Índice Introducción……….…………………………….…….........2 El Interés Simple……………………………………………3 Ventajas Ventajas y desventajas del Interés Simple………………..4 Ejercicios de Aplicación de Interés Simple………………. El Interés !ompuesto………….……………………………" Ventajas Ventajas y #esventajas del Interés !ompuesto………….$% Ejercicios de Aplicación de Interés !ompuesto………….$$ &i'lio(ra)*a…………………………………………………$
Introducción Etimolo(*a+ Del Del Latí Latín n interesse (“importar”), el término interés interés tiene tiene un uso en las finanzas finanzas vinculado vinculado al valor , la utilidad y la ganancia. Por decirlo de otra forma, ace referencia al lucro !ue produce el capital capital,, el cu"l puede conocerse a través de una serie de c"lculos y operaciones y representa uno de los mayores elementos de la economía de una organizaci#n o empresa. $n otras pala%ras, el interés es un índice !ue, a través de un porcenta&e, permite e'presar la renta%ilidad de los aorros o el costo de un crédito crédito.. n plazo fi&o de *.*** +oles con un interés anual del * implica !ue, al ca%o de un a-o, el aorrista co%rar" .*** soles en concepto de intereses.
1 Joe Joe Alex Alexan ande derr Cerp Cerpa a Espi Espina nall N° 61 61
Por otra parte, el interés de un crédito es lo !ue de%e pagar la persona !ue solicita el préstamo a una entidad financiera en virtud del tiempo transcurrido desde la ad!uisici#n del mismo y teniendo en cuenta las condiciones pactadas en el contrato. l solicitar un crédito de /.*** soles con un interés del 0*, el su&eto tendr" !ue pagar .*** soles de interés, por lo !ue devolver" la suma de 1.*** soles.
E, I-E/ES SI01,E !oncepto+ $n cuanto a la definici#n de interés simple, se trata de los intereses !ue produce una inversi#n en el tiempo gracias al capital inicial. Por lo tanto, el interés simple se calcula en %ase al capital principal, la tasa de interés y el periodo (el tiempo de la inversi#n). Lo importante a la ora de considerar al interés simple es !ue los intereses producidos por el capital en un determinado periodo no se acumulan al mismo para generar los intereses correspondientes al siguiente periodo.
2 Joe Alexander Cerpa Espinal N° 61
$sto !uiere decir !ue el interés simple !ue genere el capital invertido ser" igual en todos los periodos de duraci#n de la inversi#n, siempre !ue la tasa y el plazo no varíen. $l concepto de interés tiene !ue ver con el precio del dinero. +i alguien pide un préstamo de%e pagar un cierto interés por ese dinero. 2 si alguien deposita dinero en un %anco, el %anco de%e pagar un cierto interés por ese dinero. 3omponentes del préstamo o dep#sito a interés $n un negocio de préstamo o dep#sito a interés aparecen4 • •
• •
$l capital, !ue es el monto de dinero inicial, prestado o depositado. La tasa, !ue es la cantidad de dinero !ue se paga o se co%ra por cada ** en concepto de interés5 tam%ién llamada tanto por ciento. $l tiempo, durante el cual el dinero se encuentra prestado o depositado y genera intereses. $l interés, !ue es la cantidad de dinero co%rado o pagado por el uso del capital durante todo el tiempo.
$l interés, como precio por el uso del dinero, se puede presentar como interés simple o como interés compuesto. $l interés simple se calcula y se paga so%re un capital inicial !ue permanece invaria%le. $l interés o%tenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Dico interés no se reinvierte y cada vez se calcula so%re la misma %ase. $n relaci#n a un préstamo o un dep#sito mantenido durante un plazo a una misma tasa de interés simple, los c"lculos de cual!uier de esos elementos se realizan mediante una regla de tres simple. $s decir, si conocemos tres de estos cuatro elementos podemos calcular el cuarto4 $l interés (6) !ue produce un capital es directamente proporcional al capital inicial (3), al tiempo (t), y a la tasa de interés (i)4 $sto se presenta %a&o la f#rmula4 I ! i t Donde 6 est" e'presada en tanto por uno y 7 est" e'presada en a-os, meses o días.
