FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y RECURSOS HUMANOS FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
UNIDAD ACADEMICA DE ESTUDIOS GENERALES
Manual teórico para uso exclusivo de los estudiantes
Ciudad Universitaria USMP Av. Las Calandrias N°151 Santa Anita - Lima
MATEMÁTICA I
SEMESTRE ACADÉMICO 2017-I
Material didáctico para uso exclusivo de los estudiantes de las Facultades y Escuelas Profesionales: Profesionales: FACULTAD DE CIENCIAS ADMINITRATIVAS Y RECUSOS HUMANOS Escuela Profesional de Administración de Negocios Internacionales Escuela Profesional de Administración Escuela Profesional de Gestión de Recursos Humanos Escuela Profesional de Marketing
FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, ECONÓMICAS Y FINANCIERAS Escuela de Profesional Contabilidad y Finanzas Escuela Profesional de Economía
MATEMÁTICA I
SEMESTRE ACADÉMICO 2017-I
INTRODUCCION
La matemática es una ciencia formativa, formativa, fomenta el razonamiento en todo ámbito donde se pueda desarrollar una persona, por lo que el curso de Matemática I, es una asignatura que cumple cumple uno de los objetivos objetivos básicos de la universidad, universidad, enseñar a los alumnos a obtener conocimientos en forma clara, ordenada, razonada, bajo estructuras sólidas de la ciencia, para que ellos a su vez puedan aplicarlos en su vida personal y profesional. La presente Guía de Ejercicios y Problemas de Matemática I, está preparado especialmente especialmente para nuestros alumnos de Estudios Estudios Generales de la USMP, orientada a incrementar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Asignatura de Matemática I, en la Unidad Académica de Estudios Generales. Este Manual teórico contiene la teoría de todos los temas de la asignatura con algunos ejercicios y problemas de aplicación resueltos y en otros casos metodología de solución de los mismos para cada uno de los temas que se realizarán en el presente semestre académico 2017 – I. Por lo que está estructurado en cuatro unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidades son: Lógica Matemática, Conjuntos, Ecuaciones, Funciones y Tópicos de Geometría Analítica y aplicaciones de la Programación Lineal. Finalmente, el propósito del presente manual consiste en que sea un instrumento básico de trabajo en cada sesión de clase para el alumno, que contribuya a la formación profesional y académica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la asignatura de Matemática I, es indispensable que el alumno use el manual tanto en clase como también como un instrumento de práctica fuera de ella. Se insta también a los alumnos usar usar la bibliografía recomendada recomendada en el sílabo. sílabo.
Los Profesores
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SEMESTRE ACADÉMICO 2017-I
SEMANA 1
LÓGICA MATEMÁTICA La lógica tiene sus inicios desde el tiempo de Aristóteles, nacido en Grecia (384322 a.c.) plasmado en su obra “Organum”, llamada lógica aristotélica o clásica. Luego Gottfried Wilhem Liebnitz (1646 – 1716) alemán, introduce los símbolos lógicos los cual facilitaban el estudio, utilizándolos como instrumentos matemáticos. Sin embargo no es sino hasta la genialidad de George Boole (1815 – 1864) Inglés, quien publicó su obra “Una investigación de las leyes del pensamiento”, que realmente dio un gran salto al estudio de la matemática
simbólica que gracias a
Bertrand Russell (1872 –1970) y Alfred Whitchead
(1864 –1947) con su obra “Principia Mathemática” publicada en 1910 y 1913; que proponen como la base para el desarrollo vertiginoso de la lógica llamada “lógica simbólica”.
Concepto:
La Lógica es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo é deductivo. El razonamiento inductivo es aquel que lleva a conclusiones generales a partir de observaciones particulares y el razonamiento deductivo parte de conclusiones generales y llega a conclusiones particulares.
1.
ENUNCIADO. Es toda oración o frase que exprese alguna idea, a través de afirmaciones, negaciones, preguntas, órdenes, saludos, emociones, etc. Ejemplo: ¡Qué bueno que estudie matemática ¿Desea tener éxito en sus estudios? Pero, por supuesto.
2.
ENUNCIADO ABIERTO. Es aquel enunciado, el cual no se puede responder con verdadero o falso. Ejemplo: 3x<6
3.
4x-3y =8
Ella es Psicóloga
PROPOSICIÓN LÓGICA. Una proposición es un enunciado cuya propiedad fundamental es que puede responderse como verdadero (V) o falso (F), pero no ambas a la vez. Por tanto no existe ambigüedad en la respuesta.
1
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Una proposición se representa simbólicamente por letras minúsculas tales como: p , q , r , s ,.llamadas variables proposicionales. Ejemplo: p: q :
4.
La matemática es una ciencia pura. Todos los universitarios han rendido un examen de admisión.
VALOR DE VERDAD. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota con V ( p) y escribimos: V ( p ) V si el valor de p es verdadero y V ( p ) F si el valor de p es falso.
5.
PROPOSICIÓN SIMPLE. Es aquella proposición lógica que consta de un solo sujeto y un predicado. Ejemplo: p: Las flores son parte de una planta. q: El curso de matemática I es pre-requisito para cursar Matemática II en la USMP
6.
PROPOSICIÓN COMPUESTA. Está conformada por dos o más proposiciones simples unidas por palabras que enlazan a dichas proposiciones. Ejemplo : Los universitarios tienen carnet de identificación y pagan medio pasaje p q
7.
OPERADORES LÓGICOS. Son signos o símbolos que representan palabras y que son usados para relacionar proposiciones. Tenemos: SIMBOLO
NOMBRE
Algunas palabras
Negación
“no” “ni” “nunca”
Conjunción
“y” “pero” “también”
Disyunción débil
“o” “a menos que”
Condicional
“entonces”
Bicondicional
“si y solo si”
Disyunción fuerte
“ o….o….”
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MATEMÁTICA I
8.
SEMESTRE ACADÉMICO 2017-I
TABLAS DE VERDAD. CONJUNCIÓN
p q
P
Q
pq
p
Q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
CONDICIONAL
9.
DISYUNCIÓN DÉBIL
DISYUNCIÓN FUERTE p
q
pq
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
BICONDICIONAL
NEGACIÓN
P
Q
pq
p
Q
pq
p
~p
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F F
V F
V V
F
V
F
F
F
V
SIGNOS DE AGRUPACIÓN O DE COLECCIÓN. Los signos de agrupación , , se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos. Otra finalidad de estos signos es darle mayor o menor jerarquía a los operadores.
10. FÓRMULA LÓGICA. Es una combinación de variables proposicionales y operadores lógicos. Se evalúa mediante tablas de verdad. Las fórmulas lógicas o esquemas moleculares, se evalúan mediante tablas de valores de verdad, el número de valores de verdad queda determinado por 2n , donde n es el número de proposiciones. Si al evaluar una fórmula lógica resulta que todos los valores de verdad de su operador principal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOGÍA. Si todos estos valores son falsos, es una CONTRADICCIÓN. Si es una combinación entre valores verdaderos y falsos, entonces se tiene una CONTINGENCIA.
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EJERCICIOS RESUELTOS I. Determine cuáles de las siguientes expresiones, son enunciados o proposiciones lógicas, justificando su respuesta 1. ¡Me gusta el color blanco!
ENUNCIADO
2.
ENUNCIADO ABIERTO
42<7
3. El número 333 es divisible por 3.
PROPOSICION
II. Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición: 1. O Lima es la ciudad de los Virreyes o Trujillo la ciudad del huayno. p: Lima es la ciudad de los Virreyes q: Trujillo la ciudad de la marinera Luego tenemos: p Δ q
Reemplazando por sus valores de verdad V Δ F resulta V
EJERCICIOS OPCIONALES
[√ 0.36=0.6 ∨ √ 16=4]→ 3 2 = 5
)
Reemplazando por sus valores de verdad tenemos: (V ˅ F)
F…………. V
F resulta F
III. Establecer la tautología, la contradicción o contingencia de la siguiente proposición: p q p ~ q p q Metodología de solución: (Pautas) a) b) c) d) e)
Determinar el conector principal Determinar el Nª de variables proposicionales de las proposiciones Empezar en lo posible de derecha a izquierda Determinar la proposición resultante antes y después del conector principal Evaluar según lo establecido determinando si se trata de tautología, contradicción o contingencia
IV. De la falsedad de p ~ q ~ r s deduzca el valor de verdad de:
~ p ~ q ~ qp Metodología de solución: (Pautas) a) Aplicando la Tabla de Verdad determinar los valores de verdad de cada proposición b) Reemplazar en la expresión por definir c) Volver a aplicar la Tabla de Verdad y determinar el valor de verdad solicitado 4
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CUANTIFICADORES FUNCIÓN PROPOSICIONAL. La función proposicional es un enunciado abierto de la forma P ( x ) , es decir, se trata de una expresión que contiene alguna variable que al ser sustituida por un valor particular se convierte en proposición. Por ejemplo: P( x) : x 2 3 10 ; es un enunciado abierto P (2) : 22 3 10 ; es una proposición falsa P (3) : 32 3 10 ; es una proposición verdadera
CUANTIFICADORES. Los cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto o función proposicional en una proposición para lo cual su misión es indicar cuántos elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta función proposicional.
