CURSO MATEMÁTICA FINANCEIRA
Z 5 6m
Zentgraf, Rober to Matemática Financeira / Roberto Zentgraf. – Rio de Janeiro: Grupo Ibmec Educacional, 2012. 139p.; 20x26 cm Inclui bibliogra fia 1. Regimes de capitalização 2. Regimes de juros 3. Utilização da HP-12C HP-12C 4. Juros compostos 5. Equivalência de taxas 6. Séries uniformes de pagamentos 7. Fluxos de caixa 8. Sistemas de amortização e ta xas de juros I. Zentgraf, Roberto II. Ibmec Online III. Título. CDD: 513.93
Grupo Ibmec Educacional 1ª Edição - 2012
Sumário ABERTURA DO CURSO .................................................... ........................
05
Carta ao aluno............................................... ...............................................
05
Currículo resumido do professor-autor professor-autor .............................................. ...........
06
Introdução ....................................................................................................
07
Objetivos.......................................................................................................
07
Diretrizes Pedagógicas ................................................................................
07
MÓDULO 1: Os Primeiros Passos Unidade 1 - Conceitos Iniciais ..................................................... .................
12
Unidade 2 - Regimes de Capitalização e Regimes de Juros .......................
20
Unidade 3 - Utilização da HP-12C HP-12C ............................................................. ...
27
Resumo ........................................................................................................
31
MÓDULO 2: Resolução a Juros Compostos Unidade 1 - Resolução do Diagrama a Juros Compostos ...........................
36
Unidade 2 - Equivalência Equivalência de Taxas ..............................................................
45
Unidade 3 - Exemplos Aplicados .................................................................
51
Resumo ........................................................................................................
59
MÓDULO 3: Séries Uniformes de Pagamento Unidade 1 - Objetivos e Características das Séries de Pagamentos ..........
64
Unidade 2 - Resolução dos Diagramas ............................................ ............
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Unidade 3 - Exemplos Aplicados ...........................................................
79
Resumo .................................................................................................
88
MÓDULO 4: Outros Fluxos de Caixa Unidade 1 - Fluxos de Caixa Quaisquer.................................................
92
Unidade 2 - Resolução do DFC=Genérico .............................................
98
Unidade 3 - Uso do VP, VPL e da TIR na Avaliação dos Ativos ............
105
Resumo .................................................................................................
112
MÓDULO 5: Sistemas de Amortização e Taxas de Juros Unidade 1 - Sistemas de Amortização ............................................... ....
116
Unidade 2 - Resolução dos Sitemas de Amortização ............................
123
Unidade 3 - Uso de Taxas Não Efetivas .................................................
127
Resumo .................................................................................................
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................... ....
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Abertura da Disciplina Carta ao Aluno Caro aluno(a), O presente estudo apresentará, de forma gradual e objetiva, os principais fundamentos da Matemática Financeira com exemplos práticos e atuais, resolvidos por meio de fórmulas, da calculadora financeira HP-12C e por planilha Excel. É o resultado de minha experiência de mais de 18 anos em sala de aula, em cursos de graduação e pós-graduação, e também de exercício semanal, que é escrever uma coluna para um jornal de grande circulação nacional. Um grande abraço, Roberto Zentgraf (Professor-autor)
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Currículo resumido da professor -autor Roberto Zentgraf é engenheiro civil (UFRJ), com pós-graduações em Análise de Sistemas (PUC) e em Finanças (Ibmec), além de mestre em Engenharia de Produção (UFF). Após trabalhar na Esso, ingressou na área acadêmica, sendo, atualmente, professor do Ibmec/RJ, após mais de 10 anos na coordenação dos programas de MBA da instituição. É, também, autor dos livros Matemática Financeira Objetiva, Estatística Objetiva, O Guia Prático de Finanças do Roberto Zentgraf e O Futuro é Hoje. Foi colunista do jornal O Dia e, hoje, é articulista semanal do jornal O Globo, um dos maiores veículos de comunicação do país. Além disso, Roberto Zentgraf mantém o blog Você Investe, hospedado no site www.oglobo.com.br , e participa como consultor do programa Mais Você, da Rede Globo de Televisão.
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Introdução O estudo apresentará, de forma gradual e objetiva, os principais fundamentos da Matemática Financeira e suas principais funções existentes, com exemplos práticos e atuais resolvidos por meio de fórmulas, pela calculadora financeira HP-12C e por planilha Excel. Serão mostradas, também, as transações realizadas no mercado financeiro brasileiro. Bem vindo ao curso de Matemática Financeira!
Objetivos Após completar o estudo da disciplina Matemática Financeira, você poderá: • Compreender os principais fundamentos da Matemática Financeira. • Resolver problemas que envolvam cálculos e funções financeiras por meio de planilhas Excel, fórmulas e calculadora HP-12C. • Ter uma visão sobre as transações realizadas no mercado financeiro brasileiro.
Diretrizes Pedagógicas Tenha sempre em mente que você é o principal agente de sua aprendizagem. Para um estudo eficaz, siga estas dicas: • Organize o seu tempo e escolha o melhor horário do dia para estudar. • Consulte a bibliografia e o material de apoio, caso tenha alguma dúvida. • Tenha em mãos a sua calculadora financeira HP-12C para a resolução dos problemas propostos. • Releia o conteúdo sempre que achar necessário. Bom estudo!
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MÓDULO 1 OS PRIMEIROS PASSOS
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Introdução Sob um enfoque teórico, poderemos de finir a Matemática Financeira como o estudo da evolução do dinheiro ao longo do tempo, visando estabelecer relações formai s entre quantias expressas em datas distintas. Sob uma visão mais aplicada, iremos apresentá-la como o conjunto de técnicas e formulações extraídas da Matemática, com o objetivo especí fico de avaliar as operações de investimento e de empréstimo. Conclui-se, portanto, que ela se constitui em uma das mais importantes – e básicas – ferramentas para a resolução adequada dos problemas relacionados às finanças: conhecer seus fundamentos é estar mais apto a tomar decisões seguras, dentro de níveis de risco pré-assumidos.
Objetivos Ao completar este módulo de estudo, você estará apto a: • Identificar o valor do dinheiro no tempo. • Mostrar o papel do mercado financeiro. • Conceituar juros, taxa de juros e fluxo de caixa. • Conceituar regimes de capitalização e de juros. • Apresentar modalidades de prazos de aplicações. • Utilizar calculadora financeira HP-12C. • Resolver problemas por meio dos Juros Simples.
Estrutura do módulo Para melhor compreensão das questões que envolvem a Matemática Financeira, este módulo está dividido em: Unidade 1: Conceitos Iniciais Unidade 2: Regimes de Capitalização e Regimes de Juros Unidade 3: Utilização da HP-12C
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Unidade 1: Conc eitos Inici ais Para aplicar as técnicas mencionadas neste módulo, é necessário compreender alguns conceitos iniciais, que serão úteis em todo estudo deste curso. São eles: o valor do dinheiro no tempo; juros; taxas de juros; fluxo de caixa; metodologia para a resolução de problemas; além de outros conceitos, como valor presente e valor futuro, e considerações quanto ao prazo das aplicações.
O valor do dinh eiro no tempo Relaciona-se à ideia de que, ao longo do tempo, o valor do dinheiro muda, quer em função de sua desvalorização, devido à in flação, quer em função da existência de alternativas de investimento que possibilitarão o recebimento de alguma remuneração sobre a quantia envolvida. Consequência 1: somente será possível a comparação de quantias expressas em uma mesma data. Consequência 2: somente será possível a realização de operações algébricas (adições, subtrações e outras) com quantias expressas em uma mesma data.
Juros Definiremos juros como o rendimento obtido (ou pago) por um indivíduo que tenha aplicado (ou tomado emprestado) uma quantia sob determinadas condições. Fugindo da de finição tradicional, podemos entendê-los também como o aluguel que o aplicador receberá por tornar disponíveis os recursos que serão utilizados por terceiros (ou que o tomador pagará por usufruir destes recursos). Será através do mercado financeiro que tais transações irão comumente se efetivar, conforme ilustra a figura a seguir:
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$
$ Mercado
Poupador
Tomador
Financeiro $+J2
$+J2
Figura 1.1 – O papel do mercado financeiro
Conclui-se, portanto, que o mercado financeiro negocia um produto (no caso, o dinheiro) e, como em todo e qualquer mercado, possui uma cotação para este produto, a taxa de juros (ou preço do dinheiro).
Taxa de juros Expressa a razão entre os juros recebidos/pagos ao final do período da operação e o valor originalmente aplicado (ou tomado emprestado), sendo usualmente representada por i (do inglês interest, que signi fica juros). Seu valor, em uma primeira abordagem, poderá ser obtido pela fórmula seguinte. As taxas de juros deverão vir acompanhadas de uma referência ao tempo em que os valores serão aplicados. i=
JUROS CAPITAL
i(%) =
JUROS 100 CAPITAL
Fórmula 1.1 – Taxa de juros em um período
Exemplo 1.1: Para cada linha da tabela abaixo, os valores expressos para as taxas de juros se equivalem. Percentual
Percentual
Fração
Decimal
9,0% ao mês
9,0% ao mês
9,0/100 ao mês
0,09 ao mês
0,3% ao dia
0,3% ao dia
0,3/100 ao dia
0,003 ao dia
250,0% ao ano
250,0% ao ano
250,0/100 ao ano
2,50 ao ano
Tabela 1.1 – Exemplos de taxas de juros
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Exemplo 1.2: Se, após aplicar $200,00, um investidor obteve $50,00 a título de juros, a taxa de juros ao período (% a.p.) será de 25,00%, encontrada mediante o emprego da Fórmula 1.1 citada anteriormente: JUROS i(%) 100 CAPITAL =
Fluxo de caixa Denominamos fluxo de caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro ou equivalente a dinheiro, ao longo do tempo, para um indivíduo ou empresa. As entradas de um fluxo de caixa corresponderão aos recebimentos. As saídas corresponderão aos pagamentos ou desembolsos. Graficamente, o fluxo de caixa será representado por meio do Diagrama de Fluxo d e Caixa (DFC), conforme as seguintes convenções: •
No eixo horizontal, será marcada a escala de tempo, subdividida em subperíodos: meses, anos, dias etc.
•
O ponto 0 será a data inicial ou DATA-ZERO, a partir da qual todas as demais se encontrarão relacionadas.
•
As quantias serão representadas por segmentos verticais, que, na medida do possível, deverão ser proporcionais aos respectivos valores.
•
Entradas de caixa corresponderão a segmentos traçados acima do eixo horizontal; saídas de caixa corresponderão a segmentos traçados abaixo.
Exemplo 1.3: Na Figura 1.2 a seguir, os fluxos FC1, FC3 e FCn correspondem a entradas de caixa; FC0 e FC2 correspondem a saídas de caixa. FCn
FC3 FC1
0
1
2
3
4
n
FC2 FC0
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Figura 1.2 – O diagrama de fluxo de caixa
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tempo
Observe: •
O período é o intervalo existente entre duas marcações quaisquer da escala. Por exemplo: o primeiro período está compreendido entre 0 e 1, o segundo, entre 1 e 2. Por conseguinte, o início do primeiro período estará na data-zero, e o final, na data 1; o início do segundo período, está na data 1, o final, na data 2, e assim sucessivamente.
•
A escala utilizada é apenas relativa, ou seja, pode ser modificada. Exemplo: se, no diagrama anterior, a unidade de tempo fosse o mês, marcaríamos 0, 30, 60, 90, ..., n, caso desejássemos transformá-la em uma escala diária.
•
A grande maioria dos problemas de matemática financeira recairá na resolução de alguns poucos diagramas prede finidos. Caberá, portanto, ao analista, a decomposição do diagrama original do problema em diagramas para os quais a solução esteja padronizada.
Exemplo 1.4: Uma empresa tomou emprestados $20.000,06 a serem devolvidos mediante o pagamento de 8 prestações mensais de $4.000,00, a primeira vencendo ao final do sexto mês. $20.000,06
0
6
13
8 x $4.000
Figura 1.3 – Exemplo de um diagrama de fluxo de caixa
Em algumas questões, após a decomposiç ão a que nos referimos, os diagramas resultantes irão iniciar em datas distintas da data zero. Dado que a escala de tempo é apenas relativa, o analista poderá remarcá-la fazendo com que o início do novo diagrama coincida com a data zero. Tal procedimento não afetará os cálculos, desde que o intervalo de tempo entre as entradas e saídas de caixa mantenha-se inalterado. Em um curso de matemática financeira, como o foco é a resolução dos fluxos de caixa, é razoável supor que as entradas e saídas de caixa, em suas respectivas datas, sejam previamente conhecidas, o que torna a elaboração dos diagramas uma tarefa trivial. Na prática, entretanto, nem sempre os dados do problema virão de forma tão explícita, principalmente quando envolverem estimativas de receitas e despesas futuras, o que, entretanto, foge ao escopo do presente curso.
