Preguntas propuestas
8
2015
• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales
Trigonometría P RÁCTICA
NIVELES
POR
Ecuaciones trigonométricas II Calcule la solución general para x.
NIVEL BÁSICO
π
A) nπ ± 1.
Resuelva la inecuación tan x + tan 1 − tan
si −
2
3
B)
≤0
< x <
2 D)
A) B)
−
π
; 4 4 π
−
2
;−
E) π
4
4
π π C) − ; 0 ∪ ; 4 4 2
E)
2.
π −
;
π
;
sen x
−
sen y π
3
C)
= 3
D)
; n ∈ Z. E) π
π
2
6
A) x = 2 nπ + ; y = 2 nπ + π
B) x =
nπ −
C) x =
nπ +
D) x =
nπ +
6 π
6 π
nπ
4
2
; y = nπ −
n
π
24
π
3
π
2
;π π
; y = nπ + ; y = nπ +
π +
3
; y =
2
5.
6 2
π
4 π
4
; ; ;
4
;π
7π 8 2π 3 3π 4
Resuelva la inecuación 1 (tan x + 1) > 0 sen x − 2
π
6
nπ
Indique un conjunto solución en el intervalo 〈0; p〉.
4
A) =
8
4
3π
π
2 cos y
π
∪
2
π
+
4
NIVEL INTERMEDIO
π
Se tiene el sistema de ecuaciones
cos x
2 nπ ±
B) 0;
sen y
=
6
+ ( −1)
4
π
+
π
+
y
nπ
π
4sen2 xcos2 x > 2(cos4 x – sen4 x)+1 si 0 < x < p. A)
sen x
−
6
Resuelva el sistema de ecuaciones
x
4
π
si x − y =
3.
π +
Resuelva la inecuación
2 4
E) x =
4
4.
4 2 −
π
π
0;
∪
π
D)
nπ
C) 2 nπ ±
π
π
3
x
π
2
x
+
; n ∈ Z.
D)
5π 6 3π 4
B) 0;
;π
3π 4
C) E)
;π
π
6 π
;π ;
π
6 2
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2
Trigonometría
Material Didáctico N. o 8
Academia CÉSAR VALLEJO
6.
π
Si x ∈
−
π
;
; resuelva la inecuación
C)
3 2 tan2 x+tan x > 0
A) B) C) D) E)
π
;0
−
4 π
D)
π
3
10. π
; 4 4
π −
3
2
;−
+
B) kπ + C) D) E) 8.
kπ 2
π ∪
4
0;
π
π
180 53 π 180 53 π 360
−
360 53 π
−
180
π
6
∪
4
; 3 2
3
¿Para qué valores de q se cumple la siguiente desigualdad? cscq > cotq; q ∈ 〈0; 2p〉
C) D)
π
2 π
; k ∈Z
11.
; k ∈ Z
kπ
2 π
2
B)
6
π
6
;
5π
3π 2
;π ;π
∪
3π
; 2π
2
Resuelva la inecuación |cos x| < 1+sen x si 0 < x < 2p.
6
12.
{} {} π
A) 0; π
−
D) 0; π
−
4
B) 〈0; p〉
E)
2
−
3 cos
2
x
π
6 2
A) nπ +
π
4
; nπ +
3π 4
B) nπ + π ; nπ + 5 π 3
C) nπ + π ; nπ + 3
D) nπ + π ; nπ +
2π
6 2π
3 2π
6
3
3
E) nπ + π ; nπ + π
{} π
−
> −4
C) 〈0; p〉 ;
6
3
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π
2
π
2 ;π
Resuelva la inecuación sen 2 x
π
C) 0;
π
si n ∈ Z.
E)
;π
π
2
kπ
5π
B) 0; π
π
;
∪
E) 〈0; p〉
; k ∈ Z
Resuelva la inecuación sen4 x+sen2 x > sen3 x si x ∈ 〈0; p〉. A) 0;
{} π
−
3
A) 0;
π
Resuelva la inecuación sen2 x+3sen x – cos x – 2cos2 x > 0 si x ∈ 〈0; 2π〉.
D) 9.
−
53 π
53 π
A) 0;
3
2π
4 2
kπ
3
π
;
Se tiene el sistema de ecuaciones tan x+tan y=1 cot( x+y)=3/4 Indique el valor de x. A)
3 2π
;
B) 0; 7.
{} π
−
π
π
π
3
2π
;
E) 0;
; 4 3 −
π
3
6
2
3 sen 30º sen
2
x
Trigonometría
Anual UNI
13.
