Material de Matematica Financiera

Mat erial de Matemática Financiera

Introducción El estudio de las Matemáticas Financieras es importante para todas aquellas personas que deseamos saber cuánto ganamos o cuanto perdemos en una inversión. El propósito primordial del estudio de esta asignatura es que podamos evaluar la equivalencia del valor del dinero en diferentes tiempos y en diferentes circunstancias de la manera más sencilla posible. Básicamente el estudio de las Matemáticas Financieras se basa en dos métodos para realizar operaciones financieras y determinar determinar el valor del dinero, los cuales nos facilitan el análisis análisis del rendimiento rendimiento financiero, financiero, estos métodos son el Interés Simple y el Interés !ec!o de que solo el capital o principal produce Compuesto. En el primero se parte del !ec!o intereses, en tanto que el segundo el principal principal y los intereses ganan intereses.

"os métodos mencionados no son equivalentes ni su uso es optativo por parte del inversionista o analista financiero. E#iste un uso adecuado de acuerdo a una circunstancia particular. $or e%emplo, e%emplo, usamos el Interés Simple , si deseamos saber los ingresos de un determinado capital invertido para un periodo de & a'os a través de un bono que paga intereses mensualmente (cupón) a una cierta tasa de interés y no se capitalizan los intereses. $or el contrario, usamos el Interés Compuesto si deseamos saber el monto que se tend tendrá rá al fina finall de * a'os a'os,, de una una cant cantid idad ad de dine dinero ro inve invert rtid ida a peri periódi ódica came ment nte e y consecutivamente, cuyos intereses se capitalizan por periodo. +uando disponemos de una cantidad de dinero podemos destinarlo, o bien a gastarlo satisfaciendo alguna necesidad-, o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro más o menos pró#imo, segn se acuerde. /e la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad, estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensación económica nos resulte atractiva. En este sentido el principio básico de la preferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad los bienes más cercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles en momentos más le%anos. "a razón es el sacrificio del consumo. Este aprecio de la liquidez es sub%etivo pero el mercado de dinero le asigna un valor ob%etivo ob%eti vo fi%ando un precio por la financ financiación iación que se llama interés. interés. El interés se puede definir como la retribución por el aplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, el precio por el alquiler o uso del dinero durante un per0odo de tiempo. Esta compensación económica se e#ige, entre otras, por tres razones básicas 1. 2.

Por el riesgo que se asume. Por la falta Por falta de dis dispo ponib nibili ilidad dad qu que e supone supone despre desprende nderse rse del del din dinero ero o capita capital l durante un tiempo.

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3.

Por la la deprec depreciació iación n del del valor valor del del dinero dinero en el el tiempo. tiempo.

"a cuantificación de esa compensación económica, de los intereses, depende de tres variables, a saber 1

"a ca cant ntid idad ad de dell ca capi pita tall in inve vert rtid ido, o,

*

El ti tiem empo po qu que e dur dura a la la ope opera raci ción ón,, y

&

"a ta tasa sa de in inte teré réss al al que que se ac acue uerd rda a la la ope operac ració ión. n.

El capital financiero es una cantidad $ de unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo n. En una operación financiera no tiene sentido !ablar de capitales iguales (aquellos en los que coinciden cuant0as y vencimientos), sino que siempre estaremos refiriéndonos a capitales equivalentes , cuya definición se dará más adelante, si bien se adelanta la idea de que !ay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situación u otra. Es decir, decir, si si a usted le resulta indiferente cobrar cobrar !oy 21,333 a cobrar 21,133 dentro de un a'o, entonce entoncess diremos diremos que que ambos ambos capital capitales es 21,333 y 21,133 son equivalentes. /iremos entonces que, dos capitales cualesquiera, $ 1 con vencimiento en n 1 y $* con vencimiento en n *, son equiva equivalentes lentes cuando cuando se está de acuerdo en interc intercambia ambiarr uno por otro. El concepto de equivalencia no significa que no !aya ganancia o costo en la operación. 4odo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o pérdida que estamos dispuestos a asumir en una operación concreta. $ara efectuar una operación financiera es necesario que a las personas que intervienen, las cantidades cantidades de dinero que dan y recibe reciben n les resulten equivalente equivalentes. s. Es necesario que deudor y acreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los que finalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático (5imple o +ompuesto) que permita dic!a sustitución una ley financiera. "a ley financiera se define como co mo un mo mode delo lo ma mate temá mátitico co (u (una na fó fórm rmul ula) a) pa para ra cu cuan antitififica carr lo loss in inte tere rese sess po porr el aplazamiento y6o anticipación de un capital en el tiempo. +onociendo las diferentes leyes financieras que e#isten y cómo funcionan se podrán sustit sus tituir uir uno unoss capi capital tales es por otr otros, os, pud pudién iéndos dose e for formal maliza izarr las dif difere erente ntess ope operac racion iones es financieras.


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I UNIDAD: Interés Siple !"! #eneralidades de las ateáticas financieras financieras

"as Matemáticas Matemáticas Financieras Financieras son un con%unto con%unto de técnicas técnicas y procedimien procedimientos tos de carácter carácter cuantitativo que nos sirven para calcular la equivalencia del valor del dinero en cualquier momento. "a medición del valor del dinero nos ayuda a tomar decisiones financieras, es decir7 para valorar el premio de prescindir por cierto tiempo, a cierta tasa de interés, de un determinado capital. "as Matemáticas Matemáticas Financieras Financieras se ven involucradas en todas las actividades actividades económicas donde pretendamos obtener una ganancia7 particularmente la usamos en la medición del rendimiento del dinero invertido, porque a fin de cuentas es lo que está en %uego, es decir7 si perdemos o ganamos. "os campos de mayor aplicación son el Mercado Financiero y el Mercado de 8alores que es donde se oferta y demanda dinero a un precio que está determinado por la libre competencia. En todas las actividades actividades financieras financieras se acostumbra acostumbra pagar un rédito rédito por el uso del dinero prestado, la mayor parte de los ingresos de bancos y compa'0as inversionistas se deriva de los intereses intereses sobre préstamos préstamos o del retorno de utilidades utilidades por inversión. En general el dinero genera dinero, acumulando valores que var0an con el tiempo. El análisis de las causas de la acumulación del dinero con el paso del tiempo es el problema fundamental de las finanzas. "as matemáticas financieras tienen por ob%eto encontrar el valor del dinero en diferentes momentos en el tiempo, es decir, disponer y saber utilizar los medios y elementos necesarios para trasladar en el tiempo y de manera simbólica las cantidades de dinero que interv intervien ienen en en cualqu cualquier ier operac operación ión financ financiera iera,, además además de asesor asesorar ar y orient orientar ar apropiadamente a quienes tienen la necesidad de pedir dinero prestado y a los que disp dispon onen en de este este para para pres presta tarl rlo o o inve invert rtir irlo lo a fin fin de que que gene genere re inte intere rese sess y otro otross beneficios. $%or qué es tan iportante la ateática financiera&

$orque prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. "as opciones que que se tome tomen n camb cambia ian n la vida vida de las las pers person onas as poco poco y en algu alguna nass ocas ocasio ione ness considerablemente. $or e%emplo, la compra en efectivo de una camisa nueva aumenta la selección de ropa del comprador cuando se viste cada d0a y reduce la suma de dinero que lleva consigo en ese momento. $or otra parte, el comprar un automóvil nuevo y suponer que un préstamo para automóvil nos da opciones nuevas de transporte, puede causar una reducción significativa en el efectivo disponible a medida que se efectan los pagos mensuales. En ambos casos, los factores económicos y no económicos, lo mismo que los factores tangibles e intangibles son importantes en la decisión de comprar la camisa o el automóvil.


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"os individuos, los propietarios de peque'os negocios, los presidentes de grandes corporaciones y los dirigentes de agencias gubernamentales se enfrentan rutinariamente al desaf0o de tomar decisiones significativas al seleccionar una alternativa sobre otra. Estas son decisiones de cómo invertir en la me%or forma los fondos o el capital de la +ompa'0a y sus propietarios. El monto del capital siempre es limitado, de la misma manera que en general es limitado el efectivo disponible de un individuo. Estas decisiones de negocios cambiarán invariablemente el futuro, con la esperanza de que sea para me%orar. $or lo normal, los factores considerados pueden ser una vez más, económicos y no económicos, lo mismo tangibles que intangibles. "os términos comnmente utilizados en la matemática financiera son los siguientes $ 9 8alor o suma de dinero en un momento denotado como el presente, denominado el valor presente. 5 9 8alor o suma de dinero en algn tiempo futuro, denominado valor futuro. : 9 5erie de sumas de dinero consecutivas, iguales de fin de periodo, denominadas valor equivalente por periodo o valor anual. ; 9 ;mero de periodos de interés7 a'os, meses, d0as. i 9 4asa de interés por periodo de interés7 porcenta%e anual, porcenta%e mensual. n 9 4iempo e#presado en periodos7 a'os, meses, d0as.

!"' (alor cronológico del dinero"

5i se elige invertir dinero !oy, ya sea en un banco o en una corporación de a!orro y préstamo, ma'ana !abremos acumulado más dinero que el que !emos invertido originalmente, de igual manera si una persona o empresa pide !oy dinero prestado, ma'ana tendrá que pagar una cantidad mayor. Este cambio en la cantidad de dinero durante un periodo de tiempo es lo que se conoce como el valor cronológico del dinero en el tiepo"

El valor cronológico del dinero debe verse desde el punto de vista del valor real, o sea7 de su poder adquisitivo, el valor del dinero puede cambiar a través del tiempo, no solamente debido a una tasa de interés, sino también por efectos de la variación monetaria (devaluación) o la tasa de inflación. En épocas de inflación, los ingresos fi%os suelen reducirse en su poder adquisitivo de forma tal, que terminan por ser insuficientes para mantener los costos de la vida. $or e%emplo <$referir0a usted recibir +2 13,333 dentro de un a'o o recibirlos el d0a de !oy=, probablemente !oy, por las siguientes razones  "a inflación  "a oportunidad ______________________________________________________________________ Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas

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 El riesgo !") *lu+os de dinero"

"as personas y las compa'0as tienen ingresos de dinero, (rentas) y pagos de dinero, (costos y gastos) que ocurren particularmente cada periodo de tiempo dado. Estos valores que constituyen ingresos y pagos y que se dan periódicamente en el tiempo se denominan flu%os de ca%a. $ara simplificar, se supone que todos los flu%os de ca%a ocurren al final de cada periodo de interés. "os flu%os de ca%a se caracterizan por su signo, positivo si es un ingreso y negativo si es un pago o desembolso. En cualquier instante de tiempo el flu%o de ca%a podr0a representarse como Flu%o de ca%a neto 9 ingresos - egresos. • a, *lu+os de ca+as positivos -.,: Estos representan todas las entradas de dinero independientemente de donde provengan, ver grafica 1. >3 ?3 @3 A3 &3 rafica 1.1. b, *lu+os de ca+a negativos -/,: Estos representan todas las salidas o egresos de

dinero independientemente del concepto que los origine, ver grafica *.

1A *3 *A &3

&3 rafica 1.*.

Cn préstamo de +2 *A,333 es positivo para la persona o entidad que recibe el préstamo y negativo para la institución financiera que lo otorga. Diagraa de flu+o de ca+a

El diagrama del flu%o de ca%a es la representación gráfica de un flu%o de dinero en una escala de tiempo (8er gráficos 1.1 y 1.*). El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra los valores dados y los que debemos encontrar, es decir7 es un instrumento visual para el análisis financiero y nos facilita resolver el problema mirando nicamente el dibu%o del diagrama del flu%o. $odemos asegurar que el é#ito para la resolución de un problema de Matemáticas Financieras, depende de gran manera de la construcción del diagrama de flu%o de ca%a. "os diagramas de flu%os de ca%a 1.& y 1.D representan los ingresos y egresos netos de un proyecto de inversión. ,333 ______________________________________________________________________ Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas

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>,333 ?,333 @,333 A,333 3

1

*

&

D

A 'os

ráfico 1.&

*3,333

En el diagrama del flu%o de ca%a, la fec!a 3 (cero) es el momento actual (!oy. "a fec!a 1, es el final del per0odo 1. "a fec!a *, es el final del per0odo *. "a fec!a &, es el final del per0odo & y as0 sucesivamente !asta el final del periodo de interés n. El final del periodo n es el vencimiento. En vista de que asumimos que el flu%o de dinero ocurre al final de cada per0odo (salvo cuando se estipule lo contrario), solamente debemos considerar las fec!as marcadas con 3, 1, *, &, . . ., n para registrar los flu%os en el diagrama.

,333 >,333 ?,333 @,333 A,333 3

1

*

&

D

A 'os

ráfico 1.D

*3,333

nalicemos en particular los per0odos * y A de la escala del gráfico 1.D 1

* $eriodo *

Gnicio per0odo *

D

A $eriodo A

Final per0odo *

Gnicio per0odo A

Final per0odo A

:eafirmamos que la dirección de las flec!as en el diagrama de los flu%os de ca%a es importante para la solución del problema. Ctilizaremos flec!as !acia arriba para indicar un flu%o positivo (ingreso) y flec!a !acia aba%o para indicar un flu%o negativo (egreso)

*3,333

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*3,333 *lu+o positivo

*lu+o negativo

"os flu%os de ca%as los podemos presentar de dos formas diagrama o gráfico gráficos 1.& y 1.D) y tabular (ver tablas 1.1 y 1.*) A0o

1

Flu%o ;eto

(*3,333)

!

'

A,333

)

@,333

?,333

2

3

>,333

,333

2

3

@,333

A,333

(ver

4abla 1.1 Muestra el flu%o del diagrama 1.& A0o

1

Flu%o ;eto

(*3,333)

!

'

,333

)

>,333

?,333

4abla 1.* Muestra el flu%o del diagrama 1.D 4+eplo !"!

Cna empresa invierte en una máquina 21*,333 que se estima tendrá una vida til de @ a'os. "os ingresos anuales serán de 2A,333 y los costos de operación y mantenimiento serán de 21,*33 para el primer a'o y se espera que estos costos aumenten en 2&33 por a'o a partir del a'o *. "a máquina al final de la vida til tendrá un valor de rescate de 2&,333. Elaboremos el flu%o de ca%a en forma tabular y en diagrama. Solución

$rimero !agamos una tabla refle%ando los ingresos y egresos de la actividad económica por a'o para deducir el flu%o neto. (8er tabla 1.&). Hbserve que en el a'o @ el ingreso es de 2>,333 esto es debido a la venta de la máquina por 2&,333 . A0o

1

!

