Matematicas+II+Patricia+Ibanez

Matemáticas II Segunda edición

Patricia Ibáñez Carrasco

Gerardo García Torres

Segundo semestre

Matemáticas II Segunda edición

Patricia Ibáñez Carrasco Gerardo García Torres

Revisión técnica: Ing. Edgar González Yebra Jefe del Departamento de Matemáticas Dirección de Medios y Métodos Educativos Secretaría de Educación de Guanajuato

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Matemáticas II, segunda edición

Patricia Ibáñez Carrasco Gerardo García Torres Presidente de Cengage Learning Latinoamérica

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Ricardo H. Rodríguez Gerente de procesos para Latinoamérica

Claudia Islas Licona Gerente de manufactura para Latinoamérica

Raúl D. Zendejas Espejel Gerente editorial de contenidos en español

Pilar Hernández Santamarina Coordinador de manufactura

Rafael Pérez González

© D.R. 2013 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Editoras

Ivonne Arciniega Torres Gloria Luz Olguín Sarmiento

Datos para catalogación bibliográfica: Ibáñez Carrasco, Patricia y Gerardo García Torres Matemáticas II, segunda edición

Diseño de portada

Gerardo Larios García Imagen de portada

1. Goma de dibujo: © Photographer/Dreamstime.com Photographer/Dreamstime.com 2. Riesgo: © Espion/Dreamstime.com 3. Recorte de una gráfica de personas y negocios: © Jannoon028 Jannoon028/Dreamstime.com /Dreamstime.com 4. Vector que construye una bisectriz: © Olgacov/ Dreamstime.com Composición tipográfica

Gerardo Larios García Luis Ángel Arroyo Hernández Fotografías de interiores:

Dreamstime Shutterstock

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 16 15 14 13

ISBN 13: 978-607-4 978-607-481-935-9 81-935-9 ISBN 10: 607-481-9 607-481-935-1 35-1 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Contenido general Bloque I Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

2

Ángulos

6

Concepto Clasificación de ángulos Por su abertura (medida) Por la suma de sus medidas (cuando forman pares de ángulos) Por su posición (cuando se encuentran entre dos paralelas y una secante)

Triángulos Concepto Clasificación Por la medida de sus lados Por la abertura de sus ángulos

Propiedades relativas de los triángulos Desigualdad triangular

6 8 8 10 16

24 24 24 24 25

28 28

Amplía tus saberes

30

Mi competencia final

33

Evaluación formativa por proyectos

34

Reactivos tipo enlace para entrenamiento

35

Bloque II Comprendes la congruencia de triángulos Criterios de congruencia

Amplía tus saberes

38 42

48

iv

Q

Estructura Socioeconómica de México


51


52


53

Bloque III Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras Criterios de semejanza Criterio Lado, Lado, Lado ( LLL) Criterio Lado, Ángulo, Lado ( LAL) Criterio Ángulo, Ángulo (AA)

54 58 59 59 59

Teorema de Tales

65

Aplicación del concepto de semejanza

67

Teorema de Pitágoras

72

Amplía tus saberes

80

El concepto de semejanza en las matemáticas

81


82


84


85

Bloque IV Reconoces las propiedades de los polígonos Polígonos Definición Clasificación

88 92 92 93

Elementos y propiedades de un polígono

93

Ángulos interiores Ángulo central Otros elementos de un polígono Otras clasificaciones para los polígonos

94 95 95 97

Contenido general

Suma de los ángulos centrales, interiores y exteriores de un polígono Suma de ángulos interiores Suma de los ángulos exteriores y centrales Ángulo central Área y perímetro de polígonos regulares e irregulares Triángulo Paralelogramo Rectángulo Rombo Cuadrado Trapecio Polígono regular de n lados

Q

v

100 100 106 107 108 108 109 109 109 109 110 110

Amplía tus saberes

114


115


117


118

Bloque V Reconoces las propiedades de la circunferencia Circunferencia Rectas y segmentos en una circunferencia Rectas tangentes a un círculo Ángulos en la circunferencia Propiedades de los ángulos de la circunferencia Aplicación de los ángulos exteriores en la vida cotidiana

