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Matemáticas empresariales Semana 5 Material de apoyo FUNCION LINEAL. APLICACIONES DE COSO! IN"#ESO I N"#ESO $ UILIDAD 1. El cost costo o de de pro produc ducir ir x artículos está dado por la función C ( x) = 100 + 8 x . El ingreso de vender x artículos está dado por la función I ( x ) = 12 x . Determine la función utilidad grafi!ue las funciones C e e I en en un mismo plano. producir x #ilogram gramos os de a$%c a$%car ar está dad dado por la func unción C ( x ) = 100 + 2,50 x . El ingreso ingreso de vender x #ilogramos de a$%car está dado por la función I ( x ) = 4,50 x . Determine la función utilidad grafi!ue las funciones C & I U en un mismo plano.
". El
costo
de
'. Un fa(rica fa(ricante nte de c)ompa c)ompas s vende vende cada c)ompa c)ompa a *1+&,,. *1+&,,. El costo costo de cada cada c)ompa c)ompa es de *14&, el costo fio mensual es de * + ,,,. a.
Dete Determ rmiine la regla egla de cor corresp respon onde denc nciia de de las func funciiones ones Cost Costo& o& /ngr /ngres eso o Utilidad. (. 0Cuál es el volumen mínimo de producción c. 2rafi!ue en el mismo plano las funciones C 3 3 x & I 3 3 x . x & x U 3 x x . d. Encuentre la la ut utilidad pa para una pr producción de de ' ,, ,,, c)ompas. 4. Una compa5í compa5ía a de seguros seguros afirm afirma a !ue su costo costo mensual mensual su ingreso ingreso mensual mensual&& am(os e6presados en dólares& siguen modelos lineales. El precio de venta de cada artículo es 4 dólares el costo de producción varía seg%n la siguiente ta(la Costo mensual en dólares
1 7,,
8%mero de artículos 4, a. Determi Determine ne la la ecuac ecuación ión del costo. costo. (. Encuentre Encuentre el ingreso ingreso para el volumen volumen mínimo mínimo de producci producción. ón. c. 2rafi! 2rafi!ue ue las funci funciones ones cost costo& o& ingres ingreso o utilida utilidad. d.
" ,, 9,
. Una compa5í compa5ía a de seguros seguros afirm afirma a !ue su costo costo mensual mensual su ingreso ingreso mensual mensual&& am(os e6presados en dólares& siguen modelos lineales los cuales dependen del n%mero de miles de póli$as vendidas. :a gráfica muestra el comportamiento de am(os durante el a5o pasado. Miles de
dólares 300 300 250 250 200 200 150 150 100 100 50
Miles de 50 50 100 15 150 20 200 ______________________________ 250 30 300 35 35 pólizas __________________________________________________________________________________ ____________________________________________________
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a. Encuentre la regla de correspondencia de la función costo. (. Encuentre la regla de correspondencia de la función ingreso. c. 0Cuántas póli$as de(ió vender la compa5ía para o(tener una utilidad del "; 9. Una fá(rica tiene un costo fio mensual de * "4.,,,& siendo el costo de la mano de o(ra materia prima de *' por unidad producida. El producto se vende al mercado a *7 por unidad de producto. a. (. c. d.
Calcule el ingreso al venderse " ,,, unidades mensuales.
7. Una fá(rica determinó !ue las e6presiones de las funciones Costo total mensual e /ngreso mensual& en dólares& vienen dadas por C = 1,3q + 18 000 por I = 2,5q & respectivamente& donde q representa la cantidad de un determinado producto. a. Determina cual es el costo fio mensual. (. 0Cuál es el precio de venta del producto por unidad c. 0Cuál es el costo de fa(ricación por unidad de producto d. =alle la función de (eneficio o utilidad de fá(rica. e. =alle la cantidad de producto !ue de(e venderse mensualmente para !ue la fá(rica o(tenga ganancias. >. Una compa5ía tiene costos fios de *",, en caso de producir ",, unidades los costos serán de *'',,. Considere !ue la función de costos es lineal& !ue cada artículo producido se vende en *&". Encuentre el n%mero de unidades !ue se de(e producir vender para o(tener una utilidad de *"
#ESPUESAS% APLICACIONES DE COSO! IN"#ESO $ UILIDAD 1. Función utilidad: U ( x)
=
4 x − 100
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2. U ( x)
3.
=
2 x − 100
x = Número de chompas comercializados C ( x) = 14,5 x + ! 000 a. Cst:
%. c.
"n#res:
I ( x) = 1! x
$tilidad:
U ( x)
=
4,5 x − !000
&l 'luen ni de prducción es de 2000 c*pas. +r-ic:
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d. 4 500
4.
x = Número de artículos C ( x) = 40 x + 100 a. Cst:
%. c.
"n#res:
I ( x )
$tilidad:
U ( x) = 5 x − 100
=
45 x
&l in#res para el 'luen ni de prducción es de !00.
5. a. Cst: C ( x) = 0,5 x + 150 %. "n#res: I ( x ) = 1,25 x c. 300 pólizas
/. a. 14 000. __________________________________________________________________________________
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%. e%e 'enderse al ens 11 000 unidades. c. (/000 42000) d. +r-ic: (.)