∀
1. CUANTIFICADOR UNIVERSAL. Representado por se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada función proposicional. .Notación:
∀ ∈∶
”Para todo x que pertenece al conjunto A se cumple que”
2. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. Representado por , se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con determinada función proposicional .Notación:
∃ ∈ /
” Existe algún x que pertenece al conjunto A tal que se cumple que”
NEGACIÓN DE LOS CUANTIFICADORES. ~ x A / p( x) x A : ~ p ( x ) “la negación de un existencial da un universal” ~ x A : p( x) x A / ~ p ( x ) “la negación de un universal da u n existencial
NOTA. En general, la proposición universal x A : P x es verdadera si la propiedad P ( x ) lo es, es decir, si cumple con cada uno de los elementos de A y es falso si hay al menos un elemento de A que no cumple la propiedad P ( x ) .
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En general, la proposición existencial x A : P ( x) es verdadera si en A hay al menos un elemento x que cumple P ( x ) y es falsa si ningún elemento de A cumple con P ( x ) , esto es, todo elemento de A no cumple P ( x ) .
EJERCICIO RESUELTO Determinar el valor de verdad de la siguiente expresión:
x N / x 2 1 0 Según la definición de cuantificador existencial la respuesta es V Procedemos a negar la expresión: ~ x N / x 2 1 0 la cual resulta un cuantificador universal de la forma: x N / x 2 1 0 Según la definición de cuantificador universal la respuesta es F
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SEMANA 2 CONJUNTOS Desde que nacemos, nos encontramos con agrupaciones, en primer lugar con personas a nuestro derredor tratando de conocernos, luego con cosas con las cuales empezamos a diferenciar formas, texturas, etc. Así continuamos aprendiendo a relacionar objetos y los vamos agrupando según las necesidades. Por ejemplo los compañeros de la escuela, las enfermedades del corazón, estudiantes de matemática, entre otros. Nos hacemos preguntas respecto a estas agrupaciones y sus componentes, por eso la matemática se encarga de estudiarlas y este estudio es conocido como Teoría de Conjuntos.
1. IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO. De manera intuitiva diremos que un conjunto es una colección bien definida de objetos. A cada uno de estos objetos le denominamos elemento del conjunto. Un conjunto se denota por una letra mayúscula, sus elementos se encierran entre llaves y se separan por comas cuando el conjunto esta expresado por extensión. 2. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS. 2.1. POR EXTENSIÓN. Aquí se listan todos los elementos del conjunto. Esta lista de elementos la escribimos entre llaves. 2.2. POR COMPRENSIÓN. Aquí se escribe una propiedad que cumplen todos los elementos que están en el conjunto. 3. RELACIÓN DE PERTENENCIA. Cuando un elemento se encuentra en un conjunto se dice “que este elemento pertenece al conjunto” y se denota por
“pertenece”.
4. SUBCONJUNTO. Es aquel que forma parte de otro. Se denota por y se lee “es subconjunto de” ó “está contenido en”. Un conjunto A es subconjunto de B si y sólo
si cada elemento de A también es elemento de B y se denota por A B . El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto A.
5. DIAGRAMA DE VENN-EULER. Son gráficos que nos ayudan a ilustrar algunas ideas. En el caso de la teoría de conjuntos se usan diagramas de Venn-Euler. Se usan generalmente círculos para graficar los conjuntos y un rectángulo para el conjunto universal. 6. CARDINAL DE UN CONJUNTO. Es la cantidad o número de elementos de un conjunto y se denota por n A .
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7. CONJUNTOS ESPECIALES. 7.1. CONJUNTO UNIVERSAL. Es aquel formado por todos los elementos con los cuales estamos trabajando en un problema particular. Se denota por U . Es muy importante establecer el conjunto universal, ya que eso determinará nuestro marco de referencia. 7.2. CONJUNTO VACÍO. Es aquel que carece de elementos. Se denota por ó . 7.3. CONJUNTOS DISJUNTOS. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común. 7.4. CONJUNTO UNITARIO. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. 7.5. CONJUNTO POTENCIA. El conjunto potencia de un conjunto A , es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A . Se denota por P A y el número de elementos de P A 2n , donde n es el número de elementos de A .
7.6. CONJUNTO FINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada. 7.7. CONJUNTO INFINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es ilimitada. Por ejemplo el conjunto de números reales.
EJERCICIO RESUELTO I. Expresar por extensión el siguiente conjunto:
= ⁄ 5 6=0} = 6, 0, 5 }
El producto de varios factores iguales a 0 hace que cada uno de ellos pueda tomar ese valor, por lo tanto los valores que asume x son: 0, - 6, 5 Así:
II. Resolver: 1.
⁄ }, = ∈1<≤4
Determinar P(A)
Metodología de solución: (Pautas) a) b) c) d)
Pasar el conjunto A de comprensión a extensión Determinar el Nª de elementos de A Determinar el Nª de elementos de P (A) según la fórmula dada en clase Con los elementos del conjunto potencia definido se forman los subconjuntos del conjunto potencia y se completa con el conjunto vacío 8
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SEMANA 3 - 4 OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. UNIÓN. Dado dos conjunto A y B, la unión de A y B se define como: A
U
B x / x A x B
B
A
U
A
B
U A B
Nota; Siempre se cumple que A A
2. INTERSECCIÓN. Dado dos conjuntos A y B, la intersección de A y B se define como: A
U A
B
U
B x / x A x B
A
B
U
A B
Dos conjuntos son disjuntos sí A B . Además siempre se cumple que A .
3. DIFERENCIA. Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos A y B se define como: A B x / x A x B
U
A
B
U
A
B
U
A B
4. DIFERENCIA SIMÉTRICA. Dado dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica de A y B se define como:
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SEMESTRE ACADÉMICO 2017-I AB x / x A B x B A
U A
B
U
A
U
B
A B
5. COMPLEMENTO. Dado un conjunto A y el conjunto universal U, donde A U , se define el complemento de A como: A ' Ac
x / x U x A
U A’
A
Nota: Siempre se cumple que: U ' y ' U .
EJERCICIO RESUELTO I. Resolver:
+/0≤<9} = ∈ℤ = ∈ℕ/≥1∧<5} = ∈ℤ/0<≤9∧ }
1. Sean los conjuntos: Sean los conjuntos:
y
a)
,
.
Hallar:
A B
A = {x Ɛ N / 1≤ x < 5} = {1, 2, 3, 4}
B= {2, 4, 6, 8} U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Por definición de diferencia de Conjuntos: A – B = {1, 3}
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II. APLICACIONES Un grupo de 60 chef se presentaron a un Concurso de Cocina en las siguientes especialidades: postres, cremas y pastas. Obteniéndose como resultado que: 30 ganaron en la especialidad de pastas. 25 ganaron en la especialidad de postres. 20 ganaron en la especialidad de cremas. 5 ganaron en pastas y postres pero no en cremas. 7 ganaron en pastas y cremas. 1 ganó en las tres especialidades. Además se sabe que el número de los que ganaron sólo postres es la mitad de los que ganaron la especialidad de pastas. Determine cuantos ganaron, al menos, en dos de las especialidades. Metodología de solución: (Pautas) a) Leer y comprender el problema b) Listar la información (datos e incógnita) c) Graficar una intersección de tres conjuntos d) Cada vez que sea posible iniciar el trabajo colocando en el grafico el valor de la intersección de los tres conjuntos e) Pasar la información del listado al grafico f) Analizar el grafico g) Dar respuesta a lo solicitado
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SEMANA 5
ECUACIONES LINEALES Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas lados o miembros, y están separados por el signo de igualdad “=”
ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE EN LOS NÚMEROS REALES
La ecuación lineal de primer grado con una variable es aquella que adopta la forma canónica:
ax + b = 0
/ a
0 a, b
Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera dicha igualdad.
La solución es también llamada raíz de la ecuación siendo expresada por: x
b a
DISCUSIÓN: Respecto a la solución de la ecuación, se debe tener en cuenta lo siguiente:
1º 2º 3º
La ecuación es compatible determinada, (finitas soluciones) Si: a 0 b La ecuación es compatible indeterminada, (infinitas soluciones) Si: a = 0 b = 0 La ecuación es incompatible, inconsistente (ecuación absurda) Si: a = 0 b / b 0
EJEMPLOS:
} } – } = = – } = } = 1.
Resolver
Se resuelve primero lo que está dentro del paréntesis, respetando signos, luego los corchetes y finalmente las llaves.
Luego:
x = - 2/3
los
C.S: {- 2/3}
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2.-
SEMESTRE ACADÉMICO 2017-I
Resolver:
3 x2 x
1 x4 x
Aplicando las siguientes identidades 1.
a b
c d
ad =bc
2. ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad +bc +bd Obtenemos: (X+3)(x –4) = (x-2)(x+1) x2- 4x + 3x – 12 = x2 + x - 2x - 2 Simplificando:
- x – 12 = - x - 2 -12 = -2 ABSURDO.
