2
Matemática
Vectores
3
ÍNDICE
1. Vectores.................................................................. 6 2. Resta de vectores................................................. 12 Ejercicios 2-1 ........................................................ 15 Hoja de repuestas 2-1.......................................... 17 3. Vectores, multiplicación..................................... 19 Ejercicios 3-1 ........................................................ 24 Hoja de respuestas 3-1 ........................................ 26 Ejercicios 3-2 ........................................................ 27 Hoja de respuestas 3-2 ........................................ 30 4. Sistema de coordenadas de un vector .............. 33 Ejercicios 4-1 ........................................................ 37 Hoja de respuestas 4-1 ........................................ 40 Ejercicios4-2 ......................................................... 42 Hoja de respuestas 4-2 ........................................ 45 5. Vectores, módulo................................................ 48 6. Distancia entre dos puntos. Ejercicios 6-1........................................................ 52 Hoja de repuestas 6-1.......................................... 54 7. Punto medio de un segmento ........................... 56 Ejercicios 7-1 ........................................................ 59 Hoja de respuestas 7-1 ........................................ 61 8. Producto Escalar ................................................. 66 Ejercicios 8-1 ........................................................ 72 4
Hoja de respuestas 8-1 ....... ............. ............. ............. ............. ............. ........ 74 Ejercicios Ejercic ios 8-2 ....... ............. ............. .............. .............. .............. ............. ............. ........... 76 Hoja de respuestas 8-2 ....... ............. ............. ............. ............. ............. ........ 78 9- Vectores. Producto vectorial............................ 79 Ejercicios Ejercic ios 9-1 ....... ............. ............. .............. .............. .............. ............. ............. ........... 89 Hoja de respuestas 9-1 ....... ............. ............. ............. ............. ............. ........ 91 10. Coor Coordenad denadas as cartes cartesianas ianas ....... ............. ............. ............. ............. ......... 93
1. VECTORES
Definición :
Un vector es un segmento orientado en el espacio o en el lano.
Se caracteriza por tener: Origen: es el punto desde donde parte el vector. Extremo: es el punto donde culmina el vector.
Por ejemplo: (origen) o
p (extremo)
•
Módulo: Es la medida del segmento representado
por el vector. Por ser una medida, siempre es una magnitud positiva. Dirección: la de la recta en que se encuentra y sus
paralelas. Sentido: El que indica la punta de la flecha.
6
La recta que une el punto P con el origen O del sistema de coordenadas se llama vector OP (
) y con contien tienee to toda la la in inform formaació ción ace acerca rca del del
módulo, el sentido y la dirección del vector.
Representación cartesiana ortogonal
La representación de vectores en el plano se realiza utilizando ejes cartesianos. La misma es una flecha que une el origen de coordenadas con el punto(x p, y p ). La primera componente es x y la segunda es y.
7
La forma general de su representación es la siguiente:
r
Su expresión es
P =
(x p, y p )
Ejemplo:
La representación del vector A = (-1, 5) es un segmento orientado que une el origen de coordenadas, o sea el punto (0 , 0), con el punto (–1, 5). El origen del vector es el punto (0, 0) y el extremo es el punto (–1, 5).
8
A = (-1,
Y
5)
5
-1
X
SUMA DE VECTORES Forma gráfica ▣
Ubicamos el vector
de forma tal que su
origen coincida con el extremo del vector . El vector resultante es el determinado desde el origen del vector tremo del vector
.
Ejemplo:
9
hasta el ex-
Ejemplo: Y
5
A
2
B -2
-1
1
10
Forma analítica ▣
La forma analítica de la suma de vectores es sumar componente a componente. a
=
( x1 , y1 )
=
( x 2 , y 2 )
r
r
b
r r
a +b
=
( x1 + x 2 , y1
+
y 2 )
En el ejemplo anterior:
a
=
(1,3)
=
(−2,2)
r
r
b
r
a +b r
=
(1 + (−2),3 + 2) = (−1,5)
11
2. RESTA DE VECTORES
Definición: Para restar dos vec-
tores, con el mismo origen, se suma al primero el opuesto del segundo. En símbolos: a
−
b
=
a
+ −
(a1 ; a 2 ) − a = −(a1 ; a 2 ) = (− a1 ; a 2 ) El opuesto de a
r
=
b
es el vector
r
Ejemplo 1 ●
Dados los vectores a
=
r
a+ r
−
b
=
(4;6)
y b
=
(4;8) + [− (2;3)]
(2;3) ; hallar su resta. -Reemplazamos los valores de los vectores
-Hallamos el opuesto del (4;8) + (− 2;−3) vector b = (4 − 2;8 − 3) -Sumamos los vectores, componente a componente = (2;5 ) =
12
Gráficamente
8 r
a
5 r r
a
−
b
-2 −
4
2
r
b
x
-3
Ejemplo 2:
Dados
r
a
=
(4; 4 ) −
r
y
b
calcular su diferencia.
