Matematicas Basicas Aplicadas a Las Ciencias Economicas y Administrativas

MATEMÁTICAS BÁSICAS CON APLICACION A FACULTADES DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES AUTOR : DIEGO FERNANDO SATIZÁBAL GARCÍA Este libro es un obsequio de parte de su autor, pero lo mas importante es que si has ingresado todos tus datos en el formulario ( e-mail, nombre, ciudad y país ), te llegarán ( vía e-mail ) una serie de videos ( producidos por el autor ) donde se explica con detalle algunos ejercicios resueltos y propuestos. Si quieres conocer otras publicaciones y videos tales como Ingeniería Económica ó Matemáticas Financieras ingresa a la pagina de el autor : www.diegosatizabal.com Para descargar este libro debes colocar el cursor en la parte inferior y hacer clic donde se indica ( en el disquete ) a continuación.

DEDICATORIA : A mi esposa Paula Andrea L

A mi hijo Juan Diego : MI GRAN ADORACIÓN

AGRADECIMIENTOS De una manera muy especial agradezco a los estudiantes de la Universidad Santiago de Cali, quienes han sido los encargados de hacer las sugerencias para que esta obra cada vez sea de mejor utilidad. Mi familia ha sido fundamental en la ejecución de este libro. Agradezco también a todos los profesores que de una u otra forma utilicen este texto y puedan hacerme llegar sugerencias.

Definitivamente “Nadie nace aprendido”. Esto me obliga a reconocer que lo poco que he aprendido se lo debo a muchas personas, ya sea porque me han enseñado ó porque he leído sus textos. Tengo que agradecerle a una gran cantidad de profesores de la Universidad de Valle (de la cual soy egresado) y en especial a Alfonso Bustamante y a Carlos Julio González que son unos verdaderos maestros, por que son de esas personas que despiertan el interés en su materia a cualquier individuo y lo estimulan y forman para que salga adelante. A nivel de Post-grado en la Universidad del Valle han sido muy importantes para mi formación: Gustavo Lineros, Eduardo Ruiz Anzola, Ruben Darío Cubides, Hector Fabio Ceballos, Carlos Hugo Giraldo, Guillermo Buenaventura, Luis Enrique Polanco, Gonzalo Sinisterra, Omar Cedeño, Melquisedec Acuña, etc. En el Post-grado en Gerencia Financiera de la Universidad Santiago de Cali, agradecerle mucho a las siguientes personas : Luis Fernando Escobar, Carlos Fernando Cuevas, Jorge Enrique bueno, Raúl Sánchez, Carlos Eduardo Leyton , Diego Navia, al profesor Carvallo y al exdirector del post-grado Juan Guillermo Posada. Otras personas que no me han enseñado pero que les debo mucho por haber leído sus textos son : el Ing. Germán Arboleda Velez, Rodrigo Várela V. Ph.D, Arturo Infante Villareal y Guillermo Bacca. A ellos muchos agradecimientos.

INTRODUCCION El texto de MATEMATICAS BASICAS APLICADAS es de gran importancia para estudiantes de primeros semestres en las facultades de ciencias económicas y empresariales tales como : Finanzas, Negocios, Administración, Economía, Ingeniería Comercial, Contaduría , Mercadeo y ciencias afines. Es muy importante aclarar que este texto lo preparé y digité personalmente y en ningún momento ha sido revisado ni editado puesto que lo utilicé únicamente con estudiantes de pregrado hace muchos años cuando dictaba esta materia en diferentes universidades de la región ( en estos momentos mi fuerte son las matemáticas financieras ). Hago esta aclaración puesto que no existe ninguna rigurosidad en cuanto al tratamiento que le dan los matemáticos y expertos en el tema. El texto esta concebido de la siguiente manera : ♦ Posee la teoría necesaria de una forma tal que explica lo necesario de una forma clara y sencilla para hacer la aplicación posteriormente. ♦ Tiene una gran cantidad de ejercicios resueltos para que el lector tenga la posibilidad de entender la aplicación y además resolver otro tipo de ejercicios muy similares. ♦ Tiene una gran cantidad de ejercicios propuestos para que el lector tenga la posibilidad de practicar y afianzar los conocimientos adquiridos. En este texto existen algunos fundamentos de álgebra, pero esto está incluido en el apéndice (al final) puesto que vamos a centrar la atención más bien en la aplicación. El texto se divide en ocho (9) capítulos que están conformados de la siguiente manera : CAPITULO 1 :

INCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES

Aquí se trata de indicar al lector como se incrementa ó disminuye una determinada cantidad, utilizando un factor; y además para decidir si entre dos cantidades sucesivas existe un incremento ó disminución. Lo anterior tiene aplicación en todas las ciencias e inclusive en nuestra vida cotidiana. CAPITULO 2 :

ECUACIONES

En este capítulo el lector estará en capacidad de resolver : - Ecuaciones lineales en una variable - Ecuaciones cuadráticas en una variable - Ecuaciones que contienen radical - Sistemas simultáneos de dos ecuaciones y dos incógnitas Se plantearán una serie de problemas relacionados con ecuaciones de costo, ingreso y utilidad.

CAPITULO 3 :

INECUACIONES

Aquí definiremos lo que es una inecuación y se aprenderá a resolver inecuaciones lineales en una variable e inecuaciones cuadráticas en una variable. CAPITULO 4 :

FUNCION LINEAL

Este capítulo es uno de los más importantes puesto que respecto a la función lineal hay mucha aplicación en las ciencias económicas y empresariales. Aquí, definiremos, determinaremos y graficaremos la línea recta; y lo más importante es que haremos una aplicación a costos, producción, microeconomía, macroeconomía y finanzas. CAPITULO 5 :

FUNCION CUADRATICA

Aquí identificaremos una función cuadrática para posteriormente graficarla y hacer lo más importante que es interpretar esta gráfica alrededor de problemas que están relacionados con funciones de costo, ingreso y utilidad. Este capítulo tiene mucha aplicación en la determinación de precios. CAPITULO 6 :

FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

Aquí inicialmente, definiremos lo que es un logaritmo y trabajaremos su propiedades. Posteriormente resolveremos algunas ecuaciones exponenciales y logarítmicas. También graficaremos funciones de tipo exponencial y logarítmica. Se hará alguna aplicación a ecuaciones de demanda de tipo exponencial . CAPITULO 7 :

LIMITES

Aquí se dará una idea de lo que es un limite, y esto lo haremos exclusivamente para abordar el capitulo de derivadas . CAPITULO 8 :

LA DERIVADA

Aquí daremos un concepto breve de lo que es la derivada, y nos concentraremos en hacer una aplicación a las ciencias económicas y empresariales mediante ejercicios de optimización y análisis marginal. CAPITULO 9 :

APENDICE

En este “Capítulo” trataremos algunos casos de factorización y algunas propiedades de la potenciación y radicación; para luego simplificar expresiones algebraicas donde se requiere lo expuesto anteriormente. Además está incluido el concepto de lo que es una progresión aritmética y geométrica con sus respectivos ejercicios

INDICE PAG.

CAPITULO 1


11

Incrementos Porcentuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Disminuciones Porcentuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 13 14

CAPITULO 2

19

ECUACIONES

Solución de Ecuaciones Lineales en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución de Ecuaciones Cuadráticas en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución de Ecuaciones que Contienen Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema Simultaneo de 2 Ecuaciones con 2 Incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de Sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de Igualación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de Reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicación a Costos y Producción – Ecuaciones de Costo, Ingreso y Utilidad . . . . . Problemas de Aplicación – Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas de Aplicación – Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 23 26 29 31 31 32 33 36 38 46 53

CAPITULO 3

57

INECUACIONES

Representación Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Desigualdades Lineales en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución de Inecuaciones Cuadráticas en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 59 60 60 60 62 63 66 70

CAPITULO 4

72

FUNCION LINEAL

Funciones y Gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Función Líneal – Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo de la Pendiente Dados 2 Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo de la Ecuación de la Recta Dados 1 Punto y una Pendiente . . . . . . . . . . . . . . Gráfica de la Línea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rectas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rectas Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpolación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio Resuelto con aplicación a costo, ingreso y utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicación a Microeconomía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relaciones de Demanda y Oferta Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función de Oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punto de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elasticidad Precio de la Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elasticidad Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicación a Macroeconomía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función de consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curva de Demanda de Inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuación de la Curva IS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio Resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuación de la Curva LM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplicador de la Política Fiscal y Monetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio Resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPITULO 5

FUNCION CUADRATICA

75 76 80 80 82 82 87 94 95 98 107 107 107 110 113 118 121 126 127 127 131 136 138 142 145 146 156 158

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfica de la Función Cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfica de la Parábola Utilizando el Vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo de la Ecuación de una Parábola Dados 3 Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Resueltos (Función de Costo, Ingreso y Utilidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158 160 161 164 165 166 181

CAPITULO 6

185


Logaritmos – Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Propiedades de los Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Solución de Ecuaciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función Exponencial y Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188 188 193 193 194 199 201 202 203 203 208 211

CAPITULO 7

216

LIMITES

Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El numero de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

218 220 222 223 225 228

CAPITULO 8

229

LA DERIVADA

Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Ecuación de la recta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Ecuación de la recta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Derivada de la potencia N- esima de una variable .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Derivada de una constante .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Derivada del producto entre una constante y una función .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Derivada de una suma de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Derivada del producto de 2 funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Derivada del cociente de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Derivada de una función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Derivación implícita .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Derivadas de orden superior .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Grafica de una función utilizando derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Criterios de la primera derivada .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Criterios de la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Ejercicio resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elasticidad punto de la demanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Análisis marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ingreso y utilidad marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ingreso marginal en términos de elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Costo total medio, costo variable medio y costo fijo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257 260 261 263 268 271 274 280 280 285 286 288 291 295

CAPITULO 9

298

APENDICE

Algunos Casos de Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Factor Común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Diferencia de Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Suma y Diferencia de Cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Trinomio Cuadrado Perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Trinomio de la Forma ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Simplificación de Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Propiedades de Potenciación y Radicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Progresión Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Progresión Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Distancia Entre Dos Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Coordenadas del Punto Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 Ecuación de la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Ecuación de la Parábola (Forma Canónica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Ecuaciones con Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Problemas de Aplicación de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 348 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIA


CAPITULO


1

INCREMENTOS Puede ser muy usual en ciertas ocasiones aumentar ó disminuir una cierta cantidad en un porcentaje determinado. Por ejemplo, si quisiéramos aumentarle a 500 su 20%. Como lo haríamos ? R/ Debemos obtener primero el 20% de 500. Como ? 20 (500) 100

0.2 (500) = 100

Ahora sumemos : 500 + 100 = 600

Resultado final.

¿Se podría hacer de otra forma ? De otra forma haríamos lo siguiente : 500 (1.2) = 600

Resultado final

¿Cómo se hizo ? Veamos :

500 +

20 (500) 100

=>

500 + 0.2 (500) sacando factor común 500 (1 + 0.2) 500 (1.2) = 600

Y si quisiéramos incrementar 500 pero en un 30% ?

11

Resultado final


R/ Tendríamos :

500 +


30 (500) 100

⇔ 500 + 0.3 (500) 500 (1 + 0.3) ⇔ 500 (1.3) = 650

Incrementar 500 en un 40% Incrementar 500 en un 8% Incrementar 500 en un 16% De lo anterior podemos observar lo siguiente : Si vamos a incrementar una cantidad en un 20%, debemos multiplicar por un factor equivalente a 1.2 . Por que 1.2 ? Veamos :

1.2 = 1 + 0.2

20 100

Esto significa 20%

Y si hubiera sido el incremento de un 30% ?

R/ El factor seria 1.3 1.3 = 1 + 0.3

30 100

Esto significa 30%

Y si hubiera sido el incremento de un 8% ? R/ El factor seria 1.08

1.08 = 1 + 0.08

8 100

Esto significa 8%

En términos generales : Si se va a incrementar un valor dado (P) en un determinado porcentaje (por ejemplo 43%), se debe multiplicar el valor de (P) por un factor equivalente (o igual) a 1.43 y el resultado final sería : 1.43 P → este es el resultado final.

12



EJERCICIOS RESUELTOS 1) Se tiene un valor constante (P) y se debe incrementar en un determinado porcentaje, para cada caso decir por que factor se debe multiplicar. a) En un 25%

R/ 1.25P

b) En un 32%

R/ 1.32P

c) En un 85%

R/

d) En un 16%

R/

e) En un 5%

R/

f) En un 1%

R/

g) En un 120%

R/

2) Para cada caso se tiene una cantidad constante P multiplicada por un factor, decir entonces en que porcentaje se esta incrementando P . a) b) c) d) e) f)

1.28 P 1.43 P 1.025 P 1.94 P 1.14 P 2.5 P

→ → → → → →

P P P P P P

está incrementada en un 28% está incrementada en un está incrementada en un está incrementada en un está incrementada en un está incrementada en un

Si tengo una cantidad, por ejemplo 2000 y la incrementamos en un 30% tendríamos entonces : 2000 (1.3) = 2600 Si a esta cantidad resultante la quisiéramos incrementar en un 20% nos daría entonces : 2600 (1.2) = 3120 Si a esta última (3120) la incrementamos en un 5% obtendríamos : 3120 (1.05) = 3276

13



Este último valor (3276) lo hubiéramos podido sacar inmediatamente así : 2000 (1.3) (1.2) (1.05) = 3276 2000 (1.638) = 3276 En otras palabras ; hacer los incrementos sucesivos del 30%, 20% y 5% es equivalente a incrementar 2000 en un 63.8%

3) En los siguientes ejercicios dado un valor inicial hacer los incrementos sucesivos e indicar con un solo porcentaje como se obtendría el resultado final, dado el valor inicial.

a) b) c) d)

Valor inicial 3000 500000 400000 P

Incrementos Sucesivos (%) 25 - 32 - 7 31 - 22 - 16 20 - 5.3 - 18 - 20.5 4.5 - 21 - 32.5 - 12.3

Resultado parcial

%

3000(1.25)(1.32)(1.07) ⇔ 3000(1.7655)

76.55%

DISMINUCIONES PORCENTUALES Que sucede si queremos disminuir una cantidad determinada en un porcentaje dado, por ejemplo : Disminuir 500 en un 20%. Procedimiento : 500 -

20 (500) 100

⇔ 500 - 0.2 (500)

sacando factor común

500 (1 - 0.2)

=> 500 (0.8)

=> 400 Resultado final

Podemos observar que el factor por el que debemos multiplicar es 0.8 (factor menor que 1) Recordemos que el factor 0.8 se obtiene de la siguiente forma : 0.8

⇔1 -

20 100

0.2

Esto significa 20%

Disminuir

14



Si quisiéramos disminuir una cantidad en un 30% el factor seria 0.7 4) En los siguientes ejercicios dado un valor inicial, decir cual debe ser el factor para disminuir la cantidad en el porcentaje dado.

Valor inicial

Disminuir en

6000 85000 100000 40000 200000 350000

25% 15% 5% 90% 1% 7.5%

Factor a multiplicar 1 - 0.25

Resultado parcial 6000 (0.75)

Resultado final 4500

5) Para cada caso se tiene una cantidad P multiplicada por un factor, decir en que porcentaje se esta disminuyendo P.

a) b) c) d) e) f)

0.72 P 0.84 P 0.96 P 0.08 P 0.99 P 0.01 P

→ → → → → →

P P P P P P

se está disminuyendo en un 28% se está disminuyendo en un se está disminuyendo en un se está disminuyendo en un se está disminuyendo en un se está disminuyendo en un

Ejercicio : Se tiene una cantidad, por ejemplo 50000 y se van a hacer los incrementos ó disminuciones porcentuales sucesivos : Aumentar en un 15%, posteriormente disminuir en un 10% y luego aumentar en un 20%.

R/ 50000 (1.15) (0.9) (1.2)

⇔ 50000 (1.242)

incremento del 24.2%

incremento del 20% incremento del 15%

disminución del 10%

En conclusión podemos afirmar que aumentar una cantidad en un 15%, disminuirla en un 10% y aumentarla en un 20%, es equivalente a aumentar la cantidad inicial en un 24.2%.

15



6) Para cada caso aumentar, disminuir y aumentar porcentualmente una cantidad dada y decir finalmente si el resultado es equivalente a un aumento o disminución porcentual de la cantidad inicial. Cantidad Aume. Dismi. Aumen. inicial (%) (%) (%) a) 45000 30% 25% 15% b) 80000 5% 40% 20% c) 100000 16% 16% 5% d) 250000 16% 25% 14.95% e) P 10% 20% 10% f) P 16% 10% 0%

Resultado parcial

Resultado final

45000(1.3)(0.75)(1.15) 80000(1.05)(0.6)(1.2)

Aumento del 12.13% Disminución del 24.4%

Es probable que se tenga la creencia de que al disminuir una cantidad determinada en un porcentaje y luego al aumentarla en el mismo porcentaje el resultado final sea el mismo. Ejemplo : Disminuir 500 en un 20% y posteriormente la cantidad resultante aumentarla otra vez en el mismo 20%. Procedimiento : Disminuir en 20% Aumentar en 20%

→ →

500 (0.8) = 400 400 (1.2) = 480

Podemos observar que el resultado final es 480 y no lo que probablemente se creía era 500. Preguntémonos ahora a que porcentaje corresponde 480 respecto de 500 ? Para responder esto podemos hacer lo siguiente : 480 = 0.96 500

→ paso .a .multiplicar .a .500

480 = 500 (0.96)

De la igualdad anterior podemos deducir que el 96% de 500 es igual a 480 ó que es lo mismo “480 corresponde a un 96% de 500”.

7) En los siguientes ejercicios decir a que porcentaje corresponde una cantidad respecto de otra mayor. a) Que porcentaje será 2000 de 4000 ? b) Que porcentaje será 8000 de 15000 ?

2000/4000 = 0.5

→

8000/15000 = 0.5333

c) Que porcentaje será 185000 de 350000 ?

16

R/ 50% → R/ 53.33%



d) Que porcentaje será 45000 de 900000 ? e) Que porcentaje será 48000 de 720000 ? Que sucede ahora si a 500 lo incrementamos en un 20% y posteriormente lo disminuimos en un 20% ? Procedimiento : 500 (1.2) = 600 600 (0.8) = 480 Observamos entonces que el resultado es el mismo. Por que ? Veamos : Para el primer caso los pasos fueron los siguientes (500) (0.8) (1.2) = 480 Para el segundo caso los pasos fueron los siguientes (500) (1.2) (0.8) = 480 Aquí se puede ver que para los dos casos los factores son los mismos. Que sucede si establezco el siguiente cociente : 500 = 1.25 400

⇔ 500 = 400 (1.25)

Esto me indica que si incremento a 400 en un 25% el resultado es 500. Por que es importante esto ? Supongamos la siguiente situación : En una empresa X las ventas en el año 1996 fueron de $895’300.000, mientras que en el año 1997 fue de $1535’200.000. En que porcentaje aumentaron las ventas en el año 1997 respecto del año 1996 ?

R/

1535'200.000 = 1.7147 → 895'300.000

este factor indica que para el año 1996 las ventas aumentan en un 71.47%.

Que hubiera pasado si las ventas en el año 1996 son de $895’300.000 y en el año 1997 de $761’005.000. En que porcentaje se han disminuido las ventas ? R/

761005 ' .000 = 0.85 895'300.000

⇔ 761’005.000 = 895’300.000 (0.85)

La igualdad anterior debido al factor (0.85) me indica que las ventas han disminuído en un 15%.

17



8) En el siguiente ejercicio se dan las ventas de la compañía ABC desde el año 1990 basta el año 1997. Decir en que porcentaje aumentaron o disminuyeron las ventas anualmente ? COMPAÑÍA ABC Año 1990 1991

Ventas en miles 45328

Factor

Conclusión

1.225

Aumentó en un 22.5%

0.9047

Disminuyó en un 9.53%

55527

1992

50236

1993

62695

1994

78744

1995

69295

1996

95627

1997

147457

18


ECUACIONES

CAPITULO

ECUACIONES

2

Los objetivos de este capítulo son los siguientes : 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Identificar una ecuación Resolver una ecuación lineal en una variable Resolver una ecuación cuadrática en una variable Resolver una ecuación que contiene radical Resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas Resolver problemas de aplicación

Que es una ecuación ? R/ Definición : Una ecuación es una igualdad donde interviene una o más variables y cuyo objetivo es determinar el valor de esa o esas variables para que se me de la igualdad. Los ejemplos siguientes son ecuaciones : 3x + 5 = 11 2x² - 5x + 8 = 0 3x - 2y = 0 4xy - 5x² = 9

Por ejemplo

=> => => =>

x=? x=? x=? y y=? x=? y y=?

3x + 8 = 14

es una ecuación y la solución es x = 2.

¿Por qué ? R/ Si reemplazamos x = 2 en la ecuación obtenemos : 3 (2) + 8 = 14

→

14 = 14

¡ok!

19


ECUACIONES

Observemos que al reemplazar x = 2 en la ecuación se cumplió la igualdad. ¿Cómo se determinó x = 2 ? R/ La ecuación 3x + 8 = 14 se llama ecuación lineal en una variable. Veamos :

SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE Forma

→ SOLUCION

ax + b = c

ax = c - b x = (c - b) / a

(*)

Para comprobar que esta es la solución debemos reemplazar el valor de x en (*) en la ecuación original. Veamos : a

(c − b) + b = c a

=>

c-b + b = c

=>

c = c

Como la igualdad se cumplió, esto indica que la solución es x = (c - b) / a. Ejemplos : Resolver para cada incógnita. 1) 3x + 8 = 14 => 3x = 14 - 8 => 3x = 6 => x = 6/3 Reemplacemos en la ecuación original 3(2) + 8 = 14

=>

6 + 8 = 14 14 = 14

s/

OK !

x=2

5x + 6

= 7

2)

=>

5x + 6 = 21

=>

5x = 21 - 6

3 5x = 15 3)

5x − 3 3 + 2 x = 4 4

x=3 5x – 3 = 3 + 2x

20

x=2


ECUACIONES

Observemos que desapareció el denominador del lado izquierdo y derecho. ¿Por qué ? R/ Si tenemos la siguiente situación por ejemplo

a c = b b

Podríamos multiplicar toda la ecuación por b y esto nos daría : a c  .b =  .b b b

a=c

O de una forma más sencilla :

a c imaginemos de que el denominador del lado izquierdo (b) que esta = b b dividiendo pasa a multiplicar al lado derecho, esto sería : Si tengo

c a =  .b b

a=c

Observemos que se canceló b. Lo mismo sucede con

5x – 3 = 3 + 2x

5x − 3 3 + 2 x = 4 4 5x – 2x = 3 + 3

3x = 6

→

x=2

En lo sucesivo si el denominador de TODO el lado izquierdo es igual al denominador de TODO el lado derecho, simplemente lo que hacemos será cancelarlos.

4) Resolver :

2x − 5 2 − 3x +6= − 3 3

Aquí no se pueden cancelar puesto que el número 3 (denominador) de la izquierda no es denominador de todo ese lado (izquierdo). ¿Qué se debe hacer ?

R/ Al lado izquierdo se suman los fraccionarios para obtener un solo denominador. Veamos :

21


2 x − 5 + 18 2 − 3x =− 3 3

→ →

2x + 13 = -2 + 3x

2x - 3

ECUACIONES

2x – 5 + 18 = - (2 – 3x)

6 - 3x

2 - 6x

+

5)

15 = x

x

=

4

→

13 + 2 = 3x - 2x

-

3

12

3(2x - 3) + 4(6 - 3x)

1

1(2 - 6x) - 12x

= 12

12

6x - 9 + 24 - 12x = 2 - 6x - 12x

-6x + 18x = 2 - 15

=>

3 - 5x 6)

-

=>

-6x + 15 = 2 - 18x

12x = -13

4x - 5

+

x = - 13/12

2x - 3

=

12

3-x

-

4

6

-1(3 - 5x) + 3(4x - 5)

(Sacando m.c.m) 12

2(2x - 3) - (3 - x)

= 12

12

-3 + 5x + 12x - 15 = 4x - 6 - 3 + x 17x - 5x = -9 + 18

3 - 8x 7) -

=>

17x - 18 = 5x - 9

12x = 9

3 + 2x

+ 18

=>

x = 9/12

5x - 2

= 6

2x

+ 12

-1(3 - 8x) + 3(3 + 2x)

3

5x - 2 + 4(2x)

= 18

12

22

=>

x = 3/4


-3 + 8x + 9 + 6x

ECUACIONES

5x - 2 + 8x =

14x + 6 =>

6*3

6*2

2(14x + 6) = 3(13x - 2) 28x - 39x = - 6 - 12

=>

=>

13x - 2 =

3

2

28x + 12 = 39x - 6

- 11x = - 18

(- 1)

=>

11x = 18 x = 18/11

SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS EN UNA VARIABLE

Forma

=>

ax² + bx +c = 0 ; a ≠ 0

Ejemplos : -3x² + 6x - 8 = 0

a = -3

b=6

c = -8

2x² - 3x = 0

a=2

b = -3

c=0

4m² - 8 = 0

a=4

b=0

c = -8

6z² = 0

a=6

b=0

c=0

1/3x² + 2/5x - 3 = 0

a = 1/3

b = 2/5

c = -3

0.01x² + 0.5x - 8 = 0

a = 0.01

b = 0.5

c=-8

3.25z² + 2.42z = 0

a = 3.25

b = 2.42

c=0

1/5m² - 0.032m + 1.26 = 0

a = 1/5

b = -0.032

c = 1.26

Las anteriores son ecuaciones cuadráticas en una variable. Observemos que todas son de la forma ax2 + bx + c = 0 naturalmente donde a ≠ 0. En cada caso se tiene a, b y c.

23


ECUACIONES

¿Como se soluciona ? R/ Solución :

Si ax² + bx + c = 0

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

Esta expresión sirve para solucionar una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0

b² - 4ac se llama discriminante. El discriminante puede ser de tres formas :

Casos :

1) Si b² - 4ac > 0

=>

hay 2 soluciones reales :

− b + b 2 − 4ac x1 = 2a 2) Si

b² - 4ac = 0

=>

x = -

3) Si b² - 4ac < 0

y

− b − b 2 − 4ac x2 = 2a

hay solamente una solución real

b 2a

=>

No hay soluciones reales (las soluciones son imaginarias)

Corroboremos lo anterior resolviendo las siguientes ecuaciones : 1) 2x² + 5x - 3 = 0

Solución

x=

a=2

b=5

c=-3

− b ± b 2 − 4ac x= 2a

− 5 ± (5) 2 − 4(2)( −3) − 5 ± 25 + 24 − 5 ± 49 = = 2( 2) 4 4

24


x=

−5± 7 4

=> x 1 =

−5+ 7 2 = 4 4

x2 =

2) - 4x² + 20x - 25 = 0

ECUACIONES

x 1 = 1/2

− 5− 7 − 12 = 4 4

x2 =-3

(-1) => 4x² - 20x + 25 = 0 a =4 b = - 20

c = 25

Nota: Regularmente cuando el valor de a es negativo se trata de multiplicar toda la ecuación por -1 para convertir este valor de a en un número positivo.

− ( −20) ± ( −20) 2 − 4(4)(25) 20 ± 400 − 400 20 ± 0 = = x= 2( 4) 8 8

x=

20 ± 0 8

=>

x1 =

20 + 0 20 = 8 8

x 1 = 5/2

x2 =

20 − 0 20 = 8 8

x 2 = 5/2

Entonces la solución es única x = 5/2 Observemos que como el discriminante es igual a cero, entonces x = -

Verifiquemos

x=-

3) 3x² - 5x + 40 = 0

x=

(−20) 20 = 2(4) 8

a=3

→

b=-5

b 2a

x = 5/2

c = 40

− ( −5) ± ( −5) 2 − 4(3)(40) 5 ± 25 − 480 5 ± − 455 = = 2(3) 6 6

R/ No hay solución en los números reales, debido a que dentro de la raíz cuadrada existe un número negativo, y por tanto el resultado es un número imaginario.

25


ECUACIONES

4) 0.01x² + 0.5x - 8 = 0

a = 0.01

b = 0.5

c=-8

x=

− (0.5) ± (0.5) 2 − 4(0.01)( −8) − 0..5 ± 0.25 + 0.32 − 0.5 ± 0.57 = = 2(0.01) 0.02 0.02

x=

− 0.5 ± 0.755 0.02

x 1 = 12.75

y

x 2 = -62.75

5) Resolver :

5(2 x + 6) + 3( x − 1) = 5.3 ( x − 1)(2 x + 6)

5 3 53 + = x − 1 2 x + 6 10

10x + 30 + 3x - 3 = 5.3(x - 1) (2x + 6) 13x + 27 = 5.3(2x² + 6x - 2x - 6) => 13x + 27 = 10.6x² + 31.8x - 10.6x - 31.8 13x + 27 = 10.6x² + 21.2x - 31.8 => -10.6x² - 21.2x + 31.8 + 13x + 27 = 0 -10.6x² - 8.2x + 58.8 = 0

a = 10.6

x=

b = 8.2

(- 1) =>

10.6x² + 8.2x - 58.8 = 0

c = -58.8

− (8.2) ± (8.2) 2 − 4(10.6)( −58.8) − 8.2 ± 2560.36 − 8.2 ± 50.6 = = 2(10.6) 212 . 212 .

x1 = 2

x 2 ≅ - 2.77

y

SOLUCION DE ECUACIONES QUE CONTIENEN RADICAL solución Forma

=>

( x )² = (b - a)²

x +a=b

x = b - a (elevar al cuadrado)

x = (b - a )²

26


ECUACIONES

Resolver : 1)

x = 4 (elevar al cuadrado) => ( x )² = (4)²

2)

x − 3 = 5 (elevar al cuadrado) => ( x − 3 )² = 5² x – 3 = 25

x = 16

x = 28

Debemos tener muy en cuenta lo siguiente : Se debe elevar al cuadrado ¡TODA! La parte izquierda y ¡TODA! la parte derecha y no cada una de las partes. Por ejemplo : Si tenemos

x - 5 = x y elevamos al cuadrado, no podemos cometer el siguiente error :

( x )2 – (5)2 = (x)2

¡ERROR!

¿Que se debe hacer entonces ? R/ Se debe hacer lo siguiente : Si x - 5 = x

elevar al cuadrado

( x - 5 )2 = x2

3)

¡ ESTO SI SE PUEDE HACER !

2 x − 3 + 9 = 2x

2 x − 3 = 2x - 9 (elevar al cuadrado)

=>

Aquí pasamos 9 al otro lado para que al elevar al cuadrado desapareciera el radical.

( 2 x − 3 )² = (2x - 9)²

=>

-4x² + 38x - 84 = 0 (-1)

=>

x² - 9.5x + 21 = 0

=>

a=1

2x - 3 = 4x² - 36x + 81 4x² - 38x + 84 = 0 ( ÷ 4) b = - 9.5

c = 21

− ( −9.5) ± ( −9.5) 2 − 4(1)(21) 9.5 ± 6.25 9.5 ± 2.5 x= = = 2(1) 2 2

27


x1 = 6

ECUACIONES

y

x 2 = 3.5

Reemplacemos en la ecuación inicial para verificar que cumple la igualdad : Si x = 6

=>

Si x = 3.5 =>

2(6) − 3 + 9 = 2(6)

=>

2( 35 . ) − 3 + 9 = 2(3.5)

=>

9 + 9 = 12 4+9=7

12 = 12 11 ≠ 7

Como x = 3.5 no satisface la ecuación ; significa entonces que x = 3.5 es una solución extraña, por tanto x = 3.5 no sirve. R/ x = 6

4)

x − 4 - 4 x + 3 = - 13 =>

x − 4 + 13 = 4 x + 3 (elevar al cuadrado)

Recordemos que (a+ b)2 = a2 + 2ab + b2 ( x − 4 + 13)² = (4 x + 3 )²

=>

x - 4 + 26 x − 4 + 169 = 16(x + 3)

( x − 4 )² + 26 x − 4 + 169 = 16( x + 3 )²

=>

x + 165 + 26 x − 4 = 16x + 48

26 x − 4 = 15x - 117 (volvemos a elevar al cuadrado) =>

(26 x − 4 )² = (15x - 117)²

676(x - 4) = 225x² - 3510x + 13689 => 676x - 2704 = 225x² - 3510x + 13689

- 225x² + 3510x - 13689 +676x - 2704 = 0 - 225x² + 4186x - 16393 = 0 (- 1) x² - 18.6x + 72.86 = 0

a=1

=>

225x² - 4186x + 16393 = 0 ( ÷ 225)

b = - 18.6

c = 72.86

− ( −18.6) ± ( −18.6) 2 − 4(1)(72.86) 18.6 ± 54.52 18.6 ± 7.38 x= = = 2(1) 2 2

x 1 = 13

x 2 = 5.6

y

Nota : Verificar si hay alguna solución extraña.

28


ECUACIONES

EJERCICIOS PROPUESTOS I. Resuelva las ecuaciones siguientes : 1. 3. 5. 7.

1+x=3-x 2. 4(x - 3) = 8 - x 4. 3 - 2(1 - x) = 5 + 7(x - 3) 6. 3z - 2 + 4(1 - z) = 5(1 - 2z) - 12 8. 9. 1 - 2[4 - 3(x + 1)] = 4(x - 5) - 1 10. 3[2x + 1 - 2(2x - 1)] + 4 = 2[1 + 2(3 - x)]

2x - 5 = - 15 - 3x 2x - 5(1 - 3x) = 1 - 3(1 - 2x) 6y - 5(1 + 2y) = 3 + 2(1 - y) 5[1 - 2(2z - 1)] = - 3(3z - 1) + 1

11.

3x + 7 1 + x = 2 3

12.

13.

5y − 6 2− y = y− 2 3

14. 1/3 (2y + 1) + ½ y = 2/5 (1 - 2y) - 4

15.

1 1 2z 1  1 + (3z − 1)  = −  2 4 3 2 

16.

17.

4x + 1 2 − 3x −8 = − 3 3

18.

4 − 3x 5 − 3x 3 − 2 x − = 10 5 10

20.

3 − 7x 4x + 1 2x + 4 + = 3− 16 8 16

19. −

4 − 2x 4 + x 3 + 4x 4 − 2x + = + 24 8 3 24

2x − 7 3x − 2 = 5− 3 4

3x − 5 4 − 5 x = 4 4

Respuestas : 1. 2. 3. 4. 5. 6.

x=1 x=-2 x=4 x = 3/11 x = 17/5 y=-5

7. z = - 1 8. z = 1 9. x = - 0 10. x = - 2 11. x = -19/7 12. x = 94/17

13. 14. 15. 16. 17. 18.

y=2 y = 122/59 z=3 x = 9/8 x = 21 x = 9/5

19. x = - 4/5 20. x = 13

II. Resuelva las siguientes ecuaciones por la fórmula cuadrática.

1. x² + 3x + 1 = 0

2. x² - 4x + 2 = 0

3. 2x² + 3x - 4 = 0

4. 3x² + 6x - 2 = 0

5. x² + x - 3 = 0

6. 4x² - 12x + 9 = 0

29


7. 4x² + 20x + 25 = 0

ECUACIONES

8. 2x² + 5x - 3 = 0

9. 5x(x + 2) + 6 = 3

10. (4x - 1) (2x + 3) = 18x - 4

11. (x + 1)² = 2 (x - 1)²

12. (2x + 1)² = 3(x + 1)²

13.

14.

2x + 1 4 = 3x − 5 4 x + 3

16. 5 3x − 2 − 8 = 2 x

3 − 5x 2 + =6 4 3x + 1

15.

2x + 1 + x = 7

17.

2 x − 1 + 3x + 1 = 7

Respuestas : 1. x1 = - 0.3821 x2 = - 2.618

8. x1 = 0.5 x2 = - 3

14. No hay solución en números reales.

2. x1 = 3.4142 x2 = 0.5858

9. x1 = - 0.3675 x2 = - 1.6325

15. x = 4

3. x1 = 0.8508 x2 = - 2.3508

10. x1 = 0.8536 x2 = 0.1465

16. x1 = 6 x2 = 4.75 17. x = 5

4. x1 = 0.291 x2 = - 2.291

11. x1 = 5.8284 x2 = 0.1716

5. x1 = 1.3028 x2 = - 2.3028

12. x1 = 2.7321 x2 = - 0.7321

6. x = 1.5

13. x1 = - 0.2 x2 = -4.333

7. x = - 2.5

30


ECUACIONES

SISTEMA SIMULTANEO DE 2 ECUACIONES CON 2 INCOGNITAS Un sistema simultáneo de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas es de la siguiente forma : a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y= c2

(1) (2)

Aquí tenemos 2 ecuaciones [ (1) y (2) ] con 2 incógnitas ( x e y). Ejemplo : y + 3x = 5 4y - 5x = 3

El objetivo de este sistema de ecuaciones es determinar los valores de x e y que satisfagan las dos igualdades. Para este sistema los valores que satisfacen las igualdades son x = 1 y y = 2. veamos :

Reemplazando tenemos : 2 + 3 (1) = 5

5=5

Ok !

4 (2) - 5 (1) = 3

3=3

Ok !

¿Como se determina esta solución x = 1 y y = 2 ? Para hallar la solución existen algunos métodos algebraicos para resolver el sistema. Estos son : 1) Sustitución 2) Igualación 3) Reducción Analicemos estos tres métodos : 1) SUSTITUCION Consiste en despejar de cualquiera de las dos ecuaciones una variable (ya sea x ó y) y reemplazarla en la otra ecuación restante, para que se genere una sola ecuación con una incógnita. Veamos : (1) y + 3x = 5 (2) 4y - 5x = 3 Despejamos “ y” de (1) y la reemplazamos en (2). Entonces de (1) y = 5 - 3x si reemplazamos en (2) quedaría 4(5 - 3x) - 5x = 3

31


ECUACIONES

y resolviendo nos daría : 20 - 12x - 5x = 3

=>

20 - 17x = 3

17 = 17x

=>

20 - 3 = 17x

x=1

Para determinar el valor de y reemplazamos x = 1 en cualquiera de las 2 ecuaciones, por ejemplo en (1) : y = 5 - 3 (1)

y=2

2) IGUALACION Consiste en despejar de las 2 ecuaciones la misma variable (ya sea x ó y) e igualarlas para que se genere una sola ecuación con una incógnita. Veamos : (1) y + 3x = 5 (2) 4y - 5x = 3

Despejamos de (1) y (2) la variable y, esto nos daría :

De (1) y = 5 - 3x De (2)

4y = 3 + 5x

=>

si igualamos nos quedaría 4 (5 - 3x) = 3 + 5x

20 - 3 = 12x + 5x

Entonces

=>

=>

y = 5 - 3 (1)

3 + 5x 4

y=

5 - 3x =

3 + 5x 4

20 - 12x = 3 + 5x

17 = 17x

1=x

y=2

32


ECUACIONES

3) REDUCCION Consiste en sumar o restar las 2 ecuaciones tratando de que se anule alguna de las 2 variables. Por ejemplo, tenemos :

(1) y + 3x = 5 (2) 4y - 5x = 3

Podemos observar que si sumamos o restamos las dos ecuaciones no se me anula ninguna de las variables. Pero, si multiplicamos la ecuación (1) por - 4 podremos lograr nuestro objetivo.

Veamos : (1) y + 3x = 5 (* - 4) (2) 4y - 5x = 3

- 4y - 12 x = - 20 4y - 5 x = 3 - 17x = -17

( - 1)

17x = 17 x=1

si x = 1 entonces y + 3 (1) = 5

=>

y=5-3

y=2

4) Resolvamos por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones: (1) (x + 3) y = 20 (2) y = 2x

Lo más adecuado es resolverlo por sustitución, o sea reemplazar y = 2x en (1).

Entonces : ( x + 3) 2x = 20

=>

2x² + 6x = 20

si dividimos entre 2

x² + 3x - 10 = 0

Factorizando tenemos

Recordemos que si ab = 0

=> 2x² + 6x - 20 = 0

(x + 5) (x - 2) = 0

→

a=0 v b=0

33


ECUACIONES

De aquí x+5 = 0

v

x1 = - 5

v

x–2=0

x2 =2

Si x 1 = - 5

=>

y 1 = 2 (- 5)

y 1 = - 10

Si x 2 = 2

=>

y 2 = 2 (2)

y2 = 4

La solución definitiva serán dos parejas : x1 = - 5 y 1 = - 10

ó

x2 =2 y2 = 4

5) Resolver ( por sustitución) (1) y + 2x = 4 (2) y² - 3x = 1

Despejamos y de (1) y reemplazamos en (2) y = 4 - 2x entonces reemplazando en (2) tenemos :

(4 - 2x)² - 3x = 1

=>

16 - 16x + 4x² - 3x = 1 a=4

b = - 19

(4)² - 2 (4) (2x) + (2x)² - 3x = 1 =>

4x² - 19x + 15 = 0

c = 15

x=

− ( −19) ± ( −19) 2 − 4(4)(15) 2( 4)

x=

19 ± 361 − 240 19 ± 11 = 8 8

si

x 1 = 15/4

=>

y 1 = 4 - 2 (15/4)

si

x2 =1

=>

y 2 = 4 - 2 (1)

x 1 = 15/4

;

x2 =1

y 1 = - 7/2 y2 = 2

34


ECUACIONES

La solución definitiva serán 2 parejas : x 1 = 15/4 y 1 = - 7/2

ó

x2 =1 y2 = 2

6) Resolver el siguiente sistema : y-

x+2 =2

(1)

y2 - 8x = 0

(2)

Podemos resolver este sistema por sustitución. Entonces despejando la variable y de (1) y reemplazarlo en (2) obtenemos : De (1) →

y=2+

x+2

Reemplazando en (2) x + 2 )2 – 8x = 0

→

4 + 4 x + 2 + ( x + 2 )2 - 8x = 0

4 + 4 x + 2 + x + 2 – 8x = 0

→

4 x + 2 = 7x – 6 [elevando al cuadrado]

(4 x + 2 )2 = (7x – 6)2

→

16(x + 2) = 49x2 - 84x + 36

(2 +

→

16x + 32 = 49x2 - 84x + 36

Resolviendo obtenemos :

x1 = 2

;

49x2 - 100x + 4 = 0

x2 =

2 49

Hallar y1 ∧ y2 y decir que pareja de estas es la solución.

35


ECUACIONES

EJERCICIOS PROPUESTOS Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones :

1) x + 4y = 3 3x - 2y = - 5

2) 4x + 2y = 9 5y - 4x = 5

3) 3x - 4y = 13 2x + 3y = 3

4) 2x - y = 1 - x + 2y = 7

5) 5y + 2w = 36 8y - 3w = - 54

6) p + q = 3 3p + 2q = 19

7) 4p + 12q = 6 2p + 6q = 3

8) 5x - 3y = 2 - 10x + 6y = 4

9) y = 4 - x² 3x + y = 0

10) y = x 3 x-y=0

13) x = y² y = x²

11) p² = 4 - q p=q+2

14) p² - q = 0 3q - 2p - 1 = 0

16) x² - y = 8 y - x² = 0

17) p = q p = q²

19) x² = y² + 14 y = x² - 16

20) x² + y² - 2xy = 1 3x - y = 5

36

12) y² - x² = 28 x - y = 14

15) y = 4x - x² + 8 y = x² - 2x

18) z = 4/w 3z = 2w + 2

21) x = y + 6 y=3 x+4


ECUACIONES

Respuestas : 1. x = -1 y=1 2. x = 1.25 y=2 3. x = 3 y=-1 4. x = 3 y=5 5. x = 0 w = 18 6. p = 13 q = - 10 7. Hay infinitas soluciones

8. No hay solución 9. x1 = 4 y1 = -12

15. x1 = 4 y1 = 8

x2 = -1 y2 = 3

10. x1 = 0 y1 = 0

x2 = 1 y2 = 1

11. p1 = 2 q1 = 0

p2 = -3 q2 = -5

x2 = -1 y2 = 3

16. No hay solución x3 = - 1 y3 = -1

17. q1 = 0 p1 = 0

q2 = 1 p2 = 1

18. w1 = 2 z1 = 2

w2 = -3 z2 = -4/3

19. x1 = ± 18 y1 = 2

12. x = 6 y=-8 13. x1 = 0 y1 = 0

x2 = 1 y2 = 1

20. x1 = 3 y1 = 4

14. q1 = 1 p1 = 1

q2 = 1/9 p2 = -1/3

21. x = 21 y = 15

37

x2 = ± 15 y2 = -1

x2 = 2 y2 = 1


ECUACIONES

APLICACIÓN A COSTOS Y PRODUCCION ECUACIONES DE COSTO, INGRESO Y UTILIDAD Supongamos que se va a producir un determinado artículo y para esto se hace una inversión inicial de $4’000.000 que no depende de la producción, a esto lo llamaremos costos fijos (CF). Después de hacer un análisis de costos nos damos cuenta que el costo de producir cada artículo es de $3000, este será el costo variable unitario y lo denotaremos por (c.v.u.) Si llamamos a

x : cantidad C : costo

→ → →

Cuál será el costo de 1 artículo ? Cuál será el costo de 2 artículos ? Cuál será el costo de 8 artículos ? Sucesivamente entonces :

C(1) = 3000 (1) C(2) = 3000 (2) C(8) = 3000 (8) : C(x) = 3000 x

Podemos observar que la cantidad está cambiando ó variando, y el costo variable unitario permanece constante. En consecuencia C(x) = 3000 x lo denominaremos costos variables debido a que el costo (C) depende del nivel de producción (x). Aquí no están involucrados los costos fijos. Si llamamos al costo total (CT), costos variables (CV) y costos fijos (CF), podemos definir :

C(x) = 3000 x + 4’000.000

CT = CV + CF

o sea que :

CT = (c.v.u) x + CF

Ecuación de costo total

Después de hacer un estudio de mercado nos damos cuenta de que podemos vender el artículo en $5000 cada uno. Si llamamos a I : ingreso p : precio de venta por unidad, entonces : Ingreso al vender 1 artículo Ingreso al vender 2 artículos Ingreso al vender 10 artículos Sucesivamente : Ingreso al vender x artículos

→ → →

I(1) = 5000 (1) I(2) = 5000 (2) I(10) = 5000 (10)

→

I(x) = 5000 x

38

Ecuación de ingreso


ECUACIONES

De aquí observamos que Ingreso = (precio de venta por unidad)(cantidad) ó de otra forma :

I = p.x

Para encontrar la utilidad debemos restarle al ingreso total el costo total. Si llamamos a U : utilidad entonces : Utilidad total = Ingreso total - Costo total O sea que :

U(x) = I(x) - C(x) U(x) = 5000 x - (3000 x + 4’000.000) U(x) = 5000 x - 3000 x - 4’000.0000 U(x) = 2000 x - 4’000.000

Ecuación de utilidad

La utilidad por cada unidad (2000) es el resultado de restar el precio de venta de cada unidad y el costo de cada unidad ó sea (5000 - 3000). Hasta ahora hemos obtenido 3 ecuaciones que son :

1) 2) 3)

C(x) I(x) U(x)

= 3000 x + 4’000.000 = 5000 x = 2000 x - 4’000.000

Al respecto respondamos las siguientes preguntas : 1) Cual es el ingreso, costo y utilidad total al producir y vender 4000 unidades ? R/

Si x = 4000 cuanto vale

Si x = 4000 Si x = 4000 Si x = 4000

→ → →

I(4000) C(4000) U(4000)

I=?

C=?

U=?

= 5000 (4000) = 3000 (4000) + 4’000.000 = 2000 (4000) - 4’000.000

→ I(4000) = 20’000000 → C(4000) = 16’000000 → U(4000) = 4’000000

2) Cuántas unidades se deben producir y vender para que la utilidad sea de $8’000000 ? R/ x = ? para que U = 8’000000 Sabemos que

U = 2000 x - 4’000000 entonces :

8’000000 = 2000 x - 4’000000

→

12’000000 = 2000 x

39


x =

12'000000 2000

ECUACIONES

→

x = 6000 unidades

3) Cuántas unidades se deben producir y vender para cubrir gastos ? R/ Para cubrir gastos se requiere que el ingreso sea igual al costo ó de otra forma que la utilidad sea igual a cero. Entonces : x = ? para que

I = C

U = 0

ó

Igualemos el ingreso y el costo : →

5000 x = 3000 x + 4’000000

5000 x - 3000 x = 4’000000 2000 x = 4’000000 x =

cantidad que se debe producir y vender para cubrir gastos

4'000000 2000

x = 2000 unidades

Otra forma : Igualemos la utilidad a cero : Sabemos que : Si

U=0

U(x) = 2000 x - 4’000.000

tenemos

entonces :

0 = 2000 x - 4’000000

4’000000 = 2000 x 4'000000 = x 2000

→

x = 2000 unidades cantidad para cubrir los gastos

Cuál es el ingreso y el costo para este nivel de producción :

I(2000) = 5000 (2000)

→

I = 10’000000

C(2000) = 3000 (2000) + 4’000000

→

C = 10’000000

Iguales

40


ECUACIONES

Observamos entonces que para ese nivel de producción el ingreso es igual al costo, o dicho en otras palabras, en ese nivel de producción estamos en ! EQUILIBRIO !. Esto indica que cubrir gastos es equivalente a estar en equilibrio. Hemos determinado 2 valores de equilibrio :

(2000 , 10’000000)

2000 Es el punto de equilibrio en unidades. 10’000000 Es el punto de equilibrio en unidades monetarias ($). Hasta ahora en términos generales hemos definido lo siguiente :

→

CT = CV + CF

CT = (c.v.u) x + CF I = p.x

Con esta información podemos hacer la siguiente formulación :

U = I - C

→

U = px - [(c.v.u) x + CF]

U = px - (c.v.u) x - CF U + CF = px - (c.v.u) x U + CF =

(sacando a x como factor común)

x ( p - c.v.u )

U + CF =x → p − c. v. u

Esta es la expresión para hallar el nivel de producción para cualquier utilidad

En este ejercicio sabemos que : CF = 4’000000 p = 5000 o sea que la expresión quedaría así :

x =

U + 4'000000 5000 − 3000

→

x =

41

c.v.u = 3000

U + 4'000000 2000


ECUACIONES

Preguntémonos ahora : Cuál debe ser el nivel de producción para que la utilidad sea de $8’000000 ? x = ? si U = 8’000000 entonces :

x=

8'000000 + 4'000000 12'000000 = 2000 2000

→

x = 6000 unidades

Es la misma respuesta a la pregunta No. 2

Cuál debe ser el nivel de producción para cubrir gastos ? x = ? para que U = 0 entonces :

x =

0 + 4'000000 2000

→

x = 2000 unidades

En términos generales el nivel de equilibrio en cantidad lo encontramos cuando U = 0. Expresión para hallar el punto de equilibrio en cantidad :

Nivel de equilibrio en cantidad =

CF p − c.v.u

Como se determinó el punto de equilibrio en pesos ? R/ Recordemos que reemplazamos

x = 2000

en la ecuación de ingreso.

I = 5000 (2000) = 10’000000 Precio de venta

Nivel de equilibrio en unidades

O sea que en términos generales el punto de equilibrio en unidades monetarias (pesos) lo podemos encontrar así : Punto de equilibrio en pesos = p .

CF p − c. v. u

42

→

P.E. ($) =

CF  p − c. v. u    p  


P.E. ($) =

CF c. v. u 1− p

ECUACIONES

Expresión para hallar el punto de equilibrio en pesos

Si aplicamos la fórmula anterior tendremos :

P.E. ($) =

4'000000 4'000000 = 3000 1 − 0.6 1− 5000

→

P.E. ($) =

4'000000 = 10’000000 0.4

c. v. u se llama Margen de Contribución (MC) y p se puede expresar como un porcentaje (%) .

El denominados que es equivalente a 1 −

En este caso el MC es 0.4 ó sea del 40%. Acabamos de resolver un ejercicio donde CF = 4’000000, c.v.u = $3000, p = $5000 y esto nos arrojó los siguientes resultados PE(cantidad) = 2000, PE($) = $10’000000. Con respecto de la situación inicial, cuál sería el nuevo punto de equilibrio y el Margen de Contribución si :

a) b) c) d)

El precio de venta se incrementa en un 20%. El costo variable unitario disminuye en un 25%. Los costos fijos aumentan en un 20%. Simultáneamente el precio de venta aumenta en un 25% , el costo variable unitario aumenta en un 40% y los costos fijos disminuyen en un 45%.

Solución : a) CF = 4’000000

c.v.u = $3000

p = 5000 (1.2) →

reemplazando tenemos : PE(cant.) =

4'000000 = 1333 unidades 6000 − 3000

43

p = $6000


PE($) =

ECUACIONES

4'000000 4'000000 = $8’000000 = 3000 0.5 1− 6000 Margen de contribución = 50%

En conclusión para empezar a tener utilidad se deben vender 1333 unidades y no 2000 unidades como en la condición inicial. Esto debido a que el precio de venta aumentó en un 20%. Cuál sería el nuevo equilibrio si el precio de venta hubiera disminuído en un 20% ?

b) CF = 4’000000

c.v.u = $3000 (0.75) = $2250

p = $5000

reemplazando tenemos :

PE(cant.) =

PE($) =

4'000000 = 1455 unidades 5000 − 2250


Amigo lector : usted mismo de una conclusión y diga cuál sería el nuevo punto de equilibrio si el costo variable unitario aumenta en un 25%.

c) CF = 4’000000 (1.2) = 4’800000

c.v.u = $3000

p = $5000


PE($) =

4'800000 = 2400 unidades 5000 − 3000


Concluya usted mismo y diga que hubiera pasado si los costos fijos disminuyen en un 20%.

44


d) CF = 4’000000 (0.55) CF = 2’200000

ECUACIONES

c.v.u = $3000 (1.4) c.v.u = $4200

p = 5000 (1.25) p = 6250


PE($) =

2'200000 = 1073 unidades 6250 − 4200

2'200000 2'200000 = $6’707317 = 4200 0.328 1− 6250 Margen de contribución = 32.8%

Concluya usted y diga : Que pasaría si simultáneamente los costos fijos aumentan en un 30%, el costo variable unitario disminuye en un 20% y el precio de venta aumenta en un 16% ?

45


ECUACIONES

EJERCICIOS RESUELTOS 1) Un grupo de estudiantes de primer semestre alquila una carpa para una actividad por $24000. Dos de las personas del grupo no asistieron (no pagaron) por lo cual el resto de estudiantes canceló $600 más cada uno. Determine el número de estudiantes que pagaron la carpa. Sea

x x-2 24000 / x 24000 / (x - 2)

= Número de estudiantes que alquilaron la carpa. = Número de estudiantes que pagaron. = Costo por persona si hubiesen sido x personas. = Costo por persona si hubiesen sido x - 2 personas. 24000 + 600 x 24000 = x x−2

24000 24000 + 600 = x x−2

(24000 + 600x) (x - 2) = 24000x 600x² - 1200x - 48000 = 0

x² - 2x - 80 = 0 x - 10 = 0

⇒

24000x - 48000 + 600x² - 1200x = 24000x

( ÷ 600)

(x - 10) (x + 8) = 0 v

x = 10

x+8=0 x=-8

No sirve

Número de personas que alquilan la carpa = 10 Número de personas que pagaron la carpa = 8

2) Un electrodoméstico que costo $90000 fue puesto a un precio de venta V. Como no se vendió, el precio fue reducido 1/3. El almacén aún gana el 10% sobre el costo original. Encontrar el precio de venta V.

Recordemos que : Utilidad = Ingreso - Costo Costo = 90000

U=I-C

Utilidad = 10% del costo

9000 = V - 1/3V - 90000

Precio de venta = V = ?

9000 = 2/3V - 90000

46


ECUACIONES

90000 + 9000 = 2/3V 2/3 V = 99000 Precio de venta

V = 148500

3) Usted ha ganado $200000 y desea invertirlos. Si coloca una parte al 8% y lo demás al 12%. Cuanto deberá invertir a cada tasa de interés para que el rendimiento sea el mismo que si colocara todo al 11% ?

200000

x 8%

y 12%

x = Cantidad invertida al 8% y = Cantidad invertida al 12%

(1) x + y = 200000 (2)

x = 200000 - y

8 12 11 x+ y= (200000) 100 100 100

Reemplazando en (2) tenemos :

8 12 (200000 − y ) + y = 22000 100 100

0.08 (200000 - y) + 0.12y = 22000

16000 - 0.08y + 0.12y = 22000 0.04y = 6000

x = 200000 - 150000

0.04y = 22000 - 16000

y = 6000 / 0.04

y = 150000

x = 50000

R/ Invertir $150000 al 12% y $50000 al 8%

47


ECUACIONES

4) Como resultado de dos (2) inversiones una persona recibe mensualmente $30255. Una de las inversiones produce al 4% y la otra al 3%. Si las inversiones se intercambiaran una por otra ganarían $28090 mensual. A cuanto asciende cada inversión ? x = Cantidad invertida al 4% y = Cantidad invertida al 3% Ecuaciones :

4 3 x+ y = 30255 100 100

(1)

3 4 x+ y = 28090 100 100

(2)

(4x + 3y) / 100 = 30255

4x + 3y = 3’025500

(1)

(3x + 4y) / 100 = 28090

3x + 4y = 2’809000

(2)

Por reducción :

4x + 3y = 3’025500

(- 4)

3x + 4y = 2’809000

(* 3)

-16x - 12y = - 12’102000 9x + 12y = 8’427000 -7x

= - 3’675000 7x = 3’675000

(*- 1) x = 3’675000 / 7

x = 525000

Reemplazando x = 525000 en (1) tenemos : 4 (525000) + 3y = 3’025500

2’100000 + 3y = 3’025500

3y = 3’025500 - 2’100000

3y = 925500

R/ Las inversiones son de $525000 y $308500.