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Metodologia para a resolução de problemas A fim de sistematizarmos as soluções, observe o roteiro indicado na tabela a seguir. Note que as chances de cometermos erros reduzem-se consideravelmente.
Etapa 1
Identifique as entradas e saídas de caixa relevantes ao problema.
Etapa 2
Trace o DFC correspondente, decompondo-o, se possível.
Etapa 3
Verifique em qual modelo de DFC o diagrama traçado na Etapa 2 se enquadra.
Etapa 4
Utilize uma das soluções padronizadas, de acordo com sua calculadora, software etc. Tabela 1.2 – Roteiro para a resolução de problemas
Os principais modelos de DFC encontram-se na tabela seguinte: Modelo
DFC-Padrão
Descrição
Resolução
A
Fluxos envolvendo uma entrada e uma saída de caixa.
Módulo 2
B
Séries uniformes de pagamentos.
Módulo 3
C
Fluxos quaisquer (não enquadrados nos modelos anteriores).
Módulo 4
Tabela 1.3 – Modelos de DFC e suas respectivas resoluções
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Exemplo 1.5: Voltando à situação ilustrada no exemplo 4, um possível enunciado seria: “Dada a taxa de juros de 5,1448%, qual o valor das 8 prestações necessárias para liquidar a dívida de $20.000,06, sabendo-se que a primeira prestação será paga ao final do sexto mês?” Neste caso, seguindo a metodologia proposta, o DFC do problema poderia ser decomposto conforme a figura seguinte: $20.000,06
$25.702,20
0 1
5,1448%
5 6
8 13
5,1448% 0
5
8 x $4.000
$25.702,20
Figura 1.4 – Exemplo da decomposição de um diagrama de fluxo de caixa
O DFC da esquerda corresponde ao Padrão A, e o da direita, ao Padrão B. Para o da esquerda, precisaríamos calcular o valor devido no momento 5 (você saberá como chegar aos $ 25.702,20 em breve), que passaria a funcionar como o valor a diluir nas 8 parcelas mensais do DFC da direita (você também saberá muito em breve como chegar às prestações mensais de $ 4.000).
Outros conceitos importantes Além das noções de fluxo de caixa (cash flow), juros (interest ) e taxa de juros (interest rate) já citadas, os seguintes conceitos serão relevantes para o desenvolvimento das fórmulas constantes nos próximos capítulos: • Valor presente (present value) ou principal: também chamado de valor atual ou capital inicial, corresponderá ao valor do dinheiro hoje, ou seja, na data-zero do diagrama de fluxo de caixa. No texto, será representado por P. • Valor futuro (future value) ou montante: também chamado de capital acumulado, corresponderá ao valor do dinheiro em uma data futura, posterior à data zero do diagrama de fluxo de caixa. No texto, será representado por F.
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• Número de períodos de capitalização: corresponderá ao número de períodos em que um determinado valor P ficará aplicado à taxa de juros i. No texto, será representado por n. • Fator da taxa de juros: corresponderá ao valor da taxa i dada, transformado em fator através da expressão (1 + i). Por exemplo: 10,00%, 100,00% e 0,02% irão gerar, respectivamente, os fatores 1,10, 2,00 e 1,0002. Vale citar que o montante (valor futuro) será sempre igual ao principal (valor presente) acrescido dos juros, o que poderá ser enunciado como:
F=P+J Fórmula 1.2 – Relação entre principal, montante e juros
Podemos, ainda, relacionar P, F e i, onde i está expressa em sua forma decimal. P=
F
(1+ i )
;
F P
= (1+ i ) ;
F
P
P
=i
Fórmula 1.3 – Relações entre principal, montante e taxa de juros ao período
At enç ão: estas fórmulas poderão ser utilizadas, independente do regime de capitalização considerado, desde que se esteja trabalhando com a taxa i ao período.
Considerações quanto ao prazo das aplicações Na resolução dos problemas, pode-se adotar duas convenções para a contagem do prazo das aplicações: • Ano civil (ou ano-calendário): o ano terá 366 ou 365 dias (conforme seja ou não bissexto) e os meses 31, 30, 29 ou 28 dias (dependendo do mês considerado e do ano ser ou não bissexto). • Ano comercial: o ano terá 360 dias, e os meses, 30 dias.
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Dependendo da convenção utilizada, há diferentes resultados para o cálculo dos juros: • Juros exatos: tanto a contagem do prazo da aplicação quanto a c onversão da taxa de juros são realizadas pelo critério do Ano Civil. • Juros comerciais: ambas são realizadas pelo critério do ano comercial. • Juros bancários: o prazo é contado pelo critério do ano civil, a taxa é convertida pelo critério do ano comercial. Observação: No Brasil, o sistema utilizado é o dos juros bancários ou, no caso de muitas aplicações financeiras, o prazo é contado em dias úteis, e a taxa anual é convertida, considerando o ano com 252 dias úteis.
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Unidade 2: Regimes de Capitalização e Regimes de Juros Nesta unidade, além de conhecer as de finições de regimes de capitalização e regimes de juros, você poderá acompanhar como se aplicam esses conceitos na prática. Para isso, serão apresentados exemplos que indicam a necessidade de resolução de problemas específicos e suas soluções correspondentes.
Defi nições básicas Regimes de capitalização Relacionam-se à forma como os juros serão adicionados ao capital. Na c apitalização contínua, os juros serão agregados ao principal à cada unidade in finitesimal de tempo; na capitalização periódica (ou descontínua), correspondente às operações financeiras de um modo geral, os juros serão agregados apenas ao final do prazo estipulado pela taxa de juros.
Regimes de jur os Relacionam-se à forma como os juros serão calculados. No regime de juros simples, a taxa de juros incidirá apenas sobre o capital inicialmente aplicado; no regime de juros compostos, a taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado ao final do período anterior. Exemplo 1.6: Admitindo uma aplicação de $100,00 à taxa de juros de 10,00% a.m., a tabela abaixo ilustrará o valor dos juros e do montante acumulados ao longo dos 3 primeiros meses para os dois regimes de juros na capitalização periódica.
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t
Juros (Simples)
F
Juros (Compostos)
F
0
-
100,00
-
100,00
1
100,00 × 10,00% = 10,00
110,00
100,00 × 10,00% = 10,00
110,00
2
100,00 × 10,00% = 10,00
120,00
110,00 × 10,00% = 11,00
121,00
3
100,00 × 10,00% = 10,00
130,00
121,00 × 10,00% = 12,10
133,10
Tabela 1.4 – Regimes de juros
Observação: Ao longo de todo este texto, assumiremos a capitalização periódica.
O regime de juros simples Ainda que o regime de juros simples tenha lá a sua relevância no desenvolvimento teórico das finanças, no Brasil, sua aplicabilidade é restrita: cobrança dos juros pela utilização dos limites nos cheques especiais, desconto de duplicatas e promissórias, pró-rata na atualização de dívidas. Há também o caso de alguns concursos públicos que, por haver limitação quanto à utilização de calculadoras financeiras, enfatiza questões que envolvem juros simples. Por este motivo, e dado que os cálculos feitos sob este regime não envolvem grandes dificuldades, o regime de juros simples será abordado brevemente nesta seção. Para aqueles que desejarem se aprofundar no tema, recomendamos a leitura complementar da bibliogra fia indicada. Assim, supondo o DFC ilustrado na figura seguinte, onde P refere-se ao valor aplicado em t=0; i, à taxa de juros; n, ao prazo; F, ao valor acumulado, temos: i%
F
n
P Figura 1.5 – DFC-Padrão (A)
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Apesar da extrema simplicidade do DFC anterior, não custa lembrar que boa parte das operações realizadas no mercado financeiro comporta-se desta forma, como, por exemplo: • Aplicações a prazo fixo (n) onde o poupador aplica uma quantia P a uma taxa de juros i para resgatar o montante F ao final da operação (um DFC simétrico ao da figura anterior ilustraria a transação sob a ótica da instituição financeira). • Operações de crédito onde o banco empresta a quantia P a uma taxa de juros i para, após o prazo n, receber de seu cliente o montante F (o DFC simétrico ilustraria a questão sob a ótica do cliente).
J P i n
(a)
F
P 1 i n
P
i
F
1 i n
F
(b)
1
1 i n
F 1 1 P n
n
F 1 1 P i
(c)
(d)
(e)
Fórmula 1.4 – Cálculos no regime de juros simples
Observações: • Nas fórmulas anteriores, i refere-se à taxa de juros expressa em sua forma decimal. • Para a utilização correta da fórmula acima, o prazo n e a taxa de juros i deverão estar compatíveis quanto à unidade de tempo utilizada, ou seja, se a taxa for mensal, o prazo deverá estar em meses; se a taxa for anual, o prazo deve estar em anos, e assim sucessivamente. Torne o prazo compatível à taxa dividindo-o ou multiplicando-o, conforme os exemplos que se seguem. • Alternativamente, use a sua intuição para a resolução dos problemas, conforme indicado a seguir.
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Exemplo 1.7: Se uma corretora oferece uma taxa de 12,00% ao mês no regime de juros simples, quais os juros e o capital formado em uma aplicação de $50.000,00 por 2 meses?
Solução: Dados P=$50.000,00; i=12,00% a.m.; n=2 meses; J=? J 50.000,00 12
100
2 12.000,00 ; F = 50.000 + 12.000 = 62.000
Ou pela intuição: Juros a cada mês = 50.000 x 12% = 6.000; a cada 2 meses = ... Exemplo 1.8: E se o prazo do exemplo anterior fosse de 42 dias? Solução: Neste caso, n=42 dias e, como a taxa foi expressa em meses, será necessário transformarmos o prazo para meses, o que é facilmente obtido dividindo-se o número de dias por 30:
J 50.000,00 12
100
42 30 8.400,00
No último exemplo, poderíamos ter obtido as mesmas respostas se, ao invés de termos transformado o prazo para torná-lo compatível à taxa, tivéssemos transformado a taxa para torná-la compatível ao prazo. No caso específico do regime de juros simples, isto também poderá ser feito através da divisão da taxa dada, pois, na fórmula 1.4.a, o valor dos juros é o produto dos diversos termos. Vejamos o exemplo 1.8 refeito utilizando-se o novo critério. Exemplo 1.9: Refaça o exemplo 1.8 transformando a taxa de juros mensal em uma taxa de juros diária. Solução: No regime de juros simples, uma taxa mensal é transformada em diária através da divisão por 30; 12,00% dividido por 30 será igual a 0,40% a.d.:
J 50.000,00 0,4
100
42 8.400,00
Exemplo 1.10: Qual a taxa de juros mensal que transformou uma aplicação de $200,00 em $250,00, após 45 dias de prazo?
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Solução 1: Se $200,00 transformaram-se em $250,00, é sinal de que o valor dos juros foi de $50,00, obtidos pela fórmula 1.2. Logo, P=$200,00; J=$50,00; n=45/30 meses. Aplicando a fórmula 1.4.a, teremos:
50,00 200,00
i(%)
45
100
30
16,67% a.m.
Solução 2: Através da determinação da taxa de juros da operação em conjunto com a aplicação de uma regra de três:
i(%ap) =
50,00 200,00
100 25,00%
Prazo
Taxa
30 25 16,67% a.m. i 45 30
25,00%
45
x%
Exemplo 1.11: O capital de $100,00 foi aplicado à taxa de 18,00% a.a., produzindo juros de $33,00. Qual o prazo da aplicação?