13
=
(5;2 ) , representarlos y
r r
a
+ −
b
- Reemplazamos los valores de los (4;−4) + [− (5;2 )] vectores = (4;−4) + (− 5;−2 ) - Hallamos el opuesto del =
= =
( 4 − 5;−4 − 2)
vector b
- Sumamos los vectores, componente a componente
(− 1;−6)
Gráficamente y
2 r
b
-5 −
b
4
-1
-2
r
a
-
-6
14
5
x
EJERCICIOS 2-1
!
Resolvé en forma analítica:
E JERCICIO 1
(4,5) + (-2,1)
E JERCICIO 2
(1,0)+(0,1)
E JERCICIO 3
(1,1)+(5,1)+(-1,2)
E JERCICIO 4
(2,1) - (2,2) 15
E JERCICIO 5 (2,3) + (3,3) – (5,6)
16
HOJA DE REPUESTAS 2-1
E JERCICIO 1 (4,5) + (-2,1) = (4+(-2),5+1) = (4-2,6) = (2,6)
E JERCICIO 2 (1,0)+(0,1) = (1+0,0+1) = (1,1)
E JERCICIO 3: (1,1)+(5,1)+(-1,2) = (1+5+(-1),1+1+2) = (5,4)
E JERCICIO 4: (2,1) - (2,2) = (2-2,1-2) = (0,-1)
17
E JERCICIO 5: (2,3) + (3,3) – (5,6) = (2+3-5,3+3-6) = (0,0)
18
3. VECTORES, MULTIPLICACIÓN
MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
Trabajando con vectores es usual llamar "escalar" a los números que no forman parte de los componentes de los vectores
ESCALAR NATURAL
r
Se llama producto de un vector
u
por un
escalar natural n a la suma de n vectores iguar
les a
u
. r
u
r
.n =
u
r
+
u
r
+ .... +
n veces
19
u
#
Gráficamente:
r
u
r
.3=
u
r
r
+u +u r
u
r
r
u
u r
3.u r
u
#
r
Analíticamente: Si
u
r
= (x, y),
u
y).n = (n. x ,n. y) r
Ejemplo : sea
u
r
= (1, 3), obtené 3.
u
3. (1, 3) = (3, 9) y 9
3
1
3
x
20
.n = (x,
ESCALAR ENTERO NEGATIVO
Se llama producto de un vector
r
u
por un
número negativo (-n) al opuesto del producto de n por
r
u
. r
u
r
.(-n) = -( u .n)
Ejemplo: r
u
r
. (-4) = -( u .4) r
u r
u r
u
r
u
-4.
r
u
21
r
u
ESCALAR
RACIONAL
Se llama producto de un vector mero racional
m
r
u
por el nú-
r
a otro vector
v
tal que, el pro-
n
r
ducto de
v
por
n
sea igual al vector
m
m
m
r
. u = m. (
n
n
Ejemplo:
5 3
1 . u = 5. .u 3 r
r
Primero se halla
1
r
u
3
22
r
. u )
r
u
.
r
u
r
Dividimos el vector
u
lo en
tres partes iguales. 1
Cada una representa 1
r
u
3
.
r
.u
5
3
Luego, para obtener 5 3
r
u
3
r
.
u
debemos multiplicarlo por 5.