La ecuación es Incompatible. C.S: x ε Ǿ
3. Resolver la siguiente ecuación con radical: a)
5 x 14 2 x 1
Metodología de solución: (Pautas) a) b) c) d)
Elevar al cuadrado ambos términos Efectuar la transposición de términos Dejar la incógnita en un solo termino Determinar la incógnita y el conjunto solución
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APLICACIONES Una compañía produce harina de pescado, con un costo variable de $38 por tonelada. Si los costos fijos son $55 000 por mes y el alimento se vende en $63 por tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual de $270 000? Solución: Se sabe que: I
= p q = CT + U CT= CU + CF
Reemplazando valores tenemos: 83 x q = [(38 x q) + 55000] + 270000 q = 7222 Toneladas
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Sistema de Ecuaciones Lineales.
2 x 4 y 5 3 x 5 y 2
Al conjunto de ecuaciones:
se le llama sistema de 2 ecuaciones lineales con
2 variables. Las variables o incógnitas son x e y. el problema consiste en encontrar valores para x e y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas (de manera simultánea). a estos valores se les llama soluciones del sistema.
Interpretación Geométrica. Como las ecuaciones del sistema son lineales, sus gráficas son rectas. Si los dibujamos en un mismo plano, existen sólo 3 posibilidades:
1.
y ( xo; yo)
xo
Un sólo punto de intersección. El sistema tiene solución única:
L1 x
L2
x x0 y y0
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2.
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No hay intersección. El sistema no tiene solución.
L1
y
L2
x
y
L1
Infinitos puntos de intersección. El sistema tiene infinitas soluciones. Se le llama Solución paramétrica.
L2
3.
x r y f (r )
x
rR
Métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, antes de usar uno de los métodos, es conveniente alinear los términos en x y en y:
A. Método de eliminación por adición
2 x
4 y 5 .....( 1)
Ilustramos este método para el sistema: 3 x 5 y 2 .....( 2) Busquemos que los coeficientes de la variable x sean iguales, excepto por el signo, para esto multiplicamos a la ecuación (1) por 3 y a la ecuación (2) por -2, así queda un sistema
6 x 12 y 15 6 x 10 y 4
equivalente:
Luego sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos: 2 y 11 que es una ecuación lineal en la variable y, fácil de resolver: y 11 / 2 Para obtener el valor de x, reemplazamos y 11 / 2 en cualquiera de las ecuaciones
2 x 4 y 5 ó 2 x 4(11 / 2) 5 y 11 / 2
originales (1) ó (2), para este caso elegimos la ecuación (1):
que es una ecuación lineal en la variable x, fácil de resolver, así x 17 / 2 . Por lo tanto, la solución del sistema es única: x 17 / 2 , y 11 / 2 Esta solución cumple en ambas ecuaciones.
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B. Método de eliminación por sustitución
2 x 4 y 5 .....(1) 3 x 5 y 2 .....(2)
Ilustramos este método, con el sistema:
Primero escogemos una de las ecuaciones, en este caso (1) y despejamos una de las variables, en este caso despejamos la variable y, así obtenemos:
5 2 x y 4 3 x 5 y 2 Sustituimos el valor de y en la ecuación (2), resultando una ecuación lineal, de una variable, fácil de resolver: 3 x 5(
5 2x 4
) 2,
Luego x 17 / 2
.
Reemplazamos, el valor hallado de x en la ecuación (1) se obtiene una ecuación lineal en la variable y, fácil de resolver: 2(
17 2
) 4 y
5,
Luego y 11 / 2 Por lo tanto, la solución del sistema es única:
x
.
17 / 2 , y 11 / 2 .
Esta solución cumple en ambas ecuaciones. Se pudo haber elegido la ecuación (2) y despejar la variable x, y proceder de manera similar.
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SEMANA 6
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Definición. Una ecuación de segundo grado es aquella expresión en la que el exponente máximo es 2, siendo además racional y entera y, de la forma: ax 2 bx c 0 ; donde a , b, c , son números reales y a 0 .
Completas: ax 2 bx c 0 Incompletas: ax 2 bx 0 donde c 0 ;
ax 2
c 0 donde b 0
METODOS DE SOLUCION Los métodos para resolver una ecuación de segundo grado son: Por factorización o por la fórmula general
a) Por Factorización.- Pueden ser mediante factor común, aspa simple, completando cuadrados, etc. Ejemplo: Resolver : 2 x 2 x 3 0 Factorización mediante aspa simple:
2 x 2 x 3 0 2 x
3
x
1
Los factores son: (2 x 3)( x 1) 0 Igualando a cero cada factor: 2 x 3 0 ; Resolviendo se obtiene: x 3 2
El conjunto solución es: C . S
Ejemplo: Resolver:
3 6=0
Usando el factor común:
;
3 ;1 2
x 1 0
x 1
3 2=0→ =0 ∨ =2 .: 0;2 } 17
MATEMÁTICA I
b)
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Por la Formula General: Una ecuación de segundo grado: ax 2 bx c 0 puede resolverse utilizando la formula general:
x
2 b b 4ac ; Donde a, b
2a
ecuación.
y c son
los coeficientes de la
Procedimiento a) Se halla el valor de los coeficientes: a, b
y c.
b) Se reemplaza el valor de los coeficientes en la fórmula general. c) Se reducen los términos semejantes en cada miembro d) Se despeja la incógnita.
Además, de acuerdo al valor del discriminante se tiene:
Si, b 2 4 ac 0 , entonces las raíces son reales y diferentes.
Si, b 2 4 ac 0 , entonces las raíces son complejas.
Si, b 2 4 ac 0 , entonces las raíces son reales e iguales.
Ejemplo: Resolver: 2 x 2 8x 6 0 Los valores de a, b
y c son: a
2 , b 8 , c 6
Reemplazando en la formula general (F.G.), se tiene:
x
( 8) ( 8)2 4(2)(6) 2(2)
Entonces: x 1
84 4
y x 2
=
8 64 48
84 4
→
4 x
1
→
=
8 16 4
=
84 4
3 y x 1 2
C .S 3 ; 1
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APLICACIONES 1.
La ecuación de ingresos de cierta compañía es: I 340 p 4 p 2 ; donde p es el precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿Cuál será el precio para que el ingreso sea de $ 6 000, si el precio debe ser mayor de $ 40?
Solución: Como nos referimos al mismo ingreso: I
340 p 4 p 2 = 6000
Ordenando y simplificando tenemos: p 2 – 85p + 1500 = 0 Resolviendo por cualquiera de los métodos se tiene que p = 60
SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES.
Un sistema de ecuaciones no lineales es aquel sistema en el que al menos una ecuación no es lineal. Se puede resolver un sistema no lineal, por el Método de eliminación por sustitución. Ejemplos: 1.
y x 2 Resolver: ;Despejamos una variable (cualquiera) de la ecuación x y 0 lineal.
y x 2 Por ejemplo y, así: x y 0 Reemplazamos en la ecuación no lineal: x x 2 , la cual es una ecuación cuadrática, que al resolver se obtiene las raíces: x 0 ó x 1. Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos: sí x 0 entonces y 0 ; sí x 1 entonces y 1 .
Por lo tanto, las soluciones del sistema no lineal son:
x 0 y 0
x 1 y 1
ó
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Forma Gráfica y
(-1,1) x
(0,0)
x + y = 0
y x 1 y x 1
2. Resolver:
Observamos que en la ecuación lineal, la variable y está despejado. Sólo queda sustituir en la ecuación no lineal: x 1 x 1 , la cual es una ecuación con radical que nos lleva a una ecuación cuadrática. Resolviendo se obtiene: ( x 1) 2 x 1 , entonces resolviendo se tiene: x 0 ó x 1 Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos: sí x 0 entonces y 1 ; sí x 1 entonces y 0
x 0 y 1
Por lo tanto las soluciones soluciones del sistema no lineal son:
x 1 y 0
o
y
Forma Gráfica
y = x+1 x+1
(-1,0)
(0,1) x
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SEMANA 7 DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES DESIGUALDADES: Es un enunciado que establece una relación de orden (< ,>, ≤, ≥ ) Ejemplo:
5 > 8
5 ≥8
8 < 5
8 ≤5
Ejemplo:
5<7 5< 7 →52< →52 < 72
Propiedades de las desigualdades 1) Si: 2) Si:
< →< → < ⇾ ⇾
a b y c 0 ac bc bc y
Ejemplo: 3) Si:
Ejemplo:
6 < 9 y 3 >0
a
c
c
6.3 < 9.3 y
a b y c 0 ac bc bc y
3 < 7 y -2 < 0
b
a c
b
<
c
3 ( -2) > 7 ( -2) y
− > −
El conjunto solución de las desigualdades se da mediante intervalos
INTERVALOS: Sea I un subconjunto de R (I R). Decimos que I es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser reales o ideales).
