•
•
,
.
Chapitre
1
Statistique descriptive .
L'objectif de ce chapitre est de consolider et d'approfondir les connaissances acquises les années précédentes à ce sujet en étudiant des situations issues notamment de l'industrie et des laboratoires. De nouvelles séries statistiques seront également présentées en étudiant des situations issues de secteurs très variés: mécanique, bâtiment, électronique, laboratoire, économie, ...
Le mot statistique, traduction du mOI allemand Srafisfik, apparu au milieu du XVIIIe siècle, vient du mOI latin
SfCI/US :
él:lI.
À l' origine (da ns l'ancienne Babylone, 3000 ans avant Jésus-Christ, en Chine, plus de 2000 ans avant Jés us-Christ, et en Égypte, vers 1700 avant Jésus-Christ) la statistique rassemblait des renseignements concernant des populations (les premiers recensements permettaient de connaître le nombre des habitants d'un pays et leur répartition par sexe, par âge , par « catégorie socia-professionne lle », ... ) et l'économie
(évaluatio n des ressources, de l'état des stocks, ... ), ce qui explique le vocab ulaire encore utilisé actuellement. Les méthodes statistiques sont aujourd'hui employées également en médecine (évaluation de l'efficacité d'un médicame nt, de l' état sanitaire d'une population, ... ), en agro-
nomie (recherche d'engrais spécifiques, sélection de vari étés, ... ), en sociologie (enquêtes, sondages d'opinion), dans l'illdustrie (organisation scientifique du travail, contrôle de qualité, gestion des stocks, .. . ), et dans bien d'autres domaines.
,
,
A. SERIES STATISTIQUES A UNE VARIABLE 1. MÉTHODES DE REPRÉSENTATION a. Vocabulaire (rappel) Population La population est l'ensemble que l'on observe et dont chaque élément est appelé individu ou unité statistique.
Échantillon (ou lot) Peul-on. en quelques jours. interroger tous les é l ecteu r.~ de France avant une élection présidentielle?
Un échantillon (o u lot) est une partie (ou sous-ensemble) de la population considérée. On étudie un échantillon de la population notamment lorsque celle-ci est impossible à étudier dans son ensemble; c'est le cas pour les sondages d'opinion ou pour des mesures rendant inutilisables les objets étudi és,
par exemple la durée de vie de piles électriques d'un certain type. Chap. 1 : Statistique descriptive
13
Caractère
Le dernier recensement, en France,
a eu lieu au printemps de 1999,
Le traitement des données relatives à un carac tère quantitatif et il un
caractère qualitatif est différent par exemplt', on peut définir une taille moyenne pour les élèves du lycée A, mais pas une région moyenne de r~sidence pour les Français.
Le caractère étudié est la propriété observée dans la population ou l'échantillon considéré: par exemple, la région de résidence de chaque Français observée lors du dernier recensement, ou le nombre d'enfants par famille observé à cette même occasion, ou encore la taille des élèves d'un lycée. Dans ces deux derniers exemples, le caractère est dit quantitatif, car il est mesurable; ce qui n'est pas le cas dans le premier exemple où le caractère est dit qualitatif. Dans le deuxième exemple, le caractère quantitatif est discret, car il ne peut prendre que des valeurs « isolées » (ici entières) alors que, dans le troisième, le caractère qualitatif est continu, car il peut prendre, au moins théoriquement, n'importe quelle valeur d'un intervalle de nombres réels, Dans chaque exemple, les résultats obtenus se présentent, au départ, sous forme d'une liste éventuellement très longue et sans autre classement que l'ordre d'arrivée des informations, Aussi, pour faciliter leur lecture, est-on amené à les présenter de manière plus synthétique sous forme de tableau ou de graphique,
b. Tableau Les t'las~es sont non vides et telles que tout é l ~ment de la population :lppartient tI une classe et à une seule.
Voir l'énont'é du TP 3,
• Classe Une classe est un so us-ensemble de la population correspondant à une même valeur ou à des valeurs « voisines» prises par le caractère: par exemple, les habitants de la région Champagne-Ardennes, ou les familles de deux enfants, ou les élèves du lycée A dont la taille (e n cm) appartient à l'intervalle [165, 170r. • Effectif L'effectif d'une classe est so n nombre d'éléments, Ainsi, une série statistique à une variable peut être définie par un tableau de la forme:
l Le choix du nombre de classes
dépend du contexte de l'étude sta~ tistique \'oir la remarque en marge, au début du paragrJ.phe 2. Cette not.ation, plus courte. év ite l'ambiguïté des points de suspension. Une fréquence peut au~"i corres~ pondre à un pourcentage: voir le paragraphe c. On en d~duit
"i =
fi'"
p est le nombre de classes et n; l'effectif de la i
L'effectif total" est tel que: = 11 1 + "2 + ,.. + Il i + ..
11
ème
''l'
1
classe.
+ "p' que l'on convient de noter,
p Il
=.I ,= l n·,' que l'on lit « somme de i égale 1 àp de
Il·
,
».
• Fréquence La fréquence d'une classe est la proportion d'individus de la population (ou de l'échantillon) appartenant à cette classe.
Ainsi , la i ème classe a pour fréquence
f.,
=
'.Il!.i..
On remarque que la somme des fréquences de toutes les classes est: p
I.
f.
j=I'
=
~ + "112 + ... + ~ + 11 n 14
p
On rencontrera des résull:us analogues dans la deuxième partie calcul des probabilités.
Puisque
~ i=1
p
nous obtenons
II· = 11, 1
D'autre part, 0
~
fi
~
L f i=1
= 1. 1
], pour tout entier i compris entre 1 et p.
c. Graphique • Caractère qualitatif On considère le tableau ci-contre relatif aux ventes de voitures neuves en France
Maque
~
Renault
28%
en France en 1999 est la marque: c'est un
PSA
29.2 CJ.
caractère qualitatif qui prend trois valeurs ou modalités permettant de définir trois classes avec leurs fréquences:
Marques étrangères
42,8 %
en 1999. La propriété étudiée dans la
population des voitures neuves vendues
Si on connaiss:lit l'effectif total 11 (le nombre total de \'oi tures neuves vendues en Frunce en 1999), on en déduirait le lableau des effeclifs puisque "; = /;11. L'aire d'un secteur circulaire d'angle a (a en radians) et de rayon Rest 2 lR 2 a.
Fréquence
1-
-
0,280
0,292
0,428
Voici trois graphiques possibles pour cette série statistique: %
R
Diagramme à secteurs circulaires
Chaque classe correspond à un secteur circulaire dont l'angle ou J'aire est pro-
Fig. 2 Traditionnellement, on utilise un demi-cercle pour représenter la composition de J'Assemblée nationale suivant les groupes politiques.
portionnel à l'effectif, donc à la fréquen-
ce, de la classe. Ainsi, l'angle pour Renault mesure en degrés: 0,280x 360 = 100,8. Diagramme en bandes
Diagramme en tuyaux d'orgue
Ren:.i.ult 28,2 %
PSA J.<% 28.2 %
34,..
Renault
PSA
On rencontre aussi des diagrammes rep~sentant, par exemple, des voitures de taille variable.
Attention! Quelle est alors l:l com·enlion utili sée? L'effel'tif d'une classe est-il proportionnel tlla longueur seule, ~ la hauteur seule, ou tll'aire de la voilure ainsi dessinée?
Chap. 1 : Statistique descriptive
Étrangères Fig. 3
Fig. 4
Dans les deux diagrammes précédents, chaque classe est représentée par un rectangle de même largeur et de longueur proportionnel1e à l' effectif, donc à la fréquence de la classe. 15
.......... _d·_.. . . . :
On a obtenu les résultats suivants: Le choil( des dasses du type
la" hil. Ill i +1' h;+ Il. avec 1 = hi permet 1ItQUl élément de la population, y compris a j + 1 = d'appartenir 11 une classe et 11 une seule. On aurait pu aussi choisir JlIj, hi]. "i +
"i'
Toules les autres classes ayant la même amplitude 500, on convient d'assimiler la cla!>!>e .. 6000 et plus » à [6000. 6500[.
Il en est de même pour l'histogramme des f~quences, celui des effeclifs cumulés, et celui de" fréquences cumu lées.
-........
(ca_l [0.500[
5
5
[500. l OOO[
12
17
[1 000. 1 500[
33
50
[1 500. 2000[
71
121
[2000. 2500[
119
240
[2500. 3000[
175
415
[3000. 3500[
IB5
600
[3500. 4000[
158
758
[4000. 4500[
122
880
[4500.5000[
69
949
[5000. 5500[
35
984
[5500.6000[
II
995
6000 et plus
5
1000
TOTAL
1000
Dans un hi slogramme des effeclifs, les effectifs des classes sonl proportionnels aux aires des rectangles représentant les classes (fig. 6). Histogramme des effectifs Effectif 180
1-
r-
1--
160 140
1-
-
120
r-
100 80
-
r-
60 40 20 0
-rf 1 000
2000
3000
4000
rh
5000
6000
Montant (en euros)
Fig. 6 Dans les autres cas, la ~alisation ct l'ulilisatjon d'un hh.togramme Mlnt techniquement plus difficiles.
Chap. 1 : Statistique descriptive
Dans l~ cas où toutes les c/asst!s ont mêm~ amplitude, comme ci-dessus, les effectifs sont proportionnels aux longueurs des rectangles représen tant celles-ci.
17
Remarques Pour chaque classe, on suppose que tous les éléments sont situés au milieu de la classe: on passe ainsi d'un caractère continu il un caractère discret.
1. Dans certains cas, on peut être amené à tracer la ligne polygonale des effectifs en joignant par des segments de droite les milieux Ci des largeurs supérieures des rectangles de l'histogramme des effectifs. Cela revient à remplacer chaque classe [ai' b j [, d'effectif fIi' par la classe a· + b· ci = - '-2-" de même effectif ni' et à joindre les sommets Ci des bâtons correspondants.
Attention: mis il part les points Ci' le~ points du polygone des effectifs n'ont aucune signification st~ltis tique. On observe cependant des égalités d'aires (fig. 7).
Effectif
180 160
80
70
140
aires égales
120
60 100
50
80
40
60
30 40 20 20 0 1000
2
Xi
3 000
4000
5 000 6 000 Montant (en euros) Fig. 8
se
2. Dans d'autres cas, on adopte le point de vue inverse: on remplace un caractère discret par un caractère continu. Par exemple, dans une entreprise. au cours d'une visite médicale, on mesure la taille des membres du personnel. Voici un extrait des résultats où l'unité de longueur est le centimètre:
traduit pour les classes par le remplacement de chaque nombre Xi par
où.! =
2 000
Fig. 7
Le passage du discret au continu
l'intervalle
1 000
2000
[x; ~ ~,Xi + ~[
170
171
172
2
5
4
+ 1 ~ Xi 2'
On rencontrera une situation analogue dan s le chapitre sur les variables aléatoires.
En réalité, vu la précision des mesures, les deux personnes dont la ta.ille indiquée est 170 cm ont une taille comprise entre 169,5 cm et 170,5 cm. Ainsi, il peut être pertinent de remplacer la classe 170 par la classe [169,5; 170,5[.
[169,5: 170,5[
[170,5: 171 ,5[
[171,5: In ,5 [
2
5
4
Effectif
Ces situations se rencon lre.nt fréquemment en économie et en gestion.
D'autre part, lorsqu'on s'intéresse à des sommes d'argent exprimées par exemple en euros, on considère généralement, lorsque les effectifs sont suffisants, qu'il s'agit d'un caractère continu bien qu'il prenne des valeurs isolées, puisqu'entre deux centimes consécutifs, il n'y a rien. 18
2. CARACTÉRISTIQUES DE POSITION LL statisticien est confronté au problème du choix du nombre de classes: prendre un grand nombre de classes rend malai'iée la lec ture du tableau ou de la représentation graph ique, mais présen'e un maximum d'informations (~\'en!ue ll e ment trop, (,'ar certains phénomènes marginau x ou M!condaires peuvent masquer la présence d'autres plu s essentiel s); en revanche, ne retenir que très peu de das~s fa \'uric;e la simplici té de la lecture du t:lblcau ou de la repré<>entalion gmphique, mais peut don ner une vi ... ion si mplbte et caricatumle de la population étud iée.
Dans le paragraphe A., on a commencé à condenser les informations pour les rendre plus lisibles: on est ainsi passé d ' une liste de plusieurs dizaines. centaines. éventuellement milliers. de données à un tableau ou à un graphique reposant sur un regroupement de celles-ci en quelques classes. On va synthétiser encore davantage l'information pour les caractères quantitatifs en cherchant quelques nombres permettant de décrire au mieux la population observée. La première idée concerne naturellement la « tendance centrale» de la population; mais cela signifie-t-il calculer une moyenne (comme pour les notes d' un élève), chercher un nombre séparant la population en deux parties représentant chacune 50 % de l'effectif total ou, plus simplement, choisir la (o u une) classe de plus grand effectif? Ces trois points de vue présentent de l'intérêt et conduisent à définir des caractéristiques de position utilisées en statistique.
a. Moyenne Définition Une moyenne est définie par une formule; au<;~i convient- il d'inter-' préter le r~sullal obtenu , par exemple, 0,9 enfant par foyer.
La plupart des calculatrices ont une touche .i". Voir les pages calcula· trices :':l Ia fin de cel ouvr.tge.
La moyenne
arithm~tique _
x=
XI
de fi nombres XI'
+ X2 + ... + xn
= -
~
fI;= 1
fi
est
x;
Les séries statistiques (à une variable quantitative) étudiées les années précédentes se prése ntent directement ou indirectement sous l'une des trois formes suivantes: 1er cas: la liste des 11 éléments XI' x2' ...• x; • .... XII' 2e cas: le tableau des effec tifs "; des p classes Xi' 3' cas: le tableau des effectifs "i des p classes [{Ii' bi [ de ce ntre a· + b· c.=-'-, 2 ' La moyenne arithmétique est alors obtenue à l'aide de la formule suivante, le calcul étant effectué à la calculatrice:
11':r cas
Dans le troi~i~m e cas, celte formule ne donne en général qu 'une valeur approchée de x.
X2' ••.• Xn 1 ~
t _ .
,Tl
+
X1
-
+ ... + Xn Il
x=
11 1-"J
+
... + II,rp
x=
"I CJ
+
...
" + "/:p
"
Remarques 1. Dans le deuxième cas, la population est donnée avec autant de précision que dans le premier. Au contraire, dans le troisième cas, nous ne connaissons pas la valeur exacte de chaque élément à l' intérieur de sa classe [ai' bi [.
Chap. 1 : Statistique descriptive
19
Voir le TP 3.
Aussi, dans le troisième cas, nous sommes obligés de faire des hypothèses sur la population pour calculer x. La formule donnée pour x est valable lorsque, dans chaque classe [ai' bj [, tous les éléments sont concentrés au milieu Ci de la classe, mais cette hypothèse est rarement satisfaite. En revanche, on peut admettre plus fréquemment que, dans chaque classe [ai' bj [, les Ilj éléments sont uniformément répartis; dans ce cas, la formule donnée pour x est encore correcte. 2. Lorsqu'on parle de moyenne sans précision supplémentaire, il s'agit de la moyenne arithmétique. Certaines situations conduisent à la recherche d'autres moyennes (moyenne harmonique, moyenne géométrique), mais aucune connaissance n'est exigible à ce sujet en section de techniciens supérieurs.
Propriété Soit a et b des constantes réelles. Pour tous nombres réels " " X ' on a: II /1
mvelopper la somme du premier membre. mettre li en facleur et regrouper les b. Une autre propriété de la moyenne est énoncée au début du paragraphe 3.
XI' ... , Xi'
Il
I (axi + h) = a i=I 1 Xi + lib. i= 1 . Donc, en divisant par 1. I" ("xi + b) = a (ni 1. I"= 1 Xi.)+ b. l1i=1 Il :
ax+b =ai + b.
Donc:
b. Médiane En économie, la moyenne arithmétique n'est pas toujours la caractéristique de position la plus pertinente; il en est de même des autres moyennes. Par exemple, il peut être utile de déterminer le salai,re qui sépare l'ensemble des salariés en deux parties de même effectif, .50 % ayant un salaire inférieur et 50 % un salaire supérieur: ce salaire est appelé salaire médian; c'est la médiane Mt de J'ensemble des salaires. At_ Voici l'idée à retenir concernant la médiane. 50 -.
50%
Exemple Pour les salaires nets, après les prélèvements sociaux, dans les secteurs privé et semi-public, le salaire mensuel médian en 1999 était égal à 8700 F, c'est-à-dire 1326,31 euros (d'après une étude de l'INSEE). Remarques En économie, on utilise en général des données ~s nombreuses.
Voir l'exercice corrigé nO3.
1. Pour obtenir la médiane d'une population, on classe ses éléments par ordre croissant (ou décroissant) afin de la séparer en deux parties de même effectif. Lorsque la population est répartie en classes, [ai' b i [, la médiane peut être évaluée soit graphiquement, soit par interpolation affine à J'aide d'un histogramme des effectifs cumulés ou des croissances cumulées
20
50 %
50
1 1
Le mot mode, masculin e n statis-
tique, a pour origi ne le mot féminin mode qui correspond à une tendance
4<
dominante » .
en faisant l'hypothèse supplémentaire: les éléments de la classe contenant la médiane sont uniformément répartis. 2. On doit distinguer la médiane Me et la moyenne x d'une population: dans l'exemple précédent, la moyenne des salaires nets est supérieure à la médiane Me = 8700 F, ce qui signifie que moins de SO % des salari és gagnent plus que la moyenne X, qui est environ Il 100 F, c' est-àdire 1676,94 euros. Le calcul de]a moyenne fait intervenir toutes les données, ce qui n'est pas le cas pour la détermination de la médiane. La moyenne est sensible aux variations des valeurs extrêmes de la série statistique, ce qui n' est pas le cas de la médiane. 3. Le mode (resp. la classe modale) est l'élément (resp. la classe) de la population correspondant au plus grand effectif. On notera qu'une population n'a pas toujours un mode ou une classe modale unique. S'il n'y a pas unicité, on peut s' interroger pour savoir s' il ne s'agît pas d'un « mélange » de population s.
3. CARACTÉRISTIQUES DE DISPERSION a. Exemple Les. élèves A et B ont obtenu les notes suivantes: 7 - 8 - II - 12 - 13 - 13 - 13 pour A, 4-7-9-l2-13-l3-l9pourB. Nous observons que les notes de A et cel1es de B on t la même médiane 12, la même moyenne Il et le même mode 13, et pourtant les deux séries de notes ne sont pas semblables: celles de B sont plus dispersées que celles de A. Aussi, à côté des caractéristiques de position, est-on amené à introduire des caractéristiques de dispersion pour décrire une population. Pour étudi er la dispersion des notes des élèves A et B, nous pouvons calculer ]a moyenne des écarts entre chaque note et la moyenn e Il : 1 Pour A: 7 [(7 - Il ) + (8 - Il) + ... + (13 - Il )] = O. Il en est de même pour B.
Ce rés ultat est général: En effet, celte moyenne des écarts peUl
s'écrire
ft [(x , -
x)
+ (x 2 -
x)
+ ... + (x,,-
x)] = O.
Cela tient au fait que, dans cette somme, il y a « cOffi:pensation » entre les termes positifs et les termes négatifs. On peut surmonter cette difficulté en considérant une somme « voisine » dont tous les termes sont positifs; on peut y parvenir par au moins deux procédés élémentaires : en prenant la valeur absolue ou en prenant les carrés.
=x-x ~O .
Défini/ion En remplaçant
x par Mf, on définit
l'écart absolu moyen paf rapport à la médiane.
Pour A:
t!
L'écart absolu moyen de • =
nombres xj par rapport à leur moyenne.i est
hU x , -xl + 1-'2 -xl + ... + lx" -xl]·
= 2; poUf B: t! "" 3,7.
Chap. 1 : Statistique descriptive
Il
21
b. Variance, écart type En règle générale, on préfère utiliser les notions de variance et d'écart type comme caractéristiques de di spersion.
Définition La variance est V L'écart type eS!
(T
1"1 -
-, .n- + ... + (x" -
-;)~
n
= VV.
Voir le paragraphe 2.a. ci-dessus.
Reprenons les notations utilisées pour le calcul de la moyenne. 1 er cas: la population est donnée par la liste de ses 11 éléments XI'
....
.\, , .. ,x". 2 e cas: la population est donnée par le tableau des effectifs "i des fJ classes Xi' 3 e cas : la population est donnée par Je tableau des effectifs "i des fJ a, + h, classes la" b, r de centres c, =
----z-
La variance et l'écart type sont obtenus de la façon suivante, les calculs étant effectués à la calculatrice:
.
YoriaDceV
Cc .. résull .. ts sont 'ldmi :-..
l ~r
cas
v=
Lü plupart des çakulatriçes donnent
(J'.
Voir les pages calculatrkes h la fin de cel ouvrage.
2e cas
3e cas
v= v=
(x ] -
:\?
+ ... +
(xn
"
-if =
' , Xj+.T2+ ... +
Il](X] - x)2 +. . + IIp (Xp - -x) 2 _
x~
" " ).li' +
...
+
"J1''t:'p _ j'2
"
" lI](c]-xf + ... +lIp
"
Dans lous les cas, l'écarl type est
,
x;. - -,
(T
, - , , x t_/]ci + . . + " p (Î, -, - X· n
= VV,
Remarques Voir la remarque 1 du paragraphe 2.a.
Voir le TP 3.
1. Dans le troi siè me cas, la formule donnée pour V est valable lorsque, dans chaque classe [ai ' h i [, tou s les éléments sont concentrés au milieu Ci de cette classe, mais cette hypothèse est rarement satisfaite, En revanche, on peut admettre plus fréquemment que, dans chaque classe [ai ' b i [, les l1i éléments sont uniformément réparti s; dan s ce cas, la formule donnée pour V n'est pas correcte, car elle ne prend pas en compte la di spersion au sein de chaque classe. 2. Nous avons vu que la médiane partage une population d'effectif Il , ordonnée suivant les valeurs croissantes (ou décroi ssantes), en, deux sous-populations de même effectif ~. Nous pouvons, de la même façon . partager une population en quatre sous-populations de même effectif ~.
22
E
.
..
. Q,
n économ ie. on utlhse aus".
Q
comme indicateur de dispersion. r
"4
" 4
" 4
"4
25%
25 %
25 %
25 %
Les nombres QI' Q2 = M e. Q). sont les quartiles. Dans l' intervalle [QI' Q) l sont situées 50 % des valeurs observées. Le nombre Q) - QI est l' interquartile; c'est un indicateur de dispersion .
Nous pouvons définir de même des déciles DI ' D 2• ...• D9 en rempla1 JO 2 · ·1e par 1'·InterdeCI - ·1 1 2 çant 4' 4' 43 par JO' ' .... 109 et 1' mterquartl e D9 - Dl· On peut également définir des centiles. Voir Je paragraphe 2.c.
Par exemple. en 1999. 10 % des salariés gagnaient moin s de = 5720F et 90 % moins de D 9 = 17000F.
Dl
• Un franc est égal à 0.15 euro. Propriété
Comparer ces ~~ul tats à ceux obtenus pour la moyenne au paragr.whe
Étant donné des nombres réels a et b. et Il nombres x; , on définit . pour tout i, les nombres xi par xi = {LX; + b. V (resp. V') étant la variance des Il nombres x ; (resp. x;). on a
V' - G2V._o' - ...
2.c.
B.SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1. TABLEAUX DE DONNÉES. NUAGE DE POINTS Ce lien n'esi pas n ~ssairt me n l une relation de cause à effet.
On observe que, dans certains cas, il semble exister un lien entre deux
caractères d' une population. par exemple entre le poids et la taille d' un nou veau-né, entre l'épaisseur d'un mur et sa rés istance thermique,
entre le chiffre d'affaires et le montant des charges d' une entreprise. entre la consommation et la vitesse d'une voiture... Pour étudier d'éventuelles liaison s, on esl amené à s'Întéresser simultanément à deux caractères x et y d' une même population. On définit une série statistique à deux variables x et y prenant des valeurs X I ' .. . , Xi' ... , Xn et )' 1' ... , Yi' ...• Yn ·
a. Tableaux de données Exemple 1 Le mur d' une habitation est constitué par une paroi en béton et une couche de polystyrène d' épai sseur variable x (en cm).
Chap. 1 : Statistique descriptive
23
On a mesuré, pour une même épaisseur de béton, la résistance Lhermique)' de ce mur en 01 2 oC par watt pour différentes valeurs de x. On a obtenu les résultats suivants: ~...,
RIa
-):
2
4
6
8
10
12
15
20
0,83
1,34
1.63
2,29
2.44
2.93
4,06
4.48
Exemple 2 Pour des véhicules légers de la gamme 9 à Il chevaux des puissances administratives, roulant en palier (ou en descente), on a relevé les consommations moyennes et les vitesses correspondantes suivantes:
.
.. ,.-.
"'-~, ("~'""'
C
(eu tilOll Iab)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
16,5
11.5
9,0
7,5
6,8
6,6
7,0
7,5
9,0
Exemple 3 Si rune des deux variables est le temps, on peUl chercher à meure en I!vidence une ~\'o luli on. On peUl traiter comme des sl!ries statistiques à deux variables les sl!ries l'hronologiques qui concernent un seul caractère dont les valeurs sont relevées à des dates différentes (températures conWIllmations. valeurs du chiffre d'affaires .... ). Dan'> ce cas Xi peut être le rang. d'une annl!e. d'un semestre.
Une entreprise fabrique et vend des lots de circuits électroniques. Le tableau suivant indique le pourcentage y de circuits d' un lot qui ont une panne au cours de x semestres d'utilisation:
ffIlI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Y,
0
2
4
8
"
14
17
20
23
27
b. Nuage de points Le plan étant muni d'un repère orthogonal. nous pouvons associer au couple (xi' Yi) de la série slatistique double le point Mi de coordonnées Xi
et Yi'
L 'ells~mble
des points Mi obtenus constitue le nuage de points représentant la série statistique. Dans l'exemple J. on obtient le nuage de la figure 9.
Résistance en m 2OC/W
•
4 3 2 Le choix des unirl!s dl!pend des
1
valeurs du tableau.
o 24
•
••
2 4
••
•
• Fig. 9
6
8 JO 12
15
20 Éoaisseur en cm
,
Dans l'exemple 2, on obtient le nuage de la figure 10. Consom mation en (/100 km
20
15
•
•
10
5
• • • • • • •
0 10
20
30
40
50
60
70
80
90
Vile!.se en kmlh
Fig. la
C'est-à-dire une courbe y = ax::! + bx + c.
d'~quation
Le nuage étant dessiné, on peut essayer de trouver une fonction f telle que la courbe d'équation)' = f(x) • passe le plus près possible . des points du nuage. C'est le problème de l'ajustement. Dans l'exemple 1 (figure 9), on peut penser que, en première approximation, il est possible de tracer une droite D au voisinage de ces six points. On dit alors que l'on a un ajustement alline. Dans l'exemple 2 (fig ure 10), un ajustement affine ne convient pas; on peut penser à « approcher ,. le nuage par une parabole. Dans le cas des exemples 1 et 2, on vient d'observer qu'il y a un lien (en statistique, on dit une corrélation) entre les points, donc entre leurs coordonnées x j et Yi' Ce n'est pas toujours Je cas: on trouve des nuages dont les points sont dispersés de façon quelconque, lorsqu'il n'existe aucun lien entre Xi et Yi; par exemple, Xi est la taille et Yi le nombre de frères et sœurs d'un individu d'un groupe donné.
c. Point moyen Lorsqu'on pense pouvoir réaliser un ajustement affine d'un nuage, il peut sembler intéressant, avant de tracer la droite, de placer le point dont l'abscisse est la moyenne des abscisses x j et l'ordonnée, la moyenne des ordonnées Yi' On appelle poilll ...." d'un nuage de n points Mi de coordonna,. (Xi' Yi) le point G de coordoona,s : J ft _ 1 ft Xc = X = ~ x·1 et -Vc = y = n""-t - ~ -, v" n~ i- 1
;., 1
Dans l'exemple l , vérifier que le point moyen est G(9,625 ; 2,5). Chap. 1 : Statistique descriptive
25
2. AJUSTEMENT AFFINE: MÉTHODE GRAPHIQUE a. Ajustement à la règle On reprend le nuage de points de l'exemple 1. On se propose, à partir des mesures effectuées, de faire des prévisions de résistance pour d'autres épaisseurs. Ce tracé au jugé, offre bien !'.ùr, beaucoup de Mllutions, et le choix d'une droite n'est pas toujours faci le,
Un moyen d'y parvenir est de tracer au jugé une droite D passant le plus près possible des points du nuage, d'équation de la forme y = wc + b, et d'admettre que les valeurs Yi de la résistance et de l'épaisseur Xi sont liées par cette équation (alors, pour tout i, Yi = (lX i + b).
Pour réaliser le tracé de D, on peut utiliser une règle transparente et la
Pour le coefficient directeur, 011 prend la valeur approchée arrondie
à 10- '-
disposer suivant la direction constatée, en s'efforçant d'équilibrer les nombres de points situés de part et d'autre et d'harmoniser leur répartition de part et d'autre suivant les abscisses croissantes. On prend comme droite d'ajustemellf la droite passant par les points A(6; 1,63) et B(12; 2,93). Vérifier qu'une équation de la droite (AB) est y = 0,22x + 0,33. Quelle résistance thermique peut-on espérer obtenir avec une couche
de polystyrène de 18 centimètres d'épaisseur?
b. Ajustement affine par la méthode de Mayer Partageons le nuage de l'exemple 1 en deux nuages de quatre points tels que 2 .. x; .. 8 pour le premier, et 10 .. x; .. 20 pour le second. Déterminer les valeurs approchées, arrondies à 10- 2, des coordonnées des points moyens CI et G2 de ces deux nuages partiels. La droite (G I , G2), ou droite de Mayer, constitue une . bonne » droiArrondir à 10- 2.
te d'ajustement dans le cas où le nuage est allongé. Vérifier qu'une équation de (G I G2) est y = 0,21x + 0,47. Reprendre la question posée à la fin du paragraphe 1.a avec l'équation obtenue pour (G I G 2).
Remarques Le vérifier sur cet eltemple.
La droite de Mayer passe toujours par le point moyen du nuage.
3. AJUSTEMENT AFFINE: MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS a. Problème C'est le cas d'un nuage de points allongé, à la différence d'un nuage plutôt circulaire ou uniformément r~parti dans un disque.
On considère une série statistique à deux variables représentée, dans un repère d'origine 0, par un nuage de II points Mi (Xi' Yi) paraissant justifier un ajustement affine.
Le problème est de déterminer quelle droite est susceptible de remplacer « au mieux
li)
ce nuage de points.
26
Pour trouver cette droite, il est nécessaire de préciser les critères utilisés. On peut éwntuellement passer directement au paragraphe d. Voir 2.a.
Cela revient. du point de vue Mat is· tique. à cn~er une di~symétrie entre la variable statistique prenant les valeurs Xt. x2' ... , x" et celle prenant les valeurs Yj' .\'2' .... Y". puis à chercher des constantes a el b relies que les valeurs Y; so ient approchées • au mieux • par cu; + b.
b. Première condition En s'inspirant de l'ajustement affine ~ à la règle », il s'agit de trouver une droite D telle que les points M; soient répartis de façon équilibrée au-dessus et au-dessous d'elle. Pour mesurer l'écart entre chaque point M; du nuage et une droite D , nous pouvons privilégier l'axe des ordonnées: en notant Pi le point de même abscisse xi que Mi et situé sur la droite D d'équation y = ax + b, cet écart est mesuré par la différence des ordonnées de M; et 1';.
y D
Yi
--------
M,
\. = IU+ b
ax;+b --------
o
X;
X
Fig, Il
YM. - Yp'. = Yi - (ax; 1
1
+ b) car Yp.., =
ax;
+ b,
-"M. - Yp'. = Yi - axj - b. "
La répartition « équilibrée » des points Mi du nuage au-dessus et aun
~définition. P;M; = Y"'i -
)"p;"
PjMjse lil « P;M, barre •.
dessous de la droite D, correspond à la
relation.~ P;M; 1=1
= 0, c'est-à-
dire à une .: compensation» entre les écarts positifs (Mi au-dessus de
1';, donc P;M; >
0) et les écarts négatifs (M; au-dessous de P;, donc
P;M; < 0). Il
Or i= ~ 1 PM 1 1
.L"
1 =)
PM· 1 ,
"
;~I P;M; )'" y= YI + Y2 +n ... + ·.donc Il)' = YI + )'2 + ... + Yn ,
" i~l
1/
=
= YI = (YI
= ax
+ b.
Chap. 1 : Statistique descriptive
- ax) - b
+ )'')- -
aX2 - b
+ )'2 + ... + y,.) -
= Il.v - anx " La condition i~) ljM; fjA.l;
c'est-à-dire y D a pour équation Y
~ (y - ax1 - b), ;= 1 1
- nb,
a (XI
" P,.M,. ~
+ ". + -"n
- ax" - b,
+ x2 + ... + x,.) - /lb, =
Il
(v - a.f - b).
1= )
= 0 s'écrit alors
y - ax -
b =
° * car
/l
0,
= ax + b.
Géométriquement, cela signifie que le point moyen G (x, y) du nuage appartient à la droite D. 27
Conclusion Étant donné un nuage de
·Le cas particulier de la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par G e!>l exclu.
" condition ;~ 1 1) AI;
Il
points Mi (Xi' Yi)' une droite D satisfait à la
= 0, où
Ij est la projection de M; sur la droite D
parallèlement à l'axe des ordonnées, si, et seulement si, cette droite D passe par le point moyen G(.x,)i) du nuage.
Remarques 1. Il Y a donc une infinité de droites satisfaisant ]a condition n
I
1=
Voir A. 3.a.
1
I)M;
= o. n
2. Celte conclusion esl à rapprocher du résultat
.I1(x; -
1=
x) = 0 obtenu
pour les séries statistiques à une variable : dans les deux cas, une somme est nulle par compensation entre des écarts positifs et des écarts négatifs. 3. Pour distinguer parmi les droites passant par G celle qui paraît la +:. mieux ,. située par rapport au nuage de points, nous allons ajouter une seconde condition et l'analogie signalée ci-dessus nous conduit à choisir,
"
soit.I P;Mi minimum, qui correspond au point de vue adopté pour 1=
Voir A. 3.a.
1
1/
-introduire l'écart absolu moyen, soit.I 1=
Voir A. 3.b.
1
p;Mf
minimum, qui corres-
pond au point de vue adopté pour introduire la variance.
c. Seconde condition Nous ne sa ... on ~ pas li priori si une telle droite est unique.
Cherchons, parmi les droites passant par G, celles pour lesquelles n
.I Fj
1=
1
Ml est minimum.
Changement de repère
On garde les mêmes vecteun unitaires du repère. Yu . =
Yi et
tient à D .
YI'. = aXj car
P; appar-
Prenons pour nouvelle origine le point moyen G qui joue ici un rôle essentiel et conservons les mêmes vecteurs unitaires. Pour tout point du plan de coordonnées (x, y) dans l'ancien repère d'origine 0, on note (X, Y) ses nouvel1es coordonnées dans le nouveau repère d'origine G. Soit D une droite passant par G. Dans l'ancien repère, D a pour équation y = CLX + b avec y = {ir + b. Dans le nouveau repère, D a pour équation Y = aX car elle passe par la nouvelle origine G (donc l'ordonnée à l'origine est nulle) et sa direction par rupport au repère est la même (donc le coefficient directeur est conservé). Par définition, FjM; = >ft,. - Yp ., donc Fj~. = Yi - aXi ·
,
1
,
2 = PM. 2 puisque PM- = IPM- 1 Alors PM .2 = (y.1 - "X.)2 car PM 1 1 1 J 1 1 1 1 J 1 l'
"
Donc.I
1= l
lA - BJ'-
= A1
- 2AB +
A = )jetB = aX;.
s1.
ici
I"
i= 1
" (li p,.Ml =.~ ,= l
PM 2 = 1
1
j
I"= 1 (y2 1
28
aX.)2, '
2"XY,
1 1
+ ,,2X2) l '
" .~
1-1
2aX] YI + a 2Xf
p;Ml. = YT +
...
+
y2 n _ 2aXn Yn
+ Yi - 2aX2Y2 + a2X~ + ...
a2X n2 .
En regroupant les termes contenant a 2 puis contenant a, puis les autres, on obt ient:
" i~1 FjMf = a 2(Xr + X~ + ... + X~) +
Yr + Y~ + ... +
Il
fi
l RM 2 = i= 1 1
a2
1
- 2a(X 1Y1 + X 2Y2 + ... + X"Y")
y"2, n
fi
l X2 i= 1 /
2a
l Xy + ;=l 1 Y,2. i= 1 Il
Dans cette expression, a est l'inconnue et les trois
" X,~, nombres . ~ 1=
DM; = OG +
GMidon~
~ ~? i~ 1 XiV; et i~ 1 Yi sont con nus car
{Kr,
1
JXj=X+Xj
lY'=Y+Yj
= x· = ,:. -,
1
x
V -
et les nombres xi et Yi sont les données de la série statistique à deux variables représentée par le nuage de points Mi. On est donc amené à détermjner a pour que 1/
l 1X 2 ) a 2 (,= 1
/1
Il
2.I (X/i )" +.I Y7 soit minimum. 1= 1 1= 1
L'expression ci-dessus est un polynôme du second degré en o. On !tait ch~rc.:her Je minimum d'une
Étude d'une fonction
foncljon.
Soit f la fonction polynôme du second degré définie sur IR par
Ici la variable est a el les nombres Xi et tj sont des constantes.
f(a) = (
11
l X;)a 2 ,= 1
11
11
2I (Xli) a +I Y;. 1= 1 1= 1
f est dérivable sur IR :
"
"
l'(a) = 2a .I X7 - 2.I (Xli)· 1=
" Or.L
1= 1
X7
1
1=
1
> 0 : c'est une somme de carrés et tous les Xi ne sont pas nuls. n
l
Donc [(a) = 0 si, et seulement si, a =
;= 1
Xy
l"
;= 1 1/
et [(a)
> 0 si, et seulement si, a >
IXY
i= 1
l"
i= 1
Chap. 1 : Statistique descriptive
29
1 1
X2 1
1 1
X2 1
Conclusion
11
Il existe une droite unique passant par G telle mum : c'est la droite de coefficient directeur
l"
j-l Cl=
que.~ P;M7 soit mini1-
1
Xy "
l"
i= 1
X2 1
Remarques
"
1. En revenant aux11 données statistiques x·1 et -1 V" la condition 4. PM? ;=1 1 1 minimum s'écrit.4. [y. - (ClX. + b)]2 minimum.
,= 1
11
1
1
11
1/
l XY = i=1 l (x - x)(y ;=1 II
l
v)
,.
11
l X2 = jl=(xl ' - xl '; = 1 1
2. On montre que la première condition lorsque la seconde condition
.l" 1 PM; =
1=
/1
l
i= 1
1
0 est satisfaite
PM? minimum est vérifiée, 1
1
Ici, on a choisi une démarche très progressive permettant de mettre en forme et de résoudre un problème de statistique en passant d'une à deux variables statistiques et en montrant l'apport de la géométrie et de l'analyse. 3. lei, nous avons privilégié les mesures d'écarts parallèlement à l'axe des ordonnées. En adoptant une démarche analogue avec l'axe des abscisses, on obtient de même une autre droite passant par G(x, y).
d. Droites de régression On considère une série statistique à deux variables représentée par un nuage justifiant un ajustemênt affine (figure 12).
,.
y
D'
fi"/'·
= Jj - (ax j + b)
QjMj = x j - (a 'Yi
+ b')
ax,+b _______ Yi
l',~D
-~3?1~i
G
-
Yi - - - - - -
Q
,
x
o
,,Mi , ,,
o
Xi
a'y,
+ b'
Fig. 12
L'ajustement sera d'autantmeî1leur que les points Mi seront proches des points Pi.
D' où l'appellation « méthode des moindres carrés If.
x
Xi
Fig. 13
Soit D une droite d'ajustement. Soit Mj(x;, Yj) un point du nuage. P; est le point de même abscisse Xi que Mi situé sur la droite D d'équation y = ax + b. On appelle droite de régression de y en x la droite D telle que la somme
t M.P~ = t I\'· -
i""'l
i= l "
"
30
(o.t. 1
+ h)f
soit minimale.
Dans le cas de la fi gure 13, on note Qi le poin t de même ordonnée Yi q ue M i' situé sur la droite d' ajustement D ' d'équ ation x = a'y + b'. O n appe lle droite de r égression de x en y la droite D' telle que la
1- M. Q~
so mme
i= l
'
,
soit minimale.
e. Covariance d'une série statistique double La covariance de la série statistique double de caractères x et ." est le et y sont les moyennes arithmétiques des séries statistiques à une variable x et J.
nombre réel cov(x, y) =
·~
~ j~t (xi -
:i )Lvj -
:V).
On note aussi cov(x, y) = U X}.. Il existe une autre fo rmul e, plus comm ode pour les calc uls :
1 ~
--
un. =n ·~tX;Yi- X)' . . ~
f. Équations des droites de régression On montre que: La droite de régression D de ." en x a pour équation y = ax [a(x)]2 est 13 variance
V=
l(n i x;) i= 1
où le coefficient directeur est a =
(X)::! de la .-.érie
1
aX).
--~
[a(x)j-
et où b vérifie:
+b
v. = di + b.
statistique à une vari"ble x.
La droite D passe donc par le point moyen GCx, y) du nuage. [o{Y)12 est la variance \f
= l11
(i
r;) -
i= 1. '
La droite de régression lY de x en .v a pour équation x = a'y + b'
C,,)2 de la série •
où a'
stalislique à une variable J.
=
u.t).
~ et où b' vérifie : x = a'y + b'.
lalv)j-
La droite D ' passe donc elle aussi par le point moyen G (x, y) du nuage. Exemple
Reprenons la série chronologique d es pourcentages de circ uits d ' un lot qui ont une panne. Déterminons une équ ati on de la droite de régression de y en x.
55 x- = 5•5 . x- = W. [a(x))2 =
-)'
~~5 _ 30,25,
126 = W.
a.no =
Chap. 1 : Statistique descriptive
= 126 ,.
~~3 - 5,5 CT.n ·
On a arrondi a à \O~ 1.
-y
a=~,
[a(x) ]
[a(x)f = 8,25.
x 12,6, a xy = 25.
a=3.
31
b
= y - ax,
b = -4.
En sections de techn icien .. supérieurs, les coeffic ients li et Il s'obtiennent tt l'aide d'une calculatrice sans aucun calcul intermédiaire.
Pour déduire y de x. on utili se la droite de régression de)' en x. De même, pour déduire x de y, on utili se la droite de régression de x en y.
D 'où une équation de la droite de régression de y en x : y = 3x - 4. En supposant que la tendance observée se poursuive, on peut alors en déduire que le pourcentage y de circuits d'un lot qui ont un e panne au cours de douze semestres d' utili sation est 3 x 12 - 4 = 32.
Remarque Dans ce cas, x en fonction de y n'a pas de signification concrète; on ne cherchera pas la droite de régression de x en y, bien que le calcul soit possible.
4. COEFFICIENT DE CORRÉLATION LINÉAIRE Afin d'apprécier la qualité d'un ajustement affine, nous allons introduire un nouveau paramètre.
a. Définition Le coefficient de corrélation linéaire d'une série statistique double de variables x et y est le nombre r défini par : azy
r=----. a(x) x a(,')
Exemple On a arrondi
li
tt JO- 3.
,
Dans le cas de la série des pourcentages de circuits d'un lot qui ont une panne, [a(v)]- = 76,04, donc r = 0,998.
b. Propriétés • r est un nombre réel , qui est du même signe que cov (x, y). O"xy
,
• Puisque a ;::: ---, et a = [
[
cov(x, y), r, a et Q' sont de même signe,
-1"r""1.
• On admet que
c. Interprétation graphique Attenlion!
Dans tout ce paragraphe, ail Il e considère que les nuages de points « allongés », qui incitent à ajuster par une droite. Le coefficient de corrélat.ion r est lié aux coefficients directeurs a de D. droite de régression de y en x, et}. de D' , droite de régression de x en y. Les deux droites D et D ' passant par le point moyen G, r donne des indications sur r angle des deux droites.
32
1. Si r 2 = l , alors aa' = 1. donc a =
1" (1
Les droites D et D ' sont confondues, on dit que l'ajustement affine est «
parfait ».
D D
D'
D'
M,
x Fig. 14
Fig. 15
r =-1 a
r= 1
a>Oel (l'>O
2. Si Irl est proche de 1. Les de ux droites D et D' sont « proches» l'un e de J' autre ; on dit qu 'il y a une « bonne» corré lation entre les deux caractères.
D D'
x Fig. 16 r proche de - 1
a
D'
D
o
,F Fig. 17 r proche de 1
a> 0 el (l' > 0
Chap. 1 : Statistique descriptive
33
Remarque 1. Il existe une « bonne » (ou une « forte ») corrélation entre x et )' lorsque Irl est suffisamment voisin de 1. Par exemple, Xi et Yi peuvent mesurer deux effets d'une même cause . D' un secteur technologique à un
autre les e:l ; igences peuvent varier pour r de 0,5 .;:;:: Irl .;:;: 1 (dans le bât iment) à 0,999 .;:;:: Irl .;:;: 1. (dans la microtech niq ue, la ma inte-
2. Ne pas confondre une forte corrélati on et un e li aison de cause à effet. 3. Dans chaque secteur technologique ou économique. on choisit pour quelles valeurs de r la corrélation est jugée suffisante pour pouvoir effectuer un ajustement affine par la !,11éthode des moindres carrés.
nance ... ) .
34
TRAVAUX PRATIQUES Dalls ce qui suit tous es calculs seront eif.eetués avec une calculatrice.
Calcul de moyenne et d'écart type
TP2
ÉTUDE DE SÉRIES STATISTIQUES , A UNE VARIABLE
0311 S une classe, la liste des notes obtenues à un devo ir de mathé matiques par les élèves classés par ordre alphabétique est la s ui va nte :j!; (,;j1;
TP 1
Histogramme If des fréquences cumulées croissantes et interpolation affine P
t;/J)r)Y)6; ~
19151)4 0)i:y; 5
1/:)-4': 1)0 ).o. lI 1)!1\5;' , I i 2;1);9;j.8'
jf;,9';
,
"
,
Regrouper en classes ce tte série stati stique, en repro-
duisant et en complétant le tabl eau ii ui vant :
On a mesuré la durée de vie de 400 lampes produites dans une usine. On a obte nu les résultats s uivants:
Dwft de vie (en
heures)
1
Nombre de lampe."
[3oo.500[
60
[5oo,7oo[
13.
[7oo,900[
IJO
[900, 1 loo[
70
[1100,1 Joo[
6
2
N_x, E_",
1 1
1
1
2° Déterminer des valeurs approchées arrondies à 10- 1 de la moyenne stati stique.
x et de l'écart type cr de cette série
3° Quel est le pourcentage de notes apparte nan t à J'inter valle [X- - 2a , X- + 2aJ? 4 0 Quel est le pource ntage de notes appartena nt à l'in ter valle [x - 3a, X- + 3a]?
1 0 Déte rminer le pourcentage de lampes dont la durée de vie est stricte ment inférieure il 700 heures.
r
Déterminer le pourcentage de lampes dont la durée de vie est !' upérieure ou ég'lle à 900 heures .
3 0 Représe nter l'hi stogramme des fréquences c umulées croissantes.
TP3
4 0 On suppose que, da ns chaq ue classe, les élé ments son t répartis de manière uniforme. On pe ut alors remplacer l'hi stogramme par la ligne bri sée définie par le et chacun des point d'abscisse 300 e t d'ordo nnée so mmet s supé rieurs droits des rec tangles.
Dans ct! Tp, nOlis allons ('alcu ler la moyenne el J' ~cart type de quatre populatiolls corrnpondanl à 1/11 mêmt! tableau d'effectif'i. Nous obsen'uons ainsi l 'injluenct! de la répartition des éléments de la popillalioll li /'intt rieur de chaque classe sur la moyenne et l'écart ')ïJe.
a
a) Tracer cette ligne brisée. b) On se propose de dé te rmine r le pourcentage de lampes dont la durée de vie est infé rieure ou égale à 560 heures.
On considère le tablea u d'effectifs
Sail R et N les points de la li gne bri sée de coordonnées respectives (500; 0,15) et (700; 0,485). So it M le point du segme nt [RN] d 'absc isse 560. Le poureentage de lampes dont la durée de vie est inférie ure ou égale fi 560 heures est l'ordon née du point M. Détermin er ce pourcentage.
~ ui vant
:
Cla_
[0,8[
[8, 16[
[16, :'.[
Effectif
4
4
4
1 0 On suppose que, dans chaque cl asse, tous les é léments sont situés au centre de la classe, c'est-à-d ire que la populati on est: 4; 4; 4; 4 ; 12 ; 12; 12; 12; 20; 20; 20; 20.
c) Soit P le point de coordonnées (900; 0,81) de la ligne brisée. Soit / le poi nt du segment rNPJ d'ordo nnée 0,50. La médiane est l'absc isse du point /. Déterminer la valeur approchée à 10- 2 près de la méd i,:lI1e.
Calculer la moyenne X- e t une valeur approchée arrondie à IO-::! de l' écart type (J de cette pre mière populati on . 2 0 On suppose que les éléments de c haque c1ass~ sont répartis unifor mément de la façon suivante: 1 ; 3 ; 5 ; 7; 9; II ; 13: 15; 17; 19; 21 ; 23.
On .dit qu'on a réali~ une i1lt('rpolo.liollllffill(,. On pourra faire un agrandi:i.scment de la partie de la figure relative il. l'inter valle 500 700 .
1
Chap. 1 : Statistique descriptive
Exemple de populations correspondant à un même tableau d'effectifs
Calculer la moyenneX-' e t une valeur approchée arrondie à 10- 2 de l'écart type a' de cette deuxième pa p ulation.
35
3° On .1 établ i par ai lleurs que, lorsque la moyenne de la cole dans l'échantill on est m, toutes les pièces produites ont une cote dans l'intervalle [m - d; III + d] avec d = 0,10 mm.
3° On suppose que les élémen ts de chaque classe sont répar ti s de la fa ~o n suivante: 2; 2; 6; 6; ID; ID; 14; 14 : 18: 18: 22; 22. U
Calculer la moyenne X et une valeur approchée arrondie à 10- 2 de l'écart type a" de cette troisième population. Comparer X, x',:t" d'une part et
(1, (1', (1"
a) Tracer dans le repère les droites d'équation
d'autre part.
Y=(Lt'+b+d et y
4° On suppose que, dans ch.\que classe. tous les élé ment s sont situés d'un même côté et le plus loin possible du centre de la classe, c'est-à-dire que la population est: 0; 0; 0; 0: 8; 8; 8; 8: 16; 16; 16; 16. Calculer la moyenne x'" et une valeur approchée arrondie à 10- 2 de l' écart type a'" de cette quatrième population. Pouvait-on prévo ir les valeurs de i'" et (1'''?
Exemple d'ajustement affine par une méthode graphique, par la méthode des moindres carrés et de problème d'optimisation
La société de Werloing a mis au point un nouveau matériel destiné aux PME de logi stique et mène une enquête dans la région de Provence-Alpes-Côte d'Azur auprès de cinq cents entreprises aptes à recevoir ce matériel , pour déterminer à quel prix chacune de ces ent reprises accepterait d'acquérir ce nouveau matériel. Les résultats sont cons ignés dans le tableau ci-après.
Exemple d'ajustement affine par la méthode de Mayer
On fabrique e n grande sé rie une pi èce dont une cote, exprimée en mm, doit se trou ver dans l'intervalle de tolérance l5 1,8; 52,8]. En cours de fabrication, on prélève tous les quarts d'heure un échantillon pour lequel o n calcule la valeur moyenne de celle cote. Le tableau suivant donne les résultats de s deux premières heures de fonctionnement: Durft x j (en hcurn)
0,25
0,5
0,75
1
Moyenne Yi (en mm)
52,12
52,16
52,24
52,28
Dur« Xi (en heures)
1,25
1,5
Moyenne
'i
(cn mm)
52,32
52,37
1,75
Pri.propoof
2
52,44
52,47
La durée de fonctionnement est exprimée en heures et ce ntièmes d'heure.
(en CUtOI) ; ..,
Nomin d'mtrqJri... cIiJpoo6es 1e_llœpri.:y,
40000
60
l_
36000
70
32000
130
28000
210
24000
240
20000
340
16000
390
12000
420
10 ()()()
440
8000
500
1° a) Représenter le nuage de points Mi(.l ;, Yi)' b) Uti liser la méthode de Mayer pour déterminer une équation d'une dro ite d'aj ustement â l de la forme y = IIlX + p. Les coefficients III et p seront donné s par leur valeur décimale approl'hée arrondi e respectivement à 10- 4 et à 10- 1. Tracer â l sur le graphique.
1° Dessiner le nuage de points associé à ce tableau: on prendra un repère ort hogonal où une heure est représentée en absc isse par 4 cm et 0, 1 mm est représe nté e n ordonnée par J CIn. On représente ra la parti e du plan définie par: 0:S=x:s=4 et 51,8:S= y ~ 52,8. 2° Déterminer les va leurs exactes:
2° Déterminer une va leur approchée arrondie à 10- 3 du coefficie nt de corrélation linéaire.
a) des coordonnées des points moyens Giet G2 des sous-nuages constitués des quatre premiers poin ts et des quatre derniers; b) des coefficien ts a et b de l'éq uation y de la droite (G j G2).
d.
TP5
EXEMPLES DE SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES TP4
= lIX + b -
b) En dédui re le moment (arrondi en heures et dixièmes d'heure) à partir duquel la production risque de comporter des pièces dont la cote ne se situe plu s dans l'intervalle [51.8; 52,S].
3° Déterminer une équation de la forme y = ax + h de la droite de régress ion â 2 de y par rapport à .\' par la méthode des moindres carrés. Les coeffic ients a et b seront donnés par leur valeur approchée arrondie
= ax + b
36
d) En admettant que l'évolution constatée se poursui ve les années suivantes, utiliser la relation obtenue au c) pour estimer le nombre de passage rs tr:.i.nsportés au cours de l' an née de fi1ng 7.
respectivement à 10- 4 et :l 10- 1. Tracer .6. 2 sur le graphique. 4 0 Les frais de conception du matériel se sont élevés à 500000 euros, les frais variables par matériel vendu sont supposés nég ligeables. a) Déduire de l'aju stement par la méthode des moindres carrés l'expre:-..sion du bénéfice théorique réalisé en fonction du pri x choisi x et calculer la valeur de x per mettant d'obtenir le bénéfice théorique maximal. Quel est ce bénéfice?
Exemple d'utilisation d'un lissage par la méthode des moyennes mobiles avant ajustement affine
TP7
h) À partir des résultat s de l'enquête , et sans utili ser de droite d'ajustement, déterminer, parmi la gamme des prix proposés, celui qui permettra de réaliser le bénéfice max imal.
Les chiffres d'affaires trimestriel s, pour les douze derniers trimestres, d'une entreprise fabriquant du matériel informatique sont donnés dans le tableau suivant: IWI&du_:
x,
Exemple d'ajustement TP 6 se ramenant à un ajustement affine
(en
CIIilbd'_ millions d'.....,.> :"
1
300
Dans cette activité, tous les résultats Illll1lùiqu~s seront dOl/lib {XIr leur \'aleur décillla/~ approcl!ü armlldie à 10- 3, obtenue d;r~ctemell1 avec /Ille calcula/rice.
2
450
3
130
4
200
L' étude, durant les cinq dernières années, du nombre de passagers tran sportés annuellement sur une ligne aérienne a conduit au tableau suivant:
5
280
IWI&del'~
Nombre de passaaers : Pi
1
200
8
250
7550
9
320
10
500
2
9235 10741
11
2JO
4
12837
12
250
10 Représe nter graphiquement le nuage de point s
15655
Mj (x j ,
Yi) dans le plan muni d'un repère orthogonal. On prendra pour unités 1 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm pour 100 millions d 'euros sur l'axe des ordonnées.
] 0 On pose Yi = ln Pi où ln désigne le logarithme népérien.
r
a) Compléter après l'avoir reproduit le tableau suivant :
x,
"
410
7
3
5
1
6
1
'"
8,929 1
.. , 1
On peut utili ser la méthode des moyennes mobiles en remplaçant la série stati stique précédente par la série de s moyennes mobiles des ventes obtenue en calculant les moyennes sur quatre trimestres consécutifs et en les attribuant au quatrième trimestre.
1
b) Représenter le nuage de point s MJx;, y) dans un repère orthogonal du plan. Peut-on envisager un ajustement affine de ce nuage?
Établir la série des moyennes mobiles de l'entreprise de matériel informatique en complétant, après ravoir reproduit, le tableau suivant:
2 0 a) Déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite de régression D de y en x.
b) Déterminer le coefficient de corrélati on rentre les deux variables y et x. Le résultat obtenu confirme-t-ill'observation faite au l Ob)?
Rang du trimestre:
.r,
4
5
270
265
ChiIfT< d'affai...
c) Déduire du a) une expression de p en fon ction dex.
Chap. 1 : Statistique descriptive
a) Le nuage obtenu au 10 présente des écarts à peu près réguliers de part et d'autre d'une droite d'ajusteme nt tracée au jugé. On effectue souvent dans ce cas un lissage du nuage en remplaçant les points par des points moyen s.
(en miUions d'cufOl) : ;
37
b) Représenter .s ur la figure du 1° le nuage de points
On construira sur le même dessin le s différentes représentations graphiques demandées dans çe problème.
Nj(x j , ':j)' Le.s irrégularités du nuage des points A~
ont été atténuées.
A. 1° Représenter le nuage de points as.';,ocié à la série .';,tatistique (x j • Yj)' 2° a) Déterminer à 10- 3 près, avec une calculatrice, une valeur approchée du coeffident de corrélation linéa ire de la série (x j ' Yi)' Expliquer pourquoi un ajustement affine !:>emble justifié ici.
1
Ulili!.er deux convention s différentes pour repré!'oenter les points Mi et Ni' par exemple. et • .
3° On considère la série des chiffres d'affaires obtenus après li ssage il la question 2°a). a) Déterminer la valeur approchée arrondie à 10- 2 du coefficient de corrélation linéaire de la sé rie statistique double de variables x et .:.
b) Déterminer une équation de la droite.6., droite de régression de y en x. On donnera une équation de la forme y = (u: + h dans laquelle li et b seront arrondi s à 10- 3. Construire la droite!l.
b) Déterminer p;,tr la méthode des moindres carrés une équation de la droite de régress ion D de .z en x. On donnera une équation de la forme.: = ax + b dans hlquelle a est une valeur approchée arrondie à 1O-::! et b une valeur apprO<.'hée arrondie à une unité près.
e) Calculer une estimation de la popuhltion de cette ville pour l'année 2002. 3° On appelle taux annuel de croissance pour l'année Il, le pourcentage d'accroissement de la popu lation entre J'année 11 et J'année 1/ + 1. Calcu ler, en arrondissant à 1O-::!, les taux annuels de croissance pour 1996, 1997, 1998 et 1999.
c) On admet que la tendance observée pendant les trimestre!:> de rang 4 à 12 se poursuit. Donner le chiffre d'affaires prévisionnel pour les trime!:>lres de rangs 13 et 14.
TPB
B. Soit f la fonction définie sur [0, f(x) = 5,3 ( 1 - eX '0 0.8).
Exemple d'exercice de BTS avec un ajustement affine
On admet désor mai s qlle, pour x entier, f(x) + 58 représente la population en milliers d'habitants pour l'année 1995 + x. 1° a) Calculer !'(x) pour tout x de {O, + !:C.(. Démontrer que, pour tout x de [0, + oc [, j'lx) > O.
Le tableau çj-des~ous donne l'évolution de la population d'une ville moyenne au cours des 5 dernières années:
-_d'_ Rq:zi
(.. milllm): Z,
,,=:,-58
1996
1997
1998
1999
2000
0
1
2
3
4
58
59.Q.l
59.88
60,55
61.1
0
1.04
1.88
2,55
+ co l par
h) Calculer lim
f(x).
x-+ + oc En déduire l'existence d'une asymptote D à la courbe C représentant la fonction f dont on donnera une équation.
c) Établir Je tableau de variation de f.
3, 1
r
J)
Le plan est muni d'un repère orthonormal (0; T, d'unités graphiques: 2.5 cm pour une unité en abscisse et 2,5 cm pour 1 millier d'habitant s en ordonnée.
38
d) Construire la courbe C et la droite D sur le dessin du A. a) Commenter la façon selon laquelle évolue la population de la ville avec le modèle du B. b) Donner une estimation de la population pour 2002 à 10 habitants près.
EXERCICES CORRIGÉS
.......... 0·
N.............
DES OBJECTIFS
3
6
commençant par la classe l375 , 400l.
1à 3
Regrouper en C1a5SCS une série Màti:o;lique à
,
une \'ariable. Réaliser un diagramme Mali:-.tique. C(m~truire le tableau des d'un histogramme.
das~es
DétermÎner la méùiane d'une
là6
à partir
1° Regrouper t'es données en dasses d'amplitude 25 en
~rie
stat i ~tique.
On complétera le tableau suivant après l'avoir reproduit.
Déterminer la moyenne d"une série
4 et 5
slati~tique.
Déterminer l'écart type d'une série
Effectif
Repr6enter une !>érie statistique à deux yariablc".
Réali~r
aju~[ement
7à II
affine par la méthode
Utilher un ajustement affine pour trouver un i),
Lors de la réalisation d'un tronçon de l'autoroute A4, pour contrôler la qua lité du béton utilisé dans la construction de la chaussée, on il mesuré, en mégapasca ls, la résistance à la compression d'un échanti ll on de 200 prélèvements, 7 jours après leur fabrication.
9
maximum.
la et Il
un ajustement affine.
Construire l'hi stogramme correspondant.
[TI. Résistance mécanique d'un béton
8 à II
r.::alTé~.
Réaliser un ajuo;tement qui se r.lmène
r
4
7
un ajustement affine par la méthode
des moindres
NOIIlbr< [375.400[ de pi«es produi...
4 et 5
slali~lique.
Ré.11i~r un de Mayer.
La production de "atelier: histogramme
Dans un atelier, la production de certaines pièces pendanl les 20 jours de travail d'un mois donné a été la suiva nle: 520; 450; 460; 485; 510; 450; 405; 460; 499; 380; 398 ; 455 ; 385 ; 409 ; 390 ; 424 ; 459 ; 407 ; 41 0 ; 428.
On trou ve, dans la noti œ publiée après la fin du chantier, l'histogramme des fréquences suivant.
DailS ce qui suit, tOitS les calculs statistiques seront effectués avec une calculatrice.
Fréquence (%)
Étude de séries statist iques à une variable
25
;-
Diagrammt's statistiqut's
QJ
20
Les bons de commande: diagramme en bâlons
r-
.$
Fig. 19 15
La série stati stique sui va nte donne le nombre de bons de commande enregistrés chaque jour par une entreprise pendant un mois: 30; 26; 26; 32; 31; 29; 27; 27; 28; 30; 3 1; 27; 29; 30; 28; 26; 26; 32; 31; 30.
10
10 Regrouper en classes cette sé rie en remplissant, après l'avoir reprodu it , le tableau sui vant où les nombres Xi sont des nombres entiers consécutifs.
Nombre de comlDalldea ; XI
26
27
4
...
r-
5 0
25
35
45
55
n-n 65
75
Résistance à la compres!.ion (MPa)
Effectifs "; (nombre de joun
00 on a observ~ Xi COJIllIl8Ildes)
) 0 En effectuant des mesures sur la figure, constru ire le tableau des classes et des effectifs.
...
r
Déterminer le pourcentage des pré lèvements dont la résistance est strictement inférieure à 35 MPa.
2° Construire le diagramme en bâtons correspondant.
Ch.p. 1 : Statistique descriptive
39
i
1 1I;:rl 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
De cette population, on extrait un échantillon de 315 parties et on compte sur chacune d'elles le nombre de fautes de frappe. On a obtenu les résultats suivants, les pourcentages étant arrond is:
CilleUJo\" dt' moyenne et d'kart ('Ile
[!] .. Les notes des étudiants Les 31 étudiants d'une section de technicien s supérieurs ont obtenu les notes suivantes à un devoir de mathématiques: 7
8
1
1
5
9 4 1
Il
10 1
12
1
5
12 1
3
1
1
[80.85[
10
[85.90[
20
[90.95[
36
[95.100[
15
[100.105[
8
[105. IIO!
6
2° En utilisant les fréquences cumulées croissantes, tracer le polygone des fréquences cumulées croiss:.lntes. 3° Déterminer la c1a~se médiane. En admenant que la répartition de l'effectif est uniforme à l'i ntérieur de chaque classe, déterminer la médianeM.
Effec:tif~
[120.125[
10
[125.130[
20
[130.135[
38
[l35.140[
25
[140. 145[
7
Que représente M? Exemp le d'études de séries statistiques
à deux variables E.umple d'utilisation
o
10 Construire l'hi stogramme des effectifs. 2 0 On suppose que les tiges sont défectueuses si leur longueur est strictement inférieure à 125 mm ou supérieure ou égale à 140 mm.
H
d~
la
m ~thode d~
Mayu
Contrôle de qualité
Une machine-outil produit automatiquement des pièces cylindriques. Réglée initialement pour un diamètre de 8 mm, elle se dérègle en cours d'utili s~llÎon. Le but de l'exercice est de déterminer le nombre de pièces que J'on pourra produire avant que leur diamètre n'atteigne 8,1 mm. Afin de contrôler la fabrication et de procéder aux réglages éventuellement nécessaires, on me ~ ure le diamètre de la dernière pièce dans chaque série de dix pièces produites. Les résultats obtenus sont les !'uivants :
Quel est le pourcentage de pièces :.lcceptables '! 3° On suppose que, dans chaque classe, tous le s éléments sonl situés au centre.
Calculer la moyenne et la ,,
N _ de la pi«e :
Détermination de la médiane par interpolation affine n
x,
Diatn!mo (.. mm) de la pi«:e : Y,
Une mai son d'édition confie la frappe de ses manus-
crits à une entreprise extérieure spéc ialisée dans la sa i-
N _ de la pi«e :
sie informatique. Cene entreprise effectue une « preli-
5
1 0 Construire l'histogramme des fréquences de cette série statistique.
On a mesuré les longueurs en millimètres d'un échantillon de 100 tiges d 'acie,r à la sortie d'une machine automatique. On a trouvé les résult:.lts suivants:
mière sa isie
[75.80[ 1
0" Longueurs de tiges d'acier
~
NOIIIIRdeporda(....j
14
10 Construire le diagramme en bâtons obtenu en plaçant en abscisse xi et en ordonnée "i' Construire le polygone des effectifs. r Faire une représentation en bâtons des effectifs cumulés croissants. 3° Déterminer les valeurs approchées arrondies à 10- 2 de la moyenne et de l'écart type de cette série slatistique.
Longueurs (cn mm)
NOIIIIR de fou... de ~
Diatn!mo (.. mm)
du manuscri t qui est envoyée à l'auteur
de la pK:ce :
'1
x,
10
20
30
40
50
8.00
8.00
8.01
8.01
8.02
60
70
80
90
100
8.03
8.03
8.().l
8.05
8.06
pour correction des fautes de fr:.lppe. On s' intéresse à la population conslituée d' un grand nombre de parties,
1 ° Représenter le nuage de points Mi (.l'j, Yj) associé à la série statistique précédente dans le plan muni d'un repère orthogonal.
toutes du même nombre de signes, de la « première saisie
)t
du document.
40
4° Déterminer une équation de la forme y = lL\" + b de la droite D de régression de )' en x par la méthode des moindres carrés. On donnera les valeurs approchées des coefficients a et b à 10- 3 près.
On prendra pour origi ne le point de coordonnées (0, 8), pour unité, 1 cm pour dix pièces en abscisses et 1 cm pour 0,01 mm en ordonnées.
2° Calculer les coordonnées du .point moyen G du nuage. Placer le point G sur la figure.
Tracer la droite D sur le graphique du 1°.
3 ° a) Calculer les coordonnées du point moyen Cl associé aux points du nuage ayant les cinq plus petites abscisses et les coordonnées du point moyen G2 associé aux cinq au tres points du nuage.
5° Un acier a une teneur en carbone de 77. Donner une estimation de sa charge de rupture.
h) On prend la droite (G I G2) comme droite d'ajustement. La trace.r.
[!] >tu Le prix de vente d'une machine
c) Déterminer une équation de (G 1G2) sous la forme y = ax + b.
Le tableau suivant indique le prix de vente en euros d'une machine et le nombre d'exemplaires vendus les quatre dernières années.
4° Les pièces produites doivent avoir un diamètre de 8 mm, avec une tolérance de 0,1 mm. Déterminer graphiquement le nombre de pièces que l'on pourra produire avant que le diamètre n'atteigne la valeur de 8,1 mm, puis calculer ce nombre à l'aide de l'équation trouvée au 3 ° cl. (On arrondira à l'entier le plus proche.) Exemples d'utilisation de la
mét"od~
des
Rang de l'..w. Prix de vente (en euros) : Xi
Nombre d'eumplaires vendus:
'i
moilldr~s
cards
[!]
2
3
4
2000
1400
1800
2500
198
240
222
160
1 ° Représenter le nuage des points Mi de coordonnées (Xi' Yi) dans le plan muni d'un repère orthogonal. On
oH
Des essais en laboratoire
prendra pour origine du repère le point de coordonnées (J 400,160), pour unité, 1 cm pour 100 euros sur l'axe
Le tableau su ivant donne les résuhats obtenus à partir de 10 essais de laboratoire concernant la charge de rupture d'un acier en fonction de sa teneur en carbone. Teneur en carbone : Xi
Charge de rupture (en kg):
,Vi
Teneur en carbone:
Xi
Charge de rupture (en kg): Yi
70
60
68
64
66
87
71
79
74
79
64
62
70
74
62
80
75
86
95
70
des abscisses et 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées. Vérifier qu'un ajustement affine paraît justifié. 2° Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage. Le placer sur la figure. 3 ° a) Déterminer une éq uation de la droite D de régression de )' en x par la méthode des moindres carrés. Les coeffic ients seron t arrondis à 10- 3. b) Construire cette droite de régression sur le graphique du 1°. 4° En quelle année a-t-on eu le chiffre d ' affaires le plus élevé? Quel est ce chiffre d'affaires? 5 ° On suppose maintenant que, chaque année , le nombre d'exemplaires vendus y et le prix de vente x suivent la relation: y = - O,OSx + 349.
1 ° Représenter graph iquemen t le nuage de points de coordonnées (xi' J). On prendra en abscisse 1 cm pour une llnité en représentant les abscisses à partir de la valeur 60.
On note S(x) le chiffre d'affaires réal isé en vendant y machines valant chacu ne x curos.
On prendra en ordonnées 1 cm pour 2 kg, en représentant les ordonnées à partir de 70.
r
1
a) Exprimer S(x) en fonction de x. b) Étudier les variations de la fonction S défin ie sur
Calculer les coordonnées du point moyen de ce
li 400, 2500] par x .... S(x).
nuage.
c) En déduire le prix de vente d'une machine J'année de rang 5 si l'on veut que la somme encaissée S(x) soit maximale. Quel sera le nombre d'exemplaires vendus, à une unité près? Quelle sera alors la somme encaissée?
3 ° Déterminer la valeur approchée arrondie à 10- 3 du coefficien t de corrélation linéaire de la série stati stique de variables x et y. lnterpréter le résultat.
Chap. 1 : Statistique descriptive
41
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Il
Exemples d'ajustements se ramenant à un ajustement affine
sion U, en volts, aux bornes d'une lampe. Les résultats de cette étude expérimen tale figurent dan s le tableau s uivant:
[!:!lu.* Consommation d'une voilure La consommation d'une voiture,::. est donnée en fonction de sa vitesse, x, par le tableau suivant: x (en kmIh)
80
90
100
110
120
, (en li....,100 km)
4
5
6,5
8
10
1ntensi~(enmA):1
36
51
81
100
132
Tension (en volts) : U
0,1
0,2
0,5
0,8
1,5
lmenai~
155
175
200
222
250
2
2,5
J
4
5
(en mA) : 1
Tension (en voIII) : U
]0
La consommation est-elle proportionnelle ù la vitesse? Ju stifier rapidement votre réponse.
10 Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées (l, U) associé à cette série
r
Compléte.r le tableau c i-dessus, après l'avoir reproduit, par une ligne: y = ln:: dont on donnera les valeurs approchées à 6 décimales (les meilleures poss ibles).
statistique double.
3° Dan s un repère d'origine 0 ('\"0 = 70;)'0 = 1,30), en prenant comme unités 1 cm pour 10 km/h en abscisse et 1 cm pour 0,10 en ordonnée, représenter le nuage de 5 points (x, y = ln ::).
U
20 On se propose de réaliser un ajustement du nuage précédent par une courbe d'équation de la forme
= KI". a) On pose x
= ln 1 et y = ln U.
Dresser le tableau des valeurs prises par les deux variable s x et y. On fera figurer les valeurs approchées arrondies à 10- 2.
4° Indiquer l'équation d'une droite d'ajustement pour les cinq points de coordonnées (x, y) du nuage, par la méthode des moindres carrés. Donner ce lle équation sous la forme y = Ax + B, avec les valeurs approchées de A et B (les meilleures possibles) à 3 décimales obtenues à la calcu latrice .
b) Représenter dan s un second repère orthogonal le nuage de points de coordonnées (x, y). c) Déterminer la valeur approchée arrondie à 10- 3 du coefficient de corrélation linéaire r de la série statistique de variables x et y. Peut-on envisager un ajustement affine de ce second nuage?
50 Estimer y pour une vitesse de 140 km/h.
Estimer la consommation aux 100 km pour cette vitesse de 140 kmlh , à 0,5 près, comme dans le tableau initialement donné.
d) Déterminer une équation de la droite de régressio n de y en x par la méthode des moindres carrés. On donnera des valeurs approchées arrondies à 10- 2 des coefficients. Tracer cette droite dans le second repère.
[!!] ••• Un problème d'électricité
e) Déduire du d ) une expression de U en fonction de 1 de la forme U = Kl a .
Au cours d'une expérience de physique, on a mesuré les variations de l'intensité 1 d'un courant, en milliampères, dans un circuit quand on a augmenté la ten-
1) Quelle valeur peut-on prévoir pour la tension pour
e
une intensité de 270 mA? On donnera le résultat arrondi à 10- 1.)
42
EXERCICES NON CORRIGÉS ~
Études de séries statistiques à une variable R~grollpt'III~"t
(!Il
dtlss~s.
diagrammes statistiques
tration en hémoglobine du sang d'une femme c.n bonne s~mté e ... t comprÎ'ie entre 13,2 g/IOO ml el 15,4 gl lOO ml ou égale à l'une ou l'autre de ces deux valeurs.
On considère un lot de barres de métal, ~ la sortie d'une machine. On effectue une série de 30 mesures de 1011gueur et on obtient les résultats suivants, en centimètres: 92,6 92,7 92,3 92,1 92,4
92,4 92,8 92,2
92,3 92,5 92.6 92,3 92,7
92,6 92,2 92,5 92,4 92,3
92,4
On a relevé sur un échanti ll on de 100 femmes les résullUIS !lu ivants :
92,5 92, 1 92,4 92,3 92,2
92,8 92,1 92,2 92,5
CclŒaibalion CIl ~ <11100 ml)
I!ft'ectif's
[S,7[ [7. ~I f9.11[ [II,13[ f13.151 115,17[ [17.191 [19.21[
1 5 10 18 25 31
10 Regrouper celle série en classes en remplissant Je tableau suivant où les nombres Xi sont les différentes longueurs placées par ordre croissant et les nombres Il i , les effectifs correspondants.
I~"II : Effectif: n,
:
..
92.1
3 1
Tant qu'on a la santé
Une étude a été faile sur la concentmtion en hémoglobine du sang des femmes. On considère que la concen-
~ • Diagramme en bâtons
92,3 92,5
*H
1
1
1
1
2° Construire le diagramme en bâtons correspondant en plaçant les va leurs de Xi en abscisse et les valeurs de "; en ordonnée.
H
2
Construire l'histogramme des effect ifs cumulés croissants. Si, dans chaque classe , les é léments J.Qnt répanis de manière uniforme, quelle li gne brisée peut remplacer cet histogramme? •
On pourra se reporler au 1'1'1.
En dédu ire dans ce cas le nombre de femmes de l'échantillon qui sont en bonne santé.
~ •• b.emple d 'interpolation affine
~ • Le budget de l'entreprise, le diagramme en
Lors d'un contrôle de fabrication, les masses exprimées en grammes de 41 exemplaires d'une série de pièces usinées sont classées de la manière su ivante: MaSIC (en gratnnte!l)
Effectif ni
[194.5: 196,5[
3
[196.5: 198,5[
7
[198,5: 200,5[
14
[200.5: 202.5[
Il
[202.5: 204,51
6
camembert et le diagramme en tuyaux d'orgue Le graphique en tuyaux d'orgue de la figure donne les principales dépenses annuelles d'une entreprise. Les sommes sont en milliers d'euros. Dépenses (en milliers d'euros) 120000 , - -
100 000 80000
1° Construire ]' hislOgr,unme des effect ifs cumu lés croissants.
-
60000
2° Si, dans chaque classe, les éléments sont répart is de manière uniforme, quelle ligne brisée peUl rempJ.acer cet histogramme?
-
40 ()()()
20000 •
On peut
:"e
reporler :lU TPI. 0
3° En déduire une valeur approchée du nombre de pièces dont les masses sont inférieures ou égales à 20 1 grammes.
Ch.p, 1 : Statislique descriptive
.~t."
,?~1>\
0
~~#~' ",o~~'" \'$'~ ~
ç.'\.~
,
~'\."
43
~c
Fi g ,19
r À l'aide du graphique remplir, après l'avoir reproduit, le tableau suivant. Nanu. de la
Montant
Pourcentage
(en milliers
de l'ensemble de&
Diamkre en mm : xi
Effectif : ".
80.36
23
80,37
19
80,38
21
Salaires
80,39
12
Fràî s de
80,40
10
fonctionnement
80,41
10
Rembourse.ment d'emprunts
80.42
5
d'euros)
Soit cr l'écart Iype de ceUe série statistique.
Impôts
Total
On admet qu'un réglage de la machine s'impose dès que cr> 0,13. Faut-il régler la machine?
100 %
2° À l'aide des résultats obtenus au 1° compléter après J'avoir reproduit le diagramme à secteurs circulaires de
la figure.
I/~ .. Les résultats de l'examen
C
Sillai~l>
Lors de la dernière session d'un examen, on a pris un échantillon de trente copies parmi ce lles des candidats aux épreuves n05 1,2 et 3. Les résultats figurent dans le tableau ci-après.
50 {f
Nole sur 20
1
Fig. 20
a,....... 2
a,...... 3
0 6 5 8 1 3
3 0
0 0 2 1 6 3 5 0 2 6 3 2
5 6 7 8 9 10 Il 12 13 14 15 16
Chaque dépense correspond à un secteue c;,cula;'e do", l'angle (ou raire) est proportionnel(le)?t l'effectif, donc au pourcentage obtenu au r. Par exemple, les salaires représentant 50 % des dépenses. on leur :is~ie un secteur dont raire est la moitié de celle du disque.
~ * La décomposition du prix du sans-plomb 95 en 2000 En septembre 2000, pour un litre de « sans-p lomb 95 » vendu à la pompe 7,27 F, la TVA représe.ntait 1,19 F,la taxe pour l'Institut français du pétrole, 0,02 F, la TIPP (taxe intérieure sur les produits pétroliers), 3,85 F, le transport et la rémunération des stati ons service, 0,50 F, le coût du raffinage, 0,51 F, le prix du pétrole extrait 1,20 F.
0 2 0 1 2 2
5 0 8 0 3 4
0 1 4 2
Déterminer, pour chacune des épreuves, des valeurs approchées arrondies à 10- 2 de la moyenne el de l'écart type des notes. Quelle est l'épreuve qui a été le mieu~ réussie? Quelle est celle dont les résultats ont été les plus homogènes?
1° Déterminer le pourcentage des taxes sur le prix de vente à la pompe d'un litre de sans-plomb 95.
[!!] * Productique
2° Représenter cette situati on par un diagramme circulaire.
On a relevé le diamètre e n millimètres de 20 pièces usinées. Les résultats figurent dans le tableau suivant.
• Un franc vaut 0.15 euro.
~(. . mm)
Di rerminarioll de moyenne et d'écart type (exercices 17 à 21)
ct
BII'Icdf cleo CIlIpÏIJ
ap...ve 1
~ • Le bon réglage
2
[34.95; 34.97[
0
[34,97; 34,99[
2
134.99; 35,01[
6 7 2 1
135,01; 35.03[
On mesure en millimètres le diamètre de 100 pièces pri ses au hasard dans la production d'une machine; on obtien t les résultats suivants:
[35,03; 35,051 [35,05; 35.07[
44
Ell'edif
[34.93; 34,95[
10 Représenter l'histogramme des effectifs. r Déterminer des va leurs approchées arrondies à 10- 2 de la moyenne x et de l'écart type 0- de la série statistique, en supposant que, dans chaque classe, tous le s éléments son t si tués au centre.
~•
10 a) Calculer les moyennes ml et 1112 des sa laires res· pectivement dans les deux sociétés. b) Calculer les moyennes ml et 1112 des salai res des employés respectivement dans les deux sociélé~. e) Calculer les moyennes mi' el rI/!i. des salaires des cadres respectivement dans les deux soc iétés. 2 0 Donner, pour chaque entreprise, le pourcentage de cadres parmi les salariés. ] 0 Le PDG de la F/MAC dit à celui de la FIAAM : .. Mes salariés sont mieu x payés que les vôtres. « Faux, répond ce dernier, mes employés son t mieux payés et mes cadres également. Lequel a raison ?
Productique (suite)
Une presse produit des tiges cylindriques. Une lige e~t jugée acceptable si sa longueur, exprimée en centimètres, appartient i\ l'in ter valle [4,95; 5,05]. De la production on prélève un échant illon de 50 tiges dont on mesure les longueurs. On obt ient les résultats suivants où 'I j désigne le nombre de tiges de longueur lj' l,
4.90
4,92
4.95
4.98
4.99
5.00
",
2
1
5
7
7
9
l,
5.01
5.02
5.04
5,07
5,10
".L
7
6
3
2
1
)t
)Do
~ .... Contrôle de qualité dans les tra\'au>. publics
10 Calculer les valeurs approchées arrondies à 10- 3 de la moyenne el de l'écart type de celte série statistique. 2 0 Dans cet échantillon , quel est le pourcentage de tige s acceptables?
<>'
~ .... L'effet de structure
Dans les sociétés FJAAM el F/MAC, les salari és sont classés en deux catégories : employés et cadres. Là répartition des salari és en fonction de leur catégorie professionnelle el de leur sa laire annuel S en milliers d'euros est donnée dans les deux tableaux suivants:
1,2<1 "'1'28 si fC'2.8> 25 MPa 0,850-;::: I c28 si f c28 ~ 25 MPa f cmin + 4 ~ f c28 cl! x est la moyenne des" résultats mesurés, CI l'écart type el f cmin la valeur minimale des " résultai S. Pour réaliser une ('haussée d'autoroute, on utili se un béton dont la résistance f c2 '13 doit être d'au moins 4,5 MPa. On effectue 49 mesures de résistance. Les résu ltats (en MPa) sont regroupés en classes dans le tableau suivant.
Cak!pie
12
~
S < 22
22~S<32
32 os;; S < 42
Employés
Cadre,
250 150 0
0 15 30
rx-
SocWFIMM Salaire!!.
Suivant l'usage pour lequel ils sont fabriqués (cloi son de bâtiments, chaussée d'autoroutes ... ), les bétons doi· vent avoir une plus ou moins grande résistance à la compression 28 jours après leur fabrication. Celle résistance au bout de 28 jours, exprimée en méga· pascals (MPa), est notée f':2S' Une cÎrcu laire ministérielle fixe les critères de confor· mité. Lorsque l'effectif II de J'échantillon des prélève. ments effectués pour contrôler la fabrication est supérieur ou égal à 15, les conditions suivantes doivent être remplies:
ChlS!oC Soc~F1MAC
Cattgorie Salaires 12~S<22
22 ~ S < 32 32 os;; S < 42
Emplny~s
200 100 0
CadreS" 0 50 50
Dans les calculs qui suivent , les salaires seront expri· més en euros et arrondis au l'euro inférieur. On consi· dérera que tous les éléments d'une classe sont si tués en son centre.
Chap. 1 : Statistique descriptive
45
Effectif
13,0: 3,51
1
[3.5: 4,01
0
14,0 : 4,51
0
[4,5: 5,0[
1
[5 .0: 5.5[
0
15.5: 6,0[
5
[6.0: 6,5[
4
16,5: 7.0[
17
17.0: 7,5[
18
[7,5: 8,O[
3
•
10 Quel est le pourcentage des clients dont le montant
10 Représenter cette série stati stiq ue par un histogramme.
des achats est situé dans l'i ntervalle l250. 550[?
r
r
Déterminer des valeurs approchées arrondies à 10- 2 de la moyenne et de l'écart type cr de la série statistique, en supposan t que, dan<; chaque classe, tous les élémen~ sont si tués au cenlre.
Dresser le tabl eau des fréquences cumulées croissantes de cette série stat istique.
x
3° La fabrication est-elle conforme aux exigences réglementaires? (D'après un document de l'A ssociation Technique pour le Développement du Treillis Soudé.)
Autre problèm~
d~ mOy~lIl1~
ê] - Les mathématiques pour se rattraper
3° Représenter l'histogramme des fréquences cumulées croiss.mles de cette série stat istique. On prendra cOlllme unités 1 c m pour 50 euros sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 0, 1 sur l'axe des ordonnées. 4° On suppose que, dans chaque classe, les éléments sont répartis de manière uniforme. On peut alors remplacer l'histogramme par la ligne brisée définie par le point d 'abscisse 50 et d'ordonnée 0 et chacun des som' mets supérieurs droits des rectangles. a) Tracer cene lig ne brisée. b) On admet que cette série a pour l1loyennex et pour écart ty~ cr = 13 J .43.
Dans la partie ., enseignement général :. d'un examen untel candidat(e) a obtenu 8,5 en français coefficient 2, 7 en anglais I.:oefficient 2. Combien doit-il(elle) obtenir à l'épreuve orale de mathématiques, coefficient 3, pour avoir 10 de moyenne s ur l'ef!semble de ces troi s épreuves?
Dlt~rm;nat;o"
de médiane, de
mod~.
Par lecture du graphique précédent. estimer le pourcentage de clients dont le montant d'achat est COJ11pris en tre: cr et + cr.
x-
d·bindu~,
Pour traiter Ie~ e;c:erdces 26 et 27, on TPl ou à l'exercice 25.
~ - DéterminMion d'étendue et d'interquartile
poUIT3
se reporter au
~ -** Fabrication mécanique et médiane
Dans une entreprise de transport, on il relevé les durées de livraison entre Marseille et Nice pour un véhicule.
Une machine fabrique des tiges pour l'industrie automobile. On mesure la longueur de 100 tiges qui conslituent un échant illon et on obtient les ré~ultats s uivants:
Le relevé sU Îvant porte sur 22 trajets: 3h47; 2h35 ; 2h57; 2h54; 2 h41 ; 2h48; 2h46; 2h59; 2h57 ; 2h23; 2h29; 2h52; 2h57: 2h29; 4h02; 2h34; 2 h53 ; 3h04; 3h Il ; 3h 15; 3 h06; 2h45.
25 .- Détermination de la médiane Le responsable d'un magasin de gros outillage a relevé, pendant une semaine, le montant en euros des achats de 200 clients. Les résultats figurent dans le tableau suivant:
- - -- "
_v. . .
C-doo
116, 17[ 117, 18[ 118,191 119,20[ 120.21[ f21, 22l 122,23[
16.5 17.5 18,5 19.5 20.5 11,5 22,5
enmm
Déterminer l'étendue et l' interquartile de celle série statistique.
[50.1501 [150. 250[ [250, 350[ [350,4501 [450, 550[ 1550,650[ [650, 750[
x
c) Déterminer par le calcul une valeur approchée à un euro près de l'abscisse du point 1 de la ligne brisée d'ordonnée 0,5. Vérifier sur le gr'lphique. Que représente cette abscisse?
d'imuquartile
Monllnl dei achab x
= 375
ai
1° Compléter après l'avoir reproduit le tableau dessus.
Nombre de clienlJ "1 10
r
12 52 62 36 14 4
Il
1 5 Il 56 13 11 3
CI-
Déterminer la classe médiane.
pour la suite qu~, dans c"aqu~ cl(t!iS~, l~s sont répartis d~ manièœ ullifon"e. 3 ° a) Dé terminer graphiquemen t une valeu r approc hée de la médiane. b) Délerminer par le calc ul une valeur approchée arrondie à 10- 3 de la médiane. On
adm~t
il!m~nts
46
a) Représente.r le nuage de points de la série (xi' Yi) dans un repère orthonormal.
4° On admet dans celle question que la moyenne de cetle série stati stique est 111 = 19,7 et que son écart type est 0' = 1,1. Calculer le pourcentage de l'échantillon qui appartient à l'inter valle [111 - 0', 111 + CT].
b) Soit Cile point moyen des quatre premiers points du nuage; Soit G2 le point moyen des. quatre derniers points du nuage. (Pour les calculs;on utilisera les coordonnées de G, et G'2 arrond.ies ~ 10- '2 près par excès.) Déterminer une équation de la droite (G,G 2). Placer les points G] et G2• puis tracer J~ droite (G]G'2) sur la figure. r Utiliser le résultat précédent pour déterminer les valeurs des constantes A et B. En déduire une estimation de R à 10- 2 près,lorsque e = 37.
~ ... Médiane, mode et étendue On a mesuré en millimètres les diamètres de 150 pièces usinées. On a obtenu les résultats suivants:
-
Diamètre (eu mm)
2
[19,70; 19,801 [19.80 ; 19,85[
ID
[19.85 ; 19,90[
14
[19,90 ; 19,95[
22
[19.95 ; 20.00[ [20.00 ; 20,05[
32 27
[20,05 ; 20.10[ [20.10; 20.15[
26
[20.15; 20.201
3
[20,20 ; 20.30[
5
~ •• Isolation thermique
9
On a mesuré la résistance thermique d'un isolant de doublage de murs. ~s mesures effectuées pour plusieurs épaisseurs de.l'isolant ont donné les résultats suivants.
1° Déterminer la classe médiane. En admertant que la répartition de l'effectif est uniforme à l'intérieur de chaque classe, déterminer graphiquement la médiane. Que représente la médiane?
ÉpoiAOUi (en mm) del'i!oIant;x, . R.&istaDc:e thermique (eu m'"ciw) : "
r
Déterminer la classe modale ainsi qu'une valeur approchée de l'étendue, c'est-à-dire de la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de cette série statistique.
~(eumm)
del'i!oIant:xi Raiûnoe dIennique (en m'"ciw) : Yi
Exemples d'études de séries statistiques
Eumples d'utilisation de la méthode de Mayer
~ .. Résistance électrique et température
r
60
1,96
2,25
2,65
3.00
70
80
90
100
3,30
3,70
4,02
4,38
Calculer les coordonnées: tableau; b) du point moyen G 2 des quatre dernières lignes du tableau.
3° On considère la droite (G ,G 2) qui constitue un ajustement affine de la série statistique.
On se propose, à partir d'une série de mesures, de fournir des valeurs approJ(imatives pour A et B. On utilise ensuite la relation R = A + B8 pour donner une estimation de R lorsque 8 a une valeur numérique donnée. 1° On effectue une série de mesures qui donne les
a) Déterminer une équation de (G]G 2) de la forme
.\' = JILl: + p. Les coefficients m et p
seront détermi-
nés à 10- 3 près.
= 6---20-
b) Quelle est la signification pratique de l'ordonn ée
4
du point d'abs<."isse O?
x,
0,3
2.7
5.1
7
9,7
Il ,6
15,6
18.4
Y;
1.21
2,02
2,75
3,76
4,73
5,07
6.66
7.65
Chap. 1 : Statistique descriptive
50
a) du point moyen G 1 des quatre premières lignes du
La résistance é lectrique R (exprimée en ohms) d'une lige en ni ckel varie en fonction de la température 8 (eJ(primée en degrés Celsius) selon une loi du type R = A + B8, où A et B sont des nombres réels.
et,\'= IO(R-2,1).
40
1 ° Représe nter le nuage de points associé à cette série statistique à deux variables. On prendra comme unités: 1 mm en abscisse pour 1 mm d'épai sseur ; 4 cm en ordonnée pour 1 m'2oC/W.
à deux variables
résultats suivants en posant x
30
4° a) Estimer la résistance obtenue avec une épaisseur d'i solant de 120 mm. b) Estimer l'épaisseur d'isolant nécessa ire pour obtenir une résistance thermique de 3,5 m 2°C/W.
47
Exemple!i d'lltilisll1iOI1 de la mhhode des ca rré!i
~ *** Coût de la maintenance d'une Înstallation
mojnd~s
de chauffage
Dans cet exercice, les calculs !ieront effectuis à 10- 3 près.
~ ** Résistance à la rupture
L'étude du coût de maintenanc.'e annuel d'une install ation de chauffage dans un immeuble de bureaux, en fonction de l'âge de l'installation, a donné les résultats suivants:
Toutes les raleurs numériques demandées seront arrondies à 10- 3. Dans une fabrication de pièces en caoutchouc par moulage à l'aide d'une presse à injection, on constate que la résistance à la rupture de chaque pièce est fonction du taux de goudron de pin présent dans la gomme utilisée.
Âge.n 1 ann6es: Xi CoQl en centaines 755 d'euror. : .vi
On note R, exprimée en newtons, la résistance à la rupture de la pièce. On note T, exprimé en parties pour 100 parties de gomme, le taux de goudron de pin de la gomme utilisée. On di spose d'une série de 10 mesures du couple (R, N° de la mesure
T
R
1 2 3 4 5 6' 7 8 9 10
1,74
250,4 247,1 246,6 247,3 247.6 246.2 247.7 247,1 243,7 249
2.03 2,10 2,00 2,00 2, 14 1,96 1,99 2,37 1,95
2
4
3
9,24
5
6
10,74 12,8+ 15,66 18,45
) 0 Représenter le nuage de points Mi(x i , Yi) dans un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm en abscisse, 1 cm en ordonnée). Peut-on envisager un ajustement affine de ce nuage?
n.
r
a) Déterminer le coefficient de corré lation linéai re de la série statistique double (xi' Yi)' Le résultat obtenu confirme-t-ill' observation faite au 1°? b) Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression D de )' en x. Tracer D dans le même repère qu'au 1°. c) En admettant que l'évolution du coût constatée pendant 6 ans se poursuive les années suivaflles, donner une estimation du coût de ma intenance de l'installation lorsqu'elle aura 8 ans.
§] ** Caractéristique d'une pile Ces couples de mesures sont représentés par le nuage de points de la figure ci-dessous.
R
On réalise le montage de la figure. Grâce à l'ampèremètre A et au voltmètre V, on effectue les mesures consignées dans le tableau s uivant. Ilmen,ilé 1 ~en M
.
251
1 Ten,ion
.J.
w ~
•
245
. V
•
~43
1.5
1,7
1.'
2.1
2,3
2,5
T
0,2
0,4
0,6
0,8
1
4,5
4.25
4
3,70
3,40
~
+ tJ ;.
....0 - - - '
Fig 21
Fig. 22
1° Representer graphiquement le nuage de points de coordonnées (l, Cf) dans un repère orthogonal.
1 D a) Déterminer une équation de la droite de régression de R en T, de la forme R = fiT + h, par la méthode de s moindres carrés.
2° Dans ce qui sUÎt, tou s les résul tats arrondis à 10- 1.
b) Préci ser le coefficient de corrélation linéaire. Commenter la valeur de ce coefficient.
r
U f en VI 4,8
•
2~9
0
num~rique s
seront
a) Déterminer une équation de la droite de régression de U en } par la méthode des moindre s carrés.
À J'aide de la régression effectuée au 1°, estimer la
b) Tracer la dro ite d'aju ste ment dans le repère.
résistance à la rupture pour un taux de goudron de pin de 1,8.
e Donner une estimation de U pour 10
48
= 1,2 A.
@] -. La tension en fonction de l'âge
1 0 On considère un repère ort hogonal avec les unités graphi ques 1 cm pour 1 atome, 1 cm pour 20 cc. Construire dans ce repère le nuage de points Mi (xi' 'il. 2° Calculer les coordonnées du point moyen G et placer celui-ci sur le graphique précédent. 3° a) Déterminer la valeur approchée arrondie à 10- 3 du coefficient de corrélation linéaire de la série sta-
Le tableau su ivant donne la moyenne y des maxima de tension artérielle en fonction de l'âge x d'une popula-
tion donnée. Âge:
.t
Ten~iun
36
42
48
54
60
66
12
13.5
13,6
14,3
15,4
15
:y
ti st ique de variables x et 1.
b) Déte.rrniner par la méthode des moindres carrés LIlle éq uation de la droite de régression D de 1 en x.
0
1 Représenter graphiquement le nuage de points M(x, y) dans un repère orthogonal. On prendra pour
Les coefficients seront donnés à 10- 3 près. Tracer D sur la figure du 1°.
unité graph iques, 0,5 cm pour 1 an en abscisse et 3 cm en ordonnée pour l'unité de tension artérielle, l' origine correspond au point 1 de coordonnées (30, 10).
r
c) Estimer la température de fusio n de l' hydrocarbure C 12 H 26 .
a) Calcule-r, à 10- 2 près, le coefficient de corrélation entre x et y. On admet qu 'u n ajusteme nt par la méthode des moindres carrés est justitié. b) Déterminer une éq uat ion de la droite de régress ion de )' en x et la représen ter. (Les coefficients seron t donnés à 0,00 1 près).
Ajustement affine et recherche d ' un maximum
c) Une personne de 70 ans a une tens ion de 16,1. Quelle serait sa tension théorique en utilisant la droite de régression? Comparer avec la tension réelle.
~ *H L~ meilleur prix pour un nettoyeur fi haute pression .1> Dans Je tableau suivant figurent les résultats d'une enquête réalisée dans un magasin d'ou tillage pour déterminer le nombre d'acheteurs potentiels d'un modèle de nettoyeur « haute pression » en fonction de son prix de vente:
~ ** Le pourcentage d'internautes en France Le tableau suivan t donne le nombre d'internautes en France en millions. Année:
Xi
Nombre d'internaute:. (eu million .. ): Yi
1997
1998
1999
2000
1,5
3.4
7
12
1° Déterminer une éq uation de la droite d'ajustement de )' en x par la méthode des moindres carrés, dans laquelle les coeffi cients seront arrondis à 10- 3. En admettant que cette évolution se poursuive, estimer le pourcentage d'internautes dans la population française en 2003.
~ ** Température de fusion d'un hydrocarbure La température de fusion t (exprimée en degrés Celsius) de certains hydrocarbures varie avec le nombre x des atomes de carbone de leur molécule. Une
1 "
1
.r, 1
"
- 190
2 1
6
1
7
-100 1
- 170
3
1
- 90
- 180
1 1
8 1
-60
Chap. 1 : Statistique descriptive.
4 - 150 9
1
550
600
Nombre d'açheteurs potentiel:. : y
140
120
100
95
85
70
a) En utilisant J'c;\pression de y obtenue à la question 1° b ), montrer que r(x) = (- 0,3x + 226,524)x.
1
b) Donner, e n l'arrondissant à la dizaine d'euros la plus proche, le pri;\ de ven te pour lequel la recette est maximale; calcu ler cette recette maximale.
-)0 1
500
1
- 130
10
-50
450
vente de )' nettoyeurs du modèle étudié, au prix unitaire x.
5 1
400
2° On désigne par r(x) la recette correspondant à la
série de dix mesures donne les résultats suivants: 1
350
11 but d~ ut ~xerc.:ice ~st d~ dit~n1/in ~r l~ prix dt' l't'fltt' polir lequel la ~Ct'tte corrt'spondant à la commercialisation de ct-' modèle t'st maximale. 1° a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série (x, y). (On en donnera J'approximation décimale arrondie à 10- 2.) b) En utilisant la méthode des moindres carrés (régression de y en x), exprimer)' en fonction de x, sous la forme)' = ax + b (où a et b désignent des nombres réels dont on donnera et utilisera par la suite les approximations décimales arrondies, 11 10- J pour a et à 10- 3 pour b).
r
Xi
Pri" d·un nettoyeur .. haute pre<;"inn JO, en euros: x
49
Etemples d'ajustements se ramel/a1/l à affilie (exercices 37 à 40)
UI/
ajuslement
Àgel,(en~)
CoOl C, (en cemainea
~ ** Le grand prix
1
2
3
4
5
13,3
14,2
16,1
18,9
23,6
d'euroo)
Au cours d'une séance d'essai un pilote d 'auto mobile doit, q uand il reço it un signal sonore dans so n casque, arrêter le plus rapidement possible son véhicule.
] 0 On pose Di népérien.
A u moment du top sonore, o n mesure la vitesse de l'auto mobi le, puis la di stance nécessa ire pour arrêter le véh icule.
1 l 'j
Distance: d'arrêt en m :Yi
27
43
62
80
6,8
20,5
35,9
67.8
98
11 5
101,2 135.8
r Le nu age de po ints associé ne peut être ajusté linéairement de manière correcte (ce résultat sera admis). On pose pour les six valeurs de vi' xi = considère la série do uble (xi' Y,), 1 :0:;;: i :0:;;: 6. ]0
v7
"D,
1
1
1
1
1
1
.
2,588 1
1
1
b) Représenter le nuage de points MNi' Di ) dans un repère or thogonal du plan. Peut-on envi sager un ajustement affine de ce nuage ? a) Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série stati stique de variables 1 et D.
c) Déd uire du a) une expression de C en fonction de t. d ) En admettant que l' évolution du coût constatée pendant cinq ans se poursui ve les années s ui vantes, donner une estimation du coût d'entretien et de réparation de l'équipement lorsqu 'il aura 7 ans.
Xi
1
"
1
h) Déterm iner, par la méthode des moindres carrés, une équat ion de la droite de régressio n .6. de D en 1. Le résultat obtenu confirme-t-il l' observati on faite au] Ob)?
et on
Compléter, après J'avoi r reproduit , le tableau: .,.,
ln Ci' où ln désigne le logarithme
a) Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau su ivant;
Pour six expériences on a obtenu les résultats sui vants; Vitesse en kmlh:
=
1
r
Dan s un repère orthogonal, construire le nuage de points assoc ié à celte nouvelle série do uble : - les xi en absc isses, avec 1 cm pour 1 000; - les Yi en ordonnées, avec 1 cm pour 10.
~ *** Un problème de maintenance
3° a ) Déter miner à raide de votre c<1lculatrice l' équatian de la droite de rég ression de y en x sous la form e y = IIlt + P (m et p étant arrondis à 10- 2). Traœr celle droite dans le repère précédent.
Dalls cet exercice, lOtiS les résultaI." seront dot/liés par leur mleur approchù à 10- 3. On a étudié la durée de vie d'un certain nombre d' équipe ments mécaniques identiques. Dans le tableau suiva nt , li représente la durée de vie exprimée en heures et RUi) est le pourœntage d 'équipement s encore e n service à la date li' (Par exe mple, pour li = 100, il reste 80 % d'équipements en serv ice, et R(ti) = 0,80,)
b ) À l'aide de cette éq uati on, déterminer la valeur estimée de x correspondant à une di stance d'arrêt de 180 m pui s la vitesse correspondante du véhicule. c) Quelle est la distance d'arrêt estimée correspondant à une vi tesse de 150 km/h ? d) Le manuel du code de la route donne, pour calcu1er la di stance d'arrêt (en mètre), la méthode s ui vante: « Prendre le carré de la vitesse exprimée en dizaines de kil omètres par heure. ~ Comparer le résultat obten u au c) à celui que l'on obtiendrait par cette méthode.
~ ** Coût d 'entretien et de réparation
'i
100
200
300
400
500
R(/j)
0.80
0,64
0,52
0.40
0,32
'i
600
750
1000
1 500
R(/i '
0,28
0.20
0,12
0,04
Dalls cet ~xen; ia, lous les résull{/(S l/UlIliriques s~rolll dOllllts par leur wileur {Ipproch!e arroI/die à 10- 3.
] ° On pose Yi = ln R(/ i) où ln désigne le logari thme népérien. Représenter le nuage de points Mi de coordonnées (Ii' J'i) dans le plan muni d'un repère orthogonal.
L'étude du coû t annuel d'entretien et de réparation C d'un éq uipeme nt d 'âge l, durant les cinq dernières années, a conduit à établir le tableau s ui vant:
2° Peut-on envi s
50
• une équation de la droite de régression de :: en x par la méthode des moindres carrés est
3° Déterminer par la méthode des moindres carrés une équatio n de la droite de régression de y en t.
o = - 0,093x + 4,444 (1).
En déduire qu'il e xiste deux nombres réels positifs k et À. , tel s que, pour tout élément t de [100, 150O], R(t) = ke -
À
En utilisant la relation (1), donne-r une estimation du pourcentage de logiciels piratés en 2004.
'.
4° Dans cette question, on prend k
= 1 et À. = 0,002. ~ ... Comparaison de deux ajustements
Déterminer le pourcentage d'équipements encore en se rvice au bout de 900 heures de fonctionnement.
à propos de la teneur de l'air en COl Le t'lbleau su ivant indique la teneur de l'air en dioxyde de carbone COz' observée depuis le début de l'ère industrielle. Da.n s le tableau ci-dessous, xi désigne le rang de l'année et Yi la teneur en CO2 exprimée en parties par milli on (ppm).