23
EJERCICIOS 3-1
E JERCICIO 1 Obtené grafica y analíticamente los si-
$
guientes productos sabiendo que: u
r
= (2,1) y v = (1,−2) r
a)
3.u
b)
2.v + 3u
r
r
r
E JERCICIO 2 $
Hallá el valor de expresiones
a)
2(5, k ) = (10,14)
1 10 b) (2,3k ) = , 4 2 3 1
24
k
en las siguientes
E JERCICIO 3 $
Obtené los valores de siguientes expresiones
a ) x ( 2, z )
=
b) z ( 21, z )
(2,8)
=
(42, x )
25
x
y de
z
para las
HOJA DE RESPUESTAS 3-1
E JERCICIO 1 a ) (6,3) b) (8 ,-1)
E JERCICIO 2 a ) k = 7 b) k =
40 9
E JERCICIO 3 a ) x
=
1 ∧ z = 8
b) z = 2 ∧ x
=
4
26
EJERCICIOS 3-2
E JERCICIO 1
Dados los vectores, w
=
1 2
i + 3 j; x
2 j; u
= −
3i + j; v
= −
=
2i − 5 j
realizá las operaciones indicadas a- 3v
=
b- ( −2) w
c-
1 2
x
−
=
2u
=
E JERCICIO 2 !
Teniendo en cuenta los vectores del ejercicio anterior representá gráficamente el resultado de cada operación. 27
a- 2 x b-
v
+
−
u
=
(−3) w
=
E JERCICIO 3 En el trapecio abcd !
ab
=
(0;5)
y dc
=
Calculá la base media del trapecio.
b
a
c
d E JERCICIO 4 !
a-
Determiná los vectores u y v y calculá: a
= −u
+
1
v
3
28
(1;5)
1
b- b = − u − v 2
E JERCICIO 5 Si a = xi + 9 j
y
b = 2i − 3 j
2 Hallá x, realizando 2a − b = ;−1 6 3 r
!
29
1
r
HOJA DE RESPUESTAS 3-2
E JERCICIO 1 a- 6i − 15 j b-
−
i − 6 j
c- 6i − 3 j
E JERCICIO 2 ab-
−
7 2
3i
−
3 j
i + 4 j
30
E JERCICIO 3
1 La base media del trapecio es ;5 2
E JERCICIO 4 a-
a
10 4 = − ;− 3 3
b-
b
1 = − ;−7 2
31
E JERCICIO 5
x
1 =
2
32
4. SISTEMA DE COORDENADAS DE UN VECTOR
Un vector se describe mediante un par ordenado de números llamados componentes del vector. La primera componente es la horizontal (o abscisa del vector), y la segunda, la vertical (u ordenada del vector).
E JEMPLO 1
r
a
=
(2 ;
4)
Componente vertical, ordenadas Componente horizontal, abscisas ordenadas
4
2
abscisas
33
E JEMPLO 2 r
b
=
(
1
−
;
2)
Componente vertical, ordenadas Componente horizontal, abscisas
ordenadas
2 x abscisas
-1
¿Cómo hallar las componentes de un vector cuando se conocen las coordenadas de su origen y su extremo?
34
3
ab
extremo
x
1
-6
•
-2
Las componentes del vector
origen
ab
se calculan res-
tando a las coordenadas del extremo, las coordenadas del origen. Dados ab
$
=
a
(b
1
−
=
(a
1
a1 ; b2
; a2 −
a2
) y b (b ) =
En nuestro ejemplo
35
1
; b2
) tenemos
a
=
ab
(1 ;
−
2
)
y
b
=
(− 6
(− 6 − 1;3 + 2) = (− 7 ; 5 ) =
36
) entonces
; 3
EJERCICIOS 4-1
E JERCICIO 1
Ubicá los siguientes vectores en ejes carte-
$
sianos r
a
=
(3 ;
5)
−
r
b
=
r
c
=
( (
5
;
7)
1
;
4)
−
−
−
r
d
=
(4 ;
6)
E JERCICIO 2 $
Completá el siguiente cuadro calculando las componentes del vector
37
Origen del
Extremo
vector
del vector
(2;5)
(3;-4)
(-6;-1)
(2;-2)
(7;-10)
(-5;1)
Componentes del vector
E JERCICIO 3
Los puntos a
=
(
1
−
;
−
4); b
=
(3 ; 1);
c
=
(
2
−
; 5) son los
vértices de un triángulo. a) Graficalos b) Determiná las componentes de
ab, bc, ca
.