120 124 124 126 127 129 133

Perímetros y áreas

136

Amplía tus saberes

142


144


146


147

vi

Q

Matemáticas II

Bloque VI Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

150

Sistema sexagesimal y circular

154

Funciones trigonométricas directas y recíprocas

159

Relación fundamental de la trigonometría Ángulo de elevación y ángulo de depresión Funciones trigonométricas inversas

161 164 166

Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° y sus múltiplos

170

Resolución de triángulos rectángulos

174

Amplía tus saberes

182


184


185


186

Bloque VII Aplicas las funciones trigonométricas

188

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano

192

Signos de las funciones trigonométricas Funciones y cofunciones trigonométricas de cualquier ángulo Ángulos de referencia Funciones de un segmento

192 193 194 198

Círculo unitario

202

Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente

205

Longitud de arco Funciones periódicas Identidades trigonométricas

205 207 213

Amplía tus saberes

218


220

Contenido general

Q

vii


221


221

Bloque VIII Aplicas las leyes de los senos y cosenos Leyes de los senos y cosenos Ley de senos Comprobación de la ley de senos Ley de cosenos Comprobación de la ley de cosenos Resolución de triángulos oblicuángulos Aplicaciones prácticas

224 228 228 229 230 230 231 235

Amplía tus saberes

240


241


242


242

Bloque IX Aplicas la estadística elemental

244

Estadística

248

Población

249

Muestra

249

Datos no agrupados Datos agrupados Representación de datos

Medidas de tendencia central para datos no agrupados y agrupados Medidas de tendencia central para datos no agrupados Media aritmética Mediana Moda Medidas de tendencia central para datos agrupados Media

253 254 257

261 262 262 263 264 265 265

viii

Q

Matemáticas II

Mediana Moda

266 268

Medidas de dispersión para datos no agrupados y agrupados 270 Medidas de dispersión Rango Desviación estándar Varianza Desviación media

270 270 270 271 273

Amplía tus saberes

277


278


279


279

Bloque X Empleas los conceptos elementales de la probabilidad Probabilidad clásica Definiciones básicas Probabilidad clásica Reglas de la adición Regla especial de la adición Regla general de la adición Reglas de la multiplicación Regla especial de multiplicación Regla general de la multiplicación

282 286 286 287 290 290 291 294 294 295

Amplía tus saberes

298


299


300


300

Respuestas

302

Material para el docente

331

2

Q

Matemáticas II

Bloque l Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

e m i t s m a e r D / c a m n y b o R ©

Ángulos

Por su abertura

Complementarios

e m i t s m a e r D / o l i T ©

Por la suma de sus medidas

c

a b d

Suplementarios

e f g h

Por la posición que ocupan entre dos rectas paralelas

e m i t s m a e r D / r e h p a r g o t o h P ©

Bloque I

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

Q

3

Triángulos e m i t s m a e r D / e c n a u N ©

Por la medida de sus lados

e m i t s m a e r D / r e h p a r g o t o h P ©

Por la suma de sus ángulos

Propiedades

e m i t s m a e r D / o t o h p x e x a M ©

© hellbilly/ Shutterstock

BLOQUE I Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas Propósito: Que el (la) estudiante identifique los diferentes tipos de ángulos y triángulos, y ubique sus características en contextos de su comunidad; asimismo, que sea capaz de resolver ejercicios en torno a la aplicación de la suma de ángulos de los triángulos.

Desempeños del estudiante Objetos de aprendizaje: al concluir el bloque: Ángulos r

UÊ

UÊ

UÊ

Identifica los diferentes tipos de ángulos y triángulos. Utiliza las propiedades y características de los diferentes tipos de ángulos y triángulos, a partir de situaciones que identifica en su comunidad. Resuelve ejercicios y/o problemas de su entorno mediante la aplicación de las propiedades de la suma de ángulos de un triángulo.

