Matemáticas Primero

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MATEMÁTICAS DÉCIMO AÑO AÑO DE E.G.B. PRIMER QUIMESTRE

2015-2016 Loja-Ecuador

Elaborado por: Alberto Gonzalo Chávez M

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CRÉDITOS EDITORIALES AUTOR: Ing. Alberto Gonzalo Chávez M. DIGITACIÓ: Ing. Alberto Gonzalo Chávez M. PUBLICACIONES DE LA COOPERATIVA DE SERVICIOS EDUCACIONALES “ISIDRO AYORA CUEVA “SERIE TEXTOS DIDÁCTICOS.

EDICIÓ: TERCERA! "#$%&"#$' LUGAR ( )EC*A: LO+A&ECUADOR! LO+A&ECUADOR! #, - "#$% & "#$'.


!

Conten/o Bloque 1 número ! "un#$one................................................................................................................% 1.

LA &UNCI'N(. &UNCI'N(...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........) .....)

*

EVALUAC EVALUACI'N I'N DE UNA &UNCI'N... &UNCI'N........ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .............. ................) .......)

*.1

REPRESENT REPRESENTAC ACIONES IONES +RÁ&ICAS... +RÁ&ICAS........ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............ ...............) ........)

,. &un#$-n l$nel( /0 emn. /, 2u2or3..............................................................................................0 ,.1. PENDIENTE DE LA RECTA(...................... RECTA(.................................................. ....................................................... .......................................................... ............................... 0 4.5 ECUACI'N DE UNA RECTA................................ RECTA........................................................... .......................................................................... ............................................... . 16 4.1 ECUACI'N DE LA RECTA RECTA /PENDIENTE ORDENADA EN EL ORI+EN 4.1.1. ECUACI'N DE LA RECTA /7un2o 7en8$en2e 4.1. * ECUACI'N +ENERAL DE LA RECTA

Y =mX + b ..............16

Y −Y 1 1 = m( X − X 1 ) .....................................11

AX + BY + C =0 .......................................................1,

4.* SISTE9AS DE DOS ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES:............................................. LINEALES:............................................. 1% 4.*.1 S$2em 8e 8o e#u#$one l$nele. /9;2o8o +r<"$#o........................... +r<"$#o................................................ ..................... .............1% ............ .1% 4.*.* S$2em 8e 8o e#u#$one l$nele. /9;2o8o 8e I=ul#$-n.....................................................1) I=ul#$-n.....................................................1) 4.*., S$2em 8e 8o e#u#$one l$nele. /9;2o8o 8e Su2$2u#$-n...................................................1) 4.*.4. INECUACIONES LINEALES:................................................. LINEALES:............................................................................ ........................................... .......................... .......... 10 4.*.% Ine#u#$one l$nele #on #on 8o >r$?le................................... >r$?le.............................................................. ...................................................1@ ........................1@ 4.*.) S$2em 8e $ne#u#$one l$nele............................................... l$nele.......................................................................... ............................................... .................... *6 4.,.5 &UNCI'N CUADRÁTICA(................................ CUADRÁTICA(........................................................... ...................................................... .................................................. ....................... ** 4.4.5 DO9INIO Y RECORRIDO DE LA &UNCI'N CUADRÁTICA.................................................... CUADRÁTICA.................................................... ....,1 .... ,1 4.4.1 EL DO9INIO DE UNA &UNCI'N CUADRÁTICA SON LOS N9EROS REALES(

¿

¿−∝ ; + ∝ ¿

...................................................... ................................................................................. ....................................................... ....................................................... .............................................. ................... ... ,1 4.4.* RECORRIDO DE UNA &UNCI'N CUADRÁTICA(.................................... CUADRÁTICA(................................................................... ............................... ..,1 .. ,1 Elaborado por: Alberto Gonzalo Chávez M

"

BLOUE * DE ÁL+EBRA Y +EO9ETRA........................................................................................ ...,4 1.

Ve#2ore =eom;2r$#o en el 7lno..................................................................................................,)

1.1 In2ro8u##$-n  lo >e#2ore..............................................................................................................,) 1.* Cr#2er32$# 8e un >e#2or ............................................................................................................,) 1., S$2em 8e #oor8en8 en el Plno Cr2e$no..........................................................................,) 1.4 O7er#$one #on >e#2ore............................................................................................................... ,@ 1.4.1 Sum ! re2 8e >e#2ore en el 7lno #r2e$no me8$n2e el m;2o8o 8el 7rlelo=rmo............,@ 1.4.* Sum ! re2 8e >e#2ore en el 7lno #r2e$no me8$n2e el m;2o8o 8el Pol3=ono....................,@ 1.% Pro8u#2o e#lr en2re >e#2ore: An=ulo "orm8o 7or 8o >e#2ore................................................ 46 1. Pro=rm#$-n l$nel( /4 emn.................................................................................................. 4 1..1 Conun2o "#2$?le: o72$m$F#$-n 8e "un#$one l$nele ue2  re2r$##$one /m;2o8o =r<"$#o....4 ,. Pro??$l$88( /4 emn................................................................................................................. %4 ,.1 &re#uen#$.......................................................................................................................................%4 ,.* T$7o 8e "re#uen#$......................................................................................................................... %4 ,., Re7reen2#$one =r<"$#:............................................................................................................. %% ,.,.1 D$=rm 8e Brr.....................................................................................................................%% ,.4 PROBABILIDAD.............................................................................................................................. %) ,.4.1 El e7#$o mue2rl 8e un eG7er$men2o........................................................................................ %) ,.4.* T;#n$# 8e #on2eo:.....................................................................................................................%) ,.4., SUCESOS.................................................................................................................................... % ,.% E7#$o 8e 7ro??$l$88 "$n$2o......................................................................................................%@ ,.) TRABAHO ACAD9ICO INDEPENDIENTE....................................................................................)6


5

ITRODUCCIÓ De8e $em7re: l eneJnF 8e l m2em<2$# K $8o el 2em m< $m7or2n2e 8e l e#olr$F#$-n 8e LOS e2u8$n2e 8e nue2ro 73. E2 $2u#$-n no K #m?$8o: lo que e mo8$"$#- e el en"oque que e le 8  l eneJnF 8e l m2em<2$#. E $m7or2n2e en2on#e: re#ono#er en l #2ul$88 lo que e en2$en8e 7or l eneJnF ! 7ren8$Fe 8e e2  #on$=o el #ono#$m$en2o 8el m$m. Por en8e e 8e?e 2ener en #uen2 en l eneJnF 8e l m2em<2$# e en2en8er ! #om7ren8er: me8$n2e 8e2reF e7e#3"$# que e 8e?en 8errollr en #8 2u2or3

O0+ETI1OS GEERALES • Re#ono#er ! u2$l$Fr m;2o8o 8e 8emo2r#$-n: en 7r2$#ulr l $n8u##$-n m2em<2$#. • Com7ren8er el $2em 8e número #om7leo: u re7reen2#$one: o7er#$one: u 7l$##$-n en l

reolu#$-n 8e e#u#$one l=e?r$# ! en l =eome2r3. • Cono#er l ?e 8el #er 7ro?lem 8e l m2em<2$# ! 8e o2r #$en#$.


6

Bloque 1 número ! "un#$one

$. LA )UCIÓ: En2en8er lo #on#e72o 8e Relación y de Función e 8e um $m7or2n#$ en 92em<2$#. Pr lo=rr e #om7ren$-n e ne#er$o 8en2rrno en l no#$-n 8e Corre7on8en#$: ! que e2 2$ene un 77el "un8men2l en l rel#$one ! "un#$one.


#

Lo 7r$mero e en2en8er que Correspondencia e equ$>len2e  Rel#$-n. En nue2r len=u: 8e#$r “en rel#$-n : e equ$>len2e  8e#$r “#orre7on8e . Eem7lo( En un 2$en8 #omer#$l: #8 r23#ulo e2< rel#$on8o #on u 7re#$oM o e:  #8 r23#ulo le #orre7on8e un 7re#$o. En l =u3 2ele"-n$#: #8 #l$en2e e2< rel#$on8o #on un númeroM o e:  #8 nom?re 8e l =u3 le #orre7on8e un número. De"$n$#$-n m2em<2$# 8e Rel#$-n ! 8e &un#$-n En m2em<2$#: Rela23n e l #orre7on8en#$ 8e un 7r$mer #onun2o: llm8o Dom$n$o: #on un e=un8o #onun2o: llm8o Re#orr$8o o Rn=o: 8e mner que  #8 elemen2o 8el Dom$n$o le #orre7on8e uno o m< elemen2o 8el Re#orr$8o o Rn=o. Por u 7r2e: un )4n23n e un rel#$-n  l #ul e J8e l #on8$#$-n 8e que  #8 >lor 8el Dom$n$o le #orre7on8e uno ! -lo un >lor 8el Re#orr$8o. De l 8e"$n$#$one n2er$ore 7o8emo 8e8u#$r que 2o8 l "un#$one on rel#$one: 7ero no 2o8 l rel#$one on "un#$one. Tm?$;n 8e?emo =re=r que( To/a e24a23n e5 4na Rela23n! 6ero no to/a e24a23n e5 4na )4n23n.

To/a5 la5 Rela2one5 64e/en 5er gra72a/a5 en el 8lano Carte5ano. " E1ALUACIÓ DE UA )UCIÓ. S$=n$"$# 7e8$rle  l "un#$-n que 2rn"orme un número. El >lor que le 8mo: lo u2$2u$mo en l "un#$-n ! K#emo lo #
".$ RE8RESETACIOES GR9)ICAS To8 "un#$-n 2$ene un re7reen2#$-n =r<"$#. Y 7r ello ne#e$2mo e>lur l "un#$-n me8$n2e un 2?l 8e >lore. Eem7lo 1( f ( x )=2 x + 3 x

+r<"$# Pr or8en8o

f ( x )= 2 x + 3

*

f ( 2 )= 2 ( 2)+ 3



/*M

5*

f ( −2 )=2 (−2 )+ 3

51

/5*M51

Eem7lo *( Elaborado por: Alberto Gonzalo Chávez M

$ f ( x )= x + 2 x + 1 2

+r<"$# Pr or8en8o

f ( x )= x + 2 x +1

x

2

*

f ( 2 )=( 2 ) + 2 ( 2)+ 1 2

@

/*M@

1

f ( 1 )=( 1 ) + 2 ( 1 )+ 1 2

4

/1M4

6

f ( 0 )=(0 ) + 2 ( 0 )+ 1

1

/6M1

51

f ( −1 )=(−1 ) + 2 (−1 )+ 1

6

/51M6

5*

f ( −2 )=(−2 ) + 2 (−2)+ 1

1

/5*M1

5,

f ( −3 )=(−3) + 2 (−3 )+ 1

4

/5,M4

54

f ( −4 )=(−4 ) + 2 (−4 )+ 1

@

/54M@

2

2

2

2

2

•

1ara23n ;onoton
Un 8e2erm$n8o 7r<$2o e re7ro8u#e 8$>$8$;n8oe en 8o #8 e=un8o. L "un#$-n que 8e2erm$n el número 8e 7r<$2o que K! en #8 e=un8o 8e 2$em7o que 2rn#urre e l re7reen28  l 8ere#K: ! 7or el $2em 8e re7ro8u##$-n 8el 7r<$2o e o?>$o que  me8$8 que 7 el 2$em7o K! m!or número 8e ello. E 8e#$r: l umen2r el >lor 8e l >r$?le G: 2m?$;n umen2 el >lor 8e l >r$?le !. E2o e que l "un#$-n e e2r$#2men2e #re#$en2e.

CRECIETE

DECRECIETE

En 4n ntervalo [ a ; b ] , 5 6ara X 2 > X 1 !

En 4n ntervalo [ a ;b ] , 5 6ara X 2 > X 1 !

5en/o X 1 y X 2 Є [ a ; b ] , 5e ver72a =4e


f ( x 2 )>¿

f ( x 1 ) . Corre56on/e a 4na

74n23n 2re2ente.

f ( x 2 )< ¿


74n23n De2re2ente.


%

>. )4n23n lneal: , 5e;ana5?. > t4tor.$. 8EDIETE DE LA RECTA: El >lor que re7reen2  l 2n=en2e 8el o 8e l X. Se 8enom$n 7en8$en2e 8e l re#2.

E@e;6lo5.

*allar la 6en/ente /e 4na re2ta =4e 6a5a 6or *allar la 6en/ente /e 4na re2ta =4e 6a5a 6or lo5 64nto5 A =( 2 ; 3) y B =( 6 ; 6)

lo5 64nto5 A =( 2 ; 1) y B =(−8 ; 9 )

A = (2 ; 3 ) y B =( 9 ; 11)

A = (2 ; 1 ) y B=(−8 ; 9 )

A =( X 1 ;Y 1) y B =( X 2 ; Y 2 )

A =( X 1 ; Y 1) y B =( X 2 ; Y 2 )

m=

m=

m=

Y 2−Y 1 X 2− X 1 11−3 9 −2

8 7

m=

m=

m=

Y 2−Y 1 X 2− X 1 9−1

=

8

−8−2 −10 −8 10


10

Anl$Fmo que $ l re#2 e $n#l$n  l 8ere#K u 7en8$en2e e 7o$2$>: ! e #um7le l #on8$#$-n 8e #re#$en2e: 7or lo 2n2o: E UA RECTA CUADO SU 8EDIETE ES 8OSITI1A ES CRECIETE

Anl$Fmo que $ l re#2 e $n#l$n  l $Fqu$er8 u 7en8$en2e e ne=2$>: ! e #um7le l #on8$#$-n 8e 8e#re#$en2e: 7or lo 2n2o: E UA RECTA CUADO SU 8EDIETE ES EGATI1A ES DECRECIETE

Re54elva llr l 7en8$en2e 8e un re#2 que 7 7or lo llr l 7en8$en2e 8e un re#2 que 7 7or lo 7un2o

A =(−2 ; 5 ) y B=( 5 ; −6 ) : rel$#e u 7un2o

=r<"$# ! nl$#e u mono2on3.

A =(−2 ; 5 ) y B=( 5 ; −6 ) : rel$#e u

=r<"$# ! nl$#e u mono2on3.

AUTOE1ALUACIÓ U/. /eberá realzar e5ta eval4a23n 6reva a la t4tor? B &$B"? B 'B"? B &$B&"?.


