Tugas Membuat Soal Penerapan Matematika beserta Materi dan Penyelesaiannya
MATA KULIAH MATEMATIKA PRAKTIS
Disusun oleh: 1. BAKHRUDIN
ACA 109 006
2. DAMA SASMITA
ACA 109 016
3. TULUS SIHOTANG
ACA 109 031
4. YUDHY SEPTO
ACA 109 002
A. Barisan dan Deret Aritmatika
1. Tanto menyimpan uang di bank sebesar Rp 2.500.000,- dan bank memberikan bunga 8% per tahun. Jika bunga tidak pernah diambil dan biaya administrasi bank diangap tidak ada. Tentukanlah total uang Tanto setelah modal mengendap selama 5 tahun.
(Soal Dama Sasmita)
Penyelesaian Dik :
Nilai Tunai ( P )
= Rp 2.500.000,-
Bunga ( r )
= 8 % = 0,08
Periode ( t ) Dit :
= 6 Tahun
Bunga Total ( Itotal ) ?
Jawab : Penyelesaian dengan denga n perhitungan ekonomi ek onomi Awal tahun pertama, modal (M1) = Nilai Tunai (P) = Rp 2.500.000,Akhir tahun pertama, bunga yang diperoleh I1
=
M1 x r x t
=
( Rp 2.500.000,- ) x (0,08) x ( 1 )
=
Rp 200.000,-
Awal tahun kedua, modal (M 2) menjadi (M2)
=
I1 + M1
=
Rp 200.000,- + Rp 2.500.000,-
= Rp 2.700.000,Akhir tahun kedua, bunga yang diperoleh I2
=
M2 x r x t
=
( Rp 2.700.000,- ) x (0,08) x ( 1 )
=
Rp 216.000,-
Awal tahun ketiga, modal (M3) menjadi (M3)
=
I2 + M2
=
Rp 216.000,- + Rp 2.700.000,-
=
Rp 2.916.000,-
A. Barisan dan Deret Aritmatika
1. Tanto menyimpan uang di bank sebesar Rp 2.500.000,- dan bank memberikan bunga 8% per tahun. Jika bunga tidak pernah diambil dan biaya administrasi bank diangap tidak ada. Tentukanlah total uang Tanto setelah modal mengendap selama 5 tahun.
(Soal Dama Sasmita)
Penyelesaian Dik :
Nilai Tunai ( P )
= Rp 2.500.000,-
Bunga ( r )
= 8 % = 0,08
Periode ( t ) Dit :
= 6 Tahun
Bunga Total ( Itotal ) ?
Jawab : Penyelesaian dengan denga n perhitungan ekonomi ek onomi Awal tahun pertama, modal (M1) = Nilai Tunai (P) = Rp 2.500.000,Akhir tahun pertama, bunga yang diperoleh I1
=
M1 x r x t
=
( Rp 2.500.000,- ) x (0,08) x ( 1 )
=
Rp 200.000,-
Awal tahun kedua, modal (M 2) menjadi (M2)
=
I1 + M1
=
Rp 200.000,- + Rp 2.500.000,-
= Rp 2.700.000,Akhir tahun kedua, bunga yang diperoleh I2
=
M2 x r x t
=
( Rp 2.700.000,- ) x (0,08) x ( 1 )
=
Rp 216.000,-
Awal tahun ketiga, modal (M3) menjadi (M3)
=
I2 + M2
=
Rp 216.000,- + Rp 2.700.000,-
=
Rp 2.916.000,-
Akhir tahun ketiga, bunga yang diperoleh I3
=
M3 x r x t
=
( Rp 2.916.000,- ) x (0,08) x ( 1 )
=
Rp 233.280,-
Awal tahun keempat, modal (M 4) menjadi (M4)
=
I3 + M3
=
Rp 233.280,- + Rp 2.916.000,-
=
Rp 3.149.280,-
Akhir tahun keempat, bunga yang diperoleh I4
=
M4 x r x t
=
(Rp 3.149.280,- ) x (0,08) x ( 1 )
=
Rp 251.942,40,-
Awal tahun kelima, modal (M 5) menjadi (M5)
=
I4 + M4
=
Rp 251.942,40,251.942,40, - + Rp 3.149.280,-
=
Rp 3.401.222,40,3.401.222,40,-
Akhir tahun kelima, bunga yang diperoleh I5
=
M5 x r x t
=
(Rp 3.401.222,40,-) 3.401.222,40,-) x (0,08) x ( 1 )
=
Rp 272.097,792,-
Sehingga Modal akhir M total = I5 + M5 = (Rp 272.097,792,-) 272.097,792,-) + (Rp 3.401.222,40,-) = Rp 3.673.320,192,3.673.320,192,Jadi, Total uang Tanto setelah uang 5 tahun menabung di bank adalah Rp 3.673.320,192,2. Anto membuka rekening di sebuah bank. Pada bulan pertama, ia menyetor uang Rp200.000,00. Jumlah setoran akan ia naikan sebesar Rp50.000,00 dari setiap bulan sebelumnya. Tentukan :
(Soal Yudhy Septo)
a.
