,37 121,00 126,91 JC

JS S = C

110,0

C> S S> C

Matemática Financeira n

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Analisando os quadros e o gráfico acima podemos concluir: 1. Sempre que o prazo da operação for menor do que a unidade de tempo da taxa (pagamento quinzenal com taxa de juros mensal), o valor dos juros calculado por juros simples resultará em um valor maior ; 2. Quando o prazo for maior do que a unidade de tempo da taxa, os juros calculados pelo regime de juros compostos resultarão em um valor maior .

Outro Exemplo: Renata Maria pagou uma dívida de R$ 80.000,00 com atraso de 20 dias e os juros de mora foram de 9% ao mês. a) Qual o valor pago se a credora cobra juros simples ? VF = 80.000 x (1 + 0,09 x 20/30) = 84.800,00

Juros = 4.800,00 a) Qual o valor pago se a credora cobra juros compostos ? VF = 80.000 x (1 + 0,09)20/30 = 84.730,74

Juros = 4.730,74 JC JS 84.800,00

80.000,00 84.730,74

0

10

20

30

40


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CONCLUSÃO Se n = 1 , então JUROS COMPOSTOS = JUROS SIMPLES, Se n < 1, então JUROS COMPOSTOS < JUROS SIMPLES e Se n >1, então JUROS COMPOSTOS > JUROS SIMPLES !

7 – Taxas de Juros Taxa Nominal X Taxa Efetiva Uma ou mais taxas de juros são conceituadas como nominais quando são expressas para um intervalo de tempo diferente do período de capitalização a que se referem, não tendo portanto, qualquer utilização prática. Uma taxa nominal serve apenas como um indicador de custo ou rentabilidade, não devendo em hipótese alguma ser utilizada em qualquer tipo de cálculo financeiro, antes de transformada para taxa efetiva, conforme veremos a seguir. Uma vez que as taxas nominais não são expressas para o mesmo intervalo de tempo do período de capitalização, sempre que nos depararmos com este tipo de taxa deveremos primeiramente transformá-las em taxas correspondentes a esses períodos. Exemplo: 12% ao ano capitalizado trimestralmente – taxa nominal 1 ano possui 4 trimestres, logo:

taxa efetiva = 12% / 4 = 3% ao trimestre RESUMO Taxa nominal: é expressa em uma unidade de tempo diferente do prazo que é capitalizada. Taxa efetiva: é expressa na unidade de tempo que é capitalizada.

1) Marcelo aplicou seu capital à taxa de 24% ao ano com capitalização mensal. Qual foi o montante obtido após 2 anos? 2) Rodrigo aplicou seu capital à taxa de 1% ao mês com capitalização semestral. Qual foi o montante obtido após 4 anos? 3) Um Banco vende CDB’s pela taxa de 60% a.a. de juros, capitalizados mensalmente. Qual a taxa de juros mensal paga por esta instituição? 4) Qual o valor a ser pago por um empréstimo tomado nesta data no valor de R$ 20.000,00 a taxa de 60% a.a., capitalizada mensalmente, pelo prazo de 3 meses? Matemática Financeira

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TAXAS EQUIVALENTES São aquelas que, aplicadas ao mesmo principal durante o mesmo prazo, no regime de JUROS COMPOSTOS, produzem os mesmos montantes. (1 + i anual) = (1 + i sem )2 = (1 + i mensal )12 = (1 + i diário )360 Qual a taxa anual equivalente à 2% ao mês ? (1 + i mensal )12 = (1 + i anual) i anual = (1,0212 - 1) x 100 1) Qual a taxa efetiva trimestral mensalmente ? (Resp: 6,12%)

⇒

i anual = (1,2682 - 1) x 100 = 26,82%

equivalente à taxa de 6% ao trimestre capitalizado

2) Qual a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 12% ao trimestre com capitalização mensal ? (Resp: 12,49%) 3) Qual a taxa bimestral equivalente à 18% ao ano com capitalização mensal ? (Resp: 3,02%) 4) Calcule as taxas semestrais, trimestrais, mensais e diárias equivalentes a 820% ao ano. 5) Um investidor se vê frente a duas alternativas de investimento para seus recursos. A primeira é um título com taxa efetiva de juros de 20% a.m. A segunda alternativa oferece a esse investidor, uma taxa efetiva de 300% a.a. Uma vez que ambas as alternativas referemse a juros compostos, determinar qual a melhor alternativa para o investidor. 6) Um Banco vende CDB’s pela taxa de 60% a.a. de juros, capitalizados mensalmente. Qual a taxa de juros mensal e anual efetiva paga por esta instituição?