UÊ

UÊ

Por su abertura Por la posición entre dos rectas paralelas y una secante (transversal) Por la suma de sus medidas Complementarios Suplementarios Triángulos Por la medida de sus lados Por la abertura de sus ángulos Propiedades relativas de los triángulos

Bloque I


Q

5

© Leszek Glasner/Shutterstock

Competencias a desarrollar: UÊÊ

UÊÊ

UÊÊ

UÊÊ

UÊÊ

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Construye hipótesis, diseña y aplica modelos para probar su validez. Utiliza las tecnologías de la información y la comunicación para procesar e interpretar información. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad.

UÊÊ

UÊÊ

UÊÊ

UÊÊ

Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

6

Q

Matemáticas II

Ángulos 

k c o t s r e t t u h S / g n e h z g n e f ©

Concepto

Los ángulos y sus medidas, además de ser undamentales en el estudio de la geometría, desempeñan un papel undamental ya que se encuentran casi en todos los aspectos de tu vida. Observa a tu alrededor: los movimientos de tu cuerpo, los diseños de las construcciones, las manecillas del reloj, la orma de las canchas de juegos y muchas cosas más. k c o t s r e t t u h S / y e l e k a l B y r a G ©

Deinimos un ángulo como la abertura que se forma entre dos segmentos de recta (llamados rayos) que inician en el mismo punto denominado vértice.

Lados o rayos

Vértice

Ángulo

Para designar un ángulo usaremos el símbolo ∠ (que signifca “ángulo”), los puntos marcados en cada lado y el vértice. Es importante notar que el nombre de un ángulo, el que indica el vértice, siempre queda entre los puntos que marcan los lados. En la fgura siguiente, el ángulo se representa como ∠ ABC o ∠CBA y se lee: “ángulo ABC ” o “ángulo CBA”. Si deseamos indicar la medida de un ángulo, anteponemos una letra m; así, m∠ ABC se lee “la medida del ángulo ABC ”. Designamos a los lados del ángulo como AB y BC (la raya encima se lee como “segmento”). A

B

C

Otra orma de designar los ángulos es colocar la letra del vértice, ∠ B pero debes tener cuidado porque si, como en la siguiente fgura, tiene más ángulos con vértices B entonces no puedes usarla.

Bloque I


Q

7

E D

C

A

B

Una tercera orma de identifcar los ángulos es usar letras minúsculas dentro del ángulo. f

Observa que la medida de un ángulo es siempre la misma, no importa a qué altura se tome. Por ejemplo, la medida del siguiente ángulo es la misma si se toma desde A hasta B que si se toma desde C hasta D, pues hablamos de la misma abertura entre dos rectas. D B A

C

Consolida tus competencias o j a b a

r

T

e n

eq ui

p o

Forma un equipo con dos de tus compañeros y realicen lo que se indica a continuación. H

Escriban cuatro ormas distintas de nombrar el ángulo que se presenta. Recuerda que mostrar tolerancia y disposición al trabajo con otros compañeros es un aspecto muy importante para el trabajo colaborativo.

1.

n F

G

2. 3. 4. De acuerdo con la fgura de la derecha:

5. ¿Qué otros nombres pueden utilizar para identifcar el ∠ ABC?

A

B

2 C

D

1

8

Q

Matemáticas II

6. ¿Qué otros nombres puede tener el ∠ ABD? 7. ¿Qué otro nombre o letra tiene el vértice 2? 8. ¿Cuáles son los lados del ∠1? 9. ¿Cuáles son los lados del ∠2? 10. ¿Cuáles son los lados del ∠C ? 11. ¿Cuáles son los lados del ∠ B? 12. Si un ángulo de 45° es visto con un aparato que tiene una lente que aumenta nueve veces el tamaño de las cosas, ¿qué medida tendrá el ángulo cuando se vea a través de este aparato? _______________________ 

Clasificación de ángulos

Los ángulos se clasifcan de acuerdo con varios criterios: r

Por su abertura (medida).

r

La suma de sus medidas (cuando orman pares de ángulos).

r

Su posición (cuando se encuentran entre dos paralelas y una secante).

Ahora conoceremos cada una de ellas.