~ ... Comparaison d 'un ajustement affine et d'un ajustement exponentiel à propos du pourcentage de logiciels piratés
-_
Le tableau sui vant donne l'évolution du pourœntage de logiciel s piratés en France de 1990 il 1998. On désigne par x le rang de l'année et par)' le pourcentage de logiciels piratés
-
Ranaxi
1'IIureeIIIage '1
0
85
1991
1
78
1992
2
73
1993
3
66
1994
4
57
Te neur cn
1995
5
51
500
1996
6
47
1997
7
44
1998
8
43
1990
1850
1900
1950
1990
0
50
100
140
275
290
315
350
Ranade
...
1'1IIUI6o:..,
COz :'1
On a représenté dan s le repère ci-après le nuage de points associé à la séri e stati stique (xi' )).
450
CO~
1 1
L L
..
400 ..
350
1° Représenter le nuage de points assoc ié à la série stalÎstique (.\, Yi) dan s un repère orthogonal tel que: 1 cm représente un an sur l'axe des abscisses et 1 cm représente 5 % sur l'axe des ordonnées.
.•
300 .. _.... _. .
250 0
r
Dam cell~ question, les résultats serollt obtenus à l'aid~ d'une calculatrice et arrondis lIIl millième. Aul'lin détail des calculs statistiques Il' e.~·t demandi.
40
60
80
100
120
140
160
Rang de l'année
Fig. 23
a) Donner le coefficient de corré latÎ on linéaire r de
On veut modéli se r cette évolution par une fonction dont la courbe est voisine du nuage de points. Plu sieurs types de fonction s semblent utilisables.
la série stati stique (xi' Yi)· Un ajustement affine est-il justifié? h) Écrire une équat ion de la droite de régression ~ de y en x par la méthode des moindres carrés. Représenter ~ dans le repère précédent.
1 ° Modélisation par une fOllctioll affine a) À l' aide d'une calculatrice, donner le coeJficien L de corrélat io n linéaire, arrondi au centième, de la
c) En utili sant cet ajustement affine, donner une estimati on du pourcentage de log iciels piratés en 2004.
série (xi' yJ b) À J'aide d'une calculatrice, donner une équation de la droite de régress ion de y en x par la méthode des moindres carrés, sous la forme y = ax + b, avec a arrondi au centième et b à J' unité. Représe nter celte droite dans le repère ci-dessus, après avoir
3° L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. On pose:: = ln y. À l'aide d'une cakulatrice, on a obtenu les résultats s ui vants: • le coefficient de corrélation linéaire de la série stati stique (.r;, ::;), OÙ:: j = ln (Yi)' est r' = - 0,991;
Chap. 1 : Statistique descriptive
20
reproduit la figure.
51
r
c) Selon ce modèle, quelle teneur en CO 2 peut·on prévoir en 2010'1 Placer dans le repère ci·dessus, après avoi r reproduit la figure, le point Al COITes· pondant à cene prévision.
If:~ 1
f définie par + Be Ax
2° Modélisation par /lne fOl/ction f(x) = 250
On pose ::.; = ln Cv,. - 250). On admet que la sé rie (X,., ::.,.) a pour coeffic ien t de corré lation linéai re 0,999
a) Selon ce modèle, quelle teneur en CO2 peut·on
prévoir en 201O? Placer dans le repère ci·dessus le point N correspondant à cette prévision.
~ ... Comparaison d'un ajustement affine et d'un ajustement exponentiel Pour étudier la progression d'une épidém ie de grippe, une enquête est faite auprès d'un échantillon de 1000 personnes; le tableau ci-dessous donne le nombre N(t) d'individus ayant été contaminés, à la date l, exprimée en jours.
88
172
306
420
485
500
1
1
Anale
Exemples d'exercices de BTS
20
1
15
20
1
40
30
1
1
1
On a relevé dans une agglomération le pri~ de l'eau de 1994 à 1999. Les résultats ~ont consignés dans le tableau sui vant:
3° Laquelle des deux prévisions de la teneur en CO2 pour 2010 vous semble la plus plausible? Pourquoi?
15
1
10
5
A. Ajustt!melit affilie
c) En déduire des valeurs approc'hées décimales arrondies à l'unité de f(O), f(50), f( loo), f(l40).
10
2
~ ." .. Le prix du mètre cube d'eau
b) Donner une équation de la courbe d'ajustement de y en x, sous la forme y = f(x) = 250 + B ttAl:, avec A arrondi au cen tième et B à l' unité.
5
1
b) Trac:':....la courbe représentative de f dans le repère (0; i,j) précédent. c) Déterminer graph iquement quelle est, de la droite de la première question ou de la courbe précédente, ce lle qui ajuste le mieux le nuage et l'utiliser pour indi quer la date à laquelle le quart de la population étu di ée a déjà été atteint.
et qu'une équati on de la droite de régression de :: en x par la méthode des moindres carrés eSt 0= O,O lx + 3,2.
2
On considère la fonction définie sur [O. 40] par : f(/) = 500 (1 - e - 0.2/). a) Recopier et compléter le tableau suivant (les résultats seron t donnés à 1 près).
Rona
!J'rix du m' exprim6
de 1'_",
en francs : Y,
1994
1
8.74
1995
2
8,80
1996
3
9,52
1997
4
10.42
1998
5
Il ,83
1999
6
14.62
• Un franc est égal à 0,15 euro,
1° Le plan est muni d'un repère orthogonal. Les unités graphiques sont de 2 cm sur l'axe des absc isses et de l cm sur l'axe des ordonnées. Constmire le nu age des points Mj(xj. Yi)' r La forme du nuage conduit à rechercher une relation entre x et y de la forme y = Be,v.·. On pose, pour tout entier i de 1 à 6, :; = ln Y; (où ln désigne la fonction logarithme népérien). a) Établir le tableau de la série double (X,., :j) où on donnera des arrondis des: j à 10- 3. b) Déterminer à 10- 3 près le coefficient de corrélation linéaire entre la variable X et la variable Z. c) Déterminer par la méthode des moindres carrés. une éq uati on de la droite d'ajustement de Z en X. Les coeffi cients seront arrondis à 10- 2, Donner l'expression de Yen fonction de X. En déduire une estimation du prix, en euros, de l'eau en 2004.
On considère qu'après 20 jours l'épidémie est terminée, c'est-à-dire que le nombre total de personnes ayant été contam inées ne varie plus. Dans ce problème, on utilisera, pour les calcu ls statistiques, les fonctions de la calcu latri ce. 1° a) Dans un plan muni d'un repère orthogonal (0; 7,7), placer les points de coordonnées (t, N(t)) (unités graphi ques: 0,5 cm pour 1 jour en abscisse, 1 cm pour 50 individus en ordon née). b) Donner. à 10- 2 près, la valeur du coefficient de corrélati on linéaire de la série statistiq ue double donnée dans le tableau. Un ajustement affine est-il envisageable? c) Déterminer une équatio n de la droite de régressio n de N en t et la tracer. Les coefficients seront donnés à 1 près.
B. Éludt! d'II11~follctioll On considère la fonction f(x)
52
f définie su r [0, + oo[ par
= 7,34 eO.IOx
On désigne par '€ sa courbe repré sentative dans le repère précédent.
D'après ce graphique, dire pourquoi N n'est pas une fonction affine du temps 1.
1 0 Étudier la limite de
20 Après avoir posé Z
f
r
en + 00.
Étudier les variations de de variation.
f
et construire son tableau
oc
(8~0 - 1) o n a él
tableau et le nuage suivants:
30 Tracer <€. Déterminer graphiquement les nombres de points du nuage respecti vement « au-dessus » de la courbe ~.
= ln
z,
"
au-dessous » et
4 0 On admet que le prix moyen de l'eau entre 1994 et 1999 est donné par la formule:
0
3,50
1
2,4 1
2
1.36 0,20 - 1,07
3 4
P,,, = 5"1 J61 J(x) dt.
5
Calculer ~II'
6 7
-2,05 -3,06 -4,09
Ajustement affilie et logistique
1
Fonction logistique: voir la note précédent l'exercice 144
du chapitre 2 du tome 1.
~ -- L'évolution des ventes d' un logiciel On a relevé les ventes men suelles d'un logiciel s ur un site spécia.li sé. t désigne le temps en moi s et N le nombre total de logi-
ciel s vendus à la date t.
a) Calculer les coordonnées du point moyen G de ce
r
Le relevé des ventes cumulées ainsi que le nuage correspondant sont les suivants (le premier jour, t = 0, on a vendu 25 logiciel s). '1
N,
0
25
1
70
2
174
3 4
nuage.
b) Po étant le point de coordonnées (0; 3,5), on décide de prendre pour droite d'ajustement la droite (Po G). Déterminer une équation de cette droite. 3 0 On pose maintenant: ln (8~0 en déduire que l'on a : N =
382
6
8 12
7
836
850
l+e l.lr +3.5
1, 1t
+ 3,5;
.
4 0 On admet que celte derni ère formule donne l'e;ltpression de N e_n fonction de 1. a) Estimer le nombre total de logiciels vendus au bout de 9 moi s; de 15 moi s. b) Que se passe-t-il pour N au bout d ' une « très grande durée » ? Justifier.
633 753
5
1) = -
N
1~~t;~~~~=+=4~C ~ •• - Ajustement affine et ajustement logistique à propos de lave-linge On se propose d'étudier le tau;lt d'équipement en lavelinge des ménages français. On a recueilli le s informations consignées dans le
200r--t--,,~r--t--t--~--r--+-
o
2
4
5
6
7
8
1
Fig. 2
Chap. 1 : Statistique descriptive
53
C. Ajustement logistique Soit la fonct ion f, définie pour 1 réel positif ou nul par:
Dans les questions suivantes, pour simplifier les calculs. on pose: Xi -
1·
,
1955
= -'----:-5
100
t(l) = 1
où t j représe nte le «rang _ de l'année d'observation.
où k et a sont des constantes que l'on va déterminer. 1° On impose que la courbe représentati ve de f passe par le point M de coordonnées (0, 10) et le point N de coordonnées (5, 80). Traduire ces deux conditions et en déduire les valeurs exactes de k et li, puis la valeur décimale approchée de a à 0,1 près par défaut.
On obtient ain si:
" A. Questioll préliminaire Le plan est muni d'un repère orlhogoll:ll (unités: 2 cm pour 1 unité, sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 10 %, sur l'axe des ordonnées). Représe,nler le nuage de points correspondant à la série stati stique (fi' Yi)· Calculer les coordonnées du point moyen G et le placer sur la figure précédente. Au vu du schéma, on décide d'effectuer deux ajustements successifs, en vue de faire des prévisions. (Les questiolls B. et C.
SOlit
+ ke"'
2° Soit la fonction
f définie sur [0, + 00 [par:
t(l)
=
100 1 + ge O,7t
a) Calculer la limite de f quand t tend vers + GO. b) Calculer f'(t), où f' désigne la fonction dérivée de f. Déterminer son signe, et en déduire le tableau de variation de f. Après l'avoir recopié, compléter le tablea u sui vant:
il/dépendantes.)
B. Ajustemellt affine
J(I)
1° Donner une valeur approchée à 0,01 près par défaut du coeffic ient de corrélation linéaire de la série (lj, )).
On indiquera les valeurs décimales approchées de
2° Donner une équation de la droite de régression de y en t, par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients ,lU cen ti ème. La représenter sur la figure précédente.
tU) à une unité prè s. Tracer la courbe représentative <6 de f sur la figure précédente. c) Ré soudre l'inéquation:
3° En utilisant cette représentation graphique, indiquer à partir de quelle année. au moin s 95 % des ménages auront été équipés en lave-linge.
f(l) '" 95.
Donner une interprétation de ce résultat.
54
Chapitre
Probabilités sur les ensembles finis
2
Quelques notions de calcul des probabilités ont été introduites en Première et en Terminale. Vous allez poursuivre l'étude de phénomènes aléatoires, c'est-à-dire faisant intervenir le hasard, avec notamment l'introduction des probabilités conditionnelles. Les combinaisons sont introduites, essentiellement pour faciliter la présentation de la loi binomiale au chapitre suivant. Enfin la loi faible des grands nombres fait l'objet d'une première approche pour faire comprendre le lien entre statistique et probabilités.
A. RAPPELS ET COMPLÉMENTS Dans le cas d'un lancer de dé.
!I
~
Il, 2, 3, 4, 5, 61.
On noie {5) l'é,,~nemen( élémentaire . obtenir la face 5 lors d'un lancer de dé lIo .
1. VOCABULAIRE DES ÉVÉNEMENTS • Dans une expérience aléatoire, l'ullivers n es t J'ensemble des résullaIs possibles. • Un événement est une partie de l'univers. • Un événement élémentaire est un événement possédant un seul élément.
• Des événements A, B sont disjoints, ou incompatibles. si, et seulemenl si, A n B = 121, • L'événemenl c01ltraire d'un évé nement A est l'ensemble il des éléments de il n' apparten ant pas à A.
Remarque On note g>(il) l'ensemble des événeme nts de l'u ni vers il. li:
1
li:
2
Exemple
~
Dans le cas d'un lancer de dé, A = (5, 6) est un événemenl de il puisque A C il (fig. 1) : A E g>(fl).
~J(4 F;g 1
2. CALCUL DES PROBABILITÉS a. Définition En Première, laprobabilité d'un ivélleme"t A d'un univers fini n a été définie co mme somme des probabilités des événe ments é lémentaires qui constituent A, la probabilité de il étant 1. Nous a llons introduire ici une définition plus générale d'une probabilité.
Chap. 2 : Probabilités sur les ensembles finis
57
Définition Soit il un univers fini. Une probabilité sur 0 est une applkation P de l'ensemble \J'(O) des évé· Pour tout événement A,
0" P(A)" J. Si A et B sont incompatibles, alo rs PIA o u Bl ~ P(A) + P(B).
@9
Fig . 2
.Q
C]')
nements dans l'intervalle 10, 1] telle que : Axiome 1 : PlU) = 1. Axiome 2 : Pour tOUi événements A et B, si A n B = 0 (fig. 2), alors PIA U B) = PIA) + PlB).
b. Propriétés Rappelons quelques ré sultats établis en Première et en Terminale : Pour tout événement A,
PIA) = 1 -
PIA).
A u A~Q
Q
Fig. 2 bis
Dans le cas particulier où A =
n, nolts obtenons 1'(0 ) = O. + PlB)
Dans le cas où A et 8 ~nt incompati bles, nous retrouvon, l'axiome 2.
Pour tous événements A, B : PIA U BI = PIA)
@)
Ce théorème permet de calcu 1er P(A U B) oU P(A nements quelconques.
Q
Fig. 3
n
- PIA
n
B).
B ) po ur des évé·
La probabilité d'un événement A est égale à la somme des probabilités
des
~v~nements ~I~mentaires
inclus dans A.
Ce résultat ava it é té choi.. i pour Mfin ition en
Prt m i~ rt .
c. Cas particulier important: l'équiprobabilité Dans le cas du lancer d 'un dé équi libré, les !lix événe me nts é lémen-
tai'es Il 1. 12 J, 13J, 141. 151.161
ont chacu n la probâbilité
L'équiprobabilité currespond au cas où tous les événements élémen· taires ont 1. même probabilité.
i.
Si les
Il
événements élémentaires sont équiprobables, chacun a la
probabilité
Avec celte for mule, le (:alcul de li UII dénombreIlle nt ; voir le paragraphe C.
P (A ) se ral1l ~ n e
~
Dans le cas où tous les ~vénemenlS él~mentaires onl la même probabilité, la probabilité d'un événement A est : PIA) = Nombre d'éléments de A Nombre d'éléments de n
58
Nombre de cas favorables Nombre de cas possibles
B. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE. ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS 1. PROBABILITÉ CONDITIONNElLE
a. Exemple 'l
A
58
(][J ,.~
.4
,
•
Considérons un lancer de dé dans le cas de l' équiprobabi lité des événements élé mentaires de n = (1,2,3,4,5,6). Soit A l'événement _ le résultat est pair » : A = (2, 4,6). Soit B l'événement « le résultat est supérie ur ou égal à -\ » :
.3
B Fig. 4
AnB ~ 14.61·
= (4,5,6 ).
On a PIA) =
~ = ~ ; de même P(B) = ~.
Dire que A est réalisé signifie que le résultat est 2, 4 ou 6. Alors B est réalisé dans deux de ces trois cas équiprobables: lorsque le résultat est 4 ou 6, c'est-à-dire lorsq ue A n B est réalisé. Ainsi, la probabilité de B sachant que A est réalisé est
Nous remarquons que
PIA n B) PIA) =
Soit C = (3,4,5). On a PIC) =
~.
3'?
~ = ~.
Lorsque A est réalisé, C est réalisé dans un seul cas: quand le résultat est 4. c' est-à-dire quand A n C est réalisé. Ainsi, la probabilité de C sachant que A est réalisé est ~. NOLIS
remarquons que
Fig. 5
PIA n C) 1 = -. PIA) 3
En conclusion, le fait de disposer de j'information supplé mentaire « A est réalisé » modifie la probabilité de B et celle de C; nous avons introduit ici une nouvelle probabilité des événements B et C.
b. Définition Soit P une nulle. B
probabilit~
sur
n et soit A un ~vmement de probabilit~ non
La probabilité sachant que A (est réali~) est l'application PA qui, à tout
~v~nement B, associe le nombre PA(B) = P(~)B) . F;g.6
PA(B) se note aussi P(B IA) et se lit « probabilité de B sachant que A », « est réalisé » étant sous-e ntendu.
Chap. 2 : Probabilités sur les ensembles finis
59
c. Propriétés Voir la définition d'une probabilité au parJgrJphe A. 2a.
n.
• PA' la probabilité sachant que A, est une probabilité sur En effet, on démontre que PA est une application de !'l'(D) dans l'inter·
valle [0, 1] telle que: 1° PA(D) = 1. 2° Pour tous événements B et C incompatibles: PA(B U C) = PA(B)
+ PAce).
• Soit A et B des événements de probabilités non nulles; Fig. 7
P(BIA) =
BnA=AnB
P(~(~)B).
Puisque P(B)
n B)
= P(B IA)P(A).
* 0, on peut définir de même P(A IB)
On a donc P(A Ce risultat trh important est appelé parfois fvrmll/(' d~$ pmbabilitls
Donc f\A
= P(B nA).
P(B)
n B) = P(A IB)P(B).
Pour tous événements A et B de probabilit~' non nulles. /'(A n B) = /'(AIB)/'(B) = /'(BIA)/'(A).
cO",{XJSüs.
2. ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS Définition On définit 'linsi la /lotit)n d'indé-
Les événements A et B sont indépendants si, et seulement si.
pendance en probabilité.
/'(A
n B) = /'(A)/'(B).
Exemple
n
a 32 é léme nt .. puisqu'il cartes dam; le jeu.
Voir le paragraphe A. 2e.
y :t 32
Considérons le tirage au hasard d'une carte d'un jeu de 32 cartes. L'expression « au hasard » permet de considérer qu'il y a équiprobabilité des 32 événements élémentaires: -oc tirer l'as de pique », « tirer l'as de cœur », ... , « tirer le 7 de trèfle ». • Soit A l'événement « tirer un as ». A a quatre éléments, puisqu'il y a quatre as dans le jeu. 4
Donc P(A) = 32 =
8'1
Soit B l'événement « tirer un cœur » : B a huit éléments, puisqu'il y a huit cœurs dans le jeu. 8 Donc P(B) = 32 A
n
=
i.
B est l'événement « tirer l'as de cœur » ; P(A
Nous constatons que P(A)P(B) = ~ x
i
=
~2
n
= P(A
B) = 312'
n
B).
Donc lu Il'II/fmellt.}" A et B som ùuMpendams. • Soit C l'événement « tirer un as rouge » : C a deux éléments, puisqu'il y a deux as rouges (cœur et carreau) dans le jeu. Donc PCC)
= ~ = 1-. 32
16
60
B
n
n C) n C).
C est l'événement . tirer l' as de cœur » ; donc P(B
Nous constatons que P(B)P(C)
=~ x
116
=~
* P(B
=
312'
Donc les é\'élleme1lfs B et elle sollt pas ;'ultpelldallts.
le dernier résultat du paragraphe A. 1. Ulili~r
Remarques 1. Dans le cas où A et B ont des probabilités non nulles, A et B sont indépendants si, et seulement si, p(BIA) = P(B) ou p(AIB) = P(A). Cela signifie que la réalisation d'un des deux événements n'a pas d'influence sur celle de l'autre.
2. Ne pas confondre pour des événements A, B : A et B sont incompatibles: A n B = 0. et A et B sont indépendants : P(A n B) = P(A)P(B).
C. PERMUTATIONS - COMBINAISONS Il est nécessaire, dans certaines situations, d'effectuer des dénombrements : par exemple, avant d':'UTêter un choix, il peut être important de connaître le nombre de possibilités offertes.
Ces dénombrements sont aussi utiles pour calculer des probabilités, par exemple dans le cas d'équiprobabilité des événements élémentaires. Les arrJ.ngem('nts ne sont plus au programme.
Conformément au programme, nous nous limitons ici aux deux seuls cas des permutations, débouchant sur les factorielles, et des combinaisons.
1. BIJECTIONS (CAS D'ENSEMBLES FINIS). PERMUTATIONS a. Exemple Une chaîne d'hypermarchés souhaite stimuler ses ventes dans une ville par une campagne publicitaire comportant une tombola avec, en particu li er, qualre lots prestigieux d'importance décroissante qui sont attri-
bués à l' issue d' une double sélection: d'abord un tirage au sort de quatre clients, puis un c lassement de ceux-ci à l'aide d'une série
d'épreuves publiques. Dans la phase de c lasseme nt , de combien de façons ces quatre lots peuvent-ils être répartis entre les quatre clients tirés au sort?
Soit E4 l'ensemble des quatre lots et soit F4 = lA, B,
c, Dl
l'ensemble
des quatre c li ents tirés au sort. Répartir les quatre lots entre les quatre clients, c'est associer à chaque
lot un client bénéficiaire et un seul ; c'est donc déCinir une application f de l'ensemble F4 des quatre clients tirés au sort. Cette application f est une bijection, car chaque client tiré au sort est
bénélïciaire d'un lot et d'un seul. Chap. 2 : Probabilités sur les ensembles finis
61
P:u définition, une bij ection est une applicalion telle que tout élément de l'ensem bl e d'arri vée est l'image d' un élément et d' un seul de l'ensemble de départ.
Il Y a donc autant de répartitions possibles que de te lles bijections, c'est- à-d ire de branches terminales dan s l' arbre c i-après, _____ C-----D B _______ D _ _ _ _ _ C _____ 8
D
~ ~ =~------1~ _____ C-----D A _ _ _ _ __
-D-----C _____ A D
Une répartition
po~s ible.
C_
Fig . 8
- - - - - D - -- - - A _____ A C
Remarquer qu' id les deux jouent des rôl es symétriques, car une répartition co n ~ i s l e aussi à associer il chaque client tiré au sort un lot et un seu l.
D_
en~mble s
----- C -----A _____ 8 D
A _______
_____ D
_____ A
8
D
B_ ----- D -----A _____ A 8 D _ _ _ __ -B-----A _____ 8 C
A _______ C _ _ _ _ _ B
C
_____ A
B _______ C - - - - - A
B
_____ A
C _ _ _ __
1"101 : 4 choi,l
2" lot:
4 x 3choi~ pour les IN~ 1 et 2.
B -- - - - A 3< lot :
4 x ).
choit pour les IOh J. ~ el 3. ~
4r l0i :
4 x 3 x2x l chai, pour k s IOIsl,2.3et4
Fi g. 9
En rempla\'anr 4 par 8, on obti ent par exe mple le nombre de (,:làs5emenlS possibles (sans t'x a t'qll o) des huit final i ~tes d'u ne épreuve de naralion ou d'athlétisme: 8 ! = 40320.
II Y a donc 4 x 3 x 2 x 1 = 24 répartiti ons possibles des quatre lots entre les quatre clients tirés au sort. Ce nombre 4 x 3 x 2 x 1 est le produit des nombres entiers naturels de 4àl. 4 x 3 x 2 x 1 est noté 4! qui se lit « factorielle 4 » .
b. Cas général Il! M: lit . factorielle
/1 . ,
Soit En et F. des ensembles à n éléments. Le nombre de bijections de E. sur F. est n! = n(n - I)(n - 2) ... 3 X 2 X 1.
62
Permutation Considérons le cas particul ier Fn = EII' On appelle permutation de En un e bijection de En sur En' Le nombre de permulalÎons de n
Une des 4! permutation ... Fig. JO
1!
61 La
=
1, 2!
= 2. 3 ! = 6. 4! = 24.
= 720,81 = 5760.... croissa llc~
de la suite tl1!) est
trh rapide.
9!
=9 x
8!
=9x
5760
= 51 840.
~I~ments
esl n!
Il existe 4 ! permutations des quatre cl ients ti rés au sort.
Remarque Pour tout entier naturel non nul n, nl est le produit de tous les entiers compris entre 1 et Il . Donc (II + I) ! = (II + 1)11(11 - 1) ... 3 X 2 X I, soit (II + I)! = (/1 + I)/I! Pour que cette égalité soit encore vraie pour JI = 0, on convient que O! = 1. Alors, pour tout entier naturel Il , (Il + 1) ! (Il + 1)1l! Cette re lati on permet de programmer le calcul de II! sur une calculatrice qui ne possède pas une touche ~
=
2. COMBINAISONS a. Exemple
.G
F"
Repre nons notre chaîne d' hyperm archés (paragraphe 1.3). Dans un e autre ville, on commence par ti rer au sort di x clients, puis on sélectio nne sans les classer les quatre gagnants de quatre gros lots identiques, les six autres clients ayant le même lot de consolati on .
• Problème Fig. 11
De combien de façons les quatre gros lots peuvent-ils être répartis entre les dix clients tirés au sort?
• D'un problème à l'autre Dans un ensemble, l'ordre des éléments n'intervienl pas. Voir le paragraphe I.b sur le!. permUlalions.
On dasse ces quatre lots.
Soit N le nombre cherché: c'est le nombre de sous-ensembles constitués de qualre éléments de l' ensemble des dix clients tirés au sort. Pour chac un de ces sous-ensembles, il y a 4! listes (ordo nnées) constituées avec les quatre éléments. Donc. avec les N sous-ensembles di ffé rents de quutre éléments. il y a 4 1N listes ordonnées constituées de quatre éléments pris parmi les di x clients tirés au sort. Pour tro uver N, nous allons déterminer par un autre procédé le nombre de ces listes ordonnées en résolvant le nouveau problème: De combien de faço ns les quatre premiers lots peuve nt-il s être répartis entre les dix clients tirés au sort ?
Chap. 2 : Probabilités sur les ensembles finis
63
• Résolution de ce nouveau problème Pour répartir les quatre premiers lots entre les dix clients, on met en œuvre une méthode analogue à celle utilisée dans le pardgraphe La :
Une répartition
pos~ible.
Fig. 12 Pour ne pas ~ u rc harger le schéma, seules quelque.s bmnches de l'arbre ont été représentées. zr Ive :
1"'101 '
10,hoix
10
9 choix pour
1~ I('1t~ ]eI~
3'101 : 10 )< 9 le 8choil
4' 101 :
pour let lOti 1. ::1
10 )< 9 . 8 7 choix pour lelI
.3
lou l. ::1. 3et4
Fig. 13
10 x 9 x 8 x 7
= 5040.
Il Ya donc \0 x 9 x 8 x 7 listes possibles de répartition des quatre premiers lots parmi les dix personnes. 10 x 9 x 8 x 7 peut s'exprimer à l'aide de fac torielles: 10 x 9 x 8 x 7 = (\0 x 9 x 8 x 7)(6 x 5 x 4 x 3 x 2 x l ) . 6x 5x 4 x 3x 2x l IO x 9 x 8 x 7= 12!!.
• Retour au problème initial En déterminant de deux façons différentes le nombre de listes ordonnées de quatre clients pris parmi dix clients, nous obtenons l'égalité: N = 210.
C est la premi~re lettre du mot combinaison.
4!N= 10! doncN= lQl. 6!' 6 ! 4! Ce nombre est noté C;b qui se lit • C dix quatre • .
b. Cas général
Une combinaison notion d'ordre.
n'e~t
pas liée tt la
• Soit Fn un ensemble à n éléments. Une combinaison (sans répétition) d'ordre p, où p '" n, est une partie de Fn à p éléments . • Le nombre de combinaisons d'ordre p de F. est
CP =
C!:selit . Cllp • .
ri
On rencontre encore la notation
C~'~ ( ~).
Exemples ' C~= 15 ; • C~ = 70.
64
(Pl.
n! noté aussi p!(n - p)! n
Dans toutes ces propriétés. fi et fJ SOn! des nombres enliers nalurels lels que fJ .s:;: Il.
Propriétés • COIl = 1 et
• C::~fJ = Les démonSIr::ations de ces œsullals sonl proposées aux exercice .. corrigés 9 el 10.
• Cp+ 1 Il + 1
en
1
Il'
C~;.
= Cp+ 1 + Il
CI,',.
Triangle de Pascal Il s' agit d' un tableau donnant les nombres p varie de 0 à Il.
C;;
lorsque,
1/
étant fixé,
Dans le triangle de gauche ci-dessous, dit « triangle de Pascal » , chaque nombre est la somme des deux: nombres situés immédiatement à gauche et à droite sur la ligne du dessus. par exemple + ~ On obtient alors les différentes valeurs de indiquées à droite.
Cf:
c8 c? c:
On observe la symélIie du triangle de Pascal. qui eSI une conséquence de la formu le C: - Il = C~' énoncée ci-dessus el démontrte en exercice.
cg
+
Il eSI amusant de savoir que. dans d'autres p:lys, ce lIi:lngle est aunhué. non à Pascal, mais à un malhématicien local.
4
5 6
•
6
10 15
cj cl
3
20
5 15
cj
cl
cl cj cj cl c~ cl cl c~ cg ci c~ cl ci cl c: c~
4
10
c~
c~
6
cl
c~
c. Formule du binôme de Newton Quels que soient les nombres réels a et b, et pour tout entier naturel non nul Il, on a :
D émollstratioll:
(0
+ b)"
= (0
+ b)(a + b) ... (a + h)
---------v---------
" facteurs On obtient chaque terme ali - Pb!} du second membre du résultat en prenant p fois le nombre b parmi les Il facteurs (a + b). Il a donc C:: façons d'obtenir a" - Pb P.
• Application Développer: ( 1 + x)6
Chap. 2 : Probabi lités sur les ensembles finis
65
Réponse Le triangle de Pascal permet d'obtenir rapidement les coefficients numériques: ... coefficient de (a
+ b)o
.. coefficients de (a
2 3
5
D'où: (1
3
10
15
6
. coefficients de (a +
6
4
+ x)6
+ b)l
... coefficients de (a + h)]
4
= 1
... coefficients de (0 + b).t
5
10
20
bP
15
... coefficients de (a + b)5
6
+ 6x +
15_~
+ 2U,J +
15x·
+ 6_~ + x6
D. APPROCHE DE LA LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES L'évén ement A peul être au),si .. obtenir un bulletin de sal:Jire d'un montant supérieur 11. 1500 euros., ou « ulle faclUre datée de décembre par tirage au h~ard dans un fichier d'entrepri se» .
Considérons un événement A de probabilité p; par exemple, A consiste
à obtenir pile avec une pièce usuelle (p =~), ou un as avec un dé usuel
H
(p =
ou un cœur dans un jeu de 32 cartes
(p =~)-
Effectuons II expériences indépendantes; par exemple, effectuon!') lancers d'une pièce ou d'un dé, ou Il tirages au hasard avec remise d'une carte dans un jeu de 32 cartes. À l'issue de ces 11 expériences, on peut compter le nombre d'apparitions de l'événement A et déterminer la fréquence d'apparition de cet événement. On sait que, lorsque JI devient grand, cette fréquence se stabilise autour du nombre p; c'est ainsi qu ' on a introduit, en Première, la probabilité d'un événement. La loi faible des grands nombres est un théorème portant sur des probabilités : il permet donc, avant d'effectuer les expériences, d'obtenir une information sur leurs résultats. Il
On peul .!.imuler ces expériences en utili sant une table de nombres au hasard ou un générateur de nombres aléatoires.
Voici l'idée dégagée par ce théorème:
Théorème Le programme préci se
11.
ce !lujel :
WI~ appmdl ~ ~.\I,; ,.im ~l1lal~ ~ t lm
blOilci rudimcntairr .'îllffisel1l.
On obtient, avec une probabilit~ aussi grande que J'on veut, une fréquence d'apparition de l'~v~nement A, au cours des n expériences indépendantes. aussi proche que l'on "'eut de p. lorsque n est suffisamment grand
66
Remarques Voir Mu(lrb,,(/(iql/~s al/fil d~s {jgt's IREM , Groupe épistémo logie ~t histoire de s mathém:uiques (Gaulhier - Villars).
Ce point de vue, opposé :1 celui des .. fn' quentistes » , est dit « bayesien » . en hommage au révérend anglais Thomas Bayes, auteur en t763 d ' un essai , DO<'(rùl t' of chllnct's.
1. Jacques Bernoulli avait mis ce phénomène en évidence vers 1700, comme le rappelle Laplace un siècle plus tard: « En multipliant indéfiniment les obse.rvations et les expériences, le rapport des événements de diverses natures qui doivent arriver approche de celui de leurs possibilités respectives, dans des limites dont l'intervalle se resserre de plus en plus et devient moindre qu'aucune quantité assignable. » 2. La loi faible des grands nombres justifie le point de vue des . fréquentistes » qui attribuent comme probabilité d'un événement une valeur autour de laquelle la fréquence d'apparition de cet événement se stabilise lorsque le nombre d'expériences indépendantes devient très grand. Cependant, par exemple en économie, ou pour l'apparition de certaines pannes (dans les centrales nucléaires d'EDF, par exemple ... ) il n'est pas toujours possible d'elTectuer de telles expériences, et on peut alors être conduit à fixer a priori la valeur attribuée à la probabililé d'un événement; on contrôle et éventuellement valide ce choix li posteriori, en étudiant ses conséquences. 3. La loi faible des grands nombres a une gmnde importance théorique, mais elle conduit. dans bien des cas, à choisir des valeurs de Il beilucoup trop gra ndes. En effet, cette loi s'appuie sur un résultat de portée très générale, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev qui, dans des cas particuliers. peut être amélioré.
TRAVAUX PRATIQUES pièces qui présentent le défaut b. A est constitué des parties
d'éléments communs el il en est de même pour B avec
EMPLOI DE DÉNOMBREMENTS POUR LE CALCUL DES PROBABILITÉS
chacune des parties
60"1- 0/"" ~ 1
L
0
TP 1
Diagramme, tableau en productique
~I\~ : Ci) - Ot/t1~
,Ci>, '.~ ~{ ~ ti A!, ~ MÔ -%l ~"A
Une entreprise fabrique des pièces métalliques. Une pièce peut être défectueuse il cause d'au moins l'un des deux défauts désignés par CI et b. On considère un lot de IOOOCl pièces, dans lequel 2 % des pièces présentent le défau t CI (et peut-être aussi le défaut b), 8 % présentent le défaut b (et peut-êlre aussi Je défaut a) et 0, 16 % présentent simultanément les défauts a et b. 10 On représente cette situation par le diagramme suivant où P est l'ensemble des pièces, A l' ensemb le des pièces qui présentent le défaut lI, B l'ensemble des
Chap. 2 : Probabilités sur les ensembles fini s
"" _Il 01\ 1, _~_olQt{ (
"- 0 1 ~ ~\).
1""
Fig. t4
2 0 Dans le tableau su ivant, A (respeclivement El) est J'ensemble des pièces ne présentanl pas le défaul Cl (respectivement b). Reproduire ce tableau et le compléter.
67
L
o 00 1 (,
B
Tocal
Tout~s I~s probabilirb suom dOllllÜS sous form~ d~ fractions irrlductib/~.t. 10 Tirag~s av~c ~m;u On tire une carte au hasard d'un jeu de 32 cartes bien battu. on note le rés uhat, on remet la carle dans le paquet, on bat les cartes et o n tire de nouveau une carte au hasard. Un résultat est un couple de cartes. Tous les couples sont équiprobables. Quelle e~t la probabilité de l'événement A : « Les deux cartes tirées sont des piques lit ?
10000
0,01.,
3° On prélève au hasard une pièce dans un lot de 10000. To utes les pièces ont la meme probabilité d' être choisies. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : a) El : « La pièce choi sie présente l'un au moins des deux défaut s»; h) E2 : .: La pièce chois ie présente un défaut el un
20
seul ,. ;
c) EJ >« La pièce choisie ne présente aucun 9~aut
'), l
t"'
1 -; \
.-
ru \
f'( ~\_ \" _ -)
TP 2
)
{-(J\tl
o.o')lL, ,
1)1
)t .
J'alls
rem js~
.......
Tirages simultanés et utilisation de C~
TP4
,)fil"
\
Tirag~s
Même question qu 'au 10 en ne remettant pas la première carte tirée dans le paquet avant de tirer la seconde.
\ 1)
t \
b , t . r \ ....
Tirages successifs avec et sans remise
TP3
Total
A
I>~ - ,[.
Durée d'une mise au point et arbre
Une boîte contient 9 jetons sur lesquels son t respective ment inscrits le.s nombres:
0; 1 ; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.
Dans une usine, hl mise au point d'un matériel électronique nécess ite J'exécution de trois tâchc:s conséc uti ves, notées At B, C. Un gestionnaire de l'entrepri se a rele vé sur une longue période les durées nécessa ires pour effectuer chacune des trois tâches. Pour At une heure ou deux heures; pour B, quatre heures, c inq heures ou six heures; pour C, deux ou trois heures.
On tire si multanément deux jetons de celte boîte. Les tirages sont suppo!\és équiprobabl es. On désigne par A et B les deux événements suivants: A : « Obtenir deux nombres pairs » :
B : « Obtenir deux nombres multiples de 3 ».
(On rappelle que 0 est un nombre pair et que 0 est multiple de 3.)
On admet que , pour chacune des tâches At B, C, à l'avenir, la durée d'exécution ne peut pas prendre d'autres va leurs que celles qui ont été données cidessus. Dans ce qui suit . on appelle . mi se au point .. un triplet (a, b, c) de trois nombres donnant dans l'ordre (tâche A, tâche B. tâche C) les durées d'exécution des trois tâche s. 1 0 À l'aide d'un arbre, donner to utes les « mi ses au point » possibles. r Chaque « mise au point ,. définit un événement élémentaire. L'obse rvation sur une longue période conduit à admettre que toutes les mi ses au point sont équiprobables.
10 Montrer que: 5 a) la probabilité de A est 18 : b) la probabilité de B est
1. : 12
c )Ia probabilité de (A n B) est 1..
r
36
Calculer la probabilité de J'événeme nt « obtenir deux no mbres pairs ou deux nombres muhiples de 3 )t .
TP5
Déterminer sous forme de fraction irréductible, la probabilité de chacun des événeme nts su ivants: a) El : « La mi se au point dure au total huit heures» ; b) E2 : « La mi se au point dure au total au plu s neuf heures » ; c) EJ : « La mise au point dure au total stricte me nt plus de ne uf heures ».
Tableau et probabilités conditionnelles
Deux machines MA et Mu produise nt chaque jour respectivement 100 et 200 pièces du même modèle. La machine MA sort 5 % de pièces défe ctueuses, la machine M B en so rt 6 %. 10 Compléter, après l'avo ir reproduit. le tableau suivant qui décrit la production journalière.
68
NomIlre depika prudui...
Nombre depikel produi...
porMA Nombrede . . . . dO!fecIueu...
'IbIal
E2 : « Le roulement est accepté et a un défaut ». b) Calculer la probabililé que le roulement so it accepté. 3° Le contrôle permet-il d'affirmer que moins de 1 % des roulements acceptés présentent un défaut?
porMB
5
IZ
1f
Nombredepikes non dO!fecIueuIOI
c:lJ
.An
..t
ToœI
1~ 0
TP7
300
2' ,
2° Un jour donné, on prélève au hasard une pièce parmi la production des deux machines. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies. On considère les événements suivants: « La pièce choisie provient de la machine MA » ; B : « La pièce choisie provient de la machine Ma » ; D : « La pièce choisie est défectueuse » ; D: « La pièce choisie n'est pas défectueuse • .
A :
Déterminer à J'aide dp labd.eau vré~f~ent lesprob~b.ili~-1: tés suivantes: P( \::: ') \ (r 1. 1 1
V
#
P(A) ; P(B) ; P(D) ; P(D) ; P(A n D); P(B n D). 3° a) Déterminer directement à J'aide du tableau précédent Jes prObabilité! condilionnelle~ p(A ID) et P(Bj D). il 4 (I>I \) )0 b) À l'aide des risultats J'8tenus au r et au 3°a) vérifier que P(A jD ) x P(D) ; P(A n D) el que P(BjD) x P(D) ; p(B D).
TP6
SOIIS
E2 : « La pièce prélevée au hasard pos!5ède au moins l'un des deux défauts JO ;
E3 : « La pièce prélevée au des deux défauts JO;
forme de
ha~ard
ne possède aucun
E4 : « La pièce prélevée au hasard possède un seu l défaut ».
Probabilités conditionnel/es
I
Une usine fabrique des roulements i\ billes. Une étude statistique a montré que 90 % de hl production ne présente pas de défaut. Chaque roulement est soumis à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 94 % des roulements avec défaut et accepte 92 % des roulements sans défaut. On prélève au hasard un roulement avant son passage au contrôle dans la production d'une journée.
On admeltra q~e, si A et IJ sont jndépend~nts,_A et B sont indépendants. A et B sont indépendants. A et B'M)nt indé· pendan ts.
TPB
Tirages simultanés, probabilités conditionnelles, événements indépendants
Une urne contient 10 boules: 6 boules rouges numérotées de 1 à 6 et 4 boules bleues numérotées de 1 à 4.
Tous les tirages sont équiprobables. On désigne par D l'événement: « Le roulement a un défaut » et par A l'événement: « Le roulement est accepté à l'issue du contrôle ». 1° a) Déduire P(D) des informations figurant dans l'énoncé. b) Déduire P(AID) des informations figurant dans l'énoncé. e) Déterminer P(AID) à J'aide des informai ions figurant dans l'énoncé. En déduire P(AID). 2" a) Calculer la probabilité des événements su ivants: El : « Le roulement est accepté et n'a pas de défaut »,
Chap.2 : Probabilités sur les ensembles finis
On admet que les événements A et B sont indépendants. Calculer la probabilité de chacun des événements suivanL'i :
'* La pièce prélevée au hasard possède les deux défauts » ;
n
Toutes I~s pmbabi/itis seront données frtlctions irriductibJes.
Une usine fabrique des pièces d'un certain type pour l'industrie automobile. Deux défauts de fabrication seule ment som possibles: un défaut de diamètre el un défaut de longueur. Une étude stati stique permet d'admettre que, pour une pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée, la probabilité de l'événement A : « La pièce possède un défaui de diamètre » est P(A) ; 0,03 et la probabilité de l'événement B : '* La pièce possède un défaut de longueur» est P(B) ~ 0,07.
El :
r
ID -.2.
Événements indépendants
On tire simu ltanément 3 boules de l'urne. On suppose que tous les tirages de 3 boules son t équiprobables. On considère les événements: A : « Les 3 boules tirées sont rouges ,. ;
B : « L'une au moins des 3 boules tirées est bleue ,. ; C : « Chacune des 3 boules tirées porte un numéro supérieur ou égal à 3 ». 1 0 a) Montrer que la probabilité de A est~. b) En déduire la probabilité de B. 2. a) Montrer que C a la même probabilité que A.
69
b} Montrer que la probabilité de l'événement A est
nc
3° a) Sachant que l'événement A est réalisé, quelle est la probabilité que C le soit? b) Les événements A et C sont ils indépendants?
-.L. 30
c) En déduire la probabi lité de A U C.
Remarque On peut retenir que: • dans les situations de lirages s ucce s~ ifs, a\'ec remiw ou sans remise. on peut dénombrer avec un arbre ; • dans les situations de tirages simultanés. on dénombre a\'ec l'expression de C~.
EXERCICES CORRIGÉS 0* Gestion de stock ...rdces
DES OBJECTIFS
Num~fUldes
Réa!i..er un dénombremenl à l'aide de par(ition~, d'arbre .. , de tableau);." Uli li!; fllrmules de dénombrement.
6 à lU
Utiliser la formule du binôme.
Il
Réaliser un dénombrement à l'aide des fl)rmules.
I~
Calculer de ...
14 à 25
probabilité~.
Employer de ~ Il.lrInule<,. de dénombrement pour le caku l de'i probabjlilé~. Calculer une probabilité conditionne llc.
Chez un fournisseur d'équipements pour l'industrie une étude statist ique effectuée sur une année a perm is de constater que la demande hebdomadilire d'un modèle de joints à lèvres pour pompes hydwuliques peut prendre toutes les valeurs de 0 à 4.
là3
On obse rve les demandes de deux semaines consécutives. Un résultat est un couple (a, b) de deu~ nombres où CI dés igne la demande de la premi ère semai ne et b celle de la deu~ i ème se maine. 1 0 Donner tous les résultat s possibles.
el 13
17 à 19
r
Donner le nombre de résultats tels que la demande totale au bout de deu ~ se maines:
20 à 22 el 25
Ulili-.er de'i é\énements indépendants.
23 el
2~
a) soit égale à 6; b) soÎl strictement supérieure à 6;
Exemples de dénombrements à l'aide de partitions, de tableau x, d'arbres
c) so it au plus égale à 6.
[TI * Avec remise ou sans remise
Q] ,. Contrôle de fabrication
On tire successivement troi s cartes d'un jeu ' de 32 cartes . Comb ien y a- t-i l de tirages possibles si les tirages o nt lieu: a) avec remise (c'est-à-dire qu'on tire une carte, on note Je résultat, on la remet dans le paquet, on mé lange les cartes et on recommence ... )? b ) sans remjse (on tire une carle, mais on ne la remet pas dans le paquet avanl de tirer la deuxième ... )?
Dans une usi ne, o n produit chaque jour mil1e pièces du même modèle . Chacune de ces pièces est s usceptible de présenter un défaut A, un défaut B ou simultané ment les deu ~ défauts A et B. On admet que : - 8 % des pièces p~sentent le défaut A ; - parmi les pièces atteintes du défaut A, 15 %onl le défaut B ; - parm i les pièces non atteintes du défau t A, 5 % on t le défaut B. Déterminer. parmi la production d'un jour donné, le nombre de pièces: a) présentant simultanément le défaut A et le défaut B ; b ) prése ntan t le défaut B sa ns prése nter le défaut A ; c) présentant le défaut B et peut-être le défaut A ; d ) ne présentant ni le défaut A, ni le dé faut B.
. On pe ut
réali~r
Imaginez un arbre ... très vieux, car il :t beaucoup de branches! Faites de même pour les exercice~ 4 CI 5.
o
U
La tournée du conducteur de travaux
Un conducteur de tra va u~ part de son bureau pou r vis iter quatre chant iers notés A, B, C, D. 1 0 Combien y a-t-il d'ordres théoriques de visite poss ibles?
un dia g ranllne ou un tableau.
70
r
Combien lui reste-t-il de poss ibilités s'i l doit passer sur le chantier A avant d'aller sur le chantier C, et s' il peut visiter un ou deux chantiers entre A et C?
o ..
Exemples de dénombrements à l'aide de combinaisons
~. Au
Parmi les 25 conseillers municipaux d' une petite ville sont élus troi s maires adjoints.
Des chiffres ... sans lettres!
Combien y a-t-il de résultats possibles?
Combien peut-on former de nombre de troi ~ chiffres avec les chiffres 1,2, 3, 4, 5, le même chiffre pouvant être utili sé deux ou trois foi s?
~
o.
Simplifications
Simplifier les fractions suivantes:
b)
0" Écrire, à
30! . 27 !3!'
c)(II + I)!. Il!'
•• Contrôle de qualité
J ODans un lot de vingt pièces fabriquées, on en prélève simultanément quatre. Combien de prélèvements différents peut-on ainsi obtenir? 2 0 On suppose alors que, sur les vingt pièces, quatre sont mauvai ses. Quel est le nombre de prélèvements où : a) les quatre pièces sont bonnes? b) au moins une pièce est mauvaise ? c) une pièce et une seule est mauvaise? d) deux pièces au moins sont mauvai ses?
Exemples de calculs avec des factorielles ou C~
a).!!!' 16"
conseil muniCÎpill
(11 + 2)' d) - - .
Il!
Calculs d. probabilités
r aide de deu x factorielles, le produit
5 x 6 x 7 x 8.
~ • In~ompatibles ou non ...
Calculer les nombres réels suivant s:
événement~ A et B tel s que et P(B) = 0, 16. Calculer P(A U B ) dans chacun des cas suivants: a) A et B sont disjoints (on dit aussi incompatibles); b) p(A n B) = 0,11.
On donne deux
P(A)
a)C~;
b)C~ ;
c)c l;
d)C~.
= 0,81
[!] ....
~
Montrer que pour tous les nombres entiers naturel s 11 et p tels qu~ :s; 11, = -'J.
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Tous les tiwges sont équiprobables. On considère les évé nements suivants: A : ... La carte tirée est un roi ,. ; B : ... La carte tirée est un trèfle ».
P Cf: C::
~
....
Montrer que , pour tou s les nombres entiers naturels etp tels quep ~ li , C~ : Il = C~+ 1 + Cf:.
J ODéfinir par une phrase les événements A, B, A n B , AU B. r Calculer sous forme ~e fm:!ions irréductibles les probabilités P(A ). P(B), P(A), P(B), PlA n B ), P(A U B).
11
Exemple d'utilisation de la formule du binôme
~
= (a
la
On nOle Pi probabilité de l'événement Ej ... Le rés ullai du lancer eSI j . , où 1 :s; i :s; 6. 0
1 Calculer PI' P2' P3' P4' P5 et P6 sachant que:
- 3)'.
Chap. 2 : Probabilités sur les ensembles finis
•• Dé truqué
On lance un dé cubique truqué dont les faces sont numérotées de J à 6.
Développer, à l'a ide de la formule du binôme, les expressions suiv ante s, où a est un nombre réel quelconque: a)E =(a+ 1)4;
b) F
• jeu de cartes
P2
71
= P4; P4 = " 6; PI = P3; P3 = P5; P6 = 2P5'
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2° Calculer la probabilité de chacun des événements
chevaux. Gagne.r le tiercé dan s J'ordre consiste à trouver le nom et l'ordre d'arrivée des trois premiers. Gagner le riud dans J~ dlsort/re consiste, seulement, à trouver le nom des trois premiers. En jouant trois numéros, quelle est la probabilité de gagner dans l'ordre; dans le désordre? ùs résultats u ront arrondis cl 10- 5.
suivants:
a)
«
Obtenir un résultat pair»;
h) « Obtenir un résultat impair » .
Exemples d'emploi de C ~ pour le calcul des probabilités
Probabilités conditionnelles
~ •• Tirage de bou/es
~ ** Utilisation d'un tableau pour déterminer
Un sac contie.nt neuf boules indiscernables au toucher,
des probabilités conditionnelles
ce qui rend les tirages équiprobables. Quatre boules sont blanches et numérotées de 1 à 4. Cinq boules sont noires et numérotées de 1 à 5. On tire simultanément trois boules du sac. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants: a) A : 4( Toutes les boules sont blanches » : b) B : « Les boules sont de couleurs différentes ,. ; c) C : « Il y a plus de boules blanches que de boules noires ,. ; d) D : « Les numéros des boules sont impairs » . us résultats seront dOllllb sous fon,,~ d~ fractiolls irréductibles.
Deux ateliers, notés 1 et 2, d'une même entreprise, produisent chaque jour respectivement 1000 et 800 « puces » électroniques d'un même modèle. 2 % des puces produites par l'atelier 1 et 3 % des puces produites par l'atelier 2 sont défectueuses. l Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant qui déçrit la production journalière. Q
_do_ ..-.. .. . . ,'_1 _do ..-.. ..
~ * jeu de cartes
,'_2
Dans un jeu de trente-deux cartes, on tire au hasard simultanément quatre cartes. On obtient alors une fC main ». On admet que toutes les mains possibles sont équiprobables. Calculer la probabilité d'obtenir dans une main respectivement: a) quatre cartes de même couleur; b) une carte de chaque couleur; c) exactement un as ; d) exactement deux as; e) aucun as; f) au moins un as; g) deux cœurs et deux piques; h) deux cœurs, un pique et un trèfle; i) deux cœurs et un as exactement; j) un carré, soit quatre cartes de même valeur. •
1800
Dans ce qui suit, les résultats seront dOl/nés sous form~ fractions irréductibles.
d~ Q
2 Un jour donné, on prélève au hasard une puce parmi les 1800 puces produites par les deux ateliers. Toutes les puces ont la même probabi lité d'être choisies. On considère les événements suivants: A : « La puce prélevée provient de l'atelier 1 » ; B: « La puce prélevée provient de l'atelier 2 » ; D : « La puce prélevée est défectueuse » ; D : « LI. puce prélevée n'est pas défectueuse » . Déterminer, à l'aide du tableau précédent, les probabilités suivantes:
al P(D), P(A n D), P(A/ D) .
Il Y a quatre couleurs: cœur, carreau, trèfle, pique.
bl P(D),
On donnera la mleur approchée di c:imale arrondit! à /0 - 4 d~ chaqu~ ri sultat.
P(B
n D), P(B/D).
3° Vérifier que P(A n D) el que P(B
n D)
= P(A/D) x
P(D)
= P(B/D) x P(D).
~ *** Où il est prouvé qu'il faut avoir beaucoup de
fi:
chance » pour gagner au tiercé ...
~ *** Des boules dans une ume
11 y a vingt chevaux au départ du Prix d'Australie, la grande course pour le tiercé de dimanche prochain. Seule nous intéresse J'arrivée des trois premiers
Une urne contient cinq boules: trois rouges, numérotées J, 2, 3, et deux nOlfes, numérotées 1 et 2.
72
façon indépendante. À la sortie de l'usine, on prélève une pièce au hasard. La probabilité de l'événement El : « La bille est défectueuse » est P(E 1) = 0,03. La probabilité de l'événement E2 : « L'élément est défectueux » est P(E2) = 0,05. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants. a) E3 « La pièce choisie présente les deux défauts " ; b) E4 : « La pièce choisie présente l'un au moins des deux défauts JO ; c) Es : « La pièce chois ie présente un défaut et un seul JO ; d) E6 « La pièce choisie ne présente aucun défaut JO .
On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Les tirages sont équiprobables. a) Quelle est la probabi lité de l'événement A : ~ Les deux boules tirées sont de la même couleur » ? b) Que ll e est la probab ilité de l'événement B : « La somme des numéros portés sur chacune des . deux boules tirées est égale à 3 » ? c) Quelle est la probabilité de B sachan t que A (est réali sé)?
~ *** Pauvre Sécurité sociale! Les individus d'une population peuvent être atteints de deux maladies Ml et M 2. On prélève au hasard un individu dans la population. On note A l'événement: « l'individu est atte int de la maladie M] 1O,et B l'événeme,nt : « l'individu est attejn t de la maladie M2 )t •
Exercice d'e)(amen
. On admet que P(A) = 0,03, P(B) = 0,05, et que la probabilité qu'un individu pri s au hasard dans la population soit attei nt de la maladie M 2 sachan t qu'il est atteint de la maladie MI est 0,60.
~ *** Événements indépendants et probabilités conditionnelles Une pièce est usinée successivement par deux machines M] et M2, les résu ltats des deux usin ages étant indépendants.
a) Calculer la probab ilité de l'événement: « l' indi vidu est atteint de la maladie Ml et de la maladie M2 » ;
Après passage dans la première machine MI' 5 % des pièces présen tent un défaut. On note A l'événement: « la pièce est défectueuse après passage dans MI lo .
b) Calculer la probabilité de l'événement: « l'individu est atte int de la maladie Ml sachant qu'il est atteint de la maladie M z » ;
Après passage dans la deuxième machine M2 (et quel que soit leur état après leur passage dans MI)' 2 % présentent un autre défaut. On note B l'événement: « la pièce est défectueuse après passage dans M 2 It .
c) Calculer la probabilité de l'événement: « l'individu est atteint de la maladie Ml ou de la maladie M2 ».
On extrait au hasard une pièce parmi les pièces ayant subi les deux usinages.
Événements indépendants
}ODéterminer les probabilités deA et de B. Exprimer il l'aide des événemen ts A et B les événements suivants: C : « la pièce est défectueuse pour les deux usinages parMI etM2 JO ; D : « la pièce est défectueuse » ; E : « la pièce ne présente aucun défaut ».
~ ** Jeu de cartes On lire au hasard une carte dans un jeu de trente-deux. Les trente-deux événements é lémentaires sont équiprobables. Les événements A et B suivants sont-il s indépendants? a) A : « La carte tirée est une dame ,. ; B : « La carte tirée est noire ». b) A : « La carte tirée est une dame JO ; B ; « La carte tirée est une figure " .
Calculer les probabilités des événemen ts C, D et E. 2° Dans cette question, donner les probabilirb sous fonne de frac/ions irritluc/ibles. a) Sachant que la pièce extra ite est défectueuse, quelle est la probabilité que la pièce présente des défauts d'usinage dus aux deux machines? b) Exprimer à l'aide de A el B l'événement : « le défaut provient uniquement de la machine M') lo , puis sa probabilité. En déduire la probabilité quë le défaut provienne unique,ment de la machine Mz, sachant que la pièce est défectueuse.
~ *** Encore des défauts! Une usine fabrique des pièces en grande série. Chaque pièce est constituée par l'assemblage d'une bille fabriquée par la machine nO 1 et d'un élément fabriqué par la machine nO2. Les deux machines fonctionnent de
Chap. 2 : Probabilités sur les ensembles finis
73
1 1 1 1 1 1
EXERCICES NON CORRIGÉS Exemples de calculs avec des factorielles ou c~
~
~ ... Simplifications
Une urne contient six bou les numérotées de ) à 6.
!1l.
13!'
(,. +
b) ~ . c) 100!
5!2!'
Avec
remise ou sans remise ...
1° On en tire deux successivement, avec remise. Quel est le nombre de tirages possibles?
Simplifier les fractions suivantes. a)
U
1)!
2° Même question avec un tirage successif de trois boules avec rem ise.
d) - - .
9~13!
(,.-1)!
3° Même question qu'au 1° avec un tirage sans remise.
~ ... Ca/culs avec C ~
4° Même question qu'au 2° avec un tirage sans remise.
Calcu ler les nombres réels suivants:
~ •• Avant de {aire des impasses
,
b) Cl.'
,
d) C 3.'
C,So.
Exemples d'utilisation de la formule du binôme
Un candidat à un examen oral a étudié seulement quatre questions de physique sur dix po~sibles et huit questions de mathématiques sur douze possibles.
~ • Développement
L'épreuve consiste à répondre à une question de physique et à une question de mathématiques.
e)
1° Combien y a-t-il de tels sujets à deux questions? 2° Dans combien de cas le candidat connaît-il les réponses aux deux questions?
Utiliser la formule du binôme pour développer l'expression: E(x) = (2.- X)'.
3° Dans combien de cas connaît-il seulement la réponse à la question de physique? la réponse à celle de mathématiques?
~ • Recherche d'un coefficient Quel est le coeffic ient de .x4 dans le développement de
(x+3)'?
4° Dans combien de cas ignore-t-il les réponses aux deux questions?
~ ... Une application
§] .* Circulez!
10 Écrire le développement de ( 1 + x)5.
JO Dans la plupart des départements, chaque véhicule automobile a un numéro minéralogique comportant au plus quatre chiffres sui vis d'une ou de deux lettres (on peut avoir deux fois la même lettre) ; le s lettres 1 et 0 sont interdites pour éviter des confus ions avec les chiffres 1 et O. Combien de véhicules peut-on ainsi immatriculer par département?
rEn déduire que 2s = C~
+
considérant le cas particulier où x
C1
+ ... + C~ en
= 1.
Exemples de dénombrements avec un diagramme, un tableau, un arbre, des combinaisons
~•
Vous êtes des sportifs!
r
Lorsqu'on a épuisé dans un département toutes les possibilités d'immatriculer les véhi cules comme on le décrit au JO (c'est le cas depuis longtemps à Paris), on immatricul e les véh icu les avec un numéro comportant trois chiffres et trois lettres, par exemp le 100 FER 75. Combien de véh icules peut-on ainsi immatriculer?
Une enquête a révélé que dans un groupe de 150 étudiants de STS :
- 98 pratiquent le tennis; - 53 pratiquent le ski; - 39 pmtiquent le ski et le tennis. 1° Décrire cette situation avec un diagramme ou un tableau.
~ ** Des
2° Combien d'étudiants ne pratiquent aucun de ces deux sports? 3° Combien d'étudiants pratiquent uniquement l'un de ces deux sports?
nombres
1° Combien de nombres distincts de trois chiffres peut· on former avec les ch iffres 3, 4, 5, 6, le même chiffre pouvant être utilisé deux ou trois fois?
74
2° Combien de nomb~es distincts de trois chiffres peuton former avec les chiffres 3, 4, 5, 6, chacun étant utilisé au plus une fois '!
~ ** jeu de cartes 1 0 On tire cinq cartes dans un jeu de trente-deux. Combien y a-t-il de mains possibles? ZO Combien y a-t-il de mains contenant: a) exactement trois rois? b) au moins trois rois?
~ ** L'emploi du temps L'élaboration de l'emploi ùu temps d'une classe est un exerc ice délicat auquel se livre chaque été le proviseur~ adjoint de chaque lycée de France ... Pour organiser l'emploi du temps d'une classe de STS pour une matinée, on doit répartir, sur quatre heures consécuti ves, une heure d'angbis, une heure de français, une heure de mathématiques, une heure de physique. Combien d'emplois du temps différents peut-on proposer pour cette matinée?
Calculs de probabilités
On donne deux événements A et B tels que P(A)
= 0,72
et P(B)
= 0,19.
Calculer P(A U B) dans chacun des cas suivants: a) A et B sont incompatibles; b) P(A n B) = 0,Q7.
~ ** La vie en couleurs Une palette contient 15 couleurs, 9 vives et 6 pastels. On doit choisir pour la peinture d'une pièce 3 cou leu rs différentes, une pour les murs, une pour le plafond. une pour les encadrements.
@] * jeu de cartes On lire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Les 32 événements élémentaires sont équiprobables. On considère les événements suivants: A : « La carte tirée e.st URe dame » ; . B : « La carle lirée est un cœur JI .
Deux choix sont considérés comme différents dès que: une couleur utilisée dans l'un ne l'est pas dans l'autre; - une couleur utilisée dans l'un l'est dans l'autre à un emplacement différent. ]0 Combien' de choix différents peut-on faire?
1 0 Définir par une phrase les événements.:4, A UB.
2° Combien y en a-t-il sachant que la <.:ouleur des encadrements doit être choisie parmi les cou leurs pastel? 3 0 Combien y en a- t-i l avec les murs e.n couleur vive et les encadremen ts en couleur pastel?
2° Déterminer, sous forme de fractions irréductibles, les probabilités P(A), P(B), P(A), P(B), P(A n H), P(A U H).
~ ** Gestion de stock
~ ** Autour de la table
Dans un dépôt de pièces détachées, l'observation des ventes sur une longue période a permis d'établir que, pour un certain type de pièces, la demande quotjdienne , peut prendre les valeurs suivantes: 0, 1. 2, 3, 4, 5, 6.
Il y a 6 places numérotées autour d'une table. 0
1 Déterminer le nombre de façons de disposer 6 personnes autour de la table.
r
L'installation des 6 personnes autour de la table dans une dispos iti on donnée nécessite 30 secondes. Déterminer le temps .nécessaire pour que les 6 personnes puissent « tester» toutes les dispositions possibles.
Avec des combinaisons (exercices 39 et 40)
~. Sondage
On note PI la probabilité de l'événement « Un jour tiré au hasard, la demande pour les pièces est i » i représente donc n'importe quel nombre entier compris entre 0 et 6. L'observation des ventes sur une longue période per. met d'admettre que: Po = P6 = 0,04; Pl = Ps = 0,15; P, = P4 = 0,20. 1° Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants:
Dans une entreprise employant 40 personnes, on propose à quatre personnes prélevées au hasard de répondre à un questionnaire. De combien de façons pe.ut-on constituer l'échantillon de quatre personnes?
Chap. 2 : Probabilités sur les ensembles finis
B, A n B,
a) « Un jour tiré au hasard, la demande de pièces détachées est 3 ,. ; h) « Un jour tiré au hasard, la demande de pièces détachées est inférieure ou égale à quatre • .
75
2° Pour des rai sons de coût, on ne peut stocker dans le dépôt plus de quatre pièces de ce modèle et on ne réapprovisionne le dépôt qu'à la fin de la journée. Quelle est la probabilité de l'événement: .. Un jour choi.si au hasard, il y a rupture de stock ...
·8 % des pièces présentent au moins le déf:lUt DI' • 15 % des pièces présement au moins le défaut O2, · 5 % des pièces prése ntent à la fois les défauts DI et D 2 et sont directement mises au rebut · 90 % des pièces qui présentent un seul défaut peuvent être réparées et les autres sont mises au rebut. 1° Représenter cette situation par un tableau. r On prélève une pièce au hasard dans la fabrication d' une journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies.
§] ** Tirages de bou/es Une urne contient II boules blanches (11 est non nul), deux boules noi res et trois boules rouges. On extrait au hasard une boule de l' urne, on regarde sa couleur. Tou s les tirages sont équiprobables. 1° Déterminer en fonction de 11 la probabilité Pl d'obtenir une boule blanche, la probabilité p" d'obtenir une boule noire, la probabilité P3 d'obtenir une boule rouge.
r
Déterminer
Il
à~.
Il 3° Déterminer
à~
Calculer la probabilité PI qu'elle présente un seul défaut et la probabilité P2 qu'elle soit exempte de défaut. 3° Montrer que la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit acceptée (directement ou après réparation) est 0,937.
pour que la probabilité p., soit égale
fi
pour que la probabilité p., soit égale -
~ ** Conférence internationale
5
Exemples d'emploi de dénombrements à l'aide de diagrammes, de tableaux, d'arbres, pour le calcul de probabilités
Quatre pays participent à une conférence internationale l'Allemagne, l 'E~pagne, la France et l'Italie. Un délégué de chaque pays doit faire U,1l exposé. On tire au sort l'ordre de ces intervenants.
~ ** Paul/re Sécurité sociale! (suite ... )
1° Dénombrer tous les ordres possibles. (On pourra s'aider d'un arbre.)
Dan s une certaine population de 10000 personnes, il y a 45 % de fumeurs et 35 % de personnes atteintes de bronchite. De plus , 65 % des bronchiteux sont fumeurs.
2° Tous les ordres possibles sont équiprobables. Déterminer, sous forme de fractions irréductibles, les probabilités de chacun des événements suivants: A : « Les délégués espagnol, italien, allemand se sui\'ent dans cet ordre. ; B : «; Le délégué français parle juste avant le délégué allemand ».
1° Représenter cette situation par un diagramme ou un tableau. 2° On prélève une personne au hasard dan s la population. Toutes les personnes ont la même prob'lbilité d'être choisies. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants: a) El : «C'est un fumeur bronchiteux .; b) E2 : «C'est un bronchiteux non fumeur . ; c) E3 : .. C'est une personne qui n'est ni fumeur ni bronchiteux •. 3° On prélève une personne au hasard parmi les fumeurs. Tous les fumeurs ont la même probabilité d'être choisis. Calcule.r la probabi lité de l'événement F: « C'est un bronchiteux ».
~ ** Tirages
avec remise
Un sac contient cinq boules, indiscernables au toucher, portant respectivement les nombres 1,2,3, 4 et 5. On tire une boule du sac; on lit le nombre inscrü sur cette boule et on la remet dans le sac. On répète cette opération une deuxième fois. On appelle tirage un couple (0, h) où a est le nombre inscrit sur la première boule et b le nombre inscrit sur la deuxième boule .
• On peut faire un diagramme ou un lableau.
10 Déterminer le nombre de tirages possibles. 2° Tous les tirages sont équiprobables, Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants: A: « la somme des deux nombres lus est égale il. JO »; B : «; la somme des deux nombres lus est égale il. 1 .; C : « la somme des deux nombres lus est égale à 6 • ; D : « la même boule est tirée deux fois de suite ».
~ ** Contrôle de qualité Une machine fabrique 10 000 pièces par jour. En sortie de fabrication, on a constaté qu'une pièce peut présenter deux sortes de défalus (et deux seulement).
76
~ ... Tirage sans
Un joueur tire cinq cartes simultanémen t. Tous les tirages possibles sont éq uiprobables.
remise
Dans un aquarium contenant des poissons, on prend au hasard un premier poisson puis, sans le remettre, un deuxième poisson. On obtient ainsi un cou ple de pois~ sons. Tous les couples sont équiprobables.
L'exercice a pour but de comparer les probabilités des événeme,nts suivants, intervenant dans certains jeux de cartes: A : « Obtenir un carré » (soit quatre cartes d'une même valeur, par exemple quatre rois); B : "" Obtenir une quinte flush JO (soit cinq cartes d'une même cou leur dont les valeu rs se su ivent); C : 0: Obtenir un full lt (soit troi s cartes d'une même valeur et deux autres de même va le ur, par exemple: trois ro is et deux dix).
1° L'aquarium contient 4 poissons rouges et 2 poissons noirs. Dans cette question. les probabilités seront données sous forme de fraclions irréduc tibles. a) Combien de couples peut-on obtenir selon le procédé indiqué? h) Quelle est la probabilité de l'événement A « obtenir 2 poissons rouges " ? c) Quelle est la probabilité de J'événement B « obteni r 2 poissons noirs » ? d) Quelle est la probabilité de l'événement A U B ? En déduire la probabilité d'obtenir 2 poissons de
r
1° Calculer P(A}, P(B), P(C), et donner une valeur approchée de chaque nombre à 10- 5 près. 2° Un « coup » est dit meilleur qu'un autre si sa probabilité est plus petite; chaque coup est affec té d'une valeur V qui augmente quand P diminue
cou leurs différentes. Il ya maintenant dans l'aquarium 4 poissons rouges
(si P(B) < P(A), alors V(B) > V(A» . Le classement défini par la règle du jeu est:
et Il poissons noirs (Il est un en lier supérieur ou égal à 2). a} Combien y a-t-i l de poissons dans l'aquarium? b} Quelle est la probabi lité de l'événement A : fi( obte,nir 2 poissons rouges lt ? c) Quelle est la probabilité de l'événement B : fi( obten ir 2 poissons noirs»? d} Calculer la probabilité de l'événement C: fi( obtenir 2 poissons de couleurs différentes lt ?
V(C)
V(A)
<
V(B).
UnQCM
§]** Cet uen·ic~ est lUI qll~stiollflai~ à (:hoix multiples. Indiquez sur \·ot~ copie, pour chaque qu~stio" posée, qlleJl~ est la !JOllllt! réponse parmi It!s propositiolls de l'inor/ci. AUCtt11t! just(fication 11 'est demandée.
Exemples d'emploi de dénombrements à l'aide de combinaisons pour le calcul de probabilités (exercices 50 et 51)
1 ° Un client compose son repas dans un restaurant en choisissant une entrée parmi quatre, un plat du jour parmi trois et un dessert parmi cinq. Combien de choix. possibles a+ij pour composer son menu? A: 17; B: 12 ; C:60.
~ ,. Tirages simultanés Une urne contient trois boules vertes, deux boules rouges et une boule noire. Un joueur tire s imultanément trois boules de l'urne. 11 y a équiprobab ilité des tirages. Déterminer, sous forme de fraction irréductible, la probabilité de chacun des événements suivan ts: A : « le joueur tire 3 boules de même couleur JO; B: fi( le joueur tire 3 boules de couleurs différentes » ; C: fi( le joueur tire 2 boule.s, et 2 seu lement, de la même couleur lt .
r
On lance deux dés cubiques bien équ ilibrés. Tous les résultats sont équ iprobables .
Quelle est la probabilité d'obtenir deux numéros identiques? A :_1_. B:-I_. C:!.
216 '
1296 '
6
3° On tire success ivement sans remi se de ux cartes dans un jeu de trente-deux cartes. Tous les tirages son t éq ui probables. Quelle est la probabi lité d'obtenir deux cartes de couleur rouge (cœ ur ou carreau)?
~""Aupoker
A·.!2· B·! C! ·62' ·4' .i
On considère un jeu de 36 cartes dans lequel on distingue quatre couleurs: trèfle, pique, carreau, cœur et dans chaque couleur, neuf valeurs dans l'ordre habituel : as, roi, dame, valet, dix, neuf, huit, sept, six.
Chap. 2 : Probabilités sur les ensembles finis
<
D'après la question 1°, cette règle est-elle just.ifiée?
4° Afin de former une com mi ssion, on doit chois ir trois personnes dans un groupe de douze personnes. a} Combien y a-t-i l de commi ssions possibles? A: 4; B: 1728; C: 220.
77
b) Dans ce même groupe de douze personnes, quatre sont des femmes et huit des hommes. Sachant que toutes les commiss ions pos~ible~ ont la même probabi li té d'être chois ies, quelle est la probabilité qu'une commission comporte deux femmes exactement? A· 12 . B:3-., C:1.. ·55' 55 Il
_drplka ........ apoà
Ie_
20 On prélève au hasard une pièce parmi les 10000 d'un tel 101. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être prélevées. On considère le ~ évé nements sui vants: El: « La pièce est défectueuse et acceptée par le contrôle ,. ; E2 : .. La pièce est bonne et refusée par le contrôle ,. ; EJ : .. Il ya une erreur dans le contrôle ,..
Probabilités conditionnelles avec un tableau (exercices 53 à 55)
§] . Vive le sport!
Déterminer les probabilités P(EI)' peEl)' peE,). 3° Déterminer la probabilité de l' événement : pièce est bonne sachant qu'elle a été refusée. »
110 étud iant s de STS se répartissent de la façon suivante:
tE
La
fine. Pratiquent un sport
30
50
12
18
~ •• Composants électroniques
Ne pratiquent aucUD
sport
Un fabricant de composan ts électroniques d'un certa in modèle possède trois machines A, B et C qui fournissent respectiveme11l 10 %, 40 % et 50 % de la production totale de ~on usine. Une étude a montré que 3,5 % des composants produits par la machine A, 1,5 % des composants produits par la machine B et 2,2 % des composants produits par la machine C sont défectueux. 1° La production d'une journée est de 10000 unités. Décrire à l'aide d'un tableau la situation journalière de la product ion. r Après fabrication, les composants sont ve rsés dans un bac commun aux trois machines. On pré lève au hasard un composant dans le bac qui contient la production d'un jour donné. Tous les composants ont la même probabilité d'être choisis. a) Montrer que la probabilité que ce composant provienne de la machine C et soit défectueux: est 0,0 Il . b) Calculer la probabilité que ce composant soit défectueux. c) Calcul er la probabilité que ce composant provienne de la machine C, sachant qu'il e~t défectueux:.
On tire un étudiant au hasard parmi les 110. Tous les étudiants ont la même probabilité d'être tirés. On considère les événements suivants: F: « L'étudiant est une fille»; G: « L'étud iant est un garçon » ; S: « L'étudiant pratique un sport»; S: « L'étudiant ne pratique aucun sport ». 1° Déterminer, à l'aide du tableau, sous forme de fractions irréductibles, les probabilités su ivantes: a) P(S), P(F n S), P(F /S), b) PtS). P(G n 5), p(G/S). 2' Vérifier que P(F n S) ~ P(F/S) x P(S) et que P(G
n 5)
~ P(G
/5) x P(5).
§] . 11 Y a des erreurs dans le contrôle Dans un atelier, o n contrôle les pièces d'un ceflain modèle qui sont fabriquées en grande quantité. 2 % des pièces fabriquées sont défectueuses. Le contrôle est tel que 96 % des pièces non défectueuses sont acceptées et que 98 % des pièces défectueuses son t refusées. 1° On considère un lot de 10000 pièces respec tant les pouree-ntages précédents. Comp léter, ap rès l'avoir reprodu it, le tableau sui vant
Sans tableau ... (exercices 56 à 60)
~ • Appliquer la définition On considère deu~ événements A et B tels que P(A) ~ 0,4, P(B) ~ 0,6 el P(A U B) ~ 0,7. Calculer P(A
78
n B), p(A lB) et P(B rA).
~
On note: A l'événement: « l'individu est sain » ,
•• Pannes de machines
Dans une usine, la fabrication d'une pièce nécessite l'utilisatjon de deux machines At 1 et M2"
B l'événement: « l'individu est contaminé
C l'événement:
Pour une période donnée, les probabilités que ces machines tombent en panne sont respec tivement 5 .1O- 3 et 7· JO- 3.
)10,
« l'individu a un test négatir lt,
D "événement: « l'individu a un test positif lt . La probabilité qu'un test so it positif sachant que le sujet est sain est 0,004.
D'autre pari, la probabilité que M,! soit en panne sachant que At 1 est en panne est 0,5.
La probabililé qu ' un test soit négatif sachant que le sujet est contaminé est 0,024.
On nOIe A J'événement: co: la machine MI tombe en panne )10 el B l'événement: "" la ma<.'hine M 2 tombe en panne • . On a donc: P(A) = 0,005 : P(B) = 0,007 et P(B A) = 0,5.
JODéduire de l'énoncé PlA), P(B), p(D IA) et P(C IB).
r
Calculer la probabilité que le test soit positir et dividu sain.
1° Calculer la probabi lité de J'événement C: . Ies deux
l'in~
machines tombent en panne ».
30 Calculer la probabilité que le test soit négatif et l'individu contaminé.
2° Déduire du J O que la probabilité d'avoir au moins L1ne machine qui fonctionne est 0.9975.
4 0 En déduire la probabilité que le résultat du test soit en·oné.
~ .. Au • mondial " de l'automobile
~ ••• En
On effectue une enquête sur les goû ts des consommateurs concernant les accessoires au tomob iles.
« Formule
1 -'
Un con structeur de moteurs de « Formule 1 » fabrique des moteurs de compét ition. La probabilité qu'un de ces moteurs soit e,;empt de défaut, et par suite ne « casse lt pas lors d'un Grand Prix, est 0,8. On dira pour simplifier qu'un tel moteur est « bon ", et on notera B l'événement: « le moteur est bon » .
Dans la population interrogée, 90 % souhaitent un véhicule équipé d'un autoradio, 15 !J· souhailent la climatisation et 12 % souhaitent ces deux équ ipements.
10 On prélève un individu .w hasard dans ceUe population. Tous les individus on t la même probabilité d'être choisis.
Avant chaque Grand Pri,;, un contrôle très sévère est effectué: soit le moteur est déclaré utilisable, soit il est rejeté.
On note A l'événement: « le consommateur souhaite un autoradio lt et B l'événement: « le consommateur souhaite la climatisation lt . Donc P(A) = 0,9 ; P(B) = 0,15 et P(A n B) = 0,12. a) Quelle est la probabilité qu'i l ne souhaite pas d'autoradio? b) Quelle est la probabilité qu'il souhaite au moins l'un des deux équipements '!
On note U J'événement: « le contrôle déclare le véhicule utilisable » . Ce contrôle n'est pas infaillible: sachant qu'un moteur est bon, il est déclaré utilisab le dans 95 % des cas, -
ZO On prélève ;w hasard un individu parmi ce ux qui souhaitent la dimatisation. Quelle est la probabilité qu'il souhaite aussi un autoradio, c'est-à-dire P(A B)?
sachant qu'un moteur a un défaut, il est rejeté dans 80 % des ca\).
Notations .- si E est un événement, on notera nement contraire.
E l'évé-
On prélève un moteur au hasard, la veille du Grand Prix de France, à Magny-Collrs.
@!] ••• Test de dépistage
10 En traduisant les données de l'énoncé. déterminer P(B), P(U IB), P(U
Ul ri Sl/llats "mlliriqu~s s~rollt arrondis (lU miJli~m~ f~
r
plus procht!.
ii).
Calculer la probabilité des événements suivants:
V : « le moteur est bon et il est déclaré utilisable
)10 ,
Dan s une région d'un pays en voie de développement, 15 % de la population est arteinte par un certa in virus. On met en place un test de dépistage.
En déduire la probabilité de U.
On tire au hasard un individu dans la rég ion. Tous les individus ont la même probabilité d'être choisis.
30 Montrer que la probabilité qu'un moteur soit bon sachant qu'i l est déclaré utilisable est 0,95.
Chap. 2 : Probabilités sur les ensembles finis
W: « le moteur a un défaut et il est dédaré utilisab le » .
79
r
Événements indépendants
~ • Les feux tricolores
b) Quelle est la probabilité que ce so it le numéro l, sachant que c'est un numéro impair ? On donnera une valeur approchée arrondie à JO -2.
Sur une route, deux carrefours notés 1 et 2 sont munis de feux tricolores. On supposera que ces feux ne sont pas sy nchroni sés et que pour un automobiliste circulant sur cette roule, l'apparition d'une couleur donnée est un pur hasard. On note A l'événement: « le feu 1 est vert » et B l'événement : « le feu 2 est vert » . P(A)
e) On considère les événements:
A : « voir apparaître un numéro pair »;
B : « voir apparaître un multiple de 3 » ;
C : « voir apparaître un nombre inférieur ou égal
~ ~ et P(B) ~ ~. Les feux 1 et 2 fonctionnent de
àh. A est-il indépendant de B?
manière indépendante.
A est-il indépendant de C?
Un automobili ste passe successivement aux deux carrefours. 10 Calculer. sous forme de fraction irréductible, la probabilité qu'il rem.'onlre deux feux verts. r Calculer. sous forme de fraction irréductible, la probabilité qu'il rencontre au moins un feu vert.
Exercices d'examens
~ ... Probabilité et analyse Une urne contient 36 boules indiscernables au toucher. Dans cette urne x boules sont blanches, x boules sont rouges, toutes les autres sont vertes (x étant un nombre c.ntier vérifiant 1 ~.t :s;: 17)..
§] .. Défaut de fabrication Un atelier produit un composant optique en deux phases indépendantes. La première est susceptible de faire apparaître un défaut a sur 2 % des composanLS, la seconde un défaut (3 sur 4 % des composants. On prélève un compos~tnt au hasard dans la production d'une journée. On appelle A J'évé nement: « le composant présente le défaut a » et B l'événement: « le composant présente le défaut (3 ». Calculer à 10- 4 près, la probabilité de chacun des évé-
On tire au hasard et simultanément 3 boules de l'urne. Il y a équiprobabilité des tirages.
10 On suppose x = 1. Les probabilités seront arrondies à 10- 4 a) Quelle est la probabilité de lirer une boule de chaque couleur (c'est-à-dire une rouge, une blanche el une verte)? b) Quelle est la probabilité de tirer 3 boules vertes? 2 0 a) Étudier les variations de la fonction f définie sur [0, 17] par f(x) ~ 36x 2 - 2,' et déterminer la valeur de x pour laquelle f atteint son maximum. b) Montrer que le nombre des tirages donnant une boule de chaque couleur est égal à J(x). c) Soit P(x) la probabilité de tirer une boule de chaque couleur. Exprimer P(x) à l'aide de J(x) et en déduire la valeur de x pour laquelle P(x) est maximale.
nements suivant s: a) le composant présente les deux défauts; b) le composant présente au moins un des deux défauts; c) le composant ne présente allcun des deux défauts; d) le composant présente un et un seul des deux défauts.
~ •• Dé truqué
~ ••• Le portable n'était pas interdit le jour de l'exa-
Un joueur utilise un dé t.ruqué à six faces. La probabilité de voir apparaître chacun des six numéros est donnée par le tableau suivant: Numbo
Probobiliœ ]0
0,4
Le joueur lance le dé. a) Quelle est la probabilité de voir apparaître un numéro pair? un numéro impair ?
2
3
4
5
6
0.15
0,15
0,05
a
b
men ... avec des probabilités conditionnelles Un magasin de distribution vend deux types de téléphones portables : • des téléphones standards; • des téléphones miniatures. Il propose aussi deux types d'abonnements mensuels: • l'abonnement 1 heure ; • l'abonnement 2 h 30.
Calculer a et b. sachant que l'apparition du numéro 5 est quaLTe fois plus probable que celle du 6.
80
Le serv ice marketing effectue une enquête sur un échantillon de 2000 clients ayant acheté dans ce magasi n, pendant l'année en cours, un téléphone et un seu l de l'un des types vendus et ayant opté pour un seu l des abonnements proposés. Sur les 2000 clients interrogés, 1 200 ont acheté le modèle standard. Sur ces 2000 clients, 960 ont cho isi « J'abonnemen t 1 heure •. Un client est pris au hasard dans l'échant illon.
probabilité que ces deux boules soient de même couleur est 2.. 13
~ ... Test de contrôle dans "industrie pharmaceutiquè et probabilités conditionnelles Dans ut ~xuciu, toutt!s J~s probabilités serollT dOl/nées SOIfS forml! dt! fractions irrlductibJt!s. Une entreprio;;e de produits pharmaceutiques fabrique en très grande quantité un certain type de comprimés. La probabilité qu'un comprimé soit conforme est 0,9. 1° On note C l' événement: << Le comprimé est conforme et ë l'événement cOnlraire de C. Calcu ler la probabilité de l'événement ë. 2° On contrôle chaque comprimé. On constate que, lorsqu'un comprimé est conforme, il est toujours accepté à l'issue du con trôle; quand un comprimé n'est pas conforme, il peut être néanmoins accepté avec une
Tous les clients ont la même probabi lité d'être choisis. On note les événeme.nts : • S : .. le client a acheté le modèle standard ~ ; • M : « le client a acheté le modèle miniature . ; • AI : « le c li en t a cho isi l'abonnement 1 heure »; • A2 : « le client a cho isi l'abonnement 2 h 30 •. On note P(E) la probabilité d'un événe ment E.
)t,
Les rbu/tats serolll donnés SOLIS forme décimale m'el' 3 chiffres aprt'S la \'irgule. l ' Détermi ner P(S), P(M), P(A t ),
r
a ) Parmi les clients qui ont acquis le modèle standard, 32 % ont pris l'abonnement AI. Traduire cette donnée en terme de probabilité. b) En déduire la probabilité d'avoir acquis le modèle standard et d'avoir opté pour l'abonnement A].
probabilité de D.On note A J'événement: « Le comprimé est accepté à l' iss ue du contrôle ». a) Monlfer que les probabilités des événements A
n
1
Dans al nerciu, toutes les prolxlbiJités suont dOI/nùs sous forme de jracliOlIS irrlductib!es. Une urne contient huit boules: - cinq boules blanches, dont trois portent le numéro a et deux le numéro l , - trois boules noires, dont deux portent le numéro 0 et une le numéro 1. On tire au hasard, et simultanément, deux boul es de l'urne. On admet que tous les li rages son t équiprobables. 1° Déterminer la probabilité de l' événement A: .. les deux bou les tirées portent des numéros différents • .
10
~ ••• Dans "imprimerie, avec des probabilités conditionnelles Dans une imprimerie, la fabrication journalière d'un qumidien condui t à deux défauts de fabrication: le défaut D : «présence de taches d'encre sur la dernière page du journal»; le défaut A : « présence de taches d'encre sur la page des offres d'emplois )t. La probabilité qu'un journal, pris au hasard dans la fabrication, pr~sente le défaut D est O,()()..I.5. La probabilité qu'un journal, pris au hasard dans la fabrication, présente le défaut A est 0,0025.
~~.
2° a) Déterminer la probabilité de l' événement C :« les deux boules tirées sont noires et portent le même numéro )t. b) Déterminer la probabilité de J' événement D: « les deux bou les tirées sont blanches et portent le même numéro)t. e) Déterminer Ja probabilité de l' événe,ment E : « les deux boules tirées sont de même cou le ur •.
On a établi que la probabilité qu'un journal, pris au hasard dans la fabrication, présente le défaut D sachant qu'il présente le défaut A est 0,8. On prélève un journal au hasard, dans la fab rication. 1° Calculer à 10 - 4 près la probabilité qu'i l présente les deux défauts.
3° Sachant que les deux bou les tirées portent le même
Chap. 2 : Probabilités sur les ensembles finis
1..
c) Calculer la probabilité de C sachant que A.
En déduire que la probabi lité de l'événement B : « les
pr~cédentes
sont respectivement égales à
b) En remarquant que A = (A n C) U (A n ë), et que les événements A n C et A n ë sont incompatibles, déterminer la probabilité de A.
tionnelles
numéro, déduire des questions
në
et 110'
~ ••• Tirages simultanés et probabilités condi-
deux boules tirées por tent le même numéro » est
C et A
2° Calculer la probabilité qu'il présente le défaut A, sachant qu'il présente le défaut D.
que la
81
SO Quelle est la probabilité que résu h at erroné?
3° Calculer la probabilité qu ' il présente au mo ins un défaut.
l'éth~ l o t es t
don ne un
us \'alel/ rs approc!Jüs se.rolll arrondie!)' à 10 - 3. ~ .... Boire ou conduire ... a".ec des probabilités conditionnelles
.
Le seuil max imal d 'alcoolémie toléré pour condu ire une au tomobi le est 0,5 gramme par litre.
~ . . fi tvénements indépendants
Un laboratoire a mis au point un éthylotest. Théuriquement, celui -c i devrait être positif lorsqu'une personne testée a une alcoolémie stri ctement supérieure au se uil toléré . Mai s il n'est pas parfait: lorsqu'une pe rsonne a un tau x d'alcoolémi e stri ctement supéri eur au seuil toléré, l' éthylotest est positif 96 fois sur 100 ; lorsqu'une personne a un taux d'akoo lémie inférieur ou égal au seuil tolé ré, l' éthylotest est positif 3 foi s sur 100.
Quatre amis décident de jouer avec un jeu de 32 caries auxquelles ils attribuent des points: 4 points pour chacu n des quatre
as »,
2 points pour chacune des quatre . dames », 1 point pour chacun des quatre « valets », aucun point pour chacune des seize alllres cartes. Une partie I:on siste à tire r s imultané ment troi s cartes du jeu et à relever le total des points qui leur sont attri bués. On dit que le joueur « ne marque pas » lorsque le tota l relevé est nul. On dit que le joueur « marque » dans tous les autres cas. On admet que, lors de chaque partie, tous les tir~lges de trois cartes sont éq uiprobables. M
On ~u ppose que ces résu ltats portent s ur un échantillon suffisamment important pour qu ' il s soient constants. Dans une région donnée, 95 % des conducteurs d'automobile ont un seuil d'alcoolémie inférieur ou égal au seuil tolé ré. On soumet, au hasard, un automobili ste de cette région à l'éthylotest.
1° Un jOl/eur fait "ne partie. On cons idère les événemenl~ sui vant s: - A : Le joueur « ne marque pas » ; - B : Le joueur . marque»; - C : Le joueur $: marque » avec un total de 9 points.
On définit les événements suiv:mts. 0: • l'éthylotest est positif »; N: « l' éthylotest est négatif » ; S: . le conducteur a un taux d 'alcoolémie strictement supérieur au seuil toléré»; 1 : « le conducteu r a un taux d'alcoolémie inférieur ou éga l au se uil toléré ».
Mo ntrer que la probabilité de l' événement A est l. .. 62 Calculer la probabilité des événements B et C.
Dmlllt!r les rbt/llats SOIi S forme de fractions irréductibles.
1" Que valent PtT) , p(o IS), p(o ll) ?
2° U,\" quatre amis jOIl(!1If slIccessil'ement chacull parlie.
2° Quelle est la probabilité que l'automobili ste ait un tau x d'alcool émie strictement supérieur au se uil toléré?
UI/ ('
On admet que le s résuhats des quatre parties sont indépendanb. Calculer la probabi lité que l' un au moin s des quatre am is « marque ».
3° Quelle est la probabilité qu'il ait un tau x d 'alcoolémie strictement s upérieur au seuil toléré, et q ue J' éthylotes!.....soit positif ? -=~--:-::--::----~4" a) Calculer P(O n 1), pui s P(O) .
$:
3 po ints pour chacun des quatre « roi s » ,
__J
b) Quelle est la probabilité qu ' il ait un taux d 'alcoolé mie strictement supérieur au seuil tol éré, sachan t que J' éthylotest est posi tif ?
Do nner une approxim ation décimale du résultai à 10- 4 prè.s par défaut. Si AI' A2' A3' A-4 sont des é,..énemenb deux il deux indé· pendanb., P(AJ n A 2 n AJ n A-4) = PlA t ) x P(A 2) x P(A 3) x p(A-4)
82
Chapitre
3
Variables aléatoires à valeurs réelles
Ce chapitre vous permet de résoudre quelques problèmes simples concernant les variables aléatoires dont la loi figure au programme et vous familiarise avec l'utilisation des tables de ces lois. Les sciences et les techniques économiques fournissent un large éventail de tels problèmes. Conformément au programme de mathématiques des sections de techniciens supérieurs, dans ce premier contact avec les variables aléatoires, aucune difficulté théorique ne doit être soulevée. C'est le cas notanmlent de la convergence de séries numériques ou d'intégrales intervenant dans la fonction de répartition, r espérance mathématique et la variance de certaines variables aléatoires. Pour la réalisation de simulations, on se reportera utilement à la brochure de l'IREM Paris-Nord: Si/lllllllliolls d'e.\périeflces aléatoires (une expérimentation du hasard de la Première au BTS sur calculatrice et ordinateur).
A.lOI DE PROBABILITÉ FONCTION DE RÉPARTITION 1. EXEMPLE a. Calcul de probabilités sur un univers Fig.
Un aUlre choix d'univers e~1 propo~ en remarque ?t. la fin du paragr:lphe I.d.
n
Tirons cm hasard une boule d'ulle urne cOlltellalll une boule rouge R, une boule l'erre V et ulle boule bleue B. Remettons-la dans "ume et effectltOw'i LUI second tirage d'lme bolt/e, chacune des trois bou/es ayant, dans ce cas aussi, la même probabiliri d'être choisie.
Comme nous l'avons vu au chapitre 2, on peut calculer des probabilités concernant cette situation; choisissons, par exemple, comme univers f1 l'ensemble de tous les couples dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage et le second, celle obtenue lors du second tirage.
~
2" ....
R
V
B
R
(R.Rl
(v. Rl
(B, R)
V
(R. V)
(v. V)
(B. V)
B
(R. Bl
(V, Bl
(B. B)
Le tableau ci-contre correspond à
l'arbre ci-dessus.
fi
~
{(R. Rl. (V. R), (B, R). (R, V). (V, V). (B, V). (R. B).
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
83
(v.
Bl. (B. B)} .
D'après l'énoncé, les neuf événements élémentaires sont équiprobables : leur probabi lité commune est donc ~. Revoir l'équiprob:lbilité au paragraphe A. I.e. du chapitre 2.
Nous pouvons alors calculer la probabilité de tout événement: ainsi, par exemple, la probabilité de tirer au moins une boule verte est
P ({(R, V), (V, R), (V, V), (V, B), (B, V»)) =~ .
b. Variable aléatoire à valeurs réelles Les situations des jeux ont eu un rôle fondamental dans l'élaboration du calcul des probabilités, comme en témoigne, par ex:cmple, la correspondance entre Pascal et Fermat au milieu du XVII!! siècle.
Complétons la situation précédente par une règle du jeu: Pour chaque boule rouge tirée, 011 gagne 6 euros. Pour chaque boule verte tirée, Oll gagne 1 euro. Pour chaque boule bleue (irée, Oll perd 4 eU/vs. Soit X l'application de!1 dans IR qui, à tout tirage de deux boules décrit au paragraphe 3., associe le gain ainsi obtenu; une perte est considérée comme un gain négatif. (R.R) _-'-', . - - - - - - - -.....-1 12 X
.~~~~~======-j 7 (R. V)
(V, R)
(B.R).~~):::::~=======:~~~ (V. V) 2 (R. B)
(V, B)
O---;;;-;;;--=-:I:-=====-j -3 IB.V)
tB. B)
o--7"~------t
-8
n Par exemple. JX)ur lU
= (R, B). on a
X(w) ~ 2. li,)
«
est la lettre grecque m;,wsCl"~ oméga » dont la majuscule est O .
Fig. 2
X: w ~ X(w) , gain obtenu avec le tirage w. !1 ~ IR (voir ci-contre). X est une variable aléatoire à valeurs réelles. L' ensemble {- 8, - 3, 2, 7, 12} des gains possibles, c'est-à-dire des valeurs prises par X, est noté X(!1). X(!1) = { - 8, - 3,2,7, 12} est l'image de !1 par X.
Remarque On peut définir plusieurs variab les aléatoires sur un même ensemble!1 ; il suffit, par exemple, de créer de nouvelles règles du jeu.
c. Probabilité image définie par une variable aléatoire
Un singlelOn de X(O) est une partie de X(O ) ayant un seul é.lémenl.
Dans la situation décrite ci-dessus, un joueur prétère, avant de jouer, con naître la probabilité de gagner 12 euros ou de perdre 3 euros plutôt que celle de lirer telle ou telle bou le de couleur. Aussi allons-nous chercher à bâtir, à parlir de la probabilité P définie sur!1, une nouvelle probabilité P' définie sur X(!1) = {-8, -3,2, 7.12} . Pour toute partie Ede X(!1), on veut définir une probabililé P'(E) à l'aide de P et de X. Observons par exemple sur la figure le singleton {2} de X(!1). Il est l'image par X de la partie {(B, R), (V, V), (R, B)} de !1.
84
Les neuf événements é lémentaires de fi sont équiprobables.
Or P( {(B , R) , (V, V), (R, B)}) =
Aussi est-il
«
~ = ~,
naturel » de poser P'({2})
• •
1(B, R), (V, V), (R, B)) "1 égal à
x
0, X(O) ~ 2). X n'est pas une bijeçtion de fi sur lu>
= ~,
E
•
X(O), car 2 a trois antécédents
par X,
•
•
n
P
o
1
Fig. 3
3
C'est l'événement qui intéresse le plus le joueur!
{(R, R), (V, R), (R, V), ( B, R),
(V, V), ( R, B))
lu> E fi , X("' ) E CI.
De même, soit G l' événement<< avoir un gain positif » . G = {2, 7, 12} pui sque X(O) = {- 8, - 3, 2, 7, 12},
IR~) .-=:s\=======--~x~----____~~:e: IV,R)
.~-:-:=t::======::::::::::::::::~tt:
(V,v) •
IR,B). P'
x(n)
~-
1
o
2 Fig. 4
3
G est l'image par X de la partie {(R, R), (V, R), (R, V), (B, R), (V, V), (R, B)} de 0 constituée de six événements élémentaires de O. Les neuf é\'énements élémentaires de 0 sont équ iprobables. Dan s ce jeu, la probabilité de gagner est supérieure ?t~,
Donc P({(R, R), (V, R), (R, V), (B, R), (V, V), (R, B)}) = ~ =~, Il est naturel de poser P '( G) = ~, Ainsi P'(G) est la probabilité (mes urée par P) de l'ensemble des éléments w de 0 dont l'image X(O) par X appartient à G : P'(G)
P'(A )
= P({w E 0; X(w) E
G}),
D'une manière générale, soit pl l'application qui, à toute partie A de X(O) = {- 8, - 3,2,7, 12}, associe le nombre P '(A) = P({w E 0; X(w) E AI),
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
85
Iw E n: X(W) E Al est la parlie de re présen tée sur la figure d· contre.
n
x
A
x(n)
o P '(A) =
Nous admetton .. ce résultat. Voir la définition d 'u ne probabilil~ au paragraphe A. I.a. du chap il~ 2.
Voir le paragraphe A. 1.a. du cha· pitre 2. k appartient
:1X(n).
Fig. 5
On peut démontrer que P' vérifie les axiomes d'une probabilité défi· nie sur l'ensemble des parties de X(fi) : • P'(X(O» = 1 ; • pour toutes parties A, B de X(O), si A n B = 10, alors P'(A U B) = P' (A) + P'(B), P' est la probabilité image de la probabilité P par la variable aléa· toire x. On sait calc ul er la probabilité de n' importe quelle partie de X(!1) = { - 8, - 3,2,7, 12} à l' aide des probabilités des événements élémentaires ( k ) . On adopte pour celles-ci les notations suivantes : P'( (2))
p(X = 2) se lit « probabilité que la vari able aléato ire X prenne la valeur 2 ,..
P(I'" En; X(Ol) E A))
= P( (w
Ainsi P(X
E 0 ; X(w)
= 2)) se note plus simplement P(X = 2).
= 2) = 1.
3 D'une manière générale, pour tout nombre k de X(!l), P(X = k) le lIombre P'((k)) = P((w E fi; X(w) = kl).
011 IlOte
d. Loi de probabilité ou distribution d'une variable aléatoire Définition La loi de probabilité ou distribution de la variable aléatoire X est la fonction; k ..... P(X = k) X(H) --> [0, 1].
Diagramme en bâtons
Tableau de "aleurs On constate que ["équiprobabilité des événements éléme ntai~s de n n'ex iste plus pour les événemen ts élé me ntaires de X(fl).
k
~
'9
-3
'9
7
t2
k)
J
-8
2 La lo ngueur totale de tous les bâtons est égale à 1.
l'IX
3
2
2
9
J
t
3
1
2
'9
-8
J
'9
9
-3
1 0 2
7
t2 Fig. 6
86
Remarque Il est devenu inulile de connaître et la probabilité définie sur n.
n
Les information s contenues dans ce tableau de valeurs suffisent pour calculer la probabilité de n'importe quelle partie de X(n ). Pour modéliser la situation proposée au paragraphe La., nous pouvons aussi choisir pour uni vers J'ensemble nJ des six é léments su ivants
pour lesquels l'ordre d'obtention des boules n'est pas pris en compte: e l : deux boules rouges; e2 : deux boules vertes; e 3 : deux
boules bleues; '4 : une boule rouge et une boule verte; es : une boule rouge et une boule bleue; '6 : une boule verte et une boule bleue. La probabilité P, définie sur ne correspond plus à l' équiprobabilité
n,
des événements élémentaires, car on a : Par exemple,
1!'4
corresjX)nd à
I(R, V), (V. RH.
pour l '" i '" 3, P'('i)
=
i,
=
pour 4 ", i '" 6, P, (' i)
l
La situation du paragraphe l.b. condu it alors à définir la variable aléa· toire XI sui vante:
.
"
'2 X,
'.
7
I!',,! •
'
..
-)
" La probabilité
2
" -8
n,
R
P;
Fig. 7
P,
(paragraphe c.). image de la probabilité par 1. variable aléatoire XI' conduit (paragraphe d.), à la loi de probabilité
suivante pour XI : i
P,(X, =
-8
-)
2
7
'2
i~
,
Pt(X,
= 2) = P, ( { e2' es})'
ij
= P,({ '2 } U {es }),
il
2
= P, ({'2}) + P, ( { es})'
,
car {e2 } et {es} sont incompatibles
"3 2 ij
,
(h)
n {es} = 0).
P,(X,
= 2) = + ~.
i
1
- 3'
ij
C'est le même tableau qu'avec la variable aléatoire X: la variable aléatoire mesurant le gain a la même loi de probabilité avec ces deux modélisation s du tirage. au hasard el avec remise de deu x boules.
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
87
G est l'é,.énement .. avoir un gain ~ i tif .. : G est égal à IwEn:X(w)E 12,7, 12)),
on'appart ient pas à Xt!l). 0) se lit .. probabi lité que la variable aléato ire X prenne une
p(X
::!';;
valeur inférieure ou égale à 0
JO.
e. Fonction de répartition Nous avo ns déjà vu, au paragraphe I.c., que P(G ) = ~ où G = {WE O ;X(w» O}, On convie nt de nOler P(G ) = P(X > 0) ; de mê me, pOlir l'événe me nt conlraire, on nOIe p (e) = P(X";; 0),
D' une manière générale, pour tout nombre réel x , on note P(X : S; ; x ) le nombre r éel P({w E fi ; X (w ) ,,;; xl) . p(G) ~ 1 - p(G).
P(X";; 1) X(n)~1-8,-3,2,7,12}.
p(x" 0)
~
p(X" 1),
= 1-
Par exemple, P(X ,,;; 0)
= P({w E 0
; X(w )";; 1))
3 ouX(w) = - 8 )) = P(X = - 3) + P(X = - 8) car les événe menls X = - 3, X = - 8 sont incompatibles. = P({w E O ;X(w)
P(X";; 1) = ~
=-
+ 1 = 1,
993
P(X";; 15) = P( {w E 0; X(w)";; 15)),
= PlO) ,
De même. p(X::!';; 20) = 1. P(0) ~
= L
O.
De même P(X";; - 10)
= 0, car { w E
0; X(w ),,;; - IO}
= 0.
Définition On définit parfois la fonction de répartition de X par F(,.t) = p(X < x); seu les les valeurs de F(k) où t. appartient à Xt11) sont modifiées.
La fonction de répartition de 1. variable aléatoire X est 1. fonction F : x .... F(x) = p(X" x)
R .... [0, Il.
Représentation graphique de F F est une fonction en escalier (ou constanle par ioter\'alle5) : voir le chapitre 1. Sur chaque SC"gmenl de droite. l'eJttR:mi té de droi te est e:c:clue et ce lle de gauche. incl use: les absc isses des extrém ités des SC"gmen ts sont des éléments de X( !l ).
2
3 1
3
-8
-3
0
2
7
12
Fig. 8
x(n)
~
1- 8, - 3,2,7, 12 }.
La propriété selon laquelle Fest conti nue à droite en lout .1"0 ~ I n'est pas un objectif du progr.unmc= de mathématiques dc=s sect ion" de: tech niciens supérieurs.
F(x) est la so mm e des nombres P(X = k), s'ils existent, pour lesquels k apparti ent à X(O) el k ,,;; x.
Les nombres P(X = k) appar tenant à [0, Il, la fonction F est croissante (au sens large) sur lit F(x) = 0 pour lout x
< - 8.
F(x) = 1 pour lout x ;" 12.