Taxa Aparente (Nominal) X Real Muitas vezes estamos interessados em saber se o rendimento de uma aplicação financeira ou uma variação percentual superou um determinado indexador, como a inflação. Quando excede a variação do índice escolhido, houve ganho real. Em caso contrário, perda real. Assim, chamamos de taxa real a taxa de juros ou variação percentual descontada a inflação.

( 1 + taxa aparente) = (1 + inflação ) x

(1 + taxa real)


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Exemplo: Após um ano o salário da Renata subiu 18,72% e a inflação foi de 12%. Qual o aumento real no poder de compra ?

(1 + taxa aparente) = (1 + inflação ) x (1 + taxa real) (1 + taxa real) = 1,1872 / 1,12 (1 + taxa real) = 1,06 taxa real = 0,06 = 6% 1) O salário de Serginho aumentou 20% no último ano, diante de uma inflação acumulada de 15% . Qual o aumento real no salário (Resp: 4,35%) ? 2) As aplicações em renda fixa para 1 ano estão rendendo 15% diante de uma expectativa de inflação de 5% para os próximos 12 meses. Qual o rendimento real esperado ? (Resp: 9,5%) 3) O salário de Marisa aumentou 15% diante de uma inflação de 25% Qual a perda real ? (Resp: -8%)

Exercícios Resolvidos: 1) Um negociante compra hoje mercadorias no valor de R$ 50.000,00. Paga R$ 10.000,00 à vista e compromete-se a pagar R$ 35.000,00 no fim de 6 meses. Que pagamento ainda deve ser feito no fim de 10 meses para liquidar a dívida, se o vendedor cobrar uma taxa efetiva de 3,5% a.m., no regime de juros compostos? (Resp: R$ 16.260,65) Valor financiado = 50.000 - 10.000 = 40.000 35.000 =? _________________↑_______________↑ ↓0 6 10 meses 40.000 VF = VP ( 1+i) n VF6 = 40.000 (1 + 0,035)6 - 35.000 = 14.170,21 VF10 = 14.170,21 (1 + 0,035)4 = 16.260,65


20 2) Uma empresa toma emprestado a quantia de R$ 150.000,00 comprometendo-se a restituíla no fim de 20 meses com juros de 36% a.a., compostos mensalmente. No fim de 14 meses propõe o devedor pagar R$ 120.000,00 imediatamente e o saldo, 4 meses após. Supondo aceita a proposta à taxa composta de 2,5% a.m., calcular o valor do saldo. (Resp: R$ 125.404,86) taxa nominal de juros = 36% ÷ 12 = 3% a.m taxa efetiva = 36% ÷ 12 = 3% a.m. VF = ? __________________________________↑ ↓0 20 meses 150.000 VP = 150.000 i = 3% a.m. n = 20 meses VF = ? Esquema proposto: 120.000 X=? _________________↑___________↑ ↓0 14 18 meses 150.000 VF = 150.000 (1 + 0,03)20 = 270.916,69 X = 270.916,69 (1 + 0,025)-2 - 120.000 (1 + 0,025)4 X = 125.404,86 3) Um débito de R$ 350.000,00 contraído há 60 dias está sendo amortizado com um pagamento de R$ 45.000,00 hoje, R$ 130.000,00 de hoje a 3 meses e R$ 85.000,00 de hoje a 8 meses. Que pagamento no fim de 5 meses, contados de hoje, ainda é necessário ser feito para uma taxa de juros composta de 2% a.m.? Resposta = R$ 137.006,95 45.000 130.000 X 85.000 _________↑_______________↑_____________↑______________↑ 0 3 5 8 meses ↓ -2 350.000 VF = VP (1 + i) n X = 350.000 (1 + 0,02)7 - 45.000 (1 + 0,02)5 - 130.000 (1 + 0,02)2 - 85.000 (1 + 0,02)-3 X = 137.006,95 Matemática Financeira