E JERCICIO 4 $
Determiná las componentes de los siguientes vectores
38
39
HOJA DE RESPUESTAS 4-1
E JERCICIO 1
40
E JERCICIO 2 Origen del
Extremo del
Componentes del
vector
vector
(2;5)
(3;-4)
(1; -9)
(-6;-1)
(2;-2)
(8; -1)
(7;-10)
(-5;1)
(-12; 11)
vector
E JERCICIO 3 b)
ab
=
( 4 ; 5)
bc
=
( 5 ; 4)
ca
=
( 1 ; 9)
−
−
E JERCICIO 4
a c e
=
=
=
(5 ; 5); b
(5 ;
−
3); d
=
=
( 3 ; 4); f −
=
(5 ; 0);
( 5 ; 3); −
−
(0 ; 2)
41
EJERCICIOS 4-2
E JERCICIO 1 !
Representá el triángulo ABC en un sistema de coordenadas cartesianas. A = ( 3 ; 0 ) ; B = ( 2 ; 3 ) ; C = ( 1 ; 2 )
E JERCICIO 2 !
Representá la figura formada por la unión de los siguientes puntos:
A = (3 ;1) ; B = (1 ; 3) ; C = (3 ; 3) ; D = (5 ; 6) ; E = (7 ; 3) ; F = (9 ; 3); G = (7 ; 1)
E JERCICIO 3 !
Tres personas A, B y C salen a caminar desde un mismo punto. A camina 4 Km. hacia el norte y 2 Km. hacia el oeste, B 42
camina 3 Km. hacia el este y 1 Km. hacia el sur y C camina 2 Km. hacia el sur y 1 Km. hacia el oeste. Ubicá los puntos a los que llegarán A, B y C. Escribí sus coordenadas considerando que empiezan a caminar desde el punto (0 ; 0)
E JERCICIO 4 !
Dadas las coordenadas de tres vértices de un rectángulo, encontrá las coordenadas del cuarto vértice:
a-
A = ( 0 ; 0 ); B = (-4 ; 0 ); C = ( 0 ; 2 )
b-
A = ( 1 ; -3 ); B = (1 ; 5); C = ( 4 ; 5 )
E JERCICIO 5 !
Sean A = (0;0) y B = (6;0) los extremos de uno de los catetos de un triángulo rectángulo. Si la altura del triángulo es de 4 cm: 43
a-
¿Cuántas soluciones podés encontrar?
b-
¿Cuáles son las coordenadas del tercer vértice?
44
HOJA DE RESPUESTAS 4-2
E JERCICIO 1
B C
45
E JERCICIO 2
D
B E
C
A
G
46
F
E JERCICIO 3
Α = (−2 ; 4 ) •
• Β = ( 3 ; −1 ) • C = ( -1 ; -2 )
E JERCICIO 4 a-
D = ( -4 ; 2 )
b-
D = ( 4 ; -3 )
E JERCICIO 5 a-
Hay cuatro soluciones posibles.
b-
Las coordenadas son: ( 0 ; 4 ); ( 6 ; 4 ); ( 0 ; -4 ); ( 6 ; -4 ) 47
5. VECTORES, MÓDULO
Módulo o intensidad de un vector: Es la longitud del segmento que define el vector.
En símbolos: a
=
(a x ; a y ) es
a
=
a x
2
+
a y
2
Para hallar el módulo de un vector utilizamos el teorema de Pitágoras aplicado a sus componentes.
Teorema de Pitágoras El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
h2
h
=
=
c1
2
c1
2
2
+
c 2 despejando h
+
c2
2
48
E JEMPLO 1
Determiná el módulo del vector
• a
a
=
=
(3 ;
4)
(3 ; 4) 2
=
3
=
9 + 16
=
a
+
4
2
5
Gráficamente:
5
El mismo método se utiliza para calcular la distancia de dos puntos cualesquiera en el plano.
49
E JEMPLO 2 $
Determiná el perímetro del triángulo cuyos vértices son a=(2 ; 3), b=(4 ; 1) y c= (6;5)
Primer paso $
Graficamos el triángulo
50
Segundo paso $
Determinamos el módulo de los vectores ab,
ab
( x 2
=
( 4 − 2) 2
=
4 +1
−
+
( y 2
−
+
( 2 − 3) 2
+
(5 − 2 ) 2
+
(3 − 5) 2
y1 ) 2
2,23
=
( 6 − 4) 2
=
4+9
=
ca
x1 ) 2
=
=
bc
bc y ca
3,6
=
( 2 − 6) 2
=
16 + 4
=
20
=
4,47
Tercer paso: $
Calculamos el perímetro del triángulo
P = ab + bc + ca P = 2,23 + 3,6 + 4,47 P = 10,3
51
6. DISTANCIA ENTRE DOS PUN TOS. EJERCICIOS 6-1
E JERCICIO 1: Sea P =(2,5) y Q =(-4,-3) !