21
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - I I
MATEMATICA I
INECUACIONES LINEALES Definición: Son desigualdades, provistas de variables en primer grado y entes matemáticos. Ejemplo 1:
75≤35 4≤10 − ≤ ∴ . . = 〈∞;∞; 52 〉 37>710 10>3 ∴. . = 〈∞;∞; 103 〉 Resolver:
Pasando las variables al primer miembro:
Simplificando:
Dividiendo entre 4:
73≤55 52
Ejemplo 2:
Resolver:
Pasando las variables al primer miembro:
Simplificando:
37>107
Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 10:
Ejemplo 3:
<
103
3 ≤
Resolver:
9075≤1215 7515≤1290 90≤78 ≥ ∴. . = 131513 ; ∞
Multiplicando por 30 (MCD):
Pasando las variables al primer miembro: Simplificando:
Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 90:
Ejemplo 4: Resolver:
1315
3− 2− 6− > 5
Solución: x
3
x
x
2
6
5
M.C.M. (3; 2; 6) = 6
22
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I 2 x 3 x x 6
∴
5 x 5 5
C.S. = <5; +>
II
41 ≥35 >107 6 41 ≥35 459≥2≥31 ≥
Ejemplo 5:
I
Pasando las variables al primer miembro:
Simplificando: Dividiendo entre9:
S
29
35 >107 6 57>103 2 >7 > 72
Pasando las variables al primer miembro:
Simplificando: Dividiendo entre 2 :
7 ∴ ∈ 〈2 ,∞〉
2/9
7/2
APLICACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES Obtener ganancia: U 0
; It C t 0 No obtener pérdida: U 0 ; I t C t 0
1. Una empresa produce cartucheras. Las cartucheras tienen un precio unitario de venta de S/. 20 y un costo unitario de S/. 15. Si los costos fijos son de S/. 500 000, determine el número mínimo de cartucheras que deben venderse para que la empresa tenga utilidades. Solución: Como se quiere que la empresa tenga utilidades se empleara la siguiente simbo logía: U ˃ 0 Remplazando tenemos: I – CT ˃ O 2Oq – (15q + 500000) ˃ 0 Por tanto:
q ˃ 100000
Rpta: El mínimo número de cartucheras a producir y vender es 100001
23
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
SEMANA 8 INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Definición: Son desigualdades, provistas de variables en segundo grado y entes matemáticos.
<0 ≤0 >0 ≥0
Casos:
a, b, y c
∈ℝ
y a0
Procedimiento:
Resolver la inecuación como si fuera una ecuación, hasta encontrar las raíces, o soluciones de la ecuación, éstas serán los extremos del intervalo o los intervalos correspondientes al conjunto solución. Depende de la relación de orden que tenga la inecuación, para establecer el conjunto solución. ax 2 bx c 0 , entonces:
Caso 1.-
1) ax 2 bx c 0 , al resolver supongamos que obtenemos como soluciones x1 m x 2
n
2) Como la relación de orden es ≥ x
Nota: Si x
Caso 2.-
la
desigualdad
; m
y
n
m
; m n ; y
hubiera
sido
solo
m
> el
conjunto
solución
sería:
n;
. ∶ ; . ∶ ; ax 2 bx c 0
Nota: En el caso de ser solo <
24
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
Ejemplo: Resolver x 2 x 6 0 1) x 2 x 6 0 ( x 3)( x 2) 0 x1 3 ó x2 2 2) Como la inecuación es
+
-2
+
3
.:∈⟨∞; ∪ ; ∞⟩
Analizar:
Si la inecuación es de la forma (ax b) 2 0 el conjunto solución es: ………………………. Si la inecuación es de la forma (ax b ) 2 0 el conjunto solución es: ………………………… ¿Cuál sería el conjunto solución si en las desigualdades cuadráticas anteriores no existe el igual?
APLICACIONES DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS Ejemplos de solución:
(Producción y utilidades). Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es p dólares están dadas por p 200 3 x . El costo de producir x unidades al mes del artículo es C (650 5 x) dólares. ¿Cuántas unidades de este articulo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2 200 dólares?
Solución. I (unidades vendidas) ( precio por unidad) I xp
I x(200 3 x) I 200 x 3 x 2
El costo C (en dólares) de fabricar x unidades es C 650 5 x , la utilidad U (mensual) obtenida por producir y vender x unidades está dada por: U I C U (200 x 3 x 2 ) (650 5 x) U 195x 3x 2 650 25
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200, tenemos que U 2200 195 x 3x 2 650
2200
Al escribir esto en la forma estándar y dividir todo entre -3 (notando que el signo de la desigualdad se invierte), se obtiene la desigualdad: x 2 65x 950
0
Que es una inecuación cuadrática, por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo cerrado 22.2 ; 42.8
Rpta. Para alcanzar la meta requerida el número de unidades producidas y vendidas por mes debe estar entre 23 y 42 inclusive.
(Decisión de precios). Una peluquería tiene un promedio de 120 clientes semanales a un costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de $0,75 en el precio, la peluquería perderá 10 clientes. ¿Cuál debe ser el precio máximo que puede cobrarse de modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales? Solución. Sea x el número de incremento de $0, 75 por encima de $8. Entonces el precio por corte de cabello es (8 0, 75 x) dólares, y el número de clientes será de (120 10 x ) por semana. Entonces: Ingresos totales semanales = numero de clientes × precio por corte I (120 10 x)(8 0.75 x)
Los ingresos por los 120 clientes actuales son 120 8 $960 por tanto los nuevos ingresos deben ser al menos $960 (120 10 x)(8 0, 75 x) 960
Simplificando 10 x 7,5x 2
0
Por tanto la solución de la desigualdad es el intervalo 0 , 4/3 Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $(8 + 0,75(4/3)) = $9,00
Rpta. El precio máximo que puede cobrarse es $9,00 26
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
(Ingresos del fabricante). Al precio de p dólares por unidad, x unidades de cierto articulo pueden venderse al mes en el mercado con p 500 5 x .¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $12 500?
Solución. Ingresos totales semanales = numero de unidades x precio
I x(500 - 5 x)
;
I 1 2 5 00
x(500 5x) 12500 500 x 5x 2 x 2 100 x 2500 0
12500 5 x 2 500x 12500 0
( x 50) 2
0
La solución de la desigualdad es x 50
Rpta. Al mes se deben venderse 50 unidades.
27
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
SEMANA 10
FUNCIONES I.
SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL
El sistema coordenado bidimensional o o rectangular o plano, se representa mediante dos rectas perpendiculares, llamados ejes coordenados, que se intersectan o cruzan en un punto llamado origen O. A la línea horizontal se le llama eje X (eje de abscisas), y a la línea vertical, eje Y (eje de las ordenadas). Cada punto P en un plano XY debe tener asignado un par de números llamado par ordenado, se denota P(a, b) . a se llama abscisa de P y b ordenada de P . Se dice que P tiene las coordenadas ( a, b) .
(eje de las ordenadas)
y II CUADRANTE
y (a, b)
I CUADRANTE
x
II.
III
IV
CUADRANTE
CUADRANTE
b
o
a
x ( eje de las abscisas)
PRODUCTO CARTESIANO Dados dos conjuntos A y B , el producto cartesiano se define como: A B
x, y / x A y B
Ejemplo 1 Dado los conjuntos: A 0; 1; 2 y B 2; 4, hallar: A B
Solución: A B (0,2); (0,4); ((1,2); (1,4); (2,2); (2,4)
28
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
Ejemplo 2 Dado el conjunto: A 4;3; 1 hallar: A A
Solución: A A ( 4, 4 ); ( 4, 3); ( 4, 1); (3, 4 ); ( 3, 3); (3, 1); ( 1, 4 ); ( 1, 3); ( 1, 1)
Propiedad A B B A
III. RELACIONES Dado un producto cartesiano A x B, mediante una regla de correspondencia entre la abscisa y la ordenada de sus pares ordenados se dice que existe una RELACIÖN. Las abscisas de los pares ordenados de la relación se les llaman DOMINIO Las ordenadas de los pares ordenados de la relación de les llama RANGO
Observación Si A B tiene n elementos entonces existen 2 n relaciones de A en B a) R7 ( x , y ) B A / x y 1
IV. FUNCIONES Definición de Función Una función de A en B , es una relación f A B que hace corresponder a cada elemento " x " del conjunto A a lo más un elemento " y " del conjunto B. La notación de una función es y f ( x) que se lee “ y es igual a f dé x ”, donde " x " es la variable independiente e " y " la variable dependiente. El conjunto de valores que puede tomar " x " se denomina dominio de una función, y al conjunto de valores que puede tomar " y " se le denomina rango de la función.
Formas de Representar una Función Con el fin de describir una función específica podemos usar las siguientes formas:
a) Verbal (mediante una descripción con palabras). El interés bancario producido por un capital, está en función del tiempo que esté depositado.
b) Algebraica (por medio de una fórmula explícita). Con una fórmula:
A(r) = r 2 que es el área de un círculo.