Ventajas y desventajas del Interés Simple #esventajas • • •
Su aplicación en el mundo fnanciero es limitado Desconoce el valor del dinero en el tiempo No capitaliza los intereses no paados !" por lo tanto" estos pierden poder ad#uisitivo$
Ventajas % Joe Alexander Cerpa Espinal N° 61
•
Cu an doa dq ui e r e su nac e r t i fi c a c i ó nd ea ho r r ooapl a z ofi j oe nu nb an c o,o bv i a me nt et ev a na c al c ul arl osi nt er es esai nt er éss i mpl e. Noha yCapi t al i z ac i ónd el osI nt er es es
Con interés simple, el capital (o deuda) inicial, sobre la cual se calculan los intereses, si no se toca, siempre será el mismo
Ejercicios de aplicación de Interés Simple+ Ejercicio - $ 3alcular a cu"nto asciende el interés simple producido por un capital de 0/.*** pesos invertido durante 8 a-os a una tasa del 1 anual.
/esolución+ plicamos la f#rmula
& Joe Alexander Cerpa Espinal N° 61
pues la tasa se aplica por a5os. 9ue es igual a I ! 6 i 6 t $n la cual se a de e'presar el 1 en tanto por uno, y se o%tiene *,*1
I 2.%%% 6 %7%8 6 4 8.%%% /espuesta una tasa de interés simple de 1 anual, al ca%o de 8 a-os los : 0/.*** an ganado : 1.*** en intereses.
Ejercicio - 2 3alcular el interés simple producido por ;*.*** pesos durante <* días a una tasa de interés anual del / .
/esolución+ plicamos la f#rmula
1ues la tasa se aplica por d*as. 9ue es igual a I ! 6 i 6 t $n la cual se a de e'presar el / en tanto por uno, y se o%tiene *,*/
/espuesta $l interés simple producido al ca%o de <* días es de ;1<,=1 pesos
Ejercicio - 3 l ca%o de un a-o, un %anco a ingresado en una cuenta de aorro, en concepto de intereses, <>* pesos. La tasa de interés de una cuenta de aorro es del 0 . ?3u"l es el saldo medio (capital) de dica cuenta en ese a-o@
/esolución+ plicamos la f#rmula
1ues la tasa se aplica por a5os. ' Joe Alexander Cerpa Espinal N° 61
9ue es igual a I ! 6 i 6 t $n la cual se a de e'presar el 0 en tanto por uno, y se o%tiene *,*0 A#tese !ue a!uí conocemos el interés y desconocemos el capital. Beemplazamos los valores4
#espejamos !+
/espuesta $l saldo medio (capital) anual de dica cuenta fue de 8=./** pesos.
Ejercicio - 4 Por un préstamo de 0*.*** pesos se paga al ca%o de un a-o 00.8** pesos. ?3u"l es la tasa de interés co%rada@
/esolución+ 3omo conocemos el capital inicial y el capital final (sumados los intereses) podemos calcular el monto de los intereses, aciendo la resta. 00.8** C 0*.*** 0.8** pesos son los intereses co%rados
plicamos la f#rmula
1ues la tasa se aplica por a5os. 9ue es igual a I ! 6 i 6 t
Despe&amos i+
Becordemos !ue i es la tasa e'presada en tanto por uno cien para o%tener la tasa en tanto por ciento4 *,0 E ** 0
/espuesta 6 Joe Alexander Cerpa Espinal N° 61
, por lo cual de%emos multiplicar por
La tasa de interés anual es del 0 .