Resuelva la inecuación 1 − sen x 1 − cos x
>
A)
π
D)
π
;
3 π
;
2
A) 8 D) 11
B) 9
C) 10 E) 12
1
si cos x < 0 y
π < x <
3π 2
B)
15.
.
Resuelva la inecuación 2
3 cos x
5π 3π ; 4 2
7 π 6
5 π
C)
π
E)
7π 5π ; 6 4
;
4
NIVEL AVANZADO
14.
Trigonometría
Resuelva la ecuación cos x=|sen x|–1 si 0 < x < 6p. Indique por respuesta el número de soluciones.
cos x >
1 + sen x
;
si k ∈Z. π
A)
−
B)
−
C)
−
D)
−
E)
−
+
6 π
2
+
2 kπ; 2 kπ +
+
2 kπ; 2 kπ
+
2 kπ; 2 kπ +
π
6 π
6 π
6
2 kπ; 2 kπ +
+
2 kπ; 2 kπ +
π
6 π
3
π
3 π
2
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4
Trigonometría PRÁCTICA POR NIVELES Secciones cónicas I D) x – 12 y+59=0 E) 12 x – y+59=0
NIVEL BÁSICO
1.
Se tiene la ecuación de una parábola. y2 – 12 x – 8 y+28=0 Determine la ecuación de la directriz de dicha parábola. A) x=2 D) x= – 3
2.
C) x=3 E) y= – 2
6.
El vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo es el extremo L del lado recto de la parábola y2=8 x; además, el segundo vértice del triángulo es el vértice de la parábola. ¿Cuál es el tercer vértice del triángulo si se sabe que este se encuentra sobre el eje X ? A) (8; 0) D) ( – 6; 0)
3.
B) x= – 2
5.
B) (10; 0)
C) ( – 10; 0) E) ( – 8; 0)
A) 3
5
D) 6
5
B) 4
5
C) 5 5 E) 7
5
Determine la ecuación de la parábola con vértice (2; 6) y extremos del lado recto (6; 8) y ( – 2; 8). A) ( x – 2)2= – 8( y – 6) B) ( x – 2)2=8( y – 6) C) ( x – 2)2=12( y – 6) D) ( x – 2)2= – 12( y – 6) E) ( x – 2)2=4( y – 6)
7.
Una parábola, cuyo eje focal es paralelo al eje Y , pasa por los puntos A(1; 1), B(2; 2) y C ( – 1; 5). Indique su ecuación.
Calcule la ecuación de la recta que pasa por el foco de la parábola que es perpendicular a la recta x+2 y – 8=0. Si la ecuación de la parábola es x2=16 y. A) x2=16 y B) y=2 x+4 C) y=4 x+2 D) y=2 x+3 E) y=2 x+6
A) x2 – 2 x – y+2=0 B) x2 – 2 y+ x+2=0 C) x2+2 x – y+2=0 D) x2 – 2 x+ y+2=0 E) x2 – 2 x+ y – 2=0 8.
NIVEL INTERMEDIO
4.
Calcule la longitud del segmento determinado por la parábola y2=4 x, con la recta de ecuación x – 2 y+3=0
Determine la ecuación de la recta que pasa por el foco de la parábola y2 – 2 y – 12 x+25=0, cuya pendiente es igual a la longitud del lado recto. A) 12 x+ y+18=0 B) x+12 y – 18=0 C) 12 x – y – 59=0
El agua que fluye de un grifo horizontal, el cual está a 25 m del piso, describe una curva parabólica con vértice en el grifo. Si a 21 m del piso, el flujo de agua se ha alejado 10 m de la recta vertical que pasa por el grifo; ¿a qué distancia de esta recta vertical tocará el agua el suelo? A) 20 m B) 25 m C) 26 m D) 27 m E) 30 m
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5
Trigonometría
Material Didáctico N.o 8
Academia CÉSAR VALLEJO
9.
En la figura se muestra una parábola de vértice V y
11.
foco F , calcule la tanq si el punto M tiene
Un depósito de agua tiene sección transversal parabólica. Cuando el nivel
1
2
coordenadas ; 2 .
AB
del agua al-
canza una altura de 6 m, su longitud AB mide 24 m. Calcule la longitud TS cuando el nivel del
Y
agua desciende 4 m. M
Y θ
V
B F
A
X
4m
S
A) D)
10.
73 161
B)
11 2
4
C) E)
3
T
X
1 7
A) 8
5
B) 10
3 m
C) 12
3 m
D) 8 m
3
Un puente colgante de 120 m de longitud tiene
12.
