Matematicki Gen

Orlova krila

11

PROLOG

Orlova krila

Orao je sleo

Glas koji je dopirao iz svemirskog modula  Eagle (Orao), neposredno iznad površine Mjeseca, bio je razumljiv unatoč šumovima i smetnjama. Drugi glas dolazio je iz Johnsonova Centra za svemirske letove u Houstonu u saveznoj državi Teksasu i bio je, naravno, mnogo jasniji. Obojica muškaraca izgovarala su kratke i učinkovite rečenice, bez

vidljivih emocija. ORAO: 35 stupnjeva. 35 stupnjeva. 750, spuštamo se pri 23. 700 stopa, spuštanje pri 21. 33 stupnja. 600 stopa, spuštanje pri

19… 540 stopa… 400… 350, spuštanje pri 4. … Održavamo vodoravnu brzinu. 300 stopa, spuštanje pri 3½… trenutak. Vidim sjenu vani… pozicijska svjetla. Spuštanje pri 3½, 220

stopa. 13 naprijed. 11 naprijed, spuštamo spušta mo se polako… 75 stopa, čini se sve u redu. HOUSTON: 60 sekundi. ORAO: Svjetla uključena. Spuštanje pri 2½. Naprijed. Naprijed. Dobro. 40 stopa, spuštanje pri 2½. Diže se malo prašine. 30 stopa, spuštanje pri 2½. Slaba sjena. 4 naprijed. Lagano

zanošenje udesno. HOUSTON: 30 sekundi. ORAO: Zanošenje udesno. Kontakt s tlom. U redu, motor isključen. HOUSTON:: Razumjeli, HOUSTON Ra zumjeli, Orle. ORAO: Houston, Baza tišine ovdje. Orao je sletio.

12

Matematički gen

Bio sam dvadesetdvogodišnji poslijediplomac kada su Neil Armstrong i Buzz Aldrin sletjeli na Mjesec. Danas, trideset godina poslije, još osjećam duboki ushit kad čitam transkript tih posljednjih nekoliko minuta spuštanja, tijekom kojih je Armstrong upravljao lunarnim modulom, koji je posada nazvala Orao, do mjesta gdje su ljudi prvi

put kročili na drugo nebesko tijelo. Iako je slijetanje

Orla

bilo vrhunac desetogodišnje bitke čovjeka

da se spusti na površinu Mjeseca (i vrati se živ na Zemlju), ono nije bilo golem tehnološki napredak u odnosu na prethodne misije Apolla. Govoreći Armstrongovim riječima koje je izrekao pri povijesnom koraku na površini Mjeseca, Apollo 11 bio je samo ‘mali korak za čovjeka’. No simbolička važnost događaja bila je neizbježna. Bio je to, u nastavku  Armstrongove povijesne rečenice, ‘veliki skok za čovječanstvo’. Iako je misija Apolla 11 često bila predstavljana kao veliko postignuće znanosti i tehnologije, što je točno, uvijek sam imao osjećaj da je to ipak više trijum ljudskoga duha i posljedica dviju sposobnosti, jedinstvenih za ljudski rod: matematike i jezika. Dolazak ljudi na Mjesec uvelike je ovisio o matematici, koja se nalazi u temelju svih znanosti i tehnologija. Svaka pojedinost misije bila je izračunata do najsitnijeg detalja: koliko goriva predvidjeti za svaku

etapu leta na Mjesec, koju putanju odabrati tako da učinak i potrošnja goriva budu optimalni, koliko će goriva biti potrebno utrošiti pri