Ce derni er résullat est à rapprocher de P(X(O )) = l ,
88
Remarque La donnée de F suffit à définir X : en effet, par différence, on peut retrouver la loi de probabilité de X. Ainsi F(7)
= ~ et
F(6,5)
= ~ ; comme 7 est le seul élément de X(n)
appartenant à l'intervalle [6,5; 7]. on a : F(7)
~
F(6,5)
+ p(X
~
P(X
7).
Nous rt'ncontrerons au par.tgraphe 2. d'autres variables aléatoires pour lesquelles la fonction de répartition joue un rôle essentiel.
= 7) = F(7) - F(6,5), donc P(X = 7) = ~.
Cependant, pour une variable aléatoire comme X, il est plus simple d'utiliser la loi de probabilité que la fonction de répartition.
2. AUTRES EXEMPLES a. Exemples de variables aléatoires discrètes La variable aléatoire X éludi~ au parJgraphe 1. est une variable alé.atoire
disc~le
prenant
poUf
valeurs
les éléments -8. - 3. 2. 7,12 de
1. Soit Y la variable aléatoire mesurant le nombre k de voitures neuves vendues en un jour par un concessionnaire d'une certaine marque.
Supposons que la loi de probabilité de Y soit la suivante:
X(n).
Voir le début de la remarque- du paragraphe l.d.
o
2
3
4
0,0:2
O,t
0,3
0,4
Bien que l'univers n, sur lequel la variable aléatoire Y est définie, ne soit pas précisé, nous pouvons effecnler des calculs de probabilités avec Yet représenter graphiquement la loi de probabilité (fig. 9) et la fonction de répartition (fig. 10) de Y.
-----------,..-
0.5
--------..........t , ,
, ,
, , ,,
--------.1 ,
0,2
O, t
----~
......-.j
o
5
k
o
Fig. 9
5
k
Fig. 10
Remarque Nous a\'ons vu au paragraphe 1. que cette somme est P'(Y(O» = J.
La somme des nombres P( Y = k) où k appartient à (D, l, 2, 3, 4, 5) est 5
~
k~O
pey = k) = 1. C'est aussi F(x), pour x '" 5.
2. Soit X la variable aléatoire mesurant le nombre de lancers d'une pièce de monnaie nécessaires pour obtenir face pour la première fois, X peut prendre une infinité de valeurs: les éléments de N *.
Chap. 3 : Variables aléatoires
en supposant qu'à chaque lancer pile et face sont équiprobables. X peut prendre pour valeur tout nombre entier k supérieur ou égal à 1.
à valeurs
réelles
89
L'événement X = k correspond à: « obtenir pile à chacun des (k - 1) premiers lancers et face au k-ième lancer ». ~ 1) ~ P(faco) ~ ~.
p(X
P(X = k) =
(12 x 12 x ... x 1) x1 2 2 (k - 1) facteurs
p(X = 2) = P(pile au premier lancer et face au second). p(X = 2) = P(pÎle au premier lan-
cer) x p(face au second) car les
En effet, les lancers sont indépendants et, à chaque lancer, pile et face ont la même probabilité ~ d'être obtenus. Donc, pour tout k;;. l, P(X
deu x lancers sont indépe01.Jants: donc: p(X = 2) =
= k) = (~t
t x ~ = (!t
p(X = k)
4
3
2
6
5
7
k Fig. II
Remarque Soit n un nombre entier naturel non nul.
k" (t)k es t égal ?t _
k- I
(1)" 21 + (1)' 2: + (1)' 2: +"'+2'
11
k P(X = k~ 1
k (l)k est la somme des Il premiers termes de la k~ 1 2 "
k) =
suite géométrique de premier terme ~ et de raison q = ~.
Donc
" P(X = k) = 1 -(~r k k~ 1 21 _ 1
soit
k P(X = k) = 1 _ (1)". k~ 1 2
"
Or lim
11-+ +0:;1
2
(1)" = 0, car °< 1 < 2 2 k"
d'où lim
n-+ +oo k = 1
P(X
=
k)
=
l,
1. +~
On convient de noter ce résultat:
Ces risultats sont à rnpprocher de la remarque concernant la variable
aléatoire Y ci-dessus. On retrouve P'(X(O) ~ 1.
Comme
k"
k ~ 1
P(X
=
k)
=
P(X ..
k
P(X
Il)
=
k ~ 1
répartition de X, on a démontré que lim
F(II), où F est la fonction de
11-+ + 00
90
= k) = 1.
F(II) = 1.
b. Exemple de variable aléatoire continue Dans les exemples précédents. les variables aléatoires prennent des valeurs « isolées » les unes des autres: ainsi, le nombre de voitures vendues ou le nombre de lancers d'une pièce peut être 2 ou 3, mais ni
2,468, ni~, ni , 5.
Celte durée n'est pas néces~;:Jire ment un nombre entier de jours.
Avec les opér;lIions d'union ct d'intersection, on peut obteni r le!'\ événements .. utile!))10 à l'aide d'intervalles. Nou<; a,'ons déjà ren~onlré des é,'énements du Iype X :!li; 100 au paragmphe I.e. à propos de la fonction de réparti lion.
Cette fonction intervient en fiabilité, c'est-à-dire lorsqu'on étudie la durée du bon fonctionnement d'un système.
Or, dans les domaines économiques et industriels, on est amené à étudier des variables aléatoires pouvant prendre, au moins théoriquement, n'importe quelle valeur dans R ou dans un intervalle de R. C'est le cas, par exemple, de la variable aléatoire X mesurant la durée de bon fonctionnement, en jours, d'un équipement particulier fabriqu é en grande série, avec l'intervalle lO, + 00[. Pour une telle variJble aléatoire, les événements intéressants ne sont pas du type X = 400, ou X = 271,35, mais plutôt X ,,; 400, ou X > 1 000, ou 400 ,,; X ,,; 1 200.
C'est-à-dire que l'on privilégie, parmi les événements, ceux qui correspondent à des intervalles. Pour une telle variable aléatoire, la fonction de répartition joue donc un rôle essentiel et permet de calculer des probabilités: on suppose que cette fonction de répartition F est définie par : pour tout x < 0, F (x) = { pour tout x ;;. 0, F(x) =
°
f~' JU) dl
où f(r) = 0,002e - 0,002/ pour tout 1 ;;. O. Ainsi, pour tout x positif, F(x) est l'aire de la portion de plan en grisé sur la figure 12. y
F(x) = p(X :!li; x).
0,002 P(X :!li;x)
0,001 Y~/(/)
f1xl
o Pour fou t x F(:c)
~
O.
= l-e- O•OO2'l(;,
donc F(x) = 1 _e - O.OO1t , PIA) ~ 1 - PIA).
x 500
1000
1500
Fig. 12
• On en déduit que P(X ,,; 400) = F(4oo) = 0,55. • En utilisant l'événement contraire de X > 1 000, nous obtenons p(X> 1000) = 1 - p(X,,; 1000), soit p(X > 1000) = 1 - F(lOOO) 0,14.
=
y
y ~ litl
p(X> 1 (00)
F(I (00)
o Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
1000
91
Fig. 13
• Pour calculer P(400 < X ", 1200), remarquons que F(I 2(0) = P(X ", 1 200) = P(X ", 400 ou 400 < X ", 1 2(0) = P(X ", 400) + P(400 < X ", 12(0), car les événements X", 400 et 400 < X", 1200 sont incompatibles. Donc P(400 < X", 1 200) = F(l200) - F(400) = 0,36.
F(4oo) ~ p(X '" 400)
y
0,002 .1'=/(1)
p(400 < X:oS: 1 200)
o Les événements X = 400 et
400 < X :oS: 1 200 sont incompa" tibles.
1200
400
Fig. 14
Nous admettons que P(X = 4(0) 0 et, de manière générale, que, pour tout x ., 0, on a P(X x) O. Nous en déduisons que P(400 ", X", 12(0) = F(1200) - F(400).
= =
Conclusion
p(X = k)
k
Fig. 15
Pour une telle variable aléatoire, les valeurs « isolées » k prises par les variables aléatoires discrètes sont remplacées par des intervalles; graphiquement, la longueur d'un segment de droite représenté dans un diagramme en bâtons (fig. 15) est remplacée par l'aire d'une portion de plan définie par un intervalle et une fonction (fig. 16) : Pour tous a et b tels que b ;. a ;. 0, p(a ", X ", b) = F(b) - F(a) =
p(a:oS:X:oS:b)
J.
b
!(I) dt
.1'=/(1)
Remarque b
a Fig. 16
f e..<;t nulle en dehors de l'intervalle [0, + ol [, où X prend ses valeurs. Cette propriété a été utilisée lors des interprétations gr.tphiques en termes d'aires. La caractérisation d'une fonction densité de probabilité d'une variable aléatoire n'e st pas un objectif du programme.
lim
a-+-OI>
ea
= O.
Ce résultat est à rapprocher de F(X(n)) ~ 1.
La fonction! définie par f(t) = 0 pour tout t < 0, { f(t) = 0,002e - 0.0021 pour tout t ., 0 est la densité de probabilité de la variable aléatoire X. C'est une fonction telle que, pour tout t ., 0, on a f(t) ., O. D'autre part, nous avons vu que, pour tout x F(x)
Donc
lim
X-4+ Ol
F(x) =
= f'f(t) dt = 1 -
o l, c'est-à-dire lim
X-4+ OO
r+
On convient d'écrire ce résultat J,
f
+00
0:
e - O,ooz.<.
J,xf(t) dt = 0
1.
oo
f(t) dt = 1 et, comme f est nulle
0
sur ]- "', 0], on écrit _ 00 f(t) dt = 1.
92
~
)'
L'aire lal:lle «sous la courbe » eSI à 1.
0,002
~gale
~
)' = f(l) 1
1000
0
Fig. 17
De même, comme f est nulle sur] - 00,0[, nous pouvons écrire : pour lout x réel, F(x) =
,
J:~
f(t) dt.
,
3. CAS GENERAL
_-
Trois types de variables aléatoires figurent au programme de mathématiques des sections de techniciens supérieurs.
....
Il exisle une bijeçlion entre cet ensemble de valeurs el N.
B
...
discrète, prenanl un nombre fini
Paragraphe 1 ~t exemple Y
de valeurs
du pamgmphe 2.a.
dis<:rète, prenanl une infinilé
Exemple 2 du paragraphe 2.a. qui
• dénombrable. de valeurs: c'est
prolonge le paragra.phe 1.
une généra.li sation du cas précédent. con linue, ayant une
L'élude de ces exemples se prolonge au pamgmphe B. !oui van!.
densil~
de probabi lité
Paragraphe 2.b.
On étudie une variable aléatoire en utilisant les définitions et les méthodes fi g urant dans les exem ples du même type cités ci-dessus.
B. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE VARIANCE, ÉCART TYPE Une telle démarche a déjà élé effectuée en slatistique descriptive. Il s'agi l ici de la meltre en œuvre, en calcul de!\ probabi lités, pour des variables aléaloires qui pourront servi r de modèles théoriques pour des phénomènes observ~s en slati~ lique.
Nous avons vu, au paragraphe précédent, que la donnée de la fonction de répartition d'une variable aléatoire X permet de calculer la probabilité d'événements faisant intervenir X. Cependant, la fonction de répartition peut faire intervenir de nombreux intervalles et il peut être intéressant de synthétiser l'information contenue dans celle-ci.
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
93
1. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE Nous souha itons dégager une « te ndance cent.rale » des valeurs prises pa r une variable aléatoire.
a. Exemple Reprenons l'exemple du paragraphe A. l.d. On a obtenu la di stribution s ui v~tnte pour X: -8
En statistique. on a x = Il .
où fi =
ïf
,
!. fi x
j
2
9
1. X (- 8) + ~
eSI la f~que nce de la
dasses.
1
9
7
1
'3
12
2
1
ij
ij
La somme des gains multipliés par leur probabilité es t :
i=1
classe Xi d'effect if "" OÙ" est l'effectif tota l et J.., le nombre de
-3
9
9
x (- 3) +
1. x 2 + ~ x 7 + 1. x 3
9
9
12 = 2.
Ce nombre est, par défi niti on, l'espérance mathé mati que de X~ on le note E(X). C'est le gain moyen qu ' un j oue ur obtie nd rait s' il jouait un très grand nombre de fois.
b. Définition On uti li ~ aussÎ le mot moyenne à la place d'espérance mathématique.
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète prenant n valeurs Xi avec les probabilités p(X = Xi) = Pi ' OÙ 1 E; i :si: n, est E(}() =
l•
pjXj •
i= 1
Exemple
Dans le cas 1 du paragraphe A. 2.a., E( Y) = 3,28, où Y est la vari able aléatoire mesurant le nombre de voi tures neuves vendues en un j our par un c-oncessionn aire.
c. Autres exemples • En se référant toujours au paragraphe A.2.a ., mais au cas 2, nous avons:
l X~
2
1 Il
soit Si on joue UII très grand nombre de fois, il faut en moyenne 2 I:lncers pour obtenir face pour la première fois.
m'
'2
(H
"
l px. = i l= 12'l. i= l "
On peut démon trer et nous ad mettons ici que
94
lim
I" l::::
"~+~i=12'
2.
Ici E(X) = 2 car, par définition, E(X) est la limite finie, si elle existe, n
de
l
+~
;=1
PiXi quand
tend vers
/1
+ co; on note alors E(X)
=;=l l p.x .. 'J
xi
En revanche, si l'on décide d'attribuer un gain = 2; lorsque la partie s'arrête au i e lancer, la variable aléatoire X' mesurant le gain est telle
, l" 1 p.x: = 1 x 2 + (1)- X 2 2 + ... + (_21)"2" 2 2
que
j =
1
1
= 1 + 1 + ... + 1 = Il. I." Pj xi = + co. Cette limite n'étant pas finie, la variable
Donc lim
1I~+O:j = l
aléatoire X' n'a pas d'espérance mathématique . • Reportons-nous maintenant au paragraphe A. 2.b. Pour tout a > 0, u(t)
=
\11)
= - e-
!
parties:
=
r, Il'(t) 1 \"(1) = Q,002e - 0,(11)2', 0,((12/,
Donc
a
f1
a f(1)
lim
xe X
= 0 et
lim
l-t-oc.
eX
= O.
dl
= [-
J:
dl =
a
0,0021e - 0.0021 dl. En intégrant par
'la f -
te - 0.00_1
f° °
-
t f(t) dt
0,002'
= - 0'OO?_0 e - 0,002<,
_ e
0,002
Donc lim
- 0.002(1 0,002
b~-oo
+
Fr,
J(t) dt
0
~
J"
'1(1) dl.
1 + __ 0,002 .
fat f(t) dt = _0,002 1- = 500.
a~+œ 0
Donc lim O , f (t) dl b
e - 0.0021 dt.
° °
D'autre part, pour tout b < 0, JOt f(l) dt
f
a
If(t) dt = -oe-O,OO2a - _ 1_(e - O.002,,_ 1)
J° X-+-OI<
fa" 1 f(t)
o
J b
= 0, car t f(t) = 0 si t " O.
b
t f(t) dl = O.
Par définition, E(X)
= 500, car E(X) est la somme de ces deux limites
finies, si elles existent. On note alors E(X)
=
t>
J::
1 f(l) dl.
d. Remarques 1.
Lorsque X prend la valeur Xi' + b prend la valeur (U'I + b.
aX
Soit a et b des constantes réelles el soil X une variable aléatoire d· espérance mathématique E(X), On démontre que aX + b esl une variable aléatoire d'espérance mathématique E(uX + bl = aEO() + b. 2. Historiquement, Pascal a introduit la notion d'espérance mathématique avant celle de probabilité; son but était de comparer des jeux de hasard à l'aide de l'espérance mathématique du gain d'un joueur à une partie. 3. Un jeu est équitable si l'espéra nce mathématique de la variable aléatoire mesurant le gain est égale à la mise. Ainsi, dans l'exemple du jeu de pile ou face du paragraphe A. 2.a., comme E(X) = 2, le jeu est équituble si un joueur doit payer 2 euros par partie.
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
95
1)1
=
"1
LXI
4. L'espérance mathématique ne suffi t pas à déc rire une vari able aléataire; en effet, soit X la variable al éatoire mesurant le ga in dans une loterie comportant 1000 numé ros faisa nt tous gagner 5 e uros et soit Y son analog ue dans une loterie comportant 1000 numéros dont un se ul est gagnant, le lot étant de 5000 euros. O n a E(X) = 1 X 5 = 5
= 5.
= I~'
999 1 2- 1000' 1) -
YI =5000
.' ., -
etE(Y) =
I O~Ox5000+
1955oxO=5.
E(X) = E( Y) et pourtant les variables aléatoi res X et Y ne sont pas identiques!
= O.
Com me en !itatistique de~ripti\'e. il s'agit de mc~urer une dispersion par rapport à une tendance centmle.
si elle ex iSle. eSI une consta nte réelle. (X - ElXn''!. est la variable aléatoire me!iurant le ca~ de l'écart entre la variable aléatoi re X et son espérance mathémal ique. E(X),
2. VARIANCE, ÉCART TYPE
a. Définition La variance d'une variable al~atoire X esl. si elle existe, l'espérance mathématique de la variable a1Eatoire (X - E(X)2 On la note VIX). L'écart type de X est (T(X) = YV(X).
b. Théorème Si X prend pour valeur xi' (X - E(X)2 prend pour valeur (x, - E(X)J2 où E(X) est un nombre
réel constant: (xi - E{X)i1
= x? E(aX
+ b)
2E(X)xi
+ IE{X)P.
= aE(X) + b.
Dans la suite. nous ne rencontrerons que des situations où l'hypoIh~ de ce (héo~ me eSI satisfaite.
Soit X une vari able aléatoire et soit V(X) sa vari ance: (X - E(X»)2 = X2 - (2E(X))X + [E(X)f Donc VIX)
= E(X-, -
(2E(X»X
+
?
[E(X))"J.
D 'après la re marque 1 de la tin du paragraphe 1. ci-dess us, V(X) = E(X2) - 2E(X) x E(X) + [E(X)]2 pui sque 2E(X) et lE(X)f sont des constantes. Donc V(X) = E(X2) - [E(X)P. Si ces nombres existent, a1o... VIX) = E(X 2) - lE(X)f
Conséquence
a el b sont des conslantes réelles.
Nous reprenons les (''\:emplcs du
c. Exemples
paragraphe 1. Le calc:ul de EfX 2) eSI analogue à ce lui de EIX) avec
• V(X) = 1~ et
i- l
dans l' urne.
2" Pi X/ 11 la place de I., Pi .l;. j;
1
• V(Y) = 1,32 16 et
• VIX) = 250000 et a(X) d' un équipe me nt.
E(X) .
96
= 500 pour la durée de bon foncti onneme nt
C. LOIS USUELLES Les différents Iypes de variabl es aléatoi res sont pré~ntés au paragraphe A. 3.
Parmi les variables aléatoires les plus so uvent utilisées, nous allons nous intéresser ici à troi s d'entre elles, une de chacun des types déj à rencontrés.
1. LOI BINOMIALE a. Exemple
J
est l'événement contrai re de J : « La fiche lirée est celle d'un client non domicilié en lIe-de-France ». Pour simplifier les notations, on confond ici J el Ilj.
Si on n'avait prélevé que deux fiches, on aurait considéré l'en-
semble O::! des couples (1, J), (1, 1).
(J. J), (J, 1). où le premier élément J ou J d'un couple correspond au
Dans le fichier « Clientèle» d'une société de vente par correspondance, chaque client correspond à une fiche unique, Un ti ers des clients est domicilié dan s la région I1e-de-France. Tirons une fiche au hasard en supposant que toutes les fiches ont la même probabilité d'être choisies. Nous pouvons alors prendre pour univers l'ensemble n = {l, J) où 1 est l'événement: « la tiche tirée est celle d'un client d'Île-de-France » . En notant p la probabilité de 1 et q celle de J, on a p = ~ et q
=
1- P
= ~ d'après la composition du tichier et l'équiprobabilité
de tirage des fiches, Préle vons ainsi cinq fiches avec remise, de façon que les cinq tirages d'une fi che soient indépendants. Nous pouvons alors prendre pour nouvel univers l'ensemble n 5 décrit par l'arbre sui vant.
résullat du premier tirage et le second à celui du second tirage.
_ _- - J : (J, J, J, J, 1)
De même, avec trois fiche s, on aurai! considéré l'ensemble 0 3 des triplets (l, J. J), (1, J, }), (l, J, 1),
~
J --------- J
_______________ J -
J~
/
-
~J~;=::===~
/ \,/,<:'
J : (J. J, J,J; JJ ~ : (J, J,J. 7, 1) J : (J, J, J,J, l)
J~_J~~J~;::~~:=~ ~
_________ J
J _______________ _
~ ~J::= ___
]~
l tr tirage
2t tirage
~
----
=:: =- -_===
_
-----
---------- J _______________ - J - _ - - - J : (1, 7, 7,1, 1) - J : (Ï, J, J, J, 7)
Éléments de QS
Fig. 18
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
97
Un te l quînlUplet est un é lé me nt de
n5 .
X(05) est l'e nsemble des valeurs pri ses par X.
west l'événement élémentai re: J au premier tirage et J au deuxiè me et J au troisième et..
Fig. 19
V.U. 1. J) Il. 1. J.J.J)
• Probabilité d'un jvén~"!.ent élémentaire contenant deu x foi s J, par exemple w = {(J, J, J, J , J)} : P(w ) = E x q x p x q x q, où p est la probabilité de J et q = 1 - P celle de J, car les cinq tirages sont indépendants. Donc P(w) = p2 q3 On remarque que cette probabilité ne dépend pas du placement des deu x J dans le quintuplet.
x
Voir Je paragraphe C.2. du c hapitre 2.
On sai l que deux événeme nts é lémentaires soni incompalibles et que, si A et B sont incompat ibl es,
aloes p(A U B) ~ P(A) CP = 11! 11 p!(11 ~ p)!'
Soit X la variable aléatoire qui. à un tel prélèvement de cinq fiches, associe le nombre de ces fi ches correspondant à des clients domiciliés dans la région lle-de-France, c'est-à-dire le nombre de J figurant dans le quintuplet ainsi obtenu. X(,{15) = {O, 1, 2, 3, 4, 5}, par définition de X. Pour étudier la loi de probabilité, ou distribution, de la variable aléatoire X, commençons par calculer, par exemple, la probabilité P(X = 2).
+
• Nombre d'événements élémentaires contenant exactement deu x J: C'est le nombre de façons de choisir les deux emplacements des J parmi les cinq places d'un quintuplet ( , , , , ). Ce nombre est C~, car dans un ensemble de cinq éléments il y a c~ façons de constituer un sous-ensemble de deux éléments.
• Calcul de P(X = 2) : Ainsi il existe C} événements élémentaires de même probabilité p2 q3 pour lesquels X prend la valeur 2. Donc P(X = 2) = p2q 3 + p2 q3 + . . + p2q3
c~ termes.
P(B).
C1
Donc P(X = 2) = p2q 3 = 0,329. Le même raisonnement permet d'obtenir un résultat analogue pour chaque probabilité P(X = k) où k est un élément de X(,{15) :
Dans chaque cas, la somme des exposanls de Il et q eSI 5.
k
On vérifie que la somme de ces probabilités e~t 1.
l'I)C -i)
0
1
2
3
4
5
C~ pOq5
C~plq4
C~ p2 q 3
C ~ p3 q2
C~ p4ql
C~ p5 qO
0. 132
0.329
0,329
0.165
0.04 1
0.004
Diagramme en bâtons
0.4 0.3 0.2 0.1 k
1 o
2
3
4
5 Fig. 20
On pourrait étudier aussi la fonction de répartition de X.
98
b. Définition - Propriétés Une variable aI~ire X suit la loi binomiale ~(n, p) de paramètreS" et p, o!I " est un nomm entier naturel et p un nomm réel compris entre 0 et 1. lonque sa loi de probabilité est définie de la manière suivante : Le formu laire officiel de mathéma· tiques donne celte formule en notant q = 1 - 1'.
Pour tout nombre entier naturel k, tel que 0 .. k .. n,
P(X -
k) = C![Io -
pt-t.
Exemple
n
La variable aléatoire X étudi ée au paragraphe C. J.a. suit la loi binomiale 03(5,
Remarque D'après la formul e du binôme de Newton, on a : Voir le paragr.tphe C.2 du chapi tre 2. La loi binomiale tire son nom de celte liai'iOn avec le binôme de Newlûn.
(a
+ b)"
I"
" [(l-p)+p]"= lCk(l-p)"-kpk k=O
D 'où
II
Il
l
P(X
k~O
Voir une remarque analogue au début du paragraphe A. 2.a.
C~a,,-kbk,oùaetbsontdesnombresréels.
k=O
Dans le cas où b = p et II = 1 - p, on a :
,....
III = 1.
=
= k) =
1.
Nous avons donc vérifié que, quels que soient l'enüer naturel Il et le nombre réel p compris entre 0 et l , la so mme de ces probabilités est 1.
Propriétés Le formulaire officiel de mathéma·
tiques donne ces résuhats en notant q ~ 1 - p. Vérifier numériquement ces résultats dam le cas ~(s, ~) étudié au C. I.a.
Soit X une variable aI~ suivaDIla loi binomiale ~(n, p) :
EIX)
= np,
\l'lX)
= np(1 -
p). a(X)
= y npO -
pl.
Ces propriétés son1 démonlrées aux paragraphes D. 3. et D. 4.
c. Champ d'intervention de la loi binomiale C'est la généralisation du paragraphe C. I.a. Au même paragraphe, l'épreU\'e aléatoire élémentaire consiste à tirer une fiche du fic hi er « Clientèle ,. et un succès correspond à obtenir une fiche d'un client de la région lIe-de-France : c'est l'événement J.
11 s'agit de déc rire une situation type dans laquelle apparaît une variable aléatoire sui vant la loi binomiale. On considère une « épreuve aléatoire . élémentaire pouvant déboucher sur deux résultats, et deux seulement, appelés par exemple « succès » el « échec », de probabilités respectives p et q = 1 - p. On réalise Il fois cette épreuve aléatoire et on note X la variable aléatoire mesurant le nombre de 4( succès » obte nus au cours de ces Il épreuves aléatoires élémentaires. Si ces 11 épreuves aléatoires élémentaires sont indépendantes, alors X suit la loi binomiale 03(11, pl.
Remarque On a vu au paragraphe C. 1.a. que, dans le cas de tirages avec remise, il y a indépendance e ntre les tirages. En revan che. lorsque les tirages sont sans remise, ou exhaustifs, il n'y a plus indépendance entre les tirages, c~u la composition du tichier change d'un tirage à l'autre. Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
99
CeUe loi , dite "YI)ugIQmltriq!l~, ne figure pa~ au programme de mathémalÏques de:-. sections de
technicien') supérieurs.
Celle loi a été présentée en 1837 par
Denis PoJi'')<.m dalt!'> !>On ouvrage Rl'char hl'.f .\ /Ir la probabilitl dl's jl4gl'm~lIts 1'1/ m(lfi~~
l'II
crimilll'lIl' l't
Dans ce cas, X suit une loi dépendant de troi s paramètres: Il, p et N l'effectif total du fichier. Cependant, lorsque 11 est « petit » devant N, on peut considérer que X suit approximativement la loi binomiale 00(11, pl.
2. lOI DE POISSON a. Définition
m(lfi~~ cil'I'II'.
Une variable aléatoire X suilla loi de Poisson ~(À) de paramètre À po>;ilif lorsque sa loi de probabililé ••1 : Pour tout nombre entier naturel k. k
J>(X=kJ=.-À.À •
k!
Exemple
La variable aléatoire X mesurant le nombre de clients se présentant au guichet « Affranchissements » d'un bureau de poste par intervalle de lemps de durée 10 minules, enlre 14 h 30 el 16 h 30, suil la loi de Poisson de paramètre À= 5. La table du formulaire. donne, pour À = 5, les probabilités des événements P(X = k) pour tout entie r k, 0 .. k .. 14.
~
Repréul1tatiol1 grap"iq/i~ de la loi ~(5)
0,2
0,1
°
1 2
3
4
5
6
7
8
1
1 ,
9
10
Il
12
13
5 0,007 0,034 0,084 0,140 0,176 0,176 0,146 O,IIJ.I 0,065 0,036 0,018 0,008 0,003 0,001 0,000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Il 12 13 14 14
Fig. 2 1
P(A) = 1 - P(A).
Les événements X. = O. x. = l , .... X = 7 sont incompatibles deux à deux.
Calcul de la probabilité qu'enlre 16 h et 16 h 10 min, 8 personnes au moins se présentent à ce guichet: P(X ~ 8) = 1 - P(X < 8); P(X '" 8) = 1 - [P(X = 0) + p(X = 1) + ... + P(X = 7)]; P(X'" 8) = 1 - 0,867; P(X '" 8) = 0,133.
100
b. Propriétés . Le formulaire officiel de mathématiques donne ces r"tsuh;tlS qui sont admis.
• Soit X une variable aléaloire suÎvant la loi de Poisson ~(À): EIX)
=À, VIX) =À, (1(X) =VA.
Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, E(X) = 5: en moyenne, cinq personnes se présentent au guichet par intervalle de dix minutes .
• Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson Une érude slati),t ique antérieure a conduit ?t attribuer la valeur 0,05 i) cette probabilité.
E(X) = "p.
Dans une entreprise, on considère que la probabilité d 'oblenir un article défectueux à la sortie d'une chaîne de fabrication est p = 0,05. Lors d'un contrôle de qualité, on envisage de prélever un échantillon de 120 arlicles. Bien que ce prélèvement soit exhaustif, nous consÎdérons que la production est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à 120 tirages avec remise, donc indépendants, d'un article défectueux ou non. La variable aléatoire X mesurant le nombre d'articles défectueux d'un tel échantillon suit alors la loi binomiale (iJl( 120 ; 0,05 J, et l'espérance mathématique de X est 120 x 0,05 = 6. Comparons la loi de X avec celle d'une variable aléatoire Y suivant la loi de Poisson 1'P(6).
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Le théorème . justifiant cette approximation CM hors programme. Noter l'intérêt de cette approximatia n; on peUl remplacer une loi dépendant de deux paramètres par une loi à un par.lmètre . Les conditions d"approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson n'ont pas à être mémorisées. La seule capacité exigible e... t de savoir que lorsqu"une loi binomiale ffitn./J) peut être approchée p:tr une loi de Poisson ~( À) , le paramètre de celle loi esi donn ~ par À = "p. c'est-à-dire que l'espérance mathématique est consen:ée.
Il
12 13 14 15 16
LoIde
X
Y
0,002 0,013 0,042 0,087
0,002 0,015 0.045 0.089 0.134 0.161 0.161 0,138 0,103 0.069 0.041 0.023 0.011 0.005 0.002 0,001 0,000
0.13~
0.163 0.165 0.141 0. 105 0,069 0.040 0,021 0,010 . 0.004 0.002 0.001 0.000
On observe que la loi de la variable Y est suftïsamment proche de celle de X pour qu'on puisse utiliser la loi de Poisson pour calculer, par exemple, la probabililé qu ' un échanlillon de 120 articles conlienne au moins un article défectueux, puis la probabilité que cet échantillon contienne au plus trois articles défectueux.
...
On admet que si n est 0: grand., p 0: voisin. de 0 et np pas .. trop grand:.lo, alors la loi (iJl(n, p) est très proche de la loi l'P(À) où À = np. .
On convient en général d'utiliser cette approximation lorsque /1;;' 50, p" 0,1 el/lp" la.
p " 0 ,1 et /lp < 15, ou lorsque Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
°
1 1
Il ~
30,
c. Champ d'intervention de la loi de Poisson L' idée à re tenir est qu ' une loi de Poisson inte rvient dan s la modélisation de phénomènes aléatoires où le futur est indépendant du passé. Ainsi, une loi de Poisson peut intervenir dan s des problèmes co ncernant: - les pannes de machines, - les sinistres (couverts ou non par une assurance), - les appels téléphoniques dans un standard. - les files d 'attente, - la mortalité, - le temps de guérison de petites blessures, - les stocks,
11 est à noter que si le nom bre de tax is passa nt à un e ndroit donné pendant un certain intervalle de temps peut être mesuré par un e variable aléatoire sui vant un e loi de Poisson, il n'en est pas de même pour les a utobus oul es trains, qui on t des heures de départ fi xes: le futur, l' instant de leur passage à un e ndroit donn é, n'est pas indépendant du passé, l' instant fi xé de le ur départ à un point fi xe (terminus ou gare).
3. LOI NORMALE a. Définition Exercice Tracer dans deu x repères différents, à J'aide d'une calculatrice graphique, la représentation graphique des deux fonction s définies sur IR par
1 (' - 1)'
"
fl(l) = _ _ I _e -ï -y- et f,(I) = _ 1_ e- 2
2y:l;
On démontre que chacune de ces deux ai res est égale à 1 (résultat admis ici).
-
y:l;
Déterminer graphiquement une vale ur approchée de l'aire de la partie de plan co mprise entre chaque courbe et l'axe des abscisses.
Défini/ion On dit aussi loi de L..iplace-G:lu::,s : Pierre Simon de Laplace t!>t un
mathématicien frança is ( 1 749~ 1827); Carl Friedrich Gauss est un mat hémat ic ien allemand ( 17771855), Cette égalité n'a pa!> à être
Une variable aléalOire X suit la loi normale J{(m. (1) de param~tre:; ni el lorsque sa densité de probabilité e~t la fonction f définie !-our IR par
(T
1
fIl) = - - - e
,,-..j2;
_l(' ., -m -
(r
1
1 .'
.
mémorisée.
La dell'.i té de probabilité d'une ,'ariable a l éa toi~ continue a été présentée en remarque au parJ.graphe A. 2.b.
Exemples (voir l'exercice ci-dess us)
La fon ction fi est la den sité de probabilité de la loi normale .N'( l , 2). La foncti on f 2 est la densité de probabilité de la loi normale .N'(O, 1).
102
Remarque On admet ces
r~su hats.
Soil X une variable aléatoire suivant la loi normale }{(m, cr) : EtX) = m, VIX) = ,,~, 0"00 = tr. Ainsi, une variable aléatoire X qui su it la loi nor male X(O, 1) a po ur espérance mathé matique 0 et po ur écart type 1. L. loi normale X(O, 1) est dite loi normale centrée réduite.
b. loi normale centrée réduite .N (0, 1) Théorème
On admet ce r6 ultat. T=
lx_!l!.
"
"
est de la f(lrme aX + Il défin ie en remarque 1 du par.lgrJphe B. 1.
Si une variable aléaloire X suilla loi normale .J(m, cr) alors la ,·ariable aléatoire T
= X ;; m suit la loi normale centrée réduite XIO, 1).
Plus gén~ralemenc, aX + b. ot. a el h sont des com~lantes réelles, suit une loi normale. Le formul ai re offi ciel de mathéma-
tiques ne donne des informa ti on~ que ~ ur la lo i normale /(0. 1) ; la fonction de répartition y est notée n lon renco ntre aussi la notation <1» .
Cene courbe est appelée « courbe en d oche » .
Ce rés ultat est très impor tant, car il permet de limiter l'étude des lois nor mal es à cell e de la se ul e loi normale centrée réduite X(O, 1), dont la densité de probabilité a pour représentation graphique la courbe de la figure 22.
-3
-2
- 1
o
2
3 Fig. 22
Voir ég:t lement le paragraphe A.2.b. : exem ple de variable aléatoire conti nue. La fonction f est paire. On a adrni~ ce résultat au parJgmphe 3.a.
Pour calc uler la probabilité d'un évé nement concernant une variabl e aléatoire T s ui vant la loi normale X(O, 1), on utili se en général la table du formulaire et les deux propriétés sui van tes de cette courbe: • Cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• L'aire totale comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à 1.
Exemples
= IT( I,67). La table donne directement le résullat. Il suffit de lrou ver les deux premi ers chiffres de { dan s la pre miè re colo nn e, so it 1,6 : le troi sième 1. Calcul de p eT '" 1,67)
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
103
chiffre de t est indiqué dans la première ligne, soit 0,07. La réponse est donnée à l'intersection de la ligne correspondant à 1,6 et de la colonne correspondant à 0,07, soit p eT '" 1,67) = 0,9525. 0,01
.. ,
0,07
0,5040 0,5438
...
0.1
0.00 0,5000 0,5398
0,5279 0,5675
1,6
0,9452
0,9463
...
...
t
0,0 0,5
... l-n(l.25)
n (l,25)
-2 - 1
0
Il
2
1.25
Fig. 23
0,5 1 - n(l,67)
n (- 1,67)
-21 -1 - 1,67
... . ..
o
1
2, Calcul de peT ~ 1,25). peT ~ 1,25) = 1 - peT < 1,25), car PlA)
0,9525
...
=
1 - PlA ).
Or I1(l ,25) = P(T'" 1,25) et PtT = 1,25) = 0 puisque T est une variable aléatoire continue, d'où: P(T~ 1,25) = 1 - I1(l,25) = 1 - 0,8944 = 0,1056.
3, Calcul de peT '" - 1,67). P(T '" - 1,67) = I1(- 1,67)
12 1,67
... ...
Fig. 24
4, Calcul de p et l
= PtT ~
1,67) vu la symétrie de la courbe. = 1 - I1(I ,67) d'après le calcul précédent. = 1 - 0,9525 = 0,0475.
'" T '" t2)
0,5
i Dans le cas particulier où t 1 = -2 -1
"
" F;g. 25
12
on pose t =
12
>
O.
Alors: P( - t '" T '" t) = n et) - Il( - t) = 2[ n(tl - n (Ol] vu la symétrie de la courbe,
Or n(O) -- l2' d 'où'. 1
F;g.26 On a au ssi
p(- f3 '" T '" f)3 - 0'5. C'est avec t = 1,96 qu'on se rapproche le plus de 0.95.
Applications • P( • P( • P( • P(-
l '" T '" 1) = 0,68 ; 2 '" T '" 2) = 0,95 ; 2,6 '" T '" 2,6) = 0,99 ; 3 '" T '" 3) = 0,997.
Conséquence 0,95
0,02 -2
- 1
0,025
0
2
Fig. 27 si et seulement si X = m + (TT. car u 0 pour une T = X ;;
1/1
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale )(m, cr); on sai l que
T= X -
0'
Pour t
>
III
s uil la loi normale .N'(O, l ).
0, P ( - t '" T '" t) = P( - tO' '" O'T '" tO')
+ uT ::S;: m + ta) tO' '" X '" ni + tO')
= P(m - tcr ::s;:
'*
= P(III -
loi normaIe.
104
lU
Ai nsi. en particulier, P(m - 2u "" X "" m 1
~
+
2u) = 0,95.
--------------+~
Sur ce graphique, on a indiqué les aires de plusieurs parties du plan symétriques par rJpport à l'axe \'erlical correspondant à l'espérance mathémutique, ou moyenne, m.
, ,
,
,2
Im_-:-o
,, ,, 3
'2 '
m+l~
,
m~20-
,,
nI-30-
,,
m+
, ,
'
0.68
..
30-
., 1
0.95
'.
0.997
Fig. 28
c. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale Voir le paragraphe C. Le.
Lançons cinquante fois une pièce de monnaie équilibrée. Soit X la variable aléatoire mesurant le nombre de « face » ainsi obtenu. On sait que X suit la loi binomiale 9))(50, ~).
Ici P = q = ~ puisque lu pièce est équilibrée.
En effet, d'une part l'épreuve aléatoire élémentaire consiste à lancer un e foi s la pièce ; elle débouche donc sur deux résultats seulement: « pile », • face », chac un ayant ~ pour probabilité.
Le résu ltat d'une épreuve n'a uucune influence sur celui d'une autre.
Et, d'autre part, on réalise successivement Il = 50 épreuves aléatoires élémentaires indépendantes. L'espérance mathématique de X est E(X) = "p = 25 et son écart type
est u
= V"pq = ~ = --Î2 =
3,54.
Pour tout nombre entier naturel k tel que 0 "" k "" 50, Un calcul programmé s' impose!
on a : P(X
= k) = r.k (l)k ( 1 )50 - k= "50
2
2
50! (1)50. k!(50 - k)! 2
Ainsi P(X = 25) =
50! (1)50. 25! 25! 2 Nous pouvons tracer le diagramme en bâtons de cette loi binomiale (fig . 29) et placer à côté (fig. 30J, puis dans un même repère (fig. 31 J, la courbe représentative de la densité de probabilité de la loi normale
x(25, }z )de même espérance mathématique et de même écart type. 0.15 0.10
15
35 Fig . 29
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
105
15
20
25
30
35 Fig. 30
Ce ré~u ltat a été publié en 1718 par de Moivre en Angleterre puis, de façon indépendante en 1812 , par Laplace, Les con?itions d'approximation d'une loi binomiale par une 10Î normale" 'Ollt pas à itre mimorisits. La seule capacité ex igible est de savoir que lorsqu' une loi binomiale f:f3(II, p) peut être approchée par une loi normale N(m, a), les paramètres de celte loi w nt donnés parm = "pel 0" = VI/p(l p), c'est-à-dire que l"espérance mathématique et l'écart type sont ("onser-
\'és.
Nous observons, sur ces représentations graphiques, la coïncidence presque parfaite entre les sommets des bâtons et des points de la courbe. On admet que si fi eSI • grand ... et p ni ~ trop voisin "lOt de 0 ni • trop voisin. de l, alors la loi 00(11, p) est très proche de la loi X(m, 0) où m = IIpetu = Vnp(i - pl· L'intérêt de cette approximation est de simplifier les calculs numériques. On convient en général d'utiliser cette approximation lorsque IIp et n(1 - p) sont supérieurs à 15, ou lorsque "l' et 11(1 - p) sont supérieurs à 20.
Mise en œuvre de cette approximation On se propose de calculer, par exemple, P(24 '" X '" 26) en prenant pour approximation de la loi binomiale 03(50, ~) suivie par X, la loi normale X(25,
0)' Alors T
X
~5
suit la loi normale X(O, 1).
Vi On divise les membres des inégali-
tés
par~.
P(24 '" X '" 26) = P(24 - 25 '" X - 25 '" 26 - 25) =
Voir la fin du paragraphe C. 3,c.
p(- ' 1 '" T", '1)
= 2IT('1)-
= 0,223 en faisant une interpolation affine entre fI(0,28) et fI(0,29). Mais ce résultat n'est pas satisfaisant, car on lit sur le diagramme en bâtons de la loi binomiale que les nombres P(X = 24), P(X = 25), P(X = 26) sont tous trois supérieurs à 0, 1. Ces trois événements sont incompatibles deux à deu". Par exemple. pour calcu ler une moyenne ou un écart type. on a remplacé une classe [a;, h;! p.:ir son ai
centre Ci
+ h,
=~.
Le sens des crochel.<; des intervalles n'a aucune importance, car dans le cas d'une nriable continue: p{X = a) = 0, pour tout nombre réel Q.
Donc P(24 '" X '" 26) = P(X = 24)
+ P(X =
25)
2-1,5
25
25,5
26) > 0,3.
Et le calcul précédent donne P(24 '" X '" 26) = 0,223.
Il faut donc améliorer la façon dont on passe d'une variable aléatoire discrète (ici binomiale) à une variable aléatoire continue (ici normale), en se souvenant qu'en statistique on a effectué la démarche inverse. Ici, on va adopter le même point de vue, mais dans l'autre sens: on remplace, par exemple, 25 par J'intervalle 124,5; 25,5], 21 par [23,5; 24,5] et 26 par [25,5; 26,5].
Ainsi, on remplace J'ensemble (24,25,26) des trois valeurs considérées pour la variable aléatoire discrète par l'intervalle [23 ,5; 26,5]. C'est la correc.tion de continuité qui consiste à remplacer tout nombre
entier k par un intervalle d'extrémités k - ~ et k 25
+ P(X =
P(2 3,5 '" X '" 26,5) = 2fI(0,3
X
Yz) -
1
+ ~.
(voir ci-dessus)
On remplace l:! longueur d'un bâton par raire d'un rectangle de même longueur et de largeur 1.
= 0,328 en faisant une interpolation affine entre IT(0,42) et IT(0,43). Ce nouveau résultat est en accord avec les observations graphiques.
Cela ne figure pas :w progr;unme de mathématiques des sections de techniciens supérieurs.
On peut de même être amené à approcher une loi de Poisson par une loi normale.
Remarque.
106
d. Champ d'intervention de la loi normale
Ce. n'est pas lt! I.:as d'une loi de Poi sson. où E(X) = V(X): si E(X) = À est fixé alors (1(.\') = est fixé.
Vi
~ m 0"
m
a petit
grand
Fi g. 32
Le contrôle de qualit~ joue un rôle de plus en plus important dan') la vie ~co n o mique: il ne se limite pol:> au seul secteur industriel mai s intervient aussi dans le com merce, les services ...
Une loi normale intervient dan s la modélisation de phénomènes aléaa toires possédant d. nombreuses causes indépendantes dont les effets s'ajoutent, sans que l'un d'eux soit dominant. Compte tenu de la complexité des phé nomènes économiques et sociaux, la loi normale intervient dans tous les secteurs. Comme une loi normale est définie par la donnée de deux paramètres 111 et (T, on peut la prendre pour modèle dans des phénomènes où des études stati stiques préliminaires conduisent à des hi stogrammes très différents. En effet, pour une même valeur quelconque de 111, on peut avoir des courbes variées (fig. 32). On peut même utiliser une loi normale pour une variable aléatoire mesurant une quantité ne variant pas aléatoirement dans IR mais dans une partie de IR se ulement, par exemple [0, + >o[ ou ]0, 30]. C'est le cas en particulier lorsque X mesure un prix, une longueur ou une masse. Ainsi , en contrôle de qualité, il est II priori étonnant d'envisager le caJcul de la probabilité d'événement' tels que X '" - 4, X .. 100. lorsque X, mesurant une longueur, suit la loi normale de moyenne 111 = 20 cm et d'écart type cr = 2 cm; il est en effet impossible, dans une même chaîne de fabrication , d'obtenir un produit de longueur - 5 cm ou 120 cm. Avec la loi normale. on obtient:
P(X'" - 4) = p(X ~ 20 < = fl( - 12)
Le formulaire donne
1 - 0 (4.5) D'aut~
=3 x
10- 6
= 1 - fl(l2)
part
1 - 0 (5.9) - 1.8 x 10- '.
CeUe situation est également fréquente en économ ie (salaires. prix.
... ). Conformémen t au programme, aucune 'conna issance n'est exigibl e à ce sujet en mat hématiques .
12)
De même, P(X
> 1(0)
= O.
= 1 - fl(40) = O.
Ces résultats sont compatibles avec la réalité. En revanche, il peut être imprudent de choisir pour mod èle une loi normale lorsqu ' une étude statistique préalable débouche sur un petit nombre de classes de grande amplitude. Enfin, lorsque les effets de nombreuses causes indépendantes so nt multiplicatifs, la loi normale ne constitue pas un bon modèle. Il est préférable de s'orienter vers une autre loi, par exemple la loi log-normale » . 'II(
D. SOMME DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES 1. EXEMPLES a. Exemple 1 Deux représentants A et B d'une même entreprise travaiHent en équipe pendant un mois pour propose r des contrats à d'éventuels clients: A est chargé de placer de nouveaux contrats à des clients actuels de l'entreprise, tandis que B doit prospecter de nouveaux clients. Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
107
Les nombres situés dans ce tableau sont définis par:
IX y
x
P(X
=
x et Y = y)
On lit ce résultat dans le tableau. On ne peUl pas avoir en même temps X = 0 et X = 1. Si Cel D sont incompatibles, alors PCC 0" D) ~ P(C) + P(D).
Soit X (resp. Y) la variable aléatoire mesurant le nombre de con trats obtenus par A (resp. B) au cours d'une demi-journée. On suppose que X prend des valeurs dans 10, 1,2, 3 j, que Y prend des va leurs dans 10, 1) et que, pour tout élément x de 10, 1,2,3) et pour tout élément y de 10, 1 j, la probabilité P(X = x et Y = y) est donnée par le tableau suivant:
~
0
1
2
3
0
0,05
0. 15
0,20
0. 10
1
0,10
0.20
0.15
0.05
L'entreprise s' intéresse à la variable aléatoire, notée X + Y, mesurant le nombre total de contrats obtenus par l'équipe constituée de A et de B au cours d'une demi-journée. X + Y prend ses valeurs dans 10, 1, 2, 3, 4). L'événement X + Y = 0 correspond à (X = 0 et Y = 0). Donc P(X + y = 0) = 0,05. L'événement X + Y = 1 correspond à (X = 1 et Y = 0) ou (X = 0 et Y = 1); ces deux derniers événements étant incompatibles, on a : P (X + y = 1) = P (X = 1 et Y = 0) + P(X = 0 et Y = 1) = 0,15 + 0,10 = 0,25. Par un raisonnement analogue, on démontre que: P (X + y = 2) = P(X = 2 et Y = 0) + P (X = 1 et Y = 1) = 0,40. P (X + y = 3) = P(X = 3 et Y = 0) + P (X = 2 et Y = 1) = 0,25. P (X + y = 4) = P (X = 3 et Y = 1) = 0,05. On a ainsi obtenu la loi de probabilité (o u distribution) de la variable aléatoire X + Y:
o 0,05
Sur une longue période, l' équipe cons tituée de A et B obtient en moyenne deux contrats par demijournée.
0,25
2
3
4
0,40
0,25
0.05
L'espérance mathématique de la variable al éatoire X + Yest + Y) = 0 x 0,05 + 1 x 0,25 + 2 x 0,40 + 3 x 0,25 + 4 x 0,05
E(X
+ Y) = 2. La variance de X + Ye st : V(X + Y) = (0 - 2)2 x 0,05 + (3 - 2)2 x 0,25 V(X + Y) = 0 ,9.
E(X
108
+ (1 - 2)2 x 0,25 + (2 - 2)2 + (4 - 2)2 x 0,05
x 0,40
Les nombres situés ùan" ce tableau sont définis par :
x y
x
p(X = x et Y = y )
On lit ce résultat dans le tableau. On ne peU! pas avoir en même temps X = Oet X = 1. Si Cet D sont incompatibles, alors P(C ou D ) ~ P(C) + P(D).
Sur une longue période. l'équipe constituée de A e t B obtie nt en moyenne deux contrats par demijournée.
Soit X (resp. Y) la variable aléatoire mesurant le nombre de contrats obtenus par A (resp. B) au cours d'une demi-journée. On suppose que X prend des valeurs dans {a, 1,2, 3), que Y prend des valeurs dans {a, 1) et que, pour tout élément x de {a, l, 2, 3) et pour tout élément y de {a, l}, la probabilité P(X = x et Y = y) est donnée par le tableau suivant:
~
0
1
2
3
0
0,05
0,15
0,20
0.10
1
0.10
0,20
0,15
0 ,05
L'entreprise s'intéresse à la variable aléatoire, notée X + Y, mesurant le nombre total de contrats obtenus par l'équipe constituée de A et de B au cours d'une demi-journée. X + Y prend ses valeurs dans {O, 1,2,3,4). L'événement X + Y = a correspond à (X = a et Y = 0). Donc P(X + y = 0) = 0,05. L'événement X + Y = 1 correspond à (X = 1 et Y = 0) ou (X = a et Y = 1); ces deux derniers événements étant incompatibles, on a : P(X + y = 1) = P(X = 1 et Y = 0) + P(X = et Y = 1) = 0,15 + 0,10 = 0,25. Par un raisonnement analogue. on démontre que: P(X + y = 2) = P(X = 2 et Y = 0) + P(X = 1 et Y = 1) = 0,40. P(X + y = 3) = P(X = 3 et Y = 0) + P(X = 2 et Y = 1) = 0,25. P(X + y = 4) = P(X = 3 et Y = 1) = 0,05. On a ainsi obtenu la loi de probabilité (ou distribution) de la variable aléatoire X + Y:
°
k
o
Pl.x+r=k)
0,05
0,25
2
3
4
0,40
0,25
0.05
L'espérance mathématique de la variable aléatoire X + Yest E(X + Y) = x 0,05 + 1 x 0,25 + 2 x 0,40 + 3 x 0,25 + 4 x 0,05 E(X + Y) = 2. La variance de X + Yest : V(X + Y) = (0 - 2)2 x 0,05 + (1 - 2)2 x 0,25 + (2 - 2)2 x 0,40 + (3 - 2)2 x 0,25 + (4 - 2)2 x 0,05
a
V(X
+
Y) = 0,9.
108
d. Champ d'intervention de la loi normale
Ce. n' est pa') le cas d'une loi de Po i ~son.
où EIX) = \'(X):
si E(X) = ~ eM alors cr{X) =
fi x~
Vi est fixé.
~ m
m
cr grand
cr petit Fi g. 32
Le contrôle de qualité joue un rôle de plus en plu~ imporlant dans la \'ie économique; il ne se limite pas au !\eul sec: tcur indu~ lri e l mai s intervient aussi da",; le commen.:e, les se(\' ices."
Une loi normale intervient dans la modélisation de phénomènes aléa· toires possédant de nombreuses causes indépendantes dont les effets s'ajoutent, sans que l'un d'eux soit dominant. Compte tenu de la complexité des phénomènes économiques et sociaux, la loi normale intervient dans tous les secteurs. Comme une loi normale est définie par la donnée de deux paramètres 111 et (1' , on peut la prendre pour modèle dans des phénomènes où des études statistiques prélin'linaires conduisent à des histogrammes très différents. En effet, pour une même valeur quelconque de 111, on peut avoir des courbes variées (fig. 32). On peut même utiliser une loi normale pour une variable aléatoire mesurant une quantité ne variant pas aléatoirement dans IR mais dans une partie de IR se ulement, par exemple [0, + co[ ou ]0, 30]. C'est le cas en particulier lorsque X mesure un prix, une longueur ou une masse. Ainsi, en contrôle de qualité, il est a priori étonnant d'envisager le calcul de la probabilité d'événements tels que X,,; -4, X :;" 100, lorsque X, mesurant une longueur, suit la loi normale de moyenne 111 = 20 cm et d 'écart type 0' = 2 cm; il est en effet impossible, dans une même chaine de fabrication, d'obtenir un produit de longueur - 5 cm ou 120 cm. Avec la loi normale, on obtient:
P(X"; - 4) = p(X ~ 20 < -
Le formulaire donne
=
n(-
1 - 11(4.5) = 3 x 10- 6 D'aul~ part 1 - 11(5,9) - 1,8 x 10- 9.
=
1 - n (12)
Celte si tuatio n est ~ga l e ment fréquente en économ ie (salaires. prix.
... ). Confor mé me nt au programme, aucune connaissance n' est ex igi ble à ce sujet en mathématiques .
De même, P(X
12)
12)
> 100)
~
= 1-
o.
n(40) ~ o.
Ces résultats sont compalibles avec la réalité. En revanche, il peut être imprudent de choisir pour modèle une loi normale lorsqu'une étude statistique préalable débouche sur un petit nombre de classes de grande amplitude, Enfin, lorsque les effets de nombreuses causes indépendames sont multiplicatifs, la loi normale ne constitue pas un bon modèle. Il est préférable de s'orienter vers une autre loi, par exemple la loi « log-normale » ,
D. SOMME DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES 1. EXEMPLES a. Exemple 1 Deux représentants A et B d' une même entreprise travaiHem en équipe pendant un moi s pour proposer des contrats à d'éventuels clients: A est chargé de placer de nouveaux contrats à des clients actuels de l'entreprise, tandis que B doit prospecter de nouveaux clients, Chap, 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
107
Remarques
Les deux é\'énements du second membre de l'égalité sont incompatibles.
1. Le tableau initial permet de déte.rminer les lois de probabilité respectives de X et de Y. En effet, l'événement X = correspond à (X = et Y = 0) ou (X = et Y = 1). Donc P(X = 0) = P(X = et Y = 0) + P(X = et Y = 1) = 0,05 + 0,10 = 0,15.
a
a
a
a
a
On obtient de même P(X = 1), P(X = 2) et P(X = 3) en ajoutant les nombres figurant dans une même colonne du tableau initial.
a
D'autre part, l'événement Y = 0 correspond à (X = et Y = 0) ou (X = 1 et Y = 0) ou (X = 2 et Y = 0) ou (X = 3 et Y = 0). Ces quatre événements étant incompatibles deux à deux, P(Y = 0) est la somme des probabilités de ces événements:
+ 0,15 +
P(Y = 0) = 0,05
0,20
+ 0,10
= 0,5.
L'événement contraire Y = J a donc pour probabilité P(Y = 1) = 1 - P(Y = 0) = 0,5. On représeme généralement les lois de probabilité de X et Y de cette façon: elles sont placées en marge du tableau: c'est pourquoi on les appelle loi .. marginales. Attention à la posit.ion dans le tableau des lois respecti ves de X et Y.
On peut alors compléter le tableau initial:
~
0
1
2
3
loi de Y
a
0,05
0,15
0,20
0,10
0,5
1
0,10
0,20
0,15
0,05
0,5
0,15
0,35
0,35
0,15
loi de X
On permute les lignes Y et Y = 1.
=0
f-----+~
2. ln versement, la donnée des lois marginales de X et Y ne suffit pas à définir le tableau initial: le nouveau tableau obtenu en permutant les deux lignes du précédent est différent de celui-ci et il correspond cependant aux mêmes lois marginales de X et Y.
Par exemple, = 0 x 0,5 + 1 x 0,5. E(X + Y):l. déjà été calculé ci-dessus. Par exemple, \'(y) ~ (0 - 0.5)'0.5 + (1 - 0,5)'0,5. V(X + Y) a déjà été calculé ci-dessus. On n'a pas d' égalité pour les \'ariances.
3. Les variables aléatoires X, Y et X + Y ont pour espérances mathé· matiques respectives: E(X) = 1,5 E(Y) = 0,5 E(X + Y) = 2. Donc E(X + Y) = E(X) + E(Y). Les variances de ces mêmes variables aléatoires sont: V(X) = 0,85 VrY) = 0,25 V(X + Y) = 0,9.
Voir le début du parJgraphe c.l.a.
Reprenons l'exemple. utilisé pour introduire la loi binomiale, du fichier « Clientèle » dans lequel un tiers des fiches correspondent à des clients domiciliés dans la région lle-de-France.
E ( Y)
Donc V(X
+ Y) .,. V(X) +
VrY)·
b. Exemple 2
Chap.3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
109
XI = 0 est l'événement: .. la fiche choisie au premier tirage est celle d'un client non domil'ilié en lIe-de-
France • .
Effectuons un premier tirage avec remise en supposant que toutes les fiches o nt la même probabilité d'être choisies. La variable aléatoire Xl qui prend la va leur 1 si la tiche tirée correspond à un client d'lle-deFrance et qui , sinon, prend la valeur 0, a pour loi de probabilité:
o 2
1
3
'i Les tirages étant avec remise la composition du fich ier est la même à chaque tirage.
La variable aléato ire X 2 définie de la même façon po ur un second tirage avec remise a la mê me loi de probabilité.
Aucune fiche d'l le-de-France n'a été tirée au cou ~ des deux tirages.
+ X2 = 0 correspond à (XI = 0 et X2 = 0). Donc P(X] + X2 = 0) = P(X I = 0 et X2 = 0) = P(X ] = 0) x P(X 2 = 0) car les tirages étant avec remise, les événements X] = 0 et X2 = 0 sont
Si C. D sont il1dépendanL'i, alors
p(e et D)
~
P(C) x P(D).
La variable aléatoire, notée XI + X2, mesurant le nombre de fois qu'une fich e d'île-de-France est obtenue au cours des deu x tirages, prend des vale urs dans (O, 1, 2). L'événement XI
indépendants. Donc P(X I
+ X, = 0) = ~ x ~ = '1.. -
De même P(X I On ne peut pas avoir en même temps X] = 1 etX] = O.
On a déjà remarqué que XI = 1 et X2 = 0 sont intlépendants. de même que X] = OetX2 = 1.
3
3
9
+ X2 = 2) = P(X] =
1 et X2
=
1)
= 1 x l = 1. 3
3
P(X I
+ X2 =
1)
= P(X I = 1 et X2 = 0) + P(X ] = 0 et X2 = 1) = P(X ] = 1) x P(X2 = 0) + P(X I = 0) x P(X2 = = l x ~+~ x 1 ='1. 3 3 3 3 9'
On a ainsi obtenu la loi de probabilité de XI
+ X2 :
o
Les calculs sont analogues à ceux qui ont été effecwés pour X + }' dans l'exemple 1.
4
4
9
9
L'espérance mathématique de XI
La variance de XI
+ X2 est
2
V(X I
E(X I ) logue dans l'exemple 1.
=0 x~ +1x~ =~
Donc E(X]
+ X2 )
= E(X I )
On a,'aÜ obtenu un résultat différent dans l'exemple 1.
et E(X2 )
+ E(X2 ).
= (0 - ~n + (1 _ ~)2 ~ = ~ Dot;c V(X] + X2) = V(X I) + V(X2). V(X])
11 0
1
9
+ X2 est E(X I + X2) + X 2) = ~.
Remarque On avait obtenu un résultat ana-
9
Enfin, l'événement XI + X2 = 1 correspond à (X t = 1 et X2 = 0) ou (X t = 0 et X 2 = 1); ces deux derniers événements étant incompatibl es, o n a:
= E(X]).
=
l
1)
2. INDÉPENDANCE DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES Définition
On a déjà défini deux é\.·énements indépendants au paragraphe B.2. du chapitre 2. Ici, il s'ag it de variables aléüloires indépendantes.
Soil X une variable aléatoire discrète prenant un nombre fini de valeurs *1' *2' .... kit .... k". Soit Y une variable aléatoire discrète prenant un nombre fini de valeurs
On peut étendre cette définition aux deux autres. types de variables aléatoire!i présentés au paragraphe A. 3.
X et Y sonl indépendantes si. pour tout i. l '" i .. n. etpourloutj.l""j""p. on a : p(X = ki et Y = kj) = p(X = k i ) X p(Y
ki. ki• ...• kj • ...• k~. = kj ).
EKemple 1
Voir le paragraphe I.a.
On iii dans le lableau définissant les probabilités P(X = x el Y = y) où Y = 0) = 0,05.
x apparlient à {D, 1. 2. 3} el y à {O. I} que P(X = 0 el
= 0) = 0.15 et pey = 0) = 0,5. O'où P(X = 0) x pey = 0) = 0,Q75. Donc P(X = 0 et Y = 0) '" P(X = 0) x pey = 0).
Or, on a démonlré que P(X L'égalité de la définition ci-dessus est fausse au moins dans le cas particulier k 1 0 el k; O.
=
=
Les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes.
Voir le paragraphe l.b.
EKemple 2
La composition du fichier est la
On a remarqué que, les tirages étant effectués avec remise, le résultat d'un tirage est indépendant du résultat d'un autre lirage, et cela quels que soient ces résultats.
même il chaque tirage.
Donc, pour tout k de {O, I} e t lout k' de {O. I}. on a : P(X,
= ketX2 = k') = P(X, = k)
X P(X2
= k')
Les variables aléatoires XI et X2 sont indépendantes. Remarque
Nous avons déjà rencontré le nom de Bernoulli à la fin du chapitre 2.
Les variables aléatoires XI el X 2 ci-dessus, qui prennent la valeur 1 avec la probabililé p = ~ el la valeur 0 avec la probabililé 1 - P. sont appelées variables de Bernoulli de paramètre p; elles suivenl la loi binomiale de paramèlres
/1
=
1 el p
= ~ car
CO' 3 (1)0 (~)' = ~ = P(X = 0) 3 3 ' el C: Constater que, pour tout élément k de {D, 1. 21, on a P(X, + X, ~ k) ~
q ('1)'(')'-' 3 '3 .
On admet ici ce résultat qu'on n'a démontré que dans Je Ca.li n = 2.
(~)' (~t = ~ = P(X, =
La variable aléatoire XI
00(2,
1).
+ X2 suit elle aussi une loi binomiale: la loi
~) de paramèlres Il = 2 et p = ~.
Plus généralement, on démontre qu'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale 2li(n, p) est la somme de II variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de même paramètre p.
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
111
,
,
3. ESPERANCE MATHEMATIQUE D'UNE SOMME DE VARIABLES ALÉATOIRES Voir les paragraphes I.a. et Lb.
Nous avons démontré, dans deux exemples, que pour une somme X + Y, on a E(X + 1') = E(X) + E( 1').
Ce résultat s ' ~tend à une somme de plus de deux variables al ~atoires :
On démontre que ce résultat est général.
E(
i
Xi)
i - 1
~ ii- I E(X,)
Voir le paragraphe 8. l.d.
E(X
+ Yi
= E(.l()
+ E( YJ. si ces nombres existent.
=
De même: E(X - Y) E(X) - E(Y). Rappelons que, a et b étant des constantes réelles, on a E(aX+ b)
= aE(X) + b.
Application à la loi binomiale La propri~l~ d'ind~pe ndance est inutile pour cette Mmonslration.
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale 'lll(II, l'). On peut considérer X comme la somme de n variables Xj de Bernoulli indépendantes de même paramètre p. E(X)
i
= E( ,= l Xi) puisque X
=.i, =
n
On utilise une extension du théorème ci-dessus. ·Cette somme a Il termes égaux à p. C'est le résultat admis au paragraphe C. I.b.
Donc E(X)
=.1
E(X,). Or E(X,)
1= 1
d'où E(X) = l'
+ l' + ... + l',
Xi'
1
=0(1 -
l')
+
II'
=l';
.
soit E(X) = '111'.
4. VARIANCE DE LA SOMME , DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES INDÉPENDANTES Nous avons démontré dans un exemple, au paragraphe l,b., que, pour deux variables aléatoires indépendantes X) et X2' on a V(X)
+ X2)
= V(X)
+
V(X2 ).
On démontre que ce résultat est général. Dans ce lhé:o~me, on suppose que ces nombres ex istent.
X et Y étant des variables
aléatoire~ indlp~ndant~s,
VI X
+
Y) = V(X)
+
V(YJ.
Nous avons observé sur un exemple, au paragraphe I.a., qu'avec des variables aléatoires non indépendantes, on peut avoir V(X
+
1') '" V(X)
+
V( 1').
Pour une différence de variables aléatoires indépendantes, on a V(X - Y)
Attention au signe +.
= V(X) + V(Y).
Rappelons que, a et b étant des constantes réelles, on a V(aX
112
+ b)
= a2V(X).
Application à la loi binomiale Pour une variable X; de Bernoulli de paramètre p, on a E(X;) = p. Comme V(X,l = E(X;) - [E(X;)]2, on a V(X;) = 02(1 - p) + l2p - p 2, soit V(X,l
= p el
- pl .
Comme une variabl e aléatoire X qui suit une loi binomiale oo(n, p) est
la somme de Il variables X; de Bernoulli indépendantes de même paramètre p, on a :
V(XJ = V
(.k" X;), puisq ue X =k" X;. 1=
Donc V(XJ C'est le résultat admis au p:U-.tgraphe C. l.b,
k"
1
1=
1
V(X; ) en utilisant une extension du théorème ci-
j= 1
dessus, soit: V(XJ = IIp(l - p).
5. SOMME DE VARIABLES ALÉATOIRES SUIVANT DES LOIS NORMALES OU DES LOIS DE POISSON a. Lois normales NOIer l'hypothèse d'indépendance,
+ E(X,) . V(X r) + V(X,).
E(X, ;: X,) ~ E(X,) V(X,
+ X,)
~
Soit X, et X2 deux variables alé.toiles indépendantes suivant les lois normale~
respectives X(m" ",) et X(m2' "2)' alors X, + X2 suit la loi
normal,e de moyenne ml + m2 el d' écart type
Vai + a~.
Cette propriété des lOIS normales est très importante.
Remarques E(X, - X,)
~
E(X,) - E(X,).
V(X, - X, )
~
V(X,)
+. V(X,).
1. Avec les mêmes hypothèses, XI - X 2 suit la loi normale de moyenne ml - m 2 ·et d'écart type
VfT~ + (T~.
2. Le résultat sur une somme de deux variables aléatoires indépendantes s;étend à une somme de Il variables normales indépendantes.
b.
Lois de Poisson
Si Xl et X2 sont deux variables aléatoires indépendantes suivant les lois de Poisson respectives g>(À,) et g>(À 2). Alors leur somme X, + X2 est une variable aléatoire suivant la loi de Poisson g>(À, + 1. 2).
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
11 3
TRAVAUX PRATIQUES EXEMPLES D'ÉTUDE DE SITUATION DE PROBABILITÉ FAISANT INTERVENIR UNE VARIABLE ALÉATOIRE
TP2
Tirages simultanés, variable aléatoire
Une urne contient dix bou les: une rouge, une blanche et huit noires. Un jeu consiste à tirer simultanément deux boules. On suppose l' équiprobabilité des tirages.
l OCombien y a-t-il de tirages possibles?
r Détermination d'une loi de probabilité, calcul d'espérance mathématique, de variance d'écart type, jeu équitable
TP 1
- Une boîte con tient 10 boules. Sur chacune d'elles on a in scrit un nombre suivant le tableau ci-dessous;
Nombrt inscrit Nombre de
buul~
1
Un joueur mise 10 eu ros, tire une bou le au hasard el reçoit la somme (en euros) inscrite sur la boule. Toutes les boules onl la même probabilité d'être tirées.
I Ole joueur joue une fo is. On >tppelle PI la probabilité qu'il perde de l'argen t (c'est-à-dire qu'il reçoive moins de 10 euros à ,'issue ÙU li rage) et p~ la probabilité qu'il reçoive plus de 10 euros. Donner PI elP2" r Soit X la variable aléatoire qui. à chaque tirage, fail correspond re le « gain ,. du joueur (u ne perle est un « gain ,. négatif). Par exemple : si un joueur lire le nombre 12, son '1\ gain ,. est + 2; s'il tire le 6, son « gain » est - 4. a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X'!
On considère les événements suivants: El ; « le tirage contient la boule rouge el la boule blanche » : E2 : .c le tirage contient la boule rouge et une boule noire » ; EJ : « le tirage con tient la boule blanche et une boule noire » ; E4 : « Je lirage cont ien t deux bou les noires » .
Calculer sous forme de fractions irréductibles les probabili,és PtE,), P(E, ), P(E3), P(E.).
3 0 Si le joueur tire la boule rouge, il gagne 15 euros; s'il tire la boule blanche, il ne gagne rien; enfin, il perd 2 euros p~lr boule noire tirée. Par exemple, ~ ïl tire la rouge et la blanche, il reçoit 15 euros pour la rouge, 0 euro pou r la blanche et, donc, pour les deux boules, 15 euros. On considère la variable aléatoire X qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur (une perle e~t un gain négatif). a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X. b) Donner la loi de probabilité de X sous forme de tableau. c) En déduire l'espérance mathématique de la variable aléatoire X. Quelle remarque peut-on faire?
b) Donner la loi de probabilité de X en complétant, après l'avoir reproduit, le tableau suivant:
EXEMPLES D'ÉTUDE DE SITUATIONS DE PROBABILITÉS FAISANT INTERVENIR DES VARIABLES ALÉATOIRES SUIVANT UNE LOI BINOMIALE, DE POISSON OU NORMALE
c) Calculer son espérance mathématique E(X). Que représente E(X) pou r le joueur? d) Calculer la variance et la valeur approchée arrondie à IO-:! de J'écart type de X. 3° JI s'agit maintenant, en changeant Je nombre inscrit sur une boule, de rendre ce jeu équitable (c'est-à-dire que l'espérance mathématique de la variable aléatoire associée doit être nulle). Proposer une solution.
TP 3
Tirage de boules et loi binomiale
. Une boîte contient quatre boules rouges, troi s boules vertes et sept boules jaunes. On lire si mult:mément deux boules de la boîte et on ~ uppose que les tirages son t équiprobables.
114
1° On considère les événements suivants:
A : « obten ir deux boules de même couleur
TP 5 »,
B : '" obtenir deux boules de couleurs différe,ntes » .
Dans cet
Calcu ler, sous forme de fractions irréductibles, les probabilités PlA) et P(B).
1° E xpliquer pourquoi X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. 2° Calculer la probabilité des événements suivants: a) El « Un jour donné il y a exac tement troi s absents » ; b) E') : « Un jour donné il y a strictement plus de deux· absents ,. ; c) E3 : « Un jour donné le nombre d'absents est compris entre trois et six (bornes l'omprises) lt .
a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de œtte loi. b) D<;lnner la loi de probabilit é de X en complétant, après l'avoir reproduit, le tableau suivant, dans lequel on fera figurer des valeurs approchées arrondies avec un se·ul chiffre différent de zé ro.
0
3° Calcu ler l'espérance mathém.ttique nOlée E
c) Calculer l'espéCilnce mathématique E(X) de X. Que représente E(X)? On donnera la va leur approchée arrondie à 10- 2.
Lois de Poisson et bons de commande
Vérifie.r que les résultats obtenu:) au 4° d ifférent Je moin s de 1 % des résultats obtenus au r .
Dans une entreprise de vente par correspondance une étude statistique a montré qu'il y ava it 5 % de bons de commande comportant au moin s une erreur. On constitue au hasard un échantillon de 100 bons de commande parmi ceux traités un jour donné. Le nombre de bon s de commande traités dans cette journée est assez important pour 'lu 'on pui sse ~ssil1l il er ce prélève ment à un tirage avec remise de 100 bons de commande. On dés igne par X la variable aléatoire qui associe à tout échan tillon de 100 bon s le nombre de bons erronés. On admet que X suit la loi de Poi sson de paramètre 5.
TP6
Loi normale à propos d'industrie textile
Une usine produit des bobines de fil pour J'indu strie textile. On désigne par X la variable aléatoire qui, à toute bobine tirée au hasard de la production d'une journée associe la longueur, exprimée en mètres, du til de cette bobine. On admet que X suit la loi normale de moyenne 50 et d'écart type 0,2. On prélève au hasard une bobine dans la production d'une journée . Tous les résltlt{/t.~· approchés semnt arrondis à JO - 2.
) 0 Déterminer,
à l'aide de la table du formulaire, la probabilité de chacun des é vénements sui vants: a) El: « il y a exactement 5 bons erronés parmi les 100 ,.;
) 0 Calculer la probabilité de chacun des évé.nements suivants: a} la longueur du fil de la bobine est inférieure à 50,19111; b) la longueur du fil de la bobine est supérieure à 50,1601; c) la longueur du fil de la bobine est comprise entre 50,16 m et 50,19 O1.
b) Ez : « il y a moins de 5 bons erronés parmi le s
100 ,. ; c) E3 : « il y a au moin s 5 bons erronés parmi les
100 ,.. 2° Déterminer le plu s petit entier k tel que la probabilité d'.avoir moin s de k·e,rreurs soit supérieure à 0,9.
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
chaque prohahiliti demandée sera
Une petite entreprise emploie vingt pe.rson nes. Une étude stati stique permet d'admettre qu'un jour donné la probabilité qU'un employé donné so it absent est 0,05. On admet que les absences des employés survenues un jour donné sont indépendantes les unes des autres. On note X la variable aléatoire qui à chaque jour tiré au hasard assoc ie le nombre d'employés ab~nt s .
On répète dix foi s l'épreuve précédente en remeUarll les deux boules tirées dans la boîte, après chaque tirage. Les di x épreuves aléatoires élément
TP4
~:urcice
arm"di~ il JO -J.
r
1
Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
11 5
2° Déterminer le nombre réel posit if a tel que:
Pt50 - a '" X '" 50 + a) ~ 0,9.
TP7
Loi normale, approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
Une machine fabrique plusieurs milliers de bouchons cylindriques par jour. ] 0 On admet que la variable aléatoire X qui , à chaque bouchon prélevé au hasard dan~ la product ion d' une journée, associe son diamètre exprimé en millimètres, suit la loi normale de moyenne m = 22 et d'écart type
" = 0,025. Les bouchons son t acceptables si leur diamètre appartient à l'inter valle [21,95 ; 22,05]. Déterminer avec la précision de la table du formu lairela probab ilité qu'u n bouchon pris au hasard dan s la production soi t acceptable. 2° Dans ceue question, on admet que la probab ilité qu'un bouchon, pris au hasard dans la production d'une Journée, so it défectueux est 0,05. On prélève au hasard un échan till o n de 80 bouchons (ce prélèvement est ass imilé à un tirage de 80 bouchons .Ivec remise). On nomme Y la variable aléatoi re qui , à chaque tirage de 80 bouchons, assocÎe le nombre de bouchons défectueux dan s cet échan tillon. a) Quelle est la loi su ivie par la variable aléato ire Y? Déterminer l' espérance mathématique de Y. b) On approche la loi de la variable aléatoire Y par une loi de Poisson. Donner le paramètre À de celle loi de Poi sson. c) On note Z une vari able .tléalOire sui vant la loi de Poisson obtenue au h) . Calcule r la probabi lité qu'un tel éc hanti ll o n conti en ne exactement 10 bouchons défectueux, c'est-à-d ire PtZ = 10).
TPB
Approximation d'une loi binomiale par une loi normale
Dans ct:f1~ ac/ù·;tl, arro"die à 10- J.
cJltlq!l~
probabilité del/Ilmdü sera
Une enquête réali ~e par la Sofres permet d'est imer que la probab ili té qu ' une lettre, prélevée au hasard dan s Je courrier d'une entreprise. parvienne ~ son de s~ tinataire en France, le lendemain, est 0,7. Dans la suite, on ne considère que les lettres;) destination de la France.
À l'agence de Marne-Ia~V;:ùlée d'une grande entreprise, on admet que l'on expédie 100 lettres par jou r. On note X la variable aléato ire qui, à un jour tiré au hasard , associe le nombre de lettres qui parviendront à leur destinataire le lendemain. On suppose que les acheminements de ces lettres se font en Ioule indépendance. ] ° a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale el préci~r les paramètres de cette loi. h) Calculer l'espérance mathématique de X, pu is la va leu r arrond ie à l'entier Je plus proche de l'écart type de X. c) Calcu ler la probabi lité que 60 lettres exactement, sur les 100 expédiées un jour tiré au hasard, parviennent à leur destinataire le lendemain. Pour ce çalcul , on prendra Cj~ = 1,375 · IO'S. r On décide d'approcher la loi de la variable discrète X par la loi normale de paramètres III = 70 et (J = 5. On note Y une variab le aléato ire suivant la loi normale .N(70 , 5). En ulilisant cette approx imation, calculer: a) la probabilité qu'au moins 80 des 100 lettres, expédiées un jour tiré au hasard, parv iennent à leur destinataire le lendemain , c'est-à-d ire P(Y ~ 79,5); b) la probabilité que le nombre de lettres, sur les 100 expédiées un jour tiré au hasard, p~l r venan t à leur dest inataire le lendemain, so it strictement compris entre 55 et 85, c'est-~-dire : Pt55,5 '" y", 84,5).
TP9
Somme de variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales
Pour réali ser un de se~ produits, une entreprise doit procéder il l'assemblage d'une pièce de type A fab riquée en grande série par un sous-traitant et d'une pièce de type 8 réali sée par ses soi ns. Le cah ier des charges précise que la mas~e totale d' un dispositif asse mblé doi t être compri se en tre 590 et 6 10 grammes. On désigne par X la variable aléatoÎre qui, à chaque pièce de type A, prélevée au hasard dans la produc tion, assoc ie sa masse, exprimée en grammes. On suppose que X suit la loi normale de moyenne 390 et d'écart type 4. On désigne par Y la variable aléatoire qui. à chaque pièce de type 8 , prélevée au hasard dans la production, associe sa masse, exprimée en grammes. Cette variable aléatoire Y suit la loi no rmale d'espérance mathématique 208 et d'écart type 3. La pièce de type A et la pièce de type B à .tssembler sont prélevées au hasard el de manière supposée
116
indépendante. On désigne par Z la variable aléatoire définie par Z = X + Y. On admet que Z suit une loi normale. 1° Vérifier que la loi normale suivie par Z a pour moyenne 598 et pour écart type 5. r Calculer à 10- 3 près la probabilité de J'événement E : « une pièce prélevée au hasard dans la production ne répond pas au c3hier des charges » .
aléatoire qui, à chaque fausse pièce de 1 €, prélevée au hasard, associe sa masse exprimée en grammes. Cette variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne f.L' = 6,56 et d'écart type cr' = 0,02. Calculer la proba· bilité qu'une fausse pièce de 1 € soit acceptée par l'ap· pareil (on pourra prendre 1 comme valeur approchée de rr(tl lorsque t eSl supérieur à 5). B.
Exercice
d'examen
.~
,
~1> ()J <.\ ----- ~ (
~
Loi normale et probabilités conditionnelles au péage
Les rlsulrats numériques seront dOllllb an!c ulle pré· cision de /0- 3.
cOllditiolllleJ/es
• 2~ des pièces de 1 € jetées dans le panier ont été mises en circulation par les faussaires. • Les autres pièces de 1 € jetées dans le panier ont été frappées par la Banque de France. Soit A l'événement « la pièce de panier est acceptée par l'appareil » .
Pour entrer sur une section d'autoroute, on jette une pièce de 1 € dans un panier. La masse de la pièce est alors testée par un appareil.
€ jetée dans le
Soit B l'événement « la pièce de € jetée dans le panier a été frappée par la Banque de France » et B l'événement contraire.
L'appareil accepte les pièces dont la masse est comprise entre 6,455 g et 6,525 g.
Dans la suite on suppose que la probabilité de l'événement « A sachant que B est réalisé» est 0,98 et que la probabilité de l'événement «A sachant que B est réali· sé » est 0,04.
A. Loi 1iOmlGl~ 1° On note X la variable aléatoire qui, il. chaque pièce de 1 € frappée par la Banque de France, prélevée au hasard, associe sa masse e~prjmée en grammes.
1° a) Déterminer P(A n B) et P(A n B) ; b) Déduire P(A) du a) en remarquant que
Cette variable aléatoire suit la loi normale de moyenne fi. = 6,49 et d'écart type fI = 0,015. Calcule.r la probabilité qu'une pièœ de 1 € frappée par la Banque de France soit acceptée par l'appareil. r Des faussaires mettent en circulation un grand nombre de fausses pièces de 1 €. On noIe Y la variable
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
Prob(lbilité.~·
On estime que:
117
A = (A n B) U (A n B). 2° a) Déduire P(A B) de P(A B); b) Calculer la probabilité qu'une pièce de 1 € jetée dans le panier ait été frappée par la Banque de France et soit refusée par l'appareil.
EXERCICES CORRIGÉS
o
Numéros des
DES OBJECTIFS
exel't'Îces
Représenter graphiquement la fonction de
Une partie de loterie consiste à lâcher une bille dans un appareil qui comporte six portes de sortie, numérotées de 1 à 6.
1
répartition d'une \"ariable .. Iéatoire
Calculer 1't,"!!;pc:rJm:c mathématiyue, la va-
1.::!.3
riance et l'écart type d'une variable aléatoire Déterminer la loi de probabilité J'une variable alé::Hoi fC Uli1i~r
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le numéro de la porte de sortie franchie.
2,3
Sa loi de probabilité est définie par le tableau suivant:
4,5,6,7,
une loi binomiale
16, ::!O. 21
Utiliser une loi de Poisson Approcher une loi binomiale
i
8,9. lU, II pdf
l'IX =.)
ul)e loi de
21
Poisson Ulili:.er une loi normale
16,17,19,21 17
JO
32
6
5
1
352
32
-
2° Déterminer la loi de probabilité de Y?
[TI .. La main dans le sac Dans cet exercice, les tirages sont équiprolxlbles. Un sac cont ien t quatre jetons noirs et quatre jetons blancs. On tire quatre jetons du sac, simultanément. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de jetons noirs tirés.
0" dOllnera les wlleurs approchées arrondies à JO~ 2 des rb ll/fats.
0,10 0,16
JO
32
5
3° Un jeu est équitab le si l'espérance mathématique du gain est nulle. Le jeu est-il équitable '! Tous I~s résultats semllt donnés sousforme de fractions irréductibles.
L'étude statistique permet d'admettre que la variable aléatoire X qui assoc ie, à un jour ouvrable tiré au hasard pendant un mois, le nombre d'articles de type A vendus ce jour-là a une loi de probabilité définie par le tableau suivant.
l'IX = x;l
5 32
4
1° Quelles son t les valeurs possibles de Y?
Dans une grande surface, on a relevé sur une longue période le nombre d'articles de type A vendus.
d'articles vendus
32
3
Soit Yla variable aléatoire qui à chaque partie effectuée par un joueur donné associe le gain.
ŒJ •Prévisions de ven te
1
-1
2
Le « gain Jojo d'un joueur est la différence entre ce qu'il reçoit à l'issue de la partie et sa mise. Le gain peut donc être éventuellement un nombre négatif ou nul.
IM,I9
Exemples de situations menant à l'étude d'une variable aléatoire
a
1
La règle du jeu est la su ivante: un joueur mi se 2 euros; il reçoit 12 euros si la bille franchit les portes 1 ou 6, 2 euros si elle franchit les portes 3 ou 4. Les portes 2 et 5 ne rapportent rien.
12,13.14.15,
Approcher une loi binomiale par une loi normale Dé-tcrminer ["espérance et l'él:3rt type d·une somme de \'ariables aléatoires indépendante>;
Nombrexj
~. La loterie
2
3
4
5
Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance mathématique et la valeur approchée arrondie à. 10- 2 de son écart type.
6
0,25 0,30 0,13 0,05 0,01
Loi binomiale 1° Représenter graphiquement la fonction de répartition de la variable aléato ire X. 2° Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. Que représente E(X)? 3° Calculer aléatoire X.
I~l
variance et l'écart type de la variable
~ .. Jeu de boules Dans une urne, il y a 10 boules blanches el 18 boules rouges indiscernables au tOllcher. On considère l'épreuve qui consiste à extraire, au hasard, rune après l'autre el sans remise, deux boules de l'urne. Tous les tirages
118
Il
1° Déterminer la probabilité de l'événement suivant: E : « La première boule tirée est blanche ».
} O Soit X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de six personnes de plus de quarante-cinq ans en bonne santé, associe le nombre de personnes encore vivantes trente ans après. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
r
2° Trouver à 10-
sont équiprobables. On donnera, pour chaque résultat, la valeur exacte et une valeur approchée arrondie à
10-
2.
On répète cinq fois de suite l'épreuve précédente. Après chaque épreuve, les deux. boules tirées sont remises dans J'urne, les cinq épreuves élémentaires précédentes sont donc indépendantes.
te ans » ; b) B : « Au moins deux personnes seront vivantes dans trente ans» ; c) C : « Au moins une personne sera vivante dans trente ans » .
0*** X désigne une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et 0,01, notée 00(11; 0,01).
0** Un cas d'école
1° Déterminer 11 pour que P(X 2° Déterminer 11 pour que P(X
On considère une épreuve aléatoire débouchant sur deux évc.nlualités : succès el échec, de probabi lités respecti'les 0,7 c.t 0,3.
On désigne par Y la variable aléatoire qui associe à 11 épreuves aléatoires indépendantes le nombre k
11
~ ~
0,01. 0,90.
~
X
~
9.
l'expression de :
= 10. Calculer:
P(X ~ 0): P(X ~ 2): p(X '" 2); P(X
> 2) ; l'espéran-
ce E(X) ell'écarllype O'(X). TOlU les ré.wlrats seront arroI/di" à 10- 6.
o
Déterminer la probabilité d'avoir 7
X et Y?
P(X ~ k); pey ~ k); P(X ~ 0); P(X '" 1); p ey ~ Il ).
ZO On suppose que
0) 1)
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre 4.
d'échecs. ) 0 Quelles sont les lois suivies par
= ~
Loi de Poisson
On désigne par X la variable aléatoire qui assoc ie à 11 épreuves aléatoires indépendantes le nombre k de succès.
11
près la probabilité des évé nements
a) A : « Les six personnes seront vivantes dans tren-
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque partie de cinq épreuves, assoc ie le nombre de fois que se produit l'événement E. a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale; préciser les paramètres de celle loi. . b) Calculer la probabilité de J'événement F: « E se produit exactement deux fois » .
Donner en fonction de
4
suivants:
** Assurance-vie
[!] . If faut .. éliminer! 3 % des bouteilles d'eau fabriquées par une usine sont défectueu ses.. On appelle X la variable aléatoire qui, à tout lot de 100 bouteilles prises au hasard, associe le nombre de bouteilles défectueuses. On admet que X suit la loi de Poisson de paramètre 3. Trouver la probabilité de chacun des trois événements suivants:
Une compagnie d'assura.nces vend des polices d'assurance-vie à des personnes de quarante~cinq ans, toules e.n bonne santé. Après consultation des statist.iques des compagnies d'assurances, on admet que la probabilité, de l'événe.ment : « Une personne de quar::lIlle-cinq ans vit encore trente ans ", est 0,7. On prélève au hasard six: personnes de quarante-cinq ans en bonne santé parmi la clientèle de la compagnie. On admet que la clientèle des personnes de quarantecinq ans en bonne santé est suffisamment imporlante pour que l'on pui sse assimiler ce prélèvement h un tirage avec remise. On a donc une succession de six épreuves indépendantes.
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
A : « Un tel lot n'a aucune bouteille défectueuse » ;
B : « Un tel lot a exacte.mcnt deux bouteille.s défectueuses " ; C: « Un te.! lot a au plus deux bouteilles défectueuses ».
~ ** Lecture Înverse de
la table
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre 7. Déterminer la plus petite valeur de k vérifiant: P(X '" k) '" 0,80.
119
Œ2J u.
Détermination du paramètre
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson. Dét.ermine.r à 10- 2 près Je paramètre À sachant que P(X = 0) = 0,3. •
Utiliser la définition de la loi de Pois'>On.
Loi normale. Lecture directe de la table (exercices 12 et 13)
La variable aléatoire X suit la loi normale .N(20, 5).
Calculer, avec la précision permise par la table du formulaire: a) P(X ,. 28); b) P(X ;. 28); c) P(X;' 12); d) P(X,. 12); e) P(12 ,. X,. 28).
~ .. Gestion de parc automobile Une entreprise de tran sport a un parc total de ISO
. camions. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque camion tiré au hasard dans le parc, associe la distance qu'il a parcourue dans une journée. (Les distances sont mesurées en kilomètres.) On admet que cette variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 120 et d'écarttype 14.
Déterminer à 10- 4 près la probabilité qu'un camion parcoure un jour donné une distance comprise entre 110 et 130 kilomètres en utilisant éventuellement une interpolation affine.
Lecture inverse de la table de la loi normale (exercices 14 et 15)
~
..
Approximation d'une loi binomiale par une loi normale (exercices 16 et 17)
~ *** Pile ou face On jene dix fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée en notant chaque fois le résultat, ce qui constitue une partie. Tous les résultats approchls sero'" arrondis à 10- 3. 1 0 On note X la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le nombre de « face" obtenu. a) Justifier que la loi de probabilité suivie par la variable X est une loi binomi ale; on précisera les paramètres de cette loi. b) Calculer la probabilité de l'é vénement E : ..: Le nombre de « face" est compris entre 3 et 6 (bornes incluses) ". r On délèide d'approcher la loi de la variable aléatoire discrète X par la loi normale de paramètres m et u. a) Expliquer pourquoi on prend m = 5 et cr W. b) On considère une variable aléatoire Y suivan t la loi .N'(5 ; ,{2,5). En utili sant cette approximarion calculer la probabilité de l'événement: « Le nombre de « face » est compris entre 3 et 6, borne s incluses " , c'est-à-dire P(2,5 :s; Y:s; 6,5).
=
~
Statistique et probabilités
A. Statistiqut! Avant d'accepter un contrat de livraison de véh icule s, une société d'équipements automobiles établit une stati stique de production journalière sur 100 jours. Le nombre de véhicules équipés journellement se répartit comme suit:
La variable aléatoire X suit la loi normale .N'(20. 5). Déterminer à 10- 2 près le nombre réel a tel que: a) P(X,. a) ~ 0,99; b) P(X ,. a) ~ 0,01 ; c) P(X;' a) = 0,05; d) P(X;' a) ~ 0,90; e) P(20 - a ,. X ,. 20 + a) = 0,95.
~
U_
...
On désigne par X une variable aléatoire. 1 0 X suit la loi normale .N(2 ; 0,1), calculer P(X ;:=: 2,2). 2° X suit la loi norm ale X(m ; 0,1) : a) calculer ni pour que P(X ~ 2,2) = 0,05 ; b) calculer /Il pour que P(X;' 2,2) ~ 0,95. 3 Q X suit la loi normale H(2 ; a) : a) calculer cr pour que P(X ,. 2,2) ~ 0,9; b) calculer cr pour que p(1,8 ,. X,. 2,2) = 0,9. TOlls I~s résultats seront arrondis à 10- 2.
Production journali!'re de véhil:ules équipé~
Nomhrt de jOU"
95 96 97 98 99 100 lOt 102 103 104 105 106 107
1 3 6 8 10 13 18 14 9 8 6 2
2 100
120
Déterminer la moyenne de la production journalière et une valeur approchée arrondie à 10- 2 de l'écart type de cene production.
3° Déterminer le nombre réel positif a, tel que la probabilité de l'événement « 40 - Cl ~ Z ~ 40 + Cl lt soit égale à 0,95.
B. Probabilitb La production exigée par le contrai est au moin s de J00
Exercices d'examen
véhicules équipés par jour, pendant J00 jours de travail consécutifs. À chaque journée tirée au hasard, on assoc ie le nombre de véhicules équipés que l'on suppose indépendant du nombre obtenu chacun des autres jours. On définit ainsi une variable aléuroire X. On admet que la variable aléaroire discrète X peut être approchée par la loi normale de paramètres ni = 10 J el cr = 2,59. On note y une variable aléatoire sui va nt la loi X( 1 1 ; 2,59). Calculer la valeur approchée arrondie ft 10- 3 de la probabilité de l'événement« Le contrat est rempli » , c'està-dire P( Y ;;' 99,5).
~ ... Production de montres, événements indépendants, loi binomiale Une usine d'horlogerie fabrique une série de montres. La fabrication comporte deux: phases. La première phase fait apparaître un défaut a dan s 2 % des cas; la seconde phase, un défaut b dans 10 % des cas.
°
1° Une montre est tirée au hasard. On définit les événements sui vants: A : « La montre tirée présente le défaut a lt ; B : .-: La montre tirée présente le défaut b lt. On suppose que les événements A et B so nt indépendants. Calculer la probabilité des événements suivants: C : « La montre tirée présente les deux défauts ,. ; D « La montre li rée ne présente aucun des deux défauts lt ; E : « La montre tirée présente un et un seul des deux défauts ».
Somme de deux variables aléatoires
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes dont les lois de probabilité sont définies par le s tahleau x suivant s.
x, l'IX - x,)
:1
0
10
1
1
2
1
- 5
Y, P(Y == Yi)
20 1
4
1
10
1
1
'5
:j
1
4'
1
15
20
9
ru
20
1
Calculer l'espérance mathé matique el une vale ur approchée arrondie à 10- 3 de l'écart type de la variable aléatoire Z = X + Y.
[!!] u. Somme de variables aléatoires
r Au cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres. On considère que le nombre de montres fabriquées est assez gT"dnd pour que l'on puisse supposer que les tirages sont indépendants. On admet que la probabilité qu'une montre choisie au hasard dans la production ne présente aucun des deux défauts a e t b est 0,882. Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque prélève ment de cinq montres le nombre de montres sans aucun des deux défauts a et b. a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. b) Déterminer la probabilité de l'événement F : « Quatre montres au moins n'ont aucun défaut lt. On donnera la valeur exacte de cette probabilité, puis une valeur déc imale approchée arrond ie au millième.
suivant une loi normale
~ ... Où on fait de la statistique descriptive et
Les deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes et suivent respect ivement les lois normales: )((22, 4) et X( 18, 3).
utilise les trois lois usuelles de probabilité US pa,.ti~~· A, B
Soit la variable aléatoire Z = X + Y. On admet que Z suit une loi normale. ] 0 Montrer que l'espérance mathématique et l'écart type de Z sont respectivement 40 et 5.
A.
~
Z
~
48 lt.
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
C SOIll
jlld~p~l/da1llu.
Statistiqu~
Dans un lOI de 1(XX) pièces, on a mesuré la longueur des tiges.
2° Calculer la probabi lité de l'événement
.-: 34
~t
Une usi ne fabrique des ~iges métalliques servant d'essieux ?t des modèles réduits de voiture.
121
Voici la répartition en classes de ces mesures; Longueur (en mm)
b) Déterminer une valeur approchée arrondie à 10- 4 Je la probabilité pour un tel échantillon: - de n'avoir aucune pièce défectueuse; d'avoir au plus 2 pièces défectueuses. r a) On admet que la loi suiv ie par X peut être approchée par une loi de Poisson. Déterminer le paramètre de celle loi. b) En utilisant cette loi de Poisson, déterminer des valeurs approchées à 10-3 près de la probabilité de chJ.cu n des deux événemenL~ du l Ob).
Nomhre de pià:es
[67 ,5; n.5[
5
172,5; 77,51
95
[77.5 ; 82.51
790
[82,5; 87.5[
100
187,5; 92,51
10
C. On cons idère maintenant que la variable aléatoire
10 Tracer l'histogramme de cette série stat istique.
r
En suppos:.tnt que, dans chaq ue classe, tous les é léments sont situés au centre, calculer une valeur approc.:hée arrondie à 10- 2 de la moyenne et de l'éc:ut type de cette série stat istique. B. Probabilirè
On prélève des pièces d:.lIls la production d'une journée. On suppose que la probabilité qu'une pièce soit défectueuse est 0,1. On noIe X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 tiges, prélevé au hasard avec remise, "lssocie le nombre de tiges défectueuses parm i les 50.
10 a) Expliquer pourquoi X su it une loi binominale. Donner les paramètres de cette loi.
y qui, à loute tige de la production, associe sa longueur suit la loi normale de moyenne 11/ = 80 et d'écart type cr = 2,5 . Dans ce qui suit, 01/ dOlillera pOlir chaqlle risl/lUlf tille \'llieur approchée (lrro"di~ à 10- ol.
1° Quelle est la probabilité qu'une lige prise au hasard dans la production ait une longueur comprise entre 77.5 et 82,S?
r On accepte les pièces donl la longueur appartient à l'intervalle l77, 86] (les pièces Irop longues peuvent être recoupée.s). a) Quelle est la probabilité qu'une pièce soit acceptée? b) Donner une estimation du pourcentage de pièces défectueuses dans la production.
EXERCICES NON CORRIGÉS ~ * Découvert à la banque
Loi de probabilité, espérance mathématique, fonction de répartition
Soit X la variable aléatoire qui associe à un mois tiré au hasard le découvert des comptes en banque d'une grande entreprise. Une étude statist ique permet d'ad~ mettre que la loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant: 1° Calculer l'espérance mathématique, la variance et la valeur approchée arrondie à 10- 2 de l'écart type de la variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée par le tableau:
X;
P(X
=
Xi.
2
5
12
1
1 2
1 3
6
Xi (dâ"OUvcrl en eurm.)
Pt,X=x j )
200 000
1 10
150000
120000 90000
r
Construire la représentation graph ique de la fonction de répartition de la variable aléatoire X.
70000
122
1 6 1 5 1 3 1 5
~ ... Tirage sans remise
Calculer l'espérance mathématique E(}() de la variable aléatoire X. Que représente E(X)?
Une urne contient deux boules rouges, trois boules blanches et quatre boules noires, indiscernables au toucher. Un jeu consiste à lirer deux boule~ successivement, sans remise. 11 y a équiprobabilité des tirages. Le tirage d'une boule rouge fait gagner 3 euros. Le tirage d'une boule blanche fait gagner 2 euros. Le tirage d'une boule noire fait perdre 3 euros. On appe lle X la variable aléatoire qui :l tout tirage de deux bou les fait correspondre le gain en euros (une perte est un gain négatif).
~ -- Pile ou face On lance simultanément trois pièces de monnaie (non truquées!) : une de 0,50 €, une de 1 €, une de 2 €. Un résultat est noté sous forme de triplet, par exemple (P, P, F) . où le premier élément est le résultat pour la pièce de 0,50 €. le deuxième le ré!'>uhat pour la pièce de 1 €, le troi sième le résultat pour la pièce de 2 €.
1° Déterminer l'ensemble des résllltats possibles.
1° En utilisant les lettres R, B. N respectivement pour rouge, blanche, noire, écrire les neuf résultats possibles sous la forme de couples dOn! le premier terme représente la couleur de la première boule tirée, et le deuxième terme la couleur de la deuxième boule tirée.
2° On gagne 1 euro si on obtient 3 fois face, 0,5 euro si ... on obtient 2 fois face el on perd 0,5 euro si on obtient une seule foi s face ou aucune fois face. On note X la variable aléatoire qui. à tout lancer des trois pièces, associe le gain obtenu, une perte étant considérée comme un gain nég~ltif.
2° Calculer. sous forme de fraction irréductible, la probabilité de chacun des événements trouvés dans la première question. 30 Calculer le gain associé à chacun de ces événements.
a) Définir la loi de probabilité de X en présentant
les résultats à l'aide d'un tableau. b) Calculer l'espérance mathématique E{X) de la
4 0 Écrire la loi de probabilité de X. So a) Calculer l'espérance mathématique de X et l'interpréter. b) Calculer l'écart type de X et en donner une approximation décimale à 0,01 près.
vari able aléatoire X. Que représente E{X)? Le jeu est-il équitable? Un jeu e ... t équitable l0rMIue les gains et les perles
s'équilibrent sur un Irh gr.md nombre de parties. c'e))!à-dire lorsque EV.') = Q.
EJ ~ .... Tirage a\'ec remise
On effectue trois tirages successi fs avec remise, et on note dans l'ordre les trois numéros ainsi obtenus. Un résultat est un triplet donnan! les numéros dans l'ordre où ils ont été obtenus. par exemple: ( l, l, 2).
1° On jette les deux dés. Tous les tirages sont équiprobables. On regarde la couleur des faces supérieures de chaque dé. On note: A, l'événement: « les deux faces son t rouges » . - B, l'événement: « les deux faces sont de la même couleur • . - C, l'événement « l'une des faces est rouge et l'autre verte » . D. l'événement: toC les deux faces sont de couleurs différentes >t.
Tous les triplets sont équiprobables. Donner la liste des triplets possibles.
2° Soit X la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la somme des deux premiers numéros tirés. Par exemple. pour le triplet (J, 3, 3). on a X = 4. a) Donner les valeurs possibles de X;
Expliquer pourquoi PlA)
b) Dresser le tableau de la loi de probabilité de X;
Calcu ler P(B) el P(D).
c) Calculer son espérance mathématique.
= 2. el P(C) = Il. 36
r À chaque jet de ces deux dés est
36
associé un jeu qui permet: un gain de 5 euros si les deux faces sont rouges, un gain de 2 euros si les deux faces sont vertes, une perte si les deux faces sont de couleurs différentes.
3 0 Soit Y la variab le aléatoire qui à chaque triplet associe le double du troisième numéro tiré. a) Donner les va leurs possibles de Y. b) Calculer sous forme de fraction irréductible la probabilité de J'événement X = Y.
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
Problème de dés
On dispose de deu~ dés cubiques non truqués. Le premier cube a cinq faces rouges et une face verte. Le deuxième cube a une face rouge, deux vertes et trois bleues.
Une urne contient troi s boules indiscernables au toucher, numérotées respec ti vement 1,2 et 3.
]0
U
123
("1- _
\' l Il
J<. \
1
On note x le montant en euros de cette perte.
Tirages simultanés (exercices 29 à 31)
On définit ainsi une variab le aléatoire X qui, à chaque jet des deux dés, associe le ga in ou la perte ainsi réalisés.
~ ** Des boules dans une urne
Déterminer P(X
~
5), P(X
~
2), P(X
~
Une urne contient 16 boules: 8 boules blanches, 5 noires et 3 rouges.
- x).
Un tel jeu est dit « équitab le » lorsque l'espérance mathématique E(X) = 0; déterminer la valeur de x correspondante ..
On tire simultanément 3 boules de l'urne. On suppose j'équiprobabilité des tirages. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe 1 si les 3 boules sont de cou leurs différentes et - 1 dans les autres cas.
~ .. Événements indépendants et variable aléatoire
1° Montrer que la probabilité que X soit égale à 1 est l!. En observant les ventes de tracteurs sur une très longue période, le responsable d'une entreprise vendant du matériel agricole a pu établir que le nombre de tracteurs vendus au cours d'un mois peut prendre les valeurs su ivantes avec les probabilités correspondanles :
Nombre de InICteun vendus en 1 mois
Probobilit
0
0.07
1
0,2
2
0.4
3
0,2
4
0,1
5
0.03
On suppose que les ventes de chaque moi s sont indépendantes. A. Un représentant est embauché en début d'année. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants: El: « Il vend au moins deux. tracteurs en janvier » ; El : « Il vend troi s tracteurs en janvier, un en février, et quatre en mars » ; E, : « Il vend quatre tracteurs au cours des deux premiers mois ». B.On lui propose soi t un salaire mensuel fixe· de 1500 euros, soit un syst~me avec un fixe de 1200 euros et une prime de 230 euros par tracteur vendu. On définit ainsi une variable aléatoire X qui, à chaque mois tiré au hasard, associe la prime reçue à la fin de ce mois. 1° Établir sous forme de tableau la loi de probabilité de X.
r
Calculer l'espérance mathématique de X.
3° Si l'on cons idère un très grand nombre de mois, quel salaire moyen le représentant peut-il espérer en choisissant le s y stème des primes?
2° Déterminer la loi de probabilité et la valeur exacte de l'espérance mathématique de X.
~ *** Des jetons dans une urne
.o. n
Une urne contient six jetons: trois jetons verts numérotés l, 2 et 3 et trois jetons rouges numérotés 2, 3 et 4. On tire simultanément deux jetons de l'urne. Tous les tirages possibles sont supposés équiprobables. 1° Combien existe-t-il de tirages différents possibles? Toutes I~s probabilités sero1lt dorlllén sous f()rm ~ d~ fractiol/s irréductibles. 2 ° Quelle est la probabilité de tirer un jeton de c-haque couleur? 3 ° Soit X la variable aléato ire qui associe à chaque tirage la valeur du jeton portant le plus petit numéro si les numéros sont distincts et, sinon, le numéro commun augmenté de 1. Déterminer la loi de probabilité de X. 4° Calculer l'espérance mathématique et la valeur approchée arrondie à 1O~2 de l'écart type de X. 5° Représenter graphiquement la fonction de répartition de X.