3 m
E) 10 m
La gráfica muestra la trayectoria de un pro-
una trayectoria parabólica sostenida por torres
yectil, el cual describe una parábola de eje
de igual altura. Si la directriz se encuentra en
vertical. El proyectil alcanza su máxima altura
la superficie terrestre y el punto más bajo de
V (800;
cada cable está a 15 m de altura de dicha su-
na OBC en el punto A. Calcule las coordenadas
perficie, halle la altura de las torres.
del punto del impacto si B(1600; 1400).
1000) e impacta en la ladera de la coli-
Y
120 m
V (800;
1000)
B
Y
A
X
O
A) 50 m
A) A(1040; 810)
B) 60 m
B) (1000; 810)
C) 75 m
C) (1040; 900)
D) 80 m
D) (1000; 910)
E) 90 m
E) A(1040; 910)
C
X
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Anual UNI
Trigonometría 15.
NIVEL AVANZADO
13.
Si F (0; 5/4) es el foco de la parábola y T es punto de tangencia, calcule el valor de n.
Se da la parábola y2=8 x y el punto A(6; 0). Calcule las coordenadas de los puntos de la parábola cuya distancia al punto A es mínima.
Y 2 x – y – n=0
A) (2; – 4) y (2; 4) B) (3; – 4) y (3; 4) C) (1; – 4) y (1; 4) D) (2; – 6) y (2; 6) E) (2; – 8) y (2; 8)
F V
14.
Si el punto P( – 2; – 4) es el punto medio de una cuerda de la parábola y2+6 x+10 y+19=0; halle la ecuación de dicha cuerda. A) 2 A) 3 x – y – 10=0 B) 3 x+ y – 10=0 C) 3 x+ y+10=0 D) 3 x+ y – 12=0 E) 3 x+ y – 16=0
Trigonometría
B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
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T X
Trigonometría P RÁCTICA
POR
NIVELES
Secciones cónicas II
NIVEL BÁSICO
1.
A) B)
Identifique la ecuación de la elipse que tiene centro en el origen, cuyos focos son los puntos
C)
F 1 ( 7 ; 0 ) y F 2 ( − 7; 0 ) y su excentricidad es 7 /4. 2
D)
2
A) 9 x +16 y =144 B) 16 x2+9 y2=72 C) 9 x2+16 y2=72 D) 16 x2+9 y2=144 E) 9 x2+16 y2=36
x
2
4
x
x
+ y
=
1
=
1
=
1
=
1
=
1
2
4
2
2
2
6
+ y
E) x 2 +
5.
y
+
4
2
2
2
9 x
y
+
y
2
2
4
Halle la ecuación de una elipse de ejes coincidentes con los ejes coordenados que pasa por
2.
Halle la ecuación de una elipse con centro O(0; 0) si uno de sus focos es (2; 0) y uno de sus vértices es (3; 0).
A) B) C) D) E)
x
2
9 x
2
5 x
+
2
3 x
+
2
7 x
+
+
2
3
+
y
B) x2+5 y2=247
=
1
=
1
C) x2+15 y2=247 D) 7 x2+15 y2=247 E) 7 x2+5 y2=247 NIVEL INTERMEDIO
2 =
7 y
1
2
3 y
=
2
9 y
A) 7 x2+3 y2=247
2
5 y
los puntos M (4; 3) y N (–1; 4).
1 6.
2 =
9
1
Si los focos de la elipse son los puntos F 1( – 4; 3), F 2(2; 3) y el perímetro del triángulo,
cuyos vértices son los focos y un punto de la 3.
Una elipse tiene como ecuación 9 x2+16 y2 – 18 x – 64 y – 71=0 Calcule la distancia entre sus vértices.
7 A) 2 2 − 1 D) 2 (
4.
7
B) 2 (
7
− 1)
)
7 C) 2 2 + 1 E) 8
+1
3 Una elipse pasa por los puntos P 1; 2 y 2 Q 2; . Si su eje focal está contenido en 2 el eje de abscisas y su centro es el origen de coordenadas, halle su ecuación.
elipse, es igual a 16. Determine la ecuación de la elipse.
A) B) C) D) E)
( x + 1)2 25
( x − 1)2 25
( x − 1)2 25
( x + 1)2 25
( x + 2)2 25
+
+
+
+
+
( y − 3)
2
16
( y − 3)
1
=
1
=
1
2
16
( y − 3) 16
=
2
16
( y + 3)
1
2
16
( y + 3)
=
2 =
1
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8
Trigonometría
Material Didáctico N. o 8
Academia CÉSAR VALLEJO
7.
Si F 1 y F 2 son los focos de la elipse mostrada, A)
calcule MN .
