Materi Lingkaran Smp Kelas Viii

SMP KELAS VIII Oleh, Deddy Suharja

Januari 2013

A. Pengertian Dan Unsur – Unsur Unsur Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan ( locus ) titik – titik – titik titik yang berjarak sama terhadap suatu titik. Gambar 1 menunjukkan sebuah lingkaran, sembarang titik A, titik B, titik C, titik D, dan titik E berjarak sama ke O. Selanjutnya jarak tersebut disebut jari – jari – jari, jari, dinotasikan r. Dan, titik O disebut titi pusat lingkaran. Nama suatu

lingkaran ditentukan oleh nama titik pusat, gambar 1 menunjukkan lingkaran O sebab titik pusatnya O.

Gambar 2 menunjukkan sebuah lingkaran dengan panjang jari – jari – jari jari r dan titik pusat O.

Suatu jari – jari jika diperpanjang hingga titik berikutnya pada lingkaran maka garis tersebut akan akan membagi lingkaran lingkaran menjadi dua bagian yang sama, garis tersebut disebut garis tengah lingkaran atau diameter lingkaran, dinotasikan d. Perhatikan gambar 3. Jari – jari AO diperpanjang diperpanjang hingga B sehingga sehingga diperoleh garis AB. Garis AB disebut diamater diamater lingkaran O.

AO = OB = r AB = AO + OB = r + r = 2r atau, d = 2r

Dapat dikatakan bahwa panjang dimater suatu lingkaran sama dua kali panjang jari – jari – jarinya. jarinya. Atau, panjang jari – jari – jari jari suatu lingkaran sama dengan setengah dari panjang diameternya.

d = 2r

atau r

d

jarak putar atau gerakan sepanjang tepi lingkaran dari suatu titik hingga titik itu sendiri disebut keliling lingkaran, dinotasikan K.

A. Pengertian Dan Unsur – Unsur Unsur Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan ( locus ) titik – titik – titik titik yang berjarak sama terhadap suatu titik. Gambar 1 menunjukkan sebuah lingkaran, sembarang titik A, titik B, titik C, titik D, dan titik E berjarak sama ke O. Selanjutnya jarak tersebut disebut jari – jari – jari, jari, dinotasikan r. Dan, titik O disebut titi pusat lingkaran. Nama suatu

lingkaran ditentukan oleh nama titik pusat, gambar 1 menunjukkan lingkaran O sebab titik pusatnya O.

Gambar 2 menunjukkan sebuah lingkaran dengan panjang jari – jari – jari jari r dan titik pusat O.

Suatu jari – jari jika diperpanjang hingga titik berikutnya pada lingkaran maka garis tersebut akan akan membagi lingkaran lingkaran menjadi dua bagian yang sama, garis tersebut disebut garis tengah lingkaran atau diameter lingkaran, dinotasikan d. Perhatikan gambar 3. Jari – jari AO diperpanjang diperpanjang hingga B sehingga sehingga diperoleh garis AB. Garis AB disebut diamater diamater lingkaran O.

AO = OB = r AB = AO + OB = r + r = 2r atau, d = 2r

Dapat dikatakan bahwa panjang dimater suatu lingkaran sama dua kali panjang jari – jari – jarinya. jarinya. Atau, panjang jari – jari – jari jari suatu lingkaran sama dengan setengah dari panjang diameternya.

d = 2r

atau r

d

jarak putar atau gerakan sepanjang tepi lingkaran dari suatu titik hingga titik itu sendiri disebut keliling lingkaran, dinotasikan K.

Gambar 4a dan gambar 4b, menunjukkan keliling suatu lingkaran.

Gambar 4a,

gerakannya berlawanan

searah jarum jam.

Perhatikan gambar 6b.

arah

jarum jam, gambar 4b gerakannya

Daerah yang dibatasi busur dan tali busur disebut tembereng lingkaran atau tembereng, perhatikan gambar 7.

Tembereng adalah bagian dari juring, sedangkan juring merupakan bagian dari luas lingkaran. Juring atau sektor lingkaran adalah suatu daerah yang dibatasi oleh dua jari – jari dan sebuah tali busur.