Ejercicio - n capital de ;**.*** pesos invertido a una tasa de interés del = durante un cierto tiempo, a supuesto unos intereses de 0.*** pesos. ?3u"nto tiempo a estado invertido@
/esolución+ +e su%entiende !ue la tasa es = anual, pero no sa%emos el tiempo durante el cual a estado invertido el capital. Podemos usar la f#rmula
Suponiendo 9ue la tasa :anual; se
3alculamos t
/espuesta $l tiempo durante el cual el capital a estado invertido es de *,/ a-o (medio a-o)5 es decir, 1 meses. 7am%ién pudimos calcular pensando en !ue la tasa anual de = se aplic# durante algunos meses4
Beemplazamos los valores4
3alculamos
ora despe&amos t
( Joe Alexander Cerpa Espinal N° 61
/espuesta $l tiempo durante el cual el capital a estado invertido es 1 meses.
E, I-E/ES !=01>ES= !oncepto $specíficamente, el interés compuesto es el %eneficio !ue se o%tiene o el coste !ue se paga, cuando al capital inicial se le suman, período a período, los intereses !ue se van produciendo. De este modo, al li!uidar los intereses de cada período, el capital %ase para su li!uidaci#n, consta del capital inicial m"s los intereses de los períodos anteriores !ue ya se ayan generado. sí !ue al aplicar una tasa de interés compuesto, los intereses !ue se producen se agregan al capital y desde el segundo período, estos intereses !ue ya se an perci%ido, empiezan a generar sus propios intereses.
) Joe Alexander Cerpa Espinal N° 61
$n otras pala%ras, el interés compuesto es a!uel !ue se aplica, en cada período, so%re el capital inicial y so%re los intereses !ue se van generando. $s decir, cuando se a%onan intereses so%re intereses, o, lo !ue es lo mismo, cuando los intereses generados en cada período se acumulan so%re la suma del capital inicial y de los intereses !ue se an generado en el período o períodos anteriores. Por tanto, la diferencia entre el interés compuesto y el interés simple es !ue cuando se invierte a interés compuesto, los intereses devengados son reinvertidos para o%tener m"s intereses en los siguientes períodos, mientras !ue la oportunidad de o%tener intereses so%re intereses no e'iste en una inversi#n !ue produce s#lo interés simple. +uele indicarse !ue cuando el plazo de la operaci#n es mayor de un a-o se aplica interés compuesto, mientras !ue en plazos inferiores a un a-o corresponde interés simple. $sta afirmaci#n comFn no siempre es correcta5 y en particular, en el caso de los dep#sitos a plazo %ancarios, aun!ue el contrato esta%lezca la li!uidaci#n de intereses al vencimiento y éste se mayor de un a-o, la pr"ctica %ancaria a%itual es !ue la entidad sume el tipo de interés nominal de cada a-o para o%tener el tipo de interés a vencimiento so%re el cual se pagar"n los intereses correspondientes.
Ventajas y #esventajas de Interés !ompuesto Ventajas •
•
$l interés compuesto a%re las puertas a las fuentes de %eneficios para una empresa. $l interés compuesto es un medio para el crecimiento del %eneficio si se usa con prudencia. Gunciona como un multiplicador de retorno, y con cada a-o !ue pasa, el interés !ue los inversores reci%an crece por!ue ganan intereses so%re intereses. 7e permite disfrutar de una mayor renta%ilidad mediante el pago de intereses so%re el monto de capital m"s los intereses !ue ganaste previamente.
* Joe Alexander Cerpa Espinal N° 61
#esventajas • •
•
$s atractiva s#lo cuando se est" en el lado de ingresos de la %alanza financiera. 6nterés compuesto y su funci#n e'ponencial, an llevado a ese temido co!ue con la muralla donde la velocidad de los intereses crece muco m"s r"pido de lo !ue la economía puede producir . La maldici#n de la deuda y de la curva e'ponencial del interés compuesto, es !ue a medida !ue los niveles generales de endeudamiento se duplican cada pocos a-os, cada vez es m"s difícil poder revertir esa curva con crecimiento y desarrollo econ#mico.
Ejercicios de Aplicación del Interés !ompuesto Ejercicio - $ veriguar en !ué se convierte un capital de .0**.*** pesos al ca%o de / a-os, y a una tasa de interés compuesto anual del = .