~ *** Contrôle de qualité Une usine a fabriqué 25 pièces indiscernables, dont 3 présentent un défaut.
On donnera
le~'
résultats sous f()rm~ décimale.
A. On prélève au hasard une pièce parmi les 25 pièces fabriquées. Toutes les pièces ont la même probabilÎ(é d'être choisies. 1° Calculer la probabilité Pl qu'elle ne so it pas défectueuse. 2° Une personne a besoin de sept pièces non défec· tueuses. Combien doit-elle acheter de pièces au minimum pour être certaine de les avo ir ? B. On prélève simultanément 2 pièces au hasard parmi les 25 pièces fabriquées. (On suppose que tous les tirages de 2 pièces sont éq uiprobables).
124
1° Quelle est la probabilité P2 d'obtenir 2 pièces sans défaut?
r
On appelle X la variable aléatoire qui. à chaque tirage de 2 pièces, associe le nombre de pièces présentant un défaut. a) Donner la loi de probabilité de X. sous forme de tableau. b) Calculer l'espérance mathématique de X.
r
Calculer P(X:S:; 5).
3° Calculer l'espérance mathématique E(X) et la variance V(X) de la variable aléatoire X. Que représente E(X)?
~ -- Pour contrôler la livraison À la livraison d'un nombre très important de pièces dont 1 % sont défectueuses, on pré lève au hasard un échan tillon de 50 pièces. La population est suffisamment importante pour qu'on puisse ass imil er ce prélèvement à un ti rage avec rem ise de cinquante pièces. On a donc une succession de cinquante épreuves indépendan tes. On note X la variable aléatoire qui à, chaque prélèvement de 50 pièces, associe le nombre de pièœs défectueuses de ce prélèvement.
Loi binomiale
~. Quelle est l'espér.mce mathématique de la variable aléatoire 'X qui suit la loi binomiale de paramètres Il = 30 et p = 0,2 ?
r Expliquer pourquoi X sui t une loi binom ial e dont on donnera les paramètres. r
Sachant que la variable aléatoire X suit une loi binomiale 00(11, p), calcu ler: a) pour Il = 6 et P = 0,4, P(X = 3), P(X = 0), P(X '" 2), E(X), 1) ; Pour a) et b) les ri,fII/tats seront arrondis li 1'0- 3. c) pour 11 = 50 et p = 0,5 P(X = 0), P(X = 49), P(X < 50), E(X); dl pour Il = 100 et p = 0,05 P(X = 0), PIX = 1(0), P(X = 2), Ei>-1. Pour c) et d) 011 donnera lt! premier chiffre 1/011 nu/ du rlst/ltat.
§].
f.-
Sachant que la variable aléatoire X suit une loi binomiale <,13(11, p), construire le diagramme en bâtons représentant celle loi lorsque ri = 6 el p = 0,4.
Calcu ler la probabilité de chacun des événements suivants : A : « L'échantillon ne comporte aucune pièce défectueuse lt ; B : « L'échantillon comporte une seule pièce défectueu~
»;
C : « L'éc han tillon comporte au moins deux pièces défectueuses lt. Tous leJ rb ullats llpprochts serofll arnmdi.\ à JO- 3.
~ •• Absentéisme Un chef d'entreprise a réali sé une étude slir l'absenté isme dans son éq uipe de 50 employés. Soit X la variable aléatoire qui, à un jour tiré au hasard dans une année, associe le nombre d'employés absents ce jour-là. Une étude statistique permet d'admettre que la loi de probabilité de la variable aléatoire X est donnée par le tableau suivant: Valeur de X : x, (_d'_
~ .. Des boules dans une urne (tirage avec remise)
PVC-x~
o· 16
1 44
-
220 220
2
3
57 50 220 220
4
5
6
30 - 16 - 7 220 220 220
TOlls les rist/ltals approchls umllf armm!is à 10- 3.
Une urne contient dix boules dont trois rouges. On tire huit bou les l'une après l'autre en remeHant à ch'lque fois la boule tirée dans l'urne . On suppose l'équiprobabi li té des tirages.
1° Calculer J'espérance mathématique, la variance et l'écar t type de la variable aléatoire X. Que représente l'espérance mathématique E(X)? On donnera éventuelleme nt des valeurs décimales approchées arrondies.à 1O-!.
Soit X la variab le aléatoire qui, à ch
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
2° La probabilité qu'un employé soit absent un jour choisi au hasard est p = 0,05.
125
Soit Y la variable aléatoire qui. ~l un employé tiré au hasard, associe son nombre de jours d'absence au cours d'un mois de travail de vingt jours donné. On suppose que les vi ngt événements possibles: absent le ... » sont mutuellement indépendants.
'le
d'une journée, associe son poids, exprimé en grammes et arrondi à 10 grammes près. Le tabJe.au suivant indique la probabilité Pi de l'événement X = x j .
Être
x =x;
a) Expliquer pourquoi Y suit une loi binomiale dont
on donnem les
p~lramèlres.
b) Déterminer à 10- 3 près, la probabilité de chacun des événements suivants: A : « L'employé n'est pas absent au cours du mois
590
600
610
620
0.12
0,25
0,32
0,27
O,().I
Par exemple, la probabilité qu'un pain prélevé au hasard pèse 590 grammes est 0,25. Calculer l'espérance mathématique de X et une valeur approchée arrondie à 10- 2 de l'écart type de X.
de vingt journées de travail » ;
}O
B : « L'employé est absent trois jours au cours du mois ».
8 .... Des jetons dans un sac (avec des tirages simultanés)
~
580
Dans un sac on a mis trois jetons blancs et deu)( jetons rouges. A. Un joueur tire simu ltanément deux jetons du sac. Tous les tirages sont équiprobables.
1° Déterminer la probabilité de l'événement E : « le tirage est bicolore ». ZO Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de jetons rouges obtenus.
2° Un client achète un pain de campagne. Quelle est la probabilité que son pain pèse au moins 600 grammes? 3 ° Un cont rôleur du service de la Répression des fraudes entre dans la boulangerie et prélève, au hasard, dix pains de campagne. La quantité produite ce jour-là est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirag~ avec remise de dix pains. On a donc une succession de dix épreuves indépendantes. On note Y la variable aléatoire qui à chaque prélèvement de 10 pains associe le nombre de pains de 580 grammes contenus dans ce prélèvement. a) Expliquer pourquoi Y suit une loi binomiale.
a) Donner sous forme de tableau la loi de probabilité de X;
b) Quelle est la probabilité d'avoir exactement trois pains de campagne de 580 grammes?
b) Calculer l'espérance mathématique E(X) de X. Que représente E(X) ?
c) Quelle est la probabilité d'avoir au moins un pain de campagne de 580 grammes?
B. Une épreuve consiste à tirer un jeton, noter sa couleur et le remettre dans le sac. Un joueur effectue, de façon indépendan te, cinq épreuves.
d) Quelle est la probabilité d'avoir au plus un pain de campagne de 580 grammes?
On donnera les valeurs exactes puis des valeurs
décimales approchées arrondies à 10- 4 .
Soit Y la variable aléatoire qui à chaque partie de cinq épreuves associe le nombre de jetons rouges obtenus. 1° Expliquer pourquoi l'suit une loi binomiale.
2 0 a) Déterminer, à 10- 3 près, PlY
= 1);
b) Déterminer, à 10- 3 pre.s, la probabilité de l'événement F : « le joueur a obtenu exactement trois jetons blancs » ; c) Déterminer l'espérance mathématique de Y. Que représente E( Y) ?
~ ••• Les jeux sont faits, rien ne va plus À ce jeu, la probabilité de gagner à l'issue d'une partie est égale à 0, l, et les résultats de deux parties sont indé-
pendants. On note X la variable aléatoire qui à chaque « jeu » de II
~ ... Contrôle de poids Un bou lange.r fabrique des pains de campagne qui doivent peser, en théorie, 600 grammes. On désigne par X la variable aléatoire qui, i\ chaque pain de campagne prélevé au hasard dans la production
parties associe le nombre de parties gagnantes.
1° Calculer, en fonction de II, la probabilité P" de l'événement « gagner au moi ns une fois au cours de Il parties suc.cessives », en supposant que les résultats sont indépendants.
r
Déterminer le plus petit entier naturel"o pour lequel
Pl!o ~ 0,99.
126
~ ... Contrôle de qualité
~ .... Probabilités conditionnelles et loi binomiale
Une us ine produit des articles dont 2 % présentent des défauts. En vue du contrôle de qualité, on constitue au hasard un échantillon de 100 articles tirés de la production. La production est assez importante pour qu'on pui sse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remi-
7èms l~s rh ultats approchés surmt arroI/dis à JO -2. Une étude statistique a été réalisée sur le montant des ventes dans un magas in d 'outillage. Pour cela, on a prélevé au hasard 100 fiches. Le tableau suivant déc rit leur di stribu tion.
se de 100 articles. On a donc une sUl.:-cess ion de 100 épreuves indépendantes. On désigne par X la variable aléatoire qui associe à tout échantillon de 100 articles le nombre d'articles défeclUeux. 1° Quelle loi suit la variable aléatoire X? 2° Déterminer une valeur approchée arrondie l\ 10- 3 de la probabililé de chacun des événements suivants : A : « L'échantillon contient au moins un arlide défectueux JI) ;
Efftttif
[50.75[
12
[75.100[
)10.
~5
1 100.
1~5[
36
r 1~5.
150[
I~
[150.175[
B : « L'échantillon contient au plus troi s articles défec-
tueux.
Montant des fil,.'hes eneul\)';
9
10 On considère une fiche prélevée au hasard dan s cet échantillon. On note A, B, C, les événements s uivants;
~ ... Des jetons dans une boîte
A : « le montant est st rictement inférieur à 125 euros» ;
"
B : « le montant est supérieur ou égal à 75 euros » ;
Dans une boîte sont placés six jetons sur lesquels sont respectivement ins<'.'fits les nombres entiers relatifs -3;-2; 1;2;3;4.
C: (j( l'événement A est réali sé sachant que B est réalisé ».
Un tirage consiste à tirer simultanément deux jetons de la boîte ..
Calculer la probabilité de chacun des événements A. B, AnBete.
On suppose que les tirages sont équiprobables.
2 0 Dans cet échantillon, on prélève au hasard et avec remise 40 fiche s. Soit X la vari,'lble alé
} O On définit une variable aléatoire X en assoc iant à chaque tüage la somme des entiers relatifs inscrits sur les deu x jetons tirés.
Dans ct' qlli suit, tolites les pmbabilitb seront dOl/nées SOIIS forme dt' frac/io,,",i irréduoibles.
a) Déterminer les valeurs prises par X et sa loi de probabilité. b) Calculer l'espémnce mathématique E(X} de X. Que représente EU<) ? 2 0 Lors d'un tirage, le jOllt:ur a gagné s i la somme des points est supérieure ou égale à 4. Pour un timge, quelle est la probabilité p de gagner? En déduire la probabilité li de perdre. 3 0 Le joueur effectue 11 tirages s uccess ifs, où 1/ est un entier naturel non nul , en remettant après chaque tirage les jetons dans la boîte. On désigne par Y la vuriable aléatoire qui, à ch'lque tI; partie » de n tirages, associe le nombre de tirages gagnants.
~ .... Les bel/es autos Un représentant d'une marque d'automobiles démarche dix client s par jour. On suppose que chaque client lui commande une voiture neuve avec la proba1 bilité 20 et que chaque client prend la décision de
a) Expliquer pourquoi Y suit une loi binomiale. b) Soit p" la probabilité de gagner au moins une fois au cours des Il tirages. Calculer p" en fonction de
commander ou non une voiture neuve en toute indépendan.ce, sans être innuencé par le comportement dc.!s .Iulres clients.
Il.
e) Déterminer la plus petite valeur de II pour laquelle Pn ., 0,99 .
. Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
TOLlS les rbllitats suont dOllllb m't'c trois décimales.
[27
r
1" Calculer la probabilité pour le conce.ssionnaire de vendre un jour choisi au hasard: a) au moins une voiture; b) troi s vo itures exactement.
r
Sachant qu'il touche 200 euros de commission par voiture vendue, calculer la probabilité qu'il gagne au moins 400 euros en une journée.
~ '" Utiliser la définition Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Poi sson de paramètre 1,8.
À l'aide de la définition, déterminer les probabilités suivantes. Arrondir à 10- 3. a) P(X = 2); b) P(X
• Dans l' exercice 44. il faut définir une variable aléatoire.
,~~ .. Prob!'bilités cond:tionnelles, loi binomiale ~
®
et controle de quallte
Une usine fabrique des pièces dont 1,8 % sont défectueuses. Le contrôle des pièces s'effectue selon les probabilités conditionnelles suivantes: sachant qu'une pièce est bonne, on J'accepte avec une probabilité de 0,97 ; sachant qu'une pièce est mauvaise, on la refuse avec une probabilité de 0,99. On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée et on note B l'événement: « la pièce choisie est bonne )t ; M l'événement: « la pièce chois ie est mauvaise )t ; A l'événement: « la pièce est acceptée au contrôle )t ; R l'événement: « la pièce est refusée au contrôle )t.
1" Quelle est la probab ilité qu'une pièce soit défectueuse? a) Montrer que la probabiliré qu'une pièce soit défectueuse et acceptée est 0,000 18. b) Montrer que la probabilité qu'une pièce soit bonne et refusée est 0,02946. c) Calculer la probabilité qu'il y ait une erreur dans le contrôle. 3" On contrôle cinq pièces de façon indépendante. On note X la variable aléatoire qui, à chaque lot de cinq pièces contrôlées, associe le nombre d'erreurs de contrôle. a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b) Déterminer la probabilité qu'il y ait exactement deux erreurs de contrôle. Donner la valeur approchée décimale arrondie à 10- 3 du résultat.
r
Loi de Poisson
< 2) .
~ * Faut-illimiter la baignade? • Une statistique officielle montre qu'en France, il ya deux morts par an par noyade pour 100000 habitants. Soit X la variable aléatoi re qui à toute vi ll e d'environ 150000 habitants tirée au hasard associe le nombre de ses citoyens noyés pendant une année. On admet que X suit la loi de Poi sso n de paramètre 3. 'Calculer la probabilité de chacun des événements suivants:
A: « Il n'y a aucune noyade cette année dans une telle ville )t ; B:
4(
Il Y a deux noyades cette année dans une telle
ville » ;
C:
4(
Il Y a cinq noyades cette année dans une telle
ville » ;
D: 4( Il Y a moins de quatre noyades cette année dans la ville » .
~
*. Durée de vie d'un équipement informatique
On admet que la variable aléatoire X qui, à tout équ ipement informatique prélevé dans un stock important , associe sa durée de vie exprimée en nombre entier d'années suit la loi de Poisson de paramètre Â. = 5. On définit la fonction R de ce même équipement par: R(t) = P(X
>
t).
Montrer que R(I ) = 0.959. Présenter sous forme de tableau les valeurs de R(t) pour t entier, 1 ~ 1 :s; 10.
~ ••• Courbe d'efficacité Une machine fabrique des tiges en acier. Un client achète un lot de tiges fabriquées par cette machine; pour contrô ler la qualité de ce lot, il prélève 80 tiges et accepte ce lot si le nombre de tiges défectueuses parmi les 80 est au plus égal à 2. On désigne par p la probabilité qu'une tige prise au hasard dans le lot soit défectueuse et l'on suppose p < 0,1. On assimile tout prélèvement de 80 tiges à un prélèvement aléatoire non exhaustif.
~ * Utiliser la table du formulaire Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre 2.
À l'aide de la table du formulaire, déterminer les prob 2). a)P(X=I);
128
1° On admet que la varÎable aléatoire Yqu i, à tout prélèvement de 80 tiges, associe le nombre de liges défeclUeuses de cel échanti llon. suit une loi de Poisson de paramètre 111 = 80 p.
Combien faudrai t-i l de postes de déchargement pour que la probabilité de n'avoir aucun camion en attente soit supérieure à 0,95?
Montrer que la probabilité que le client accepte un lot
est:
i.p(m) =
e- m(1 + 111 + ,~2).
Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
2° Étudier les variati ons de la fonction !.p sur l'intervalle [0, 8] et tracer sa courbe représentative dans u~O~ repère orthogonal d'unités graphiques 1 cm sur l'axe des abscisses el 10 cm sur "axe des ordonnées.
~ ... Contrôle cie qualité (suite) Une usm ° e prod III°t d es ar tOcles présentent des 1 . dont 3 d7 C ' défauts. En vue du contrôle de qualité, on constitue au hasard un échant ill on de 120 ar ticles tirés de la production. LI production est assez importante pour qu'on puisse ass imiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 120 articles. On a donc une succession de 120 épreuves indépendantes. On désigne par X la ·
3° Utiliser la représentation graph iqu e précédente pour déterminer, a) la probabi lité que le lot soit accepté si p = 0,07 ; b) la valeur de p à partir de laquelle la probabilité d ' accepter le lot est inférieure à 0,95.
variable aléatoire qui associe à tout échant ill on de 120 anicJes le nombre d'articles défectueu~.
Lecture inverse de la table de la loi de Poisson n
1° Quelle loi su it la variable aléatoire X? Donner les paï..tmètres de la loi suivie par X.
~ .... Temps d 'attente et loi de Poisson ~
r
V' '
On admet qu'on peut approcher la loi précédente par une loi de Poisson.
Un chef d'entreprise, pour év iter l'attente des camions venant li vrer, envisage, si cela se montre nécessaire, de construire de nouveaux postes de déchargement. Il yen a actuellement cinq. On considère, pour simplifier l'étude, qu'il faut une journée pour décharger un camion. Une enquête préalable su r cent vingt jours ouvrables a donné les résultats suivants: Nombft 7
8
9 10
2 10 18 22 23 19 12 7
4
2
d'.rrhies 0 par jour: Xi Nombft ck jours: "i
A.
1 2
3
4
5
6
1
Sfal;.'iliqLl~
Déterminer le paramètre de cene loi de Poisson.
JO On note Y une variable aléato ire suivant la loi de Poisson obtenue au 2°,Déterrniner une valeur approchée à 10- 4 près de la probabilité de chacun des événements suivants: A: « L'échantillon contient au moins un art Îc.' le défectueux :. ; B: « L'échantillon contient au plus trois articles défectueux :..
~ ... Saisie informatique Une société s'occupe de la sa isie informatique de documents.
Calculer la moyenne et une valeur approchée arrondie h 10- 2 de la variance et l'écart type de celte série statistique.
Pour chaque document, une première saisie est retou rnée, pour vérification, au clie nt correspondant.
B. Pmbabili/ts
Les résultats demandés seront donnés sous forme de
On admet que la variable aléatoire X qui, à un jour tiré au hasard dans les jours ouvrables d'une année, associe le nombre de camions venan t li vrer ce jour-là, suit la loi de Poisson de paramètre À. = 4.
\'aleurs décimales arrondies.1 10- J.
JO Quelle est, à 0,0001 près, la probabilité de n'avoir aucun camion en attente? 2° Combien faudrait-i l de postes de déchargement pour que la probabilité de n'avoir aucun c~lmi on ell attente soit supérieure à O,95? 3° On prévoit, pour les années à venir, un doublement de la fréquence des livraisons: À = 8.
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réell es
Pour chaque document, le délai de retour de hl première sais ie vers le client est fixé à 2 semaines. Une étude stat istique a montré que la probabilité qu'une saisie prélevée au hasard soit effectivement retournée au client dans le délai fixé est égale à 0,9. On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de Il saisies prélevées au ha:o;ard par lirage avec remise, usso(:ie le nombre de sa isies pour le~quelles le délai de retour n'a pas été respecté. 1° a) Quelle est la loi suivie par la variable aléaloire X?
129
b) Pour cette question, on suppose que" Calculer la probabilité P(X = 2).
=
20.
r
Pour celle qu~stion. on suppose que 11 = 100. On admet que la loi de probabilité de X peut être approchée par une loi de Poisson.
En approchant celte lo i binomiale par une loi de Poisson, calculer, pour N = 720, la probabilité de chacun des événements suivants:
A: « 11 ne passe aucun véhicu le pendant la période de 10 secondes au point de contrôle lt ;
a) Donner le paramètre de celle loi de Poisson.
B: « 11 passe un véhicule ... lt ;
b) On noIe Y une variable aléatoire suivant la loi de Poisson définie au a).
C: « II passe quatre véhicu les ... » .
En utilisant celle loi de Poisson, calculer une valeur approchée de chacune des probabilités P(Y = 4) et
P(Y> 2).
~ .... Temps d'attente
~ ... ",. Pannes de micro-ordinateurs
rV
JI -
On a observé que 2 % des micro-ordinateurs d'un type donné tombent en panne par mois d'utilisation. On suppose que les pannes de tels micros son t indépendantes.
Dans un service public, on s'intéresse à l'événement: « Une personne se présente au gu ichet au cours d'une minute, c'est-li-dire entre la minute 1 et la minute (t + 1), t élun t ent ierlt. Des observations permellent d'admettre qu'entre IO h et Il h la probabilité de œt événement est 0, l.
On note X la variable aléatoire associant le nombre mensuel de pannes prévisibles li chaque parc de ISO micros (on assimilera le choix des 150 micros à un tirage avec remise et on supposera les pannes indépendantes).
On admet que la probabilité que plusieurs personnes se présentent
10-3 près, la probabilité de chacun des événements sui-
} O Quelle
est la loi de probabilité deX?
Calcu ler l'espérance mathématique et l'écart type de X.
} 0
Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer à
vants:
A : oc )e nombre mensuel de pannes est 5 lt ; B : « le nombre mensuel de pannes est au plus égal li 3 • .
20 On admet que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson. Donner le paramètre de cette loi.
3° On utilise cette approximation dans la suite de l'exercice.
2° On admet que l'on peut approcher la loi précédente
a) Reraire les calculs du J O.
par une loi de Poisson.
b) Déterminer le nombre minimal N te l que la probabilité de l'événement .. Le nombre de pannes est au plus N » soi t supérieure à 0,99.
Quel est son paramètre? Dé.erminer P(X = 3), puis P(X "" 6).
@:J ",.",. On retourne se baigner
@] .... Des travaux sur l'autoroute Afin de prévoir la mise en place d'une signalisation sur une uutoroute sans causer d'accident, on se propose de déterminer la probabilité de l'événement « JI passe k véhicules pendant une période choisie de 10 secondes, en un point de contrôle lt .
Reprendre l'énoncé de J'exercice 48 et expliquer comment on a déterminé la valeur du paru mètre de la loi de Poisson utilisée.
Loi normale
S'il passe un véhicule à l'heure au point de contrôle, la probabilité de l'événement .. Le véhicule passe au point de contrôle pendant la période choisie de lO secondes lt
D;tn~ les exercices lJui suivent, ~auf indication particulière, les r~sult:l.IS numérique" seront donnés uvec la précision permi~ par la table du formulaire.
estp=~. 3600
S'il passe N véhicules par heure, de façon indépendante, la variable aléatoire X qui, à chaque intervalle de temps de 10 secondes tiré au hasard, as~ocie le nombre k de véhicules (k = N) passant pendant cet intervalle au point de contrôle suit la loi binomiale
œ(N, ..J.Q...). 3600
~ .. Utiliser fa table du formulaire La variable aléatoire X suit la loi norm.lie X(24, 6). Calculer: a) P(X "" 30); b) P(X "" 30) ;
130
1° On note X la variable aléato ire qui, à un sac de cirnent prélevé au hasard dans la f~lbricillion d'une usine, associe sa résistance à la compression à 28 jours.
c) P(X" 2 1); d) P{27 " X" 33); " e) P(16,50" X '" 3 1,50); f) P( 18 :s;; X :s;; 20). On pourra dans ce cas arrondir à 10- 2 près une des va leurs extn!mes prise par la variable aléatoire
Un croquis sur la notice pe rmet d'admettre que X suit la loi normale de moyenne ~ = 55 MPa et d'écart type (J' = 3 MP •.
On peut aussi calcu ler directement la valeur approchée d'une intégrale avec une calculatrice.
Déterminer, à 10- 2 près, la probabilité
@!J ' Remplissage de bouteilles d 'eau
P{50 " X " 60). La ré:-. istance minimale à la compression à 28 jours, garantie pour chaque sac par cette usine, e~ t de 45 MPa ; quelle est la prob
Une entreprise produit des bouteilles d'eau minérale de 1,5 litre. Une bouteille d'eau sortant de la chaîne de remplissage est considérée bonne ~i ell e contient entre 149,6 cl d'e.u et 150,4 cl d'eau. •
On note C la variable aléatoire qui , à chaque bouteille prtle\'ée au hasard dans la prod uct ion d'une journée. associe son conte nu en ce ntilitres. On suppose que C su it la loi normale de moyenne 150 et d'écart type 0,2. Déterminer, à 10- 3 près, la probJbililé q u' une bou-
teille
SOil
~
Un atelier produit des joints Plallsfrfl, type IE, qui assurent l'étanchéité du palier d'arbre d'entrée d'un réducteur de vitesse.
I~s
ri sulrats approchis Sl'ront arron-
JO-J,
JODéterminer la probabilité qu'un joint pris au hasard dans la production de l'atelier ai t une durée de vie comprise entre 720 et 1 000 heures. 2° a) Déterminer la probabilité qu'un jo int pris au hasard dans la prod uctio n de l'atelier ail une durée de vie inférieure il 620 heures.
. 20 Un responsable de l'entreprise a fi xé comme objectif que le chiffre d'affaires mensuel atteigne au moins 120000 euros. Déterminer avec la préc ision de la table du formulaire la probabilité qu'un mois tiré au hasard cet objectif soit atteint.
h) Un joint ayant une durée inférieure à 620 heu res est défectueux.
,
lecture inverse de la table de la loi normale
Estimer le nombre de joints défectueux dans un lot de 500 joi nts.
~
..
Sachant que la variable aléato ire X suit la loi nor mal e )(24; 6.5), déterminer, à 10-:2 près, (1 tel que:
~ _u Résistance à la compression à 28 jours d 'un ciment
a) P(2.t -
Dans une notice concern an t les ciments Lafarge, on flo ns idère com me « é levée» la probabilité que la résistance à la compress ion à 28 jours d'un sac de ciment soit compri se entre 50 MPa (mégapasca l) .et 60 MPa. On se propose de détermi ner cet te probab ilité.
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
@
Prévisions de ventes
1° Le seu il de rentabilité a été fixé à 85000 euros. Déterminer avec la précision de la table du formulaire la probabilité qu'un mo is tiré au hasard le chiffre d'affaires pou r cette gamme de produits soil supérieur ou égal au seuil de rentabilité.
La vari able aléato ire X qui, à tout joi nt pris au hasard dans la production, associe sa durée de vie exprimée en heures suit la loi no rm ale de moye nne 970 et d'écart type 200. Dans ce qui SI/if
U
La société ACRA fabriqu e et commerc ialise différe-nts produits de haute techno log ie pour le chauff
bonne.
~ ". Joints d'étanchéité
-dis à
j
r
(1
~
X ~ 24 +
b) P{IX - 24 '" a)
I 131
On rappelle que
=
0,99;
= 0,95.
X - CI
c-a~X~c+a.
(1)
~ CI
est
~quÎ\'alent
à
•
~
..
La variable aléatoire X suit la loi norm'1le X(III ; 6,5) ; déterllline-r 11/, à 10 - 2 près, sachant que: , a) P(X '" 30) = 0,95; h) P(X '" 30) = 0,05.
~
•
..
~ ••• La taille des hommes ~
La variable aléatoire X suit la loi no~male X (24, cr); déterminer a, à 10- 2 près, sachant que: a) P(X '" 30) = 0,95; h) P(X '" 10) = 0,01.
~ ~~ La
On note X la variab le aléatoire qui, à chaque homme prélevé au hasard dans les étudian ts d'un campus, associe sa taille en centimètres. On suppose que)( suit la loi normale de moyenne 178 et d'éçart type 10.
bonne cole
Dans Ct! qui SI/if, fOl/s I(!s résl/ltats approchés seront arrondis à 10- 2.
On élUdie la cOle d'une pièce produite par une machine. So it X la variable aléatoire qui à chaque pièce prise au hasard dans la prodw.:tion associe sa cote x, exprimée en millimètres. X suit la loi normale de moyenne 1/1 = 20 et d'écart type CT = 0,20.
1° Une cote x est correçte si
111-
3rr ::=.; X
~ III
1" Déterminer la probabilité de çhacun des événements suivants : A : 0( un homme prélevé au hasard parmi les étudiants a une taille supérieure à 180 lt ; B : 0( un homme prélevé au hasard parm i les étudiants a une taille supérieure à 190 ~ ; C : 0( un homme prélevé au hasard parmi les étudiants a une taille inférieure ou égale à 150 lt ; D: 0( un homme prélevé
+ 3a.
Calculer la probabilité qu'une cote so it correcte. 2° Déterminer, à 10- 2 près, la valeur a telle que P(X'" a) = 0,20.
~ ** La
2 " Déterminer. à 10- 2 près, le nombre a tel que la proportion de barres ayant une longueur comprise entre 500 - a et 500 + a soit égale à 0,80.
cote d'alerte
Une machine usine des pièces. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque pièce prise au hasard dans la production d'une journée associe sa longueur x. exprimée en millimètres. On suppose que X suit la loi normale de moyenne 111 = 54 et d'écart type <.T = 0,2. Une pièce est considérée comme défect ueuse si
•
x ~ 53,6 ou x ~ 54,3. TOlls les rbultats approchés seront arrondis à 10~2. J" Calculer la probabilité p qu'une pièce soit défec-
~ ••• La' masse des paquets: détermination
tueuse.
r
Pour vérifier que la machine ne s'est pas déréglée, on détermine des cotes d'alerte 111 - h et m + Il définies par: P(", - li ~ X ~ m + h) = 0,95. Calculer les cotes d'alerte.
d'une moyenne TOllf(!S /(!.V
2.
Une machine automatique rempl it des paquets dont la masse théorique doit être de 250 g. Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque paquet prélevé au hasard à la sortie de la machine, associe la masse de ce paquet,-exprimée en grammes; elle suit une loi normale de moyenne 111 et d'écart type 15,8.
~ •• De l'acier en barre
•
valeurs approchées seront arrondies à /0 -
Une machine fabrique des barres métalliques en acier. À chaque pièce tirée au hasard dans la production d'une journée on associe sa longueur exprimée en millinlètres ; on définit ainsi une variable aléatoire X.
1" On prend 11/ = 250. Déterminer la probabilité que la masse d'un paquet pris au hasard à la sortie de la machine soit inférieure à 245 g. 2" Un réglage de la machine permet de faire varier la valeur de U/ (l'écart type est inchangé). Sur quelle valeur de Ill, au gramme près, doit êt re réglée la machine pour que pey ~ 245) ~ 0,1.
On suppose que X sui t la loi normale de moyenne ( j = 0,12.
m = 500 et d'écart type
J" Que lle est la probabilité, à 0,01 près, que la longueur d'une barre, prise au hasard, ne soi t pas comprise entre 499,79 et 500,21 ?
132
~
U.
Us risl/lrats SOIl1 attendtumales arrondies à 10- 2.
Des résistances chauffantes: détermina-
tion d'un écart type
fon"e de ,'aleurs déci-
Dan s un centre d'élevage, on él udie le poids des bovins d'un âge fixé. Soit X la variable aléato ire qui, à tout' bovi n pré levé au hasard dans J' élevage associe son
Une machine fubrique des résistances chauffantes en grandes séries. Parm i la production d'une journée, on prélève une pièce au hasard. On lu i assoc ie sa longueur 1exprimée en millimètres. ,On définit ainsi une variable aléato ire L. On s uppose que L sui t une loi normale el on désigne par m sa moyenne et par CT son écart type.
If-.
SOIIS
~ids.
On suppose que X su it une loi normale de moye nne f.L et d'écart type (1. On sai t que 20 % des bovin s o nt un poids ~upérieu r à 359 kg et que 90 % o nt un po ids inférieur à 368 kg.
Une pièce produite est d éc hirée acceptab le si 392,5 ~C ~ 407,5 el défectueuse da ns le cas contraire. La moyenne des longueurs des pièces de la fabrication est 111 = 400. Tous !t.'s risl/llats llppmchb seron t arrondis cl 10- 2.
10 Montrer que J.l et
0" ~on t
solutions du système:
f' + 0,84 <1 = 359 ( f'+ 1,28<1=368.
1° Sachant que 0' = 5,2. calcu ler la probabilité que la pièce soit défectueuse.
Calcu ler f.L et 0".
2° Un réglage de la machine permet de modifier l'écarl type sans changer la moyenne. Q uel doit être le nouvel écart type (1' pour que la probabilité que la pièce so it défectueuse soit égale à 0.1 ?
On veut sélectionner, pour la production , les 15 % de bovins le s plus lourds. À partir de quel poidS M, déterminé à 1 kg près, un animal se ra-t-i l sé lectionné?
~ .. - Durée de vie des ampoules .- détermina-
Approximation d ' une loi binomiale par une loi normale
2° Dans cette question, on prend f.L = 342 et cr = 20.
ti.on d'une moyenne et d'un écart type
~ *** Approximation d'une loi binomi
On admet que la variable aléatoire X qui assoc ie à IOule ampoule du type A sa du rée de vie, mesurée en heures, su it une loi normale de moyenne", el d 'écart type u. 1° Déterminer 11/ et u sachant que P(X '" 1 100) ~ 0,9332 et P(X '" 1600) ~ 0,84 13. 2 0 On Stlppose maintenant que m vaut 1400 et que u vaut 200. Calculer ~ 10- 3 près la probabilité p(X '" 1 200).
une loi normale Une usi ne fabrique en grande série un certa in type de pièces. La probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dan s la production d'une journée soit défectueuse est p = 0,07. On prélève au hasard 250 pièces dans la production d'une journée. La production est assez importante pour qu'on pui sse assimil er ce prélèvement à un t~rage avec rem ise de 250 pièces. On note X la variable aléato ire qui , à tout prélèvement de 250 pièces, associe le nombre de pièces défectueuses.
~ _.. Les notes de BTS On nOIe X la variable aléatoire qui , à chaque..candidat tiré au hasard dan s un ce-ntre d'examen de l'île de France, associe sa note à J'épreuve mathématiques du BTS.
1° Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
On suppose que X suit une loi normale de moyenne m et d'écart type (J. 1° Déterminer une va leur approchée à 1 près de m et (J sachant que 10 % des candidats ont obtenu une note supérieure ~ 15 et 10 % une note inférieure ou égale ~ 5. 2° Déterminer une esti mation du pourcentage de candidats ayant obtenu une note comprise en tre 9 et 12.
~ *** Le bovin est dans le pré .- détermina tion de
2° 0n décide d'approcher la lo i de la variable discrète X par la loi norm.lie de paramètres ni = 17 ,S et cr = 4,03. On note Y une variable aléatoire suivant la loi normale ,N'(I7,5 ; 4,03). 3. Justifier les valeurs de m et (J. b. Calculer la probabilité qu'il y ail au plus 20 pièces défectueuses, c'est-à-d ire, P( Y ~ 20,5). c, Calculer la probabilité que le nombre de pièces défectueuses soit compri s au sens large entre 15 et 20, c'est-à-dire, P (14,5 '" y", 20,5). Tous les rlsultals apprrx:his seront arrondis à 10- 2,
~ *** Vente d'appareils photographiqu~s
moyenne et d'écart type On s' intéresse dans cet exercice à la production de bovins (nourris sans farines animales). •
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
Un revendeu r de matériel photQgraphique dés ire s' impla~ler dans une galerie marchande.
133
•
b. On note Y une variable aléato ire suivant la loi )(m, a). En utili sant cette approximation, déterminer la probabilité que 39 hom mes e,;acte ment parmi les 500 so ient atteints de daltonisme, c'est-à-dire P(38,5 '" y", 39,5), et la probabilité qu'au plus 35 de ces 500 hom mes so ient atteint s de daltoni sme, c'est-à-dire P(Y:::::;: 35,5) .
Il estime quïl pourra vendre 40 appareils photographiques par jour et que les ventes sont deux à deux indépend:.llltes .
Une élude lui a montré que, parmi les différente s marques d'app,lfeils disponibles, la marque A réalise 38.6 % du marché. l On note X la variable aléatoire qui, il. un jour tiré au hasard, associe le nombre d 'appare il s de marque A ve ndus ce jour-là. a) Expliquer pourquo i X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette lo i. b ) Calc uler la probabilité que, sur 40 appareil s ve ndus par jour, 20 so ient de la marque A. On en donnera une approximation décimale à 10- 2 près. c) Calculer l'espérance mat hématique de X. Calc uler l' écart type de X. On en donnera une approximation décimale à 1 près. Q
r
,
On décide d'approcher la loi de la variable discrète X par une lo i normale de moyen ne /1/ et d 'écart type a. a) Déduire du 10 que 111 = 15,44 et a = 3. b) On note Y une variable aléatoire sui va nt la lo i normale XC 15,44 ; 3). Donner une approx imati on de la probabilité de l'événement: « un jour tiré au hasard, il y a exactement 20 appareil s de marque A ve ndus» en calculant à 10- 2 près, P(l9,5 '" y", 20.5).
c) Déterm iner la probabi li té de l' événement: « un jour donné. 20 au moins des appareils vendus sonl de marque A 'II en calc:ulant, à 10- 2 près, P(Y'" 19,5). d) Déterminer la probabilité de l'événement: « un jour donné, le no mbre d'appareils de type A vendus est compri s entre 15 et 25. bornes incluses » e n calculant, à JO- 0 près, P( 14,5 '" y", 25,5).
~ .--. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale dans le domaine de la santé Le daltonisme, ou mau vaise vision des couleurs, est une anomal ie dont 8 % des hommes sont atteints. On contrôle la vue d 'échantillon s de 500 hommes pri s au hasard avec remi se parmi la population fran çaise. TOlls les résululfs approchis .w:rol/t arrondis Il 10- 2.
l
l a On dé sig ne par X la vari able aléatoire qui, à chaque prélèvement de 500 hommes, associe le nombre de ceu,; qui son t atte ints de daltonisme. a. Ju stifier que la lo i de probabilité suivie par la variable X est une loi bino miale . On précisera les paramètres de cette loi . b. Calculer l'espérance mathé matique et l' écart type de la variable aléatoire X. 2° On approche la loi de la vari able discrète X par une loi normale de paramètres m et a. a. Déterm iner
11/
et a.
2 Tous les rbll/rats approchés umm arrondis à 10 - .
Variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales
~ ... Deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales On considè re un lot de tubes ?l essais.
À chaque tube pré levé au hasard , on associe son diamètre et sa hauteur exprimés en millimètres. On définit ainsi deux variables aléatoires D et H. La variable aléatoi re D suit la loi normale de moyenne !-Lv = 19,7 et d'écart type tT D = 0,4. La vari able aléatoire H suit la loi normale de moyenne !-LH = 203 et d 'écart type u H = 6. On su ppose que les variabl es aléatoires D et H sont indépendantes. 1 0 Calculer, à 10 - 3 près, la probabilité qu 'u n tube il essais ait un diamètre inférieur il 20 mm. 2 0 Cakuler, à 10 - 3 près, la probabilité qu ' un tube à essais ait un e hauteur supérieure à 195 mm.
y Des con traintes d'expérience et d 'entretien imposent les conditions sui van tes: le diamètre doit apparten ir à l' intervalle [19; 20,51 et la hauteur, à l' intervalle [195;210]. Calculer la probabilité de l'événement: (19 '" D '" 20,5 et 195 '" H '" 2 10). Estimer le pourcentage de tubes à essais utili sables.
~ U. A\'€C trois variables aléatoires indépendantes On désigne p'lf x, y,::: les d imensions exprimées en centimètres, des pièces fabriqu ées par une machine. On s uppose que pour un tirage au hasard d ' une pi èce dans la production: - les variables aléatoires X et Y qui , il chaque pi èce, associent respect ivemen t leurs dim ension s x et )' suivent la loi normale de moye nn e 10 et d'écart type 0,05 ; - la variable aléatoi re Z qui , à chaque pièçe , associe sa cCimension ::: suit la loi normale de moyen ne 7 et d 'écarl
134
Iype 0,02. Tous les résultats approchés Urollt arrondis à 10- 2. 1° Calculer les probabilités:
NombR de machines "endues: Xi
Pt,X = ',)
0
Pl = p(9,9 '" X '" 10, 1); p2=P(9,9'" y", 10, 1);
1
'" = P(6,95 '" Z '" 7,05).
2
r
Une pièce est acceptable si les trois conditions suivantes son t simultanéme nt remplies:
3
9,9'" x '" 10,1, 9,9 ~ \' ~ 10, 1,
4
16,95 '" :
'" 7,05. X, Y, Z étant supposées indépendantes, calculer la probabilité qu' une pièce soit accepté!!.
5
6
On admettra que la défini tion de deu;Il variables aléatoires indépendantes peUl être étendue au cas de troLs variables
1
1
60 1
20
-1
12 1
4 1 5 2 15
7 60 1 12
7
-
8
1 15
al éato i re~.
1" Calculer l'espérance mathématique Somme de variables aléatoires
~ - Somme de deux varÎables aléatoires Soit X et Y deux: variables aléatoires indépendantes donl les lois de probabilité son t données par les tableaux ci-après
l' ='~~ l'(X
2
0,4
0,6
0
2
4
0,2
0,5
0,3
E(X)
de la
variabl e aléato ire X. Que représente E(X)? 2° La ve.nte d'une machine rapporte 5000 euros et les frais de tonctionnement mensuels de l'atelier fabriquant les machines s'é lèvent à 10000 euros. Soit Y la variable aléatoire qui, à un mois tiré au hasard, associe le résultat en euros de l'ate li er (bénéfice ou perte). Écri re une relation en tre Yet X. En déduire l'espérance mathématiq ue de la variabl e aléatoire Y. Que représente E(Y)?
~ ... Indépendance P(Y
"=
Yi}
et somme de variables aléatoires
Un chan tier néce-ssite l'exécution de trois tâches: l'installation d'un regard d'assainissement A béton;
Déter mine-r J'espérance mathématIque et la valeur approchée arrondie à 1O-::! de l' écart type de la variable aléatoi re Z = X + Y.
B: la construction d'un hangar pour stocker du matériel et des pièces détachées; C: la fabrication d' une chambre pour installer un robinet van ne. Soit X A la variable aléatoire qui, à une tâche de type A tirée au hasard pê1rmi les tâches de ce type réalisées ces dernières années, associe le nombre de jours nécessaires pour la réaliser. On définit de même les variables aléato ires X B et Xc. On suppose qu e les variabl es aléatoires X A• XS . Xc sont indépendantes. En relevant sur une longue période les du rées nécessaires pour réaliser les tâches de type A, B, C, un gestionnaire de l'agence Sogea de Marne-la-Vallée a établi que les lois de probabilité étaient définies
[!!] .. Vente de machines .où on utilise l'expression de E(aX + b)
Une entreprise fabrique des machines pour l'industrie textile. Soit X la variable aléatoire qui , à un mois tiré au hasard, associe le nombre de machines vendues pendant cette période. Une étude statistique permet d'admettre que la loi de probabilité de la variable X est donnée. par le tableau s ui va n ~ :
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
en
135
de plusieurs contrô les, que Y suit la loi normale de moyenne 180 et d'écart type 2,7. Les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.
pourX A par: dur6e~, en
joun
p(XA:III xi)
3
4
0,6
0,4
g
9
10
Il
0,1
0.3
0,4
0,2
4
3
6
0,3
0,6
0,1
pour X B par:
durft
x, en joun
P(XB =Xj)
pour Xc par:
dur6e xi en joun PUC=-xi )
1° Calculer l'espérance mathématique de chacune des variables aléatoires XA, XB, Xc Que représente chacune de ces espérances?
r
Calculer l'écart type de chacune des variables aléatoires X A , X s ' Xc· 3° On définit alors ulle variable aléatoire X qui, à un chantier comportant la réalisation success ive des tâches A, B, C, tiré au hasard, associe le nombre total de jours nécessaires pour le réaliser. OnaX=XA+XB+XC À l'aide d'un arbre, déterminer l'ensemble des valeurs prises par X. Quelle est la valeur minimale prise par X? Quelle est la valeur maximale prise par X ? 4° a. Déterminer E(X). Que représente E(X) ? b. Détermine.r l' écart type de X.
5° Calculer les probabilités des événements su ivants: a. « Le chantier dure 21 jours » ; b. '" Le chantier dure 20 jours » .
Somme ou différence de variables aléatoires suivant des lois normales
~
*H
Taboulé et somme de variables aléatoires
Un fabricant de plats c.uisinés propose aux supermarchés des préparations pour taboulé présentées sous un emball age en carton dans lequel on trouve d'une part un sachet contenant la semoule, d'autre part une boîte métallique contenant la garniture. On peut lire sur chaque emballage en carton les indi cations sui vantes: garni ture: 550 g. semoule: 180 g. On note X la variable aléatoire qui, à chaque boîte, prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe sa masse de gi.UnilU re expri mée en grammes. On admet, à la suite de plusieurs contrôles, que X suit la loi normale de moyenne 550 et d'écart type 5. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque paquet, prélevé au hasard dans la production, associe sa masse de semoule exprimée en grammes. On admet, à la suite
Soit Z = X + Y la variable aléatoire qui. à chaque emballage prélevé au hasard, associe la masse de taboulé obtenu en mélangeant le contenu de la boîte de garniture et celui du sachet de semoule, cette masse étant exprimée en grammes. 1° On admet que Z suit une loi normale. Montrer que Z a pour moyenne 730 et pour écart type 5,68 (arrondi à 10- '). 2' Démontrer que P(Z '" 720)
= 0,04 à 10- 2 près.
~ *** Somme de
deux variables aléatoires à propos d'électricité
Une mac.hîne fabrique des résistors. On tire au hasard un résistor dans sa production. La variable aléatoire R, qui associe à chaque résistor tiré au hasard dans la production de celte machine sa résistance en ohms, s uit la loi normale de paramètres m = 100 et a = 3. Une seconde machine fabrique aussi des résistors. La variable aléatoire R', qui associe à chaque résistor tiré au hasard dans la production de cette machine sa résistance en ohms suit la loi normale de paramètres m' = 200 et a' = 4. R" = R + R' est la variable aléato ire qui associe à deux résistors tirés au hasard, fabriqués par les deux machines, la résistance du montage en série de ces deux résistors. 1° Calculer l'espérance de la variable aléatoire R".
r
On suppose que les variables R et R' sont indépendantes. Calculer alors la variance de R" donnée par la formule:
V(R") = VeR) + 3° On admet que R" suit une loi probabilité qu'un résistor ainsi tance comprise entre 290 et 305
VeR'). normale. Quelle est la obtenu ait une résisohms?
*** Chiffres d'affaires, somme et différence de variables aléatoires suivant des lois normales Deux supermarchés vois in s notés A et B appartiennent au même groupe. On admet que la variable aléatoire X qui, à un jour d'ouverture tiré au hasard dans une année, associe le chiffre d'affaires en milliers d'euros de A suit la loi normale de paramètres III = 50 et a = 2 et que la variable aléatoire Yqui, à un jour d'ouverture tiré au hasard, associe le chiffre d'affaires en milliers d'euros de B, suit la loi normale de paramètres
136
= 60 et CT = 3. On admet que X et Y sont deu x variables aléatoires indépendantes.
ni
1° Déterminer, avec la précision de la table, la probabi Lité qu'un jour donné le chiffre d'affaires to tal , Z, des deux supermarchés soit tel que 104 ::s:;: Z::s:;: 122. v
2° Déterminer, avec la précision de la table du formulaire, la probabilité qu ' un jo ur donné la différence D entre le chiffre d'affaires de B et ce lui de A soit supérieure ou éga le à 18.
la production, associe son diamètre en millimètres suit la loi no rmale de moyenne 111" = 19,97 et d'écart type (7,.;: 0,03. L'ajustement est· correct lorsque le jeu, x;" - Yj' e ntre les co tes x j et Yj' vérifie 0,0 1 ~ x j - Yi ~ O, IS. On rappell e que si X et Y sont des variables aléatoires normales indépendantes de moyennes respecti ves m,r' ni" et d'écar t type a ' a\, alors la variable aléatoire x Z';: X-Y. suit la loi nor nlaJe de moyenne 111\, et d'écart type CT; +
"'x -
V a;,.
.
10 Déterminer la moyenne et l'écart type de Z.
()'{86l -" Somme de variables aléatoires, à propos ~ de l'assemblage de pièces
Pour réali ser un de ses produits, une entreprise doit procéder à j'assemblage de deux pièces de type A, fabriquées en grande série par un sous-traitant, et d'une pièce de type B réali sée par ses soin s. Le cahier des charges précise que la masse totale d'un dispositif assemblé doit être comprise entre 970 et 1 000 grammes. On désigne par X) (respecti veme nt X'1) la variable aléatoire qui, à la premi ère (respectivement la deuxième) pièce du type A, pré levée au hasard dans la production, assoc ie sa masse, exprimée en grammes.
r
Quelle est la probabilité qu ' une tige pri se au hasard, pui sse être ajustée de manière correcte dans l'un des tro us tiré :.tu hasard ? On donnera une valeur approchée arrondie il 10- 2.
~ ._- Différence de deux variables aléatoires à propos de fabrication mécanique TOllt~s I~s \'OJ~urs opprocltüs serOllt arrondie.f à 10- 2.
Une usi ne produit des pièces de type A qui doivent s'ajuster dans des pièces de type B.
On suppose dans celle question que chacune des variables indépe ndantes X) et X 2 suit la même loi normale de moyenne 390 et d' écart type 3,2.
B
On désigne par Y la variable aléatoire qui, il chaque pièce du type B, prélevée au hasard dans la production, associe sa masse, exprimée en grammes. Cette variable aléatoire Y suit la loi normale d'espérance mathématique 208 et d'écart type 2. Les deu x pièces de type A et la pièce de type B à assembler sont prélevées au hasard et de manière supposée indépendante. On désigne par Z 13 variable aléatoire définie par Z = XI + Y + X2. Montrer que l'espérance mathématique de Z vaut 988 et que la variance de Z vaut 24,48. En admettant que la variance Z suit une loi normal e, montrer que la probabilité qu'un dispositif assemblé ne réponde pas au cah ier des charges est inférieure à 0,1.
~
1° Les dilTérentes valeurs prises par la cote x permettent de définir une vari abl e X suivant la loi normale de moyenne 20 et d'écart type 0,04. Une pièce de type A est acceptable lorsque sa cote appartient à l'intervalle [ 19,92 ; 20,08]. Déterminer la probabilité qu'une pièce de type A soit acceptable. 2° Les différentes valeurs prises par la cote y permettent de définir une variabl e aléatoire Y suivant la loi normale de moyenne 20,1 et d'écart type 0,03. On suppose d'autre part que les pièces du type A et B peuvent s'assembler si le jeu entre les cotes, y - x est au moins égal à 0,01. On rappelle que si X et Y sont des viJriables aléatoires indépendantes sui vant des lois normales de moyenne Inx et my de variance Vx et Vy' alors Y- X suit la loi normale de moyenne nly - mx et de variance Vy + Vx ' a. Déterminer la moyenne et l'écart type de la variable aléatoire Y - X. b. Quelle est la probabilité qu'une pièce de type A prise au hasard puisse être introduite dans une pièce de type B également prise au hasard?
U_ Différence de deux variables aléatoires à
propos de perçage Une machine automatique perce des tôles. La variable aléato ire X qui , à tout trou percé, associe son diamètre en millimètres suit là loi normal e de moyenne IIlx = 20 et d'écart type a x = 0,04. Chaque trou percé est destiné à recevo ir une tige. La vari able aléatoire Y qui, à chaque tige prélevée au hasard dans
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
137
Somme de deux variables aléatoires suivant des lois de Poisson
3° Déterminer la loi de probabilité de X. La présenter sous forme de tableau se lon le modèle ci·dessous :
~ ••• Deux sources de pannes
2
Une machine à e mpaqueter automati sée est suj ette à deux sources de pannes indépendantes J'une et l'autre. Les unes sont d'ori gi ne mécanique , les autres d'origine électrique. Soit X la variable aléatoire q ui , à chaque machine de ce Iype tirée au hasard dans le parc des machines, assoc ie le nombre de pannes d'origine mécanique survenues pendant les trois premières années d'utilisation. X suit la lo i de Po isson de paramètre À = l ,S. Soit Y la variabl e aléatoire qui, à chaque machine de ce type tirée au hasard dans le parc des machines, associe le nombre de pannes d'origine électrique sur ven ues pendant les tro is premi ères années d'utilisation. Y suit la loi de Poisson de paramètre À' = 0,5. JOCalculer les probabilités des évé nements sui vants: Pendant les trois premières an nées d'utilisation de la machine,
«
a) il n'y a aucune pan ne »;
4
4° a) Quelle est la probabilité de perdre de l'argent ? b) Quelle est la probabilité d'en gagner? 5° Calculer au centième près l'espérance mathématique de X, notée E(X). Que représente E(X)?
[!!] ... Loi binomiale, espérance mathématique Une compagnie de transport, dont la clientèle est composée d' usagers rég uliers effectuant 40 trajets par mo is (un le matin, un le soir sur 20 jours), étudie un projet offrant à ces usagers le choix entre: un titre de tran sport (noté C dans ce qui suit) de 60 euros pour l'ense.mble des trajets mensuels; pour les voyageurs ne voulant pas se procurer le titre de transpo rt C, le paiement d' une taxe de M euros en cas de contrôle. La compagnie prévoit d'organi ser les contrôles de façon que la probabilité d'un tel contrôle soit po ur
b) il Y a exactement trois pannes »;
c) il y a au plu s une panne ».
r
Retrouver les résultats du 1° en admettant que la variabl e aléatoire X + Y suit une loi de Poi sson de para· mètre À + À'.
Exercices d'examen
I
3
Les exerc ices suivants. proposés r6:emme,nt dans des épreuves de BTS, portent su r plusieurs. thèmes abordés dans les chapitres 2 et 3.
chaq ue trajet égale à par rapport à l' autre.
/0'
avec indépendance d'un trajet
Le but de l'exercice est de déterminer le montant M de la taxe pour que , du po int de vue du calcul des proba· bilités, les deux choix proposés aux voyage urs soient financi èrement équi valents pour la compagnje. Soit A un voyageur tiré au hasard. On note X la vari able aléatoire qui, à un moi s tiré au hasard , associe le nombre de trajets de A contrôlés pendant ce mois. 1° a) Donner la loi de probabilité de X, c'est·à·dire l' express ion en fonction de k (e ntier compri s entre 0 et 40) de la probabilité P(X = k).
b) Calculer le nombre moyen de traj ets contrôlés, c'est·à·dire l'espérance mathé matique de X. c) Quel sera, en fonction de M, le coût moye n men· suel des trajets pour un usager qui ne se procurera pas le titre de tran sport C ? En déduire la valeur qu'il convient de don ner à M po ur que, en moyenne, les deux choix proposés aux usagers soient fin ancièrement équivalents pour la compagnie.
[!!l ''. Variable aléatoire, loi de probabilité, espérance mathématique Dans un jeu, une urne contient trois bo ul es vertes, deux boules rouges et quatre bou les noires. Un joueur extrait simultanément deux bo ules de l'urne. Le tirage d'une boule verte fait gagner deux euros, celui d'une boul e rouge fait gagner un e uro et celui d'une boule no ire fait perdre tro is e uros. On admet qu ' il y a éq ui· probabil ité des lirages .
2° Dan s celte question on pose M = 15. a) Donner des valeurs décimales approchées arron· die s à 10- 3 des probabilités P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2) et P(X = 3).
Toutes les probabilitb seront donnùs sous forme de fractions irréductibles. 10 Quelle est la probab ilité que le joueur perde six euros? r On note X la variabl e aléatoire qui, à chaque tirage de deux boul es, associe le gain. Déter miner l'en semble des valeurs prises par X.
b) Si A ne s'est pas procuré le titre de transP'?rt C, quelle est la probabilité que le coût de ses trajets mensuels soit au moin s égal à 60 euros?
138
@!J ••• Statistique descripli\'f!~ loi binomiale
~ ... Calculs de pourcentages et loi binomiale
Une machine fabrique des vis pour la l'onstruction.
Le tableau suivant donne pour les années indiquées, le nombre de demandes d'emploi en fin d'année dans une région.
A.Statistique On a mesuré les diamètres en l11illirnèlres d'un échantillon de 1 000 vis fabriquées par LIlle machine. On a obtenu les résultaiS suivants:
.'"
lOGO 85240 20276
Total
85079 22238
18
Moins de 25 an" De 25 ::tnt; à 39 an.';
54719
2.8
35
50 ans el plus
8122
55994 8970
2,7
175
Hommes Moins de 25 an<; De 25 an ... à 39 ans 50 ans et plu,>
39988
397(;!;
10176 2552S
25853
4284
4743 45474
DIarœIns .. mm
BIIa!dI'a
2,9
2.6
180
9 170
2,5
200
2,4
160
2.3
150
Femmes Moins d~ 25 ans
45091
12062
11 106
2,2
40
De 25 ans à 39 ans
29191
30141
2,1
22
50 ans el plus
3838
4227
2
12
1,9
8
us risulrafs des
ClIIeU!:; s~rolJl
dO/mb
SOltS form~
llPprochü c) 10- :2 près par dtfimt. l a a) Déterminer le pourcentage d'évolution du lot<.ll
l a Déterminer la valeur approchée arrondie à 10-
1
de
production. La production est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage
des demandes d'emploi entre 1999 et 2000. b) Le nombre de demandes d'emploi est en bai~se pour une tram:he d'âge seu lemen t. Calculer le pourcentage d'évolution des demandes d'emploi des hommes pour cette tranche d'Jge. 20 En 1999 une entreprise est sub ventionnée pour employer une personne de moins de 25 ans. Elle tire une personne au hasard parmi les demandeurs d'emploi concernés. Tous le s choix sont éq uiprob:.tbl es. Qllelle est la probabilité que la personne embauchée soit une femme? 3 0 L'ent repri se désire créer un emploi en 2001 et lire au hasard une personne dans les demandeurs d'emploi de 1000. Tous les choix sont équ iprobab les. Calculer la probabilité p que la personne e mbauchée soit un homme. Vérifier que 0,46 est une vale ur approchée par défaut à 10- :2 près de p.
avec remise de cen t vis. On a don<.' une ~ uit e de cen t é preu ves indépendantes. Soit X la variable aléatoire qui
4 0 Dan s cette question, on prendra p éga l à 0,46. L'entreprise choisit trois demandeurs d'emploi de
associe à tout échantillon de 100 vis le nombre de v is
2000.
défeclUeuses de cet é1.:ha ntillon.
Les cho ix sont indépendants et on assimilera ce choix il un tirage aveç remi '\e. On note X la variable aléatoire qui, à chaque groupe de trois demandeurs d'emploi, associe le nombre d'hommes de ce groupe. a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont o n précisera les paramètres. b) Quelle est la probabilité que l'entreprise chois isse troi s hommes ? c) Quelle est la probabilité que l'entreprise choi'\isse un homme et un seul?
la moyenne
x et de l'écart type CT de cette série stat is-
tique .
r
On considère une vis comme défectueuse si son dia-
mètre est inférieur ou éga l à 2,2 mm ou supérieur ou égal à 2,8 mm . Calculer le pourcentage de vis défectueuses fabriquées par la machi ne ~l partir de l' échantillon prél.:édent.
B. Pmb{/bilitis On cons idère désormais que la probabi lité qu'une pièce prélevée au ha..'liard dans la production soit défectueuse eSIO,135. On prélève au hasard un échanti ll on de 100 vis d.ms la
J OExpliquer poun.luoi X suit une loi binomiale. On donnera les paramètres de celle lo i. ZOQuelle est la probabilité qu'un lot ne contien ne aucune vis défectueuse? On donnera une vale ur approchée du résultat arrondie à 10- 7. 3 0 Quelle est la probabilité qu'un lot contienne exactemenr 95 vis non défectueuses? On donnera une valeur approchée du résu ltat arrondie à IO - .t.
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
139
r
~ u* Événements indépendants, loi binomiale
a) Montrer que la probabilité qu'une pièce soit défectueuse et acceptée est 0,000 18. b) Montrer que la probabilité qu'une pièce soit bonne et refusée est 0,02946. c) Calculer la probabilité qu'il y ait une erreur dan s le contrôle. 3° On contrôle c inq pièces de façon indépendante. On note X la variable aléatoire qui à chaque lot de cinq pi èces contrôlées assoc ie le nombre d'erreurs de contrôle. a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont o n précisera les paramètres. b) Dé.terminer la probabilité qu' il y ait exactement deux erreurs de contrôle. Donner la valeur approchée décimale arrondie à 10- 3 du résultat.
Sur une fabrication de chem ises, on constate p~r sondage que: 3 % des chemÎses présentent un défaut de coule ur (désigné par « défaut a » dans là su ite de j'exercice), 2 % des chemises présentent un défaut de taill e (désigné par « défaut b )t). On décide de solder les chemises prése.ntant au moins un défaut.
On prélève au hasard une chemise dans la production et on note: A l'événement: « celte chemise présente le défaut Cl ,. ; B l'événement: « cette che mi se présente le défaut b ,. ; S l' événemen t : « cette chemise est en solde » . Les événements: A et B sont indépendants. r a) Déterminer la probabilité qu'une chemise prise au hasard présente les deux défauts (l el b. b) En déduire la probabilité p de l'événement S. 2° Au cours de la fab rication, on prélève au hasard successivement soix.ante chemises. On admet que Je nombre de chem ises fabriqu ées est assez grand pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un li rage avec remise de soixante chemises. Soit X la variable aléatoire qui associe, à tout lot de soixante chemi ses, le nombre de chem ises qui peuvent être soldées. a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. b) Déterm iner la probabilité d'avoir à solder au moins une chem ise. Donner la valeur décimale approchée arrondie à 10- 3 du résultat. c) Détermine-r l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. Que représente E(X)?
~ ••• Probabilités conditionnelles, loi binomiale
sa
Pour prévenir deux défauts et eJ3 des pièces fabriquées par une usine, on décide de soumettre l'ensemble des pièces à des tests. Les études statistiques menées sur un effectif assez grand ont montré que:
Quelle est la probabilité qu' une pièce soi t défectueuse?
SI, 15 % ont le
sa, 5 % ont
On prend au hasard une pièce produite et on considère les événements suivants: A : « La pièce présente le défaut
.st1 JO
B: « La pièce présente le défaut
œ» .
;
1° a. Calcu ler la probabilité qu'une pièce prise au et 01. hasard présente les deux défauts b. Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard présente le défaut gj et ne présente pas le défaut stI.. c. En déduire que la probabilité de B est égale à 0,058.
sa
et contrôle de qualité
r
s1 ;
- parmi les pièces atteintes du défaut défaut 03 ;
- parmi les pièces non attein tes du défaut le défaut 03.
~ ••• Probabilités conditionnelles, loi binomiale Une usine fabrique des pièces dont 1,8 % sont défectueuses. Le con trôle des pièces s' effect ue selon les probabilités conditionnelles suivantes: sachant qu'une pièce est bonne, on l'accepte avec une probabilité de 0,97; sachant qu'une pièce est mauvaise, on la refu se avec une probabilité de 0,99. On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée et on note B l'événement: « la pièce chois ie est bonne » ; M l' événement: « la pièce c-hoisie est mauvaise . ; A l'événement: « la pièce est acceptée au contrôle » ; R l'événement: « la pièce est refusée au contrôle ».
- 8 % des pièces présentent le défaut
2° Démontrer que la probabilité d'obtenir une pièce bonne (c'est-à-dire ne présentant ni le défaut .>4., ni le défaut 03) est 0,874. 3° Au cours de la fabrication, on prélève successivement, au hasard, douze pièces. On admettra que le nombre de pièces fabriquées est assez grand pour estimer que la proportion de pièces défectueuses reste constante au cours du tirage. Soit X la variable aléatoire qui, à tout pré lèvement de douze pièces, assoc ie le nombre de pièces défectueuses de ce prélèvement. a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. On donnera les paramètres de ce tte loi.
140
b. Déterminer la probabilité de J'événement « onze pièces au moins sont bonnes lt .
A" donnera un e \'alellr dicimale approchée anvndie à 10- 3 du résultat.
~ ~". Probabilités conditionnelles, loi binomiale US I)(lrti~s A el B SOli! indépendallles Un fabricant de matériel informatique commerciali se directe.ment une panie de sa production. A. Velite d'/Ill systèm~ complet. Le fabricant s'intéresse à la vente d'un système composé d'un ordinateur et d'une imprimante; on propose l'achat de l'ordinareur avant celu i de j'imprimante. La probabilité qu'un client, tiré au h;Jsard dan s la clientèle, achète l'ordinateur est 0,2. La probabilité qu'un client, tiré au hasard dans la clientèle, m:hè te l'impri mante quand il a acheté l'ordinateur est 0,7 et la probabilité qu'il achète l'imprimante quand il n'a pas acheté l'ordinateur est 0,1. ra) Montre.r que la probabilité qu'un dient, tiré au hasard dans la clientèle, achète le système complet est 0,14. b) Calculer la probabilité qu'un client, tjré au hasard, achète: -l'imprimante (avec ou sans l'ordin ateur) ; - au moins une des deux pièces. L'ordinateur est vendu 1250 euros et l'imprimante 550 euros. On note X la variable aléatoire qui, à chaque dient tiré au hasard dans la clientèle, associe sa dépense, en euros pour ce système. Établir la loi de probabilité de X e.n complétant, après l'avoir reproduit, le tableau sui van t :
r
o B. Monlant roral dn achats effectués par la clientèle. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque client, tiré au hasard dans la clientèle, associe le montant total de ses achats en euros. On suppose que Y suit une loi normale de moyenne ~ et d'écart type (J. On admet que jJ. = 550 et a = 195. 1° On tire au hasard un client dan s la clientèle. Calculer. à 10- 2 près, les probabilités de chacun des événements suivants : A : « le montant de ses achats est inférieur à 600 euros lt ; B : « le montant de ses achats est de 400 euros, au moins lt ; C : « le montant de ses achats est compris entre 400 euros el 800 euros lt .
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
ZO Le fabricant décide, au cours d'une campagne promotionnelle, d'accorder une remise aux clients dont le montant des achats est suffisamment élevé. Déterminer à partir de quel montant, 5 % des clients bénéficieront de cette remi se.
-; [!!l ~** Événement indépendants, probabilités conditionnelles, variable aléatoire, loi binominale Une entreprise fabrique des moteurs électriques. Afi n de vérifier la conformité des moteurs, on procède à deux tests l'un de type mécanique, l'autre de type électrique. Un moteur est rejeté s'il présente au moins l'un des deux types de défaut. Un moteur est déclaré en parfait état de marche s' il ne présente aucun des deux types de défaut. Une étude statistique de la production cond uit à admettre que: -la probabilité qu'un moteur soit défectueux pour le test méc.anique est 0,08, -la probabilité qu'un moteur so it défectueux pour le test électrique est 0,05, -la probabilité qu'un moteur soit défectueux pour les deux tests est 0,02. On prélève au hasard un moteur dans la production. On appelle: DM J'événement: 'l' le moteur prélevé présente un défaut de type mécanique » , et DE l'événe.ment « le moteur prélevé présente un défaut de type électrique ». ]0
a) Les événements DM et DE sont-ils indépendants? b) Calculer la probabilité de l'événement DM sachant que l' événement DE est réalisé.
2° a) Calculer la probabilité de l' événemen t A : « le moteur prélevé présente au moins un défaut lt . b) Démontrer que la probabilité de l'événement JJ : « le moteur prélevé est en parfait état de marche lt est 0,89. c) Déterminer la probabilité de l'événement C: « le moteur prélevé présente un seul défaut )l> . 3° Soit X la variable aléatoire qui, à chaque moteur préle vé au hasard dans la production, associe le nombre de types de défaut (élec trique ou mécanique) présentés par le moteur. a) Quelles sont les valeurs prises par X? b) Déterminer la loi de probabilité de X. c) Cakuler l'espérance mathématique E(X).
141
On admet désormais que la probabilité qu'une lame, prise au hasard dans la production, ne soit pas conforme est 0,11.
d) Calculer la variance V(X) et en déduire l'écaTI type de X. On arrondira les résultats à 10- 2. 4° On prélève 12 moteurs au hasard dans la production (on assimile cette épreuve ~ un tirage de 12 pièces successivement avec remise). Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 12 moteurs, associe le nombre de moteurs en parfait état de marche de ce pré· lèvemenl.
On désigne par Y la variable aléatoire qui, tt chaque botte de 6 lames, associe le nombre de lames non conformes. 1° Justifier le fait que la variab le Y suit une loi binomiale ; en donner les paramètres. r Calculer, à 10 - 2 près, les probabilités P(Y = 0) et P(Y'" 1).
a) Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
J100t·· Loi normale, loi binomiale, approximation
b) Calculer la probabilité de l'événement «il y a au moins 10 moteurs en parfait ét,tt de marche:.t.
Dans ct! qui suit, tUIIS arrondis à 10- 2.
[!!] ... Statistique à une variable~ loi normale, loi binomiale A.Slatistiq/l~
à /Ille \'tlriah/t'
Une entreprise fabrique des lames de parquet. Dans la produclion d'une journée, on élUdie un échantillon de 30 lames dont on mesure les longueurs. On obtient la série su ivante: , - " " ... cm 131,4 131,6
(j'une loi binomiale par une loi de Poisson
1
2
131.8
6
132
13
132,2
7
132,4
0
132,6
1
Calculer à, 1 millimètre près, hl longueur moyenne el J'éçart type de celle série statistique.
B. Loi normale On nOie X la variable aléatoire qui, à une lame de parquet prise au hasard dans la production, associe sa longueur en cm. On admet que X suit une loi normale de moyenne = 132 et d'écart type cr = 0,25. Une lame est estimée conforme si sa longueur appartient à l'intervalle [131.6; 132.4J. 1° Calculer, à. 10- 2 près, la probabilité
111
P(l 3 1.6 '" X '" 132,4). En déduire la prob'lbilité qu'une lame, prise au hasard dans la production, ne soit pas conforme.
r
I~s
rhullalS llpproc:hé.'i seront
Une entreprise fabrique des brioches en grande quantité. On pèse les boules de pâte avant cuisson. On note X la vari able aléatoire qui, à chaque boule de pâte prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe sa mas~e. On admet que X suit la loi normale de moyenne 700 g. et d'écart type 20 g. 10 Seules les boules dont la masse est comprise entre 660 g et 732 g sont acceptées à la cuisson. Déterminer la probabilité qu'une boule, prise au hasard dans la production, soit acceptée à la cuisson. r On désigne par Il un réel positif. Déterminer Il afin que l'on ait : P(700 - il '" X '" 700 + il) "" 0,95. 3 0 On admet que 8 % des boules sont refusées à la cu isso n. On prélève au hasard, successivement et avec remise, fi boules dans la production. On note Y la vari ab le II aléatoire qui, à. tout prélèvement de Il bou l e~, ussocÎe le nombre de boules qui seront refusées à la cuisson. Celte variable aléatoire Yn suit une loi binomiale. a) Dans le ca~ 11 = 10, calculer la probabilité d'avoir. parmi 10 boules prélevées, exactement 3 boules refusées à la cuisson. b) Dans le cas fi = 50. on admet que l'on peut approcher la loi de probabilité de la variable aléatoire Yso par une loi de Poisson. Préciser le paramètre de ceUe loi de Poisson. Calculer alors la probabilité d'avoir, parmi les 50 boules prélevées, exactement 4 boules refusées à la cuisson, puis la probabilité d'avoir au moins 45 boules acceptées à la cui sson
~I'"
Statistique descriptive, loi normale, à
propos de biochimie
C. Loi binomial~
A. Statistique
Ces lames sont conditionnées en boues de 6. On assimile la const itution d'une bolle à un tirage de 6 lames successivement, avec remise.
Au cours d'une répartition de péni cilline en flacons su r une machine aUlOmatique. on prélève, à. intervalles plus
142
ou moins réguliers, un flacon dont on pèse le contenu, au dixième de milligramme. On prélève ainsi un éc:hanti llon de 250 flacons dont les masses des contenus exprimées en mg se répartissent en 20 classes com me sui t : CWoc
Effectif
CIuoe
Elfeclif
[116.5; 1l7,5[
2
[126,5; 127.51
25
[117,5; 118,51
3
1127.5; 128,5[
22
[118,5; Il 9.5 [
4
[128.5; 129,5 [
14
[119,5; 120,5[
10
[ 129.5; 130,5[
15
[120.5; 121.5[
10
[ 130,5; 131,5[
10
[121,5; 122,5[
16
[13 1.5; 132.5[
7
[122,5; 123,5[
20
1132,5; 133.5[
5
1123,5; 124.5 [
23
[133,5; 134.51
5
[124,5; 125.51
21
[134.5; 135,51
4
[125.5 ; 126,5[
30
[135,5; 136,5[
4
journée, associe sa longueur sui t la loi normale de moyenne III = 100 ('m et d'écart type (T = 0,16 cm. a) Déterminer, au centième près, la probabilité que X n'appartienne pas à l'intervalle [99,7 ; 100,3]. b) Déterminer, à 10- 2 près, le réel positif a tel que la probabi lité que X appartienne à l'intervalle [100 - 0.100 + li) soit égale à O,S. 2° 011 considère désormais que la probabilité qu'un cy lindre prélevé au hasard dans la production soit défectueux est 0,06. On prélève au ha:sard un éc hanti llon de 50 cylindres. La production est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 cylindres. Soit Y la variable aléatoi re qui associe à tout échant illon de 50 cyli ndres le nombre de cylindres défectueux de cet échantillon. a) Expliquer pourquoi Y su it une loi binomiale. On donnera les paramètres de t'Cne loi. b) Déterminer une valeur approchée arrondie à 10 - 4 de la probabilité qu'un éc hantillon de 50 cylindres nt! contienne aucun cylind re défectueux. c) On approche la loi binomiale du a. par une loi de Poisson. Préciser le paramètre de celte loi. En utilisant celte loi de Poisson, déterminer une valeur itpprochée arrondie à 10- 4 de l' événeme nt du b.
En supposant que, dans chaque classe, tous les éléments sont situés au centre, déterminer les valeurs approchées arrondies à 10- 3 de la moyenne x et de l'écart type (T de cette sérÎe statistique.
B. Pmbabilitl.\· Soit X la variable aléatoire qui, à tout flacon tiré au hasard dans la production, associe la masse de son contenu exprimée en milligrammes. On suppose que X suit la loi normale de moyenne m = 126 et d'écart type 0' ~ 4.
11031••• Approximation d'une loi binomiale par une loi normale Dans une revue, on peut lire: 4< On estime à 60,5 % le pourcentage de Français partitnt au moins une fois en vacances dans le co uran t de l'année. JO
j OCalcu ler, avec la précision permise par la table, les probabili tés P(X";; 125), P(IIS";;X";; 134), P(X '3 129,2).
On considère 100 personnes prises au hasard, avec remise, parmi la population française.
2° On a utilisé un sel de pénici lline titrant 1 600 unités au milligramme. L'activité moyenne par flacon est 20 1 600 unités. Pour obéir aux prescriptions des normes en vigueur, l'activité trouvée par flacon doit être au moins de 95 (} de celle annoncée sur l' étiquette. soit 200 000 unités. a) Quelle est la masse Il du contenu du flacon correspondant à celte activité minimale? (On exprimera la réponse à 10- 3 près par défaut.) b) Quelle est la proportion moyenne de flacons dans la population ayant une masse inférie ure à cette masse Il? (Autrement dit, calcu ler P(X ~ Il).)
Dans a qui suit, tous /0-3
Une machine fabrique des cylind res en bois. j ° On admet que la variable aléatoire X qui, à toute pièce prélevée au hasard dans la production d'une
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
ri:Hlltats SUOIIf arroI/dis ()
1° On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque pré lèvement de 100 personnes associe le nombre de celles qui ne partent pas en vacances dans le courant de J'année. a) Justifier que la loi de probabilité suiv ie par la variable X e~t une loi binomiale. On précisera les p~ramètres de cette loi. b) CaJculer l'espérance mathématique et l'écart type de la vari~b l e X.
Il021~ •• Loi normale, loi binomiale, approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
l~!i
c) Calculer la probabilité de l'événement « X = 45 Pour ce calcul , on prendra C l~ "" 6,145 X 1028 .
)10 .
r On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire discrète X par la loi normale de paramètres III = 39,5 et cr = 4,89. On note Yune variable aléatoire suivant la loi ,N(39,5 ; 4,89). 143
En utilisant cette approximation, calcu ler:
On note Z une variable aléatoire su ivant cette loi.
a) la probabilité que 45 personnes exactement parmi les 100 ne partent pas en vacances dans le courant de l'année, c'est-à-dire P(44,5 ~ Y ~ 44,5);
b) la probabilité qu'au plus 30 de ces 100 personnes ne partent pas en vacances dans le courant de J'année, ~ re P(Y ~ 30,5).
11041 '~inomiale,
approximation d'une loi binomiale par une loi normale, probabilités conditionnelles
Dans une entreprise, un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel de DAO a été suivi par 25 % du personneL Ainsi, la probabililé qu'une personne
tirée au hasard dans l'entreprise ait suivi ce stage est = 0,25 . .
p
Les parties A et B peuvent être traitées de façon
On rappelle que 25 % du personnel a s uivi le stage de formation à l'utilisation du nouveau logiciel de gestion. L'événement S : « une personne tirée au hasard dans l'entreprise a suivi le stage a donc pour probabilité P(S) = 0,25. )t
Enfin, 40 % du personnel féminin de cette entreprise a suivi le stage. La probabilité condit ionnelle correspondante est p (Sln = 0,4 oU PF(S) = 0,4. sonne tirée au hasard dans l'entreprise est une femme et a sui vi le stage )t .
Partie A On prélève au hasard" personnes de ceUe entreprise. On suppose l'effectif suffisamment important pour assimiler ce choi" à un tirage avec remise. Il
= 10.
On note X la variable aléatoire qui, à tout ensemble de 10 personnes ainsi choisies, associe le nombre de personnes ayant suiv i le stage.
r
Calculer la probabilité de J'événemen t B: fi: une personne tirée au hasard parmi les personnes ayant suivi le stage est une femme )t .
11051". Événements indépendants, loi binomiale, approximation d 'une loi binomiale par une loi normale
a) Expliquer pourquoi X su it une loi binomiale. Indiquer les paramètres de cette loi.
Une usine produit, grâce à des machines A, 8, C, des pièces qui ont:
b) Déterminer, à 10- 2 près, la probabilité des événements suivants:
- pour la machine A : le défaut a dans 5 % des cas;
El : « Parmi 10 personnes tirées au hasard, exactement 2 personnes ont sui vi le stage»;
- pour la machine C : le défaut c dans 2 % des cas.
Ez : « Parmi JO personnes tirées au hasard, au plus une personne a suivi Je st.lge » .
r
Partie B Dan s cette entreprise, le personnel comprend 52 % de « une personne tirée au femmes. L'événement F hasard dans l'entreprise est une femme )t a donc pour probabilité pen = 0,52.
10 Calculer la probabilité de l'événement A : « une per-
indépendante.
1 0 Dans cette question,
En utilisant cette approximation. calculer la probabilité qu'au plus J 20 personnes, parmi les 500 choisies au hasard, aient suivi le stage, c'est-à-dire P(Z ~ 120,5). Donner ce résultat à 10- 2 près.
Dans cette question,
Il
= 500.
On note Y la variable aléatoire qui, à tout ensemble de 500 personnes ains i choisies, assoc ie le nombre de personnes ayant suivi le stage. On admet que la variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres II = 500 et p = 0,25. a) Déterminer l'espérance mathématique de la variab le aléatoire Y. En donner une interprétation. Déterminer une valeur approc hée, arrondie à 10-
1 ,
- pour la machine B : le défaut b dans 3 % des cas; Une ma,'hine M fabrique un objet assemblant une pièce provenant de A, une pièce provenant de B et une pièce provenant de C. Elle prend au hasard des pièces dan s trois stocks comprenant un grand nombre de pièces. Les différentes pièces sont tirées au hasard et indépendamment les unes des autres,
Les trois questio/lS Slli\,{1II1~S som indép~lIdantes. JO Quelle est, à 10- 2 près. la probabilité qu'un objet, prélevé au hasard dans la production de M, ne présente aucun défaut.
r
On admet qu'un objet fabriqué par M a la probabilité:
0,048 d'avoir seulement le défaut a ;
de l'écart type de la variable aléatoire Y.
0,028 d'avoir seulement le défaut b ;
b) On décide d'approche,r la loi de la variable aléatoire Y par la loi normale moyenne 125 et d'écart type 9,7.
0,018 d'avoir seulemenl le défaut c. On désigne par X la variable aléato ire qui , à tout échantillon de 10 objets pri s au hasard et avec remise, à la
144
sortie de la machine M, associe le nombre d'objets de cet échantillon présentant se ul ement le défaut a. a) Quelle est la loi suivie par X? Préciser les paramètres. b) Calculer à 1O- 3près la probabilité que, dans un tel échantillon, deux objets exactement présentent le seul défaut a. c) Calculer à 10- 3 près la probabilité que, dans un tel échanti llon , un objet au plus présente le se ul défaut a. 3° La machine M convenablemen t réglée rejette tous les objets présentant le défaut a o u le défaut b. Seuls continuent à sortir ceux ne présentant que le défaut c. La probabilité qu'un objet présente alors le seul défaut e est 0,018. On désigne par Y la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1000 objets pris au hasarù à la sortie de la machine M, associe le nombre d'objets présentant le seul défaut c. La production étant importante, tout échantill on de 1000 objets est assimilé à un échantillon prélevé avec remise. a) Quelle est la loi sui vie par }'? b) On approche la loi de }' par une loi normale. Quels son t les paramètres de cette loi normale? c) On désigne par Z une variable aléato ire qui suit œUe. lo i. Déterminer la probabilité que la machine fabrique au plus 20 objets présentant le défaut c, pour cela on calcule,ra P(Z ~ 20,5). Les résllitats approchés seront ~;rondis à 10- 2 dans le 3°.
06 ~~. Loi binomiale, approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson, approximation d 'une loi binomiale par une loi normale
~ ~
.
~
Le gérant d'un magasin d'outillage dépose 120 chèques à sa banque. Les montants de ces chèques, libellés en euros, onl été regroupés en ci nq classes: Ciasoes
I!lfedlfs
150,60 [
12
160, 110 1
24
1110.1401
60
1140, 200 1
19
[200,280]
5
1° On prélève un chèque au hasard parmi les 120. Tous les chèques o nt la même probabilité d'être tirés. a) Donner, sous forme de. fraction irréductible, la probabilité Pl' que ce chèq ue ait un montant apparlenan l à [200, 280].
Chap. 3 : Variables aléatoires à valeurs réelles
b) Donner de même la probabilité P2 que ce chèque ait un montant appartenant à [1 JO, 140 1.
r
On prélève, au hasard et avec remise, un échantillon de 36 chèques parmi les 120 déposés à la banque. Soit X la variable aléatoire q ui , à tout prélèvement d'un tel échantillon, associe le nombre de chèques dont le montant appartient à la classe l200, 280]. On définit de même la variable aléatoire Y pour la classe [110,1401.
a) Indiquer sans justification la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X. Donner son espérance et son écart type arrondi au dixième. b) Indiquer de même sans justification la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire Y. Donne.r son espérance et son écart type.
3° On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X peut être approchée par loi de Poisson de paramètre 1,5. On note XI une variable aléatoire qui suit cette loi de Poisson. Calculer, avec cette approx imation, la probabilité d'obtenir au moins trois L:hèques d'un montant appartenant à la classe [200. 280] (arrond ir le résultat au cen tiè me). 4° On considère que la loi de probabilité su ivie par la variable aléatoire Y peUl être approchée par la loi normale de moyenne 18 d'écart type 3. On note YI une variable aléatoire qui suit cette loi normale. Calculer, avec cette approximat ion. la probabilité d'obtenir entre 15 et 21 chèques d'un montant appartenant à [110,140 [, c'est-à-dire P(14,5 '" YI '" 21,5) (aTTondir le résultat au centième).
11071 **~ Loi normale, somme de variables aléatoires suivant une loi normale Les questions 1 et Il sont indépendantes. Tous les résultats approchés serolll arrondis () 10- 3.
Pour la réalisation d'un projet, une soc iété doit effectuer successivement deux tâches A et B. Les durées de réalisation de ces tâches sont aléatoires. On désigne par X (respecti vement Y) la variable aléatoire qui, à une t5che de type A tirée au hasard (respectivement une tâche de type B), associe sa durée exprimée en semaine. Ces variables aléatoires suiven t des lois de probabilité approximées par les lois normales: de moyenne 22 et d'écart type 3 pour X, de moyenne 25 et d'écart type 4 pour Y. 1. Questions relatÎ\'es GlU· lâches } O Déterminer la probabilité de réaliser une tâche de type A en plus de 30 semaines.
145
un réel positif. On cons idère l'événement E : 25 - /1 ~ Y :::;;; 25 + il.
assez important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 sacs.
Déterminer l'ensemble des valeurs de Il pour lesquelles
On considère la variable aléatoire}' qui, à tout prélèvernent de 10 sacs, associe le nombre de sacs défectueux.
2° Soit
Il
on a : P(E) '" 0,9544.
Il.
QIl~.sriullS
relaril'ts à la riolharirJ/l du
proj~t
On désigne par Z la variable aléatoire qui, à tout projet tiré au hasard, associe sa durée, expri mée en semaines. On a Z = X + }' et on suppose que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes. )0 Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de Z. 2° On admet que Z su it une loi de probabilité approximée par la loi normal~ )(47, 5). Déterminer la probabi li té de réalber le projet en moins de 50 semaines.
Il OSI ~"· Loi normale, loi binomiale,
On suppose que la probabilité qu'un sac soit défectueux est p = 0,03. 1° Expliquer pourquoi Y suit une loi binomiale; déterminer les paramètres de cene loi. 2° Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 10 sacs, deux au plus soient défectueux.
C. On désigne par Z la variable aléatoire qui, à une journée tirée au hasard dans une année, assoc ie le nombre de sacs vendus dans le magasin de Vincennes. On suppose que Z suit la loi normale X( 1 190, 130).
Dans ce qui suit, tous les rfsultats apprrx:hb seront
Chaque S'IC est vendu 19 F. TOllt sac défectueux est remplacé gratui tement. La marge réalisée sur la vente d'un sac, représente 20 % de son prix de vente. De plus, la chaine de supermarchés éva lue ses perles totales journalières sur la vente des sacs (remplacements, vols .. .) à 750 F. On désigne par B la variable aléatoire qui , à chaque journée ouvrable tirée au hasard, assoc ie le bénéfice, en francs, réalisé sur la vente des sacs.
arrondis d 10- 2.
1° a) Exprimer B en fonction de Z.
somme de variables aléatoires
us trois partin dt ut exercice SOllt ifldip~lIdalltes. Une chaine de supermarchés, spéc ialisée dans la vente du matériel de bricolage, vend des sacs aux clients pour le transport des achats.
A. On note X la variable aléatoire qui, à chaque sac prélevé au hasard dans le stock du magasin de Villemomble, associe la charge rnaximale en kilogrammes qu' il peul suppor ter. On suppose que X su it la loi normale de moyenne 50 et d'écart type 4. 1° Déterminer la probabilité de l'événement X ~ 55, puis celle de l'événement 48 :::;;; X ~ 52.
b) Montrer que B suit approximativement la loi normale .N'(3772, 494).
r
a) Calculer la probabilité p de l'événement
ç;, ~'" 3500.
ZO Calculer le nombre réel positif r tel que la probabilité de l'événement X ~ r soit égale à 0,025.
b) À J'aide du calcu l précédent (2°a.) indiquer si le directeur commercial a raison de dire qu'il y a au moins 75 % de chance~ que la chaîne de supermarchés réa li se plus de 3500 F de bénéfice journalier sur la vente des sacs.
B. Dans le stock de sacs du magasin de Chelles, on prélève au hasard 10 sacs pour vérification. Le stock est
•
146
Un franc est égal à 0. 15 euro.
Chapitre 1-
Échantillonnage
4
Ce chapitre fait la liaison entre le calcul des probabilités et la statistique inférentielle. Les principaux résultats concernant la moyenne et la fréquence dans le cas de grands échantillons sont présentés et illustrés par des situations concernant le contrôle de qualité d'une fabrication industrielle. J'interprétation des résultats expérimentaux obtenus en laboratoire ou sur des enquêtes et des sondages. Pour la réalisation de simulations, on se reportera utilement à la brochure de J'IREM Paris-Nord: Simulatiolls d'e.\périellces aléatoires (une expérimentation du hasard de la Première au BTS sur calculatrice et ordinateur).
A. LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES L'événement A peUl 'lU.'>si cQn<;ister à obtenir une pièce défe(:lueu~ par tirage au sort dans une produclÎon
industrielle. ou obtenir une l'oncen!ralion trop forle d'une substance par tirage au sort
dan~
une
~érie
de
dosages de laboratoire.
Voir la loi binomiale au chapitre 3.
Considérons un événement A de probabilité l' : par exemple, A consiste à obtenir pile uvee une pièce usuelle
usuel ~ =
(p =
~), ou un as avec un dé
~), ou un cœur dans un jeu de 32 cartes (1'
=
!).
Effectuons n expériences indépendantes ; par exemple, effectuons n lancers d'une pièce ou d'un dé, ou Il tirage s au hasard, avec remise, d'une car te dans un jeu de 32 cartes. Pour la i-ème expérience (1 ~ i ~ n), notons Xi la variable aléatoire qui, si l'événement A apparaît, prend la valeur l, sinon la valeur O. Ainsi, la variable aléatoire Sn = Xl + X2 + ... + Xj + ... + XII permet de compter le nombre d'apparitions de l'événemen t A au cours des II expériences. Nous savons que Sn suit la loi binomiale de paramètres n et p. Donc = "pet = "pq, où q = 1 - p.
E(S,,)
V(S,,)
S
La variable aléatoire....!! prend pour valeur la fréquence d'apparition de
"
l' événement A au cours des Ona\'uque:
E(llX) V{(Lt)
= aE(>") et = a 2 V(X).
E(S,,) = ln E(S ); v(S,,) =.l. V(S ): ,,2 11
11
/1
expériences.
E(S,,) = p. n donc v(S,,) = p(l donc
/1
S est '11'(1 L'écart type de -1! Il
Chap. 4 : Échantillonnage
11
147
"
Il
l') .
Il
l')
L'événement: « Sn prend une valeur appartenant /1
, 11'(1 - 1')
V
à l'intervalle l' -
[
Voir le rappel sur la valeur ab ~lu e dan s le chapitre 1 du tome d'AnalyJe (mêmes auteurs): A
B
1
1
a
b
s'écrit:
1~7
/1
'
- pl ,,; yp(l
Il
l')
[
•
+
l'
" 1
y/~
La distance AB est lb - al.
"
-IS" """'il -
' - s 'écnt Son é venement contratre
2
Et
Il
l')
1 l~
[
De même:
l
p > ,V11'(1
y
P(1 - p)
---
"
--------+[--------,j-c-------~-Jr---------
S" I Il
1 >2,6,
P
11'(1 - l')
V
11
Théorème (admis) Pour tout nombre entier n
>
0 et pour tout nombre réel t
>
0,
P est fix é dan s [O. 1].
°
Ce théorème indique que, pour n'importe quel nombre réel, > et S nombre entier Il> 0, la variable -.2!.. mesurant la fréquence d'appariIl
tion d'un événement A de probabilité p au cours de Il expériences indé-
pendantes, prend une valeur extérieure à l'intervalle
p(l
[1'-1 Y
[
P
,1'+1
yp(1
avec une probabilité inférieure ou égale à ~. r
1
t
l') /1
y,,(1 -
-
"
p)
-
148
l') Il
1
Exemples
Par exemple, A est J'é\-'énement prélever au hasard un garçon dans une classe composée de 18 filles el de 12 garçons lIo, Ima&inon~ alors une urne avec 30 boules corre~pon dam aux 30 élè\'es de la dasse et effectuon.s 200 tirages d'une boule en remellant chaque fois la boule tirée dans J'urne. 'fi
1. l'
= 0,4 ; II = 200 ; r =
10.
p(I S22000_004' 1> 10"0,4 x 0,6 <>_1_. V 200 100 Donc
p( 1~~~ -
0,41
> 0,35) <> 0,01. 0,4
À l'issue de 200 tirages, la fréquence d'apparilion d'un garçon est inférieure à 0,05 ou supérieure à 0,75 avec une probabilité inférieure ou égale à 0,01. En conséquence, cette fréquence est comprise entre 0,05 et 0,75 avec une probabilité supérieure ou égale à 0,99.
p(ii) ~ 1 - P(B)
1 - 0,01
~
0,99.
2, l' = 0,4 ; Il = 10 000 ; r = 10.
On effectue 10000 tirJges dans les mailles condition:",
Nous obtenons de même
p(l~b~ - 0,41 > 0,049) <>
0,01.
L'intervalle [0,05 ; 0,75] esl remplacé par [0,35 1 ; 0,449]. p est un nombre thé dans lO, 1].
Remarquons sur ces exemples que, quand 11 augmente, t étant constant, l'amplitude de l'intervalle diminue. t et p SOn! fixés, t
D'autre part, r' 11'( 1
> 0,
l') =
V
' donc lim II--t+oo
Il
p) _I_ et lim
y;;
11
--t + 00
_1- = 0;
y;;
o.
r' 11'...;(_ 1---,p-,-) =
V
ni p(1
II
Ainsi:
Il suffit de choisir t assez grand,
Avec une probabilité 1 --\,choisie aussi grande que l'on veut, Sn
r
n
prend une valeur aussi proche que l'on veut de p lorsque n est suffisamment grand: c'est la loi faible des grands nombrPs.
Remarques 1. Jacques Bernoulli avait mis ce phénomène en évidence vers 1700, Voir Mat"bnatiqll~s (lIIftl d~s ûg~.t - IREM. Groupe épistémologie et des mathématiques histoire (Gauthier - Villars).
Voir le chapitre 2 p:lragraphe D.
Chop. 4 : Échantillonnage
comme le rappelle Laplace, un siècle plus tard: « En multipliant indéfiniment les observations et les expériences, le rapport des événements de diverses natures qui doivent arriver approche de celui de leurs possibilités respectives, dans des limites dont l' intervalle se resserre de plus en plus et devient moindre qu'aucune quantité assignable. » 2. La loi faible des grands nombres justifie le point de vue des « fréquentistes» qui attribuent comme probabilité d'un événement une valeur aulour de laquelle la fréquence d'apparition de cet événement se stabilise lorsque le nombre d'expériences indépendantes devient très grand.
149
•
Ce point de vue, opposé :\ celui de!. « f~quenlisles 10 , est dit « bayesien _, en hommage au révérend anglai s Thomas Bayes, auteur en 1763 d' un essai. Drx:trill~ of
dumas.
,
Cependant, par ex.emple en économie, il n'est pas toujours possible d'effectuer de telles expériences, et on peut alors être conduit à fi xer a priori la valeur attribuée il la probabilité d ' un événement; on contrôle et éventuellement valide ce choix a posteriori, en étudiant ses conséquences. 3. La loi faible des grands nombres a une grande importance théorique, mais elle conduit, dans bien des cas, à choisir des valeurs de Il beaucoup trop grandes. En effet, cette loi s' appuie sur un résultat de portée très générale, l'inégalité de Bienaymé·Tchebychev qui, dans des cas particuliers. peut être amélioré.
,
,
B. THEOREME DE LA LIMITE CENTREE 1. CAS PARTICULIER
Xi sui t la loi .N'( IL, (1). E(X + Y) ~ E(X) + E(Y). E({jX)
= (Œ{X).
Soit Xl ' X2• ... • Xi" ...• X", Il variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi normale X( /J.,u). Pour tout i, 1 ~ i ~ " . on a E(X j ) = I-L. Donc E(X t + X + ... + X,.) = EtE(X t
X; suil la loi X(IJ-. 0").
II/J..
2
+
X2 :
...
+X,,) = /J..
De même, pour tout i , 1 ~ i ~ Il, on a V(X j ) = 0.2. Les variables aléatoires Xj étant indépendantes, on a V(X] + ... + X,,) = V(X]) + ... + V(X,.).
,
+ ... + X,,) = IIU- . + X2 + ... + XII)- _-na,2 -_ -a 2.
Donc V(X t Et V ( Celte notation mppelle la moyenne arithmétiGue définie en Mati<;tique descripti,re (chapitre 1).
Xl
11-"
Il
.
•.
Xt
+ ... + X"
.
.
/J.
'
1
y;,
Il
Voir la loi normale au chapitre 3.
l
La van able aleatolre est desormats notée p us simp eIl ment XII' ') E(X,,) = et V(X,,) = u- , donc l'écart type de X" est~. Les variables aléatoires Xl' .... XII étant indépendantes et suivant une loi normale, leur so mme XI +... + X" suit une loi normale et
X"
=
l(X, + ... + XII) suit aussi une loi normale. Il
En conclusion:
K" suit la loi normale N(jJ., ..5!...-).
y;,
Remarques Voir la loi norma le au chapitre 3.
1. Nous déduisons immédi::ttement de ce résultat que la variable uléutaire
x,,~/J. y;,(x" ~ Il) suit la loi normale X(O, y;,
1).
2. L'interprétation statistique de ce résultat sera faite aux paragraphes C. et D. ci-dessous dans deux cas fondamentaux.
150
2. THÉORÈME Comme on ne rencontre pas toujours des variables aléatoires normales, il eSI nécessaire d'éludier quelle propriélé possède la variable aléalOire X"' défini e au paragraphe précédenl, lorsque J'h YPolhèse de normalité des Il variables aléatoires Xi n'est plus satisfaite.
Théorème de la limite centree (admis) Soil XI' X2, ... , X"' variables aléaloires Indépendantes, suivanllOUles la même loi. admeltanl une moyenne f.1. et une variance (T2(a ~ 0). Pour n suftlsamment grand, 1. variable aléaloire
X
= XI
+ ... +X"
"
n
suil approximativement la loi normale .1(( Il, ~) .
Conséquence Voir la loi normale au chapitre 3.
Pour
Il' suffisamment
grand,
X !L- Il Il
v;.(X" : ~ )
Suil.pprox!-
v;. mativementla loi normale .1( 0, 1).
Remarques La convergence d'une suite de variables al~.)(o i res n'est pas au programme. La con\'e rgenc~ env i· sag~e ic i n'est d'ailleurs pas de même nature que celle intervenant dans la loi faible des grands nombres.
1. Conformémenl au programme de malhématiques des seclions de techniciens supérieurs, ce théorème est énoncé ic i en ter mes d'approximation et non en termes de limite. 2. Comme dans le cas particulier du par.graphe 1, on a encore ici E(X,,)
= Il, V(X,.) = -(J'2 el 1, écarl Iype de -X" esl - cr . Il
vii
Mais X ne suit plus une loi normale pour tout Il; ce n'est que pour les grandes» valeurs de n que la loi sui vie par XII se rapproche d' une loi normale. 3. L' inlerprélation slali stique de ce rés ullal sera fa ile aux paragraphes C. et D. ci-dessous dans deux cas fo nda mentaux. C'est en vue de cette étude que J'hypolhèse selon laq uelle les X; sui ven! Ioules la même loi a élé choisie; on aurail pu prendre une hypothèse un peu moins restricti ve. if:
Chap. 4 : Échantillonnage
15 1
,
C. DISTRIBUTION D'ECHANTILLONNAGE
ASYMPTOTIQUE DE LA MOYENNE 1. LE PROBLÈME DE L'ÉCHANTILLONNAGE
Voir chapitre 5.
La théorie de l'échantillonnage consiste, connaissant des propriétés d'une population, à déterminer des propriétés d'échantillons prélevés dans la popul"tion. En réalité, on est le plus souvent confronté au problème inverse, celui de J'estimation: on possède des renseignements sur un ou plusieurs échantillons, et on cherche à en déduire des informations sur la population totale.
Avec la méthode des quota~ se pose le problème de la représemJtivité d'un échantillon lorsqu'oll ne dis. pose pas d'information;;; ~uffisantes
sur la population. Après le lirage sans remise d'un élément, on ne remet pas dans l'urne le papier ou la boule correspondant 3 un élémen t.
Un même élément peut être choisi plusieurs fois dans le ca.' d'un tirage avec remi~.
Cependant, il est important de s'intéresser d'abord à l'échantillonnage, car nous obtiendrons ainsi des résultats utiles pour l'estimation. Pour cela, à J'aide du calcul des probabilités, nous allons chercher un modèle théorique décrivant au mieux une situation de statistique descriptive. Pour y parvenir, nous ne considérerons ici que des échantillons aléatoires, c'est-à-dire constitués d'éléments pris au hasard dans la population. Ils sont obtenus par tirage dans une urne ou par utilisation d'une table de nombres aléatoires; certaines calculatrices permettent égaIement d'obtenir des nombres « pseudo-aléatoires ». Nous ne nous intéresserons donc pa."i aux. échantillons obtenus suivant la méthode des quotas, qui consiste à chercher à créer une ou plusieurs «populations en miniature» : par exemple, même proportion d'individus par âge, sexe, catégorie socioprofessionnelle, région, ... dans la population et dans un échantillon. Le tirage des éléments d'un échantillon aléatoire peut être sans remise, ou exhaustif; dans ce cas, la composition de l'urne est modifiée à chaque tirage: les tirages ne sont pas indépendants. Sinon, le tirage est avec remise, ou non exhaustif; dans ce cas, les
tirages sont indépendants.
Remarque Dans la plupart des cas où la population a un grand effectif dont on tire une faible proportion d'éléments, on assimile un tirage sa ns remise à un tirage avec remi se.
2. DISTRIBUTION D'ÉCHANTIllONNAGE ASYMPTOTIQUE DE LA MOYENNE Par exempl e, 11/ est la moyenne des soldes de N livrets d'épargne, tandis que x est la moyenne des soldes de 11 li vrets lifts au hasard parmi tes N. Par exemple, Xl as'>OCie au premier
tirage le solde du premier livret ainsi tiré; de même pour X'l: .. , XII'
Considérons une population d'effectif N, de moyenne m et d'écart type CI. Prélevons, dans cette population, un échantillon (aléatoire) de taille II ; on note x la moyenne de cet échantillon et (T' son écart type. Considérons les" variables aléatoires XI' X2 , ... , Xi' ... , XII où chaque variable aléatoire Xi' 1 ~ i ~ Il, associe au i-ème tirage le nombre correspondant à l'élément choisi.
152
Un tel échantillonnage aléatoire de laille II, obtenu avec;: remise. est ainsi con<;idéri comme réal isation des 11 varia ble~ aléa to ires indépendantes X j ,
Si nous supposons que le tirage des Il éléments de l'échantill on a été effectué avec remise, alors les variab les aléatoi res Xi sont indépendantes, Elles sui vent toutes la mê me loi, ont toutes la même moyenne m et le même écart type (f,
Xn
La variable aléatoire
associe à cet échant illon la moyenne ,t des masses des pièce~ de cet échantillon; plu" généralement, Xn associe à tout échanlillon de tai lle 11 la moyenne des ma~se~ des pièces de cel échant ill on,
X
+, .. + X" Il gé néralement, XII = XI
"
sa moyenne l ; plus taill e
Il
associe à tout éc hantillon de
la moyenne de cet échantillon,
effectif n
ft
muyenne il
ïl
~arl
deux éc h'lntillons pcu"enl avoir des élémenLS communs,
A'rI ENTlON:
assoc ie alors à cet échantillon
type (J' 1
[IJ
...
,,',
0"2
ÉdullllillCJf/ ~
ÉdllllllillonJ
...
Échantillon i
Population: effec tif N, moyenne m, écar t type
tT,
XII prend pour valeurs les moye nnes xI' x2' ,.. , xi' '" de tous les échantillons de même effectif Il, prélevés avec remise dans la population, D'après le théorème de la limite centrée, pour
XII
suit approxi mati ve me nt la loi nor male
It
suffi samm ent grand ,
_X(m, J!...-). v;.
_
Tous les échanlillons onl le me me effectif II,
Nous pouvons alléger l' éc riture e n notant X la variabl e aléatoire X"' car ici, II étant fix e, il n'y a pas de risque de confusion,
Cette conséquence du théorème de la limite centrée est rondamenta le pour la suite,
Considérons une population de moyenne ln el d'écarl type ". Soit Xla variable aléatoire qui. à toul échanlillon aléaloire prélevé av"", remise el d'effectif n fixé, associe la moyenne de cel échantillon. Pour n suffisamm~nl grand. Xsuit approximativement la loi normale
X(m,~). -----------------------~ Remarques
Voir le pM3graphe ll, l ,
1, Dans la plupart des cas, on considère que,., est « suffisa mment grand » lorsque Il atteint quelques dizaines, par exemple lorsq ue Il ;" 3D, mais cela dépend de la nalure de la pop ul ation et du contexte de l'étude. Naturellement, si la population est elle-même normale, c'est-à-dire si les variables aléatoires Xi suivent la loi .N'(m, cr), on peut utilise r le rés ultat sur X avec 1/ « petit », 2. Lorsque les éc hantill ons de taille Il so nl prélevés sans remise dan s la population d'effeclif N, on peUl, dan s certain s cas, utili ser le résultat
N-
/1
N-l
est appelé facleur d'elthaus-
li vité,
v;. VNN -
précédent, en prenant JL.
-1/
I
au lieu de ~ cOllune écart type de
v;.
X. 3. Ne pas confondre l'écart type.", de la variable aléaloi re qui prend Vil
pour valeurs les moye nnes d'échantillons de tuille d ' un éc hantillon. Chap. 4 : ~chantillonnage
153
Il ,
et l'écart type ,,'
D. DISTRIBUTION D'ÉCHANTILLONNAGE ASYMPTOTIQUE DE LA FRÉQUENCE Nous pouvons remplacer fréquence paf proportion ou pourcentage.
