SMP KELAS VIII Oleh, Deddy Suharja
Januari 2013
A. Pengertian Dan Unsur – Unsur Unsur Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan ( locus ) titik – titik – titik titik yang berjarak sama terhadap suatu titik. Gambar 1 menunjukkan sebuah lingkaran, sembarang titik A, titik B, titik C, titik D, dan titik E berjarak sama ke O. Selanjutnya jarak tersebut disebut jari – jari – jari, jari, dinotasikan r. Dan, titik O disebut titi pusat lingkaran. Nama suatu
lingkaran ditentukan oleh nama titik pusat, gambar 1 menunjukkan lingkaran O sebab titik pusatnya O.
Gambar 2 menunjukkan sebuah lingkaran dengan panjang jari – jari – jari jari r dan titik pusat O.
Suatu jari – jari jika diperpanjang hingga titik berikutnya pada lingkaran maka garis tersebut akan akan membagi lingkaran lingkaran menjadi dua bagian yang sama, garis tersebut disebut garis tengah lingkaran atau diameter lingkaran, dinotasikan d. Perhatikan gambar 3. Jari – jari AO diperpanjang diperpanjang hingga B sehingga sehingga diperoleh garis AB. Garis AB disebut diamater diamater lingkaran O.
AO = OB = r AB = AO + OB = r + r = 2r atau, d = 2r
Dapat dikatakan bahwa panjang dimater suatu lingkaran sama dua kali panjang jari – jari – jarinya. jarinya. Atau, panjang jari – jari – jari jari suatu lingkaran sama dengan setengah dari panjang diameternya.
d = 2r
atau r
d
jarak putar atau gerakan sepanjang tepi lingkaran dari suatu titik hingga titik itu sendiri disebut keliling lingkaran, dinotasikan K.
A. Pengertian Dan Unsur – Unsur Unsur Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan ( locus ) titik – titik – titik titik yang berjarak sama terhadap suatu titik. Gambar 1 menunjukkan sebuah lingkaran, sembarang titik A, titik B, titik C, titik D, dan titik E berjarak sama ke O. Selanjutnya jarak tersebut disebut jari – jari – jari, jari, dinotasikan r. Dan, titik O disebut titi pusat lingkaran. Nama suatu
lingkaran ditentukan oleh nama titik pusat, gambar 1 menunjukkan lingkaran O sebab titik pusatnya O.
Gambar 2 menunjukkan sebuah lingkaran dengan panjang jari – jari – jari jari r dan titik pusat O.
Suatu jari – jari jika diperpanjang hingga titik berikutnya pada lingkaran maka garis tersebut akan akan membagi lingkaran lingkaran menjadi dua bagian yang sama, garis tersebut disebut garis tengah lingkaran atau diameter lingkaran, dinotasikan d. Perhatikan gambar 3. Jari – jari AO diperpanjang diperpanjang hingga B sehingga sehingga diperoleh garis AB. Garis AB disebut diamater diamater lingkaran O.
AO = OB = r AB = AO + OB = r + r = 2r atau, d = 2r
Dapat dikatakan bahwa panjang dimater suatu lingkaran sama dua kali panjang jari – jari – jarinya. jarinya. Atau, panjang jari – jari – jari jari suatu lingkaran sama dengan setengah dari panjang diameternya.
d = 2r
atau r
d
jarak putar atau gerakan sepanjang tepi lingkaran dari suatu titik hingga titik itu sendiri disebut keliling lingkaran, dinotasikan K.
Gambar 4a dan gambar 4b, menunjukkan keliling suatu lingkaran.
Gambar 4a,
gerakannya berlawanan
searah jarum jam.
Perhatikan gambar 6b.
arah
jarum jam, gambar 4b gerakannya
Daerah yang dibatasi busur dan tali busur disebut tembereng lingkaran atau tembereng, perhatikan gambar 7.
Tembereng adalah bagian dari juring, sedangkan juring merupakan bagian dari luas lingkaran. Juring atau sektor lingkaran adalah suatu daerah yang dibatasi oleh dua jari – jari dan sebuah tali busur.
Gambar 8b, tembereng AB Gambar 8c, juring AOB Gambar 8d, daerah lingkaran atau luas lingkaran. B. Keliling dan luas lingkaran
Pahami kembali pengertian keliling dan diamter lingkaran.