48

y = 308500


ECUACIONES

5) La ecuación de la demanda diaria para el producto de un fabricante esta dada como : q + p - 200 = 0, donde p es el precio de venta por unidad y q es la cantidad producida y demandada. Existe un costo fijo de $2800 y cada unidad producida tiene un costo de $45. Cuántas unidades deberá producir el fabricante en el día para obtener una utilidad de $3186 diarios. p : Precio de venta q : Cantidad Costo variable unitario : $45 c/u

Costos fijos : $2800

Aquí nos están preguntando q = ? para que U = 3186. Esto nos indica que debemos tener una ecuación que me relacione utilidad (U) con cantidad (q); y posteriormente reemplazar U = 3186 y despejar q. Recordemos que :

Costo Total = Costo variable + costo fijo

CT = CV + CF

C(q) = 45q + 2800

También : Ingreso = Precio * Cantidad I = p.q

como p + q - 200 = 0

I = (200 - q) q

p = 200 - q I = 200q - q²

Sabemos que : Utilidad = Ingreso - Costo U=I-C

U = 200q - q² - (45q + 2800)

U = 200q - q² - 45q -2800 U = - q² + 155q - 2800

q=?

3186 = - q² + 155q - 2800

q² - 155q + 2800 + 3186 = 0

q² - 155q + 5986 = 0

a=1

b = - 155

Para que U = 3186

c = 5986

q=

− ( −155) ± ( −155) 2 − 4(1)(5986) 155 ± 24025 − 23944 = 2(1) 2

q=

155 ± 81 155 ± 9 = 2 2

q1 = 82

49

;

q2 = 73


ECUACIONES

6) Supóngase que los consumidores adquirirán q unidades de un producto, si el precio es de (80 - q) / 4 por unidad. Cuántas unidades deben venderse para que los ingresos por ventas sean de $400 ? q = Cantidad

; p = Precio

;

I = Ingreso

Como nos están preguntando q = ? para I = 400 entonces debemos tener una relación entre ingreso y cantidad; para reemplazar I = 400 y posteriormente despejar q. p=

80 − q 4

q = ? si I = 400

Recordemos que I = p.q 80q − q 2 I= 4

I=(

⇒

80q − q 2 → 400 = 4

Como I = 400

q² - 80q + 1600 = 0 q - 40 = 0

80 − q )q 4 ⇒

1600 = 80q - q²

(q - 40) (q - 40) = 0

⇒ v

q - 40 = 0

q = 40

q = 40

R/ Se deben vender 40 unidades para que el ingreso sea de $400.

7) Cada semana, una compañía puede vender unidades de su producto a un precio de p dólares cada uno, en donde p = 600 - 5x. si le cuesta a la compañía (8000 + 75x) dólares producir x unidades.

a. Cuántas unidades debería vender la compañía a la semana si desea generar un ingreso de U$17500 ?

b. Que precio por unidad debería fijar la compañía con el propósito de obtener ingresos semanales por U$18000 ?

c. Cuántas unidades debería producir y vender cada semana para lograr utilidades semanales de U$5500 ?

d. A que precio por unidad generaría la compañía una utilidad semanal de $5750 ? x = Cantidad p = 600 - 5x a) x = ?

Si I = px

p = Precio C(x) = 8000 + 75x

⇒ ⇒

I = 175000

⇒

I = (600 - 5x)x

Debo tener ingreso en términos de x ⇒

I(x) = 600x - 5x²

50

Ahora reemplazo I = 175000


ECUACIONES

17500 = 600x - 5x²

⇒

5x² - 600x + 17500 = 0

x² - 120x + 3500 = 0

⇒

a=1

b = - 120

x=

− ( −120) ± ( −120) 2 − 4(1)(3500) 2(1)

x=

120 ± 20 2

x1 = 70

⇒

⇒

(÷5) c = 3500

x=

120 ± 400 2

x2 = 50

;

R/ Para que el ingreso sea de 17500 se deben producir y vender 50 ó 70 unidades. [ I = p.x]

Si x = 70

⇒

p = 600 - 5 (70)

⇒

p = 250

⇒

I = 250 (70) I = 17500

Si x = 50

⇒

p = 600 - 5 (50)

⇒

p = 350

⇒

I = 350 (50) I = 17500

Nota : Podemos observar que en la medida en que la cantidad disminuye el precio aumenta ó viceversa, (en la medida que el precio aumenta la cantidad disminuye). b) p = ?

⇒

I = 18000

⇒ Debo tener ingreso en término de p.

Para tener I(p) debo despejar a x en términos de p, veamos : p = 600 - 5x ⇒ x = 120 - (1/5)p

5x = 600 - p

I = px

como

x=

⇒

⇒

600 − p 5

I = p (120 - 1/5 p) I(P) = 120p - 1/5 p²

Ahora reemplazo I = 18000 18000 = 120p - 1/5 p² a = 1/5 = 0.2

⇒

b = - 120

1/5 p² - 120p + 18000 = 0 c = 18000

51


ECUACIONES

− ( −120) ± ( −120) 2 − 4(0.2)(18000) 120 ± 0 p= = 2(0.2) 0.4

P = 300

R/ Para que el ingreso sea de 18000 se debe fijar un precio de u$300. Si p = 300

⇒

x = 120 - 1/5 (300)

⇒

x = 60

⇒

I = 300 (60) I = 18000

c) x = ?

⇒

U = 5500

U=I-C

⇒

U = 600x - 5x² - (8000 + 75x)

⇒ Debo tener utilidad en términos de x.

U = 600x - 5x² - 8000 - 75x U = - 5x² + 525x - 8000 Ahora reemplazo U = 5500

5x² - 525x + 13500 = 0

Solucionando tenemos

⇒

5500 = - 5x² + 525x - 8000

x1 = 45

;

x2 = 60

R/ Para que la utilidad sea de u$5500 se deben producir 45 ó 60 unidades (hacer la prueba)

d) p = ? ⇒

U = 5750

⇒

Debo tener utilidad en términos de p.

U(p) = I(p) - C(p) I(p) = 120p - 1/5 p² Debo hallar ahora el costo en términos de p, tenemos C = 75x + 8000 C(p) = ?

⇒

C = 75(120 - 1/5 p) + 8000 C = 9000 - 15 p + 8000 C(p) = 17000 - 15p

U = 120p - 1/5 p² - (17000 - 15p)

U = 120p - 1/5 p² - 17000 + 15p

U(p) = - 1/5 p² + 135p - 17000

⇒

52


Ahora reemplazamos U = 5750

ECUACIONES

→ 0.2p2 – 135p + 22750 = 0

Solucionando tenemos p1 = 325 ;

p2 = 350

R/ El precio para que la utilidad sea de 5750 debe ser 325 ó 350.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Un comerciante en bienes raíces compra un terreno en una colina a $200000 la hectárea. El 20% del terreno no se podía aprovechar para ser lotificado, por lo que decidió donarlo a la comunidad. El resto lo vendió en lotes de una hectárea a $2000000 cada uno, lo que le produjo una utilidad de $10000000. Cuantas hectáreas compro ? R/ 7.1429 hectáreas 2) Un hombre invierte el doble de la cantidad que destina a un 8% al 5%. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de $840000. Cuanto invirtió a cada tasa ? R/ 4’666667 al 8% y 9’333333 al 5% 3) Un comerciante ofrece un 30% de descuento al precio marcado de un artículo y aún obtiene una utilidad de un 10%. Si el artículo tiene un costo de $35. ¿Cuál debe ser el precio mercado? R/ $55 4) Un concierto de música andina produjo $600000 por la venta de 8000 boletas. Si las boletas se vendieron a $60 y $100 cada una. ¿Cuántas boletas de cada tipo se vendieron? R/ 5000 de $60 y 3000 de $100. 5) Un comerciante de autos usados compra dos automóviles en $2900000. Vende uno con una ganancia del 10% y el otro perdiendo el 5% y aún obtuvo una utilidad de $185000 por la transacción completa. Determine el costo de cada vehículo. R/ $2’200000 y $700000. 6) Los miembros de una fundación desean invertir $18000000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9% y 6% respectivamente. Cuánto deberán invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% la inversión total. R/ 12’000000 al 9% y 6’000.000 al 6%. 7) Una firma industrial fabrica un producto que tiene costos variables de $3500 por unidad si los costos fijos son de $950000 y se vende cada unidad en $5000. ¿Cuántas unidades deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de $500000 ? R/ 967 unidades.

53


ECUACIONES

8) Los administradores de una compañía desean saber el total de unidades que deben venderse para que la firma obtenga utilidades de $1’000000. Se tienen disponibles los siguientes datos : precio unitario de venta, $3000 ; costo variable por unidad, $2000 ; costos fijos totales, $600000. R/ 1600 unidades. 9) Una persona desea invertir $20’000000 en dos empresas, de manera que sus ingresos totales sean de $1’440000 al año. Una compañía paga 6% anual ; la otra tiene un mayor riesgo y ofrece 7.5% anual. ¿Cuánto debe invertir en cada una de ellas ?. R/ 4’000000 al 6% y 16’000000 al 7.5%. 10) Una persona invirtió $20’000000. Una parte a una tasa de interés de 6% anual, y el resto al 7% anual. El total de intereses ganados al final del primer año fue equivalente a una tasa anual de 6 ¾ % sobre el total de los $20’000000. ¿Cuánto se invirtió a cada tasa de interés? R/ 5’000000 al 6% y 15’000000 al 7%. 11) En una compañía se sabe que si se venden q unidades de un producto, sus ingresos totales por las ventas serán de 10q. Si los costos variables por unidad son de $2 y los costos fijos son de $1200, encuéntrese los valores de q para los cuales : Ingresos totales de venta = Costos variables + Costos fijos (es decir, una utilidad igual a cero). R/ q = 150 12) Los ingresos mensuales I de cierta compañía, están dados por I = 800p - 7p², en donde p es el precio en dólares del producto de fabrica. A qué precio se obtendrían ingresos de $10000, si el precio debe ser superior a $50? R/ $100. 13) Un colegio destina $60’000000 a un fondo a fin de obtener ingresos anuales de $5’000000 para becas. Parte de eso se destinará a inversiones en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos a largo plazo a un 10.5%. ¿Cuánto deberán invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido?. R/ 52’000000 al 8% y 8’000000 al 10.5% 14) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio de p dólares por unidad, en donde p = -(1/2)x + 7000. Cuesta (3000x + 3’000000) dólares producir x unidades.

a. Cuántas unidades debería vender a la semana si desea generar ingresos por $20’000000. R/ 10000 ó 4000 unidades. b. A que precio por unidad generaría un ingreso semanal de $15’000000. R/ $1320 ó $5679.50 c. Cuántas debería producir y vender el fabricante a la semana para obtener una utilidad de $4’000000. R/ 5415 ó 2586 unidades d. A que precio por unidad generaría el fabricante una utilidad semanal de $3’500000. R/ $4134 ó $5866

54


ECUACIONES

15) Un hombre invierte el doble de la cantidad que destina a un 9% al 6%. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de $550000. ¿Cuánto invirtió a cada tasa?. R/ 2’619048 al 9% y 5’238096 al 6%. 16) Un fabricante de muebles produce mensualmente 80 escritorios que vende al doble de lo que le cuesta producirlos cada mes. Si tiene unos costos fijos de $1’400000 mensuales. Cuál es el costo de producir cada escritorio, si sus utilidades son de $3’800000 mensuales? R/ $65000 c/u 17) Un cierto número de personas contrata un recorrido en chiva por $90000. Si van 5 personas más el pasaje por persona disminuiría en $600. ¿Cuántas personas hacen el recorrido y cuál el valor del pasaje por persona?. R/ 30 personas, 3000 por persona. 18) Un hombre invierte un total de $18’000000 en bonos, papel comercial y depósitos a plazo fijo que le producen intereses de 5%, 12% y 8% respectivamente. La cantidad invertida en bonos y en depósitos a plazos fijos es dos veces la cantidad invertida en papel comercial ?, Cuánto tiene en cada tipo de inversión si las ganancias anuales por estas inversiones son de $1’410000. R/ 9’000000 en bonos, 6’000000 en papel comercial, 3’000000 en depósitos a plazo fijo. 19) Ocho personas desean comprar un regalo para un matrimonio y dividirse el costo equitativamente, encuentran que si incluyen a cuatro personas más, el costo por persona será de $3000 menos. Determinar el precio del regalo. R/ $72000. 20) Cierta compañía emplea 345 personas en dos oficinas periféricas. De esta gente, el 22.03% son universitarios graduados. Si un quinto de las personas que laboran en la primera oficina y dos novenos de los que se encuentran en la segunda oficina son universitarios graduados. Cuántos empleados tiene cada oficina? R/ 30 personas en la primera oficina, 315 personas en la segunda oficina. 21) Un distribuidor paga a la editorial “EDITA”, el 28% menos del precio de lista de un texto. Si el precio de lista de un texto es de $2520 , ¿Cuál es el porcentaje que agrega el distribuidor con el objeto de vender al precio de lista?. R/ 38.89% 22) Una vendedora gana un salario base de $600000 por mes, más una comisión del 10% por las ventas que haga. Ella descubre que en promedio le toma 1 ½ horas realizar ventas por un valor de $100000. ¿Cuántas horas debería trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000000? R/ 210 horas. 23) Un comerciante de ganado compró 1000 reses a 150 dólares cada una. Vendió 400 de ella obteniendo una ganancia del 25%. A qué precio deberá vender las restantes, si la utilidad promedio del lote completo ha de ser del 30%? (ecuación una variable). R/ $200.

55


ECUACIONES

24) Una señora va invertir 70000 dólares, ella quiere recibir ingreso anual US$5000. Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 6%, o con un riesgo mayor al 8.5% en bonos hipotecarios. Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga sus US$5000? (ecuación una variable o sistemas 2x2). R/ 38000 al 6% y 32000 al 8.5%. 25) El fabricante de cierto producto puede vender todo lo que produce al precio de $2000 c/u. le cuesta $1250 producir cada artículo por los materiales y la mano de obra, y tiene como costo adicional $70000 al mes, con el fin de operar la planta. Encuentre el numero de unidades que debe producir y vender para obtener una utilidad de $50000 al mes ? R/ 160 unidades. 26) Un fabricante puede vender x unidades de un producto a la semana a un precio de p dólares por unidad, en donde x = 160 (10-p). cuesta (4x + 400) dólares producir x unidades a la semana. Cuántas unidades debería producir y vender para obtener una utilidad semanal de $1000 ? R/ 560 ó 400 unidades. 27) Un hombre invierte el triple de la cantidad que destina a un 7% al 6%. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de $560000. ¿Cuánto invirtió a cada tasa? R/ 2’240000 al 7% y 6’720000 al 6%. 28) Un colegio destina $60’000000 a un fondo a fin de obtener ingresos anuales de $5’000000 para becas. Parte de esto se destinara a inversiones en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos a largo plazo a un 10.5%. cuánto deberán invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido ? R/ 52’000000 al 8% y 8’000000 al 10.5%. 29) Los miembros de una fundación desean invertir $18’000000 en dos tipos de seguros que pagan dividendo anuales del 9% y 6%, respectivamente. ¿Cuanto deberán invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que producirá al 8% la inversión total? R/ 12’000000 al 9% y 6’000000 al 6%. 30) Le cuesta a un fabricante $200000 comprar las herramientas a fin de producir cierto artículo doméstico. Si tiene un costo de 6000 por el material y la mano de obra de cada artículo producido y si el fabricante puede vender todo lo que produce a 9000 cada uno. Determine cuántos artículos debería producir con objeto de obtener utilidades por $100000. R/ 100 artículos. 31) Un comerciante vende un reloj en $75. Su utilidad porcentual fue igual al precio de costos en dólares. Encuentre el precio de costo del reloj. R/ $50. 32) El ganador de la lotería Nacional quiere invertir su premio de $100000 en dos inversiones al 8% y 10%. Cuanto debería invertir en cada una de ellas si desea obtener ingresos anuales por $8500 ? R/ 75000 al 8% y 25000 al 10%.

56


INECUACIONES

CAPITULO

INECUACIONES

3

DEFINICION Una inecuación es una desigualdad donde interviene una o más variables y cuyo objetivo es determinar el valor de estas variables para que se me cumpla la desigualdad. Las siguientes son inecuaciones o desigualdades : c) 3x - 4y ≥ 12 d) x2 - 6x + 9 ≤ 0

a) 3x - 5 > 4 b) x - 5 ≤ 3

Cuando tratamos las ecuaciones hablábamos de “igualdad” donde intervenían una o más variables, donde el símbolo era “=”. En las inecuaciones usaremos los siguientes símbolos : a) b) c) d)

< > ≤ ≥

“se lee menor que” “se lee mayor que” “se lee menor o igual que” “se lee mayor o igual que”

Por ejemplo si tenemos x ≥ 5 leeríamos “equis mayor ó igual que cinco”. Podríamos representar de alguna manera x ≥ 5 ? R/ Sí. Esto se puede representar en una recta que vamos a llamar “Recta Numérica o Real” que consiste en una recta horizontal dividida en intervalos iguales donde se puedan representar todos los números reales. Ejemplo :

.......

-5 -4

-3

-2 -1

0

1

2

3

Como representaríamos en esta recta x ≥ 5 ?

57

4

5 .......


INECUACIONES

R/ Gráficamente quedaría así :

0

1

2

3

4

5

Podemos observar que todos los valores (inclusive el cinco) que están sobre el vector (flecha) son mayores o iguales a cinco. De que otra manera se puede representar ? R/ Otra forma de representarlo es mediante un intervalo. Por ejemplo : Si observamos la recta arriba nos damos cuenta que los valores que cumplen la desigualdad son los números que van desde cinco (inclusive) hasta infinito, y esto se puede representar así : [5 , + ∞ ) el corchete a la izquierda indica que cinco también se incluye en la solución. Nota : Si la desigualdad hubiese sido x > 5 no iría corchetes, sino un paréntesis o sea (5 , + ∞ ). La solución se podría escribir por comprensión de la siguiente manera :

S =

{ x / x ≥ 5}

solución Se lee “los equis tales que equis sea mayor ó igual a cinco”

En conclusión : Cuando se tiene x ≥ 5 esto se podrá representar de tres formas, así :

Gráficamente 0

5

S = [5 , + ∞ )

S =

{ x / x ≥ 5}

Como un intervalo

Por comprensión

58


INECUACIONES

EJERCICIOS RESUELTOS

Representar de las tres formas posibles las siguientes desigualdades. b) x ≤ 2/3

a) x > 3

c) - 4 ≤ x < 5

R/ a)

Gráficamente 0

3

Intervalo

⇒ S = ( 3 , +∞)

Comprensión

⇒

S = { x / x > 3}

Gráficamente

b)

0

2/3 S = ( − ∞ , 2/3]

Intervalo

⇒

Comprensión

⇒ S =

{ x / x ≤ 23 }

Gráficamente

c)

-4

0

5

Intervalo

⇒ S = [ -4 , 5 )

Comprensión

⇒

S = { x / −4 ≤ x < 5}

59


INECUACIONES

EJERCICIOS PROPUESTOS Representar, gráficamente, mediante un intervalo y por comprensión las siguientes desigualdades : a) x ≥ 6 d) x ≤ -4

b) x ≤ 0 e) 0 < x ≤ 6/5

c) x > -5/2 f) -5 ≤ x < 0

DESIGUALDADES LINEALES EN UNA VARIABLE Forma

⇒

Solución

⇒

ax + b ≥ c

ax ≥ c - b

⇒

x ≥

c−b a

EJERCICIOS RESUELTOS 1) Resolver la siguiente desigualdad : 3x - 8 ≥ 10 3x - 8 ≥ 10

⇒

3x ≥ 10 + 8 3x ≥ 18 ⇒

x ≥ 18/3

⇒

x≥6

Solución : S = [6 , + ∞ ) 0

6

⇒

2x < 4 - 5 2x < - 1 ⇒

2) Resolver : 2x + 5 < 4

x < -½

60

ó

S = { x / x ≥ 6}


INECUACIONES

S = ( − ∞, - ½ )

-½

ó

S = { x / x < − 21 }

0

3) Resolver :

5 - 3x ≥ 7

- 3x ≥ 7 - 5 - 3x ≥ 2 (multiplicando por -1)

⇒

3x ≤ - 2

⇒

x ≤ - 2/3

Nota : Siempre que una desigualdad se multiplique por -1 el sentido de esta cambia.

S = ( − ∞ , - 2/3 ] - 2/3

ó

S = { x / x ≤ − 23 }

0

4) Resolver : 2x − 5 ≥2 3

⇒

2x - 5 ≥ 6

⇒

2x ≥ 11

⇒

x ≥ 11/2

Nota : Dar la solución.

5) Resolver : 5 − 2x 4x − 7 < 3 2

⇒

2 (5 - 2x) < 3 (4x - 7) 10 - 4x < 12x - 21 - 16x < - 31

(-1)

Nota : Dar la solución.

61

⇒

⇒

- 4x - 12x < - 21 - 10 16x > 31

⇒

x > 31/16


6) Resolver :

−

INECUACIONES

2 + 3x 4 x − 5 2 − 3 x 5x + ≤ − 12 3 4 3

− (2 + 3x ) + 4(4 x − 5) 3(2 − 3x ) − 20 x ≤ 12 12 13x - 22 ≤ - 29x + 6

⇒

⇒

- 2 - 3x + 16x - 20 ≤ 6 - 9x - 20x

13x + 29x ≤ 6 + 22

⇒

x ≤ 28/42 ⇒

42x ≤ 28 x ≤ 2/3

Nota : Dar la solución

EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver las siguientes desigualdades y dar la solución gráfica y mediante intervalo.

1) 4x - 2 > 6

R/ x > 2

2) 3x - 1 ≤ 8

R/ x ≤ 3

3)

3x − 1 ≥4 3

4) −

2 − 5x 4 x + 1 ≥ 3 6

5) 3x - [2x - 3(6x + 1)] ≥ 2 - 5x 6) −

7)

2( 3 − 5x 2 x − 1 ≥ 3 4

R/ x ≥ 13/3 R/ x ≥ 5/6 R/ x ≥ - 1 /24 R/ x ≥ 21/34

2x − 1 3 − 2x 5 − 2 x 3x − 4 − ≥− + 15 3 5 3

R/ x ≤ 19/9

2x + 3 3 − x 5 + 3x 5x + <− + 18 9 9 3

R/ x > 13/28

8) −

62


INECUACIONES

SOLUCION DE INECUACIONES CUADRATICAS EN UNA VARIABLE

ax² + bx + c ≥ 0 FORMA

;

a≠0

;

a≠0

ó

ax² + bx + c ≤ 0

Las siguientes son inecuaciones ó desigualdades cuadráticas en una variable. a) x² + 2x - 15 ≥ 0

b) - 15 x 2 + 23 x + 10 < 0

c) 2x² - 8x < 0

d) - 2x² + 32 > 0

e) 4x² ≥ 0

Ejemplo : Resolver la siguiente inecuación ó desigualdad : x² + 2x - 15 ≥ 0 Podemos factorizar el trinomio de la izquierda y nos quedaría así : (x+5)(x-3) ≥ 0 Teniendo esta situación de esta forma, o sea a.b ≥ 0 podríamos resolver la desigualdad de la siguiente manera : Pasos : 1) Igualar cada uno de los factores a cero y despejar la variable : x+5 = 0

x-3=0

x=-5

x=3

2) Ubicar los valores anteriores en la recta numérica :

-5

3 63


INECUACIONES

3) Podemos observar que se tienen 3 intervalos para analizar. Cuales ? Intervalo 1 Intervalo 2 Intervalo 3

⇒ ⇒ ⇒

( − ∞ , -5 ) ( -5 , 3 ) ( 3, +∞)

Recordemos que la desigualdad esta escrita así : (x+5)(x-3) ≥ 0

(*) Esto indica que este producto debe ser positivo.

Que se debe hacer entonces ? R/ De cada uno de los intervalos (1, 2, y 3) se va a escoger un valor y se reemplazará en (*) ; sí el resultado es positivo esto indicará que todos los valores de ese intervalo satisfacen la desigualdad, o sea que todo ese intervalo será solución de la desigualdad ; y en caso contrario (si el resultado es negativo) el intervalo analizado no será solución de la desigualdad. Veamos : Escojamos del intervalo 1 ⇒ ( − ∞ , -5 ) un valor cualquiera por ejemplo x = - 7 y reemplacemos en (*) esto nos daría : (- 7 + 5) (- 7 - 3) = ( - 2) (- 10) = 20 Preguntémonos ¿ 20 ≥ 0 ? R/ sí Esto indica entonces que x = - 7 satisface la inecuación y podemos concluir entonces que todos los valores del intervalo ( − ∞ , -5 ) satisfacen la desigualdad y por tanto ese intervalo será parte de la solución de la desigualdad. Analicemos ahora el intervalo 2 ⇒ reemplacemos en (*) : ( 0 + 5 ) (0 - 3 ) = ( 5 ) ( - 3) = - 15

( -5 , 3 ). Escojamos un valor, por ejemplo x = 0 y

;

¿ - 15 ≥ 0 ? R/ No

Esto indica entonces que el intervalo ( - 5 , 3 ) no es solución de la desigualdad. Tomemos ahora el intervalo 3

⇒

( 5 + 5 ) ( 5 - 3 ) = ( 10 ) ( 2 ) = 20

( 3 , + ∞ ) Reemplacemos en (*) x = 5 : ;

20 ≥ 0 ?

R/ sí

Entonces el intervalo ( 3 , + ∞ ) es solución de la desigualdad.

64


INECUACIONES

Al final de cuentas gráficamente, tendríamos :

-5

3

S = ( - ∞, - 5 ] ∪ [ 3 , + ∞ )

De otra forma :

ó

S = { x / x ≤ −5} ∪ { x / x ≥ 3}

Nota : Debido a que la inecuación tiene el símbolo “ ≥ ” entonces tanto el - 5 como el numero 3 son parte de la solución y se incluyen en esta. La inecuación anterior era de la forma a.b ≥ 0 . De que otra forma debe estar la inecuación para resolverla por el método anterior ? R/ Para resolver por el método anterior se debe tener la inecuación de alguna de las formas que a continuación se describe : 1) ab ≥ 0 2) ab ≤ 0

ó

ab > 0

ab < 0

ó

3)

a ≥0 b

ó

a >0 b

4)

a ≤0 b

ó

a <0 b

Cada una de estas formas podría extenderse a más factores ; por ejemplo : 1) abc ≥ 0

ó

abcd. . . . z ≥ 0

abc ≥0 de

ó

abc <0 de

2)

Nota : Se puede trabajar con cualquier número de factores, pero teniendo en cuanta que todos estos se deben estar multiplicando entre sí.

65


INECUACIONES

EJERCICIOS RESUELTOS Para cada caso resolver la inecuación por el método explicado anteriormente y dar la solución en la recta real y mediante un Intervalo. 1) Resolver : x2 - 3x - 4 < 0 Factorizando tenemos :

(x-4)(x+1)<0

Igualo cada factor a cero : x - 4 = 0 ; x = 4;

forma ab < 0 (negativo)

x+1=0 x=-1

-1

4

i) Si x = -3 ⇒ ( - 3 - 4 ) ( - 3 + 1 ) = ( - 7 ) ( - 2 ) = 14 > 0 Esto indica que el intervalo (- ∞ , - 1) no es solución.

ii) Si x = 0 ⇒ ( 0 - 4 ) ( 0 + 1 ) = ( - 4 ) ( 1 ) = - 4 < 0 Esto indica que el intervalo ( - 1 , 4 ) si es solución. iii) Si x = 5 ⇒ (5-4)(5+1) = (1)(6) = 6 >0 Esto indica que el intervalo ( 4 , + ∞ ) no es solución. Solución : S= (-1,4) -1

4

Nota : Como la inecuación tiene el símbolo < esto me indica que los valores -1 y 4 no pertenecen a la solución y por tanto no se incluyen. 2) Resolver :

2x + 5 >0 x

→

forma :

a >0 b

Igualando los factores a cero tenemos : 2x + 5 = 0 2x = - 5 x = - 5/2

x = 0 -5/2

66

0


i) x = - 4

⇒

ii) x = - 1

⇒

iii) x = 2

⇒

INECUACIONES

2 ( −4 ) + 5 −3 3 = = > 0 −4 −4 4 2( −1) + 5 3 = = -3 < 0 −1 −1

2 ( 2) + 5 9 = 2 2

> 0

! Sirve !

! No sirve !

! Sirve !

S = ( - ∞ , - 5/2) ∪ ( 0 , + ∞ ) -5/2

0

3) Resolver :

x 2 + 5x − 6 ≥0 x 2 − 3x − 10

Factorizando :

( x + 6)( x − 1) ≥0 ( x − 5)( x + 2)

Igualando los factores

-6

x+6=0 x = -6

x-1=0 x=1

-2

1

i) Si x = - 8

⇒

( −2)( −9) 18 = ( −13)( −6) 78

ii) Si x = - 5

⇒

(1)( −6) 1 = − < 0 ( −10)( −3) 5

iii) Si x = 0

⇒

≥0

(6)( −1) 3 = > 0 ( −5)(2) 5

67

x-5=0 x=5

5

! Sirve !

! No sirve !

! Sirve !

x+2=0 x = -2


iv) Si x = 3

( 9)(2) 9 = − < 0 ( −2)(5) 5

⇒

v) Si x = 7

INECUACIONES

! No sirve !

(13)(6) 78 = > 0 (2)(9) 18

⇒

-6

-2

! Sirve !

1

5

S = ( - ∞, - 6 ] ∪ ( - 2 , 1 ] ∪ ( 5 , + ∞ ) Nota : Podemos observar que la desigualdad tiene el símbolo ≥ y sin embargo - 2 y 5 no se incluye en la solución debido a que estos valores hacen que el denominador sea igual a cero.

− 2( x − 3) 2 ≥0 x ( x + 2)

4) Resolver :

Recordemos que ( x - 3 )2 = ( x - 3 ) ( x - 3 ) , si igualo cada uno de estos factores a cero, el resultado será el mismo ( x = 3), por tanto se escogerá un solo factor de estos. Veamos : x-3 =0 x=3

x=0

x+2 =0 x = -2

-2

0

i) Si x = - 4

⇒

− 2( −7) 2 − 2(49) 49 = =− < 0 − 4 ( −2 ) 8 4

! No sirve !

ii) Si x = - 1

⇒

− 2( −4) 2 − 2(16) = = 32 > 0 − 1(1) −1

! Sirve !

iii) Si x = 2

⇒

− 2( −1) 2 − 2(1) 1 = =− < 0 2( 4) 8 4

! No sirve !

68

3


iv) Si x = 5

INECUACIONES

− 2( 2) 2 − 2( 4) 8 = =− 5(7) 35 35

⇒

< 0

! No sirve !

S = (-2,0) -2

0

3

Nota : Recordemos que a pesar de existir el símbolo ≥ los valores -2 y 0 no pertenecen a la solución ya que estos valores hacen que el denominador sea igual a cero.

5) Resolver :

4 < 1 x−3

En este ejercicio es probable que se pueda cometer el ERROR, al pasar el factor ( x - 3 ) a multiplicar a la derecha y esto nos daría : 4 < x-3

→

4+3 < x

→

7 < x

Para dar la solución con más facilidad 7 < x se puede escribir como x > 7 y la solución sería :

0

7

Si reemplazamos por ejemplo x = 0 en la desigualdad original tendríamos : 4 4 al lado izquierdo y este valor es menor que 1 ( -4/3 < 1 ), lo que indica que =− 0−3 3 x = 0 es parte de la solución. Si miramos la solución en la recta numérica (recta real) nos damos cuenta que x = 0 no está en la solución obtenida. ¿ Porque ?

R/ Precisamente por el error que se cometió al pasar el factor ( x - 3 ) a multiplicar al lado derecho. Entonces como se debe solucionar esta inecuación ? Esta inecuación se debe transformar a alguna de las formas ya establecidas, donde en la parte de la derecha siempre debe existir el cero (0). Con base en lo anterior pasemos a restar el 1 al lado izquierdo (en realidad se debe restar 1 a ambos lados), veamos : 4 −1 < 0 x−3

⇒

4 − ( x − 3) < 0 x−3

69


4− x+3 < 0 x−3

7−x < 0 x−3

⇒

7-x = 0 7=x

INECUACIONES

→

x-3 = 0 x=3

i) Si x = 0

⇒

7 < 0 −3

ii) Si x = 5

⇒

2 = 1 2

iii) Si x = 10

⇒

−3 < 0 7

3

forma

3

a <0 b

7

! Sirve !

> 0

! No Sirve !

! Sirve !

S = ( - ∞, 3 ) ∪ ( 7 , + ∞ )

7

EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver las siguientes inecuaciones : 1) (x + 2) (x - 4) ≥ 0 3) (x - 3) (x + 1) < 0 5) (x + 2) (x - 5) (x + 4) ≥ 0

2) (x + 8) (x - 6) > 0 4) (x - 1) (x + 5) ≤ 0 6) (x - 1) (x + 3) (x - 5) ≤ 0

7) x (x - 5) (x + 3) ≤ 0

8)

9)

( x + 3)( x − 5) ≥0 x +1

10)

11) x2 + 5x - 24 ≤ 0 13)

x+2 <0 x−5 ( x − 1) 2 ( x + 2) ≤0 x−3

12) x3 + 3x2 - 18x ≥ 0

x 2 + 4 x − 12 <0 x 2 − 5x

14)

70

− 4 x + 12 ≥0 x 2 + 5x


INECUACIONES

15)

3 <4 2x − 1

16)

1 ≥ 5 x

17)

3 4 < x − 1 2x + 8

18)

x 3 − 4x 2 + 4x ≤0 x −5

19)

5x − 2 1 ≤ x+3 2

20)

3 2x − 1 ≥ 8 x+2

Respuestas : 1. (- ∞ , -2] U [4 , + ∞ )

11. [-8 , 3]

2. (- ∞ , -8) U (6 , + ∞ )

12. [-6 , 0] U [3 , + ∞ )

3. (-1 , 3)

13. (-6 , 0) U (2 , 5)

4. [-5 , 1]

14. (- ∞ , -5) U (0 , 3]

5. [-4 , -2] U [5 , + ∞ )

15. (- ∞ , 1/2) U (3/4 , + ∞ )

6. (- ∞ , -3] U [1 , 5]

16. (0 , 1/5]

7. (- ∞ , -3] U [0 , 5]

17. (- ∞ , -14] U (-4 , 1)

8. (-2 , 5)

18. [0 , 5)

9. [-3 , -1) U [5 , + ∞ )

19. (-3 , 7/9]

10. [-2 , 3)

20. (-2 , 14/13]

71


FUNCION LINEAL

CAPITULO

FUNCION LINEAL

4

FUNCIONES Y GRAFICAS 1 y=- x+5 2

Consideremos la siguiente relación entre dos variables

Y construyamos una tabla de valores donde se le da un valor a “x” y se obtiene un valor de “y”.

Tabla 1 x y

0 5

Si x = 0

→

Si x = 2

→

2 4

4 3

1 (0) + 5 2 1 y = - (2) + 5 2 y=-

6 2

→

y=5

→

y=4

8 1

Así sucesivamente. Estas parejas de valores los vamos a graficar en un plano cartesiano. Sabemos que el plano cartesiano esta constituido por un eje horizontal (eje de abscisas) y un eje vertical (eje de ordenadas). Así : y Eje de ordenadas

Eje de abscisas

x

Al eje de abscisas lo hemos “bautizado” con la letra (variable) “x” y al eje de ordenadas con la letra (variable) “y”. 72

10 0


FUNCION LINEAL

Este plano cartesiano nos va a servir para ubicar puntos. Por ejemplo podríamos ubicar el punto A(2,4). ¿Qué significa eso ? R/ Este punto A esta constituido por una pareja de valores de la forma (x,y) donde el valor de x está asociado con el valor de y. ¿Como se ubica el punto ? R/ El punto donde se interceptan los ejes de abscisas y ordenadas se denomina origen. Entonces para ubicar el punto A, digamos que debemos recorrer a partir del origen 2 unidades en el eje x (Hacia la derecha) y posteriormente subir 4 unidades en el eje y. Esto nos quedaría así : y A(2,4) 4 Origen

0

2

x

Ubicar los siguientes puntos en el plano cartesiano: A(3,2) B(1,4) C(5,1) D(-2,3) E(6,3) F(3,5) G(0,6) H(7,0) y

x

Por ejemplo cuando se tiene el punto : Ordenada

A ( 2 , 4) Abscisa

Estos dos valores constituyen lo que se denomina las coordenadas del punto A.

Si observamos los valores de la tabla 1 podríamos constituir los puntos. A(0,5) B(2,4) C(4,3) D(6,2) E(8,1) F(10,0) Si graficamos estos puntos en un plano cartesiano y unimos estos puntos tendríamos : 73


6

FUNCION LINEAL

Y A

5

B

y = - (1/2)x + 5

4 C

3 D

2

E

1

F

0

X

0

2

4

6

8

10

12

Observemos que cada valor de x está relacionado con un solo valor de y, de tal 1 forma que la relación y = - x + 5 está representada por la línea anterior. 2 Por ejemplo si quisiéramos saber con que valor está relacionado x = 5 haríamos lo siguiente : 1 Si x = 5 y = - (5) + 5 y = 2.5 → → 2 O sea que x = 5 está relacionado con y = 2.5 Estas parejas se podrían representar en un diagrama que denominaremos “sagital” así f x

y

0

5

2

4

4

3

6

2

8

1

10

0

Los elementos de la izquierda los denominaremos elementos del dominio y los elementos de la derecha los elementos del codominio.

Definamos una función de la siguiente forma :

Definición : Una función de x en y es una relación donde cada elemento de x está relacionado con uno y solo un elemento de y. Por ejemplo la relación y = -

1 x + 5 es una función (denominada Función lineal). 2

74


FUNCION LINEAL

FUNCION LINEAL Objetivos : -

Identificar una función lineal. Encontrar la pendiente de una línea recta, conocidos dos puntos. Encontrar la ecuación de la línea recta dados un punto y una pendiente. Graficar una función lineal. Hacer una aplicación de la función lineal a funciones de oferta y demanda (interpretar la pendiente) Hacer una aplicación de la función lineal a modelos de costo, ingreso y utilidad. Una función lineal es una relación entre dos variables (cada una de ellas con exponente 1) que puede estar escrita de la siguiente forma :

ó

y = mx + b ax + by + c = 0

y=-

Forma explícita

y=

→ →

1 x+5 2

x + 2y – 10 = 0

Forma implícita

2 x + 30 3

p=-

forma explícita forma implícita

1 q + 1500 30

-2x + 3y – 90 = 0

30p + q – 45000 = 0

Cada una de las igualdades anteriores son ecuaciones de líneas rectas, donde se relacionan las variables x e y, ó p y q. Uno de nuestros objetivos va a ser graficar líneas rectas en un plano cartesiano: en el caso en que la ecuación tenga relacionadas las variables x e y, graficaremos la recta en un plano cartesiano donde el eje horizontal es el eje de las equis (eje de abscisas) y el eje vertical será el eje de las y (eje de ordenadas). Si tenemos la ecuación de la línea recta en la forma explícita, o sea : y = mx + b Podemos observar que y esta escrita en términos de x, es decir, que y depende de la variable x. De acuerdo con lo anterior, podríamos decir que la variable y es la variable dependiente mientras que la variable x es la variable independiente.

75


FUNCION LINEAL

De ahora en adelante será muy usual que la variable dependiente (variable despejada) la ubiquemos en el eje de ordenadas y la variable independiente en el eje de abscisas. Por ejemplo : y y = -2x + 5 se graficará en

x p p = - 1/2q + 30 se graficará en q c c = 30x + 1200 se graficará en x

Cuando tenemos la ecuación de la línea recta de la forma y = mx + b ; el coeficiente de x (o sea m) es la pendiente de la línea recta y el valor de b es el intercepto de la línea recta con el eje y. (lo veremos mas adelante con mas detalle). Esto indica que una línea recta está asociada con algo denominado pendiente y a su vez esta pendiente esta dependiendo de la inclinación que tenga esta recta con el eje de abscisas.

CALCULO DE LA PENDIENTE DE LA LINEA RECTA QUE PASA POR DOS (2) PUNTOS CONOCIDOS Supongamos que se tienen 2 puntos ubicados en el plano cartesiano. Estos puntos son P(x1, y1) y Q (x2, y2) y queremos hallar la pendiente que pasa por P y Q. El procedimiento será el siguiente:

Q(X2,Y2)

y2 Y2 - Y 1

P(X1,Y1 α

y1

X2 - X

M

α

x1

x2

76


FUNCION LINEAL

La pendiente de la recta que pasa por el punto P y Q viene definida por la tangente del ángulo de inclinación ( α ) de la recta con el eje x. O sea : m = tan ∝ donde m: Pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q. Entonces como: QM Sabemos que QM = y2 – y1 m = tan ∝ = PM y PM = x2 – x1

m=

Tenemos que :

y 2 − y1 x 2 − x1

Esta es una fórmula (o expresión) que nos sirve para calcular la pendiente de una recta dados 2 puntos P (x1, y1) Q (x2, y2).

Ejercicios : Para cada pareja de puntos, calcular la pendiente de la línea recta que pasa por ellos. a) b) c) d)

P (2, 1) P (1, 5) P (3, 2) P (4, 2)

Q (4, 6) Q (8, 2) Q (7, 2) Q (4, 5)

Caso a

x1 y1 P(2, 1)

x2 y2 Q (4, 6)

6−1 5 m= = 4−2 2

Diferencia de ordenadas ó y Diferencia de abscisas ó x

Interpretación :

y 6

Q m=

1

La pendiente es positiva. Esto indica que por cada aumento de 2 unidades en el eje x se ocasiona un aumento de 5 unidades en el eje y.

5 2

P 2

4

x

Caso b

x1 y1

x2 y2

P(1, 5)

Q (8, 2)

m=

2 −5 3 =− 8 −1 7 77


FUNCION LINEAL

y 5

P m=−

3 7

2

La pendiente es negativa. Por cada aumento de 7 unidades en el eje x se ocasiona una disminución de 3 unidades en el eje y

Q

1

8 x

Caso c x1 y1

x2 y2

P(3, 2)

Q (7, 2)

m=

y

2−2 0 = → m=0 7−3 4 La pendiente es igual a 0. Por cada incremento de 4 unidades en el eje x, no hay incremento en el eje y. Cualquier incremento en el eje x, no ocasiona incremento en el eje y. La recta es paralela al eje de abscisas.

m=0

2

Q

P

3

7

x

Caso d x1 y1

x2 y2

P(4, 2)

Q (4, 5)

m=

5− 2 3 = 4− 4 0

→ Indefinido

y 5

Q Pendiente Indefinida

2

La pendiente no está definida. (la recta es paralela al eje y) Para cualquier valor de y, el valor de x será el mismo.

P

4

x 78


FUNCION LINEAL

Los casos anteriores nos muestran los 4 tipos de pendientes que se nos podría presentar. En cuanto a esto podríamos asegurar lo siguiente :

y l3

l2

m>0

Todas las líneas rectas que tengan este tipo de inclinación (o sea 0°<α<90°) tienen pendiente positiva.

m>0 α

l1

m>0 α

α

x y

l3

l2

m<0

l1

Todas las líneas rectas que tengan este tipo de inclinación (o sea 90°<α<180°) tienen pendiente negativa.

m<0

m<0 α

α

α

x y m=0

l1 Todas las líneas rectas que sean paralelas al eje x, tendrán pendiente igual a cero.

x m=0

l2

y l1

Todas las líneas rectas que sean paralelas al eje y, tendrán una pendiente no definida.

l2

m

X 79


FUNCION LINEAL

CALCULO DE LA ECUACION DE LA LINEA RECTA CONOCIDOS UN PUNTO P (X1, Y1) Y UNA PENDIENTE (m) Supongamos que por un punto ya conocido P (x1, y1) pasa una línea recta cuya pendiente (m) ya está dada. Esto es :

y m : conocida Q (x,y)

P (x1,y1)

El puntoQ pertenece a la línea recta y tiene coordenadas Q (x, y). [cualquier punto que pertenezca a la línea recta tiene coordenadas de la forma (x, y)].

x Si calculamos la pendiente de la línea recta que pasa por P y Q, nos daría :

m= ó

y − y1 → m (x - x1) = y - y1 x − x1

y - y1 = m (x - x1)

Esta es una expresión que sirve para calcular la ecuación de la línea recta dados un punto P (x1 , y1 ) y una pendiente (m). Esta fórmula es también denominada fórmula punto - pendiente

GRAFICA DE LA LINEA RECTA Un segmento de recta lo podemos definir como la distancia mas corta entre 2 puntos. Esto indica que para graficar una línea recta, lo podemos hacer únicamente ubicando 2 puntos en el plano cartesiano; estos 2 puntos pueden ser los interceptos con los ejes. Para hallar estos interceptos se hace lo siguiente: Intercepto con el eje y Intercepto con el eje x

se hace x = 0 y se despeja y se hace y = 0 y se despeja x

Ejercicio : Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos B (2,4) y E (8, 1) y graficarla. m=

1− 4 - 3 1 = → m = - → y - y1 = m (x - x 1 ) 8−2 6 2

80


FUNCION LINEAL

Como ya tenemos la pendiente m = -1/2, entonces tomamos cualquiera de los dos puntos, por ejemplo B(2,4) y utilizamos la expresión y – y1 = m(x – x1). 1 1 1 y − 4 = - (x - 2) → y - 4 = - x + 1 → y = - x + 5 2 2 2 Intercepto con el eje y (x = 0) Si x = 0 y= 5 (0, 5) Intercepto con el eje x ( y = 0) 1 1 Si y = 0 0 = − x + 5 → x = 5 → x = 10 → (10,0) 2 2

y

1 2

y= − x+ 5

5

10

x

Ejercicios : 1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q (3, 4) y tiene pendiente -2. Q (3, 4) m = -2

y - y1 = m (x - x1)

Aplicando la fórmula tenemos : y - 4 = -2 (x - 3) y = -2x + 10 y - 4 = -2x + 6

forma explícita

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos M (2500, 75) N (3000, 50) PASOS 1) Con los 2 puntos se calcula la pendiente 2) Con la pendiente hallada en el paso anterior y cualquiera de los 2 puntos aplicamos la fórmula y – yi = m (x – xi ). M (2500, 75) N (3000, 50) x1 y1 x2 y2 50 − 75 - 25 1 m= = → m = 3000 − 2500 500 20 2)

Con

N (2500, 75)

y − 75 = −

y m=−

1 aplicamos y - y1 = m (x - x1) 20

1 1 (x - 2500 ) → y - 75 = - x + 125 20 20 1 y = - x + 200 20 81


FUNCION LINEAL

Esta ecuación debe satisfacer los 2 puntos, veamos : Si x = 2500

y =−

1 (2500) + 200 20

y = -125 + 200

y = 75

Si x = 3000

y =−

1 (3000) + 200 20

y = -150 + 200

y = 50

RECTAS PARALELAS y l1 De acuerdo con el plano cartesiano anterior, supongamos que tenemos las rectas l1, l2 cuyos ángulos de inclinación son α1, y α2 respectivamente. Si α1=α2 podemos concluír que las rectas tienen las mismas pendientes puesto que m1 = tan α1, y m2 = tan α2 ; y al tener las mismas pendientes en consecuencia las rectas son paralelas.

l2 m1 m2 α1

α2 x RECTAS PERPENDICULARES

y l1

l2 m2

m1

DEFINICION : Dos líneas rectas l1 y l2 son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. O sea si

m1.m2 = -1

x

Cuando teníamos la ecuación de la línea recta escrita en la forma explícita, es decir y = mx + b; el valor de m me dice cual es la pendiente de la recta y el valor de b me indica el intercepto o corte con el eje y. O sea que si tenemos la ecuación

y =−

1 x +3 2

La pendiente de la recta es m = -1/2 y el intercepto con el eje y será 3.

82


FUNCION LINEAL

Podemos concluir que tener la ecuación de una línea recta escrita en la forma explícita es importante, puesto que solamente mirando la ecuación nos damos cuenta de su comportamiento. 2 Por ejemplo, si tenemos y = − x + 7 podríamos decir que intercepta al eje y en 7 y su 3 pendiente es −

2 2 . ( − indica que en la medida que hay un incremento en el eje x de 3 3 3

unidades, el eje y disminuye en 2 unidades). Otra forma de hallar la ecuación de la recta dados un punto y una pendiente, es la siguiente : Por ejemplo, para el caso anterior : 1 → y=1 Si x = 4 entonces y = - (4) + 3 2 1 Quiere decir esto que la recta y = - x + 3 pasa por el punto P(4,1). Preguntémonos ahora 2 ¿cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,1) y tiene pendiente -1/2?

R/ Sabemos que la ecuación en la forma general es : y = mx + b Como la pendiente ya la tenemos, entonces obtendríamos : 1 y= - x+b 2 Ahora, Cuál es el valor de b ? Para determinar el valor de b, hacemos lo siguiente : Tenemos P (4 , 1), entonces sabemos que x = 4 ∧ Reemplazando obtenemos :

1 y= - x+b 2

=>

1 1 = - (4) + b 2

=>

y=1

1 = - 2 + b =>

3=b

1 y= - x+3 2 Teniendo está ecuación escrita en la forma general (ó explícita), podemos observar lo siguiente : 1 y= - x +3 Este valor es el intercepto (o corte) de la línea recta 2 con el eje “y”.

O sea que :

Si despejamos la variable x obtendríamos : 1 x=-y+3 2 x = - 2y + 6

=>

x=2(-y+3) Este valor es el intercepto (o corte) de la línea recta con el eje x.

83


FUNCION LINEAL

La gráfica quedaría así : y

3

x 6 En conclusión esto indica que teniendo la ecuación de la recta, escrita en la forma explícita podríamos darnos cuenta de su comportamiento, puesto que simplemente observándola nos damos cuenta donde corta el eje “y” ó “x” y además conocemos el valor de la pendiente, y así sabríamos que tipo de inclinación tiene dependiendo si ésta es positiva o negativa. Ejemplo : Para las siguientes funciones lineales, determinar el corte con el eje de ordenadas y dibujar indicando el tipo de inclinación. 1) y = -1/3x + 4

2) p = 2x + 10

y

p pendiente positiva

pendiente negativa 4

10

x

x

3) p = -3/50q + 2500

4) c = 0.75y d + 1500 Yd ≥ 0 c

p m = -3/50 2500

1500

m = 0.75

q 5)

I = -2i + 3000 => si i ≥ 0 ∧ I ≥ 0 I 3000

m=-2

i

84

Yd


FUNCION LINEAL

En términos generales supongamos la siguiente relación lineal p = f ( q ) p

P = mq + b

Esto se graficara en el siguiente plano q

Para cada caso, decir de que forma sería la gráfica : p 1) P = mq + b m<0 donde m < 0 y b > 0 además q ≥ 0 y

p≥0

b q p

2) P = mq + b donde m > 0 y b > 0 además q ≥ 0

y

m>0 b

p≥0

q

p 3) P = mq + b donde m > 0 y b < 0

m>0 q b

p 4) P = mq + b donde m = 0 y b > 0

b

m=0 q

Gráficar : 5) P = mq + b donde m < 0 y b < 0

85


FUNCION LINEAL

6) P = mq + b donde m = 0 y b < 0

7) C = C o + c Y d donde C o > 0 y 0 < c < 1

8) C = C o + c Y d donde C o > 0 Yd ≥ 0

y

y

c =0

C≥ 0

9) C = C o + c Y d donde C o > 0

y

c =0

I 10) I = I o - bi donde I o > 0 y b > 0 I ≥0 e i ≥0 i

En estos momentos probablemente seamos unos expertos en saber cual es el comportamiento de una función lineal, conociendo su ecuación en forma explícita (de lo contrario debemos afianzar lo expuesto anteriormente).

86


FUNCION LINEAL

Ejercicio : Graficar en un solo plano cartesiano las siguientes rectas : 1 1 1 1) y = x + 3 2) y = x + 5 3) y = x + 8 2 2 2

Ecuación 3 y Ecuación 2

8

Ecuación 1 5

3

x Podemos observar que las tres rectas tienen la misma pendiente ; por lo tanto son paralelas ; la recta No. 2 se podría obtener incrementando en “dos” unidades la recta No. 1, o sea : 1 1 y= x+3 +2 y= x+5 ⇔ 2 2 Recta No.2 incremento de 2 unidades Recta No.1 EJERCICIOS RESUELTOS 1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,5) y tiene pendiente m = -4 . Gráficar. Tenemos A ( 2 , 5 ) y m=-4 => Aplicando la siguiente expresión : y - y1 = m ( x - x1 ) y-5=-4(x-2)

=> y - 5 = - 4x + 8 y = - 4x + 13

=> Ecuación.

Otra forma : si y = mx + b => como

m=-4

x y y A (2 , 5)

5 = - 4 (2) + b 5=-8+b

=>

13 = b

=>

y = - 4x + 13

87


si x = 0 si y = 0

=> y = 13 => 0 = - 4x + 13

FUNCION LINEAL

=> 4x = 13

=>

x = 13/4

y 13

13/4

x

2) Hallar la ecuación de la recta de pendiente -1/2 y cuya ordenada en el origen es 6. R/ m = -1/2 como la ordenada en el origen es 6, esto indica que pasa por el punto ( 0,6 ). y = mx + b

=>

6 = -1/2 (0) + b

=>

6=b

y = -1/2x + 6 Recordemos que en la ecuación y = mx + b el valor b es el corte con el eje de ordenadas (u ordenada en el origen), o sea que b = 6. Entonces

y= -

1 x+6 2

3) Hallar la ecuación de la recta que corta el eje de ordenadas en 4 y el eje de abscisas en 12. R/ Esto indica que pasa por los siguientes puntos : A (0,4) y B(12,0) Gráficamente sería :

y − y1 m= 2 x 2 − x1

y y = - 1/3 x + 4

0−4 4 m= =12 − 0 12

4 x

m=-

1 3

=>

1 y=- x+4 3

12

88


FUNCION LINEAL

4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(3,5) y tiene pendiente igual a cero (o sea paralela al eje X). M (3,5) m=0 => y - 5 = 0 (x - 3) y-5=0 => y=5 ó y = mx + b y = 0x + 5

=>

5 = 0 (3) + b

=>

=>

b=5

y=5

Gráficamente : y y=5 5

0

x

5) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto N(4,2) y es perpendicular al eje X. R/ Como es perpendicular al eje X entonces la pendiente no estaría definida. Gráficamente sería : y x=4

2

N(4,2)

4 x 6) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,2) y es paralela a la recta y=¼x+3. R/ Como la recta que necesito debe ser paralela a la recta dada entonces la pendiente será la misma o sea m = 1/4 . Recordemos : y = mx + b Recta dada

=>

y=¼x+3

=>

m=¼

O sea que : P (3 , 2) m = 1/4 y - 2 = ¼ (x - 3) => y-2=¼x-¾ 1 5 y= ¼x-¾+2 => y= x+ 4 4 Ecuación de la recta que pasa por P(3,2) y es paralela a y = ¼ x + 3

89


FUNCION LINEAL

Gráficamente : 1) y = ¼ x + 3

2) y =

1 5 x+ 4 4 y

y=¼x+3

3 y = ¼ x + 5/4

P(3,2) -12 -5

x

Nota : Verificar la gráfica. 7) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(4,1) y es perpendicular a la recta 3y - 5x = 12. R/ Como la recta que necesito debe ser perpendicular a la recta dada, entonces se debe cumplir la siguiente condición. Que m 1 . m 2 = - 1 donde : m 1 : pendiente de la recta dada m 2 : pendiente de la recta que necesito. Cual es la pendiente de la recta dada ? R/ Para determinarla debemos colocar la ecuación en la forma explícita, o sea y = mx + b => 3y = 5x + 12 Tenemos : 3y - 5x = 12 5 y= x+4 3 m1

entonces m1 = 5/3 Recordemos que

m1 . m2 = - 1

=> 5/3 . m2 = -1

=>

m2 = - 3/5 pendiente de la recta que necesito.