29
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
c) Visual (con una gráfica). y
x
d) Numérica (a través de una tabla de valores). Con una tabla de valores. w (kilos)
C(w) (dólares)
0 < w 1
4
1 < w 2
6.5
2 < w 3
8.5
3 < w 4
10
Costo de enviar por correo de primera clase una encomienda.
e) Diagrama Sagital f A
B
Dominio
f)
Rango
Conjunto de Pares Ordenados
g 4, 2 ;
1 2
, 3 ; 0,1 ; 6, 0 ;
2 5
es una función
, 3 g
30
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
Formas para determinar si una Relación ó Correspondencia es una función Existen dos formas para determinar si una relación o correspondencia es o no es una función:
1. Estableciendo los siguientes Principios: Principio de Existencia: “Cada elemento de A está asociado a otro elemento de B”
Principio de Unicidad: “A cada elemento de A le corresponde un solo e lemento de B” 2. Aplicación del Método de la Recta Vertical: “Se traza una recta vertical paralela al eje “Y” y si corta a la gráfica de la supuesta función en un solo punto; luego la gráfica representa una función”
Nota: Se debe analizar la gráfica presentada como posible función de izquierda a derecha aplicando el método referido. Ejemplos: Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es una función: g: A
B {(1;3),(2;4),(,(3;5),(4;6),(5;7)}
f: A
B {(1;2),(5;2),(3;a),(a;-2),(a;5)} A
g
11 22 33 44 55
B 33 44 55 66 77
f
A
B
1
2
5
a
3
-2
a
5
31
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
Determinar si las siguientes gráficas representan una función: 1. y
No es función ya que al trazar la recta vertical corta a la gráfica en 2 puntos.
x
2.
y
No es función ya que al trazar la recta vertical, corta a la gráfica en 2 puntos.
x
3.
y
Si es función ya que la vertical que se traza corta a la gráfica en 1 punto.
x
y 4.
x
No es función ya que la vertical corta a la gráfica en 2 puntos.
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SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
Cálculo de las variables a y b en una función 1.- Si f es una función encontrar el valor de “a” y “b” f : {(-1;42a – b),(2;3a + b),(6;1),(2;243),(-1;256)} Solución 2a - b Para x = -1 tenemos y = 4 = 256 a)
De acuerdo a la propiedad de los exponentes. 4 2a - b = 256 = 44 . . . . . . . .(1) Para x = 2 tenemos y = 3a + b = 243 Por el misma propiedad se tiene: 3 a + b = 243 = 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) Luego de (1) y (2); igualamos los exponentes resultando un sistema de ecuaciones con dos incógnitas donde obtenemos que a = 3 y b = 2
a) f : {(a; a + b),(a;14),(b; b - a),(b ; 4)} Solución De acuerdo al principio de unicidad se tiene: a + b = 14 y b – a = 4 Resolviendo tenemos que: a = 5 y b = 9 b) f : {(-1; 2a – 3b),(2; 5a + b),(3; 5),(2; 25),(-1; 64)} Solución De acuerdo al principio de unicidad se tiene: a – 3b = 6 y a + b = 2 Resolviendo tenemos que: a = 3 y b = -1
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SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
V. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN En la definición de una función encontramos que los valores que puede asumir “x” y los valores que asume “y” forman el Dominio (Dom) y Rango (Rg) respectivamente.
Para el caso de una función representada gráficamente puede asumirse una metodología aparente para determinar el Dom f y el Rg f y es la siguiente: Cuando se trata de definir Dom f analizamos la totalidad de la gráfica de izquierda a derecha y proyectamos la misma sobre el eje X con lo que obtenemos el resultado cuidando la forma de los intervalos en cada tramo analizado. Para el caso del Rg f hacemos exactamente lo mismo pero esta vez se proyecta la gráfica sobre el eje Y. Ejemplo: En las siguientes gráficas determinar Dom f y Rgf y 4 2
5 4 3
Domf : Rgf :
1
3
x
<∞; 5>∪<5;4>∪3;1 ∪3} ∞ ; 4 6
2
5
2
2
2
Df : Rf :
<∞; 5>∪<5; 2 ∪<2; 0 ∪ <0; 2 >∪<2; ∞ > <∞; 2>∪ 1} ∪<0; 6 >
Nota: El resultado del Dominio y Rango puede abreviarse según sea el tramo y el intervalo analizado.
34
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
SEMANA 11 VI. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Función
creciente:
Una
función
f es
y
estrictamente creciente en el intervalo I , si x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x2 )
x1 , x2 I
f ( x1 )
La grafica está creciendo o subiendo de izquierda a derecha conforme el valor de x también aumenta.
Función decreciente: Una función f estrictamente decreciente en el intervalo I , si x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
x1 x2
x
x2
x
es y
x1 , x2 I
f ( x1 )
La grafica está decreciendo o bajando de
f ( x2 )
izquierda a derecha conforme el valor de x x1
aumenta. Ejemplo La función f ( x) ( x 1) 2 , x 0,5 es estrictamente creciente.
Solución Considerando x1 0 y x 2 5 , entonces: f ( x1 ) f (0) (0 1) 2
1
f ( x2 ) f (5) (5 1) 2
36
Se tiene que si x1 x 2 f ( x1 ) f ( x2 ) se cumple x1 , x 2 0,5 Por lo tanto la función es estrictamente creciente en 0,5
Signos de la función y f ( x )
a
i.
x
a; b es positiva x b ; c
f ( x) 0 f ( x) es negativa
ii. f ( x) 0 f ( x)
c
b
x
35
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
Intersecciones con los ejes coordenados
- Intersección con el eje x Hacemos y f ( x) 0 , y hallamos el valor de x .
- Intersección con el eje y Hacemos x 0 , y hallamos el valor de y .
Ejemplo Dada la siguiente gráfica y f ( x) y 3
1
8
6 5
1
3
5
7
8
x
2 3 4
Tenemos:
Dominio:
domf
5, 0
1,3 , 7,8
f ( x) es negativa en
Intervalos de crecimiento:
5, 0 , 5,8
1,8
, 4 3 2,3
f ( x) es positiva en
6,
6
Rango:
Ranf
, 8
Intervalos de decrecimiento 1, 5
Puntos de intersección con el eje x (3, 0), (7, 0)
Punto de intersección con el eje y
(0, 4)
, 8 , 5,0, 3,7
36
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
VII. EVALUACION DE UNA FUNCION Evaluar una función significa encontrar un valor para la misma y éste puede ser numérico o literal. La evaluación de una función tiene dos características:
- Evaluación Analítica - Evaluación Gráfica
Ejemplos:(Evaluación Analítica) 1) Evalúa las siguientes funciones en los valores indicados: Función
f(a)
f(0)
f(-2)
f(5)
f(x + h)
f(x) = 4x2 + 1
4(a)2 + 1
1
17
101
4(x + h)2+1
f(x) = x / 2
a/2
0
-1
5/2
X+h/2
f(x) = 2x - 6
2a - 6
-6
-10
4
2(x+h) - 6
3a
0
-6
15
3(x+h)
f(x) = 3x
2) Evaluar la función f (x) = 6x – 2 para : f(0) ; f(-2) ; f(8) f(0) = 6(0) – 2 = -2 f(-2) = 6(-2) – 2 = -14 f(8) = 6(8) – 2 = 46
3) Evaluar la función
4) Evaluar la función
= √ √ : 1 9 1 = 1 √ 1 =2 29 = 9 √ 9 = 12 = 27 – 101 2;; >< 33 0 ; 5 ; 2 ; √ 3
Para resolver esta evaluación debemos tener en cuenta el dominio en el que se sitúa el valor de x examinado y el respectivo valor de la función para ese valor de x. Luego:
0 = 20 – 100 2 = 2
37
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
5) Evaluar función:
Luego:
5 = 75 1 = 36 2 = 22 – 102 2 = 30 √ 3 = 2(√ 3) – 10√ 3 2 = 8 10√ 3 1 ;; 6≤≤6 = 36 6<≤10 30 – 310 87 ℎ: = 44
f(0) = 02 – 1 = -1 f(7) = 36 – 72 = -13 f(-4) = (-4)2 – 1 = 15 f(10) = 36 – 102 = - 64
Así:
= −+– −− = −
Ejemplos:(Evaluación gráfica) Dada la siguiente grafica determinar:
= − −+
Seguir el procedimiento propuesto
38
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
FUNCIONES ESPECIALES Funciones especiales
=; ≠, : ∈ , : ∈
1.
Función lineal:
2.
Función constante. f ( x) c , donde c es una constante, Dom f , Ran f c
3.
Función cuadrática f ( x) ax 2 bx c, a 0 , Dom f .
4.
Función polinomial f ( x) p( x), Donde p ( x) es un polinomio, Dom f
5.
Función Racional f ( x)
p( x) ,
donde p( x) y q( x) ; q(x) ≠ 0 son funciones polinomiales.
q ( x)
Dom f x / q ( x) 0
6.
Función radical f ( x)
7.
n
p( x)
, si n es par, Dom f : p( x) 0
Función por partes o tramos
f 1 ( x) , x Dom f 1 f ( x ) f 2 ( x ) , x Dom f 2 Dom f Dom f 1 Dom f 2 Dom f 3 . f ( x) , x Dom f 3 3 8.