11

E52rba el 2on2e6to /e 6en/ente /e 4na re2ta:    La 6en/ente /e 4na re2ta 5e re6re5enta 2on la letra   la or/ena/a en el orgen 2on la letra . S la 6en/ente /e 4na re2ta e5 6o5tva! enton2e5 5e n2lna ha2a la S la 6en/ente /e 4na re2ta e5 negatva! enton2e5 5e n2lna ha2a la  S la or/ena/a en el orgen e5 "! 5gn72a =4e 6a5a 6or el 64nto /e 2oor/ena/a5 #B"?  1 ?  ) ? Da/a la e24a23n /e la re2ta "F$! e5 4na re2ta =4e 5e n2lna ha2a  E52rba la e24a23n =4e le 6er;ta 2al24lar la 6en/ente /e 4na re2ta 2ono2/o /o5 64nto5. m= ❑

E52rba la e24a23n /e 4na re2ta /e la 7or;a: H8en/ente&or/ena/a en el orgen

E52rba la e24a23n /e la re2ta /e la 7or;a: H84nto&6en/ente

E52rba la e24a23n /e la re2ta /e la H)or;a general

S /o5 re2ta5 5on 6er6en/24lare5! enton2e5 la rela23n entre 545 6en/ente5 e5:

S /o5 re2ta5 5on 6aralela5! enton2e5 la rela23n entre 545 6en/ente5 e5:

*allar la 6en/ente /e la re2ta =4e 6a5a 6or o5 64nto5: A"B>?  0 &$B%?

Da/a la e24a23n /e la re2ta "F>! /eter;ne 54 6en/ente  la or/ena/a en el orgen.


12 m =b =¿

%.& ECUACIÓ DE UA RECTA.

4.1 ECUACI'N DE LA RECTA RECTA /PENDIENTE ORDENADA EN EL ORI+EN

Y = mX + b

Pen8$en2e  m Or8en8 en el or$=en  ? L #u
Reuel> 2

ConocidalarectaY = x + 3 : 3

=r<"$#. m=

2 3

De2erm$ne

ConocidalarectaY =

u

−1 4

x −8 : De2e De2erm rm$ne $ne u

=r<"$#. b =3

4.1.1. ECUACI'N DE LA RECTA /7un2o 7en8$en2e

Y −Y 1 =m ( X − X 1)

La e24a23n /e la re2ta H84nto 6en/ente to;a en 24enta lo5 /ato5 /e 4n 64nto  la 6en/ente. Eem7lo. Reuel> llr l e#u#$-n 8el re#2 que 7 7or el llr l e#u#$-n 8el re#2 que 7 7or el 7un2o 7un2o A =( 1 ;− 4 ) y m= 2 / 3.

B =(−6 ; 5 ) y m =−4.

A = (1 ; −4 ) A =( X 1 ; Y 1 )


1! m=2 / 3.

Reem7lFn8o en Y −Y 1 =m ( X − X 1 ) Y −(−4 )=

2 3

( X −1 )

3 ( Y + 4 )=2 ( X −1 ) 0 =2 X −3 Y −2 −12

3 Y + 12=2 X − 2 2 X −3 Y −14= 0

AUTOE1ALUACIÓ U/. /eberá realzar e5ta eval4a23n 6reva a la t4tor . La 24ál 2on5ta 4na 2al72a23n. Con54lte el 2on2e6to /e re2ta 6aralela5  re2ta 6er6en/24lare5. Re2ta 8aralela5  Re2ta5 6er6en/24lare5  Gra7=4e 4na re2ta =4e 5ea 6aralela a la 5g4ente re2ta.

Gra7=4e 4na re2ta =4e 5 ea 6er6en/24lar a la 5g4ente re2ta. re2ta.


1"

Deter;ne la 6en/ente  la e24a23n /e la re2ta =4e 6a5a 6or lo5 64nto5 A"B&$?  0'B>?! L4ego 45an/o e524a/ra5! tra2e 4na re2ta 6aralela a la re2ta anteror =4e 6a5a 6or el 64nto &$B&%?.

Da/a5

la 5

5g4ente5

re2ta5

=4e

6a5an

RECTA RECTA 1 [ A ( 1 ; 3 ) y ( 5 ; 6 )] Y RECTA 2 [ ( 2 ; 5 ) y ( 6 ; 8 ) ] !

Deter;ne

6or 545

lo5

64nto5

6en/ente5



gra7<=4ela5! l4ego anal2e! razone  2o;6are 2a/a 4na /e la5 grá72a5  6en/ente5 /e a;ba5 re2ta5 e n/=4e =4e tenen en 2o;Jn.

Da/a5

la 5

5g4ente5

re2ta5

=4e

6a5an

RECTA RECTA 1 [ A ( 1 ; 3 ) y ( 5 ; 6 )] Y RECTA 2 [ ( 5 ; 2 ) y ( 2 ; 6 ) ] !

Deter;ne

6or 545

lo5

64nto5

6en/ente5



gra7<=4ela5! l4ego anal2e! razone  2o;6are 2a/a 4na /e la5 grá72a5  6en/ente5 /e a;ba5 re2ta5 e n/=4e =4e tenen en 2o;Jn.

%.$. " ECUACIÓ GEERAL DE LA RECTA

AX + BY + + C =0

+ C =0 ! 2on A  0 /7erente5 /e La e24a23n vene /a/a en la 7or;a general 2o;o AX + BY + 2ero. La e24a23n 6er;te en2ontrar la 6en/ente  la or/ena/a en el orgen /e ;anera /re2ta. AX + BY + + C =0

BY =− =− AX −C

Y =

− A B

X −

C B

Y =mX + b m=

− A B

Y b=

−C B


15

Analza;o5 el e@er22o anteror  nota;o5 =4e la e24a23n =4e/a eF64e5ta /e la H)or;a General 2 X −3 Y −14= 0

Re2ta5 6aralela5  re2ta5 6er6en/24lare5. Re2ta5 6aralela5 Do5 re2ta5 5on 6er6en/24lare5 entre 5< 5 545 6en/ente5 5on nver5a5  /e 5gno5 2ontraro5.

Re2ta5 6er6en/24lare5. Do5 re2ta5 5on 6aralela5 entre 5< 5 tenen el ;5;o áng4lo /e n2lna23n! e5 /e2r la ;5;a 6en/ente.

S R1 ⏊ R 1

S R1

→ m1 x m 2=−1

̸ ̸ ̸ ̸

→ m1= m2

R1

E@e;6lo5: *allar la e24a23n /e la re2ta! 5aben/o =4e *allar la e24a23n /e la re2ta! 5aben/o =4e 6a5a 6or el 64nto B =( 2 ;−1 ) ,  e5 6aralela 6a5a 6or el 64nto a la re2ta

B =( 2 ;−1 ) ,

 e5

6er6en/24lar a la re2ta

x −4 y + 8= 0  real2e la grá72a.

x −4 y + 8= 0  real2e la grá72a.

R 1: x − 4 y + 8 =0

R 1: x − 4 y + 8 =0

AX + BY + C =0

AX + BY + C =0

A =1

A =1

B =−4

m=

C =8

m=

− A B

−1 −4 m=

B =−4

m=

C =8

m=

1 4

− A B

−1 −4 m=

Co;o 5on re2ta5

1 4

Co;o 5on re2ta5

6aralela5 5e 4tlza la ;5;a 6en/ente 6ara 6er6en/24lare5 5e nverte la 6en/ente  5e en2ontrar la e24a23n /e la re2ta. 2a;ba /e 5gno 6ara en2ontrar la e24a23n /e la re2ta. 1 B =( 2 ;−1 )

Y −Y 1 =m ( X − X 1 )

m=

4

B =( 2 ;−1 ) Y −(−1 )=

1 4

( X −2 )

Y −Y 1 =m ( X − X 1 )

m=

−4 1

Y −(−1 )=−4 ( X −2 )


16 4 (Y + 1 )=1 ( X −2 )

4 Y + 4 = X −2

X −4 Y −6 =0

( Y + 1 )=−4 ( X −2 )

Y + 1=−4 X + 8

4 X + Y −7 =0

4 X + Y −7 =0

R 2:

Grá72a.

R 2: X − 4 Y −6 =0

Grá72a.

TUTORKA  % TRA0A+O ACADÉMICO IDE8EDIETE Elabora la grá72a /e la5 5g4ente5 re2ta5  /eter;ne 54 64nto /e 2orte. $ 8t ? 1

y = x + 2 2

y =3 x −3

In/=4e 24ále5 5on lo5 ;to/o5 /e re5ol423n /e 4n 55te;a /e e24a2one5. #!' 8t5? o  o  o   o Deter;ne la 6en/ente  la or/ena/a en el orgen /e la5 5g4ente5 re2ta5. GRA)KCA " 8t5 ? o

2 x + 4 y −1 =0

o

3 x − y + 2=0

o

y =3 x − 4

o

y=

−1 3

x + 2

Elabore la grá72a /e la5 5g4ente5 74n2one5! realzan/o 4na tabla /e valore5. > 8t5? 1. f ( x )= x +4 x − 6 2

*. f ( x )= x −10 3


1# 2 ,. f ( x )= x −1

4. f ( x )= x + 6 x −8 2

Re54elva lo5 5g4ente5 6roble;a5  real2e la grá72a 6ara 2a/a 2a5o. >!' 8t5? 1. De2erm$ne l e#u#$-n 8e l re#2 que 7 7or lo 7un2o( A ( 2 ; −1) y B (− 4 ;−3 ) . Rel$#e u =r<"$#. *. De2erm$ne l e#u#$-n 8e l re#2 que 7 7or el 7un2o

Q (−1 ; 4 ) y m=−¿ ,. Rel$#e u =r<"$#.

,. Cono#$8o m=−1 / 4 y b =−3 8e2erm$ne l e#u#$-n 8e l re#2 ! el?ore u =r<"$#. 4. De2erm$ne l e#u#$-n 8e l re#2 que 7 7or lo 7un2o( A ( 6 ; 4 ) y B ( 4 ;−1 ) . Rel$#e u =r<"$#. %. De2erm$ne l e#u#$-n 8e l re#2 que 7 7or el 7un2o

Q ( 3 ; 5 ) y

m=1 / 4. Rel$#e u

=r<"$#. ). Cono#$8o m=2 y b=−3 / 2 8e2erm$ne l e#u#$-n 8e l re#2 ! el?ore u =r<"$#. . De2erm$ne l e#u#$-n 8e l re#2 que 7 7or el 7un2o A/*M51 ! e 7rlel  l re#2 2 x +6 y −3=0 . 0. De2erm$ne l e#u#$-n 8e l re#2 que 7 7or el 7un2o A/51M% ! e 7rlel  l re#2 x −2 y −5 =0.

@. De2erm$ne l e#u#$-n 8e l re#2 que 7 7or el 7un2o A/*M) ! e 7rlel  l re#2 y =2 x + 3 . 16. De2erm$ne l e#u#$-n 8e l re#2 que 7 7or el 7un2o A/*M) ! e 7rlel  l re#2 y =−2 / 3 x + 1 .

%." SISTEMAS DE DOS ECUACIOES E IECUACIOES LIEALES! %.".$ S5te;a5 /e /o5 e24a2one5 lneale5. Mto/o Grá72o?

Eem7lo.

{

2 x + y =5 Ecuación 1 3 x − y =5 Ecuación 2


1$

E#u#$-n 1. De7e8o “!

E#u#$-n *. De7e8o “!

y =5 −2 x

y =3 x −5

x

y =5 −2 x

x

y =3 x −5

,

y = 5 −2 ( 3 )

51

( 3 ;−1 )

4

y = 3 ( 4 )− 5



(4 ; 7 )

51

y =5 −2 (−1)



(−1 ; 7 )

6

y =3 ( 0 )−5

5%

( 0 ; −5)

+r<"$# &oluc'(n: ( 2 ; 1 ) X =2 y Y =1

S$2em 8e 8o e#u#$one l$nele. /9;2o8o 8e re8u##$-n

{


El ;to/o /e re/4223n 2on55te en 5ele22onar 4na varable 6ara el;narla! 6ara e5to! 5e ;4lt6l2a a 4na /e ella5 o a la5 /o5 varable5 6or 4n valor! /e tal ;anera =4e tengan el ;5;o 2oe72ente 6ero 2on 5gno /7erente! 6ara l4ego realzar 4na 54;a vert2al.


1%

8ara el;nar la varable H( no e5 ne2e5aro 8ara el;nar la varable H e5 ne2e5aro ;4lt6l2ar 6or nngJn valor a =4e 24;6len realzar la 5g4ente o6era23n. 2on la 2on/23n 6lantea/a. 2 x + y = 5 Ecuación 1

{

3 x − y =5 Ecuación 2

2 x + y =5 3 x − y = 5

Ecuación 1 Ecuación 2

{

6 x + 3 y =15 −6 x + 2 y =−10

5 x =10

x =

3 ( Ec . 1 ) −2 ( Ec . 2)

10

Ecuación 1 Ecuación 2

5 y = 5

5

x =2

y =

5 5

y =1 olución : x =2

y =1

%."." S5te;a5 /e /o5 e24a2one5 lneale5. Mto/o /e Ig4ala23n?

E2e m;2o8o #on$2e en 8e7er l m$m >r$?le en l 8o e#u#$one: ! 3 7o8er $=ulrl. Eem7lo.

{


De7en8o “! 8e l e#u#$-n 1. 2 x + y =5

y =5 −2 x

Se $=uln m? e#u#$one.

De7en8o “! 8e l e#u#$-n *. 3 x − y =5

y =3 x −5

Un >eF 8e2erm$n8o el >lor 8e un 8e l >r$?le: e 7ro#e8e  reem7lFrl en


20 5−2 x =3 x −5

5 + 5= 3 x + 2 x

10=5 x

x =2

#ulqu$er 8e l e#u#$one n2er$ormen2e 8e7e8. y =3 x −5

y =3 ( 2 )−5

y =6 −5

y =1 olución : x =2

y =1

%.".> S5te;a5 /e /o5 e24a2one5 lneale5. Mto/o /e S45tt423n? E2e m;2o8o #on$2e en 8e7er un >r$?le 8e un 8e l e#u#$one ! reem7lFrl en l o2r e#u#$-n.

{


De7en8o “! 8e l e#u#$-n 1.

Un >eF 8e2erm$n8o el >lor 8e un 8e l >r$?le: ;2e e reem7lF en l e#u#$-n 7re>$men2e 8e7e8.

y =5 −2 x

Reem7lFn8o en l e#u#$-n *. 3 x −( 5−2 x ) =5

3 x − y =5 3 x −5 + 2 x = 5

3 x + 2 x =5 + 5

5 x =10

y =5 −2 x

y =5 −2 (2 )

y =5 −4

y =1

x =2

olución : x =2 y =1

AUTOE1ALUACIÓ U/. /eberá realzar e5ta eval4a23n 6reva a la t4tor lo.