42000
Cst
36000
30000
"n#res
24000
18000
12000
6000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
−6000
$tilidad −12000
−18000
−24000
. a. 18 000. %. 2,50 c. 1,30 d. U (q ) = 1,2q − 18000 e. e%e 'ender al ens 15 001 unidades. 8. 21/0 unidades.
FUNCION LINEAL. APLICACIONES DE DEP#ECIACI&N 1. :a gráfica muestra como se deprecia un inmue(le durante los 1, a5os despu?s de su ad!uisición. Encuentre la regla de correspondencia de la función valor del inmue(le V en t?rminos del tiempo transcurrido t .
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". Un automóvil se deprecia siguiendo un modelo lineal. Cada ' a5os su valor disminue en *4,,. @demás& a los 9 a5os de ad!uirido su valor es de *9,,,. a. =alle la e6presión del valor V de dic)o ve)ículo en t?rminos de los a5os t transcurridos desde su ad!uisición. (. 2rafi!ue la e6presión )allada en a. '. Pedro compró un auto en *1 ,,, )ace ' a5os. @ctualmente el auto está valori$ado en *1, ,,,. @sumiendo una depreciación lineal para el auto& a. =alle la e6presión del valor V de dic)o ve)ículo en t?rminos de los a5os t transcurridos desde su ad!uisición. (. 2rafi!ue la e6presión )allada en a. 4. :a empresa de productos lácteos Nutrisa )a ad!uirido una má!uina empacadora )ace siete a5os. @ctualmente& considerando depreciación lineal& dic)a má!uina está valori$ada en * 4 >,,.
#ESPUESAS% APLICACIONES DE DEP#ECIACI&N 1.
V (t ) = −4t + 0 , dnde V (t ) representa el 'alr del inue%le en iles de dólares.
2. a. %.
V
1 500t + 15 000 ,
= −
dnde V representa el 'alr del autó'il, en dólares.
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V ($)
15000
12000
!000
/000
3000 t (años)
1
1
2
3
4
5
/
8
!
10
11
12
13
14
3. a.
V = −
5 000 3
t + 15 000 , dnde V representa el 'alr del autó'il, en dólares.
V ($)
15000
12000
!000
/000
3000 t (años)
%.
4.
1
1
2
3
4
5
/
8
!
10
11
12
13
14
V = −400t + /00
FUNCION LINEAL. APLICACIONES DE OFE#A $ DEMANDA 1. Cuando el precio es de , se podrían vender 1, reloes si el precio es de
4.
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5. El precio de un artículo la cantidad demandada del mismo están relacionadas por p = 480 − 3q & donde p es el precio en dólares q es la cantidad& en cientos de unidades. @demás& a un precio de *114 los ofertantes ponen " cientos de unidades en el mercado& mientras !ue a un precio de *19& ponen cientos. a. Considerando !ue la oferta se comporta linealmente& encuentre su ecuación. (. Encuentre la cantidad precio de e!uili(rio de mercado.
/. @ un precio de *, por unidad& la demanda de cierto artículo es de 4,, unidades& pero si el precio se incrementa a *9, por unidad& la demanda decrece a 44,, unidades. De otro lado& la oferta de ese mismo artículo viene dada por p = 0,02q + 44 & donde p representa al precio en dólares q representa al n%mero de unidades. a. Considerando !ue la demanda se comporta linealmente& encuentre su ecuación. (. Encuentre la cantidad precio de e!uili(rio de mercado. 7. :as siguientes ecuaciones corresponden a la oferta demanda para un determinado producto ferta p =
1 2000
Demanda p = −
q+3
1 2500
q + 8,4
donde p es el precio en dólares q es la cantidad en unidades. a. 2rafi!ue las ecuaciones de oferta demanda. (. Encuentre el precio la cantidad de e!uili(rio.
8. :as ecuaciones de oferta demanda para cierto producto son 3q − 200 p + 1800 = 0
3q + 100 p − 1800
=
0
Fespectivamente& donde p es el precio en dólares q es la cantidad en unidades. a. Encuentre el precio la cantidad de e!uili(rio. (. 2rafi!ue las ecuaciones de oferta demanda en un mismo sistema de coordenadas. +. @ un precio de *, por tonelada& la demanda de cierto artículo es de 4,, toneladas& mientras !ue la oferta es de '',, toneladas.
#ESPUESAS% APLICACIONES DE OFE#A $ DEMANDA
1. a. p
= −2q + 100
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".
p = 0,5q + 25
'.
p = 0,5q + 25
4. Precio de e!uili(rio * 1,, Cantidad de e!uili(rio . a. p
1,,, unidades
= 1q + 80
(. Precio de e!uili(rio * 4", Cantidad de e!uili(rio ",,, unidades 9. a. p
= −0,1q +
500
(. Precio de e!uili(rio * '4> Cantidad de e!uili(rio '>,, unidades 7. (. Precio de e!uili(rio
* ',
Cantidad de e!uili(rio >. a. Precio de e!uili(rio
* 1"
Cantidad de e!uili(rio +. a. Demanda p = − ferta p =
1 !0
1 10
q+
4 ,,, unidades
",, unidades
q + 500
40 3
(. Precio de e!uili(rio * 9" Cantidad de e!uili(rio 4'>, toneladas
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