Función valor absoluto f x x , donde x
x , si x 0 , Dom( f ) x, si x 0
39
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
Ejemplo Hallar el dominio de las siguientes funciones: 1. f ( x )
4 x
2. f ( x)
x 2 x
4 x 0 4 x
x 2 x 0 x( x 1) 0 x
6 3 x 3 3 4 x
6 3x 0 2 x
3 4x 0 x 3 4
0 x 1 2
4
Dom f , 4 0,1
Dom f 3 / 4 , 2
OPERACIONES CON FUNCIONES 1. Suma de funciones
f g x f x
g x ,
Dom( f g ) Dom f Dom g
2. Diferencia de funciones
f g x f x g x
Dom( f g ) Dom f Dom g
,
3. Multiplicación de funciones
fg x f x . g x
Dom( f . g ) Dom f Dom g
,
4. División de funciones f f x x g x g
, Dom( f g ) Dom f Dom g x / g ( x) 0
5. Composición de funciones
f g
g ( x) f g ( x) , Dom( f g ) x Dom( g ) g ( x) Dom( f )
f ( x) g f ( x ), Dom( g f ) x Dom( f ) f ( x) Dom( g )
Observación Las operaciones entre funciones están definidas siempre y cuando el dominio de las nuevas funciones sea distinto de vacío.
40
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
Ejemplos 1. Si f ( x )
1 x
y g ( x ) x 2, hallar ( f g )( x) y (
f )( x ) g
Solución Dom f ;1 y, Dom ( g ) R , entonces: Dom f g ;1 ,
f ;1 2 g
Dom
Luego:
f g ( x) f ( x) g ( x)
1 x
x2
f f ( x) 1 x ( x) g ( x) x 2 g
2. Si f ( x) 2 x , x 3,7y g ( x) x 4 , x 0,3 . Hallar f g ( x) y g f ( x)
Solución a) Dom( f g ) x Dom( g ) g ( x) Dom( f )
x 0,3
x 4 3,7 3 x 4 7 1 x 3
Dom( f g ) 0,3
1
0
3
Por lo tanto:
f
g ( x) f g ( x) f x 4 2 ( x 4) 2 x
b) Dom( g f ) x Dom( f ) f ( x) Dom( g )
x 3,7
2 x 0,3 0 2 x 3 2 x 1 1 x 2
Dom( g f )
1
2 3
7
Por lo tanto:
g
f ( x ) No está definido.
41
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
EJERCICIO RESUELTO 1)
Sean las Funciones y
y
f ( x )
6
g ( x )
8
2
6
4
2
4
x
6
3
5
3 4 Hallar: a) E 2( f . g .)(5) 4( f g )(0) 3( f g )( 6)
x
4
b) E
3( f g )(15) 2( f g )(8) 5( f g )(20)
Solución: a) f (5) . g(5)
= 6 x 8 = 48
(f + g)(0) = 0 + 0 = 0 (f – g)(- 6) = - 4 – 8 = - 12 E = 2(48) – 4(0) / 3(- 12) E = - 96 / 36 Nota: Siguiendo las mismas pautas se resuelve el otro ejercicio.
42
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
GRÁFICA DE FUNCIONES 1) Función constante f ( x) c ,
2) Función lineal f ( x) x
c = constante
y
y c
1
x
1
x
: : } ,
: : ,
3) Función cuadrática
4) Función raíz cuadrada
f ( x) x 2
f ( x) y
x, y
1 2 -1
1
1
x
1
:
Ran f 0;
,
f ( x ) x
Dom f 0, , Ran f 0;
5) Función racional
4) Función valor absoluto
f ( x)
y
x , x 0
x
4
x , x 0
1 x
y 1 1
-1
1 -1
-1
:
1
Ran f 0; ¸
x
:: 00}}
;
43
SEMESTRE ACADEMICO 2016 - II
MATEMATICA I
SEMANA 12
FUNCIÓN LINEAL RECTAS Pendiente de una recta Sean ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la recta se define como: m
y2 y1 x2 x1
cambio vertical cambio horizontal
Podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente: Pendiente cero
Recta horizontal
Pendiente indefinida Recta vertical Pendiente positiva
Recta que sube de izquierda a derecha
Pendiente negativa
Recta que desciende de izquierda a derecha
FORMAS DE ECUACIONES DE LA RECTA
Ecuación punto – pendiente Sea la recta L con pendiente m que pasa por el punto ( x0 , y0 ) , tiene por ecuación: y y0
m ( x x0 )
Ejemplo 1: Hallar la recta que pasa por (1,4) que tiene pendiente 5. Solución: Tenemos punto de paso (1,4) y m = 5 luego la ecuación de la recta es y 4 5( x 1) simplificando L : y 5x 1 .
Ecuación que pasa por dos puntos Sea la recta L que pasa por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) . Entonces la ecuación de recta
y2 y1 ( x x1 ) x x 2 1
es: y y1
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MATEMATICA I
Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la recta L que pasa por: (-1,2) y (3,5). Solución. Es claro que m
52 3 ( 1)
3
y tomando como punto de paso cualquiera de ellos, digamos 4
3
3
11
4
4
4
el punto (3,5) se tiene la ecuación: y 5 x 3 . Reduciendo tenemos: L : y x
Ecuación pendiente – intersección Sea la recta L con pendiente m que interseca al eje y en b, tiene por ecuación: y mx b Ax By C 0
Ecuación lineal general:
Ecuación de una recta vertical:
x a
Ecuación de una recta horizontal:
y b
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas Paralelas Dos rectas L1 y L2 son paralelas, si sus pendientes m1 y m2 son iguales. Es decir: L1 // L2 si sólo si m1
m2 .
Rectas Perpendiculares Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares, si sus pendientes m1 y m2 satisfacen la siguiente relación m1.m2 1 . Es decir L1 L2
si y solo si m1
1 m2
.
Ejemplo 3: Hallar la ecuación de la recta L (y su perpendicular) que pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta y 2 x 3 .
Solución. Si L pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta y 2x 3 entonces la pendiente de L es 2. Luego aplicando la ecuación punto pendiente tenemos y 2 2( x 1) L : y
2x . Luego la ecuación de la recta L 1 perpendicular a L y que pasa
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MATEMATICA I 1
1
3
2
2
2
por (1,2) es L 1: y 2 x 1 resolviendo tenemos L 1: y x
que es la recta
perpendicular a L.
APLICACIONES DE FUNCION LINEAL
p
p
Pendiente negativa
Pendiente positiva q
q
Demanda Lineal
Oferta Lineal
p
n
(m,n) Punto de equilibrio
m
q
m es cantidad de equilibrio n es precio de equilibrio.
Ejemplo 1 Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio de $ 40 por unidad y de 300 unid. A un precio de $ 35 por unidad. Hallar la ecuación de demanda, si dicha ecuación es lineal.
Solución. Según los datos, es claro que q = 150 y p = 40; también q = 300 y p = 35. Por el hecho que es lineal, el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente, de modo que podemos representar en un plano cartesiano de ejes q y p, los puntos 150, 40 y 300,35 , hallando así la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. Hallando la pendiente, tenemos que: 46
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m
35 40 300 150
1 30
, y tomando como punto de paso, cualquiera de ellos, digamos (40, 150)
tenemos la recta p
1 30
q
454 3
, que es la ecuación de demanda
, y tomando como punto de paso, cualquiera de ellos, digamos (40, 150) tenemos la recta p
1 30
q
454 3
, que es la ecuación de demanda
EJERCICIO RESUELTO a) (Ecuación de demanda). Suponga que los clientes demandaran 60 unidades de un producto cuando el precio es de $ 20 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $ 40 cada una. Hallar la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal. Hallar el precio por unidad cuando se requiere 35 unidades. Solución: Según los datos, es claro que q = 60 y p = 20; también q = 25 y p = 40. Por el hecho que es lineal, el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente, de modo que podemos representar en un plano cartesiano de ejes q y p, los puntos (60,20) y (25,40), hallando así la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. Hallando la pendiente, tenemos que: Así la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. Hallando la pendiente, tenemos que:
= − = = − − − − =
, y tomando como punto de paso, cualquiera de ellos, digamos (60,
20) tenemos la recta
, que es la ecuación de demanda. Para q = 35 el precio
debe ser $ 39.28
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APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a) Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: 3q 200 p 1800 0 y 3q 100 p 1800 0 , respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de unidades vendidas por periodo. 1.- Encuentre, algebraicamente, el precio y la cantidad de equilibrio Solución: Definamos el Sistema de Ecuaciones: 3q 200 p 1800 0 (1) 3q 100 p 1800 0 (2)
Resolviendo por el método de eliminación tenemos que p = 12 y q = 200 b) En un aula de clases el docente propone resolver el siguiente Sistema de Ecuaciones:
124 32 16 = 2 17 1415 = 10117 El estudiante Pablo del turno mañana de matemática I sostiene que el sistema no tiene solución, por lo que se pide resolver el ejercicio y confirmar o no lo mencionado por el estudiante. Metodología de solución a) Sacando el MCM a ambas ecuaciones las uniformizamos como una ecuación lineal propiamente dicha. b) Obtenemos un sistema de ecuaciones más simple y trabajable c) Resolver el sistema por cualquiera de los métodos.