¿

¿−1 ; 5 ¿

¿

−3 ; 8 ¿ ¿

Cun8o lo #or#Ke2e e en#uen2rn ?$er2o: $=n$"$# “T;rm$no eG#lu$8o: e 8e#$r: lo Pr e2e #o no2mo que en el “5, el $n2er>lo Elaborado por: Alberto Gonzalo Chávez M

21

2;rm$no que e2lo e ?$er2o: e 8e#$r: el 2;rm$no e { 0,1,2,3,4 } eG#lu$8o.

{−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6 y 7. }

−1 < x <5

−3 ! x < 8

¿

[ −3 ; 4 ]

¿ 3 ; 5¿

¿

¿−5 ; 0 ¿ ¿

5 ; 12 ¿

¿

¿

¿−∝ ; 3 ¿ ¿

5 ; ∝¿

¿

*. D8 l $=u$en2e $ne#u#$-n 8e2erm$ne el $n2er>lo olu#$-n( x ! 3

x " 5

x < 12

3−2 x " 5 5−3 x < x + 1

%.".%. IECUACIOES LIEALES!

 In2er>lo.


22

Un $ne#u#$-n e 7ue8e e#r$?$r 2m?$;n #omo un $n2er>lo. a!x!b

a < x !b

[a; b]

¿a;b¿¿

a ! x
a < x < b

¿

¿

a;b¿

¿ a;b¿

x " a

¿

x < a

x > a

x ! a

¿ ¿−∝ ; a ¿

¿ ¿ a ; ∝¿

¿−∝ ;a ¿ ¿

¿

a ;∝¿

¿

E@e;6lo5

Re54elva

Da/a la ne24a23n x + 2 " 2 x −3 ! /eter;ne D8 l e#u#$-n 2 ( x − 5 ) < 6 x −19 8e2erm$ne el 2on@4nto 5ol423n. x + 2 " 2 x −3

el #onun2o Solu#$-n.

x −2 x "−3 −5

− x "−8

Pr #m?$r 8e $=no  l $ne#u#$-n e mul2$7l$# 7or /51 ! e2o afecta también el signo : e 8e#$r e $n>$er2e. x ! 8 Solu#$-n. D8

Da/a la ne24a23n x + 4 " −5 x − 8 " x −20 !

l

2 x + 3 > x − 1 " 3 x + 3

$=u$en2e

$ne#u#$-n:

: 8e2erm$ne el #onun2o

/eter;ne el 2on@4nto 5ol423n. olu#$-n ! eG7r;elo =r<"$#men2e. Cun8o l $ne#u#$-n e2< #om7ue2 7or 2re m$em?ro e 8$>$8e en 8o $ne#u#$one ! l olu#$one que e o?2$ene e K#en un $n2ere##$-n. x + 4 " −5 x − 8 ˄− 5 x −8 " x −20 x + 5 x "−8 −4 ˄− 5 x − x " −20 + 8 6 x " − 12 ˄− 6 x "− 12

x " −2 ˄− x "−2

x " −2 ˄ x ! 2


2!

¿

−2 ; ∝ ¿ Sol$ ¿

˄

¿−∝ ; 2 ¿¿

Sol " Sol $

#ol 2

[−2 ; ∝ [# ]− ∝ ; 2 ]

-6 -5 -" -! -2 -1

Sol :

0

1

2 !

[ −2 ; 2 ]

U/. /eberá realzar e5ta eval4a23n 6reva a la t4tor
{

x + 3 y =6 5 x −2 y =13

{

6 x − 5 y =−9 4 x + 3 y =13


"

5 6

2"

4.*.% Ine#u#$one l$nele #on 8o >r$?le. Un $ne#u#$-n l$nel #on 8o >r$?le e 7ue8e eG7rer 8e l "orm +enerl 8e l re#2: 7r 8r olu#$-n  un $ne#u#$-n #on 8o >r$?le: e ne#er$o el?orr l =r<"$# ! e>lur el #onun2o 8e 7re or8en8o que #um7len #on l 8e$=ul88.

E@e;6lo. De2erm$ne el e7#$o olu#$-n 8e( • •

X , 5,

2 x + y > 3

Se #on2ru!e l =r<"$# 8e l re#2. Se e>lú l 8e$=ul88 #on #ulqu$er 7un2o 8el 7lno #r2e$no !( o S$ l reem7lFr en l 8e$=ul88 e o?2$ene un 7ro7o$#$-n >er88er e 7$n2 el eF rel$F8 l =r<"$# 8e l re#2: e y =3 −2 x 2 x + y =3 rel$F l e>lu#$-n: e 2om r?$2rr$men2e y =3 −2 x #ulqu$er 7un2o 8el 7lno #r2e$no ! u >lore e reem7lFn en l re#2. 5, /,M5, y =3 −2 ( 3 ) /%M1 X% ! Y1 @ /5,M@ y =3 −2 (−3 ) 2 x + y > 3

2 ( 5 )+( 1 )> 3 10 +1 > 3 11> 3

C-mo e #orre#2 7or 2n2o: el $n2er>lo

olu#$-n er< l e##$-n  l #ul 7er2ene#e e2e 7un2o.


25

4.*.) S$2em 8e $ne#u#$one l$nele.

Pr reol>er $2em 8e $ne#u#$one l$nele olo e 7l$# el m;2o8o =r<"$#o. Se 8e2erm$n l olu#$one 8e #8 un 8e l re#2 ! l e##$-n 8el $n2er>lo olu#$-n que 2$enen en #omún >en8r3  re7reen2r l #onun2o olu#$-n.

E@e;6lo. Reuel> el $=u$en2e $2em 8e $ne#u#$one.

{

2 x + y " 5 Ecuación 1 3 x − y !−1 Ecuacion 2

2 x + y =5

y =5 −2 x

3 x − y =−1

X

y =5 −2 x

,

y =5 −2 ( 3 )

51

5,

y =5 −2 (−3 )

11

y =3 x + 1

G

y =3 x + 1

/,M51

,

y =3 ( 3 ) + 1

16

/,M16

/5,M11

5,

y =3 ( − 3 ) + 1

50

/5,M50

TRA0A+O ACADÉMICO IDE8EDIETE TUTORKA   Elabore la grá72a /e la5 24rva5 23n2a5. Con54lte? Re54elva lo5 5g4ente5 55te;a5 /e e24a2one5 6or el ;to/o n/2a/o. % 8t5? 9;2o8o =r<"$#o

{ +− == { ++ ==

x 6 y 27 7 x 3 y 9 x 2 y 10 2 x 4 y 5

9;2o8o Su2$2u#$-n

{ {

8e 9;2o8o I=ul#$-n

2 x + 3 y =13 4 x − y =5

3 x + 5 y =7 2 x − y =−4

$ 8t?

8e 9;2o8o 8e Re8u##$-n.

{ {

x + 3 y =6 5 x − 2 y =13

{

6 x −5 y =−9 4 x + 3 y =13

{

10 x −3 y = 36 2 x + 5 y =−4

3 x − 4 y − 2 ( 2 x −7 ) =0 5 ( x −1 ) − ( 2 y −1 ) =0

Deter;ne el ntervalo 5ol423n /e la5 5g4ente5 ne24a2one5. " 8t5? 2 x −3 > 3 x −9 2 ( x − 5 ) " 9 − x

2 x + 3 x > √ 1 −(3 −3

x " 2 x −6

3

)

2 x −9 x > 7

4 x " 3 x + 1 > 2 x −4

x > 2 x −3 x + 8

+ x >−2 + 4 x ! x −5


26

Deter;ne el ntervalo 5ol423n /e lo5 5g4ente5 55te;a5 /e ne24a2one5 lneale5. Utlzan/o el ;to/o grá72o. $!' 8t5?

{ {

{ + − >> { −+ =−=

x + 6 y < 9 2 x + 3 y > 8

{ +− << { ++ >−<

x 3 y 13 9 x y 5

2 x + 3 y < 10 2 x + 4 y > 5

3 x 5 y 2 x y

2 x y 6 5 x y 13

x y 9 4 x y 13

7 4

Re56on/a la5 5g4ente5 6reg4nta5.

$!' 8t5?

La e24a23n F# P 7or el or$=en 8e #oor8en8 o o Se $n#l$n K#$ l $Fqu$er8 o T$ene un $n#l$n#$-n 8e 4% o?re el ee XQ.

La e24a23n F Se $n#l$n K#$ l $Fqu$er8 o o T$ene un $n#l$n#$-n 8e 4% o?re el ee XQ. o E un re#2 7rlel l ee “G.

En 4n ntervalo [ a ;b ] , 5 6ara X 2 > X 1 ! En 4n ntervalo [ a ; b ] , 5 6ara X 2 > X 1 ! X 1 y X 2 Є [ a ;b ] ,

5en/o f ( x 2 )>¿

5e ver72a =4e 5en/o


74n23n. o &un#$-n Cre#$en2e &un#$-n De#re#$en2e o T$ene #omo 7en8$en2e ,. Su 7en8$en2e e 5*. Su or8en8 en el or$=en e ,.

o o

5e ver72a =4e


74n23n: o &un#$-n Cre#$en2e &un#$-n De#re#$en2e o Al re5olver el 55te;a /e e24a2one5: F# F! 54 5ol423n e5: o No 2$ene olu#$-n. X6 ! Y6 o

La e24a23n /e le re2ta: y =2 x + 3 o

f ( x 2 )< ¿

X 1 y X 2 Є [ a ; b ] ,

%.>.& )UCIÓ CUADR9TICA:

Un "un#$-n #u8r<2$# 8e l "orm

f ( x )=a x + bx +c dondea $ 0 : re7reen2 un 7r
7ln #r2e$no. 2

E24a23n 24a/rát2a /e la 7or;a a x + bx + c =0 dondea$ 0 9;2o8o 8e "#2or$F#$-n. 2

x + bx + c =0

7r reol>er 7or el m;2o8o 8e "#2or$F#$-n: e ?u# 8o número 2le que( l

mul2$7l$#re e o?2en= el >lor 8e “# ! l umre e o?2en= “?. Pr$mero e 8e#om7one en 8o ?$nom$o: en el 7r$mer ?$nom$o e u?$# el $=no 8e “?: ! en el e=un8o ?$nom$o e u?$# el $=no #orre7on8$en2e l 7ro8u#2o 8e lo $=no 8e “? ! “#. Elaborado por: Alberto Gonzalo Chávez M

2#

Eem7lo 2

2

2

2

x + 5 x + 6 =0

x + 5 x −14 =0

x −11 x + 28=0

x − x −56 =0

( x + 3 ) ( x + 2 )= 0

( x +7 ) ( x −2 )=0

( x −7 ) ( x − 4 )= 0

( x −8 ) ( x +7 )= 0

x + 3=0 y x + 2=0

x + 7=0 y x −2= 0

x −7 =0 y x − 4 =0

x −8 =0 y x + 7 =0

x =−3 y x =−2

x =−7 y x =+ 2

x =+ 7 y x =+ 4

x =+ 8 y x =−7

No2 e ?u# 8o número 2le que u 7ro8u#2o e ) ! u 8$#$-n en %. 2

x + 3 x −70 =0

No2 e ?u# 8o número 2le que u 7ro8u#2o e 14 ! u 8$"eren#$ e Q%. 2

x + 16 x + 48 =0

No2 e ?u# 8o número 2le que u 7ro8u#2o e *0 ! u 8$#$-n e 511. 2

No2 e ?u# 8o número 2le que u 7ro8u#2o e %) ! u 8$"eren#$ e 51. 2

x −11 x + 24= 0

x −5 x −36= 0

2  De la 7or;a a x + bx + c =0

Pr "#2orr e ne#er$o: mul2$7l$#r 7or el >lor 8e “  #8 uno 8e lo 2;rm$no 8e l eG7re$-n ! e lo u?$# #omo 8$>$or 7r que no e l2ere le eG7re$-n. x a¿

¿ ( ¿ 2 + b ax ) + ac ¿ ¿ Enton2e5 5e b452a /o5 nJ;ero5 24o 6ro/42to 5ea a2?  54 54;a 5ea Hb.  7nal;ente 5e 5;6l72a lo5 bno;o5. 6 x

2

+ 20 x + 6 =0

2 x

2

+ 3 x −2= 0

20 y

2

+ y −1=0


2$ x

4 x

6¿

2

+15 x + 9=0

21 x

2

+11 x −2= 0

¿ ¿ 2 +20 ( 6 x ) + 36 ¿ ¿ (6 x + 18)( 6 x +2 ) 6

=0

S$m7l$"$#n8o(

( x + 3 ) ( 6 x + 2 )= 0 x + 3=0 y 6 x + 2=0 x =−3 y x =

−1 3

Una e24a23n 24a/rát2a no 5e;6re 5e 64e/e re5olver 6or el ;to/o /e 7a2torza23n! 6or lo =4e ha 5/o ne2e5aro /eter;nar 4na 73r;4la =4e no5 6er;ta en2ontrar 545 ra<2e5 /e 7or;a /re2ta. 2

a x + bx + c =0 2

a x bx c + + =0 a a a 2

x +

bx c + =0 a a

( )

2

( ) (

bx b = −c + b x + + 2a 2a a a 2

x =

2

)

2

√

2

b −4 ac + b x + = 2 2a 4a

2

b b − 4 ac x + = 2 2a 4a

−b √ b2 −4 ac x = % 2a

2a

−b % √ b2− 4 ac 2a

E@e;6lo. Re5o Re 5olv lver er a6l a6l2a 2an/ n/o o el ;to ;to/o /o /e 73r; 73r;4l 4laa Re Re5o 5olv lver er a6l a6l2a 2an/ n/o o el ;to ;to/o /o /e 73r; 73r;4l 4laa general. general 2

x −11 x + 28=0

a =1 b =−11 c = 28

x

6 x

2

+20 x + 6 =0

2 − b % √ b − 4 ac =

2a


2%

−(−11) % √ (−11) − 4 ( 1 ) (28 ) x = 2 (1 ) 2

x =

121−12 + 11 % √ 121

x = x =

2 11+ 3 2 14 2

y x =

y x =

x =

11% √ 9 2

x =

11 % 3 2

11−3 2

8 2

x =7 y x =4

4 x

2

+ 15 x + 9=0

21 x

2

+11 x −2= 0

AUTOE1ALUACIÓ U/. /eberá realzar e5ta eval4a23n 6reva a la t4tor e me8$n2e l e>lu#$-n 8e lo ?$nom$o en lo que e 8e#om7one. Un $ne#u#$-n #u8r<2$# #on 8o $n#-=n$2 e reuel>e ún$#men2e me8$n2e un =r<"$#o. De2erm$ne el $n2er>lo olu#$-n 8e l $=u$en2e $ne#u#$-n l$nel. 2 x + y " 5


!0

Reuel> el $=u$en2e $2em 8e $ne#u#$one l$nele.