Gambar 8b, tembereng AB Gambar 8c, juring AOB Gambar 8d, daerah lingkaran atau luas lingkaran. B. Keliling dan luas lingkaran

Pahami kembali pengertian keliling dan diamter lingkaran.

Kita akan coba menghitung perbandingan panjang keliling dengan diameter beberapa lingkaran yang berbeda ukuran. Tabel berikut merupakan hasil pengukuran penulis yang dilakukan terhadap beberapa benda yang berbentuk lingkaran, gambar 9.

gambar 9

Tabel hasil pengukuran

Nama Benda

Tutup Gelas Kepinga n CD Piring Jumlah Rata Rata

Ukura n Panjan g Kelilin g(K) 29,9

Ukura n Panjan g Diamte r(d) 9,4

3,181

36,5

11,9

3,067

72,6 139 46,333

22,9 44,2 14,733

3,170 9,418 3,139

Perhatikan hasil akhir rata – rata perbandingan keliling dengan diameter yaitu 3,139, jika dibulatkan dua tempat desimal menjadi 3,14. Dari setiap pengukuran pada benda berbentuk lingkaran dengan ukuran yang berbeda, diperoleh hasil akhir rata – rata perbandingan keliling dengan diameter cenderung akan mendekati nilai 3,14 atau sama dengan 3,14. Para ahli matematika menyatakan bahwa hasil perbandingan keliling suatu li ngkaran dengan diameternya akan cemderung menghasilkan nilai yang konstan yaitu mendekati nilai 3,14. Oleh sebab itu nilai tersebut disebut phi dengan notasi π.

Jadi,

, atau

Dari ketentuan di atas, dapat diturunkan menjadi : K=

d

K = 2πr ,

, untuk menghitung keliling lingkaran jika diketahui diameter untuk menghitung keliling lingkaran jika diketahui jari jari

Selanjutnya, untuk nilai π dapat ditulis dalam dua bentuk, yaitu desimal 3,14 ( pembulatan dua tempat desimal ) dan pecahan

.

Contoh, Panjang diameter suatu lingkaran 14 cm, tentukan panjang keliling lingkaran jika π = Pembahasan, d = 14 cm π

=

maka K

=

πd

=

22 . 2

=

44

Jadi panjang keliling lingkaran tersebut adalah 44 cm.

Contoh, Berapa panjang jari – jari lingkaran jika kelilingnya 73 cm untuk π = 3,14. Pembahasan, K = 73 cm π

=

3,14 r K

d =

Maka, r

πd => d

= =

11,63

Jadi, panjang jari – jari lingkaran adalah 11,63 cm

23,25

.

TUGAS KELOMPOK

Pokok Bahasan

: Lingkaran

Sub Pokok Bahasan

: Keliling Lingkaran

Tujuan

: Menentukan Nilai Perbandingan Keliling Dan Diameter Lingkaran.

Waktu

: 2 X 40 Menit

Petunjuk: 1. Tentukan tiga buah benda yang berbeda yang berbentuk lingkaran. 2. Setiap benda ukur panjang keliling dan diameternya, kemudian hasilnya tulis dalam tabel

yang sudah disediakan. Tabel: Nama Benda

Keliling ( K )

Diameter ( d )

Jumlah Rata - Rata

3. Diskusikan hasilnya, dan berapa nilai hasil akhir dari rata – rata perbandingan keliling

dengan diameternya. 4. Bagaimana pendapat kalian tentang nilai hasil akhir dari rata – rata perbandingan keliling

dengan diameternya. C. Luas Lingkaran

Terdapat beberapa pendekatan untuk menentukan luas lingkaran, diantaranya dengan pendekatan luas persegi panjang, perhatikan gambar 10.

Suatu lingkaran dibagi menjadi 16 juring yang kongruen, gambar 10a. Kemudian juring – juring tersebut disusun sedemikian rupa sehingga membentuk persegipanjang, gambar 10b. Khusus untuk juring nomor 16 dibagi lagi menjadi du bagian yang sama, sebut saja juring 16 a dan juring 16b. Hal diperlukan agar persegipanjang yang terjadi lebih sempurna bentuknya. Perlu dipahami bahwa semakin banyak juring yang dibuat maka akan semakin sempurna persegipanjang yang terjadi. Panjang persegipanjang merupakan panjang busur setengah lingkaran sedangkan lebarna adalah panjang jari – jari lingkaran. Persegipanjang terbuat dari juring – juring lingkaran maka luas persegipanjang sama dengan luas lingkaran.