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SEMANA 13 FUNCIÓN CUADRÀTICA FUNCIÓN CUADRÁTICA f es una función cuadrática si y sólo si puede escribirse en la forma donde a, b y c son constantes, con a 0 .
f ( x) ax
2
bx c ;
Representación gráfica de una función cuadrática. Su gráfica es una curva, llamada parábola, y es simétrica respecto a la recta vertical x h , llamada eje de simetría y con vértice V h, k . si a 0 ; y ax 2 bx c
si a 0 , y ax 2 bx c
la parábola se abre hacia arriba.
la parábola se abre hacia abajo.
y
y
(h;k)
k
k
(h;k)
h
Dom( f ) R ;
Ran ( f )
k ,
k valor mínimo de la función
h
x
Dom( f ) R ; Ran ( f )
x
, k
k valor máximo de la función
Coordenadas del vértice
b 2a , f
Las coordenadas del vértice son: V h , k
b 2a
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MATEMATICA I
Ejemplo 1 Determinar dominio, rango y gráfica de y f ( x ) 2 x 2 8 x 3 Solución: Primero
hallamos el vértice h
Como a 2, b 8 y c 3 , luego
b 2a
(8) 2(2)
2 y
2(2) 2 5(2) 3 1
f (2)
Entonces el vértice es: V (2,1) Como
a 2 0 , entonces la parábola se abre hacia arriba
Gráfica
y
3 Dom( f ) R Ran( f ) 1,
1
(2;1) 2
x
Ejemplo 2 Determinar dominio, rango y gráfica de y f ( x) 2 6 x 3x 2 Solución: Primero
hallamos el vértice a 3,
Como
b
f (1) 2 6(1) 3(1) 2
6
y
c 2,
luego
h=
b 2a
6 1 2(3)
y
5
Entonces el vértice es: V (1,5) Como
a 3 0 , entonces la parábola se abre hacia abajo
Gráfica
y Dom( f ) Ran ( f ) ; 5
(-1; 5)
1
5
x
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MATEMATICA I
APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÀTICA
Recuerda: U = IT - CT
IT = p.q
donde: p precio unitario. q cantidad.
b b , f el vértice de una parábola. 2a 2a
V (h, k) =
Ejemplo: El ingreso de una empresa algodonera se estima a través del tiempo de acuerdo a la siguiente función I 24t 2 288t 64 , donde I es el ingreso en miles de dólares y t es el tiempo medido en años. a) ¿En qué año se alcanzará el máximo ingreso y cuánto será
b) Grafique la función ingreso. Resolución: a)
h t
b
2a
288 2(24)
6
I
24t 2 288t 64
Luego: I (6) 24(6) 2 288(6) 64 I (6) 800
El máximo ingreso se alcanzará en el 6to año. El máximo ingreso será de 800 mil dólares.
b) I (6,800)
800
6
t
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APLICACIONES Ejemplo 1 La función de demanda de un fabricante de muebles es p f (q) 1400 7q , donde p es el precio (en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana). a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante. b) Determine el ingreso máximo. Solución: Lo que tenemos es la Demanda de los muebles y esto significa que estamos frente a una Función Lineal y en realidad lo que buscamos es determinar una Función Cuadrática según el tema tratado. Relacionemos la función dada como dato y la incógnita, que en este caso esta representada por el Ingreso y busquemos un camino hacia la función que verdaderamente necesitamos. I = p q = (1400 – 7q)q I = - 7q2 +1400q que es precisamente nuestra función cuadrática. Calculemos la dirección y el vértice de la parábola.
Por ser a negativo la parábola va para abajo Aplicando las fórmulas para h ; k tenemos: h = 100 y k = 70000
Luego el vértice es (100; 70000) Si la parábola va para abajo, significa que K máx = I máx = 70000 por ser el punto más alto de la gráfica para un nivel de producción de 100 unidades. Nota: Para graficar se sigue los pasos siguientes: a) Intersección en “q”: Se hace f (X) = 0 y se obtienen dos puntos que son por donde la gráfica corta al eje q.
b) Intersección en “I”: Se hace q = 0 y se obtiene el intercepto en eje I.
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MATEMATICA I
APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES. 1. En el problema siguiente, se proporciona una ecuación de oferta y una de demanda para un producto. Si “p “representa el precio por unidad en dólares y “q” el número
de unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio. 2 Oferta : p 2 q 20 ; demanda : p 200 2q
2. En el problema siguiente se representa el ingreso total en I T dólares y C T el costo total en dólares para un fabricante. si “q” representa tanto el número de unidades
producidas como el número de unidades vendidas. Encuentre la cantidad Equilibrio. Esquematice un diagrama de equilibrio
de
I T (q 10) 2 C T 3q 30 3. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 2q = 20
y p + 2q 2 - 200 = 0,
respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número
de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente. p + 4q 2 - 248 = 0 respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el nú mero de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente.
4. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 4q = 24 y
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MATEMATICA I
SEMANA 14 DESIGUALDADES EN EL PLANO CARTESIANO
Si en un plano P consideramos una recta L éste queda dividido en tres conjuntos: el conjunto de puntos que están en la recta misma, y los semiplanos p1 y p formados por los puntos 2
que están a uno y otro lado de la recta L . Consideremos la recta vertical x a .
a
Los puntos que están en la recta son aquellos que satisfacen su ecuación. Los puntos que están a la izquierda satisfacen la inecuación x a , y los puntos que están a la derecha satisfacen la inecuación x a .
EJEMPLO 1. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad y Primero graficamos a la recta y
x
x. y
x
La recta ha sido trazada en forma punteada ya que los puntos sobre ella no forman parte del conjunto solución de la desigualdad (semiplano abierto). Por tanto, la recta trazada es la frontera entre los puntos que satisfacen la desigualdad y los puntos que no la satisfacen. 54
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Para determinar el semiplano que representa gráficamente a la inecuación se toman dos puntos. Uno que esté por encima de la recta y el otro por debajo. El punto que satisface la desigualdad determina el semiplano que representa la solución. En nuestro caso tomamos los puntos ( 2; 2) y (3; 2) , entonces el punto que satisface la desigualdad es (3; 2) , por lo que la gráfica de y x es el semiplano bajo la recta fronteriza.
y
x
EJEMPLO 2. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad y Primero graficamos a la recta y
x 1
x 1.
Luego verificamos si las coordenadas del punto (0, 0) satisfacen la desigualdad. Como este es el caso, entonces el semiplano que representa gráficamente a la inecuación es el que contiene al origen.
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MATEMATICA I
Graficar en un mismo sistema de coordenadas el conjunto formado por las siguientes desigualdades: EJEMPLO 3
x y x 0 y 0
25
Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la intersección de las regiones correspondientes a cada una de ellas. Primero graficamos la desigualdad x 0 : Es decir: x 0 . Se observa que esta recta es coincidente con el eje Y del sistema. Su grafica es el semiplano ubicado a la derecha del eje Y (puesto que x 0 ) Segundo graficamos la desigualdad y 0 : Es decir: y 0 . Se observa que esta recta es coincidente con el eje X del sistema. Su grafica es el semiplano ubicado arriba del eje X (puesto que y 0 ). Tercero graficamos la desigualdad x y 25 : Es decir: x y 25 . Su grafica es el semiplano ubicado por debajo de la recta x y 25 (puesto que x y 25 ).
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MATEMATICA I
Y
25
25
X
EJEMPLO 4.
Indicar los vértices del polígono formado. Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la intersección de las regiones correspondientes a cada una de ellas. Es claro que la región que corresponde a x 0 es el semiplano ubicado a la derecha del eje Y , y la que corresponde a y 0 es el semiplano ubicado arriba del eje X . Graficaremos las rectas x 2 y 6 y x y 4 .
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EJEMPLO 5
<5 2 <14 ≥0 , ≥0 =5 1 2=14 2 SOLUCIÓN
A, B y C son los vértices del
polígono.
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MATEMATICA I
EJEMPLO 6
2 ≤8 23 ≤12 ≥0 , ≥0 2=8 → 1 SOLUCIÓN
23=12→ 2 A, B y C son los vértices
del polígono.
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SEMANA 15 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACION LINEAL
La teoría de la programación lineal fue desarrollada en la década 1940 - 1950 por matemáticos tales como John von Neumann, George Dantzig, T. Koopmans, etc. La programación lineal sirve para encontrar el valor máximo o el valor mínimo de una expresión lineal sujeta a un conjunto de desigualdades lineales. La aplicación más común abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible, esto es, en forma óptima. Tiene aplicaciones en la investigación de operaciones, ciencias administrativas, física y biología. Veamos el ejemplo de una fábrica que produce una gama de artículos y que dispone de una variedad de recursos (personal, materias primas, máquinas, créditos, etc.) cada uno de los cuales supone un costo a considerar. ¿Cuál debe ser la política a seguir si se quieren conseguir los máximos beneficios?