Soluç ão 1: Através da fórmula 2.1: J=$33,00; P=$100,00; i=18,00% a.a.; n=? 33,00 100,00 18
100
n 18n 33,00 n 33,00
18
1,8333
Note, entretanto, que, como a taxa foi dada ao ano, o prazo encontrado acima estará expresso em anos; para transformá-lo em meses, bastará multiplicarmos por 12 e obteremos 22 meses ou 1 ano e 10 meses. Solução 2: Através da determinação da taxa de juros da operação (ou taxa ao período) em conjunto com a aplicação de uma regra de três:
i(%ap) Taxa 18,00% 33,00%
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33 100 33,00 % 100 Prazo
12 33
18
12 n n
22 meses
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Exemplo aplicado: juros nos cheques especiais Para a determinação dos juros decorrentes da utilização dos limites dos cheques especiais, a grande maioria dos bancos aplica uma taxa mensal de juros simples sobre o saldo devedor existente em cada dia corrido (ou seja, incluindo-se na contagem os fins de semana e feriados), sendo os juros efetivamente debitados na conta-corrente do cliente no último dia útil do mês. Exemplo 1.12: A taxa de juros cobrada pelo Banco XYZ para utilização do cheque especial é de 12,00% a.m. Determine o total de juros a serem debitados na conta de um cliente que tenha apresentado o extrato ilustrado a seguir: Data
Descrição
Valor
Saldo
28/02
Saldo Anterior
12/03
Cheque 121
450,00 DB
-200,00
15/03
Cheque 123
400,00 DB
-600,00
20/03
Cheque 124
300,00 DB
-900,00
22/03
Depósito
400,00 CR
-500,00
24/03
Depósito
800,00 CR
300,00
26/03
Cheque 125
100,00 DB
200,00
31/03
Saldo Final
250,00
200,00
Solução: Como estamos operando no regime de juros simples, poderemos transformar a taxa mensal em diária através de sua divisão por 30; com os dados do enunciado, chegaremos a 0,40% a.d.:
O saldo de $200,00 permaneceu devedor desde 12/03 até 15/03 (exclusive), ou seja, por 3 dias; logo, os juros J1 a serem cobrados por estes 3 dias poderão ser obtidos se aplicarmos a fórmula 2.1.a, fazendo P=$200,00; i=0,40% a.d. e n=3 dias; J 1=?
J1 = 200,00 × 0,40/100 × 3 dias = 2,40 O mesmo raciocínio será empregado para os demais saldos devedores, com o que chegaremos a:
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J2 = 600,00 × 0,40/100 × 5 dias = 12,00 J3 = 900,00 × 0,40/100 × 2 dias = 7,20 J4 = 500,00 × 0,40/100 × 2 dias = 4,00
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O total a ser debitado será a soma das quatro parcelas anteriores, ou seja: $25,60.
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Unidade 3: Utilização da HP-12C Ainda que as fórmulas utilizadas na matemática financeira não sejam complexas, simpli ficaremos em muito os cálculos financeiros ao trabalhamos com equipamentos adaptados a esta tarefa, com a vantagem de eliminarmos parte da “burocracia algébrica” necessária à resposta. Com isso, temos mais tempo para o raciocínio financeiro, que nos levará às escolhas adequadas. Líder de mercado, a HP-12C realiza cálculos com incrível facilidade, sendo a preferida pelos que trabalham em bancos e demais empresas do setor financeiro. Todos os exemplos aqui apresentados pressupõem que você esteja operando no modo de cálculo RPN (Reverse Polish Notation = Notação Polonesa Reversa). Nas versões antigas do equipamento, somente este modo estava disponível; nas versões mais modernas, como a HP-12C Platinum, entretanto, é possível realizar cálculos no formato RPN e no formato algébrico. Caso seu modelo permita os dois modos, recomendamos que o altere para o modo RPN através das teclas
, de forma a acompanhar o passo a passo das soluções. Consulte o manual ou a bibliogra fia recomendada para maiores detalhes quanto às operações mais comuns.
Cálculos envolvendo taxas ao período Os roteiros apresentados a seguir pressupõem a utilização (ou o cálculo) de taxas vigentes durante todo o prazo da operação analisada. Deve ficar claro que, para questões desta natureza, sempre haverá o recurso de utilizarmos calculadoras comuns para efetuarmos as operações aritméticas estabelecidas nas f órmulas apresentadas na unidade 1 deste módulo. Entretanto, o objetivo desta seção é abordar as funções adicionais existentes na linha HP. 1. Digite o principal e tecle , digite o montante e tecle <∆%> para obter a taxa de juros para o período da operação (expressa em percentual). 2. Digite o principal e tecle , digite o valor dos juros e tecle <%T> para obter a taxa de juros para o período da operação (expressa em percentual). 3. Digite o principal e tecle , digite a taxa de juros para o período da operação (na sua forma percentual) e tecle <%> para obter o valor dos juros; tecle <+> logo a seguir para obter o valor do montante. Roteiro HP-12C 1.1 – cálculos percentuais
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Observações: • Caso os valores encontrados nos itens 1 e 2 do roteiro anterior sejam negativos, é sinal de que houve perda no investimento. • Para obter o valor do montante a partir de uma taxa negativa, no item 3 do roteiro anterior, tecle <−> ao invés de <+>. • Todos os itens do roteiro anterior poderão ser utilizados nas operações comercias de acréscimos e/ou descontos nos preços. Exemplo 1.13: Um investidor aplicou $1.500,00 em um fundo de ações, resgatando $2.200,00 após 3 meses. Qual a taxa de juros da operação? E se o resgate fosse de apenas $1.200,00?
Solução: Por meio da sequência: TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
limpa registradores
1500
1,500.00
principal (=aplicação)
2200 <∆%>
46.67
taxa ao período (=ganho)
1500
1,500.00
principal (=aplicação)
1200 <∆%>
-20.00
taxa ao período (=perda)
Exemplo 1.14: Se, após ter aplicado $1.500,00, um investidor recebeu $700,00 de juros, qual a taxa que remunerou a operação?
Solução: Por meio da sequência: TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
limpa registradores
1500
1,500.00
principal (=aplicação)
700 <%T>
46.67
taxa ao período (=ganho)
Exemplo 1.15: Há dois meses, você possuía $3.000,00 aplicados em um fundo de ações. Ao ligar para o gerente de sua conta, você foi informado de que, nos dois últimos meses, o fundo rendeu 7,5% em termos acumulados. Quanto você possui atualmente? E se a rentabilidade acumulada fosse de 17,5% negativos?
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Solução: Por meio da sequência: TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
limpa registradores
3000
3,000.00
principal (=aplicação)
7.5 <%>
225.00
juros (=ganho)
<+>
3,225.00
montante acumulado
3000
3,000.00
principal (=aplicação)
17.5 <%>
525.00
juros (=perda)
<−>
2,475.00
montante acumulado
Exemplo 1.16: Uma calculadora está anunciada por $120,00, mas, se paga à vista, poderá ser adquirida por $100,00. Qual o desconto da operação em termos percentuais?
Solução: Por meio da sequência: TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
limpa registradores
120
120.00
preço a prazo
100 <∆%>
-16.67
desconto % (pois o valor foi negativo)
Cálculos envolvendo juro s si mples Usando a intuição, fica simples adaptarmos o roteiro anterior para incluirmos os cálculos a juros simples. Exemp lo 1.17: Se um banco oferece uma taxa de 12,00% ao mês no regime de juros simples, quais os juros e o capital formado em uma aplicação de $50.000,00 por 2 meses?
Solução: Dados P=$50.000,00; i=12,00% a.m.; n=2 meses; J=?; F=?
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TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
limpa registradores
50000
50,000.00
principal
12 <%>
6,000.00
taxa × principal, juros de 1 mês
2 <×>
12,000.00
juros acumulados em 2 meses
<+>
62,000.00
montante
Exemplo 1.18: Qual a taxa de juros mensal que transformou uma aplicação de $200,00 em $250,00 após 45 dias de prazo?
30
Solução: Dados P=$200,00; F=$250,00; n=45 dias; i=? TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
limpa registradores
200
200.00
principal
250 <∆%>
25.00
taxa ao período (p/ 45 dias)
45 <÷>
0.56
taxa ao dia
30 <×>
16.67
taxa ao mês
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Resumo Neste módulo, foi feita uma primeira abordagem sobre o que signi fica matemática financeira e como atua o mercado financeiro. Os juros foram descritos como sendo o rendimento obtido por um investimento ou pago por um financiamento em um período e sob uma taxa previamente determinados. Também foram apresentadas de finições de juros simples, em que a taxa de juros incidirá sempre sobre o valor principal aplicado, e de juros compostos, em que a taxa de juros incidirá sobre o saldo do último período da aplicação. Taxa de juros foi definida como a razão entre os juros obtidos ao final de um período e o valor originalmente aplicado. O fluxo de caixa e seu diagrama correspondente foram apresentandos como importantes ferramentas para a resolução de problemas. Os diferentes critérios na contagem de prazos, que determinam as modalidades de juros existentes (comerciais, bancários e exatos) finalizaram a parte teórica da matéria. Além disso, foram apresentadas importantes características e algumas funções básicas da HP-12C que irão ajudar no desenvolvimento de exercícios.
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MÓDULO 2 RESOLUÇÃO A JUROS COMPOSTOS
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Introdução Neste módulo, iremos resolver problemas representados pelo diagrama de fluxo de caixa (DFC), expresso na figura seguinte, analisando o relacionamento existente entre suas variáveis sob o regime de juros compostos, de finido por muitos autores como regime de capitalização composta. i%
F
n
P
Figura 2.1 – DFC-Padrão (A)
Objetivos Após completar o estudo do módulo, você estará apto a: • Apresentar as expressões para cálculo de juros compostos. • Resolver os problemas propostos na HP-12C. • Resolver os problemas propostos no Excel. • Conceituar a equivalência de taxas. • Comparar os regimes de juros. • Estabelecer a relação entre taxa de juros e preços dos títulos. • Avaliar operações comerciais. • Exemplificar o uso de taxas variáveis ao longo do tempo.
Estrutura do módulo Para melhor compreensão das questões que envolvem a matemática financeira, este módulo está dividido em: Unidade 1: Resolução do Diagrama a Juros Compostos Unidade 2: Equivalência de Taxas Unidade 3: Exemplos Aplicados
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Unidade 1: Resolução do Diagrama a Juros Compostos Nesta Unidade, você conhecerá três formas de realizar resoluções do diagrama a juros compostos: pelas fórmulas, pela HP-12C e pelo Excel. A especi ficidade de cada método será apresentada a partir de exemplos e soluções analisadas.
Pelas fórmulas F
i%
n
P
Figura 2.1 – DFC Padrão (A)
Conforme ilustrado na figura acima, suponha que um indivíduo tenha aplicado o valor P [=valor presente] a uma taxa de juros i. Após um prazo n, ele terá acumulando o valor F [=valor futuro]. Poderemos, então, relacionar as variáveis citadas conforme quadro abaixo. n
F P 1 i P
F
n
1 i
i F
n
P
1 n
F
(a)
1 n
1 i
(b)
1 i (%) F
1 n
P
1 100
(c)
log F
P log 1 i
(d)
Fórmula 2.1 – Cálculos no regime de juros compostos
Observações: • No presente módulo, estaremos trabalhando com a taxa de juros i expressa em sua forma efetiva. Grosso modo, uma taxa efetiva é: (i) aquela que paga – ou cobra – o que anuncia; (ii) aquela que incide sobre o valor presente P. • Nas expressões anteriores, a taxa i deverá estar expressa na mesma unidade de tempo que o prazo n. • Para tornar prazo e taxa compatíveis, divida ou multiplique o prazo adequadamente.
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At enç ão: Nunca divida ou multiplique a taxa. Caso você queira compatibilizá-los mediante a conversão da taxa, use o conceito de equivalência de taxas a juros c ompost os, que será apresentado na p róxima uni dade. Exemplo 2.1: Se uma corretora oferece uma taxa de 12,00% ao mês no regime de juros compostos, qual o valor resgatado a part ir da aplicação de $1.000,00 por 2 meses?
Solução: Dados P=$1.000,00; i=12,00% a.m.; n=2 meses; F=?
F 1.000,00 1 12
100
2
1.000,00 1,12 2 1.254,40
Exemplo 2.2: E se o prazo fosse de 15 dias?
Solução: Dados P=$1.000,00; i=12,00% a.m.; n=(15/30) meses; F=? F
1.000,00 1 12100
15
30
1.000,00 1,12
1 2
1.058,30
Observação: Note que o resultado precedente difere do que obteríamos se dividíssemos a taxa (=6% para a quinzena), quando, então, chegaríamos a 1.060,00. Isso con firma, portanto, nossa obervação anterior. Exemplo 2.3: Se, após 2 meses de aplicação a 12,00% a.m., um investimento permitiu o resgate de $1.254,40, qual o valor originalmente aplicado? Solução: Dados F=$1.254,40; i=12,00% a.m.; n=2 meses; P=? Aplicaremos a fórmula 2.1.b para obter:
P
1.254,40
1,122
1.254,40 1,2544
1.000,00
Pela HP-12C A resolução dos problemas através da HP-12C é bastante simples: para o DFC-Padrão (A), serão fornecidas três variáveis, e ela encontrará o valor da quarta. Anote as seguintes dicas: • No DFC-Padrão (A), P corresponderá à tecla ou à função (=Present Value); F corresponderá a (=Future Value); i e n corresponderão, respectivamente, às teclas ou funções e .