Ahora tenemos la siguiente información :

y - 1 = - 3/5 (x - 4)

=>

Q (4,1)

3 12 y-1=- x+ 5 5

90

=>

m = - 3/5

3 17 y=- x+ 5 5

Ecuación requerida


Gráfica :

FUNCION LINEAL

y y=

5 x+4 3

4 3 17 y=- x+ 5 5 x -12/5

17/3

Nota : Verificar la gráfica. 8) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x - 5y = -4 y -4x + 3y = -6 y es perpendicular a la recta y - 5x = 4. R/ De la recta dada tenemos y = 5x + 4 de donde : m1 = 5

=>

5 . m2 = -1

=>

m2 = - 1/5

Ya tengo la pendiente, ahora necesito un punto, que lo debo determinar solucionando el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. 2x - 5y = - 4 (*2) -4x + 3y = - 6

Tenemos :

4x - 10y = - 8 -4x + 3y = - 6 - 7y = - 14

Si y = 2

=>

2x - 5 (2) = - 4

=>

2x - 10 = - 4 2x = 6

=>

=>

y=2

x=3

Cuando se resuelve un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, se determina un valor de “x” y “y” que satisfacen las dos ecuaciones, y este será necesariamente el punto de intersección, puesto que este punto pertenece a las dos rectas, y por tanto las satisface. En nuestro caso las 2 rectas se interceptan en el punto M(3,2). Ahora si m = - 1/5

1 y - 2 = - (x - 3) 5

y M (3,2)

=>

entonces :

1 3 y-2=- x+ 5 5

=>

1 13 y=- x+ 5 5 Ecuación requerida

91


FUNCION LINEAL

Gráfica : 8

-4x + 3y = - 6

y = 5x + 4 6

2x - 5y = - 4

4

2

y = -1/5x + 13/5 0 -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2

-4

Nota : Verificar la gráfica.

9) Hallar el valor de K para que la recta 3x + Ky - 12 = 0 tenga pendiente igual a -1/3. R/ Tengo 3x + Ky - 12 = 0 entonces para hallar la pendiente despejo a “y” en términos de “x”.

Ky = - 3x + 12 De aquí :

=>

m = - 3/K -

1 3 =3 K

y==> =>

3 12 x+ K K como m = - 1/3 K=9

Nota : Gráficar la recta.

92


FUNCION LINEAL

10) Hallar el valor de K para que la recta Kx - 3y = 15 sea paralela a la recta 2x - 5y = 10. R/ Recordemos que 2 rectas son paralelas si sus pendientes son iguales, entonces debemos hallar la pendiente para cada caso y posteriormente igualarlas : Kx - 3y = 15

=>

2x - 5y = 10

=>

2x - 10 = 5y

m1 = m2

entonces

Kx - 15 = 3y

=>

=>

=>

y=

y=

K 2 = 3 5

K x-5 3

2 x-2 5

m2 =

;

K=

=>

; m1 =

K 3

2 5

6 5

Nota : Gráficar las dos rectas.

11) Hallar el valor de K para que la recta -2x + Ky = 15 sea perpendicular a la recta 4y - x = 18. R/ Recordemos que 2 rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.

Tenemos : - 2x + Ky = 15

4y - x = 18

Entonces :

=>

=>

Ky = 2x + 15

4y = x + 18

=>

=>

y=

y=

2 15 x+ K K

1 9 x+ 4 2

;

; m1 =

m2 =

1 4

m1 . m2 = - 1

2 1 . =-1 K 4

=>

2 =-K 4

=>

Nota : Gráficar las dos rectas.

93

K=-

2 4

=>

K= -

1 2

2 K


FUNCION LINEAL

INTERPOLACION LINEAL Revisando nuestras matemáticas básicas, si se tiene un segmento de recta AB donde A(x1 , y1) y B(x2 , y2) como en el siguiente plano cartesiano : y y1

A(x1 , y1)

Sabemos que la pendiente del segmento de recta denotada por (m) la calculamos así :

my =2

B(x2 , y2)

x1

x2

y 2 − y1 x 2 − x1

ó

m=

y1 − y 2 x1 − x 2

x

Lo anterior me dice que la pendiente se determina mediante la relación que existe entre la diferencia de ordenadas y la diferencia de abscisas pero ¡Conservando el Orden! Supongamos que se tiene el siguiente segmento de recta en el plano cartesiano :

i[%] 3.42

A(20.5259 , 3.42) C(20.7353 , i)

i

B(20.9479 , 3.28)

3.28

20.5259

20.7353

20.9479

Aquí se trata de determinar el valor de i para que el factor sea 20.7353. ¿Como se determina ? R/ Se utiliza lo que se denomina interpolación lineal. ¿De qué forma ?

94

Factor


FUNCION LINEAL

R/ En la figura anterior observamos que los puntos A, B y C pertenecen a la línea recta. Por tanto la pendiente del segmento BC debe ser igual a la pendiente del segmento BA . O sea : m BC = m BA

m BC =

3.28 − i 20.9479 − 20.7353

;

m BA =

3.28 − 3.42 20.9479 − 20.5259

Igualando tenemos : 3.28 − i 3.28 − 3.42 = 20.9479 − 20.7353 20.9479 − 20.5259

También hubiéramos podido hacer

Despejando i se obtiene :

mCA = m BA

i − 3.42 3.28 − 3.42 = 20.7353 − 20.5259 20.9479 − 20.5259

O sea :

y despejando

i ≅ 3.35%

EJERCICIOS PROPUESTOS I. En los problemas 1 al 18, halle una ecuación de la recta indicada. 1. Pasa por el punto (2,3) con pendiente -3. 2. Pasa por el punto (3,- 2) con pendiente – 1/5. 3. Pasa por el punto (0,6) con pendiente 2/3. 4. Pasa por los puntos (3, -2) y (2,1). 5. Pasa por el punto (2,- 5) con pendiente 1/3. 6. Pasa por los puntos (3, 5) y (2,8). 7. Pasa por los puntos (1, 7) y (2,6). 8. Pasa por los puntos (3, 5) y (10,3). 9. Pasa por los puntos (1000, 800) y (6000, 400). 10. Pasa por el punto (3, 5) con pendiente 0. 11. Pasa por el punto ( 3,1) con pendiente - 2/5. 12. Pasa por los puntos (2, 0) y (2,6). 13. Pasa por los puntos (0,3) y (1,4). 14. Pasa por el punto (4, 3) con pendiente 1/6. 15. Pasa por el punto (0, 0) con pendiente m. 16. Pasa por los puntos (0,0) y (a,b). 17. Con intercepto x en 6 e intercepto y en 3. 18. Con intercepto x en 2 e intercepto y en 7.

95

i ≅ 3.35%


FUNCION LINEAL

II. En los problemas 19 al 24, halle la pendiente y el intercepto en “y” de la recta dada. 19. 2x - 4y - 7 = 0 21. - 3x + y = 8 23. 1/2x - 3y + 2 = 0

20. x + y + 1 = 0 22. - 4x - 2y = 0 24. ax + by + c = 0

III. En los problemas 25 al 30, haga la gráfica de la recta dada. 25. 3x - 4y + 12 = 0 27. 2x - 3y = 9 29. 2x + 5y - 8 = 0

26. 1/2x - 3y = 3 28. - 4x - 2y + 6 = 0 30. Y = - 2/3x + 1

31. Halle la ecuación de la recta que pasa por (- 2,4) y es paralela a 3x + y - 2 = 0

32. Halle la ecuación de la recta que pasa por (1,- 3) y es paralela a 2x - 5y + 4 = 0.

33. Halle la ecuación de la recta que pasa por (2, -3) y es perpendicular a x + 3y + 1 = 0.

34. Halle la ecuación de la recta que pasa por (0,- 2) y es perpendicular a 3x + 4y - 5 = 0.

35. Halle la ecuación de la recta que pasa por (- 5,4) y es perpendicular a la recta que pasa por (1,1) y (3,7). 36. Halle la ecuación de la bisectriz perpendicular del segmento de recta que une (1/2, 10) y (3/2, 4). 37. Hallar el valor de k para que la recta 3x - ky = 8 tenga pendiente -1/3. 38. Hallar el valor de k para que la recta 3x - ky = 16 corte con el eje y en 16. 39. Hallar el valor de k para que la recta 3x - 2y = 5 sea paralela a la recta 2k + 3y = 12 40. Hallar el valor de k para que la recta 3x - 2ky = 18 sea perpendicular a 4x + 5y = 35. IV. En los problemas 41 al 44, determine cuáles de las rectas dadas son paralelas entre sí y cuáles perpendiculares entre sí. 41. a) 3x - 5y + 9 = 0 c) - 3x + 5y = 2 e) - 5x - 3y + 8 = 0

b) 5x = - 3y d) 3x + 5y + 4 = 0 f) 5x - 3y - 2 = 0

96


FUNCION LINEAL

42. a) 2x + 4y + 3 = 0 c) x - 9 = 0 e) y - 6 = 0

b) 2x - y = 2 d) x = 4 f) - x - 2y + 6 = 0

43. a) 3x - y - 1 = 0 c) 3x + y = 0 e) 6x - 3y + 10 = 0

b) x - 3y + 9 = 0 d) x + 3y + 4 = 1 f) x + 2y - 8 = 0

44. a) y + 5 = 0 c) x = 7 e) 2x - 3y - 2 = 0

b) 4x + 6y - 3 = 0 d) 12x - 9y + 7 = 0 f) 3x + 4y - 11 = 0

Respuestas : I. 1. y = -3x + 9 2. y = 1/5x - 13/5 3. y = 2/3x + 6 4. y = - 3x + 7 5. y = 1/3x - 17/3 6. y = - 3x + 14 7. y = - x + 8 8. y = - 2/7x + 41/7 9. y = - 2/25x + 880

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

II. 19. m = 1/2 b = -7/4 20. m = -1 b = -1 21. m = 3 b = 8

22. m = -2 b = 0 23. m = 1/6 b = 2/3 24. m = -a/b intercepto = -c/b

III. 31. 32. 33. 34. 35.

36. 37. 38. 39. 40.

y = - 3x - 2 y = 2/5x - 17/5 y = 3x – 9 y = 4/3x – 2 y = - 1/3x + 7/3

y=5 y = - 2/5x + 11/5 x=2 y=x+3 y = 1/6x + 7/3 y = mx y = b/a x y = -1/2x + 3 y = -3.5x + 7

y = 1/6x + 41/6 k=-9 k = -1 k = 9/4 k = 6/5

IV. 41. paralelas: a y e ; b y e perpendiculares : a y b; a y e; b y c; c y e; d y f. 42. paralelas: a y f ; c y d perpendiculares : a y b; b y f; c y e; d y e. 43. paralelas: No hay. perpendiculares : a y d; b y c; e y f. 44. paralelas: No hay. perpendiculares : a y c; d y f.

97


FUNCION LINEAL

EJERCICIO RESUELTO El costo variable de producir cierto artículo es de $ 250 por unidad y los costos fijos son de $ 1’200000. El artículo se vende por $ 400 cada uno. La producción máxima es de 16000 unidades.

a) Cuantos artículos se deben producir para que haya equilibrio ? b) Graficar las funciones de ingreso y costo total en un solo plano cartesiano. c) Indicar cual es la zona de ganancias y pérdidas. Si I = Ingreso total Sabemos que

C = Costo total

I = px

y

I = 400 x C = 250x + 1’200000

CT = CV + CF

Equilibrio

→

CT = (c.v.u) x + CF

→ I=C

400x = 250x + 1’200000 150x = 1’200000 Si x = 8000

=>

I = 400 (8000)

=>

x = 8000

=>

C = 250 (8000) + 1’200000

→

x = 8000 unid.

I = 3’200000 =>

C = 3’200000

Costo total = Costo variable + Costo fijo CT = CV + CF ;

CV = 250 x

C

CF = 1’200000

C

C

+

=

1’200000

1’200000

x CV

x +

CF

98

x =

CT


FUNCION LINEAL

Para la función de ingreso I = 400 x, si x = 0 → I = 0 (pasa por el origen), la pendiente de la función de ingreso (lineal) es igual a 400, mientras que la de costo (lineal) es de 250. Como la pendiente de ingreso es mayor que la pendiente de costo, esto indica que la función de ingreso es más inclinada que la función de costo y por lo tanto se deben interceptar en algún punto (este punto se denomina punto de equilibrio). Veamos la gráfica :

I C

I = 400 x

Zona de Ganancias

C = 250 x + 1’200000 P(8000,3’200000)

Zona Pérdidas x 8000

Perdida

16000

Ganancia

En la gráfica se puede observar que cuando el nivel de producción esta entre 0 y 8000 , o sea cuando 0 < x < 8000 la función de costo estará siempre por encima de la función de Ingreso. Para una producción de 8000 unidades el ingreso es igual al costo (existe equilibrio). Cuando el nivel de producción está entre 8000 y 16000 unidades (16000 unidades es la producción máxima) la función de ingreso está por encima de la función de costo En resumen : Si 0 ≤ x < 8000

Costo > Ingreso

Hay pérdida

Si x = 8000

Costo = Ingreso

Hay equilibrio

Si 8000 < x < 16000

Costo < Ingreso

Hay Ganancia

99


FUNCION LINEAL

C(x) = 250 x + 1’200000 En nuestro ejercicio I(x) = 400 x

Que sucede si los costos fijos se incrementa en un 20 % ? Entonces CF = 1’200000 * 1.2

CF = 1’440000

C(x) = 250 x + 1’440000

Que implicaciones tendría este incremento en el punto de equilibrio ?

I(x) = 400 x

Veamos : Punto de equilibrio

I = C

400x = 250x + 1’440000 150x = 1’440000

x = 9600

Cantidad de equilibrio.

Si x = 9600

C = 250 (9600) + 1’440000

Si x = 9600

I = 400 (9600)

C = 3’840000

I = 3’840000

Esto indica que se deben vender 1600 unidades de más para conservar el equilibrio, y esto por el efecto de un incremento en los costos fijos. Gráficamente sería : I C

I = 400 x C = 250 x + 1’440000

P (9600,3’840000) 3’840000 3’200000

C = 250 x + 1’200000 Función de costo anterior

8000

9600

16000

100

x


FUNCION LINEAL

Podemos observar que la función de costo anterior C(x) = 250x + 1’200000 se desplazó paralelamente hacia arriba en una cantidad igual a 1’440000 - 1’200000 = 240000 y esto hace que el punto de equilibrio se desplace hacia la derecha. Nótese que la zona de pérdidas ahora es mayor que en el caso anterior. Volvamos a la situación inicial C(x) = 250x + 1’200000 I(x) = 400 x 1) Que sucede si el costo variable unitario (c.v.u) aumenta en un 20% ? c.v.u = 250

c.v.u = 250*1.2

c.v.u = 300

C(x) = 300 x + 1’200000 I(x) = 400x Hallar el nuevo punto de equilibrio y graficar. Para hallar el punto de equilibrio → I = C 400x = 300x + 1’200000 I = 400 (12000)

→

→

100x = 1’200000

→

x = 12000 unidades

I = 4’800000

Graficar : I C

C(x) = 300x + 1’200000

4’800000 C(x) = 250x + 1’200000

3’200000 1’200000

I(x) = 400x

8000

12000

16000

x

Aquí observamos que un incremento en el costo variable unitario hace que la recta de costo gire hacia arriba y esto hace que el punto de equilibrio se desplace hacia la derecha (arriba) y en consecuencia la zona de pérdidas será más grande.

101


FUNCION LINEAL

1) Que sucede si el precio de venta aumenta en un 20 % ? 2) Que sucede si CF

20%, cvu

20%

3) Que sucede si CF

10%, cvu

5% y

4) Que sucede si CF

10%, cvu

10%

y p 20% ? p 5% ? y p

10% ?

Para los cuatro casos anteriores hallar el nuevo punto de equilibrio y graficar (para cada caso) con respecto de la situación inicial. Explicar porqué el nuevo punto de equilibrio se desplaza hacia arriba o hacia abajo con respecto del nivel de producción inicial. Con base en la situación inicial donde

C(x) = 250x + 1’200000 I(x) = 400x

Recordemos que x = 8000 → Producción de equilibrio I = C = 3’200000 Si el costo variable unitario se incrementa en un 20% y los costos fijos permanecen constantes, ¿De cuánto debe ser el precio de venta para que el nivel de producción de equilibrio se conserve (o sea x = 8000 unidades) ? Aquí c.v.u = 250 * 12 Entonces

→

c.v.u = 300

C(x) = 300x + 1’200000

Necesitamos hallar el precio. Sea

p = precio de venta unitario, entonces :

I = px O sea que

Ahora para equilibrio I = C px = 300x + 1’200000

Como necesito el valor de p debo tener el valor de x. Sabemos que x = 8000 entonces: p (8000) = 300 (8000) + 1’200000

→

8000p = 3’600000

→

p = 450

Este es el precio de venta por unidad para conservar el nivel de producción de equilibrio.

102


FUNCION LINEAL

Las ecuaciones nuevas serían :

C(x) = 300x + 1’200000 I(x) = 450x

Para hallar punto de equilibrio

→

450x = 300x + 1’200000 Si x = 8000

→

→

I=C 150x = 1’200000

I = 450 (8000)

→

→

x = 8000 unidades

I = $3’600000

En resumen :

Situación inicial C(x) = 250x + 1’200000 I(x) = 400x x = 8000 I = C = 3’200000

Situación nueva C(x) = 300x + 1’200000 I(x) = 450x x = 8000 I = C = 3’600000

La gráfica quedaría así :

I C Punto de equilibrio final

Punto de equilibrio inicial

x 8000

16000

De acuerdo a todo lo expuesto anteriormente podríamos graficar funciones de ingreso total y costo total para hacer cualquier tipo de movimiento y explicar que se requiere para que cambie de posición el nivel de producción de equilibrio.

103


FUNCION LINEAL

Por ejemplo, con base en la siguiente situación inicial :

U = Utilidad Situación inicial

Io

I C

m=p U

Q

Co

CF m = c.v.u

x

x

I

I C

C Co

figura 1 CF

Q

x

Io

I C

Co

Q

figura 2 CF

C

x

Io

I C

C Co

figura 3 CF

Q

x

104


FUNCION LINEAL

I

I C Q

figura 4

Co

CF C

x

I Io

I C

Co

figura 5 CF

Q

x

Io

I C

I Co

Q

figura 6 CF

x

Partiendo de la situación inicial sabemos que el intercepto del costo total con el eje de ordenadas son los costos fijos (CF) y la pendiente del CT es el costo variable unitario (c.v.u) y la pendiente de la función de ingreso es el precio de venta unitario (p). El punto Q es el punto de equilibrio y x es el nivel de producción para que el ingreso sea igual al costo

105


FUNCION LINEAL

(I = C ó para que haya equilibrio).

En las figuras anteriores vamos a hacer cambio en una de las variables y suponemos que las otras quedan constantes.

Por ejemplo : En la figura 1 si los costos fijos aumentan (la recta de costos se traslada paralelamente) entonces el nivel de producción de equilibrio (xe) debe ser mayor y por tanto la zona de pérdidas aumenta debido a que se deben de producir y vender más unidades para empezar a obtener utilidad, debido a que los costos totales se incrementan por efecto de un aumento en los costos fijos. En la figura 2 si los costos fijos disminuyen ( la recta de costos se trasladan paralelamente hacia abajo) se deben producir y vender menos unidades para empezar a obtener utilidad (caso contrario al de la figura 1). En la figura 3 observamos que si el costo por unidad (c.v.u) aumenta se deben de vender y producir más unidades para empezar a obtener utilidad, debido a que si el costo por unidad aumenta esto hace que los costos totales se incrementen En la figura 4 se observa el caso contrario al de la figura 3 . En la figura 5 si el precio de venta aumenta se deben producir y vender menos unidades para empezar a obtener utilidades, debido a que si este precio aumenta entonces los ingresos también aumentarán. En al figura 6 se observa el caso contrario al de la figura 5.

106


FUNCION LINEAL

APLICACION A MICROECONOMIA RELACIONES DE DEMANDA Y OFERTA (Lineales) FUNCION DE DEMANDA : Antes de acercarnos a una definición aproximada de una función de demanda, supongamos que se tienen dos (2) puntos en el siguiente plano cartesiano :

p

A(10000 , 800) .

800 600

. B(50000 , 600)

q 10000

50000

Que se podría decir en palabras del punto A y B? Supongamos que a un precio de $800 por artículo (por ejemplo lapiceros), los consumidores están dispuestos a comprar 10000 unidades. Lo más probable es que si el precio disminuye en $200 por artículo (o sea a $600) los consumidores esten dispuestos a comprar 40000 unidades más (o sea 50000). Podemos observar que en la medida en que el precio del bien (lapiceros) disminuye, entonces los consumidores estarían dispuestos a comprar más unidades y viceversa. Tengamos en cuenta de que quienes requieren (demandan) los lapiceros son los consumidores. En conclusión, una función de demanda es una relación entre precio y cantidad ( p y q) y tiene el comportamiento descrito anteriormente. En consecuencia, una función de demanda es decreciente. En el caso en que sea lineal, su pendiente será negativa ( m < 0 ). La ecuación puede ser de la siguiente forma :

P = mq + b

donde : m < 0 b >0

p (0,b)

P = mq + b

b m<0 q 107


FUNCION LINEAL

Supongamos que la función de demanda tiene un comportamiento lineal. Podríamos preguntarnos, cuántas unidades demandarían los consumidores si el precio es de $650 c/u ? Si tuviéramos una relación (igualdad) entre precio (p) y cantidad (q), podríamos darle un valor a la variable p de 650 y despejar q . Para encontrar esta relación debemos hallar la ecuación de una línea recta dados 2 puntos : A (10000 , 800) q1 p1

B(50000 , 600) q2 p2

p2 - p1

600 - 800

m=

- 200

m= q2 - q1

m= 50000 - 10000

40000

m= −

1 200

Que significado tiene este valor ? R/ Este valor nos indica que en la medida en que el precio por artículo disminuye en $1 se demandarán 200 unidades más, ó también, si el precio por artículo aumenta en $1 se demandarán 200 unidades menos. Para hallar la ecuación de la recta utilizamos la siguiente expresión :

p - p1 = m ( q – q1 )

m = −

A ( 10000 , 800 ) q1

1 200

p1 1

p - 800 = -

( q - 10000 ) 200

p - 800 =

−

1 q + 50 200

p =

−

1 200

q + 850

Esta relación nos sirve para determinar el precio dada una cantidad. Si despejamos q nos quedaría así : 1 q = - p + 850 q = 200 ( - p + 850 ) 200

q = - 200 p + 170000

Esta relación nos sirve para determinar la cantidad dado cualquier nivel de precios.

Ahora si respondamos. ¿Cuánto vale q si p = 650 ? Entonces q = - 200 (650) + 170000

q = 40000 108


FUNCION LINEAL

Si el precio por artículo es de $650 se demandarán 40000 unidades. Cuanto vale q si p = 300 ? q = - 200 (300) + 170000 q = 110000 ¿Cuál debe ser el precio para que se demanden 75000 unidades ? si q = 75000

−

p =

p = ?

1 ( 75000 ) + 850 200

p = 475

Si queremos graficar hacemos lo siguiente : −

p =

1 q + 850 200

entonces si q = 0

Si

p = 850

0 = −

p=0 1 q = 850 200

1 q + 850 200

q = 850 (200)

q = 170000

p 1000 850 800 -

1 P = -

q + 850 200

600 -

400 -

Demanda

200 q 100000

170000

109


FUNCION LINEAL

Podemos observar lo siguiente : cuando tenemos p = f ( q ) 1 p=q + 850 200 Intercepto con el eje p Cuando tenemos q = f ( p ) q = - 200 p + 170000 Intercepto con el eje q

FUNCION DE OFERTA : Supongamos que se tienen los siguientes 2 puntos ( C y D ) en el plano cartesiano.

p 600 D (105000 , 575) 400 C (45000 , 375)

q Supongamos que los productores (proveedores) están dispuestos a OFRECER 45000 artículos (lapiceros) a un precio de $375 cada uno. A ellos les gustaría ofrecer más unidades (105000) a un precio más alto ($575 c/u), puesto que así aumentan sus ganancias. Podemos concluir que en la medida en que el precio del bien aumenta, entonces los productores (proveedores) estarían dispuestos a OFRECER más unidades. El comportamiento anterior obedece a una función de OFERTA, donde esta es creciente. La pendiente de una función de oferta es positiva. Supongamos que la función de oferta tiene un comportamiento lineal. Con base en la información que tenemos, podríamos obtener una relación entre precio y cantidad; esta relación se denomina función de oferta. ¿Cómo se determina? R/ Como se tienen 2 puntos calculamos primero la pendiente y posteriormente la ecuación. C (45000 , 375)

D (105000 , 575)

q1

q2

p1

575 - 375 m=

200

1

= 105000 - 45000

p2

m= 60000

300 110


FUNCION LINEAL

Significa que por cada peso que aumente el artículo, los productores estarán dispuestos a ofrecer 300 unidades más.

p – p1 = m (q – q1)

1 p - 375 =

(q - 45000) 300 1

p - 375 =

q - 150 300

1 p =

q + 225

p = f(q)

300 Para que sirve esta relación ? Despejamos ahora la variable q

1 p - 225 =

q

q = 300 ( p - 225 )

300 q = 300p - 67500

q = f(p)

Para que sirve esta relación ? Cuantas unidades se ofrecerán si el precio es de $650 c/u ?

q = ? si p = 650

q = 300 ( 650 ) - 67500

q = 127500

q = ? si p = 300 q = 300 (300) - 67500

q = 22500

¿Cuál debe ser el precio si la cantidad ofrecida es de 175000 unidades ? p = ? si q = 175000

1 p =

(175000) + 225

p

≈ 808

300 Podemos graficar la función de oferta así :

1 p=

q + 225

si q = 0

p = 225

300 1 si p = 0

0 =

q + 225 300

1 - 225 =

q 300

111

q = - 67500


FUNCION LINEAL

p 1 p=

q + 225 300

225 Oferta q - 67500 Hemos obtenido hasta ahora una función de demanda y oferta, resumiendo así :

Demanda : Oferta :

qd = - 200 Pd + 170000 qo = 300 po - 67500

si si si si

pd = 650 pd = 300 po = 650 po = 300

qd qd qo qo

= 40000 = 110000 = 127500 = 22500

Si graficamos la función de oferta y demanda en un solo plano cartesiano, quedaría así :

p

850 R

S

650 Oferta E(qe,pe) M

N

300 255 -

Demanda

22500

40000

110000

170000 127500

q

Recordemos que la función de demanda tiene que ver con los consumidores, mientras que la función de oferta tiene que ver con los productores. De acuerdo a la gráfica podemos observar ( puntos R y S ) : Que cuando el precio de el artículo es de $650 los productores estarán dispuestos a ofrecer 127500 unidades mientras que los consumidores estarán dispuestos a comprar 40000 unidades; esto indica que existe un “EXCESO DE OFERTA” de 87500 unidades. Si observamos los puntos M y N cuando el precio es de $300 los consumidores estarán dispuestos a comprar 110000 unidades, mientras que los productores estarán dispuestos a 112


FUNCION LINEAL

ofrecer 22500 unidades. De acuerdo a esto existe un EXCESO DE DEMANDA de 87500 unidades. Si observamos la gráfica nos damos cuenta que en la medida en que nos acercamos al punto E(qe,pe), el número de unidades que los consumidores quieren comprar es el mismo que el que los productores quieren ofrecer. Este punto se denomina “PUNTO DE EQUILIBRIO”, esto quiere decir que la cantidad ofrecida será igual a la cantidad demandada (qo = qd) y de la misma forma el precio de oferta será igual al precio de demanda (po = pd) ¿Como se determina la cantidad de equilibrio (qe) y precio de equilibrio (pe) ? R/ El punto de equilibrio es el punto de intersección de la función de oferta y demanda y por tanto se determina resolviendo un sistema de ecuaciones. Las funciones de oferta y demanda que tenemos son las siguientes :

1 Oferta Po =

q + 225 300 Este sistema se puede resolver por ejemplo por el método de igualación o sea Po = Pd. 1/300 q + 225 = - 1/200 q + 850

1 Demanda Pd = -

q + 850 200

1

1 q +

300

2q + 3q q = 850 - 225

= 625

200

5q = 625 (600)

600 qe = 75000

Cantidad de equilibrio

1 pe =

(75000) + 225

pe = 475

Precio de equilibrio

300 p 850

Oferta

475 E(75000,475) 225 Demanda q 75000

170000

Esto significa que a un precio de $475 por artículo los consumidores demandarían 75000 unidades mientras que a este precio los productores estarían dispuestos a ofrecer 75000 unidades , o sea que en conclusión hay “ EQUILIBRIO”. 113


FUNCION LINEAL

Supongamos ahora que el gobierno establece al productor un impuesto de $50 por artículo. Cuál sería entonces la variación en la cantidad y precio de equilibrio ? Para encontrar está variación debemos encontrar el nuevo punto de equilibrio pero después de impuesto. Las funciones de oferta y demanda antes de impuesto son : Po =

1 q + 225 300

Pd = −

Po =

1 q + 225 + 50 => 300

1 q + 850 200

Po =

1 q + 275 300

Pd = −

Antes de Impuesto

1 q + 850 200

Después de Impuesto

Podemos observar que el productor se ve obligado a subir el precio ofrecido en $50 c/u debido a que el gobierno le establece un impuesto por el mismo valor ($50 c/u). Teniendo las 2 funciones (después de impuesto) de oferta y demanda procedemos a determinar la cantidad y precio de equilibrio. Veamos :

Po =

1 q + 275 300 Por igualación :

Pd = −

1 q + 850 200

1 1 q + 275 = − q + 850 300 200

2q + 3q = 575 600

Si qe = 69000

1 1 q+ q = 850 - 275 300 200

5q = (575)(600 )

Pe =

1 (69000) + 275 300

114

qe = 69000

Pe = 505


FUNCION LINEAL

Que hubiera pasado si el gobierno hubiera ofrecido al productor un subsidio de $25 por cada unidad al productor. R/ Como el gobierno ofrece un subsidio, esto hace que el precio ofrecido se vea rebajado ó disminuido en $25, veamos :

Po =

1 q + 225 300

Po =

1 q + 225 - 25 300

Po =

Antes del subsidio

1 q + 200 300

Después del subsidio

Punto de equilibrio (después de subsidio) Po = Pd

1 1 q + 200 = − q + 850 300 200 2q + 3q = 650 600

1 1 q+ q = 850 - 200 300 200

q = 78000 unidades

Si q = 78000

P=

1 (78000) + 200 300

P = $ 460

Podemos concluir lo siguiente :

1) Un impuesto al productor de $50 por artículo, ocasiona una disminución de 6000 unidades en la cantidad de equilibrio (antes de impuesto => 75000 ; después de impuesto => 69000) y un aumento de $30 por unidad en el precio de equilibrio (antes de impuesto => $475 ; después de impuesto => $505).

115


FUNCION LINEAL

2) Un subsidio ofrecido al productor de $25, ocasiona un aumento de 300 unidades en la cantidad de equilibrio (antes de subsidio => 75000 ; después de subsidio => 78000) y una disminución de $15 en el precio de equilibrio (antes de subsidio => $475 ; después de subsidio => $460). Si graficamos las funciones de oferta (antes y después de impuesto y subsidio) y demanda en un solo plano, nos quedaría así :

900 Po = 0.0033q + 275

800

700

Po = 0.0033q + 225

600

500 Po = 0.0033q + 200 400

300

200

Pd = - 0.005q + 850

100

0 0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

Retomemos otra vez la situación inicial, donde pd = -

1 q + 850 200

qe = 75000 y

po =

1 q + 225 300

pe = 475

Preguntémonos ahora ¿Cuál debería ser el impuesto por cada unidad al productor para que la cantidad de equilibrio disminuya en 3000 unidades ? Aquí la incógnita es el impuesto. Sea

t = Impuesto por cada unidad

116


Entonces

po =

FUNCION LINEAL

1 q + 225 + t 300

(*)

Ahora, para despejar t debemos tener p y q. Como qe = 75000 y esta cantidad se disminuye en 3000 unidades, entonces q = 72000. O sea que ya tenemos q. ¿ Como determinamos ahora p ?

R/ Recordemos que pd = -

1 q + 850 200

Entonces si reemplazamos q = 72000 obtenemos : p= -

1 (72000) + 850 200

Ahora ya tenemos

→

p = 490

p = 490 y q = 72000

Entonces reemplazando en (*) : 490 =

1 (72000) + 225 + t 300

Despejando

t = 25

O sea que en conclusión, si se fija un impuesto al productor por $25 por cada unidad entonces la cantidad de equilibrio disminuye en 3000 unidades (pasa de 75000 a 72000) o sea que la función de oferta después de impuesto es : po =

1 q + 250 300

Función de oferta después de impuesto.

Como la nueva cantidad de equilibrio es qe = 72000, ¿Cuál será el nuevo precio de equilibrio después de impuesto ?

R/ p=

1 (72000) + 250 300

→

pe = 490 Este valor ya se había determinado.

117


FUNCION LINEAL

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. El costo variable de fabricar una silla es de $4000 y los costos fijos son de 4’000000. Determine el costo total c de fabricar x sillas. ¿Cuál es el costo de fabricar 100 sillas ? R/ C(x) = 4000x + 4’000000 ; $4’400000. 2.

El costo de fabricar 100 mesas a la semana es de $700000 y el de 120 mesas a la semana es de $800000. a. Determine la ecuación de costos, suponiendo que es lineal. R/ C(x) = 5000x + 200000. b. ¿Cuales son los costos fijos y variable por unidad ? R/ $200000 y $5000 c/u.

3. A una compañía le cuesta $687500 producir 15 unidades de cierto artículo al día y $775000 producir 110 unidades del mismo artículo al día. a. Determine la ecuación de costos, suponiendo que es lineal. R/ C(x) = 921x + 673685. b. Cuál es el costo de producir 20 artículos al día ? R/ 692105. c. Cuál es el costo variable y el costo fijo por articulo ? R/ 921 ; 673685. 4. Una compañía cobra $850000 por transportar cierta máquina 200 kilómetros y $1’200000 por transportar la misma máquina 300 kilómetros. a. Determine la relación entre la tarifa total y la distancia recorrida, suponiendo que es lineal. R/ C(x) = 3500x + 150000 b. Cuál es la tarifa mínima por transportar esta máquina ? R/ 150000. c. Cuál es la cuota por cada kilometro que la máquina es transportada ? R/ 3500. 5. Los costos fijos por fabricar cierto artículo son de $500000 a la semana y los costos totales por fabricar 80 unidades a la semana son de $740000. Determine la relación entre el costo total y el número de unidades producidas, suponiendo que es lineal. ¿Cuál será el costo de fabricar 150 unidades a la semana ? R/ C(x) = 3000x + 500000 ; 950000. 6. Una compañía especializada ofrece banquetes a grupos de personas al costo de $3000 por persona, más un cargo extra de $5000. Encuentre el costo yc que fijaría la compañía por q personas. R/ Yc = 3000q + 5000. 7. El costo de un boleto de autobús en Cali depende directamente de la distancia viajada. Un recorrido de 2 kilómetros cuesta $300, mientras que uno de 7 kilómetros tiene un costo de $800. Determine el costo de un boleto por un recorrido de x kilómetros. R/ C(x) = 80x + 140.

118


FUNCION LINEAL

8. El costo variable de producir cierto artículo es de $2000 por unidad y los costos fijos son de $2’400000 al día. El artículo se vende por $3500 cada uno. ¿Cuántos artículos deberá producir y vender para garantizar que no haya ganancias ni perdidas ? R/ 1600 artículos. 9. Los costos fijos por producir cierto artículo son de $500000 al mes y los costos variables son de $800 por unidad. Si el productor vende cada uno a $1200, responda a cada uno de los incisos siguientes. a. Encuentre el punto de equilibrio. R/ 1250 artículos ; $1’500000. b. Determine el número de unidades que deben producirse y venderse al mes para obtener una utilidad de $1’500000 mensuales. R/ 5000 artículos. c. Obtenga la pérdida cuando sólo 1000 unidades se producen y venden cada mes. R/ pérdida = $100000 10. El costo de producir x artículos está dado por C = 150x + 40000 y cada artículo se vende a $250. Encuentre el punto de equilibrio. R/ 400 artículos ; $100000 11. Un fabricante produce artículos a un costo variable de $300 cada uno y los costos fijos son de $300000 al día. Si cada artículo puede venderse a $450, determine el punto de equilibrio. R/ 2000 artículos ; $900000

Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio de las curvas de demanda y oferta siguientes : 12. D: p + 1/40 x = 150 O: 200p - 5x = 100000

R/ No existe

13. D: 2p = -1/20q + 300 O: 120p = 3q + 6000

R/ p = 100 ; q = 2000

14. D: x = 40 - p O: 5p - 4x = 50

R/ x = 17 ; p = 23.33

15. D: p = -1/25x + 1600 O: p = 0.01x + 350

R/ p = 600 ; x = 25000

16. D: p² + 2x² = 114 O: p = x + 3

R/ x = 5 ; p = 8

119


FUNCION LINEAL

17. Un comerciante puede vender 400 unidades de cierto artículo al día a $320 por unidad y 1200 unidades a $160 por unidad. La ecuación de la oferta para tal artículo es p = 1/10 q + 100. a. Determine la ecuación de la demanda para el artículo, suponiendo que es lineal. R/ p = -1/5q + 400. b. Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio. R/ Pe = 200 ; qe = 1000. c. Determine el precio y la cantidad de equilibrio si se ha fijado un impuesto de $15 sobre el artículo. Cuál es el incremento en el precio y la disminución en la cantidad demandada ? R/ Pe = 210 ; qe = 950. d. Qué subsidio por unidad incrementaría la demanda en 150 unidades ? R/ $45 c/u. e. Con qué impuesto adicional por unidad debe gravarse el artículo de modo que el Precio de equilibrio por unidad se incremente por $8 ? R/ $12 c/u. 18. A un precio de $1000, la oferta de cierto artículo es de 15000 unidades, mientras que la demanda es de 22000 unidades. Si el precio se eleva a $1500 por unidad, la oferta y la demanda serán de 30000 unidades y 18000 unidades, respectivamente. a. Determine las ecuaciones de demanda y oferta, suponiendo que ambas son lineales. R/ Oferta P = 1/30q + 500 ; Demanda P = - 1/8q + 3750 b. Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio. R/ Pe = 1184 ; qe = 20526. c. Si se grava el artículo con un impuesto de $250, cuáles son ahora el precio y la cantidad de equilibrio ? cuál es el incremento en el precio y la disminución en la cantidad ? R/ Pe = 1382 ; qe = 18947. d. Qué subsidio por unidad disminuiría el precio de equilibrio en $80 ? R/ $101.6 c/u.

120


FUNCION LINEAL

ELASTICIDAD PRECIO DE LA DEMANDA Una de las aplicaciones más importantes en la economía es la que tiene que ver con la elasticidad precio de la demanda. Supongamos que se tiene la siguiente relación entre precio (p) y cantidad (q). 1 q + 140 25

P=-

Relación de demanda.

Podríamos construir una tabla de valores para conocer el comportamiento de esta función.

q p

P 0 140

A 500 120

B 1000 100

C 1500 80

D 2000 60

E 2500 40

F 3000 20

Q 3500 0

Si graficamos obtenemos :

p 160

P

140

P = - 1/25 q + 140 A

120

B

100

C

80

D

60

E

M

40

F

20

Q

0

q 0

1000

2000

3000

4000

figura 1

Observemos detenidamente las coordenadas del punto A y B : A (500 , 120) B (1000 , 100) ; Aquí nos damos cuenta que del punto A a el punto B la cantidad pasa de 500 a 1000 mientras que el precio pasa de 120 a 100. Ahora, la elasticidad precio de la demanda nos va a medir la respuesta de los consumidores a una variación del precio, en otras palabras nos dice como se afecta la cantidad demandada ante un cambio en el precio.

121


FUNCION LINEAL

La elasticidad precio de la demanda que la denotaremos por (E) vendrá dada por :

Variación porcentual en la cantidad demandada E= Variación porcentual del precio

O sea que si vamos a calcular la elasticidad entre el punto A y B debemos saber cuál es la variación porcentual en la cantidad demandada cuando se pasa de 500 a 1000 unidades y además cuál es la variación porcentual en el precio cuando se pasa de 120 a 100 y posteriormente se halla el cociente. Veamos : ¿Cuál sería la variación porcentual si se para de 500 a 1000 unidades ? R/

Variación porcentual en cantidad =

1000 − 500 * 100 = 100% 500

O sea que la cantidad aumentó en un 100% cuando pasó de 500 a 1000 unidades. ¿Cuál sería la variación porcentual si se pasa de $120 a $100 ?

R/

Variación porcentual en precio =

100 − 120 * 100 = -16.667% 120

El signo negativo indica que el precio disminuyó en un 16.67% cuando paso de $120 a $100. O sea que en consecuencia : E =

100% 6 =− − 16.67% 1

¿Que nos indica este valor ? R/ Este valor nos indica que una reducción en el precio de un 1% provoca un aumento en la cantidad demandada de un 6%.

Ya habíamos tratado relaciones de demanda y sabíamos que si el precio disminuye entonces la cantidad demandada aumenta y si el precio aumenta pues la cantidad disminuye. De tal forma que el signo de la Elasticidad no es necesario puesto que sabemos que si una variable (ya sea precio ó cantidad) aumenta la otra disminuye y viceversa. En muchas ocasiones se utiliza el valor absoluto para denotar la elasticidad.

122


FUNCION LINEAL

Así como se cálculo la Elasticidad entre A y B, se podría calcular mediante el mismo procedimiento la Elasticidad entre B y C , entre C y D, etc. Construyamos ahora una tabla donde se indica la variación porcentual de la cantidad y el precio, así como la Elasticidad entre los puntos : A-B ; B-C ; C-D ; D-E ; E-F. Veamos : Tabla 1 Cantidad Punto (unidades)

A

B

C

D

E

F

Precio ($/unidad)

Variación porcentual En cantidad (%)

Variación porcentual en precio (%)

Elasticidad

100

16.667

100/16.667 = 6

50

20

50/20 = 2.5

33.33

25

33.33/25 = 1.333

25

33.33

25/33.33 = 0.75

20

50

20/50 = 0.4

120

500

100

1000

80

1500

60

2000

2500

40

20

3000

De la tabla anterior observamos que la Elasticidad entre el punto B y C es de E = 2.5 y esto indica que una reducción en el precio de 1% provoca un aumento en la cantidad demandada de un 2.5%. Analicemos cuál sería la Elasticidad alrededor del punto M (ver fig. 1) donde q = 1750 unidades ; este valor es el punto medio en el eje de abscisas (eje q) y el punto medio en el eje de ordenadas (eje p) es p = 70. O sea que M(1750 , 70). Como para hallar la Elasticidad necesitamos 2 puntos, entonces hallemos el precio para q = 1749 y para q = 1751, veamos : Si q1 = 1749

→

p=-

1 (1749) + 140 25

→

p1 = 70.04

Si q2 = 1751

→

p=-

1 (1751) + 140 25

→

p1 = 69.96

123


FUNCION LINEAL

Hallemos entonces la variación porcentual en cantidad y precio así : Variación porcentual en cantidad =


Entonces :

E=

1751 − 1749 * 100 = 0.11435% 1749 69.96 − 70.04 * 100 = - 0.11422% 70.04

0.11435 = - 1.0011 − 0.11422

→

E = 1.0011

En consecuencia alrededor del punto M(1750,70) (recordemos que el punto M es el punto medio entre P y Q), la elasticidad es prácticamente igual a 1. Si observamos detalladamente la tabla 1 nos damos cuenta que a la izquierda de q = 1750 el valor de la elasticidad es mayor que 1; para q ≅ 1750 el valor de la Elasticidad es aproximadamente igual a 1 y a la derecha de q = 1750 el valor de la Elasticidad es menor que 1. En resumen : Si

q < 1750

→

E >1

Si

q = 1750

→

E =1

Si

q > 1750

→

E <1

¿Que significa que E > 1 ? Variación porcentual en cantidad

R/ Sabemos que

E = Variación porcentual en precio

Entonces que sucede si O sea que :

(Variación en cantidad) / (Variación porcentual en precio) > 1

Variación en cantidad > Variación en precio

Esto indica que a la izquierda del punto medio una variación en precio ocasiona una mayor variación en cantidad. Cuando esto ocurre o sea que E > 1 se dice que la demanda es

Elástica. ¿Que significa que E = 1 ?

R/ Esto indica que O sea que :

(variación en cantidad) / (variación en precio) =

variación en cantidad = variación en precio

124

1


FUNCION LINEAL

Esto indica que alrededor del punto medio una variación en el precio ocasiona la misma variación en cantidad. Cuando E = 1 se dice que la demanda tiene Elasticidad Unitaria.

¿Que significa que E < 1 ? R/ Esto indica que O sea que :

(Variación en cantidad) / (Variación en precio)

<1

variación en cantidad < Variación en precio

Esto indica que a la derecha del punto medio una variación en el precio ocasiona una menor variación en cantidad. Cuando E < 1 se dice que la demanda es Inelástica. O sea que en resumen : Si

E >1

La demanda es elástica.

Si

E =1

La demanda tiene elasticidad unitaria

Si

E <1

La demanda es Inelástica.

Gráficamente : P

E > 1, demanda elástica

140 P

E = 1 , elasticidad unitaria 70

M

E < 1, demanda Inelástica Q

q 1750

3500 figura 2

125


FUNCION LINEAL

ELASTICIDAD ARCO Cuando calculamos con base en la figura 1 la elasticidad entre el punto A(500,120) y 1000 − 500 B(1000,100) decíamos que variación porcentual en cantidad = * 100, 500 Aquí utilizamos como denominador 500 unidades. Para determinar la Elasticidad Arco se debe utilizar en el denominador la cantidad media 500 + 1000 entre 500 y 1000 donde esta será = 750. 2 Lo mismo se hará para la variación porcentual en el precio donde el denominador será el 120 + 100 precio medio entre 120 y 100, o sea = 110. En conclusión , entre A y B : 2 Variación porcentual en cantidad =


O sea que :

E =

1000 − 500 * 100 = 66.67% 750 100 − 120 * 100 = - 18.1818% 110

66.67% = 3.667 18.1818%

Este valor nos indica que una reducción en el precio de un 1% provoca un aumento en la cantidad demandada de un 3.67%. Dada la siguiente tabla determinar la Elasticidad Arco entre cada par de punto :

Punto

Cantidad

Precio

A

500

120

B

1000

100

C

1500

80

D

2000

60

E

2500

40

F

3000

20

Variación en cantidad (%)

Variación en precio (%)

Elasticidad

66.67

18.18

66.67/18.18 = 3.67

126


FUNCION LINEAL

APLICACION A MACROECONOMIA En este capítulo pretenderemos mostrar algunas relaciones y variables que se utilizan en macroeconomía. Cabe anotar que se le darán nombres a las variables pero no se hará una interpretación y análisis riguroso debido a que esto se contemplará en un curso de MACROECONOMIA. Aquí se manejaran variables muy utilizadas en el libro de Macroeconomía cuyo autor es DORNBUSCH – FISCHER. Inicialmente se tratará una parte un poco teórica y posteriormente se harán ejercicios para comprender lo que se va a exponer. Es importante haber leído el capítulo de Función Lineal. Empecemos por definir la siguiente relación lineal :

C = cYd + Co

;

C = f(Yd)

donde :

Yd ≥ 0 Co ≥ 0

Recordemos que es de la forma :

C Co c Yd

= Consumo total. = Consumo autónomo. = Propensión marginal a consumir. = Ingreso disponible.

C

. EN SE .GRAFICA  →

Y = mx + b C = cYd + Co

Yd

Aquí el valor de c debe estar entre 0 y 1. 0≤ c ≤ 1

O sea

Veamos :

C

Corte con el eje C

c

C = Co + cYd

Co Pendiente Yd

127


Ejemplo : Graficar

FUNCION LINEAL

C = 150 + 0.75 Yd

C = 150 + 0.75Yd C c = 0.75 150 45º Yd Que significa c = 0.75 ? R/ Por cada peso de ingreso disponible se consumen 75 centavos ó en términos más generales se puede decir que por cada unidad de ingreso disponible se consume el 75 %. Nota Importante : Debemos tener en cuenta que el hecho de que 0 ≤ c ≤ 1 indica que la recta C = Co + cYd no puede formar un ángulo mayor de 45o respecto al eje de abscisas (Yd). Por ejemplo si c = 1 entonces el ángulo es de 45o y si c = 0 el ángulo es de 0o (o sea paralela a eje Yd ) Veamos : C

C = Co + 0 Yd

C C = Co + 1 Yd

Co

C = Co

45º

Co Yd

Yd

Figura 1

Figura 2

Recordemos que c : propensión marginal a consumir De las figuras anteriores podremos decir lo siguiente : Figura 1 : Como c = 1 entonces esto indica que por cada unidad de ingreso disponible se consume un 100 % (o sea que se consume todo). Figura 2 : Como c = 0 entonces por cada unidad de ingreso disponible no se consume nada (0 %) o en otras palabras se ahorra todo.

128


Resumen : Si c = 1 Si c = 0

→ →

FUNCION LINEAL

Lo consume (o gasta) todo. Lo ahorra todo.

Decimos que se ahorra debido a que la parte del ingreso que no se consume se ahorra. Si llamamos a s = Propensión marginal al ahorro podremos formar la siguiente ecuación elemental : c + s = 1 de tal forma que si c = 0.75 entonces : s= 1–c

→

s = 1 – 0.75

→

Parte que se ahorra por cada unidad de ingreso disponible.

s = 0.25

Retomemos otra vez la ecuación C = Co + cYd donde Co ≥ 0 ; C

0 ≤ c ≤ 1 ; Yd ≥ 0 C = Co + c1Yd

C

Co1 Co

C = Co + cYd

Co

C = Co + cYd

Yd

Yd

Figura 3

Figura 4

De la Figura 3 observamos que para que la recta se desplace hacia arriba paralelamente se requiere que aumente el consumo autónomo (o sea que Co sea más grande). De la Figura 4 nos damos cuenta que para que la recta únicamente oscile (o gire) hacia arriba se requiere que la propensión marginal a consumir del ingreso disponible aumente.

¿En que caso se desplazará la recta paralelamente hacia abajo y en que caso oscilará únicamente hacia abajo ? , donde T = tY Supongamos ahora que Yd = Y + TRo – T Entonces : Yd = Y + TRo – tY , 0 ≤ t ≤ 1 Donde

Y = Ingreso total TRo = Transferencias t = Tasa de impuesto del ingreso total.

Como quedaría entonces la relación de consumo ? 129

Veamos :


C = Co + cYd

→

C = Co + c [ Y + TRo – tY] →

C = Co + cY + cTRo – ctY

Entonces :

FUNCION LINEAL

C = Co + cTRo + cY - ctY

C = Co + cTRo + cY (1 – t) C = Co + cTRo + c (1 – t)Y

Si llamamos c’ = c (1 – t) , donde

c’ = Propensión marginal a consumir del ingreso total

Tendríamos : C = Co + cTRo + c’Y

C = f(Y)

Y = b + mx

Tengamos en cuenta que el intercepto con el eje de ordenadas es b = Co + CTRo y la pendiente es m = c’ ó m = c (1 – t). Con base en la siguiente ecuación c’ = c (1 – t) si analizamos detenidamente nos damos cuenta que para que el valor de c’ aumente se requiere que c aumente ó t disminuya; y viceversa, o sea, para que c’ disminuya se necesita que c disminuya ó que t aumente. Resumen :

¿Cuando c’ ¿Cuando c’

? ?

→ →

si c

ó

si c

ó

t t

Gráficamente tenemos : C = Co + cTRo + c’Y

C

C

Co + CTRo

Co + cTRo

Y

Y

Figura 5

Figura 6

130


FUNCION LINEAL

En la figura 5 la recta se irá paralela hacia arriba si aumenta el consumo autónomo ó si aumentan las transferencias. En la figura 6 la recta oscilará hacia arriba si aumenta la propensión a consumir del ingreso disponible ó si disminuye la tasa de impuesto. ¿Qué se necesita para que la recta se desplace paralelamente hacia abajo ó para que oscile hacia abajo ? Tratemos ahora la siguiente ecuación :

I = Io - bi Donde :

I Io i b

Curva de demanda de inversión.

= = = =

Inversión. Gasto autónomo de inversión. Tipo de interés. Respuesta de inversión al tipo de interés.

Aquí I esta en función de i, o sea que I = f(i), la pendiente es m = - b y el corte con el eje I es Io , si graficamos obtenemos : I I = Io - bi Io

Io/b

i

Observemos las siguientes situaciones :

I I1

I b es grande

b es pequeño

I1 I2 I2 i1

i2

i

i1

Figura 7

Figura 8

131

i2

i


FUNCION LINEAL

En la figura 7 nos damos cuenta que si el valor de b es grande, una pequeña disminución de i va a provocar un gran aumento en la inversión (curva casi vertical) y en la figura 8 un valor pequeño de b indica que una gran disminución de i provoca un aumento muy pequeño en la inversión (curva plana). Analicemos ahora la siguiente igualdad : DA = Y ,

Donde

DA = Demanda agregada.

Esta es una función que se llama idéntica y me dice que para cualquier valor de Y entonces la demanda agregada será igual. Esta recta forma un ángulo de 45º con respecto al eje de abscisas. Gráficamente tendríamos :

DA Esta recta determina la producción de equlibrio y por tanto para que exista equlibrio no se debe mover.

Y = DA

45

º

Y En Macroeconomía se explica la siguiente ecuación fundamental :

DA = C + I + G

Recordemos que :

Donde :

C = Consumo I = Inversión Go = Gasto publico

C = Co + cTRo + c’Y

;

I = Io - bi

Esto nos quedaría así : DA = Co + cTRo + c’Y + Io - bi + Go

(organizando)

DA = Co + cTRo + Io + Go + c’Y - bi A

Si llamamos

A = Gasto Autónomo, entonces :

DA = A + c’Y - bi

⇔

DA = A - bi + c’Y

132


FUNCION LINEAL

Aquí tenemos DA = f(Y) y la podremos graficar teniendo en cuenta que es una relación lineal de la forma y = mx + b donde m = c’ y b = A - bi, veamos :

DA

DA = Y

E A - bi

DA = c’Y + A - bi

45º Figura 9

DA

A

ó b

ó i

Y

DA

c’

A - bi

A - bi

45º Figura 10

Y

45º Figura 11

Y

En la figura 9 observamos que la recta DA = c’Y + A - bi corta el eje de ordenadas (eje DA) en A - bi y la pendiente es c’ = c(1 – t). Esta recta corta en algún punto a la recta idéntica (DA = Y) que forma un ángulo de 45º con el eje de abscisas (eje Y). Si observamos el punto E nos damos cuenta que está en la recta de producción de equilibrio. El la figura 10 podemos analizar lo siguiente : Para que la recta se desplace paralelamente hacia arriba se requiere que el valor de A aumente, ó que disminuya b ó i. ¿Como aumenta A ?

133


FUNCION LINEAL

R/ Sabemos que A = Co + cTRo + Io + Go Entonces para que A aumente se requiere que cualquiera de los componentes de A aumente, o sea que en otras palabras deben aumentar Co ó TRo ó Io ó Go. Conclusión : Para que el gasto autónomo aumente se requiere que aumente el consumo autónomo ó las transferencias ó la inversión autónoma ó el gasto público. O sea que A si Co ó TRo ó Io ó Go. Recordemos que el ,valor de b disminuye en la medida en que la curva de demanda de inversión sea plana. ¿Qué se requiere para que la recta se deslace paralelamente hacia abajo ? En la figura 11 para que la recta únicamente oscile hacia arriba se requiere que la pendiente (c’) sea más grande. ¿De que forma sería más grande c’ ? R/ Recordemos que c’ = c (1 – t) . Para que c’ aumente se necesita que c aumente ó que t disminuya. Conclusión: Para que la propensión marginal a consumir del ingreso total (c’) aumente, se necesita que aumente la propensión marginal a consumir del ingreso disponible (c) ó que disminuya la tasa de impuesto (t). O sea que c’

si

c

ó t

Preguntas : 1. Para cada caso decir que se requiere (o que variables deben cambiar) para que la recta únicamente oscile hacia abajo. 2. Para que la recta tenga una oscilación y desplazamiento hacia arriba. 3. Para que la recta se desplace hacia arriba y a la vez oscile hacia abajo. 4. Para que la recta se desplace hacia abajo y a la vez oscile hacia arriba. 5. Para que la recta se deslace hacia abajo y a la vez oscile hacia abajo. Volvamos a retomar la relación

DA = c’Y + A - bi

Si tomamos A - bi (corte con el eje de ordenadas) y suponemos que A y b mantienen fijos, o sea únicamente varía i, nos damos cuenta que en la medida en que i disminuye entonces A - bi aumenta. Veamos esto mediante un ejemplo. Supongamos que A = 800 y b = 175 y llamemos z = A - bi entonces : z = 800 – 175i Démosle valores a i (entre cero y uno) y observemos que ocurre con z : Si Si Si

i = 0.8 i = 0.6 i = 0.4

→ → →

z = 800 – 175 (0.8) z = 800 – 175 (0.6) z = 800 – 175 (0.4)

→ → →

134

z = 660 z = 695 z = 730


Si

→

i = 0.2

FUNCION LINEAL

→

z = 800 – 175 (0.2)

z = 765

Aquí hemos verificado que en la medida que disminuye el tipo de interés i entonces z = A - bi aumenta. Volvamos a graficar DA = c’Y + A - bi y asumamos que A y b permanecen constantes : DA

DA = Y

B

De la figura 12 observamos lo siguiente :

A - bi2

A A - bi1

Para un valor dado de i1 la recta intercepta a DA = Y en un punto A cuya abscisa es y1 (o sea que en otras palabras y1 es la abscisa única y exclusivamente de i1 ).