{

2 x + 3 y > 2 x − y " 5

&#2or$#e l $=u$en2e e#u#$one #u8r<2$#. 2

x + 3 x −54 =0

2

x − x −56 =0

Anal2e la e5tratega /e re5ol423n /e 4na ne24a23n 24a/rát2a e n/=4e lo5 6a5o5 a 5eg4r. $.& ".& >.& %.& '.& N.& .& Ine24a2one5 24a/rát2a5 Reol> Reol>er er $ne#u $ne#u#$o #$one ne #u8r< #u8r<2$# 2$#  #on$ #on$2e 2e en 8e2erm 8e2erm$n $nrr el $n2er> $n2er>lo lo #on el que e #um7le #um7le l 8e$=ul88 88. Eem7lo.

Deter;na el 2on@4nto 5ol423n /e la 5g4ente ne24a23n 24a/rát2a. 2

x −2 x −15 > 0

Pr$mero e "#2or$F l $ne#u#$-n. ( x −5 ) ( x + 3 )> 0

Lue=o: e 8e2erm$nn l

r3#e ! e l u?$# en l re#2 num;r$#. x =5 y x =−3

-!

0

5


!1

De7u; e rel$F un 2?l 7r e>lur lo "#2ore que reul2ron 8el 2r$nom$o.

−∝ /G5%

−3

Sgno

∝

5%5%5 16

65%5%

)5%Q1

−¿

+¿

5%Q,5 *

6Q,Q, )Q,Q@

−¿

/GQ,

+5

−¿

+¿

+¿

+¿

−¿

+¿

Pr #om7le2r l 2?l e ne#er$o e>lur #8 ?$nom$o en el $n2er>lo que #orre7on8e: 7r e2o: 2ommo #ulqu$er número que e en#uen2re en e2e $n2er>lo ! lo reem7lFmo en l >r$?le “G ! el $=no 8el reul28o #om7le2o l 2?l. &$nlmen2e: rel$Fo l o7er#$-n 8e mul2$7l$##$-n 8e mner >er2$#l #on lo $=no ! #om7le2o l úl2$m "$l 8e l 2?l.

S la ne24a23n tene el 5gno /e ;aor =4e P? 5e to;a lo5 ntervalo5 6o5tvo5. S la ne24a23n tene el 5gno /e ;enor =4e Q? 5e to;a lo5 ntervalo5 negatvo5.

¿

Sol: ¿−∝ ; −3 [ ∪]+ 5 ; −∝ ¿

Deter;na el 2on@4nto 5ol423n /e la 5g4ente ne24a23n 24a/rát2a. 2

x + 5 x −14 ! 0


!2

Sgno Deter;na el 2on@4nto 5ol423n /e la 5g4ente ne24a23n 24a/rát2a. 2

x −2 x −15 ! 0

Sgno Deter;na el 2on@4nto 5ol423n /e la 5g4ente ne24a23n 24a/rát2a.

Sgno 2

x + 12 x + 27 " 0


!!

AUTOE1ALUACIÓ U/. /eberá realzar e5ta eval4a23n 6reva a la t4tor
f ( x )=

8

x −2

f ( x )=√ 9 − x

2

%.>.$ Ine24a2one5 24a/rát2a5 2on /o5 varable5. Ine#u#$one #u8r<2$# #on 8o >r$?le: e 7ue8en reol>er ún$#men2e 7or el m;2o8o =r<"$#o. Pr e2o e ne#er$o e>lur #ulqu$er 7un2o 8e un 8e l e##$one /$n2ern o eG2ern 8e l 7r

!"

Deter;na grá72a;ente el ntervalo 5ol423n Deter;na grá72a;ente el ntervalo 5ol423n /e la 5g4ente ne24a23n. /e la 5g4ente ne24a23n. 2

2

y ! x + 5 x + 6

y " x + 5 x + 6

Se =r"$# l $ne#u#$-n 7or me8$o 8e un 2?l Se =r"$# l $ne#u#$-n 7or me8$o 8e un 2?l 8e >lore. 8e >lore. 2 Pr or8 Pr or8 x f ( x )= x + 5 x +6 x f ( x )= x 2 + 5 x + 6 1

f ( 1 )=( 1 ) + 5 ( 1 ) + 6

1* /1M1*

1

f ( 1 )=( 1 ) + 5 ( 1 ) + 6

1* /1M1*

6

f ( 0 )=(0 ) + 5 ( 0 ) + 6

)

/6M)

6

f ( 0 )=(0 ) + 5 ( 0 ) + 6

)

/6M)

51

f ( −1 )=(−1 ) + 5 (−1 ) + 6

*

/51M*

51

f ( −1 )=(−1 ) + 5 (−1 ) + 6

*

/51M*

5*

f ( −2 )=(−2 ) + 5 (−2 ) + 6

6

/5*M6

5*

f ( −2 )=(−2 ) + 5 (−2 ) + 6

6

/5*M6

5,

f ( −3 )=(−3) + 5 (−3 ) + 6

6

/5,M6

5,

f ( −3 )=(−3) + 5 (−3 ) + 6

6

/5,M6

54

f ( −4 )=(−4 ) + 5 (−4 ) + 6

*

/54M*

54

f ( −4 )=(−4 ) + 5 (−4 ) + 6

*

/54M*

5%

f ( −5 )=(−5 ) + 5 (−5 )+ 6

)

/5%M)

5%

f ( −5 )=(−5 ) + 5 (−5 )+ 6

)

/5%M)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Se to;a 24al=4er 64nto =4e 5e en24entre Se to;a 24al=4er 64nto =4e 5e en24entre /entro o 74era /e la 6arábola  5e evalJa en la /entro o 74era /e la 6arábola  5e evalJa en la ne24a23n. ne24a23n. Se to;a el 64nto /e 2oor/ena/a5 $B$? /on/e Se to;a el 64nto /e 2oor/ena/a5 $B$? /on/e F$  $ F$  $ Se ree;6laza en le ne24a23n. Se ree;6laza en le ne24a23n. Elaborado por: Alberto Gonzalo Chávez M

!5 2

2

y ! x + 5 x + 6 2

1! 1

+ 5 (1 )+ 6

y " x + 5 x + 6 1 ! 12

2

1" 1

VERDADERO: 7or lo

2n2o: el $n2er>lo olu#$-n er< l e##$-n EXTERNA  l 7r
+ 5 ( 1 )+ 6

1 " 12

&ALSO: 7or lo 2n2o:

el $n2er>lo olu#$-n er< l e##$-n INTERNA  l 7r
TRA0A+O ACADÉMICO IDE8EDIETE TUTORKA  $# $. Da/o5 lo5 5g4ente5 ntervalo5! eF6r5elo5 2o;o e24a23n  2o;o 2on@4nto. $!' 8t5?

¿

[ −12 ; 2 ]

2; 4 ¿

¿

¿

¿− 6 ; 5

[ 8 ; 12 ]

¿−∝ ;

¿

¿ 2; ∝

¿ ¿− 9 ;−8

[ −9 ; −8

¿

¿−11 ; 1

¿

5 ; ∝¿

¿

". Da/a5 la5 5g4ente5 ne24a2one5! /eter;ne ello5 ntervalo5 5ol423n. $!' 8t5? 2 x −3 ! 5

2 ( x − 1 )> 3 x + 5

x > 6

x −1 " 6 x −2 " x + 3

2 x + 4 " x " x −1

x ! 2

>. Deter;ne grá72a;ente la 5ol423n /e la5 5g4ente5 ne24a2one5 lneale5 $!' 8t5? y >3 x −2

5 x −3 y ! 5

y ! x −1

y < x + 4

2 x + y " 5

y " 2 x + 3

%. Re54elva 6or 7a2torza23n la5 5g4ente5 e24a2one5 24a/rát2a5. $!' 8t5?


!6 2

2

a − 2 a −35 =0 2

x + 14 x + 13 =0

y − 4 y + 3= 0 2

n − 8 n + 12=0

2

m +13 m− 30=0 2

c + 24 c + 135

'. EvalJe lo5 ntervalo5 5ol423n /e la5 5g4ente5 ne24a2one5 24a/rát2a5 2on 4na n23gnta. " 8t5? 2

a +7 a + 6 >0 2

m + 5 m −14 " 0

2

x + 10 x + 21 ! 0

2

x + 4 x + 3 < 0

x − x −6 > 0 x −4 x + 3 " 0

2

x + 7 x + 6 < 0

2

2

x −4 " 0

2

N. Deter;ne grá72a;ente la 5ol423n /e la5 5g4ente5 ne24a2one5 24a/rát2a5 2on /o5 n23gnta5. $!' 8t5? 2

y < x

2

y ! x −4

y > x −2 x + 1

2

2

y < x + x

2

y " x + x −6

2

y > x + 2 x −8

. Sele22ona la re564e5ta 2orre2ta #!' 8t5? Da/a la ne24a23n: x > 0 ! la 5ol423n 5er
¿

o

o

0 ; ∝¿

¿ ¿

¿ 0 ; ∝¿ ¿

o

¿−∝ ; 0 ¿ 2

Una e24a23n /e la 7or;a a x + bx + c =0. o o

o

Re7reen2 un re#2. Re7reen2 un $7;r?ol. Re7reen2 un Pr
Lo5 nJ;ero5 =4e 2on7or;an el ntervalo

¿ −3 ; 2 ¿ 5on: ¿ o

{−2,−1,0,1,2 }

o

{−3,−2,−1,0,1,2 }

o

{−3,−2,−1,0,1, }

El ntervalo

[ −1 ; 6 ] ! 2orre56on/e a la

ne24a23n: o

−1 " x " 6

o

−1 ! x ! 6

o

−1 < x < 6

AUTOE1ALUACIÓ U/. /eberá realzar e5ta eval4a23n 6reva a la t4tor

!#

$. Real2e la grá72a =4e /e;4e5tre 2a/a 4no /e lo5 en4n2a/o5 /e: )4n23n Cre2ente  )4n23n /e2re2ente. En 4n ntervalo [ a ; b ] , 5 6ara X 2 > X 1 !

En 4n ntervalo [ a ;b ] , 5 6ara X 2 > X 1 !



f ( x 2 )>¿


74n23n 2re2ente.

f ( x 2 )< ¿


74n23n De2re2ente.

". Elabore la grá72a /e la 5g4ente 74n23n 24a/rát2a.

f ( x )= x + 5 x + 6 2

>. E52rba el 2on2e6to /e: Dom$n$o 8e un "un#$-n.5      Re#orr$8o 8e un &un#$-n.5      9ono2on3 8e un &un#$-n.5      2 %. En 4na 6arábola. De l "orm f ( x )=a x + bx + c 8on8e a > 0 : n/=4e! en =4 ntervalo 54

Monoton

!$

1ara23n o ;onoton
C3;o 5e /eter;na la ;onoton
S aPo! enton2e5 la 6arábola 5e abre ha2a S aQo! enton2e5 la 6arábola 5e abre ha2a arrba. aba@o.

&

( ( )) −b

−b

2a

2a

; f


!%

¿ Cre2ente: ¿−

¿ b Cre2ente: ¿−∝ ; − ¿

b ;∝ ¿ 2a

2a

¿ b De2re2ente: ¿−∝ ; − ¿

¿ De2re2ente: ¿−

2a

b ;∝ ¿ 2a

E@e;6lo. Deter;ne la Monoton
Se 8e2erm$n el >lor 8e ?*: ?$en8o que l "un#$-n e2< 8e l "orm a =2, b = 4 y c =5

−b −4 = =−1 2 a 2 ( 2)

Co;o aP#! enton2e5 Cre2ente:

→ b ¿− ; ∝ ¿ 2a

¿

¿−1 ; ∝ ¿

¿ b De2re2ente: ¿−∝ ; − [ → ]−∝ ;−1 ¿

x

f ( x )=a x + bx + c . 2

Pr or8

f ( x )=2 x + 4 x −5 2

*

f ( 2 )= 2 ( 2) + 4 ( 2 )−5

11

/*M11

1

f ( 1 )=2 ( 1) + 4 (1 )−5

*

/1M*

6

f ( 0 )=2 ( 0 ) + 4 ( 0 )−5

5%

/6M5%

51

f ( −1 )=2 (−1) + 4 (− 1 )−5

5

/51M5

5*

f ( −2 )=2 (−2 ) + 4 (−2 )−5

5%

/5*M5%

5,

f ( −3 )=2 (−3 ) + 4 (− 3 ) −5

*

/5,M*

54

f ( −4 )=2 (−4 ) + 4 (−4 )−5

11

/54M11

2a

2

2

2

2

2

2

2


"0

%.%.& DOMIIO ( RECORRIDO DE LA )UCIÓ CUADR9TICA.

%.%.$ EL DOMIIO DE UA )UCIÓ CUADR9TICA SO LOS MEROS REALES:

¿

¿−∝ ; +∝ ¿

El Re#orr$8o 8e un "un#$-n #u8r<2$# 2om 8e8e el 7un2o m.  El >;r2$#e que #on2$2u!e el 7un2o m #on el ee X: S$ eG$2$een. S$ l "un#$-n 8e l "orm

2

f ( x )= x + bx + c , 5e /eter;na lo 5g4ente:

 S$ a > 0 l #ur> e ?re K#$ rr$?: S$  El >;r2$#e 8e #oor8en8 e(

&

a < 0 : l #ur> e ?re K#$ ?o.

( ( )) −b

−b

2a

2a

; f

4.4.* RECORRIDO DE UNA &UNCI'N CUADRÁTICA(

¿

S$

a > 0 el re#orr$8o 8e l "un#$-n e(

f

( )

−b ; ¿ ∝ 2a

¿ ¿

S$

a < 0 el re#orr$8o 8e l "un#$-n e(

−∝ ; f

( )¿ −b 2a

¿

2 Da/a la 74n23n 24a/rát2a f ( x )= x + 6 x + 8 ! /eter;ne: Do;no! re2orr/o!

;onoton
f ( x )=ax +bx + c f ( x )= x + 6 x + 8 2

a =1 ;b =6 ; c = 8


"1

1. L #ur> e ?re K#$ rr$?. Porque

a > 0 : e 8e#$r

a =1 .