Voir le paragraphe C.2 ci-dessus en remplaçant
III
par p, fréquen ce
avec laquelle les N livrets d' épargne ont un solde supérieur à 5 ()(M) euros, et x par f.
Considérons une population d'effectif N dont les éléments possèdent une certaine propriété avec une fréquence p. D' une manière analogue, prélevons avec remise dans cette population des échanti110ns aléatoires de même effectif 11 et mesurons pour chacun d'eux la fréquence f avec laquelle les éléments possèdent cette même propriété. effectif n
fr«Juence fi ATfENTION: deux échantillons peuvent avoir des éléments communs.
Éch(mtil/oll 2
Échalltillon J
Échantillon i
Populafion : effectif N, fréquence p NOLIS obtenons avec la fréquence un rés ultat analogue à celui figurant au paragraphe C. 2 à propos de la moyenne :
Considérons une population dont les éléments possèdent une certaine propriété avec une fréquence p. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire prélevé ave<.: remise et d'effectif n fixé, associe la fréquence avec laquelle les éléments de cet échantillon possèdent cene propriété. Pour n suffisamm~nt grand, F suit approximativement la loi normale
X(p,
'fJ) où q = 1 -
p. 1
L
Remarques Voi r paragraphe A.
1. Soit SIl la variable aléatoire associant à tout échantill on de taille 11, le nombre d'éléments de cet échantillon qui possèdent la propriété considérée ; Sn suit la loi binomiale \13(11, pl. Sil est une variab le aléatoire discrète qui peut prendre pour valeur tout nombre entier k compris e ntre 0 et n. S F = --.!!.. est donc un e variable aléatoire discrète qui prend pour valeurs li
les fractions P(F
=~)
k, où 0 ~ k ~
n.
Il
=P(Sn =k) =~pk( 1 _ p)" -
k
Aussi, dans l' approx imati on de la loi de F par la loi normale Voir au chapitre 3, la fin du paragraphe 3.c.
.N(p, V'r!). on peut être amené à effectuer une correction de continuité sur les bornes de l' Înterva]]e considéré, 2. L'approximation d'une loi binomiale par une loi normale, indiquée au chapitre 3, est à relier au théorème de la limite centrée.
154
-
TRAVAUX PRATIQUES .,
==
E
t===
Pour pouvoir aborder avec profit l'étude de la statistique inférentielle figurant au programme, il est essentiel de connaître quelques situations de référence à propos de l'échantillonnage. Le but de ces deux activités est de faciliter cet apprentissage: il ne s'agit pas d'exercices corrigés ressemblant à des sujets d'examen, mais d'un contact avec des situations aléatoires et d'une familiarisation avec des notations et des résultats concernant des concepts figurant au programme ; en un mot, ce sont de véritables travaux pratiques. Remarque Dans le chapitre 5, nOl/S nous intéresserons au problème ÎIl\'erse : cl parrir d'informations sur un échantillon, peut-oll pré\'oir où se situe la moyenne de la population? 011 from'era ci-ap r~s ml début de répollst! dans lUI cas particulier. Pour chaque échalllilloll, déterminer les bornes
EXEMPLE DE DISTRIBUTION D'ÉCHANTILLONNAGE DE LA MOYENNE TP 1 On considère la population constituée des 100 éléments suivants que l'on matérialisera par 100 morceaux de papier, chacun portant un de ces cent nombres.
c.....
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
[!Todi
1
3
7
12
17 20
17
12
7
3
1
de "imen'alle [Xi - 1.96
3. Recommencer avec 9 autres échanti llons, chacun ayant 30 é lémen ts, dont les moyennes respectives sont notées x2' ... , xlO'
EXEMPLES DE DISTRIBUTION D'ÉCHANTillONNAGE D'UN POURCENTAGE
4. Calculer la moyenne ~ et l'écart type s de la nouve lle séri e statistique constitu ée des 10 moyennes d'échantillons x I' .... xIQ'
.Jo
et I-l d'une part, et d'autre part,
TP2
et s : leurs valeurs numériques sont-e lles
« proches
)t
On repre nd la situation du TP 1. 1. Calcul er le pourcentage p d'éléments de la population correspondant à un nombre supérieur ou égal à 6. 2. Dans chacun des 10 échantillons. calculer le pourcentage f;. où 1 ., i ., 10. d'éléments correspondant à un nombre supérie ur ou égal à 6. 3. Calculer la moyenne et l'écart type s' de la série statistique constitu ée des 10 pourcentages
?
6. Déterminer les bornes de l'intervalle
1=
[1/1 -
1.96.Jn;
111
+ 1.96
.Jn];
placer sur un même graphique les dix moyennes d'échantillons xI' 2• ...• XJO obtenu es aux questions 2 et 3. Quel pourcentage de ces nombres est situé dans l'intervalle I?
x
Chap. 4 : Échantillonnage
00" l-
•• --- -----3----;
2. Prélever au hasard et avec remise un premier échantillon de 30 éléments de la population. Calculer sa moyenne xI'
ni
Xi + 1.96
oti 1 ::s.:;: i ~ 10, et place,. ces dix imenalles silr dix axes parallèles en alignant verticalement les abscisses communes (par exemple, les 5 en dessous des 5.... J. Quel pourcentage de ces inten'alles :5 cOlllient la moyenne III de la populatioll ?
1. Calculer la moyenne 1/1 et l'écart type cr de cette population. 0" sera arrondi à l'unité.
5. Comparer
00";
1
f;. 155
4'Comparer pet
1 d'une part et, d'autre part,
, jp(l
V
Voici 1111 début de réponse dans un cas particulier: Pour chaque échamilloll, déterminer les bornes
p) ets'.
30
de l'infen'alle
5° Déterminer les bornes de l'intervalle J = [p - 1 96 ' jp( 1
p). p + 1 96 ,jcp("I----'p") 'V30' 'V30
1
et placer sur un même graphique les dix pourcentages fi' f 2, ... , flO obtenus au 2'. Quel pourcentage de ces dix nombres est situé dans l'intervalle J? Re,marque
Dans le chapitre 5, nOlis nous intéresserons au problème Ùl\'erse : cl partir d'informations sur un échantillon, pellf-oll prb'oir où se situe le pourcellfage d'éléments de la population possédant une certaine propriété ?
i ) . f· + [i. - 1 96,j"'li"O-i.'-7 V 30 '
196' /J;CI
Y
li) 1
30 . où 1 : : :; : i ~ 10, et placer ces dix intervalles sur dix axes parallèles en alignant verticalemellf les abscisses commWles (par exemple les 0,5, c'est-àdire 50 % el1 dessotls des 0,5 .. .). Quel pourcentage de : 0.5 ces imerwllies contient le pourcen1
•
1
•
•
tage p calculé il/a première question?
EXERCICES CORRIGÉS DES OBJECTn-S Déterminer un inler\'alle r.:om:ernant la"distri-
bution d'échantillonnage ùe la moyenne
Numéros des exercices
-*
Contrôle de qualité (suite)
Une machine fabrique des pièces en grande série. 1 et 5
Déterminer un efl'er.:tif d'échantillon, CQm:er-
nant la distribution d'échalHi1tonnage de la
12]
2
moyenne Calculer des probabilités l'Ollr.:ernant 1:1 distribution d'échantillonnage ùe la frequem;e
3 et 4
Déterminer un effectif ù'él:h;lnlilloll'i COncernantla distribution d'ér.:hantillonnage des fr~quences.
4
À chaq ue pièce tirée au hasard, on associe sa longueur exprimée en millimètres; on définit ainsi une variable aléatoire X. On s uppose que X suit la loi normale X(III, a), où 111 = 28,20 et a = 0,027. On admet que la variable aléatoire M qui, à tout échanti llon aléatoire non exhaustif de taille 11, associe la moyenne des longu eurs des 1/ pièces de l'échantillon, suit la loi normale
X(m, J,,)
QJ •• Contrôle de qualité Une machine fabrique des pièces de forme circulaire en grande série. À chaque pièce tirée au
hasard dans la production, on associe sa masse o n définit ain si une variable aléatoire X. On suppose que X suit la loi normale X( "., a), où ". = 150 et a = 2,1. Soit"M la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 400 pièces prélevées au hasard et avec remi se dans la production, associe la moyenne des diamètres des pièces de cet échantillon. M est exprimée en grammes
une variable aléatoire qui su it une loi normale. Déterminer à 10- 3 près le nombre positif h tel que: P(". - " '" M '" ". + h) = 0,95.
Déterminer 11 pour que:
P(28, 195 '" M '" 28,205) = 0,95.
0*-* Fille
ou garçon?
Dans une population, on constate qu'ilnuÎt 52 % de garçons et 48 % de filles.
On suppose que la variable aléatoire F qui, à tout échantillon de taille Il = 400 prélevé au hasard et avec remise dans la population, associe le pourcentage de garçons dans cet échantillon, su it la loi normale X(p, yP(1 Il p)), où p = 0,52.
156'
Il
On se propose de prélever un échantillon aléatoire non exhaustif de 400 nouveau-nés. e Détermine-r, à 10- 2 près, la probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, un pourcentage de garçons compris entre 50 % et 54 % . 2° Déterminer, à JO-2 près, la probabilité d'avoir, dans un tel éc hantillon, lin pourcentage de filles inférieur à 45 %.
Exercice d'examen
o
*H Loi normale, loi binomiale? loi de Poisson? échantillonnage
Une machine fabrique en grande série des pièces cylindriques. Les diamètres de ces pièces sont ex:primés en mi Il i mètres. us ré.HI/Tats numériques demandés .\·erolll anvndis au milli~me.
~ **** Un tirage en classe Une classe est constituée de 18 filles et 12 garçons. On considère une urne avec 30 boules correspondant aux 30 élèves. On effec tue n tirages aléatoires d'une boule en remettant chaque fois la boule tirée dans l'urne. us deux qLl~slioll !1 .\'lIi\,{lIIt~s sont indépendantes. } OÀ
l'aide des inégalités intervenant dans la loi faible des grands nombres, déterminer à panir de comb ien de lirages la fréquence d'appariti on d'un g
r
On cons idère que le nombre n de tirage est suffisamme nt grand pour que la variable aléatoire F qui, à lout échant illon de taille 1/ ainsi réali sé, associe la fréquence ou le pourcentage d'apparition d'un garçon, suive la loi normale
X(p,
V~;
),
ou
q = 1 - p,
p étant la proportion de garçons dans la classe.
1° Soit X la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre. On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne III = 50 et d'écart type cr = 0,4. Une pièce est considérée comme défectueuse si son iamètre est inférieur à 49, 1 ou supérieur à 50,9. éterminer la probabilité qu'une pièce soit défec#lUeuse.
r
On suppose dans œtte quest ion que 2 % des pièces produites sont défectueuses. On effectue un prélèvement de 11 pièœs prises au hasard dans la production. Ce prélèvement peut être assimi lé à un tirage avec remise. On désigne par Y la vari able aléatoire qui, à tout ~hantillon de Il pièces ainsi réa li sé, associe le nombre de pièces dé.fectueuses dans l'échantillon. a) Quelle est la loi suivie par Y? b) Pour Il = 10, calc uler la probabilité P(Y= 2). c) Le client accepte un lot de 10 pièces s'il cont ient au plus une pièce défectueuse. Quelle est la probabilité que le lOI so it accepté '! d ) Pour 11 = 50, quel est le paramètre de la loi de Poisson par laquelle on peut approcher la loi de Y? En utilisant cene approximation, déterminer la probabilité qu'i l y ait plus d'une pièce défectueuse dans le lol.
À l'aide de la table de la loi normale .N'(O, 1). déterminer Il pour que: P(0,39 '" F '" 0,4 1) '" 0,95. 3° Comparer les valeurs de 11 obtenues aux deux premières questions.
3° Pour contrôler la fab rication, on prélève de5 échantillons aléatoires de 100 pièces; ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise. On appelle Xla variable aléatoire qui, Il. chaque é<,'hantillon de 100 pièces, associe la moyenne de~diamètres des pièces de cet échantillon. On admet que X su it la loi normale de moyenne 50 et d'écart Iype
~ ~. v lOO
Déterminer le nombre réel b positif tel que P(50 - b
Chap. 4 : Échantillonnage
157
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
EXERCICES NON CORRIGÉS Exemples de distribution d'échantillonnage de la moyenne
0" Où
on fait apparaître l'ensemble
des échantillons
On considère une populati on de 4 objets de masses respectives en kilos: 48, 50, 53. 54. On désigne p~r X la variable aléatoire qui, à chaque objet prélevé ~lU ha sard, associe sa masse et par X la varÎilble aléatoire qui, à tout échantillon de 2 objets. prélevé au hilsard de manière non exhaustive, associe la moyenne des masses des 2: objets de cet échantillon. , 0
1 Calculer E(>-1 et ,,(X).
r
En faisant figurer leurs masses sous forme de couples, donner J'ensemble de tous les échantillons el les valeUfS prises par la variable X.
30 Calculer E(X) et ,,(X), vérifier que E(X) que ,,(X)
o.
~ E(X) et
~ "(X).
y;;
Le ni~ eau monte!
Tous les rlsultats approchés seront arrondis à f(T.1, Après la correction d'une épreuve d'examen comportant un grand nombre de candidats, on constate que les nOies ont pOlir moyenne 12 et pour écart type 3. Soit X la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléaloire et non exhaustif de taille 100, associe la moyenne des notes de cel échant ill on.
On définit une variable aléatoire X en associant à chaque échantillon de ce type la moyenne des diamètres des 100 rondelles. a) Quelle est la loi su ivie par X? Quels sont les paramètres de celte loi? b) Calculer, ~lvec la précision permise par la t~lble du formulaire. la probabilité que la moyenne d'un tel échantillon soit supérieure à 12,01 mm.
o
U
Dans la farine ...
Totis l~.'i rbu/wts approchés
st'rOtlt
arro"t/i.\' à 10-2.
Une machine est chargée de conditionner des paquets "de farine. On désigne par M la variable aléatoire qui, à chaque paquet prélevé au hasard dans la production, assoc ie sa masse exprimée en grammes; M suit une loi normale d'écart type constant, cr = 30, et dont la moyenne III peut être modifiée. Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à
955
gramme~,
Afin de diminuer le nombre de paquets refusés on décide de modifier le réglage de la machine.
1° Quelle doit êt re la valeur de m pour que la probabilité d'accepter un paquet soit égale à 0,99 ?
r
Ut machine est réglée de telle sorte que m = 1025.
SOi l X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 20 paquets, associe la moyenne des masses des 20 paquets. On assimile ces échantillons de 20 paquets à des échanti ll ons aléatoires prélevés avec remise, a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X?
On suppose que X suit la loi normale )((12 ; 0,3). On se propose de prélever un échanti llon aléalOire non exhaustif de 100 nOIes.
b) Déterminer un inter valle cenlré en m tel que la probabilité que X appartienne à cet intervalle soil 0,95.
] 0 Quelle est la probabilité d'avoir la moyenne d'un tel échantillon ~upérieure à 12,5 '!
r
Quelle est la probabilité d'avoir la moyenne d'un lei échantillon comprise entre 12,5 et 12,9?
[!!] ••• T.wx de cholestérol
[!J -ça roule...
On note X la variable aléatoire qui, à tout individu tiré
Une machi ne produit des rondelles métalliques en grande série. On suppose que la variable aléatoire qui associe à chaque rondelle prélevée au hasard dans la production son diamètre extérieur, exprimé en mm, suit la loi normale de moyenne 111= 22 et d'écart type
lestérol. On suppose que X su it la loi normale de
échan till on aléatoire et nOn exhaustif de taille
()" =0,05.
associe la moyenne des taux de cholestérol des indivi-
On considère des échantillons de 100 pièces prélevés au hasi.trd que l'on assim ile à des échantillons non exhaustifs.
dus constituant cet échantillon, suit la loi normale
au hasard dans une population, associe son taux de chomoyenne m = 188 cglL et d'écart type
(J;:
30 cglL.
On suppose que la variable aléatoire X qui, à chaq ue
N(m, ~). v;, 158
fi
= 100,
TOlu J~s dsultats approchés Uf'Onr arrondis à 10-2.
~
1° Déterminer le nombre positif It tel que: P(m -II ~ X:S;
111
Un candidat B a obtenu 49 % des suffrages exprimés à une élection.
+ Il) = 0,95.
r
Même question en remplaçant 0,95 success ivement par 0.99. puis 0.98. puis 0.90 el enfin 0.5.
On définit une variable aléatoire F comme dans l'exercice 12 et on suppose que F suit la loi normale
3° On pose P'I = P(m - Il ~
X ~ 111 + h). Que constate- t-on pour l'amplitude 211 de l'intervalle lm - h, m + li] lorsque la probabilité Ph diminue?
@]
H*
.N' (p,
Une mat'hine fabrique des disques en grande série.
2° Reprendre la question précédente avec"
On suppose que la variable aléatoire X qui, à chaque disque tiré au hasard. associe son diamètre, exprimé en millimètres, suit la loi normale.N'(J..L, 0') où J..L = 12,8 et (T = 2,1.
= 2 000.
~ *** Les caisses de l'h}permarché Un hyperm arché utilise 25 ca isses enregistreuses de même modèle.
Soit X la variable alé.ttoire qui, à tout échantillon aléatoire non exhaustif de wille 11 = 49, associe la moyenne des diamètres de s disques de cet échant ill on.
Le fournis seur de ces ca isses prétend que 90 % des caisses de ce type n'ont aucune déraillance au cours des 900 premières heures de fonctionnement. On suppose que cene assertion est vraie.
X suit la loi normale .H'(J..L •...!!...-).
y;,
1° Déterminer, à 10- 2 près, un interv~llle centré en 12,8 tel que la variab le aléatoire X prenne une valeur dans cet intervalle avec la probabilité 0,95.
On suppose égaleme nt que la variable aléatoire F qui, à tout éch:.tn till o n aléatoire et non exhaustif de 25 caisses de ce modèle, associe le pourcentage de caisses défectueuses de ce t échantillon, suit une loi normule.
r
On se propose de prélever un échantillon aléatoire non exhaustif de taille Il. Déterminer Il pour que la moyenne des diamètres des disques prélevés ne s'éCurie pas de 12,8 mm de plus de 0.2 mm avec une probabililé de 0.95.
Exemples de distribution d'échantillonnage d'un pourcentage
Pl) ,
p(I - - , , - ,ou p = 0,49.
1° Quelle est la probabilité, à 10- 3 près, d'avoir, dans un ét'hant illon aléato ire non exhaustif de taille" = 100 prélevé parmi les suffrages exprimés, strictement plus de 50 % de voix pour le candidat B?
Contrôle de qualité
--t'>n suppose que
** Problème électoral (bis)
Tous les riSI/l'ars approchts ,\'UOIlf arroI/dis à JO - 3. 1° Quels sont les paramètres de la loi normale su ivie par F? 2° Quelle est la probabilité d'avoir dans un [e l hypermarché au plus 16 % de ca isses ayant subi une défaillance pendant les 900 premières heures d'utilisation '?
§] *** Problème électoral Un candidat A a obtenu 55 % des suffrages exprimés à
3° Déterminer le nombre réel il tel que l'on ait
une élection.
P(F'" h) = 0.95.
Soit F la vari able aléatoire qui, à tout échantill on de taille
II
=
100 prélevé au hasard et' avec remise dans
l'ensemble des suffrages exprimés, assoc ie le pourcen-
Exercices d'examen
tage de voix obtenu par le candidat A dans cet échanti llon. On suppose que F sui t la loi normale
,
X(P. VP ( l " P)). où P= 0.55.
@)\** Loi normale, loi binomiale, approximation ~'une loi binomiale par une loi de Poisson,
1° Quelle est la probabilité, à 10- 3 près, d'avoir, dans
échantillonnage
un échantillon aJéatoire non exhaustif de taille" = 100 prélevé parmi les suffrages exprim és, str icteme nt
Une muchine fabrique en grande série des pièces de diumètre 38 mm.
moins de 50 % de voix pour le candidat A ? 2° Reprendre la question précédente avec
Chap. 4 : Échantillonnage
II
Les exercices suivants, propo~s récemment dans des épreuves de BTS, portent sur plusieurs thèmes abordés dans ce çhapitre et d
Tous ln résultaIS approchts uronl arroI/dis à J(rJ. 1 ° SOÎt X la variable aléatoire qui , à toute pièce tirée au
= 2000. 159
On admet que X sui t la lo i no rmale de moyenne 111 = 38 et d'écart type ('J = 0,49.
donnée, assoc ie son diamètre exprimé en ce ntimètres. On admet que X suit la loi normale de moyenne ", = 3,32 et d'écart type (T = 0,1. Pour être utilisable, une bille doit avoir un diamètre compris en tre 3, 10 cm et 3,50 cm. Déterminer, à 10-3 près, la probabilité qu'une bille
Déterminer la probabilité que X prenne une valeur dans l'intervalle [37, 39].
prise au hasard dans la production de la semaine so it utilisab le.
r
2° On prélève, au hasard , au cours de la même semain e des éc.:hantillon s de Il billes (11 entier nature.! non nul ). On suppose que le tirage peut être considéré comme un tirage avec rem ise.
hasard dans la production d'une journée, associe son diamètre exprimé en mm. Une pièce est défectueuse si son diamètre n'appartient pas à l' intervalle [37, 39].
On suppose mainte-nant que la probabilité qu ' une pièce tirée au hasard dans la production d'une j ournée soit défectueuse est p = 0,041.
On effectue un prélèvement de 100 pièces prises au hasard dans la production. Le tirage peut être assimilé à un tirage avec remise. On désigne par Y la variable aléatoire qui associe, à tout prélèvement de ce type, le nombre de pièces défectueuses de l'échantillon. a) Quelle est la lo i sui vie par Y? b) En utilisant l'appro;timation de cette loi par une lo i de Poisson, dont o n déterminera le paramètre À, calculer la probabilité qu'un tel échan tillo n contie nne plus de 5 pi èces défectueuses.
So i X la variable aléatoire qui, à un tel éc hantill on, assoc ie la moyenne des diamètres des différentes billes constituant cel échantillon. On suppose 4ue J[ suit la loi normale de moyenn e 111 = 3,32 et d' écart type J!... où a=OI 'If,; Quelle valeur minimale faut-il donner à 1/ pour que J[ soit dans l' inter valle [3 ,29 ; 3,35] avec une probabilité au moins égale à 0,99 ? B. La moyenne des diamètres des billes produites en une semaine vari e au cours du temps. La fabrication est jugée v:.tlable Wnt que cette moye nne reste dans l'intervalle [3,25 ; 3,32].
3° On suppose encore que la vari able aléatoire X définie au
} O su it
la loi normale }{(38; 0,49).
On effectue, dans la production d'une journée, des prélèvements d'échantillons de 100 pièces. les tirages pouvant être considérés com me faits avec remise.
La se mai ne numérotée 0 correspond à celle du réglage initial; des co ntrô les hebdomada ire s effectués lors des quatre premières se,maines de fonctionnement o nt donné les résultats sui vants:
On appe ll e X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le diamètre moyen des pièces de cet échantillon. Si la machine est bien réglée: a) Quelle est la loi suivie par X? b) Déterminer le rée l positif a tel que: P(38 - a"; X ,,; 38 + a) : 0,95.
1° Dam cetU question, le.~ résultats numériques serollt dOllllts par une \'(lIeur approchée arroI/die à 10-3. a) Ca1c-uler le coeffi cient de corrélatio n de la série
statist ique. Peut-on envisager de faire un ajuste ment affine? b) Déter miner une équation de la droite de régressio n de III par rapport à s par la méthode des moindres carrés.
~. Loi normale, échantillonnage ~.ajU5tement affine
Une machine fabrique des billes d'acier en grande série.
r
A. } O Soit X la vari able aléatoire 4lli , à chaque bille tirée au hasard dans la production d'une semaine·
On admet que l' évolution constatée pendant q uatre se maines se poursuit. Estimer la va leur mai'ti mal e du te,mps séparant deux réglages successifs.
160
Chapitre
5
Estimation
Ce chapitre propose une initiation à l'utilisation de méthodes statistiques permettant d'estimer une moyenne, un écart type ou une fréquence. Les exemples choisis portent notamment sur le contrôle de la qualité d'une fabrication industrielle, sur l'interprétation de résultats expérimentaux obtenus en laboratoire ou sur des enquêtes et des sondages, de plus en plus présents dans notre vie quotidienne. La théorie de l'estimation a été développée au début du xxe siècle par deux mathématiciens, un anglais, Ronald Fischer (1890-1962) et un irlandais, William Gosset (alias Student) (1876-1937), dont les travaux avaient pour but l'amélioration de la qualité de la production de la célèbre brasserie Guinness, où il fit toute sa carrière.
A. NATURE DU PROBLÈME Considérons les deux situations suivantes:
Situation 1 Cette si lualion est très générale : elle ~Ul apparaître comme ici lo~
Une ~ociété s'approvisionne en pièces brutes qui, conformément aux conditions fixées par le fournisseur, doivent avoir une masse moyenne
de la réception d'une commande
avec une longueur. un angle, ... lia place d'une masse.
de 780 grammes. Au moment où 500 pièces sont réceptionnées. on en prélève au hasard
Elle peut aussi survenir en cours de fabri cation, lorsqu'un échantillon
un échantillon de 36 pièces dont on mesure la masse. On obtient les résultats suivants:
est prélevé pour étudier si le
Ma'l.'iC des
rfglage d'une machine conti nue l\
pi~~
(en gramme..)
être satisfaisant.
1745.7551 1755. 765[ 1765. 775[ [775.7851 [785.7951 [795,8051
Ntlrnhrt' de pièces 2 6 10 Il
5 2
Sur la plu pan des calculatrices récentes l'écart type de l'échan-
À combien peut-on estimer la moyenne et l'écart type des masses pour la population constituée des 500 pièces à l'aide des résultats obtenus
tillon est nOlé cr". voir les pages calculatrices 1\ la fin de cel ouvrage.
sur cet échantiJlon ?
Situation 2 Dans un hôpital important, on prélève au hasard un échantillon de 100 personnes parmi la population des malades et on mesure la pression
artérielle diastolique (P.A.O.) de chacune de ces 100 personnes. Chap. 5 : Estimation
163
On obtient les résultats suivants: P.A.D.
Effectif
(en mm de Hg)
[4.6[ [6, S[ [8,101 [10, 12[ 112,14[
4 20 41 23 12
À combien peut-on estimer la proportion de personnes dont la P.A.O, est strictement inférieure à 8 parmi la population constituée de l'ensemble des malades de l'hôpital ?
Nature du problème C'est le problème inverse de l' &~ha nti Ilonnage,
Voir le pJ.ragraph'e B.
Voir le paragraphe C.
Dans les deux cas, nous cherchons des informations sur une population d'effectif relativement important à partir de l'étude d ' un échantillon de quelques dizaines d' unités: dans la situation 2, il s'agit d'une proportion et, dans la situation l, d'une moyenne et d'un écart type. Ce type de situation se rencontre fréquemment dans le monde industriel car, le plus souvent, il n'est pas possible d' étudier la population entière : cela prendrait trop de temps, reviendrait trop cher ou serait aberra nt comme, par exemple, dans le cas d'un contrôle de qualité entraînant la destruction des pièces. Nous allons apporter à ce problème très important deux types de réponses: tout d'abord en proposant un nombre comme moyenne, proportion ou écart type de [a population: c'est l'estimation ponctuelle, séduisante par sa simplicité mais ne donnant pas touj ours un résu ltat utilisable de façon satisfaisante. Aussi, dans un e seconde partie, serons- nous amenés à introduire la notion d'intervalle de confiance associé à un coefficient de confi ance.
B. ESTIMATION PONCTUELLE 1. MOYENNE Une estimation ponclu~lI~ est un nombre (que J' on peut représenter par un point sur un axe.
Pour l'échantillon étudié dans la situation 1, la moyenne des masses (e n grammes) des 36 pièces est x = 774,7. En l'absence d'informations suppl émentaires, on décide de prendre cette valeur comme estimation de la moyenne inconnue m des masses pour la population constituée des 500 pièces réceptionnées. m
lx = 774.71
inconnu
Échantillon Population
164
Dans tout ce chapitre, nous supposons que les prélèvements sont effectués :lvec remi se ou pem'enl être con"idérés comme tels.
D'une manière générale, on choisit la moyenne x d'un él'hantillon préle ..'é au ha..ard dans une population comme estimation ponctuelle de la moyenne inconnue m de celte population. --;L rr
~
,
~
'"
2. FREQUENCE D;:tns tout ce chapitre. (m peut rempl acer f r! lJuella par p{) !l lTeIlTllg~ ou proportÎon . Ici f = ~ = 0,24 = 24 %.
25
P.A.D. : pres"ion artérielle diastolique.
Pour l'échantillon étudié dans la siruation2 , la fréquence des personnes dont la P.A.D. est strictement inférieure à 8 est f ~ 11. ~ 0 ,24. En l'absence d' informations supplémentaires, on Jg2de de prendre cette valeur comme estimation, pour la population constituée de l' ensemble des malades de l'hôpital , de la fréquence inconnue l' de personnes dont la P.A.O. est strictement inférieure à 8. 1f
l' Inconnu
~ 0, 24
1
Échantillon
Population: ensemble des malades de l'hôpital D'une manière générale, on choisit la fréquence f des éléments possédant une certaine propriété dans un échantillon prélevé au ha.sard dans une population comme estimation ponctuelle de la fréquence inconnue p des éléments de cene population ayant cette même propriété,
t~ ~IY
,
3. VARIANCE, ECART TYPE La vari ance est le carré de l' écart type. Cette propriété est admi ~ en sections de technic ien.s supérieurs.
Par analogie avec les deux paragraphes précédents, nous sommes tentés de choisir la variance (T,2 d ' un échantillon préle vé au hasard comme estimation ponctue lle de la variance inconnue (T2 d' une population. Mai s, en procédant ainsi, nous risquon s de sous-estimer la variance de la population, et cela d'autant plus nettr.:ment que l'effectif 11 de l'échantillon est petit. Aussi est-on conduit à corriger cette première estimation pe u sati sfaisante en utilisant le nombre _ '_'_rr, 2. Il - l D'une manière générale, on choisit le nombre -'-'- u'~. où n est l'efn - 1 fectif de l'échantillon el ",2 la variance d'un échantillon prélevé au hasard dans une population, comme estimation ponctuelle de la variance inconnue cr 2 de cette population.
~ .,. cs: ( ,.....-1
1.
<::Ç Chap. 5 : Estimation
165
~
C. ESTIMATION PAR INTERVALLE
DE CONFIANCE Dans la situation J, en choisissant un nouvel échantillon de 36 pièces, on obtiendrait une nouvelle moyenne pour les musses de ces 36 pièces. De même, dans la situatioll 2, un nouvel échantillon de 100 personnes donnerait une nouvelle fréquence de malades possédant la même propriété. Ainsi, les estin"IUtions ponctuelles proposées ci-dessus de la moyenne d'une population et d'une fréquence d'éléments de la population dépendent très directement de l'échantill on prélevé au hasard. Dans de nombreux cas, l'importance attribuée au hasard dan s le choix des éléments d ' un échanti llon, et donc dan s le ré sultat des estimations ponctuelles du paragraphe précédent est grande. Cela conduit à s' interroger avant d'utili se r ces estimations pour prendre des décision s dont les conséquences économiques, financières, sociales,_ .. peuvent être très grandes: refus éventuel d'une livraison, chojx d' une stratégie commerciale, fixation d'un minimum de ressources pour l'obtention d'une aide, ...
Aussi, sans rejeter les informations fournies par l'étude d'un échantillon, est-on amené à chercher un nouveau type d'estimation de la moyenne d'une population ou d ' une fréquence d'éléments d'une population, en utilisant le calcul des probabilités, notamment la théorie de l'échantillonnage, qui permet de • contrôler» l'influence d' un échantillon particulier.
1. MOYENNE a. Situation 1 774.7 g est la moyenne .T de l"éch:lOlillon p~ l e\'é; c'est l'estimation ponctuelle de p:tmgrnphe B. 1.
II!
retenue;w
Dans la situation J. plutôt que d'estimer ~l 774,7 g la moyenne inconnue III des masses des 500 pièces de la population, nous allons décrire et mettre en œuvre une méthode permettant d'obtenir des intervalles qui, dans un grand pourcentage de cas choisi à l'avance, par exemple 95 % ou 99 %, contiennent la moyenne inconnue m de la population. Imaginons, que dans la population des 500 pièces, on prélève au hasard et avec remi se un e succession d'échantillons de même effectif 11 = 36 dont o n calcule les moyennes respectives: xI pour le premier échantillon , pour le deuxième et ainsi de suite.
x2
De plus, supposons que J'écart type cr de cetle population est connu et égal à 12,5 g. Pour faciliter la lec ture de ce schéma. nous
a\'on~
reprl!senté des
échantillons disjoints alors qu'un même élément peut appartenir ?t plusieurs échantillons el même être lift plusieurs foi:-. dans un même
111: inconnu
Échantillon 1 1 n = 36, XII
cr = 12,5
Échantillon
é(:hantillon (t irage a\'ec remise).
Population
Chap. 5 : Estimation
167
21 n =
36, x t
1
La taille d'un échantillon est w n
effectif.
En particulier, on suppose que = 36 est suffi samment gr:md pour cela.
11
l ,' cr ~ 12,5
" y;; v'36 = -,') 08 . Fig. 1
Soit X la variable aléatoire qui à chacun de ces échantillons de taille 36 associe la moyenne de cet échantillon: X prend successivement les valeurs XI' x2" Supposons que les conditions sont réunies pour pouvoir utiliser une conséquence du théorème de la limite centrée et faire l'approximation suivante: La variable aléatoire X suit la loi normale .N'(m, c'est-à-dire la
J,J
variable aléatoire T =
VIi (X ~ Ill) suit la loi normale centrée, réduite (J'
.N'(O, 1), P(-I~T~t)
- 1
Fig. 2 11(1)
Donc, comme nous l'avons vu dans le cours sur la loi normale: pour tout 1 ;;;, 0, P( - 1" T., 1) ~ 2Il(1) - l, la table des valeurs de II(t) étant donnée dans le formulaire officiel de mathématiques propre à chaque BTS (voir en fin d'ouvrage), Par exemple. 2II(I) - 1 ~ 0,95 si et seulement si II(t) ~ 0,975 qui , nous le lisons sur la table de la loi normale .N'(O, 1), correspond à 1~
On choisit en général une « forte ,. probabilité comme 0,95 ou 0,99.
1,96,
(
P(-1,96J,;" (X P (III -
La variable aléatoire X prend une valeur dans l'intervalle [m - 1,96~: YII
III
.
+ 1,96 .~l V II
avec la probabilité 0.95. Nous ne connai ssons pas les bornes de l'intervall e ci-dessus, car III est inconnu.
11
sont de... l'onstantes.
1,96J,;) ~ 0,95
(1)
1,96 J,; ., X" III + 1,96 J,;) ~ 0,95 (2)
i.:
Donc
On lit les inégalités précédentes de droite à gauche. cr et
-1/1)"
) ~ 0,95
L'égalité (2) signifie que, avant de prélever un échantillon de taille Il dans ~ population, il y a 95 chances sur 100 pour que la variable aléatoire X prenne une valeur comprise entre 111 ~ ] ,96 . . el 111 +....Q...... V'L ,In Mais, comme le nombre m est inconnu, nous afIons utiliser les résultats précédents pour encadrer m : D'après (1),
On multiplie pJ.f - 1 < O.
VIt -
Donc P - 1,96 ., Ci(X - III) ., 1,96
p( - X -
1,96 J,; ., - III .,- X + l,~n ~ 0,95,
p(x + 1,96 J,;;;;, X - 1,96 J,;) ~ 0,95 p(x - 1,96 J,;" II!" X + 1,96 J,;) ~ 0,95 1/1;;;'
(3)
Dans l'égalité (3), m est une constante inconnue et la probabilité 0,95 concerne la variable aléatoire X qui permet de définir les variables aléatoires X - 1,96,~ et X + 1,96,~ , Vil
yn
Ainsi, avant de prélever un échantillon de taille Il dans la population, il y a 95 chances sur 100 pour que, d'une part, la variable aléatoire 1,96 .. ~ prenne une valeur inférieure à ln et, d'autre part, la V" variable aléatoire X + 1,96 .. ~ prenne une valeur supérieure à m.
X-
yn
Nous avon s déjà remarqué 4u ' après avoir observé. le résultat d'un lancer de dé, il n' y a plus lieu de chercher avec quelle probabilité telle ou telle face sort: une face est sortie et les autre.') non: c'est une réalité.
En revanche, après le prélèvement d'un échantillon, il n'y a plus de probabilités à envisager: il est vrai ou il est faux. que la moyenne nt de la population est située dans l'intervalle fixe
[x 168
1,96 J,; ;X
+ 1,96 J,;
l
Dans le cas de l'échantillon prélevé dans la situation 2, on a :
[x - 1,96,:1n;x + 1,96,:1n 1=
[770,61; 778,79}
Cet intervalle est appelé intervalle de confiance de la moyenne de la population avec le coefficient de confiance 95 % (ou avec le risque 5 %).
Remarques 1. Cet intervalle de confiance de la moyenne 111_ de la population a pour centre la moyenne x de l'échantillon qui sert à le définir. 2. Avec d'autres échantillons de même effectif, on obtiendrait de nouveaux intervalles de confiance de cette moyenne avec le même coefficient de confiance; en voici, par exemple, quelques-uns : Tous ces intervalles ont la même
• • • • •
amplitude:
2 x 1,96 .~
v"
= 8,17.
Leurs centre," respectifs sont les moyennes x des échantillons. Voir la fin du TPl du chapitre 4.
1
Vu la symétrie de la loi normale, les autres échantillons sont répartis entre deu)!: groupes de même importance: environ 2,5 % ent ièrement « à gauche » de!" et de même .. à droite » de m.
Si on prélevait un très grand nombre de tels échantillons (on peut simuler de tels prélèvements avec une calculatrice ou un ordinateur), environ 95 pour 100 d'entre eux contiendraient la moyenne inconnue 111 de la population. En fait, on n'en prélève qu'un se ul et on ne peut pas savoir si celui-ci contient ou non le nombre m, mais la méthode mise en œu\'re permet d'obtenir un intervalle contenant ni dans 95 cas sur 100.
b. Cas général Voir le paragraphe a. ci-dessus.
À l'aide d'un échantillon. nous allons définir un intervalle de confiance de la moyenne de la population avec un coefficient de confiance choisi à l'avance en suivant la démarche détaillée pour la situation J. Hl: inconnu
Échantillon (J' :
1", xl
connu Population
En réalité, cette loi normale n' est
qu'une approximation de la lo i sui vie par X. Lorsque 11 est oK grand » , par exemple /1 ;:;... 30, il s'agit en générai d'une « bonne" approximation.
Nous nOLIS plaçons dans le cas où l'on peut considérer que la variable aléatoire X, qui à tout échantillon aléatorre de taille 11 fixée associe la moyenne de cet échantillon, suit la loi normale conséquence du théorème de la limite centrée. Alors T =
Chap. 5 : Estimation
v:: (Ji -
.N(m, -.O"r=) : c'est une Vn
m) suit la loi normale centrée, réduite X(O, 1).
169
Dans la situation l, nous avons vu que le coefficient de confiance 0,95 correspond à t = 1.96. Voir le formulaire de mathémaliques propre à chaque groupement de BTS. Voir le paragraphe a. ci-dessus.
Un coefficient de confiance choisi à l'avance permet de définir un nombre positif lIel que P( -1';; T.;; 1) ~ 2IT(I) - 1 soit égal à ce coefficient de confiance. Par exemple, 2 IT(I) - 1 ~ 0,99 si, et seulement si, IT(I) ~ 0,995 qui , on le lit sur une table de la loi .N'CO, 1), correspond à 1 ~ 2,58. Nous pouvons alors reprendre tous les calculs effectués dans la situalioll 1 en remplaçant 1,96 par le nombre 1 tel que le coefficient de confiance soit égal à 2ll(t) - 1 ; le même raisonnement conduit à poser la définition suivante:
L'intervalle
[x - l!f;; x+ t J,] est l'intervalle de confiance de la
moyenne m de la population av~c le coetli(;ient de confiam.:e 2n(t) - l, ayant pour centre la moyenne x de l'~chantjllon considéré.
\\
Risque 5 IJ- .
?\
Cas particuliers usuels .i
Coefficient de confiance 95 %
i\.
.,
1 ~ 1,96.
)0 1 1 ~ 2,58. Coefficient de confiance 99 % If étant fixé, lorsq ue le coeffident de confiance augmente, J'amplitude de l'intervalle de confiance augmente, donc la précision sur la localisation de 111 diminue.
Risque 1 lA- . Voir TP 1.
Dans le cas d'un .. pclÏl ,. échantillon. on peUl. sous certaines hypothèses. obtenir un intervalle de
confiance en
)0
utili ~ anl
une loi de
Studen!. mai s ceci n'est pas au progrJmme de mathématiques des section~ de technicien,,; supérieurs.
Remarques 1. Pour calculer les extrémités de cet intervalle de confiance, nous avons besoin de connaître en particulier l'écart type (J de la population. Dans certains cas, notamment lorsque l'effectif 11 de l'échantillon est suffisamment grand, on peut prendre pour va leur de (J' son· estimation ponctuelle définie au paragraphe B. 3. 2. Nous nous sommes placés dans le cas où la variable X a pour écart CI type _ C yll
Des problèmes d'indépendance de variables aléatoires se posent alors poUf I"ulilismion du théorème de la limite centrée.
Il
Dans le cas où n'est pas « petit » par rapport à l'effectif N de la population et où le tirage des éléments d'un échantillon est sans remise, - est _CI l'écart type de X Co x
yll
Voir la remarque sur le lancer de dé figurant en marge de la fin du para-
gmphe C.la.
95 cas sur 100 dans la situation élUdiée au paragraphe C. I .a.
3. Ne pas écrire
'IR-Il
--. N - 1
p(x - Vn ~ m ~ .f + Vn) car, dans ces inégalités, t
t
il n'y a que des constantes, ·qui sont ou non rangées dans l'ordre indiqué; on n'a donc pas à co nsidérer des probabilités après le prélèvement de l'échantillon qui permet de calculer x. 4. En revanche, la méthode mise en œuvre, qui consiste à prélever des éc hantillons aléatoires de même taille conduit dans IOO[2IJ(I) - 1] cas sur 100, pourcentage choisi à l'avance, à un intervalle de confiance contenant t1I.
Il,
170
Mai s ATTENTION: Voir la fin du paragraphe C. I.a .
• D'une part, on ne peUl pas savoir si la moyenne m de la population appartient ou non à l'intervalle de <.:ûnfiance associé au seul échantillon effecti\'ement prélevé . • D'autre part. si fil appartient à cet intervalle, m n'a pas plus de raison d'être près du centre de l'intervalle que près d'une de ses extrémités ou en tuut autre endroit de l'intervalle.
x
2. FRÉQUENCE a. Situation 2 0.24 est la fréq uence pour l'klllwtilloll
con<;idé~.
P.A.O. : prt ssion artérie lle di astolique. Voi r C. I.a.
Dans la situation 2. no us avions estimé po nctuellement à 0,24 la fréquence inco nnue p des personnes dont la P.A.O. est stricte me nt inférieure à 8 parmi l'ense mbl e des ma lades de J'hôpital (vo ir B.2.). Allons maintenant plus loin g râce à une méthode d' estimatio n analog ue à celle qui , dans la sifltatioll J, nou s a permi s d ' introduire la noti on d'intervalle de confiance d'une moyenne. Imaginons que, dan s la po pulation constituée de J'ense mble des malades de l'hôpital , o n prélève au hasard et avec remise une succession d'échantill o ns de mê me effectif Il = 100, dont on mes ure la fréquence des personnes ayant une P.A.O. stri ctement inférieure à 8 : /1 pour le pre mier éc hantillon, 12 pour le deu xième et ainsi de suite.
Voir au paragraphe C. 1.:1 la rtmarque situte en marge du schéma ana logue.
= 100, /1 1 1" = 100, /21
Échantillon 1 1 n p : inconnu
Éc hantill on 2
Population
Voir le paragraphe du chapitre 3 sur la loi binomiale et son approximation par une loi normale: on suppose en particu lier Il = 100 assez .. gr.:tnd JI. pour faire cette approximation.
Soit F la variable aléatoire qui, à chacun de ces échantill o ns de tai lle 100, associe la fréquence des personnes de cet échantillon dnnt la P.A.O. est stri ctement inférieure à 8 : F prend successiveme nt les valeurs f i' f 2,··· Nous supposons que la variable aléatoire F ainsi défi nie peut êtrecons idérée comme sui vant la loi norm ale
X(p, yP(I,~ P))
En e ffectuant des calculs ana logues à ceux détaill és au paragraphe C.I.a à propos de la moyenne, on oblient à la place de l'égalité (3) :
P(F - 1, 96YP(J
If
P).;;p';;F+ 196yP( 1Il P))=09S. ' '
Mai s ici la co nstante inconnue p t1 g ure aussi dan s
V
p( 1.
Il
p), écart
type de F, qui interv ien t dans l'e ncadrement de p. Voir aussi la méthode utili sée au TP3. Un échanti ll on de grande taille parait assez r~prb~lIIatif de la population'.
Cha p. 5 : Estimation
On peut surmon ter cette difficulté en considérant n = 100 suffi samment grand pour pouvoir remplacer dans J'ex.press ion co nnue p par so n estimatio n po nctue lle / (voir B. 2). 171
V
1'(1
11
p) l'i n-
L'erreur commi...e en gardant négligeable car, pour
Il
=
Il
est
100,
=
~ 1,005 et nous avons déjà VII - 1 fait une approximation su r la loi suivie par la variable aléatoire F.
1
D ' autre part, pUIsque .
plier par
V
Il
11 -
,V1pO 11-
p) est un ecar ' t t ype, on d Olt . mu 1tl.
1 l'estimation ponctuelle '
(fO=Tl V-----;;--
(voir H, 3,), et
1
on obtient' fO - f) V n- 1 Pour l'échantillon prélevé dans la situation 2, l'intervalle
[f - 1,96 Y f;: =i) ;f+ 1,96Y f;; =i)1~ [0,156;0,324] avec f = 0,24 est un intervalle de confiance de la fréquence p de la population avec le coemdent de confiance 95 % (ou avec le risque 5 %),
Remarques 1. Cet intervalle de confiance de la fréquence p de la population a pour centre la fréquence f de l'échantillon qui sert à la définir. Une telle étude ne figure pas au programme de malhématiques de);
sections de techniciens supérie urs.
Voir la fin du TP 2 du chapitre 4.
On peut auss i définir un autre intervalle de co nfi ance de p avec le même coefficient de confi ance à l'aide d'abaques constitués d'arcs
d'ellipses: son centre n' est plus la fréquence f de l' échantillon utilisé. 2. Avec d'autres échantillons de même effectif. on obtiendrait de nouvea ux intervalles de confiance de cette fréquence p avec le même coefficient de confiance; en voici, par exemple, quelques-uns:
J.
Tous ces in tervalles onl des amplitudes très voisines: 2 x 1.96
J,
,INI - f ,) ; V
11
1
"f'-',o:.(1_---:f:-",) 2 x l.96\r
~
J3
~
J,
~
J,
"
~
Si on prélevait un très gra nd nombre de tels échantillons (on peut simuler de tels prélèvements sur calculatrice ou ordin ateur), enviro n 95 pour
Un
«
bon :. intervalle contient p.
100 d'entre eux contiendraient la fréquence inconnue p de la population. En fait, o n n'en prélève qu'un seul et on ne pe ut savoir si celui-c i conti ent o u no n le nombre p, mais la méthode mise en œuvre permet d'obtenir un intervalle contenant p dans 95 cas sur 100.
b. Cas général À l'aide d'un échantill o n, nous all ons définir, avec un coefficient de confiance choisi à l'avance, un intervalle de confian ce de la fréquence p des éléments de la population possédant une certaine propriété, de la
même façon que dans la situation 2. Voir le p.lragraphe a. ci-dessus et aussi le paragraphe C. 1.b.
P inconnu
Échantillon
~1
Population En rtalilé. cette loi normale n'est qu'une approxjmation de la loi sui v ie par F.
Nous nous plaçons dans le cas où l' o n peut considérer que la variable
F, qui, à tout échan tillon aléatoire non exhaustif de taille
172
/1
fixée
associe la fréquence des éléments de cet échantillon possédant la propriété considérée, suit la loi normale
y
J{~, p(l,; P»).
En reprenant le raisonnement concernant la situation 2, on est conduit
à poser la définition suivante:
On peut remplacer fri411~na par ou proportiml. La table de la fonction n de 13 loi nor· male centree rédui te .N'(O, 1) figure dans le formulaire de mathéma· tiques propre à chaque groupement de BTS (voir en fin d'ouvrage).
1}()lIrc~"llIg~
L,·mter\':.t Il e
[1
-
t
yI(I -Il 1+ yIfI -Il] n-1
;
t
11-1
est
l'·mter\'3 Il e ct e
l.'onfianl.:e d'une fn!quenCt! p de la population avel.: le coefficient de contianœ 2n(t) - 1, ayant pour centre la fréquem.:e
f de l'éch"lIltillon
I.:onsidéré.
Cas particuliers usuels J • Coefficient de confiance 95 % --f--r-+--~'
t =
1,96.
f
• Coefficient de confiance 99 % Nous avons rencontré une !.ituation analogue pour la moyenne au paragraphe 1.b.
- f-----.:r---+--... t = 2,58.
Il étant fixé , lorsque le coefficient de confiance augmente, l'amplitude ùe l'intervalle de confiance augmente, donc la précision sur la localisation de p diminue,
Remarques 1. Dans le cas où
Il n'est pas « petit » par rapport à l'effectif N de la population et où le tirage des éléments d'un échantillon est sans
remise. l'écart type de F est Voir une remarque unalogue pour les moyennes il la fin LIu p:lragraphe Lb.
2. Ne pas écrire P(I -
yPO-P) Il
x
,V~ ~ .
tyf( f),,;; p ,,;; 1 + tyf(l - f)), 1-
1 ces inégalités il n'y a que des constantes. Il -
n -
car dans
J
• ATTENTION aux idées fausses sur une éventuelle localisation de P dans un intervalle de confiance : reprendre la dernière remarque du paragraphe l.b. en remplaçant « moyenne 111 » par « fréquence p » et x
pOl" f.
Chap. 5 : Estimation
173
TRAVAUX PRATIQUES EXEMPLES D'ESTIMATION D'UNE MOYENNE PAR UN INTERVAllE DE CONFIANCE
rA
Variation du coefficient de confiance
TP 1 Dans
C~ {jlU .HIlI,
tous
l~!j
ri.w/tats seroll1 arro"dis à
JO-'. Les ampoules électriques d'un certain modèle ont une durée de vie exprimée en heures, dont la distribution est normale d'écart type cr = 200 heures. Avec cette hypothèse, on se propose d'estimer la moyen ne m de la durée de vie des ampoules de la production à partir d'un échantillon de 36 ampoules dont la moyenne des durées de vie est égale à 3000 heures. On assimile cet échantillon à un échantillon prélevé au hasard et avec ~emise parmi la production. On rappelle que la variable aléatoire X qui, à tout échantillon d'effectif Il = 36 ampoules du modèle considéré, prélevé au hasard et avec remise, associe la moyenne de leurs durées de vie, suit la loi normale
)((m,~) 1° Déterminer une estimation de 111 par un intervalle de confiance avec le coefficient de confiance 95 %. r Même question avec le coefficient de confiance 90 %, puis avec le coefficient de confiance 99 %. 3° Qu'observe-t-on sur les interva lles de confiance de la moyenne 111 de la population obtenus à partir d'un même échantillon lorsque le coefficient de confiar.ce varie? 4° Peut-on situer exactement la posit.ion de la moyenne ni par rappprt à l'intervalle obtenu à la question 1°? Ce TP illuslre un phénomène essentiel en stalistique inférentielle : ce que l'on gagne d'un côté (augmentation du coeffkient de confiance, c'esh1-dire meilleure fiabilité de l'information obtenue) est perdu d'un autre côté (d iminution de la précision sur Il. local isation de m ainsi obtenue). La seule façon pour tenter de • gagner sur les deux tableaux ~ est d'augmenter l'effectif de l'échantillon, ce qui n'eSI pas toujours possible ni pertinent.
.
Recherche de l'effectif d'un échantillon
TP2
Sur une portion de route où la vitesse des véhicules est limitée à 90 km/h, on effectue un contrôle des vitesses avec un instrument de mesure de grande précision. On mesure la vitesse (en kmlh) d'un véhicule sur vingt et on obtient les résultats suivants pour un échantillon de 100 véhicules que l'on assimile à un échantillon obtenu par prélèvement aléatoire avec remÎse : Vitcue (en kmlh)
Effectif
[75,80[
5
[80,85[
JO
[85.90[
20
[90,95[
36
[95. IOO[
15
[100. 105[
8
[105, 11O[
6
1 ° En supposant que les valeurs observées sont celles du centre de la classe, calculer 10 - 2 près, la moyenne et l'écart type s des vitesses pour cet échantillon en admettant que, dans chaque classe, tous le s éléments sont au centre. r À partir des résultats obtenus pour cet échantillon, proposer une estimation ponctuelle de la moyenne iJ. et de l'écart type CI des vitesses des 2000 véhicules de la population observée.
x
3° On suppose que la variable aléatoire X qui, il tout échantillon de taille 11 = 100 obtenu comme précédemment, associe la moyenne des vitesses de l'échantillon suit la loi normale
.N( IJ.,
Vn}
On prend pour valeur de CI l 'estimation ponctuelle obtenue au r. Déterminer un intervalle de confiance de la vitesse moyenne IJ. de la population avec le coefficient de confiance 99 %. 4° Quelle doit être la taille minimale 11 de l'échantillon pour connaître, avec le coefficient de confiance 95 %, la vitesse moyenne de la population à 0,5 km/h près?
[74
EXEMPLE D'ESTIMATION D'UN POURCENTAGE PAR UN INTERVAllE DE CONFIANCE
~
~'t\ TP 3
Majoration de l'écart type de la variable aléatoire F
EXEMPLE D'ESTIMATION D'UNE FRÉQUENCE PAR UN INTERVALLE DE CONFIANCE À l'AIDE D'UNE LOI BINOMIALE Aucune connaissance sur ce TP n'est exigible dans le cadre du programme de mathématiques.
Un constructeur a mis au point un nouveau véh icu le ulilitaire.
TP4
Cas d'un petit échantillon
Une enquête auprès d'un échantillon de 500 entreprises supposées représentatives des entreprises constituant Je marché potentiel a permis, d'une part, de fixer le prix de vente de ce vé.hicu le ~ 20000 euros, ce qui permet de s'approcher du bénéfice théorique maximal et, d'autre part, de constater que 68 % des entreprises de l'échun· tillon étaient disposées à acheter le véhicule à ce prix.
On prélève dans cette production un petit échantillon de taille Il et on observe la fréquence d'éléments défec-
On assimile cet échantillon à un échantillon prélevé au hasard et avec remise dans la population des entreprises constituant Je marché potentiel de ce véhicule.
tueux de cet échantillon qui peut être considéré comme prélevé au hasard et avec remise; la taille et la fréquence étudiées pour cet échantillon sont connues.
Soil p le pourcentage des entreprises du marché potentiel, supposé très vaste, disposées à acheter le véhicule à ce prix.
On cherche à estimer p par un intervalle de confiance avec un coefficient de confiance donné, alors que la taille Il de J'échantillon est trop petite pour pouvoir procéder comme dans le paragraphe C. 2. de ce chapitre: en effet, ici n est trop petit pour pouvoir approximer par une loi normale la loi suivie par la v..tri'lble aléatoire F qui, ~ tout échantillon de taille 11 prélevé au h~tsard et avec remise, associe la fréquence de ses élément s défectueux.
On suppose que la variable aléatoire F qui, à tout échantillon de taille 11 = 500 prélevé au hasard et avec remi se dans ce marché potentiel, associe le pourcentage des entreprises de cet échantillon di sposées à acheter le véhicule il. ce prix, su it la loi normale
X(p, Vp(1 ;: P») 1° Quelle est l'estimation ponctuelle p fournie par cet échanti llon?
f du pourcentage
r
Déterminer une estimation de p par un intervalle de confiance centré en f avec le coefficient de confiance 95 %. 3° a) Démontrer que, pour tout élément p de l'inter-
valle [0, IJ. on a
V 1'( 1
l') '"
h·
(On pourra d'abord étudier la fonction qui à tout élémentpde [0, IJ associep(1 - p).) b) En déduire que J'écart type de la variable aléatoire F est inférieur ou égal à c} Application
Comparer l' intervalle
~I r.
2v"
[f - 2vIl 1:;, f + 1:9;] 11 j'in2v1I
tervalle de confianœ de p obtenu au 2°. 4° Reprendre les questions 1°, r et 3°c) dans le cas où le pourcentage des entreprises de l'échantillon disposées il. acheter le véhicu le 20000 euros est de 52 %.
Ch.p. 5 : Estimation
1. Nature du problème On con~idère une production dont la fréquence p d'éléments défectueux est inconnue.
Il. Étude détaillée d'un cas particulier A. Donnùs 1IIU1liriques
Dans un échantillon de taille II = 10, on observe que 2 é léments sont défectueux; ainsi la fréquence d'éléments défectueux de J'échantillon est 0,2. Cherchons, ~ l'aide de la fréquence 0,2 de cet échantillon, à estimer la fréquence inconnue p de la population par un intervalle de confiance avec le coefficient de confiance 95 %.
B. Approche illfuiti\'e
d~
la méthode
1° Imaginons d'abord que nous connaissions la valeur de p et que nous prélevions, au hasard el avec remise, un très grand nombre d'échantillons de taille 11 = 10. Vous pouvez alors observer, en réali sant de tels prélèvements d'échantillons, ou en les simulant ~ l'aide d'une calculatrice ou d'un ordinateur, que la plupart des échantillons ont une fréquence f « assez voisine ,.. de p et que seuls quelques-uns ont une fréquence f « sensiblement élo ignée '" de p.
175
d'éléments défectueux estp, alors moins de 2,5 % de ces échantillons a une fréquence f d'élémenL~ défectueux inférieure ou égale à 0,2,
Vous pouvez en particulier observer que si la fréquence p est te grande» (par exemple de l'ordre de 0,9), alors très peu d'échantillons ont une fréquence f inférieure ou égale à 0,2.
o
a
P2 1
0,2 1
1
0,2
dans moins de 2,5% de... cas
p
De même, si p est te très petit » (par exemple de l'ordre de 0,(05), alors très peu d'échantillons ont une fréquence f supérieure ou égale à 0,2,
o
Comme dans le cas des grands échantillons, l'intervalle de confiance p d'une population avec le coefficient de confiance 95 % , c'est-à-dire avec le risque 5 %. est obtenu en retirant de l'intervalle [0, 1] deux parties « trop éloignées » de la fréquence obtenue pour le seul échantillon prélevé: l'une est te proche » de 0, l'autre te proche» de l, chacune correspond à un risque limité à 2,5 %,
0,2
Il p
t
Valeurs de p telles que f ,.,;:; 0,2
!
1
Pour se convaincre de ce résultat, bien que l'intervalle [0,2; 1] paraisse important pour une fréquence qui a priori est comprise entre a et l, il suffit de remarquer que P = 0,005 est obtenu, par exemple, dans une production de 1 000 éléments dont seulement 5 sont défectueux, alors, pour obtenir f ~ 0,2, l'échantillon doit comporter 2 des 5 éléments défectueux, ou 3, ou 4, ou 5, ce qui est de plus en plus exceptionnel.
r
En réalité P est inconnu et la fréquence du seul échantillon prélevé est 0,2,
0,2 1
t
P,
J
Intervalle de confiance dc p a.. ec le coemcient de confiance 95'*.>
C. Miu
~n
œuvre de la
méthod~
1 Loi de probabilité de la variable aléatoire F 0
À partir de la fréquence de cet échantillon, nous allons déterminer les extrémités Pl et P2 de l'intervalle de
Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille n = la, prélevé au hasard et avec remi se, associe la fréquence de ses éléments défectueux,
confiance [Pl' P2] avec le coefficient de confiance 95 %, c'est-à-dire avec le risque 5 %, de la façon suivante qui s'appuie sur les observations du paragraphe 1 où le risque 5 % est partagé en deux parts égales, à
La taille n de l'échantillon est trop petite pour que l'on puisse utiliser l'approximation de la loi F par une loi normale.
gauche de Pl et à droite de P2' 0,2
Cependant F est liée à la variable 5 10 qui à tout échantîllon de taille n = la, prélevé au hasard et avec remise, associe le nombre de ses éléments défectueux par la
1
relation F = a) Pl est le plus grand nombre p de l'intervalle [0, 1] vérifiant la condition suivante: si on prélève un très grand nombre d'échantillons de taille 10, au hasard et avec remise, dans la production où la fréquence d'éléments défectueux estp, alors moins de 2,5 % de ces échanti llons a une fréquence f d'éléments défectueux supérieure ou égale à 0,2, 0,2
D'après la remarque 1 du paragraphe D du chapitre 4, nous connaissons la loi de probabilité de F: c'est une loi discrète liée à la loi binomiale suivie par S 10' Plus précisément F peut prendre chacune des onze valeurs Ik ' où k est un nombre. entier tel que a ~ k ~ la, O avec la probabilité P(F = Jko) = ctopk (l - p)I
1
a) Calculer, en fonction de la fréquence inconnue p, la probabilité P(F '" 0,2).
~ Valeurs de p telles que f ~ 0,2 dans moins de
SIO
10'
2,5% des cas
b) Soit f la fonction définie sur l'intervalle La, 1] par = P(F '" 0,2). Déterminer le sen~ de variation de la fonction f sur l'intervalle [0, 1], En déduire qu'il e:\isle un nombre unique P, tel que J(P) = 0,025.
b) P2 est le plus petit nombre p de l'intervalle [0, 1] vérifiant la condition suivante: si on prélève un très grand nombre d'échanrîllons de taille 10, au hasard et avec remise, dans la production où la fréquence
J(P)
176
Donner la valeur approchée de PI arrondie au millième. Montrer que PI est le plus grand nombre p tel que P(F '" 0,2) '" 0,025.
Observer que PI vérifie la condition énoncée au B. ra) dans J'approche statistique de la méthode.
Voici un e:\trait de ces lables dans.le cas d'un coefficient de confiance égal à 95 %. n est la taille de l'échantillon et k est le nombre d'apparitions, dans J'échantillon, du phénomène étudié.
30 Détermination de P"'l a) Calculer, en fonction de la fréquence inconnue p,
~
4
1
0.006 ; 0,806
°
°°
la probabilité P(F '" 0,2).
b) Soit g la fonction définie
~ur
l'intervalle CO, 1] par
8
6
;0.602
;0,459
0.001 ; 0,64 t
°
; 0,369
10
°
; 0.308
0,003 ; 0527 0,003 ; 0.445
2
0,068 ; 0,932
O,()U ; 0,777
0,032 ; 0.652 0,025 ; 0,556
3
O.t<).l; 0.994
0,118 ; 0.882
0,OS5 ; 0.755 0.067; 0,6.52
Déterminer le sens de varialion de la fonction g sur l'intervalle [0,1]. En déduire qu' il ex iste un nombre
4
0,398; 1
0,223; 0,957
0,157; 0,843 0,122 ; 0.738
5
0.359 ; 0,996
0.245 ; 0,915 0,187; 0,813
unique P2 tel que g(P2) = 0,025.
6
0.5-11 ; 1
0,348 ; 0.968 0,262 ; 0,878
Donner la valeur approchée de P2 arrondir au millième. Montrer que P2 est le plus petit nombre P tel que
7
0,473 ; 0,997 0,348; 0.933
8
0,631; 1
P(F'" 0,2) '" 0,Q25.
9 10
g(p)
= P(F '" 0,2).
Observe.r que P2 vérifie la condition énoncée au B.2° b) dans l'approche statistique de la méthode. 0 4 Conclusion a) Écrire l'intervalle de confiance, avec le coefficient de confiance 0,95 de la fréquence inconnue d'éléments défectueux de la production obtenu à partir de la fréquence 0,2 d'éléments défectueux dans l'échantillon prélevé de taille 10. b) Le centre de cet intervalle esr·ill a fréquence 0,2 de l'échantillon prélevé?
III, Détermination d'un intervalle de confiance dans de nouveaux cas A. Tablu
La méthode mise en œuvre ici dans le cas particulier où
°
la taille n du «-petit » échantillon prélevé est 1 et où le nombre d'éléments défectueux observés dans l'échantillon e~t 2, est une méthode générale. Les tables de R.A. Fisher et F. Yates (Sllllistical tables for biologicaf, agricultural alld medical œsearch) donnent les extrémités de l' intervalle de confiance d'une fréquence, avec un coefficient de confiance donné, pour chaque taille de « petit .. échanti ll on, en fonction du résultat obtenu dan s J'échantillon.
Chap. 5 : Estimation
B. Utilisation
0,444 ; 0,975 0,555 ; 0,997 0,692; 1
d~
la table
10 Dans un échantill on de taille 8, prélevé au hasard et avec remise, on observe que le nombre d'éléments défectueux est égal à 1. Déterminer, il J'aide de la table, un intervalle de confiance de la fréquence p d'éléments défectueux dans la production, avec le coefficient de confiance 95%.
r
Dans un échantillon de taille 40, prélevé au hasard et avec remise, on observe que 5 éléments sont défectueux. On admet que la taille de l'échantillon est suftisante pour que la variable aléatoire F suive approximativement une loi normale. Déterminer, à J'aide de cette approximation, un intervalle de confiance de la fréquence p d'éléments défectueux dans la product ion avec le coefficient de confiance 95 %. 3° Comparer les deux inlervalles de confiance obtenus avec ces deux échanlilJons de même fréquence d'éléments défectueux et avec le même coefficient de confiance.
177
1
1~I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
E_XE_R_a_C_B_C_O_R_R_IG_B______
______
E~limer
On suppose que cet échantillon peut être ass imilé à un échantillon prélevé au hasard dans la population des électeurs de la circonscription. Soit F la variable aléatoire, qui, à tout échanti ll on de taille fi = 1068 prélevé au hasard et avec remise dans cette population, associe le pourcentage d'électeurs de cet échantillon voulant voter pour le candidat. On suppose que F suit la loi
Numéros des exercices
DES OBJECTIFS ponctuellement une muyenne.
un écart type.
Estimer une moyenne par un intervalle
de cOnfiance.
Estimer un poun.:entage par un illien'aile
de confiance. Interpréter le
~!.ult.u.
Délenniner un effectif d'échantillon.
~
1 el4
:! el5
normale 3 el4
X(fJ' yP(ln- P)),
où p est le pourcentage
inconnu des électeurs de la conscription voulant voter pour le candidat.
[2] •• On roule pour vous
1° Déterminer un intervalle de confiance de p avec le coefficient de confiance 0,95.
Dans Ct! qui :mir les résultats approchés urollr arrolldisdJO - 2.
r
Au vu du résultat de ce sondage, le candidat a-t- il raison de penser que si les élections avaient eu lieu au mo ment où le sondage a été réalisé et si les réponses au sondage étaient sincères, il aurait été élu au premier tour?
Une entreprise utilise des camions pour transporter sa production. Elle dispose de 100 camions. Elle repère sur un échantillon de 30 jours choisis au
hasard le nombre de camion:) en panne. Voici les résultais:
0'"
556466835554365647665436545455.
1° Quel est le nombre minimal Il de personnes à interroger par un institut de sondage pour que. avec 52 % d'intentions de vote pour un candidat A dan s cet échantillon de taille Il,l' interva lle de confiance avec le coefficient de confiance 95 % du pourcentage inconnu p d'électeurs de la circonscription voulant voter pour A ne comporte que des pourtentages supérieurs à 50 %?
x
la moyenne el l'écart type s du nombre de camions en panne chaque jour pour J'échantillon étudié. 2° À partir des résultats obtenus pour cet échantillon, proposer une estimation ponctuelle de la moyenne ~ et de l'écart type 0" du nombre de camions en panne chaque jour pour la population correspondant ~ux jours ouvrab les de l'année. } O Calculer
On suppose que cel échantillon peut être assimilé à un échanti ll on prélevé au hasard dans la popu lation des 100000 électeurs de la circonscription. On admet également que la variable aléatoire qui , à tout échantillon de taille tl prélevé au hasard et avec remise dans cette population, associe le pourcentage d'électeurs de cet échantillon voulant voter pour A, suit la loi normale
3° On suppose que la variable ~lIéatoire X, qui à loul échantillon de taille 30 prélevé au hasard el avec remise associe la moyenne du nombre de camions en panne chaque jour, su it la loi norma le ~)-
X(/J.,
On prend pour valeur de 0" l'estimation ponctuelle obtenue au 2°. Déterminer un inter va lle de confiance de la moyenne ~ de la population avec le coefficient de confiance 95 %.
r
Sondages électoraux (exercices 2 et 3)
Exercices d'examens
X(p, Vp(l" Pl) Reprendre le même exercice avec le coefficient de confiance 99 %.
0***
o
Un candidat à une élect ion fait effectuer un so ndag ~1' dans sa circonscription comportant 85842 é lecteurs . ~ sur 1068 personnes interrogées, 550 déclarent vouloir voter pour ce candidat.
Tollles les valeurs approchüs urolll arrolldies à 10 - 2. us trois JXlrties J,lI, 111 sont indépendantes.
178
*** Statistique à une variable, estimation d'une moyenne par intervalle de confiance, loi binomiale, loi normale
Une machine automatique remplit de s paquets dont la masse théorique doit être de 250 g.
o ...
Loi normale, loi binomiale, approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson, estimation d'un pourcentage par un intervalle de confiance
Les masses observées pour un échantillon de 100 paquets, prb au hasard à la sortie de la mat'hine, ont donné les résultats suivant s:
Masse en grammes
ùs trois pllrti~.\" d~ cet exerc ic~ sont
Nombre de paquets
[215. 225[
7
1225. 235[
11
[235.2451
19
[245,2551
26
[255. 265[
18
[265. 275[
13
[275. 285[
6
Proposer une estimat ion ponclUelle de la moyenne m t de l'écart type s de la population.
3° Déterminer un intervalle de confiance, centré en X, au risque de 5 % , de la masse moyenne de la popula~ tion. II. On suppose que la probabilité que la masse d ' un paquet appartienne à l'intervalle {245, 255 Lest 0,26. On effectue des contrôles sur des échantillons de paquets prélevés au hasa.rd et avec remi se.
11
On désigne par X la variable alé~lIoire qui , à tout échan~ tillon ainsi défini de II paquet s associe le no mbre de paquets dont la masse est dans J'intervalle [245. 255l. 1° Quelle est la loi suivie par X? 2° On suppose que
II
= 6.
Déterminer la probabilité d'obtenir dans un tel échantillon exactement 4 paquets dont lu masse est dans l' in1ervalle [245. 255[. 3° Déterminer la valeur minimale 110 de Il , entier stric~ te men! positif, pour que la probabilit é d'obtenir au moin s un paquet de masse appartenant à l'intervalle [245 , 255[ soit supérieure lt 0,95.
Ill. Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque paquet prélevé au hasard à la sortie de la machine, associe la masse de ce paquet, exprimée en grammes; elle suit une loi normale de moyenne II! et d'écart type 1 5,~ g. ] 0 On prend Tf1
= 250 g.
Déterminer la probabilité que la masse d'un paquet pri s au hasard à la sortie de la machine soit inférieure l\ 245 g. 2° Un réglage de la machine permet de faire varier la valeur de m (l'écart type est inchangé). Déte rminer sur quelle valeur de m, au gramme près, doit être ré glée la machine po ur q ue P y .. 245 .. 01.
Chap. 5 : Estimation
irIlUpelldllllf~S.
Une centrale d 'achat fournit troi s types de poulets à une chaîne d ' hypermarchés: - des poulets .. biologiques », dits poulets PI ; - des pou lets de Bresse, dits pou lets P2 ; - des poulets élevés en plein ~lir, dits poulets P3 ;
1° En supposant que, dans chaque classe, tous les é l é~ ments sont si rués au centre de la classe, déterminer la masse moye nne x et l' écart type a' de l'éc.hant illon ainsi défi ni.
r
Il
Une étude de marché a montré qu'un poulet se vend mal lorsque son poids est inférieur ou égal l\ 1 kilogramme. Avant leur cond itionnement et leur mise en vente en gmnde surface. les poulets sont stockés dan s un entrepôt frigorifique. On s'intéresse au stock de ces poulets une journée donnée.
A. Étude des Ixm/ets P J On noteX la variable aléatoire qui, à chaque poulet pré~ levé au hasard dans le stock de poulets PI' associe son poids en kg. On admet que X suit la loi normale de moye nne 1,46 et d'écart type 0,30. Calculer. à lO -2 près, la probabilité de l'événement A : « un poulet prélevé au hasard dans le stock de poulets Pla un poids inférieur ou égal l\ 1 kg ». B. ttllde des poulets P 2 On note B J'événement : « un poulet prélevé au hasard dans le stock de pou lets P2 a un poids inférieur ou égal lt 1 kg •.
On suppose que la probabilité de l'événement B est 0,03. On prélève au hasard 100 pou lets dan s le stock de pou~ lets P2. Le stock est assez important pour que l'on pui sse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 poulets. On considère la variable aléatoire Yqui, à tout prélève ~ ment de 100 poulet s ainsi défini , associe le nombre de poulets ayant un poids inférieur ou égal à 1 kg. 1° Expliquer pourquoi Y suit une loi binomiale. En déterminer les paramètres.
r
On approche la loi de la va.riable aléatoire Y par la loi de Poisson de même espérance mathématique. Donner le paramètre de celle loi.
3° On note Z une variable aléatoire suivant la loi de Poi sson obtenue au 2°. En utili sant cette loi de Poisson, calculer, à 10- 2 près, la probabilité de l'événement C: « parmi J00 poulets prélevés au hasard dans le stock de poulets P'!.. il Y a au plus 4 poulets ayan t un poids infé~ rieur ou égal à 1 kg :.t.
179
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1
c. Étude (/~S poulets P3
cel échantillon donlle poids est inférieur ou égal à 1 kg.
Dans celte panie, ml cherche il estimu le poun:ellwge p inCOIITIII de poulel.\' du stock de polliers P3 donl le poids t'st inférieur 011 igal () J kg.
On suppose que F suit la loi normale
On com.idère un échantillon de 100 poulets prélevés:l u hasard et avec remise dans le stock de poulets P3; on constale qu'il contient 4 poulets dont le poids est inférieur ou égal à 1 kg.
1'(1 - Pl) 100
a) Déterminer un intervalle de confiance du pourcentage p avec le coefficient de confiance 95 % ; les bornes seront arrondies à 10- 3.
0
1 Donner une estimation ponclUelie du pourcentage p de poulets du stock de poulets P3 dont le poids est inférieur ou égal à 1 kg.
b) On considère l'affirmation suivan te: te le pourcentage p est obligatoiremen t dans l'intervalle de confiance obtenu à la question a» )t . Cette ~lflïrma tion est-elle vraie '!
r
Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 poulets prélevés au hasard et avec remi se dans le stock de pou let P3' associe Je pourcentage de poulets de
EXERCICES NON CORRIGÉS
1
Estimer ponctuellement un pourcentage
Tou s les résultats approchés SUOIlt arroI/dis à 10- 3.
0· Sondages
En supposant que les valeurs observées sont celles du centre de la c1a!'se, calculer les valeurs approchées de la moyenne et de l'écart type de l'échantillon des 36 tubes. Donner une estimation ponctuelle de la moyenne et de l'écart type du lot de 500 tubes.
Un sondage a été effectué dans une entreprise sur un échanti llon de 80 personnes tirées au hasard parmi les J 319 sa lariés. 52 personnes se sont déclarées satisfaites de la cantine.
Estimer une moye nne par intervalle de confiance
1° Quelle estimation ponctuelle du pourcentage des salariés de l'entrepri se satisfai ts de la cantine est fournie par cet échantillon? Donner le résulat à 1 % près.
o ..
2° Même question avec 65 personnes satisfaites dans un échanti llon de 95 personnes.
Une machine fabrique des jetons circulaires.
Estimer ponctuellement une moyenne et un écart type
o.
Longueurs de tubes
Un client réceptionne un lot de 500 tubes. On prélève un échantillon de 36 tubes dans ce lot. On obtient les résultats suivants: Longueur de, tuhes (enmmJ 1990. 994[ [994,998[ 1998, 1002[ li 002,10061 li 006.1 OIO[
Histoire de jetons
On suppose que la variable aléatoire qui , à tout jeton prélevé au hasard dans la fabrication, associe son diamètre (exprimé en mm) suit une loi normale de moyenne IJ. et d'écart type CI. À chaque échantillon E de taille" = 100, p~levé au hasard et avec remise, on associe la moyenne des diamètres des jetons de cet échantillon E; cela définit une nouvelle "ariable aléatoire que l'on notera X. On admet dans ce qui suit que Xsui t une loi normale de moyenne
~ et d'écart type
Jn
=
l~'
1° Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire Numbre de tube!l 3 7
9 9 8
(X -
]J.lV;.
2° Un échantillon de taille 100 extrait de la fabrication fournit une moyenne de 40 et un écart type égal à 1. En prenant pour écart type de la population cette valeur CI = l , déterminer pour la moyenne ~ l'intervalle de confiance à 95 % centré au point d'abscisse 40.
180
r
'
où p est le pourcentage inconnu de pou lets du stock de poulets P3 dont le poids e!,t inférieur ou égal à 1 kg.
~ •• - Analyse de laboratoire
3° Même question avec le coefficient de confiance 98 %. Les bornes seront arrondies à 10- 1, au 2° et 3°.
Les trente-deux laboratoires d'un échantillon prélevé au hasard et avec remise parmi la population con1'ltituée d'un grand nombre de laboratoires ont effectué une analyse de teneur en eau sur un même lot de tourteaux de soja. Les résultats obtenus (en %) figurent ci-nprès. 10,95 [1,70 Il ,90 1[ ,59 1[ ,82 12,00 Il,65 [[ ,92 12,29 Il,50 11.22 12,00 1 [ ,50 [[,93 [[,90 11.48 12. 12 [2 ,00 [[ ,80 Il ,70 1[ ,7 1 11.59 11.80 1[,35 Il ,77 [1 ,74 11,60 Il,90 Il ,65 Il ,8 [ 11,46 Il,59
[I] .. Papier li dessin Une usine possède une machine fabriquant du papier à dessin. La variable aléatoire X qui, à loute feuille prélevée au hasard dans la. production d'une journée de la machine, assoc ie sa masse exprimée en grammes, suit une loi normale de moye nne J-L et d'écart type a = 2.. On extrait de la production de la machine un échantillon aléatoire de 400 feuilles. LI production étant importante on assimile cet échantillon à un échantillon non exhaustif. Donner un intervalle de confiance centré en 239,5 pour J-L. au risq ue de 5 %. Les bornes sero nt arrondies à 10- 1.
10 Calculer la moyenne III et j'écart type s à 10- 3 près de celle distribution de trente-deux résultats. r Soit X la variable aléatoire qui, à chaque laboratoire de la population tiré au ha!);}rd , associe son résultat pour celte analyse. On suppose que X suit la loi normale de moyenne J..I. et d'écart type a; on suppose aussi qu'il y a indépendance des résultats obtenus par les différents laboratoires. a) Donner, à 10- 1 près, une estimation ponctuelle de J..I.. h) Donner, à 10- 1 près, une estimation ponctuelle de a. c) Donner un intervalle de confiance ?t 95 % de J-L en utili sant l'estimation ponctuelle précédente de a . Les bornes seront arrondies à 10-2, 3° Parmi les laboratoires du tableau, quel s son t ceux dont les résultats n 'appartiennent pas à l'intervalle de confiance à 95 % pour J..I. ?
[!!} ... Dosage de calcium Dans le cadre d'un contrôle de qualité, un laboratoire d'analyse médicale veut cOnlrôler la précision d'une méthode colorimétrique de dosage du calcium sérique. Ce contrôle, appelé répétabilité , consiste à faire doser un échantillon , distribué au hasard dans les séries d'analyse d'une journée, par la même personne et dans les mêmes conditions. 36 dosages du calcium sérique ont été ainsi e,ffectués. Ils ont donné des concentrations en calci um allant de 94,5 à 102,5 mg L - 1, réparties de la manière suivante: Ca (mg L -1)
Nombre
[94,5; 96,5[
2
[96,5; 97.5[ [97.5; 98.5[
5 JO
[98.5; 99.5[ [99.5; loo,5[
11
[100.5 ; 101.5[ [101,5; 102.5[
~ ... Gestion d'un silo à blé Dans la gestion d'un silo à blé, on s'i ntelToge sur le stock de sécurité à prévoir pour .ft( être sûr )t à 99 % de pouvoir satisfaire le client à tout moment.
5 1
Pour cela, pendant 60 semaines tirées au hasard sur une longue période, on observe la consommation hebdomadaire de blé (en tonnes) c'est-à-dire là quantité de blé retirée du silo chaque semaine. On obtient les résultats su ivants:
2
Dans a qui sui/, tOlU· ln risultars approcllis arrondis cl 10- 1.
SUQnt
1° Calculer une valeur approchée de la moyenne X f!t de l' écart Iype CT de celle di stribution en supposant que, dans chaque classe. tous les éléments sont au centre. 2° On .!lUppose que la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de 36 dosages associe la moyenne des concentrations du calcium de ces dosages, suit la loi normale .N"( fL ; 0,245). Dunner un inte,rvalle de confiance à 99 % de [a moyenne incon nue ~ . 3° Peut-on situer exactement la position de la moyenne ~ par rapport ?t l'intervalle précédent ?
Chap. 5 : Estimation
Con'Kmtmation (en tonnes)
Effectif (nombre desemai~)
4.6 4,7 4.8 4,9 3
2
8
10
5
5,1
5.2
5,3
12
JI
9
5
x
10 Déterminer la moyenne et une valeur approchée à 10- 2 près de l'écaruype s de cette série slati stique. 2 Soit X la variable aléatoire qui, à une semai ne tirée Q
au hasard sur ceUe longue période, associe la consom· mation de blé (en tonnes) cette semaine-là.
181
On suppose que X suit une loi normale de moyenne et d'écart type Cf.
x
1° Calcu ler la moyenne et l'écart type s de cet échan· tillon. 2° À l'occasion d'une nouvelle construction, on cherche une estimation de la durée moyenne de redres· sage d'une tôle prélevée dans une population de 1700 tôles.
~
a) Déduire de la question 1 0 une estimation ponclUelle de f..L et de a. La valeur approchée de usera arrondie ~ JO-2, b) Soit X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 60 semaines tirées au hasard el avec remise
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tôle à redres· ser prélevée au hasard dans la population associe la durée de son redressage. On admet que X suit la loi normale N(m, a), où m est la durée moyenne (incon· nue) du redressage par tôle pour la population et CI l'écart type de la variable aléatoire: on prend pour valeur de CI l'estimation ponctuelle obtenue à partir de l'échantillon étudié au 1°.
sur la longue période considérée, associe la moyenne des consommations hebdomadaires de blé
au cours de ces 60 semaines. On sail que X suit la loi normale de moyenne iJ.. et d'écarl Iype ... ~ et on suppose que Cf = 0,2. V 60 En utilisant l'échantillon précédent, déterminer une estimation de la moyenne f..L par un interv'llle de confiance avec un coefficient de confiance de 95 %. Les bornes seront arrondies à 10- 1, c) On considère les deux affirmations suivantes: A : la moyenne f..L est obligatoirement entre 4,95 et 5,05 . ; B : « si on prélève 'lU hasard un deuxième échantillon de 60 consommations hebdomadaires de blé sur ceue même longue période, la moyenne de cet échanti llon n'est pas nécessairement entre 4,95 et 5,05. ,. Pour chacune de ces deux affirmations, peut·on déduire de ce qui préc~de qu'elle est vraie?
'1
(j(
X(m, .Jn)
b) Quelle devrait être la taille de l'échantillon à étu· dier pour que l'amplitude de l'intervalle de confiance de la moyenne soit 3 heures avec une pro· babilité de 0,95?
~ •• * La taille d 'enÎanfs
Estimer une moyenne par intervalle de confiance et déterminer l'effectif d'un échantillon
Dans ct! q/li suit, tOIlS les rlsttltots app('(x:hés servlll arrondis c) 10- 2.
~ ... Redressage de tôles
1° Un chercheur désire connaître la taille moyenne des enfants d'une ville, âgés de 13 à 14 ans. 11 commence par mesurer la taille de 35 enfants pré levés au hasard et obtient les résultats suivants :
Les tôles constituant les ponts d'un paquebot subissent des déformations lors des opérations d'assemblage par soudure. Les tôles doivent être redressées; ceUe opéra· tion nécessite de nombreuses heures de travail.
Tailles (en cm)
Lors d'une construction, on relève les durées néces· saires au redressage d'un éc hantill on représentatir de 50 tôles. Les :"ésultats obtenus sont résumés dans le tableau suivant: Xi
[0, lOI 110,201
1
a) Déterminer un intervalle de confiance contenant, avec 95 % de certitude, la moyenne"" en supposant que la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 tôles prélevées au hasard et avec remise associe la durée moyenne du redressage pour une tôle de cet où 11 = 50. échantillon, suit la loi normale
Eff«tif.
[130.1351
1
1135. 140[
4
[140,1451
7
-,
[145.150[
10
[150.155[
8
1
1155, 16O[
3
4
[160.1651
2
[20.30[
8
[30.40[
20
140.501
12
[50.6O[
3
16O.70[
2
Calculer des approximations de la taille moyenne .t et de l'écart type a' de cet échantillon en admettant que, dans chaque classe, la population est au centre.
où x j est la durée en heures el"i le nombre de tôles.
2° On admet que 1.1 variable aléatoire X, qui à tout enfant de la ville âgé de 13 à 14 ans associe sa taille, suit une 10Î normale, de moyenne j-l et d'écart type u.
D(lns u ql/i sl/it !t's rbu/tats approchés seront arroll· dis à 10- 2.
On suppose que la variable aléatoire X, qui à tou t échantillon de 35 enfants prélevés au hasard associe la
[82
moyenne de leurs tailles, su it la lo i normale où 11 = 35.
P Donner une estimation ponctuelle, à 10- 2 près, de la proportion p d'électeurs favorable au candidat A.
..N'(jJ., . . ~) V Il
a) À partÎr de J'échantillon élUdié au 1°, déterminer un intervalle de confiance aveç Je risque 5 % de la moyenne M. centré en en prenant pour valeur de cr ~n estimation ponctuelle fournie par cet échan· till on.
x,
b' Le chercheur désirant amé li orer sa connaissance c'~-jJ. pense .mgmenler la taille de son échanti llon.
À parlir de quel entier "0' un échant illon de taille "0 IJÎ fournira-t-il un intervalle de confiance au seuil de 5 % d'amplitude inférieure à 1 cm?
2° On nOie F" la variable aléatoire qui, à tout échantillon de fi électeurs, associe la proportion Pu d'électeurs favorables à A. (On sait que F". suit approximativemen t une loi normale de moyenne p et d'écart
type yp(1
Pl)
Il'
On considère alors le sondage précédent (fi = 900 et 435 personnes sur 900 sont favorables à A). Donner une estimation de p par un intervalle de confiance avec le coefficient de confiance 95 %, Les bornes de cet intervalle seront données à 10- 2 près. On sait que, dans ce cas, on commet une erreur fa ible en remplaçant, dans l'écart type,
Estimer un pourcentage (ou une fréquence) par un
intervalle de confiance
~ --- Le bon
choix
Une étude sur un échantillon de 400 pièces, prélevées au hasard el avec remise parmi la population constituée d'un très grand nombre de piè<..'es produites par une machine, montre que 120 pièces sont de premier choix, les autres étant de second choix. Soit F la variab le aléatoire qui, à tout échantillon de taille" = 400 prélevé au hasard et avec remise parmi la population considérée, associe la proportion de pièces de premier choix de l'échantillon . On suppose que F suit la loi normale X(p,
yp(
...; 1'(1 l') par "';1',,(1 l',,). 3° Un organe de presse dés ire publier le ré sull:lt du sondage. Au vu des résultats précédents. la diffusion de l'intervalle de confiance peu t-e ll e intéresser les lecteurs? Pourquoi?
~ .. Dosage et qualité On a contrôlé le dosage d'un produit dans un mélange à la sortie d'une chaîne de conditionnement. Pour un échantillon de 100 lots (tirés au hasard et avec remise) de 5 kilogramme s de mélange analysés, on a obtenu les résultats su ivants où Pj représente la masse du produit exprimée en grammes et "; l' effectif correspondant;
1 11 P)), où p est la Pi
",
proportion inconnue de pièces de premier cho ix dans la populat ion considérée.
[ 141,1431
1
Tous lt!s résulta ts approchés
1143 .145[
5
1° Déterminer une estimation de p par un intervalle de confiance avec le coefficient de confiance 95 %.
1145,1471
6
(147.149[
21
2° Même question avec le coefficient de confiance 92 %, puis avec le coeffic ien t de confiance 99 %.
[149.151(
32
[ 151. 1531
22
3° Qu'observe+on sur les interva ll es de confiance d'une proportion p de la population obtenus à partir d'un même éc hantill on, lorsque le coefficient de confiance varie?
[153.155[
7
[155, 157[
4
(157 . 159[
1
[159.1611
1
SUOI/t
arml/dis à 10-
2.
~ ... llection présidentielle Dans un pays voisin, on doit bientôt élire le président de la république. Afin d'apprécier ses chances, le candidat A fait procéder à un sondage un mois avant la duœ du ·~rutin. On tire au hasard 900 personnes dan s l'ensemble de tous les électeurs (compte tenu du nombre total d'électeurs, le tirage peut être assimilé à un tirage avec. remise). Sur us 900 pusollnes, 435 onl diclari l'otu pour II! cal/didat A.
Chap. 5 : Estimation
Un lot de 5 kilogrammes de mélange est dit de « qualité supérieure)t s' il contient entre 147 grammes et 155 grammes de produit.
Tous l~s ,.bultats approchb s~rolll arrvlldis à 10- 2. } O Déterminer pour cet échantill on de taille pourcentage f de lots de qualité supérieure.
fi
= 100 le
2° Soit F la vari able aléatoire qui, à tout échan tillon de taille 11 = 100 prélevé au hasard et avec remise parmi l'ense mble des lors sortant de la chaîne de conditionnement, associe le pourcentage de lots de qualité
183
Dans a qui ,H/;t tous ll's rlsultats approchls seront arrondis à 10- 3.
supérieure de l'échantillon. On suppose que F su it la loi normale
X(p,
yP(1 n- P)), où p est le pourcentage
1° Déterminer une estimation de p par un intervalle de confiance avec le coefficient de confiance 95 %.
inconnu de lots de qualité ex tra dans l' ensemble des lots sor tant de la chaîne de conditi onne ment.
2° Pour toute ta ille fi de " échantillon, on prend J = ~~ comme estimat ion ponctuelle de p. Avec quel effectif minimal n obtient-on, avec le coefficient de confiance 95 %, une estimation de p par un intervalle de con fi ance ne comportant que des pourcen tages inférieurs à 25 % '? Comparer celle valeur de Il à l'effectif tota l de la population.
Déterminer une est im ation de p par un intervalle de confiance centré en J, avec le coefficient de confiance
98%.
Estimer un pourcentage par un intervalle de confiance Déterminer l'effectif d'un échantillon
[!!] .. . , 11 Y a photos Un opticien vend beaucoup d'appareils photograph iques. L'opticien s' intéresse aux appare ils autofocus avec zoom. Il veut estimer par un intervalle de confiance le pourcentage p d'acheteurs d'appareils autofocus avec zoom dans sa clientè le. D0I1S ce qui suit, tous tel' rlmltars approchls SUQnt arrondis à 10- 3. ] 0 Dans un échantillon de 100 clients, 60 achèten t un tel appareil.
Exercices d'examen les exercices sU Î"ants, proposés œcemment dans des épreuves d'examen, porten t sur plusieurs thèmes abordés de ce chapitre et des chapilres précédents.
It
~
US parties A el B sont inl/épendanres. us rlslIltats numhiques seront arrondis li 10- 3.
a) Donner l'estimation ponctuell e de p fournie par cet éçhantillon.
Dans une entreprise spéci.ùisée dans la fabrication de tables et de salons de jardin en bois, pl usieurs études sont faites pour étudie r la rentabilité.
b) Do nner, une estimation de p par intervalle de confiance avec le coefficien t de (.'onfiance 95 %.
Partie A
r
Déterminer la taille Il, Il étant supérieur à 30. d'un échanti ll on de clients pour qu'un intervalle de confiance de p, centré sur l'estimation ponctuelle trouvée précéde.mment, soit [0,557; 0,643] avec le coefficient de confiance 99 %.
[!!] ... Tour opéralor Une agence de voyages propose, dans un de ses l: ircuits, la visite d'une exposition sous forme d'option supplémentaire.
•• .., Loi binomiale, loi normale, estimation d 'une moyenne par intervalle de confiance
La fabrication d'une table nécessite 12 planches. La probabilité qu'une planche présente un nœud dans le bois, ce qui fragilise la table, est 0,04.
On note X la variable aléatoire qui , à toul lot de 12 planches prélevées au hasard avec remise assoc ie le nombre de planches fragiles de ce lot. Chacun de ces lots sert à fabriquer une table. Une table est mise à la vente au tarif normal si elle possède au plus une planche fragi le. Elle n'est pas mise en vente si elle possède plus de trois planches fragiles. Elle est vendue en promotion dans les autres cas. 1° Donner, en justifiant, la loi probabilité de X. Préci se r ses paramètre!).
En prélevant au hasard 60 fiches de clients parmi les 2379 clients de la période cons idérée, o n observe que se ulement 14 fic hes compor tent ce lte option.
r
So it F la variable aléato ire qui. à tout échantillon de taille If = 60 prélevé au hasard parmi les 2379 clients, associe le pourcentage des clients de l'échantillon ayant pris cette option. On suppose que F suit la loi
Partie B
normale
X(p,
Vp(1
Il
P)). où p est le pourcentage
inconnu des 2379 clients ayant pri s l' option.
Calculer la probabilité qu 'une tabl e soit vendue au tarif normal. 3° Calculer la probabilité qu'une table soit vendue en promotion.
Les planches utili sées pour la fabrication des tables sont débitées par une machine réglée pour produire des planches de longueur 195 cm.
184
~ ... Loi normale, loi binomiale, approximation
19 On désigne par L la variable aléatoire qui, à toute planche prise au hasard à la sortie de la machine, associe sa longueur en cm. Dans cette que~tion on suppose que L sui t la loi normale de moyenne 195 et d'écart type 2. Une planche est inutilisable si elle mesure moins de 193 cm. Elle subit une deuxième découpe par la machine si S;'I longueur est supérieure à 198 cm. a) Calculer la prob;'lbilité qu'une planche so it inutili sable. b) Calcu ler la probabilité qu'une planche so it inutilisable directement après la première découpe.
d 'une loi binomiale par une loi de Poisson, estimation d 'une moyenne par intervalle de confiance
Dalls al
us rroi:,' parties A, 8, C suiwUltes sont indi pmdantes. A. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque armature prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe la longueur de cette armature, exprimée en centimètres. On admet que X su it la loi normale de moyenne ni = 600 et d'écart type a = 8.
Afin de vérifier le réglage de la machine, on prélève un échantillon de 100 pl:lllches après la première découpe. On mesure les longueu rs de ces 100 planches, ce qui donne le tableau suivant:
] 9 Déterminer la probabilité que la longueur en centimètres d'une armature prise au hasard dans la production d'une journée soit comprise entre 590 et 620.
ZO Déterminer le nombre réel positif a, tel que la pro-
Numbre de planche...
Longueur en cm : .\
[189,1911
2
[19I.193[
8
1193,195[
32
1195.197[
38
1197.1991
14
1199,201[
6
chaque probllbiliti del1ulIldü sera
Une usine sidérurgique fabrique en très grande série des armatures te HA » pour béton armé.
29 Dans atre question, les r!sultals numérjqlt~s seronl arrondis (j 10- J.
.
uerc;c~
calculù à 10- 3 près.
babilité que X appartienne à l'intervalle
[600 - ", 600
+ ,,] soil égale à 0,9.
B, On refuse les armatures dont la longueur est extérieure à l'intervalle f590, 6201 et on admet que la probabilité qu'une armature soit refu sée est 0,1. On prélève au hasard un échantillon de N armatures dans l'entrepôt. Le stock de l'e ntrepôt e~t assez import;'lflt pour qu'on pui sse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de N armatures. On appelle Y la variab le aléatoire qui , à tout prélèvement ainsi défini de N armatures, associe le nombre d'armatures refusées.
x
a) Calculer la moyenne et l'écart type s de cet échantillon en supposant que, dans chaque classe, tous les éléments sont concentrés au milieu de la classe.
19 Expliquer pourquoi la variable aléato ire Y su it une loi binomiale, préciser les paramètres de cette loi.
En déduire les estimations ponctuelles respectives iJ.o de la moyenne et 0'0 de l'écart type de la population totale. b) On suppose que la variable aléatoire [, qui, à lOut échantillon de taille 100 prélevé au hasard et avec remise dans la population, assoc ie la moyenne des longueurs des planches de cet échantillon. suit une loi normale de moyenne I.L et d'écart type où 100 I.L et a sont respectivement la moyenne et l'écart type de la popu lation totale. Donner une estimation de J.L par un intervalle de confiance centré en x, avec le coefficient de confiance 99 % en prenant pour valeur de a l'estimation ponctuelle obtenue au a).
2 9 Dans celle question, on prend N
= 4.
a) Calculer la probabilité Pl qu'un échanti llon de
quatre armatures contienne exactement une armature refusée. b) Calculer la probabilité P2 qu'un échant illon de quatre armatures contienne au plus deux armatures refusées.
vfoo
3 0 Dans cette queslion, on prend N
= 50.
a) Donner les pilramètres de la loi binomiale que suit
la variable aléatoire Y. b) On approche la loi binomiale que suit Y par une loi de Poi sson, en préciser le paramètre. c) En utilisilnt cette loi de Poisson, d~terrniner la probabilité P3 qu'un échantillon de 50 armatures ne contienne aucune armature refusée et la probabilité P4 qu'un échantillon de 50 armatures contienne au plus deux armatures refusées.
Chap. 5 : Estimation
185
C. Pour estimer la longueur moyenne des armatures, on prélève régulièrement des échantillons de 100 armatures. On assimile ces échantillons il des éc hanti ll ons prélevés avec remise.
production d'une journée de la machine Ml soit défectueuse est PI = 0,05 et que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dan s la production d ' une journée de la machine M 2 soit défectueuse est P2 = 0,025.
On désigne par X la variable .tléatoire qui, à. tout échantillon ainsi défini de t 00 arm'ltures, associe la moyenne des longueurs des armatures de cet échanti ll on. On admet que X suit la loi normale de moyenne m inconnue et d'écart type 0,8. On constate que la moyenne des longueurs des 100 armatures d'un échantillon est 602 cm. 1° En déduire un intervalle de confiance, cenlré en 602, au seuil de confiance 95 % pour la moyenne m inconnue.
La machine MI fournit 60 % de la production totale de ces pièces et la machine M2 1e reste de cette production.
2° On considère l'affirmation suivante: « la moyenne des longueurs des armatures appartient obligatoirement il l'intervalle obtenu il la question C. 1° ... Peut-on déduire de ce qui précède qu'elle est vraie? (Donner la réponse sans explication.) 111
On prélè ve au hasard une pièce parmi la production totale de la journée. TOlites les pièces ont la même probabilité d'être tirées. On définit les événements suivant s. El' J'événement: « la pièce a été fabriquée par la machine MI " ; E 2' l'événement: « la pièce a été fabriquée par la machine M2 )t ;
D. l'événement: « la pièce est défectueuse » . 1° Déterminer les probabilités P(E 1), P(E2), P(DIEI}' P(DIE1)·
2° En déduire P(D
n
El) et P(D
3° En admettant que D culer P(D).
§I *** Probabilités conditionnelles, loi de Poisson loi binomiale, estimation d'un pourcentage par un interv~l"e de confiance L'objet de l'exercice est l'étude de différents aspects du fonctionnement d'une entreprise fabriquant du matériel informatique.
Us part;~s A, B et C sonl
iI/{lép ~flda1lfes.
us rbu/tals approch!s suont dot/nés SOIIS forme \'lileurs dicima/~s arrolldi~s à /0 -
d~
2..
A. Le service qui gère les commandes a relevé. pour les années, passées une moyenne de 5 erreurs pour 100 commandes. On suppose que la variable aléatoire X, qui , à ch3que prélèvement de 100 commandes pri ses au hasard et avec remi se dans l e~ commandes d ' une année, associe le nombre d'erreurs dans ce prélèvement, suit la loi de Poisson de paramètre 5. 1° Déterminer la probabilité de dénombrer. pour une série de 100 commandes:
X(P. Vp(l,~ Pl). où p est
r Le contrôleur prélève un échantill on de 125 a.rt icles et constate que 10 ne sont pas commercialisables. a) Déterminer le pourcentage f d'articles non commercialisables de cet échantillon.
b) moins de 5 erreurs ;
la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la
le pourcentage inconnu
d'articles non conunerciali sables de la production totale.
b) Déterminer une estimation de p, par intervalle de confia nce centré en J, avec le coeffic ient de confiance 95 %.
c) au moins 5 erreurs.
8. On s'intéresse il un certain type de pièces fabriquées par deux. machines, notées Ml et M2. On suppose que
n E2). El) U (D nE), cal-
C. Les pièces fabriquées alimentent un atelier où elles sont assemblées. Les articles ainsi obtenus subissent un contrôle il la sortie de cet atelier. Pour apprécier la qualité de la production, le contrôleur chen.·he à évaluer le pourcentage p d'articles non commercialisables. Pour cela, il prélève au hasard des échantillons de taille Il. Cette taille étant petite devant celle de la production totale, on ass imile ce prélèvement à un tirage avec remi se. On suppose que la variable aléatoire F. qui à tout échanti ll on de taille II de ce type , associe le pourcentage d'articles non commercialisables, suit la loi normale
a) 5 erreurs ex.actement ;
2° Déterminer le plus petit entier k tel que la probabilité d'avoir moins de k erreurs soit supérieure?:l 0,9.
= (D n
2° Quelle doit être la taille minimale Il (II est un nombre entier) de l'échantillon prélevé pour que. avec le coefficient de confiance 95 %, le pourcentage p so it de 8 % à 0,02 près?
186
Chapitre
6
Test de validité d'hypothèse
Ce chapitre constitue un prolongement direct de J'étude de J'échantillonnage et de J'estimation. Il s'agit ici aussi d'une initiation à l'utilisation de méthodes statistiques permettant, cette fois, de prendre une décision: on accepte ou on refuse une hypothèse. Les exemples choisis concernent le contrôle de qualité. c'est-à-dire la conformité d' une production à un cahier des charges, soit en cours de fabrication, soit lors de la réception d'une marchandise, ou portent sur des enquêtes et des sondages de plus en plus présents dans notre vie quotidienne. La notion de test d'hypothèse a été développée dans la première moitié du xx e siècle par un mathématicien anglais, Egon Pearson (1895- 1980) et un mathématicien d'origine polonaise, Jerzy Neyman (1894-1981), émigré aux États-Unis en 1938.
,
A. NATURE DU PROBLEMEDepuis quelques décennies, nous assistons à une « arrivée en force ,. des méthodes stati stiques dans le domaine réglementaire, lequel conduit à la prise de décision: on a ou on n'a pas le droit de ... En particulier, l'augmentation des échanges commerciaux et des liens écono miques, entre les pays, notamnwnt au sei n de l'Union européenne, s'accompagne d'accords destinés à fixer des règles commu nes ~ la statistique inférentielle trouve là un immense champ d'application.
Cela se tmduit par des réglementations définissant dans chaque cas particulier une procédure destinée à préciser sans ambiguYté : - comment un ou plusieurs échantillons doivent être prélevés dans la
population étudiée; - quelles mesures doivent être e.tfectuées sur ce ou ces échantillons; Cene dédsioo consiste à valider ou non une hypothèse concernant la population considérée par exemple, sa moyenne est éga le ~ 150.
- quelle décision doit être prise à propos de l'ensemble de la population é tudiée, suivant les résultats obtenus sur le ou les échantillons.
Une telle procédure s'appelle en statistique un test de validité d'hypothèse. D'une manière générale. il s'agit, à partir de l'~tude d'un ou de plusieurs éçhantillons, de préciser comment prendre des d6cisions concernanl l'ensemble de la population. Naturellement, comme on ne dispose pas de ren seignements sur l'ensemble de la population, on risque de se tromper en prenant la décision, et il importe de contrôler au maximum tout risque d'erreur. Pour clarifier cette dénlarche, nous allons reprendre en la complétant une situation rencontrée au chapitre précédent.
Chap. 6 : Test de validité d'hypothèse
187
B. EXEMPLES DE TESTS DE VALIDITÉ D'HYPOTHÈSE RELATIFS À UNE MOYENNE Voir le chapitre 5.
Il
= 36.
L'écart type de l'échantillon cr' = 11,36. a~
C!\t
',
-cr. ~ 11-1
Repre nons la situaTion 1 du chapitre 5 décrite au paragraphe A et étudiée aux paragraphes B. l , B, 3 et C. l,a. Nous avons observé que, pour un échantillon aléatoire non exhaustif de 36 pièces, la masse moyenne des pièces de l'échantillon de 36 pièces de l'échantillon est de 774,7 g. En supposan t que l'écart type des musses pour la population des 500 pièces est cr = 12,5 g, nous avons obtenu [770,61 ; 778,79] comme inter valle de confiance de la moyenne inconnue III de cette population avec le coefficient de contlance 95 %. Nous allons maintenant nous poser deux problèmes.