Kita akan coba menghitung perbandingan panjang keliling dengan diameter beberapa lingkaran yang berbeda ukuran. Tabel berikut merupakan hasil pengukuran penulis yang dilakukan terhadap beberapa benda yang berbentuk lingkaran, gambar 9.
gambar 9
Tabel hasil pengukuran
Nama Benda
Tutup Gelas Kepinga n CD Piring Jumlah Rata Rata
Ukura n Panjan g Kelilin g(K) 29,9
Ukura n Panjan g Diamte r(d) 9,4
3,181
36,5
11,9
3,067
72,6 139 46,333
22,9 44,2 14,733
3,170 9,418 3,139
Perhatikan hasil akhir rata – rata perbandingan keliling dengan diameter yaitu 3,139, jika dibulatkan dua tempat desimal menjadi 3,14. Dari setiap pengukuran pada benda berbentuk lingkaran dengan ukuran yang berbeda, diperoleh hasil akhir rata – rata perbandingan keliling dengan diameter cenderung akan mendekati nilai 3,14 atau sama dengan 3,14. Para ahli matematika menyatakan bahwa hasil perbandingan keliling suatu li ngkaran dengan diameternya akan cemderung menghasilkan nilai yang konstan yaitu mendekati nilai 3,14. Oleh sebab itu nilai tersebut disebut phi dengan notasi π.
Jadi,
, atau
Dari ketentuan di atas, dapat diturunkan menjadi : K=
d
K = 2πr ,
, untuk menghitung keliling lingkaran jika diketahui diameter untuk menghitung keliling lingkaran jika diketahui jari jari
Selanjutnya, untuk nilai π dapat ditulis dalam dua bentuk, yaitu desimal 3,14 ( pembulatan dua tempat desimal ) dan pecahan
.
Contoh, Panjang diameter suatu lingkaran 14 cm, tentukan panjang keliling lingkaran jika π = Pembahasan, d = 14 cm π
=
maka K
=
πd
=
22 . 2
=
44
Jadi panjang keliling lingkaran tersebut adalah 44 cm.
Contoh, Berapa panjang jari – jari lingkaran jika kelilingnya 73 cm untuk π = 3,14. Pembahasan, K = 73 cm π
=
3,14 r K
d =
Maka, r
πd => d
= =
11,63
Jadi, panjang jari – jari lingkaran adalah 11,63 cm
23,25
.
TUGAS KELOMPOK
Pokok Bahasan
: Lingkaran
Sub Pokok Bahasan
: Keliling Lingkaran
Tujuan
: Menentukan Nilai Perbandingan Keliling Dan Diameter Lingkaran.
Waktu
: 2 X 40 Menit
Petunjuk: 1. Tentukan tiga buah benda yang berbeda yang berbentuk lingkaran. 2. Setiap benda ukur panjang keliling dan diameternya, kemudian hasilnya tulis dalam tabel
yang sudah disediakan. Tabel: Nama Benda
Keliling ( K )
Diameter ( d )
Jumlah Rata - Rata
3. Diskusikan hasilnya, dan berapa nilai hasil akhir dari rata – rata perbandingan keliling
dengan diameternya. 4. Bagaimana pendapat kalian tentang nilai hasil akhir dari rata – rata perbandingan keliling
dengan diameternya. C. Luas Lingkaran
Terdapat beberapa pendekatan untuk menentukan luas lingkaran, diantaranya dengan pendekatan luas persegi panjang, perhatikan gambar 10.
Suatu lingkaran dibagi menjadi 16 juring yang kongruen, gambar 10a. Kemudian juring – juring tersebut disusun sedemikian rupa sehingga membentuk persegipanjang, gambar 10b. Khusus untuk juring nomor 16 dibagi lagi menjadi du bagian yang sama, sebut saja juring 16 a dan juring 16b. Hal diperlukan agar persegipanjang yang terjadi lebih sempurna bentuknya. Perlu dipahami bahwa semakin banyak juring yang dibuat maka akan semakin sempurna persegipanjang yang terjadi. Panjang persegipanjang merupakan panjang busur setengah lingkaran sedangkan lebarna adalah panjang jari – jari lingkaran. Persegipanjang terbuat dari juring – juring lingkaran maka luas persegipanjang sama dengan luas lingkaran.