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• As calculadoras financeiras sempre interpretarão o DFC-Padrão (A) como um investimento (saída de caixa em t=0, entrada em t=n) ou como um empréstimo (entrada de caixa em t=0, saída em t=n). • É necessário, portanto, que se obedeça à convenção do sinal do fluxo de caixa, a fim de que não ocorram erros nos cálculos: entradas de caixa deverão ser inseridas com o sinal positivo; saídas de caixa, com o sinal negativo; para os cálculos envolvendo a determinação de F ou P, esta regra será irrelevante. At enção: para os cálculos envolvendo a determinação de i ou n, esta regra será obrigatória.
1. Tecle ou para limpar todos os registradores ou apenas os registradores financeiros. 2. Certifique-se que o visor da calculadora apresenta a letra C acesa; caso isto não ocorra, acenda-o através da sequência . 3. Digite o valor de cada uma das três variáveis conhecidas e pressione a tecla a ela correspondente; tecle (=Change Signal) para mudar o sinal do principal P ou do montante F, se aplicável ao problema. P ; F ; i ; n 4.
Repita o procedimento até ter inserido todas as variáveis.
5.
Pressione a tecla correspondente à incógnita do problema para obter a resposta. Roteiro HP-12C - cálculo do DFC-Padrão (A) a juros compostos
Observações: • Como os valores inseridos em , , e ficam “guardados”, é recomendável seu apagamento antes do início de novos cálculos a fim de se evitar erros. • A taxa i e o prazo n deverão estar compatíveis quanto à unidade de tempo utilizada. Para tornar o prazo compatível à taxa, transforme o prazo n, que será inserido na forma fracionária nestes casos. Por exemplo: se a taxa é anual, e o prazo da aplicação de 6 meses, n deverá conter 0,5 anos. • Caso opte-se por tornar a taxa compatível ao prazo, o conceito de Taxas Equivalentes deverá ser adotado através da fórmula 2.3, a ser executada na calculadora por intermédi o
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das funções de potenciação (teclas e/ou <^>). Este conceito será aprofundado mais adiante. • A taxa i estará sempre em sua forma percentual. • O C aceso no visor indicará que, ao inserir prazos fracionários, a HP-12C irá fazer as contas a juros compostos; ligue-o com . • Importante: caso o C esteja apagado, ao inserir prazos fracionários, a HP-12C irá fazer as contas de modo híbrido, ou seja, calculará juros simples para a fração e juros compostos para a parte inteira do prazo. • No cálculo do prazo n, a resposta fornecida pela HP-12C sempre estará arredondada ao inteiro imediatamente superior, o que poderá causar distorções. Por exemplo, se o resultado matematicamente correto for 7,001, haverá o arredondamento para 8,000. Note que não se trata de um arredondamento apenas no visor, mas sim no valor armazenado em , o que, consequentemente, irá desequilibrar as equações. Exemplo 2.4: Qual o valor que você terá, decorridos 3 meses, se aplicar $153.000,00 em um título que lhe renda 12,50% a.m., no regime de juros compostos? Solução: O DFC da figura seguinte ilustra o enunciado. Observe no sentido dado aos fluxos de caixa:
F=?
i = 12,50%am 0
n = 3m
$153.000 Figura 2.2 – DFC para o exemplo 2.4
Estamos admitindo que o C esteja aceso no visor, sendo as respostas apresentadas com duas casas decimais. A sequência seguinte ilustrará o procedimento:
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TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
limpa registradores
153000
-153,000.00
principal (saída de caixa, negativo)
12.5
12.50
taxa
3
3.00
prazo
217,845.70
resposta (entrada de caixa, positivo)
Exemplo 2.5: E se a taxa anterior fosse de 22,00% a.m.? Solução: Admitindo que você não tenha limpado os registradores com ou , os valores já inseridos ficarão guardados. Consequentemente, bastará alterarmos o valor de i.
TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
22
22.00
nova taxa
277,824.74
resposta
Exemplo 2.6: Utilizando os dados do exemplo anterior, quanto deveríamos depositar para resgatarmos $300.000,00? Solução: O DFC para o enunciado é idêntico ao traçado na figura que ilustra o exemplo 4, mas, neste caso, temos os seguintes dados: F=$300.000,00; i=22,00% a.m.; n=3 meses; e queremos achar P. Admitindo que não tenhamos limpado os registradores, a sequência seria:
TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
300000
300,000.00
valor futuro
-165,212.07
nova resposta
Exemplo 2.7: Um investimento de $120.000,00 foi transformado em $200.000,00 após 3 meses de aplicação. Calcule as taxas (a) anual; (b) semestral; (c) mensal e (d) diária para a operação.
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Solução: O DFC para o enunciado é idêntico ao traçado da figura que ilustra o exemplo 4, à exceção de que a incógnita será a taxa de juros. Temos, portanto: P=$120.000,00 e F=$200.000,00; fornecendo o prazo n em anos (=3/12), obteremos a taxa i ao ano; fornecendo o prazo n em semestres (=3/6), obteremos i ao semestre, e assim sucessivamente.
TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
limpa registradores
120000
-120,000.00
principal (saída de caixa, negativo)
200000
200,000.00
montante (entrada de caixa, positivo)
312<÷>
0.25
prazo em anos
671.60
taxa anual
36< ÷>
0.50
prazo em semestres
177.78
taxa semestral
3
3.00
prazo em meses
18.56
taxa mensal
90
90.00
prazo em dias
0.57
taxa diária
Exemplo 2.8: Em quanto tempo $100,00 aplicados a 14,00% a.m. transformam-se em $150,00?
Solução: O DFC a seguir ilustra o enunciado. $150
i = 14%am 0
n=?
$100
Figura 2.3 – DFC para o exemplo 2.8
Resolveremos a questão através das teclas financeiras e através da fórmula 2.1d, onde o logaritmo poderá ser obtido através da função (Logaritmo Neperiano). Pela fórmula, a sequência será:
41
150 100
log n
log 1
14
100
log(1,50 ) log(1,14)
TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
Limpa registradores
1.50
0.41
Ln de F/P
1.14
0.13
Ln de (1+i)
<÷>
3.09
Prazo em meses.
TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
Limpa registradores
100
-100.00
Principal
150
150.00
Montante
14
14.00
Taxa mensal
4.00
Prazo em meses.
... e pelas funções financeiras:
Note que, por ter arredondado o valor de n, a equação original transformou-se em uma desigualdade, já que o valor correto seria de 3,09. Sendo assim, se após o cálculo acima pressionarmos , ou , a HP-12C tratará de balancear a equação. Exempli ficando: se estivéssemos com os últimos resultados ainda nos registradores, ao pressionarmos , obteríamos $168,90, que corresponderia ao valor acumulado dos $100,00 aplicados à taxa de 14,00% a.m. durante 4 meses.
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Pelo Excel A utilização do Excel na resolução do DFC-Padrão (A) a juros compostos permitirá a adoção de dois caminhos distintos: • Inserção das fórmulas vistas no capítulo em suas células. • Uso de suas funções financeiras específicas, conforme quadro seguinte.
1. Para o principal, a função VP(i,n,PMT,F,Tipo) deverá ser utilizada. 2. Para o montante, a função adequada será VF(i,n,PMT,F,Tipo). 3. Para a taxa, utilizaremos TAXA(n,PMT,P,F,Tipo,Est). 4. Para o prazo, teremos NPER[i,PMT,P,F,Tipo]. 5. Para o cálculo do montante acumulado a partir da aplicação sucessiva de diferentes taxas, utilizaremos VFPLANO(P,Conjunto-de-Taxas). Roteiro Excel 2.1 - cálculo do DFC- Padrão (A) a juros compostos
Observações: • As funções listadas no quadro anterior foram originalmente preparadas para operar com séries de pagamento (que trataremos em um outro módulo) e, consequentemente, pedirão argumentos adicionais aos normalmente usados para este modelo de DFC. A questão é simples de ser resolvida, bastando inserir zeros ou, eventualmente, eliminar os argumentos opcionais (Veja o exemplo 2.9 a seguir). • Nas funções listadas, P corresponderá ao principal, F ao montante; o argumento PMT deverá conter zero; os argumentos Tipo e Est são opcionais, podendo ser omitidos na inserção da função. • As taxas de juros i deverão ser fornecidas em sua forma decimal ou digitadas seguidas do símbolo %, quando então a conversão ao formato decimal será feita automaticamente pelo Excel; o valor para n poderá ser fracionário, o Excel considerará juros compostos. • Os valores para a taxa i e o prazo n deverão estar compatíveis quanto à unidade de tempo utilizada.
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• O Excel também adotará a convenção do sinal do fluxo de caixa. • Na função TAXA, a resposta estará em termos decimais, formatada percentualmente. • Na função VFPLANO, Conjunto-de-Taxas deverá ser uma faixa contendo as taxas de juros que serão acumuladas; se atribuirmos 1 ao valor de P, a função encontrará o fator da taxa acumulada. Exemplo 2.9: Utilizando o Excel, determine o resultado das seguintes questões (baseadas nos exemplos 2.4, 2.6, 2.7 e 2.8): • P=$153.000,00; i=12,50% a.m.; n=3 meses; F=? (exemplo 2.4) • P=$120.000,00; F=$200.000,00; n=3 meses; i% a.a.=? (exemplo 2.7a) • P=$120.000,00; F=$200.000,00; n=3 meses; i% a.s.=? (Exemplo 2.7b) • P=$100,00; F=$150,00; i=14,00% a.m.; n=? (exemplo 2.8) • F=$300.000,00; i=22,00% a.m.; n=3 meses; P=? (exemplo 2.6) Solução: Tornando o prazo compatível à taxa, por ocasião da digitação (por exemplo, na segunda questão, a taxa é anual e o prazo mensal; digitaremos “=3/12” para o prazo), obteremos os resultados conforme ilustra a figura seguinte, onde as respostas estão formatadas com fontes de maior tamanho e a fórmula utilizada listada na coluna F.
Figura 2.4 – Resolução do exemplo 2.9
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Unidade 2: Equivalência de Taxas Tendo exposto as diferentes formas de resolução para o DFC-Padrão (A), continuaremos o capítulo apresentando os demais conceitos relevantes ao regime de juros compostos e também alguns exemplos aplicados ao mercado de capitais brasileiro que possam ser enquadrados no modelo de diagrama citado. De forma a não sobrecarregarmos o texto, nos problemas que iremos resolver, alternaremos entre os diversos métodos apresentados, ora utilizando as fórmulas, ora as calculadoras e/ou o Excel. Para otimizar o aprendizado, recomendamos que você refaça os exemplos listados de acordo com o método ou equipamento que normalmente utiliza para a resolução de questões da matemática financeira. Ao final, compare seus resultados com as respostas, corrigindo eventuais erros.
Defi nições Defi nição 1 Duas taxas de juros, i A e i B , serão equivalentes se, e somente se, aplicadas sobre um mesmo valor e pelo mesmo período de tempo, gerarem quantias equivalentes. A figura 2.5 ilustra esta definição. APLICA
P
P
RESGATA i A
APLICA
i B
RESGATA
F A
FB
PRAZO A = PRAZO B
Figura 2.5 – Taxas equivalentes
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Exemplo 2.10: Verificar se 10,00% a.m. é equivalente a 120,00% a.a., no regime de juros simples. Solução: Arbitrando o valor PA=PB=$100,00 e o prazo de aplicação n=1 ano, utilizaremos a fórmula F = P × (1 + i × n) (1.4b do módulo anterior) para concluirmos que as duas taxas são equivalentes, pois, terminado o prazo da aplicação, obtivemos montantes iguais.