Besar setoran Anto pada bulan ke-10
b.
Pada bulan keberapa jumlah setoran Anto Rp1.050.000?
Solusi : a.
Jumlah setoran Anto setiap bulan dapat dituliskan dengan barisan berilkut. 200.000 setoran bulan ke-1 250.000 setoran bulan ke-2 300.000 setoran bulan ke-3 Barisan tersebut merupakan barisan aritmetika karena beda setiap suku yang bersebelahan besarnya tetap. Setoran pada bulan ke-1 = a = 200.000 Kenaikan setoran setiap bulannya = b = 50.000 Setoran pada bulan ke-10 menyatakan suku ke-10 atau U 10 dari barisan tersebut. Dengan menggunakan rumus suku ke-n diperoleh U10 = a + ( n – 1)
b
U10 = 200.000 + ( 10 – 1) U10 = 200.000 + 9
50.000
50.000
U10 = 650.000 Jadi, setoran Anto pada bulan ke-10 besarnya adalah Rp 650.000,00 b.
Pada bulan ke-n, setoran Anto sebesar Rp1.050.000, berarti diperoleh persamaan sebagai berikut. Un = 1.050.000 ...(1) Un = a + ( n – 1)
b = 200.000 + ( n – 1)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 1.050.000
= 200.000 + (n – 1)
50.000 ...(2)
50.000
1.050.000 – 200.000 = 50.000 (n – 1) 850.000 = 50.000 (n – 1) (n – 1) = (n – 1) n
= 17 = 18
jadi, setoran Anto pada bulan ke-18 besarnya Rp1.050.000,00
B. Barisan dan Deret Geometri
1. Tanto menyimpan uang di bank sebesar Rp 2.500.000,- dan bank memberikan bunga 8% per tahun. Jika bunga tidak pernah diambil dan biaya administrasi bank diangap tidak ada. Tentukanlah total uang Tanto (Soal Dama Sasmita)
setelah modal mengendap selama 5 tahun. Penyelesaian Dik :
Dit :
Nilai Tunai ( P )
= Rp 2.500.000,-
Bunga ( r )
= 8 % = 0,08
Periode ( t )
= 6 Tahun
Bunga Total ( Itotal ) ?
Jawab : Mn
(n)
=
M (1 + i)
=
(Rp 2.500.000,-) x ( 1 + 0,08)
=
(Rp 2.500.000,-) x (1,46932)
=
Rp 3.673.320,192,-
5
2. Sebuah perusahaan tas pada tahun 2012 mencatat keuntungan di bulan Januari sebesar Rp15.000.000,00. Oleh karena kinerja perusahaan semakin baik., dan diukung ekonomi nasional yang semakin sehat di tahun tersebut keuntungan perusahaan naik menjadi 1
kali lipat dari bulan sebelumnya.
(Soal Yudhy Septo)
Tentukanlah : a.
Barisan geometri yang menyatakan keuntungan perusahaan tersebut setiap bulannya, mulai bulan Januari 2012,
b.
Total keuntungan yang diraih perusahaan tersebut hingga bulan Agustus.
Solusi : a.
Keuntungan bulan Januari
U1 = 15.000.000
Keuntungan Febuari
U2 = 1
15.000.000 = 22.500.000
U2 = 1
22.500.000 = 33.750.000
Jadi, diperoleh barisan geometri sebagai berikut.
15.000.000, 22.500.000, 33.750.000, ... b.
Total keuntungan yan diraih perusahaan hingga bulan Agustus merupakan jumlah 8 suku pertama barisan geometri pada soal a.
