BAB I MATERI
1.1. 1.1. Dist Distri ribu busi si Gam Gamma ma
Ada beberapa distribusi penting dalam distribusi uji hidup, salah satunya adalah distribusi gamma. Fungsi gamma dinotasikan Γ( α ) untuk semua α > 0, didefinisikan sebagai ∞
− t α − ( x )=∫ t e dt 1
0
Fungsi gamma memiliki siat!siat berikut" #. Γ( α ) $ (α % #) Γ( α % #), untuk α > #& '. Γ( n ) $ (n (n % #) , un untuk n $ #, #, ', ', & *. Γ(#+') $-. #.#.#Fungsi epadatan /eluang (Fkp) Fung Fungsi si kepa kepada data tann pelu peluan angg (kp) (kp) dari dari dist distri ribu busi si gamm gammaa deng dengan an dua dua parameter yaitu p dan adalah sebagai berikut"
dimana" 1(p) $ (p!#) adalah ungsi gamma. gamma. #. 2ilai 2ilai mean mean dari dari distr distribu ibusi si gamm gammaa adalah" adalah"
1
'. 2ilai 3arians dari distribusi gamma adalah"
#.#.'Fungsi 4ur3i3or Fungsi sur3i3or adalah peluang suatu indi3idu atau objek masih tetap hidup sampai dengan 5aktu t yang telah ditentukan. Fungsi sur3i3or dideinisikan sebagai berikut"
2
Fungsi sur3i3or distribusi gamma yang kita peroleh adalah suatu ungsi sur3i3or distribusi gamma dalam bentuk eksplisit. ita membiarkan ungsi sur3i3or distribusi gamma dalam bentuk eksplisit karena untuk menyelesaikan pengintegralan yang ada dalam rumus diatas pengintegralannya 6ukup rumit.
#.#.*
Fungsi 7a8ard
arena ungsi sur3i3or distribusi gamma tidak dalam bentuk eksplisit, maka ungsi ha8ardnya juga tidak dalam bentuk eksplisit juga.
Fungsi ha8ard
dideinisikan sebagai berikut"
#.#.9Fungsi 7a8ard umulati Fungsi ha8ard kumulati pun tidak bisa kita nyatakan dalam bentuk implisit, karena ungsi ha8ardnya sendiri dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Fungsi ha8ard kumulati dideinisikan sebagai berikut"
3
#.#.:
;stimasi
Fungsi likelihoodnya adalah"
4
2ilai maksimum dari
akan di6apai apabila
Atau
4ehingga
dan kita peroleh
?erdasarkan hasil estimasi tehadap yang kita peroleh diatas, maka dapat dibuktikan bah5a
dan
merupakan distribusi gamma dengan parameter
. @istribusi dari .
.
4eperti yang telah diketahui (=#,=',...,=n) adalah distribusi identik independen (iid) yang berdistribusi gamma dengan parameter p dan , oleh karena itu maka dan np, sedangkan untuk parameternya np dan
berdistribusi gamma dengan parameternya merupakan distribusi gamma dengan . 4ehingga kita peroleh ungsi kepadatan
peluang (kp) dari adalah sebagai berikut"
diperoleh 5
tidak diketahui. arena itu, adalah 6o6ok untuk . 4elanjutnya kita akan mengestimasi parameter p berdasarkan pada estimasi yang telah diperoleh !
Fungsi kepadatan peluang (kp) bersama dari ( X 1, X 2,…, X n) adalah"
!
Fungsi likelihoodnya adalah"
2ilai maksimum dari
akan di6apai apabila
6
Fungsi kita dapat
sulit untuk dipe6ahkan sehingga untuk rumus diatas menyelesaikannya dengan menggunakan metode iterasi
2e5ton!Baphson.
ke dalam persamaan 4ehinggga 4
diperoleh persamaan seperti diba5ah ini"
b. 4ampel tersensor tipe C 6. 4ampel tersensor tipe CC
#.#.D
;stimasi
Beliabiliti
adalah ungsi reliabiliti.
distribusi gamma dengan parameter p dan , ungsi reliabilitinya
adalah
sebagai berikut"
1.2. Distribusi Eksponensial
Fungsi eksponensial adalah salah satu ungsi yang paling penting dalam matematika. ?iasanya, ungsi ini ditulis dengan notasi eEp( x) atau e x, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira!kira sama dengan '.#G'G#G*.