B) M
C) F 2
F 2
D)
N 3 x – 2 y+6=0
A) D)
8.
13
B)
2 18
E) 3
C) 3
3
2
E)
13
13
11.
13
17
13
F 1(2; 5) y F 2(2; 3); además, el punto P(3; 6)
A) D)
9.
5
−1
B)
2 10
−
( x − 2)2 43
( x − 2)2 41
( x − 4 )2 41 x
41
12.
10
−1
4
C) E)
4
5−
3−
10.
6
1
=
1
2
25
2
9
=
1
B)
2
A)
4
que pasa a la altura de uno de los focos.
D)
=
15
C) 20 E) 6
Para cada p > 0, la ecuación
5
carro del centro de la pista en el momento en
481
1
2
25
( y − 2)
=
2
25
( y − 4)
1
dad en función de p.
4
Determine la distancia en que se encuentra un
16
+
( y − 4)
=
Calcule la longitud de la mayor cuerda común
481 8
C) E)
481 5 481 3
El centro de una elipse es el punto O(2; 4) y sus
4
p + 2
4
D)
13.
B)
p + 4
C) E)
p + 6
eje mayor mide 10 km y el eje menor 6 km.
B)
+
+
41
representa una elipse. Determine la excentrici-
2
Una pista de carros tiene forma de elipse, el
A)
y
+
2
px2+( p+2) y2= p2+2 p
2
481
2
+
A) 10 D) 5
Si los focos de una elipse son los puntos
la excentricidad.
25
( y − 3)
a la parábola de ecuación y2=2 x+4 y la elipse 2 x2+ y2=8.
12
pertenece a la elipse, calcule el cuadrado de
( x − 4 )2
2
p + 6
2 p + 2
Considere una partícula que se mueve en el sentido de las manecillas del reloj y sigue la trayectoria elíptica x
2
100
+
y
2
25
=
1
La partícula abandona la órbita en el punto ( – 8; 3) y viaja a lo largo de la recta tangente a la elipse. ¿En qué punto la partícula cruzará el eje Y ?
focos son F 1( – 2; 4) y F 2(6; 4). Si el eje menor tiene una longitud de 10 m, halle la ecuación
A) (0; 4)
de la elipse.
D) (0; – 4)
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B) (0; 6)
C) (0; 8) E) (0; – 6)
18
Trigonometría
Anual UNI
Trigonometría
NIVEL AVANZADO
14.
En la figura
C)
OB es
fijo y B(6; 0). Determine la
D)
( x − 3)2 9
( x − 2)2
ecuación de la elipse que describe el vértice A
4
sobre el plano XY si esta se mueve de tal ma-
( x − 3)2
E)
nera que el producto de las tangentes de los
4
+
y
4
+ y
+
2
2
y
=
=
1
1
2
36
=
1
ángulos de las bases es siempre igual a 4. 15.
Y
Calcule la ecuación de las rectas tangentes a la elipse x
A
2
16
+
y
2
4
=
1,
cuya pendiente es igual a 1.
O
A) B)
( x − 3)2 9
( x − 4 )2 9
B
+
+
y
2
36 y
=
1
=
0; y − x − 20
=
0
B) y − x − 20
=
0; y + x − 20
=
0
C) y − x + 20
=
0; y + x − 20
=
0
X
D) y − x − 20 = 0; y − x + 20 = 0
2
36
A) y − x + 20
=
1
E) y
−
x
−
10
=
0; y
−
x
−
10
=
0
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10
NIVELESTrigonometría
P RÁCTICA POR
Transformación de coordenadas
NIVEL BÁSICO
1.
Determine la nueva ecuación de la recta y = − 3 x + 3, después de haber rotado los ejes 30º. A) y ' D) y '
2.
NIVEL INTERMEDIO
3 =
2
x'
B) x '
3 =
2
y'
3 =
C) y'= x' E) x '
2
5.
=
Dada la curva C con ecuación xy=8, calcule la ecuación resultante en el sistema x'y' luego de aplicar una rotación de ejes. 2 A) ( x ' )
−
3
2 B) ( x ' )
2
2 C) ( x ' )
−
2 D) ( x ' )
−
El origen de coordenados se traslada al punto (3; 2) y luego se hace una rotación de 45º. Calcule en este nuevo sistema las coordenadas de P(10; 5).
E) 6.