'

)

2

3

5

Gngreso Egreso

333 1*,333

A,333 1,*33

A,333 1,A33

A,333 1,>33

A,333 *,133

A,333 *,D33

>,333 *,?33

*lu+o Neto

-!'6111, )6711

)6311

)6'11

'6811

'6511

36)11

4abla 1.& En el diagrama 1.A se muestra el flu%o de ca%a neto. &,>33 &,A33 &,*33 *,33

A,&33 *,@33

3 1*,333

1

*

&

D

A

@ 'os

ráfico 1.A

Investigar para el pró9io encuentro los siguientes térinos: ______________________________________________________________________ Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas

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1. +ondiciones para un estudio económico efectivo. *. /efinición de $royecto. !"2 Interés Siple

El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base. Gnterés simple, es también la ganancia sólo del capital (principal, stocI inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el per0odo de transacción comercial. "a fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. eneralmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (per0odos menores de 1 a'o). l calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, no capitaliza. Interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por el uso del dinero en calidad de

préstamo o depósito. "as leyes de cada pa0s rigen los contratos y relaciones entre prestatarios y prestamistas, por el dinero tomado en préstamo debe pagarse un precio. *órula general del interés siple  I  %in

/ónde I % i n

   

Gnterés acumulado o devengado $rincipal o capital 4asa de interés anual $lazo del tiempo e#presado en a'os.

E#iste el cálculo del interés simple de forma comercial (&@3 d0as) y ordinaria o e#acta (&@A o &@@ d0as). 4+ercicios propuestos:

1. +alcular el interés simple comercial y e#acto de un préstamo de +2 A,333 a 3 d0as y una tasa de interés del >.AJ simple anual. ;esp" <=!15"'36 <=!12">8 *. Cn estudiante !izo un préstamo de C2 *,A33 pagaderos con C2 *,>A3 dentro de tres meses. <+uál fue la tasa de interés anual que se aplicó= ;esp" 35? &. <+uánto tardaran +2 1,333 a) en ganar +2 133 al 1AJ de interés simple= b) en aumentar a +2 1,&A3 al 1&.AJ de interés simple=. ;esp" a,7 eses@ b,' a0os6 > eses y ) das"


8


D. 3 en 1*3 d0as al 1>J de interés simple e#acto= ;esp" a, <= !!)6)))")) b, <= 86711"8) Deterinación del tiepo entre fecBas

+on el ob%eto de facilitar los cálculos se acostumbra suponer los a'os de &@3 d0as divididos en 1* meses de &3 d0as. $ara llevar la cuenta de los d0as se acostumbra e#cluir el primer d0a e incluir el ltimo, as0 para un préstamo recibido el 13 de enero y pagado el *A del mismo mes, el tiempo comercial transcurrido es de 1A d0as, en algunos pa0ses se acostumbra contar el primero y el ultimo d0a, en tal caso el tiempo comercial es de 1@ d0as. E#isten cuatro métodos para calcular el interés simple entre fec!as 1. El tiempo e#acto e interés ordinario o comercial. *. El tiempo e#acto y el interés e#acto. &. El tiempo apro#imado y el interés ordinario o comercial. D. El tiempo apro#imado y el interés e#acto. /e igual manera ane#o a este material encontrara una tabla que permite encontrar el tiempo entre dos fec!as, la cual será de utilidad para resolver algunos problemas. 4+ercicios propuestos:

+alcular el tiempo e#acto y apro#imado 1. /el 1> de abril al & de noviembre del mismo a'o. ;" !88 das6 !83 das" *. /el 1> de mayo del *31& al > de abril del *31D. ;" )'3 das6 )'1 das" &. Entre el 1A de marzo y el & de septiembre del mismo a'o. ;" !>' y !57 das" D. Entre el * de octubre del *31& y el 1A de %unio del *31D. ;" '35 y '3) das" A. El ? de abril del *31& una mu%er pidió prestados +2 1,333 al >J. $ago la deuda el ** de noviembre del mismo a'o. +alcular la cantidad de interés simple, usando los cuatro métodos. ;" <= 31"786 <= 31"!86 <= 31"11 y <= 28")'" @. 5e invirtieron +2 A,333 entre el & de noviembre del *31& y el > de febrero del *31D, al 1AJ de interés simple. +alcular la cantidad del interés ganado, usando los cuatro métodos. ;" <= '1'"176 <= !88")'6 <= !8>"8' y <= !83"'!" !"3 <álculo del valor presente y futuro (alor *uturo:

"a longitud de una escalera es la misma contada de arriba aba%o como de aba%o arriba. El valor futuro S puede considerarse como la cima vista desde aba%o y el valor actual P como el fondo visto desde arriba. El valor futuro representa la capitalización del dinero en el tiempo y se obtiene por S  %-!. in, (alor %resente:

El valor actual de una cantidad con vencimiento en el futuro, es el capital que a un tipo de interés dado, en per0odos también dados, ascenderá a la suma debida.


9


5i conocemos el monto para tiempo y tasa dados, el problema será entonces !allar el capital, en realidad no es otra cosa que el valor actual del monto. /erivamos el valor presente L%C de la fórmula general %  S-!.in,/! tras fórulas derivadas de la fórula general:

5i llamamos I a los intereses percibidos en el per0odo considerado, convendremos I = S-P

"a diferencia entre S y % es el interés ( I) generado por %. El tipo de interés ( i ) y el plazo ( n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses, etc.). 5iendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa. 4+ercicios para resolver en clase:

1. Encontrar el valor actual, al AJ de interés simple, de +2 1,>33 con vencimiento en  meses. ;esp" <= !6>)2"82 *. +alcular el valor al vencimiento de un préstamo de +2 *,A33 por 1> meses al 1*J de interés simple. ;esp" <= '"831"11 &. <+uál fue nuestra inversión inicial, si !emos obtenido utilidades de +2 &33, después de > meses, a interés simple y con el D>J de tasa anual=. ;esp" <= 8)>"31

D. 5i tenemos +2 13,333 y lo invertimos por un a'o con el *>J de interés anual. <+uánto dinero tendremos al finalizar el a'o=. ;esp" <= !'6711"11 A. El d0a de !oy obtenemos un préstamo por +2 A,333 y después de un a'o pagamos +2 A,33. /eterminar el interés y la tasa de interés. ;esp" <= 811"11 y !7?

@. +alcular el interés simple comercial y e#acto de un préstamo por +2 @33 con una tasa de interés del 1AJ durante un a'o. ;esp" <= 8!"'3@ <= 81"11 ?. /eterminar los intereses y el capital final producido por +2 13,333 con una tasa del 1>J en un a'o. ;esp" <= !6711"11@ <= !!6711"11 >. Cna pare%a pide prestados +2 13,333. "a tasa de interés anual es de 13.AJ, pagadero mensualmente, si el pago mensual es de +2 *33, <+uánto del primer pago es para intereses y cuanto para amortizar el principal=. ;esp" <= 7>"31@ <= !!'"31

!"5 4cuaciones de valor:

5on sistemas de ecuaciones para resolver problemas financieros, se requiere la determinación de una fec!a focal o fec!a de comparación la cual sirve de referencia para la aplicación de las ecuaciones matemáticas. Cno de los problemas más importantes en las matemáticas financieras es sustituir un con%unto dado de pagos por un con%unto equivalente. 5e dice que dos con%untos de pagos son equivalentes a determinada tasa de interés simple, si los valores fec!ados de los con%untos en cualquier fec!a comn son iguales. $rocedimiento para la solución de problemas

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1. acer un diagrama de tiempo que muestre los valores fec!ados de un con%unto de pagos a un lado de la l0nea de tiempo y los valores fec!ados del segundo con%unto de pagos al otro lado. *. 5eleccionar una fec!a focal. &. $lantear la ecuación de valor en la fec!a focal. D. :esolver la ecuación de valor. 4+ercicios propuestos:

1. Cn estudiante tiene una deuda con G5$ME: de +2 A33 a D meses y otra de +2 ?33 que vence en  meses, 6 <= !6!81"22 y <= !6'33"8'"

*. Cna persona tiene dos opciones para pagar un préstamo puede pagar +2 *33 al final de A meses y +2 &33 al final de 13 meses, o bien puede pagar +2 N al final de & meses y +2 *N al final de seis meses. 5i las opciones son equivalentes y el dinero vale 1*J, calcular N usando como fec!a focal a) @ meses y b) tres meses. ;" <= !5!"7> y <= !5!"85 !"> Descuento Siple:

/escuento Es la diferencia establecida entre el valor nominal y el valor recibido al momento de descontar un pagare, se calcula mediante / 9 5dt. /escontar un pagare Es la acción de recibir o pagar !oy un dinero, a cambio de una suma mayor comprometida para fec!a futura ba%o las condiciones convenidas en el pagare. $ 9 5 - / 9 5(1  dt) 8alor nominal de un pagare Es el que está inscrito en la obligación, indica la cantidad que debe pagarse en la fec!a de vencimiento se'alada. 8alor efectivo o l0quido de un pagare Es el valor que se recibe en el momento de descontar la obligación, en otras palabras en valor actual con descuento. E%ercicios a) Cn pagare con valor de +2 @>,333 vence el 1> de septiembre, se descuenta el *3 de %unio al 13J, calcular el descuento, el valor descontado o valor liquido del pagare. b) El se'or Mart0nez compra al B+; un certificado de inversión con valor nominal de C2 13,333 a una tasa de descuento del >.?J a *?3 d0as de plazo, calcular el valor del descuento y el valor liquido del certificado. ;esp" <= 53'"31 y <= 86)2>"11 !"7 Descuentos coerciales:

Es costumbre de las casas comerciales en épocas especiales ofrecer una reba%a sobre el precio de lista7 por e%emplo promociones por compras al por mayor, por pronto pago, etc. !" Descuento por coisiones: Estas comisiones se e#presan en porcenta%es y en su valor no interviene el tiempo, su cálculo es mediante D = F ∗d

/ónde ______________________________________________________________________ 11 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


/ /escuento F 8alor de la factura d 4asa de descuento El valor neto de una factura es igual al valor facturado menos el descuento, de igual manera en su cálculo no interviene el tiempo. P= F ( 1− d )

E%emplo Cn comerciante ofrece descuentos del 13J sobre compras superiores a los +2 1A,333, un cliente factura la cantidad de +2 1>,A1&.DA, calcular el valor que pagara el cliente. ;esp" <= !5655'"!! '" Descuentos por pronto pago: 5on ofrecidos por distribuidores y mayoristas en el

comercio segn la anticipación del pago en el plazo se'alado del crédito. Es costumbre se'alar este tipo de descuento por medio de fracciones, el numerador indica el porcenta%e del descuento y el denominador indica el tiempo dentro del cual el comprador tiene la opción de pagar, para tener derec!o al descuento que se'ala el numerador. E%emplo Cn comerciante factura en un almacén +2 >3,333 con las siguientes condiciones a) 13J al contado, b) >613, c) A6*3, d) &6*A, e) neto a &3 d0as, calcular el pago para cada una de las alternativas. ;esp. a, >'6111 b, >)6511 c, >56111 d, >>6511 e, 716111 )" Descuentos en cadena: 5e !acen sobre una misma factura descuentos entre s0,

cada uno de los descuentos se efecta sobre el valor neto de la factura después de deducir el descuento anterior, su cálculo es as0 P= F ( 1−d 1 ) ( 1−d 2 ) ( 1− d 3) … .. ( 1 −d n)

E%emplo "a facturación de una mercader0a por valor de +2 1*3,333.33, aplica a los siguientes descuentos en ocasión de navidad y a'o nuevo, @J por compras al por mayor, DJ por lealtad de cliente, *J por noc!es de compras y &J por promoción especial, calcular el valor neto a pagar. ;esp" <= !1'68)7"3>



4+ercicio e9tra clase I" Investigue los siguientes conceptos

a) b) c) d) e) f)

Gnterés 4asa de interés :édito $lazo $agare /escuento

II" 4ncuentre el tiepo

a) b) c) d) e)

Entre el *& de enero y el *A de marzo del mismo a'o Entre el 11 de marzo y el *A de diciembre del mismo a'o $ara un pagare que se firmó el 1& de marzo a *13 d0as de plazo Entre el 1* de noviembre del *33 y el *A de %ulio del *313 $ara un préstamo que vence el 1A de %unio del *313, si se dio a un lazo de 1@3 d0as. f) El tiempo transcurrido entre el 1A de marzo y el & de septiembre del mismo a'o y entre el * de octubre del *33> y el 1A de %unio del *33. III" ,333 al 1*J simple anual durante 1>3 d0as. <=!6153"'!@ <=!6171"11 b) Cn capital de +2 A,333 al AJ simple semestral durante *33 d0as. <=36'13"27@ <=36'>>">7 c) Cn capital de +2 ?,>A3 al 1J simple mensual durante ?3 d0as. <=!71"55@ <=!7)"!> I(" Deterine:

a) 33 de interés en & meses al J simple anual= <=!'26222"22

b)
c) <+uánto tardaran +2 1,333 en ganar +2 133 al 1.AJ de interés simple mensual= 5 eses y '1 das"

d) ,333 aumentara en +2 >33 al 13J de interés simple anual= 3 eses y !1 das" e) < qué tasa de interés simple un capital de +2 1A,333 aumentara el doble en > a'os= !'"3?



f) < qué tasa de interés simple un capital de +2 1,333 aumentara a +2 1D*3 en *.A a'os= !5"7? (" ;esuelva cada uno de los siguientes casos:

a) /eterminar el valor presente o descontado de +2 1,333 pagaderos en tres meses, si la tasa es del 11J. ;esp" <= 8>)"'2 b) <+uánto se pagara al final de * a'os por un préstamo de +2 &,333 al &J de interés simple bimestral=. ;esp" <= 26171"11 c) Encuentre el valor presente de un certificado cuyo valor nominal es de +2 13,333 a un plazo de @ meses al ?J de interés simple mensual. ;esp" <= >612'"'3 d) Cna persona deposita +2 ?,A33 en una cuenta de un banco que paga el >.AJ de interés simple anual. Encuentre la cantidad acumulada al cabo de *A3 d0as. ;esp" <= >682'">!

e) El primero de diciembre del *313, "uisa adquiere un préstamo de +2 A>,?A al 3.J de interés simple mensual a un plazo de > meses y *A d0as para la compra de equipos. /etermine el valor apagar a la fec!a de vencimiento. ;esp" <= 5)655)"3! f) Cn préstamo de +2 *3,333 cuyo vencimiento es a  meses al 1*J, se reduce mediante dos abonos, uno de @,333 efectuado a los tres meses y otro de +2 >,333 efectuado dos meses antes del vencimiento. +alcule el saldo a la fec!a de vencimiento considerando la misma tasa de interés. ;esp" <= >6'71"11 g) 5e va a liquidar una deuda de C2 A33 que se venció !ace *3 d0as y otra por C2 D33 que se vence dentro de A3 d0as, con un pago de C2 @33 !oy y un pago final dentro de 3 d0as. +alcular el valor del pago final a la tasa de 11J de interés simple con fec!a focal de !oy. ;esp" U= )15"') !) El d0a de !oy, una empresa realiza una compra a su principal proveedor, acordando pagar originalmente +2 ?,*33 con vencimiento en A meses y +2 >,@33 con vencimiento en 11 meses. l llegar la fec!a del primer pago, el gerente financiero de la empresa analiza la posibilidad de pagar las obligaciones ba%o las condiciones siguientes. +alcule el valor de los pagos con un interés del 1*J 1. 5i se cancelan mediante un pago nico inmediato. ;esp" <= !36)!)"'! *. 5i se cancelan mediante un pago nico en * meses. ;esp" <= !365!)"'2 &. 5i se cancelan mediante un pago nico en D meses. ;esp" <= !368!8")> i) $or la compra de equipos, Marcos debe +2 &33 pagaderos en tres meses y +2 A33 a pagar en > meses. J y la fec!a focal es la del nico pago=. ;esp" a, <= >57"716 b, <= >88"2'6 c, <= 7)!"))