Por su abertura (medida) r

Ángulo agudo: Es aquel que mide más de 0º y menos de 90º. Por ejemplo, el soporte del columpio de la fgura.

35° O

En la fgura, el ángulo que se muestra es agudo porque 35° es mayor que 0° y menor que 90°. r

k c o t s r e t t u h S / h c . k n a b o t o h p ©

Ángulo recto: Mide 90°; las rectas que lo orman se llaman perpendiculares (dos líneas perpendiculares se simbolizan con C). Por ejemplo, en la fgura se muestra el ángulo de 90° que orman la esquina del piso y una pared de tu salón.

90°

Bloque I


Q

9

Un ángulo recto se representa de dos ormas, como se muestra en la fgura: a) Escribiendo 90° dentro de él. b) Con el símbolo de ángulo recto (un pequeño cuadrito en la esquina) entre los lados.

Ángulo obtuso: Mide más de 90º y menos de 180º; digamos, el panal de abejas de la fgura.

r

120°

k c o t s r e t t u h S / r a K l i L ©

El ángulo en la fgura es obtuso porque mide 120°, es mayor que 90° y menor que 180°.

r

k c o t s r e t t u h S / n a v o v ©

Ángulo cóncavo: Mide más de 0º y menos de 180º; como el que orma el techo de la casa que se observa en la fgura . 150°

Aquí se trata de un ángulo cóncavo porque 150° es mayor que 0° y menor que 180°. Nota que todos los ángulos que hemos defnido hasta ahora son cóncavos. r

Ángulo colineal: Mide 180º y cada lado constituye la prolongación de otro. También se denomina ángulo llano y se ve como el que orma un sube y baja.

180° 0 k c o t s r e t t u h S / a i z i v i D o i d u a l C ©

r

Ángulo convexo: Mide más de 180º y menos de 360º; observa el ángulo entre la escalera y el descanso que se muestra en la imagen. 210° 0

10

Q

Matemáticas II

r

El ángulo de la fgura anterior es convexo porque 210° es mayor que 180° y menor que 360° rr

k c o t s r e t t u h S / l l e h c t i M . N ©

Ángulo de una vuelta: Mide 360º y sus lados coinciden. También se denomina perigonal; digamos, la rueda de la imagen.

O

360°

A

En muchas situaciones encontraremos ángulos que orman parejas de acuerdo con su confguración geométrica: r

Ángulos adyacentes: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, los otros dos lados se sitúan en una y otra partes del lado común.

B

C

Los ∠ AOC y ∠ BOC son adyacentes.

A

O

Esta pareja de ángulos es útil para la siguiente clasifcación de ángulos.

Por la suma de sus medidas (cuando forman pares de ángulos) r

Ángulos complementarios: Dos ángulos adyacentes cuyas medidas suman 90º. C B

Si m∠ AOB + m∠ BOC = 90°, A

entonces ∠ AOB y ∠ BOC son complementarios.

O

Observa que los ángulos complementarios orman un ángulo recto. r

Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuyas medidas suman 180º. B

Si m∠ AOB + m∠ BOC = 180°, entonces ∠ AOB y ∠ BOC

A

O

C

son suplementarios.

Bloque I


Q

11

Observa que dos ángulos suplementarios orman un ángulo colineal. Además de los ángulos adyacentes, existen situaciones en las que dos ángulos se encuentran uno rente a otro, a partir de su vértice: r

Ángulos opuestos por el vértice: Tienen el vértice común y los lados de uno son prolongación de los del otro. En dos rectas que se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales y los ángulos adyacentes son suplementarios. 110° c

b

Recuerda que m quiere decir “medida”

70˚

a

d

m∠a = m∠c; m ∠b = m∠d

70° = 70°; 110° = 110° m∠a + m∠b = m∠b + m∠c = m∠c + m∠d =

180º.