Calculá la distancia entre los puntos P y Q.
E JERCICIO 2: Sea A =(4,-2) y B =(1,2) !
Calculá la distancia entre los puntos A y B.
E JERCICIO 3:
1 1 1 1 Sea P = − , , Q = − ,− 2 4 2 4 !
Calculá la distancia entre los puntos P y Q
52
E JERCICIO 4: Dada la recta
( )=
f x
3
x
2
+
3
y el punto P =(-
3,5) a- Representá gráficamente la recta y
la perpendicular que pasa por P. b- Marcá con color ese segmento c- Calculá analíticamente dicha dis-
tancia
E JERCICIO 5: Sea P =(-4,2) y la recta !
( )=
f x
3 2
x
−
5
Calculá analíticamente la distancia del punto a la recta
53
HOJA DE REPUESTAS 6-1
E JERCICIO 1 d ( P , Q ) 10 =
E JERCICIO 2: d ( A, B )
=
5
E JERCICIO 3: d ( P , Q )
=
0,5
E JERCICIO 4:
Representación gráfica a y b
54
P =(-3,5)
c- d ( P , f ( x) )
=
13
E JERCICIO 5:
d ( P , f ( x ) )
=
2. 13
55
7. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Las coordenadas del punto medio de un segmento las hallamos realizando las semisumas (o sea el promedio) de las coordenadas de los extremos del segmento.
Simbólicamente: q m
m
( q1 ; q 2 )
= =
=
Dados
p
=
( p1 ; p 2 )
el punto medio de
pq
y es
( x; y ) (
p1
+
q1
2
;
p 2
+
2
q2
)
E JEMPLO 1 $
Hallá las coordenadas del punto medio (m) del segmento de origen a=(-4;7) y b=(6;1).
56
m
=(
p1
+ q1 2
;
p 2
+ q2 2
)
− 4 + 6 7 + 1 ; m = 2 2 m = (1 ; 4)
E JEMPLO 2 $
Las coordenadas del paralelogramo abcd son a=(1;5) b=(2;0) c=(9;-1) y d=(8;4). Calculá las coordenadas de la intersección de sus diagonales.
57
Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, por lo tanto, calcularemos el punto medio de ac o bd . p1 + q1 p 2 + q 2 o=( ; ) 2
2
1 + 9 5 − 1 ; = 2 2 = (5;2 )
58
EJERCICIOS 7-1
!
Hallá y marcá en un par de ejes cartesianos, el punto medio de cada segmento determinado por los puntos:
E JERCICIO 1
A = (0, 2) y B = (-1, 3)
E JERCICIO 2
C = (5, -9) y D = (0, 0)
E JERCICIO 3
E = (-6, 1) y F = (-2, -4)
59
E JERCICIO 4 1
P0 = (0, -5) y P1 = (0, - ) 2
E JERCICIO 5
5 p = ,3 2
y
1 q = − ,7 2
60
HOJA DE RESPUESTAS 7-1
E JERCICIO 1
1 5 ; 2 2
Pm = −
61
E JERCICIO 2
5 9 ;− 2 2
Pm =
62
E JERCICIO 3
Pm = − 4;−
63
3
2
E JERCICIO 4
Pm = 0;−
64
11
2
E JERCICIO 5
Pm
=
( 1 ;5)
65
8. PRODUCTO ESCALAR
Producto escalar :
Es la multiplicación de
dos vectores entre sí que da por el resultado un número real. Si
u y v
son dos vectores y α es el ángulo
formado por ellos, entonces el producto escalar entre
u y v
se obtiene efectuando el producto
entre los módulos de
u y v
En símbolos: u
.v =
por el coseno de α u . v cos α
De la fórmula del producto escalar podemos obtener el ángulo entre los dos vectores u .v u .v
=
u . v cos α
= cos α
u.v
66
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUC TO ESCALAR
Consideremos los vectores
u y v
, obtenga-
mos x, la proyección perpendicular del vector v sobre el vector u. v
α
u x
=
v c
El producto escalar de
u y v
puede interpre-
tarse geométricamente como el producto del módulo del vector u
=
u .v
=
u
por la proyección de
u . v cos α
67
v
sobre
La proyección de
v
sobre
u
es un número re-
al, que puede ser negativo, positivo o cero, y depende del ángulo α:
Primer caso: v ˆ < 90º 0º ≤ α v
ˆ >0 cos α
α
u
Segundo caso:
v
ˆ ≤ 180 º 90 º < α v
ˆ < 0 cos α
α
u Tercer caso: 68
v ˆ = α v
90º
ˆ cos α
=
0
α
u
Del tercer caso podemos obtener como conclusión que el producto escalar nos permite averiguar cuándo dos vectores son perpendiculares.
Dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es nulo y los vectores no son nulos.
E JEMPLO
Calculá el producto escalar y el ángulo que forman los vectores que aparecen en el siguiente grafico
69
$
El producto escalar entre los vectores a y b es: v
a.b r
=
a1 .b1
+
a 2 .b2
( 4;1).( 2;3) = 4.2 + 1.3
$
=
8+3
=
11
El ángulo que forman lo calculamos con:
70
r
a.b r
ˆ cos α
=
r
a .b r
ˆ cos α
11 =
a1
ˆ cos α
ˆ cos α
ˆ cos α
2
+
2
a 2 . b1
11 =
16 + 1. 4 + 9 11
=
17.13 11 221
=
ˆ = α
221 42º16´25´´
71
2
+
b2
2
EJERCICIOS 8-1
!
Calculá los siguientes productos escalares
E JERCICIO 1
(2, 1) (1,1) −
⋅
=
E JERCICIO 2
(0,5) (3, 2) ⋅
−
=
E JERCICIO 3
1 ( 3, ) (2,6) 2 −
⋅
=
72
E JERCICIO 4
(1,1,1) ⋅ (−1,0,2) =
E JERCICIO 5
(2,−2,3) ⋅ (2,1,0) =
Recordá que: Si v = (v 1,v 2) y w = (w 1,w 2) son dos vectores en el plano.( v, w ∈
2
), se define el producto escalar (o producto
interno canónico) de la siguiente forma: v⋅w
=
(v1 , v2 ) ⋅ ( w1 , w2 )
=
v1w1
+
v2 w2
Notá que el resultado del producto escalar es un número real
73
HOJA DE RESPUESTAS 8-1
E JERCICIO 1 1
E JERCICIO 2 –10
E JERCICIO 3 –3
E JERCICIO 4 1
74
E JERCICIO 5 2
75
EJERCICIOS 8-2
!
Calculá los siguientes productos escalares
E JERCICIO 1
(0,7,1) ⋅ ( 2 ,0,5) =
E JERCICIO 2
2 7 (1,10,0) ⋅ (−2, ,0) + ( 3 , ) ⋅ (0,−3) = 5 3
E JERCICIO 3
2
(2,2,0) ⋅ (−2,2,0) + (3, ) ⋅ (−1,3) = 3
76
E JERCICIO 4
(1
,2
2
,1) ⋅ (−2,5,0) + (1, ) ⋅ (6,9) = 5 3
E JERCICIO 5
3 (1,1,14) ⋅ (1,1,1) − (−5,−6, ) ⋅ (1,−1,1) = 2
77
HOJA DE RESPUESTAS 8-2
E JERCICIO 1 5
E JERCICIO 2 –7
E JERCICIO 3 –1
E JERCICIO 4 8
E JERCICIO 5 27 2
78
9- VECTORES PRODUCTO VECTORIAL
DEFINICIÓN
Dados dos vectores r
u
=
(u1
;u2 ;u3 ) y v r
=
(v 1
r
producto vectorial de u
; v 2 ; v 3 ) el
r
v es el vector
∧
determinado por la siguiente operación de matrices : r
i r
u
r
∧
v
=
r
r
j
k
u1
u2
u3
v1
v2
v3
=
u2
u3
v2
v3
r
i
−
u1 v1
El vector resultante es perpendicular a los vecr
tores dados, o sea: u r
r
r
r
w ⊥u y w ⊥ v.