II UNIDAD: Interés
l finalizar este cap0tulo estaremos en capacidad de 1. Establecer y e#plicar la diferencia entre monto a interés simple y monto compuesto. *. rgumentar la diferencia de tasa de interés periódica nominal y tasa periódica efectiva. &. E#plicar los conceptos de tasas de interés equivalentes, per0odos de capitalización, frecuencia de capitalizar intereses segn la tasa de interés nominal. D. nalizar los modelos de capitalización de intereses discreta y continua. A. dquirir !abilidades en el planteamiento y resolución de problemas relacionados con monto compuesto, tiempo, interés, valor actual, tasas de interés nominal, efectivo y equivalentes. @. /esarrollar !abilidades en el planteamiento y resolución de problemas de ecuaciones de valores equivalentes a interés compuesto. Introducción

nteriormente abordamos problemas de interés simple, donde el capital permanece invariable o constante durante todo el tiempo que dura la transacción y los intereses se retiran periódicamente. +uando utilizamos el método de Interés Compuesto , el capital aumenta en cada per0odo7 por cuanto el interés se integra al capital, para luego calcular intereses sobre un nuevo monto en cada per0odo. $or ello, es muy corriente decir que en el Gnterés +ompuesto Llos intereses ganan interesesO, debido que éstos se capitalizan en cada per0odo de liquidación de interés. l proceso de integración de los intereses al capital al final de cada per0odo de interés, le conocemos como capitalización de intereses y constituye la esencia del método de interés compuesto. $roducto de este mecanismo, el capital invertido con este método ______________________________________________________________________ 15 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


crece más rápidamente, convirtiéndose en el sistema de cálculo de intereses más utilizado en las operaciones financieras de las instituciones bancarias y de préstamos. El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. +on la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. +alculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en per0odos anteriores7 es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital. Eonto copuesto

El concepto y la fórmula general del interés compuesto es una potente !erramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero. "lamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. "a diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto. El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de per0odo de capitalización. "a frecuencia de capitalización es el nmero de veces por a'o en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación. Estamos interesados en deducir la fórmula general que nos permitirá el cálculo del monto de una suma de dinero a interés compuesto. En particular iniciaremos con el siguiente e%emplo. Cna persona acude a un banco y deposita 2*,333 en una cuenta de a!orro a plazo fi%o de un a'o. El banco paga interés del J convertible trimestralmente (interés compuesto). <+uál será el valor del depósito al final del a'o= Solución

5e trata de !allar el valor futuro del depósito con una tasa de interés del 3.36D 9 *.*AJ acumulativo por trimestre. Esta situación se ilustra en la tabla 1.1D. Datos

$ 9 *,333,

%eriodo triestral

i 9 3.3**A trimestre, ; 9 D trimestres

(alor inicio de periodo

;o. 1 * & D

$ 2*,333.33 2*,3DA.33 2*,31.31 2*,1&>.3@

Interés devengado en el periodo

G9$in *,333.33(3.3**A) 9 DA.33 *,3DA.33(3.3**A) 9 [email protected] *,31.31(3.3**A) 9 D?.3A *,1&>.3@(3.3**A) 9 D>.11 4abla 1.1D *,1&>.3@

3

*,3DA

*,31.31

1

*

(alor a final de periodo

F9$P$in 2*,3DA.33 2*,31.31 2*,1&>.3@ 2*,1>@.1?

*,1>@.1?

&

D 4rimestres



ráfico *.1 1,333 "os nuevos montos o valores futuros en cada periodo, se muestran en el gráfico *.1, observemos que en cada trimestre, el interés se suma al capital a este proceso se le llama capitalización. El flu%o mostrado en el gráfico *.1 se puede representar a través del gráfico *.* donde la operación se realiza desde el valor presente !asta el valor futuro, o sea, desde el inicio !asta el final del plazo.

*,1>@.1?

3

1

*

&

D 4rimestres

ráfico 1.1@ 1,333 '"! Diferencias entre el interés siple e interés copuesto

E#isten dos diferencias entre ambos métodos. •

•

"a aplicación de los métodos difiere en las respuestas al tipo de transacción financiera efectuada. 5i los intereses son pagaderos por periodos, acta el interés simple, si los intereses son integrados al principal en cada periodo de capitalización, acta el interés compuesto. El crecimiento de una inversión espec0fica se da de forma más acelerada si es colocada a interés compuesto que a interés simple para un mismo plazo y una misma tasa de interés.

'"' Fasa noinal y tasa efectiva Fasa noinal  "a tasa de interés nominal es la tasa pactada o establecida en toda

operación financiera, generalmente es para per0odos anuales pero también puede definirse para per0odos menores que un a'o. Esta tasa no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo y especifica la frecuencia de liquidar o capitalizar intereses. $or e%emplo, consideremos las siguientes tasas de interés con su frecuencia de convertir o capitalizar intereses. "a tasa nominal la denotaremos por %. es necesario entonces definir una tasa de interés efectiva LiO que aplique a cada periodo de capitalización de los intereses.



a) *3J convertible trimestralmente, significa que es una tasa nominal anual con D conversiones en un a'o. b) 1>J convertible mensualmente, tasa nominal anual con 1* conversiones anuales. c) *DJ convertible semestralmente, tasa de interés nominal anual con * conversiones en un a'o. Fasa efectiva "a tasa efectiva es periódica y e#presa la

rentabilidad a interés compuesto, mide el porcenta%e de ganancia de la inversión, por tanto tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo. En este te#to, la tasa efectiva para periodo diferente de un a'o la denotaremos como i7 para periodo anual, la tasa efectiva la denotaremos por i e. "a tasa efectiva periódica i está dada por i

=

%

4asa periódica o efectiva

m

"a tasa efectiva anual está por la siguiente fórmula i e

=  1 + 

 m − 1  

% m

4asa efectiva anual

4+eplo '"!"

$ara cada uno de los casos determinemos las tasas efectivas. a) $ara *DJ convertible mensualmente (+.M). Es una tasa nominal % con frecuencia anual m 9 1* de capitalizar intereses con7

=

i

% m

=

3.*D 1*

=  1 + 

i e

% m

=

*J

4asa periódica efectiva mensual

 m − 1 =  1 +    

3.*D 1*

 1* − 1 = *@.>*D*J  

4asa efectiva anual

b) ?J semestral. Es una tasa efectiva i 9 ?J por semestre. c) 1@J convertible trimestralmente (+.4). Es una tasa nominal % con frecuencia anual m 9 D con tasas efectivas7 i

= i e

% m

=

3.1@ D

=  1 + 

% m

=

DJ

4asa periódica efectiva trimestral

 m − 1 =  1 +    

3.1@ D

 D − 1 = [email protected]>AEJ  

4asa efectiva anual

d) 1*J semestral, convertible bimensualmente +B. Es una tasa nominal % de con frecuencia anual m 9 @. i

= i e

% m

=

3.1*

=  1 + 

@ % m

=

*J

4asa periódica efectiva bimensual

 m − 1 =  1 +    

3.1* @

 @ − 1 = 1*.@1@&J  

4asa efec tiva anual

+oncluimos del e%emplo anterior lo siguiente si una empresa invierte al *DJ convertible mensualmente, entonces tiene una ganancia o rentabilidad anual *@.>*D1J equivalente una rentabilidad mensual del *J acumulativo, es decir que la ganancia mensual se ______________________________________________________________________ 18 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


invierte a la misma tasa. /e igual manera, si invierte al 1@J convertible trimestralmente, obtiene una ganancia anual de 1@.>AJ y una rentabilidad equivalente trimestral de DJ acumulativo. En la tabla *.1 presentamos las notaciones y las frecuencias más usuales de la tasa nominal anual en las operaciones financieras.

Notación

+onvertible anualmente +onvertible semestralmente +onvertible cuatrimestre +onvertible trimestral +onvertible bimensualmente +onvertible mensualmente +onvertible quincenalmente +onvertible semanalmente +onvertible diariamente +onvertible continuamente

c.a c.s c.c c.t c.b c.m c.q c.se c.d c.cm

*recuencia anual

m 91 m 9* M9@ m 9D m 9@ m 9 1* m 9 *D m 9 A* m 9 &@A m → ∝ (infinito)

4+ercicios %ropuestos:

+alcular la tasa efectiva para a. 13J c.t. b. 1*J c.m. c. 1DJ c.s. d. ?J c.c. e. **J c.d. f. 1AJ c.se. '") <álculo del valor presente y futuro (alor *uturo:

+omo se les !a planteado el valor futuro es la cantidad resultante al final de cierto periodo de tiempo, cierto nmero de periodos de capitalización, después de sucesivas adiciones de los intereses al capital o principal y lo denominaremos -S,. El valor futuro representa la capitalización del dinero en el tiempo y se obtiene por S  %-!. i, N N  -n,-, I  +G

/onde m  frecuencia de capitalización %  tasa nominal ;  nmero total de capitalizaciones (alor %resente:



El cálculo del valor presente o actual de una cantidad de dinero con vencimiento en el futuro, es su valor en cualquier fec!a anterior a su vencimiento. El cálculo del valor presente responde a las siguientes preguntas 5i se desea una determinada cantidad de dinero en el futuro, <+uánto se tendrá que invertir !oy conociendo la tasa de interés y el plazo de inversión=, otra es por e%emplo,
1. 5e invierten C2 1,A33 dólares durante 1> meses a una tasa nominal del 1&J, calcular el valor acumulado, si el interés se compone a) mensualmente b) diariamente. ;esp" a, U=!67'!"15 b, U= !67''"81 *. 5e invierten C2 *,333 durante 13 a'os a 13J c.s. durante los primeros tres a'os, a >J c.t. durante los D a'os siguientes y al J c.m. por los ltimos tres a'os. +alcular el valor acumulado después de 13 a'os. ;esp" U=267!2"82 &. "a población de 5an :afael del 5ur era de 1A,333 al &1 de diciembre del *333. /urante el periodo del *333 al *313 el pueblo creció a una tasa del *J anual. 5uponiendo que la tasa de crecimiento !aya permanecido constante, estimar a) la población al &1 de diciembre del *3*3, b) el aumento de la población en el a'o *31&. ;esp" a, ''6'78 Bab6 b, )71 Bab" D. +uanto !abr0a que depositar !oy en un fondo de inversión que paga el 13.DJ c.m., para tener C2 *,333 dentro de & a'os. ;esp" U= !6253"8) A. Cna persona puede comprar un lote a!ora en C2 &3,333, o bien, por C2 1*,333 de enganc!e, C2 1*,333 en dos a'os y C2 1*333 en A a'os. <+uál opción es la me%or, si el dinero se puede invertir al a) 1*J c.m., b) >J c.m. durante los primeros & a'os y @J c.t. durante los dos a'os siguientes= ;esp" a, *inanciado U= '76135"!86b, 4fectivo6 U= )165!>"2' 3"' <álculo de tasas equivalentes

En la vida diaria con frecuencia se establecen tiempos distintos de capitalización de los intereses. /os tasas anuales con diferentes periodos de capitalización son equivalentes cuando generan el mismo interés compuesto para un capital al final de un a'o. "o anterior obliga a !acer una distinción entre dos tasas distintas una que se denomina nominal con capitalizaciones que corresponden a la unidad de tiempo (anual, semestral, cuatrimestral, trimestral, etc) y otra que está ligada al periodo convenido de capitalización que se conoce como efectiva. +onversión de tasa nominal a tasa efectiva ie  -!.+G, / !

+onversión de tasa efectiva a tasa nominal ______________________________________________________________________ 20 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


+  --!.ie,!G H !, o i  --!.ie,!G H !,

+onversión de tasa nominal a tasa nominal +!  !--!.+' G','G! /!, 3") <álculo del tiepo y la tasa a interés copuesto"

+uando se conocen P S , e i , se puede calcular el tiempo usando uno de los métodos siguientes a) 5e usan logaritmos para despe%ar N de la ecuación e#ponencial, si el interés compuesto se permite en la parte fraccionaria de un periodo de conversión, una solución logar0tmica obtiene el valor correcto de N. b) 5e puede !acer una interpolación para apro#imar el valor de N . 5i se requiere interés simple para la parte fraccionaria de un periodo de conversión, la interpolación lineal obtiene el valor correcto de N. N =

ln S / P ln ( 1 + i )

4+ercicios propuestos

1. <+uánto tardaran C2 *,333 en acumular C2 >33 de interés al 13J c.t= *. 5i el costo de la vida aumenta >J por a'o, <+uánto tiempo tardara el poder adquisitivo de C2 1 en caer a C2 @3 centavos=. ;esp" 5 a0os6 > eses y !8 das"
+uando $, 5, y n !an sido determinados, se puede calcular la tasa de interés LiO, con la siguiente ecuación 1 / N

()

i=

S

P

−1

4+ercicios propuestos !" +alcular la tasa nominal c.t., para que C2 *,333 se incrementen a C2 &,333 en & a'os y nueve meses. ;esp" !1"85? c"t" 3"2 4cuaciones de (alor

Qa se estudió ecuaciones de valor a interés simple, la mayor parte de los principios y procedimientos se aplican a interés compuesto. /os propiedades importantes de la equivalencia del interés compuesto son 1.  determinada tasa de interés compuesto, si LNO es equivalente a LQO y LQO es equivalente a LRO, entonces LNO es equivalente a LRO. *. 5i dos con%untos de obligaciones son equivalentes en una fec!a focal (es decir, la suma de los valores fec!ados equivalentes de los miembros de un con%unto es ______________________________________________________________________ 21 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


igual a la suma correspondiente del otro con%unto), entonces son equivalentes en cualquier fec!a focal. '"' Fiepo equivalente en ecuaciones de valor

Cn con%unto de obligaciones con diferentes fec!as de vencimiento se pueden cancelar mediante un solo pago igual a la suma de los valores del con%unto de obligaciones si se !ace en una fec!a determinada llamada tiempo equivalente. E%emplo Cna empresa debe +2 1*3,333 con vencimiento en & meses, +2 1A3,333 con vencimiento a 13 meses y +2 *33,333 con vencimiento en 1* meses, si se !ace un pago nico, determine el tiempo equivalente a un rendimiento del 1>J c.m. $or conveniencia, se fi%a el mes 1* como fec!a focal, se suman las obligaciones para determinar el valor del pago nico, obteniendo como resultado +2 D?3,333, también se define que el tiempo entre el pago de +2 D?3,333 y la fec!a focal es ;, se plantea la ecuación de valor con i 9 3.1>61* 93.31A D?3,333(1P3.31A); 9 1*3,333(1P3.31A) P 1A3,333(1P3.31A)* P *33,333 D?3,333(1.31A); 9 1&?,*3@.>3 P 1AD,A&&.?A P *33,333 D?3,333(1.31A); 9 D1,?D3.AA N