A) (5 2; 3 2 ) B) (5 2; − 2 2 ) C) (2 2 ; 3 2 ) D) ( −2 2 ; 3 2 ) E) (3 2; 5 2 )
−
16 ( x ' )
( y ')
2
( y ')
2
( y ')
2
( y ')
2
2 −
=
1
=
4
=
8
=
16
16 ( y ' )
2 =
1
Por una traslación de los ejes coordenados al nuevo origen (3; 3) y después de una rotación en un ángulo de 30º las coordenadas de cierto punto P se transforman en el punto (7; 6). Halle las coordenadas de P respecto de los ejes coordenados originales.
7 3 ; 3 3 2 7 3 13 + ; 3 3 B) 2 2 7 3 ; 13 + 3 3 C) 2
A) 3.
Halle las nuevas coordenadas del punto (2; 2) cuando los ejes coordenados son girados, primero en 45º, y después se traslada al origen ( –1; 1). A) ( 2; − 2 ) B) ( −2 2; 2 )
D)
7 13 + ; 2 2
E)
7 + ; 13 2 2
C) ( − 2; − 2 ) D) ( 2; 2 )
3
3
E) (2 2; − 2 ) 7. 4.
Determine el área que determinan la recta x+y – 4=0 y los semiejes en el nuevo sistema generado al rotar un ángulo de 37º en sentido horario. A) D)
200
u
2
7 400 7
u
2
B)
300 7
u
2
C) E)
500
¿A qué punto debe trasladarse el origen de coordenadas para eliminar el término constante y el término lineal en y, de la ecuación 8 y2 – 6 x – 24 y+15=0?
u
2
A)
3 − 1 ; 2 2
u
2
D)
1 3 ; 2 2
7 400 9
B)
E)
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− 3 − 1 1 3 C) − ; − ; 2 2 2 2
22
− 1 3 ; 2 2
Trigonometría
Anual UNI
8.
Trigonometría
Mediante una traslación de ejes, transforme la siguiente ecuación. y3 – 6 y2 – x+12 y – 12=0
D) E)
9.
A) ( y ' )
3
B) ( y ' )
3
C) ( y ' )
3
D) ( y ' )
3
E) ( y ' )
3
( x ' )2 4
( x ' )2 8
+
+
( y ')
2
8
( y ') 16
=
1
=
1
2
2x '
=
x ' =
12.
2
=
x'
=
−
1 =
4
Identifique el tipo de curva que representa la siguiente ecuación. 4 x2 – 4 xy+ y2+8 x – 4 y – 5=0
x
A) parábola B) elipse C) hipérbola D) dos rectas paralelas E) circunferencia
x'
Mediante una traslación de ejes, transforme la ecuación x2+ xy+ y2 – 7 x – 8 y+18=0 en otra que no tenga términos de primer grado.
NIVEL AVANZADO
A) 2 ( x ' )
2
−
( y ')
2
−
x ' y '+ 3
=
0
2 2 B) ( x ' ) + 3 ( y ' ) + 2 x ' y '− 4 = 0 2 C) 2 ( x ' )
+
3 ( y ')
2
−
4 x ' y '+ 2
=
13. 0
D) ( x ' )2 + ( y ' )2 + x ' y ' + 47 = 0
Halle las coordenadas del foco de la parábola, cuya ecuación es x2+2 xy+ y2 – 8 x+8 y=0
2 2 E) ( x ' ) + ( y ' ) + x ' y ' − 1 = 0
10.
Mediante una rotación de ejes, la ecuación 7 x
2
−
6 3 xy + 13 y
2
=
16 2
se transforma en A( x' ) + B( y' )2=1. Calcule A – 1+ B – 1. A) 3 D) 5
11.
A) (–1; 1) D) (–1; –1)
B) 5/4
14.
C) 4 E) 6
2
A) B) C)
3 xy + 2 y
+
( x ' )2 4
( x ' )
2
6
( x ' )2 20
+
+
+
( y ')
2
=
4
Elimine el término que contiene a xy en la ecuación 2 x2+ xy+ y2 – x+2 y – 1=0 Luego, identifique su gráfica.
1 15.
2
20
( y ')
0
2
20
( y ')
− 10 =
C) (1; 1) E) (0; –1)
A) hipérbola B) elipse C) circunferencia D) parábola E) dos rectas que se intersectan
Mediante una rotación de ejes, reduzca la siguiente ecuación. x
B) (1; –1)
=
1
=
1
2
Calcule el centro de la elipse, cuya ecuación es 3 x2 – 2 xy+3 y2 – 2 x – 10 y+9=0 A) (2; 1) D) (3; 1)
B) (1; 2)
C) (1; 3) E) (2; 3)
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12
Anual UNI
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS II
SECCIONES CÓNICAS I
SECCIONES CÓNICAS II
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