F A 100,00 1
120 12 FB 100,00 1 1 220,00 100 100 10
Defi nição 2 Diremos que duas taxas i A e i B são proporcionais quando a razão existente entre elas for igual à razão existente entre seus prazos n A e n B , expressos em uma mesma unidade de tempo, ou seja: i A iB
n A nB
i A
iB
n A nB
Fórmula 2.2 – Taxas proporcionais
Exemplo 2.11: As duas taxas citadas no exemplo anterior são também proporcionais, pois a razão entre elas é igual a 1/12, e a razão entre seus prazos também (=1 mês/12 meses). Os resultados dos dois últimos exemplos não foram mera coincidência: com efeito, no regime de juros simples, taxas equivalentes também serão taxas proporcionais, e viceversa, independente do valor e do prazo arbitrados nos cálculos. O exemplo a seguir comprova esta conclusão. Exemplo 2.12: Suponha uma unidade de tempo t qualquer e uma aplicação de prazo n múltiplo desta unidade de tempo. Mostre que, no regime de juros simples, duas taxas de juros i A e i B, expressas nos prazos n A e n B (também múltiplos de t), somente serão equivalentes se também forem proporcionais. Solução: Para que sejam equivalentes, após o prazo n, os montantes F A e FB , gerados a partir do valor P, deverão ser iguais, ou seja:
P 1 i A
46
n
i i n P 1 iB A B ; c.q.d. n A nB n A nB
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Exemplo 2.13: Verificar se 10,00% a.m. é equivalente a 120,00% a.a., no regime de juros compostos. Solução: Arbitrando o valor P A =PB =$100,00 e o prazo de aplicação n=1 ano, utilizaremos a fórmula F = P × (1 + i)n (2.1a) para concluirmos que as duas taxas não são equivalentes, pois, findo o prazo da aplicação, os montantes obtidos foram diferentes.
F A = 100,00 × 1,1012 = 313,84 ≠ FB = 100,00 × 2,201 = 220,00 Em uma HP-12C, F A poderia ser obtido pela sequência 100 10 12 .
Exemplo 2.14: Utilizando a definição 1 e as condições do último exemplo, qual seria a taxa mensal equivalente a 120,00% a.a.? Solução: Pela definição, os valores de resgate das aplicações, para ambos os casos, deverão ser necessariamente equivalentes. Logo, se, ao aplicarmos $100,00 a 120,00% a.a. pelo prazo de 1 ano, resgatamos $220,00, o mesmo deverá ocorrer se a taxa for mensal; voltamos, portanto, à resolução do diagrama a seguir, onde P=$100,00; F=$220,00 e n=12 meses:
$220
i=? 0
n = 12
$100
Figura 2.6 – Taxa mensal equivalente a 120,00% a.a. ( juros compostos)
Utilizando a fórmula i F
1 n
P
1 i(%) F P
1 n
1 100
, (2,1c) chegaremos
a:
220,00 112 i(%) 1 100 6,79%a.m 100,00
Ou, em uma HP-12C, faremos: 100 220 12 .
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Generalizando o conceito para outros casos, diremos que, a juros compostos, duas taxas de juros, i A e i B , expressas percentualmente para os prazos n A e nB, serão equivalentes se guardarem a seguinte relação: n A
i A 1 iB
nB
1
n A nB i (%) B i A (%) 1 1 100 100
Fórmula 2.3 – Taxas equivalentes a juros compostos
Conclusões: O princípio da Equivalência de Taxas irá permitir tornarmos a taxa i compatível ao prazo n, nos problemas onde estas duas variáveis estejam incompatíveis. O conceito exposto para duas taxas poderá ser generalizado para n taxas, permitindo-nos enunciar que, se i A é equivalente a i B , e i B é equivalente a i C, então i A é equivalente a i C (ou i A , i B e i C são equivalentes).
Exemplo 2.15: Encontre a taxa mensal equivalente a 120,00% a.a. por meio da fórmula 2.3. Solução: Adotando a unidade de tempo t como o mês, teremos: i B =120,00% a.a.; n B =12 meses e n A=1 mês. 120,00 112 i A (%) 1 1 100 6,79%a.m. 100
Exemplo 2.16: Determine as taxas semestrais, trimestrais, mensais e diárias equivalentes a 70,00% a.a. Solução: Adotando o dia como unidade de tempo, teremos: i B =70,00% a.a.; n B =360 dias; n A=180, 90, 30 ou 1 dia, conforme a taxa solicitada.
is
1,70
it
1,70
180
90 360
im
1,70
id
1,70
48
360
1 1 100 1,70 4 1 100 14,19%a.t.
30 360
1 360
1 1 100 1,70 2 1 100 30,38% a.s.
1 1 100 1,70 12 1 100 4,52 %a.m.
1 100 0,1475%a.d.
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Note que, para cada um dos cálculos feitos anteriormente, foi possível a simpli ficação da fração que elevou o fator da taxa dada (=1,70). Por exemplo: na conversão semestral, transformamos 180/360 em 1/2. Isto apenas signi fica que poderíamos ter escolhido outros prazos que não o dia para aplicarmos a fórmula 3.3. No caso em análise (conversão de uma taxa anual em taxa semestral), a escolha do semestre como unidade de tempo levaria-nos a elevar o fator 1,70 à fração 1/2; a escolha do trimestre levaria-nos à fração 1/4; e assim sucessivamente. Exemplo 2.17 – Pela HP-12C: Um investimento garante 66,6667% de rentabilidade em 3 meses. Calcule as taxas equivalentes: (a) anual; (b) semestral; (c) mensal; (d) diária. Solução: Temos i B =66,6667; n B =90 dias; n A=360; 180; 30 ou 1 dia, dependendo da taxa solicitada. A fórmula 2.3 deverá ser utilizada:
i A
n A 66 , 6667 1 100
90
1 100
E a sequência na HP-12C será: TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
limpa registradores
66.6667
66.67
taxa
100 <÷> 1 <+> 0
1.67
fator da taxa
1.67
guarda na memória
36090<÷>
7.72
fator anual
1 <−> 100 <×> 0
671.60
taxa anual
1.67
fator da taxa
18090<÷>
2.78
fator semestral
1 <−> 100 <×> 0
177.78
taxa semestral
1.67
fator da taxa
3090<÷>
1.19
fator mensal
1 <−> 100 <×> 0
18.56
taxa mensal
1.67
fator da taxa
90 <1/x>
1.00
fator diário
1 <−> 100 <×>
0.57
taxa diária
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Observações: Para não termos que digitar o fator a cada novo cálculo, seu valor foi guardado na memória 0 por meio de 0; 0 recuperou-o quando necessário. No último cálculo, utilizamos <1/x>, que inverte o valor do número no visor; poderíamos, obviamente, ter utilizado 1 90 < ÷>.
No regime de juros simples, taxas equivalentes também serão taxas proporcionais, e vice-versa, independente do valor e do prazo arbitrados nos cálculos.
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Unidade 3: Exemplos Aplicados Nas seções que se seguem, apresentaremos algumas aplicações que não envolvam temas ainda não estudados. Por este motivo, todos os exemplos trarão as taxas de juros expressas em seu formato efetivo. Adiante, em outro módulo, aprofundaremos a análise utilizando outras modalidades de taxas de juros.
O impacto das taxas de juros nos preços dos títulos Alguns títulos operados pelo mercado financeiro caracterizam-se por ter um valor de face previamente de finido, expresso em alguma data futura. É o caso, por exemplo, das duplicatas, das notas promissórias de muitos tipos de títulos públicos, como as LTN – Letra do Tesouro Nacional – e dos contratos futuros de taxas de juros, apenas para citar alguns. Como aqueles que investem nestes produtos financeiros visam obter alguma rentabilidade positiva em suas operações, o preço pelo qual irão adquiri-los hoje deverá ser necessariamente inferior ao valor de face pré- fixado no futuro. Em consequência do exposto, a relação entre a taxa de juros embutida no título e seu preço atual será inversa, ou seja: quanto maior a taxa, menor o preço, e vice-versa. Exemplo 2.18: Um título público federal, com vencimento para daqui a dois meses, está sendo negociado hoje no mercado, garantindo a seus investidores uma taxa de 10,00% a.m. de rentabilidade. A que preço deverá ser negociado? Solução: O DFC a seguir ilustra a questão. Fazendo F=$1.000,00; i=10,00% a.m. e n=2 meses, obteremos o preço P atual por meio da sequência HP-12C: 1000 10 2 , chegando a 826,45.
$1.000
i = 10%am n = 2m
0
P=?
Figura 2.7 – Preço atual do título do exemplo 2.18
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Exemplo 2.19: Utilizando os dados do exemplo anterior, suponha que o governo não tenha conseguido atrair investidores praticando esta taxa e, portanto, eleve-a para 15,00% a.m. Qual o novo preço de negociação? Solução: O DFC para o enunciado será idêntico ao traçado na figura 2.7, mas, neste caso, F=$1.000,00; i=15,00% a.m. e n=2. Admitindo que você não tenha limpado o resultado anterior, faça 15 para chegar a -756,14.
Comparando os resultados encontrados neste e no último exemplo, concluímos que o aumento na taxa praticada pelo emissor do título (o governo) reduziu o preço de negociação (ou o valor presente do título). A situação inversa ocorreria quando o governo, seguindo suas diretrizes de política monetária, reduzisse as taxas de juros, fazendo com que os preços dos títulos se valorizassem. O grande problema ocorre quando, após termos adquirido um título (ou fundo) desta natureza, a uma determinada taxa, as taxas futuras vierem a subir. Neste caso, para que possamos vender o título, precisaremos oferecer a mesma taxa vigente no mercado, o que, porventura, poderá acarretar perda. Entretanto, deixaremos esta análise para uma das atividades propostas.
Avaliação dos fi nanciamentos em operações comerciais Ao adquirirmos um bem ou serviço, é quase certo que o vendedor nos ofereça propostas para financiar a compra. Torna-se essencial, portanto, que saibamos como avaliar corretamente estas propostas de forma a: • Detectar o preço real do bem ou serviço ou a taxa de juros efetivamente cobrada. • Verificar se não valerá a pena esperarmos e comprarmos à vista em momento futuro. • Verificar se não vale a pena resgatarmos alguma aplicação financeira e adquirir o bem à vista. • Verificar se não há alternativa melhor para o financiamento. Nos exemplos que se seguem, ilustraremos alguns casos onde o fluxo de caixa final poderá ser convertido ao modelo de finido como DFC-Padrão (A). No próximo módulo, abordaremos outras modalidades de financiamento, envolvendo prestações.
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Exemplo 2.20: Um indivíduo dispõe de uma aplicação financeira que lhe rende 1,60% a.m. Ao tentar adquirir um conjunto de som, anunciado por $1.000,00, o vendedor lhe oferece a possibilidade de pagar com um cheque pré-datado para 90 dias ou pagar à vista (neste caso, com um desconto de 5,00% sobre o preço anunciado). Vale ou não a pena financiar a compra? Utilize, na análise, os critérios da taxa de juros, do valor futuro e do valor presente. Solução – Critério da taxa de juros: Com o desconto de 5%, é possível adquirir o conjunto à vista por $950,00. O DFC do financiamento será:
$950
i=? 0
3 desc=5%
$1.000
Figura 2.8 – DFC do financiamento do exemplo 2.20
Por este critério, somente será compensador comprarmos a prazo se a taxa de juros embutida no financiamento for inferior à taxa da aplicação financeira, pois, desta forma, estaríamos recebendo mais juros (na aplicação) do que pagando (no financiamento). Para o exemplo, o valor financiado será P=$950,00, o valor a ser pago F=$1.000,00, e o período do financiamento n=3. Em uma HP-12C, faremos 1000 950 3 para chegarmos a 1,72 de taxa mensal. Como i aplic (=1,60%) é menor que i fi nan (=1,72%), a melhor opção será o pagamento à vista.
Solução – Critério da comparação entre os valores futuros:
Por este critério de análise, admitiremos que o valor à vista estará investido em uma aplicação financeira. A compra a prazo será vantajosa se, após o prazo da operação, o valor futuro do preço à vista for superior ao valor a ser quitado no financiamento, já que, assim, com os recursos aplicados, conseguiríamos adquirir o bem, e ainda teria sobrado algum saldo. O DFC seguinte ilustra o raciocínio:
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F= ?
i = 1,60% 0
3
R$ 950 Figura 2.9 – DFC da aplicação do preço à vista - exemplo 2.20
No exemplo, o valor da aplicação P=$950,00, o prazo n=3 e a taxa i=1,60% a.m.. Admitindo que continuamos a operar com a HP-12C, faremos: 950 3 1.6 para chegarmos a 996.33 de montante. Como o Faplic (=$996,33) é menor que Ffi nan (=$1.000,00), a melhor opção será a compra à vista (note que, caso tivéssemos optado pelo financiamento, teríamos desperdiçado, hoje, a oportunidade da troca do bem pela aplicação para, dentro de três meses, trocarmos o bem pelo saldo da aplicação acrescido de desembolso adicional de $3,67).