(1.015 ) =

491,740.55 470,000

(1.31A); 9 1.3D@*A@D> ; log 1.31A 9 log 1.3D@*A@D> N =

log 1.046256489 log 1.015

! " 3.#3$122%33 !" 3 meses & 1 d'a

"a fec!a para realizar el pago nico es  meses y * d0as. 4+ercicios:

a) Cna empresa debe +2 3,333 con vencimiento en & meses, +2 A3,333 con vencimiento a > meses y +2 133,333 con vencimiento en 1* meses, si se !ace un pago nico, determine el tiempo equivalente a un rendimiento del 1>J c.m. 4+ercicios propuestos para el auto/estudio Eonto copuesto

1. <+uál el valor final de un documento de valor nominal 2&,333 a un plazo de * a'os y ? meses comerciales si el interés es del 1>J +4= :espuesta 2D,?*?.?? *. +alcule el monto de 2*,333 desde el 13 de mayo al 1> de diciembre del mismo a'o al 1D.@AJ +/. :espuesta 2*,13.AD



&. <+uál es el valor final de un certificado de valor nominal de 21A,A33 a un plazo de > meses y 1* d0as si la tasa de interés es de @.>J +4= :espuesta. 21@,*D.1D D. /etermine qué plan le conviene a una persona para a!orrar cierta cantidad de dinero a los A meses, sabiendo que el dinero gana un interés del **J +4. :espuesta plan a) a. Cn solo depósito !oy de 2>,333 b. Cn depósito !oy de 2&,A33 y otro depósito de 2D,A33 a los D meses c. 4res depósitos en los meses 1, * y & de 2*,>33 cada uno A. Cna cuenta de a!orros se abre con 2A33.33, al tercer mes se depositan 21A3, a los dos y seis meses siguientes se retiran 2>A y 2133 respectivamente. 5i el interés que gana es del @.&3J +M determine la cantidad en la libreta de a!orros un a'o después de iniciada la cuenta. :espuesta. 2D.1 @. <+uánto gana por concepto de intereses un inversionista que deposita 2&*3,333 en una cuenta que redita el 1>.DJ +M, en un a'o y medio de plazo= :espuesta 2133,>*>.* ?. Cna apersona a!orra en el mes cero 21,A33 a DJ +B, en el mes 1A a!orra 21,@33 a AJ +4. alle el monto en el mes *D. :espuesta 2&,*>A.*A >. "a se'ora Ferrer invierte !oy 2*A,333, J mensual capitalizable por mes= <+uánto dinero gana por intereses= :ecuerde que esta tasa significa que %6m 9 %61* 9 3.3*> de donde % 9 3.&&@ es la tasa nominal anual +M. :espuesta a) 2*,A3A.*1 b) 2D,A3A.*1 (alor actual o presente copuesto

. J de interés +M= :espuesta2,&>>.3* 13. J +/ y tiene un vencimiento en *3 meses= :espuesta 2&A,D&@.>? 11. /etermine el valor actual de 2>AA que vencen dentro de &33 d0as con las siguientes tasas de interés a) 1*J +4, b) 1DJ +B, c) 1DJ +5, d) 1AJ +/ :espuestas a) 2??D.?? b) 2?@1.>? c) 2?@&.>* d) 2?AD.AA 1*. 33 se realizó el *@ de %unio, el primero con el 1*J +/ y el segundo con el 1&J +5. :espuesta 2&,DD*.@>



1A. /etermine que le conviene más a un empleado si la patronal le ofrece tres opciones para liquidar sus prestaciones por servicio, al 1AJ +5. (sugerencia !alle el valor actual de cada opción y seleccione la mayor) :espuesta opción c) a. :ecibir !oy 2&,333 y 2&,>33 a los A meses b. :ecibir !oy un solo pago de 2@,A33 c. :ecibir !oy 21,333, 2*,333 a los * meses y 2D,333 a los @ meses 1@. Cn documento por 2A3,333 se vence dentro de 1A meses, si se descuenta a una tasa (a) del 1>J de forma continua (b) del 1>.13 J +4 (c) del 1>.*3J +5. /etermine el menor valor al d0a de !oy. (indicar el inciso) :espuesta. Gnciso (a) 2&,*A.>1. 1?. oy se contrae una deuda que %unto con sus intereses al >.AJ efectivo trimestral al final de D a'os representará 2A33,333. /etermine la cantidad que se deberá pagar si la deuda se cancela al cabo de 1> meses. :espuesta. 2**1,1D*.?1 1>. Cna empresa compra un equipo de computación con 2&,A33 de cuota inicial y un pago por 213,333 a los dos meses de la compra. <+uál es el precio de contado si se tienen cargos del &&J +M= :espuesta 21*,?1.>> 1. <+uál es el precio de contado de D3 impresoras que se pagan con un anticipo del &3J y dos abonos o cuotas de 2?,333 y 2,333 respectivamente a * y & meses de la compra= 5uponga intereses del *J anual con capitalización quincenal. :espuesta 2*1,D&.A3
*3. Cna corporación financiera, recibe una letra de cambio por valor nominal de 2&A,333 con vencimiento en 1A meses y un interés del *DJ +4.  los 13 meses solicita que le sea descontada por el Banco de mérica del 5ur que cobra el *.DJ mensual, cuánto recibirá la corporación por la letra= :espuesta. 2D1,*1?.&A *1. Cna empresa debe pagar !oy una deuda cuyo monto es de 2&,>?3 y dentro de  meses tiene que pagar otra por 2*,@A3. ;ecesita saber cuánto debe pagar dentro de A meses si le cargan intereses de 1D.AJ +/. :espuesta @,@&A.@ **. 5i una persona debió pagar !ace 1.A a'os 2A>3 y tiene que pagar 2?*3 dentro de > meses. 5i le cobran intereses corrientes del 1>J +4 y moratorios del J anual G+ por la cuenta no pagada y el 1AJ anual por la pró#ima a vencer 3 d0as de plazo y que devenga un interés mensual de 1J.  fin de contar con recursos l0quidos, la empresa descuenta el documento en su banco y éste lo acepta cargando un interés de *.A3J trimestral <+uál es el importe neto que recibe la empresa, si el descuenta se efecta 1D& d0as antes del vencimiento= :espuesta 2?@,DA1.A@ *D. <+uál de las siguientes alternativas es más redituable para un inversionista= a) Gnvertir en una cuenta de a!orros que paga el &*.AJ +M7 b) Gnvertir en una cuenta bancaria que paga el &&.AJ capitalizable por cuatrimestres, o c) Gnvertir en una cuenta de valores al &3.>J capitalizable por semanas. :espuesta con el &*.A anual compuesto por meses



*A. Cna distribuidora automotriz ofrece a sus clientes un 13J de descuento en la compra de contado de un automóvil nuevo, o bien, A3J del precio de contado y A3J a @ meses sin descuento y sin intereses .AJ +M b) al &*J simple c) al &3J +5 .AJ +M=

Fasas de interés

*?.  qué tasa nominal +4 el monto de 2&,333 será de 2,333 en & a'os= :espuesta. % 9 &>.&DJ +4. *>. a)  qué tasa efectiva anual se duplica un capital en * a'os= b)  qué tasa nominal +5 se duplica un capital en * a'os= c)  qué tasa nominal +M se duplica un capital en * a'os= :espuesta a) i 9 D1.D*J b) % 9 &?.>DJ +5 c) % 9 &A.1@&J +M *. 5i un certificado de depósito a término en el mercado primario de la Bolsa de 8alores es emitido a 2&,@?? para ser redimido a 2133,333 en 3 d0as, calcular la tasa de rentabilidad trimestral y la tasa de rentabilidad mensual7 a) sin tomar en cuenta la retención en la fuente y b) tomando en cuenta la retención del &.?J. :espuesta. a) @.?D?J trimestral, *.*311J mensual b) @.D>&>J trimestral *.11@*J mensual. &3. Cna persona invierte 2D,A33 y 1A meses después le devuelven 2?,313.>A .D>J &*. El * de %unio el se'or onzález compra mercanc0a por 2&*,A33 y firma un pagaré con valor nominal de 2&?,*A3 y vencimiento al *1 de agosto siguiente. <+uál es la tasa de interés anual +/= :espuesta @1.D&??J &&. <+uál es la tasa nominal anual +B, si un capital de 213,A33 genera intereses del &3J global total en > meses= :espuesta D3.@?DJ &D. <+on qué tasa anual compuesta por semanas se triplica un capital en & a'os= :espuesta 3.&@?AJ %lazo o tiepo

&A. El 1> de marzo se firma un pagaré de valor nominal de 213,333, con el 1AJ +M cuyo monto a pagar es de 211,1>*.*


&@. En qué tiempo un capital de 2D>,A33 alcanza un valor de 2@3,333 si es invertido al >.&J +M= b) En qué tiempo se duplica= :espuestas. a) * a'os, @ meses y *? d0as b) > a'os, D meses, 1? d0as. &?. . 5e depositan 2A33.33 el d0a 1 de septiembre al *.*J +M .33 de interés= :espuesta @ de %unio siguiente. &. /eterminar el d0a que se cancela con 2*1,333 un crédito de 21>,?A3, concedido el A de %unio con cargos del &@.?*J +/. :espuesta *D de septiembre. D3. 5e compra un refrigerador, que de contado cuesta 2?,>A3 el cual se paga con un anticipo del &AJ y un pago adicional de 2A,@A3.<+uánto tiempo después de la compra se !ace este pago, si se pagan intereses del *>.@J capitalizable por semanas= :espuesta 1 semanas D1. "a totalidad de intereses que se paga sobre una deuda de 21*,333 contra0da el *3 de %unio es de 21,*33, si el interés cobrado es del *@J +4 <+uál es el plazo y la fec!a de vencimiento de la deuda= :espuesta 1&@ d0as, & de noviembre. D*. Encuentre la fec!a en la que vence un documento con valor nominal de 2D,AA3. Este se firmó por un préstamo de 2D,1*A el 1 de %unio con intereses del *1.@J +/= :espuesta 11 de noviembre D&. <+uál es la duración de una inversión de 2>3,333 al &J +M para que alcance un valor de 2*A3,333= :espuesta &> a'os comerciales con 13 d0as. DD. +alcule el tiempo que se demora una inversión de 2*A,333 a plazo fi%o para alcanzar un monto de 2&3,333 al *.AJ efectivo. :espuesta. ? a'os, D meses, 1> d0as. Fasas equivalentes

DA. 5i un inversionista traba%a con el *J mensual acumulativo en sus negocios, calcule las tasas equivalentes a) nominal +4 b) nominal semestral ++ c) nominal +B . :espuestas. a) *D.D>&*J b) 11.>>1@J c) *D.*DJ D@. +alcule la tasa nominal +4 equivalente a) al 1>J +M b) al *3J +5. :espuestas. a) 1>.*?1&AJ b) 1.A*&AJ D?. a) +uál es la tasa equivalente convertible continuamente a *DJ efectivo= b) +uál es la tasa efectiva equivalente *3J +5= :espuesta. a) *1.A111&?J b) *1J D>. a) /etermine una tasa de interés +M que rinda lo mismo que *3J convertible continuamente. b) +alcule la tasa nominal convertible continuamente, que genere los mismos intereses que 1>J +4 :espuesta. a) *3.1@?A@J b) 1?.@3@?ADJ D. +onsidere una tasa nominal de **.&DJ +M y !alle el con%unto de tasas equivalentes siguientes a) ;ominal +4, b) ;ominal +/, c) ;ominal ++ d) ;ominal trimestral ++ e) ;ominal semestral +M. :espuestas a) **.?A>AJ b) **.1D1&J c) **.1&D@J d) A.A&&@J e) 11.1?J ______________________________________________________________________ 26 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


A3.  partir de &.*J EM calcule el con%unto de tasas equivalentes siguientes a);ominal +4, b) Efectiva E5, c) ;ominal trimestral +4, d) Efectiva E/ e) ;ominal +B. :espuestas a) &.@D1J b) *3.>3&1J c) .DD@J d) 3.13&@13J e) &.31DDJ A1. 5i en un negocio su propietario gana 1.*J EM acumulativo .?&??J en @ a'os
AA. Cn préstamo personal por 21,*33 se obtuvo !ace un mes, se cancela mediante dos pagos uno de 2@33 el d0a de !oy y otro por la cantidad que usted determine dentro de & meses si el interés es del 13J semestral. :espuesta. 2@D.D& A@. El contador $érez compra un televisor con video casetera integrada, con un enganc!e de 1A3 dólares que representa el *3J del precio del aparato, y dos abonos iguales para cubrir el >3J restante DJ efectivo anual, !alle el valor de cada cuota. :espuesta 2A?3>.*3 A>. Cna empresa local tiene & deudas as0 2A,333 con vencimiento en A meses e intereses del *3J +4. 213,333 con vencimiento en  meses e intereses del *DJ +5 2*3,333 con vencimiento en *1 meses e intereses del &3J efectivo. Estas deudas se van a cancelar mediante * pagos iguales uno el d0a de !oy y otro al final de * a'os. 5uponiendo un rendimiento de *DJ +M. +alcule el valor de los pagos. :espuesta. +ada pago 2**,3**.>>. A. El 5e'or :amiro $ascual, & meses antes de iniciar la construcción de su casa apertura una cuenta de débito para este fin y deposita 2*A,333 y otros 2DA,333 al iniciar las obras. /etermine el valor del depósito * meses después si el presupuesto total es de 21*3,333 distribuidos de la forma siguiente &3J al comenzar la construcción, &AJ a los * meses, *3J & meses después y el resto al terminar, es decir > meses después del inicio y la cuenta devenga el 1AJ +M. :espuesta 2D@,333.?D ______________________________________________________________________ 27 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


@3. "a administración de un proyecto tiene D adeudos de 2?,333, 21A,333, 21*,333, y 21&,333 que vencen respectivamente el 1A de abril, el ? de mayo, el 1> de %ulio y el &3 de octubre del mismo a'o y todos devengan intereses de &*.>AJ +/. Entre deudor y acreedor se acuerda que estos adeudos se liquiden en & pagos iguales el quinceavo d0a de los meses de abril, %unio y agosto en sustitución de los primeros de mayo mediante un pagaré con valor nominal de 2A3,A33 y vencimiento el 13 de diciembre y la ltima el 1 de %unio con un documento con valor nominal de 2@3,333 y vencimiento el *A de agosto. cuerdan reemplazar el compromiso con * pagos, uno el 1A de agosto y el otro el 1A de octubre por un valor que es doble del primero. a) /e cuánto es cada pago si devengan intereses de *?.&?AJ +/= b) <+on cuánto se liquidan las deudas con un pago nico el *3 de diciembre= :espuestas a) 2@3,11*.&@ y 21*3,**D.?* b) 21*,@1D.>D @*. El d0a *3 de marzo el 5e'or /ionisio Bello compra un automóvil usado y paga un anticipo del D3J y el saldo se liquida en dos pagos uno de 2&,333 el d0a 1 de mayo y el otro de 2*,A33 el d0a 1> de %unio del mismo a'o7 a una tasa de interés del &3J +M J adicional= :espuesta 2>,3D1.A1 @&. En el problema anterior de agosto y de 2*3,333 el 1A de noviembre del mismo a'o, sabiendo que la cuenta devenga un interés de 1&.>?J +/, suponiendo que a) "os dos depósitos son iguales b) El segundo depósito es D3J mayor que el primero. :espuestas a) 21D,>>A.AD cada depósito b) el primero 21*,D*?.?@, el segundo 21?,&>.>@ @A. En el problema anterior, determine el valor de un depósito nico efectuado el d0a > de enero del mismo a'o, si es bisiesto. :espuesta 2*>,?A>.DA



4+ercicio e9tra clase I" 49plique los siguientes térinos

a) b) c) d) e) f)

Gnterés compuesto $eriodo de capitalización 4asa nominal 4asa efectiva 4asas equivalentes /iferencia entre interés simple e interés compuesto

II" Deterine lo que se pide:

1) El monto compuesto de +2 133,333 al AJ por a. 13 a'os <= !5'6778"25 b. *3 a'os <= '536)'8">> c. &3 a'os <= 2)'6!82"'2 *) El monto compuesto y el interés de a. +2 ?,A33 por @ a'os al ?.AJ c.s. <= !!6553"8!6 <= 26!53"8! b. +2 1,A33 por A a'os al @J c.m. <= '61')"'76 <= 3')"'7 c. +2 1,>33 por > a'os y tres meses al 13J c.t. <= 26153"8)6 <= '6'53"8) &) El valor presente de a. +2 A,333 pagaderos en @ a'os al @.>J c.t. <= )6))5")' b. C2 D,333 pagaderos en A a'os y @ meses al @J c.s. <= '6778"58 c. C2 1*,333 pagaderos en D a'os y  meses al >J ct. <= 76')>"!3 D) Cn ingeniero coloca en su cuenta de a!orro C2 *,A33 dólares, si esta paga el ?.AJ cs, cuanto retirara de la cuenta después de > a'os. ;  26313"3> A) cumular +2 1,A33 por ?.A a'os al A.*J ct.