1. COMPARAISON DE LA MOYENNE D'UNE POPULATION À UN NOMBRE FiXÉ a. Premier problème La réponse à celle question peut avoir des conséquences économiques et MK' iales. Bien sûr, on peut toujours dire que,
780 n'étant pas
dan ~
J'intervalle de
confiance, on doit répondre non et refuser la livraison, mais pourquoi '! Comment interpréter clairement ct correctement une telle réponse ? Voir la remarque dans l:l marge à la fin du paragraphe c.
On suppose que la diffé rence entre l:l moyenne souhaitée et là moyenne effective de la IX'pulation est nulle. Cette approximation est une con.séquence du théorème de la limite centrée : voir le paragraphe C du chapitre 4 sur l'él'hantillonnage.
Peut-on considérer que les 500 pièces de la population ont une masse moyenne de 780 g, comme le prévoient les conditions fixées par le fourni sseur ? Autrement dit, doit-on accepter ou refu se r la li vraison de ces 500 pièces au vu du rés ultat obtenu sur l'échantillon ? Posée ainsi, la question n'a pas de réponse précise: en effet, de manière intuiti ve, nous pouvons dire que la moyenn e 774,7 de l' échantillon est différente de 780, mai s que ces nombres sont « assez proches » ; d 'autre part, on peut penser qu'avec un autre échantillon on obtiendrait une moyenne différente. Ainsi convient-il de préciser la notion de « proximité » en probabilité.
b. No us sommes ainsi conduits à poser différemment le problème. On suppose que la moyenne de la population est 780 ; c'est l' hypothèse nulle, notée Ho : III = 780. Alors, la variable aléatoire X, qui à tout échantillon aléatoire non ex haustif de taille 11 = 36 associe la moyenne de cet échantillon, suit approximativement la loi nor male )((111, ~). où 111 = 780. Donc
Voir au chapitre 3 le paragraphe sur la loi normale.
Vii
Pour lO:t
(X t
> 0,
iii) suit la loi normale centrée réduite .N'(O, 1).
p( - t ,,;; ~ (X -
m) ,,;;
r) =
2IJ(r) - l, où la valeur
de IJ(r) est lue dan s la table de la loi normale .N'(O, 1) du formulaire de mathématiques. Donc, pour tout r > 0,
p(m - ..!Q.,,;; X ,,;; Vii
188
ln
+
..!Q.) = Vii
2IJ(t) - 1.
Cest un cas part iculier très
uli l i~.
En par ti culi er, comme 2Il(r) - 1 = 0,95 pour r = 1,96, on a ici P(775,92 .. X .. 784,08) = 0,95. Ainsi, en supposant que m = 780, on sait, ava nt de prélever un écha ntillon aléatoire de taille 36. que sa moyenne appartient à l'intervalle [775,92 ; 784,08] avec la probabilité 0,95.
HO:
tri
=
780.
Autre ment dit, si l' hypoth èse Ho est vraie, il n'y a que 5 % de chances de prélever un échantillon aléatoire de taille 36 dont la moye nne soit infé rieure à 775,92 ou supérie ure à 784,08.
C. On fixe alors la règle de décision suiva nte: On prélève un échantillon aléatoire non ex hausti f de taille n = 36 et on calc ul e sa moye nn e
x.
• Si • Si
x E 1775.92 ; 784.08). on accepte Ho' x fi [775.92 ; 784.08). on rejette Ho' Région cri tique
; Région : critique
0.95
0.025
------
780
Nou~ avons déjà donné celte ~po n · se au a, dans une note en marge. en utilisant l'intervalle de confiance de fil au coefficient de confiance 95 % : ces deux réponses M>nt cohérentes, car ce sont deux conséquences de J'inég:t.lité:
",-1'> \ ,96.~
V" m
> x + \ ,96fn d'une pari,
j'
< m = \.96fnd'autre parI.
7K4.08
-----------------~-----------------
On rejette Ho
Ne p:IS oublier qu'en réalité on ne sait pas si Ho est vraie ct qu'il faut bien fixer une b:t.rrihe pour déçider entre les deux choix possibles: 011 accepte ou on rejette Ho. On lim ite ainsi les risques d'erreur de première e.~pèce.
0,025
On accepte Ho
------
On rejellt' Ho
Si HOest vraie, on prend donc le risq ue de se trompe r dans 5 % des cas en rejetant à tor t Ho' On définit ainsi un e région critique au seuil (de signiti cation) 0 = 5 %. Le seuil u est la probabilité de rejete r Ho alors qu e Ho est vraie. Il correspond à l'erreur de première espèce. En général, on fi xe li priori la vale ur de a. Iei, on a choisi a = 0,05.
Application de la règle de décision Co mme x = 774,7 pour l'échantillon considéré, on a x < 775,92 et on rejette l'h ypothèse Ho ; au seuil 5 %, on considè re que les 500 pièces de la popul ation n'ont pas une masse moyenne de 780 g el o n re fuse la li vraiso n.
Ch.p. G : Test de validité d'hypothèse
189
Comme on l'a vu au chapilre 3, 211(1) -
1 = 0,99 pour
1=
2.58 el
alol"\ ' •..!!,.. - 5,38.
d.
Nous aurions pu choisir 1 % comme se uil pour diminuer le ri sque de rejeter H o alors que Ho est vraie. On a P(774,62 .. X .. 785,38) = 0,99.
vu
; Région : crilique
Région critique 0,99
i = 774.7.
774,62--; x
l' 785,38
780
----------~---------On accepte Ho
P [u~ le ~ uil diminue. plu .. !a région d'aCCeplJ tion de Ho augmente.
Ne pas oublier qu'on ne sait pas si Ho est vraie ou fau s~.
Au se uil 1 %, on accepte Ho puisque :r appartient à l'intervalle [774,62; 785,38] ; au se uil l %, on considè re que les 500 pièces ont une masse moye nne de 780 g et on accepte la livraison. Mais en acceptant Ho au seuil 1 %, on court un second ri sque, celui d'accepter Ho alors que Ho est fausse: c'est l'erreur de seconde espèce, dont la probabi lité est notée fl.
fl est la probabilité d'accepter Ho alors que Ho est fausse . J - 13 est la probabilit~ de rejeter HO alors que Ho eSI fausse: l.:'e51. par définition, la puissance du test.
L' idéal serait de rendre les nombres a et fl les plus petits possibles, mais, comme on le constate dans cet exemple, en diminuant ex on ag randit la région d 'acceptation de Ho donc, le plus souvent, on augmente la probabilité fl d'accepter Ho alors que H o est fausse .
Cela eSI à relier au fait que lorsque " augmente, l'écafl type de X
En général, " étant fi xé, quand ex diminue, ~ augmente et inverse men t. La se ule façon de diminuer en même temps ex et ~ est d'augmenter Il, ce qui n'est pas toujours possible.
%
diminue. V Il Par exemple, leurs conséquences finan cières peu ve nt être diffé-
renies.
En fait, la plupart du temps, les erreurs des deux types n'ont pas la mê me importa nce, et on essaie de limiter la plus grave.
e.
HO :m=780.
On doit définir plus précisément le cas où Ho est fa usse. Dans ce qui précède, on a choisi implicitement III 780 co mme hypo· thèse alternative Hl .
*
Le test es t alors bilatéral, car la région critique est si tuée des deux côtés de la régi on où l' on accepte H o. Pour un même seui l. la va leur de t n'eSI pas l a même pour un test bila-
lér.ll el pour un leSI unilatéral: voir le paragraphe 2.f.
Mais on peut rencontrer des situations différente s et, par exempl e, choisir III < 780 comm e hypothèse alternative HI ; le test est alors unila· téral et la région critique est alors située entièrement d' un côté, ici à gauche, de la régio n où 1'on accepte Ho.
190
f. Respectant stri Clemell1 le s programmes. nous nous limitons ici tl une initiation el donc aux problèmes élé-menlaÎres sur les tesb de validi lé d'hypOlhèse. Pour le choix de H O' voir la remarque du paragraphe 2.e : Ho doit êlre une égalité même pour un test unilal~ral. Ce paramètre peut être une moyenne, un pourcentage ... li est irnporlant de d isti nguer. d'une part, la construction du test effectuée avant le prélè\'t'ment d'un échantillon et, d'autre parI, l'ulili· sation de ce test qui débouche sur une décision Mpend'lOt de J'échan· tillon.
Résumé à retenir
En gé néral, les questions faisant intervenir un test de validité d' hypothèse peuvent être résolues en adoptant le plan sui vant : A.CO~TRUcnONDU~~
1. Choix de l'hypoth~.., nulle Ho et de l'hypothèse alternative Hl' 2. Détermination de la région critique à un seuil
B. UTILISATION DU TF",~ 1. Calcul du param~tre de l'~chantillon (ou des échantillons) mentionn~ dans la règle de décision. 2. Application de la règle de décision.
Un tel plan est utilisé de façon systématiqu e dan s les corrigés des ac tivités de ce chapitre. Cette remarque est très imjX>rtallle pour le controle en cours de fabri cation.
La valeur de" est sou\'ent fi:téc par une norme.
g.
Remarque: carte de contrôle
Dans le domai ne industriel, lorsqu'un e machine usine des pièces, elle se dérègle progressivement. Pour optimiser la production e n quantité et en qualité, on est conduit à chercher le meilleur co mpromis entre deux solutions extrêmes: - attendre longtemps avant de procéder à un nouveau réglage de la machine. On ri sque alors de produire des pièces non confor mes qui vont nuire à la qualité de l'ensemble de la production et qui devront être ultérieurement tri ées; - multipHer les réglages de la mac hin e, On ri sque alors d'augmenter le coût de revie nt des pièces, car, pendant les réglages, la production est arrêtée. Aussi sur vei lle-t-on la quaHté des pièces produites en procédant à des prises d'échantillons en cours de fabrication. Supposons que, pour un e cote, on ve uill e obtenir une population de pièces distribuées sui van t une loi normale .N' (111, cr), les valeurs de m et de cr étant données. Alors la variable aléatoire X qui, à tout échanti llon aléatoire non exhaustif de taille Il, associe la moyenn e des cotes des pièces de l'échantillon, suit la loi normale j( ("',
.Jn )+ 2.Jn )= 0,95
Nous savo ns que
P(III - 2 .Jn .. X..
et
P(", -3 ~ "X" ",+3~»0,99.
Vii
III
Vii
On effectue régulièrement une pri se d'échantillon ; on mesure sa moyenn e X que l'o n porte sur le graphique ci-après, appelé carU d. cO llfrôl~.
Chap. 6 : Test de validité d' hypothèse
191
Ces conventions peuvent être modulées su ivant la nature de la fabrication.
Tant que x est compris entre 11'1- 2 .. ~ et m + 2 .. ~ , on considère que la machine est bien réglée. v Tl V 11 Dès que x se trouve dans la zone de surveillance, on procède immédiatement à une nouvel1e prise d'échantillon pour confirmation. Dès que x se trouve dans la zone de réglage, on arrête la production pour régler la machine. Zone de réglage m + 3 ~~~" ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Zone de surveillance
" 1-----------------------
nl+2~
"'
I----------------------~
Numé-ro de l'échantillon
m -2 ~
y.,
1----------------------Zone de su n-eill ancc
m-3 ~ 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
y.,
Zone de réglage
2. COMPARAISON DES MOYENNES DE DEUX POPULATIONS a. Second problème Un second fournisseur B livre 800 pièces du même modèle. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 50 pièces dont on mesure la masse. On obtient les résultats suivants: M ... des pièces (ou ............ ,
Nomb~
de pièces
[755,765[
6
[765,775[
12
[775 ,785[
16
[785,795[
Il
[795 ,805[
4
1805, 815[
1
192
Nous adoptons le plan décrit au paragraphe I.f. Le test est bilatéral.
II/A et 11/ 8 sont les moyennes des populations A et B.
Le seuil est 5 %.
Le test étant bilatéral. la région critique comporte deux parties : une de ch.:lque côté de la moyenne D.
c. Construction du test Choix de Ho : mA = m B · Choix de Hl : mA -=rf mB' Nous allons tester la validité de l'hypothèse: la moyenne des masses des pièces sur J'ense mble de chaque li vraison est la même pour Jes fournisse urs A et B. • Détermination de la région critique au seuil de 5 % Sous l' hypothèse H o, D suit la loi normale X(O ; 2,7), donc J2 suit la 2,7 loi normale centrée réduite X(O, 1).
p(- PC; J2 ,,;; 1) = 095 pour 1= 2,7 '
1 96. , Donc P( - 5,29 ,,;; D ,,;; 5,29) = 0,95. Région
; Région
cri tique
: critique
0,95
0,025
a
~
On rejette Ho
0,025
5,29
-------.,------On accepte Ho
On rejette Ho
• Énoncé de la règle de décision On prélève avec remise un échantillon aléatoire de taille !lA = 36 de la population A et on calc ule sa moyenne XA ; on fait de même pour la population B avec /lB = 50. Soitd=xB -YA · Si d E [ - 5,29 ; 5,29], on accepte Ho. Si d rte [ - 5,29 ; 5,29], on rejette HO'
d. Utilisation du test • Ca/clIl de d d = xB - x A = 779,6 - 774,7 = 4,9.
• Application de la règle de décision 4,9 E [- 5,29; 5,29] : on accepte Ho' Au seuil de 5 %, il n' y a pas de différence significative entre les moyennes de s masses des pièces livrées par les deux fourni sseurs. Voir le paragraphe a.
e. Variante du second problème
XA = 774,7 et x B = 779,6; donc xa > xA . Cette inégalité est-el le encore vraie avec d'autres échantillons?
Comment construire et utiliser un test permettant de décider" à partir des mêmes échantillons, si la moyenne des masses des pièces livrées par le fournisseur B est significativement supérieure, au seuil de 5 %, à celle du fournisseur A?
194
Voir le
d~but
du par.J.graphe B.
Cet échantillon a pour moyenne 779,6 alors que l'échantillon de 36 pièces provenant du premier fournisseur a pour moyenne 774,7. La différence 4,9 entre ces moyennes provient-elle d'une différence entre les productions des deux fournisse urs ou du choix des échantillons? Autrement dit, comment constmire et utilise r un test permettant de décider, à partir des échantillons ci-dessus, s'il y a une différence significative, au seuil de 5 %, entre les moyennes des masses des pièces livrées par les deux fournisse urs.
b.
Nous sommes en présence de deux échantillons extraits de deux populations correspondant aux deux fournisseurs A et B. Nous pouvons schématiser la situation de la façon suivante: "A
Moyenne mA inconnue Écart type (fA = 12.5
Pour éviter le~ confusions, nous menons en indice A ou B pour d~ s i gner chaque paramètre.
36
= 774,7 (fA = 12.36
:tA
Échantillon Ces nombres ont d~j;) été calcu lés pour la population A au chapitre 5.
POPUllll;OIl A
Quant aux écans types CI A et (fB' nous prenons les esti mations ponctuelles fournies par les ~chan tillons.
Moyenne m B inconnue Écart type (J B = 12,1
"B - 50
xB
= 179.6
aB = 11.99 Échantillon
Pop,liatùJII B
Soit X A (resp. Xs) la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille /lA = 36 (resp. /ls = 50) prélevé aléatoirement et avec remise dan s la population A (resp. B), associe la moyenne des masses de l'échantillon. Nous nous plaçons dans le cas où Cette approximation est une conséquence du théorème de la limite centrée: voir le par.J.graphe C du chapitre 4 sur l'éch'lI1tillonnage.
normale
.N(IIlA'
XA
suit approximativement la loi
cr A ) et où XB suit approximativement la loi normale v;;;,.
.N'(IIIS' US).
vn;
Voir le paragraphe chapitre 3.
D.2
du
Par définition, la variable aléatoire D = Xs - XA associe à tout échantillon de taille 36 ainsi prélevé dans la population A et à tout échantillon de taille 50 ainsi prélevé dans la population B, la différence des moyennes de l'échantillon B et de l'échantillon A. Nous supposons que les deux variables aléatoires XA et XB sont indépendantes. Alors D =
Voir le paragraphe D. Sa du chapitre 3.
XB
E(D)
= E(XB
V(D)
=
-
-
XA suit une loi
normale et
XAl = E(Xsl - E(XAl = /Ils - iliA' 2
Anention
.IUX
signes - et +.
L'écart type de D est u D =
(J2
.J! + liB
Donc D suit la loi normale .N'(IIIS mA -
ms est inconnu.
Chap. G : Test de validité d'hypothèse
2
qXB - XAl = qxAl + qxsl = O"B + O"A liB liA
193
cr2
J; =? 7 liA
- ,'
iliA ; 2,7).
Remarque Voir le paragraphe c.
En comparant cette question et celle qui a été posée au paragraphe a, il semble naturel de remplacer l'hypothèse Ho: mA = m B du test précédent par HO: mB > filA et de prendre pour hypothèse alternative HI : mB
Voir Je paragmphe b.
On noter..! que Hl est une in~galité stricte car Ho et Hl s'excluent mutuellement.
~
mA·
Comme précédemment, la variable aléatoire D suit la loi normale .N'(m s - mA ; 2,7), où mA et mS sont inconnus. Ici, sous l'hypothèse Ho, nous avons 11I B - mA > 0 ; mais nous ne connaissons pas la valeur numérique de 111 B - mA et nous ne pouvons pas obtenir des résultats numériques pour la variable aléatoire D comme au paragraphe c. Aussi devons-nous choisir une ÉGALiTÉ pour hypothèse Ho, ici mA = mS' même pour tester l'inégalité mB > mA qui est alors choisie comme hypothèse alternative HI du test unilatéral; HI est acceptée lorsque Ho est rejetée et inversement, ce qui permet de répondre à la
question posée,
f. Construction du test unilatéral • Choix de Ho: Choix de Hl:
= mB· ma> mA·
mA
• Détermination de la région critique au seuil de 5 % Sous l'hypothèse Ho, (la même qu'au paragraphe c,), ?~ suit la loi normale ,N'(O, 1), -, Ce résultat est lu sur 13 table de la
Alors
loi normale du formul3ire.
p( R2,7 "" t) = 0,95 pour t = 1,645,
Donc P(D "" 4,44)
= 0,95, Région critique
Le lest étant unilatéral, la région critique comporte une seule par-
tie.
0,95
o • Énoncé de la règle de décision On définit d comme au paragraphe c.
Si d "" 4,44, on accepte Ho et on rejette HI' Si d > 4,44,on rejette Ho et on accepte HI'
g. Utilisation du test unilatéral • Calcul de d d = xB - xA = 779,6 - 774,7 = 4,9, • Application de la règle de décision 4,9> 4,44 : on rejette Ho et on accepte HI'
Chap, 6 : Test de validité d'hypothèse
195
D,OS 4,44
Au se uil de 5 %, la moyenne des masses des pièces li vrées par le fournisseur B est significativemen t supérieure à celle du fo urni sseur A.
Remarque
En revanche, au seuil de 1 %, on accepte H o : mA = /liB dans les deux cas.
La comparaison des résultats obtenus aux paragraphes d. et g. montre l'importance de la précision dans la définition d'une procédure conduisant à une prise de décision au mê,me seuil de 5 % et à partir des mêmes échantillons, nous sommes parvenus à des conclusio ns ditTé· rentes avec un test bilatéral et un test unilatéral.
,
,
C. TEST DE VALIDITE D'HYPOTHESE RELATIF À UN POURCENTAGE Voir les TP 3 et 4 ainsi que les
exe.rcices corrigés nO!; 2 et 3.
La démarche est analogue à celle qui a été mise en œuvre au paragraphe B en remplaçant la variable aléatoire X par la variable aléatoire F étudiée au paragraphe D du chapitre 4 ; on obtient une estimation ponctuelle de son écart type en utilisant le paragraphe C.2 du cha· pitre 5.
196
l
TRAVAUX PRATIQUES EXEMPLES DE TESTS DE VALIDITÉ D'HYPOTHÈSE RELATIFS À UNE MOYENNE Comparaison d'une moyenne à un nombre fixé
TP 1
Tous les risultats approchés urollt arrondis Il JO - '2, Sur une portion d'autoroute où la vitesse des automobiles est lim itée à 130 km/h. on effectue un contrôle des vitesses sur un échantill on de 72 'lUtomobiles que l' on assimile à un échantillon obtenu par prélèvement aléatoire el avec remise dans la popu lation constituée de toutes les voitures c ircu lant à cet endroit dans l'intervalle de temps considéré. On obtient les résultats suivants: Vile!io~ (~n
kmlh)
19O.100[ 1100. Il Or 1110,1201 [120. 130[ [130. 140[ 1140,150[ 1150,1601
On note
j.l
EtTa:tif 1
3 6 16 24 13
Un échantillon de taille ", = 100 ampoules de la première e ntreprise a donné une durée de vie moyenne = 94 h et un écart type cr] = 12 h. Un éc hant illon de taille 1/2 = 200 ampoules de la seconde entrepri se a donné une durée de vie moyenne Il'-2 = 90 h et llll écart type CT, = 16h.
m,
On note X, la variable aléato ire qui , à chaque éc hantillon de 100 ampoules de la première entreprise, associe sa moyenne et X2 la variable aléato ire qui à chaque échantillo n de 200 ampoules de la seconde entreprise associe sa moyenne. Tous les échantillons cons idérés sont supposés prélevés au hasard et avec remise. On suppose que les variables aléatoires X" X 2' D = XI - X2 suivent les loi s normales de moyennes respectives !-LA' !-LB' !-LA - !-LB inconnues et on estime >
l'écart type de D par
9
<:.) V"
pour va leur de cr l' estim at ion ponctuelle fournie par J'échan tillon ci-dessus.
bilatiral
1° Construire un test bilatéral permeuant de décider si, au seuil de 5 %, la vitesse moyenne de toutes les au tomobi les circu lant à cet endroi t el à ce moment est égale à 130 kmlh. Utiliser ce test avec l'échantillon de l'énoncé.
100 + 100 ou•
a]
et CT2 son t 1es
A. Tt!st bilatéral 1° Construire un test bilatéral permettan t de décider s' il y a une différence significative au seuil de 5 % entre les durées de vie des ampoules fabriquées par les ent repr!ses A et B. Utili ser ce test avec les échant illons de l'énoncé.
r
1° Construire un test unilatéral permettant de décider si les durées de vie des ampou les fabriquées par l'en trepri se A sont , au seui l de 5 %, significativemen t s upérieures à ce lles de l'entrepri se B. Utiliser ce test avec les échantill ons de l'énoncé. 2° Reprendre la quesüon 1° avec le seu il de 1 %.
unilathal
1° Construire un test unilatéral permettant de décider si, au seu il de 5 %, Ia vitesse moyenne des mêmes automobiles est strictement supérieure à 130 kmlh. Ut ili ser ce test avec l'échantillon de l'éno ncé. 2° Même question au seui l de 1 %.
Chap. 6 : Test de validité d' hypothèse
Reprendre la même question avec le seuil de 1 %.
B. Test ltllilathal
2° Même question au seuil de 1 %. T~st
,
cr2
Tous les résultats approchés seront arrondis à /0 -2.
popu l ~i on
tai lle II = 72 prélevé comme celu i-ci, associe sa viteset on prend se moyenne, suit la loi normale .N'(~,
B.
écarts types obten us pour les échan tillons précédents.
considérée. On suppose que la variable aléatoire X qui, à tout échantillon de
T~st
Comparaison des moyennes de deux populations
Deux entrepri ses A et B fabriquent des ampou les é lectriques d'un même modèle.
et cr la moyenne et l'écarl type des vitesses
de l'ensemble de la
A.
TP2
197
EXEMPLES DE TESTS DE VALIDITÉ D'HYPOTHÈSE RELATIFS À UN POURCENTAGE TP3
Comparaison d'un pourcentage à un nombre fixé
Nous reprenons la situation 2 du chapitre 5 décrite au paragraphe A et étudiée aux paragraphes B. 2 et C. 2a. Avant de prélever cet échantill on, deux personnes travaill ant à l'hôpital avaient exprimé des opinions très différentes: - pour monsieur A, le pourcentage de malades dont la pression artérielle diastolique (PAO) est strictement inférieure à 8 est de 12 % ; - pour madame B, ce pourcentage est de 33 % . 1° Construire un test bilatéral permettant d'accepter ou non, au seu il de signification de 5 %, le point de vue deA. Ut ili ser ce test avec l'échantillon de l'enquête rapide.
r
Même question pour B.
3° Reprendre les deux questions
r
et 2° en utilisant le
se.uil de significat ion de 1 %.
TP4
Comparaison de pourcentages de deux populations
Une entreprise propose en grande quantité un certain produit pour lequel un pourcentage inconnu p est de qualité supérieure, le reste étant de qualité ordinaire. Une étude portant sur un échantillon de 200 unités de ce. produit montre que 60 sont de qualité supérieure. On suppose que cet échanti llon peut être considéré comme prélevé au hasard et avec remise dans la population des unités de ce produit proposées par cette entreprise et que la variable aléatoire F qui, à tout
échanti llon de taille Il = 200 prélevé au hasard et avec remise dans cette population, associe le pourcentage. des unités de qualité supérieure de cet échantillon, suit la loi normale
En vue d'améliorer la qualité du produit, on procède à certaines modifications. Soit p' le nouveau pourcentage d'unités de qualité supérieure ainsi obtenues. Sur un échantill on de taille 300, on observe que 120 unités sont de qualité supérieure. On fait la même hypothèse que (·i-dessus sur cet échantillon et sur la variable aléatoire F' correspondant à des échantillons de taille Il' = 300 ; elle suit la loi normale
On suppose que les vari ables aléatoires F et F' sont indépendantes. On prend pour valeur de l'écart type de chacune l'estimation ponctuelle fournie par l'échantillon correspondant en utilisant le paragraphe C.2 du chapitre 5. A. Test bilatéral 1° Construire un test permettant de décider si, au seui l de 5 %, il Y a une différence significative entre les pourcentages des unités de qualité supérieure obtenus par les deux procédés de fabrication. Utiliser ce test avec les deux échantillons de l'énoncé.
2° Reprendre la même question qu'au 1° avec le seuil de 1 %. B. Test IIlliltl1lral 1° Construire un test permettant de décider si, au seuil de 5 %, les modifications apportées ont amélioré significativement le pourcentage des unités de qualité supérieure. Utiliser ce test avec les deux échantillons de l'énoncé.
2° Reprendre la question 1° avec le seuil de 1 %.
198
EXERCICES CORRIGÉS
0-~ Comparaison de la moyenne à un nombre
_,I~
/xé.
test de validité d 'hypothèse unilatéral
Con<,'ruire et utiliser un lest d'hypothèse bilatéral ou unilat~ral relatif à une lIlu)'enne Comlruire ct ulili~r un le~1 d'hypolhè"-t!
t'oilalér.t1 (lU
unilal~ral
relatif à un
poun.:en~
Avant d'engager une campagne publicitaire, la direction d'un groupe d'hypermarchés spécialisés dans le bricol'lge se propose de construire un test unilatéral qui, au vu des chiffres d'affaires journaliers des trente jours ouvrables suivant celte campagne, permettra de décider si, au seuil de signification 5 %, la moyenne des chiffres d'affaires journaliers a augmenté, c'est-àdire dépassé 1,5 million d'euros, à la suite de celle campagne publicitaire.
1 cl 2,6.7
3.4 CI5
lage
Test de validité d'hypothèse relatif à une moyenne
o ...
Comparaison de la moyenne à un nombre fixé, test de validité d'hypothèse bilatéral
1° Construction du
Une grande surface vend du matériel photographique. On note X la variable aléatoire qui, il chaque ticket de caisse prélevé au hasard dans Je stock de tickets d'un mois associe son montant en euros.
tion des chiffres d'affaires journaliers obtenus après la campagne publicitaire et on suppose que l'écart type de cette population est 0.3 million d'euros. Soit Z la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire, non exhaustif, de trente chiffres d'affaires journaliers de cette nouvelle population, associe la moyenne de ceux~ci.
À la suite d'une campagne promotionnelle d'un concurrent, le responsable de la grande surface redoute que le montant moyen des tickets (donc des ventes) soit modifié.
On suppose que Z suit la loi normale de moyenne IJ. et d'écart type 0,3
Afin de contrôler que la moyenne Il des achats reste égale ~ 550 euros, il se propose de construire un t~st d'''ypoth~s~ bilotùal.
, L'hypothèse nulle est Ho : fJ.
= 550.
• L'hypothèse alternative est HI : ~ =F 550.
V30
a) Choisir une hypothèse nLllle Ho et une hypothèse
alternative Hl' pour ce test unilatéral.
b) Déterminer, à 10- 3 près, le nombre réel" tel que. = 0,95.
sous l'hypothèse Ho, on ait: P(Z '" il)
c) Énoncer la règle de décision de ce test.
2° Utilismioll
aléatoire X suit la loi normale de moyenne 550 et
195. y50
1° Déterminer, ti 1 près,le nombre réel positif Il tel que
= 0,95.
r
Énoncer la r~gle de décision permenant d'utiliser ce test.
3° La moyenne des montants d'un échantillon aléatoire de 50 tickets prélevés après la campagne du concurrent est = 597.
x
Chap. 6 : Test de validité d'hypothèse
a
tl!~t
Chiffre d'affaire.'Io 1.2 t,3 t.4 1,5 1.6 1,7 t,8 1,9 2 2,1 2.2 2,3
On suppose que, sous l'hypothèse nulle Ho. la variab le
1'(550 - " '" X '" 550 + il)
d~
Les chiffres d'affaires journaliers pendant les trente jours ouvrables suivant la campagne publicitaire sont donnés par le tableau suivant:
• Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.
d'écart type
tmilatiral
On note IJ.la moyenne inconnue de la nouvelle popula-
On admet que X suit la loi normale de moyenne fJ. = 550 et d'écart type 195.
On désigne par X la variable aléatoire qui, ~ chaque échantillon aléatoire de 50 tickets de caisse, associe la moyenne des montants en euros de ces tickets (le stock de tickets est assez important pour qu'on puisse assimiler des prélèvements à des tirages de 50 avec remise).
t~st
199
Nombre de joun
1 2 2 g
8 2 2 1 2 t 0 t
1 1 1 1
Dans ce qui suit les résultats dis à JO-J.
appmc"~s
serollf arron-
a) Calculer la moyenne des ch iffres d'affaires journaliers pendant ces trente jours. b) En appliquant la règle de décision du test à cet échantilIçm de trente chiffres d'affaires journaliers que l'on assimile li. un échantillon aléatoire non exhaustif, peut-on condure, au seui l de lignification 5 %, qu'à la sui te de la campagne publicitaire la moyenne des ch iffres d'affaires journaliers a dépassé 1,5 million d'euros?
Test de validité d'hypothèse relatif à un pourcentage
0-** Comparaison d'un pourcentage à un
nombre fixé, test de validité d'hypothèse unilatéral
Un candidat à une éleclion fait effectuer un sondage dans sa c irconscription comporlan t 85842 électeurs : sur 1068 personnes interrogées, 550 déclarent vouloir voter pour ce candidat. On suppose que cet échant ill on peut être assim il é à un échantillon prélevé au hasard dans la population des électeurs de la circonscription. Soi t F la variable aléatoire, qui, à tout échantillon de taille Il = 1068 prélevé au hasard dans cette population, associe le pourcentage d'électeurs de cet échantillon voulant voter pour le candidat. On suppose que F, sui t a loi normale
X(p , V~») ,où p est le pourcentage inconnu des électeu rs de la circonscripti on voulant voter pour le candidat.
0*** Comparaison d'un pourcentage à un nombre fixé, test de validité d'hypothèse
Dans CI! qui suit tOIlS les rbultats approchés seront arrondi:) à JO- 3.
bilatéral ... à l'insu de son plein gré ... Les statistiques ont permis d'établir qu'en période de compétition la probabilité, pour un sportif pris au hasard, d'être déclaré positif au contrôle antidopage est égale à 0,02. On décide de construire un test qui, à la suite des contrôles sur un échantillon de 50 sportifs prélevé au hasard, permette de décider si, au seuil de significat.ion de 10 %, Je pourcentage de sportifs contrôlés positifs' est de Il = 0,02.
} O Construire un test permettant d'accepter ou de rejeter, au seuil de sign ifi cation de 5 %, l'hypothèse selon laquelle, au vu d'un sondage porlant sur 1068 personnes interrogées, le candidat se.fJ. élu au premier tour, c'est-~-dire :
a) Énoncer une hypothèse nulle Ho et une hypothèse alternative Hl pour ce test unilatéral;
1° Construction du test bilatéral Dans ce qui suit, tous les résultats approchb seront arrondis à 10-J. So it F la variable aléatoire qui, à tout échanti llon aléatoire (supposé non exhaustif) de 50 sportifs contrôlés, associe le pourcentage de sportifs contrôlés positivement. On suppose que F, suit la loi normale
X(p, V~))
où
p = 0,02 et /1 = 50.
a) Énoncer une hypothèse null e Ho et une hypothèse alternalive Hl pour ce test bilatéral; b} Déterminer, sous l'hypothèse H O' le réel positif a tel que pep - a ~ F :s;: p + a) = 0.9 ; c) Énoncer la règle de décision du test. 2° Utilisation du test: Dans l'échantillon ~ deux contrôles antidopage ont été déclarés positifs. En appliquant la règle de décision du test à cet échantillon assimilé à un échantillon aléatoire non ex.haustif, peut-on conclure au seuil de risque 10 %, que l'échantillon observé est représentatif de l'ensemble de la population sportive?
r
b) Déterminer le nombre réel positif a tel que, sous l'hypothèse Ho, P(F '" (1) = 0,95 ; c) Énoncer la règle de décision du test; d) Utiliser ce test avec l'échantillon de l'énoncé. Même question avec le seuil de signification de 1 %.
o
·HU Comparaison des pourcentages de deux populations, test de validité d'hypothèse bilatéral
Dans ce qui suit, IOIlS It!s résuIIQl.\· approchés seront arrondis à JO- 3. Une entreprise s'interroge sur le lancement d'un produit nouveau auprès d'une population fixée. Au moment où un pourcentage inconnu Il de cette population est favorable à cette nouveauté, un premier sondage effectué sur un échantillon de 100 personnes donne 25 % de réponses favorables. Un mois plus tard, alors que le pourcentage inconnu de la population favorable à ce produit est devenu p', un second sondage effectué auprès de 400 personnes donne 33 % de réponses favorables. On suppose que tous les échantillons intervenant ici peuvent être considérés comme prélevés au hasard et
200
avec remise et que la variable aléatoire F, (resp. F') qui, à un lei échantillon de taille '1 = 100 (resp. n' = 4(0), associe son pour.,;entage de réponses favora.bles, suit la loi normale
X(", V~)) [r
Loi normale, test bilatéral relatif à une
~Jmoyenne
ÙS parti~s A et B SOtlt indépendan/t!s. Une entreprise conditionne, en grande série, un mortier de ragréage en sacs de 25 kg. On désigne par X la variable aléatoire qui, il tout sac pris au hasard dans la production d'une journée, associe sa m~lsse, exprimée en kilogrammes. On admet q~ la loi normale de moyenne Il- et
d'écart
Effectifs
[24,75: 24.851
4
124,85 ; 24,951
Il
[24,95 : 25,05[
58
[25.05: 25.15[
20
[25.15 : 25,25[
7
[2] ... Loi normale, loi binomiale, approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson, test de validité d'hypothèse bilatér,lI relatif cl une différence de deux moyennes .
type~
US questiolls 1 et Il p~/H'~11t hr~ traÎté~s indépelldamm~lI/ J'Utl~ d~ J'autre. Un groupe industriel possède deux filiales MAT et MATIC qui produisent des petits moteurs destinés au montage de jouets. I. La variable aléatoire X qui, à chaque moteur tiré au hasard dans la production, associe sa durée de vie exprimée en heures, suit la loi normale de moyenne 400 et d'écart type 40. r Un moteur est déclaré non commercialisable si sa durée de vie est inférieure à 318 heures. Calculer, à 10- 4 près, la probabilité p qu'un moteur pré levé au hasard dans la production ne soit pas commercialisable. 2° On admet que p ;: 0,02. Soit Y la variable alé~lloire qui, à tout lot de 50 moteurs prélevés au hasard dans la production, associe le nombre de moteurs non commercialisables. La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler le prélèvement de 50 moteurs à un prélèvement aléatoire avec remise. a. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer à 10-3 près, la probabilité de l'événement: 4o: il y a exactement deux moteurs non commerciali sableslt.
Partie A Dans celte partie on suppose que ~ ;: 25. ] 0 Déterminer, à 10- 4 près, la probabilité que la masse d'un sac tiré au hasard soit comprise entre 24,75 et 25,25. 2° Déterminer, à 10- 3 près, le nombre réel positif a, tel ( que la probatillité que X appartienne il l'interva lle \... l25 - a~a11oit égale à 0,95.
PartieB Pour vérifier le réglage de la machine chargée de l'ensachage, on prélève aléatoirement et régulièrement dans la production d'une journée des échantillons de 100 sacs. Ces tirages peuvent être considérés comme faits au hasard et avec remise. La machine est bien réglée si, dans la production d'une journée, la moyenne des masses des sacs est de 25 kg. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon, associe la moyenne des masses des 100 sacs qu'il contient. On veut construire un test permettant de décider si, au risque de 5 %, le réglage est correct. L'hypothèse nulle eSl Ho : J.1 = 25 ; J'hypothèse allernative est HI: ~ #- 25.
Chap. 6 : Test de validité d'hypothèse
--
Mauex,enq
a. On suppose que dans chaque classe tous les éléments sont situés au centre. Calculer la moyenne des mesures de cet échantillon. b. En utilisant, avec l'échantillon ci-dessus, le test de la question 8.2° peut-on au risque 5 % conclure que la machine est bien réglée?
Exercices d'examen
rœ\.
] 0 Déterminer. sous l'hypothèse nulle Ho' la loi suivie par la variable aléatoire X. r a) Déterminer, à 10- 4 près, sous l'hypothèse Ho, le nombre réel positif" tel que: P(25 - h" X" 25 + h) = 0,95. b. Énoncer la règle de décision permettant d'uti li ser ce test. 3° Les mesures effectuées sur un échantillon de 100 sacs donnent les résultats suivants:
201
1 1 1 1 1 1
b. On admet que la loi précédente peut être approchée par une loi de Poisson. Préciser son paramètre. Soit Z une variabl e aJéatoire suivant cette loi de Poisson. Calclller à 10- 3 près, la probabililé de l'événement: « il y a au plus trois moteurs non commerciali sables». II.La filiale MAT prélève un échantillon de taille 100 su r la production d'un jour et mesure la dur6e de vie, en heures, des moteurs.
On suppose que les variables aléatoires XI' X 2 , - X 2 suivent des lois normales de moyennes respectives MI' M2' MI - M 2 inconnues et on estime
o = Xl
/
"écart type de 0 par crD = 1.
Les résullats obtenus sont les suivants:
Dulie de vie
20 On désigne par XI la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 moteurs prélevés au hasard par la filiale MAT, associe sa moyenne et par X 2 la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 moteurs prélevés au hasard par la filiale MATIC, aSSQ(' ie sa moyenne. Tous les échanti llons considérés sont assim ilés à des échanti llons prélevés avec remise.
(On prend comme va leur approchée à 10- 1 près de la valeur 39,4.)
Effectifs
[300, 340[
7
[340, 380[ [380, 420[
21 48
[420, 460[
16
[460,500[
8
On décide de constru ire un test bilatéral permettant de savoir s'i l existe une différence signi fi cative au seuil de 5 % entre les durées de vie des moteurs fabriqués par les filiales MAT et MATIe. On choisit pour hypothèse Ho: MI = M 2, et pour hypothèse alternative HI : MI -::;6 M 2·
10 En faisant l'hypothèse que les valeurs mesurées sont celles du centre de classe, calculer, à 10-2 près, la moyenne III] et l'écart type cride celle série statistique. La filiale MATIC dans des condi tion s sim ilaires, contrôle un échant ill on de taille 100 et obtient pour ~su ltat s"'2 = 406,8 et cr 2 = 40,5.
202
Sous l'hypothèse Ho, D sui t la loi normale .N"(O,crD)' Déterminer l'inter valle [- h, hl tel que P(- h '" D '" h) = 0,95. b. Énoncer la règle de décision du test. 8.
c. Utiliser ce test avec les deux échantillons de l'énoncé et conclu re .
EXERCICES NON CORRIGÉS On décide d'assimiler la loi de la variable aléatoire X qui, à tout échantillon de taille 100, associe le gain men-
Test de validité d'hypothèse relatif à une moyenne Test bilatéral pour comp(lrer /a moye/llle d'une popu-
suel moyen de poids, à la loi normale
lation à Illl1lombrefixi (t'xerr:ices 8 à 12)
o ...
X(f.1,
.Jfoo)
où f.1 désigne le gain mensuel moyen de poids de la population totale et où CT est estimé par 4,27.
On teste la longueur des pièces
Dans un atelier une machine fabrique des pièces en grande série; on s'intéresse à leur longueur mesurée en cm. On admet que la variable aléatoire X qui, à chaque pièce tirée au hasard dans la production associe sa longueur, suit une loi normale de moyenne j.L et d'écart type (J = 0,14.
Dans ce qui suit, tous les résultats approchés uron! arrondis à JO-2. 1 ° Construire un test bilatéral permettant de décider, au seuil de signification 5 %, si la publicité envisagée est me,nsongère ou non. Pour cela:
Afin de contrôler le fait que la moyenne j.L des longueurs des pièces produites est 150, on se propose de construire un lest d'hypothèse bilatéral. On prélève des échantillons aléatoires de 49 pièces (chaque échantillon étant obtenu par un tirage avec remise).
a) Écrire une hypothèse nulle Ho et une hypothèse alternative HI ; b) Déterminer le réel positif Il tel que sous Ho : P(36 - h ., X., 36 + h) = 0,95 en déduire la région crit ique au seuil de signification 5 % ; c) Énoncer la règle de décision. r Appl iquer ce test à l'échantillon précédent et conclure.
À chaque échantillon ainsi défini, on associe la moyenne des longueurs des 49 pièces ; on définit ainsi une variable aléatoire X.
x
L'hypothèse nulle est Ho: jJ. = 150; l'hypothèse alternative est HI : J.L :1= ISO. Le seuil de signification du lest e~t fixé à 0,05.
Dans a qui suit, tous arroI/dis à 10- 2.
I~s
rl.Hlltats approchb
s~ro1lf
~ *** On teste là longueur des barres
1° a) Déterminer, sous l'hypothèse nulle Ho, la loi de la variable aléatoire X.
Une machine fabrique des barres en grande sé,rie. On veut vérifier le bon réglage de la machine.
b) Déterminer le nombre réel positif" tel que P(150-h .,X., 150+h)=0,95.
On appelle L la vari able aléatoire qui, à chaque barre prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur exprimée en millimètres. On admet que L suit une loi normale de moyenne J.L et d'écart type 1.
2° Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. 3° La moyenne observée sur un échanti llon de 49 pièces est.f' = 149,9. Que peut-on conclure au seuil de sign ifi cation 5 % quant à la qualité des pièces produites?
,[!J .*** On teste le poids des bovins
On appelle L la vari able aléatoire qui prend pour va leur la moyenne des longueurs des 100 barres d'un échantillon aléatoire àssimilé à un échant illon non éxhautif. D{UI,~· ce qui suit, tous les résultats approchés seront arrondis à 10- 2.
Un concepteur de régimes alimentaires pour bovins désire mettre sur le marché un nouve
Ch.p. 6 : Test de validité d'hypothèse
Dans le cas où la machine est bien réglée, la moyenne ].L est égale à 1000.
203
1 0 On se propose de construi re un test d'hypothèse bilatéral permettant de vérifier le bon réglage de la machine au seui l de 2 %. a) Donner l'hypothèse nulle Ho et l'hypothèse alternative Hl. b) Sous l'hypothèse Ho _quelle est la lo i de L ? c) Déterminer la rég ion critiq ue el énoncer la règle de décision relative à ce test.
2° a) On a regroupé par classes les longueurs des barres d' un échantillon: Longueur
[997,999[
Quantité
14
a) Q uelle do it être l'hypothèse nulle Ho ?
b ) Quelle do it être l'h ypothèse alternati ve H t ? r, énoncer la règle de décision du test. d) En utilisant l' échantillon de l' énoncé peut-on accepter, au seuil de risque 5 %, l' hypothèse selon laquelle la machine est bi en rég lée?
c) En utili sant la questio n
[999, 100 1 [ [ 100 1, 1(0)[ 75
II
Déterminer une valeur ilpprochée de la moyenne f de la long ueur des barres prélevées, e n supposant q ue dans chaque chlsse, tous les éléments sont situés au ce ntre. '" b ) Au vu de cet échantill on, que peut-on conclure qu ant au rég lage de la machine?
~ .u Fabrica tion de bouchons
~ ... Dew. tests bilatéraux Dans une grande surface de matéri el hi -fi vidéo on tire au hasard et avec remi se 100 ti ckets de ca isse à la fi n de la jo urnée et o n note po ur chacun le montant total des achats . O n obtient les rés ultats sui vant s:
Une machine fabrique plusieurs milliers de boucho ns cylindriques par j our. On admet que la vari able aléatoire X q ui , t\ chaque bouchon prélevé au hasard dans la prod uctio n, assoc ie son diamètre exprimé en millimètres, suit la normale de moyenne iJ. = 22 et d 'écart type (J = 0,Q25 . En vue du contrôle du réglage de la machine, on prélève dans la productio n d~ échantillons aléatoires de 100 bo uchons. O n appell e X la vari able aléato ire qui , à to ut échantill on aléatoire de 100 bouchons, assoc ie la moyenne des diamètres des 100 bouchons de cet échantillo n. (O n ass imile ces prélèvements à des tirages ~vec remise.) Lorsque la machine. est bien réglée X suit la lo i normale de moyenne iJ. et d 'écaTI type (J ' = 1~ (on rappelle que fJ. = 22 et (J = 0,025).
Dans ce qlli st/it, tOIlS les rbt/ftots approchés sero1lf arrondis à /0-3. I ° Dé t e rmin~ le no mb re rée l pos itif a, te l que p(22 - a '" X '" 22 + a) = 0,95. r Sur un échantillon de 100 bouchons, on a obtenu les rés ultats sui vants (les mesures des diamètres étant répar ties en cl asses d 'a mplitude 0,02 mm) : Diam~tres
en mm [21,93 ; 2 1,951 [2 1,95; 2 1,97 [ [2 1,97 ; 2 1,99 [ [21,99; 22,O I[ [22,0 1 ; 22,03 [ [22,0) ; 22,051
Effectif
[22,05 : 22,07 [
2
Montant (cn Clll"OS)
Effectif
[ 0, 200[
15 23 28 18 7 9
[ ZOO,400 [
[400,600[ [600, Boo[ [800, 1 OOO [ [1 000, 1 200[
Soit X la vari able al éato ire qui , à tout échan tillo n de taill e II = 100 pré levé au hasard et avec re mi se co mme l'échantill on c i-dessus, associe le mo ntant moyen des achats fi gurant sur les 100 tickets de cai sse. On suppose que
X suit
la loi normale
N(m, ~ où
et (] sont la moyenne et l'écart type des achats de tous les client s du s upermarché ce jo ur-là.
111
On prend pour valeur de (] son estim ati on ponctuell e fournie par l' échantill on décrit c i-dessus. Une caissière A pense que la moyenne des achats a été ce jo ur-là égale à 500 € ; une autre caissière estime celte moyenne à 450 €.
Dans u qui slIit, IOUS arrondis à 10- 2.
l~s
résultaIs approchls seront
3 7 27
] 0 Déterminer la moyenn e dessus.
30 24 7
ZO Construire un test permettant d 'accepter ou no n, au seuil de significatio n de 5 %, le point de vue de la caissière A.
En supposant que tous les bouchons d ' une cl asse ont pour di amètre la valeur centrale de cette classe, do nner une valeur approchée de la moyenne et de l' écart type de cette série. 3° On ve ut construire un test bilatéral permettant de déc ider si la machine est bien réglée au seuil de ri sque 5%
x de l' échantill on donn é ci-
Utiliser ce test avec l' échantillon de l'énoncé. 3° M ême question pour la caissière B. 4° Repœ ndre ces deux. q uestio ns en utili sant le seui l de sig nifi cation de 1 %.
204
Test unilatéral pour COmjXlrer la moyel/lle d'une popu-
Sur un échanti llon aléato ire de 49 paquets pro venant du laboratoire A les nombres des tubes défectueux par paquet sont les suivanl$ : 4 7 4 4 7 9 5 5 9 4 4 2 7 8 7 8 9 10 4 2 5 10 6 5 6 1 5 7 2 0 8 0 6 0 5 2 3 3 4 3 10 5 2 0 10 7
latiol/ à Ll1ll1olllbr~ dOl/lié (exen:ice 13)
~ ••• On teste le montant moyen des \'f'ntes Un f~lbricant de matériel s informatiques commercialise directement une partie de sa production. On note X la variable aléatoire qui à chaque vente tiré au hasard parmi les ventes de l'année dernière aswc ie son montant en euros.
Calculer une valeur approchée de la moyenne ml et de l'écart type SI de cet échan tillon.
On admet que X suit la lo i normale de moyenne fL = 550 el d'écarllype 195.
On admet dan'i la suite de cet exercice qu'une estimati on ponctuelle III de la moyenne f-LI de la variable aléatoire XI est 4,84 et qu ' une estimation ponctuelle8- 1 de l'écart type 0'"1 de XI est 2.99.
Le fabricant désire savoir si la compagne promotionnelle entreprise pendant le mois de janvier a permi s de modifier le montant moyen des ventes.
Afin de contrôler si la moyenne des ventes a été modifiée ou non, il se propose de construire un test d'''-,puIh~u unilatéral.
r
On dé signe par X la variable alé.Ho ire qui , à chaque échantillon aléatoire de 50 factures, associe la moyenne des montants en euros de ces factures (le nombre des ventes est assez important pour qu'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages de 50 avec remise).
L' hypolhèse nulle eSI Ho : fL
= 550.
L'hypothèse alternative est HI : J..l
>
550.
On note X., la variable aléatoire qui , à chaque paquet expédié un j~ur donné par le laboratoire B, assoc ie le nombre de tubes défectueux de ce paquet. Sur un échanti llon aléatoire de 64 paquets provenant de J'entrepri se B on a obtenu une moyenne 1112 de 3,88 tubes défectueu x et un écart type 0'"2 de 1,45.
11
En déduire une est imation ponctuelle 2 de la moyenne J.L., de la variable X" et une estimati on ponctuelle 8-2 d; l'écart type 0'"2 d~ X2" 3° On se propose de constru ire un test d'hypothèse bilatéral pour comparer les qualités de production des laboratoires A et B.
On suppose que, sous l'hypothèse nulle H o, la v:.\riable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 550 et d'écarl Iype ~.
On note X 1 la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre moyen de types défectueux par paquet dans des échanti llons aléatoires de 49 paquets de 1:.\ production du laboratoire A.
VsO
1° Déterminer, à 10- 2 près, le nombre réel positif Il tel que p{i ~ h) = 0 ,95, en déduire la région critique au seuil de sign ifi cation de 5 %.
On note X2 1:.\ variable aléatoire prenant pour valeur le nombre moyen de tubes défectueux par paquet dan ~ des échantillons aléatoires de 64 paquets de la production du laboratoire B.
2° Énonce.r la règle de déci sion. 3° La moyenne des montant s d'un éc hantillon aléatoire de 50 factures prélevées après la campagne promotionnelle est = 597.
x
Utiliser le test sur cet échant ill on et conclure.
l~s
Tt!st bilatüal ou unilatéral p our comparu de d(!/IX populations (eurcia 14 à 17)
moy~nn ~s
~ ••• On compare les productions de deux laboratoires: test bilatéral .
1
Tous I~s résultats approchés seronI arrol/dls à j(T . Deux laboratoires A et B fabriquent des tubes à essai et les conditionnent dan s des paquets. Tous les paquets cont iennent le même nombre de tubes. 1° On note XI la variable aléatoire qui , à chaque paquet expédié un jour donné par le laboratoire A, associe le nombre de tubes défectueux de ce paquet.
Ch.p. 6 : Test de validité d'hypothèse
205
a) Le nombre d'observations étant important, on admet que les loi s de probabilité de XI et X2 peuvent être approchées par des lo is normales. Exprimer la moyenne et l'écart type de chacune de ces variables a léatoires en fonction de ceux de XI et de X2. Dans toute la s uite, on cons idère donc que Xl et X2 sont deux variables aléato ires indépendantes suivant une loi normale. b) On note 0 la variable aléatoire telle que : 0= X 1- X2 . Quelle e~t la loi de probabilité de D ? Déterminer la moyenne et l' écart type de D. Justifier. 4° Dans cette question, on admet que D suit la loi nor-
male NO"I - ""' ; 0,46). On pose pour hypothèse nulle H o : J.L] = hypothèse alternative HI : IJ.I "# 1l-2.
ll-2 et pour
a) Calculer, sous l'hypothèse Ho, les nombres" et k tels que P (-Ii < D < li) = 0,99 et P(-k < D < k) = 0,95. b) Énoncer la règle de décis ion relative à ce test lorsqu'on choisit un seui l de signification de 1 %, pu is deS %. c) Peut-on conclure, après e"amen des échanti ll ons donnés dans les quest ions 10 et r, que la différence des moyennes observées est significative au seui l de risque de 1 % ? Au seuil de risque de 5 % ?
~ ... Contrôles de vitesse et test bilatéral
On suppose que Ysuit une loi normale de moyenne ~ et d'écart type 8,88. -
v.;:,
On sait que X - Y suit une loi normale. de moyenne
1-11 -
f-L2 et d'écart type 8,88 y~
+~2·
Pour ce deuxième contrôle on a trouvé une moyenne expérimentale nl2 = 88,1 km/h. On veut tester l' hypothèse 1-1] = ~. Peut-on décider au risque de 1 % que 1-11 = 1-12?
1
Pour construire le test, on pourra procéder comme au 4° de J'exercice 14.
Toutes lt's \'a/t'lIrs dnllQlldées st'mnt arrondies à JO - 2.
La gendarmerie a effectué un contrôle de vitesse sur une route nationale du département et a constitué le tableau suivan t sur un échant ill on de taille n] = 50 véhicules: Vites!CS en kmlh
Nombre de véhicules
moins de 70
1
[70,801
5
[80,85[
7
[85,90[
13
[90.951
15
[95.100[
5
1100,11O[
3
plus de 110
1
~ .... On compare les performances de deux succursales: test bilatéral et test unilatéral Dans une entreprise de gros équ ipements mécaniques on étudie les performances commerciales d'un établi sseme nt A et d'un établissement B pour les contrats dont le montant est inférieur à 500000 euros. On désigne par X A la variabl e aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 30 con trats prélevés parmi les contrats remportés par l'établissement A, associe la moyenne des montants de ces contrats (le nombre de con trats est assez important pour qu'on puisse ass imi ler ces prélèvements à des tirages de 30 avec remise).
10 Calculer une valeur approchée, à 10-2 près, de la moyenne ml des vi tesses des véhicules de cet échantillon . On fait l'approximation sui vante: pour chaque classe, les valeurs observées sont égales il celles du milieu de cette classe. On admet que l'amplitude des classes ex trêmes est égale à celle de la classe voisine. r On désigne par X la variable aléato ire qui à chaque échant ill on de 50 véhicu les, prélevés au hasard, associe la moyenne des vi tesses de ces 50 véhicules. La c irc.u lation des véh icu les est assez importante pour que l' on puisse assimiler tou t échanti llon de 50 véhicules à un échantillon non ex.haustif.
On désigne de même par X B la vari able aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 35 contrats prélevés parmi les contrats remportés par l'établissement B, assoc ie la moyenne des montants de ces contrats. On admet que les variables aléato ires X A et X B su ivent respectivement les lois normales X(m A ; 21,97) et N(m B ; 23,24) et que XA et XB son t indépendantes.
Dans ce qui suit, tous les résultats approchés urolll arrondis à 10- z. 1 0 On note D la variable aléatoire D
= XA
-
X B.
Justifier que D suit la loi normale X(m A - mB; 31,98).
r
On admet que X suit une loi normale de moyenne 1-1], et d'écart type a] = 8,88
V50
Compte tenu des résultats ex.périmentaux précédents, a) donner une estimation ponctuelle de 1-1] ; b) donne.r une estimation de J.l] par un intervalle de confiance à 95 %. 3° On prévoit un autre contrôle portant sur un éc.'hantillon de tai lle ''-2 = 70. Y est la vari able aléatoire qui, à chaque nouvel éc han tillon, associe la moye,nne des vitesses.
206
Utilisation d'un test bilatéral a) Construi re un test bilatéral permettant d'accepter ou non, au seuil de signifi cati on de 1 %, que les établissements A et B o nt les mêmes performances commerciales en ce qui concerne les contrats dont le. montant est inférieur à 500000 euros. b) Une étude statistique sur un échanti ll on de 30 con trats remportés par l'établissement A et un échantillon de 35 contrats remportés par l' établissement B a donné respec ti vement les moyennes = 235,7 1. Utiliser le test avec ces A = 250 et deux échanti llons et concl ure.
x
xe
3 0 Utilisalioll d'ul/
I~st
fmi/athal
a) Construire un test unilatéral perm ettant d'accepter ou non, au seuil de signification de 5 %, que l'établissement A a des performances commerciales supérieures à celles de J'établissement B en ce qui concerne ces mêmes contrats. h) Utiliser ce test avec les deu~ éc hantillons de l' énoncé du 2 0 h) et conclure.
~ **u Le taux de cholestérol." test bilatéral Pour un groupe de 300 personnes bien portantes prélevées au hasard dans une rég ion, on a dosé le cho lestérol et obtenu les résu lt ats résumés dans le tableau suivant:
"
Effeçtif If;
180.1201
7
1120.1601
54
1160. 2001
110
[200. 240[
72
1240.2801
46
[280.3201
8
[320. 36O[
3 1.
la -Jo
r Calculer des va leurs approc hées de la moyenne xI et de l'écart type SI de cet échantill on. r
Donner une estimation ponctuelle J.L.I de la moyenne et 0'1 de l'écart type du taux de cholestérol chez les gens bien portants de la région considérée. 0 3 Dans une autre rég ion, un hôpital a obtenu (X)ur un échantillon aléatoire de 250 personnes une moyenne 2 = 19 J ,2 et un écart type s:! = 45,2. On sup(X)se que toutes les analyses effectuées sont indépendantes.
x
On désigne par X1 la variab le aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoi re de 300 personnes de la première région, associe la moyenne de l'écha ntill o n et par X la 2 variabl e aléatoire qui , à chaque échantillon aléatoire de 250 personnes de la deuxième région, assoc ie la moyenne de l' échantill on. On suppose que les vari ables aléatoires XI' X 2 sui ve nt des lois no rm ales de moyennes incon nues et d'écarts types estimés par 0'1 et 0'2 obtenus à partir des échan ti ll ons précédents. La différence des moyennes constatée entre les deux populations des questions 2 0 et 3 0 est-elle significative au seui l de risque 5 %?
1
Pour la construction du test bilat6ral, on pourra proctder comme à l'exerc ice 14.
Chap. 6 : Test de validité d'hypothèse
Test bilaléral pour comparer lm pouruntage à lwmbrefixé (exerr:ic~ 18)
207
UII
Œ!l ..... Des pièces pour l'industrie Une entreprise fabrique e n grande séri e des pièces pour l'industrie. Pour analyser la qualité de la fabric.at ion, on effec tue un test bilatéral permettant, à la suite du prélèvement au hasard d'un écha ntill on de n = 64 pièces dan s la production, de tester au seui l de 5 %, l'hypothèse Ho selon laquelle le pourcentage de pièces défectueuses dans la production est 4 %. L'hypothèse alternative H l est p " 0,04. Soit F la variable aléato ire qui , à tout échanti llon de 64 pièces, associe le pourcentage de pièces défectueuses de cet échanti llon. On assimile ces échanti ll ons de 64 pi èces ~ des échantillons aléatoires prélevés avec rem ise et on admet que , sous Ho, F suit la loi normale
X(P. Vp( l ,~ p») où
où xi désigne le tau x de cholestérol exprimé en cg L-
Toutes I~s l 'af~fir.\· applTX'hüs seront arrondi~s à
Test de validité d'hypothèse relatif à un pource ntage
/1
= 64 et
p= 0,04.
TOLU les rlsl/llats approchél' suant arrondis cl j(rl. 0 1 Déterminer le nombre réel a positif tel que P(O,04 - a .; F'; 0.04 + a) = 0,95. 2 0 Énoncer la règle de déci~ion du test. 0
3 Pour un tel éc hantillon de 64 pièces on a trou vé c inq pièces défectueuses. Peut ~on en conclure, au seui l de 5 %, que le pourcentage de pièces défectueuses dans la production est bien 4 %? T~sl tmilalhal pour COIII/}{lrer utl Ilombrefixé (~x~n::ice 19)
pource"tag~
à Lili
~ *** La production de tiges Une machine fab rique des tiges en grande série. La production étant imporHtnte on assimile tout prélèvement d'échanti llon à un prélèvement avec remise. La machine est supposée bien réglée quand le pourcentage de pièces acceptables est supérieu r o u égal à 90 %. Pour con trôler le réglage de la machine, on constnJit un test permettant de décider si, au se uil de 5 %, la machine est bien réglée et on prélève de temps en temps des échantillons aléatoires de 150 tiges.
10 Construction du test Lmilatérlll Soit F la variable aléatoire qui à tout échanti llon aléatoire de J50 tiges assoc ie le pourcentage de tiges acceptables dans cet échanti ll on. On choisit pour hypothèse nulle Ho : p = 0,9 ; on choisit pour hypothèse a lternative H I : P < 0,9.
On suppose que, sous l'hypothèse nulle HO' la variable aléatoire F suit la loi normale de moyenne 0,9 ~t d'écart type 0,024.
10- 4 près, le nombre réel" tel que sous l'hypothèse Ho, P(F > h) = 0,95.
b} Déterminer l'intervalle [- a, a] tel que, sous l'hypothèse Ho, P( - a '" D '" a) = 0,95. c) Énoncer la règle de déci sion du test.
a} Déterminer, à
2° Utilisation du test
b} Énoncer la règle de décision de ce test.
Util iser ce test avec les deux éc hantill ons de l'énoncé et conclure.
r
Utilisation du test a} On prélève un échantillon aléatoire de 150 tiges
On trouve 22 tiges défectueuses. Quel est le pourcentage de tige ~ acceptables de ('et échantillon? b) En appl iquant la règle de décision du test à cet échantillon, peut-on conclure, au seuil de 5 %, que la machine est bien réglée?
Tt!st bilatiml (~Il Ilnilatéral pour comparer les pollr-' celllages de deux populations (exerciceJ 20 et 21)
~ U. Un nouvea u modèle de téléviseur: test bilatéral
Exercices d'examen
I
Les exercices suiva nts, proposés récemment dans les épreuves d'examen, portent sur plu sieu rs thèmes abordés dans ce chapitre et dan" les chapitres précédents.
~ ••• Loi normale, loi binomiale, test bilatéral de comparaison d'une moyenne à un nombre fixé Les quatre qlll'Stiom peul'ent être tmitées dt! façon indépmdan te. Les résultats approchés seront (/nv ndis à 10- 3. On fabrique des pièces en série. La variable aléatoire X qui, à toute pièce tirée au hasard dans la production d'une journée, associe sa cote, mesurée en millimètres, suit une loi normale, d'espérance mathématique j..L et d'écart type cr.
Les nouveaux modèles de téléviseurs« 70 cm », que va fabriquer une usine, sont de deux types : modèle (1 ) et modèle (2). Une enquête préalable à la fabrication, réalisée auprès de 400 ménages de la population S des ménages des « quartiers sud » de la v ill e V, indique qu'entre lr;:.s deux modèles de téléviseurs , 63 % préfèrent le modèle (1 ). La même enquête, réalisée auprès de 500 ménages de la population N des ménages des « quartiers nord » de la vill e, indique que 67 % préfèrent le modèle (1).
r
On prend dans cette question j..L = 150 et cr = 2,4. Une pièce n'est utilisable que si sa cote est comprise entre 146 mm et 154 mm (c 'est l'inter vall e de tolérance). Quelle est la probabilité qu'une pièce soit utilisable ?
2 On s uppose que la proportion de pièces non utiliQ
On note Fs la variable aléato ire qui, à tou t échantillon de 400 ménages pris au hasard et avec remise dans la population S, associe la proportion de ménages de cet échantillon qui préfèrent le modèle (1). On note FN la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 500 ménages pri s au hasard et avec remi se dans la population N, associe la proportion de ménages de cet échanti llon qui préfèrent le modèle (1).
On suppose que la loi de la variable D = Fs - F N est approx im ativement une loi normale de moyenne Ps - PN inconnue et d'écart type 0,032 (ps et PN étant les pourcentages de préférence dans les populations S et N).
On se propose de const.ruire un test bilatéral permettant de décider s'il y a une différence signific-ative, au seui l de 5 %, entre les pourcentages de préférence iss us des deux échanti llons de l' enquête préalable.
sables est 10 %. On effectue des contrôles sur 5 pièces tirées au hasard parmi un très grand nombre: On suppose que les 5 tirages sont indépendants. Soit Y la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 5 pièces, associe le nombre de pièces qui sur ces 5 pièces ne sont pas utilisable s. a} Justifier que Y suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. b) Quelle est l'espérance mathématique de Y? 41 Y= 2 »? 3° On sa.it que la variable aléatoire X suit une loi normale d'écart type cr = 2,4, mais on a des doutes sur l'espérance mathématique j..L de X. Afin de vérifier l' espérance mathématique de X, on prélève un échantillon de 50 pièces. On assimile tout échant illon de 50 pièces à un échant illon aléatoire non exhaustif.Sur le tableau suivant on trouve la distribution des mesures des cotes arrondies à l'entier le plu s proche:
c) Quelle est la probabilité de l'événement
10 Construction du test bi/mira/ a} L' hypothèse H o est donnée par Ps = PN' énoncer l'hypothèse alternative Hl'
208
Cotes
Effectifs
147
148
149
150
151
152
153
154
2
3
5
10
9
9
8
4
x
Calc:uler la moyenne de cet échantillon. On ne calculera pas son écart type. 4° On suppose que la varlable Xqui, à tout échantillon de 50 pièces prélevées au hasard, associe la moye.nne des ('otes des pièces de cet ét'hantillon suit la loi normale N(fL ;
~)
c. Un client commande un lot de pièces dont on lui annonce que la moyenne des épaisseurs de nickel déposé est 25 microns. Ce client veut vérifier cette affirmation et mesure les épaisseurs de nickel d'un échantillon de 30 pièces prélevées avec remise dans ce lot. 11 obtient les résultats suivants: Épai:o.seurs en micmns
Effef.:lifs
On veut construire un test bilatéral pour permettre d'accepter ou de rejeter, au risque de 5 %, l'hypothèse selon laquelle l'espérance mathématique M- de X est 150 mm.
122; 22,51
1
[22,5: 23[
1
123: 23,51
2
On prend comme hypothèse nulle HO: c f..L = 150». et comme hypothèse alternative H t : « IJ. ~ 150 ». a) Trouver un nombre réel positif Il tel que, sous l'hypothèse Ho : P(l50 - h "ç;; X "ç;; 150 + h) = 0,95.
123,5; 24[
3
[24 : 24.5[
5
124,5; 25[
6
b) Énoncer la règle de décis ion. c) Utiliser ce test avec l'échantillon des 50 pièces proposé dans cet énoncé et conclure.
@] *** Loi binomiale, approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson, loi normale, test bilatéral de comparaison d'une moyenne à un nombre fixé ùs partie.5 A, B, C peurel/I êl" IrtlÎlüs de façon indipendante. A.On dépose du nickel par électrolyse sur un lot de pièces en acier. Durant cette opération peut apparaître un défaut D: « la pièce manque d'adhérence ». La probabilité qu'une pièce présente le défaut D est P(D) = 0,003. On prélève au hasard, successivement et avec remise, n pièces dans un lot de pièces nickelées. Soit Y la variable aléato ire, qu i, à tout prélèvement de Il pièces de ce lot, associe le nombre de pièœs défec~ tueuses. 1° Montrer que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. r Dans cette question n = 7. Calcu ler, à 10- 4 près, la probabilité que, parmi ces sept pièces, deux exactement, aient un nickelage défectueu:c 3° Dans cette question /1 = 100. On admet que la loi de probabilité de Y peut-être approchée par une loi de Poisson dont on déterminera le paramètre. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus deu," pièces dont le nickelage soit défectueux e-n utilisant <:ette loi de Poisson. B. On admet que la variable aléatoire X qui, à chaque pièce, assoc ie l'épa isseur de nickel déposé suit une loi normale de moyenne f..L = 25 microns et d'écart type cr = 1,2 micron. Déterminer, à 10- 4 près, la probab il ité qu'une pièce traitée ait une épaisseur de nickel comprise entre 22,6 microns et 26,2 microns.
Chap. 6 : Test de valid ité d'hypothèse
209
[25: 25,51
4
125,5; 26[
4
[26; 26,5[
2
[26.5: 27[
2
1° Calculer la moyenne ~ et l'écart type (je' de cet échantillon, à 10-2 près, en supposant que, dans ('haque classe, la population est au centre. Les calculs intermédiaires ne sont pas demandés.
r
En déduire que l'écart type estimé du lot entier est, à 10-2 près, de 1,12.
3° Soit X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille Il = 30 prélevé au hasard et avec remise dans ce lot, associe l'épaisseur moyenne de nickel déposé sur les 30 pièces prélevées. On suppose que X suit la loi normale de paramètres IJ. et ... ~ où ,.... et cr sont la moyenne et J'écart type des V"
-
épaisseurs de nickel, en mi('rons, déposé sur les pièces du lot. a. On prend cr = 1,12. On se propose de construire un test bilatéra l permettant d'accepter ou de refuser ce lot, au seuil de 5 %, vu le cahier des charges qui impose /J- = 25. On prend comme hypothèse nulle Ho : ~ IJ. = 25 » et comme hypothèse alternative Hl: « /J- =F 25 ». • Détermine.r, à 10-2 près, un nombre réel positif li tel que, sous l'hypothèse Ho : P(25 - "
"ç;;
X
"ç;;
25 + h) = 0,95 .
• Énoncer 13 règle de décision. b. Doit-on, à partir de l'échantillon indiqué dans la question 1°, acœpter ou refuser ce lot en uti li sant ce test?
~ *** Loi binomiale, approximation d'une loi
Ma..~ en grammes
binomiale par une loi normale, test bilatéral de comparaison d'une moyenne à un nombre fixée Dans Ct! problème. 011 s'ill /éresse à unt! prodllction de pots de peinture dans une usine. ÙS
parties A et B pt'lH't'nt être traitüs séparément.
~
la masse des pots
b) À partir des informations précédentes, donner une estimation ponctuelle de la moyenne I-L et de l' écart type s de la production total (pour cette dernière, on donnera une valeur approchée arrondie à
Une étude a permis d'admeltre que la probabilité de cet événement est 0,2. 1 0 On prélève au hasard 10 pOIS dans la production totale. On suppose que le nombre de pots est assez important pour que l' on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pots.
1O~'J.
2° Le fabricant fait régler sa machine pour la masse des pots produits so it 505 grammes.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 10 pots, associe le nombre de pots dont la masse est inférieure à 490 g:ammes.
Soit S la vari able aléatoire qui, à tout échan tillon de 100 pots prélevés au hasard et avec remise dans la production totale, associe la moyenne des masses des 100 pots de cet échantillon .
a) Expliquer pourquoi X su it une lo i binomiale.
En préciser les paramètres.
r
On prélève au hasard 100 pots dans la production totale. On considère la vari able Y qui, à tout prélèvement de 100 pots, associe le nombre de pots dont la masse est inférieure à 490 g rammes.
On admet que S suit la loi normale de moyenne I-L et d'écart type ~. 10 On se propose de construire un test bilatéral permettant de vérifie.r, au seuil de signification 5 'Il, l'hypothèse selo n laquell e la machine est correctement réglée. On choisit comme hypothèse nulle Ho I-L = 505 et comme hypothèse alternative Hl: I-L =1=- 505. a) Déterminer la région critique au seu il de signifi-
On admet que la lo i de la variable aléatoire Y peut être approchée par une lo i normale.
cation 5 %.
b) Énoncer la règle. de décision.
Soi t Z une variable aléatoire suivant celte lo i no rm ale.
c) Utiliser le test avec l'échantillon de la question b.l.
a) Expliquer pourquoi les paramètres de la loi Z sont
20 et 4.
Conclure.
b) Calculer la probabilité de l'événeme nt B
« parmi les 100 pots, il y a au plus 18 pots dont la masse est inférieure à 490 grammes », c'est-à-dire calculer P(Z '" 18,5). c) Déterminer Je plus petit entier "
13
43 27 10
On utilisera les fonctions stat istiques de la calculatrice.
On considère l' événement: « un pot a une masse inférieure à 490 grammes » .
b) Calculer la probabilité de l' événement A: « parmi les 10 pots, il y a exactement 2 pots dont la masse est inférieure à 490 grammes ».
pots
7
a) On considère que les éléments de chaque classe sont situés en son centre. Dans cette situatio n, calculer la moyenne et une valeur approchée à 10 -2 près de l'écart type de cet échantillon.
Partie A.
On s' intéresse, dans cette partie, produits.
Nombre de
[470,4801 1480,4901 1490,5OO[ 1500.5101 1510,520[
~ *** Loi normale, statistique à une variable, test unilatéral de comparaison d'une moyenne à un nombre fixé
tel que
Les résu{wH approchb des calculs de probabilitls s~ro1lf {Irrondis à /0-3.
P(Z'" Il) > 0,80. Partie B
10 Le·s masses, exprimées en grammes, observées pour un échantill on de 100 pots pris au hasard et avec remise dans la production totale, ont donné les résultats suivants:
r On désigne par R la variable aléato ire qui, ~ toute tige prélevée au hasard dans une production, associe la résistance à la rupture de cette tige, exprimée en kg· cm- 2. Cette variable aléatoire suit la lo i normale d'espérance mathématique ln = 50 et d'écart type 0" = 2.
2 10
Dans cette production, une pièce est jugée défectueuse si sa résistance à la rupture est inférieure à 46,9 kg· cm-2 (rupture de tolérance). Déterminer la probabilité pi qu'une pièce pri se au hasard soit défeclUeuse. 2° Avec l'introduction d'un nouvel alliage dans la composition des tiges, on désire obtenir une résistance moyenne à la rupture plu s élevée. Une nouvelle fabrication a été effectuée et on a prélevé un échantillon aléatoire de 100 tiges. assimilé ?t un échantillon prélevé avec remise. On a relevé les données suivantes: RW5tance en kg. çm-·
Effeclif
[46.47[
2
147,481 [48,49[ [49,50[
9 Il 18
[50,511
21
151. 521 152,531 153,54[
18 13 8
a) Le regroupement des données ne permet pas le calcul de la moyenne et de l'écart type. Néanmoins, pour en déterminer des valeurs approchées, on admet que toutes les données sont au centre de la classe. Donner, dans ces conditions, une valeur approchée de la moyenne et de l'écart type de cet échantillon arrondies à 10- 1. b. On veut construire un test unilatéral, au seuil de signification 0,95, permettant d'accepter ou de refuser l'hypothèse c il y a une augmentation significative de la résistance moyenne à la rupture ». On suppose que l'écart type de la production est toujours cr = 2. On prend pour hypothèse nulle Ho : m= 50 et pour hypothèse alternative H t : m > 50. On désigne par Fi. la variable aléatoire qui , à tout échantillon aléatoire non exhaustif de 100 tiges, associe la résistance moyenne à la rupture des tiges de cet échantillon. - Quelle est, sous Ho , la loi suivie par R. - Déterminer, sous Ho , le réel positif Il tel que p(j{ .. 50 + h) = 0,95. - Énoncer la règle de décision de ce test. - Utiliser ce test avec l'échantillon de J'énoncé et conclure, au seuil de signification 95 %. s'il y a une augmentation significative de la résistance moyenne à la rupture.
Chop. 6 : Test de validité d'hypothèse
211
~ .u Loi normale, foi binominale, lest unilatéral pour comparer un pourcentage à un nombre fixé Tou s les rbill/tats appr(x:hés seror/t arrondis à JO - 3. ùs quatre qllesliom' indépendante.
pem'~1It
l Ire traitüs
d~
façon
Une entreprise de bâtiment a constaté qu'un certain nombre de mitigeurs thermostatiques, posés par elle, avait un mauvai s fonctionnement. Ce mauvais fonctionnement est dû à une pièce cylindrique montée sur cette catégorie de mitigeur. Pour obtenir un bon fonctionnement du mitigeur, le diamètre de celte pièce doit être compris entre 16,4 mm et 16,6 mm. 1° Une enquête est faite sur la fabrication des pièces. La variable aléatoire qui associe, à toute pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée. son diamètre, exprimé en mm , est notée X. On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne IL = 16,5 et d'écart type cr = 0,1. 3. Calculer la probabilité que le diamètre d'une pièce appartienne à l'intervalle [16,4 : 16.6]. c' est-àdire P( 16,4 .. X" 16,6). b. Dét.erminer le nombre réel positif" tel que: P(16,5 - h .. X" 16,5 + h) = 0,9. r On envisage de modifier la fabrication et on considère une variable aléatoire X qui suit également une loi normale de moyenne 16,5. Quel devrait être l'écart type (T' de X' pour que l'on ait P(l6,4 .. X' .. 16,6) = 0,95? 3 Q Pour éviter le mauvais fonctionnement des mitigeurs, le fabricant décide d'ajouter un contrôle sur le diamètre des pièces. Il estime que la proportion des pièces défectueuses est désormais de 5 '.Il. On a produit un grand nombre de pièces. On tire 20 pièces au hasard dans cette production. La production est suffisamment importante pour que l'on puis~ assimiler un tel prélèvement de 20 pièces à 20 tirages aléatoires et indépendants. On associe à chaque lot de 20 pièces le nombre de pièces défectueuses, on définit ainsi une variable aléatoire Y. a) Montrer que la variable Y suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. b) Calculer: PlY = 2) et P(Y " 2). 4° L'entreprise pose 304 mitigeurs. La variable aléatoire F qui, à tout échantillon de 304 pièces, associe la fréquence de défauts est une variable aléatoire qui suit la loi normale
X(l', VP(;~ p) )
La production est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler tout échantillon de 304 pièces à 304 tiges aléatoires et indépendants. a) Construire un lest unilatéral permeuant d'accepter ou de refuser l'hypothèse selon laquelle, au seuil de 5 %, p > 0,05. Pour cela: - on choisira pour hypothèse Ho : p = 0,05 et pour hypothèse Hl: p > 0,05 ; - on déterminera le réel positif a tel que sous l'hypothèse Ho : P(F ,,; a) = 0,95 ; - on déterminera la région critique au seuil de 5 % ; - on énoncera la règle de décision. b. On sait qu'il y a 18 défauts sur 304 pièces. Utiliser le test précédent pour conclure si, au seuil de 5 %, l'on accepte ou refuse l'affirmation: p > 0,05.
~
b) Déterminer la probabilité qu'un flacon soit accepté par le contrôle. c. Déterminer la probabilité qu'un flacon ne soit pas conforme sachant qu'il a été accepté par le contrôle. (Arrondir le résultat au centième).
r
On admet que la probabilité de choisir un flacon non conforme parmi ceu)( qui ont été ac(:eptés par le contrôle est égale à 0,03. On prélève au hasard et avec remise des échantillons de 100 flacons dans l'ensemble des flacons qui ont été acceptés par le contrôle. On appe.!le X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de ce type, associe le nombre de flacons non conformes de cet échantillon.
D/.~~ """";'0'' -
a) Quelle est la loi suivie par X? h) On admet que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson.
26 •• Probabilités conditionnelles, loi binomiale, proximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson, test unilatéral pour comparer un pourcentage à un nombre fixé
Une entreprise fabrique des flacons destinés à contenir une substance particulière. Un tlacon est dit conforme s'il vérifie un ensemble de critères définis par l'entrepri se. On appelle p la proportion de flacons conformes dans l'ensemble de la production.
Premièœ pllrtie Un processus de contrôle de la conformité des flacons a été mis au point par l'entreprise. On s'intéresse dans cette partie au)( risques d'erreurs de ce contrôle et on suppose que la proportion p de flacons conformes est éga.le à 0,8. On prélève un flacon au hasard dans l'ensemble de la production. On note: C l'événement: 0: le flacon prélevé est conforme » ; on a donc PCC) = 0,8.
Quel est le paramètre de cette loi de Poisson? Calculer, à l'aide de celte loi de Poisson, une valeur approchée de la probabilité de l'événement eX> 5}.
Seconde parti~ On se propose de construire et d'utiliser un test unilatéral pour valider ou rduse.r, au seuil de risque 5 %, l'hypothèse selon laquelle la proportion p de flacons conformes dans l'ensemble de la producüon, sur un~ période donnée, est égale à 0,8. (Hypothèse nulle HO : c p = 0,8» ; hypothèse alternative HI : o: p < 0,8 • . Pour cela, on prélève au cours de cette période dans l'ensemble de la production des échantillons de 200 flacons, au hasard et avec remise. On appelle F la variable aléatoire qui, à tout échant illon de ce type, associe la proportion de flacons conformes de cet échantillon. On admet que la loi de F est une loi normale N(p ; cr).
r
A l'événement: o: Ie flacon prélevé est accepté par le contrôle ». Une étude préliminaire a permis d'estime.r les risques d'erreurs de ce contrôle:
Sous l'hypothèse Ho: a) Montrer qu'une valeur approchée de
CT
est 0,03.
h) Déterminer le réel positif li tel que P(F
~
0,8 - Il)
= 0,95. (Arrondir le résultat au cen-
tième).
- la probabilité de refuser un flacon sachant qu'il est conforme est de 0,05 ; on a donc p ( A IC) = 0,05.
2° Énoncer la rè.gle de décision relative à ce test de validité d'hypothèse.
- la probabilité d'accepter un flacon sachant qu'i1 n'est pas conforme est de 0,1 ; on a donc p(AIC) = 0,1.
3° Dans un éc.:hantillon de 200 flacons, on 156 flacons conformes.
) 0 a)
Au vu de cet échantillon, doit-on, au seuil de risque 5 %, accepter ou refuser l'hypothèse . p = 0,8 . ?
Déterminer la probabilité qu'un flacon soit accepté sachant qu'il est conforme.
212
il
trouvé
Chapitre
Fiabilité
"
Ce chapitre vous propose une initiation à l'étude de la fiabilité d'un dispositif; il s'agit, d'une part, de dégager quelques modèles théoriques à l'aide du calcul des probabilités et, d'autre part, d'estimer les paramètres les plus usuels. Pour cette première approche de la fiabilité , les exemples choisis restent élémentaires et portent sur des situations issues du domaine industriel. Conrormément aux programmes des sections de techniciens supérieurs le paragraphe consacré à la loi de Weibull ne concerne que /Q spécialité Maintenance industrielle. La loi exponentielle concerne quelques BTS. Consultez votre professeur.
A. NATURE DU PROBLÈME
Il lombe moins souvent en panne.
AFNOR Assoc iation Française pour la NOR mal i s~ li on.
Cene
re m i~
à neuf n'esi p:as obte-
nue, par exemple. l orsqu'on change
une seule pièce d ' une voiture usag~e.
Pe n ~z
au fre inage des voi tures et. plus généra1ement. aux industries aéronautique, IIp'lliale, nucléaire, ..
Chap. 7 : Fiabilité
Supposo ns que vous ayez à choisir un baladeur, un mi cro-ordinateur o u une vo iture ; dans chaque cas, parmi les critères qui vo nt g uider yotre choix, l' un d'e ntre eux peut être la fiabilité. Dans le langage courant , dire qu'un modèle est plus fiable qu ' un autre sig nifi e que, en général, un appareil de ce modèle foncti o nne correc tement plus lo ngte mps qu ' un appareil de l' autre modèle; il s'agit évidemment d ' un e tendance , no n d ' une certitude. Aussi, po ur définir la fi abilité, o n e st conduit à parler de probabilité.
Ainsi, po ur l'AFNOR, la fiabilité est « la caractéristiq u~ d 'un dispositif qui s'exprime par la probabilité pour ce dispositif d'accomplir une jonction requise, dans des conditions dOl/nées, pendant une période dOl/liée » . Dans ce chapitre, nou s nous limito ns au cas o ù cette « période dOllnée » est située soit avant la pre mière panne o u défaillance, soit après une réparation qui a permi s de remettre le di sposit if à neuf. Dans chacune de ces deu x situations nou s all o ns étudi er comment une telle probabilité pe ut être obtenue et qu elles informati ons elle peut apporter. U ne te lle é tude est maintenant devenue très impo rtante, no tamment dan s les secte urs o ù se posent des problèmes de sécurité o u lorsque les réparatio ns sont imposs ibles. La fi abilité se situe aujo urd ' hui dans le cadre plus gé néral de la disponibilité : po ur un di spos itif do nné, o n pre nd e n compte en faisa nt interve nir le calc ul des probabilités, no n seul ement les te mps de bo n fo nctionn e ment (c 'est l'objet de la fiabilité), mais aussi la d urée des réparati ons (c'est l' o bjet de la maintenabilité).
21 3
B. PREMIÈRES NOTIONS DE FIABILITÉ Dans le cas de l'achat d'une voitun" neuve, nous pouvons considérer
que la voiture li vrée est prise au hasard dans la population constituée de toutes les voitures du modèle choisi di sponibles à ce momenllà. On note TBF le Temps de Bon Fonctionnement; TBF a pour origine 1imt> B t'tl\'Ufl FailIJrt!s : temps entre (deu;'() défaillances.
Dans tout ce paragraphe, nous nous intéressons à un dispositif pris au hasard dans une population constituée des dispositifs du même type. Dans le domaine industriel, ce dispositif peut être, par exemple, une machine, une partie de machine, un réseau de machines, un objet fabriqué ... Désignons par T la variable aléatoire qui, à 10ut dispositif ainsi tiré au hasard, associe son temps de bon fonctionnement ou sa durée de vie avant une défaillance. Pour simplifier, nous choisissons comme origine des temps l'instant t = 0 où le dispositif choisi est mis en marche, soit pour la première fois, soit après une réparation qui l'a remis à neuf. Alors T mesure ainsi l'instant où apparaît la première défaillance d'un dispositif pris au hasard dans la population considérée, à parür de l'instant 1 = O.
1. FONCTION DE DÉFAILLANCE , FONCTION DE FIABILITE a. Définition Voir le paragraphe A du chapitre 3
sur les variables ::.léatoires. y
Fig. 1
Nous nous plaçons dans le cas où T est une variable aléatoire continue, prenant ses valeurs dans [0, + ~ [ et possédant une densité de probabilité f. Par définition de]a fonction de répartition F de la variable aléatoire T:
y =ft.x) Ftt)
Pour toul 1 .. 0, F(t) = p(T .. Il. F(I) esl la probabilité qu'un dispositif prélevé au hasard dans la population consi~ ait une défaillance avant l'instant t.
o FU ) =
f~ f(x)
dx ; F'(t) = f(t)
F(r) étant une prob:lbilité,
o "'" F(I) ...;;;
1 pour tout 1 ~ P(A) = 1 - P(A).
o
:'$;
y
R(r)
~
o.
1 pour tout t. Fig. 2 y = F(t )
J = R(t)
o
T> t est l'événement contraire de T ~ t. Donc P(T > 1) = 1 - P(T .. 1), P(T > t) = 1 - F(I). En fiabilité, ce nombre es1 noté R(t).
R(ll esl la probabililé qu'un dispositif préleYé au hasard dans la population considérée n'ait pas de défaillance avanll'instant ,. Par définition, R eslla fonction de ftabililé.
b. Estimation de F(t) et R(t) En réalité, pour un dispositif d'un type donné, nous ne connaissons pas les yaleurs exacles de F(t) et de R(t) pour une valeur donnée de 1. Aussi sommes-nous amenés à estimer les nombres F(t) et R(t) à partir de valeurs observées sur un échantillon, comme dans les deux exemples suivants.
214
Situation 1 Une défaillance peul être une panne, une avarie, un fonctionnemen! incorrect ..
On a mesuré pour 20 éléments du même type la durée de vie, en heures, avant la première défaillance. (en heura)
Nombre d'élémen~ défaillants dans cel intervalle
[0.500]
7
Intervalle de temps
EJ
Échantillon Populalion de tous les éléments du type considéré
À l'instant r! = 500, il Y a 35 % d'éléments défaillants dans l' échantillon.
]500, 1000)
4
]1000, 1500)
3
]1 500. 2000]
2
]2000,2500)
2
]2500,3000)
1
]3000,4000)
1
Nous constatons qu'à l' instant fi = 500, i] Y a "1 = 7 éléments défaillants parmi les 20 éléments de l'échantillon; donc, à l'instant Il = 500, la fréquence des défaillances dans l'échantillon est
l
Voir la définition de F(t) au paragraphe I.a.
= 035. 20 ' De même, pour l, = 1000, le nombre total d'éléments défaillants est "2 = 4 + 7 = Il ~ donc la fréquence des défaillances est 11 = 0,55 il . ... W cet Instant. Et ainSI de sUite. F(I) = P(T ,. 1) est la probabilité qu'un dispositif prélevé au hasard dans la population constituée de tous les éléments du type considéré ait
une défaillance avant l'instant t. En l'absence d'informations complémentaires, il est naturel de prendre
io Voir la définition de RU) au para-
graphe 1. a.
=
0,35 comme estimation de F(500), ~~ = 0,55 comme estimation
de F(tz), et ainsi de suite. Comme R(I) = ) - F(I), nous en déduisons une estimation de R(t 1)' R(t2)' ...
Intervalle de temps
Nombœd'B. Nombn: &timalion à de A.t;> dans cet intervalle l'iostane'j par 11/20 R(tj) = 1 - F(II)
[0.500) ]500, 1000] )1 000; 1500) ) 1500,2000) )Z 000, 2500] ]2500. 3000]
7 4 3 2 2 1
500 1000 1500 2000 2500 3000
)3000.4000)
1
4000
7 14 16 18 19
0,35 0.55 0,70 0.80 0,90 0,95
0,65 0.45 0,30
20
1,00
0
Il
0,20
0,10 0,05
Avec cet échantillon de taille n, nous prenons dans ce tableau
n·
--...!.. Il
comme estimation de F(ti) : c'est la méthode des rangs hruts. Nous obtenons ainsi pour estimation de R(1 7) qui est la probabilité qu'à l'instant 17 = 4000 un élément pris au hasard n'ait pas eu de
°
défaillance. Or, si nous considérons un grand nombre d'éléments, certains vont survivre plus de 4000 heures.
Chap. 7 : Fiabilité
215
Par e",emple. pour 1/ < 50.
Aussi, quand l'effectif
Il
de l'échantillon n'est pas grand, on prend
Il·
--'- comme estimation de F(li ) 11+1 moyens.
c'est la méthode des rangs
Nous obtenons alors de nouvelles estimations des F(ti) : 'i (en heures)
Estimacion de
F(ti)
500
1000
1 500
2000
2500
3000
4000
0,33
0.52
0.67
0,76
0.86
0,90
0,95
Nous pouvons reporter ces valeurs sur un graphique et, à partir des sept points ainsi placés, tracer une courbe qui permet, par lecture graphique, d'estimer F(r) pour toute valeur de T• .'
y= F(IJ
o., Cette courbe donne l'allure de la représentation graphique de la fonction F de défaillance. Nous pouvons faire de même pour la fonction R de fiabilité. Les probabilités Ftf) el RU) son t comprises entre 0 et 1. Pour les valeurs de 1 proches de O. nous avons peu de précision sur le tracé de la courbe.
0.6
Q4
0.1
0
JO
15
20
25
30
" 40 (.::ent:lilles d'heure~)
Fig. 3 Par exemple, pour /1 < 20.
L'étude des estimateurs étant hors programme, nous ne pou \"Ons justifier ici ni le nom de ces méthodes ni le choix de ces nombres comme estimatjons de F(1j)'
Il· - 0,3 Quand l'effectif Il de l'échantillon est petit, on prend - ' - - comme Il + 0,4 estimation de F(li ) : c'est la méthode des rangs médians. Ainsi, pour li = 500, nous obtenons comme estimations de F(ti) : 0,350 par la méthode des rangs bruts, 0,333 par la méthode des rangs moyens. 0,328 par la méthode des rangs médians.
Si/ua/ion 2
Une machine tombe fréquemment en panne. On a relevé pendant une année les temps de bon fonctionnement, en jours, entre deux défaillances consécutives: 44 - 21 - 39 - 50 - 15 - 26 - 58 - 30 - 35. On suppose que chaque réparation effectuée cette année a remis la machine à l'état neuf. Al'ec cetle hypothèse, nous pouvons assimiler la situation 2, où une machine tombe en panne neuf fois, à celle où neuf machines du même type tombent en panne une fois. Nous pouvons alors mettre en œuvre les mêmes méthodes que pour la situation 1 ci-dessus. Classons les n = 9 temps de bon fonctionnement par ordre croissant: TI = 15, ... , /9 = 58.
216
Attention 1\ l'ordre: N s > No. Des 4 élémenb en bon fonctionnement h l'instant 's,50 'lo, );Oi t ~ = 2 éléments, le sont encore h l'instant
'.'
Avec Ns = 4, nou s obtiendrions de!\ fraclion5 d'appJ.reil, ce qui n'a pas de sen".
Pour cet échantillon, le taux de défaillance, ou taux d'avarie, entre les N - N 2 instants t s et t 6 est donc S 6 -. Ce tau x est égal à 50 %.
Ns
temps t6 - t s sépara nt les instants t s et t6 : 50 % = 0,1 %. 500 Pour interpréter ce taux, imaginons 6000 appareils d'un mê me modèle ayant fonctionné correctement pendant,s = 2000 heures. Avec un taux d'avarie moyen par heure de 0,1 % entre les in stantS '5 et t6
Nous retrouvon.. que le taux d'avarie moyen entre' S et '6 est :
6000 - 3000 3000
SO ~ .
4
Ce taux est aussi , parmi les é léments en bon fonctionnement à l'instant t s ' la fréquence des défaillances entre les instants ts et t6. POlIT cet échantillon, on obtient le taux d'avarie moyen par unité de temps entre le s instants 15 et 16 en di visant le taux précédent par le
= 2500, nous avons 10ab
x 6000
= 6 appareils qui ont une avarie au
cours de chaque heure séparant les instants 15 et '6' Au bout des 500 heures séparant t S de t 6 , 6 x 500 = 3000 appareils ont donc eu une avarie entre 15 et '6' c'est-à-dire que les autres 3000 appareil s continue nt à bien fonctionner.
Remarque Avec les seules données du tableau de nombres ci-dessus, nous ne pouvons pas calculer le tau x d'avarie entre les in stants 600 et 650, ni , plus généralement, entre deux in stants t et 1 + Il où Il > O.
b. Aspect probabiliste
" > 0. Parmi les disposi tifs en fonctionnement h l'instant " on s'intéresse aux défaillants enlre l e~ instants' et
, + h.
Voir le paragraphe 1.
odéfaillance
défaillance
I~I"
o
,+h temps
Voir le d~bu t du paragraphe B.
Supposons qu'un dispositif fonctionne correctement depuis un certain temps. Son utilisateur peut alors se demander si le ri squ e de le voir tomber en panne prochainement est important ou non. Nous sommes alors amenés à nous intéresser à la probabilité condi tionnelle p(H IA) où A est l'événement . VII dispositifdll type cOllsidéré, pris lllllzasalll, n'a pas de défaillallce jusqu 'à /';nstam t » et où B est /'il'énemenl« V" dispositif du type considéré, pris au hasard, a Wlt! défaillance entre les ;IISWf!lS , el t + Il ». B est l'événeme nt « Un disposilif du type considéré, pris au ha.mrcl parmi celU- qui n 'ollt pas de dtfaillance jusqu 'à l'inslalll I, a une défaillance emrt les instants t el t + Il » . Pour calculer p(HIA), nous allons utiliser la formule P(A n H) = p(HIA) P(A). En effet, nous pouvons calculer p rA) et p rA n H). D'après la définition de la fonction de fiabilité R, nous avons p rA) = R(t). (A n H) est J'événement: • VII dispositif dll type cOllsidéré, pris ( ill hasard, n'a pas de défa illall ce jusqu 'à "instan' 1 el a un e défaillance entre les Înstallfs 1 et , + li ». D'après la définition de la variable aléatoire T, prA n H) = pet < T ", t + hl. Donc, par définition de la fonction de défaillance F énoncée au paragraphe l , p rA n H) = F(t + h) - F(t) : c'est la partie hachurée sur la figure 5.
lA
218
y=Ax)
x
1+1r
Nous suppo\Ons R(/) '# O. car sinon la probabi l it~ pour un dispositif d'être en bon fo nct ionne ment à l'instant , est nulle et il dev ient inutile d'envisager l'instant' + Ir.
Pensez à rapproche Créquentiste des probabilités du chapitre 2.
Ici , = '5 et , + " = '6: donc = h.
' 6 -'5
n Bl, nous déduisons que p (BIA ) = F(t + h) - F(t).
Des calculs de PlA) et de PlA
R(I)
Ce nombre donne la probabilité d' une défaillance entre les insta nts 1 etl + h pour un di spositif du type considéré, pris au hasard par mi les di spositifs en bon fo nctionnement à l' instant 1. Ce nombre est donc à rapprocher de la fréquence des dé faillances enlre les instants '5 et '6 parm i les di spositifs sur vivant s à l'instant ' 5' calculée au paragraphe a. et appelée taux d' avari e entre les instants ' 5 et 16' Pour prolonger cette analogie avec le taux d 'avarie moyen par unité de temps entre les instants 15 et 16, nous allons di viser la probabilité p (B IA) par 1 + h - 1 = h. F(I
+ h) -
F(I )
Nous obtenons ---'----,-,:-:--:--'-' hR(I)
_ F -'-I.(_+_'-'7)_-_ F -,-,( I) x _ 1_. h R(t)
Nous avons supposé F déri vable sur [0, Ici , est fixé.
lim F(I
+
11-+0
.
Donc hm
+ 00 [ ; donc en tout l
'"
0:
h) - F(I) = F'(t) , par définiti on de F '(I). Il F(t
+ h)
- F(I)
hR(I)
h-.O
Notez l'ana logie 3n."C la vitesse instantanée à l' instant ' qu i est la limite de la vitesse moyenne entre les instants 1 el , + Ir lorsque Il tend \'ers O. (La vitesse lue su r un compteur est en réalité la vitesse moyenne entre deux instants Irès proches).
Fig. 5
f( l ) =, car F'(t) = f( I). R(I)
Le nombreR(f(l), noté ).(1), est le taux d'avarie (ou de défaillance) inst)
tantan~
à l'instant 1.
Remarques 1. Co mme R(t) = 1 - F(I), on a R'(I) = - F '(I), donc R'(I) = - f(t) car F '(t)
= !(I).
Nous e n d~dui son s : ).(1)
Chap. 7 : Fiabilité
.-lJ!L.
= f(/) . ).(/) = _ K(t); À(t) = R(I) • R(I) 1 - FU)
2 19
Ces relations permettent d'obtenir À(t) si l'on connaît F(t) ou R(t). Inversement, si l'on connaît À(t) , on pellt obtenir R(t) ou F(t) comme solution de l'équation différentielle du premier ordre: R'(t) = _ À(t) ou F'(t) = Mt). R(t) 1 - F(t) On a alors: Voyez le chapitre de votre cours sur les équations différentielles. Ces résultaI..'. seront utilisés aux par.lgraphes C et D.
R(t) = exp [ -
f~ À(x) dx
l;
F(t) =
1 - exp [ -
f~ À(x) dx
J
2. On constate expérimentalement que, pour la plupart des matériels, la courbe représentative du taux d'avarie instantané 1 ~ À(t) a la forme donnée par la ligure 6. Elle est appelée cOl/rbe en baignoire et comporte trois parties distinctes : y
pannes précoces
o
C'est le moment où ~(t) est mini male. On souhaite celle période la plus longue possible. Cette période survient plu s vite dans l e secteur de la mécanique que
dans celui de l'électronique.
vie utile
usure
y = À(r)
courbe en baignoire
Fig. 6 À gauche, la période de début de fonctionnement, où le taux d'avarie instantané décroît avec le temps, car les pannes précoces dues à des défauts de fabrication ou de conception sont de moins en moins nombreuses. Au centre, la période de maturité ou de « vie utile », où le taux d'avarie instantané reste à peu près constant; pendant cette période, les pannes paraissent dues au hasard. À droite, la période d'usure, où le taux d'avarie instantané augmente avec le temps, c-ar les pannes sont dues à l'usure croissante du matériel.
3. MTBF Cette définiti on et son intNprétatian figuren t au chapitre 3.
L'espérance mathématique de la variable aléatoire T continue définie sur [0, + col et de densité de probabilité f est: E(7) =
( ~ tf(t) dt.
E(1) est une tendance centrale des valeurs prises par la variable aléatoire T en tenant compte de leur probabilité. Ainsi, dans la situation J, E(7) représente la durée de vie moyenne d'un élément du type considéré avant sa première défaillance, cette moyenne étant calculée à partir d'un très grand nombre d'observations portant sur des éléments prélevés au hasard.
220
On suppose que la machine est remise à l'état neuf après chaque réparation. De même, en maintenabilité, on introduit l:I Moyenne des Temps Technique~ de Réparation, notée MITR. dont rOfigine e .. t M~all n",~ Ta R~fXlir: temps mo)'en pour réparer.
De même, dans la silllotiol! 2, E(7) représente le temps moyen de bon fonctionnemenl de la machine entre deux défaillances, calculé à parlir d'un très grand nombre d'observations de ces temps de bon fonctionnement. Le nombre E(7) est noté habituellement MTBF : Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement. MTBF
~
E(7)
=
I
+~
tf(t) dt.
Il
À l'origine, MTBF est le sigle de Mean Time Between Faillires, qui se traduit par . temps moyen entre (deux) défaillances » .
4. FIABILITÉ D'UN SYSTÈME Voir la définition de Tau dél:lut du pàragraphe B.
Nous étudions ici la fiabilité d'un système constitué de 11 composants. Nous nolons T la variable aléatoire mesuranl le temps de bon fonctionnement du système. Nous supposons que les variables aléatoires TI' T2, ... , Tf1 mesurant le temps de bon fonctionnement respectif de chacun des II composants sont indépendantes.
a. Montage en série La défaillance d'un seul composant entraîne la défaillanl'e du sysl~me.
Si A et B sonl indépendants, l'lA n 8) ~ l'IA)1'I8).
R,
e~t
Un système est du type série pour la fiabilité lorsqu'il ne fonctionne correctement que si tous ses composants fonctionnent eux-mêmes corrc(:tement. Pour un système constitué de Il composants montés en série, P(T> t) = P(T I > t et T 2 > t ... et T" > t). Comme les variables aléatoires TI ' T2• .... Til sont indépendantes. P(T> t) = P(T I > t)P(T2 > t) ... P(T" > tl. Donc, par définition d'une fonction de fiabilité:
la fonction de fiabilité du
comjX)Sant i.
F{I)
~
Nous en déduisons pour les fonctions de défaillance: F(t) = 1 - RI (t)R2(t) ... R,,(t), soit:
1 - R(I)
Fj eSI la fonction de défaillance du composant i.
b. Montage en parallèle Un montage en la fiabilité.
parall~le
Chap. 7 : Fiabilité
améliore
Un syslème
221
US variables aléatoires Tl' T,,!: 1~1 sonl indifM"donl~s .
Dès qu'un seul composant fonctionne correctement, le système foncti onne correctement. Pour un système constitué de 11. composants montés en parallèle, P(T .;; r) = P(T I .;; t et Tz .;; ... et T" .;; t). Par un raisonnement analogue au précédent, nou s obtenons: F(t) = F(t,)F{t2 ) ... F(tn)' tit) = 1 - (1 - R,(I»)(I - Rz(t) ... (1 - Rn(I» .
Remarque Voir le TP 1 et l"exercice corrigé nO2.
Pour étudi er la fiabilité d'un système comportant à la fois des montages de composants en sé ri e et en parallèle, on décompose ce système en sous-systèmes correspondant à un des deux montages étudiés ci-dessus.
C. LOI EXPONENTIELLE 1. DÉFINITION La loi exponentielle est la loi suivie par la variable aléatoire T lorsque le taux d'avarie est constant; pour tout 1 ~ 0 : MI) = À constanle striclement positive. Voi r la courbe 41 en baignoire .. de la figure 6 i). la fin du paragraphe
Cette loi concerne tous les matériels pendant une partie de le ur vie (vie util e) et les matériels élec troniques pendant presque toute leur vie.
B.2.
Voir
i).
la fin du paragraphe B. J.b. :
R(t)
=
J~ XIX) d, l
F(t) = 1 - R(t)
f(t)
• La fonction de fiabilité est définie pour tout r '" 0 par R(I) = • -
x'.
• La fonction de défaillance est définie pour tout l '" 0 par F(t) = 1 - • - M. • La densité de probabilité de la variable aléatoire T est défini. pour tout l '" 0 par !(I) = Àe -Xt.
= F'(t) .
On peUl élendre la définilion de f à !Il en posanl f(t) = 0 pour loui 1<0. +· On vérifie que _<,,!(I)dl = 1.
y
y À
f
y = R(t)
Sur la fi gure 7, la tangenle dessinée coupe l'axe des temps au point d'abscisse \IX.
o
Ill.
Fig. 7
222
Fig. 8
Remarques 1. Lorsque la variable aléatoire Tsuit une loi exponentielle, R(I) = e- ÀI
Sur ce papier, les graduations en ordonnée corre~po ndent au logarithme des nombres indiqués, ce qui expliq ue qu'entre deux entiers consécutifs l'écart n'a pas toujours la même longueur. En portant les valeurs numériques de R{t), on place en ftalité des nomb~s proportionnels 11 ln R(I).