Barisan geometri tersebut a = 15.000.000, r = 1 /1,5 Jadi, jumlah keuntungan perusahaan sampai bulan Agustus dihitung dengan rumus
S = n
S = S = S =
Diperoleh,
S8 = 8
8
8
S8 = 738.000.000 Jadi, keuntungan perusahaan tas hingga bulan Agustus adalah Rp738.000.000,00 3. Pak Siaga merencanakan untuk mendepositokan uang sebesar Rp 20.000.000,-
selama
10
tahun
pada
sebuah
Bank.
Pembungaan
depositonya dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan sebesar 10% per tahun. Berapa jumlah uang yang dimiliki Pak Siaga pada akhir tahun kesepuluh jika didepositokan dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali? Dan Berapa jumlah uang yang dimiliki jika didepositokan dengan (Soal Tulus Sihotang)
pembungaan tiap 4 bulan sekali? Solusi:
dan
dengan
dengan
periode periode
Ditanya: a) b)
jika pembungaan 6 bulan sekali? jika pembungaan 4 bulan sekali?
Jawab: a)
b)
Kesimpulan: Jadi, uang yang dimiliki pak Siaga pada akhir tahun kesepuluh adalah Rp 53.065.954,- jika pembungaan tiap 6 bulan dan Rp 54.531.338, jika pembungaan tiap 4 bulan. 4. penduduk suatu kota berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 1995, tingkat pertumbuhannya 4
per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut (Soal Bakhrudin)
pada tahun 2005. Jawab : Periode waktu : 2005 – 1995 = 10 tahun Pn = p0 ( 1 + i ) = 100.000 ( 1 + 0,04 ) = 100.000 ( 1,48024 ) = 148.024
10
C. Program Linier
1. Rokok A yang harganya Rp2.000,- perbungkus dijual dengan laba Rp400,perbungkus sedangkan rokok B yang harganya Rp1.000,- perbungkus dijual dengan laba Rp300,- perbungkus. Seorang pedagang rokok yang mempunyai modal Rp800.000 dan kioasnya maksimum dapat menampung 500 bungkus rokok, akan memperoleh keuntungan sebesar – besarnya jika ia membeli ... (Soal Yudhy Septo)
Solusi : Misal : Rokok A = x Rokok B = y Harga Rokok A = x = Rp2.000 Rokok B = y = Rp1.000 Maka : 2.000 x + 1.000 y
2x + y
800
x+y
500
x+y
800.000
500
2x + y
800
-x = - 300 x = 300 x+y
500
y
200 sehingga B(300,200)
800 500
DHP 400
5000
x+y F(x) = (400x + 300y) 2x + y
800
500
A(0,50) = 400(0) + 300(50) = 150.000 B(300,200) = 400(300) + 300(200) = 180.000 C(400, 0) = 400(400) + 300(0) = 160.000 Jadi, pedagang akan memperoleh keuntungan sebesar-besarnya jika ia membeli 300 bungkus rokok A dan 200 bungkus rokok B 2. Suatu perusahaan mengeluarkan sejenis barang yang diperoduksi dalam tiga ukuran, yaitu ukuran besar, ukuran sedang dan ukuran kecil. Ketiga ukuran itu dihasilkan dengan menggunakan mesin I dan mesin II . Mesin I setiap hari menghasilkan 1 ton ukuran besar, 3 ton ukuran sedang dan 5 ton ukuran kecil. Mesin II setiap hari menghasilkan masing-masing ukuran sebanyak 2 ton. Perusahaan itu bermaksud memperoduksi paling sedikit 80 ton ukuran besar, 160 ton ukuran sedang dan 200 ton ukuran kecil. Bila biaya operasi mesin I adalah Rp500.000,00 tiap hari dan mesin II adalah Rp400.000,00 tiap hari. Dalam berapa hari masing-masing mesin bekerja untuk pengeluaran biaya sekecil-kecilnya dan berapa biaya tersebut. (Soal Dama Sasmita)
Jawab: Penyelesaian dengan pendekatan perhitungan Matematika (Program Linear) Model matematika disusun dengan memisalkan: Jumlah hari kerja mesin I adalah x Jumlah hari kerja mesin II adalah y
Fungsi objektifnya Z = 500.000x + 400.000y Syarat ukuran besar x + 2y > 80 Syarat ukuran sedang 3x + 2y > 160 Syarat ukuran kecil 5x + 2y > 200 Dengan x ≥ 0 ; y ≥ 0