¿

f

*. Por lo 2n2o u re#orr$8o e(

( ) −b 2a

;∝¿

¿

,. De2erm$nmo el >lor 8e

'

b −6 = =−3. 2 a 2( 1)

4. Reem7lFmo ee >lor en l "un#$-n. f ( x )= x + 6 x + 8 2

2

f ( −3 )=(−3 ) + 6 (−3 ) + 8 f ( −3 )=−1

¿

−1 ; ∝ ¿ ¿

En2on#e u re#orr$8o e(

%. #omo el >lor 8e a > 0 : e 8e#$r: l #ur> e ?re K#$ rr$?: en2on#e l mono2on3 er3(

¿ b Cre2ente: ¿− ; ∝ [ → ]−3 ; ∝ ¿ 2a

¿ De2re2ente:

b ¿−∝ ; − [ → ]−∝ ;−3 ¿ 2a

). El?ormo l =r<"$#. 2  f ( x )= x + 6 x −8 5

f ( −7 )=(−7 ) + 6 (−7 )+ 8

2

1%

5)

f ( −6 )=(−6 ) + 6 (−6 )+ 8

2

0

5%

f ( −5 )=(−5 ) + 6 (−5 )+ 8

2

,

54

f ( −4 )=(−4 ) + 6 (−4 )+ 8

2

6


"2

5,

f ( −3 )=(−3) + 6 (−3 )+ 8

51

5*

f ( x )=(−2 ) + 6 (−2 )+ 8

2

6

51

f ( x )=(−1 ) + 6 (−1 )+ 8

,

6

f ( x )=( 0 ) + 6 ( 0 )+ 8

0

1

f ( x )=( 1) + 6 ( 1)+ 8

1%

2

2

2

2

2

Da/a la 74n23n 24a/rát2a f ( x )=−2 x + 4 x −7 ! /eter;ne: Do;no! re2orr/o! ;onoton
AUTOE1ALUACIÓ REALICE E CLASE LAS SIGUIETES ACTI1IDADES. TUTORKA  $" É5te traba@o e5 n/v/4al! 6ero U/. 6o/rá: 5ol2tar a6oo /e alg4no /e 545 2o;6aero5B Sol2tar a4/a /e 6arte /e 54 8ro7e5or.


"!

É5te traba@o tene 4na ota 2orre56on/ente a A2tv/a/e5 In/v/4ale5 en 2la5e. Re54elva la5 5g4ente5 e24a2one5 24a/rát2a5 6or: )a2torza23n o 6or )3r;4la General. 2

x + 12 x − 45=0

4 x

2

− 9 x −13=0

2

25 x

−5 x −6= 0

21 x

2

−29 x −72 =0

Deter;ne el ntervalo 5ol423n /e la5 5g4ente5 ne24a2one5 24a/rát2a5. 2

x + 12 x − 4 < 0

2

x + 7 x + 10 " 0

2

x −2 x −35 ! 0

2

3 x

−2 x −300 > 0

8or el ;to/o grá72o! Re54elva la5 5g4ente5 ne24a2one5 24a/rát2a5 2on /o5 varable5. 2

y < x − x −6

2

y > x + 5 x + 6

2

y < x + 2 x −8

2

y > x + 6 x + 8

Deter;ne el Do;no! Re2orr/o  Monoton
f ( x )= x + 7 x + 10 2

f ( x )= 2 x + 6 x − 7 2

f ( x )= x + 6 x + 9 2


""

CUADERNILLO PRIMER PARCIAL EJERCICIOS FUNCIONES Ejercicio nº 1.-

*alla el /o;no /e /e7n23n /e la5 74n2one5 5g4ente5: a? y =

$ "

x + $


"5

b? y =

x + $ x

Ejercicio nº 2.-

A5o2a a 2a/a grá72a 54 e24a23n: a? y = −> x + '

b? y = ( x + " )

"

' 2? y = − x >

/? y = −% x "

I?

II?

III?

I1?

Ejercicio nº 3.-

Re6re5enta la grá72a /e la 5g4ente 74n23n:


"6

y =

−> '

x + $

Ejercicio nº 4.-

*alla la eF6re53n anal
Ejercicio nº 5.-

Re6re5enta la grá72a /e la 5g4ente 74n23n:

y = − x "

+

%

Ejercicio nº 6.-

Re6re5enta grá72a;ente:

− " x + $ 5 x ≤ $ y =  "  x − " 5 x > $

Ejercicio nº 7.-

Con "## ;etro5 /e valla =4ere;o5 a2otar 4n re2nto re2tang4lar a6rove2han/o 4na 6are/:


"#

a? Lla;a x a 4no /e lo5 la/o5 /e la valla. VC4ánto valen lo5 otro5 /o5 la/o5W b? Con5tr4e la 74n23n =4e no5 /a el área /el re2nto. Ejercicio nº 8.-

*az la grá72a /e la 74n23n:

y = −#!' x + >!'

Ejercicio nº 9.-

*alla la e24a23n /e la re2ta =4e 6a5a 6or ( − $! " ) D 24Da 6en/ente e5 −

$ . >

Ejercicio nº 10.-

Re6re5enta grá72a;ente la 5g4ente 74n23n:

f ( x )

" x "

= −

+

% x

Ejercicio nº 11.-

Db4@a la grá72a /e la 74n23n:


"$ ( − x + $) " " − x

y = 

5 x ≤ −$ 5 x > −$

Ejercicio nº 12.-

Un 2ántaro va2
Ejercicio nº 13.-

*alla el /o;no /e /e7n23n /e la5 5g4ente5 74n2one5:

a? y =

b? y =

$ x " − R

x − "

Ejercicio nº 14.-

Obtn la grá72a /e la 74n23n:

f ( x ) =

x " "

− " x + $

Ejercicio nº 15.-

Re6re5enta la 5g4ente 74n23n:


"% " x " 5 x < −$ " x + % 5 x ≥ −$

y = 

Ejercicio nº 16.-

El 6er<;etro /e 4n re2táng4lo e5 /e ># 2;. Obtn la 74n23n =4e no5 / el área /el re2táng4lo en 74n23n /e la longt4/ /e la ba5e.

Ejercicio nº 17.-

*alla el /o;no /e /e7n23n /e la5 74n2one5:

a? y =

b? y =

" + x x "

> x − $

Ejercicio nº 18.-

Db4@a la grá72a /e la 5g4ente 74n23n:

− x " y =  − x + $ "

5 x ≤ $ 5 x > $

Ejercicio nº 19.-

El 6re2o 6or e5table2;ento /e lla;a/a en 2erta tar7a tele73n2a e5 /e #!$" e4ro5. S habla;o5 /4rante ' ;n4to5! la lla;a/a no5 24e5ta #!, e4ro5 en total. *alla la 74n23n =4e no5 /a el 6re2o total /e la lla;a/a 5egJn lo5 ;n4to5 =4e e5te;o5 hablan/o.

Ejercicio nº 20-


50

Averg4a 24ál e5 el /o;no /e /e7n23n /e la5 5g4ente5 74n2one5:

a? y =

b? y =

$ > x − x " x " − $

Ejercicio nº 21.-

A5o2a a 2a/a 4na /e e5ta5 grá72a5 4na /e la5 5g4ente5 eF6re5one5 anal
b? y =

− > x " %

−> x

%

2? y = " x "

−

"

/? y = " x − "

I?

II?

III?

I1?


51

Ejercicio nº 22.-

Re6re5enta grá72a;ente la 74n23n:

y = − x "

+

% x − $

Ejercicio nº 23.-

Re6re5enta grá72a;ente la 5g4ente 74n23n:

 x " − $ 5 y =  5 >

x ≤ " x > "

Ejercicio nº 24.-

En alg4no5 6a<5e5 5e 4tlza 4n 55te;a /e ;e/23n /e la te;6erat4ra /5tnto a lo5 gra/o5 2ent

52

BLOUE * DE ÁL+EBRA Y +EO9ETRA

TRA0A+O ACADÉMICO IDE8EDIETE TUTORKA  $>. Elaborado por: Alberto Gonzalo Chávez M

5!

Gra7=4e la5 5g4ente5 74n2one5. $ 8t? f ( x )= x − 4 x + 4 2

f ( x )=−2 x + 6 x 2

Sn Gra72ar! Deter;ne la Monoton
f ( x )=2 x −5 x + 4 2

f ( x )=−2 x + x + 1

8ara 4na /e la5 5g4ente5 74n2one5 n/=4e 24ále5 2on el re2orr/o /e la 7or;a:

¿

f

( ) −b 2a

;∝¿

$!' 8t5?

¿

f ( x )=− x −6 x + 12 2

f ( x )=12 x −4 x + 4 2

f ( x )=−2 x − 8 x 2

f ( x )=−11 x + 1 2

f ( x )=2 x − x + 4 2

f ( x )=2 x + x + 1

Sn gra72ar! Deter;ne la 2oor/ena/a5 /el vrt2e /e la5 5g4ente5 74n2one5. > 8t5? f ( x )=0,5 x −6 x + 1 2

f ( x )= x −12 x + 10 2

f ( x )=0,15 x −0,3 x + 1 2

f ( x )=15 x −30 x + 12 2


5"

Deter;ne el Do;no! Re2orr/o! Monoton 8t5? f ( x )=2 x − x + 6 2

f ( x )= x −12 x + 10 2

f ( x )= x − 4 x + 4 2

$. 1e2tore5 geo;tr2o5 en el 6lano $.$ Intro/4223n a lo5 ve2tore5. $." Cara2ter<5t2a5 /e 4n ve2tor. 1. 7un2o 8e 7l$##$-n u or$=en. *. 9=n$2u8: $n2en$88 o m-8ulo 8el >e#2or. In8$# u >lor ! e re7reen2 7or l lon=$2u8 8el >e#2or e #uer8  un e#l #on>en#$onl. ,. D$re##$-n. SeJl  l3ne o?re l #uer2$#l u o?l$#u. 4. Sen2$8o. ue8 eJl8o 7or l 7un2 8e le "le#K: e $n8$# K#$ 8on8e #2ú el >e#2or. El en2$8o 8e e2e e 7ue8e $8en2$"$#r 8e mner #on>en#$onl #on $=no “m ! “meno

$.> S5te;a5 /e 2oor/ena/a5 en el 8lano Carte5ano.

CATIDADES 1ECTORIALES Coor/ena/a5 8olare5. A =( r ; ( )

D3n/e:

A = ( r;rumbo )

o

=270 −(

Re2tang4lare5!

A =( r.co*(ir.*en( ) )

∅

∅=270 −210

Coor/ena/a5 1e2tor 0a5e. A =( A x i A y ))

A = ( r ; ∅ )

A =( 5 cm; 21 0 ) ⃗

Coor/ena/a5 Geográ72a5.

∅=6 0 o

A =( 5.cos210 i 5. *en 210 ) ) ⃗


55

r =5 cm

(= 210

A =(−4,33 i −2,5 ) )

o o

A =( 5 cm; 6 0 + ) ⃗

GR9)ICA

r

r r

AUTOE1ALUACIÓ. U/. /eberá realzar e5ta eval4a23n 6reva a la t4tor
o

⃗B =( 4 cm; 1 0o E )

)

C =( 4 i 5 ) ) cm

o

 =( 3 cm; 15 6 ) ⃗

o

E=( 5,5 cm;- 1 2 E ) ⃗

 =( 3,2 i 1,4 ) ) cm ⃗


56

Gra7=4e la5 5g4ente5 2ant/a/e5 ve2torale5  ;/a el áng4lo =4e 7or;an. o

A =( 5,1 cm; 2 0 ) ⃗

o

C =(3 cm ; 10 ) ⃗

⃗B =( 2 cm;- 20 o + )

=( 2,5 cm;- 3 0 + )

A = (3 i 8 ) ) cm

A =( 1,8 cm; 14 0 )

⃗B =( 3 cm; 21 0o )

⃗B =( 2,4 cm; 30 0 o)

o

⃗

⃗

o

Da/a5 la5 5g4ente5 2ant/a/e5 ve2torale5. In/=4e en =4 t6o /e 2oor/ena/a5 e5tán eF6re5a/a5. Coor8en8 Polre: Coor8en8 +eo=r<"$# o Coor8en8 Re#2n=ulre. A =( 5 cm; 23 5 ⃗

o

)

o B =( 4 cm; 1 0 E )  ⃗

 C =( 4 i 5 ) ) cm  o

 =( 3 cm; 15 6 ) ⃗

o

E=( 5,5 cm;- 1 2 E ) ⃗

 


5#  =( 3,2 i 1,4 ) ) cm  ⃗

/=( 2 i 3 )⃗ ) ⃗



⃗

0 =( 1 i 4 ) )



⃗

⃗ =(5,1 cm ; 20 ) 1 o



⃗2 =( 2 cm;- 2 0o +)



Con54lte el teore;a /e 8tágora5.


5$

$.% O6era2one5 2on ve2tore5. $.%.$ S4;a  re5ta /e ve2tore5 en el 6lano 2arte5ano ;e/ante el ;to/o /el 6aralelogra;o.

E@e;6lo A =( 2 i 3 ) )

A =(−2 i 5 ) )

⃗

⃗

B =( 1 i 4 ))

B =(−1 i 4 ) )

⃗

⃗

*allar A  0

*allar A  0

$.%." S4;a  re5ta /e ve2tore5 en el 6lano 2arte5ano ;e/ante el ;to/o /el 8ole#2or en el or$=en 8e #oor8en8: ! en el eG2remo 8el m$mo 2rFr un 7lno #r2e$no l2erno en el que e 2rFr< el e=un8o >e#2or ! 3 u#e$>men2e. Eem7lo.

C o

A =( 6 cm ; 20 ) ⃗

⃗B =( 9 cm;- 2 0o +)

B


5% C =(8 cm; 250 )

llr( A + B + C R

A

1.% Pro8u#2o e#lr en2re >e#2ore: An=ulo "orm8o 7or 8o >e#2ore. Pr #l#ulr el e#2or 7or el #oeno 8el e#2or ⃗u 7or l 7r$mer #om7onen2e 8el >e#2or ⃗3 : ! e um l 7ro8u#2o 8e l e=un8 #om7onen2e. u=( u x ; u y ) ⃗ ⃗ 3 =( 3 x ;3 y )

u . ⃗3 =u x . 3 x + u y . 3 y ⃗

El 2o5eno /el áng4lo =4e 2o;6onen /o5 ve2tore5 5e 2al24la ;e/ante la /v53n /el 6ro/42to e52alar 6or el 6ro/42to /e 545 ;3/4lo5. u . ⃗3 =|u|.|3|. cos ∝ ⃗ cos ∝=

u⃗ . ⃗3 |u|.|3|

8ara /eter;nar el ;3/4lo /e 4n ve2tor 5e a6l2a el teore;a /e 8tágora5.

|u|=√ u x2 +u y2 E@e;6lo. *allar el 6ro/42to e52alar entre lo5 5g4ente5 Deter;ne el áng4lo ve2tore5. 5g4ente5 ve2tore5.