slijetanju, a koliko pri ponovnom polijetanju, koliko će trajati paljenje motora i koja količina kisika će održati posadu na životu. Razgovor Orla i zemaljske kontrole pri završnom spuštanju bio je gotovo posve matematičke prirode. Nije bilo mnogo prostora za pogrešku: nakon što je Armstrong uspješno spustio Orla na površinu Mjeseca, u spremnicima je ostalo goriva za samo deset sekundi leta. Dakle, za putovanje na Mjesec bila je potrebna matematika. No koja je bila uloga jezika? Zašto sam rekao da je slijetanje na Mjesec bilo i blistav uspjeh jezika? Zato što je misija Apollo bio golemi zajednički pothvat koji je uključivao usklađenost i napore nekoliko tisuća ljudi. Iako su dvojica astronauta zakoračila na površinu Mjeseca u tom

povijesnom događaju, projekt je bio posljedica rada nekoliko tisuća pojedinaca u Sjevernoj Americi i diljem Zemlje, ako uključimo i ljude koji su se brinuli o pratećim postajama. Jezik je osigurao uspješnu

Orlova krila

13

komunikaciju ljudi koji su na taj način zajednički uskladili djelovanje i ostvarili izniman pothvat. Naravno, nije potrebno dovesti ljude na Mjesec da bismo se podsjetili kako su matematika i jezik moćna oruđa. Obje su sposobnosti dovele do nebrojenih postignuća koja su promijenila i čovječanstvo, ali i život na planetu Zemlji.

 Jedan od ciljeva ove knjige jest uvjeriti čitatelja da su jezik i matematika doista bitne i moćne sposobnosti te da su osim toga i jedinstveno ljudske osobine. Dopustite mi da još jedanput citiram Neila Armstronga. Kad se lunarni modul odvojio od zapovjednog broda koji je ostao kružiti u Mjesečevoj orbiti, Armstrong je izjavio da ‘ Orao ima krila’.

Usvajanje jezika i matematike čovječanstvu je podarilo krila kojima smo se vinuli iznad drugih stvorenja na Zemlji. Drugi cilj knjige bio je objasniti da su te dvije sposobnosti neodvojive: i jezik i matematiku omogućila su svojstva i razvoj ljudskog mozga.

Osim tih teza, knjiga će pokušati odgovoriti na pitanja što je zapravo matematika, a što jezik te kako su se razvili. Promotrit ću i treću,

izrazito ljudsku osobinu: našu sposobnost da oblikujemo i slijedimo složene zadatke, predviđamo posljedice i uključujemo razne slijedove događaja koji ovise o načinu razvoja stvari u određenom vremenu.

Ta je osobina čvrsto povezana s našom sposobnošću uporabe jezika i matematike. Zato je i odigrala ključnu ulogu u misijama Apollo, u kojima je svaka pojedinost bila pomno isplanirana, u kojoj je svaka aza razvoja događaja bila predviđena i svaka slučajnost zamišljena. Primjerice, glavni plan leta uključivao je predviđanje da glavno računalo na brodu uspješno spusti Orla na mjesto koje je određeno

mjesecima prije leta. No pri spuštanju modula na Mjesec posada je primijetila da je mjesto predviđeno za slijetanje neravno i zakrčeno kamenjem. Kako su se približavali površini, Armstrong je isključio računalno navođenje i modul spustio pomoću ručnog upravljanja.

Mogućnost ručnog navođenja predviđena je unaprijed, a posada Apolla bila je osposobljena za takav scenarij. Ta posljednja ljudska sposobnost, zamišljanje razvoja događaja u budućnosti i planiranje u odnosu na zamišljene scenarije, u svojoj

14

Matematički gen

je biti izvorište matematike i jezika. Zato je vjerojatno predviđanje

najvažnija ljudska osobina.

Matemački gen?

Prije nego što počnem raspravu, želio bih razjasniti jednu pojedinost: ne postoji ‘matematički gen’ u smislu posebnog odsječka ljudske DNK koji bi određivao matematičku sposobnost. Naravno, postoje geni koji utječu na našu sposobnost računanja. No time što sam knjigu naslovio  Matematički gen, samo sam uporabio uvriježenu metaoru.