Solução – Critério do valor atual do fi nanciamento:
É um critério semelhante ao anterior, à exceção de que, ao invés de compararmos os valores futuros, iremos compará-los na data atual. Sendo assim, o valor a ser pago pelo financiamento é trazido à data-zero, utilizando-se na avaliação o custo de oportunidade do cliente (que poderá ser medido pela taxa que ele recebe em sua aplicação financeira). Observe que o valor obtido no cálculo equivalerá ao capital que deveria ser investido hoje pelo cliente, de forma que ele obtivesse os recursos necessários para a liquidação do financiamento. Sob este enfoque, a compra a prazo somente será vantajosa se o valor atual do financiamento for inferior ao preço à vista. O DFC seguinte ilustra o raciocínio.
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$1.000
i = 1,60% 0
3
P= ? Figura 2.10 – DFC do valor presente do financiamento - exemplo 2.20
Para o exemplo em análise, o valor a ser pago pelo financiamento F=$1.000,00, o prazo n=3, e o custo de oportunidade para o cliente é de i=1,60% ao período. O valor presente P do financiamento será obtido através da sequência HP-12C: 1000 1.6 3 . Chegaremos a 953.50 de valor presente. O resultado acima corresponde ao valor que deveria ser aplicado hoje pelo cliente para obter os $1.000,00 necessários à quitação do financiamento. Como o preço do som hoje (=$950,00) é menor que o valor presente do financiamento Pfi nac (=$953,50), será preferível adquiri-lo à vista. A tabela a seguir resume as conclusões e os dados do exemplo: taxa de juros da aplicação 1,60% a.m. valor futuro do preço à vista $996,33 preço à vista $950,00
< <
taxa de juros do financiamento
< <
preço a prazo
< <
valor presente do financiamento
1,72% a.m. $1.000,00 $953,50
Tabela 3.1 – Critérios para a compra à vista – ótica do comprador
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Importante:
• Para o caso de um único financiamento, todos os resultados irão sempre conduzir à mesma resposta. Mas veri fique de que lado você está (comprando ou vendendo). • Para várias propostas, o método da taxa apresentará problemas caso prazos e valores financiados sejam distintos. Opte sempre pelo critério do valor presente. • O exemplo anterior supôs que o comprador possuía uma aplicação financeira; análise idêntica poderá ser feita para o caso do comprador não possuir uma aplicação. Neste caso, a taxa a adotar na análise deverá ser a menor taxa com que ele conseguiria um empréstimo. Por exemplo, se ele conseguisse um consignado a 1,60% a.m., deveria ficar devendo ao banco e pagar à vista na loja.
Taxas variáveis ao longo d o tempo As formulações que apresentamos assumiram a hipótese de que, durante uma operação envolvendo prazos superiores ao prazo unitário, a taxa de juros permaneceria estável, caso particular de uma situação genérica onde as taxas variam ao longo do tempo. Neste caso, use:
F P (1 i1 ) (1 i2 ) .... ( 1 i n ) Fórmula 2.4 – Cálculo do montante para taxas variáveis
Exemplo 2.21: Um investidor aplicou $2.500,00 em um fundo de ações que rendeu, nos últimos três meses, respectivamente, 5,00%, 10,00% e -2,00%. Qual o valor resgatado? Qual rentabilidade média mensal teria proporcionado o mesmo valor de resgate? Solução: A primeira pergunta poderá ser respondida aplicando-se a fórmula de cálculo do montante para taxas variáveis, que acabou de ser apresentada. Note que o fator para o terceiro mês será igual a 0,98 (=1-0,02), pois a taxa de rentabilidade foi negativa.
F = 2.500,00 × 1,05 × 1,10 × 0,98 = R$ 2.829,75 ou, em uma HP: 2500 5<%> <+> 10<%> <+> 2 <%> <−>.
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A segunda parte do problema envolverá o cálculo da taxa para o DFC abaixo: $2.829,75
i=? 0
3m
$2.500,00 Figura 2.11 – DFC para o exemplo 2.21
Em uma HP-12C, o DFC anterior é resolvido a partir de 2500 2829.75 3 , chegando-se a 4,2164% a.m de taxa média: Exemplo 2.22: Ao final de 2004, você aplicou $1.250,00 em um fundo de ações que, nos dez primeiros meses de 2005, rendeu, respectivamente: 12,10%; -6,56%; 15,40%; 38,82%; -34,25%; -7,00%; 4,22%; 11,11%; 2,03%; 5,55%. Utilizando o Excel, responda: a)
Qual o valor acumulado ao final de Outubro?
b)
Qual a taxa média mensal recebida?
c) Se, em novembro, a rentabilidade for igual a 17,13%, quais seriam estes valores? d)
E se, em dezembro, a rentabilidade fosse de 2,02%?
Solução – item a: Reservaremos uma coluna da planilha para preenchermos as rentabilidades, deixando os dois últimos meses em branco (na realidade, as células deverão estar vazias). As taxas deverão ser digitadas ou em decimal ou em percentual, seguidas do símbolo %. Utilizaremos a função VFPLANO para o cálculo do valor acumulado.
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Solução – item b: Para o cálculo da taxa média, utilizaremos a função TAXA, já apresentada em exemplo anterior. Esta função exige, dentre outros argumentos, o número de períodos. Note, entretanto, que será conveniente não fixarmos este número em 10 (janeiro a outubro), pois os itens (c) e (d) solicitam o cálculo da taxa média, considerando a rentabilidade obtida nos dois meses subsequentes. Resolve-se a questão utilizando a função CONT.NUM, aplicada por toda a faixa reservada à digitação das rentabilidades. Quando a faixa contiver apenas os 10 primeiros meses, CONT.NUM responderá 10; quando contiver os 11 primeiros meses, responderá 11; e assim sucessivamente.
Figura 2.12 – Taxas variáveis no Exc el
Solução – item c: Ao preencher a célula B12 com a rentabilidade de novembro, automaticamente terá as respostas: resgate = $1.873,46; taxa média = 3,75%.
Solução – item d: O mesmo ocorrerá ao preenchermos a célula B13 com a rentabilidade de dezembro: resgate = $1.911,30; taxa média = 3,60%.
Pelo critério da taxa de juros, somente será compensador comprar a prazo se a taxa de juro embutida no financiamento for inferior à taxa da aplicação financeira. Pelo critério da comparação entre os valores futuros, a compra a prazo será vantajosa se, após o prazo da operação, o valor futuro do preço à vista for superior ao valor a ser quitado no financiamento. Pelo critério do valor atual do financiamento, a compra a prazo somente será vantajosa se o valor atual do financiamento for inferior ao preço à vista.
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Resumo Neste módulo, abordamos a resolução do DFC-Padrão (A) através do regime de juros compostos. As fórmulas utilizadas neste regime já não envolvem relações lineares entre as respectivas variáveis, razão pela qual a utilização das calculadoras financeiras e/ou do Excel agilizará as soluções. Também, neste regime, é importante que a taxa e o prazo da operação estejam compatíveis quanto à unidade de tempo, e será através da equivalência de taxas que conseguiremos transformá-las. Os métodos de cálculo apresentados foram, em seguida, utilizados na resolução de exemplos aplicados: determinamos preços de títulos, avaliamos financiamentos comerciais e taxas variáveis ao longo do tempo.
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MÓDULO 3: SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS
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Introdução Neste módulo, estudaremos os diagramas de fluxo de caixa (DFC), conhecidos como séries uniformes de pagamentos. Representam inúmeras situações do cotidiano como, por exemplo, os financiamentos para compras a prazo, poupanças programadas e muitos outros.
Objetivos Após completar o estudo do módulo, você estará apto a: • Definir séries de pagamentos, sua utilização e c aracterísticas. • Apresentar fórmulas e métodos para cálculo das séries periódicas uniformes. • Resolver os problemas propostos na HP-12C. • Resolver os problemas propostos no Excel. • Avaliar crediários padronizados. • Calcular resíduos nos financiamentos. • Resolver séries uniformes diferidas. • Resolver séries com prestações intermediárias.
Estrutura do módulo Para melhor compreensão das questões que envolvem a matemática financeira, este módulo está dividido em: Unidade 1: Objetivos e Características das Séries de Pagamentos Unidade 2: Resolução dos Diagramas Unidade 3: Exemplos Aplicados
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Unidade 1: Objetivos e Características das Séries de Pagament os A partir da apresentação das séries uniformes finitas, esta unidade irá apresentar os objetivos e características das séries de pagamentos. As características serão classi ficadas da seguinte forma: quanto à periodicidade; quanto ao valor das prestações; ao número de prestações; às datas de pagamentos; às datas do primeiro pagamento.
Objetivos Uma série de pagamentos será toda sequência finita ou infinita de entradas ou saídas de caixa que corresponderão aos recebimentos ou pagamentos, e serão chamadas de “termos da série” ou, simplesmente, “prestações”, com um dos seguintes objetivos: • Amortização de um empréstimo. • Capitalização de um montante. • Geração de uma renda perpétua. Para o entendimento da aplicação desta série, convém conhecer os seguintes diagramas: P
0
P
1
A
2
A
3
A
4
A
0
A
1
A
2
A
3
A F
F
0
1
A
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2
A
3
A
4
A
4
0
A
1
A
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2
A
3
A
4
P
P
i
i
0
1
A
2
A
3
A
4
A
A
0
A
1
A
2
A
3
A
4
A
A
Figura 3.1 – DFC-Padrão (B C) - Séries uniformes finitas
Exemplo 3.1: Os financiamentos imobiliários e o crédito direto ao consumidor são modelos típicos de séries com o objetivo de amortização; os dois primeiros DFC da Figura 3.1 ilustram séries com este objetivo. Em ambos os casos, um indivíduo tomou o valor P emprestado para pagar em quatro parcelas de idêntico valor, iguail a A. Na esquerda, o financiamento foi feito sem entrada e, no caso da direita, com entrada. Haverá, obviamente, um diagrama simétrico ao anterior, representando a operação sob o ponto de vista do agente financeiro que concedeu o empréstimo. Note que o fato de este agente não ser o devedor, mas sim o credor do valor P, não irá descaracterizar o objetivo de amortização da série; apenas as direções dos fluxos de caixa é que estarão invertidas. Exemplo 3.2: Os títulos de capitalização, as poupanças programadas e os consórcios são modelos típicos de séries com o objetivo de capitalização. Os dois DFC centrais da figura 3.1 ilustram séries com esta finalidade. Nesses casos, um indivíduo pretende acumular o valor F ao término do quarto mês, depositando quatro parcelas de idêntico valor, igual a A. Na esquerda, a última parcela é depositada na data em que se deseja acumular o valor F, e, na direita, a última parcela é depositada um período antes. Observe na Figura 3.1 que, no caso da direita, a última prestação coincidirá com o montante F, o que permite concluir que a taxa de juros não incidirá sobre esta parcela final. Devido a esta questão, é pouco provável que, na prática, encontremos uma operação financeira em que o resgate seja efetivamente realizado logo após o depósito da última prestação, sendo a situação mais corriqueira aquela representada pelo DFC da esquerda. Toda esta discussão perderá sua importância se utilizarmos o diagrama anterior (da direita) na obtenção do saldo F da capitalização, imediatamente após o pagamento da última prestação.
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Exemplo 3.3: Os planos de previdência ou mesmo a compra de um imóvel para aluguel a terceiros são modelos típicos de séries com o objetivo de geração de renda perpétua. Ao adquirir um apartamento, o investidor poderá receber uma quantia periódica, como aluguel “até o fim da vida”, da sua e de seus descendentes. Os dois últimos DFC da figura ilustram esta questão, sob a ótica de quem vendeu o apartamento. Por exemplo: recebeu o valor P pela venda e irá pagar aluguel até o fim da vida.
Características O conjunto dos DFC representativos das séries é bastante extenso, já que a forma como os pagamentos são efetuados varia de uma série para outra. As classi ficações que iremos apresentar não são mutuamente exclusivas, portanto, uma série poderá apresentar mais do que uma das características listadas.