70° + 110° = 110° + 70° = 70° + 110° = 180° Observa que siempre que dos rectas se corten se orman dos parejas de ángulos opuestos por el vértice. Para resolver los ejercicios y problemas que se presentarán de aquí en adelante, te sugerimos que uses un procedimiento que consta de tres partes ordenadas: r

Parte geométrica

r

Parte analítica

r

Conclusión

Ejemplos 1. En la siguiente fgura, m∠FGH = 15°, m∠FGJ = 55°. Calcula m∠ HGJ . J

H G

F

12

Q

Matemáticas II

Solución r

J

Parte geométrica: 55°

Coloca los datos en el dibujo.

x

H

15° G r

F

Parte analítica: Observa que debemos buscar un número que, sumado con 15°, nos dé cómo resultado 55°: x +

15° = 55°

Resolviendo: x =

55° – 15°

x =

40°

J

55° 40°

H

Conclusión m∠ HGJ =

15°

40°

G

F

2. Calcula el valor de x y de cada ángulo en la fgura, si m∠ AOD = x + 10° y m∠ BOC = 45°: B

A

O D

C

A

B

Solución r

Parte geométrica: x +

45°

10° O

D r

C

Parte analítica: Observa que los ∠ AOD y ∠ BOC son ángulos opuestos por el vértice, esto quiere decir que sus medidas son iguales, por lo que podemos ormular: x +

10° = 45°

Resolviendo: x =

45° – 10°

x =

35°

Bloque I


Q

13

Entonces ∠ DOA = 45° Además, observa que suma es 180°.

∠COB

y ∠ BOA son suplementarios por lo que su 180°

∠COB + ∠ BOA =

45° + ∠ BOA = 180° ∠ BOA =

180° – 45°

∠ BOA =

135°

Como ∠ BOA y ∠ DOC son opuestos por el vértice, entonces sus medidas son iguales. Conclusión

El ∠ AOD = ∠ BOC = 45° El ∠ AOB = ∠ DOC = 135° A

B

135° 45°

45°

O

135°

D

C

3. Ahora veamos un ejemplo de aplicación. Felipe construye dos rampas para patineta como las de la imagen. Si coloca una sobre la otra éstas tendrán los siguientes ángulos de elevación: la m∠ BAC = 12°, la m∠CAD = 4 x y la m∠ BAD = 68°. ¿Podrías ayudarle a encontrar el valor de x y la elevación de las rampas? Solución D r

Parte geométrica:

68° 4 x C A

12°

B

14

Matemáticas II

Q

r

Parte analítica: 12° + 4 x = 68° Resolviendo: x =

(68° – 12°) 4 x = 14°

Conclusión

Las elevaciones de las rampas deben ser de 12° y 56°.

Resulta de multiplicar 14 por 4 (ya que es 4 x )

56°

68°

12°

Consolida tus competencias iv i du a i n d l

j o a

b a

r

T

En cada uno de los siguientes ejercicios calcula las medidas para el ángulo y en grados (utiliza los espacios disponibles).

1. y°

45° m∠ y =

____________________

m∠ y =

____________________

m∠ y =

____________________

2. y°

70°

3. 45°

y°

Bloque I


Q

15

y°

4. 50°

m∠ y =

____________________

m∠ y =

____________________

5. 20° y°

10°

6. Calcula la medida del ∠SOT en la siguiente fgura, si m∠ ROT = 25°. T

R

O

S

En cada uno de los siguientes ejercicios calcula el valor de g y de cada ángulo altante. Utiliza los espacios disponibles para hacer tus operaciones. E

7.

AO ⊥ EO D

15°

m∠ AOB =

C B

m∠ BOC = 2g

8.

m∠COD =

10°

m∠ DOE =

15°

A

O J

88°

m∠FOJ = m∠FOG =

15°

m∠GOH =

25°

H G F

O

m∠ HOJ = 4g

9.

M

L

45°

m∠KOL =

m∠ LOM = 5g m∠ MON =

10.

50°

m∠QOS =

90°

m∠QOR =

24°

K

N

O R Q

S

m∠POQ = 2g m∠SOT =

40°

P

O

T

16

Q

Matemáticas II

11.

m∠COD =

55°

m∠ AOC = 2g +

C

A

15 O

D

B E

12.