Grubo govoreći, pod sintagmom ‘matematički gen’ mislim na ‘urođenu sposobnost za matematičko razmišljanje’, kao što znanstvenici katkad pojam ‘jezičnog gena’ rabe za opis urođene sposobnosti učenja i uporabe jezika. Naravno, obje sposobnosti genetički su određene

(barem djelomice), kao što je i gotovo sve oko nas uvjetovano genima.  Ako govorimo o jednom ‘genu’ za matematiku, to je samo metaorički rečeno, kao što izraz ‘gen za X’ ima samo preneseno značenje. Svoj argument za posjedovanje matematičkoga gena, tj. urođene

sposobnosti za matematiku, objašnjavam na ovaj način: vaša genska predispozicija za jezik upravo je ono što vam je potrebno i za matematiku. Ipak, postoji mogućnost da izvrsno vladate materinskim

jezikom, ali mnogo manje sigurnosti osjećate rješavajući matematičke zadatke. Doista, poput milijuna drugih ljudskih bića i vi možda osjećate ‘fobiju od matematike’. U ovoj knjizi pokušat ću objasniti zašto se

čini da tako mnogo ljudi ne rabi temeljne sposobnosti, za koje tvrdim da ih svi posjeduju. Dio objašnjenja nalazi se u činjenici da većina

ljudi ne zna što je matematika doista. Zbog toga moram objasniti i što matematičari, ljudi poput mene, misle o naravi matematike. Srž matematike nisu samo brojevi i aritmetika. Kad napokon shvatite što je matematika i kad spoznate način na koji ljudski mozak stvara jezik, neće vas iznenaditi tvrdnja da je matematičko mišljenje samo poseban oblik sposobnosti uporabe jezika.

Matematički um

15

1.

Matemački um

Mrzio sam matematiku u osnovnoj školi. No 1971., u dobi od dvadeset četiri godine doktorirao sam matematiku i postao matematičar. Ključna promjena u načinu razmišljanja dogodila mi se u petnaestoj godini, kad sam otkrio pravu narav matematike. Iako se nadam da ću vam uspjeti pobliže opisati svoje otkriće i objasniti zašto sam se zaljubio u matematiku, to nije glavni cilj ove knjige. Prije svega želim riješiti zagonetku koja me je kopkala većim dijelom života: kako su naši preci razvili um za matematičko razmišljanje? Da bismo mogli odgovoriti na to pitanje, moramo početi razumijevati zašto većina ljudi misli da je matematika nemoguće teška. Nedovoljno vremena

Zašto mislim da je razvijanje matematičke sposobnosti zagonetka?

To je zapravo pitanje vremena. Ljudska vrsta ima prepoznatljiv sustav apstraktnih brojeva već 8000 godina. Formalna, simbolička matematika s jednadžbama, teoremima i dokazima pojavila se prije 2500 godina. Dierencijalni račun nastao je u 17. stoljeću, negativni brojevi u širu su uporabu ušli u 18. stoljeću, a moderna apstraktna algebra, u kojoj simboli poput  x,  y i  z označuju promjenjive varijable, razvila se prije samo 150 godina. Ipak, ljudskom mozgu nije bilo dovoljno 8000 godina da se evolucijski prilagodi. Čak 2500 godina postojanja ormalne matematike samo je treptaj u evolucijskom vremenu. Ljudskom je mozgu bilo potrebno

više od 3,5 milijuna godina da se razvije u oblik koji danas postoji. Einsteinov mozak tek se neznatno razlikovao od mozga čovjeka željeznog