Titik A ditentukan dengan cara eliminasi / substitusi persamaan garis 3x + 2y = 160 dan 5x + 2y = 200 diperoleh x = 20 dan y = 50. Titik B ditentukan dengan cara eliminasi atau substitusi persamaan garis 3x + 2y = 160 dan x + 2y = 80 diperoleh x = 40 dan y = 20 Dari daerah penyelesaian di samping, maka dapat disimpulkan bahwa daerah penyelesaian tersebut tidak memiliki nilai maksimum. Uji titik pojok, yaitu koordinat (0, 100), A(20, 50), B(40, 20), dan (80, 0), yaitu:
Jadi, untuk biaya minimum, mesin I bekerja 40 hari dan mesin II bekerja 20 hari dengan biaya minimum sebesar Rp 28.000.000,00,-
D. Fungsi Linier dan Nilai Maksimum Fungsi
1. permintaan suatu barang sebanyak 500 buah pada saat harganya 40.000. apabila setiap kenaikan harga sebanyak 1.250 akan menyebabkan jumlah
permintaan mengalami penurunan sebanyak 250, sebagaimana fungsi permintaannya dan gambarkan fungsi permintaan tersebut pada grafik (Soal Bakhrudin)
kartesius! Jawab :
Diketahui ( P1, Qd1 ) = ( 40.000, 500) dan p = 1.250, Δ Qd = -250 Fungsi penawarannya diperoleh dengan rumus : ( P – P1 ) = m ( Qd – Qd1 )
=
Dengan m
=
= -5 Maka
( P – 40.000 ) P – 40.000 P P
= -5 ( Qd – 500 ) = -5 Qd + 2.500 = -5 Qd + 2.500 + 40.000 = -5 Qd + 42.500
Jadi, fungsi permintaannya adalah p = -5 Qd + 42.500 Gambar fungsi penawaran tersebut pada grafik kartesius :
42.500 P = -5 Qd + 42.500
O
2. Total biaya suatu perusahaan dinyatakan dalam fungsi sebagai berikut : 3
2
TC = Q – 4Q + 4Q + 4 a. pada output berapakah yang memberikan total biaya minimum? b. Berapakah total biaya minimumnya?
(Soal Bakhrudin)
Jawab: 3
2
Fungsi total biaya : TC = Q – 4Q + 4Q + 4 Turunan pertama fungsi total biaya : TC’
2 = 3Q – 8Q + 4 = 0
= ( 3Q – 2 ) ( Q – 2 ) = 0
Q1 = Turunan kedua fungsi total biaya : TC” Untuk Q1 =
maka TC” = 6 (
Q2 = 2
= 6Q – 8
) – 8 = -4 < 0
Untuk Q2 = 2 maka TC” = 6 ( 2 ) – 8 = 4 > 0 Jadi, output yang memberikan total biaya minimum adalah TC” > 0, yaitu Q=2 Total biaya minimum:
3 2 TC = Q – 4Q + 4Q + 4 2
2
TC = (2) – 4(2) + 4(2) + 4 TC = 4 3. Suatu produk jika dijual seharga Rp 50.000,- per buah akan laku sebanyak 500 buah. Apabila harga produk dinaikkan sebesar 4 %, maka akan menyebabkan penurunan permintaan sebanyak 100 buah. Tentukanlah: a) Fungsi permintaan dari permasalahan di atas? b) Jumlah output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum? (Soal Tulus Sihotang)
Solusi: Jumlah permintaan (quantity demand)
:
Harga (price)
:
, karena permintaan menurun
Ditanya: a) Fungsi permintaan? b) Jumlah output yang harus diproduksi agar pendapatan maksimum?
Jawab: a) Fungsi permintaannya dapat diperoleh dengan rumus:
Dimana:
Maka,
b) Fungsi total pendapatan merupakan: Pendapatan (revenue)
: R = P.Q
Maka,
Agar R maksimum, haruslah:
(R’ adalah turunan pertama)
Dimana:
Sehingga:
Untuk mengecek kebenaran hasil perhitungan akan digunakan: sehingga Q = 1.500 adalah benar
Kesimpulan: Jadi, output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum yaitu 1.500 Total pendapatan maksimumnya:
E. Integral Tentu
1. Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang masing – masing ditunjukkan sebagai berikut:
dan
Hitunglah surplus konsumen dan produsennya? (Soal Tulus Sihotang)
Solusi:
Harga pasar ditentukan dengan cara:
Maka
dan
Bentuk lain persamaan dapat menjadi sebagai berikut:
Grafiknya sebagai berikut:
Untuk Jika
, maka Qd = 30
Jika Qd = 0, maka P = 30
(0,30)
(30,0)
Untuk Jika
, maka Qs = - 6
Jika Qs = 0, maka P = 3
(0,-6) (3,0)
P
P=30
Surplus Konsumen
Pe=12 Surplus Produsen
P=3
∫ ∫ [ ] ( )( ) ∫ ∫ [ ] Q e=18
a)
b)
Q
Kesimpulan: Jadi, surplus konsumen dan produsen dari fungsi – fungsi tersebut adalah 162 dan 27.