F

m∠KLH =

75°

m∠FLH =

g

m∠ JMH =

L

G

K

g

M

5

J H

Por su posición (cuando se encuentran entre dos paralelas y una secante) Dos rectas paralelas cortadas por una secante (o transversal) orman los siguientes ángulos: Transversal l1 l2 a b c d e f g h

l1

l2

Esto quiere decir “es paralelo a”

Por su posición, podemos clasifcar estos ángulos en externos e internos, y a su vez en alternos externos, alternos internos, correspondientes, colaterales internos y colaterales externos. Veamos cada uno. r

r

Ángulos externos: Quedan uera de las rectas paralelas. ∠a

y ∠b son ángulos externos

∠g

y ∠h también lo son

a b c d e f g h

Ángulos internos: Quedan entre las rectas paralelas. ∠c

y ∠d son ángulos internos

∠e

y ∠ f también lo son

a b c d e f g h

Bloque I


Q

37

9. El perímetro de la cruz mide 36 unidades. ¿Cuál es el área del cuadrado? a) 36

b) 63

c) 72

d) 81

10. Un cuadrado tiene un área de 225 unidades cuadradas; si cada lado de éste se aumenta en 7 unidades, ¿cuál es el área en unidades cuadradas del nuevo cuadrado? a) 232

b) 274

c) 484

d) 1 575

Bloque Vl Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

Sistema sexagesimal y circular e m i t s m a e r D / k i h c n a l s u R ©

Razones trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos e m i t s m a e r D / p m e h n w a h S R ©

Cálculo de valores de las funciones trigonométricas de 30º, 45º, 60º y sus múltiplos

e m i t s m a e r D / z s a i l u k e r a M ©

Resolución de triángulos rectángulos e m i t s m a e r D / n i r a s a P ©

© Fer737ng/Dreamstime

B L O Q U E V I Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos Propósito: Que el (la) estudiante identifique diferentes sistemas de medida de ángulos y describa las razones trigonométricas para ángulos agudos: Finalmente, que aplique las razones trigonométricas en ejercicios teórico prácticos.

Desempeños del estudiante Objetos de aprendizaje: al concluir el bloque: Funciones trigonométricas UÊ

UÊ

Identifica diferentes sistemas de medidas de ángulos.

UÊ

UÊ UÊ

Describe las razones trigonométricas para ángulos agudos. UÊ

UÊ

Aplica las razones trigonométricas en ejercicios teórico prácticos.

Sistema sexagesimal y circular Razones trigonométricas directas y recíprocas de ángulso agudos. Cálculo de los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° y sus múltiplos.

Bloque VI

Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos Q 153

© Pavelmidi1968/Dreamstime

Competencias a desarrollar: UÊ

UÊ

UÊ

UÊ

UÊ

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

UÊ

UÊ

UÊ

Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. Utiliza las tecnologías de la información y la comunicación para procesar e interpretar información. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad.

UÊ

Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

154

Q

Matemáticas II

Sistema sexagesimal y circular Antes que otra cosa debemos comentarte que el origen de la palabra trigonometría proviene del griego y es la composición de las palabras trigonon: triángulo y metron: medida; entonces, trigonometría quiere decir “medida de los triángulos”. Hasta aquí hemos medido los ángulos utilizando sólo grados sexagesimales. Un grado sexagesimal es la noventava parte de un ángulo recto, y se denota con 1°. Esto signifca que un ángulo recto tiene 90° y que el ángulo completo cuyo arco es toda la circunerencia tiene 360°. Además, recordemos que en el sistema sexagesimal (base 60) tenemos las siguientes equivalencias: 1 grado son 60 minutos. Se escribe: 1° = 60' 1 minuto son 60 segundos. Se escribe: 1' = 60'' Podemos medir un ángulo con precisión en grados, minutos y segundos. Otras medidas sumamente útiles de los ángulos son los radianes que pertenecen al sistema circular. Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo y cuyos lados intersecan un arco de circunerencia de longitud igual al radio. Por lo que concluimos que ambas son unidades de medida de ángulos. Gráfcamente:

B

Radián r

C

0

r

A

La longitud de la circunerencia = 2π (radianes) y se entiende que orma un ángulo de 360º, de donde: π radianes = 180º Despejando: 1 radián = 1º =

180 p

=

57.296º = 57º17’45”

p

= 0.017453 radianes aprox. 180 Considerando p = 3.141592…

Un proceso muy útil es la conversión o expresión de grados sexagesimales a radianes y viceversa. Ilustremos esto con algunos ejemplos.