21

Exercícios Propostos: 1) A empresa Estrela do Mar aplicou um capital no Banco da Praça à taxa efetiva de 2% ao mês e resgatou R$ 2.080,80 em 2 meses e R$ 6.494,58 em 4 meses. Qual o valor aplicado ? (Resp: 8.000) 2) Uma empresa tem duas notas promissórias que vencem dentro de 60 e 120 dias, com valores

de

$180.000,00

e

$250.000,00,

respectivamente,

e

deseja

liquidá-las

antecipadamente. Determinar o valor a ser desembolsado para uma taxa de desconto "por dentro" de 1,2% ao mês, assumindo-se mês com 30 dias. (Resp: $414.108,07)

8 - Séries de Pagamentos Uniformes – Anuidades Todos os dias nos defrontamos com situações em que precisamos decidir qual a melhor alternativa de consumo ou poupança. De uma forma geral, gostamos de previsibilidade tanto no que se refere a capacidade de investimento quanto a de se realizar pagamentos. Sendo assim, o que é mais comum é que encontremos parcelas ao longo do tempo de mesma magnitude.

Anuidade ou renda certa é uma série finita ou infinita de pagamentos ou recebimentos exigíveis em períodos pré-determinados com o objetivo de liquidar uma dívida ou constituir um capital. Termo de uma Anuidade Representa o valor do pagamento ou recebimento (valor de cada parcela da anuidade) a ser incorrido em uma data preestabelecida. Uma anuidade é uniforme quando todos os valores são iguais. O termo de uma anuidade uniforme é usualmente representado pela letra R ou PMT. Anuidade Temporária Anuidade temporária é aquela em que os termos da anuidade têm um período de tempo definido, ou seja, a anuidade tem início e fim preestabelecidos. Anuidades Postecipadas Uniformes Uma anuidade é definida como postecipada quando o primeiro pagamento ou recebimento ocorre no final de cada período de tempo a que se referir a taxa de juros considerada.


22 Graficamente uma anuidade postecipada uniforme pode ser visualizada da seguinte forma:

VF PMT PMT PMT PMT PMT ↑ _______↑____↑____↑__________________↑_____↑ 1 2 3 n-1 n períodos ↓0 VP

onde: VP = Valor Presente ou Atual da anuidade PMT = termo constante da anuidade VF = Valor Futuro i = taxa de juros n = número de períodos

Valor Atual da Anuidade (VP) O valor atual de uma anuidade postecipada uniforme é igual a soma dos valores atuais de cada um de seus termos. Temos então: VP = PMT(1+i)-1 + PMT(1+i)-2 + PMT(1+i)-3 + .................... + PMT(1+i) -n Colocando R em evidência, temos: VP = PMT [(1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + .................... + (1+i)-n ] Observe que a série acima é uma P. G. de razão (1+i)-1 e primeiro termo igual a PMT(1+i) -1. Da fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P. G. temos: S = a1 [qn - 1] ÷ [q -1] Aplicando a fórmula da soma de uma P. G., temos:

VP = PMT (1 + i) n -1 i (1 + i)n Matemática Financeira

23

Valor Futuro (VF) O Valor Futuro de uma anuidade postecipada uniforme de n termos, é a soma dos valores capitalizados à taxa de juros da anuidade, de cada um de seus termos. Sabemos que: VF = VP(1+i)n VP = PMT

e

(1+i)n -1 i (1+i)n

Logo, procedendo as devidas substituições, temos:

VF = PMT (1 + i)n -1 i Valor da Anuidade (PMT) Para calcularmos o valor da anuidade é necessário conhecermos o valor futuro ou o valor presente. Como sabemos calcular o valor futuro e o valor presente conhecido a anuidade, para calcularmos a anuidade basta alterarmos as fórmulas. a) Conhecido o valor futuro:

PMT = VF

i

n

(1 + i) -1

b) Conhecido o valor presente:

PMT = VP

i (1 + i) n (1 +i )n -1


24

Lista de Exercícios 1 1) Uma TV custa à vista R$ 8.000,00 mas pode ser financiada em 3 prestações mensais e iguais, sem entrada, à taxa de 3% ao mês, a 1ª prestação paga 30 dias após a compra. Qual o valor da prestação ? (Resp: R$ 2.828,24) 2) Um fogão foi financiado em 5 prestações mensais iguais e sucessivas, sem entrada, no valor de R$ 425,00, sendo a 1ª prestação paga 30 dias após a compra. Sabendo que a taxa do financiamento é de 5% ao mês, qual o valor financiado? (Resp: R$ 1.840,03) 3) Uma máquina digital custa R$ 1.500,00 a vista mas pode ser financiada em 3 prestações mensais e iguais, com ou sem entrada, à taxa de 4% ao mês. Quais os valores das prestações com e sem entrada? (Resp: R$ 519,73 e R$ 540,52) 4) Uma geladeira foi financiada em 2 prestações mensais e iguais, com entrada, no valor de R$ 500,00, à taxa de 2% ao mês. Qual o valor à vista ? (Resp: R$ 990,20) 5) Max deseja viajar. Se conseguir um rendimento de 2% ao mês, quanto deverá depositar por mês, nos próximos 3 meses, para ter um saldo de 600,00 na data do último depósito (Resp. R$ 196,05) ? 6) Uma empresa tomou um empréstimo de R$ 50.000,00 para pagamento em 12 prestações mensais, sendo a primeira paga no ato da liberação do financiamento. Sabendo-se que este banco cobra uma taxa efetiva de juros de 4% a.m, calcular o valor da prestação. 7) Um empréstimo de R$ 250.000,00 deverá ser pago em 24 prestações mensais a taxa de 3% a.m. com capitalização mensal, mais 2 pagamentos adicionais no valor de R$ 50.000,00 juntamente com os vencimentos da sexta e décima oitava prestação. Calcular a prestação. 8) Uma recente promoção anuncia que, nas compra a prazo, o cliente após receber um carnê com 10 prestações, somente pagará as 7 primeiras, o que configuraria um desconto de 30% sobre o saldo devedor. Avalie se tal informação está ou não correta, sabendo que a loja anunciante utiliza 5% a.m. com capitalização mensal, como taxa de juros para efetuar seus crediários. 9) Ao comprar um carro cujo preço à vista é de R$ 15.000,00, uma pessoa ofereceu 30% de sinal e o saldo em 18 prestações mensais. Determinar o valor da prestação, sabendo-se que o vendedor cobra uma taxa de 3% a.m. composta mensalmente. Resposta = R$ 763,44


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Lista de Exercícios 2 1. Uma compra é financiada em dez prestações mensais de $ 500,00, que incluem juros calculados a uma taxa de 1% ao mês, capitalizados mensalmente. Determinar o valor do principal desse financiamento, no regime de juros compostos, sabendo-se que a 1ª prestação deve ser ocorrer 30 dias após a data da compra. Resp : $ 4.735,65 2. Uma compra é financiada em seis prestações mensais de $10.000,00, que incluem juros calculados a uma taxa de 15% ao ano, capitalizados mensalmente. Determinar o valor do principal desse financiamento, no regime de juros compostos, sabendo-se que a 1ª prestação deve ser ocorrer 30 dias após a data da compra. Resp : $ 56.460,10 3. Uma compra de $10.000,00 é financiada em oito prestações trimestrais, iguais e sucessivas, sendo que a 1ª prestação deve ser paga 90 dias após a liberação do financiamento. Determinar o valor dessas prestações para uma taxa de 3% ao trimestre, no regime de juros compostos. Resp : $1.424,56 4. Um equipamento cujo valor à vista é de $10.000,00 será financiado em 12 prestações mensais e sucessivas, além de uma entrada de $2.500,00, por ocasião da compra. Determinar o valor das 12 prestações mensais sabendo-se que o financiamento será realizado a juros compostos de 15% ao ano, capitalizados mensalmente, e que a 1ª prestação vencerá 30 dias após a data da compra. Resp : $676,94 5. Uma compra deve ser financiada em seis prestações mensais de $10.000,00, que incluem juros calculados com a taxa de 1,25% ao mês. Determinar o valor do principal desse financiamento, no regime de juros compostos, sabendo-se que a 1ª prestação ocorre no ato da realização da compra, a título de entrada. Resp : $58.178,35 5. Um equipamento cujo valor à vista é $50.000,00 é financiado a juros compostos de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo de dois anos. Determinar o valor a ser dado a título de entrada, para que o valor das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas seja limitado a $2.000,00. Assumir que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. Resp : $7.513,23 Matemática Financeira