7
ambar #.' Fungsi ;ksponensial Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar hori8ontal (naik se6ara sangat perlahan) untuk nilai E yang negati, dan naik se6ara 6epat untuk nilai E yang positi. 4ebagai ungsi 3ariabel bilangan real x, graik e x selalu positi (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). raiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut se6ara asimptotik. Cn3ers dari ungsi ini, logaritma natural, atau ln( x), dideinisikan untuk nilai x yang positi. @istribusi probabilitas eksponensial merupakan pengujian digunakan untuk melakukan perkiraan
atau prediksi dengan hanya membutuhkan
perkiraan rata!rata populasi, karena dalam distribusi eksponensial memiliki standar de3iasi sama dengan rata!rata. @istribusi ini termasuk ke dalam distribusi kontinyu. Hiri dari distribusi ini adalah kur3anya mempunyai ekor di sebelah kanan dan nilai E dimulai dari 0 sampai tak hingga. ambar kur3a distribusi eksponensial berbeda!beda tergantung dari nilai E dan I sebagai berikut "
8
4yarat dari distribusi eksponensial yaitu " • • •
=J0 I>0 e $ ',#G'G...
@alam menghitung probabilitas distribusi eksponensial, rumus yang digunakan adalah "
@imana
= $ inter3al rata!rata I $ parameter rata!rata =o $ rata!rata sampel yang ditanyakan e $ eksponensial $ ',#G'G
ambar daerah luas kur3a distribusi eksponensial "
9
eterangan " daerah arsiran probabilitas tergantung tanda J atau K. Lika /(= K =o) maka daerah arsiran probabilitasnya berada di sebelah kiri. 1.3. Distribusi Weilbull
Meibull adalah suatu metode yang digunakan untuk memperkirakan probabilitas mesin peralatan yang berdasarkan atas data yang ada. 4eperti yang diperkirakan oleh Meibull, distribusi ini sangat berguna sekali karena kapabilitas dan sedikit sampelnya, dan kemampuannya dapat menunjukkan bentuk distribusi data yang terbaik. Alasan pemakaian metode 5eibull dalam pemeliharaan mesin+ peralatan adalah dikarenakan untuk memprediksikan kerusakan sehingga dapat dihitung keandalan mesin+ peralatan, dan dapat meramalkan kerusakan yang akan terjadi 5alaupun belum terjadi kerusakan sebelumnya. /ada dasarnya distribusi 5eibull ini dimaksudkan untuk menggambarkan keadaan optimal dari suatu mesin atau peralatan baik perbagiannya ataupun komponen komponennya. Fungsi 5eibull dapat dideskripsikan dengan"
@an ungsi kumulati analisa 5eibull adalah" 10
dimana" e
$ ',#G...
t
$ 5aktu teijadinya kerusakan
h
$ eta $ 6harateristi6 lie (HN)
b
$ beta shape a6tor atau garis miring
F(t)
$ probabilitas kumulati dan 5aktu terjadinya kerusakan sebelum atau sama dengan t.
(t)
$ ungsi padat distribusi rek5ensi
Buang lingkup kegunaan analisa 5eibull antara lain adalah" #. /eren6anaan kegiatan pemeliharaan dan biaya penggantian yang eekti. '. /enge3aluasian ren6ana!ren6ana kegiatan pemeliharaan perbaikan. *. /eren6anaan pengamanan spare part. 9. prediksi kerusakan. :. @an lain sebagainya. a. /erhitungan 5aktu kerusakan dan suspension pada mesin+peralatan adalah sebagai berikut" #. /erhitungan 5aktu kerusakan untuk peralatan yang baru mengalami ' buah kerusakan, maka dihitung dengan men6ari rentang 5aktu antar dua kerusakan tersebut, dan disebut dengan 5aktu kerusakan. '. /erhitungan 5aktu kerusakan untuk peralatan yang sudah mengalami beberapa kerusakan, dihitung dengan merata!ratakan seluruh 5aktu antar tiap kerusakan dan disebut dengan 5aktu kerusakan. b. /erhitungan untuk peralatan yang belum mengalami kerusakan, maka perhitungan suspension untuk keadaan " #. Maktu pemasangan (tanggal pemasangan) sesudah pertengahan a5al periode, maka perhitungan suspension dihitung mulai dari 5aktu pemakaian sampai dengan akhir periode perhitungan. '. Maktu pemasangan (tanggal pemasangan) sebelum pertengahan a5al periode, maka perhitungan suspension dihitung mulai dari perhitungan a5al periode sampai dengan akhir periode perhitungan. #.*.# eandalan dan Naju erusakan 11
eandalan dari suatu mesin+ peralatan dapat dideenisikan sebagai peluang bah5a mesin atau peralatan tersebut akan berungsi sebagai mana mestinya. Fungsi keandalan adalah ungsi matematik yang menyatakan hubungan keandalan dengan 5katu. eandalan (reliability) peralatan dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut"
@imana" F (t) $ probabilitas kumulati B (t) $ probabilitas keandalan (reliability) eandalan suatu mesin+ peralatan erat kaitannya dengan laju kerusakan mesin+peralatan tersebut yang merupaan banyaknya kerusakan tiap satuan 5aktu.