Luas persegipanjang
=pxl
x r x r = πr2
Jadi, luas lingkaran dapat ditentukan dengan rumus Contoh,
L = πr2
Tentukan luas lingkaran yang memiliki panjang jari – jari 10 cm, gunakan π = 3,14. Pembahasan,
R
=
10 cm
Π
=
3,14
Maka, L
=
πr 2
=
3,14(102)
=
3,14(100)
=
314
Jadi, luas lingkaran adalah 314 cm 2
TUGAS KELOMPOK
Pokok Bahasan : Lingkaran Kelas : VIII SMP Waktu : 2 x 40 menit Tujuan : menemukan rumus luas lingkaran Alat – alat ( Praktik )
:
1.
Kertas karton ( Berwarna )
2.
Jangka dan penggaris
3.
Cutter atau gunting
4.
Lem
Petunjuk, 1.
Siapkan sebuah lingkaran dengan jari – jari 10 cm yang terbuat dari karton. Gambar,
2.
Bagilah lingkaran menjadi 16 juring yang kongruen. Dan beri nomor pada setiap juring. Gambar,
3.
Gunakan gunting atau cutter untuk memisahkan juring – juring lingkaran. Gambar,
oleh. deddy suharja@page 9 of
34
4.
Susunlah juring – juring tersebut sedemikian hinga membentuk sebuah jajaran genjang. Akan lebih menarik jika diberi warna yang berbeda untuk juring nomor 1 sampai dengan nomor 8. Gambar,
5.
Tentukan luas jajarangenjang. Ingat bahwa lingkaran tersebut terbagi menjadi 16 juring artinya 8 juring diperoleh dari juring setengah lingkaran.
6.
Tuliskan langkah – langkah pembentukan rumus luas lingkaran.
oleh. deddy suharja@page
10 of 34
D. Sudut pusat dan sudut keliling
Sudut pusat lingkaran adalah suatu sudut dimana titik sudutnya terletak pada titik pusat lingkaran, sedangkan sudut keliling adalah suatu sudut dimana titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran. Gambar 11. Sudut AOB adalah sudut pusat. Sudut OBC adalah sudut keliling.
Perlu dipahami juga, sudut AOB yang menghadap busur ACB merupakan sudut pusat, dan disebut sudut refleksi.
Sudut pusat sama sengan dua kali sudut keliling jika keduanya menghadap busur yang sama, gambar 12. Sudut keliling ABC dan sudut pusat AOC menghadap busur AC.
oleh. deddy suharja@page
11 of 34
Bukti, perhatikan gambar 13.
BD suatu garis bantu berupa diameter BD membagi dua sudut ABC menjadi sudut m dan sudut n. Dan, membagi dua sudut AOC menjadi sudut x dan sudut y. ABC = m + n AOC =
x+y
Segitiga AOB sama kaki, AOB = 180 – 2m Sudut AOB dengan sudut AOD saling berpelurus, AOD
=
180 - AOB
=
180 – ( 180 – 2m )
=
2m
Segitiga COB sama kaki, COB = 180- 2n Sudut COD dengan sudut AOB saling berpelurus, COD
AOC
= =
180 - COB 180 – (180 – 2n)
=
2n.
= =
AOD + 2m + 2n
=
2 (m + n)
COD
= 2. ABC x + y = 2. ABC AOC = 2.
ABC ---- terbukti, sudut pusat sama dengan dua kali sudut keliling jika
keduanya menghadap busur yang sama. Contoh, Perhatikan gambar berikut, tentukan besar sudut AOB,
oleh. deddy suharja@page
12 of 34
Pembahasan, Sudut AOB merupakan sudut keliling, dan sudut ACB merupakan sudut keliling menghadap busur AB. AOB
Jadi, besar sudut AOB = 80
=
2. ACB
=
2 (40)
=
80
0
oleh. deddy suharja@page
13 of 34
E.