45º Y

i

Curva IS

(y1 , i1)

i1

Si el valor de i1 lo disminuímos (o sea lo pasamos de i1 a i2 ) i2 < i1 entonces la recta se desplazaría hacia arriba e interceptaría en el punto B, cuya abscisa es y2 (y2 es abscisa única y exclusivamente de i2). Recordemos que estos puntos A y B están en equilibrio.

(y2 , i2)

i2

y1

y2

Y

Figura 12

Análogamente se puede empezar a disminuir el valor de i y cada vez la recta se desplazará hacia arriba y cortará la recta DA = Y más a la derecha de tal forma que en la medida en que i disminuya el valor de Y (en equilibrio) aumenta. En MACROECONOMIA esta combinación de puntos (Y , i) con las características explicadas anteriormente se denomina CURVA IS y muestra diferentes combinaciones de niveles de ingreso (renta) y tipos de interés con los que el mercado de bienes está en equilibrio. ¿La curva IS tiene alguna ecuación ? R/ Si 135


FUNCION LINEAL

¿Como se determina ? R/ Para determinarla hacemos lo siguiente : De la ecuación DA = c’Y + A - bi debemos sustituir DA = Y puesto que todos los puntos de la IS se determinan interceptando DA = c’Y + A - bi y DA = Y. Si resolvemos por igualación obtenemos : Y = c’Y + A - bi

→

Y – c’Y = A - bi

Y (1 – c’) = A - bi

→

Y=

Para simplificar podemos llamar a

A − bi 1 − c'

→

Y=

1 ( A - bi ) 1 − c'

1 = α , entonces : 1 − c'

Y = α ( A - bi )

Y = f(i) , Ecuación de la curva IS

Como la variable i está en el eje de ordenadas entonces despejemos a i en términos de Y, y esto nos daría así : Y = α A - α bi i =

αA Y − αb αb

α bi = α A - Y

→ →

A 1 − Y b αb

i =

i = f(Y), Ecuación de la curva IS

Esta es una relación de tipo lineal donde el intercepto con el eje de ordenadas es pendiente (negativa) es m =

1 αb

i

i A

A y la b

ó b

α b

→ c’

→ c t

IS

IS

Y

Y

Figura 13

Figura 14

136


FUNCION LINEAL

En la figura 13 observemos que para que la curva IS se desplace paralelamente hacia arriba no debe cambiar la pendiente; únicamente debe aumentar el término independiente que es A . b A ¿Cómo aumenta ? b A se requiere que aumente A o que disminuya b. R/ Para que aumente b Recordemos que A aumenta si Co ó TRo ó Io ó Go. , y b disminuye en la medida que la curva de demanda de inversión sea plana. ¿Que se requiere para que la curva IS se desplace paralelamente hacia abajo ? En la figura 14 para que la curva IS oscile hacia arriba (en el sentido contrario a las manecillas del reloj) se necesita que la pendiente de la curva IS sea cada vez más pequeña puesto que cada vez la curva se hace más plana. ¿Qué se requiere para que la pendiente de la IS sea pequeña ? 1 y para que la pendiente sea αb pequeña se necesita que α aumente ó que b aumente entonces la pendiente de IS es pequeña si b ó α

R/ Recordemos que la pendiente de la curva IS es m =

El valor de b aumenta en la medida en que la curva de demanda de inversión tiende a ser vertical. ¿Como aumenta el valor de α ?

R/ Recordemos que α =

1 1 − c'

Para que α aumente se necesita que el denominador (1 – c’) sea pequeño y a la vez 1 – c’ es pequeño si c’ aumenta y ya sabemos que c’ aumenta si c ó t

Conclusión :

α aumenta si c’ c’ aumenta si

c

ó

t

Veamos esto mediante un ejemplo : Supongamos que c = 0.70 y t = 0.2, ¿cuánto vale c’ ?

c’ = c (1 – t)

→

c’ = 0.7 (1 – 0.2)

→

137

Veamos :

c’ = 0.56


¿Cuánto vale α ?

→

α =

FUNCION LINEAL

1 1 − c'

→

α =

1 = 2.2727 1 − 0.56

¿Que pasa si c aumenta a 0.85 ?

R/ c = 0.85

Cuánto vale

t = 0.2

α =

→

c’ = 0.85 (1 – 0.2)

1 1 = 1 − 0.68 0.32

→

→

α = 3.125

c’ = 0.68

Aumentó

Aumentó

Hemos verificado que al aumentar c directamente aumenta c’ y por tanto aumenta α y a la vez la pendiente de la curva IS disminuye (se hace más plana). Determinar para el caso anterior el valor de α si t pasa de 0.2 a 0.05 y el valor de c = 0.7 R/ α = 2.9851

Preguntas : Respecto a la curva IS decir que se requiere para cada caso : 1. Para que oscile en el sentido de las manecillas del reloj (hacia abajo). 2. Para que se desplace hacia arriba y oscile hasta arriba. 3. Para que se desplace hacia arriba y oscile hacia abajo. 4. Para que se desplace hacia abajo y oscile hacia arriba. 5. Para que se desplace hacia abajo y oscile hacia abajo. Resolvamos ahora una serie de ejercicios donde se utilicen las ecuaciones mostradas.

EJERCICIO RESUELTO Supongamos la siguiente función de consumo : C = 150 + 0.75Yd y asumamos que Yd = Y. ¿Cómo se determina el nivel de ingreso de equilibrio ? Si graficamos obtenemos lo siguiente : C C=Y El ingreso de equilibrio se determina hallando el corte entre la recta de consumo y la recta identica (C = Y). Veamos :

E 150 45º

600

Y

138


Si C = 150 + 0.75Y Y = 150 + 0.75Y Y - 0.75Y = 150

Y=

1 (150) 0.25

y

→ →

FUNCION LINEAL

C=Y

entonces :

→

Y(1 – 0.75) = 150

→

Y = 4 (150)

Y=

1 (150) 1 − 0.75

Y = 600

Este valor se denomina multiplicador.

¿Que es el multiplicador ? R/ Analicemos lo siguiente en términos generales : Si tenemos una función de consumo C = Co + cY ingreso de equilibrio, entonces C = Y y obtenemos :

→

Y = Co + cY

Y – cY = Co

→

y vamos a determinar el nivel de

Y (1 – c) = Co

En este caso el multiplicador va a ser igual a

→

Y=

1 . Co 1− c

1 , o sea que depende de la propensión 1− c

marginal al consumo. ¿Para que sirve el multiplicador ?

R/ Expliquémoslo de la siguiente manera : Supongamos que además de la función de consumo C = 150 + 0.75Y la inversión planeada es de Io = 100 . Entonces para hallar el nivel de ingreso de equilibrio se de cumplir la siguiente ecuación : Y=C+I → Y = 150 + 0.75Y + 100 250 0.25Y = 250 → Y= Y = 1000 → 0.25 Gráficamente tendríamos las 2 situaciones así : C=Y

C

C = 150 + 0.75Y + 100

250 C = 150 + 0.75Y 150 45º

600

1000

Y

139

→

C = 250 + 0.75Y


FUNCION LINEAL

Si analizamos nos damos cuenta que el nivel de equilibrio pasó de Y = 600 a Y = 1000 debido a una inversión planeada de Io = 100. O sea que el nivel de equilibrio aumentó en 400.

1 o sea que si c = 0.75 entonces : 1− c

Dijimos que el multiplicador es 1 1− c

⇔

1 1 − 0.75

1 =4 0.25

→

Este es el multiplicador

O sea que si la inversión planeada es Io = 100 entonces al multiplicar : 4 * 100 = 400 Multiplicador

Este es el incremento de nivel de equilibrio cuando la inversión planeada es Io = 100

Inversión planeada

Que hubiera pasado si la inversión planeada no es Io = 100 sino Io = 300. ¿En cuánto se hubiera incrementado el nivel de equilibrio ? R/ Como el multiplicador es 4 entonces se debe multiplicar 4 * 300 y esto daría 1200, de tal forma que el nuevo nivel de equilibrio seria Y = 600 + 1200 o sea Y = 1800. Verifiquemos esto mediante las ecuaciones : C = 150 + 0.75Y

e Io = 300

Y=C+I Y = 150 + 0.75Y + 300

Condición de equilibrio :

→

Y (1 – 0.75) = 150 + 300 Y=

1 (150 + 300) 0.25

entonces :

→

Y=

→

Y – 0.75Y = 150 + 300

1 (150 + 300) 1 − 0.75

Y = 4 (150 + 300) Multiplicador

Y = 4 (150) + 4 (300)

→

Y = 600 + 1200

Variación de equilibrio

Nivel de equilibrio inicial

O sea que en conclusión el multiplicador mide la cuantía en la que varía la producción de equilibrio ante una variación de una unidad del gasto autónomo. Observemos que en la medida que la propensión marginal a consumir sea mayor entonces mayor será el multiplicador. Con base en la ecuación anterior que es Y = C + I si tuviéramos un gasto publico Go = 100 entonces tendríamos : Y = C + Io + Go equivalente a :

140


Y = 150 + 0.75 Y + 300 + 100

FUNCION LINEAL

de aquí si despejamos. Y nos daría

Y = 2200

Producción de equilibrio.

De tal forma que esta producción se incrementó en 400 que es equivalente a multiplicar 4 * 100.

O sea que en términos generales si tuviéramos : Y = C + Io + Go

⇔

Y – cY = Co + Io + Go

Y=

Y = Co + cY + Io + Go si despejamos obtenemos : →

1 (Co + Io + Go) 1− c

Y (1 – c) = Co + Io + Go

→

Y=

1 1 1 Co + Io + Go 1− c 1− c 1− c

Si analizamos la situación anterior nos damos cuenta que en la medida en que aumente el gasto Autónomo, aumenta el nivel de equilibrio de la producción. Volvamos a la situación inicial que es C = 150 + 0.75Y e Io = 100. Como sabemos que Ingreso = Consumo + Ahorro, o sea Y = C + S donde S = Ahorro, entonces S = Y – C de tal forma que la ecuación de ahorro sería :

S = Y – (150 + 0.75Y)

→

S = Y – 150 – 0.75Y

→

S = 0.25Y - 150 Ecuación de Ahorro

Aquí existirá equilibrio cuando el ahorro sea igual a la inversión planeada, o sea si S = I veamos : 0.25Y – 150 = 100 0.25Y = 250

→ →

0.25Y = 100 + 150 Y=

141

250 0.25

→

Y = 1000


FUNCION LINEAL

Si graficamos la función de Ahorro y la inversión planeada obtendríamos : S S

100

I Y 600

1000

-150

Así como se determinó la ecuación de la curva IS, en la clase de macroeconomía se llega a una ecuación de una curva denominada LM, que muestra las combinaciones de tipo de interés y niveles de renta con las que el mercado de dinero está en equilibrio. Allí se define inicialmente una ecuación denominada ecuación de demanda de saldos reales que viene definida por : L = ky – hi

Donde L = Demanda de saldos reales

k,h >0

y = Renta

i = Tipo de interés

El valor de k muestra la sensibilidad de la demanda de saldos reales al nivel de renta, mientras que h muestra la sensibilidad al tipo de interés. Para que exista equilibrio la demanda de dinero debe ser igual a la oferta. La oferta de saldos reales se define como Oferta = Demanda

M , de tal forma que si hacemos : p

obtendríamos :

M = ky – hi Ecuación de la curva LM p Si despejamos i obtenemos : hi = ky -

M p

→

i=

1 M (ky ) h p

142

→

i = f(y)


i=

k 1 M y . h h p

→

FUNCION LINEAL

i = f(y)

Esta relación es de la forma y = mx + b donde : k m= Pendiente de la curva LM (positiva) h i

LM

y

Para que la curva LM sea plana se requiere que h sea grande y k sea pequeño. Cuando h es pequeño (Demanda de dinero inelástica al tipo de interés) entonces la curva LM tiende a ser vertical. Las ecuaciones de las curvas IS y LM son :

i=

A 1 − y b αb

→ IS

k 1 M y . h h p

i=

→ LM

Gráficamente tendríamos :

i LM iE

E

IS y yE

143


FUNCION LINEAL

El punto E(yE , iE) es un punto donde tanto el mercado de bienes y servicios y el mercado de activos está en equilibrio. Podríamos entonces con base en la ecuaciones de las 2 curvas hallar las coordenadas del punto de equilibrio. Para hacer esto se debe resolver el sistema de ecuaciones, dadas estas. Por ejemplo :

Ecuación IS

→

y = α ( A – bi)

Ecuación LM

→

M = ky - hi p

Podemos resolver el sistema por igualación, y para esto podemos despejar de cada ecuación la variable i y posteriormente igualarlas. Entonces tenemos : IS

→

y = α ( A – bi)

y

→

α

= A – bi

→

bi = A -

i=

LM

→

M = ky – hi p

Si igualamos tenemos

→

hi = ky -

k 1M y− h h p

=

M p

→

y

α

A 1 − y b bα

i=

k i M y− h h p

A 1 − y b bα

Ahora despejamos “y” y el resultado sería la producción de equilibrio (yE) k 1 A 1M y+ y = +  h bα b h p

  

→

 kbα + h  A 1  M  y  = +    bhα  b h  p 

y=

hα bα  M  A+ kbα + h kbα + h  p

→   

1  A 1M k y +  = +   h bα  b h  p

y=

  

bhα bhα M A+ (kbα + h)b (kbα + h)h p

Dividiendo tanto numerador como denominador por (h) tenemos :

144


yE =

α 1 + αb

Llamemos

k h

A+

α

 b  M   k  h  p 1 + αb h

α k 1 + αb h

=w

 b  M yE = w A + w   h  p

  

entonces :

  

(*)

w = Multiplicador de la política fiscal

Donde y

FUNCION LINEAL

b w   = Multiplicador de la política monetaria. h

En la ecuación (*) nos podemos dar cuenta que el nivel de producción de equilibrio (yE) depende de todas las variables que están incluidas en los multiplicadores de política fiscal y monetaria. Recordemos que

A = Gasto autónomo , depende de :

A = f (Io , Go , Co , TRo)

donde

A = Io + Go + Co + cTRo

Así como se determinó el nivel de producción de equilibrio (yE), podríamos determinar el tipo de interés de equilibrio (iE) igualando los niveles de producción de las ecuaciones de las curvas IS y LM. Veamos :

IS LM

Igualemos :

→ →

y = α (A – bi) h 1M y= i+ k k p

α A – α bi =

Sea z =

h 1 i+ z k k

145

M p


h 1 i + bα i = α A - z k k

FUNCION LINEAL

→

i(

h 1 + bα ) = α A - z k k

1  h + bkα  i  =α A - z  k  k 

iE =

kα 1 A− z h + bkα h + bkα

iE =

k h

α k 1 + αb h

Entonces

iE =

A−

Como z =

1 M h + bkα p

M p

α

Sea w =

1 + αb

h 1 M wA − k h + bkα p

k h

Este es el tipo de interés de equilibrio.

EJERCICIO RESUELTO Dado :

C = 90 + 0.65 yd Go = 50

L = 0.25y – 200i TRo = 150

t = 0.15

I = 150 – 100i

M = 180 p

1) Hallar las ecuaciones de la curva IS y LM 2) Hallar las coordenadas del punto de intersección de las curvas IS y LM. [o sea E(yE , iE)] 3) Hallar el nivel de producción y tipo de interés de equilibrio utilizando los multiplicadores de política fiscal y monetaria. Información : Co = 90 k = 0.25 Io = 150

Go = 50 t = 0.15 b = 100

c = 0.65 h = 200

TRo = 150 M /p = 180

146


FUNCION LINEAL

Recordemos que :

→

IS

LM

α =

→

i=

A 1 − y b bα

i=

k 1M y −  h h p

  

1 1 = 2.2346 = 1 − c(1 − t ) 1 − 0.65(1 − 0.15)

A = Io + Go + Co + cTRo = 150 + 50 + 90 + 0.65 (150)

A = 387.5

Gasto autónomo.

Ecuaciones : IS

LM

→

→

i=

387.5 1 − y 100 (100)(2.2346)

i=

→

0.25 1 y− (180) 200 200

i = 3.875 – 0.00447507y

→

i = 0.00125y – 0.9

Resolviendo por igualación tenemos : 0.00125y – 0.9 = 3.875 – 0.004475y

→

y = 834

Si y = 834 reemplazando tenemos i = 0.00125 (834) – 0.9

O sea que

yE = 834

iE = 0.1425

147

→

i = 0.1425


FUNCION LINEAL

Para graficar hallemos los interceptos con los ejes : →

IS

→

Si i = 0

i = 0.00125y – 0.9

→

Si i = 0

Si y = 0 →

0 = 3.875 – 0.004475y

→

LM

→

i = 3.875 – 0.004475y

Si

0.004475y = 3.875

y=0

→

0 = 0.00125y – 0.9

i = 3.875 →

y = 865.9

i = -0.9

0.9 = 0.00125y

→

y = 720

i 3.85

IS

LM

E(834 , 0.1425)

720

865

y

3) Utilizando los multiplicadores de política fiscal y monetaria obtenemos :

α

yE =

1 + αk

b h

A+

yE = (MPF) A + Donde :

α

 b  M   b  h  p 1 + αk h

  

(MPM) ( M /p)

MPF = Multiplicador de la política fiscal MPM = Multiplicador de la política monetaria

MPF

→

Nos indica en cuánto varia el nivel de equilibrio de la renta como consecuencia de una variación del gasto autónomo manteniendo constante la cantidad de dinero en términos reales.

MPM

→

Nos indica cuánto aumenta el nivel de renta como consecuencia de un incremento de la cantidad de dinero en términos reales, manteniendo invariable la política fiscal.

148


Sabemos que

FUNCION LINEAL

α = 2.2346

k = 0.25

2.2346

MPF =

→

 100  1 + (0.25)(2.2346)   200 

 100  MPM = 1.7467    200 

b = 100

→

h = 200

MPF = 1.7467

MPM = 0.87335

Entonces : yE = 1.7467 A + 0.87335

Sabemos que

A = 387.5

y

M p M = 180 , entonces : p

→

yE = 1.7467 (387.5) + 0.87335 (180)

yE = 834

Para el caso del tipo de interés tenemos : iE =

Aquí

k 1 M wA − h h + bkα p

α

w=

donde

1 + αb

k h

w = 1.7467 (MPF)

Entonces :

iE =

0.25 1 M * 1.7467 A − 200 200 + 100(0.25)(2.2346) p

iE = 0.002183375 A - 0.003908311

Como Entonces

A = 387.5

y

M p

M = 180 p

iE = 0.002183375 (387.5) – 0.003908311 (180)

149

→

iE = 0.1425


Aquí tenemos

yE = 834

;

FUNCION LINEAL

iE = 0.1425

En el caso anterior el gasto público (Go) era 50 y la oferta de saldos reales M /p = 180. Supongamos ahora que no se conoce el gasto público (Go) ni la oferta de saldos reales, o sea que estas serán variables. Como sabemos que el gasto autónomo ( A ) viene dado por A = Io + Go + Co + cTRo Io = 150 TRo = 150 c = 0.65 entonces : Y Co = 90 →

A = 150 + Go + 90 + 0.65 (150)

A = 337.5 + Go

Habíamos deducido que yE = 1.7467 A + 0.87335

yE = 1.7467(337.5 + Go ) + 0.87335

M p

Aquí tenemos yE en términos de Go y

iE = 0.002183375 A - 0.003908311

M p

→

M p

M de tal forma que : p

yE = 589.5 + 1.7467Go + 0.87335

M p

(*)

. Además sabemos que :

entonces :

iE = 0.002183375(337.5 + Go ) - 0.003908311

M p

iE = 0.736889 + 0.002183375Go - 0.003908311

Aquí tenemos iE está en términos de Go y

M p

(**)

M p

Supongamos que la oferta de saldos reales permanece constante o sea sería entonces el nivel de renta si el gasto público pasa de 50 a 150 ? 150

M = 180. ¿Cuál p


R/ Aquí tenemos

FUNCION LINEAL

M = 180 y Go = 150, p

entonces reemplazando en

(*)

y

(**)

obtenemos : yE = 589.5 + 1.7467(150) + 0.87335(180)

→

yE = 1008.7

iE = 0.736889 + 0.002183375(150) - 0.003908311(180)

→

iE = 0.3609

i IS (Desplazada paralelamente)

E2(1008.7 , 0.3609)

LM IS inicial

y -0.9

E1(834 , 0.1425)

Nota : El desplazamiento de la curva IS paralelamente hacia arriba obedece a un aumento del gasto público. Con base en (*) y (**) : Si

M = 180 p

¿De cuánto debe ser el gasto público (Go) para lograr que el nivel de renta (yE) sea de 1500 ?

Aquí yE = 1500

y

M = 180. Entonces reemplazando en (*) p

1500 = 589.5 + 1.7467Go + 0.87335 (180)

→

Go = 431.27

151

despejando Go obtenemos :


FUNCION LINEAL

¿Cuál sería el tipo de interés para este caso ? R/ Reemplazando en (**)

Go = 431.27

M = 180 p

y

iE = 0.736889 + 0.002183375(431.27) - 0.003908311(180)

→

iE = 0.97502

La gráfica quedaría así :

i IS E2(1500 ,0.97502)

LM IS inicial

y E1(834 , 0.1425)

Con base en la situación inicial E(834 , 0.1425) , ¿Cuál sería el nivel de renta y el tipo de interés si el gasto público permanece constante Go = 50 pero la oferta de saldos reales M M disminuye y pasa de = 180 a = 120 ? p p R/ Reemplazando en (*) y (**)

Go = 50

yE = 589.5 + 1.7467(50) + 0.87335(120)

y →

iE = 0.8421

152

M = 120 p

yE = 781.640


FUNCION LINEAL

Gráfica : i LM desplazado

IS E2(781.64 ,0.8421)

LM inicial

y E1(834 , 0.1425)

Nota : Observamos que la curva LM se desplaza hacia arriba (paralelamente) debido a una disminución en la oferta de saldos reales. ¿Cuál es el nivel de renta y tipo de interés si el gasto público pasa de Go = 50 a Go = 80 y M M la oferta de saldos reales pasa de = 180 a = 140 ? p p R/ Aquí tenemos Go = 80

y

M = 140. Reemplazando en (*) y (**) : p

yE = 589.5 + 1.7467(80) + 0.87335(140)

→

yE = 851.51

iE = 0.3644

i IS desplazada

LM desplazado E2(851.51 ,0.3644)

LM inicial IS inicial

y E1(834 , 0.1425)

153


FUNCION LINEAL

Que sucede si con base en la situación inicial E1(834 , 0.1425) ¿De cuánto debe ser el gasto M ) para que el nivel de renta permanezca de público (Go) y la oferta de saldos reales ( p 834 pero el tipo de interés pase de 0.1425 a 0.35 ?

R/ Aquí

yE = 834

e iE = 0.35

834 = 589.5 + 1.7467 Go + 0.87335

Reemplazando en (*) y (**) obtenemos :

M p

(1)

0.35 = 0.736889 + 0.002183375 Go – 0.003908311

M p

(2)

Aquí tenemos un sistema simultaneo de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (ver capítulo de Ecuaciones). Organizando tenemos : 1.7467 Go + 0.87335

M = 244.5 p

0.002183375Go – 0.003908311

(1)

M = - 0.386889 (2) p

Solucionando por cualquiera de los métodos vistos en el capítulo de ecuaciones o utilizando calculadora obtenemos :

M = 138.5 p

Go = 70.73

i LM desplazado

IS desplazada E2(834 ,0.35)

LM inicial IS inicial

y E1(834 , 0.1425)

154


FUNCION LINEAL

Observemos que en la gráfica anterior una disminución de la oferta de saldos reales (de 180 a 138.5) y un aumento del gasto público (de 50 a 70.73) ocasiona que el nivel de renta permanezca constante (yE = 834) y el tipo de interés pase de iE = 0.1425 a iE = 0.35 Con base en la situación inicial E1(834 , 0.1425) ¿De cuánto debe ser el gasto público (Go) M y la oferta de saldos reales ( ) para que el tipo de interés permanezca constante (o sea iE p = 0.1425) pero que el nivel de renta pase de 834 a 1000 ?

R/ Aquí

yE = 1000

e iE = 0.1425

1000 = 589.5 + 1.7467 Go + 0.87335

reemplazando en (*) y (**) obtenemos :

M p

(1)

0.1425 = 0.736889 + 0.002183375 Go – 0.003908311

M p

(2)

Solucionando el sistema anterior obtenemos : Go = 124.26

y

M = 221.5 p

i LM inicial

IS desplazada

LM desplazado IS inicial

y E1(834 , 0.1425)

155

E2(1000 ,0.1425)


FUNCION LINEAL

EJERCICIOS PROPUESTOS I) Para el siguiente ejercicio se debe hacer para cada caso una gráfica indicando el desplazamiento de la curva IS y LM. Con base en la situación inicial E1(834 , 0.1425) Donde Go = 50

y

M = 180, p

y

M = 180 p

hallar el nivel de renta y tipo de interés para los

siguientes casos : 1) Si Go = 100

2) Si Go = 0

y

M = 180 p

3) Si Go = 10

y

M = 180 p

4) Si Go = 50

y

M = 200 p

5) Si Go = 50

y

M =0 p

6) Si Go = 50

y

M = 150 p

8) Si Go = 30

y

M = 190 p

7) Si Go = 120

y

M = 100 p

Para los siguientes ejercicios, con base en la situación inicial E1(834 , 0.1425) donde M Go = 50 y = 180; hallar el gasto público (Go) y la oferta de saldos reales para p los siguientes casos : 9) yE = 834

iE = 0.2

10) yE = 834

iE = 0.05

11) yE = 1100

iE = 0.1425

12) yE = 750

iE = 0.1425

13) yE = 600

iE = 0.25

II) En el siguiente ejercicio para cada caso se debe graficar para las siguientes ecuaciones : C = 80 + 0.63y

M = 0.1625y – 1000i p

I = 750 – 2000i

TRo = 0

156


FUNCION LINEAL

1) Hallar las ecuaciones de la curva IS y LM bajo el supuesto de que el gasto público es M Go = 150 y = 200. p 2) Para el caso anterior hallar el nivel de renta y tipo de interés de equilibrio. R/ yE = 1985.36 iE = 0.122621 3) Hallar las ecuaciones de la curva IS y LM suponiendo de que el gasto público (Go) y M la oferta de saldos reales ( ) es variable. p 4) Determine el nivel de renta y el tipo de interés en términos de el gasto publico (Go) y la M oferta de saldos reales ( ) utilizando el multiplicador de política fiscal (MPF) y el p multiplicador de política monetaria (MPM). 5) Con base en el punto anterior verifique la respuesta del punto No. 2. 6) Determine el nivel de renta y tipo de interés de equilibrio para cada caso. Grafique la situación inicial y final. a) Go = 100

M = 200 p

R/ yE = 2057.3

b) Go = 200

M = 100 p

R/ yE = 1769.53

iE = 0.1875

c) Go = 80

M = 200 p

R/ yE = 1884.64

iE = 0.1063

iE = 0.1343

d) Determinar el gasto público (Go) y la oferta de saldos reales para un nivel de renta y tipo de interés dados : i) yE = 1870.25

iE = 0.1239

R/ Go = 110

ii) yE = 2100.47

iE = 0.1113

R/ Go = 170

iii) yE = 1927.8

iE = 0.1533

R/ Go = 190

157

M = 180 p M = 230 p M = 160 p

DIEGO FERNANDO SATIZABAL

FUNCION CUADRATICA

CAPITULO

FUNCION CUADRATICA

5

OBJETIVOS: -

Identificar la función cuadrática Graficar la función cuadrática (utilizando máximo 4 puntos) Aplicar la función cuadrática a modelos de costo, ingreso y utilidad.

La función cuadrática es de la forma

f ( x) = ax 2 + bx + c ó

;

a≠0

y = ax2 + bx + c

Las funciones que se muestran a continuación son cuadráticas y se grafican en los respectivos planos cartesianos.

u a)

u( x ) = − 15 x

2

+ 10x − 200

1 a = − b = 10 c = −200 5

→

x

I b)

I ( x ) = − 13 x 2 + 15x 1 a = − b = 15 c = 0 3

→ x 158


c)

c( x ) = 2 x

2

a=2

FUNCION CUADRATICA

+ 10x + 25 b = 10

c = 25

→

c x

u d)

u( p) = − 41 p

+ 2 p + 50

2

1 a = − b = 2 c = 50 4

→ p

y y = −2 x e)

2

+ 11

a = −2 b = 0 c = 11

→ x

I I ( p) = − 1 p 2 f)

7 1 a=− 7

b =0

c=0

→ p

2 Ya sabemos que funciones de la forma y = ax + bx + c ; a ≠ 0 son cuadráticas y en este caso la variable ( y ) está escrita en términos de ( x ); o sea que ( y ) depende de ( x ), y siendo así la variable ( y ) será la variable dependiente y la variable ( x ) será la variable independiente.

159


FUNCION CUADRATICA

GRAFICA DE LA FUNCION CUADRATICA Nuestro propósito ahora es graficar en el plano cartesiano la función cuadrática. La gráfica de la función cuadrática se llama PARABOLA. Las parábolas pueden ser de las siguientes formas: y

y V(x,y)

a<0

a>0

y = ax2 + bx + c V(x,y)

x

x

a)

b)

y

y

d>0

d<0 v(x,y)

v(x,y) x

x

(c)

(d) x = dy 2 + ey + f

De acuerdo con lo anterior: Para el caso a y b; la variable dependiente ( y ) está elevada a la uno (1) y la variable independiente ( x ) está elevada al cuadrado. Estos son casos en que la parábola abre hacia arriba ó hacia abajo. Para el caso c y d; la variable independiente ( x ) está elevada a la uno (1) y la variable dependiente ( y ) está elevada al cuadrado. Estos son los casos donde la parábola abre hacia la derecha ó hacia la izquierda. En este capítulo estudiaremos los casos donde la parábola abre hacia arriba o hacia abajo, o sea, funciones de la forma y = ax 2 + bx + c Gráficamente sería: y

y

v ( x, y ) a<0

a>0

v ( x, y ) x x Como el objetivo es graficar la parábola, ésta se gráfica teniendo su ecuación ( y = ax 2 + bx + c ). Una parábola tiene un punto muy importante que se llama vértice. 160


FUNCION CUADRATICA

En el caso en que el valor de a < 0 este vértice corresponde a un máximo (la parábola abre hacia abajo). Si el valor de a > 0 este vértice corresponde a un mínimo (la parábola abre hacia arriba). El vértice tiene unas coordenadas x ∧ y .  b b b2 b2  ∧ y= co sea que V  − ,c −  2a 4a 4a   2a Para graficar la parábola utilizaremos máximo cuatro (4) puntos, que son: 1) El vértice V ( x , y ) → se determina con las fórmulas anteriores. V (x, y)

x=−

donde:

2) El intercepto con el eje y → se halla igualando (Si

x =0

x = 0 → y = ?)

3) El intercepto con el eje x → se halla igualando y = 0 (Si y = 0 → x = ?) Grafiquemos las siguientes funciones cuadráticas: 1)

u ( x ) = −2 x

2)

I ( x) = −5 x 2 + 600 x

I

= Ingreso

x = Cantidad

3)

u( p) = − 12 p

u = Utilidad

p = precio

4)

c(q) = 14 q

c = Costo

q = Cantidad

2

2

u = Utilidad

+ 200 x − 2000

+ 150 p − 1250

2

− 20q + 5400

x = Cantidad

Solución

1)

u ( x ) = −2 x

2

+ 200 x − 2000

a = −2

b = 200

c = −2000

Calculemos las coordenadas del vértice V(x,U) x=−

b 2a

U =c−

→

x=−

− 200 200 = 2(−2) −4

→

x = 50

b2 (200) 2 40000 = −2000 − = − 2000 − = −2000 + 5000 4a 4(−2) −8

U = 3000

→

V(50 , 3000)

Intercepto con el eje U. (Si x = 0) Si x = 0

→

U = -2 (0)2 + 200 (0) – 2000

Intercepto con el eje . x

(u = 0).

161

→

U = - 2000


Si

u=0

FUNCION CUADRATICA

→ 0 = −2 x 2 + 200 x − 2000 ( −1)

2 x 2 − 200 x + 2000 = 0 (÷2) a =1

b = -100

x 2 − 100 x + 1000 = 0

c = 1000

−( −100) ± ( −100) 2 − 4(1)(1000) 100 ± 10000 - 4000 100 ± 6000 x= = = 2(1) 2 2 x=

100 ± 77.46 2

→

100 + 77.46 2 100 − 77.46 x2 = 2

→

x1 =

x1 = 88.73

→ x 2 = 11.27

u

v(50,3000) 3000

11.27

88.73 50

x

Para este ejercicio podríamos preguntarnos: ¿Cuántas unidades se deben producir para que la utilidad sea de $1.500? En otras palabras

x = ? para que

Como sabemos que despejar x , así:

u = −2 x

1500 . = −2 x 2 + 200 x − 2000 x 2 − 100 x + 1750 = 0

→

2

u=

1.500

+ 200 x − 2000 entonces debo hacer

→

2 x 2 − 200 x + 3500 = 0 x=

u

( ÷2)

− (−100) ± ( −100) 2 − 4 (1)(1750) 2 (1)

162

= 1.500 y


x =

FUNCION CUADRATICA

100 ± 10000 − 7000 2

x 1 = 77.39

x 2 = 22.61

x 1 ≅ 77

x 2 ≅ 23

=

100 ± 3000 2

Hemos redondeado x1 = 77.39 a 77 de unidades debe ser un número entero.

y

=

100 ± 54.78 2

x 2 = 22.61 a 23 puesto que el número

Siendo así, la utilidad cuando el número de unidades es de 77 es u( 77) = −2( 77) 2 + 200( 77) − 2000 → U(77) = 1542 U(23) = 1542 u( 77) = 1542 y u(23) = 1542 → Gráficamente quedaría así:

u V(50,3000)

3000

C(23,1542)

D(77,1542)

1542

A 11

23

50

B 77 89

x

Esta función de utilidad se ha graficado únicamente en el primer cuadrante, puesto que esta función tiene las siguientes restricciones : U ≥ 0 ; x ≥ 0 Interpretación:

El punto A y B se puede interpretar de la siguiente manera; Para que la utilidad sea igual a cero, se deben producir aproximadamente 11 u 89 unidades. El punto C y D significa que para que la utilidad sea de $1542 se deben producir 23 ó 77 unidades. El punto V o sea el vértice lo interpretamos de la siguiente manera : V (50,3000) : La utilidad máxima es de $3.000; y para que esta utilidad sea máxima se deben producir 50 unidades. 163


FUNCION CUADRATICA

CÁLCULO DE LA ECUACION DE UNA PARABOLA DADOS 3 PUNTOS Cuando tratamos la función cuadrática dijimos que era de la forma y = ax2 + bx + c donde a ≠ 0. Por ejemplo si tuviéramos y = -3x2 + 6x – 1 donde a = -3, b = 6, c = -1. Podemos verificar que el punto A(3,-10) pertenece a la parábola siempre y cuando al reemplazar x = 3 y y = -10 en la ecuación la debe satisfacer en el sentido de que se debe cumplir la igualdad. Por ejemplo : Sabemos que Y = -3x2 + 6x – 1 , si reemplazamos x = 3 y Y = -10 entonces ; -10 = -3 (3)2 + 6 (3) – 1

→

-10 = -27 + 18 – 1

→

-10 = -10

O sea que el punto A (3,-10) pertenece a la parábola. La tarea ahora es determinar la ecuación de la parábola teniendo 3 puntos que pasan por ella. Ejemplo : Determinar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos A(3,5) B(5,13) C(0,23). R/ Sabemos que la ecuación es de la forma y = ax2 + bx + c de tal forma que para hallar la ecuación debemos determinar el valor de a, b, y c. ¿Como se determina a, b, c ? R/ Para determinar a, b y c se reemplaza cada uno de los tres puntos en la ecuación debido a que la debe satisfacer, de tal forma que nos quedarían tres ecuaciones con tres incógnitas que son a, b y c ; y procederíamos a solucionar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Veamos : y = ax2 + bx + c Tenemos tres puntos de la forma p(x,y) para reemplazar : A(3,5) →

5 = a (3)2 + b (3) + c →

B(5,13)

→

C(0,23) →

23 = a (0)2 + b (0) + c →

5 = 9a + 3b + c (1)

13 = a (5)2 + b (5) + c →

13= 25a + 5b + c (2)

23= c (3)

164


FUNCION CUADRATICA

De las tres ecuaciones tenemos c = 23 y podemos reemplazar en la ecuación 1 y 2 y obtendríamos : 5 = 9a + 3b + 23 13 = 25a + 5b + 23

→ →

9a + 3b = -18 * (-5) 25a + 5b = -10 * (3)

Para resolver el sistema de 2x2 multiplicamos 1. Por -5 y 2. Por 3 para obtener : - 45a - 15 b 75a + 15b

= 90 = -30

30a

= 60

→

a=2

Al reemplazar a = 2 en 1. Obtenemos 9 (2) + 3b = -18 3b = -18 –18

En conclusión a = 2

b = -12

y

c = 23

→ 18 + 3b = -18 → 3b = -36 →

b = -12

de tal forma que :

y = 2x2 – 12x + 23

Para darnos cuenta si ésta es la ecuación de la parábola debemos verificar que cada punto satisface la igualdad ; veamos : 5 = 2 (3)2 - 12 (3) + 23

→

5=5

B(5,13) →

13 = 2 (5)2 - 12 (5) + 23

→

13 = 13 ¡ ok !

C(0,23) →

23 = 2 (0)2 - 12 (0) + 23

→

23 = 23 ¡ ok !

A(3,5)

→

¡ ok !

EJERCICIOS PROPUESTOS Para cada caso se debe determinar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos A, B, y C dados : 1) A(2,11)

B(0,1)

C(5,-16)

R/ y = -3x2 + 12x – 1

2) A(10,60)

B(5,30)

C(20,150)

R/ y = 0.2x2 + 3x + 10

3) A(0,-30)

B(20,530)

C(35,897.5)

R/ y = -0.1x2 + 30x – 30

4) A(0,40)

B(10,10)

C(50,-710)

R/ y = -0.3x2 + 40 165


FUNCION CUADRATICA

EJERCICIO RESUELTO 1) Por semana una compañía puede vender x unidades de su producto a un precio de p dólares cada uno, en donde P = -0.5x + 1800. Si el costo de producción, para la compañía es 600x + 420000 dólares por x unidades.

a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.

Graficar la función de ingreso I(x) Graficar la función de utilidad U(x) Cuántas unidades se deben producir para que el ingreso sea máximo ? Cuántas unidades se deben producir para que la utilidad sea máxima ? Para qué precio el ingreso será máximo ? Para qué precio la utilidad será máxima ? Cuál es el ingreso máximo ? Cuál es la utilidad máxima ? Hallar el costo en términos del precio. Graficar utilidad en términos del precio. K. Graficar en un solo plano cartesiano el ingreso en términos de p y costo en términos de p y encontrar los puntos de intersección.

x = Cantidad [No. de unidades] p = Precio de venta por unidad p = - 0.5x + 1800 C(x) = 600x + 420000 Para graficar ingreso en términos de x debo tener I(x). Recordemos que I = px I = (- 0.5x + 1800) x I(x) = - 0.5x² + 1800x

donde

a = - 0.5

b = 1800

c=0

Para hallar las coordenadas del vértice, hacemos :

x= −

b 2a

=>

x= −

1800 2( −0.5)

=>

166

x = 1800


I= c−

FUNCION CUADRATICA

(1800) 2 b2 = 0− = 3’240000 / 2 4( −0.5) 4a

V (1800 , 1’620000)

=>

I = 1’620000

=>

Coordenadas del vértice.

Intercepto con el eje I ( x = 0 ). Si x = 0

=>

I = -0.5 (0)2 + 1800 (0)

→

I=0

Intercepto con el eje x ( I = 0 ). Si I = 0 => 0 = - 0.5x² + 1800x x=0

v

Sacando factor común

-0.5x + 1800 = 0 1800 = 0.5 x

=>

=>

x (- 0.5x + 1800) = 0

x = 3600

La gráfica nos quedaría así : I V (1800 , 1’620000)

Imax = 1’620000

I(x) = - 0.5x² + 1800x

1800

3600

x Cantidad para generar ingreso máximo.

De acuerdo a la gráfica podemos observar que el ingreso máximo es $1’620000 (eje de ordenadas) y para que este se genere se deben producir y vender 1800 unidades. Sabemos que

p = - 0.5x + 1800

Si reemplazamos x = 1800

=>

p = - 0.5 (1800) + 1800 p = 900

167


FUNCION CUADRATICA

Como reemplazamos x = 1800 que es una cantidad para Imax y esto nos dió p = 900, entonces este será el precio para Imax. Podemos verificar esto así :

I = px I = 900 (1800) I = 1’620000

=>

Imax

¡ok!

Para graficar la función de utilidad en términos de x debo tener U(x). Recordemos que : U(x) = I(x) – C(x) U(x) = - 0.5x² + 1800x - (600x + 420000) U(x) = - 0.5x² + 1800x - 600x - 420000 U(x) = - 0.5x² + 1200x - 420000 a = - 0.5

b = 1200

c = - 420000

Hallemos las coordenadas del vértice V (x , U)

x= −

b 2a

b2 U = c− 4a

=>

x= −

1200 2( −0.5)

(1200) 2 = − 420000 − 4( −0.5)

x = 1200

=>

=>

U = − 420000 + U = 300000

Otra forma : U = - 0.5 (1200)² + 1200 (1200) - 420000 U = 300000

Intercepto con el eje U (x = 0) :

168

' 1440000 2


Si x = 0

=>

U = - 420000

(U = 0) :

0 = - 0.5x² + 1200x - 420000 ( - 1)

0.5x² - 1200x + 420000 = 0 ; a = 0.5

x =

→

U = - 0.5 (0)2 + 1200 (0) – 420000

Intercepto con el eje x Si U = 0 =>

FUNCION CUADRATICA

b = - 1200

− ( −1200) ± ( −1200) 2 − 4(0.5)(420000) 2(0.5)

x = 1200 ± 775

=>

c = 420000

x =

=>

x1 = 1975

1200 ± 600000 1

x2 = 425

v

La gráfica quedaría así : U 300000

V(1200 , 300000)

Utilidad máxima

425

1200

1975

x

Cantidad para utilidad máxima

De acuerdo a la gráfica se deben producir y vender 1200 unidades para generar una utilidad máxima de $300000. Si x = 1200 => p = - 0.5 (1200) + 1800

=>

p = 1200

Este es el precio para que La Utilidad sea máxima.

Además gráficamente observamos que la cantidad debe oscilar entre 425 y 1975 o sea : 425 ≤ x ≤ 1975. En el ejercicio anterior partimos de la siguiente información : p = - 0.5x + 1800 y C(x) = 600x + 420000

169


FUNCION CUADRATICA

Podríamos hallar la función de costo, ingreso y utilidad en términos del precio, o sea C(p), I(p) y U(p). Para lo anterior debo despejar a x en términos de p. Veamos : p = - 0.5x + 1800

=>

0.5x = - p + 1800

=>

x =−

1800 1 p+ 0.5 0.5

x = - 2p + 3600 Reemplacemos x en la función de costo. C = 600 (- 2p + 3600) + 420000

→

C(p) = - 1200p + 2’160000 + 420000

C(p) = - 1200p + 2’580000

Para obtener la función de ingreso en términos de p, recordemos que : I= px Fija

=>

I = p (- 2p + 3600)

=>

I(p) = - 2p² + 3600p

→ Debe estar fija porque necesito el ingreso en términos de p.

Para la función de utilidad en términos de p : U(p) = I(p) – C(p) U(p) = - 2p² + 3600p - (- 1200p + 2’580000) U(p) = - 2p² + 3600p + 1200p - 2’580000 U(p) = - 2p² + 4800p - 2’580000

En resumen :

U(p) = - 2p² + 4800p - 2’580000 I(p) = - 2p² + 3600p C(p) = - 1200p + 2’580000

170


FUNCION CUADRATICA

Grafiquemos las siguientes funciones: 1)

U(p) en un plano cartesiano.

2)

I(p) y C(p) en un plano cartesiano.

1) Tenemos U(p) = - 2p² + 4800p - 2’580000 a = -2

p= −

b = 4800

b 2a

Umax = C -

=> p = −

b2 4a

4800 2 ( −2 )

=>

Umax = - 2’580000 +

c = - 2’580000

p = 1200

=>

Umax = - 2’580000 -

23'040000 8

=>

(4800) 2 4 ( −2 )

Umax = 300.000

Intercepto con el eje U (p = 0) Si p = 0

U = -2’580000

Intercepto con eje p (U = 0) Si

U =0

0 = - 2p² + 4800p - 2’580000

2p² - 4800p + 2’580000 = 0

( ÷ 2)

p² - 2400p + 1’290000 = 0

a=1

p=

b = - 2400

− (−2400) ± (−2400) 2 − 4(1)(1'290000) 2(1)

p1 = 1587,50

p2 = 812,50

171

(- 1)

c = 1’290000

p=

2400 ± 775 2


FUNCION CUADRATICA

La gráfica quedaría así : U V (1200,300000)

300000

Up = - 2p² + 4800p - 2’580000

812.5

1200

P

1587.5

Precio para utilidad máxima

Algo muy importante es darse cuenta que de acuerdo a la gráfica se puede observar que el precio debe oscilar entre 812.5 y 1587.5, de tal forma que : 812.5 ≤ p ≤ 1587.5

2) Tenemos

a) C(p) = - 1200p + 2’580000 b) I(p) = - 2p² + 3600p

a) C(p) = - 1200p + 2’580000 Si p = 0

→ (Función Lineal) → Corte con el eje de ordenadas

C = 2’580000

Si C = 0

0 = - 1200p + 2’580000

1200p = 2’580000 p = 2150

b) I(p) = - 2p² + 3600p

a = -2

b = 3600

c=0

Hallemos las coordenadas del vértice V(p , I) p= −

3600 b = − 2( −2) 2a

Imax = c −

b2 4a

p = 900

Imax = 0 -

Precio para ingreso máximo.

(3600) 2 4( −2)

172

Imax = 1’620000


FUNCION CUADRATICA

Interceptos : Si p = 0 => I = 0 Si I = 0

=>

0 = - 2p² + 3600p 2p² - 3600p = 0

(- 1) =>

2p (p - 1800) = 0 2p = 0

v

p=0

p - 1800 = 0 v

p = 1800

Como vamos a graficar la función I(p) y C(p) en un solo plano cartesiano. Donde se encontrarán las gráficas de estas funciones ? Para determinar esto debemos igualar I(p) = C(p) Entonces

I(p) = C(p)

- 2p² + 3600p = - 1200p + 2’580000 - 2p² + 4800p - 2’580000 = 0

(- 1)

2p² - 4800p + 2’580000 = 0

( ÷ 2)

p² - 2400p + 1’290000 = 0 ;

a=1

p=

b = - 2400

c = 1’290000

− ( −2400) ± ( −2400) 2 − 4(1)(1290000 ' ) 2400 ± 775 = 2(1) 2

p1 = 1587,50

Si p = 1587,50

v

p2 = 812,50

I = - 2 (1587,50)² + 3600(1587,50) I ≅ 675000

Si p = 1587,50

C = - 1200 (1587,50) + 2’580000 C = 675000

173


FUNCION CUADRATICA

Si p = 812,50

C = 1’605000

Si p = 812,50

I ≅ 1’605000

La gráfica nos quedaría Costo I C

Zona de pérdidas

2’580.000

A(812.5 , 1’605.000) V (900,1’620000) Ingreso

Zona de ganancias B(1587.5 , 675000)

Zona de pérdidas 2150

812,50

P

1587,50 900

1800

Podemos observar lo siguiente : Si 0 ≤ p ≤ 812,50

Hay pérdida porque el costo está por encima del ingreso.

Si p = 812,50

Hay equilibrio porque ingreso = costo.

Si 812,50 < p < 1587,50

Hay ganancias porque el ingreso está por encima del del costo .

Si p = 1587,50

Hay equilibrio porque ingreso = costo.

Si 1587,50 < p < 1800

Hay pérdidas porque el costo está por encima del ingreso.

Después de resolver el problema anterior supongamos que se tienen las siguientes gráficas: I U(p) V(p2 , Umax)

V(p1 , Imax)

Imax

p1

Umax

p

p2

figura 1

figura 2

p

En la figura 1 tenemos una gráfica de ingreso en términos del precio, o sea I(p). 174


FUNCION CUADRATICA

El valor de p1 es el precio para que el ingreso sea máximo. ¿Como se determinó ? R/ Para determinarlo debemos tener Ingreso en términos del precio [I(p)] y hallar -b/2a. O sea que si nos preguntan : p=?

para

Imax

tener debemos.  →

hallar I(p) debemos.  →

-b/2a

¿Como se determina el ingreso máximo ? R/ Observemos que el ingreso máximo corresponde a la ordenada del vértice, o sea b2 c4a

Si nos preguntaran : Cuál es Imax = ?


Función de ingreso (cuadrática)

hallar debemos.  →

c-

b2 4a

El análisis será idéntico para la figura 2 pero con la función de utilidad. En el caso en que se tuvieran funciones de ingreso y utilidad en términos de q o sea : I(q) y U(q) se haría de la misma forma. Si la función es de costo (cuadrática) sería así: C(x)

Cmin

V(x1 , Cmin)

x1

x

175


FUNCION CUADRATICA

Vamos a resumir ahora una serie de preguntas que se nos pueden presentar y a la vez cuales podrían ser los pasos para resolverlas :

En términos generales :

p=? →

Imax

→

debemos tener I(p) y debemos hallar

p=?

→ Umax

→ debemos tener U(p) y debemos hallar

q=?

→ Imax

→ debemos tener I(q) y debemos hallar

q=?

→

→

Umax

- b/2a

debemos tener U(q) y debemos hallar

Imax = ?

→

debemos tener → función de ingreso y debemos hallar

Umax = ?

→ debemos tener → función de utilidad y debemos hallar

Cmin = ?

→

debemos tener → función de costo y debemos hallar

Nota : Todas las funciones anteriores deben ser cuadráticas.

176

c-

b2 4a


FUNCION CUADRATICA

PROBLEMAS RESUELTOS 1) Un fabricante puede producir botones para camisa a un costo de $ 2 c/u. Los botones han sido vendidos a $ 5 c/u, y a este precio los consumidores han estado comprando 4000 botones a la semana. El fabricante está planeando subir el precio de los botones y estima que por cada peso de aumento en el precio se venderán 400 botones menos cada semana. Hallar el precio óptimo de venta de los botones que permiten un beneficio máximo. Definamos variable : Sea q = Número de botones p = Precio por unidad p=? ⇒

Umax

⇒

U(p) ⇒ debo tener

-b / 2a Hallar

Debemos hallar la utilidad en términos del precio, o sea U(p). sabemos que : Como el costo de cada botón es de $2 entonces : C(q) = 2q U = Ingreso - costo C(q) = 2q

⇒

U = I - 2q

como I = p.q

⇒

U = pq - 2q

(*)

Como necesito la utilidad en términos de p, entonces debo tener una igualdad donde estén relacionadas las variables p y q para despejar a q en términos de p y reemplazar en (*). Para hallar está relación hago lo siguiente : Con la información que tengo ubico los puntos para determinar la pendiente y posteriormente la ecuación de la línea recta. p A(3600 , 6)

6

B(4000 , 5)

5 3600

m=

q

4000

6−5 1 = 3600 − 4000 − 400

m = - 1 / 400

177


p – p1 = m (q – q1)

⇒

p - 5 = - 1/400q + 10

⇒

q = 400 (- p + 15)

FUNCION CUADRATICA

p - 5 = - 1/400 (q - 4000) 1/400q = - p + 15 q = - 400p + 6000

Reemplazando en (*) tenemos : U = p (- 400p + 6000) - 2 (- 400p + 6000) U = - 400p² + 6000p + 800p - 12000 U = - 400p² + 6800p – 12000

Esta es U(p)

Como ya tengo U(p) entonces ahora hallamos -b/2a

a = - 400 p= −

b = 6800

b 6800 =− 2a 2( −400)

Si reemplazamos p = 8.5 en

q = 2600

Umax = c −

c = -12000

p = $ 8.5 q = - 400p + 6000

Precio para Umax →

q = -400(8.5) + 6000

Esta es la cantidad para que la utilidad sea máxima

b2 (6800) 2 = $16900 = −12000 − 4a 4( −400)

⇒

Utilidad máxima.

-

Hallar la ecuación de costo en términos del precio C(p).

-

Graficar la función de costo e ingreso en términos de p (C(p) e I(p)) en un solo plano cartesiano y hallar las coordenadas de los puntos de intersección entre C(p) e I(p). interpretar los resultados y hallar zona de pérdidas y ganancias.

178


FUNCION CUADRATICA

2 ) Un edificio de departamentos nuevos consta de 50 unidades. Si la renta es de $60000 mensuales por unidad, todos los departamentos se ocupan. Si la renta se eleva en $2000 mensuales, se desocupa un departamento. El mantenimiento de una unidad vacía es de $2000 al mes, mientras que el mantenimiento de una unidad ocupada es de $6000 mensuales. Determine la renta mensual por departamento que permite la máxima utilidad. Definamos variables : Sea p = Renta por apartamento

q = No. de Apartamentos ocupados

Debo hallar el precio para que la utilidad sea máxima. p=? ⇒

Umax

U(p)

⇒

U=I-C

⇒

-b/2a

⇒

Debemos tener

Debemos hallar

U = p.q - C

Como se halla la función de costo ? Veamos : 50 ocup. Desocup. C = 6000q + 2000 (50 - q) q 6000

50 - q 2000

C = 6000q + 100000 - 2000q C(q) = 4000q + 100000

(*) U = pq - (4000q + 100000)

U = pq - 4000q - 100000

Debo tener una relación entre p y q para despejar a q en términos de p ¿Como la encuentro ? R/ Con la información que tengo ubico 2 puntos : p A(49,62000)

62000

B(50,60000)

60000 49

q

50

179


m=

62000 − 60000 49 − 50

⇒

FUNCION CUADRATICA

m = - 2000

B (50 , 60000)

p – p1 = m (q - q1) p - 60000 = - 2000 (q - 50)

p - 60000 = - 2000q + 100000

⇒

2000q = - p + 160000

q=-

1 p + 80 2000

Reemplazar en (*) U = p (-

U=-

1 p² + 80p + 2p - 320000 - 100000 2000

U(p) = -

p =−

1 1 p + 80) - 4000 (p + 80) - 100000 2000 2000

1 p² + 82p - 420000 2000

;

b 82 82 =− = 2a 2( −1 / 2000) 1 / 1000

Umax = C −

a=-

1 2000

p = 82000

⇒

-

c = - 420000

Renta por apartamento

Umax

b2 (82) 2 6724 = −420000 − = −420000 + = 2’942000 Utilidad máxima 4a 4( −1 / 2000) 1 / 500

Si p = 82000 entonces reemplazando en q = −

Obtenemos

b = 82

q= −

1 (82000) + 80 2000

→

1 p + 80 2000 q = 39

Número de apartamentos ocupados para que la utilidad sea máxima.

Determine la ecuación de costo en términos de la renta por apartamento ocupado o sea C(p). Grafique la función de costo C(p) e ingreso I(p) en un solo plano cartesiano y halle los interceptos entre las curvas y con los ejes. Interprete los resultados y determine la zona de pérdidas y ganancias.

180


FUNCION CUADRATICA

EJERCICIOS PROPUESTOS I. Gráficar las siguientes funciones, indicando : a) vértice ; b) Intersección con el eje de abscisas ; c) Intersección con el eje de ordenadas.

1) I(x) = - 0.5x² + 1800x 2) u(x) = -0.5x² + 1200x - 420000 3) I(p) = 3600p - 2p² 4) u(p) = - 2p² + 4800p - 2’580000

5) I(x) = (-1/3)x² + 3200x 6) u(x) = (-1/3)x² + 2000x - 1’200000 7) I(p) = 9600p - 3p² 8) u(p) = - 3p² + 13200p - 12’720000

II. Problemas de aplicación.

1) Por semana una compañía puede vender x unidades de su producto a un precio de P dólares cada uno, en donde P = -1/3x + 1100. Si el costo de producción, para la compañía es 300x + 180000 dólares por x unidades.

a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k.

Gráficar la función de ingreso I(x) Gráficar la función de utilidad U(x) Cuántas unidades se deben producir para que el ingreso sea máximo ? Cuántas unidades se deben producir para que la utilidad sea máxima ? Para qué precio el ingreso será máximo ? Para qué precio la utilidad será máxima ? Cuál es el ingreso máximo ? Cuál es la utilidad máxima ? Hallar el costo en términos del precio. Graficar utilidad en términos del precio. Graficar en un solo plano cartesiano el ingreso en términos de p y costo en términos de p y encontrar los puntos de intersección.