MATERI A. Barisan dan Deret Aritmatika Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dari penambahan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap (tertentu), bilangan yang tetap tersebut dinamakan beda (b)
Barisan bilangan : 2, 5, 8, 11, ... Suku awal / suku pertama atau a = 2 Beda atau b = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 3 Barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika naik
Barisan bilangan : 20, 18, 16, 14, ... Suku awal / suku pertama atau a = 20 Beda atau b = 18 – 20 = 16 – 18 = 14 – 16 = -2 Barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika turun Rumus Suku ke-n (Un) dari Barisan Aritmetika
U1 = a
= a + (1-1)b U2 = a + b = a + (2-1)b U3 = a + 2b = a + (3-1)b U4 = a + 3b = a + (4-1)b … Un = a + (n-1) b
Jadi rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah :
dengan U n = Suku ke-n a = suku awal / suku pertama b = beda
B.
Barisan dan Deret Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan dimana perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari perbandingan antara satu suku dengan suku sebelumnya.
Rumus suku ke – n barisan geometri adalah :
Deret geometri adalah deretan bilangan yang tersusun dimana suku pertamanya suku pertama barisannya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris ukurnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama barisannya, dan seterusnya. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah :
jika jika
Pada bidang ekonomi dan bisnis barisan geometri dikenal sebagai baris dan deret ukur. Sehingga notasi penuisan rumus juga menjadi berbeda, yaitu:
untuk rumus suku ke – n jika jika
Berikut penerapannya dalam bidang ekonomi dan bisnis: a) Teori nilai uang (bunga majemuk)
Dimana:
modal pada tahun ke – n modal saat sekarang
tingkat suku bunga per tahun periode bunga
b) Pertumbuhan penduduk Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal perhitungan pertumbuhan penduduk, sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Yang dirumuskan : Pn
= P0 ( 1 + i )
n
Dimana, Pn = populasi penduduk pada tahun basis ( tahun ke 1 ) P0 = populasi penduduk pada tahun ke- n i = persentase pertumbuhan penduduk per tahun n = jumlah data
C. Program Linier a. Program linier adalah suatu metode atau program untuk memecahkan masalah optimasi yang mengandung kendala-kendala atau batasan-batasan yang dapat diterjemahkan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linier. Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dapat disajikan dalam daerah himpunan penyelesaian. Diantara beberapa penyelesaian yang terdapat dalam daerah penyelesaian, terdapat satu penyelesaian yang terbaik yang disebut penyelesaian optimum. Jadi, tujuan program linier adalah mencari penyelesaian optimum yang dapat berupa nilai maksimum atau nilai minimum dari suatu fungsi. Fungsi sasaran disebut juga fungsi tujuan atau fungsi objektif. Untuk dapat menyelesaikan program linier, terlebih dahulu kita harus terjemahkan
persoalan
kedalam
bahasa
matematika
disebut
model
matematika. Jadi, model matematika adalah suatu rumusan matematika
(berupa persamaan, pertidaksamaan atau fungsi) yang diperoleh dari hasil penafsiran suatu masalah program linier ke dalam bahasa matematika. Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (fungsional) antara satu unsur dengan unsur lain. Komponen dari suatu fungsi terdiri atas variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan/ mewakili faktor tertentu dan terdiri atas variabel bebas dan variabel tak bebas. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung variabel lain. Sedangkan variabel tak bebas adalah variabel yang nilainya tergantung variabel lain. Koefisien adalah bilangan yang terletak didepan suatu variabel dalam sebuah fungsi. Konstanta adalah bilangan yang membentuk sebuah fungsi tetapi tidak terkait dengan variabel (berdiri sendiri). Sedangkan
parameter adalah lambang-lambang yang mewakili anggota sebarang dari semestanya. b.
Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya 1. Fungsi objektif ax + by Tujuan yang hendak dicapai dalam suatu model matematika dinyatakan dalam bentuk persamaan z = ax + by. Bentuk ax + by yang hendak dioptimumkan tersebut dinamakan fungsi objektif. 2. Menentukan nilai optimum fungsi objektif Langkah-langkah untuk meyelesaikan persoalan program linier secara umum adalah: 1. Menerjemahkan permasalahan ke dalam model matematika 2. Menyelesaikan system pertidaksamaan yang merupakan kendala atau pembatas. 3. Mencari penyelesaian optimum 4. Menjawab permasalahan. Berkaitan dengan hal tersebut, kita dapat menggunakan metode grafik yang terdiri atasa dua macam cara, yaitu metode uji titik sudut dan metode garis selidik. a. Metode uji titik sudut Dengan menggunakan metode ini, nilai optimum dari bentuk objektif z = ax + by ditentukan dengan menghitung nilai-nilai z = ax + by pada setiap titik sudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian. Beberapa nilai yang diperoleh kemudian dibandingkan. Nilai yang paling besar merupakan nilai maksimum dari z = ax + by, sedangkan nilai yang paling kecil merupakan nilai minimum dari z = ax + by. b. Metode garis selidik ax + by = k Menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dengan menggunakan uji titik sudut memerlukan perhitungan dan waktu yang cukup lama. Untuk itu, sering digunakan metode yang lebih sederhana, yaitu metode garis selidik yang berbentuk ax + by = k.
Misalkan terdapat sutu fungsi objektif z = ax + by, dengan a dan b bilangan real. Dengan mengambil beberapa nilai k i untuk z, yaitu k 1, k 2, …, k n, diperoleh n garis selidik yang memiliki persamaan berikut k 1 = ax + by k 2 = ax + by … k n = ax + by Garis-garis tyersebut mempunyai gradient yang sama, yaitu m = - a/b. dengan demikian, garis-garis tersebut merupakan garis-garis yang sejajar. Apabila digambarkan, sebagaian dari garis-garis tersebut terletak pada daerah penyelesian pertidaksamaan linier (daerah feasible) dan salah satu diantaranya melalui titik optimum. Garis yang melalui titik optimum inilah yang menghasilkan nilai optimum bagi fungsi objektif z = ax + by. Garis selidik yang berada paling kanan atau paling atas pada daerah penyelesaian menunjukan nilai maksimum, sedangkan garis selidik yang berada paling kiri atau paling bawah daerah penyelesaian menunjukkan nilai minimum.
D. Fungsi Linier dan Nilai Maksimum fungsi a) Fungsi linier Fungsi adalah suatu relasi khusus yang memetakan setiap anggota daerah asal dengan tepat satu dan hanya satu kali ke daerah kawan. Jika dikatakan bahwa y adalah fugsi dari x maka ditulis
dimana x
adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat. Terdapat berbagai macam jenis fungsi, salah satunya adalah fungsi linier yaitu fungsi yang variabel bebasnya harus memiliki derajat satu. Bentuk umum fungsi linier sebagai berikut :
dengan
Dengan:
konstanta
koefisien
Fungsi linier dapat digambarkan pada suatu menjadi grafik garis lurus pada bidang yang disebut bidang kartesius. Jika diketahui fungsi
memotong sumbu – x di titik (a,0) dan sumbu – y di titik (0,b), maka grafiknya dapat digambarkan sebagai berikut:
b
Terdapat 3 macam hubungan antara dua fungsi linier
dan
jika dilihat dari grafiknya yaitu:
a. Berhimpit jika b. Sejajar jika
dan
dan
c. Berpotongan jika
dan
Untuk fungsi linier yang saling berpotongan, maka untuk mencari titik potongnya dapat diakukan dengan cara substitusi, eliminasi, grafik dan determinan. Jika diketahui dua buah titik yaitu A
dan B
, maka untuk
mengetahui garis yang tepat melalui dua titik tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan rumus berikut ini;
Jika diketahui sebuah titik A
dan gradient atau kemiringan m,
maka untuk mengetahui garis yang tepat melalui dua titik tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan rumus berikut ini;
Pada bidang ekonomi dan bisnis fungsi linier digunakan pada fungsi permintaan: Fungsi
permintaan
merupakan
fungsi
yang
mencerminkan
hubungan antara variabel harga ( P ; price) suatu barang dengan variabel jumlah barang yang diminta (Qd ; quantity demand ). Ditulis:
. Fungsi ini mencerminkan perilaku konsumen di pasar di mana
sifat yang berlaku yaitu bahwa jika harga barang mengalami peningkatan, maka jumlah barang yang diminta akan mengalami penurunan. Demikian sebaliknya, jika harga mengalami penurunan maka jumlah barang yang diminta akan mengalami peningkatan. Sifat demikian jika digambarkan pada Grafik Kartesius dengan sumbu datarnya jumlah barang yang diminta (Qd) dan sumbu tegaknya harga barang yang bersangkutan (P), dimana perubahan harga „sebanding‟ dengan perubahan jumlah barang yang diminta (fungsi linier), maka fungsi permintaan suatu barang digambarkan sebagai berikut:
dengan
Fungsi penawaran dapat diperoleh dengan dua rumus, yaitu sebagai berikut:
Jika diketahui
dan
, maka fungsi penawarannya
diperoleh dengan:
Jika diketahui
permintaan dengan
dan m, dimana m adalah gradien fungsi yang nilainya selalu negatif maka fungsi
penawarannya diperoleh dengan:
b) Nilai maksimum fungsi Konsep turunan dapat digunakan untuk menentukan titik ekstrim segala jenis fungsi yang dapat diturunkan bahkan juga yang kontinu. Definisi: Jika fungsi f mencapai titik ekstrim pada pada titik itu maka titik
.