X suit la loi de Poisson de paramètre E(X) = M.
pour tout 1 > 0, donc ln R(I) = - ÀI, qui est une expression du premier degré en 1. Sur du papier semi-logarithJO Y mique, la représentation graphique de la fonction R est une y=R(t) droite passant par 4 3 le point d'abscisse 1 = 0 et d'ordonnée R(I) = l, car eO = 1 ; nous avons choisi ici Papier semi-Iogarithrnique d'associer la valeur de R(I) à la graduation 10 et, par proportionnalité, la valeur 0,1 de R(t) à la graduation 1. Fig. 9 2. Nous aurions pu trouver l'expression R(I) = e -ÀI à partir de la loi de Poisson: en effet, dans le cas d'un taux d'avarie constant À, la variable aléatoire X qui mesure le nombre de défaillances entre les instants 0 et t a pour espérance mathématique E(X) = Àt. Par définition de R(t) , 'On a R(t) = P(X = 0). ÀI Donc R(t) = (Àt)O R(t) = e- ÀI . 01 e- ,c'est-à-dire .
2. MTBF a.
ÉCART TYPE
MTBF
Par délïnition E(7) =
fo+
oc g(/) dt =
u(t)
hm X~+""
=
r; \,'(1)
fX g{/) dt. 0
À ~
o.
oo
tf(l) dt; donc E(7) =
o
Pour calculer E(t)·=
= Àe->'I.
JI'(t) = 1; \'(t) = -e - >".
J+
ties l'intégrale I(x)
lim
JXÀI e- ÀI dt,
x-++ oo 0
o
e~À/J:.
Comme lim
xe-À.\" = 0 et
I (x)
= [- te-'/r + f Xe- ÀI dt,
I (x) = -xe- ÀX _ e-ÀÀ.'
lim
e- Àx
Remarque Nous savons que R(t) = e -Àt pour tout t ;;. O.
!
est la MTBF.
À
e- I
,..
0,368.
En particulier pour t
= ~,R(~) = e- I.
Donc R(t) = 0,368 pour t
= i = MTBF.
Nous reviendrons sur cette propriété au paragraphe 3. Chap. 7 : Fiabilité
223
0
+
t.
= 0, nous obtenons:
Em =!). = MTBF.
La MTBF est l'inverse du taux d'avarie.
dl.
nous allons intégrer par par-
0
+ [-
ÀI
.
= JX Àle-À/dt:
I(x) = -xe-À.'
x---t+oo
J; oo Àt e-
b. Écart type Voir le paragraphe B. 2.b. du chapitre 4.
ll(t) = t 2 ; l''(t) = Xe - AI.
La variance de Tse calcule à partir du résultat V(T) = E(T 2 )
-
(E(T)l
? Par définition E(T-)
') ., h 'dt. = J+ 0 OO t 2 f(t) dt; donc E(T-) = J+ 0 OO Àt-e-
Pour calculer E(T 2 )
=
lim
x, + 00
'ro + J
X
l(x) = [-t 2e - A
nous allons intégrer par
0
J~ Àt 2e -At dt :
parties l'intégrale l (x) =
u'(t) = 21; 1'(1) = _ e - AI .
JX Àtle ~Xl dt
2te- A'dt.
0
Voir le calcul de E(T).
Soit l (x) = - x 2e -Ax
X >0.
Comme lim
x,+ oo
+ ~ l (x), où l (x) est défini ci-dessus.
x 2e- AX
= a et ?
?
nous obtenons E(T-) = Donc V(T)
lim
x,+ec
l (x)
=l, À
-?'
À-
= ~2 - L, c'est-à-dire V(T) = L. 2 2 À
À
À
u(1)~vvm.
<1(T)
= l = MTBF. À
3. ESTIMATION À PARTIR D'UN ÉCHANTILLON Voir le paragr:lphe D.1.b.
Reprenons la situation 1. Nous avons obtenu par la méthode des rangs
moyensr-:---.---,--,..----,---,----,----500
fi
1000
1500
2000
2500
3000
47,6
33,3
23,8
14
10
Portons les points de coordonnées (t;, R(t)) sur du papier semi-logarithmique. Sur l'a.xe des ordonnées, nous a.vons porté des nombres proportionnels à ceux indiqués sur le papier: 100 % pour 10,50 % pour 5, ... , 10 <.J. pour 1. Ave<: ce papier, nous aurions pu utiliser les gradualions de 1 à 101 ( 100 % pour 102 et 1 % pour 1 ~ 103 (100 % pour I03 et O,1 % pour 1).
1
+____
36.8 ... _ _
1
f
.....
I-_~
x .... '" H(I)
x
10 %
900 1
500
•
1000
1 JOO
•
';1TB~ 500
2000
2500
3
~
(hcure ~)
Fig. 10
224
Cet «alignement .. ne concerne que que lques points expérimentaux obtenus à partir d'un échantillon de tai lle 10.
Le nuage de point s est sensibl eme nt rectiligne; il pe ut être ajusté par une droite passa nt par le point d 'abscisse 0 et d'ordonnée 100 % (so it 1). No us adme ttons que cet « ali gne ment » permet de concl ure que la variable aléatoire T qui , à tout élément du ty pe considéré tiré au hasard, associe sa durée de vie avant la pre mière défaillance, suit une loi ex ponent ie lle. Pour e ffectuer l' aj uste ment affine, nous pouvons utiliser plusie urs méthodes.
a. Voir 13 figure 10.
Voir la remarque du p.1ragraphe
C.2.a.
Méthode graphique
Choisissons une droite approc hant au mieux les points expé rim entaux et passant par le point de coordo nnées (0, 100 %). Nous obtenons graphi quemen t la MTBF e n li sant en abscisse le temps t correspondant à l'ordonnée R(t) = 36,8 %. Nous tro uvons un e MTBF de 1 300 he ures; le paramètre 1. de la loi = 7,7 x 10- 4 exponenti e lle est donc 1. = 1
ioo
R(t) = e - 0,000771
Remarque Nous obte nons de mê me que R (t ) = 0,5 pour t = 900 .
b. Méthode des moindres carrés Voir le p;1r3grJ.phe B . 2. du chapitre 1.
Le coefficient de corrélation est
r
=
Les
0,997. ré~ultat:.
numériques sont obte-
En effectuant un ujusteme nt affi ne des points de coordonnées (ti' Yi)' où = ln R(tj), no us obtenons par la méth ode des moindres ~arrés la droite d'éq uation y = - 7,7 x 1O- 4 t + 0,0243.
Yi
Donc ln R(t) = -7.7 x 1O- 4 t
nu~ immédiatement a\'cc la calcu-
+ 0,0243
R(t) = e - 0,000771 eO,0243.
latrice,
NOLIs retrouvons R (t) = e - 0,000771, car eO,0243 de 1.
=
1,02, val e ur vo isine
D. LOI DE WEIBULL 1. DÉFINITION a. Cette loi .\ À. pour ~ul paramètre.
Wallooi Weibull (l887- 1979) travailla comme În\'enleur et ingénieur conse il dans des sO~Îétés !iuédoises ct all emande, p:J r exemple chez SAAS.
/3 (bêta). 'Y (gamma) el Tl (êta) sont des lenres de l' alphabet gre~, Chap. 7 : Fiabilité
Taux d'avarie
La loi expo nenti elle per met d 'étudi e r la fiabilité d ' un di spositif dans le seul cas où le taux d'avarie X. est co nstant. Pour éte ndre l' étude de la fi abilité aux cas où le Wux d' avarie I.(t ) varie avec Je temps, le mathématic ien suédois Weibull a choisi co mme modèle de ce [aux une fonction pu issance qui facilite le calcul des intégrales intervenant en fi abilité. De plus, pour pouvoir cho isir, d'une part, l'instant à partir duquel on étudi e la fiabilité et, d 'autre par t, la valeur du taux d'avarie lorsque celui -c i est constant , Weibull a inlfoduit trois paramètres, notés 13. "Y et " . dans l' expression de M t). 225
La variable aléatoire T a été définie au début du paragraphe B.
La loi de WeibuU est la loi suivie par la variable aléatoire T lorsque le taux d? avarie est À(I)
où "Y est le i>(lramlt~ dt! fl'plragt! qui fixe j'instant ~ pJ.rlir duquel on étu-
- 'Y)P-I pour tout 1 > 'Y. = li13 (1"'11
13. 'Y. 1) sont des constantes telles que 13 > 0 et 1) > 0,
On peut poser MI) = 0 pour panne avant l'instant 1 = 1.
1 ..
'Y, en considérant qu'il n'y a pas de
die la fiabilité.
Exemples
• f3
= 'Y =
=
3. O. TJ 1. MI) = 3,2 pour tout 1 > O. Donc À est une fonction croissante sur ]0, + 00[; ce résultat est général lorsque
f3>1. • f3 = 1. 'Y = 0, TJ
f~~3
Fig. II
3
2
= 1.
),,(1) = 1 pour tout 1 > O.
,, ,
y
~
'(t)
,
~~I
~, Nous retrouvons dans ce cas un taux d'avarie constant et donc une loi o 4 2 3 exponentielle; son paramètre est )" = 1. De façon plus générale, nous obtenons une loi exponentielle lorsque f3 = 1 et = 0; son paramètre est alors)" = 1.
------
"estle paru",h" d'ühl'Il/!.
'Y
• f3 = 'Y(I) =
TJ
'Y = O. TJ = 1.
0.5;
,Ir; pour tout 1 > O.
2y
l
Dans ce cas, À est une fonction décroissante sur ]0, général lorsque 0 < f3 < 1.
+ 00[; ce résultat est
Remarque Dans ces trois exemples, seul 13 change de valeur. ",lt~ dt! lonnt!.
13
eSI le p(jra-
Les formes variées obtenues pour la représentation graphique de À permettent d'utiliser la loi de Wei bull, sur des intervalles appropriés. dans un très grand nombre de situations.
b. Fonction de fiabilité, fonction de défaillance, densité de probabilité En étendant à l'intervalle h. + oo[ les définitions données au paragraphe B. I.a. et les propriétés établies au paragraphe B. 2.b.. on obtient: 13 > 0 et 11 > o. Ret)
= ex~ -
F(t)
~
1 - R(t),
I~ X(X)d\:].
f(t)
~
F'(t).
Pour une loi de WeibuU de paramètres 13. 'Y et 1). la fonction de fiabilité R. la fonction de ~faillance F et la densité de probabilité f sont définies pour tout 1 > par
'Y
R(t)=exP[-e~'Ytl
F(I)=
l-exp[-e~'Y)Pl
et f(t) = ~ e ~ 'Y)P - 1exp[ - (1 ~ 'Ytl 226
F;g. 12
Exemples • 13 = 3, 'Y = 0, " = l. 3 R(I) = e _ 1 , F(I) = 1 - e -
:~ = 1"
>'.....
"
,: = oj---~~
a Pour
1
p~
y =j{t)
__
2
3. la courbe représenta-
tive de f est proche de I:t courbe en
l ',
f(l)
• 13 = 1, 'Y = 0, " = l. R(I) = e - " F(I) = 1 - e - " f(l)
= 312e _1 3.
= e-
'.
Nous avons vu que, dans ce cas, nous retrouvons la loi exponentielle de paramètre 1. • 13 = 0,5, 'Y = 0, " = 1. R(t) = e- Yi, F(t) = 1 - e-Yi,f(l)
=
cloche d'une loi normale.
,Ir;e 2v I
Yi.
Remarques Observez rintüêt d'avoir choisi pour À. une fonction puissance.
On considère qu'il n' y a pas de panne avant l'instant "'1.
1° Pour établir le résultat sur R(I), on utilise notamment le fait que À(t) =
~ (1 ~ 'Y)~ - 1 a pour primitive (1 ~
'Y) sur l'Y, + 00[.
2" On peut étendre les définitions de R, F et f à IR en posant R(I) = l, donc F(t) = 0 et f(t) = 0, pour tout l "" 'Y. On vérifie alors que f(l) ~ 0 pour tout 1 réel et que
+
00
J_
00
f(t) dl = 1.
2. DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES PARAMÈTRES a.
Nature du problème
Nous savons qu'avec une loi de Weibull, pour tout R(I) = exp [ _(1 1 Ina
=
-I n a.
soit ln
~ 'Yn donc InR(I)
=
= b Ina.
ln ~ = Ina - In b.
In[ln - I- ] = I3ln(1 R(I) " En définitive, ln [In
Rlr) = 1 - FU).
Donc Y A = p et B = constantes.
-13 ln 1')
sont des
Voir les situations 1 et 2 du para-
graphe B. l.b.
> "(.
-c ~ 'Yt
Rtl) = C~ 'Yt
Ce nombre étant strictement positif car calculer son logarithme népérien: Inab
t
'Y) =
t
>
"Y et Tl
> 0, nous pouvons
'Y) - ln ,,). 13 ln (1 - 'Y) - 13 ln" pour tout 1 > 'Y.
13(ln(1 -
1 ] = 1 - F(t)
= ln [In 1 - 1F(t) ] s'exprime en fonction de X = ln (t =
y = I3X - 13 ln", relation de la forme Y AX + B; sa représentation graphique, dans un repère où l'axe des abscisses X et l'axe des ordonnées Y sont gradués régulièrement, est donc une droite D. Wei bull a imaginé un papier qui comporte des graduations spéciales permettant, à partir de quelques valeurs expérimentales F(t1), F(t2), .•• , F(tn ), de tracer la droite D d'équation Y AX + B et d'en déduire les valeurs des paramètres 13, 'Y et 11 de la loi.
=
(hap. 7 : Fiabilité
'Y) par
227
= 0 : alors X = ln 1, où
Le papier de Weibul/ convient dans le cas où 'Y 1
> 0, et Y = ln [In
l.
1
1 - F(t) Ce papier est d'u n usage plus délicat lorsque 'Y
* O.
b. Description du papier de Wei bull - 2.0
- 1.0
99.0
f.
90,0 70.0
2.0
1.0
0.0
f
l' 0,2
50.0
4.0
3.0
L
.1~
99.9
0304050.6 0
o~
2
1
3
4
10
20
30 40 5060 . ~I) 100 ~
30.0 20,0
•
10.0
~
+
2
,
5.0
L
3
t
3.0 2.0
,
,
4
1,0
0,5 0.3 0,2
r
0,1 0,1
~
~
•
t
~
f1
~-
~
"
5
~
~
'f
~
6
~
~
0.2
0,3 0,4 0,50,6 0,8 1
2
3
4
5 6
8 10
20
30 40 5060
80100 Fig. 13
Graduations horizontales En haut du papier, horizontalement, nous lisons des graduations régulières : - 2; - 1 ; 0; 1 ; 2; 3; 4; deux entiers consécutifs sont séparés par une même di stance.
En bas du papier, horizontalement, nous li sons: 0,1; 0,2; ... ; 100. Les graduatio ns ne sont pas régulières; par exemple, la di stance e ntre 1 e t
2 est plus grande que celle entre 5 et 6. Par exemple. 1 = eO eSI en de!>sous
Observons que, sur une même verti ca le, on trou ve en bas l'expone n-
de O.
tielle du nombre correspondant au x graduations du haut. Nous pouvons
el _ 2,7 est en dessous de 1.
aussi dire qu 'en haut se trouve le logarithme népéri en du nombre correspo ndant aux gradu ati ons du bas, puisque e a = b si et seulement si a = ln h, où b > O. A in si, porter une valeur de t sur la graduation horizontale du bas
e2 ... 7,4 est en dessous de 2.
Nous a\'ons re ncontr~ une :,ilUation analogue avec l'axe \'ertical du
papier semi-logarithmique
uli l i ~
pour la loi eJtponenlielle : mi r le paragraphe C. 3.
revient à porter X
= ln t sur la graduation régulière du haut.
Enfm un axe ho ri zo ntal, situé e nviro n aux deux ti ers supérieurs, repro-
duit la gradu ation du bas.
228
Graduations verticales Horizontalement, X
= lnt.
Nous avons une disposition analogue au cas précédenr qui tient compte de l'expression Y = 'O[ln
La fonction de répartition F p~nd des valeurs ent~ 0 el!.
Par e.-:emple. pour ~ 30 % ~ 0.3 y=
FU)
10(ln-I-)--I;
1 - 0.3 les gr.tduatÎon\ 30 el 1 sont ?l peu près :;;ur une même horizontale.
Notez que les orÎenla[Îons de ces
deux axes verticaux sont contr.tÎres.
1 ] qu'on souhaite représenter vertical - F(I) lement à partir de la donnée de F(I). À l'extrémité gauche du papier, verticalement, nous lisons des graduations non régulières qui permettent de représemer la valeur de F{t) en pourcentages: les graduations vont de 0,1 % = 0,001 à 99,9 % = 0,999. Dans le premier quart gauche, un axe vertical porte des graduations régulières de 0 à 6; son sens positif est dirigé vers le bas. Observons que ces deux graduations verticales sont telles que, sur une même horizontale, on trouve sur ce dernier axe l'opposé de
y
= ln [In 1 - 1F(t)] pour la valeur de F(t) lue sur l'axe du bord gauche.
Ainsi, porter une valeur de F(I) sur la graduation verticale de gauche revient à porter l'opposé de Y duation régulière de droite.
= In[ln
1
1 sur la gra1 - F(t)
Origine du repère (OX, OY)
x=
Inl
Nous utiliserons cet axe pour tléterminer Il.
y=
10(ln--I-) 1 - Fit)
L'origine 0 du repère (OX, OY) est définie par ses coordonnées X = 0 et Y = o. Or X = 0 lorsque Inl = 0, c'est-à-dire 1 = 1. L'axe OYest donc l'axe vertical passant par la graduation horizontale 1 du bas ou 0 du haut. Ce n'est pas lui qui est tracé sur le papier de Weibull, mais un axe parallèle passant par la graduation - 1 du haut, c'est-à-dire la graduation e- 1 = 0,368 du bas. De même, Y = 0 lorsque In[ln ln 1
1 -1."'0,6321; 1-1.=63.21 % c e
1 F(I)
1
1 = 0, c'est-à-dire 1 - F(I) = l , 1 = e, 1 - F(t)
1 - F(t)
1 = -, e
F(I)
=
1
1
e
L'axe OX est donc l'axe horizontal , tracé à l'intérieur du papier de Weibull , qui passe par la graduation 63,21 de gauche. Le point 0 apparaît sur cet axe à la graduation 1 pour 1, c'est-à-dire à la graduation = ln 1 pour X = ln 1.
o
c.
Utilisation du papier de Weibull
Reprenons la sifllation 2 du paragraphe B, l,b, : nous avons obtenu le tableau de valeurs suivant: (;enjoun
15
21
26
30
35
39
44
50
58
F\" en ~
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Portons s ur le papier de Weibull les points d'abscisse li et d'ordonnée F(ti) en utilisant les graduations horizontales et verticales non régu-
lières (fig. 14). Nous obser\"Qn'S que les points ainsi obtenus sont à peu près align~ ...
La droite D est obtenue par ajustement affine (\"oi r le chap. 1).
Chap. 7 : Fiabilité
229
-2,0
-1,0
,
•
99,9 99,0
0,0
1,0
L.L..!
~
2.0
4,0
3,0
.j.~
M'
,,"""""-'-'..I..J..
90.0 70,0 .
040506 08
02 · 0
2
3
4
5 6
8 JO
30
20
50,0
/
30,0 20,0
D'
10,0 5,0
•
4",•
IL d+
t
3,0 2,0
~
D
t
n
1
5 0,5
•
~
0.2 0.2 0, 1 0, 1
•
.J,
~
~
~
6
0,2
w
~I ~
1
'1
1.0
•
,.t
il
. :1 ~
~ 0,3 0.4 0,50,6 0,8 1
2
3
4
5 6
8 10
20
30 40 5060 80100 Fig. 14
Nous admettons le résultat suivant: T est définie au début du paragraphe B. ~
= o.
Lor.oque le nuage de poinrs expUimentaux ainsi obceou est, à peu .ms rectiligne, la variable aléatoire T suit une loi de Weibull dont le paramètre -y est nul,
Détermination de T) Voir le pamgraphe D. 2.a. : X = lnt 1_). }' = 10(10 __ 1 - F(I)
Nous avons vu qu'avec une loi de Weibull , les points de coordonnées
(X, Y) sont alignés sur une droite D d'équation Y = i3X - 13 InT). Donc Y = 0 lorsque X = InT) car 13 0, c'est-à-dire Int = InT) car X = Inl. Donc Y = 0 lorsq ue 1 = T),
'*
T) est l'abscisse, lue sur l'axe horizontal tracé dans le papier de Weibull, du point où la droite D coupe cet axe, Voir la figure 14.
lei , nous lisons: T) = 40.
Détermination de 13 La droite D ayant pOllr équation Y = i3X - 13 ln T), son coefficient directeur est 13. Pour déterminer graphiquement 13. on commen~e par tracer la droite D' passant par 0 et parallèle il D (fig. 14); son équation est Y = i3X. Pour X = 1. Y
= 13.
Avec des axes « habituels », nou s savons lire 13 sur le graphique: c' est l'ordonnée du point E de D' dont l'abscisse est 1 (fig. 15),
230
-1
-1
D'
D'
Fig. 15
Pour X =-1.
)'=-f3.
Voir le par.1graphe 2.b.: graduations verticales.
D' est la parallèle?t D passant par O.
Voir la figure 14.
-~
F
E
Fig. 16
Fig. 17
Remarquons que - i3 est l'ordonnée du point F de D' dont l'abscisse est - 1 (fig. 16). L'axe vertical tracé à l'intérieur du papier de Weibull correspond fi J'abscisse - 1 de la graduation hori zonta le régulière supérieure. Cet axe vertical est dirigé vers le bas et c'est donc - Yqui est porté sur la graduation régulière de cet axe. Or pour X = - l, - Y = i3 (fig. 17) :
i3 est l'onionnée,lue sur l'axe vertical tr""é sur le papier de Weibull, du point où la droite D' coupe cet axe, Ici nous lisons:
i3 =
2,4.
Remarque Celle rechen:he de -y n'est pas .IU programme de mathématiques de" sections de teçhniciens supérieurs.
Voir le paragraphe 2.a.
Dans le cas où 'Y '" 0, les points de coordonnées (1;, F(t;l) ne sont pas alignés sur du papier de Weibull. On peUL alors, dans certains cas, déterminer graphiquement 'Y par corrections successives, en utilisant des propriétés asymptotiques de fonctions appropriées. Cependant, une fois 'Y connu, on peut utiliser ce qui précède pour déterminer '1 et i3 en remplaçant X = Int par X = In(t - 'Y).
3. MTBF - ÉCART TYPE l(r) =
f(r)
opour toult :!l;;-y;
~ ~('~~r 1exp[ -('~~tl
Par définition, MTBF =
f~+œ
tf(t) dt, en admettant l'existence de cette
intégrale. Nous admettrons le résultat suivant:
pour tout, > -y.
MTBF = 'lA La démonstration fait intervenir une fonction r qui est hors programme des sections de leçhniciens supérieurs.
+ 'Y
où A est une intégrale dont la valeur est obtenue par des méthodes numériques ou par lecture de tables (voir formulaire). De même on peut obtenir la variance et l' écart type:
On trouve également B suivant les valeurs de i3 dans des tables (voir formulaire). Reprenons la situation 2 : On a trouvé sur le papier de Weibull 'Y = 0, i3 = 2,4, '1 = 40. Pour i3 = 2,4, on trouve dans la table A = 0,8865, B = 0,393. D'où, avec MTBF = 'lA + "let cr = 'lB : MTBF = 35,5 jours et cr = 15,7 jours. Chap. 7 : Fiabilité
231
TRAVAUX PRATIQUES obtenu suit une loi exponentielle dont 'on déterminera le paramètre. (On admettra encore l'indépendance du fonctionnement des deux éléments.)
EXEMPLES D'ETUDE DE FIABILITÉ À L'AIDE DE LA LOI EXPONENTIELLE OU DE LA LOI DE WEIBULL
6° À l'aÎde de la calc ulatrice, déterminer une équat ion de la forme y = at + b de la droÎte d'ajustement des valeurs de y à celles de t, ainsi que le coeffic ient de corré lation en tre 1 et v. a sera arrondi à 10- 4, b à 10- 5 et r~IO - 4
Étude d'une loi exponentielle et fiabilité d'un système •d'éléments identiques montés en parallèle ou en série
TP 1
En déduire l'expression de R(t) et comparer le parumètre de cette loi avec celui qui a été obtenu au 3° .
TPl
On a relevé, durant une période de 1 500 heures. la durée de vie de 24 éléments identiques, mis en service à la même heure. On a obtenu les résultats suivants: Du~c
de vie (en
heu re~)
Nnmhre
d· ~ I .
[0.100] J100, 200] ]200.300] ]300,4001 ]400.5001 1500.6001 ]600,750] ]750, 1000] ]1000. 1500J
...
FUjI
défaillan(!j;
5 4 3 3 2 1 2 2 2
en~,
RU i ) en tJ
Loi exponentielle et probabilités conditionnelles
ùs rbllitats, lorsqu'il s'agit de probabililés, serol/! arrondis à /0 - 3.
10 En utilisant la méthode des rangs moyens, complé. ter le tableau:
TSF'i
.
Yi"'" InR";'
...
2° Tracer le nuage de points Mj(tj. R(r;» sur du papier semi- Iogarithmique; en déduire que la variable aléatoire mesurant la durée de vie des éléments suit une loi exponentielle. Déterminer à une heure près, graphiquement la MTBE 3° En déduire, à 10- 4 près, le paramètre et l'écart type de cette loi exponentielle, ainsi que l'expressio n de R(r) .
On a étudié sur un banc d'essa i la durée de vie d'un très grand nombre de tubes fluore scents d'un certain type. La moyenne des temps de bon fonctionnement de ces tubes (MTBF) est 670 heures. On admet que la variable aléatoire X, qui , à tout tube fluorescent de ce type associe sa durée de vie exprimée en heures, suit une loi exponentielle. On désig ne par R la fonction de fiabilité correspondante. 1 ° a) Déterminer, à 10- 4 près, le paramètre de la loi suivie par X. En déduire l'expression de R(t) en fonction de t. b ) Calculer P(X '" 500) puis P(X > 1000). Tradu ire ces résultats par une phrase. 2° On prélève au hasard un tube fluore scent du type considéré, - soit A l'événement « le tube n'a pas eu de défaillance au cours des 600 premi ères heures d'utilisation lt, - soit B l'événement « le tube n'a pas eu de défaillance au cours des 900 premières heures d'utilisation "'. a) Calculer P(A), PeB) el P(A n B ). b) Calculer la probabili té de l'événement : .. le tube n'a pas eu de défaillance pendant les 900 premières heures sac hant qu'i l n'en a pas eu au cours des 600 premières heures "'.
4° Déterminer, à une heure près, gruphiquement et par le ca1cull'instant où la fiabilité d'un élément est 50 %. ÉLant donné qu'à l'instant to la fiabilité d'un élément est 50 %, déterminer, à cet instanl.la fiabilité d'un système de deux é lé men ts montés en parallèle (on admet que les deux éléments fonct ionnent de façon indépendante).
TP3
Étude de fiabilité à l'aide d'un tableur et la loi de Weibull
Un distributeur automatique élabore du jus d'orange en mélangeant de l'eau et du concentré d 'orange. Une étude de fi~lbilit é de ce type de di stributeur a permi s à l'aide d'un tableur, d 'établir le tableau ci-desso us, où F{I,.) et RU,. ) correspondent respectivement à
5° On mon te en série deux é léments. Montrer que la variable aléatoire mesurant la durée de vie du sy stème
232
la probabilité de défaillance et à la fiabilité au temps 1; (selon la méthode des rangs moyens) : FU,I
1
RHj}
Ij -
Inui }
Y,
='
Int ~ InHull
40
0,125
0,875
3.68887945
-2,013418678
48
0.25
0,75
3.87120 101
- 1,245899324
55
0.375
0.625
4,00733319
- 0,755014863
60
0.5
0.5
4.09434456
- 0,366512921
64
0,625
0.375
4,15888308
-0.019356889
68
0.75
0.25
4,21950771
0.32663426
80
0.875
0. 125
4.38202663
0,732099368
3° Déterm iner, à un près. graphiquement puis par le calcul, la périodicité d'un entretien systématique fondé sur une fiabilité de 0,9.
4° Déterminer, à un jour près. graphiquement et par le calcul. la probabilité qu'une machine de ce type fonctionne plus de 2000 heures sans panne.
1° On admet le résultat su ivant qui n'a donc pas été démontré ici :
= e - (~)' ~ y = 13x - ~ ln '1. où l'on a pos~ x = ln 1 et y = ln 1- InR(I)].
5° Donner à 0.01 près, l'expression du taux d'avarie sur l'intervalle [0, 1 000] et le repr~sent~r graphique~
R(I)
ment.
Déduire des informations précédentes les résultats ci~ dessous: a) Le nuage de points (x;, Y;) est correctement ajusté par cette dro ite D; b) On peut considérer que T su it la loi de Weibull de par..tmètre 'Y = 0; c) On peut prendre, pour les deu x autres paramètres, r3 = 4,1 (arrondi au centième) et" = 65 (arrondi à l'unité).
Parti~
B On modifie l'énoncé de la parti~ A de la manière suivante. Une usine utilise 19 machines de même modèle. L'étude du bon fonc tionnemen t en heures, avan t la pre~ mière panne de chacune de ces 19 machines, a permis
(O n pourra utiliser l'équivalen ce encadrée ci-dessus). Calcu ler la MTBF. Arrondir à l'unité.
3° Déterminer, par le calcul, à un près, la périodkité d'interventions préventives basée sur une fiabi lité de 90 %.
Des machines qui tombent souvent en panne, Étude de leur fiabilité à l'aide de la loi de Weibull, détermination du taux d'avarie
TSF (en heure!i)
Nombre de pannes
[1000,12501 ]1250. 14501 ]1450, I600J JI 600, 18001 JI 800, 2100J J21oo, 2400j
1 2 2 3 4 4
Troi s autres machines ont fonctionné correctement au moins jusqu'à la date « 2400 heures lt.
1° Placer sur le même papier de Weibull que ce lui de la partie A les points N;{r;, F{t»; vérifier que 'Y = 1000. Donner l'expre s~ ion de R(I). r Répondre avec ce nouvel énoncé aux questions 2°, 3°, 4° et 5° de la l){lrti~ A.
Partie A Une usine utili se 19 machines de même modèle. L'étude du bon fonctionnement en heures. avant la première panne de chacune de ces 19 machines, a permis ct obte nir l' 'stori que suivant:
Chap. 7 : Fiabilité
1 2 2 3 4 4
] 0 Déterminer, à un près, à J'aide du papier de Weibull les paramètres de la loi de Weibu ll . ajustant cette d i s~ rribution. Donner l'express i0!l de R(/). r Calculer, à un près, la MTBF et l'écart type de celte loi.
y = 4,0999x - 17,1242 et r = 0,9960 Soit T la variable aléatoire qui, à tout distributeur de ce type, associe son temps de bon fonctionnement exprimé en jours. On cherche à ajuster la loi de T à une loi de Weibull.
TP4
Nombre de panne.
[0, 250j J250.450j j450,600j J600,8ooJ J800. 1 looJ ]1100. 14001
Trois autres machines ont fonctionné correctement au moins jusqu'à la date « 1400 heures lt .
Le tableur a donné, à 10- 4 près. les coefficients d'une équation de la droite de régression linéaire de y en x et le coefficient de corrélation linéai re r :
r
TBF (en heures)
233
1
11~_____ 1 1 1
fX _ f_R_a _C_B_C_O_R_R_IG_B______~ des exerdces
Comment peut-on vérifier ce résultat graphiquement?
Déterminer Je paramètre
1,2,3
d'une loi c1Ç,ponentielle. Ulili~er
Déterminer graphiquement
4
ies paramètres d'une loi de Wcibull. Fiabilité d'un l>yMème.
2,5
Utiliser une loi de WeibuJl
4.5
Fiabililé el ajuslement par la méthode des mOÎndres ~arrés
3.4
..
§"'"'.;'~ [2J - Trouver le paramètre
1 1 1 1 1 1 1 1 U
3° On envisage de placer deux pièces J B 007 en parallèle, c'est-à-dire de telle sorte que le système fonclÎonne tant que j'une des deux pièces est en étal de fonctionnement.
1,2.3
une loi c'tponentielle.
1,1
2° Déterminer, à une unité près, par le calcul à quel Înstant 10 la fiabilité de JB 007 est égale à 80 %.
Numéros
DES OBJECTIFS
Étant .donné qu'à l'instant '0 la fiabilité d'une pièce JB 007 est de 80 % , déterminer, à cel instant, ce lle du système ain si formé. On admet que les deux pièces fonctionnent de façon indépendante. 4° Quelle aurait été la fiabililé à l'instant to si on avait placé les deux pièces en série, c'est-à-dire de telle sorte que le système ainsi formé so it défaillant dès que l'une des deux pièces casse? (On admettra encore l'indépendance du fonctionnement de s deux pièces.)
\
'.
\
~:
ariuble aléatoire T suit une loi exponentielle.
[2] - -Fiabilité et méthode des moindres carrés
) ° Trouver, à 10- 6 près, le paramètre çle ce~i sachant que p eT '" 70) ~ 0,05.
a relevé durant une période de 3 000 heur~s la durée de vie de 100 éléments identiques mis en service à la même heure, 22 élémen ts étant encore en fonctionnement au bout de ces 3000 heures. On a obtenu les résultats suivants:
2° Les valeurs pri ses par T étant des heures .. déterminer, à un près, la MTBF et l'écarl type de T.
3° Calculer, à 10- 4 près, peT > 30).
0--- Fiabilité de la pièce jB 007
Durtt de vie (en heures)
Un technicien supérieur en maintenance a été chargé d'étudier plus particulièrement le cas de la pièce JB 007.
[0,5OOJ
N° d'ordre 1 2 3 4 5 6
N° d'ordre
Durée de vie (heures)
130
7
64
20 348
8
9
50 135
100
10
224
14
It
67
22
]500. loooJ
Son historique lu i permet de connaître les durées de vie des pièces de ce type déjà utilisées. Elles sont con signées dans le tableau suivant. Durée de vje (heures)
Nombre d·él. défaillants 18
]1000.15OOJ ]1 500, 2000J ]2000,2500]
13· 10
]2500.3000]
6
9
) 0 En utilisant la méthode des rangs bruts, compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs approchées seront arrondies à 10- 3.
TSF =
212
l,
FU,) t!n 'l-
R(ti)
en 4
Yi = InRlti )
r À l'aide
de la c.t1culatricc, déterminer une équation de la forme y = at + b de la droite d'ajustement des valeurs de)' à cell es de t, ain si que le coefficient de corrélation entre t et )'. r sera arrondi à 10- 4, li à 10- 4 et b à 10- 5
note R(t) la probabilité de survie du matériel à la date t. En utilisant une feuille de papier semi-logarithmique, justifier l'approche de R(t) par une loi exponentielle. } O On
Déterminer, à une unité près, graphiquement, la MTBF d'une p ièce JB 007. Montrer que l'on peut prendre pour valeur approchée du paramètre ~ de la loi exponentielle la va.leur 0 007.
234
En déduire l'expression de R(t) et le paramètre de la loi exponentielle R(t). 3° On prend ~ = 0,0005 comme valeur approchée du paramètre de cette loi ex ponentielle.
1
1 On prélève au hasard un élément. Calculer, à 10- 3 près. la probabilité de l'événement « l'élément est enco re e n fonctionne ment au bout de 1 000 heures ».
h) En prenant des valeurs approchées arrondies à 10- 1 des coeffic ients, montrer que l'équatio n peut s'écrire: v = 4u - 27. En déduire une expression de R(t) sous la forme: R(I)
= exp [- (~n
loi de Wei bull
~ _u Où l'on reprend le TP 1 du chapitre 1
Exercice d'examen
On a mesuré la durée de vie de 400 lampes prod uites dans une usine et obten u les résultats sui vants:
W
DurU de \'ie (en
/
~s)
\300.5001 [500.700[ 1700.9001 [900. 11 00[ 11100, 1300[
On étudie la durée de vie d' un certain type de composants électriques fabriqués par une lJsine.
Nombre de lamp« .
60 134 130 70
On dés igne par T la variable aléatoire qui à chaque composant, prélevé au hasard dan s la production, associe sa durée de vie ~x prim éc en mois. Après une étude stat istique, on admet que T suit la loi de Weibull de pa~amètres :
6
} O Déterminer,
à l'aide du papier de \Vei bull, les paramètres de la loi de Weibull aj ustant cette distribution. Donner l' expression de R(t).
2° Calculer, à une heure près, la MTBPet l'écar t type de cene loi. 3° Déterminer graphiquement pui s par le ca lcul hl périodi c it ~ d'un entretien systématique fondé sur une fiabilité de 0,9. On donnera la va leur approchée arrondie à 1 heure. 4° Déterminer, graphiquement et par le calcul. à 10- 2 près, la probabilité qu'une machine de ce type fonctio nne plus de 2000 heures sans panne. 5° Construire la courbe représentative du tau x d'avarie sur l'in1ervalle (500, 1300]. Que peut-on en conclure? 6° On pose LI; = In/; et Vi = ln l- ln R(tj)]' a) Démontrer par la méthode des moindres carrés, à l'aide de la calculatrice, que les points M j(u i , " j) peuvent êt re ajustés par une droite d'équation \' = au + b. Donner le coefficient de corrélation entre
Chap. 7 : Fiabilité
_n Composants électriques et loi de Weibull
Il
et
~ = 0; f3 = 2.4; Tl = 50. 1° En déduire l'ex press ion de R(t ).
2° Déterminer par le calcul ?t 1 % près les probabilités des événemen ts sui va nts: a) .. la du rée de vie d'un composant est inféri eure à 10 mois »;
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
b) .. la durée de vie d' un composant est comprise e ntre 10 mois et 50 mois ». 3° Déterminer par le ca lcul. le temps au bout duquel un composant doit être changé, sachant que sa probabilité de survie doit rester supérieure à 90 %. Comparer les deux résultats. 4° Un système (5) est constitué de deux composants du type précéden t, mo ntés en série et fo nctionn ant de manière indé pendante (le systè me (5) est do nc défaillant dès qu'un de ses composants l'est). Déterminer le temps au bout duquel (5) doit être changé, sachant que la probabilité de survie de (5) doit rester supérieure à 90 %.
Il.
235
1 1 1 1 1
EXERCICES NON CORRIGÉS Utiliser une loi exponentielle connaissant son paramètre ~
On admet que Tl et T2 suivent des lois exponentielles de paramètre s respectifs:
G * Fiabilité d'un certain type de composants
À, = 0,0012 et À, = 0,0007. est, à 10- 4 près, la probabilité qu'un composant du type A soit encore en état de marche au bout de 1 000 heures? Mème question pour un composant de type B. } O Quelle
On considère des composants d'un certuin type. On admet que la variable aléatoire T qui associe à tout composant tiré au hasard dans la production sa durée de vie, exprimée en jours, su it la loi exponentielle définie par R(t) = e - 0.0001,. 1° Déterminer la probabilité que l'un de ces composants ait une durée de vie supérieure à 2000 jours. Donner la valeur exacte puis la V
r Déterminer, à 1 jour près. Je nombre de jours au bout desquels 70 % des composants du type A ont eu leur première défaillance. 3 ° Deux composants du type A et deux composants de type B sont associés comme suit :
r Déterminer la MTBF et l'écart type de T. 3° Déterminer la valeur de 10, arrondie à 1 jour, pour laquelle PtT '" (0) = 0,5.
o
** On perce la tôle
Déterminer la fiabilité d'un tel système au bout de 1000 heures. (Les défaillances des composants de type A ou B sont indépendantes les unes des au tres).
Une machine automatique perce des tôles. On admet que la variable aléatoire qui assoc ie à Ioule machine de ce type tirée au hasard sa durée de vie (fiabilité) suit une loi exponentie ll e. La MTBF (moyenne des temps de bon fonctionnement) annoncée par le constructeur est de 5000 heures.
On dO/mua les l'alt'urs exactes puis les l'a/l'urs approché~s arrondies li 10 ~2 des probabilitis. 1° Calculer la probabilité qu'il n'y ait pas de défaillance au cours des 2000 premières heures d'utilisation d'une telle machine.
r
Sachant qu'une machine de ce type n'a connu aucune défaillance au cou rs des 2000 premières heures d'utilisation, quelle est la probabilité que cette machine l1e connaisse aucune défaillance pendant les 6000 premières heures d'utilisation?
[!] * TroU\"€r le paramètre Déterminer l'expression de R(t) qui caractérise une loi exponentielle sac:hant que peT > 400) = 0,4.
~ *** Panne d'ordinateurs Dans le se.rvice après vente d'un grand magasin un technicien est chargé de la réparation d'un certain type d'ordinateur. Les ordinateurs son t en nombre important et tombent en panne de façon aléawire, indépendamment les uns des autres. Il s'établit alors une « file » d'ordinateurs oc e.n panne » en attente de réparation. Il s'agit d'étudier le phénomène afin d'évaluer s'i l est nécessaire d'embaucher un nouveau technicien. On a relevé les temps entre chaque arrivée en heures, et on a obtenu, à l'aide d'un logiciel spécialisé qui exécute automatiqueme nt les calculs, une MTBF égale à 4 heures soit en moyenne une arrivée d'ordinateur en panne toutes les 4 heures. On note T la variable aléatoire qui, à chaque panne, associe le temps d'attente en heures avanll'arrivée de la prochaine panne. On admet que T suit une loi exponentielle de paramètre ~. } O Déterminer le paramètre lion de t de peT > t).
En déduire PtT '" 1 (00).
~
et l'expression en fonc-
[!] *u Fiabilité d Jun système de composants
2 0 Calculer, à 10- 4 près, PtT > 6) et PtT '" 3).
So it Tt et T2 les variables aléatoires qui associent à des composants respectivement du type A et du type B tirés au hasard leur durée de vie exprimée en heures.
3 ° Déterminer la va leur de t, arrondie à la minute, qui correspond ~ une probabilité P(T:OS;; t) = 0,05.
Faire une phrase pour exprime r ce résultat.
236
Faire une phrase pour exprimer ce résultat.
Utiliser une loi exponentielle et la méthode des moindres carrés
a) Reproduire et compléte-f le tableau précédent.
ri.!] *** Panne d'ordinateurs (su ite)
de ln [R(t)].
On donnera les valeurs décimales arrondies à 10- 3
On reprend la situation de l'exercice précédent et on s'intéresse maintenant au temps de réparation qui est également variable.
b) Tracer le nuage de points correspondant à la sé rie staristique (l, ln [R(t)]. En abscisse, 100 jours seront représentés par 1 centimètre et, en ordonnées, 1 unité sera représentée par 5 centimètres.
L'observation de 100 rép
y = ml
Temps Temps ' j Nombre de classes
centres
rq,aration'l
)O,IJ JI,2J ]2,31 J3,4J J4,5J J5.6] J6,7J ]7,8J J8,9J J9,IOJ ]10, Il] >11
0,5 1.5 2,5 3,5 4.5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,'
24 19 15 Il 9 5 4 5 2 2 1 3
FIl;)
0,24 0,43 0,58 0,69 0,78 0,83 0,87 0,92 0,9-1 0,96 0,97 1
c) Donner une équat ion de la droite d'ajustement + p obtenue par la méthode des moindres carrés et tracer celle-ci sur le graphique précédent. Les valeurs décimales arrondies à 10- 6 près des coefficients 111 et p peuvent être obtenues directement à l'aide d'une calculatri ce.
Yj = InRHi )
RUI ) à
10-> pm
Montrer qu'en utilisant cene équation on obt ien t: R(I) ~
1,003413
x e-O,001374'.
d) On admet pour la suite que R(I) = e - 0,001374/ ; ainsi la fiabilité du système suit une loi e"ponentielle. Donner une valeur approchée à 10- 6 près du taux d'avarie du système, puis la MTBF, moyenne du temps de bon fonctionnement, au jour près. e) Calculer, à 10- 2 près, la probabilité de voir le système tomber en panne pendant l'année de garantie, c'est-à-dire avant 365 jours.
0
10 Compléter le tubleau c i-dessus. rEn ne prenant pas en compte la dernière valeur (> 11), déterminer à l'aide de la calculatrice, une équa-
tion y = af + b de la droi te d'ajustement de y à l, selon la méthode des moindres carrés, ainsi que le coefficient de corrélation r entre y et f, r sera arrondi à 10- 4, a à /0- 3, b à /0- 5 3 ° En prenant pour va leurs approchées a = - 0,3 et b = 0, donner l'expression de R(I). En déduire la loi su ivie par la variable X qui à chaque ordinateur à réparer associe son temps de réparation en heures.
4 0 Déterminer à /0 - 2 la MTBF el l'écart Iype de la variable aléatoire X. 5 0
Calculer à 10- 3 les probabilités
P(X > 5,5) el
P(X '" 2,5).
12 *** Store automatique
Déterminer graphiquement le paramètre d'une loi exponentielle
~ *** L'usine Mécanix
L'usine Mécanix est spécialisée dans la fabrication de pièces métalliques. Les durées de vie, en jours, de 9 pièces utili sées dans des condirions semblables ont donné le résultat su i-
v"nl:53, 112, 178,255,347,458,600,805, 1 151 jours. 10 En utilisant la méthode des rangs moyens, compléter le tableau c i-après, après l'avoir reproduit. r À l'aide du papier semi-logari thmique, vérifier que la variable aléatoire mesur,:mt la durée de vie des pièces su it une loi expone ntielle dont o n déterminera, à 10- 3 près, le paramètre et donner l'expression de R(t).
Un système déclenche aUlOmatiquement, en fonction de la température et de la vit esse du vent, l'ollverture ou là fermeture d'un store extérieur protégeant la vitrine d'un magasin.
Durte de vie
Une étude statistiq ue a permi s d'obtenir les valeurs suivantes de la fonction de fiabili té 1 ~ R(I) du système où r désigne le nombre de jours depuis l'installation de celui-ci.
112
1 90 R(I) 0,89 lolR(11I
I, 53 178 255
347 45 8
200
360
500
750
1000
1200 1500
0,76
0,61
0.51
0,36
0,25
0, 19
Ch.p. 7 : Fiabilité
fabrique des pièces
600
0,13
805 1151
237
Nbre hltal d'él. d!faillants n j à l'inslalll ' j
FUj )
= ";110
RUj )
~.feU Fiabilité d'ampoules L'étude de la durée de vie de 15 ampoules identiques sur un banc d'essai a donné au bout de 1000 heures les temps de fonctionnement suivants classés en ordre croissant: 70, 120,200,250,350,430,550,620,780 860, les 5 aut.res ampoules étant toujours allumées. 1° En utilisant la méthode des rangs moyens, construire un tableau où figureront, pour chaque ampoule, TBF = li' F(ti) en % et R(/j) en %.
fonctionnement, suit une loi qui peut être approchée par la loi de Weibull, de paramètres 'Y = 100,,, = 100, ~ = 2. ) 0 Déterminer la MTBF et l'écart type de T, ainsi que la probabilité de bon fonctionnement jusqu'à la MTBE On donnera les valeurs approchées arrondies à 10- 2 .
r
Déterminer par le ca1culla périodicité d'un entretien systématique fondé sur une fiabilité de O,9.0n donnera le résultat à 1 unité près. 3° Déterminer, à 10-2 près, par le calcul le nombre de
2° Tracer le nuage de points Mj(tj, R(lj» sur du papier semi-Iogarithmique; en déduire que la variable aléatoire mesurant la durée de vie des ampoules suit une loi exponentielle.
jours au bout desquels 30 % des machines ont eu leur première panne.
Déterminer graphiquement la MTBE On admet pou r la suite que MTBF = 900 heures.
T~ 300. 5° Après avoir donné l'expression du taux de
3° En déduire le paramètre À et l'écart type de cette 101 exponentielle, ainsi que l'expression de RU).
défaillance Mt), le représenter graph iquemen t sur l'intervalle [100, 500]. Que peut-on en conclure du point de vue de la fiabilité?
Calculer la probabilité de survie à la MTBE On donnera la valeur exacte et la valeur approchée arrondie à 10- 4 près.
4° Calculer, à 1 heure près, le temps de bon fonctionnement pour une défaillance, admise de 50 %.
4° Déterminer, à JO-2 près, la probabilité de l'événement: 200 ~
~ .-- Quand la variable aléatoire prend pour valeurs des kilomètres au lieu d'un TBF On a noté, au moment de la mise hors circu lation (à la casse ou autre ... ), le kilométrage de 100 véh icules du même modèle S. On a obtenu l'historique suivant:
1.. ··tl
[0,50] ]50.80] ]80, 1101 ]1I0,140J ]140,170J
ses paramètres
~ • Application directe du cours Soit T la variable aléatoire qui associe à toute machine d'un modèle donné, tiré au hasard, son temps de bon fonctionnement avant défaillance, exprimé en mois. T suit la loi de Weibull caractérisée par:
R(t) = exp [ - (' ~d 0)"3] 1° Calculer peT ,.,:;;: 30). On donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée arrondie à 10- 2.
r
Calculer, à 10- 4 près, P(T > 25).
3° Déterminer la MTBF et l'écart type de T. On donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée arrondie à 10-2
_ _, 5 20 38 32 5
1° À l'aide du papier de Weibull, on a déterminé les paramètres de la. loi de Weibull ajustant cette distribution. On a trouvé 'Y = 0, f3 = 3,8 et " = 110. Donner l'expression de R(t). r Déterminer, à 10- 4 près, la probabilité qu'un véhicule du modèle S roule plus de 70000 km, plus de 200000 km. 3 ° Si l'on considère un très grand nombre de véh icules S, quel est le nombre de milliers de kms, en moyenne, que l'on peut espérer effectuer avec ce type de véhicule?
~ •• Les paramètres sont connus
Utiliser la loi de Weibull et la méthode des
moindres carrés Un atelier est équipé de 30 machines du même type, pour lesquelles on a constaté un coût de maintenance important. La direction de l'usine décide d'étudier la politique de maintenance à appliquer.
§J'"
On relève le nombre de jours de bon fonctionnementf des 30 machines au cours d'une année. On constate alors que la variable aléatoire T qui, à toute machine de ce type tirée au hasard, associe sa durée de bon
238
Un tour à commande numérique fabrique en grande série des cylindres. L'équip~ de maintenance a relevé pendant plusieurs mois les temps de fonctionnement, en heures, entre deux réglages consécutifs du tour et a étab li le tableau suivant:
a) vérifier que la variable aléatoire T suit une loi de Wei bull de paramètre 'Y = 0; b) déterminer les deux autres paramètres de cette loi;
où fi représente le temps de fonctionnement entre deux. réglages consécutifs et F(l;) le pourcentage cumulé de réglages effectués avant le temps fi.
c) déterminer à quel instant lO la fiabilité d'une telle machine est de 70 % ;
d) déterminer, il 10- 4 près, p(T'" 6).
1° On pose IIi = ln lj el \'j = ln( -lnR(ti» Montrer par la méthode des moindres carrés, à raide de la calculatrice, que les points M j (lI j , Vi) peuvent être ajustés par une droite d'équation l' = (lU + b. (l sera arrondi il 10- 2 , b il 10-] Donner, à 10- 4 près, Je coefficient de corrélation entre Iletl'. Justifier l'ex.pression de R(t) : R(t)
Déterminer graphiquement les paramètres de la loi de Weibull
"
= e- he;}
2° E:
~ •• Problème d'engrenages
tée par une loi de Weibull dont on déterminera les paramètres. 30 Calculer, il 10- 1 près, la MTBF el, il 10-2 près, la probabilité de ne pas avoir de réglage à faire avant cette MTBE
Une usine fabrique des engrenages. Le service de maintenance a relevé leurs durées de vie en usure accélérée.
Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous:
oum: de vie (heu... )
4° Déterminer par le calcul, à une unité près, la périodicité de réglage systématique basée sur une fiabilité de 90 %.
~ ... Avec fa foi de Weibuff Une machine fabrique des pièces cylindriques en grande série. Le parc de l'atelier comporte 10 machines fonctionnant dans les mêmes conditions. Afin d'étudier la fiabilité de ces machines, on relève le nombre de jours de bon fonctionnement avant la première défaillance. Les résultats sont: 50 ; 44 ; 18 ; 85 ; 70 ; 30 ; 60 ; 36 ; II ; 24. On désigne par T la variable aléatoire qui, à toute machine de ce type tirée au ~asard, associe sa durée de vie. )0
On pose"i = Inti et v j = In( -ln R(tj».
Montrer par la méthode des moindres carrés. à l'aide de la calculatrice, que les points Mj(u j. Vj) peuvent être ajustés par une droite d'équation v = au + b. a et b seront arrondis à 10- 4 .
Ftt,) en poun:enIIIFI
250
3
350
11
400
18
510
40
550
50
600
63
750
91
800
96
F(tj) est le pourcentage d'engrenages hors service à la date tj.
1° À l'aide du papier de Weibull justifier que la variable aléatoire qui prend pour valeurs la durée de vie des engrenages peut êlre ajustée par une loi de Wei bull. Déterminer les paramètres de cette loi. Les résultats seront arrondis à l'unité. 20 a) Calculer, il 10- 2 près, la MTBF ell'écarl type de cette loi de Weibull.
Donner, à 10- 4 p~s, le coefficient de corrélation entre Il ett l •
b) Déterminer, à J heure près, par le calcul au bout de combien de temps, 5 % des engrenages sont défectueux. Vérifier graphiquement le résultat obtenu.
2° En prena~t des valeurs approchées à 10- 2 près des
JO Une transmission mécanique comporte une série de
coefficients, montrer que l'équation peut s'écrire: v ~ 1,6u - 6,13.
trois engrenages i.dentiques dont les durées de vie suivent la loi précédente et fonctionnent de façon indépendante. QueHe eSl, à 10- 2 près, la probabilité que la durée de
En déduire une expression de R(t) sous la forme: R(t)
Chap. 7 : Fiabilité
~ e- (~)'
vie d'un tel système soit au moins de 300 heures?
239
êJ **.
A. Jf! mtthode : utilisation du papier de Weibull
Avec la loi de Weibull (autre méthode)
10 Tracer le nuage de points Mi('i' F(l» sur le papier de Wei bull et e-n déduire les paramètres de celle loi , ainsi que l'expression de R(t). r Déterminer, à 10- 2 près, la MTBF, calcu ler, à 10- 3
Une machine fabrique des pièces cylindriques en grande série.
Le parc de )' atelier comporte 10 machines fonctionnant dans les mêmes condi tions.
près, l'écart type de la distribution ajustée.
30 Déterminer, à 10 - 2 près, graphiquement la périodi-
Afin d'étudier la fiabil ité de ces machines, on relève le nombre de jours de bon fonctionnement avant la première défaillance. Les résultats sont:
cité d'un entretien systématique fondé sur une fiabilité de 0,95.
50; 44; 18; 85; 70; 30; 60; 36; Il; 24.
B. 2f! méthode .- méthode des
moind~s
carrés Une calcu latri ce permet, par la méthode des moindres carrés, de trouver les paramètres de la loi de Weibull ajustant cette distribution. 1° En utilisant l'expression de R(t) donnée dan s le formulaire, démontrer que: In[-lnR(t)] = ~ In(t -~) - ~ In'1. 2° Le coeffic.:ient de corrélation entre x = ln t et y = ln 1- ln RU)] montre que l'approximation par une relati on affine par la méthode des moindres carrés est justitïée dans le cas étudié . Soit y = ax + b une équati on de la droite d'aju stement de )' par rapport à x. On prend comme approx imation de a la valeur 4 et comme approximation de b la valeur O. En déduire les paramètres -y, 13, TI, ainsi que l'expression de RU). 3° Déterminer, à 0,01 près, par le calcul la périodicité d'un entret ien systématiq ue fondé sur une fiabilité de 0,95.
On désigne par T la variable aléato ire qui, à toute machine de ce type choisie au hasard, associe sa durée de v ie.
l a En utili sant la méthode des rangs moyens et à l'aide du papier graphique de Weibull fourni en annexe: a) vérifier que la variable aléatoire T suit une loi de Wei bull de paramètre 'Y = 0; b) déterminer les deux autres paramètres de cette loi; c) déterminer, à 1 jour près, à quel instant to la fiabilité d'une telle machine est de 70 %;
d) déterminer, à 10- 3 près, peT '" 6). 2° Vérifier par le calcu l les résultats obtenus dan s les questions 1°c) et d ). 3° Calculer, à l jour près, la MTBP. 4° Un système (S) est constitué de deux machines du type précédent, montées en série et fonctionnan t de manière indépendante (le système (S) est donc défaillant dès qu'une de ses machines l'est). Déterminer, à 1 jour près, le temps au bout duquel (S) doi t être changé, sachan t que la probabilité de survie de (S) doit rester supérieure à 70 %.
Détermination des paramètres d'une loi de Weibull par la méthode graphique et par la méthode de moindres carrés ~ u* Lampes de projecteurs
Exercices d'examen
§J *** On retrouve le calcul intégral 1° Calcu ler, en fonct ion du réel vantes: t a) F(x) = JX 1. e -, dt. 05
Une société utilise des l:lmpes de projecteurs toutes identiques. Une étude de la durée de vie de ce type de lampes pendant un an et demi a permis d'obtenir le tableau suivant, où f est le temps exprimé en années et F(r) le pourcentage cumulé de lampes hors d'usage à l' in stant t :
,
.1',
les intégrales sui-
t
J'051. te - ' dt.
b)J(x) =
(On utilisera une intégration par parties.) t
'; en ann6es 1'(1,) en
'"
0,25
0,5
0.75
1
t,25
1.5
0,4
6
30
63
90
99
c) K (x)
=
J" 1. ?-e -:5 dt.
05 (On utilisera deux intégrations par parties.)
r
On veut déterminer une périodicité d'entretien systématique fondé sur une défaillance admise de 5 %.
En déduire: 1 = lim
J =
240
x.-;+œ
lim
x--+ + IX
J(x) et K =
F(x)
li m
x--+ + œ
K(x).
3° En utilisant les résultats précédents: a) Montrer que la fonction f définie sur] -
°
00,
t
b) On admet que la fiabilité du système suit une loi exponentielle. En déduire graphiquement la MTBF puis, à 10 - 5 près, le taux d'avarie. e) Calculer, à 10- 3 près, la probabilité de voir le sys-
O[ par
= et sur lO, +
!(I)
b) On considère des congélateurs d'un certain type. Soit T la variable aléatoire qui, à tout congélateur tiré au hasard, associe sa durée de vie exprimée en années. Calculer l'espérance E(T).
tème tomber en panne pendant l'année de garantie.
®.
c) Calculer l'écart type ,,(T).
4° En utilisant la fonction de répartition F de la variable aléatoire T sur [0, + 00[. déterminer, à 10- 3 près, la probabilité qu'un congélateur fonctionne moins de 5 ,ms, plus de 5 ans.
< 1)
OJ.<,.: -l " ~wU
H-:t-u--
Avec fa foi exponentielle
On s'intéresse à un type de constituant fonctionnaJll dans un appareil, en moyenne, trois heures par jour. Dalls a qui suit les résultats llpprochb seroll' llrroll·
dis à 10- 3
A. Trois machines Ml' M 2• M3 fabrique.nt ce type de constituant dans la proportion suivante:
5° a) Donner l'expression de R(T). b) Calculer, à 10 - 3 près, P(T "" 10). e) Déterminer, à un mois près, 1 tel que P(T
p~
20 % pour la machine Ml; 50 % pour la machine M 2 ; 30 % pour la machine M3.
= 0,01.
La probabilité qu'un constituant tiré au hasard parmi la production d'une machine soit bon est: PI = 0,9 pour
§!] .. Sésame ouvre-toi!, loi exponentielle
MI' l', = 0,95 pour M2' 1'3 = 0,8 pour M3·
La commande d'un portail automatique est composée de trois éléme,nts : une commande manuelle à infrarouges type plip, un récepteur et un vérin électrique. Une étude statistique des pannes de chacun des trois éléments constitutifs du portail automatique permet d'estimer que la probabilité de panne à chaque utilisation est de 0,001 pour le plip, 0,0005 pour le récepteur et 0,000 1 pour le vérin. Les pannes des trois éléments sont supposées indépendantes. 4 } O Calculer, à 10près, la probabilité de panne du système au cours d'une utilisation par l'usager. 2° Le portail automatique est utilisé deux fois par jour (soit 730 fois par an). Quelle est, à 10- 4 près, la probabilité que ce portail soit en panne au plus trois fois dans l'année? (On admetl.ra que l'on se trouve dans les conditions d'application d'une loi de Poisson et on montrera que le paramètre est ;\ = 1,168). 3° Pour étudier la fiabilité du système on a relevé le nombre de jours de bon fonctionnement avant panne et on a obtenu le tableau suivant:
On achète un constituant tiré au hasard parmi la production totale. } O Calculer
la probabilité que le constituant soit bon.
ZO Le constituant acheté étant bon, calculer la probabilité à 0,001 près qu'il ait été fabriqué par Ml' B. On suppose que la probabilité qu'un constituant, acheté au hasard, soit bon est constamment de 0,895. Calculer pour un lot aléatoire de 10 constituants achetés, la probabilité qu'au plus un soit mauvais. On considérera que les constituants achetés sont bons ou mauvais indépendamment les uns des autres. C. On note Tla variable aléatoire qui, il tout constituant aléatoire, associe sa durée de vie en jours et on note pour 1 > 0, R(I) = P(T > 1). L'étude des temps de bon fonctionnement d'un lot de constüuants fabriqués par une machine a permis de placer des points de coordonnées (t j , R('j» sur du papier se mi-logarithmique, voir ci-après.
} ° La variable T suit une loi exponentielle de paramètre;\ : - Expliquer pourquoi.
"
100
250
450
600
750
900
1100 1400
/1(1,)
0,86
0,69 0,51
0,41
0.32
0,26
0,19 0,12
- Estimer ;\ en se servant du graphique. - En déduire R(t) en fonction de 1.
où 'i désigne le nombre de jours et R(t;) la v:lleur prise par la fonction de fiabilité il la date t i.
- plus de 100 jours;
a) Tracer le nuage de points M;(t;, R(ti» sur du papier semi-Iogarithmique.
Ch.p. 7 : Fiabilité
2° À l'aide du graphique, déterminer successivement la probabilité qu'un constituant fonctionne: - moins de 50 jours.
24l
r
• Déterminer l'événement A n B. • Montrer que la probabilité que la machine n'ait pas eu de défaillance pendant les 1100 premières heures d'utilisation , sachant qu'elle n'en a pas eu au cours des 800 premières est approximativement 0,741.
Retrouver ces résultats par le calcul, en utilisant l'expression de R(t) trouvée au 1 0 • 1 0,9 0,7
f'.~
0,5
·H .
Test bilatéral, loi de Weibull/ loi normale
1 0,368 1
0,3
1 1 , 1
l'
Les parties A, B et C SOlit indépendantes. La société qui vous emploie utilise une pièce OS 117 sur une de ses machines. Le fabricant des pièces OS 117 affirme que leur durée de vie moyenne est de 600 heures. Vous devez contrôler l'affirmation du fabricant et étudier la fiabilité de ces pièces car leur coût est important et le délai de livraison est d'un mois.
~
0,2
t--f'.0,1
o
t
100
200
400
300
Fig.
j
1
~ ••• Probabilités conditionnelles et loi exponentielle Un technicien en maintenance a étudié le temps de bon fonctionnement de machines d'un type donné. La moyenne des temps de bon fonctionnement (MTBF) est de 1 000 heures. On admet que la variable aléatoire X, qui, à toute machine de ce type, prise au hasJrd, associe sa durée de vie t exprimée en heures. suit une loi exponentielle. On désigne par R la fonction de fiabilité correspondante.
Les résultats demandés seront dOl/nts \'Oleurs dk imales arrolldies à 10- 3.
SOIIS form~
dt!
Vous possédez l'historique de panne des 36 dernières pièces déjà utilisées. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque pièce OS 117, prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de vie exprimée en heures. A. Dans un premier temps vous décidez de tester au moyen d'un test bilatéral, au seuil de signification 5 %, l'hypothèse selon laquelle la durée de vie moyenne des pièces est bien j..L = 600 heures. Pour l'échantillon des 36 pièces déjà utilisées vous trouvez la moyenne = 540 heures et l'écart type s = 160 heures. Pour construire le test vous supposez que la variable aléatoire X suit approximativement une loi normale de moyenne j..L inconnue et d'écart type estimé par
x
cr~160~. 1 0 Préciser l'hypothèse nulle Ho et l'hypothèse alternativeH J •
r
On note X, la variable aléatoire qui, à chaque échan· tillon aléatoire de 36 pièces OS 117, associe la durée de vie moyenne des pièces de l'échantillon.
1 0 Déterminer l'écart type CT de X. En déduire l'expression de R(t) en fonction de t. 2 0 On tire au hasard une machine du type considéré. a) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants: -la machine n'a pas eu de défaillance au cours des 800 premières heures d'utilisation; - la machine a eu une défaillance au cours des 900 premières heures d'utilisation. b) Soit A l'événement: « la machine n'a pas eu de défaillance au cours des 800 premières heures d'utilisation • . Soit B l'événe.ment : « la machine n'a pas eu de défaillance au cours des 1 100 premières heures d'utilisation » .
242
La production est suffisamment Importante pour que l'on puisse assimiler tout échantillon de 36 pièces à un échantillon de 36 pièces prélevé avec remise.
Quelle est, sous ~hypothèse nulle Ho, la loi de la variable aléatoire X ? Déterminer le réel positif Il tel que: P(6oo - h '" X '" 600 + h) ~ 0,95. 3° Énoncer la règle de déc-ision de ce test, utiliser ce test avec l'échantillon ci-dessus et conclure. B. Dans un deuxième temps vous décidez d'étudier à l'aide de l'historique précédent la fiabilité des pièces OS 117. Cela vous a permis de constater que la variable aléatoire X suit approximativement la loi de
Weibull de par.lmètres "Y = 100 heures, Tl = 500 heures.
~ =
3 et
1° Déterminer, à 10- 1 près, la MTBF et j'écart type de cette variable aléatoire, donner l'expression de R(r). 2° Déterminer, à 10- 2 près, par le calcul, à quel in stant f,
la pièce OS Il? a une fiabilité égale à 0,9.
3° La pièce OS Il? fonctionne 16 heures par jour (y compris les jours fériés). Dès la défaillance de cette pièce on la remplace par la seule pièce en stock et on commande immédiatement une autre pièce. Le délai de li vraison est de 30 jours.
Chap. 7 : Fiabilité
Quelle est, à 10- 3 près, la probabilité que la pièce OS Il? tombe en panne avant l'arrivée de la pièce de rechange? C. Dans un troi sième temps, vous décidez de comparer les résultats précédents (B. 2° et 3°) à ceux que l'on obtiendrait en admettant que la variable aléato ire X suit approximativement la loi normale de moyenne 546,5 et d'écar' 'ype 162,5.
243
Sous cette hypothèse: 1° Déterminer, à 10- 2 près, t tel que P(X > t) = 0,9. 2° Calculer, à 10- 3 près, P(X '" 480).
DES ÉPREUVES POUR LE GROUPEMENT B
On suppose que At suit la loi normale de moyenne = 250 et d'écart type 0'1 = 1,94.
Épreuve 1 Exercice 1
ml
(9 points)
_--,.-,--__- - - - - - - - - - - - - - - ,& • Loi binomiale • Loi normale • Variablc~ aléatoires indépendante~ • Probabilitts conditÎonnelle,.
Groupement B
On suppose que N suit la loi normale de moyenne "'2;:: 150 et d'écart type (12::; l ,52. 1 0 Calculer la probabilité que la longueur d'une pièce p~levée au hasard dans ce lot soit comprise enlre 246 et
x
Groupement C
x
Groupement 0
x
254.
2° Calculer la probabilité que la largeur d'une pièce p~levée au hasard dans ce lot soit comprise entre 147 eL 153.
US parties A, B et C de Cft' exercice peUI'e1l' être tra;tüs de façoll.5 iruJépendallft!s. Une entreprise fabrique, en grande quantité , des pièces métalliques rectangulaires dont les côtés sont exprimés en millimètres. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que la longueur el la largeur des pi èces sont conformes il. la norme en vigueur.
Dalls ce qui suit, tous les rbllitals approchés uroflf arrrmdis li JO-J. Partie A
On note E l' événement: « une pièce prélevée au hasard dans le stock de l'entreprise est conforme ». On suppose que la probabilité de J'événement E est 0,9. On prélève au hasard 10 pièces dan:, le stock. Le stock est assez imporlanl pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pièces. On cons idère la variable aléatoire X qui, il. tout prélèvement de 10 pièces. associe le nombre de pièces conformes parmi ces 10 pièces.
3° Une pièce est conforme si sa longueur est comprise entre 246 et 254 el si sa largeur est comprise entre 147 eL 153. On admet que les variables M et N sont indépendantes. Montrer que la probabilité qu ' une pièce pré levée au hasard dans ce lot soi t conforme est 0,914. Pa rti~
C
Une autre machine automatique de l' entrepri se, notée « machine 2lt fabrique également ces mêmes pièce ~ en grande quantité. On suppose que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée de la machine 1 soit conforme est PI = 0,914 et que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dan s la producti on d'une journée de 1.1 machine 2 so it conforme e~t P, = 0,879. La machine 1 fournie 60 % de 1:.\ production totale de ces pièces et la machine 2 le reste de cette production.
On prélève au hasard une pièce parmi la production totale de l'entreprise de la journée.
10 Ju stifier que la variab le aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Toutes les pièces ont la même probabi lité d'être tirées.
2° Calculer la probabilité que, dans un lei prélèvement, 8 pièces au moin s soient conformes.
A: « la pièce provient de la machine 1,. ;
Parli~
B : « la pièce provient de la machine 2,. ;
C : la pièce est conforme,..
B
Une partie des pièces de la production de l'entreprise est fabriquée par une machine auto matique notée « machine 1 ». Soient AI et N les variables aléatoires qui. à chaque pièce prélevée au hasard dans un lo t très important fabriqué par la machine l , assoc ient respectivement sa longueur et sa largeur.
Épreuves de révision pour les BTS du groupement B
On définit les événements suÎvants :
249
l ' DéLerminer les probabi lités P(A), P(B), P(C/A), P(C/B).
(On rappelle que P(C/A) eSl la probabiliLé de l'événement C sachant que J' événement A est réali sé.)
2' En déduire P(C n A) eL P(C n B). 3' En admen,nL que C = (C n A) U (C n B), calculer P(C).
Exercice 2 (Il points)
d) Tracer
• Ré!Olution d'une équation différentielle du pœmier ordro. • Développement limiré. ·In(égration par parties.
C. Calcul illtlgral ) 0 Soit ex un réel strictement négatif; on pose I(n) =
r
f(x) dx.
Démontrer que J(a) =
Groupement B
x
Groupement C
seulement le A
Groupement D
seulement le A
-~ - (~Cl - ~)
e
2a . On pourra
effectuer une intégration par parties. 2° a) Calculer la limite de J(a) quand a tend vers _ 0 0 . b) À l'aide d'une phrase, donner une interprétation graphique de ce résultat.
Les trois JXlrti~s de cet exercice pell\'ent être traitées de façon indépendante. A. Résollltion d'une équation différentielle On considère l'équation différentielle (E) :
r
y' - 2)' = e 2 (.
C-
Où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur R et y' sa fonction dérivée.
c-
1° Résoudre sur R l'équation différentielle (Eo) : y' - 2y = O.
r
T dans le repère de l'annexe,
b
Soit h la fonction définie sur IR par "(x) = xe . Démontrer que h est une solution particulière de J'équation différentielle (E).
1-
r
,v
t
!
~
+
~
+
-
t
-
+ f+
H
-- +
-J
1
-
'C
'. -
-
1
3° En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 4° Déterminer la solution particulière
f de J'équation
(E) qui vérifie la condition f(O) =-1.
B. Étude d'ulle fOl/ction Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = (x - 1)e;2.r. Sa courbe représentative ~ est donnée dans le repère de l'annexe (à rendre avec la copie).
r
a) Calculer lim f(x), .l-t+ _
b) On ..dmet que Iim .l'e2x = O.
Épreuve 2
En déduire lim f(x).
Exercice 1
,(-t - _
• Loi normale. • Loi binomiale. • Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson. • Probabili~s conditionnelles.
c) Interpréter géométriquement le résultat obtenu
au h).
r
a) Démontrer que, pour tout x de IR, f'(x) = (2x - 1) el'. b) Résoudre dans IR l'inéquation ['(x) ~ O. c) En déduire le sens de variation de f sur IR.
3° a) À l'aide du développement limité au voisinage de ode la fonction exponentielle 1 ~ e, donner le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction x t-+ e 2 (. b) En déduire que le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction f est: f(x) = -1 - x + ~.r' +
x' ,(x) = O.
c) En déduire une équation de la tangente r à la courbe ce au point d'abscisse 0 et la position relative de ~ et Tau voisinage de ce point.
(8 points)
Groupemenl B
x
GmupementC
x
Groupemem D
x
Ul question 3° est indépendclIIle des deux questions JO et 2°. Une machine usine des billes de roulements à billes. Soit D la variable aléatoire qui, à toule bille prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre. On suppose que D suit une loi normale de moyenne réglable J.L et d'écart type cr dépendant de la précision de la machine.
250
Tous Its risllitats, sallf indication contraiT?, stront arrondis à 10 - 2 .
1° Les billes fabriquées dOÎvent avoi r un diamètre de 8 mm ± 0,012 mm. a) La machine a été réglée pour avoÎr J.L = 8 mm et CT = 0,006 mm. Quelle est la probabilité qu'une bille prise au hasard dans hl production soi t acceptable?
A : « la pièce est acceptable
)t .
a) Déterminer les probabilités prE,), prE,), prAIE,), P(AIE,). b) En déduire PlA nE,) et PlA nE,).
e) On admet que A = (A nE,) U (A nE,). En déduire P(A) et la probabilité de l'événement B : « la pièce pré levée au hasard est défectueuse.
)t
b) La machine étant réglée pour obtenir J..L = 8 mm, quel devrait être l'écart type CI pour que le pourcen· tage de billes acceptables soir de 99 %? (Le r6sultat sera donné à 10 - 4 près). c) Après un usage important, l'écart type est passé à = 0,016 mm et le réglage plu~ délicat donne Il = 8,011 mm.
CT
Quelle est la probabilité qu'une bille prise au hasard dans la production so it acceptable '! 2° On suppose dans ceUe question que la proportion de billes acceptables dans la production est de 95 %. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque lot de" billes prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de billes défectueuses. On a::.simile le cho ix d'un lot à un tirage avec remise.
= 10.
Calculer la probabilité que l' échantillon contienne au plus 2 billes défectueuses. c) Soit
Il
=
d'tille _ d6iDie .va; la fonction eJl:pooentielle. • Rechen:1t< d'un ~ limill!. • Calcul d'aire. • R.&olution d"une 6quation diff&entielle du second ordre.
Groupement B
x
Groupement C Gmupement 0
A. Soit f(x)
f la fonct ion définie sur IR par :
= 2xe - 2x .
On désigne par
100.
x ......
• On admet que la loi de probabilité de X peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre À. Quelle est la valeur de À ? • Soit Z une variable aléatoire su ivan t la loi de Poisson obtenue. Déterminer la probabilité que le lot tiré contienne plus de deux pièces défectueuses. 3° L'usine achète une deuxième machine plus perfor· mante. Elle dispose donc d'une machine 1 fournissant un tiers de la production totale et d'une machine 2 fou r· nissant le reste de la production. 95 % des pièces produites par la machine 1 sont accep· tables et 99 % de celles produites par la mach ine 2 sont acceptables. On prélève au hasard une pièce dans la production Iota· le de "usine de la journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être tirées. On définit les év~ne ments suivants:
El : « la pièce provient de la machine 1 » ; El : « la pièce provient de la machine 2
(12 points)
• ~ dei _
us dtllX /xlrties A et B SOli' illdtpendalTft!.\".
a) Montrer que la variable aléatoire X sui t une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Donner son espérance mathématique.
b) Soit Il
Exercice 2
+_
J(x).
c) On donne sur les dessins su ivants les courbes représentatives respectives
l
r
1
.
)t ;
Courbe 1
Épreuves de révision pour les BTS du groupement B
251
r l'ensemble de.s solutions de l'équation différent ielle (E 2).
r
3° Déduire du 1° et du
Épreuve 3 Exercice 1
(10 points)
- Loi normale.
Év~nements in~pendants. 1 -- Loi binomiale.
Courbe 2
PoinOD.
r
l 1
Groupemenl B
x
Groupemenl C
x
Groupemenl 0
x
Les trois questions de cet exercice .'10111 indépendal1les.
Une usine fabrique de grandes quantités d'un certain type de pièces mécaniques dont les dimensions théoriques sont 65 mm pour la longueur, et 1 mm pour la largeur.
°
l
Courbe 3
On admet que f est l'une des trois fonclion~ fI' f! ou Ir Laquelle de ces trois fonctions est la fonction f '! Justifier votre choix. r Déterminer par le calcul J'abscisse du point où la courbe
- Approximation d'uoc loi bioomiale par une loi de
+ .r E(x). avec
lim E(X) = .l~O
O.
cr
b) En déduire une équat ion de la tangente à la courbe ~ au point d'abscisse 0, et la position relative de «S e l 'Tau voisinage de ce point. 4 ° a) Démontrer, à J'aide d'une intégration par parties,
I
2
que la valeur exacte de j'intégrale
J(x) dl" est
0 1 = 1(1 - 5e -'). 2 2 b. Déterminer l'aire en cm , à 10- 3 près par défaut, de la panie du plan limitée par la courbe ce, l'axe des abscisses elles droites d'équations x = 0 et x = 2.
B. So it (El) l'équation différentielle:
+ 5)" + )' = 0, où y désigne une fonction de la variable réelle x, définie et deux foi s dérivable sur R y' et yU les fonctions dérivée première et dérivée seconde de )'. 4)'''
1° Résoudre l'équation différentielle (EJ
r
Démontrer que la fonction 1 définie sur IR par I(x) = 2 x e - 2.r est une solution particulière de l'équation différentielle (E,) : 4.\''' + 5y' +v =2~-'-'(7x- Il).
252
Dans a qui Juif, tous les résultats approchés semllt armlldis cl JO -J.
1° Une pièce de ce type a une largeur acceptable lorsque cel le-ci, exprimée en millimètres, est comprise entre 9 et J 1. On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe sa largeur. On suppose que L suit la loi normale de moyenne 10 et d'écart type 0,5. Déterminer la probabilité qu'une pièce ait une largeur acceptable.
r
On note A l'événement: « une pièce prélevée au hasard dans un stock important prése nte un défaut de résistance à la torsion ». On note B l'événement « une pièce prélevée au hasard dans le stock présente un défaut de longueur ». On admet que les probabilités des événements A et B sont P(A) = 0,03 et P(B) = 0,02 et on suppose que ces deux événements son t indépendants. Calculer la valeur exacte de la probabilité de chacun des événements suivants: a) El: « une pièce prélevée au hasard dans le stock présente les deux défauts » ; b) E"J. : « une pièce prélevée au hasard dans le stock présen te au moins un des deux défauts » ; c) EJ : « une pièce prélevée au hasard dans le stock ne présente aucun des deux défauts » .
3° Dans une grosse livraison destinée à l'exportation, on prélève au hasard 40 pièces pour vérification. La livrai son est assez importante pour qu'on puisse assi-
miler ce prélèvement à un tirage avec remise de
B. Étude d'uI! graphique
40 pièces.
Sur le graphique en annexe (à rendre avec la copie) figurent les courbes représentatives .:cl' ~:!' «,3 et «54 des qu,ure fonctions fI' 12 , 13 et f4 définies sur [R par:
On cons idère la va riabl e aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini de 40 pièces, associe le nombre de ces pièces présentant au moins lm des deu;!; défauts. Dans cette question, on prend 0,05 comme valeur approchée de la probabilité de l'événement « une pièce prélevée au ha ... ard dans la li vraison présente au moins un des deux défauts )t. a) Expliquer pOLlrquoi X suit une loi binomiale; déterminer les paramètres de celle loi.
b) On approche la loi binomiale par une loi de Poisson de même espérance mathématique. Déterminer le paramètre de cette loi. e) En utilisant la loi de Poisson, déterminer la probabilité de l' événement:
F: « le prélèvement contie.nt au plus deux pièces réalisant l'événement El '"
Exercice 2
JI(x)
1° a) Calculer f,(O), f,(O), f,lO) et f,(O). b) Sur le graphique de l'annexe, A et B sont deux points de même abscisse 0,6 situés c hac un sur une des courbes. Donner par lecture graphique des valeurs approchées des ordonnées des points A et B. c) Compléter le graphique de l'anne"e, après l'avoir reproduit, en mettant dans chacun de s quatre cadres prévus le nom de la courbe çorrespond;mtc (on ne demande pas de justification).
r
(10 points)
• RtsoJulioô d'une équatiun différentielle du second ordre. • Élude de~ variation~ d'une fonction définie avec la fonction exponentielle. • te.:.... graphique.
Groupement B
x
Groupement C
x
T ..
.. .. ..
f
L'objectif de cet exercice est de résoudre /lne iqumioll différentielle et de sïll1éresur à fa liaison ent/? la
+
cO/lrbe représelltatil'(O d'une fOllctioll el li celle de sa fonctioll dérÎ\'ü, ce lien étant utilisé da/ls d'autres di,~ ciplines scientifique,,'. d~
a) Tracer sur le même graph iqu e la droite eli d'équation : )' = 2\' + 1. b) À quelle(s) courbees) cette droite est-elle tangente au point d'abscisse 0 ? Justifier.
+ + +
Groupement D
Les trois pllrlies peul'e111 être traitées
= e" fi\') = é", f 3(x) = -4 el' + 8 e2.t.
et fl\') = -4 e( + 4 é ·l . Les unités graphiques sont JO cm sur l'axe des abscisses et 2 cm s ur l'axe des ordonnée s. Deux de ces courbes se coupent au point de coordonnées (0, 1).
1
,
•
1
1 ..
.l
~
~
façon ;ndé-
p~nda1lfe.
L
A.Risolutioll d'une équmiol1 d~fJ'henti~lIe. On considè re l'équation différentielle
(E) : y" - 3,v'
o
+ 2y = 0,
où )' désigne une fonction numérique de la variable réelle x, détinie et deux fois dérivable sur [R,)" sa fonction dérivée et)''' sa fonction dérivée seconde.
2° Soit g la fonction numérique définie sur
C.Dt /erminatioll du minimum de la JOf/ctioll dans la parti~ B.
ut par:
°
La fonction g est-elle une solution de l'équation (E) ? Justifier. 3° Donner la sol uti on Il de (E) qui vérifie les cond i-
°
et Il'(0)
= 4.
Épreuves de révision pour les BTS du groupement B
14 défillie
Une lecture graphique permet d'observer que la fonction /4 admet un minimum en lm point d'abscisse Xo de l'intervalle [ - l , J, mais la valeur de Xo ne peut être lue avec une grande précision. Une é tude de la fonction va permettre d'en donner la valeur exacte.
= -4 el + 8 e 2t .
tions initiales: li(O) =
x
[j
1° Résoudre l'équation différentiel1e (E). g(x)
o~
253
1° Calcul de la l'aleur ~;wct~ de .fo a) Faire l'étude des v'lriations de la fonction
/4 sur
l - 1, 0]. (On pourra remarquer que f'.ix) a même sig ne que 2<" - 1.) b) En déduire la valeur exacte dexoet la valeurexacte du minimum de /4 sur (-1, 01.
2° Illurpritation graphiqu~ de Xo il l'aide de la courbe ~priselllalil'e de la fOllctio" déril'ü La courbe représentative de la fonction dérivée 1'4 est l'une des courbes représentées su r le graphique de l'annexe. Ut ili ser cette courbe pour placer, sur le graphique, le point M correspondant au minimum de la fonction 14 sur la courbe <8 4 , Justifier et laisser apparents les traits de construction sur le graphique.
2° On note X la variable aléatoire qui, à chaque objet tiré au hasard dans la production, associe le nombre d'éléments défectueux de cet objet. a) Utiliser les résultats des questions précédentes pour donner : P(X = 0) et P(X = 2). En déduire P(X
= 1).
b) Calculer l'espérance mathématique de X. c) Sachant qu'un objelliré au hasard dans la produc-
tion est de deuxième choix, quelle est la probabilité que cela provienne de la défectuosité d'un et d'un seul élément '! 3° On prélève un échant ill on de 100 obje ts, pris au hasard et avec remise, dans la producti on. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre d'objets de deuxième choix dans cel échanti llon. a) Montrer que la variable aléatoire Y
~uit
une loi
binomiale dont on donnera les paramètres. b) Donner hl moyenne et l'écart type de Y. Cl = P(Y ~ 20). Expliquer pourquo i le calcul de a, par utilisation directe de la loi de Y, est long.
c) On veu t calcu ler le nombre
Épreuve 4
Exercice 1 (10 points)
On considère qu'on peut approcher la loi de Y par une loi normale. Donner ses paramètres. On note Z une variable aléatoi re qui suit cette loi normale.
• ~vmemcDts indqlendaots. • Probabililh conditionnelles. • Loi binomiale. • Approximation d'une loi binomiale par une loi normale.
Gmupement B
x
Groupement C
x
Groupement 0
x
On admet que la probabilité P(Z approximation sat isfaisante de Cl.
~
19,5) est une
Calculer P(Z '" 19,5).
Exercice 2
( 10 points)
Chacun de ces objets est constitué de deux éléments a et b.
• IUoolution d'une . . . . . dilRrmlielle ... premier ordre. • Recbeo:he d'un d&!veloppemeollimi"• Calculer une i~gnIe par partiel.
us rbultat$ demllIIdis serollt, s'il)' a lieu, arnmdis d JO - 2.
Groupement B
Une usine fabrique des objets d'un certain type.
1° On tire au hasard l'un des objets dans la production. On désigne par A l'événement: .. l'élément a de l'objet présente un défaut de fabrication » , par B l'événement: « l'élément b de l'objet présente un défaut de fabrication » .
Les deux événements A et B sont indépendants et on donne: P(A) = 0,1 et P(H) = 0,2. a) Calcule r p(A
n
B) et P(A U H).
b) La défectuosité d'un élément, au molns, suffit à faire déclasser un objet: il n'est plus de premier choix, mais de deuxième choix. Soit E l'événement : « l'objet est de deuxième choix » . Montrer que peE) = 0,28. En déduire la probabilité de l'événement: « l'ob'et est de premier choi x ».
254
x
Groupement C Groupement 0
parties A ~t B SOI/I indépelldalltes. A.Rbolutio" d'LUle équatioll diJfir~lItidle Soit (E) l' éq uatio n différentielle y'( 1 + x)' + 2)'( 1 + xl' = 1 où l'inconnue y est une fonction de la variable x définie et dérivable sur J- l, + co ( et où y' est la fonction dérivée de y. ] 0 Résoudre sur 1- l, + col l'équation différentielle (Eo) : i(1 + x)] + 2y( 1 + xl' = o. r Déterminer une fonction K de la variable réell e x définie et dérivable su r] - 1, + 00 L. telle que la foncUS
K(x)
.
Épreuve 5
tion " définie sur ] - 1. + 00 [ p~lr !l(x) 2' SOIt (x + 1) une solution particulière de (E). 3° Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (E). 4° Déterminer la soluti on particulière j de (E) qui vérifie la condition initiale j(O) = O.
Exercice 1
• R&olulion d'uoe ~uation diff~rentielle du premier
!(x)
=
(1
00 [
I
par :
,.
+ x)-
On désigne par ~ la cou rbe représentative de f dans un repère orthonormal (0; 7,J) d'unité graphique 4 cm. La courbe <€ est donnée ci-après. 1° a) Démontrer que, pour tout x de] - l, + oo l,
= 1-
J'(x)
21n(l + x)
+ x)' b) Étudier les vari ations de f sur ] -
l, + 00 1. Déterminer, par le calcul, lim j(x) et lim j(x).
r
... --t+ _
... ....,-1
lion logarithme • Calcul d'aire.
n~p&i.en.
Groupement B
x
Groupemenl C
x
Groupement 0
x
US /Xlrties A et B peuvent être traitées de jaçon indépe"dante, A.Soit (E) l'équation différentielle 1 y -_ --x )'• + - --, I +x (I+x)où y est une fonction définie et dérivable sur ] - 1, + 00 [ et y' la fonction dérivée de y.
(1
r
.1
ordr<. • Étude des variations d'une fonction ~finie avec la fone-
B. ttude d'une jOllction
Soit j la fonction définie sur J - l , + In(l + x)
(lI points)
3° a) Démontrer que le développement limité à J'ordre 2 de hi. fonction f au voisinage de 0 est 5 x' + x' E(x), avec Iim E(x) = O. !(x) = x - -2
Résoudre l'équation différentielle (Eo) :
v, +_I_,,=O. • 1 + x' 20 Soit li la fonction définie sur] -l,
HO
"(x) = - 1
+ oo[ par:
+ In( 1 + x)
b) Déduire du a) une équation de la tangente Tà <€ au point d'abscisse 0 et la position relative de
I +x a) Montre.r que It est une solution partil:ulière de
au voisinage de ce point.
(E) .
4° a) À L'aide d'une intégration par parties, démontrer
que 1'ln(l + x) dx= 1 - In2
o (1 + x)2 2 b) On considère la partie du plan limitée par la courbe les axes de coordonnées et la droite d'équation x = 1. On désigne par 9l son aire exprimée en cm2 • Calculer une valeur approchée arrondie à 10- 2 de e4.
B. Soit f la fonction définie sur] - l ,
ce,
pW fft 11= t,+
t
17
;::t
f-l-
H
"T
p
f-t'i" I -l-
l
'~
.I L
-x + In(l + x) 1+x et <6 sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité de longueur: 2 cm). 10 Montrer que, quand x tend vers - 1 par valeurs supérieures, la limite de f est - 00. 2° a) Montrer que, pour tout x de ] - l, + 00 l,
,J,
!(x) = _ 1 + _1_ + In(1 + x)
l+x
,
.1:-++ -
3° Déterminer les variations de j sur] - l, + 00 [. 4° Construire la courbe
.+ ++
g
~ ~ +~ ~
h
2
b
~ ~
Épreuves de révision pour les BTS du groupement B
I+x
b) En déduire lim f(x).
h
~
1
+ 00 [ par:
f(x)
rW !ijt~f
~.,-t
b) En déduire la solution générale de (E). c) Trouver la so luti on particulière g de (E) telle que g(O) = O.
255
Exercice 2
1
(9 points)
Épreuve 6
. loi normale.
Exercice 1
• ÉchantillOllllB&<. • Loi binomiale.
. Loi normal.. Événemen~ indépendants. 1 •• Loi binomiale.
• Approximalion d'une loi billOlllialc par une loi de
POisson.
x
Groupement C
x
Groupement 0
x
Les delu questions Solll indipendallles. ùs résultats approdl~.5 umm arrondis ellO - J.
Une usine produit des boules en grande série. 1° On défin it une variable aléatoire X en associant à chaque boule, prélevée au hasard dans la production, son diamètre exprimé en millimètres. On suppose que X sui t la loi normale de moyenne jJ. = 50 et d'écart type (T = 0,5. a) Déterminer le nombre réel positif a tel que la probabilité qu'une boule tirée ,lU hasard dans la production ait un diamètre compris entre 50 - a et 50 + li soit 0,95. b) Une boule est dite défectueuse si son diamètre n'est pas dans l'intervalle l49, 51]. Calculer la probabilité qu'une boule tirée au hasard soit défectueuse. e) On prélève au hasard des échantill ons aléatoires de 36 boules. Le prélèvement ainsi opéré sera considéré comme 36 tirages avec remise.
Groupement B
x
Groupement C
x
Groupement D
x
J
Les quatre questions de cet exerr:ia sont indépendantes. Une entreprise de matériel pour l'industrie produit des modules constitués de deux types de pièces: Pl et Pz' 1° Une pièce Pl est cons idérée comme bonne si sa longueur, en centimètres, est comprise entre 293,5 et 306,5. On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce Pl tirée au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur. On suppose que L suit la loi normale de moyenne 300 et d'écart type 3. Déterminer, à JO - z près, la probabilité qu'une pièce Pl soi t bonne. 2° 0n note A l'événement: _ une pièce Pl tirée au hasard dans la production des pièces Pl est défectueuse ». On note de même B l'événement: « une pièce Pz tirée au hasarù dans la production des pièces Pz est défectueuse ». On admet que les probabilités des événements A et B son t P(A) = 0,03 et P(B) = 0,07 et on suppose que ces deux événements sont indépendants.
On note X la variable aléato ire qui, à chaque échantillon , associe la moyenne des diamètres des 36 boules. QueJle est la loi suivie par X?
Un module étant tiré au hasard dans la production , calculer, à JO - 4 près, la probabilité de chacu n des événements suivants:
Déterminer le nombre réel positif b tel que P(50 - b '" X '" 50 + h) = 0,9. 2° On s uppose qu'il y a 5 % de rebut dan s la production. Un tirage au hasard de 11 boules de cette production est assimilé à un tirage avec remise. On désigne par Y la variable aléatoire qui associe à chacun de ces tirages le nombre de boules à rejeter parmi les 11 boules.
El: « les deux pièces du module sont défectueuses» .
Ez : « au moins une des deux pièces du module es défectueuse» ; EJ : ~ aucune des deux pièces constituan t le module n'est défectueuse ». 3° Dans un important stock de tels modules, on prélè ve au hasard 10 modules pour vérification. Le stock es asse.z important pour qu'on puisse assimiler ce prélè vement à un tirage avec remi se de la modules.
a) Montrer que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
= 10,calculerP( Y>
1
• E...timation d'une moyenne par intervalle de confiance.
Groupement B
b)Sin
(9 points)
1).
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélè vement de l a modules, associe le nombre de modules réalisant l'événement EJ défini au r.
e) Dans le cas où 1/ = 100, on admet qu'on peut approc.her la loi de probabilité de Y par une loi de Poi sson.
On suppose que la probabilité de l'événement E] es 0,902. a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale déterminer les paramètres de celle loi.
Déterminer le paramètre de cette dernière. On nOIe Z une variable aléatoire suivant celle loi de Poisson. Calculer P(Z < 6), Traduire ce résultat par une phrase en fran ça is.
256
b) Calculer, ~ 10 - 3 près, la probabilité que, dans un tel prélè ve ment, 9 modules au moin s réalisent l' événement El' 4 0 Dans cette quest ion on s' intéresse au diamètre des pièces Pl . So it X la variabl e aléatoire qui, à tout échantill on de 60 pièces P2 prélevées dan s la producti on de la journée cons idérée, associe la moyenne des diamètres des pièces de cet éc hantill on.
10 Résoudre dans IR l'équ ati on différe nti ell e (E') :
)''' - 2)"
+ y=O.
2 0 Déterminer les constantes réelles a, h, c pour que la fonction g défini e su r IR par : g(x) = + bx + c soit une solution particuli ère de J' équation (E).
ar
r et du 2° l'ensemble des solutio ns de l'équation différentielle (E) .
3 0 Dédu ire du
4° Déterminer la solution f de l'éq uatio n (E ) qui vé ri fie les conditi ons initiales t(O) = 0 et f( 1) = e + ~.
La producti o n est assez importante pour qu'on pui sse assim iler tout prélèvement à un tirage avec rem ise,
B. Étude d'uII~ fOllcl ioti
On suppose que X suit la loi normale de moyenne I-L et
Soient f et g les deux fo nct ions de la variable réelle x définies sur IR par :
d'écart type ~avec
v'6O
CY
=
0,084.
f(x)
f
f
= xe' + + x et g(x) = + x .
On mesure le diamètre , exprimé en centimètres, de chacune des 60 pièces Pl d'un échantillon prélevé au hasard et avec remi se dan s la production d'une j ournée.
On note cg la courbe représentative de f et ~ la courbe représentati ve de g dan s le plan muni du repère ort ho(unité graphique 2 cm). normal (0; l,
On co nstate que la va leur approchée arrondie à 10 - 3 près de la moyenne x de cet échanti llo n est
r
x = 4,0 12.
I)
Déterminer lim
j(x), lim f(x) X-)+ ...
.1:-)-'"
[f(x) - g(x)].
et lim .1:-)+_
repr~sentations
a) À partir des informations portant sur cet échanti llo n, donner une est imati o n ponctuelle, à 10 - 3 près, de la moyenne I-L du diamètre des pièces Pl produites pendant cette journée.
Interpréter graphiquement, pour les '(; et ~ le dernier résultat.
b) Déterminer un intervalle de confiance centré en x de la moyen ne j.l. des diamètres des pièces P2 produites pendant la journée considérée, avec le coefficient de confiance 95 %.
3 0 a) Démo ntrer que pour tou t x de IR :
c) On cons idère l'affirmation sui vante: « la moyenne j.l. est ob li gatoire ment entre 3,991 et 4,033 », Pe ut-on déduire de ce qui précède qu'elle est vraie?
Exercice 2
(11 points)
x
US parti~s A pendante.
~t
x B petO'i' flt être traitéeJ" de façon indi-
A.Rbolutiofl d'ufli' iqumioll différelllielle
On considère l' équati on différentielle (E) :
"
)' '' -2v'+v=~-x- l
. 2 où y désigne une fonction de la variabl e réelle x défini e et deux fois dérivab le sur IR, y' la fonction dérivée de)' et y" sa fonction d ~rl vée seconde.
Épreuves de révision pour les BTS du groupement B
Étudier sur IR la position relative des deux courbes . f'(x)
= (x +
I )(e'
+
1) .
b) Étudier les vari at ions de f sur IR. 4° a) Compléter le tableau de vale urs figurant SUT la feuille an nexe (à rendre avec la cop ie) ; les valeurs approchées sero nt arrondies ~ 10 - 2.
LI)
b) Construire la courbe C€ dans le repère (0 ; sur la feuille annexe (à rendre avec la copie) où figure la courbe ~.
b) Donner une va leur approchée arro ndie à 10 de dl.
Groupement C Groupement 1)
r
SOa) Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que la valeur exac te en cm2 de l'aire de la partie limitée par la courbe «5, la parabole ~ et les droites d'équ ations x = - 3 et x = - 2 est dl = 4(- 4 e-' + 3 e-').
• Résolution d'une tqualion différentielle du second ordre, • Intégration par parties. • Calcul d'aire.
Groupement B
de
257
2
Annexe (à rendre avec la copie) 4' a)
3
Ifl:J 1-
ll
2
1-
1
l 'lll-0.51 0 1 0,51
1
b)
,
1-'
,.
1 ~
1° Représenter, sur une feuille de papier millimétré, le nuage de points Mj(x j. Yj) dans un repère orthogonal. (Unités graphi ques: 1 cm pour une année el 1 cm pour 25 milliers de poutrelles). 2° Calculer, à 10 - 4 près, le coefficient de corrélation linéaire entre x et y. (On ne demande pas le détail des calculs).
r
f
Que peut-on en conclure? 3° Déterminer une équation de la droite de régression de y en x, sous la forme y = ax + h, où a et b seront arrondis à 10 - 4 . Tracer cette droite sur le graphique précédent.
1
-
-
CJ>
4° En utilisant l'équation précédente. calculer la commande qui serait faite en l'an 2003.
-1 j
Partie B Cette société fabrique ces poutrelles dans deux. usines A et B. En une semaine, elles ont fabriqué 7 500 poutrelles, parmi lesquell es certa ines sont défectueuses. L'usine A en a fabriqué 3000, dont 1 % sont défectueuses et l'usine B a fabriqué les autres, dont 6 % sonl défectueuses. On prend au hasard une poutrelle dans la production de cette semaine. On considère les événements suivants: A : « la poutrelle provient de l'usine A » ; B : « la poutrelle provient de l'usine B » ; D : « la poutrelle est défectueuse » ; l5: « la poutrelle n'e$t pas défectueuse ». Déterminer p(A) ; p(B) ; p(D/A) ; p(D/B). En déduire p(D nA), P(D n B), p(D) el 1'(15),
!------l --
1
1
1
3
1
1~ l
-'1
Y
'J'
0 1
l
r
1
Épreuve 7 Exercice 1 • • • •
(10 points)
Ajullleml:nt affine. ProNbilité!i conditionnelle.... Lui binomiale. Appru."(imation d'une loi binomiale par une lui de Puill~n.
• Estimation d'un poun:entage par intervalle de confiance. Groupement B
x
Groupement C
x
Groupement D
x
p{lrli~
11s quatre /xlrtie.\· A, B. C et D de cel exen.'ia peuvent êt~ traité~s iruMpel1dammellf les UIlt!S des mitres. Une société fabrique des poutrelles métalliques. p{lrti~
A
Le tableau su ivant indique les commandes totalbées au cours des années écoulées. Ann~e .1:,
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
C
On admet, pour cette partie, que la probabilité qu'une poutrelle, tirée au hasard dans la production, soit défectueuse est égale à 0,04. On effectue un prélèvement de 100 poulfelles prises au hasard dans la production. Ce prélèvement peut être assimil é à un tirage avec remise. On désigne par X la variable aléatoire qui, à tou t échantillon de 100 poutrelles ainsi réali sé, associe le nombre de poutrelles défectueuses dan s cel échantillon. 1° a) Montrer que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b) Calculer les probabilités P(X
=
0), P(X
=
1),
P(X '" 2). On donnera des valeurs approchées des résultats arrondies à 10 - 4.
Commande en millier.. Y, 200
229
2° On admet que l'on peut approcher la loi de probabilité de X par une loi de Poisson .
259 279
305 331 359 389 409
a) Donner le paramètre de cette loi de Poi sson. b) Utili ser cette loi de Poisson pour calcu ler une valeur approchée, arrondie, à. 10 - -1, de la probabi lité qu'un client accepte un lot de 100 poutrelles, sachant
258
qu'il l'accepte seulement dans le cas où le lot contient au maximum 3 poutrelles défectueuses.
Partie D On cherche à estimer le pourcentage p, inconnu, des
poutrelles défectueuses de la production. On admet que la variable aléatoire F, qui , à tout échant ill on de 100 poutrelles prises au hasard dans la production (prélèvement assimilé à un tirage avec remise), associe le pourcentage de poutrelles défectueuses de cet échan-
till on suit la loi normale
2° Déterminer par le calcu l l'abscisse du point où la courbe
3° a) Démontrer que le développement limité à l'ordre 3 de la fonction J au voisinage de 0 est x ' + ...'E(X) avec lim E(x) ~ O. 3 2 x-+o.., b) Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = 1 + f(x)
~ 1 + i+
f.
La courbe représentative r de g est donnée sur la figure. Déduire du a) 1:1 position de «5 par cappon à r au vois inage du point d'abscisse O.
N(p, Yw:::!J).
1
On prélève un tel échantillon dans la production. On constate qu'il contient 3 poutrelles défectueuses, parmi les 100.
4° a) On note J l'intégrale I"2 le ~ ~l: d\'o Donner une in-
o
terprétation graph ique de J. (On ne cherchera pas à calculer J).
Donner, à partir de cet échantill on, une estimation ponctuelle f du pourcentage p. ]0
b) Calculer la va leur exacte de l'intégrale 1
2° Déterminer une estimation de p par un intervalle de confiance centré en J avec le coefficient de confiance égal à 90 %. Pour les bornes de cet intervalle, m. donnera d~s valeurs approchées comportan t deux décimales.
J
~ l'g(X)dt. o
Donner la valeur approchée arrondie à 10 - 2 du résultat. c) Les courbes
r
l'autre sur l'intervalle
étant « vo isi nes» l'une de
[o,~] on admet que le résu lt
tat obtenu au b) est une valeur approchéeecJe l'intéExercice 2 ( 10 points)
grale 1 du a). En déduire une valeur approchée en cm 2 de l'aire de la partie du plan ensemble des points M de coordonnées (x, y) tels que 0 ~ y ~ 1- el 0 ~ y ~ j(x).
• Étude d'une- foru:tion définie avec la fonction exponentielle. • Recherche d'un développement limité. 1 • RéfoOlution d'une étluation diffmntielle du premier ord«:.
~
x
Groupemenl B
1(.,
Groupement C Groupement 0
+ Les deux parties A
ét B sont indépendantes.
fc
r,
A. Étude de quelques propriétb d'Ilne jonctioll el détermination d'Ilne ra/eur llpproc"é~ d'lIne aire. Soit j la fonction définie sur] x f(x) ~ e . I-x
00,
1[ par:
On désigne par'€ la courbe représentative de J dans le plan muni du repère orthonormal (0; f,l) ; l'unité graphique est 2 cm.
x
La courbe '€ est donnée par le dessin ci-après. ] 0 a)
.l~l
Que peut-on en déduire pour la courbe '€ ? b) Déterminer, par le calcul, lim
J(x) .
.l-+-'"
(On poUffa remarquer que, po.ur tout x de] - 00; 1 [,
f(x) ~
r
e- x -x x --. x 1- x
=-
Épreuves de révision pour les BTS du groupement B
d'Ufl~
Iqllll/ion dijJiremielle Soi t (E) l' équation différentielle (1 - x) y' - .\). = e - "'", où J'inconnue y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur ] - 00, 1[ et où y' est la fonction dérivée de)'. B. Résolution
Déterminer, par le calcul, lim j(x).
259
On nore (El) J'équation différentielle: ( 1 - x)y' - x)' ~ O.
Vérifier que la fonction l'équation (E ,).
r
f
de la partie A est solution de
Vérifier que la fonction Il définie sur
!J(x) = xe
-,
J-
a) Justifier que la variable aléatolfe X SUIt une binomiale dont on déterminera les paramètres.
b) Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un boulon ne so it pas conforme pour le diamètre de la tête.
1 [ par
00,
est une solution particulière de l'équaI-x tion différentielle (E).
3° Déduire du 2° l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
01
3° Dans cette question, on veu t contrôler la moyenne
~
de l'ensemble des diamètres, en mm, des pieds de boulons constituant un stock très important; on se propose de construire un test d'hypothèse. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque boulon tiré au hasard dans le stock, associe le diamètre, en mm, de son pied. La variable aléatoire Y sui t la loi normale de moyenne inconnue /..L et d'écart type cr = 0,1.