26 6. Uma empresa financia a venda de seus equipamentos em seis vezes, com pagamentos mensais e iguais. A 1ª prestação deve ocorrer 30 dias após a realização da venda. Em uma venda de $50.000,00 a prestação a ser paga é de $8.640,00. Determinar a taxa de juros mensal efetiva da operação, no regime de juros compostos. Resp :1,042%a.m. 9. Uma loja de eletrodomésticos realiza financiamentos, em prestações iguais, num plano de "1,20% ao mês". Nesse plano, para um financiamento de $1.000,00, com prazo de quatro meses, por exemplo, o total de juros é de 4x1,2 = 4,80% sobre o valor financiado, ou seja, $48,00. O total a ser pago no prazo de quatro meses é igual a $1.048,00, e o valor da prestação mensal é igual a $1.048,00/4=$262,00. Determinar as taxas efetivas mensais desses financiamentos, a juros compostos, para o prazo de cinco meses, nas seguintes hipóteses: (I) pagamento da 1º prestação ocorrendo 30 dias após a liberação dos recursos; (II) pagamento da 1ª prestação ocorrendo no ato da liberação dos recursos, a título de entrada. Resp : (I) 1,974%a.m. e (II) 3,001%a.m. 10. Uma cadeia de lojas de varejo financia os seus produtos num plano de "três vezes sem juros", mediante pagamentos mensais, iguais e sucessivos, a partir de 30 dias da data da venda. Assumir mês com 30 dias e determinar o percentual de acréscimo que essa cadeia de lojas tem que aplicar nos seus preços à vista, para obter uma remuneração efetiva de 1,5% ao mês, a juros compostos, nas vendas financiadas por esse plano. Resp : 3,015% 11. Um cliente de uma loja de eletrodomésticos comprou uma televisão por $800,00 para ser paga em cinco prestações mensais e iguais, a uma taxa de 1,5% ao mês, a juros compostos, sendo que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a data da compra. Determinar o valor do pagamento a ser feito no final do 3º mês (incluindo o valor da 3ª prestação) para liquidar o saldo devedor (principal remanescente). Assumir a mesma taxa de juros para essa liquidação antecipada das duas últimas prestações. Resp : $494,43 12. Um investidor efetuou seis depósitos mensais sucessivos de $5.000,00 numa Caderneta de Poupança que oferece uma remuneração de 12% ao ano, capitalizados mensalmente. Determinar o saldo acumulado por esse investidor nessa Caderneta de Poupança, imediatamente após a efetivação do seu último depósito. Resp : $30.760,08


27 13. Um banco de investimentos opera com uma taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, no regime de juros compostos. Um cliente tomou um financiamento que deve ser liquidado em 12 prestações mensais, a 1ª delas 30 dias após a liberação dos recursos. Determinar o principal desse financiamento sabendo-se que as seis primeiras prestações têm valor de $4.000,00 e as últimas seis, $2.000,00. Resp : $34.101,10 14. Um investidor efetuou oito depósitos mensais de $2.000,00 numa instituição financeira e verificou que o saldo à sua disposição, imediatamente após a efetivação de seu último depósito, era de $16.700,00. Determinar a taxa de remuneração mensal desses depósitos, no regime de juros compostos. Resp : 1,220%a.m.