79
r
∧
v
r
=
w , siendo
r
w:
Las condiciones de perpendicularidad son u
×
w
=
0
v
×
w
=
0
Producto escalar
Gráficamente se observa que existe solución y aunque es múltiple, todos los vectores perpendiculares a u y v , tienen la misma dirección.
w
=
( x,
=
v
u
=
80
)
y, z
(u
1
(v
1
; v 2 ; v3
; u 2 ; u3
)
)
E JEMPLO Hallá a ∧ b siendo a = (1,2,0) y b = (0,1,2) r
r
r
Por
r
definición de producto vectorial, tene-
mos: r
i a∧b
r
r
=1 0
r
j
2
r
k
0
=
1 2
2
0
1
2
r
i
−
1 0 0 2
r
j
+
1 2 0
1
k = 4i - 2 j r
r
r
+ 1k = (4,-2,1) r
Quiere decir que el vector c = (4,-2,1) es perr
pendicular a a = (1,2,0) y b = (0,1,2) . r
r
Entonces, a ⊥ c y b ⊥ c r
r
r
r
Comprobación:
La podemos hacer mediante el producto escalar (si los vectores son perpendiculares, el producto escalar entre ellos es igual a 0). Recordá: v x v' =
v v' cos α ( α es el ángulo que forman
v y v' )
si α = 90º ⇒ cos α = 0 ⇒ v x v' = 0
81
r
a
r
=
(1,2,0 )
×
(4,−2,1) = 4 + ( −4) + 0 = 0
r
=
(0,1,2 )
×
(4,−2,1) = 0 + ( −2) + 2 = 0
c
×
r
b
c
×
r
Efectivamente, a ⊥ c y b ⊥ c . Por lo tanto, el ejercicio está bien resuelto. r
r
r
Propiedades: r
r
r
r
1 a ∧b = -b ∧a
( ) = α (a ∧ b )
r
r
r
2 (α . a ) ∧ b = a ∧ α . b r
r
r
r
α es un númeroreal
r
3 a ∧ b es ortogonala a y b r
r
r r
4 a ∧b 5 a∧b
2
r
2
(a.b ) r
=
a b
=
ˆ a b sen β
r r
r
−
r
2
r
r
r r
β es el ánguloque forman a y b
Regla del "sacacorchos" El producto u
∧
v
¿ Es w1 ó w2 ?
82
w1
u
v
u
∧
v
=
w2
u
=
w1
y v
∧
Primer paso ●
Colocá la punta de un sacacorchos perpendicularmente a los dos vectores que se multiplican.
83
Segundo paso
Girá el sacacorchos, según el menor ángu-
●
lo, desde el primer vector al segundo.
Tercer paso
El sentido del vector producto es el del
●
avance del sacacorchos. Ejemplos de muestra que debe seguirse para la regla del "sacacorchos".
k
j
j
i
i −
r
i
r
∧
j
r
=
r
k
j
84
k
r
∧
i
r
k
= −
j k i
r
j
r
∧
k
r
=
i
A PLICACIONES GEOMÉTRICAS DEL PRODUCTO VECTORIAL ●
El área del paralelogramo determinado por dos vectores es igual al módulo del producto vectorial de esos vectores. En símbolos, A = u
85
∧
v .
GRÁFICAMENTE u
∧
v
=
w
v
h α
●
A
El área del triángulo es la mitad del modulo del producto vectorial. u
En símbolos:
At
∧
v
=
2
Ejemplo Calculá el área del triángulo de vértices b = (2,0,0), a = (0,3,0) y c = (0,0,-5).
86
El área del paralelogramo determinado por los vectores
ab y ac es ab
∧
ac
m
b
Área
a c
Como el área que queremos determinar equi vale a la mitad del paralelogramo, podemos calcular el área total y luego dividirla por dos.
El vector
ab
es: (2-0, 0-3, 0-0) = (2, -3, 0)
El vector
ac
es: (0-0, 0-3, -5-0) = (0, -3, -5)
Calculamos el producto vectorial:
87
r
r
j
i ab ∧ ac
=
2 -3
r
k −
0
= −
0 -3 -5 r
3
0 −
r
i
5
−
2
0
0
-5
r
j +
2
-3
0
-3
r
k =
r
15i - (-10) j + ( - 6)k = (15,10,-6) r
=
3
ab ∧ ac
=
(15,10,-6)
=
152
+
102
+
( −6) 2
=
361 = 19
Como el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo, entonces es
88
19 2
.