Épreuve 8 Exercice 1
(8 points)
• Loi normale. • Loi binomiale. • Test bilatéral de t.:omparaison d'une moyenne à un nomb~ fix~.
Groupement B
x
Groupement C
x
Groupement D
x
On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque échanti ll on aléato ire de 100 boulons prélevé dans un stock, associe la moyenne des diamètres des pieds de ces 100 boulons (le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). L'hypothèse nulle est Ho: ~ = 10. Dans ce cas les boulons du stock sont conformes pour le diamètre de leur pied. L'hypothèse altern3tive est HI : /..L
Les trois qlt~stio".\· d~ cet exucice smlt indépelldantu. Une entreprise industrielle utilise de grandes quantités d'un certain type de boulons. Un contrôle de qualité cons iste à vérifie r que le diamètre de la tête ou Je diamètre du pied d'un boulon est conforme à la norme en vigueur.
Dalls a qui suit. tous les résultats approchés arroI/dis à JO - 2.
=1=
10.
Le seuil de signifi cat ion du test est fixé à 0.05. a) Justifier que, sous l' hypothèse nulle Ho' y suit la loi normale de moyenne 10 et d'écart type 0,01. b) Sous l'hypothèse nulle Ho, déterminer le nombre réel positif 11 tel que
ï' '" 10 + Il) ~ 0,95. c) Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
P(10 - Il '"
SUOIlf
10 Un boulon de ce type est considéré comme conforme pour le diamètre de sa tête si celui-ci est, en millimètres, compris entre 25,30 et 25,70.
d) On prélève un échantill on de 100 boulons et on observe que, pour cet é{'hantillon, la moyenne des diamètres des pieds est .\1 = J0,03.
On· note D la variab le aléatoire qui, à chaque boulon prélevé au hasard dans un lot très important, assoc ie le diamètre de sa tête.
Peut-on, au risque de 5 %, conclure que les boulons du stock sont conformes pour le diamètre de leur pied?
On suppose que D suit la loi normale de moyenne 25,50 et d'écart type 0,10. Déterminer la probabilité qu'un boulon prélevé au hasard dans le lot soit conforme pour le diamètre de la tête.
Exercice 2
(12 points)
• Résolution d'une ~uation différentielle du second ~~
2° Dans un lot de ce type de boulons, 96 % ont le dia-
• Élude du sem de nriation d'une fonction dlfmie ll'aidl de la fonction exponentielle. • Recherche d'un développement limité.
mètre de la tête conforme. On prélève au hasard 10 boulons de ce lot pour vérification du diamètre de leur tête. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assim iler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 boulons.
• Intégration par parties. • Calcul d'aire. Groupement B
On considère la variable uléatoire X qui, ;\ tout prélèvement de 10 boulons, associe le nombre de boulons conformes pour le diamètre de la tête.
Groupement C Groupement D
260
x
L 'obj~clif d~ cel ~x~rcic~ ~s, d~ rfsoudr~ UIl~ fqlllltion dont WI~ solution parliCfll;~œ ~sl SIlScep· tib/e d~ d!finir ull~fol/clirm d~ del/sitl ~II proIKlbi/itb. diffl""ti~lI~
US parties A el B peUl"ent êlft! traitées de façol! illdé· ~lId(mu.
A. Résolutioll d'une IqllatùJII différentielle On considère l'équation différentielle (E) : ,," - 4)'
·
= ~ 16 e - 2 où \' 3· .1"
est une fonction de Ja
variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur IR, y' la fonction dérivée de y et y" sa fonction dérivée
1° Résoudre sur !Ii l'équation différentielle (Eo) y" - 4y = 0,
=
3° En déduire l' ensemble des solutions de J'équat ion différentielle (E). 4° Déterminer la solution particulière Il de l'équation différtnlielle (E) vérifiant les conditions 11(0) = et
3
+ 00 ( par: + x) e - ". graphique '€ de J, dans
la fonction définie sur [0, f(x)
=
3
(1
Une représentation orthogonal, est donnée ci·après.
un repère
valeur exacte de l'intégrale: 1 =
f(x) dl'.
()
Donner une valeur approchée, arrondie au centième, de l'intégrale 1. Donner une interprétation graphique de l'intégrale 1.
fo
f(x) dr
= (-~ t -
l)e -
2
'
+ 1.
Ce résllita/ est admis ici et Il'a donc pas à ilœ d~molll,i, l-f +_
t t '(,
r
4° a) À l'aide d'une intégration par parties, calculer la
Déterminer lim (2
+ ~x' + x'E(X) avec
b) Sur "écran d'une calculatrice, équipée d'un logiciel particulier (calcul formel), on lit le ré~ultat suivant, où t est un nombre réel positif quelconque:
B. Étude d'Ilnefonction
f
x
c) En déduire une équation de la tangente T à la courbe
3xe-"
= _13·
1-1
lim E(x) = O.
est une solution particulière de l'équation différen· tielle (E).
Soit
b) En déduire que le développement limité à l"ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction f est:
x ~o
2° Vérifier que la fonction g définie sur IR par g(x)
LO, + 00 [.
3 ° a) À l'aide du développement limité au voisinage de ode la fonction exponentielle t I----i> e, donner le déve· Joppement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction: x t----+ e - 2(.
f(x) =
seconde.
"'(0)
b) En déduire le sens de variation de f sur
2° Le graphique permet d'envisager une asymptote en + 00 pour la courbe CC, À partir de l'expression de f(x), déterminer une limite de f justifiant cette propriété graphique,
r
~3 t
- I)e-:!:/
c) Soit at(t) J'aire, en unités d'aire. de la parüe du plan lim itée par les axes de coordonnées, la courbe~, et la droite d'équation x = t où t est un nombre réel positif.
r
Déterminer]
=
Iim $(1).
t-+ +_
d) Déterminer la valeur exacte de J - 1 où 1 = .51(3) a été calculé à la question 4° a), et en déduire la double inégalüé: O:s;: J - / ~ 10 - 2.
r
Donner, à l'aide d'une phrase, une interprétation graphique de J ~ J.
1 ° Le graphique suggère un sens de variation pour la fonction f. L'objet de cette question est de justifier ce résultat. a) Démontrer que, pour toul x de [0, f'(x) = -
3
(2x
+
+ 00 [,
l )e - 2<.
Épreuves de révision pour les BTS du groupement B
261
On prélève au hasard 300 robots dans le ~tock très important du fournisseur et on assi mil e ce prélèvement à un tirage avec remi:-;e.
Une épreuve pour le BTS maintenance industrielle À J'illlérieur d'/111 ;:mupement, /Ill BTS peut amir, IUle Wl11ù dOl1fiÜ. lm uncice différent pOlir tmir comple de sa spicificiti. L'exen:;ce suil'OIII li hi prvposi {lU BTS maintenance industrielle aI'ec l'exl'n.:;u 2 de
On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de robots dont le bras a connu une panne mécanique pendant la période considérée.
l'lpf?uve 8.
1° Expliquer pourquoi X su it une lo i binomiale; déterminer les paramètres de cette loi.
Épreuve 9 Exercice 1 • • • •
( 10 points)
2° On approche X par la variable aléatoire Y de loi normale de moyen ne ~ = 15 et d'écart type cr = 3,77. Justifier le choix des paramètres ~ et Cl. 3° Soit E l' événement ., Lors de leur mise au point, strictement plus de 20 robots ont eu une panne mécanique s ur leur bra..;; articu lé pendant la période considérée lit.
Loi binomiale. Appro:
x
Groupement B (maintenançc) Groupement C
Calculer P(Y ~ 20,5) à IO -~ près (c'est . en utilisant l'approximation de X par Y, la valeur de P(E».
Groupement D Les ateliers d'un grand comtrucleur d'automobiles comporten t des robots permettant de positionner les pistolets de peinture autour de la carrosserie. Ces robots son l constitués de tro is parties: un bras articulé actionné par des vérin s hydrauliqu es, un groupe hydmulique et une armoire de contrôle (système é lectronique qui gè re les mouvement~ du robot par des programmes),
B. Dlfail/al/us des
gmll/~s "ydrau/iqu~s
Un tiers des robots des ateliers de peinture du constructeur d'automobiles est éq uipé d'un modèle Ml de groupe hydraulique, alors que les deux autres tiers bénéfic ient d'un modèle 1.1':,. plus récent. La probabilité, une semaine donnée, qu'une défaillance se produise par manque de pression est 0,03 pour un modèle M 2. À la fin d'une semaine, on tire au hasard un groupe hydraulique. On note
Amloire de contrôle
A l'événement: « le groupe choisi est de type Ml »,
B I"événement : ., le groupe choisi est de type At'"! et D l'événement: ., le groupe choisi a été durant la se maine »,
On a donc PlA) ~ ~ ; P(B) ~ ~ ; PlO/A) ~ 6,03 el ~ 0,02. 1° En remarquant que D = (A n D) U (8 n D) et que AnD et B n D sont incompatibles, calculer P(D). à JO - 3 près.
Groupe hydraulique
L'objn'Iif de l'~xercia répartition d~s paml~s,
US troÎs fXlrties A. Pa1/lT~s
d~
~Sl
mfc(miqu~s
sur
I~
P(O/B)
d'ltudin la 'Ult,a?
at ~.ft!rc:ia son t
)Do
défaill~uH
~t
2° On constate qu'un groupe hydraul ique tiré au hasard a été défaillant. Quelle est, à 10 - 3 près, la probabilité qu'il s'agisse d'un modèle Ml' c'est-à-dire P(A/D)?
la
C.Mai"/~"(lI'C~
illdlp~"dant~s.
d"
.\·.l'.~t~me ilel'trolJiq,,~
des
armoir~s
de COI/frôle
bras articull
Au moment de s'équipe r de 300 robots équipés de bras articulés d'un certain type, le constructeur d 'a utomobiles s'i ntéresse aux essais réalisés par son fourni sseur lors de la mise au point des robots: la probabilité qu'un robot ait une panne mécan ique sur son bras articulé pendant une période déterminée est alors 0,05 et les pannes mécaniques des bras des différents robots sont supposées indépendantes.
Le ser vice de maintenance préconise. pour les armoires de contrôle, des interventions préventives (par changement de cer tains é léme nt s électroniques). La période de ces interventions sera déterminée à partir d'un hi storique de pannes d'une armoire de contrôle choisie au hasard. Les neuf premiers temps de bon fonctionnement (en jours) de cette armoire de contrôle sont les suivants
262
(rangés en ordre cro issant) : 3 1 ; 42 ; 67 ; 77 : 89 ; 95 ; 122 ; 144; 173.
Exercice 2
Voir J'e,erci ce 2 du
Soit T la variabl e aléato ire qui , à toute armo ire de contrôle, assoc ie son temps de bon fo ncti onnement. On cherche à aju ster la loi de T à une lo i de Weibull. À l'aide d' un tableur, o n a obtenu le tableau et le graphique c i-dessous, où F (ti) et R(ti) correspondent respecti vement à la dé faillance et à la fiabilité au temps li (selon la méthode des rangs moyens) : x, =
FU, )
R(I, )
0, 1
0.9
3.43398720
- 2,25036733
42
0,2
0,8
3,73766962
- 1.49993999
67
0,3
0,7
4,20469262
- 1.03093043
77
0,4
0,6
4 .34 3805~ 2
- 0.67 172699
89
0,5
0,5
4,48863637
- 0,36651 292
95
0,6
0,4
4. 55387689
- 0.08742157
122
0,7
0,3
4,80402 104
- 0,1 855 2676
144
0,8
0,2
4,9698 1330
- 0,47588500
173
0,9
0, 1
5, 15329 159
- 0,83403245
1n(r;)
-1
7
Une épreuve pour le BTS conception de produits industriels L 'tpre l/l'e du BTS CP/ duranl 3 " et/r~s, elle comporte 1111 exerc:ic~ de pills que celle des BTS du groupemm l B.
Épreuve 10 Exercice 1 et 2 Voir k s c_'(e r~h:c s 1 et 2 de l' épreuve 8.
Exercice 3 • E,emple de Ir:.t~é de l'ourbe plane définie par une représentation par;lmétrique x = fit). y = X(1).
Dans un repère orthonormal (0; T,I ) d' unité graphique 4 ce ntimètres, on donne les quatre points suivants par leurs coordonnées ;
y = 1,7522.r -8,2171
,-'2.= 0.9882
A( - 1, 0) ; B(O, 3) ; C(2, 2) ; D(3, 1).
0 -2.5
~ uje l
Yi = ln 1- lnRu,IJ
l,
31
0.5
(1 0 points)
1
2
>
t
-1,5
i
-2
i
~
4
S
Le but de l' exercice est de déterminer et de tracer une courbe possédant les pro pri étés sui vantes :
- elle passe par A et 0 ;
+ D
- ell e admet AB pour vecteur tangent au point A ;
1,
- elle admet DC pour vecteur tange.nt au point D.
-:!,5
Sur le graphique ci-dessus, fi gure la droite de régression D de yen x, oblenue par la méthode des moindres carrés, avec son équatio n dans un repère orthogonal , ain si que le carré du coeffic:i ent de corré lati on linéai re. On admel le résultat sui va nt, qui n'a do nc pas à être 1 a démontré ici : R(I) = e -(il) équivaut ày = ~x - ~In'l, o ù l' o n a posé x = ln t et y = ln [ - ln R(t)]. 1° Dédui re des informatio ns précéde ntes les rés ultats ci-dessous:
r
a ) Le nu age des po ints de coordonn ées (Xi' y) est co rrecte ment ajusté par celle dro ite 9b ; b) O n peut considérer que T suit une lo i de Weibull de paramètre "Y = 0 ; c) On peut pre ndre, pour les deux autres paramètres , ~ = 1,75 (arrondi au centi ème) et" = lO9 (arro ndi à l' unité). (On pourra utili ser l' équi va lence encadrée c i-dessus). 2° Déter miner, par le calcul. la périodi cité d' inter venti ons préventi ves basée sur une fiabilit é de 80 %.
Épreuves de révision pour les BTS du groupement B
Pour tout no mbre 1 de l'intervall e [0, 1l, soit M le po int défini par :
OM= (1 _ 1)3 OA
+ 3 1 ( 1 - 1)' + 3r (1 - 1) OC + t' OD.
1 ° Calculer en fonctio n de M.
1
OB
les coordonnée.s du po int
2° On considère les fo ncti ons f et g définies sur l'interva ll e [0, 1] par :
= - 1 + 31 + 3r-2t' et g(t) = 9 1 - 12 1' + 4t'. f (l)
Étudier les variations des foncti ons f et g sur l'intervalle [0, 11 el rassembl er les résultats dans un tabl eau uniqu e. 3° O n note r la courbe, dans le repère o rtho no rm al (0 ; T,I), dont un système d'équati ons paramétriques est
263
x
!
= f(t)
o ù 1 appartient à l'intervalle [0, 1] .
." = g(t)
a ) Montrer que la courbe r admet AB pour vecteur la ngent au po int A et De pour vecteur tangent au po int D.
courbes d~ BI:.;u sont un des mod~l~s d~ bau intul't'I/alll dans les logic:i~/s dt' conaption assistü pl" ordinatt'ur (CAO) IIrilisb tlOtw1mlt'nt ~II mlcanique, en alronauliqut! et d(ms J'industrie automobile.
b) Tracer avec précision sur une feuille de papier millimétré les vecteurs AB et De puis la courbe r (on rappelle que l'unité graph ique du repère orthonormal est 4 cm).
La courbe
Piare Bf:.ier est lUI inglnieur d~ les premihes publications nlr c~ amlles soi.xalllt'.
r
ainsi obtellue est la courbe de BI:.ier dont A, S, C, D sont l~.ç points de difinition ; It'J'
ch~::. r~n{/lIlt th~me
dont datenl d~s
DES ÉPREUVES POUR LE GROUPEMENT C
Épreuve 11 Exercice 1
(10 points)
r . Loi normale.
1
2° Calculer, à 10 - 4 près, PlY = 0) ; PlY '" 1). 3 0 On désire calculer P( Y ~ 5). Pour cela, on décide d'approcher la loi de Y par une loi de Poisson. a) Déterminer le paramètre de cette loi de Poisson . b) Calculer alors, à l'aide de cette loi de Poiso;on, une valeur décimale approchée, à 10 - 3 près, de la probabilité que, dans un lot de 50 pièces, il y ait au plus 5 pièces défectueuses.
• Loi binomiale . • Appoximation d"une loi bioomiale par UDe loi de
Poi5lKm. Gf\lupement B
x
Groupement C
x
Groupement 0
x
us pllrlies A el B peLl"elll êtl? lraitüs de façon ;mMpendante. Une machine fabrique en grande série des pièces d'acier.
Exercice 2
(10 points)
• équation dilfmntieile du oecond ordn:. .1 • Étude dei variaiionJ d"une fonctioa dEfinie avec la fonetion exponentielle. I
A. Soit X la variab le aléatoire qui, à toute pièce prélevée au hasard dans la production hebdomadaire, associe sa longueur, exprimée en cm. On admet que X su it la loi normale )(10 ; 0,02). 1 0 Déterminer, à 10 - 4 près. les probabilités suivantes:
Gmupement B
x
Groupement C
x
--
Groupement D
a) P(X '" 10,03) ; b) P(X '" 9,972) ;
L'objectif de ce problème est l'étude d'une fonction f solution de l'équation différentielle: (E) 2)''' + y' - )' = - x + 2, où y est une fonction de la variable réelle x, y la fonction dérivée de y et y" sa fonction dérivée seconde. ùs partit's A et B SOllt indipl'rlda1lft'S. A.1° a) Résoudre sur l'ensemble IR des nombres réels l'équation différentielle (Eo): 2)''' + y ' - y = O. b) Déterminer les nombres réels a et b tels que la fonction g, définie sur IR par g(x) = ax + b soit solution de l'équation différentielle (E). c) En déduire les solutions de l'équation (E).
c) P(9,972 '" X '" 10,03). 2° Déterminer, à 10 - 4 près, le nombre réel positif Cl tel que P(IO - a '" X '" 10 + a) = 0,8. 3 0 Une pièce est déclarée défectueuse si sa longueur est inférieure à 9.972. Déterminer, à 10 - 4 près, la prohabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production hebdomadaire soit défectueuse.
1
B. On admet que la probabilité qu'une pièce prélevée hasard dans la production soit défectueuse est 0,08.
~IU
On prélève des lots de 50 pièces dans la production hebdomadaire, au hasard et avec remise. Soit Y la variable aléatoire qui, à tout lot de 50 pièces, associe le nombre de pièces défectueuses dans ce lot.
r
10 Montrer que la variable aléatoire Y suÎt une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
264
a) Déterminer la solution f de (E) vérifiant les conditions initiales !(O) = 0 et j'(0) = O. h) ]nterpréter graphiquement ces conditions initiales.
B. Soit f la fonction définie sur )' intervalle [0, par f(x) = + x - 1.
e
+ 00 [
On note C€ la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal (0; 1,1) du plan.
r
b) En déduire le sens de variation de
Étudier les variations de f sur IR.
f sur [0, + cc[. =
x-l, est
3° Tracer <€ et '2Zl dans un repère orthogonal (0; T,l) (unités graphiques: 2 cm sur l'axe des absci sses, 4 COl sur j'axe des ordonnées).
4° Soit k(x) =
b) Que peut-on en déduire pour la limite de f(x) quand x tend vers + 00 ? c) Étudier la position de la droite ~ par rapport à la courbe C€.
LI),
Montrer que , pour tout x de Ill, f'(x) = (I - 2.<) e - '".
f
a) Calculer j'ex) et montrer que son signe est le même que celui de eX - 1.
2° a) Montrer que la droite ~, d'équation y asy mptote à '€.
r
3 ° Dans le repère (0; tracer la tangente à '€ au (unité grapoint 0, l'asymptote §:I et la courbe phique : 4 cm).
ce.
la
fonction
H - !)e-l<
k
définie
sur
IR
par
a) Calculer k'(x). b) En déduire l'aire, en cm2 , du domaine compris entre ~, ~ et les droites d'équations respectives x = Oetx = 4.
On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée décimale arrondie à 10 - 2.
Exercice 2 (9 points)
Épreuve 12 Exercice 1
• Probabilit& conditionnelles. • Loi normale.
(Il points)
li • Rt!oOlution d'une ~uation diffmntielle du second ~ • Élude de" variatiom d'une fonctÎ(m définie avec la fonction exponentielle . • Calcul d'aire. x
Groupement C
x
A. On considère l'équation différentielle (E) : + 4y' + 4y = 8, où y désigne une fonction de la variable réelle x définie et deux fois dérivable sur IR.
y"
1° Vérifier que la fonction g définie sur IR par g(x) est une so lution de (E). 2° Résoudre sur IR l'équation différentielle:
=2
x x
Groupement 0
x
+ 4y' + 4)' = O.
= 2 et f( -~) = -~ + 2.
00,
f dans un repè-
~
d'équation y
= 2 est
B. Dans cett~ partie, pièces fabriquées.
Ofl
s'inllresse au diamètre des
Une pièce est défectueuse si son diamètre n'appartient pas à l'intervalle [246, 254].
c) Étudier la position de la courbe
machine qui fonctionne.
1° On admet que la variable aléatoire X qui, à chaque pièce prélevée au hasard, associe son diamètre exprimé en millimètres, suit la loi normale de moyenne 250 et d'écart type 2.
puis la limite de f
+ 00.
b) En déduire que la droite asymptote à la courbe
machines MI et M 2 pour fabriquer des pièces cylindriques en série. Pour une période donnée, leurs probabilités de tomber en panne sont respectivement 0,010 et 0,008.
2° En déduire la probabilité d'avoir au moins une
B. Soit la fonction f de la variable réelle x définie sur IR par: f(x) = xe -2r + 2.
1° a) Calculer la limite de f en -
B .'Ionl indépmdantes.
1° Montrer que la probabilité d'avoir les deux machines en panne au même moment est égale à 0,004.
4° Déterminer la solution f de l'équation (E) qui véri-
On note cg la courbe représentative de re orthogonal (0; l,]).
~t
A. Dans une usine, on utilise conjointement deux
De plus, la probabilité de l'événement: « la machine M 2 est en panne sachant que MI est en panne » est égale à 0,4.
3° En déduire l'ensemble des solutions sur IR de l'équation différentielle (E).
en
moyenne par intervalle de confiaoce._~
Groupement C
US parti~s A
Groupement 0
fie les conditions f(O)
• Estimation d'une
Groupement B
Groupement B
y"
• Loi binomiale.
265
a) Vérifier que valeur 1 en O.
On prélève au hasard une pièce dans la production. Calculer la probabilité d'avoir une pièce défectueuse.
r
b} Démontrer que
On admet dans la suite que la probabilité de prélever une pièce défectueuse dans la production est égale à 0,046. On désigne par Y la variable aléatoire qui, à tout lot de 50 pièces prises au hasard. associe le nombre de pièces défectueuses de ce lot. Un lot de 50 pièces prises au hasard peut-être assimilé à un tirage avec remise.
est la soluti on de (E) prenant la
f
est une fonction décroissante.
Déterminer sa limite en +00 et interpréter géométriquement ce résultat. c} Déterminer la limite de
f en _00.
d} Tracer soigneusement la courbe représentative de dans un repère orthogonal pour t variant de 0 à 1500 (échelle: J cm pour 100 unités sur l'axe des abscisses et 10 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées).
f
a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Y. Donner les paramètres de cette loi.
b) Calculer la probabilité de n'avoir aucune pièce défectueuse dans un lot. (On donnera une valeur décimale approchée arrondie?t 10 - 3 près).
3° a} Résoudre algébriquement dans IR l'équation f(t} = 0,5 ; donner la valeur exacte de la solution, puis sa valeur approchée arrond ie à l'unité. b} En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation f(t) < 0,5. 4° On appelle T la variable aléatoire associant à toute machine d'un certain type sa durée, en heures, de fonctionnement sans p;.mne.
c} Calculer la probabilité d'avoir au plus 2 pièces
défectueuses dans un lot. (On donnera une valeur décimale approchée arrondie à 10 - 3 près).
3° Après un certain temps de fonctionnement de la machine, pour vérifier le bien fondé de l'hypothèse faite en B. 1°, on s'intéresse il la moyenne des diamètres des pièces produites.
On admet que, pour t réel posilif ou nul, f(t} représente la probabilité que T soit supérieur à t a in si P(T> t) = f(l)·
Pour cela, on étudie un éc.'hantillon de 100 pièces prises au hasard et avec remise dans la production. La moyendes diamètres des pièces de cet échantillon est ne égale à 249,7. On suppose que la variable aléatoire X qui, à tout échan tillon de 100 pièces prélevées au hasard et avec remise assoc ie la moyenne des diamètres de œs pièces suit une loi normale de moyenne inconnue j.l. et d'écart type _2_. Au vu de l'échantillon,
x
yfOO
f
a) Calculer la probabilité qu'une telle machine fonc-
tionne plus de 100 heure s sans panne. b) Pourquoi peut-on affirme,r qu'il y a plus de neuf chances sur dix qu'une telle machine fonctionne sans panne plus de 400 heures?
x
déterminer un intervalle de confiance centré en de la moyenne j.l. avec le coefficient de confiance 95 %.
Exercice 2
(9 points)
• Loi normale.
• Loi hinomiale.
• Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poi>;son. • Construc:tion d'un le!>1 bilaléral de comparaison d'une moyenne à un nombre fixé.
ÉpreuYe 13 Exercice 1 (11 points)
1
• Résolution d'une équ:uion diO'érentielie du premier ordre .
• Étude des \"arialion>; d'une fonction définie avel' la lion exponentielle. • Résolution graphique d'une inéquation. Groupement B
x
Groupement C
x
Groupement 0
x
fOIlI.:-
f(t)
x
Groupemenl D
x
Un photoc.·opieur ~e bloque dès que le papier fourni a une épaisseur inférieure à lOI microns ou supérieure à 122 microns.
10 Résoudre (E) dans R.
f
x
Groupement C
A, Un lycée achète son papier pour photocopieur à une entreprise. On appelle X la variable aléatoi re qui, à chaque feuille, prise au hasard dans la production, associe son épaisseur en microns. Le fabricant spécifie que X sui t la loi normale de moyenne 110 et d'écart type 3.
Soit l'équation différentielle (E) : 109 y' + 3 f2y = 0 où y est une fonction de la variable réelle t, définie et dérivable sur IR et y' la fonction dérivée de y.
J OOn appelle
Groupement B
la fonction définie sur IR par:
" = e~ îO'.
Déterminer, avec la précision permise par la table, la
266
probabilité p qu'une feuille du papier livré, prise au hasard, bloque le photocopieur. Dans la suite, on premJra p = 0.00 1.
B. Une documentation de 12 pages e5.t phOlocopiée en
50 exemplaires. On appelle K la variable alé.lIoire qui , à toute série de 600 photocopie~, associe le nombre de blocages pendant la reprographie. On assimilera une série de 600 photocopies à un prélèvement de 600 feuilles de papier au hasard et avec remise.
10 Quelle est la loi de probabilité :-iuivie par K?
2° Calculer la probabilité des événements suivants (on donnera les résuhats eX:'H.:ts, puis arrondis au millième) : a} « Au cours de ce travail , le photocopieur ne se
bloque jamais •.
A. Équatioll différellti~lIe On considère l'équation différentielle (E) suivante, où y désigne une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable su r l'intervalle 10, +oo[ et où ln désigne la fonction logarithme népérien: (E) .l'y' - Y
= In.l'.
10 Résoudre, sur l'intervalle ]0, + 00 (, l'équation différentielle : xy' - y = O. 2 ° Vé rifi er que la fonction h. définie pour tout réel x uppartenant ?t l'intervalle] 0, +00 [ par h(x) = -lnx - l, est une solution particulière de (E). En déduire l'ensemble des so lutions de (E).
3° Déterminer la solution
J de (E) qui
vérifie f( 1) = 1.
8. Étlld~ d'lIl/~ fonctioll Soit la fonction ~ 2, - Inx.
f
définie sur l'intervalle ]0, + oo ( par
b) « Au cours de ce travail, le photor.:opieur se
f(x)
bloque exactement trois foi s • .
1° Déterminer la limite de f en 0 et montrer que la limite de f en + 00 est +00.
3° On .admet que la loi de probabilité suivie par K peut être appr
b) Quelle est la probabilité que le photocopieur se bloque plus de deux fois pendant ce travail? C.Le lycée met à l'épreuve les affirmations du fabricant concernant la moyenne de la variable aléatoire X. On suppose que l'écart type est connu et égal à 3. Pour cela, il étudie un échantillon de 1000 feuilles prises au hasard dan s une livraison. L'étude de l'épaisseur de ces feuilles donne, en microns, une moyenne de 109,9. 1° On effectue un test d ' hypothèse bilatéral ; préciser quelle est l' hypothèse nulle Ho et l'ulternative HI'
r
On désigne par X la variable aléato ire qui à tout échantillon de 1000 feuilles tirée!! au hasard et avec remise associe la moyenne des épaisseurs des feuilles de cet échantillon. Quelle est, sous l'hypothèse H o' la loi de probabilité de X?
3° Au vu de l'échantillon étudié, peut-on admettre que la moyenne est llO ? Faire un test au seui l de 10 c;t-.
r
C.alculer la fonction dérivée f' de f. en déduire les variations de f sur l'intervalle ]0, +00[. C.R~prls~lIt(ltùJII grap"iqll~"
10 Étudier la position de d'équation: y = 2\' - 1.
• Ré",olution d'une é4u,tlion (lnlre. • Calt:ul tI'aire.
:.0;;;
~
3 ainsi
3° a) Vérifier que la fonction H: x ~ .l'In x - x est une primitive sur l'intervalle )0, +oo[ de la fonction x~x ln x.
b) Représenter par la courbe
~ur
le graphique le domaine délimité
la droite
~
d'équations respectives: x =
et les droites !1 et !1'
~ et x = 1.
e) Calculer, en cm 2 , l'aire dë ce domaine. (On en
donnera une valeu r décimale approchée par excès à
10- 2 près).
• • • • diffé~nlielle
cC par rapport à la droite
2° Tracer la partie de la courbe CC pour 0 < x que la droite ~. (unité graphique: 4 cm).
Exercice 2
Épreuve 14 Exercice J (11 points)
calcul d'ai"
On note '(, la courbe d'équation)' = f(.l') dans un repère orthonormal (0; iJ) dLi plan.
(9 points)
Loi binomiale. Loi de Poi ....on. Loi nürmale. Te'" bilat~ral relatif!t une moyenne .
du premier 1
Groupement B
GflJupement C
Groupement B
x
Groupement C
x
Groupement 0 parti~s A n B SOIlI ;lIdip~ndant~s. 011 donllua rbl/lltlt.\' nl/mhiqu~s à 10- 1 pr~.\'.
Us
x
Épreuves de révision pour les BTS du groupement C
267
l~s
Une usine fabrique des billes métalliques. L'élude porte sur le diamètre de ces billes, mesuré en millimètres. A.Étudt! dt! la production
1° On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque bille prise au hasard dans la production de l'usine, associe son diamètre mesuré en millimètres. On admet que X suit la loi normale de moyenne 25 et d'écart type 0,44. Calculer la probabi lité de chacun des événements suivants: El : « Le diamètre de la bille est inférieur à 25,2 » . E2 : « Le diamètre de la bille est compris entre 24,1 et 25,9».
2° Certaines billes sont défectueuses. On admet que la probabilité de tirer au hasard une bille défectueuse est égale à 0,04.
B. COII/mandt! d'lin client
Un client réceptionne une commande. Il prélève un échantillon de 125 billes choisies au hasard et avec remise dans le lot reçu et constate que le diamètre moyen est égal à 25,1. On rappelle que pour les billes fabriquées par l'entreprise, la variable aléatoire X qui prend pour valeurs leurs diamètres suit une loi normale d'écart type 0,44. L'entreprise s'est engagée à ce que la moyenne des diamètres des billes fournies soil 25. Le client décide de construire un test bilatéral permettant de vérifier l'hypothèse selon laquelle le diamètre des billes du lot reçu est de 25. )0 Quelle est l'hypothèse nulle Ho? Quelle est l'hypothèse alternative HI ?
r
On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 125 billes, prises au hasard et avec remise, associe la moyenne des diamètres obtenus. a) Donner sous l'hypothèse nulle la loi de X. En préciser les paramètres.
Les billes sont conditionnées par paquets de 150. On admet que le choix d'un paquet peut être assimilé il un tirage avec remise de 150 bi lles.
b) Déterminer le nombre a tel que
On note Y la variab le aléatoire qui associe à tout paquet choisi au hasard le nombre de billes défectueuses du paquet.
p(25
-(1
< X < 25 +(1) = 0,95.
c) Énoncer la règle de décision du lest.
a) Justifier que Y suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. b) On admet que la loi de Y peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre A. Calcule.r la valeur de À et déterminer la probabilité de l'événement EJ : « il y a au plus 4 billes défectueuses dans le paquet _.
3° Au vu de l'échantillon, au risque de 5 %, que peul conclure le client sur le respect de l'engagement de l'entreprise?
DES ÉPREUVES POUR LE GROUPEMENT D Épreuve 15 Exercice 1 (12 points)
On suppose que le phénomène démarre à l'instant f = O. À l'instant t, on note q(t) la quantité d'alcool encore prése.nte dans le tube digestif et v(t) la quantité
• Ajustement affine. • RâoIulion d'une ~uation difUrentielle du premier
d'alcool présente dans les liquides du corps. (Ces quantités sont ex;primées en mole d'alcool et le temps f est ex;primé en minutes).
1 • œWe. Étude des variations d'une fonctioo dKInie avec la fonction exponeDlielle.
On a : qo
1
Groupement B Groupement C Groupement D
~
(q(O) ~ 1,2 et 1'(0)
= o.
À l'instant t, qa - [q(t) + \o(t)] représente la quantité d'alcool dégradé ou évacué. Partit! A ." Étude o:phimel/fale
x
On a relevé les données suivantes:
Après la prise d'une boisson alcoolisée, l'alcool ingéré est absorbé et se répartit dans les liquides du corps (en particulier dans le sang) où il est en partie dégradé ou évacué.
268
Ij (en
mm)
qJ - q(tj) (en mole)
0
1,73
2,8
5,5
18
22
1,2
0,9
0.75
0,48
0.06
0,03
q 1° On pose w ,. = In..Jl:. q. Recopier et compl ét~r le tableau suivant : t,
1
."
0
I l .73 1 2.81
18
5.51
1 22 1
L'unité de mesure est le mm. On admet que la variable aléatoire D qui, à toute pièce prélevée au hasard dans la production associe son diamètre, suit la loi normale de moyenne ~ = 90 et d'écar t type cr = 0,16. a) Quelle est la probabilité que le diamètre d'une
pièce prise au hasard ne soit pas dans l'intervalle / , ~ l89,7 ; 90,3] ? b) On effectue un grand nombre de mesures de diamètre. Évaluer le réel positif e tel que 90 % des mesures appartiennent à l'intervalle
On donnera w 1 sous forme décimale approchée il 10 - 2 près.
r
Représenter le nuage des points ( li' w) dans un repère orthogonal (unités graphiques: 1 cm pOUf une unité sur l'axe des abscisses et 4 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées).
3° Donner une équation de la droite de régression de w en t .
Représenter cette droite dans le repère ci-dessus. 4° L'ajustement précédent étan t supposé valide, exprimer q(t) en fonction de t.
Partie B : Ditt'rminatioll dt's fo"ctjon~ q 1° 0n admet désormais que q vérifie
l'f
:;=
l'.
-O, J7q.
/,
=-
+ el
'1'
On
suppos~
N
= 4.
a) Quelle est loi de probabilité suivie par X?
On donnera ses paramètres;
dq -3 dt - 2,9 . 10 ,
b) Calculer P(X
~
1);
c) Calc ul er P(X > 1).
En déduire que l'e~pression de v(t) en fonction de l, en tenant compte de la conditi on initiale v(O) = est: \,(t) = 1,2( 1 - e - O.17 /) - 2,9· 1O - 3 t .
°
Parti~
[90 - e ; 90
O n tire au hasard N pièces d'un stock comprenan t un très grand nombre de pièces. La production est suffisamment importante pour qu'on puisse assimi ler les tirages de N pièces à des tirages avec remise. On rejette les pièces dont le diamètre n'appartient pas à On admettra que la probabilité qu' une pièce soit rejetée est 0,06. On appe lle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de N pièces, assoc ie le nombre de pièces rejetées.
Déterminer alors q(t) en fonction de t, e n tenant compte de la condition initi ale, q(O) = 1,2.
r On admet également que dv dt ceci pour t :s:;; 400.
~
r
On .Hlppnu N
= 50.
d) On admet que la lo i de X peut être approchée par une loi de Poisson. En préciser le paramètre.
C : ttllde dll taw; d'alcoolémi~
1 ° Étudier les variat ions de \' sur [0 , 400].
e) On note Y une variable aléatoire suivant la loi de Poisson obtenue au d.
2° Tracer la courbe représentative de v dans un repère
Calculer P(X
~
0) et P(X < 3).
orthogonal (unités graphi ques: 1 cm pour 20 mn sur l'axe des absc isses et 10 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées).
3° Le taux d'alcoolémie à l'instant r est
~~(40 repré-
sente le volume des liquides du corps).
Épreuve 16
Chercher, à l'aide du graphiq ue précédent, le temps ri à partir duquel le taux d'alcoolémie est inférieur à 1,09.10 - 2 molele (cette valeur correspond à 0,5 g d'alcool par litre).
Exercice 1
Exercice 2
,
(8 points)
• Loi normale. • Loi binomiale. • Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poi!lson.
1
Les résultats seront donné.\" SOllS fonne décimale approc!Jü arrondie à iO - 2. 1° Une machine fabrique des pièces métalliques.
Épreuves de révision pour les BTS du groupement D
269
(9 points)
• Loi normale. • Eslimation d'une moyenne par intervalle de confiam:e.
Groupement B
x
Groupement C
x
Groupement D
x
Étude du résultat de la pesü d'ul! objer de masse III (exprimü el! grllmmes). On admet que la variable aléatoire X qui prend comme valeurs les résu ltats de la pesée d'un même objet donné suit la loi normale de la moyenne 111 et d'écart type ri.
Exercice 2 ( Il points)
Partie A Dans ceUe partie, on suppose que CI ~ 0,08.
111
=
72,40 et
• Ajustement se ramenant à un ajustement affine. • Résolution d'une équation différentielle du premier onlre.
1 ° Calculer la probabilité des événements suivants (les
• Étude de~ variali,ms d'une fonction dKtnie avec la fonction exponentielle.
résultats seront arrondis au millième le plus proche) : a) « X > 72,45 » ;
b) « X < 72,25
1
JO ;
cl « 72,30 < X < 72,50 •. 2° Déterminer le réel strictement positif" (arrondi au centième) tel que la probabilité pour que X prenne une valeur dans l'intervalle [,111 - h, ni + "] soit égale à 0,989.
Groupement B
x
Groupement C
x
GroupemeOi 0
x
Pllrti~
A
Partie B Dans cette partie, on suppose que m et u sont inconnus.
Suite à un incident nucléaire, on a consigné dans le tableau suivant, heure par heure, les résultats fourni s par un appareil de mesure de la radioactivité.
On a relevé dans le tableau suivant les résultats de 10 pesées d'un même objet;
Les Nj sont des nombres entiers représentant le nombre de particules recueillies par l'appareil pendant une seconde.
Masse en grammes 72,20
" (en heures)
0
1
2
3
4
5
6
72,24
Ni
170
102
63
39
24
16
9
71,26 72,30
= In (Nj - 2) pour tout; variant de (où ln désigne le logarithme népérien).
1 ° On pose :::'j
72.36 72,39
°
à6
Donner les valeurs de :j arrondies au millième le plus proche.
72,42 72,48
Représenter le nuage (Ii' Zj) dans un repère orthogonal (unités graphiques: 3 cm pour une heure en abscisse, 4 cm pour une unité en ordonnée).
72,50 72,54
r
Donner le coefficient de corrélation linéaire de la série (rj' :::j) et donner une équation de la droite de régression de z en t (les coefficients seront arrondis au millième le plus proche).
Les résultats seront arrondis au centième le pllls procht'.
1° Calculer la moyenne et l'écart type de cet échantillon.
r
3° Donner l'expression de N en fonct ion de t déduite de cel ajustement.
3° Dan s la su ite, on admet que la variable aléatoire qui à tout échantillon de 10 pesées, associe la moyenne de ces pesées suit une loi normale. En prenant pour écart type la valeur estimée au 2°, donner un intervalle de confiance au seuil de 5 % de la moyenne m.
4° En supposant que l'expression obtenue en 3° reste valable, déterminer à partir de quel relevé on obtiendra une valeur de N inférieure ou égale à 3.
En déduire des estimation s ponctueJles de la moyenne ni et de l'écart type u de la variable X.
B
p(lrt; ~
4° L'écart t~pe de l'appareil de pesée, mesuré ~ partir de nombreuses études antérieures, est en réalité, pour un objet ayant environ cçUe masse, de 0,08. Dans celle queslion. 9n prend donc CI = 0,08.
Une étude plu s approfondie amène à faire l'hypothèse que la fonction, qui au temps t (en heures), associe le nombre N(t) est une soluti on de l'équation différentielle (E) : y'
a) Donner un intervalle de confiance au se uil de 5 % de la moyenne m. b) Déterminer a (à l'unité près) pour qu'au seuil de a %, un intervalle de confiance de 111 soi'! [72,31 ; 12,43J.
= a(y -
2) où a est une constante réelle.
1° Déterminer la solution générale de l'équation différentielle ci-dessus.
r
270
t
En déduire la solution qui prend la valeur 170 pour
=
°
et la valeur 9 pour t
= 6.
Partie C
Soit f(x)
f la fonction définie sur lO, + oo[ par = 168e - 0.511' + 2 et '(; sa courbe représen t,ative
dans un repère or thogonal (un ités graphiques : 2 cm pour 1 sur l' axe des abscisses, 1 cm pour 10 sur J'axe des ordonnées). 1° Calculer lim f(x); interpréter géométriquement le x--t+_ résuhat obtenu.
5° En supposant que Y suive effectivement la loi de Poi sson ai nsi définie, donner une approximation au millième le plus proche de la probabilité de l' événement « Y ::s;; 6 )J. Parti~
B
On a contrôlé le dosage du produit A il la sor tie de deux chaînes de fabrication.
f sur [0, + œ[.
Deux échantill on s de 100 pots ont été analysés; J'un provient de la chaîne nO l , l'au tre de la chaîne nO2.
4° Résoudre l'équation f(x) .:s:; 30 dans l'intervalle CO, + 00 [ : vérifier graphiqueme nt.
Le tableau su ivant donne la répartition de l'échanlillon de la chaîne n° 1 en fonction de la masse de produit A exprimée en grammes.
r
Chercher les variati ons de la fonction
y Construire la courbe '€.
5° Calculer la valeu r moyenne de la fonction f sur l'intervalle Il, 6] ; on donnera la v:tleur exacte et une valeur décimale approchée ;arro ndi e à. 10 - :!.
Épreuve 17 Exercice J
(9 points)
!
• Loi binomiale. • Tes( unilat&al relatif à une comparai~ de moyenne.
Effectif, 1
(102, 1041
3
[1(J.j, I061
25
1106,1081
32
[108,110[
27
[11O,112[
6
[112,114[
4
1114,1 16[
2
On donne des valeurs approchées de la moyenne "'2 el de l'écart type a:! de l'échanti llon fabriq ué par la chaîne n C 2 : 111 2 = 107 et a::! = 2 (en grammes).
Groupement B Groupement C Groupement D
m(en g) [100,1021
x
Dans les questions 1° et r les valeu rs seront arrond ies au dixième le plus proche.
Une entreprise fabrique des pOIS de pe inture. Elle fait li vrer habituellement par lots de 20 pots ou de 100 pots. On ~ propose d'étudier les variat ions de la quantité d'un ce rtain produit A con tenu dans chaque
1° En prenant les centres des classes, c
pot. Partît! A
a) des quan tités moyennes !-lI et 1-l2 de produit A
On suppose que la production totale de l'e,nlreprise est très importante et que 7,5 % des pots fabriqués contiennent plus de 110 g de substance A. On note X la vari able aléatoire qui, à tout tirage aléatoire de 20 pots (tirage considéré comme tirage avec remise), assoc ie le nombre de poiS con tenant plus de 110 g de substance A. On note de même Y la vari able associée dans le cas de tirages de 100 pots.
pour les productions de ces deux chaînes,
1° Préciser la loi de X. r Calculer au millième le plus proc he la probabilité de l'événement « X = 1 • . 3° Préciser la loi de Y. 4° On veu t approcher la loi de Y par une loi de Poisson de même espérance mathématiq ue. Préci ser le paramètre de cette lo i de Poisson.
Épreuves de révision pour les BTS du groupement 0
b) des écarts types SI et S2 correspondants. 3° On se propose de savoir si la diffé rence des moyennes observées dans les deux échilnti ll ons est due à des fluctuations d'échantillonnage ou si la chaîne de fabrication nO1 produit des pots contenant davantage de produit que la chaîne n° 2.
On nOle XI la variab le aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de 100 pots provenant de la chaîne nO 1, associe la quantité moyen ne de produit A dans cet échantillon. On note X:!, la variable aléatoire qui, il lout échan tillon aléatoire de 100 pots provenant de la chaîne n C 2, associe la quantité moyenne de produ it A dans cet échantillon.
27 1
On admeltra que:
s[ • X 1 suit une lo i normale de paramètres !-L I et
m;
-
.
.
• X 2 su ll une
101
normale de paramètres !-L2 et
~
IÜ '
• X[ et X2 , sont des variables aléatoires indépendantes; D = Xl - X 2 suit une loi no rmal e. On cho isit J'hypothèse nulle Ho : « !-L[ = l-L:2 » contre l'h ypothèse alternative Hl : j..L[ > !-Lz ». a) Calculer la variance de la vari abl e aléatoire D. On appelle ,,(D) son écar t type. Vérifier que ,,(D) ~ 0,32. b ) Calculer au centi ème le plus proche le réel a tel que P(D < a) ~ 0,99. c) L'hypothèse nulle Ho est-elle acceptée ou rejetée (au seui l de 1 %) ? Exercice 2
(II points)
• Ajustement se ramenam à un ajustement affine. • Résolution d'une équation différenlielle du premier
} ° On pose y = ln (3n - 200) où ln représente la fonction logarithme népérien. Calculer les valeurs Yj = In (3l1 200) pour i varian t de 1 à 8 (valeu rs j décimales arrondies au millième le plus proche). On donnera ces va leurs dans un tableau. ZC Représe-nter le nuage de points M;
Partie B Dans cette panie, on considère que la fonction donnant le nombre d'individus en fonction du temps t (exprimé en mois) est représentée par une solut ion de J' équat ion différentielle (E) : X' - 0,18X ~ - 12. } O Résoudre
l' équati o n différentielle d'inconnue X: X' - 0,18X
ord~.
• Étude de!'. variation ~ d'une fonction définie a',cc la fonction ellponenlielle. Groupement B
x
Groupement C
x
Parti~
Dans cet e.rncice, les quatre parties pellvelll être traitüs de façoll indépendante. III partie A a pour objet la détenllilla/ion d'ulle loi d'b'oll/tion à partir de données statistiques. Les partie,5 B et C corre.\pOndelll cl des modélisations dOl1nées du phénomène i ll/dii . La partie D envisage J'b'oill/ioll de la population dans 1111 nOU\'eau contexte.
Temps
0
'i
(i variant de
1
160 350
18
900
24
2500
30
7500
36 42
64 000
e O. 18'
+
2r .
2° Tracer la courbe représentative de N dans le repè.re T,)"). On suppose que cette fonction représente correcteme nt l'évolution du nombre d'écrevisses.
(0;
Partie D À partir de t = 42, on décide d'autoriser la pêc he aux écrevisses. On admet que la population d'écrevisses est alors représen tée par la fonction F définie sur l'intervalle [42,72] par F(r) ~ 64oooe- O,.""-42'.
à 8) :
} O Étudier F sur l'inter vall e [42, 72] (variation et valeurs au:\ bornes).
100
6
~
Étudier le sens de variation de N sur J.
Effcctif$ n,
12
Ir
1° Soit N la fonction définie sur l'intervalle J = [0,42] par N(t)
Partie A
Il j
C
Soit (0; T,I) un repère orthogonal (unités graphiques: 1 cm pour 3 mois su r l'axe des abscisses et 1 cm pour 4000 unités sur J'axe des ordonnées).
On procède à une ré implantat ion d'écrevisses. On lâche 100 individus et on relève tous les six mois l'effectif 11 de la colo nie d'écrevisses en fonction du temps écoulé t (exprimé en mois). On obtie nt ain si huit effectifs
O.
3 ° Déterminer la solution de (E) qui vérifie X(O) = 100.
x
Groupement 0
~
2° Sachant que (E) admet une solution particulière Xo constante, donner la solution générale de (E).
2° Tracer la courbe représentati ve de F dans le repère précédent (par/ie C), sur le même graphique qu'à la question C 2°). 3° Déterminer graphiquement l'instant où la population devient inférieure à 32000 individus.
22000
272
4° A partir de quel instant la différence de température enlre le solide et le bain est-elle inférieure à 1°C?
Épreuve 18
Exercice 1
(12 points)
• Équation diffirentielle du premier ordre.
• Étude ~ variations d'une fonction dffinir 1 la fonction e"ponentieUc.
Exercice 2
8~
Groupement B
x
Groupement C
x
Groupement 0
x
• Loi binomiale. 1 • Approximation d4une loi binomiale par une loi normale.' • Tnt d'hypothhe unilatéral rrlatif à une proportion.
Groupement B Groupen~nt
US parties A el B ~U\'t!'lf itre traÎrüs ùuUfMtldamment l'utle de l'autre. On se propose d'étudier J'évolution en fonction du temps des températures d'un bain et d'un solide plongé dans ce bain. Ces températures (à l'instant 1) sont respectivement notées o(t) et (3(1). Le temps test ex.primé en seconde et les températures en oc.
( (2) W(I) = O,021(a(l) -
~(I»
On appelle p la probabilité que le magicien donne une réponse juste (succès) lors d'un tirage.
Si le magicien est un imposteur on ap = ~,sinon p > ~.
1· On pose !(I) = a(l) -
~(I).
On appellera échantillon de taille" toute réalisation de tirages successifs d'une carte dans le jeu, avec remise.
(a(o) = 40 ~(O)
II
= 10
a) Vérifier que f est une soluti on de j'équation différentielle y' + 0,032 y = O. b) Résoudre l'équation précédente. c) Calculer !(O) et montrer que f(l) = 30e - 0.032 '.
r
p(lrt;~
(On arrondira les probabilités aux dix millièmes le plus proche.)
a) Exprimer F(t) en fonction de t.
] 0 Dans
b) À l'aide de la cond ition (2) justifier que 13(t) = K + 0,021 F(t) où K est une constante.
I~ (95 - 63e~2~).
r
Dans celle question on prend II = 100. On admet que la variable aléatoire Y peut-être approchée par une variable aléato ire Z suivant une loi normale. a) Préciser les paramètres de celle loi normale. b) Utiliser celte approximation pour calculer P(Y> 60), c'est-à-dire calculer P(Z '" 60,5).
1° Déterminer la limite de a. ains i que celle de 13 en +00. Que peut-on en déduire pour les courbes représentatives de ces fonctions? 2° Calculer la dérivée et donner les variations de chacune des fonctions a. et 13. 3° Construire les courbes représentatives des fonctions a. et 13 dans un repère orthogonal (sur papier millimétré ; unités graphiques: 1 cm pour 5 secondes en abscisse et 2 cm pour 5°C en ordonnée; on fera varier t entre 0 et 120 secondes .
Épreuves de révision pour Jes BTS du groupement D
= 20.
b) Calculer la probabilité P(Y = 15).
-")
6(t) =
Il
mètres.
Partie B Pour tout t dans [0, +00 [ on pose
(
celle question on prend
a) Quelle est la loi suivie par Y? Donner ses para-
c) Déterminer K et donner une expression de l3(r) en fonction de t.
I~ 95 + 33e'"
A
On suppose p = ~ et on note Y la variable aléatoire qui, à tout échanti llon de taille Il, associe le nombre de succès du magicie.n.
SOil F la primitive de f qui vérifie F(O):::; O.
a(l) =
x
Un magicien prétend qu'il peut souvent deviner il distance la couleur d'une carte tirée au hasard d'un jeu de cartes bien banu et comportant des cartes de deux couleurs différentes en nombre égal.
Les tempémlures o.(r) et (3(1) véritient les conditions suivantes:
avec
C
Groupement 0
Partie A
1) n'(I) = - 0,0 Il (n(l) - ~(I»
(8 points)
Parti~
B
On appe lle F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille Il, associe la fréquence des succès obtenus par le magicien au cours des Il lirages d'une carte. On admet que F suit la loi normale de moyenne inconnue p et d'écart type
273
,jp(1-p)
V·_-n- - '
On construit un test unilatéral permettant de détecter, au risque de 5 %, si le magicien est un imposteur. On choisit '1 = 100.
On choisit comme hypothèse nulle Ho : p = et comme hypothèse alternative HI : p
~,
>~.
1° Calculer, sou s l'hypothèse Ho' le réel positif Il tel que
1F '" ~
+
2° Énoncer la règle de décision du test. 3° Sur un échantillon de taille 100, le magicien a obtenu 64 succès. Peut-on considérer, au ri sque de 5 %, que le magicien est un imposteur ?
Il) = 0,95.
274
En utilisant la table du formulaire, on obtient
P(77,5 '" y ", 80) '" 0,6826. 2 0 a) On cherche P(77 '" y ", 86).
Soit M la variable aléatoire qui associe à chaque échanti llon aléatoire de taille Il la moyenne des longueurs des
P(77 '" y", 86) = P( - 1,2 '" T '" 2,4) = 11(2,4) - 11( - 1,2) = 11(2,4) + 11( 1,2) - 1. En utili sant la tabl e du formu laire, on obtient
pièces de cet échanti llon; M suit la loi X(28.2;
0~7).
On note T la variable aléatoire normale centrée réduite associée à M. On a :
P(77 '" y", 86) = 0,8767.
P(28,195 '" M '" 28,205)
= p(_ 0,005 VIi '" T '" 0,005 VIi)
b) La probabi lité qu'une pièce tirée au hasard dans la production soi t défectueuse est 1 - 0,8767 = Q, 1233. Il Y a donc environ 12,3 % de pièces défectueuse s.
0,027
= 211(;7 VIi)
0,027
- 1.
M prend une valeur appartenant à l'interva lle
[28,195; 28,205J avec la probabilité 0,95 si et seu lement si ; 211(;7
Chapitre 4
VIi) - 1 = 0,95.
On résout par équ ivalences celle équation où l'inconnue est Il.
VIi = 1,96,,, = (1,96 x 27)2, 5
11(2V1i) = 0,975, 2
n
Réponses des travau x pratiques
d'où
n
Il
= 113.
TP 1 10 m
= Seta==2.
1° F suit la loi normale de paramètres p
TP 2
"1'(1
V,I
1° 1'=40 %.
(
l')
= , /0,52 x 0,48 _ 0025.
V
400
P(0,50 ", F '" 0,54) =
p(-0,ü25 0,ü2 '" T '" 0,ü2 ), 0,025
= 211(0,8) - 1 = 0,58.
, ganable aléatOi re X SUI t 1,1 lO I normale
r
X(l50; 0,21). La variable aléatoire M qui, à tout échantillon de
400 pièces prélevées au hasard et avec remise, associe la moyenne des diamètres des pièces de cet échanti llon suit la loi normale .1((150 ; ~) so it X(l50; 0,0 105).
=M
'
Soit T la variable aléato ire normale centrée réduile assoc iée à F. La probabilité d'avoir dans un échantillon de 400 nouveau-nés un pourcentage de garçons compri s entre 50 I?f et 54 Cl est:
e~rrigéS des exerCices
Soit T
= 0,52 et
La probab ili té d'avo ir dans un échantillon de 400
nouveau-nés un pourcentage de filles inférieur à 45 % est; P(F > 0,55) = pcr > 1,2) = 1 - 11(1 ,2)=0, 12.
~1
S
Soit F = -If la variable aléatoire qui, à tout échanti llon aléatoire de taille Il, assoc ie la fréquence d'appa.rÎtion d'un garçon dans cet échantillon. On cherche le plus pet it en tie r naturel "0 leI que: 0
- 150 la variable aléatoire centrée réduite
0,0 105
associée à M.
Sn
) ;2!: 0.95.
P( 150 - Il '" M '" 150 + Il) = 0,95 équivaut successi-
p (0,39 ~T ~ 0,41
vement à :
Les inéga lités suivantes sont équiva lentes:
p( __'_1_ '" T '" _'_1_) = 095 0,ûl05
p( 0,39'" :~ '" 0,41) '" 0,95;
0,0 10 5 '
211[_'_1_] _ 1 = 095 _'_1- = 1 96 0,ûl05 ' , 0,0 105 " car T suit la loi normale X(O, 1).
Sn 0,4"'°,0 1) "' 0,95 ; P (- O,OI "'11-
:~ - 0,41'" 0,01) '" 0,95 ;
p(1
292
p(49.1 '" X '" 50,9) ~ P(-2,25 '" T '" 2,25)
~; - 0,41> 0,01) > 0,95 ;
P(49,1 '" X '" 50,9) ~ 211(-2,25 -1),
1 - p(1
P(49, l '" X '" 50,9) ~ 2 x 0,9878 - 1,
~; - 0,41> 0,01) "'0,05.
p(49, l '" X '" 50,9) ~ 0,976.
p(1
Avec p
= 0.4 el 1.; =
0,05. soit
P. = 20. le théorème de
rIa loi faible des grands nombres donne:
~; _ 0,41> y20 x ~;~ x 0,6) '" 0,05.
1 - 0,976
~;, - 0,41> 0,01) '" 0.05
p(1
On
V
alors flO
2' F suil la loi Soit T
=F-
=
y suit la loi binomiale 00(11 ; 0,02). ~ 10 P(Y = 2) ~ C~(0,02)'(0,98)·8,
II
b)"
48(x)(),
x(0,40 ; y0,~4 ).
P(Y=2) ~ 0,015 il 10- 3 près.
0,4 la variuble aléatoire cen trée réM
c) P(Y '" 1)
II
d)
duite associée à F. On obtient:
P(0,39 '" F '" 0,41)
~
P(Y ~ 0) + P(Y ~ 1),
P(Y'" 1) ~ 0,984 il 10 - 3 près.
, 10,24
V
0,024.
la pièce est défectueuse, de probabilité 0,02. ou la pièce est non défectueuse, de probabilité 0,98.
vérifie '\ /20 x 0.4 x 0.6 < 0,0 1.
obti~nl
~
2° a) Les prélèvements aléatoires sont supposés avec remise. On est donc en présence d'une succession de 11 épreuves indépendantes, chacune ayant deux issues:
Celte relation implique
II
0,976. La probabilité qu'une pièce soit défectueu se est donc:
p(1
dès que
La probabilité qu'une pièce ne soit pas défectueuse est
À
~
> 1)
~
p(
F - 0,4 '" 0,01 ) YO.24 , /0,24
~
À
~ 1, Ysuilla loi 2J>(I).
0) + P(Y
~
1),
3° X la variable aléatoire qui, à chaque é(..'hantillon de 100 pièces associe la moyenne des diamètres des pièces
V" ~ P(ITI '" 2~'00) Il
Y
~2n(Y2~~)-
x 0,02,
1 - (P(Y
1 - 0,368 - 0,368, p(Y> 1) ~ 0,264 il 10 - 3 près.
P(I'
~
~ "1' ~ 50
P(Y> 1)
de cel échantillon, su it la loi normale X(50; , ~), soil X( 50; 0,04). V 100
L
= 0,95
Les relations suivantes sont équivalentes:
P(50 - b:s:; X :s:; 50 + b)
P(0.39 '" F '" 0,41) "" 0,95
le changement de variable T = X-50 à
Il
0,04 '
(y2;~)"" 0,975
,, /
1/
V2400
;:l:
p(- 0,04 --.!L '" T '" 0,04 --.!L)= 0,95
1.96,fl~9219,8.d'où1l0=9220.
211
3° Dans la deuxième question, la taille de l'échantillon quence de garçons située à moins d'un centième de
cette même fréquence pour la population, est 5,2 foi s
plus petite que dans la première question. Le fail de savoir qu'il est poss ible d'utiliser une loi normale per~ met d'améliorer le résultat donné par la loi faible des grands nombres.
] 0 La variable aléatoire X suit la loi normale de mètres m = 50 et CI = 0,4.
para~
Soit T la variable aléatoire associée à X : T = X-50, T suit la loi normale centrée réùuite .N'(O,l). 0,4
Corrigés du chapitre 4
293
el il
(--.!L) - 1 ~ 095 el il --.!L ~ 1 96 0,04 ' 0,04"
b ~ 0,ü78 il 10- 3 près.
permettant d'obtenir, avec la probabilité 0,95, une fré·
o
équivaut, en utilisant
UWn intervalle de confiance de p avec le coefficient de confiance 95 % est alors:
Chapitre 5
[
Réponses des travaux pratiques
0 515 _ 1 96 ' 10,5 15 x 0,485 . , , V 1067 '
+ 1,96 \ 10,515 x 0.485 ,] V 1067
0,5 15
soit [0.485; 0,545]
TP 1
ou, en pourcentages, [48,5 %; 54,5 %].
1° [2 934,67 ; 3 065,33]. 2° 12945,17; 3 054,83] ; [2 914 ; 3 086].
2° Avec le coefficien t de confiance 95 %, le pourcentage des électeurs vota nt pour A est situé dans
3° On observe que l' ilmplitude de l'inter va ll e de confiance augme nte avec Je coefficient de confiance.
[48,5 %; 54,5
%J.
Ce pourcentage peut très bien ê tre 49 %, auque l cas A n'est pas é lu .
TP2 l ° x=92,2;s=7,17. 2°
~
= 92,2;
CI
= 7,21.
1° Une estim ..ttion ponctuelle de la proportion d'électeurs vol;.mt pour A est 0,52.
3° c) [90,3; 94,1]. 4° "
=
Un intervalle de confiance avec Je coefficient de confiance 95 % correspondant à cet échantillon de taille" est :
799.
TP3 f = 0,68.
[
2° [0,639; 0,721] ou [63,9 % ; 72, 1 %].
V
~i
,,-1
et seulement si
0,52 - J ,96' 10,5~ x 0,48 '" 0,5 qui équivaut il
3° [0,636; 0,724]. 4° f
0,52 _ 1,96' / 0,52 x 0,48; 0,52 + 1,96' / 0,52 x 0.48] .
V 11- 1 Cel intervalle contient 0,5
• 0
V
= 0,52; [0,476; 0,564].
/1 '"
1/-1
0,52 x 0,48 x (1,96)2 + 1. (0,02)2
Le nombre minimal de personnes sondées est donc /1 = 2399. 2° Dans le calcul précédent, on remplace 1,96 par 2,58 et on obtient alors II = 4 155.
Corrigés des exercices
[D 1 x = 5,03 et s 0
=
1,14; ces résultats son l obtenu s à la
ca lcu latri ce. r Une estimation ponctuelle de la moyenne
J..l.
et de
J'écart type 0" du nombre de cam ions en panne chaque jour pour la popu lation const ituée des jours ouvrables
1 1° La calculatri ce donne pour moyenne et écart type: = 250 et CI' = 15,81 à 10- 2 près.
x
ZO Une estimation ponctuelle de m est 250, une estima-
de l'année est:
J.L=X=5ela=Y
II
tion ponctuelle de cr est 15,81
s=1,16.
yrw,
soit 15,89
~
10- 2:
11 - 1
3° Un intervalle de confiance de la moyenne j..L de la popu lation avec le coefficient de confi ance 95 % est:
[-
X -
CI- + 1,96ynCI] = [4,61; 5,45].
1,96yn;x
près. 3° Un intervalle de confi ance de le moyenne m avec le coefficient de confiance 95 % centré en
x est l'inter-
valle:
[x - 1,96':;"; x+ 1,96 J,;l Avec
10 Une estimation ponctuelle de p est la fréquence des intentions de vote pour le candidat A obse,cvée dans
l'échantillon, so it : 550 1068
= 0,515.
x = 250, cr est estimé par 15,89 et
II
=
100, on
obtient:
[250 - 1,96 x 1,589; 250
294
+ 1,96 x 1,589].
Donc un intervalle de confiance de ni au seuil de risque 5 % est [246,89; 253, II J. II 1° On e!\t en présence de n tirages indépendants débouchant sur deux. issues de probabilités respectives: p = 0,26 et q = 0,74. La variab le aléatoire X qui, à tout échantillon .aléatoire non exhaustif de " paquets testés par le service te contrôle » , associe le nombre de paquets dont la masse apparti en t à l'intervalle l245, 255[ suit la lo i binomiale œ(n ; 0,26).
2° " = 6. P(X ~ 4) ~ Q(0,26)4(0,74)2, P(X ~ 4) ~ 0,0375, P(x ~ 4) ~ 0,04 à 10-2 près. 3° On ('herche la va leur minimale "0 de Il telle que P(X"" 1) < 0,95 qui équivaut à P(X ~ 0) '" 0,05 et à (0,74)11 '" 0,05 et à IIln(0,74) '" In (0,05) (la fonction ln étant croissante). . In (0,05) . O n obtient Il ~ - - - SOit 11 ~ 9,949. ln (0,74) La valeur minimale 110 de /1 pour que P(X ~ 1) > 0,95 est donc 110 = 10.
lU
peY '" 245) peY '" 245)
~
PU' '" 0,316),
~
1 - TI (0,3 16),
P(Y'" 245) ~ 1 - 0,624, P( y", 245) ~ 0,38 à 10- 2 près.
.N'(m; 15,8), la variable aléatoire T
= Y-
" normale centrée réduite ..1., (0, 1).
0,063, ~
0,06.
B. P Chaque épreuve est constituée par 100 e.xpérien ces élémen taires indépendantes. Chaque expérie.nce élémentaire peut déboucher sur deux résultats et deux seu lemen t : te Le poulet prélevé a un poids in férieur o u égal à 1 kilo», événement de probabilité p = 0,03, et te le poulet prélevé a un poids strictement supérieur à 1 kilo », événement de probabilité q ~ 1 - p, q ~ 0,97. Donc la variable aléatoire Y suit la loi binomiale 00(100 ; 0,03).
r fi
le paramètre de la loi de Poisson est À = 3.
= np
avec
= 100 et p = 0,03, donc À
3° PCC) ~ P(Z'" 4). P(C)
~
p(Z
P(C)
~
0,815, avec la table du formulaire, PCC)
~
0) +p(Z
~
1) +p(Z
~
2)+ p(Z
~ 3)+p(Z~
~
4),
0,82.
III
0,1
~
0,04,
11
1~
1,96, n
~
100.
b) La réponse est non.
~
P(X'" 1).
p( X -
1,46", 1 - 1,46 ), 0,30 0,30
c'est-à-dire P(T'" -
g:;g), P(X '" 1) ~ P(T'" -l,53)
P(T'" - 1,53) ~ TI(- l,53) et ~
f
1f(l - f) ; f + t \ 1f( 1 - f) J, V' -1 V' n- 1
f - 1\
On obtient l'intervalle [0,001 ; 0,079].
La variable aléatoire T = X - 1,46 suit la loi normale 0,30 centrée réduite .N'(O, 1).
TI(-1,53)
a) Un intervalle de confiance du pourcentage p avec le coefficient de confiance 95 % est l'intervalle:
Si on prélevait un très grand nombre de tels échantillons, environ 95 pour 100 d'entre eux contiendraient le pourcentage inconnu p de la population.
A, On cherche prA)
~
~ 4 %).
r
avec
= 266g.
P(X'" 1)
160, p '" 0,04 (ou p
[
>- 265 205 et à 245 - 11/ :s;: _ 1 28 15,8 " '" .,-
~
~
suit la loi
-III) '"
15,8
P(X '" 1)
C} O On chois it le pourcentage de poulets dont le poids est inférieur ou égal à 1 kilo dans l' échant ill on comme estimation ponctuelle du pourcentage p de poulets du stock de poulets dont le poids est inférieur ou égal 3 1 kilo.
15,8
P(Y'" 245) '" 0,1 équivau t à ptT '" 245
111
~
P(X'" 1)
c'est-a-dire PlA)
Donc p
La variable aléatoire Y su it la loi normale
d'où
P(X '" 1) ~ 1 - 0,9370,
La variable aléatoi re Y suit la loi normale
}O
N(250' 15 8) l:l variable a léatoire T = Y - 250 suit la , , , 158 loi normale centrée réduite .N'(O, 1). '
r
Donc P(X'" 1) ~ l -TI(l,53)
1- TI(I,53)
Corrigés du chapitre S
295
3° 0,24 '" [0,036; O,204J.
Chapitre 6
A u seuil 1 %, mons ie ur A a tort.
Réponses des travaux pratiques
0,24'" [0,268; 0,45 IJ. A u seuil 1 %, madame B a tort.
TP 1
TP4
A.l ° HO: fL = 130. H l : fL " 130. 133.6 1 '" [1 26,87 ; 133, 13J. Au se uil 5 %. la vitesse moyenne des automobiles passant à cet endroit est sig niti cati vement diffé rente de 130 km/h . 2° 133,61 E [1 25,88; 134, 12J.
A. 1° HO : P = p' . Hl : fJ " fi . - 0, 1 '" [- 0,084 ; 0,084]; on rejette Ho. Au seuil 5 %, il Y a une différence significati ve en tre
A u seuil l %, on accepte H o. = 130. H l : fL > 130. 133,61 > 132,6. Au seuil 5 %, la vitesse moyenne des automobil es passant à cet endroit est significati vement supérieure à 130 kmlh . r 133,6 1 < 133,7.
B. 1° HO: fL
Au se uil 1 % o n accepte Ho et on
rej~ tte
H l"
TP2 A. l ° HO: fLA = fLB· H l : fLA " fLB· 4 '" [- 3,23; 3,23J. Au seuil 5 €kt il y a une diffé rence s ignificative entre les durées de vic moyenn es des ampo ul es fabriq uées par A et B.
r
4 E [- 4,26; 4,26J.
Au seuil 1 %, il n'y a pas de diffé rence signifi cati ve e ntre les du rées de vic moye nnes des ampoules fabriquées par A et B .
les pource ntages d ' unités de qu alité supérieure obtenu s par les deux procédés de fabri cation.
2° - 0, 1 E l-O, ll ; 0, 11] ; 0 11 acc~pte Ho' Au seuil 1 %, il n 'y a pas de d ifférence signifi cati ve entre les pource ntages d' unités de qu alité supérieure obte nu s par les deux procédés de fabri cati on. B.J o Ho:p=p'· H ) :p< p'.
- 0, 1 < - 0,07 ; o n rej ette H o et on accepte HI ' Au seuil 5 %, les moditi cations apportées ont améli oré sig nifi cati vement le po urcentage d ' unités de q ualité supérieure.
2° d = -0, 1 est à la frontière de la régio n critiq ue. Il serait hasardeux de conclure, car les calcul s précédents sont notamment entachés d ' erreurs d ' arrondis; mieux vaudrait prélever de nouveaux échantill ons de mê me tai lle q ue ceux-ci et utili ser ce même test avec eux.
Corrigés des exercices
ŒJ
B. 1° Ho: J.LA = J.Ls " H l : J.l.A > !-LB" 4 > 2,7 : on rejeue Ho et 0 11 accepte H [" Au seuil 5 %, la durée de vic moyenne des ampoules de l' entreprise A est significati vement s upérieure à ce ll e de l'entrepri se B.
1° On pose T
2° 4 > 3,8.
à
Au seuil 1 %, on arri ve à la mê me concl usio n.
TP3 1° Ho: p = 0, 12. H l : P " 0,50. 0,24'" [0,056; O, 184J : O n rejette HO.
Au seuil 5 %, monsieur A a tort.
2° Ho : p = 0,33. H l : p '" 0,33. 0,24 E [0,238; O,422J.
=X-
550. 195
VsO
T sui t la lo i norm ale ce ntrée réduite .N'CO, 1).
Donc P(550 - "
~
X
~
550
+ Il ) =
0,95 est équi valent
p(550- II - 550", X -
II-55, = 0 95
550", 550 + 195 195
195
VsO VsO VsO p(- 1IY50 '" T '" 1IY50) = 095 195 19 5 ' , rr(IIY50 ) _ rr (IIY50) = 0 95 " 195 195 2rr ( A Y50) - 1 = 0,95 qui est équi valent à 195 AY50 = 1,96, = 54. 195 L1 région d 'acceptati on est donc
II
Au seu il 5 %, madame B a raison .
[550 - 54; 550
296
+ 54J = [496, 6Q.lJ.
'
,
r
Règle de décision . o n prélève. au hasard et avec rem ise un échantill on de 50 clients et on calcule la moyenne des achats des clients de cet échanti llon.
x
Si x appar tient à [496, 6041, on accepte Ho au seuil de 5 %. Sinon on rejette Ho et on accepte HI à ce même seuil.
x
3° Pour l'échantillon observé = 597 est compris entre 496 et 604, on accepte Ho au seui l de 5 %, on conclut au seuil de 5 % que la moyenne,... des ven tes est égale à 550 euros.
On admet que., sous l'hypothèse Ho, F suit la loi normale
X(p, VP(l,~ p») où p= 0,02 et
11
= 50 donc
F
sui t la loi normale X(0,02; 0,020). On pose T ~ F - 0,02 0,020 T suit la loi normale centrée réduite N(O, 1). Cherchons un nombre réel positif (/ tel que P(0,02 - a '" F '" 0 ,02
+ ,,)
~
0,9, c'est-il-dire
p(- -"'" T'" _"_) ~ 0,9, 2n(_a_) - 1 ~ 0,9, 0,020 0,020 0,020 n(-"-) = 0,95. Par lecture in verse de la table du for0,020 mulaire on obtient: 0,;20 ~ 1,645, donc " ~ 0,0329,
1° a) Choix de HO : la moyenne des chiffres d'affaires journaliers de l'hypermarché après la campagne public itaire est,... = 1,5 (million d'euros). Choix de HI :
j.L>
b) Diterminatioll de la région critique: sous l'hypothèse Ho, on a ,... = 1,5, donc Z suit la loi normale X( 1,5; 0,3) et la vari able aléato ire cen trée rédu ite T
c) É1lolld de la r~gl~ de décision: on calcule dans un échanti llon aléatoire, supposé non exhau sti f, de taille 50, le pourcentage f d'individus sportifs contrôlés positivement.
v'3o
n( v'3o 0,3 Il
(II -
1 5») '
1 5») '
Si f E l o n accepte Ho et l'échantill on observé est représentatif de J'ense mbl e de la population sporti ve au seui l de risque de 10 %.
~ °"95'
~ 095' v'3o (II " 0,3
- 1 5) '
~
S i f fi. 1 on rejette Ho et on accepte Hl' Dans ce cas l'échantillon obse,rvé n'est pas représentatif de l'ensemb le de la population sporti ve au se-uil de risque de 10 %.
1 645 "
~ 0,3 1,645 + 1,5, Il ~ l,590.
v'3o
2° Application du
c) On prélève un échan tillon non exha ustif de taille 30 dans la population des chiffres d'affaires journal iers obtenus après la campagne publicit aire.
Dan s l'échantillon
a)
b) ,...
> 1,590 o n rejette Ho, et on accepte H I' ~
~,
2 con trôles ant idopage ont été
f ~~~
0,40, f E 1. 50 Par conséquent Ho est acceptée et l' échan tillon obser vé est représentatif de l'ensemble de la popu lati on sporli ve au risque de JO %.
On calcule la moyenne,... de cet échantill on.
r
t~st
déclarés positifs sur 50 donc
Si ,... :s;: 1,590 on accepte H o, et o n rejette Ho. Si,...
+ 0,033].
1 ~ [-0,013; 0,053].
associée à Z définie par: T ~ (Z - 1,5) suit la loi X(O,I)' 0,3 Par suite, P(Z :es;: h) = 0 ,95 équivaut successivement à
P(T '" v'3o (II 0,3
= 0,033.
On prend comme région d'acceptation du test 1 ~ [0,020 - 0,033; 0,020
1,5.
li
= 1,623.
> 1,590 on rejette Ho> et on accepte H I'
On conclut, au se uil de signification 5 %, qu'à la suite de la campagne publi citaire la moyenne des ch iffres d'affaires a augmenté, c'est-à-dire dépassé 1,5 million de francs.
1° Construction du test a) Choix de Ho : p ~ 0,5.
Choix de HI : p > 0,5 (Je candidat est élu au premier tour); il s' agit d'un test unilatéral. b) Détermination de la région critique au seui l 5 % Sous l'hypothèse Ho, F suit la loi normale X(0,5; 0,ül5 3).
1° a) L'hypothèse nulle est Ho: p ~ 0,02.
L'hypothèse alternative est H I : p
*" 0,02.
Donc F - 0,5 suit la lo i normale N(O, 1). 0,0153
b ) On appelle F la variable aléatoire qui, à tout
A lors
échantillon de 50, associe le pourcentage de sporti fs contrôlés pos itivement.
Corrigés du chapitre 6
p(F0,0- 153 0,5 '" ,) = 0,95 pour
Donc P(F '" 0,525)
297
= 0,95.
1
~
1,645.
c) Énoncé de la règle de décision
• Énoncé de la règle de décision
On prélève un échant illon aléatoire, en principe non exhaustif, de taille 1068, dans la population des 85 842 électeurs. On calcule la fréquence f des intentions de vote en faveur du candidat.
On prélève un échanti ll on aléato ire non exhaustif de taille 100 de la population et on calcule le pourcentage f de réponses favorables au produit nouveau.
f:S;: 0.525, on accepte Ho et on rejette donc Hl' Si f > 0,525, on rejette Ho et on accepte donc Hl' Si
On fait de même un mois plus tard avec un échantillon de taille 400 issu dans les mêmes conditions de la même population et on calcule j'.
Soit d ~ f - f'. Si li E [- 0,097; O,097J, on accepte Ho. Si li fi- [ - 0,097; O,097J. on rejette Ho.
d) Utilisatioll du test
• Calcul de f: f ~ 550 ~ 0,515. 1068 • Application de la règle de décision
0,515 :s;: 0,525 ; on accepte HO et on rejelll! Hl' Au seuil 5 %, au vu des résultats du sondage, on ne peut accepter l'hypothèse selon laquelle le candidat sera élu au premier tour.
• Calcul de d : li
2° Avec le seuil 1 %, on remplace t = 1,645 par t = 2,32; la région crit ique devient l'intervalle ] 0,535; + co [ qui ne contien t pas f. On rejette encore Hl'
Au seui l de 5 %, le pourcentage d'opinions favorables au produit nouveau dans l'ensemble de la population n'a pas changé significativement en un mois.
L'estimation ponctuelle de l'écart type de Fe st
Partie A
'\ (j(l='f) où Il =
La variable aléatoire X su it la loi normale .N'(25 ; 0,1).
y~
100 et f
premier échantill on: CfF De même pour F' avec
II
= 0,25 correspondent au 400 et f'
~
0,25 - 0,33
0,33 :
=
0,0235.
- 0,08
E
0,08.
l- 0,097; 0,097J; on accepte Ho·
=
X - 25 suit la loi normale
" centrée réduite J, (0, 1).
0,1
10 P(24 75'" X '" 25 25)
En tenant compte des lois su ivies par les variables aléatoires indépendantes F et F', là variable aléatoire
~
• Application de la règle de décision
La variable aléatoire T
= 0,0435. =
Utilisation du test
,
,
~
p(-0,25 '" T '" 0,25) 0,1 0,1 '
= 2n(-2,5)- l,
D ~ F - F' suit la loi normale de moyenne
P(24,75:S;: X:s;: 25,25) P(24,75 '" X '" 25,25)
E(F) - E(F') ~ p - p' et d'écart type
P(24,75 '" X '" 25,25) ~ 0,9876, à 10- 4 près.
VU2F + up. = 0,0495.
r
Construction du test
P(25 - a :s;: X :s;: 25 + a) = 0,95 ce qui équ ivaut à
• Choi. de Ho : p
~
2 x 0,9938 - l,
On cherche le réel a tel que
p(-a '" T ",!!...) ~ 0,95 et à 21I( !!...) 0,1 0,1 0,1
~ p'.
*"
Cho ix de Hl : P p'. • Déterminaüon de la région critique au seu il 5 % :
1 ~ 0,95 et à
1I(!!...) ~ 0975 !!...~196eta~0196.
0,1
"0,1
'
,
Sous l'hypothèse HO' D suit la loi normale de moyen-
ne 0 et d'écart type 0,0495.
Partie B
Donc __D_ suit la loi normale N (O, 1).
1° Sous Ho, X suit la lo i normale .N'(25; 0,1), X suit la
0,0495
p(- t :s;: 0,0495 __D_ '" r) = 0,95 pour t = 1,96. Donc P(- 0,097'" D '" 0,097)
,
~
2° a) T =
0,95.
,'
~
1 0,95 1 0: 025 1~
~.
- 0,097
loi normale X(25
0.097
;v%lo) soit .N(25 ; 0,01);
X - 25 sui l la loi normale centrée réduite 0,01
X(O, 1), P(25 - h
équivaut à 21I(~) - 1 ~ 0,95 et il 1I(~) ~ 0,975, 0,01 0,01 ~ ~ 1,96, il ~ 0,0196 à 10- 4 près. 0,01
298
b) Pt24,9804 ';
x.; 25,0196) = 0,95.
a) Sous l'hypothèse Ho, D su it la loi normale N(O ; 5,65). L..1 vari able centrée réduite T =...R...- su it la
Si Ho est vraie on il 95 % de ch::mces de prélever un échantillon aléatoire dont la moyenne appartient à J'in· tervalle 1 = [24,9804; 25,0196J. soit 5 % de chances que cette moyenne soit à l'extérieur de 1.
loi normale centrée réduite )( 0, 1). Pt- il .; D.; il) = 0,95 équivaut à
p( 5,65 ~ .; T .; _il_) = 0,95. 5,65
La région critique est l'extérieur de l'intervalle 1 = [24,9804; 25,0196J. R~gle
5,65
La table donne -'-'- = 1,96, d'où" = 11 ,07 et 5,65 P(-11,07 "" D.; 11,07) =0,95 .
de décision
On pré lève un échanti llon aléatoire, non exhauslif, de taille 100. On calcule sa moyenne
b)
x,
R~g/~
de dlcisioll
On prélève deux échantillons aléatoires non exhaustifs de taille 100 ~ans les productions de MAT et MATie et on calcule leurs moyennes ml et m'2' Si ml - 1112 E [-11,07 ; Il ,07], on acceple HO et on rejette Hl' Si 111 1 -"'2 ~ [-11,07; Il ,07], on accepte Hl et on rejeue HO' c) Utilisation du t~st
si xE Ion accepte Ho et on rejette Hl ; si i fi , on accepte Hl et on rejette Ho' 3° Utilisation dit It!st a) Avec la calculatrice on trouve i = 25,0 150.
b) 25.0150 E [ [24,9804: 25,0196]. On accepte l'hypothèse ]J. = 25. On conclut. au risque de 5 %, que la moyenne des masses des liges de la production est ~ = 25 donc que la machine est bien réglée.
m l -m2 = -8, -8 E [- 11,07 ; Il,07J, on accepte Ho. On conc lut , au seuil de signification 5 %, qu'il n'y a
pas de différence signiti cati ve entre les productions des deu,. filiales. 1
1° La variable aléatoire X suit la loi normale
X(400, 40). La variable aléatoire T
=X-
normale centrée réduite N(O, 1).
400 suit la loi 100
Chap[tre 7
P = P(X'; 318) = PtT.;- 2,05), p = 1 - nt2,05), p = 1 - 0,9798, p = 0,0202 à 10 - 4 près.
2 0 a) Les prélèvements aléatoires sont supposés avec rem ise. On est donc en présence d'une success ion de 50 épreuves indépendantes, chacune ayant deux issues: moteur non commercialisable de probabi lité constante 0,02 ou moteur commercÎalisable de proba-
Réponses des travaux pratiques TP 1 2' 100 ..
bilité 0,98.
r
,1 ,
y suit la loi binomiale 91(50 ; 0,02) .
T
~
cc
t
IV = 2) = SotO,02)2(0,98)48, P(Y = 2) = 0. 186 il 10- 3 près.
, C
Ji ~
II 10 À l'aide de la calculatrice, on trouve:
= M 2 ou MI -M2 = O. Choix de
HI :M l -:f:.M2·
"D=
+ (T2
ttr •t t
Y
Corrigés du chapitre 6
100
'
299
•
~
~
t
t
t
,
'00
300
r
-
1
!!
r
100
_1__2=565
f
~
,
J 320
cr2
~
~
f;.
,
= 39,38.
Choix de Ho: MI
0
~
~
..r f f l
36,8%
(calculable par la loi binomÎ'lle ou la loi de Poisson).
"'1 = 398,8 et al
J
~
50 Il
b) ~ = np = 50 x 0,02, À = 1, Ysuit la loi ~t l ). PtY ';3)= 0,981 , P(Y';3) = 0,98 1 il 10- 3 près
r
T ±
1
4""
J
400
500
MTBF
600
700
800 ~ (heul't'~ )
Corrigés des exercices
MTBF = 460 heures. 3" ~ = 0,0022; R(t) e - 0.00"'.
4" to = 319 heures; R.f.ro) = 0,75.
[!]
TP2
1" p eT '" 70) = F(70). T suit une loi e!'tponentiell e : R(t) = e-". R(70) = 0,95 éq ui vau i à e- 70' = 0,95 el
1" a) ~ = 0,0015. R(r) = e- O,OO15,.
à -
> 1000) = 0,777. = 0,407; P(B) = 0,259; P(A n B) = 0,259.
b) P(X '" 500) = 0,472. P(X ZO a) P(A)
70~
D'où
= ln 0,95.
À =
-lnO,95 , À = 7,32 70
2" MTBF =
b) P(BIA) = 0,638.
t,
10-
X
4
MTBF = 1 365 heures.
fI
= MTBF.
3" peT > 30) = R(30), R(30) = e- O•02l96,
TP3
P(T> 30) = 0,9782.
1" a) r = 0,9960 = 1. b) L'ajustement est linéaire donc "Y
= O.
c) y=4, lx- 17, 12 13 = 4,1
ln 'Tl = 1~'~
ZO 13 = 4,1
A = 0,9077 MTBF = 59.
( ')"1 = 0,9 3" e 6,5
'Tl = 65.
0 1 0 On détermine R(t) et F(/) par la méthode des rangs m~yens : F(ti) = p eT ~ fi) est estimé par le rapport - ' - , où ; désigne le rang et fi la taille de l'échantillon. Il + 1 Le pourcentage unitaire est donc 1/12 8,3 %, d'où le tableau:
=
t = 37,5.
La périodicité d'un e ntretien systématique basé sur une fiabilité de 90 % est donc de 37 jours.
',(en_) 14 20 50
TP4 Partie A
-- ----- r--- ------------
64
.. ----- ----------------------
_
J'
.....
~
• ,.
~rl
,
*
101-
•
67 100 130 135 212
1
- ____
·l'-·:!--,..----!~y
224
348
,, ,,
~=o;
R(t)
r
'Tl = 1100 ;
13=2.
= ex pH 1 /00)']
MTBF = 975 heures; cr
= 509 heures.
=
4" 43 %.
5" ~(t)
=
_2_(t1100
1000).
1100
8,3
91,7 83,3 75 66.7 58.3 50 41,7 33,3 25 16.7 8.3
16,7 25 33.3 41,7 50 58,3 66,7 75 83,3 91.7
= e-),/,
mulaire); donc R(MTBF) =
où
À
R(~)
= MisF (voir fo r· = e- l,
R(MTBF) = 0,368. D'après le graphique, R(t) = 36,8 % pour t
SOli
Parri~
B 2° MTBF = 1 975 heures;
R(',) (en-.)
On place les points de coordonnées (ri' R{t;» sur du papier sem i. logarithmique (fig. 3). Les points son t sen· siblement alignés; la droÎte d'ajustement passe par le point de coordon nées (0, 1). La variable aléatoire qui, à chaque pièce JB 007 tirée au hasard. associe son temps de bon fonctionnement, su it une loi qui peut être appro· chée par une loi exponentielle. La fiabilité est R(r)
3° t 360 heures. 4"4 %. 5" ~(t) = 1,65 x 1O- 6 t.
1"(',) (en -.)
CT
= 509 heures.
~
145 h,
MTBF ~ 145 h, ~ = _ 1_, d'où ~ ~ 0,007. 145 Avec À = 0,007, la fiabilité à l' in stant r est donc R () t = e- 0.007 /.
300
'00 ~
il
,
,,f
80 ~
,
T
h
6
r
,
, 36.8 "
_+-__
l~
't
$1'
t
~
,
RI;)
'1
!
ft r
r
en ~
R(I,)", ..
Ia~r>
500
22
78
-0.248
1000
40
60
-0.51
1500
53
47
- 0.755
!
2000
63
37
- 0.994
,~ ~ ~
2500
72
28
- 1,273
3000
78
22
- 1,514
d,
~'"
30
t
t
100 MTBF
r
J
145 300
'00
400"
D'où l'équation y
(heures)
2° À j'instant 'O. la fiabilité est de 80 % si, el seu lement si, e - O.OO7/(l = 0,8.
e O.OO3 .f7
=-
0,00051
+ 0,00347.
= J d'où R(t) = e - O.OOO5t ,
Le paramètre de la loi exponentielle est
qui est équivalent à - 0,00710 = ln 0,8; . 10 """ 3' _ heures. d · ou. 10 = - -In-08 0.007 Graphiquement, il suffit de trouver l'abscisse du point de la droite d'ajustement correspondant à l'ordonnée
3'
À.
= 0,000 5.
0,000 5.
À =
P(A) = R(I 000), P(A) =
e- o.,. P(A) =
0,607.
= 30 heures. 1° En utilisant la méthode des rangs bruts:
3° Désignons par TI el T'1les deux variables aléatoires mesuranl les temps de bon fon ctionnement respectifs de deux pièces J B 007 lirées au hasard. Soit R1(to) e l R2(to) les fiabilités respectives de ces deux pièces et soi! Rs(to} la fiabilité du système élUdié
à l'instant 10'
F(li)
1 100
1300
194
900 324
394
400
48.5
81
98,5
JOO
li
500
700
ni
60 15
(en '*')
parallèle de deux pièces J8007.
= P(T, > lU o U T, > (0 ), = 1 - peT] ~ 10 et T2 ~ 10}'
,.
"
"_t • !.O ..,.. . . ..;;I,~;...,.
-.. ~"
Lorsque le système esi conslitué par le montage en RsC.lo)
= 0,00347.
D'où InR(I) = -0,00051 + 0,00347. RU) = e - O.OOO5t + 0.00347, R(r) = e-O.OOOSt. e O.ooH7 ,
Fig. 3
80 % ; on trouve '()
La calculatrice donne a = - 0,0005, b
= 0.9998.
r
.. - ... .,."'. ""
••
Les deux pièces fonctionnent de manière indépendante, donc RsC.lo)
= 11-
x (T, "" (0) R,(to)] x [1 - R,(to)]
,,, ,,,
p(T, "" (0)
ri -
,,, ,,,
1 - (1 - 0,8) x (1 - 0.8) 1-
0.2' 0,:
OJ
1I.~ U
4 "' 6
0 .. 1
RsC.lo) = 0,96.
Les deux pièces fonctionnent de manière indépen-
D'où R(I) = expH
= 0.64.
Corrigés du chapitre 7
JO
JO
IO ' CII
Le nuage de points est presque reclili gne (fig. 4) ; on e n déduit "Y = O. L
= PtT, > (0) e' T, > (0),
dante, donc RsC.lo) = PtT, > (0) x P(T, > (0 ) = R,(IO) x R,(to) = 0,8 x 0,8 R;{IO)
• 10
Fig. 4
4° En utilisant les notati o ns précédentes, quand le système est est constitué par le montage en série de deux pièces JB007 , RsC.lo)
----
301
7~On
2° Pour (3 = 4, on trouve dans la table A B = 0,254.
MTBF = TlA + "(. Ici MTBF = 780 x 0,9084, soi. MTBF (J = 'fIB. Ici (J = 198 heures.
= 0.9064 et
•
La calculatrice donne: \' = 4,076u - 27,149 et r = 0,993 ; on peut donc prendre les expressions approchées 'Y = et \' = 4u - 27.
°
= 707 heures.
Alors ln (-ln R(r»= 4111 ,- 27 = 4(In, _ ln o6,75),
= 4 ln _,_ = ln (_'_)4 . 854
~o
Déterminons la périodicité d'un entretien systématique basé sur une fiabilité de 90 % :
=
d'où -In R(t)
854'
(8~4r- soit R(t) = exp [- (8~4rl
• Graphiquement: F(I) = 10 %; on trouve sur le papier de Weibull t = 450 heures. • Par le calcu l : ex p[ équivaut il
(7~Or]
= 0,9
(-'-r = - ln 0,9, 770 L
c'eSl-à-dire à, = 780(-ln 0,9)4
o
= 444 heures.
1" R(,) = e -
(501)2.4
= 1-
e- 10.2! "
Il faut faire un entretien systématique au moins toutes les 444 heures.
2" a) P(T < 10)
4° • Graphiquement: F(560) = 23 %.
P(IO < T< 50) =61 %.
• Par le calcul: R(560) =
eXP[-(;~g),l = 0,77.
...i...(-'-t X(r) = 780 780 '
5" X(,) =
_ I_(_'-t 195 780
500
700
900
1100
1 300
I03Mti )
1.35
3,7
7,87
14,38
23,74
t- t-t
1010- 1
;~:QJ Fig. 5
Le taux d'avarie croît trop vite (fig. 5) ; il est grand temps de changer de politique de maintenance! 6" "i =
~i
IDti
6,215
6,551
= In(-In/l('i)) -1,817 -0,410
!SJ.)2.4
= e- (50
RUo) > 0,9 qui est équivalent à (~)2.4
,à e-' o
'" 0,9
( '0 )2.4 '" ln (0,9), à '0 '" 50(-ln(O,9Wi4.
à -\50
Le calcul donne
10::S;;
19,57 mois.
Lorsque le système est constitué par le montage en série de deux composants RS
r
1
'00 JIll 500 700 'IIXl 1100' JIll 1 (heu res)
3° On cherche 10 tel que F(ro) < 0,1
4° Soit Tl et T2 les variables aléatoires qui mesurent les durées de vie respectives de deux composants de (S) tirés au hasard. Soit Rl(t) et R2(1) les fiabilités respectives des deu:t composants el soi t Rf...t) la tiabilité du système.
y
2010- '
= 2%.
b) p(1O < T < 50) = F(50) - F(lO)
à R(to)
'i
PIT < 10)
6,802
7,003
0,507
1,435
de celle du deuxième et les variables Tl et T2 suivent la même loi que T donc Rf.') = [p(T",,)f= [R(,)]2
donc Rs{ro) > 0,9 équ ivaut à [R(to)]2 > 0,9 e. à
v'D.9,
RUD) > R('D) '" 0,95. Par le calcul (comme au 3 °) on trouve '0 = 14,66 mois. P(T < 10) < 0,05, F(tD) < 5 %.
Graphiquement
302
10
=
l4,5 mois.
RÉPONSES DES ÉPREUVES DE BTS
• Épreuve 1
Épreuve 3
Exercice 1 A.l ' !'Il(IO; 0,9). 2' P(X "" 8) = 0,930.
Exercice 1 l ' 0,954. 2' a) P(E,) = 0,0006 ; b) peE,) = 0,0494. c) peE)~ = 0,9506. 3' a) !'Il(40 ; 0,05) ; b) À = 2 ; c) P(E.) = 0,677.
B.l' 0,961. 2' 0,951. C.l' PlA) = 0,6; P(B) = 0,4 ; PCC/A) = 0,914 ; P(ClB) = 0,879. 2' p(C PCC)
n A)
= 0,548.
p(C
n B) = 0,352.
= 0,900.
Exercice 1
B. l ' b)A(0,6; 3,3) e' B(0,6; 1,8).
A.l ' g(x) = Ce"'. 2° f(x)::::; ce2:r + xe 2x , 4' J(x) = (x - 1)e"'.
2' b) à C2.
C.l' b) Xo = - ln2.
B. l ' a) lim J(x) = +~. b) lim J(x) = O. x-++-
Exercice 2 A. l ' J(x) = K,e' + K2e"'. 2° g est solution. 3° "(x) = - W + 4e2.r.
r
La courbe cherchée est C3 .
.1"-+ + 00
c) L'axe des abscisses est asymptote. 2° a) f'(x) ~ 0 est équivalent à x === ~.
3°e»'= l-x. C. 2' a) lim I(a) = -l4' x-++-
Épreuve 4
Épreuve 2
Exercice 1
l ' a) PlA
Exercice 1
l ' a) 0,95 ; b)" = 0,0047 ; c) 0,449. 2' a) !'Il(n ; 0,05); b) 0,99 ;
= 5 ; P(X> 2) = 0,88. 3' a) peE ) = l. p(E ) = ~ , 3' 2 3' P(AIE, ) = 0,95 ; P(AIE2 ) = 0,99. c)
À
A. l ' g(x)
Exercice 2 A. l ' c) La courbe 2.
~. (x + 1)-
2 ' 11(X )
= In(x + 1)? .
3' J(x)
= ~+
4' C
3' b) Y = 2x.
(x + 1)-
= Cl
= O.
B. l ' b) J'(x)
4' b) 0,454 cm 2.
3° g(x)
=
(x+I)-
= l2'
} O "(x)
2'
-.lx
e 4 + C2 e-x.
lim J(x)
.1"-+-1
-.l.t' 4 + ~e-.l' + 2.\"e-21',
303
In(H ~. (x+I)-
°
= pour x = Ve - 1. = -~; lim J(x) = O.
3' b)y =x. 4' b) A = 2,45 cm"-
= CIe
Réponses des épreuves de BTS
= 0,28.
Exercice 2
= 0.32; PlA n E2) = 0,66. c) PlA) = 0,98 ; P(B) = 0,02.
B.
U B)
2' a) p(X = 1) = 0,26. b) E(K) = 0,3. c) 0,93. 3 ' b) E(Y) = 28. ,,(Y) = 4,49. c) p(Z "" 19,5) = 0,97.
b) p(A nE,)
2° x
n B) = 0,02. PlA
x-++-
1
•
Épreuve 5
Épreuve 7
Exercice 1
Exercice 1
A.l° f(x) = -1 C .
A. 2° r = 0,9993. 3° Y = 26,I333x - 51803,2017.
+x r b) g(x) = ~_ 1 + In(l + x). l+ x l+x c) C = 1. B. 2° b) lim f(x) x...... + -
= - 1.
SOa) F(x) = -x + In( 1 + x) +
4° )'
= 463 milliers.
B. P(D ) = 0,04 : PCV ) = 0,96. C. P b) P(X = 0) = 0,0168.
&[ln(1+ x)]2
b)A = 4[2(ln2)'+2 In 2-3]cm 2
Exercice 2 1° a) a = 0.98. b) 0,046. c) b = 0,137. r b) p ey> 1) = 0,086 ; c) P(Z < 6) = 0,617.
P(X = 1)
= 0,0703. P(X '" 2) = 0,9128.
D. r 1 = [0,00; 0,06]. Exercice 2 A. 1 ° a) lim f(x) = + = ; x->,
b) lim f(x) x--+- oo
= + =.
2° Au point d'abscisse O.
4° b) j = 48' 25 . j = 0,52. c) A
= 8,33 cm2 e= (x + C) I. -x X
B. 3° g(x)
Épreuve 8
Épreuve 6 Exercice 1
Exercice 1
1° 0,97.
1° P(2 5,30 '" D '" 25,70) 2° a) ffi( !O ; 0,96).
r
p eE,) = 0,0021 ; p eE,) = 0,0979; p eE,) = 0,902.
b) P(X '" 9) = 0,94. 3° c) La région d'acceptation est [9,98 ; 1O,02J. d) Les boulons ne son t pas conformes.
3° a) ffi( !O ; 0,902). b) P(X '" 9)
= 0,95.
= 0,744.
4° a) 4,012. b) [3,99 1 ; 4,033]. c) non.
Exercice 2
A. 10 f(x)
= Àe-2x + l-Le2x.
Exercice 2 A. 1° h(x) = (C,x + C,)e'.
3° h(., )
= Àe-2r + r Je 2t +.13're-2t .
r
4° he,) .
= 3~ e-2f +.±3"rc-2x
xl
g(x) =2" + x.
3° Cl
=
l, C2 = O.
B.l° lim f(x)
r
-
x--++ oo
= + =; x--+lim f(x) = +=. ...
Lorsque x > 0, C(5 est au-dessus de CfP.
Lorsque x < 0 ; C(6 est au-dessous de CfP. So A = 0,83.
J
B.3° c), = ~- ~x 4° a) 1 = _30-6 + 1. c) j
= 1.
d) J - 1 est J'aire de la partie du plan limitée par '€,l'axe des absc isses et la droite d'équation x = 3.
304
Épreuve 12
Épreuve 9 •
Exercice 1
Exercice 1
A. 3· P(X'" 20,5) = 0,Q7.
A. ZO h(x)
B. 1· P(D) = 0,023. 2· P(AID) = 0,435. C.l · c)~ =
=
(Àx + I-L)e-:!x.
3· f(x) = (Ic<+ l'-)e- 2 ' + 2.
4·
À
= 1 et 1'- = O.
B. 4° a) k'(x)
1,75; '1 = 109.
b)A
ZO 46 jours.
= .te-2x .
= (2-18e-~)cm2
Exercice 2
A. 2· 0.996.
Épreuve 10 Exercice 3 1°.\:M
=
_2, 3 + 3,2 + 3t - 1 ;Y1\1
=
4t 3 _ 12/ 2 + 9r.
2· t
0
l'(t)
3
/(t)
+
0,5
1
4.5
3
~2
g1t)
0
+
9
g(t)
~ 3
1
1
0
B. J. P(E) = 0,0456. 2· a) 00(50 ; 0,046). b) P(Y = 0) = 0,Q95. c) P(Y '" 2) = 0,594. 3· 1 = [249,308; 250,092J.
-------"1
-
-3
Épreuve Il
Épreuve 13
Exercice 1
Exercice 1
A.J · a) P(X '" 10.03) = 0,9322; b) P(X '" 9,972) = 0,0808 ; c) 0,8524. ZO (/ = 0,0256. 3· 0,0808. B. 2· P(Y = 0) =0,0 155. P(Y'" 1) = 0,0827. 3· a) À = 4. b) P(Y '" 5) = 0.784. Exercice 2 1 A. r a) lI (x) = Cl e- +
tex) - (x -
1)
=
4· b) Oui. Exercice 2
b) P(K
= 3) = 0,Q20.
3· a)
= 0,6.
.
ZO a) C, = 0 et C, = 1. b) La courbe représentati ve de f passe par l' o ri gine et admet en ce po int l'axe des abscisses pour tan gente. c)
3· a) r = 103Vln2.
À
b) P(Z> 2) = 0,023 1. X
b) g(x)=x-1. 1 r +Cze-x. c)f(x)=x- l+C ]e-
r
"
= Ke- ID ' . 3 -
A. p = 0,00 1382. B. l · 00(600; 0,001). 2· a) P(K = 0) = 0,549.
,< e e2
B.
J. f(t)
C. 2·
3 ° La rég ion d'acceptation est lI09,844; 110,156]. On accepte Ho.
eX> 0, donc '(5 est au-dessus
de 2b.
Réponses des épreuves de BTS
X(llO,y' 31000).
305
•
Épreuve 14
Épreuve 16
Exercice 1
Exercice 1 A. 1° a) P(X ., 72,45) = 0,266.
A.l o g(x) = h. 2° f(x) = h - In x - 1.
b) p(X '" 72,25) = OmO.
3° f(x) = 2, - Inx - 1.
c)
B.2 0 J'(x) = 2,- 1 .
B. 1° x = 72,37; ,,' = 0,11. 2° 111 = 72,37; CT = 0,12. 3° a) [72,30; 72,44].
x
C.3° c) 2.46 cm 2. Exercice 2 A.l o peE,) = 0,67. P(E2) = 0,96. 2° a) 00(150; 0,04). b) 1.. = 6. peE)~ = 0,29.
B. 1° Ho : ... = 25 : H,: ... " 25. 2° b) a = 0,08.
p(n,30 '" X'" 72,50) = 0,789.
4° a) [72,32 ; 72,42] b) a
= 2.
Exercice 2 A. 2° r = 0,999; Z = -0,5171 + 5,142. 3° N = 2 +e-O.517t+5,142. 4° 1 = 10.
3° On rejette Ho'
= Ke"' + 2.
B. 1° f(t)
lin
2° f(t) = 168 6
e. 4°
li
[ - 0,13 ln
168 + 2.
I~~' +
00 [
5° V = 36,68.
Épreuve 15
Épreuve 17
Exercice 1 A. 3° w
= 0,1673 1-
Exercice 1
0,000 18.
b) 1° q(l) = 1,2 e-O. 17 '.
4° À
0,341.
5° peY '" 6) = 0.378
C.3°/ 1 =260.
B. Exercice 2
1° a) p = 0,06; b) e = 0.26. 2° a) 00(4; 0,006) ; b) P(X = 1) =0,2; c) P(XJ > 1) = 0,02; e) P(X = 0) = O.osO; P(X < 3)
= 1) = = 7,5.
A. 2° P(X
] 0 "'1
=
107,5 el
SI
= 2,5.
3° On acceple Ho au seuil de 1 %.
Exercice 2 = 32,50 eO. 18t + 66,67.
A. 3° 1/
B.lo h(l)
= 0,423.
2° X(I)
= KeO,18'.
= 2~ + Keo,IS'.
= 2~ + I~ eO,"'. D. 3° 1 = 58. 30 X(t)
306