16

Matematički gen

doba. Čak ni naznaka onoga što bismo mogli nazvati matematikom nije postojala u željeznom dobu. Koja god svojstva mozga omogućuju bavljenje matematikom (bar nekima od nas), morala su postojati mnogo prije pojave bilo kojeg

oblika matematike. Dakle, te ključne osobine morale su se razviti u svrhu nekih drugih potreba. Kojih potreba? (Poslije ću se ponovno

vratiti tom problemu.) Moj odgovor na to pitanje ima iznenađujuću posljedicu: svi ljudi posjeduju matematički gen. Razlog je vrlo jednostavan: osobine mozga koje nam omogućuju bavljenje matematikom iste su one osobine koje nam omogućuju jezičnu komunikaciju: govor i razumijevanje.  Ako sam u pravu, pojavljuje se još jedno pitanje. Zašto tako mnogo ljudi naoko nije sposobno za matematičko razmišljanje? Ako je osnovna matematička sposobnost istovjetna jezičnoj, tj. mogućnosti govora i razumijevanja pri komunikaciji, kako je moguće da samo rijetki

rabe matematičku sposobnost, a gotovo svaki četverogodišnjak tečno govori. To drugo pitanje zahtijeva ne samo promišljanje o srži jezika i matematike. U obzir moramo uzeti i svrhu jezika te se zapitati kako se potreba za jezikom pojavila i razvila. Neophodno je da pri razvoju svojih teza opišem prirodu matematičke misli (matematika je, nažalost, neshvaćena), ali i da objasnim način unkcioniranja mozga te njegov razvoj do danas. Potrebno je i pobliže istražiti narav jezika. U tekstu ću objasniti

razliku jezika, koji je svojstven samo ljudskom rodu, i sustava komunikacije, koje su u različitim stupnjevima složenosti razvile mnoge

biološke vrste. Moja opažanja neznatno će se razlikovati od mišljenja koja možete pročitati u većini knjiga o ljudskoj evoluciji. No katkad se uvriježeno mišljenje ne slaže s poznatim činjenicama. Tako se kao razlog evolucije jezika najčešće navodi potreba za boljom komunikacijom, tj.

komunikacija se smatra izvornom svrhom jezičnog razvoja. Mislim da je takvo objašnjenje problematično. Prije bih rekao da se jezik razvio kao popratna posljedica razvoja mozga. Tek kad se jezik pojavio na evolucijskoj sceni, njegova uporaba u komunikaciji postala je glavni selekcijski čimbenik. Osnovna aktivnost ljudskog mozga koja ga je osposobila za ma-

tematičko razmišljanje nije imala više ništa s fzikalnim i biološkim

Matematički um

17

uvjetima, kao što bi se možda moglo pretpostaviti. Smatram da je

put k matematičkoj misli utrt međusobnim vezama i komunikacijom u društvu koje je bivalo sve složenije. Iako vas taj argument možda iznenađuje, on ipak nije u sukobu sa stajalištima znanstvenika koji se bave tim područjem. Zapravo, još nitko nije pokušao objasniti kako se razvila naša sposobnost za matematičko razmišljanje! (Proučavala se sposobnost računanja, ali ne i matematička misao.) Ako su moja objašnjenja točna, možemo početi razumijevati zašto većina ljudi matematiku smatra teškom te razmisliti o tome na koji način promijeniti pristup učenju matematičkih zakonitosti, kako bi učenici bolje svladali to područje. Dug je put pred nama. Kolika je vjerojatnost da sam u pravu? Kao matematičar, osjećam sigurnost pri objašnjavanju matematičkih pojmova. Istu sigurnost ne mogu osjećati kad govorim o evoluciji

ljudskog mozga. No u tom slučaju, nitko ne može biti siguran. Sastavljanje slagalice evolucijskog razvoja vrsta zapravo je nezahvalan posao. Stručnjaci vrlo često iznose oprečna mišljenja i neslaganje kad je riječ o tome što se, kada i kako dogodilo. Nijedan evolucijski argument ne može izbjeći kritiku poput ‘pričaj-mi-priču’. (Manje uvredljiva sintagma je ‘racionalna rekonstrukcija’.) Naravno, važno je (trudim se) biti dosljedan s provjerenim i sigurnim tvrdnjama. No poznate