FORMA DE REPRESENTAR LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
FORMA GENERAL: a) FUNCIÓN OBJETIVO FO:
Max / min Z = C 1X1 + C2 X2 + ... + CJXJ + ... + CnCn
b) RESTRICCIONES ESTRUCTURALES
Re:
Donde:
.. .. ..,,<<==>> .. { . . ., < = > n = número de variables de decisión. m = número de restricciones, y n > m
aij = son coeficientes técnicos, que indican la proporción de un determinado recurso que requiere un producto, por cada unidad que se elabore de ella. Sirve para indicar también en algunos casos, una relación lógica de las variables.
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MATEMATICA I
b j= son las constantes, referidos al nivel de recursos disponibles. En algunos casos representan los valores que tienen las relaciones lógicas. C j= representan los costos o utilidades que generan cada una de las variables del modelo por unidad.
c) RESTRICCIONES DE “ NO NEGATIVIDAD (RNN) ”
XJ > 0 ; J = 1, 2, ..., n X2 +
+
X1
VARIABLES ESTRUCTURALES O DE DECISION: Son variables bases del modelo, que están directamente relacionadas con el problema real.
EJEMPLO N° 1: FO:
MIN Z = 2x1+ 15x2 + 10x3 + 5x4
Re:
2xxx4x 3x 2x x ≥15 ≥10 5x 3x x≥0 x x ≥20 y≥0 { 61
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MATEMATICA I
PROBLEMAS DE APLICACIÓN EJEMPLO 1 Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento cuesta $ 1,20 por unidad y el B $ 0.8 por unidad. ¿Cuántas unidades de cada alimento deben prepararse para minimizar el costo?. ¿Cuál es el costo mínimo? SOLUCIÓN Carbohidratos (x) Proteínas (y)
X Y
A 2 2
B 4 1
= 1,2 0,80 22 ≤16 → 1 4 ≤20 → 2 ≥0≥0 →→ 43 80 08 Sujeto a:
20 0 05 VERTICES:
8 , 0 0 , 20 4=20 22=16 4=20 =8 B:
=8 4=8 ⇒ =2 =4 =9, =1,=1,22 80, 8 0 6 4 0,8 2 =4,8 1.6 =6,4 í.
4, 2 62
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RESPUESTA: Deben comprarse 8 unidades de carbohidratos y ninguna unidad de proteínas para minimizar el costo. El costo mínimo será de 9,6 dólares. EJEMPLO 2 Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesita 1Kg de acero y 3 Kg de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se necesita 2kg de acero y 2kg de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a $200 y las de montaña a $150. ¿Cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?. ¿Cuál es el beneficio máximo?
SOLUCIÓN ACERO ALUMINIO A 1 3 B 2 2 Total 80 120
X : Bicicleta de paseo Y : Bicicleta de montaña U : Utilidad
=200 150 2 ≤80 → 1 32 ≤120 → 2 { ≥0≥0 →→ 43 400 800 600 400 AC04;0,400 B 2 = 80 202=80 32=120 2=80 32=120 2= 80 =30 2=40 20;30 =20 =200 4 0 150 0 =8000 =200 2 0150 3 0=8500 á =200 0 150 40 =6000 Máx
S. A.
VERTICES
B:
RESPUESTA:
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MATEMATICA I
Respuesta: Deben construirse 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña. La utilidad máxima es de $8 500.
EJEMPLO 3 Una empresa fabrica dos modelos de DVD: el modelo A y el modelo B. Se dispone de 50 kilogramos de caucho y de 80 horas de mano de obra. Para fabricar un DVD del modelo A se utiliza 1 kilogramo de caucho y 1 horas de trabajo, y para fabricar un DVD del modelo B se utiliza 1 kilogramo de caucho y 2 hora de trabajo. Si la venta le genera una utilidad 30 soles por cada modelo A y 40 soles por cada modelo B. ¿Cuántos DVD de cada tipo debe fabricar y vender para que la utilidad sea máxima?, ¿Cuál es la utilidad máxima?. Consideremos:
x : Número de DVD del modelo A y : Número de DVD del modelo B.
MODELO A
MODELO B
TOTAL
Cantidad de caucho
1x
1x
50 kg.
Horas de mano de obra
1x
2x
80 horas
U : Utilidad mensual.
La función objetivo, que se debe maximizar, es: U 30 x 40 y
x y 50 x 2 y 80 s .a . x 0 y 0
(1) (2) (3) (4)
A las restricciones (3) y (4) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que satisface simultáneamente las condiciones (1) a (4) se denomina región factible. Graficando las desigualdades e identificando la región factible se tiene: Y
50
D 40
A
C
B 50
80
X
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MATEMATICA I
Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía tiene un valor máximo (o mínimo) y se encuentra en uno de sus vértices. Para hallar este valor es suficiente evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y después elegir aquél en que la función objetivo resulte óptima. En nuestro caso, las coordenadas de los vértices de la región factibles son: A (0, 0)
B (50, 0)
C (20, 30)
D(0, 40)
Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto: U (0, 0) = 30 (0) + 40 (0) = 0 U (50, 0) = 30 (50) + 40(0) = 1500 U (90, 0) = 30 (20) + 40 (30) = 1800 U (0, 40) = 30 (0) + 40 (40) =1600 Por consiguiente U tiene un valor máximo en C , en donde: x 20 e y 30 . Se debe fabricar y vender 20 DVD del modelo A y 30 DVD del modelo B. La utilidad máxima es de de S/. 1 800.
EJEMPLO 4 Supongamos que una compañía fabrica dos tipos de artefactos, manuales y eléctricos. Cada uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres máquinas: A, B y C. Un artefacto manual requiere del empleo de la máquina A durante dos horas, de una hora en la máquina B y de una hora en la máquina C. Un artefacto eléctrico requiere de una hora en A, dos horas en B y una hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas disponibles por mes para el uso de las tres máquinas es 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y de $6 para los eléctricos. Si la compañía vende todos los artefactos que fabrica ¿cuántos artefactos de cada tipo se deben elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual? Un resumen de los datos se presenta en la siguiente tabla
A
B
A
Utilidad
Manual
2h
1h
1h
4
Eléctrica
1h
2h
1h
6
Horas disponibles
180
160
100
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MATEMATICA I
Consideremos x : Número de artefactos manuales que se fabrican en el mes. y : Número de artefactos eléctricos que se fabrican en el mes. U :
Utilidad mensual.
La función objetivo es:
Maximizar
: U 4x 6 y
2 x y 180 x 2 y 160 x y 100 x 0 y 0
(1) ( 2) (3) ( 4) (5)
A las restricciones (4) y (5) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que satisface simultáneamente las condiciones (1) a (5) se denomina región factible. Aunque existen una cantidad infinita de soluciones, se debe hallar la que maximice a la función de utilidad.
Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía tiene un valor máximo (o mínimo) y se puede encontrar este valor en un vértice. Esta 66
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MATEMATICA I
afirmación permite hallar soluciones óptimas, para lo cual es suficiente evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y después elegir aquél en que la función objetivo resulte óptima. En nuestro caso, tenemos A (40, 60)
B (80, 20)
C (90, 0)
D(0, 0) E (0, 80) .
Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto: U (40, 60) = 4 (40) + 6 (60) = 520 U (80, 20) = 4 (80) + 6 (20) = 440 U (90, 0) = 4 (90) + 6 (0) = 360 U (0, 0) = 4 (0) + 6 (0) = 0 U (0, 80) = 4 (0) + 6 (80) = 480. Por consiguiente U tiene un valor máximo de $520 en A , en donde x
40 e y
60 .
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MATEMATICA I
SEMANA 16 APLICACIONES 1.
Una compañía química diseña una planta para producir dos tipos de polímeros P1 y P2. La planta debe tener una capacidad de producción de al menos 100 unidades de P1 y 420 de P2 cada día. Existen dos posibles diseños para las principales cámaras de reacción que se incluirán en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta $600 000 y es capaz de producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2 por día, el tipo B es un diseño más económico, cuesta $300 000 y es capaz de producir 4 unidades de P1 y 30 unidades de P2 por día. Debido a los costos de operación es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo de construcción y aún así satisfacer el programa de producción requerido? (Suponga que existe un costo mínimo).
2. Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos artículos: camiones y camionetas con base en la información siguiente:
Máquina A Máquina B Máquina C Camión 2h 3h 5h Camioneta 1h 1h 1h Las horas que los empleados tienen disponibles por semana son: para operación de la máquina A, 80 horas, para la B 50 horas, para el acabado 70 horas. Si las utilidades en cada camión y cada camioneta son de $7 y $2 respectivamente. ¿Cuántos juguetes de cada uno deben producirse por semana con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cuál es la utilidad máxima? 3. La empresa de transporte “Viaje Feliz”, desea vender a lo más 260 pasajes de Lima a Tumbes, , de dos clases: clase VIP y clase económica. La ganancia correspondiente son de 60 y 40 soles respectivamente. Además la empresa decide vender por lo menos 120 pasajes de la clase económica. Se pide: a) La cantidad de pasajes de cada clase para que las ganancias sean máximas. b) Cuál es la ganancia máxima. 4. Si “X” es el número de unidades del producto A; “Y” el número de unidades del producto B, el administrador formula el modelo utilizando la técnica de programación lineal (P.L.): G = 500x + 200y s.a.: 2x + 3y > 12 2x + y < 8 x > 0; y > 0 68