;  '6'18"8!

@) Cn documento fec!ado el 31 de marzo del *33?, estipula el pago de C2 *,A33 con intereses al AJ c.s. D a'os más tarde, encuentre el importe de la venta del documento al 31 de marzo del *313 suponiendo un rendimiento del @J c.t. ;  U= '6758"8



?) allar el valor final y el interés de un documento con valor de +2 A3,333 a un plazo de & a'os y @ meses si el interés es del 13J c.t. ;  <= >16527"586 <= '16527"58

>) Kue deposito debe ser !ec!o el d0a de !oy en un fondo que paga el J c.m., para tener disponibles +2 @3,333 al término de * a'os. ;  <= 316!28"77 ) allar el tiempo equivalente para el pago de dos deudas de C2 *A3 dólares cada una con vencimiento en @ y 1* meses respectivamente, a una tasa del @J c.m. ;  8 eses"

13) Cna deuda de C2 A33 a pagar en * a'os y otra de C2 ?A3 a pagar en @ a'os, se van a liquidar mediante un pago nico dentro de D a'os. /etermine el valor del pago suponiendo un rendimiento del DJ c.t. ;  U= !6')2"12 11) Cna persona debe C2 1,333 a tres a'os, si !ace el d0a de !oy un pago de C2 D33, cuál será el importe del pago que tendr0a que !acer en * a'os para liquidar su deuda mediante un rendimiento del AJ c.s. ;  U= 3!1"'7 1*) Cn empresario adquiere maquinaria industrial para pagar as0 C2 DA,333 de inicio, C2 D3,333 a @ meses, C2 A3,A33 a 1* meses y C2 D*,>A3 a 1> meses, si la empresa distribuidora no le !ubiese aprobado este plan de compra financiada, <+uánto !ubiese desembolsado el ingeniero para adquirir de contado los equipos=, considere una tasa del 13J cs. <= !5368!3"5> 1&) Cna persona debe +2 >,333 a & meses y +2 13,333 a 13 meses7 si ofrece pagar +2 A,333 !oy, en qué fec!a deberá pagar +2 1&,333 para cancelar la deuda= +onsidere el *1J de interés cm y el d0a de !oy como fec!a focal. ;  1D) 5ustituir dos deudas de C2 D33 y C2 >33 con vencimiento en & y A a'os respectivamente, por dos pagos iguales con vencimiento en * y D a'os, suponiendo un rendimiento de AJ cs. ;  U= 35'">! 1A) Cna empresa distribuidora de equipos y accesorios de informática se comprometió a pagar cuotas de +2 &?A,333 dentro de A y 13 meses a una tasa del 13.>J efectivo. Cn mes antes de vencerse el primer pago, negocio con el proveedor un nuevo plazo de  meses para cancelar toda la deuda con la misma tasa, ")> 1@) Cn terreno es vendido por C2 A33 en efectivo y C2 *A3 anuales por los pró#imos D a'os, encuentre el precio de contado del terreno a una tasa del @J efectivo anual. ;  !6)55"'>

1?) Encuentre una tasa nominal ct., equivalente al 1*J cm. ;  !'"!'? 1>) Cna compa'0a invirtió +2 DA,333 en un negocio y 1> meses después le regresaron +2 AD,33, que tasa de interés efectiva anual gano sobre la inversión. ;  !2"!7?

1) /etermine una tasa de interés capitalizable cada bimestre que rinda lo mismo que *AJ ct. ;  '2">3? ______________________________________________________________________ 30 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


*3) Cna micro financiera pago por un depósito a plazo de un a'o una tasa de interés del >.AJ cs.,
III Unidad: Anualidades

)"!"

Definición y
Definición:

El nombre de Anualidad se da en general a cualquier secuencia de pagos de igual valor !ec!os a iguales intervalos de tiempo, sin importar si los pagos son mensuales, trimestrales o semestrales.  estos pagos periódicos que representamos por ;C, también se les denomina ;enta6 y la suma de todos los pagos !ec!os en un a'o se conoce como renta anual. Estos valores fi%os que se pagan o reciben en las transacciones comerciales o financieras, pueden equivaler a depósitos, retiros, amortizaciones o abonos a préstamo, pagos de prima de seguro recibo o pagos de salario nominales fi%os y pagos por alquiler de viviendas. $or e%emplo, una renta anual de +2 1@,333 que se paga trimestralmente significa el pago de +2 D,333.33 cada & meses. El término LanualidadO o LrentaO pueden corresponder a un d0a, una semana, una quincena, un mes, un trimestre, un semestre, un a'o, etc., en general a cualquier periodo que se esco%a en la actividad comercial o financiera, aunque por el nombre parezca corresponder solo a un a'o. %eriodo de la renta o intervalo de pago  es el pago transcurrido entre cada pago sucesivo de la anualidad. El nmero total de periódicos los designaremos por N" %laza o térino de la anualidad es el tiempo contado desde el principio primer intervalo

de pago !asta el final del ltimo intervalo de pago. ______________________________________________________________________ 31 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


Fasa de interés de una anualidad es la tasa de interés compuesto y ocasionalmente

continuo que se paga o recibe en cada periodo. Esta tasa de interés es equivalente efectiva i por periodos de capitalización. %eriodo de capitalización de una anualidad es el intervalo de tiempo en el cual los

intereses acumulados se convierten en capital.
5egn la forma en que deben realizarse los flu%os de dinero, las anualidades pueden clasificarse de la siguiente manera a) 4iempo o plazo

+iertas +ontingentes

b) Gntereses

5imples enerales

c) $agos

8encidas nticipadas

d) Gniciación

Gnmediatas /iferidas

$or tanto, estudiaremos en este curso nualidades ordinarias o vencidas • nualidades anticipadas • nualidades diferidas • nualidades perpetuas • Anualidades ordinarias o vencidas: 5on una serie de flu%os periódicos de dinero

(pagos, a!orros o retiros) que se !acen al final de cada periódico de interés. Es decir, el primer pago (a!orro o retiro) periódico se efecta al final del primer intervalo de pago (ocurre en una fec!a ubicada a un periódico del capital) y el ltimo pago (a!orro o retiro) coincide en la fec!a que toca cancelar el monto. Anualidades inediatas: son aquellas en que el primer pago (a!orro o retiro) se efecta

en el primer periodo. Este pago puede ser anticipado o vencido.



Anualidades ciertas: aquellas en las que se conoce cuando empiezan y cuando

terminan (se conoce el nmero de periodos n), es decir, comienzan y terminan en fec!as fi%as. $or e%emplo, los pagos por amortización de una deuda. Anualidades anticipadas  son una serie de flu%os de dinero periódicos (pagos, a!orros o

retiros) que se !acen a inicio de cada periodo de capitalización (a inicio del intervalo de pago) y el ltimo se produce un per0odo antes del plazo de la anualidad. En este caso, el primer pago (a!orro o retiro) periódico de dinero es simultaneo al capital. El ltimo pago (a!orro o retiro) ocurre en un periódico antes que venza el monto. $or e%emplo, el pago por alquiler de una casa y el pago de una prima de póliza de seguro. Anualidades diferidas: son aquellas en la que el primer pago se !ace después del

transcurrido cierto nmero de periódicos (periodos de gracia). Anualidades perpetuas  son aquellas en las que se saben cuándo empiezan, pero que

teóricamente no tienen fin. Anualidades contingente: son aquellas en que su iniciación o su terminación depende

de un evento contingente como la muerte. Es decir, aquellas en la que el pago depende de algn suceso cuya realización no puede fi%arse. $or e%emplo, las pensiones de %ubilación.

)"'"

Anualidades ciertas ordinarias vencidas

<álculo del valor presente y de la renta

Cna anualidad tiene dos valores el valor final y el valor presente, en el primer caso todos los casos son trasladados al final de la anualidad y en el segundo caso todos los pagos son trasladado al principios de la anualidad. El valor presente L$O de una anualidad es la suma de los valores presentes de los distintos pagos, cada uno descontado al principio del plazo. − N

1 +i ¿

¿ 1−(¿ i ¿) ¿ P= R ¿ /onde L$O es el valor presente de la anualidad. L:O es la renta o anualidad. LiO es la tasa de interés y L;O es el periodo de tiempo. /espe%ando obtenemos la fórmula para el cálculo de la renta o anualidad.


Mat erial de Matemática Financiera − N

1 +i ¿

¿ 1−(¿ i ¿) ¿ P R = ¿ 4+ercicios propuestos: !" allar el valor presente de una anualidad, consistente en el pago de +2 1,333 trimestrales durante 1 a'o al J convertible trimestralmente. ;esp" <= )6>72">2 '" Cna empresa contrae una deuda de +2 A33,333 para ser cancelada mediante

pagos semestrales durante *.A a'os. +alcular el valor del pago semestral (el valor de la cuota de amortización). 5uponga interés del *>J c.s. ;esp" <=!23652!">>

El monto L5O de la anualidad es la suma de los montos compuestos de los distintos pagos 5 9 $ (1 P i ¿ N , cada uno acumulado !asta el término del plazo. N

1+i ¿

−1 ¿ (¿ i ¿) ¿ S = R ¿ N

1+i ¿

−1

¿ (¿ i ¿) ¿ S R = ¿

4+ercicios propuestos:

!" En los ltimos 13 a'os, una persona !a depositado +2 A33 al final de cada a'o en

una cuenta de a!orro, la cual paga &.A J efectivo. +uanto !ab0a en la cuenta inmediatamente después de !aber !ec!o el décimo deposito= ;esp" <=36 753">1 '" +ual tiene que ser el importe de cada uno de los depósitos semestrales que

deberán !acerse en una cuenta de a!orro que paga el &.A J c.s., durante 13 a'os para que el monto sea de +2 *A,333, precisamente después del ltimo deposito= ;esp" <= !6132">7



)")"

Anualidades anticipadas

Cna anualidad anticipada es la que tiene un pago periódico que vence al principio del intervalo de pago. "os pagos se !acen al comienzo del periodo, tal como el pago de la renta de una casa.

En la anualidad ordinaria, el intervalo de pago y el periodo del interés coinciden, mientras la anualidad ordinaria tiene pago al final del plazo, la anticipada tiene pago al principio del plazo.


"a ecuación de valor presente encuentra una serie de flu%os constantes L:O, el primero a partir del d0a de !oy y el ltimo un periodo antes del vencimiento. − N + 1

1 +i ¿

¿ 1−(¿ i ¿) ¿ P= R + R ¿ − N +1

1+i ¿

¿ 1−(¿ i ¿) 1 +¿ R=

P

¿


1. En lugar de estar pagando C2 *A3 de renta al principio de cada mes durante los pró#imos A a'os, un e%ecutivo decide comprar su casa. +uál es el valor en efectivo de los A a'os de renta al ?.AJ c.m. ;esp" U= !'6332")1

*. Cn auto usado se vende en C2 ,AA3, el comprador desea pagarlo en 1> abonos mensuales, el primero pagadero la fec!a de la compra. 5i se cobra el 1>J c.m., calcular la magnitud del pago mensual. ;esp" U= 511")2



<álculo del valor futuro y de la renta

El monto o valor futuro de una anualidad vencida, tiene flu%os L:O pagaderos durante ; P 1 periodos, en cambio, en la anualidad anticipada, se encuentra un flu%o o pago L:O demás que vamos a restarlo. N +1

1+i ¿

−1

¿ (¿ i ¿) ¿ S = R ¿ N +1

1+i ¿

−1

¿ (¿ i ¿) ¿ S R= ¿


1. Cna empresa alquila una oficina en una zona residencial pagando C21,A33 al comienzo de cada mes, mediante un contrato con vigencia de & a'os.
*. Cna persona de cuarenta a'os desea acumular en una cuenta registrada de a!orros para su retiro a los @A a'os, la suma de C2 1A,333,

)"2"

Anualidades diferidas vencidas

Cna anualidad diferida es aquella cuyo primer pago se !ace algn tiempo después del término del primer periodo de interés.  veces los bancos y entidades financieras ofrecen préstamos con periodo de gracia, es decir, que la serie de pagos comienza después de cierto tiempo. ______________________________________________________________________ 36 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas



"a caracter0stica de este tipo de anualidades, es que el ltimo flu%o L:O coincide con el vencimiento de la anualidad. demás, el nmero de periodos de capitalizaciones donde no se produ%o ningn pago o flu%o L:, representa el tiempo de gracia LrO. /e modo que, la anualidad esta vencida entre los periodos r y ;.