Bloque VI


Ejemplos 1. Convierte 60° sexagesimales a radianes. Solución

Aplicando una regla de tres: p

1º

radianes

180

60° 60° =

60°, o bien, 1.0472 rad

π

3

rad

x radianes

60 p se le saca sesentava 60° = 180°

p

3

radianes

Conclusión

60° = 1.047 radianes p

60° =

radianes

3

2. Convierte 45º sexagesimales a radianes. Solución p

1º

180 x radianes

45° 45°=

45p 180

radianes

45° 0.78 rad

radianes

=

p

radianes = 0.78 radianes

4

Conclusión

45° = 0.78 radianes, o bien,

p

4

rad

3. Convierte 90º sexagesimales a radianes. Solución

90° =

90° p 180

p

=

2

=

1.5708 rad


180° =

180 180

p

=

1

=

3.1416 radianes

156

Q

Matemáticas II


360° =

360°p 180

6.2832 radianes

=

p

6. Convierte

6

= rad

a grados sexagesimales.

Solución

Aplicando una regla de tres: 180

1 rad p

6

p

rad

x grados

grados sexagesimales x grados

sexagesimales

(

p

6

sexagesimales 180

rad)(

p

) 30 º

1 rad

6

rad o 30º

Conclusión p

rad

6

30°

7. Convierte 62° 5' 25'' sexagesimales a radianes. Solución

Lo primero que tenemos que hacer es convertir los segundos a minutos y sumarlos a los minutos ya existentes, a continuación convertir los minutos a grados y sumarlos a los existentes (utilizamos la regla de tres). 1' x ' x =

25'' 1'

60'

60'' 25''

= 0.416’ entonces,

1° x °

62°5'25'' = 62° 5.416' 60' 5.416'

5.416' 1°

= 0.09026° entonces, 62° 5.416' = 62.09026° 60' Ahora, procedemos a encontrar la equivalencia de estos 62.09026° a radianes:

x =

p

radianes x

x =

3. 1416 62.09026 180

180° 62.09026°

= 1.0836 rad

Conclusión

Los 62° 5' 25'' equivalen a 1.0836 radianes.

Bloque VI


8. Convierte 5 radianes a grados, minutos y segundos. Solución

Aplicando una regla de tres: 180

1 rad 5 rad x grados

grados sexagesimales

p

x grados

sexagesimales =

( 5 rad )(

sexagesimales

180 p

)

1 rad

=286.4782°

Ahora convertimos a minutos los 0.4782° (utilizamos la regla de tres) 1° 0.4782° x =

0.4782 60° 1°

= 28.692°

60' x

entonces, 286.4782° = 286° 28.692

Ahora convertimos a segundos los 0.692' (utilizamos una regla de tres) ␲ ␲

2

3␲ 4

␲

3

90°

4

60° 45°

135°

x ␲

6

30° 180°

␲

0° 360°

225°

2␲

315° 270°

5␲

0.692' 60 '' 1'

1' 60'' 0.692' x 41.52'' entonces, 286.4782 = 286° 28' 41''

Conclusión

5 radianes equivalen a 286° 28' 41'' La gráfca nos muestra algunos ángulos marcados en un círculo unitario tanto en grados sexagesimales como en radianes.