9. Sistemas de Amortização Em uma anuidade, ao saldarmos um compromisso através de pagamentos iguais ou variáveis, estamos na realidade fazendo dois pagamentos. O primeiro pagamento refere-se a devolução ao credor do capital recebido, processo chamado de amortização, pago de acordo com condições combinadas previamente. A segunda parcela paga ao credor diz respeito à remuneração dos recursos de propriedade do detentor do capital. Esses valores referem-se aos juros. Logo:

Prestação = Amortização + Juros


28

i) Sistema Francês ou Tabela Price O sistema francês de amortização é o mais aplicado pelas instituições financeiras nos financiamentos imobiliários e pelo comércio em geral, através do chamado Crédito Direto ao Consumidor (CDC). Este sistema tem as seguintes características básicas: 1. As prestações são iguais ao longo do tempo. 2. O valor da amortização é variável ao longo do tempo. 3. Os juros incidem sobre o saldo devedor que por decrescerem ao longo do tempo, geram juros cada vez menores, ou seja, os juros são decrescentes . 4. Como as prestações são fixas e os juros decrescentes, a amortização é crescente.

ii) Método Hamburguês ou Sistema de Amortização Constante - SAC Este método caracteriza-se por utilizar amortizações constantes e iguais e juros decrescentes, calculados sobre o saldo devedor. O método hamburgues é utilizado primordialmente para financiamentos imobiliários. 1. As amortizações são iguais ao longo do tempo. 2. O valor da prestação é variável ao longo do tempo. 3. Os juros incidem sobre o saldo devedor que por decrescerem ao longo do tempo, geram juros cada vez menores, ou seja, os juros são decrescentes . 4. Como as amortizações são fixas e os juros decrescentes, a prestação é decrescente.

iii) Sistema de Amortização Misto - SAM O sistema de amortização misto reflete a junção do sistema de amortização constante (SAC ou método hamburguês) com o sistema francês de amortização (Price). Por esta metodologia, a amortização de principal é calculada com base em 50% dos valores originariamente determinados por cada uma daquelas metodologias.

iv) Sistema de Amortização Americano Nesse sistema de amortização, paga-se, até o vencimento, apenas os juros a cada período, sem amortização nenhuma. No último pagamento paga-se os juros devidos e todo o valor do principal.


29

Exemplo: Uma financeira opera com CDC nas seguintes condições: um fnanciamento de R$ 4.000,00 deverá ser pago em 4 prestações mensais iguais, a uma taxa efetiva mensal de 10% a.m. MÉTODO FRANCÊS ( P RICE ) MÊS

PRESTAÇÃO

JUROS

AMORTIZAÇÃO

SALDO DEVEDOR

1 2 3 4 TOTAL 

Prestações Fixas, Juros Decrescentes, Amortização crescente PMT = VP

Juros = Saldo x i

i (1 + i) n (1 +i )n -1

Prestação = Amort + Juros

MÉTODO SAC - Sistema de Amortizações Constantes MÊS

PRESTAÇÃO

JUROS

AMORTIZAÇÃO

SALDO DEVEDOR

1 2 3 4 TOTAL 

Amortização constante, Juros Decrescentes, Prestação decrescente Amort = VP / n

Juros = Saldo x i

Prestação = Amort + Juros


30

MÉTODO SAM MÊS

PRESTAÇÃO

JUROS

AMORTIZAÇÃO

SALDO DEVEDOR

1 2 3 4 TOTAL Prestação = (Prestação Price + Prestação SAC) / 2

MÉTODO AMERICANO MÊS

PRESTAÇÃO

JUROS

AMORTIZAÇÃO

SALDO DEVEDOR

1 2 3 4 TOTAL


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10. Análise de Investimentos A Cia. Simpatia estuda fazer um investimento de 100 milhões que produzirá um fluxo de caixa com entradas líquidas anuais de 55 milhões durante dois anos. Calcular a Taxa Interna de Retorno e o Valor Presente Líquido considerando um custo de capital k (taxa de desconto) de 10% ao ano ?

Valor Presente Liquido – VPL Valor presente dos fluxos de caixa futuros subtraído do valor presente dos investimentos.