− N +r

1 +i ¿

¿ −r 1 +i ¿ 1−(¿ i ¿)¿ ¿ P= R ¿ − N +r

1 +i ¿

¿ −r 1 +i ¿ 1−(¿ i ¿)¿ ¿ ¿ P R = ¿ 4+ercicios propuestos:

1. Cn industrial que va a iniciar operaciones con su nueva fábrica, solicito un financiamiento de C2 *D,>33 a cuatro a'os de plazo incluido un a'o de gracia, si la amortización es mensual y el interés es del *1J cm. <+uál es el valor de la cuota para cancelar dic!o préstamo= ;esp" U= !6!31"38 *. El A de marzo del *31D una empresa agropecuaria adquirió implementos agr0colas a través del financiamiento bancario, con el compromiso de efectuar pagos mensuales de C2 &,A33 durante &3 meses, comenzando el A de %ulio del mismo a'o, J c.m.= ;esp" U= 716)7)"52

&. +alcular el valor descontado de una anualidad diferida con & a'os y seis meses de gracia, que paga C2 A33 semestrales durante ? a'os, si el interés es del 1?J c.s. ;esp" U= '6'5'"35



D. +alcular el valor el 31 de %ulio del *33, de pagos anuales de C2 A33 durante @ a'os, si el primer pago es el 31 de enero del *31& y el interés es 11.*AJ c.s. ;esp" U= !6321"73

<álculo del valor futuro y de la renta

N −r

1+i ¿

−1

¿ (¿ i ¿) ¿ S = R ¿ N −r

1+i ¿

−1 ¿ (¿ i ¿) ¿ S R = ¿


1. l termino de 1> meses, una empresa deberá cancelar una deuda por un valor de +2 *@3,333 mediante pagos uniformes trimestrales al 1*J c.t., '"!8

*. +alcular el valor acumulado de depósitos trimestrales de C2 &33 cada uno, inmediatamente después de dos a'os si el primero se !izo a los seis meses de aperturar la cuenta y el dinero rinde 13J c.t. ;esp" U= '6'52"')

)"3"

Anualidades perpetuas



Cna perpetuidad es una anualidad cuyos pagos se inician en una fec!a fi%a y continan eternamente. Este tipo de anualidad se presenta cuando se coloca un capital y se de%a intacto para retirar unicamente los intereses. Entonces mientras se mantenga el capital y la tasa de interés, se tiene una renta a perpetuidad.

;o tiene caso !ablar del valor acumulado de una perpetuidad, porque el término de una perpetuidad no tiene fin, sin embargo, el valor presente o descontado es el nico significado posible por estar bien definido, y es el valor fec!ado equivalente del con%unto de pagos al principio del término de la perpetuidad. 5ea L$O el valor descontado de una perpetuidad simple ordinaria, que es una serie infinita de pagos !ec!os al terminar los periodos de interés y sea LiO la tasa de interés por periodo y L:O el pago periódico de la perpetuidad, entonces

P=

R i


1. <+uánto dinero se necesita para establecer el fondo de una beca que pague C2 1,A33 anualmente, si el capital gana un interés del ?J efectivo anual y el primer pago se !ará a) al final del primer a'o, b) de inmediato. ;esp" a, U= '!62'7"3> b, U= ''68'7"3>

*. 5e espera que ciertas acciones paguen un dividendo de C2 D al final de cada trimestre durante un periodo indefinido en el futuro. 5i un inversionista desea obtener un rendimiento anual efectivo de 1*J, <+uánto debe pagar por las acciones= ;esp" !)8"!8

&. Cn filántropo !a creado una institución de estudios de arte y desea asegurar el funcionamiento de este instituto a perpetuidad, <+uál debe ser el aporte inicial si para su funcionamiento se requieren +2 @A,333 al final de cada mes al *.3AJ efectivo mensual= ;esp" <= )6!>16>)!">!



4+ercicios propuestos para el auto estudio Anualidades vencidas

1. /etermine el valor actual y final de una serie de depósitos de 2133,333 al final de cada a'o por 13 a'os, si la tasa de interés es del 1AJ efectivo anual :espuestas =31!67>5"75 y ='61)16)>!"7'

*. Cna +ompa'0a obtiene ingresos semestrales por 2A3,333 durante > a'os, si los reinvierte a una tasa de interés del 1*.AJ c.s., determine el valor final. :espuestas =!6)!16)2'"71

&. /etermine el valor a pagar al final de cada trimestre para cancelar una deuda de 2 AD,DD&.?3 durante &.?A a'os, si la tasa de interés que se paga es del 1?.*J c.t. :espuesta = 36111"11" D. Cna persona a!orra al final de cada mes la cantidad 2133.33 en una cuenta que gana el J c.m. /etermine el valor acumulado de la cuenta de a!orros al final de 1A a'os. :espuesta. =)>6721"3>" A. Cna empresa desea tener disponible dentro de A1 meses 2D?,&A.3* para reponer una maquinaria. ,333 la cual va a cancelar mediante el sistema de cuotas niveladas mensuales ordinarias en un plazo de 1A a'os. 5i la tasa de interés es del 1D.AJ c.m., determine el valor de la cuota. :espuesta ='23">8" >. /etermine el valor actual y final de una serie de depósitos de 2&*3 al final de cada mes durante D a'os, si la tasa de interés es del 1*J c.m. :espuestas. =!'6!3!"5> y =!8638!"')

. /esde !ace A a'os una compa'0a de%ó de pagar la cantidad de 2D,333 al final de cada semestre, se quiere saber qué valor tendr0an esos pagos en la actualidad si la tasa de interés es del 1>J c.s. :espuesta =516>>!">'" 13. /etermine el principal de una deuda, sabiendo que se efectan pagos iguales mensuales vencidos por valor de 2@A*.D@ durante A a'os a un interés del *&.&&A*J c.m. :espuesta. =''687>"!>" 11. Cna planta generadora de electricidad es vendida en 2@,333 de cuota inicial y 1> pagos de 2D,333 al final de cada mes. 5i después de !aber pagado las @ primeras cuotas y %ustamente antes de efectuar el pago de la séptima cuota decide cancelar en ______________________________________________________________________ 40 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


un pago nico el saldo de la deuda, cuánto deberá cancelar con intereses al 3.A3J efectivo mensual= :espuesta =2)6!2>")8" 1*. Cna institución desea reunir 2&33,333 mediantes @ depósitos semestrales iguales vencidos con un interés del AJ efectivo semestral. a) +uál debe ser el valor de la cuota= :espuestas =226!13"'2 1&. Cn empleado considera que puede abonar 2&,A333 por mes con e#cepción de los meses de %unio y diciembre, cuando por el reparto de utilidades y aguinaldo puede abonar 213,333. +alcule la cantidad por la que puede solicitar un crédito !ipotecario, si sabe que le dan 13 a'os para pagarlo, el tipo de interés es del *1.@J c.m. y comenzar0a en diciembre. :espuesta. =''>618!")7 Anualidades anticipadas

1D. El alquiler de un lote de terreno es de 21A3 dólares mensuales anticipados. Cn contratista desea alquilar el terreno durante & a'os, si el interés pactado es de 3.AJ mensual. /etermine el pago por anticipado y al final durante el per0odo establecido. :espuestas. =26833")1 y =368'8"8'" 1A. Cna persona está amortizando un préstamo personal de 2 1,>11.?* mediante cuotas niveladas semestrales vencidas a una tasa de interés del 1@J c.s., en un plazo de A a'os. alle un sistema de pago equivalentes mediante cuotas niveladas semestrales anticipadas. :espuesta ='31"11" 1@. "a empresa "5 !ace una donación de 2&3,333 a la +ruz :o%a para que sea retirada dentro de 1@ meses. /etermine la cantidad que deberá invertir la empresa en un negocio financiero mensualmente, comenzando !oy para entregar la cantidad prometida, si la tasa de interés es del AJ mensual acumulativo. :espuesta. =!6'1>">!"

1?. Cna casa usted la puede comprar !oy a través de tres opciones a) +uota inicial 2@,A33 y pagos anticipados anuales durante & a'os de 2A,*.>* a un interés del &3J anual. b)  través de pagos mensuales de 2 @@?.1>, el primero el d0a de !oy, a plazo de D a'os y a una tasa de interés del *.**&*J efectivo mensual. c) +uota inicial 213,333 y pagos trimestrales vencidos de 2*,&D&.D durante a'o y medio a un interés del &3J +4. :espuesta. Hpción b a través del menor costo. 1>. "os pagos mensuales anticipados para estudiar una maestr0a por * a'os en la C++, es de 2&33 dólares. "a matr0cula al inicio de a'o es de 2A33.33, derec!o de graduación 21,333.33 a los * a'os. 5i se le carga un interés del @.@ J c.m. /etermine el costo de los aranceles de la maestr0a al final del per0odo y pagando por anticipado. :espuestas. =867'1"7> y =76518"33" !8" "a deuda de un peque'o agricultor con un banco !a crecido !asta el d0a de !oy en

una cantidad de 21D,A*A.3. "a propuesta del banco para cancelar la deuda es mediante pagos anticipados semestrales, en un plazo de A a'os comenzando !oy a



una tasa de interés del &1.&>@>J c.s.. +alcule el valor de la cuota semestral. :espuesta. <='6377"5!" *3. "a reposición de un activo fi%o de la empresa allo y sociados dentro de *.A a'os es de 2A33,333. J c.c., para acumular la cantidad deseada= respuesta =!)6!''">3" '!" <+uál es el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor +211,&3*.&1 durante > a'os a una tasa @.AJ trimestral= :espuesta. =!516311"

**. /etermine el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor 2 21&,&3*.&1 durante > a'os a una tasa de interés del *@J c.t. :espuesta =!77681!"'2 *&. Cn comerciante compró una mercader0a mediante > pagos mensuales al principio de cada mes de 2&,333 y un pago final de 213,333 al término de un a'o. 5i los intereses fueron del &&J c.m. .A@. '2" l nacer su primogénito, un padre de familia !ace un depósito bancario por 2&,A33, a)

32"83 b, 2!65226'2!"81 c, =!63)3651)")1

*A. l comenzar su carrera profesional, cuya duración es de  semestres, un estudiante decide a!orrar 2A33 al inicio de cada mes, durante todo ese tiempo, en un banco que paga intereses del *1.@J c.m. 16)!'">7 *@. <+uánto debe invertir al principio de cada quincena, una persona que pretende acumular 2AD,333 en un a'o y medio, considerando que su inversión gana el *A.*J convertible por quincena= :espuesta =!6'''"1) *?. Cna empresa debe pagar una deuda que estipula pagos mensuales vencidos de 21,*33 durante D a'os. alle un pago equivalente mensual anticipado con el interés del J c.m. :espuesta = !6!8!"1> Anualidades Diferidas

*>. Cn auto se vende mediante un pago inicial de 2&,333 y @3 pagos de 2&A3.33 mensuales, el primero dentro de & meses. 5i la tasa de interés sobre saldos es del 1>J c.m. /etermine (a) el valor del auto al contado (b) al término del ltimo pago mensual. :espuestas. a, =!56)>7">' b, =2!6''5")'" *. El costo de adquisición de una máquina es de 2&3,333. "os costos de operación y mantenimiento se estiman en 2A33.33 mensuales, comenzando en el mes A después de



iniciar operaciones. 5i la tasa que se le carga es del 1.AJ mensual, determine !asta el a'o A el valor presente de los costos. :espuestas a, =2>6>5'"82 )1" /etermine el valor actual y final de una serie de depósitos de 2&A3.33 trimestrales,

realizados para el fondo de inversiones de una empresa consultora, el primer depósito se efecta al final del primer a'o y durante D a'os a una tasa de interés del 1@J +4. :espuestas =)65'3"51" y = >65)7"37" &1. Cna empresa obtiene un préstamo de 2D33,333 para pagarlo en un plazo total de 1* a'os, determine la cuota segn se indique a. +uotas anuales a una tasa de interés del 1>J, la primera en el a'o & después de iniciada la deuda. :espuesta =!')68)!">3 b. +uotas mensuales a una tasa del 1@.@@@1J c.m., la primera en el mes A después de iniciada la deuda. :espuesta =56753"8) c. +uotas trimestrales, la primera al término del a'o uno a una tasa de interés del 1@.>>?J c.t. :espuesta =''653!"!! d. +uotas mensuales anticipadas con el interés del 1.&>>>J efectivo mensual. :espuesta =56)31"37 &*.  un empresario capitalino que va a montar una fábrica, le ofrecen un crédito con un tiempo total de A a'os incluido un per0odo de gracia de * a'os, amortización mediante cuotas iguales mensuales a un interés del *DJ c.m. alle la cuota para un préstamo de 21,333,333.33 :espuesta =5)6!1)"37"

Anualidades perpetuas

&&. /etermine el valor del capital que genera ingresos anticipados anuales de 2@,333 de forma indefinida a un interés del >J efectivo. :espuesta 2>1,333.33 )2"
pagaderos mensuales indefinidos, de 1,*33 dólares, si los intereses son del 3.A>J mensual= :espuesta: ='156785"33 &A. /etermine el valor actual de una renta mensual vencida a perpetuidad de 2A33.33 si la tasa de interés es del 1J mensual. :espuesta =316111





SU#4;4N
I"

Aplicando los conociientos adquiridos en el estudio de las anualidades6 resuelva los siguientes e+ercicios"

1. El d0a de !oy, Mart!a compra una anualidad de +2 *,A33 anuales durante 1A a'os en una compa'0a de seguros que utiliza el &J anual. 5i el primer pago vence en un a'o, <+uál fue el costo de la anualidad= <= '86722"72

*. allar el monto y el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias anticipadas a) +2 D333 anuales durante ? a'os al >.AJ

<=''6'!2")3@ <= 2)6)''"35

b) +2 ?A3 mensuales durante &.*A a'os al @J cm. <= '5652>")8@ <= ))6!!8"!2 c) +2 D>3 trimestrales durante >.?A a'os al @J ct. <= !)6!8!"')@ <= ''658'"2> &. Suan a!orra +2 @33 cada seis meses y los invierte al >J cs, encuentre el importe de sus a!orros después de 13 a'os. <= !>6755"73

D. allar el valor efectivo equivalente a una anualidad de +2 133 al final de cada & meses durante 1A a'os, suponiendo intereses del AJ ct. <= 26'1)"25



A. Encuentre el valor presente y el valor final de &3 pagos de +2 *,333 !ec!os al final de cada mes, suponiendo intereses del &3J cm. <= 2!6751"38@ <= 7>6713"2!

@. <+uánto debe invertir una empresa al final de cada tres meses durante los pró#imos D a'os en un fondo que paga el DJ ct, con el ob%eto de acumular C2 *,A33. U= !22"75

>" 5i mi sueldo me permite amortizar mensualmente para un crédito un importe

má#imo de +2 1,A33 y la tasa de interés es actualmente del 1DJ cm y el crédito debe pagarse en & a'os, <+uánto dinero puedo pedir prestado= <= 2)6777")5

7" 5i deseo acumular +2 A3,333 en 1* a!orros mensuales iguales, en donde la fec!a

del ltimo a!orro coincida con la fec!a de mi ob%etivo, <+uánto deberé de a!orrar considerando una tasa del &3 cm= <= )65'2")5

. 5e ofrece en arriendo un apartamento por la suma de C2 1,A33 mensuales pagados por anticipado. Cn posible arrendatario ofrece pagar de forma anual y al final de cada a'o, <+uál debe ser el monto a pagar suponiendo un interés del &@J cm= U= ')62'5"58

13. Cna deuda de +2 >33,333 concede un periodo de gracia de @ meses, para comenzar a ser pagada al término del ?mo mes, durante * a'os. +alcule el valor que tendrá que pagarse mensualmente con un interés del 1*J cm. <= )868>3"33

11. Cn puente recién construido deberá repararse !asta el término de A a'os, se estima que de a!0 en adelante se necesitaran +2 &33,333 para reparaciones al final de cada a'o por los pró#imos *3 a'os. /etermine el valor presente para el mantenimiento del puente sobre la base del &J efectivo anual. <= )673161)'"!3

!'" allar el valor presente de una renta perpetua de +2 13,333 mensuales, considerando un rendimiento del &&J cm. <= )5)65)5")5



1&. +uanto deberá invertir !oy el se'or Francisco $érez, para obtener una renta anual de +2 A3,333 durante los pró#imos @ a'os si la tasa de interés en el mercado es del 1*J anual. <= '1363>1")>

1D. Cna persona deposita la cantidad de +2 *@3,333 en un banco que paga el >J anual con el propósito de realizar cuatro retiros anuales durante D a'os, <+uál será el valor de cada retiro= <= >76288"2!