činjenice dopuštaju širok raspon tumačenja. Nije sve u brojevima

 Jedna od posljedica našeg istraživanja jest odgovor na pitanje zašto se ljudi dijele u dvije skupine: jedni matematiku smatraju gotovo potpuno nerazumljivom, a mnogo manja skupina misli da je matematika prilično shvatljiva. Gotovo ne postoji srednje stajalište između ta dva ekstrema. Čini se da oni koji matematiku razumiju dijele zajedničku tajnu. Pokušat ćemo odgovoriti i na sljedeća pitanja: – – – –

Može li nam jezik pomoći u svladavanju matematike? (Da.) Razmišljaju li matematičari s pomoću jezika? (Ne.) Što matematičar misli o svom bavljenju matematikom? Razlikuje li se mozak matematičara od mozga ostalih ljudi? (Ne.)

18

Matematički gen

Prije nego što krenemo dalje, želim naglasiti da je ovo knjiga o matematici, a ne o aritmetici. Značenje ta dva pojma bitno se razlikuje.  Aritmetika je dio matematike, ali veći dio matematike nije područje aritmetike. U školi se prvo upoznajemo s aritmetikom pa se mnogo učenika zaustavi na toj točki i prestane se zanimati za matematiku prije nego što se upozna s drugim područjima unutar matematike. Zato nas ne čudi što se matematiku i aritmetiku često izjednačava, te one postaju sinonimima. No naprednija područja matematike imaju malo dodirnih točaka s aritmetikom ili numeričkim računanjem, pa čak i s brojevima u općem smislu. Zapravo, neki od najboljih matematičara u povijesti nisu bili iznimno uspješni u računanju i radu s brojevima. Ipak, mnoge tvrdnje o matematici koje izričem u ovoj knjizi imaju značenje za aritmetiku. Otkrit ćemo zašto mnogo ljudi ima problema baš s aritmetikom. Primjerice, obratit ćemo pažnju na činjenicu da mnogi učenici

imaju poteškoća s učenjem tablice množenja, posebno s umnošcima 8 × 7, 9 × 6 i 9 × 8. (Nije posve netočna tvrdnja da je izvor njihova problema mozak koji je previše pametan, a ne preglup te da je rješenje u svladavanju množenja upravo nadvladavanje prirodne inteligencije mozga.) Odgovorit ćemo i na sljedeća pitanja iz područja aritmetike: – Zašto tako mnogo ljudi ne voli matematiku? – Imaju li kineska i japanska djeca urođenu prednost pri učenju matematike, u odnosu na male Europljane i Amerikance? (Da.) – Imaju li životinje osjećaj za broj? (Da, mnoge, ali do određene granice.) – Mogu li neke životinje računati? (Naravno.) – Je li novorođenče sposobno za neke aritmetičke operacije? (Da. Potvrdan odgovor iznenađuje i zahtijeva određenu razinu domišljatosti.)

Naravno, pred nama je dugo putovanje. Ono što ćemo putem otkriti reći će nam mnogo o nama te o prirodi jezika i matematike, ali to će putovanje imati i bitne posljedice za matematičko obrazovanje.

Matematički um

19

No prije nego što poduzmemo prve korake, pokušat ću ispuniti

obećanje i objasniti što matematika jest. Što riječ ‘matematika’ znači matematičarima? Što je matemaka?

Što je matematika? Ako to pitanje postavite prvoj osobi koju sretnete, vjerojatno ćete čuti odgovor: ‘Matematika je proučavanje brojeva.’ Ako istu osobu zamolite da bude određenija, možete izmamiti mišljenje da je matematika ‘ znanost o brojevima’. No to je gotovo sve što ćete

uspjeti doznati, a ipak nije primjeren opis matematike. Zapravo, takvo je objašnjenje zastarjelo još prije 2500 godina! Odgovor na pitanje ‘Što je matematika?’ otad se promijenilo čak nekoliko puta. Oko 500. god. pr. Kr. matematika se doista bavila brojevima. Drevna egipatska, babilonska i kineska matematika sastojala se gotovo u cjelini od aritmetike. Njezina se vrijednost mjerila uglavnom primjenom u praksi i nalikovala je na recepte u kuharici. (‘Učini to i to s brojem i dobit ćeš odgovor.’) Matematika se između 500. god. pr. Kr. i 300. god. razvila izvan granica proučavanja brojeva. Matematičari drevne Grčke više su se