• Quanto à periodic idade: Nas séries periódicas, os pagamentos ocorrerão a intervalos regulares (por exemplo, prestações mensais, prestações semestrais, e assim sucessivamente); nas séries não periódicas tal regularidade desaparecerá. • Quanto ao valor das prestações: As séries uniformes apresentam todos os seus pagamentos iguais; já as séries não uniformes apresentam prestações variáveis. Um subgrupo pertencente a esta classi ficação será formado pelas séries uniformemente crescentes ou decrescentes: as prestações para este grupo não são constantes, mas haverá algum tipo de relacionamento entre elas (por exemplo, as prestações formando uma PG), o que permitirá apresentarmos métodos especí ficos de resolução. • Quanto ao número de prestações: Chamaremos de perpetuidades ou séries in finitas às séries cujo número de pagamentos seja ilimitado. Usualmente, adota-se o modelo perpétuo nas avaliações de empresas ( fluxos de caixa futuros sem previsão de encerramento) no cálculo de planos de aposentadoria e muitos outros. Em contrapartida às perpetuidades, as séries finitas serão caracterizadas por apresentar um número fixo de prestações.
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• Quanto às datas dos pagamentos: Admitindo que o primeiro pagamento ocorra logo no primeiro período, classi ficaremos como séries postecipadas as séries em que os pagamentos ocorrerem ao final de cada período, e como séries antecipadas as séries em que os pagamentos ocorrerem no início de cada período. • Quanto às datas do primeiro pagamento: Quando o primeiro pagamento de uma série não ocorrer logo no primeiro período (antecipado ou postecipado), diremos tratar-se de uma série diferida ou série com período de carência. Exemplo 3.4: A figura seguinte ilustra quatro DFC para séries de pagamentos compostas por quatro prestações cada. Dada a confusão que muitos fazem entre os dois formatos – antecipado e postecipado – recomenda-se que você estude o exemplo cuidadosamente e, somente após ter a completa compreensão dos conceitos aqui expostos, prossiga com a matéria. Admitindo que o tempo esteja expresso em meses, responda: a) Como classi ficá-las quanto à periodicidade, valor e número das prestações? b) Quais DFC representam amortizações? E capitalizações? c) Qual é o valor para n? O que esta variável representa nas séries? d) O que caracteriza o DFC para uma amortização? e) O que caracteriza o DFC para uma capitalização? f) Nos DFC, onde fica o primeiro mês? E o segundo? g) Onde está o início do primeiro mês? E o final? E para o segundo mês? h) Quais DFC representam séries antecipadas? i) Quais DFC representam séries postecipadas? j) Que regra prática você poderia ter para identificar os modelos prontamente?
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P
0
1
2 A2
A1
3
4
0
A4 A3
1 A2
A1
F
F
P
2
3
4
0
1
A4 A3
2 A2
A1
3
4
0
A4 A3
1 A2
A1
2
3
4
A4 A3
Figura 3.2 – Exemplo 3.4 – Séries postecipadas e antecipadas
Solução: Respondendo a cada um dos itens solicitados: a) Tratam-se de séries periódicas, pois os intervalos entre as prestações são constantes, equivalentes a um mês, não uniformes, pois as prestações são variáveis, e finitas, pois há um número fixo de parcelas: quatro. b) Os dois de cima representam amortizações (empréstimos), os de baixo, capitalizações (investimentos), sob a ótica de quem tomou o empréstimo (para os de cima) ou de quem aplicou (para os de baixo). c) Para todos os DFC, n=4. Nas séries, n irá representar, simultaneamente, o número de prestações e o número de períodos (4 prestações, 4 meses). d) O DFC de uma série para amortização apresenta um valor presente P, sempre posicionado na data t=0, e várias prestações, com direção oposta a P. No DFC da figura, como P é uma entrada de caixa, as prestações A serão saídas. Sob a ótica de quem emprestou o dinheiro, P seria uma saída de caixa, e as prestações A, entradas. Observe a inexistência do valor futuro F para estes dois DFC. e) O DFC de uma série para capitalização apresenta um valor futuro F, sempre posicionado na data t=n, e várias prestações, com direção oposta a F. No DFC da figura, como F é uma entrada de caixa, as prestações A serão saídas. Sob a ótica de quem recebesse o dinheiro, F seria uma saída de caixa, e as prestações A, entradas. Observe a inexistência do valor presente P para estes dois DFC.
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f) Muitos pensam que o primeiro mês corresponde a t=1. Na realidade, o primeiro mês é o intervalo de tempo compreendido entre t=0 e t=1. Da mesma forma, o segundo mês corresponde ao intervalo de tempo entre t=1 e t=2, e assim sucessivamente. g) O início do primeiro mês está em t=0, o final, em t=1; o início do segundo mês está em t=1, o final, em t=2, e assim sucessivamente.
h) Pela de finição, a primeira prestação de uma série antecipada ocorrerá no início do primeiro mês; a segunda, no início do segundo mês; e assim sucessivamente. Logo, juntando a de finição à resposta dada em (g), conclui-se que os DFC da direita correspondem às antecipadas. i) Pela definição, a primeira prestação de uma série postecipada ocorrerá ao final do primeiro mês, a segunda, ao final do segundo mês, e assim sucessivamente. Logo, juntado a definição à resposta dada em (g), concluiremos que os DFC da esquerda correspondem às postecipadas. j) Nas amortizações, se a primeira prestação estiver na data do valor presente P, a série será antecipada e, se a primeira prestação estiver um período à direita do valor presente P, a série será postecipada. Para as capitalizações, se a última prestação estiver na data do valor futuro F, a série será postecipada e, se a última prestação estiver à esquerda do valor futuro F, a série será antecipada.
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Unidade 2: Resol uç ão dos Diagr amas Para resolver os diagramas, esta unidade aborda três métodos: a resolução pelas fórmulas, pela HP-12C e pelo Excel. Mas, de forma distinta da que ocorre para os DFC com apenas uma única entrada e uma única saída de caixa (P e F) – onde conseguimos calcular a taxa de juros por fórmula –, nas séries de pagamento finitas, a determinação da taxa de juros é feita por métodos iterativos, extraídos do cálculo numérico. Por esta razão, optamos por não incluí-las nesta apostila, já que, necessariamente, você precisará de uma calculadora financeira ou do Excel para chegar aos resultados. Limitaremo-nos apenas às fórmulas relacionadas às perpetuidades.
Pelas fórmulas Observe as fórmulas a seguir: P
A i
(a)
A
P i
(b)
i
A P
(c)
Fórmula 3.1 – Perpetuidades postecipadas
Fórmulas 3.2 – Relações entre as sér ies postecipadas e as séries antecipadas
Observações: • Nas expressões anteriores, a taxa i estará expressa em sua forma decimal e (1+i) corresponderá ao seu fator. • A taxa i deverá estar expressa na mesma unidade de tempo que o prazo n, o que, nas séries periódicas, equivalerá ao intervalo de tempo existente entre duas prestações sucessivas.
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• Caso a condição acima não se verifique, transforme a taxa através da equivalência de taxas, conceito visto no módulo anterior. • As fórmulas de perpetuidades postecipadas tratam do caso, como o próprio nome anuncia, postecipado. Trabalhando no caso antecipado, determine primeiro os valores postecipados e converta-os para antecipados pelas fórmulas de relações entre as séries postecipadas e as séries antecipadas. Importante: No caso das perpetuidades, você deverá utilizar tanto as fórmulas das perpetuidades postecipadas quanto a das relações entre as séries, já que as calculadoras e o Excel somente trabalham com as séries finitas. Exemplo 3.5: Suponha que as taxas de juros mensais para aplicações em renda fixa fiquem estáveis em 1,00% a.m. daqui por diante. Quanto precisaríamos depositar hoje em uma aplicação financeira que rendesse esta taxa, se, a partir do próximo mês, e, para sempre, desejássemos uma renda de $1.500,00 por mês? Interprete o resultado. Solução: O DFC encontra-se traçado à esquerda da figura a seguir. Foram dados: A=$1.500,00 (a partir de t=1); i=1,00% a.m.; e queremos saber o valor P a ser depositado hoje,
em t=0. Utilizaremos a fórmula 3.1a para chegar a:
P
1.500,00 0,01
150.000,00
Interpretação: $150.000,00 aplicados à taxa de 1,00% a.m. rendem $1.500,00 de juros mensais; se a retirada mensal A for igual aos juros recebidos, o principal P não será alterado, garantindo outros $1.500,00 no mês subsequente, e assim inde finidamente, até o “fim da vida”.
1.500 1.500
0
1
2
1.500
3
1.500
1.500 1.500 1.500
0
1
i = 1,00%
2
1.500
3
1.500
i = 1,00%
P=?
P=?
Figura 3.3 – Perpetuidades uniformes
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Exemplo 3.6: Refaça o exemplo anterior admitindo que a primeira retirada seja no mesmo instante do depósito. Interprete o resultado. Solução: O DFC encontra-se traçado à direita da figura anterior. Como indicado, precisamos transformar a resposta postecipada em antecipada, por intermédio da fórmula 3.2:
P A = $150.000 × 1,01 = $151.500 Interpretação: Vimos, no exemplo 3.5, que precisaríamos de $150.000,00 para conseguirmos retirar in finitas prestações de $1.500,00 a partir do final do primeiro mês. Como, além disso, queremos fazer uma retirada já no instante t=0, será necessário acrescentarmos exatamente mais $1.500,00 para fazermos frente a esta retirada adicional.
Exemplo 3.7: Você adquiriu um imóvel por $200.000,00 e acredita que, já no próximo mês, o estará alugando por $1.200,00 mensais. Determine qual a taxa mensal de juros para seu investimento, admitindo que o valor hoje cobrado de aluguel mantenha-se estável por prazo indefinido, e que seja sua ideia sempre manter o imóvel alugado. Solução: O DFC para o enunciado é similar ao traçado à esquerda da figura que ilustra perpetuidades uniformes, para a qual foram dados: A = $1.200,00 (a partir de t = 1);
P = $200.000,00 (em t=0). Utilizaremos a fórmula
P
A i
i
A
P
i
1.200,00 200.000,00
(3.1c) para chegarmos a:
0,006 0,60 %a.m.
Pela HP-12C A resolução dos DFC-Padrão (B) por meio das calculadoras financeiras é simples, pois os problemas serão do tipo: “dadas três variáveis, encontre uma quarta”. Além das funções já citadas anteriormente na resolução do DFC Padrão (A), utilizaremos (=PayMenT) para designar as prestações.
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1. Tecle ou para limpar todos os registradores ou apenas os registradores financeiros. 2. Defina se se trata de série antecipada ou postecipada pressionando, respectivamente, (=Begin=Início) ou (=Final). 3. Certifique-se que o visor da calculadora apresenta a letra C acesa; caso isto não ocorra, acenda-o através da sequência . 4. Digite o valor de cada uma das três variáveis conhecidas e pressione a tecla a ela correspondente; repita o procedimento até ter inserido todas as variáveis; tecle (=Change Signal ) para mudar o sinal do principal , do montante ou da prestação , se aplicável ao problema. 5. Pressione a tecla correspondente à incógnita do problema para obter a resposta. Roteiro HP-12C 3.1 – cálculo dos DFC-Padrão (B)
Observações: • Ao teclar , o visor apresentará "BEGIN"; este modo ficará ativo até que seja pressionado . • O prazo n deverá ser um número inteiro, coincidente com o número de prestações. Por exemplo, se um financiamento estipular o pagamento de prestações bimestrais ao longo de 10 meses, n será igual a 5 bimestres ou 5 prestações (bimestrais), e a taxa deverá ser fornecida ao bimestre. • Lembre-se de que a taxa deverá estar compatível com o intervalo entre as prestações (taxa mensal, prestação mensal; taxa anual, prestação anual) e, caso esta não seja a condição, transforme a taxa via equivalência de taxas, conceito visto no módulo 2. Exemplo 3.8: Um financiamento no valor de $1.200,00 deverá ser quitado em 3 parcelas mensais no valor de $500,00, a primeira vencendo daqui a 30 dias. Qual a taxa de juros mensal cobrada? Solução: O seguinte DFC ilustra o enunciado. Observe no sentido dado aos fluxos de caixa:
$ 1.200 i=? 3
$500 $500 $500
Figura 3.4 – DFC para o exemplo 3.8
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Estamos admitindo que o C esteja aceso no visor, sendo as respostas apresentadas com duas casas decimais. A sequência seguinte ilustra o procedimento:
TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
limpa registradores
0.00
modo postecipado
1200
1,200.00
principal
500
-500.00
prestação
3
3.00
nº de prestações
12.04
taxa mensal
Exemplo 3.9: Um DVD custa $500,00, se pago à vista, mas poderá ser financiado em 4 prestações mensais de $150,00, a primeira dada no ato da compra. Calcule a taxa de juros mensal cobrada pela loja. Solução: O DFC situado à esquerda ilustra o enunciado. Note que poderíamos simplificá-lo abatendo a prestação inicial do valor do bem à vista. A questão poderá, portanto, ser resolvida de duas formas.