Dimana
dan terdiferensialkan
merupakan titik stasioner atau
merupakan turunan pertama dari
.
Berikut ini dijelaskan aturan pendiferensialan suatu fungsi f :
Misalkan,
dengan a dan n sebarang anggota dari
bilangan real maka
Misalkan, terdapat fungsi y = u suatu fungsi maka y' = u'
v dengan u dan v juga merupakan
v' dimana
u’ dan v’ merupakan
tururnan
pertama dari u dan v.
Misalkan, terdapat fungsi y = u · v dengan u dan v juga merupakan suatu fungsi , maka y' = uv' + vu'.
Misalkan, terdapat fungsi
sehingga
dengan u suatu fungsi maka berlaku .
Misalkan, terdapat suatu fungsi seperti
maka berlaku
Pada bidang ekonomi dan bisnis nilai maksimum digunakan untuk mencari pendapatan maksimum dan jumlah barang yang harus diproduksi agar pendapatan menjadi maksimum, pada fungsi marginal pendapatan (marginal revenue) dengan bentuk sebagai berikut:
Dimana:
R = revenue (pendapatan) P = fungsi penawaran atau permintaan dimana
Q = quantity demand (penawaran) atau quantity supply (permintaan)
Agar mendapat nilai pendapatan maksimum turunan pertama dari fungsi marginal pendapatan haruslah sama dengan nol dan tururnan keduanya bernilai kurang dari nol. Atau jika dituliskan dalam bentuk simblik sebagai berikut:
dan
E.
Integral tentu
Integral tentu adalah integral dimana nilai dari variabel bebasnya memiliki batasan-batasan tertentu. Integral tentu merupakan konsep yang berhubungan dengan pencarian luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurvakurva serta batasan-batasan nilai yang membatasi dengan tepat area yang dimaksud. Secara umum penulisannya adalah sebagai berikut:
| ∫ ∫ | ∫ | ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Dengan
adalah integral
rentang
terhadap x pada wilayah dalam
hingga .
adalah hasil integrasi fungsi
antara
hingga .
adalah batas bawah integrasi
adalah batas atas integrasi
Kaidah-Kaidah Integral Tentu 1) 2) 3) 4) 5) 6)
dimana k adalah suatu konstanta
Dalam bidang ekonomi, Integral tak tentu dapat dipergunakan di antaranya untuk mencari persamaan fungsi total, sedangkan Integral tertentu diantaranya digunakan untuk mencari Surplus Konsumen dan Surplus Produsen.