2) Un fabricante puede vender x unidades a un precio P dólares por unidad, en donde P = 1/3x + 3200. El costo de producir X unidades es 1200x + 1’200000 dólares. * Las mismas preguntas del punto anterior.

3) Una compañía determina que el costo C (en dólares) para producir X unidades de cierto artículo está dado por C = 0.18x² + 0.95x + 35. Cuántas unidades se pueden elaborar con U$ 857? R/ 65.

4) El ingreso total (en dólares) I obtenido de la venta de q unidades de un producto, puede representarse por la función. I = f(q) = - 2q² + 10000q. a. Cuál es el ingreso total correspondiente a la venta de 4000 unidades? b. Para qué valor de q, el ingreso total es igual a 0 ? c. Para qué cantidad el ingreso total será máximo ? d. Cuál es el ingreso total máximo ? 181


FUNCION CUADRATICA

5) La función de demanda de un determinado producto es q = f(p) = 150000 - 5p. donde q es igual a la cantidad de unidades demandadas y p el precio en pesos por unidad.

a. Determine la función de ingresos I(p) b. Para qué precio el ingreso total será máximo ? c. Cuál es el ingreso total máximo ? 6) Dada la función de costo C(q) = 0.5q² - 2500q + 5’125000 pesos. Calcule el costo mínimo.

7) Encuentre los ingresos máximos por ventas si I(p) = 3000p - 10p². 8) La función de demanda para el producto de un fabricante es p = f(q) = 300 - 0.1q en donde p es el precio (en pesos) por unidad cuando se tiene una demanda diaria de q unidades. Calcule el nivel de producción que maximiza los ingresos totales del fabricante y determine el ingreso máximo.

9) Un fabricante puede producir botones para camisa a un costo de $ 6 c/u. los botones han sido vendidos a $ 15 c/u, y a este precio los consumidores han estado comprando 18000 botones a la semana. El fabricante está planeando subir el precio de los botones y estima que por cada 2 pesos de aumento en el precio se venderán 600 botones menos cada semana. Hallar el precio optimo de venta de los botones que permiten un beneficio máximo.

10) Una empresa tiene costos fijos semanales de U$2000 y el costo variable por unidad de su producto es de U$25.

a. Determine la función de costo. b. El ingreso I(x) obtenido por vender x unidades está dado por I(x) = 60x - 0.01x². determine el número de unidades que deben venderse a la semana de modo que maximicen el ingreso. Cuál es este ingreso máximo? c. Cuántas unidades deben producirse y venderse a la semana con el objeto de obtener una utilidad máxima?, cuál es está utilidad máxima ?

11) Un edificio de departamentos nuevos consta de 80 unidades. Si la renta es de $250000 mensuales por unidad, todos los departamentos se ocupan. Si la renta se eleva en $20000 mensuales, se desocupan dos departamentos. El mantenimiento de una unidad vacía es de $5000 al mes, mientras que el mantenimiento de una unidad ocupada es de $12000 mensuales. Determine la renta mensual por departamento que permite la máxima utilidad ?

12) El propietario de un edificio de 60 oficinas, puede alquilar todas las oficinas del edificio, si fija una renta de $12000 al mes por oficina ; sin embargo por cada incremento de $500 que se haga en la renta, dos de las oficinas quedaran vacías sin

182


FUNCION CUADRATICA

posibilidad alguna de alquilarlas. Suponiendo que la relación entre el número de oficinas ocupadas y la renta es lineal, encuentre :

a. El ingreso en función de la renta mensual por oficina. b. La renta que permite el máximo ingreso mensual. 13) Una firma fabrica y vende radios portátiles. La firma puede vender a un precio de U$75 por radio todos los que produce. Si x radios se fabrican al día y C(x) es el costo total diario de la producción en dólares entonces, C(x) = x² + 25x + 100. Cuántos radios deberán producirse y venderse ara que la firma obtenga la mayor utilidad total diaria ?

14) La ecuación de demanda del producto de una empresa es 3p + 4x = 20, en donde x unidades pueden venderse al precio de $p cada una. Si el costo de producir x unidades C(x) = 150 + 3.5x pesos, exprese la utilidad U como una función del precio p.

15) Dada la función de demanda q = - p / 2000 + 135 y la función de costo C(p) = -3/4p + 390000. (q : número de unidad ;

p : precio)

a. Determinar el número de unidades que maximiza la utilidad. b. Cuál es la utilidad máxima ? 16) Un edificio de departamentos nuevos consta de 80 unidades. Si la renta es de $75000 mensuales por unidad, todos los departamentos se ocupan ; si la renta se eleva en $3000 mensuales, se desocupan dos apartamentos. El mantenimiento de una unidad vacía es de $2500 al mes, mientras que el mantenimiento de una unidad ocupada es de $6500 mensuales. a. Determinar la renta mensual por departamento que permite la máxima utilidad. b. Cuál es la utilidad máxima ?

17) Un granjero tiene 200 metros de cerca con lo cuál puede delimitar un terreno rectangular. Un lado del terreno puede aprovechar una cerca ya existente.

a. Cuales deben ser las dimensiones del terreno para que el área sea máxima? b. Cuál es el área máxima que puede cercarse ? 18) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio p dólares por unidad, en donde x = 200 - 0.667p, el fabricante tiene costos fijos de US$ 1500 y cada unidad le cuesta U$180. a. Cuántas unidades deben venderse con el objeto de maximizar utilidades ? b. Cuál es la utilidad máxima ?

19) Un fabricante de camisas, vende mensualmente 600 camisas a $2500 la unidad. Estima que por cada rebaja de $100 en el precio de venta por unidad, venderá 50 camisas más al

183


FUNCION CUADRATICA

mes. La elaboración de cada camisa tiene un costo de $700 y además los costos fijos con de $350000 determine :

a. El precio por unidad y el número de unidades, que permiten la máxima utilidad. b. El número de unidades que permiten que el ingreso sea de $1680000. 20) Un mayorista en queso y su administrador observan que cuando el precio por libra es de $800 se venden 2000 libras por día, que cada vez que el precio se incrementa en $50 se dejan de vender 100 libras diarias. Para el mayorista la libra de queso tiene un costo de $550, además tiene un costo fijo adicional diario (transporte, electricidad, etc) de $5000. Obtener :

a. La función de costos, C(x). b. La función de ingresos, I(x) c. La función de utilidad U(x) Además desean calcular: d. El número de libras de queso que se deben vender para lograr la máxima utilidad diaria.

21) Un vendedor al por menor puede obtener vasos de cristal del fabricante a un costo de $50 c/u. el vendedor ha estado vendiendo los vasos a un precio de $80 c/u, y a este precio, los consumidores han estado comprando 40 vasos diarios. El vendedor planea bajar el precio para estimular las ventas, y estima, que por cada $5 de reducción en el precio se venderán 10 vasos más cada día. Determine, la utilidad máxima y el número de unidades que permiten dicha utilidad.

22) Un fabricante de cierto articulo descubre que el costo diario C en dólares, de la elaboración de x artículos está dado ser la ecuación C = x² - 120x + 4200. Cuántos artículos deben producir a diario para que el costo sea mínimo ?, cuál es el costo mínimo diario ?

23) La ganancia G de una empresa está dada, en pesos, por la función G = - 2x² + 120x 800, donde x es el número de artículos producidos y vendidos diariamente. Encuentre x tal que tal ganancia diaria sea máxima.

24) El número de kilogramos de un articulo, producido por una fábrica está dado por

n = f(p) = 1200 - 15p, en donde p es el precio por kilogramo y n el número de kilogramos producidos, la utilidad que deja cada kilogramo del articulo es U(p) = 3p - 100. Defina gráfica y analíticamente la función de utilidad total. calcule el precio que permite la máxima utilidad así como está máxima utilidad.

25) Una compañía de bienes desea alquilar buses solamente a grupos de 36 ó más personas. Si el grupo contiene exactamente 36 personas, cada persona paga $ 60. Sin embargo, en grupos más grandes, la tarifa para todos se reduce en $0.50 por cada persona que pase de 36. Qué tamaño del grupo producirá los mayores ingresos ? 184



CAPITULO


6

LOGARITMOS Definición : El logaritmo de un número (M) es el exponente (x) que hay que elevar una base (b) para que me de el número dado. De otra manera tenemos :

log b M = x

se lee “Logaritmo en base b de M es igual a x” ó “Logaritmo de M en base b es igual a x”

M>0 ; b>0

Por definición :

log b M = x log t w = n log 2 8 = 3 log 4 0.25 = -1

log z R = b Igualdad escrita en forma logarítmica

bx = M tn = w 23 = 8 4 −1 = 0.25

zb = R igualdad escrita en forma exponencial

185



PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Supongamos :

bx = M by = N

1) log b M = x 2) log b M = y

Propiedad

si z = m y s = t entonces zs = mt

Entonces : si b x = M y b y = N entonces b x . b y = M.N

b x + y = M.N Si escribimos lo anterior en forma logarítmica tendríamos: log b MN = x + y

Propiedad

→

log b MN = log b M + log b N

Logaritmo de un producto

si z = m y s = t entonces z/s = m/t

Entonces si b x = M y b y = N entonces b x / b y = M/N b x − y = M/N Si escribimos lo anterior en forma logarítmica tenemos :

log b M/N = x - y

Propiedad

log b M/N = log b M - log b N si z = m entonces z n = m n

entonces si b x = M entonces ( b x ) n = Mn b nx = Mn

186

Logaritmo de un cociente.



Si escribimos lo anterior en forma logarítmica tenemos :

log b M n = nx

log b M n = n log b M

Logaritmo de una potencia.

Resumiendo tenemos :

log b MN = log b M + log b N

(Logaritmo de un producto)

log b M/N = log b M - log b N

(Logaritmo de un cociente)

log b M n = n log b M

(Logaritmo de una potencia)

Tengamos en cuenta lo siguiente : 1) log b b = 1 porque b1 = b log b b x = x porque b x = b x log b b y = y porque b y = b y 2) a log a x = x 3) log b (M + N) ≠ log b M + log b N Recordemos que : log b M + log b N = log b MN

4) log b (M/N) ≠ log b M / log b N 5) ( log b M) n ≠ n log b M ( log b M) n ≠ log b M n

Aplicar las propiedades de los logaritmos para los siguientes casos :

a) log 3 x 5 y 1/ 3 = log 3 x 5 + log 3 y 1/ 3 = 5 log 3 x + 1/3 log 3 y b) log 5 (25)5 x = log 5 25 + log 5 5 x = log 5 5² + log 5 5 x = 2 + x

187



Recordemos las siguientes propiedades : 1) si b x = b y entonces x = y 2) si z n = m n entonces z = m 3) si a = b entonces log z a = log z b

SOLUCION DE ECUACIONES EXPONENCIALES Una ecuación exponencial puede ser de la forma

b kx = M

Es una ecuación donde la variable (x) está en el exponente. b>0 ; M>0 ; b ≠ 1

El objetivo de esta ecuación es hallar el valor de x que satisfaga la ecuación. Como vamos a despejar el valor de x (que está en el exponente) debemos “aplicar” a ambos lados de la ecuación logaritmo de una base determinada para que el exponente (que contiene x) me baje y así poder despejar esta variable. Por ejemplo, tenemos : b kx = M

log b kx = log M kx.log b = log M

kx =

x =

log M log b log M k log b

Nota : log M (logaritmo en base 10 de M) Podríamos tener ecuaciones donde no hay necesidad de aplicar logaritmos, donde estos serían los casos : 1) 2 x−2 = 2 3

x-2=3

2) 3 x = 9

3 x = 3²

3) 16 x −1 = 8 3−5 x entonces 4x - 4 = 9 - 15x

x=5 x=2

(2 4 ) x −1 = (2 3 ) 3−5 x 4x + 15x = 9 + 4

2 4 x − 4 = 2 9 −15 x 19x = 13 x = 13/19

188


4) (3/2) 2 x − 3 = 2/3


recordemos que (a/b) −n = (b/a) n entonces 2/3 = (3/2) −1

o sea que nos quedaría (3/2) 2 x − 3 = (3/2) −1 de aquí 2x - 3 = -1

5) (1/4) x 4 −x

2

2

−9 x

+9 x

2x = 2

x=1

= 16 2 x − 3

(4 −1 ) x

= 4 4 x −6

2

−9 x

= (4²) 2 x −3

- x² + 9x = 4x - 6

x² - 5x - 6 = 0

- x² + 5x + 6 = 0 (-1)

(x - 6)(x + 1) = 0

Recordemos que si ab = 0 entonces a = 0 ó b = 0 de aquí x-6=0 ó x+1=0 x=6

ó

x = -1

En los casos anteriores para resolver la ecuación simplemente lo que hicimos fue colocar a ambos lados de la ecuación una misma base, en otras palabras unificamos la base y posteriormente igualamos los exponentes y así despejamos la variable. Que sucede cuando a simple vista no se puede hacer lo dicho anteriormente. El siguiente seria el caso del que estamos hablando. Resolver :

3 x = 35

Si observamos la ecuación nos podemos dar cuenta que no es tan fácil a simple vista unificar las bases ; esto nos indica que para bajar la variable del exponente debo “aplicar a ambos lados logaritmo, esto sería : si 3 x = 35

log 3 x = log 35

log 35 x=

x log 3 = log 35

1.5441

x ≅ 3.236

x= log 3

0.4771

Si reemplazamos x = 3.236 en la ecuación inicial : 3 3. 236 = 34.99 ≅ 35

189



Resolver : (1.025) n = 2

log (1.025) n = log 2

n log 1.025 = log 2

n = log 2 / log 1.025

n = 0.30103 / 0.010724 n = 28.07

Resolver : 500000 (1.055) n = 1’310733 (1.055) n = 1’310733 / 500000 (1.055) n = 2.621466

log (1.055) n = log 2.621466

n log (1.055) = log (2.621466)

n = (log 2.621466) / (log 1.055) n = 18

Resolver para x P + 0.363 P = P (1.035) n (1.035) n = 1.363 P /P

1.363 P = P (1.035) n (1.035) n = 1.363

n = (log 1.363) / (log 1.035)

log (1.035) n = log 1.363

n=9

Resolver la siguiente ecuación logarítmica : log 8 (x - 6) + log 8 (x + 6) = 2 Recordemos que : log b M + log b N = log b MN Entonces

log 8 (x - 6) + log 8 (x + 6) = log 8 (x - 6)(x + 6) = log 8 (x² - 36)

La ecuación nos quedaría : log 8 (x² - 36) = 2 Aquí debemos aplicar la definición

Nota : Recordemos que : log 8 (x² - 36) ≠ log 8 x² - log 8 36

de logaritmo para pasar de forma logarítmica a forma exponencial.

190



bx = M

Si log b M = x

Entonces si log 8 (x² - 36) = 2

8² = x² - 36 64 = x² - 36 100 = x²

Solución

x = 10

ó

x = ± 10

x = -10

Las soluciones anteriores se deben reemplazar en la ecuación inicial para ver si satisfacen verdaderamente la igualdad. Reemplacemos x = -10 log 8 (-10 - 6) + log 8 (-10 + 6) = 2 log 8 (-16) + log 8 (- 4) = 2 Recordemos que si

log b M = x

M>0

Esto indica que la solución x = -10 es una solución extraña, por lo tanto no sirve. Para el caso de x = 10 si reemplazamos tendríamos :

log 8 (10 - 6) + log 8 (10 + 6) = 2 log 8 (4) + log 8 (16) = 2

Solución

log 8 4(16) = 2

log 8 64 = 2

log 8 8² = 2

2 log 8 8 = 2

x = 10

OK !

Resolver las siguientes ecuaciones : 1) (1.028)n = 1.5132

→

n log 1.028 = log 1.5132

log (1.028)n = log 1.5132

→

n=

log 1.5132 log 1.028

191

→

n = 15

2 = 2


2)


→

300000 (1.043)n = 640087

(1.043)n = 2.1336

640087 300000

→ Utilizando el procedimiento anterior obtenemos

→

3) P + 0.6163P = P (1.071)n (1.071)n = 1.6163

Re solviendo  →

4) 2P = P (1 + i)9

→

n = 18

1.6163P = P (1.071)n n=7

21 = (1 + i)9

→

1 + i = 21/9

(1.043)n =

→

21/9 = (1 + i)9/9

→

1 + i = 1.08

i = 0.08

 (1.032) n − 1 5) 350000   = 9’598318  0.032  (1.032)n – 1 =

(9'598318)(0.032) 350000

→

Re solviendo →

n = 20

(1.032)n = 1.8776

6)

(1.032)n – 1 = 0.8776

1 − (1.04) − n  250000   = 4’727070  0.04  1 – (1.04)-n =

(4'727070)(0.04) 250000

→

1 – (1.04)-n = 0.7563

1 – 0.7563 = (1.04)-n

→

(1.04)-n = 0.2437

log (1.04)-n = log 0.2437

→

- n log 1.04 = log 0.2437

-n=

log 0.2437 log 1.04

→

- n = - 36 (-1)

192

→

n = 36



EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver las siguientes ecuaciones : 1)

(1.071)n = 2.2776

R/ n = 12

2)

200000 (1.031)n = 368301

R/ n = 20

3)

P + 0.509P = P (1.042)n

R/ n = 10

4)

750000 = 350000 (1+ i)15

R/ i = 0.0521

5)

3P = P (1+ i)17

R/ i = 0.0668

6)

 (1.026) n − 1 180000   = 4’065758  0.026 

R/ n = 18

7)

1 − (1.045) − n  300000   = 3’221864  0.045 

R/ n = 15

8)

1 − (1.03) − ( n −8)  550000   = 8’765304 0.03  

R/ n = 30

LOGARITMO NATURAL Cuando hablamos de logb M la base de este logaritmo es b. Existe un logaritmo especial que es el logaritmo natural. ¿Como se denota ? R/ Se denota por ln x →

se lee “logaritmo natural de x”

¿Cuál es la base ? R/ La base de este logaritmo es una constante universal que se denomina Número de Euler (e), donde e = 2.71828182 (ver capítulo de límites), de tal forma que :

loge x ↔ ln x

193



Por ejemplo : a) Si a) Si a) Si

ln t = w → ew = t ln x = 2 → e2 = x ln (x-1) = -1 → e-1 = x-1

Resolvamos algunas ecuaciones logarítmicas : 1) ln x = 2

→ e2 = x

(utilizando calculadora científica)

x = 7.3891 Verifiquemos :

ln 7.3891 = 2

→

2) ln (x – 1) = -1

→

2=2

→

e-1 = x – 1

3) ln (x – 2) – ln 3 = ln 4

→

ln

0.3679 = x – 1

→

x−2 = ln 4 3

Recordemos que si logb M = logb Z, entonces M = Z De aquí podemos concluir que : x−2 =4 3

→

→

x – 2 = 12

4) ln (3x – 1) + ln (2x + 3) = 4

x = 14

→ ln (3x – 1) (2x + 3) = 4

Pasando a forma exponencial e4 = (3x – 1) (2x + 3) 6x2 + 7x – 57.6 = 0 Resolviendo obtenemos

→ a=6

54.6 = 6x2 + 9x – 2x - 3 b=7

x1 ≅ 2.57

c = -57.6

∨

x2 ≅ -3.74

Verificar si los valores anteriores son soluciones de la ecuación inicial.

194

x = 1.3679


5) ln (2x + 1) – ln x = 1

e1 =

2x + 1 x

→


→ ln

2x + 1 =1 x 2x + 1 x

2.718281 =

→

2.718281x – 2x = 1

→

2.718281x = 2x + 1

→

0.718281x = 1

x=

1 0.718281

x = 1.3922 Podríamos haberlo resuelto así : e=

2x + 1 x

→

x (e – 2) = 1

→

x=

Como

→

ex = 2x + 1

ex – 2x = 1

1 e−2

6) despejar x : ln (ax + b) – ln c = m

→

ax + b =m c

ex = b

Existe una ecuación exponencial de la forma Por ejemplo : Resolver ex = 5 Sabemos que

logb bz = z

y por tanto ln ez = z ,

de tal forma que si ex = 5 (Aplicando ln) ln ex = ln 5

→

→

em =

ce m − b =x a

→

cem = ax + b

ln

x = ln 5

ó

x = 1.6094

195

donde b > 0

ax + b c


Resolver : 500000 e

e

-

−

p 2000

−

p 2000


= 24894

−

p 2000

24894 500000

→

e

p = -3 (-1) 2000

→

p =3 2000

=

→

= 0.049788

→

ln e

−

p 2000

= ln 0.049788

p = 6000

Ejercicio : Hallar f(q) si f(x) = Aekx

f(0) = 5 ,

y

f(3) = 10

Si queremos hallar f(9) se debe reemplazar x = 9 f(9) = Ae9k , ¿Cuánto vale A y k ?

R/ Para determinarlo hacemos lo siguiente : →

Como f(0) = 5

f(0) = Aek(0)

→

5 = Ae0

Ahora, como f(3) = 10

→

f(3) = 5e3k

10 = 5e3x

→

e3k = 2 (ln)

Entonces

→

Ln e3k = ln 2

Entonces f(x) nos quedaría así :

Ahora

→

3k = 0.693147

f(9) = 5e0.231049 (9)

→

→

k = 0.231049

f(x) = 5e0.231049x

→

f(9) = 5e2.079441

Otra forma más sencilla de resolverlo es la siguiente : Sabemos que

f(x) = Aekx

, Si

A=5

10 = 5e3k

→

y

f(3) = 10

Entonces hallemos f(3) f(3) = 5e3k

→

5=A

e3k = 2

196

f(9) = 5 (8)

→ f(9) = 40



Recordemos que para hallar f(9) debo reemplazar x = 9

→

f(9) = 5e9k

→

e3k = 2

Como

f(9) = 5 (e3k)3

→

f(9) = 5 (2)3

f(9) = 5 (8)

→

f(9) = 40

Ejercicio : La ecuación de demanda para cierto artículo es : q = 400000 e

a) b) c) d) e) f) g)

−

p 500

Donde q = cantidad,

p = precio por unidad ($)

Cuantas unidades se demandarán si el precio por unidad es de $2000 ? Cuál debe ser el precio por unidad para que se demanden 20000 unidades. Determinar el ingreso para el caso a y b. Escribir la ecuación de ingreso en términos de p [I(p)] Calcular el ingreso si el precio es de $2000 Escribir la ecuación de ingreso en términos de q [I(q)] Calcular el ingreso si se demandan 20000 unidades.

Solución : Sabemos que

q = 400000 e

a) q = ? si p = 2000

→

q = 400000 e-4

b) p = ?

−

p 500

p 500

q = 400000 e

−

2000 500

→

q = 400000 (0.018316)

q = 7326 unidades

si q = 20000

20000 = 400000 e

e

→

−

= 0.05

p = 1500

−

p 500

(ln) →

→

-

e

−

p 500

=

20000 400000

p = ln 0.05 500

Precio por unidad

197

→

-

p = -3 500


c) Recordemos que


I = pq

Para el caso (a)

→

I = 2000 (7326)

→

I = 14’652000

Para el caso (b)

→

I = 1500 (20000)

→

I = 30’000000

d) Sabemos que I = pq Como q = 400000 e I(p) = 400000 p e

−

−

p 500

p 500

→

e) Si p = 2000

entonces I = p[400000 e

−

p 500

]

Ingreso en términos de p.

I=?

I(2000) = 400000 (2000) e

−

2000 500

→

I(2000) = 14’652511

Como I = pq entonces para hallar I(q) debemos despejar a p en términos de que de la relación demandada, que es : q = 400000 e

- p = 500 ln

−

p 500

→

q 400000

e

−

p 500

=

(ln)

p = - 500 ln

q 400000

I(q) = - 500 q ln

q 400000

→

(-1)

q 400000

En conclusión, como I = pq entonces : I = (- 500 ln

q )q 400000

g) Si q = 20000

→

→

I(20000) = - 500 (20000) ln

I(20000) = - 10’000000 (-3)

→

20000 400000

I(20000) = $ 30’000000

198

→

-

→

p q = ln 500 400000 p = f(q)



CAMBIO DE BASE Cuando hablamos por ejemplo de log 8 → “esto se lee logaritmo en base 10 de 8” Esto se podría hallar en una calculadora científica, y esto nos daría : Log 8 = 0.90309 Muchas calculadoras científicas están en capacidad de calcular un logaritmo ya sea en base 10 ó un logaritmo natural. ¿Cómo se calcula entonces log3 40 ? R/ Para hacer esto debemos recurrir a cambiar la base del logaritmo que es 3 a una base conocida “por la calculadora” que es base 10 ó logaritmo natural (base e). ¿Como se hace el cambio de base ? R/ Veamos : Supongamos que se tiene la siguiente igualdad :

→ az = M (Podríamos aplicar log en base b)

Loga M = z

Logb az = logb M

Ahora como

→

z logb a = logb M

z = loga M entonces

→

loga M =

log b M log b a

z=

log b M log b a Expresión para cambiar un logaritmo de base.

Esta expresión nos dice que si se tiene un logaritmo en una base (a) de un número (M) y lo queremos pasar a base (b) esto daría : logaritmo del número (M) en la base que queremos (b) dividido por el logaritmo de la base que queremos (b) de la base anterior (a). Ejemplos :

a) Dado logm 40 cambiar a base h logm 40 =

log h 40 log h m

199



b) Dado log3 40 cambiar a base 10 log3 40 =

log 40 log 3

→

log3 40 = 3.3578

log3 40 =

1.60206 0.47712

¿Será esto cierto ?

R/ Veamos

→

Si log3 40 = 3.3578

33.3578 = 40 40 = 40

Utilizando la calculadora

¡ok!

El log3 40 se puede pasar a base e (o sea ln). Log3 40 =

ln 40 ln 3

→

log3 40 =

3.6889 1.0986

→

log3 40 = 3.3578

Calcular los siguientes logaritmos cambiando a base 10 y a base e (ln). 1) log5 50

2) log2 6

3) log2 8

4) log15 100

5) log3 18

6) log6 2

7) log1/5 25

8) log9 30

Con base en lo anterior podemos comprobar lo siguiente : 1) Si tenemos loga z pasemos a base (z). Veamos : loga z =

log z z log z a

→

loga z =

1 log z a

Ejemplos : a) (log5 4) (log4 5) = 1 b) (log3 10) (log10 3) = 1 c) (loga b) (logb a) = 1

200

→

(loga z) (logz a) = 1

¡ok!



2) Si tenemos log1/a b pasemos a base (a). veamos :

log1 / a b =

log a b log a b log a b = = − 1 log a a1 log a a − log a a

→

log1/a b = - loga b

Ejemplos :

a) log1/5 x = - log5 x b) log1/3 8 = - log3 8 c) log1/10 25 = - log 25

EJERCICIOS RESUELTOS Resolver las siguientes ecuaciones : 1) 2x +

36 = 13 2x

(2 x ) 2 + 36 = 13 2x

→

(2x)2 – 13 (2x) + 36 = 0 →

Sea z = 2x entonces :

→

z2 – 13z + 36 = 0

→

(z – 9) (z – 4) = 0

z–9=0

∨

z–4=0

z=9

∨

z = 4 como z = 2x

∨

2x = 4

∨

2x = 22

∨

x=2

2x = 9 ln 2x = ln 9 x=

ln 9 ln 2

201

(2x)2 + 36 = 13 (2x)


2) log3 x – 5 = -

4 log 3 x


→

(log3 x)2 – 5 log3 x = - 4

(log3 x)2 – 5 log3 x + 4 = 0

Sea m = log3 x

m2 – 5m + 4 = 0

Entonces

factorizando obtenemos

(m – 4) (m – 1) = 0 m–4=0

∨

m–1=0

m=4

∨

m=1

log3 x = 4

∨

log3 x = 1

34 = x

∨

31 = x

81 = x

∨

3=x

3) 10x – 10 –x = 2

(10 x ) 2 − 1 =2 10 x

→

10x -

→

como m = log3 x

1 =2 10 x

(10x)2 – 1 = 2 (10x)

→

(10x)2 - 2 (10x) - 1 = 0

Sea m = 10x , entonces la ecuación nos quedaría así : m2 – 2m – 1 = 0

Resolviendo obtenemos :

m1 = 2.4142

∨

m2 = -0.4142

10x = 2.4142

∨

10x = - 0.4142

Log 10x = log 2.4142

∨

log 10x = log (- 0.4142)

Entonces

como m = 10x

Recordemos que este valor no puede ser negativo

x = log 2.4142 x = 0.38277 Resolver :

4) 10x + 10-x = 5

5) 4x – 4 –x = 4

7) ex + e –x = 8

8) ex – 1/ex = 6

202

6) 5x = 8 + 1/5x



FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA OBJETIVOS : - Identificar una función Exponencial y Logarítmica. - Graficar una función exponencial y Logarítmica en un plano cartesiano. - Hallar el dominio y el rango de una función exponencial y Logarítmica. - Resolver problemas de aplicación que incluyen funciones exponenciales y Logarítmicas.

FUNCION EXPONENCIAL Una función exponencial puede ser de la siguiente forma : f(x) = a.(b)kx donde a, b, k ∈ R,

y = a.(b)kx

ó

a≠ 0 , b≠ 0 y b > 0 , b≠ 1

Las siguientes son funciones exponenciales : f(x) = 4.(2)3x

y = 3.(1/2)-3x

f(x) = 0,3.(5)-0.04x

y = 1/3.(2)-1/3x

f(x) = 3x

y = 10x

y = ex y = 1/5.(10)-1/2x Uno de nuestros objetivos es el de graficar una función de tipo exponencial en un plano cartesiano, Por ejemplo grafiquemos : y = 2x

y = - 2x

y

En un solo plano cartesiano. Para hacerlo construyamos una tabla donde le damos valores a la variable “x” y obtenemos valores para la variable “y”. Veamos : Para y = 2x Si x = -3 Si x = -2 Si x = -1 Si x = 0 Si x = 1

: => => => => =>

y= y= y= y= y=

2-3 2-2 2-1 20 21

=> => => => =>

y = 1/8 y = 1/4 y = 1/2 y=1 y=2

203

=> => => => =>

y = 0.125 y = 0.25 y = 0.5 y=1 y=2


Para y = - 2x : Si x = -3 => y= Si x = -2 => y= Si x = -1 => y= Si x = 0 => y= Si x = 1 => y= La tabla quedaría así :

-2-3 -2-2 -2-1 -20 -21


=> => => => =>

y = -1/8 y = -1/4 y = -1/2 y = -1 y = -2

=> => => => =>

y = - 0.125 y = - 0.25 y = - 0.5 y=-1 y=-2

X

-3

-2

-1

0

1

2

3

y = 2x

0.125

0.25

0.5

1

2

4

8

y = -2x

-0.125

-0.25

-0.5

-1

-2

-4

-8

Si graficamos en un plano cartesiano tendríamos : Y 8

y=2

6 4 2 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

x

-2 -4 -6

y=-2

-8 -10

Podemos observar que existe simetría de la gráfica con respecto al eje x, en el sentido de que si rotamos cualquiera de las gráficas con respecto al eje x, ésta coincidiría con la otra. De las gráficas anteriores tenemos : Para y = 2x

=>

Dominio = (- ∞ , + ∞ ) Rango = (0, + ∞ )

Para y = -2x

=>

Dominio = (- ∞ , + ∞ ) Rango = (- ∞ , 0)

204



Grafiquemos ahora en un solo plano cartesiano : y = 10x

-2 0.01 100

x y = 10x y = 10-x

y = 10-x

y

-1 0.1 10

0 1 1

1 10 0.1

2 100 0.01

Gráficamente : Y 30

25

20

y = 10

y = 10

15

10

5

x

0 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Para y = 10x

=>

Dominio = (- ∞ , + ∞ )

Para y = 10-x

=>

Rango = (0, + ∞ ) Dominio = (- ∞ , + ∞ )

1

1.5

2

Rango = (0 , + ∞ ) Graficar y = 2x + 3

x y = 2x + 3 y = 2x

-2 3.25 0.25

y comparar con

-1 3.5 0.5

y = 2x

0 4 1

205

1 5 2

2 7 4

3 11 8



Si comparamos 12

10

y=2 +3 8

6

4

y=2

2

0 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Si comparamos las dos funciones : 1) y = 2x + 3 2) y = 2x Podemos observar que son muy parecidas a excepción del + 3 que aparece en la función (1).

Si observamos la gráfica detalladamente, nos damos cuenta que para graficar y = 2x + 3, solo basta tener y = 2x y posteriormente desplazarla 3 unidades hacia arriba ( debido a que el 3 es positivo). En conclusión, la gráfica se puede construir haciendo un corrimiento de la función base que es y = 2x. En consecuencia, para graficar una función utilizando un corrimiento se debe tener una función que la vamos a llamar “base” y la gráfica se desplazaría hacia arriba ó hacia abajo, dependiendo si el signo de la función que quiero graficar es positivo o negativo. Ejercicio : Partiendo de la siguiente función base y = 10x graficar las siguientes funciones : 1) y = 10x + 4 2) y = 10x - 1 3) y = 10x - 5

206



Ejercicio : Graficar la siguiente función : y = ex Si x = 0 Si x = 1

=> =>

y = e0 y = e1

=> =>

y=1 y=e

Cuánto vale el número e ? R/ El número e se denomina “ número de Euler” y este es una constante universal, así como π ≈ 3.1416 entonces e = 2.71828182. Las calculadoras tienen una rutina que se encarga de calcular potencias de e. Como vamos a graficar y = ex entonces construyamos una tabla de valores así : x y = ex

-3 0.0498

-2 0.135

-1 0.368

0 1

1 2.718

2 7.389

3 20.09

Gráficamente : 25

x

y=e

20

15

10

5

0 -3

-2

-1

0

Dominio = (- ∞ , + ∞ ) => R Rango = (0, + ∞ ) => R+

207

1

2

3



FUNCION LOGARITMICA Habíamos graficado hasta ahora por ejemplo : y = 2x

→ función exponencial

Nos encargaremos de graficar una función que es la inversa de y = 2x. ¿Cuál es ? R/ y = log2 x Si

y = log2 x x

1

2

4

8

16

y = log2 x

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

1

2

4

8

16

y

Si

y = 2x x

y y = 2x

y

y = 2x y=x

F(4,16)

E(3,8)

y = log2 x D(2,4)

C(16,4) B(8,3) A(4,2)

x

208



Observemos que en la gráfica de y = log2 x se tienen los puntos A(4,2) B(8,3) C(16,4) mientras que en la gráfica de y = 2x se tienen los puntos D(2,4) E(3,8) y F(4,16). En conclusión los elementos del domino de una de las funciones son el codominio de la otra función. (4 , 2) (8 , 3) (16 , 4) y = log2 x y = 2x

(2 , 4)

(3 , 8)

(4 , 16)

Si esta situación se da para un par de funciones entonces se dice que una de las funciones es inversa de la otra. En este caso y = 2x es la función inversa de y = log2 x

Si observamos la gráfica nos damos cuenta de que entre una función f(x) y su inversa que se denota por f –1(x) existe un eje de simetría que es la función idéntica y = x; de tal forma que si una de ellas se gira alrededor de ese eje (y = x) entonces coincide con la otra. ¿Si se tiene y = 2x , como nos damos cuenta de cuál es su inversa ? R/ Si y = 2x entonces debemos despejar a x en términos de y. Si y = 2x

→

log2 x = y

Si

log2 y = x ,

⇔

f -1(x) = log2 x →

f(x) = 2x

Dada f(x) = 10x hallar Si y = 10x

Si

f(x) = 10x

y posteriormente se cambian las variables :

→

f -1(x) = log2 x f -1(x)

log y = x

→

→

f -1(x) = log x

y = log x

Graficar f(x) y f -1(x)

209



En términos generales si : →

f(x) = ax

f -1(x) = loga x

¿Cuál será la inversa de f(x) = ex ? R/ Si y = ex

Si

→

→

f(x) = ex

→

ln y = ln ex

ln y = x

→

ln x = y

f -1(x) = ln x

¿Cuál será la inversa de f(x) = (1/2)x ?

→

R/ y = (1/2)x

Log2 y = - x

Si

→

f(x) = (1/2)x

y = 2-x

Ahora despejemos x, entonces :

x = - log2 y

→

cambiemos variables y = - log2 x

f -1(x) = - log2 x

Verificar mediante una tabla de valores que las gráficas son de la siguiente forma : y y = (1/2)x

y=x

x y = - log2 x

210



EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Graficar las siguientes funciones logarítmicas : a) f(x) = log3 x

b) f(x) = ln x

c) f(x) = 2 log3 x

d) y = ln (1/x)

e) y = 3 log4 x

f) y = ln (x - 2)

h) g(x) = ln (x + 1)

i) y = log3 2x

g) h(x) = log2

x

2) Para cada caso se da una función f(x) y se debe hallar su inversa denotada por f -1(x). Graficar en un solo plano cartesiano f(x) ; f -1(x) y y = x. a) f(x) = 3x

b) f(x) = ex

c) f(x) = 3x/2

d) f(x) = e-x

e) f(x) = 4x/3

f) f(x) = ex + 2

g) f(x) = 22x

h) f(x) = ex - 1

i) f(x) = ½ (3)x

211



EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver las siguientes ecuaciones :

1) log4 x = 3

2) log25 x = 1/2

3) log64 x = - 1/3

4) logx ¼ = -1/2

5) log4 (x - 1) = 3

6) log4 64 = x

7) log2 x2 = log2 9

8) log3x 18 = log4 18

9) loga (x+5) - loga (3x-2) = loga 5 10) 2 log2 (2x-1) - 2 log2 x = log2 3 11) ln (x-1) + ln x = ln 3 12) ln (ln x) = 2

13) 1/3 ln x6 = ¼ ln 16

14) ex ln x - ln x = 0

15) 23x = 82x-1

16) 41-3x = 163x+1

17) 32x+5 = 271-5x

18) (3/2)2-3x = (8/27)2x-5

19) 32x = 51-5x

20) 42x+1 = 103x-3

21) 2x+3 = ex

22) 3x + 3-x = 10

23) 4.(5)x - 3.(5)-x = 15

24) log3 x - 3 = -

26)

2 log 3 x

25) 3 log2 x -

log 2 x 2 log a x − = log a1 / 3 x . loga x 2 log1 / b a (log 2 a)

2 = -5 log 2 x

27) logx 2 . logx/16 2 = logx/64 2

28) log2 (9x-1 + 7) = 2 + log2 (3x-1 + 1)

29) log3x (3/x) + (log3 x)2 = 1

30) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones : log5 x + 3log3 y = 7 xy = 512

212


31)


log2 (x+y) – log3 (x-y) = 1 x=?

y=?

x2 - y2 = 2

32) Calcule :

a) f (2) si f (x) = e kx y f (1) = 20 b) f (9) si f (x) = e kx y f (3) = 2 c) f (4) si f(x) = 50 - A e − kx ; f (0) = 20 y f (2) = 30 d) f (2) si f (x) = 50 - A e kx ; f (0) = 30 y f (4) = 5 33) El producto Nacional Bruto (P.N.B) de un cierto país era cien mil millones de dólares en 1965 y de ciento ochenta mil millones de dólares en 1975. Suponiendo que el P.N.B está creciendo exponencialmente. Cuál será el P.N.B en 1995 ? 34) Se adquiere una máquina por U$4’000000 que se deprecia continuamente desde la fecha de adquisición. Su valor después de t años está dado por la fórmula V (t) = U$4’000000 e −0.2 t

a) Calcule el valor de la máquina después de cinco años b) Determine el porcentaje de depreciación de su valor cada año ? 35) La demanda de consumo, para un cierto artículo es de D(p) = 5000e −0.02 p unidades por día, cuando el precio en el mercado es de p pesos por unidad. Determine el precio de mercado que origina un consumo de 1839 unidades diarias. R/ 50. 36) La ecuación de demanda de cierto producto está dada por p = 200 e − x /50 en donde x denota, el número de unidades que pueden venderse al precio de p pesos cada unidad. Exprese el ingreso como una función de la demanda x, cuál será el ingreso total si se venden 25 unidades ?. 37) La ecuación de demanda de cierto producto está dada por : pln (x + 1) = 500 en donde x unidades, pueden venderse al precio de p pesos cada unidad, Cuál será el ingreso total si el precio por unidad es de $80.43 ?. 38) La ecuación de oferta de un fabricante es p = log (1.000 + q/2), en donde q es el número de unidades ofrecidas a un precio de p pesos cada unidad. Cuántas unidades se colocan en el mercado cuando el precio de oferta es de $4.20 ?.

213



39) Una cierta máquina industrial se deprecia hasta que su valor pasados t años es de Q(t) = 11.000.000 e −0.4 t pesos. Cuánto tiempo habrá transcurrido para que su precio sea $60.682 ?. 40) Una cierta maquinaria industrial se deprecia exponencialmente [F(x) = Ae − kx ] Si su valor inicial en libros es de $12’000000 y de $1’983586 al cabo de seis años, calcule su valor en libros después de 15 años. 41) Dada la siguiente relación :

3

x 2 − 2500 250

= 185.6p

( X = cantidad P = precio). Hallar el ingreso total si P = 205. 42) Dada la siguiente relación :

4

x 2 − 3600 360

= 234.9p

Hallar el ingreso total si P = 205. 43) Para un cierto producto la ecuación de demanda es 50p = 300 e − x /1500 [x = # de unidades p = precio] Calcular el ingreso cuando el precio por unidad es de $4.5

Respuestas :

1. x = 64

2. x = 5

3. x = 1/4

4. x = 16

5. x = 65

6. x = 3

7. x = ± 3

8. x = 4/3

9. x = 15/14

10. x = 3.7321

11. x = 2.3028

12. x = 1618.18

13. x = ± 2

14. x = 1

15. x = 1

16. x = - 1/9

17. x = - 2/17

18. x = 13/3

19. x = 0.1571

20. x = 2

21. x = 6.7767

214



22. x = 2.087 , - 2.0867

23. x = 0.8520159

24. x = 9 ; x = 3

25. x = 1.2599 ; x = 0.25

26. x = 1 ; x = (2b2)1/3

27. x = 4 ; x = 8

28. x = 2 ; x = 1

29. x = 3 ; x = 1 ; x = 1/9

30. x1 = 125 ; y1 = 4 x2 = 625 ; y2 = 3

31. x = 3/2 ; y = ½ 32. a. 400

b. 8

c. 36.6667

d. 20

33. 5832 * 10 8 dólares. 34. a. 1’471518

b. 18.13 %

e-x/50 ;

35. 50

36. I(x) = 200x

37. 40214.18

38. 29698

39. 13 años

40. 133308

41. 14350

42. 16400

43. 1939.5

215

3032.65

7

CAPITULO

LIMITES En este capitulo daremos simplemente una idea de limite para entrar posteriormente a dar un concepto e interpretación de la derivada, debido a que ésta tiene mucha aplicación en las ciencias económicas. Supongamos inicialmente que se tiene la siguiente función :

f(x) = 3x + 1

Construyamos y analicemos ahora una tabla con los siguientes valores : 0 1

x f(x)

1 4

1.5 5.5

1.9 6.7

1.99 6.97

1.999 6.997

2.001 7.003

2.01 7.03

2.1 7.3

2.5 8.5

3 10

Si observamos la tabla nos damos cuenta que en la medida en que equis “x” se aproxima a 2 por el lado izquierdo entonces f(x) se aproxima a 7 ; y además si equis “x” se aproxima a 2 por el lado derecho también f(x) se aproxima a 7. Al final de cuentas podríamos concluir que si equis “x” tiende a 2 entonces f(x) es igual a 7. Si quisiéramos adoptar una notación para decir lo anterior, lo haríamos así :

1.

lim f(x) = 7

x −>2−

→

Esto se lee “El límite de f(x) cuando equis tiende a 2 por la izquierda es igual a 7”.

2.

3.

lim f(x) = 7

→

lim f(x) = 7

→

x −>2+

x −>2

¿Como se lee esto ?

¿Como se lee esto ?

216

Ahora, como f(x) = 3x + 1 podremos escribir lo siguiente :

lim (3x + 1) = 7

x −> 2

Si quisiéramos graficar la situación anterior tendríamos :

f(x) f(x) = 3x + 1 7.003

7 6.997

1 x

1.999 2.001

lim (3x + 1) = 7

Acabamos de concluir que :

x −>2

¿Entonces para calcular el límite de alguna función es necesario construir una tabla de valores como la anterior ? R/ Esto no es necesario debido a que el límite se puede calcular de una forma más simple de la siguiente manera :

Cuando se tenga lim (3x + 1) haremos lo siguiente : x −> 2

Como x → 2 “equis tiende a 2” , simplemente reemplazaremos x = 2 en la función ; o sea que evaluaremos la función con x = 2. Veamos : lim (3x + 1) = 3 (2) + 1 = 7

x −>2

Por ejemplo si tuviéramos lim (2x – 6) esto se calcularía así : x − >5

217

lim (2x – 6) = 2 (5) – 6 = 4

Aquí se evalúo la función en x = 5.

x − >5


lim f x −> a

( x)

= f (a)

PROPIEDADES DE LOS LIMITES En los siguientes ejercicios se irán enunciando algunas propiedades. 1) Calcular lim 3 x −>4

;

Aquí f(x) = 3

→

¡ Función constante !

Gráficamente : f(x) f(x) = 3 3

4

x

Observemos que en la gráfica para cualquier valor de equis “x” f(x) siempre es 4, debido a que la función es constante. O sea que lim 3 = 3. x − >4

lim k = k

De tal forma que

x −> a

a) lim 10 = 10

b) lim 6 = 6

x −>2

2)

donde k = constante.

c) lim c = c

x − > −1

x − >0

Donde c = constante

lim kf ( x ) = k . lim f ( x )

x −> a

x − >a

a) lim 5x2 = 5 lim x2 = 5 (3)2 = 45 x − >3

x − >3

;

b) lim 3x3 = 3 lim x3 = 3 (-2)3 = 3(-8) = -24 x − > −2

c) lim 5x = 5 lim x = 5 (0) = 0 x − >0

x − >0

218

x − > −2

lim[ f ( x ) ± g ( x ) ± ........ ± h( x ) ] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) ± ....... ± lim h( x )

3)

x −> a

x −> a

x −> a

x − >a

a) lim (3x + 1) = lim 3x + lim 1 = 3 lim x + lim 1 = 3 (2) + 1 = 7 x −>2

x − >2

b) lim (5x2 – 3x + 8) x − >3

x − >2

x − >2

x − >2

=

lim 5x2 – lim 3x + lim 8

=

5 (3)2 – 3 (3) + 8 = 44

x − >3

x − >3

x − >3

= 5 lim x2 – 3 lim x + lim 8 x − >3

x − >3

x − >3

Aquí estamos aplicando las propiedades, pero este limite lo podemos calcular más rápido reemplazando inicialmente x = 3. Veamos : lim (5x2 – 3x + 8) = 5 (3)2 – 3 (3) + 8 = 44 x − >3

4)

lim[ f ( x ) .g ( x ) ....h( x ) ] = [ lim f ( x ) ].[lim g ( x ) ]......[ lim h( x ) ]

x −> a

x − >a

x−a

x − >a

lim 4x2 . x3 = ( lim 4x2 ) . ( lim x3) = 4 (3)2 . (3)3 = 972 x − >3

5)

lim

x − >3

x − >3

lim

x −> a

f ( x) g ( x)

=

lim f ( x ) x −> a

lim g ( x )

x − >3

lim g ( x ) ≠ 0

donde

x −> a

x − >a

(4 x − 1) 4(3) − 1 11 4 x − 1 lim = x − >3 = = = 1 2 x + 5 lim (2 x + 5) 2(3) + 5 11 x − >3

6)

lim n f ( x ) = n lim f ( x ) x −> a

x −> a

lim 3 4 x + 3 = 3 lim (4 x + 3) = 3 4(2) + 3 = x −> 2

x − >2

3

11

219

Para calcular lim

x − >3

4x − 1 2x + 5

se puede reemplazar directamente x = 3 y se obtendría :

4x − 1 4(3) − 1 11 = = 1 = 2x + 5 2(2) + 5 11

lim

x − >3

Calculemos ahora el siguiente límite :

x 2 − 9 (3) 2 − 9 9 − 9 0 = = = x−3 3−3 3−3 0

lim

x − >3

¡ Forma indeterminada !

Observemos que al reemplazar directamente tanto el numerador como el denominador es igual a cero. En consecuencia esto nos arroja una forma indeterminada. Nota : Debemos tener en cuenta que un denominador no puede ser igual a cero.

En el límite anterior tenemos en el denominador (x – 3) y este es el responsable de que el mismo sea igual a cero. Si no existiera en el denominador x – 3 no tendríamos problema porque el denominador no sería igual a cero. ¿Que se debe hacer para que desaparezca el denominador ? R/ Veamos :

lim

x − >3

x2 − 9 ( x − 3)( x + 3) = lim = lim ( x + 3) = 3 + 3 = 6 x − > 3 x − >3 x−3 ( x − 3)

Observemos que al factorizar el numerador uno de los factores es (x – 3) de tal forma que se cancela con el factor (x – 3) del denominador y el limite quedaría reducido a : lim (x + 3) donde el resultado de este es 6. x − >3

Nota : Podemos concluir entonces que cuando en un límite al reemplazar el valor al cual tiende la variable, el denominador es igual a cero; debemos encargarnos de alguna manera de cancelar el responsable de que el denominador sea cero. Regularmente se utiliza el proceso de factorización en algunos casos y el de racionalización en otros, etc.

EJERCICIOS RESUELTOS Calcular los siguientes límites : x2 + x − 6 x − > 2 x 2 + 5 x − 14

1) lim

reemplazando tenemos :

220

( 2) 2 + 2 − 6 0 = 2 (2) + 5(2) − 14 0

( x + 3)( x − 2) x+3 2+3 5 = lim = = x − > 2 ( x + 7)( x − 2) x −> 2 x + 7 2+7 9

entonces factorizando tenemos : lim

2 xh + h 2 2) lim h − >0 h

3) lim

h −>0

reemplazando : 2 xh + h 2 = h − >0 h

entonces :

2 x(0) + (0) 2 0 = 0 0

lim

x+h − x h

h( 2 x + h ) = lim (2 x + h) = 2x h −>0 h − >0 h lim

x+0 − x 0 = 0 0

reemplazando

Entonces debemos cancelar de alguna manera el valor de h del denominador para que este no sea igual a cero. Para lograr esto vamos a racionalizar el numerador multiplicando por el conjugado. Veamos : ( x + h − x) ( x + h + x) ( x + h)2 − ( x )2 x+h−x * = lim = lim h −>0 h − >0 h( x + h + h ( x + h + x ) h − > 0 h( x + h + x ) x) lim

h 1 = lim = h −>0 h( x + h + x h − >0 x + h + x

1 1 = x+0 + x 2 x

= lim

4) Si f(x) = x2

calcular

Como f(x) = x2 entonces lim

h −>0

f ( x+ h) − f ( x ) h

5) Si f(x) = Como f(x) =

x

lim

f ( x+h) − f ( x)

h −>0

h

f(x+ h) = (x + h)2

entonces :

( x + h) 2 − x 2 x 2 + 2 xh + h 2 − x 2 2 xh + h 2 = 2x = lim = lim h − >0 h − >0 h −>0 h h h (ver ejercicio 2)

= lim

calcular x entonces

lim

f ( x+h) − f ( x)

h −>0

f(x + h) =

h x+h

221

O sea que lim

f ( x+ h) − f ( x)

h −>0

=

h

lim

h −>0

x+h − x 1 = h 2 x

(ver ejercicio 3)

EJERCICIOS PROPUESTOS Calcular los siguientes límites : 3x + 1 x − >1 2 x − 5

1) lim (5 x 2 − 2 x + 1)

R/ 40

2) lim

1 2x + 3

R/ 1/7

4) lim

3

6) lim

x − >3

3) lim

x −> 2

5) lim 3 x − >1

3x + 1 2

R/

2

x − >0

R/

3

R/ 10

x 2 − 2x − 3 x − >3 x 2 − 5 x + 6

R/ 4

R/ 5

8) lim

2 x 2 + 3x − 9 x − > −3 2 x 2 + 5 x − 3

R/ 9/7

10) lim

9) lim

5x + 3 2x + 1

x 2 − 25 x − >5 x − 5

x2 + x − 6 x −> 2 x−2

7) lim

R/ -4/3

x 4 − 16 x − > 2 2 x 2 + 3 x − 14

R/ 32/11

Para los siguientes ejercicios se da una función f(x) y se debe calcular lim

f ( x+ h) − f ( x)

h −>0

11) f(x) = x3 13) f(x) =

15) f(x) =

1 x

R/ 3x2 R/ -

3x − 1

17) f(x) =

1 x2

19) f(x) =

1 x +1

R/

3 2 3x − 1

R/ -

R/ -

1 x2

12) f(x) = 3x2 – 2x + 6

R/ 6x - 2

14) f(x) =

R/

1 2x

R/ -

1 2x 3 / 2

16) f(x) =

2 x3

2x 1 x

18) f(x) = (3x – 2)2

1 ( x + 1) 2

20) f(x) =

222

h

1 5x − 3

R/ 6 (3x – 2)

R/

−5 2(5 x − 3) 3 / 2

EL NUMERO DE EULER ( e ) x

 1 Consideremos la siguiente relación y = 1 +  x  Construyamos una tabla de valores donde se le da un valor a “x” y se obtiene un valor para “y” , veamos : x

 1 1 +  x 

1

10

100

1000

10000

100000

1’000000

10’000000

2

2.5937

2.7048

2.7169

2.718146

2.718268

2.71828

2.71828169

x

1

Si x = 1

→

 1 y = 1 +   1

Si x = 10

→

1  y = 1 +   10 

Si x = 100

→

1   y = 1 +   100 

→

y=2

→

y = 2.5937

10

100

→

y = 2.7048

Así sucesivamente. Si observamos la tabla anterior y hacemos que el valor de x se haga aún más grande, nos damos cuenta que el valor de “y” tiende a un número fijo que es 2.718281828. Este número se denomina “número de Euler” y se denota por la letra e. De tal forma que e = 2.718281828 Las calculadoras científicas tienen una función que se encarga de determinar diferentes potencias del número “e”. de tal forma que si utilizamos la calculadora podemos verificar lo siguiente : e1 = 2.718281828 e2 = 7.389056099 e3 = 20.08553692

e-1 = 0.36787944 e-2 = 0.13533528

Si retomamos la tabla nos damos cuenta de que si x tiende a infinito entonces “y” tiende al número “e”. Esto lo podemos escribir así :  1 lim 1 +  x − >∞ x 

223

x

= e1

 si usted construye una tabla con los mismos valores de x por ejemplo para y = 1 +  se podrá dar cuenta de lo siguiente :  lim 1 + x − >∞ 

3  x

3  x

x

x

= e3

En términos generales podríamos decir que :

 r lim 1 +  x − >∞ x 

x

= er

Análogamente :

r  lim 1 +  k − >∞  k

k

= er

Si revisamos las matemáticas básicas nos damos cuenta que una de las propiedades de los limites es la siguiente :

[ ]

lim f ( x ) x −> a

n

= [ lim f ( x ) ] n x − >a

De acuerdo a esto, calcular : r  lim 1 +  k − >∞  k

r  lim 1 +  k −>∞  k

nk

r  lim 1 +  k −>∞  k

nk

Aplicando la propiedad anterior.

k   r  =  lim 1 +   k −>∞  k   

n

, Como

r  lim 1 +  k −>∞  k

nk

=

[er] n

=

ern

Conclusión : r  lim 1 +  k −>∞  k

nk

= ern

224

nk

= er

entonces :

 lim 1 + x −>∞ 

Sabiendo que :

r  x

x

= er

Entonces  5 1) lim 1 +  x − >∞ x 

x

2  3) lim 1 +  x −>∞  3x 

 1 4) lim 1 +  x − >∞ x 

 2 2) lim 1 −  x − >∞  x

= e5

x

2    = lim 1 + 3  x − > ∞ x    

x

 (−2)  = lim 1 + x −>∞ x  

x

= e -2

x

= e2/3

5

Aquí el exponente no contiene a x, de tal forma que si x → ∞ entonces 1/x tiende a cero, o sea que el paréntesis se convierte en 1 y esto nos daría (1)5 = 1. En consecuencia:  1 lim 1 +  x −>∞ x 

 2 5) lim 1 +  z −>∞ z 

5

=

lim (1) 5 = 1

x −>∞

−23 / 3

= lim (1) −23 / 3 = lim 1 = 1 z −>∞

z −>∞

z

1    x  6) lim 1 +  = e1/x z − > ∞ z    

⊕

7) En términos generales

z  lim 1 +  = ez ⊕ − >∞  ⊕

225

(*)

 x +8 lim   x −>∞ x + 5  

8) Hallar

x +5

Si observamos (*) nos damos cuenta de que dentro del paréntesis tenemos una suma donde uno de los términos es la unidad y el otro contiene un denominador igual al exponente (que en este caso es ⊕ ) , y además ⊕ debe tender a infinito ( ⊕ → ∞ ). Tratemos ahora de transformar lo que se tiene dentro del paréntesis de nuestro ejercicio :  x+8   a una forma tal como la mostrada en (*)  x +5 ¿Como se transforma ?

x+5+3 x+5 3 3  x+8 R/  ⇔ + ⇔ 1+ ⇔ x+5 x+5 x+5 x+5  x +5 Sabemos que si x → ∞ entonces x+5 → ∞ y por lo tanto :

 x +8 lim   x −>∞ x + 5  

x +5

⇔

 3x + 2  9) Hallar lim   x −>∞ 3x + 4  

3   lim 1 +  x + 5 − >∞ x +5 

x +5

= e3

2 x −5

Transformemos lo que esta dentro del paréntesis : 3x + 2 3x + 4 − 2 3x + 4 2 ⇔ ⇔ − ⇔ 3x + 4 3x + 4 3x + 4 3x + 4

1-

2 3x + 4

Si x → ∞ entonces 3x → ∞ y por consiguiente 3x+4 → ∞

 3x + 2  lim   x −>∞ 3x + 4  

2 x −5

⇔

2   lim 1 −  3 x + 4 −>∞  3x + 4 

2 x −5

226

Recordemos que el exponente debe contener a 3x+4. Tratemos ahora de transformar la expresión 2x-5 a una forma tal que contenga 3x+4. ¿Como lo haríamos ? R/ Veamos :

 3x  2  - 5  3

⇔

2x-5

2 2 (3x + 4) - (4) – 5 3 3

⇔

2 (3x) – 5 3

2 (3x + 4 – 4) - 5 3

⇔

2 8 (3x + 4) - - 5 3 3

⇔

2 23 (3x + 4) 3 3

⇔

Podemos verificar que la expresión anterior es equivalente a 2x – 5, veamos : 2 23 6 8 23 15 (3x + 4) = x+ = 2x 3 3 3 3 3 3

2

2 3  lim 1 −  3 x + 4−>∞  3x + 4 

(3 x + 4) −

23 3

 23 lim 1 −  z −>∞  z

Entonces obtendríamos :

2

2

z

 2 1 −  z 

z

−

23 3

 2 3  2 = lim 1 −  lim 1 −  z −>∞ z  z − >∞ z 

=

[e ]

−2 2 / 3

(1)-23/3

=

2x - 5

sea z = 3x + 4

2

 23 = lim 1 −  z −>∞  z

⇔

z−

23 3

Aplicando propiedades tenemos :

−

23 3

=

  2 z  1 −    zlim z    −>∞

e-4/3

227

2/3

 2 . lim 1 −  z −>∞ z 

−23 / 3

EJERCICIOS PROPUESTOS Calcular los siguientes límites :

 m 1) lim 1 +  x −>∞ x 

x

2   2) lim 1 −  x −>∞  5x 

i  4) lim 1 +  k −>∞  k

k

 x −1  5) lim   x −>∞ x + 2  

 2 + 4x  7) lim   x −>∞ 5 + 4 x  

2 −3 x

x

3   3) lim 1 +  x −>∞  4x 

x+2

 2x − 2  6) lim   x −>∞ 2 x − 5  

x−>0

11

2 x −5

 − 2 − 3x  9) lim   x −>∞  2 − 3x 

8) lim+ (1 + x )

1/ x

 3x + 4  5 10) lim   x −>∞ 3x − 1  

2x

x

228

4 −5 x

CAPITULO

9

LA DERIVADA En este capitulo vamos a definir e interpretar geométricamente la derivada, debido a que esta tiene una aplicación muy amplia en las ciencias económicas y administrativas. Lo que se va a exponer aquí no se hará con mucha rigurosidad debido a que la aplicación que se requiere realmente no lo exige. Construyamos el siguiente gráfico y posteriormente lo analizamos : f(x) f(x) Recta secante Recta secante f(x2)

Q

Recta tangente P

R

f(x1)

x

x1

x2

Consideremos la gráfica de una función f(x) donde cada uno de los puntos P[x1 , f(x1)] y Q[x2 , f(x2)] pertenecen a ella.