Luas persegipanjang

=pxl

x r x r = πr2

Jadi, luas lingkaran dapat ditentukan dengan rumus Contoh,

L = πr2

Tentukan luas lingkaran yang memiliki panjang jari – jari 10 cm, gunakan π = 3,14. Pembahasan,

R

=

10 cm

Π

=

3,14

Maka, L

=

πr 2

=

3,14(102)

=

3,14(100)

=

314

Jadi, luas lingkaran adalah 314 cm 2

TUGAS KELOMPOK

Pokok Bahasan : Lingkaran Kelas : VIII SMP Waktu : 2 x 40 menit Tujuan : menemukan rumus luas lingkaran Alat – alat ( Praktik )

:

1.

Kertas karton ( Berwarna )

2.

Jangka dan penggaris

3.

Cutter atau gunting

4.

Lem

Petunjuk, 1.

Siapkan sebuah lingkaran dengan jari – jari 10 cm yang terbuat dari karton. Gambar,

2.

Bagilah lingkaran menjadi 16 juring yang kongruen. Dan beri nomor pada setiap juring. Gambar,

3.

Gunakan gunting atau cutter untuk memisahkan juring – juring lingkaran. Gambar,

oleh. deddy suharja@page 9 of

34

4.

Susunlah juring – juring tersebut sedemikian hinga membentuk sebuah jajaran genjang. Akan lebih menarik jika diberi warna yang berbeda untuk juring nomor 1 sampai dengan nomor 8. Gambar,

5.

Tentukan luas jajarangenjang. Ingat bahwa lingkaran tersebut terbagi menjadi 16 juring artinya 8 juring diperoleh dari juring setengah lingkaran.

6.

Tuliskan langkah – langkah pembentukan rumus luas lingkaran.

oleh. deddy suharja@page

10 of 34

D. Sudut pusat dan sudut keliling

Sudut pusat lingkaran adalah suatu sudut dimana titik sudutnya terletak pada titik pusat lingkaran, sedangkan sudut keliling adalah suatu sudut dimana titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran. Gambar 11. Sudut AOB adalah sudut pusat. Sudut OBC adalah sudut keliling.

Perlu dipahami juga, sudut AOB yang menghadap busur ACB merupakan sudut pusat, dan disebut sudut refleksi.

Sudut pusat sama sengan dua kali sudut keliling jika keduanya menghadap busur yang sama, gambar 12. Sudut keliling ABC dan sudut pusat AOC menghadap busur AC.


11 of 34

Bukti, perhatikan gambar 13.

BD suatu garis bantu berupa diameter BD membagi dua sudut ABC menjadi sudut m dan sudut n. Dan, membagi dua sudut AOC menjadi sudut x dan sudut y. ABC = m + n AOC =

x+y

Segitiga AOB sama kaki, AOB = 180 – 2m Sudut AOB dengan sudut AOD saling berpelurus, AOD

=

180 - AOB

=

180 – ( 180 – 2m )

=

2m

Segitiga COB sama kaki, COB = 180- 2n Sudut COD dengan sudut AOB saling berpelurus, COD

AOC

= =

180 - COB 180 – (180 – 2n)

=

2n.

= =

AOD + 2m + 2n

=

2 (m + n)

COD

= 2. ABC x + y = 2. ABC AOC = 2.

ABC ---- terbukti, sudut pusat sama dengan dua kali sudut keliling jika

keduanya menghadap busur yang sama. Contoh, Perhatikan gambar berikut, tentukan besar sudut AOB,


12 of 34

Pembahasan, Sudut AOB merupakan sudut keliling, dan sudut ACB merupakan sudut keliling menghadap busur AB. AOB

Jadi, besar sudut AOB = 80

=

2. ACB

=

2 (40)

=

80

0


13 of 34

E.