Surplus Konsumen adalah keuntungan lebih (surplus) yang dinikmati oleh konsumen karena konsumen tersebut dapat membeli barang dengan harga pasar yang lebih murah daripada harga yang sanggup dibayarnya. (Kesanggupan bayar > harga). jika permintaan suatu barang dinyatakan dengan persamaan
dan ternyata bahwa harga barang
tersebutdipasar sebesar Pe, maka bagi setiap konsumen yang pada dasarnya memiliki keinginan untuk membeli barang tersebut dan memiliki kesanggupan untuk membeli barang tersebut walaupun harganya diatas Pe dinyatakan bahwa konsumen tersebut mengalami keuntungan. Surplus konsumen tersebut dapat dihitung dengan menggambarkan fungsi permintaannya serta menghitung luas area di bawah kurva yang bersangkutan tetapi diatas harga pasar Pe. P
P’
SURPLUS KONSUMEN
Pe
O
Qe
Q’
Q
Surplus konsumen = Luas daerah yang diarsir ; dihitung dengan rumus a) b)
∫ ∫
Surplus Produsen adalah keuntungan lebih (surplus) yang dinikmati oleh produsen karena produsen tersebut dapat menjual barang dengan harga lebih tinggi daripada harga yang sanggup dijualnya. (kesanggupan menjual < harga pasar) Jika fungsi penawaran suatu barang dinyatakan dengan persamaan P = f(Qs) dan ternyata bahwa harga barang tersebut dipasar
sebesar Pe, maka bagi setiap produsen yang pada dasarnya ingin menawarkan barang tersebut serta memiliki kesanggupan untuk menjual barang tersebut di atas harga pasar Pe dinyatakan bahwa produsen tersebut mengalami keuntungan. Surplus produsen tersebut dapat dihitung dengan menggambarkan fungsi penawarannya serta menghitung luas area diatas kurva yang bersangkutan tetapi di atas harga pasar Pe. P
Pe SURPLUS PRODUSEN
P’ O
Qe
Q
surplus produsen = Luas daerah yang diarsir ; dihitung dengan rumus : a) b)
∫ ∫
TUGAS TAMBAHAN Diketahui rumus nilai tunai rente berikut ini: a. Pre numerando terbatas
b. Post numerando terbatas
c. Pre numerando kekal
d. Post numerando kekal
Tentukan asal dari keempat rumus diatas! Jawab: a. Nilai Tunai Pre Numerando Terbatas Nilai tunai rente pre numerando adalah jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga yang pertama. Nilai tunai angsuran pertama adalah nilai angsuran itu sendiri, yaitu M: Periode
Prinsip nilai tunai bunga majemuk
. .
………….
1
2
3
4
…………………
n
–1
n
Jika nilai tunai rente pre numerando dilambangkan dengan NT, dari skema di atas. diperoleh suatu deret, yaitu:
Deret di atas adalah deret geometri dengan: suku pertama a = M
rasio = , karena maka sehingga: Sehingga nilai tunai Rente Pre Numerando dengan angsuran M dan suku bunga i:
b. Nilai Tunai Post Numerando Terbatas Nilai tunai rente post numerando adalah jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihitung pada akhir masa bunga yang pertama. Nilai tunai angsuran pertama adalah
:
Perhatikan skema jumlah semua nilai tunai total di bawah ini: Periode
Prinsip nilai tunai bunga majemuk
1
2
3
4
…………………
n
–1
n
. .
…………. Jika nilai tunai rente post numerando dilambangkan dengan NT, dari skema di atas diperoleh suatu deret, yaitu:
Deret di atas adalah deret geometri dengan: suku pertama a = rasio =
, karena
sehingga:
maka
Sehingga nilai tunai rente post numerando dengan angsuran M dan suku bunga i:
c. Nilai Tunai Pre Numerando Kekal Rente kekal adalah rente yang jumlah angsurannya tidak terbatas. Nilai akhir rente merupakan deret geometri naik. Oleh karena itu rente kekal tidak ada nilai akhirnya. Nilai tunai rente merupakan deret geometri turun, sehingga nilai tunai rente kekal dapat dihitung nilainya dengan menggunakan pendekatan barisan geometri tak berhingga. Deret nilai tunai modal rente Pre Numerando adalah: 1
2
Nt = M + M(1 + i) – + M(1 + i) – . . . + M(1 + i)
3-n
+ M(1 + i)
2-n
+ M(1 + i)
1-n
Jika jumlah angsurannya tidak terbatas, maka deret di atas menjadi deret geometri tak berhingga, yaitu: – 1
Nt = M + M(1 + i)
– 2
+ M(1 + i)
......
Dengan suku pertama a = M dan rasio r =
= ( 1+ i )
-1
< 1. Sehingga dari
aturan barisan geometri tak berhingga dapat diturunkan rumus untuk Rente Pre Numerando Kekal sebagai berikut : S=
;r <1
Nt =
=
Yang kemudian kita rasionalkan penyebutnya menjadi :
x Nt = Nt =
Nt =
Sehingga nilai tunai rente pre numerando kekal dengan angsuran M dan suku bunga i:
