MATERI PEMBELAJARAN KELAS XII IPA Semester 1 BAB I INTEGRAL
Integral adalah lawan (invers) dari diferensial (turunan).
RUMUS – RUMUS INTEGRAL:
1. adx ax c, (c kons tan ta )
2. x n dx
1
x n 1
n 1
c, n 1
1
x dx ln x c
3.
4. f ' g ( x).g ' ( x )dx
f g ( x ).g ' ( x) g ' ( x)
f g ( x ) c
5. c os xdx sin x c
sin xdx c os x c INTEGRAL TERTENTU Jika
f ( x)dx g ( x) , maka b
f ( x)dx g ( x)
b a
g (b) g (a)
a
SIFAT-SIFAT: b
a
1. f ( x ) dx f ( x ) dx a c
b c
b
a
b
a
2. f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx , a b c
4. f ( x ) g ( x )dx f ( x ) dx g ( x ) dx 1 5. sin( ax b ) dx cos(ax b ) c a 3. cf ( x ) dx c f ( x ) dx
6. cos(ax b ) dx
1 a
sin( ax b ) c
CARA PENGINTEGRALAN 1. Substitusi
1
I=
f ( x)dx
substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du
I=
f(Q(u)) Q`(u) du
jika ruas kanan telah diintegralkan, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u) (ket : Prinsipnya adalah merubah adalah merubah variabel sehingga variabel sehingga rumus dapat digunakan). 2. Substitusi Trigonometri a. Bentuk a 2 x 2
a 2 x 2 dx
b. Bentuk
a b x 2
2
1 2
a 2 arcsin
x a
1
x a 2 x 2 c 2
2
Gunakan substitusi : x = a/b tg 2
dx = a/b sec d c. Bentuk
b 2 x 2 a 2
Gunakan substitusi : x = a/b sec dx = a/b tg sec2 3. Parsial Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.
I = f(x) g(x) dx
Misalkan : u = f(x)
; dv = g(x) dx
du = ..... dx
;
v = g(x) dx = ..... maka :
u du = u v - v du
Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk v du jadi lebih mudah Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI.
Contoh Soal: 2
4
1.
2.
sin(2 x 7) 2 cos(2 x 7) c
4 x dx
1
3
3.
3
x 3 c
(5 x 1
3
4
3
3 x )dx (5 x )dx (3 x 2 )dx 2
4
1
= x
1 5
3 1
3
x 3 (35 13 ) (33 13 ) 216 1
2
Penggunaan Integral 1. Untuk menghitung luas daerah. a. Luas daerah yang dibatasi oleh Kurve F(x) , sumbu x dari x = a s.d x = b adalah: x b
Luas (L) =
F ( x) d x x a
b. Luas daerah yang yang dibatasi oleh dua kurva F(x) dan G(x) dari x = a s.d x= b adalah : x b
Luas (L) =
F ( x) G( x) d x x a
2. Untuk menghitung volume benda putar a. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(x), sumbu x dari x = a s.d x= b adalah : x b
Volume (V) =
F ( x) dx 2
x a
b.
Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(x), dan G( x) dari x = a s.d x= b adalah : x b
Volume (V) =
F ( x) G 2
2
( x )dx
x a
c. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(y), sumbu y dari y = a s.d y= b adalah : y b
Volume (V) =
F 2 ( y ) dx
y a
d. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(y), dan G( y dari y = a s.d y= b adalah : x b
Volume (V) =
F 2 ( x) G 2 ( x )dx
x a
LATIHAN SOAL. Selesaikan soal-soal berikut ini. / 2
1.
cos xdx .. .. 0
2.
( x
3.
(sin x c os x)
2
3) 5 .2 xdx ... .. .. 2
dx ... .. ..
’
4. Jika F (x) = 8x-2, dan F(5) = 36, maka F(x) = ....
3
5. Hasil dari
3x cos 2x dx = ....
6. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 x 3 dan sumbu x pada interval 1 x 4
7.Hitung volume benda putar apabila daerah yang dibatasi kurva y x 2 2 dan sumbu x 0
pada interval 1 x 2 jika diputar 360 mengelilingi sumbu x.
4
1. Pengertian Program Linear Program Linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang maksimum/minimum (penyelesaian optimum). Contoh : Diketahui pertidaksamaan linear sebagai berikut : x y 3
2 x 5 y 10 x 0 y 0
Tentukan : a. Grafik dari sistem pertidaksamaan tersebut. b. Nilai maksimumnya jika Z= 3x + 2y
3 B A 2
C -5
3
0
a. Grafik dari pertidaksamaan linear berbentuk suatu daerah yaitu daerah yang diarsir. b. Nilai maksimum dari pertidaksamaan linear dapat diperoleh dari mensubstitusi koordinat-koordinat titik A , B dan C ke persamaan : Z = 3x + 2y sebagai berikut A(0,2) maka maka Z = 3(0) + 2(2) = 4 C(3,0) maka Z = 3(3) + 2(0) = 9 Untuk koordinat B(x,y) dapat dicari dengan mengeliminasi persamaan linear : x+y =
3
| x5 | 5x + 5y =
15
2x – 5y = – 10 | x1 | 2x – 5y = – 10
5
+ 7x
= 5
x
Z = 3(
5 7
5
x+y=3
+y=3
7
) + 2(
16 7
)=
5 7 5
16
7
7
y = 3 – =
15 7
=
+
32 7
=
47 7
=6
sehingga B(
5 7
,
16 7
)
6 7
Dari substitusi A, B , dan C tersebut disimpulkan bahwa nilai maksimumnya adalah 9 yang diperoleh untuk x = 3 dan y = 0 ( atau pada titik B)
2. Model Matematika Model
matematika
adalah
sistem
persamaan
atau
pertidaksamaan
yang
mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x dan y. Model matematika ini merupakan cara sederhana untuk memandang suatu masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan matematika.
Contoh 1 : Jika harga tiga buku dan lima pensil Rp. 30.000,00 sedangkan harga dua buku dan satu pensil Rp. 13.000,00. Buatlah model matematikanya.
Penyelesaian: Misalkan satu buku = x Satu pensil = y Maka model model matematikanya matematikanya 3x + 5y = 30.000 2x + y = 13.000
Contoh 2 : Seorang pedagang akan membuat 2 jenis roti dengan menggunakan bahan tepung 200 gram dan mentega 25 gram untuk jenis A. Sedangkan untuk jenis B digunakan bahan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Jika bahan yang tersedia 3 kg tepung dan 1,1 kg mentega, tentukan : a. Model matematikanya b. Sketsa grafiknya c. Fungsi tujuan untuk keuntungan maksimum jika roti A seharga Rp. 3.600,00 dan roti B Rp. 2.400,00.
6
Penyelesaian: Misal roti A = x dan roti B = y
Jenis roti
Tepung
Mentega
Harga
A
200 gr
25 gr
3600
B
100 gr
50 gr
2400
Persediaan
3 kg = 3000 gr
1,1 kg = 1100 gr
a. Model matematika: Roti A
200 x 100 y 3000 2 x y 30
Roti B
25 x 50 y 1100
x 2 y 44
Banyaknya roti A adalah x 0 Banyaknya roti B adalah y 0 b. Sketsa grafik
200 x 100 y 3000 2 x y 30 25 x 50 y 1100
x 2 y 44 x 0 y 0
30
22
0
15
44
Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir. c. Fungsi tujuan Z yang berupa keuntungan maksimum berdasarkan banyaknya roti yang dibuat yaitu : Z = 3600 x + 2400 y
3. Nilai Optimum Nilai optimum diperoleh berdasarkan nilai fungsi tujuan yang dikehendaki, yaitu berupa nilai maksimum atau nilai minimum. Cara mencarinya bias dengan :
7
a. Mensubstitusi koordinat titik-titik sudut dalam daerah penyelesaian terhadap fungsi tujuan. b. Menggunakan garis selidik. a.d: a. Mensubstitusi koordinat titik-titik sudut dalam daerah penyelesaian terhadap fungsi tujuan. Contoh : Model matematikanya 2 x y 12 x 2 y 12 x 0 y 0 Fungsi tujuan yang maksimum/minimum , Z = 5 x + y
12 2 x y 12 A 6
B(4,4)
x 2 y 12
C 6
O
12
Periksa koordinat titik O, A, B dan C sebagai titik-titik titik-titik sudut dalam dalam daerah penyelesaian (x,y)
Z=5x+y
O(0,0)
Z = 5(0) + 0 = 0 (minimum)
A(0,6)
Z = 5(0) + 6 = 6
B(4,4)
Z = 5(4)+4 = 24
C(6,0)
Z = 5(6)+0 = 30 (maksimum)
Jadi nilai maksimum sebesar 30 dicapai pada x = 6 dan y = 0, sedangkan nilai minimum sebesar 0 dicapai pada x = 0 dan y = 0
b. Menggunakan garis selidik Garis selidik adalah garis yang diperkirakan berpotongan dengan garis lain yang mendekati nilai optimum. Bentuk umum garis selidik : ax + by = k ; k R ax + by diperoleh dari bentuk fungsi tujuan garis selidik ini semakin jauh dari 0 harganya makin besar (maksimum). Contoh : Model matematikanya
8
2 x y 12 x 2 y 12
x 0 , y 0
Fungsi tujuan yang maksimum/minimum , Z = 5 x + y Maka garis selidik ; k = 5 x + y , dengan k R
12 2 x y 12 A 6
B(4,4)
x 2 y 12
C O
6
12
5 x y k
Tampak bahwa garis selidik terjauh dari titik O(0,0) adalah garis yang melalui titik C(6,0) yaitu Z = 5(6)+0=30.
LATIHAN SOAL. Kerjakan soal-soal berikut: 1. Tentukan persamaan dari gambar berikut :
2. Gambarlah daerah HP dari
3X + 2 Y < 12 5X + 6Y < 30 X>0 Y>0
3. Gambarlah grafik
2X + Y = 12
9
4X + 3Y = 12
4. Tentukan pertidaksamaan-pertidaksamaan dari gambar berikut
5. Tempat parkir seluas 360 m 2 dapat menampung tidak lebih dari 30 kendaraan. Untuk parkir sebuah sedan diperlukan rata-rata 6 m 2 dan sebuah bus 24 m 2 . Jika banyak sedan dinyatakan dengan x dan banyak bus dinyatakan dengan y , maka tentukanlah model matematika dari persoalan tersebut.
10
A. PENGERTIAN MATRIKS 1. Pengertian Matriks adalah susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Susunan itu diletakkan dalam suatu kurung biasa atau kurung siku.
x Contoh : 1). y
2). (4 – 2
5)
6
8
3
4
3).
10
5
2. Notasi Matriks Suatu matriks dilambangkan dengan huruf besar. Contoh :
x 1). A= y
2). B = (4 – 2
5)
6
3).C =
8
10
5 3 4 Setiap kolom dalam suatu susunan disebut elemen (unsur), yang ditunjukkan pertama menyebutkan nomor barisnya dan kemudian nomor kolomnya.
3 4 5 2 A = 1 2 3 0 1 3 4 6
Baris 1 Baris 2 Baris 3
– 1 adalah elemen baris kedua kolom pertama 6 adalah elemen baris ke tiga tiga kolom ke empat.
Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3 Kolom 4 3. Ordo Suatu Matriks
Ordo suatu matriks diberikan dengan menyertakan banyaknya baris kemudian kolom. Contoh :
1 0 4 3 2 5
A =
Banyaknya baris matriks A adalah 2 Banyaknya kolom matriks A adalah 3. Ordo matriks A adalah 2 x 3 ditulis A23
11
Secara umum : Jika banyaknya baris matriks A adalah m dan banyaknya kolom n maka ordo matriks A ialah m x n ditulis A mn . 4. Macam – Macam Matriks a. Matriks Baris Bila suatu matriks hanya mempunyai satu baris disebut matriks baris.
Contoh : A = ( 2
4
– 7 )
b. Matriks Kolom Bila suatu matriks hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom.
5 1 Contoh : B = 4 5 c. Matriks Bujur Sangkar Bila suatu matriks banyaknya baris dan banyaknya kolom sama, maka disebut matriks bujur sangkar.
3 1 6 8
Contoh : A =
matriks bujursangkar berordo 2
2 3 1 B = 5 2 0 6 1 1
matriks bujursangkar berordo 3
d. Matriks Identitas (Matriks Satuan). Bila suatu matriks bujur sangkar yang semua elemen pada diagonal utama adalah 1 dan elemen-elemen yang lain 0 , maka disebut matriks identitas.
1 0 0 1
Contoh : I = 5. Kesamaan Matriks
Dua matriks A dan B disebut sama jika : a. Kedua matriks mempunyai ordo yang sama b. Unsur (elemen) yang bersesuaian sama. Contoh : 3 A = 6
1
8
1 6 2 B = 5 1 16 2
12
Matriks A = B, sebab ordonya sama dan 3 = 62 1=1 6=5+1 8 = 16 2
6. Transpose Matriks dan Notasinya Dari matriks A yang diketahui dibentuk matriks baru dengan ketentuan : a. Baris pertama matriks A menjadi kolom pertama matriks baru. b. Baris kedua matriks A menjadi kolom ke dua matriks baru dan seterusnya.
Matriks baru yang terbentuk itu disebut transpose matriks A dan ditulis A’ atau AT (dibaca tranpos A ). Contoh :
2 7 1 A = 4 9 0
2 4 T A 7 9 1 0
LATIHAN SOAL. 1. Sebutkan banyaknya baris dan kolom dari matriks-matriks berikut : 1 3 x
a. A 5
7
0 9 1 2 3 4 b. B 5 0 1 9
c. P = y z d. R = ( 3
5
1
6)
2. Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut.
a. A = ( 8
2
0
3
5)
4 1 0 5 0 2 7 8
b. B
1 0 c. M = 3 5 0 5 4 d. N = 2 0 1 6 0 5
3. Tentukan x dan y dari a. ( 5x
– 2y) = ( 10
4)
2 x y 8 x y 2 1
b.
1 4 x y c. 1 3 x 2 y 4 2 4. Tentukan transpose dari masing-masing matriks di bawah ini.
13
5 3 4 6 c. C = 0 1 2 8
2 4 1 1 2 0
a. A =
1 2 b. B = 1 0 x 9 dan Q = 5. Diketahui P = 3 y
d. D = ( 4
2
5
9
0)
5 3 9 4
Jika P T = Q,tentukan nilai x dan y.
B. PENJUMLAHAN MATRIKS 1. Penjumlahan Matriks Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan,jika ordo matriks A sama dengan ordo matriks B. Menjumlahkan matriks A dengan matriks B dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen matriks A dengan elemen matriks B yang bersesuaian letaknya(seletak). Misal :
a b e dan B = c d g a b e + Maka A + B = c d g A =
f
h
a e b f = h c g d h
f
Contoh :
0 3 3 0 3 1. Jika P = 2 dan Q = 2 maka P + Q = 2 + 2 = 0 4 3 3 4 7 0 3 3 Q + P = 2 + 2 = 0 karena P + Q = Q + P, maka penjumlahan p enjumlahan matriks 4 3 7 bersifat komutatif. 2 1 2. Jika A = 4 2
0 1 3 7 dan C = 2 3 8 9 2 1 0 1 3 maka a). ( A + B ) + C = 4 2 2 3 8 2 2 3 7 5 + = = 6 5 8 9 14 B =
2 b). A + (B + C) = 4
7
9 9
0 1 3 7 + 8 9 2 2 3
1
14
14
2 1 3 8 5 9 + = 10 12 14 14 4 2
=
Dari contoh 2 a) dan 2b) , maka maka berlaku hukum asosiatif penjumlahan matriks. matriks.
2. Pengurangan Matriks Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil pengurangan A dan B sama artinya dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks lawan B. Jadi A – B = A + ( – B). Contoh :
4 7 2 1 maka dan Q = 3 2 3 2 4 7 2 1 – a). P – Q = 3 2 3 2 4 7 2 1 2 6 = + = 3 2 3 2 0 4 2 1 4 7 b).Q – P = – 3 2 3 2 4 7 2 6 2 1 + = = 3 2 0 4 3 2
Jika P =
Karena P – Q tidak sama dengan Q – P, maka pada pengurangan matriks tidak berlaku hukum komutatif.
LATIHAN SOAL : Sederhanakan :
6 7 4 2 7 6 6 6 4 2 3 6 5 3 4 8
1.
2 x 6 x 4 y 3 y
2.
3. Manakah matriks-matriks berikut yang dapat dijumlahkan.
2a 3b 4a 6b + c d 3 4 7 3 c d
3 4 a. 2 0
e.
3 3 4 2 4 b. 4 2 4 2
f.
(4
4 c. (3) + 0
g.
(7)+(0)
15
7)+(3
0)
6 d. ( 4 6 ) + 3
h.
6 3 0 dan N = 2 4 3
4. Jika M =
(4
-2
1 3 ) + 4 7
1 0 2 Carilah M + N dan N + M. . Carilah 3 6 4
Hukum apakah dalam penjumlahan matriks yang dapat dilihat dari hasil tersebut ? 5. Selesaikan masing-masing persamaan di bawah ini, jika X matriks 2 x 2
4 2 2 3 X 3 6 0 2 3 2 2 1 b. X 5 3 7 3
a.
15 6 12 16 X c. 12 10 10 12 C. PERKALIAN MATRIKS 1. Perkalian Skalar . Perkalian skalar ialah perkalian suatu matriks dengan bilangan (skalar). Hasil kali matriks A dengan bilangan p ditulis p.A, ialah matriks yang ordonya sama dengan matriks A, dan elemen-elemennya didapat dari perkalian setiap setiap unsur A dengan p. Misal : a A = c
b
a b pa pb maka p.A = p. = pc pd d c d
Contoh :
4
Jika A
1
3 4 2 maka 4 . A 4 . 5 2 1 5 2 12 16 8 = 4 20 8 2
3
2. Perkalian Matriks Dengan Matriks Dua matriks dapat dikalikan, apabila ban yaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks ke dua .
a b ax by x c d cx dy y e f ex f y Contoh 1 :
16
5 1 2 1 0 Jika P dan Q 6 2 3 4 2 7 3 5 1 2 1 0 6 2 Maka P Q 3 4 2 7 3 2.5 1.6 0.7 2.1 1.2 0.3 = 3.5 4.6 2.7 3.1 4.2 2.3 10 6 0 2 2 0 16 4 = = 15 24 14 3 8 6 53 17 Matriks Identitas (Matriks Satuan.) Sifat-sifatnya menyerupai sifat-sifat satuan dalam sistem bilangan real. Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka I . A = A . I = A Misal :
3 5 1 0 maka , I = 2 4 0 1 1 0 3 5 3 0 5 0 3 5 = I . A = = 0 1 2 4 2 4 0 2 0 4 A =
3 5 1 0 3 0 0 5 3 5 = = 2 4 0 1 2 4 2 0 0 4
A . I =
Ternyata
I.A=A.I=A
Pemangkatan Matriks Bujur Sangkar Pemangkatan matriks bujur sangkar adalah perkalian antara matriks itu sendiri.
Contoh :
2 4 maka tentukan A 2 3 5
Jika A Jawab :
2 4 2 4 4 12 8 20 16 12 = 3 5 3 5 6 15 12 25 9 37
A 2 =
Sifat-sifat perkalian matriks Jika antara matriks-matriks A , B dan C dapat saling dikalikan. 1. (A.B).C = A. (B.C)
Asosiatif
2. I . A = A . I = A
I matriks identitas
3. A . A 1 = A 1 .A = I
A 1 matriks kebalikan.
4. A . (B + C) = A.B + A. C
Distributif
5. p . (A.B) = (p.A).B = A.(p.B)
p (skalar)
17
LATIHAN SOAL. 1.
Diketahui p = 3 ,
2 1 3 4
7 4 5 6
A =
, B =
Tentukan : a. p. (A.B) b. (p.A).B c. (p.B).A
3 Jika A = 4
2.
,
B = (3
1
3)
,
4 7 3 C = 0 1 2 5 4 1
Tentukan : A . (B.C) dan (A.B).C
7 6 1 0 , I = Tentukan A.I dan I . A 8 9 0 1 3 2 3 2 . Tentukan A . A 1 dan Jika A = ; A 1 = 4 3 4 3
Jika A =
3. 4.
A 1 . A
1 2 3 , B = Jika A = 2 5 6
5.
1 3 7 8 , C = 6 4
7 4 3 2 1 0
Tentukan: a. B+C b. (B+A).A c. C . A d. B.A + C.A
D. INVERS MATRIKS Pengertian Invers matriks / Kebalikan Matriks Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar yang ordonya sama sehingga A.B = B.A B.A = I , maka B adalah invers A dan A adalah invers B. Dalam hal ini akan dibahas untuk matriks berordo 2 x 2 Contoh :
5 2 dan B = 3 1
Jika A =
1 2 , tunjukkanlah matriks A dan B adalah 3 5
saling invers. Jawab :
5 2 1 2 5 6 10 10 1 0 . = 3 5 3 1 3 3 6 5 0 1
A . B =
18
1 2 5 2 5 6 2 2 1 0 = . 3 1 15 15 6 5 0 1 3 5
B . A =
Karena A.B = B.A = I, maka A adalah invers B dan sebaliknya.
Rumus Umum : a b maka inversnya adalah, Jika A = c d A 1
d b , dengan ad bc 0 c a a.d bc 1
ad bc dinamakan determinan matriks A dan ditulis a b det A = ad bc atau biasa ditulis D ad bc c d Jika D ad bc 0 , matriks A tersebut tidak mempunyai invers, dalam hal ini matriks A disebut matriks singular. Contoh :
2 1 tentukan determinan dan inversnya. 4 3
Diketahui matriks A =
Jawab : D ad bc (2)(3) (4)(1) 6 4 2
d b c a a.d bc 12 1 3 1 32 = 2 4 2 2 1
A 1
1
Pemakaian matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Contoh : Tentukan harga X dan Y dari sistem persamaan de ngan matriks.
2 x y 5 4 x 5 y 3 Jawab :
2 1 x 5 4 5 y 3 2
Misal : A =
1
4 5
5 1 145 141 4 A 2 4 2 10 4 14 14 1
1
x 5 A 1 . A. A 1 . y 3 145 141 2 1 x 145 141 5 4 4 2 2 4 5 y 3 14 14 14 14
19
1 0 x 2 0 1 y 1 Jadi x = 2 dan y = 1
LATIHAN SOAL. 1. Tentukan invers tiap-tiap matriks berikut ini.
3 5 2 1 3 2 b. B 1 0 2 1 c. P 4 2 a. A
2 3 2 4 dan B 1 3 0 1
2. Jika A
Tentukan : a. A . B b. (A.B) 1 c. A 1 d. B 1 e. A 1 . B 1 f. B 1 . A 1 3. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan dengan metode matriks. 2 x y 5 10 x 5 y 3 0 a. b. 2 x 3 y 1 5 x 10 y 9 0
20
1. Vektor adalah ruas garis yang mempunyai besar (panjang) dan arah tertentu. a
A
B
AB
2. Vektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya pada titik pusat koordinat. 3. Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. 4. Dua buah vektor adalah sama, jika dan hanya jika arah dan panjangnya sama. 5. Vektor satuan pada sumbu x disebut i. Vektor satuan pada sumbu y disebut j. Vektor satuan pada sumbu z disebut k.
z t x
i j y
6. Jika titik A mempunyai koordinat A (a 1, a2, a3), maka vektor posisi titik A adalah a = a1i + a2 j + a 3k atau a = (a1, a2, a3).
7. Jika A (a1, a2, a3) dan B (b1, b2, b3 ), maka vektor AB = b - a = b1 a1 i b2 a 2 j b3 a3 k BA = a - b = a1 b1 i a 2 b2 j a3 b3 k
8. Panjang/besar vektor a = a1i + a2 j + a3k adalah a 2
2
2
9. Jika a + b = c , maka c b a 2 a . b cos co s 2
2
2
Jika a - b = c , maka c b a 2 a . b c os
= sudut antara vektor a dan vektor b .
21
a1 a 2 a 3 . 2
2
2
b
b ab
a b
a
b
a
10. Perkalian vektor. a. Perkalian vektor dengan bilangan/konstanta Jika a = a1i + a2 j + a3k, maka a = a1i + a2 j + a3k. b. Perkalian skalar antara dua vektor hasilnya skalar/bilangan. Jika a = a1i + a2 j + a3k dan b = b1i + b2 j + b 3k , maka a . b = a . b cos
= a1 b1 + a2 b2 + a3 b3.
c. Perkalian antara dua vektor hasilnya berupa vektor. Jika a x b = c , maka c = a x b sin . Jika a = a1i + a2 j + a3k, dan b = b1i + b2 j + b 3k , maka c = a x b = a 2 b3 a3b2 i a1b3 a 3b1 j a1b2 a 2 b3 k .
11. Sudut antara dua vektor. a
b Jika a = a1i + a2 j + a3k b = b1i + b2 j + b3k, maka a . b = a . b cos
Cos
=
a.b a .b
=
, sehingga
a1b1 a 2 b2 a3b3
.
a .b
12. Proyeksi vektor dan vektor proyeksi. Catatan : Proyeksi vektor panjang proyeksinya. Vektor proyeksi vektornya. a
c
b
Jika vektor a diproyeksikan ke vektor b , menjadi vektor c , maka proyeksi vektornya yaitu panjang c adalah :
22
a.b
c =
b
Sedangkan vektor proyeksinya, yaitu c adalah a.b
c=
b
2
b
13. Perbandingan vektor Jika A (a1, a2, a3) dan B (b1, b2, b3 ), sedangkan P (p1, p2, p3 ) terletak pada AB, sehingga AP : PB = m : n, maka : B (b1, b2, b3 ),
P1 =
na1 mb1 mn
n P m
P2 =
A (a1, a2, a3)
P3 =
na 2 mb2 mn na3 mb3 mn
Contoh Soal:
1. Panjang vektor a 8i 9 j 12 k adalah a 8 2 9 2 12 2
64 81 144 289 17
2. Jika a 3i 2 j 4k dan b 5i 6 j 7k , maka a x b = ((-2).(-7) – 4.6)i – (3.(-7) – 4.5)j + (3.6-(-2).(-7))k
= (14-24)i – (-21-20)j + (18-14)k = -10i + 41j +4k. 3. Besar sudut antara vektor a 2i j 3k dan b 3i 2 j k adalah .... Jawab: a
4 1 9 14
b
9 4 1 14
c os
a.b a .b
2.3 1.( 2) 3.1
623 14
14 . 14
1 2
60 0
LATIHAN SOAL. Selesaikan soal-soal berikut ini dengan tepat. 0 1. Jika besar sudut antara vektor p dan vektor q adalah 60 , panjang p dan q masing-
masing 10 dan 6, maka panjang vektor ( p - q ) adalah ....
23
2. Diketahui titik P (-3, -1, -5 ), Q (-1, 2, 0 ), dan R (1, 2, -2). Jika PQ a dan
QR PR b , maka a . b = .... 3. Diketahui titik-titik P ( 2, -3, 0 ), Q ( 3, -1, 2 ), dan R ( 4, -2, -1 ). Panjang proyeksi vektor PQ pada vektor PR adalah .... 4. Vektor yang merupakan proyeksi vektor ( 3, 1, -1 ) pada vektor ( 2, 5, 1 ) adalah .... 5. Diketahui vektor OA = ( 1, 2 ) dan vektor OB = ( 2, 1 ). Jika titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 2 : 1, maka panjang vektor OP sama dengan ....
24
Transformasi adalah suatu perpindaban/perubaban.
1. TRANSLASI (Pergeseran sejajar) Matriks
Perubahan
Perubahan
a b
(x,y) (x+a, y+b)
F(x,y) = 0 (x-a, y-b) = 0
Ket : x' = x + a x = x' - a y' = y + b y = y' -b
Sifat: o
Dua buah translasi berturut-turut a diteruskan dengan b
dapat digantikan dengan c translasi tunggal a + c d o
b+d
Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.
2. REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis) Pencerminan terhadap
Matriks
Perubahan Titik
Perubahan fungsi
sumbu-x
1 -0 0 -1
(x,y) (x,-y)
F(x,y) = 0 F(x,y) = 0
sumbu -y
-1 0 -0 1
(x,y) (-x,y)
F(x,y) = 0F(-x,y) =0
garis y = x
01 10
(x,y) (y,x)
F(x,y) = 0 F(y,x) =0
garis y = -x
-0 -1 1 -0
(x,y) (-y,-x)
F(x,y) = 0 F(-y,x)= 0
Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya adalah determinannya = -1 SIFAT-SIFAT a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah. b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
25
Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatif.
c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus bersifat komutatif. d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
Titik
potong
kedua
sumbu
pencerminan
merupakan
pusat
perputaran.
Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.
3. ROTASI (Perputaran dengan pusat 0) Rotasi ½
3/2
Matriks
Perubahan Titik
Perubahan Fungsi
0 -1 1 -0
(x,y)(-y,x)
F(x,y) = 0F(y,-x) = 0
-1 0 1 -1
(x,y) (-x,-y)
F(x,y) = 0F(-x,-y) = 0
0 -1 -1 0
(x,y) (y,-x)
F(x,y) = 0 F(-y,x) = 0
cos -sin sin cos
(x,y) (x cos - y sin , x sin + y cos ) F(x,y) = 0 F(x cos + y sin , -x sin + y cos ) = 0
Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya adalah determinannya = 1
SIFAT-SIFAT a. Dua rotasi berturut-turut merupakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula. b. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya. Catatan:
Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran
26
(rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
4. DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0) Dilatasi
Matriks
Perubahan titik
Perubahan fungsi
(0,k)
k 0 0 k
(x,y)(kx,ky)
F(x,y)=0F(x/k,y/k)
Ket:
(0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k. Jika A' adalah peta dari A, maka untuk: a. k > 1 A' terletak pada perpanjangan OA b. 0 < k < 1 A' terletak di antara O dan A c. k > 0 A' terletak pada perpanjangan AO
27
A. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA 1. Barisan Aritmetika (Barisan Hitung) U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmetika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1 Suku ke-n barisan aritmetika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b U1, U2, U3 ............., Un Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) Fungsi linier dalam n 2. Deret Aritmetika (Deret Hitung) a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmetika. Dimana: a = suku awal b = beda n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un) = 1/2 n[2a+(n-1)b] = 1/2bn² + (a - 1/2b)n Fungsi kuadrat (dalam n) Keterangan: a. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap adalah tetap (b = Sn") b. Barisan aritmetika akan naik akan naik jika b jika b > 0 Barisan aritmetika akan turun akan turun jika b jika b < 0 c. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = S n' - 1/2 Sn" d. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku maka suku tengah Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) e. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt f.
dst.