Sudut Dalam Dan Sudut Luar Lingkaran

Sudut dalam lingkaran adalah sudut yang terjadi pada perpotong tali busur. Sedangkan sudut luar lingkaran adalah sudut yang terjadi pada perpotongan perpanjangan tali busur di luar lingkaran, gambar 14. Titik

G

merupakan

perpotongan tali

titik

busur AE

dengan tali busur FB, di titik G terjadi sudut – sudut dalam lingkaran. Titik H

merupakan

titik perpotongan perpanjangan tali FB

busur

dan perpanjangan tali busur DC, di titik H terjadi sudut – sudut luar lingkaran.

Sudut dalam segitiga sama dengan setengah dari jumlah busur busur yang dihadapinya, gambar 15. Sudut AED adalah sudut dalam lingkaran menghadap busur besar AD, sudut BEC adalah sudut dalam lingkaran menghadap busur BC. Terhadap busur besar AD terdapat sudut pusat AOD, dan untuk busur BC terdapat sudut pusat BOC. Sudut AED sama dengan sudut BEC sebab saling bertolak belakang.

Pada segitiga ABE, AEB

=

180 – ( BAE + ABE )

BEC

= 180 – [ 180 – (

BAE + ABE ) ]

= 180 – 180 + ( BAE + ABE ) = BAE

ABE

BAE + ABE

= BAC = sudut keliling yang menghadap busur BC setengah sudut pusat BOC = =

setengah busur BC ABD

=

sudut keliling yang menghadap busur besar AD oleh. deddy suharja@page

14 of 34

=

setengah sudut pusat AOD

=

setengan busur AD

BEC

busur BC +

busur AD

( busur BC + busur AD ) Jadi, BEC

( busur BC + busur AD )

Berdasarkan pemahaman sudut dalam lingkaran di atas maka besar sudut luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih busur – busur yang dihadapinya, gambar16.

Pada segitiga ACD, BCD

= 180- ( ADC + CAD )

ADC

=

180 – ADE sudut pusat AOE ) busur AE )

CAD

sudut pusat BOD busur BD

Maka, BCD

busur AE) +

busur BD )

busur AE – busur BD oleh. deddy suharja@page

15 of 34

busur AE – busur BD ( busur AE – busur BD ) Jadi, BCD

( busur AE – busur BD )


16 of 34

F. Hubungan Panjang Busur, Sudut Pusat, Dan Luas Juring

Pernahkah kalian pikirkan bahwa pada suatu lingkaran, jika busur diperpanjang apakah juring juga turut diperluas atau sudut pusatnya menjadi lebih besar ? Perhatikan gambar 17. Busur C,

AB

diperpanjang sampai

hingga dipreloh busur AC dan terjadi

juring AOC. Perhatikan juring AOC semakin luas, dan sudut AOC semakin besar. Sebaliknya, busur AB diperpendek sampai D hingga diperoleh busur AD dan terjadi juring AOD. Perhatikan juring AOD semakin sempit, dan sudut AOC semakin kecil.

Jadi pada suatu juring jika salah satu unsurnya misalnya panjang busur berubah maka luas juring dan sudut pusatnya ikut mengalami perubahan.

Gambar 18, menunjukkan suatu lingkaran yang dibagi tiga juring sama besar. Dengan beranggapan bahwa sudut satu putaran penuh (spp) sama dengan 360 0 maka setiap juring memiliki sudut pusat 120 0. Selidiki perbandingan luas juring, sudut pusat, dan panjang busur. Perhatikan juring AOB. Luas juring AOB sama dengan sepertiga dari luas lingkaran, panjang busur AB sama dngan sepertiga dari keliling lingkaran, dan sudut AOB sama dengan sepertiga dari sudut satu putaran penuh.

Jika lingkaran tersebut jari – jarinya r, kelilingnya K, dan luasnya L. Maka ,

Luas juring AOB

L

, atau

Panjang usur AB

K

, atau oleh. deddy suharja@page

17 of 34

Sudut AOB

, atau

Jadi,

Luas juring, panjang busur, dan sudut pusat merupakan perbandingan senilai.