Sudut Dalam Dan Sudut Luar Lingkaran
Sudut dalam lingkaran adalah sudut yang terjadi pada perpotong tali busur. Sedangkan sudut luar lingkaran adalah sudut yang terjadi pada perpotongan perpanjangan tali busur di luar lingkaran, gambar 14. Titik
G
merupakan
perpotongan tali
titik
busur AE
dengan tali busur FB, di titik G terjadi sudut – sudut dalam lingkaran. Titik H
merupakan
titik perpotongan perpanjangan tali FB
busur
dan perpanjangan tali busur DC, di titik H terjadi sudut – sudut luar lingkaran.
Sudut dalam segitiga sama dengan setengah dari jumlah busur busur yang dihadapinya, gambar 15. Sudut AED adalah sudut dalam lingkaran menghadap busur besar AD, sudut BEC adalah sudut dalam lingkaran menghadap busur BC. Terhadap busur besar AD terdapat sudut pusat AOD, dan untuk busur BC terdapat sudut pusat BOC. Sudut AED sama dengan sudut BEC sebab saling bertolak belakang.
Pada segitiga ABE, AEB
=
180 – ( BAE + ABE )
BEC
= 180 – [ 180 – (
BAE + ABE ) ]
= 180 – 180 + ( BAE + ABE ) = BAE
ABE
BAE + ABE
= BAC = sudut keliling yang menghadap busur BC setengah sudut pusat BOC = =
setengah busur BC ABD
=
sudut keliling yang menghadap busur besar AD oleh. deddy suharja@page
14 of 34
=
setengah sudut pusat AOD
=
setengan busur AD
BEC
busur BC +
busur AD
( busur BC + busur AD ) Jadi, BEC
( busur BC + busur AD )
Berdasarkan pemahaman sudut dalam lingkaran di atas maka besar sudut luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih busur – busur yang dihadapinya, gambar16.
Pada segitiga ACD, BCD
= 180- ( ADC + CAD )
ADC
=
180 – ADE sudut pusat AOE ) busur AE )
CAD
sudut pusat BOD busur BD
Maka, BCD
busur AE) +
busur BD )
busur AE – busur BD oleh. deddy suharja@page
15 of 34
busur AE – busur BD ( busur AE – busur BD ) Jadi, BCD
( busur AE – busur BD )
oleh. deddy suharja@page
16 of 34
F. Hubungan Panjang Busur, Sudut Pusat, Dan Luas Juring
Pernahkah kalian pikirkan bahwa pada suatu lingkaran, jika busur diperpanjang apakah juring juga turut diperluas atau sudut pusatnya menjadi lebih besar ? Perhatikan gambar 17. Busur C,
AB
diperpanjang sampai
hingga dipreloh busur AC dan terjadi
juring AOC. Perhatikan juring AOC semakin luas, dan sudut AOC semakin besar. Sebaliknya, busur AB diperpendek sampai D hingga diperoleh busur AD dan terjadi juring AOD. Perhatikan juring AOD semakin sempit, dan sudut AOC semakin kecil.
Jadi pada suatu juring jika salah satu unsurnya misalnya panjang busur berubah maka luas juring dan sudut pusatnya ikut mengalami perubahan.
Gambar 18, menunjukkan suatu lingkaran yang dibagi tiga juring sama besar. Dengan beranggapan bahwa sudut satu putaran penuh (spp) sama dengan 360 0 maka setiap juring memiliki sudut pusat 120 0. Selidiki perbandingan luas juring, sudut pusat, dan panjang busur. Perhatikan juring AOB. Luas juring AOB sama dengan sepertiga dari luas lingkaran, panjang busur AB sama dngan sepertiga dari keliling lingkaran, dan sudut AOB sama dengan sepertiga dari sudut satu putaran penuh.
Jika lingkaran tersebut jari – jarinya r, kelilingnya K, dan luasnya L. Maka ,
Luas juring AOB
L
, atau
Panjang usur AB
K
, atau oleh. deddy suharja@page
17 of 34
Sudut AOB
, atau
Jadi,
Luas juring, panjang busur, dan sudut pusat merupakan perbandingan senilai.
Turunan perbandingan di atas,
Luas juring AOB
Panjang busur AB
x L ---- untuk menentukan luas juring
untuk menentukan panjang busur
G. Garis Singgung Lingkaran
Garis singgung lingkaran adalah garis yang melewati lingkaran di satu titik, gambar 19.