229

Si trazamos una línea recta que pase por P y Q nos damos cuenta que ésta es una recta que corta dos puntos de la gráfica (esta recta se denomina Recta secante) y si calculamos la pendiente de PQ esto nos daría :

m PQ =

f ( x2 ) − f ( x1 ) x 2 − x1

Pendiente de la recta secante

PQ

Ahora, sí la recta PQ (secante) gira un poco en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto P se obtiene la recta que pasa por P y R que también sigue siendo una recta secante y también tendría una pendiente que es :

mPR =

f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1

Pendiente de la recta secante

PR

Si nos detenemos a mirar detalladamente nos damos cuenta que en la medida en que la recta gire en el sentido de las manecillas del reloj el valor (x2 - x1) se hace más pequeño. Para más facilidad, si llamamos x2 – x1 = h donde x2 = x1 + h entonces la pendiente de PR que es m PR (ecuación anterior) quedaría transformada en :

mPR =

f ( x1 + h) − f ( x1 ) h

Pendiente de la recta secante que pasa por

PR

Ahora si seguimos girando la recta hacia abajo y la quisiéramos convertir en una recta tangente, alrededor del punto P, necesariamente el valor de h = x2 – x1 tendría que ser muy pequeño o sea que en otras palabras h debe tender a cero (h → 0). O sea que la pendiente de la recta tangente alrededor de P es de la misma forma que la pendiente entre P y R pero con la diferencia de que h debe tender a cero (h → 0). Esto se podría escribir así :

mtangente = lim

h − >0

f ( x1 + h) − f ( x1 ) h

230

Definición : Sea y = f(x) una función cualquiera, entonces la derivada de f al respecto de x que se denota por f’(x) viene dada por :

f ' ( x ) = lim

h − >0

f ( x + h) − f ( x ) h

Siempre y cuando exista el límite.

Si el límite existe se dice que f es derivable en x. El proceso de hallar la derivada se denomina diferenciación. Ahora, si y = f(x) ; entonces la derivada se puede denotar de varias maneras, por ejemplo : Notación de derivada

=>

y’

;

f’(x)

;

dy dx

;

Dxy

;

df dx

Dxf ;

Cada una de las notaciones anteriores me indica la derivada de la función respecto de x.

y = f(x) al

En otras palabras, la derivada de una función f(x) evaluada en un punto, nos dice cual es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Para aclarar esto expliquémoslo mediante un ejercicio. Supongamos que se tiene f(x) = x2 y se quiere hallar la derivada que se denota por f’(x).

Sabemos por definición que Como f(x) = x2

→

f ' ( x ) = lim

h −>0

f ( x + h) − f ( x) h

f(x + h) = ( x + h)2

;

y

( x + h) 2 − x 2 x 2 + 2 xh + h 2 − x 2 2 xh + h 2 h( 2 x + h) = lim = lim = lim h −>0 h − >0 h − >0 h − >0 h h h h

f ' ( x ) = lim

=

lim (2 x + h) = 2x

h −>0

En consecuencia : Si

f(x) = x2

=>

f’(x) = 2x

Mediante el mismo procedimiento anterior verificar que : i) Si f(x) = x3

→

f’(x) = 3x2

ii) Si f(x) = x4

231

→

f’(x) = 4x3

Si graficamos f(x) = x2

obtendríamos : f(x) = x2

f(x)

Si x = 3 entonces f(3) = 9 de tal forma que el punto M(3,9) pertenece a la curva f(x) = x2.

9

Por el punto M(3,9) pasa una recta tangente.

M(3,9)

3

x

¿Cuál es la pendiente de esa recta tangente ? R/ Para calcular la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) = x2 en el punto M(3,9) se debe utilizar la derivada de f(x) = x2 que es f’(x) = 2x debido a que la derivada lo que nos da es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. Veamos : En el punto M(3,9) ; Como

x=3 ,

f’(x) = 2x , aquí la derivada depende de x.

¿Cuánto vale x en este punto ? entonces

y=9

f’(3) = 2 (3)

→

R/ x = 3 f’(3) = 6

Esta es la pendiente de la recta tangente en ese punto.

O sea que teniendo la pendiente de esa tangente mt = 6 y el punto M(3,9) se podría hallar la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = x2 si x = 3. Veamos : Si M(3,9) y m = 6 entonces : y – 9 = 6 (x – 3)

→

y – 9 = 6x – 18

→

y = 6x - 9

Ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = x2 si x = 3

232

Gráficamente tendríamos : f(x) = x2 f(x) mt = 6

y = -1/6x + 19/2 9

M(3,9)

3

x y = 6x – 9

y = 6x – 9

Recta normal

Recta tangente

Es la ecuación de la recta tangente donde m = 6 es la pendiente de la recta tangente (mt = 6)

Existe otra recta que está asociada a la recta tangente y esta es la recta Normal, que es perpendicular a la recta tangente.

Si llamamos

mt = Pendiente de la recta tangente mN = Pendiente de la recta normal

Entonces se debe cumplir lo siguiente :

mt . mN = -1

El producto de sus pendientes es igual a -1 debido a que las rectas son perpendiculares.

Ahora, si quisiéramos hallar la ecuación de la recta normal a la curva f(x) = x2 si x = 3, lo haríamos así : Como mt = 6

→

6 . mN = - 1

mN = −

→

233

1 6

Pendiente de la recta normal a la curva f(x) = x2 Si x = 3

Ahora si mN = − y–9 = − y = −

1 6

y

M(3,9) entonces :

1 (x – 3) 6

→

1 19 x+ 6 2

Ecuación de la recta Normal a la curva f(x) = x2 si x = 3.

y–9 = −

1 1 x+ 6 2

→

y = −

1 1 x+ +9 6 2

En términos generales supongamos que se tiene una función y = f(x) y la gráfica es la siguiente : y mt = f’(a)

Recta tangente P f(a)

y = f(x)

Recta normal a

mN = - 1/f’(a) x

Con base en la gráfica anterior : El punto P[a , f(a)] pertenece a la curva y = f(x) y por allí pasa una recta tangente. Para determinar la pendiente de la recta tangente se debe calcular primero la derivada de la función f(x) y posteriormente evaluarla en x = a esto es :

Si

y = f(x)

Como

→

hallar f’(x)

mt . mN = -1

f’(a) . mN = -1

→

y

y evaluar en x = a

→

mt = f’(a)

mt = f’(a) entonces :

mN = −

1 f '( a )

Pendiente de la recta normal

234

EJERCICIOS PROPUESTOS Para los siguientes ejercicios se da una función f(x) y se debe hallar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva para un valor de x dado. Nota : Para calcular la derivada de la función f(x) se debe utilizar la definición; o sea : f ' ( x ) = lim

h − >0

f ( x + h) − f ( x) h

1) f(x) = x3

si

2) f(x) = -2x2 + 3

si

x=2

R/ Tangente Normal

y = -8x + 11 y = 1/8x - 21/4

3) f(x) =

si

x=4

R/ Tangente Normal

y = 1/4x + 1 y = -4x + 18

si

x=9

R/ Tangente Normal

y = 1/3x + 3 y = -3x + 33

si

x=4

R/ Tangente

y = -1/8x + 3/2

x

4) f(x) = 2

5) f(x) =

x

2 x

x=1

R/ Tangente y = 3x - 2 Normal y = -1/3x + 4/3

Normal

y = 8x - 31

6) f(x) = 1/x

si

x=3

R/ Tangente Normal

y = -1/9x + 2/3 y = 9x – 80/3

7) f(x) = 1/x

si

x=-3

R/ Tangente Normal

y = -1/9x - 2/3 y = 9x + 80/3

8) f(x) = 1/x2

si

x=2

R/ Tangente Normal

y = -1/4x + 3/4 y = 4x – 31/4

2 x2

si

x=4

R/ Tangente

y = 1/16x - 3/8

9) f(x) = −

Normal 10) f(x) = -3x3

si

x=1

R/ Tangente Normal

235

y = -16x + 511/8 y = -9x + 6 y = 1/9x – 28/9

DERIVADAS DE FUNCIONES ELEVADAS A UNA POTENCIA Cuando teníamos f(x) = x2 y calculábamos la derivada por definición o sea f ' ( x ) = lim

h − >0

f ( x + h) − f ( x) h

el resultado era f’(x) = 2x

De la misma forma se obtuvo la derivada de f(x) = x3 donde f’(x) = 3x2 y la derivada de f(x) = x4 donde f’(x) = 4x3 , o sea que en resumen : Si Si Si

→ → →

f(x) = x2 f(x) = x3 f(x) = x4

f’(x) = 2x1 f’(x) = 3x2 f’(x) = 4x3

Si observamos lo anterior nos damos cuenta que esto tiene un comportamiento especial. ¿Cuál es ? R/ Si miramos detalladamente al tener cada función y compararla con su derivada, entonces el exponente de la variable x (en la función) bajaría a multiplicar y a la vez ese exponente disminuiría en uno (la unidad) PROPIEDAD 1 : DERIVADA DE LA POTENCIA N-ESIMA DE UNA VARIABLE Si este comportamiento sigue podríamos decir en términos generales : Si

f(x) = xn

f’(x) = nxn-1

entonces

O sea que si f(x) = x4

→

→

f’(x) = 4x4-1

f’(x) = 4x3

En el apéndice de este libro se demuestran las propiedades. Ejemplos : Para cada ejercicio hallar la derivada, utilizando la propiedad anterior. 1)

f(x) = x5

→

f’(x) = 5x5-1

→

f’(x) = 5x4

2)

f(x) = x1

→

f’(x) = 1x1-1

→

f’(x) = 1x0

3)

f(x) =

→

f’(x) = x1/2

x

→

236

→

1 1/2-1 x → 2 1 f’(x) = → 2 x1/ 2

f’(x) =

f’(x) = 1 f’(x) = f’(x) =

1 -1/2 x 2 1 2 x

3 3 / 2−1 x 2

4) f(x) = x3/2

→

f’(x) =

1 x2

→

f’(x) = x-2

5) f(x) =

→ →

f’(z) =

3 1/ 2 x 2

→ →

f’(x) = -2x-2-1

f’(x) =

3 x 2

f’(x) = -2x-3 f’(x) = -

2 x3

PROPIEDAD 2 : DERIVADA DE UNA CONSTANTE Si

f(x) = c

c = constante, entonces

donde

f’(x) = 0

Ejemplos : 1) Si 2) Si 3) Si

f(x) = 8 f(x) = 15 f(x) = a

4) Si

f(x) =

m2 −1

→ → →

f’(x) = 0 f’(x) = 0 f’(x) = 0

→

f’(x) = 0

PROPIEDAD 3 : DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE Y UNA FUNCION. Si

→

f(x) = cxn

f’(x) = cnxn-1

Ejemplos : 1) Si f(x) = 4x3

→

f’(x) = 4(3x2)

→

f’(x) = 12x2

2) Si f(x) = 3x7/5

→

f’(x) = 3(7/5)x2/5

→

f’(x) = 21/5x2/5

3) Si f(x) = 5 x

→

f(x) = 5x1/2

→

f’(x) = 5(1/2)x-1/2 f’(x) =

4) Si f(x) = -

3 x

1/ 3

→

→

f(x) = -3x -1/3

f’(x) = x-4/3

237

→

5 5 = 1/ 2 2x 2 x

f’(x) = -3(-1/3)x-4/3

f’(x) =

1 x4/3

En esta propiedad si hablamos en términos más generales podríamos decir que si y = c . u donde c = constante y u = f(x) entonces : dy du = c. dx dx

PROPIEDAD 4 : DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES Si f(x) = g(x) ± h(x) ± . . . . . . . . ± s(x) ,

entonces :

f’(x) = g’(x) ± h’(x) ± . . . . . . . . ± s’(x)

Ejemplos :

→

1) Si f(x) = 5x3 + 3x2 – 6x + 8

f’(x) = 15x2 + 6x – 6

2) Si f(x) = 1/3x3 + 2/5x1/2 – 1/3x1/3 + 10 f’(x) = (1/3).3x2 + (2/5)(1/2)x-1/2 – (1/3)(1/3)x-2/3

→

f’(x) = x 2 + f’(x) = x 2 +

1 1 − 2/3 1/ 2 5x 9x 1 5 x

−

1 93 x 2

PROPIEDAD 5 : DERIVADA DEL PRODUCTO DE 2 FUNCIONES Si

f(x) = g(x) . h(x)

entonces f’(x) = g(x) . h’(x) + h(x) . g’(x)

Ejemplos : 1) Si f(x) = (4x5 + 3) (3 – 2x2) Sea

hallar

f’(x)

g(x) = 4x5 + 3

y

h(x) = 3 – 2x2

g’(x) = 20x4

y

h’(x) = -4x

entonces :

Aplicando la propiedad, tenemos : f’(x) = (4x5 + 3) (- 4x) + (3 – 2x2) (20x4)

→

f’(x) = -16x6 – 12x + 60x4 – 40x6 f’(x) = - 56x6 + 60x4 – 12x

238

2) Si

f(x) = (

3 - 4) (4 + 3 x ) x2

Transformemos f(x) f’(x) = (3x –2 – 4). f’(x) =

así :

hallar

f’(x)

f(x) = (3x –2 – 4) (4 + 3x1/2)

3 –1/2 x + (4 + 3x1/2) (- 6x –3) 2

9 –5/2 – 6x –1/2 – 24x –3 – 18x –5/2 x 2

→

f’(x) = -

27 –5/2 – 6x –1/2 – 24x –3 x 2

f’(x) = -

27 6 24 − 1/ 2 − 3 5/2 2x x x

PROPIEDAD 6 : DERIVADA DEL COCIENTE DE 2 FUNCIONES

Si

f(x) =

g ( x) h( x )

donde h(x) ≠ 0

f’(x) =

entonces

h( x ) .g ' ( x ) − g ( x ) .h' ( x ) [h( x ) ]2

Ejemplos :

x8 1) Si f(x) = 5 x Sea

g(x) = x8

verificar que donde

f’(x) = 3x2

g’(x) = 8x7

y

h(x) = x5

donde

h’(x) = 5x4

Aplicando la propiedad tenemos : f’(x) =

x 5 (8 x 7 ) − x 8 (5 x 4 ) 8 x12 − 5 x12 3 x12 = = 10 (x5 ) 2 x10 x

→

f’(x) = 3x2

Observemos lo siguiente : Si f(x) =

x8 x5

esto es equivalente a tener

f(x) = x3 y por supuesto

f’(x) = 3x2

Nota : Esto lo hicimos simplemente para ¡Verificar! que la propiedad se puede aplicar y no se puede confundir esto con una ¡Demostración!.

239

2) Si

f(x) =

3x 2 − 5 4 + 9x 2

hallar

f’(x)

Sea

g(x) = 3x2 - 5

f’(x) =

(4 + 9 x 2 )(6 x) − (3 x 2 − 5)(18 x) (4 + 9 x 2 ) 2

f’(x) =

y

h(x) = 4 + 9x2

aplicando la propiedad tenemos :

→

f’(x) =

24 x + 54 x 3 − 54 x 3 + 90 x (4 + 9 x 2 ) 2

114 x (4 + 9 x 2 ) 2

DERIVADA DE UNA FUNCION COMPUESTA (LA REGLA DE LA CADENA)

Anteriormente habíamos dicho que si teníamos por ejemplo y = x3 + 2x2 la derivada la podíamos denotar de varias formas, y una de ellas era dy/dx que significa derivar a “y” respecto a “x” y esto nos daría : dy Si y = x3 + 2x2 → = 3x2 + 4x dx En el caso por ejemplo que tuviéramos lo siguiente : y = u5 para estos casos podríamos hallar independientemente :

dy = 5u4 du

y

y además

u = 3x2 – 5x

du = 6x - 5 dx

Aquí tenemos dos funciones que se pueden componer en una sola, debido a que y = f(u) y a la vez u = h(x) de tal forma que y = f[h(x)] esto es lo que se denomina una función compuesta. Si aplicamos el concepto anterior tendríamos lo siguiente : Si y = u5 obtener : y = (3x2 – 5x) 5

y

u = 3x2 – 5x

podríamos mediante la composición de funciones

Aquí tenemos a “y” en términos de “x”

¿Como podríamos obtener

dy ? dx

R/ Hasta ahora no hemos nombrado ninguna propiedad que nos permita hallar esta derivada.

240

¿Que debemos hacer entonces ? R/ Para hallar esta derivada utilizaremos la regla de la cadena. ¿En que consiste ? R/ Como tenemos y = u5 dy dy du = . dx du dx

y como

u = 3x2 – 5x

y

de tal forma que

u = 3x2 – 5x

entonces

podríamos hacer lo siguiente :

dy = 5u4 . (6x – 5) dx dy = 5 (3x2 – 5x)4 (6x – 5) dx

Aquí podemos observar lo siguiente : dy se baja a multiplicar en este caso el número 5 y se dx deja la misma función pero elevada a la 4 (a 5 se le debe restar 1) y posteriormente se multiplica por la derivada de la función que esta entre paréntesis (o sea 3x2 – 5x) que es (6x – 5). A esta derivada se le conoce con el nombre de ¡Derivada Interna! En conclusión: dy Si y = (3x2 – 5x)5 = 5(3x2 – 5x)4 (6x – 5) → dx ¡Esta es la derivada interna! En términos generales :

Como y = (3x2 – 5x)5 para hallar

Si

y = [f(x)] n

dy = n [f(x)] n-1 . f’(x) dx

→

Ejemplos : 1) Si

y = (x2 – 2x)3 hallar

dy = 3 (x2 –2x)2 (2x – 2) dx

2) Si

y=

3− t3

hallar

dy dx →

dy = 3 (x2 –2x)2 . 2(x – 1) = dx

dy dt

241

6 (x2 – 2x)2 (x – 1)

dy 1 = (3 – t3)-1/2 . (- 3t2) dt 2

→

y = (3 – t3)1/2

→

dy − 3t 2 = dt 2(3 − t 3 )1 / 2

dy 3t 2 = dt 2 3 − t3

3) Si f(x) =

5x 2 − 2 1 − 3x 2

hallar f’(x) Derivada Interna

 5x 2 − 2   f(x) =  2   1 − 3x 

1/ 2

→

a Sabemos que   b

−n

1/ 2

f’(x) =

b =  a

1  5x 2 − 2    2  1 − 3 x 2 

entonces :

1  1 − 3x 2    2  5 x 2 − 2 

f’(x) =

1 (1 − 3 x 2 )1 / 2 [10 x − 30 x 3 + 30 x 3 − 12 x] * 2 (5 x 2 − 2)1 / 2 (1 − 3x 2 ) 2

4) Si

-

y=

d  5x 2 − 2    dx  1 − 3x 2 

n

f’(x) =

f’(x) =

−1 / 2

 (1 − 3 x 2 )10 x − (5 x 2 − 2)(−6 x)    (1 − 3 x 2 ) 2  

→

f’(x) =

(1 − 3 x 2 ) −3 / 2 − 2 x) 2(5 x 2 − 2)1 / 2

x (5 x − 2) (1 − 3 x 2 ) 3 / 2 2

1/ 2

a2 − t2

y = (a2 – t2)1/2

→

donde

a = constante, hallar

dy 1 = ( a2 – t2) -1/2 (-2t) dt 2

dy dt →

dy t = 2 dt ( a − t 2 )1 / 2

dy = dt 5) Si y = -

2 (3 − 5 x 2 ) 4

y = - 2(3 – 5x2) –4

t a −t2 2

Hallar Dxy

→

Dxy = 8 (3 – 5x2) –5 (- 10x)

242

→

Dxy = -

80 x (3 − 5 x 2 ) 5

EJERCICIOS PROPUESTOS Derivar las siguientes funciones :

1) y = (2x2 – 4x)6

2) y =

2 − 5x 4x 2 − 6x

4) y =

3) y =

5) y =

(6 − 2 x ) 2 4 − 3x

11) y =

3 x − 25 x x2 −1

15) y =

8) y = (16 – 2x)2 x

1  17) y =  t 3 + 3  t  

10 (4 − x 2 ) 2

12) y =

( x 2 + 1) 2 x +1

14) y =

3x + 1 x+3

5

1 +x x2

1/ 3

1/ 5

10) y = -

2

 x  13) y =    x +1

3x 2 − 2 x 6x

3

 3 − 2t  6) y =   4t + 1 

 3x 2 − 5x   7) y =   2x + 1  9) y =

2 − 5x3

16) y =

3 x2 − x +

4

19) y = 1 + x ln 3

1 1  18) y =  − 2  x x 

20) y =

243

a2 − x x2

1 x3

1/ 3

DERIVACION IMPLICITA Cuando teníamos por ejemplo y = 3x2 – 6x + 5 y queríamos hallar dy/dx nos quedaba muy fácil puesto que la relación estaba escrita en forma explícita (o sea que la variable “y” estaba ya despejada en términos de x), y esto nos daría dy/dx = 6x – 6. Hay casos donde se tiene una relación escrita en forma implícita y de allí se requiere hallar la derivada al respecto de una variable determinada y no es posible despejar la variable “y” (por ejemplo) en términos de la otra variable. Veámoslo mediante un ejemplo: dy Dada 3y4x3 + 5y = 15 hallar : dx Si quisiéramos despejar a “y” en términos únicamente de x sería imposible debido a que al tratar de despejar siempre me quedaría la variable “y” relacionada. Para hallar entonces dy/dx debemos recurrir a la derivación implícita. ¿En que consiste ? R/ Supongamos que y = f(x) y se quiere determinar ya sea y’ o f’(x). Procedemos de la siguiente manera : Como se tiene 3y4x3 + 5y = 15 haremos lo siguiente : Se reemplazará y = f(x) y esto nos daría : 3[f(x)] 4 x3 + 5f(x) = 15

Ahora sí hallemos f’(x)

Recordemos que para derivar 3 [f(x)] 4 x3 es necesario aplicar la derivada de un producto. Ahora si derivemos : 12 [f(x)] 3 f’(x) x3 + 3[f(x)] 4 3x2 + 5 f’(x) = 0 si reemplazamos f(x) = y , y además f’(x) = y’ tenemos : 12 y3 y’ x3 + 3y4 3x2 + 5y’ = 0

y’ (12y3x3 + 5) = - 9y4x2

→

→

12 y3 y’ x3 + 5y’ = - 9y4x2

y’ =

− 9y4x2 12 y 3 x 3 + 5

Otra forma más sencilla de hallar y’ es la siguiente : como tenemos 3y4x3 + 5y = 15 derivaremos normalmente pero cuando derivemos la variable “y” la acompañaremos (multiplicaremos) por y’ y posteriormente despejamos y’. Veamos : 244

→

3y4x3 + 5y = 15

12 y3 y’ x3 + 3y4 3x2 + 5y’ = 0

De aquí despejando obtenemos :

− 9y4 x2 12 y 3 x 3 + 5

y’ =

Ejercicio : 1) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva x2 + y2 = 25

x2 + y2 = 25 es la ecuación de una circunferencia cuyo centro es c(0,0)

R/ Sabemos que y radio r = 5. Si x = 3 →

si x = 3.

→

(3)2 + y2 = 25

y2 = 25 – 9

→

→

y2 = 16

y= ±4

Gráficamente tendríamos : y x2 + y2 = 25

A(3,4)

-5

Observemos que si x = 3 entonces y = 4 y y = -4 de tal forma que tendriamos dos rectas tangentes a la curva x2 + y2 = 25.

5 x

Una para el punto A(3,4) y otra para B(3,-4). B(3,-4)

Para determinar la pendiente de las rectas tangentes debemos hallar la derivada (o sea y’). Veamos : Como x2 + y2 = 25 y’ = -

2x 2y

→

2x + 2y y’ = 0

→

y’ = -

x y

→

2y y’ = - 2x

Pendiente de la recta tangente.

Hallemos la ecuación de la recta tangente al punto A(3,4). R/ x = 3 m=-

3 4

y=4 A(3,4)

→

como y’ = -

x y

entonces :

245

→

y’ = -

3 4

Pendiente de la recta tangente al punto A.

y–4=-

3 (x – 3) 4

→

y–4=-

3 9 x+ 4 4

→

Ecuación de la recta tangente al punto A(3,4)

¿Cual es la ecuación de la recta normal ? 3 4 R/ Como mt = → mN = , 4 3 y–4=

4 (x – 3) 3

→

3 9 x+ +4 4 4

y=-

3 25 x+ 4 4

Entonces como A(3,4) y

4 x–4 3

y–4 =

y=-

→

y =

4 x 3

mN =

4 3

Ecuación de la recta normal al punto A(3,4)

Hallar la ecuación de la recta tangente y normal al punto B(3,-4) y graficar. 2) Dada x2y5 + 3y2 – 5y + 1 = 0

hallar y’.

Derivando implícitamente tenemos : →

2xy5 + x25y 4y’ + 6y y’ - 5y’ = 0

→

y’ (5x2y 4+ 6y – 5) = - 2xy5

3) Dada

x 2 − y 2 + 2 y 2 = 16

x −y 4y y’

2

=0

x 2 − y 2 – y y’ = -x

y’ = -

− 2 xy 5 5x 2 y 4 + 6 y − 5

entonces derivando implícitamente :

1 2 2 -1/2 (x – y ) (2x – 2y y’) + 4y y’ = 0 2

2

y’ =

hallar y’

Tenemos (x2 – y2) 1/2 + 2y2 = 16

x − yy'+4 yy' x 2 − y 2

5x2y 4 y’ + 6y y’ + 5y’ = - 2xy5

→

→

→

1 2

1 x2 − y2

x – y y’ + 4y y’

2(x – y y’) + 4y y’ = 0

x2 − y2 = 0

y’ (4y x 2 − y 2 - y) = - x → y’ = -

x y ( 4 x − y 2 − 1) 2

246

x 4y x − y2 − y 2

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS Consideremos la siguiente función :

y = ln x

donde

x>0

Recordemos que hablar de lnx es equivalente a hablar de loge x donde la letra “e” me denota el “número de Euler” que es una constante universal donde e = 2.71828182. Ahora si : y = ln x

En términos generales, si

dy 1 = dx x

→

Ver demostración en el Apéndice

u = f(x) entonces si :

y = ln u

→

dy 1 du = dx u dx

Ejemplos : 1) Si

y = ln (3x2 – 5x)

2) Si

 2x − 5  y = ln    3 − 2x 

dy = dx

→

1 (6 x − 5) 3x − 5 x 2

dy 1  (3 − 2 x)2 − (2 x − 5)(−2)  =  2 x − 5  dx (3 − 2 x) 2  3 − 2x

→

3 − 2 x  6 − 4 x + 4 x − 10  dy =   2 x − 5  (3 − 2 x) 2 dx 

→

dy 4 = dx (2 x − 5)(3 − 2 x)

3) El ejercicio anterior se puede solucionar de la siguiente forma : Como

 2x − 5  y = ln   recordemos que  3 − 2x 

y = ln (2x – 5) - ln (3 – 2x)

dy 1 1 = ( 2) − (−2) dx 2x − 5 3 − 2x

logb

M = logb M – logb N N

ahora si derivamos :

→

dy 2 2 = + dx 2x − 5 3 − 2x

247

, entonces :

dy 2(3 − 2 x ) + 2(2 x − 5) 6 − 4 x + 4 x − 10 = = dx (2 x − 5)(3 − 2 x) (2 x − 5)(3 − 2 x) 4) Si

y = ln

4 − x2 3x 2 + 5

Hallar

dy 4 = dx (2 x − 5)(3 − 2 x )

→

dy dx

Antes de derivar podemos hacer la siguiente transformación :

 4 − x2   y = ln  2  3x + 5 

y=

1/ 2

Recordemos que logb M n = n logb M , entonces :

 4 − x2  1  ln  2 2  3x + 5 

→

y=

1 [ln (4-x2) – ln (3x2 + 5)] 2

Hasta ahora simplemente se hizo una transformación. Ahora si derivamos, observemos : dy 1  1 1  =  (−2 x ) − 2 (6 x)  2 dx 2 4 − x 3x + 5 

=

dy 1  − 2 x(3 x 2 + 5) − 6 x(4 − x 2 )  =   = dx 2  (4 − x 2 )(3 x 2 + 5) 

 − 34 x dy 1  =   2 2 dx 2  (4 − x )(3x + 5) 

1  − 2x 6x  − 2 2  2 4 − x 3 x + 5 

1  − 6 x 3 − 10 x − 24 x + 6 x 3    2  (4 − x 2 )(3 x 2 + 5) 

dy 17 x =2 dx (4 − x )(3 x 2 + 5)

→

Consideremos ahora la siguiente función exponencial

y = ax .

Para hallar y’ podemos hacer lo siguiente : Si

y = ax

→

→

ln y = ln ax

ln y = x ln a

Si derivamos implícitamente obtenemos (1/y) y’ = ln a , entonces y’ = y ln a , y como y = ax entonces : y’ = ax ln a

248

y = ax entonces y’ = ax ln a , en términos generales :

O sea que si

Si

dy du = au ln a dx dx

→

y = au

u = f(x) entonces , si

Ejemplos :

y=

y= a

at

1/ 2

dy = 103x² (ln 10) (6x) dx

→

2) Si y = 103x²

3) Si

dy = 3x ln 3 dx

→

1) Si y = 3x

t

hallar

dy dt dy = dt

→

¡Aquí u = 3x2!

at

1/ 2

(ln a) (1/2)t –1/2

a t (ln a ) dy = dt 2 t

→

4) Supongamos que se tiene la siguiente función : y = ex

Si

→

y = ex

dy = ex (ln e) , como sabemos que ln e = 1 entonces : dx entonces

Si y = eu donde

5) Si y = e2x

dy = ex , Y en términos generales : dx

u = f(x)

→

dy dx

entonces

= e2x (2)

dy du = eu dx dx

→

249

dy dx

= 2 e2x

6) Si y = ex²

→

dy dx

= ex² (2x)

7) Si y = e1/x

→

dy dx

= e1/x (-

dy dx

= e(x

8) Si y = e ( x

2

−5 ) 3

→

Consideremos ahora y = loga x →

logb M = Z

ay (ln a) y’ = 1

−5 ) 3

1 ) x2

= 2x ex²

dy dx

→

.3 (x2 – 5)2 .2x

→

dy dx

= (-

1 ) e1/x 2 x

= 6x(x2 – 5)2 e ( x

ln a =

ay = x para hallar y’ derivemos implícitamente y obtenemos : →

log b M log b a

log a a log a e

Entonces si

y’ =

−5 )3

, entonces si :

y’ =

1 a (ln a )

→

y

y’ =

1 x(ln a )

Si recordamos la fórmula para cambio de base donde : Loga M =

2

y recordemos que por definición si :

bz = M

→

y = loga x

2

dy dx

→

y si cambiamos el ln a a base “a” obtenemos :

→

1 x(ln a )

ln a =

→

En términos generales si u = f(x) :

1 log a e

y’ =

Si

1 1 x log a e

y = loga u

Ejemplos :

250

→

→

y’ =

log a e x

log a e du dy = dx u dx

log 3 e dy = dx x

→

1) Si

y = log3 x

2) Si

y = log (3x – 1)

3) Si

y = log2

log e dy = 3 (3 x − 1) dx

→

3x − 4 x 2

→

dy 1 log 2 e = (3 – 8x) dx 2 3x − 4 x 2

y = log2 (3x – 4x2)1/2

dy 3 log e = dx (3 x − 1)

→

→

y=

1 log2 (3x – 4x2) 2

(3 − 8 x) log 2 e dy = dx 2 x(3 − 4 x)

→

Supongamos ahora que se tiene la siguiente situación : Y = xx

¿Como se determina y’ ?

R/ Cuando teníamos y = xn entonces y’ = n xn-1 . Aquí n es una constante donde n ∈ R.

O sea que esta propiedad no se puede aplicar para y = xx puesto que el exponente es una variable. ¿Que se debe hacer entonces ? R/ Para hallar y’ primero bajemos la variable “x” del exponente aplicando a ambos lados (ln), esto nos daría :

Si

y = xx

→

→

ln y = ln xx

ln y = x ln x

y derivando implícitamente obtenemos :

1 1 y’ = (1) ln x + x y x

→

1 y’ = ln x + 1 y

→ y’ = y (ln x + 1)

y’ = xx (ln x + 1)

Ejemplos :

1)

Si

y = (x2 + 5)x

→

ln y = ln (x2 + 5)x

251

→

ln y = x ln (x2 + 5)

1 1 y’ = (1) ln (x2 + 5) + x 2 2x y x +5

Derivando implícitamente

2x 2 1 y’ = ln (x2 + 5) + 2 y x +5

→

y’ = (x2 + 5)x [ln (x2 + 5) +

2) Si

y = xln x

→

2x 2 ] x2 + 5

y’ = y [ln (x2 + 5) +

2x 2 ] x2 + 5

→

ln y = ln xln x

ln y = ln x. ln x

ln y = (ln x)2 derivando implícitamente : 1 1 y’ = 2 (ln x)1 y x

3) Si

y = (2 x + 1)

→

ex

2

2 ln x x

→

ln y = ln (2 x + 1)

ex

y’ = y

→

2

y’ = xln x

→

2 ln x x

ln y = ex² ln (2x + 1)

Derivando implícitamente : 1 1 y’ = ex² . 2x . ln (2x + 1) + ex² 2 y 2x + 1

y’ = y 2 ex² [x ln (2x + 1) +

1 ] 2x + 1

→

→

1 1 y’ = 2 ex² [x ln (2x + 1) + ] y 2x + 1

x2

y’ = 2 ex² ( 2 x + 1) e [x ln (2x + 1) +

1 ] 2x + 1

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Cuando teníamos por ejemplo y = x5 + 3x4 – 10x3 + 2x2 – 6 y determinábamos y’ estabamos hallando la primera derivada de la función y esto se podía denotar por dy/dx ó Dxy por ejemplo. Así como se determina la primera derivada, también se pueden hallar derivadas de orden superior, que consiste en hallar por ejemplo la segunda derivada, tercera derivada, cuarta derivada, etc.

252

Por ejemplo para hallar la segunda derivada debemos derivar la primera derivada, y así sucesivamente. Veamos :

Las derivadas de orden superior se pueden denotar así : Primera derivada

Segunda derivada

Tercera derivada

Cuarta derivada

n-ésima derivada

dy ; dx

d2y ; dx 2 d3y ; dx 3

d4y ; dx 4

dny ; dx n

y’

;

f’(x)

;

y’’

;

f’’(x)

y’’’

;

f’’’(x)

y(4)

f (4)(x)

;

y(n)

;

f (n)(x)

Dxy

D2xy

;

D3xy

;

D4xy

;

;

Dnxy

Ejemplo : Dada

y = x5 + 3x4 – 10x3 + 2x2 – 6 ,

Hallar a) y’

R/ a) y’ = 5x4 + 12x3 - 30x2 + 4x

b) y’’ c) y’’’

d) y(4)

b) y’’ = 20x3 + 36x2 – 60x + 4

c) y’’’ = 60x2 + 72x – 60

d) y(4) = 120x + 72

GRAFICA DE UNA FUNCION UTILIZANDO DERIVADAS Una de tantas aplicaciones que tiene la derivada es graficar una determinada función f(x) utilizando unos criterios que vamos a explicar más adelante. Lo que vamos a hacer ahora es dar a conocer muy someramente algunos criterios que van a servir para graficar una función debido a que esto tiene mucha aplicación en las ciencias económicas y administrativas.

253

FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE y

y y = f(x)

f(x2)

f(x1)

f(x1)

f(x2)

y = f(x)

x x1

x2

x1

figura 1

x2

x

figura 2

En la figura 1 nos damos cuenta que si x2 > x1 y a la vez f(x2) > f(x1) entonces la gráfica de y = f(x) es ¡CRECIENTE! En la figura 2 observamos que si x2 > x1 pero f(x2) < f(x1) entonces la gráfica de y = f(x) es ¡DECRECIENTE! Para conocer los criterios analicemos inicialmente el siguiente gráfico : y

f(b)

P[b , f(b)] (máximo) y = f(x) (punto de inflexión) Q[c , f(c)]

f(c) f(d)

M[d , f(d)] (mínimo) x a

b f’(x) > 0

f”(x) < 0

c

d

f’(x) < 0

e f’(x) > 0

f”(x) > 0

254

Supongamos que se tiene la gráfica de una función y = f(x) definida en el intervalo [a,e]. Con base en esta gráfica se pueden hacer los siguientes comentarios : 1) En el intervalo [a , b) y (d , e] la gráfica de f(x) es creciente. 2) En el intervalo (b , d) la gráfica de f(x) es decreciente. 3) Cualquier recta tangente a la curva f(x) en el intervalo [a , b) ó (d , e] tiene pendiente positiva. 4) Cualquier recta tangente a la curva f(x) en el intervalo (b , d) tiene pendiente negativa. Nota : Como la derivada corresponde a la pendiente de la recta tangente entonces podemos decir que tener una pendiente de una recta tangente positiva, es equivalente a tener una derivada positiva. En conclusión si la gráfica de una función en un determinado intervalo es creciente entonces la derivada en ese intervalo será positiva. Análogamente, si la gráfica de una función en un determinado intervalo es decreciente entonces la derivada es negativa. O sea que podemos establecer el siguiente criterio de primera derivada así : CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA Si Si Si

f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) > 0

en en en

(a , b) (b , d) (d , e)

entonces entonces entonces

f(x) es creciente en (a , b) f(x) es decreciente en (b , d) f(x) es creciente en (d , e)

Si observamos la gráfica nos damos cuenta que el punto P[b , f(b)] es un punto máximo y el punto M[d , f(d)] es un punto mínimo. El punto máximo ocurre cuando x = b y el punto mínimo ocurre cuando x = d. Los valores x = b y x = d se llaman valores ó puntos críticos. En consecuencia un valor crítico es aquel donde existe un máximo ó un mínimo. En el punto máximo o mínimo la pendiente de la recta tangente es igual a cero (o sea que en estos puntos f’(x) = 0). Para determinar los valores críticos (x = b y x = d) se debe derivar f(x) y posteriormente igualar a cero. O sea dada y = f(x) DERIVAR  → x El valor máximo está en x = b.

f’(x)

. A.CERO IGUALAR  →

¿Cuál es este valor máximo ?

255

f’(x) = 0

DESPEJAR  →

R/ El valor máximo es f(b) . El valor mínimo está en x = d y este valor es f(d). La gráfica de f(x) es cóncava hacia abajo en el intervalo (a , c) y cóncava hacia arriba en el intervalo (c , e). CRITERIOS DE LA SEGUNDA DERIVADA Si

f”(x) < 0

en (a , c) entonces

Si

f”(x) > 0

en (c , e) entonces

f(x) es cóncava hacia abajo en (a , c) f(x) es cóncava hacia arriba en (c , e)

En el punto Q[c , f(c)] la gráfica de f(x) pasa de ser cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. El punto Q se llama punto de inflexión. En consecuencia un punto de inflexión es un punto donde la concavidad de una curva cambia. ¿Para que valor de x hay un punto de inflexión ? R/ Para x = c. ¿Como se determina este valor ? R/ Para determinar este valor se debe hacer f”(x) = 0. Habíamos dicho que los valores críticos son aquellos donde existe un máximo ó un mínimo. Es muy probable que se tenga en algunos casos más de un valor critico y se quiera saber si cada uno de estos valores corresponde a un máximo ó a un mínimo. Para esto existe un Teorema que lo podemos enunciar así : Sea y = f(x) una función definida en [a , b] donde m ∈ [a , b], si x = m es un valor crítico y : f”(m) > 0 f”(m) < 0

entonces x = m corresponde a un mínimo y si entonces x = m corresponde a un máximo.

Ahora podemos definir cuales podrían ser los pasos a seguir para graficar una función f(x) , utilizando los criterios de primera y segunda derivada. Pasos : 1) Calcular f’(x). 256

2) Hallar valores críticos. ¿Cómo? R/ Haciendo f’(x) = 0 y despejando x. 3) Ubicar los valores máximos y/o mínimos. ¿Cómo? R/ Reemplazando en la función original [f(x)] los valores hallados en el numeral 2. 4) Determinar los posibles puntos de inflexión. ¿Cómo? R/ Haciendo f”(x) = 0 despejando x y reemplazando estos valores en la función original [f(x)]. 5) Ubicar los valores críticos (numeral 2) y el valor donde existe el posible punto de inflexión (numeral 4) en una recta numérica, para analizar signos de primera y segunda derivada. 6) Graficar, dependiendo de los signos hallados en el numeral 5. Nota : Expliquemos como se siguen estos pasos mediante un ejemplo :

Ejemplo : Graficar utilizando criterios de 1ra y 2da derivada la siguiente función : f(x) =

1 3 x – 3x2 + 5x + 2 3

Pasos : 1)

f’(x) = x2 – 6x + 5

2)

¿Valores críticos ? →

x2 – 6x + 5 = 0

→

f’(x) = 0

(x – 1) (x – 5) = 0

→

∨

x–1=0

∨

x=1

x–5=0 x=5

3) Ubicar puntos : Si

x=1

→

f(1) =

1 (1)3 – 3(1)2 + 5(1) + 2 3

→

f(1) =

Si

x=5

→

f(5) =

1 (5)3 – 3(5)2 + 5(5) + 2 3

→

f(5) = -

4) ¿Puntos de inflexión?

→

Como f’(x) = x2 – 6x + 5

entonces

2x – 6 = 0

→

2x = 6

→

f”(x) = 0 f”(x) = 2x – 6 : x=3

257

13 3 19 3

(1 , 13/3)

(5 , -19/3)

Si

→

x=3

1 (3)3 – 3(3)2 + 5(3) + 2 3

f(3) =

→

f(3) = - 1

(3 , -1)

5) Para analizar los signos de la primera y segunda derivada vamos a evaluar los valores de cada intervalo en la primera y segunda derivada que son respectivamente : f’(x) = x2 – 6x + 5

f”(x) = 2x – 6

y

Hay cuatro intervalos por analizar

1

3

5

Veamos : ejemplo x = 0 x<1 2 f’(0) = (0) – 6(0) + 5 → f”(0) = 2(0) – 6 →

i) Si

ii) Si

iii) Si

iv) Si

f’(0) = 5 f”(0) = - 6

(+) (-)

ejemplo x = 2 1
(-) (-)

3
(-) (+)

x>5 ejemplo x = 6 2 f’(6) = (6) – 6(6) + 5 → f”(6) = 2(6) – 6 →

(+) (+)

f’(6) = 5 f”(6) = 6

Cuadro de resumen :

13/3

CRECIENTE

-19/3

-1

DECRECIENTE

DECRECINETE

CRECIENTE

-

-

+

+

f”(x)

+

-

-

+

f’(x)

1

3

5

258

6) Gráfica : y

13/3

y = 1/3x3 – 3x2 + 5x + 2

P(1 , 13/3)

2 5 x Q(3 , -1)

M(5 , -19/3)

Graficar las siguientes funciones utilizando criterios de primera y segunda derivada : 1) f(x) = 1/3x3 – 7/2x2 + 10x

2) f(x) = 1/3x3 – 2x2 - 5x + 1

3) f(x) = 1/3x3 – 9x + 5

4) U(x) = -1/3x2 + 20/3x + 800/3

5) C(x) = 1/4x2 – 10x + 200

6) p = - (1/2000)q2 + 800

7) C(x) = 0.05x2 + 2500

8) C(x) = 0.002x3 – 1.2x2 + 265x + 500

9) y = 0.006x2 – 2.4x + 265

10) U(x) = -(1/2)x2 + 2000x - 500000

11) C(q) = 0.01q3 – 10q2 + 2600q

12) C(q) = 0.01q2 – 10q + 2600

13) CMa = 0.03q2 – 20q + 2600

259

EJERCICIOS PROPUESTOS I) Derivar las siguientes funciones : 1) f(x) = x2 + 2x – 4

2) y = x –3 + x –5 – 3x -2

3) y = x2 + 3x – 1/x2

4) f(x) = 2x5 – 3x +

5) g(x) =

3x − 1 2x + 3

x +1 x − 2x + 1

6) y =

7) y = (2x + 1)6

6 7x3

2

8) f(x) = (3x – 1) -4 –2 –5

9) g(x) = (2x – 3x )

10) y =

3

3x 2 − 2 4x + 1

II) Hallar y’ derivando implícitamente 1) x2 – 4xy + y2 = 15

2) x6 – 2x3y2 + 6y5 = 0

3) (2x – y)2 – 5xy2 = 0

4) x2/3 + y2/3 = a2/3 ; a = cte.

5) y2 + 2x = 5

6) x2 – 3xy + y2 = 10

7) y2 = ln xy

8) x+ y2 = ln x/y

9) xy = ln (x2 + y2)

10) x2 + y2 = ln (x+ y)2

III) Derivar las siguientes funciones : ln x x

1) y = ln x1/2

2) y =

3) y = (ln x)1/2

4) y = x (lnx)2

5) y = ln (x +

7) y = ln x 9) y = ln 1/x

x2 −1 )

6) f(x) = ln (x ln x) 8) y = x - ln (5x + 1) 10) y = x2 ln x3

260

12) y =

e −2 x x

13) y = ln (x4 + e x )

14) y =

e x + e−x e x − e −x

e x + e−x

16) y =

ln x ex

11) y = e –x

2

15) y = ln

17) y = ln

1 + e2x 1 − e2x

19) y = log5

18) y = ln

1 − e−x ex

1 − 3e −2 x  20) f(x) = log  −2 x  2+e 

x−3 2x − 1

1/ 3

PROBLEMAS DE OPTIMIZACION (Ver ejercicios resueltos de aplicación en el capítulo de Aplicación a Microeconomía) Observemos las siguientes gráficas : V(x)

CMe CMe(q)

Vmax

V(x)

CMemin x1

x

q1

figura 1

Supongamos que x = longitud (mts) CMe = Costo medio total.

q

figura 2

;

V = Volumen (m3)

;

q1 = Cantidad

Aquí nos damos cuenta que en la figura 1 para que el volumen sea máximo la longitud debe ser x1. x1 es un valor crítico. ¿Como se determina x1 ?

R/ Para determinar x1 debemos tener V(x) posteriormente derivar [V’(x)] e igualar a cero, para despejar a x1.

261

O sea que si nos preguntan : x = ? para Vmax


V(x)

var deri  →

→

Despejar x.

dCMe =0 → dq

Despejar q

V’(x) = 0

¿Como se determina el Vmax ? R/ Determinando el valor anterior se reemplaza en la función V(x). En la figura 2 el costo total medio es mínimo para un valor de q1. ¿Como se determina q1 ? R/ q = ? para Cme(min)

tener var debemos.  → CMe(q) deri  →

¿Como se determina el costo total medio mínimo ? R/ Para hallar el CMe(min) reemplazo el valor hallado anteriormente en la función original de CMe(q). Supongamos que : U = Utilidad I = Ingreso q = Cantidad h = Longitud

C = Costo p = Precio

V = Volumen A = Area.

P = Perímetro

Resumamos ahora que nos podrían preguntar y de que forma se podría solucionar : En términos generales : q = ? para que Umax q = ? para que Imax q = ? para que Cmin p = ? para que Umax p = ? para que Imax p = ? para que Cmin h = ? para que Vmax h = ? para que Pmin h = ? para que Cmin h = ? para que Amax

tener debemos.  → debemos.tener    → debemos.tener    → debemos.tener    → debemos.tener    → debemos.tener    → debemos.tener    → debemos.tener    → debemos.tener    → tener debemos.  →

U(q) I(q) C(q) U(p) I(p) C(p) V(h) P(h) C(h) A(h)

var deri  → deri var → var deri  → deri var → var deri  → deri var → var deri  → deri var → var deri  → var deri  →

U’(q) = 0 I’(q) = 0 C’(q) = 0 U’(p) = 0 I’(p) = 0 C’(p) = 0 V’(h) = 0 P’(h) = 0 C’(h) = 0 A’(h) = 0

→ → → → → → → → → →

Despejar Despejar Despejar Despejar Despejar Despejar Despejar Despejar Despejar Despejar

q q q p p p h h h h

Para determinar el valor máximo o mínimo se debe reemplazar el valor hallado previamente en la función original, como se explicó para la figura 1 ó figura 2.

262

EJERCICIOS RESUELTOS 1) Determinar dos números cuya suma sea 20 y cuyo producto sea máximo. Solución : Podríamos pensar inicialmente en 5 y 15 por ejemplo. Veamos : 5 + 15 = 20

y

5 (15) = 75

¿y por que no 6 y 14 ? R/ 6 + 14 = 20

y

6 (14) = 84 , el producto es mayor que en el caso anterior.

Supongamos que los números que vamos a determinar son x y y. Llamemos P al producto. Aquí sabemos que x + y = 20. Si se determina el valor de x, obviamente obtendríamos el valor de y veamos: Recordemos que se va a maximizar el producto : tener debemos.  → P(x)

x = ? para Pmax


P’(x) = 0

→

Despejar x

El problema consiste en hallar P(x) ¿Como se determina ? R/ Sabemos que P = x.y

(*)

Aquí se tiene P en términos de x ∧ y entonces como sabemos que x + y = 20 despejamos y = 20 – x y reemplazamos en (*). Veamos: P = x (20 – x)

→

P(x) = 20x – x2

Ahora P’(x) = 20 – 2x 20 – 2x = 0

→

→

20 = 2x

P’(x) = 0 →

R/ Los números son : x = 10 ∧

x = 10

y por tanto y = 20 – 10 →

y = 10

¿Cuál es el producto máximo ? R/ P = x.y

→

P = 10 (10)

→

P = 100

263

Producto máximo

y = 10

De otra forma :

→

Como P(x) = 20x – x2

P(10) = 20 (10) – (10)2

→

P(10) = 100

¿Como sabemos que P es máximo ? R/ Veamos : Si P’(x) = 20 – 2x entonces

P”(x) = - 2

La segunda derivada es negativa para cualquier valor de corresponde a un máximo.

2)

x

y por tanto

x = 10

Se tienen 2000 metros de alambre para encerrar un corral rectangular. Encuentre las dimensiones del corral de área máxima.

Solución : Hagamos el dibujo. x y

corral

x , y = Dimensiones del corral

y

A = Area del corral x ¿Que vamos a maximizar ? R/ Se va a maximizar el área. Veamos : tener x = ? para Amax debemos.  → A(x)


A’(x) = 0

→

Despejar x

Encontremos entonces A(x) . Sabemos que A = xy y además que se cuenta con 2000 metros de alambre (longitud total ⇔ Perímetro) O sea que x + x + y + y = 2000

→

2x + 2y = 2000

( ÷ 2)

Esta ecuación se saca de la información que nos dan

x + y = 1000 → Como A = xy

y = 1000 - x →

A = x (1000 – x)

264

→

A(x) = 1000x – x2

→

0 = 1000 – 2x

3)

x = 500 mts

y = 500 mts

→

Amax = 500 (500)

→

2x = 1000

→

y = 1000 – 500

A’(x) = 1000 – 2x entonces A’(x) = 0

Amax = 250000 m2

Se desea delimitar una parcela rectangular de área 4500 mt2. La cerca tiene un costo de $3000 por metro. ¿Cuales deben ser las dimensiones de la parcela para que el costo total sea mínimo ?

Solución : Sea x,h = Dimensiones de la parcela (mts) A = 4500 m2 x C = Costo total. Costo por metro = $3000 h

h

Sabemos que A = xh →

4500 = xh

x Se va a minimizar el costo total. Veamos : x = ? para Cmin

tener debemos.  → C(x)


C’(x) = 0

→

Despejar x

Debemos hallar una ecuación de costo. Costo total = (costo por unidad de longitud) (longitud) C= 3000x + 3000x + 3000h + 3000h

→

C = 6000x + 6000h

Como debemos tener C(x) entonces despejamos h de 4500 = xh h=

4500 x

→

C’(x) = 6000 – 27’000000x –2 6000 =

27'000000 x2

4500 ) x

→

Como C’(x) = 0

→

27'000000 → 6000

x2 = 4500 (

C = 6000x + 6000 (

→

x2 =

265

C(x) = 6000x + 27’000000x -1

6000 -

27'000000 =0 x2

) →

x = 67.08 mts

Como x = 67.08

→

→

h = 4500 / 67.08

h = 67.08 mts

¿Cuál es el costo mínimo ? →

R/ Cmin = 6000 (67.08) + 6000 (67.08)

Cmin = $804960

Verifiquemos que el costo es mínimo : Si C’(x) = 6000 – 27’000000 x –2

→

entonces C”(x) = 54’000000 x –3

C”(x) =

54'000000 x3

Como x = 67.08 es un valor crítico entonces : C”(67.08) =

54'000000 = 178.9 > 0 (67.08) 3

→ Esto indica que x = 67.08 corresponde a un mínimo.

4)

Resolver el ejercicio anterior en el caso en que dos lados paralelos cuestan $3000 por metro y los otros dos cuestan $2000 por metro. R/ x = 54.78 mts ; h = 82.15 mts ; Cmin = $657280.

5)

Se tiene un pedazo de lámina cuadrada de longitud 2 mts de lado, y se quiere construir una caja sin tapa que tenga un volumen máximo. ¿Cuales deben ser las dimensiones de la caja ?