Pelo DFC esquerdo, a solução envolverá o critério antecipado, onde P=$500,00; A=$150,00; n=4 e queremos i. $150
$350 i=?
0
1
i=?
2
3
$150 $150 $150 $150
4
0
1
3
$150 $150 $150
Figura 3.5 – DFC para o exemplo 3.9
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2
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4
TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
limpa registradores
0.00
modo antecipado
500
500.00
principal
150
-150.00
prestação
4
4.00
nº de prestações
13.70
taxa mensal
Pelo DFC da direita, a solução envolverá o critério postecipado, onde P=$350,00; A=$150,00; n=3 e queremos i. TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
limpa registradores
0.00
modo postecipado
350
350.00
principal
150
-150.00
prestação
3
3.00
nº de prestações
13.70
mesma resposta
Observação: Nos problemas que solicitem a taxa ou o prazo, o fato de utilizarmos o modelo antecipado ou postecipado não irá afetar a resposta, já que o que muda é apenas o método de cálculo.
Exemplo 3.10: Você pretende viajar para o exterior daqui a 12 meses e, para tanto, precisará levar $5.000,00. Supondo que uma aplicação pague 2,00% a.m. de juros, calcule o valor de cada uma das 6 prestações bimestrais que deverão ser depositadas. Admita que o primeiro depósito seja efetuado hoje.
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Soluç ão – Passo 1: Considerando que as prestações são bimestrais e a taxa fornecida no enunciado é mensal, o primeiro passo será convertê-la a uma taxa bimestral, o que será possível usando o princípio da equivalência de taxas:
i A 1,02
2 1
1 100 1,0404 1 100 4 04%a.b ,
Soluç ão – Passo 2: O DFC a seguir ilustra o enunciado. Observe que ele corresponderá ao diagrama de uma série antecipada com objetivo de capitalização (veja figura3.1), onde F=$5.000,00; i=4,04% a.b.; n=6 e precisamos encontrar A.
F = $5.000,00
i = 4,04%ab
0
1
2
3
4
5
6 bim
A = ?
Figura 3.6 – DFC para o exemplo 3.10
A sequência a seguir ilustra o passo a passo na HP-12C, incluindo a transformação de taxas. TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
limpa registradores
1.02
1.02
fator (1+i) mensal
2 < yX >
1.04
fator (1+i) bimestral
1 < − > 100 <×>
4.04
taxa bimestral
4.04
taxa inserida em .
0.00
modo antecipado
5000
5,000.00
montante
6
6.00
nº de prestações
-723.81
prestação
Pelo Excel As mesmas funções vistas para o DFC-Padrão (A) poderão ser utilizadas na resolução das séries de pagamento no Excel. Veja o quadro a seguir:
1. Para o principal, a função VP(i,n,PMT,F,Tipo) deverá ser utilizada. 2. Para o montante, a função adequada será VF(i,n,PMT,P,Tipo). 3. Para a prestação, usaremos PGTO(i,n,P,F,Tipo). 4. Para a taxa, utilizaremos TAXA(n,PMT,P,F,Tipo,Est). 5. Para o prazo, teremos NPER[i,PMT,P,F,Tipo]. Roteiro Excel 3.1 – Cálculo dos DFC-Padrão (B)
Observações: • O argumento Tipo, quando igual a zero ou omitido, calculará os valores admitindo séries postecipadas; quando igual a um, admitindo séries antecipadas. • O argumento Est poderá conter uma estimativa para a taxa de juros, o que auxiliará o Excel na obtenção da resposta mais rapidamente. • Para as séries com o objetivo de amortização, F terá valor nulo, enquanto que, para as séries com o objetivo de capitalização, P terá valor nulo; consequentemente, nas funções do Excel, tais argumentos deverão estar preenchidos com zero. Por exemplo, se quiséssemos determinar o valor presente de uma série antecipada contendo 6 prestações no valor de $50,00, e dada uma taxa de juros mensal de 5,00%, utilizaríamos a função: VP(5%;6;50;0;1). • Uma variante dos DFC em análise envolverá o pagamento de prestações diferentes das anteriores: nas séries com objetivo de amortização, por exemplo, a última prestação poderá ser diferente das demais a fim de quitar um resíduo do financiamento; para estes casos, as funções anteriores poderão utilizar os dois argumentos simultaneamente: P e F.
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• Todas as demais regras utilizadas nos cálculos das séries de pagamento serão válidas também para o Excel (por exemplo, a questão da compatibil idade entre a taxa e o prazo). • Veja, ainda, as demais observações quanto ao uso do Excel vistas no módulo anterior. Exemplo 3.11: Utilizando o Excel, determine o resultado das questões a seguir. Algumas delas são repetições de exemplos anteriores: (1) A=$1.500,00 (mensal, post.); i=1,00% a.m.; n=10; P=? (2) P=$1.500,00; i=120,00% a.a.; n=10; A (mensal, post.)=? (3) P=$1.500,00; i=120,00% a.a.; n=10; A (mensal, ant.)=? (4) P=$1.200,00; A= - $500,00 (mensal, post.); n=3; i% a.m.=? (exemplo 8) (5) P=$500,00; A= - $150,00 (mensal, ant.); n=4; i% a.m.=? (exemplo 9) (6) F=$5.000,00; i=2,00% a.m.; n=6; A (bimestral, ant.)=? (exemplo 10)
Solução: Conforme a planilha ilustrada na figura 3.7, as séries antecipadas são assinaladas na coluna Tipo. Observe que, nos casos onde a taxa e o intervalo entre as prestações não estavam compatíveis, optou-se por digitar diretamente a expressão para a transformação da taxa. Por exemplo, nas simulações (2) e (3), como a taxa era anual e o prazo mensal, foi digitado =2,2^(1/2) 1 nas células D3 e D4.
Figura 3.7 – Resolução do exemplo 3.11
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Unidade 3: Exempl os Ap lic ados A seguir, serão abordados alguns exemplos da utilização das séries uniformes de pagamentos nas operações de financiamento e capitalização.
Avaliação dos crediários “ padrão” Exemplo 3.12: Um indivíduo dispõe de uma aplicação financeira que rende-lhe, aproximadamente, 5,00% a.m. Ao tentar adquirir um conjunto de som, anunciado por $1.000,00, o vendedor lhe oferece a possibilidade de pagá-lo em 4 prestações mensais no valor de $250,00, a primeira vencendo daqui a 30 dias. Admitindo que não precise ser dada nenhuma entrada e que, à vista, haja um desconto de 20,00% sobre o preço anunciado, valerá a pena financiar a compra? Solução: O primeiro passo será determinar o valor do bem à vista. Considerando o desconto dado de 20,00%, haverá uma redução de $200,00 (=$1.000,00 x 20,0%) no preço anunciado e, consequentemente, o preço à vista será de $800,00. Supondo a realização do financiamento, o DFC a seguir ilustrará a questão. Note que se trata do diagrama típico de uma série postecipada.
$800 i=? 4
$250 $250 $250 $250 Figura 3.8 – D FC para o exemplo 3.12
An áli se pel a taxa de jur os: Por este critério, somente será compensador comprar a prazo se a taxa de juros embutida no financiamento for inferior à taxa da aplicação financeira, pois, desta forma, estaria recebendo mais juros (na aplicação) do que pagando (no financiamento). A taxa de juros será obtida resolvendo-se o DFC ilustrado na figura acima. Temos P=$800,00; A=$250,00 e n=4; obteremos i por meio da seguinte sequência em uma HP-12C:
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TECLE
VISOR
OBSERVAÇÕES
0.00
limpa registradores
0.00
modo postecipado
800
800.00
principal
250
-250.00
prestação
4
4.00
nº de prestações
9.56
taxa mensal
Como i aplic (=5,00% a.m.) é menor que i fi nan (=9,56% a.m.), a melhor opção será o pagamento à vista. Comparação entre a prestação e a retirada periódica da aplicação: Por este critério de análise, deve-se admitir que o valor a ser financiado estará investido na aplicação financeira. A compra a prazo será vantajosa se a retirada periódica da aplicação for superior ao valor da prestação proposta pelo vendedor. No exemplo, o valor financiado equivalerá ao preço à vista P=$800,00; n=4 e i=5,00% a.m. O objetivo é encontrar o valor da prestação A, e , em uma HP-12C, faça: 800 4 5 para chegar a PMT=225,61.
Como A aplic (=$225,61) é menor que a prestação A fi nan (=$250,00), a melhor opção será a compra à vista. Determinação do valor atual do fi nanciamento: O valor de cada prestação é trazido à data-zero, utilizando-se, na avaliação, o custo de oportunidade do cliente (que poderá ser medido pela taxa que ele recebe em sua aplicação financeira). Observe que o valor obtido no cálculo equivalerá ao capital que deveria ser investido hoje pelo cliente, de forma que ele obtivesse os recursos necessários para a liquidação do financiamento. Sob este enfoque, a compra a prazo somente será vantajosa se o valor atual do financiamento for inferior ao preço à vista. Para o exemplo em análise, temos A=$250,00; n=4 e i=5,00% a.m. Em uma HP-12C, encontraremos P (=886,49) por meio da sequência: 250 4 5 .
O resultado acima corresponde ao valor que deveria ser aplicado hoje pelo cliente para obter os $250,00 mensais, necessários à quitação do financiamento. Como o preço do som hoje (=$800,00) é inferior ao valor presente do financiamento Pfi nanc (=$886,49), será preferível adquiri-lo à vista.
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A tabela a seguir resume as conclusões e os dados do exemplo: taxa de juros da aplicação 5,00% a.m. retirada periódica $225,61 preço à vista $800,00
< < < <
taxa de juros do financiamento
< <
valor presente do financiamento
9,56% a.m. prestações do financiamento $250,00 $886,49
Tabela 3.1 – Critérios para a compra à vista – ótica do comprador
Importante: • Para o caso de um único financiamento, todos os resultados irão sempre conduzir à mesma resposta. Mas veri fique de que lado você está (comprando ou vendendo). • Para várias propostas, o método da taxa apresentará problemas caso os prazos e os valores financiados sejam distintos. Opte sempre pelo critério do valor presente. • O exemplo anterior supôs que o comprador possui uma aplicação financeira. Uma análise idêntica poderá ser feita para o caso de o comprador não possuir uma aplicação. Neste caso, a taxa a adotar na análise deverá ser a menor taxa com que ele conseguiria um empréstimo. Por exemplo, se ele conseguisse um consignado a 5,60% a.m., deveria ficar devendo ao banco e pagar à vista na loja.
Quitação dos resíduos nos fi nanciamentos Nos exemplos anteriores, os conjuntos de capitais formados pelas prestações foram sempre equivalentes aos valores financiados. Vejamos, a seguir, o que ocorreria caso esta condição fosse alterada. Exemplo 3.13: Considerando uma taxa de 10,00% a.m., um bem no valor de $1.200,00 deverá ser financiado sem entrada, em 4 parcelas mensais de $378,56 (calculadas
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de acordo com os métodos vistos anteriormente). Supondo que o comprador acerte junto ao vendedor que pagará 4 parcelas de $350,00, qual o seu saldo devedor (resíduo) após o pagamento da última prestação?
Solução: Uma das formas de se calcular o valor residual do financiamento será determinar o valor atual do conjunto formado pelas 4 prestaç ões de $350,00, onde A=$350,00; i=10,00% e n=4. Encontra-se P através da sequência HP-12C: 350 10 4 . O valor será de $1.109,45.
Como o valor originalmente financiado foi de $1.200,00, segue-se que a diferença de $90,55 (=1.200,00-1.109,45) corresponderá ao resíduo expresso na data t=0, que poderá ser levado à data t=4, fazendo-se P=$90,55; i=10,00% e n=4. Pela HP-12C: 90.55 4 10 , encontraremos F=132,57. Este saldo signi fica que, para quitar sua dívida, o comprador deverá pagar o equivalente a $482,57 ao final do quarto mês. O DFC a seguir ilustra a operação. P= $1.200,00 i = 10%am
0
1
2
3
4
3 x $350,00 $482,57
Figura 3.9 – DFC para o exemplo 3.13
O diagrama anterior poderá ser operado diretamente nas calculadoras financeiras e no Excel: trata-se de uma série postecipada, onde a diferença entre o valor da última prestação (=$482,57) e o valor da prestação regular (=$350,00) corresponderá à variável ou [VF] das calculadoras ou ao argumento F das funções Excel.
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A sequência a seguir ilustra o roteiro para a HP-12C.
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