Ut = Sn / n
Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmetika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a adalah a b , a , a + b 28
B. BARISAN DAN DERET GEOMETRI 1. Barisan Geometri (Barisan Ukur) U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika U1 /U2 = U3 /U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta Konstanta ini disebut pembanding disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = U n / Un-1 Suku ke-n barisan geometri n-1
a, ar, ar² , .......ar
U1, U2, U3,......,Un n-1
Suku ke n Un = ar
fungsi eksponen (dalam n)
2. Deret Geometri (Deret Ukur) a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri a = suku awal r = rasio n = banyak suku Jumlah n suku n
Sn = a(r -1)/r-1 , jika r>1 = a(1-rn)/1-r , jika r<1
Fungsi eksponen (dalam n)
Keterangan: a. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap adalah tetap b. Barisan geometri akan naik akan naik,, jika untuk setiap n berlaku U n > U n-1 c. Barisan geometri akan turun akan turun,, jika untuk setiap n berlaku U n < U n-1 Bergantian naik Bergantian naik turun, jika r < 0 turun, jika r d. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 maka suku tengah e. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku
U t U 1 xU n U 2 xU n1 , dst f. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah
a/r, a, ar. 3. Deret Geometri Tak Berhingga Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan adalah penjumlahan dari
U1 + U2 + U3 + ..............................
29
Un = a + ar + ar² + .........................
n 1
n dimana n ∞ dan -1 < r < 1 sehingga r 0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat : Jumlah tak berhingga
S = a/(1-r) ∞
Deret geometri tak berhingga akan konvergen akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk
-1 < r < 1 Catatan:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ................. Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil 2
4
a+ar +ar + .......
Sganjil = a / (1-r²)
Jumlah suku-suku pada kedudukan genap a + ar3 + ar5 + ......
Sgenap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r
LATIHAN SOAL Selesaikan soal-soal berikut ini. 1. Diketahui suatu deret 1 , 3 , 5 , 7 , ………… Jumlah n suku yang pertama adalah 225, maka suk u ke-n adalah …. 2. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah S n = n2 + 4n. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya suku ke-5 dan beda deret tersebut adalah .... 3. Jika tn adalah suku ke-n dari suatu deret geometri, dan p>3, maka t p-3 . t3p+5 sama dengan .... 4. Jumlah deret tak hingga
sin x sin x. cos co s2 x sin x. cos co s4 x ... , untuk x
6
adalah ....
5. Jumlah deret tak hingga log 16 log 5. log 16 (log 5) 2 . log 16 (log 5) 3 . log 16 ... adalah....
30
A. EKSPONEN Eksponen artinya perpangkatan, meliputi : -
pangkat pecahan
-
pangkat nol
-
pangkat negatif
a. Rumus-Rumus Eksponen n
1. a
= a.a.a.a ............. (sebanyak n faktor)
2. am . an
= am+n
3. am : an
= am-n
m n
m.n
4. (a )
=a
-n
5. a
=
1
an
6. a
= 1 , a 0
7. am/n
=
0
n
am
b. Persamaan Eksponen Adalah persamaan yang didalamnya terdapat didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah). [Ket. : Usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst].
BENTUK-BENTUK f(x)
1). a
=a
g(x)
f(x) = g(x)
Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan. contoh :
2 SUKU 1 SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI 1.
8 2 x
3
2x-3)
8
3 (2x-3)1/2
(2 )
x+1 1/4
= (32
)
5 (x+1)1/4
= (2 )
2(6x-9)/2 = 2(5x-5)/4 (6x-9)/2 = (5x-5)/4 24x-36 = 10x+10
31
14x = 46 x = 46/14 = 23/7 2. 3x²-3x+2 + 3x²-3x = 10 3².3 9.
x²-3x
x²-3x
+3
3x²-3x
= 10
x²-3x
+3
= 10
10. 3x²-3x = 10 3x² - 3x = 30 x² - 3x = 0 x(x-3) = 0 x1 = 0 ; x2 = 3
3 SUKU GUNAKAN PEMISALAN 1. 22x + 2 - 2 x+2 + 1 = 0 2
2x
2
2 .2
x
- 2 .2 + 1 = 0 x
Misalkan : 2 = p 22x = (2x)² = p² 4p² -4p + 1 = 0 (2p-1)² = 0 2p - 1 = 0 p =1/2 2x = 2-1 x = -1 x
2. 3 + 3
3-x
- 28 = 10
3x + 33 /3x - 28 = 10 misal : 3 x = p p + 27/p - 28 = 0 p² - 28p + 27 = 0 (p-1)(p-27) = 0 p1 = 1 3x = 30 x1 = 0 p2 = 27 3x = 33 x2 = 3
2). af(x) = bf(x)
f(x) = 0
Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0.
Contoh: 3x²-x-2 = 7x²-x-2 x² - x -2 = 0 (x-2)(x+1) = 0 x1 = 2 ; x2 = -1
32
3). af(x) = bf(x) f(x) log a = g(x) log b Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma.
Contoh: 4x-1 = 3x+1 (x-1)log4 = (x+1)log3 xlog4 - log4 = x log 3 + log 3 x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4 x (log4 - log3) = log 12 x log 4/3 = log 12 x log 4/3 = log 12 x = log 12/ log 4/3 =
4). f(x)
g(x)
= f(x)
4/3
log 12
h(x)
Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda. Tinjau beberapa kemungkinan.