Garis k melewati lingkaran O di titik A. Garis k merupakan garis singgung lingkaran O, titik A disebut titik singgung. Sifat – sifat garis singgung lingkaran : 1.
Melewati lingkaran di satu titik
2.
Selalu tegak lurus terhadap jari – jari yang melewati titik singgung. OA
k
Panjang garis singgung lingkaran terhadap titi di luar lingkaran, gambar 20.
oleh. deddy suharja@page
18 of 34
Garis
AB
singgung terhadap
adalah lingkaran titik
di
garis O luar
lingkaran. AO merupakan jari – ari ( r ) dan BO merupakan jarak titik pusat lingkaran ke B , disebut garis pusat ( p ). Segitiga ABO siku – siku di A ,
maka : AB AB Jadi, AB Melukis garis singgung lingkaran terhadap titik di luar lingkaran, gambar 21.
Ttik A di luar lingkaran O, akan dibuat garis singgung lingkaran
O terhadap titik A.
Perhatikan langkah – langkah berikut : 1. Melukis garis pusat AO
oleh. deddy suharja@page
19 of 34
2.
Menentukan titik tengah AO. Dapat dilakukan dengan cara melukis busur di ti tik A dan titik O sedemikian hingga busur – busurnya saling berpotongan, kemudian kedua titik potong busur dihubungkan sehingga memotong AO. Sebut saja titik T, gambar berikut.
3.
Melukis lingkaran baru dengan pusat T dan jari – jari TA atau TO sehingga akan memotong lingkaran O di dua titik ( misalnya titik B dan titik C ), gambar berikut.
4.
Melukis garis AB dan garis AC, gambar berikut.
oleh. deddy suharja@page
20 of 34
H. Garis Singgung Persekutuan Lingkaran
Garis singgung persekutuan lingkaran yang dimaksud pada pembahasan ini adalah garis singgung persekutuan terhadap dua lingkaran. Terdapat dua macam garis singgung persekutuan, yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar, gambar 22.
Garis k merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran A dan lingkaran B. Sedangkan garis l merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran A dan lingkaran B.
Panjang garis singgung persekutuan dalam ( gspd ), gambar 23.
oleh. deddy suharja@page
21 of 34
CD adalah gspd lingkaran A dan lingkaran B. Jari – jari lingkaran A adalah R dan jari – jari lingkaran B adalah r. Dan AB adalah panjang garis pusat atau p. CD digeser sepanjang AE dengan
jarak
BD
hingga
diperoleh garis BE, sehingga BE sama dengan CD. Perhatikan segitiga ABE s iku – siku di E, BE BE
=
BE
=
BE = CD = gspd Jadi, gspd = Panjang garis singgung persekutuan luar ( gspl ), gambar 24. KL adalah gspl lingkaran A dan lingkaran B. KL
digeser
sepanjang
KA
dengan jarak KM atau r, sehingga KL sama dan sejajar dengan BM.
Segitiga ABM siku – siku di M, maka, BM BM BM = BM =
KL =
gspl
Jadi, gspl =
oleh. deddy suharja@page
22 of 34
I.
Melukis Garis Singgung Persekutuan
1.
Melukis garis singgung persekutuan dalam lingkaran Perhatikan gambar 23,
Lingkaran A dan lingkaran B saling lepas. Misalkan jari – jari lingkaran A adalah R dan jari – jari lingkarab B adalah r.
Langkah – langkah melukis garis singgung persekutuan dalam lingkaran A dan lingkaran B. a.
Melukis garis pusat AB
b.
Melukis lingkaran baru dengan jari – jari ( R + r) dan pusat A.
oleh. deddy suharja@page
23 of 34
c.
Lingkaran baru berupa garis putus – putus. Melukis garis singgung lingkaran baru terhadap titik B.
Garis BC merupakan garis singgung lingkaran baru terhadap titik B. d.
Melukis jari – jari AC
Jari – jari AC memotong lingkaran A di D. e.
Menggeser BC sejauh CD
oleh. deddy suharja@page
24 of 34
Dipeoleh DE, melewati lingkaran A di D dan melewati lingkaran B di E. DE merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran A dan lingkaran B.