Solución : Para construir la caja se deben recortar en cada esquina de la lamina un cuadrado de la misma longitud y posteriormente doblar hacia arriba como se muestra en la siguiente figura : Sea x = Longitud que se debe cortar en cada esquina. x

Caja construida x x

2mts 2-2x

2-2x Cortar

2 – 2x

El problema se resume en encontrar cuál debe ser la longitud x que se debe cortar para que el volumen sea máximo. En otras palabras :

266

tener x = ? para Vmax debemos.  → V(x)


V’(x) = 0

→

Despejar x

Debemos hallar V(x). Sabemos que el volumen de la caja construida viene dado por : Volumen = (área de la base) (altura)

→

V(x) = (2 – 2x) (2 – 2x)x

V(x) = (2 – 2x)2 x

De otra forma V(x) = (4 – 8x + 4x2) x →

V(x) = 4x – 8x2 + 4x3

Si V’(x) = 0

→

3x2 – 4x + 1 = 0

V’(x) = 4 – 16x + 12x2

12x2 – 16x + 4 = 0 ( ÷ 4)

→

a=3

Solucionando obtenemos

b=-4

c=1

∨

x1 = 1

x2 = 1/3

De estos dos valores debemos descartar x = 1 puesto que si las esquinas son de 1 mt se partiría la lámina en 4 partes iguales y no se formaría ninguna caja por tanto el valor debe ser x = 1/3. De tal forma que la longitud de la base es : 2 1 2 – 2  = 2 – 3 3

→

Longitud de la base =

4 mts 3

La caja quedaría así : 1/3 4/3 4/3

¿Cuál es el Vmax ?

R/ Vmax = (4/3)2 . (1/3)

→

Vmax = 16/27 m2

267

¿Será este volumen máximo ? R/ Veamos : Si V’(x) = 4 – 16x + 12x2 Si x = 1/3

→

→

V”(x) = -16 + 24x

V”(1/3) = -16 + 24(1/3)

→

V”(1/3) = -8 < 0

Esto me indica que x = 1/3 corresponde a un máximo

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) ¿Que longitud y anchura debe tener un rectángulo de 100 pies de perímetro para que su área sea máxima ? 2) La suma de un número más el doble de otro es 24. ¿Qué números han de elegirse para que su producto sea lo mayor posible ? 3) Hallar dos números, cuya diferencia sea 50, de modo que su producto sea lo menor posible. 4) Se desea hacer una caja abierta, con una pieza cuadrada de material rectangular de 2 pies de ancha y 3 pies de larga. Hallar el máximo volumen que puede lograse con una caja así. 5) Una pagina a de contener 30 pulgadas cuadradas de texto. Los márgenes superior e inferior son de dos pulgadas y los laterales de una pulgada. Hallar las dimensiones de la página que ahorra más papel. Hallar el número x de unidades que produce máximos ingresos. 6) R = 900x – 0.1x2

7) R = 30x2/3 – 2x

8) R = 600x2 – 0.02x3

9) Sea p = 100 – ½x2 la función de demanda de un producto y C= 4x + 375 su función de costo total. a) ¿Qué precio proporcionará el máximo beneficio? b) ¿Cuál es el costo medio por unidad si la producción corresponde al máximo beneficio? 10) Hallar dos números positivos cuya suma sea 110 y cuyo producto sea máximo.

268

11) Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El pastizal debe tener 180000 metros cuadrados para producir suficiente forraje para su ganado. ¿Que dimensiones requerirán la mínima cantidad de valla, si el lado del río no necesita ser vallado ? 12) Se desea hacer una caja abierta, con una pieza cuadrada de material rectangular de 2 pies de ancha y 3 pies de larga. Hallar el máximo volumen que puede lograrse con una caja así? En los ejercicios 13 – 16, Hallar el número x de unidades que produce el mínimo costo por unidad C . Donde C = Costo medio. 13) C = 0.125x2 + 20x + 5000 15) C = 3000x – x2

14) C = 0.001x3 – 5x + 250

300 − x

16) C =

2 x 3 − x 2 + 5000 x x 2 + 2500

En los ejercicios 17 – 20, Hallar el precio p por unidad para el que la utilidad sea máxima.

17)

Función de costo C = 100 + 30x

Función de demanda p = 90 - x

18)

C = 2400x + 5200

p = 6000 – 0.4x2

19)

C = 4000 – 40x + 0.02x2

p = 50 – (x/100)

20)

C = 35x + 2

x −1

p = 40 -

x −1

21) Un fabricante de guarniciones de alumbrado tiene costos diarios de producción dados por : C = 800 – 10x + (1/4)x2 , ¿Que producción diaria x minimiza sus costos ?

22) Un fabricante de radios carga 90 dólares por unidad mientras que el costo medio de producción es de 60 dólares por unidad. Para favorecer grandes pedidos, reduce la carga en 0.10 dólares por unidad para cada pedido de más de 100 unidades (por ejemplo, cobraría 88 dólares por cada radio en un pedido de 120 unidades). Hallar el tamaño máximo de pedidos que puede admitir para realizar beneficio máximo ?

269

23) Dada la función de costo:

C = 2x2 + 5x + 18

a) Hallar el valor de x en el cual el costo medio se hace mínimo. b) Para ese valor de x probar que el costo marginal y el costo medio son iguales.

24) Dada la función de costo :

C = x3 – 6x2 + 13x

a) Hallar el valor x en el cual el costo medio se hace mínimo. b) Para ese valor de x probar que el costo marginal y el costo medio son iguales. 25) La función de demanda de cierto producto es x = 20 – 2p2. a) Considérese el punto (2,12). Si el precio decrece un 5 por 100, determinar el correspondiente aumento porcentual en la cantidad demandada. b) Hallar la elasticidad exacta en (2,12). c) Hallar una expresión para los ingresos totales y calcular los valores de x y p que hacen máximo al ingreso. d) Para el valor de x en la parte (c), probar que E = 1, donde E = Elasticidad.

26) Sea la función de demanda p3 + x3 = 9. a) Hallar E cuando x = 2. b) Hallar x, p tales que los ingresos totales sean máximos. c) Probar que E = 1 para el valor de x hallado en (b).

270

ELASTICIDAD PUNTO DE LA DEMANDA Calculemos ahora la elasticidad precio de la demanda pero en un punto especifico de la función de demanda. Supongamos que se tiene una función de demanda donde P = f(q). Ubiquemos ahora 2 puntos A y B, donde A[q , f(q)] y B[q+h , f(q+h)] , gráficamente tendríamos : p A

f(q)

P = f(q) B

f(q+h)

figura 3

q q+h q Calculemos ahora la elasticidad entre A y B. entonces : q+h−q Variación porcentual en cantidad = * 100 q h * 100 Variación en cantidad = q Variación porcentual en precio =

E=

f (q)

* 100

entonces :

h * 100 Esta expresión la podemos q transformar en otra equivalente así : f ( q+h) − f (q) * 100 f (q)

f (q) E=

f ( q+ h) − f ( q)

En la figura 3 si quisiéramos calcular la elasticidad exactamente en el punto A[q , f(q)] el valor de h debe tender a cero.

q f ( q+h) − f (q)

h O sea que h → 0. De tal forma que se debe calcular el siguiente límite . ¿Cuál ?

R/

lim

h −>0

f (q+ h) − f ( q) h

En el capitulo de derivadas, cuando teníamos una función y = f(x) entonces la derivada que se denotaba por f’(x) ó dy/dx venía dada por :

f ( x+ h) − f ( x ) dy = f ' ( x ) = lim h − >0 dx h

271

O sea que lim

f (q+ h) − f ( q)

h −>0

= f’(q) , como P = f(q) entonces f’(q) =

h De tal forma que la elasticidad en el punto A es igual a :

f (q) q

E= lim

h − >0

p q E = dp dq

→

f (q+ h) − f ( q)

dp dq

h

Podemos dar entonces la siguiente definición : Sea P = f(q) una función derivable (o diferenciable) entonces la elasticidad punto de la demanda, denotada por E en el punto (q , p) viene dada por : p q E = dp dq

Retomemos ahora la función de demanda inicial de la figura 1 donde p = -(1/25)q + 140. Sabemos que el punto A(500,120) pertenece a la línea recta (función de demanda lineal). Calculemos ahora la elasticidad en el punto A donde q = 500 y p = 120 1 dp 1 → , y podríamos hallar una expresión q + 140 =− 25 dq 25 para determinar la elasticidad en cualquier punto así :

Como p = -

−

p q E = dp dq

→

O sea que

E=

E=

q − 3500 q

1 q + 140 25 q 1 − 25

→

(− E = - 25

1 q + 140) 25 q

Esta es una expresión que sirve para calcular la elasticidad para cualquier valor de q donde 0 < q < 3500

En el punto A recordemos que q = 500. Entonces si q = 500 → E(A) =

500 − 3500 = −6 500

O sea que E ( A) = 6 , ¿Que significa ? R/ Si se aumenta el precio en un 1% cuando q = 500 entonces la cantidad demandada disminuye en un 6%.

272

Hallemos la elasticidad exactamente en el punto medio M donde q = 1750 entonces : 1750 − 3500 E(M) = =-1 → E (M ) = 1 , ¿Que significa ? 1750 Si hallamos la elasticidad a la derecha del punto M, por ejemplo si q = 2500 (punto E) 2500 − 3500 = - 0.4 → E ( E ) = 0.4 ¿Que significa ? 2500 Calculemos ahora la elasticidad para valores de q a la izquierda del punto medio, por ejemplo q = 1000, q = 1200, q = 1500, q = 1600, q = 1700 y también calculemos la elasticidad para valores de q a la derecha del punto medio, por ejemplo q = 1800, q = 2000, q = 2200, q = 2700, q = 3000. 1 q − 3500 q + 140 → E= Sabemos que para p = 25 q Entonces : E(E) =

Si q < 1750 q = 1000

→

E = 2.5

q = 1200

→

E = 1.92

Aquí E >1 o sea que la demanda

q = 1500

→

E = 1.33

es elástica.

q = 1600

→

E = 1.1875

q = 1700

→

E = 1.059

q = 1750

→

E =1

Si q > 1750 q = 1800

→

E = 0.944

q = 2000

→

E = 0.75

Aquí E <1 o sea que la demanda

q = 2200

→

E = 0.59

es Inelástica.

q = 2700

→

E = 0.296

Aquí la demanda tiene elasticidad unitaria

q = 3000 → E = 0.167 Supongamos por ejemplo que en términos generales se tiene la siguiente función de demanda lineal donde p = f(q), así : p = mq + b , donde m < 0 y b > 0 , gráficamente : p m<0 p = mq + b

b

q

273

Si

p = mq + b

p q Si E = dp dq Como

entonces

→

p = mq + b

→

dp =m , dq p q E= m 1

entonces :

→

E=

p – b = mq , o sea que :

p mq

E=

p p−b

Preguntémonos ahora , ¿Para que valor de p la elasticidad será unitaria ? R/ Debemos hacer E = - 1 , entonces : p -1= -1 (p – b) = p → → p−b b = 2p

→

p=

b 2

→

-p+b=p

b=p+p

Valor de p para que la elasticidad sea unitaria.

Gráficamente : p b

Elasticidad unitaria

b/2 q

Ejemplo : 1 q2 + 800 , calcular la elasticidad 2000 precio de la demanda si a) q = 500, b) q = 1000. 1 R/ Esta es una función cuadrática de la forma f(x) = ax2 + bx + c donde a = , 2000 b = 0, c = 800. b b2 Recordemos que el vértice viene dado por V( − ) entonces : ,c − 2a 4a Dada la siguiente función de demanda

q=-

b = 2a

0 1   2. −   2000 

=0 ;

p = -

p=c-

b2 02 = 800 − 1  4a  4. −   2000 

274

→

p = 800

V(0 , 800). Como a < 0 entonces la parábola abre hacia abajo (ver capitulo de función cuadrática). Para hallar el intercepto con el eje q se hace p = 0 : 1 1 Si p = 0 → 0=q2 + 800 → q2 = 800 2000 2000

→

q2 = 800 (2000)

→

q2 = 1’600000

q = ± 1265

La gráfica quedaría así : p 800 Nota : la función de demanda esta definida únicamente para valores de q entre 0 y 1265. O sea que 0 < q < 1265 y 0 < p < 800.

M (500,675)

N (1000,300) q -1265

1265

Si q = 500

→

p=-

1 (500)2 + 800 2000

Si q = 1000

→

p=-

1 (1000)2 + 800 2000

→

p = 675

→

p = 300

Recordemos que para hallar la elasticidad en cualquier punto debemos hallar dp/dq. Si p = -

Ahora

1 q2 + 800 2000

p q E = dp dq

dp 1 =(2q) dq 2000

→

− →

E=

1 q 2 + 800 2000 q 1 − q 1000

275

→

→

dp 1 =q dq 1000

1   100 − q 2 + 800   2000  E= 2 −q

 1 2   − q + 800000  2 2  = 0.5q − 800000 E=-  q2 q2

→

E = 0.5 −

800000 q2

Esta expresión sirve para hallar la elasticidad precio de la función de demanda cuya ecuación viene dada por p = -(1/2000)q2 + 800 para valores de q entre 0 y 1265.

Ahora si q = 500 entonces

Si q = 1000 entonces

E = 0.5 -

E = 0.5 -

800000 = - 2.7 (500) 2

800000 = - 0.3 , (1000) 2

Si q = 500

→

E = 2.7

¿Que significa ?

Si q = 1000

→

E = 0.3

¿Que significa ?

veamos :

Con base en este ejercicio podríamos preguntarnos ¿para que valor de q la demanda tiene elasticidad unitaria ? 800000 R/ Sabemos que la elasticidad es unitaria cuando E = - 1, o sea como E = 0.5 q2 entonces : 800000 800000 800000 - 1 = 0.5 → = 0.5 + 1 → = 1.5 2 2 q q q2 800000 = q2 q2 = 533333 ( ) q ≅ 730 → → 1.5 800000 ≅ -1 (730) 2 En conclusión para q = 730 la demanda tiene elasticidad unitaria. Ahora si q = 730 1 entonces : p = (730)2 + 800 → p = 533.55 2000 Usted amigo lector debe verificar que a la izquierda de q = 730 la demanda es elástica y que a la derecha de q = 730 la demanda es Inelástica. En conclusión : Verifiquemos : Si q = 730

Si

0 < q < 730

Si

q ≅ 730

Si

730 < q < 12665

→

entonces

E = 0.5 -

E >1

Demanda elástica

entonces

E =1


entonces

E <1

Demanda Inelástica

276

Gráficamente tendríamos : p E > 1 Demanda elástica

800

E =1


533.55 p = - (1/2000)q2 + 800 Demanda Inelástica

E <1

730

1265

q

Ejemplo : Dada la siguiente función de demanda q = f(p) donde : 1) Hallar la elasticidad si : a) p = 800 ;

q=-

1 2 p + 100000 10

b) p = 100

2) Hallar el valor de q y p donde la demanda tiene elasticidad unitaria. R/ Aquí tenemos a q en términos de p. Esta es una función cuadrática donde la gráfica es una parábola (abre hacia la izquierda). El vértice es V(100000 , 0) : 1 2 1 2 Si q = 0 → 0= p + 100000 → p = 100000 10 10 P2 = 1’000000 ( ) → p = ± 1000 1 → q=(800)2 + 100000 → q = 36000 Si p = 800 10 Si p = 100

→

q=-

1 (100)2 + 100000 10

→

q = 99000

La gráfica quedaría así : q = -(1/10)p2 + 100000

p 1000

(36000,800)

(99000,100) q 100000

277

Nota : Esta relación de demanda esta definida para 0 < q < 100000 y 0 < p < 1000. 1 2 Como tenemos q = p + 100000 , de aquí podemos hallar fácilmente dq/dp y nos 10 daría : dq 2 dq p 5 dp p y de aquí ; podemos obtener : − = =− =− dp 10 dp 5 p dq

p p q E = dp dq

Como

5(−

→

1 2 p + 100000) 10

2 p2 − − p 2 + 1'000000

Si p = 800

E=

entonces :

− p2

E=

E=

−

→

1 2 p + 100000 10 5 − p p2

E= −

(−

→

1 2 p + 500000) 2

−

p2 − p 2 + 1'000000 2

Esta expresión sirve para hallar la elasticidad precio de la demanda de q = -(1/10)p2 + 100000 para valores de p entre 0 y 1000.

2 p2 E= 2 p − 1'000000

2(800) 2 (800) 2 − 1'000000

E=

=

→

E = - 3.5 6 →

E = 3.56 ¿Que significa?

Si p = 100

→

2(100) 2 (100) 2 − 1'000000

E=

→

E = - 0.02

→

E = 0.02

¿Para que valor de p la demanda tiene elasticidad unitaria ? R/ Recordemos que para que la elasticidad sea unitaria E = - 1 2p2 2p2 Como E = 2 → -1= p − 1'000000 p 2 − 1'000000 -1 (p2 – 1’000000) = 2p2

1’000000 = 3p2

→

→

p2 =

- p2 + 1’000000 = 2p2

1'000000 3

Si p = 577.35 entonces q = -

→

p2 = 333333

1 (577.35)2 + 100000 10

278

→

(

)

→

q ≅ 66667

p = 577.35

En conclusión en el punto Q(66667 , 577.35) la elasticidad es unitaria. Verificar que, para valores de p entre 577.35 y 1000 (577.35 < p < 1000) la demanda es elástica y para valores de p entre 0 y 577.35 (0 < p < 577.35) la demanda es Inelástica. En conclusión: Si 577.35 < p < 1000 entonces E >1 Demanda elástica Si

p = 577.35

entonces

E =1


Si

0 < p < 577.35

entonces

E <1

Demanda Inelástica

Gráficamente tenemos : q = - (1/10)p2 + 100000

P

E > 1 Demanda elástica E = 1 Elasticidad unitaria

1000 577.35

E < 1 Demanda Inelástica q 66667

100000

Ejemplo : Dada la siguiente función de demanda p = f(q) donde p = 4 / q elasticidad si : a) q = 2 ; b) q = 8. La gráfica de la función es de la siguiente forma :

si

q > 0. Hallar la

p p = 4 /q

q p q Hallemos E = , dp dq

dp 4 = - 2 dq q

como

entonces

p=

4 q

4 q q E= = 4 − 2 q

→

p = 4 q-1

4 q2 = 4 − 2 q

279

-1

→

dp = - 4q-2 dq

→

E = -1

4 tiene elasticidad unitaria para todos los valores de q donde q q > 0. Si analizamos en términos generales una función de la forma p = c / q donde c = constante. dp dp c Entonces p = c . q-1 → = - c q-2 → = - 2 dq dq q c c p q q q2 q Como E = → E= = → E=-1 dp c c − 2 − 2 dq q q

Esto indica que

p=

En conclusión, toda función de demanda de la forma p = c / q (llamada hipérbola lateral) donde q > 0 tiene elasticidad unitaria para todos sus valores de q.

EJERCICIOS PROPUESTOS A continuación se da una función de demanda donde p = f(q) ó q = f(p). para cada caso se debe graficar la función en el primer cuadrante y decir para que valores de p y de q está definida. Además se debe determinar para que valores de q y p la demanda tiene elasticidad unitaria e indicar la región donde la demanda es elástica e Inelástica. Hallar la elasticidad para 2 valores de p ó de q donde la demanda es elástica e Inelástica. 1) 3) 5) 7)

p = - (1/50)q + 2000 p = - (1/4000)q2 + 600 p=5/q q = 200 – 4p

2) 4) 6) 8)

p = - 2q + 80 q = - (1/5) p2 + 80000 p = 300 / q2 x = 40 (5 - p )

10) x = 400 16 − p

9) x = 200 (4 – p)

ANALISIS MARGINAL El objetivo ahora va a ser aplicar la derivada a la economía en lo que tiene que ver con las tasas marginales, donde es muy útil hablar de costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, etc. Para comprender por ejemplo el concepto de costo marginal supongamos inicialmente que se tiene una función de costo total definida por la siguiente ecuación : C(x) = 0.05 x2 + 2500

; x ≥0

donde

x = cantidad C = costo total [$]

Esta es una función cuadrática donde la gráfica es una parábola y como a > 0 entonces abre hacia arriba. El vértice tiene coordenadas V(0 , 2500) y la gráfica quedaría así :

280

C C(x) = 0.05 x2 + 2500 2500 x

Si quisiéramos hallar el costo de producir 500 unidades entonces reemplazaríamos x = 500 y esto nos daría C(500) = 0.05 (500)2 + 2500 → C(500) = $ 15000. ¿Cuál sería el costo promedio por artículo si se producen 500 artículos ? R/ Si llamamos a C = costo promedio ;

→

C (x) =

C ( x) x

entonces :

15000 → C (500) = $ 30 /articulo 500 O sea que cuando se producen 500 artículos entonces el costo promedio es de $30 /articulo. ¿Cuál sería el costo total si se decide cambiar la producción de 500 a 500 + h ? si x = 500 C (500) =

R/ Como se pasó de x a x + h (o sea que hubo un incremento en x) entonces el costo pasa de C a C + ∆ C, donde ∆ C = Incremento en el costo. De tal forma que : C + ∆ C = 0.05 (500 + h)2 + 2500 = 0.05 (250000 + 1000h + h2) + 2500

= 12500 + 50h + 0.05h2 + 2500

entonces :

C + ∆ C = 15000 + 50h + 0.05h2 Observemos que lo que hicimos fue reemplazar en la función de costo 500 + h o sea que: C + ∆ C ⇔ C (500+h). Cuando calculamos el costo de 500 unidades obtuvimos C(500) = 15000 y cuando pasamos a 500+h el costo nos dio C(500+h) = 15000 + 50h + 0.05h2. ¿Cuál es entonces el costo extra de las unidades adicionales ? Nota: Recordemos que las unidades extras corresponden a h. R/ El costo extras viene dado por : C(500+h) – C(500) entonces : C(500+h) – C(500) = 15000 + 50h + 0.05h2 - 15000 C(500+h) – C(500) = 50h + 0.05h2

Este es el costo de las unidades extras.

281

¿Cuál sería el costo promedio por artículo de las unidades extras ? R/ Debemos hacer la siguiente división : C (500+ h ) − C ( 500) h

=

50h + 0.05h 2 h

→

C ( 500+ h ) − C ( 500) h

=

50 + 0.05h

Este es el costo promedio por artículo de las unidades extras.

Por ejemplo, ¿que sucede si las unidades extras son 40 ? R/ Aquí h = 40 entonces el costo promedio por artículo de estas 40 unidades podríamos hallarlo así : 50 + 0.05 (40)

→

C = $ 52 /artículo

¡Esto es lo que cuesta cada artículo pero de las 40 unidades extras!

¿Como se podría verificar esto ? R/ Una forma de verificarlo es así : Hallar el costo de producir 540 unidades y el costo de 500 unidades. Entonces : C(540) = 0.05 (540)2 + 2500 → C(540) = $ 17080 2 → C(500) = $ 15000 C(500) = 0.05 (500) + 2500 Ahora, aquí nos damos cuenta que el costo de las 40 unidades adicionales es : C(540) – C(500) = 17080 – 15000 = $ 2080

→

Esto es lo que cuestan las 40 unidades adicionales.

Entonces el costo promedio por articulo de las 40 unidades lo podríamos hallar así : 2080 = $ 52 /artículo → Corresponde al mismo valor que cuando se utilizó 50 + 0.05h C = 40 ¿Que hubiera pasado si las unidades extras hubieran sido solamente una ? R/ Aquí h = 1. Entonces, ¿Cuál sería el costo promedio de esa unidad extra ?

R/ C = 50 + 0.05 (1)

→

C = $ 50.05 /artículo

Esto indica que cuando se producen 500 unidades, producir un artículo extra cuesta $50.05. Observemos que el valor de la unidad extra. Lo podemos hallar así : C(501) – C(500) = 15050.05 – 15000 = $ 50.05 Si retomamos que el costo promedio por artículo de las unidades extras cuando se producen 500 unidades viene dado por :

C ( 500+ h ) − C ( 500) h

, entonces el costo promedio por artículo de las unidades extras cuando se

producen x unidades vendría dado por :

C ( x+h ) − C( x)

h Ahora, ¿que sucede si las unidades extras son muy pequeñas ? R/ En este caso h → 0.

282

¿Cuál sería el costo promedio por artículo ? R/ Tendríamos que hallar el siguiente limite :

Recordemos que :

lim

h −>0

C( x+ h) − C( x ) h

=

lim

C( x+ h) − C( x )

h −>0

h

dc dx

El Costo Marginal se puede definir como el valor limite del costo promedio por artículo extra cuando estos artículos extras tiendan a cero. O sea cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la producción. En consecuencia : Costo Marginal

⇔

lim

h −>0

C( x+ h) − C( x ) h

;

Costo Marginal =

dc dx

En otras palabras el costo marginal no es más que la derivada del costo con respecto a la cantidad producida. Por ejemplo si C(x) = 0.05 x2 + 2500, entonces podríamos hallar el costo marginal determinando dc / dx. dc = 0.05 ( 2x ) dx

→

dc = 0.1 x dx

¿Que sucede si reemplazo en dc/dx los siguientes valores c) x = 2000 ?

a) x = 500, b) x = 1000

R/ Veamos : a) Si x = 500

→

dc = 0.1 (500) = dx

$ 50

Este es el costo de un artículo adicional cuando se producen 500 unidades

b) Si x = 1000

→

dc = 0.1 (1000) = dx

$ 100

Este es el costo de un articulo adicional cuando se producen 1000 unidades.

c) Si x = 2000

→

dc = 0.1 (2000) = dx

$ 200

Este valor indica que cuando se producen 2000 unidades entonces producir un articulo adicional cuesta $200.

dc = 50 podríamos decir que producir el articulo No. 501 cuesta dx aproximadamente $50.

Para el caso (a)

283

Para el caso (b) producir el artículo No. 1001 cuesta aproximadamente $100. Para el caso (c) producir el artículo No. 2001 cuesta aproximadamente $200. Ejemplo: Supongamos que se tiene la siguiente función de costo C(x) = 0.002x3 – 1.2x2 + 265x+500, Se pide : a) Determinar el costo marginal en función de x. b) Evaluar el costo marginal si i) x = 150 ii) x = 200 iii) x = 250 c) Graficar el costo marginal [o sea C’(x)] dc ó C’(x) , entonces : dx Si C(x) = 0.002x3 – 1.2x2 + 265x+500

R/ El costo marginal viene dado por

a)

C’(x) = 0.006x2 – 2.4x + 265 Este es el costo marginal.

b) Si x = 150

→

C’(150) = 0.006(150)2 – 2.4(150) + 265

Si x = 200

→

C’(200) = 25

Si x = 250

→

C’(250) = 40

→

C’(150) = 40

Esto nos indica que cuando se producen 150 unidades producir un articulo adicional cuesta $40; cuando se producen 200 unidades producir un articulo adicional cuesta $25 y cuando se producen 250 unidades producir un articulo adicional cuesta $40. c) Si vamos a graficar C’(x) nos damos cuenta que esta es una función cuadrática, donde el valor de a > 0 o sea que la parábola abre hacia arriba. Veamos : C’(x) = 0.006x2 – 2.4x + 265 x=-

b − (−2.4) = 2a 2.(0.006)

Si

x=0

b = -2.4

→ →

c = 265

si

C’(200) = 0.006(200)2 – 2.4(200) + 265

Si x = 200

Vértice

= 200

a = 0.006

→

V(200,25)

C’(200) = 25

Intercepto con el eje C’(x)

C’(0) = 0.006 (0)2 – 2.4 (0) + 265

284

→

C’(0) = 265

Gráfica : C’(x)

265 C’(x) = 0.006x2 – 2.4x + 265 V(200,25)

25

(150,40)

(250,40)

200

x

Observemos que cuando la producción aumenta de 0 a 200 cada vez producir una unidad costará menos, esto es lógico debido a que producir menos unidades sale más costoso, pero, en la medida en que la producción aumenta cada unidad será más barata (en este caso hasta x = 200) pero observamos también que en la medida que la producción aumenta a partir de 200 unidades entonces producir una unidad adicional empieza a ser más costosa. Esto se puede dar debido a que producir más unidades requiere posiblemente invertir más dinero en maquinaria ó nueva tecnología o también en pagar horas extras para satisfacer un nivel de producción más alto, etc.

INGRESO Y UTILIDAD MARGINAL Así como el costo marginal viene definido como la derivada del costo total entonces el ingreso marginal vendrá definido por la derivada del ingreso total y la utilidad marginal ven dada por la derivada de la utilidad total. O sea que : Si

Si

I(x) es ingreso total

→

dI = Ingreso Marginal dx

u(x) es utilidad total

→

du = Utilidad Marginal dx

Ejemplo :

1 Si una función de Ingreso total viene definida por I(x) = - x2 + 3000 x ; donde 2 cantidad. ¿Cuál será el ingreso marginal si se producen 2000 unidades ? 1 R/ Como ingreso total es I(x) = - x2 + 3000x entonces Ingreso Marginal es : 2

285

x

es

dI = - x + 3000 entonces si x = 2000. dx

dI dx( x =2000)

= - 2000 + 3000 = $ 1000

Esto indica que cuando se producen y venden 2000 unidades, entonces producir un articulo adicional genera un ingreso de $1000.

Ejemplo : 1 Si una función de utilidad total viene definida por U(x) = - x2 + 2000x – 500000 ; 2 x = cantidad. ¿Cuál será la utilidad marginal si se producen 1500 unidades ?

R/ Recordemos que utilidad marginal =

du entonces : dx

du du = - x + 2000 = - 1500 + 2000 = $ 500 → dx( x =1500) dx Interpretación: Cuando se producen y venden 1500 unidades entonces un articulo adicional genera una utilidad de $500 ó en otras palabras, producir y vender el artículo No. 1501 incrementa la utilidad total en $500. du = - 2500 + 2000 = $ - 500 Ahora si x = 2500 → dx( x = 2500) Este valor negativo me indicaría que producir y vender el artículo No. 2501 disminuiría la utilidad total en $500.

INGRESO MARGINAL EN TERMINOS DE ELASTICIDAD Sea p = Precio por unidad El ingreso vendrá dado por :

y

x = cantidad,

si I = Ingreso Total, entonces :

Ingreso = (precio) (cantidad) o sea que I = p. x

Si quisiéramos hallar el ingreso marginal debemos determinar por ejemplo

dI . dx

Como I = p.x vamos a derivar al respecto de x implícitamente, de tal forma que (si aplicamos la derivada de un producto) :

dI dp = p+x , si de aquí factorizamos a la derecha, la variable p nos daría : dx dx dI x dp = p (1 + ) Cuando tratamos le elasticidad punto de la demanda dijimos que si dx p dx

286

E = Elasticidad entonces :

Ahora como

p E= x dp dx

dI x dp = p (1 + ) dx p dx

dp p .E= dx x

→

→

dp x 1 = dx p E

dI 1 = p (1 + ) dx E

entonces:

Aquí tenemos el ingreso marginal en términos de la Elasticidad.

Ejemplo : Supongamos que la función de demanda para un fabricante esta dada por 1 P = - x + 3000. p = precio ; x = cantidad 2 dI 1 Verificar que = p (1 + ) dx E R/ Para hacer la verificación se debe tener la función de Ingreso. Sabemos que Ingreso = (precio) (cantidad). 1 1 dI I = p.x → I = (- x + 3000) x → I(x) = - x2 + 3000x , o sea que : = - x + 3000 2 2 dx p Para verificar debemos hallar la elasticidad. Sabemos que : E = x , como : dp dx 1 dp 1 entonces : p = - x + 3000 → =2 dx 2 1 − x + 3000 1 2 − 2(− x + 3000) x − 6000 x 2 E= = → E= ; O sea que : 1 x x − 2 1 dI 1 dI 1 = p (1 + ) = ( - x + 3000) (1 + ) → x − 6000 dx E dx 2 x 1 x 1 x − 6000 + x = ( - x + 3000) (1 + ) = ( - x + 3000) ( ) → 2 x − 6000 2 x − 6000 = (-

1 2 x − 6000 x + 3000) ( ) 2 x − 6000

→

 − x + 6000  2 x − 6000  =    2   x − 6000 

− ( x − 6000) (2 x − 6000) − 2 x + 6000 = = 2 x − 6000 2

→

287

dI = - x + 3000 dx

Esto era lo que se quería demostrar.

Ejercicio Resuelto : Supongamos que para un fabricante la relación de demanda viene dada por : 1 p = - x + 3000 donde p = precio, y x = cantidad. Los costos fijos los estima en 2 $500000 y el sabe que producir cada artículo le cuesta $1000. Se pide : 1) Hallar la función de ingreso en términos de x. 2) Hallar la función de utilidad en términos de x. 3) Graficar la función de utilidad U(x) y hallar el nivel de producción para que la utilidad sea máxima. 4) Hallar el precio por articulo que permite la máxima utilidad. R/ 1) Para hallar I(x) recordemos que Ingreso = (precio) (cantidad) ; I = p.x ; como p = -

1 1 x + 3000 entonces I = (- x + 3000) x 2 2

→

I(x) = -

1 2 x + 3000x 2

2) Recordemos que Utilidad = ingreso – Costo , o sea que U(x) = I(x) – C(x) y como CT = CV + CF , sabemos que costo variable unitario = $1000. Costos fijos = $500000. Entonces C = 1000x + 500000 , ahora si : 1 y C(x) = 1000x + 500000 I(x) = - x2 + 3000 x 2 1 1 U(x) = - x2 + 3000 x – (1000x + 500000) → U(x) = - x2 + 3000 x – 1000x - 500000 2 2 1 U(x) = - x2 + 2000 x - 500000 2 3) Teniendo U(x) = -

1 2 x + 2000 x – 500000 podemos utilizar los criterios de derivada 2

para graficar, así : 1er Paso : Hallar U’(x) = - x + 2000 2do Paso : Determinar valores críticos [haciendo U’(x) = 0]. Si U’(x) = 0 Si x = 2000

→ →

- x + 2000 = 0 → x = 2000 U(2000) = -

Aquí hay un máximo o un mínimo

1 (2000)2 + 2000 (2000) – 500000 2

U(2000) = 1’500000 Ya tenemos un punto de coordenadas (2000 , 1’500000).

288

3er Paso : Hallar U”(x) Como U’(x) = - x + 2000

→

U”(x) = - 1

Esto indica que la parábola abre hacia abajo [porque U”(x) < 0]

¿Como se determinan los interceptos con el eje x ? 1 R/ Haciendo U = 0 , Como U(x) =- x2 + 2000 x – 500000 , si U= 0 2 1 2 1 2 0 = - x + 2000 x – 500000 (-1) → x - 2000 x + 500000 = 0 2 2 x1 = 3732

Solucionando esta ecuación obtenemos

x2 = 268

La gráfica quedaría así : U(x) V (2000 ,1’500000)

1’500000 U(x) = - (1/2)x2 + 2000x - 500000

x 268

3732

2000

U’(x) 2000

U’(x) = - x + 2000

x 2000

Tengamos en cuenta que si U’(x) = - x + 2000 entonces los interceptos se hallan así : Si x = 0 Si U’ = 0

→ →

U’(0) = 2000 0 = - x + 2000

→

x = 2000

289

Aquí se ha graficado la función de utilidad total U(x) en un plano cartesiano y la función de utilidad marginal U’(x) en otro; de tal forma que el nivel de producción para que la utilidad sea máxima debe ser de x = 2000 unidades y si observamos la gráfica de utilidad marginal ésta corta el eje de abscisas (eje x) en este nivel de producción (x = 2000). Para determinar el precio para utilidad máxima sabemos que p = -

x = 2000 reemplazando obtenemos p = -

1 x + 3000 entonces si 2

1 (2000) + 3000 → 2

p = $ 2000

Este es el precio por unidad para que la utilidad sea máxima

Respondamos ahora la siguiente pregunta : ¿Cómo se determinó el nivel de producción para que la utilidad fuera máxima ? R/ Para determinar este valor (x = 2000) se igualó la utilidad marginal [U’(x)] a cero, y se despejo x (valor critico). O sea que U’(x) = 0 y se despejó x. sabemos que U(x) = I(x) – C(x)

si derivamos :

U’(x) = I’(x) – C’(x)

si igualamos U’(x) = 0

0 = I’(x) – C’(x) C’(x) = I’(x)

Esto indica que hacer U’(x) = 0 es equivalente a igualar costo marginal e ingreso marginal.

Dicho en otras palabras, para determinar el nivel de producción o precio para que la utilidad sea máxima se debe igualar la utilidad marginal a cero [U’(x) = 0] ó igualar el ingreso marginal y el costo marginal [C’(x) = I’(x)].

PARA MAXIMIZAR UTILIDAD →

UTILIDAD MARGINAL = 0 ó INGRESO MARGINAL=COSTO MARGINAL

Por ejemplo, en el caso anterior tenemos : 1 I(x) = - x2 + 3000x → I’(x) = - x + 3000 2 C(x) = 1000x + 500000 C’(x) = 1000 → Entonces para maximizar utilidad - x + 3000 = 1000

→

I’(x) = C’(x) :

3000 – 1000 = x

→

290

x = 2000

Nivel de producción para Umax

Si graficamos I’(x) ;

C’(x)

→

I’(x) = - x + 3000

y la función de demanda en un solo plano obtenemos : Si x = 0 Si I = 0

→ →

I = 3000 0 = - x + 3000

→

x = 3000

C’(x) = 1000 El costo marginal es constante, lo que indica que cada unidad que se produzca cuesta Siempre $1000.

→

Función de demanda

Si p = 0

1 p = - x + 3000 , 2

1 0 = - x + 3000 2

→

→

Si x = 0

→

1 x = 3000 2

→

p = 3000

x = 6000

La gráfica quedaría así : I’(x) C’(x) 3000

Ingreso marginal

2000

Función de demanda Costo marginal

1000 2000

3000

6000

x

Observemos que el punto de intersección de la curva de Ingreso marginal y Costo marginal establece el nivel de producción que hace que la utilidad sea máxima. La curva de demanda sirve para indicar cuál debe ser el precio que los consumidores esta dispuestos a pagar por el artículo (que en este caso es p = 2000).

COSTO TOTAL MEDIO – COSTO VARIABLE MEDIO Y COSTO FIJO MEDIO Definamos ahora el costo total medio que lo vamos a denotas por C (x) ó CTMe definido por : Costo.Total Costo Total Medio = produccion.Total

O sea

C (x) =

C ( x) x

291

y viene

Trataremos también funciones, por ejemplo como Costo variable medio ó Costo fijo medio, que vendrán definidas así : Resumiendo : CTMe = Costo total medio CT = Costo total CVMe = Costo variable medio CV = Costo variable total CF = Costo fijo total CFMe = Costo fijo medio q = Producción total (No. de unidades) Entonces : CTMe =

CT q

;

CVMe =

CV q

;

CFMe =

CF q

Ejercicio Resuelto : Supongamos que se tiene la siguiente función de costo total : C(q) = 0.01q3 – 10q2 + 2600q Donde q = Producción (cantidad). Hallar : 1) La ecuación de costo total medio 2) La ecuación de costo marginal 3) Graficar el CTMe y Costo marginal en un mismo plano cartesiano 4) Determinar el punto de intersección entre la curva de CTMe y costo marginal

CT R/ 1) Recordemos que CTMe = q

CTMe = 0.01q2 – 10q + 2600 2) Llamemos Si

,

Ecuación de costo total medio

CMa = Costo marginal,

CT = 0.01q3 – 10q2 + 2600q

entonces :

0.01q 3 − 10q 2 + 2600q CTMe = q

entonces

→

CMa =

dCT dq

CMa = 0.03q2 – 20q + 2600 Ecuación de costo marginal

3) Para graficar la función de costo total medio (CTMe) y costo marginal (CMa) utilizaremos derivadas. Osea : dCTM e Si CTMe = 0.01q2 – 10q + 2600 → = 0.02q - 10 dq Igualamos

dCTM e =0 dq

→

0.02q – 10 = 0 q=

10 0.02

→

→

0.02q = 10 q = 500

Este es el nivel de producción para que el costo total medio sea mínimo

292

¿porqué es mínimo ? R/ Si hallamos la segunda derivada nos damos cuenta que es positiva; o sea que allí existe un mínimo. Verifiquemos : d 2 CTM e = 0.02 dq 2

Existe un mínimo

¿Cuál es ese valor ? R/ Si q = 500

→

CTMe(q = 500) = 0.01 (500)2 – 10 (500) + 2600 CTMe(q = 500) = 100

Si q = 0

→

CTMe = 0.01 (0)2 – 10 (0) + 2600

→

CTMe = 2600

Como la segunda derivada es positiva para todos los valores de q, entonces la gráfica siempre es cóncava hacia arriba. Ahora, para la función de costo marginal hacemos lo mismo :

Igualamos

dCMa =0 dq

→

dCMa = 0.06q - 20 dq

→

Cma = 0.03q2 – 20q + 2600

0.06q – 20 = 0

→

→

0.06q = 20

q ≅ 333

Nivel de producción donde el costo marginal es mínimo.

¿Por qué ? R/ Si hallamos

d 2 CMa dq 2

→

d 2 CMa = 0.06 dq 2

Como la segunda derivada es positiva para cualquier valor de q, entonces allí existe un mínimo y además es cóncava hacia arriba. ¿Cuál es el valor mínimo ? Si q = 333

→

CMa = 0.03 (333)2 – 20 (333) + 2600

→

CMa = - 733

Para hallar los interceptos con los ejes hacemos lo siguiente : CMa = 2600 Si q = 0 → Si CMa = 0

→

q=?

0 = 0.03q2 – 20q + 2600 →

→

como CMa = 0.03q2 – 20q + 2600 , entonces :

Ecuación cuadrática.

293

Aquí a = 0.03 ; b = - 20 ; c = 2600

q =

entonces :

− (−20) ± (−20) 2 − 4(0.03)(2600) 2(0.03)

→

q1 = 490 ; q2 = 177

La gráfica quedaría así : CMa

CTMe CMa

2600 Q CTMe

100

P q 333

500

- 733 Observemos que la curva de CTMe y Cma se interceptan en el punto P y Q. ¿Cuáles son las coordenadas del punto P ? R/ Para determinarlas debemos igualar CTMe y Cma o sea que si : CTMe = 0.01q2 – 10q + 2600 y Cma = 0.03q2 – 20q + 2600 entonces igualando Cma = CTMe obtenemos : 0.03q2 – 20q + 2600 = 0.01q2 – 10q + 2600 0.02q2 – 10q = 0 q=0

∨

→

→

0.03q2 – 0.01q2 – 20q + 10q = 0

q (0.02q – 10) = 0

0.02q – 10 = 0

→

0.02q = 10

→

q = 500

Aquí nos damos cuenta que las curvas de CTMe y CMa se interceptan en el punto donde el costo total medio es mínimo (o sea en q = 500). Quiere decir esto que si q = 500 entonces el CTMe es igual a CMa. En otras palabras, en el punto donde CTMe es mínimo CMa = CTMe. Verifiquemos esto : Si q = 500

→

CMa = 0.03 (500)2 – 20(500) + 2600

Si q = 500 → CTMe = 0.01 (500)2 – 10(500) + 2600 ¿Existirá entonces alguna forma de demostrar lo anterior ?

→ →

CMa = 100 CTMe = 100

R/ Recordemos que para determinar el nivel de producción que hace que el costo total medio sea mínimo (q = 500) se determinó la derivada de CTMe y se iguala a cero, de allí se despejó q = 500.

294

CT entonces para determinar el nivel de q producción que hace que el costo total medio sea mínimo debemos derivar CTMe e igualar a cero. CT Si tenemos CTMe = ¿como se deriva CTMe ? q R/ Para derivar utilicemos la regla del cociente (ver capítulo de la derivada). Entonces :

Ahora si en términos generales CTMe =

 dCT   q − (CT )(1) dCTMe  dq  = dq q2  dCT   q − (CT )  dq  =0 q2  dCT  CT   = q  dq 

Cma = CTMe

→

Ahora si igualamos a cero

 dCT    q – CT = 0  dq 

Recordemos que :

dCTMe dq

→

 dCT    = Cma y  dq 

 dCT    q = CT  dq  CT = CTMe , entonces : q

Aquí llegamos a la conclusión que el costo marginal es igual al costo total medio en el punto donde el costo total medio es mínimo.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Determine dos números cuya suma sea 10 y tales que su producto sea máximo. 2) Encuentre dos números con suma igual a 8, de modo que la suma de sus cuadrados sea máximo. 3) Determine dos números positivos cuya suma sea 75, tales que el producto de uno por el cuadrado del otro sea máximo. 4) Determine dos números positivos cuya suma sea igual a 12 de modo que la suma de sus cubos sea un mínimo. 5) Un granjero desea delimitar una parcela rectangular de área 900 metros cuadrados. La cerca tiene un costo de $ 15 por metro. ¿ Cuales deberían ser las dimensiones de la parcela de modo que se minimice el costo del cercado? ¿ Como cambia su respuesta si el costo de cercado sube a $ 20?. 6) Repita el ejercicio 5 en el caso de que uno de los lados de la parcela es común a una cerca ya existente y solo es necesario cercar tres lados. 7) Una empresa vende todas las unidades que produce a $ 4 cada una. El costo total de la empresa C por producir x unidades esta dado en dólares por : C = 50 + 1.3 x + 0.001 x2 a. Escriba la expresión para la utilidad U como una función de x.

295

b. Determine el volumen de producción x de modo que la utilidad sea máxima. c. ¿ Cual es el valor de la utilidad máxima ? 8) Para cierto articulo, la ecuación de demanda es p = 5 – 0.001x . ¿ Que valor de x maximiza el ingreso ?. Si la función de costo es C = 2800 + x, encuentre el valor de x que maximiza la utilidad. Calcule la utilidad máxima. 9) Repita el ejercicio 8 para la ecuación de demanda p = 8 – 0.02x y la función de costo C = 200 + 2x . 10) Una compañía advierte que puede vender toda la existencia de cierto producto que elabora a una de $ 2 por unidad. Si estima la función de costo del producto como 1000 + 0.5 (x / 50)2 dólares por x unidades producidas : a. Encuentre una expresión para la utilidad si se producen y venden x unidades. b. Determine el número de unidades producidas que maximizarían la utilidad. c. ¿ Cual es la utilidad máxima? d. ¿Cuál seria la utilidad si se produjeran 6000 unidades ? 11) ¿Que longitud y anchura debe tener un rectángulo de 100 pies de perímetro para que su área sea máxima ? 12) La suma de un número más el doble de otro es 24. ¿Qué números han de elegirse para que su producto sea lo mayor posible ? 13) Hallar dos números, cuya diferencia sea 50, de modo que su producto sea lo menor posible. 14) Se desea hacer una caja abierta, con una pieza cuadrada de material rectangular de 2 pies de ancha y 3 pies de larga. Hallar el máximo volumen que puede lograse con una caja así. 15) Una pagina a de contener 30 pulgadas cuadradas de texto. Los márgenes superior e inferior son de dos pulgadas y los laterales de una pulgada. Hallar las dimensiones de la página que ahorra más papel. Hallar el número x de unidades que produce máximos ingresos. 16) R = 900x – 0.1x2

17) R = 30x2/3 – 2x

18) R = 600x2 – 0.02x3

19) Sea p = 100 – ½x2 la función de demanda de un producto y C= 4x + 375 su función de costo total. a) ¿Qué precio proporcionará el máximo beneficio? b) ¿Cuál es el costo medio por unidad si la producción corresponde al máximo beneficio? 20) Hallar dos números positivos cuya suma sea 110 y cuyo producto sea máximo. 21) Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El pastizal debe tener 180000 metros cuadrados para producir suficiente forraje para su ganado. ¿Que dimensiones requerirán la mínima cantidad de valla, si el lado del río no necesita ser vallado ? 22) Se desea hacer una caja abierta, con una pieza cuadrada de material rectangular de 2 pies de ancha y 3 pies de larga. Hallar el máximo volumen que puede lograrse con una caja así? En los ejercicios 23 – 26, Hallar el número x de unidades que produce el mínimo costo por unidad C . Donde C = Costo medio. 23) C = 0.125x2 + 20x + 5000 24) C = 0.001x3 – 5x + 250

296

2 x 3 − x 2 + 5000 x x 2 + 2500 En los ejercicios 27 – 30, Hallar el precio p por unidad para el que la utilidad sea máxima. Función de costo Función de demanda 27) C = 100 + 30x p = 90 - x

25) C = 3000x – x2

300 − x

26) C =

28)

C = 2400x + 5200

p = 6000 – 0.4x2

29)

C = 4000 – 40x + 0.02x2

p = 50 – (x/100)

30)

C = 35x + 2

x −1

p = 40 -

x −1

31) Un fabricante de guarniciones de alumbrado tiene costos diarios de producción dados por : C = 800 – 10x + (1/4)x2 , ¿Que producción diaria x minimiza sus costos ? 32) Un fabricante de radios carga 90 dólares por unidad mientras que el costo medio de producción es de 60 dólares por unidad. Para favorecer grandes pedidos, reduce la carga en 0.10 dólares por unidad para cada pedido de más de 100 unidades (por ejemplo, cobraría 88 dólares por cada radio en un pedido de 120 unidades). Hallar el tamaño máximo de pedidos que puede admitir para realizar beneficio máximo ? 33) Dada la función de costo: C = 2x2 + 5x + 18 a) Hallar el valor de x en el cual el costo medio se hace mínimo. b) Para ese valor de x probar que el costo marginal y el costo medio son iguales. 34) Dada la función de costo :

C = x3 – 6x2 + 13x

a) Hallar el valor x en el cual el costo medio se hace mínimo. b) Para ese valor de x probar que el costo marginal y el costo medio son iguales. 35) La función de demanda de cierto producto es x = 20 – 2p2. a) Considérese el punto (2,12). Si el precio decrece un 5 por 100, determinar el correspondiente aumento porcentual en la cantidad demandada. b) Hallar la elasticidad exacta en (2,12). c) Hallar una expresión para los ingresos totales y calcular los valores de x y p que hacen máximo al ingreso. d) Para el valor de x en la parte (c), probar que E = 1, donde E = Elasticidad. 36) Sea la función de demanda p3 + x3 = 9. a) Hallar E cuando x = 2. b) Hallar x, p tales que los ingresos totales sean máximos. c) Probar que E = 1 para el valor de x hallado en (b).

297


APENDICE

CAPITULO

APENDICE

8

ALGUNOS CASOS DE FACTORIZACION FACTOR COMUN : Factorizar m2 - 6m

→

1) m2 - 6m = m (m - 6)

2 factores

→ 3 factores

2) 5m2 - 20m3 = 5m2 (1 - 4m) 3) 15z3 b2 + 20z2 b4

⇔

5(3) z3 b2 + 5 (4) z2 b4 = 5z2 b2 (3z + 4b2)

4) 2m4 z - 10m3 z2 = 5) 4x2 y3 - 2x3 y4 = 6) 12m5 y6 - 20m4y3 = 7) Factorizar x de x - y = ?

DIFERENCIA DE CUADRADOS a2 – b2 = (a – b) (a + b)

1)

(

) a

b

2) m2 - n2 = (m - n) (m + n) 3) En términos generales

2

2

-

298

= (

-

)(

+

)


APENDICE

Por ejemplo : (x + 5)2 - (4 - 2x)2 = [x + 5 - (4 - 2x)] [x + 5 + (4 - 2x)] (

)

X+5

= (x + 5 - 4 + 2x) (x + 5 + 4 - 2x) 4-2x

= (3x + 1) (9 - x)

Tengamos en cuenta lo siguiente : a2 + b2 ≠ (a + b) (a + b) Factorizar :

→

-25 + x2

Es conveniente ordenarlo así x2 - 25

x2 - 25 = (x - 5) (x + 5) 1) m2 - 4 = (

-

2) z2 - 49 = (

)(

+

)(

) )

3) (x + 3)2 - 81 = 4) (z - 2)2 - (2 + 4z)2 = 5) (m + 2x)2 - (x - 3m)2 =

DIFERENCIA Y SUMA DE CUBOS a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

1)

(3 ) a

b

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

Ejemplos : 1) x3 - 8 = (x - 2) (x2 + 2x + 4) x

2

299


APENDICE

2) m3 + 27 = (m + 3) (m2 - 3m + 9) m

3 ↔

3) 8z3 - 125

(2z)3 - (5)3 = (2z - 5) [(2z)2 + 2z (5) + (5)2] 2z

5

= (2z - 5) (4z2 + 10z + 25)

Nota : Debemos tener en cuenta que la expresión a2 ± ab + b2 no es factorizable. En términos generales :

3 ±

3= (

±

)(

2 m

Factorizar : 1) (m + 1)3 - 64

= (m + 1 - 4) [(m + 1)2 + 4 (m + 1) + (4)2] = (m - 3) (m2 + 2m + 1 + 4m + 4 + 16)

m+1

4 = (m - 3) (m2 + 6m + 21)

2) n3 - 64 = 3) 8a3 + 27m3 = 4) 27(a - 3)3 - 8a3 =

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Recuerde que

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Ejemplos : 1) ( x + 5)2 = x2 + 2x(5) + (5)2 = x2 + 10x + 25

300

+

2)


APENDICE

2) (m - 3)2 = m2 - 2m (3) + (3)2 =

Será

m2 - 6m + 9

Esta expresión se denomina “TRINOMIO CUADRADO PERFECTO”

x2 - 12x + 36 un trinomio cuadrado perfecto ?

Para darnos cuenta debemos hacer lo siguiente : x2 - 12x + 36

(

) x

6

En consecuencia

2(x) (6) = 12x

Si esto es igual al segundo término, entonces la expresión será un Trinomio Cuadrado Perfecto.

x2 - 12x + 36 = (x - 6)2

Si tuviéramos x2 - 12x únicamente, entonces ¿Como obtendríamos el numero 36 para completar el trinomio cuadrado perfecto ? Simplemente debemos hacer lo siguiente : Dividir el coeficiente de x (o sea 12) entre 2 y posteriormente elevarlo al cuadrado. Veamos :

Entonces

 12    2

2

→

(6)2 = 36

Con este término se completa el trinomio cuadrado perfecto.

x2 - 12x + 36 - 36

¿ Por que se restó 36 ?

R/ No se puede sumar a una expresión un término debido a que se altera, es por eso que si sumo 36 debo restar a la vez 36, para que sea equivalente a sumar cero (0). Recordemos que cero es el módulo de la suma. O sea que la expresión que inicialmente era x2 - 12x quedaría así : x2 - 12x + 36 - 36 (x - 6)2 x2 - 12x = (x - 6)2 - 36 Para las siguientes expresiones, completar trinomio cuadrado perfecto

301


APENDICE

1) x2 - 10x =

x2 - 10x + 25 - 25 2

 10    = 25 2

= (x - 5)2 - 25

2) x2 - 18x = 3) m2 + 14m = 4) z2 - 16z = 5) 3x2 - 18x

→

Debo factorizar primero el coeficiente de x2

3( x2 - 6x)

→

3 [x2 - 6x + 9 - 9] 3 [(x - 3)2 - 9] = 3 (x - 3)2 - 27

6) 2x2 - 16x = 7) 4m2 + 40m = 8) 5x2 - 60x =

TRINOMIO DE LA FORMA Casos :

ax2 + bx + c

1) Si a = 1 Ejemplo → x2 + 2x - 15 2) Si a ≠ 1

Ejemplo

→ 2x2 + 5x - 12

Para el primer caso a = 1 ¿cómo se factoriza x2 + 2x - 15 ? Veamos : x2 + 2x - 15 = (x + 5) (x - 3) Se deben abrir dos (2) paréntesis cuya variable es “x”, los signos deben ir así : el signo del primer paréntesis es el mismo signo de el coeficiente de x (o sea +) y el signo del segundo paréntesis es el producto entre el signo del coeficiente de “x” y el signo del termino independiente, o sea (+) . (-) = (-) Signo del coeficiente de “x”

Signo del término independiente

302


APENDICE

Posteriormente debo hallar dos números tal que al multiplicarlos el resultado sea -15 y al sumarlos el resultado sea 2. Estos números son 5 y -3. Para el segundo caso a ≠ 1 ¿cómo se factoriza 2x2 + 5x - 12 ? Primero se debe multiplicar todo el trinomio por el coeficiente de variable al cuadrado (o sea 2) y a la vez dividir por el mismo número, entonces : 2x2 + 5x - 12

4 x 2 + 5(2 x) − 24 2

→

(*2)

Observemos que al multiplicar por 2 el término del medio (o sea 5x) no lo escribimos como 10x, sino que dejamos indicado así 10x ↔ 5(2x) O sea que tendríamos : 4 x 2 + 5(2 x) − 24 2

=

(2 x + 8)(2 x − 3) 2

↔

↔

(2 x) 2 + 5(2 x) − 24 2 2( x + 4)(2 x − 3) 2

factorizar los siguientes trinomios : 1) x2 + 6x - 16 = (

)(

)

2) x2 + 2x - 35 = (

)(

)

3) x2 + 7x - 30 = (

)(

)

4) m2 + 9m - 20 = ( 5) z2 - 14z + 48 = (

)( )(

) )

6) 3x2 + 13x - 10 = 7) 6x2 - 7x - 20 = 8) 4q2 - 25q + 6 = 9) 5p2 + 28p - 12 = 10) 8z2 + 2z - 15 =

303

=

(x + 4) (2x - 3)


APENDICE

SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Simplificar las siguientes expresiones :

1)

x 2 + 3 x − 40 ( x + 8)( x − 5) x + 8 = = x 2 − 3 x − 10 ( x − 5)( x + 2) x + 2

2)

y 3 − y 2 − 12 y y ( y 2 − y − 12) ( y − 4)( y + 3) y + 3 = = = y 3 − 3 y 2 − 4 y y ( y 2 − 3 y − 4) ( y − 4)( y + 1) y + 1

3)

x2 − 4 = x 2 + 3 x − 10

x 3 − 7 x 2 − 8x 4) = x 2 − 8x 5)

x 4 − 8x x ( x 3 − 8) ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) = = = x−2 x 3 + 2 x 2 + 4 x x ( x 2 + 2 x + 4) x 2 + 2x + 4

6)

2 x 3 + 3x 2 − 9 x x(2 x 2 + 3x − 9) ( x + 3)(2 x − 3) x + 3 = = = 2 x 3 + 5 x 2 − 12 x x (2 x 2 + 5 x − 12) ( x + 4)(2 x − 3) x + 4

2x2 + 3x - 9 (* 2)

4 x 2 + 3(2 x ) − 18 (2 x) 2 + 3(2 x) − 18 = 2 2

→

=

(2 x + 6)(2 x − 3) 2( x + 3)(2 x − 3) = (x + 3) (2x - 3) = 2 2

Recordemos que 2x2 + 5x - 12 = (x + 4) (2x - 3)

7)

3 x 2 + 4 x − 15 = x2 − 9

304


APENDICE

2m 2 + m − 21 = m 3 − 27

8)

8 x 2 + 14 x − 15 9) = 4 x 2 − 3x

10)

6 x 3 + 13 x 2 − 5 x = 6 x 2 + 11x − 10

Para los siguientes ejercicios combinar y simplificar : 1)

2x 3 2x − 3 − = =1 2x − 3 2x − 3 2x − 3

2)

3 4 3 4 3 4 + = + = − x − 2 2 − x x − 2 − ( x − 2) x − 2 x − 2

Recordemos que 2 - x = - (x - 2)

=

3)

3−4 −1 1 = =− x−2 x−2 x−2

m 2 − 2m − 4m 2 − 2m m 2m m(m − 2) − 2m(2m + 1) = = − 2m + 1 m − 2 (2m + 1)(m − 2) (2m + 1)(m − 2)

=

4)

− 3m 2 − 4m − m(3m + 4) = (2m + 1)(m − 2) (2m + 1)(m − 2)

x+3 x+3 x+3 x−2 x−2 = = ÷ ⋅ x−5 x−2 x−5 x+3 x−5

recordemos que

a c a d ad = ⋅ = ÷ b d b c bc

305


5)

x2 + 2x x2 − x x( x + 2) x( x − 1) ÷ = ÷ 2 2 ( x − 3)( x + 3) ( x + 5)( x + 3) x − 9 x + 8 x + 15

=

2x 5 + 2 = x +1 x −1

7)

x x + x− y y−x

8)

y x − y−x y+x

9)

2 x + x − x − 12 x + 3

11)

x ( x + 2) ( x + 5)( x + 3) ⋅ ( x − 3)( x + 3) x( x − 1)

=

( x + 2)( x + 5) ( x − 3)( x − 1)

2 x( x − 1) + 5 ( x − 1)( x + 1)

=

2x 2 − 2x + 5 ( x − 1)( x1)

2x 5 + = x + 1 ( x − 1)( x + 1)

6)

10)

APENDICE

2

6x + 5 x +1 = ⋅ 2 3 x + 3 6 x − 7 x − 10

1 −x x2 = 1 +x x2

1 − x3 x2 1 + x3 x2

=

1 − x3 = 1 + x3

(1 − x)(1 + x + x 2 ) (1 + x)(1 − x + x 2 )

1 2 = 12) 1 2+ z z+

1+ r r + r 1− r = 13) 1− r r + r 1+ r

306


APENDICE

x 2 + xy + y 2 = x2 y 2 − y x

14)

a a +1 − a = 15) a − 1 a 1− a −1 1 1 − 2 2 ( x + h) x = h

16)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Simplifique las siguientes expresiones : a. 5 - (- 3)

i. -7 - (-3)

b. (- 3) (- 7)

j. 8 ÷ (-2)

c. - (- 4 - 3)

k. (-5) (-3) (-2)

d. 3 (1 - 4)

l. - 2 (-4 - 2)

e. - x (-y - 6)

m. (-x) (-y) (2 - 3z)

f. (-2x) (-3) (-y - 4)

n. 4x (x + y) - x2

g. x [x (2 - 5) - 2(1 - 2x)]

o. 4 [x (2 - 5) - 2 (1 - 2x)]

h. x-1 (2x - 1)

p. (-3x)-1 (6 + 2x)

2) Evalúe cada una de las expresiones siguientes. Escriba la respuesta en la forma más simple. a.

2 5 + 3 3

b. −

7 5 − 8 8

 12 15  20 g.  ⋅  ÷  25 7  7  3 x  2 xy h.  ÷  ⋅  4 xy y  9 307

m.

n.

3 4 4 + + 4 7 21

14 x 25 y ⋅ 15 y 24


APENDICE

c.

12 3 7 − + 5 8 40

i.

2  z 4 ÷ ÷  z 2 z

o.

14 6 ÷ 3 15

d.

2 7 ⋅ 9 9

j.

(2a / 3b)(4b / 5) + a 2b + (b / 5)

p.

3 4x ÷ 8 x 15

e.

2 3 10 ⋅ ⋅ 5 6 7

k. −

6 12 − 5 5

q.

4x x − 5 10

2 5 5 + − 9 4 18

r.

xy  2  x 3x  ÷ ÷ −  6  3  6 4 

 2x  f.  −  ⋅ (−5 xy )  3y 

l.

3) Factorizar las siguientes expresiones

a. 24x – 6

q. 7x2 - 28x + 28

b. 14x2 - 49x

r. 5x2 - 6x - 56

c. 12x5 - 18x4

s. 3x2 - 9x - 54

d. 26x2y5 - 39x4y3

t. 11x2 + x - 12

e. 44x8y7 - 99x4y3

u. 7x2 + 54x - 16

f. x2 + 12x + 35

v. x2 + 2x - 8

g. x2 + 11x + 18

w. 32 + 12x + x2

h. x2 + 13x + 36

x. 12x2 - 27

i. x2 - 13x + 40

y. 42b2 - 13ab + a2

j. x2 + 19x + 48

z. 36x2 - 121

k. x2 + 31x - 66

a1. x2 - 3

l. x2 + 24x - 81

b1. 27x3 - 1

m. x2 - 4x - 32

c1. (x2 + 2x + 1) - (y2 + 10x - 15)

n. x2 - 12x - 64

d1. X3 + 125

o. x2 - 144y2

e1. k2 + 9 + 6k - x2 f1. 7x5/2 - 28x3/2 + 28x1/2

p. x - 4

308


APENDICE

4) Efectúe las operaciones indicadas y simplifique

a.

x2 − x − 6 x 2 − 7 x + 12

b.

 x 2 − 4 x + 4  6 x 2 − 6   2  d.  2  x + 2 x − 3  x + 2 x − 8 

1  1 g.  − ÷h  x+h x

j.

x2 − 4 x2 − x − 6 ÷ x 2 + 2x − 3 x2 − 9

h.

2x 2 + 6x − 8 8 − 4x − 4x 2

2  x −5  x −9   e.  ÷    x − 3   5x 

x−2 x−2 ÷ x + 6 x + 9 2( x 2 − 9) 2

3a   5a   k.  2 +  ÷  4a + b   4a + b  

309

 x  x + 3  c.     x + 2  x − 5 

2  4 x   2 x + 8x    f.  2 ÷    x − 1  x −1 

x−5   i.  2  ÷ ( x − 2)  x − 7 x + 10 


APENDICE

PROPIEDADES DE POTENCIACION Y RADICACION Analicemos inicialmente algunas propiedades de la potenciación y radicación, debido a que las vamos a necesitar para simplificar expresiones algebraicas. Enunciemos cada una de las propiedades y posteriormente haremos algunos ejemplos de cada una de estas.

PROPIEDADES : 1)

am . an = am+ n

Ejemplos : ♦ a3 . a5 = a3+ 5 = a8 ♦ x2 . x 3 = x 5 ♦ 3n . 33 = 3n+ 3 ♦ (a+b)4 . (a+b)3 = (a+b) 7

2)

am = am – n n a

♦

a5 = a5 - 2 = a3 2 a

♦

m5 = m5 - n n m

♦

( x + y )3 = (x + y)3 - 2 2 (x +y )

= (x + y)1

= x+y

310


3)

APENDICE

(am)n = am n

♦ (a3)2 = a6 ♦ (a2n)1/n = a2n.(1/n)

= a2

♦ (32)n = 32n Observemos que si se tiene 9 n , esto se puede colocar así : 9n

↔

(32)n

De tal forma que si tenemos : 9 n+1 = 9n . 9

= 32n . 9

↔

9 . 32n

¿Que se podría hacer en el siguiente caso ?

↔

3 . 32n + 9n

3 . 32n + 32n

Aquí podemos sacar como factor común 32n : ↔

32n (3 + 1)

4)

32n . 4

↔

4 . 32n

(a.b)n = an . bn

♦ (x.y)2 = x2 y2 ♦ (2x) n+2 = 2 n+2 . x n+2

n

5)

an a =   bn b

2

x x2 ♦   = 2 y  y

311

↔

3 2n


 32n ♦  2 n 2

  

1/ n

(3 2 n )1 / n 3 2 = 2n 1/ n = 2 (2 ) 2

 2 x1 / 2 y 1 / 2 ♦   y−x

APENDICE

=

9 4

2

 (2 x1 / 2 y 1 / 2 ) 2  = ( y − x) 2 

=

4 xy ( y − x) 2

2

 y+ x ( y + x) 2  = ♦  ( y − x) 2  y− x

2

 a−b  ( a − b) 2 ♦   = (2 ba ) 2  2 ba 

=

( a − b) 2 (2) 2 ( ba) 2

=

(a − b) 2 4( ba ) 2

2

 a ( a )2  = ♦   ( b)2  b

n

6)

♦

3

a m = am/n

a 5 = a5/3

♦

x 2 = x2/2 = x1 = x

♦

m 4 = m4/2 = m2

♦ ♦

3

8 −2 n = 8 -2n/3 = (23)-2n/3 = 2 -2n 8x 3 = (8x3)1/2 = (22 . 2 . x2 . x)1/2 = (22 )1/2 . (2)1/2 .( x2 )1/2. (x)1/2 = 2.

♦ ( a ) 2 = (a1/2)2 = a

312

2 .x.

x

= 2x 2 x


APENDICE

♦ ( 1 + x )2 = 1 + x ♦

( x − y) 2 = x - y

Debemos tener mucho cuidado para no cometer el siguiente ¡ERROR!

x2 − y2 = x2 − y2 = x - y

= x-y

→

Esto es un ERROR

( x − y) 2 = x - y

→

Esto es CIERTO

x2 − y2

7)

n

a = b

n

a

n

b

♦

x = y

♦

1 = m2

♦

( y + x) 2 = ( y − x) 2

♦

1− x2 = x2

x y

1 m2

=

1 m

( y + x) 2 ( y − x) 2 1− x2 x2

=

=

y+x y−x

1− x2 x

313


8)

n

APENDICE

ab = n a ⋅ n b

♦

xy =

♦

27x 3

x⋅ y

27 ⋅ x 3

=

=

9 ⋅ 3 ⋅ x2 ⋅ x = =

♦

9)

a2 − x2

=

(a − x)(a + x)

=

ao = 1

♦ b0 = 1 ♦ (a + 3x)0 = 1

1 ; a ≠0 an

a -n =

♦ x -2 =

1 x2

♦ a -3 =

1 a3

Tener cuidado con cometer el siguiente error : 2 x -2 =

1 2x 2

3 3 ⋅ x x = 3x 3 x

a−x⋅ a+x

♦ x0 = 1

10)

9 3 x2 x

¡ERROR!

314


APENDICE

Observemos que el exponente negativo es únicamente de la x. 1 2 = 2 2 x x

♦ 2 x -2 = 2 .

♦ 3 x -5 =

3 x5

♦ 4 m -4 =

4 m4

♦ (2x) -2 →

Aquí el exponente negativo es de todo el paréntesis.

1 1 = 2 2 (2 x) 4x

(2x) -2 =

♦ (a + x) -1 =

1 a+x

♦ (a + b) -2 =

1 ( a + b) 2

♦ (a1/2 – b1/2) -1 =

♦ 3(a + b) -2 =

11)

a   b

−n

a

1/ 2

1 − b1 / 2

3 ( a + b) 2

b =  a

n

315


x ♦    y

a ♦   b

−2

 y =  x

−n

=

2

=

1 an 1 bn

=

bn b =   n a a

−n

a b −n

 a 1 / 2 + b1 / 2 ♦  1/ 2  b

  

−1

=

n m

12)

♦ ♦

3 4

  

−2

Aplicando la ley de la oreja

n

b1 / 2 a 1 / 2 + b1 / 2

1  ♦ (a -1 - 1) -2 =  − 1 a 

 y−x ♦  1 / 2 1 / 2  2x y

APENDICE

−2

1− a  =   a 

 2 x1 / 2 y 1 / 2 =   y−x

  

2

=

−2

2

a2  a  =  = (1 − a )2 1 − a 

(2 x1 / 2 y 1 / 2 ) 2 4 xy = 2 ( y − x) ( y − x) 2

a = nm a

x = 12 x

x8 = 4 x8

= x8/4 = x2

316


APENDICE

Recuerde que :

am . an = am+ n

n

ab = n a .n b

am = am – n an

a0 = 1

(am)n = am n

a-n =

n

n

(a.b) = a . b

a   b

n

−n

1 an

b =  a

; a ≠0 n

n

an a   = n b b n

n m

a m = am/n

n

a = nm a

a = b

n

a

n

b

a3 ± b3 = (a ± b) (a2 m ab + b2)

a2 – b2 = (a – b) (a + b) (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

(a ± b) = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

En los siguientes ejercicios suponga que todas las variables son positivas. Encontrar el valor numérico del radical :

1)

3

4)

4

7)

5

10)

− 125

2)

14 1 . 4 4

5)

100000

4

0.0001

8)

11)

3

2

1 x y4

3)

16

6)

10a 2 bc 4

9)

3

3 3

4ab . 16a

317

2

0.0016

− 16 x 2 − 8 x −2 125 5

 − 27 x   12)  − 3 3  xy  

3


13)

16)

3

3

− 64 27

APENDICE

7 ab 2

14)

49a 7b

15)

4

3

− ( p −1 q 2 ) 3

(−2 x) 3 − z6

Racionalizar el denominador : 17)

20)

1

18)

27

2− 5

21)

2+ 5

1

19)

x +1

1

22)

a− b

a 1+ a 3− 7 3+ 7

Racionalizar el numerador : 23)

2( x + h) − 2 x h

1 26)

x+h h

−

24)

x + h +1 − x +1 h

1 x

Simplificar las siguientes expresiones : 1)

(2 x − 1) x − 1 (2 x − 1) x − 3 * 4( x − 1) x − 3 ( x − 3) x + 2

 a 1 / 2 + b1 / 2 a a − b a  1/ 2 1/ 2 a (a − b1 / 2 ) −1 −  2) 1/ 2 a+b   b 3)

2ax 1 − (a + x) −1

 1 − (a 2 + x 2 )  1 1 −  2ax  a+x

318

  

−1

  

25)

( x + h) 2 + 1 − x 2 + 1 h


APENDICE

1+ a2 − 1− a2

4) Racionalizar y simplificar

5)

1 − 4ab(a + b) −2

a2 − b2

1+ a2 + 1− a2

(a 2 + 2ab + b 2 )

 3m 9 * 32m 3m  7)   9 3 −m  

6)

2 m −1

8)

2 n+3 − 2 n + 7 9) n +1 2 − 2n + 1

11) 2x -

1 + (a + x) −1 1 − (a + x) −1

[8 3

10)

−2 n

 1 − (a 2 + x 2 )  1 −  2ax  

(3 * 3 2 n + 9 n )

   −2 1+ x 1− x 1 12)  + *  x −1 −   x 1 − x 2 + x − 1   1+ x − 1− x

13)

n+2+ n −4 n+2− n −4 2

+

x +1 x −1 14) 1 1 − x −1 x +1 1+

n+2− n −4 2

n + 2 + n2 − 4

 x 2 + xy − xz  x z+x 15)  ÷ ⋅ 2 2 2 2  ( x + z ) − y  ( x − y) 2 − z 2  ( x + y) − z

1 1  a+ x a− x 2 16)  − − − ÷  x a+ x x−a a− x a+ x

319

1/ n

 1  x  −1 / 2 1  y  −1 / 2  −       2 x   2  y  

1 x − (4 / x)

2

]

−2

+1


APENDICE

a2 + b2 b2 b+ 1 a+b ⋅ a ⋅ 17) 2 2 2a − b a−b a − 2b 1+ a+b+ b b−a a−b+

1+

19) 2x +

21)

23)

25)

27)

30)

18)

 a −1 + b −1   b −2 + a −2  ÷  −2 20)  −1 −1  −2  a −b  b −a

x − 3y 4y2 − x2 ⋅ x 3 − 27 y 3 x 2 − 3 xy − 10 y 2

22)

6 ⋅ 3 2 n + 2 ⋅ 9 n +1

24)

9 3 (27 2 / 3 ) n

1

26)

m − m2 − 4 m + m2 − 4 ⋅ 2m 2m

8

28)

3 a −2 b

2 3

31)

3 3 −1

b a2 −1 b2

x

 x  x2 −1  − x 2 − 11 + 2 x −1 x + x2 −1  2

a2 − b 2 −1 + b b2 1− 2 a a

  + (a −3 + b −3 ) 0 

3 n + 3 − 3 n + 26 3n+ 2 − 3n + 8

x + x2 −1 x − x2 −1

−

x − x2 −1 x + x2 −1

1+ a a − 1− a

x y+y x

29)

y x−x y

x+ y x− y − x

( x − x −1 )( y − y −1 ) x 2 + y 2 − ( x −2 + y −2 ) + xy + ( xy ) −1 x 2 y 2 − ( xy ) − 2

32) [(a-1 – 1)-1 + 1]-1 – [(a-1 + 1)-1 – 1]-1

 a −1 + b −1 b −2 + a −2  33)  −1 ÷ −2  −1 b − a −2  a −b

−1

34)

320

[(4

3n

)

+ 8 ⋅ 8 2 n ⋅ 3 27 −2 n

]

1/ 2n


35)

37)

APENDICE

  ae 4 x − ae −4 x 36) 2 + x −x x −x  (e − e )(ae + ae )  

16 n +1 + 2 2 n +3 + 8 2 2 ⋅ 2 4n + 4 n + 2

2 n ⋅ 4 n +1 9 2 n 36(2 2 n + 4 n ) −3 ⋅ ⋅ 16 3 ⋅ 8n 81n

39) Si

z=

1 + (a + x) −1 1 − (a + x) −1

Verificar que :

z=

 e x − e −x (e + e ) 1 −  x −x e +e x

 1 − (a 2 + x 2 )  ⋅ 1 −  2ax  

x=

  

2

1 a −1

2a 1 + x 2 x + 1+ x2

, si se sustituye

1 a b −   2 b a

41) Calcular el valor de z para x =

2ab ; si b2 +1

42) Calcular el valor de y para x =

y=

y

−x

a3 2(a − 1)

40) Que forma simple adquiere la expresión

x=

(e x + e − x ) 2 − (e x − e − x ) 2

38)

z=

a+x + a−x a+x − a−x

m − m2 − 4 , si 2m

1− x2 + x 1− x2 x

En los siguientes ejercicios despeje la variable indicada en término de las restantes 1) 3p + 100x = 2000

p=?

3) 0.3p + 0.62x = 200

x=?

5) x = -30p + 600

p=?

2) 40p + (1/5)x = 6000 4) p = -(1/30)x + 180

x=? x=?

6) (1/2000)p + 3x = 1/5 p = ? , x = ?

321


7) I = Io – bi

i=?

9) M = ky – hi

i=?

APENDICE

8) y = ∝ (A – bi)

i=?

10) y = Co + cy + Io + bi + Go

y=?

EJERCICIOS RESUELTOS Vamos a simplificar ahora algunas expresiones donde utilizaremos las propiedades vistas anteriormente.

1)

2ax 1 − (a + x) −1

 1 − (a 2 + x 2 )  1 1 −  2ax  a+x

Cambiemos el exponente negativo a positivo y sumemos fraccionarios

=

2ax 1 1 − a 2 − x 2 )  1 −  1 1 2ax a+x 1− a+x

=

2ax  2ax − (1 − a 2 − x 2 )  1  a + x − 1  2ax a+x a+x

Apliquemos ley de la oreja, destruyamos paréntesis y eliminemos términos semejantes

=

2ax(a + x)  2ax − 1 + a 2 + x 2 )  1   2ax a + x −1  a+x

=

[

]

1 a 2 + 2ax + x 2 − 1 a + x −1

Factoricemos el trinomio cuadrado perfecto y además la diferencia de cuadrados para eliminar términos semejantes

=

[

]

1 (a + x) 2 − 1 a + x −1

=

1 [(a + x − 1)(a + x + 1)] a + x −1

322

=

a+x+1


3 − 2 n 1 2n n   8 4 (3 * 3 + 9 )

2)

APENDICE

1/ n

Bajemos la base 8 a 2 y la base 9 a 3; saquemos factor común 32n.

1   = 3 (2 3 ) −2 n (3 * 3 2 n + 3 2 n ) 4  

1   =  2 − 6 n / 3 ⋅ 3 2 n ⋅ 4 4  

32 = 22

1/ n

=

[2

1/ n

−2 n

1   = 3 2 −6 n ⋅ 3 2 n (3 + 1) 4  

⋅3

]

2n 1/ n

 1  =  2n ⋅ 32 n  2 

1/ n

1/ n

=

(3 2 n )1 / n ( 2 2 n )1 / n

9 4

Para los siguientes ejercicios se debe tener en cuenta las siguientes propiedades :

a ♦   b

−n

b =  a

n

n

an a ♦   = n b b

♦ am . an = am+ n ♦ (a.b)n = an . bn ♦

n

♦

n

a = b

n

a

n

b

a m = am/n

♦ (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ♦ Restar y sumar fraccionarios ♦ Sumar o restar términos semejantes ♦ Factorizar un trinomio cuadrado perfecto.

323


3)

=

=

 1  x  −1 / 2 1  y  −1 / 2  −       2 x   2  y  

 y1/ 2 x1 / 2   1/ 2 − 1/ 2  2y   2x

 y−x   1/ 2 1/ 2   2x ⋅ y 

−2

+1

4 xy + ( y − x) 2 ( y − x) 2

=

( y + x) 2 ( y − x) 2

=

 1  y 1 / 2 1  x 1 / 2     −    2 y   2  x  

+1

=

=

 y 1 / 2 ⋅ y 1 / 2 − x1 / 2 ⋅ x1 / 2    2 x1 / 2 ⋅ y 1 / 2  

−2

−2

=

APENDICE

2

 2 x1 / 2 ⋅ y 1 / 2    +1 =  y−x 

+1 =

=

4 xy + y 2 − 2 xy + x 2 = ( y − x) 2

( y + x) 2 ( y − x)

2

=

y+x y−x

   −2 1+ x 1− x 1 4)  +  *  x −1 −  2 x 1 − x + x − 1   1+ x − 1− x (A) (B) (C)

por partes tenemos : -

Racionalicemos por el conjugado. Destruyamos paréntesis. Sumemos términos semejantes. Sacar factor común.

324

−2

+1

−2

+1

4 xy +1 ( y − x) 2

y 2 + 2 xy + x 2 ( y − x) 2


(A)

1+ x 1+ x − 1− x

⋅

APENDICE

1+ x + 1− x 1+ x + 1− x

1+ x( 1+ x + 1− x)

=

( 1 + x )2 − ( 1 − x)2 (A)

=

(B)

1+ x)2 + 1+ x ⋅ 1− x 1 + x − (1 − x)

1− x 1− x2 + x −1

1 − x 2 − ( x − 1)

⋅

(C)

=

1 x

1− x2 1 − x x

=

=

1+ x + 1− x2 2x

( 1 − x 2 ) 2 − ( x − 1) 2

(1 − x)( 1 − x 2 − x + 1) (1 − x)( 1 − x 2 − x + 1) = 1 − x 2 − x 2 + 2x − 1 2x − 2x 2

(1 − x)( 1 − x 2 − x + 1) = 2 x(1 − x)

x −2 − 1 −

=

(1 − x)[ 1 − x 2 − ( x − 1)]

=

1 − x 2 − ( x − 1)

(1 − x)( 1 − x 2 − x + 1) = = 1 − x 2 − ( x 2 − 2 x + 1)

=

1 + x + (1 + x)(1 − x) 1+ x −1+ x

=

1− x2 − x +1 2x

1 1 −1 − 2 x x

1 − x2 −1 x

(B)

1− x2 1 − x x2

=

(C)

Reuniendo las partes A, B y C, tenemos :

1 + x + 1 − x 2 1 − x 2 − x + 1  1 − x 2 − 1 +  ⋅  2x 2x x     A B C

325

=

1− x2 x2

−

1 x


APENDICE

1 + x + 1 − x 2 + 1 − x 2 − x + 1  1 − x 2 − 1  2 1 − x 2 + 2   1 − x 2 − 1 =  ⋅  =  ⋅  2x x 2x x        

 2( 1 − x 2 + 1)   1 − x 2 − 1  1 − x 2 + 1   1 − x 2 − 1 ( 1− x2 )2 −1 =  ⋅  =  ⋅  = 2x x x x x2        

1− x2 −1 − x2 = x2 x2

=

3 n +3 − 3 n + 26 5) 3 n+2 − 3n + 8 =

6)

=

-1

3 n 33 − 3 n + 26 3 n 3 2 − 3n + 8

=

26(3 n + 1) 3 n ⋅ 26 + 26 = 3n ⋅ 8 + 8 8(3 n + 1)

1

1

1 m2

=

1 1 m2

=

13 4

=

1 (m − m 2 − 4 )(m + m 2 − 4 ) (2m)(2m)

1

=

m 2 − (m 2 − 4) 4m 2

m2 − ( m2 − 4)2 4m 2

1

=

=

m − m2 − 4 m + m2 − 4 ⋅ 2m 2m

=

=

26 8

=

1 1 m

=

3 n (33 − 1) + 26 3 n (3 2 − 1) + 8

m

326

=

1 m2 − m2 + 4 4m 2

=

1 4 4m 2


7)

APENDICE

( x − x −1 )( y − y −1 ) x 2 + y 2 − ( x −2 + y −2 ) + xy + ( xy ) −1 x 2 y 2 − ( xy ) − 2

 x 2 − 1  y 2 − 1   y2 + x2    x 2 + y 2 −  2 2  x  y  +  x y 2 2 1 x y +1 x2 y2 − 2 2 x y xy

1 1 1 1 ( x − )( y − ) x 2 + y 2 − ( 2 + 2 ) x y x y = = + 1 1 2 2 xy + x y − xy ( xy) 2

=

 x2 y 2 (x2 + y 2 ) − ( y 2 + x2 )    x2 y2 ( x 2 − 1)( y 2 − 1)   + 2 2 4 4 x y +1 x y −1 x2 y2

=

x 2 y 2 − x 2 − y 2 + 1 (x 2 + y 2 )(x 2 y 2 − 1) + x2 y2 +1 x4 y4 −1

=

x 2 y 2 − x 2 − y 2 + 1 (x 2 + y 2 )(x 2 y 2 − 1) + 2 2 x2 y2 +1 ( x y − 1)( x 2 y 2 + 1)

=

x2 y2 +1 = x2 y2 +1

x2 y2 − x2 − y2 +1+ x2 + y2 x2 y2 +1

1

2a 1 + x 2

8) Que forma simple adquiere la expresión

x=

=

x + 1+ x2

si se sustituye

1 a b −   2 b a

Simplifiquemos primero x : 1 a b x=  −  2 b a

=

1  2 

( a ) − ( b )  2

b a

2



327

=

1 a − b = 2  ba 

a−b 2 ba

  


APENDICE

Reemplacemos en la expresión :

 a−b  2a 1 +    2 ba 

2

2a 1 +

a−b

 a−b  + 1 +   2 ba  2 ba 

=

2

a−b

+

( a + b) 4ba

a ( a + b) = 2a 2

=

=

=

a −b

a−b 2 ba

a 2 + 2ab + b 2a 4ba 2 ba

2a ⋅

2

2a 1 +

( a − b) 2 + 1+ 4ba 2 ba

4ba + a 2 − 2ab + b 2 + 4ba 2 ba

( a + b) 2 4ba

2

a−b

a−b

2 ba

=

=

4ba + a 2 − 2ab + b 2a 4ba

2a

=

2

( a − b) 4ba

a 2 − 2ab + b 4ba

+ 1+

2

a 2 − 2ab + b 2 4ba

2

a 2 + 2ab + b 2 4ba

+

( a + b)

2 ba a+b + 2 ba 2 ba a−b

a⋅

=

( a + b)

ba a−b+a+b 2 ba

a+b

9) Dado 3p + 100x = 2000

3p = 2000 – 100x

10) Dado p = -(1/30)x + 180 1 x = - p + 180 30

despejar p →

p=

2000 100 − x 3 3

despejar x → x = 30 (- p + 180)

328

→

x = - 30p + 5400


PROGRESIONES

PROGRESION ARITMETICA Analicemos los siguientes números : 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, . . . . . Estos números tienen un comportamiento especial, ¿cuál es ? R/ Observemos que cada término excepto el primero se obtiene del anterior sumando 5. Por ejemplo : 8 = 3+5 13 = 8 + 5 18 = 13 + 5 23 = 18 + 5

Si llamamos : a1 = primer término a2 = segundo término a3 = tercer término ak = k-ésimo término an = n-ésimo término

Entonces an = an-1 + 5 Un conjunto de números con esta propiedad se denomina Progresión Aritmética. Por ejemplo :

8-3=5 13 - 8 = 5 18 - 13 = 5 23 - 18 = 5

Supongamos que en una Progresión Aritmética : a1 = primer término, d = diferencia común, n = número de términos. Entonces en términos generales podemos decir que : Primer término Segundo término Tercer término Cuarto término Quinto término :

→ → → → →

a1 a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + d + d → a4 = a3 + d = a1 + 2d + d → a5 = a4 + d = a1 + 3d + d → :

a3 = a1 + 2d a4 = a1 + 3d a5 = a1 + 4d

Si continuamos podemos decir que el n-ésimo término que se denota por an viene dado por: an = a1 + (n - 1) d Si retomamos la progresión aritmética anterior 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, . . . . . Aquí a1 = 3 y d = 5

329


PROGRESIONES

¿Cuál sería el término No. 7 ? R/ Si an = a1 + (n - 1) d a7 = 3 + (7 - 1) 5

entonces :

→

→

a7 = 3 + 6 (5)

a7 = 33

Esto lo podemos verificar en la lista de números de la progresión . Ejercicios : 1) Hallar el término No. 20 de la progresión aritmética: -3, 1, 5, 9, 13, . . . . . . R/ Observemos que a1 = -3 y d = 4 entonces :

→

a20 = - 3 + (20 - 1) 4

a20 = - 3 + 76

→

a20 = 73

2) Hallar el quinto término de una progresión aritmética cuya diferencia común es 6 y cuyo término No. 25 es 129 R/ Aquí tenemos d = 6 a25 = a1 + (25 - 1) 6

y →

a25 = 129.

Como an = a1 + (n - 1) d entonces :

129 = a1 + 144

→

a1 = - 15

→

a5 = 9

Ya obtuvimos a1 ahora necesitamos a5 : a5 = a1 + (5 - 1) d

→

a5 = - 15 + 4 (6)

3) Determinar el primer término y la diferencia común de una progresión aritmética cuyo sexto término es 17 y cuyo décimo término es 29. R/ Aquí tenemos a6 = 17 y a10 = 29. Nos piden a1 = ? y d = ? Como an = a1 + (n - 1) d entonces : a6 = a1 + (6 - 1) d

→

a6 = a1 + 5d

→

17 = a1 + 5d (1)

a10 = a1 + (10 - 1) d

→

a10 = a1 + 9d

→

29 = a1 + 9d (2)

Aquí se tienen 2 ecuaciones con 2 incógnitas, si despejamos a1 de ambas ecuaciones e igualamos obtenemos : De (1) De (2)

17 - 5d = a1 29 - 9d = a1

17 - 5d = 29 – 9d 9d - 5d = 29 - 17 4d = 12 →

330

d=3


PROGRESIONES

Si reemplazamos d = 3 en (1) obtenemos : 17 = a1 + 5 (3)

→

→

17 = a1 + 15

a1 = 2

Ahora si quisiéramos hallar por ejemplo el término No. 35 debemos hacer a35 = 2 + (35 - 1) 3

a35 = 104

EJERCICIOS PROPUESTOS En los siguientes ejercicios se da un conjunto de números que forman una progresión aritmética y se pide hallar el término indicado. 1) -4, 1, 6, 11, 16, . . . .

Hallar

a15

y

a30

2) 1, 4, 7, 10, . . . .

Hallar

a13

y

a25

3) -2, 5, 12, 19, . . . .

Hallar

a8

4) 1/2, 5/2, 9/2, 13/2 . . . Hallar

a18

y y

a16 a32

A continuación en los ejercicios 5 al 10 se dan dos términos de una progresión aritmética y se debe hallar el primer término y la diferencia común. 5) a4 = 7

a15 = 40

6) a6 = 15

a18 = 75

7) a2 = 3

a16 = 59

8) a10 = 18

a29 = 151

10) a6 = -1

a20 = 55

9) a5 = 13

a19 = 55

331


PROGRESIONES

PROGRESION GEOMETRICA Analicemos los siguientes números : 2, 4, 8, 16, 32, 64,.... podemos observar que cada término, excepto el primero se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante, que en este caso es el número 2. DEFINICION : Una sucesión o progresión geométrica es una sucesión de elementos tal que todo término excepto el primero se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante. El valor constante se denomina la razón de la progresión geométrica o razón común. La razón se puede determinar dividiendo cada término por el anterior, por ejemplo : a1 = 2

a2 = 4

a2 4 = =2 a1 2

a3 = 8

a4 = 16

a3 8 = =2 a2 4

a 4 16 = =2 a3 8

an =r a n−1


a5 = 32

ó

a6 = 64 a5 32 =2 = a 4 16

an = r . an-1

Supongamos que el primer elemento ó término de una progresión geométrica es a1 y la razón es r. Entonces : Primer término

→

a1

Segundo término

→

a2 = a1 . r

Tercer término

→

a3 = a2 . r

= (a1 . r) r

Cuarto término

→

a4 = a3 . r

= (a1 . r2) r = a1 . r3

Quinto término . . . n- ésimo término

→

a5 = a4 . r

= (a1 . r3) r = a1 . r4

→

an = an-1 . r

= a1 . r2

= (a1 . rn-2) r = a1 . rn-1

Esto indica que el n-ésimo término de una progresión geométrica viene dado por :

an = a1 . rn-1 332


PROGRESIONES

Ejemplos : 1) Dada la siguiente progresión geométrica : 2, 3, 9/2, 27/4, . . . encontrar el noveno término. 3 Sabemos que a1 = 2 y r= 2 debemos hallar a9 . Entonces reemplazando en an = a1 . rn-1 tenemos :  3 a9 = 2 .    2

a9 =

9 −1

 3 a9 = 2 .    2

→

6561 128

8

 6561 a9 = 2 .    256 

→

Noveno término

2) Si la razón de una progresión geométrica es ½ y el término número 15 es 3/32768. Encontrar el primer término.

Tenemos r = ½ y

a15 =

3 debemos hallar a1 . 32768

sabemos que : 14

a15 = a1 . r

3.(16384) = a1 32768

3  1 = a1 .    2 32768

→

→

a1 =

14

→

3  1  = a1   32768  16384 

3 2

3) Si el primer término de una progresión geométrica es - 20 y el décimo término es - 5/128. Cuál es la razón común ?

Sabemos que a1 = - 20

si an = a1 . rn-1

→

y a10 = −

5 , 128

debemos hallar r.

→

a10 = a1 . r9

333

−

5 = - 20 . r9 128


r9 =

5 128(20)

→

r9 =

PROGRESIONES

1 512

→

 1  r =    512 

1/ 9

→

r = 1/2

4) Los siguientes cinco números 2, 6, 18, 54, 162 forman una progresión geométrica donde el primer término a1 = 2 y r = 3 . Por que r = 3 ? Sabemos que a1 = 2 ; Si dividimos : a2 6 = =3 a1 2

a2 = 6 ;

a3 = 18 ;

a 3 18 = =3 a2 6

a4 = 54 ;

a 4 54 =3 = a 3 18

a5 = 162

a5 162 =3 = a4 54

Podemos observar que el cociente entre cualquier número y el anterior siempre es igual a 3. La anterior progresión consta de cinco términos ; si sumamos estos términos el resultado sería 242 veamos : 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242 Y si tuviéramos la misma progresión pero con 15 términos por ejemplo, habrá alguna expresión que me permita hallar la suma de una progresión geométrica ?

a1 (r n − 1) Sn = r −1

R/ Sí . Cuál es ?

Esta expresión sirve para determinar la suma de una progresión geométrica, donde a1 es el primer término, r es la razón de la progresión y n es el número de términos.

Nota : La suma de una progresión geométrica se denomina SERIE GEOMETRICA. Si aplicamos la fórmula para el caso anterior tenemos : a1 = 2 entonces :

S5 =

2 [35 − 1] 3−1

→

S5 =

2(243 − 1) 2

→

S5 = 242

Si la progresión hubiese tenido 15 términos, la suma daría :

S15 =

2 [315 − 1] 3−1

→

S5 =

2(14'348907 − 1) 2

S15 = 14’348906

334

n=5 y r=3


PROGRESIONES

Ejercicio : Evaluemos si los siguientes términos constituyen una progresión geométrica. 1, 1+ i, (1+ i)2, (1+ i)3, (1+ i)4,. . . . . . . , (1 + i)n-2, (1 + i)n-1 a1 = 1, a2 = 1+ i, a3 = (1+ i)2, a4 = (1+ i)3, . . . . . . . , an-1 = (1 + i)n-2, an = (1 + i)n-1 Cual es la razón ? veamos : a2 1+ i = = 1+i a1 1

a3 (1 + i ) 2 = = 1+i a2 (1 + i ) 1

a4 (1 + i ) 3 = = 1+i..... (1 + i ) 2 a3

an (1 + i ) n −1 = = 1+i (1 + i ) n − 2 a n−1

En conclusión la razón r = 1 + i y a1 = 1 Cuantos términos tiene la progresión ? R/ La progresión tiene n términos. Si empleamos la formula, cuál sería la suma ? R/

1.[(1 + i ) n − 1] Sn = (1 + i ) − 1

→

(1 + i ) n − 1 Sn = i

Ejercicios : Para cada caso verificar si los términos dados conforman una progresión geométrica y hallar la suma de los primeros n términos, dado n. 1) 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . .

n = 20

2) 1.2, 1.8, 2.9, 4.05, 6.075, 9.1125, . . . . .

n = 25

3) 3/2, 3/4, 3/8, 3/16, 3/32, 3/64, . . . . .

n = 10

4) 5/3, 5/9, 5/27, 5/81, . . . . .

n = 12

5) 2, 3.6, 6.48, 11.664, 20.9952, . . . . .

n = 30

6) 1, 1+ i, (1+ i)2, (1+ i)3, (1+ i)4, . . . . .

n = 25

7) encontrar el octavo término de la siguiente progresión geométrica : -1/5, 1/15, -1/45, 1/135,. . . . . 8) Hallar el primer término de una progresión geométrica cuya razón es ½ y el noveno término es -1/8 R/ a1 = - 32 9) Hallar la razón común de una progresión geométrica si el primer término es - 81 y el séptimo término es -64/9 R/ 2/3

335


APENDICE

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Analicemos la siguiente gráfica :

y y2

B(x2 , y2 )

y 2 -y 1 A( x1 , y1 )

y1 x 2 -x 1

x x1

x2

Aquí tenemos el segmento de recta entre A y B que lo vamos a denotar por AB . Conociendo las coordenadas entre A y B : hallar la distancia entre A y B. veamos :

A(x1 , y1) B(x2 , y2) el propósito ahora es

AB : Distancia entre A y B

Por el teorema de pitágoras: 2

AB = (y 2 - y 1 )² + (x 2 - x 1 )²

Esta expresión sirve para hallar la AB =

( y 2 − y1 ) 2 + ( x 2 − x1 ) 2

distancia entre 2 puntos dadas las las coordenadas A(x 1 ,y 1 ) B(x 2 ,y 2 ).

336


APENDICE

Ejemplo: Hallar la distancia entre el punto A(2,3) y B(5,8).

y 8

B

3

AB =

(8 − 3) 2 + (5 − 2) 2 = 52 + 32

AB =

34 ≅ 5.83

A

2

5

x

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO Entre el punto A(x1 , y1) y B(x2 , y2) hay un punto C( x, y ) tal que Este punto C es el punto medio entre A y B, donde : x = Abscisa del punto medio y = Ordenada del punto medio

AC = CB

Y La abscisa ( X ) del punto medio se calcula así :

Y2

B

Y1

X = X1 +

C

Y

X 2 − X1 2 X1 + X 2 − X1 = 2 2

A X=

X1

X

X2

X

337

X1 + X 2 2


APENDICE

Análogamente : Y = Y1 +

Y2 − Y1 2Y1 + Y2 − Y1 = 2 2

Y=

Y1 + Y2 2

Sea A(x 1 ,y 1 ) y B(x 2 ,y 2 ) un segmento de recta y C el punto medio de AB ; si las coordenadas del punto C son C( X , Y ) entonces las coordenadas X y Y vendrán dadas así :

X=

X1 + X 2 2

Y=

Y1 + Y2 2

Ejemplo : Hallar las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une los puntos A(2,3) B(5,8):

y

C ( X ,Y ) B X =

C(3.5 , 5.5) A

Y=

x

2 +5 2 3 +8 2

X = 3.5

Y = 5.5

Definición : Si C(h , k) es un punto del plano y r > 0. El conjunto de todos los puntos de la forma (x , y) cuya distancia al punto C(h , k) es r, se denomina circunferencia de centro C(h , k) y radio r (ver figura).

Si la circunferencia pasa por el punto (x , y) y el centro es el origen, entonces la ecuación será : x2 + y2 = r2

338


APENDICE

Cuál será la ecuación de la circunferencia que tiene radio 5 y cuyo centro es el origen.

R/

→

x2 + y2 = 52

x2 + y2 = 25

La ecuación también se puede escribir en la forma general que es la siguiente : Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

;

Donde A = B y A ≠ 0

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA Aplicando el teorema de pitágoras :

y Ecuación P(x , y)

( x - h )² + ( y - k )² = r²

Esta ecuación está escrita en la forma canónica.

C(h , k)

x 1) Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (3,5) y el radio es 6. (x - 3)² + (y - 5 )² = 6²

→

(x - 3)² + (y - 5 )² = 36

2) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7,5) y tiene centro de coordenadas C(4,4). Debemos hallar primero el radio r = AC =

r = AC

(4 − 5) 2 + (4 − 7) 2 = 1 + 9 = 10

Centro C(4,4) r =

10

339


Ecuación

APENDICE

( x - 4 )² + ( y - 4 )² = ( 10 )²

( x - 4 )² + ( y - 4 )² = 10

Ecuación escrita en la forma canónica

3) Hallar el centro y radio de la siguiente circunferencia escrita en la forma general x² - 4x + y² + 6y - 3 = 0; Debo completar para obtener trinomio cuadrado perfecto y colocar en la forma canónica para darnos cuenta cuales son las coordenadas del centro y además conocer el radio. x² - 4x

+ y² + 6y

= 3

x² - 4x + 4 - 4 + y² + 6y + 9 - 9 = 3

x² - 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 3 + 4 + 9 (x - 2 )² + (y + 3)² = 16

Centro (2,-3) , radio = 4

4) Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyos extremos de un diámetro sean A(2,3) y B(8,7). Si los extremos son A y B podemos hallar las coordenadas del punto medio y ese punto será el centro. Entonces, sea C( X , Y ) coordenadas del centro. X=

X1 + X 2 2

entonces C(5,5)

X = →

2 +8 2

=5

Y=

,

Y1 + Y2 2

Y=

3 +7

coordenadas del centro.

Para hallar el radio determinamos la distancia entre un extremo y el centro r = AC = CB

AC =

A(2,3) C(5,5) B(8,7)

BC =

C(5,5 )

o sea que r = AC = BC entonces si C(5,5) y r =

(5 − 3) 2 + (5 − 2) 2 = 13 (5 − 7) 2 + (5 − 8) 2 = 13 r=

13 r² = 13

13

(x - 5)² + (y - 5)² = 13

la ecuación en la forma canónica sería

340

2

=5


APENDICE

EJERCICIOS PROPUESTOS En los problemas 1 al 6, halle la distancia entre los puntos. 1. A(1,2) , B(-3,4) 3. A(2,4) , B(-4,-4) 5. A(- 3/2,1) , B(5/2,-2)

2. A(-1,3) , B(5,0) 4. A(-12,-3) , B(-5,-7) 6. A(-5/3,4) , B(-2/3,-1)

En los problemas 7 al 10, determine si los puntos A, B y C son vértices de un triángulo rectángulo. 7. A(8,1), B(-3,-1), C(10,5) 9. A(2,8), B(0,-3), C(6,5)

8. A(-2,-1), B(8,2), C(1,-11) 10. A(4,0), B(1,1), C(2,3)

11. Determine si los puntos A(0,0), B(3,4) y C(7,7) son vértices de un triángulo isósceles.

12. Encuentre todos los puntos en el eje Y que estén a 5 unidades del punto (4,4) 13. Considere el segmento de recta que une A(-1,2) y B(3,4). a. Halle una ecuación que exprese el hecho de que un punto p(x,y) es equidistante de A y B.

b. Describa geométricamente el conjunto de puntos descritos por la ecuación de la parte (a).

14. Utilice la fórmula de la distancia para determinar si los puntos A(-1,-5), B(2,4) y C(4,-10) se localizan en una línea recta.

En los problemas 15 al 20, halle el punto medio del segmento que une A y B. 15. A(4,1) , B(-2,4) 17. A(-1,0) , B(-8,5) 19. A(2a,3b) , B(4a,-6b)

16. A(2/3,1) , B(7/3,-3) 18. A(1/2,-3/2) , B(-5/2,1) 20. A(x , x) , B(-x , x+2)

En los problemas 21 al 24, halle B si M es el punto medio del segmento de recta que une A y B. 21. A(-2,1), M(3/2,0)

22. A(4,1/2), M(7,-5/2)

341


23. A(5,8), M(-1,-1)

APENDICE

24. A(-10,2), M(5,1)

25. Halle la distancia desde el punto medio del segmento de recta que une A(1,3) y B(3,5) hasta el punto medio del segmento de recta que une C(4,6) y D(-2,-10).

26. Halle todos los puntos en el eje X que estén a 3 unidades del punto medio del segmento de recta que une A(5,2) y B(-5,-6).

27. Los puntos A(1,0), B(5,0), C(4,6) y D(8,6) son vértices de un paralelogramo. Demuestre que las diagonales del paralelogramo se bisecan entre sí.

28. Halle los puntos P 1 (x 1 ,y 1 ), P 2 (x 2 ,y 2 ) y P 3 (x 3 ,y 3 ) en el segmento de recta que A(3,6) y B(5,8), que divide el segmento de recta en 4 partes iguales.

En los problemas 29 al 38 halle el centro y el radio de la circunferencia dada. 29. (x - 1)² + (y - 3)² = 49 30. (x + 3)² + (y - 5)² = 25 31. (x - ½)² + (y - 3/2)² = 5 32. (x + 5)² + (y + 8)² = 1/4 33. x² + y² + 8y = 0 34. x² + y² + 2x - 4y -4 = 0 35. x² + y² - 18x - 6y -10 = 0 36. x² +y² - 16y + 3x + 63 = 0 37. 8x² + 8y² + 16x + 64y - 40 = 0 38. 5x² + 5y² + 25x + 100y + 50 = 0 En los problemas 39 y 40, demuestre que la ecuación dada no representa una circunferencia. 39. x² + y² + 2y + 9 = 0 40. 2x² + 2y² - 2x + 6y +7 = 0

342


APENDICE

En los problemas 41 al 49 halle una ecuación de la circunferencia que satisfaga las condiciones dadas. 41. Centro (0,0), radio 1 42. Centro (1,-3), radio 5 43. Centro (0,2), radio

2

44. Centro (-9,-4), radio 3/2 45. Extremos de un diámetro en (-1,4) y (3,8) 46. Extremos de un diámetro en (4,2) y (-3,5) 47. Centro (0,0), pasando por (-1,-2) 48. Centro (4,-5), pasando por (7,-3) 49. Centro (5,6) tangente al eje X 50. Centro (-4,3), tangente al eje Y

En los problemas 51 al 56, grafique la relación dada. 51. x² + y² ≥ 9 52. (x - 1)² + (y + 5)² ≤ 25 53. 1 < x² + y² < 4 54. x² + y² > 2y 55. (x - 2)² + (y - 6)² = 0 56. x² = - y²

343


APENDICE

FUNCION CUADRATICA Forma

=>

f

( x)

= ax² + bx + c ; a ≠ 0

y - k = ± a (x - h)²

Otra forma

y = ax² + bx + c =>

forma canónica.

y

y

v (h.k) a>0

a>0 v (h,k) x

1) y = x²

forma

=>

x

y - 0 = (x - 0)²

=>

v (0,0)

y

y = x²

x

2) y = - x² forma =>

y - 0 = - (x - 0)²

=>

v (0,0)

y

x y = - x²

344


3) y = - x² + 4

forma =>

si y = 0

x=?

=>

0 = - x² + 4

=>

y - 4 = - (x - 0)²

x² = 4

Dominio = (- ∞ , + ∞ )

APENDICE

=>

=>

v (0,4)

Abre hacia abajo

x = ±2

Rango = (- ∞ ,4]

y v (0,4)

-2

2 x

4) y - 5 = - 2 (x - 2)² Interceptos: si y = 0

=>

(x - 2)² = 2.5

x - 2 = ± 1.58

=>

Si x = 0

v (2,5) =>

y - 5 = - 2 (- 2)²

0 - 5 = - 2 (x - 2)² => =>

x-2 = ±

=>

=>

y-5=-8

- 5/- 2 = (x - 2)²

2.5

x 1 = 1.58 + 2

x 1 = 3.58

x 2 = - 1.58 + 2 Dominio = (- ∞ , + ∞ )

x 2 = 0.42

Rango = (- ∞ ,5]

y v (2,5)

0.42

3.58 x

-3

345

y=-3


5)

y = - 2x² + 8x - 3

=>

y + 3 = - 2 (x² - 4x)

=>

y + 3 = - 2 [(x - 2)² - 4]

y + 3 - 8 = - 2 (x - 2)²

=>

APENDICE

y + 3 = - 2x² + 8x y + 3 = - 2 (x² - 4x + 4 - 4) y + 3 = - 2 (x - 2)² + 8

y - 5 = - 2 (x - 2)²

Taller : Graficar las siguientes funciones cuadráticas :

1) y = - (x - 3)²

5) y = x² - 6x + 14

2) y - 8 = -1/2 (x - 3)²

6) y = - x² + 4x + 3

3) y + 3 = 3 (x + 4)²

7) y = - 2x² + 20x - 42

4) y - 6 = - 1/3 x²

8) 3y + x² - 12x + 24 = 0

VALOR ABSOLUTO x si

x≥0

|8| = 8

|x| -x

si

x<0

|-5| = 5

Tarea : Averiguar las propiedades del valor absoluto.

346

Es la misma del punto No.4


APENDICE

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Resolver : 1) | x | = 5

=>

2) | x - 3 | = 8

=>

x=5

v

x =-5

x-3=8

v

x-3 =-8

x = 11 3) | x - 13 | = - 6 4) | 2x - 5 | = x - 3

x=2

x=-5

No tiene solución =>

2x - 5 = x - 3 2x - x = - 3 + 5

v

v v

x-3 ≥ 0

=>

x≥3

La solución debe de estar aquí.

2x - 5 = - (x - 3) 2x - 5 = - x + 3 x = 8/3

R/ No hay solución

Taller : Resolver : 1) | x | = 4

3) | 3x - 5 | = 2x - 5

5) | 3x - 5/2 | = - x + 2

2) | 2x - 5 | = 8

4) - | 2x + 6 | = 5 - 3x

6) | x - ¼ | = 2x + 3

347


APENDICE

FUNCIONES - PROBLEMAS DE APLICACION 1) Expresar el perímetro P de un cuadrado como una función de su área. Solución : Sea

A = Area del cuadrado P = Perímetro del cuadrado

x = Longitud del lado cuadrado

x Sabemos que : x

P=x+x+x+x

x

P = 4x Aquí tenemos P = f(x) x Como A = x2 debemos despejar a x en términos de A. ) Entonces si x2 = A (→

x=

A

y

P=4 A

Perímetro en términos del área

Aquí A ≥ 0. Si quisiéramos graficar podríamos construir una tabla de valores así :

A P

0 0

1 4

4 8

9 12

16 16

P

P=4 A

A

348


APENDICE

2) Expresar el área A de un círculo como función de su diámetro. Solución :

Sea r

A = Area del círculo r = Radio del círculo d = Diámetro del círculo

Debemos encontrar

A = f(d)

d

Sabemos que Como

d = 2r

d  A = π   2

Entonces :

A = π r2 → Este es el área en función del radio.

→

r=

d 2

Reemplazando obtenemos :

2

→

A=

3.1416d 2 4

A(d) =

π .d 2

→

4

→

Si

π ≅ 3.1416

A(d) = 0.7854 d2

Recordemos que el diámetro no puede ser un valor negativo. De tal forma que : d ≥ 0 → Dominio de la función. La gráfica quedaría así : La gráfica en el eje de abscisas está definida para d ≥ 0 , y para el eje de ordenadas esta definida para A ≥ 0.

A

De tal forma que : Dominio = [0 , + ∞ ) 2

A(d) = 0.7854 d

d

349

Rango

= [0 , + ∞ )


APENDICE

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Exprese el área A de un triángulo equilátero como una función de longitud s de un lado. 2) Exprese el área A de un triángulo equilátero como una función de la altura h del triángulo. 3) Exprese el volumen de un cubo como una función del área A de su base. 4) Exprese el área de la superficie de un cilindro circular recto de volumen Lm 3 como una función de su radio r. 5) Con un pedazo de cartulina rectángular se hace una caja abierta, recortando un cuadrado de longitud x de cada esquina y doblando luego los lados hacia arriba. Si la cartulina mide 2 pies por 3 pies (figura 1), exprese el volumen V de la caja como una función de x. 3 pies Corte

2 pies

Doble

x figura 1

x

6) Con un pedazo de metal de 1 por 20 pies se hace una canal con un corte transversal rectángular, doblando hacia arriba cantidades x iguales del lado de 1 pie (figura 2). Exprese el volumen V de la canal como una función de x. 7) Se va a construir una caja rectángular abierta con una base cuadrada de longitud x y un volumen de 16.000 cm 3 . Exprese el área de la superficie S de la caja como una función de x. figura 2

x

20 pies

350


APENDICE

8) Se hace un recipiente cerrado en forma de cilindro circular recto de radio r. El recipiente debe tener un volumen de 4π m 3 . si el costo por metro cuadrado del material para la superficie lateral es el doble del costo del que se utilizó para la parte superior y el costo por metro cuadrado del material para la parte inferior es 4 veces el costo del que se utilizó para la superior, exprese el costo total C de construcción del recipiente como una función de r.

9) Se va a cercar un pedazo rectángular de tierra de forraje y se va a dividir en dos porciones iguales por medio de un cercado adicional paralelo a dos lados. La porción de tierra tiene 3.000 m². Exprese la cantidad de cercado F en términos de la longitud x mostrada en la figura 3.

figura 3 x

10) La ventana que se muestra en la figura 5 consta de un rectángulo con un semicírculo en la parte superior. Exprese el área A de la ventana como una función del ancho x indicado, si se sabe que el perímetro de la ventana es de 20 m.

figura 5 Semicírculo

x

351

BIBLIOGRAFIA ♦ MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION Y A LA ECONOMIA Jagdish C. Arya / Robin W. Larder ♦ MATEMATICA PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA Ernest F. Haeussler, Jr. / Richard S. Paul ♦ PRINCIPIOS ESENCIALES DE ECONOMIA Schiller ♦ MACROECONOMIA Rudiger Dornbusch – Stanley Fischer

Matematicas Basicas Aplicadas a Las Ciencias Economicas y Administrativas

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