Turunan perbandingan di atas,

Luas juring AOB

Panjang busur AB

x L ---- untuk menentukan luas juring

untuk menentukan panjang busur

G. Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang melewati lingkaran di satu titik, gambar 19.

Garis k melewati lingkaran O di titik A. Garis k merupakan garis singgung lingkaran O, titik A disebut titik singgung. Sifat – sifat garis singgung lingkaran : 1.

Melewati lingkaran di satu titik

2.

Selalu tegak lurus terhadap jari – jari yang melewati titik singgung. OA

k

Panjang garis singgung lingkaran terhadap titi di luar lingkaran, gambar 20.


18 of 34

Garis

AB

singgung terhadap

adalah lingkaran titik

di

garis O luar

lingkaran. AO merupakan jari – ari ( r ) dan BO merupakan jarak titik pusat lingkaran ke B , disebut garis pusat ( p ). Segitiga ABO siku – siku di A ,

maka : AB AB Jadi, AB Melukis garis singgung lingkaran terhadap titik di luar lingkaran, gambar 21.

Ttik A di luar lingkaran O, akan dibuat garis singgung lingkaran

O terhadap titik A.

Perhatikan langkah – langkah berikut : 1. Melukis garis pusat AO


19 of 34

2.

Menentukan titik tengah AO. Dapat dilakukan dengan cara melukis busur di ti tik A dan titik O sedemikian hingga busur – busurnya saling berpotongan, kemudian kedua titik potong busur dihubungkan sehingga memotong AO. Sebut saja titik T, gambar berikut.

3.

Melukis lingkaran baru dengan pusat T dan jari – jari TA atau TO sehingga akan memotong lingkaran O di dua titik ( misalnya titik B dan titik C ), gambar berikut.

4.

Melukis garis AB dan garis AC, gambar berikut.


20 of 34

H. Garis Singgung Persekutuan Lingkaran

Garis singgung persekutuan lingkaran yang dimaksud pada pembahasan ini adalah garis singgung persekutuan terhadap dua lingkaran. Terdapat dua macam garis singgung persekutuan, yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar, gambar 22.

Garis k merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran A dan lingkaran B. Sedangkan garis l merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran A dan lingkaran B.

Panjang garis singgung persekutuan dalam ( gspd ), gambar 23.


21 of 34

CD adalah gspd lingkaran A dan lingkaran B. Jari – jari lingkaran A adalah R dan jari – jari lingkaran B adalah r. Dan AB adalah panjang garis pusat atau p. CD digeser sepanjang AE dengan

jarak

BD

hingga

diperoleh garis BE, sehingga BE sama dengan CD. Perhatikan segitiga ABE s iku – siku di E, BE BE

=

BE

=

BE = CD = gspd Jadi, gspd = Panjang garis singgung persekutuan luar ( gspl ), gambar 24. KL adalah gspl lingkaran A dan lingkaran B. KL

digeser

sepanjang

KA

dengan jarak KM atau r, sehingga KL sama dan sejajar dengan BM.

Segitiga ABM siku – siku di M, maka, BM BM BM = BM =

KL =

gspl

Jadi, gspl =


22 of 34

I.

Melukis Garis Singgung Persekutuan

1.

Melukis garis singgung persekutuan dalam lingkaran Perhatikan gambar 23,

Lingkaran A dan lingkaran B saling lepas. Misalkan jari – jari lingkaran A adalah R dan jari – jari lingkarab B adalah r.

Langkah – langkah melukis garis singgung persekutuan dalam lingkaran A dan lingkaran B. a.

Melukis garis pusat AB

b.

Melukis lingkaran baru dengan jari – jari ( R + r) dan pusat A.


23 of 34

c.

Lingkaran baru berupa garis putus – putus. Melukis garis singgung lingkaran baru terhadap titik B.

Garis BC merupakan garis singgung lingkaran baru terhadap titik B. d.

Melukis jari – jari AC

Jari – jari AC memotong lingkaran A di D. e.

Menggeser BC sejauh CD


24 of 34

Dipeoleh DE, melewati lingkaran A di D dan melewati lingkaran B di E. DE merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran A dan lingkaran B.