7␲ 4

4

3␲ 2

Consolida tus competencias o j a b

e n

eq ui

p o

1. En equipo, discutan cuál es otra orma de escribir el siguiente ángulo. Escriban aquí sus conclusiones:

a

r

T

35°

158

Q

Matemáticas II

2. Expresa en radianes cada uno de los siguientes ángulos. Utiliza los espacios disponibles. a) 210°

e) 42° 45'

b) 160°

) 45° 25' 55''

c) 25° 30'

g) 115°

d) 650°

h) 89° 42' 39''

3. Expresa en grados cada uno de los ángulos siguientes:

a) b)

p

rad

e)

1 rad

)

5 5

c) 3 rad d) 3p rad

5p 7

rad

5 rad 7

11p rad 9 h) 11 rad g)

9

4. Expresa en grados, minutos y segundos cada uno de los ángulos siguientes:

a) b)

p

rad

e)

1 rad

)

5 5

c) 3 rad d) 3p rad

5p 7

rad

5 rad 7

g) 11p rad 9 h) 11 rad 9

Bloque VI


Funciones trigonométricas directas y recíprocas Una unción es una razón directa entre dos cantidades, en este caso esas cantidades son los lados de un triángulo, si nos basamos en un triángulo rectángulo, respecto del ángulo. Tendríamos que: X

y

z

Z

x

z =

hipotenusa

y =

cateto opuesto

x =

cateto adyacente

Y

Decimos, entonces, que las unciones que se orman son las razones (divisiones) que existen entre x y y, entre x y z, o bien entre y y z; por ejemplo, tenemos que hay relaciones a las que se llama unciones directas: y

r

Seno: es la división del cateto opuesto entre la hipotenusa, sen Y =

r

Coseno: es la división del cateto adyacente entre la hipotenusa, cos Y =

r

x z

z

.

.

Tangente: es la división del cateto opuesto entre el cateto adyacente, tan Y = y . x

Pero también existen otras relaciones a las que se conoce como unciones recíprocas y son: r

Cosecante: es la división entre la hipotenusa y el cateto opuesto, csc Y =

r

y

.

Secante: es la división entre la hipotenusa y el cateto adyacente, sec Y =

r

z

z x

.

Cotangente: Es la división entre el cateto adyacente y el cateto opuesto, cot Y =

x y

.

160

Q

Matemáticas II

Consolida tus competencias iv id u a i n d l

j o a

En el espacio en blanco y con la ayuda de tu proesor(a) y tus compañeros, defne las unciones trigonométricas para el ángulo X de la fgura siguiente.

b a

r

T

X

y

Z

z

x

Y

Observa que los ángulos X y Y del triángulo anterior son complementarios (es decir, suman 90°), y que además: El seno del ángulo X es igual al coseno del ángulo Y y viceversa: sen X = cos Y sen Y = cos X La tangente del ángulo X es igual a la cotangente del ángulo Y y viceversa: tan X = cot Y tan Y = cot X La secante del ángulo X es igual a la cosecante del ángulo Y y viceversa: sec X = csc Y sec Y = csc X

Bloque VI


Las razones trigonométricas seno y cosecante del mismo ángulo son recíprocas entre sí; al igual que el coseno y la secante; la tangente y la cotangente. Es decir, respecto al triángulo rectángulo XYZ anterior, tenemos: (sen Y ) (csc Y ) =

y z ( ) =1 z y

(cos Y ) (sec Y ) =

x z ( )= z x

1

x

(tan Y ) (cot Y ) = y ( ) = 1 x y

Observa que el hecho de que sean recíprocas quiere decir que sus componentes se invierten; en otras palabras, lo que tenemos como numerador en una se convierte en denominador en la otra y viceversa. Ahora haremos algunos cálculos de unciones directas y recíprocas. Como último detalle:

tan Y =

sen Y cos Y

=

op hip ad hip

=

op ady

Análogamente, la cotangente de Y es el coseno de Y entre el seno de Y.

Relación fundamental de la trigonometría Teniendo en cuenta un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 1, si aplicamos el teorema de Pitágoras, se debe cumplir la que se conoce como relación undamental de la trigonometría: sen2 ␣ + cos2 ␣ = 1 Mostremos cómo unciona esta relación: r

Parte geométrica:

Hipotenusa Cateto opuesto α

Cateto adyacente r

Parte analítica: A partir de la misma relación y sustituyendo su valor:

Matematicas+II+Patricia+Ibanez

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