7or;a/o

6or

lo5


60 B =( 2 ; 3 )

B =(−2 ; −3 )

A =( 6 ;−3 )

A =(−6 ; 4 )

A . B = A x . B x + A y . B y A . B =( 2 ) ( 6 )+ ( 3 ) (−3 ) A . B =3

Deter;ne el áng4lo 7or;a/o 6or lo5 ve2tore5. 8ara /eter;nar el áng4lo entre /o5 ve2tore5 ne2e5ta;o5 2ono2er el 6ro/42to e52alar entre a;bo5 ve2tore5  545 ;3/4lo5.

| A|=√ ( 2 )2+( 3 )2

|B|= √ ( 6 )2+ (−3 )2

| A|=√ 13 cos ∝=

cos ∝=

|B|= √ 45

u⃗ . ⃗3 |u|.|3| 3

√ 13 √ 45 −1

∝=Co *

0,12407

∝=82,87

o

A7l$##$one  l +eome2r3.  1ECTOR 8OSICIÓ.& Cun8o e 8ee #ono#er l 7o$#$-n A que o#u7 un o?e2o que e en#uen2r en mo>$m$en2o en un 2$em7o 8e2erm$n8o 2: e el$=e un $2em 8e re"eren#$ "$o: #ono#$8o #omo Plno Cr2e$no: ! e 2rF el >e#2or que une el or$=en 8e #oor8en8 #on el 7un2o A. Eem7lo. Un ?r#o #on re7e#2o  un muelle e en#uen2r en el 7un2o 8e #oor8en8 A ( 6 ; 8 ) 4m : De2erm$n el >e#2or 7o$#$-n 8el ?r#o #on re7e#2o l muelle. A ( 6 ; 8 ) 4m Pun2o 8e #oor8en8 A =( 6 i 8 ) ) ⃗

Ve#2or 7o$#$-n.


61

 1ECTOR 1ELOCIDAD.& Pr el 9o>$m$en2o Re#2$l3neo: e K 8e"$n$8o  l >elo#$88 me8$ #omo el #o#$en2e en2re ell 8e7lFm$en2o ! el 2$em7o em7le8o 7r rel$Fr 8$#Ko 8e7lFm$en2o. A = ⃗

e*5la6amiento d = Tiem5o t

Un 22l5ta realza lo5 5g4ente5 /e56laza;ento5:

A = (2 i; −3 )) 4m

en X /e horaB

B =(−12 i; −1 ) ) en $ hora! De2erm$nr(

 L 7o$#$-n "$nl 8el #uer7o. ? L >elo#$88 en #8 8e7lFm$en2o.

El >e#2or 7o$#$-n e $=ul  l um l=e?r$# 8e lo 8e7lFm$en2o. A + B

( 2 i ;− 3 ) ) 4m +(−12 i ;−1 ) ) R=( 2 −12 i−3 −1 ) ) ⃗

R=(−10 i − 4 )) ⃗

Se rel$Fron 8o 8e7lFm$en2o( el 8e7lFm$en2o A lo K$Fo en  8e Kor ! el 8e7lFm$en2o B en 1 Kor. Se 8e2erm$n 8o >elo#$88e: un 7r #8 8e7lFm$en2o. & A =

A ( 2 i ; −3 ) ) 4m = 1 /4 7 t ⃗

B (−12 i ; −1 ) ) 4m & B = = t 17

4m

 ( 8 i; −12 ) ) 7

⃗

(−12 i ;−1 ) )



4m 7

Un mo2o#$#l$2 rel$F 2re 8e7lFm$en2o 7r lle=r  u 8e2$no ! #8 uno lo K#e  8$"eren2e r7$8eF 7ero en el m$mo 2$em7o 8e *% m$n. Deter;ne la velo2/a/ en 2a/a /e56laza;ento  la 6o523n 7nal /el ;oto22l5ta. B =(+ 5 i + 4 ) ) ⃗

C =(− 2 i + 8 ) ) ⃗

 =(+ 2 i − 9 ) ) ⃗


62

 1ECTOR ACELERACIÓ.& Pr el 9o>$m$en2o Re#2$l3neo Un$"ormemen2e Vr$8o: l #eler#$-n e el $n#remen2o o 8$m$nu#$-n 8e l >elo#$88 7or #8 un$88 8e e=un8o. a= ⃗

⃗ 8 & & −& = f

t

o

t

E@e;6lo. Un a4to;3vl =4e 6arte /el re6o5o  al 2abo /e ># 5eg4n/o5 al2anza 4na 1elo2/a/ /e:

( 18 i+ 24 ) ) m/ * . Deter;ne la a2elera23n /e5arrolla/a. & f =( 18 i+ 24 ) ) m / * ⃗

& o= 0 t =30 *

⃗ a=

& f −& o t

( 18 i + 24 ) ) m − 0 

*

30

=( 0,6 i + 0,8 ) )

m 2

*

Un a4to;3vl =4e 6arte /el re6o5o  al 2abo /e $" 5eg4n/o5 al2anza 4na 1elo2/a/ /e:

( 96 i+ 54 ) ) m / * . Deter;ne la a2elera23n /e5arrolla/a.


6!

Un mo2o#$#l$2 que lle> $n$#$lmen2e un r7$8eF 8e

( 30 i−19 ) ) m/ * ! 7rena br452a;ente ha5ta

/etener5e 2o;6leta;ente al 2abo /e "!, 5eg4n/o5! /eter;ne la /e5a2elera23n /e5arrolla/a.

1ECTOR )UERYA.& L 8$nolu#$-n en el 2$em7o 8e un $2em "3$#o en rel#$-n #on l #u que 7ro>o#n lo #m?$o 8e e28o "3$#o !o e28o 8e mo>$m$en2o. El o?e2$>o 8e l 8$n$m$en2o o e#u#$one 8e e>olu#$-n 7r 8$#Ko $2em 8e o7er#$-n. Y e2e "#2or que8 ?$en 8enom$n8o #omo &uerF. El #ue#2or$l. L "uerF m$8e el =r8o 8e $n2er##$-n en2re 8o #uer7o. EL peso e l "uerF #on l que l T$err 2re  2o8o lo #uer7o K#$ u #en2ro.

Don8e

⃗9=(−9,8 ) )

⃗5=m . ⃗ 9

m *

2

E@e;6lo: *allar el 6e5o /e 4n 24er6o! 24a ;a5a e5 / "' Zg. ⃗5=m . 9 ⃗ ⃗5=( 25 49) (−9,8 ) )

m *

2

⃗5=(−245 ) ) -

De2erm$ne el 7eo 8e #$er2o #uer7o 8e l $=u$en2e m.


6" m=15 49

m=1300 49

m=167 49

m=1209265 49

L "uerF Normal e =ener #un8o un #uer7o e2< en28o o?re un u7er"$#$e: l #ul e un "uerF equ$l$?rn2e l 7eo que e le e2< 7l$#n8o. L Fuerza de Rozamiento e =ener #un8o 8o #uer7o en2rn en #on2#2o:  =ener 8e?$8o  l ru=o$88 en2re l u7er"$#$e 8e #on2#2o. Y $em7re 2$ene en2$8o #on2rr$o l mo>$m$en2o.

$.N SEGUDA LE( DE E[TO O LE( DE LA )UERYA La a2elera23n =4e 4n 24er6o a/=4ere e5 /re2ta;ente 6ro6or2onal a la re54ltante /e la5 74erza5 =4e a2tJan en l!  tene la ;5;a /re223n  el ;5;o 5ent/o =4e /2ha re54ltante.  =m ⃗a.

*allar la 74erza a6l2a/a 5obre 4n 24er6o /e ">## Zg! 6ara =4e a/=4era 4na a2elera23n /e

( 2,5 i −6 ) ) m2 . *

 =m ⃗a.  =( 2300 49 ) ( 2,5 i −6 ) ) ⃗

m *

2

 =(5750 i 13800 ) ) - ⃗


65

CUADERNILLO SEGUNDO PARCIAL Elaborado por: Alberto Gonzalo Chávez M

66

8ara el e5t4/o /e e5ta 4n/a/ U/. ne2e5tará 2on2e6to5 bá52o5 /e )<52a! /entro /e Cne;át2a! Cant/a/e5 E52alare5  ve2torale5. Re/a2te el 2on2e6to /e 2a/a 4na /e e5ta5 ;agnt4/e5 ve2torale5. $ 8t? Ve#2or A#eler#$-n: Ve#2or Velo#$88: Ve#2or De7lFm$en2o: Ve#2or Po$#$-n.

Da/o5 la5 5g4ente5 2ant/a/e5 ve2torale5! real2e la5 o6era2one5 n/2a/a5. C =( 4 i 5 ) ) cm

 =( 3,2 i 1,4 ) ) cm ⃗

/=( 2 i 3 )⃗ ) cm ⃗

⃗

0 =( 1 i 4 ) ) cm ⃗

*allar el ve2tor re54ltante /e: %!' 8t5? C + 

0 + 

 . C

0 + / + 

 . ( / + 0 )

2

0 −C

⃗

⃗

2

Deter;ne el áng4lo 7or;a/o 6or lo5 ve2tore5: $!' 8t5?  y C

0 y C / y 0

U5an/o el ;to/o /el 6ol
U5an/o el ;to/o /e 8aralelogra;o /eter;ne la re54ltante /e: $!' 8t5? C + 


6# C + /  + 0

llr el Ve#2or "uerF 7l$#8 o?re un #uer7o 8e 1*6 =: 7r que 8qu$er un #eler#$-n 8e(

( 0,75 i −12 ) )

m *

2

llr el Ve#2or "uerF 7l$#8 o?re un #uer7o 8e 1)%4 =: 7r que 8qu$er un #eler#$-n 8e(

( 0,75 i −0,2 ) ) m2 *

llr el Ve#2or "uerF 7l$#8 o?re un #uer7o 8e 16 =: 7r que 8qu$er un #eler#$-n 8e(

( +12 i +12 ) ) m2 *

llr el Ve#2or "uerF 7l$#8 o?re un #uer7o 8e 1*6 =: 7r que 8qu$er un #eler#$-n 8e(

(−4,75 i−1 ) ) m2 *

Un mo2o#$#l$2 que lle> $n$#$lmen2e un r7$8eF 8e

( 30 i −19 ) ) m/ * ! 7rena br452a;ente ha5ta

/etener5e 2o;6leta;ente al 2abo /e "!, 5eg4n/o5! /eter;ne la /e5a2elera23n /e5arrolla/a. Un #uer7o 7r lle=r  u 8e2$no rel$F 8$"eren2e 8e7lFm$en2o ! #8 uno lo K#e  8$"eren2e r7$8eF ! en 2$em7o 8e *:, m$n: ,:4 m$n ! 1* e=un8o #orre7on8$en2emen2e. Deter;ne la velo2/a/ en 2a/a /e56laza;ento  la 6o523n 7nal /el ;oto22l5ta. A = ( 671 i 134 ) ) m

B =( 12 i−652 ) ) m

C =(−9 i −124 ) ) m ⃗


6$

1. Pro=rm#$-n l$nel( /4 emn. 1..1 Conun2o "#2$?le: o72$m$F#$-n 8e "un#$one l$nele ue2  re2r$##$one /m;2o8o =r<"$#o. L >r$?le 8e un 7ro?lem 8e 7ro=rm#$-n l$nel on quello >lore que #m?$n #un8o e qu$eren #om7ro?r l olu#$one. En lo 7ro?lem 8e 7ro=rm#$-n e ?u#n mG$m$Fr l ! l =nn#$: o m$n$m$Fr el #o2o ! lo 2$em7o 8e 7ro#eo. +r#$ l uo 8e l >r$?le X ! Y en l reolu#$-n 8e 7ro?lem: e en#uen2r un e#u#$-n 7r el #lore que e 8ee mG$m$Fr o m$n$m$Fr: e2o e le 8enom$n )UCIÓ O0+ETI1O. L >r$?le 8e 7ro=rm#$-n l$nel 7ue8en 2omr 2o8o quello >lore 7erm$2$8o 7or l #on8$#$one $m7ue2 7or el 7ro?lem: en l=uno #o e $m7one un l3m$2e mlor m3n$mo  #u?r$r: 7or eem7lo: l #n2$88 8e un 7r$n#$7$o #2$>o en lo ?ono. A e2 #on8$#$one $m7ue2 o?re lo >lore "#2$?le 8e l >r$?le 8e un 7ro?lem e l #ono#e #omo re2r$##$one: En 7ro=rm#$-n L$nel: l re2r$##$one e re7reen2n me8$n2e $ne#u#$one l$nele: ! 7erm$2en >er$"$#r #ulore 8e l >r$?le on >lore "#2$?le ! #u
E@er22o5. El 6er5onal /e 2argo /el 64ente areo 2al24lo 24anto5 avone5 han /e e;bar2ar! to;an/o en 24enta la5 5g4ente5 regla5. 1. AKorrr l m$-n. *. En2re=r 2o8o el #r?-n ! l le#Ke 8$7on$?le en l ?o8e=. Se ?e que en ?o8e= eG$2en *%62 8e #r?-n ! 1*6  l 8e le#Ke: e 8$7one 8e 8o 2$7o 8e A>$one( lo >$one l$=ero que #onumen % +lone59$ll: ! lo >$one 7e8o que #onumen 0 +lone 9$ll. Lo >$one 7e8o =2 , =lone m< 7r >$r  l m$m >elo#$88 que lo >$one l$=ero. Am?o 2$enen 2nque e7e#$le 7r lle>r 8e#u8men2e l le#Ke. Un >$-n l$=ero e #7F 8e lle>r %2. 8e #r?-n #on 4  l 8e le#Ke: en #m?$o un >$-n 7e8o 7ue8e #r=r K2 16 2on 8e #r?-n #on , l 8e le#Ke. El?or l re7reen2#$-n +r<"$# 8e l re2r$##$one 8el 7ro?lem ! 8e#r$?e l re=$-n 8e lo >lore "#2$?le. Pr 8errollr e2e 7ro?lem. Pr$mero 2enemo que el?orr $ne#u#$one que 8e#r$?n l #7#$88 8e #8 >$-n: 7r e2o: el?ormo l $=u$en2e 2?l. Cr?- Le#Ke &/GM Pr l #on2ru##$-n 8e e2 2?l: ne#e$2mo nl$Fr lo n 1*6 ! 82o que no 8 el 7ro?lem: 7r$mero no  lo m
6%

! 1*6  l 8e le#Ke. Lue=o no $n8$# l #7#$88 8e

l

A>$-n L$=ero A>$-n 7e8o

%G 16!

4G ,!

%G 0!

#8 uno 8e lo >$one: “Un >$-n l$=ero e #7F 8e lle>r %2. 8e #r?-n #on 4  l 8e le#Ke: en #m?$o un >$-n 7e8o 7ue8e #r=r K2 16 2on 8e #r?-n #on , l 8e

le#Ke #on e2o 82o #om7le2mo l 2?l: ! "$nlmen2e le $=nmo >r$?le “G ! “!. &ormmo l re2r$##$one 7or me8$o 8e $ne#u#$one ! l "un#$-n o?e2$>o. Re2r$##$-n 1 %GQ16!W*%6 Pr e2e #o no $n8$# que #on2mo #on un mo &/GM!%GQ0! 7r 8e ee l3m$2e: en2on#e 8e8u#$mo que l re2r$##$one e ur< el $=no “9enor que /W AKor el?ormo l =r<"$# 8e #8 un 8e l re2r$##$one. Re2r$##$-n 1 Re2r$##$-n *. )1*+0,50 )2*+!0,0 V3=(18;16) La solución factible sería cualquier punto que se encuentre dentro del conjunto solución.