EJERCICIOS 9-1
!
Calculá el producto vectorial entre los vectores dados
E JERCICIO 1
1
2
a = 6;5;
b = (− 3;4;−1)
E JERCICIO 2
5
x = − 1;2; r
3 y = (− 5;3;−3) r
89
E JERCICIO 3 a
=
r
b
=
(3;
(5;
) 3)
2;1
−
2;
−
−
E JERCICIO 4 r
a
=
r
b
=
(1; 1; 1) (1; 1; 1)
E JERCICIO 5 r
x
=
r
y
=
( 2;5;
4)
−
(
7;3; 1)
−
−
90
HOJA DE RESPUESTAS 9-1
E JERCICIO 1 9 − 7; ;39 2
E JERCICIO 2 34 ; − 11 − ;3 3
E JERCICIO 3
(− 4;14;4)
E JERCICIO 4 Vector nulo
91
E JERCICIO 5
(7;30;20)
92
10. COORDENADAS CARTESIANAS
Imaginá que estas sentado en la mesa naranja de un aula con la siguiente disposición.
Adelante
Iz uierda
Derecha
Atrás
93
Si quisieras contarle a una persona que no conoce tu aula donde se encuentra la mesa roja, violeta, verde, gris y marrón con respecto a tu mesa, deberías recurrir a señalar la cantidad de bancos que te separan de ellas en términos de derecha-izquierda y adelante-atrás. Por ejemplo: La mesa roja
tres mesas a la derecha, dos mesas adelante.
La mesa violeta
cuatro mesas a la izquierda, dos mesas adelante.
La mesa verde
dos mesas a la izquierda, dos mesas atrás.
La mesa gris
cinco mesas a la derecha, una mesa atrás.
La mesa marrón
ninguna mesa a derecha o izquierda, dos mesas adelante.
Podríamos expresarlo más sintéticamente utilizando la siguiente forma: Mesa roja
(d3,ad2)
Mesa violeta
(i4,ad2)
Mesa verde
(i4,at2)
Mesa gris
(d5,at1)
Mesa marrón
(d0,ad3)
Avanzando aún mas en la notación podríamos determinar que movernos hacia la izquierda o hacia abajo lo representaremos con números
94
de mesas negativos, mientras que movernos hacia la derecha o hacia arriba lo representaremos con numeros positivos.
Mesa roja
(3,2)
Mesa violeta
(-4,2)
Mesa verde
(-4,-2)
Mesa gris
(5,-1)
Mesa marrón
(0,3)
Si representamos las mesas distribuidas de la forma en que vimos en el ejemplo con un plano con dos rectas (ejes ortogonales) que se corten en un ángulo recto esta representación se denomina plano cartesiano. Cada punto de un plano cartesiano se puede expresar mediante dos números a los cuales se los llama par ordenado.
El par ordenado ubica las coordenadas de un punto del plano, estos son dos números con los que indicamos, primero la coordenada horizontal denominada x (abscisa) y luego la vertical,
95
denominada y (ordenada); por ese motivo, decimos que: A cada punto del plano le corresponde un par ordenado
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las x (horizontal) y uno de las y (vertical), respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano si conocemos sus coordenadas.
Es importante tener en cuenta que el punto de intersección de las rectas se lo llama ori- gen, y es allí donde se ubica el cero de am- bos ejes.
Para localizar puntos en el plano cartesiano se siguen los siguientes pasos:
1.
Para localizar la abscisa o valor de x , se debe mover hacia la derecha si los
96
2.
valores son positivos o hacia la izquierda si son negativos, a partir del punto de origen. Desde donde se localiza el valor de x se debe mover hacia arriba si son valores positivos o hacia abajo, si son negativos.
De esta forma se puede localizar cualquier punto en un plano cartesiano, dadas sus coordenadas.
P = (x, y) La primera coordenada
La segunda coordenada
(abscisa) indica la distancia
(ordenada) indica la distan-
al 0 sobre el eje horizontal.
cia al 0 sobre el eje vertical.
Hacia la derecha, positivo;
Hacia arriba, positivo;
hacia la izquierda, negativo.
hacia abajo, negativo.
Ejemplo 1 Localizar el punto A =( -4, 5 ) en el plano cartesiano.
97
Ejemplo 2 Determinar las coordenadas del punto M = (3,-4).
98