2. Melukis garis singgung persekutuan luar lingkaran Perhatikan gambar 24.
Lingkaran P dan lingkaran Q saling lepas. Misalkan jari – jari lingkaran P adalah R, dan jari – jari lingkaran Q adalah r.
Langkah – langkah melukis garis singgung persekutuan luar. a.
Melukis garis pusat PQ
oleh. deddy suharja@page
25 of 34
b.
Melukis lingkaran baru dengan jari – jari (R + r) dan pusat P.
Lingkaran baru berupa garis putus – putus.
c.
Melukis garis singgung lingkaran baru terhadap titik Q.
d.
MQ merupakan garis singgung lingkaran baru terhadap titik Q Melukis dan memperpanjang jari – jari PM hingga memotong lingkaran P.
oleh. deddy suharja@page
26 of 34
PM diperpanjang hingga N. PN merupakan jari – jari lingkaran P. e.
Menggeser MQ sejauh MN.
Dipeoleh NU, melewati lingkaran P di N dan melewati lingkaran Q di U. NU merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan lingkaran Q. J.
Lingkaran Dalam dan lingkaran Luar segitiga
1.
Lingkaran dalam segitiga Lingkaran dalam segitiga adalah suatu lingkaran yang menyingung sisi – sisi segitiga. Titik pusat lingkaran merupakan titik perpotongan ketiga garis ba gi segitiga, perhatikan gambar 25.
oleh. deddy suharja@page
27 of 34
Lingkaran O merupakan lingkaran dalam segitiga ABC, lingkaran menyinggung AB, BC, dan AC. Menentukan panjang jari – jari lingkaran dalam segitiga, gambar 26.
r
=
L.ΔABC
DO =
EO =
FO
= L.ΔABO + L.ΔBOC + L.ΔAOC .AB.DO. +
.BC.EO + .AC.FO
.AB.r + .BC.r + .AC.r .r( AB + BC + AC ) .r( Keliling segitiga ) .r.KΔABC 2. L.ΔABC =
r.K.ΔABC oleh. deddy suharja@page
28 of 34
=
r
atau, r
Jari – jari lingkaran dalam segitiga sama dengan hasil perbandingan dua kali luas segitiga dengan keliling segitiga.
2.
Lingkaran luar segitiga. Lingkaran luar segitiga adalah suatu lingkaran yang melewati titik sudut – titik sudut segitiga. Titik pusat lingkaran merupakan titik perpotongan sumbu – sumbu segitiga, gambar 27.
Lingkaran
O
merupakan
lingkaran luar segitiga ABC.
Menentukan panjang jari – jari lingkaran luar segitiga, gambar 28.
L.ΔABC 2. L.ΔABC =
.AB.CE AB.CE
CE
Perhatikan segitiga ACE dan segitiga BCD.
CAE =
BDC, dan
AEC =
DBC
Maka segitiga Ace dan segitiga BCD sebangun, oleh. deddy suharja@page
29 of 34
Pada CD.CE = BC.AC 2r.CE = BC.AC r.2.CE = BC.AC r
= BC.AC
r.( 4.L.Δ.ABC) = AB.BC.AC r
Panjang jari – jari lingkaran luar segitiga sama dengan hasil perbandingan perkalian sisi – sisi segitiga dengan empat kali luasnya. K.
Melukis Lingkaran Dalam Dan Lingkaran Luar Segitiga 1.
Melukis lingkaran dalam segitiga Gambar 29.
Langkah – langkah melukis . a.
Melukis garis bagi setiap sudut segitiga
oleh. deddy suharja@page
30 of 34
Titik O merupakan titik perpotongan ketiga garis bagi segitiga. b.
Melukis lingkaran dengan pusat O sedemikian hingga menyinggung sisi – sisi segitiga.
Lingkaran O adalah lingkaran dalam segitiga ABC.
2.
Melukis lingkaran luar segitiga
oleh. deddy suharja@page
31 of 34
Gambar 30.
Langkah – langkah melukis. a.
Melukis sumbu pada setiap sisi segitiga.
Titik O merupakan titik potong sumbu – sumbu segitiga.
b.
Melukis lingkaran dengan pusat O dan melewati setiap titik sudut segitiga.
oleh. deddy suharja@page
32 of 34