In2ere##$-n 8e l re2r$##$one


#0

AUTOE1ALUACIÓ U/. /eberá realzar e5ta eval4a23n 6reva a la t4tor  el $=u$en2e $2em 8e $ne#u#$one l$nele.

{

2 x + y < 5 3 x −2 y >−4

{

x + y < 4 2 x − y >−1

". Re56on/a la5 5g4ente5 6reg4nta5 VC4ál e5 el ob@etvo /e la 6rogra;a23n lnealW  


#1

  VA =4 5e le /eno;na )4n23n Ob@etvoW     VA =4 5e le 2ono2e 23;o Re5tr22one5W    

Una e;6re5a 7abr2a  ven/e /o5 art<24lo5: A  0. En 54 6ro/4223n 5e 4tlzan tre5 t6o5 /e ;á=4na5: M$! M"! M>. La 5g4ente tabla ;4e5tra el te;6o en hora5 =4e ne2e5ta 2a/a ;á=4na 6ara 7abr2ar 2a/a 4no /e lo5 ;o/elo5. Ca/a ;á=4na traba@a 4n ;áF;o /e N# *ora5 5e;anale5. S 6or la venta /e 2a/a 4no /e lo5 art<24lo5 /el T6o A 5e obtene 4n bene72o /e \$# ###!  6or 2a/a 4no /e 0 5e obtene 4n bene72o /e \$' ###! Deter;na 24anto5 art<24lo5 5e /eben 7abr2ar /e 2a/a t6o 6ara ;aF;zar el bene72o. 91 /)6 *G 4!

A B

9*/)6 ,G 1!

9,/)6 1G %!

Se 7ro8u#en X r23#ulo 8el T$7o A ! Y r23#ulo 8el 2$7o B. L "un#$-n o?e2$>o e2r3 88 7or el ?ene"$#$o. )B(?  $# ###  $' ###( L re2r$##$one e2r3n 88 7or el número 8e Kor 8e #8 m
x =0 ; y = 15 x =0 ; y =60 x =0 ; y =12

y =0 ; x =30 y =0 ; x =20 y =0 ; x =60

Lue=o: e 8e2erm$n l olu#$-n "#2$?le: e 8e#$r: e reuel>e el $2em 8e $ne#u#$one l$nele: el?orn8o l =r<"$# 8e l m$m. Lo >;r2$#e er3n( V1/6M1* V*/16M16 )1

)2 )! )"


#2

V,/10M0 V4/*6M6

V1/6M 1* V*/1 6M16 V,/1 0M0 V4/* 6M6

&/XMY16666X Q1%666Y &/XMY16666X Q1%666Y &/XMY16666X Q1%666Y &/XMY16666X Q1%666Y

&/6M1*16666/6Q1% 666/1* &/16M1616666/16Q 1%666/16 &/10(016666/10Q1 %666/0 &/*6M616666/*6Q1 %666/6

106 666 *6 666 ,66 666 *66 666

En2on#e en2re lo reul28o ?u#mo el m!or ?ene"$#$o: en e2e #o er3 el >;r2$#e Do V,/10M0: E 8e#$r e 7ro8u#$r< un #n2$88 8e 10 7ro8u#2o 8el 2$7o A ! 0 8el T$7o B: OBTENIENDO UN BENE&ICIO DE ,66 666

Una 6er5ona va a n2ar 4na /eta  re2be la5 5g4ente5 n/2a2one5. • De?e 2omr un meF#l 8e 8o #om7ue2o: D1 ! D*. • L #n2$88 2o2l 8$r$ que 7ue8e $n=er$r un >eF meF#l8o lo 8o #om7ue2o: no 8e?e er u7er$or  1%6=r n$ $n"er$or  %6=r. • En l meF#l 8e?e K?er m< #n2$88 8e D1 que 8e D*. • L meF#l no 8e?e #on2ener m< 8e 166=r 8e D1. Se ?e que #8 =rmo 8e D1 7or2 6:,m= 8e >$2m$n ! 4:% =r 8e #lor3: ! #8 =rmo 8e D* 7or2 6:* m= 8e >$2m$n ! 1:% #lor3.

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#5

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>. 8robabl/a/: % 5e;ana5?.

>.$ )re24en2a Se llm "re#uen#$  l #n2$88 8e >e#e que e re7$2e un 8e2erm$n8o >lor 8e l >r$?le.

>." T6o5 /e 7re24en2a Eem7lo( >r$?le 8e A en un mue2r e2832$# 8e un #onun2o B 8e 2mJo %6 /N. En e2832$# e 7ue8en 8$2$n=u$r K2 #u2ro 2$7o 8e "re#uen#$(  )re24en2a ab5ol4to 7?.& E el número 8e >e#e que 7re#e 8$#Ko u#eo: #un8o e re7$2e un eG7er$men2o le2or$o n >e#e.  )re24en2a relatva h?.& e el #o#$en2e 8e #8 "re#uen#$ ?olu2 7r el número 2o2l 8e 82o.


#6

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 )re24en2a ab5ol4ta a24;4la/a )?.& E l um 8e l "re#uen#$ ?olu2 #orre7on8$en2e m< l "re#uen#$ ?olu2 8e lo >lore n2er$ore.

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 )re24en2a Relatva A24;4la/a *?.& E l um 8e l "re#uen#$ rel2$> #orre7on8$en2e m l "re#uen#$ rel2$> 8e lo >lore n2er$ore.

0 i=71 + 7 2+ 73+ : : : 7n

E@e;6lo5. El 2olor /e 8elo Ca7CB R4boRB Elaborar 4na tabla /e 7re24en2a5 agr46an/o lo5 /ato5 8elrro@o8? /e ># 6er5ona5 to;a/a5 al /e 4na l5ta /el 6e5o en ]logra;o5 /e "% 6er5ona5. azar 74e: C! R! 8! C! C! C! C! R! R! 8! 8! C! C! 06 4% % ))  ,@ %4 %0 )@ , 01 * )1 ,@ % %@ )0 4@ )@ 41 %, %* ), 4, C! C! C! C! 8! R! R! R! R! C! C! C! C! R! C! C  C. Con5tr4e la tabla /e 7re24en2a5  8e5o F 7 h ) * 6or2enta@e5 a5o2a/a a e5to5 /ato5. ¿ 44 % 6:*1 % 6:*1 39 ; 49 ¿ Color 7 h ) * ^ ¿ 10 6:) 10 6:) )6 C ¿ %4 ) 6:*% 11 6:4)  6:*, *% 6:0, *, R 49 59 ; ¿ % 6:1 ,6 1 1 8

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22

Rel$F un 8$=rm 8e ?rr #on l $=u$en2e $n"orm#$-n. L e22ur en #en23me2ro 8e * ->ene on l 12 $=u$en2e( 11 1%%: 10: 16: 1)%: 1,: 1)0: 1)6: 1)): 1): 1)@: 6 1@: 1)1: 1)44: 1%): 16: 11: 1): 141: 1%0: 16: 5 ! 1): 14: 1): 1)4 ! 1%4. 1),: 1%0: 15

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>.% 8RO0A0ILIDAD >.%.$ El e56a2o ;4e5tral /e 4n eF6er;ento El e7#$o mue2rl e el #onun2o "orm8o 7or 2o8o lo reul28o 7o$?le 8e un eG7er$men2o le2or$o. Se lo $m?ol$F #on l le2r E: ! u elemen2o e e#r$?en en2re ll>e: #omo elemen2o 8e un #onun2o. C8 reul28o e un u#eo elemen2l. Eem7lo. Se rel$F un eG7er$men2o le2or$o que #on$2e en lnFr un mone8 ! un 88o ! no2r el reul28o o?2en$8o. De#r$?e el e7#$o mue2rl o#$8o  e2e eG7er$men2o le2or$o.

Se lnF 8o 88o ! e mul2$7l$# el número 8e 7un2o o?2en$8o en #8 uno. ZCu
Pr$mero e $8en2$"$#n ! e #l#uln lo e7#$o mue2rle 8e lo eG7er$men2o m< $m7le. Pr e2e eem7lo: e 2$enen 8o eG7er$men2o $m7le: lnFr un mone8 ! un 88o 7or e7r8o. LnFr l mone8 { Cara,ello } LnFr un 88o { 1,2,3,4,5 y 6 } Lue=o: e rel$F un 2?l 8e 8o?le en2r8: no2n8o lo u#eo elemen2le 8e #8 eG7er$men2o. En el lu=r que o#u7n l "$l ! l #olumn e en#uen2rn lo elemen2o que "ormn #8 e7#$o mue2rl. Elaborado por: Alberto Gonzalo Chávez M

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1 C1 S1

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4 C4 S4

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En2on#e el e7#$o mue2rl er3( E= {C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, C 6,  1,  2,  3,  4,  5,  6 }

>.%." T2n2a5 /e 2onteo! L 7ro??$l$88 m$8e l "re#uen#$ #on l que e o?2$ene un reul28o /o #onun2o 8e reul28o l lle>r  #?o un eG7er$men2o le2or$o: 8el que e #ono#en 2o8o lo reul28o 7o$?le: ?o #on8$#$one u"$#$en2emen2e e2?le. L 2eor3 8e l 7ro??$l$88 e u eG2enmen2e en
>.%.> SUCESOS.

El u#eo 8e un eG7er$men2o le2or$o e #8 uno 8e lo u?#onun2o 8el e7#$o mue2rl. El e7#$o mue2rl E: e re7reen2 7or un re#2
E

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A

Un3n /e 542e5o5:  A ∪ B ?.& D8o 8o u#eo

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A ! B 8el e7#$o mue2rl E: llmmo u#eo un$-n 8e A ! B l u#eo "orm8o 7or 2o8o lo u#eo elemen2le. Se >er$"$# #un8o o#urre l meno uno 8e lo 8o u#eo A o B. A # B .& D8o 8o Inter5e223n /e 542e5o5

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u#eo A ! B 8el e7#$o mue2rl E: llmmo $n2ere##$-n 8e A ! B l u#eo "orm8o 7or 2o8o lo u#eo elemen2le #omune 8e A ! B.

D7eren2a /e 542e5o5 A − B

B

B − A .&

D8o 8o u#eo A ! B 8el e7#$o mue2rl E: llmmo u#eo 8$"eren#$ l "orm8o 7or 2o8o lo u#eo elemen2le 8e A que no lo on 8e B.


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E@e;6lo: Da/o el 5g4ente e56a2o ;4e5tral!  lo5 2on@4nto5 A  0. *allar: a? A ∪ B B b? A # B

B

A − B

E= {1,2,3,4,5, : : : : : : : , 30 } B ={ Todo* lo*nmero 5are* }

A = {Todo* lo* multi5lo*de 3 }={ 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 }

¿ { 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30 }

A ∪ B ={2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,30 }

2e #o 8e#r$?e l un$-n 8e m?o #onun2o A # B ={ 6,12,18,24,30 }

2e #o 8e#r$?e ún$#men2e lo >lore que 2$enen en #omún #8 #onun2o. A − B ={ 3,9,15,21,27 }

2e #o 8e#r$?e lo elemen2o 8e A que no #um7len 7r B.

RESUEL1A Sen/o A_>!N!!$"`  0_"!>!%!!$$`! Gra7=4e la5 5g4ente5 6ro6o52one5: A ∪ B ; A # B ; B − A ; Co;6r4ebe: A ∪ ( A # B )= A ; A − B = A −( A # B ) 8rn26o /e S4;a  M4lt6l2a23n. 8rn26o /e 54;a S$ 2enemo un 7ro#e8$m$en2o 1 que e 7ue8e rel$Fr N1 "orm: ! un 7ro#e8$m$en2o * que e 7ue8e rel$Fr 8e N* mner: u7on$en8o que no e 7ue8en rel$Fr $mul2  rel$Fr un >$$2  un 7rque 8e 8$>er$one. Pue8en lle=r en u2o?ú: ! 2$enen 8o ru2: o 7ue8en u2$l$Fr ?$#$#le2: 7r l #ul 2$enen 4 ru2.

8rn26o /e ;4lt6l2a23n. S$ un eG7er$men2o 7ue8e 8e#r$?$re #omo un e#uen#$ 8e  7ro#e8$m$en2o: en el 7r$mer 7ro#e8$m$en2o K! N1 reul28o: en el e=un8o 7ro#e8$m$en2o ! N* reul28o: ! 3 u#e$>men2e: En2on#e el número 8e e>en2o e #l#ul me8$n2e( N  N1 . N* E@e;6lo: En el eem7lo n2er$or: lo e2u8$n2e lle>n , ?e?$8: % 8$"eren2e l$men2o ! 16 "ru2: ZCu
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Cl#ul( #un2 ru2 2$enen 7r ele=$r. N1/Au2o?u  * ru2 N*/?$#$#le2  4 ru2 N  N1 Q N* N  * Ru2 Q 4 ru2  ) ru2.

 16 N  N1 . N* . N, N  /,/%/16 N  1%6 #om?$n#$one 8e re"r$=er$o.

8robabl/a/ /e 4n evento 5;6le. Cun8o 2o8o lo u#eo elemen2le 8e un eG7er$men2o le2or$o on equ$57ro??le: 7o8emo Kllr l 7ro??$l$88 8e un u#eo A 7l$#n8o l re=l 8e L7l#e. -mero de ca*o* fa3orable* A < ( A )= -mero de ca*o* 5o*ible*

Eem7lo(

Maro tene en 54 bol5llo ' 2an2a5: $ ver/e! " az4le5  " ro@a5! S 5a2a 4na 2an2a al azar! VC4ál e5 la 6robabl/a/ /e =4e 5alga 4na 2an2a az4lW < ( A )=

2 a6ule* 5 canica*

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CUADERNILLO TERCER PARCIAL L e5ta/<5t2a e o#u7 8e re#o7$lr 82o: or=n$Frlo en 2?l ! =r<"$#o ! nl$Frlo #on un 8e2erm$n8o o?e2$>o.

L e2832$# 7ue8e er 8e#r$72$> o $n"eren#$l. L e5ta/<5t2a /e52r6tva 2?ul: re7reen2 ! 8e#r$?e un er$e 8e 82o que 7ue8en er #un2$22$>o o #ul$22$>o: $n #r #on#lu$one. L e5ta/<5t2a n7eren2al $n"$ere 7ro7$e88e 8e =rn número 8e 82o re#o=$8o 8e un mue2r 2om8 8e l 7o?l#$-n.