bavili geometrijom. Brojeve su promatrali u geometrijskom smislu, kao mjeru za dužinu. Kad su otkrili da postoje dužine u prostoru koje ne odgovaraju poznatim brojevima (takozvane iracionalne vrijednosti),

njihovo je proučavanje brojeva uglavnom došlo do mrtve točke. Za Grke je matematika, zbog pridavanja važnosti geometriji, bila usredotočena ne broj i oblik. Samo je u Grčkoj došlo do promjene u shvaćanju matematike – od pukog nabrajanja tehnika mjerenja, brojenja i računanja, matematika je postala akademska disciplina s estetskim i vjerskim elementima. Tales je na početku antičkog razdoblja uveo ideju da se precizno postavljene matematičke tvrdnje mogu ormalnim argumentima logički dokazati. Taj je pristup tijekom antike svoj vrhunac imao u golemom djelu u 13 svezaka objavljenom oko 350. god. pr. Kr., Euklidovim  Elementima. To se veličanstveno djelo nalazi na drugom mjestu najčitanijih knjiga svih vremena, odmah nakon Biblije.

20

Matematički gen

Matematika nakon Grka, iako je njezin razvoj napredovao u nekim dijelovima svijeta poput Arabije i Kine, nije doživjela znatnu promjenu do sredine 17. stoljeća, kada su sir Isaac Newton (u Engleskoj) i Gottried Wilhelm Leibniz (u Njemačkoj) nezavisno otkrili dierencijalni račun (calculus). U svojoj biti, dierencijalni je račun proučavanje gibanja i promjene. Matematika je prije tog iznimnog otkrića bila ograničena na statične tehnike brojenja, mjerenja i opisivanja oblika. Nove su

tehnike u obzir uzele gibanje i promjenu te matematičarima omogućile proučavanje gibanja planeta i privlačenja tijela prema površini Zemlje. Sada je bilo moguće shvatiti način rada strojeva, protok tekućina, širenje plinova, prirodne sile poput magnetizma i elektriciteta, zakonitosti

letenja, rast biljaka i životinja, širenje epidemija te kolebanje tržišta. Matematika je postala proučavanje brojeva, oblika, kretanja, promjene i prostora. Na početku je dierencijalni račun bio usmjeren prema objektima proučavanja fzike, a mnogi su veliki matematičari 17. i 18. stoljeća bili i fzičari. Oko 1750. počelo je rasti zanimanje za matematičku teoriju, a ne samo za njezinu primjenu. Matematičari su počeli tragati za onim što se nalazi iza goleme snage dierencijalnog računa, a matematika je potkraj 19. stoljeća postala proučavanje brojeva, oblika, kretanja, promjene, prostora i matematičkih alata koji se rabe u tom istraživanju. Bio je to početak moderne matematike. Razvoj matematičkih spoznaja u 20. stoljeću najbolje bi se mogao opisati kao eksplozija znanja. Matematičko znanje svijeta se 1900. moglo smjestiti u samo 80 knjiga. Danas bi za takvu zadaću bilo

potrebno približno 100.000 svezaka. Nisu se razvijale samo postojeće matematičke grane, poput geometrije i dierencijalnog računa. Pojavila su se i brojna nova područja. Matematiku je na početku 20. stoljeća činilo približno 12 područja: aritmetika, geometrija, diferencijalni račun itd. Danas postoji 70-ak različitih matematičkih kategorija.

Neka su se područja, poput algebre ili topologije, podijelila na više grana. Neke su matematičke grane, poput teorije kompleksnosti ili

dinamičkih sustava, potpuno nove.