dimana" (t) $ ungsi distribusi 5eibull h(t) $ laju kerusakan /enggambaran parameter b menentukan tingkatan kerusakan O kerusakan yang sering terjadi. Pingkatan!tingkatan kerusakan b adalah " • •
beta Q> beta $ #, diindikasikan kerusakan se6ara random (tidak dipengaruhi oleh umur mesn), dimana lajut kerusakan adalah konstan (tidak
•
berubah). beta > #, diindikasikan kerusakan 5ear out, dimana laju kerusakan
meningkat sejalan dengan 5aktu. 1.3.2 Bata!rata dan Rariansi @istribusi Meilbull a. Bata!rata
12
Rariansi
b.
1.4. Distribusi Pareto
#.9.#/engertian @istribusi /areto @istribusi /areto ditemukan oleh seorang ekonom yaitu Rilredo /areto sekitar tahun #G9G!#S'*. Rilredo /areto mengamati bah5a G0T kekayaan di
(Uosse,'0#:).
@istribusi pareto atau distribusi po5er la5 adalah suatu model probabilitas untuk 3ariabel continous untuk 3ariabel a6ak = yang dideinisikan sebagai "
() k x
/r ( X ≥ x ) $
α
dimana x adalah nilai dalam range yang dideinisikan untuk X , k > 0 adalah salah satu parameter yang disebut location parameter dan α > 0 yang disebut slope parameter . 4uatu 3ariabel a6ak X dikatakan berdistribusi pareto dengan parameter θ >0
λ > 0
dan
bila
ungsi
padat
peluangnya
berbentuk
−( λ + 1)
λ x f ( x ; θ , λ )= ( 1 + ) θ θ λ
, x >0
dan nol untuk yang lain. /arameter bentuk (
) menentukan bentuk model suatu distribusi. Fungsi padat peluang (/@F) distribusi pareto yaitu" f ( x )=α k x α
α −1
−
/@F tersebut mempunyai rata!rata yang ininit pada dan 3ariansi yang ininit pada α ≥ 2.
α γ f ( x )= α +1 , x ≥ γ ,α > 0, γ > 0 x
13
@an ungsi distribusi kumulatinya adalah F ( x ) =1−
()
α
γ , x≥ γ ,α > 0, γ > 0 x
α γ f ( x )= α +1 , x ≥ γ ,α > 0, γ > 0 x
arena parameter skala diketahui yaitu
γ =1
maka ungsi densitas
peluang dari distribusi pada persamaan tersebut menjadi f ( x )=αx
−(α + 1)
, x ≥ 1, α >0
4ehingga diperoleh rata!rata dan 3ariansi dari distribusi pareto diperoleh " E ( X )=
α , α > 1 α −1
Var ( X )=
α
( α −1 )2 ( α −2 )
α > 2
@istribusi pareto merupakan distribusi yang tidak mempunyai ungsi pembangkit momen. 4edangkan ungsi karakteristik dari distribusi pareto adalah" κ −it 0
φ ( t )=κ θ e
Γ (−κ )
, dimana Γ (−κ ) merupakan bentuk dari ungsi
gamma. #.9.'4iatt!4iat @istribusi /areto 4iat!siat dari distribusi pareto antara lain " #. ur3a distribusi pareto mempunyai kemiringan positi '. ur3a distribusi berbentuk leptukortik *. Fungsi padat peluang distribusi pareto memiliki modus tunggal pada x = 0 dengan nilai maksimum
κ θ
14
9. Lika X 3ariabel a6ak kontinu berdistribusi pareto dengan parameter θ dan
κ
, untuk c > 0 maka cX akan berdistribusi pareto dengan
parameter c θ dan κ :. Vntuk
κ < 1
D. Vntuk
κ =1
. Vntuk
κ > 1
, , ,
lim f ( x ) = x→ 0
κ θ
dan
x → ∞
κ θ
dan
x → ∞
κ θ
dan
x → ∞
lim f ( x ) = x→ 0
lim f ( x ) = x→ 0
lim f ( x )=0 lim f ( x ) =0 lim f ( x )=0
#.9.*Bumus!Bumus @istribusi /areto Probabilit Densit !un"tion #PD!$
%umulati&e Distribution !un"tion #%D!$
Rata'rata
Me(ian Mo(us )arian
*ke+ness
,urtosis
Moment Generatin- !un"tion #MG!$ %ara"teristi" !un"tion #%!$ Momen ke'k 15
#.9.9/enerapan @istribusi /areto @istribusi /areto sering dipakai pada persoalan uji hidup.
16