Noo2ro -lo e2u8$remo l e5ta/<5t2a /e52r6tva. En ell 8e?emo 2ener en #uen2 l $=u$en2e e27(

 Re#ole##$-n 8e 82o ? Or=n$F#$-n 8e 82o /1 T?ul#$-n /* +r"$##$-n # An
a? Re2ole223n /e /ato5 Pr e2 e27 2omremo lo $=u$en2e #on#e72o ?<$#o(  8obla23n( #onun2o 8e o?er>#$one e"e#2u8 Elaborado por: Alberto Gonzalo Chávez M

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 In/v/4o( #8 elemen2o 8e l 7o?l#$-n.  Atrb4to( #r#2er32$# $n>e2$=8 en l o?er>#$-n. E2o 7ue8en er #ul$22$>o /eGo: rel$=$-n: n#$onl$88 o #un2$22$>o /e22ur: 7eo: $8uo( #8 e22ur  A2r$?u2o( l e22ur  Ten$en8o 7reen2e l #l$"$##$-n: #l$"$# lo $=u$en2e 2r$?u2o 1. A"$l$#$-n 7ol32$# 8e lo K?$2n2e 8e l C7$2l 8e CK$le. *. Cn2$88 8e =n8o >#uno en l 7ro>$n#$ 8e l R3o Bueno ! L Un$-n. ,. Rel$=$-n 8e lo 78re 8e "m$l$ 8e l #omun$88 e8u#2$> Sn2 CruF. 4. In=reo 8e lo o?rero. %. Cn2$88 8e lumno 8e l 8$"eren2e #rrer 8e l &#ul28 8e C$en#$ EG#2 en l U.L.A. ). SeGo 8e lo lumno 8e un e#uel. . E28o #$>$l 8e lo K?$2n2e 8e l #$u88 8e R3o Bueno. 0. Cn2$88 8e 7el3#ul n#$onle e2ren8 8urn2e un Jo. @. Color 8e #?ello 8e lo lumno 8e un #uro. 16. Pun2e o?2en$8o 7or lo lumno que $n=ren  l #rrer 8e 9e8$#$n.

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A = rango / N

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8u9 pe7ueo  S$ queremo 2r?r #on 16 $n2er>lo: Z#ulor Kll8o ...................................................................................................................................... S$en8o el 7r$mer $n2er>lo a1:%* M 1.%% #om7le2 l 2?l #on 2o8o lo re2n2e. O?er> que el eG2remo $Fqu$er8o 8el $n2er>lo e u un #or#Ke2e “ a “: lo que $n8$# que 2ommo e2e >lor: en #m?$o en el 8ere#Ko umo “  “ que no $n8$# que el $n2er>lo e ?$er2o: o e: no e 2om e2e >lor. L Mar2a /e 2la5e e el 7rome8$o r$2m;2$#o 8e lo eG2remo 8el $n2er>lo.


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El h5togra;a e u2$l$F 7r re7reen2r un 2?l 8e "re#uen#$ 8e $n2er>lo 8e #le. So?re el ee Kor$Fon2l e re7reen2n lo $n2er>lo 8e #le ! o?re el ee >er2$#l: l "re#uen#$ 8e lo $n2er>lo. El =r<"$#o #on$2e en un #onun2o 8e re#2lo 8e #le ! #u! l2ur re7reen2 l "re#uen#$ 8el $n2er>lo.

El 6ollo( uno n2er$or ! o2ro 7o2er$or l úl2$mo ! e 7rolon= el 7ol3=ono K2 lo 7un2o me8$o 8e e2o $n2er>lo.

L 24rva5 e u2$l$Fn =enerlmen2e 7r re7reen2r l >r$#$-n 8e un >r$?le  2r>; 8el 2$em7o /Jo: mee: Kor: e2#.. So?re el ee Kor$Fon2l "$=urn lo 7er3o8o 8e 2$em7o.

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;6orta23n /e la Argentna

eF6orta23n /e la Argentna

1ara23n /el valor /e la5 ;6orta2one5  eF6orta2one5 /e la Argentna en ;llone5 /e /3lare5


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E2 on -lo l=un 8e l "orm 7o$?le 8e =r"$##$-n ! l que en#on2rr< #on m< "re#uen#$.

 Con2ru!e el K$2o=rm ! el 7ol3=ono 8e "re#uen#$ 7r l 2?l 8el eer#$#$o 8e $n2er>lo 8e #le: 8e l 7<=$n ,: 8e l 2ll...

2? Anál55  ;e/23n /e /ato5

Pr 8e#r$?$r un #onun2o 8e 82o: e #l#uln l=un me8$8 que reumen l $n"orm#$-n ! que 7erm$2en rel$Fr #om7r#$one.

Me//a5 /e 6o523n( e u2$l$Fn 7r en#on2rr un >lor que re7reen2e  2o8o lo 82o. L m< $m7or2n2e on( l ;e/a art;t2a: l ;o/a ! l ;e/ana. x

  

L ;e/a art;t2a o 6ro;e/o 

? 8e >r$o número e #l#ul #omo el cociente entre la suma de todos esos números y la cantidad de números que sumamos . L ;o/a Mo? e el valor que ms se repite! Pue8e u#e8er que K! m< 8e un mo8 o n$n=un /$ 2o8o lo >lore 2$enen $=ul "re#uen#$. L ;e/ana Me? e el valor que ocupa el lugar central al ordenar los datos de menor a mayor . S$ l #n2$88 8e 82o e 7r: l me8$n e el 7rome8$o en2re lo 8o >lore #en2rle.

 Lo uel8o 8e #$n#o em7le8o 8e un em7re on(  466666: %66666: 4%6666: )66666 ! ,%66666. Cl#ul el uel8o me8$o: l mo8: $ e que eG$2e: ! l me8$n e $n8$# #u$eron lo 7o2uln2e 8e l #$n#o úl2$m #rrer 8e 166 m 8e e2$lo l$?re: Zqu; n88or le #on>$ene ele=$r[ D$e=o

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Tom<

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Pr 7o8er 8e#$8$r: #l#ul l me8$8 8e 7o$#$-n 8e #8 uno. 7rome8$o

mo8

me8$n

)*:,4

)1:

)*:,

D$e=o Tom< Ser=$o

En 7rome8$o: lo n88ore m< r<7$8o on ................................ ! .................................: 7ero e2o no $=n$"$# que K!n 2en$8o el m$mo ren8$m$en2oM 7or eo ne#e$2mo l o2r me8$8 8e 7o$#$-n( 8e ello 8o: 2n2o l mo8 #omo l me8$n $n8$#n que ................................ "ue m< >eloF. S$n em?r=o: 7r ele=$r el n88or 8e#u8o: no ?2 #on #on$8err l me8$8 8e 7o$#$-n: ! que 2m?$;n e ne#er$o que u ren8$m$en2o sea pare"o : e 8e#$r: que lo 2$em7o 8e u 166 m l$?re no tengan muc#a dispersión!

Me//a5 /e /56er53n( no $n"ormn #-mo e23o e23o e2mo l #u8r8o #8 un 8e l 8$"eren#$ n2er$ore.  Summo 2o8o lo >lore Kll8o en el 7o n2er$or ! 8$>$8$mo el reul28o 7or l #n2$88 8e 82o. A3 o?2enemo l varanza.  Cl#ulmo el /e5va23n e5tán/ar  ? #omo l ra
σ

=

∑ ( x

i

− x )

2

i =1

n

n( número 8e 82o

 D$e=o ! Ser=$o: 8o 8e lo n88ore 8el eer#$#$o n2er$or: o?2u>$eron el m$mo 7rome8$o ! $n em?r=o u 2$em7o e23o e2

%5

T$em7o 8e D$e=o

G$

/G$  G

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56:)4

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56:)4

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56:64

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),:1

6:)

T$em7o 8e Ser=$o

/G$  G*

G$

/G$  G

/G$  G*

2o2l

σ Sergio

=

≅  σ Dieg o =

5

≅ 

En2on#e(

Po8emo >er que el 8e>3o e2$ene que e .......................................

CALCULOS DE ESTADIGRA)OS E DATOS TA0ULADOS

S$ lo 82o e2lo 8e #le: 8e?emo u2$l$Fr un #r$2er$o 8$"eren2e 7r #l#ulr lo 8$2$n2o e283=r"o. Anl$#emo el $=u$en2e eem7lo( Elaborado por: Alberto Gonzalo Chávez M

%6

Con$8eremo l $=u$en2e 8$2r$?u#$-n 8e "re#uen#$ que #orre7on8en  lo 7un2e 8e %6 lumno en un 7rue?. In2er>lo

9.C. /G

"$

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In2er>lo me8$no

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1)

1,*6

4)



In2er>lo mo8l

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0:%

4

,%6

%6

'#

>,>#

TOTALES

x

=

L Me/a Art;t2a:

∑ f x ∑ f ·

x =

3830 50

= 76.6

≈

72o.



 72o.

Pr #l#ulr La Me/ana ne#e$2mo l $=u$en2e "-rmul(

 n − F  · A  a  2   Me = L + f i

.onde: L e el l;8'te 'n

%#

en el eem7lo: l #n2$88 8e 82o e %6: lue=o %6 ( *  *%: ! l & *% e en#uen2r en el $n2er>lo a%  06 ! que el *% e2 qu3: en #m?$o en l n2er$or /10 no e2. Lue=o el $n2er>lo me8$no e a%  06 En2on#e(

L  %

/l3m$2e $n"er$or

" $  0 A  %

/06  %  %

&  10

/"re#uen#$ #umul8 8el $n2er>lo n2er$or

 50 − 18  ·5   2   = 75 + Me = 75 + 8

7·5 8

= 75 + 4.375 = 79.375

≈

@ 72o.

! "$nlmen2e: 7r #l#ulr l Mo/a en 82o =ru78o: u2$l$Fmo l $=u$en2e "-rmul: 2en$en8o 7reen2e que l 2la5e ;o/al e l que 2$ene m!or "re#uen#$: ! e2 e l &re#uen#$ 9o8l. L: L;8'te real 'n
Mo = L +

d 1 d 1 + d 2

L  06

· A

d1: e la d'
/$n2er>lo mo8l a06  0%: ! que l "re#uen#$ e 1): que e l m!or

81 1)  1*  4

/8$"eren#$ #on l "re#uen#$ n2er$or

8* 1)  4  1*

/8$"eren#$ #on l "re#uen#$ $=u$en2e

A  %

Mo

Lue=o:

=

80 +

4 4 + 12

· 5 = 80 +

20 16

=

8125

7un2o.

≈

01 7un2o.


%$

Se e2$m que el >lor m< re7e2$8o 8e lo 7un2e 8e e2 7rue? "ue el 01.

E@er22o5

1 Lo $=u$en2e 82o num;r$#o #orre7on8en  l #n2$88 8e >e#e que #8 lumno 8e un =ru7o K $8o  un re#$2l o #on#$er2o.

*  4 ,  * 1  1  ) ,  6 ,  * 4  ) @  , *  1  )

Cl#ul: $n 2?ulr: 9e8$: mo8: me8$n: 8e>$#$-n: n: rn=o.

* En un 8$=no2$#o 8e e8u##$-n "3$# e 7$8$-  lo lumno 8e lo #ur2o me8$o que K$#$ern ?8om$nle 8urn2e , m$nu2o. Se o?2u>$eron lo $=u$en2e reul28o(

4 A( 4% ,0 4, *@ ,4 )6 %4 * ,* ,, *, ,4 ,4 *0 %) )* %) % 4% 4 40 %4 ,, 4% 44 41 ,4 ,) ,4 %4 4 B( 4, 4% 44 ,0 ,4 4) 4, 4* 4, 4% % 44 ,0 ,0 , 4, )1 ,0 , 4% *0 4* 41 4@ 46 , ,4 44 41 4, Z#u
, A #on2$nu#$-n e 7reen2n lo reul28o 8e m?o #uro en l 7rue? 8e 8$=n-2$#o 8e l2o lr=o.

4 A ( ,.* ,.% 4.@ %.6 ,.1 4.1 *.@ *.0 ,.0 4.% 4., 4.% 4.1 %.0 ,.@ ,.) 4.* 4.) 1.@ *.0 *.@ ,., ,.@ 4.* 4.1 4., 4.) 4.4 ,.0 ,.)

4 B ( ,.% *.@ 1., 1. ,.) %.) *.0 %.* %., 4.1 4.1 4.4 1.) %.1 4., %.6 %., ,.* *.0 Elaborado por: Alberto Gonzalo Chávez M

%%

*.) %.% %.4 4.0 4.@ 4., *.@ ,.@ %.4 %., 4.*

 Cl#ul el 7rome8$o 8e m?o #uro. ? Con2ru!e un 2?l 8e "re#uen#$ 7r #8 #uro # Cuo un ren8$m$en2o m 7reo[

4 Se Kn me8$8o % lumno: en #en23me2ro: o?2en$;n8oe lo $=u$en2e 82o(

1% 1%) 1* 1%@ 1)1 10% 10) 1@* 1@ 1), 1)4 16 1)4 1) 1)0 14 1* 1)0 1) 1)) 1) 1)@ 10* 16 1)@ 1) 16 1)* 1* 11 14 11 1%% 11 11 16 1% 16 1, 1, 14 1)0 1)) 1* 1* 1%0 1%@ 1), 1), 1)0 14 1% 1%6 1%4 1% 1)6 1% 1 10 106 1)@ 1)% 106 1)) 104 10, 14 1, 1)* 10% 10@ 1)@ 1, 11 1,

A=ru7 e2o reul28o en 0 $n2er>lo ! #on"e##$on un 2?l 8e "re#uen#$ ! #l#ul l me8$8 8e 2en8en#$ #en2rl ! 8e 8$7er$-n. A8em<: =r"$# e2 2?l.

% A lo m$mo lumno n2er$ore e le 7l$#o un 7rue? 8e $n2el$=en#$: e2o Kn $8o(

0 16% 141

00 16, 114 1*% 160 16 110 114 1*@ 166 16) 11, 16% 111 @4 11% 0@

@* 1,* 11* @ 1,% 161 164 1,6

@@ 114 @1 14% @% 161 11% 164

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0 160 11%

16, 1,* 116 11, 16* 16@ 1*4 @0 146 16 @, 160 1** 11 114 141 11) 160 16* 161 110 1,0 @@ 16% 11* @4

@) 1,* 110 1*, 160 1,1 1* 166 @1

A=ru7 lo 82o en $n2er>lo 8e m7l$2u8 0. ! KF lo m$mo que en 7ro?lem n2er$or.


Matemáticas Primero

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