2. Melukis garis singgung persekutuan luar lingkaran Perhatikan gambar 24.

Lingkaran P dan lingkaran Q saling lepas. Misalkan jari – jari lingkaran P adalah R, dan jari – jari lingkaran Q adalah r.

Langkah – langkah melukis garis singgung persekutuan luar. a.

Melukis garis pusat PQ


25 of 34

b.

Melukis lingkaran baru dengan jari – jari (R + r) dan pusat P.

Lingkaran baru berupa garis putus – putus.

c.

Melukis garis singgung lingkaran baru terhadap titik Q.

d.

MQ merupakan garis singgung lingkaran baru terhadap titik Q Melukis dan memperpanjang jari – jari PM hingga memotong lingkaran P.


26 of 34

PM diperpanjang hingga N. PN merupakan jari – jari lingkaran P. e.

Menggeser MQ sejauh MN.

Dipeoleh NU, melewati lingkaran P di N dan melewati lingkaran Q di U. NU merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan lingkaran Q. J.

Lingkaran Dalam dan lingkaran Luar segitiga

1.

Lingkaran dalam segitiga Lingkaran dalam segitiga adalah suatu lingkaran yang menyingung sisi – sisi segitiga. Titik pusat lingkaran merupakan titik perpotongan ketiga garis ba gi segitiga, perhatikan gambar 25.


27 of 34

Lingkaran O merupakan lingkaran dalam segitiga ABC, lingkaran menyinggung AB, BC, dan AC. Menentukan panjang jari – jari lingkaran dalam segitiga, gambar 26.

r

=

L.ΔABC

DO =

EO =

FO

= L.ΔABO + L.ΔBOC + L.ΔAOC .AB.DO. +

.BC.EO + .AC.FO

.AB.r + .BC.r + .AC.r .r( AB + BC + AC ) .r( Keliling segitiga ) .r.KΔABC 2. L.ΔABC =

r.K.ΔABC oleh. deddy suharja@page

28 of 34

=

r

atau, r

Jari – jari lingkaran dalam segitiga sama dengan hasil perbandingan dua kali luas segitiga dengan keliling segitiga.

2.

Lingkaran luar segitiga. Lingkaran luar segitiga adalah suatu lingkaran yang melewati titik sudut – titik sudut segitiga. Titik pusat lingkaran merupakan titik perpotongan sumbu – sumbu segitiga, gambar 27.

Lingkaran

O

merupakan

lingkaran luar segitiga ABC.

Menentukan panjang jari – jari lingkaran luar segitiga, gambar 28.

L.ΔABC 2. L.ΔABC =

.AB.CE AB.CE

CE

Perhatikan segitiga ACE dan segitiga BCD.

CAE =

BDC, dan

AEC =

DBC

Maka segitiga Ace dan segitiga BCD sebangun, oleh. deddy suharja@page

29 of 34

Pada CD.CE = BC.AC 2r.CE = BC.AC r.2.CE = BC.AC r

= BC.AC

r.( 4.L.Δ.ABC) = AB.BC.AC r

Panjang jari – jari lingkaran luar segitiga sama dengan hasil perbandingan perkalian sisi – sisi segitiga dengan empat kali luasnya. K.

Melukis Lingkaran Dalam Dan Lingkaran Luar Segitiga 1.

Melukis lingkaran dalam segitiga Gambar 29.

Langkah – langkah melukis . a.

Melukis garis bagi setiap sudut segitiga


30 of 34

Titik O merupakan titik perpotongan ketiga garis bagi segitiga. b.

Melukis lingkaran dengan pusat O sedemikian hingga menyinggung sisi – sisi segitiga.

Lingkaran O adalah lingkaran dalam segitiga ABC.

2.

Melukis lingkaran luar segitiga


31 of 34

Gambar 30.

Langkah – langkah melukis. a.

Melukis sumbu pada setiap sisi segitiga.

Titik O merupakan titik potong sumbu – sumbu segitiga.

b.

Melukis lingkaran dengan pusat O dan melewati setiap titik sudut segitiga.


32 of 34

Materi Lingkaran Smp Kelas Viii

Recommend Documents