1. Pangkat sama g(x) = h(x) 2. Bilangan pokok f(x) = 1
ket: 1
g(x)
h(x)
=1
=1
3. Bilangan pokok f(x) = -1 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil. ket : g(x)
= (-1)
g(x)
= (-1)
g(x) dan h(x) Genap : (-1) g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)
h(x)
=1
h(x)
= -1
4. Bilangan pokok f(x) = 0 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif. ket : g(x) dan h(x) h (x) positif 0
g(x)
h(x)
=0
=0
Contoh: 3x-2
(x² + 5x + 5)
2x+3
= (x² + 5x + 5)
1. Pangkat sama 3x - 2 = 2x + 3 x1 = 5 2. Bilangan pokok = 1 x² + 5x + 5 = 1 x² + 5x + 4 = 0
(x-1)(x-4) = 0
x2 = 1 ; x3 = 4
3. Bilangan pokok = -1 x² - 5x + 5 = -1 x² - 5x + 6 = 0
(x-2)(x-3) = 0
33
x=1;x=4
g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4 (-1)7 g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 (-1) 7 = (-1)9 = -1 4. Bilangan pokok = 0 x² - 5x + 5 = 0 x5,6 = (5 ±
5 )/2
kedua-duanya memenuhi syarat, karena : 5 ) > 0 , h(2 1/2 ± 1/2
g(2 1/2 ± 1/2
5)>0
Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah : HP : { x | x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 5 }
c. Pertidaksamaan Eksponen Bilangan Pokok a > 0 1 Tanda Pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya a>1 f(x)
>a
f(x)
a a
0
g(x)
f(x) > g(x)
a
g(x)
f(x) < g(x)
a
(tanda tetap)
f(x)
>a
g(x)
f(x) < g(x)
f(x)
g(x)
f(x) > g(x) (tanda berubah)
Catatan: Untuk memudahkan mengingat, bilangan pokok 0 < a < 1 diubah saja
menjadi a = 1. Misal : 1/8 = (1/2) 3 = 2-3 Contoh: 2x-5
1. (1/2)
(1/2x+1)
< (1/4)
(1/2)2x-5 < (1/2)2(1/2x+1) Tanda berubah (0 < a < 1) 2x - 5 > x +2 x>7 2. 32x - 4.3x+1 + 27 > 0 x
1
x
(3 )² - 4.3 .3 + 27 > 0 x
misal : 3 = p p² -12p + 27 > 0 (p - 9)(p - 3) > 0 p < 3 atau p > 9 x
x
3 < 3 atau 3 > 3² x < 1 atau x > 2
B. LOGARITMA
34
n : a log b n , artinya a = b
Definisi
ao : a 1
Syarat
b0
a. Rumus-Rumus Logaritma a
b 2. log( a.b) log a log b
1.a
log b
a 3. log( ) log a log b b
4. log a n n. log a 5. log b
m
log b
m
log a
a
6.a log b.b log c.c log d a log d
b. Persamaan Logaritma Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma logar itma dimana numerus ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x.
Rumus-rumus: a
a log f(x) = log g(x) f(x) = g(x)
a
log f(x) = b f(x) =ab
f(x)
b log a = b (f(x)) = a
Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi.
(Bilangan pokok > 0 dan bilangan pokok 1, dan numerus > 0 ) Contoh:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ! 1.
x
log 1/100 = -1/8 x (x
-1/8
-2
= 10
-1/8 -8
-2 -8
) = (10 ) x = 10 16
2.
x
log 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6 x
4
x
3
x
x
6
log 3 - 2 log3 + log3² + 1/2 log 3 = 6 x
x
x
x
4 log3 - 6 log3 + 2 log3 + 3 log 3 = 6 3 xlog 3 = 6 x
log 3 = 2
² x =3 x=
3.
x
x
log (x+12) - 3 log4 + 1 = 0 x
x
³
log(x+12) - log 4 = -1 x
log ((x+12)/4³) = -1
35
3 (x>0)
³
(x+12)/4 = 1/x x² + 12x - 64 = 0 (x + 16)(x - 4) = 0 x = -16 (TM) ; x = 4
c. Pertidaksamaan Logaritma Bilangan pokok a > 0 dan 1 Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya a>1
0
a
log f(x) > b f(x) > ab
a
log f(x) > b f(x) < ab
a
b log f(x) < b f(x) < a
a
b log f(x) < b f(x) > a
(tanda tetap)
(tanda berubah)
syarat f(x) > 0
Contoh:
Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan 1. ²log(x² - 2x) < 3 a = 2 (a>1) Hilangkan log Tanda tetap a. x² - 2x < 2³ x² - 2x -8 < 0 (x-4)(x+2) < 0 -2 < x < 4 b. syarat : x² - 2x > 0 x(x-2) > 0 x < 0 atau x > 2 HP : {x {x 2.
- 2 < x < 0 atau atau 2 < x < 4}
1/2
log (x² - 3) < 0
a = 1/2 (0 < a < 1) Hilangkan log Tanda berubah a. (x² - 3) > (1/2)0 x² - 4 > 0 (x -2)(x + 2) < 0 x < -2 atau x > 2 b. syarat : x² - 3 > 0 (x -
3 )(x +
3)>0
x<
3 atau x >
3
36
HP : {x
x < - 2 atau x > 2}
LATIHAN SOAL 3x+2
1. Jika 9
=
1 812 x 5
, maka x = .... x
x
2. Jumlah akar-akar persamaan {2(4 )}-5.2 + 2 = 0 adalah .... 3. Jika 3log 2 = x, hitung
1/4
log 27. 3
4. Himpunan penyelesaian persamaan 9 5. Nilai-nilai x yang memenuhi (2x)
log( 2 x 1)
1 2 log 2 x
37
= 25 adalah .... 3
> 64x adalah ....