Cálculo do VPL: K = taxa de desconto (taxa mínima de atratividade) de 10%

55 55 + - 100 = VPL = - 4,5 2 (1 + 10%) (1 + 10%)

⇒

Valor Presente Líquido

Taxa Interna de Retorno - TIR Taxa que faz com que o VPL assuma um valor nulo.

Cálculo do TIR:

100 =

55 55 + (1 + i) (1 + i) 2

Resposta: 6,6%

⇒

taxa interna de retorno (TIR) CRITÉRIOS DE DECISÃO: Projeto é viável VPL > 0 TIR > K

K 0% 1% VPL 10,0 8,4

2% 6,8

3% 5,2

4% 3,7

5% 2,3

Projeto não é viável VPL < 0 TIR < K 6% 6,6% 7% 8% 9% 10% 0,8 0,0 -0,6 -1,9 -3,2 -4,5


32 Quanto maior a taxa de juros exigida (K) menor será o VPL. VPL

TIR é a taxa que torna o VPL igual zero !

TIR 6,6%

Taxa de desconto


33

BNDES - CONCURSOS ANTERIORES


34

BNDES 2005 – CONTADOR


35

BNDES 2005 – ADMINISTRADOR

CASA DA MOEDA ANALISTA – FINANÇAS


36

CONTABILIDADE

FINANÇAS


37

ANALISTACVM 2001


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ELETROBRAS 1 SEM/2002 - CONTADOR 65 - Um título com vencimento para daqui a cinco meses e valor de resgate de $ 10.000 é colocado no mercado oferecendo rentabilidade de 9% ao mês, a juros compostos. Então, este título deve ser negociado hoje por: (A) (B) (C) (D) (E)

$ 5.962,68; $ 6.386,20; $ 6.499,33; $ 6.858,36; $ 7.084,25.

66 - Uma instituição financeira oferece um produto que remunera o capital investido a uma taxa de 16% ao ano, capitalizados semestralmente. A taxa anual efetiva de remuneração deste produto é: (A) (B) (C) (D) (E)

16,10%; 16,64%; 16,99%; 17,02%; 17,26%.

67 - Uma empresa pode pagar por serviços prestados $ 2.000,00 a prazo, em 60 dias, ou à vista, com 15% de desconto. Se ela optar por financiar o pagamento, a taxa real embutida neste financiamento será de: (A) (B)

14,75%; 15,00%; Matemática Financeira

39 (C) (D) (E)

16,93%; 17,65%; 18,25%.

68 - Para custear planos de expansão, uma empresa estará efetuando a partir do próximo mês 12 retiradas mensais de $ 20.000,00, de uma aplicação financeira que lhe rende 3% ao mês. O valor que a empresa precisa ter depositado nesta aplicação, para suportar os saques, é: (A) (B) (C) (D) (E)

$ 199.080,00; $ 219.504,08; $ 222.400,00; $ 228.684,16; $ 232.648,60.

ADMINISTRAÇÃO 67 - O sistema em que a amortização é feita em parcelas iguais e, portanto, os valores dos juros e das prestações são decrescentes é denominado sistema: (A) (B) (C) (D) (E)

de amortização constante; de amortização francês; price ; de amortização americano; de amortização variável.

ELETROBRAS 1 SEM/2002 - ADMINISTRAÇÃO 69 - Dentre as modalidades de desconto, aquela que é conhecida como desconto “por dentro” é o desconto: (A) (B) (C) (D) (E)

nominal; industrial; bancário; comercial; racional.

70 - O Sistema de amortização em que o valor do empréstimo é pago de uma só vez no final do prazo de amortização e os juros são pagos no final de cada período de capitalização, é o sistema de amortização: (A) (B) (C) (D) (E)

price ; americano; francês; constante; variável.


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PETROBRAS – ADMNISTRADOR PLENO 2005


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PETROBRAS – CONTADOR 2005


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44

PETROBRAS – ECONOMISTAJUNIOR 2005

PETROBRAS – ECONOMISTA PLENO 2005


matematica financeira

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