1A. Cna empresa deposita en un fondo de amortización al final de cada mes la cantidad de +2 13,333 <+uál será el valor acumulado en el fondo al término del tercer a'o si el fondo gana una tasa de interés del 1*J c.m.= <= 2)16>57">7

1@. <+uánto deberá invertir una empresa al final de cada tres meses durante los pró#imos A a'os en un fondo que paga el 1@J c.t., con el ob%eto de acumular el valor del principal de un préstamo de +2 *A3,333= <= 76)83"22

1?. /etermine el valor a pagar al final de cada trimestre para cancelar una deuda de +2 AD,DD&.?3 durante & a'os y  meses, si la tasa de interés es del 1?.*J c.t. <= 36111

1>. Cn préstamo de C2 1>,333 se va a cancelar mediante el sistema de cuotas iguales mensuales durante A a'os incluidos D meses de gracia, determine el valor de la cuota si la tasa de interés es del 1*J c.m. U= 2)7"25

1. /esde !ace A a'os una compa'0a paga la cantidad de C2 D,333 al final de cada semestre, calcular el valor que tienen esos pagos en la actualidad si la tasa de interés es del 1>J c.s. ;esp" U= 516>>!">'

*3. Cna empresa desea tener disponible dentro de A1 trimestres C2 D?,&A.3* para reponer una maquinaria,


Nota: Este traba%o debe presentarse en equipos de A integrantes y manuscrito.

I( UNIDAD: Aortización de Deudas y *ondo de Aortización

En el mercado financiero la e#presión amortización se utiliza para denominar el proceso mediante el cual se e#tingue gradualmente una deuda por medio de pagos o abonos periódicos que pueden ser iguales o diferentes en intervalos de tiempos iguales o diferentes. Estos pagos son !ec!os para liquidar tanto el capital o principal, as0 como los intereses y demás conceptos que genera determinada deuda.

"a parte del principal no cubierta por las amortizaciones en una fec!a dada se conoce como saldo insoluto o principal insoluto en la fec!a. El principal insoluto al inicio del plazo es la deuda original. El principal que resultará al final de la ltima cuota o pago al término del plazo es cero, y de esta manera la deuda queda pagada. ______________________________________________________________________ 48 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


El proceso de amortización de una deuda, es un elemento importante para el financiamiento, ya sea interno o e#terno de una inversión7 debido a que el inversionista necesita conocer el proceso de cálculo que es necesario seguir para estimar el monto del servicio de la deuda, as0 como también el periodo de reembolso y el factor de recuperación del capital.

4leentos de la Aortización

4oda cuota o pago en el proceso de amortización está dada por la siguiente formula estándar

C k = A k + I k

/ónde

+I 9 8alor de la cuota periódica nivelada o proporcional I 9 $rincipal de la cuota, es la cantidad que es aplicable directamente a la deuda y la disminuye

GI 9 Gntereses de la cuota, es una cantidad de dinero que devenga el saldo del préstamo o principal adeudado T 9 ;mero de periodos o pagos para cancelar la deuda

Sistea de pago de intereses H Sobre saldo y *MAF"

El 5.F.;. (sistema financiero ;icaragUense), y bancos internacionales que proporcionan dinero en préstamo, generalmente calculan los intereses por periodo en base al saldo actualizado de la deuda (saldos insolutos)7 este procedimiento es conocido como, aortización con intereses sobre saldos 7 no obstante, también !ay instituciones que cobran intereses sobre principal original, es lo que se conoce como interés *MAF6 este ltimo sistema es muy usado por las casas comerciales que operan en ;icaragua y que conceden financiamiento a sus clientes a través de bancos para la compra de ______________________________________________________________________ 49 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


electrodomésticos.  interés F"4 la disminución del saldo no disminuye el interés que se paga.

En todos los procesos de amortización, una vez que se !a seleccionado el modelo o sistema a utilizar, se procede a elaborar la tabla de aortización6 también conocida como calendario de pago" Esta tabla es mane%ada por las partes involucradas en la operación financiera y facilita dar seguimiento al cumplimiento de todos los pagos acordados, as0 como7 a la elaboración de los flu%os de ca%a.

Sisteas de Aortización

!" Aortización ediante cuota nivelada e interés sobre saldo:

Este es un sistema gradual de amortización con intereses sobre saldo, donde los pagos son iguales y periódicos, esta forma de amortización fue creada en Europa y es la más usada en el campo de las finanzas.

$ara el cálculo de la cuota recurrimos a las anualidades ya estudiadas anteriormente. /entro de este sistema pueden presentarse variantes tales como cuotas niveladas anticipadas, vencidas y diferidas.

+uando se acuerda cancelar un préstamo mediante cuotas niveladas vencidas, cada cuota a pagar es de igual valor, !ec!a al final de periodos de tiempo iguales.

;uevamente < es el valor de dic!a cuota, la cual contiene la amortización al principal A, y los intereses I devengados en el pago O con 1V T V ;. El proceso que se sigue de la forma de pago se muestra en el siguiente grafico donde + I 9 +, la cual representa una serie de flu%os (+) anualidad ordinaria vencida.

s0 reemplazando : por + en la fórmula para el cálculo de la renta en una anualidad cierta ordinaria, obtenemos el valor de la cuota nivelada, entonces



C = P

[ −( + ) ] i

1

1 i

− N

/onde + 9 cuota nivelada a pagar durante la vida del préstamo i 9 tasa efectiva de interés corriente por periodo de cuota ; 9 nmero de cuotas acordadas $ 9 deuda original o principal

+omo cada cuota contiene interés y principal, necesitamos calcular algunos valores importantes para la elaboración del calendario de pago

El interés GI se calcula sobre saldos insoluto, o sea sobre el saldo del periodo anterior, entonces

I k =S k −1 (i )

demás, para calcular el saldo %ustamente después de la I - ésima cuota, se aplica la siguiente ecuación

[

S k =C

− N + K

1 −( 1+ i ) i

]

'" Aortización constante ediante cuota proporcional e interés sobre saldo:



Este es un sistema de amortización constante A y el valor de la cuota < es proporcional decreciente debido a que los intereses I decrecen por que se calculan sobre saldos.

Este sistema es usual en los préstamos personales, préstamos a peque'as empresas (industria, servicio y comercio), empresas individuales, sociedades, cooperativas, entre otros.

"a cuota proporcional se calcula de la siguiente manera

C k = A k + I k

/ónde

A k =

P N

I k =S k −1 (i )

9 (saldo del periodo anterior) (tasa de interés efectiva)

)" Aortización constante ediante cuota nivelada e interés *MAF:

En este sistema de amortización la cuota se calcula de forma similar que la cuota proporcional, la diferencia es la forma de calcular los intereses F"4 o fi%os. El interés se calcula sobre el saldo original, debido a esta forma de cálculo, la tasa de interés efectiva que se paga por un préstamo es elevada.



Es un sistema que se aplica con frecuencia en la pol0tica de créditos de las casas comerciales de ;icaragua y muy poco en préstamos bancarios, a menos que la tasa de interés se reduzca y se !aga equivalente a una tasa de interés activa de interés sobre saldos.

"a cuota < a pagar en este tipo de amortización es de igual valor durante todo el proceso. 4anto la parte que amortiza al principal A como los intereses I en cada cuota son iguales. "as amortizaciones no reducen los intereses en cada cuota, por eso se llama interés F"4.

"a cuota proporcional se calcula de la siguiente manera

C k = A k + I k

/onde la parte de la amortización al principal se calcula utilizando la fórmula

A k =

P Principal o deuda = N ¿ de pagos pactados

"os intereses iguales I en cada cuota se determinan mediante

I I k = N

*ondo de Aortización



El fondo de amortización es una cantidad que se capitaliza (crece) mediante pagos periódicos que devengan cierto interés, de modo que en un numero finito de depósitos se obtenga un monto deseado.

En la práctica financiera, la creación de un fondo de amortización puede obedecer a las siguientes razones a. $agar el princip principal al de una deuda deuda a su vencimient vencimiento o mediante mediante cuotas cuotas periódicas periódicas,, los intereses corrientes que devenga la deuda se pagan por separado. b. cumular cumular cierta cierta cantidad cantidad de capital capital para para reemplazar reemplazar activos activos fi%os fi%os en empresa empresa que se deterioran con el uso. c. 4ener reserv reservas as para provee proveerr el pago pago de las pensio pensiones nes de %ubilaci %ubilación ón y ve%ez ve%ez a los traba%adores de la empresa. d. :etirar :etirar a su vencimien vencimiento to los fondos fondos de la emisión emisión de obligacion obligaciones, es, entre entre otras. otras. En un fondo de amortización, cada pago que se reserva periódicamente es una anualidad que gana intereses intereses que se capitalizan, capitalizan, en cada periodo de capitaliza capitalización7 ción7 por eso todos los problemas son similares a los ya estudiados en las anualidades.

Es importante establecer la diferencia entre el fondo de amortización y la amortización propiamente dic!a, si bien ambos son métodos para pagar a plazos un préstamo o liquidar una obligación, en el primero el importe de los plazos sirve nicamente para pago de capital7 en el segundo, por el contrario, los plazos son suficientes para pagar el capital y el interés corriente sobre el mismo.

Htra Htra difere diferenci ncia a consis consiste te en que7 que7 en el fondo fondo de amorti amortizac zación ión la deuda deuda permane permanece ce constante !asta que se completa el fondo, mientras que en el caso de la amortización, la deuda disminuye en cada pago sucesivo.

$ara el cálculo del pago D al final de cada periodo, partimos del conocimiento del valor o monto * que deseamos acumular, la tasa periódica de interés i que devenga el fondo y la cantidad de periodos de capitalización N"

____________________________________________________ ________________________ ______________________________________________ __________________ 54 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


[( + ) − ] i

D = F

1 i

N

1

+uando se !an venido !aciendo pagos a un fondo de amortización por espacio de algunos a'os o periodos, resulta til calcular rápidamente el monto total acumulado S, %ustamente después del Iésimo pago D, donde 1 V T V ;7 para realizar este cálculo, usamos la fórmula para calcular el valor futuro de una anualidad ordinaria intercambiando la  por / y ; por T, de esta forma resulta

S k = D

[

( 1 + i ) K −1 i

]

Fabla Fabla de capitalización

"a tabla de capitalización del fondo de amortización, sirve para mostrar el crecimiento periodo a periodo de capital y contiene de forma estándar A columnas como se muestra a continuación

$eriodo

+uota o /eposito

Gnterés sobre Fondo

Gncremento al Fondo

+apital en el Fondo

1 * & 4otal



4+ercicios para resolver en clase

1. Cn banc banco o otor otorga ga un prés présta tamo mo de +2 1A3, 1A3,33 333 3 para para el fina financ ncia iami mien ento to de un proyecto industrial. El préstamo se cancelara en un plazo de A a'os, mediante cuotas niveladas semestrales a una tasa del 1AJ c.s. a. +alcul +alcular ar el el valo valorr de de la cuota cuota ; <='!"73'678 b. Elaborar Elaborar calendar calendario io de de amortiza amortización ción para el préstam préstamo o

*. Cna empres empresa a de transp transport orte e colectiv colectivo o compra compra un microb microbs s en C2 *>,A33 *>,A33 con el *3J de prima y 1* meses de plazo.  fin de reducir el valor de cada cuota mensual, ofrece dar * cuotas e#traordinarias de C2 D,333 y C2 D,A33 a los @ y 1* meses respectivamente. a. +alcular +alcular el valor valor de la cuota cuota nivelada nivelada de de amortizaci amortización ón al *DJ c.m. c.m. y b. Elabore Elabore el calend calendari ario o de de pago pago..

&. Cn présta préstamo mo por C2 A,333 A,333 es aprob aprobado ado a un a'o de plazo plazo inclui incluidos dos D meses meses de gracia, si la tasa de interés es del 1>J c.m. a) /eterminar /eterminar la la cuota cuota mensual mensual de amorti amortización zación nivelada nivelada y b) Elabore Elabore la tabl tabla a de amor amortiz tizaci ación. ón.

D. Cna empres empresa a de transp transport orte e colectiv colectivo o compra compra un microb microbs s en C2 *A,333 *A,333 con una cuota inicial del *3J y financiamiento a 1* meses, para reducir el costo de la cuota mensual, la empresa ofrece dar dos cuotas e#traordinarias de C2 D,333 y C2 D,A33 a los @ y 13 meses respectivamente. a. +alcular +alcular el valor valor de la cuota cuota nivelada nivelada de de amortizaci amortización ón a una tasa tasa del 1>J 1>J c.m. c.m. b. Elabora Elaborarr tabl tabla a de amorti amortizac zación ión

A. Cna micr microfi ofinan nancie ciera ra otorg otorga a un prést préstamo amo de +2 +2 *A,333 *A,333 a una micro microemp empres resa, a, la tasa de interés es del *.AJ efectivo mensual a 1* meses de plazo.



a. /etermine el valor de la amortización al principal mediante cuota mensual proporcional b. Elabore la tabla de amortización

@. Cna persona compra un "+/ - 5H;Q de &* pulgadas con valor de +21A,333 al crédito, la casa comercial le solicita una prima del &3J para aprobar un plazo de financiamiento de 1* meses a una tasa de interés Flat del DJ mensual. a. +alcular el valor de la cuota nivelada de amortización a interés Flat b. Elaborar calendario de pago.

?. Cna empresa estima que dentro de 13 a'os debe reemplazar parte de su maquinaria a un costo de C2 >A3,333, con el ob%etivo de disponer de este capital en su momento, !a decidido crear un fondo de amortización en un banco local a una tasa del .AJ anual. a. /eterminar el valor del depósito anual b. +alcular el valor acumulado después del depósito ? c. Elaborar tabla de capitalización

SU#4;4N33.33 en un banco local que cobra un interés del 1@J c.m., sobre saldo a un plazo de 13 a'os y se pagara mediante cuotas mensuales niveladas. a) Encuentre el valor de la cuota

U= 2)'"!7

b) /etermine el saldo después del quinto y séptimo a'o

U= !>6>>!"876

U= !'6'8'"73

*. Cna empresa adquiere una deuda de +2 1?A,333 en un banco que gana el 1AJ c.t., sobre saldo, el cual se pagara mediante cuotas trimestrales niveladas durante * a'os. a) Encuentre el valor de la cuota <= '36>'2">' ______________________________________________________________________ 57 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


b) Elabore tabla de amortización

&. El due'o de un negocio adquiere un financiamiento de +2 1A,333 a un plazo de > meses y el 1*J c.m., sobre saldo, este se pagara mediante cuotas proporcionales mensuales con amortización constante. a) +alcular la amortización al principal

<= !67>3"11

b) Elabore el calendario de pago.