/esolución+ plicando la f#rmula Beemplazamos con los valores conocidos4
1+ Joe Alexander Cerpa Espinal N° 61
$n tasa de interés compuesto 3apital inicial 7iempo en a-os :t;
/espuesta+ $l capital final es de .>1;.<8 pesos.
Ejercicio - 2 n cierto capital invertido durante > a-os a una tasa de interés compuesto anual del * se a convertido en ./=;.<8/ pesos. 3alcular el capital inicial, sa%iendo !ue los intereses se an pagado semestralmente.
/esolución+ plicando la f#rmula Beemplazamos con los valores conocidos4 3apital final :!); $.?3."4
$n tasa de interés compuesto 7iempo en a-os :t; @
Despe&ando 34
/espuesta+ Bedondeando la cifra resultante, el capital inicial fue de =**.*** pesos.
Ejercicio - 3 11 Joe Alexander Cerpa Espinal N° 61
3alcular la tasa de interés compuesto anual !ue se a aplicado a un capital de ./**.*** pesos para !ue al ca%o de 8 a-os se aya convertido en 0.;1*.0>< pesos.
/esolución+ plicando la f#rmula Beemplazamos los valores conocidos4 3apital inicial :!; $.%%.%%% 3apital final :!); 2.38%.2@" 7iempo en a-os :t; 4 Beemplazamos con los valores conocidos4
Despe&amos :$ i;4
Bedondeamos a *,0 y multiplicamos por ** (recuerda !ue i siempre se e'presa como
%7$2 6 $%% $2 B /espuesta+ La tasa de interés compuesto anual a sido de 0 .
Ejercicio - 4 Digamos !ue pretendemos tener :0.***.*** dentro de / a-os. +i el %anco paga una tasa de * anual ?cu"nto necesitamos como capital inicial@ plicando la f#rmula Beemplazamos con los valores conocidos4
12 Joe Alexander Cerpa Espinal N° 61
3apital final :!); 2.%%%.%%%
7asa de interés compuesto 7iempo en a-os :t; Beemplazamos con los valores conocidos4
/espuesta+ n capital inicial de : .08.=80,18 crecer" asta : 0.***.*** si lo invertimos al * durante / a-os.
=tro ejemplo $n general, si conocemos el capital final o valor futuro y !ueremos conocer el capital inicial o valor presente4 3omo sa%emos !ue si multiplicamos un valor presente ( 3 ) por ( H i) t nos da el valor futuro o capital final(3f), podemos dividir directamente el capital final (3f) por la tasa de interés compuesta ( H i)t para o%tener el valor presente o actual.
Veamos un caso+ ?3u"nto ay !ue invertir aora para tener :*.***.*** dentro de * a-os al = de interés@ partir de la f#rmula
Beemplazamos por los valores conocidos
1% Joe Alexander Cerpa Espinal N° 61
/espuesta+ $ntonces, : 8.1;.<=< invertido al = durante * a-os dan :*.***.***.
&i'lio(ra)*a 1& Joe Alexander Cerpa Espinal N° 61
1.
Díaz, A. (2007). Matemáticas Financieras. (4ª Ed.) México.: McGraw Hill.
2.
Villalobo, !oé "#i. $Matemáticas Financieras$. 2da %d. México: &%aro' Ed#caci', 200.
3.
*+D-E/. Comisión Nacional para la Protección y Defensa de los Usuarios de Servicios Financieros. *o'#lado A1oo d% 200
4.
%cor 3a%3ica. 5'%ré co36#%o. Cálculo del interéscompuesto 6:88www.%cor3a%3aica.cl8co3%rcial8co36#%o.3
5.
9%d d% *%'ro co3#'iario d% A6r%'diza%. Matemáticas Básicas. Carreras en lnea. 6:88www.cca.or1.3x8dd8c#ro83a%3aica8c%rrada8;i'a'ci%ro8%3a2<=.3 *o'#l ado a1oo 200
8.
>aca, G#ill%r3o. !as matemáticas Financieras y los Sistemas. México:"5M-A,200.
1' Joe Alexander Cerpa Espinal N° 61