D. Cn préstamo de +2 &A,333 a 1 a'o de plazo se cancelara mediante cuotas bimestrales con amortización constante e interés sobre saldo del 1>J c.b. a) Encuentre el valor de la cuota bimestral

<= 367))"))

b) Elabore el calendario de pago.

A. Cna empresa desea acumular un capital de C2 @3,333 en tres a'os mediante depósitos semestrales en una institución financiera que le reconoce el 1*J c.s. a) +alcular el valor del depósito

U= 7651!">5

b) Elabore tabla de capitalización.

@. Cna empresa adquiere un financiamiento de +2 &A3,333.33 en un banco que gana el 1*J ct., sobre saldo a dos a'os de plazo. Encuentre el valor de la cuota trimestral nivelada y elabore la tabla de amortización. <= 286738">2

?. Cn matrimonio desea acumular C2 ?A,333 para comprar su casa dentro de A a'os, por lo que decidieron crear un fondo en un banco que le paga el >J c.m. a) /etermine el valor a depositar mensualmente en dic!o fondo U= !61'1">) b) Encuentre el valor acumulado a 1, * y & a'os. U= !'6>17"1!6 U= '562>1">76 U= 2!6)>3"75



>. Gnvestigue en una casa comercial el precio de un electrodoméstico y calcule el valor de la cuota proporcional con amortización constante para plazos de 1, * y & a'os a una tasa de interés F"4 del D.*AJ. +onsidere él J de la prima.

. Cna empresa adquiere un financiamiento de +2 *A3,333.33 en un banco que gana el 1*J c.t., sobre saldo a dos a'os de plazo. Encuentre el valor de la cuota trimestral mediante amortización proporcional y elabore la tabla de amortización. <= )!6'31"11

13. Cna empresa desea acumular +2 >A3,A33.33 en un fondo que gana el @.AJ c.s., sobre capital a cinco a'os de plazo. Encuentre el valor del depósito y elabore la tabla de capitalización. )6))8"3)



( UNIDAD: Análisis de alternativas de inversión

Esta unidad tiene como ob%etivo dar una visión general sobre los proyectos de inversión y el proceso de evaluación financiera. 3"! #eneralidades $Pué es un proyecto&

Es un paquete discreto de inversiones, insumos y actividades dise'ados con el fin de eliminar o reducir restricciones al desarrollo, para lograr uno o más productos o beneficios, en términos del aumento de la productividad y del me%oramiento de la calidad de vida de un grupo de beneficiarios dentro de un determinado periodo de tiempo. Cn proyecto surge de la identificación de una necesidad de la sociedad, su bondad depende de su eficiencia en la satisfacción de estas necesidades, teniendo en cuenta el conte#to social, económico, cultural y pol0tico. En términos generales, el proyecto forma parte de programas o planes más amplios, contribuyendo a un ob%etivo global de desarrollo, de lo anterior se deduce que los inversionistas, tanto estatales como privados, frecuentemente comparan las diversas alternativas de inversión que se presentan en el ambiente. "a necesidad de llevar a cabo estas comparaciones surge del !ec!o de querer optimizar el uso de los recursos económicos y financieros disponibles en el sentido, generalmente de a!orro de divisas o de eficiencia de inversiones. 3"' Eétodos de evaluación financiera



5e pueden identificar dos grupos El prier grupo reconoce que el momento en el tiempo en que entran y salen recursos (flu%os de fondos) es de importancia para la evaluación. 5e incluyen los métodos que utilizan los procedimientos de actualización o descuento y que por lo tanto toman en cuenta la cronolog0a de los flu%os de fondo, es decir, le conceden al dinero importancia en función del tiempo. En este grupo se incluyen los siguientes métodos 8;, 4G:, :(B6+), estos métodos dependen de dos variables la tasa de actualización o descuento y el tiempo. El segundo grupo no toma en cuenta el impacto del tiempo sobre el flu%o de fondos. qu0 se incluyen el $:G, el cual se refiere al nmero de a'os necesarios para recuperar la inversión y el método de la rentabilidad contable, que utiliza una metodolog0a y terminolog0a meramente contable y consiste en relacionar la utilidad neta anual promedio con la inversión promedio. 3"'"! (alor actual neto H (AN

Es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un determinado nmero de flu%os de ca%a futuros, originados por una inversión. "a metodolog0a consiste en descontar al momento actual (es decir, actualizar mediante una tasa) todos los flujos de caja futuros del proyecto.  este valor se le resta la inversión inicial, de tal modo que el valor obtenido es el valor actual neto del proyecto. El método de valor presente es uno de los criterios económicos más ampliamente utilizados en la evaluación de proyectos de inversión. +onsiste en determinar la equivalencia en el tiempo 3 de los flu%os de efectivo futuros que genera un proyecto y comparar esta equivalencia con el desembolso inicial. +uando dic!a equivalencia es mayor que el desembolso inicial, entonces, es recomendable que el proyecto sea aceptado. "a fórmula que nos permite calcular el 8alor ctual ;eto es

( t representa los flu%os de ca%a en cada periodo t. I 3 es el valor del desembolso inicial de la inversión. n es el nmero de per0odos considerado.

El tipo de interés es ) . 5i el proyecto no tiene riesgo, se tomará como referencia el tipo de la renta fi%a, de tal manera que con el 8; se estimará si la inversión es me%or que invertir en algo seguro, sin riesgo especifico. En otros casos, se utilizará el coste de oportunidad.
El método del (AN nos conduce a la toma de decisiones sobre invertir o no en un proyecto, considerando los siguientes criterios 1. 5i el 8; es mayor que 3, el proyecto es atractivo y debe ser aceptado.



*. 5i el 8; es igual a 3, la inversión es indiferente, en este caso, ) pasa a llamarse 4G: (tasa interna de retorno). "a 4G: es la rentabilidad que nos está proporcionando el proyecto. &. 5i el 8; es menor que 3, el proyecto no vale la pena, dado que e#isten otras alternativas de inversión con mayor beneficio, estas son las que se refle%an en el costo de oportunidad del dinero. Htra forma de e#presar estos criterios de aceptación es decir que el proyecto de inversión se aceptara si el 8; de los ingresos es mayor que el 8; de los egresos. 3"'"' Fasa interna de retorno / FI;

"a tasa interna de retorno o tasa interna de rentabilidad (4G:) de una inversión, está definida como la tasa de interés con la cual el valor actual neto o valor presente neto (8; o 8$;) es igual a cero. El 8; o 8$; es calculado a partir del flu%o de ca%a anual, trasladando todas las cantidades futuras al presente. Es un indicador de la rentabilidad de un proyecto, a mayor 4G:, mayor rentabilidad.
$ara el cálculo de la 4G: apro#imada seguiremos un proceso iterativo (prueba y error) y luego se aplica una fórmula de interpolación, los pasos a seguir son •

/eterminar una tasa de interés i 1, que proporcione un 8;1 W 3.

•

/eterminar una tasa de interés i *, que proporcione un 8;* V 3. Encontrado el 8; 1 y el 8;*, se procede a aplicar la fórmula de interpolación siguiente

•

1

+¿

[

( i −i ) VAN 2

1

1

VAN 1−VAN 2

]

TIR =i ¿

5e utiliza para decidir sobre la aceptación o rec!azo de un proyecto de inversión. $ara ello, la 4G: se compara con una tasa m0nima o tasa de corte, el coste de oportunidad de la inversión (si la inversión no tiene riesgo, el coste de oportunidad utilizado para comparar la 4G: será la tasa de rentabilidad libre de riesgo). 1. 5i la tasa de rendimiento del proyecto  e#presada por la 4G: supera la tasa de corte, se acepta la inversión *. 5i la 4G: es igual a la tasa de corte el proyecto debe causar indiferencia &. 5i la 4G: es menor a la tasa de corte, el proyecto se rec!aza. ______________________________________________________________________ 62 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas


(enta+as y liitaciones de la FI;

"a 4G: es un instrumento fundamental en la determinación del mérito del proyecto y esto es debido a las siguientes venta%as •

•

"a 4G: no refle%a la dificultad de los otros criterios de actualización los cuales e#igen opiniones acerca de las variables e#ternas del proyecto, tal es el caso de las tasas de actualización. "a 4G: brinda una información más fácil de comprender en términos relativos, sin embargo es importante se'alar que la 4G: presenta algunos inconvenientes que, como el 8; no le permiten ser el criterio absoluto en la selección y clasificacion de los proyectos de inversión.

En el caso de los proyectos de inversión que refle%an diferencias considerables entre los valores de las inversiones se pueden dar contradicciones entre los métodos del 8; y la 4G:, esto debido a que un peque'o proyecto con ba%a inversión puede originar una alta tasa de retorno y a la vez mostrar un ba%o valor actual neto. 3"'") Eétodo de la ;elación Jeneficio
Este método se apoya en el método del 8; y su utilización es muy frecuente en estudios de proyectos pblicos de inversión. %rocediiento de cálculo:

1. 5e determina el 8; de los beneficios (AN -J,, mediante la tasa de corte de los ingresos asociados al proyecto de inversión. *. 5e determina el 8; de los costos (AN -<,6 a la tasa de corte de los egresos del proyecto de inversión. &. 5e establece una relación entre el 8; de los ingresos y el 8; de los egresos, mediante la siguiente fórmula R ( B / C )=

VAN ( B) VAN ( C )

/ebemos observar que la : (B6+) prácticamente es una función de la tasa de corte que se emplea para el cálculo del 8; de los ingresos y egresos, de tal forma que al calcular este indicador con propósitos decisorios, es necesario utilizar la rentabilidad m0nima aceptable.
1. 5i la ; -JG<, Q !6 se acepta el proyecto, dado que el 8; de los ingresos es mayor que el 8; de los egresos.



*. 5i la ; -JG<,  !6 es indiferente aceptar o rec!azar el proyecto, dado que los beneficios netos apenas compensan el costo de oportunidad del dinero, o sea, la ganancia neta del proyecto es igual a la ganancia de inversiones alternativas. &. 5i la ; -JG<, R !6 se rec!aza el proyecto, dado que el 8; de los ingresos es menor que el 8; de los egresos. /e lo anterior se deduce que cuando el valor de la : (B6+) es mayor a la unidad, significa que el 8; de todo el proyecto de inversión es positivo y por lo tanto el proyecto es atractivo. 3") 4+ercicios

1. +onsidere un proyecto de inversión inicial +2 133,333 y una tasa de corte del **J que presenta flu%os netos positivos de +2 D@,333 a'o 1, +2 D3,>A3 a'o *, +2 &>,?A a'o & y +2 D@,333 a'o D. /etermine si es viable la e%ecución del proyecto mediante los métodos de evaluación estudiados. rgumente.

*. El gobierno está interesado en un proyecto de adecuación de tierras para cultivos, para lo que se requiere la siguiente inversión. Gnversión inicial C2 A3,333 'o 1 C2 133,333 'o * C2 133,333

5e proyecta que durante 1A a'os más se deben invertir C2 *3,333 anuales para mantenimiento, se estima que con este proyecto se recuperaran 133 !ectáreas, cada una de las cuales puede producir ingresos netos de C2 1,333 en productos agr0colas por 1A a'os a partir del a'o &, los ingresos son después de deducir los costos de fertilizantes, equipos, fungicidas, entre otros.

El costo de mano de obra no se tiene en cuenta, debido a que el gobierno le !a asignado un valor de oportunidad de cero, +alcular el 8; y la : (B6+) del proyecto si la rentabilidad m0nima e#igida por el gobierno es del 13J anual.

#ua de e+ercicios



I"

;esuelva los siguientes e+ercicios aplicando (AN6 FI; y ; -JG<,"

1. Cna empresa estudia un proyecto de inversión que presenta las siguientes caracter0sticas •

•

/esembolso inicial  +2 @3,333 Flu%o de ca%a 1er a'o +2 &3,333, para el resto de los a'os se espera que los flu%os de ca%a sean un 13J superior al del a'o anterior.

•

/uración temporal A a'os, valor residual +2 *3,333

•

+oste medio capital *@J

a) 5egn el criterio del 8;,
*. Cna empresa incorpora una maquina a su activo en la modalidad de leasing en las condiciones siguientes •

8alor de la maquina C2 1,333

•

/uración temporal A a'os

•

+uotas de leasing anuales C2 *@3

•

Hpción de compra de la maquina al fin de AX a'o por C2 D3

•

:endimiento del 1>J

a) Encuentra el coste efectivo que representa esta adquisición para la empresa.



&. Cna empresa !a de decidir entre * proyectos de inversión

%;4
/esembolso inicial

%;4
C2 13,333 +oste de adquisición

C2 13,333

+obros anuales

C2 >,333 +ostes fi%os anuales

C2 A,333

$agos anuales

C2 D,333 +ostes variables unitarios

C2 13

8alor residual

C2 1,333 $recio venta unitario

C2 *A

D a'os /uración temporal

& a'os

/uración temporal

8olumen anual de ventas YH 1 

?33 unid

YH *  33 unid

YH &  1,133 unid

a)

az la representación gráfica del diagrama temporal de los proyectos  y B b) 5i el coste del capital se considera constante para todo el tiempo que dure la inversión i 9 1@J. 5elecciona la me%or inversión por el criterio del 8; c) <+ual tendr0a que ser la inversión inicial del proyecto B para que la rentabilidad de la inversión fuera del &3J= d) plique 4G: y : (B6+) al proyecto seleccionado y argumente resultados.



D. Cna empresa se plantea un proyecto de inversión para los pró#imos cuatro a'os que representa un desembolso inicial de C2 *1A,333 y dispone de dos opciones

%
!

'

)

2

A

&3,333 A3,333 @3,333 133,333

J

@3,333 D3,333 &3,333 113,333

+alcula segn tu criterio en cuanto al rendimiento a e#igir, el valor actual neto y la tasa interna de retorno de las dos opciones  y B para una tasa de libre de riesgo del DJ.

A. Cn inversionista desea saber si un proyecto con una inversión inicial de C2 &,3@*.1? dólares y flu%os netos positivos de, C2 >,[email protected]@ a'o 1, C2 1>,&*@.&? a'o * y C2 &3,313.&1 a'o &, es viable, para ello le solicita su asesor0a mediante la aplicación de las técnicas de evaluación financiera 8;, 4G: y : (B6+) a fin de tomar una correcta decisión. $ara el cálculo de la tasa de corte debe de considerar que la tasa de interés es del *DJ y la siguiente información. +oncepto 8alor J +osto +osto $romedio Fondos propios C2 &3,333.33 Financiamiento C2 ,3@*.1? +osto de +apital • 4asa de Gnflación • 4asa de riesgo • Fasa de
II" ;esponda las siguientes preguntas" ______________________________________________________________________ 67 Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas

Material de Matematica Financiera

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